БЕРГМАН
«it ■ !
%Y~
i *'
И

П. БЕРГМАН
ЗАГАДКА
ГРАВИТАЦИИ
Перевод с английского
В. А. УГАРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969

630.1
Б 48
УДК 530.12:531.51
THE RIDDLE OF
GRAVITATION
PETER G. BERGMANN
Professor of Physics,
Syracuse University
CHARLES SCRIBNER'S SONS
NEW YORK
2-3-2
108—09

Предисловие автора
к русскому изданию
Мне было очень приятно узнать, что моя книга,
излагающая теорию тяготения, вместе с последними
достижениями космологии и астрономии, углубляющими наше
понимание природы тяготения, переведена на русский
язык и станет доступной советским читателям. Цель моей
книги изложена в предисловии к английскому изданию,
воспроизведенному в русском переводе, и я не стану
повторяться. Открытия в астрономии в наши дни следуют
одно за другим в быстром темпе, и уже после выхода
английского издания этой книги (март 1968 г.) стали
известны новые экзотические объекты — пульсары.
Естественно, что о них не было речи в английском издании; я
думаю, что писать о них в книге для неспециалистов еще
рано.
В. А. Угаров, выполнивший перевод книги на русский
язык, исправил отдельные неточности английского
оригинала и внес отдельные изменения в «Литературу для
дальнейшего чтения», указав некоторые книги на русском
языке. Я хотел бы выразить ему и академику В. Л.
Гинзбургу, принявшему участие в организации русского
издания, свою искреннюю благодарность.
П. Бергман
Октябрь, 1968 г.

Предисловие переводчика
Об особенностях предлагаемой вниманию читателей книги
прекрасно рассказано в предисловии автора. Мне остается сделать
лишь несколько замечаний для советских читателей.
П. Бергман — профессор физики Сиракузского университета
в Нъю-Йор*е, с 1936 по 1941 г. один из сотрудников Эйнштейна в
Принстоне. Область его научных интересов — теория
относительности. В 1947 г. Издательство иностранной литературы выпусти-
'ло перевод его книги «Введение в теорию относительности». По
этой книге многие в СССР знакомились с теорией
относительности. Предисловие к ней написал сам Эйнштейн.
«Загадка гравитации» — это книга, написанная первоклассным
специалистом для сравнительно широкого круга читателей.
Достаточно бегло полистать книгу, чтобы убедиться в том, что в ней
практически нет формул. Но это, конечно, не означает, что книга
общедоступна. Напротив, она требует значительной физической и
математической подготовки. И вместе с тем она будет полезна
очень многим. Книга выходит очень своевременно (это тоже
легко понять уже из авторского предисловия и оглавления). Она
очень нужна преподавателям физики средних и высших школ.
Ее можно дать школьнику старшего класса, интересующемуся
физикой. Ему будет трудно читать «Загадку гравитации», но
знакомство с этой книгой несомненно вызовет интерес к
специальной литературе. Темг кто так или иначе знаком с теорией
тяготения, эта книга поможет углубить понимание теории. Безусловно с
интересом ее прочтут студенты — физики, математики и
астрономы.
В свои рассуждения Бергман часто вводит «наблюдателя».
Хотя яростные дискуссии о роли наблюдателя давно ушли в
прошлое, нелишне напомнить, что «наблюдатель» — это всего лишь
удобный способ обозначения всех приборов, покоящихся
относительно той или иной системы отсчета.
Многие космологические результаты, упоминаемые в книге,
далеки от завершения. Существует немало людей, стремящихся
обсуждать (и осуждать) общие результат ы теории, касающиеся
Вселенной, по популярным книгам. Серьезную дискуссию
космологических выводов не следует вести на основе популярных книг,
даже таких, как «Загадка гравитации». Поэтому в заключение я
укажу свежую книгу (написанную, разумеется, для
специалистов), где приведены подробные обоснования и дискуссия
результатов, упоминаемых здесь: Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков
«Релятивистская астрофизика», «Наука», 1967.
4

Предисловие автора
к английскому изданию
В течение последних пятидесяти лет теория тяготения
Эйнштейна, которую часто называют «общей теорией
относительности», воспринималась всеми как логически наиболее
удовлетворительная теория, охватывающая все то, что нам известно о
тяготении. Как физики, так и философы обсуждали следствия общей
теории относительности, касающиеся наших представлений о
пространстве и времени и природе физической Вселенной. Как
физики, так и философы пытались сделать общую теорию
относительности доступной широкой публике, но даже тридцать лет спустя
после ее выхода «Эволюция физики» *) написанная Эйнштейном и
Инфелъдом, остается классическим научным сочинением,
предназначенным для неспециалистов.
В предлагаемой вниманию читателя книге я пытался дать
свежее изложение общей теории относительности. Новая техника
астрономических наблюдений необыкновенно увеличила
возможности человека для проникновения в глубины Вселенной.
Астроном старого времени наблюдал в неземные объекты только через
толщу атмосферы и только в лучах видимого света, вооруженный,
естественно, телескопами и спектроскопами. Современный
астроном имеет возможность поднять свои инструменты над земной
атмосферой; он может использовать радиоизлучение, исходящее от
небесных объектов, космические лучи и рентгеновские лучи.
Новая техника уже принесла свои плоды — квазизвездные
источники (квазары) и рентгеновские источники, большинство из
которых до сих пор не отождествлено с видимыми объектами. Уже
сами по себе эти экзотические объекты представляют значительный
интерес, но вместе с тем есть надежды, что их исследование в
конце концов даст существенный вклад в наше понимание
строения и истории развития Вселенной.
Именно появление этих новых горизонтов вселило в меня
уверенность в том, что неспециалисты нуждаются во введении в
общую теорию относительности, написанном по-новому, потому
что общая теория относительности представляет собой один из
подлинно фундаментальных подходов к сокровенной природе
физической Вселенной. В этой книге я пытался познакомить
читателя с принципиальными основами как ньютоновской, так и
эйнштейновской теории тяготения^ избегая введения технического
*•> А. Эйнштейн, Л. Ннфельд, Эволюция физики, изд. третье,
^справленное, «Наука» г 1965. (Прим, пер ев.)
S

аппарата математики, неизбежного на рабочем уровне
рассмотрения. Понимание общей теории относительности требует
предварительного ознакомления с идеями специальной теории
относительности (которая сама по себе не имеет отношения к
гравитации); поэтому первая часть книги посвящена в основном
специальной теории относительности.
Мне хотелось изложить теорию относительности как
конструктивный ответ па все те вопросы, которые встают перед
нами в связи с известными фактами, касающимися тяготения, В
заключительных главах книги я хотел высказать свои соображения
о том, как может развиваться теория в ближайшие десятилетия.
Физики умеют предсказывать будущее ничем не лучше, чем
историки, и я вполне отдаю себе отчет в том, что совсем не
исключено, что физика будет развиваться совсем не так, как я это
себе представляю. Я хотел подчеркнуть, что даже «точные науки»
не способны дать в настоящее время исчерпывающую картину;
очень мало надежд на то, что исчерпывающие ответы будут
получены и в ближайшем будущем. Но если полная картина еще
неясна, это не мешает нам последовательно продвигаться вперед,
расширяя наше понимание природы. Напротив, продвигаясь в
области Ьнания. недоступные нашим предшественникам, мы
раздвигаем ощутимые границы нашего познания. Деятельность, успех
которой не может принести людям вред, а каждый шаг вперед
может оказаться триумфом всего человечества, не может никого
оставить равнодушным.

Введение. Значение
теории гравитации
Все весомые тела взаимно испытывают тяготение, эта
сила обусловливает движение планет вокруг Солнца и
спутников вокруг планет. Теория гравитации — теория
тяготения, *) — созданная Ньютоном, стояла у колыбели
современной точной науки. Другая теория гравитации,
разработанная Эйнштейном, является величайшим
достижением теоретической физики двадцатого века. В течение
столетий и даже тысячелетий развития человеческого
общества люди наблюдали явление взаимного
притяжения тел и измеряли его величину; они пытались поставить
это явление себе на службу, превзойти его влияние и,
наконец, уже в самое последнее время рассчитывать его с
чрезвычайной точностью во время первых, не совсем
уверенных шагов в глубины Вселенной.
Пытливый ум человека в своих непрестанных
устремлениях к познанию и пониманию окружающей природы
требует мобилизации всех физических и
интеллектуальных сил человечества и заставляет непрерывно их
совершенствовать^ чтобы, с одной стороны, защитить себя от
окружающей природы, а с другой — взять ее под свой
контроль. Последовательное исследование природы
привело к возникновению различных отраслей естествознания, в
том числе и физики. Небесполезно попытаться дать
формальное разграничение области применения той или иной
частной науки. «Физика — это то, чем занимаются
физики»; то же самое можно сказать о химии, биологии,
астрономии и об остальных естественных науках. Стремясь
понять поведение вещества, физики узнали, что оно
состоит из атомов и молекул и что поведение конкретных
веществ, например кристаллических тел или газов, можно
*> В русской лптературе слова «тяготение» и «гравитация»
практически равноправны. Пользоваться только одним из этих
терминов при переводе не удается. Но в этом и нет особой не*
обходим ости (Прим. пер ев.)
7

понять, рассматривая движение и взаимодействие
входящих в их состав атомов. В свою очередь атомы
представляют собой сложные системы, состоящие из ядер и
отрицательно заряженных частиц — электронов. И,
наконец, атомные ядра образуются кирпичиками двух
сортов — протонами, обладающими положительным зарядом,
и нейтронами, у которых заряда вообще нет.
Необозримая сложность окружающих нас тел
обусловлена прежде всего такой многоступенчатой структурой,
конечные элементы которой — элементарные частицы —
обладают сравнительно небольшим числом видов
взаимодействия. Но эти виды взаимодействия резко отличаются
по своей силе. Частицы, образующие атомные ядра,
связаны между собой самыми могучими из всех известных
нам сил; для того чтобы отделить эти частицы друг от
друга, необходимо затратить колоссальное количество
энергии. Такие энергии могут быть получены в
специальных устройствах, мощность которого исчисляется
миллионами и биллионами вольт*). Электроны в атоме связаны
с ядром электромагнитными силами; достаточно сообщить
им весьма скромную энергию в несколько вольт —
энергиями такой величины, как правило, характеризуются
химические реакции,— как электропы уже отделяются от
ядра. Если говорить об элементарных частицах и атомах, го
для них самым слабым взаимодействием является
гравитационное взаимодействие **).
Чтобы составить себе представление об относительной
величине электрических и гравитационных сил,
рассмотрим взаимодействие между двумя электронами, теми
самыми частицами, движение которых создает ток в
электрических цепях и батареях.
Для того чтобы сила притяжения двух электронов,
расположенных на расстоянии в один сантиметр друг от
друга, за счет их гравитационного взаимодействия стала
бы равна силе отталкивания между ними за счет
электрического взаимодействия, придется раздвинуть
электроны на расстояние порядка пятидесяти световых лет, что,
грубо говоря, превышает в десять раз расстояние между
*> Читателя не должно удивлять, что энергия выражается
в вольтах. Здесь подразумевается электрон-вольт — единица
энергии, равная 1,6-Ю-12 эрг. (Прим. перев.)
**) То есть то взаимодействие, которое у макроскопических
тел мы называем всемирным тяготением. (Прим. перев.)
8

звездами, расположенными по соседству с нами, и
составляет около 1015 км (см. единицы в Дополнении 6).
При сопоставлении с взаимодействием элементарных
частиц гравитационные .силы настолько слабы, что это
трудно себе представить. Тем не менее они и только они
полностью регулируют движение небесных тел. Это
происходит потому, что тяготение сочетает в себе две
особенности, из-за которых его действие усиливается, когда мы
переходим к крупным телам. В отличие от сил,
действующих внутри атомных ядер и простирающих свое влияние
лишь на расстояние порядка размера атома, силы
гравитационного притяжения ощутимы и на больших
удалениях от создающих их тел. Кроме того, если электрические
силы, действующие внутри атомов и между ними, могут
быть как силами притяжения, так и силами отталкивания
и во всех больших электрически нейтральных телах
имеют тенденцию компенсироваться, гравитационные силы —
это всегда силы притяжения; это означает, что все тела
всегда притягиваются друг к другу. Именно поэтому и
оказывается, что только гравитационные силы и действия,
вызываемые ими, играют роль для определения орбит, по
которым движутся вокруг Солнца планеты, входящие в
нашу солнечную систему.
Небесные тела движутся в глубоком вакууме мирового
пространства в условиях, когда на них не действуют
усложняющие движение тел многочисленные факторы, с
которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни.
Небесные тела не испытывают ни трения (тогда как все
тела на Земле испытывают трение), ни влияния
сопротивления атмосферы (которое на Земле действует на все
движущиеся тзла). Взаимное влияние небесных тел
проявляется на очень большом удалении друг от друга. Эти
причины и обусловили тот факт, что динамика небесных
тел была понята на самой ранней стадии развития
современной науки. Имея предшественниками двух блестящих
астрономов — Галилея и Кеплера, подготовивших своими
трудами почву для новых открытий, Ньютон сумел
придумать целостную теорию и придать ей математическую
форму. Его теория вполне удовлетворила желание людей
объяснить рациональным путем видимые траектории не-
бесных тел и дала возможность астрономам с высокой
степенью точности предсказывать положения небесных
тел в будущем.
9

Усовершенствование техники наблюдений и
нарастающие возможности вычислительной техники делали с
каждым годом ньютоновскую теорию тяготения все более
успешной. Так продолжалось около трехсот лет. Работы
Ньютона являлись тем стандартом, по которому
оценивались значение и успех тех или иных физических теорий.
Около пятидесяти лет назад творение Ньютона было
подправлено и отчасти заменено новой теорией тяготения.
Эта новая теория была создана Эйнштейном и называлась
общей теорией относительности. Новая теория тяготения
понадобилась не потому, что ньютоновская теория
тяготения оказалась вдруг несостоятельной, а потому что
возникли противоречия между ней и требованиями
электромагнитной теории. Эти противоречия были подробно
исследованы Эйнштейном, когда он создавал специальную
теорию относительности.
Хотя общая теория относительности дала объяснение
лишь очень небольшому числу расхождений между
данными астрономических наблюдений и ньютоновской
теорией, ее основной вклад в современную науку состоит в
том, что она произвела подлинную революцию в наших
представлениях о пространстве и времени, революцию,
которая все еще не завершена. Сразу же после того, как
теория Эйнштейна была опубликована, а это произошло
в 1916 г., она привлекла к себе всеобщее внимание.
Особенное усиление интереса произошло тогда, когда
астрономические наблюдения как будто подтвердили
справедливость основных положений Эйнштейна. Затем разработка
общей теории относительности активно производилась
лишь очень немногочисленной группой физиков и
математиков, сохранивших веру в возможности новой теории.
Эти люди продолжали исследовать и разрабатывать
следствия теории. Так продолжалось несколько десятилетий.
С 1960 г. число лиц, активно работающих в области общей
теории относительности, быстро возрастает. Новая
вспышка интереса к теории связана с осознанием идейной мощи
теории, с пониманием ее возможностей при применении
в других областях физики, с возможностями,
открывающимися перед теорией в связи с новыми
экспериментальными результатами и новыми данными наблюдений. Не
последнюю роль среди этих причин играет и возможное
значение общей теории относительности для космических
исследований и космических путешествий.

I. Ньютоновская физика
и специальная теория
относительности
1. Предшественники Ньютона
Из самых древних исторических записей, дошедших
до нас, следует, что людям давно было известно о
небольшой группе небесных объектов, которые передвигаются
по небу совсем не так, как остальные звезды,
перемещающиеся по периодически повторяющимся орбитам как
единое целое. Не считая Солнца и Луны, двигались по своим
собственным орбитам планеты Меркурий, Венера, Марс,
Юпитер и Сатурн. Движение этих небесных тел вызывало
живой интерес у мореплавателей и составителей
календарей; планеты связывались с религиозными и
мистическими идеями, известны попытки построить схемы для
предсказания их движения. Согласно воззрениям
александрийского астронома Клавдия Птоломея (II век) Земля
находится в центре Вселенной. До сих пор, пока
придерживались схемы Птоломея, видимое движение планет
но небу рассматривалось как истинные орбиты планет;
объяснение движения планет по наблюдаемым орбитам
требовало участия сфер, приводимых во вращение
зубчатыми передачами — шестеренками, для того чтобы
получить наблюдаемые узлы и петли.
В XVII в. немецкий астроном Иоганн Кеплер
(1571—1630) провел тщательнейшую обработку
наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546—1601),
исходя из представлений Николая Коперника (1473—
1543). Польский астроном утверждал, что скорее
Солнце, а не Земля является центром, вокруг которого
движутся планеты. Кеплеру удалось показать, что планеты
движутся по эллиптическим орбитам и что Солнце
находится в одном из фокусов такого эллипса (рис. 1).
Движение всех планет происходит таким образом, что
прямая, соединяющая Солнце с планетой, описывает равные
11

площади за равные промежутки времени. Планета,
изображенная на рис. 2, проходит путь от точки С к D за то
же самое время, что и путь от А к В. Наконец, периоды
обращения различных планет пропорциональны корню
квадратному из наибольшего диаметра каждой орбиты,
возведенному в третью степень. На рис. 3 на графике
Рис. 1. Орбита планеты; в Рис. 2. Закон площадей,
фокусе эллипса — Солнце,
изображен этот закон. На обеих осях — наибольших
диаметров и периодов обращения — величины отложены в
логарифмическом масштабе, чтобы на графике
уместились все нужные данные: от периода обращения
Меркурия, равного 88 дням, до Плутона — 91 000 дней.
Прямая лиииЪ соответствует закону 3/2. Данные,
относящиеся к отдельным планетам, указаны черными
кружками.
Законы, открытые Кеплером, позволили Ныотопу
сформулировать законы механики вообще и закон
всемирного тяготения в частности. Мы едва ли в состоянии
оценить в полной мере гений английского физика и
математика Исаака Ньютона (1642—1717). Он смог
превратить законы Кеплера во всеобъемлющую физическую
теорию только потому, что сумел создать необходимый
математический аппарат: Ньютон изобрел
дифференциальное и интегральное исчисление, важнейшую
математическую технику, необходимую для обращения с
переменными величинами, такими, например, как
перемещение тел с течением времени. С помощью аппарата
дифференциального исчисления он сумел из законов
Кеплера, найденных на основе наблюдений, получить
основные принципы движения, которые справедливы в лю-
12

Плутон
Нептун
Солнца № Ш ЮОВО
Период обращения, сут/ш
Рис. 3. Третий закон Кеплера.
бой момент времени и заставляют планеты двигаться по
замкнутым орбитам.
Если скорость движения, или просто скорость
планеты, известна в любой момент времени, то с помощью
дифференциального исчисления можно подсчитать в
каждый момент времени ту скорость, с которой
изменяется сама скорость,
т. е. ускорение.
Обратно, с помощью
интегрального
исчисления, зная скорость
планеты, можно
вычислить расстояние,
проходимое планетой
за любой заданный
промежуток времени.
Ньютон понял, что
закон Кеплера,
утверждающий, что прямая, соединяющая планету и
Солнце, описывает равные площади за радные промежутки
времени, указывает на то, что любое изменение скорости
планеты может быть направлено только прямо к Солнцу,
но вовсе не под прямым углом к этому направлению (см.
Дополнение 1).
Ньютон пришел к трем выводам, один из которых был
уже предугадан итальянским ученым Галилео Галилеем
(1564—1642); два других принадлежат полностью
Ньютону. Согласно первому из них влияние Солнца заставляет
планеты непрерывным образом изменять свою скорость и
это изменение скорости — ускорение (куда в большей
степени, чем сама скорость, положение частицы или вся
траектория в целом) — должно подчиняться сравнительно
простым законам. В этом отношении Ньютон преодолел
средневековые представления о том, что всякое тело занимает
собственное положение во Вселенной, а действие других
тел вызывает смещение. Согласно представлениям
Ньютона тело, на которое не действуют другие тела, будет
продолжать двигаться со скоростью, которую оно приобрело
раньше; результатом действия других тел на данное тело
будет изменение скорости тела, т. е. ускорение.
Второй вывод, о котором уже шла речь, следовал из
закона равных площадей Кеплера. Ньютон понял, что
сила, действующая со стороны Солнца на любую из пла-
13

нет, направлена к Солнцу и что эта сила — сила
притяжения. Это хорошо видно на рис. 4. Когда планета переходит
из положения Pi в положение Рч, ее скорость меняется от
значения V\ до значения и 2.
Приращение скорости A>v=v2—W'i
направлено прямо к источнику силы, к
Солнцу. Надо помнить, что скорости V\ и
I
Солнце
Рис. 4. Гравитационные силы—
силы притяжения.
1
I
|
1
Расстояние от
источника тяготения
Рис. 5. Гравитационные си~
лы убывают обратно
пропорционально квадрату
расстояния между телами.
V'2 представляют собой векторы (величины, обладающие
направлением). Приращение Av представляет собой
также вектор, идущий от конца вектора (стрелки) V\ к
концу стрелки V2. Начала векторов V\ и 1*2 сведены в одну
точку.
Наконец, форма орбит, по которым движутся
планеты, и закон 3/2, определяющий периоды движения
планет по орбитам, привели Ньютона к заключению о том,
что сила притяжения между двумя телами зависит от
расстояния между этими телами; Ньютон установил, что
сила притяжения обратно пропорциональна квадрату
расстояния между телами (рис. 5). Если измерить силу
взаимного тяготения двух тел, отстоящих друг от друга
на расстоянии в миллион километров, и затем еще раз
измерить такую же силу, если тела поместить на удалении
в два миллиона километров, то окажется, что на большем
удалении друг от друга сила уменьшится в четыре раза
по сравнению с ее значением при первом измерении (см.
Дополнение 2).
Во времена Ньютона лишь два типа сил могли быть
исследованы количественно. Одной из этих сил была
сила тяжести; другой тип сил — это силы тяги или толка-
14

шш; с ними мы сталкиваемся в повседневной жизни,
когда везем детскую коляску или тянем за поводок
упирающуюся собаку. Ньютон отважился построить общую
теорию, применимую ко всем силам: как к силам, из-
ностпым в его время, так и к силам, которые, возможно,
будут обнаружены впоследствии. Он рассматривал свою
кюрию притяжения лишь в
качестве частного случая,
который он может более полно
разработать во всех
подробностях. Что касается общей
тоории сил, то здесь Ньютон
сформулировал три своих
;шаменитых закона: п а „ „
л ч -п „ Рис. о. Третий закон пью-»
1) Если на тело не деи- гока
стпуют силы, то оно либо
покоится, либо совершает равномерное прямолинейное
движение.
2) Если на тело действует сила, то тело будет
испытывать ускорение в том направлении, в котором
действует сила; произведение массы тела на испытываемое
им ускорение равно действующей силе (f — ma).
3) Каждой силе соответствует равная и
противоположно направленная сила (рис. 6). Согласно третьему
закону каждая планета притягивает к себе Солнце, сооб-
щая ему ускорение, направленное к планете; однако
величина этого ускорения мала, потому что масса Солнца
но много раз больше массы любой планеты солнечной
системы.
Среди всех сил, которые могут существовать в природе,
сила тяготения отличается прежде всего тем, что она
проявляется повсюду. Все тела обладают массой, которая
определяется как отношение силы, приложенной к телу, к
ускорению, которое приобретает под действием этой силы тело.
Сила притяжения, действующая между любыми двумя
телами, зависит от масс обоих тел; она пропорциональна
произведению масс рассматрртваемых тел. Кроме того, сила
тяготения характеризуется тем, что она подчиняется
закону обратной пропорциональности квадрату расстояния
(рис. 5). Другие силы могут зависеть от расстояния совсем
иначе; в наше время известно немало таких сил.
Один аспект всемирного закона тяготения —
удивительная двойственная роль, которую играет масса,— пос-
/5

лужил краеугольным камнем для построения общей
теории относительности. Согласно второму закону Ньютона
масса является характеристикой всякого тела, которая
показывает, как будет вести себя тело, когда к нему
прикладывается сила, независимо от того, будет ли это сила
тяжести или какая-то другая сила. Так как все тела, по
Ньютону, в качестве отклика на внешнюю силу
ускоряются (изменяют свою скорость), масса тела определяет,
какое ускорение испытывает тело, когда к нему приложена
заданная сила. Если одно и то же усилие прикладывается
к велосипеду и автомобилю, каждый из них достигнет
определенной скорости в разное время. Автомобиль,
обладающий большей массой, достигнет определенной
скорости за больший промежуток времени. Обратно, для того
чтобы вызвать у велосипеда и у автомобиля одинаковое
изменение скорости, следует приложить к автомобилю
большее усилие (точнее, приложить к нему большую
силу), чем к велосипеду.
- Но по отношению к тяготению масса играет еще и
другую роль, совсем непохожую на ту, которую она играла как
отношение силы к ускорению: масса является источником
взаимного притяжения тел; если взять два тела и
посмотреть, с какой силой они действуют на третье тело,
расположенное на одном и том же расстоянии сначала от одного,
а затем от другого тела, мы обнаружим, что отношение
этих сил равно отношению двух первых масс. Фактически
оказывается, что эта сила пропорциональна массе
источника. Сходным образом, согласно третьему закону Ньютона,
силы притяжения, которые испытывают два различных
тела под действием одного и того же источника
притяжения (на одном и том же расстоянии от него),
пропорциональны отношению масс этих тел. В инженерных науках
и повседневной жизни про силу, с которой тело
притягивается к земле, говорят как о весе тела. Если кто-то из нас
окажется в мировом пространстве на большом удалении
от Земли и других источников притяжения, он обнаружит,
что никакого веса у него нет; однако это вовсе не означает,
что он лишился массы. Нет никакого сомнения в том,
что со временем медицина сумеет выработать рацион
для космических путешественников, который позволит
им контролировать массу своего тела, несмотря на то,
что они непрерывно будут находиться в состоянии
невесомости.
16

Подведем итоги. Масса входит в связь, которая
существует между силой и ускорением; с другой стороны, масса
определяет величину >еилы притяжения. Такая
двойственная роль массы приводит к тому, что ускорение
различных тел в одном и том же гравитационном поле оказывается
одинаковым. Действительно, возьмем два различных тела
с массами т и М соответственно. Пусть оба они
свободно падают на Землю. Отношение сил притяжения,
испытываемых этими телами, равно отношению масс этих тел т/М.
Однако ускорение, приобретаемое ими, оказывается
одинаковым. Таким образом, ускорение, приобретаемое
телами в поле тяготения, оказывается для всех тел в одном
к том же поле тяготения одинаковым и совсем не зави-
гит от конкретных свойств падающих тел. Это ускорение
шншепт только от масс тел, создающих поле тяготения,
и от расположения этих тел в пространстве.
Двойственная роль массы и вытекающее из нее равенство
ускорении всех тел в одном и том же гравитационном поле
известно под названием принципа эквивалентности. Это
панвапие имеет историческое происхождение, подчерки-
па ющео то обстоятельство, что эффекты тяготения и
инерции (о которых речь пойдет ниже) до известной степени
эквивалентны. Сегодня нам следует быть несколько
осторожнее и оставить термин принцип эквивалентности
только для указания на равенство массы как меры
сопротивления тела ускорению и массы как источника силы
притяжения.
Ма поверхности Земли ускорение силы тяжести, грубо
говоря, равно 10 м/сек2. Скорость свободно падающего
тела, гели отвлечься от сопротивления воздуха при падении
тгла, возрастает на 10 м/сек за каждую секунду. Например,
ген и тело начинает свободно падать из состояния покоя, то
к концу третьей секунды его скорость будет равна 30м/сек.
< Обычно в учебниках физики ускорение свободного падения
ооо;шачается буквой g. Из-за того, что форма Земли не
< iporo совпадает с шаром, величина g на Земле не всюду
одинакова; она больше у полюсов, чем на экваторе, и мень-
ию па вершинах больших гор, чем в долинах. Если
величина g определяется с достаточной точностью, то на ней
гкааывается даже геологическая структура. Этим
объясняемся то, что в геологические методы поисков нефти и дру-
11.; полезных ископаемых входит также точное
определенно величины g.

То, что в данном месте все тела испытывают одинаковое
ускорение,— характерная особенность тяготения; таким
свойством никакие другие силы не обладают. Например, в
электрическом поле частицы, имеющие различное
отношение заряда к массе, ускоряются по-разному. Известный
физический прибор — масс-спектрограф — разделяет
частицы именно по этому признаку. Изобретать
масс-спектрограф с использованием сил притяжения — дело
совершенно бесполезное, поскольку в поле тяготения все частицы,
независимо от их прочих свойств, ускоряются совершенно
одинаково.
Хотя Ньютону не оставалось ничего лучшего, чем
просто описать этот факт, он понимал всеобщность и единство
ускорения тяготения. На долю немецкого физика —
теоретика Альберта Эйнштейна (1870—1955) выпала честь
выяснить принцип, на основе которого можно было
объяснить это свойство тяготения, принцип эквивалентности.
Эйнштейну также принадлежат основы современного
понимания природы пространства и времени.
В начале нашего века венгерский физик Роланд Этвеш
(1848—1919) экспериментально проверил справедливость
принципа эквивалентности с точностью до 10~8 и
подтвердил его справедливость*). Совсем недавпо Р. Дикке из
Принстонского университета повторил опыты Этвеша,
увеличив точность эксперимента до 10~п. Опыты Дикке
подтвердили вместе с тем основные законы Ньютона с этой
же точностью.
2. Относительность движения
До сих пор мы рассматривали скорость и ускорение
частиц и молчаливо предполагали, что эти характеристики
движения тел не требуют уточнения; считалось, что
каждый интуитивно понимает, что они означают. Однако
представление о движении или об отсутствии движения, т. е.
покое, приобретает четкий смысл лишь тогда, когда
установлено соглашение, что движение рассматривается
относительно Земли. Пока мы имеем дело с явлениями природы,
происходящими на Земле, такая точка зрения вполне
*) Речь идет о том, что отношение инертпой пгИ и
гравитационной тГ масс тела тп/тг получается равным единице с
точностью ДО 10~п. (Прим. перев.)
18

Спорость
детра ^^
\ Крейсерска^
скорость\
оправдана. Если, например, правила уличного движения
ограничивают скорость движения автомашин
величиной 60 км/ч, то, вне всякого сомнения,— и милиция, и
водители не расходятся в том, что скорость нужно считать
относительно дороги, которая в свою очередь жестко
связана с поверхностью Земли.
Когда речь идет о самолете, то говорят уже о «скорости
самолета в воздухе» (его крейсерской скорости) —и
скорости относительно Земли — путевой
скорости,— причем эти скорости
окашиваются различными (рис. 7).
Скорость самолета относительно воз
дула — крейсерская скорость — »то
скорость относительно окружающей его
массы воздуха: ее величина зависит
от мощности двигателей, от
формы фюзеляжа и крыльев самолета и
других факторов.
Путевая скорость самолета — это
скорость самолета относительно
попе рхиости Земли; ее определяют по
иремени, которое необходимо
самолету для того, чтобы пролететь
расстояние между двумя аэропортами.
Различие между этими скоростями
зависит от величины ветра,
направленного по движению или против движения самолета. Таким
образом, термины крейсерская скорость в воздухе и путе-
паи скорость указывают на выбранную для описания
диижения самолета систему отсчета; в первом случае
движение рассматривается относительно атмосферы; во
втором — относительно Земли.
Но времена средневековья имела широкое хождение
точка зрения Птоломея, согласно которой Земля
представляет собой естественный центр Вселенной. В связи с этим
принимать Землю в качестве универсальной системы
(ггсчета (т. е. Стандартного тела, относительно которого
рассматривается любое движение) представлялось вполне
оправданным не только в повседневной жизни, но и в
естественных науках. Но как только от воззрений
Птоломея отказались, вопрос о том, как выбирать систему
отсчета, снова оказался открытым. Вместо Земли в качестве
«естественной» системы отсчета Коперник выдвинул
Рис, 7, Скорость
самолета
относительно воздуха и
относительно Земли
(крейсерская и
путевая скорости).
19

Солнце, и его выбор был очень удачным, когда нужно
было описывать движение внутри солнечной системы;
Тейерь мы знаем, что Солнце представляет собой всего-
навсего одну из миллионов известных звезд,
расположенных в нашей Галактике. Мало того, наша Галактика
является всего лишь одной из бесчисленного числа галактик,
наблюдаемых в большой телескоп.
Ньютон хорошо понимал, что в выборе системы отсчета
кроется немало осложнений. Все фундаментальные законы
механики, установленные Ньютоном, формулируют
утверждения, относящиеся к ускорениям, т. е. к изменениям
скоростей физических тел, но не к самим скоростям. Эти
ускорения связывались с расстояниями между телами,
например расстоянием между Землей и Солнцем или
расстоянием между Землей и Луной и т. д. Выбор системы
отсчета никак не влиял на величину расстояния между
телами, но ускорение тел, обусловленное их взаимным
притяжением или отталкиванием, следовало подсчитывать
относительно универсального стандартного тела, а выбор
такого тела очень тесно связан с выбором системы отсчета.
Для тех, кто едет в автомобиле или летит в самолете
(причем движение происходит по прямой и с постоянной
скоростью), вполне естественно без всякого размышления
принять за систему отсчета кузов автомобиля или кабину
самолета. И в самом деле, когда самолет летит с
крейсерской скоростью в 600 км/ч, пассажиры спокойно ходят
по кабине, практически не ощущая такой громадной
скорости. Однако на взлете, например, пассажир ощущает
силу, прижимающую его к спинке кресла; никому в голову
не приходит объяснить этот факт тем, что их «временно»
притягивает к себе хвост самолета. Скорее мы услышим,
что во время взлета и посадки кабина самолета
становится, очевидно, «неподходящей» системой отсчета, по
отношению к которой тела испытывают ускорение; это
ускорение нельзя приписать влиянию каких-то тел,
расположенных в непосредственной близости к самолету.
Короче говоря, только «подходящая» система отсчета
позволяет обнаружить «истинное» ускорение.
Остается только указать, какие же системы отсчета
следует признать «подходящими». Рассмотрим двух
наблюдателей, один из которых жестко связан с Землей,
а второй находится в автомобиле, движущемся с
постоянной скоростью по прямому пути. Если оба наблюдателя
20

следят за полетом птицы, они обнаружат, что скорость
птицы в каждый данный момент времени для каждого
n:t них будет своя. Это произойдет потому, что каждый
ил наблюдателей описывает движение птицы, считая
самого себя за систему отсчета. Однако у них не
возникает расхождений относительно того, как изменяется
скорость птицы (и не только в смысле изменения величины
скорости, но и ее направления).
Рассмотрим рис. 8. Сначала наблюдатель, стоящий
по Земле, находит, что скорость птицы равна v0. Через
секунду эта скорость станет равной v\. Следовательно, этот
Рис. 8. Ускорение птицы.
наблюдатель будет считать, что ускорение птицы
(ускорение тоже вектор!) равно а. Пусть скорость движения
наблюдателя в автомобиле относительно Земли равна гг.
Он обнаруживает, что скорость птицы в соответствующие
моменты времени равна iV и v\\ тем не менее изменение
скорости при переходе от iV к V\ по-прежнему равно а,
так же как и при переходе от vo к V\.
Если во все фундаментальные законы природы входят
только изменения скорости, как это и предполагал
Ньютон, оба наблюдателя располагают вполне достаточными
данными, позволяющими установить справедливостьзако-
иоп динамики Ньютона. Но посмотрим теперь, что скажет
наблюдатель, находящийся в автомобиле, который
движется на повороте дороги. Изменения скорости птицы,
которые он обнаружит, будут существенно отличаться
от тех изменений, которые нашли два первых
наблюдателя. Скорость третьего наблюдателя относительно Земли
меняется за секунду от w0 до w{, как это изображено на
21

рис. 9. Соответственно этому он находит, что ускорение
птицы равно а", которое отнюдь не равно а. Таким
образом, мы приходим к заключению, что, собирая
необходимые данные для проверки законов Ньютона, следует
считать равноправными только тех наблюдателей, которые
движутся друг относительно друга равномерно и
прямолинейно.
Остается один вопрос: существует ли среди всех
мыслимых наблюдателей тот класс наблюдателей, к которому
Рис. 9. Наблюдатель, движущийся с ускорением.
следует предпочтительно относить данные, касающиеся
динамики различных тел и физических систем. Ньютон
ответил на этот вопрос утвердительно. Согласно его
первому закону тело, на которое не действуют внешние силы
(другими словами, тело, которое не испытывает влияния
других тел), не должно испытывать ускорения: нам
следует найти такого наблюдателя, для которого это
утверждение справедливо. Такого наблюдателя мы назовем инер-
циалъным наблюдателем; по отношению к нему движение
свободного (т. е. не подверженного действию сил) тела
будет происходить без ускорения. Если инерциальный
наблюдатель рассматривается в центре сооружения,
состоящего из топографических реек или эквивалентных
оптических инструментов (типа теодолита), то вся эта
комбинация называется инерциалъной системой отсчета или,
короче, инерциалъной системой. Существование й
равноправие бесконечного числа инерциальных систем,
находящихся в состоянии равномерного и прямолинейного
движения или покоя друг относительно друга,— это
основной догмат ньютоновской теории физической
Вселенной. Равноправие всех инерциальных систем отсчета
22

и отсутствие выделенной системы, находящейся в состо-
нпнп абсолютного покоя,— эти утверждения известны
иод общим названием принцип относительности. Принцип
относительности не подвергался пересмотру на
протяжении более 200 лет. За это время физики сжились с мыслью
о том, что в мире не существует абсолютного покоя или
абсолютного движения, но существует абсолютное
ускоренно. Что касается абсолютного ускорения всех физи-
чооких тел, оно определяется силами, возникающими
и результате близости других физических тел,
Я. Универсальность скорости света
Для того чтобы установить абсолютный покой и абсо-
лкггное движение, следует выделить из всех инерциальных
(истом отсчета ту единственную систему, которая не
просто не имеет ускорения относительно остальных, но
обладает еще каким-то иным дополнительным свойством
(причем этим свойством не обладают все остальные инер-
циалмгые системы), которое делает эту систему
единственной системой для описания всех процессов во
Вселенной. Но оказалось, что во всей Вселенной, построенной
Ньютоном, нет никакого способа выделить такую
привилегированную систему.
На протяжении девятнадцатого столетия мпогие
выдающиеся физики внесли значительный вклад в учение
об электричестве и магнетизме. Среди них следует
отметить голландца Ганса Эрстеда (1777—1851), двух
выдающихся английских физиков — Михаила Фарадея (1791—•
18(57) и Джемса Клерка Максвелла (1831—1879),
наконец, немецкого физика Генриха Герца (1857—1894),
И частности, Максвелл уже понимал, что
электромагнитные явления не укладываются в схему ньютоновской
мохаиики. Если в механике Ньютона считалось, что силы
шшимодействия между телами всецело определяются
расстоянием между этими телами, в электродинамике ока-
:;плось, что движущиеся заряды, в частности заряды,
которые создают электрический ток, вызывают такие дей-
<"гния, с которыми мы не встречаемся, когда
рассматриваем заряды, находящиеся в покое. Небесные тела
только притягивают друг друга; когда электрические
заряды покоятся, они либо притягивают, либо отталкивают
друг друга, но в любом случае действующие между ними
2$

силы направлены по прямой, соединяющей эти заряды.
Эрстед обнаружил, что электрический ток (который
образуется движущимися зарядами) действует с некоторой
силой на магнитную стрелку; эта сила направлена под
прямым углом к направлению тока. Из данных
астрономических наблюдений как будто бы следовало, что сила,
действующая между двумя телами, зависит только от
взаимного расположения тел в данный момент (от
мгновенной конфигурации). Однако Герц показал, что
электромагнитные возмущения распространяются как волны,
причем скорость распространения этих волн конечна.
Отсюда следовало, что сила, испытываемая одним телом
за счет другого, может быть выделена и объяснена только в
том случае, если известна история движения другого тела.
Максвеллу удалось дать описание всех известных
электромагнитных явлений в математической форме,
которая не утеряла своего значения и в наши дни. Вся его
теория сконцентрирована в небольшой системе уравнений,
которую называют системой уравнений Максвелла.
Опираясь на представления Фарадея, высказанные несколько
раньше, Максвелл развивал понятия поля в
противоположность Ньютону, который исходил из представления
о непосредственном действии тел друг на друга через
пустое пространство (теория дальнодействия). Фарадей
и Максвелл думали, что электрически заряженные тела
вызывали некоторые натяжения в прилегающей к ним
части пространства. Эти натяжения в свою очередь
вызывали натяжения, расходящиеся по нарастающим
концентрическим окружностям; их величина постепенно убывала
по мере» удаления от заряженного тела. Такие
натяжения — мы может представлять их себе как нечто
существующее в пространстве, которое во всех остальных
отношениях является пустым,— и называются полями.
Согласно Фарадею и Максвеллу поле действует с некоторой
силой на все частицы, которые в него попадают. Таким
образом, поля оказываются посредниками, с помощыэ
которых осуществляется взаимодействие между
материальными частицами и которые берут на себя роль
ньютоновского дальнодействия.
Уравнения Максвелла описывают математически связь
между электрическими зарядами и токами, с одной
стороны, и создаваемыми ими электрическими и магнитными
полями — с другой. Эти же уравнения описывают связь
24

между самими полями. Например, одно из уравнений
Макекслла утверждает, что переменное во времени
магнитное поле вызывает появление электрического поля,
чти никаких электрических зарядов при этом нет. Этот
никои, носящий название закона электромагнитной
индукции, используется в электрических генераторах (динамо-
машинах), в обмотках которых возбуждается
электродвижущая сила за счет изменения пронизывающих их
магнитных полей.
'I еория Максвелла не только предсказала конечную
скорость распространения электромагнитных волн, но и поз-
nn.iiii.ilа вычислить ее значение, которое оказалось равным
.10()0()() км/сек: т. е. эта скорость в точности равна скоро-
пи скота. Отсюда Максвелл заключил, что свет
предела илист собой частный случай элекромагнитных волн; это
предположение позже было полностью подтверждено.
Под влиянием идей Максвелла Герц осуществил
лабораторный эксперимент, доказавший существование
электромагнитных волн и ставший отправной точкой для
развитии радиосвязи.
И законы механики входят только ускорения, а не
скорости, в основные законы электромагнитных явлений
иходит универсальная скорость — скорость
распространении света в пустоте. Ее значение, предсказываемое
теорией Максвелла и впоследствии подтвержденное
многочисленными экспериментами и наблюдениями, одинаково
дли электромагнитных волн любой длины волны — радио-
nn.iiи, света, рентгеновских лучей.
По как только мы столкнулись с универсальностью
скорости света, нам следует пересмотреть выводы ньюто-
1ин1ской физики, касающиеся выбора системы отсчета.
До тех пор, пока для законов физики были существенны
.пшик ускорения, все инерциальные системы были в равной
степени хороши для описания явлений природы. Дей-
епштельно, если мы не выходим за рамки явлений меха-
пики, нет никаких экспериментов или наблюдений,
которые позволили бы выделить какую-то одну привилегиро-
luuiiiyio систему отсчета в качестве фундаментальной.
Однако если в пустоте свет всегда распространяется
с универсальной скоростью 300000 км/сек (эту скорость
п дальнейшем мы будем обозначать латинской буквой с),
то точное определение кажущейся скорости света
относительно лабораторных приборов дает возможность найти
25

скорость этих приборов относительно остальной части
Вселенной. В этом случае должна существовать одна
■- тдавтема отсчета, относительно которой свет всегда
движется со скоростью с. Назовем эту выделенную систему
отсчета системой абсолютного покоя или, короче,
абсолютной системой. (Исторически эту систему отсчета
связывали с гипотетической средой, в которой должны были
распространяться электромагнитные волны. Эту среду
называли светоносным эфиром. Считалось, что эфир играет
ту же роль для распространения электромагнитных волн,
какую играет воздух для распространения звука.)
Следовательно, по отношению к любой другой системе отсчета
кажущаяся скорость света должна быть меньше, чем она
была бы, если бы ее измеряли в том направлении, в
котором рассматриваемая система отсчета движется
относительно абсолютной; кажущаяся скорость света должна
быть больше с, если система отсчета движется в
противоположном направлении. Круг на рис. 10 изображает след
светового сигнала, распространяющегося из точки О через
секунду после вспышки света в О. Если в течение той же
самой секунды наблюдатель сдвинется влево на
расстояние у, то относительно этого наблюдателя световой
сигнал переместится влево всего лишь на расстояние с — у,
зато вправо сигнал уйдет на расстояние с + и.
Для того чтобы обнаружить состояние абсолютного
покоя, как казалось на первый взгляд, нужны были всего-
навсего точные опыты в области электромагнитных
явлений. Поэтому многие экспериментаторы строили приборы
с тем, чтобы завершить вопрос об абсолютной системе.
Среди них были американские физики Альберт Майкель-
сон (1852-1931) и Эдвард Морли (1838-1923).
Мы не станем входить в подробности этих
экспериментов. Достаточно сказать, что немало остроумия и труда
было вложено в попытки обнаружить отклонение скорости
света от величины с при его распространении по
различным направлениям. Эксперименты ставились с
потрясающей точностью, так что можно было бы уловить
ничтожные изменения скорости. Но все попытки окончились
безрезультатно; все они привели к выводу, который в то
время казался непостижимым: нет никакого абсолютного
движения Земли относительно привилегированной
системы отсчета. Голландский физик Генрих Антон Лоренц
(1853—1928) разработал теоретическую схему, согласно
26

которой при движении физических объектов, в том числе
и измерительных линеек, относительно абсолютной
системы происходит сжатие этих объектов в направлении
движения; это сжатие происходит таким образом, что
различия п скорости света не могут быть обнаружены никакими
лабораторными приборами.
Французский математик Жюль
Лнри Пуанкаре (1854—1912)
пмсказал мысль о том, что не-
пп:шожность
экспериментального выделения абсолютной
систомы отсчета указывает
просто на то, что такой системы
по существует и что
представлении Ньютона о равноправии
тех инерциальных систем
окапалось правильно. В 1905 Г. рис. ю. Кажущаяся ско-
• Н'ммктейн на основе идей Ло- рость света согласно гипо*
ромцп И Пуанкаре по-новому тезе неподвижного эфира.
подошел к вопросу о выборе
«истомы отсчета и в конечном счете сумел объяснить, по-
•к му :жсперимепт не может обнаружить абсолютное дви-
)ьOIню Земли, не вступая при этом в противоречие с
электромагнитной теорией Максвелла. Объяснение Эйнштейна
чреГмтало видоизменения традиционных взглядов на
пространство и время. Такое изменение позволяло сохранить
и равноправие всех инерциальных систем отсчета и спра-
иедлииость теории Максвелла.
7, Специальная теория относительности
Уже со времен Ньютона считалось, что все системы
отсчета представляют собой набор жестких стержней или
IUINMX-TO других предметов, позволяющих устанавливать
положение тел в пространстве. Конечно, в каждой системе
отсчета такие тела выбирались по-своему. Вместе с тем
принималось, что у всех наблюдагелей «естественно» одно
и то же универсальное время. Это предположение казалось
интуитивно настолько очевидным, что его обычно
специально не оговаривали, а считали само собой разумеющимся.
II номседневной практике на Земле это предположение
подтверждается всем нашим опытом. Кому придет в голову
юмиеваться в том, что секундомер футбольного судьи,
27

бегающего по полю, покажет не то же самое время, что и
секундомер, сидящего на трибуне тренера, если оба они
честные люди и их секундомеры в порядке.
И все же Эйнштейну удалось показать, что сравнение
показаний часов, если принимать во внимание их
относительное движение, не требует особого внимания лишь в
том случае, когда относительные скорости часов
значительно меньше, чем скорость распространения света в
пустоте (с = 300 000 км/сек). Поскольку не существует
никаких сигналов, передающих информацию со скоростью
большей, чем скорость света, возникают новые проблемы,
когда нужно сравнить часы, движущиеся относительно
друг друга, скажем, со скоростью 100000 км/сек. Эти
проблемы встают прежде всего потому, что для сравнения
темпа двух часов необходимо заметить по крайней мере по
два отсчета у обоих; иначе нельзя убедиться в.том, что
они идут одинаковым образом. Допустим теперь, что мы
рассматриваем двое часов, движущихся относительно друг
друга. Пусть в тот момент, когда они проходят рядом, их
показания одинаковы. Второе показание часов мы возьмем
тогда, когда они разойдутся на достаточно большое
расстояние. Как можно добиться того, чтобы этот второй
отсчет был произведен на обоих часах одновременно? Это
можно сделать, оговорив, например, что отсчет будет
производиться третьим наблюдателем, который должен
находиться точно посередине между двумя рассматриваемыми
часами в тот момент, когда снимается второе показание
часов. Однако тщательное рассмотрение этого вопроса,
которое мы здесь не будем воспроизводить, показывает, что
этот метод отнюдь не безукоризнен. Короче говоря, этот
метод приводит к различным результатам, если поменять
ролями часы*).
Первым результатом анализа Эйнштейна явилось
установление относительности одновременности: два события,
происходящие на достаточном удалении друг от друга,
могут оказаться для одного наблюдателя одновременными, а
для наблюдателя, движущегося относительно него"
происходящими в разные моменты времени. Поэтому
предположение о едином, универсальном времени не может быть оп-
*> См. А. Эйнштейн, О специальной и общей теории
относительности, общедоступное изложение (Собрание сочинений,
т. 1, .«Наука», 1965).
«

