/
Автор: Сы-Цзян Х.
Теги: математика высшая математика алгебраическая топология теория гомотопий
Год: 1964
Текст
HOMOTOPY
THEORY
SZE-TSEN HU
Wayne State University, Detroit,
Michigan
1859
ACADEMIC PRESS
New York and London
ХУ СЫ-ЦЗЯН
ТЕОРИЯ
ГОМОТОПИЙ
Перевел с англнйскоге
В. Г. Болтянского
и В. Л. Гутеимахера
Под редакцией
М. М. Постникова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1964
У.Д.К. № 513. 836
Книга посвящена теории гомотопий, одной из важных вет-
ветвей топологии. Наряду с,, изложением задач теории гомотопий
(задача распространения, задача гомотопий и т. д.) ова содержит
изложение теории гомотопических групп и принципов их вычис-
вычисления (в частности, с помощью спектральных последователь-
последовательностей расслоенных пространств).
Книга рассчитана на математиков — научных работников
и преподавателей, — интересующихся вопросами топологии н
алгебры. Она полезна также аспирантам и студентам старших
курсов университетов и педагогических институтов, специализи-
специализирующимся в этих областях.
Редакция литературы по математическим наукам
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Теория гомотопий как самостоятельное направление в математике
возникла в конце тридцатых годов, вскоре после*того как В. Гуре-
вич в 1935 г. ввел гомотопические группы. Бурное развитие теории
гомотопий связано с именами многих выдающихся математиков. Од-
Однако, несмотря на все возрастающую ее роль в алгебраической то-
топологии, до сих пор нет учебника по этому предмету, если не счи-
считать весьма краткой (но тем не менее содержащей обширный мате-
материал) монографии Хилтона [Хн].
Настоящая книга рассчитана на начинающего читателя-матема-
читателя-математика, который хочет ознакомиться с основными идеями теории гомо-
гомотопий. Предполагается, однако, что он знаком с основами теоретико-
множественной топологии и теории гомологии. Автор старался
излагать материал достаточно подробно, чтобы дать возможность
читателю овладеть элементарной техникой и тем самым подготовить
его к чтению оригинальных статей.
В первой главе книги формулируются основные задачи теории
гомотопий; во второй главе эти задачи иллюстрируются многочис-
многочисленными примерами. В третьей вводится имеющее первостепенное
значение для дальнейшего понятие расслоенного пространства. В чет-
четвертой главе приведены обычное и аксиоматическое построения го-
гомотопических групп; элементарные методы вычисления этих групп
изложены в главе пятой. Глава шестая представляет собой введение
в теорию препятствий непрерывных отображений. Седьмая глава
содержит сведения о когомотопических группах. Следующие три
главы посвящены замечательным результатам, полученным французской
школой tfa основе теории спектральных последовательностей Лере.
Разработанная в этих главах методика применяется в последней
главе к вычислению нескольких гомотопических групп сфер.
Как уже было сказано, автор не ставит целью дать исчерпы-
исчерпывающий обзор теории гомотопий. Например, известные результаты
М. М. Постникова о натуральных системах полиэдров в книгу
не включены. К тому же развитие теории гомотопий происходит
так быстро, что любое исчерпывающее ее изложение должно очень
быстро устареть.
Из предисловия автора
В конце каждой главы даны упражнения. Они охватывают мате-
материал, который не включен в текст лишь потому, что не имеет не-
непосредственного отношения к основной линии изложения. Некоторые
упражнения достаточно трудны, и неподготовленный читатель не дол-
должен быть обескуражен, если он не сможет их выполнить. В этом
случае он может ознакомиться с указанными в этих упражнениях
оригинальными работами.
Библиография в конце книги сведена до минимума. Указанные
там литературные источники содержат в основном изложение вопро-
вопросов, так или иначе затронутых в тексте и упражнениях. При состав-
составлении библиографии автор ни в коей мере не руководствовался исто-
историческими соображениями, в связи с чем предпочтение, как правило,
отдавалось не первоисточникам, а обстоятельным (хотя бы и не ори-
оригинальным) статьям. В случае когда при изложении какого-нибудь
вопроса ссылки на библиографию отсутствуют, это означает, что для
его понимания изучения дополнительного материала не требуется.
В конце книги приложен список обозначений и сокращений,
используемых в тексте. В частности, символом 0 мы обозначаем
пустое множество, а символами А \ В — разность множеств А и В.
Знак ¦ обозначает конец доказательства.
Автор чрезвычайно признателен профессору Стинроду, прочитав-
прочитавшему несколько вариантов рукописи и сделавшему ряд ценных заме-
замечаний, которые привели к значительному улучшению книги. / Автор
также хочет выразить свою благодарность докторам Джону, Гриф-
фину и профессору Янгу, которые любезно согласились прочитать
окончательный вариант текста и просмотреть доказательства.
Вайнский университет,
Детройт, .Мичиган
Ху Сы-цзян
ГЛАВА I
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА; ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Введение
Существует весьма широкий класс топологических задач, извест-
известных под общим названием задач распространения. Одна из
основных целевых установок этой книги заключается в том, чтобы
показать, что эти задачи являются основными в топологии; как мы
покажем, многие теоремы топологии и большинство ее приложений
к другим областям математики сводятся к некоторым задачам рас-
распространения.
Настоящая глава имеет своей целью точно сформулировать задачу
распространения и изучить ее в наиболее общей ситуации. В этой
главе рассматриваются также некоторые другие задачи и показы-
показывается, что они полностью равносильны задаче распространения.
Задачу распространения мы вначале рассматриваем в ее так называе-
называемой ограниченной форме и доказываем, что ее решение зависит
только от гомотопического класса рассматриваемого отображения, и
более того, только от гомотопического типа участвующих в задаче
пространств. Это естественно приводит к постановке задачи распро-
распространения в ее наиболее общем виде. Мы показываем, что эта наиболее
общая задача распространения сводится к ее простейшему частному
случаю — задаче ретракции. В заключение этой главы аналогичным об-
образом рассматриваются двойственные друг другу задачи деформации
и накрытия (построения секущей поверхности); оказывается, что и
эти задачи" сводятся к задаче распространения.
2. Задача распространения
Под отображением f:X->Y пространства X в простран-
пространство К мы всегда будем понимать (если только явно не оговорено
противное) однозначное непрерывное отображение. Пространство X
мы будем называть областью определения, а пространство К —
областью значений отображения /.
Мы не будем напоминать определения и элементарных свойств
непрерывных отображений, так как их можно найти в любой книге
по общей топологии; см., например, [К], стр. 84—88. Мы будем
также предполагать, что читатель знаком с обычными понятиями
и обозначениями, относящимися к отображениям, например в том
е, как они даны в [С — Э].
I
8 Гл. I. Основная задача; предварительные Понятия
Пусть /: X -»¦ К — произвольное отображение. Для любого под-
подпространства А пространства X отображение / определяет един-
единственное отображение g : А -> К, обладающее тем свойством, что
g(x) = f(x) для любой точки х ?А. Это отображение g называется
ограничением отображения / на множестве А и обозначается сим-
символом f\
В свою очередь отображение / называется распространением
отображения g на пространство X.
Отображения подпространства А в некоторое пространство Y
мы будем иногда называть частичными отображениями простран-
пространства X в пространство У.
Формула h : AcX будет в дальнейшем означать, что h пред-
представляет собой отображение вложения, определяемое формулой
h(a) = a?X для любой точки а?А. Равенство g = f\A равно-
равносильно тому, что в диаграмме
А ~ >Y
X
где h:AcX, имеет место соотношение коммутативности
fh = g.
Задача распространения (ограниченная) формулируется сле-
следующим образом: можно ли данное отображение g : А —> Y, опре-
определенное на подпространстве А пространства X, распространить на
все пространство X? Если пространства X, A, Y и отображение g
заданы некоторым разумно эффективным способом, то в решении
этой задачи должен быть указан эффективный процесс, позволяющий
ответить на вопрос о том, имеет ли отображение g распространение
на пространство X, и в случае положительного ответа найти' хотя
бы одно такое распространение. Как будет видно из дальнейшего,
решение этой задачи до сих пор получено лишь в некоторых ча-
частных случаях, совершенно различных по своей природе. Никакой
полной теории до настоящего времени еще не построено.
По существу, было бы естественнее рассматривать не эту за-
задачу распространения, а другую, более общую задачу (см. п. 9),
формулируемую в чисто гомотопических терминах. Однако и в связи
с этой ограниченной задачей возникает ряд важных понятий, кото-
которые удобнее ясего ввести именно здесь. Мы начнемте рассмотрения
нескольких простых примеров.
1. Пусть X — произвольное пространство и А — его подпро-
подпространство, состоящее из двух различных точек х0 и xv Пусть, да-
iee, Y — некоторая нульмерная сфера, скажем, край единичного
. >трезка /. Рассмотрим отображение g:A->Y, определенное фор-
2. Задача распространения
мулами g(xo) = 0, g(x1)=l. Отображение g тогда и только тогд-
может быть распространено на все пространство X. ко^яя " чк •
принадлежат различным квазикомпонентам прост а <.¦ ..
[С —Э], стр. 314.
2. Пусть теперь Х = 1 и А — край отрезка /. Отображение
g-.A-^-Y, где Y — произвольное пространство, тогда и только
тогда может быть распространено на все пространство X, когда
точки g@) и g(l) принадлежат компактному связному и локально
связному подпространству пространства Y, удовлетворяющему вто-
второй аксиоме счетности.
3. Пусть, далее, X — произвольное нормальное пространство,
А — объединение двух непересекающихся замкнутых подпространств
В и С пространства X, и пусть Y — I. Рассмотрим отображение
g-.A-^-Y, определенное формулами
Известная лемма Урысона ([Л2], стр. 45) утверждает, что ото-
отображение g может быть распространено на все пространство X.
4. Пусть, как и выше, ^—^произвольное нормальное простран-
пространство и К = /. Тогда, согласно теореме Титце ([Л2], стр. 46),
каждое отображение g : Л -> К, где А — произвольное замкнутое
подпространство пространства X, может быть распространено на все
пространство X. См. также упр. Ь в конце этой главы.
Рассмотренное в последнем примере пространство К=?=/ обладает
тем свойством, что задача распространения имеет решение для лю-
любой пары (X, А), если только пространство X нормально, а под-
подпространство А замкнуто. Пространства, обладающие этим свой-
свойством, называются заполненными. Таким образом, пространство Y
заполнено, если каждое отображение g : А'.—> Y любого замкнутого
подмножества А произвольного нормального пространства X может
быть распространено на все пространство' X.
Предложение 2.1. Прямое произведение заполненных про-
пространств является заполненным пространством.
Доказательство. Пусть {KJ^ M)—произвольное семейство за-
заполненных пространств, и пусть К = Д К^ — их прямое произведе-
ние ([Л2], стр. 23). Докажем, что Y является заполненным про-
пространством.
Пусть А — замкнутое подпространство нормального простран-
пространства X, и пусть ?:Л-> Y — произвольное отображение. Обозначив
через p^.Y-*¦ Y^, .(*? М, естественную проекцию пространства Y на
пространство Y , положим
10 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
Так как пространство У^ заполнено, то отображение g^ может быть
распространено до некоторого отображения /^ : X -»¦ К^. Мы опре-
определим отображение f: X -^-Y, положив '
Очевидно, что отображение / является распространением отображе-
отображения g на все пространство X. Ш
Так как замкнутый единичный интервал / является, согласно
теореме Титце, заполненным пространством, то из предложения B.1)
следует, что любой компактный параллелепипед ([Л21. стр. 25) также
является заполненным пространством. В частности, я-мерный куб /"
и гильбертов куб /** являются заполненными пространствами. Запол-
Заполнены будут и любые гомеоморфные им пространства. Таким образом,
в частности, «-мерный шар и га-мерный симплекс заполнены.
3. Метод алгебраической топологии
В предыдущем пункте, мы сформулировали задачу распространения
и привели примеры, в которых распространение существует, если
только выполнены некоторые теоретико-множественные ограничения.
Естественно возникает вопрос, существуют ли примеры, не отяго-
отягощенные теоретико-множественными осложнениями, в которых рас-
распространение невозможно.
Для построения таких примеров основным орудием служит тео-
теория гомологии, с помощью которой из данной геометрической за-
задачи извлекается некоторая „производная" алгебраическая задача
и затем устанавливается, что полученная алгебраическая задача не
допускает решения.
Как уже было сказано в предыдущем пункте," решение задачи
распространения отображения g : A->Y на пространство Х^А со-
состоит в нахождении отображения /: X -> К, для которого имеет
место коммутативная диаграмма
AN
X'
где h : АсХ. В любой теории гомологии, удовлетворяющей аксиомам
Стинрода — Эйленберга ([С — Э], стр. 29), отображения /, g, h
индуцируют для каждого m гомоморфизмы
(A)^*Hm
\ Л
VkX
8. Метод алгебраической топологии 11
причем, согласно аксиоме 2 .Стинрода— Эйленберга (см. [С — Э],
стр. 30), для этого треугольника гомоморфизмов также выполнено
условие коммутативности. Следовательно, если существует распро-
распространение f:X~>Y отображения g : A-*Y, то существует решение
следующей производной алгебраической задачи: найти
гомоморфизм
H
удовлетворяющий соотношению коммутативности <pht = gt.
Таким образом, существование гомоморфизма ср является необхо-
необходимым (хотя, вообще говоря, недостаточным) условием существования
распространения отображения g на пространство X. Во многих слу-
случаях это необходимое условие позволяет показать, что данное ото-
отображение g: A-*Y не допускает распространения на простран-
пространство X.
Пусть, например, пространство X представляет собой единичный
n-мерный шар Ея евклидова я-мерного пространства R", а под-
подпространство А — его граничную (» — 1)-мерную сферу 5я . Пусть,
далее, Y — A, и пусть g: A-*-Y — тождественное отображение
сферы 5я. Докажем следующее
Предложение 3.1. При л^-1 тождественное отображение
g : Sn~l-> S"'1 не может быть распространено на шар Е".
Доказательство. Предполагая, что я>1, рассмотрим теорию
гомологии с группой Z целых чисел в качестве группы коэффи-
коэффициентов. Тогда
я) 0, tfJS"-1)^, m = n-U
Поскольку g представляет собой тождественное отображение, из
аксиомы 1 Стинрода — Эйленберга следует, что gt является тож-
тождественным автоморфизмом группы //„(S"). Так как ЯотEя~1)=#0,
то отсюда вытекает, что g,=f=O. С другой стороны, так как
Нт(Е") = 0, то гомоморфизм А„, индуцированный отображением
вложения h: S"~1czEn, тривиален. Поэтому если для отображения g
существует распространение / : Е" ->• 5я, то /,А, = 0. Однако это
противоречит соотношениям ftht — gt и ^,=f 0. Таким образом, про-
производная алгебраическая задача не имеет решения, а потому не имеет
решения и исходная геометрическая задача.
Остается рассмотреть случай я = 1, когда сфера 5я состоит
из двух точек и, следовательно, является несвязным пространством.
С другой стороны, шар Еп связен, а потому связен и любой его
непрерывный образ /(?"). Остается заметить, что если отображе-
отображение / является распространением тождественного отображения g,
то f(En) n\
12 Гл. I. Основная задана; предварительные понятия
Замечание. Предложение 3.1 для я=1 можно доказать
и алгебраически, введя в рассмотрение приведенные группы гомоло-
гомологии (см. [С —Э]. стр. 37).
Важным следствием предложения 3.1 является
Теорема 3.2 (Т е о р е м а Браузера о неподвижной точке).
Каждое отображение /:?"-> Я" имеет неподвижную точку,
т. е. существует такая точка х?Е", что f(x) — x.
Доказательство. Допустим, что отображение /:?"—>?" не имеет
неподвижных точек, т. е. что для любой точки х ? Е" справедливо
соотношение /(х)фх. Соединив точки f(x) и х отрезком, про-
продолжим его за точку х до пересечения, со сферой 5я в некоторой
точке г (х). Легко проверяется, что соответствие х->г (х) опреде-
определяет непрерывное отображение г : Е*-*Sn~l, причем если x^S",
то г(х) — х. Таким образом, отображение г является распростране-
распространением тождественного отображения сферы S"~\ Но это противоречит
предложению 3.1. ¦
Это следствие предложения 3.1 показывает, что отрицательный
характер некоторой „теоремы несуществования" не уменьшает ее
ценности. Сформулированная иначе, она может превратиться в по-
положительное утверждение.
Заметим, что в рассмотренной производной алгебраической за-
задаче можно вместо теории гомологии использовать равным образом
теорию когомологий.
4. Задача ретракции
Важный частный случай задачи распространения мы получим,
полагая У = А и считая, что g представляет собой тождественное
отображение / пространства А. В этом случае задача распростра-
распространения называется задачей ретракции. Если отображение / до-
допускает распространение г:Х—>А, то подпространство Л называется
ретрактом пространства X, а отображение г — ретракцией (или
ретрагирующим отоб ражением) пространства X на подпростран-
подпространство А. Тот факт, что отображение г является ретракцией, мы
будем записывать формулой х
r.:Xz>A.
В этой терминологии предложение 3.1 утверждает, что граничная
(я — 1)-мерная сфера S"~l шара Еп не является его ретрактом. За-
Заметим, однако, что, удалив из шара Е" одну внутреннюю точку
(которую, без ограничения общности, можно считать совпадающей
с началом координат 0), мы получим такое пространство X, что
сфера S"~ уже будет его ретрактом. Действительно, соответствую-
- 4. Задача -ретракции ¦ 13
щая ретракция г : XtdS"!1 может быть задана, например, формулой
где |x|—расстояние между точками 0 и х. Эта же формула опре-
определяет ретракцию г пространства R" \ 0 на сферу S"~ .
Другие примеры ретрактов мы получим, рассматривая прямое
произведение X = Л X В двух произвольных пространств. Отметив
в пространстве В некоторую точку Ьо, мы можем пространство А
рассматривать как подпространство произведения X, вкладывая Л
в X при помощи гомеоморфизма п\А-*Х, определенного форму-
формулой h(a) = (a, fto). Тогда естественная проекция Х = АУ,В->А
будет представлять собой ретракцию пространства X на подпро-
подпространство А. В частности, каждый меридиан тора 7|2=51Х51 является
его ретрактом.
Ясно, что если подпространство А является ретрактом пространт
ства X, то задача распространения имеет решение при любом про-
пространстве У. Более того, имеет место следующее
. Предложение 4.1. Подпространство А тогда и только тогда
является ретрактом пространства X, когда для любого про-
пространства У каждое отображение g: А->У допускает рас-
распространение на пространство X.
Доказательство. Если подпространство А является ретрактом про-
пространства X, то отображение gr : X -* У, где г : Xz>A — некоторая
ретракция, является распространением отображения g. Обратно, пред-
предположим, что сформулированное условие выполняется. Тогда, полагая
У = А и принимая за g тождественное отображение / подпростран-
подпространства А, мы получим, что отображение t допускает распространение
г:Х->А.Ш
Задача ретракции следующим образом приводит к некоторой
производной алгебраической задаче. В любой теории гомологии или
когомологий, удовлетворяющей аксиомам Стинрода — Эйленберга,
отображение вложения (:АсХ индуцирует для каждого т гомо-
гомоморфизмы
1,:Нт(А)->Нт(Х), Г:Н
Производная алгебраическая задача заключается в том,
чтобы установить существование гомоморфизмов
ср: Нт(X)->Нт(А), ф : Нт(Л)->Нт(X),
для которых составные отображения ср/, и /*ф представляют собой
тождественные автоморфизмы групп Нт (А) и Нт (А) соответственно.
Существование гомоморфизмов ср и ф необходимо для того, чтобы
подпространство А было ретрактом пространства X. Действительно,
14 Гл. I. Основная задана;- предварительные понятия
если ретракция r:XzsA существует, то отображение rl является
тождественным отображением подпространства Л, а потому гомо-
гомоморфизмы <? = rt иф = г* являются решениями производной алгебраи-
алгебраической задачи. Поскольку отображения rj, и /V* являются тождествен-
тождественными автоморфизмами, отображения lt и г* представляют собой
мономорфизмы, а отображения г, и Г — эпиморфизмы, причем имеют
место прямые разложения:
Если область коэффициентов теории когомологий является коль-
кольцом, то прямая сумма Н*(Х) групп когомологий Нт(Х), т=0, 1,...
представляет собой кольцо с операцией Колмогорова — Александера
в качестве умножения. Отображение вложения /: АсХ и ретракция
г : XzdA индуцируют в этом случае кольцевые гомоморфизмы
/*: Н* (X) -> Н* (А), г*: Н* (А) -> Н* (X).
Так как отображение rl пространства А является тождественным
отображением, то гомоморфизм 1*г* представляет собой тождествен-
тождественный автоморфизм кольца И* (А). Следовательно, гомоморфизм г*
является мономорфизмом, гомоморфизм /* — эпиморфизмом и кольцо
Н*(Х) разлагается в прямую сумму: ,
где Кег С представляет собой некоторый идеал, а 1щ г* является
подкольцом, изоморфно отображающимся на кольцо И* {А) при гомо-
гомоморфизме г*.
Вытекающие отсюда необходимые условия существования ретрак-
ретракции во многих случаях позволяют показать, что некоторое конкретно
заданное подпространство А нространства X не является его ретрактом.
Пусть, например, X — комплексное проективное пространство ком-
комплексной размерности я>1, и пусть А — его линейное подпро-
подпространство комплексной размерности г, где 0 < г < п. Докажем, что
подпространство А не является ретрактом пространства X. Пусть
ретракция r:Xz>A существует, и пусть г* : Н* (А) -> Н* (X) г— соот-
соответствующий мономорфизм целочисленных колец когомологий. Пусть,
далее, а и 5 — образующие свободных циклических групп Н2(А)
и Н2 (X) соответственно. Тогда г* (а) = kl, где k — некоторое целое
число. Поскольку отображение г* мономорфно, число k отлично от
нуля. С другой стороны, так как я > г, то ал = 0 и, следова-
следовательно, в силу того что гомоморфизм г* сохраняет произведения,
Но это невозможно, ибо класс когомологий %п порождает свободную
циклическую группу Нг"(Х).
5 Комбинированные отображения . 16
Докажем в заключение следующее предложение, описывающее
один важный класс ретрактов:
Предложение 4.2. Для любой (конечной) триангулируемой
пары (X, Л) (см. [С — Э], стр. 86) замкнутое подпространство
L = (XXO)\)(AXI)
прямого произведения М = X X / является ретрактом про-
странства М.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда про-
пространство X представляет собой единичный я-мерный симплекс Д„
евклидова (я-(-1)-мерного пространства (см. (С — Э], стр. 80),
а подпространство А является граничной (я — 1)-мерной сферой сим-
симплекса Д„ (при я = 0 подпространство А пусто). В этом случае
ретракцию г : MzsL мы определим как центральную проекцию мно-
множества М на множество L из точки (с, 2)?ДЛХ#. где с —центр
тяжести симплекса Д„ (так как /с/?, та пространство М содержится
в произведении Д„ X Я).
В случае произвольной конечной триангулируемой пары (X, А)
можно считать, что X представляет собой конечное симплициальное
разбиение, а А — его подразбиение. Но тогда предложение 4.2 легко
доказывается индукцией по числу симплексов разбиения X, не при-
принадлежащих подразбиению А, если использовать доказанный выше
частный случай и тот факт, что ретракт ретракта также является
ретрактом. ¦
В п. 10 предложение 4.2 будет существенно усилено. Оно имеет
место также и для некоторых нетриангулируемых пар; см. упр. О
в конце этой главы.
б. Комбинированные отображения
Конкретные отображения часто строятся с помощью задания их
на отдельных кусках области определения. Цель этого пункта — ука-
указать некоторые условия, достаточные для непрерывности построен-
построенного этим методом отображения.
Пусть {^Ip^^f} — произвольное покрытие пространства X
с индексами из некоторого множества М, и пусть Dtt = X ft X ,
где |х, v ? М.
Каково бы ни было отображение g: X -> Y пространства X
в некоторое пространство К, отображения ^ = ^1^ однозначно
определены и для любой пары индексов р, v ? М удовлетворяют
соотношению g \ =gy\D .
Обратно, пусть для каждого индекса [а?Л4 задано некоторое
(непрерывное) отображение /^: Х^ -> К, и пусть для любой пары
16 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
индексов (д., v выполнено соотношение
Тогда условия
f\x^ — U' [*6M.
одиовначно определяют некоторое отображение /: X ->Y. Мы будем
говорить, что это отображение скомбинировано из отображений Д.
Мы должны выяснить, при каких условиях комбинированное отобра-
отображение / непрерывно, т. е. является отображением X->Y в принятом
нами смысле.
Предложение 5.1. Если множество М конечно, а все подпро-
подпространства Х^, [а ? М, замкнуты в пространстве X, то комби-
комбинированное отображение / непрерывно.
Доказательство. Пусть F—произвольное замкнутое подмножество
пространства Y. Из непрерывности отображений Д, (а?Л4, вытекает,
что каждое множество f^l(F) замкнуто в подпространстве Х^,
а потому и в пространстве X (ибо подпространство Х^ замкнуто
В пространстве X). Так как множество М конечно, то' множество
также замкнуто в пространстве X. Следовательно, отображение /
непрерывно. ¦
Довольно часто встречается следующее применение доказанного
предложения. Пусть /, g : Xy,I-*Y — такие отображения, что
f(x, l) = g(x, 0) для любой точки х?Х. Определим отображение
А : X X / ->• У, положив
f(x,2t), если
, 2*—1), если у
А(дг. *) = ¦
Согласно предложению 5.1, отображение А непрерывно. Оно назы-
называется суммой, отображений / и g и обозначается символом f-\-g'
Ясно, что эта операция не коммутативна.
Предложение 5.2. Если, точка х?Х является внутренней
точкой некоторого подпространства Х^, то комбинирован-
комбинированное отображение f непрерывно в этой точке.
Доказательство. Пусть U — произвольная открытая окрестность
точки / (д:) = /^ (д.) в пространстве Y. Так как отображение Д не-
непрерывно, то в подпространстве X существует такая открытая
6. Топологическое отождествление 17
окрестность V точки х, что f^(y)cU. Пусть
Ясно, что W представляет собой открытую окрестность точки х
в пространстве X и что f(W) = /^(W)cU. Поэтому отображение /
непрерывно в точке х. Ш
Следствие 5.3. Если все подпространства Х^, \ъ ? М, открыты
в пространстве X, то комбинированное отображение f не-
непрерывно.
Предложение 5.2V позволяет нам доказать также следующее обоб-
обобщение предложения 5.1:
Предложение 5.4. Если покрытие {Х^^М} пространства X
локально конечно и состоит из замкнутых подпространств Х^,
то комбинированное отображение f непрерывно.
Доказательство. Пусть х — произвольная точка пространства X.
Достаточно показать, что отображение / непрерывно в точке х.
Так как покрытие (ATJ^^ M) локально конечно, то существует
окрестность Хо точки х, пересекающаяся лишь с конечным числом
подпространств Х^. Так как подпространство Х^ замкнуто в про-
пространстве X, то пересечение Хо П Х^ замкнуто в окрестности Хо.
Поэтому, согласно предложению 5.1, ограничение fo = f\x непре-
непрерывно. Расширим теперь семейство {.AT ||ir?Af}, добавив к нему
множество Хо. Применяя к расширенному семейству предложе-
предложение 5.2 и учитывая, что точка х является, по построению, внутрен-
внутренней точкой подпространства Ха, мы немедленно получим, что
отображение / непрерывно в точке х. Ш
6. Топологическое отождествление
Пусть для точек пространства X задано некоторое отноше-
отношение эквивалентности. Тогда, как известно, все пространство X
разбивается на попарно непересекающиеся классы эквива-
эквивалентности. Пусть Z — множество всех этих классов эквива-
эквивалентности. Обозначив класс эквивалентности, содержащий точку
х?Х, символом [х], мы рассмотрим отображение
p:X-*Z,
определенное формулой р(х) = [х]. Это отображение мы будем
называть естественной проекцией пространства X на простран-
Введем в множество Z топологию, считая подмножество WcZ
открытым тогда и только тогда, когда его прообраз р~х (W) открыт
в пространстве X. Эта топология^ножества Z называется mono-
2 Ху Сы-цзян
18 . Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
логией отождествления, определяемой отображением р, а также
фактортопологией, определяемой заданным на X отношением
Эквивалентности. Снабженное этой топологией множество Z назы-
называется фактораространством пространства X по данному отно-
отношению эквивалентности. Говорят также, что пространство Z полу-
получено из пространства X топологическим Ьтождествлением.
. Этот прием построения новых пространств из уже известных
играет в алгебраической топологии чрезвычайно важную роль. Боль-
Большинство интересных пространств может быть получено из более про-
простых пространств топологическим отождествлением. Например, я-мерная
сфера получается из я-мерного шара отождествлением (или, иначе, аб-
абстрактным стягиванием) всей его границы в одну точку, а я-мер-
ное действительное проективное пространство получается из я-мер-
ной сферы отождествлением диаметрально противоположных точек.
Важный пример топологического отождествления возникает при
рассмотрении некоторой группы я гомеоморфизмов пространства X.
Эта группа определяет на пространстве X отношение эквивалент-
эквивалентности, в котором две точки а, Ь?Х тогда и только тогда счи-
считаются эквивалентными, когда существует такой элемент % ? я, что
? = ?(а). Соответствующее факторпространство называется про-
пространством траекторий группы я и обозначается символом Х/п.
Другие примеры топологического отождествления приведены
в упражнениях, помещенных в конце этой главы.
Предложение 6.1. Если для некоторого отображения f : Z->Y>
где Z — факторпространство пространства X, a Y— произ-
произвольное пространство, составное отображение g = fp: X-*-Y
непрерывно, то отображение f также" непрерывно.
Доказательство. Пусть V — произвольное открытое множество
пространства У. Мы должны показать, что его прообраз W = /~' (V)
является открытым множеством пространства Z. Но так как g = fp, то
g~l (V)=Р~11Г1 (У)\ = p-i (W).
С другой стороны, в силу непрерывности отображения g прообраз
g~l(V) является открытым множеством пространства X. Следова-
Следовательно, по определению топологии отождествления, множество W
открыто. ¦
Дальнейшие сведения о факторпространствах можно найти в [К],
стр. 94—100.
7. Склеивание
Важным частным случаем процесса топологического отождествле-
отождествления является процесс построения склеенного пространства,
возникающий при рассмотрении диаграммы
** Y,
7. Склеивание 19
где X и У— произвольные пространства, А — замкнутое подпро-
подпространство пространства X, a g: А —> Y — произвольное отображение.
Напомним, что топологической суммой пространств X к Y
называется объединение
X
двух непересекающихся экземпляров пространств X и Y, в котором
топология задается следующим условием: множество VcW тогда и
только тогда открыто, когда множества V П -^ и V П ^ открыты
в пространствах X а У соответственно.
Факторпространство Z пространства W, получающееся при ото-
отождествлении каждой точки х ? А с соответствующей точкой g (х) ? К,
называется склеенным пространством, получающимся приклеива-
приклеиванием пространства X к пространству У с помощью отображения
g:A-*Y. Другими словами, склеенное пространство Z представляет
собой факторпространство пространства W по отношению эквива-
эквивалентности, в котором точки х?Х и у ? Y тогда и только тогда
эквивалентны, когда х?А и g(x) = y, различные точки у и у'
пространства У никогда не эквивалентны, а различные точки х и х'
пространства X эквивалентны тогда и только тогда, когда они при-
принадлежат подпространству А и g(x) = g(x').
Легко проверяется, что естественная проекция р: W—*Z гомео-
морфно отображает пространство Y на некоторое замкнутое под-
подпространство р (У) пространства Z. Благодаря этому мы можем рас-
рассматривать пространство Y как вамкнутое подпространство простран-
пространства Z. Очевидно, что равенство K = Z имеет место тогда и только
тогда, когда А = Х.
Предложение 7.1. Пространство У тогда и только тогда
является ретрактом пространства Z, когда отображение
g:A->Y допускает распространение на все пространство X.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует ретрак-
ретракция г: ZzdY. Используя естественную проекцию р: W-+Z, опреде-
определим отображение /: Х-*У, положив
Если х?А, то f(x)=rp(x) = rg(x) = g(x). Следовательно, ото-
отображение / является распространением отображения g на все про-
пространство X.
Достаточность. Пусть существует такое отображение
f'X-*Y, что f\A==g. Определим отображение г: Z->K, полагая,
r(z) = z, если z?YcZ и r(z) = f(x), если z?Z\Y, где х—та-
х—такая (очевидно, однозначно определенная) точка подпространства
X \ А, что p(x) — z. Пусть h — rp. Ясно, что й|х = /ичто ото-
отображение h \y предстазляет собой тождественное отображение про-
2*
20 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
странства Y. Поэтому, согласно предположению 5.1, отображение А
непрерывно и, следовательно, отображение г также непрерывно
(предложение 6.1), Так как отображение r\Y является тождествен-
тождественным отображением пространства Y, то отображение г представляет
собой ретракцию. ¦
Таким образом, задача распространения отображения
g : A->Y на пространство X равносильна некоторой задаче
ретракции.
Отметим еще следующее интересное свойство склеенного про-
пространства. Так как естественная проекция р: W-*-Z отображает
пространство X в пространство Z, а подпространство А — в под-
подпространство Y, то ее можно рассматривать как отображение пар
р:(Х, A)->(Z, К).
Очевидно, что это отображение пар является относительным го-
гомеоморфизмом, т. е. гомеоморфно отображает подпространство
X \ А на подпространство Z \ Y.
Важный пример склеенного пространства получается в случае,
когда Х = Еп и A = S"~1. Для соответствующего склеенного про-
пространства Z, т. е. пространства, получающегося приклеиванием
шара Е" к пространству Y с помощью некоторого отображения
g: 5" -> Y, пара (Z, К) называется относительной п-мерной
клеткой. Если, в частности, У является действительным (я — 1)-
мерным проективным пространством Р"'1, а отображение g : 5"~'->
-^-Я" возникает при отождествлений диаметрально противополож-
противоположных точек сферы 5", то склеенное пространство Z гомеоморфно
действительному я-мерному проективному пространству Р". Это по-
показывает, что пара {Рп, Р") является относительной я-мерной клет-
клеткой. Аналогично пара (СР", СР"'1), где СР, да = я, я — 1,—-ком-
1,—-комплексное да-мерное проективное пространство (действительная раз-
размерность этого пространства равна 2т), является относительной
2я-мерной клеткой.
8. Задача гомотопни и задача классификации
Семейство отображений ht: X->Y, 0^^<]l, индексами кото-
которых являются действительные числа /?/, называется гомотопией,
если отображение И: X У. I->Y, определенное формулой
Н(х, t) = nt(x), . x?X, t?I,
непрерывно. Отображения п0 и hx называются соответственно началь-
начальным и конечным отображениями гомотопии ht. Если отображение /
8. Задача гомотопии и задача классификации 21
представляет собой начальное отображение гомотопии ht, то говорят
также, что гомотопия ht является гомотопией отображения /.
Ясно, что во всех рассмотрениях гомотопия ht и отображение Н
полностью взаимно заменяемы, в связи с чем, отображение И мы
иногда также будем называть гомотопией. В каждом конкретном слу-
случае предпочтение, оказываемое гомотопии ht или отображению Н,
будет определяться исключительно соображениями удобства.
Отображения /; X -> Y и g: X -> Y называются гомотопными
(обозначение f~g), если существует такая гомотопия ht: X -*• Y,
Q^.t-^\, что ko = f и Aj = g\ В этом случае-говорят, что гомо-
гомотопия ht связывает отображения / и g, и используют обозначение
A»: f~g.
Грубо говоря, отображения / и g тогда и только тогда гомо-
гомотопны, когда одно из них может быть непрерывно переведено в дру-
другое.
Не следует думать, что любые два отображения /, g: X->Y
обязательно гомотопны. Например, при Х= Y = S" из аксиомы го-
гомотопии теории гомологии вытекает, что тождественное отображение
сферы S" и любое ее постоянное отображение, т. е. отображение
в одну точку, не гомотопны (см. [С — Э], стр. 30).
Заметим, кстати, что если для некоторого пространства X ото-
отображения /, g: X->S" обладают тем свойством1, что ни для какой
точки х ? X точки / (л:) и g (x) не являются диаметрально противо-
противоположными точками сферы S", то отображения / и g гомотопны.
Действительно, в этом случае для любой точки х?Х существует
однозначно определенная наименьшая дуга большого круга, соеди-
соединяющая точки f(x) и g(x), и приняв за ht(x) точку, делящую эту
дугу в отношении t: 1 — t, мы, очевидно, получим гомотопию
hrf~&' Из этого замечания, в частности,увытекает, что если отобра-
отображение f:X->Sn оставляет свободными некоторые точки сферы
(т. е. образ f(X) является собственным подмножеством сферы S"),
то отображение / гомотопно постоянному отображению»
Задача гомотопии формулируется следующим образом: опре-
определить, гомотопны ли заданные отображения f,g:X->Y. По суще-
существу, эта задача является частным случаем рассмотренной в п. 2
задачи распространения. Действительно, рассмотрим произведение
X X / и его подпространство
т. е. подпространство, состоящее из верхнего и нижнего оснований
„цилиндра" X X /¦ Далее, определим отображение ср : M->Y, поло-
положив -
22 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
Ясно, что любое распространение Н : X X / -*• У отображения <р
представляет собой гомотопию, связывающую отображения fug,
и, обратно, любая такая гомотетия является распространением ото-
отображения <?. Таким образом, отображения fug тогда столько
тогда гомотопны, когда отображение ер допускает распро-
распространение на все пространство X X /.
Аксиома гомотопии теорий гомологии и когомологий указывает
на необходимое условие гомотопности двух отображений. Именно,
если отображения f,g:X-*Y гомотопны, то, согласно этой аксиоме,
они индуцируют одни и те же гомоморфизмы групп гомологии и
когомологий. т. е. /; = ?, и f* = g*.
Это необходимое условие часто позволяет установить, что два
конкретных отображения f,g:X-*Y не гомотопны. Например,
пусть X и Y — замкнутые ориентированные «-мерные многообразия,
и пусть аир — образующие их «-мерных целочисленных групп го-
гомологии Нп(Х) и На(У), соответствующие данным ориентация»!
многообразий X и Y. Для любого отображения f:X~>Y формула
f%(а) = deg/• р определяет некоторое целое число deg/ — степень
отображения/. Ясно, что если deg/ Ф deg g, то отображения
/, g : X -> Y не гомотопны.
Рассмотрим теперь некоторые особо важные частные случаи гомо-
гомотопии. Пусть пространство X является подпространством простран-
пространства Y. В этом случае гомотопия ht:X->Y, Q^.t^.1, начальное
отображение Ао которой совпадает с отображением вложения i:XczY,
называется деформацией подпространства X в простран-
пространстве Y. Деформация ht: X -> К', конечное отображение hx которой
постоянно, называется стягиванием подпространства X в про-
пространстве Y. Если Y = X, то говорят просто о деформации и
о стягивании пространства X.
Если стягивание пространства X в пространстве У существует,
то пространство X называется стягиваемым (в К). Если для точки
хо?Х существует такое стягивание ht:X-*Y, 0<?<1, что
К(*о) = хо Для всех t?I, то подпространство X называется стяги-
стягиваемым (в К) к точке х0. Например, каждое собственное подпро-
подпространство «-мерной сферы Sn стягиваемо к любой его точке.
Пусть опять X и Y — произвольные пространства, и пусть
2 = К*
— совокупность всех отображений пространства X в пространство У.
Предложение 8.1. Отношение гомотопности — между ото-
отображениями пространства X в пространство У является
отношением эквивалентности на множестве Q.
Доказательство. Мы должны показать, что отношение <~~> реф-
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Чтобы доказать рефлексив-
8. Задача гомотетии и задача классификации 23
ность этого отношения, определим для любого отображения / ? Q
гомотопию ft: X->Y, 0<*<1, полагая /, = / для всех t?I.
Ясно, что ft: /—¦/. Для доказательства симметричности мы отнесем
произвольной гомотопии ht: f~g, связывающей некоторые отобра-
отображения /?2 и g?Q, гомотопию kt:X~>Y, O^t^.1, полагая
kt — hx2t для" всех t?I. Ясно, что kt: g— f. Наконец, для доказа-
доказательства транзитивности мы гомотопиям cpf: /~~> g и ty,: g^ti отне-
отнесем семейство отображений х<: X-*-Y, O-^/^l, положив
ep2/i если 0 <; t ^ -^,
1
ф2/_1( если у<* < 1.
Согласно предложению 5.1, семейство Xt является гомотопией. Так
как хо = <ро = / и Xi = Ц»1 = Л« то tt'f~h- ¦
В силу предложения 8.1, все отображения, составляющие Множе-
Множество Q, разбиваются на попарно не пересекающиеся классы эквива-
эквивалентности, называемые гомотопическими классами.
Гомотопический класс отображения / ? 2 мы будем обозначать
символом [/], а совокупность всех гомотопических классов отобра-
отображений пространства X в пространство К — символом %{Х, Y).
Если отображения /0, /j: X' -> Y гомотопны, то для любого ото-
отображения g: X -> X' отображения f^g и f^g также, очевидно, гомо-
гомотопны. Это означает (см» [С — Э], стр. 146), что множество ic(A\ К)
представляет собой контравариантный функтор аргу-
аргумента X. Аналогично, если отображения /0, f^iX-t-Y' гомотопны,
то для любого отображения g : Y' ->Y отображения gf0 и gf1 также
гомотопны. Поэтому те (А", К) представляет собой ковариантный
функтор аргумента К. Таким образом, к(Х, К) является дву-
двуместным функтором, контравариантным по X и ковариант-
ным по Y.
Задача классификации для пространств X и К форму-
формулируется следующим образом: перечислить все элементы множества
"к (X, Y) (т. е. гомотопические классы отображений пространства X
в пространство К) и указать в каждом из этих гомотопических
классов по представителю. Хотя множество Yx имеет, как правило,
мощность континуума, эта задача во многих случаях допускает до-
достаточно эффективное решение.
Например, если пространство X паракомпактно и хаусдорфово,
а пространство К заполнено, то, как легко видеть," любые, два ото-
бражения пространства X в пространство К гомотопны, так что
множество тс(ЛУ К) состоит только из одного гомотопического класса.
Обозначая этот класс символом 0, мы, следовательно, можем напи-
написать, что
и (У. К) —0.
24 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
То же самое справедливо и в случае, когда пространство X произ-
произвольно, а пространство Y стягиваемо. Другие более интересные при-
примеры будут указаны в следующей главе.
9. Теорема о распространении гомотопнн
В этом пункте мы свяжем понятие гомотопического класса с за-
задачей распространения. Именно, мы докажем, что в целом ряде
случаев возможность распространения данного отображения
g: A->Y на пространство Xz>A зависит только от гомото-
гомотопического класса отображения g.
Пусть/: X~>Y— произвольное отображение. Гомотопию п(: Л->
-> Y, 0 ^ t -< 1, где А — некоторое подпространство пространства X,
мы будем называть частичной гомбтопией отображения /, если
/1А .-= Ло. Гомотопию gt: X —*¦ Y мы будем называть распростра-
распространением гомотопии ht: A->Y, если g(\A=ht для всех t?I.
Определение 9.1. Говорят, что подпространство А удовлетворяет
относительно пространства Y аксиоме о распространении гомо-
гомотопии, если каждая частичная гомотопия
ht: A-+Y, O.<*<1,
произвольного отображения / : X -> К допускает распространение
gt: X->Y, 0<f < 1, для которого go = f. Если это свойство вы-
выполнено для любого пространства Y, то говорят, что подпростран-
подпространство А абсолютно удовлетворяет аксиоме о распространении гомо-
гомотопии.
Аксиома о распространении гомотопии лежит в основе почти всех
конструкций, рассматриваемых в гомотопической теории. Это объ-
объясняется тем, что она справедлива, как мы сейчас покажем, для лю-
любых „разумно гладких" пространств.
Предложение 9.2. ДлЛ любой {конечной) триангулируемой
пары (X, А) подпространство А абсолютно удовлетворяет
аксиоме о распространении гомотопии.
Доказательство. Пусть ht: А -> К, 0 <] t < 1, — частичная гомо-
гомотопия некоторого отображения /: X->Y. Определим на замкнутом
подпространстве L = (X X 0) U (А X I) пространства М = X X I
отображение Н: L -> К, положив
(J:)> еСЛИ Х^Х> t==0> -
В силу предложения 4.2, подпространство L является ретрактом про-
пространства М. Пусть г: М Z2 L — соответствующая ретракция. Опре-
9. Теорема о распространении гомотопии 25
делим гомотопию gt: X->Y, O^.t^.1, положив »
= Hr{x, t)
Ясно, что гомотопия gt является распространением гомотопии ht,
причем go = f. Поскольку пространство Y произвольно, это и озна-
означает, что подпространство А абсолютно удовлетворяет аксиоме рас-
распространения гомотопии. ¦ ч
Пространство X называется- бинормальным, если пространство
X X / нормально. Все паракомпактные хаусдорфовы пространства
(и, следовательно, все метризуемые пространства) бинормальны.
Предложение 9.3. Любое замкнутое подпространство А
произвольного бинормального пространства X удовлетворяет
аксиоме о распространении гомотопии относительно каждого
конечно триангулируемого пространства У.
Доказательство. Без ограничения общности мы можем предпола-
предполагать, что пространство Y представляет собой подразбиение единич-
единичного «-мерного симплекса Дя, где п зависит от К (см. [С — Э],
стр. 82). Согласно известной классической теореме (см. [С — Э\,
стр. 101), разбиение Y является ретрактом некоторой своей открытой
окрестности U в симплексе Дя. Пусть т : U =э К —- соответствующая
ретракция.
Пусть, далее, А — произвольное замкнутое подпространство би-
бинормального пространства X, /: Х~>У — произвольное отображение
и ht: A~>Y, O^.t^.1,—^ некоторая частичная гомотопия отображе-
отображения /. Положив
М = ХХ1 и L =
определим отображение H:L->Y так же, как и при доказательстве
предложения 9.2. Согласно сказанному в п. 2, симплекс Д„ является
заполненным пространством. Поэтому,- поскольку пространство М
нормально, a L является его замкнутым подпространством, отобра-
отображение Н : ?-> К с: Дя обладает распространением О : Л1-> Дя.
Пусть Vr = O~1(t/). Так как V представляет собой открытую
окрестность подпространства L в пространстве М и так как еди-
единичный отрезок / компактен, то существует такая открытая окрест-
окрестность W подпространства А в пространстве X, что W X / с V.
Поскольку пространство X нормально, существует, согласно
лемме Урысона, такая непрерывная действительная функция х : Л"->/,
что Х(^\ №) = 0 и j((/4)= 1. Мы определим отображение F:M->Y,
положив
¦ F(x. t) = G(
Ясно, что это отображение представляет собой распространение
отображения Н на все пространство М, так что, полагая gt(x) =
26 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
= F (х, t) для любых х ? X и t? I, мы получим гомотопию gt: X ->
->К, 0<^<Л. являющуюся распространением частичной гомотопии ht
и обладающую тем свойством, что go = f.m
В упр. N и О в конце этой главы предложения 9.2 и 9.3 будут
существенно обобщены.
Пусть опять А— произвольное подпространство пространства X
и g : А -*¦ У — произвольное отображение. Если подпространство А
удовлетворяет относительно пространства У аксиоме о распростра-
распространении гомотопии, то разрешимость сформулированной в п. 2 огра-
ограниченной задачи распространения зависит, очевидно, только от гомо-
гомотопического класса отображения g. Другими словами, эта ограничен-
ограниченная задача распространения равносильна задаче распространения
в следующей расширенной форме: существует ли такое отображение
/:Х->У, что fh<~~>g, где А: АсХ — отображение вложения?
Это новая, расширенная форма задачи распространения,
вообще говоря (т. е. если подпространство А не удовлетворяет акси-
аксиоме е-распространении гомотопии), слабее вадачи распространения
в ее первоначальной форме. Однако ясно, что в гомотопической тео-
теории задачу распространения естественно ставить (и решать) именно
в расширенной форме. В дальнейшем, когда мы будем говорить
о задаче распространения, мы всегда будем иметь в виду (если не
оговорено противное) расширенную форму этой задачи.
10. Относительные гомотопии
Пусть М — некоторое абстрактное множество, а X и К — произ-
произвольные топологические пространства. Пусть, далее, {Х^\ и {У^} —
произвольные семейства подпространств соответственно пространств
X и У с индексами из множества М. Мы будем обозначать эти се-
семейства символом [Хр Кц| р?Л1}, а в случае, когда это не может
вызвать недоразумений. — символом {/И}.
В этом пункте мы будем рассматривать лишь отображения
f\ Х->У, для которых /(Х^)с У^ при всех p?M. Пусть
— совокупность всех таких отображений.
Если, например, множество М состоит из единственного эле-
элемента (*, то 2 представляет собой множество всех отображений
/:(Л\ A)-*(Y, В), где А = Х^ п 5--=^; (см. [С—Э], стр. 23).
Аналогично если множество М состоит из двух элементов ц. и v,
а подпространства Хч и Kv состоят каждое только из одной точки
(соответственно х0 и у0), причем х0 ? А, у0 ? В, где, как и выше,
А = Х^ и В = Кц, то 2 представляет собой множество всех отобра-
отображений /:(Х, А, *0)->(К. В. у0)." По существу, только эти два
случая нам в дальнейшем и понадобятся.
10. Относительные гомотопии ¦ 27
Отображения /, g ? 2 мы будем называть гомотопными относи-
относительно {М}, если существует такая гомотопия ht\ X-> Y, 0 ^ t ^ 1,
что ho = f, hx = g и ht ?2 для всех *?/. В этом случае мы будем
говорить, что гомотопия ht связывает отображения /age множе-
множестве Q, и будем писать
A,: f~grd[M).
или просто
f~gtel{M).
Если множество Л^ состоит из одной точки и Yv_ = f{Xv), то
мы можем отождествить индекс [а с этой точкой. Если это справед-
справедливо для всех {а ? М, то множество Ж мы можем рассматривать как
подмножество пространства X. В этом случае мы будем писать
ht: f~gTelM,
или, соответственно,
/ — g rel M.
Если множество М пусто, то указание „rel M" мы будем опускать,
возвращаясь к обозначениям /.— g и ht: f~g, введенным в п. 8.
Повторяя доказательство предложения 8.1, легко показать, что
отношение гомотопности относительно {/И} является отношением
эквивалентности на множестве 2. Следовательно, множество 2 раз-
разбивается на попарно не пересекающиеся классы, называемые гомо-
гомотопическими классами относительно {М), ала гомотопическими
классами множества 2. Для отображений из множества 2 можно
также ставить задачу классификации, т. е. задачу перечи-
перечисления гомотопических классов множества 2 в терминах известных
топологических инвариантов.
Пусть теперь В — некоторое подпространство пространства К,
пересекающееся с каждым из множеств У^, ц, ? М. Отображение
/ ? 2 называется стягиваемым в подпространство В относи-
относительно [М\, если существует такое отображение g: X->B, что
f~tgttl{M).
где I — отображение вложения В с Y. Важный частный случай этого
понятия возникает в предположении, что подпространство В состоит
из одной точки у0, принадлежащей пересечению всех множеств Y^.
Ясно, что соответствующее постоянное отображение 0 (т. е. отобра-
отображение, для которого 0(Х) = у0) принадлежит в этом случае множе-
множеству 2. Мы будем говорить, что отображение / гомотопно нулю
(или несущественно) относительно [М], если /—^Orel{M}.
В противном случае мы будем говорить, что отображение / суще-
существенно относительно [М].
28 Гл. 1. Основная 'задача; предварительные понятия
Введем теперь важное понятие деформационного ре-
тракта. Подпространство А пространства X называется его де*
формацаонним ретрактом, если существует деформация ht: X —*
-*-Х, O^.t-^.1, конечное отображение пх которой представляет
собой ретракцию пространства X на подпространство А. Если де-
деформация ht обладает тем свойством, что ht(a) = a для всех точек
а?А и всех чисел t?I, то подпространство А называется сальным
деформационным ретрактом пространства X, а деформация ht — ре-
трагирующей деформацией пространства X на подпространство А.
В упр. Т в конце этой главы будет показано, что понятия деформа-
деформационного ретракта и сильного деформационного ретракта во многих
случаях равносильны.
Пример деформационного ретракта мы получим, рассмотрев про-
пространство X, получаемое из шара Е" выкалыванием одной внутрен-
внутренней точки (которую без ограничения общности можно считать совпа-
совпадающей с началом координат 0). Ясно, что сфера Sn~l является
сильным деформационным ретрактом пространства X. Соответствую-
Соответствующую ретрагирующую деформацию ht: X-> X, 0<]f^;i, можно
определить формулой
где | л; | — расстояние между точками 0 и х. Пример недефбрмацион-
ного ретракта мы получим, рассмотрев произвольную точку й-мерной
сферы <S". Очевидно, что она представляет собой ретракт этой
сферы, но отнюдь не деформационный.
Интересные примеры сильных деформационных ретрактов могут
быть получены на основании нижеследующего предложения 10.1,
которое является усилением предложения 4.2 и может быть доказано
с помощью незначительного видоизменения рассуждений, использован-
использованных при доказательстве предложения 4.2.
Предложение 10.1. Для любой {конечной) триангулируемой
пары (X, А) подпространство i = (AX0)U(^X/) является
сильным деформационным ретрактом пространства М = X XI-
Ряд примеров сильных деформационных ретрактов приведен также
в упр. S в конце этой главы.
11. Гомотопические эквивалентности
Сохраняя обозначения, введенные в предыдущем параграфе, рас-
рассмотрим два отображения:
/: X-+Y, g: Y-+X,
обладающие тем свойством, что /(X^czY^ и g(Yv)czX[L для
всех [а ? М.
//. Гомотопические эквивалентности 29
Отображение g называется лееым гомотпопическа обратным
для отображения / относительно семейства \М), а отображение /
называется правым гомотопическа обратным для отображения g
относительно семейства [М], если существует гомотопияй,: X ->Х,
О ^ t -^ 1. начальное отображение Ао которой совпадает с отображе-
отображением gf, конечное отображение А, является тождественным отобра-
отображением пространства X и для которой АДЛ^сК^ при всехт*?Л1
и t?I. Отображение g называется двусторонне гомотопическа
обратным для отображения / относительно семейства [М], если
оно одновременно является левым и правым гомотопически обратным
для отображения / относительно семейства [М].
Отображение f:X-+Y называется гомотопической эквива-
эквивалентностью относительно семейства {Ж}, если оно обладает
двусторонне гомотопически обратным отображением относительно
семейства {М}. В этом случае мы будем писать
Пространства X и Y называются гомотопически эквивалентными
относительно семейства [М], если существует хотя бы одна
гомотопическая эквивалентность f:X — Krel{M}. В этом случае мы
будем также говорить, что пространства X и Y являются простран-
пространствами одного и того же гомотопического типа относительно
семейства {-М}, и будем писать
X~Ytel{M].
Введенные понятия нам будут, по существу, нужны лишь в двух
частных случаях, когда множество М. либо пусто, либо состоит
только из одного элемента.
В случае когда множество М пусто, т. е. когда мы фактически
не рассматриваем никакого семейства [М], слова „относительно
семейства \Щ' мы будем просто опускать. Например, два про-
пространства Л" и К мы будем называть гомотопически эквивалент-
эквивалентными, если существуют такие отображения f:X->Y и g: Y->X,
что композиции gf и fg гомотопны тождественным отображениям
пространств X и Y соответственно.
В случае когда множество М состоит только из одного эле-
элемента р, т. е. когда речь идет об отображениях пары (X, А)
в пару (К, В), где Х^ = A, Y^ = B,a отображение /: (X, A)->(Y, В)
представляет собой гомотопическую эквивалентность относительно {Л1}>
мы будем вместо /:Х — Кrel {Л, В] писать f:(X, Л)-—'(К, В) и
будем говорить о гомотопической эквивалентности пар.
Введение понятия гомотопической эквивалентности оправдывается
тем,/что задача распространения в ее расширенной форме (см. п. 9)
зависит, по существу, только от гомотопических типов пары (X, А)
30 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
и пространства К. Это утверждение точно формулируется следующим
образом.
Пусть (X, А) — (X', А') и Y — У. По определению, это зна-
значит, что существуют такие отображения
<?:(*, /1)->(Л". А'), <р':(Л", А')-+(Х, А), ф : К->Г, <]/:)"-> К.
что составные отображения ср'<р. 9?'. ф'ф и фф' гомотопны соот-
соответствующим тождественным отображениям. Пусть %: А->А' и
%':А'->А — отображения, определенные соответственно отображе-
отображениями <р и <р'. и пусть g: A -> Y — произвольное отображение. Рас-
Рассмотрим отображение
Если задача распространения отображения g на пространство X
имеет решение, т. е. если существует такое отображение /: X -> Y,
что fk—g, где А: АсХ, то задача распространения отображе-
отображения g' на пространство X' также имеет решение. В самом деле,
отображение /' = ф/ср': X' -> Y' удовлетворяет соотношению
f'h' =
Обратно, если существует такое отображение e'\X'-*-Y', что
e'h'<^,g't где А': А'сХ', то задача распространения отображения g
на пространство А" имеет решение. В самом деле, отображение
е = ф'е'ср : .АГ-> К удовлетворяет соотношению
ей = ф'е'срА = ф'в'А'х — t'g'x'*
Примеры гомотопических экв ив а лентно стей.
A) Для любого гомеоморфизма f:X-*Y пространства X на
пространство Y отображение /-1 является, очевидно, двусторонним
гомотопически обратным для отображения /, так что гомеоморф-
ш*е пространства являются пространствами одного и того же
гомотопического типа.
B) Если пространство, X является деформационным ретрактом
пространства К, то отображение вложения f:XcY является гомо-
гомотопической эквивалентностыб.
Некоторое свойство пространств, или алгебраический объект,
отнесенный пространству, называется гомотопически инвариантным,
если это свойство (соответственно этот объект) сохраняется при
гомотопических эквивалентностях. Почти все топологические инва-
инварианты, изучаемые в алгебраической топологии, являются гомотопи-
гомотопическими инвариантами. Например, из аксиом гомотетии и алгебраи-
алгебраических- аксиом теорий гомологии и когомологий непосредственно
вытекает, что любая гомотопическая эквивалентность индуцирует
изонорфизмы групп гомологии и когомологий. Таким образом, гомо-
12. UuAundp отображения 31
топически эквивалентные пространства обладают изоморфными груп-
группами гомологии и когомологий, т. е. группы гомологии и кого-
мологий гомотопически инвариантны.
В задаче об отыскании двусторонне гомотопически обратных ото-
отображений для данного отображения f:X->Y относительно Задан-
Заданного семейства [М] (если таковые существуют) полезно иметь в виду,
что если некоторое отображение f:X->Y обладает и левым и
правым гомотопически обратными отображениями (относительно
семейства [М]), то оно обладает и двусторонним гомотопически обрат-
обратным отображением. В самом деле, если отображение / обладает
левым гомотопически обратным отображением g':Y->X и правым
гомотопически обратным отображением g": Y—>Х, то, как легко
проверить, составное отображение g = g' fg" '¦ Y->X будет пред-
представлять собой двустороннее гомотопически обратное отображение
для отображения /.
12. Цилиндр отображения
В этом пункте мы для любого отображения /: X->Y построим
с помощью процесса топологического отождествления некоторое
пространство Mj, называемое цилиндром отображения /.
С этой целью мы рассмотрим топологическую сумму
W = (X X /) U У
пространств X X / и К. Для каждой точки х ? X мы отождествим
точку (х, 1)?ХУA с точкой f(x)?Y. Получающееся факторпро-
странство Mf пространства W и называется цилиндром отобра-
отображения /. -'"
Пусть
p:W->Mf
— естественная проекция. Легко проверяется, что р грмёоморфно
отображает пространство К на некоторое замкнутое "подпростран-
"подпространство p(Y) пространства Mf. Поэтому мы можем рассматривать про-
пространство У как замкнутое подпространство пространства Mf
С другой стороны, отображение
определенное формулой g(x) — р(х, 0), х?Х, гомеоморфно ото-
отображает пространство X на замкнутое подпространство р(Ху_0)
пространства Mf. Таким образом, пространство X также вклады-
вкладывается в пространство Mf в качестве его замкнутого подпространства.
32 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
Пространства- X я У, рассматриваемые указанным способом как
замкнутые (очевидно, непересекающиеся) подпространства простран-
пространства Mf, мы будем называть соответственно нижним и верхним
основаниями цилиндра Mf.
Предложение 12.1. Верхнее основание У цилиндра Mf является
его сильным деформационным ретрактом.
Доказательство. Определим семейство отображений ht: Mf -> Mf,
0<*<; 1, положив
ht[p(x, s)] = p(x, s + t — st), x?X. s.
Из предложения 6.1 непосредственно вытекает, что семейство ht,
является гомотопией. Очевидно, что начальное отображение h0 пред-
представляет собой тождественное отображение пространства Mf, а конеч-
конечное отображение hl — ретракцию пространства Mf на подпростран-
подпространство К. К'роме того, для любого t?I отображение ht\Y является
тождественным отображением пространства К. Следовательно, про-
пространство У является сильным . деформационным ретрактом про-
пространства Mf. щ
Предложение 12.2. Для любого отображения f:X-*-Y ото-
отображения g: X-+Mf и pf: X~*-Mf гомотопны.
Доказательство. Определим гомотопию ht: X ->Mf,
положив
ht(x) = p(x, t),
Ясно, что A0=s=g и hl = pf. Следовательно, g~pf. ¦
Отображения f:X~*-Y и f \ X'-*-У называются гомотопи-
чески эквивалентными, если существуют такие гомотопические
эквивалентности у-Х^Х' и <j»:K<~K', что имеют место соотно-
соотношения
>/-/'?. /-?/'?• */?'-/'•
где <р': X'~-'X и i|/ : У'—>У — отображения, двусторонне гомотопи-
чески обратные для отображений ср и i|> соответственно. (Заметим,
впрочем, что каждое из указанных т?ех соотношений равносильно
любому из двух остальных.) Из предложений 12.1 и 12.2 непо-
непосредственно вытекает следующая теорема, выясняющая роль понятия
цилиндра отображения в гомотопической теории:
Теорема 12.3. Любое отображение /': X -*-У гомотопически
эквивалентно некоторому отображению вложения, а именно
отображению g: X с Mf.
13. Обобщение задачи распространения 33
Важный пример цилиндра отображения возникает в случае, когда
пространство У состоит лишь из одной точки v, так что отображе-
отображение /:Х-*-У является постоянным отображением f{X) = v. В этом
случае цилиндр Mj отображения / называется соединением про-
пространства X с точкой v, или конусом над пространством X. Мы
будем обозначать его символом k (X). Точку v будем называть вер-
вершиной конуса k (X).
13. Обобщение задачи распространения
Расширенная задача распространения, сформулированная в п. 9,
естественно приводит к постановке некоторой обобщенной задачи,
которую можно схематически представить в виде диаграммы
X —t-rt, у
XX-
z
где / и g — данные отображения, a h — искомое отображение, кото-
которое должно удовлетворять соотношению hg~f. Однако оказывается,
что эта Ъбобщенная задача распространения равносильна
задаче распространения отображения f:X->Y на цилиндр MgaX
отображения g : X ~*-Z.
Предложение 13.1. Для любых двух отображений f:X~>Y
и g:X—>-Z следующие два утверждения равносильны:
A) существует такое отображение h:Z-*-Y, что hg.— /;
B) существует такое отображение F : Mg~*-Y, что Fq — /,
где q:XcMg—отоЬражение вложения.
Доказательство- A)->B). Как было показано при доказательстве
предложения 12.1, формула
r(p(x, t)) = g(x), x?X, t?I.
определяет некоторую ретракцию г: MgZDZ. Следовательно, ото-
отображение A:Z->K обладает распространением F = hr: Mg-+Y.
В силу предложения 12.2 ••
Fq = hrq — hrpg = hg — /.
B)->(l). Пусть h = F\z. Тогда в силу предложения 12.2
Найдем теперь для задачи построения отображения h производ-
производную алгебраическую задачу. В любой теории гомологии или когомо-
логий, удовлетворяющей аксиомам Стинрода — Эйленберга, данные
3 Ху Сы-цзян
34 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
отображения /: X->К и g:X—*-Z индуцируют гомоморфизмы Д,
g*> /*• g*> которые можно включить в диаграммы
Нт (X) -А* Нт (К) Нт (X) <--? Нт (К)
Hm(Z) Hm(Z)
В производной алгебраической задаче требуется опре-
определить, существуют ли такие гомоморфизмы <р и (|>, что <pgt = f
и ?> = /*•
Существование гомоморфизмов <р и t|> необходимо для существо-
существования отображения ft: X—*-Y, удовлетворяющего соотношению hg~/.
В самом деле, если такое отображение h существует, то гомомор-
гомоморфизмы <р = А„ и t|) = A* являются решениями производной алгебраи-
алгебраической задачи.
Во многих случаях это необходимое условие может быть исполь-
использовано для доказательства несуществования отображения А. Пусть,
Например, X = Sm = Y, Z = S", где т Ф 0 и т Ф п. Если степень
отображения /: X ->К отлична от нуля, то каково бы ни было
отображение g: X—*-Z, отображения A: Z-+Y, удовлетворяющего
условию hg — f, не существует.
14. Цилиндр частичного отображения
В этом пункте мы покажем, что сформулированная в п. 13 обоб-
обобщенная задача распространения равносильна некоторой задаче рет-
ретракции, т.е. наиболее узкой из различных форм задачи распростра-
распространения. -
С этой целью мы введем понятие цилиндра Л!^(Л") частич-
частичного отображения g: A-*-Y, определенного на некотором
подпространстве А пространства X. Пусть
W = X U (АХ О U У
— топологическая сумма пространств X, А X / и К. Отождествив
каждую точку а ? Л с: Л"* с точкой (а, 0) ^ Л X / и каждую точку
(а, 1) — с точкой g(a)?Y, мы получим некоторое факторпро-
странство МЛХ) пространства W, которое и будем называть ци-
цилиндром частичного отображения g.
Пусть
p:W-+Mg(X)
— естественная проекция. Легко видеть, что р гомеоморфно отобра-
отображает пространства X и К на некоторые замкнутые непересекаю-
непересекающиеся подпространства р(Х) и р(У) пространства. Mg(X)., Про-
14. Цилиндр частичного отображения 35
странства X и Y. рассматриваемые как подпространства
пространства Mg(X), мы будем называть соответственно нижним и
верхним основаниями цилиндра Mg(X) частичного отображения
g'.A-*Y:
Лемма 14.1. Если верхнее основание Y цилиндра Mg(X)
является его ретрактом, то существует такое отображение
/: X->Y, что f\A~g.
Доказательство. Пусть г. M-g(X)-=>Y— ретракция. Определим
отображение /: X-*-Y и гомотрпию ht: Л-*К, 0^?^1, положив
f = r\x и
k,(a)=*r(p(a.f)). a?A, t?f.
Ясно, что А0 = /|д и hx = g. m
Лемма 14.2. Если существует такое отображение /: X-+Y,
что f\A~g, то верхнее основание Y цилиндра Mg(X) является
его ретрактом.
Доказательство. Так как f\A~g, то существует такая гомото-
пия ht: A-*Y, 0<;f^l, что ho = f\A и hl = g. Определим ото-
отображение r:Mg(X)-*-Y формулой
If(x), если z==p(x), x?X,
ht(x). если z = p(x,t), (x,t)?AX/.
у, если z = р (у), У€^-
Очевидно, что отображение г является ретракцией. ¦
Пусть теперь f : X-*-Y ъ g:X~*-Z — произвольные отображе-
отображения. Так как пространство X является подпространством цилиндра Mg
отображения g, то отображение / можно рассматривать как частич-
частичное отображение, так что определен его цилиндр ММ
Теорема 14.3. Отображение h:Z—>-Y, для которого hg~f,
существует тогда и только тогда, когда верхнее основание Y
цилиндра Mj(Mg) является его ретрактом.
Доказательство. Достаточность. Если- подпространство К
является ретрактом пространства M^(Mg), то в силу леммы 14.1
существует такое отображение F : Mg->Y, что F\x~ f. Поэтому, со-
согласно предложению 13.1, существует такое отображение h:Z-+Y,
что hg — f.
Необходимость. Пусть существует такое отображение
h:Z-+Y, что hg~f. Тогда в силу предложения 13.1 существует
такое отображение F :Mg-*-Y, что F\x~f- ПОЭТРМУ> согласно
3*
36 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
лемме 14.2, подпространство К является р'етрактом пространства
Mf(Mg). Ш
Конструкция цилиндра частичного отображения тесно связана
с изложенной в п. 7 конструкцией склеенного, пространства. Дей-
Действительно, легко видеть (см. упр. Р), что для достаточно „гладких"
пространств X к Y пространство, получаемое приклеиванием про-
пространства X к пространству Y при помощи отображения g: А-ь-Y,
гомотопически эквивалентно цилиндру Mg(X).