равдано: невозможно указать определенную процедуру,
позволяющую любому наблюдателю установить такое уни-
нерсальное время независимо от того движения, в котором
он участвует. Скорее следует допустить, что каждый
наблюдатель должен построить свою собственную систему
отсчета; такая система отсчета должна состоять не только
из геодезических реек, с помощью которых можно
определять положение точек в пространстве, но также из часов,
расположенных в различных точках, движущихся вместе с
наблюдателем и синхронизированных с часами
наблюдатели. Если другой наблюдатель, движущийся относительно
первого, будет смотреть на часы, принадлежащие первой
системе отсчета, он обнаружит, что эти часы идут не
синхронно (хотя все они идут одинаково). Для второго
наблюдателя часы первой системы, расположенные впереди по
направлению движения, будут казаться отстающими, а
чаем, остающиеся позади него,— идущими быстрее.
Следующий шаг, сделанный Эйнштейном, состоял в том,
что он установил новые взаимоотношения результатов
измерений расстояний и времени в двух различных инер-
циальных систем отсчета. Опираясь на данные опыта,
Эйнштейн потребовал, чтобы скорость света в пустоте
оказалась одной и той же при определении ее любым
наблюдателем, даже в том случае, если оба наблюдателя
определяют скорость света, наблюдая распространение одного и того
же светового импульса. Если считать время
универсальным, горизонтальная линия х изображает все точки х в
один и тот же момент времени t = О для всех
наблюдателей (рис. 11, а). Вертикальная линия t изображает все
моменты времени t для одной точки х — О для одного из
наблюдателей; наклонная линия f — для второго
наблюдателя. Если второй наблюдатель видит скорость
распространения световых сигналов (с. с.) одинаковой в обоих
направлениях (ось t\ рис. 11, б), его линия равных времен
t' (отмеченная значком х') должна быть наклонной
относительно линии х.
Описанная система взаимоотношений между временем
и координатами двух систем называется преобразованием
Лоренца. Эйнштейну удалось показать, что если принять
преобразования Лоренца, уравнения Максвелла сохраняют
свой вид во всех инерциальных системах отсчета.
Тем самым Эйнштейн разрешил парадокс, допускающий
множество равноправных инерциальных систем в ньюто-
29

новской механике и лишь единственную систему,
подразумевающую абсолютный покой, в теории Максвелла.
Специальная теория относительности вернулась к
представлению о равноправных инерциальных системах; в этом
смысле она реставрировала принцип относительности,
восходящий к Ньютону и семнадцатому веку.
Но как только единое время было принесено в жертву
преобразованиям Лоренца, пришлось оставить также идею
t
t'.
/
/
/
/
/
/
I/
«•
/
а)
Рис. П. Преобразование Лоренца.
о том, что часы в разных системах отсчета идут одинаково,
а масштабы имеют одинаковую длину. И если слова
«принцип относительности» сначала выражали относительное
равноправие всех инерциальных систем отсчета, позже
физики и философы стали говорить об «относительности
времени» и «относительности длины». Если рассматривать
две инерциальные системы отсчета, движущиеся
относительно друг друга, каждый из наблюдателей, связанных с
этими системами отсчета, обнаружит, что темп часов
системы другого наблюдателя замедлен по сравнению с ходом
его часов, а что касается длины масштабов, используемых
его коллегой, то выясняется, что они сокращаются, если
расположены в направлении движения, но остаются
неизменными, если направлены перпендикулярно к нему
(подробный расчет приведен в Дополнении 3).
То, что на самом деле сделано специальной теорией
относительности, состоит в том, что вместо «абсолютных
длин» и «абсолютного времени» появилась иная
«абсолютная величина», которую принято называть инвариантным
(или собственным) пространственно-временным интерва-
30

лом. Для двух заданных событий, происходящих на
некотором удалении друг от друга, пространственное расстояние
между ними не является абсолютной (т. е. не зависящей
от выбора системы отсчета) величиной даже в
ньютоновской схеме, если между наступлением этих событий есть
некоторый интервал времени. Действительно, если два
события происходят не одновременно, наблюдатель,
движущийся вместе с некоторой системой отсчета в одном
направлении и оказавшийся в той точке, где наступило пер-
иое событие, может за промежуток времени, разделяющий
два эти события, оказаться в том месте, где наступает
второе событие; для этого наблюдателя оба события будут
происходить в одном и том же месте пространства, хотя
для наблюдателя, движущегося в противоположном
направлении, они могут казаться происшедшими на
значительном удалении друг от друга.
Специальная теория относительности, в основе которой
лежит универсальность скорости света в пустоте,
устанавливает определенную связь между характеристиками двух
событий А и В — связь, не зависящую от выбора
конкретной системы отсчета, приборами которой определяется
интервал времени между событиями t и пространственное
расстояние между событиями L. Допустим, что событие А
состоит в том, что производится вспышка света, а событие
В — в том, что световая волна доходит до некоторой точки
пространства. В этом случае величины t и L связаны друг
с другом соотношением
L = ct.
Такая связь характеристик двух событий называется
светоподобной. Если в другой системе отсчета измеренный
промежуток времени между событиями окажется равным
t', а расстояние между ними V', то в силу того, что
наблюдатели в любой инерциальной системе отсчета должны
обнаружить скорость света в пустоте, равную с, должно быть
справедливо соотношение
V = ct'.
Таким образом, если два события в одной системе
отсчета находятся между собой в светоподобном
взаимоотношении, они будут находиться в таком же взаимоотношении
и в любой другой системе отсчета.
31

Конечно, промежуток времени между двумя событиями
может быть столь большим, что условие светоподобности
не выполняется, так что *)
L<ct.
В этом случае световой сигнал, посланный из точки,
где произошло первое событие, в тот момент, когда оно
наступило, придет в точку, где должно наступить второе
событие, до того, как второе событие наступит. И снова эта
взаимосвязь событий не может зависеть от того, какой
наблюдатель и какими приборами производит нужные
измерения. Поэтому любой наблюдатель обнаружит, что его
измерения удовлетворяют соотношению
L'<cf.
Такая взаимосвязь событий называется времениподоб-
ной, потому что в этом случае всегда можно найти такую
инерциальную систему отсчета, что в этой системе отсчета
оба события произойдут в одном и том же месте, но в
разные моменты времени.
Можно рассмотреть в некотором смысле обратный
случай, когда пространственное расстояние между событиями
настолько велико, а промежуток времени можду событиями
настолько мал, что световой сигнал, посланный из точки,
где наступило первое событие, в тот момент, когда оно
произошло, придет в точку, где произошло второе событие,
только после того, как это событие уже наступило. Тогда
L > ct;
но это же самое соотношение будет справедливо и для
любого другого наблюдателя:
V > ct'.
Такая взаимосвязь событий называется пространствен-
ноподобной.
Инвариантный пространственно-временной интервал,
устанавливающий взаимосвязь между событиями, может
быть светоподобным, времениподобным и пространствеы-
*) Знаки < и > относятся соответственно к случаям
«меньше чем» и «больше чем»; вершина угла всегда направлена в
сторону меньшей величины.
90

иоиодобным. Чтобы понять смысл введения интервале
между событиями, полезно обратиться к формулам
преобразования Лоренца (Дополнение 3). Обозначим
промежуток времени между событиями по-прежнему через t;
пространственное расстояние между событиями можно
римбнть на две части, первая часть — расстояние,
отсчитанное по линии относительного движения двух
рассматриваемых систем (наблюдателей). Это расстояние мы
пудом обозначать буквой х, другая часть — это простран-
пионное расстояние между событиями, отсчитанное в
направлении, перпендикулярном направлению
относительного движения (это расстояние обозначается через г).
Полное пространственное расстояние между событиями L
определяется через величины # и г по теореме Пифагора:
L2 = х2 + г2;
< оиершенно аналогичное соотношение имеет место и для
пол и чин Z/, %' и г', измеренных другим наблюдателем.
Используя введенные величины, можно записать для двух-
гобытий, находящихся в светоподобной взаимосвязи:
Мели взаимосвязь между событиями вре<мениподобная„
лопни часть положительна, а если пространственноподоб-
\\i\i\ — отрицательна.
Оказывается, что приведенная выше алгебраическая
гумма квадратов нескольких величин сохраняет свое зна-
чонно в любой системе отсчета, т. е. имеет одинаковое зна-
чгнпо для штрихованных и нештрихованных координат.
Штрихованные и нештрихованные координаты связаны
друг с другом формулами преобразования Лоренца
(Дополнение 3)
x — Vt
t g- х
t> = c , r' = r.
Используя эти соотношения, убеждаемся непос-
родгтвешюй подстановкой, что для обоих наблюдателей
33

справедливо равенство
СЦ2 _ х2 _ г2 = с2^2 __ ХП __ ^
или, иначе,
C2J2 __ £2 = с2^2 _ //2
Отсюда для случая времениподобных взаимоотношений
между событиями можно ввести интервал собственного вре~
жени между событиями Т\ по определению
Г2 Г'2
Т» « <« _ ii. = t'* - iV .
С3 с*
Интервал собственного времени Т обращается в нуль,
когда мы переходим от времениподобных
взаимоотношений между событиями к светоподобным. Если взаимосвязь
между событиями пространственноподобная, Т уже не
является действительной величиной (Т2 отрицательно), и
тогда следует рассматривать инвариантный пространствен*
ный интервал S, определяемый выражением
£2=L2-c2*2=Z/2-cV2.
Величина S будет действительной, если взаимосвязь
между событиями пространственноподобная, и стремится к
нулю, когда эта взаимосвязь приближается к светоподобной.
Введение интервала собственного времени представляет
особый интерес в приложении к движущемуся телу.
Движущееся тело с течением времени меняет свое положение
в пространстве, так что каждому моменту времени t
соответствуют свои значения пространственных координат
тела, как это и показано на рис. 12 (где изображены
только две геометрические координаты х п у; световой конус,
соответствующий различным направлениям
распространения светового сигнала, изображен в нижней части
чертежа). Движение частицы можно представлять себе как
последовательность «событий», каждое из которых
происходит в определенной точке пространства и в
определенный момент времени t\, £2,.»» отмечаемый некоторым
наблюдателем.
Но все эти события находятся во времениподобном
отношении друг к другу; наклон траектории частицы на
рис. 12 относительно оси t должен быть менее крутым,
чем наклон любого светового сигнала, расположенного на
световом конусе. Если бы два таких события были связаны
34

можду собой пространственноподобным интервалом,
нашелся бы наблюдатель, для которого эти события
оказались бы одновременными; этот наблюдатель обнаружил бы
одну и ту же частицу в двух различных точках одновре-
t
!И
c%-t,)*>
У*
%
У$
^9/
су
Уг
Г
Г
Г
мспно. Но такой результат
невозможен; случись такое, мы были бы
ммраве усомниться в том, что два
наблюдения относятся к одной и
той же частице.
Раз все события, наступающие
на траектории частицы, находятся
по времениподобной связи друг с
другом вдоль траектории, можно
определить некоторую величину
(параметр; мы назовем его собст-
1ИЧШЫМ временем частицы),
которая увеличивается с возрастанием
ирсмени таким образом, что для
диух достаточно близких моментов
ирсмени возрастание собственного
ирсмени частицы равно интервалу
собственного времени Т между
даумя событиями, состоящими в
прохождении частицы через две
точки.
Собственное время частицы
растет медленнее, чем
координатное время любого наблюдателя, относительно которого
тени находится в движении; конечно, если наблюдатель
/(.нижется вместе с телом, оба времени просто совпадают.
Часы, связанные с движущимся телом, будут отсчиты-
miTi» собственное время, причем они будут отсчитывать
собственное время даже в том случае, когда тело
ускоряется. Это может служить основой для рассмотрения так
налываемого парадокса близнецов. Представим себе двух
олшшецов, один из которых все время движется без
ускорения, тогда как другой меняет направление своего
унижения на обратное и, таким образом, по крайней мере
един раз оказывается вовлеченным в ускоренное движение.
II когда он в конце концов вновь встретится со своим
врачом домоседом, он окажется моложе, чем его менее
подин жмый брат. Тот близнец, который участвовал в
ускоренном движении, отсчитывает меньший промежуток собст-
Рис. 12. Траектория
частицы.
2* 35

венного времени. Для доказательства будем рассуждать с
точки зрения инерциальной системы отсчета, в которой
близнец, не испытывающий ускорения, покоится. Его
собственное время течет с той же скоростью, с какой течет
и координатное время всей системы отсчета; собственное
же время близнеца-путешественника течет несколько
медленнее. Нельзя поменять местами этих двух близнецов,
поскольку не существует такой инерциальной системы
отсчета, в которой близнец-путешественник все время
находился бы в покое.
5, Четырехмерный мир Минковского
До появления специальной теории относительности
пространство и время считались совершенно
независимыми; пространство, как думали, имеет три измерения, а
время — одно. Такой подход был вполне оправдан,
поскольку предполагалось, что измерение времени не зависит
от каких-либо пространственных характеристик.
Подавляющее большинство сведений, почерпнутых эксперимента-
торам'и из их наблюдений, до последних десятилетий
девятнадцатого века относилось к движениям со скоростями,
столь малыми по сравнению со скоростью света, что
скорость света с достаточной точностью можно было считать
бесконечной. Наиболее заметным случаем, когда можно
было обнаружить конечность скорости света, было
наблюдение затмений спутников Юпитера. Именно эти
наблюдения привели датского астронома Олафа Ремера (1644—
1710) к выводу о том, что свет распространяется с
конечной скоростью. Заметив, что периодическое наступление
этих затмений происходило иногда раньше, а иногда позже,
чем это соответствовало расчетам, причем наступление
затмений задерживалось тогда, когда Юпитер и Земля
находились по разные стороны Солнца, и происходило
раньше, когда Юпитер и Земля были расположены по одну
сторону от Солнца,— Ремер сделал вывод, что для того,
чтобы свет прошел расстояние, равное диаметру земной
.орбиты, ему нужно около двадцати минут. Используя это
время и лучшие данные по оценке расстояния от Земли
до Солнца, Ремер сумел оценить величину скорости света.
Она оказалась всего лишь на 20% меньше той цифры,
которую принимают сегодня и которая получена путем
многочисленных скрупулезных экспериментов.
86

Открытие Ремера совпадает с тем временем, когда
Ньютон дал законченную формулировку уравнений
механики. В течение двух последующих веков в
астрономические данные были внесены поправки на время,
необходимое, чтобы свет дошел от места, где произошло то или
иное событие, до Земли. Однако тогда не было никаких
оснований беспокоиться, скажем, о том, относительно
какой системы отсчета подсчитывается скорость света:
относительно источника света, относительно Земли или
даже относительно третьего тела, например Солнца. Это
было связано с тем, что любая скорость, с которой
сталкивались астрономы, рассматривая движение небесных тел,
и ходящих в солнечную систему, была ничтожно мала по
сравнению со скоростью света. Например, скорость
движения Земли по орбите составляет около 0,0001 скорости
смета. В связи с этим все поправки, связанные с конечным
нременем распространения света, были пренебрежимо
малы по сравнению с другими ошибками. Конечно,
открыто Ремера само по себе не давало оснований сомневаться
и возможности приписать однозначным образом каждому
событию — независимо от того, в каком месте Вселенной
оно произошло,— некоторое время, в которое оно
наступило. Время рассматривалось в качестве универсальной
поличины, не зависящей от движения наблюдателя и от
имбора конкретной системы отсчета.
Вместе с тем пространственные связи никогда не
рассматривались как совершенно независимые от времени.
По.чьмем два события, одно из которых происходит над
Ленинградом, а другое — над Москвой; одно — час спустя
после другого. С точки зрения наблюдателя на земле точки,
к которых произошли эти события, отстоят друг от друга
на расстояние около 600 км. Но пусть двумя событиями
будет появление двух повреждений в бензопроводе
самолота. Инженеру на борту нужно знать, связаны ли друг
с. другом эти повреждения или нет; он может с большей
точностью найти расстояние между ними. Допустим, что
кто расстояние оказалось равным нескольким сантиметрам.
С, точки зрения системы отсчета, связанной с самолетом,
дна события (появление первого повреждения и появление
иторого) находятся в непосредственной близости друг от
друга. Два — на первый взгляд противоречивых —
утверждения: первое, что два события произошли на расстоянии
многих километров друг от друга и второе, что те же
37

события отстоят друг от друга в пространстве всего лишь
на несколько сантиметров,— отнюдь не противоречат друг
другу. Каждое из них правильно относительно
соответствующим образом выбранной системы отсчета. И все же
эти два утверждения относительно пространственного
расстояния между событиями совместимы друг с другом
только потому, что они относятся к двум событиям,
которые наступили в разные моменты времени. До
появления специальной теории относительности все были
убеждены в том, что расстояние между двумя
одновременными событиями может быть однозначно определено без
ссылок на какую-то определенную систему отсчета.
Считалось также, что расстояние между двумя физическими
телами, покоящимися относительно друг друга, может
быть однозначно определено независимо от выбора
системы отсчета.
Теория относительности отказалась от универсальности
времени и пространственных расстояний; взамен
появилась универсальность инвариантного интервала.
Инвариантный интервал представляет собой для любой пары
событий, разделенных пространственным и временным
интервалом, некоторое числовое значение, которое остается
неизменным для всех инерциальных систем отсчета.
Герман Минковский (1864—1909), математик, родившийся в
России, высказал в 1908 г. предположение о том, что время
и пространство не следует больше рассматривать как
раздельные непрерывные объекты; их следует заменить на
единый четырехмерный континуум —
пространство-время. В этом едином сплаве пространства и времени
инвариантный интервал играет роль, аналогичную той роли,
которую играет обычное расстояние между точками в
трехмерном пространстве.
Выдвигая это предположение, Минковский вовсе не
собирался как-то видоизменять специальную теорию
относительности, которая к тому времени была всего лишь
трех лет от роду. Скорее он дал интерпретацию теории с
новой точки зрения, ценность которой стала особенно ясной
в последующие годы. Формально всегда можно объединить
два континуума (называемых математиками
многообразиями:, под этим термином понимают совокупность всех точек,
образующих континуум) в один, рассматривая
комбинацию точки одного многообразия и точки второго многообг
разия в качестве точки нового многообразия («произве-~
38

д<>пия»). Рис. 13 иллюстрирует комбинацию прямой линии
/, и плоскости Р в новое трехмерное пространство. Эта
комбинация осуществляется следующим образом: выберем
точку р на прямой L и точку q на плоскости Р. Проведем
i смерь через точку q кривую С, а через другие точки
плоскости q\ g",..- кривые С", С"',..., подобные кривой С.
Рис. 13. «Произведение» Рис. 14. Тор, как «произведение»
плоскости и прямой линии. двух окружностей.
Ото построение проводится так, что кривые С, С", С",...
по пересекают друг друга, но заполняют все трехмерное
пространство без щелей и дырок. Давайте, например,
выберем в качестве кривых С, С, С " прямые линии,
проходящие через все точки плоскости; пусть эти прямые будут
нормальны (перпендикулярны) плоскости; но, вообще го-
тюря, можно взять и любое другое приемлемое семейство
кривых. На каждую кривую семейства можно
спроектировать прямую L, так что каждой точке кривой С можно
сопоставить лишь одну точку прямой L и наоборот.
Обозначим точку кривой, соответствующей точке р на прямой
L, через s. Точка s представляет собой комбинацию точки
р, расположенной на прямой L, и точки q, расположенной
на плоскости Р. Полная совокупность всех точек, которые
«представляют» комбинацию пар точек, одна из которых
принадлежит L, а другая Р, целиком заполняет
трехмерную область; эта область и называется «произведением
пространств» L на Р.
На рис. 14 показано произведение двух обычных
окружностей С\ и С2. Произведение пространств представляет
собой поверхность фигуры, известной под названием тора.
39

На рис. 15 изображено «произведение» одного
направления в пространстве (обозначенного через X) и оси
времени Т. Комбинация точки на оси X и точки на оси Т
определяет событие, элементарное происшествие, которое
произошло в данном месте и в данный момент времени;
\
т
X
Л-
Рис. 15. Двумерное пространство событий.
соответствующие значения координаты и времени
обозначены через х и t. При таком подходе плоскость листа
книги служит «произведением» двух осей X и Г. Точка
плоскости (х, t) представляет собой отдельное событие.
Бесконечная последовательность одинаковых событий,
мгновений в истории движения свободно падающего тяжелого
тела, образует кривую D.
Диаграммы, подобные диаграмме, приведенной на рис.
16, всегда используются для иллюстрации различного типа
взаимоотношений между величинами. Если интерпретиро-
«s вать координату X не
9^г — как направление в
пространстве, а как число
жителей в
определенном городе, можно
построить диаграмму
роста населения в виде
нового пространства —
«произведения
пространств» населения и
времени. Кривая, изображенная на чертеже, представляет
рост населения в данном городе. Когда мы изображаем
рост населения в виде непрерывной кривой, то при этом
40
Цш шю W20 mo mo mo m
вреяя, еоды
Рис. 16. Зависимость числа
жителей от времени.

подразумевается частый пересчет населения или даже
наличие непрерывной информации о числе жителей.
В дорелятивистской физике диаграмма, изображающая
пространственное расположение движущегося тела в
зависимости от времени, может рассматриваться в точности так
же, хотя она не может служить в качестве отправной
точки для новых представлений. Такая диаграмма окажется
полезной для наглядного изображения взаимоотношений
между результатами измерений, относящихся к одному и
тому же событию, но произведенных двумя
наблюдателями, один из которых движется относительно другого вдоль
оси х со скоростью v (оба
j i аб лю дате ля согласились,
что они будут приписы-
пать событию одно и то
же время t = t'). На рис.
17 показана связь между
координатами х и х'; из
рисунка легко
обнаруживается формула,
связывающая координаты события
(х, t) с координатами того
же самого события (х\ /),
t'-t
х*=а: - ut
Событие
Рис. 17. Преобразование
пространства и времени согласно
классической (ньютоновской)
физике.
рассматриваемого с точки зрения системы отсчета,
движущейся вправо относительно первой системы отсчета
со скоростью v. В момент времени t относительное
смещение координатных систем достигает величины vt
(подразумевается, что при t = 0 обе системы совпадали). Эта
и последующие диаграммы изображают только одно
пространственное направление, а не три, как это, вообще
говоря, должно было быть; такой прием позволяет избежать
ненужных усложнений.
Согласно теории относительности графическое
представление взаимосвязи между событиями должно
выглядеть несколько иначе (рис. 18). На рис. 17
горизонтальные линии отмечают все события, происходящие в один
и тот же момент времени, общий для всех наблюдателей.
На рис. 18 это уже не так. Оси х и х' уже не параллельны
друг другу, поскольку одновременность двух событий
зависит от системы отсчета, в которой эти события
рассматриваются. Два события А и В на рис. 19, одновременные
для одного наблюдателя, происходят в разные моменты
кремени для другого, причем событие В наступает
раньше события Л,

На рис. 20 показаны события, которые находятся
между собой в пространственноподобной, светоподобной и
t if
_ £
X
Рис. 18. Две инерциальные Рис. 19. Относительность одно-
системы отсчета по Эйнштей- временности,
ну (преобразование Лоренца),
времениподобной связи. (Прямые линии, около которых
стоят буквы с. с, показывают наклон, определяющий
распространение световых сигналов соответственно вправо и
влево.) События А и В
находятся между собой
в
пространственноподобной связи; события
С и D, а также Е и F —
в светоподобной связи;
события G и Н
находятся между собой
во времениподобной
связи.
Рассмотрение
пространства и времени не
в виде отдельных
континуумов, а как направлений в едином континууме или
многообразии, которое называют: пространство-время, мир
или Вселенная Минковского (все три названия
равноправны и все они встречаются в литературе; в русской
литературе чаще можно найти два первых), имеет свое
оправдание в том, что при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой ни одна из осей не сохраняет
своего положения. Когда мы рассматривали рис. 17,
ситуация была совсем иной.
Подход Минковского особенно полезен тем, что он
указывает на необходимость выявления таких величин,
которые «естественны» для четырехмерного пространства-
Рис. 20. Пространственноподобная,
светоподобная и времениподобная
связи между событиями.
42

времени и не зависят от какого бы то ни было разложения
отдельно по пространству и времени.
На любой пространственно-временной диаграмме
история частицы (ее движения с течением времени)
изображается в виде кривой. С точки зрения Минковского эта
кривая является единственным естественным
представлением истории частицы, причем существенные особенности
кривой не могут зависеть от выбора той или иной инер-
циальной системы отсчета. Эта кривая называется
мировой линией частицы. Такая мировая линия, изображенная
на рис. 12, должна быть в любой своей части времени-
лодобной; таким образом, какую бы инерциальную
систему отсчета мы ни взяли, скорость частицы не может
достичь или превысить скорость света.
В одном отношении геометрия Минковского
существенно отличается от любой привычной нам евклидовой
геометрии. В обычной геометрии Евклида самым
фундаментальным соотношением, связывающим две точки
пространства, является расстояние между ними. Это
расстояние всегда является положительной величиной. В
геометрии Минковского две точки могут находиться во
времениподобном, пространственноподобном и, наконец,
светоподобном отношении друг к другу. Соответственно
этому квадрат инвариантного интервала между этими
двумя точками может быть положительным, отрицательным
и нулевым. Таким образом, расстоянию в евклидовой
геометрии соответствует инвариантный интервал в геометрии
Минковского: значения как того, так и другого не зависят
от выбора координатной системы (системы отсчета в
геометрии Минковского) и отражают присущие данной
геометрии особенности.
Мировые точки Вселенной Минковского описываются
координатной системой с четырьмя координатными осями.
Одна из осей соответствует обычной оси времени; три
другие оси — это координатные оси в обычном
трехмерном пространстве. В обычном трехмерном пространстве
чаще всего пользуются так называемой декартовой
системой координат (или просто декартовыми координатами),
названной так в честь французского математика Рене
Декарта (1596—4650). В декартовой системе координат все
три координатные оси являются прямыми линиями,
расположенными под прямыми углами друг к другу. В
геометрии Минковского также существуют (четырехмерные)
43

координатные системы, с которыми предпочитают иметь
дело; эти системы соответствуют наблюдателю,
участвующему в движении без ускорения; этот наблюдатель
определяет положение точеГк в пространстве с помощью
декартовых координат, а время наступления событий
отсчитывает обыкновенными часами. Такие координатные системы
, я'-*-а, у'-у-Ь
Рис. 21. Трансляция
координатной системы.
\
i
V
f
5^
\$
X'
=«2rcos^+ysinft
=-«2г sin^+ycos^
У' ^^'
а:
Рис. 22. Вращение
координатной системы.
названы в честь Лоренца лоренцевскими координатными
системами или лоренцевскими системами отсчета. Все
формулы для пространственно-временных интервалов,
полученные в предшествующих главах, были выведены в
рамках лоренцевых систем отсчета.
В обычной геометрии переходы от одной
декартовой системы к другой, от координат х, у к координатам
а', у\ можно разбить на несколько типов.
Один тип перехода — трансляция — состоит в
смещении начала координатной системы (т. е. в смещении точки,
в которой все координаты равны нулю; эта точка
обозначается буквой О или О') без изменения направления
координатных осей. Этот тип перехода иллюстрирует рис. 21,
где величины а и Ь представляют собой смещения но
осям х и у соответственно. На этом и на двух следующих
рисунках показаны только две пространственные
координаты; на всех этих рисунках координаты точки Р указаны
по отношению к двум декартовым системам —
штрихованной и нештрихованной. Второй тип перехода к новой
координатной системе состоит в повороте координатных
осей вокруг начала координат, которое остается на месте
(рис. 22). Угол поворота обозначен буквой 6. Объединяя
трансляцию и поворот в один переход, мы получим
преобразование координат (т. е. переход от одной координаг-
44

.2r'=.z»GOS0+y$in0-*
P я'
Рис. 23. Общее ортогональное
преобразование координат.
ной системы к другой) самого общего вида, которое
позволяет перейти от одной декартовой системы к другой
(рис. 23). Если и исходная, и преобразованная
координатные системы декартовы, то
говорят об ортогональном
преобразовании координат.
Во Вселенной Минков-
ского переход от одной инер-
циальной системы отсчета к
другой (или от одной ло-
рснцевой системы отсчета к
другой) осуществляется с
помощью преобразования
Лоренца. Наиболее общее
преобразование Лоренца
включает в себя трансляцию
начала отсчета по оси
времени, трансляцию начала координат в пространстве,
изменение направлений пространственных координат, а
также изменение состояния (неускоренного) движения
наблюдателя, как это изображено на рис. 11 и 18.
Величины или соотношения, остающиеся неизменными при
преобразовании Лоренца, называются лоренц-инвариант-
ными. С математической точки зрения требование
физиков устанавливать законы природы, не зависящие от
выбора системы отсчета, реализуется нахождением ло-
ренц-инвариантных соотношений.
В последующем развитии теории относительности и ее
приложениях во всех отраслях физики этот
математический подход обнаружил потрясающую эвристическую
силу. Трудно представить себе современного физика,
который не понимал бы значения идей Минковского. Тем не
менее все выводы теории относительности могут быть
проделаны в такой форме, что три пространственных
измерения (для данной системы отсчёта) можно считать
независимыми от четвертого, временного измерений. Первые
работы Эйнштейна излагались именно на таком языке.
В этих работах (1905—1908) уже содержалась
релятивистская теория электромагнитных явлений и многие
вопросы релятивистской механики. Поскольку измерение
положения тел в пространстве и моментов времени
осуществляется различными приборами, раздельный
подход к пространству и времени является необходимым
45

Сбетодой
конус
будущего
Световой
конус
лрошед
' шего
условием при проектировании любой экспериментальной
установки. Два языка — «три плюс один» и
четырехмерный — в теории относительности взаимно дополняют
друг друга.
В каждой мировой точке Вселенной Минковского
совокупность всевозможных направлений в пространстве и
времени образует пучок направлений
(стрелочек), выходящих из этой
точки. Некоторые из этих
направлений светоподобны, другие времени-
подобны, остальные пространствен-
ноподобны. Светоподобные
направления образуют два конуса, которые
называются световыми конусами,
связанными с данной мировой
точкой. (На рис. 24 изображены два
таких конуса для двух
пространственных координат х и у и для оси
времени t.) Каждый из этих
световых конусов имеет свою внутреннюю
полость, которая состоит целиком из
времениподобных направлений.
Направления на верхнем световом
конусе и в его внутренней полости
обращены «в будущее», поэтому
весь этот световой конус называется
световым конусом будущего;
нижний световой конус — световым конусом прошедшего.
Преобразование Лоренца изменяет одно
пространственно-временное направление на другое, но никогда не
меняет общего характера этих направлений. Времениподобное
направление всегда переходит во времениподобное
направление; точно так же сохраняется светоподобный и прост-
ранственноподобный характер направлений. Поскольку все
светоподобные направлений переходят снова в
светоподобные направления, каждый из двух световых конусов
остается неизменным; всякое светоподобное направление при
преобразовании Лоренца смещается только в пределах
своего собственного светового конуса. Два конуса светоподоб-
ных направлений, не зависящих от выбора системы
отсчета, не имеют аналогов в обычном евклидовом пространстве.
Они появляются в геометрии Минковского только потому,
что инвариантный интервал, который в остальных отно-
Рис. 24. Два
световых конуса.
46

шениях очень сходен с расстоянием между точками в ев-
клидовых пространствах обращается в нуль для
некоторых пар точек, а направление от одной такой точки к
другой является «особенным» — светоподобным.
Световые конусы включают в себя все те направления,
по которым могут распространяться световые импульсы.
В частности, световой конус прошедшего содержит все те
направления в пространстве-времени, по которым
информация, переносимая светом, поступает к наблюдателю.
Этот наблюдатель должен находиться в той точке
пространства и в тот момент времени, которые совпадают с
мировой точкой, избранной вершиной светового конуса.
Следовательно, любое направление на световом конусе
прошедшего может быть сопоставлено с точкой на небесной
сфере, представляющей собой ту картину, которая
открывается нам, когда мы рассматриваем небо и звезды (вч
точности так же, как глобус отражает наше представление о
Земле). Угол между двумя видимыми положениями звезд
(измерение таких углов очень важно для астрономов) —
это угол между двумя световыми направлениями на
световом конусе прошедшего. Если два наблюдателя движутся
относительно друг друга со скоростями, сравнимыми со
скоростью света, то определенные ими углы между
направлениями на одни и те же звезды не будут совпадать. Так и
должно быть, потому что относительные положения звезд
существенно зависят от движения Земли, определяемого в
конкретной инерциальной системе отсчета. Однако
скорость Земли за полгода меняется на две десятитысячные
доли (2 • 10~4) от скорости света из-за годичного движения
Земли вокруг Солнца. Из-за этого возникает видимое
смещение звезд. Это явление известно под названием
аберрации света. Оно было обнаружено английским астрономом
Джеймсом Бредли (1693—1762) в 1725 г. по видимому
смещению звезд, доходящему до 2/з угловой минуты
(точнее 41"). В течение года каждая звезда совершала
кажущееся движение по эллипсу.
6. Масса, энергия, импульс
Теория относительности родилась в недрах
электромагнитной теории. Но поскольку электромагнитное поле
обнаруживается только при его взаимодействии с заряженными
частицами, теория относительности неизбежно должна бы-
0

ла заняться поведением частиц и приспособить
представления ньютоновской механики к своим требованиям.
Согласно законам Ньютона, два взаимодействующих
тела оказывают друг на друга действие (силы), равное по
величине и противоположное по направлению. В конечном
счете, это взаимодействие приводит к изменению скоростей
обоих тел, причем эти изменения обратно
пропорциональны соответствующим массам тел. Допустим теперь, что
одно из взаимодействующих тел движется со скоростью,
близкой к скорости света. Теория относительности
утверждает, что никакое тело не может двигаться со скоростью,
равной или большей, чем скорость света. Это означает,
что какие-то факторы должны действовать таким образом,
чтобы скорость любого тела в любом случае не превзошла
скорости света. Уже одно это обстоятельство показывает,
что механика Ньютона требует некоторого видоизменения,
обеспечивающего выполнение такого релятивистского
требования.
Кроме того, в основе ньютоновской механики лежит
утверждение о том, что если два тела взаимодействуют друг
«с другом, изменения их скоростей происходят таким
образом, что их центр инерции (часто называемый также
центром тяжести или центроидом) продолжает двигаться
с постоянной скоростью. Следовательно, закон инерции,
утверждающий, что тело не меняет свою скорость при
отсутствии внешних сил, справедлив не только для
элементарных частиц, но и для макроскопических тел,
образованных многочисленными частицами,
взаимодействующими друг с другом. Если теория относительности оставляет
этот закон в силе, движение центра инерции без
ускорения в одной лоренцевской системе должно происходить
с постоянной скоростью и во всех других лоренцевских
системах.
Но преобразование скоростей при преобразовании
Лоренца выглядит совсем не так, как в ньютоновской
механике, и центр инерции оказывается движущимся с
постоянной скоростью во всех лоренцевских системах далеко не
автоматически. Фактически, для того чтобы удовлетворить
этому условию, Эйнштейн вынужден был предположить,
что масса каждой частицы, входящей в систему, зависит
от скорости и, следовательно, меняется при переходе от
одной лоренцевской системы к другой. Чем быстрее
движется частица, тем бодыпе становится ее масса, Была
48

установлено, что масса движущейся частицы больше массы
этой же частицы в покое на величину, равную
кинетической энергии частицы, деленной на с2. Такая несколько
неожиданная зависимость массы от скорости обеспечивала
ограничение скоростей частиц досветовыми, независимо
от способа их ускорения. Это был первый намек на
знаменитую формулу, выражающую эквивалентность массы
и энергии Е = тс2, формулу, которая получила
впоследствии куда большее подтверждение, чем это требовало
исходное теоретическое утверждение. Элементарные
частицы — эти конечные составляющие всякого вещества —
могут превращаться в электромагнитное излучение,
переходя через некоторые промежуточные состояния или
даже минуя их. Небольшой дефект масс, на величину
которого массы атомных ядер отличаются от суммарной
массы образующих эти ядра частиц, определяет некоторую
энергию, называемую энергией связи атомных ядер. Эта
энергия может быть высвобождена в различных
ядерных реакциях; она высвобождается постепенно в
ядерных реакторах и почти мгновенно при взрыве атомного
оружия.
Масса тела, измеренная в той лоренцевской системе,
где тело покоится, называется массой покоя тела. Масса
покоя является внутренним свойством, присущим самому
физическому телу. Масса, которая ответственна за
поведение тела при его взаимодействии с другими телами, его
релятивистская масса, зависит от относительного
движения этого тела и системы отсчета. Сумма релятивистских
масс нескольких взаимодействующих тел остается
неизменной при взаимодействии, однако массы покоя этих тел
могут изменяться. Например, атомные ядра могут
испытывать радиоактивный распад на несколько более легких
частиц; в радиоактивном процессе могут испускаться также и
гамма-лучи (очень-энергичные электромагнитные
импульсы, длины волн которых значительно короче длин волн
видимого света или даже обычных рентгеновских лучей).
Масса покоя конечных продуктов реакции в сумме меньше,
чем масса покоя исходного ядра, однако сумма
релятивистских масс, если включить сюда релятивистские массы
гамма-лучей, равна релятивистской массе ядра,
испытавшего радиоактивный распад.
Про величину, которая не меняется при изменении
состояния физической системы, изолированной от окружаю-
49

щей среды, говорят, что она сохраняется. В ньютоновской
физике масса и энергия изолированной
системы—сохраняющиеся величины. Любой закон, который утверждает, что
некоторая величина, например, такая, как масса или
энергия, не меняется с течением времени, называется законом
сохранения.
В релятивистской физике энергия и (релятивистская)
масса эквивалентны, за исключением разве лишь того, что
они измеряются в разных единицах. Единица массы в с2
больше, чем единица энергии. Таким образом, весьма
незначительная масса водородной бомбы (менее чем одна
сотая от всего «заряда» термоядерного устройства)
соответствует колоссальному количеству энергии, выделяемой при
взрыве.
Величина, которая сохраняется в изолированной
физической системе, может изменяться, когда система вступает
во взаимодействие с окружающими ее телами. Скорость ее
изменения в данной области пространства определяется
величиной потока сохраняющейся величины через
поверхность, ограничивающую эту область. Так, например,
количество (релятивистской) массы в заданном объеме
будет возрастать, если в объем будет входить
дополнительная масса; если поток массы направлен из заданного
объема, то масса в этом объеме будет уменьшаться. Если
нас интересует в первую очередь определение скорости
изменения сохраняющейся величины через
обусловливающий это изменение поток, а не сохранение этой
величины, когда потока нет, то говорят q законе
непрерывности. Обычно закон непрерывности относят к плотности
сохраняющейся величины, например к плотности массы
(плотность массы — это масса единицы объема).
Плотность в данной точке пространства возрастает с той же
скоростью, с какой соответствующий поток сходится, и
убывает со скоростью, с какой поток расходится.
Существенны только сходящиеся и расходящиеся потоки,
потому что однородный поток приносит в заданную область
такое же количество сохраняющейся величины, какое
уносит из другой. Два выражения: закон сохранения и
закон непрерывности — являются двумя различными
формулировками одного и того же закона, смысл которого
состоит в том, что определенная физическая величина не
может возникнуть и не может быть уничтожена; она
просто перемещается в пространстве,
60

До того, как появилась специальная теория
относительности, под энергией тела понимали его способность
совершать работу над другими физическими объектами, и эта
способность могла быть обусловлена как положением тела
в пространстве, так и его движением. Тяжелый груз,
опускаясь вниз с высокой башни, может приводить в
действие какое-то устройство, совершая тем самым работу
(например, если с помощью тросов он вращает ворот). Такой
вид энергии называют потенциальной энергией. Когда груз
опустится на землю, он уже не доожет совершать работу;
следовательно, его потенциальная энергия уменьшилась.
Та часть энергии тела, которая связана с движением тела,
называется кинетической энергией. Автомобиль,
движущийся по шоссе со скоростью 100 км/ч, может совершить
некоторую работу даже в том случае, если мотор
выключен и передача отключена. Если движущийся автомобиль
сталкивается с неподвижным, то он приводит
неподвижный автомобиль в движение, но сам теряет скорость; таким
образом, совершая работу, автомобиль теряет часть своей
кинетической энергии.
При благоприятных условиях тело может совершить
работу, превратив часть своей массы покоя или даже всю
ее в некоторую другую форму материи, которая может
совершать работу; при этом вовсе не требуется затраты ни
потенциальной, ни кинетической энергии со стороны этого
тела. По этой причине имеет смысл считать, что энергия
тела состоит из потенциальной энергии, кинетической
энергии и энергии покоя; энергия покоя равна массе покоя
тела, умноженной на с2. Полная сумма всех видов энергии
физического объекта называется его полной
(релятивистской) энергией. Полная энергия равна релятивистской
массе объекта, умноженной на с2.
Хотя в любой инерциальной системе отсчета
релятивистская масса (а вместе с ней и полная энергия)
сохраняется, релятивистская масса и полная энергия имеют разные
значения в двух системах отсчета, движущихся
относительно друг друга. Это происходит потому, что скорость одного
и того же тела оказывается различной в разных инерци-
альных системах отсчета. В этом отношении
релятивистская механика напоминает ньютоновскую. Действительно,
в классической механике полная энергия (сумма
кинетической и потенциальной) объекта или системы частиц
сохраняется в любой заданной инерциальной системе отсчета.
51

Но если потенциальная энергия не зависит от выбора
системы отсчета, кинетическая энергия принимает различные
значения в зависимости от выбора системы отсчета; то же
самое, кбнечно, относится к полной энергии. Таким
образом, в классической и в релятивистской механике полная
энергия изолированной системы сохраняется; это значит,
что величина полной энергии не меняется с течением
времени независимо от того, в какой системе отсчета эта
энергия рассчитывается. Но хотя полная энергия сохраняется,
она все же имеет разные значения, когда мы переходим
от одной инерциальнои системы к другой.
Можно ли указать закон, по которому энергия тела или
системы в одной инерциальнои системе отсчета связана с
энергией этого же объекта в другой? Как ньютоновская,
так и релятивистская механика отвечают на этот вопрос
утвердительно. Между значениями энергии в двух инер-
циальных системах отсчета существует определенная
математическая связь; однако в эту связь входит не только
относительная скорость рассматриваемых систем отсчета,
но и еще одна величина — импульс. Импульс частицы —
это произведение ее массы на скорость. Сам по себе
импульс определяет меру толчка, который производит частица,
сталкиваясь с неподвижным объектом. Импульс
представляет собой вектор, т. е. величину, обладающую
направлением,— в данном случае речь идет о направлении скорости
частицы; в декартовой системе координат импульс очень
удобно разлагается на три составляющие, параллельные
трем координатным осям, в точности так же, как скорость.
Импульс системы частиц определяется вполне
однозначным образом; он равен векторной сумме импульсов
отдельных частиц, входящих в систему. Сумма нескольких
векторов определяется не как арифметическая сумма длин
векторов (каждый вектор имеет не только направление, но
и длину), а как вектор, получающийся следующим образом
из векторов, входящих в сумму: к концу первого вектора
мы прикладываем начало второго; к концу второго —
начало третьего и т. д., причем направление каждого вектора
остается неизменным. Вектор, соединяющий начало
первого вектора с концом последнего, и будет искомой
векторной суммой. Компоненты векторной суммы получаются как
суммы соответствующих компонент слагаемых векторов.
Например, ^-компонента векторной суммы представляет
собой сумму (арифметическую) х-компонент всех слагае-
52

мых векторной суммы. Векторная сумма импульсов
нескольких частиц равна произведению их суммарной массы
па скорость центра инерции этих частиц.
Обусловленный сохранением массы ньютоновский закон
инерции может быть сформулирован еще и так: импульс
изолированной системы остается постоянным, т. е. не
меняется со временем. Он остается постоянным, несмотря на
всевозможные внутренние взаимодействия, так как
изменения импульса, которые вызывает друг у друга любая
пара частиц, взаимно компенсируются согласно основному
принципу: силы, вызывающие эти изменения, равны по
величине и противоположны по направлению. "И здесь
существует закон непрерывности, на этот раз относящийся
уже к импульсу: импульс любой области пространства
может меняться только тогда, когда через границу этой
области проходит поток импульса. В релятивистской механиг
ке правильное выражение для импульса, приводящее к
сохраняющейся величине, получается умножением скорости
объекта на его релятивистскую массу. Связь импульса,
определенного в одной лоренцевской системе отсчета, с
импульсом, определенным в другой лоренцевской системе,,
определяется соотношением, в которое входит
релятивистская масса, и следовательно, энергия. Поэтому, чтобы найти
значение полной энергии (или релятивистской массы) или
импульса в произвольной лоренцевской системе отсчета,
нужно в какой-то одной системе отсчета знать обе эти
величины. Знание этих величин не только необходимо, но и
достаточно. Численные значения четырех величин —
энергии и трех компонент импульса — в одной лоренцевской
системе полностью определяют численные значения
соответствующих величин в любой другой лоренцевской
системе отсчета.
Дополнительный математический анализ показывает,
что эти четыре величины (три компоненты импульса и
энергия) в четырехмерной Вселенной Минковского ведут
себя, как четыре компоненты вектора *), представляющего
собой геометрический объект, который в четырехмерном
континууме обладает как длиной, так и направлением и мо-
*> Следует отметить, что в системе взаимодействующих
частиц импульс и энергия системы при переходе от одной лорен-
цевой системы к другой уже не преобразуются как компоненты
4-вектора. (Прим. перев.)
53

жет быть разложен на четыре компоненты, параллельные
четырем пространственно-временным осям любой
выбранной леренцевской системы отсчета.
В обычном трехмерном пространстве длина
вектора V определяется через три его компоненты а, Ъ и с по
формуле
У2 = а2 + Ъ2 + с2?
непосредственно получающейся из теоремы Пифагора.
Если взять две различные декартовы системы координат,
то компоненты вектора в этих системах будут разными,
однако сумма квадратов этих компонент останется
неизменной. На языке математики величина V представляет
собой инвариант относительно ортогональных
преобразований координат (напомним, что ортогональными
преобразованиями координат называют такие преобразования,
которые соответствуют переходу от одной декартовой
системы к другой). Аналогично этому, если обозначить через
Е релятивистскую энергию тела, а компоненты его
импульса по осям х, у, z — через рх, Ру, Pz, то энергия покоя
Ео определяется выражением
с~*Е1 = <Г"Я» - р% - р\- р\.
Следовательно, величины Е/с, рх, ру, рг можно
рассматривать как компоненты вектора в
пространстве-времени Минковского (рис. 25; на этом рисунке, так же как
и на рис. 26, изображены только два пространственных
направления). Компоненты этого вектора, обычно
называемого вектором энергии-импульса, имеют различные
численные значения в различных лоренцевых системах
отсчета; однако абсолютная величина (длина) этого
вектора одинакова во всех лоренцевых системах отсчета;
другими словами, длина этого вектора есть инвариант
преобразования Лоренца или лоренц-инвариантная величина.
Вектор энергии-импульса как целое сохраняется; это
значит, что вектор энергии-импульса изолированной
механической системы не меняет ни своей длины, ни своего
направления в пространстве-времени Минковского в
процессе изменения состояния системы со временем,
независимо от того, какие взаимодействия внутри системы
имеют место. Сохранение вектора импульса-энергии означает
сохранение всех его компонент порознь в любой лоренце-
вой системе отсчета, хотя значения этих компонент ока-
54

зываются различными при переходе от одной лоренцевой
системы к другой.
Когда мы доберемся до изложения общей теории
относительности, нам придется рассматривать энергию,
импульс и законы их сохранения через относительные
плотности; это позволит нам подойти к нужным выражениям
Рис. 25. Вектор энер- рис. 26. Компоненты
гии-импулъса в прост- вектора энергии-импулъ-
рапстее-времени са в двух различных
Минковского. лоренцевых системах
отсчета.
для закона непрерывности. Чтобы пояснить, как это
делается, полезно рассмотреть более простой пример, а
именно электрический заряд; в этом случае мы избежим
некоторых усложнений, связанных с рассмотрением вектора
энергии-импульса.
Электрический заряд физической системы
представляет собой скаляр (одну величину, значение которой во
всех координатных системах одно и то же).
Электрический заряд изолированной системы сохраняется. Он не
может меняться с течением времени, если только заряды
не приходят в систему или не уходят из системы. Полный
заряд системы равен (алгебраической) сумме зарядов,
входящих в систему тел.
Вместо того чтобы говорить о полном заряде системы,
можно ввести понятие плотности заряда, определив ее
как заряд единицы объема. Поскольку объем любой
облаяв