Рассмотрим еще случай, когда пространство Y состоит лишь из
одной точки v, так что отображение g: A-*-Y является постоянным
отображением g(A) = v. В этом случае цилиндр Mg(X) частичного
отображения g мы будем называть частичным конусом про-
пространства X над пространством А. Очевидно, что
Mg (X) = X U k (А)с k (X).
•
15. Задача стягивания
В соответствии с изложенными в п. 10 общими определениями
отображение f:(X, A)—>-(Y, В) называется стягиваемым- в под-
подпространство Ко пространства К, если существует такая гомото-
пия /,:(*, Л)-*(К, В), 0<г<1, что ./„ = / и fx(X)c:Y0.
В задаче стягивания отображения /: (X, А) -> (К, В) в под-
подпространство Ко требуется определить, возможно ли отображение /
стянуть в подпространство Ко. Положив Во = ВП^о! мы мОжем эту
задачу схематически представить диаграммой
• (X, A) -L+ (К, В) ¦ ,
(Yo, So)
где А: (Ко, BQ)c(Y, В) — отображение вложения, a g: (X, А)->
->(К0, Во) — искомое отображение, которое должно удовлетворять
условию hg—<f.
При Л = 0 мы можем без ограничения общности считать, что
В = Во==0. В этом случае мы будем в указанных выше обозначе-
обозначениях опускать символы А, В, Во. Ясно, что задача стягивания (для
случая А = 0) в определенном смысле двойственна сформулированной
в п. 9 задаче распространения. Производная алгебраическая задача
и соответствующие .необходимые условия стягиваемости двойственны
производной алгебраической задаче и необходимым условиям для
задачи распространения. Их формулировку мы оставляем читателю.
Весьма любопытно, что сформулированная в п. 13 обобщенная
д распространения равносильна некоторой мФащ етя-
15. Задача стягивания
37
гивания. Действительно, пусть f:X-+Y и g\X-+Z — произволь-
произвольные отображения, и пусть
так что. YcW и YcV. Определим отображение <р: (W, K)->(V, У),
положив
w, если w?Y,
v, если да ? Mg,
, 1 — 0> если w = p(x, t), x?X, t?I,
где v — вершина конуса k (К), а /?: Ж^и(^ X /)U Y-+W и
9:КХ/-*-^ — естественные проекции.
Теорема 15.1. Отображение h:Z-*-Y. для которого hg — f,
существует тогда и только тогда, когда отображение
y.(W, У)—>(V, У) стягиваемо в подпространство У.
Доказательство. Необходимость. Если отображение h суще-
существует, то, согласно теореме 14.3, оно определяет некоторую ре-
ретракцию г: WzsY. Построим гомотопии %t, ^: (W, K)->(V\ К),
О ^ /^ 1. полагая
w,
v,
если
У,
если w ^ Mg,
q[rp(x, I—t + st), 1—s], tcmw=p(x,s),x?X,s?I,
w. если w? У,
q[r(w), 1 — t], если w g Mg,
qlrp(x,s), A — s)(l —-01.. если w = p(x, s), x?X, s?I.
Легко видеть, что $о = <р, ?i = rio и rh = r- Следовательно, отобра-
отображение ip стягиваемо в подпространство К.
Достаточность. Пусть существует такая гомотопия <р<:
(W, У)^(У, У), 0</<1, что <ро = <р и ^(rjczK. Тогда про-
пространство У является ретрактом пространства U^. Действительно,
полагая
/"(«>) =
•ш,
если w? У,
если( да g Ж
, 20. если да = /7 (л:,/),
, если w = /?(#. О-
, 0
38 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
мы,' очевидно, получим некоторую ретракцию г: WzsY. Следовате-
Следовательно, согласно теореме 14.3, существует такое отображение A:Z->K.
что hgr^f. а •
С другой стороны, оказывается, что задача стягивания равно-
равносильна некоторой задаче распространения с дополнительными
условиями. Именно пусть /: (X, Л)->(К, В) — данное отображение
и Yo — данное подпространство пространства Y. Рассмотрим под-
подпространство X X 0 пространства X Х^ и отображение F:Х X 0 -> Y,
определенное формулой F(x,0) = f(x), x?X. Легко видеть, что
справедливо следующее
Предложение 15.2. Отображение f : (X, Л)->(К, В) тогда и
только тогда стягиваемо в подпространство Ко, когда ото-
отображение F допускает такое распространение G: X X / —*¦ Y,
что G(AXI)<=B и G(XX 1)<=KO.
Весьма интересен частный случай задачи стягивания, возникаю-
возникающий при Ко —В. В этом случае удобные необходимые условия ука-
указываются следующим предложением, доказательство которого мы
опускаем ввиду его тривиальности.
Предложение 15.3. Если отображение /: {X, Л)->(К, В) стя-
стягиваемо в подпространство В, то индуцированные им гомо-
гомоморфизмы групп гомологии и когомологий тривиальны, т. е.
Рассмотрим теперь случай, когда (X, А) = (К, В) и когда /
представляет собой тождественное отображение пары (X, А). Если
это тождественное отображение стягиваемо в подпространство А, то
мы будем говорить, что пространство X стягивается в подпро-
подпространство А. В этом случае отображение вложения /: AczX пред-
представляет собой гомотопическую эквивалентность. Очевидно, что если
подпространство А удовлетворяет теореме о распространении гомо-
топии относительно пространства Y — А, то пространство X
тогда и только тогда стягивается в подпространство А,
когда подпространство А является деформационным ретрак-
том пространства X.
16. Задача накрытия
Пусть ? и В — произвольные пространства, и пусть
р: Е-+В
— некоторое отображение пространства Е на пространство В. Пусть,
далее, /: Х—*-В — любое отображение пространства X в простран-
пространство В. В (ограниченной) задаче накрытия требуется
найти такое отображение g: X—>Е, что pg = f- Обладающее этим
свойством отображение . g называется накрытием отображения /
16. Задача накрытия 39
(относительно отображения р). Ясно, что задача накрытия двойственна 7
рассмотренной в п. 2 ограниченной задаче распространения, а по-
потому все понятия и результаты, касающиеся, задачи распространения,
можно, соответствующим образом дуализировав, перенести и на слу-
случай задачи накрытия. В частности, можно дуализировать и рассмот-
рассмотренную в п. 9 аксиому о распространении гомотопии.
Определение 16.1. Говорят, что отображение р: Е—*-В удовлет-
удовлетворяет относительно пространства X аксиоме о накрывающей го-
гомотопии, если для ^любого отображения 'g: Х—>-Е и любой
гомотопии ft:X—>-B, 0 <; t ^ 1, отображения f — pg существует
гомотопна gt: Х—>Е, Q^.t^.1, отображения g, накрывающая
гомотопию fv т. е. обладающая тем свойством, что pgt = ft для
всех *?/.
Аксиома о накрывающей гомотопии лежит в ^основе целого ряда
конструкций гомотопической теории. Это объясняется тем, что она
справедлива для широкого класса так называемых расслаивающих
отображений; см. гл. III.
Если отображение р: Е—>В удовлетворяет аксиоме о накры-
накрывающей гомотопии относительно пространства X, то ограниченная
задача накрытия отображения /: Х~>В, очевидно, зависит только
от гомотопического класса отображения /. В этом случае она рав-
равносильна следующей расширенной задаче: найти такое ото-'
бражение g: X—>-E, что pg~f. В дальнейшем, если не оговорено
противное, мы будем, говоря о задаче накрытия, всегда иметь в виду
именно эту расширенную форму задачи.
При переходе к расширенной задаче накрытия первоначальное
условие о том, что р является отображением на-все пространство В,
перестает быть необходимым. Таким образом, мы получаем обобщен-
ную задачу, которую схематически можно изобразить диаграммой.
где / и А — данные отображения, a g — искомое отображение,
которое должно удовлетворять соотношению hg<—/.
Эта обобщенная задача накрытия двойственна об-
обобщенной задаче распространения, рассмотренной в п. 13. Когда h
представляет собой отображение на все пространство К, эта задача
сводится к задаче накрытия отображения /. Если же h является
отображением вложения, то она превращается в задачу стягивания
отображения / в подпространство Z пространства J.
Оказывается, что обобщенная задача накрытия равносильна
некоторой задаче стягивания. Именно имеет место следующая
40 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
Теорема 16.2 Для любых отображений /: X-+Y uh: Z-+Y
следующие утверждения равносильны:
1) существует такое отображение g: X—>-Z, что hg~f\
2) отображение pf: X-+Mh, где р: YcMh — отображение
вложения, стягиваемо в подпространство Z.
Доказательство. A)->B). Согласно предложению 12.2, отобра-
отображение ph гомотопно отображению вложения g: ZcMh. Поэтому
из утверждения A) вытекает, что pf ~ phg'—qg. Следовательно,
отображение pf стягиваемо в подпространство Z.
B)->A). По условию существует такая гомотопия gt:X->Mh,
0<*< 1. что go = pf и gx{X)cZ. Пусть отображение g: X-+Z
определено отображением gy Согласно предложению 12.1, суще-
существует такая ретракция г: МйэК, что r\z = h. Определим гомото-
пию ft:X-*-Y. 0<*<1, положив ft = rgv t?f. Ясно, что
/0==гр/ = / и frz=rqgi = hg. Следовательно, hg~f.m ,
17. Наиболее общая задача
В этом заключительном пункте мы сформулируем некоторую
общую задачу, частными случаями которой являются, по существу,
все рассмотренные в этой главе задачи.
Пусть X, Y, Z — произвольные пространства, и пусть [Х^],
{Кц}, [Zy]—некоторые "семейства подпространств пространств X,
К, Z соответственно с индексами из одного и того же множества
t*?M. Следуя общим идеям, изложенным в п. 10, условимся рас-
рассматривать только те отображения и гомотопии X—>-Y, X—*-Z,
Z-*-Y, которые являются отображениями и гомотопиями относи-
относительно семейства {М} = {^11, К^, ZJfi.gM}. Тогда упомянутая
выше наиболее общая задача может быть схематически
изображена диаграммой ~ - ¦
X Y
¦ х/: .-.
в которой заданы отображение / и одно из отображений. g\ h,
причем другое из этих отображений следует найти так, чтобы имело
место соотношение hg — /-rel [M],
Почти все изложенные в этой главе утверждения, относящиеся
к задачам, распространения, стягивания и накрытия, могут быть
перенесены на этот общий случай. Некоторые результаты в этом
направлении указаны ниже в упражнениях.
Хотя мы и сформулировали задачу в наиболее общей форме,
в дальнейшем мы будем рассматривать лишь те ее частные случаи,
когда множество М содержит не, более двух индексов.
Упражнения 41
УПРАЖНЕНИЯ
/С Элементарные свойства ретрактов
Докажите следующие утверждения:
1. Каждый ретракт хаусдорфова лространства замкнут.
2. Каждое подпространство, состоящее только из одной точки»
является ретрактом любого объемлющего пространства.
3. Если подпространство А является ретрактом пространства X,
а подпространство В — ретрактом пространства К, то произведение
А X В является ретрактом пространства X X Y.
4. Если пространство X является ретрактом пространства К,
а пространство К—ретрактом пространства Z, то пространство X
является ретрактом пространства Z.
Докажите утверждения 3 и 4 для деформационных ретрактов.
B. Некоторые свойства заполненных пространств
Докажите следующие утверждения:
1. Ретракт заполненного пространства является заполненным
пространством.
2. Любые два отображения бинормального пространства в запол-
заполненное пространство гомотопны.
3. Бинормальное заполненное пространство стягиваемо к точке.
C. Абсолютные и абсолютные окрестностные ретракты
Классическая алгебраическая топология изучала только „хорошо
устроенные" пространства, а именно полиэдры. Одним из классов
пространств, представители которого сохраняют многие из „хороших"
свойств полиэдров, является класс так называемых абсолютных
окрестностиых ретрактов.
Подмножество А пространства X называется окрестностным
ретрактом пространства X, если оно является ретрактом некото-
некоторого открытого подпространства t/зА пространства X.
Метризуемое пространство К называется абсолютным ретрак-
ретрактом, если для любого метризуемого пространства Z каждое его
замкнутое подпространство Zo, гомеоморфное ~ пространству К,
является ретрактом пространства Z.
Метризуемое пространство К называется абсолютным окрест-
постным ретрактом, если для любого метризуемого пространства Z
каждое его замкнутое подпространство Zo, Гомеоморфное про-
пространству К, является окрестностным ретрактом пространства Z.
Докажите, что любой компактный абсолютный ретракт является
заполненным пространством.
42 Гл. 1. Основная задача; предварительные понятия
D. Обобщение теоремы Титце, принадлежащее Дугунджи
Пусть X— произвольное метризуемое пространство и А — неко-
некоторое замкнутое подпространство пространства X. Докажите сле-
следующие утверждения:
1. Существование канонических покрытий. Суще-
Существует каноническое покрытое пространства Х\А, т. е. такое
его открытое покрытие {?/}, что-
КП1. Покрытие {U\ локально конечно JK. стр. 126}.
КП2. Каждая окрестность произвольной граничной точки мно-
множества А в пространстве X содержит, бесконечно много элементов
покрытия {{/}.
КПЗ. Для каждой окрестности V произвольной точки а?А
в пространстве X существует такая окрестность WaV, что каждый
элемент U покрытия {(/}, пересекающийся с W, содержится в V.
2. Полиэдральные аппроксимации. Существует такое
пространство Y и такое отображение (л: X -> Y, что
ПА1. Отображение (л|д представляет собой гомеоморфизм под-
подпространства А на некоторое замкнутое подмножество простран-
пространства К.
ПА2. Подпространство К\[х(/1) является бесконечным симпли-
циальным полиэдром в уайтхедовской слабой топологии, причем
\\[
ПАЗ. Каждая окрестность произвольной граничной точки мно-
множества (л (А) в пространстве Y содержит бесконечно много симплексов
симплициального разбиения К\[*'(/!).
3. Обобщение теоремы Титце. Для любого отображения
/: А —>5 подпространства А в локально выпуклое линейное топо-
топологическое пространство 5 существует такое его распространение
F: X->S, что множество F(X) содержится в выпуклой оболочке
множества /(Л) в пространстве S.
Доказательства см. Дугунджи [1].
Е. Вложение Куратовского
Пусть X — произвольное метризуемое пространство, и пусть
d—некоторая его метрика. Заменяя, если это необходимо, метрику d
метрикой 1 , , мы можем счГитать, что метрика d ограничена.
Метрическое пространство X с ограниченной метрикой принято
называть ограниченным метрическим пространством.
•1. Пусть 5 — совокупность всех ограниченных непрерывных
действительных функций, определенных на пространстве X. Дока-
Докажите^ что ^ представляет собой банахову алгебру (коммутативное
нормированное кольцо) с нормой
Упражнения
43
. 2. Для произвольной точки а ? X определим ограниченную не-
непрерывную действительную функцию /e ? S, положив
/.(*) = *(с. *)"• *€*•
Докажите, что соответствие a->fa определяет изометричное отобра-
отображение ^: X -> S. Отображение / называется вложением Куратов-
ского ограниченного метрического пространства Л" в алгебру 5
(см. Куратовский [1]).
3. Теорема Войдыславского. Докажите, что образ XW
пространства X при вложении Куратовского х: X —>S замкнут
в своей выпуклой оболочке Z. Если пространство X сепарабельно,
то сепарабельно и пространство Z; см. Войдыславский [1].
F. Некоторые пространства, получаемые топологическим
отождествлением
1. Лист Мёбиуса. Возьмем прямоугольник ABCD и отожде-
отождествим сторону АВ со стороной CD таким образом, чтобы точка А
перешла в точку С, а точка В — в точку D, как показано на рис. 1.
А
М
В
D
N
С
ЛС
мы
BD
Р и.с. 1. Слева показан прямоугольник ABCD со сред-'
ними точками М н N двух противоположных сторон.
Фигура, изображенная справа, получается скленваннем
двух сторон прямоугольника, так чтобы точка А пере-
перешла в точку С, точка .В —в точку D и точка М —
в точку N.
В результате мы получим некоторое факторпространство, которое
называется листом Мёбиуса.
Если построение выполнено таким образом, что середины М и N
сторон АВ и CD перешли в одну точку, то средняя линия MN
определит на листе X некоторую жорданову кривую J. Докажите,
что J представляет собой деформационный ретракт листа X и что
пространство Л'ХУ линейно связно.
2. Тор и бутылка Клейна. Пусть S1 — одномерная сфера,
которую мы будем рассматривать как совокупность всех комплексных
чисел г, удовлетворяющих условию \z\ = 1. Рассмотрим произведе-
произведение W = S1 X !• Если для каждой точки z ? 51 мы отождествим
точки (г, 0) и (г, 1), то в качестве факторпространства мы получим
тор. Если же для каждой точки z ?S' мы отождествим точки" (г, 0)
и (г, 1), то мы получим так называемую бутылку Клейна. В обоих
44 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
случаях отрезок 1 X I определяет некоторую жорданову кривую X
Докажите, ато кривая J является (не деформационным) ретрактом
как тора, так и бутылки Клейна.
3. Замкнутые ориентируемые поверхности. Рас-
Рассмотрим плоскую выпуклую область W, ограниченную правильным
4^-угольником Р. Допустим, что стороны многоугольника Р так
обозначены символами at, bt, c{, d(, 1=1, ..., g, что
при. некотором направлении обхода многоугольника. Для каждого
/= 1, .... g мы отождествим сторону а{ со стороной с~1 и сторону
bi — со стороной dj1, где символами cjl и dj обозначены стороны
с, и dt соответственно, взятые с обратным направлением. Получаю-
Получающееся факторпространство Еу называется замкнутой ориенти-
ориентируемой поверхностью рода g.
Докажите, что числа Бетти поверхности 2^ имеют следующие
значения:
4. Замкнутые неориентируемые поверхности. Рас-
Рассмотрим плоскую выпуклую область W, ограниченную правильным
2я-угольником Р. Пусть стороны многоугольника Р так обозначены
символами аД, /=1, ..., п, что
Я = д1й,а2*2 ... а„Ь„
при некотором направлении обхода многоугольника. Отождествив
.для каждого 4=1, 2, ..... п стороны at и bt, мы получим некоторое
факторпространство йл. Это факторпространство называется замкну-
замкнутой неориентируемой поверхностью характеристики 2 — п.
Докажите, что числа Бетти поверхности' йл имеют следующие
значения:
О. Применения конуса k(X)
Докажите, что отображение /?2 (см. п. 10) тогда и только
тогда гомотопно нулю относительно семейства [М], когда существует
такое отображение F: k(X)->Y конуса k(X) в пространство Y,
что F \x = f; F(v)=yQ и F(А(Л"„))с:К11 для любого |а? М. В част-
частности, отображение /: S"->¦ Y тогда и только тогда гомотопно
постоянному отображению, когда оно допускает распространение
F'- E -*Y. Пользуясь этим, докажите, что тождестзенное отобра-
отображение сферы S" -не гомотопно нулю.
Упражнения 45
Н. Аксиома о распространении отображений
Говорят, что подпространство А пространства X удовлетворяет
относительно пространства У аксиоме о распространении ото-
отображений, если любое отображение /: Л->-К может быть распро-
распространено на все пространство X. Говорят, что подпространство А
удовлетворяет (относительно пространства У) аксиоме об окрест-
постном распространении отображений, если любое отобра-
отображение /: Л->-К может быть распространено на некоторое открытое
множество U пространства Л\ содержащее подпространство А.
Таким образом, пространство У тогда и только тогда является
заполненным пространством, когда каждое замкнутое подпространство А
любого нормального пространства X удовлетворяет относительно
пространства У аксиоме о распространении отображений.
Если подпространство А удовлетворяет аксиоме о (простом или
окрестностном) распространении отображений относительно любого
пространства К, то говорят, что подпространство А удовлетворяет
этой аксиоме абсолютно.
Докажите следующие, утверждения:
1. Подмножество А пространства X тогда и только тогда
является ретрактом пространства X, когда оно абсолютно удовле-
удовлетворяет аксиоме о распространении отрбражений.
2. Подмножество А пространства X тогда и только тогда является
окрестностным ретрактом пространства X, когда оно абсолютно
удовлетворяет аксиоме об окрестностном распространении отобра-
отображений.
I. Теоремы распространения Борсука
Используя результаты упр. D и Е, докажите следующие две
теоремы Борсука: _^
1. Метризуемое пространство'К тогда и только тогда является
абсолютным ретрактом, когда каждое замкнутое подпространство 4
произвольного метризуемого пространства X удовлетворяет относи-
относительно пространства К аксиоме о распространении отображений.
2. Метризуемое пространство У тогда и только тогда является аб-
абсолютным окрестностным ретрактом, когда каждое замкнутое подмно-
подмножество А произвольного метризуемого пространства X удовлетво-
удовлетворяет относительно пространства У аксиоме об окрестностном рас-
распространении отображений.
Выведите из теоремы 1, что каждое выпуклое подмножество
произвольного локально выпуклого линейного топологического про-
пространства является абсолютным ретрактом. В частности, любой сим-
симплекс и любое евклидово пространство R" является абсолютным
ретрактом.
46 Гл. I: Основная задача; предварительные понятия
J. Сепарабельные и компактные абсолютные окрестностные
ретракты
Докажите две следующие теоремы:
1. Для любого сепарабельного метризуемого пространства Y
следующие утверждения равносильны:
(i) пространство Y является абсолютным окрестностным ретрактом;
(ii) для любого метризуемого пространства Z каждое его замк-
замкнутое подпространство Zo, гомеоморфное пространству Y, является
окрестностным ретрактом пространства Z;
(iii) каждое замкнутое подпространство А произвольного сепа-
сепарабельного метризуемого пространства X удовлетворяет относительно
пространства Y аксиоме об окрестностном распространении отобра-
отображений.
2. Для любого компактного метризуемого пространства Y сле-
следующие утверждения равносильны:
(i) пространство Y является абсолютным окрестностным ретрактом;
(ii) пространство Y гомеоморфно некоторому окрестнвстному
ретракту гильбертова параллелепипеда /ш;
(iii) каждое замкнутое подмножество . Л произвольного нормаль-
нормального пространства X удовлетворяет относительно пространства Y
аксиоме об окрестностном распространении отображений.
Сформулируйте и докажите аналогичные теоремы для: абсолют-
абсолютных ретрактов.
Из теоремы 1 следует, что данные в упр. С определения абсо-
абсолютных и абсолютных окрестностных ретрактов равносильны для
сепарабельных метризуемых пространств исходным определениям
Борсука (или, точнее, их видоизменениям, "предложенным Куратов-
ским). Действительно, Куратовский (а также Лефшец; см. [Л3].
стр. 58) принимает за определение абсолютных окрестностных рет-
ретрактов свойство (ii) из теоремы I.
К. Операции над абсолютными окрестностными ретрактами
Докажите следующие свойства абсолютных окрестностных ре-
ретрактов:
1. Каждое открытое подпространство абсолютного окрестностного
ретракта является абсолютным окрестностным ретрактом.
2. Замкнутое подпространство абсолютного окрестностного ре-
ретракта К тогда и только' тогда является абсолютным окрестностным
ретрактом, когда оно является окрестностным ретрактом простран-
пространства Y.
3. Произведение Y )? Z метризуемых пространств Y и Z тогда
и только тогда является абсолютным окрестностным ретрактом, когда
оба пространства Y и Z обладают этим свойством.
4. Пусть Ул и Y2 — такие замкнутые подпространства метризуе-
метризуемого пространства К, что Y — YX\}YV Тогда, если пространства Yu
Упражнения - 47
Y2 и Yl П Y2 являются абсолютными окрестностными ретрактами, то
пространство Y также является абсолютным окрестностным ретрак-
ретрактом; см. Борсук [2].
5. Пусть метризуемое пространство Y покрыто семейством
{KjligM) открытых, попарно не пересекающихся подпространств.
Тогда если для каждого (л ? М пространство Y^ является абсолютным
окрестностным ретрактом, то пространство Y также является абсо-
абсолютным окрестностным ретрактом.
6: Пусть метризуемое пространство Y покрыто счетным семей-
семейством {К„|я=1, 2, ...) открытых подпространств. Тогда если для
каждого п— 1,2, ... пространство К„ является абсолютным окрест-
окрестностным ретрактом, то пространство Y также обладает этим свой-
свойством; см. Ханнер [1].
L. Локально конечные симплициальные полиэдры
Используя утверждение 4 упр. К, докажите индукцией по числу
симплексов, ч.то каждый конечный симплициальный полиэдр является
компактным абсолютным окрестностным ретрактом; см. Борсук [2]
(это утверждение известно как теорема Борсука о распро-
распространении). Аналогично, используя утверждения 5 и 6, докажите,
что каждый локально конечный симплициальный полиэдр также
является абсолютным окрестностным ретрактом (см. Ляо [1]; Хан-
Ханнер [1]).
М. Общая теорема о распространении гомотопии
Аксиома о распространении гомотопии (см. п. 8) может быть
локализована и обобщена следующим образом. Будем говорить, что
подпространство А пространства X удовлетворяет относительно
пространства Y аксиоме об окрестностном распространении
гомотопии, если каждая частичная гомотопия
ht: A^Y.
произвольного отображения /: X-+Y допускает такое распро-
распространение
gt: V^Y, • 0<*<1, ,
на некоторую открытую окрестность V подпространства А в про-
пространстве X, что g-0 = /|j,. ' ' '
Однако это обобщение, по существу, эфемерно. Именно, оказы-
оказывается, что если подпространство А замкнуто, а пространство X
нормально, то аксиома об окрестностном распространении гомотопии
равносильна аксиоме о распространении гомотопии. Иными словами,
подпространство тогда и только тогда удовлетворяет относительно
пространства Y аксиоме о распространении гомотопии, когда оно
удовлетворяет аксиоме об окрестностном распространении гомотопии.
48 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
Докажите эту общую теорему о распространении гомо-
топии, используя характеристическую функцию Урысона; см. [Л2],
стр. 27.
N. Теорема Борсука о распространении гомотопии
Используя теорему Борсука о распространении (упр. I) и общую
теорему о распространении гомотопен (упр. М), докажите следую-
следующие теоремы:
1. Любое замкнутое подпространство А произвольного метризуе-
мого пространства X удовлетворяет аксиоме о распространении
гомотопии относительно каждого абсолютного окрестностного ре-
тракта К (см. [Г —В]). '
2. Любое замкнутое подпространство А ¦ произвольного бинор-
бинормального пространства X удовлетворяет аксиоме о распространении
гомотопии относительно каждого компактного абсолютного окрестно-
окрестностного ретракта Y.
В качестве приложения этих теорем докажите, что^каждый стя-
стягиваемый абсолютный окрестностный ретракт является* абсолютным
ретрактом. ,-
О. Абсолютные окрестностные ретракты, являющиеся замк-
замкнутыми подпространствами абсолютных окрестностных ретрактов
Пусть А — замкнутое подпространство абсолютного окрестност-
окрестностного ретракта X, и пусть Т = (X X 0) U (Л X /) с X X /•
Докажите (см. Ху [3]), что следующие утверждения равносильны:
A) подпространство А абсолютно удовлетворяет аксиоме о рас-
распространении гомотопии;
B) подпространство Т является ретрактом произведения X X Л
C) пространство Т является абсолютным окрестностным ретрактом;
D) пространство А является абсолютным окрестностным ретрактом.
Отсюда, в частности, вытекает следующее хорошо известное
утверждение: любой подполиэдр А локально конечного симплициаль-
ного полиэдра X абсолютно удовлетворяет аксиоме о распростране-
распространении гомотопии.
Р. Цилиндры частичных отображений и склеенные прост-
пространства
Пусть g: A -> Y — частичное отображение, заданное на подпро-
подпространстве А пространства X. Рассмотрим его цилиндр Mg{X)
и склеенное пространство Z, получаемое приклеиванием простран-
пространства X к пространству Y с помощью отображения g. Имеет место
естественное отображение
х: M
Упражнения 49
для которого
( q (да), если а = р (w), w ? Л" и У,
\<Ig(a)' если а = р\а, t), а?А, t?f,
где
и q : X\)Y->Z
— естественные проекции. Рассматривая отображения p\Y и q\Y как
вложения, т. е. считая пространство К подпространством M^-Af) и Z,
мы получим, что т представляет собой отображение пары (Mg(X), К)
в пару (Z, К), причем его ограничение т|к на подпространстве Y
является тождественным отображением. Используя утверждение пре-
предыдущего упражнения [равносильность свойств B) и D)], докажите,
что если пространства X и А являются абсолютными окрестност-
ными ретрактами, причем подпространство А замкнуто в простран-
пространстве X, то отображение
z:(Mg(X), K)->(Z. Y)
является гомотопической эквивалентностью.
Q. Локальная стягиваемость абсолютных окрестностных ре-
трактов
Пространство X называется локально стягиваемым, если для
любой точки х ? X и любой ее открытой окрестности U существует
открытая окрестность VczU, стягиваемая в О к точке х.
Пользуясь вложением Куратовского. докажите, что произвольный
абсолютный окрестностный ретракт локально стягиваем. Докажите
также, что каждое локально стягиваемое компактное метризуемоё
конечномерное пространство является абсолютным окрестностным
ретрактом; см. Борсук [2].
R. Полиэдры, доминирующие над абсолютными окрвстност-
ными ретрактами
Говорят, что пространство X доминируется пространством D
или что пространство D доминирует над пространством X, если
существуют такие бтображения.
/: X->D, g: D-+X,
что отображение gf гомотопно тождественному отображению прОт
странствй X.
Докажите следующие утверждения:
1. Для каждого абсолютного окрестностного ретракта существует
доминирующий симплициальный полиэдр.
2. Для каждого сепарабельного абсолютного окрестностного рет-
ретракта существует доминирующий локально конечный симплициальный
полиэдр.
4 Ху Сы-цаян
50 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
3. Для каждого компактного абсолютного окрестностного ре-
тракта существует доминирующий конечный симплициальный полиэдр.
S. Примеры сильных деформационных ретрактов
Докажите следующие утверждения:
1. Если А является сильным деформационным ретрактом компакт-
компактного пространства X, то для любого хаусдорфова пространства Y
и любого относительного гомеоморфизма /: (X, A)->(Y, В) под-
подпространство В является сильным деформационным ретрактом про-
пространства К; см. Спаньер II), стр. 208.
2. Для любой относительной я-мерно'' клетки (К, В), получаемой
приклеиванием шара Е" к пространству В с помощью некоторого
отображения g: S"~l->B, подпространство В является сильным
деформационным ретрактом пространства, получаемого из простран-
пространства Y выкалыванием одной внутренней точки шара Е".
3. Подпространство Sm V Sn = (Sn X 'о) U (*о X S*) произведе-
произведения Sn X S", где s0 ? Sm и tQ?Sn — некоторые фиксированные точки,
является сильным деформационным ретрактом пространства, получае-
получаемого из пространства Sm X S" выкалыванием одной точки, не при-
принадлежащей подпространству Sm\/ S". .
4. Подпространство
Т ~ E' XSBX tQ) U (Sl X s0 X Sn) U (/¦„ X Sm X S")
произведения SlX Sn X S". где r0?Sl, s06Sm, tQ?Sn — некоторые
фиксированные точки, является сильным деформационным ретрактом
пространства, получаемого из пространства Sl X Sm X S" выкалы-
выкалыванием одной точки, не принадлежащей подпространству Т.
5. Подпространство S1 V Sm V S" произведения (Sl V Sm) X Sn
является сильным деформационным ретрактом пространства, получае-
получаемого из произведения E' V ^m) X S" выкалыванием одной точки
подпространства 5' X S", не принадлежащей подпространству Sl V S",
и одной точки подпространства 5 X 5", не принадлежащей под-
подпространству Sm V Sn.
Аналогичные утверждения имеют место и для любого числа сфер.
6. Замкнутое подпространство А абсолютного ретракта X, само
являющееся абсолютным ретрактом, представляет собой сильный
деформационный ретракт пространства X.
7. Для любого сильного деформационного ретракта А метризуе-
мого пространства X пространство
является сильным деформационным ретрактом пространства X XI',
см. Ху [2].
Упражнения 51
Т. Отношения между различными типами деформационных
ретрактов
Пусть пространство X и его замкнутое подпространство А являются
абсолютным окрестностными ретрактами. Докажите, что следующие
утверждения равносильны:
1. Подпространство А является сильным деформационным ретрактом
пространства X.
2. Подпространство А является деформационным ретрактом про-
пространства X.
3. Существует такая гомотопия hf:(X, A)^>(X, А), 0<^<^1,
что отображение Ао представляет собой тождественное отображение
пространства X, a hl(X)czA.
U. Усиление условий гомотопности отображения нулю
Пусть X, Y — произвольные пространства, AczX, BczY— неко-
некоторые их подпространства, и Пусть xQ? А, уо?В — произвольные
точки. Рассмотрим множество
Q = YX[A,B, х0, у0),
т. е. (см. п. 10) множество всех отображений /: X->Y, для кото-
которых f(A)czB и f(xo) = yo. Пусть 0—постоянное отображение
0(Х) = у0.
Докажите, что если
1) подпространство A[}k(x0) конуса к{А) удовлетворяет аксиоме
о распространении гомотопии относительно пространства В;
2) подпространство X\}k(A) конуса k (X) удовлетворяет аксиоме
о распространении гомотопии относительно пространства К,
то для любого отображения /B из соотношения /~Orel [А, В}
вытекает соотношение /¦—Orel [А, В, х0, у0).
Это утверждение, в частности, справедливо, если пространство X
является конечным симплициальным полиэдром, а пространство А —
его замкнутым подполиэдром. Более общие случаи см. в упр. N и О.
V. Общая теорема об усилении условий гомотопности
Пусть X — произвольное метризуемое пространство, и пусть
NcMcAcX¦
— некоторые его замкнутые подпространства. Пусть, кроме того,
Y — произвольное пространство, а S-^некоторое его подпространство,
не обязательно замкнутое. Докажите, (см. Ху [4]), что если
1) подпространство N является деформационным ретрактом про-
пространства М;
2) подпространство Р = (ДХ 0) U (М X1) U {А X 1) удовлетворяет
относительно пространства В аксиоме о распространении гомотопии;
4»
52 Гл. I. Основная задача; предварительные понятия
3) подпространство Q = (А' X 0) U (А X /) U (X X 1) удовлетворяет
относительно пространства К аксиоме о распространении гомотопии,
то для любых отображений /, g: X-+Y, обладающих тем свойством,
что
f(A)cB. f\M = g\M. g(A)<zB,
из соотношения /.— gte\[A, В, N] вытекает соотношение
f~gKl{A, В, М).
Условия 2) и 3) выполняются, например, в случае, когда про-
пространство X является конечным симплициальным полиэдром, а под-
подпространства А и М —г его замкнутыми подполиэдрами.
\
ГЛАВА II
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
1. Введение
Рассмотренные в первой главе примеры решений основных задач
теории гомотопий, по существу, тривиальны. В настоящей главе
мы рассмотрим эти задачи в простейших нетривиальных случаях.
Мы будем считать такую задачу решенной, если ее удалось свести к
некоторой алгебраической задаче о группах гомологии и когомологий.
В первую очередь мы рассмотрим задачу классификации отобра-
отображений Sl—>Sl (см. п. 3). Для ее решения нам понадобятся некоторые
элементарные свойства экспоненциального отображения p-.R-^S1,
рассматриваемые в п. 2. В п. 4 и 5 вводится фундаментальная группа
и изучается задача классификации отображений окружности S1 в про-
произвольное пространство X. В п. 6 доказывается классическая тео-
теорема Пуанкаре о связи между фундаментальной группой и одномер-
одномерной группой гомологии. В п. 7 вводится группа Брушлинского и
изучается двойственная задача классификации отображений X-+S1.
После этого мы переходим к сферам более высоких размерностей.
В частности, в п. 8 мы доказываем теоремы Хопфа об отображе-
отображениях 5я-»-5" и K"-*Sn. В заключительном п. 9 излагается теорема
Гуревича, двойственная теореме Хопфа. Однако доказательства этого
важного предложения мы здесь не приводим, так как оно по
существу требует знания хотя бы элементарных свойств гомотопи-
гомотопических групп. Оно будет доказано в гл. V.
2. Экспоненциальное отображение р: R-+S1
Одномерную сферу S1 мы будем представлять себе как единичную
окружность в плоскости К всех комплексных чисел, т. е. будем
считать, что
Тем самым окружность S1 определяется как компактная абелева то-
топологическая группа с обычным умножением комплексных чисел
в качестве групповой операции.
Рассмотрим отображение р: R-t-S1 числовой оси R на окруж-
окружность S1, определенное формулой
54 Гл. II. Некоторые частные случаи основных задач
где е — основание натуральных логарифмов, а / — мнимая единица.
Это отображение р мы будем называть экспоненциальным ото-
отображением числовой прямой R на окружность S1. Очевидно, что
отображение р непрерывно. Столь же очевидно следующее
Предложение 2.1. Экспоненциальное отображение р является
гомоморфизмом, т. е. р (х -f- у) = р (х) • р(у) для любых чисел
х, y?R- Ядром р~х A) гомоморфизма р является подгруппа Z
группы R, состоящая из всех целых чисел.
Так как р(х) = cos BnX).-\-l sin Bпх), то отображение р взаимно
однозначно на интервале I — -^ , -у) числовой оси R. Поэтому в силу
стандартных теорем общей топологии отображение р гомеоморфно
( 1 1\
на каждом отрезке, содержащемся в интервале I — -к, -п\, и, сле-
следовательно, гомеоморфно на всем этом интервале. Поскольку отобра-
отображение р гомеоморфно, отсюда следует, что оно гомеоморфно на
любом интервале, получаемом из интервала (— -g-, -„-l с помощью
параллельного переноса. Таким образом, любой интервал (а, Ь), для
которого Ь — а^1, гомеоморфно переводится отображением р на
некоторое открытое подмножество окружности S1»
Отсюда и из предложения 2.1 вытекает
Предложение 2.2. Для любого собственного связного подмно-
подмножества U окружности S1 отображение р гомеоморфно ото-
отображает каждую компоненту множества р~х (U) на подмно-
подмножество U.
Пусть теперь X — произвольное пространство. Путем про-
пространства X называется произвольное отображение
а\1-+Х
единичного отрезка / в пространство X. Точки з @) и оA) назы-
называются соответственно началом и концом пути з. Говорят также,
что эти две точки соединены путем з. Если зA) = з@), то путь з
называется петлей пространства X в точке зA) = а@):
Предложение 2.3 (теорема о накрывающем пути). Для
каждого пути з: /—vS1 и любой точки xo?R, удовлетворяющей
условию р(хо) = а(О), существует единственный путь •z:J-*R,
для которого х (О) = х0 и рх = а.
Доказательство. В силу непрерывности отображения з и ком-
компактности отрезка /, существует такое разбиение
2. Экспоненциальное отображение р: R -> S1 55
отрезка /, что образ Ul каждого отрезка Il = [tl, //+1], 0^/<«,
при отображении о является собственным связным подмножеством
окружности S1.
Мы докажем предложение 2.3, доказав по индукции следующее
утверждение:
Аг. Существует единственное отображение xt отрезка [0, tt] в про-
пространство /?, обладающее тем свойством, что
Предложение Aq очевидно. Поэтому нам нужно только доказать,
что при 0<;/<л из предложения Аг вытекает предложение Аг+1.
Предполагая, что предложение Аг справедливо, рассмотрим ком-
компоненту VL множества p~l (Ut), содержащую точку •zl (Jtj). Так как
в силу предложения 2.2 частичное отображение р, = р\ является
i
гомеоморфизмом пространства Vt на пространство Ut, то определено
обратное отображение PJl'-Ut-*-Vr Мы определим отображение
X(+l:[0, tl+1] —*-R, положив
i (t), если 0 ^ t -^ tt,
>2<з @» если ^^^^^t+i-
Тем самым существование отображения xi+1 доказано. Его единствен-
единственность легко следует из того, что множество Vt является компонентой
множества p~1{U^), а отображение pt гомеоморфно. ¦
Читатель, знакомый с логарифмической функцией и ее аналити-
аналитическим продолжением, легко найдет, что накрывающий путь т:/ —>¦/?,
существование и единственность которого утверждается в предложе-
предложении 2.3, определяется формулой
1
при начальном условии %(Q) = x0.
Предложение 2.4 (теорема о накрывающей гомотопии).
Для каждого отображения / : X —*-R произвольного простран-
пространства X в числовую прямую R и каждой гомотопии hfiX—^-S1,
0<f^l, отображения h = pf существует единственная гомо-
трпия ft:X -^R, 0 <[ t ^ 1, отображения /, обладающая тем
свойством, что pft = ht для вевх t?I.
Доказательство. Для каждой точки х?Х частичная гомотопия ht\x,
определяет некоторый путь окружности S1. Определим отображе-
отображение /,: X -+R, 0< *<[ 1, принимая за /J^ путь числовой прямой R
начинающийся в точке / (х) и накрывающий путь ht \x. Как мы знаем,
этот путь определен единственным образом. Определим, далее.
56 . Гл. II. Некоторые частные случаи основных задач
отображения
H:XXI-+S\ F-.XXI-+R'
положив
И(х, t) = ht(x), F(x, t) = ft(x).
Ясно, что /о = / и pff=shj для всех t?I. Поэтому для доказа-
доказательства предложения 2.4 нужно лишь показать, что семейство ft
представляет собой гомотопию, т. е. что соответствующее отображе-
отображение F непрерывно (единственность этой гомотопии непосредственно
вытекает из единственности накрывающего пути).
Пусть хв?Х. В силу непрерывности отображения И и компакт-
компактности отрезка / существует такая окрестность М точки х0 в про-
пространстве X и такое разбиение
отрезка /, что образ множества М X //» где Ils=i[tl, tl+l], при ото-
отображении Н содержится в некотором' собственном связном подмно-
подмножестве окружности S1. Индуктивным построением, аналогичным
использованному при доказательстве предложения 2.3, мы можем
без труда получить такое непрерывное отображение О: My(I—> R, что
G(x, 0) = /(x), pG(x, t) = H{x, t)
для любых х?М и t?I. Из единственности накрывающего пути
(см. предложение 2.3) непосредственно вытекает, что G = F\Mxl.
Так как М представляет собой окрестность точки х0 в пространстве X,
то непрерывность отображения F тем самым доказана в любой.точке
вида (х0, t), t?I. Так как точка х0 произвольна, то отображение F
непрерывно зсюду. ¦
Доказанные свойства экспоненциального отображения р имеют
место для любых так называемых накрывающих пространств; см. гл. III.
8. Классификация отображений Sl-+Sl
Пусть Л — множество всех отображений окружности S1 в себя,
и пусть n(Sl, S1) — множество всех гомотопических классов, на
которые разбивается множество Л (см. гл. I, п. 8). В этом пункте
мы покажем, что множество u(SJ, S1) находится в естественном
взаимно однозначном соответствии с множеством всех целых чисел.
В доказательстве мы будем пользоваться группой гомологии Hr(Sl),
хотя этбго можно было бы избежать, приняв элементарно-геометри-
элементарно-геометрическое или аналитическое определение степени.
Прежде всего заметим, что задача классификации отображений
/: S1-^yS1 равносильна задаче классификации тех отображений tp: /—vS1,
для которых ср(О) = срA). Действительно, рассмотренное в п. 2
экспоненциальное отображение р: I-+S1 является отображением
3. Классификация отображений S^-^S1 57
отождествления (см. гл. I, п. 6), и потому соответствие /-хр = //7
взаимно однозначно и сохраняет отношение гомотопности.
Рассмотрим теперь группу гомологии /fjfS1). Как известно, эта
группа изоморфна аддитивной группе Z целых чисел. Согласно
гл. I, п. 8, для любого отображения fi'S1->S1 определено целое
число deg / — его степень, — удовлетворяющее соотношению :
Л (с) = (deg/). с,
где с — произвольный элемент группы Hl(Sl). Ясно, что число deg/
зависит только от гомотопического класса [/] отображения /, так
что мы можем определить степень deg а гомотопического класса
a^«(S1, S1), полагая deg a = deg/ для любого /?a. Мы покажем,
что отображение
deg: гс(S», Sl)-*Z
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами
rcCS1, 51) и Z.
Экспоненциальное отображение p:R-r*S1 гомеоморфно отобра-
отображает интервал (О, I) на открытое множество W = S1 \ 1.... Пусть
q— „обратный гомеоморфизм", т. е. такой гомеоморфизм W-*@, 1),
что отображение pq представляет собой отображение вложения WcS1.
Ясно, что гомеоморфизм q определен единственным образом.
Докажем сначала, что отображение deg надъективно. Пусть
п — произвольное целое число, и пусть
. <р„: Si-Si
— отображение, определенное формулой
Легко видеть, что отображение сря можно определить также следую-
следующей формулой:
p\nq (z), если z ? S1 \ 1,
¦ t> если z_.l?Sit
где 5Я:/-»•/?—отображение, переводящее любую точку t ?1 в точку nt.
Лемма 3.1. Имеет место равенство
Эта лемма очевидна. Надъективность отображения deg является ее
непосредственным следствием.
Для доказательства инъективности отображения deg достаточно
доказать следующую лемму:
Лемма 3.2. Если степень отображения /tS'-^-S1 равнй п.
58 Гл. II. Некоторые частные случаи основных задач
Доказательство. Пусть б — такая точка числовой прямой R, что
/>F) = /A). Определим гомотопию ft:S1-*-Sx, 0<f<l, положив
ft{z)*= f(z)jp{bt), z?Sl, t?I. Ясно, что отображение ? = /]
обладает тем свойством, что g(l)=l.
Рассмотрим теперь отображение a = gp: /->S1._TaK как о@) =
= 1=р@), то, согласно предложению 2.3, существует (и при том
только один) такой путь т :/—>¦?, что и@) = 0 и рх = о. Так как
/7хA) = зA)= 1, то хA) является целым числом. Полагая тA) = т,
определим гомотопию r\t :/—>/?, 0<;?^1. формулой
ЯСНО, ЧТО 7H = Т, Ц1 — Ьт И 7)<@) = 0, 7)^A) = /» ДЛЯ BCfeX ?
Определим, наконец, гомотопию gt: S1—>S1, O^f^l, положив
| pt\tq{z), если ^^S1 \ 1,
g/(*)==( 1, если 2=1^S1.
Ясно, что go = g и g\ = fm- Таким образом, f~g~<?m и потому
deg/ = deg<рот. Но так как deg/ = » и deg<pm = m, то т = п и
потому /~<р„. ¦
Тем самым доказана следующая
Теорема 3.3 (теорема классификации). Отображение
deg : «(S1, SJ)->Z устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между множеством ^(S1, S1) всех гомотопических клас-
классов отображений S1s->S1 и множеством Z всех целых чисел.
¦ Представителем гомотопического класса, которому соответ-
соответствует число п, является отображение <pn:S1—*-Sl.
Эту теорему можно усилить, если воспользоваться тем, что
окружность S1 представляет собой топологическую абелеву группу,
групповой операцией которой является обычное умножение комплекс-
комплексных Чисел. Обозначая для любых двух отображений /, g: 51—vS1
символами f-\-g и fg отображения, определенные соответственно
формулами
мы, очевидно, превратим множество А в кольцо. Так как гомотопи-
гомотопические классы (/-г-?] и [fg] зависит, очевидно, только от клас-
классов [/] и [g], то тем самым множество «(S1, S1) также определяется
как кольцо.
Следствие 3.4. Отображение deg является изоморфизмом
кольца n(Sl, S1) на кольцо Z целых чисел.
Доказательство. Пусть /, g?A. Мы должны доказать, что
deg (/?)='deg/deg ?.
4. Фундаментальная группа 59
Пусть deg/ = m и &tgg = n. Тогда / — срот, g— сря. Кроме того,
ясно, что
\ и <?т<?п
Следствие 3.4. вытекает отсюда непосредственно. ¦
4. Фундаментальная группа
Пусть X — произвольное пространство, и пусть х0 — некоторая
его точка. Рассмотрим множество 2 всех отображений окружности S1
в пространство X, переводящих точку 1 ? 51 в точку хо?Х.
Для любого отображения / : S1-*X, принадлежащего множеству 2,
композиция fp:I-*-X отображения / и рассмотренного в п. 2 экспо-
экспоненциального отображения р (точнее, отображения р |}) представляет
собой" петлю пространства X в точке х0, причем очевидно, что
соответствие f-*fp взаимно однозначно. Следовательно, отождест-
отождествляя отображения / и fp, мы можем считать, что 2 представляет
собой, множество всех петель пространства X в точке х0. Другими
словами,
В множестве 2 мы введем умножение, принимая за произведение
петель f,g?Q петлю / • g, определенную формулой
fBt), если 0<г<у,
gBt — \ ^
Иначе говоря, для того чтобы пройти петлю / • g, следует с удво-
удвоенной скоростью пройти сначала петлю /, а затем петлю g.
Петли /, g?Q называются эквивалентными (обозначение f^g),
если существует такая гомотопия ht: I—*-X, O^f^l, что ho = f,
hi = g и ht@) = x0 = ht(l) для всех /?/. Очевидна, что отноше-
отношение s рефлексивно, симметрично и транзитивно, так что множество 2
разбивается на попарно не пересекающиеся классы эквивалентности.
Множество всех этих классов мы будем обозначать символом it, (X, х0),
а класс, содержащий петлю /?2,—символом [/]. Петлю / мы
будем называть представителем класса [/].
Для любой петли /?2 мы будем символом /~1 обозначать петлю,
обратную петле /, т. е. петлю, определяемую формулой
Г'@=/A-0. '*€/•¦
Ясно, что (/""') =/• Кроме того, символом d мы будем обозначать
вырожденную петлю, для которой d(I) = x0.
60 Гл. II. Некоторые частные случаи основных задач
Легко проверяется, что
1) если /==/' и g=sg', то f-g==f'g'\
2) (f.g).fi = f.(g-h);
A)f-f-l = d = rX-f-
В силу свойства 1) класс [/ • g] зависит только от классов [/]
и [g]. Следовательно, полагая
lf]-lg] = lfgl
мы определим в множестве. tcl (X, х0) некоторое умножение. В силу
свойств 2), 3) и 4) множество itj (X, х0) является относительно этого
умножения группой, которая называется группой Пуанкаре или
фундаментальной группой пространства X в точке !хг0. Класс
[rf] = e представляет собой единицу группы Uj (X, х0), а класс [/"']
является обратным для класса [/].
Пусть, например, X = S1 и х0 = 1 ? S1. Множество 2 будет
подмножеством множества Л всех отображений окружности S1 в
себя. Пусть
V^iCS1- I)-**(&, S1)
— отображение, индуцированное вложением /:2сЛ. В силу леммы
3.2 отображение /. надъективно. Оказывается, что оно и инъективно.
Действительно, пусть петли f,g?Q обладают тем свойством, что
/•—g< т. е. сушГествует такая гомотопия ht:Sx—>S1, Q*Ct4^.\, что
Ао = /, h1=g. Определим гомотопию kt:Sl-+Sl, 0<;^<] 1, полагая
Ясно, что Ао = /, kx=g и kt(l)= 1 для любого t?f. Следова-
Следовательно, /'—' ^г rel 1.
Тем самым мы доказали, что отображение /. биективно. Заметив
еще, что петли ^„j) • <рПр и ут+ар эквивалентны, мы немедленно полу-
получим отсюда, что группа ir, (S1, I) является свободной циклической
группой, образующей которой служит класс [р] экспоненциаль-
экспоненциального отображения p:I—>Sl.
Изложенное определение фундаментальной группы чг1 (X, х0)
совершенно неконструктивно, и задача эффективного вычисления этой
группы чрезвычайно трудна. Для конечных симплициальных разбие-
разбиений ') существует правило, позволяющее эффективно выписать обра-
образующие и определяющие соотношения (их конечное число) этой
группы (см. упр. А в конце этой главы). Таким образом, для конеч-
') Термином «разбиение* мы переводим английский термин «complex*,
сохраняя слово „комплекс" лишь для цепных комплексов. В соответствии
с этим термин .subcomplex" мы переводим как .подразбиение". Поскольку
в этой терминологической системе термин .подразделение* может привести
к путанице, мы предпочитаем вместо негр использовать термин .измель.
цение", — Прим, ред,
4. Фундаментальная группа 61
>\
ных сймплициальных разбиений задача вычисления фундаментальной
группы сводится к теоретико-групповой задаче описания группы,
заданной образующими и соотношениями. В некоторых достаточно
простых случаях это описание может быть без труда получено.
Пусть теперь х0 и х1 — такие точки пространства X, что суще-
существует хотя бы один путь а:1-*Х, соединяющий точку х0 с точ-
точкой xv Пусть, далее, 2г — множество всех петель пространства X
в точке xt, 1 = 0, 1.
Обозначая через х : / —>¦ А" обратный путь для пути о, т. е. путь,
определяемый формулой z(t) = a(l—t), t?I, мы отнесем пути з
некоторое отображение <3^:Ql—v20, сопоставив каждой петле /?2j
петлю з# (/) = о • / • х ? 20, определенную формулой
(з . / • т) (О
о (Ы), если 0 < t <; -g-,
/C^—1), если -^-<^<-|
хC^ —2), если |-<^< 1.
Непосредственно проверяется, что
5) если /==§•.. то в ¦ f ¦ т = о • g • и,
6) з.(/-?).т = @./.т).(з.?.т),
7)х.@./.т).0 = /.
Согласно свойству 5), класс [з • / • х] зависит только от класса [/].
Следовательно, отображение од индуцирует некоторое отображение
в*:кх(Х, хх)-»•«!(A', x0),
причем» согласно свойству 6), отображение о* гомоморфно.
Аналогично обратный путь т. определяет некоторый гомоморфизм
причем, как непосредственно вытекает из свойства 7), композиция
гомоморфизмов о^ и х* является тождественным автоморфизмом
группы «! (X, х{).
Поскольку роли путей о и х можно поменять, отсюда следует,
что отображение о,, представляет собой изоморфизм, причем х* = (з,,)"^
Тем самым доказано следующее ¦
Предложение 4.1. Каждый путь о: / —у X индуцирует некото-
некоторый изоморфизм 0% :«j (X, Xj)-*-«j (А", д:0), где хо = а(О) и
лг1 = 0A). "
Пространство X называется линейно связным, если любые две
его точки можно соединить путем. Из предложения 4.1 вытекает,
что для линейно связного пространства X фундаментальные группы
62 Гл. П. Некоторые частные случаи основных задач
^(Х, х0) в различных точках хо?Х все изоморфны между собой.
Как абстрактные группы все они могут | а:сматриваться как одна и
та же группа. Эту абстрактную группу мы будем обозначать симво-
символом TCj (X) и будем называть (абстрактной) фундаментальной
группой линейно связного пространства X.
Пути о, х:1 -*-Х называются эквивалентными (обозначение а=т),
если о@) = т@), оA) = тA) и а — х относительно концов отрезка /.
Легко видеть, что справедливо следующее
Предложение 4.2. Есла пути о, V.I-+X эквивалентны, то
«* = Ч-
Если путь <з:1-+Х является петлей в точке хо?Х, то он опре-
определяет некоторый элемент 5 = [о] 6 Я1 (^- ¦*<>)• ^ри этом из опре-
определения изоморфизма ат непосредственно вытекает, что
для любого элемента «>^ir1(^Y, x0), т. е. что о* является внутрен-
внутренним автоморфизмом группы ^(Х, х0), определяемым элемен-
элементом | = [о].
Пусть теперь <?: (X, xo)->(Y, у0) — произвольное отображение.
Для любой петли / пространства X в точке х0 композиция <р/ является
петлей пространства Y в точке у0, причем, как легко видеть,
8) если /s==g\ то ср/==<р?;
9) если h==if-g, то <?п = у/ • yg;
10) если отображения <р, ф: (X, л:0)->(К, у0) гомотопны, то <р/^ф/.
¦ В силу свойства 8) отображение ср:(А\ хо)->(К, у0) индуцирует
некоторое отображение
K. y0),
являющееся в силу свойства 9) гомоморфизмом. Без труда проверяется
[свойство 10)], что'соответствия (X, x^-^ic^X, x0) и ?-»•?* обра-
образуют ковариантный функтор.
5. Односвязные пространства
Линейно связное пространство X называется односвязным, если
любые два пути 6, t:/->if, для которых в@) = х@) и вA) = тA),
гомотопны относительно концов отрезка /.
Предложение 5.1. Линейно связное непустое пространство X
тогда и только тогда односвязно, когда к1(Х) — 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть хо?Х, и пусть
f:l^-X — произвольная петля в точке х0. Если пространство X
односвязно, то петля /, по определению, эквивалентна вырожденной
петле 4. Поэтому i(i(X, лгц) = О и, следовательно, (^О
5. Односвязные пространства 63
Достаточность. Пусть о, %:1-±Х— такие пути, что
а@) = #0 = т@) и аA) = #1=хA). Рассмотрим петлю f:f-+X
в точке х0, определенную формулой /==о. х-1, т. е. формулой
/it)--
оB0. если
тB— 2t), если
Если icj (Л") = 0, то петля / эквивалентна вырожденной петле d, т. е.
существует такое отображение F.P-+X, что
F{0, 0 = *0. ^0. 0 = *о- F{t'-Q) = f(t)' F(f> l) = *o
для всех f?/. Мы должны построить такую гомотопию Ь{:1-±Х,
О < t < 1, что $о = о, ?, = х и ?, @) = *0, ?, A) = *!« для всех t ? /.
С этой целью мы рассмотрим следующую геометрическую конструк-
конструкцию в единичном квадрате Р евклидовой плоскости R2.
Пусть q — точка 1-я-, 0) квадрата Т2, и пусть Lt, 0 < t < 1. —
луч, выходящий из точки q и образующий с положительным напра-
направлением оси абсцисс угол A—*)«. Определим для любого t?I
точку рг полагая ро = (О, 0), р, = A, 0) и принимая за р( при
О < t < 1 отличную от точки q точку пересечения луча Lt с грани-
границей квадрата Т2. Определим, далее, гомотопию ht:I-+P, 0^.t ^ 1,
принимая за ht (s), s ? /, ' точку, делящую отрезок ptq в отношении
s:(l-s).
Полагая теперь lt = F • h, для любого t?I, мы, очевидно, полу-
получим гомотопию, для которой &о = о, ?i==x и ^(О) = ^о> 5/A) =
= F(q) = xl при любом *.?/. Следовательно, о^т.и
Из предложения 5.1 вытекает, в частности, что любое стягивае-
стягиваемое пространство односвязно. Примеры нестягиваемых односвязных
пространств дает нам
Предложение 5.2. Сфера S" размерности п тогда и только
тогда односвязна, когда «> 1.
Доказательство. Нульмерная сфера S° неодносвязна, так как она
не линейно связна. Одномерная сфера 51 неодносвязна, так как
it, E1)« Z. Таким образом, нам нужно только доказать, что при п > 1
сфера 5я односвязна, т. е. что каждая петля /:/->5" в произволь-
произвольной точке Хо€<Зл эквивалентна вырожденной петле d. Согласно тео-
теореме о симплициальной аппроксимации (см. [С — Э], стр. 91), петля/
эквивалентна некоторой петле g : /->5", являющейся симплициальным
отображением (относительно соответствующим образом подобранных
триангуляции отрезка / и сферы 5я). Так как «> 1, то множе-
множество g(I) является собственным подмножеством сферы 5я и потому
64 Гл. П. Некоторые частные случаи основных задач
стягиваемо в 5я к точке х0. Поэтому g = d и, следовательно,
f=d.m
Пространство X называется локально линейно связным в точке
хо?Х, если для любой открытой окрестности U точки х0 в про-
пространстве X существует такая открытая окрестность VcU точки х0,
что любые две точки окрестности V могут быть соединены в окре-
окрестности U некоторым путем. Пространство, локально связное в каж-
каждой еврей точке, называется локально линейно связным. Очевидно,
что все триангулируемые пространства локально линейно связны.
Оказывается, что если'пространство X одновременно односвязно
н локально линейно связно, то для любого отображения /: X -> S1
ограниченная задача накрытия относительно рассмотренного в п. 2
экспоненциального отображения р: R-+S1 имеет решение и притом
единственное.. Справедливо даже следующее более общее
Предложение 5.3 (теорема о н а к р ытии). Пусть X—произ-
X—произвольное связное и локально линейна связное пространство, и
пусть х0 — некоторая его точка. Оказывается, что для любого
отображения /: X ->S1. обладающего тем свойством, что
'/««1 (X, х0) = 0, и любой точки г0 ? R, для которой p(r0) = f(x0).
существует одно и только одно отображение g: X ->R, для
которого g(xo) = ro и pg = f.
Доказательство- Существование. Легко видеть, что любое
связное и локально линейно связное пространство линейно связно.
Поэтому для любой точки х ? X существует такой путь ъ:1-+Х,
что 1с@) = л0 и 1сA) = х. Рассмотрим путь o = /it:/->S1. Так как
для-этого пути в@) = /(х0) и, оA) = /(лг), то, согласно предложе-
предложению 2.3, существует такой единственный путь х :/—>R. что т@) = г0
и pt = o. Из условия /^(Х, хо) — 0 легко следует, что класс
эквивалентности пути а = /-к пространства SK а потому, "согласно
предложению 2.4, и точка тA), не зависят от выбора пути те. Мы
определим отображение g : X->/?, полагая g(x) = x(l). Ясно, что
pg = f и g(xo) = ro, так что нам осталось только доказать, что
отображение g непрерывно.
Пусть хх — произвольная точка пространства X. Для доказатель-
доказательства непрерывности отображения g достаточно установить, что это
отображение непрерывно в точке #,.. С этой целью мы докажем, что
в окрестности точки jq отображение g совпадает с некоторым не,-
лрёрывным отображением. . . ч
Пусть Zi=f(xl), и пусть W ^S^z^e. Пусть, далее, У—ком-
У—компонента множества р~} (W), содержащая точку r1 = gp(Xi). Очевидно,
что эта компонента представляет собой интервал длины 1, причем р
гомеоморфно отображает интервал J на множество W. Пусть
q: W-*¦ J^-обратный гомеоморфизм, т. е. такое отображение W-*J,
что pq(z) = z для любой точки z?W. Полагая U =af~l(W), опре-
6. Связь между группами П\(Х, хо) и Ht(X) 65
делим (непрерывное) отображение h:U -+R формулой А (х) =
=sqf(x), x?U. Очевидно, что А(д;1) = г1 и ph—f\v. Докажем,
что отображения g и А совпадают в некоторой открытой окрестно-
окрестности точки xv
Поскольку пространство X локально линейно связно, a U пред-
представляет собой открытую окрестность точки хг в пространстве X,
существует такая открытая окрестность VczU точки хх в про-
пространстве X, что каждая ее точка может быть в окрестности U
соединена с точкой хх некоторым путем. Докажем, что g (х) = А (х)
для любой точки х ? V. Пусть х — произвольная точка окрестности V-
Тогда существует такой путь тг;:/->¦?/, что tj@) = лгх и irj(l) = ;c.
Так как пространство X линейно связно, то существует такой путь
?:/->¦ X, что ?@) = л:0 и ?A) = л:,. Следовательно, определен (оче-
(очевидным образом) путь я = ? • tj: / -> X. Пусть р == Д. о = /«. и пусть
b:I-*-R — такой путь, что 6@) = г0 и /?6 = р (этот путь определен
однозначно). Из построения отображения g немедленно вытекает, что
в (I) = g-(jc1) = гг. Аналогично А(л:1) = г1. Следовательно, положив
9B/). если 0</<-2",
ht\Bt— 1), если у<*<1,
мы получим некоторый лтуть т: / -> R, для которого т @) = 6 @) = г0
и тA) = й(лг). С другой стороны, так как /?0 = р = Д и phi\ = fi\,
то рх — а, й. потому, согласно определению отображения g, имеет
место равенство хA)==^(л:). Тем самым доказано, что g(x) — h(x)
для любой точки #?V, т. е. доказано, что отображение g непре-
непрерывно.
Единственность. Пусть g и g' — такие отображения про-,
странства X в числовую прямую R, что
Покажем, что g = gr, т. е. покажем, что для любой точки х?Х
имеет место равенство g(x) = gr(x). По условию, существует хотя бы
один путь 1с:/->Лг, соединяющий точку х0 с точкой х. Пусть
a = /ic, т = #1с и T' = |f'ic. Тогда
рх = а — рх' и х @) — г0 = хг @).
В силу предложения 2.3 отсюда следует, что т=зт'. В частности,
6. Связь между группами я^А", дс0) и Нг(Х)
В этом пункте детально доказывается классическая теорема о связи
между фундаментальной группой iti(-V, x0) линейно связного про-
пространства X в некоторой точке х$ и erb одномерной целочисленной
5 Ху Сы-цзян
66 Гл. П. Некоторые частные случаи основных задач
сингулярной группой гомологии Нг (X). Предполагается, что читатель
знаком с сингулярной теорией гомологии; см. [С — Э], гл. VII или
Эйленберг 12]. .
Прежде всего мы определим некоторый естественный гомомор-
гомоморфизм
. А, :«,(*. *„)->//,(*).
Пусть а — произвольный элемент группы ^ (X, х0), и пусть
— произвольная петля класса а. Гомоморфизм ft:Hl(Sl)->Hl(X),
индуцированный отображением f:S1-+X, переводит образующую
свободной циклической группы Hl E1), соответствующую обходу
окружности S1 в направлении против часовой стрелки, в некоторый
элемент /, (i) группы Нх (X). В силу аксиомы гомотопии этот элемент
зависит только от класса а. Мы определим отображение А,, поло-
положив Л, (<*) =/»(О- В силу известных из теории гомологии элемен-
элементарных свойств индуцированных гомоморфизмов (см. [С—Э], стр. 36)
отображение Л, представляет собой гомоморфизм.
Рассмотрим теперь в евклидовой плоскости R2 единичный одно-
одномерный симплекс Ар т. е. множество всех точек (t0, tj), для которых
to-{-tl=\, to^-O, t^O. Пусть j: /->Д1 — гомеоморфизм, опре-
определенный формулой j(t) = (l—t, t), t?I, a k: Д1->51— отобра-
отображение, определенное формулой k(^0, tf) = p(ti), (t0, ^)^Ap где р —
рассмотренное в п. 2 экспоненциальное отображение.. Ясно, что
kj = p. Отображение T—fk: Д1->Л(, являясь одномерным сингу-
сингулярным симплексом пространства X, может рассматриваться как
элемент группы Сх (X) целочисленных одномерных сингулярных цепей.
Так как дТ = 0, то цепь Т представляет собой одномерный сингу-
сингулярный цикл. Без труда проверяется, что цикл Г принадлежит классу
гомологии Л,<<х).
Так как группа //, (X) абелева, то коммутант [itt (X, х0), 1гг (X, х^)]
группы я, (X, х0) содержится в ядре гомоморфизма А.. Оказывается,
что имеет место следующая
Теорема 6.1. Для любого линейно связного пространства X
естественный гомоморфизм А. отображает группу ^i^X, x0)
на всю группу Н1(Х), причем ядром этого гомоморфизма
служит коммутант группы ^(Х, х^. Таким образом, группа
Нг(Х) изоморфна прокЬммутированной группе кх(Х, jcq), т. е.
факторгруппе группы ^{Х, х0) по ее коммутанту.
Для доказательства этой теоремы проведем сначала некоторую
предварительную редукцию. В сингулярном комплексе S(X) про-
пространства X (см. [С — Э], стр. 235) мы выделим подкомплекс 8г{Х),
порожденный сингулярными симплексами Т: kq-*-X, переводящими
все вершины симплекса Дв в точку х0. Подкомплекс Sl(X) мы будем
6. Связь между группами Я\(Х, хо) и Н\(Х) 67
называть первым айленберговским подкомплексом комплекса S(X).
Так как пространство X линейно связно, то из теоремы редукции
Эйленберга (см. Эйлечберг [2], стр. 440) вытекает, что отображение
вложения
индуцирует изоморфизм 1)
>) Чтобы доказать, что отображение X, представляет собой изоморфизм,
следует построить такое цепное отображение X': S (X) ->¦ S, (X), что компо-
композиции XX' и Х'Х цепио гомотопны тождественным отображениям комплексов
S (X) и S, (X) соответственно. Имея это в виду, мы покажем, что каждому
сингулярному симплексу Т ? S (X) можно таким образом сопоставить неко-
некоторую сингулярную призму Р(Т) на единицу большей размерности, что
будут выполнены следующие соотношения (обозначения см. [С — Э], стр. 242):
1)Р(Г)г=Г;
2) Р (Г)„ ? Sj (X);
3) рG'<')) = Р(Г)<г» для всех i = 0, 1, .... dim Г.