сти пространства меняется при переходе от одной лорен-
цевой системы к другой (из-за относительности
расстояний и длин), плотность заряда оказывается различной в
различных системах отсчета. Оказывается, что плотность
заряда — это одна из компонент четырехмерного вектора,
три остальные компоненты которого представляют собой
поток заряда, плотность электрического тока. Плотность
электрического тока определяется как величина заряда,
проходящего через площадку в 1 см2 (или вообще через
единицу площади) за единицу времени, причем площадка
выбирается перпендикулярно направлению потока. С
точки зрения обычного трехмерного пространства плотность
тока является вектором, а три его компоненты
соответствуют потокам в направлении оси х (через площадку в
плоскости z/, z), оси у и оси z.
Закон сохранения заряда можно сформулировать
в виде соотношения между плотностью заряда и
плотностью электрического тока: скорость, с которой
увеличивается плотность электрического заряда, равна сходимости
плотности электрического тока, т. е. превышению скорости
потока внутрь области над скоростью потока из этой
области. Этот закон непрерывности электрического заряда
эквивалентен закону сохранения заряда: если бы заряд не
сохранялся, скорость, с которой увеличивалась бы
плотность заряда, могла быть либо больше, либо меньше, чем
соответствующий поток; это означало бы, что заряд мог
возникнуть из ничего или «просто так» исчезнуть.
Обращаясь снова к четырехмерному языку, мы
скажем, что скорость изменения плотности электрического
заряда с течением времени может быть истолкована как
одна из компонент потока в четырехмерной области; эта
компонента, складываясь с тремя другими компонентами,
обеспечивает в сумме сохранение заряда. G
четырехмерной точки зрения закон непрерывности электрического
заряда утверждает, что разность потока заряда внутрь
четырехмерной области и потока из области равна нулю.
Если изобразить картину четырехмерного потока
графически, с помощью системы линий тока (т. е. линий,
касательная к которым в каждой точке совпадает с
направлением потока в этой точке, считая, что густота линий в
некоторой области характеризует величину потока), то
закон непрерывности требует, чтобы все линии тока были
кривыми без начала и конца. Это может быть либо в том
56

случае, когда линии тока замкнуты (т. е. имеют форму
петли), либо тогда, когда они выходят из бесконечности
и уходят снова в бесконечность.
Четырехмерная формулировка закона сохранения
энергии (массы) и импульса требует введения новых
понятий — плотности энергии, плотности потока энергии,
плотности импульса и плотности потока импульса. Но если
полная энергия и полный импульс системы образуют
мировой вектор, имеющий четыре компоненты, плотности
этих величин входят в некоторое образование с
шестнадцатью компонентами. Это образование можно было бы
назвать вектором второго порядка, однако чаще его
называют тензором. Число компонент тензора несколько
меньше, чем максимально возможное число компонент —
шестнадцать, так как оказывается, что плотность потока
энергии и плотность импульса — это одно и то же; плотность
потока импульса, которая известна также под названием
натяжений, обладает еще тем свойством, что поток #-ком-
цоненты импульса в направлении у равен потоку
[/-компоненты импульса в направлении х (и также для
остальных компонент). В результате число компонент тензора
энергии-импульса — натяжений оказывается равным
десяти.
7. Плоское пространство — искривленное пространство
Для описания геометрических соотношений в обычном
пространстве декартова система координат имеет явные
преимущества, потому что многие геометрические связи,
выраженные в декартовых координатах, имеют наиболее
простой вид; однако отдавать предпочтение декартовым
системам приходится просто из удобства, но такие системы
не всегда являются самыми удобными. В ньютоновской
механике, например, описывать орбиты планет при
движении вокруг солнца удобнее в координатной системе,
в которой выделяется положение солнца и легко
учитывается, что гравитационное поле Солнца убывает
одинаково по всем направлениям. Это — сферическая система
координат. Сферическими координатами точки Р
являются: расстояние г от начала системы координат, за которое
принимается Солнце, и два угла 0 и ср, определяющие
направление, в котором нужно двигаться от Солнца, чтобы
57

Рис. 27. Сферические
координаты.
достичь точки Р (рис. 27). Среди трех сферических
координат г, 9, ф всего лишь одна — расстояние от Солнца
г — определяет силу гравитационного притяжения Солнца,
тогда как в декартовых коордипатах (х, у, z,
изображенных на рис. 27) эта сила определяется всеми тремя
координатами. Сферические координаты могут служить
примером системы криволинейных координат, у которых
некоторые (или даже все)
координатные оси — кривые
линии, а не прямые, как у
декартовой системы. Во
Вселенной Минковского также
встречаются отдельные
случаи, когда следует отдать
предпочтение не лоренцевым,
а каким-либо другим
системам.
Лоренцевы системы
отсчета аналогичны
декартовым системам координат в
обычной геометрии. Все их
оси — три пространственные
и ось времени — образованы прямыми линиями, причем
эти прямые идут под прямым углом друг к другу. Но в
пространстве — времени Минковского допустимы и
криволинейные координаты. Ими иногда пользуются,
например, если мы захотим описать Вселенную с точки зрения
наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением.
Этот случай реализуется для космонавта в ракете, когда
работают двигатели. На рис. 28 изображена траектория
ракеты, движущейся равномерно ускоренно, в переменных
х, t. Согласно механике Ньютона скорость ракеты растет
неограниченно, как это и показано на рис. 28, а (кривая на
рисунке — парабола). Согласно релятивистской механике
скорость ракеты также будет возрастать, но она никогда
не сможет превзойти скорость света (соответствующую
прямой с.с); траектория для этого случая изображена
на рис. 28, б. Это будет уже гипербола, которая в
четырехмерном случае асимптотически приближается к световому
конусу.
Чтобы не усложнять чертежа, две другие
пространственные оси, не имеющие отношения к движению ракеты,
на рисунке не изображены. На рис. 29 показана иростран-
58

ственно-временная координатная система x,x',t, самая
подходящая для наблюдателя в ракете.
Специфической особенностью этой системы является
то, что расстояние наблюдателя от точки О остается
неизменным, поскольку это расстояние следует определять
t
«г
а)
Рис. 28. Траектории наблюдателя, движущегося
равномерно ускоренно.
вдоль линии, перпендикулярной направлению полета
ракеты в каждый данный момент времени; такая линия
определяет «одно и то же время» по измерениям наблюдения.
Таким образом, «длина» линий АО, ВО и СО на рис. 29 одна и
та же.
Декартова и лоренцева координатные системы служат
примером прямолинейных координатных систем;
сферическая система координат и ускоренно движущаяся система
отсчета в четырехмерной Вселенной Минковского дают
нам пример криволинейной системы координат. В
зависимости от того, в какой системе отсчета выполняются
геометрические построения, будут и математические
выражения для этих построений; описание физических явлений
будет выглядеть по-разному в координатных системах
различного типа. Но выбор координатной системы — это
просто выбор способа описания; такой выбор не может
влиять на внутренние свойства континуума, которые нам
нужно описать. Пространства и континуумы независимо
от способа описания обладают своими внутренними
геометрическими свойствами. Одно из этих свойств, к
которому мы переходим, называется кривизной пространства
или континуума. (Пространство называется искривленным,
59

если только оно не плоское; это свойство не имеет ничего
общего с выбором криволинейной системы координат.)
Пространство (или многообразие) называется
искривленным, если в нем невозможно ввести координатную
систему, которая может считаться прямолинейной.
Пространство называется плоским, если в нем может
существовать прямолинейная
система координат
независимо от того,
используется она или нет. Для этого
определения существенно,
что прямая линия, или,
лучше, геодезическая
линия, определяется как
кривая, проходящая через
две данные точки,
расстояние вдоль которой между
этими точками меньше,
чем расстояние по любой
другой кривой, проходя-
Рис. 29. Система координат, Щей через эти же точки.
удобная для наблюдателя, к ко- Координатная система бу-
торому относится рис. 28, б. дет прямолинейной, если
ее оси (и прямые,
параллельные этим осям) во всем пространстве представляют
собой прямые линии; в этом случае две определенные
оси (скажем, оси х и у и по-прежнему все прямые,
параллельны этим осям) в любой точке пространства
пересекаются под одним и тем уже углом. В искривленном
пространстве такую систему координат построить нельзя.
Все континуумы, о которых шла речь до сих пор, были
плоскими.
Примером искривленного многообразия — в данном
случае двумерного многообразия — может служить
поверхность сферы. На сферической поверхности геодезическими
линиями являются так называемые большие круги, у
которых на самом деле есть много свойств, напоминающих
свойства прямых линий. Меридианы и параллели на
Земле как раз и являются большими кругами (рис. 30). Так
как большой круг, проходящий через две данные точки,
является кратчайшим путем между этими двумя точками
(кратчайшим для перемещения по сферической
поверхности) , дальние маршруты самолетов прокладываются
60

так, чтобы они были большими кругами. Большие круги
и сегменты больших кругов можно использовать для
построения геометрических фигур. Можно говорить о
сферических треугольниках или четырехугольниках (рис. 31).
Однако не существует сферических параллелограммов.
Если попытаться построить параллелограмм (рис. 32),
отметив две граничные точки сегмента большого круга а,
Рис. 30. Большие круги Рис. 31. Сферический
трена сферической поверх- угольник и сферический
ности четырехугольник.
затем провести еще две стороны Ъ и с, обе равной длины
и перпендикулярные а, то окажется, что четвертая сторона
четырехугольника d короче, чем исходный сегмент а.
Можно начать с отрезка экватора и отложить от его концов
равные отрезки по меридианам; концы этих отрезков будут
лежать на круге, параллельном экватору. То, что
расстояние меяэду этими двумя точками меньше, чем исходный
отрезок экватора, — совершенно очевидно. Если
продолжить сегменты меридианов до полюса, конечные точки
сегментов на полюсе совпадут и результатом построения
будет уже не четырёхугольник, а треугольник (рис. 33).
Следовательно, сумма трех углов этого треугольника будет
превышать 180° на величину угла в вершине. Сравните
это с тем, что имеет место в плоском двумерном
пространстве (на плоскости), где сумма углов треугольника всегда
равна точно 180°.
Представление о параллельном переносе позволяет
уяснить специфические свойства искривленного пространства.
Если взять две точки в пространстве и вектор в одной из
61

них, то можно построить вектор во второй точке, который
параллелен вектору, заданному в первой точке. Чтобы
выполнить это построение, проведем через рассматриваемые
точки геодезическую линию и совершим перенос исходного
вектора вдоль геодезической линии, принимая во
внимание, что угол между прямой линией и вектором при
параллельном переносе остается постоянным, что вектор не
поворачивается вдоль прямолинейного пути, а только
скользит вдоль него и, наконец, что при параллельном переносе
Рис. 32. Попытка построе- Рис. 33. Сферический
трения прямоугольника на угольник, сумма углов ко-
сферической поверхности. торого равна 270°.
длина вектора не меняется. В точности такая же процедура
может быть применена к параллельному переносу вектора
вдоль замкнутого пути, образованного несколькими
прямолинейными сегментами (рис. 34). Существует много
путей, по которым можно совершить параллельный перенос
вектора из одной точки в другую. В плоском пространстве
конечный результат переноса не зависит от пути, по
которому совершается перенос, а определяется исключительно
исходным вектором; в каждой точке пространства
существует единственное направление, параллельное заданному
в какой-то точке. В искривленном же пространстве
результат параллельного переноса вектора зависит не только от
исходного вектора, но и от пути, по которому
совершается перенос. Если вектор Vq (рис. 35) сначала
параллельно переносится из точки А в точку В, а затем в точку D,
то в результате мы получим вектор V\, если
параллельный перенос вектора v0 совершается от точки А к точке D
62

через точку С, то результатом переноса будет вектор 1¼.
Параллельный перенос вектора вдоль пути, состоящего из
отрезков прямых (ломаная линия), в конце концов
возвращающихся в исходную точку (замкнутая ломаная),
приводит к новому вектору в начальной точке; этот
новый вектор отнюдь не совпадает с исходным, хотя при
Рис. 34. Параллельный Рис. 35. Параллельный
переперенос вектора по по- нос вектора по двум возмож-
верхности сферы. ним путям переноса.
переносе вектора по всем сегментам петли мы нигде не
нарушили правил параллельного переноса.
Вернемся к уже использованному примеру сферической
поверхности; сферический треугольник на этой
поверхности может быть образован двумя меридианами и
сегментом экватора. Такой треугольник представляет собой
замкнутую кривую, каждый сегмент которой образован
геодезической линией. Если сегмент экватора выбрать
равным 90° (географической широты), как это сделано на
рис. 33, нетрудно проследить за параллельным переносом
вектора по такому замкнутому контуру (рис. 36).
Допустим, что мы начинаем обход с самой западной точки Аг
а вектор v0 направлен точно на восток; параллельный
перенос вектора Vo вдоль экватора до точки В приведет
нас к вектору Vi, который также направлен на восток.
При параллельном переносе по восточному меридиану от
экватора до полюса С вектор будет все время направлен
на восток до тех пор, пока он не окажется на полюсе. На
полюсе в точке С вектор пг будет направлен под прямым
углом к восточному меридиану и, следовательно, будет
касательным к западному. Когда вектор будет скользить
63

вдоль западного меридиана к югу, т. е. к точке экватора Л,
он будет все время оставаться касательным к меридиану
и все время показывать на север. Таким образом,
вернувшись в точку А, он будет иметь направление #з,
составляющее 90° с исходным направлением.
Вселенная Минковского представляет собой плоское
пространство. Направлению, заданному в определенной
мировой точке, соответствует
единственное параллельное
направление в любой другой
мировой точке. Это направление будет
времениподобным, пространствен-
ноподобным или светоподобным,
в зависимости от того, каким
было выбрано исходное
направление. Рассмотрим теперь време-
ниподобное направление для за-
Рис. 36. Параллельный данной лоренцевои системы от-
перенос вектора по зам- счета; пусть это направление
пщтому пути. будет паралЛельным временной
оси. Частица, мировая линия
которой совпадает с этим направлением, покоится в этой
лоренцевои системе отсчета. Таким образом, это
выделенное направление может быть однозначно
отождествлено с теми направлениями во всех других мировых
точках, если только представление о покое в заданной
лоренцевои системе отсчета имеет определенный смысл
во всем пространстве-времени. Только в силу того, что
Вселенная Минковского плоская, состояние движения
двух физических объектов относительно друг друга
может быть четко определено независимо от того, какое
расстояние их отделяет.
Возможно даже, что Эйнштейн и Минковский сделали
неосмотрительный выбор, когда они 'считали пространство-
время специальной теории относительно плоским. Обычно
физики начинают задумываться об основных
предположениях, на которых строятся их теории лишь тогда, когда
эти теории приводят к трудностям. Так было и на этот раз.
Не прошло и десяти лет со дня выхода в свет работы
Минковского, как Эйнштейн был вынужден изменить
геометрию Вселенной Минковского и принять, что при
наличии гравитационного поля пространство-время уже не
плоское, а искривленное.

II. Общая теория относительности
8. Теория относительности и гравитация
Специальная теория относительности появилась на
свет, когда понадобилось устранить кажущееся
противоречие между классической ньютоновской физикой и новой
теорией электромагнитного поля. Вернувшись снова к
принципу относительности и отказавшись от возможности
абсолютного движения и абсолютного покоя, Эйнштейн
сумел сочетать казалось бы совершенно несовместимые
условия — универсальность скорости света в пустоте и
равноправие всех инерциальных систем отсчета — путем
глубокого изменения наших представлений о пространстве
и времени. Всякие изменения в представлениях о
пространстве и времени требуют существенных корректировок
в физике, куда больших, чем в других областях
естественных наук, поскольку пространство и время образуют тот
самый помост, на котором разыгрываются и описываются
физические процессы. Такого рода корректировки
особенно существенны для теорий, касающихся
фундаментальных аспектов элементарных частиц и их взаимодействий.
Необходимость пересмотра представлений по-разному
проявляется в различных областях науки. Исследование
тайн природы всегда происходит на совершенно различных
уровнях по глубине и сложности. Живые организмы,
например, представляют собой системы чрезвычайной
сложности, динамика которых не может быть сведена к
подробному описанию всех взаимодействий атомов и
молекул, входящих в их состав. Никому не придет в голову
предложить, чтобы биологические исследования были
отложены до тех пор, пока все элементарные процессы,
которые в своей совокупности обусловливают жизнь, не
будут полностью и по отдельности раскрыты. Однако
когда речь идет об объяснении спектра атома водорода, атома,
65

образованного всего лишь двумя частицами — одним
протоном и одним электроном,— ученые не могут быть
удовлетворены до тех пор, пока все тонкие детали спектра
не будут разъяснены на основе закона взаимодействия
протона и электрона.
Более глубокое понимание на одном уровне сложности
обычно не проходит бесследно и для понимания на
близлежащих уровнях, по может оказаться не слишком
существенным для относительно удаленных уровней сложности.
Лучшее понимание динамики атомов облегчает изучение
молекул и дает свой вклад в физику кристаллов; однако
динамика атомов мало что дает для понимания
особенностей пресмыкающихся. Почти так же между физикой
атомов и физикой элементарных частиц не слишком
много точек соприкосновения, хотя в этом случае
существует определенная взаимосвязь. Мы не удивимся поэтому,
что и та революция в наших представлениях, имя которой
специальная теория относительности, совсем по-разному
коснулась различных областей физики.
Существует несколько причин, по которым
исследования элементарных составляющих вещества и
фундаментальных сил не могут обойтись без теории относительности.
Взаимодействия между элементарными частицами и
полями происходят чаще всего при очень больших скоростях
частиц, когда различие между ньютоновской и
релятивистской физикой выступает вполне отчетливо. Наоборот,
молекулы в газе, молекулы, входящие в состав
кристаллов, или, наконец, молекулы живых организмов, как
правило, не имеют значительных скоростей, и для них
релятивистские эффекты несущественны. Когда мы имеем
дело с изучением взаимодействий на фундаментальном
уровне, то необходимая степень понимания проблемы —
куда в большей степени, чем наличие высоких скоростей
само по себе,— требует обязательного привлечения идей
теории относительности.
Чем глубже уходят наши исследования в конечные
составляющие вещества и чем меньше остается число
частиц и сил, действующих между ними, тем настойчивее
становятся требования исчерпывающего понимания
действия и структуры каждой компоненты материи. Именно
по этой причине, когда Эйнштейн и многие другие физики
убедились в том, что специальная теория относительности
пришла на смену ньютоновской физике, они занялись
66

снова фундаментальными свойствами частиц и силовых
полей. Наиболее важным объектом, требующим
пересмотра, была гравитация (всемирное тяготение).
Гравитация была краеугольным камнем ньютоновской
теории физического взаимодействия, а наиболее
внушительных успехов механика Ньютона достигла в
объяснении наблюдаемых орбит планет и спутников в нашей
солнечной системе. Любая новая теория в физике, чтобы
быть приемлемой, обязана воспроизводить эти результаты.
Но вся ньютоновская механика опирается на
представление об универсальном времени; при этом предполагалось,
что силы, с которыми Солнце и планеты действуют друг
на друга, определяются только их взаимным
расположением в одно и тоже время. Ньютоновское описание
гравитационного взаимодействия называют еще «действием на
расстоянии». Поскольку расстояние между двумя любыми
телами все время меняется при движении тел по их траек-,
ториям, существенно, что расстояние между телами
однозначно определено как расстояние в заданный момент
времени.
Но если в ньютоновской физике расстояние между
двумя физическими объектами в любой выбранный момент
времени определено вполне четко независимо от того,
движутся эти тела или покоятся, релятивистский способ
определения моментов времени и координат точек и
в особенности зависимость этих определений от системы
отсчета ведут к неоднозначности. Эти трудности можно
проиллюстрировать с помощью рис. 37. На этом рисунке
изображены траектории двух объектов А и В на
пространственно-временной диаграмме, на которой для простоты
показано лишь одно пространственное измерение.
Объекты А и В движутся относительно друг друга, траектории
каждого из этих объектов времениподобны, как это видно
из наклона, соответствующего двум светоподобным
направлениям, отмеченным буквами с. с. На рисунке
изображены две пары координатных осей (х, t) и (х\ t'),
соответствующих двум лоренцевым системам отсчета; обе эти
системы, следовательно, допустимы и равноправны. Если
выбрать некоторый определенный момент в «истории» А,
скажем, момент Т, расстояние от В до А будет измеряться
по двум различным линиям, соединяющим эти отрезки
(эти линии проведены пунктиром), в зависимости от того,
р какой системе отсчета это расстояэде измеряется. Из
97

рисунка видно, что расстояние оказывается разным в двух
лоренцевых системах отсчета. Не существует способа,
с помощью которого можно было бы выбрать
«привилегированную» лоренцеву систему отсчета, чтобы в ней
определять «истинное» расстояние между многочисленными
астрономическими телами; такое «истинное» расстояние
можно было бы, конечно, использовать для вычисления
t V В А
C.G
Я"
ас
Рис. 37. Неопределенность при измерении расстояния
между движущимися объектами,
гравитационного взаимодействия между этими телами.
Правда, в солнечной системе и даже во всей нашей
Галактике относительные движения входящих в эти
образования тел настолько медленны, что практически
безразлично, выбрать ли за лоренцеву систему Галактику или
ту систему, в которой покоится центр инерции солнечной
системы. Конечно, пренебрежимая малость релятивистских
эффектов может объяснить, почему использование
ньютоновских методов расчета приводит к результатам в высшей
степени удовлетворительным. Однако принципиально
использование взаимно исключающих друг друга
представлений о пространстве и времени при рассмотрении
электромагнитных и гравитационных взаимодействий ни
в коем случае не допустимо.
С некоторой точки зрения аналогичная ситуация
возникает в теории электромагнитных явлений, так как сила,
действующая между двумя покоящимися зарядами, также
определяется в зависимости от расстояния между ними;
она обратно пропорциональна квадрату расстояния между
зарядами, в точности как сила тяготения. Закон, о котором
идет речь, известец в теории электричества цод названием
i
99

закона Кулона; он носит имя французского физика Шарля
Августина Кулона (1736—1806). Различие между куло-
новским законом взаимодействия зарядов и ньютоновским
законом для гравитационного взаимодействия состоит
в том, что в законе Кулона ту роль, которая отведена
в законе Ньютона массам, играют электрические заряды.
В теории электричества кажущееся противоречие между
представлениями теории относительности и закопом
взаимодействия между зарядами снимается тем, что опыт йо-
казывает, что этот закон справедлив, строго говоря, лишь
в том случае, если заряженные тела (заряды) покоятся
относительно друг друга. Но если заряды покоятся в
некоторой системе отсчета, то именно эта система отсчета и
является той «подходящей» системой, которую следует
пспользовать. Когда заряженные частицы движутся
относительно друг друга, то взаимодействие между ними уже
не подчиняется закону Кулона, а оказывается значительно
более сложным и описывается через поля, порождаемые
взаимодействующими зарядами.
Каждый электрический заряд порождает
электрическое поле и, кроме того, также магнитное поле, за
исключением того случая, когда он покоится. И то и другое
поле распространяется с конечной скоростью, равной
скорости света. Сила, испытываемая любым зарядом, в
свою очередь зависит от полей в том месте, где находится
этот заряд; однако эти поля создаются всеми остальпыми
зарядами, причем в достаточно удаленные в прошлое
времена, такие, чтобы поле могло дойти до рассматриваемой
точки в нужный момент. Эта сложная взаимная игра
зарядов и полей, как оказывается, должна подчиняться всегда
одинаковым правилам независимо от состояния движения
наблюдателя, который получает необходимые данные
в результате своих экспериментов. Если две заряженные
частицы покоятся относительно друг друга, сложная игра
частица — поле — частица в конечном счете приводит
к простому закону Кулона.
Но почему бы несоответствие между относительностью
времени и законом тяготения Ньютона не разрешить столь
же просто, как в электродинамике? Следовало бы ввести
представление о гравитационном поле, которое
распространялось бы примерно так же, как электрическое и
магнитное поля, и которое оказалось бы посредником при
гравитационном взаимодействия небесных тел, в согласий
т

с представлениями теории относительности. Это
гравитационное взаимодействие сводилось бы к ньютоновскому
закону тяготения, когда относительные скорости
рассматриваемых астрономических тел были бы малы по
сравнению со скоростью света. Эйнштейн попытался построить
релятивистскую теорию тяготения на этой основе, но одно
обстоятельство не позволило ему осуществить это
намерение: никто ничего не знал о распространении
гравитационного взаимодействия с большой скоростью, имелась лишь
некоторая информация относительно эффектов, связанных
с большими скоростями движения источников
гравитационного поля — масс.
Влияние больших скоростей на массы непохоже на
влияние больших скоростей на заряды. Если
электрический заряд тела остается одним и тем же для всех
наблюдателей, масса тел зависит от их скорости относительно
наблюдателя. Чем выше скорость, тем больше
наблюдаемая масса. Для заданного тела наименьшая масса будет
определена наблюдателем, относительно которого тело
покоится. Это значение массы называется массой покоя
тела. Для всех остальных наблюдателей масса окажется
больше массы покоя на величину, пропорциональную
кинетической энергии тела, как это указывалось в п. 6.
Значение массы стало бы бесконечным в той системе
отсчета, в которой скорость тела стала бы равной скорости
света.. Конечно,, о такой системе отсчета можно говорить
лишь условно. Поскольку величина источника тяготения
столь существенно зависит от системы отсчета, в которой
определяется ее значение, порождаемое массой поле
должно быть более сложным, чем электромагнитное поле.
Эйнштейн заключил поэтому, что гравитационное поле, по-
видимому, представляет собой так называемое тензорное
поле, описываемое большим числом компонент, чем
электромагнитное поле.
В качестве следующего исходного принципа Эйнштейн
постулировал, что законы гравитационного поля должны
получаться на основе математической процедуры,
аналогичной процедуре, приводящей к законам
электромагнитной теории; законы гравитационного поля* получаемые
таким способом, очевидно, должны быть сходны по форме
с законами электромагнетизма. Эти постулаты
представляются вполне разумными в силу тождественного вида
законов Ньютона и закона Кулона.
Ц

Но даже принимая во внимание все эти соображения,
Эйнштейн обнаружил, что ои может построить несколько
различных теорий, которые в равной степени
удовлетворяют всем требованиям. Из этих теорий вытекало наличие
некоторых эффектов, величина которых была различной
для разных теорий, однако сами эти эффекты были
настолько малы, что в первом десятилетии двадцатого века
не было никаких надежд сделать выбор доежду этими
теориями на основе экспериментальных исследований или
данных наблюдений. Требовалась несколько иная точка
зрения, чтобы однозначно прийти к релятивистской теорий
тяготения. Эйнштейн нашел такую новую точку зрения
в принципе эквивалентности (см. и. 1), согласно которому
ускорение, приобретаемое телом в поле сил тяготения, не
зависит от характеристик этого тела.
9. Относительность свободного падения
Как в ньютоновской физике, так и в специальной
теории относительности, постулируется существование инер-
циальных систем отсчета. Повторим, что значит инерци-
альная система. Инерциальная система отсчета — это
такая система отсчета, относительно которой тела
движутся равномерно и прямолинейно (т. е. без ускорения), когда
на них не действуют внешние силы. Экспериментальное
нахождение такой инерциальной системы эависит jot того,
сможем ли мы поставить некоторые тела (пробные тела,
как говорят) в такие условия, когда на них не действуют
никакие внешние силы, причем должно быть
экспериментальное подтверждение отсутствия таких сил. Но как
можно достичь такого состояния, в котором внешних сил
нет? Обычный ответ состоит в том, что пробное тело
следует отвести на достаточное расстояние от всех других тел,
которые могут быть источниками сил, поскольку известно,
что все силы убывают и стремятся к нулю на достаточном
удалении от источника сил.
Следовательно, взглянув на окружение пробного
объекта, можно выяснить, есть ли поблизости от него возможные
источники внешних сил. Но возможность осмотра зависит
от наличия оптических или каких-то иных инструментов,
позволяющих просматривать значительные части
пространства. Было бы желательно выяснить, существуют ли
такие процедуры, с помощью которых можно установить
71

отсутствие сил, причем очень важно, чтобы эти
процедуры по своему характеру были локальными, т. е.
осуществлялись в данной области, и чтобы они
непосредственно опирались на наблюдение поведения самих пробных
тел. Такие процедуры оказываются вполне
осуществимыми, если воспользоваться набором пробных тел с
различными характеристиками. Допустим, например, что кто-то
хочет убедиться в отсутствии электрического поля в
некоторой области пространства. Пусть в его распоряжении
имеются несколько подходящих пробных тел, часть из
которых заряжена положительно, а часть отрицательно,
а некоторые тела нейтральны. Тогда можно говорить об
отсутствии электрического поля в том случае, если
окажется, что все эти различные пробные тела ускоряются
одинаковым образом относительно произвольно
выбранной (и вовсе не обязательно инерциальной) системы
отсчета. Если бы существовало электрическое поле, силы,
действующие на положительно заряженные тела, были
бы направлены в противоположную сторону по
отношению к силам, действующим на отрицательно
заряженные тела. Аналогичные процедуры можно
предложить для выяснения наличия других видов силовых
полей.
Однако такой прием неприемлем, когда нам нужно
исключить гравитационные поля. Пропорциональность
инертной и тяжелой масс у всех существующих
физических объектов приводит к тому, что любой набор пробных
частиц будет обнаруживать совершенно одинаковое
ускорение в любом гравитационном поле, независимо от того,
сильное оно или слабое. Но как можно тогда установить,
что существует поле тяготения, такое, например, как поле,
создаваемое массивным Солнцем? Кеплер и Ньютон
отвечали на этот вопрос так: найдите ускорение всех планет,
включая и Землю, направленное к Солнцу (рис. 38).
Отдельные планеты ускоряются относительно друг друга и
относительно далеких неподвижных звезд, потому что
в любой момент времени они находятся на разных
расстояниях и в различных направлениях от Солнца.
Различие в их ускорениях соответствует разнице в поле
тяготения в тех точках, где они оказываются. Два небесных
тела, находящихся в непосредственной близости друг от
друга (например, планеты и их спутники), падают на
Солнце как единое целое; большая часть разницы в их
72

ускорении относительно друг друга возникает за счет их
взаимного гравитационного притяжения. Векторы о, и с
на рис. 39 представляют соответственно ускорения,
которые испытывали бы планета и Луна, если бы они не
оказывали никакого влияния друг на друга; векторы d и е
описывают ускорение, возникающее из-за их взаимного
притяжения, без учета влияния Солнца: векторы 6 и /
Луна
Планета
Рис. 38. Гравитационное Рис. 39. Планета и Луна,
ускорение, испытываемое
двумя планетами.
дают их фактические ускорения с учетом взаимодействия
всех трех тел.
Подводя итоги, можно сказать, что если наличие
электрического (или любого другого силового) поля может быть
обнаружено по различию в действии, которое эти поля
оказывают на различные пробные частицы, даже
помещенные в одну и ту же точку пространства, все пробные
частицы, помещенные в одно и то же поле тяготения,
приобретают одно и то же ускорение. Локальными
экспериментами, в которых не используются наблюдения далеких
звезд, наличие гравитационного поля может быть
установлено только в случае его неоднородности; такая
неоднородность приводит к различию в ускорениях пробных
частиц, помещенных в различные участки поля.
Когда гравитационного поля нет, инерциальная система
отсчета может быть построена на основе экспериментов,
проводимых локально; необходимо, конечно, чтобы
экспериментатор имел под рукой разнообразные пробные
частицы, о свойствах которых он имел бы достаточное
представление. При наличии гравитационного поля все
дробные частицы испытывают одно и то же гравитацион-
Come Com
73

ное ускорение; следовательно, такое ускорение может быть
обнаружено только сопоставлением объектов, находящихся
в различных точках пространства. Для его выявления
недостаточно сравнить поведение различных пробных частиц
в одном и том жо месте. 1Ъ этой причине астрономы
строят инерциальные системы отсчета, которые необходимы
им для изучения динамики солнечной системы или
галактики, используя внешние объекты, такие, например,
как удаленные галактики.
Но даже при наличии гравитационного поля
существует некоторый класс систем отсчета, который может быть
выделен чисто локальными экспериментами. Так как все
гравитационные ускорения в данной точке (малой
области) у всех тел одни и те же как по величине, так и по
направлению, все они окажутся равными нулю по отношению
к системе отсчета, которая ускоряется вместе с другими
физическими объектами, которые находятся под действием
только силы тяготения. Такая система отсчета называется
свободно падающей системой отсчета. Свободно падающая
система отсчета отличается от всех систем отсчета,
рассмотренных до сих пор, тем, что ее нельзя неограниченно
продолжить на все пространство и на все моменты
времени. Она может быть однозначно определена лишь в
окрестности мировой точки, в ограниченной области
пространства и для ограниченного промежутка времени. В силу
неоднородности всех гравитационных полей любая попытка
расширить использование системы отсчета свободного
падения на большие расстояния или длительные промежутки
времени неизбежно должна столкнуться с внутренними
противоречиями. Если система отсчета продолжена
жесткими стержнями, гравитационные ускорения,
отсчитываемые относительно стержней, будут заметны на
достаточных удалениях от той области, гда система была подлинно
свободно падающей системой отсчета. Если всем
составным частям системы отсчета предоставить возможность
свободного падения, расстояния между ними с течением
времени начнут изменяться.
Систему отсчета, которую нельзя распространить за
пределы небольшой области и которая годится юлько на
малый промежуток времени, можно назвать локальной
системой отсчета. Свободно падающие системы отсчета в
этом смысле являются локальными. По отношению к
свободно падающим системам отсчета материальные тела? на
74

которые не действуют никакие силы, кроме сил
тяготения, не испытывают ускорения.
Свободно падающие системы отсчеаа в отсутствие
гравитационных полей тождественны с инерциальпыми
системами отсчета; в этом случае они, конечно,
неограниченно продолжимы. Но такое неограниченное
распространение таких систем становится невозможным, когда
появляются гравитационные поля. То, что свободно падающие
системы вообще существуют хотя бы только как локальные
системы отсчета, есть прямое следствие принципа
эквивалентности, которому подчиняются все гравитационные
эффекты. Но тот же самый принцип ответствен за то, что
никакими локальными процедурами невозможно построить
инерциальные системы отсчета при наличии
гравитационных полей.
Эйнштейн рассматривал принцип эквивалентности как
самое фундаментальное свойство тяготения. Он понял, что
от представления о неограниченно продолжимых инерци-
альных системах отсчета следует отказаться в пользу
локальных свободно падающих систем отсчета; и лишь
поступив таким образом, можно принять принцип
эквивалентности как составную часть фзгндамента всей физики. Но
уже такой подход сам по себе дал возможность физикам
глубже заглянуть в природу тяготения. Наличие
гравитационных полей оказывается равносильным невозможности
распространения в пространстве и времени локальной
свободно падающей системы отсчета; таким образом, при
изучении гравитационных полей следует фокусировать
внимание не столько на локальной величине поля (которое
всегда можно уничтожить при переходе к свободно
падающей системе отсчета), сколько на неоднородности
гравитационных нолей. Ценность такого подхода, который в
конечном счете отрицает универсальность существования
пнерциальных систем отсчета, состоит в том, что он ясно
показывает следующее: нет никаких оснований принимать
без размышлений возможность построения инерциальных
систем отсчета, несмотря на то, что такие системы
использовались на протяжении нескольких столетий.
Чтобы раздвинуть границы применимости инерци-
альной системы отсчета в пространстве и времени,
нужно уметь сравнивать достаточно удаленные часы друг с
другом и передвигать прямолинейные стержни
определенной длины в отдаленные участки тех областей, кото-
75

рые подлежат исследованию. Чтобы установить,
действительно ли синхронизованы часы и действительно ли
стержни имеют форму прямой линии, в конечном счете
требуются световые сигналы и другие формы
электромагнитного излучения, как универсально возможные и
надежные передатчики информации. В пустом
пространстве свет распространяется с постоянной скоростью с и
по прямым линиям. Сохранится ли эта картина при
наличии гравитационного поля?
Свет несет с собой энергию; следовательно, он
обладает массой. В поле тяготения он должен испытывать
ускорение. Конечно, ускорение частицы зависит от того,
как она движется в данный момент. Если ускорение
происходит в направлении скорости, при больших
скоростях частицы оно должно быть небольшим, поскольку
скорость любой частицы всегда должна остаться
меньше, чем скорость света. Согласно специальной теории
относительности ускорение любого объекта в
направлении движения, если скорость этого объекта достигла
скорости света, равно' нулю. Но если сила тяготения
действует под прямым углом к направлению движения
частицы, траектория движения частицы становится
искривленной. Кривизну траектории можно оценить, исходя из
предположения (и расширения толкования принципа
эквивалентности) о том, что траектория, по которой движется
свет, представляется свободно падающему наблюдателю
в виде прямой. Самое главное в этой аргументации состоит
в том, что если гравитация искривляет траекторию света,
то обычная процедура построения достаточно протяженной
инерциальной системы отсчета уже непригодна.
Однако нельзя ли подправить эту процедуру так,
чтобы скомпенсировать гравитационное искривление
траектории света? Если считать принцип
эквивалентности справедливым, никакие эксперименты по сравнению
искривленной траектории света с некоторой
прямолинейной траекторией не могут указать нужные поправки.
Любой сигнал, распространяющийся со скоростью с в
том же направлении, будет идти по такой же
траектории; любая частица, движущаяся с меньшей скоростью,
описывает еще более искривленную траекторию.
Соответственно этому необходимые коррективы в лучшем
случае могли быть внесены на основе достаточно полной
теории гравитации; построение инерциальной системы
76

отсчета должно скорее идти вслед за построением такой
теории, а не предшествовать ей.
Фактические наблюдения искривления световых
лучей в поле тяготения солнца были осуществлены с
помощью довольно хитрой уловки; эта уловка опиралась
на кажущееся постоянство положения далеких
неподвижных звезд. Во время полного солнечного затмения
можно получить фотографии всех звезд, окружающих
затемненную часть Солнца, поскольку при покрытии
Солнца Луной свет, испускаемый Солнцем, уже не
мешает наблюдению более слабых объектов. Если
сравнить фотографии, полученные во время солнечного
затмения, с фотографией той же части неба, сделанной
ночью, то окажется, что звезды, наиболее близкие к
краю Солнца, во время затмения несколько смещены,
причем величина смещения обратно пропорциональна
расстоянию изображения звезды от Солнца. Смещение
изображения звезд непосредственно у края Солнца
составляет 1,75 угловой секунды. Такие наблюдения с
переменным успехом проводились чуть ли не во время всех
полных солнечных затмений, начиная, с 1919 г. Когда
атмосферные условия оказывались благоприятными и
наблюдения удавалось провести, результаты наблюдений
были в согласии с предсказаниями общей теории
относительности.
Хотя до того, как были высказаны предположения
Эйнштейна, существование инерциальных систем
отсчета считалось несомненным, время от времени для
удобства применялись также и неинерциальные системы.
Такая неинерциальная система может быть, например,
связана с вращающейся платформой. Те, кому никогда
не приходилось удерживать равновесие на
вращающейся платформе (такую платформу представляет собой
распространенный аттракцион «чертово колесо»), тем не
менее должны знать, что они постоянно находятся на
вращающемся теле, которым является наша Земля.
Любая система отсчета связанная со стенами нашей
земной лаборатории, не может быть инерциальпой,
поскольку она участвует во вращении Земли относительно своей
оси. Это вращение проявляется, в частности, в том, что
плоскость качаний маятника медленно поворачивается
относительно Земли со скоростью, зависящей от
географической широты, на которой расположена лаборатория.
77

Маятник, с помощью которого можно обнаружить
вращение Земли, называется маятником Фуко. (Маятник
Фуко установлен, например, в Исаакиевском соборе в
Ленинграде). Другое явление, которое можно наблюдать
во вращающейся системе отсчета, состоит в том, что
объекты, находящиеся в начальный момент времени в покое
относительно этой системы, начинают затем ускоряться
в направлении от оси вращения; такое ускорение
называется центробежным ускорением.
Ускорения, возникающие только в силу выбора не-
инерциальной системы отсчета, называют обычно инер-
циальными ускорениями. Инерциальные ускорения не
зависят от физических характеристик пробных тел, с
помощью которых производятся наблюдения, поскольку
эти ускорения только отражают ту степень, в которой
избранная система отсчета отклоняется от инерциальной,
и зависят, самое большее, от начального состояния
движения каждого пробного тела. В этом отношении инер-
циальное ускорение напоминает ускорение силы
тяжести, которое, согласно принципу эквивалентности, также
одинаково в данной точке пространства для всех
свободно падающих тел. В свободно падающей системе отсчета
нельзя наблюдать ни инерциальных ускорений, ни
ускорений тяготения (гравитационных ускорений).
Случилось так, что последовательность этих
аргументов была приведена в обратном порядке, и принцип
эквивалентности был высказан в форме утверждения о
том, что с помощью локальных экспериментов
невозможно отличить инерциальное и гравитационное
ускорения. Отсюда равенство тяжелой и инертной масс
вытекало уже как следствие.
Кабина спутника при выключенных двигателях
находится в состоянии свободного падения, и система
отсчета, связанная с ней,— это свободно падающая
система отсчета. Следовательно, космонавт внутри кабины не
ощущает силы тяжести, несмотря на' то, что кабина
находится в области действия достаточно сильного
гравитационного поля Земли. Вообще говоря, свободно
падающая система отсчета, в которой не ощущается
присутствия гравитационного поля, неотличима от
инерциальной системы отсчета, в которой на самом деле
гравитационных сил нет; различие между ними состоит только
в том, что инерциальные системы могут быть распро-
78

странены на большие расстояния и промежутки
времени, а свободно падающие системы отсчета являются
чисто локальными. Обратно, наличие гравитационного
поля вызывает такие явления в инерциальнои системе
отсчета, которые локально неотличимы от инерциально-
го ускорения, которое можно было бы наблюдать в
неинерциальной системе отсчета. Следовательно,
существование инерциальных систем отсчета в нашей
Вселенной, наполненной тяготеющими массами, должно
быть выведено из комплекса экспериментальных
процедур, которые могут быть основаны на использовании
хорошо видимых, но достаточно удаленных объектов,
не испытывающих ускорения, процедур, которые, кроме
того, компенсируют искривление световых лучей,
неизбежное при наличии больших масс.
По всей вероятности, такая экспериментальная
программа в принципе неосуществима. Процедуры,
предназначенные для выявления инерциальнои системы отсчета
в неограниченной области пространства и на
неограниченно длительный промежуток времени, далеко не
однозначны, причем не видно способов сделать их
однозначными. Вместе с тем такая неоднозначность приводит к
столь незначительной разнице в результатах, что в
практической астрономии все эти различия
перекрываются обычными ошибками наблюдений.
Эйнштейн высказался за отказ от любых попыток
восстановить прежнюю роль инерциальных систем
отсчета. Локально их роль должна быть передана
свободно падающим системам отсчета; однако эти системы
нельзя неограниченно продолжать. Среди систем
отсчета, которые допускают продолжение, не может быть
никакой иерархии; не существует критерия для выделения
класса специальных или привилегированных систем
отсчета. Все системы отсчета следует рассматривать как
равноправные,
10. Принцип общей ковариантности
На языке четырехмерной геометрии система отсчета
представляет собой (четырехмерную) координатную
систему. Согласно Эйнштейну для формулирования
законов природы геометрию пространства-времени вовсе не
обязательно связывать с выбором специального класса
79

координатных систем; напротив, все достаточно
непрерывные и гладкие координатные системы приемлемы в
равной мере. Этот чисто формальный принцип известен
как принцип общей ковариантности. Следствием этого
принципа является требование, чтобы законы природы
записывались во всех координатных системах в одной и
той же форме. В частности, не может быть и речи о
разделении координатных систем на системы с
прямолинейными осями и системы с криволинейными
осями*). Если поля тяготения нет, прямолинейные
координатные системы — инерциальные системы отсчета —
существуют; но такую ситуацию следует признать
исключительной. Обычно поля тяготения существуют повсюду,
хотя в межгалактическом пространстве они крайне
слабы. В пространстве-времени может не быть кривых,
которые обладали бы всеми свойствами прямых линий.
Смысл введения любой координатной системы —
прямолинейной или криволинейной — состоит в том, чтобы
маркировать мировые точки, т. е. события, достаточно
локализованные в пространстве и времени, заданием набора
четырех чисел. Если невозможно построить
прямолинейные координатные системы, четырехмерный
пространственно-временной континуум должен быть
искривленным. Его кривизна представляет собой
геометрический двойник полей тяготения, которые всегда
неоднородны. В отсутствие гравитационных полей
пространство-время плоское и мир Минковского оказывается
правильным геометрическим построением. Но когда
есть поля тяготения, геометрия Минковского
недостаточно гибка: она должна быть несколько изменена с тем,
чтобы допустить возможность искривленных
многообразий. (Термин многообразие введен здесь для обозначения
четырехмерного пространственно-временного
континуума, который совсем не обязательно должен быть
плоским.)
То, что пространство-время искривлено, ни в коей
мере не противоречит представлению о свободно падаю?
щей системе отсчета. Говоря геометрическим языком,
свободно падающая система отсчета представляет собой
*> Для тех, кто знаком с построением криволинейных систем
координат, ясно, что автор под «осями» подразумевает
координатные линии. (Прим. перев.)
80

локальную координатную систему, определенную только
в непосредственной окрестности данной мировой точки;
координатные оси такой системы — почти прямые
линии, перпендикулярные друг другу; это вполне
согласуется с наличием кривизны пространства-времени во всех
мировых точках.
Гравитационные поля всегда неоднородны;
напряженность поля и вызываемое полем ускорение
изменяются при переходе от точки к точке. Именно по этим
причинам свободно падающая система отсчета не может
быть продолжена неограниченно. Если построить
свободно падающую систему отсчета около поверхности
Земли, такую систему отсчета можно продолжить на
сравнительно большую область, прежде чем появятся
какие-либо трудности. Если же, распространяя эту
систему отсчета, мы дойдем до таких областей
пространства, где неоднородность поля тяготения сделается
заметной, то в удаленных точках система либо перестает быть
свободно падающей системой, либо оказывается
непрямолинейной. Расстояния, о которых идет речь, могут
достигать нескольких сотен километров. (Их величина
определяется требуемой точностью измерений; более
точные оценки вы найдете в следующем пункте.)
В ^искривленном пространстве-времени не существует,
таким образом, системы отсчета, которая оказалась
бы повсюду инерциальной или повсюду прямолинейной
координатной системой. Свободно падающая система
отсчета представляет собой координатную систему, осями
которой являются геодезические линии, но лишь в
малой окрестности мировой точки. Продолжение такой
системы отсчета за указанную область приводит к тому,
что система отсчета уже ничем не отличается от любой
другой криволинейной координатной системы; в
искривленном многообразии любая достаточно гладкая (хотя и
криволинейная) координатная система столь же
приемлема, как и остальные.
Искривленные многообразия обладают
определенными геометрическими свойствами, не имеющими
никакого отношения к выбору координатной системы.
Пространственно-временным многообразиям можно
сопоставить в каждой точке двойной конус светоподобных
направлений, одна половина которых направлена в
будущее, а вторая — в прошлое. Кривизна многообразия сама
«

по себе выражается через изменение направления
вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по
небольшому замкнутому контуру. Изменение
направления вектора зависит от исходного направления вектора,
а также от ориентации двумерной поверхности, в
которой расположен этот замкнутый контур; при заданной
ориентации изменение направления вектора
пропорционально площади, охватываемой замкнутым контуром.
Следовательно, численное значение кривизны
многообразия можно выразить через изменение направления
вектора (в градусах) на единицу площади^ охватываемой
замкнутым контуром, по которому совершается обход*
Все эти, а также другие свойства многообразий могут
быть описаны в любой координатной системе. Форма
этого описания по понятным причинам меняется при
переходе от одной координатой системы к другой.
Координатные системы отличаются одна от другой тем, что
заданная пространственно-временная точка в различных
координатных системах маркируется различными
численными значениями координат. Например, каждая
отдельная компонента тензора кривизны может
меняться при переходе от точки к точке. (Компоненты
кривизны определяются различными комбинациями исходною
направления вектора, его изменением по разным
направлениям и ориентацией поверхности, в которой лежит
замкнутый контур. При четырех измерениях таких
независимых компонент оказывается двадцать). Если мы
хотим найти такое изменение, конкретное описание
зависит от частной идентификации каждой точки (т. е. or
выбора координатной системы) в той же мере, в какой
оно зависит от направления вектора и ориентации
замкнутого контура. Что касается описания направления и
ориентации, то оно зависит от выбора направления
координатных осей.
Но если описание конкретного многообразия и его
геометрии будет меняться в зависимости от выбора
координатной системы, некоторые соотношения между
геометрическими параметрами могут сохранять свой вид в
любой координатной системе. Про такие соотношения
между геометрическими параметрами говорят, что они
ковариантны. Многообразия, в которых во всех точках
выполняется какое-либо соотношение такого типа,
образуют отдельный класс, выделяемый (по этому признаку)
82

из всех остальных многообразий. Плоские многообразия
образуют такой отдельный класс, в котором все
компоненты кривизны обращаются в нуль по всему
многообразию. Обращение всех компонент кривизны может
быть описано определенным математическим
уравнением, которое сохраняет свой вид во всех координатных
системах; плоские многообразия допускают построение
координатных систем специального вида —
прямолинейных координатных систем. Хотя есть преимущество в
использовании прямолинейных координат, особенности
плоских многообразий все же не зависят от такого
выбора координат.
Согласно Эйнштейну, плоские
пространственно-временные многообразия реализуются тогда, когда
полностью отсутствует гравитационное поле; как класс мно-
юобразий плоские многообразия вряд ли могут служить
основанием для теории тяготения. Такую роль должен
играть другой класс многообразий. Принцип общей ко-
вариатности подразумевает, что этот класс таков, что он не
приводит к привилегированному или специальному
классу координатных систем. Скорее геометрические
соотношения, характеризующие эти многообразия,
должны быть такими, что они сохраняют свою форму во всех
допустимых координатных системах, так что они не могут
быть упрощены в каких-то избранных системах отсчета.
Считая правильным принцип общей ковариантности,
мы резко ограничиваем набор потенциальных
математических (точнее геометрических) соотношений, которые
можно было бы рассматривать как выражение закона
тяготения. С другой стороны, релятивистские законы
тяготения должны приводить к законам тяготения Ньютона
в предельном случае, когда поля тяготения относительно
слабы (массы источников поля не слишком велики), а
относительные скорости как источников полей, так и
объектов гравитационного взаимодействия малы по
сравнению со скоростью света. Именно этих двух
требований,— во-первых, что теория должна удовлетворять
условию общей ковариантности, и, во-вторых, что она
должна при надлежащих условиях переходить в
ньютоновскую теорию,— вполне достаточно, чтобы устранить все
неопределенности и установить единственно возможный
закон тяготения. Это и было сделано в общей теории
относительности, которую Эйнштейн опубликовал в 1916 г.
83

11. Искривленное пространство-время
Чтобы рассказать о теории Эйнштейна и объяснить
ее особенности, нужно несколько подробнее
остановиться на кривизне пространства. Как мы уже говорили,
пространство называется искривленным, если результат
параллельного переноса вектора из одной точки в
другую зависит от выбора пути, по которому производится
перенос.
Другими словами, результат параллельного переноса
вектора оказывается различным, если перенос
совершается по разным кривым, проходящим через две
рассматриваемые точки. Принимается, что параллельный перенос
вектора по любой заданной кривой является вполне
определенной операцией, при которой остаются без изменения
как длина (или величина) переносимого вектора, так и
угол между двумя векторами, переносимыми вдоль
одного и того же пути.
Если переносимый вектор в исходной точке пути
переноса был касательным к кривой, по которой
совершается перенос, то при некотором выборе пути переноса
это свойство может сохраниться и в любой точке кривой.
Если путь выбран так, что переносимый вектор все
время остается касательным к кривой переноса, кривая
называется автопараллелъной (параллельной самой себе)
кривой. При заданной начальной точке и заданном
направлении в этой точке всегда существует одна-единст-
венная автопараллельная кривая, проходящая через
заданную точку в заданном направлении. На
поверхности сферы автопараллельными линиями будут
большие круги, в плоском пространстве — прямые
линии.
Если результат параллельного переноса вектора из
одной точки в другую зависит от выбора пути, по
которому совершается перенос, параллельный перенос
вектора из некоторой точки по замкнутому пути будет, как
правило, приводить к тому, что при возвращении в
исходную точку параллельно перенесенный вектор отличается
от исходного. Поскольку по условию длина вектора при
параллельном переносе остается неизменной,
параллельный перенос вектора по замкнутому пути результативно
приводит самое большее к повороту вектора, но не к его
растяжению. Если совершается совместный параллель-
84

ный перенос группы векторов по некоторому
замкнутому пути, вся группа вектора поворачивается как твердое
тело, поскольку углы между векторами при
параллельном переносе не меняются.
В пространстве нескольких измерений понятие
кривизны усложняется из-за возможности различных
ориентации замкнутого контура. Считая кривизну
локальным свойством пространства, определяемым прежде
всего ближайшей окрестностью рассматриваемой точки
пространства, вводят небольшие замкнутые контуры,
вдоль которых совершается параллельный перенос
вектора. Когда такой контур достаточно мал, угол поворота
вектора оказывается пропорциональным площади,
охватываемой этим контуром, и не зависит от формы
контура. Таким образом, вполне подходящей мерой кривизны
является угол поворота вектора при переносе его по
замкнутому контуру, отнесенный к единице площади.
Однако эта мера кривизны зависит от ориентации
поверхности, на которой расположен контур; ориентацию
поверхности можно задать, указывая пару произвольных
направлений, касательных к поверхности. В
четырехмерном континууме — таким как раз является
континуум пространства-времени — существует шесть
возможных независимых ориентации двумерной поверхности в
том смысле, что любая возможная ориентация может быть
получена из шести основных.. В пространстве-времени
Минковского при использовании стандартной лоренцев-
ской системы отсчета эти шесть основных ориентации
возникают как всевозможные попарные комбинации
направлений четырех координатных осей: (ху), (yz), (zx),
(xt), (yt) и (zt).
Угол поворота вектора при параллельном переносе
по замкнутому контуру зависит не только от ориентации
площадки, охватываемой контуром, но и от исходного
направления самого вектора. Угол поворота и
направления поворота различных векторов, переносимых по
одному и тому же пути, не являются независимыми, а
связаны между собой тем условием, что любая группа из
нескольких векторов при параллельном переносе
поворачивается как единое целое. В четырехмерном
континууме, так же как в мире Минковского, есть шесть
основных независимых направлений вращения жестких
систем, из которых можно получить все остальные направ-
85

ления. На первый взгляд кажется, что у кривизны
должно быть 6X6 = 36 основных компонент,
соответствующих всем возможным ориентациям замкнутых путей
переноса и всем возможным способам, которыми может
поворачиваться группа жестко связанных между собой
векторов. Фактически число основных компонент
кривизны меньше, как это показывает дополнительный
анализ, и сводится к двадцати независимым друг от друга
компонентам. Дополпительный анализ заключается в
учете взаимной заменяемости различных направлений,
но едва ли он представляет интерес для читателей этой
книги.
Двадцать компонент кривизны в четырехмерном
пространстве могут быть разбиты на две группы по десять
компонент в каждой, так что это разбиение сохраняется
при любом выборе координатной системы. Одна из этих
двух групп описывает поворот векторов при
параллельном переносе по поверхности, причем этот поворот
определяется углом между рассматриваемым вектором и
другим заданным вектором; эта группа компонент
обычно называется тензором Риччи, по имени итальянского
математика Курбастро Грегорио Риччи (1853—1925).
Небольшая перегруппировка тех же самых компонент
позволяет перейти от тензора Риччи к тензору
Эйнштейна. Вторая группа из десяти компонент составляет
тензор Вейля, названный по имени математика, уроженца
Германии, Германа Вейля (1888—1955). Полный набор
всех компонент кривизны называется тензором
кривизны Римана — Кристоффеля в честь двух математиков —
Георга Ф. Б. Римана (1826—1866) и Элвина Бруно
Кристоффеля (1829—1900). Первый из них был немец, а
второй — швед; оба они независимо исследовали тензор,
названный впоследствии их именем.
Помимо разбиения кривизны на компоненты, важно
знать величину, характеризующую кривизну в целом и
определяющую конкретную физическую ситуацию.
Вместо угла поворота, отнесенного к единице площади —
нормальной меры кривизны, можно подобрать
некоторую другую меру, более близкую нашей интуиции,
например сферу, поверхность которой обладает заданной
кривизной. Чем меньше сфера, тем больше ее кривизна.
Единица кривизны представляется поверхностью, на
которой вектор единичной длины поворачивается на
НО

один радиан, когда он переносится по границе квадрата
с единичной стороной. Мы получим угол, равный одному
радиану, когда из центра круга проведем два радиуса к
концам дуги окружности, равной по длине радиусу.
Один радиан примерно равен 57°. Сфера, поверхность
которой обладает кривизной, равной единице, есть сфера,
радиус которой тоже равен единице. Сфера радиуса 2
обладает поверхностью, кривизна которой равна 1/4. Кривизна
сферы радиуса R равна 1/R2.
Перейдем теперь к полю тяготения на поверхности
Земли. Гравитационное ускорение равно круглым
числом 10 м/сек2 и это как раз и есть ускорение свободно
падающей системы отсчета относительно Земли. Если
попытаться распространить эту систему на некоторое
расстояние, другие свободно падающие пробные тела, как
выяснится, будут обладать некоторым ускорением
относительно этой' системы отсчета; это ускорение будет
пропорционально расстоянию от того места, где мы
построили исходную свободно падающую систему отсчета.
Поскольку радиус Земли составляет около 6000 км,
ускорение относительно свободно падающей системы
отсчета меняется со «скоростью» 10 м/сек2 на 6000 км
расстояния от исходного места, т. е. со «скоростью»
1,6 • 10 ~"6 сек~2. Конечно, .цифра эта весьма
приближенная.
Выберем теперь в качестве замкнутого пути для
параллельного переноса в свободно падающей системе
отсчета прямоугольник, одна пара противоположных
сторон которого пространственно подобна и вертикальна,
длина каждой стороны равна 1 м и параллельна оси х\
другая пара сторон времениподобна, горизонтальна,
«длина» их 1 сек. Если одну из двух времениподобных
сторон поместить одним концом в начало свободно
падающей системы отсчета, другая времениподобная
сторона будет находиться на расстоянии 1 м от начала, где
кажущееся гравитационное ускорение будет равно 1,6 X
><10~6 м/сек2 (рис. 40). Пусть теперь вектор а
переносится параллельно вдоль этого прямоугольника: вектор
а выберем параллельным временной оси t — таким
будет вектор скорости покоящегося пробного тела.
Параллельный перенос вдоль оси времени совсем не меняет
этого вектора (относительно свободно падающей систвхмы
отсчета), так как пробное тело, покоившееся в началь-
87

X
Направление
свободного
падения
*
Лоберяшть
оемж
иый момент времени, будет оставаться в покое. Перенос
по пространственноподобной стороне также не приносит
никаких изменений, однако перенос по третьей времени-
подобной стороне приводит к изменению скорости на
величину 1,6 • 10~6 ж]сек2 и в итоге мы получаем вектор &.
Перенос вдоль четвертой
пространственноподобной староны снова
ничего не меняет.
Таким образом, параллельный
перенос по замкнутому
контуру, охватывающему «площадь»
1 м-сек, приводит к
повороту единичного вектора на
1,6 -10~6 м/сек. Кривизна
определяется как отношение угла
поворота к охватываемой контуром
площади. Это отношение равно
1,6 -10~6 сек~2, или выраженное
через м~2, 1,5 -10~23 м~2. Переход
от секунд к метрам совершается
через значение скорости света,
равное 3 • 108 м/сек. Такая кривизна
примерно равна кривизне
поверхности сферы, радиус которой
равен приближенно 1300 световых
секунд (или двадцати световым
минутам); это расстояние чуть больше диаметра земной
орбиты при движении Земли вокруг Солнца.
Совсем недавно в связи с появлением спутников был
предложен эксперимент для прямого наблюдения
кривизны пространства-времени. Представим себе, что на
орбиту спутника выведен гироскоп; ось гироскопа с
достаточной устойчивостью будет указывать все время
одно и то же направление в пространстве. Именно это
свойство делает гироскоп важнейшим навигационным
прибором. Корабельные компасы с гироскопами стоят на
больших судах уже не один десяток лет (теперь уже
чаще, чем компасы с магнитными стрелками). Что
касается гироскопа на борту искусственного спутника Земли,
то ось гироскопа переносится физически почти по
замкнутому пути. Если предположение Эйнштейна о том, что
пространство-время искривлено тяготением, правильно,
ось гироскопа должна слегка поворачиваться поело каж-
Рис. 40. Кривизна поля
тяготения Земли.
8$

дого витка; но Этот поворот очень м&л, Ой составляет одну
стомиллионную часть (10~8) прямого угла. Если не очень
удаленный от земли спутник совершает оборот вокруг
Земли за 1,5 часа и может просуществовать год, то за это
время угол поворота составит 5 угловых секунд иды чуть
больше одной стотысячной прямого угла (10 ~5); такой
угол едва ли можно заметить. Такой эксперимент трудно
поставить и чисто провести, поскольку существует
немало посторонних воздействий, также способных повернуть
ось гироскопа; эти посторонние влияния должны быть
либо устранены, либо подсчитаны достаточно строго: нужно
выяснить, не смазывают ли они искомый эффект вообще.
(В двух лабораториях США ведется подготовка к
постановке такого эксперимента).
12. Тяготение в пространственно-временном
континууме
Если потребовать, чтобы все двадцать компонент
тензора кривизны Римана — Кристоффеля обратились в
нуль, пространство-время станет плоским и появление
поля тяготения окажется невозможным. С другой стороны,
если нет никаких ограничений на тензор кривизны,
некоторого вида ускорения могут быть приняты за поля
тяготения. Это находится в противоречии с тем
экспериментальным фактом, что поля тяготения подчиняются
вполне определенным законам (приближено являющимся
законами, которые открыл Ньютон). Законы
гравитации должны накладывать некоторые ограничения на
кривизну, однако безусловно не исключая самую
кривизну.
Как уже упоминалось выше, двадцать компонент
тензора Римана — Кристоффеля можно разбить на два
тензора ыо десять компонент в каждом. В геометрии
искривленных пространств рассматривают переходы от
одной координатной системы к другой и их влияние на
структуры, состоящие из нескольких компонент.
Возьмем обычный вектор V. Вектор — это не просто
величина, это величина, обладающая направлением; его полное
представление в четырехмерном пространстве требует
четырех компонент Vx, Vy, VZj Vt (рис. 41). Эти
компоненты представляют собой соответствующие проекции
самого вектора на четыре направления, определяемые
89

Рис. 41. Компоненты вектора в
двух лоренцевых системах от-
счета.
четырьмя координатными осями. Если одна координатная
система (х, t) заменяется на другую (х\ £'), новые
координатные оси приобретают направления, отличные от
направлений прежних осей; следовательно, в новой
координатной системе тот же самый вектор будет представлен
другим набором из четырех компонент Vx>, Vy', VZ'Vy.
На рис. 41 изображены
только направления х и
t. Однако если известны
соотношения между
исходной и новой
координатной системами (так
называемые
преобразования координат), то
существует определенное
правило арифметического
определения значений
новых компонент вектора
через старые. Это
правило называется законом преобразования компонент вектора.
Аналогичные законы преобразования приложимы к
другим геометрическим структурам, таким, например,
как тензоры.
Если взять довольно запутанную структуру, какой
будет например тензор кривизны, законы преобразования ее
компонент при преобразованиях координат будут также
довольно сложными, но вполне определенными. Если все
двадцать компонент тензора кривизны известны в одной
системе координат, их можно подсчитать в любой другой
системе координат. Но вовсе не все двадцать компонент в
одной координатной системе необходимы, чтобы найти
новые компоненты. Напротив, нужно знать лишь небольшую
часть компонент в одной системе координат, чтобы найти
соответствующие компоненты в другой. Речь идет о двух
группах компонент, известных под названием тензора
Риччи (или Эйнштейна) и тензора Вейля соответственно.
Если десять компонент тензора Риччи обращаются в нуль
в одной координатной системе, то они будут равны нулю и
во всех других координатных системах, то же самое
справедливо и для тензора Вейля.
Вейль обнаружил важное свойство тензора, названного
впоследствии его именем. Это свойство называется
конформной инвариантностью. Во всех предыдущих рассужде-
90

ниях предполагалось, что геометрия определенного
пространства-времени характеризуется инвариантным
интервалом между двумя любыми мировыми точками и что
численное значение этого интервала не меняется при
любом преобразовании координат. Так и должно быть, потому
что преобразование координат не означает ничего иного,
Рис. 42. Конформное картирование (стереографическая
проекция).
кроме изменения маркировки мировых точек; такая
операция не может влиять на геометрические свойства
пространства-времени. Но кроме преобразования координат,
существуют еще и такие преобразования, которые изменяют
самую геометрию; к таким преобразованиям относится
операция, переводящая одно пространственно-временное
многообразие в другое многообразие. Вейль рассмотрел, в
частности, конформные преобразования. При конформном
преобразовании все интервалы между парами точек,
расположенных вблизи друг друга, меняются; это изменение
состоит в умножении интервала на произвольный
множитель, который может быть разным в различных
положениях. Однако этот множитель в данной точке не зависит
от направления, определяющего положение второй
(близкой) точки относительно первой. При конформном
преобразовании углы между кривыми в точке их пересечения
остаются неизменными. При вычерчивании географических
карт так называемая стереографическая проекция (рис.42)
дает хорошо известное конформное преобразование,
которое преобразует поверхность сферы (глобус) в плоскость,
(карту).
П

Если конформное преобразование производится в
четырехмерном пространственно-временном континууме, его
геометрия изменится; так, например, плоский континуум
Минковского может быть преобразован в искривленный
континуум. Но все же один аспект
пространственно-временной геометрии конформными преобразованиями совсем
не затрагивается — сохраняется пространственноподобный,
времениподобный и светоподобный характер всех
интервалов и направлений. В частности, направления двух световых
конусов в каждой мировой точке при конформных
преобразованиях не меняются; именно это обстоятельство
побудило Вейля заняться их изучением. Он выяснил, что тензор
Риччи и тензор Вейля при конформных преобразованиях
ведут себя совсем по-разному. Тензор Риччи преобразуется
очень сложно (в частности, он может быть равен нулю до
конформцого преобразования и оказаться отличным от
нуля после); тензор Вейля не изменяется. В связи с этим
его называют иногда тензором конформной кривизны.
В теории тяготения Ньютона ускорение тяготения,
вызываемое заданной большой массой, пропорционально этой
массе и обратно пропорционально квадрату расстояния
от этой массы. Тот же самый закон можно сформулировать
немного иначе, но при этом мы получим путеводную нить
к релятивистскому закону тяготения. Эта иная
формулировка опирается на представление о гравитационном поле
как о чем-то таком, что впечатано в окрестность большой
гравитирующей массы независимо от того, есть там
пробные тела или нет. Поле можно полностью описать, задавая
в каждой точке пространства вектор, величина и
направление которого соответствуют тому гравитационному
ускорению, которое приобретает любое пробное тело,
помещенное в эту точку. Можно описать поле тяготения
графически, проводя в нем кривые, касательная к которым в каждой
точке пространства совпадает с направлением локального
поля тяготения (ускорения); эти кривые проводятся с
плотностью (определенное число кривых на единицу
площади поперечного сечения, рис. 43), равной величине
локального поля. Если рассматривается одна большая масса,
такие кривые — их называют обычно силовыми линиями —
оказываются прямыми линиями; эти прямые указывают
прямо па тело, создающее поле тяготения, как это
показано на рис. 43, а. Рис. 43, 0 соответствует полю,
создаваемому Двумя массами.
92

Обратно пропорциональная зависимость от квадрата
расстояния выражается графически следующим образом:
все силовые линии начинаются на бесконечности (на
неограниченно большом удалении от области, которая нас
интересует) и заканчиваются на больших массах. Если
плотность силовых линий равна величине ускорения,
число линий, проходящих через сферическую поверхность,
центр которой расположен на большой массе, как раз равно
а) б)
Рис. 43. Силовые линии.
плотности силовых линий, умноженной на площадь
сферической поверхности радиуса г; площадь сферической
поверхности пропорциональна квадрату ее радиуса. Таким
образом, произведение плотности силовых линий на
площадь, т. е. число пересекающих сферу кривых (силовых
линий) для всех концентрических сфер одно и то же.
Точно так же полное число силовых линий, проходящих через
любую сферическую поверхность, окружающую большую
доассу, должно быть одним и тем же; это постоянное число
пропорционально массе, которая служит источником поля
тяготения. В общем случае ньютоновский закон обратной
зависимости от квадрата расстояния может быть приведен
к такой форме, которая в равной степени пригодна для
источника тяготения в виде одной большой массы и для
произвольного распределения масс: все силовые линии
гравитационного поля начинаются на бесконечности и
оканчиваются на самих массах. Полное число силовых линий,
оканчивающихся в некоторой области, содержащей массы,
пропорционально полной массе, заключенной в этой
области. Кроме того, гравитационное поле — поле
консервативное: силовые линии не могут принимать форму замкнутых
ярищ>иц а перемещение пробцогр тела вдоль замкнутой
93

кривой не может привести ни к выигрышу, ни к потер©
энергии.
В релятивистской теории гравитации роль источников
неизбежно будет отведена комбинациям массы (или
энергии) и импульса. Распределение и поток энергии и
импульса задаются тензором энергии — импульса —
натяжений, образованного десятью компонентами и
удовлетворяющего четырем законам непрерывности (п. 6). В любой
заданной системе отсчета один из Этих четырех законов
непрерывности связывается с законом сохранения
(релятивистской) массы, три остальных — с законом сохранения
трех компонент импульса. Но в точности так же, как
масса в одной системе отсчета определяется не только массой,
но и импульсом в другой системе отсчета, так и четыре
закона непрерывности вместе образуют векторный закон,
так что справедливость одного из них в некоторой системе
отсчета может быть обеспечена только справедливостью
всех четырех вместе в какой-то другой системе.
Ньютоновский закон, касающийся силовых линий
гравитационного поля — это закон, отражающий
неоднородность гравитационного поля; когда ставится требование,
чтобы силовые линии не начинались в пустом
пространстве, тем самым накладываются определенные ограничения
на то, как должно изменяться поле при переходе от точки
к точке, но вовсе не на величину самого поля. Мало того,
переводя закон тяготения на язык силовых линий, мы
переходим уже к локальным свойствам и отвлекаемся от
расположения удаленных источников. Конечно, удаленные
источники определяют поле; но они делают это не
непосредственно, а косвенным путем* они просто определяют,
сколько силовых линий должно начинаться на
бесконечности, чтобы на источниках оканчивалось правильное
число силовых линий.
Неоднородности релятившпекого поля тяготения
описываются тензором кривизны, тогда как само поле
описывается таким же способом, каким описывается вектор,
например вектор 4-скорости частицы: задается его
изменение вдоль кривой (траектории в пространстве-времени).
По этой причине Эйнштейну показалось очень вероятным,
что релятивистский закон тяготения должен связывать
тензор кривизны или некоторые из его компонент с
тензором, описывающим поведение источников. Какие именно
компоненты тензора кривизны должны быть связаны 9 Ш*
Н

точником,— этого Эйнштейн сначала не знал. Но когда
Эйнштейн обнаружил, что некий тензор (теперь этот
тензор носит его имя), который представляет собой слегка
видоизмененный тензор Риччи, удовлетворяет четырем
законам непрерывности, причем структура этого тензора по
форме совпадает со структурой тензора энергии —
импульса — натяжений, то сомнений не оставалось.
Соответственно этому результату он постулировал, что два упомянутых
тензора пропорциональны друг другу. Коэффициент
пропорциональности определяется из требования: закон
тяготения в тензорной форме должен сводиться к
ньютоновскому закону тяготения для слабых гравитационных полей и
при малых скоростях тел; этот коэффициент
пропорциональности с точностью до мировых констант равен
постоянной тяготения Ньютона.
Этим шагом Эйнштейн завершил построение теории
тяготения, называемой иначе общей теорией
относительности. Подводя итоги, можно сказать, что эта теория
обобщает геометрическую идею Минковского о четырхмерном
пространственно-временном многообразии; в предлагаемой
теории гравитационные поля интерпретируются как
проявление кривизны многообразия. В частности, ускорение
пробных тел относительно произвольной (не свободно
падающей) системы отсчета с геометрической точки зрения
соответствует отклонению автопараллельных кривых
(которые иначе называются геодезическими) от избранных
координатных осей. Такие отклонения могут быть как в
плоском, так и в искривленном многообразии и зависят от
выбора координатной системы, и этот геометрический факт
опять-таки с физической точки зрения интерпретируется
как тождественность инерциального и гравитационного
ускорений. Истинное гравитационное ускорение отличается
от инерциального ускорения тем, что гравитационное
ускорение не может быть повсюду ликвидировано за счет
выбора системы отсчета; на геометрическом языке это
утверждение может быть пересказано так: в
искривленном пространстве не существует координатной системы,
оси которой были бы автопараллельны (т. е. были бы
геодезическими линиями) всюду.
Если допустить тождество физической идеи об
истинных гравитационных полях и геометрического
представления об искривленном многообразии, законы гравитации
должны выглядеть как ограничение, накладываемое на
95

Кривизну многообразия. Так как гравитационные поля
порождаются большими массами, а в релятивистской теории
массы наилучшим образом описываются тензором
энергии — импульса — натяжений, состоящим из десяти
компонент, наиболее естественным выражением любого закона
тяготения будет некоторая связь между тензором
энергии — импульса — натяжений и кривизной. Тензор
Эйнштейна привлек к себе внимание потому, что законы его
преобразования совпадают с законами преобразования
тензора энергии — импульса — натяжений (отнюдь не все
тензоры имеют одинаковые законы преобразований^ а у
этих двух тензоров законы преобразования оказались
одинаковыми), и еще потому, что, точно так же как тензор
энергии — импульса — натяжений, он удовлетворяет
четырем уравнениям непрерывности. Следовательно, если мы
относим гравитационное поле к известным источникам
гравитации — массам, выдвигая условие пропорциональности
между тензором энергии — импульса — натяжений и
тензором Эйнштейна, эта пропорциональность будет
сохраняться во всех мыслимых системах координат, причем во
всех системах координат ее форма не изменится. Тем
самым принцип общей ковариантности автоматически
выполнен. Наконец, Эйнштейну удалось показать, что в том
случае, когда массивные тела движутся относительно друг
друга с нерелятивистскими скоростями (это означает, что
относительные скорости тел малы по сравнению со
скоростью света) и когда кривизна незначительна (это
означает, чтр радиус кривизны повсюду велик по сравнению
с расстоянием между тяготеющими массами), из его
законов тяготения получаются результаты, практически
совпадающие с результатами теории тяготения Ньютона.
В астрономии мы обычно имеем дело со случаем, когда
массивные тела взаимодействуют друг с другом через
необозримое пустое пространство; тогда тензор энергии —
импульса — натяжений отличен от нуля только внутри
массивных тел, а во всем остальном пространстве он
обращается в нуль. Точно так же тензор Эйнштейна должен
повсюду обращаться в нуль, за исключением областей,
занимаемых самими звездами. Но поскольку в любой точке
полная кривизна состоит из двух тензоров — тензора
Эйнштейна и тензора Вейля, она вовсе не обязана обращаться
в нуль даже в том случае, когда обращается в нуль тензор
Эйнштейна. Таким образом, истинное гравитационное поле
96

существует даже в пустом пространстве, разделяющем
тяготеющие массы, как это и имеет место в
действительности.
Эйнштейн сформулировал свой закон гравитации так,
чтобы объединить два закона непрерывности энергии и
импульса. Для любой изолированной физической системы
сохранение импульса равносильно сохранению скорости
центра инерции этой системы. Такая система подчиняется
закону инерции Ньютона. Таким образом, хотя общая
теория относительности отрицает применимость
представления об инерциальных системах отсчета при наличии
гравитационных полей, изолированная физическая система,
рассматриваемая издалека, все же подчиняется принципу
инерции, который в свое время позволил построить инер-
циальвые системы отсчета. Если бы Вселенная состояла
из вещества, сконденсированного в некоторой области,
окруженной неограниченно простирающимся пустым
пространством, в котором гравитационные поля быстро
убывают, общая теория относительности допускала бы
возможность построения инерциальной системы отсчета, по
крайней мере асимптотически в областях, достаточно
удаленных от скопления масс. Современные астрономические
данные отнюдь не говорят в пользу такой картины
«островной» Вселенной.
Очень незначительная кривизна
пространства-времени приводит к тому, что предсказания общей теории
относительности весьма мало отличаются от предсказаний
теории, построенной по образцу релятивистской (в смысле
специальной теории относительности) электромагнитной
теории. Принцип эквивалентности, согласно которому
инертная и гравитационная массы равны друг другу у всех
физических объектов, прочно заложен в основы общей
теорий относительности. Этот принцип нельзя' изъять из
теории, не разрушив ее нацело. Для медленных движений
и умеренных полей тяготения новые уравнения очень
близки к формулам ньютоновской теории, причем их
расхождения настолько несущественны, что по астрономическим
наблюдениям могут сказаться лишь в смещении перигелия
Меркурия.
Другие эффекты, предсказываемые новой теорией,
могут наблюдаться только в очень специальных условиях,
когда массивные тела движутся со скоростями, близкими
к скорости света, или при наличии столь больших масс,
П.

Что обусловливаемая ими кривизна
пространства-времени описывается весьма малым радиусом, незначительно
превышающим радиус самого тела. Ни один из этих
эффектов наблюдать до сих пор не удалось, но астрономы
считают, что с такими условиями мы можем
встретиться в других областях Вселенной.
13. Решение Шварцшилъда
Уже через несколько месяцев после того, как Эйнштейн
опубликовал свои уравнения гравитации, немецкий
астроном Карл Шварцшильд (1873—1916) сумел получить
первое «строгое» решение этих уравнений — решение, которое
не было аппроксимацией и не было связано ни с какими
предположениями о «силе» или «слабости» полей. Решение
Шварцшилъда описывает гравитационное поле одной
сферической массы в окружающем эту массу пространстве;
на достаточном удалении от этой массы решение переходит
в классический закон тяготения (закон обратной
пропорциональности квадрату расстояния). Практически, если
источником гравитационного поля служит небесное тело
умеренного размера и умеренной плотности, шварцшильдовское
решение будет неотличимо от ньютоновского. И лишь в том
случае, когда масса источника гравитационного поля будет
настолько сильно сжата, что на поверхности тела
возникнут «сильные» гравитационные поля, возникают новые
интересные явления, которые уже можно обнаружить.
Но что значит «сильные» поля? Если что-нибудь и
можно понять из физики и астрономии, то только то,
что сам человек со всем его опытом и знаниями с трудом
выбирает подходящую меру для выяснения того, что
значит «сильный» и что значит «слабый». Слов нет, небесные
тела очень велики по сравнению с теми объектами, с
которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, но Земля
уже ничтожно мала по сравнению с неподвижными
звездами, а неподвижные звезды теряются среди необъятных
галактик. И еще. Человек представляется непостижимо
громадным по сравнению с бактерией, бактерия кажется
громадной по сравнению с вирусом, а вирус —
колоссальным по сравнению с атомом. Из всего этого следует лишь то,
что значение гравитационного поля на поверхности Земли
ни в коем случае не может служить стандартом величины
98

гравитационного поля. Но в любом случае, если что-нибудь
и существенно в гравитационном поле, то не столько
величина гравитационного поля сама по себе, т. ё.
ускорение пробного тела в данном месте (потому что
оно просто зависит от выбора четырехмерной
координатной системы), сколько возникающая при этом кривизна
(рис. 44). В свою очередь кривизну можно описывать
с помощью радиуса кривизны
(радиус кривизны — это радиус сферы,
обладающей такой же кривизной),
который тем больше, чем меньше
кривизна, и наоборот. Поле
тяготения следует считать «сильным»,
если радиус кривизны не слишком
велик по сравнению с
геометрическими размерами рассматриваемого
объекта. Если всю массу Земли скон
центрировать в точке, так что поле
тяготения будет все время возрастать
при приближении к центру, радиус
кривизны пространства-времени
приблизится к центру, где
сконцентрирована масса, на расстоянии 1 см,
Если точно таким же образом
сконцентрировать в точку всю массу
Солнца, кривизна станет заметной,
. в том же самом смысле, на расетоя- ис' 44' [,Ривизна шварц-
. А ^ шильоовского поля.
нии около 1 км от центра. В обоих
этих случаях речь идет об области,
в которой радиус кривизны
становится равным радиусу Шварцшильда или, как это чаще пишут
в русской литературе, гравитационному радиусу,
отнесенному соответственно к массе Земли или Солнца (см.
Дополнение 4). Сфера, описанная около большой массы, радиус
которой равен гравитационному, называется сферой
Шварцшильда.
Можно подойти к гравитационному радиусу и с
несколько иной стороны. С тех пор как с поверхности
Земли стали подниматься ракеты, понятие скорости отрыва
(второй космической скорости) стало очень популярным.
Скоростью отрыва называют скорость, которую нужно
сообщить космическому кораблю, чтобы он мог уйти из
окрестности Земли в свободном (т. е. без участия двигателей)
Расстояние по pafai/ct/
99

полете (рис 45). Гравитационный радиус
определяет такое расстояние от центра Земли, скорость отрыва
для которого приближается к скорости света. Этот радиус
можно найти, не прибегая к теории относительности
вообще (чтобы не отвлекать внимания читателя
математическими подробностями, этот расчет вынесен в
Дополнение 4). Гравитационный
радиус R для (сферического) тела
массы М определяется
формулой
R = ^M.
с2
Как всегда через с
обозначена скорость света в пустоте;
константа % называется
постоянной тяготения Ньютона; она
равна силе, с которой две
массы, по 1 г каждая, притягивают
друг друга, если расстояние
между ними равно 1 см. Эта
сила оказывается меньше одной
десятимиллионной доли дины —
силы, которая массе в 1 г
сообщает ускорение 1 см/сек2. Что
случится, если мы приблизимся к гравитационному
радиусу достаточно плотной массы? Этот вопрос далеко не
праздный. Из рис. 46 и 47 можно видеть, что при
достаточно большой общей массе не трэбуется чрезвычайно
большой средней плотности массы, чтобы гравитационный
радиус оказался вне пределов звезды, т. е. в пустом
пространстве. На рис. 46 приводится зависимость
гравитационного радиуса от радиуса сферы, в которой заключена,
масса (средняя плотность этой массы предполагается
равной плотности воды при нормальных земных
условиях). Оба эти радиуса становятся равными, когда полная
масса принимает значение 108 солнечных масс. На рис. 47
приведена плотность, нобходимая для того, чтобы
вывести гравитационный радиус за пределы звезды в
зависимости от полной массы звезды; для массы, равной массе
Солнца, требуемая плотность в 1016 раз больше
плотности воды и примерно равна плотности вещества внутри
атомных ядер. Чтобы необходимая плотность стала рав-
ittSST Расстояние
мширадиус
Рис. 45. Зависимость
скорости отрыва от
расстояния от центра большой
точечной массы (согласно
механике Ньютона).
100

ной плотности вещества в обычных земных условиях,
полная масса должна занимать в пространстве область,
сравнимую с размерами Галактики. Реально в Галактике
вещество распределено по столь обширному пространству,
что кривизна пространства-времени нигде не имеет
заметной величины/ Однако квазизвездные объекты,
обнаруженные в 1963 г. австралийским астрономом К.
Хаза рдом и группой астрономов из Калифорнии, и
некоторые из объектов, которые были первоначально окрещены
Радиус meja
Рис. 46. Зависимость
гравитационного радиуса массивного
тела от его фактического
радиуса при постоянной
плотности массы, равной
плотности воды в нормальных
земных условиях.
i
I
1
1
I
Полная масса
Рис. 47. Плотность массы как
функция полной массы, если
гравитационный радиус равен
радиусу массивного тела.
рабочим термином «примазавшиеся» (они были
открыты Алланом Сендеджем и его группой годом позже),
могут иметь столь значительную массу, что
обусловленная ими кривизна пространства станет уже вполне
заметной. Квазары, или квазизвездные объекты, представляют
собой очень яркие объекты с большим красным
смещением в спектре, обладающие мощным
радиоизлучением. «Примазавшиеся» напоминают квазары в области
видимого света, но их радиоизлучение мало по
сравнению с квазарами. В насюящее время расстояние до
квазаров, а следовательно, и их размеры служат предметом
спора; и лишь тогда, когда массы и размеры квазаров будут
достаточно известны, кривизна пространства-времени
101

вблизи их границы может быть более или менее аккуратно
определена.
Независимо от того, как можно реализовать этот
случай, расмотрим гипотетическую ситуацию: большую массу
при очень высокой плотности, так что гравитационный
радиус этой массы оказывается вне ее или по крайней мере
близко к границе тела. Что предсказывает в этом случае
общая теория относительности? Пока наблюдения
ограничены областью, достаточно
удаленной от массивного тела и
выходящей за гравитационный
радиус, тяготеющая масса будет
вести себя так, как она должна вести
себя согласно ньютоновской
физике; малые тела притягиваются
к массе, и их траектории будут
ли£>о открытыми (они будут на-
Рис. 48. Эллиптические чинаться на бесконечности иухо-
орбиты планет и сме- дить на бесконечность), либо бу-
щение перигелия. дуТ замкнутыми —
эллиптическими. Согласно механике теории
относительности эти эллипсы не
остаются неподвижными в пространстве, как это следует
из теории Ньютона, а медленно поворачиваются в
пространстве; этот поворот становится заметным лишь за очень
большое число периодов обращения (рис. 48). Этот
медленный поворот, так называемое смещение перигелия,
был действительно обнаружен у орбиты Меркурия; только
для этой планетарной орбиты общая теория
относительности предсказывает смещение, достаточное для его
обнаружения. Более поздняя работа Дикке показала, однако,
что согласие между теоретическими предсказаниями и
данными наблюдений за смещением перигелия Меркурия
хуже, чем это считалось раньше.
Теория предсказывает еще, что спектральные линии
для излучения, испускаемого вблизи больших масс, будут
несколько смещены в сторону более низких частот по
сравнению со спектральными линиями того же излучения,
возникающего в каком-либо другом месте. Этот результат
представляет собой частный случай более общего
утверждения, состоящего в том, что все процессы, происходящие
вблизи массивных тел, идут замедленно. Изменение
спектральной частоты пропорционально ньютоновскому
потенциям

алу и, следовательно, обратно пропорционально
расстоянию от центра большой массы; это изменение частот
известно под названием гравитационного красного смещения,
^ак как уменьшение частоты приводит к изменению
окраски света в направлении к красной части спектра. Вообще
говоря* может быть кай красное, так и голубое
смещение спектральных линий, вызванное другими причинами*
а не Только гравитацией. Например, так мо^кет случиться
при быстром движении источника света (это явление
известно как допплеровское смещение). Прилагательное
«гравитационное» подчеркивает, что красное смещение
возникает из-за того, что источник света расположен
в сильном гравитационном поле массивного источника*
В 1960 г. Р. Паунду (Гарвардский университет) удалось
продемонстрировать в лаборатории красное смещение,
вызванное гравитационным полем Земли. До этого красное
смещение наблюдалось лишь в спектрах очень плотных
звезд, носящих название белых карликов. Этот эффект
наблюдался также и в солнечном спектре; однако здесь
он настолько мал, что частично перекрывается многими
другими эффектами, возникающими при излучении света
в атмосфере Солнца.
Если бы удалось поднести источник света совсем
близко к сильно сжатой массе, уменьшение частоты
завершилось бы полной остановкой колебаний при достижении
гравитационного радиуса. Конечно, это явление
невозможно наблюдать без достаточно сконцентрированной массы,
но нет никаких оснований сомневаться в том, что такую
остановку колебаний в подходящих условиях наблюдать
можно.
В непосредственной близости от большой массы все
расстояния также будут изменены. Проведем
концентрические сферические поверхности около большой массы
и будем различать сферы по площади их поверхности.
В привычном для нас плоском пространстве площадь
сферической поверхности равна квадрату радиуса сферы,
умноженному на 4я. Обратно, зная поверхность двух
концентрических сфер, нетрудно вычислить расстояние между
ними. Однако такое простое соотношение вблизи
гравитационного радиуса уже не имеет места: расстояние Между
двумя сферическими поверхностями оказывается уже
больше, чем это было в том случае, когда кривизна равнялась
нулю. Очень трудно изобразить трехмерное или четырех-
103

мерное искривленное пространство, поэтому на рис. 49 тт 50
показаны аналогичные связи для двумерного
искривленного пространства — сферы, на которой проведены
концентрические окружности. Расстояния между окружностями
с воврастающей длиной дуги на сфере больше, чем на
плоскости (длина окружности в этом примере играет ту же
роль, что и площадь сферы для сферы в трех измерениях).
Рис. 49. Концентриче- Рис. 50. Длина окружно-
ские окружности и их сти в зависимости от ра-
радиусы на сфере. диуса на плоскости и на
сфере.
Займемся теперь свободным падением частицы; мы нач-.
нем с некоторого достаточно далекого расстояния от
большой массы и приблизимся до расстояний, близких к
гравитационному радиусу. Если в начальный момент пробное
тело покоилось, то в первое время его скорость будет
увеличиваться так, как это происходит при падении тела с
малой массой на тело с большой массой. Целесообразно
измерять скорость падающего тела, отмечая те сферические
поверхности, которые пересекает это пробное тело при
своем движении; в качестве единицы времени удобно
использовать единицы времени внешнего наблюдателя,
остающегося в покое на достаточном удалении. Спустя некоторое
время скорость падающего тела уже не будет
увеличиваться; тело будет даже замедляться, поскольку его движение
будет определяться уже локальными условиями. Когда
пробное тело начнет приближаться к гравитационному
радиусу (рис. 51), ему нушно будет проходить все большее
и большее расстояние между концентрическими сферами;
это движение определяется локальным временем, которое
104

течет медленнее, чем время внешнего наблюдателя. Оба
эти обстоятельства действуют в одном и том же
направлении; в конечном счете скорость частицы настолько
замедляется, что частица никогда не сможет достичь сферы
Шварцшильда.
Но не только частицы испытывают торможение,
уменьшается даже и сама скорость света. Теория показывает,
Ньютоновская
зависимость

Релятивистская
зависимость^
Начало
свобод/юг*
падение
i

Гравитационныйрадиус
Расстояние от большой массу
Рис. 51. Скорость
свободно падающей частицы
как функция времени
внешнего наблюдателя.
'на срере Шарцшильаа
Начала
Гравитацит\рвобооного
/т/йрааирс \^па0е//ия
Расстояние о/я большой массы
Рис. 52. Скорость свободно па*
падающей частицы, как функ*
ция собственного времени
свободно падающего тела.
что световой импульс, возникший в любой точке
пространства, расположенной за сферой Шварцшильда большой
массы, сможет достичь этой сферы только за бесконечно
большое время. Если бы удалось поставить зеркало,
отражающее свет, где-нибудь вблизи сферы Шварцшильда (но
с внешней стороны) и направить извне световой импульс
на это зеркало, то пришлось бы довольно долго ждать,
прежде чем отраженный свет вернулся бы обратно. Эта
задержка неограниченно возрастала бы, если бы мы
последовательно передвигали зеркало все ближе и ближе к
сфере Шварцшильда. По тем же причинам внешний
наблюдатель никогда не смог бы увидеть событие (получить
информацию о нем), наступившее внутри сферы
Шварцшильда: световой сигнал, испущенный при наступлении
события, никогда не дошел бы до внешнего наблюдателя
за конечное время.
Движение материальных тел и световых сигналов
выглядит таким образом лишь для внешнего наблюдателя, ко-
105

торый остается в неизменном состоянии. Но что увидит
наблюдатель, связанный со свободно падающей частицей?
Как это ни странно, такой наблюдатель сумеет достичь и
пересечь сферу Шварцшильда за конечное время (рис. 52).
На первый взгляд эти два результата находятся в
противоречии друг с другом. Но оно объясняется просто
неотчетливым использованием понятия «время». Наблюдатель,
сам находящийся в свободном падении, в качестве эталона
времени использует свои часы, которые окажутся вместе
с ним в области, где все процессы замедляются. Он
обнаружит, что добрался до сферы Шварцшильда за время,
которое по часам на его руке отсчитывается неполным
оборотом часовой стрелки. С другой стороны, находящийся в
стационарных условиях наблюдатель, которому необходимо
сравнить темп определенных неподвижных часов,
расположенных просто ближе к сфере Шварцшильда, чем он сам,
поступает очень просто: он сравнивает показания этих
часов с показаниями своих. Он обнаруживает при этом,
что стрелка часов на его руке совершила несколько
оборотов за то же самое время, за которое стрелка часов,
удаленных от него, сделала всего-навсего один оборот.
Таким образом, он установит, что «далекие» часы
(которые вовсе не падают, а остаются на месте) отстают.
Чтобы определить время, когда падающая частица
проходит через ту или иную сферическую поверхность (или
любую маркированную точку), неподвижный наблюдатель
должен применить какую-нибудь «военную хитрость». Он
может, например, произвести ряд измерений с помощью
зеркала; из этих измерений он выяснит, сколько времени
нужно, чтобы свет проделал путь туда и обратно от точки,
где он находится сдм, и до любой удаленной от него точки.
Время для распространения света «туда» можно будет
принять равным половине времени распространения «туда и
обратно». После этого можно уже визуально следить за
свободным падением частицы. В конце концрв
наблюдатель скорректирует замеченные им моменты времени,
когда частица оказывается в нужных точках, с помощью
полученных предварительно значений времени
распространения света от этих точек до него.
Другая возможность состоит в том, что неподвижный
наблюдатель использует в качестве пробной частицы
идеально упругий резиновый мяч, который упруго отражается
от любой закрепленной поверхности без потери скорости.
109

Если расставить отражающие стенки в различных местах
и определить время, которое необходимо, чтобы мяч упал
на стенку, а затем возвратился обратно, можно избежать
использования световых сигналов, которые уходят на
слишком уже большие расстояния. Но какой бы метод
мы ни применили, результат останется неизменным:
неподвижный внешний наблюдатель всегда обнаружит, что
частице нужно бесконечно болкшое время, чтобы достичь
сферы Шварцшильда.
14. Внутри шварцшилъдовской сферы
Хотя, согласно данным внешнего наблюдателя,
частица никогда не достигнет сферы Шварцшильда и никакой
световой сигнал не может в конечное время пересечь эту
сферу, свободно падающему наблюдателю нужен конечный
интервал его собственного времени, чтобы проникнуть в
область внутри шварцшильдовской сферы. В связи с этим
отнюдь не безынтересно выяснить, какие приключения
ожидают отважного наблюдателя, рискнувшего самому
прыгнуть в бездну, а не довольствоваться показаниями
приборов. Итак, посмотрим, что скажет на этот счет
теория.
Не забудем, что этот фантастический проект не
представляет никакого интереса с точки зрения теории, если
только гравитирующая масса не сжата до такой степени,
что ее шварцшильдовская сфера лежит уже в пустом
пространстве. У обычных небесных тел не обнаружится
никаких «экзотических» явлений, связанных с
существованием сферы Шварцшильда. Чтобы проиллюстрировать это
обстоятельство, на рис. 53 приведена зависимость
величины красного смещения для двух случаев: когда вся масса
сконцентрирована в центре в одной точке (а) и когда она
распределена по конечному объему, выходящему за шварц-
шильдовскую сферу (Ь). Дело вовсе не в том, что
размазанное по пространству вещество будет чисто механически
мешать проведению наблюдений в районе, где проходит
сфера Шварцшильда, не позволяя приборам проникать
через звездную материю. Даже если бы удалось прорыть
тоннель через все протяженное небесное тело, никаких
удивительных явлений в районе, где (номинально) проходит
сфера Шварцшильда обнаружить не удалось бы, потому
что вовсе не все вещество, образующее тело, участвует в
107.