Мы покажем даже большее, а именно что призмы Р (Г) можно выбрать
так, чтобы удовлетворялось следующее дополнительное условие:
4) если Г ? St (X), то призма Р (Г) стационарна. (Сингулярную призму
Р: IXbq->X мы называем стационарной, если Р (t, x) = P @, х) для любого
t ? / и любой точки х ? Д?.)
Призмы Р (Т) мы будем строить по индукции, принимая за параметр
индукции размерность q симплекса Т. При ? = 0 мы воспользуемся тем
фактом, что любой нульмерный симплекс Т ? S (X) можно рассматривать
как точку пространства X. Поскольку пространство X, по условию, линейно
связно, мы можем соединить эту точку с точкой хв некоторым путем, т. е.
одномерной сингулярной призмой пространства X. Эту призму мы и примем
за призму Р(Т). Очевидно, что соотношения 1) и 2) выполнены автомати-
автоматически, соотношение 3) бессодержательно' и потому также выполнено, а чтобы
удовлетворить условию 4) достаточно отнести точке х0 вырожденную петлю
в точке хв.
Предположим теперь, что сингулярные призмы Р (Т), удовлетворяющие
условиям 1)—4), уже построены для всех сингулярных симплексов размер-
размерности, меньшей а, и рассмотрим произвольный ^-мерный сингулярный сим-
симплекс Т: Д?-»-л. Если T^Si(X), то соответствующая ему призма Р (Г)
однозначно определяется условием 4), так что мы можем считать, что
T(pSi{X). Рассмотрим теоретико-множественную границу (край) 5*"' сим-
ч •
плекса Д^. По определению, S*~' = [Ja^), где bS^ — (q — 1)-мернаи грань
симплекса Д4, не содержащая его г-й вершины. Пусть А-
Очевидно, что соотношения
(обозначения см. [С — Э], стр. 241) однозначно определяют некотдрое непре-
непрерывное отображение чр: А-*-Х, Поскольку 4 представляет собой ретракт
68 ГЛ.- П. Некоторые частные случаи основных задач
С другой стороны, для любого элемента а группы пг(Х. х0) син-
сингулярный симплекс T = fk: Д1—>Х, где /: S1—>Х— произвольная
петля, принадлежащая классу а, является одномерным циклом ком-
комплекса St. Класс гомологии v(<n)^Hl(Sl) этого цикла не зависит от
выбора петли / в классе а, причем соответствие <x->ji.(a) пред-
представляет собой гомоморфизм ' ,
Поскольку, как легко видеть, /г,.;=Х,|А, отсюда вытекает, что для
доказательства теоремы 6.1- достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 6.2. Гомоморфизм \х отображает группу ^[(Х, х0)
на всю группу Hl(Sl). Ядром этого гомоморфизма служит
коммутант группы itj (X, х0).
Доказательство. Докажем прежде всего, что' отображение р.
является эпиморфизмом. Пусть р—произвольный элемент группы Н-у (S^,
и пусть z — некоторый одномерный цикл комплекса Sv принадле-
принадлежащий классу р. Так как z^Cl(Sl), то
где Tv Г2, .... Тп -—одномерные симплексы комплекса Sv а av
а2 ап — целые числа. Так как симплекс Tt переводит обе
вершины симплекса Д1 в точку х0, он представляет собой одномер-
одномерный цикл комплекса Sr Пусть ^i^fil(Sl) — его класс гомологии.
призмы ij+1=tXAj (см. предложение 4.2 гл. I), отображение <р можно
распространить до некоторого отображении кд+1->-Х, т.е. до некоторой
^-fl-мерной сингулярной призмы пространства X. Принимая эту призму
за призму Р(Т), мы, как легко видеть, получим, что все соотношения 1)—3)
выполнены. •
Тем самым призмы Р(Т) построены по индукции для всех симплексов
S(X).
Определим теперь отображение У :S(X)-> St(X), полагая
У(Т)='Р(Т)„
для любого сингулярного симплекса T^S(X). Из соотношения 3) непосред-
непосредственно вытекает, что X' представляет собой цепное отображение, а из усло-
условия 4), — что композиция VX является тождественным отображением ком-
комплекса S, (X). Таким образом, для завершения доказательства нам остается
лишь доказать, что композиция XX' цепно гомотопна тождественному ото-
отображению комплекса S(X), т. е. что существует такая цепная гомотопия
D: S(X)->S(X), что 6DT+DdT = P(T)a — T для любого симплекса
T?S(X). Мы положим DT = rP(T), где г: SP(X)-*S(X) — известное
ретрагирующее отображение; см. [С —Э], стр. 243]. Без труда проверяется,
что отображение D действительно является требуемой цепной гомотопией;
ср. аналогичные рассуждения в [С — Э], гл. VII, п. 6]. —Прим. ред.
61 Связь между группами П\(Х, Хо) и Н[(Х) . 69
Тогда
С другой стороны, петля Ту: I -*-'Х определяет некоторый элемент <хг
группы Ъ\{Х, х0), причем, согласно определению гомоморфизма \х,
имеет место равенство р. (<хг) = ^. Пусть
Так как отображение jj. гомоморфно, то
л п
р (а) = ,? а,|* (а,) = 2 в А — Р-
Таким образом, гомоморфизм ^действительно отображает группу
¦кг(Х, х0) на всю группу H1(Sl).
Что же касается ядра гомоморфизма ja, то прежде всего, ввиду
коммутативности группы /У, E^, оно содержит коммутант \-к1 (X, х0),
¦кг(Х, х0)] группы iCi(X, x0) (этот факт мы уже отмечали). Рассмо-
Рассмотрим прокоммутированную группу
Операцию в этой группе мы будем обозначать аддитивно. Пусть
— естественная проекция. Так как ядро гомоморфизма ja содержит-
коммутант [^(Л', х0), ^(Х, х0)] группы ¦к1(Х, х0), то гомомор-
гомоморфизм (л индуцирует некоторый гомоморфизм
удовлетворяющий условию ja = ]j,*v (этим условием гомоморфизм ja*
однозначно определяется). Для доказательства того факта, что ядро
гомоморфизма jt совпадает с коммутантом [к1(Х, х0), ъ1(Х, х0)],
достаточно, очевидно, установить, что отображение ja* является моно-
мономорфизмом.
Мы докажем это, построив для гомоморфизма (л* обратный слева
гомоморфизм ж*. С этой целью мы для любого одномерного сим-
симплекса Т комплекса 51 положим .
где [TJ] — элемент группы ict (X, х0), соответствующий петле TJ : /-^> X;
Так как группа к*(Х, хЛ абелева, то, ввиду того что группа Cl(Sl)
представляет собой свободную абелеву группу, порожденную одно-
70 Гл. //. Некоторые частные случаи основных задач
мерными симплексами комплекса Sv отображение х однозначно рас-
распространяется до некоторого гомоморфизма
Пусть теперь Т — произвольный двумерный симплекс комплекса Sv
т. е. некоторое отображение Г: Д2 —>• X, переводящее все вершины
симплекса Д2 в точку х0. Обозначая через Г(о), Т1^, ГB) одномер-
одномерные грани симплекса Т, мы получим, что
= v ([Г^УН^УН^0/]) = 0.
ибо [7A>Я = [7'й>У1'17Ч0)Л. и отображение Т определено на всем
симплексе Aj. Поскольку группа границ Вг (SJ порождена всевозмож-
всевозможными элементами вида дТ, где Т пробегает двумерные симплексы
комплекса Sv отсюда непосредственно вытекает, что x[S1E1)] = 0.
Следовательно, отображение х индуцирует некоторый гомоморфизм
Нам осталось показать, что композиция *У представляет собой
тождественное отображение группы ъ\(Х, х^. Пусть а* — произволь-
произвольный элемент этой группы, и пусть а—такой элемент группы kv(X, х0),
что v(a)==a*. По определению, сингулярный симплекс T = fk:
Aj-^A", где /: Sl -*¦ X — произвольная петля класса а, принадлежит
классу р(а). Следовательно,
«у (a*) = x*ji.*v (а) = х> (а) == v ([TJ]) =
= v ([/*/]) = v ([/Pi) = v (а) = а*.
где р — экспоненциальное отображение. ¦
Из теоремы 6.1 немедленно вытекает, в частности, что для про-
произвольного линейно связного пространства X фундаментальная
группа ^i(X) полностью определяет целочисленную сингулярную
группу гомологии Н1(Х).
7. Группа Брушлииского
Пусть (X, А) — произвольная пара, состоящая из некоторого
пространства X н его подпространства А, которое может быть и
пустым. Рассмотрим множество
W={f: {X, Д)->(«>. 1)}
7. Группа Брушлинского ¦ 71
всех отображений / пары (X, А) в пару E1, 1), где 51 — единичная
окружность плоскости комплексного переменного (см. п. 2).
Используя тот факт, что окружность S1 является абелевой труп*
пой относительно умножения . комплексных чисел, мы можем в мно--
жество W ввести сложение, определяя сумму /Ц-|Г отображений
/. g?W формулой
Очевидно, что относительно этой операции сложения множество W
является абелевой группой.
Пусть я1 (X, А) — множество всех гомотопических классов (отно-
(относительно А) отображений из W. Так как'гомотопический класс ото-
отображения f-{-g зависит, очевидно, только от гомотопических клас-
классов отображений / и g, то, определяя сумму элементов а, р.? я1 (Л\ А)
формулой . ¦.
мы превратим множество тс1 (X, А) в абелеву группу. Эту группу мы
будем называть группой Брушлинского пары (X, А).
В случае когда множество А Пусто, группу тс1 (X, А) будем
обозначать символом я1 (X) и будем называть группой Брушлинского
пространства X; см. Брушлинский [1].
Например,
ж» E1. 1) « *! (S1, 1) ^ Z.
Преположим теперь, что пара (X, А) триангулируема, т. е. что
пространство X представляет собой конечное симплициальное рав-
биение (см. [С — Э], стр. 82), а подпространство А — его подраз-
подразбиение. В этих предположениях мы построим некоторый естествен-
естественный гомоморфизм
А* :«*(*, А)-+ННХ, А),
где Н1(Х, А) — целочисленная группа когомологий пары (X, А).
Пусть i — образующая свободной циклической группы Hl(Sl, 1),
соответствующая обходу окружности 51 против часовой стрелки,
и пусть а — произвольный элемент группы тс1 (X, А). В силу аксиомы
ГОМОТОПИИ ГОМОМорфИЗМ ...':..
индуцированный произвольным отображением /: .{X. A)-^-{S1, \)
класса а, не зависит от выбора отображения / в этом классе, так
что, полагая A*(a) = /*(t), мы однозначно определим некоторое
отображение A*: it1 (Л", А)->Н1(Х, А). Покажем, что отображе-
отображение п* гомоморфно.
72 Гл. //. Некоторые частные случаи основных задач
Используя теорему о распространении гомотопии (см. гл. I, п. 9),
легко показать, что любой класс a^ic1(X, Л) содержит отображе-
отображение /: (X, A)->(Sl, 1), переводящее все вершины разбиения X
в точку l^S1. С другой стороны, любому такому отображению /
можно следующим образом сопоставить некоторую целочисленную
коцепь с1 (/) ? С1 (А", А). Пусть a = vQv1 — произвольный одномерный
симплекс рдзбиения X, и пусть X: /-va— линейное отображение,
переводящее точки 0 и 1 соответственно в вершины о0 и в,, Так
как отображение /X: /-э-S1 представляет собой петлю простран-
пространства S1 и потому может рассматриваться как отображение S1->S1,
то определена его степень deg(/X). Мы положим
Оказывается, что коцепь c1(f) является коциклом, т. е.
[8с1 (/)] (т) = О для любого двумерного симплекса т = vQvxv2 раз-
разбиения X. Действительно, полагая
дт = о0 — Oj.-f-o2, где о0 == г^, ax==vQvv o2 = vQvv
и обозначая через \t: I -> at лиТГейные отображения X, соответствую-
соответствующие симплексам а(, 1 = 0, 1, 2, мы получим, что
[8с1 (/)] (т) *. [с1 (/)] (дх) = [el (/)] (о0) - & (fH (Ol) + [с1 Ш (»2) =
= deg (/Хо) - deg (A) + de&(A) = 0.
ибо отображение / определено на всем симплексе т. Класс когомо-
логий коцикла c1(f)^Zl(X, А) совпадает, очевидно, с классом кого-
нологий f*(i)?Hl(X, А); фр. определение индуцированного гомо-
гомоморфизма/*. .
Пусть теперь р — произвольный (может быть, совпадающий с а)
элемент группы it1 (А", А), и пусть g:.(X, A)-*¦(&, 1)—отображение
класса 0, переводящее все вершины разбиения X в точку 1. Ясно,
что отображение f-\-g, являющееся представителем класса а + {3,
также переводит все вершины разбиения X в точку 1. Так как для
любого одномерного симплекса a = vQvl имеет место соотношение
/ - deg ((/ + g) X) = deg (/X) + deg (gl),
TO ^(/Н-^ая^СО+С1^) И ПОТОМу
Таким образом, отображение А* действительно представляет собой
гомоморфизм.
„Теорема 7-1. Естественный гомоморфизм h* является изо-
изоморфизмом группы it1 (А", А) на группу Н1(Х, А).
7. Группа Брушлинского 73
Доказательство. Пусть г—произвольный элемент группы Z1(X, A),
Для доказательства эпиморфности отображения h* достаточно по-
построить такое отображение /: (X, А)-*¦(&, 1), переводящее все
вершины разбиения if в точку 1, что cl(J)==z.
Обозначив через Кп, л = 0, 1 dim X, подразбиение раз-
разбиения X, состоящее из всех симплексов подразбиения Л и из тех
симплексов дополнения X \ А, размерности которых не превос*
ходят п, мы начнем с того, что для любого я = 1, 2, ...:, dim А"
построим некоторое отображение
Чтобы построить отображение fv мы для каждого одномерного
симплекс* a = vQv1 из X \ А выберем такую петлю g,: I-vS1.
tfe@)=I. = tfe(l). что ' ¦ . ¦
' «) = *(«)¦
Пусть Хо: 1->а — линейное отображение, переводящее точки 0 и 1
в верцшны v0 и v± соответственно. Мы определим отображение
/х: K1^-Sl формулой
II, если х?К0,
gi;1^), если х^
Построим теперь отображение /z: K2-*-S1. Пусть т == v^vxv2
произвольный двумерный симплекс из Х\А, и пусть во ,2
a1 = v0v2' о2 = г/о^!-г-его одномерные грани. Отображение fi\dx
представляет собой петлю пространства S1, и степень »той петли
равна
z (в,,) — z (Ol) + z (о2) == z (дх) = (8г) (т) = О
(здесь мы воспользовались тем, что коцепь г является коциклом).
Следовательно, в силу теоремы 3.3 отображение /i|§, гомотрпнб
постоянному отображению и потому, согласно аксиоме о распростра-
распространении гомотопии, это отображение обладает распространением
At: t-fr-S1. Мы определим отображение /2 формулой
/i(*)- если
hT(x), если
Построение следующих отображений /„ мы проведем по индук-
индукции. Пусть для некоторого т > 2 уже. построено отображение
fm-il Km-i ->¦ «S1- Так как т > 2, то для каждого w-мерного симплекса 8
из X \ А его граница дЙ, являющаяся (т — 1)-мерной сферой, одно-
связна (см. предложение 5.2). Поэтому, согласно предложению Ь.Ъ,
74 Гл. II. Некоторые частные случаи основных задач
существует, и только одно, такое отображение .Д: <?&->/?, что
где v0—некоторая фиксированная вершина симплекса 6, ap: R-+S1 —
экспоненциальное отображение, рассмотренное в п. 2. Так как про-
пространство R заполнено, то отображение Ув обладает распростране-
распространением &9: в->/?. Мы определим отображение fm формулой
'¦'* m_(^-iW' если
ГтК } [pkbix), если х$В$Кя\А.
Таким образом, отображения /„ построены для всех п.
Так как, по построению, fn\K =/B_j. то, положив /|„ =/„«
Л—'1 ' /|
мы получим некоторое вполне определенное отображение /: Х-ь-S1.
Так как /(/ео)=1 и f\K=fv то с1 (f) = z. Тем ^амым эпиморф-
ность отображения А* полностью доказана.
Докажем теперь, что отображение h* мономорфно. Пусть а—такой
элемент группы ъх(Х, А), что А*(а) = 0. Выбрав в классе а ото-
отображение /: (X, A)->(S1, 1), переводящее все вершины разбиения X
в точку 1, рассмотрим соответствующий коцикл cl(f). Так как
А*(а)=гО, то этот коцикл является кограницей относительно А, т. е.
существует такая коцепь c°?C°(.Y, А), что с1 (/) = 8с°.
Нам нужно доказать, что отображение / гомотопно относительно
подпространства А постоянному отображению О (X) = 1. С этой
целью мы для любого я=1. 2, .... dimA'-f-l построим некото-
некоторое отображение
Sl
где Jn — подпространство произведения Х~Х.1, определенное фор-
формулой
Jn — (А1 X 0) U (*,_, X /) U (А1 X 1).
^ Чтобы построить отображение Fv мы для каждой вершины v
из Х\А выберем такую петлю ?„: I-+S1, ?о@)=» 1 =*&„A), что
Сделав это, мы определим отображение Z7,: 7,-^S1 формулой
II, если х^Л или если 1=>0,
^(/), если jc=tt»,
f{x), если * = 1.
Построим теперь отображение F2: J2-*S1. Пусть ояэд
произвольный одномерный симплекс из X \ А. Поскольку отображе-
7. Т-цуппа Брушшнского '" 73
нив Fi\di,xi) представляет собой петлю д(аХ fy-bS1, имеющую
степень \
«° (»i) — {с1 (/)] («) — «° (?о) — ОД (<J) ~~tcl (/I (<J) = °'
оно обладает распространением -if,: а X ' т> 51. Мы определим ото-
отображение F2 формулой
( Р\(У)' если
2(У)"~Н() если
Следующие отображения FB мы построим по индукции. Пусть
для некоторого т > 2 уже построено отображение Fm_j: ym_i->51.
Так как т > 2, то для любого (от— 1)-мерного симплекса т из А" \ Л
сфера <?(тХО односв^зна, и потому отображение Fm_1\d. x/) обла-
обладает распространением d: тХ/-*51. Мы определим отображе-
отображение Fm: Jm->S1 формулой
)> если
если убтХ/.
Таким образом, отображения Fп построены для всех п.
Так как, по построению, Fn\j =Fn_j, то, полагая F|y =Fn,
мы получим некоторое вполне определенное отображение F:Xy_ I-+S1.
Ясно, что F(x, 0) = l, F(x, l) = /(x) и F(a, t)—\ для любых
точек х ? ЛГ, с ? A t ^ /. Другими словами, отображение F пред-
представляет собой гомотопию относительно подпространства А, связы-
связывающую отображение / с постоянным отображением 0(А')= 1. Таким
образом, a s=0, и, значит, отображение h* моиоморфно. ¦
Так как группа Я1 (X, А) эффективно вычислима, то теорема 7.1
полностью решает задачу классификации для отображений (X, А)-*
-^(S1, 1). В частности, при пустом множестве Л теорема 7.1 дает
решение задачи классификации для отображений X -^S1. Кроме того,
оказывается, что эта теорема- немедленно позволяет решить также
соответствующие задачи гомотопии и распространения. Действительно,
из нее прежде всего непосредственно вытекает
Следствие 7.2. Отображения /, g: (X, A)-*(S1, 1) тогда и
только mozdd гомотопны относительно А, когда /* (i) = g* (i).
Рассмотрим, в частности, случай, когда подпространство А пусто.
Поскольку отображение вложения j: S1c(Sl, 1) индуцирует изомор-
изоморфизм /": //'(S1, l)»//1^1), элемент x = y*(i) является образующей
свободной циклической группы Я1 E1), определяемой обходом окруж-
окружности S1 против часовой стрелки. Поэтому в данном частном случае
следствие 7.2 переходит в
Следствие 7.3. Отображения f, g: X-+S1 тогда и только
тогда гомотопны, когда /*(*)=?* 00-
76 Гл. II. Некоторые- частные случар основных задач
Докажем теперь /'
Следствие 7.4. Отображений /: Д-э-S1 тогда и только тогда
может быть распространено на все пространство X, когда
элемент /*(х) группы Н>{А) содержится в образе гомомор-
гомоморфизма Л Н1(Х)->Н1(А), индуцированного отображением вло-
вложения /: АсХ. При этом если /*(х) = /*(а), где а^Н^Х), то
отображение f обладает таким распространением g: Х-ь-S1,
что g*(*) — a.
Доказательство. Необходимость сформулированного условия оче-
очевидна. Докажем достаточность. Пусть /<(х) = /*(а), где а.?Н1(Х).
В силу теоремы 7.1 существует такое отображение k: X-+S1, что
(/?)*(t) = а. Так как
)• (г) = Г (Jkf @ = Г (а) -/*(*) = Г/ (i>- (У/Г (О."
то yft/—¦// (см. следствие 7.2) и потому kl~f. Согласно теореме
о распространении гомотопии, существует такое распространение
g: X-+-S1 отображения /, что g — k и, следовательно,
#• (*) = ft* (х) ==?*/A) = (/*)¦ @ = а. ¦
При доказа^льстве теоремы 7.1 и ее следствий мы предполагали,
что Л' представляет собой конечное симплициальное разбиение. В этом
мы следовали определению триангулируемых пар, данному в [С — Э],
стр. 86. Однако изложенное доказательство теоремы 7.1 полностью
проходит и в случае, когда X является бесконечным симплициальным
разбиением, а А — его произвольным подразбиением при условии,
что пространство X снабжено слабой уайтхедовской топологией.
Таким образом, все результаты этого пункта справедливы и для
бесконечных триангулируемых пар (X, А). Более того, используя
соответствующие спектральные теории когомологий, эти результаты
можно перенести и на некоторые более общие пары (X, А). Неко-
Некоторые из этих обобщений будут изложены в упражнениях в конце
настоящей главы.
8. Теоремы Хопфа
В этом пункте мы покажем, что при некоторых .размерностных
ограничениях на. триангулируемую пару (X, А) результаты предыду-
предыдущего пункта, относящиеся к окружности 51, могут быть обобщены
на сферы более высоких размерностей. Это обобщение принадлежит
Хопфу. Мы начнем с некоторых предварительных рассмотрений, свя-
связанных с понятием степени отображения.
Следуя [С — Э] (стр. 80), мы будем символом Д„ обозначать еди-
единичный п-мерный симплекс п -f-1 -мерного евклидова простран-
пространства Rn+1, т. е. множество всех точек (f0> tl *я)€#"+1> Для
которых fo-Wi + • • • + tn = 1 и ^ ^- 0 ПРИ любом I = 0, 1, .... п
Теоремы Хопфа 77
(симплекс Д, мы выше уже неоднократно рассматривали). Точку Vj,
для которой tj= 1 и ^ = 0 при Iki /, мы будем называть j-й вер-
вершиной симплекса Дя, а противоположную ей (п— 1)-мерную грань —
j-й гранью симплекса Дя и будем обоЦачать ее символом Д„ .
Для любого п^.1 ны будем символом. S" обозначать граничную
«-мерную сферу единичного («-f-1)-мерного симплекса Д = Дя+1.
По определению, сфера S" представляет собой объединение сим-
плексов Д@\ДA\ .... Д(я+1>.. ,
Класс когомологий «-мерного коцикла ср сферы Sn, определен-
определенного соотношениями ср (Д@)) = 1 и ср (Д<т)) = 0 при /и = 1 п-\-\,
является, очевидно, образующей свободной циклической группы Н" (S").
Эту образующую мы будем обозначать символом х.
Для любого отображения /: X-+-S" элемент /*(х) группы И" (X),
зависящий только от гомотопического класса [/] Отображения /, мы
будем называть степенью отображения / или класса [/]. Если,
в частности, X = S", то элемент /*(*) группы H"(Sa) имеет вид
(deg /) • х, где deg / — некоторое однозначно определенное целое
число, которое обычно и называют степенью отображения /: S"-+S".
При «=1 это число совпадает, очевидно, с числом deg/, опре-
определенным в п. 3.
Пусть Р*9', где q = 0, 1 я+1, — объединение всех сим-
симплексов Д<т\ для которых т Ф q. Ясно, что гомоморфизмы ?*, if
групп когомологий, индуцированные отображениями вложения
. Ь Sncz{S". v0), V (S", vQ)cz{S", Г(«),
где v0—начальная вершина сферы S", т. е. вершина A, 0, 0 ... 0),
во всех положительных размерностях являются изоморфизмами. По-
Поэтому элементы
представляют собой образующие свободных циклических групп
Нп Eя, v0) и Hn{S", Г(?)) соответственно.
Рассмотрим единичный я-мерный симплеко^Д„ и его граничную
(п—1)-мерную сферу дДя. Полагая ф(Дя)=1, мы определим на Д„
некоторый «-мерный коцикл ф, класс когомологий ji которого
является, очевидно, образующей свободной циклической группы
Я"(ДЯ, <?ДЯ). Для любого отображения /: (Дя, dba)->(S", v0) эле-
элемент /*(t) имеет вид (deg/)-(*. где deg/ — некоторое целое число.
Это целое число мы также будем называть степенью отображения /.
Для любого q = 0, 1, ..., п -f- 1 мы будем обозначать симво-
символом С,: (Дя, dba)->(Sn, Г(9)) отображение, определяемое взаимно
однозначным и сохраняющим порядок соответствием между верши-
76) Гл. II. Некоторые частные случауЬсновных задач
нами симплексов Д„ и Д(?\ Легко проверяется, что
Пусть /: Sn->S" — произвольное отображение, переводящее весь
(п— 1)-мерный остов комплекса S" в точку г»0. Используя соотно-
соотношение (8.1) и известную теорему теории когомологий (см. [С — Э],
стр. 61, теорема 14.6с), легко показать, что
я±1
(8.2) ' deg/=2 (—l^deg/C^.
«-о
Покажем теперь, что имеет место следующая.
Лемма 8.3. Для любого целого числа m существует такое
отображение fm: (Д„, d&n)-*-(S", v^, что deg/m = /re.
Доказательство. При /и = 0 лемма очевидна, так как постоянное
отображение /о(Дя) = «о имеет степень 0. Пусть т > 0. Выберем
настолько мелкую триангуляцию К симплекса Д„, чтобы в ней можно
было найти т попарно не пересекающихся замкнутых «-мерных сим-
симплексов а,, .... ат, целиком лежащих внутри симплекса Д„. Пусть
вершины uLj симплекса at упорядочены таким образом, что ориента-
ориентация симплекса
согласована с ориентацией симплекса Дл. Рассмотрим симплициальное
отображение /т триангуляции К в сферу S", переводящее вершину Ну
в вершину Vj для любого 1=1, .... т и каждого у = 1, .... п-\-1,
а все остальные вершины триангуляции К — в /вершину v0. Оче-
Очевидно, что эти условия определяют отображение fm единственным
образом. Кроме того, fm(dkn) = v0 и deg(/m) = m. Наконец, если
т < 0, то отображение fm можно определить формулой fm = /_mX,
где X — линейный гомеоморфизм симплекса Дл, переставляющий вер-
вершины v, и v2{напомним, что, по условию, п%.\) и оставляющий все
остальные вершины на месте, ибо, как легко видеть, deg/_mX = /re. ¦
Результаты Хопфа мы сформулируем в виде следующих трех
теорем:
Теорема Г* (теорема гомотопии). Если степень deg/
отображения /: S"->S" равна нулю, то отображение /гомо-
/гомотопно постоянному отображению 0: S"~>v0.
Теорема Рп (теорема распространения). Пусть (X, А) —
такая триангулируемая пара, что dim(X\ А)^п-{-1, и
пусть /: A->S" — произвольное отображение подпространст-
подпространства А в сферу S". Если существует такой элемент л?Нп{Х), что
Ч8. Теоремы Хопфа 79
г*(а) = /*(х), где I: АсХ, шкотоб ражение f обладает распро-
распространением g: X->Sa, для которого g*(%)=za.
Теорема К" (т е о ре м а класс и фи к а ц и и). Для любого три-
триангулируемого пространства X размерности, не превосхо-
превосходящей п, отображение /->/*(х) опреае^яет взаимно однознач-
однозначное соответствие между гомотопаческищ. классами отобра-
отображений /: X->S" и элементами группы когомологий Н"(Х).
Заметим, что достаточное условие, указанное в теореме Р", три-
тривиальным образом необходимо: если отображение / обладает рас-
распространением g: X^->S", то существует такой элемент а?Нп1х),
а именно, элемент a = g*(xX что i* (<*) = /*(«).
Так как теорема Г1 явлиется частным случаем леммы 3.2, то для
доказательства теорем Г", Рп, К" достаточно доказать, что для
любого п^-1 имеют место импликации
Стоит отметить также', что теорема Г" является частным случаем
теоремы К", теорема К1 — частным случаем теоремы 7.1, а тео-
теорема Р1 — частным случаем следствия 7.4.
Доказательство импликации Гп=фРп. Пусть (X, А) — такая три-
триангулированная пара, что dim (X \ А) ^ в + 1. Поскольку нам при-
придется рассматривать коцепи разбиении X, мы будем считать, что
в разбиении X задан определенный порядок вершин и что все сим-
симплексы разбиения X, а вначит, и подразбиения А ориентированы
в соответствии с этим порядком. Пусть, далее, / — произвольное
отображение A->Sn. Мы можем считать, что отображение / пере-
переводит весь (п—1)-мерный остов подразбиения А в точку vo?Sa,
ибо любое отображение A-+S" гомотопно такому отображению
(достаточно рассмотреть некоторую симплициальную аппроксимацию
данного отображения и воспользоваться тем, что каждое собственное
подпространство сферы S" стягиваемо в S"). *
С другой стороны, если отображение /: A->Sn переводит весь
(п — 1)-мерный остов равбиения А в точку v0, то оно определяет
некоторую «-мерную коцепь с" (/) разбиения А. Действительно,
пусть a — проиввольный «-мерный симплекс разбиения А, и пусть
Х„:Дп-*-о — линейный гомеоморфизм, сохраняющий порядок вершин.
Так как составное отображение /Хо представляет собой отображение
пары (Дя, <?Д„) в пару (Sa, v0), то определено число deg/X0. Мы
определим коцепь cn(f), полагая
80 Гл. II. Некоторые частные случаи основных задач
Используя соотношение (8.2), легко/доказать, что коцепь c"(J)
является коциклом: Класс когомолетий этого коцикла совпадает,
очевидно, с классом /* (х) ? Н" .
Пусть теперь существует ^ккой класс когомологий а?Н"(Х),
что i*(a) = /*(x). Это озна^ет, что в классе а существует такой
коцикл г", что
для любого «-"мерного симплекса о ? А. Пусть ^К •— объединение
подразбиения А и «-мерного остова разбиения X, и"пусть о — произ-
произвольный «-мерный симплекс разбиения К, принадлежащий разбиению А.
Согласно лемме 8.3, существует такое отображение
. . /0: (Д„. d^->(S", v0), .
что degfa = г" (а). Пусть Хо: Дя->о — линейный гомеоморфизм, со-
сохраняющий порядок вершин. Мы определим отображение k: K-*S",
положив
If (x), если х ? А,
fXl(.*)- если х?
Распространим теперь отображение k до некоторого отображе-
отображения g: X-+S". Пусть т — произвольный (л-f- 1)-мерный симплекс
из Х\А, и пусть Хх: Дя+1-*т — линейный гомеоморфизм, сохра-
сохраняющий порядок вершин. Положив kT = kkt\sn и применяя соотно-
соотношение (8.2), мы получим, что
я ч
С—1)' -г" (т*°) = г" (дх) == дг" (х) ==-0. ¦
Согласно теореме Г", отсюда следует, что отображение kx гомотопно
постоянному отображению 0 и потому, согласно теореме о распро-
распространении гомотопии отображение kx, обладает распространением
• gT-An+l-*Sn. Мы определим отображение g: X->S", положив
если ?
если х ?*?Х \ А.
Так как отображение g является, очевидно, распространением
отображения /, то для завершения доказательства нам остается
только проверить соотношение g*(%) = a,. Но, согласно построению,
отображение g переводит весь (л — 1)-мерный остов разбиения X
в точку v0 и обладает тем свойством, что с" (g) = zn. Так как
коцикл c"(g) принадлежит классу когомологий ?*(х), а коцикл г" —
классу когомологий а, то g*(x) = a. Ш
8. Теоремы Хопфа 81
Доказательство импликации Р"=фГп+1. Пусть /: Sn+1 -* Sft+1 —
произвольное отображение, дляч которого deg/ = 0. Мы должны
показать, что отображение / гомскгопно постоянному отображению.
Используя теорему о симплициалъной аппроксимации, мы можем
считать, что / представляет собой Ъимплициальное отображение
некоторой триангуляции К, сферы Sn+1 в некоторую (вообще говоря,
другую) триангуляцию У этой же сферы. Пусть о = (н0, uv .... ап+1) —
произвольный (я-4-1)-Лерный симплекс триангуляции У, и пусть
ср — кОЦИКЛ триаНГуЛЯЦИИ У, ДЛЯ КОТОРОГО ср (о) г= 1 И ср (т) ass О,
если хФ о. Ясно, что класс когомологий коцикла ср является обра-
образующей х свободной циклической группы //n+1(S"+1).
Пусть М— подразбиение разбиения К, состоящее нз всех
(«4-1)"меРных симплексов разбиения К, отображающихся при сим-
плициальном отображении / на симплекс о, и всех граней этих
симплексов. Мы можем считать, что никакие два из («+1)-мерных
симплексов подразбиения М не имеют общих вершин, ибо в про-
противном случае мы могли бы заменить триангуляции У и К их вто-
вторыми барицентрическими измельчениями J" и К" и взять в качестве а
произвольный (л-)- 1)-мерный симплекс триангуляции У", обладающий
тем свойством, что ни одна из его вершин ие является вершиной
триангуляции У. Ясно, что в этом предположении Я*(уИ) = 0 для
любого q > 0.
Рассмотрим теперь (л-(- 1)-мерный коцикл ф = /в(ср) разбиения К,
являющийся образом коцикла ср при симплициальном отображении
/: /С-*У. Так как этот коцикл принадлежит классу когомологий
/*(*)=xdeg/.x = Q, ' щ
то в разбиении К Существует такая '«-мерная коцепь с, что фвЗе.
Пусть
с, = ptt (с), ф, = рП (ф) = ptt/tt (ср) = (//,)»(9).
где р — отображение вложения МсК. Так как в разбиении К
имеет место соотношение ф = 8с, то в разбиении М имеет место
соотношение «^«Вср Рассмотрим теперь начальную «-мерную грань
o(°'=(Hj, ..., ня+1) симплекса о и «-мерную коцепь ср0 комплекса У,
определенную соотношениями ср0(о@))=1 и сро(т) = 0,^ если х ф а.
Поскольку отображение fpi M-+.J симплициально, определена
«-мерная коцепь co=(/p)tt(cpo) разбиений М. Так как коцикл 9
является кограницей коцепи ср0 на симплексе а разбиения У, а ото-
отображение fp переводит подразбиение М в симплекс о, то tyi = tcQ.
Поэтому 8 (Cj — ср) = фх — ^ = 0, так что коцепь сг — с0 является
л-мерным коциклом разбиения М. Поскольку Яя(уИ) = 0, коцикл
Cj — с0 является в М кограницей.
§ Ху Сы-щяц
82 Гл. П. Некоторые частные случаи основных задач
Заметим теперь, что отображение/у определяет некоторое сим-
плициальное отображение х «-мерного остова Ма разбиения М
в л-мерную сферу до. Из проведенного выше построения ясно, что
коцепь с0 является коциклом ийзбиения М", причем класс когомо-
логий этого коцикла представляет собой степень отображения х-
Так как коцепь сх — с0 ^вляется кограницей, то коцикл с1 разбие-
разбиения М" также принадлежит степени отображения х-
Положим N = (К \ М) U М" и рассмотрим отображение вложе-
вложения q: N<zK. Так как для любого (л+ 1)-мерного симплекса*,
'не принадлежащего разбиению М, имеет место равенство 8с(т)=*
а=(|)(т) = 0, то коцепь c2 = q#(c) является коциклом разбиения N.
Так как, с другой стороны, коцикл с2 является распространением
коцикла -cv то из теоремы Р" следует, что отображение х обладает
' некоторым распространением р: N->da. Мы определим отображе-
отображение g; 5я+1->5"+1. полагая
{
р(х),
{/(*). если
если
Так как отображение / переводит разбиение N в разбиение
W — (J\o)\}da, представляющее собой заполненное пространство,
то отображения f\N и р гомотопны в W относительно М". Следо-
Следовательно, f^g. С другой стороны, так как образ отображения g
содержится в симплексе о, то это отображение .гомотопно некото-
некоторому постоянному отображению. В силу линейной связности про-
пространства S"+1 мы можем считать, что это постоянное отображе-
отображение представляет собой отображение 5ntl->f0. Таким образом,
f~g~0.m ( ,
Доказательство импликаций Рп->Кп. Пусть X — произвольное
симплициальное разбиение размерности, не превосходящей п. В первую
очередь мы покажем, что. для любого класса когомологий а ? Н (X)
существует такое отображение /: X-+S", что /*(х) = а. Для этого
достаточно применить теорему Р" к (и — 1)-мерному остову А раз-
разбиения X и к отображению вложения /: АсХ. Так как Нп(А) = 0, ¦
то I* (а) = 0 и потому в силу теоремы Рп постоянное отображение k:
А~>% обладает таким распространением /i X—>S*. что /*(%)== а.
Докажем теперь, что если для отображений /, gx X->S" имеет
место соотношение /*(x) = g*(x), то f ~g. Для этого мы пред-
предварительно рассмотрим некоторые элементарные свойства произведения
X X I- Во-первых, ясно, что пространство X XI триангулируемо и
что dim^ Х/)<!л4-1. Во-вторых, отображения pi X У.1-+-Х и
цг : X ->¦ X X /, где I = 0, 1, определенные формулами
р(х, t) = x, qQ(x) = (x, 0). ql(x)**(X, 1),
Теорема Гуревича S3
обладают тем свойством, чтоЧдля любого / = 0, 1 композиция pqf
представляет собой тождественнее отображение пространства X,
и потому q*p*(a)s=a. для любого Элемента а?Я"(.АГ). Рассмотрим
подпространства
произведения X X !• В силу элементарных теорем теории когомо-
логий ([С — Э], стр. 55), группа Н*(А) является прямой суммой
групп Нп(Х0) и Нп(Х-д> так что элементами группы Я" (Л) можно
считать пары (fJ, f) элементов группы Н"(Х). Пусть г: АсХ X' —
отображение вложения. Очевидно, что
r*q*(a) = (a, ос), 1 = 0, 1.
Определим отображение А: Л->5", полагая
| / (х), если х ? X и t — О,
1 если дгбАГ и *==1.
Ясно, что -it* (х) = («, «)^Я"(Л) и потому в силу теоремы Р" суще-
существует такое распространение Я: X X '-¦¦ 5" отображения А, что
Я*(х) = ^(*)- Следовательно, / ^ ^. ¦
Тем самым теоремы Хопфа Г", Рп, К" доказаны для всех л=?
= 1, 2 В частности, полагая X = Sn в теореме К", мы полу-
получаем
Следствие 8.4. Гомотопические классы, отображений /: S"->Sa
находятся во взаимно однозначном соответствии с целыми
числами. Это соответствие порождается отображением
/d
g(/)
Заметим в заключение, что все сделанные в конце п. 7 замечания
сохраняют свою силу и для доказанных в этом параграфе теорем.
9. Теорема Гуревича
В этом пункте мы сформулируем знаменитую теорему Гуревича.
двойственную теореме классификации Хопфа. Доказательство этой
теоремы будет изложено в гл. IV.
Пусть л ¦— неотрицательное целое число. Пространство X назы-
называется п-связным. если для произвольного триангулируемого про-
пространства Т размерности, не превосходящей л, любые два отобра-
отображения /, g: T-+X гомотопны. В частности, пространство X тогда
и только тогда 0-связно, когда оно линейно связно. Пространство X
тогда и только тогда 1-связно, когда оно односвязно. Используя
теорему о распространении гомотопии, можно легко доказать, что
(я — \)-сеязное пространство X тогда и только тогда п-связно,
6»
84 Гл. //. Некоторые частные случаи/основных задач
/'
когда каждое отображение /: Sn^> X гомотопно постоянному
отображению. /
Пусть теперь X— произвольное пространство. Мы будем рас-
рассматривать отображения
где 5" — граничная «-мерная сфера единичного (я+ 1)-мерного симп-
симплекса Д = ДЛ+1. Так как случай » = 1 полностью изучен в п. 4 и
п. 6, то мы будем предполагать, что »^2. Пусть
л + 1
— фундаментальный я-мерный цикл сферы 5". Kate известно, его
класс гомологии t является образующей свободной циклической
группы #„($")•
Для каждого отображения /: 5я -> X элемент Д (i) группы На (X)
зависит только от гомотопического класса отображения /; мы будем
называть его степенью отображения /. Если X = S", то» как легко
проверить, /»@ = deg/• I, где deg/ — целое число, определенное
в л. 8. -
Теорема 9.1 (теорема Гуревича). Для любого (я—1)-
сеязного (»>-2) пространства X отображение /->/»(i) опре-
определяет взаимно однозначное соответствие между гомотопи-
гомотопическими классами отображений /: Sn-*X и элементами группы
сингулярных гомологии Нп(Х).
Из этой теоремы, в частности, непосредственно вытекает сле-
следующее важное
Следствие 9.2. Односвязное пространство X тогда и только
тогда п-связнр, когда Hm(X)ss0 для всех т — 2 п.
Поскольку во всех известных доказательствах теоремы Гуревича
существенно используются элементарные свойства гбмотопических
групп,, мы отложим доказательство этой теоремы до гл. IV, п. 23,
где мы выведем ее из другой; значительно более общей теоремы.
УПРАЖНЕНИЯ
- А. Фундаментальная группа связного симплициального раз-
разбиения
Пусть X — произвольное связное симплициальное разбиение, и
пусть v0, ©! vm — его вершины. Назовем ломаной произвольный
путь, образованный конечным числом одномерных симплексов раз-
разбиения X. Поскольку разбиение X, по условию, связно, для любой
вершины vi существует хотя бы одна ломаная, соединяющая вер-
Упражнения 85
шину v0 с вершиной vt. Выбрав для любого /=1, 2 т одну
из этих ломанных, обозначим ее символом \t. За ломанную \ при-
примем вершину v0. Каждому одномерному симплексу vtvj разбиения X
сопоставим петлю
где XJ1— путь, обратный пути А/. Пусть ац—элемент группы
itj (X, <о0), соответствующий петле /у. Докажите, что элементы а.ц
составляют систему образующих группы ъх(Х, v0).
Чтобы найти соотношения, связывающие эти образующие, мы
заметим, во-первых, что для любого одномерного симплекса vpt
имеет место тривиальное соотношение
aji = (aij) •
Во-вторых, для любого одномерного симплекса vtvj петля Д, пред-
представляет собой некоторое произведение одномерных симплексов v^v
разбиения X, скажем
Легко видеть, что каждому такому представлению петли ftj соответ-
соответствует соотношение
где Рц(<ц,^ — произведение, получающееся заменой каждого сим-
симплекса vg) соответствующим элементом <хЕ группы ^{Х, v0). На-
Наконец, в-третьих, для любого двумерного симплекса <3=*vpfok раз-
разбиения X имеет место соотношение
Докажите, что эти соотношения составляют полную систему со-
соотношений, связывающих элементы <х„. Тем самым мы получили
эффективный метод вычисления, фундаментальной группы п1(Х) раз-
разбиения X. Используя этот метод, докажите следующие утверждения:
1) Фундаментальная группа ^i(X) зависит только от двумерного
остова Xs разбиения X, т. е. отображение вложения /: X2 с X
индуцирует изоморфизм lt: ^(X2, vo)»i-K1(X, v0).
2) Фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности
рода g порождается 2g элементами alt ^, f=l, .... g, подчинен-
подчиненными единственному соотношению
В частности, фундаментальная грурпа двумерного тора является сво-
свободной абелевой группой с двумя образующими. При g > 1 фун-
фундаментальная группа поверхности неабелева.
86 Гл. //. Некоторые частные случаи виновных задач
3) Фундаментальная группа замкнутой неориентируемой поверх-
поверхности характеристики 2 — п порождается п элементами а, ая,
подчиненными единственному соотношению
В частности, фундаментальная группа проективной плоскости является
циклической группой второго порядка. При я > 1 фундаментальная
rpynifa поверхности неабелева.
4) Если связное симплициальное разбиение X представляет собой
объединение двух связных подразбиений А » В, причем пересечение
D = A{\B связно, то фундаментальная группа щ(Х) является фак-
факторгруппой свободного произведения п1(А)оп1(В) (см. [3 — Т],
стр. 205), получающейся при отождествлении для каждого 8?«i(D)
•элемента Е» (8) (¦; *! (Л) с элементом 17,(8) ? я, (В), где ?: Da А и
ц: DcB — отображения вложения. В частности, если пересечение D
односвязно, то
5) Для любого связного одномерного симплициального 'разбиения
группа ^(Х) свободна. В частности, для пространства X, состоя-
состоящего из двух окружностей, имеющих только одну общую точку,
фундаментальная группа Ъ\(Х) является свободной группой с двумя
образующими.
В. Теоремы о замощениях
Пусть /: X->Y— произвольное отображение и а — некоторое
открытое конечное покрытие пространства X. Отображение
геометрического нерва Na покрытия а в пространство Y мы будем
называть отображением замощения для отображения /, если
ЕлК""/ Для любого канонического отображения ha: X->Na (см. [Л3].
стр. 40). Если такое .отображение замощения ga существует, то по-
покрытие а называется замощением данного отображения /. Докажите,
что если пространство X нормально, а пространство Y является
связным абсолютным окрестностным ретрактом и хотя бы одно про-
пространство X и Y компактно, то
1) каждое отображение f:X-*-Y обладает замощением;
2) каждое измельчение замещения также является замощением;
' 3) если компактно пространство X, то для любых двух замо-
замощений и и р отображения /: АГ->К существует такое их общее
измельчение •(> что gjf^^g^. где gj Ne->K и gf N^+Y —
соответствующие отображения замощения, а р1а: N1->N0L и р *: AL->
->Np — произвольные симплициальные проекции; см. Ху [5].
. Упражнения ' 87
Введя в рассмотрение локально конечные открытия покрытия
пространства X, выясните, имеют ли место аналогичные утверждения
в случае, когда пространство X хаусдорфово и паракомпактно (а
пространство К по-прежнему является связным абсолютным окрест-
ностным ретрактом).
C. Отображения комиактных пространств в сферы.
Сформулированные в упр. В теоремы о замощениях устанавливают
связь между отображениями компактных хаусдорфовых пространств
и отображениями симллициальных разбиений. Используя эти теоремы
и введя в рассмотрение группы спектральных когомологий, основан-
основанные на' конечных открытых покрытиях, и понятие размерности, также
основанное на конечных открытых покрытиях, можно распростра-
распространить результаты, полученные в п. 7 и 8, на любые компактные хаус-
дорфовы пространства. Докажите, в частности, следующие теоремы:
1. Теорема распространения Хопфа. Пусть (А', А) —
такая компактная хаусдорфова пара, что <ШпА'<;«+1' и пусть и —
образующая свободной циклической группы Jin(S"). Если для ото-
отображения /: A-+S" существует такой элемент а?Н"(Х), что i*(a) =
= /*(«), где /: Л с А", то отображение / обладает таким распрост-
распространением g: X~>S", что ?*(и) = а.
2. Теорема классификации Хопфа. Для любого ком-
компактного хаусдорфа пространства X размерности, не превосходящей п,
отображение /->/*(«), где и — образующая группы Hn(Sn), опре-
определяет взаимно однозначное соответствие между гомотопическими
классами отображений /; X-*S" и элементами группы спектральных
когомологий Я" (А).
При л = 1 условия, наложенные на размерность пространства А\
могут быть опущены. Кроме того, в этом случае соответствие /->
->/*(«) определяет изоморфизм
я*: я» (X) ее Я1 (АГ).
Относительно дальнейших обобщений на случай некомпактных
пространств см..^Даукер [1].
D. Степень надстроенного отображения.
Будем рассматривать «-мерную'сферу S" как экватор (я-f-1)-
мерной сферы Stt+ с северной полусферной fi"+1 и южной полу-
полусферой ?l+\ Согласно теореме распространения Титце, каждое
отображение /j S"-+-Sn допускает такое распространение /*: 5"+1->
-»-Л"+1, (называемое надстройкой над отображением /), что
+)^ и /*(B!L+1)c?-+1. Докажите, что g/ g/
Докажите лемму 8.-3. по индукции, -рассматривая многократные
надстройки над отображением /: S1->Sl степени т.
ГЛАВА HI
РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Введение
Понятие расслоенного пространства играет чрезвычайно важную
роль в теории гомотопии и не только потому, что оно исполь-
используется почти во всех- приложениях этой теории к геометрическим
вадачам, но и потому, что оно является мощным средством для
вычисления гомотопических групп различных пространств и играет
ключевую роль при аксиоматическом построении теории этих групп.
В связи с этим, прежде чем переходить к рассмотрению гомотопи-
гомотопических групп, мы считаем необходимым изучить хотя бы простейшие
свойства расслоенных пространств.
Одно конкретное расслоенное пространство мы уже рассматри-
рассматривали в гл. II. Именно рассмотренное там экспоненциальное отобра-
отображение р :/?-*• 51 определяет числовую прямую/? как расслоенное
пространство (в действительности даже как накрывающее
пространство) над окружностью S1. Что касается полезности
этого расслоения, то достаточно напомнить, что на нем основывалась
классификация отображений X-+S1 (см. II, п. 7).
Теория расслоенных пространств исторически возникла в резуль-
результате изучения ряда конкретных примеров. Различными авторами,
по-разному абстрагировавшими свойства этих примеров, были пред-
предложены различные определения расслоенных пространств. Однако
в каждом случае оказывалось, что для рассматриваемых расслоен-
расслоенных пространств справедлива так называемая аксиома о накры-
накрывающей гомотопии. В 1950г. Серр положил эту аксиому
в основу определения понятия расслоенного пространства и, основы-
основываясь на этом определении, провел глубокое изучение сингулярных
гомологии произвольных расслоенных пространств. Влияние работы
Серра на гомотопическую теорию было огромным, и теперь пред-
представляется совершенно ясным, что серровское определение расслоен-
расслоенного пространства наиболее естественно и удобно. Мы также прини-
принимаем это определение ва основное. Простейшие следствия этого
определения мы рассматриваем в п. 2—3.
С другой стороны, классические примеры расслоенных пространств
принадлежат значительно более узкому классу, а именно классу рас-
расслоенных пространств, локально являющихся прямыми
произведениями. Этот класс расслоений вместе с одним важным
примером — хопфовским расслоением сфер, — мы рассматриваем
э п. 4—6,
2. Аксиома о накрывающей гомотопии
В п. 7—8 мы рассматриваем отображения расслоенных простран-
пространств, а в п. 9—14 — пространства путей (результаты этих последних
параграфов существенно используются в гл. IV). Мы показываем,
в частности, что ^пространства путей являются расслоенными про-,
странствами в смысле Серра, но, вообще говоря, не являются пря-|
мыми произведениями даже локально.
В заключение (п. 15—17) мы изучаем раселоения с дискретными
слоями и, в частности, классические накрывающие пространства.
2. Аксиома о накрывающей гомотопнн
На! протяжении всего этого пункта мы будем рассматривать неко-
некоторое отображение
р: Е-+В ,
произвольного пространства Е в некоторое пространство В.
Пусть X— произвольное пространство и f:.X->B— некоторое
его отображение в пространство В.
Говорят, что отображение f*:X->E накрывает (по отношению
к отображению р) отображение /, если pf = /. Аналогично говорят,
что гомотопия f*(:X-*E, O^.t^.1, отображения /* накрывает
(по отношению к отображению р) гомотопию ft: JC-+B, 0<;*<;i,
отображения /, если pf*t = ft для всех t?I.
Далее, говорят, что отображение р:Е~+ В удовлетворяет относи-
относительно пространства X аксиоме о накрывающей гомотопии, если
для любого отображения /*: X -+Е и любой гомотопии ft: X->В,
0-^.t^.l, отображения f = pf*:X-+B существует гомотопия
f*t:X-+E, 0-^.t^.i, отображения /*, накрывающая гомотопию /,.
Если отображение р:Е-*В удовлетворяет аксиоме о, накрывающей
гомотопии относительно любого пространства X, то говорят, что
оно удовлетворяет этой аксиоме абсолютно. Если отображение
р: Е-+В удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии относи-
относительно всех триангулируемых пространств X, то говорят, что оно
удовлетворяет этой аксиоме полиэдрально.
Наконец, говорят, что отображение р:Е->В удовлетворяет
относительно пары (X, А), где АсX, аксиоме о распространении
накрывающей гомотопии, если для любого отображения /*: X -> Е
и любой гомотопии //. Х->В, O^t^.1, отображения f=pf*: X->B
каждая гомотопия g*: A->E, 0^.t^l, отображения g* = f*\A,
накрывающая гомотопию ft\ А, может быть распространена до гомо-
гомотопии /*: АГ.->?, 0-^f.^l, отображения /*, накрывающей гомо-
гомотопию ft. Если отображение р: Е-г>В удовлетворяет аксиоме о рас-
распространении накрывающей гомотопии относительно любой пары
{X, А), для которой подпространство А замкнуто в пространстве* X,
90 . Гл. ///. Расслоенные пространства
то говорят, что оно удовлетворяет этой аксиоме абсолютно. Если
отображение р: Е-+В удовлетворяет аксиоме о распространении
накрывающей гомотопии относительно всех триангулируемых пар
(Хл А), то говорят, что оно удовлетворяет этой аксиоме полиедрально.
Если Е = Ву_ Р, где D—-некоторое пространство, то естествен-
естественная проекция р:Е-±В абсолютно удовлетворяет аксиоме о накры-
накрывающей гомотопии. Действительно, для любого пространства X и
любого отображения f\ Х->Е каждая гомотопия /,:Х->В,
О < t < 1, отображения / = pf* накрывается гомотопией yt: X -> Е,
О ^ t -^ 1, отображения /*, определенной формулой
(ft(x), qf(x)), x?X,
где q'.E-*D — естественная проекция.
3. Определение раселоеппого пространства
Отображение р :?-> В называется расслоением (или раесдац-
вающим отображением), если оно полиедрально удовлетворяет
аксиоме о накрывающей гомотопии. В этом случае пространство Е
называется расслоенным пространством над базисным простран-
пространством В с проекцией р:Е->В. Для каждой точки Ь?В подпро'-
странство р~1 ф) пространства Е называется слоем над точкой Ь. •
Замечание, Мы не предполагаем, что р{Е) = В, так что слои
р~1ф) над некоторыми точками Ь?В могут быть пусты. Однако,
применяя теорему о накрывающей гомотопии к пространству, состоя-
состоящему из одной точки, можно легко доказать, что пространство р(Е)
является объединением некоторых компонент линейной связности
пространства- В. Поэтому если пространство В линейно связно, то
р(Е) — В, если, конечно, пространство Е непусто. ¦ ;
Примером расслоенного пространства может служить любое пря-
прямое произведение E = By,D. Действительно, согласно сказаннному
в конце п. 2, естественная проекция р:Е-*В является расслоением.
Мы будем часто пользоваться рядом свойств расслоений р : Е-+В,
равносильных полиедральной аксиоме о накрывающей гомотопии.
Для удобства ссылок мы соберем эти свойства в одной теореме.
Теорема 3.1. Следующие свойства отображения р:Е-*В
равносильны:
1) отображение- р:Е->В является расслоением, т. е.
полиедрально удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии;
2) для каждого fft^-О отображение р\ Е-*-В удовлетворяет
аксиоме о накрывающей гомотопии относительно т-мерного
симплекса Дт;
3. Определение расслоенного пространства 91
3) для Каждого т^О отображение р: Е->В удовлетво-
удовлетворяет йксиоме о распространении накрывающей гомотопии
относительно пары (Дт, З), где s'1 — граничная сфера
симплекса Дт; .
4) отображение р'.Е->В полиедрально удовлетворяет
аксиоме о распространении накрывающей гомотопии;
5) для любой триангулируемой пары (X, А), для которой
подпространство А является сильным деформационным рет-
рактом пространства X, и любых отображений f:X-*Bu
g*:A->E, связанных соотношением pg* — f\A< существует
такое распространение /*: X -^>Е отображения g*, что />/*=/«
Доказательство. Импликация 1) -> 2) очевидна.
Импликация 2) -> 3). Если т == 0, то симплекс Дт состоит
только из одной точки и его граничная сфера пуста. Поэтому импли-
импликация 2)->3) в этом случае также очевидна.
При т > 0 мы в первую очередь построим некоторый гомеомор-
гомеоморфизм А произведения Дт XI на себя, индуцирующий гомеоморфизм про-
пространства (Дт X 0) U (о X I) на симплекс Дт X 0. С этой целью мы
рассмотрим гомеоморфизм Ло : (Дт X 0) U (s"* X ^)->Дт X 0^-сопо-
0^-сопоставляющий каждой точке w=(jc0, ...,хт, *)?(Дт)
точку (у0 уп, 0)?ДтХ0, определяемую формулами
если
Ясно, что ho(xo xm; 1) = (л;0 xm; 0) для каждой точ-
точки (Xq, .... xJ)?Sm~l. Аналогично определяется гомеоморфизм
*Г- (дт X О U E ~1 X /) -> Дл X 1. для которого hx {xQ, .,.., xm; 0)=
= (х0 xm; 1) при (х0, .... xJ?Sm l. Далее мы определим
гомеоморфиам Л2 границы д(ДтХ^) на себя, положив
*о(«0. •
Ai (w). если да?ДтХ Ь
Этот гомеоморфизм мы распространим по радиусам, исходящим из
центра тяжести 1с, -А произведения Дт X ^. где с — центр тяжести
симплекса Дт, до гомеоморфивма h произведения Дт X / на себя.
Являясь распространением гомеоморфизма Aq. гомеоморфизм h отобра-
отображает множество (Дщ X 0) U {Sm~l X ^) на симплекс Дт X 0.
92
Гл. 111. Расслоенные пространства
Для случая от=1 гомеоморфизм h иллюстрируется схемой
А В
Пусть теперь /*: Дт->? — произвольное отображение, ft:km—>B,
0<f <; 1,—некоторая гомотопия отображения f=pf* n g*:Sm~1-*E,
0^.t ^.1, — гомотопия отображения g* — /* | т-1, накрывающая
гомотопию /J т_г Гомотопия ft и частичная гомотопия g* очевид-
очевидным образом определяют некоторые отображения
F : Дт X 1->В и О*: (Дт X 0) U (Sm~' X /)->?•
Пусть
1 . . - и
Так как рТ* = Ф|д хо, то, согласно условию 2), отображение ЧГ*
обладает распространением Ф*:ДтХ^->^> Для которого рФ*^Ф.
Определим гомотопию /^:Дт->?\ 0.
р
1, полагая
= /*.
_, = ?* и pft =
для
Тогда, как легко проверить,
каждого t ^ /. .
Импликация 3)->4). Пусть (X, А) — произвольная триангули-
триангулируемая пара, /*:Х->Е — некоторое отображение, ft:X-*B,
Q^-t^. 1>—произвольная гомотопия отображения /=р/* и g*: А~>Е,
O^t^l,—гомотопия отображения g* = f*\A, накрывающая гомо-
гомотопию ft\A. Нам нужно распространить гомотопию g* до гомотопии
/*: X ~>Е, 0<;f^l, отображения /*, накрывающей гомотопию ft.
При этом мы можем считать, что X представляет собой симпли-
циальное разбиение, а А — его симплициальное подразбиение.
Обозначая для любого т ^ 0 символом Хт от-мерный остов раз-
разбиения X, а символом Кт — объединение А[)Хт, мы, используя
условие 3), можем для каждого целого т = 0, 1, 2, ... последова-
последовательно построить такую гомотопию Af : Кт ->Е, 0 ^ t ^ 1, что
^g.. h"
4. Локально тривиальные расслоения - 93
Ясно, что, полагая
ft\ =Af, m = 0, 1, 2. ....
мы и получим нужную нам гомотопию f*r
Импликация 4)->5). Поскольку подпространство А является
сильным деформационным ретрактом пространства X, существует
гомотопия ht: X —*~Х, О <^ ^ 1, для которой отображение Ло является
ретракцией пространства X на подпространство А, отображение hx —
тождественным отображением пространства X, а отображение ht для
любого t?/ обладает тем свойством, что ht(a) = a при а?А.
Мы определим отображение /#: X—>Е и гомотопию ft: X-*B,
О < t < 1, полагая ^ = ^^0 nft = fkt, t?I. Ясно, что /0 = р/#.
Поскольку ft{a)=sif{a) для любых точек а?А и t?I, мы можем
определить частичную накрывающую гомотопию g*: A—*E, O^t 4^. 1,
отображения /tt, положив ?* —g* для всех ^/. Согласно усло-
условию 4), гомотопия g* обладает таким распространением f*f: X-*E,
0^t^.\, что pf*t = ft- для каждого t?I. Положив f* = f*v мы,
очевидно, получим, что
Импликация 5)->1) непосредственно следует из того, что
пространство X X 0 является сильным деформационным ретрактом
\ пространства X У, I.
4. Локально тривиальные расслоения
• Отображение р: Е-*В мы будем называть локально тривиаль-
тривиальным расслоением, если существуют такое пространство D и для
каждой точки Ь?В такая ее открытая окрестность U и такой гомео-
гомеоморфизм
H
что
(КГ) '
В этом случае пространство Е мы будем называть локально три-
тривиальным расслоенным пространством над базой В с проек-
проекцией р и слоем D. Окрестности U и гомеоморфизмы ср^ мы будем
называть соответственно координатными окрестностями и коор-
координатными гомеоморфизмами.
Из определения непосредственно следует, что если Е непусто,
то р{Е) = В.. . >. .
Наглядно говоря, любое локально тривиальное расслоенное про-
пространство в окрестности каждой точки базы является прямым произг
ведением. В частности, каждое прямое произведение E = By^D
94 Гл. III. Расслоенные пространства
является локально тривиальным расслоенным пространством над про-
пространством В со слоем D (относительно естественной проекции
ЕВ
р)
В определении локально тривиального расслоения мы, по суще-
существу, следовали Эресману . и Фельдбау; см. [С], стр. 24. Связь ло-
локально тривиальных расслоений с косыми произведениями (или, точ-
точнее, с координатными произведениями в смысле Стинрода) изложена,
например, в [С], ст. 24—27, где содержится также много примероз.
Теорема 4.1. Любое локально тривиальное расслоение
р: Е-*В полиедрально удовлетворяет аксиоме о накрывающей
гомотопии, т. е. является расслоением.
Доказательство. Поскольку теорема о накрывающей гомотопии
для прямого произведения справедлива, нам следует ее ,локализиро-
,локализировать" и затем воспользоваться условием локальной тривиальности.
Пусть X—триангулируемое (и потому компактное) простран-
пространство, /*: Х->Е—его произвольное отображение в пространство Е
и /,: Х-*-В. 0-^.t-^.l,—некоторая гомотопия отображения
/ = pf* : X,-* В. Для доказательства теоремы мы должны построить
гомотопию J*: X-+E, 0<*<;1, отображения /*, накрывающую
гомотопию /,.
С этой целью мы рассмотрим некоторое семейство u>=[U} коор-
координатных окрестностей, покрывающее базу В, и отображение
F'.Xy^I-^-B, определенное равенством
Так как семейство [F~l(U)\ U?ш\ открытых множеств простран-
пространства Л"Х/ образует его открытое покрытие и пространство А'Х/
компактно, то в покрытие {Р~г@)\ ?/?а>} можно вписать покрытие
вида {W\X^}. где [Wx] — конечное открытое покрытие простран-
пространства X, a {/^} = {/i. • • •". Ir\—конечное покрытие отрезка /, со-
состоящее из открытых, подинтервалов. При этом мы можем предпо-
предполагать, что для любого ja = 2, .... г — 1 интервал /^ пересекается
только с интервалами /^ и 1
Пусть
— такие числа, что ^б^П^+г Рассуждая по индукции, предполо-
предположим, что накрывающая гомотопия f*t уже определена для всех t ^ t^,
где 0 ^ ja < г. Для доказательства теоремы достаточно распростра-
распространить гомотопию f*t на отрезок [t^, t^+J^I.
Взяв достаточно мелкую триангуляцию пространства X, мы можем
предположить, что X представляет собой такое симплициальное раз-
биение. "что каждый его замкнутый римплекс р содержится в некото»
4. Локально тривиальные расслоения 95
ром элементе №к построенного выше конечного покрытия и потому
для него существует такая координатная окрестность Ue?<o, что
Пусть фу : t/eX?>->D — естественная проекция.
Для любого t ? [tv. tp.+i] мы определим отображение f*t на нуль-
нульмерном остове Х° разбиения X, положив
где о — произвольная вершина разбиения Л". Рассуждая по индукции,
мы предположим теперь, что для каждого t?[t^, t^+i] отображе-
отображение ft уже определено на (л — 1)-мерном (л>0) остове Ха~х раз-
разбиения X, и докажем, что оно может быть распространено на п-мер-
ный остов Xя. . t •
Пуегь о — произвольный замкнутый n-мерный симплекс разбие-
разбиения Л. По предположению, для любого t?[t^, t^+1] на границе да
симплекса о уже определено отображение f*f. Пусть
Согласно предложению 4.2 гл. I, подпространство N пространства М
является его ретрактом. Пусть р: Л1э N — соответствующая ретрак-
ретракция, и пусть 6: N—>E — отображение, определенное равенством
Легко видеть, что, положив
ft (х) = fu \ft(x). фу Тг1 еР (*• 01. х б a, t б [* ^ ,ь
мы распространим отображение f* на весь симплекс о. Поскольку
симплекс а произволен, отображение /* распространено тем самым
на весь остов X". ¦
Доказанная теорема является частным случаем следующей общей
теоремы, известной как теорема о накрывающей гомото-
пии для локально тривиальных расслоенных про-
пространств.
Теорема 4,2. Любое локально тривиальное расслоение удо-
удовлетворяет теореме о накрывающей гомотопии относительно
каждого паракомпактного хаусдорфова пространства.
Доказательство теоремы 4.2 см. Хюбш [1] и [С], стр. 63.
96 Гл. III. Расслоенные пространства
5. Хопфовские расслоения сфер
Одним из самых ранних примеров локально тривиальных расслое-
расслоений Явились три расслоения сфер:
р: S^-^S", . » = 2, 4. 8.
открытые Хопфом (Хопф [2]) в 1935 г. Мы подробно исследуем
первое из них (соответствующее случаю ге = 2) и использ'уем его для
классификации отображений /: X-+S2, где X— произвольное три-
триангулируемое пространство размерности не большей трех.
Для построения этого расслоения мы будем трехмерную сферу 53
-представлять себе как единичную сферу пространства С2 двух ком-
комплексных переменных, состоящую из точек (zv г2)?С2, для которых
а двумерную сферу S2 — как комплексную проективную прямую, т. е.
как множество пар [zv z2] комплексных чисел, одновременно не рав-
равных нулю, в котором произведено отождествление в соответствии
с отношением эквивалентности [zv z2]~[bzv \z2], X Ф 0. При этих
соглашениях хопфовское расслоение р: S3 -> S2 определяется . ра-
равенством
Ясно, что оно непрерывно. Кроме того, поскольку любая пара [zv z2]
может быть нормирована делением ее на (zlzl -\- z2z^2, отображе-
отображение р является отображением сферы 53 на сферу S2.
Чтобы доказать, что отображение р является (локально тривиаль-
тривиальным) расслоением, мы рассмотрим в плоскости комплексного пере-
переменного единичную окружность 51, т. е. множество всех комплексных
чисел X, удовлетворяющих условию |Х| = 1. Кроме того, выбрав
в сфере 52 точки в = [1, 0] и Ь = [0, 1], мы положим
U = S2\a, V =
Ясно, что открытые множества U и V покрывают сферу 52. По-
Поскольку каждая точка множества U может быть представлена па-
парой [z, 1], формула
1]. Х) = ( ^-, Л^.), [*.
\ V + 1 У + 1 '
определяет некоторое отображение еру : U X S1 -> S3. Легко прове-
проверяется, что сру гомёоморфно отображает произведение U X S1 на мно-
множество р~1ф) л что /кру(а, d) = u для любых точек u?U и d?D.