этом случае в создании кривизны внутрештих областей
тела. На рис. 54 изображено возрастание кривизны
пространства-времени при приближении к центру вещества,
размазанного по сфере; сравните этот рисунок с рис. 44,
Рис. 53. Зависимость
красного смещения от
расстояния.
|
Расстояние от центра
Рис. 54. Кривизна
пространства-времени для
протяженного тела.
где предполагалось, что вся масса вещества
сосредоточена в центре.
На рис. 55 изображены условия, которые возникают
в том случае, если все вещество сосредоточено в центре;
конечно, такая схема в любом случае дает весьма
идеализированную картину. На рисунке указано только одно
пространственное направление (радиальное направление,
проходящее через центр) и одно временное. На этом рисунке
выбран переменный маспг^б, так что d каждой точке луч
света, идущий наружу или внутрь, предотавляется прямой
линией, направленной под углом 45° к вертикали. Любое
направление, лежащее между этими биссектрисами и
вертикальным направлением, времениподобно; любое
направление, более пологое* чем эти биссектрисы, пространствен-
ноподобно. Точки, лежащие на равных расстояниях от
центра, находятся не на вертикальных линиях, а на кривых,
которые выглядят, как гиперболы. Точки, дающие «одно
и то же время» лежат на кривых, проходящих через одну
И ту же точку; эта особая точка представляет собой
радиус шварцшильдовской сферы для всех конечных времен.
Две линии, выходящие из этой точки и направленные под
углом в 45° вправо, представляют собой радиус сферы
Шварцшильда в бесконечно удаленном будущем и
бесконечно удаленном прошлом. Эти две линии ограничивают
сегмент пространства-времени, который можно считать
108

за внешпгою область относительно шварцшильдовской
сферы; лишь эта область, внешняя относительно сферы
Шварцшильда, доступна наблюдению извне путем
двусторонней посылки сигналов.
Пунктиром намечена кривая, которая могла бы быть
мировой линией частицы; в любой точке наклон этой
кривой имеет времениподобное направление. В силу чисто
графических ограничений рис. 55 эта траектория
представляет чисто радиальное движение — прямо к центру
Рис. 55. Геометрия вблизи шварцшильдовской
сферы»
или от него. Часть траектории проходит через двусторон-
не доступную область вне шварцшильдовской сферы.
Любая из кривых, лежащая в доступной области и
соответствующая постоянному значению г, вполне пригодна для
того, чтобы поместить на ней стационарного наблюдателя.
Любой такой наблюдатель может послать световой сигнал
в произвольную часть траектории материальной частицы
и позже получить отраженный сигнал обратно; таким
образом, он может поддерживать двустороннюю связь
с материальной частицей. Но двусторонняя связь
нарушается в двух точках, в которых материальная частица
пересекает сферу Шварцшильда: один раз, когда она
входит под сферу, другой — когда она выходит наружу.
Наблюдатель может наблюдать тот момент, когда частица
выйдет из сферы Шварцшильда, хотя он сам не может
приветствовать это событие сигналом. Наоборот, сигнал,
посланный наблюдателем, придет к частице в тот момент,
когда она скрывается за шварцшильдовской сферой;
109

однако нет никакого способа, чтобы сигнал, указывающий
«погружение» частицы, достиг наблюдателя.
Внутри сферы Шварцшильда имеются две
отличающиеся друг от друга области, которые можно назвать
«внутренней областью прошлого» и «внутренней
областью будущего». Стационарный наблюдатель может
видеть события, происходящие впервой области (внутренняя
область прошлого), и можег посылать сигналы во вторую
область (внутренняя область будущего), но не наоборот.
Никакой сигнал из внутренней области будущего не
может попасть в область вне сферы Шварцшильда. Третья
область внутри сферы Шварцшильда абсолютно
недоступна световым сигналом ни по какому направлению.
Из-за очень сильного искажения, обусловленного
переменными масштабами на рис. 55, границы
заштрихованных областей, обозначенных словами «центр»,
представляют особую точку — центр. Бессмысленно
рассматривать эту точку «в течение» времени, так как время не
имеет привычного смысла под сферой Шварцшильда.
Что касается внешнего стационарного наблюдателя, то
ему понадобится бесконечное время, чтобы дотянуться
до сферы Шварцшильда; он не в состоянии придать
осмысленную отметку времени тому, что происходит под
сферой Шварцшильда. Он просто изолирован от того,
что находится под сферой Шварцшильда, тем, что
называется горизонтом событий: он не может установить
двустороннюю связь с любым наблюдателем,
находящимся внутри, ни световыми сигналами, ни каким-либо
другим способом. Внешнего наблюдателя либо нельзя будет
увидеть, либо он сам не будет видеть, в зависимости от
того, где находится его коллега — во внутренней области
будущего или прошедшего (в следующем пункте мы
продолжим обсуждение вопроса о горизонте событий).
Но что будет с наблюдателем, который падает на
сферу Шварцшильда, а затем уходит под нее? Как уже
говорилось, он дойдет до сферы за конечное время; часы
на его руке отметят конечное число секунд, прошедших
с начала его путешествия. Как только он попадет по
внутреннюю область будущего, он сможет видеть
внешнюю область, хотя он будет лишен возможности послать
туда какие-либо сигналы. Когда он будет пересекать
сферу Шварцшильда, никаких особых явлений он не
обнаружит. Все вокруг покажется ему вполне обычным.
110

Как только наблюдатель станет приближаться к центру,
кривизна пространства-времени начнет увеличиваться;
она станет бесконечной, когда он подойдет вплотную
к центру, и центральная область будет казаться ему
«аномальной» во многих отношениях. То, что он не
может послать сигнал наружу, оказавшись внутри сферы
Шварцшильда, будет ему совсем неочевидно. Сигналы,
которые он посылает, будут с его точки зрения
распространяться нормально. Они не смогут попасть во
внешнюю область только потому, что эта внешняя область,
как ему кажется, удаляется от него со скоростью света.
Именно поэтому его световые сигналы не могут достичь
границы. Но так как эта граница ничем особенным не
выделена, он не может обнаружить движение этой
границы от него. Если он обратит внимание на своего
коллегу — стационарного наблюдателя, который не
пожелал сопровождать его при падении внутрь, он отметит,
что часы его коллеги идут все медленнее и медленнее,
однако они не остановятся совсем. Обратно, если
стационарный наблюдатель взглянет на часы своего
падающего друга, то он обнаружит, что его часы идут все
медленнее и медленнее и никогда не покажут тот момент,
когда падающий наблюдатель пересечет сферу
Шварцшильда.
15. Горизонты событий
О горизонтах событий в дорелятивистской физике
ничего не знали, но в релятивистской физике — это
вещь обычная. Мы встречаемся с горизонтами событий
даже тогда, когда никаких полей тяготения нет и в
помине. Речь идет о двух наблюдателях, участвующих в
специально подобранных ускоренных движениях. На
рис. 56, где указаны координаты х и £, проведены
мировые линии двух наблюдателей, которые удаляются друг
от друга с ускорением. Ни один из них не будет в
состоянии увидеть другого, если каждый и;з них
движется с постоянным ускорением и так, что направления
ускорения этих наблюдателей противоположны. Для
этого нужно только, чтобы светоподобная прямая не
пересекала обе траектории. Если в некоторый момент
времени расстояние между двумя наблюдателями было рав-
цо D и каждый из них имел постоянное ускорение, то
W

картина, изображенная на рис. 56, будет иметь место
при услокии, что произведение ускорения наблюдателей
на величину D больше удвоенного квадрата скорости
света. Это условие выполняется, например, если
ускорение каждого из наблюдателей будет равно примерно
ускорению силы тяжести на поверхности Земли
Рис. Ш. Два наблюдателя, движущихся с ускорен
нием.
(ft) м/сек2), а исходное расстояние между обоими
наблюдателями будет больше двух световых лет.
Но есть и другие виды горизонта событий. Мы снова
разберем случай, когда гравитационного поля нет. Пусть
один из наблюдателей движется без ускорения, а
другой — с ускорением. Из рис. 57 видно, что наблюдатель
О 2, движущийся без ускорения, не увидит сначала
наблюдателя 01, но зато сможет его увидеть после
момента времени В (кривая на рисунке — гипербола). Он
может дать знать о себе своему коллеге, но только в том
случае, если он пошлет сигнал до того, как наступит
момент времени В. Позже он станет для своего коллеги
уже невидимым. В промежутке времени между
моментами А и В он не может ни послать, ни получить
никаких сигналов. С другой стороны, наблюдатель,
движущийся с ускорением, в любой момент видит своего
коллегу и может посылать ему сигналы; однако все его
наблюдения ограничены историей наблюдателя
движущегося без ускорения, до момента А, а вое сигналы 0\,
посланные наблюдателю 02, попадут к нему лишь после
момента времени В,
№

Для обоих наблюдателей горизонт событий не
проявляется в виде неожиданного включения или выключения
связи. Например, когда наблюдатель 02 начинает в
момент В видеть свет, посылаемый наблюдателем 0\, то
сначала ему кажется, что никакого света нет, а затем
интенсивность света быстро возрастает до конечного
значения. Но это нарастание всегда плавное.
Вообще говоря, горизонт событий появляется в тех
случаях, когда на траектории какого-то наблюдателя или
какого-то объекта либо световой конус прошедшего, либо
световой конус будущего не
перекрывает всех частей мира
(Вселенной). В плоской Вселенной
Минковского световые конуеы,
связанные с любым инерциальным
наблюдателем, фактически
перекроют всю Вселенную
Минковского, потому что световой конус
прошлого, связанный с
инерциальным наблюдателем, уже обладает
таким свойством. Инерциальный
наблюдатель рано или поздно
сможет увидеть любое событие
независимо от того, где и когда
оно наступило, потому что
световой конус будущего также
перекрывает всю Вселенную; инер-
циального наблюдателя или любой
объект, движущийся без ускорения, можно увидеть из
любой точки и в любой момент времени (рис. 58 и 59).
Из рис. 56 и 57 можно понять, что, когда наблюдатель
движется с ускорением (неинерциальный наблюдатель),
связанные с ним световые конусы могут и не перекрывать
всю Вселенную, так что такой наблюдатель увидит совсем
не все; точно так же объект, движущийся ускоренно, для
некоторых наблюдателей может оказаться невидимым
все время или в некоторые промежутки времени.
Когда есть гравитационное поле, ситуация похожа на
то, что происходит в пространстве-времени
Минковского, однако она усложняется тем, что наблюдатель может
быть «в покое», и все же не в свободно падающей системе.
В этих условиях может случиться даже так, что два
наблюдателя, которые находятся в свободно падающей сис-
наблюда-
которых
Рис. 57. Два
теля, один из
движется с ускорением,
второй связан с инер-
циалъной системой от*
счета.
№

теме, оказываются впе предела событий каждого. В шварц-
шильдовском гравитационном поле, создаваемом одной
большой массой, покоящийся наблюдатель, находящийся
вне сферы Шварцшильда, не может установить связи ни с
какой областью под сферой Шварцшильда; однако это
Рис. 58. «Световой конус прошлого» инерциалъного
наблюдателя.
Рис. 59. «Световой конус будущего» инерциалъного
наблюдателя.
вполне доступно свободно падающему наблюдателю, если
он движется точно по радиусу. Особый случай
представляет движение наблюдателя по круговой орбите вокруг
большой массы; это движение является свободным падением
на траектории типа орбиты планет. Для такого
наблюдателя расстояние от центральной массы остается
неизменным, в точности так же, как и для стационарного
наблюдателя, и он также не в состоянии установить связь с об-
Ш

лаетыо под сферой Шварцшильда. Этот пример
показывает нам, что по отношению к горизонту событий свободно
падающий наблюдатель совсем непохож на инерциального
наблюдателя во Вселенной Минковского. •
Наша жизнь протекает в условиях слабого
гравитационного поля, поэтому рассуждения о горизопте событий
могут показаться забавой теоретиков, не имеющей
никакого отношения к реальной астрономии. Но это совсем не
так. Можно думать, что горизонт событий окажется
существенным для двух случаев: при катастрофическом
коллапсе очень больших масс и для возможности
наблюдения на космологических расстояниях, сравнимых с
размерами всей Вселенной в целом.

111. Последние достижения
16. Гравитационный коллапс
В 1939 г. Эйнштейн опубликовал работу, в которой
он пытался доказать, что вещество нельзя
сконденсировать так, чтобы сфера Шварцшильда оказалась вне грави-
тирующего тела и тем самым стала физической
реальностью. В том же самом году Роберт Оппенгеймер (1904—
1967), работавший в то время в Калифорнийском
университете, вместе с двумя своими сотрудниками показал, что
всякая концентрация вещества, общая масса которого
довольно умеренно превышает массу Солнца, не может
находиться в состоянии устойчивого равновесия, а будет
продолжать конденсироваться, уменьшаясь в своих
размерах, за счет гравитационного притяжения; в конечном
счете это сжатие перейдет в катаклитический коллапс
под шварцшильдовскую сферу. Ъсе случаи —
стабильность, нарастающее уплотнение и коллапс очень
больших масс — можно найти в природе. В 1963 г.
радиоастрономы, сочетая свои методы с методами спектрального
анализа, обнаружили астрономргческие объекты,
обладающие, судя по всему, чрезвычайно большими массами. Эти
объекты получили название квазизвезбных объектов или
квазаров. Это открытие снова привлекло внимание
астрономов, специалистов по космологии и общей теории
относительности к вопросам, поднятым в свое время
Эйнштейном и Оппенгеймером.
Оппенгеймер и его соавторы постулировали
возможность существования различных типов конденсированной
материи, для которых были предложены различные связи
между степенью конденсации вещества и давлением.
Такие связи, которые принято называть уравнениями состоя-
ния вещества, выглядели вполне разумными в свете того,
что было известно в то время или предполагалось о сверх-
116

плотном веществе. Оппенгеймер обнаружил, что ни одно
из его предположений не позволяет получить давления,
достаточного, чтобы противостоять силам гравитационного
сжатия, которые в звездах с большой массой тянут внутрь
вещество своих внешних слоев. Согласно релятивистским
уравнениям (впрочем, также обстоит дело и б
ньютоновской теории) гравитационное притяжение растет с
приближением поверхности тела к центру; но с возрастанием
плотности возрастает также и давление. У объектов
умеренного размера и массы ;)то давление не позволяет
уплотнению, обусловленному силами притяжения, идти
безгранично далеко. В конце концов достигается
равновесие, при котором на любом удалении от центра давления
как раз хватает на то, чтобы сдерживать гравитационное
притяжение, включающее в себя тяжесть всех внешних
по отношению к сфере этого радиуса слоев. Как только
такое равновесие установилось, никаких изменений
давления или плотности с течением времени уже не
происходит; давление и плотность возрастают от нуля на
поверхности звезды до некоторого максимального значения
в ее центре.
Но если общая масса астрономического объекта
превышает некоторое критическое значение, то, согласно Оппен-
геймеру, нарастание давления при увеличении плотности
уже не в состоянии обеспечить равновесие и коллапс
продолжается неограниченно.
Эйнштейн подходил к этому вопросу иначе. Он не
хотел использовать какое-нибудь конкретное уравнение
состояния, потому что предчувствовал, что при достаточно
экзотических значениях плотности и давления
релятивистское поведение частиц, образующих вещество, обусловит
возникновение новых явлений, которые могут свести на
нет теоретические результаты типа результатов Оппен-
геймера. Эйнштейн считал, что куда вернее — до тех пор,
пока нет достаточно полной теории сильно
сконденсированного вещества, построенной на основе основных
принципов,— начинать с атомистических моделей,
удовлетворяющих всем требованиям относительности, какими бы
нереальными или искусственными ни казались эти модели
во всех других отношениях. Чтобы не привлекать каких-
либо гипотез, касающихся взаимодействия частиц на очень
близких расстояниях и при очень высоких энергиях, он
моделировал конденсированную массу из частиц, движу-
117

щихся по плоским круговым орбитам относительно
общего центра. Он предположил также, что каждая из таких
частиц обладает столь малой массой, что ни одна из
частиц не влияет на движение какой-либо другой. В этой
модели расстояние любой частицы от общего центра не
меняется, но частицы разбросаны па всевозможные
расстояния. Если бы было возможно реализовать такое
расположение атомов, макроскопический кусок вещества,
образованный такими циркулирующими атомами, не
испытывал бы давления в радиальном направлении (ни к
центру, ни от центра), но давление под прямым углом к
радиусу было бы значительным. Такое поперечное давление
в каждом слое будет очень своеобразно зависеть от
плотности массы в этом слое и от общей массы, находящейся
под рассматриваемым слоем.
Когда Эйнштейн стал моделировать конденсированную
массу таким способом, слой за слоем, он обнаружил, что
если упаковывать частицы достаточно близко друг к
другу, они образуют слой, в котором скорости частиц следует
уже принять равными скорости света для того, чтобы
орбиты частиц остались круговыми уже задолго до того,
как будет достигнута сфера Шварцшильда. Световой
сигнал, посланный в радиальном направлении из слоя,
в котором частицы движутся со скоростью с, дойдет до
наблюдателя, расположенного на любом конечном
расстоянии от общего центра, а^частота светового сигнала
испытывает конечное красное смещение. Однако такому же
световому сигналу понадобится бесконечное время, чтобы
выйти за сферу Шварцшильда, а частота этого сигнала за
счет красного смещения обратится в нуль. Световой
сигнал, направленный тангенциально по слою, в котором
частицы движутся со скоростью с, будет просто двигаться
вместе с этими частицами и никогда не выйдет из слоя.
С 1939 г. работы двух американцев, Оппенгеймера и
Снайдера (1913—1962), и уроженца России канадца
Волкова были существенно усовершенствованы. Когда в
1963 г. были открыты квазизвездные объекты, массы
которых оказались намного больше, чем критические массы
по оценкам Оппенгеймера (критическая масса по порядку
величины близка к массе Солнца), многие всерьез
задумались над тем, встречаются ли в природе массы с такой
концентрацией, которая не позволяет достичь равновесия
при любой форме тела; с другой стороны, возникли иодо-
118

ярения, что были просмотрены какие-то эффекты, которые
иозьолили бы избежать коллапса.
Теоретики раздумывали над тем, не может ли
вещество, когда его сжатие дойдет до экстремально большой
величины, оказать значительное противодавление, такое,
что оно позволит в конце концов притормозить коллапс.
Из подробного анализа Джона Арчибальда Уилера и его
сотрудников в Пристонском университете *) выяснилось,
что этого не может быть, если ограничить возрастание
давления таким значением, при котором скорость звука в
сжатом веществе не превышает скорости света в пустоте.
Расчеты проводились для сферически симметричных тел,
у которых нет вращения. Достаточно быстрое вращение
может предотвратить коллапс, но если оно будет слишком
быстрым, то квазизвездное тело может разорваться на
отдельные части. Можно ли с помощью вращения сделать
устойчивым произвольно большую массу? — Этот вопрос
до конца еще неясен.
Но вне всякого сомнения,— неизбежен коллапс или
нет — существуют такие ситуации, при которых
достаточно большая масса не может находиться в устойчивом
равновесии; другими словами, у этой массы может не быть
ни заметного вращения, ни давления, достаточного, чтобы
удержать внешние слои от падения внутрь. Такая масса
будет безостановочно сокращаться, и в конце концов
возникает горизонт событий, который заэкранирует
сердцевину от взоров любого внешнего наблюдателя, который не
захочет упасть или прыгнуть внутрь звезды. Не увидит
внешний наблюдатель также и то, когда захлопнется дверь,
как бы пристально он ни вглядывался. Для него вся
картина будет выглядеть так: он считает, что звезда
по-прежнему прозрачна, но сигналы, идущие из глубины звезды,
становятся все слабее и слабее, а частота их все время
уменьшается причем никакого определенного конца
передачи сигналов нет. Как бы долго ни всматривался внешний
наблюдатель в сжимающееся вещество через свой
телескоп, его изображение будет постепенно блекнуть, но тем
не менее никогда не исчезнет из поля зрения.
Образование горизонта события означает лишь то, что бесконечно
*> См., например, Д ж. У и л е р, Сверхплотные звезды и
критическое число нуклонов, в сб. «Гравитация и относительность»,
«Мир», 1965.
119

длительное наблюдение внешнего наблюдателя позволяет
ему заглянуть только в ограниченный отрезок истории
сжимающейся сердцевины и что он обречен навеки
остаться без сигналов, отправляемых из сердцевины после того,
как горизонт событий уже возник.
17. Гравитационное излучение
Теория тяготения Эйнштейна предсказывает
существование гравитационных волн> свойства которых очень
сходны со свойствами электромагнитного излучения.
Гравитационные волны испускаются телами, обладающими
массой и движущимися с ускорением; эти волны
распространяются с такой же скоростью, с какой распространяются
электромагнитные волны, т. е. со скоростью света. Когда
гравитационные волны проходят через весомые тела, они
сообщают этим телам ускорение; после того как проходит
импульс гравитационного излучения, все частицы
изменяют свои скорости. Бояее того, когда гравитационный
импульс прошел через облако частиц, находившихся
первоначально в покое относительно друг друга, частицы
оказываются уже в относительном движении. Эти относительные
движения направлены перпендикулярно распространению
гравитационной волны.
Общая теория относительности позволяет подсчитать
количество энергии, получаемое при возбуждении
гравитационных волн. По сравнению с возбуждением
электромагнитных волн движущимися электрическими зарядами
интенсивности гравитационных волн оказываются
чрезвычайно малыми; в связи с этим перспективы их быстрого
экспериментального обнаружения не слишком обнадеживающие,
тем не менее уже с конца пятидесятых годов
осуществляется целая программа в этом направлении *).
Гравитационные волны поляризованы; они вызывают
ускорение, направленное перпендикулярно направлению,
распространения, напоминая в этом отношении электро-
магнитпое излучение. Но электромагнитные и
гравитационные волны имеют все же совершенно различные
свойства поляризации. Допустим, что в пространстве взвешено
неподвижное газообразное облако электрически заряжен-
*> Д ж. В е б е р, Общая теория относительности и гравитации
онные волны, ИЛ, 1962.
IZQ

rmx частиц; пусть через это облако проходит
электромагнитная волна. Все частицы будут смещаться этой волной
вперед и назад в одном и том же направлении. Это
направление вместе с направлением распространения волны
определяет плоскость поляризации. Аналогичный эксперимент
/
V.
6)
\ • '
*)
Рис., 60. Гравитационная волна.
с гравитационной волной будет выглядеть так: сначала
покоящиеся тяжелые частицы находятся во взвешенном
состоянии; проходящая через эти частицы гравитационная
волна приводит их в движение относительно друг друга.
Если какую-то частицу принять за систему отсчета,
частицы справа и слева от нее могут расходиться в
противоположные стороны друг от друга, а частицы сверху и сниву
могут устремиться друг к другу. В следующий момент
времени движение всех частиц изменится на обратное.
Частицы, расположенные сверху и снизу по вертикали, будут
двигаться наружу, а частицы, расположенные по
горизонтали, устремятся внутрь. На рис. 60 видно, как такие
частицы, образующие в начальный момент времени круг
около произвольно выбранной частицы — системы отсчета,
будут двигаться в последующие моменты времени, если на
них действует проходящая гравитационная волна.
(Предполагается, что волна распространяется в направлении,
перпендикулярном плоскости чертежа.) Все перемещения
происходят в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны.
Действие гравитационной волны можно сравнить с
действием так называемых волн сдвига. Волны сдвига
представляют собой один из двух типов акустических волн,
которые могут существовать в твердых упругих телах.
121

Другой тип воли, ёолйы расширения (или сжатия),
распространяются быстрее волн сдвига. Волны обоих типов
возникают при землетрясениях. Разница соответствующих
времен прибытия волн этих двух типов на различные
сейсмические станции служит основой для определения эпи^
центра землетрясения. Точно так же, как и в волнах сдвига,
V г~
1. 1^
1 1
1
у*4
'
^~~*г 1
Рис. 61. Поляризация гравитационной волны,
излучаемой двойной звездой.
состояние поляризации гравитационной волны не может
быть охарактеризовано только одной плоскостью
поляризации, а требует задания двух взаимно перпендикулярных
направлений, перпендикулярных направлению
распространения; по этим направлениям происходит движение частиц
наружу и внутрь.
Одним из типов источников гравитационных волн
являются двойные звезды. Двойные звезды образованы
двумя «солнцами», совершающими движение относительно
друг друга и около их центра инерции, в точности так же
как происходит движение Земли относительно Солнца. Все
движение происходит, в одной плоскости. Такая система,
согласно теории, испускает гравитационное излучение по
всем направлениям. В орбитальной плоскости
поляризация гравитационного излучения совпадает с орбитальной
плоскостью и плоскостью, перпендикулярной к ней.
Приемник гравитационных волн, расположенный вдали от
двойной звезды, но в орбитальной плоскости двойной звезды,
примет гравитационное излучение с той же самой
поляризацией, какая возникает, если двойную звезду как целое
повернуть на 90° относительно линии, соединяющей
двойную звезду с наблюдателем (рис. 61). Чтобы обнаружить
гравитационную волну с другой поляризацией приемником,
122

находящимся в той же точке, следовало оы повернуть
двойную звезду на угол 45° относительно той же линии.
Мощность гравитационного излучения можно оценить
следующим образом. Система, состоящая из двух звезд,
обладает двумя видами энергии. Один из видов энергии —
это энергия покоя тс2; она определяется полной массой
двойной звезды. Другой вид энергии — это просто
механическая энергия, которая рассматривалась уже в
ньютоновской физике. По порядку величины механическая энергия
определяется выражением mv2, где через v обозначена
скорость одной компоненты двойной звезды относительно
другой. Механическая энергия оказывается отрицательной;
если мы захотим из двойной звезды получить две
независимые, необходимо затратить работу. Во всяком случае,
отношение механической энергии двойной звезды к ее энергии
покоя v2/c2, грубо говоря, определяется отношением
гравитационного радиуса компонент двойной звезды к
расстоянию между компонентами (при таком сравнении
множители типа 2 или 0,5 и т. д. просто не учитываются). Время
диссипации, т. е. время, за которое на гравитационное
излучение будет перерасходована энергия, сравнимая с
механической энергией (связывающей компоненты в единую
двойную звезду), можно определить как произведение
времени, необходимого световому лучу для прохождения
расстояния между компонентами, умноженному на куб
отношения расстояния между компонентами к их
гравитационному радиусу.
Если обозначить время диссипации через Г,
расстояние между компонентами двойной звезды через d, а
гравитационный радиус через Д, то
Формула, определяющая время, за которое может
быть израсходована на излучение гравитационных волн
энергия, равная энергии покоя системы, отличается о г
приведенного выше выражения тем, что вместо третьей
степени отношения (d/R) будет стоять четвертая.
Пусть компоненты двойной звезды обладают массами
порядка массы Солнца, а расстояние между ними по
порядку величины равно расстоянию между Землей и
Солнцем. Если выразить отношение (d/c) через степени десяти,
123

то для такой системы мы получим величину 103 сек,
а для отношения (d/R) величину 108. Откуда для
времени диссипации Т порядок величины оказывается равным
1027 сек или 1020 лет. Так как «возраст» Вселенной
оценивается всего лишь в 1010 лет, то скорость диссипации
энергия на гравитационное излучение оказывается
пренебрежимо малой по сравнению с потерями энергии па
излучение света и другие процессы, ведущие к старению
звезд.
Однако двойные звезды излучают гравитационные
волны все сильнее и сильнее, если уменьшается период
их обращения. Оставаясь в разумных пределах значений
звездных параметров, можно допустить, что
компонентами двойной звезды будут два белых карлика. Белые
карлики представляют собой звезды, вещество в которых
сжато настолько, *гто для получения плотности белых
карликов пришлось бы сжать массу, равную массе
Солнца до размеров Земли. Таким образом, если двойная
звезда образована двумя белыми карликами, их среднее
расстояние друг от друга может доходить до 10000 км (или
109 см), а отношение (d/R) по порядку величины может
приблизиться к 104. Для такой системы период
обращения может упасть до долей минуты, а для того чтобы
свет прошел расстояние от одной компоненты до другой,
достаточно даже доли секунды. Время, за которое за счет
гравитационного излучения двойная звезда потеряет
энергию, равную по порядку величины полной
механической энергии системы, уменьшится уже до 1011 сек или
10000 лет; но такой промежуток времени в истории
астрономических систем представляется совсем
незначительным. Чтобы излучить в виде гравитационных волн
всю энергию покоя двойной звезды, потребуется 10s лет;
но и этот период составляет лишь небольшую часть от
того времени, которое теория приписывает существованию
большинства звездных объектов. Мощность
гравитационного излучения двойной звезды, образованной белыми
карликами, в 105 раз превосходит мощность
электромагнитного излучения нашего Солнца.
Но белые карлики излучают совсем мало света, и
поэтому мы ничего не можем сказать об их числе в нашей
Галактике; поэтому трудно сказать, насколько вероятно,
что более чем одна компонента системы, состоящей из
многих звезд, окажется белым карликом. Двойные звез-
124

дiл, одна из компонент которых является белым карликом,
известны. Быть может, самым известным примером
служит Сириус; вторая его компонента — одна из самых
ярких звезд, видимых в северном полушарии. Но если бы
даже белые карлики сгруппировались в единую систему,
то вовсе не обязательно, чтобы они оказались настолько
близко друг к другу, так что период обращения будет
необычайно мал, а гравитационное излучение чрезвычайно
велико. Вместе с тем белые карлики обладают достаточно
малыми размерами и необходимая близость их друг к другу
может быть достигнута без столкновения отдельных
компонент; что касается их масс, то они достаточно велики,
чтобы обеспечить заметное гравитационное излучение.
18. Поиски гравитационных волн
Системы, образованные многими звездами,
генерируют гравитационные волны, но, как правило, эти волны
несут с собой энергию, весьма незначительную по
сравнению с лучистой энергией, испускаемой раскаленными
звездами. Кроме того, гравитационные волны,
обусловленные системами, состоящими из многих звезд,
обладают очень низкими частотами, тесно связанными с
периодами обращения в этих системах. Чтобы оценить
периоды обращения, с которыми можно встретиться у двойных
звезд, можно воспользоваться простым соотношением:
период обращения двойных звезд по порядку величины
равен времени, за которое свет пересекает орбиту
двойной звезды, умноженному на квадратный корень из
отношения (d/R). Вернемся снова к случаю двух белых
карликов, совершающих орбитальное движение
относительно друг друга в тесной близости. В этом случае
период обращения будет составлять доли минуты, а частота
будет лежать в интервале ОД—0,01 гц. Но все периоды
обращения известных астрономических объектов
оказываются значительно больше; они равны по меньшей мере
нескольким часам (для спутников в нашей солнечной
системе) и достигают нескольких недель (у двойных
звезд).
Разумеется, скопления звезд вовсе не являются
единственными астрономическими объектами, которые могут
генерировать гравитационные волны. Нейтральные
газовые облака, образованные электрически заряженными
125

частицами (нейтральное в среднем газообразное
вещество, состоящее из электрически заряженных частиц,
называется плазмой), по-видимому, в изобилии
присутствуют у многих астрономических объектов, у которых
наблюдались мощные взрывы или извержения. Крабо-
видная туманность, так же как и многие другие остатки
сверхновых звезд (взорвавшиеся звезды), содержит в
себе светящиеся облака газа, которые, по всей
вероятности, и представляют собой плазму. Радиогалактики и
квазары почти наверняка окружены облаками плазмы.
В плазме могут возникать колебания, которые ведут к
генерации электромагнитных и гравитационных волн. Дать
сколько-нибудь надежные оценки интенсивности такого
излучения очень трудно. Наконец, катастрофические
события, сопровождающие, по всей вероятности,
гравитационный коллапс, могут дать всплеск гравитационною
излучения (см. Дополнение 5). Гравитационное
излучение, возникающее в этих случаях, может иметь значи^
тельно более высокие частоты, чем частота
гравитационного излучения двойных звезд. В настоящее время все эти
процессы следует считать все же довольно сомнительными.
Что касается генерации гравитационных волн в
лабораторных условиях, то их интенсивность зависит от тех
масс, которые удается ввести в колебательный процесс,
и от частоты и амплитуды созданных колебаний. Джозеф
Вебер (университет в Мериленде) предложил несколько
возможных схем, аналогичных способам получения
ультразвуковых волн; однако все процессы здесь должны
осуществляться в неизмеримо большем масштабе. Увы,
ни один из проектов реализован не был.
Но как же все-таки обнаруживаются гравитационные
волны? Ускорение одного пробного тола обнаружить
невозможно. Принцип эквивалентности указывает на
невозможность построения локальной инерциальной
системы отсчета, по отношению к которой небольшие тела
совершали бы движения взад и вперед под действием
проходящей гравитационной волны; волна будет оказывать
в точности то же действие на свободно падающую
систему отсчета. Обнаружить гравитационную волну можно,
лишь опираясь на то обстоятельство, что она сообщает
различное ускорение телам, находящимся в различных
точках пространства. Практически применимое
устройство представляет собой незначительное видоизменение иде-
120

пльного детектора гравитационных волн, состоящего из
нескольких свободно падающих пробных тел небольшого
размера, несколько смещенных относительно друг друга
и пространстве. Речь идет об одном достаточно
протяженном теле, в котором за счет различия гравитационного
ускорения в разных точках возникают упругие
напряжения. Именно такого типа устройство использовал Вебер
и своем проекте детектора гравитационных волн.
Чувствительный элемент этого детектора состоит из большого
алюминиевого блока, снабженного измерителями напряжений.
Размеры алюминиевого блока выбраны таким образом,
чтобы он находился в резонансе с частотой около 1500 гц.
В области частот, близких к 1500 гц, детектор имеет
чувствительность, во много раз превышающую его же
чувствительность при других частотах.
На чувствительности лабораторных детекторов
гравитационных волн отрицательно сказываются их
относительно малые размеры (обычно около метра). Но длина
гравитационной волны на резонансной частоте доходит
до сотни километров, различие в ускорении,
испытываемое различными частями детектора, может быть резко
увеличено за счет возрастания размеров детектора.
Поэтому предлагалось даже использовать в качестве
детектора гравитационных волн земной шар, правда речь шла
уже о более низких частотах. Из сейсмографических
записей мощных землетрясений, а также и из
теоретических соображений вытекает, что земной шар может
резонировать как целое на многие частоты (речь идет об
упругих колебаниях), причем самые низкие частоты
соответствуют периоду колебаний от нескольких минут до
получаса. Лишь некоторые из колебательных мод Земли
могут возбуждаться гравитационными волнами; наиболее
симметричные моды, при возбуждении которых все
участки Земли движутся внутрь или наружу по радуису,
испытывая поочередно сжатие и расширение, не могут
возникать за счет напряжений, потому что по самой
своей природе натяжения влекут за собой сдвиговое
движение (приводящее к изменению формы, но не объема).
Во всяком случае, вполне возможно выделение сдвиговых
мод с помощью сейсмических детекторов или других
устройств подобного типа.
Наконец, можно подумать и о том, чтобы в качестве
базы, на концах которой ищется различие в ускорении,
127

взять, с одной стороны, искусственный спутник Земли,
а с другой стороны, Землю. Хотя вполне возможно
обнаружить совсем незначительные изменения в относительной
скорости с помощью допплеровского смещения частоты
сигнала, испускаемого радиопередатчиком на Земле и
ретранслируемого спутником, другие эффекты, такие, например,
как обычное ньютоновское притяжение других тел нашей
солнечной системы, будут смазывать наблюдаемую
картину, и не исключено даже, что полностью забьют сигналы,
которые несут с собой гравитационные волны, возникшие
далеко за пределами нашей солнечной системы.
До сих пор никаких следов гравитационных волн
обнаружено не было, и нет никаких надежд на то, что в
ближайшем будущем будет достигнут успех в этом
направлении, хотя в 1967 г. Вебер сообщил о некоторых
наблюдениях на своем детекторе, которые могли бы быть
интерпретированы как прием гравитационных волн.
19. Космология
Общая теория относительности, едва появившись на
свет, стимулировала исследования в области космологии.
Космология имеет дело со всей Вселенной в целом, она
занимается ее строением и развитием. Как и любая
область научного исследования, космология имеет два
аспекта — наблюдательный и теоретический.
С точки зрения наблюдательной астрономии всегда
интересовались крупномасштабной структурой видимых
астрономических объектов. Астрономы уже давно
обнаружили, что неподвижные звезды группируются в
грандиозные скопления, называемые галактиками. Наша
солнечная система входит в галактику, содержащую
несколько сотен миллионов звезд. Не все галактики
похожи друг на друга; разница между ними отражает — по
крайней мере частично — различные стадии развития,
начинающиеся, быть может, с первоначального
объединения звездного материала в относительно небольшие
структуры с последующим образованием более сложных
структур (ответвлений) и исчезновением отдельных
объектов,— содержащих заметное количество вполне
оформившихся звезд. Некоторые галактики обнаруживают
следы взрывных явлений, охватывающих большую часть
галактики. Мы еще не знаем, являются ли эти галактиче-
128

ciure взрывы нормальной стадией развития галактики
мл и же, напротив, они представляют собой
исключительное явление.
Галактики образуют скопления в том смысле, что
расстояния между галактиками внутри скопления
намного меньше расстояний между скоплениями. Пока
41 о скопления галактик представляют собой самую
крупномасштабную форму организации вещества,
которую мы знаем. Судя по всему, скопления галактик
распределены по Вселенной совершенно беспорядочным
образом.
Первые космологические теории исходили из того, что
отдельные звезды и отдельные галактики совершали
спой жизненный цикл, у которого было свое начало и свой
конец, но Вселенная в целом не изменялась и не
старилась.
Согласно этим гипотезам, если бы наблюдатель мог
повторять свои наблюдения, скажем, через несколько
биллионов лет, он обнаруживал бы все тот же состав звезд и
галактик, грубо говоря, все с тем же распределением
объоктов по их типам и возрасту. Такая всеобщая
стационарность состава возможна, конечно, лишь в том случае,
когда существует некий механизм, который обеспечивает
как возникновение новых звезд и галактик, так и
исчезновение объектов, достигших конечной стадии своего
развития.
Предположения о стационарности Вселенной,
выдвинутые на заре развития космологии, были оставлены
после того, как американский астроном Эдвин Поуэлл
Хаббл (1889—1953) в конце двадцатых годов нашего
столетия обнаружил, что спектральные линии
отдаленных галактик и туманностей — все без исключения —
обнаруживают смещение в направлении к длинным
волнам, так называемое красное смещение. Красное Схме-
щсиие наиболее естественным образом объясняется как
допплеровское смещение тел, быстро удаляющихся от
нас и вообще друг от друга. Эта интерпретация
подтверждается еще тем, что вплоть до самых далеких
расстояний, где еще оценки оптической яркости достаточно
надежны, красное смещение пропорционально
расстоянию объектов от нас. Этот тип красного смещения часто
называют эффектом Хаббла или космологическим
красным смещением.
129

Рождение " Вселенной
Рис. 62. Линейно
расширяющаяся Вселенная.
Если интерпретировать эффект Хаббла как
доказательство того, что все удаленные объекты удаляются от
нашей Галактики, тогда все объекты во Вселенной
должны быть вовлечены в процесс рассеяния, который
должен иметь своим следствием постоянно уменьшающуюся
плотность вещества по Вселенной. Рассуждая «в обрат-
пом направлении по времени», можно сказать, что
плотность вещества во Вселенной должна была быть в
прошлом значительно больше, чем теперь. Проследив
движение отдаленных тел
в обратном направлении,
можно прийти к выводу,
что если скорости тел
раньше в течение
довольно длительного периода
времени были такими же,
какими они являются
сейчас, то момент времени,
когда все вещество,
которое мы в состоянии
видеть сегодня, было
сконцентрировано в относительно малой области, отделен от
современности промежутком времени в 2 • 1010 лет. Это
число называют иногда «возрастом Вселенной». Число,
обратное возрасту Вселенной,— скорость рассеяния
материи — в настоящее время известно как постоянная Хаббла.
На рис. 62 показана связь между расхождением удаленных
объектов, ограниченных пределами светового конуса (с. с.)
и возрастом Вселенной.
Из эффекта Хаббла вовсе не вытекает, что некогда
Вселенная испытала период катаклизма, который
следовало бы назвать ее «рождением». Ничему не
противоречит предположение о том, что Вселенная всегда
существовала и что она всегда расширялась примерно с той же
самой скоростью, как это показано на рис. 63. Не
исключено также, что Вселенная проходила через
чередующиеся периоды расширения и сжатия, причем эти
периоды могли быть настолько затяжными, что никаких
следов от того времени, когда мы наблюдаем расширение
(рис. 64). К вопросам такого рода подходят, сочетая новые
данные наблюдений и теоретические исследования; для
уверенного ответа на вопрос, как развивалась Вселенная, нам,
наверное, понадобится еще немало времени.
130

Несколько иной подход был предложен английскими
астрофизиками Фредом Хойлем, Германом Бонди и
Томасом Голдом*). Они вновь вернулись к старому
представлению о том, что Вселенная как целое остается
неизменной и всегда сохраняет свой вид. Но, принимая
Рис. 63. Расширяющаяся Рис. 64. Пульсирующая
Вселенная, если постоян- Вселенная,
пая Хаббла действительно
постоянна.
эффект Хаббла за реальное подтверждение
непрерывного рассеяния вещества, они высказали предположение,
что в природе существует процесс, который ведет к
непрерывному порождению вещества, причем скорость, с
которой порождается вещество, как раз достаточна, чтобы
компенсировать рассеяние вещества и поддерживать
среднюю плотность во всей Вселенной постоянной. Эта
гипотеза известна под названием «гипотезы непрерывного
рождения» или «гипотезы устойчивого состояния».
Нетрудно объяснить, почему никогда не наблюдалось
порождение вещества. Допустим, что это порождение
происходит повсюду равномерно. Тогда следует считать,
что в объеме куба со стороной 1,6 км за час порождается
примерно один атом. Даже в том случае, если бы мы
смогли наблюдать столь тонкое явление, как появление
*> Н. Bondi and Т. Gold, Monthly Notices, Roy. Astronom.
Soc. 108, 252 (1948); F. Hoyle, там же, 108, 372 (1948). Отрывки
из ранних работ можно найти в книге под ред. Harlow Shap-
1 е у, Source Book in Astronomy, 1900—1950 (Cambridge, Mass; Har-
verd University Press, 1960).
131

Рис. 65. «Устойчивая»
Вселенная.
одного атома, такое событие оказалось бы чрезвычайно
редким. С другой стороны, можно допустить, что
порождение вещества происходит только в глубинах звезд, где
температура, давление и плотность вещества настолько
отличаются от того, с чем мы сталкиваемся в земных
условиях, что вполне возможны
процессы, которые не
встречались нам в привычных
условиях. Если допустить
порождение вещества в таких
экзотических условиях, то шансы на
его наблюдение все равно
остаются незначительными. Рис.
65 иллюстрируют модель
устойчивого состояния Вселенной по
Хойлю, Бонди и Голду. Эта
модель отличается от
космологической модели, которая
изображена на рис. 63 (так
называемая модель Де Ситтера) лишь
предположением, что непрерывное порождение вещества
предотвращает непрерывное уменьшение плотности
вещества.
В последнее время астрономы направляли свои
усилия на то, чтобы подобрать данные наблюдений, которые
помогли бы сделать выбор между различными моделями
Вселенной или, быть может, показали бы, что все
предложенные до сих пор модели не имеют отношения к
действительности. Если бы в истории развития Вселенной
были периоды, в которые плотность вещества или
распределение галактик различного типа были существенно
отличны от того, что мы наблюдаем сейчас, то можно
было бы надеяться обнаружить следы таких ранних стадий
на значительных удалениях от Земли, откуда свет идет
до нас несколько биллионов лет. Заглянув достаточно
далеко за пределы нашей Галактики, астрономы могут
наблюдать объекты, отодвинутые в далекое прошлое и
дающие представление о значительной части периода
развития Вселенной (рис. 66).
Вплоть до самого последнего времени оптические
наблюдения, касающиеся очень удаленных объектов, были
настолько разношерстны, что не представляли особого
интереса. Трудность состояла в том, что даже в самые
СИЛЬСЯ

ньте телескопы были видны лишь очень яркие объекты
(конечно, если речь идет о расстояниях, которые представляют
интерес для космологии). Начиная с 1963 г. внимание
астрономов сфокусировалось на объектах, которые,
по-видимому, оказались во много раз ярче, чем обычные
галактики. Речь идет о квазарах и так называемых
«примазавшихся» объектах. Можно надеяться, что развитие наблюдений
,Мы" \
Рис. 66. Астрономические наблюдения позволяют заглянуть
назад на биллион лет в историю Вселенной
над этими объектами в ближайшие годы принесет нам
важные космологические данные.
Еще один подход к эволюции Вселенной был предложен
в 1965 г. одновременно двумя группами, одна из которых
работает в Телефонной лаборатории Белла, а другая — в
Принстонском университете. Предположив, что
Вселенная прошла через период очень высокой плотности
вещества примерно 1010 лет назад, следует считать, что
энергия, отнесенная к одной частице на протяжении
этого периода, была также очень высокой. Чрезвычайно
высокая конденсация частиц, характерная для того
времени, приводила к частным соударениям частиц друг
с другом. В результате таких столкновений
генерировалось электромагнитное излучение . большой энергии
и высокой интенсивности. Если Вселенная расширялась,
причем расширялась на ранних стадиях развития
очень быстро, плотность частиц должна была резка
уменьшаться. Наконец, наступал момент, когда
возникающее излучение могло пройти небольшую часть
Вселенной, уже не поглощаясь и не трансформируясь за
счет взаимодействия с частицами. После того как эта
стадия наступила, электромагнитное излучение может уже
да

распространяться по Вселенной достаточно далеко,
сохраняя тот вид, который оно имело при своем возникновении
в тот момент, когда плотность частиц упала ниже своего
критического значения. По мере того как
электромагнитное излучение уходит от места своего возникновения во
все более и более отдаленные части Вселенной,
непрерывно продолжающееся расширение Вселенной приводит к
видимому красному смещению, аналогичному
гравитационному смещению, о котором шла речь выше. Это красное
смещение преобразует электромагнитное излучение,
возникшее на первоначальной стадии высокой плотности
вещества, в обычное радиоизлучение, которое может
обнаружить современный наблюдатель.
По этим соображениям принстонская группа
предприняла поиски электромагнитного излучения в диапазоне
сантиметровых волн (это излучение называется
микроволновым; оно лежит как раз в той полосе частот, которая
используется в радарной технике). Нужно было
обнаружить излучение, не связанное ни с Землей, ни с
атмосферой или какими-либо другими конкретными небесными
телами; оно должно было наблюдаться одинаково по всем
направлениям. Поиски оказались успешными, несмотря на
значительные экспериментальные трудности, связанные с
очень малой интенсивностью искомого излучения.
Обнаруженное излучение по своей интенсивности и
распределению по длинам волн соответствовало излучению,
возникающему в черном теле с температурой около 3,5° К (т. е.
выше на 3,5° абсолютного нуля); эта температура чуть ни*
же температуры испарения жидкого гелия при
атмосферном давлении и существенно ниже температуры жидкого
воздуха. Открытие группы Телефонной лаборатории
Белла, которое фактически предшествовало работе принстон-
ской группы, было до известной степени случайным,
возникшим при разработке усилителей с шумами малой
мощности. Так или иначе их результат и результат группы
Дикке в Принстоне взаимно подтверждают друг друга.
Если последующие наблюдения не будут
противоречить этим результатам, температура вещества,
породившего первоначальное излучение, должна быть в том же
самом отношении к современной температуре, в каком
находится наблюдаемая сейчас длина волны излучения к
длине волны, испущенной в момент генерации. Это
отношение в свою очередь равно отношению современного возра-
134

с/га Вселенной к возрасту Вселенной в тот момент, когда
плотность частиц в расширяющейся Вселенной уже
упала до критического значения, позволяющего
электромагнитному излучению свободно распространяться по
пространству. Используя разумные значения критической
плотности и связывая ее с современной плотностью
вещества во Вселенной, можно подсчитать температуру, при
которой имела место первоначальная вспышка
электромагнитного излучения. Она оказывается равной
биллионам градусов*). Электромагнитное излучение
представляло собой тогда жесткое гамма-излучение, обладающее
куда большей проникающей способностью, чем рентгеновские
лучи, используемые в медицинской практике.
Если наблюдаемое слабое радиоизлучение, идущее со
всех сторон на Землю, действительно соответствует
состарившейся первоначальной вспышке излучения, это сразу
указывает на невозможность «устойчивого состояния» во
Вселенной. Существование этого излучения не
противоречит картине возникновения Вселенной за счет начального
толчка («гипотеза большого взрыва») с последующим
расширением, однако оно вовсе не исключает
возможность чередующихся расширения и сжатия Вселенной,
если только принять, что до современного состояния
Вселенной (когда она расширяется) она проходила через
стадию сжатия, в которой достигались высокая плотность
вещества и весьма высокие температуры.
Что может дать общая теория относительности для
решения проблем космологии? Как это ни удивительно,
ость мцого сходства между ньютоновской и
релятивистской космологией, но вместе с тем есть и одно
существенное различие. Если пространственно-временная
Вселенная не плоская, то она может быть конечной, не имея
границ (например, поверхность сферы конечна, но границ
у нее нет). В такой конечной Вселенной можно сколько
угодно двигаться в любом направлении, не столкнувшись
с дорожным знаком «прохода нет». Но если двигаться все
время в одном "и том же направлении, можно в один
прекрасный день оказаться в том самом месте, откуда
отправились; так будет, например, с путешественником,
который движется по экватору Земли в одном направлении
(«на восток») и тем самым все время сохраняет направле-
*> 1 биллшш = 109. (Прим. пер ев.)
185

ние движения «на восток». Вселенная может оказаться
пространственно замкнутой, по бесконечной во времени, или
наоборот. Все эти возможности допустимы в теории,
геометрия пространства-времени в которой не является плоской.
При построении космологических моделей обычно
предполагают, что в любой момент времени вся Вселенная
заполнена веществом с одной и той же средней
плотностью, находящимся при одном и том же среднем давлении,
причем как плотность, так и давление могут изменяться
по всей Вселенной с течением времени одинаковым
образом. Предположение об однородности Вселенной часто
именуют космологическим принципом. Эти средние
значения плотности массы и давления подразумеваются как
средние величины, полученные при усреднении по
большим пространственным и временным областям, достаточно
большим, чтобы включить в себя много скоплений
галактик и астрономически большие периоды времени, но
малые по сравнению со Вселенной в целом и ее «возрастом».
Сам по себе космологический принцип не имеет ни
логических оснований, ни оправдания в общей теории
относительности, он опирается попросту на отсутствие каких-
либо данных наблюдений, указывающих на
существование пространственных или временных неоднородностей в
указанных масштабах пространства и времени. Именно
это и оправдывает его использование. Вполне может
оказаться, что космологический принцип не отражает
структуры реальной Вселенной, однако этот факт не пошатнул
бы теоретических основ, на которых строятся
космологические гипотезы.
Еще одно предположение, которое называют
предположением об изотропности, имеет чисто эмпирическое
основание; его смысл состоит в эквивалентности всех
пространственных направлений. Хотя многие галактики не
обладают сферической формой, а даже уплощены
наподобие линз, и хотя спиральные рукава галактик говорят
о вращении галактик вокруг какой-то оси, во всей
Вселенной в целом не обнаруживается никаких выделенных
плоскостей или каких-либо осей вращения. Отсюда легко
понять, что большинство космологических моделей не
только однородно, но и изотропно. Оба этих предположения
относятся к трехмерной изотропии и однородности.
Однако всегда существует четко выделенная временная ось,
которая представляет среднее локальное состояние движе-
136

имя материи; в большинстве космологических моделей
существуют трехмерные пространственноподобные
«поверхности», которые в каждой своей точке перпендикулярны к
локальной оси времени. Каждая такая поверхность
представляет собой один «момент времени» на
космологической шкале (см. рис. 66). Именно поэтому
космологические модели никогда не обладают полной симметрией,
допускаемой преобразованием Лоренца или требованием;
общей ковариантности. Все космологические модели,
которые можно придумать, опираются на привилегированные
системы отсчета, хотя четко выявить такую систему в
каждом отдельном случае совсем не просто.
Однако это обстоятельство вовсе не говорит о
внутренней противоречивости релятивистской теории строения
Вселенной. Требования релятивистской инвариантности
относятся к законам, которым должны подчиняться все
модели Вселенной; каждая конкретная модель должна
иметь свою собственную привилегированную ось времени,
она может также обладать некоторыми дополнительными
особенностями, которые и приводят к появлению
привилегированной системы отсчета. Существуют
космологические модели, удовлетворяющие требованию
однородности, но не удовлетворяющие требованию изотропности;
одной из хорошо известных моделей такого типа
является модель Геделя (Принстон). В этой модели в каждой
точке Вселенной есть некоторое подобие вращения.
Вернемся еще раз к простейшей космологической
модели, которая в трехмерном смысле однородна и изотропна.
Усредненные характеристики вещества, наполняющего
такую модель, в каждый момент времени могут быть
выражены только через два параметра — среднюю плотность
и среднее давление. Тензор кривизны состоит только из
двух компонент, которые нельзя связать между собой
никаким алгебраическим соотношением, вытекающим только
из соображений симметрии; эти две компоненты образуют
часть тензора Эйнштейна. Тензор Вейля обращается в
нуль. Что касается пространственной части кривизны,
здесь могут быть три возможности: она может быть
положительной, отрицательной и может обращаться в нуль.
Если она положительна, Вселенная оказывается
ограниченной (конечной) в пространстве; в двух других
случаях она может быть неограниченной (бесконечной) в
пространстве.
137

Если принять, что кривизна пространства
положительна, Вселенная как целое имеет конечный объем и средние
давление и плотность массы могут меняться с течением
времени. Так как из законов общей теории
относительности вытекает, что тензор Эйнштейна пропорционален
тензору энергии — натяжений (давление входит в состав
натяжений), всякое изменение плотности массы и
давления вызывает изменение пространственной кривизны и в
свою очередь, изменение общего объема в зависимости от
космологического времени. В этом плане вполне
возможно, что вещество — даже в ограниченной Вселенной —
перемещаясь единым образом или по частям
конденсируется или, наоборот, разрежается, не переставая заполнять
собой все допустимые части Вселенной и не образуя ни
крупномасштабных сгустков, ни пустот.
Еще раз подчеркнем, что космологический принцип в
любом своем варианте вовсе не вытекает из требований
общей теории относительности; эта теория не отдает
предпочтения ни одной из многих космологических моделей,
построенных в соответствии с теми требованиями, которые
выдвигает космологический принцип. Так называемая
модель устойчивого состояния Хбйля, Бонди и Голда
приводит к нарушению законов общей теории
относительности, потому что создание вещества из ничего нарушает
законы сохранения энергии и импульса, которые входят
неотъемлемым образом в теорию. Формально можно из-
Ьежать и такого нарушения, если допустить наряду с
порождением вещества одновременное создание частиц с
отрицательной массой; причем достаточно приписать этим
частицам такие свойства, которые позволяют им
ускользнуть от любого известного способа обнаружения частиц.
Возможно, конечно^ что такие частицы со временем будут
обнаружены, однако сейчас нет ни малейшего намека на
их существование. Сохраняют ли свою силу законы общей
теории относительности в космологических масштабах или
же для крупномасштабной структуры Вселенной
существенны какие-то явления, о которых мы сейчас даже
и не догадываемся,— все это нельзя выяснить ни
путем «чистого мышления», ни путем чисто
эмпирических наблюдений. Проблема может быть решена тонким
сочетанием непрекращающихся усилий по
накоплению данных наблюдений и разработке теоретических
вопросов.
138

20. Современная программа наблюдений
Большинство лабораторных исследований, проводимых
в настоящее время в области общей теории
относительности, направлено на подтверждение (или ниспровержение)
теории Эйнштейна. Так как теория утверждает полное
равенство инертной и гравитационной масс, очень
существенно, что в последнее время Дикке существенно
улучшил доказательство этого равенства и тем самым
убедился, это основное положение общей теории
относительности подтверждается с точностью до 10~п. Другие выводы
теории также подвергались проверке; эти выводы
получили подтверждение с различной степенью
надежности.
Мы уже говорили о том, что спектральные линии,
возникающие вблизи большой массы, сдвигаются в красную
сторону (т. е. в направлении длинных волн) спектра. Это
так называемое красное гравитационное смещение было
впервые найдено в спектре белого карлика, Сириуса В,
звезды, образованной из вещества очень высокой
плотности; на поверхности этой звезды гравитационное поле
значительно сильнее, чем на поверхности любого
небесного тела, входящего в солнечную систему, в том числе и на
поверхности самого Солнца. Однако радиус Сириуса
определяется довольно приближенно и проверка
теоретического предсказания может быть осуществлена лишь очень
грубо. Гравитационное красное смещение в спектре Солнца
составляет всего лишь одну тридцатую от гравитационного
красного смещения Сириуса В; вместе с тем смещение и
расширение спектральных линий на Солнце происходит
также и по другим причинам. Некоторое время различие
между красным смещением спектральных линий в центре
солнечного .диска и на его краях рассматривалось как
серьезное противоречие выводам общей теории
относительности.
Сейчас считают, что это различие обусловлено (по
всей вероятности) конвективными токами, имеющими
место в видимых слоях Солнца; продолжающиеся наблюде:
ния ставят своей целью не столько проверку общей теории
относительности, сколько лучшее понимание строения и
динамики Солнца. Лабораторные эксперименты Паунда
обнаружили согласие предсказанного и измеренного
красного смещения в пределах экспериментальных ошибок с
13д

точностью до одного процента; таким образом,
гравитационное красное смещение следует считать обоснованным
с вполне удовлетворительной точностью.
Л. Шифф (Стенфордский университет) и некоторые
другие подчеркивали, что гравитационное красное
смещение согласуется не только с общей теорией
относительности, но и с любой другой теорией, в которой
уменьшение потенциальной энергии света, идущего в сторону,
противоположную направлению гравитационного поля,
приводит к соответствующему изменению частоты.
Пропорциональность частоты и энергии света составляют одно
из основных утверждений квантовой теории, выдвинутых
в оригинальной работе немецкого физика Макса План*
ка (1858—1947); эта работа появилась в 1900 г. В ответ
Шиффу заметим следующее: вполне может случиться, что
многие приемлемые теории тяготения приводят к
гравитационному красному смещению, но можно построить
также и такие теории тяготения, в которых
гравитационного красного смещения не будет; если иметь это в виду,
экспериментальное подтверждение существования
красного смещения вовсе не лишено интереса.
Искривление солнечных лучей, проходящих вблизи тел
с большой массой, наблюдается во время полных
солнечных затмений.
Наблюдения, которые по необходимости проводятся
в нестационарных условиях, могут осуществляться
лишь в сравнительно редкие годы; длительность
полных солнечных затмений исчисляется минутами. Все
это приводит к тому, что такие наблюдения уже нельзя
улучшить или повторить, как это можно сделать с
обычными астрономическими наблюдателями; точность
полученных результатов всегда оставляет желать лучшего.
По этой причине несколько групп экспериментаторов, среди
них Г. Хилл, (университет в Весли), ищут возможность
такой постановки опыта, которая позволила бы
производить наблюдения при дневном освещении. Короче говоря,
речь идет о том, чтобы сканировать непосредственную
окрестность Солнца с помощью техники, сходной с той,
которая используется при создании телевизионного
изображения; нужно выделить звезды, близкие к краю Солнца,
по незначительному увеличению яркобти неба, столь
незначительному, что оно остается незаметным для
невооруженного глаза. Если такая сканирующая техника может
140

быть усовершенствована до такой степени, чтобы
фиксировать положение объектов с точностью до долей угловой
секунды, можно получить необходимые данные даже тогда,
когда солнечного затмения нет.
Искривление световых лучей возникает как прямое
следствие кривизны пространства-времени.
Эксперименты, производимые на спутниках, о которых шла речь
л разделе II, касаются другого аспекта кривизны
пространства-времени; таким образом, обе группы
экспериментов дополняют друг друга.
Имеется еще одна экспериментальная программа,
посвященная исследованию кривизны пространства-времени,
предложенная И. Шапиро (Массачусетский
технологический институт). Свет, проходящий около края Солнца,
будет не только отклоняться, но также несколько
запаздывать из-за искажений, вносимых как в пространствен-
лые, так и во временные расстояния. Это запаздывание
нельзя измерить обычньщи оптическими методами, потому
что неизвестен момент, когда свет выходит из объекта,
который представляется близким к Солнцу. Но
современная радарная техника с успехом посылает радиоимпульсы
на Луну и даже на Венеру и Меркурий и наблюдает
отраженный сигнал, возвратившийся обратно. Шапиро
предложил послать радарный сигнал на Меркурий и Венеру
в тот момент, когда они находятся за Солнцем и
приближаются к линии, соединяющей земного наблюдателя
и край Солнца (так называемому соединению); затем
измеряется момент возвращения сигнала с такой
точностью, которая могла бы обнаружить запаздывание
сигнала; такая точность вполне достижима для современной
радарной техники.
Смещение перигелия Меркурия было уже хорошо
известно, но в 1915 г. Эйнштейн вывел из своей теории
определенное выражение, которое, как оказалось, очень
точно совпадало с данными, имеющимися у астрономов,
занимающихся расчетами плапетарных орбит. У эллипсов,
по которым движутся планеты, есть тенденция изменять
свою ориентацию в пространстве из-за возмущенней,
вносимых в их движение соседними планетами и Юпитером.
На орбиту Меркурия, в частности, действуют возмущения
главным образом со стороны соседней планеты — Венеры
и Юпитера, наибольшего но массе тела солнечной системы
после Солнца. Орбита Меркурия поворачивается в прост-
141

ранстве со скоростью, равной примерно одному угловому
градусу в столетие. Теория возмущений планет, развитая
до совершенства в XIX в. в основном французской
математической школой, среди представителей которой следует
упомянуть П. Лапласа (1749—1827), Дж. Лагран-
жа (1736—1813), У. Леверрье (1811—1877), позволила
объяснить полностью вюе результаты наблюдений. Не
удалось объяснить лишь один процент наблюдаемого
смещения перигелия Меркурия. И вот это крохотное
расхождение — 43 угловых секунды в столетие — смогла
объяснить лишь общая теория относительности.
Это блестящее соответствие теории и эксперимента
было поставлено под сомнение Дикке. Дикке
заинтересовался некоторой модификацией теории тяготения
Эйнштейна, которую сейчас называют скалярно-тензорной
теорией; теория была независимо развита Эйнштейном
и П. Бергманом, немецким физиком П. Иорданом и
французом Р. Сири. Эти попытки опирались сначала на работу
Т. Калуца (1886—1954), где он пробовал включить
электромагнитное поле в геометрию пространства-времени;
для этого ему пришлось постулировать существование
пятого (ненаблюдаемого) измерения. Скалярно-тензорная
теория отличается от схемы Калуца тем, что к
гравитационному и электромагнитному полю добавляется еще
одна переменная величина. Иордан пытался использовать
эту дополнительпую математическую величину для
космологических целей, связав ее с предположением,
высказанным в 1937 г. английским физиком П. Дираком.
Дирак отметил, что некоторые очень большие числа,
появляющиеся в физике и космологии, оказываются по
порядку величины близкими к 1020, 1040 и 1080. Так,
например, отношение электромагнитной и гравитационной
сил, действующих между двумя электронами, независимо
от расстояния между ними, равно, грубо говоря, 104Э.
В качестве другого примера мы приведем оценку полного
числа протонов и нейтронов во Вселенной, размеры
которой определяются по хаббловскому красному смещению.
Это число оказывается равным 1080. Исчерпывающая
теория физической Вселенной должна давать объяснение этим
числовым значениям, но такая задача представляется
безнадежной. Дирак указал, что эта неприятная трудность
не возникала бы, если бы все эти колоссальные числа
не были бы подлинными постоянными, но менялись бы
142

достаточно медленно, так что их современные значения
характеризовали бы всего лишь одно мгновение развития
космоса. Каждая из них была бы в той или иной мере
степенью одной из них, порядок которой был бы равен 1020.
Таким образом, все они разбиваются весьма четко на груп-
ны, которые отличаются друг от друга множителем 1020.
Иордан предположил, что появившаяся в скалярно-
тепзорной теории дополнительная переменная может быть
как раз той космологической переменной, о которой
говорил Дирак. Дикке разделяет эту точку зрения. Принимая
эту точку зрения, оба занялись поисками эффектов,
которые могут быть вызваны медленными, но устойчивыми
изменениями характеристик элементарных частиц и
другими аспектами изменения уравнений поля. Новая теория
также удовлетворяет принципу общей ковариантности;
следовательно, никаких изменений в тех эффектах,
которые объясняются непосредственно через принцип
эквивалентности, ожидать не приходится.
Как указал Дикке, скалярно-тензорная теория привю-
дит к слегка отличной скорости смещения перигелия по
сравнению с теорией Эйнштейна; разность между ними
составляет около одной десятой от эйнштейновского
значения. В связи с этим Дикке снова вернулся ко всем
возможным эффектам, влияющим на смещение перигелия
Меркурия. Он обнаружил, что существует один эффект,
тга который до сих пор не обращали внимания. Речь идет
о возможной сплющенности Солнца у полюсов. Когда
Ньютон развивал свою теорию планетарных орбит, он
предполагал, что и Солнце и планеты имеют сферическую
форму, поскольку гравитационное действие сферы ничем
не отличается от гравитационного действия точечной
массы. Заметное отклонение от сферической формы приводит
к возмущениям планетарных орбит и вызывает смещение
перигелия.
Сканируя по краю солнца и продолжая свей
наблюдения в течение нескольких месяцев летом 1966 г., Дикке
пытался исключить из окончательных результатов такие
эффекты, как рефракцию в земной атмосфере, которая
вызывает кажущееся сплющивание солнца (а также
и луны), наблюдаемое простым глазом, когда солнце
близко к горизонту. Так как Дикке искал сплющенность
солнца, составляющую менее Ю-4 (одной
десятитысячной) солнечного радиуса, основную трудность составляло
из

исключение различных маскирующих эффектов. Дикке
утверждал, что он действительно обнаружил
сплющенность солнца ожидаемой величины и в связи с этим
заключил, что вместо сорока трех угловых секунд за столетие
избыточное смещение перигелия, которое должны
объяснить теории, уточняющие теорию Ньютона, составляет
уже всего лишь тридцать девять угловых секунд.
Определение формы солнца с точностью лучшей, чем
одна десятитысячная,— это настолько трудная задача, что
результат, впервые полученный Дикке, должен быть
подвергнут проверке с использованием новых данных; сам
Дикке планирует продолжение своей деятельности в этом
направлении. Более точное значение расхождения между
наблюдаемым смещением перигелия Меркурия и
значением смещения, в котором учтены все возмущающие
эффекты других планет, будет высчитано заново группой
сотрудников Массачусетского технологического института.
В этих расчетах будут сочетаться лучшие известные
данные относительно планетарных орбит, полученные
обычными оптическими методами, с данными, которые
предоставляет новая техника межпланетных радаров.
Разработка скалярно-тензорной теории и, быть может,
других аналогичных допустимых теорий швее не
закончена. Каковы бы ни были результаты дальнейших
наблюдений, их значение в соперничестве между исходной
теорией тяготения Эйнштейна и ее новыми вариантами
представляется далеко не ясным. Но независимо от всех этих
вопросов успешное определение формы Солнца с высокой
точностью даст заметный вклад в понимание внутренней
структуры солнца. Сейчас никто не сомневается в том,
что внутренние области. Солнца заполняет жидкое
вещество; поэтому сплющенная форма Солнца могла бы
служить надежным * доказательством того, что внутренние
части Солнца находятся в быстром вращении; возможно
что они вращаются в десять раз быстрее, чем вращается
его видимая поверхность.
Этим можно было бы закончить краткое описание
некоторых программ исследований, осуществляющихся в
настоящее время с целью подтвердить или отвергнуть общую
теорию относительности. Совершенно иные
взаимоотношения между теорией тяготения и данными наблюдений
стали возможны после открытия квазизвездных объектов
(квазаров). Это открытие было сделано в 1963 г. Квазары
144

обнаруживают невероятно мощное свечение в сочетании
с мощным излучением электромагнитных волн в
радиодиапазоне. Частоты излучения оказываются сдвинутыми
в сторону красной части спектра на весьма большую
величину, которая меняется для известных в настоящее время
квазаров от значения, чуть превышающего десять
процентов, до значения, превосходящего сто процентов). Было
выяснено также Г. Смитом (в настоящее время
работающим в* Техасском университете) и Доррит Гоффлейт
(директор обсерватории Марии Митчелл), что некоторые
из квазаров имеют переменную яркость с ясно
выраженной периодичностью в несколько лет, на которую
накладываются иногда неожиданные изменения с , периодом
в несколько дней или недель.
Сразу же после обнаружения квазаров все средства
были брошены на выяснение вопроса о том, является ли
наблюдаемое необычно большое красное смещение
гравитационным или космологическим (эффект Хэббла); это
обстоятельство важно для оценки расстояния этих
объектов от Земли. Вывод, к которому пришли тогда и который
принимается сейчас большинством специалистов!, состоит
в том, что красное смещение имеет космологическое
происхождение, потому что нельзя придумать никакой разумной
модели, которая могла бы объяснить большое
гравитационное красное смещение наряду с другими данными по
свечению и приблизительно известной температурой
поверхности квазара. Если эта интерпретация не будет
поколеблена, квазары отстоят от Земли на расстояние 109 — 1010
световых лет. Но отсюда следует, что подробное изучение
распределения квазаров по небесной сфере может
предоставить нам важную информацию о крупномасштабной
структуре Вселенной. Согласно приведенной оценке
расстояний астрономы не знают других объектов, которые
могли бы сравняться с квазарами по их внутренней
светимости; уже по одной этой причине никакой другой класс
объектов, в том числе и большие галактики, не могут
обеспечить нас подобной информацией. В связи с этим
специалисты в области космологии, часто говорят о стандартных
свечах, подразумевая под этим термином любой класс
надежно отождествляемых астрономических объектов
высокой светимости, которые — на это приходится надеяться —
распределены по Вселенной хотя и беспорядочно, но более
или менее равномерно. Чем ярче и, следовательно, чем
145

виднее каждая отдельная стандартная свеча, тем полезнее
те данные, которые могут быть получены из
статистической информации, касающейся ее кажущегося
расстояния, светимости и красного смещения.
В 1966 г. Г. Арп (Паломарская обсерватория)
опубликовал данные, из которых следовало, что невероятно
большой процент квазаров оказался в кажущейся тесной
близости с другими астрономическими объектами, расстояние
которых от Земли было хорошо известно и составляло
около 108 световых лет. Данные Арпа — статистические
в том смысле, что они предполагают действительную
ассоциацию квазаров с другими объектами не потому, что
налицо видимая близость в отдельных случаях, а из-за
того, что это имеет место для преобладающего числа
случаев. Эти рассуждения не слишком надежны, и
положиться на них безоговорочно нельзя. Если они все же
окажутся верными, все принятые в настоящее время
оценки светимости, массы, размеров и других характеристик
квазаров должны снизиться на несколько порядков.
Наблюдаемые красные смещения могут быть тогда
гравитационного происхождения, указывая на крайне
экзотическую структуру квазаров. Иначе, красное смещение
может быть интерпретировано как допплеровское
смещение. Последняя интерпретация означает, что все
известные квазары удаляются от Земли с релятивистскими
скоростями. Это едва ли можно допустить.
Если бы наблюдаемые красные смещения были
гравитационными, квазары создавали бы самые сильные
гравитационные поля, какие наблюдались где-либо во Вселен-
, ной. Квазары оказались бы самыми подходящими
кандидатами для релятивистских лабораторий вне Земли,
правда, не очень доступными лабораториями. Очевидно,
квазары принадлежат к самым мало понятным
астрономическим объектам, и каким бы ни оказалось их расстояние от
Земли, они надолго сохранят свое очарование для тех, кто
занимается теорией относительности.
21. Движение частиц
Релятивистская физика рассматривает большие массы
с высокой концентрацией вещества, гравитационные
волны и космологические проблемы. Это уже сложившийся
круг вопросов. При рассмотрении этих проблем, как впро-
146

том, и при использовании данных наблюдений для
проверки самой теории, общая теория относительности вступает
м непосредственное соприкосновение с экспериментом
к данными наблюдений. Кроме того, сама теория была
подвергнута дальнейшему анализу. Нельзя не отметить,
что общая теория относительности во многих отношениях
отличается от других физических теорий.
Заключительные главы этой книги посвящены теоретическим работам,
и екоторые из которых даже не закончены.
Основной особенностью общей теории относительности
лпляется то, что ее законы остаются неизменными неза-
писимо от того, какую систему координат мы выбираем.
В свободном пространстве гравитационное поле
подчиняется законам, которые в некоторых отношениях
напоминают законы, управляющие другими физическими
полями; самыми важными среди них являются законы
электромагнитного поля. Но тогда как все другие
известные сейчас в физике законы полей выглядят по-разному
и зависимости от того, какие используются координаты
(прямолинейные или криволинейные, прямоугольные или
косоугольные), эйнштейновские законы гравитационного
поля во всех координатных системах сохраняют в точности
ту же самую математическую форму. Такая свобода
выбора системы координат может быть использована в самых
различных направлениях. Обычная техника состоит в том,
что сравниваются те различные формы, которые
конкретное поле принимает при его описании с помощью
различных координатных систем, и используется то
обстоятельство, что все эти формы должны подчиняться одинаковым
законам (дифференциальным уравнениям). Две
координатные системы могут быть тождественны друг другу
в некоторой области изменений временной координаты,
но могут различаться вне этой области (рис. 67). Две
соответствующие формы, которые принимает конкретное поле,
будут также тождественны в той области, где две
используемые координатные системы совпадают, но будут
отличаться друг от друга вне этой области* Отсюда следует,
что в общей теории относительности математическая
форма поля в течение заданного периода, времени отнюдь
не определяет однозначным образом форму поля за
пределами этого периода.
Отсутствие однозначности при продолжении решений
уравнений поля по временной оси (или в этом же смысле
147

вдоль любой другой оси) влечет за собой глубокие
выводы, касающиеся математической структуры уравнений.
На первый взгляд законы гравитационного поля (в том
виде, б каком они постулируются общей теорией
относительности) напоминают законы любой другой теории
поля. Число уравнений равно числу компонент поля. Их
десять. Но во всех других теориях поля каждое из таких
уравнений определяло скорость изменения со временем
Рис. 67. Две координатные системы,
совпадающие друг с другом некоторое время.
одной из переменных поля; если в какой-то момент
времени значения всех переменных поля в каждой точке
пространства определены экспериментально, уравнения
поля определяют скорость, с которой изменяются все эти
переменные, и, следовательно, значения этих переменных
во все последующие моменты времени.
В общей теории относительности четыре координаты,
используемые для идентификации мировых точек, могут
быть продолжены произвольно от любого начального
момента времени; продолжение поля в будущее (или
прошлое) в этом смысле произвольно. В соответствии с этим
из десяти уравнений поля только шесть имеют
отношение к продолжению поля в будущее; четыре
переменных поля могут иметь произвольную скорость
изменения. Остающиеся четыре уравнения поля определяют
условия, ограничивающие выбор переменных поля в
заданный начальный момент времени.
Такие ограничения не имеют аналогов в обычных
теориях поля. Вместе с тем они характерны для любой
теории, которая должна предоставить число уравнений
поля, равное числу переменных поля, причем так, что эти
148

уравпения должны подчиняться принципу общей
ковариантности. Если, например, общая теория
относительности обобщена таким образом, что в нее включено
электромагнитное поле и, быть может, другие поля без
нарушения общей ковариантности, четыре уравнения все
ран по не будут иметь отношения к продолжению полей
и будущее, а будут указывать ограничения, налагаемые
на возможные начальные ситуации.
Если ограничения на начальные ситуации удовлет-
иоряются в какой-то момент времени, уравнения поля
«нтоматически обеспечивают их сохранение на будущее;
пот никакой необходимости еще раз накладывать эти
ограничения в какой-либо другой момент времени. В этом
смысле четыре уравнения, ограничивающие начальные
ситуации, и шесть уравнений поля, определяющих
продолжение полей во времени, вполне согласуются друг с
другом. Все вместе они определяют движение частиц
иод действием поля.
В характерной для небесной механики ситуации
большая часть пространства свободна от вещества;
и этих областях пространства есть только гравитационное
ноле, которое подчиняется уравнениям поля для вакуума.
1 f ебесные тела — источники гравитационного поля —
нанимают очень малые области пространства,
отделенные друг от друга обширными пустотами. Могут ли
эти источники гравитационного поля двигаться
совершенно свободно или же на них оказывают влияние
окружающие поля? В теории тяготения Эйнштейна такое
г.лияние действительно существует, тогда как в других
теориях поля источники могут свободно двигаться
произвольным образом. В электродинамике, например,
источники электромагнитного поля — электрические
заряды — могут направляться и двигаться как угодно
при наличии любых не электрических сил, а
электромагнитное поле все равно будет удовлетворять
уравнениям поля — уравнениям Максвелла. В теории тяготения,
однако, нельзя математически построить никакого поля
в пространстве, окружающем тяготеющую массу (и
подчиняющемуся уравнениям Эйнштейна), если каждая из
масс не будет удовлетворять четырем условиям. Одно из
этих условий определяет зависимость массы тяжелого
тела от времени, остающиеся три налагают ограничения
на три компоненты его движения. Когда рассматривается
149

одно тяжелое тело, эти четыре условия требуют, чтобы
масса тела и его скорость оставались постоянными. Если
имеются еще и другие тела, из тех же самых условий
будет вытекать взаимное притяжение тяжелых масс
(ускорение относительно друг друга).
На первый взгляд этот теоретический вывод ведет к
определенным трудностям. В общей теории
относительности нет необходимости для отделения и разделения законов
1\ля поля и для движения тяжелых тел, так как законы
движения тел уже заключены в уравнениях поля. Таким
образом, теория исключает всякую возможность
манипулирования источниками гравитационного поля внешними
воздействиями, как это допускается, скажем, в теории
электромагнитного поля и практически реализуется в
лабораторных условиях. Не противоречит ли такая жесткость
теории тяготения нашему повседневному опыту?
Ответ нужно искать в принципе эквивалентности.
Чтобы манипулировать электрическими зарядами или
гравитационными массами, требуются определенные
устройства. Нетрудно создать аппаратуру, нейтральную по
отношению к электрическим зарядам. Присутствие
аппаратуры, обладающей этим свойством, ничего не внесет
в электрическое поле. Однако устройства,
предназначенные для перемещения тяжелых тел, сами всегда
обладают такими свойствами, как масса и натяжения; а это
означает, что эти устройства в свою очередь являются
источниками гравитационного поля. Даже до появления
теории относительности третий закон Ньютона
утверждал, что любой агент, способный вызывать силы,
испытывает силу противодействия. В зависимости от своей
собственной массы прибор получает ускорение. Когда
ньютоновская теория была видоизменена и заменена
эйнштейновской теорией, было выяснено, что полное
гравитационное поле подчиняется всем условиям, требуемым
этой теорией, лишь в том случае, когда справедлив
закон действия и противодействия. Таким образом,
никакого парадокса и не существовало. Напротив, поскольку
законы поля включают в себя также и законы,
определяющие движение источников поля, математическое
согласие этих законов заранее обеспечено. Обеспечено
также сохранение полной массы и полного импульса.
Последний результат достигался в других теориях ноля
отнюдь не малыми математическими ухищрениями.
150

22. Квантовая теория гравитации
Теоретическая физика двадцатого века
характеризуется возникновением двух новых теорий — теории
относительности и квантовой теории. Квантовая теория
появилась на пять лет раньше теории относительности:
М. Планк опубликовал свою первую работу по
квантовой теории излучения абсолютно черного тела в 1900 г.
Эта первая работа не касалась квантовой теории атомов.
Она претендовала лишь на объяснение спектрального
распределения электромагнитного излучения, испускаемого
нагретыми телами. Планк предположил, что энергия в
электромагнитном излучении встречается в виде
сгустков, причем величина энергии в сгустке
пропорциональна частоте испускаемого излучения. Без этого
предположения нельзя было объяснить, почему нагретые тела
не могут испускать излучение произвольно высокой
частоты с такой скоростью, что полная испускаемая
энергия делается бесконечной. Таким образом, зарождение
квантовой теории было тесно связано со свойствами
электромагнитного поля. Тринадцать лет спустя Нильс
Бор (1885—1962), датский физик, применил квантовые
представления к атомам и атомным спектрам.
На первых порах квантовая теория касалась
главным образом существования энергии в виде сгустков.
Постепенно пришло понимание того, что это разбиение
энергии на сгустки, которое с экспериментальной точки
зрения не вызывает ни малейших сомнений, никак не
сочетается с классическими представлениями о
поведении частиц. Немецкий физик Вернер Гейзенберг указал
в 1927 г. на то, что принципиально невозможно
приписать частице в некоторый момент времени точное
местоположение и точное состояние движения. Невозможно
также поставить эксперимент или наблюдение по
одновременному определению этих величин со сколь угодно
высокой степенью точности. Согласно идеям Гейзенбер-
га произведение неточностей, возникающих при
определении положения и импульса частицы, ни в коем случае
не может быть меньше, чем постоянная Планка. Значение
постоянной Планка — одной из универсальных
физических констант — равно 6,6 • Ю-27 эрг • сек. Это
ограничение, известное под названием принципа неопределенности,
допускает построение теоретической схемы, определенные
151

величины в которой, такие, как энергия и момент
импульса, способны принимать лишь дискретные значения.
Обычные же законы механики не утрачивают свою силу, по
крайней мере для средних значений физических величин.
Характерной чертой квантовой теории является то, что
результат большинства измерений не может быть
предсказан с полной достоверностью на основе знания
характеристик системы в прошлом. В лучшем случае удается
приписать вероятность получения различных возможных
значений. Другими словами, квантовая механика не
позволяет предсказать результат отдельного измерения. Она
может только ответить на вопрос, как часто будет
появляться возможный результат, если тот же самый экспери-
мецт и измерение будут повторены достаточно большое
число раз.
Неопределенности, возникающие согласно принципу
Гейзенберга, вполне ощутимы в области атомных явлений.
Они, как правило, совершенно несущественны для тел,
обладающих обычной (макроскопической) массой и
размером; таким образом, принцип неопределенности не
вызывает никаких трудностей при интерпретации явлений
повседневной жизни.
По мере того как физики постепенно осваивали эти
представления, основные идеи квантовой физики и, оз
частности, принцип неопределенности стали прилагаться ко
всем физическим явлениям. Реально очоиь трудно
представить себе взаимодействие между двумя физическими
системами, одна из которых подчиняется принципу
неопределенности, а другая нет. Если, например, атомные
частицы подчиняются этому притщипу, а гравитационные
поля нет, можно попытаться поставить эксперимент, по
крайней мере мысленно, в котором с очень высокой
степенью точности определяются значения всех компонент
гравитационного поля, окружающего «тяжелую» частицу.
Затем с той же точностью можно подсчитать все
характеристики источника гравитационного ноля, т. о. самой
частицы.
В связи с этим было предпринято немало попыток
распространить квантовую теорию на гравитационные
поля. Эта программа не принесла окончательного успеха,
хотя нет никаких причин к тому, чтобы она по могла быть
реализована. Встречающиеся па этом пути трудности
представляют интерес сами по себе. Они заключены в своеоб-
152

разной природе эйнштейновской теории. Во всех других
теориях поля, в том числе и специальной теории
относительности, пространство и время было наделено жесткой
геометрической структурой, независимой от происходящих
в ней физических процессов. Теория Эйнштейна
вкладывает в пространство и время нечто большее, чем просто
существование мировых точек и некоторую степень их
непрерывности, достаточную для того, чтобы утверждать,
что некоторые мировые точки «близки» друг к другу.
Геометрическая структура (в смысле количественного
определения расстояния между двумя мировыми точками
и параллельного переноса определенного направления из
одной мировой точки в соседнюю) вносится в
пространственно-временной континуум только гравитационным
полем. Эта геометрическая структура отнюдь не является
жестко определенной, а зависит от локальных условий
и законов физики. Любая форма поля обладает энергией,
а энергия всегда является источником гравитационного
поля; любые поля и любые частицы впосят свой вклад в
геометрическую структуру. Если гравитационное поле
подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга,
геометрия пространства-времени также должна отражать
эту неопределенность. От строгих связей между мировыми
точками приходится тогда отказаться и перейти к
некоторым вероятностным формулировкам. По этой причине
квантовая теория гравитационного поля требует введения
новых представлений, которые были не нужны в прошлом,
но появление которых окажет влияние на всю физику.
23. Что такое наблюдаемая величина?
Квантовая механика учит, что даже самая подробная
информация о прошлом физической системы не
позволяет сделать определенные предсказания о результатах
новых измерений. Вместо этого для каждого допустимого
типа измерений в будущем теория указывает, какие
результаты возможны, и в зависимости от того, какая
имелась информация о прошлом, она связывает с каждым из
этих возможных результатов вероятность (или частоту)
получения результата. Квантовая теория вообще ничего
не говорит о величинах, которые нельзя наблюдать каким-
либо экспериментальным приемом. Физические величины,
доступные наблюдению и измерению, называют наблю-
153

баемыми, и это представление относится в равной степени
к квантовой и неквантовой (классической) теориям.
До появления общей теории относительности физики
избегали рассмотрения величин, которые не поддавались
наблюдению и измерению. Более того, во всей докванто-
вой физике считалось, что по крайней мере при достаточно
полной эмпирической информации о прошлом системы из
законов динамики можно получить точную информацию
о значениях всех наблюдаемых величин во все
последующие моменты времени. Подтверждение принятых законов
динамики состояло в сравнении теоретически
предсказанных значений переменных в будущем с фактическими,
экспериментально полученными значениями тех же самых
величин.
Общая теория относительности в высшей степени
осложнила представление о наблюдаемых величинах из-за
того, что в ней принимается принцип общей
ковариантности. В физической теории Ньютона и даже в специальной
теорий относительности описание прошлого физической
системы включало в себя выбор определенной инерциаль-
ной системы отсчета, и эта система отсчета выбирается
уже раз и навсегда. Все предсказания, касающиеся
будущего, делаются в рамках именно этой инерциальной
системы отсчета; в этом смысле должны пониматься,
например, такие утверждения, как «десять секунд спустя...
частица будет находится в таком-то месте».
Но если взять на вооружение принцип общей
ковариантности, выбор координатной системы для описания
прошлого системы уже недостаточен для того, чтобы была
однозначно определена четырехмерная координатная си-,
стема для предсказания поведения системы в будущем.
Эта неоднозначность .определения координатной системы
до известной степени уже обсуждалась в связи с законами
движения материальных тел. Во всяком случае,
утверждения предыдущего параграфа со всеми их уточнениями
утрачивают свой буквальный смысл в общековариантной
теории вне зависимости от того, насколько тщательно
описывается прошлое физической системы. Чтобы любая
величина типа переменной поля в будущем стала
наблюдаемой, следует указать те чувствительные приборы и все
их механические характеристики, с помощью которых
будут производиться измерения. Можно, например,
оговорить, что некие свободно падающие часы, отсчитывающие
154

на своем циферблате собственное время, сталкиваются с
определенной пробной частицей и что в момент
столкновения стрелка часов будет показывать определенное время.
Для такого утверждения выбор координатной системы
не обязателен.
Исторически сложилось так, что гравитационное поле
в общей теории относительности всегда описывалось с
помощью значений отдельных переменных поля в мировых
точках, которые задавались значениями своих координат.
Из предыдущего ясно, что эти величины нельзя
наблюдать и что нельзя предсказывать их значения, потому что
мировые точки можно задавать значениями их координат
только в том случае, если координатная система в
окрестности этой мировой точки задана через другие наблюдения.
Следовательно, ни один из параметров, используемых
обычно для описания физических ситуаций, не является
наблюдаемым в строгом смысле этого слова. В любой
квантовой теории гравитационного поля, связанной с общей
теорией относительности, просто нет величин,
относительно значений которых можно делать вероятностные
предсказания.
Но хотя бессмысленно задавать вопрос о значениях
переменных поля в мировых точках, заданных через их
координаты, совсем по-другому обстоит дело с физической
ситуацией. Могут существовать такие процедуры
наблюдения, при которых можно зафиксировать некоторые
частные обстоятельства, позволяющие отличить одну
физическую ситуацию от другой допустимой физической
ситуации. Если бы это было не так, общая теория
относительности была бы бессодержательной, не имеющей отношения
к действительности. Но если есть характерные черты в
каждой физической ситуации и можно отличить одно
гравитационное поле от другого, должны существовать
формальные математические выражения, отражающие эти
различия. Эти математические выражения будут уже
играть роль наблюдаемых в теории тяготения. Квантовая
теория гравитационного поля должна строиться с
использованием этих величин.
Но одно дело понимать, что в общей теории
относительности должны быть наблюдаемые величины, и совсем
другое дело построить такие величины, да еще так, чтобы
ими можно было с успехом пользоваться. Фактически
вопрос о наблюдаемых находится сейчас в весьма плачев-
155

ном состоянии. Некоторые авторы выдвигали
предложения для нахождения наблюдаемых в гравитации, но все
известные до сих пор технические приемы крайне
неудобны. Хотя в принципе нет никаких оснований для
возникновения непреодолимых трудностей, до сих пор
необходимая техника не разработана.
Одно из предложений для построения наблюдаемых
опирается на идею совпадений. Хотя маркировка мировых
точек с помощью значений координат зависит от выбора
координат, точку можно объективно маркировать за счет
различия в свойствах локальной геометрической
структуры. Допустим, например, что кривизна (которая имеет
двадцать различных компонент) меняется от точки к
точке, так что каждая мировая точка может быть
маркирована несколькими компонентами кривизны. В той же самой
точке имеются и другие геометрические величины,
принимающие конкретные числовые значения, такие, как
скорость изменения кривизны на единице длины по
различным направлениям. Некоторые из этих величин связаны
друг с другом уравнениями поля, так что их
соответствующие значения зависят друг от друга. Но связи существуют
не между всеми величинами. Фактически в любой мировой
точке существует бесконечное число геометрических
свойств, которые вовсе не определяются какими-либо
универсальными законами: если в двух различных
гравитационных полях одна и та же мировая точка маркируется
значениями четырех различных геометрических
характеристик, то в этих двух «соответствующих» точках в двух
ситуациях другие геометрические параметры будут также
иметь различные значения в двух многообразиях. Эти
различные значения могут служить для установления
различия между двумя физическими ситуациями и
доступны экспериментальному определению. Следовательно,
они являются наблюдаемыми в полном смысле этого слова.
Другое предложение относится только к специальному
классу физических ситуаций, таких, в которых
присутствует гравитационное излучение, но при этом геометрия
уплощается по всем направлениям, так что можно
использовать на бесконечности все характеристики континуума
Минковского. Существование конечного числа весомых
тел не мешает такому предположению. В физических
ситуациях такого типа можно описывать гравитационное
излучение на больших расстояниях по всем направлениям
156

с помощью волновых характеристик, которые можно
зарегистрировать подходящим детектором. Так как на больших
расстояниях пространство почти плоское, геометрические
соотношения между удаленными мировыми точками
допускают наличие некоторых из характеристик обычно
связанных с полным уплощением. В результате
математическая задача построения маркирующих отметок, к которым
можно отнести положение в пространстве и времени,
упрощается и конструирование наблюдаемых,
напоминающих наблюдаемые привычных физических теорий,
может быть осуществлено. К сожалению, еще' совсем неясно,
будут ли эти наблюдаемые (которые Бонди назвал
новыми функциями) иметь прямое отношение к наблюдаемым,
вводимым в общей теории; именно это могло бы дать
некоторую гарантию на успех в общем случае.
24. Пространство-время сегодня и завтра
На протяжении всей этой книги свойства пространства
и времени составляли тот фон, ыа котором
разворачивалась эволюция нашего понимания тяготения. Во всей
истории естественных наук пространство и время служили
тем помостом, на котором наблюдалась, описывалась,
анализировалась и интерпретировалась динамика физических
систем и даже Вселенной в целом. Вплоть до двадцатого
века считалось, что этот помост не имеет никакого отно-*
шения к драматическим событиям, разыгрывающимся на
нем; его свойства принимались раз навсегда данными и ни
зависящими от присутствия вещества или каких-либо
других физических объектов. Конечно, вместе с
интеллектуальным ростом человечества свойства, приписываемые
пространству и времени, становились все более и более
сложными и все больше и больше отходили от «интуитивных»
представлений, основанных на опыте повседневной жизни.
По представлениям Ньютона трехмерный
пространственный континуум был плоским; к физическому
пространству можно было применять постулаты Евклида.
Пространство образовано из точек, которые можно было упоря-.
дочить в трехмерную решетку; решетку же можно было
построить из прямых линий. Декартовы координаты
являются наиболее естественной системой координат для
такого многообразия. Время мыслилось как одномерный
континуум, не зависящий от пространства и обладающий
157

полной однородностью вдоль всего своего (бесконечного)
протяжения. Любой момент времени можег быть взят за
начальный; все другие моменты времени направлены
вперед (будущее) или назад (прошлое) без конца.
Соотношение между временем и пространством не позволяло
считать какое-либо состояние движения (единственным)
состоянием абсолютного покоя; целый класс состояний
движения обладал особым свойством — в нем не было
внутренних ускорений. Координатные системы,
движущиеся без ускорения, в обычном пространстве в сочетании
с однородной шкалой времени определяют класс инерци-
альных систем отсчета.
В специальной теории относительности временной
континуум уже зависит от пространственного континуума:
вместе они образуют четырехмерный континуум,
Вселенную Минковского, которая обладает однозначно
определенной (плоской) собственной геометрией. Вселенная
Минковского также не зависит от объектов, находящихся
в ней. Инерциальные координатные системы по-прежнему
однозначно определены и составляют отчетливо
выделяемый класс координатных систем, особенно удобный для
использования в геометрии Минковского.
Переход от специальной теории относительности к
общей теории относительности также означает образование
четырехмерного континуума, который локально
напоминает Вселенную Минковского. Но этот новый континуум
уже не плоский. Детали геометрии теперь уже зависят от
гравитационного поля, на которое в свою очередь
оказывает влияние распределение его источников.
Но, какова бы ни была геометрия, мировые точки
маркируются значениями своих координат. В ньютоновском
пространстве-времени, а также во Вселенной
Минковского взаимоотношение между несколькими мировыми
точками полностью рпределено, если известны
соответствующие значения их координат. Это обусловлено двумя
причинами: во-первых, тем, что геометрия этих
многообразий задана раз навсегда, а во-вторых, тем, что все*
«подходящие» координатные системы, т. е. инерциальные
системы, представляют собой жесткие копии одна другой
всегда с прямыми углами между координатными осями.
Знание расстояния между двумя мировыми точками не
определяет координат этих точек, но обратное верно: если
соответствующие значения координат двух мировых то-
158

чек известны, расстояние межцу этими точками может
быть подсчитано по простой формуле. Далее, лоренцева
система отсчета может быть полностью определена
несколькими простыми данными. Достаточно, например,
зафиксировать начало оси времени (момент, который
следует назвать «настоящим»), начало системы отсчета
в два различных момента времени (чтобы определить
движение инерциальной системы отсчета) и направление
трех пространственных осей (всего лишь один раз) с
помощью трех углов. В эту информацию входит всего лишь
десять данных. Существенно, что те же самые десять
элементов информации пригодны для выделения
инерциальной системы отсчета как в ньютоновской физике, так и в
специальной теории относительности.
В общей теории относительности не существует ни
прямолинейных координат, ни каких-либо других жестко
фиксированных координатных систем. Таким образом,
нельзя указывать конечное число элементов информации,
которое было бы достаточно, чтобы зафиксировать
четырехмерную координатную систему. Соответствующие
координаты двух мировых точек сами по себе не дают
информации ни о расстоянии между точками, ни о каких-
либо иных геометрических взаимосвязях этих точек.
Когда гравитационные поля описываются через геометрию,
налагаемую на четырехмерный континуум мировых точек,
такое описание можно интерпретировать следующим
образом: «можно подобрать (четырехмерную) координатную
систему, в которой тензор кривизны принимает такую-то
форму». Это обстоятельство и дает реальную и полную
характеристику конкретной геометрии. Но та же самая
геометрия может быть отождествлена на бесконечности
различными путями. Если принять некоторое
определенное описание, произвольное преобразование координат
(переход к новой системе координат, к новой системе
отсчета) приведет к новому и совершенно другому описанию
той же самой геометрии, причем это новое описание
вполне равноправно предшествующему.
Согласно общей теории относительности
пространственно-временной континуум все еще состоит из мировых
точек, причем эти мировые точки можно маркировать
(хотя и неоднозначно) с помощью координат. В
конкретном гравитационном поле мировые точки можно
маркировать, причем однозначным образом, на основе геометри-
159

ческих свойств. Поскольку в каждой точке можно указать
бесконечное множество геометрических параметров,
маркировка точек возможна бесконечным числом способов;
все эти способы маркировки могут быть переведены один
в другой, но не с помощью универсального словаря, а
лишь благодаря особенностям данной конкретной
геометрии. Фактически «соударения», упоминавшиеся в связи
с поисками наблюдаемых величин, и представляют такой
специальный словарь.
Так что же остается от мировой точки? С
исчезновением некогда прямолинейного и плоского многообразия и
его преобразованием в искривленный и изогнутый
нерегулярный континуум роль мировой точки почти сошла на
нет. Нетрудно проследить, что в современной
формулировке общей теории относительности мировая точка остается
как след предшествующих физических теорий, который
обречен на исчезновение по мере развития теории.
Как и все другие теории, описывающие явления
природы, теория относительности несомненно нуждается
в усовершенствовании и, быть может, даже полной
замене, когда этого потребуют новые сведения о физической
Вселенной. Но, не принося окончательного ответа, каждый
крупный шаг в развитии теории открывает перед
человеком новые возможности для понимания окружающего
мира. Механика Ньютона четко разъяснила понятия
массы и силы; синтез законов электромагнетизма позволил
Фарадею и Максвеллу подойти к представлению о
физических полях. Теория относительности показала людям,
что пространство и зремя отнюдь не неизменный фон для
находящихся в движении физических систем; напротив,
гравитационное поле и геометрия пространства-времени
образуют единое целое. Представление о геометрии как о
непрерывно изменяющемся аспекте реального мира, а не
как об абстрактной математической структуре — вот тот
вклад в познание природы, который переживет частные
особенности эйнштейновских законов тяготения.