Другими словами, отображение <ру является координатным гомеомор-
гомеоморфизмом.- Координатный гомеоморфизм <р/ на множестве V строится
5. Алгебраически тривиальные отображения 97
аналогично. Таким образом, отображение Хопфа р: S3-*^ действи-
действительно является расслоением. Его слоем служит окружность S1.
Для любой точки (Zj, z2)^S3 слой p~l[zv z2], содержащий эту
точку, состоит, как легко видеть,-из всех точек вида (\z1, Хг2), где
\?SX, т. е. является большим кругом сферы S3. Таким образом,
хопфовское расслоение определяет разложение трехмерной сферы
в семейство больших кругов, причем факторпространством этого раз-
разложения является двумерная сфера.
Хопфовские расслоения р: 57->.54 и р: 515->58 строятся анало-
аналогичным способом с помощью кватернионов и чисел Кэли. Сжатое, но
достаточно отчетливое описание этого построения можно найти в [С],
стр. 132. Слоями этих расслоений являются соответственно трехмер-
трехмерная и сёмимерная сферы.
Оказывается, что все хопфовскае отображения существенны.
Это вытекает из' следующего общего предложения:
Предложение 5.1. Если п-мерная сфера S" является расслоен-
расслоенным пространством над базой В, состоящей более чем из одной
точка, то соответствующая проекция р: Sn->B является суще-
существенным отображением.
Доказательство. Пусть отображение р несущественно, т. е. пусть
существует гомотопия ht: S" -+В, О ^ t ^ 1, для которой h0 = р,
а отображение Aj переводит всю сферу 5" в некоторую точку Ьо ? В.
Пусть, далее, I — тождественное отображение сферы S" на себя.
Так как pl = p, то, согласно аксиоме о накрывающей гомотопии,
существует такая гомотопия kt: S" -*¦ S", 0 ^ t ^ 1, что k0 == I и
pkt = ht для каждого t?I. В частности, отображение kx переводит
сферу 5" в слой р-1 (ft0), который ввиду предположения, что В со-
содержит более одной точки, является- собственным подмножеством
этой сферы. Следовательно, отображение kx несущественно (см. гл. I,
п. 8). Это означает, что тождественное отображение I гомотопно
постоянному отображению. Но, как мы знаем, это невозможно...
Весьма примечательно, что хопфовскае отображения алгебраи-
алгебраически тривиальны, т. е. индуцируемые ими гомоморфизмы групп
гомологии и когомологий во всех размерностях равны нулю. Истори-
Исторически эти хопфовские отображения были первыми примерами алге-
алгебраически тривиальных существенных отображений. Существование
таких отображений показывает, что гомоморфизмов групп гомологии
и когомологий самих по себе не достаточно для, классификаций
любых отображений.
6. Алгебраически тривиальные отображения
В этом пункте мы покажем, как с помощью хопфовского ото-
отображения р: 53->52 можно решить задачу классификации алге-
алгебраически тривиальных отображений f; X -ь-S2 произвольного
7 Ху Сы-цаян
98 Гл. III. Расслоенные пространства
трехмерного триангулируемого пространства X в двумерную сфе-
ру 5». : .
Пусть X — произвольное триангулируемое пространство. Ясно,
что для любого отображения F: X-*S3 составное отображение
f = pF: X-+S2 алгебраически тривиально, причем гомотопический
класс отображения / зависит только от гомотопического класса ото-
отображения F.
Предложение 6.1. Для любого триангулируемого простран*
ства X соответствие F->f = pF представляет собой взаимно
однозначное соответствие между множеством всех гомотопи-
гомотопических классов отображений F: Х-ь-S3 и множеством всех
гомотопических классов алгебраически тривиальных отобра-
отображений-/: X-+S2.
Как непосредственное следствие этого предложения и хопфовской
теоремы классификации из п. 8 гл. II мы получаем следующую
теорему: -
Теорема 6.2. Гомотопические классы алгебраически три-
тривиальных отображений /: X-+S2 трехмерного триангули-
триангулируемого пространства X в двумерную сферу S2 находятся во
взаимно однозначном соответствии с элементами целочислен-
целочисленной группы когомологии Н3{Х). Для любого а?Н3(Х) соот-
соответствующий гомотопический класс отображений X -+S2 опре-
определяется как класс отображения f = pF: X-*-S*, где F: X->
—»¦ S3 — отображение степени а.
. В частности, поскольку при X = S3 каждое отображение
/: X-+S2 алгебраически тривиально, из этой теоремы вытекает
Следствие ?.3. Гомотопические классы отображений /: S3->
ть-S2 Находятся во взаимно однозначном соответствии с це-
целыми числами. Для любого целого числа п соответствующий
гомотопический класс определяется как класс отображения
f = pF: 53->52, где р: 53->52 — хопфовское отображение,
a F: 53->53— отображение степени п. ¦
Доказательство предложения 6.1 мы разобьем на две леммы. -
Лемма 6.4. Для любого алгебраически тривиального ото--
Сражения /: X ~*-S2 существует такое отображение F: X ->SK
чта pF = f. .
Доказательство. Поскольку сфера 53 является локально три-
тривиальным расслоенным пространством над сферой S2 с проекцией;
р: S3-*-^, существует семейство "ш = {?/} координатных окрест-
окрестностей U, покрывающее сферу S2. Взяв достаточно мелкую триан-
триангуляцию пространства X, мы можем считать, что X является симпли-
циальным разбиением, каждый замкнутый симплекс а которого ото-
5. Алгебраически тривиальные отображения 99
бражается при помощи / в некоторую координатную окрестность
Пусть fm ass / \xm где X — от-мерный остов разбиения X.
Для каждого от = 2, 3, ... мы построим такое отображение
Fm: Xm~+S3, что
PFm = fm> Fm+\\xm=Fm-
S первую очередь мы построим отображение F2. Так как данное
отображение / алгебраически тривиально, то отображение /2 также
алгебраически тривиально, и потому, согласно хопфовской теореме
классификации К2 (см. п. 8 гл. II), гомотопно постоянному отобра-
отображению. Так как постоянное отображение обладает накрытием, то
отсюда в силу теоремы о накрывающей гомотопии вытекает суще-
существование такого отображения F2: X2~+S3, что pF2 = f2.
Пусть теперь отображения Fm построены для всех от < л, где
п > 2. Выбрав для произвольного замкнутого я-мерного симплекса в
разбиения X координатную окрестность ?/„?«>. содержащую мно-
множество /(а), и обозначив через
соответствующие координатный гомеоморфизм и естественную проек-
проекцию, мы определим отображение ?в: да->51, положив
Согласно результатам п. 7 гл. II, это отображение обладает рас-
распространением т|в: d->51. Мы определим отображение Fn: Xn-*SZ,
полагая
{Р,.](х), если х?Х~х,
?»[//>(¦*)• Ч» (¦*)!• если х^а^Х".
Ясно, что pFn = fn и /7„1хя-1 = /:'/,-1« Тем самым отображения /*„,
по индукции построены для всех от = 2, 3, ....
Определим, наконец, отображение F: X -ь-S3, полагая F\x =Fm
для любого от ^.2. Ясно, что тогда pF==f. ш
Лемма 6.5 Если отображения F, О: X-+S3 обладают тем
свойством, что pF^pG, то F — <?..
Доказательство. Так как pF — рО, то, согласно аксиоме о на-
крывающой гомотопии, существует такое отображение F', гомотоп-
гомотопное отображению F, что pF' = pG. Поэтому мы с самого начала
можем считать, что
Рассмотрим сферу 53 как группу кватернионов q, для которых
qq=A. Слой S1, содержащий кватернион 1, является подгруппой
7*
100 Гл. III. Расслоенные пространства
группы S3, а другие слои — смежными классами группы S3 по под-
подгруппе 51. Действительно, каждый кватернион q допускает пред-
представление
Ч = *i + x2i + x3
где ^1 = ^1+ л:2/ и z2 = дг3 + #4^ причем умножение так записан-
записанных кватернионов производится по правилам J2 = — 1 и zj = jz.
Кроме того, ясно, что окружность 51 определяется уравнением z2 = 0.
Следовательно, эта окружность является подгруппой, а правые смеж-
смежные классц по этой подгруппе — слоями хопфовского расслоения
р: 53->^.
Определим теперь отображение Я: X->S3, положив
Поскольку pF = рб, кватернионы F (х) и О (х) принадлежат одному
смежному классу по подгруппе 51. так что отображение Н пере-
переводит пространство X в собственное подмножество 51 сферы S3.
Поэтому существует такая гомотопия Ht: X -+¦ S3, 0 ^ t ^ 1, что
Н0 = Н и Нх{Х)=я1. Определив гомотопию Jt: X-*S3, 0-^.t^.l,
равенством
мы, очевидно, получим, что Jo — F и Jx — Q. Следовательно. F~-O. ¦
Заметим, что доказательства лбмм 6.4 и 6.5 опираются на спе-
специфические свойства сфер S1 и S3, и для отображений X^+S* и
X~+Ss аналоги этих лемм места не имеют.
7. Накрытия и секущие поверхности
Пусть Е — расслоенное пространство над базой В с проекцией
р: Е->В, и пусть /: Х->В—'произвольное отображение простран-
пространства X в базу В. Накрытием отображения / мы называем такое
отображение g: X->Е, что pg = /. Задача накрытия данного
отображения / состоит в том, чтобы определить, имеет ли / на-
накрытие в Е (ср. гл. I, п. 16).
Например, для хопфовского расслоения р: S3-*-S^ эта задача
(в предположении, что пространство X триангулируемо) полностью
решена леммами 6.4 и 6.5: отображение /: X-+S2 тогда и
только тогда обладает накрытием, когда это отображение
алгебраически тривиально.
Если отображение р: Е—ь-В удовлетворяет относительно про-
пространства X аксиоме о накрывающей гомотетии, то задача накрытия
7. Накрытия и секущие поверхности 101
отображения /: X->В равносильна общей задаче накрытия,
в которой требуется найти такое отображение g: Х—уЕ, что pg ~f.
По определению расслоенных пространств такое отображение суще-
существует, если пространство X триангулируемо. Кроме того, согласно
теореме 4.2, это отображение существует, если расслоение р: Е->В
локально тривиально, а пространство X хаусдорфово и параком-
пактно.
Пусть, в частности, пространство X является подпространством
базисного пространства В. Секущей поверхностью (или сечением)
расслоения р: Е^->В над подпространством X мы будем называть
произвольное накрытие отображения вложения I: ХсВ, т. е. такое
отображение х: Х->Е, что
р%(х) = х,
Другими словами, отображение х: Х->Е является секущей поверх-
поверхностью, если образ %(х) каждой точки х?Х содержится в слое
над х.
Легко проверить, что каждая секущая поверхность х: Х—>Е
гомеоморфно отображает пространство X на пространство х (X), при-
причем, отображение Р|Х(Х) представляет собой гомеоморфизм, обратный
гомеоморфизму х. Таким образом, секущую поверхность х: Х—>Е
интуитивно можно представлять себе как поднятие подпространства X
базы В в пространство Е.
Если расслоение р: Е->В локально тривиально, то для любой
координатной окрестности U d В и любой точки е?р~1 (Сосуще-
(Сосуществует такая секущая поверхность хе: U -> ?, что х (р (е)) = е/ Эта
секущая поверхности определяется формулами
где
— координатный гомеоморфизм и естественная проекция соответ-
соответственно.
Таким. образом, для локально тривиальных расслоений секу-
секущие поверхности локально есёгда существуют.
С другой стороны, существование глобальной секущей поверх-
поверхности, т. е. секущей поверхности над всей базой В, налагает
довольно сильные условия на строение расслоенного пространства.
Действительно, если глобальная секущая поверхность х: В->Е суще-
существует, то в каждой теории гомологии, удовлетворяющей аксиомам
Стиирода и Эйленберга, проекция р: Е->В и секущая поверх-
поверхность х: В->Е индуцируют для любого т гомоморфизм»
p.i Нт(Е)->Нт(В), %: Нт(В)^Нт(Е). . .
102 Гл. 111. Расслоенные пространства
При этом, поскольку композиция рх является тождественным ото-
отображением базы В, композиция />#х, должна быть тождественным
автоморфизмом группы Нт(В), и потому гомоморфизм х, должен
быть мономорфизмом, гомоморфизмр,—эпиморфизмом, а группа Нт(Е)
должна' разлагаться в прямую сумму
Непосредственным следствием этого необходимого условия
является, например, тот факт, что рассмотренные в п. 5 хопфовские
расслоения не имеют глобальной пекущей поверхности.
Аналогично получается необходимое, условие для существования
глобальной секущей поверхности в терминах групп когомологий.
Оно состоит в том, что для любого т группа Нт(Е) разлагается
в прямую сумму
. Заметим, что эти условия существования секущей поверхности
похожи на необходимые условия существования ретрактов. Это не
случайно, так как для любой глобальной секущей поверхности х
образ у-(В) пространства В гомеоморфен В я является ретрактом
пространства Е.
Для секущих поверхностей х: Х-+Е можно ставить задачу
распространения, аналогичную рассмотренной в п. 2 гл. I
задаче распространения отображений. В этой задаче требуется опре-
определить, можно ли секущую поверхность х распространить на всю
базу В, т. е. существует ли такая секущая поверхность х*: В->Е,
что х*|х = х.
Эта задача распространения секущих поверхностей не только
аналогична задаче распространения отображений, но и является ее ,.
обобщением. Действительно, если E==B"XD, где D — некоторое
пространство, то Е является расслоенным пространством с проек-
проекцией р: ?->?, определенной формулой p(b, d) = b, и любое ото-
отображение /: X-*-D некоторого подпространства X пространства В
в пространство D определяет по формуле ху(дс) = (л:, f(x)), x?X,
некоторую секущую поверхность х^:ЛГ->2*, причем отображение /
тогда и только тогда допускает распространение на все простран-
пространство В, когда такое распространение допускает секущая поверх-
поверхность fy.
Аналогичным образом, так же как для отображений, ставится
вадача классификации секущих поверхностей. Пусть К — мно-
множество всех секущих поверхностей х: В -> Е. Секущие поверх-
поверхности /, g?K мы будем считать эквивалентными (обозначе-
(обозначение / — g), если существует такая гомотопия ht: B-+E, 0 <;*<;!,
что Aq = /, hl = g и hf?K для каждого t ? /. Задача классифика-
классификации секущих, поверхностей состоит в том, чтобы перечислить все
8. Отображения расслоений 163
классы относительно этого отношения эквивалентности, на которые
распадается множество К. Соображения, аналогичные приведенным
выше в связи с задачей распространения, показывают, что рас-
рассмотренная в п. 8. гл. I задача классификации отображений является
частным случаем задачи классификации секущих поверхностей.
8. Отображения расслоений и индуцированные
' расслоенные пространства
. Пусть р: Е-*-В и р': Е'->В'— произвольные расслоения. Ото-
Отображение F: ?->?' называется отображением расслоений (или
послойным отображением), если оно переводит слои в слои, т. е.
если для каждой точки Ь?В существует такая точка Ь'?В', что F
переводит слой р'1^)* слой р'~хф').
Каждое такое отображение F: Е->Е' определяет, согласно
формуле
1
некоторое отображение /: В-*-В', которое называется отображе-
жением, индуцированным отображением расслоений F. Так как
для любого множества U с В' имеет место равенство
то отображение f непрерывно, если отображение р замкнуто
или открыто. В частности, если р является локально тривиальным
расслоением, то оно, очевидно, открыто и, следовательно, отобра-
отображение / непрерывно. .
Индуцированное отображение / можно так же определить, как
отображение, для которого диаграмма
I' I'
B-L,B'
коммутативна (т. е. обладает тем свойством, что fp = p'F).
Важный частный случай отображений расслоений возникает, когда
расслоение р'\ Е'-+В' является тождественным расслоением над
пространством В, т. е, когда Е' = В' = В и отображение р' пред-
представляет собой тождественное отображение пространства В. В этом
случае проекция р: Е-*-В является отображением расслоений,
а индуцированное ею отображение — тождественным отображением
пространства В. Другой важный случай возникает, когда расслое-
расслоение р: Е~>В является тождественным расслоением над некото-
некоторым пространством X, т. е. когда Е = В = Х и отображение р
104 Fa. HI. Расслоенные пространства
представляет собой тождественное отображение • пространства X.
В этом случае каждое отображение F\ X ->?' является отображением
расслоений, а индуцированное им отображение /: Х-+В' совпадает
с композицией p'F. Это наводит на мысль предложить следующее
обобщение рассмотренной в п. 7- задачи накрытия.
Пусть р: Е -> В и р': Е' -> В'—произвольные расслоения. Накры-
Накрытием некоторого отображения / : В —>В' мы будем называть каждое
индуцирующее его отображение расслоений F:E—>E'. Другими сло-
словами, отображение F: Е—>Е' является накрытием отображения /: В—>В',
если p'F = fp. Задача накрытия отображения /: В-+В' со-
состоит в том, чтобы выяснить, имеет ли это отображение накры-
накрытие F: Е—>Е'. Как мы знаем, "даже в случае секущих поверхностей,
ответ на этот вопрос не всегда утвердительный.
Тем не менее оказывается, что для любого расслоения р': Е'-э-В1
и любого отображения / : В->В' пространства. В в простран-
пространство В' существует таков расслоение р: Е—>В, что отобра-
отображение f обладает накрытиям Fx ?->?'.
Действительно, пусть Е — подпространство прямого произведе-
произведения В X Е', определенное формулой-
Е={F, е'У? В X E'\f(b) = p'(e')},
и пусть р: Е->В — естественная проекция (т. е. отображение, опре-
определенное формулой рф, е') = Ь). Оказывается, что проекция р: Е-+В
является расслоением и определенное формулой; Fifi, e') — e' ото-
отображение F: Е-*-Е' накрывает отображение""/.
Соотношение fp = p'F очевидно. Поэтому нужно только дока-
доказать, что отображение р\ Е->В .является расслоением.
Пуста <р: Х—>Е — произвольное отображение некоторого триан-
триангулируемого пространства X в пространство Е, и пусть ht: X -# В,
0<*<;1—гомотопия отображения ф = р<р. Полагая
мы получим, что kf представляет собой гомотопию отображения
Поскольку отображение' р'\ Е'-+В' является расслоением, суще-
существует гомотопия kf\ X—>E, O^.t^.1, отображения 5, накрываю-
накрывающая гомотопию kt. Так как p'k* = kt = fht, то формула
определяет некоторую гомотопию Л*: Х-*Е, O^t-^l. Так как
X
9. Пространства отображений 105
то Л/ является гомотетией отображения <р. Поскольку, как легко
видеть, гомотопия А/ накрывает гомотетию hf, тем самым доказано,
что отображение р: Е—>В действительно является расслоением.
О', построенном расслоении р: Е-+В говорят, что оно индуци-
индуцировано расслоением р'\ E'—>Bf посредством отображения /. Заме-
Заметим, что для каждой точки Ь?В накрытие F гомеоморфно отобра-
отображает слой р~хф) на слой p'~l(b'), где b' = f(b). Кроме того, легко
видеть, что если -расслоение р'\ Е'—>В' локально тривиально,
то индуцированное расслоение р: ?->В также локально три-
тривиально.
Пусть, теперь t!\ В'~->Е' — произвольная секущая поверхность.
Ясно, что отображение х: В~>Е, определенное равенством *(Ь) =
= (&, *'/(?)). также является секущей поверхностью. Говорят, что
секущая поверхность х индуцирована секущей поверхностью *'
посредством отображения /.
В частном случае, когда пространство В является подпростран-
подпространством пространства В', а отображение /: ?>->?>' является отобра-
отображением вложения, пространство Е можно отождествить с прообра-
прообразом р'~ (В) подпространства В, а проекцию р — с ограничением р'\в
проекции р'. В этом случае индуцированное расслоение р: Е-*-В
называется ограничением расслоения р'\ Е'-+В' на подпростран-
подпространство В. Меняя об'означения, мы получаем таким образом, следующее
Предложение 8.1. Для любого расслоенного' пространства Е
над пространством В с проекцией р: Е~->В и любого подпро-
подпространства А пространства В прообраз р~1(А) подпростран-
подпространства А представляет собой расслоенное пространство над А
с проекцией p\p-UA).
9. Пространства отображений
Пусть X и Y — произвольные пространства, и пусть
2 = К*
— множество всех непрерывных отображений пространства X в про-
пространство К. Хотя и существует несколько различных способов
топологизации множества 2, мы будем использовать только его так
называемую „компактно открытую" топологию (Фокс [3]), которую
называют также k-топологией (Арене [2]) или топологией ком-
компактной сходимости ([В] III, [К]). '
Чтобы ввести эту топологию, мы условимся для любых двух
множеств К с X и W с К обозначать символом М (К, W) подмно-
подмножество множества 2, определенное формулой
106 Гл. III. Расслоенные пространства
В случае когда множество К компактно, а множество W открыто,
подмножество М(К, W) мы будем навивать псевдобазисным мно-
множеством. Мы получим в 2 компактно открытую топологию,
если примем за псевдобазис ее открытых множеств совокупность всех
псевдобазисных множеств. Это означает, что все псевдобазисные
множества, по определению, открыты в компактно открытой топо-
топологии и любое открытое в этой топологии множество является объ-
объединением их конечных пересечений.
В дальнейшем, если явно не оговорено противное, все простран-
пространства отображений рассматриваются только в компактно открытой
топологии.
Лемма 9.1. Есла пространство X хаусдорфово, то для лк>'
бого псевдобазиса {0}i открытых множеств пространства Y
совокупность всех множеств вида М(К, U), где К — произ-
произвольное компактное подмножество пространства X и U?{?/),
составляет псевдобазис компактно открытой топологии про-
пространства 2.
.Доказательство. Достаточно показать, что для любого компактного
подмножества К пространства X, любого открытого подмножества W
пространства К и любого отображения f?M(K, W) существуют
такие компактные подмножества Kv . ¦., Кт с А" и такие открытые
подмножества Ux ?/m?{?/}, что .
/€ M(KV ?/,)П • •"- (\М(Кт, Um) с M.(K,W).
Пусть х?К. Так как f(x)^W, то в {(/} существует конечное число
подмножеств U\, .,., Uxn , удовлетворяющих соотношению
n ,
С другой стороны, поскольку отображение / непрерывно, существует
такая окрестность Ох точки х ? X, что
Так как множество К компактно и хаусдорфово, то оно регулярно,
и потому точка х ? К обладает такой открытой окрестностью Нх,
что ее замыкание КХ=*ИХ содержится в 0^.
Семейство окрестностей {Нх\х?К} составляет открытое покры-
покрытие компактного пространства К и потЪму в К существует конечное
число точек xv .... xq, для которых
Для сокращения формул мы положим
nx. = nh
9, Пространства отображений 107
Так как множества Кл, ..., К9 компактны и
f(KJ)cf(QJ)ciU{(\...(\u{Jc:W, j = 1 q,
то f?M, где
fft^. Ul)\.
J
Нр, поскольку х?К, существует такое j, что x?HjH потому
x?Ky. Следовательно, для любого отображения g?M имеет место
соотношение
показывающее, что g^M(K, W). Таким образом МсМ(К, W),
так что ¦
П П(
'/6 П
П
Рассмотрим теперь естественное отображение
определенное равенством ш(/, x) = f(x). Это отображение мы будем
называть отображением по значениям.
Предложение 9.2. Ясли пространство X локально компактно
и регулярно, то отображение to непрерывно.
Доказательство. Пусть / ? 2 и х ? А\ Рассмотрим произвольное
открытое подмножество W пространства К, содержащее точку f(x).
Так как отображение / непрерывно, то множество f~l(W), содержа-
содержащее точку х, является открытым подмножеством пространства X.
Поскольку пространство X регулярно и локально компактно, суще-
существует открытая окрестность V точки х, замыкание V которой ком-
компактно и содержится в множестве f~1(W). Пусть U = M(V, W).
Множество U, по определению, открыто в 2 и содержит отображе-
отображение /. Следовательно, множество U X V открыто в 2 X X и со-
содержит точку (/, х). С другой стороны, поскольку U = M<y, W),
отображение ш переводит множество U XV в множество W. Таким
образом, отображение ш непрерывно. ¦
Вопрос о том, насколько условие локальной компактности'про-
компактности'пространства X необходимо для справедливости этого предложения,
рассматривается в упр. J в конце главы.
Для каждой точки у пространства Y мы будем символом j(y)
обозначать постоянное отображение из 2, переводящее все простран-
108 Гл. III. Расслоенные пространства
ство X в точку у. Соответствие у—>/(у) определяет некоторое
отображение
J-.Y-+Q,
которое мы будем называть естественной инъекцией пространства К
в пространство 2. Легко проверяется, что естественная инъекция j
гомеоморфно отображает пространство Y на подпространство j(Y)
пространства 2. Кроме того, если пространство К хаусдорфово, то
подпространство /(К) замкнуто в пространстве 2.
Аналогично каждой точке а? X мы отнесем некоторое отобра-
жение
положив Ра(Л = /(а) Для любого отображения /?2. Очевидно,
что отображение ра непрерывно и отображает подпространство /(К)
пространства 2 на пространство Y. Это отображение мы будем на-
называть проекцией .пространства 2 на пространство Y, соответствуют
щей точке а ? X.
Из этих определений немедленно следует, что отображение paj
представляет собой тождественное отображение пространства К,
а отображение jpa — ретракцию пространства 2 на его подпро-
подпространство у (К). Таким образом/имеет место следующее
Предложение 9.3. Естественная инъекция j гомеоморфно
отображает пространство Y на ретракт j(Y) простран-
пространства 2.
Пусть теперь Т, Х*н Y — произвольные пространства, и пусть
g __ ух, ф = ух х т, W =з 2Г.
Каждому отображению <р: Ху,Т~>К из Ф мы отнесем отображение
8(<р): Т->2, положив
Отображение б (<р) мы будем называть отображением, ассоциирован-
ассоциированным с отображением <р.
Предложение 9.4. Отображение б(<р), ассоциированное с ото-
отображением <р ? Ф, непрерывно.
Доказательство. Пусть ф = 6(<р), и пусть U=*M(K, W) — про-
произвольное, псевдобазисное множество пространства 2. Для доказа-
доказательства предложения 9.4 достаточно доказать, что множество ф (U)
открыто в пространстве Т. Пусть ^ — произвольная точка множе-
множества ^~1(U). По определению,
К X t0 с Г
Ввиду непрерывности отображения <р множество <р~'(№) открыто
в произведении X X Т и, следовательно, является объединением от-
9. Пространства отображений 109
крытых множеств вида 0^ X Н^, где 0^ и Hf — открытые подмно-
подмножества пространств X и Т соответственно. Поскольку множество К
компактно, множество К "X t0 содержится в объединении конечного
числа таких открытых множеств. Пусть это будут множества
Так как to?Ht для любого <=1, 2{..., п, то пересечение
является открытым подмножеством пространства Т, содержащим
точку t0 и, очевидно, содержащимся в множестве ф (?/)¦ Следова-
Следовательно, множество ф (U) открыто в пространстве Т. Ш
В силу предложения 9.4, соответствие <р->6(<р) определяет
некоторое отображение
в: Ф-+1Г,
которое мы будем называть отображением ассоциирования. Это
отображение мы будем рассматривать только тогда, когда оно непре-
непрерывно. То, что этот случай можно считать общимг показывает
. . Предложение 9.5. Если пространство Т хаусдорфоео, то
отображение 8: Ф->ЧГ непрерывно.
Доказательство. Поскольку пространство Т хаусдорфово, а мно-
множества М (К, W) составляют псевдобазис пространства Q, из леммы 9.1
следует, что подмножества вида
где L — компактное подмножество множества Т, К — компактное
подмножество множества X и W — открытое подмножество множе-
множества К, образуют псевдобазис пространства 1". С другой стороны,
из определения отображения ^ непосредственно вытекает, что
б {М [L, M(K, W)]} = M(KXL, W).
Поскольку множество М(КХ L, W) открыто в пространстве Ф, ибо
множество К X ?.компактно, а множества [M[L, м(к, W)]} соста-
составляют псевдобазис пространства Ф, непрерывность отображения 6
тем самым полностью доказана. Ш
Легко видеть, что отображение*В инъективно. Однако, вообще
говоря, оно не надъективно. Именно имеет место следующее
Предложение 9.6. Отображение в: Ф->ЧГ надъективно для
любого пространства Т тогда и только тогда, когда отобра-
отображение по значениям со : Q X X -*¦ Y непрерывно.
НО Гл. III. Расслоенные пространства
Доказательство. Достаточность. Произвольному отображе-
отображению ф?ЧГ мы отнесем отображение у: X Х^->2 X X, положив
Ясно, что отображение <р = ю1?ф удовлетворяет соотношению
е(<р) = ф, ибо
10(?)@1 (*) = f(x,t) = <*x(x,t) = i»W(О. х) = [ф@1 (*)
для всех точек t?T и х?Х. Таким образом отображение 6 надъ-
ективно.
Необходимость. Если отображение 6 надъективно для любого
пространства Т, то оно, в частности, надъективно при 7 = 2. Поэтому
для каждого отображения ф: 2->2 существует такое отображение
ср?Ф, что 6(<р)*=ф. Но если ф является тождественным отображе-
отображением пространства 2, то
<?(х, /) = [ф(/I (*) = /(*) = «>(/. х)
для всех точек х?Х и всех отображений /?2. Следовательно,
поскольку отображение <р непрерывно, отображение ю также не-
непрерывно. ¦ - ¦
Vis предложений 9.2 и 9.6 непосредственно вытекает
Следствие 9.7. Если пространство X локально компактно
и регулярно, то отображение в: Ф->ЧГ биективно.
Докажем теперь следующее
Предложение 9.8. Если пространства X и Т хаусдорфоеы,
то отображение в: Ф->ЧГ гомеоморфно отображает простран-
пространство Ф на некоторое подпространство пространства ЧГ.
Доказательство. Из предложения 9.5 следует, что отображение 6
инъективно и непрерывно. Поэтому нужно только доказать, что
обратное отображение б'1 непрерывно на подпространстве 6(Ф)сЧГ,
т. е. что*для любого компактного множества J пространства Ху_Т
и любого открытого множества W пространства Y множество
в [М (У, W)] открыто ,в подпространстве б (Ф).
Пусть ф?6[Л1(./, W)), и пусть <р — такое отображение из мно-
множества M(J, W), что 6(<р) = ф. Пусть, далее, Jx и JT..— проекции
множества J в пространствах X и Т соответственно, и пусть г = (х, t)—
произвольная точка множества J. Тогда существует такая открытая
окрестность Uz точки х в пространстве Jx и такая открытая окрест-
окрестность Vt точки t в пространстве JT, что
9. Пространства отображений III
Поскольку пространства Jx и JT компактны и хаусдорфовы, они
регулярны, так что мы можем считать, уменьшив, если это необхо-
необходимо, окрестности Ut и Уг, что
где Кг — замыкание в Jx окрестности Uz, a Lt — замыкание в JT
окрестности Уг.
Так как семейство {(UxXV2)()J\z(-J} составляет открытое
покрытие компактного пространства J, то в пространстве J суще-
существует конечное число таких точек zv .... zn, что
Пусть
Поскольку множества /С( и Lt, /=1, .,., п, компактны, множества
М [Lt, M (Kt, W)) открыты в W и потому в в (Ф) открыто множество
М =х 9(Ф)П{ р Af [Lt, M {Kt, W)\ J. . "'
Но
/ = 1, .... я,
и потому ф ^ М.
С другой стороны, для любого отображения х€^ существует
такое отображение ?(|ф> что х = 0(?) (ибо х€е(ф))- Так как каждая
точка z = (x, t)?J содержится в некотором множестве UiXVt,
а следовательно, и в множестве Kt X Ц- то ввиду включения
x?M[Llt M(Kt, M)\ имеет место включение
показывающее, что b(J)<zW. Таким образом, |^МG, UP) и потому
X —e(96e[M(^ w)l Следовательно,
Так как множество М открыто в 6(Ф), а ф^М, то тем самым
полностью докавано, что множество 6 [М (J, W)] открыто в 6 (Ф). ¦
Из следствия 9.7 и предложения 9.8 непосредственно вытекает
Теорема 9.9. Если пространства X и Т хаусдорфовы, а про-
пространство X, кроме того, еще и локально компактно, то для
любого пространства Y отображение ассоциирования 8 является
гомеоморфным отображением пространства ф = уХхТ на про-
пространство W = YX)T
Гл. III. Расслоенные пространства
В дальнейшем, каждый раз, когда отображение 0 гомеоморфно,
мы будем пространства Ф и W отождествлять посредством гомеомор^
физма б и будем просто писать, что
уххг s
Это равенство обычно называют экспоненциальным законом
для пространств отображений.
Возвращаясь к предложению 9.3, найдем теперь достаточные
условия для того, чтобы подпространство у (К) было сильным дефор-
деформационным ретрактом пространства 2.
Предложение 9.10. Если пространство X локально компактно,
регулярно и стягиваемо к точке а?Х, то подпространство /(К)
является сильным деформационным ретрактом пространства 2.
Доказательство. Согласно предложению 9.2, отображение
(о: Qy. X->Y непрерывно. С другой стороны, поскольку простран-
пространство X стягиваемо в точку а ? X, существует такое отображение
h: ХХ1-+Х,-
ЧТО
. ¦ h(x, 0) = *, h(x, l) = a, х?Х.
и
h(a, t) = a, t?I.
Мы определим отображение ер: А" X 2 X/->*'. полагая
ср(лг, /, О = ">[/. h(x, t)\, x?X, /?2, t?I.
Согласно предложению 9-4, ассоциированное с этим отображением
отображение
ф = 9(<р):-2Х/->2
непрерывно. Мы определим гомотопию %f: Q—>2, О-^tf-^ 1, полагая
Легко проверяется, что Хо является тождественным отображением,
тогда как Xi~JPa и Xt(f)~f Для любого отображения /?J(К)
и любого числа t?I. Ш
Кроме того, легко проверяется, что
Следовательно, имеет место
Предложение 9.11. Если пространство X локально ком-
компактно, регулярно и стягиваемо к точке а?Х, то для любой
1 точки y?Y подпространство р-1 (у) стягиваемо в точку J(y).
0/Пространства путей 11$
10. Пространства путей
Пусть Y — произвольное пространство. Как уже говорилось^ в п. 2
гл. II, путем пространства Y называется любое непрерывное ото-
отображение
о: /->К J
единичного отрезка / = [0, 1] в пространство К. Точки о@) и оA)
называются соответственно началом и концом пути а. Говорят
также, что эти точки соединены путем а.
Отношение между точками пространства К, состоящее в том, что
эти точки соединены некоторым путем, как легко видеть, рефлек-
рефлексивно симметрично и транзитивно. Поэтому пространство Y разби-
разбивается на непересекающиеся классы, называемые компонентами
линейной связности пространства Y, Компоненту линейной связно-
связности, содержащую точку у ? К, мы будем обозначать символом Су.
Пространство К тогда и только тогда линейно связно, когда оно
состоит из единственной компоненты линейной связности, т. «. если
любые две его точки могут быть соединены путем.
Множество всех путей пространства Y, снабженное рассмотрен-
рассмотренной в п. 9 компактно открытой топологией, образует пространство
2*= К',
Это пространство и некоторые его подпространства играют чрезвы-
чрезвычайно важную роль в теории гомотопий и в вариационном исчисле-
исчислении в целом; см. fMj] и [М2\-
Обобщенной триадой (Y; А, В) мы будем называть тройку,
состоящую из произвольного пространства Y и некоторых его под-
подпространств А и В. Обобщенную триаду мы будем называть просто
триадой, если пересечение А(\В непусто. Для любой обобщенной
триады (К; А, В) символом [Y; А, В] мы будем обозначать подпро-
подпространство пространства 2, состоящее из всех путей пространства Y,
для которых з@)? А и оA)??.
Пространство [Y; Y, у], соответствующее случаю, когда Л = К,
а В состоит из одной точки у ? К, мы будем обозначать символом 2у
и называть пространством путей пространства Y, кончающихся
в точке у.
Кашляя петля пространства Y представляет собой путь a: I-*Y,
для которого c@)s=<jA); см. гл. II, п. 2. Множество всех
петель пространства Y образует подпространство А пространства 2.
Мы будем называть это подпространство пространством петель
пространства Y.
Пространство [Y; у, у], соответствующее случаю, когда оба про-
пространства А и В обобщенной триады (К; А, В) сводятся к" одной
и той же точке у ? К, мы будем обозначать символом Ау. Оно состоит
8 Ху Сы-цзян
114 Гл. 111. Расслоенные пространства
из всех петель пространства Y в точке у, т. е. таких петель о ? Л,-
что д(О)*=аA) = у> и потому является подпространством простран-
пространства Л. Мы будем называть его пространством петель простран-
пространства Y в точке у. Ясно, что
Проекции р0, Py 2 -> Y, соответствующие точкам 0, 1 ? / (см. п. 9),
мы будем называть соответственно начальной и концевой проек-
проекциями пространства путей 2 в пространство К. Если пространство У
хаусдорфово, то ввиду непрерывности проекций р0 и рх подпро-
подпространства Л, Лу и 2у пространства 2 замкнуты.
Пусть Ьу—вырожденная петля в точке, у, т. е. петля, для
которой 8у(/)==у. Из предложения 9.11 непосредственно вытекает
Предложение 10.1. Пространство 2у стягиваемо к точке Ьу.
Стягивание пространства 2у к точке Ву наглядно можно предста-
представлять себе как одновременное сокращение всех путей к их концу.
11. Пространства петель
Пусть в пространстве Y выбрана некоторая точка у. В это^
параграфе мы изучим основные свойства пространства Лу петель
пространства Y в точке у, играющего центральную роль в теории
гомотопических групп,
В пространстве петель Лу естественным образом вводится умно-
умножение
J»: Л, ХАу-^Лу,
в котором произведением fg «= j* (/, g) двух петель / ? Лу и g ? Лу
является петля, определенная формулой
fBi). если 0<^<-.
gBt — 1), если -^^.t-^l.
Наглядно можно представлять себе, что переменная точка сначала,
когда t. меняется от 0 до -j, пробегает с удвоенной скоростью
петлю g, а затем в оставшееся время пробегает с той же скоростью
петлю />
Предложение- 11.1. Умножение (л непрерывно.
Доказательство. Достаточно показать, что прообраз при отобра-
отображении \х каждого непустого псевдобазисного открытого множества
l/ = M(/C. W)f\ Лу пространства Лу является открытым множеством
It. Пространства петель lib
прямого произведения Ау X А?. Пусть <р> Ф: !-*¦! — отображения
определенные равенствами
н пусть •Л = 9~1(Ю. и B — ty~l(K). Поскольку множества А и В,
очевидно, компактны, они определяют псевдобазисные открытые мно-
множества
y я О=М(В,
пространства Ау. Легко видеть, что произведение fg двух петель
/> ?€Ау тогда и только тогда принадлежит множеству М(К, W),
когда f?M(A, W)n g?M(B, W), так что ц"* (t/) = F X О. Сле-
Следовательно, множество |*-1A0 открыто. ¦
Следствие 11.2.. Каждая петля /?Лу определяет по форму-
лам Lf(g) = fg и R/(g) = gf, zdeg?Ay, два непрерывных ото-
отображения *
Lf, Rj. Ay-»>Ay.
Предложение 11.3. Отображения Ц и /?5, соответствующие
вырожденной петле 8?Ау (т. е. петле, для которой Ь{Г)=.у),
являются деформациями пространства Ау, т. е. существует
гомотопия hf: Ау-*Ау, O-^^-^l, для которой Н{ф)тжЬ при
всех t?I и которая связывает отображение L^ (или отобра-
отображение Rt) с тождественным отображением пространства Ау.
Доказательство. ' Согласно предложению 9.2, отображение
<в: Ау X I-+-Y непрерывно. Следовательно, формула
- /• ОН
у. если
определяет некоторое отображение
* ...¦¦•
Согласно предложению 9.4, отображение ф = б (<р), ассоциированное
с отображением <р, также непрерывно. Легко видеть, что отображе-
отображение ф переводит пространство Ау X / в подпространство Ау про-
пространства 2.
8» .
Гл. III. Расслоенные пространства
По определению,
№(Л 01 (*) = ?(«. /• 0.
так что формула
определяет некоторую гомо.топию kt: Л ->Ли, O^tf^Tl. Легко
* У У
проверяется, что гомотопия kt связывает отображение Rb с тожде-
тождественным отображением пространства Ау, и что ft, (8) = 8 Для всех
t?I. Тем самым доказано, что отображение /?8 является деформа-
деформацией пространства Лу. Аналогично доказывается, что отображение Lb
также является деформацией пространства Лу< ¦
Доказанные свойства пространства Лу показывают, что оно отно-
относится к классу Я-пространств, которые определяются следующим
образом.
Непрерывным умножением в пространстве X называется произ-
произвольное отображение (* : X X X'-*- X. КаждыЦ раз, когда задано
такое умножение, образ (л(а, Ь) произвольной пары точек а и Ь
пространства X обозначается символом ab и называется произведе-
произведением точек а и Ь. Для каждой фиксированной точки а ? X соот-
соответствия х-* ах и х~+ха определяют некоторые отображения
La: X-+X и Ra: X->X,
называемые соответственно левым и правым сдвигами простран-
пространства X. Точка а?Х называется идемпотентом, если аа=а.
Идемпотент а ? X называется левой (соответственно правой) гомо-
гомотопической единицей, если левый сдвиг La (соответственно правый
сдвиг /?в) гомотопен относительно точки а тождественному отобра-
отображению Пространства X. Если точка а является одновременно левой
и правой гомотопической единицей, то ее называют просто гомото-
гомотопической единицей. Пространство X с непрерывным умножением р
называется Н-пространством, если оно обладает хотя бы одной
гомотопической единицей.
Согласно предложениям 11.1 и 11.3, пространство Лу язляется
относительно естественного умножения Я-пространством с вырожден-
вырожденной петлей 8 в качестве гомотопической единицы. Другим важным
примером Я-пространств является, очевидным образом, любая топо-
топологическая группа. Умножением в этом Я-пространстве является умно-
умножение, заданное в группе, а его гомотопической единицей служит
единица группы.
Следующее предложение выражает важное свойство Я-про-
Я-пространств, которым мы в дальнейшем будем неоднократно пользо-
пользоваться.
Я. Пространства петель 117
Предложение 11.4. Для любого Н-проетранства X с гомо-
гомотопической единицей х0 фундаментальная группа к^Х, х0)
абелева,
Доказательство. Пусть а, C — произвольные элементы группы
%Х{Х, х0), и пусть /, g:I->X— произвольные петли классов а
и р соответственно. Поскольку хо-хо = хо, формула
определяет в точке х0 некоторую петлю А: / -> X. Пусть if — соот-
соответствующий элемент группы itj (А', х0). Ясно, что он зависит только
от классов аир. Мы покажем, что одновременно if = «p и if = pa.
Для доказательства равенства Tf = ap мы будем считать, что
петли fag обладают тем свойством, что f(t) = x0 при *!> 1/2 и
g (t) = *<) при t < 1/2. Тогда
f(t)x0, если 0<*<-^,
если -я-4^-^ 1.
Поскольку точка х0 является гомотопической единицей Я-про-
странства X, существуют такие гомотопии <ps, tys:X->-X, O^s-^1,
что <?о(х) = хох, <р1(х) = х, %(х) = хх0, tyl(x) = x для всех точек
х?Х a <fs(x0) = xo = <Sfa(xo) для всех чисел. s?I. Мы определим
гомотопию А,: / -> X, 0 <] * -<[ 1, положив
hs
<Ы/(ОЬ если
если'
Очевидно, что Ао = А и As@) = xo = As(l) для всех s?I. Кроме
того, отображение hx задается формулой
/(<). если
если 4-
и представляет собой петлю класса ар. Тем самым, равенство if = ар
полностью доказано.
Аналогично мы можем доказать, что if — pa, Выбрав петли / и g
так, чтобы f(t) — xQ при ^<-i- и ^(^) = л:0 при f^.^. Ш
Из вышеизложенного вытекает также
Следствие 11.5. Произеедение ар любых элементов а,
(^. х0) мы можем получить, выбрав в классах а. и $
118 Гл. Щ. Расслоенные пространства
произвольные петли /, g: I-*-X и построив, согласно формуле
их произведение А: 1-*-Х как функций, определенных на I.
Класс эквивалентности петли А и.будет произведением сф.
Как мы увидим далее, аналогичное утверждение имеет место также
и для любых гомотопических групп.
-Снова возвращаясь к пространству петель Лу, рассмотрим его
компоненты линейной ..связности. Очевидно, что эти компоненты пред-
представляют собой не что иное, как классы петель пространства Лу
в смысле п. 4 гл. П. Отсюда вытекает следующее
Предложение 11.6. Естественное умножение, определенное
в пространстве Лу, индуцирует умножение компонент, линей-
линейной связности этого пространства, относительно которого
множество всех таких компонент образует группу, по суще-
существу, совпадающую с фундаментальной группой icj(K, у).
12. Аксиома о накрывающем пути
В этом пункте мы будем рассматривать отображения р: Е-*>В,
удовлетворяющие так называемой аксиоме о накрывающем
пути (этот класс отображений введен Гуревичем и КуртиСом), и
докажем, что отображение р: Е-+В тогда и только тогда удовле-
удовлетворяет этой аксиоме, когда оно удовлетворяет аксиоме о накрываю-
накрывающей гомотопии; см. п. 2.
Грубо говоря, отображение р: Е-*-В удовлетворяет аксиоме
о накрывающем пути, если для любой точки е?Е и любого пути
/: /->В, для кбторого/@)г=р(е), существует такой путь g: /->?,
непрерывно зависящий от точки е и пути /, что g @) = е и pg = f.
Чтобы дать точное определение, мы рассмотрим подпространство Z
прямого произведения EX. В1 и отображение q\ E!->Z, определен-
определенные формулами .
f pg), g: /->?.
Отображение р: Е-*-В удовлетворяет аксиоме о Накрывающем
пути, если существует такое отображение
.¦..¦.-.'.-.- г: Z-+E1, . '-..'.
что композиция qr представляет собой тождественное отображение
пространства Z. Очевидно, что это отображение г гомеоморфно
отображает пространство Z на ретракт r(Z) пространства Е1.
12. Аксиома о накрывающем пути 119
Предложение 12.1. Отображение р: Е-+В тогда и только
тогда удовлетворяет аксиоме о накрывающем пути, когда
оно абсолютно удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомо-
топии.' - '
Доказательство. Необходимость. Пусть g: Х-*-Е— произ-
произвольное отображение некоторого пространства X в пространство Е,
и пусть ft: Х->В, О -^ *^ 1 -<— произвольная гомотопия отображе-
отображения f = pg. Согласно предложению 9.4, гомотопия ft определяет
отображение п: Х-*В', для которого
[*(*)](*)—'/,(*). х?Х,
Пусть k: X-*Z— отображение, определенное формулой
Если отображение р: Е-+В удовлетворяет аксиоме о. накрывающем
пути, т. е. если существует отображение г: Z-+E1, обладающее
указанным выше свойством, то составное отображение rk, являясь
отображением пространства X в пространство Е1, индуцирует в силу
теоремы 9.9 гомотопию gt: Х-*Е, 0 <[ t ^J, для которой
•1 . .
Легко проверяется, что go = g и pgt = ft для всех *?/. Таким
образом, . отображение р: Е->В абсолютно удовлетворяет аксиоме
о накрывающей гомотопии.
Достаточ-ность. Рассмотрим естественную проекцию tj: Z -»> Б,
определенную формулой г\(е, /)==*• гДе (*• /)€^> и построим
гомотопию %t: Z->B, O-^^-^l, положив
Ясно, что Ъо — рц! Поэтому «ели отображение р: Е-*-В абсолютно
удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии, то существует
такая гомотопия r\t: Z—>E, O-^^-^l, что <»}о>='»1 и pi\t=^\t для
всех t?I. Согласно предложению 9.4 гомотопия i\t определяет
отображение г: Z-*E(, для которого
Легко проверяется, что qr(z)asiz для всех a?Z. Такин образом^
отображение р :Е-*-В удовлетворяет аксиоме о накрывающем пути. ¦
Следствие 12.2. Любое отображение pi Е-*-В, удовлетво-
удовлетворяющее аксиоме о накрывающем пути, является расслоением,
т. е. определяет пространство Е как расслоенное простран-
пространство над базой В с проекцией р.
120 " Гл. III. Расслоенные пространства
13. Теорема о расслоении пространств отображений
Пусть X ¦—- локально компактное пространство, являющееся абсо-
абсолютным окрестностным ретрактом, и пусть А — его замкнутое под-
подпространство,* также являющееся абсолютным окрестностным ретрак-
ретрактом. Для произвольного пространства Y мы рассмотрим пространства
Е**УХ, B*=YA
и естественное отображение
р: Е-+В,
определенное формулой />(/) = / \А, где /: X-+Y. Оказывается,
что пространство Е является расслоённым пространством над про-
пространством В с 'проекцией р. Более того, имеет место даже сле-
следующая более сильная
Теорема 13.1. Отображение р: Е->В удовлетворяет, аксиоме
о накрывающем пути.
Доказательство. Рассмотрим подпространство Z прямого произ-
произведения f Х5; и., отображение q: El~*-Z, определенные в преды-
предыдущем пункте. Мы должны построить отображение г: Z—>?/,для
которого, композиция qr является тождественным отображением.
Пусть Т — {Х X 0)[)(А X /)• Согласно упр. О гл. I, замкнутое
подпространство Т пространства Х^1 является его ретрактом.
Пусть р: Х~Х. f zaT — соответствующая ретракция.
Рассмотрим пространство отображений У. Каждому отображению
- &'• Т-*-? мы можем отнести два отображения е: 1->Ки /: /->КА,
полегая
e(x)*=g(x, 0), х?Х,
и
r=g(a, 0. *€/.
Согласно предложению 9.4, отображение / непрерывно, так что
соответствие g -*-$(g) = («, /) определяет некоторое отображение
' 6: YT-+Z.
Рассуждения, которыми мы пользовались в п. 9 при доказательстве
экспоненциального закона дая пространств отображений, без труда
позволяют доказать, что отображение 6 является гомеоморфизмом
пространства Кг на. пространство Z.
Мы определим отображение г: Z-+&, полагая
\\гЦ)\Щ{х)«{в'1 (г)]P(x,t), t?I, x?X.
Так ,как отображение р является ретракцией, to qr'(z) = z для всех
z?Zm
13. Теорема о расслоении пространств отображений Ш
Замечаний. Условие локальной компактности Пространства X для
этой теоремы несущественно: она справедлива и без этого условия;
Чтобы доказать это, достаточно в изложенном доказательстве заме-
заменить ссылку на предложение 9.7 ссылкой на утверждение упражне-
упражнения L в конце этой главы.
Пусть теперь {Л^ц^М} и {К^ц^М}—произвольные семей-
семейства подпространств пространств Л и К соответственно с индексами
из одного и того же множества М. Рассмотрим подпространство В'
пространства В, состоящее из всех отображений g?&, для которых
^(^С^ при любом |л?М. Ясно, что пространство Е' *=р~х(В')
является подпространством пространства Е, состоящим из всех ото-
отображений /: X ->• К, для которых f(A^)czY^ при любом ц?М.
Пусть р' = р\Е,. Из предложения 8.1 и следствия 12.2 немедленно
вытекает
Следствие 13.2. Отображение р': Е'^-В' является рас-
расслоением.
Более того, легко видеть, что отображение р' удовлетворяет
даже аксиоме о накрывающем пути, так что следствие 13.2 можно
рассматривать как непосредственное обобщение' теоремы 13.1.
В качестве примера рассмотрим случай, когда пространство X
является единичным отрезком /, а его подпространство А— точкой 1
этого отрезка. В -этом случае пространство Е представляет собой
пространство 2 всех путей пространства К, и пространство В оче-
очевидным образом отождествляется с пространством К, причем, в силу
этого отождествления, естественная проекция р: Е->В переходит
в концевую проекцию pt: Q—>Y. Следовательно, согласно тео-
теореме 13.1, проекция pj:-Q-*K удовлетворяет аксиоме о накрываю-
накрывающем пути. Поскольку для любого подпространства Z пространства Y
имеет место равенство
отсюда, в силу следствия 13.2, вытекает
Следствие 13.3. Для любого подпространства Z произволь-
произвольного пространства Y пространство [Y; Y, Z] является рас-
расслоенным пространством над пространством Z, проекцией
которого служат квнцееая проекция pv Аналогично прост-
пространство [Y; Z, Y]. является расслоенным пространством над
пространством Z, проекцией которого служит начальная
проекция р0. ¦ /
Другой важный пример возникает, когда Х = 1, а А состоит из < \ /
концевых точек 0 и 1 отрезка /. Считая, что множество индексов' М {
содержит лишь один элемент \х и принимая за множества А^ и У^
соответственно точки 1^Аи у€^- мы убедимся, что в этом случае
122 < . Гл. III. Расслоенные пространства
пространство Е', рассмотренное в следствии 13.2, является прост-
пространством путей пространства К с концом у, а пространство Вг оче-
очевидным образом отождествляется с компонентом линейной связности Су
пространства К, причем, в силу этого отождествления, естественная
проекция р' переходит в начальную проекцию р0: Qy->Y. Таким
Образом, имеет место
Следствие 13.4. Пространство Sy является расслоенным
пространством над пространством Y, проекцией которого
служит, начальная проекция р0. Слоем этого расслоения- над
точкой у является пространство петель Лу пространства Y
* точке у. » .. _
Отсюда и из предложения (8.1) непосредственно вытекает
Следствие 13.5. Для любого подпространства Z простран-
пространства Y и любой точки у.6 ^ пространство [Y; Z, у] является
расслоенным пространством над пространством Z, проекцией
которого служит начальная проекция р0.
14. Индуцированные отображения пространств отображений.
Пусть X, Y и Z-—произвольные пространства. Каждое отобра-
отображение <f:Y-+'Z позволяет любому отображению / ? Yx, отнести
отображение yf?Zx, причем соответствие /->«р/ определяет, оче-
очевидно, непрерывное отображение
, : . <р*: YX-*ZX.
05 отображении у* мы будем говорить, что оно индуцировано
отображением tp. Ясно,, что соответствия Y ^-*-Yx. и tp-xp*. где
X •— некоторое фиксированное пространство, представляют собой
ковариантныя функтор, определенный на категории всех топологи-
топологических пространств и всех их непрерывных отображений и прини-
принимающий вначения в той же категории; см. [С —Э], стр. 145—146.
Кроме того, для естественной инъекции j и естественной проек-
проекции ра, соответствующей данной точке а?Х, в диаграммах
YX—->ZX,
имеют место соотношения коммутативности
14. Индуцированные отображения пространств отображений 123
В этом пункте мы ограничимся изучением важнейшего частного
случая, когда Х = 1.
Пусть, как и выше, <р: Y ->Z—произвольное отображение. Выбрав
в пространстве Y некоторую Точку у. мы положим z = tp(y)?Z и
^У = [K; Y, у], Лу = [К; у, у];
QZ = [Z; Z, z], Aj = [Z; z, z].
Очевидно, что индуцированное отображение ср7 переводит про-
пространство Qy в пространство Qz, а пространство Лу в простран-
пространство Az. Вообще, для любых подпространств А и В пространства Y
отображение ср7 переводит пространство [Y; А, В) в пространство
р() р()
Согласно п. 11, в пространствах Ау и Ах определено некоторое
естественное умножение. Из определения этого умножения немедленно
вытекает, что
(H.I) <Р7
для любых петель /?Лу и g?Ay. С другой стороны, поскольку
отображение ср7 непрерывно, оно переводит компоненты линейной
связности пространства Лу в компоненты линейной связности про-
пространства А^. Поэтому ввиду соотношения A4.1) отображение <р1
индуцирует гомоморфизм группы компонент линейной связности
пространства Лу в группу компонент линейной связности простран-
пространства Лг Ясно, что этот гомоморфизм совпадает с гомоморфизмом ср,
группы it, (Y, у) в группу ict (Z, г), индуцированным отображением <р. ¦
Пусть теперь А и В — произвольные подпространства пространств
Y и Z соответственно. Выбрав некоторые точки уо?А и zo?B,
рассмотрим пространства
U = [Y;Y, Л], C = [Y:, А, у0];
V = \Z; Z. _*„], D = IZ; В, z0].
Пусть ио?С и v0?D — вырожденные петли, для которых ио(/) = уо
и г>0(/) = г0, и пусть
р: U-+Y и q: V-*Z
— начальные проекции. Мы докажем следующую теорему о на-
накрывающем отображении, которая будет играть важную
роль в гл. IV: v .
Теорема 14.2. Для любого отображения ty: U-+-Z, удовлет-
удовлетворяющего условиям ф(С)<=:В и ф(ио) = 2о, существует такое'
отображение <|Л U-*-V,Hmo ^я-ф, f(fi)cD и ф*(«о) = »(»•'
124 Гл. III. Расслоенные пространства
Доказательство. Согласно лемме 9.1, отображение по значениям
mi U X I-+Y непрерывно. Определим отображение о: / X 'X U-*Y,
/ полагая
a(s, t. f)==m(f< s-\-t — st), sfl
Согласно предложению 9.4, отображение, ассоциированное с ото-
отображением о, т. е. отображение %: I X U ~*-U, определенное формулой
непрерывно. Пусть ?=фх : ' X U—>Z. Согласно тому же предложе-
предложению 9.4, отображение, ассоциированное с отображением (¦, т. е.
отображение ty*;U—>V, определенное формулой
также, непрерывно. Таким образом, для доказательства теоремы нужно
лишь проверить, что qty* = ty, ty*(C)czD и ф"(ио) = г>о.
Из определения отображения х немедленно вытекает, что х @, /) = /.
Следовательно,
яГ (/)=IV (/I @)=Фх @. f)=ф (/)
для любого пути f?U, т. е. ^ф* = (}(. включение ф"(С)сО не-
непосредственно вытекает ввиду соотношения qy = ty из включения
ф(С)сВ. Следовательно, нам осталось лишь показать, что ф*(Ио) = v0.
Но легко видеть, что y(t. ао) = до, и потому
If <воЖО~6(*. ao)
для всех f?/. А это и означает, что f (й0)^^ г>0. ¦
Если мы исключим из теоремы 14.2 условие ф*(и0)==г»0, то мы
сможем ее доказать значительно проще. Действительно, согласно
следствию 13.3, отображение q: V->Z удовлетворяет аксиоме о на-
накрывающем пути и потому абсолютно удовлетворяет аксиоме о на-
накрывающей гомотопии. Применяя эту аксиому к стягиваемому про-
пространству U, мы немедленно построим для отображения ф: U—>-Z
некоторое накрывающее отображение ф": U —> V. Для отображения f
имеет место включение ty*(C)cD, но условие ф*(ио) = г>о, вообще
говоря, не выполняется.
Предусмотренное теоремой 14.2 накрывающее отображение f мы
будем называть каноническим накрытием отображения ф.
15. Расслоения с дискретными слоями
В этом пункте мы перенесем результаты, доказанные в главе II
для экспоненциального отображения р: R-+S1, на любые расслоен-
расслоенные пространства, все слои которых дискретны.
15, Расслоения с дискретными слоями 125
Пусть Е — расслоенное пространство с дискретными слоями над
пространством В с проекцией р: Е->В.
Лемма 15.1 Для любого пути а: /->В, соединяющего точки
Ьо и bv и любой точки «об/*^©) существует один и только
один накрывающий путь а*: 1->Е, для которого а*@) = е0 и
Доказательств^ Путь а можно рассматривать как гомотопию
частичного отображения о|0. Поэтому существование накрывающего
пути о* немедленно следует из аксиомы накрывающей гомотопии.
Чтобы доказать его единственность, мы предположим, что суще-
существуют два пути о*, о*: /->? пространства Е, для которнГх
а*@) = еп = ott@) и ра* = а = ра^, и покажем, что для любого sfl
имеет место равенство о* (s) = ои (s). С этой целью мы определим
отображение g: 1->Е, положив
о* (s — 2st), если 0 ^ t ^ -*¦',
ott Bst — s), если i < t < 1.
Отображение f-=pg: /->B является начальным отображением гомо-
гомотопии /г: I ->В, 0 <; г ^ 1, определенной формулой \
o(s — 2st + 2rst), если 0 < t < -|-;
о Brs + 2st — s — 2rst), если -к 4^ t ^ 1.
Поскольку /,.@) = о(s) = fT{\) для всех г?/ из утверждения 4)
теоремы 3.1 вытекает существование такой гомотопии g/. [-*Ё.
О^г^С 1. отображения g, что г
Per—fr gr(°) = a*(s)' gr(l) = an(s)
для всех г^/. Так как /i(/) = o(s)> то из равенства pgi^=fi сле-
следует, что множество gi(I) содержится в слое над точкой a(s).
Поскольку этот слой дискретен, а множество gt(I) связно, это воз-
возможно только тогда, когда множество gi(I) состоит лишь из одной
точки. Но тогда a*(s) = a^(s). ¦
Напомним, что пути о, т: /->В, соединяющие- точки Ьо и bv
называются эквивалентнымиt (обозначение ог=т), если они гомо-
гомотопны относительно концов 0 и 1 отрезка /. Тем самым множество
[В; Ьо, ?,] всех путей пространства В, соединяющих точки Ьо и bv
разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности (являю-
(являющиеся не чем иным, как компонентами линейной связности этого
пространства).
126 Гл. III. Расслоенные пространства
Лемма. 15.2 Конец с*A) построенного в лемме 15.1 накры-
накрывающего пути о*: 1-*-Е зависит только от точки eo^p~1(bt)
и класса эквивалентности пути a: I-+B.
Доказательство. Пусть в, т: I-+-B— эквивалентные пути, со-
соединяющие точки Ьо и bv и пусть о", х*: /->?—накрывающие их
пути, имеющие общую начальную точку ео?р~1(р^. Мы должны
показать, что о*A) = т"A).
Поскольку о ев т, существует такая гомотопия ht: I—> В, 0 ^ t .< 1,
что А0 = о, Aj5s=t и ht(O) = bo, ht(l) = bl\, для всех t?I. Поэтому,
согласно утверждению 4) теоремы 3.1, существует такая гомотопия
Aj:/->?, 0<*<1, чтоаЗ = о* и ph* ^ht, n't @) = е0, A*(l) = e*(l)
для всех t(-I. Так как Ai@) = e0 и /jAi = A1 = x, то, в силу един-
ственности накрывающего пути (см. лемму 15.1). имеет место ра-
равенство Aj = х . В частности
Лемма 15.3 Для любых точек Ь0?В и eo?p~l(bo) проекция
р: (Е, ео)-*(В, Ь$ индуцирует мономорфизм
p.-.KiiE, «„)->«,(В, *0).
Доказательство. Пусть а — такой элемент группы щ (Е, е0), что
pt (а) = 1, и пусть g: I ->E — произвольная петля класса, а. По-
Поскольку петля f=pg: I-+B принадлежит классу pt(<x)=i, суще-
существует такая гомотопия /t: I-*-B, 0<<^1, что /„ = /, /i(I) = b0
и ft(Q)==b0 = ft(l) для^ всех t?I. Поэтому, в силу утверждения 4)
теоремы 3.1, существует такая гомотопия gt: I->E, O^.t^.1, что
go^g' Pet — ft и St(Q)==e0—gt(l) для всех t?I. Так как
/,(/) = ?<) и pgl = fv то связное множество gi(I) содержится в ди-
дискретном слое j»^) и потому состоит только из одной точкя.
Таким образом, gi(f) = eo и> значит. а=1. ¦
Подгруппа p'l^^E, е0)] группы ^(В, Ь^), которой, согласно
лемме 15.3, изоморфна группа ^(Е, е0), вообще говоря, зависит от
точки е0. В общем случае нельзя сказать ничего определенного
о связи между такими подгруппами, соответствующими различным
точкам е$?р~1{Ь<), если только в ? не существует пути, связываю-
связывающего эти точки. Поэтому мы предположим, что пространство Е ли-
линейно связно. В' этом случае пространство В также, очевидно, ли-
линейно -связно.
. •: .Пусть теперь ег — некоторая точка слоя p~l (b0), отличная, вообще
говоря, .от точки е0. Поскольку пространство Е линейно связно,
-существует путь в; /->?, соединяющий точки е0 и ех. Согласно
предложению 4.1 гл. II, путь о индуцирует изоморфизм
15. Расслоения с дискретными слоями 127
С другой стороны, отображение ра: /—>В является петлей в точке Ьо
и, следовательно, определяет'некоторый элемент w группы я, (В, Ьо),
причем, как непосредственно вытекает из определений гомоморфиз-
гомоморфизмов pt я о,, для любого элемента а ? it, (Е, е,) имеет место равенство
показывающее, что группа jp,[ic, (?. е,)] является не чем иным, как
группой т»"/», fit, (?,. eo)Jw, сопряженной с группой pt [it,.(?, е0)]
посредством элемента w.
Обратно, пусть w — произвольный элемент группы щ(В, Ьо), и
пусть х: 1—>В— произвольная петля класса w. Согласно лемме 15.1,
существует такой путь а: 1->Е, что o@) = ed и /»о==т, причемг
согласно лемме 15.2, точка е, = аA) слоя p~l(b0) зависит только
от элемента w. При этом, как легко проверить,, равенство е1 = е0
имеет место тогда и только тогда, когда элемент w принадлежит
подгруппе p,[^i(E, eQ)]. Тем самым доказана следующая
Теорема 15.4 Если расслоенное пространство Е с дискрет-
дискретными слоями над пространством В линейно связно, то для
любой точки Ьа ? В и всех точек е0 ? р~х ф0) образы р, [it, (Е, е0)]
групп Tti(E, e0) при мономорфизмах
индуцированных проекцией р: Е—>В, составляют класс сопря-
сопряженных подгрупп группы ^(В, Ьо). При этом для любой фик-
фиксированной точки «обР'Ч^о) имеет место естественное вза-
взаимно однозначное соответствие между точками слоя p~l(bQ)
и правыми смежными классами группы щ (В, Ьо) по подгруппе
р* [it, (E, e^j\. в котором точке е0 соответствует подгруппа
jB.[ic,(?. «о)].
Указанное в этой теореме естественное взаимно однозначное со-
соответствие каждому правому смежному классу группы it, (В, Ьо) по
подгруппе pt [it, (Е, е0)] сопоставляет точку в1?р-1(Ь0% для кото-
которой каждый путь а: /->?, соединяющий ее с точкой е0, облагает
тем свойством, что соответствующая ему петля ра: 1->В принадле-
принадлежит некоторому элементу w ? it, (В, b0), содержащемуся в рассмат-
рассматриваемом смежном классе.
Класс
е0)«. {я,1«, (Е, «„)! | ео? р-1 (Ьо))
сопряженных подгрупп группы it, (В, Ьо) мы будем называть харак-
характеристическим классом расслоенного пространства Е в точке Ьо.
Каждая подгруппа характеристического класса х(?, ео) изоморфна
Фундаментальной группе те, (Е) пространства Е. Класс х (^. *о) тогда
и только тогда состоит лншь из одной группы, когда подгруппа
Р* fa, (Е, е0)] является нормальным делителем группы it, (В, Ьо) для
/28 у Гл. III. Расслоенные пространства
некоторой, а следовательно, и для каждой точки eo?p-l(b0). В этом
случае расслоение (Е, р, В) называется регулярным. Легко видеть,
что это свойство расслоения (Е, р, В) не зависит от выбора
д Ь?В
Замечание. Очевидно, что все результаты этого ^параграфа со-
сохраняют силу для любых расслоенных пространств с линейно вполне
несвязными слоями, т. е. со слоями, не имеющими линейно связных
подпространств, содержащих более одной точки.
16. Накрывающие пространства
В этом пункте мы будем предполагать, что пространство В
связно и локально линейно связно.
Говорят, что связное пространство Е накрывает пространство В,
если существует такое отображение р: Е->В {накрывающее ото-
отображение), что
НП1. Отображение р надъективно.
НП2. Любая точка Ь'? В обладает Такой связной открытой окрест-
окрестностью V, что каждая компонента ее прообраза р~1 (V) открыта
в пространстве Е и гомеоморфно отображается посредством отобра-
отображения р на окрестность V.
Из условия НП2 вытекает, что
НПЗ. Пространство Е локально линейно связно;
НП4. Отображение р: Е-+В открыто.
Согласно предложению 2.2 гл. II, экспоненциальное отображе-
отображение р: R-+S1 является накрывающим отображением числовой пря-
прямой" R на окружность 51.