Дополнения
1 Закон равных площадей Кеплера
Кеплер обнаружил, что при движении планет вокруг
Солнца радиус-вектор планеты (прямая, соединяющая
Солнце и планету) «ометает» за равные промежутки времени
равные площади, как это изображено на рис. 2. В этом
Дополнении мы покажем, что закон равных площадей можно
получить, считая, что ускорение планеты в любой момент
времени направлено к Солнцу.
Заменим действительную траекторию планеты ломаной
линией, как это сделано на рис. 68. (Такая замена отнюдь
Рис. 68. Закон равных пло- Рис. 69. Движение без ус
щадей. корения.
не необходима, но она позволяет избежать применения
дифференциального исчисления.) Каждый сегмент на
рис. 68 выбран так, что радиус-вектор планеты «ометает»
каждый треугольник (АОВ, ВОС,...) за один и тот же
промежуток времени (скажем, месяц). Рис. 69 иллюстрирует
случай неускоренного движения. На этом рисунке отрезки
161

АВ, ВС,... имеют одинаковую длину. В этом случае совсем
нетрудно убедиться в том, что все треугольники: АОВ,
БОС,... имеют равные площади. Доказательство опирается
на формулу площади треугольника
А = "2" ah.
Буквой А обозначена площадь треугольника, а — любая из
его сторон, h — высота, опущенная на эту сторону
(перпендикуляр, опущенный из вершины, противолежащей
стороне а). Если на рис. 69 выбрать стороны АВ, ВС,... за
основания, у всех треугольников высота будет одна и та же.
А так как стороны АВ, ВС,... равны друг другу, то и
площади, которые нас интересуют, оказываются равными.
Вернемся к рис. 68. Почему оказывается, что
треугольник ВОС имеет одинаковую площадь с треугольником
АОВ? Так как сторона ВО в одном треугольнике равна
стороне ВО в другом треугольнике, то отсюда следует, что
высота, опущенная из С на ВО, должна быть равна высоте,
опущенной из А на ОБ (рис. 70). Поскольку отрезки АВ,
ВС,... в последовательно построенных треугольниках
представляют скорости (смещения в единицу времени), следует
заключить, что
приращение скорости Ау
должно быть параллельно
радиусу-вектору ВО.
Для достаточно узких
треугольников (если
направление движения
указывается не раз в
месяц, а раз в день, в
час или секунду) линия
Рис. 70. Несколько увеличенная L будет проходить сов-
часть рис. 68. сем рядом с Солнцем,
находящимся в точке О. В предельном случае, когда
точки А, В, С,... находятся уже на бесконечно близком
расстоянии друг от друга и ломаная уже не отлична от
плавной кривой на рис. 2 и 68, непрерывное изменение
направления движения при движении по орбите будет
точно указывать в точку О.
Тем самым доказательство закончено. Сила
изменяющая движение планеты, в любой момент времени должна
быть направлена к Солнцу, если выполняется закон
площадей Кеплера.
162

2. Вывод закона обратной пропорциональности квадрату
расстояния для сил тяготения
Третий закон Кеплера для движения планет по орбитам
утверждает, что период обращения планеты (время, за
которое планета совершает полный оборот вокруг Солнца)
пропорционален длине наибольшей оси ее эллиптической
орбиты в степени три вторых. В этом Дополнении будет
показано, что уже из одного этого
факта вытекает, что ускорение
планеты, направленное к Солнцу,
должно быть обратно
пропорционально квадрату расстояния от
Солнца. Для простоты мы
приведем вывод для круговой
орбиты. Ньютон показал, что этот
вывод годится и для эллиптических
орбит.
Хотя на круговой орбите
величина скорости остается
неизменной, направление скорости все
время меняется. Если обозначить
радиус круговой орбиты через г, то
длина окружности равна 2яг. За время, за которое
планета пройдет небольшой отрезок пути L, ее скорость v
изменится на небольшую величину до, как это показано на
рис. 71. Отношение величин w и v равно отношению L
к радиусу г, т. е.
w L
v г
Если время, требуемое для прохождения пути L,
обозначить через t, а период обращения планеты через Т, то
предыдущее отношение можно переписать так:
Рис. 71. Ускорение при
движении по круговой
орбите.
w
V
= 2л
t
т
потому что скорость v равна отношению длины окружности
к периоду обращения: v = 2пг/Т. Отношение w/t равно
скорости, с которой изменяется скорость в единицу
времени, т. е. ускорению а, так что
* = "7" = 2л ~т = 4я2 ~h •
163

Поскольку сила, действующая со стороны Солнца на
планету, равна произведению массы планеты на ускорение,
для силы / можно написать выражения
Если период обращения Т пропорционален г3/з, как это
было установлено Кеплером на основе наблюдений,
произведенных Тихо Браге:
Т = Ьг\
то, подставляя этот эмпирический закон в предыдущее
выражение для силы, мы придем к искомой зависимости сил,
действующих со стороны Солнца на планету, в виде
, 4я2 ш
5. Преобразование Лоренца
Для двух наблюдений, которые связаны с инерциальны-
ми системами отсчета, находящимися в относительном
движении, существуют соотношения, позволяющие
пересчитать пространственные и временные координаты события от
одной системы отсчета к другой. Если эти соотношения
удовлетворяют основным требованиям специальной теории
относительности, они называются преобразованием
Лоренца. В эти основные требования входит требование
универсальности скорости света в пустоте для всех инерциальных
систем отсчета. Кроме того, нужно удовлетворить еще и
такому условию: если два события наступили таким
образом, что соединяющая их прамая перпендикулярна
направлению относительного движения двух систем, и если
события в одной системе отсчета были одновременны, они
должны оказаться одновременными и в любой другой
системе; расстояние между этими событиями также должно
быть одинаковым для обоих наблюдателей. Происходит так
потому, что проблема одновременности, поднятая
Эйнштейном, может быть обойдена для пары событий, находящихся
в указанном взаимоотношении. Если наблюдатель
находится на прямой, делящей линию, соединяющую два события,
пополам и перпендикулярную к ней, расстояния между ним
и точками, в которых произошли два события, останутся
164

равными друг другу в любой момент времени до тех пор,
пока наблюдатель остается на этой линии (рис. 72).
Допустим теперь, что второй наблюдатель движется
относительно первого наблюдателя с постоянной скоростью v
в положительном направлении оси х. Обозначим время
этого наблюдателя (в его системе
отсчета) через t', его
пространственную координату в направлении
относительно движения через х', а
расстояние по перпендикуляру от
оси хг через /. Произведем в
момент времени f = О в точке / = 0
вспышку света. Согласно основным
постулатам специальной теории
относительности свет будет
распространяться по всем направлениям
с одинаковой скоростью с.
Другими словами, этот световой сигнал
будет распространяться таким
образом, что в любой момент
времени t\ последующий за моментом
вспышки, геометрическим местом
точек, до которых дойдет сигнал (световая волна), будет
сфера радиуса ct'. Поэтому связь между временем и
пространственными координатами запишется в форме
уравнения сферы
я'2 + /2 = Л/2?
если слегка изменить расположение слагаемых, то
Тот же самый сигнал может видеть второй наблюдатель,
у которого свои координатные отметки и свой счет времени.
Для простоты будем считать, что и в его системе отсчета
вспышка произошла в момент времени I = 0 и в точке
х = О, г = 0. По предположению оба наблюдателя должны
обнаружить, что свет распространяется по всем
направлениям с одинаковой скоростью с. Поэтому второй
наблюдатель установит, что для светового сигнала справедливо
равенство
Рис. 72. Два события,
наступившие на
линии, перпендикуляр^
ной направлению дви-
ж ения.
сЧ2—х2=г2.
165

Так как величина г представляет собой расстояние,
отсчитываемое перпендикулярно направлению движения, оба
пространственных расстояния гиг'в любой момент
времени равны друг другу, так что соответствующие
пространственные и временные координаты (сферического фронта
волны) связаны между собой соотношением
Это соотношение должно удовлетворяться для всех
комбинаций х, t, z' t', так как они относятся к одному и тому же
набору мировых точек. Действительно, для любого набора
х, t, х\ t' всегда можно подобрать значение г или г', так
чтобы удовлетворялось условие, которым описывается
распространение светового сигнала (при единственном
условии, что (сЧ2)—х2) — не отрицательная величина).
Чтобы получить окончательные формулы для связи
переменных двух наблюдателей, следует ввести еще одно
требование: выбор начала отсчета для координат и для
времени должен быть несущественным. Связь между
координатами должна быть такой, что для любой пары событий
разность координат, найденная одним наблюдателем,
должна однозначно определять разность координат для тех
же событий, которую найдет другой наблюдатель. Так
должно быть всегда независимо от расположения этих двух
событий относительно начала отсчета координат и
времени. Следовательно, величины t, х и t\ х' нужно скорее
интерпретировать не как сами координаты, а как разности
координат двух мировых точек: той, в которой была
произведена вспышка, и той, в которой отмечается приход
светового сигнала. Такие непосредственные связи между
разностями координат могут быть лишь в том случае,
если формулы преобразования линейны, т. е. если
преобразования координат и времени можно записать в виде
х' = к(х — vt), )
t' = mt — пх, j
где три постоянные /с, m и п нужно еще определить.
Первое из равенств (2) написано именно так, чтобы было
соблюдено следующее условие: начало отсчета штрихованной
системы координат (х' = 0) перемещается вправо по оси х
со скоростью и, так что его положение в момент t первый
наблюдатель найдет по формуле х = vt.
166

Теперь задача свелась к определению постоянных к, т
и п. Если считать время универсальным (абсолютным),
как это делается в классической ньютоновской физике, то
эти постоянные принимают значения
к = 1, т = 1, п = 0.
Эти значения могут служить ориентирами для
получения преобразования Лоренца, потому что преобразование
Лоренца должно сводиться к преобразованию
х' = х — vt, t' = t
по крайней мере в том случае, когда относительная
скорость и мала по сравнению со скоростью света с. Если
подставить (2) в равенство (1), мы получим
(с2т2 — v2k2)t2 + 2(vk2 — c2mn)tx—(к2—c2n2)x2=c2t2—х2.
Это соотношение должно удовлетвориться для любых % и /,
поэтому коэффициенты при х ж1 ъ левых и иравых частях
должны быть равны; следовательно,
m«-(-2-)V = l, (3)
ик2 — с2тп = 0, (4)
к2 — с2п2 = 1. (5)
Из этих трех уравнений постоянные kf т и п могут
быть определены прямыми алгебраическими выкладками.
Например, из (5) можно выразить к через п: к2 = 1 + с2п2.
Это выражение для к можно подставить в (3) и (4):
т2 _ игпг = 1 + (JLY (6)
с2п(т — vn) = и. (7)
Последнее уравнение можно привести к виду
п = (-^) (т -vn)-\ (8)
а уравнение (6) переписать так:
(т - vn) (in + on) = 1 + (-J-V. (9)
167

Далее, очевидно,
т + vn = т — vn + 2vn = (т — р?г) + 2 ( —) (т — im)~lf
(10)
в силу (8). Если (10) подставить в левую часть (9),
получится уравнение
(т - vnf = 1 - (-f )2, (И)
из которого с точностью до знака можно определить
выражение т — vn. Но в связи с тем, что для малых значений
и/с мы должны получить единицу, отрицательное значение
корня следует отбросить, и единственно возможным
значением для величины т — vn будет
т _ vn = ]Л - -J . (12)
Из соотношения (8) получим
v 1
а из соотношений (5) и (6)
k = m= у1_^. (14)
В итоге мы приходим к преобразованию Лоренца
. x—>vt
УЧ — г?2/са '
j, ^ t-vx/c* }. (15)
/1 — г>а/сг '
г' = г.
Из этих формул видно, что в рамках сделанных нами
предположений часы, синхронизованные в одной системе
отсчета (иотсчитывающие, следовательно, время t),
оказываются вовсе не синхронными по отношению ко второй
системе, время в которой обозначено как /'. Мало того, темп
этих двух наборов часов, связанных каждый со своей си-
168

стемой отсчета, оказывается различным. Каждый из
наблюдателей обнаружит, что часы другой системы идут
медленнее на величину (1 —- у2/с2),/а. К этому выводу
наблюдатель приходит, конечно, сравнивая одни-единственные
часы своего коллеги с несколькими часами своей системы,
мимо которых проходят в разные моменты времени
«чужие» часы.
Каждый из наблюдателей, рассматривая стандартный
(единичный) масштаб другой системы, расположенный по
направлению движения (ось х или ось х соответственно),
обнаружит, что размеры этого масштаба уменьшаются в
(1 — y2/c2)1/s раз. Каждый из наблюдателей измеряет
длину стандартного масштаба другой системы, делая
отметки на своей координатной оси, где начало и конец
стандартного масштаба проходят в один и тот же момент
времени (времени наблюдателя, относительно которого
движется стержень).
В заключение отметим, что преобразования Лоренца
«обратимы». Если формулы преобразования (15)
разрешить относительно х, t, выразив их через х\ t\ мы придем
к тем же самым выражениям, где штрихованные и нештри-
хованные величины .поменяются местами, а скорость v
изменит знак:
х' + vf
v + vx'/c*
t =
У\ — У2/б2 »
r = r .
(16)
4. Гравитационный радиус (радиус Шварцшильда)
В нерелятивистской механике полная энергия тела,
движущегося под действием силового поля, представляет
собой сумму кинетической и потенциальной энергии;
эта сумма не меняется при движении тела.
Кинетическая энергия тела зависит только от его
массы и скорости и определяется по формуле
K^-z-mv2,
где m — масса тела, a v — его скорость. Потенциальная
анергия тела зависит от характера силового поля и по-
169

ложения частицы в этом поле. Если исходить из
ньютоновского закона притяжения (т. е. обратной
пропорциональности от квадрата расстояния), потенциальная
энергия тела, находящегося на расстоянии г от центра
массы М, может быть записана в виде
п у.тМ
Р = ;
здесь х — гравитационная постоянная Ньютона, равная
силе тяготения, действующей между двумя частицами
единичной массы, отстоящими друг от друга на
расстоянии в одну единицу. Полная энергия тела,
находящегося в гравитационном поле другого тела, определяется
выражением
Е = К + Р = 2£- - — хтМ.
' 2 г
Кинетическая энергия тела всегда положительна;
потенциальная энергия гравитационного поля всегда
отрицательна. Если полная энергия Е > 0, то траектория
движения частицы может уйти на неограниченное
удаление — это будет движение по одной из ветвей
гиперболы. Если Е < О, траектория частицы всегда будет
находиться в окрестности тела массы Л/, причем эта
траектория будет эллипсом. Две эти возможности —
периодическое движение и уход на бесконечность — отделены
друг от друга значением Е = 0, при котором траектория
становится параболой; в этом случае скорость тела при
неограниченном удалении от центра массы М стремится
к нулю. Это предельный случай определяет скорость
отрыва, т. е. наименьшую скорость, которую может
иметь тело, чтобы удалиться, находясь первоначально
на расстоянии г от тела М, на бесконечность. Для Е=0
скорость v определяется выражением
/2хМ v V.
v = \-r) ■
Это и есть скорость отрыва для частицы, находящейся
в начальный момент на расстоянии г от центра. На
поверхности Земли, например, скорость отрыва
оказывается примерно равной 11,2 км/сек.
Скорость отрыва зависит от исходного расстояния от
центра гравитационного притяжения, т. е. от центра
170

масс М. Чем больше исходное расстояние, тем меньше
требуется начальная скорость, чтобы частица могла
уйти на бесконечность Наоборот, если мы хотим
отправить тело на бесконечность и есть возможность
сообщить телу значительную скорость, то исходное
расстояние этого тела от центра тяготения может быть
невелико. Допустим, что нас интересует расстояние, начиная с
которого скорость отрыва будет равна скорости света с
(мы пренебрегаем всеми эффектами теории
относительности). Тогда это расстояние окажется равным
Я = —г ;
с2
это и есть выражение для гравитационного радиуса.
Только что проделанное вычисление предельно
легкомысленно. Прежде всего релятивистская динамика
утверждает, что скорость материальных тел никогда не
достигает значения, равного скорости света. Далее,
релятивистское выражение для кинетической энергии при
скоростях частиц, сравнимых со скоростью света,
существенно отличается от использованного выше
нерелятивистского выражения. Наконец, геометрия
пространства, окружающего шварцшильдовскую массу, заметно
отличается от геометрии плоского пространства, так что
величина г уже не является мерой расстояния в
обычном смысле. Единственным оправданием использования
полученного результата могло бы быть то, что, несмотря
на совершенно легкомысленные вычисления,
опирающиеся на заведомо неправильные теоретические
предположения, мы приходим, как иногда бывает, к
выражению, дающему правильный порядок величин. В нашем
случае нерелятивистский расчет приводит в точности к
тому же выражению, которое получил Шварцшильд на
основе последовательного релятивистского рассмотрения.
Это, разумеется, просто счастливая случайность.
Зависимость радиуса кривизны гс пространства-времени в
решении Шварцшильда от (координатного) расстояния от
центра гс дается формулой
rc =/?-v.r*«,
где R — гравитационный радиус. Если г равно
гравитационному радиусу, все три величины /?, г и гс равны. На
171

поверхности Земли радиус кривизны
пространства-времени (кривизны, обусловленной самой Землей)
составляет около 108 км; это расстояние равно радиусу орбиты
Земли при движении вокруг Солнца.
5. Гравитационное излучение
В Дополнении 2 было показано, что из третьего
закона Кеплера следует для закона всемирного тяготения
обратно пропорциональная зависимость от квадрата
расстояния, впервые указанная Ньютоном. Запишем этот
закон в виде
а =
г*
где а — ускорение, возникающее под действием тела,
обладающего массой m и расположенного на расстоянии
г (постоянная х, как всегда, ньютоновская
гравитационная постоянная). Из этого закона вытекает, что для
круговой орбиты радиуса d, на которой
центростремительное ускорение равно
а =
V2
отношение линейной скорости на орбите v к скорости
света с можно выразить через гравитационный радиус
Д, введенная в Дополнение 3:
(JL.Y — 2L
[с ) ~ d
Это отношение равно также отношению кинетической
энергии системы к энергии покоя системы.
Действительно, кинетическая энергия с точностью до множителя 7г
равна mv2, а энергия покоя тс2.
Период обращения должен быть того же порядка
величины, что и время, необходимое, чтобы тело, обладающее
скоростью v, прошло расстояние, равное радиусу
орбиты d:
d d
1 V ^ « — , \ R ) •
V
Первый множитель в последнем звене равенства
определяет время, необходимое свету для прохождения рас-
172

стояния d\ второй множитель — квадратный корень из
отношения размера орбиты к гравитационному радиусу.
Согласно общей теории относительности
гравитационные волны обладают свойствами, сходными со
свойствами волн сдвига. Об этом рассказывается в п. 18.
Гравитационные волны не могут излучаться телом, которое
совершает просто пульсирующее движение взад и вперед
так, что никакого поперечного движения вещества не
происходит. Источник гравитационного излучения сам
по себе уже должен испытывать некоторое сдвиговое
движение, движение, изменяющее его квадрупольныи
момент. Само понятие квадрупольного момента
относится к нарушению симметрии в распределении масс,
измеряемому по отклонению произведения масс на квадрат
их расстояния от центра (рассчитанному в
определенном направлении) от того же самого выражения,
но усредненного по всем направлениям. Квадрупольныи
момент двойной звезды, компоненты которой обладают
примерно равной массой т, по порядку величины равен
md2, где через d обозначено расстояние между
компонентами.
Ньютоновское гравитационное поле, создаваемое
двойной звездой, отличается от гравитационного поля,
создаваемого одной звездой, имеющей полную массу, равную
массе двойной звезды. Отличие поля двойной звезды от поля
одинарной вполне заметно на расстояниях порядка d, а на
больших расстояниях убывает обратно четвертой степени г;
тогда как поле, вызываемое одной массой, убывает всего
лишь обратно пропорционально квадрату расстояния.
Таким образом, на больших расстояниях отношение квад-
рупольной поправки к главному члену порядка 1/г2
стремится к нулю как (d/r)2. Эти результаты получаются в
классической ньютоновской физике, где полностью
пренебрегают эффектами излучения.
Если квадрупольныи момент звездной системы
меняется со временем, например, за счет вращения, вызванного
движением компонент двойной звезды, то статический
эффект, создаваемый квадрупольным моментом, будет на
больших расстояниях меньше эффектов, связанных с
излучением. Напряженность поля в любой волне — будь то вол-
173

на гравитационная, электромагнитная или какой-либо
другой природы — убывает на больших расстояниях обратно
пропорционально расстоянию. Совсем неважно, насколько
малы эффекты, связанные с действием излучения, на
небольших расстояниях от излучающей системы, все равно
на достаточном удалении от системы любое излучение
превзойдет все статические эффекты.
Если не гнаться за численными множителями, связь
между статическим выражением для clq в последнем
равенстве и его же значением вдали от источника, можно
получить, когда все, за исключением одного, множители г
заменить на длину волны X. Длина волны, как известно, это
просто период обращения ТРу умноженный на скорость
распространения волны с. Поэтому
Совершив такую подстановку, мы получим для aq
на больших удалениях от источника приближенное
выражение
т№ с2 / R \%
Значение а©, обратно пропорциональное четвертой
степени расстояния, получено для статического случая
и сохраняется в случае переменного квадрупольного
момента лишь на расстояниях малых по сравнению с длиной
волны X.
Интенсивность гравитационной волны (плотность
энергии в волне) равна квадрату ускорения ад,
поделенному на гравитационную постоянную
, 1 а с* / Д \5
Поток энергии в единицу времени равен плотности
энергии, умноженной на скорость распространения волны:
(cR\b 1
Р \ d ) кг* '
Следовательно, мощность излучения пб всем
направлениям по порядку величины равна
Р~ 1 feR\*
174

Из последнего выражения можно определить
продолжительность процессов излучения. Так как механическая
энергия &м двойной звезды по порядку величины равна
ее кинетической энергии mv2, эта энергия может быть
выражена через те же самые величины, которые входят в
выражение для мощности излучения Р, если использовать
уже полученные нами выражения для т и для v2:
en , с2# , R с4/? R
и время, за которое гравитационное излучение уносит с
собой энергию порядка кинетической энергии системы,
оказывается равным
6. Степени десяти и единицы измерения
, Чтобы записывать очень большие и очень маленькие
числа (а те и другие часто появляются в научных статьях),
неудобно писать длинные десятичные дроби с большим
числом нулей после запятой или же числа с длинным рядом
нулей справа. Всего этого можно избежать, если указать
положение запятой, определяющей десятичную дробь с
помощью отдельного множителя, представляющего собой
степень десяти. Если использовать запись произведения
десяти на самое себя через показатель степени:
102 = 100,
103 = 1000,
106 = 1 000 000,
Ю20 = 100 ооо ооо 000 000 000 000,
Ю-3 = 0,001,
Ю-7 = 0,0000001,
можно представить числа, которые весьма трудно
читаются, в виде произведения некоторой степени десяти и
некоторого компактного числового множителя. Два примера,
приводимых ниже, показывают маленькое и большое
число, записанное таким способом:
3 750000 =3,75-10 6,
0,0000047 = 4,7 • 10 -6.
175

Ииже приведена краткая справочная таблица,
указывающая на связь между различными единицами длины,
времени и массы, употребляемыми в этой книге и других
научных сообщениях.
Единицы длины
1 А (Ангстрем) = 10 "10 лс,
1 мм (миллиметр) = 10 ~3 м,
1 км = 103 м,
1 световая секунда = 3 • 108 л*,
1 световой год = 9,5 • 1015 ле,
1 парсек = 3,1 • ДО16 м.
Единицы времени
1 ч (час) = 3600 сек,
1 год = 3,1 • 107 сек.
Единицы массы
1 кг = 103 г,
1 т = 103 кг,
1 солнечная масса = 340 000 масс Земли = 2 • 1033 г.

-¾1 ■
#■
I
?> "'"U.""^
I. . £»
у
■ &■#
:> it
чЛ
t *
. **
*.. ^- х
• ч ■ '■
"*S.
? '.*?
®аа
■"*№'
1¾^
iS НИИ
■"■"■■ ■ -"''-' -5.J
&Ь
* V', ....
*-*
3¾^.' •,
V;. *л*'
«■-,*■*.
■^v ":. ■ _*w«'™k "~;3:-_ -:^^
«■ ' ., ■<■:■■ .■■■ ^¾
>, i,,
.? .-:*^W
■,<y ^
^.-5, ^;л
w£m>
<• 'IS
■. ^¾¾^¾ -".if
V. '-S
XfK 30"
'* "I
Й
^■fl
, *
^
Ш"
^si!|&
-%ж&ж
«:
ж;й
■ *r
Ж
%ж
We Ж '#&
■kr ?s-.i $£* S.' s^.1:- e^ra-t
?^*«
,., -^,--. т1;-.''■>..w£
i&m^
vg--
is;
П
?«;
■*■■■$>:&
ж
'^'ifi^'iPt-t-1" $-Щ
НЬЮТОН
(с картины Кнеллера)

■г ^ жтг- .-^.- ■..■йлс.^аздаял .ssm- ■■ ..."» Фш*тз°М ш?\
■с»з
11Ц1ИШШ»
j ijin"r:i'r:T-..""-- ". ---^ 1"
IH I IIIIIIMII»I»HI*H#W*W *
AXIOMATA
SIVE
LEGES MOTUS
■' "'^«щй'' ::■::: bii
Ньютон представил свои Philosophiae Naturalis Prin-
cipia Королевскому обществу в трех выпусках в 1686 и
1687 гг. Здесь воспроизведены три закона движения, кото-
рые служат основой механики уже в течение трех веков.
Corpus- emm perfevtrare in fiatufhQ qnkfcendi *vct momndi unifot-
miter m dircBum^ mfi qnatmnf awibus imprests cvgkur flatmn
ilhtmrmttare»
PRojcAilia perfeverant in motibus luis nffi quatenus a refiften- %
tia aerk retardanmr & vi gravkatb impelhmtur deorfum. *
Trochus, cups partes coh^rendo perpetuo retrahunt jfefe !*
a motibus refiilmefe, поп ceflkt rotari nifi quatenus ab acre re» i
tardattm Ma/ora autern Pfanetarimt & Comefarum corpora mo» *
tus.fuos & progrcffivos 8c clrculares in fpatii$ minus rmucnthm I
tactos comervant diutius. g
Mntatimem mains prapmtionaUm effewi m&frki impreffky &j?erife~
tmdnm limam reHam qua wis ilia imprtmitur*
Sivbaliquamommquemvisgeneret, dupladupkm, triplatri-
plumgerjcrabk, five fimul&iemel, fivegradatirnScfuceeffiveirn-
ргейа fuerit- Et hie tnotus quoniam in candem fernper pkgam
cumvigeneratrkedererminatur, ficorptfsantea movebarur, *ти>
tuiejusvelcorjfpiranfiaddkiirj vd contrario fubducitur, vel obit-
qua oblique adjicitur, & cum eo fecmidum utriufq? determination
mm coropomtur. Lex. Ill*

АКСИОМЫ ИЛИ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
ЗАКОН I
Всякое тело продолжает удерживаться в своем
состоянии покоя или равномерного и прямолинейного
движения, пока и поскольку оно не понуждается
приложенными силами изменять это состояние.
Брошенное тело продолжает удерживать свое
движение, поскольку его не замедляет сопротивление
воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело
вниз. Волчок, коего части вследствие взаимного
сцепления отвлекают друг друга от прямолинейного движения,
не перестает вращаться (равномерно), поскольку это
вращение не замедляется сопротивлением воздуха.
Большие же массы планет и комет, встречая меньшее
сопротивление в свободном пространстве, сохраняют как
поступательное, так и вращательное движение в
продолжение гораздо большего времени.
ЗАКОН II
Изменение количества движения пропорционально
приложенной движущей силе и происходит по
направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Если какая-нибудь сила производит некоторое
количество движения, то двойная сила произведет двойное,
тройная — тройное действие, будут ли они приложены
разом все вместе или же последовательно и постепенно.
Это количество движения, которое всегда происходит по
тому же направлению, что и производящая его сила,
если тело уже находилось в движении, при совпадении
направлений прилагается к количеству движения тела,
бывшему ранее, при противоположности — вычитается,
при наклонности — прилагается наклонно и соединяется
с бывшим ранее, сообразно величине и направлению
каждого из них.
Три закона движения впервые переведены с латыни на
русский язык А. Н. Крыловым в 1913 г. Этот перевод
помещен в Собрании сочинений А. Н. Крылова, т. VII, 1936 г.
Перевод снабжен обширными примечаниями, в которых,
в частности, восстановлены доказательства многих
утверждений Ньютона (см. также'А. Н. Крылов, Мои
воспоминания, Изд-во АН СССР, 1945, стр. 218, 512).
179

й№ *Э5
4шпт мВмтя. wfi mtymfemftr zjfe ^mk^ -ф> m^arttjt сш?&*
■К зр Ф Ь X
Qpkqo&f premif veltrahk' alftnim, tanltiMetfta.b-eo;premitiif
ml trahimn Siquis.. lapkfcm. digito pretiii^ 'p iTmkur & biijus
cfigittisa hpsde* .S'ic^itmfepidciii um".alkgaumi:"trahirt- retrahe*
rurctkin &cqm^'-^
codemrcfaxwdi fe.comm wgcbit Equiimverfos'ЬрИс^ &cla~.
pidfem ycffo equtOTj. ra|$mttfq* ^ qtefi~
ram pt orncw^ f^^ ■ aItrpp* Sr шгрщ afiqpod ш corpus
,a|tad is$ipii>g^% jitottw^us щ:;!ш quomddociisscp mu&verir, i-
qttoq&ewiffi^ prpprio^mdem,.m^tatbnem in par-
C«bibi& ..НЙ4Й1ошЬщ|й
lis mutual
to aliaiA impedS :J Mix-
ie-pro

ЗАКОН III
Действию всегда есть равное и противоположное про-
' тиводействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на
друга между собою равны и направлены в противоположные
стороны.
Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет
его, то оно само этим последним давится или тянется. Если
кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также
нажимается камнем. Если лошадь тащит камень,
привязанный к канату, то и, обратно (если можно так выразиться),
она с равным усилием оттягивается к камню, ибо
натянутый канат своею упругостью производит одинаковое усилие
на лошадь в сторону камня и на камень в сторону лошади,
и насколько, этот канат препятствует движению лошади
вперед, настолько же он побуждает движение вперед
камня. Если какое-нибудь тело, ударившись о другое тело,
изменяет своею силою его количество движения на сколько-
нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своем
собственном количестве движения то же самое изменение, но
обратно направленное, ибо давления этих тел друг на
друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда про-
- исходят равные изменения не скоростей, а количеств
движения, в предположении, конечно, что тела никаким
другим усилиям не подвергаются. Изменепия скоростей,
происходящие также в противоположные стороны, будут
обратно пропорциональны массам тел, ибо количества
движения получают равные изменения. Этот закон имеет место
и для притяжений, как это будет доказано в поучении.

Леверръе, предсказавший в 1846 г. существование
планеты Нептун по возмущениям орбиты Урана, в 1859 г.
опубликовал новые расчеты орбиты Меркурия. Из этих расчетов
вытекало, что смещение перигелия Меркурия несколько
больше, чем это можно объяснить влиянием других планет.
?8 RECHE&CHKS ASTKONOMIQUES- ~~ СвАЛГЗДЕ XV.
Coutiaissanl les valeurs de a el a', on pent elimlner £s entre les equations do»*
res quantites eont les seconds m mbres. On torn be ainsi sur la relation
2 * js &e -h jj«f. ж-|- iо*,г;;<
Senddablement on tire, par lelt mutation de $л enire les equations dont les
&ecoDd&membres sont egaux a £ et d\
t)n voir, done qxife la discussion des observation^ de$ passages de la planete sur le
Soled fdurmra une relation precise entre S^excentneite et la longitude du peribe-
he; mats que poxtr determiner Ym* de ces dewx elements, il sera indispensable de
reemmr a I'etnplot des observations meridienne&:
Le mouvemraii annuel а^а^+^гя + о'^Зда doit fixer notre attention; cette
quantity etant t^sentielietnent Нее aux valeurs admisee pour les masses des pla-
netes, 3>s variationsseculaires deГехсеШгкМet du peribeliede Mereure<mt ete
calculies en attribuant aux masses des planetes les y&letirs fournies par des
considerations etnmgeres a la theoriede Mercurc,. niais qn on avait ben de croire fort
«чсасича. On pouvait done esperer qu# la discussion des observations de Mereure
coufirmerait siniplementlesrecbercfeesanterieures. Oriln'en est rieti; nous vovons
icr que It* tripie environ du mouvemeot seculaire de Гехеео incite, ajoute au «iou-
Yemeni secuiaire du peri belie, donnent wne somme que Je* observations font phis
l$rai»d« de 3o/ que celle qui resulte du calcuL La partie de cette somme, due а Гас- :.
riot> de Venus» e&t egaie k a<$8% par le calcul fonde sur la v&leur 0,000 оол ц$Н 5
de la masse; et en consequence, pour faire eoneorder la tbeorie avee les observa- ^
tit his de Mrroure, on devrait augmenter la masse, recue pour Verms, de pres de
un smfieme de ш valeur 1 ^
Здесь воспроизведена страница из работы Леверръе
«Theorie et tables du mouvement de Mercure», Annales de
l'Observatoire Imperiale de Paris, V,78. Ниже приведен
русский перевод этого отрывка.

Зная величины а и а', можно исключить бе из
уравнений, в которых эти величины являются соответственно
правыми частями. Тогда мы приходим к уравнению
2,72бе+6ш= + 10",27.
Аналогично можно получить исключением б/г из уравнений,
правые части которых равны соответственно Ь и Ь'\
2,72е'+со = 0",392.
Следовательно, мы приходим к выводу, что наблюдение
покрытия Солнца планетами может предоставить в наше
распоряжение строгую связь между эксцентриситетом и
долготой перигелия, однако для определения какого-то
одного из этих двух элементов следует обратиться к мериди-
анальным наблюдениям.
Годовое смещение 2,72е'+(й'=+0",392 требует особого
внимания; эта величина тесно связана с выбранными
значениями масс планет. Вековые вариации эксцентриситета и
перигелия Меркурия были рассчитаны с использованием
тех значений масс планет, которые были получены на
основе соображений, не имеющих отношения к теории
Меркурия, но по отношению к которым не возникает сомнений в
их абсолютной точности. Следовательно, можно с полным
основанием ожидать, что обработка наблюдений за
Меркурием просто подтвердит полученные ранее результаты.
Однако оказалось, что это совсем не так. Мы обнаружили, что
если сложить, грубо говоря, утроенное (вековое) изменение
эксцентриситета со смещением перигелия, в сумме
получится величина, на 39" превосходящая значение,
полученное из теоретических данных. Та часть суммы, которая
может быть приписана влиянию Венеры, составляет 288",
причем в вычислениях использовано значение ее массы, равное
0,000 002 488 5 массы Солнца. Таким образом, для того
чтобы теория Меркурия согласовалась с данными наблюдений,
следовало бы увеличить массу Венеры приблизительно на
одну седьмую часть использованного значения!

i-AS
j; V a^ ^¾
% .
в-
I
ь
» £ -ft -Xft>'
**«?
•ь^-S
£
;?w
■ \
Ш
' -«
Ш*-£*
a
■^ 5
<V "1.
Ь ¥
4 :
,fe
?£ ^
*3
*~ ^,
^. <^$>
^-.¾^
эпнтгЕПн,
1940 г.

j^
pJL^JT &ж Ле; uv^^yrJtv** иль №L T^JJLs ^—. '
——** ,/ ^
f ~~ ' *
'yS4»-*** -4L
ФОТОКОПИЯ ПИСЬМА ЭЙНШТЕЙНА НАТАНСОНУ.
«Я посылаю Вам несколько моих статей. Вы увидите, что* я
еще раз сломал свой карточный домик и построил новый; по
крайней мере его центральная структура сделана по-новому.
Объяснение смещения перигелия Меркурия, существование ко-
торого имеет убедительное экспериментальное подтверждение,
было для меня чрезвычайно радостным, однако в неменьшей
степени мне было приятно и то, что общая ковариантность
законов тяготения в конце концов привела к столь
замечательному результату».
К 1915 г. Эйнштейн развил теорию тяготения до такой сте-
пени, что смог дать объяснение открытию Леверрье. Автограф
Эйнштейна, воспроизведенный на фотографии и переведенный
выше, взят из письма Эйнштейна, датированного 15
декабря 1915 г.; оно адресовано другу и коллеге Эйнштейна —
польскому физику и математику Владиславу Натансону
(1864—1937).
8 П. Бергман
186

Эйнштейн вместе с двумя своими сотрудниками — Валентином
Баргманом (слева) и автором (справа) — идут к Институту уса*
вершенствования в Принстоне (1940).

$r '- v/j& $?. *. * ' .*-■,' >•$.* ■* ■# -^ • --,.^<^^ ■■■•*■;■■"■■•■-----.--.:^ ""'"'■■■-.'■ .v
Фульд Холл, где находился рабочий кабинет Эйнштейна.
За работой в кабинете Эйнштейна. У доски слева Баргман
и Эйнштейн, справа автор.

A.'>.jr- * *5" f -- - ■ ■
,"-'*' ■*%■-<! \ ft-
1 %».
r*-"-^
* .;&*•■ -4*
■■-■ l!j*.--" 5*
■-# ■
%'
4' ..
■^
ЗС-273 — один из ярчайших квазаров. На этой фотографии,
полученной на Паломарской обсерватории с помощью
200-дюймового рефлектора Сендеджем, отчетливо виден «выброс»,
простирающийся примерно на 150000 световых лет от сердцевины.
Выброс — источник интенсивного радиоизлучения, состоит из сильно
ионизированного газа, электроны которого движутся по спиралям
сдоль силовых линий магнитного поля. Материал выброса был
вытолкнут из сердцевины с большой энергией по крайней мере за
миллион лет до момента наблюдения (свет от квазара ЗС-273 идет
несколько биллионов световых лет, прежде чем достигнет Земли).
188

«-. v-^s--"* -^-:.¾¾ .„.».:.#>■; .®;г-^ *-■-<;,■■;%
ft»-*-* ■■<-•
.'#!■
Потоки ионизированного газа, испускающие сильное
радиоизлучение, наблюдаются также и в других системах, испытавших на
себе взрывы. На приводимой фотографии, также полученной
Сендедэюем, воспроизведена так называемая радиогалактика М-82.
Фотография была сделана с фильтром, через который проходит
только излучение возбужденного водорода (линия На). Такая
техника позволяет выделить яркие нити по обоим краям
сравнительно плоской галактики, наблюдаемой сбоку.

'-■ Ц"-1 VX&WMA\' »
■ ли ш^)«ш*№>:^»|"
■ ■ ^Д 1,1.1.1^ -J^ J <ЛШ»^
~Ч,
-¾
«J
УФ*Й-. -:'-■::■
«3
#*
«:.V
/ $1.4^/-¾^
"-^Й
-Щ£>
*
^=
61
№.
.198¾¾
:¾^^ ■---■iv^+A*'
',;Z^ i\^k^4J - ■ ;ч&«-*Л' .vyss:* ^^''^'^^"f :^-^;!й?Ш^#;^
*
•J
4
^
,* .¾¾
SySfr-
£:¾¾^
^'^.'"V f --¾-s^t- ^'Ж-ё:4^*^»^-:^"; ..¾. ^■«ш»'-*-'
/7a фотографиях воспроизведен небольшой участок радиогалактики
М-82. Фотография а) была получена с помощью желтого фильтра,
б) через фильтр-поляроид, направление которого совпадало с
направлением плоскости галактики; поляроид при получении фото*
графии в) был направлен нормально плоскости галактики.
Нитеобразная структура, хорошо видимая на снимке а), по большей
части сохраняется и на б), ее почти не видно на в). Высокая
степень поляризации излучения говорит о том, что основная доля
излучения, испускаемого нитями, обязана электронам высокой
энергии (синхротронное излучение). Этот результат, наряду с
оценками скорости струи, показывает, что нити были выброшены
из диска М-82 около 1,5'10е лет до времени наблюдения*
190

3*3н
ids».
•-*•
♦ • •
♦•
♦•
i . i ■ i ■ i ■ I ■ >
1
1
1
1
<\l ЧЬ ч^ oq 0¾ C45 s^
S? SSN S? S? 2? S* S^
тпьпюд дпшьпштн/июу
о
о?
«J
Е-
2
VO
ж
I
а
о
О Со
Со
3
3
«
- •* *>
« а 2
С
О
со
«о
Е-
а
ечч ^ Л
й ° Ч
as с <о
«з «з о
а а
о<о ° S 2
а^ ?£
ago
*> е- к «
о «о
к а
^ ?£*
*j а
со
а
о
о
t3
с?
а
а
со
о <Ъ
а о
<зо а
а
Е-
О
а
Со
а _
о со
а
СО *4
Е- ^
а
а
«з ч о
(¾ 5. а
со О
О *
Е- О
о СО
со
а
со
«о
о
¢3
а
о
«« е-
со
«Р -9 2 со
о « л а
2 (О -з tt
« ч » °
О «5 -¾
е* 53 з со
з» а *в>
СО СЗ <45
о" a (¾ а
Г «о со s
5| О а
| ё §
л w, *»
<о а е
а
а
со
а
со
со
О
о
О cv с
* а
а
со
з>
в?
а
-с; 1¾
со
5¾ а
«5 О
о а
«з
о
со
а
а
а
со
»зо.?
со
•А
<3 5 S§ «о
*<Ъ 53
л со а л
09 * сп 2
§ ° 2 2
,¾^¾) еГ£
с^ - « О §
Q СО
со
* *
о
о
Е»
«3
а
со
со
СЗ
Е-
«О
О
а
о
со
5¾ С5
Е- со ^
S S -
а
со
3
со
со
Е-
а
а
о
со
О
со
О
Е^
СО
со
«о
о
а
«3
а
со
а
* Е-
а со
«3
* * 3
JBV,*® СО
а з a ^5¾
со
со
»3
О
л
О
О
«*»
СО
а
со
а
Е-
со
в?
со
_ «3
а °
Й со
*\ О. со
^ С ^
а
сз з
а
а
3»
а
^е со со
Ч/ л*. <ЪА
Е-.
со
а
аЙ <з
3Й •
со а
g <з а
ой.4
£5,(3 О
^S сз о
Л со О
Е-.
о
о
о
со
со
3
л
«о
о
со
^а
3
а
-— 'w ^ ^ ■% ^^
Qq « о ь ^ ^
3 а
^ со
о Ч
со ^
со
Ч 53
СЗ
5- 3^>
о
а Оч
о <3
Cj »
3
а?
о
а
о
«о

Толковый словарь
Аберрация. Небольшое
кажущееся смещение всех
неподвижных звезд от своего
среднего положения на небесной
сфере, наблюдаемое с
периодом в один год.
Вектор. Вектор является
частным случаем тензора; число
компонентов вектора
совпадает с числом измерений
пространства или многообразия, в
котором этот вектор
определен. Простейшим примером
. вектора может служить
отрезок прямой, проведенный
между двумя точками,
обладающий как величиной
(равной расстоянию между этими
точками), так и
направлением. Другими примерами
являются скорость частицы,
определенная как смещение
частицы за единицу времени,
ускорение частицы (быстрота
изменения скорости), сила
(значение которой равно
произведению массы частицы да
приобретаемое ею ускорение),
напр яо/сенность электрического
поля (сила, действующая со
стороны электрического поля
на единичный заряд).
Векторная сумма. Несколько
векторов можно «сложить»
друг с другом, прикладывая
последовательно начало
одного вектора к концу другого.
Вектор, соединяющий начало
первого вектора суммы и ко
нец последнего вектора
суммы, и является суммой этих
векторов. Хотя векторы вовсе
не являются обычными
числами, а представляют собой
геометрические объекты,
векторная сумма обладает многими
свойствами, присущими
суммам обычных чисел; так,
например, перестановка
слагаемых в векторной сумме не
влияет на конечный
результат. Когда векторы
описываются своими компонентами,
компонентами векторной
суммы будут суммы
соответствующих компонент векторов,
входящих в сумму.
Вес. Сила, испытываемая телом,
обладающим массой, под
действием тяготения называется
весом. Вес не является
свойством, присущим самому телу
(как это имеет место для
массы), а зависит как от массы
тела, так и от того поля
тяготения, в котором тело
находится. Так, например, вес
тела на Луне в шесть раз
меньше, чем на поверхности
Земли. В повседневной жизни
различие между массой и
весом зачастую смазывается,
потому что на поверхности
Земли поле тяготения
практически постоянно, однако в
принципиальных рассуждениях
различие между весом и
массой должно проводиться очень
четко.
Гамма-лучи. Это
высокочастотное, проникающее
электромагнитное излучение возника-
192

ет в связи с радиоактивными
процессами. Большая часть
гамма-лучей имеет более
высокую частоту, а
следовательно, меньшую длину волны,
чем рентгеновские лучи —
электромагнитное излучение,
возникающее при резком
торможении или ускорении
электронов. Гамма-лучи и
рентгеновские лучи отличаются друг
от друга скорее способом их
получения, чем своими v
частотами; некоторая доля гамма-
излучения имеет значительно
меньшую частоту по
сравнению с частотой рентгеновских
лучей, используемых в
медицинской практике.
Гравитационные волны. Общая
теория относительности
предсказывает, что масса,
совершающая быстрое
колебательное движение, порождает
переменные гравитационные
поля, распространяющиеся стой
же самой скоростью, с какой
распространяются
электромагнитные волны; о
последней скорости обычно говорят
как о скорости света.
Распространяющиеся в пространстве
переменные гравитационные
поля называются
гравитационными волнами. До сих пор
не удалось наблюдать
гравитационные волны, но
аппаратура для их обнаружения
создается во многих странах,
хотя она очень далека от совер-
шества.
Согласно общей теории
относительности
гравитационная волна, проходящая через
скопление частиц,
находящихся первоначально в покое
относительно друг друга,
вызовет сдвиговое движение
частиц .относительно друг
друга.
Дальнодействие (действие на
расстоянии). Согласно
представлениям Ньютона все тела
оказывают взаимное влияние
друг на друга, вызывая
ускорение, величина которого
также зависит от массы тела, на
которое оказывается действие.
Произведение ускорения тела
на его массу определяет силу,
действующую на тело. Если
эта сила передается через
пустое пространство, говорят о
действии на расстоянии, в
отличие от электромагнитной
теории Максвелла, в которой
принимается, что все тела
оказывают действие друг на
друга только через
электромагнитное поле.
Действие на расстоянии
характеризуется мгновенным
влиянием (действием) одного
тела на другое независимо от
расстояния между этими
телами. В то же время
взаимодействие, передаваемое полем,
распространяется с конечной
скоростью. Для
электромагнитного поля и
гравитационных эффектов эта скорость
равна примерно 300 000 км/сек.
Эта универсальная скорость
распространения
обозначается обычно буквой с (см.
также Поле, Максвелловская
теория электромагнитного
поля).
Декартова система координат.
В декартовой системе
координат все координатные оси
(линии) являются прямыми
линиями. Все они
пересекаются под прямым углом друг
к другу и размечены с
помощью выбранных единиц
длины, например сантиметра.
Для двух заданных точек,
соответствующие декартовы
координаты которых равны
хи уи z\ и х2} у2} z2, квадрат
расстояния D между ними
определяется выражением
D= (х2 — х{)2 +
+ (У2 — У\)г + (*2— Zi)2 .
Диполь, квадруполъ, мульти-
поль. Если одна из двух ча-
193

стиц, расположенных в
непосредственной близости друг
от друга, заряжена
положительно, а другая, обладающая
той же величиной заряда,
отрицательно, то суммарный
электрический заряд пары
таких частиц равен нулю. Тем
не менее, благодаря тому, что
две заряженные частицы все-
таки не совпадают, они будут
действовать с некоторой
силой на другие электрические
заряды. Эти силы, вообще
говоря, направлены ни по
направлению линии,
соединяющей заряды, ни
перпендикулярно ей,, а под углом к этой
линии. Комбинация двух
заряженных частиц, о которой
только что шла речь,
называется электрическим диполем.
В магнитных взаимодействиях
не существует свободных
магнитных полюсов (зарядов),
однако магнитные диполи
хорошо известны. Диполю
приписывается величина,
называемая моментом диполя,
представляющая собой
произведение расстояния между двумя
заряженными частицами и
величины заряда одной из них;
направлением диполя
считается направление от
отрицательного заряда к
положительному.
Если два диполя равной
величины, но
противоположного направления расположены
параллельно друг другу,
полный дипольный момент
системы равен нулю, но в
окрестности такой системы все же
будет наблюдаться и
электрическое, и магнитное поле.
Такая комбинация зарядов
называется квадруполем
(поскольку она состоит из
четырех отдельных зарядов). Два
квадруполя в свою очередь
могут образовать октуполь и
т. д. Все образования такого
типа носят общее название
мулътиполей.
Если величина мультиполя
меняется со временем, такое
изменение вызывает
появление сферической волны,
распространяющейся от
мультиполя; угловое распределение
интенсивности такой волны
характерно для мультиполя
того или иного конкретного
вида. Поэтому говорят о ди-
польном излучении,
магнитном квадрупольном излучении
и пр.
Как показывается в общей
теории относительности, не
существует гравитационных
дипольных волн, а
существуют только квадрупольные
волны и волны высших
порядков мультипольности.
Закон непрерывности см. Зако-
ны сохранения.
Законы преобразования. Законы
преобразования
представляют собой правила, по которым
можно определять
компоненты векторов, тензоров или
других подобных им величин
в любой координатной
системе, если известны численные
значения соответствующих
величин в какой-то одной
координатной системе. Если в
какой-то системе координат
заданы компоненты вектора,
вектор как величина,
обладающая направлением,
полностью определен; его
компоненты относительно любой
другой координатной системы
можно получить, если
спроектировать его на
соответствующие оси (см. также
Ковариантность).
Законы сохранения; законы
непрерывности. О физической
величине говорят, что она
сохраняется, когда ее значение
не меняется с течением
времени — другими словами,
если она является константой
194