Другой пример, мы получим, отождествив в единичной я-мерной
сфере S" евклидова (ft+1)-мерного пространства R"+1 диаметрально
противоположные точки. Получающееся пространство является, как
известно, действительным проективным «-мерным пространством Р".
Легко проверяется, что сфера 5" накрывает пространство Р", при-
причем соответствующим накрывающим отображением является есте-
естественная проекция р: Sn-*-P".
Накрывающие пространства представляют собой частный случай
расслоенных пространств (исторически наиболее ранний). Действи-
Действительно, из условия НП2, ввиду связности пространства В, непосред-
непосредственно вытекает следующая
Теорвма 16.1. Любое накрывающее отображение р: Е-*В
является локально тривиальным расслоением. Слои p~l{b)
этого расслоения дискретны.
Одно обобщение накрывающих пространств, позволяющее обра-
обратить эту теорему, указано в упр. Р в конце этой главы.
16. Накрывающие пространства
Перенесем теперь на накрывающие пространства предложе-
предложение 5.3 гл. II. Пусть /: X -*¦ В — произвольное отображение неко-
некоторого связного и локально линейно связного пространства X в про-
пространство В. Пусть, кроме того, хо?Х и bo=^f(xo). Оказывается,
что для любой точкн с0 накрывающего пространства Е, удовлетво-
удовлетворяющей равенству />(ео)==?о, имеет место следующее обобщение
предложения 5.3 гл. II:
Теорема 16.2 (теорема накрытия). Для отображения /
тогда и только тогда существует такое отображение g : X ->Е,
что g (#о)=ео и Pg — f< когда образ гомоморфизма /,: я, (X, х0)-*
-> it, (В, \) содержится е образе гомоморфизма pt: тс, (Ё, е0) —>
-> тс, (В, Ьо). Отображение g, удовлетворяющее этим условиям,
определяется единственным образом.
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна. Действи-
Действительно, .если отображение g: {X, хо)->(Е, е0), для которого pg = f,
существует, то pj[, = /„, и Потому образ гомоморфизма /, содер-
содержится в образе гомоморфизма />„. < Таким образом, нужно только
доказать достаточность. При проведении этого доказательства мы
будем руководствоваться доказательством предложения 5.3 гл. П.
Чтобы построить отображение g, рассмотрим произвольную
точку х пространства X. Так как пространство X связно и ло-
локально линейно связно, то оно, как легко видеть, линейно связно'и
потому существует такой путь я: 1->Х> что и@) = а:0 и яA) = л\
Так как путь о=./я: /->В пространства В обладает тем свойством,
что о@) = /(дс0) = Ьо и оA) —/(ж), то, согласно лемме 15.1, су-
существует один и только один путь т: 1-±Е пространства Е, для
которого т @) — е0 и рт = а.
Мы утверждаем, что точка t(l) пространства Е не зависит от
выбора пути 1й 1->Х. Действительно, пусть тс': /->Л'—¦ любой
другой путь пространства X* соединяющий точки х и х0, и пусть
*': /->? — такой (однозначно определенный) путь пространства Е,
что т'@) = е0 и px'sts/n'. Докажем, что тA) = т'A). Пусть
а? TCj (X, х0) — класс петли Xsssnn': I-+X. Тогда .петля
/X: /->В принадлежит классу /,(a)^«i(S. ?0)- ^ак как> по условию,
класс /, (а) принадлежит Подгруппе р,[я, (?, е0)], то в точке eQ су-
существует такая *-петля (*: /->?, что р(* = Д. Так как Х = тся'~1, то
ввиду единственности накрывающего пути (лемма 15.1) для любого
* € / имеют место равенства х (/) ** t* (¦* /) и х' (t) *» (J. f 1 — -*- п. В ча-
стности'тA)=^(л(-к-) = т'A). Тем самым независимость точки тA)
от выбора пути те полностью доказана.
9 Ху Сы-цзян
rl30 Г л, III. Расслоенные пространства
В силу этой независимости, формула g(x) = x(l), х?Х, одно-
вначно определяет некоторое отображение g: Х->Е, обладающее,
очевидно, тем свойством, что ?(дсо) = ео и pg = f.
Непрерывность и единственность отображения g: Х->Е дока-
доказывается точно так же, как непрерывность и единственность анало-
аналогичного отображения g из предложения 5.3 гл. II. ¦
Опустив в теореме 16.2 условие g(xQ) = e0, мы получим, что
отображение g:X->E, для которого pg = f, существует тогда и
только тогда, когда гомоморфизм. /„ .отображает группу ial(X,x(^
в некоторую группу характеристического класса х (?• ^о)-
Пусть теперь В и В'—два (связных и локально линейно связ^
ных) пространства, и пусть р: Е->В и р'\ Е'-ь-В'— произвольные
накрывающие отображения. Пусть, кроме того, /: В->В' — неко-
некоторое отображение и ео^Е, Ьо?В, ео?Е и Ьо?В -^такие точки,
что
p(eS)=ha, p'(e'o) = b'o, f(bo)=b'o.
Рассмотрим гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп,
индуцированные отображениями р, р' и /. Эти гомоморфизмы мы
можем включить в следующую диаграмму:
Е. «о) -**-»¦ 1ч(е', во)
i
i
(гомоморфизм ^, пока еще не определен).
- Теорема 16.3 (теорема о послойном отображении)
Отображение g: E-+E', для которого g(e^ = e'o и p'g = fp
существует тогда и только тогда, когда гомоморфизм /, ото'
Сражает образ гомоморфизма р, в образ гомоморфизма pt
Удовлетворяющее этим условиям отображение g определяете)
единственным образом.
Поскольку любое пространство X можно рассматривать Kai
пространство, накрывающее само себя посредством тождественнее
отображения, теорема 16.2 является частным случаем теоремы 16.3
С другой стороны, чтобы доказать теорему 16.3, достаточно при
•менять теорему 16.2 к отображению fp: E-+B'.
Теорема о послойном отображении обладает рядом важных слел
ствий, которые мы и рассмотрим в оставшейся части этого пункте
Прежде всего, при В = fi'. в случае, когда / представляет собо
тождественное отображение пространства В, имеет место следующа
Теорема 16.4 (теорема о накрытии). Пусть р: Е->Е
р'\ Е' ->В — такие накрывающие отображения над одним и те.
16. Накрывающие пространства 131
же пространством В, что для некоторых точек во ^Е и «о ?.?',.
удовлетворяющих соотношению p(ej) = bo = p'(e'o), где Ь?В
имеет место включение : .
P*l*i(E, ео)]ср',[щ(Е', е0)].
Тогда существует одно и только одно отображение g:
для которого .
При атом пространство Е накрывает пространство Е' по-
посредством отображения g.
Доказательство. Первое утверждение является частным случаем
теоремы 16.3. Следовательно, нужно лишь доказать, что про-
пространство Е накрывает пространство Е' посредством отображения g.
В первую очередь мы проверим условие НП1. Пусть е?Е,
e' = g(e) и Ь = р(е). Выбрав в пространстве В связную открытую
окрестность V точки Ь, удовлетворяющую условию НП2 сразу для
обоих накрывающих пространств Ё и Е', обозначим через W ком-
компоненту прообраза р~1 (V), содержащую точку е, а через W — ком-
компоненту прообраза р'~1(У), содержащую точку в'. По условию
отображения
4 = P\W и 9' = P'\w :
являются гомеоморфизмами множеств W и W соответственно на
окрестность V. При этом, так как p'g=p, то g\w = (q')~1q- Сле-
Следовательно, отображение g гомеоморфно отображает компоненту W
на компоненту W. Но отсюда непосредственно вытекает, что об-
образ g(E) пространства Е при отображении g открыт в пространстве Е'.
С другой стороны, легко видеть, что этот образ также и замкнут
в пространстве Е'. Поскольку пространство Е' связно, это возможно
лишь тогда, когда отображение g отображает пространство ? на все
пространство Е'. . " :
Проверим теперь условие НП2. Пусть е'?Е' и Ь?р'(в'). Как
и выше, выберем в пространстве В связную открытую окрестность V
точки Ь, удовлетворяющую условию НП2. сразу для обоих накры-
накрывающих пространств Е и Е', и рассмотрим компоненту W прообт
раза р'~х{У), содержащую точку в'. По определению, компонента W
является связной открытой окрестностью точки е' в пространстве Е',
причем ее прообраз g~x (W) является объединением некоторых ком-
компонент множества p~l (W) и потому каждая его компонента открыта
в пространстве Е и гомеоморфнб отображается посредством отобрав
жения g на окрестность W. ш
В частности, если пространство Е односвязно, то из тео-
теоремы 16.4 вытекает, что .она универсально, накрывает простран-
пространство В, т. е. для любого пространства Е', накрывающего прот
9*
132 Гл. 111. Расслоенные пространства
странство В (посредством некоторого отображения р'\ Е'~*В)
существует такое накрывающее отображение g: Е-*-Е', что >'# = р~
Заметим, что вполне могут существовать неодносвяаные универ-
универсально накрывающие пространства. С другой стороны, односвязных
накрывающих пространств может вообще и не существовать. Ниже
в п. 17 мы покажем, что некоторые простые условия на простран-
пространство В автоматически исключают обе эти возможности.
Введем теперь понятие эквивалентности накрывающих про-
пространств. Два пространства Е и Е', накрывающих одно и то же
пространство В, мы будем называть эквивалентными, если суще-
существует такой гомеоморфизм g: Е-*-Е' пространства Е на про-
пространство ?', что p'g = p, где р: Е-*-В и р'; Е'->В — накры-
накрывающие отображения. Для установления условий эквивалентности мы
используем характеристические классы х (?• Ьй,) и ? (?', Ьо), опреде-
определенные ввиду теорем 16.1 и 15.4 для любой точки Ь0?В.
Теорема 16.5 (теорема об эквивалентности). Про-
Пространства Е и Е', накрывающие одно и то же пространство В,
тогда и только тогда эквивалентны, когда х (Е, Ьо) = х (Е', b<j)
хотя бы дЛя одной {а потому и для любой) точки Ьо ? В.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует такой
гомеоморфизм g; E->Er пространства Е на пространство Е', что
p'g = p, где р'\ ' Е' -> В и р: Е->В — накрывающие отображения.
Тогда для любых точек е?р~Л(ЬЛ и e'0 = g(e^\ гомеоморфизм g
индуцирует изоморфизм g группы 1ч1(Е, еЛ на группу ^(Е1, е'Л
причем ввиду равенства p'g = p имеет место соотношение p'g =p,
показывающее, что р [те, (Е, e^j] = р' [тех (Е1, в^)]. Следовательно
(Eh) (E'b) * *
Достаточность. Если х№• ^о)= X(Er, bQ), то существуют
такие точки ео?Е и е'0?Е', удовлетворяющие соотношению p(eft) =
=*Ьй — р'(е'Х что
Поэтому, согласно теореме 16.3, существует такое отображение
g: E-*-E', что g(e^=*e'Q и p'g=s.p, а также такое отображение
А: Е'-*Е, что h{e'^ = eQ и pk = p'.
Рассмотрим составное отображение hg: E-*-E. Поскольку
kg (е0) = е0 и phg = p'g = р, то, в силу единственности преду-
предусмотренного теоремой 16.4 отображения, составное отображение hg
является тождественным отображением пространства Е. По анало-
аналогичным соображениям тождественным отображением является и со-
составное отображение gh: E'-*E'. Следовательно, отображение g
гомеомо'рфно, и потому накрывающие пространства ? и Е' эквива-
эквивалентны. ¦
16. Накрывающие пространства /33
В частности, любые односвязные пространства, накрываю*
щие одно и то же пространство В, эквивалентны.
Рассмотрим теперь регулярно накрывающие пространства,
т. е. накрывающие пространства Е, для которых накрывающее ото-
отображение р: Е-*-В регулярно в смысле п. 15. Как мы знаем, про-
пространство Е тогда и только тогда регулярно накрывает простран-
пространство В, когда для любой точки Ь0?В, характеристический класс
Х(Е, Ьо) содержит только одну подгруппу группы кг(В, Ь^ (являю-
(являющуюся ее нормальным делителем). Мы будем называть эту подгруппу
характеристической подгруппой группы щ (В, Ьо).
Так как характеристическая подгруппа хХ&> &о) регулярно на-
накрывающего пространства Е является нормальным делителем группы
rcj (В, Ь^, то определена факторгруппа
Легко проверяется, что с точностью до изоморфизма группа W не
зависит от выбора точки Ь0?В. Кроме того, имеет место следующая
Теорема 16.6. Группа W действует справа на простран-
пространстве Е, т. е. любой элемент w группы W и любая точка е
пространства Е определяют некоторую единственную точку
ew?E, причем для любых двух элементов wv w2?W и любой
точки е?Е имеет место равенство
и для каждого элемента w ? W отображение w* (е) = ew
является гомеоморфизмом пространства Е на себя. Кроме
того,
A) для каждой точки е?Е и любого элемента w^W имеет
место равенство p(ew) — p(e);
(И) если для некоторой точки е?Е имеет место равенство
ew — e, то w—l.
(О группе W, удовлетворяющей условию A1), говорят, что она
свободно действует на пространстве Е.)
Доказательство. Пусть ео?р~1(Ьо). Согласно теореме 15.4, между
группой W и слоем р'1^) имеет место естественное взаимно одно-
однозначное соответствие v: W-*• р-1 (р0), для которого v (l) = «0.
Пусть w ? W, и пусть ех = v (w). Так как пространство Е
регулярно накрывает пространство В, то
и потому (см. доказательство теоремы 16.5) существует такой одно-
однозначно определенный гомеоморфизм W* пространства Е на себя, что
134 Гл. 111. Расслоенные пространства
•w*(eo)=se1 и pw* = p. При этом легко видеть, что для любых эле-
элементов wv w2^W имеет место равенство
Если гомеоморфизм 'w* пространства Е на себя оставляет неподвиж-
неподвижной некоторую точку е?Е, то ввиду единственности предусмотрен-
предусмотренного теоремой 16.3 отображения g гомеоморфизм tH* является тож-
тождественным отображением прортранства Е. Но тогда е, = w* (*0) = е0
и, следовательно, w = i~1(e0) = 1.
Тем самым теорема, по существу, полностью доказана (доста-
(достаточно, положить e«i = «i*(e) для всех е?Е и w?W). Ш
Из~ доказанной теоремы, в частности, следует, что фундамен-
фундаментальная группа я, (В) пространства В свободно действует ни
любом односвязном пространстве Е, накрывающем простран-
пространство В.
Построенные в теореме 16.6 гомеоморфизмы w* называются неко-
некоторыми авторами скольжениями (Deckbewegungen) регулярно
накрывающего пространства Е; см. например, {3 — Т], стр. 226.
17. Построение накрывающих пространств
Говорят, .что пространство В локально односвязно, если для
каждой точки Ь^В и каждой ее открытой окрестности V в про-
пространстве В существует такая открытая окрестность UcV точки Ь,
что для произвольных точек «0 и вг окрестности U любые два
пути этой. окрестности, соединяющие точки я0 и «х, гомотопны
в окрестяости V. относительно концов 0 и I отрезка /. Очевидно,
что любое локально стягиваемое пространство локально односвязно.
В частности, локально односвязно каждое триангулируемое про-
пространство.
, Для целей этого- пункта условие локальной односвязности можно
несколько ослабить. Именно в определении локальной односвязности
можно заменить открытую окрестность V всем пространством В.
Пространства В, удовлетворяющие этому ослабленному условию ло-
локальной односвязности, называются полулокально односвязными.
Ясно* что любое локально односвязное пространство, а также любое
односвязное пространство, полулокально односвязно.
Всюду в этом пункте мы будем предполагать, что рассматри-
рассматриваемое пространство В связно, локально линейно связно и полуло-
полулокально односвязно.
Пусть Ьо — произвольная точка, пространства В.
Теорема 17.1 (теорема существования). Для любой под-
подгруппы О фундаментальной группы ^ (В, Ьо) существует такое
пространстве Е, накрывающее пространство В, что для неко-
17. Построение накрывающих пространств 135
торой точки ей?р~1(Ь<^ подгруппа О является образом гома?
мррфизма
р,:ъх(Е, <?„)-».*tj.(S, b0), "
индуцированного накрывающим отображением р: Е->В.
Доказательство. Рассмотрим пространство путей -;
2 = [5; »0, В].
Как и в п. 10. мы символом рх будем обозначав концевую проек-
проекцию 2 -*¦ В, определенную для любого пути о ? 2 равенством рх (о) =*
= бA). Пути о, т?2 мы будем называть эквивалентными по
модулю Q (обозначение 6===xmodG), если рх (о) = рх (х) и элемент
группы 1^E, Ьо), определенный петлей о • т.1, принадлежит группе 43.
Пусть Е— факторпространство пространства 2 по этому отношению
эквивалентности. Точками пространства Е являются, по определению,
классы эквивалентности по модулю О пространства 2. Класс,
содержащий путь а ?2, мы будем обозначать символом [о]. Ясно, что
формула р \<з] = рх (и), где [о]?Е, однозначно определяет некоторое
отображение
р: Е->В,
Согласно предложению 6.1 гл. I, отображение р непрерывно. Кроме
того, поскольку пространство В линейно связно, отображение р
надъективно.
Построим теперь некоторый удобный для наших целей базис
открытых множеств пространства Е. Для любой точки е?Е и любой
открытой окрестности U точки р(е) в пространстве -В мы, «ыбрав
некоторый путь о?е, рассмотрим подмножество N(e, t/) простран-
пространства Е, состоящее из всех классов эквивалентности по модулю О,
каждый из которых содержит такой путь х: 1—>В, что т(/)ааюB/)
при ^<-к- и т (/)??/ при ^^--я-- Очевидно, что множество М(е, U)
не зависит от выбора пути о в классе е?Е. Из локальной линейной
связности и полулокальной односвязности пространства В непосред-
непосредственно вытекает, что множество N(e, U) открыто4 в пространстве Е,
Кроме того, легко видеть, что все множества вида flf^e, U), соот-
соответствующие всевозможным точкам egE и всевозможным.открытым
окрестностям точек р (ё) в пространстве В, образуют базис открытых
множеств пространства Е, откуда, в частности, непосредственно слёг
Дует, что отображение р: Е->В открыто. •'-..-¦¦
Чтобы доказать тот факт, что пространство Е накрывает про-
пространство В посредством отображения р: Е-> В, мы должны: про-
проверить условия НШ и НП2. Поскольку отображение д надъективно',
условие НШ выполнено. Проверим условие НП2. Пусть * — произ-
произвольная точка пространства' В. Поскольку пространство В локально
136 Гл. III. Расслоенные пространства
линейно связно и полулокально односвязно, существует такая линейно
связная открытая окрестность U точки Ь?В, что для произвольных
двух точек и0 и их окрестности U любые два пути, соединяющие
точки а0 и «J в окрестности U, гомотопны в пространстве В отно-
относительно концов 0 и 1 отрезка /. Условие НП2 будет, очевидно,
доказано, если мы нокажем, что прообраз p~l(U) окрестности U
является объединением непересекающих множеств вида N (е, U),
е&Р~1Ф) и что каждое из этих множеств гомеоморфно отображается
на окрестность U посредством отображения р. В первую очередь
мы докажем, что для любой точки е?р~х(р) отображение р является
гомеоморфизмом множества N(e, U) на окрестность U. Согласно
определению множества N(e, U), проекция р отображает это мно-
множество в окрестность U. Поскольку окрестность V линейно связна,
для любой ее точки и существует путь б: I->U, соединяющий
точку Ь с точкой а. Пусть о — такой путь из 2, что [о] = е, и
пусть tsbjJ, Легко видеть, что [x]?Af(e, U) и р[х] = и. Таким
образом, проекция р отображает множество N(e, U) на всю окрест-
окрестность U. Пусть теперь ех и е2 — такие точки множества N(e, U),
что р (Cj) = р (в2)- По определению, существуют такие пути т^ ? 2,
1—1. 2, что [х{] = е{, Tf(Q»aBO при *<^- и T,(^)gf/ при t^~.
Так как/>(«!) = />(е2), то t2(l)г= Tj(l). Пусть путь \t: I-+U, 1=1,2,
определен формулой
со '
Очевидно, что пути ^ и ?2 соединяют в U одни и те же точки Ь и
w=«TjA) = t2A), и потому, в силу выбора окрестности U, пути 5j
и 52 гомотопны в пространстве В относительно концов 0 и 1 отрезка /.
Но тогда пути хг и х2 также гомотопны относительно концов 0 и 1
отрезка /, и потому е1 — е2. Тем самым доказано, что отображение р
на множестве N(e, U) биективно. Поскольку нам уже известно, что
отображение р открыто и непрерывно, тем самым доказано, что это
отображение представляет собой гомеоморфизм множества N(e, U)
на окрестность U.
Докажем теперь, что открытые множества N (е, U), соответствующие
различным точкам egp'1^), друг с другом не пересекаются. Предпо-
Предположим противное, т. е. что для некоторых точек ev e^p'1^)
множества N(elt U) и W(e2> U) имеют общую .точку х. Выбрав
пути б^?2, Isml, 2, удовлетворяющие условиям [oj = eit рассмотрим
пути t, ? 2, для которых [т,] = х, т4 (t) = ot Bt) при t ^ V2 и xt @ € ^
при t^-ll2. Пусть \ti I->U — пути, соответствующие по формуле (i)
путям zt, t=l, 2. Так как эти пути соединяют в окрестности О
точки b и р(х), то по тем же соображениям, что и выше, они гомо-
гомотопны в пространстве В относительно концов 0 и Г отрезка /.
17. Построение накрывающих пространств 137
Следовательно,
Но, поскольку ГтЛ = х = [tJ, класс петли т^1, а потому и
петли OjOf', принадлежит Fpynne О. Следовательно, ех = е2. Тем
самым доказано, что открытые множества N(e, U), e?p~l(b) попарно
не пересекаются.
Докажем, наконец, что множество р~г (U) является объединением
множеств М(е, U) для всех точек е?р~х(Ь). Поскольку проекция р
отображает множества N(e, U) на окрестность {/, каждое из этих
множеств безусловно содержится в р~хф). Поэтому нам нужно только
доказать, что для произвольной точки x?p~x(U) существует такая
точка е?р~1{Ь), что соответствующее множество N(e, U) содержит
точку х. Пусть т — такой путь из 2, что [т] = х, и пусть
и =з/>(л;)=х=тA). Поскольку окрестность U линейно связна, суще-
существует путь 8: /-»¦?/, соединяющий точки Ь и а. Пусть о = тО""\
? = о9.и е = [о). Так как иA) = 8@) = Ь, ж> е?р-хф). Кроме того.
очевидно, что пути \ и х гомотопны относительно концов 0 и 1
отрезка /, так что ;c = [t] — U]?N(e, U). Тем самым доказано, что
множество p~x(lf) является, объединением множеств N(e, U) для
всех точек e?p~l(b). Условие НП2 проверено.
Являясь непрерывны)! образом линейно связного пространства 2,
пространство Е также линейно связно. Таким образом, отображе-
отображение р: Е->В удовлетворяет всем условиям, наложенным на накры-
накрывающее отображение, т. е. пространство Е накрывает пространство В
посредством этого отображения.
За точку ео?Е мы примем класс [Ь] вырожденной петли 8 ? Q
в точке Ьо, т. е. такой петли, что 8(/) = &0. Ясно, что р(ео)я*Ьо.
Теорема 17.1 будет полностью доказана, если мы докажем, что образ
мономорфизма - ^
/».:«, (Я. е0)->«,(?, Ьо),
индуцированного отображением р, в точности совпадает е данной
подгруппой О группы raj (fi, b0).
Пусть о: I-+B — произвольный путь, для которого в@) = ?0.
Согласно лемме 15.1, для пути о существует единственный накры-
накрывающий путь о*: /->•?, удовлетворяющий условию б*@)=ве0. Легко
видеть, что для любого .*?/ точка o*(t) представляет собой класс
эквивалентности по модулю О, содержащий путь <3t\ I-*-B, опреде-
определенный равенством at(s) — <i(st), s?I. (Для доказательства достаточно
заметить, что, согласно <резУльтатам п. 9, формула x(t)=aot опре-
определяет некоторый путь х: /->-2, и воспользоваться тем обстоятель-
обстоятельством, что пространство Е представляет собой факторпространство
пространства 2 по отношению эквивалентности mod О.)
13S;_ .Гл. .///... Расслоенные пространства
После этого предварительного замечания перейдем теперь непо-
непосредственно к вычислению образа мономорфизма />,. Пусть а — про-
произвольный элемент группы ^(Е. е0), и пусть о*: I-+E— произволь-
произвольная петля класса ас. По определению, петля о = />о* принадлежит
классу />Л(а)?гс1 (В, ,?0). С другой стороны, согласно сделанному
выше замечанию,
1] А1) = ео = [Ь].
Следовательно. /»,(а)^О. Обратно, пусть р — произвольный элемент
группы О, и пусть а:1-+В —произвольная петля класса р. Согласно
лемме 15.1, существует единственный путь а*: 1->Е, накрывающий
петлю о и обладающий тем свойством, что б*@) = е0. При этом,
согласно сказанному выше, о*A) = [о]. Но так как петля о принад-
принадлежит классу P?G, то |о] = в0, и потому б*A) = в0. Таким образом,
путь о* является петлей. Пусть a^n^Zf, е0) — его класс. Ясно, что-
' В частности, если О является тривиальной подгруппой группы
«j(B, Ьо), т. е. состоит^лишь из единицы этой группы, то про-
пространство Е, накрывающее пространство В, односвязно, т. е. является
универсально накрывающим пространством; см. п. 16. Отсюда,
в силу леммы .16.3', немедленно следует, что любое универсально
накрывающее пространство односвязно и потому эквивалентно по-
построенному пространству Е; см. теорему 16.5. Таким образом, про-
пространство Е, с точностью до эквивалентности, является единственным
пространством, универсально накрывающим пространство В. Мы будем
называть его каноническим универсально накрывающим про-
пространством.
Объединяя теоремы 16.5 и 17.1, мы получим следующую теорему;
¦ Теорема 17.2 (теорема классификации)., Для любого
связного; локально линейно связного и полулокально односвяз-
ного пространства В классы эквивалентности- пространств,
накрывающих пространство В, находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с классами сопряженных подгрупп
фундаментальной группы ^(В).
Приведем простые примеры, иллюстрирующие полученные
результата. :
• A) Пространства, накрывающие окружность 5'.
Числовая прямая R универсально накрывает окружность S1 посред-
посредством экспоненциального отображения р: R-+S1. Поскольку группа
^i(S') абелева, пространство, накрывающее окружность S1, накрывает
эту окружность регулярно. Поскольку группа щ (S1) является сво-
свободной циклической группой, любая ее нетривиальная подгруппа также
является свободной циклической группой и для любого я=1, 2, ...
в группе i^GS1.) существует одна и только одна подгруппа Оп
индекса д. Накрывающее пространство, соответствующее группе Од,
If. Построение накрывающих пространств J30
гомеоморфно окружности 51 и накрывает эту окружность посредством
отображения рп: 5J-^5l, определенного равенством рп{г) = гп,
z^S1. С точностью до эквивалентности этими пространствами исчер-
исчерпываются все пространства, накрывающие окружность S1. Этот при-
пример показывает, что гомеоморфные пространства, накрывающие одно
и то же пространство, не обязательно эквивалентны.
A1) Пространства, накрывающие «-мерную с ф е-
ру5"ип-мерное проективное пространство />" (я > 1).
Поскольку rt-мерная сфера S" односвязна, любое ее накрывающее
пространство эквивалентно тривиальному накрывающему пространству,
т. е. самой сфере S", снабженной тождественным отображением Sn-*-S".
С другой стороны, сфера-S" посредством естественной проекции р:
5"->Я" универсально накрывает в-мерное проективное простран-
пространство Р". Поскольку слои этого накрывающего пространства состоят
из пар диаметрально противоположных точек сферы S", из тео-
теоремы 15.4 вытекает, что группа %(Я") является циклической груп-
группой-второго порядка. Отсюда и из теоремы 17.2 вытекает далее,
что сфера S" является, с точностью до эквивалентности, единственным
пространством, нетривиально накрывающим пространство Я".
(Hi) Пространства, накрывающие замкнутые поверх-
поверхности. Пусть М — произвольная замкнутая поверхность, отличная
от S2 и Я2. Так как, согласно упр. А гл. II, группа ^(М) беско-
бесконечна, то ввиду теоремы 15.4 пространство Е, универсально накры-
накрывающее поверхность М, не компактно. Таким образом, пространство Е
представляет собой односвязное бесконечное двумерное многообразие.
Но, как известно ([В], стр. 153), любое такое многообразие гомео-
гомеоморфно евклидовой плоскости.
В качестве примера применения полученных выше результатов,
мы докажем следующую теорему:
Тесрема 17.3. Пусть X— произвольное Связное триангули-
триангулируемое пространство, и пусть Е — пространство, универсально
накрывающее пространство В посредством отображения р\
Е->В. Тогда для любых точек хо?Х, Ьй?В и ео?р~л(Ь0)
соответствие g-*f — pg порождает взаимно однозначное
соответствие между гомотопическими классами отображе-
отображений g: {X, хо)->(Е, е0) и гомотопическими классами таких
отображений /: (X,, хо)->(В, Ьо), что индуцированные ими
гомоморфизмы /, переводят группу ^(Х, х$ в единицу
группы я, (В. *о).
Доказательство. Если гомоморфизм /„переводит группу ^(Х, х0)
в единицу группы те, (&, Ьо), то мы будем, как это принято, писвть /,=0,
Если существует такое отображение g: (X, xQ)-+(E, e0), что
f = pg, то Д =г pjrt = Q, так что соответствие g-+ f== pg опре-
определяет некоторое отображение <р множества всех гомотопических
140 Рл. III. Расслоенные Apoctpancteu
классов отображений g; (X, дг0)->•(?, b0) в множество гомотопических
классов отображений /: (X, хо)^>-(В, Ьо), для которых /» = 0.
Согласно теореме 16.2, для любого отображения /: (X, xQ)-+(B, b0),
удовлетворяющего условию Д = 0, существует такое единственное
отображение g: (X, хо)->(Е, е0), что pg = f- Следовательно, ото-
отображение <р надъективно.
¦¦' Пусть теперь g, g': (X, хо)-+(Е, е0)— такие отображения, что
pg ~ pg' rel x0. По определению, это означает, что существует гомо-
гомотопна/,: (X, х^->(В, bo),O^.t^.\, для которой fo~pg и /1 = pg\
Но тогда, согласно утверждению (IV) теоремы 3.1, существует такая
гомотопия g(: (X, хо)-+(Е, е0), 0<*<1, что go = g и pgj = ft
для всех t ? /. Поскольку gx (х0) =eo = g' (х0) и pgx = Д = pg',
из единственности предусмотренного теоремой 16.2 отображения g
вытекает, что g\!=^g'. Таким образом, g<~-gr'rel x0. Следовательно,
отображение <р биективно. ¦
В частности, если пространство X односвязно, то соответ-
соответствие g-+f = pg представляет собой взаимно однозначное
соответствие между гомотопическими классами отображений
g: (X, хо)->(Е, е0) и гомотопическими классами отображений
/: (X. хо)->(В, Ьо).
Пусть, например, пространство X является двумерной или трех-
трехмерной сферой. Полагая i3 = P2, E = S2 и принимая за накрывающее
отображение р: Е->В естественную проекцию S2->P2, мы немед-
немедленно получаем, что множество всех гомотопических классов ото-
отображений /: (X, хо)->(В, Ьо) находится во взаимна однозначном
соответствии с множеством всех целых чисел Z.
Замечание. В теореме 17.3vвместо триангулируемости простран-
пространства X можно требовать лишь его локальную связность. Достаточно
в--доказательстве этой теоремы сослаться вместо теоремы 3.1 на
результаты упр. Р в конце этой главы.
УПРАЖНЕНИЯ
А. Локально ретрактные расслоения
Отображение р: Е-*В мы будем называть локально ретракт-
ним расслоением, если можно найти открытое покрытие ш = [U]
пространства В, обладающее тем свойством, что для каждого мно-
множества U ? (и существует такое отображение уц: U X Р~1 (^0-*-?> что
(ЛР1)
(ЛР2)
Множества U мы будем называть ретрактными окрестностями,
а отображения <ри — ретрактными отображениями.
Докажите (см. Ху [8], Хюбш [1]), что
1) любое локально тривиальное расслоение локально ретрактно;
Упражнения 141
2) любое локально ретрактное расслоение удовлетворяет аксиоме
о накрывающей гомотопии относительно всех хаусдорфовых пара-
компактных пространств, и потому является расслоением в смысле п. 3.
Пространство Е, на котором определено локально ретрактное
расслоение р: Е-+В называется локально ретрактным расслоен-
расслоенным пространством над базисным пространством В с проек-
проекцией р. Согласно утверждению 1), любое локально тривиальное рас-
расслоенное пространство является локально ретрактным расслоенным
пространством.
Докажите следующие утверждения:
1. Любое локально ретрактное расслоение р: Е-*В представляет
собой открытое отображение, т. е. открытые множества оно пере-
переводит в открытые.
2. Для любых двух точек а и b базисного пространства В
локально ретрактного расслоения р: Е-*В, принадлежащих одной
и той же компоненте линейной связности, слои р~х(а) и р~1(р)
гомотопически эквивалентны (см. гл. I, п. 11).
3. Локально ретрактное расслоение р: Е-*В тогда и только
тогда локально тривиально, когда выполнены следующие два условия
(Гриффин Ш):
УГ1. Каждый слой p"x(fi), b?B, гомеоморфен некоторому фикси-
фиксированному пространству D.
УГ2. Для любой точки Ь?В существует такая ретрактная
окрестность U, содержащая эту точку, и такое ретрактное отобра-
отображение <ру: U X р~1(У)->-Е, что для любой пары точек и и v
окрестности U имеет место равенство
4. Если пространства Е и В метризуемы, то любое локально
ретрактное расслоение р: Е->В абсолютно удовлетворяет аксиоме
о накрывающей гомотопии, а потому и аксиоме о накрывающем пути
(Кёртис|1]).
Докажите (Фокс [2]). что если прямое произведение ЕХВ
пространств Е и В является паракомпактным хаусдорфовым простран-
пространством, то, при условии, что пространство В является абсолютным
окрестностным ретрактом, отображение р: Е->В тогда и только тогда
представляет собой локально ретрактное расслоение, когда для любого
отображения g: X->E произвольного паракомпактного хаусдорфова
пространства X в пространство Е и люббй гомотопии ft: X->B,
0^^<^1 отображения f = pg, существует гомотопия g(: X->E,
О ^ t ^ 1 отображения g, накрывающая гомотопию ft и стационар-
стационарная вместе с гомотопией ftx).
') Последнее условие означает (ем. [С], стр. 03), что для любой точки
х?Х и любого Такого интервала Ki.*a], что точка ft{x) не зависит от t
при t\ < t < t2, точка gt (х) т«кже не зависит от t. — Прим. ред.
'142 Гл. Ш. Расслоенные пространства
Говорят, что локально ретрактное расслоенное пространство Е
обладает единим ретрактным отображением, если существует
такое покрытие и> — {0} пространства В, состоящее из ретрактных
окрестностей, что для любых двух окрестностей U, V ? о> соответ-
соответствующие ретрактные отображения <ру и yv совпадают на пересече-
пересечении множеств U X Р (^0 и V X Р (У)- Для такого расслоенного
пространства мы можем на объединении Wподпространств UX,p~l(U),
U?v>, пространства В X Е определить единое ретрактное отобра-
отображение <р, считая, что <р = <ру на Uy,p~x(U). Расслоенные, простран-
пространства в смысле Гуревича и Стинрода (Гуревич и Стинрод [1]) и Фокса
(Фокс [2]) представляют собой не что иное, как локально ретракт-
-ные расслоенные пространства, обладающие единым ретрактным
отображением.
Докажите, что любое метризуемое локально ретрактное расслоен-
расслоенное пространство, база В которого является абсолютным окрестно-
стным ретрактом, обладает единым ретрактным отображением ([X],
стр. 170).
' ¦ *--¦
В. Локальная аксиома о накрывающем пути -
Говорят, что отображение р: Е-*-В локально удовлетворяет
аксиоме о накрывающем пути, если для любой точки Ь?В существует
такая ее открытая окрестность U, что отображение
q\ W->U,
где- . • .
удовлетворяет этой аксиоме. Докажите, что
1а. Любое локально ретрактное расслоение локально удовлетво-
удовлетворяет аксиоме о накрывающем пути.
№. Если отображение р локально удовлетворяет аксиоме о на-/
крывающем пути, то оно удовлетворяет аксиоме о накрывающей го-
мотопии относительно любого хаусдорфова паракомпактного про-
пространства.
II. Если пространство В паракомпактно и хаусдорфово, то лю-
любое отображение р: Е-*-В, локально удовлетворяющее аксиоме
о' накрывающем пути, удовлетворяет этой аксиоме глобально.
С. Связь между различными определениями расслоенного
пространства
Рассмотрим следующие свойства, которыми может обладать ото-
отображение р: Е-*-В:
A) Свойство удовлетворять аксиоме о накрывающей гомотопии
относительно любых полиэдров (п. 2). ..*....
B) Свойство удовлетворять аксиоме о накрывающей гомотопии от-
относительно любых паракомпактных хаусдорфовых пространств (упр. А).
Упражнения ¦ 143
C) Свойство удовлетворять аксиоме о накрывающей гомотетии
относительно любых пространств (п. 2).
. D) Свойство удовлетворять аксиоме о накрывающем пути (п. 12).
E) Свойство локально удовлетворять аксиоме о накрывающем
пути (упр. В).
F) Свойство быть локально ретрактным расслоением (упр. А).
G) Свойство быть локально тривиальным расслоением (п. 4).
Первые четыре свойства носят глобальный характер, а три
остальные — локальный. Известные связи между этими свойствами
могут быть изображены следующей диаграммой импликаций;
G)п =ф F)„ =ф E)„
u u ъ
G) =фF) =фE)
где индекс „п* у номера свойства означает, что это свойство пред-
предполагается выполненным только в том случае, когда базисное про-
пространство В паракомпактно и хаусдорфово. Проверьте, все ли из
этих импликаций были доказаны в тексте и упр. А и В.
D, Однородные пространства
Пусть ? —топологическая группа, и пусть F ^— ее замкнутая под-
подгруппа. Определим на группе Е отношение эквивалентности, считая
элементы а, Ь?Е тогда и только тогда эквивалентными, когда суще-
существует такой элемент /? F, что а/ = Ь. Тем самым элементы
группы Е распадаются на непересекающиеся классы эквивалентно-
эквивалентности, называемые левыми смежными классами группы Е по под-
подгруппе F. Левый смежный класс, содержащий элемент а?Е, пред-
представляет собой не что иное, как подмножество aF группы Е. Следова-
Следовательно, все левые смежные классы замкнуты. Факторпространство В
пространства Е, точками которого являются левые смежные классы
группы ? по подгруппе F, обозначается символом E/F и называется
факторпространством группы Е по подгруппе F или однород-
однородным пространством, соответствующим паре (Е, F).
Докажите следующие утверждения:
1. Факторпространство B = EJF хаусдорфово.
2. Естественная проекция р: Е-+В; сопоставляющая каждому
элементу а ? Е левый смежный класс aF, представляет собой откры-
открытое отображение.
3. Для любого элемента е?Е формула
определяет гомеоморфизм е: В-*-В пространства В на себя.
Группа Е определяется тем самым, как транзитивная группа преоб'
разованнй пространства В.
144 Гл. III. Расслоенные пространства
4. Естественная проекция р: Е -*• В тогда и только тогда является
локально тривиальным расслоением, когда оиа обладает локальной
секущей поверхностью, т. е. секущей поверхностью х: V-*E, опре-
определенной на некоторой открытой окрестности V точки b^^fF.
5. Если группа Е является группой Ли, то локальная секущая
поверхность существует для любой замкнутой подгруппы FcE, так
что любая группа Ли является локально тривиальным расслоенным
пространством над каждым ее факторпространством (см. [Ш]).
Е. Сферы как однородные пространства
Пусть Q — либо поле действительных или комплексных чисел,
либо тело кватернионов. Рассмотрим правое линейное простран-
пространство Q" над телом Q, векторами которого являются n-членные по-
последовательности х=^(х1 хп) элементов тела Q, и определим
в нем скалярное произведение ху любых двух векторов х, ?Q"
положив
где xt — элемент тела Q, сопряженный с элементом xt. Пусть О„ —
топологическая группа всех линейных1 преобразований простран-
пространства Q", оставляющих инвариантным скалярное произведение. Бели
тело Q является полем действительных чисел, то эта группа назы-
называется ортогональной группой. Если тело Q является полем комп-
комплексных чисел, то эта группа называется унитарной группой. На-
Наконец, если тело Q является телом кватернионов, то эта группа на-
называется симплектической группой. Во всех трех случаях группа О„
компактна и является группой Ли. Пусть, далее, 5 — единичная сфера
пространства Q*. Размерность этой сферы 5 равна п — 1, 2» — 1
иля 4я — 1 в зависимости от выбора тела Q.
Докажите следующие утверждения:
1.. Группа Оп транзитивно действует на сфере S.
2. Проекция р: On->S, определенная формулой р(/) = /(х0),
/^О„, где хо=A, 0, .... 0)?S, представляет собой локально
тривиальное расслоение. Слои р(х) этого расслоения являются
левыми смежными классами группы Оп по подгруппе On_x, состоя-
состоящей из всех преобразований / ? О„, для которых / (х0) =» х0.
Таким образом, сфера S может рассматриваться как однородное
пространство О„/О„_1.
F. Расслоения сфер над проективными пространствами
Определим в множестве X =* Q" \ 0 отличных о% нуля векторов
пространства Q" отношение эквивалентности, считая векторы х, у ?Х
тогда и только тогда эквивалентными, когда существует такой эле-
элемент дфО тела Q, что xq^=y. Соответствующее факторпростран-
ство М называется (п — \)-мерным проективным пространством
Упражнения 145
над телом Q. Пусть it: X -> М — естественная проекция и пусть р —
ограничение и \# проекции it на единичной сфере S пространства Q",
Докажите следующие утверждения: '
1. Сфера S является локально тривиальным расслоенным прост-
пространством над пространством М с проекцией р.
2. Слои p~i(b). b?M, расслоения /к S-^-M являются большими
кругами сферы 5 размерности 0, 1 или 3 в зависимости от выбора
тела Q.
3. Группу Оп можно естественным образом определить как тран-
транзитивную группу преобразований пространства М, и потому простран-
пространство М можно отождествить с факторпро.странством группы О„
по ее подгруппе, состоящей из элементов, оставляющих неподвиж-
неподвижной некоторую точку пространства М.
О. Многообразия Штифедя
Пусть V к— множество всех *-реперов «* пространства /?",
т. е. Д-членных последовательностей линейно независимых векторов
этого пространства. Легко видеть, что полная линейная группа Ln
транзитивно действует на множестве V'n ft; так что
где Ln< k —¦ подгруппа группы ?„, состоящая из линейных преобра-
преобразований, оставляющих на месте каждый вектор некоторого фикси-
фиксированного А-репера «J (под равенством здесь имеется в виду
естественное отождествление). Таким образом, множество V'n k
является однородным пространством группы Ln. Это пространство
было впервые рассмотрено Штифелем и потому называется много-
образием Штифеля. Пусть VHi „ — его подмногообразие, состоя-
состоящее из ортогональных *-реперов. Докажите следующие утвержде-
утверждения:
1. Ортогональная группа Оп транзитивно действует на многооб-
многообразии Vnt k, так что
где группа On_ft рассматривается как подгруппа группы О„, остав-
оставляющая на месте некоторый ортогональный ft-репер.
2. При * < п группа вращений Rn транзитивно действует на Vn> k,
так что
3. Многообразие- Vnik можно отождествить с множеством всех
ортогональных (k — 1)-реперов. касательных к сфере S*. В част-
частности, VBil=»5"~1, a Vn<J представляет собой многообразие всех
единичных векторов, касающихся сферы 5",
Ху
146 Гл. III. Расслоенные пространства
4. Многообразие VUt k можно рассматривать как пространство
всех ортогональных отображений сферы 5* в сферу 5я.
5. Имеют место естественные отображения
on=vntn^vnin_l^...^vn^vn.l=s"-K
являющиеся локально тривиальными расслоениями. Любая композиция
этих отображений также является локально тривиальным расслоением.
Н. Многообразия Грассмана
Пусть Мп> k -<- множество всех ft-мерных линейных подпространств
(А-мерных плоскостей, проходящих через начало координат) прост-
пространства R". Легко видеть, что ортогональная группа О„ транзитивно
действует на множестве Mnik. Пусть Rk— фиксированная fc-мерная
плоскость, проходящая через начало координат, а /?л~* — ее орто-
ортогональное дополнение. Очевидно, что подгруппа группы О„, состоя-
состоящая из ортогональных преобразований, отображающих плоскость Rk
на себя, является прямым произведением Ок X Оп_к двух групп, из
которых первая оставляет на месте любую точку пространства Ra~k.
а вторая —любую точку пространства Rk. Следовательно,
Таким образом, множество Mni k определяется как однородное
пространство. Оно называется многообразием:Грассмана к-мер-
к-мерных плоскостей п-мерного пространства. Докажите, что
1. Естественная проекция On-*-Mn>k отображает группу враще-
вращений ./?„ на пространство Жя> ft.
Пусть Rk и Ra_k — подгруппы групп Ok и О,.,, состоящие из
вращений. Однородное пространство
i
называется многообразием Грассмана Ориентированных k-мер-
ных плоскостей п-мерного пространства. Оно естественным
образом накрывает многообразие Мп> k. Слоями этого накрытия
являются нульмерные сферы. Докажите, что
2. Многообразие Vm k является локально тривиальным расслоен-
расслоенным пространством над многообразием Мл> к с проекцией Vn> k -> Mai k,
индуцированной вложением On_kc0k X On_k. Слои этого расслое-
расслоения гомеоморфны группе Ок.
3. При k < п многообразие Vn> k аналогичным образом яэляется
локально тривиальным расслоенным пространством над многообра-
вием ЖЛ| k. Слои этого расслоения гомеоморфны группе Rk.
4. Соответствие между 6-мерной плоскостью и ей ортогональ-
ортогональной (» — &)-Мерной плоскостью порождает гомеоморфизм
Упражнения 47
б. Многообразие Жя>1 совпадает с (я—1)-мерным действитель-
действительным проективным пространством Я", а многообразие Ма> j -— со
сферой 5".
I. Элементарно-топологические свойства пространства
отображений
Пусть 2 — пространство отображений Yx в компактно-открытой
топологии. Докажите Следующие утверждения:
1. Пространство Q тогда и только тогда является 7^-простран-
ством, где / = 0, 1, 2, когда Tt-пространством является прост-
пространство К.
2. Если пространство X локально компактно и хаусдорфово
и если оба пространства X и К сепарабельны (т. е. имеют счетный
базис), то пространство 2 также сепарабельно. С другой стороны,
если пространство 2 сепарабельно, то сепарабельно и пространство К.
3. Если пространства X и Y метризуемы, а пространство X,
кроме того, компактно, то пространство 2 тогда и только тогда
является абсолютным окрестностным ретрактом, когда абсолютным
окрестностным ретрактом является пространство У. Аналогично про-
пространство' 2 тогда и только Тогда является абсолютным ретрактом,
когда абсолютным ретрактом является пространство Y.
. J. Допустимые топологии
Вообще говоря, в множество 2 = Vх можно ввести много различи
ных топологий. Множество 2 с топологией х мы будем обозначать
символом 2Т. Топологию х пространства 2 мы будем называть до-
допустимой, если отображение по вначениям .
а>: 2, X X -* Y
непрерывно. Например, согласно предложению 9.2, компактно-откры-
компактно-открытая топология пространства 2 допустима, если пространство X ло-
локально компактно и регулярно. Докажите следующие утверждения
(Арене [1]):
1. В каждой допустимой топологии все открытые множества
компактно-открытой топологии также открыты.
2. Если пространство X вполне регулярно, а пространство Y
является ^-пространством и в нем существует хотя бы один невы-
невырожденный путь, то компактно-открытая топология тогда и только
тогда допустима, когда пространство X локально компактно.
К. Топология равномерной сходимости
Если пространство К снабжено ограниченной метрикой d, то
формула ^
</*(/, g) =suP,gx</[/(*>, g(x)], /
10*
149 Гл. III. Расслоенные пространства
определяет на пространстве 2 = КХ некоторую метрику, d*. Соот-
Соответствующая топология пространства 2 называется d*-топологией
или топологией равномерной сходимости. Докажите следующие
утверждения:
1. fif'-топология пространства Q допустима.
2. Если пространство X компактно, то компактно-открытая то-
топология совпадает с й?*-топологией, индуцированной любой (не обя-
обязательно ограниченной) метрикой d пространства Y.
3. Если пространство X вполне регулярно и хаусдорфово,
а пространство Y метризуемо и в нем существует хотя бы один
невырожденный путь, то компактно-открытая топология простран-
пространства S тогда и только тогда совпадает с ^'-топологией, индуциро-
индуцированной некоторой ограниченной метрикой d пространства У, когда
пространство X локально компактно.
Покажите на призерах, что d'-топология пространства 2 суще-
стзенно зависит от метрики d и, вообще говоря, не определяется
топологиями пространств X п Y.
' У
L. Отображения прямых произведений
Пусть Т, X и Y — произвольные пространства, и пусть
Пусть, кроме того, 6: Ф-»-\Р — отображение ассоциирования; см.
п. 9. Докажите следующие предложения:
1. Если пространства X и Т удовлетворяют первой аксиоме
счетности, то отображение 8 надъектиано (Фокс 13]).
2. Если пространства X и Т хаусдорфовы и удовлетворяют пер-
первой аксиоме счетности,-то отображение 6 является гомеоморфизмом
пространства Ф на пространство ЧГ, так что в этом случае также
имеет место экспоненциальный закон
М. Теорема Борсука о расслоении
Пусть X — компактное метризуемое пространство, А — его замк-
замкнутое подпространство и К — компактный абсолютный окрестностный
р'етракт. Рассмотрим пространство отображений ?=К* и подпро-
подпространство В пространства отображений У*, состоящее из отображе-
отображений g: A ->¦ Y, допускающих распространение на все пространство X.
Докажите, что пространство Е является локально ретрактным рас-
расслоенным пространством над пространством В, причем соответствующая
проекция р: Е-+В определена равенством J» (/)=¦/|д> /€^- Исполь-
Используя результаты упр. С и I, покажите, что это расслоение обладает
единым ретрактным отображением ([X], стр. 173).
Упражнения 149
N. Изменение концевых множеств
В этом упражнении показывается, что концевые множества А
и В пространства путей (Х%, А, В) можно в определенных пределах
менять, не меняя гомотопического типа этого пространства. По со-
соображениям симметрии можно при этом рассматривать изменения лишь
одного концевого множества, скажем множества В.
Пусть Sj и 8; — произвольные подпространства пространства X.
Деформацией подпространства Вх в подпространство В2 называется
любая гомотопия ht: В, ->¦ X, 0 ^ t ^ 1, для которой отображе-
отображение Ао является отображением вложения ВхсХ, а отображение hx
обладает тем свойством, что Hl(B^cBa. Такая деформация ht инду-
индуцирует отображение А**: [Х\ А, ВХ\-^\Х\ А, В2], переводящее каж-
каждый путь /?[Х; Л> ^il 6 путь g = hr(f), определенный формулой
,-11/@1. 5-.<'<l-
Говорят, что подпространство Вг деформационно гомеоморфно
в пространстве Л'подпространству В2, если существует такая дефор-
деформация ht: Bx-*-X, O^^-^l, подпространства В: в подпростран-
подпространство В2, что отображение hx является гомеоморфизмом простран-
пространства Вх на пространство В2.
Докажите, что пространства [Л"; A, BJ и [Л"; А, В2] гомотопи-
чески эквивалентны, если пространство В, либо является сильным
деформационным ретрактом пространства В2, либо деформационно
гомеоморфно ему. В частности, если пространство X линейно связно,
то гомотопический тип пространства [X; а, Ь] не зависит от выбора
точек а и Ь, так что все пространства [Х\ а, Ь\, Лв и Лй попарно
гомотопически эквивалентны.
О. Пространства муровских путей
По определению, все пути произвольного пространства Y опре-
определены на одном и том же отрезке /. В своих исследованиях пон-
трягинских произведений Мур нашел более удобным рассматривать
пути; определенные иа отрезках прямой R вида [0, а], где число
а^О, вообще говоря, зависит от пути. Чтобы избежать недоразу-
недоразумений, будем называть такие пути муровскими.
Таким образом муровским путем некоторого пространства Y
называется каждое отображение / отрезка [0, а], где а ^. 0, в про-
пространство Y. Точки /@) и /(в) называются соответственно нача-
началом и концом пути /. Путь / называется замкнутым, если
150 Гл. III. Расслоенные пространства
Пусть Г — множество всех муровских путейгпространства Y.
Чтобы ввести топологию в множество Г, мы рассмотрим простран-
пространство Ф= К всех обыкновенных путей пространства К и полуось У
прямой R, состоящую из действительных чисел а^-0.
Каждому' муровскому пути /: [0, а] т*. К, мы отнесем обыкновен-
обыкновенный путь (if. /-+Y, полагая «^ (f)==/(at) для всех t?/. Рассмотрим
отображение ср: Г-»-УХ2, определенное формулой ср(/) = (а, о^),
/ ? Г. Очевидно, что отображение <р устанавливает взаимно однознач-
однозначное соответствие между множеством Г и некоторым подпространст-
подпространством <р(Г) пространства УХ 2- Мы введем в множество Г топологию,
требуя, чтобы отображение <р было гомеоморфизмом.
. , Докажите1, что подпространство (У X 2) \ <Р (Г) пространства У X 2
совпадает с подпространством 0Xl2\7v)l.- где У- ^-»-2 —есте.-
ственная инъекция, определенная в п 9.
Так как / = [0, 1], то любой обыкновенный путь пространства Y
Является в то же время и муровским. Другими словами 2 с Г. Без
труда проверяется, что пространство 2 представляет собой подпро-
подпространство пространства t.
Докажите, что существует такая гомотопия ht: Г->Г, O^^^l,
что , ...-¦_. .. .
A) отображение Ао представляет собой тождественное отображен
ние пространства Г;
(ii) отображение hx представляет собой ретракцию пространства Г
на пространство 2; ' •¦
(Ш) для любого пути /^2 при каждом-??/ имеет место равен-
равенство А, (/)=*/;¦ ..'¦'.
(iv) начало и конец-пути А,(/) для любого пути /?Г при каж-
каждом I ?7 совпадают соответственно с началом и концом пути /.
Если для путей /: [0, d\~*-Y и g: [0, b]-+Y пространства Y
имеет место равенство/(а) = ^@). то можно определить произведе-
произведение / • g: 10, а -)- Ь) -*¦ Y этих путей, полагая
f(t), если 0</<«.
(T-а), если ai
Это умножение путей непрерывно и ассоциативно.
Фиксировав некоторую точку у ? Y, рассмотрим подпростран-
подпространство ву пространства Г, состоящее из замкнутых путей ./, для кото-
которых / @) = у = / (а). Из перечисленных выше свойств гомотопии ht
немедленно вытекает, что пространство петель Ау .является деформа-
деформационным ретрактом подпространства ву. Кроме того, произведение/ • g
определено для любых двух путей /. g?Qy. причем путь г. [0, 0]-*-у
является двусторонней единицей этого умножения. Таким образом.
Упражнения 151
Пространство ву представляет собой подгруппу с двусторонней еди-
единицей. Если пространство Y хаусдорфово, то полугруппа ву также
хаусдорфова и потому является мобом в смысле Уоллеса ]1].
Р. Обобщенные накрывающие пространства
Мы будем говорить, что отображение р\Е-*В является обоб-
обобщенно накрывающим отображением, а также что пространство Е
обобщенно накрывает пространство В посредством отображения
р: Е—>В, если выполнены следующие условия:
0НП1. Отображение р надъективно.
ОНП2. Для каждой точки Ь?В существует ее открытая окре-
окрестность U, прообраз р~г (U) которой представляет собой объедине-
объединение непересекающихся открытых множеств пространства Е, каждое из
которых гомеоморфно отображается на окрестность U посредством
"отображения р. .
Докажите, что любое локально тривиальное расслоение р: Е-*-В
с дискретными слоями является обобщенно накрывающим отобра-
отображением.
Пусть р: Е-*-В —произвольное обобщенно накрывающее отобра-
отображение. Докажите следующие утверждения:
1. Отображение;?: Ё-*-В является локально ретрактным расслое-
расслоением с дискретными слоями.
2. Если пространство В связно, то расслоение р: Е-*-В локально
тривиально.
3. Если пространство Е связно, а пространство В локально ли-
линейно связно, то отображение р: Е-*-В является (обыкновенным)
накрывающим отображением.
4. Пусть X и Y — произвольные пространства, a q: X->Y и
g: X -*-Е — некоторые отображения. Пусть, далее, ft: Y -*¦ В,
0<^tf^l,— такая, гомотопия, что f^q = pg- Тогда существует одна
и только одна гомотопия g/. X-*-E, 0<;^<[1, отображения g, для
которой ffl = pgt при любом t?I, причем гомотопия gt стационарна
вместе с гомотопией fr В частности, отображение р: Е-*-В абсо-
абсолютно удовлетворяет аксиоме о накрывающей гомотопии. Аналогичное
утверждение имеет место также и для любых локально ретрактных
расслоений с линейно вполне несвязными слоями (Гриффин [1]).
Q. Локальные гомеоморфизмы
Отображение р:Е-*В пространства Е на пространство В назы-
называется локальным гомеоморфизмом, если для. любой точки х ?Е
существует ре открытая окрестность, гомеоморфно отображающаяся
посредством отображения р на некоторую открытую окрестность
точки р(х).
Докажите, что если для локального гомеоморфизма р: Е—>В
регулярного хаусдорфова - пространства Е на пространство В про-
152 . Гл. 111. Расслоенные пространства
образ р~1 (Ь) каждой точки Ь?В конечен, то этот локальный гомео-
гомеоморфизм представляет собой обобщенно накрывающее отображение.
R. Пространства, накрывающие тор „
В качестве упражнения на вычисление всех классов эквивалент-
эквивалентности пространств, накрывающих данное пространство В, мы рас-
рассмотрим случай, когда пространство В представляет собой тор S1 X S1.
Согласно упр. А гл. II, фундаментальная группа icj (В) тора
В = S1 X S1 является свободной абелевой группой с двумя свобод-
свободными образующими а н Ь. Подгруппы группы itj (В) исчерпываются
подгруппами
Ощ,я. /». » = 0, 1, 2, ....
порожденными элементами ат и Ья-. В частности, О0 0 = 0 и
Докажите следующие утверждения: ;
1. Любое пространство, накрывающее пространство В, накрывает
его регулярно.
2. Группе О0>0 соответствует универсально накрывающее про-
пространство Е = № —/? X-R с проекцией pOt0: E—*-В, определенной
формулой pOt0(х, у) — (рх, ру), где р: Rl-*Sl—экспоненциаль-
Rl-*Sl—экспоненциальное отображение, рассмотренное в п. 2, гл. И.
3. Группе Оя, п > 0, соответствует пространство E = RX.S*,
накрывающее тор B = SlXSl посредством проекции рОп: Е-+В,
определенной формулой Ро,а(х, z) = (px, zn), x?R и z'^S1. Ана-
Аналогично Определяется накрывающее пространство, соответствующее
группе От, 0, т > 0, .
4. Группе От> я, т > 0, п > 0, соответствует пространство
E^S'X^1, накрывающее тор B = SiX.Sl посредством проекции
рт> п: Е-+В, определенной формулой pm<a(u,v) = (um, vn), (a, v)?E.
5. Отображения тора в проективную плоскость
Рассмотрим тор Г н проективную плоскость Я. Произвольно
выбрав точки to?T и ро?Р, изучим отображения /: (Г, t^-+(P, p0).
Фундаментальная группа ^(Г, t0) является свободной абелевой
группой с двумя свободными, образующими, в то время как группа
те1 (?• Ро) является группой второго порядка. Пусть а и b — обра-
образующие группы Пх(Т, t0), а с — образующая группы тег(Р, р0). Все
гомоморфизмы группы тс^Г, t0) в группу Пх(Р, р0) исчерпываются
четырьмя гомоморфизмами
К,»! TCi (Т. tj -> it! (Р, р0), ж, п = О, I,
которые определяются формулами
Упражнения ' 153
Рассматривая тор Т как единичный квадрат с отождествленными
противоположными сторонами, постройте для любых /я, л = 0, 1
такое отображение
fm,n- (Т. to)-»(P, Ро)>
что (/„,,„)¦ = *,„,„.¦
Пусть С_ я — совокупность всех гомотопических классов отобра-
отображений /: (Г, to)-+(P, р0), для которых Д = AmiB, m, л=яО, 1.
Докажите, что для любых тп, иг=0, 1 гомотопические классы, при-
принадлежащие множеству Cm n находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с гомотопическими классами отображений (S2, so)~*-(P, p0)
и, следовательно, с целыми числами.
Т. Отображения одной поверхности в другую
Пусть X и Y— две замкнутые поверхности, отличные от сферы
и проективной плоскости. Имея в виду рассмотреть задачу классифи-
классификации отображений /: Х-*-У, произвольно выберем точки хо?Х
6К
о
Два гомоморфизма
A, ft: «,(*. Хо)-*^ (К, у0)
мы буд«м называть эквивалентными, если существует такой эле-
элемент Ь ? «j (К, у„), что для всех элементов а ? тех (ЛГ, л:0) имеет место
равенство
Пусть С — множество всех классов гомоморфизмов Л: к^Х, хо)-+
-*ж1(У, у0) по этому отношению эквивалентности.
Покажите, что гомотопические классы отображений f'.X-^Y
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множе-
множества С, доказав следующие утверждения:
1. Каждое отображение /: X-*¦? гомотопно такому отображению
g: X-+Y, что ?(*о) = Уо-
2. Если отображения /, g: X-^Y, обладающие тем свойством,
что f(xo) = yQ-=g-(xo), гомотопны, то Д -— gt.
3. Для любого элемента {ft} ? С существует такое отображение
/: X-+Y, удовлетворяющее соотношению /(*<)) —Уо- что Д € {*}•
4. Для любого Отображения /: X-vY, удовлетворяющего соот-
соотношению f(xQ) = y0, и любого гомоморфизма А: ^(Х, х^-*^(Y, у0),
эквивалентного гомоморфизму Д, существует такое отображение
g: X-+Y, удовлетворяющее соотношению ^(^о)**^- что ?•*-'/ и
g, ==A.
5. Если для отображений /, g:X~+Y, удовлетворяющих соот-
соотношению f(xo)=xyQ = g(xQ), амеёт место равенство Д =g , то
/*
ГЛАВА tV
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
1. Введение
Основной задачей, которая привела к открытию гомотопических
групп, была задача гомотопической классификации отображений
л-мёрной сферы 5я в данное пространство X. При я=1 эта задача
существенно упрощается, когда мы ограничиваемся отображениями
и гомотопиями, переводящими некоторую точку-сферы S1 в фикси-
фиксированную точку пространства X, так как множество всех гомо-
гомотопических классов таких отображений естественным образом
определяется как группа (см. п. 4 гл. II). Тот же прием приводит
к аналогичным результатам и в высших равмерностях, ибо при стя-
стягивании экватора сферы S" в точку мы получаем две л-мерные сферы
с одной общей точкой^ КрОме того, при л > 1 существует вращение
сферы, определяющее некоторую гомотопию, которая переставляет
обе полусферы, откуда вытекает, что соответствующая гомотопиче-
гомотопическая группа абелева.
Определенное сходство между гомотопическими группами и груп-
группами гомологии и факт существования Относительных групп гомо-
гомологии Нп(Х, А) подсказывают целесообразность введения понятия
относительных гомотопических групп кя(Х, А, х0), позволяющего
построить теорию, во многом аналогичную теории.гомологии. Ока-
Оказывается, однако- что эта теория имеет свои особенности: множе-
множества ъо(Х, х0) и Ъх(Х, А. х0) — не группы; группы ^(Х, *„) и
¦к2(Х,А, х0), вообще говоря, не абелевы; известная для групп гомо-
гомологии аксиома вырезания для гомотопических групп места не имеет.
Крутой поворот в сознании топологов определил результат, полу-
полученный Хопфом в 1930 г., согласно которому группа ^(S2) беско-
бесконечна. После этого стало ясно, что гомотопические группьютражают
подчас весьма глубокие свойства топологических пространств. Суще-
Существенным обстоятельством, во многом определившим развитие теории
гомотопических групп, явился также тот факт, что в отличие, ска-
скажем, от групп гомологии конечных симплициальных разбиений,
гомотопические группы определяются не конструктивно и дх кон-
конструктивного, т. е. приводящего к эффективному алгоритму .вычи-
.вычисления, определения до сих пор, по существу, не найдено. Лишь
совсем недавно были развиты методы вычисления гомотопических
групп, применимые к достаточно широкому Классу пространств.
2. Абсолютные гомотопические группы - 155
Работа в этом направлении- интенсивно продолжается и в настоя-
щее время. '.-. .
В этой главе излагается определение гомотопических групп и свя-
связывающих их гомоморфизмов, устанавливаются важнейшие общие
свойства этих групп и гомоморфизмов и показывается, что некоторые
из этих свойств однозначно характеризуют _ гомотопические группы.
2. Абсолютные гомотопические группы
Пусть (X, х0)— пара, состоящая из произвольного простран-
пространства X и некоторой его точки jc0. Символом по(Х, х0) мы будем
обозначать множество всех компонент линейной связности простран-
пространства X, в котором отмечена компонента, содержащая точку jc0. Эту
компоненту мы будем называть нулем множества ъо(Х. лг0) и будем
обозначать ее символом 0. Так же, как в п. 4, гл. II, символом
ъх(Х, х0) мы будем обозначать фундаментальную группу простран-
пространства X в точке jc0. ~
Для любого »> 1 определение «-мерной (абсолютной) гомото-
гомотопической группы ка(Х. *„) вполне аналогично определению фунда-
фундаментальной группы щ{Х, x0). Отличие состоит лишь в том, что
единичный отрезок / заменяется единичным п-мерным кубом /", т. е.
прямым произведением п таких отрезков.
Каждая точка t?I", представляет собой упорядоченную последо-
последовательность п действительных чисел t = (tv .... tn), tt ? /,
/=1, 2, .....л, тзывяъмых координатами этой точки (число tt
называется 1-й координатой точки ?). Рассмотрим (л—\)-мерную
грань кубদ/* состоящую/ из точек, у которых некоторая коорди-
координата tt равна 0 или 1. Объединение всех таких граней образует
границу д1" куба /". гомеоморфиую единичной (п — 1)-мерной
сфере 5я. Пусть Fn = Fn(X. x0) — множество всех отображений
. /:A\дП->(Х,х0).
Это множество распадается на гомотопические классы (относительно
границы <?/"). Множество всех этих классов мы будем обозначать
символом кп(Х, х0), а класс, содержащий отображение /, — симво-
символом [/]. Класс [d0],- содержащий постоянное отображение, т. е.
отображение d0: I" -> X, для которого 'do(/n) = xo, мы будем
обозначать также символом 0. По отношению к компактно-
открытой топологии множества F". (см. п. 9 гл. Ш), множество
ъп(Х, х0) представляет собой не что иное, как множество всех ком*
понент линейной связности пространства F" в этой топологии. Таким
образом, если мы условимся считать, что при я = 0 множество F
совпадает с пространством X (это соглашение можно в определен-
определенной мере оправдать тем, что за куб /" при « = 0 естественно при-^
нимать точку), то случай. «= 0 будет включен в общее-определение:
"
156 , Гл. IV. Гомотопические группы
Введем теперь в пространстве F* сложение (не коммутативное),,
определяя сумму f-\-g двух отображений /, g?F", формулой
fBtvt3 /„), если
— I, tv .... tn), если
(•) </ + *)(') Н 1
где t = (tx, .... fn)—произвольная точка куба /*. Очевидно, что
отображение f-\-g принадлежит пространству F", и его гомотопи-
гомотопический класс \f-\-g\ зависит только от классов [/] и [g] отобра-
отображений / и g. Поэтому формула
определяет в множестве icn(X, jcq) некоторое сложение. Легко про-
проверяется (см. в п. 4 гл. II аналогичные рассуждения для фундамен-
фундаментальной группы), что по отношению к этому сложению множество
«„(А", х0) является группой. Эта группа и называется п-мерной {абсо-
{абсолютной) гомотопической группой пространства X в тачке х0.
Класс 0 является нулем этой группы, а элементом, противоположным
элементу [/], является элемент I/fl]. где 6: /*->/" — отображение,
определенное формулой
• (/)-»A—/х. /2 *„>. *=»(*!, t2 *„)€/".
Ясно, что при л = 1 группа ъп(Х, х0) соввадает с фундамен-
фундаментальной группой Пх{Х, х0), если отвлечься от того обстоятельства,
что группы «„ (X, х0) мы записываем аддитивно, а группу TCj (X, Зг0)
мультипликативно. В дальнейшем, во избежание излишних оговорок,
мы группу ^(Х, х0) будем иногда записывать также аддитивно м,
в частности, будем называть ее единицу нулем. По тем же сообра-
соображениям мы, допуская вольность речи, будем множество ъо(Х, х0)
иногда называть нульмерной гомотопической группой, хотя никакой
групповой операции мы в нем и не определяем.
Стянув границу дГ куба I" и точку, мы получим факторпро-
странство, гомеоморфное n-мерной сфере S". Поэтому элементы
группы 1гл (X, х0) можно определять так же как гомотопические классы
(относительно точки so?S", являющейся образом границы д!п) ото-
отображений /: E", so)-+ (X, х0). Считая, что двум половинам «-мер-
«-мерного куба I", определенным формулами fj ^ 72 и tt ^ J/2 соответ-
ственйо, отвечают две полусферы n-мериой сферы S", на которые
она делится некоторым экватором, проходящим через точку s0, мы
можем легко переформулировать определение сложения в множестве
ъ„(Х, х0) в терминах отображений Eя, Sq)-*(X, х0)', подробности
см. Ху [4]. Так как для д > 1 существует вращение п-мерной
сферы $", оставляющее неподвижной точку s9 и меняющее местами
2. Абсолютные гомотопические группы 157
обе полусферы, то это определение наводит на мысль, что, при
я > 1 группа «„ (Л!", х0) абелева. Это действительно гак, но дока-
доказательство нам будет удобнее провести, опираясь на другие сооб-
соображения.
Предложение 2.1. При любом »> 1 группа чс„(Х, х0) абелева.
Доказательство. Аналогично тому, как в п. И гл. III было дока-
доказано, что пространство петель является //-пространством, можно
доказать, что //-пространством является и пространство F*~x, причем
постоянное отображение rfo€^"~l служит его двусторонней гомото-
гомотопической единицей. Поэтому, согласно предложению 11.4 гл. III,
фундаментальная группа- ic^F", d0) этого пространства абелева.
С другой стороны, согласно теореме 9.9 гл. III, имеет место
равенство
показывающее, что группы ъп(Х, х0) и ¦к1(Р"~1, d^), по существу,
совпадают. Следовательно, группз кп (X, х0) абелева. ¦
В этом доказательстве мы попутно получили интересную формулу
*а(Х. X0)=:4(Fa-\ d0), «>1,
показывающую, что любую гомотопическую группу данного про-
пространства можно определять как фундаментальную группу некото-
некоторого другого пространства. Именно на этом пути Гуревич впервые
и пришел в 1935 г. к понятию гомотопических групп.
Более того, из теоремы 9.9 гл. III вытекает, что для любого
положительного числа р, меньшего п, имеет место равенство
где 9 = п — р. Поэтому
ъл(Х, xJ = Kq(Fp, d0),
где d0—постоянное отображение d^i^^x^. В частности, при paml
пространство Fp является пространством ветель W пространства X
в точке х0, а постоянное отображение d0 представляет собой выро-
вырожденную петлю d0 в этой точке. Тем самым доказано следующее
предложение, которое нам будет полезно в дальнейшем.
Предложение 2.2. Для любого я > 0 имеет .место равенство
Наконец, непосредственным следствием того факта, что «-мерный
куб линейно связей, является
158 Га. IV. Гомотопические группы
Предложение 2.3. Для любого »>0 имеет место равенство
где Хо— компонента линейной связности пространства X','
содержащая точку х0. ..
. Примеры. Если пространство X стягиваемо, то «„(Jf, xo) = O
для всех л^-0.
Для простейшего нестягиваемого пространства S1 легко видеть, что
¦ko(S\ l)=0. iCjCS1, 1)«Z,
«„(S1, 1) = 0 при л> 1 . .
(последнее равенство Вытекает, в силу теоремы 17.3 гл. Ill, из ра-
равенства ля (/?) = 0).
1 Аналогично, из результатов п. 8 гл. II без труда следует, что
кт (S*, s0) = О при т<п,
С другой стороны, из леммы 6.4 гл. III непосредственно выте-
вытекает, что
¦ 3. Относительные гомотопические группы
В этом пункте вводятся относительные гомотопические
группы, обобщающие абсолютные группы, определенные в п. 2.
Мы будем рассматривать тройки (X, А, х0), состоящие из про-
произвольного пространства Л", некоторого его непустого подпростран-
подпространства А и точки хо?А. В случае, когда подпространство А состоит
только из точки х0 тройку (Х,,_А, х0) мы_ будем обозначать симво-
символом (Л", х0) и будем отождествлять ее с парой, состоящей из про-
пространства X и точки х0. . . - ..
Пусть, как и выше, /" — единичный л-мерный куб, где п > 0'.
Отождествив начальную (л — 1)-мерную грань куба /", определенную
уравнением ?„г=0 с кубом Z". обозначим объединение остальных
(л—1)-мерных граней куба /" символом У", Таким образом
Рассмотрим теперь произвольное отображение /: (/", 7*, /""')->
-*(Л\ А, х0), т. е. непрерывное отображение .куба /" в простран-
пространство X, переводящее куб 7я -в подпространство А, а множество
J"'1 — в точку х0. Такое отображение переводит границу д/а куба I"
в ^подпространство А, а границу dl"'1 куба 7я в точку х0. Пусть
=/:'я(Л', А, х0) — множество всех таких отображений.- Это мно-
S. Относительные гомотопические группы tS9
жество распадается на гомотопические.классы (относительно семей-
семейства {/n"~\ A; J"~l, х0}). Множеетво всех этих гомотопических клас-
классов мы будем обозначать символом гся(ЛГ, А, х0). Класс, содержащий
отображение /, мы будем обозначать символом [/]. Класс [do\, содер-
содержащий постоянное отображение da(/") = x0, мы будем называть
нулем множества тся(ЛГ, А, х0) и будем обозначать символом О»
Вводя в F" компактно-открытую топологию, мы можем рассматри-
рассматривать элементы множества «„(А'. А, х0) как компоненты линейной
связности пространства F" в этой топологии.
При п > 1 мы можем определить в пространстве F" сложение
(не коммутативное), считая суммой отображений /, g ?F" отобра-
отображение f-\-g?Fn, определенное формулой (*) П. 2. Как и в п. 2,
гомотопический класс \f-\-g\ зависит только от классов [/] и [g],
так что формула
+
однозначно определяет в множестве ъп(Х, А, х0) некоторое сло-
сложение. Так же, как в п. 2, без труда проверяется, что по отно-
отношению к этому сложению множество гся (X, А, х0) является группой.
Эта группа и называется п-мерной относительной гомотопиче-
гомотопической группой пространства X в точке х0 по модулю (или
относительно) подпространства А. Эту группу называют также
п-мерной гомотопической группой тройки (X, А, х0) (или пари
(X, А) в точке дг„). Класс 0 является ее нулем, а элементом, про-
противоположным элементу [/], является класс [/6], где 6: /"->/"—то же
отображение, что и в п. 2.
Во избежание излишних оговорок, множество тс1(Л', А, х0), не
снабженное никакой операцией, мы будем иногда называть одномер-
одномерной относительной гомотопической группой.
Если подпространство А состоит из одной точки дг0, то
Fn{X, A. xo) = F"(X, х0),
так что в этом случае группа пп(Х, А, х0) совпадает с абсолютной
гомотопической группой пп(Х, х0). .
Стянув множество Jn~x в точку s0, мы превратим тройку
(/", /"" , У"~ ) в тройку* топологически эквивалентную тройке
(Е", S"'1, s0), состоящей из единичного л-мерного шара Е", его
граничной (л—1)-мерной сферы S"~! и точки so^S"~'. Поэтому
элементы группы гся(Л\ А, дг0)^можно определять как гомотопиче-
гомотопические классы (относительно „семейства {S", A, s0, x0}) отображений
тройки (е", S"'1, s0) в тройку (X. А, х0). Из того, что при п > 2
существует вращение шара Е", оставляющее неподвижной точку s0
и меняющее местами полушары, на которые разбивается шар Е"
экваториальной плоскостью, проходящей через точку s0, можно без
Ш Гл. IV. Гомотопический tpynnu *
труда вывести, что при л > 2 группа пп (X, А, х0) абелева. Этот
важный факт непосредственно следует также из доказываемого ниже
предложения 3.1.
Группа тс2 (Л', А, х0), вообще говоря, не абелева.
Введем теперь понятие производной тройки, которым мы будем
в дальнейшем часто пользоваться. Пусть
Т = (Х, А, х0)
— произвольная тройка. Рассмотрим пространство путей X' ¦«
~[Х; X, х0] и начальную проекцию р\ Х'~+Х; см. п. 10 гл. III.
Пусть ¦ •
А'**р-ЦА)**[Х; А, хо)сХ',
и пусть х'0?А' — вырожденная петля х'0(Г) = х0. Полученную тройку
Т' = (Х',А'.х'о)
мы и будем называть тройкой, производной of тройки Т. Ото*
бражение
р: (Х\ А', х'0)-+(Х. А, х0)
мы будем называть производной проекцией.
Предложение 3.1. Для любого л>0 имеет место равенство
«„(*. А, хо)хжия_^А'. х'о).
Доказательство. При п = 1 это равенство очевидно, так как
левая и правая его части представляют собой множество всех ком-
компонент линейной связности пространства А'.
Пусть теперь п>1. Так как, согласно теореме 9.9 гл. III,
имеет место равенство X1 =*(Xl) , to
Р\Х, A, xd**F*-liA', x'o),
и потому группы ъп(Х, А, х0) и itn-i{A , jco) как множества совпа-
совпадают. Тот факт, что операции, определенные в этих группах, также
совпадают, проверяется автоматически. ¦
Как мы уже говорили, из предложения 3.1 немедленно вытекает,
что при п > 2 группа ¦*„ (X* А, ж0) абелева. Кроме того, из него
также следует, что любую относительную гомотопическую группу
можно интерпретировать как фундаментальную группу некоторого
пространства.
Поскольку граница д!" куба Iя при п > 1 линейно свявна, спра-
справедливо
Предложение 3.2. Для любого п > 1 имеет место равенство
кп(Х, Л, хо)^пп(Хо, Ац, лг„),
4. Граничный оператор - 161
где Хо~ и Ао— содержащие точку х0 компоненты линейной
связности пространств X и А соответственно.
В дальнейшем нам будет часто полезно также следующее
Предложение 3.3. Если класс а^«я(Аг, А, х0) содержит такое
отображение f?Fn(X, А, х^, что f(In)cA, то а — О.
Доказательство. Поскольку /? Fn{X, А, х0) и /(/")с:А формула
tn-t-tn)
определяет некоторую гомотопию ff?F"(X, A, x0), O^t^l. Так
как /„ = / и fl(Ia) = x0, то а = 0. ¦
В качестве примера на применение предложения 3.3 докажем
следующее
Предложение 3.4. Если для тройки (X, А, х0) пара (X, А)
является относительной п-мерной клеткой, то ът(Х, А, х6) = 0
при О < т < п.
Доказательство. По определению относительной п-мерной клетки
(см. п. 7 гл. I), пространство X получается приклеиванием шара Е"
к пространству А посредством некоторого отображения g: 5"~1->Л,
определенного на граничной (п—1)-мерной сфере 5" шара Еп.
Пусть е0 — произвольная внутренняя точка этого шара. Как мы знаем
(упр. S гл. I), подпространство А является сильным деформационным
ретрактом пространства X \ е0.
Пусть теперь a^icm(Ar, А, х0), где 0 < т < п, и пусть /^-про-
/^-произвольное отображение класса а. Так как т < га, то, как легко
видеть, точку е0 можно снять с образа отображения /, подвергнув
последнее некоторой гомотопии относительно семейства {/т~\ А;
Jm~l, х0). Поскольку подпространство А является сильным дефор-
деформационным ретрактом пространства X \ е0, отсюда вытекает, что
существует гомотопия
/,: (/т, Iя-1, Jmll)-+(X, A, x0), 0<
для которой /о = / и /j(/m)c: А. Следовательно, согласно предло-
предложению 3.3, а = 0. Таким образом, ът(Х, А, д;0) = 0. ¦
4. Граничный оператор
В этом пункте мы для каждой тройки (Л", А, х0) и любого
п > 0 определим некоторое отображение
д: *„(*• А> xo)-+'*n-i(A' xo)-
называемое граничным оператором.
11 Ху Сы-цзяи
162 Гл. IV. Гомотопические группы
Пусть а—.произвольный элемент] группы кп(Х, А, л:0). По опре-
определению, элемент а представляет собой гомотопический класс ото-
отображений
(и')
При я = 1 образ /(Z") куба I"'1 при отображении / представляет
собой точку подпространства А, причем компонента линейной связ-
связности Р6тел-1(ч4> х0) пространства А, содержащая эту точку, не
зависит, очевидно, от выбора отображения / в классе а. При я> 1,
ограничение f\tn-i отображения / на кубе I"'1 является отображе-
отображением пары. (/""', dl") в пару (А, х0) и, следовательно, определяет
некоторый элемент р ? icn_, (А, х0), также не зависящий от выбора
отображения / в классе а?пп(Х, А, х0). Мы определяем указанное
выше отображение д формулой д (а) = р.
Из этого определения немедленно вытекают следующие предло-
предложения:
Предложение 4.1. Граничный оператор д переводит, нуль
Множества ъх(,Х, А, хй) в нуль множества по(А, х0).
Предложение 4.2. При п > 1 граничный оператор д является
гомоморфизмом. ¦'¦' '•¦"
5. Индуцированные гомоморфизмы
Пусть {X, А, х0) и (К, В, у0) — произвольные тройки. Отобра-
Отображением тройки (X, А, х0) в тройку (К, В, у0) мы называем ^нобое
непрерывное отображение /: (X, A, xo)-*-(Y, В, у0) пространства X
в пространство К, переводящее подпространство А в подпростран-
подпространство В и точку х0 — в точку у0.
Поскольку каждое такое отображение / непрерывно, оно пере-
переводит компоненты линейной связности пространства X в компоненты
линейной связности пространства К и потому индуцирует некоторое
отображение
переводящее, очевидно, нуль множества ко(Х, х0) в нуль множе-
множества ico(K, у0).
Пусть теперь и > 0. Для любого отображения <f?F"(X, А, х0)
композиция /ер принадлежит множеству F"(Y, В, у0), так что, пола-
полагая /ф(ср) = /ср, и мы получим некоторое отображение
f#:Fn(X, A, xo)-+Fn,(Y, В, у0).
Поскольку отображение /^, очевидно, непрерывно, оно переводит
компоненты линейной связности пространства Fn(X, А, х0) в ком-
5. Индуцированные гомоморфизмы . 163
поненты линейной связности пространства F"(Y, В, у0),. и потому
индуцирует некоторое отображение
/.:«.(*<г Л, *„)-*«„ (К. В, у0),
очевидно,, также переводящее нуль в нуль.
При я = 1, А = х0, В = у0 или при я > 1 множества те„ (Л\ А, х0)
и «„(К, В, у0) являются группами. Легко видеть, что для любых
отображений ср, ty?Fn(X, А, х0) имеет место равенство
из которого немедленно следует, что индуцированное отображение Д
является в этом случае гомоморфизмом. Мы сформулируем устано-'
вленные свойства отображения Д в виде следующих двух предло-
предложений:
Предложение 5.1. Индуцированные отображения Д: по(Х, xQ)->
->«„(К, уо) и /.: ^i^» А> хо)-*¦*!(?' В' Уо) переводят нуль
в нудь.
Предложение 5.2. При я = 1, А = х0, B = yQ или при я>1
индуцированные отображения /. являются гомоморфизмами.
Во ивбежание излишних оговорок мы иногда отображение Д
будем называть гомоморфизмом и в случаях, к которым относится
предложение 5.1.
Рассмотрим теперь производные тройки (Х\ А', х'Л и (У, В', у'Л.
Пусть » .
р: (X'. A', x'Q)-*(X, A. xQ), г. (У. В', y'Q)^(Y, В, у0)
— соответствующие производные проекции. Как мы знаем (см. п. 14
гл. III), любое отображение /: (X, A, xo)-+(Y. В, у0) индуцирует
некоторое отображение
причем легко видеть, что отображение f переводит пространство X'
в пространство У', подпространство А' — в подпространство В' и
точку x'Q—в точку y'Q. Поэтому оно индуцирует отображение
/': (Х\ A', x'Q)^(V, В', у'о),
которое удовлетворяет равенству rf=zfp и называется отображе-
отображением, производным от отображения /. Рассмотрим гомоморфизм
индуцированный отображением./ = /'|д-. Ясно, что, в силу укаван-
ного в предложении 3.1 отождествления, этот гомоморфизм совпа-
11*
164 Гл. IV. Гомотопические группы
дает с гомоморфизмом /.:
Заметим еще, что введенный в п. 4 граничный оператор д можно
рассматривать как индуцированный гомоморфизм. Действительно,
для любой тройки {X, А, л:0) гомоморфизм
д.: «„.(Л'. *o)-»-%-i(A *<))•
индуцированный ограничением q = p\A' производной проекции р на
подпространстве Л', совпадает, очевидно, в силу указанного в пред-
предложении 3.1 отождествления, с гомоморфизмом д.
6. Алгебраические свойства
Гомотопические группы пп(Х, А, х0), граничный оператор д и
индуцированные гомоморфизмы /. обладают семью основными свой-
свойствами, которые их полностью характеризуют. В этом пункте мы
приведем три простейших свойства. Остальные четыре будут сфор-
сформулированы в следующих параграфах.
Непосредственно из определения индуцированных гомоморфизмов
тривиальным образом вытекают следующие два свойства:
Свойство I. Для любого п гомоморфизм /.: ъп{Х, А, хо)->
-+пп(Х, А, х0), индуцированный тождественным отображе-
отображением /: (Л", А, хо)-*-(Х, А, х0), является тождественным
отображением группы ъп(Х. А, х0).
Свойство II. Для любых двух отображений
/: (X, А, *0)-*(К. В, у0) и g: (К, В, yo)-+(Z, С. z0)
при каждом «!> О имеет место равенство (gf), = jm
Таким образом, для любого и соответствия (Л", AyX0)-*-i:n(X. A, xQ)
и /->•/« представляют собой ковариантный функтор.
Следующее свойство связывает граничный оператор с индуци-
индуцированными гомоморфизмами. Оно также непосредственно вытекает
из определений.
Свойство Ш. Для любого отображения /: (X, А, л:0)-*(К, В, у0)
при каждом п > 0 имеет место коммутативная диаграмма
ъп(Х, A, xQ)—->icn_i04, л:0)
«„(К, -В, yJ-Un^iB. у0).
где g: (Л. л:0)—>(fi, у0) — ограничение отображения /.
7. Свойство точности /55
Заметим, что свойство III можно легко вывести из. свойства II.
Действительно, пусть
/': (X', A'. x'0)-+(Y\ В'. У'о)
— отображение, производное от отображения /, и пусть
р: (X', А', х'0)-+(Х. A. xQ), r:(Y', В', y'Q)^(Y, В, yQ) .
— производные проекции. Пусть, далее, f = f'\, • -v q = p\( > <\
(А . XQJ [A , XQ)
и s = f |/ - 'у После указанных в предложении 3.1 и п. 5 ото-
отождествлений диаграмма (*) превращается в диаграмму
(**>
Но так как для отображений /' имеет место равенство rf'*=fp,
то sf = gq, и потому, в силу свойства II, в диаграмме (**) выпол-
выполнено соотношение коммутативности s,/. — gtqt- '
На языке теории функторов свойство III означает, что граничный
оператор д представляет собой естественное преобразование; см.
[С —Э], стр. 147.
7. Свойство точности
Пусть (X, А, х0) — произвольная тройка. Гомоморфизмы /. и jt,
индуцированные для всех п^-0 отображениями вложения
" /: (Л xQ)c(X, xQ), J: (X, хо)с(Х, А, х0),
вместе с граничным оператором д образуют бесконечную слева по-
последовательность групп и гомоморфизмов
... ^+*я+1 (*, А *о) —"* ** И, х0) —+
(X, xo)->Ui:n {X, А, х0) -?->....
Х. A, xo)-l->nQ(A, хо)-^+п0(Х, х0).
которая называется гомотопической последовательностью тройки
(X, А, х0) и обозначается символом к(Х, А, х0). ~"
Хотя мы в соответствии с принятыми выше соглашениями гово-
говорим об этой последовательности как о последовательности групп и
гомоморфизмов, все же, строго говоря, она является лишь по-
последовательностью множеств и их^етображений, в каждом из мно-
множеств которой отмечен некоторый элемент, называемый нулем, и
каждое отображение которой переводит нуль в нуль. Для каждого
166 Гл. IV. Гомотопические группы
такого отображения можно говорить о его ядре, понимая под
ним прообраз нуля из области вначений отображения, и. потому
можно ввести понятие точной последовательности, как такой
последовательности множеств с нулем й их отображений,, переводя-
переводящих нуль в нуль, в каждом члене которой (кроме последнего)
образ "входящего" отображения совпадает с ядром „исходящего"
отображения. В этой смысле мы и будем понимать следующее
Свойство IV. Гомотопическая последовательность любой
тройки (X, А, х0) является точной последовательностью.
Доказательство этого факта сводится к доказательству для лю-
любого п следующих шести утверждений: - • . .
A) УА = 0;
B) djt = O; - ¦ .
C) 1.д = 0;
D) если для элемента а.?кп(Х, х0) имеет место равенство У„(а)=0,
то существует такой элемент р?*п(Л, д:0), что /,(Р) = а;
E) если для элемента а.?кп(Х, А, х$ имеет место равенство
д(а) = 0, то существует такой элемент.P?icn(X, х6), что У„(@ = а;
F) если для элемента а?кп-1(А, х0У имеет место равенство
/t(a) = 0, то существует такой элемент р ? icn (X, А, х0), что д($) =<х.
В этих утверждениях символ 0 обозначает либо нуль некото-
некоторого множества, либо отображение, переводящее всякий элемент
в нуль.
Доказательство утверждения A). Пусть a ? icn (A, xQ),
где я > 0. и пусть f?Fn(A, л:0) — произвольное отображение
класса а. По определению, элемент jjt(a.) группы пп(Х, А, х0)
является классом составного отображения Jlf?Fn (X, А, х0). Но
ясно, что jif (/"jcz А, и потому, согласно предложению 3.3, У,/ф (а) = 0.
Поскольку элемент а произволен, это овначает, что jJt = O. m
Доказательство утверждения B). Пусть a.?i:n(X, аг„),-
где я > 0, . и пусть f^Fa(X, х0) —- произвольное отображение
класса а. По определению, элемент дДа является классом отображе-
отображения jf\,n-i =г-/|/П-1. Но f(l"~1) = xQ и потому djt(a) = 0. Следова-
Следовательно, д/т = 0. ш
Доказательство утверждения C). Пусть a ?"«„ (X, А, х0),
где я > 0, и пусть f?F"(X, А, х0) — произвольное отображение
класса а. По определению, элемент tt д (а) является классом отображе-
отображения ? = /!/в_1. Но легко видеть, что, полагая
мы получим такую гомотопию gt: /n~1-+-X, 0^.t4^. 1. что go — g,
gx A*-1)=х0 Kgt? Fn~\X, х0), если я > 1. Следовательно. /, д(а)=6
и потому itd = 0. Ш ¦
7. Свойство точности . . 167
Доказательство утверждения D). Пусть f ?Fn (X, х0)—
произвольное отображение класса а. Равенство /.(а) = 0 означает,'что
существует такая гомотопия /,:/"-> Л", 0-^/^1, что /j, = /,
/i(/") = x0 и ft?Fn(X, A, xQ) для всех /?/. Определим гомото-
пию gt:I"-+X, 0<*:<Т, полагая;
[ /a/.Ci. .... *n-v 0). если 0<2/я</..
если t^it ^2
Так как g'o =s/, g'j(/")сЛ Hf,(<?/") = x0 для всех t?I, то класс
P?icn(i4, x0) отображения gp1 обладает тем свойством, что /. (P)=ia. ¦
Доказательство утверждения E). Пусть п > 1, и
пусть f?F"(X, А, х0) — произвольное отображение класса а.
Равенство d(a)=0 означает, что существует такая гомотопия gt: I"'1 ->
-»>Л, 0<^<1, что go = f\ln-ugl(l) = xo *gt(dIHl) = Q
всех t?I. Определим частичную гомотопию ht: df" -> А, 0 <; t <; 1,
полагая :
. .,_ («:,(«). если s <=/"-', ^/,
A'(S)~i Жо. если sGJ-l.tV-
Поскольку fio = f\dln, из аксиомы о распространении гомотопии сле-
следует, что гомотопия ht обладает распространением f,:In->X,
0</<1, для которого /0 = /. Так как /,(<?/") = hx(дГ) = х0, то
отображение f\ определяет некоторый элемент р группы •кп (X, х0).
Поскольку ft?Fn(X, А, х0) при всех *.?/, для этого элемента
имеет Место равенство У.(Р)=О. :
Пусть теперь п = 1. По определению, элемент а является клас*-
сом таких путей /: /:->X, что /@)^ Л и /A)=л:0. Условие d(a)=0
означает, что для любого пути / этого класса точка /@) принад»-
лежит той же компоненте линейной связности пространства А, что
и точка х0. Поэтому существует такая гомотопия ft: /-г* X, 0 <^ t ^ \,
что /0 = /, . /,@)? Л, ft(\)=x0 и /,(О)=ьдго. Тогда класс
P^ic^A", л:0) петли /j обладает, очевидно, тем свойством,. что
л<р)—«• ¦ ¦ ••••-<¦•
Доказательство- утвер жден ияF). Пусть я> 1, и пуств
f^Fa~1(A, xQ)—произвольное отображение класса ''а.. Равенство
/ф(а) = 0 означает, что существует такая гомотопий ft: I"~l->¦ Х\
0<* < 1, что /0 = /, /.(Г^^хо и ft(dIh-x) = xQ для всех /
Определим отображение #: 1п-±Х, полагая
168 Гл. IV. Гомотопические группы
Это отображение, очевидно, принадлежит множеству F"(X, Л,-х0)
и потому определяет некоторый элемент р группы гс„ (X, А, х0).
Так как ^|/Я_, = /, то д(Р) = а.
Пусть теперь л = 1. В этом случае элемент а является ком-
компонентой линейной связности пространств^ А, а равенство /ф(а) = 0
означает, что эта компонента содержится в компоненте линейной
связности точки х0 в пространстве X. Поэтому для любой точки х
компоненты а существует такой путь /: I-+X, что /(O) = jr и
f(\) = x0. По определению, класс Р^тс^Л", А, х0) этого пути
обладает тем свойством, что дф) = а. ¦
8. Свойство гомотопической инвариантности
Пусть (X, А, х0) и (К, В, у0)— произвольные тройки. Напомним,
что отображения
/, g: (X, A, xo)-+(Y, В, у0)
называются гомотопными (относительно семейства {А, В; х0, у0}),
если существует такая' гомотопия
ht: (X, А, xo)-+(Y, В, у„), 0<*<1,
что йо = / и hl = g.
Свойство V. Гомоморфизмы
У, В, у0),
индуцированные гомотопными отображениями fug, совпа-
совпадают для всех п.
Доказательство. Нужно показать, что /»(<x)=gp.(a) для любого эле-
элемента &?пя(Х, А, х0).
Пусть п > 0, и пусть y?Fa(X, А, х0) — произвольное отобра-
отображение класса а. По определению, элементы Д (а) и ?.(а) представляют
собой классы отображений /ср и g'cp соответственно. Но ясно, что,
комбинируя отображение ср и гомотопию h{. /~g\ мы получим го-
мотопию Н(<?, связывающую отображения /ср и g'cp. Следовательно,
/.<«)-*•(«)•¦
Пусть теперь п = 0 и потому А = х0 и В = у0. В этом случае
элементна представляет собой некоторую компоненту линейной связ-
связности пространства X, а элементы Д(а) и ^(а)—компоненты линей-
линейной связности пространства К, содержащие соответственно точки f(x)
и g(x), где х — произвольная точка компоненты а. Пусть ft,: f-~g.
Определим путь о: 1-+Y, полагая a(t)s=h((x) для всех t?I. Так
как путь о соединяет точки / (х) и g(x), то компоненты /.(а) и ?,(а)
совпадают.
9. Свойство инвариантности при расслоении 169
Напомним теперь, что отображение /: (X, А, лго)-»-(К, В, у0)
называется гомотопической эквивалентностью, если существует
такое отображение g: (К, В, ув)->{Х, А, х0), что составные
отображения gf и /g гомотопны тождественным отображениям троек
(X, А, х0) и (К, В, у0) соответственно. Из свойств I, II и V непо-
непосредственно вытекает
Следствие 8.1. Отображение /., индуцированное гомотопи-
гомотопической эквивалентностью f:(X, A, x0)—>(Y, В, у0), является
изоморфизмом группы пп(Х, А, х0) на группу и„(К, В, у0).
Таким образом, группа кп(Х, А, х0) зависит только от гомото-
гомотопического типа тройки (X, А, х0). В частности, если А — сильный
деформационный ретракт пространства X, то отображение it является
для всех я!>0 изоморфизмом группы и„(Л, х0) на группу кп(Х, х0),
откуда в силу свойства IV вытекает, что кп(Х, Л, лсо)=О для
всех п > 0.
9. Свойство инвариантности при расслоении
Пусть (X, А, х0) и (К, В, у0) — произвольные тройки, и пусть
/: (X, A, xo)->(Y, В, у0) — некоторое отображение. В этом пункте
мы будем понимать термин „расслоение" в том же смысле, как и
в п. 3 гл. III.
Свойство VI. Если отображение /: X -* К является расслое-
расслоением, a A — f~l (В), то для всех п > 0 гомоморфизм
/.: *„(*¦ Л, *„)->«„ (К, В, у0)
изоморфно отображает группу ifn(X, Л, л:0) на группу
(При п= 1 под изоморфизмом понимается здесь биективное ото-
отображение, переводящее нуль в нуль.)
Доказательство. В первую очередь мы докажем, что отображе-
отображение ft надъективно. Пусть а — произвольный элемент группы
л„(К, В, у0), и пусть
V (Iя. /""'. f-l)-»(Y. В, у0)
— произвольное отображение класса а. Так как множество Jn~l
является сильным деформационным ретрактом куба /", то, согласно
утверждению E) теоремы 3.1 гл. III, существует такое отображение
<|»: 1"-*-Х, что /<|» = <р и tf(ja~l) = xQ. Поскольку A=.f~x(B),
равенство /<j» = ip означает, что ||)(/""')сЛ, так что
ф; (Iя, /"-'. Г-1)-+(Х. А, х0).
ПО Гл. IV. Гомотопические группы
Пусть Р?%(ЛГ, А, х0)—класс этого отображения. Так как /<{i = 'f.
to /. ф) = г. Следовательно, отображение Д «адъективно..
: Докажем теперь, что отображение /. инъективно. Пусть для
элементрв. а и Р группы ica(X, А, х^ имеет место равенство
/,(а) = Д(Р). Тогда для любых отображений
ср. ф: (/", Г, /я-1)->(^. А, х0)
классов аир соответственно составные отображения /ср и /<|» при-
принадлежат одному и тому же элементу группы пп (К, В, у0). Поэтому
существует такое отображение
; F:.(/" X /. I"'1 X /. J"'1 X /)-»»(К. fl, у0).
что /="B:. 0) = /f (г) и F(z, l) = f;!?(z) для всех г^/л. Определим
теперь на подпространстве
Т=*{Г X 0)UС/" X /)UGя X 1)
произведения Iя X / отображение О: Т-+Х, полагая
еслл z?/
x0, если z?Jn-\ t ? I,
если z?In^ t = \.
O(z, t) =
Ясно, что fO = F\T. Поскольку Т, очевидно, является сильным дефор-
деформационным ретрактом пространства /" X /. отсюда, согласно утвер-
утверждению E) теоремы 3.1 гл.III, следует, что отображение О обладает
таким распространением G*: I" У. / -*-Х, что /О* = F. Но так как F
отображает произведение 1"~1 X / "в пространство В, a A = f~1(B),
то равенство fO*=sF означает, что 0*1 1п~ху,1сА. Следовательно.
О*: (/" X /, /"-1 X /, J"'1 X 1)-*(Х. А, х0).
Так как, по построению, G*(z, О) = ср(г) и\O*(z, l)=s=^(z) для всех
z ^ /", то тем самым доказано, что отображения ср и ф принадлежат
одному и тому же элементу группы пп(Х, А, х0), т. е. что <х = р.
Таким образом, отображение /. инъективно. ¦ ¦
Для групп гомологии свойство, соответствующее свойству VI,
, вообще говоря, места не имеет. Его роль играет так называемое
«свойство вырезания", которое в свою очередь для гомотопических
групп не выполняется* :
. Рассмотрим теперь производную проекцию р: (X', А'* х'Л->
-+(Х, A, Jfo). Согласно свойствам VI и IV, оба отображения
//. Гомотопические системы 171
являются изоморфизмами. При Этом если группу тея(Л\ А, х0) ото-
отождествить в соответствии с предложением 3.1 с группой яя_,(Л', дг„),
то, как легко видеть, гомоморфизм р, перейдет в гомоморфизм д.
Таким образом, можно считать, что указанное в предложении 3.1
отождествление осуществляется естественным изоморфизмом
x = dp-i: *а{Х, А, х^^ж^Л*. х'о).
§ 10. Свойство тривиальности
Если пространство X состоит из одной точки х0, то для любого п
постоянное отображение f(I") = x0 является единственным отобра-
отображением куба I" в пространство X. Поэтому имеет место следующее
Свойство VII. Если пространство X состоит только из
точки х0, то те„(X, х0) = 0 для всех п^-0.
Это свойство играет ту же роль, что и так называемая „аксиома
размерности* в теории гомологии. Поскольку, в отличие от групп
гомологии, сдвиг размерности п для групп тея(Л\ х0) никакого смысла,
по-видимому, не имеет, мы предпочитаем называть это свойство с вой -
ством тривиальности.
11. Гомотопические системы
Выше гомотопические группы к„(Х, А, х0) были определены
прямым геометрическим построением. Теперь же мы покажем, что
доказанные нами семь основных свойств этих групп вместе с „на-
„начальным условием", что множества «о(ЛГ, х0) представляют собой
множества компонент линейной связности пространства X, однозначно
определяют все группы тея(ЛГ, А, лг0) для каждой тройки (X, А, х0).
При этом окажется, что эти семь свойств можно даже несколько
ослабить.
Мы будем рассматривать системы
# = {те, д, ,},
состоящие из трех функций: те, д и .. Первая функция те каждой
тройке (X, А, х0) и каждому целому числу п сопоставляет некоторое
абстрактное множество те„(Х, А, х0) с отмеченным в нем элемен-
элементом 0, называемым нулем. Вторая функция д каждой тройке (X, А, х0)
и каждому целому числу п > 0 сопоставляет некоторое отображение
д: те„(ЛГ, А, #<))-»¦ «„_,(/!, х0),
переводящее нуль в нуль, где, как и в п. 2, в случае п=\ под
множеством тео(/1, х0) понимается множество всех компонент линейной
связности пространства А с отмеченной в нем компонентной точки х0.
172 Гл. IV. Гомотопические группы ^
Третья функция , каждому отображению /: (X, A, .*„)-> (К, В, у0)
и каждому целому числу п > О сопоставляет некоторое отображение
/,: «„(*. A, xo)-»«n(Y, В, у0),
также переводящее нуль в нуль. Такую систему мы будем называть го-
гомотопической системой, если выполнены следующие семь аксиом:
Аксиома I. Для любого п > О отображение /„, соответствую-
соответствующее тождественному отображению /: (X, А, хо)->(Х, А, х0)
тройки (X, А, х0), представляет собой тождественное ото-
отображение множества к:п(Х, А, х0).
Аксиома П. Для любых двух отображений
/: (X, А, хо)-*(У, В, у0) и g: (К, B-yo)~>(Z, С, z0)
при каждом я!>0 имеет место равенство (gf)t = gtft-
Аксиома III. Для любого отображения /: (X, A, xQ)->(Y, В, у0)
при каждом п > 0 имеет место коммутативная диаграмма
Х, А, х0) —-> гс„_1(А х0)
*»{У. в, у0) -+*„-ЛВ. у0),
где g, при я> 1—отображение, соответствующее ограниче-
ограничению g: (А, хо)-*(В, у0) отображения /, а при л= 1, — ото-
отображение 1со(Л, л:0)->1с0(в, у0) множеств компонент линейной
связности, индуцированное отображением g.
Для каждой тройки (X, А, х0) отображения /., /„, соответствую-
соответствующие отображениям вложения
i: (А, хо)<=(Х. х0), j: (X. х^с(Х, А, х0),
вместе с отображениями д образуют, как и в п. 7, бесконечную слева
последовательность, которую мы будем называть гомотопической
последовательностью тройки (X, А, х0) в системе Н.
Аксиома IV. Гомотопическая последовательность тройки
(X, А, х0) слабо точна.
Это означает, что если тс„(Л\ д:0) = 0 для всех я>0, то отобра-
отображение д для всех п > 0 является биективным отображением множе-
множества ъп(Х, А, х0) на множество wn_j(/4, д;0).
Аксиома V. Если отображения /, g: (X, xo)->(Y, y0) гомо-
гомотопны, то /, = gt для всех п > 0.
\
12. Теорема единственности • /73
Аксиома VI. Для каждой тройки (X, А, х0) отображение
р :ъп(Х', А', дГд)->1сп1(Л, лГц), соответствующее производной
проекции р: (Х\ А', х'^-*(Х, А. хоу является для всех я>0
биективным отображением.
Аксиома VII. Если пространство X состоит, только из
точки х0, то кп(Х, хо) — О при всех п > 0.
Поскольку производная проекция р: X' -> X является расслое-
расслоением, то аксиома VI является ослаблением свойства VI. Поэтому
если в группах кп(Х, А, х0) пренебречь групповой операцией, то
рассмотренные в п. 3—5 три функции it, д, t будут составлять го-
гомотопическую систему. Это доказывает существование гомотопических
систем. Впрочем, гомотопическую систему можно легко построить
и по индукции, не используя геометрических конструкций; см. упр. А
в конце этой главы.
12. Теорема единственности
Гомотопические системы Я={«, д, J и Н' = [к\ д', tt) назы-
называются эквивалентными, если для каждой тройки (X, А, х0) и
каждого п > 0 существует отображение
пп: ъп(Х. А, *„)-<(*. А, лд,
удовлетворяющее следующим условиям:
31. Отображение А„:%(^. А, х^->п'п(Х, А, х0) биективно.
32. Для каждой тройки (X, А, х0) и для каждого п > 0 имеет
место коммутативная диаграмма
кп(Х. А. х0) -A*. rcB_i(A x0)
(в случае я=1 под отображением fin_l = h0 понимается тождествен-
тождественное отображение).
ЭЗ. Для любого отображения /: {X, A, xo)-+(Y, В, у0) имеет
место коммутативная диаграмма
*„(*, А. х0) -?+«„(?, В, у0)
Семейство отображений А = {А„}, удовлетворяющих условиям
(Э1) — (ЭЗ), называется эквивалентностью между гомотопическими
Гл. IV. Гомотопические группы
системами Н и Н'. Тот факт, что^А является эквивалентностью, мы
будем записывать следующим образом:
Л: НъН'.
Оказывается, что имеет место следующая теорема (Милнор [1]):
Теорема 12.1. Любые две гомотопические системы эквива-
эквивалентны (см. Милнор A]).
Доказательство. Пусть Н — {к, д, J и Н' = [к', д', #} —произ-
—произвольные гомотопические системы. Мы построим эквивалентность
А: //«//' индукцией по числу п.
Предполагая, что для каждой тройки (X, А, х0) и любого т < п.
где п !> 1, уже построены отображения ,
удовлетворяющие условиям Э1—ЭЗ, построим отображение А„.
Пусть (X, А, х0) — произвольная тройка. Рассмотрим производ-
производную проекцию р: (X1, А',х'Л->(Х, А, хЛ. Согласно аксиоме VI,
отображения
р;*я(Х'.А'.х%-**я(Х.А,х0)
ри: <(*', А', х'0)-»*п(Х, А, х0)
биективны. С другой стороны, согласно предложению 10.1 гл. III,
пространство X' стягиваемо в точку х'о и лотому кт(Х', х'^*=0
и к'т(Х\ х'0) — 0 для всех от>0 (аксиомы I, II, V и VII). Следо-
Следовательно, согласно аксиоме IV, отображения д: кп(Х', А', х'Л-*-
-*\-i{A'- х'о) и д': <(*'• А'> xo)-*K-i(A^ х'о) биективны. По-
Поскольку, кроме того, по предположению индукции отображение Ап]:
%-i{Ar> jco)~>1cb-i(^'> x'o) биективно, можем определить отображение
кя:«а(Х.Л.х$-+*я(Х.Л.х0)
формулой
- - . A.-v'Vi*/».-1. ¦
где при п = 1 под отображением fin_l = hQ понимается тождествен-
тождественное отображение.
Очевидно, что условие Э1 выполняется, так что нужно проверить
лишь условия Э2 и ЭЗ.
Условие Э2. Пусть q = p\, , ,y Так как, согласно аксиоме III,
\л гХо)
то отображение А„ удовлетворяет условию Э2.
13. групповые операции 175
Условие ЭЗ. Пусть (У\В, у0) — произвольная тройка и
/: (X, A, x?)-*(Y, В, у0) — произвольное отображение. Кроме того,
пусть \
• г: (V. В'. y'0)-»(Y. В, у„), /'уЦ'. A', x'0)-»(Y', В', у'о) .
— производная проекция и производное отображение. Тогда fp = rf.
Положим / = /'|/и/ v-'v Так как, согласно аксиомам II и Ш,
1 л ' хо) N
то отображение й„ удовлетворяет условию ЭЗ.
Тем самым эквивалентность h={hn) между системами Н и Н'
полностью построена.
В дальнейшем эту эквивалентность мы будем называть есте-
естественной эквивалентностью. В упр. В в конце главы показывается,
что естественная эквивалентность h является единственной возможной
эквивалентностью между гомотопическими системами Н -и Н'.
Теорема единственности 12.1 показывает, что построенная в п. 3—5
гомотопическая система, по существу, является единственно возмож-
возможной системой. Отсюда, в частности, следует, что перечисленные
в п. 6—10 семь свойств равносильны более слабым семи аксиомам
из п. 11. Непосредственный вывод этих семи свойств из аксиом, без
использования геометрической интерпретации множеств 1чп(Х, А, х0),
мы оставляем читателю в качестве упражнения; см. упр. С в конце
главы.
13. Групповые операции
В последних двух пунктах было показано, что, отвлекаясь от
группового строения гомотопических, групп ъп(Х, А, х0), мы можем
построенную в п. 3—5 гомотопическую систему полностью охаракте-
охарактеризовать семью аксиомами из п. 11. Таким образом для того, чтобы
полностью закончить аксиоматическое построение этих групп, мы
должны определить, какие групповые операции могут быть введены
в эту, по существу, единственную, гомотопическую систему//={ic, <?,,}.
Рассмотрим сначала множества щ{Х, х0). Согласно теореме един-
единственности 12.1, мы можем считать, что ^(Х, х^ представляет собой
множество элементов фундаментальной группы пространства X
в точке д;0. Умножение в множестве ^(Х, х0), определенное согласно
п. 5 гл. II, мы будем здесь называть обычным умножением и будем, как
и выше, обозначать его, записывая множители рядом друг с другом
без какого-либо промежуточного знака. Кроме того, в множестве
176 Гл. IV. Гомотопические группы
тс1(Х, х0) мы будем рассматривать цнверсное умножение
острое, а, Р?М*. Хо).
Для любого отображения /: (X, xo)->(Y, у0) индуцированное ото-
отображение Д: tc1(X, xo)->ici(F, у0) является гомоморфизмом как по
отношению к обычному, так и по отношению к инверсному умно-
умножению. Оказывается, что Справедлива следующая
Лемма 13.1. Обычное и инверсное умножения являются един-
единственными умножениями на множествах ^(Х, х0), относи-
относительно которых эти множества являются группами, а ото-
отображения Д, индуцированные непрерывными отображениями
f : (X, xQ)->(Y, y0), — гомоморфизмами.
Доказательство. Пусть в множествах гс1(Х, х0) задано такое
умножение а<>р, что для любой пары (X, х0) и любого отображе-
отображения /: (X, xo)->(Y, y0) множество кг(Х, х0) является группой от-
относительно этого умножения, а отображение Д — гомоморфизмом.
Мы должны доказать, что либо <хор = оф, либо <хор = ра для любых
элементов а.р^тс^А", х0). ^
Пусть Z— пространство, состоящее из двух окружностей, пере-
пересекающихся в точке z0. Согласно утверждению 5 упр. А гл. II,
группа Ttj(Z, z0) является свободной группой с двумя образующими а
п.Ь. Ясно, что для любых элементов а, р?я1(А', д;0) существует
такое отображение
/: (Z, zo)^(X, х0), . , "
что Д(а) = а и ДF) = р. При этом, так как отображение Д является
по отношению к умножению о гомоморфизмом, то
Д(а о^») = аор.
Относительно обычного умножения, определенного в группе
tcj(Z, ?0), произведение а°Ь представляет собой некоторое слово
w(a, h) от свободных образующих аи*. Поскольку отображение Д
гомоморфно и по отношению к обычному умножению, отсюда сле-
следует, что
*)] = ^[Д(а), Д (b)] = w(a, P),
т. е. что aop = w(a, p). Таким образом, остается доказать, что либо
w(a, b)=ab, либо w(a, b) = ba.
Для этого мы докажем сначала, что слово w(a, b) обладает сле-
следующими двумя свойствами:
A) w(a, l) = a, w{\, b) = b,
B) *&la, w{b, c)] — w[w{q, b), c]
пповые операции 177
(имеется в виду, что соотношение B) тождественно выполнено в сво-
свободной группе с тремя образующими а, Ь, с).
Чтобы доказать формулу A), ^ааметим, что единица 1 группы
tcj (Z, z0) является образом одноэлементного множества itj (z0, z0)
при гомоморфизме \
)?. z0).
индуцированном отображением вложения /: (г0, zo)-*(Z, z0). Следо-
Следовательно, элемент 1 является единицей и для умножения о . Поэтому
w{a, 1) = а о \ = а, w{\, b)=l ob — b.
Чтобы доказать тождество B), мы рассмотрим пространство X,
состоящее из трех окружностей, касающихся друг друга в одной и
той же точке х0. Как мы знаем (см. утверждение 5 упр. А гл. II),
группа ,1^ (А", д;0) является свободной группой с тремя образую-
образующими a, b и с. Поскольку в этой группе а ° b = w(a, b) и ioc =
= w(b, с), тождество B) немедленно вытекает из ассоциативности
умножения о .
Покажем теперь, что если приведенное слово да (a, b) свободной
группы с двумя образующими удовлетворяет условиям A) и B), то
либо да (a, b) = ab, либо w{a, b)=*ba. Доказательство представляет
собой довольно длинное, но, по существу, простое упражнение
в действиях над приведенными словами.
Пусть w(a, b) — приведенное слово, удовлетворяющее усло-
условиям A) и B). Ясно [см. условие A)]. что w(a, Ь)Фат. Пусть
да(a, b) = am*bn^ ... am*bn*amk+i,
где все показатели /и,, nv .... mk, nk и тк+1 отЛичны от нуля.
Покажем, что это равенство также невозможно.
Действительно, согласно сказанному выше, мы можем считать,
что k^. 1. С другой стороны, легко видеть, что в приведенной форме
слова (w(a\ b))m> и (w(b, с))"' имеют вид, аналогичный виду слова
w(a, b), т. е. вид
(w(a, *))m> =
(w(b, c))"> =
где все показатели отличны от нуля, причем ввиду условия A) имеют
место неравенства 7>1 и у>1. Поэтому слова w[a,w(b, с)] и
w[w(a, b), с] в приведенной форме имеют вид
да [a, w{b, ()|aeY«* ;.., ¦
w[да(«.' *), с] = aPlb9taPl ....
где все показатели отличны от нуля. Но это противоречит усло-
условию B). . , ~
12 Ху Сы-цзян
178 Гл. IV. Гомотопические группы
Аналогично w (a, b) Ф bm и
•ю (а, *) Ф bm* ап/ ... bm*a"
где все показатели mv nv .. X mk, nk и mk+l отличны от нуля.
Таким образом, либо
w(a, 0) = am>*"> ... amkbnk,
либо
- w(a, *) = *т>я"> ... bmkank,
где все показатели отличны от нуля. Если имеет место первый слу-
случай и /»j<0, то приведенная форма слова w[w{a, b), с] начинается
с ?~л*, в то время как приведенная форма слова w[a, w(b, с)] начи-
начинается с атк Так как это. противоречит условию B), то, следова-
следовательно, тх > 0. Если Bj < 0, то приведенная форма слова w[a, w{b, с)]
начинается с ат>с~"*, а слова w\w(a, b), с] — с а'*. Это также
противоречит условию B). Таким образом, в первом случае т1 > 0
и «j > 0. Но тогда слова w[a, w(b, с)] и w[w(a, b), с] в приведен-
приведенной форме имеют вид
w\a, w(b, c)] — amibmicni ....
w \w(a, b), c] = a^b** am* ... am"bnk ... c"> ....
Согласно условию B)., это возможно лишь при k = 1, так что
w(a, b) = amxbn' и потому тх = 1 и «i = l (условие 1). Таким обра-
образом, w(a, b) = ab.
Аналогично, если
w(a, b) = bm*vni ... bmkanK
то w(a, b) = ba. ¦ '
Докажем теперь следующую теорему (Милнор [1]):
Теорема 13.2. Определенная в п. 3 групповая операция и
инверсная ей операция являются единственными операциями
на множествах ъп(Х, А, *0), п^.2, и ^(Х, х0), относительно
которых эти множества являются группами, а отображе-
отображения д и Д — гомоморфизмами.
Доказательство. Пусть на множествах пп(Х, А, х0}, п^.2,
и nl(X, х0) задана некоторая операция ао^, относительно которой
эти множества являются группами, а отображения д и /. — гомомор-
гомоморфизмами. Записывая построенную в п. 3 групповую операцию мульти-
мультипликативно, мы должны показать, что для любых а и fJ произведе-
произведение а о р. равно либо ар, либо {$а. Мы докажем это утверждение индук-
индукцией по п. Согласно лемме 13.1, оно верно, если аир принадлежат
.Р<мь
базисной точки 179
множеству тег (X, х0). Пусть я$> 1. Рассмотрим построенное в п. 9
е б б
г 0
естественное биективное отображение
Так как отображение х гомоморфно по отношению к обеим группо-
групповым операциям, то
для любых элементов а и Р множества кп(Х, А, х0). Но, по пред-
предположению индукции, произведение х(а)°Х(Р) равно или произведе-
произведению х(а)х(Р)' или произведению х(Р)Х(°О- Следовательно, элемент
Х(а°Р) равен либо элементу х(аР)> т^° элементу х(Ра)- Поскольку
отображение х биективно, тем самым доказано, что аор = ар или
а о р = ра. ¦
Таким образом, наши аксиомы определяют, по существу, одно-
однозначно не только гомотопическую систему #=s={it, д, „}, но и груп-
групповые операции в множествах этой системы. Тем самым аксиомати-
аксиоматическое построение гомотопических групп полностью завершено.
14. Роль базисной точки
В любом геометрическом построении гомотопических групп
vn{X, д;0) и ъп(Х, А, х0) существенную роль играет базисная точка д;0.
В этом и следующих пунктах мы выясним значение, которое имеет
выбор этой точки, сравним гомотопические группы с различными
базисными точками и постараемся, насколько это возможно, освобо-
освободиться от необходимости выбирать эти точки.
Пусть X — произвольное пространство, и пусть лг0 и а:, —— две
его точки, соединенные путем
а: 1->Х, о@) = *0, 0A) = ^.
По определению (см. п. 2), множество Kq(X, хо) = по(Х, хг)
представляет собой множество всех компонент линейной связности
пространства X. При этом, поскольку точки лг0 и хх принадлежат
одной . компоненте линейной связности, нули множеств по(Х, х0)
и «о(Л', Xj) совпадают. Пусть о0: 1со(Л\ х1)->чс0(Х, х0)— тождест-
тождественное отображение множества ic0{X, x1) = v:0{X, x0).
Теорема 14.1. Для любого я>0 путь a: I-+X определяет
изоморфизм
ап:кп(Х, х{)яисп(Х, х0), лг0=5=о@), ^ = 0A),
зависящий только от гомотопического класса пути а {относи-
{относительно концов 0 и 1 отрезка /}. Если путь <з вырожден-, т. е.
а (/) = х0, то изоморфизм аа представляет собой тождвствен-
12*
180 ' Гл. IV. Гомотопический группы
ный автоморфизм группы пп(Х, /0). Если пути а и х обладают
тем свойством, что т@) = оA)/ото . (от)л = о„тп. Для каждого
пути о: / -> X и каждого отображения /: X -> К имеет место
коммутативная диаграмма
кп(Х, Xl)-Ui:n(X,X0)
4
где * = /о, уо = /(д;о) и yi
Из этой теоремы непосредственно вытекает
Следствие 14.2. Для любого п^- 1 фундаментальная группа
ni(X, х0) естественным образом определяется как группа one-
раторов группы ъп(Х, х0).
Доказатвльство теоремы 14.1. Пусть а — произвольный элемент
группы па(Х, хг), и пусть
— произвольное отобрзжение класса а. Наглядно говоря, построение
изоморфизма ап состоит в том, что мы протаскиваем образ гра-
границы д!" куба /" по пути о назад к точке х0, заставляя образ самого
куба тянуться за ним произвольным образом. Отображение (/", (?/")->
->(Х, х0), полученное после такого протаскивания, и определяет
элемент р = оп(а) группы к„(Х, х0).
Для того чтобы обосновать это построение, мы в первую очередь
докажем существование такой гомотопии ft: In->X, 0<?<1, ото-
отображения /, что ft (df) = оA — t) для всех t? I. С этой целью мы
рассмотрим частичную гомотопию <pt: dI"-*-X, O^.t^.1, отображе-
отображения /, определенную формулой <p,(d/") = o(l — t), t?I. Так как,
согласно предложению 9.2 гл. I, Граница д/п куба /"абсолютно удо-
удовлетворяет аксиоме о распространении. гомотопии, то гомотопия <р(
обладает таким распространением /,: I"-*X, Q^.t^.1, что /0 = /-
Построенную гомотопию f, мы будем называть гомотопией отобра-
отображения у вдоль пути а.
Поскольку отображение f1 переводит границу д!п в точку
o@) = Jt0, оно определяет некоторый элемент р группы vn(X, хо).
Тот факт, что элемент-р зависит только от элемента а и гомотопи-
гомотопического класса пути о, непосредственно вытекает из следующей
леммы:
Лемма 14.3. Пусть отображения /, g: (/". df")->(X, *,)
гомотопны относительно границы д!п куба I", и пусть пути
о, г; / -> X гомотопны относительно концов 0 и 1 отрезка I.
Тогда для любых гомотопии ft, gt: 1л—*-Х, O^^^l, отобра-
14. Роль базисной точки 181
жений fug вдоль путей о и х соответственно отображе-
отображения fx и gi гомотопны относительно границы df куба I".
Доказательство. Пусть отображения F, G:f"Xf->X опреде-
определены гомотопиями ft и gt соответственно. Соотношения /'—g и
а~х означают, что ограничения F\A и G\A этих отображений на
подпространстве А = (/" X 0) U (df X I) прямого произведения /"X/
гомотопны относительно подпространств df X 0 и df X 1- Поскольку,
согласно предложению 9.2 гл. I, подпространство А пространства
/" X / абсолютно удовлетворяет аксиоме о распространении гомото-
пии, существует такая гомотопия Ft\ I" X 1—>Х, Q^t^\, что
Fe = F, F^^O^ и Ft(dInXi) — x0 для всех /?/. Отображе-
Отображение Z7, представляет собой гомотопию hf. f-*-X, Q^Lt^l, ото-
отображения g вдоль пути т. Так как Ft(dI"X l) = *o Ддя всех t?f,
то отображения fx и hx гомотопны относительно df, и потому для
доказательства леммы достаточно доказать, что отображения gx и hx
гомотопны относительно df.
Определим отображение М: f X f-> X, полагая
если
М(р, ?) = { * *""'
hq-\ (/>)• если -2-<?<1.
Так как М (р, q) = M (р, 1 —q) при /»g d/", то формула
М (р, q), если р ? /", ^ ? д/,
М(/», ? — tq), если p?df, 0<^<y,
1
Wf(/>. 1—7), если
определяет некоторую частичную гомотопию Nt:B->X, ^^
отображения М на подпространстве В = d (/" X О = (д/л X О U
U (/" X dl) пространства /" X /• Поскольку подпространство В про-
пространства /" X ' абсолютно удовлетворяет аксиоме о распростране-
распространении гомотопии, существует такое распространение Mt: /" X I-* X,
0<*<1, гомотопии^, чтоуИ0 = Ж. Пусть kt :/"-*• X, 0<^<1,—
гомотопия, соответствующая отображению Mv Так как ko = g1,
A, ^s Aj и А, (д/л) = Mj (д/л X *) = *0 для всех t?f, то отображе-
отображения g'j и Aj гомотопны относительно границы df. Ш
Вернемся к доказательству теоремы 14.1. Поскольку три послед-
последних утверждения теоремы 14.1 для построенного выше отображения
очевидны, нам нужно лишь доказать, что отображение оя является
изоморфизмом.
182 Гл. IV. Гомотопические группы
Пусть а и р — пролзвольные'элеМёнты группы пп(Х, хг), и пусть
/. g' (/". д1")-*-(Х. хг) — произвольные отображения классов аир
соответственно. По определению, элементы ая(а) и ая(E) являются
классами отображений /, и gv получающихся при некоторых гомо-
топиях fv gt: In-*-X, 0<*<^ 1, отображений / и g вдоль пути о.
Рассмотримгомотопию А,: /"->X, 0<[t<[ 1, для которой ht = f(-\-gt.
Так как отображение h0 определяет элемент ot-|-(J. отображение
А, — элемент о„(а)-|-ол(E), а гомотопия ht представляет собой гомо-
гомотопию вдоль пути о, то ол (a -f- E) = оя (а) -\- ая (fj). Таким образом,
отображение оя является гомоморфизмом.
Для того чтобы доказать, что гомоморфизм ол является изомор-
изоморфизмом, мы рассмотрим путь т(/) = оA—/), обратный пути о. По
соображениям симметрии достаточно доказать, что отображение оя
эпиморфно, а отображение тл мономорфно. С этой целью мы рас-
рассмотрим произведение от. Так как это произведение гомотопно вы-
вырожденной петле в точке х0 относительно концов 0 и 1 отрезка /,
то гомоморфизм (от)я представляет собой тождественный автоморфизм
группы тс„ (X, х0). Но поскольку (ох)я = ояхя, это возможно лишь
тогда, когда отображение ап эпиморфно, а отображение тя моно-
морфио. Тем самым теорема 14.1 полностью доказана. ¦
Согласно этой теореме, для любого линейно связного простран-
пространства X все группы ъа(Х, jr0) с различными базисными точками хо?Х
изоморфны между собой. Другими словами, группа пп(Х, х0), рас-
рассматриваемая как абстрактная группа, не зависит от базисной точки х0
и может быть обозначена просто через -кп(Х). Эту группу мы будем
называть п-мерной абстрактной гомотопической группой ли-
линейно связного пространства X. В этих обозначениях
= 0. при
ПРИ «<»;
Рассмотрим теперь пространства петель
Г — f У'• ir v 1 И7 —— f У* ¦* ^ 1
в которых отмечены вырожденные петли «»0?W0 и i»^^,. Каждому
пути о: I-+X, соединяющему точки х0 и л,, мы отнесем отображе-
отображение ^ W_y~>Wu, сопоставляющее'петле w^W1 петлю l(w)^W0, опре-
определенную формулой
0C/), если 0<f<:-i-,
wCt—1), если -я-
2
о C — 3ft, если -к-
14. Роль базисной точки
183
Наглядно можно представлять себе, что петля \{w) получается, если
проходить сначала путь о, затем петлю w и, наконец, путь о в об-
обратном направлении.
С другой стороны, путь а индуцирует путь rf. I-±W0, сопо-
сопоставляющий каждому. s ? / петлю t\ (s) ? Wo, определенную формулой
fo (*)](') —
eCrt).
a(s),
если
если
о Cs — 3st), если -|
2_
1.
Очевидно, что ti@) = wo и
Предложение 14.4. Для любого пути а имеет место комму-
коммутативная диаграмма
. х0)
где п — произвольное положительное число, % —построенное
в п. 9 естественное отображение, ап и \_г — изоморфизмы,
порожденные путями а и у соответственно, а 5, — гомомор-
гомоморфизм, индуцированный отображением %.
Доказательство. Пусть а,?пп(Х, *,), и пусть /: (/", д!")-*-
~+(Х, xt) — произвольное отображение класса а. Без труда про-
проверяется, что как класс оя(а), так и класс Х~171я-Д*Х(а) содержат
одно и то же отображение g: (/", <?/")-> (X, х0), для которого
0C8@). n ^ l
«40»
если
/C/, —1 Ып— 1), если
где <s=(^ tn) — произвольная точка куба/", a 6(f) — наимень-
наименьшее из 2я действительных чисел fj, .... tn, I—f,, .... 1—tn. Ш
Свойство операций ап, утверждаемое предложением 14.4, одно-
однозначно характеризует эти операции. Чтобы точно сформулировать
-этот факт, мы будем говорить, что в гомотопической системе
// = {«, д, „} задана система операций, если для любого я>-0
каждому пути о: I-+X произвольного пространства X поставлено
в соответствие некоторое отображение
184 Гл. IV. Гомотопические группы
являющееся при п = О тождественным отображением множества
ко(Х, jdj) = ето(Л", х0) и для каждого л^.1 удовлетворяющее пред-
предложению 14.4. Поскольку предложение 14.4 означает, что оп ==¦
= Х~1^я_1^х> мы индукцией по я немедленно получаем, что имеет
место следующая
Теорема 14.5. В каждой гомотопической системе Н = {тс, д, ,}
существует одна и только одна система операций, причем для
любых двух 'гомотопических систем Н и Н' естественная
эквивалентность h: Н да Н' перестановочна с операциями оя,
определенными в системах Н и Н' соответственно.
Аналогичным образом каждому пути а: I-> А можно сопоставить
некоторую операцию оя в относительных гомотопических группах,
которая обладает сходными свойствами; см. упр. D в конце этой
главы.
15. Локальные системы групп
Построенные в предыдущем параграфе операции ап оправдывают
введение следующего общего понятия (см. Стинрод [1]).
Говорят, что в пространстве X задана локальная система
групп {Ох}, если
ЛСГ1. Каждой точке х ? X отнесена некоторая группа Ох.
ЛСГ2. Каждому пути о: 1->Х, соединяющему точки jc0 и xv
отнесен некоторый гомоморфизм о г Ох -*¦ Ох.
ЛСГЗ. Гомоморфизм о , отнесенный вырожденному пути а (/) = л;0,
является тождественным автоморфизмом группы 0Хо-
ЛСГ4. Если пути а, х: /-> X эквивалентны, т. е. если а@) = т@),
аA) = хA) и пути о и х гомотопны относительно концов 0 и 1 от-
отрезка /, ТО 0? = T .
ЛСГ5. Для любых путей а, т: 1-+Х, удовлетворяющих соотно-
соотношению аA) = х@), имеет место равенство (ах),. = Oy/c^.
Согласно теореме 14.1, для любого пространства X и любого
целого числа я>0 гомотопические группы \ъп(Х, хо)\ хо? X] со-
составляют локальную систему групп в пространстве X. Аналогично
относительные гомотопические группы {^^(Х, А, ¦ хо)\Хр?А) со-
составляют локальную систему групп в подпространстве А простран-
пространства X.
Из условий ЛСГЗ — ЛСГ5 легко следует (см. доказательство тео-
теоремы 14.1), что каждое отображение о., является изоморфизмом.
Таким образом, если пространство X линейно связно, то все группы Gx,
х?Х, изоморфны.
Напомним, что мультипликативная группа Н называется группой
операторов аддитивной группы О, если любым элементам Л?#
и. g? О поставлен в соответствие некоторый элемент hg?Q, причем
15: Локальные системы групп 185
выполнены следующие условия:
2) = h
где gv g2, g?G, hv hv h?H и 1 ?H — единица группы Н. В этом
случае говорят также, что группа Н действует на группе -G.
Поскольку элементами фундаментальной группы ¦к1 (X, х0)
являются гомотопические классы петель пространства X в точке х0
относительно концов 0 и 1 отрезка /, из условий ЛСГЗ — ЛСГ5 не-
непосредственно вытекает, что для любой точки л:0? X группа ^(А", д;0)
естественным образом определяется как группа операторов группы ОХа-
В частности, это справедливо и для локальной системы групп
{к:п(Х, хо)\ хо?Х). Таким образом, имеет место следующее
Предложение 15.1. Для любой точки xQ?X и любого я>0
фундаментальная группа тсх (X, х0) является группой опера-
операторов п-мерной гомотопической группы izn(X,x0).
Это предложение мы уже выше формулировали как следствие 14.2.
В случае п = \ легко видеть, что для любых двух элементов g
и h группы ¦к1(Х, х0) элемент h действует на элемент g по формуле
A5.2) h(g) = hg.tr1.
Аналогичным образам для любой точки хй?А и любого л>- 1
группа ¦к1 (А, х0) является группой операторов п-ъ ерной относитель-
относительной гомотопической группы ъп(Х, А, х0).
Рассмотрим теперь два гомотопных отображения
f,g:X->Y.
Пусть ht: X—> Y-, 0 < t <; 1, — связывающая эти отображения гомо-
топияХАо = /, hl=g). Произвольно выбрав некоторую точку хо?Х,
рассмотрим путь о: /-»-К, определенный формулой
o(t) = ht(x0), . t?I.
Ясно, что а@)=уо и оA) = у,, где уо = /(*„), yl = g(xo). Пусть
xo)^vn(Y, у0), g«: Kn(X; xQ)^*n(Y, у,),
— гомоморфизмы, индуцированные отображениями fug соответ-
соответственно,- и пусть
ап- ^niY> yi)~-+Kn(Y> Уо)
— изоморфизм, определенный путем а. ^
Предложение 15.3. Имеет место равенство
Доказательство. Пусть а?кп(Х, х0), и пусть tp: С". д/")->
(Х, х0) — произвольное отображение класса а. Определим гомо-
186 Гл. IV. Гомотопические группы
топию ф/. /Я->К, 0<*^1, полагая ф, =±А,<р для всех t?I. Ясно,
что отображение ф0 принадлежит классу /, (а), а отображение <lft —
классу ??»(<*)• Кроме того, ф, (<?/") = о (f) для всех *?/. Поэтому
/,(«)=«/.(«)¦ ¦
Следствие 15.4. Если отображения /, g1: -Y->K гомотопны
и обладают тем свойстгом, что f(xo) = yQ = g(xo), то суще-
существует такой элемент w?ie,.(K, y0), что ft = wgt-
Докажем теперь следующее
Предложение 15.5. Для любого я>0гомоморфизм/,:тся(^, jco)->-
->-1{я(К, у0), где Уо — /(хо), индуцированный гомотопической
'эквивалентностью f\X-*Y, является изоморфизмом'.
Доказательство. ¦ Поскольку отображение / является гомотопи-
гомотопической эквивалентностью, существует такое отображение g: Y -> ^f,
что каждое из отображений g1/ и fg гомотопно соответствующему
тождественному отображению. Пусть Xi=^g(y0), и пусть
— гомоморфизм, индуцированный отображением g.
Пусть, далее, ht: X-+X, O^^^l, — такая гомотопия, что
fiQ — gf и ht = lX' где 1^'—тождественное отображение простран-
пространства X. Определим путь а: 1->Х, полагай о (t) = ht (x0) , для всех
t?I. Тогда, согласно предложению 15.3, имеет место равенство
Поскольку отображение ап изоморфно, отсюда следует, что
отображение Д мономорфно. а отображение g^ эпиморфно. Так как
отображение - g также представляет собой гомотопическую эквива-
эквивалентность, то по тем же соображениям, отображение gr, мономорфно.