(интегралом) движения. Про
величину говорят» что она
сохраняется также в том случае,
когда она изменяется только
под действием внешних сил,
т. е. сил, возникающих вне
рассматриваемой системы.
Среди самых важных
сохраняющихся величин следует
отметить энергию, импульс,
момент импульса,
электрический заряд.
Закон сохранения — это
закон природы, согласно
которому определенная
величина должна сохраняться.
Если закону сохранения
придана такая форма, при которой
скорость изменения
плотности данной величины
(например, плотности энергии)
связана со сходимостью или
расходимостью линий тока
этой величины, то закон в
такой формулировке
обычно называют законом
непрерывности (той же
величины).
Импульс. Импульс
массивного тела определяется как
произведение массы тела на
скорость тела. В теории
относительности в этом
определении подразумевается
релятивистская масса, которая
уже сама по себе зависит от
скорости, но совпадает с
обычной классической
массой, когда тело покоится.
Важность понятия импульса
обусловлена тем, что
импульс подчиняется закону
сохранения. Когда два тела
действуют друг на друга с
некоторыми силами,
возрастание импульса одного из
них в результате его
ускорения компенсируется
уменьшением импульса другого,
причем суммарный импульс
обоих тел не меняется. Тот
же самый закон справедлив
и для системы, состоящей из
большого числа частиц,
взаимодействующих друг с другом.
В геометрии Мииковско-
го полный импульс и полная
энергия системы частиц
представляют собой
компоненты четырехмерного
вектора, который сохраняется
как целое (ср. примечание на
стр. 53).
Инвариантность см.
Ковариантность.
Инвариантный интервал см.
Интервал.
Инерциальное ускорение.
Когда движение материальной
частицы описывается в
системе отсчета, которая не
является иперциальной, у
частиц обнаруживается
ускорение, которое не
соответствует никаким силам,
действующим на эти частицы.
Такие ускорения называются
инерциалъными ускорениями.
Самыми известными
примерами таких ускорений
могут служить ускорения,
наблюдаемые в том случае,
когда используемая система
отсчета вращается
относительно иперциальной системы
отсчета. Если частица в
начальный момент покоится
относительно вращающейся
системы отсчета, опа
испытывает ускорение,
направленное от оси вращения; это
ускорение называют иногда
центробежным ускорением.
Его величина
пропорциональна расстоянию от оси (при
заданной угловой скорости
вращения системы отсчета).
Но если частица движется
относительно
вращающейся системы отсчета,
появляется еще и дополнительное
инерциальное ускорение,
величина которого
пропорциональна скорости частицы
(относительно
вращающейся системы отсчета), а нап-
195

равление перпендикулярно
как оси вращения системы
отсчета, так и направлению
мгновенной скорости
частицы. Дополнительное инер-
циальное ускорение, о
котором идет речь, называется
кориолисовым ускорением.
Инерциалъные системы
отсчета. Инерциальной системой
отсчета может служить
такая система отсчета, по
отношению к которой
массивные физические объекты, не
подверженные действию
внешних сил, движутся по
прямым линиям с
постоянной скоростью. Инерциаль-
ных систем отсчета
существует бесчисленное
множество. Если найдена одна инер-
циальная система отсчета,
все остальные системы
отсчета, движущиеся
относительно нее равномерно и
прямолинейно и не обладающие
вращением, также будут
инерциальными системами
отсчета.
Интервалу пространственно-
временной инвариант. В
геометрии обычного трехмерного
пространства любые две
точки отстоят друг от друга на
определенном расстоянии,
величина которого не
зависит от выбора координатной
системы, с помощью которой
размечаются точки. Если
применяется декартова
система координат, квадрат
расстояния между двумя
точками равен сумме квадратов
трех соответствующих
разностей координат. В других
координатных системах
расстояние между точками
определяется иначе и, как пра-
•вило, более сложными
выражениями.
В
пространственно-временной геометрии Минков-
ского роль, аналогичную
роли расстояния в трехмерном
пространстве, играет
пространственно-временной
интервал. Квадрат времени
подобного интервала между
двумя событиями равен
квадрату разности временных
координат, умноженному на
с2, минус квадрат
пространственного расстояния между
рассматриваемыми
событиями, если в качестве
системы отсчета выбрана ло-
ренцева система отсчета.
Хотя разность временных
координат двух событий зависит
от выбора системы отсчета,
так же как и
пространственное расстояние между
событиями, величина
инвариантного интервала остается
одной и той же во всех лорен-
цевских системах отсчета.
В этом отношении
пространственно-временной интервал
в геометрии Минковского
вполне сходен с расстоянием
между точками в обычной
геометрии. Но если
расстояние между двумя точками
пространства обращается в
нуль только в том случае,
если точки совпадают (т. е. по
существу являются одной
точкой), пространственно-
временной интервал между
двумя различными
событиями может оказаться равным
нулю и в том случае, когда
события находятся в свето-
подобном отношении; это
произойдет, если световой
сигнал, посланный из точки,
где произошло первое
событие, в момент наступления
события придет в точку, где
наступит второе событие, как
раз в тот момент, когда
второе событие наступает.
Исчисление бесконечно
малых. Ньютон и немецкий
философ Готфид Лейбниц
(1646—1716) независимо друг
196

от друга построили основы
математической техники,
необходимой для обращения с
переменными величинами.
Одна из таких переменных
величин была названа
функцией от другой величины
(аргумента), если значение
первой определяется
значением второй. Так, например,
свободное падение тела
можно описать математически,
задавая положение
падающего тела как функцию
времени.
Дифференциальное
исчисление связывает быстроту
изменения функции с
быстротой изменения аргумента.
Отношение двух последних
величин определяет так
называемую производную
функции. В только что
приведенном примере производная
смещения по скорости
определяет мгновенную скорость
падающего тела. Эта
мгновенная скорость в свою
очередь является функцией
времени. Производная от
скорости по времени будет не что
иное, как ускорение.
Интегральное исчисление
представляет собой процесс,
обратный
дифференцированию. Оно дает технику,
позволяющую воссоздать
исходную функцию, складывая
малые приращения функции;
например, зная переменную
скорость тела, восстановить
его траекторию. С помощью
интегрального исчисления
можно также вычислять
площади и объемы фигур, если
их границы заданы
определенными уравнениями.
Квадруполъ см. Диполь.
Ковариантность,
инвариантность. Система уравнений,
связывающая
математические или физические
величины, называется ко
вариантной, если из справедливости
этих уравнений в одной
системе координат вытекает
справедливость формально
тождественных им уравнений
во всех других системах ко-
ордипат. Если система
уравнений (в частности, одно
уравнение) ковариантна при
лоренцевском
преобразовании специальной теории
относительности, то про такие
уравнения говорят, что они
лоренц-инвариантны. Если
уравнения сохраняют свой
вид при любых
преобразованиях координат, в том числе
при переходе к
криволинейным коордипатам,
используемым в общей теории
относительности, то говорят об
общей ковариантности.
Если отдельное
математическое соотношение или
уравнение имеет ту же самую
форму в различных
координатных системах, независимо
от других уравнений, то в
этом случае говорят об
инвариантности уравнения.
Ковариантность представляет
собой свойство системы
нескольких соотношений,
которые сохраняют свой вид во
всех системах, если все они
справедливы в одной.
Инвариантность является тем же
самым свойством, но
относящимся лишь к одному
уравнению. Различие между
этими терминами зачастую
стирается, и ковариантность и
инвариантность уравнений
используются как
равноправные понятия.
Набор величин (а не
соотношений) часто называют ко-
вариантным, если численные
значения этих величин в
одной координатной системе
можно определить, зная
численные значения этих же
величин в другой системе и ис-
197

пользуя закон
преобразования. Типичными примерами
ковариантного набора
величин являются компоненты
вектора и компоненты
тензора.
Единственная величина,
численное значение которой
во всех системах отсчета
одинаково, называется
инвариантом или скаляром.
Континуум. В этой книге
термин континуум относится к
совокупности точек,
образующих линию (одномерный
континуум), плоскость
(двумерный континуум),
трехмерное пространство,
четырехмерное пространство-
время или другие
многообразия.
Континуум следует
отличать от дискретной
совокупности точек, в которой
каждая точка отделена от всех
других точек совокупности.
В континууме каждая точка
окружена другими точками,
принадлежащими
совокупности, так что в любой
окрестности заданной точки, как бы
ни была мала эта окрестность,
всегда найдутся точки,
принадлежащие данной
совокупности.
Конфигурация.
Конфигурацией системы точечных масс
называется совокупность всех
данных, открывающих
положение каждой отдельной
точки в пространстве.
Скорости этих точечных масс уже
не входят в конфигурацию
системы. Однако если
конфигурация системы и скорости
всех точек известны в
начальный момент времени,
причем также заданы все
взаимодействия в системе и
силы, действующие на
систему, то этого вполне
достаточно, чтобы полностью
рассчитать траектории всех масс
системы.
198
Координатные системы.
Координатные системы вводятся
для того, чтобы размечать
положения точек или
физических объектов в
пространстве. По существу задать
координатную систему, значит
задать правила, по которым
положение любой точки в
трехмерном пространстве
описывается тройкой чисел,
и наоборот. Правила
отождествления точек можно
сформулировать так, что
положения точек вблизи некоторой
заданной точки могут быть
охарактеризованы
разностями соответствующих
значений всех трех координат.
Таким образом, координатную
систему можно представлять
себе наглядно следующим
образом: в пространстве
проведена трехмерная сетка,
образованная некоторыми
линиями. Точки пересечения
этих линий соответствуют
целочисленным значениям
координат; дробные значения
координат соответствуют
точкам, лежащим внутри
сетки.
Чтобы задать точку на
двумерной поверхности, нужно
знать только две координаты,
а для задания точки на
кривой—всего одну. Наконец,
следуя идеям Минковского,
можно представлять себе, что
события, локализованные как
в пространстве, так и во вре-
мепи, являются точками
четырехмерного континуума.
Чтобы локализовать событие
в пространстве-времени,
необходимы четыре координаты
(см. также Декартова
система координат, Система
отсчета).
Крейсерская скорость. Скорость
движения самолета (или
корабля) относительно
окружающей его массы воздуха
(воды).

Кривизна. В этой книге термин
кривизна применяется
исключительно в смысле
внутренней кривизны многообразия,
в котором определена
операция параллельного
переноса. В самом общем виде идея
параллельного переноса
может быть связана с любой
геометрической структурой,
заданной в одной точке, и
эквивалентной структурой в
другой точке, если из первой
точки во вторую можно
попасть по заданной кривой,
проходящей через эти две
точки. Типичным примером
параллельного переноса
является параллельный
перенос вектора, который
перемещается вдоль заданной
прямой так, что его
направление остается неизменным
или, если это невозможно,
так, что его направление
меняется минимальным
образом. На поверхности сферы,
например, «вектор» можно
рассматривать только как
прямолинейный отрезок,
указывающий направление,
касательное к сферической
поверхности, и «параллельный
перенос» неизбежно
подразумевает, что параллельно
переносимый вектор должен
следовать за изгибом
поверхности.
Если параллельный перонос
происходит по кривой,
которая возвращается в
исходную точку, другими
словами, когда перенос
производится по замкнутому
контуру, вектор (так же как и
любая другая геометрическая
структура) в конце
параллельного переноса может не
совпадать с исходным
вектором. Если это так, то
рассматриваемое многообразие
называется искривленным;
другими словами, оно
обладает кривизной. Значение
кривизны обычно
определяют через величину
отклонения (например, угол
отклонения перенесенного
вектора от исходного),
деленную на площадь замкнутого
контура, вдоль которого
совершался параллельный
перенос.
В дифференциальной
геометрии рассматривается еще и
кривизна второго типа — она
не используется в этой
книге,— частэ называемая
внешней кривизной, которая
указывает, в какой степени
поверхность, вложенная в
трехмерное пространство,
отличается от плоскости.
Поверхность конуса, например, с
точки зрения внутренней
кривизны плоская, а с точки
зрения внешней кривизны
искривленная.
Локальная система отсчета.
Обычно считается, что
координатная система, входящая
как составная часть в
систему отсчета, в различные
моменты простирается
неограниченно далеко. Когда же
определяют координатные
системы только в
непосредственной близости от данной
точки или некоторой
траектории, говорят о локальной
системе отсчета.
Если локальная система
отсчета строится так, что все
объекты в области, где она
определена, участвующие в
свободном падении в поле
тяжести, оказываются
движущимися без ускорения, то
такую локальную систему
отсчета называют свободно
падающей системой отсчета.
Гравитационное поле по
своей природе таково, что
свободно падающую систему
отсчета нельзя однозначным
образом распространить по
199

такой области
пространства-времени, в которой
кривизна
пространства-времени выражена достаточно
заметно.
Лоренцевская координатная
система; Лоренцевская система
отсчета. В специальной террии
относительности инерци-
альные системы отсчета
часто называют лоренцевскими
системами отсчета. При
этом предполагается, что в
любой момент времени
пространственная система
координат декартова, а единицы
измерения времени
выбраны так, что скорость
света в пустоте по всем
направлениям, во всех точках и во
все моменты времени одна и
та же.
На языке четырехмерной
геометрии Минковского ло-
ренцевскую систему отсчета
уместно называть лорен-
цевской координатной
системой.
Максвелловская теория
электромагнитного поля. Законы
электромагнитного поля
получили законченную
математическую формулировку в
работах Максвелла, и теорию
электромагнитного ноля часто
просто называют теорией
Максвелла. В ней прежде
всего содержатся законы
поля: силовые линии
электрического поля начинаются
только на положительных
зарядах и заканчиваются
только на отрицательных.
Силовые линии магнитного поля
представляют собой всегда
замкнутые линии, потому что
не существует магнитных
зарядов какого-либо знака.
Электрические силы,
действующие вдоль замкнутого
контура определяются
скоростью уменьшения
магнитного потока,
пронизывающего внутреннюю часть
контура, тогда как
магнитные силы, действующие вдоль
такого же контура, равны
сумме скорости возрастания
потока электрической силы
и электрического тока,
рассчитанных для внутренней
части контура. В теории
Максвелла определены силы,
действующие на заряженные
частицы. Частица,
обладающая электрическим зарядом,
испытывает в электрическом
и магнитном поле силы,
действующие со стороны этого
поля и пропорциональные
заряду частицы. Силы,
действующие со стороны
электрического поля, пропорциональны
величине этого поля и
совпадают по направлению с
направлением поля. Силы,
действующие на заряженную
частицу со стороны магнитного
поля, выглядят иначе: они
пропорциональны
скорости частицы и направлены
перпендикулярно как к
скорости частицы, так и к
магнитному полю.
Масса см. Принцип
эквивалентности (а также Центр
инерции).
Масса покоя см. Энергия
покоя.
Многообразие. По
терминологии, принятой в математике,
представление о
пространстве часто сводится к
совокупности точек, которую
отождествляют с системой
действительных чисел —
координат этих точек, так что
каждому набору из п чисел
(в случае гс-мерного
пространства) соответствует одна'и
только одна точка. Точки
считаются близкими друг к
Другу, если разности
соответствующих координат этих
точек малы. Определенное
таким способом пространство
обладает локальными
свойствами, которые совпадают Q
Z0Q

повседневными
представлениями о свойствах
пространства и свойствами «в целом»;
эти свойства сводятся к тому,
что все пространство может
быть перекрыто единой
координатной сеткой.
Когда бесконечная
совокупность точек повсюду
обладает локальными свойствами
пространства, но не может
быть перекрыта единой
координатной сеткой, ее
называют многообразием.
Плоскость представляет собой
двумерное пространство,
тогда как поверхность сферы
представляет собой
многообразие. Действительно,
если строить координатную
сетку, скажем, от Северного
полюса, ее продолжение на
большую часть сферы можно
произвести без особого труда;
однако когда мы дойдем до
Южного полюса, мы будем
вынуждены либо приписать
этой (ничем не
отличающейся от других) точке
бесчисленное количество
различных значений координат,
либо изъять эту точку из всего
координатного описания. Две
перекрывающиеся
координатные системы могут
обеспечить полное описание
поверхности сферы. Другими
примерами многообразий
могут служить бублик, лист
Мёбиуса, бутылка Клейна.
Поскольку пространство
является частным случаем
многообразия (по не наоборот),
термин многообразие часто
употребляют для того, чтобы
подчеркнуть, что
рассматриваемая совокупность точек
вовсе не обязательно должна
быть пространством.
Небесная сфера. При всех
непосредственных
наблюдениях внеземных объектов
принято проектировать эти
объекты на поверхность
сферы, в центре которой
находится наблюдатель. Радиус
этой сферы может быть
любым. Такая сфера и
называется небесной сферой.
Обычно точки этой сферы задаются
двумя углами, которым на
земле соответствуют
географическая широта и долгота.
На небесной сфере
соответствующие утлы называются
склонением и прямым
восхождением. Согласно
специальной теории
относительности эти углы для очень
удаленных объектов (таких,
например, как неподвижные
звезды) зависят от того, как
движется наблюдатель.
Нормальные моды колебаний.
Твердое тело конечных
размеров, отдельные участки
которого связаны упругими
силами, способно совершать
большое число различного
вида колебаний (или, как
говорят, обладает многими
модами колебаний), при
которых различные участки тела
одновременно колеблются с
разными частотами. Такие
колебания называются
нормальными модами данного
упругого тела; каждая
нормальная мода обладает
собственной
характеристической частотой. Самое общее
внутреннее движение
упругого тела может быть
представлено как суперпозиция
(наложение) нормальных
колебаний (мод).
Представление о
нормальных модах может быть
перенесено также и па стоячие
волны в струне или
замкнутых объемах, содержащих
воздух (как, например, в
органных трубах). Мода,
обладающая самой низкой
характеристической частотой,
называется фундаментальной
201

модой; другие моды известны
под названием гармоник.
В том же самом смысле
говорят о нормальных модах
стоячих электромагнитных
волн в полостях, стенки
которых могут быть идеальными
проводниками.
Общая ковариантность см.
Ковариантность.
Орбита см. Траектория.
Ортогональность. Термин
«ортогональный» (направленный
под прямым углом) часто
предпочитают термину
«перпендикулярный», в
особенности в тех геометриях,
которые существенно
отличаются от геометрии обычного
пространства. Так поступают,
например, в геометрии Мин-
ковского.
Параллельный перенос см.
Кривизна.
Плотность заряда, плотность
тока. Обе эти величины
относятся к величине
электрического заряда в единице
объема. Если величина
электрического заряда
измеряется в кулонах, плотность
заряда выражается в кулонах
на кубический метр.
Поскольку существуют
положительны^ и отрицательные
электрические заряды, плотность
заряда может быть также
положительной или
отрицательной в зависимости от того,
преобладают
положительные или отрицательные
заряды в рассматриваемом объеме.
Когда электрические
заряды движутся, возникает
также плотность электрического
тока, которая определяется
как величина заряда, прохр-
дящего через единицу
площади в единицу времени.
Плотность электрического тока
измеряется в кулонах па
квадратный метр в секунду. Если
все электрические заряды в
объеме одного знака и
движутся в одном и том же
направлении с одинаковой
скоростью, отношение плотности
электрического тока к
плоскости заряда равно общей
скорости зарядов.
Плотность тока см. Плотность
заряда.
Поле. В ньютоновской физике
считалось, что массивные
тела оказывают взаимное
действие друг на друга
непосредственно через
безграничное пустое пространство.
Величина взаимного
притяжения или отталкивания для
двух любых заданных тел
зависела только от расстояния
между ними. Напротив, для
электромагнитных
взаимодействий оказалось, что они
зависят не только от
расстояния между телами, но и от
их относительных скоростей.
Изменения в положении и
состоянии движения тел
распространяются с конечной
скоростью (обозначаемой
латинской буквой с), равной
скорости света в пустоте.
В связи с этим ньютоновское
представление о мгновенном
действии на расстоянии
постепенно уступило место
представлению о полях,
играющих промежуточную роль;
возникающих в том месте,
где находится источник, и с
конечной скоростью
распространяющихся во все
стороны от источника. В этой
картине сила, действующая на
частицу, обладающую
электрическим зарядом,
возникает исключительно от
действия электрического поля в
непосредственной
окрестности частицы и лишь
косвенным образом связанного с
источниками этого поля —
удаленными заряженными
телами.
В релятивистской физике
полевой подход применяется
202

не только к электромагнитным
явлениям, но также и к
явлениям тяготения.
Фактически в настоящее время
полевые представления полностью
доминируют при
рассмотрении взаимодействия между
частицами, независимо от
того, какова природа этого
взаимодействия.
Преобразования Лоренца.
Преобразование Лоренца
определяет закон преобразования
четырехмерных
пространственно-временных
координат события при переходе от
одной лоренцевской системы
координат к другой. Две ло-
ренцевские системы, о
которых идет речь, либо покоятся
относительно друг друга,
либо движутся относительно
друг друга равномерно и
прямолинейно без вращения.
Начала отсчета
пространственных и временных координат
двух рассматриваемых
систем вовсе не должны
совпадать, а пространственные
координатные оси могут и не
быть параллельными друг
другу. Конкретное
преобразование Лоренца определяется
десятью параметрами:
компонентами относительной
скорости (три параметра),
углами между
соответствующими пространственными
координатными осями (три
параметра, например, углы
Эйлера) и, наконец,
пространственными и временными
координатами начала
отсчета одной системы
относительно другой (четыре
параметра).
Принцип эквивалентности.
Принцип эквивалентности
является одним из
краеугольных камней общей теории
относительности. Хотя этот
принцип может быть сфор-
мулирвван по-разному, в этой
книге под принципом
эквивалентности понимается
равенство инертной и тяжелой
(гравитационной) масс у всех
объектов. Представление об
обеих массах возникло
вместе с механикой Ньютона.
Инертной массой объекта
называется отношение
приложенной к телу (внешней)
силы к величине
приобретаемого телом ускорепия;
гравитационная масса — это мера
силы, с которой тяготеющий
объект притягивает все
другие тяжелые тела и с
которой он в свою очередь
притягивается этими телами.
Равенство этих двух видов масс
означает, что все объекты,
оказавшиеся под действием
одного и того же поля
тяготения (как это имеет место
для силы тяжести на
поверхности Земли), испытывают
одинаковое ускорение, если,
разумеется, нет сил другого
происхождения.
Иная формулировка
принципа эквивалентности
непосредственно опирается на
одинаковое ускорение силы
тяжести для всех объектов в
одном и том же поле
тяготения. Если движение
массивных тел рассматривается в
неинерциальной системе
отсчета, то можно обнаружить
ускорения у этих тел даже
тогда, когда никаких
реальных сил (т. е. сил
взаимодействия с другими телами) нет.
Такие инерциальные
ускорения также не зависят от
массы или каких-либо других
динамических характеристик
рассматриваемых объектов.
Следовательно,
гравитационные и инерциальные
ускорения обладают общим
свойством (независимо от массы)
и в этом смысле являются
эквивалентными. Эта
формулировка принципа
эквивалентности должна быть, од-
203

нако, несколько уточнена:
вообще говоря, ииердиаль-
ные и гравитационные
ускорения можно отличить друг
от друга, потому что чисто
инерциальные эффекты
можно исключить переходом к
инерциальной системе.
Путевая скорость. Этот термин
употребляется для
обозначения скорости самолета
(корабля) относительно Земли.
Путевая скорость
определяется не только
возможностями самолета (корабля), но
также и господствующими
ветрами (течениями).
Попутный ветер увеличивает
путевую скорость по
сравнению с крейсерской;
встречный ветер приводит к тому,
что путевая скорость
становится меньше крейсерской.
Радиан. Обычно измеряют
углы в (дуговых или угловых)
градусах. Прямой угол равен
9G°, а полная окружность —
360°. Радиан представляет
собой еще одну естественную
единицу измерения углов.
Эта единица очень часто
используется математиками и
физиками. Угол в радианах
определяется длиной дуги
окружности (радиусом, равным
единице), вырезаемой данным
углом, если его вершина
находится в центре окружности.
Поскольку длина окружности
(радиуса, равного единице)
составляет 2я, число
радианов, соответствующих
прямому углу (четверть
окружности), равно я/2. Радиан
равен примерно 57°,3.
Световой конус. Для данного
события в пространстве-
времени можно указать
геометрическое место всех па-
правлений, по которым будет
распространяться световой
сигнал от этого события и по
которым будет приходить
световой сигнал к этому
событию. Совокупность всех
таких направлений образует
световой конус, связанный с
рассматриваемым событием.
Все направления,
соответствующие свету, идущему к
событию, образуют световой
конус прошедшего; все
направления, соответствующие
свету, уходящему от
события, образуют световой
конус будущего. Если
световой конус прошедшего
продолжить до бесконечности,
его светоподобные
образующие могут быть отнесены к
точкам сферы, которая
называется небесной сферой.
Сдвиговые волны. Упругие
возмущения распространяются
по сплошной упругой среде
в виде волн. В сдвиговых
волнах движение любой
материальной частицы происходит
под прямым углом к
направлению распространения
волны; следовательно, сдвиговые
волны можно назвать также
поперечными волнами. В
волнах сжатия движение
частицы происходит в
направлении распространения волны;
волны такого типа
называются также продольными
волнами. В твердых телах
могут распространяться как
волны сжатия, так и
сдвиговые волны; скорость
распространения волн сжатия
больше, чем скорость сдвиговых
волн. В жидкостях^ и газах
возможны лишь волны
сжатия — в них нет упругого
сопротивления сдвиговым
перемещениям.
Следовательно, в жидкостях и газах
невозможны сдвиговые
колебания.
Сдвиговые движения. При
сдвиговых движениях различные
участки твердого тела или
жидкой срэды движутся
относительно друг друга таким
образом, что объем любой
204

части тела не меняется.
Плотность материала при сдииго-
вых движениях остается
неизменной, однако форма
различных участков изменяется.
Вращение, при котором не
меняются ни форма, ни
объем участков тела, и сжатие,
при котором меняется
плотность вещества, всегда
можно отделить от сдвигового
движения.
Сдвиговая мода. Нормальная
мода называется сдвиговой
модой, если соответствующее
ей движение в основном или
целиком сдвиговое. Другие
моды называются
компрессионными модами (модами
сжатия). В сдвиговых модах
плотность колеблющегося те-
чла остается неизменной,
однако форма участков тела
изменяется. Земля обладает как
сдвиговыми модами, так и
модами сжатия; и те, и
другие возбуждаются при
землетрясениях.
Сила. Сила — это физический
термин, применяемый к
любому внешнему действию,
изменяющему состояние
движения массивного тела или
частицы. В отсутствие таких
сил движение частицы по
отношению к инерциальной
системе отсчета происходит без
ускорения; другими словами,
частица движется по прямой
линии, не меняя величины
своей скорости. Наличие сил
сказывается в появлении
ускорения, т. е. в изменении
скорости; ускорение всегда
обратно пропорционально
массе тела. Величина-.силы,
действующей на тело,
может быть выражена как
произведение массы тела на
приобретаемое телом
ускорение.
Система отсчета. Этот термин
относится к любой системе
эталонов, по которой можно
определять положение
физического объекта, причем
также и в том случае, когда оно
меняется с течением
времени. Система отсчета
отличается от трехмерной
пространственной координатной
системы тем, что координатная
система определяется
безотносительно к течению
времени, в то время, как
система отсчета требует задания
пространственных
координат в любой момент
времени. Положение начала
пространственной системы
координат и направлений,
которые приданы координатным
осям, должны быть заданы
для любого момента времени,
чтобы система отсчета была
полностью определена. Тогда
траектории физических
объектов, т. е. их положения в
различные моменты времени,
могут быть описаны, если
задаются значения всех
координат этих объектов для
любого момента времени.
С четырехмерной точки
зрения система отсчета
представляет собой
четырехмерную координатную систему,
три координатные оси кото-N
рой идут в пространственно-
подобных направлениях, а
четвертая ось имеет време-
ниподобное направление (см.
также Инерциалъные
системы отсчета, Локальные сие-
темы отсчета).
Скаляр см. Ковариантность.
Скорость. Быстрота смещения
физического объекта
относительно некоторой
подходящей системы отсчета
называется скоростью объекта по
отношению к этой системе.
Как и смещение,
происходящее всегда в определенном
направлении, скорость
представляет собой вектор,
компонентами которого
являются скорости, изменения трех
205

соответствующих координат.
Величина вектора скорости
определяет скорость
объекта; под скоростью понимают
иногда длину вектора
скорости, в которой уже пет
указания на направление
движения. Под скоростью света,
например, понимается
скорость распространения
электромагнитных волн
независимо от того, в каком
направлении
распространяются эти волны*).
Собственное время.
Собственное время — это времепипо-
добный инвариантный
пространственно-временной
интервал между двумя точками
(четырехмерного
пространства), взятыми на
траектории материального объекта,
например частицы.
Собственное время отсчитывается от
произвольно выбранной
точки траектории тела и
возрастает в направлении
«будущего». Часы, движущиеся
вместе с частицей
(закрепленные на ней), вообще
говоря, отсчитывают
собственное время, если только они
яе подвергаются ускорению
или каким-либо иным
внешним влияниям.
Событие. Событие — это
технический термин,
относящийся к явлению, достаточно
четко локализованному в
пространстве и времени, так
что его можно отнести к
точке (как иногда говорят, к
мировой точке) в
четырехмерном пространственно-вре-
*> Заметим, что в
английском языке русскому слову
«скорость» соответствуют три
ейова: velocity — векторная
скорость, speed — скалярная
величина скорости и,
наконец, rate — быстрота
изменения. (Прим. пере в.)
менном континууме.
Хорошим примером события
является взрыв, производимый
в некоторый момент
времени в точно определенном
месте.
Сопротивление. Этот термин
применяется к двум внешне
различным явлениям: а) к
вязкому сопротивлению
воздуха или какой-либо иной
газообразной или жидкой
среды, которое испытывает
любое твердое тело, движущееся
в этой среде; это
сопротивление приводит к замедлению
движения тела; б) к
сопротивлению материалов, по
которым течет электрический
ток. Когда может возникнуть
недоразумение, в последнем
случае говорят
«электрическое сопротивление».
Электрическое сопротивление
измеряется в омах; оно равно
численно тому напряжению,
которое нужно создать на
конце проводника, чтобы по
нему шел ток в один ампер.
Стерадиан. Стерадиан является
единицей телесного угла.
Телесный угол можно
определить площадью сферической
поверхности, вырезаемой им
на сфере единичного
радиуса, если вершину телесного
угла поместить в центр
сферы. Полный телесный угол
равен 4я. Полный телесный
угол, образуемый прямым
конусом с углом между
сторонами при вершине, равным
6, определяется формулой
2л (1 — cos b).
Тензор натяжений. Натяжения
возникают как отклик
сплошной среды или тела на
деформацию. Та часть
натяжений, которая связана со
сжатием, называется обычно
давлением; та часть
натяжений, которая связана с
изменением формы, называется
напряжением сдвига.
Ш

Полное напряжение
математически можно описать с
помощью тензора,
компонентами которого являются
силы, действующие на
некоторые площадки,
проведенные внутри тела и имеющие
различные ориентации в
пространстве.
Тензоры. Тензоры
представляют собой математические
объекты, полученные
обобщением представления о
векторах. В многообразии,
описываемом с помощью
координат, тензорам можно
сопоставить компоненты
(называемые компонентами
тензора), полностью
определяющие тензор. Так как
существует мпого типов тензоров
(среди них векторы
составляют весьма незначительный
класс), высказать сколько-
нибудь общее утверждение о
число компонент,
принадлежащих одному тензору,
невозможно. Тем не менее для
каждого типа тензоров при
заданном числе измерений
многообразия, в котором
определен этот тензор, число
компонент также всегда
точно определено. Зная
числовые значения всех компонент
тензора в одной системе
координат, можно рассчитать
компоненты этого же
тензора в любой другой
координатной системе; этот пересчет
производится согласно
определенным правилам; эти
правила называются законами
преобразования тензоров
данного типа.
Некоторые тензоры
связаны с ориентацией кривой
(касательные векторы),
двумерной поверхности
(бивекторы) и структур более
высокой размерности. Другие
тензоры связаны с
метрическими свойствами многообразия
(метрические тензоры).
В теории упругости теязор
деформации описывает
локальные деформации
материала, как сдвиги, так и
растяжения; тензор натяжений
охватывает всю информацию
о внутренних силах,
возникающих при деформации и
стремящихся восстановить
равновесную форму. В общей
теории относительности
метрический тензор
(определяемый десятью компонентами)
связывает разности
соответствующих координат двух
близких событий с
инвариантным
пространственно-временным интервалом между
ними. Тензор кривизны,
имеющий двадцать
компонент, показывает, насколько
пространственно - временной
континуум отклоняется от
плоского континуума.
Траектория. Кривая, по
которой перемещается частица
или любое другое массивное
тело с течением времени,
называется траекторией
частицы. Таким образом, можно
говорить о траекториях
звезды, планеты или спутника в
солнечной системе,
электрона в телевизионной трубке
(если считать, что и
электроны подчиняются
классической механике). Для того
чтобы полностью представить
себе траекторию частицы,
нужно знать не только те
точки пространства, через
которые проходит путь
частицы, но и те моменты
времени, в которые частица
окажется в той или иной
точке. В пространстве-времени
Минковского траектория
представляет собой кривую,
точки которой совпадают
со значениями четырех
пространственно-временных
координат частицы.
Термин орбита является
дочти что синонимом траекто-
207

рии, однако иногда под
орбитами подразумеваются
траектории, замкнутые в
пространстве, как это имеет место для
планет; в этом случае время
практически выходит из
рассмотрения.
Уравнение состояния.
Физические характеристики газа
или жидкости могут быть
описаны отчасти с помощью
математического
уравнения, которое определяет
давление, соответствующее
произвольным значениям
температуры и допустимого
объема. Это уравнение и
называется уравнением состояния
вещества; для каждого
вещества, в "принципе, имеется
свое уравнение состояния.
Обычно уравнение состояния
строится на основе данных,
полученных в
лаборатории; однако оно может быть
получено теоретически,
исходя из атомной и
молекулярной модели вещества,
которая, как предполагается,
отражает микроскопическую
структуру вещества. В этом
случае сравнение
теоретического уравнения
состояния с экспериментально
полученными данными
предоставляет прекрасную
возможность определить, в какой
мере реальна использованная
модель.
Ускорение. Под ускорением
понимают скорость изменения
скорости материальной
частицы с течением времени.
Скорость характеризуется
как величиной (скалярной
величиной скорости), так и
направлением; ускорение
также может быть связано как
С изменением величины
скорости, так и с изменением
направления скорости
(может меняться только од>*а из
величин и обе вместе).
Когда направление движения не
меняется, ускорение
направлено по движению; когда не
меняется величина скорости,
ускорение направлено под
прямым углом к скорости,
именно так обстоит дело при
равномерном движении но
окружности.
Ускорение в физике
измеряется в единицах см/сек2,
техническая единица м/сек2.
Ускорение силы тяжести
для всех тел на поверхности
Земли равно приблизительно
9,81 м/сек2.
Фокус. Эллипсом называется
геометрическое место точек,
сумма расстояний от
которых до двух заданных точек,
постоянна. Эти две точки
называются фокусами эллипса.
Планеты движутся вокруг
Солнца по эллипсам разных
размеров, однако имеющих
общие фокусы. В одном из этих
фокусов находится Солнце —
самое массивное тело нашей
солнечной системы.
Центр масс, центр инерции,
центроид. Три приведенных
синонима (из которых в
русской литературе наиболее
часто употребляется второй)
выражают средние значения
координат системы тяжелых
тел или частиц. Эти средние
берутся независимо для
координат х, у, z декартовой
координатной системы, причем
средние берутся с учетом
соответствующих масс,
образующих систему.
Будем обозпачать точки
или тела, образующие
систему, индексами 1, 2,..., а
соответствующие массы как ть
тяг, ... Тогда, если
координаты соответствующих точек
равны х\, Х2, ..., координаты
центра инерции
определяются выражением
Х= М •
909

где через М обозначена
полная масса системы М = т\ +
4-га2+... Аналогичные
выражения записываются и для
двух остальных, координат
центра инерции Y и Z.
Согласно механике
Ньютона центр инерции системы
частиц движется по
траектории, которая не зависит от
сил, действующих между
частицами, входящими в
систему, и определяется
исключительно внешними силами
(возникающими от тел, не
входящих в рассматриваемую
систему). Если на систему
внешние силы пе действуют,
центр инерции движется
равномерно и прямолинейно.
Центростремительное ускорение.
Когда тело движется с
постоянной скоростью по круговой
орбите, направление скорости
все время меняется;
следовательно, в этом случае должно
быть ускорение; это
ускорение принято называть
центростремительным.
Если радиус окружности,
по которой движется тело,
обозначить через г,
постоянное значение скорости тела
через у, то время t, за
которое тело совершит полный
оборот, равно
2тсг
v
и равно тому времени, за
которое конец вектора скорости
опишет полную окружность,
длина которой равпа 2ли.
Если разделить время t на
длину этой окружности, мы
получим скорость изменения
скорости, т. о. ускорение
при движении по
окружности — центростремительное
ускорение
2nv vl
Эллипс; эллиптические орбиты.
Когда плоскость пересекает
прямой круговой конус,
кривая, получаемая в сечении,
зависит от угла между
плоскостью и осью конуса. Если
плоскость перпендикулярна
оси конуса, в сечении
получается круг. Если плоскость
несколько наклонена к оси, в
сечении получается кривая,
которая носит название
эллипса. Если провести
секущую плоскость еще круче,
так, чтобы она стала
параллельной одной из боковых
образующих конуса, кривая в
сечении окажется уже
незамкнутой и будет уходить на
бесконечность. Эта кривая
называется параболой. При
дальнейшем увеличении угла
наклона секущей плоскости, на«
пример в том положении,
когда плоскость параллельна оси
конуса, кривая, получаемая в
сечении, также будет уходить
на бесконечность, но ее форма
будет несколько отличаться
от параболы. Эта кривая
называется гиперболой.
Окружность, эллипс, парабола и
гипербола — все эти кривые
носят общее название
конических сечений.
Как учит ньютоновская
механика, движение планет
происходит по следующему
закону: малая масса,
движущаяся под действием сил
тяготения, вызываемых
значительно большей массой,
описывает одну из кривых
конического сечения; какую
именно форму имеет
траектория, зависит от полной
энергии малой массы. И
действительно, орбиты, по которым
планеты движутся вокруг
Солнца, все без исключения
являются эллипсами,
несколько возмущенными силами,
действующими между сами-
209

ми планетами. (Эти силы
значительно превосходят
релятивистские эффекты,
которые также нарушают строгое
классическое движение по
эллипсу). Планетарное тело,
обладающее достаточной
энергией, чтобы уйти па
бесконечность, но все же
недостаточной, чтобы сохранить
конечную скорость на
бесконечности, согласно теории
Ньютона, будет двигаться на
параболе. Если тело будет
обладать несколько большей
энергией, достаточной, чтобы
уйти на бесконечность,
сохраняя при этом некоторую часть
кинетической энергии, оно
будет двигаться по гиперболе.
Энергия. В механике
энергией называются способность
тела совершать работу.
Энергия в механике представлена
в двух формах — в форме
кинетической и потенциальной
энергии. Кинетическая
энергия определяется скоростью
тела; она равна той работе,
которую нужно произвести
над телом, чтобы оно
приобрело заданную скорость.
Потенциальная энергия тела
определяется положением тела
в силовом поле. Она равна той
работе, которую нужно
затратить, чтобы привести это тело
в заданное положение. Полная
энергия тела равна сумме его
кинетической и
потенциальной энергии. Энергия
измеряется в тех же единицах, что
и работа. Единицей работы
служит джоуль; джоуль —
это работа, затрачиваемая для
того, чтобы переместить
массу в 1 кг на расстояние в
1 ж в поле
противодействующей силы, которая при
свободном движении сообщала
бы этой же массе ускорение
1 м/сек2. Эта сила известна
под названием ньютона.
Энергия покоя; масса покоя.
Энергией покоя называется
энергия физического
объекта, например частицы,
определенная з системе отсчета,
относительно которой
рассматриваемый объект покоится.
Массой покоя частицы или
тела называется масса,
определяемая в системе отсчета,
относительно которой частица
или тело покоятся. Согласно
специальной теории
относительности энергия покоя тела
равна его массе покоя,
умноженной на квадрат скорости
света Е = тс2.
Эфир. Так как
электромагнитное излучение (в частности,
свет) рассматривалось как
близкий аналог звука, было
вполне разумным
предположить, что существует
некоторая среда, являющаяся
носителем электромагнитного
поля и его энергии в точности
так же, как атмосфера, вода
или земля служат и
носителями звука, и той средой, в
которой распространяется
звук и связанная с ним
энергия. Но если звук не может
распространяться через
области пространства, лишенные
какого бы то ни было
вещества, электромагнитные
волны распространяются с
минимальными потерями энергии
и с самой большой из
известных скоростей через
пространство, которое практически
пусто, как это имеет место,
например, в межзвездном
пространстве. Таким образом,
такая примышляемая среда,
обеспечивающая распространение
электромагнитного излучения,
названная эфиром (или, как
иногда еще говорят,
светоносным эфиром), должна
заполнять любую область
пространства независимо от того, есть
ли в ней обычное вещество
210

или нет. Эфир пришлось
наделить весьма удивительными
механическими свойствами,
чтобы объяснить
наблюдаемые свойства
электромагнитных волн, в частности
отсутствие продольных
электромагнитных волн. Скорость
распространения свега можно
получить из законов
электродинамики; она, однако, зависела
от состояния движения
системы относительно эфира.
Попытки наблюдать
анизотропию в распространении света
относительно Земли можпо
интерпретировать как
эксперименты по наблюдению
движения эфира относительно
Земли; это движение эфира
называют иногда эфирным
ветром.
Когда была построена
специальная теория
относительности, гипотеза об эфире
сразу утратила всю свою
привлекательность, поскольку
было установлено, что неудача
всех попыток по
обнаружению эфирного ветра
находилась в полном соответствии с
выдвинутой теорией
относительности, теорией, которая
раз и навсегда закрывала
какую бы то ни было
возможность обнаружить световой
эфир экспериментальным пу-
1 ем.

Литература
для дальнейшего чтения*)
Нижеследующий список книг включает в себя относительно
популярные изложения, которые могут оказаться полезными для
читателей, желающих познакомиться с различными подходами к
теории относительности и дополнительными сведениями по дру-
1им затронутым в этой книге вопросам.
Книги, посвященные теории относительности.
А. Эйнштейн, О специальной и общей теории
относительности (общедоступное изложение).
Эту работу можно найти в первом томе Собрания научных
трудов А. Эйнштейна, стр. 530, «Наука», 1965. Она опубликована
также в сборнике статей А. Эйнштейна «Физика и реальность»,
стр. 167, «Наука», 1965.
Первое издание этой книги вышло на немецком языке в
1917 г., как раз в следующем году после выхода завершающей
работы Эйнштейна по ббщей теории относительности. Я хорошо
помню свое восхищение, когда я совсем юношей прочел эту
книгу; она сыграла немалую роль в том, что я выбрал своей
профессией теоретическую физику.
А. Эйнштейн, Л. И н ф е л ь д. Эволюция физики. Развитие
идей от первоначальных понятий до теории относительности и
квантов.
Перевод этой книги вышел несколькими изданиями. Изд-во
«Наука», 3-е издание, 1965. В Собрании научных трудов перевод
помещен в томе IV, стр. 357, «Наука», 1967.
Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минков-
с к и й, Принцип относительности, Сб. работ классиков
релятивизма, ОНТИ, 1935.
В этой книге воспроизведены оригинальные статьи,
излагающие как общую, так и специальную теорию относительности так,
как они были в свое время опубликованы в научных журналах.
Хотя чтение этих статей предполагает более глубокое знакомство
читателя с физикой и математикой, чем эта книга, в этих статьях
можно найти некоторые детали, существенные для появления
идей теории относительности. Эти детали всегда менее ясны,
когда теория излагается «из вторых рук».
Д. Б ом, Специальная теория относительности, «Мир», 1967.
*) Предлагаемый список литературы несколько отличается от
того, который был в английском издании этой книги. Здесь
оставлены только книги, переведенные на русский язык. Звездочкой
отмечены книги и статьи, добавленные переводчиком.
212

Как это следует из названия книги, в ней рассматривается
только специальная теория относительности, причем значительно
более глубоко и сложно, чем в этой книге. Большая часть книги
посвягцена философским взглядам автора на роль теории в
науке; специальная теория относительности используется как
подходящий пример для иллюстрации основных положений автора.
* К. Л а н ц о ш, Альберт Эйнштейн и строение космоса,
«Наука», 1967.
В этой книге в очень популярной форме рассказано о
специальной и общей теории относительности. В некотором смысле эта
книга и книга Бергмана дополняют друг друга.
* Э. Тейлор, Дж. У и л е р, Физика пространства
-времени, «Мир», 1969.
Книги по современной астрономии.
О. Струве, В. Зебергс, Астрономия XX века, «Мир», 1968.
Струве был одним из самых крупных астропомов-наблюдате-
лей. Предлагаемый в книге исчерпывающий очерк современной
астрономии очень ценен еще и своими великолецными и
поучительными фотографиями, а также другими иллюстрациями.
* Книги и статьи, посвященные квазарам.
Дж. Б е р б и д ж, М. Б е р б и д ж , Квазары, «Мир», 1969.
Ф. X о й л, Галактики, ядра, квазары, «Мир», 1968.
Сборник «Сверхзвезды» (так на первых порах назывались
квазары). Три статьи Дж. Гринстейпа, X. Чу и Дж. Нарликара,
«Мир», 1965.
Статью Дж. Гринстейна, опубликованную в этом сборнике,
можно найти еще в УФИ 83, вып. 3 (июль), 549 (1964), а также в
сб. «Над чем думают физики», Астрофизика, вып. 6, «Наука», 1967.
В этом же сборнике есть ряд других статей, относящихся к
вопросам, затрагиваемым в книге.
Мы хотели бы также обратить внимание читателей на статью
В. Л. Гинзбурга «Как устроена Вселенная и как она развивается
во времени», Наука и жизнь, № 1, 2, 3 (1968). Отдельное издание:
Изд-во «Знание», 1968, вып. 7.
* Статья, посвященная пульсарам.
Э. X ь ю и ш, Пульсары, УФН 97, 715 (1969).
* Четвертая проверка теории относительности.
И. Шапиро, Радиолокационные наблюдения планет, УФН 98,
октябрь (1969).

Содержание
Предисловие автора к русскому изданию . . 3
Предисловие переводчика ... 4
Предисловие автора к английскому изданию . 5
Введение. Значение теории гравитации ... «
\. Ньютоновская физика
и специальная теория относительности
1. Предшественники Ньютона 11
2. Относительность движения .... 18
3. Универсальность скорости света 23
4. Специальная теория относительности ... 27
5. Четырехмерный мир Минковского 36
6. Масса, энергия, импульс 47
7. Плоское пространство — искривленное
пространство 57
II. Общая теория относительности
8. Теория относительности и гравитация ... 05
.9. Относительность свободного падения ... 71
10. Принцип общей ковариантности 79
11. Искривленное пространство-время .... 84
12. Тяготение в пространственно-временном
континууме 89
13. Решение Шварцшильда 98
14. Внутри шварцшилъдовской сферы .... 107
15. Горизонты событий 111
III. Последние достижения
16. Гравитационный коллапс ....... 116
17. Гравитационное излучение 120
18. Поиски гравитационных волн ...... 125
19. Космология 128

20. Современная программа наблюдений . . . 139
21. Движение частиц 146
22. Квантовая теория гравитации . . . . • 151
23. Что такое наблюдаемая величина? . . . . 153
24. Пространство-время сегодня и зав-тра . . . 157
Дополнения
1. Закон равных площадей Кеплера ...'.. 161
2. Вывод закона обратной пропорциональности
квадрату расстояния для сил тяготения . . 163
8. Преобразование Лоренца 164
4. Гравитационный радиус (радиус Шварц-
шилъда) 169
5. Гравитационное излучение 172
6. Степени десяти и еоиницы измерения . . 175
Толковый словарь 192
Литература для дальнейшего чтения 212

17. Бергман
ЗАГАДКА ГРАВИТАЦИИ
М., 1969 г., 216 стр. с илл.
Редактор Л. П. Русапоса
Техн. редактор С. Я. Шкляр
Корректор Л. С. Сомова
Сдано в набор 18/IV 1969 г. Подписано к печати
2/1X 1969 г. Бумага 84х108752. Физ. псч л.
6,75. Условн. печ. л. 11,34. Уч.-изд. л. 12,09.
Тираж 58000 экз. Цена книги 61 коп.
•Заказ № 2295.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
2-я типография издательства «Наука».
Москва, Шубинский пер., 10.