Следовательно, отображение g, изоморфно и f* = g*l°n- ¦
Аналогично для любой гомотопической эквивалентности /: (X, Л)->
<->(/, В) гомоморфизм
/.: *,(*, А, хо)-+кп(У, В, у0), f(xo) = yo,
является при каждом п > 1 изоморфизмом.
16. Гомотопически простые пространства
Локальная система групп {Ох} в пространстве X называется
простой, если для любых точек х0, хх?Х, принадлежащих одной
компоненте линейной связности пространства X, гомоморфизм
°В : О'г, -> Ох, не зависит от выбора пути а, соединяющего эти точки.
Говорят, что группа W операторов группы О тривиально дей-
действует на группе О, если wg = g для всех w?W и g(z<3.
16. Гомотопически простые пространства 187
Предложение 16.1. Локальная система групп {Ох[ в про-
пространстве X тогда и только тогда проста, когда для каждой
точки хо?Х группа ^(Х, х0) тривиально действует на
группе Ох„.
Предложение 16.2. Локальная система групп {Gx} в линейно
связном пространстве X тогда и только тогда проста, когда
существует такая точка хо?Х, что группа ^(Х, х0) три-
тривиально действует на группе ОХь.
Доказательства этих предложений оставляются читателю.
Следствие 16.3. Каждая локальная система групп \ОХ)
в одно связном пространстве X проста.
Пространство , X называется гомотопически простым в раз-
размерности п > 0 (или, короче, п-простым), если локальная система
[¦кп(Х, xo)\xQ? X] я-мерных гомотопических грунп пространства
X проста.
Из предложений 16.1 и 16.2 немедленно вытекают следующие
предложения:
Предложение 16.4. Пространство X тогда и только тогда
п-просто, когда для каждой точки xQ?X группа ^(Х, х0)
тривиально действует на группе пп(Х, х0).
Предложение 16.5. Линейно связное пространство X тогда
и только тогда п-просто, когда существует такая точка
х0 ? X, что группа tcj (X, х0) тривиально действует на группе
*„(*• хо)-
Следствие 16.6. Односвязнов пространство п-просто для
всех п > 0.
Следствие 16.7. Если кп(Х) = 0, то линейно связное про-
пространство X п-просто.
Следствие 16.8. Линейно связное пространство X тогда и
только тогда {-просто, когда группа ^(Х) абелева.
В частности, m-мерная сфера Sm л-проста для всех т > 0 и п > 0.
Геометрический смысл условия я-простоты выясняется следующей
теоремой:
Теорема 16.9. Пространство X тогда и только тогда
п-просто, когда для любой точки хо?Х и любой точки so?Sn
гомотопные отображения /, g: S" -+Х, обладающие тем свой-
свойством, что f (so)=xxt=g (s0), гомотопны относительно точки s0.
Доказательство- Необходимость. Если пространство X
л-просто, то, согласно предложению 16.4, группа ^(Х, х0) три-
тривиально действует на группе тся (X, х0). Пусть ht: S"-± X, 0<^<11,—
гомотопия, для которой Ао = / и h1t=.g. Определим путь о:/->Х,
188 Гл.. IV. Гомотопические группы
полагая a(t) = ht(x0) для всех /?/. Поскольку о@) = л:0 = бA),
путь о является петлей и потому определяет некоторый элемент w
группы ¦ tcj (X, х0). Из результатов п. 14, 15 непосредственно сле-
следует, что а?=теф, где а, $?%п(Х, х0)—гомотопические классы относи-
относительно точки sQ отображений / и g соответственно. Но группа
«j (Л', *0) тривиально действует на группе кп(Х, х0), и потому теф = [J,
т. е. а = р. Следовательно, /~grels0.
Достаточность. Пусть w — произвольный элемент группы
«j (X, х0), и пусть о — произвольная петля класса w. Аналогично
пусть а — произвольный элемент группы ъп(Х, х0), и пусть
/: (Sn, sQ) -*¦ (X, х0) — произвольное отображение класса а. По опре-
определению, элемент wa группы izn (X, х0) является классом некоторого
отображения g:(Sn,s0)->(X,x0), причем f~g; Но, согласно
условию, /~grels0, и потому wa = a. Поэтому, согласно предло-
предложению 16.4, пространство X л-просто. ¦
Из этой теоремы вытекает следующее
Предложение 16.10. Любая линейно связная топологическая
группа п-проста для всех я > 0.
Доказательство. Пусть X—линейно связная топологическая группа
с единицей jr0. Пусть, кроме того, /, g: Sn^>X—такие гомотоп-
гомотопные отображения, что f(sQ)=x0 = g(sQ). Исходя из произвольной
гомотопии ht: S"->X, O^.t^.1, связывающей отображения / и g,
мы определим гомо/гопию kt:S"->X, O^.t^.1, полагая
Так как ko= f, kx = g и kt(s0)~x0 для всех t?J, то / — grels0.
Следовательно, согласно предложению 16.9, пространство X
я-просто. ¦
Аналогичное предложение имеет место для любых //-пространств;
см. упр. G в конце этой главы.
Полезность понятия я-простоты обусловливается в основном тем,
что для любого линейно связного я-простого пространства X рас-
рассмотренная в п. 14 абстрактная группа ъл(Х) допускает естествен-
естественное геометрическое определение.
Действительно, рассмотрим множество всех гомотопических клас-
классов отображений л-мерной сферы 5" в пространство X, т. е. мно-
множество всех компонент линейной связности пространства отображений
Это множество мы будем обозначать символом кп(Х), имея в виду
отождествить его в дальнейшем с абстрактной группой •гс„(Аг).
Произвольно выбрав базисную точку хо?Х, рассмотрим под~
пространство ^ пространства Ф. состоящее из всех отображений
16. Гомотопически простые пространства - 189
f:S"-+X, для которых f(s0)*=x0. По определению, компоненты
линейной связности пространства *Р являются элементами группы
¦к„(Х, х0), так что отображение вложения ТсФ индуцирует неко-
некоторое отображение
Лемма 16.11. Если пространство X линейно , связно и
п-просто, то отображение х биективно.
Доказательство. Пусть а?пп(Х), и пусть /: S" —>X — произ-
произвольное отображение класса а. Поскольку пространство X линейно
связно, существует такой путь о: I-&X, что a@) = jro и оA) =
= x1 = f(s0). Соображения, использованные в п. 14 при построении
изоморфизма ап, показывают, что существует такая гомотопия
ff:Sn-+X, 0<*<1, что /0 = / и ft(s0) = o(l— t) для всех
t? I. Поскольку fx ? ЧГ, отображение fx определяет некоторый эле-
элемент E группы кп(Х, л;0). Так как ft: /o-^'/j, tq x(fJ) = a. Следо-
Следовательно, отображение х надъективно.
С другой стороны, пусть а и [J—такие элементы группы к:п(Х, х0),
что Х(а) = Х(Р)- Пусть, кроме того, /, g: Eя, so)-+(X, х0) — произ-
произвольные отображения классов х и р соответственно. Так как х(а) =
— ХФ)- т0 f~8 и потому, в силу теоремы 16.9, f~gte\s0.
Следовательно a = р. ¦
Перенося с помощью биективного отображения х сложение, опре-
определенное в группе кп(Х, л;0), в множество т:п(Х), мы, очевидно,
превратим это множество в группу, а отображение х — в изоморфизм.
Так построенный изоморфизм % мы будем называть каноническим
изоморфизмом.
Покажем теперь, что построенная в множестве ъп(Х) групповая
операция не зависит от выбора точки хо?Х. С этой .целью мы
укажем для этой операции явное геометрическое построение.
Пусть 5" и 5"—полусферы, определенные неравенствами tn^,0
и tn^0 соответственно, где (?0, .... ?„)—"произвольная точка
сферы 5". Тогда базисная точка s0 = A, 0, ..., 0) будет принадлежать
экватору
1
Пусть, далее, а и [J — произвольные элементы группы vn(X), и
пусть / и g — такие отображения классов а и [J соответственно, что
Определим отображение h:Sn-*X, полагая
( /(S). если s
h(s)=\
I g(s),
190 Гл. IV. Гомотопические группы
Ясно, что это отображение принадлежит классу а —|- р (мы исполь-
используем здесь аддитивную запись даже при я=1; это удобно, ибо,
согласно следствию 16.8, группа щ(Х, х0) абелева).
Пусть теперь xl?X. Поскольку пространство X линейно связно,
существует такой путь о: 1->Х, что a@) = jr0 и o(l)a±:je1. Легко
видеть, что существует такая гомотопия Д': S"^>X, 0^/<?1.'что
/о = / и ft(Sn+) = a{t) для всех /?/. Аналогично существует такая
гомотопия gt: S"^-X. 0<>"<1, что go = g и gt(Si) = a(jl) для
всех /?/. Определим гомотопию ht:S"~>X, 0^/^l, полагая
Так как Л0==Л, то Ar— h. Следовательно, отображение hx принад-
принадлежит классу a-f-E. С другой стороны, ясно, что отображение h{
получается описанной выше конструкцией из отображений Д ? а и
^, для которых
Поэтому его класс является суммой классов а и [J в сложении,
определенном выбором базисной точки х1. Это показывает, что на
самом деле элемент a -f- Р не зависит от выбора точки х0 ? X.
Таким образом, для любого линейно связного я-простого про-
пространства X мы можем из определения его я-мерной гомотопической
группы полностью исключить какие-либо упоминания о базисной точке.
Мы видим также, что гомотопические классы отображений я-мер-
я-мерной сферы S" в линейно связное я-простое пространство X обра-
образуют группу *хп(Х), изоморфную для любой точки х0?X группе
ъп(Х, х0). Если линейно связное пространство X не я-просто, то
это утверждение уже Не верно. Именно можно показать, что гомотопи-
гомотопические классы отображений S" ->Х находятся во ваимно однозначном
соответствии с классами эквивалентности группы <кп (X, х0) относи-
относительно ее группы операторов ^(Х, х0). Доказательство этого факта
мы оставляем читателю.
УПРАЖНЕНИЯ
- А. Индуктивное построение гомотопической системы
При я = 0 множество ко(Х, х0) и индуцированное отображение
Д :ко(Х, д;0)->-1с0(К, у0) однозначно определяются для каждой пары
(X, х0) и каждого отображения /: (X, xo)->(Y, y0) аксиомами
гомотопической системы. Пусть я>>1. Предположим, что при
О <[ m < я для любой тройки (X, А, х0) уже построены множества
кт(Х, А, х0), граничные операторы д и индуцированные отображе-
Упражнения 191
ния /,, удовлетворяющие всем семи аксиомам п. 11. Сопоставив
каждой тройке (X, А, х0) ее производную тройку (Л", А', х'^ и
производную проекцию р: [X'', А', х'0)-*-(Х, А, *а). мы определим
множество «„ (X, А, *„) формулой
граничный оператор д: пп(Х, A, *0)-»-icB_,(/4, *0)— формулой
<* = VViH'1 хо)-*«.-1(Л- *о). ,
где q = p\/ i r\, и отображение /,, индуцированное произвольным
отображением /: (X, A, xo)-*(Y, Bt y0) — формулой
где / — ограничение /' |/д» »v производного отображения /': (Х\
A',x'0)^(Y',B',y'0)m(A',x'0):
Проверьте, что построенная система Я = {тс, д, ,} удовлетворяет
всем семи аксиомам п. 11.
В. Теорема об эквивалентности
Рассмотрим две гомотопические системы
¦//={*, д, ,) и Я'={ТС', d', tt}
и их естественную эквивалентность h = \hn): Н«Н', построен-
построенную в п. 12. '
_Мы будем говорить, что задано допустимое преобразование
k=[kn) системы Н в систему Н', если при любом я>0 каждой
тройке (X, А, х0) сопостаэлено такое отображение
кп: к(Х, Л хо)-**'„(Х, А, х0),
что выполнены следующие условия:
ДЦ 1. При любом я>0 для каждой тройки (X, А, х0) имеет
место соотношение коммутативности к„_1д = д'кп, где в случае
я = 1 под отображением k0 понимается тождественное отображение.
ДП 2. При любом п > 0 для каждого отображения /: (X, А, х0)-*
->(К, В. у0) имеет место соотношение коммутативности *„/, = /+,*„•
Из условий Э1, ЭЗ и Э4 (см. п. 12) следует, что любая экви-
эквивалентность систем Н и Н' является допустимым преобразованием.
Докажите следующую теорему:
Теорема об эквивалентностях. Любое допустимое преобразо-
преобразование к является эквивалентностью. Более того, оно совпадает
с естественной эквивалентностью h, т. е. hn = kn для
всех я > 0.
192 . Гл. IV. Гомотопические группы
Таким образом, естественная эквивалентность А—(А„} является
единственной возможной эквивалентностью двух гомотопических
систем. При -этом, для того чтобы геометрически построить естествен-
естественную эквивалентность двух геометрически сконструированных гомото-
гомотопических систем, достаточно геометрически построить некоторое
допустимое преобразование.
С. Свойства гомотопической системы.
Из теоремы единственности 12.1 вытекает равносильность пере-
перечисленных в п. 6—10 семи свойств с семью аксиомами из п. 11.
Опишем вкратце вывод этих семи свойств непосредственно из семи
аксиом. Поскольку свойства I, II, III, V, VII совпадают с соответ-
соответствующими аксиомами, мы должны доказывать только свойства IV и VI.
Выведите из аксиом следующие утверждения:
1. Отображение ft'-nn(X, A, xo)->iuft(K, В, у0), индуцирован-
индуцированное гомотопической эквивалентностью f:(X, A, xQ)->(Y, В, у0).
является для любого и > 0 биективным отображением.
2. Если пространство X стягиваемо по себе в точку л;0, то
п„(ЛТ, л:0) = 0 для всех и^-0.
3. Для любой тройки (X, А, х0)-отображения
где р: (X1, А', х'Л->(Х, А, х0)—производная проекция, являются
биективными отображениями, так что определено естественное биек-
биективное отображение
4. Для каждой тройки (X, А, х0) множество тс„(А\ А, х0) при
любом л^О не пусто. При этом в каждом из множеств v:n(X, A, xQ)
можно таким образом однозначно определить нулевой элемент, чтобы
все отображения %, д и /, переводили бы нуль в нуль.
Согласно утверждению 4, каждое множество гомотопической
последовательности тройки (X, А, х0)
¦ ¦ ¦ — * «.+1 (*¦ Л. х0) -1+ *я (А, х0) -i*+ *я (Л".
... А* ^(Х, А, х0) -Д» Ч(А. х0) |
обладает однозначно определенным нулем, так что для каждого
отображения из этой последовательности определено его ядро (как
прообраз нуля области значений отображения). Докажите одновре-
одновременно следующие две теоремы.
Упражнения 193
Теорема о точности (свойство IV). Гомотопическая после-
последовательность любой тройка точна, т. е. ядро каждого ото-
отображения этой последовательности совпадает с образом пред-
предшествующего отображения.
Теорема о расслоении (свойство VI). Для любого расслое-
расслоения /: X-+Y, любого подпространства BcY и любой точки Уо ? ?
индуцированное отображение /,: кА(Х, A, xQ)->wn(Y, В, у0), где
Л = f~x (В) и ^об/'(Уо)> является при всех я>0 биективным
отображением.
D. Роль базисной точки в относительных гомотопических
группах
Пусть X — произвольное пространство, А — некоторое его под-
подпространство и Xq, хх — две точки подпространства А, соединенные
путем
a: I-+A, а@) = х0, o(l)z=xv
Для каждого и > 0 мы определим некоторое отображение
о„: пп(Х, A, jfi)-»-itB(Ar, А, х0),
выбирая для каждого элемента а?пп(Х, А, х{) произвольное ото-
отображение
/: (Iя, /-1, J-l)-+(X. A, *,)
класса а и протягивая образ множества У" при этом отображении
вдоль пути а к точке х0, увлекая за ним куб /", таким образом,
чтобы образ куба /""' все время находился в подпространстве А.
В результате мы получим некоторое отображение (/", 1"~ . У") -*¦
-*(Х, A, jc0), класс P?icB(wY, А, х0) которого зависит только от
класса а и пути о. Мы положим а„(а) = Р; ср. п. 14.
Дайте подробное описание этого построения (принимая изложе-
изложение п. 14 за образец) и докажите следующие предложения:
1. Для любого п^>2 отображение о„ является гомоморфизмом.
2. Для любого и > 0 отображение о„ зависит только от класса
пути о.
3. Если путь о вырожден, т. е. о(/) = л0, то для любого л>0
отображение о„ представляет собой тождественное отображение мно-
множества i(n(X, А, х0).
4. Если пути о и х подпространства А обладают тем свойством,
что оA)=вт@), то (от)„ == о„тя для любого и>0.
'5. Для любого и > 0 отображение о„ биективно. В частности,
при п^.1 оно является изоморфизмом.
13 Ху Сы-цзян
194 Гл. IV. Гдмотопические группы
6. В диаграмме
-2-> *(Л х0) — -> «(* х0)-+*(* Л *ь)-
"я-1
... >- Ъп\А' xi) > 1tB (Л i xi) * Ъп\Л , A, ЛГ,) > пп-\ \А> х\) > ¦ • •
каждый квадрат коммутативен.
7. Для любой тройки (X, А, х0) множество п2(Х, А, х0)
является скрещенным [it, (Л, х0), <?]-модулем, т. е. для любого эле-
элемента да ^ it, (Л, х0) и любых элементов a, P?it2(A\ А, х0) имеют
место соотношения
A) д (даос) = w (да) w~x,
В частности, группа У, [it2(^. xQ)] содержится в центре группы
it2(A\ Л, х0), а группа 1,[к1(А, х0)] является группой операторов
группы J,{k2(X, х0)]; см. [Хи], стр. 39—41.
Согласно утверждению 5, в случае, когда пространство Л линейно
связно ил^2, все группы ^„(Х, А, х0) с различными базисными
точками х0 изоморфны друг другу. Следовательно, группа wn(X, А, х0)
как абстрактная группа не зависит от базисной точки х0, и потому
ее можно обозначать просто через ¦кп(Х, А). Эта абстрактная группа
называется п-мерной абстрактной относительной гомотопи-
гомотопической группой пары (X, А). Например,
. ят(?я, 5я) = 0 при т < п,
«„.(f2, Sl)=*0 при т>2;
Рассмотрим теперь пространства путей
W = [X; А, х 1, W =[Х' А, х]
с отмеченными в них вырожденными петлями да0 ? Wo и да, ? Wv
Любому пути .о: 1->А, соединяющему точки х0 и xv мы отнесем
отображение i|: Wl->W0, сопоставляющее каждому пути w?Wx
путь ?(да)^^0' определенный формулой
да B/), если 0 ^ t ^ -=-.
оB,—20, если 1<^< 1.
Упражнения 195
С другой стороны, пути о можно отнести путь у. I->W0, сопо-
сопоставляющий каждому s ? / путь •>} (s) ? Wo, определенный формулой
о (s), если 0 < t < y ;
о Bs — 2s*), если y-^^-^l-
Очевидно, что ri{Qi) = 'WQ и 1\(\)=*\(чюх). Докажите, что имеет место
коммутативная диаграмма
• А.
где х—естественные биективные отображения. Таким образом,
E. Относительная я-простота
Пусть й^-2. Говорят, что пространство X п-просто относи-
тельно подпространства А, если локальная система групп
[пП(Х, А, хо)\хо? А] пространства А проста. В этом случае также
говорят, что и-проста пара (X, А). Докажите аналоги утверждений
16.4—16.7, а также следующие предложения:
1. Если пара (X, А) — 2-проста, то для любой точки х0 ? А
группа п2(Х, А, х0) абелева.
2. Если для любой точки хо?А группа гс2(Л\ А, х0) абелева и
отображение /, переводит группу rcj (А, х0) в единицу группы кг (X, х0),
то пара (X, А) 2-проста.
3.. Пара (X, А) тогда и только тогда и-проста, когда для каждой
точки хо? А и любых двух отображений
/, g: (?". 5я-1, so)->(X, A, *„)
из соотнощения /•—grelf^"" , А) вытекает соотношение
f~gtel{S"-\ A; s0. х0).
4. Если пара (X, А) и-проста и пространство А линейно связно,
то абстрактную относительную гомотопическую группу гсп (X, А)
можно рассматривать как группу гомотопических классов отображе-
отображений пары (?", 5") в пару (X, А).
F. Умножение Уайтхеда
Пусть X — произвольное пространство, в котором отмечена не-
некоторая точка х0 ? X. Любым элементам
*?«т(Х, х0), ре*я(Х, х0). »>1. я>1.
13*
196 Га. IV. Гомотопические группы
мы сопоставим некоторый элемент [a, (J] группы ът+п-\ (X, xQ),
который называется произведением Уайтхеда элементов аир.
Пусть
/: (Im, dIm)-*(X, xQ), g: (Iя. dI")-*(X, x0)
— произвольные отображения классов а. и {) соответственно. Так как
Г+" = 1т X /". то дГ+п = (Г X <?/") U (д1т X /"). и потому мы
можем определить отображение Л: д1т+П->-Х, полагая
(/(*). если t?dlm.
"<¦'•*'—\g(t)," если s?dlm.
Так как точка го = (О, .... 0) множества dlm+n принадлежит произ-
произведению д1тХд1", то h(ro) = xo. Следовательно, поскольку мно-
множество. д1т+" гомеоморфно сфере 5т+я~1, отображение А определяет
некоторый элемент f группы «щ^я-^^. ^0)-
Докажите, что элемент f зависит только от элементов аир.
Этот элемент f и является, по определению, произведением [а, Щ.
Докажите следующие свойства умножения Уайтхеда:
1. Если <х?тс,(ЛГ, х0) и р'?тс,(ЛГ, х0), то
[а, $\ = *$а-уг?«у(Х, х0).
2. Если а?тст(ЛГ, xQ), где т > 1 и Р?тс,(ЛГ, л:0), то
[а. р] = ра-а^тст(Х х0).
3. Если т>0. то для любого ф?кт(Х, х0) формула
рф(а) = [<х, р] определяет некоторый гомоморфизм
4. Если т + и>2- то Для любых элементов a?icm(X, x^ и
Р?тс„(Л\ л0) имеет место равенство
[р,а] = (— \)тп[а. р].
5. Для любого пути о: 1->Х, соединяющего точки дг0 и jflt и
любых элементов a?icm(X, хг) и P?wB(wY, ^j) имеет место равенство
6. Для любого отображения <р: (X, лго)->(К, у^ и любых эле-
элементов a?icm(X, xQ) и P^wB(A", л0) имеет место равенство
<РЛ«. Р1 = [?.(¦). ?.(?)]¦
7. Для любых элементов а ^ тст (ЛГ, xQ), р ^ тся (Jft л0), 7 € % (^"> лго)
имеет место тождество Якоби
(-1)т<?|[«. р]. Т1+ (-1)тя ПР. ТЬ «] + (-!)•"[ IT-«Ь Р1=*0.
Упражнения ' 197
Умножение Уайтхеда можно также определить и для элементов
относительных гомотопических групп и между элементами групп
кт(Х, А, х0) и ж„(А х0); см. Ху [11]. Блэйкерс и Масси [2].
С. Гомотопические группы Я-пространств
Пусть X — произвольное //-пространство с гомотопической еди-
единицей х0; см. п. 11 гл. III.
Пусть, далее, а, р— произвольные элементы группы ъп(Х, л:0).
п > 0, и пусть
/. g: (Iя, дГ)->(Х, xQ)
— Произвольные отображения классов аир соответственно. Поль-
Пользуясь существующим в пространстве X умножением, мы определим
отображение Л: (/". д/")->(Х, х0), полагая
Докажите, что отображение А принадлежит элементу а+р группы
*„(*• хо)-
Если Я-пространство X является топологической группой с еди-
единицей х0, то мы можем, кроме того, определить отображение
к\ (Л д/")-*(Х, х0), полагая
Докажите, что отображение к принадлежит элементу а — р группы
п„(Х. х0).
Пусть теперь a?icm(X, xQ), $€nn(X, Xf). и пусть
/: (Г, дГ)-+(Х, х0), g: (Г, дГ)->(Х, х0)
— произвольные отображения классов аир соответственно. Опре-
Определим отображение А: /т+я->Л\ полагая
Докажите, что ограничение Л|в/т+л принадлежит классу [а,
Таким образом,
для любых элементов a.?icm(X, xQ) и Р?гс„(Л\ л„).
Отсюда, в силу утверждения 2 упр. F, следует, что любое
линейно связное //-пространство я-просто для всех я > 0. В част-
частности, мы снова получаем, что группа it1(A', xQ) абелева.
198 Гл. IV. Гомотопические группы
Н. Полуснмплнцнальные множества
Полусамплициальным множество мх) (Зильберг. Эйленберг [1])
мы будем называть произвольное множество К элементов о (которые
мы будем называть симплексами), рассматриваемое вместе с двумя
функциями, первая ив которых сопоставляет каждому симплексу о
некоторое целое неотрииательное число dim о, называемое размер-
размерностью симплекса а (в дальнейшем симплексы а, для которых
dima = m, мы будем называть т-мерными, симплексами), а вторая
сопоставляет каждому m-мерному (где т > 0) симплексу о и каждому
целому неотрицательному числу i^m некоторый (т—1)-мерный
симплекс д-р, называемый 1-й гранью симплекса о (в дальнейшем
симплекс dfi мы будем обозначать также символом о<'>). При этом
требуется, чтобы для любого т > 1 и любых / и /, подчиненных
условиям 0 ^ I < j ^ т, имело место соотношение
(ПСМ) д1др = д,_хд1а.
Отображение dt называется 1-м оператором граней. Возможность
равенства др = др при I ф J не исключается. Повторно применяя
операторы граней, мы можем для любого k < m определить k-мер-
k-мерные грани симплекса о. Это позволяет определить в К рефлексивное
частичное упорядочение, в котором т < о тогда и только тогда,
когда либо т = о, либо т = di ... di о, где 0 < 1Х < ... < /„ ^ т.
Подмножество L полусимплициального множества К называется его
полусимплициальным подмножеством, если все грани каждого
симплекса a?L принадлежат L. Ясно, что каждое полусимплициаль-
ное подмножество естественным образом определяется как полу-
симплициальное множество.
1. Симплициальной схемой1*) называется такое множество К
конечных подмножеств (называемых симплексами схемы К) неко-
некоторого множества V (элементы которого называются вершинами
схемы К), что любое непустое подмножество т которого множества
а?К также принадлежит К- Докажите, что если в множестве V
введено частичное упорядочение, в котором каждое подмножество
о?К линейно упорядочено, то схема К естественным образом опре-
определяется как полусимплициальное множество.
2. Проверьте, что каждая симплициальная схема К определяет
полусимплициальное множество О (К), m-мерными симплексами кото-
которого являются (m-f-1)-членные последовательности (vQ, .... г»т)
элементов г»,- ? V, принадлежащих одному симплексу схемы К, а опе-
') В английском тексте употребляется термин „semi-simplicial com-
complex". — Прим. ред.
2) В английском тексте употребляется термин „simplicial complex*. —
Прим. ред.
Упражнения
раторы dt в котором определяются формулой
дг (Ve\% • ¦ • • f-Л = (v i* .... V- v ^.
где знак " над элементом vt означает, что элемент должен быть
из последовательности (v0, .... v^ удален.
3. Докажите, что для любого пространства X совокупность
всех его .сингулярных симплексов ([С — Э], стр. 234) является
полусимплициальным множеством. Это множество мы будем обозна-
обозначать символом S(X) и называть сингулярным симплициальным
множеством пространства X (заметим, что в [С — Э] симво-
символом S(X) обозначается не само это множество, а комплекс его
целочисленных цепей).
4, Дайте определение групп гомологии и когомологий произволь-
произвольного полусимплициального множества К относительно его произ-
произвольного симплициального подмножества L с коэффициентами в данной
абелевой группе. (Указание: граничный оператор определите фор-
т
мулой <Э = 2(—О'^/О
I. Симплициальные множества
Полусимплициальное множество К мы будем называть симпли-
симплициальным множеством"), если в нем задана функция, которая
каждому симплексу о множества К и каждому целому неотрицатель-
неотрицательному числу i^m, где m = dimo, сопоставляет (m-f-1)-мерный сим-
симплекс 6,о^ К, причем выполнены следующие соотношения:
8^0 = 6^8,0, если *</; . '
]j~\^f, если т > 0 и I < /,
о если l = j или / = /-f-l,
K-di-\<*, если т > 0 и / >
Отображение bt мы будем называть i-м оператором вырожде-
вырождения. Симплекс в?К размерности т > 0 мы будем называть выро-
вырожденным, если существует такой (т — 1)-мерный симплекс т? К и
и такое неотрицательное число I4im—1, что о = 6^.
1. Докажите, что полусимплициальное множество О (AT), построен-
построенное по симплициальной схеме К (см. упр. Н), является симплициаль-
симплициальным множеством с операторами вырождения, определенными формулой
б* (?о vm) = (vo ¦»<• f«." ^+1 "„). ¦
2. Докажите, что сингулярное симплициальное множество S{X)
любого пространства X является симплициальным множеством с one*
') В английском тексте употребляется термин „semi-slmplicial complex
with a system of degeneracy". — Прим. ред. ,. .
200 Гл. IV. Гомотопические группы
раторами вырождения, определенными формулой
3. Докажите, что в полусимплициальное множество, получающееси
из симплициальной схемы частичным упорядочиванием вершин, нельзя
ввести операторы вырождения, превращающие его в симплициальное
множество.
4. Докажите, что в полусимплициальное множество конечной раз-
размерности (т. е. в множество, размерности симплексов которого
ограничены) нельзя ввести операторы вырождения, превращающие его
в симплициальное множество.
J. Полные снмплнцнальные множества
Говорят, что симплициальное множество К удовлетворяет усло-
условию Кана (см. Кан J1]), если при каждом т^.0 для любых его
m-мерных симплексов о0, .... ok_1, ok+v .... om+1, удовлетворяю-
удовлетворяющих при m > 0 соотношениям
dfOf^d/.fy, 1фк, j Фк, i<j,
существует такой (т-\- 1)-мерный симплекс о, что <?jo = o/ для
каждого 1Фк. Симплициальное множество, удовлетворяющее условию
Кана, мы будем называть полным симплициальным множеством1).
Докажите, что сингулярное симплициальное множество S(X)
любе го пространства X является полным симплициальным множеством.
С другой стороны, легко видеть, что симплициальное множество
О (К), построенное по симплициальной схеме К, может и не быть
полным множеством. Таким образом, класс полных симплициальных
множеств довольно ограничен.
К. Гомотопические группы полных симплициальиых множеств
Пусть К — произвольное полное симплициальное множество. Будем
называть вершинами и ребрами этого множества его нульмерные
и соответственно одномерные симплексы. Две вершины v0, vx^K
будем называть эквивалентными, если существует такое ребро
е?К, что doe = vx, dle^=v0. Используя условие Кана, докажите,
что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, так
что вершины множества К распадаются на непересекающиеся классы
эквивалентности. Эти классы мы будем называть компонентами
множества К, а их множество будем обозначать символом ico(/Q.
Пусть теперь в множестве К произвольно выбрана некоторая
вершина v. Определим производное симплициальное множество
') В английском тексте употребляется термин .Kan complex'. — Прим.
ред.
Упражнения 201
считая его «-мерными симплексами (я-f-1)-мерные симплексы а мно-
множества К, для которых вершина v является единственной верши-
вершиной < о и которые обладают тем свойством, что do<J = 6o(w), где
6" — и-кратная итерация оператора вырождения б0. Операторы гра-
граней d't и операторы вырождения В'{ в множестве А" определим
формулами
Докажите, что производное множество К' является полным сим-
плициальным множеством и что симплекс v' = 60t/ является его
вершиной.
Для любого »^-0 мы определим по индукции множества itn(К, v),
полагая
«„(*. W) ««,_,(*'. V), 4(K,v)
Оказывается, что при и > 0 в эти множества можно ввести группо-
групповую операцию. Ясно, что это достаточно сделать лишь для мно-
множества по(К') компонент множества А". Пусть а, Р?«0СК')- и пусть
-*6а и У€Р> рДе * и У — вершины множества К'. По определению,
вершины х и у являются ребрами множества К, причем дох = 1) = д1х
и доу = г» = <?1у. Согласно условию Кана, в множестве К существует
такой двумерный симплекс о, что <?2о = х и <?0о = у. Ясно, что
ребро z = d-ia этого симплекса является вершиной множества К'.
Докажите, что компонента множества К', содержащая вершину г,
зависит только от компонент аир. Докажите, что относительно
операции ар=^=т множество ico(K') является группой.
Докажите, что
1) при и^2 группа «„(AT, v) абелева;
2) если множество К представляет собой сингулярное симпли-
циальное множество S(X) некоторого пространства X, то при
любом и группа ъп(К, v) изоморфна группе кп(Х, х0), где х0—точка
пространства X, определяемая вершиной (нульмерным сингулярным
симплексом) v.
ГЛАВА V
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
1. Введение
Ни геометрическая конструкция, ни аксиоматическое описание
гомотопических групп не дают общего способа их эффективного
вычисления. В этой главе мы рассмотрим несколько методов, на
основе которых можно решить эту задачу в ряде частных случаев.
В первую очередь мы доказываем теорему Гуревича об
изоморфизме. Согласно этой теореме, для любого (л—^-связ-
(л—^-связного (п ^- 2) пространства X гомоморфизм Гуревича Ая группы
icn(X, jcq) в группу целочисленных сингулярных гомологии Нп(Х)
является изоморфизмом. Таким образом, первая нетривиальная гомо-
гомотопическая группа любого триангулируемого пространства эффективно
вычислима.
Затем мы рассматриваем точную гомотопическую последователь-
последовательность произвольного расслоения р: Е->В и доказываем ряд теорем
о прямых разложениях гомотопических групп. Применяя эту точную
последовательность к многочисленным известным расслоениям, мы
сразу вычисляем ряд гомотопических групп многих конкретных про-
пространств.
В заключение мы рассматриваем надстроечный гомоморфизм
Фреиденталя вместе с понятием гомотопических групп триад. Этот
гомоморфизм играет основную роль при вычислении гомотопических
групп сфер. Примеры таких вычислений будут изложены в последней
главе книги.
2. Гомотопические группы прямого произведения
двух пространств
Пусть X и К — произвольные пространства с отмеченными в них
точками хо?Х, Уо€^' Рассмотрим прямое произведение Z = X X.Y,
отметив в нем точку z0 — (х0, у0) ? Z. Пусть
р: (Z, *„)->(*/*„), q: (Z, zJ-+(Y, y0)
— естественные проекции, определенные соответственно формулами
p{z) = x и q(z) = y. где z = (x, y)?Z, и пусть
i; (X, *0)^(Z. zQ), J: (К, yo)->(Z, z0)
2. Гомотопические группы прямого произведения пространств 203
— естественные инъекции, определенные соответственно формулами
/(*) = (*, у0) и j(y) = (x0, у), где х?Х и у? Y. Ясно, что компо-
композиции pi и qj представляют собой тождественные отображения,
а композиции р] и qi— постоянные отображения.
Для каждого п > 0 отображения р, q, i, j индуцируют гомо-
гомоморфизмы
р,: nn(Z, zo)->nn(X, х0), qy. nn(Z, zo)->nn(Y, y0);
t,: к„(Х, xo)->nn(Z, z0), J; жп(У, yo)->irn(Z, z0),
связанные соотношениями
из которых следует, что отображения lt и jt мономорфны, а отобра-
отображения р, и qt эпиморфны.
Рассмотрим прямую сумму
кп(Х, хо) + тсп(К, у0), л>0,
групп кп(Х, х0) и «Я(К, у0). Мы будем использовать аддитивные
обозначения также и в случае л = 1, когда эти группы не обяза-
обязательно абелевы.
Теорема 2.1. Для любого я>0 имеет место изоморфизм
кп (Z, z0) « гся (X, х0) + кп (К, у0).
Доказательство. Определим гомоморфизм
A: «„(Z, zo)->irn(A-,
полагая А (а) = (р, (а), 9» (<*))• где a^wn(Z, z0), и покажем, что этот
гомоморфизм язляется изоморфизмом.
Пусть Т=Ш+Л(Р)€*ЯB. г0), где а?л„(Л\ д:0) и ^тс„(К, у0).
Тогда
Следовательно, гомоморфизм А является эпиморфизмом.
Пусть 8 — такой элемент группы nn(Z, z0), что А(8) = 0. Тогда,
по определению, р,(8) = 0 й^,(8) = 0. Пусть /: (/", d/n)->(Z, z0) —
произвольное отображение класса 8. Поскольку pt(b) = O и ?,(8) = О,
существуют такие гомотопии
gt: (/", д!п)->(Х, х0), А,: (/", d/n)->(Y, у0),
что go = pf, ?i (/") = *<)• Ьо"=<1/ и Ах (/")->¦ у0. Мы определим
гомотопию /^: /"-»-Z, 0<[^<;i, полагая
•Л
204 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Очевидно, что /0 = /, fiW) = z0 и ft(d/'') = z0 для любого ?
Поэтому 8 = 0. Следовательно, гомоморфизм А является мономор-
мономорфизмом. ¦
Заметим, что из этого доказательства немедленно вытекает, что
обратный изоморфизм
А :«„(*. *„) + «„(Г. yo)^«n(Z, z0) "
определяется формулой А (а, Р) == /ф (а) -|- /„ (Р).
По индукции теорема 2.1 немедленно обобщается на прямое
произведение любого конечного числа пространств. В частности, мы
получаем отсюда, что гомотопическая группа тся(Гт) /м-мерного
тора Тт, т. е. прямого произведения Tm = S1 X • • • X Sl tn экземп-
экземпляров окружности S1, равна нулю при п > 1 и является свободной
абелевой группой с т свободными образующими при я=1.
3. Букеты пространств
Пусть, как и выще, X и К — произвольные пространства с от-
отмеченными точками х0 ?Х, у0 ? К. Отождествляя в их топологической
сумме W = X[)Y (см. п. 7 гл. I) точки хо? X и уо?К, мы получим
некоторое пространство U, которое мы будем называть букетом
пространств Л" и К и будем, как правило, обозначать символом X\/Y.
Отмеченной точкой пространства U мы будем считать точку «„,
получающуюся из точек х0 и у0.
Легко видеть, что пространство U мы можем отождествить
с подпространством (A"Xyo)U(^oXH прямого произведенияZ==
посредством отображения
k: (U, uo)^(Z, z0),
определенного формулой
(и, у0), если а ? X,
\ (х0, и), если и ? К.
Теорема 3.1. Для любого п > 1 имеет место изоморфизм
*„ (U. «0) ¦« «„ (X, х0) + жП (К, у0) + ^„+1 B, U, z0).
Доказательство» Рассмотрим гомоморфизмы
IJ: «П(Х, *„)-«.(!/. «0), /,: .„(К,
индуцированные отображениями вложения /', у' и отображением k
и определим гомоморфизм
3. Букеты пространств 205
полагая
Так как Ы' = 1 и kj' = j, то
V <а> = *. ['А <а> + Л .>»
= * А (а) + /,?. (а) = А" *А (а) = а
для каждого элемента a^^n(Z, z0). Следовательно, отображение /
мономорфно, отображение *„ эпиморфно и группа тс„(?/, и0) разла-
разлагается в прямую сумму образа Im/ гомоморфизма / и ядра Kerftt
гомоморфизма km (так как п>1, то все рассматриваемые группы
абелевы).
Так как отображение / мономорфно, то
Im / « *я (Z. z0) »1ся (-Y, *о) И- я. (К. у0)
(см. теорему 2.1). Чтобы найти ядро гомоморфизма kt, рассмотрим
гомотопическую последовательность
te+1
(Z. U. zo)-?+«n(U, uo)-b+nn(Z, ar0)
тройки (Z, ?/, Zq). Поскольку отображение Л, эпиморфно, из точно-
точности этой последовательности следует, что отображение д мономорфно,
и потому
?er kt = Im д да 1ся+1 (Z, U, z0). ¦
Таким образом, группа un(t/, м0) разлагается в прямую сумму
образов трех мономорфизмов /в, у# и д.
При л =s 1 все изложенные соображения также сохраняют свою
силу, с тем исключением, что мы уже не можем говорить о прямой
сумме, так как образ гомоморфизма / не является, вообще говоря,
нормальным делителем группы Kn{U, ив). Таким образом, при я=1
мы можем лишь утверждать, что группа nl(U, u0) является расшире-
расширением группы ic2(Z, U, г0) посредством прямого произведения групп
ir,(A", х0) и ic^K, y0). С другой стороны, мы знаем, что, по крайней
мере в том случае, когда пространства X и К являются полиэдрами,
группа ttj (t/, и0) представляет собой свободное произведение групп
тс, (Я", х0) и it^K, у0);. см. утверждение 4 упр. А гл. II. Можно
показать, что это верно и тогда, когда пространства X и К лишь
регулярны и локально односвязны.
В качестве примера на применение теоремы 3.1 докажем сле-
следующее
Предложение 3.2. При р > 0 и q> 0 для любого п < p-\-q— 1
имеет место изоморфизм
206 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Доказательство. Поскольку пара (Sp X Sq, Sp V S9) является
относительной (р + ^)-мерной клеткой (см. п. 7 гл. I) из предложе-
предложения 3.4 гл. IV следует, что
при m<p-\-q. Ш
Например,
4. Гомоморфизм Гуревича
Пусть (X, А, х0)— произвольная тройка, а — произвольный эле-
элемент множества ъп(Х, А, х0), я^.1, и
<р: (Еа, S"-\ *„)-> (X, А, х0)
— произвольное отображение класса а, где Е" — единичный шар
л-мерного арифметического пространства R", 5"—единичная (л—1)-
мерная сфера.и so = (l, 0 0); Поскольку <р представляет собой
отображение пары (??", Sn~ ) в пару (X, А), оно индуцирует не-
некоторый гомоморфизм
т.: Нп(Еп, S"-l)->Hn(X, A),
где Нп(Х, А) — группа сингулярных гомологии с целочисленными
коэффициентами. Согласно аксиоме гомотопии теории гомологии,
гомоморфизм <р, зависит только от класса а?пП(Х, А, х0). Поэтому
соответствие а-> ср, ($„), где ^ — образующая свободной циклической
группы НП(Е", S"'1), отвечающая естественной ориентации шара Е"
(определенной естественной координатной системой пространства /?"),
определяет некоторое отображение
xn:«n(A-, А, хо)->Нп(Х, А).
Предложение 4.1. При п > 1 или при А == х0 отображение %п
является гомоморфизмом группы кп(Х, А, х0) в группу Нп(Х, А).
Доказательство. Пусть аир — произвольные элементы группы
п„(Х, А, х0), и пусть <р, ф: (Еп, S", so)-*(X, А, х0) — такие
отображения классов аир соответственно, что <f(tr tn) = x0,
если tj ^- 0 и ф (tv .... tn) = х0, если tx ^ 0. Определим отображение
Т. (?", S"-\ so)->(X, A, x0),
полагая 'для любой точки (tv .... tn) шара Е"
( T('i '«)¦ если ^<0,
Пг п) U(^ tn). если *,>().
4. Гомоморфизм /уреаича 207
Ясно, что отображение х принадлежит классу а + р. С другой сто-
стороны, согласно известной теореме теории гомологии (см. С — Э,
стр. 59), имеет место равенство
х. 0.) = ?.(«„)+Ф. <&»)¦
Следовательно, *„(а-|-р) = *л(а)Ч~*л(Р)> т. е. отображение хя
гомоморфно. ¦
Гомоморфизм %п мы будем называть гомоморфизмом Гуревича.
Из определения гомоморфизма ч„ непосредственно вытекает сле-
следующее ч
Предложение 4.2. Для любого отображения /: (X, А, хо)—>
—>(К, В, у0) имеет место коммутативная диаграмма
кп(Х, А, хо)Жкп(У, В, у0)
.я
Нп(Х, А)-А
В случае А = х0 имеет место изоморфизм
U Нп(Х)~Нп(Х, х0),
так что определен гомоморфизм
который мы также будем называть гомоморфизмом Гуревича.
Ясно, что гомоморфизм hx совпадает с рассмотренным в п. 6 гл. II
гомоморфизмом А„.
Так как. д: Hn+l(En+1, Sn)^Hn(Sn), то элемент r,n==ftn+1
является образующей свободной циклической группы Hn(Sn).
Отождествляя границу S" клетки Еп с точкой s0, мы получим
л-мерную сферу 5я с отмеченной в ней точкой s0 и относительный
гомеоморфизм
р: {Е\ Sn~l)MS\ 4
обладающий тем Свойством, что P*(Sn) = /*('/?n)' r^e
pj, Нп{Е\ Sn-l)~Hn(S\ s0), у,: Hn{S«)~Hn(S\ s0)
— изоморфизмы, индуцированные отображением р и отображением
вложения у. S"сE", s0).
Пусть а^тсп(А', х0), и пусть ср: (е\ S")-*^, х0) — произ-
произвольное отображение класса а. Ясно, что существует одно и только
одно отображение ф: E", so)—>(X, х0), для которого <р = ф/>. Это
отображение <Jt мы также будем считать представителем класса а.
208 ~ Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Являясь отображением сферы 5я в пространство X, отображение <|>
индуцирует некоторый гомоморфизм
Очевидно, что
Это равенство мы также можем считать определением гомомор-
гомоморфизма А„. Из него немедленно вытекает следующее
Предложение 4.3. Для любой тройки (X, А, х0) имеет место
коммутативная диаграмма
l(X' А< хо)—+**№• хо)
•ч ¦ Г»
НЯ+1(Х.
Рассмотрим теперь диаграмму
Л*1 (Х,А,х0) Л*я (А,х0) Лтс„ (Х,х0) Лтс„ (Х,А,х0) Л
1 ] |
Согласно предложению 4.3, левый квадрат этой диаграммы коммута-
коммутативен, а согласно предложению 4.2, средний и правый квадраты
также коммутативны. Таким образом, эта диаграмма коммута*
тивна.
Перейдем теперь к доказательству уже неоднократно упоминав-
упоминавшейся выше теоремы Гуревича. При этом мы ограничимся случаем,
когда пространство X является конечным полиедром. На любые про-
пространства эта теорема обобщается в упражнениях в конце этой главы
и в последней главе книги.
В п. 9 гл. II мы ввели понятие n-связного пространства. Ясно,
что пространство X тогда и только тогда п-связно, когда оно
линейно связно и тет(Л") = 0 для всех т<«.
Теорема 4.4 (теорема Гуревича). Для любого (л — \)-связ-
ного (п > 1) конечного симплициального разбиения X гомоморф
физм Гуревича hn является из аморфизмом.
ч Доказательство. Если пространство X является л-мерной сфе-
сферой 5я, то эта теорема сводится к теореме Хопфа из п. 8 гл. II.
Поэтому, в силу предложения 3.2, эта теорема справедлива и для
пространства X = Sn\/Sn. Используя теорему 3.1, по. индукции
4. Гомоморфизм Гуревича 209
легко вывести, что эта теорема справедлива и для букета X любого
конечного числа л-мерных сфер.
Пусть сначала dim X < л. Стянув (л—1)-мерный остов Ха~1
разбиения X в точку у0, мы получим из полиэдра X некоторое
факторпространство К с естественной проекцией
р: (X, Xn'l)->(Y, у0).
Ясно, что пространство У либо совпадает с точкой у0, либо
является букетом конечного числа л-мерных сфер с общей точкой у0.
Пусть х0 — произвольная вершина разбиения X. Поскольку
полиедр X по условию (л — 1)-связен, его остов Хп~х стягиваем
в Я" к вершине х0. Поэтому, в силу аксиомы о распространении
гомотопии, существует такая гомотопия ft: X->X, 0<^<^1, что
отображение /0 является тождественным отображением пространства X,
отображение fl переводит весь остов Хп~ в точку х0 к f((x0) = х0
при всех /?/. Согласно предложению 6.1 гл. I, отображение Д
определяет такое отображение q: (К, уо)^-(Х, х0), что составное
отображение qp = f\ гомотопно относительно точки х0 тождествен-
тождественному отображению пространства X.
Рассмотрим диаграмму
где hn, kn — гомоморфизмы Гуревича, рл и р# — гомоморфизмы, инду-
индуцированные проекцией р, a qt и q^.—гомоморфизмы, индуцирован-
индуцированные отображением q. Согласно сказанному выше, гомоморфизм kn
является изоморфизмом, а отображения q^pt и 9++Р++ — тождествен-
тождественными автоморфизмами. Поскольку, согласно предложению 4.2, имеют
место равенства Pnkn = knpt и hnqt = q^,kn, отсюда непосредственно
следует, что гомоморфизм hn также является изоморфизмом. Дей-
Действительно, если для некоторого элемента a^ir/t(A', x0) имеет место
равенство йя(а) = 0, то
и потому а = 0, ибо отображения kn и р, мономорфны. Следова-
Следовательно, отображение Ая мономорфно. С другой стороны, для любого
элемента ф?Нп(Х) имеет место равенство
К («) = МЛ" 1Рп (Р) = Я^пкп *р# (Р) =
14 Ху Сы-цзяв
210, Гл. V. Вычисление гомотопических групп
где а = 9**п1/>++(Р)- Следовательно, отображение hn эпиморфно.
Таким образом, для случая dim X ^ п теорема 4.4 полностью дока-
доказана.
Пусть теперь dim X = п -\- 1. Оказывается, что в этом случае
гомоморфизм Гуревича
*n+i:*n+i(*. Xя. xo)^Hnfl(X, Xn) = Cn+1(X),
где Сп+1(Х)— свободная абелева группа, порожденная (/х—(— 1)-мер-
ными симплексами разбиения X, является эпиморфизмом. Действи-
Действительно, пусть s — произвольный (п+ 1)-мерный симплжс разбиения X,
и пусть х1 — произвольная вершина этого симплекса. Поскольку
dsczX", отображение вложения sczX определяет некоторый элемент а
группы пп+1(Х, X", х{). Так как пространство X" линейно связно,
то существует путь а: 1->Х", соединяющий точки х0 и xv Очевидно,
что гомоморфизм х„+1 переводит элемент <зп (а) группы кп+1(Х, X", х0)
в образующую s группы Сп+1(Х): Поскольку симплекс s произволен,
эпиморфность гомоморфизма х„+1 тем самым полностью доказана.
Так как Нп(Х, Хп) — 0 и, согласно предложению 3.4 гл. IV,
яп(Х, X", лго) = О, то имеет место коммутативная диаграмма
а+1
По доказанному, отображение х„+1 эпиморфно, а отображение kn
изоморфно. Но легко видеть, что это возможно лишь тогда, когда
отображение hn изоморфно. Действительно, пусть $?Нп(Х). По-
Поскольку гомоморфизм it: Нп(Х")->Нп(Х) является эпиморфизмом,
существует такой элемент у?Нп(Х"), что lt (т) = Р- Пусть
u, = iJin\i)^n{X, x0). Тогда'
hn (a) = hnljtn\^) = ltknknl (т) = /. (Т) = Р-
Следовательно, отображение hn эпиморфно. С другой стороны, если
для элемента а?пп(Х, х0) имеет место равенство /гп(а) = 0, то для
любого элемента р ^ тс„ (Хп, х0), удовлетворяющего соотношению
tt($)=a, будет иметь место равенство ttkn($) = hntt($) = hn(a.) = Q,
и потому ввиду точности нижней строки диаграммы будет существо-
существовать такой элемент ^ ?Нп+1(Х, X"), что <?(Т) = *„(Р)- Так как
отображение %п+1 эпиморфно, то существует такой элемент
86w/i+i(*. X", х0), что хп+1(8) = т. Но тогда
1,д (8) = tji-
= ijtn 1д (т) = /.*« lkn (P) = /' (р) = а,
5. Теоремы о прямых суммах Ш
и потому а = IJ) (8) = 0. Следовательно, отображение й„ мономорфно.
Таким образом, теорема доказана и для случая dim Л^ = ге + 1. Заме-
Заметим, что утверждение, доказанное в последнем абзаце, представляет
собой' не что иное, как частный случай так называемой „леммы о пяти
гомоморфизмах"; см. [С — Э], стр. 35.
Пусть, наконец, пространство X является произвольным связным
конечным симплициальным разбиением. Рассматривая (л+1)-мерный
остов Хп+1 разбиения X, построим следующую диаграмму:
*0)_**->*„(*, х0)
По доказанному, гомоморфизм Гуревича kn является изоморфизмом.
С другой стороны, из предложения 3.4 гл. IV и точности гомотопи-
гомотопической последовательности тройки (Х, Хп+ , х0) легко следует, что
отображение tt также изоморфно. Поскольку отображение i#, оче-
очевидно, изоморфно, отсюда следует, что гомоморфизм hn = l#knl~l
также является изоморфизмом. ¦
б. Теоремы о прямых суммах
В этом пункте мы выведем из свойства точности гомотопической
последовательности три простых, но часто полезных, следствия.
Предложение 5.1. Если подпространство А является ретрак-
том пространства X, то при каждом ге>Л для любой точки
хо?А гомоморфизм вложения tt: «Я(Л, хо)->пп(Х, х0) является
мономорфизмом и при л>-2 определяет разложение в прямую
сумму
п(Х. А, х$.
Доказательство. Пусть г: X-z>A — произвольная ретракция. Так
как композиция rl является тождественным отображением простран-
пространства А, то для любого л ]>. 1 композиция rjt представляет собой
тождественный автоморфизм группы ъп(А, х0). Поэтому отображе-
отображение t, мономорфно, а отображение г, эпиморфно.
Если л ^. 2, то группа пп (X, х0) абелева, и поэтому из соотно-
соотношения rj, = 1 вытекает, что группа пп (X, х0) разлагается в прямую
сумму
¦кп(Х, xo) = J + K. где J=lmt., ЛГ =
При этом, поскольку отображение lt мономорфно, Уя»тея(Л, х^).
Далее, из точности гомотопической последовательности тройки
14*
212 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
(X, А, х0) легко следует, что для любого п^-2 отображение
jt: %(Х, лго)->-1ся(Л', А, х0) эпиморфно. Так как снова, в силу точ-
точности, его ядром служит подгруппа J, то гомоморфизм /, определяет
изоморфизм подгруппы К на группу пп(Х, А, х0). Таким образом,
*»«„(*. А. х0). ш .
Из этого предложения следует, в частности, что для любого ре-
тракта А пространства X группа я2(Л\ А, х0) абелева.
Предложение 5.2. Если пространство X стягиваемо в про-
пространство А относительно точки х0 ? А, то для любого п %¦ 1
отображение /„: тс„(А, хо)->пп(Х, х0) эпиморфно и при п
определяет разложение в прямую сумму
па(А, хо)жкп(Х, Aro) + t«+i(Ar, A, xQ).
Доказательство. Согласно условию, существует такая гомотопия ht\
Х->Х, 0<^<1, что
для любых х? X и t?I. Определим отображение Л: (X, хо)->(А, х0),
полагая Л (а:) — hx (х) для каждого х?Х. Поскольку lh=hx — Ло rel x0,
композиция ijit представляет собой тождественный автоморфизм
группы п„(Х, х0). Следовательно, для любого л>-1 отображение Л,
мономорфно,. а отображение lt эпиморфно.
Если я ^-2, то группа пп(А, х0) абелева, и потому из соотно-
соотношения ijit=4 1 следует, что группа 1СЯ(Д, л:0) разлагается в прямую
сумму
где J = lmht, K =
При этом, поскольку отображение ht мономорфно, Уляся(Л", х0).
С другой стороны, так как для любого п^-l отображение tt эпи-
эпиморфно, то из точности гомотопической последовательности тройки
(X, А, х0) следует, что отображение д: яя+.)(Л\ А, хо)->'кп(А, х0)
мономорфно, и потому
/С = Кег^ = 1тагитея+1(Л", А, х0). Ш
В случае я = 1, если пространство X стягиваемо в простран-
пространство А относительно точки х0, то группа itj (Л, х0) представляет
собой расширение группы ^(Х, A, jCq) посредством группы пг(Х, хй).
Предложение 5.3. Если, пространство А стягиваемо в про-
пространстве X к точке х0 ? А, то для любого п ^ 1 гомомор-
гомоморфизм tt: ъп(А, хо)->пп(Х, х0) тривиален и при я^-3 имеет
место разложение в прямую сумму
, А, х0)« %п (X, *о)-Ьлл-1(Л. х0)
6. Гомотопические группы расслоенных пространств 213
Доказательство. По условию существует такая гомотетия ht:
А-+Х, 0<*<1, что ho = li h1(A) = x0 и ht(x0) — x0 для всех
*?/. Поэтому ^ = 0 при любом №>Л.
Пусть теперь я ^ 2. Вследствие точности гомотопической после-
последовательности, равенство lt = 0 означает, что отображение /„ моно-
морфно, а отображение д эпиморфно. Следовательно, группа
ъп{Х, А, дг0) представляет собой расширение группы кп(Х, х0) по-
посредством ГруППЫ 1С„_1(Л, *0).
С помощью стягивания ht мы для любого п^-2 определим гомо-
гомоморфизм й„: icn_j(/l, х0) -> к„(Х, А, х0), сопоставляющий эле-
элементу а ? icn_j(/l, х0) класс ht(a) ^ кп(Х, А, #0) отображения
g: (/", /""', /"~1)->(Аг, А, х0), определенного формулой
где /: (/я~\ д1п~Л)->(А, х0) — произвольное отображение класса а.
Так как g\in-i = f, то составное отображение dht является тожде-
тождественным автоморфизмом группы кп_х(А, х0). Следовательно, для
любого п^-2 отображение ht мономорфно.
Если п^-3, то группа кп(Х, А, х0) абелева, и потому из соот-
соотношения dht=*l вытекает, что группа ъп(Х, А, х$) разлагается
в прямую сумму
кп(Х, A, xo) = J+K. где J=lmht, К = Кетд.
При этом, поскольку отображение ht мономорфно, J^кп_г(А, х0).
С другой стороны,
К = Кег д = Im У, « %п (X, х0),
ибо отображение j\ мономорфно. ¦
В случае я = 2, последнее рассуждение отпадает, так как группа
1С2(Л\ А, х0) в общем случае не абелева. Тем не менее и в этом слу-
случае можно доказать, что группа к2(Х, А, х0) является прямым произ-
произведением групп ^(Х, х0) и «i(A x0); см. [С], стр. 101.
В предложениях 5.2 и 5.3 гомотопические группы рассматриваются
относительно точки х0, к которой стягиваются пространства X к А.
Это ограничение введено лишь для упрощения доказательств. Дока-
Доказательство без этого предположения см. Ху [1] и [С], стр. 99—101.
6. Гомотопические группы расслоенных пространств
Пусть Е — произвольное расслоенное пространство с базисным
пространством В и проекцией р: Е-*-В. В базисном пространстве В
мы произвольно выберем точку 1>0(В с единственным ограничением,
чтобы-слой F = p~x{b$ был не пуст. В дальнейшем, этот слой мы
214 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
будем называть базисным слоем. Произвольно выбрав в нем точку
eo?F, мы получим некоторую тройку (Е, F, е0).
Так как p(F) — b0, то проекция р: (Е, ео)->(В, Ьо) определяет
отображение q: (E, F, ео)->(В, Ьо), для которого p — qj, где
/': (Е, ео)с(Е, F, е0) — отображение вложения. Согласно п. 9 гл. IV,
для любого п ;> 1 гомоморфизм qt является изоморфизмом группы
кп(Е, F, еп) на группу пп(В, Ьо). Пусть
d^dq^: «п(В, Ь0)-+*а_г(Р, е0). п> 1.
Поскольку Pt — qjf мы из гомотопической последовательности
тройки (Е, F, е0) получаем последовательность
... -Is+^(B,bo)^*->4(F, ео)-Ь+ко(Е, е0).
Эту последовательность мы будем называть гомотопической после-
последовательностью расслоения р: Е->В в точке е0.
Предложение 6.1. Если базисный слой F линейно вполне не-
несвязен, то при п = 1 отображение
является мономорфизмом, а при п^-2 — изоморфизмом.
Доказательство. Так как слой F линейно вполне несвязен, то
nn(F, еп) = 0 для любого д^1. Поэтому предложение непосред-
непосредственно следует из точности гомотопической последовательности рас-
расслоения р: Е-+В. ш
Предложение 6.2. Если расслоения р: Е->В допускает секу-
секущую поверхность /: В->Е, причем ео = %(Ьо), то при п^\
отображение pt является эпиморфизмом, а при д^-2 опреде-
определяет разложение в прямую сумму
1С„(Е, е0) ж 1СЯ(В, b0) + izn(F, e0).
Доказательство. Так как композиция р% является тождественным
отображением пространства В, то композиции р^ представляют собой
тождественный автоморфизм группы 1СЯ(В. bQ). Следовательно, для
любого п ^ 1 отображение х* мономорфно, а отображеняе pt эпи-
морфно.
Если д>-2, то группа яя(?. ^о) абелева, и потому из соотно-
соотношения pjc*—1 следует, что группа кп(Е, e^j разлагается в прямую
сумму
(Е )J+K где У=
При этом, поскольку отображение х« мономорфно, Jя&кп(В, Ьо).
С другой стовпны, так как для любого п ^-1 отображение р9 эпи-
6. Гомотопические группы расслоенных пространств . 215
морфно, то из точности гомотопической последовательности рассло-
расслоения следует, что для любого п ^ 1 отображение it мономорфно.
и, следовательно,
К = Ker pt = lmlt» Kn(F', е0). Ш,
Для п > 1 предложение 6.2 является обобщением предложения 2.1.
Из точности гомотопической последовательности расслоения р:
Ё->В и предложений 5.1—5.3 немедленно вытекают следующие
предложения:
Предложение 6.3. Если слой F является ретрактом про-
пространства Е, то при п ^-1 отображение pt эпиморфно
и при д^-2 определяет разложение в прямую сумму
.С. 'о)-
Предложение 6.4. Если пространство Е стягиваемо в слой F,
то для любого п >• 1 гомоморфизм pt тривиален и при п >- 2
имеет место разложение в прямую сумму
*. С7. <>о) * лп №. во) + «„+, (В, *„)•
Предложение 6.5. Если слой F стягиваем в пространстве Е
в -точку е0, то при п ^ 1 отображение pt мономорфно
и при д^-2 определяет разложение в прямую сумму
В качестве примера применения этих предложений рассмотрим
хопфовские расслоения
p. S2m-^Sm, m = 2, 4, 8.
В каждом из этих расслоений слоем F является (т — 1)-мерная
сфера S, стягиваемая в сфере S2 в точку. Следовательно,
согласно предложению 6.5, для любого д^.2 имеет место изо-
изоморфизм
F.6) «^m)~«.(S8m~1) + *--»'(S'"~1)- '« = 2.4.8..
В частности, при т = 2 мы получаем, что
.F.7) itn E2) s»-itn E3), если д>3.
В случае т = 4 или т = 8 мы аналогично получаем, что
«„ E4)« «„_, E3), если 2 < я < 6;
1ся E8) ss 1СЯ_1 (S7), если 2 < п < 14;
216 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
В качестве следующего примера мы рассмотрим построенное
в упр. F гл. III расслоение р: S-+M, где 5 — единичная сфера
я-мерного комплексного пространства С (имеющая размерность
In— 1), а М — соответствующее проективное пространство. Так
как слоем F этого расслоения является одномерная сфера, то при
п > 1 (в случае п = 1 пространство М состоит, из одной точки)
из точности гомотопической последовательности расслоения р: S -*> М
непосредственно следует, что
«„(S*-1). если m>2.
7. Гомотопические группы накрывающих пространств
Частным случаем предложения.6.1 является
Предложение 7.1. Если пространство Е накрывает простран-
пространство В посредством проекции р:(Е, «0)->(?, Ьо), то при д>-1
отображение
pt:«n(E, <?„)->*„(В, Ьо)
является мономорфизмом, а при д> 2 —изоморфизмом. В част-
частности, если Е является (односвязным) универсально накры-
накрывающим пространством, то
1С,(?) = 0 и 1ся (Е) л) 1СЯ (В), если я>2.
В силу теоремы Гуревича (см. теорему 4.4 и упр. С), отсюда
вытекает
Предложение 7.2. Для любого связного, локально линейно
связного и полулокально односвязного пространства В
группа гс2(Я) изоморфна сингулярной группе гомологии И2(Е)
его универсально накрывающего пространства Е.
Поскольку m-мерная сфера Sm накрывает m-мерное действи-
действительное проективное пространство Рт, из предложения 7.1 выте-
вытекает, что
¦кп (Рт) да «:„ EЛ) для любого п > 2.
Аналогично поскольку евклидово двумерное пространство накры-
накрывает любую замкнутую поверхность М, отличную от сферы 52 и
проективной плоскости Р2, из предложения 7.1 вытекает, что
1ся(Л1) = О для любого п ^-2.
Согласно предложению 15.1 гл. IV, для любой точки 0?
группа itj (В, bQ) является при п > 1 группой операторов
группы кп(В; Ьо). Если пространство В связно, локально линейно
7. Гомотопические группы накрывающих пространств 217
связно и полулокально односвязно, то эти операторы весьма просто
связаны с универсальным накрытием р: Е-+В.
Пусть w ? те, (В, Ьо). Согласно теореме 16.6 гл. III, элемент w
определяет некоторое преобразование А: Е-+Е пространства Е.
Пусть, е0 — такая точка из Е, что р(е0)=^Ь0, и пусть e1 = h(e0).
Тогда р(в)) = Ь0. Из определений преобразования h и действия эле-
элемента чю на группе пп(В, bQ) легко вытекает, что имеет место ком-
коммутативная диаграмма
«„(?, «о)— -»*„(?, «О
\р* \р*
Поскольку отображения - ht и р\ являются изоморфизмами, это озна-
означает, что имеет место равенство
G.3) w = pth-'p-\
В качестве при; ера рассмотрим букет В = 5"\/51, где я>-2,
полученный отождествлением точек sQ?Sn и 1?S!. Согласно утвер-
утверждению 4 упр. А гл. II, имеет место изоморфизм
где Ьо — точка, полученная из точек s0 и 1, причем образующей
группы л, (В, Ьо) служит класс ш экспоненциального отображения
р: I-*S1cB; см. п. 2 гл. II. Рассмотрим подпространство
E=(SnXZ)\)(s0XR)
прямого произведения 5я X R я-мерной сферы 5я и действительной
прямой R, где Z — подпространство прямой R, состоящее из всех
целых чисел. Пространство Е линейно связно и itm(E) = 0 для
любого m < я. В частности, так как, но условию, я > 1, то про-
пространство Е односвязно и, следовательно, я-просто. Его я-мерная
гомотопическая группа tn(?), построенная согласно п. 16 гл. IV,
является свободной абелевой группой со счетным множеством {a,I/?Z)
свободных образующих, где а; — класс етображения ft: S -*-Е,
определенного равенством
(доказательство этого утверждения см. в упр. С в конце главы).
Пусть отображение q : Е-*-В определено формулой
Г s, если s?Sn, tfZ,
a(s, t) = {
I J»CO. если s = s0.
218 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
где р: R->Sl — экспоненциальное отображение. Легко проверить,
что пространство Е накрывает пространство В посредством про-
проекция q. Следовательно, кт(В, bo) — Q для всех т, удовлетворяющих
неравенствам 1 < т < п, тогда как группа гся (В, Ьо) является свобод-
свободной абелевой группой со счетным множеством свободных образующих
{P^lf^Z}, естественным образом соответствующих образующим a.t.
Скольжение h\ Е->Е накрывающего пространства Е, соответ-
соответствующее образующей w группы icj (В, Ьо), определяется, как легко
видеть, формулой h(s, t) = (s, ^+1), где (s, t)?E. Так как
hjtl = at+l для всех l?Z, то, следовательно, wfyi=z$i_1. Этим дей-
действие группы ni (В, Ьо) на группе кп (В, Ьо) полностью определено.
В частности, мы видим, что пространство В не д-просто.
8. Определения и свойства n-связного расслоения
Обобщая указанное в предложении 7.1 свойство универсально
накрывающих пространств, мы расслоение р: Е->В над линейно
связным пространством В будем называть п-связным расслое-
расслоением, если пространство Е д-связно и для всех т > п имеет место ¦
изоморфизм
где е0 ? Е и р (е0) = Ьо. По теореме Гуревича для любого такого
расслоения
Согласно этому определению, тождественное отображение прост-
пространства В является 0-связным расслоением, а универсальное накрытие
над В, если оно существует,— 1-связным расслоением. В этом пункте
мы покажем, что д-связные расслоения существуют над любым
линейно связным пространством В (при га=1 эти расслоения накры-
накрытиями, вообще говоря, не будут).
Лемма 8.1. Для любого пространства В, любой его точки
и любого положительного числа п существует такое про-
пространство X, что
(i) пространство X содержит пространство В в качестве
замкнутого подпространства;
(И) имеет место равенство
(Ш) для любого положительного т < п отображение вло-
вложения i: Be X индуцирует изоморфизм
... '.:*»(*• bo)~*m{X, b0).
8. Определения и свойства п-связного расслоения 219
Доказательство. Пусть А—множество образующих группы %п {В, Ь^.
Рассматривая это множество как топологическое пространство
с дискретной топологией и обозначая через Е"+1 (д-|-1)-мерный
шар евклидова (я+ 1)-мерного пространства, ограниченный я-мер-
ной сферой S", мы положим
W = En+lXA, C = SnXAcW.
Пусть so = (l, 0 0)?S". Выбрав для каждого элемента а?Л
некоторое отображение ga:(Sa, s°)-*-(B, b0) класса а, определим
отображение g: С'-уВ, полагая
g(s, «) = ?(*). (s, a) eC.
Пусть X— склеенное пространство, полученное приклеиванием про-
пространства W к пространству В с помощью частичного отображе-
отображения g: C-+B. Оказывается, что это пространство удовлетворяет
условиям (i) — (iii).
Условие (i) очевидно, ибо, согласно определению склеенного про-
пространства (см. п. 7, гл. I), пространство С замкнуто в простран-
пространстве W. Чтобы проверить условия (Н) и (iii), мы предварительно
докажем, что
тст(Х, В, Ь0) = 0, если 0 < т.< п.
Пусть
f:(lm,Im-\jm-')-+(X,B,b0)
— произвольное отображение тройки (/m, Z™", J'1) в тройку
(X, В, Ьо). Так как т <^ п, то, согласно теореме о симплициальной
аппроксимации, существует гомотопия отображения /, связывающая
это отображение с таким отображением (lm, /m~\ Jm~l)->(X, В, &„),
что для любого a ? А его образ не содержит некоторой внутренней
точки еЛ пространства fn+1 X я. Поэтому существует такая гомо-
гомотопия
U (Im, Im-\ j*-1)-*^. В, Ьи),
что /0==/.и /,(Г)сВ. Согласно предложению 3.3 гл. IV, отсюда
следует, что класс Ь?пт(Х, В, Ьо) отображения / равен нулю.
Таким образом itm(А', В, Ь0)==0 для любого положительного»»^».
Следовательно, в силу точности гомотопической последовательности
тройки (X, В, bQ), отображение
/.:«m(B. Ьд-+кт(Х, Ьо)
является изоморфизмом при т=1, 2 п—1 и эпиморфизмом
при т = д. Тем самым условие (iii) полностью проверено.
220 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Поскольку отображение ga принадлежит классу а, ясно, что
?„,(а) = 0. Следовательно, поскольку множество А порождает
группу ъп(В, Ьо), отображение lt:i:n(B, Ь0)->т:п(Х, Ьо) тривиально.
Но, как мы только что видели, что отображение эпиморфно. Следо-
Следовательно, ъп(Х, bo) = Q. Условие (ii) также полностью проверено. ¦
Лемма 8.2. Для любого пространства В, любой точки 0?
и любого неотрицательного целого числа п существует такое
¦пространство X, что
0) пространство X содержит пространство В в качестве
замкнутого подпространства;
(ii) для любого т>д имеет место равенство пт(Х, Ь0) = 0;
(Ш) для любого положительного т^.п отображение вло-
вложения I: ВсХ индуцирует изоморфизм
1,:*Я{В. *„)««„,(*. Ьо).
Доказательство. Последовательно применяя лемму 8.1, мы полу-
получим такие пространства Хо, Xv .. ., ХТ, ..., что
1) Х0 = В;
2) для любого г > 0 пространство ХГ содержит простран-
пространство Хг_1 в качестве замкнутого подпространства;
3) для любого г > 0 имеет место равенство
4) для любого положительного т<д + г отображение вложе-
вложения 1Г: Хг_х с Хт индуцирует изоморфизм
(^:icm(^r_lt bo)~*m(Xr b0).
Пусть X — объединение пространств Хг для всех г ^- 0.
Мы введем в множество X топологию, считая множество U с X
открытым тогда и только тогда, когда для любого г ^ 0 пересе-
пересечение U П Хт открыто в пространстве Хт. Покажем, что это про-
пространство X удовлетворяет всем условиям (i) — (Ш).
Из свойства B) и определения топологии в пространстве X
непосредственно следует, что для любого г^.0 пространство Хт
является замкнутым подпространством пространства X. В частности,
замкнутым подпространством пространства X является- простран-
пространство Х0 = В.
Докажем сначала, что отображение вложения уг: Хгс X инду-
индуцирует для любого положительного m</t + r изоморфизм
Пусть a?itm(A\ ?0), и пусть/: (Г, дГ)->(Х, ^ — произволь-
произвольное отображение класса а. Поскольку множество f (lm) компактно,
существует такое целое число q^O, что f(Im)cXr+q, и потому
8. Определения и свойства п-связного расслоения 221
отображение / определяет некоторый элемент р группы %m (Xr+g, b0),
удовлетворяющий, очевидно, соотношению (У,ч?)»(Р) = а- Пусть
fsrr*^1^). ГДе **: nm(Xi- *о) ** пт (Хг+Г *o) ~ ИЗОМОрфизм, ИНДу-
цированный вложением к: ХТ с XT+q (см. свойство 4). Тогда
(Уг)»(ТГ):=(Л+Л**(ТГ) = (Л+?).(Р) —а> Таким образом, отображе-
отображение (Jr)t эпиморфно. С другой стороны, если для некоторого эле-
элемента. t?nm(Xr, b0) имеет место равенство С/г)»(?) = 0, то для
каждого отображения g: (Im, dIm)-*-(XT, b0) класса $ существует
такая гомотопия gt: (Im, dIm)-±(X, b0), 0<;^<l, что go= g и
g1(Im) = b0. Пусть О — соответствующее отображение Jm+1-*-X.
Поскольку множество O(lm+1) компактно, существует такое q^. О, что
О(Г+1)с Хг+Г Следовательно, kt(t) = O, где к'. ХгсХг+1) и
потому 5 = 0, ибо, согласно свойству 4, отображение kt изоморфно.
Таким образом, отображение (/,.), является мономорфизмом.
Поскольку отображение (jr)t при 0< m < я является июмор-
физмом, справедливость условий (И) и (Hi) немедленно вытекает из
свойств 3 и 4. ¦
Теорема 8.3. Для любого линейно связного пространства В
и любого неотрицательного числа п существует п-связное
расслоение р: Е-*-В.
Доказательство. Пусть bQ?B, и пусть X — пространство, удо-
удовлетворяющее условиям (i) —(iii) леммы 8.2. Рассмотрим тройку
(х'. В', b'o), производную от тройки (X, В, bQ) и соответствующую
производную проекцию q: (х', в', b'0)->(X, В, Ь,); см. п. 3 гл. IV.
По определению, пространство X' является расслоенным простран-
пространством над пространством X, а пространство В'—расслоенным про-
пространством над пространством В (с проекциями q и q\B соответ-
соответственно). Пусть F = q~l(b^). Гомотопические последовательности
расслоений Х'—>Х и В'—>-В связаны, очевидно, коммутативной
диаграммой
К)
VI
**
(в, bQ)Xd
гомоморфизмы tt. lt, jt и kt которой индуцированы отображениями
вложения, гомоморфизмы qt и qt индуцированы проекцией q, а го-
гомоморфизмы dr и dt представляют собой граничные операторы.
Поскольку пространство X' стягиваемо по себе в точку, для
222 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
любого т^.0 имеет, место равенство i:m{x', &о) = О, и потому
граничный оператор dm для любого m ]>. 1 является изоморфизмом
группы кт(Х, Ьо) на группу itm_i(F, b'o).
Если m > га, то
и потому для всех m > га отображение д» является изоморфизмом.
С другой стороны, если т^.п. то изоморфизмом является отобра-
отображение /гф, а потому и отображение ^ = dmkm: кт(В, ft0)-*¦ ^m-iif> b'o)-
Следовательно, it, (в'. *о)=О для любого положительного т < п. Кроме
того, так как тсД/7, b'o)^ Kn+i(X, &0) = 0, то itn(s', &o) = O.
Пусть Е — компонента линейной связности пространства В', со-
содержащая точку ео = ?о, и пусть р = ^|?. Таким образом, простран-
пространство Е представляет собой компоненту линейной связности простран-
пространства путей [X; В, bQ], содержащую вырожденный путь eo(/) = fto,
а отображение р: Е-Ь-В — начальную проекцию. Из доказанных
выше свойств отображения д: В' ->В немедленно следует, что ото-
отображение р : Е—>В является расслоением, что пространство Е я-связно
и что />ф: ът(Е, ео)«тст(В, Ьо) для всех т > п. Таким образом,
отображение р:Е->В является re-связным расслоением. ¦
Следствие 8.4. Для любого п-связного расслоения р: Е->В
над (п — \)-связным пространством В слой F = p~1(bQ) над
любой точкой Ь0?В обладает тем свойством, что
Km(F, ео) = О, если тФп—1.
где е0 — произвольная точка слоя F.
Это следствие немедленно вытекает из точности гомотопической
последовательности расслоения р: Е->В.
9. Гомотопическая последовательность произвольной тройки
В этом пункте мы будем рассматривать тройки (X, А, В), со-
состоящие из некоторого пространства X и двух его таких непустых
подпространств А и В, что ЛэВ. Частными случаями этих троек
являются рассмотренные выше тройки (X, А, х0), для которых про-
пространство В сводится к одной точке х0. Произвольно выбрав в про-
пространстве В некоторую точку хо?В, рассмотрим гомоморфизмы
',:кп(Х,
п „ \ / 7
¦ D у \ '_ / ]
(Л, *0)-*.*„(/
"С, В,
f. A,
1, В,
*о)-
•*о)
9. Гомотопическая последовательность произвольной тройки ?23
гомотопических групп, индуцированные отображениями вложения
7: (Л, В, хо)с(Х, В, xQ), j:(X, В, xQ)c(X, A, xQ),
k : (A, xQ)c(A, В, х0).
Композицию '
д=к,д:т:п(Х, А, *„)->::„_!(Л, В, х0), п > О,
отображений
ка(Х, A, *„)-*-¦*„_, (A *„)-**-¦*„_, (А, В, х0).
мы будем называть граничным оператором, а бесконечную после»
довательность
... -L+va+l(X. А, хо)Мт:п(А, В, Х0)-±->
-»«п(Х. В, хо)^-^^п(Х, А, хо)-1+...
...-Uk^A, В, хд-Ь+к^Х. В, jc0)—2«~»-тс1(А'. А, х0)
— гомотопической последовательностью тройки (X,. А, В)
в точке х0.
Теорема 9.1. Гомотопическая последовательность тройки
точна.
. Доказательство. Рассмотрим диаграмму
i* / ,/ /\ /ft ¦ / ,/ _/ f\ д / _/ /\ 1Л / .г t\ 1*
|
... -Я *я+, (JfМл) -^> «я (^,5.л-о) —
0) А я, (Х,А,х0),
где
Л-' = [А-; А-, jt0]. А'=*\Х; А, х0]. В' = 1Х; В, х0],
х'о — вырожденный путь (т: е. х'0(/) = хЛ, } ,
- q: (А, В', Ло)->(Л, В, х0)
— расслоение, определенное проекцией р: Х'->Х, а
/: {В', х'0)с(а', х'о) и J: (л', x'q)c{A , В\ х'о)
— отображения вложения.
224 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Легко видеть, что каждый квадрат этой диаграммы коммутативен.
Кроме того, ее верхняя строка являясь гомотопической последова-
последовательностью тройки (а' , В , х'о), представляет собой точную после-
последовательность. Наконец, согласно результатам п. 9 гл. IV, отобра-
отображения X и 9* являются изоморфизмами. Поэтому нижняя строка
также представляет собой точную последовательность. ¦
Поскольку отрезок гомотопической последовательности тройки
(X, А, В), кончающийся группой it2(^f, А, х0), состоит из групп
и гомоморфизмов, его точность может быть выведена из алгебраи-
алгебраических аксиом и точности гомотопических последовательностей троек
вида (X, А, х0); см. в [С], стр. 94 ив [С —Э], стр. 46, аналогич-
аналогичные рассуждения для случая групп гомологии. Простота изложенного
выше доказательства объясняется тем, что в нем используется аксиома
расслоения, которая в теории гомологии места не имеет.
10. Гомотопические группы триад
Напомним, что, по определению, триада (X; А. В) состоит из
некоторого пространства X и двух его подпространств А к В, пере-
пересечение которых А{\В==С непусто. Выбрав в пространстве С
некоторую точку х0 ? С, мы определим гомотопические группы
кп(Х; А, В, х0) триады (X, А, В) в точке xQ формулой
к„(Х; А, В, xo)=izn_l(P, Q, о0),
где
Р — \Х\ В, *0], Q = [A; С, xQ],
а о0 — вырожденный путь (о0 (/) = х0). Эта формула имеет смысл,
так как ввиду включений АсХ, а СсВ имеют место включения
При я^>3 группа пп(Х', А, В, х0) действительно является груп-
группой, а при л>3 — даже абелевой. При л = 2 эта „группа" является
просто множеством с отмеченным в нем нулевым элементом.
Так как, согласно п. 9 гл. IV, при любом я > 0 имеют место
естественные изоморфизмы
К кп(Х, В, x^tsuc^iP, о0), х: *п(А< с< *о)датея-1(С- °о)>
то гомотопическую последовательность тройки (Р, Q, о0) можно пе-
переписать в виде точной последовательности
-* те1 (А,С,х0) X it! (Х,В.х0),
которую мы будем называть первой гомотопической последовп'
тельностью триады (X; А, В) в точке х0.
10. Гомотопические группы триад 225
Гомоморфизмы
/,: кя(А, С, хо)+»т:п(Х, В. Хо), Я>2.
мы будем называть гомоморфизмами вырезания; см. [С — Э],
стр. 257. Они являются изоморфизмами тогда и только тогда, когда
все гомотопические группы триады (X, А, В) равны нулю. Таким
образом, последние группы измеряют, в.какой мере аксиома выреза-
вырезания не выполняется для относительных гомотопических групп.
Рассмотрим теперь гомеоморфизм А: /"—>/", определенный равен-
равенством
'«-Я- *n-V *п) = Цх tn_2, tn, *„_!>•
Для каждого га ^-2 соответствие f-*-fh индуцирует некоторый изо-
изоморфизм
*,: ъп{Х; А, В, хо)~т:п(Х; В, А, х0)
(при га = 2 — биективное отображение переводящее нуль в нуль).
Применяя эти изоморфизмы к членам первой гомотопической после-
последовательности триады (X, А, В) в точке х0, мы получим некоторую
точную последовательность
... !Х icB+1 (X;A,B,x0) 2U *„ (В,С,х0) Л
Эту последовательность мы будем называть второй гомотопической
последовательностью триады (X, А. В) в точке х0.
Элементы групп па(Х; А, В, х0) можно геометрически предста-
представлять себе как классы таких отображений /: Iя -*¦ X, что для любой
точки t = (tr tn) границы dl" куба /" либо / (/) ^ А (если
*„_! = ()), либо f(t)?B (если *„ = ()), либо f(t)=x0 (для осталь-
остальных t), или, более точно, как компоненты линейной связности про-
пространства всех таких отображений; см. Блэйкерс и Масси [1].
Чтобы получить другое геометрическое представление групп
ъп(Х\ А, В, х0), га^>2, мы рассмотрим единичный га-мерный шар Е"
евклидова га-мерного пространства R", его граничную (га — ^-мер-
^-мерную сферу S" и две полусферы Е%~1 и El~l сферы S"~\ опре-
определенные соответственно неравенствами ta ^- 0 и tn ^ 0. Легко ви-
детьг что элементами группы ire(^f; А, В, х0) явлиются компоненты
линейной связности пространства отображений
/: (?"; ЕТ1, El-1, s^{X; А. В, xj,
где so = (l, 0 0).
15 Ху Сы-цзян
226 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Проиллюстрируем введенные понятия на примере триады (X, А, В),
для которой
x=s2, а=е\, в=е\.
Ясно, что С = Sl. Будем считать, что л;0 = A, 0, 0).
Поскольку пространства А и В стягиваемы по себе в точку, из
точности гомотопических последовательностей троек (А, С, х0) и
(X, В, х0) следует, что для каждого п > 0 имеют место изомор-
изоморфизмы ~ -"*
icn(A. С, *o)»*»-i(C.-Jfo). *в(*. в< хо)~кп(Х, х0).
С другой стороны,
«„(Л. С, A;0)«ite_1(S1) = 0
при любом п ^ 3. Следовательно, отображение /ф первой гомотопи-
гомотопической последовательности триады (X; А, В) является изоморфизмом
для всех п > 3, так что
*„(*; Л, В, xo)«
Рассмотрим теперь следующий отрезок первой гомотопической после-
последовательности триады (X; А, В):
О/ У О «Л \ w ят { V • Л D «Л \ *^ mm / А /"* Ч* \ '# V.
—> 7Го ^Л , О * «О/ — 3 v * * * "О/ — 2 \ ' ' "О/
-*1г2(Л\ S, лго)->1с2(^; Л, В, хо)-*-О.
Легко видеть, что группы ^(А, С, ха) и тсДЛГ, S, л:0) являются
свободными циклическими группами и что отображение it переводит
образующую группы -к2(А, С, xQ) в образующую группы к2(Х, В, х0),
т. е. является изоморфизмом. Поэтому
те (Х- A R х } О
к3(Х; А, В, xQ)xv3(X, В, х0) « v3(S2) « Z.
П. Надстройка Фрейденталя
Пусть (X; А, В) — произвольная триада, для которой простран-
пространства А л В стягиваемы по себе в точку. Как всегда, за базисную
точку л:0 мы примем некоторую точку л:0 ? С, где С = А Г) В. Рас-
Рассмотрим пространства путей
U = [X; А, В], V = [C; С, С].
Так как ao?VcU, где о0—вырожденная петля (on('/)= xj, то опре-
определена точная гомотопическая последовательность тройки (U, V, о0):
//. Надстройка Фрейденталя 227
Согласно п. 9 гл. III, сопоставляя каждой точке х?С вырожденный
путь ?(*) в точке х, мы-получим непрерывное отображение !¦: C->V
(естественную инъекцию), гомеоморфно отображающее пространство С
на некоторое подпространство ?(С) пространства V. Согласно пред-
предложению 9.10 гл. III, подпространство ?(С) является сильным дефор-
деформационным ретрактом пространства V, и поэтому для любого п ^> 0
имеет место изоморфизм
V Un (?• Хо) *** ил ^У> °о)-
С другой стороны, поскольку пространства А а В стягиваемы, по
себе в точку, из утверждений упр. N гл. III следует, что для ото-
отображения вложения tj: WcU, где W = [X; х0, х0], существует гомо-
топически обратное отображение, и потому
Наконец, согласно п. 9 гл. IV, имеют место естественные изомор-
изоморфизмы
Х: кя+1(Х. х^ът:п(Ш, с0), ге>0.
Рассмотрим теперь пространство путей 2 = [U; V, о0]. Согласно
теореме 9.9 гл. III, его можно представлять себе как пространство
отображений /: /2->А\ для которых
/@, f)?A,- /A,¦*)??, fit, 0)?C f{t, 1) = jc0
при всех t ^ /• Согласно п. 9 гл. IV, имеют место естественные изо-
изоморфизмы
Х: «„+,(</. V. о0)«и„B; 60), «>0.
где 60 — постоянное отображение (90 (Т2) = х0).
Рассмотрим, с другой стороны, пространство Л = [Р; Q, в0], где
Р = [Х; В, х0] и Q=.[A; С, х0]. Это пространство можно пред-
представлять себе, как пространство отображений g: /2—*• X, для которых
g@..f)?A, git, 0)?B, g(l, t)~ xo = git, 1)
при всех t?I. Очевидно, что 90?А и, согласно п. 10, имеет.место
изоморфизм
Докажем, что пространства Q и Л имеют один и тот же гомото-
гомотопический тип. Обозначая символом дР границу куба /2, определим
отображение 6: дР->дР, полагая
i2t, 0), если 0<г<4">
9(t. 0) =
1
A, 2^—1), если у<^<1,
= @. t), <р(Л 1) = (Л 1), 9A, O = (l. I)-
15*
228- Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Ясно, что отображение ср гомотопно тождественному отображению
границы дР и, следовательно, допускает некоторое распространение
Ф: /2->/2. При этом для любого отображения /?2 композиция /Ф
принадлежит пространству Л и соответствие /—>/Ф определяет не-
некоторое непрерывное отображение С: B, 90)-»-(Л, 80). Легко видеть,
что это отображение является гомотопической эквивалентностью,
причем обратная эквивалентность определяется соответствием g-^gW,
g?A, где W:P->P— некоторое отображение, аналогичное отобра-
отображению Ф.
Поскольку отображение С является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью, оно индуцирует изоморфизмы
Рассмотрим для любого п^-0 следующие составные отображения
1Л\ А, В, *„)->*„(С *0),
»т:п+1(Х, Х0),
о)->кп+2(Х; А, В, xQ),
являющиеся при п > 0 гомоморфизмами. Ясно, что гомотопическая
последовательность тройки ((/, V, о0) может быть переписана в виде
точной последовательности
->*„+,(*; А, В, Jto)-U...
...Мк2(Х; А, В, *0)-г-).:г0(С, х^-^п^Х, х0).
Эту последовательность мы будем называть надстроечной после-
последовательностью ¦ триады (X", А, В). В частности, отображения s
мы будем называть надстроечными гомоморфизмами (или просто
надстройками). Эта точная последовательность показывает, что
гомотопические группы кп(Х; А, В, х0) триады (X; А, В) оцени-
оценивают уклонение надстроечных гомоморфизмов s от изоморфизма.
Предложение 11.1. Для любого целого т^-2 следующие три
утверждения равносильны:
(О для всех П4^т имеет место равенство
ъа(Х; А, В, *0) = 0;
(ii) надстроечный гомоморфизм s: ил(С, ха)-*-т:п+1(Х, х0)
является изоморфизмом при я = 1, ..., т — 2 и эпиморфизмом
при я=»ж— 1; .
(Ш) гомоморфизм вырезания it :ил(Л, С, xo)-*-i:n(X, В, х0)
является изоморфизмом при « = ?, ,,,, т— \ и эпиморфизмом
при п*ып,
11. Надстройка Фрейденталя 229
Доказательство. Равносильность утверждений (i) и (п) следует из
точности надстроечной последовательности триады (X; А, В), а рав-
равносильность утверждений (i) и (Ш) — из точности первой гомотопи-
гомотопической последовательности триады (X; А, В). ¦
Впоследствии (см. теорему 2.1 гл. XI) мы докажем, что в случае,
когда пространство X является г-мерной (г ^> 2) сферой, а подпро-
подпространства Ал В — ее полусферами Е+ и ?г_, утверждение (И) верно
при m = 2r — 2.
Из определения надстроечного гомоморфизма s = X~lt]~liJit без
труда выводится, что его можно получить следующей геометрической
конструкцией:
Пусть а?тсл(С, х0), и пусть /: (Sn, so)-*-(C, х0)— произволь-
произвольное отображение класса а. Поскольку пространства Ал В стягиваемы
по себе в точку, отображение / допускает такое распространение
F: (S"+1, Sq)->(*, х0), что F(E"++1)czA, F(E"l+1)cB. Оказывается,
что элемент группы кп+1(Х, х^), определенный отображением F,
совпадает с элементом s(ct). Эта красивая геометрическая интерпре-
интерпретация надстроечного гомоморфизма s и была впервые предложена
Фрейденталем в качестве его определення для частного случая триады
EГ; Er+, El).
Введенные понятия наиболее полезны для триад специального
вида, являющихся обобщением триад (Sr; Er+, El.), которые строятся
следующим образом. Пусть С — произвольное непустое пространство.
Рассмотрим пространство X, получающееся соединением простран-
пространства С с двумя различными точками а л Ь, т. е. факторпространство
прямого произведения Су, I, возникающее при отождествлении под-
подмножеств С X 0 и С X 1 с точками а и Ь соответственно. Это про-
пространство называется надстройкой над пространством С с верши-
вершинами а и Ь. Пространство С естественным образом вкладывается
в пространство ^посредством отображения /: С-*Х, определен-
определенного формулой /(с) = р(с, -п), с?С, где р: С~Х/->Х—естествен-
С~Х/->Х—естественная проекция. Пусть
t)\c?C, 0<г<-
t)\c$C, ¦?¦<*< l}.
Пространства А л В являются конусами над пространством С и по-
потому стягиваемы по себе в точку. Поскольку С=А[\В, триада
(X; А, В) удовлетворяет, следовательно, условиям сформированным
в начале этого пункта, так что определен надстроечный гомомор-
C Хр)->1тд+, (Л", Хц)> В частном случае, когда
230 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
ство С является (г—1)-мерной сферой Sr~l, триада (X; А, В) то-
топологически эквивалентна триаде (Sr; Ef+, El).
Вычислим в заключение надстроечную последовательность триады
\ (S2; Е+, EV), для которой С ==S1. Так как «„(S1, so) = O = it2(S1, s0).
где so?Sl— произвольная фиксированная точка, то начальный отре-
отрезок надстроечной последовательности триады (S2; Е\, Е2.) имеет
следующий вид:
0-*u3(S2, so)-'->u3(S2;' E2+, El, sJ-Uu,^, s0)-U
Как мы знаем, все эти четыре группы являются свободными цикли-
циклическими группами. Легко видеть, что мономорфизм t является, на
самом деле, изоморфизмом. Действительно, если бы это было не
так, то образ гомоморфизма г был бы группой конечного порядка,
равного индексу группы f[u3(S2, s0)] в группе ir3(S2; Е%, Е2., s0),
что невозможно, ибо группа ^(S1, s0) свободна. Поскольку отобра-
отображение t изоморфно, отображение s также изоморфно, а отображе-
отображение г равно нулю. Длв больших размерностей отображение t также
изоморфно:
t: *„ (S2, s0) « un (S2; E2+, E2., s0), n > 4,
ибо i:n(Sl, so) = O при
УПРАЖНЕНИЯ
А. Теорема сложения для элементов гомотопических групп
Пусть Д„ — единичный я-мерный симплекс (я-)-1)-мерного евкли-
евклидова пространства Rn+1; см. [С — Э), стр. 80. Для любой пары
(X, х0) при каждом я>0 элементы группы i:n(X, x0) можно рас-
рассматривать как гомотопические классы отображений пары (Д„, дД„)
в пару (X, х0); см. Ху [12].
Пусть я > 0, и пусть К"'1—(я—1)-мерный остов граничной
я-мерной сферы S" единичного (га-)-1)-мерного симплекса Д„+1 ев-
евклидова (я-г-2)-мерного пространства. Каждое отображение
переводит начальную вершину я-мерной сферы Sn в точку х0 и по-
потому определяет некоторый элемент [/] группы и„ (X, х0). С другой
стороны, для любого 1 = 0, 1, ..., я-f-1 композиция fent : (Д„, <?Д„)->
-*(Х, х0) рассмотренного в [С — Э], стр. 207, симплициального
отображения
и отображения / также определяет некоторый элемент [/e»J группы
кп(Х, х0). ¦ ,
Упражнения 231
Докажите следующую теорему:
Теорема сложения. Для любого отображения
/: (S", К"-1)->(Х, х0), я>2,
имеет-место равенство
л+1
1=0 ,
В исключительном случае га = 1 для любого отображения
/: (S1, К°)-*-(Х, х0) имеет место аналогичное соотношение
1Л = Н] • [AJ] •[/*}]"'
(здесь порядок множителей существен, ибо группа •к1 (X, х0), вообще
говоря, не абелева).
Аналогичное утверждение имеет место и для отображений не гра-
границ симплексов, а границ кубов. Именно пусть га > 0, и пусть
К"'1 — (га — 1)-мерный остов граничной га-мерной сферы dln+l
(га-(- 1)-мерного куба /я+1. Этот остов состоит из всех точек
(tx ^n+iN^"+1' Для которых /,A—^) = 0 по крайней мере
для двух различных индексов I. Каждое отображение
/: (dl"+\ K"-l)-*(X, xQ)
переводит точку @ 0) сферы d/"+1 в точку х0 и потому опре-
определяет некоторый элемент [/] группы ^„(Х, х0). С другой стороны,
обозначив для любого t = l, .... п-\-\ символами ^ и С,-гомеомор-
С,-гомеоморфизмы куба /" в сферу.д1п+ , определенные формулами
'.) = ('i h-v 0. tt tn),
*„)=¦(*,...... *,.,. i. и tn),
мы получим, что композиции fr\i и Дг отображают пару (/", д/п)
в пару {X. х0) и потому определяют некоторые элементы [/tjJ и
[Дг1 группы кп(Х, х0).
Докажите, что
л+1
[/] = 2 (-1)' (I Д,1 - [/Ч,]). - п > 2.
В исключительном случае га = 1 для любого отображения
/: (дР, К°)->(Х, х0) имеет место аналогичное соотношение
1/1 = [/%]• [Да]-[/У
232 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
В. Теорема сложения для элементов относительных
гомотопических групп
Для произвольной тройки {X, A, jc0) элементы группы
ъп(Х, А, ж0) при каждом я^-2 можно рассматривать как гомото-
гомотопические классы отображений тройки (Д„, <ЭДП, v0) в тройку (X, А, х0),
где v0 — начальная вершина симплекса Д„.
Пусть я ^-2, и пусть /С" — (я—1)-мерный остов граничной
я-мерной сферы 5я симплекса Дя+]. Рассмотрим произвольное ото-
отображение
/: Eя, Кп~\ vo)^(X, А, х0)
и для каждого 1 = 0, 1, ..., я + 1 композицию fe1} отображений /
и е": Дд->Дп+1, представляющую собой отображение пары (Д„, дАп)
в пару (X, А). При IФ 0 отображение fe^ переводит начальную
вершину ©0 симплекса Д„ в точку х0 и потому определяет некоторый
элемент [/*я] группы тся {X, А, х0). Что же касается отображения feg,
то оно переводит точку vQ в точку х, = /(г»0) и потому определяет
некоторый элемент [/eg] группы пп(Х, А, *,). Определим путь о:
—> А, соединяющий точки х0 и xv полагая
о(о=/(Г— t, t, о 0), t$i.
Согласно утверждению упр. D гл. IV, путь а индуцирует некоторый
изоморфизм
б„:яя(ЛГ, А, х,)жи„(ЛГ, A, xQ).
Докажите следующую теорему: s
Теорема сложения для элементов относительных гомотопических
групп. Для любого отображения
/: Eя, Л:", vo)^(X, A, jg, я>2.
имеет место равенство
п+1
2
где If] — элемент группы пп(Х, ха), определенный отображе-
отображением /, рассматриваемым как отображение пары (Sn, v0)
в пару {X, х0), а /„ — гомоморфизм гомотопических групп,
индуцированный отображением вложения j: {X, х0) с: (X, A, Xf).
Сформулируйте и докажите аналогичную теорему для отображений
тройки (дГп+\ К"~\ v0) в тройку {X, А, *<,).
Упражнения 233
С. Теорема Гуревича
Пусть X— произвольное линейно связное пространство, А —
некоторое его линейно связное подпространство, и пусть х0? А.
Пара (Л", А) называется т-связной, если пп{Х, А, хо) = О при
1 ^ n <С т- Используя теорему сложения для элементов относитель-
относительных гомотопических групп (см. упр. D), докажите следующую
теорему:
Теорема Гуревича. Для любой (га— \)-связной (га>-2) пары
(X, А) гомоморфизм Гуревича
*„:*„(*• А, хо)^НП(Х, А)
является эпиморфизмом, ядро которого порождено всеми эле-
элементами вида а — дах, где а ? тгя (А', А, х0) и w ? тс, (А, х0).
В случае «= 2 докажите также, что ядро гомоморфизма ^
содержит коммутант группы тс2(Л', А, х^.
Из теоремы Гуревича вытекают следующие предложения:
1. Для любой (я—1)-связной и я-простой (я>-2) пары (Л", А)
имеет место изоморфизм
V кп{Х, А, хо)~Нп(Х, А).
2. Для любого (я—1)-связного (я>-2) пространства X имеет
место изоморфизм
Последнее предложение обобщает теорему 4.4. Оно применимо,
в частности, к рассмотренному в п. 7 пространству E = (S" X Z)U
U (*о X Я)-
Это пространство (я—1)-связно, и потому тся(Е)ш НП(Е). Сле-
Следовательно, группа тся(?) является свободной абелевой группой со
счетным множеством свободных образующих.
Докажите, что
3. Для любого (я—1)-связного (я ^-2) пространства X отобра-
отображение hn+l является эпиморфивмом (Дж. Уайтхед [1]).
D. Теорема Уайтхеда
Пусть, как и в предыдущем упражнении, (Л", А, х0) — произ-
произвольная тройка, для которой пространства X и А линейно связны.
234 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Применяя теорему Гуревича к коммутативной диаграмме
... > п„ (А, х0) —-»• п„ (X, х0) -*-> п„ (*, Д л:0) > п„_, (И, л:0) -±--> ...
4 * i I
...—-*Я„(Л) -&--*Н„(Х)—?—*Нп(Х, А)~^—*Я„_,(Л)-^—> ...
/« с*
"¦~7
&+Ht(X, A),
докажите следующие предложения:
1. Если отображения /„ изоморфны при всех п < т, где т —
некоторое положительно целое число, то отображения /д также изо-
изоморфны (при тех же я). Если, кроме того, при я = да отображение tt
эпиморфно, то отображение 1$ также эпиморфно (при п = т). ¦*
2. Пусть пространства X а А односвязны. Тогда если отобра-
отображение Г(* изоморфно при всех я < т, где т — некоторое положи-
положительное целое число, и эпиморфно при п — т, то отображение f,
изоморфно при я<да и эпиморфно при п*=т. Если, кроме того,
отображение 1# при п = т изоморфно, то ядро гомоморфизма it
в группе пп(А, х0) содержится в ядре гомоморфизма д„: гс„(Л, д:0)->
->//„(Л).
Пусть теперь X и К — произвольные линейно связные простран-
пространства. Рассмотрим произвольное отображение /: (А', д:0)->(Уг. у0) и
индуцированные им гомоморфизмы
Д : тп (А', х0) —> 1ся (К, yo)j /д.: //n (A') —> Нп (К).
Используя цилиндр Mf отображения / и предложения 12.1 и 12.2
гл. I, докажите следующие утверждения:
3. Если отображения Д изоморфны при всех п < т, где т —
некоторое положительное целое число, то отображения /# также
изоморфны (при тех же га). Если, кроме того, при п = т отображе-
отображение Д эпиморфно, то отображение /# также эпиморфно (при га = т).
4. Пусть пространства X к Y односвязны. Тогда если отображе-
отображение /д изоморфно при га < т и эпиморфно при п = т, где т —
некоторое положительное целое число, то и отображение Д изо-
изоморфно при п < т и эпиморфно при п = т. Если, кроме того, ото-
отображение /ц при п = т изоморфно, то ядро гомоморфизма Д
в группе тся (Л", д:0) содержится в ядре гомоморфизма «я: яя (Я\ Хо)->
Заметим, что условие существования отображения /: (Л", *<,)->¦
" (У> Уо)> для которого гомоморфизм Д является для всех га > О
Упражнения 235-
изоморфизмом, намного сильнее условия пп(Х, х0) ^ -кп(У, у0) для
всех п > 0. Действительно, существуют линейно связные пространства,
имеющие изоморфные гомотопические группы, но разные группы
гомологии (Ван [1]).
Е. Гомотопические группы склеенных пространств
Пусть X — произвольное пространство с отмеченной точкой
хо?Х. Рассмотрим произвольное семейство отображений
U <5"' *<>)->(*. *о). ?€м
с индексами из некоторого множества М. Считая, что в М введена
дискретная топология, определим (очевидно, непрерывное) отображение
полагая / ($, ji) = /^ ($) для всех $ ? S" и ji ? М. Пусть У — склеен-
склеенное пространство (см. п. 7 гл. I), полученное приклеиванием прямого,
произведения Е"+1У,М к пространству X посредством отображения/,
и пусть
*,: кт(Х, xo)-+izm(Y, x0), да>0,
гомоморфизмы, индуцированные отображением вложения X C.Y.
Докажите следующие предложения:
1. Для любого т < п отображение lt изоморфно.
2. При т = п отображение lt эпиморфно, а его ядром является
подгруппа группы кп(Х, х0), порожденная всеми элементами вида wa^,
где w^it](A', х0), а а^?пп(Х, х0) — класс отображения f^, p?M
(Уайтхед Г. К. [1], стр. 281).
3. Если /ц сь; 0 для всех (А ^ М, то при т = п -+-1 отображение lt
мономорфно, причем его образ в группе ъп+1(У, х0) является прямым
слагаемым. Дополнительное слагаемое изоморфно относительной гомо-
гомотопической группе яя+1(К, X, #„), которая в этом случае является
свободной абелевой группой со свободными образующими вида wb^,
где да^ж,(А', х0). а *р. 6 «я+1 (^. Х< х0) — класс отображения
^: (En+l, Sn, xo)-+(Y, X, х0),
определенного формулой g^iO — pit, ц), где р: ?"+I X М-*-У —
естественная проекция (Уайтхед Г. К. [1], стр. 285).
F. Пространства гомотопического типа (л, п)
Пусть п — произвольное целое положительное число и тс — произ-
произвольная группа, абелевая при «> 1.
Линейно связное пространство X мы будем называть простран-
пространством гомотопического типа (тс, га), если
и тсЛ1(Л') = 0 при тфп.
236 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Согласно следствию 8.4, если отображение р: Е-*¦ В является
rt-связным расслоением над (я—1)-связным пространством В, то его
слой F = p~i(b0) над любой точкой Ъ0?В представляет собой про-
пространство гомотопического типа (тси(В), я— 1).
Для того чтобы построить пространство X гомотопического
типа (тс, я), следует группу тс представить как факторгруппу свобод-
свободной (при я > 1 свободной абелевой) группы F по некоторому ее
нормальному делителю R:
тс = /=¦//?.
Пусть М — множество свободных образующих группы F, рассма-
рассматриваемое в дискретной топологии. Приклеив прямое произведение
Еп X М к состоящему из одной точки пространству Ьо посредством
(постоянного) отображениям g: Sn~l ХЛ1->*0, мы получим некоторое
склеенное пространство А. Докажите, что
Kn(A) = F и vm(A) = 0, если m < п.
Выбрав для каждого элемента г ? /? с пп(А) произвольное отображение
/г: Eя, 50)->(Л, Ьо) класса г, рассмотрим склеенное пространство В,
построенное с помощью семейства {/Г|Г6Я}'> см. упр. Е. Так как
то, согласно лемме 8.2, существует такое линейно связное простран-
пространство X, содержащее пространство В в качестве замкнутого подпро-
подпространства, что
тс„ (X) ж п и тст (X) — 0 при тфп.
Таким образом, пространства гомотопического типа (тс, п) существуют
для любого целого числа п и любой группы тс (абелевой при п > 1).
Докажите, что при я > 1 для любого пространства гомотопического
типа (тс, я) пространство петель А(^) в произвольной точке хо?Х
является пространством гомотопического типа (тс, я — 1).
G. Теоремы реализации
Используя пространства гомотопического типа (тс, я), докажите
следующую теорему:
Теорема реализации. Для любой последовательности групп
в которой все группы, за исключением первой группы тс, абе-
левы и в которой группа тс, определена для любого я > 2 как
группа операторов группы тс„, существует такое линейно связ-
связное пространство X с отмеченной точкой х0 ? X, что
Упражнения 237
A) для каждого п > О имеет место изоморфизм
hn:nn(X, xo)«un;
B) при п > 2 (Эля любых элементов те» ? т^ (Л", х0) и а ? тс„ (Л", д:0)
имеет место равенство
C) при m ^ 2 и я ^ 2 произведение Уайтхеда [а, C] любых
элементов а.?пт(Х, х0) и Р^*„(АГ, х0) равно нулю.
Построив конус над пространством X, докажите аналогичную
теорему реализации относительных гомотопиче-
гомотопических групп.
Н. Геометрическая реализация полусимплициальных миожеств
Произвольному полусимплициальному множеству К (см. упр. Н
гл. IV) можно следующим образом сопоставить некоторое топологи-
топологическое пространство | К \- Пусть Кт, где т ;> 0, — совокупность всех
m-мерных симплексов множества К- Рассмотрим прямое произведение
где Int (Дш) — внутренность единичного /я-мерного симплекса Дш (при
т — 0 мы считаем, что Int (До) = Aq). Это произведение является
объединением непересекающихся множеств вида
гомеоморфных открытому /«-мерному симплексу Int (Д,„). Мы будем
называть эти множества открытыми т-мерными клетками.
В объединении
Я!
всех произведений Кт X Int (Д,^, т !> О, мы рассмотрим подмноже-
подмножества вида
Пусть х« — естественное отображение симплекса Дш на множество
С||о|, линейное на каждой открытой грани этого симплекса;
см. Ху [10]. Это отображение разрывно (если dim о > 0). Мы пре-
превратим его в непрерывное отображение, введя в Cl | о | определяемую
отображением х„ топологию отождествления; см. п. 6 гл. I. Ясно,
что открытые клетки | х|, х < о, из которых состоит множество С1 |о|
являются в этой топологии Ъго подпространствами, т. е. топология,
индуцированная на них топологией множества С1|о|, совпадает с уже
имеющейся на них евклидовой топологией. Мы определим в множе-
множестве | К | топологию, считая некоторое его подмножество W тогда и
только тогда открытым, когда для любого симплекса а?К пересе-
пересечение И^пС1|о| открыто в С1|о|. Эта топология называется то-
топологией Уайтхеда. Все множества |о| и С1|о| являются в ней
238 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
подпространствами, причем подпространство С1|в| представляет собой
замыкание подпространства |в|. Среди всех топологий множества \К\,
в которых множества С1|о| являются подпространствами, топология
Уайтхеда является слабейшей в том смысле, что каждое множество,
открытое в любой такой топологии, открыто и в топологии Уайтхеда.
Построенное топологическое пространство | К | обладает следую-
следующими свойствами:
1) оно является объединением непересекающихся открытых кле-
клеток |о| (заметим, что прилагательное „открытый" здесь вовсе не
означает, что эти клетки открыты в пространстве | К |);
2) замыкание С||о| каждой клетки состоит из клетки |о[ и ко-
конечного числа клеток J -с | меньшей размерности (при dimo = 0
клетки | -с j отсутствуют);
3) замыкание CI | о | является образом симплекса Дт, где m — dim а,
при некотором непрерывном отображении х„ гомеоморфном на откры-
открытом симплексе Int(Am);
4) топология пространства \К\ ¦ является слабейшей топологией,
в которой все множества CI ] о | представляют собой подпространства.
Это означает, что пространство \К\ является клеточным поли-
полиэдром в смысле Уайтхеда и что клетки | о | образуют его клеточное
разбиение. Мы будем называть этот полиэдр полусимплициальным
полиэдром, геометрически реализующим данное полусимпли-
циальное множество К- Множества CI | о | мы будем называть его
замкнутыми клетками, а отображения
X,: Дт-»-.С1|б|, т = dim о,
— характеристическими отображениями.
Докажите следующие предложения:
1. Любое компактное подпространство X полусимплициального
полиэдра \К\ пересекается лишь с конечным числом открытых кле-
клеток |о|.
2. Отображение /: Х-*-У некоторого замкнутого или открытого
подпространства X полусимплициального полиэдра \К\.в произволь-
произвольное пространство У, тогда и только тогда непрерывно, когда непре-
непрерывно его ограничение /iXfjc, (в| на каждой замкнутой клетке Cljoj.
3. Семейство отображений ft:X-*Y, 0-^t^.l, некоторого
замкнутого подпространства X полусимплициального полиэдра К
в произвольное пространство У тогда и только тогда является гомо-
топией,, когда гомотопией является его ограничение
0<*<Ч на каждой замкнутой клетке С1|о|.
4. Для любого полусимплициального подмножества L полусимпли-
полусимплициального множества К полиэдр |Z.| замкнут в \К\ и абсолютно
удовлетворяет аксиоме о распространении гомотопии.
5. Полусимплициальный полиэдр \К\ тогда и только тогда является
симплициальным полиэдром (вообще говоря, бесконечным), когда
Упражнения 239
для любого симплекса о ? К характеристическое отображение Хо пред-
ставляет^собой гомеоморфизм симплекса Дт, т = dim о, на замкнутую
клетку С1|о| и для любых двух симплексов о и х пересечение
С1|о|ПС1|х| либо пусто, либо является замкнутой клеткой.
6. Для любого я!>2 определенное обычным способом я-кратное
барицентрическое измельчение полусимплициального полиэдра \К\
является симплициальным полиэдром, множество вершин которого
естественным образом локально упорядочено. Таким образом, каждый
полусимплицйальный полиэдр триангулируем.
I. Проекция w
Дли любого пространства X мы определим некоторую естествен-
естественную проекцию ш геометрической реализации 15(^I сингулярного
симплициального множества 5 (А') на пространство X. Пусть р ? 15 (Х)\,
и пусть | о | — открытая клетка полиэдра 15 (А') |, содержащая точку р.
Учитывая, что о представляет собой сингулярный симплекс о: Аш—*¦ X,
т = dim (о), и что характеристическое отображение %а является гомео-
гомеоморфизмом множества IntAm на открытую клетку |с|, мы положим
Этим соотношением отображение ш: ^(А*)!-^^ полностью опре-
определено.
Докажите, что
1. Проекция ш : |5(А')|-> X является непрерывным отображением
пространства |5(А')| на пространство X. Для каждого подпростран-
подпространства А пространства X проекция <о отображает подполиэдр |5(Л)|
на пространство А.
2. Следующие три утверждения равносильны:
a) пространство X линейно связно;
b) полусимплицйальный полиэдр |S(A")| связен;
c) симплициальное множество S (X) связно.
Пусть (А", А, Хд) — произвольная тройка, и пусть р0 — такая вер-
вершина полиэдра |5(А")|, что ш(ро) = л;о. Рассмотрим тройку
A5(^I, |5 (А)|, р0) и отображение
ш:(|5(А-)|, |5(Л)|, ро)^(Х, А, х0).
определенное естественной проекцией и>. Докажите, что
3. Гомоморфизмы т., индуцированные отображением ш, являются
изоморфизмами:
ш.: «„, A5(А") |, 5 (А) |. р0) « Тсш (А", А, х0),
">. -Km ( I ^ (A) |, p0 « nm (A, X0).
В силу этого предложения, при вычислении гомотопических групп
произвольного пространства X мы можем заменить это пространство
полиэдром E(^I и потому с самого начала без потери общности
240 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
считать, что пространство X триангулируемо и, следовательно,
локально стягиваемо.
J. Клеточные отображения, индуцируемые си.лплициальными
отображениями
Отображение Т: К:-+К2 полусимплициального множества /С,
в полусимплициальное множество К2 называется симплициальным
отображением, если dimТ(о) = dim о для любого симплекса о?Кх
и
<с<') = Г(а(г>) для любого 1 = 0, 1 dim о.
Докажите, что каждое симплициальное отображение Т: /С,—*-/С2
индуцирует единственное отображение /г: | Ку | -> | К21. являющееся
на каждой клетке Ы 61 ^i I ее барицентрическим отображением на
клетку |т| = | 7Ъ|€|*а|.
. Отображение / клеточного полиэдра |/f,| в клеточный полиэдр \К2\
называется клеточным, если для любого т = 0, 1 оно пере-
переводит от-мерный остов | КТ \ полиэдра | Кх | в от-мерный остов | К? \
полиэдра l^l- Ясно, что индуцированное симплициальным отобра-
отображением Т отображение /r: |/Ci|->|/C2| является клеточным отобра-
отображением.
Любое непрерывное отображение ср: \К \ -> X полусимплициального
полиэдра | К | в произвольное пространство X индуцирует некоторое
симплициальное отображение
сопоставляющее каждому симплексу о ? К сингулярный симплекс
^(О1=СРХ»: Ьт-*>Х, да = dim о,
где х, — характеристическое отображение, соответствующее клетке | о |.
Проверьте, что хО = Т^ (о(')) для любого i = 0 да.
Клеточное отображение cptt: | К | -> 15 (А') |, индуцированное сим-
симплициальным отображением Т , мы будем называть клеточным ото-
отображением, индуцированным непрерывным отображением ср.
Докажите, что шср# = ср.
Рассмотрим, в частности, случай, когда X = | К \ и ср является то-
тождественным отображением. Тогда клеточное отображение cptt является
гомеоморфизмом полиэдра \К\ на некоторый подполиэдр полиэдра
. 15 (| К |) | и барицентрически отображает каждую его открытую
клетку. Таким образом, полиэдр | /С | мы можем считать подполиэд-
ром полиэдра |5(|/С|)|. Докажите, что \К\ является деформацион-
деформационным ретрактом полиэдра |5(|/С|)| и что симплициальное отображе-
отображение Т : К -> 5 (| К |) определяет цепную эквивалентность соответ'
ствующих цепных комплексов. Следовательно, группы гомологии
и когомологий полусимплициального множества К являются то-
топологическими инвариантами его геометрической реализации \К\-
Упражнения 241
Пусть теперь /: X -> Y — произвольное непрерывное отображе-
отображение. Ясно, что, полагая
х = Tf (о) = /о: Дт -> Y, а ? S (X), т = dim о,
мы получим некоторое симплициальное отображение
Tf:S(X)-*-S(Y).
Клеточное отображение /*: |5(^f)| ->|5(K)|, индуцированное сим-
плициальным отображением Tf, мы будем называть клеточным ото-
отображением, индуцированным отображением /. Очевидно, отобра-
отображение /** индуцировано также отображением <р = /<о : | S (А') | -> Y.
Проверьте, что в диаграмме
всегда имеет место равенство /<о ^ т/*. Поэтому при изучении гомо-
гомоморфизмов ft гомотопических групп,'индуцированных отображениями
/: X -> К, мы без потери общности всегда можем считать, что про-
пространства X н У являются симплициальными полиэдрами и что ото-
отображения / симплициальны.
К. Допустимые полусимплициальные подмножества симпли-
циальнного множества S(X)
Пусть X — произвольное линейно связное пространство с отме-
отмеченной точкой х0.
Сингулярные да-мерные симплексы о и х пространства X назы-
называются сравнимыми, если их грани совпадают, т. е. если а^=. т<'>
при любом / = 0, .... т. Другими словами, симплексы с и х тогда
и только тогда сравнимы, когда
a\sm-i=t\sm-i, Sm~ =д&т.
Сравнимые сингулярные /я-мерные симплексы о и х называются экви-
эквивалентными, если существует такая гомотопия ht: hm->X, ^
что ho=<s, А, = х и ht(d) = o(d) для любых точек d?Sm~l ?
При т = 0 любые два сингулярных нульмерных симплекса сравнимы,
а так как пространство X, по условию, линейно связно, то они и
эквивалентны.
Сингулярный симплекс о: Ьт->Х называется стянутым, если
о (Дт) = х0. Множество всех стянутых сингулярных симплексов соста-
составляет полусимплициальное подмножество S(x0) множества S(X), являю-
являющееся симплициальным сингулярным множеством точки х0, рассматри-
рассматриваемой как подпространство пространства X.
16 Ху Сы-ц*ян '
242 Гл. V. Вычисление гомотопических групп
Полусимплициальное подмножество L множества S(X) мы будем
называть допустимым подмножеством, если
ДМ1. . Имеет место включение
S(xo)cL.
ДМ2. Для любого сингулярного симплекса о, обладающего тем
свойством, что oW ? ?. при любом / = 0 dim о, подмножество L
содержит по крайней мере один сингулярный симплекс х, сравнимый
с симплексом а и эквивалентный ему.
Если для каждого симплекса a?S(X) предусмотренный усло-
условием ДМ2 симплекс х определен симплексом о однозначно, то под-
подмножество L мы будем называть минимальным подмножеством
множества S(X).
Очевидно, что само множество S(X) является своим допустимым
подмножеством и что каждое минимальное подмножество множе-
множества S(X) допустимо. Если мы все допустимые подмножества мно-
множества S(X) частично упорядочим по включению, то его мини-
"мальные подмножества М будут минимальны в этом упорядочении,
т. е. для любого допустимого подмножества L, содержащегося в ми-
минимальном подмножестве в М, будет иметь равенство L = М.
Докажите следующие предложения:
1. Каждое допустимое подмножество L множества S(X) содержит
минимальное подмножество М.
2. Для любого допустимого подмножества L множества S(X)
существует отображение D, называемое деформацией множества 5 (X)
в подмножество L, которое каждому сингулярному m-мерному сим-
симплексу о ставит в соответствие такую сингулярную (т-f- 1)-мерную
призму D(a) = Pa (см. [С —Э], стр. 241), что
A) D (d<'>) = (Paf>, i = 0 т;
(И) (Ра)г = о;
. (Ш) симплекс (Я,),,, содержится в L;
(iv) если o?L, то P^d, t) = a(d) для всех <2?Дт и t?I.
Пусть А — произвольное линейно связное подпространство, про-
пространства X, содержащее точку л:0. Мы будем говорить, что допу-
допустимое подмножество L множества S(X) относительно допустимо,
если пересечение L П 5 (А) является допустимым подмножеством мно-
множества S(A). В этом случае деформацию D можно выбрать так,
чтобы для каждого симплекса a?S(A) призма Р„ являлась сингу-
сингулярной призмой пространства А.
Докажите следующее предложение:
3. Для любого относительно допустимого подмножества L мно-
множества S(X) симплициальное отображение вложения
\:(L,Lf\S(A))-+(S(X),S{A))
Упражнения 243
является гомотопической эквивалентностью и потому индуцирует
цепную эквивалентность соответствующих цепных комплексов.
L. Подмножества Эйленберга снмплнцнального множества S(X)
Пусть X— линейно связное пространство, А — его линейно связ-
связное подпространство и х0— отмеченная точка подпространства А.
Для каждого целого числа ге > 0 мы будем символом Sn(X, A)
обозначать полусимплициальное подмножество множества 5 (X),
состоящее из всех сишутярных симплексов о: &т—>Х, обладающих
следующими свойствами:
ЭМ 1. Симплекс о отображает вершины симплексов Дт в точку х0.
ЭМ2. Симплекс о отображает все грани симплекса Дт, размер-
размерность которых меньше п, в подпространство А.
В частном случае, когда А = х0, мы подмножество Sn(X, jCq)
будем -обозначать символом Sn(X) и будем называть его п-м под-
подмножеством Эйленберга множества S(X); в общем случае под-
подмножество Sn(X, А) мы ''будем называть п-м относительным
подмножеством Эйленберга множества S(X). При л = 0 мы будем
считать, что S0(X, A) = S(X). Все подмножества Эйленберга обра-
образуют убывающую последовательность
S0(X, A)=>SX(X, Л)э...з5^(^. А) = 5, (Л).
Докажите, что если пара (А", А) (п—1)-связна (где п — про-
произвольное положительное целое число), то подмножество Sn(X, A)
относительно допустимо. В частности, для любого (п — 1)-связного
пространства X симплициальное множество Sn(X) является допу-
допустимым подмножеством множества 5 (XI).
') Ср. примечание редактора на стр. 67—68. — Прим. ред.
ГЛАВА VI
ТЕОРИЯ ПРЕПЯТСТВИЙ
1. Введение
Изучив в предыдущих главах гомотопические группы, мы можем
теперь с новых позиций вернуться к исследованию основных задач,
поставленных в гл. I.
Для простоты мы ограничимся изучением отображений конечных
клеточных разбиений (см. [С], стр. 122) в линейно связные про-
пространства. Во всей этой главе символ К будет обозначать произ-
произвольное фиксированное конечное клеточное разбиение, символ L—
некоторое его подразбиение и символ Y — произвольное линейно
связное пространство с отмеченной точкой yo?Y. Кроме того, сим-
символом К" мы будем обозначать л-мерный остов разбиения, т. е. его
подразбиение, состоящее из клеток размерности, не большей п,
а символом К" — подразбиение
Пусть теперь
— произвольное отображение. Согласно п. 2 гл. I, ограниченная
задача распространения отображения / состоит в том, чтобы опре-
определить, можно ли это отображение непрерывно распространить на
все пространство К. Поскольку, согласно предложению 9.2, подраз-
подразбиение L абсолютно удовлетворяет аксиоме о распространении гомо-
топии, эта ограниченная задача распространения равносильна обоб-
обобщенной задаче распространения, сформулированной в конце п. 9. гл. I.
Наличие в К клеточного строения наводит на мысль решать эту
задачу индуктивно, шаг за шагом распространяя отображение / на
подразбиения
К", п = 0, 1, 2
До тех пор, пока мы не встретим препятствие для дальнейшего рас-
распространения. Тогда мы пробуем изменить уже построенное частич-
частичное распространение отображения / таким образом, чтобы это пре-
препятствие исчезло и, следовательно, дальнейшее распространение было
возможно. Этот метод решения задачи распространения и называется
методом препятствий.
2. Индекс распространимости 245
2. Индекс распространимости
Мы будем говорить, что отображение /: L-*Y n-pacnpccmpa-
нимо на К, если оно может быть распространено на подразбие-
подразбиение К".
Поскольку пространство К, по условию, линейно связно, оче-
очевидно, что справедливо
Предложение 2.1. Любое отображение /: L—>Y l-распро-
l-распространило на К.
Верхнюю грань всех чисел п, для которых отображение /: L-*Y
ге-распространимо на К, мы будем называть индексом распростра-
распространимости отображения /.
Поскольку подразбиение L, рассматриваемое как подпространство
разбиения К", абсолютно удовлетворяет аксиоме о распространении
гомотопии, из этого определения немедленно вытекает
Предложение 2.2. Гомотопные отображения имеют один и
тот же индекс распространимости.
Пусть е: Y->Y'— произвольное непрерывное отображение и
g: {К', Lr)-*(K, L) — произвольное клеточное отображение; см. [С],
стр. 195, а также упр. J гл. V. Очевидно, что имеет место сле-
следующее
Предложение 2.3. Если отображение /: L-+Y п-распростра-
нимо на К, то отображение f — efg : U-+Y' п-распростра-
нимо на К'.
В частном случае, когда пара (К, L) является измельчением пары
{К1, L'), a g — тождественным отображением, мы получаем отсюда,
что любое ге-распространимое на К отображение /: L~>Y, рассма-
рассматриваемое как отображение L'—>Y, ге-распространимо на KJ.
С помощью классического метода симплициальной аппроксимации,
из предложений 2.2 и 2.3 легко вытекает
Предложение 2.4. Если пара {К, L) симплициальна, то индекс
распространимости любого отображения /: L-+Y тополо-
топологически инвариантен, т. е. не зависит от триангуляции
пари {К, L).
Ввиду этого предложения можно подумать, что в наших иссле-
исследованиях мы должны отдать предпочтение симплициальным разбие-
разбиениям. Однако когда мы перейдем от задачи распространения к задаче
гомотопии, ограничение симплициальными разбиениями вызовет боль-
большие неудобства. Поэтому мы вынуждены с самого начала рассма-
рассматривать любые клеточные разбиения.
246 /"л. VI. Теория препятствий
3. Препятствие cn+%(g)
Всюду в ц. 3—12 мы будем предполагать фиксированным неко-
некоторое положительное целое число п. Рассматриваемое линейно связ-
связное пространство Y мы будем ечитать л.-простым в смысле п. 16 гл. IV.
Тогда каждое отображение произвольной ориентирозанной п-мерной
сферы в пространство Y будет определять некоторый элемент гомо-
гомотопической группы nn(Y). Поскольку эта группа абелева, ее можно
будет принимать за группу коэффициентов групп когомологий.
В случае когда на пространство Y условие я-простоты не налагается,
аналогичные результаты (при» > 1) можно получить, используя группы
когомологий с локальными коэффициентами; см. упр. А в конце
этой главы.
В этом пункте мы будем рассматривать произвольное отображе-
отображение
g: Kn->Y.
Каждому такому отображению g мы следующим образом отнесем
некоторую (п 4- 1)-мерную коцепь cn+1(g) разбиения К с коэф-
фициентамМ в гомотопической группе тс„(К). Пусть о — произвольная
ориентированная (л-f- 1)-мерная клетка разбиения К. Так как тео-
теоретико-множественная граница да клетки а, являющаяся ориентиро-
ориентированной п-мерной сферой, лежит в подразбиении К", то ограничение
^ = ^1^ отображения ? определяет некоторый элемент [#„] группы
7с„(К). Мы определим коцепь сп+1(?) формулой
Эта (»-{- 1)-мерная цепь cn+*(g) разбиения К называется препят-
препятствием к распространению отображения g.
Лемма 3.1. Препятствие cn+*(g) яеляется (п-f-l)-мерным
коциклом разбиения К относительно подразбиения L, т. е.
cn+l(g)€Zn+l(K. L; *„(П).
Доказательство. Докажем сначала, что коцепь cn+1 (g) принад-
принадлежит группе Сп+1(К, L; яя(К))- т. е. равна нулю на L. Пусть о —
произвольная (»-|-1)-мерная клетка подразбиения L. Так как ото-
отображение g определено на ClaczL, то отображение ga распространим©
на С1о и, следовательно, элемент [#„] группы яя(К) равен нулю.
Таким образом cn+1(g)?Cn+1(K, Ц те„(К)).
Докажем теперь, что коцепь cn+1 (g) является коциклом. Пусть
о — произвольная (п-\- 2)-мерная клетка разбиения К- Мы должны
показать, что [bctt+*(g)](a) = 0;
3. Препятствие с» + *(g) 247
Обозначая через В подразбиение да разбиения К, рассмотрим
его «-мерный остов В" и гомоморфизмы
Ся+1 (S)-+ Zn (В) = Zn (Вп) = Нп (Вп) <Л- *„ (Вп) -Ь+ъп (К),
где А — гомоморфизм Гуревича, a kt — гомоморфизм, индуцирован-
индуцированный отображением k = g \Bn.
При п > 1 пространство В" (п — 1)-связно. и поэтому, согласно
теореме Гуревича (см. теорему 4.4 гл. V), гомоморфизм А является
изоморфизмом. В случае п=\ гомоморфизм h является эпиморфиз-
эпиморфизмом, и, поскольку группа и„(К) при любом ге'^-1 абелева, его ядро
содержится в ядре гомоморфизма /г,. Следовательно, в обоих случаях
определен гомоморфизм
Поскольку группа Сп_х(В) является свободной абелевой группой,
ядро Zn(B) гомоморфизма д: Сп(В)-*Сп_1(В) представляет собой
прямое слагаемое группы Сп (В). Поэтому гомоморфизм <р можно
распространить до некоторого гомоморфизма
Так как для любой (п-\- 1)-мерной клетки х разбиения В эле-
элемент Icn+I(g)](i) представляет собой класс отображения /г|л, то
[cn+1 (g)] W - kJTl (дх) = d (дх) = Ы (х),
и потому
[bcn+l (g)] (о) = [с»+1 (#)] (да) = bd (да) = Ш (о) = 0.
Следовательно, cn+l (g) ? Zn+1 (К, L; тея(К)). ¦
Следующие две леммы очевидны.
Лемма 3.2. Отображение g:Kn-+Y тогда и только тогда
допускает распространение на Кп+1, когда c"+1(g) = 0.
Лемма 3.3. Если отображения g0, gx:K"->Y гомотопны,
то cn+i(go) = c*+l(g1).
Пусть теперь
<р: (К', Lr)->(K, L)
— произвольное собственное клеточное отображение; см.'[С], стр. 195.
Тогда для любого отображения g: K"-+Y определено составное!! ото-
отображение g'— g<p. K'n->Y. Поскольку <р представляет собой соб-
собственное клеточное отображение, оно однозначно определяет (см. [С],
стр. 200) некоторое коцепное отображение
1 *Cn+l(К', V; «„
248 Гл. VI. Теория препятствий
Лемма 3.4. Имеет место равенство
Для доказательства этого равенства нужно показать, что на про-
произвольной (»-{-1)-мерной клетке о разбиения К' обе его стороны
принимают одинаковые значения. С этой целью мы рассмотрим ми-
минимальный носитель клетки а и произвольно выберем в нем некото-
некоторую (»+ 1)-мерную клетку. Тогда проверка утверждения леммы
сводится к проверке ряда тривиальных соотношений коммутативности.
Подробное доказательство мы оставляем читателю; см. [С], стр, 203.
4. Различающая коцепь
В этом пункте мы докажем, что для любых двух отображений
гомотопных на К"'1, разность препятствий к их распространению
является кограницей.
Пусть _
— гомотопия, связывающая отображения ho = gQ\-g„_i и «i = gyfjf/»-i.
Рассматривая замкнутый единичный отрезок / как клеточное раз-
разбиение, состоящее из двух нульмерных клеток 0 и 1 и одной одно-
одномерной клетки / (причем 80 = — / и 81=/), мы получим, что
прямое произведение
естественным образом определяется как клеточное разбиение. Пусть
J" — его «-мерный остов. Поскольку
7я = (Z, X /) U J" = (Ка X 0) U (Кп~1 X /) U (Ка X 1).
мы можем определить отображение F: J" -> Y, полагая
go(x), если х?Кп, t = 0,
F(x, t)= ht(x), если x^K"~\ t?I,
I gi(x), если х?Ка, t = \.
Пусть cn+1 (F) — препятствие к распространению отображения F.
Согласно п. 3, »то препятствие представляет собой коцикл c"+1(F)
разбиения J относительно подразбиения L X / с коэффициентами
в группе nn(Y), причем, как легко видеть, коцикл cn+i(F) совпадает
с коциклом сл+1(^0)Х0 на „нижнем" основании К X 0 и С коци-
4. Различающая коцепь 249
клом cn+1 (gx) X 1 на „верхнем" основании К X 1. так что разность
X 0 — с»+! (?1) X 1
является коцепью разбиения J относительно подразбиения М = (/(Х0) U
U(X X Г)Ц(К X1) с коэффициентами в группе я„(*0- С другой
стороны, взаимно однозначное соответствие <з->аХ/ между ге-мер-
ными клетками дополнения K\L и (re-f-1)-мерными клетками до-
дополнения J\M определяет некоторый изоморфизм
k: СЯ(К, L; nn(Y))~Cn+\j, M;
и потому существует, одна и только одна коцепь d"(g0, gx; ht)? \
?С"(К. L; гс„(К)), для которой имеет место равенство :^|
(I) kdn(g0, gl; ht) = (-\)n+1 {cn+1 (F)-cn+1 (go)XO-cn+\gl)Xl}. '¦
Эту коцепь d"(g0, gy; ht) мы будем называть деформационной j
коцепью. В частном случае, когда ^0|^n-i = g"i |^«-i и ht(x) = g0(x)
для всех jc^/C" и t?I, коцепь dn(g0, g-,; ht) мы будем обозна-
обозначать символом d"(g0, g{) и называть коцепью, различающей ото-
отображения g0 и g1^
Из леммы 3.2 непосредственно вытекает
Лемма 4.1. Гомотопия ht: К"'1 -» J'^ff тогда и только тогда
допускает распространение h*: К"-*¦ Y, 0</<1, для которого
ho = go u h* = gv 0</< 1, когда d"(g-0- ffjl A<) = 0.
Значение деформационной коцепи d"(g0, gx; ht) для теории пре-
препятствий определяется следующей леммой.
Лемма 4.2. Имеет место соотношение
Доказательство. Поскольку 8/ = 0, изоморфизм k перестановочен
с оператором 8, и потому
®dn(g0, gy. ht) = bkdn(g0, gli ht).
С другой стороны, так как коцепи ca+1(F), ся+1(?о)> c"+l(.Si)
являются коциклами и так как 80 = — /, 81=/, то, применяя опе-
оператор 8 к обеим частям формулы (i), мы получим, что
т. е. что
250 Гл. VI. Теория препятствий
Пусть теперь g0: К" -*Y — произвольное отображение и
ht \ К"~ ->Y, O^.t^.1,— произвольная гомотопия, для которой
Л0 = ?0|уя_1. Оказывается, что имеет место
Лемма 4.3. Для любой п-мерной коцепи с?С"(К, L; яп(У))
существует такое отображение gx: К"->Y, что gr1|^n_i = Aj
Доказательство. Пусть о — произвольная ориентированная ге-мер-
ная клетка разбиения К- Так как граница
произведения о X / представляет собой ориентированную ге-мерную
сферу, то существует отображение /„: S—>Y, определяющее эле-
элемент с (о) группы тел (К). Поскольку подпространство 7=(oX0).U {day. Г)
стягиваемо по себе в точку, любые два отображения, определенные
на Т, гомотопны. Поэтому мы можем считать, что
л — lg<>№' если х€а> t==0<
1ЛХ' '~\ht{x), если х?да, t?I.
Мы определим отображение gx; K"->Y, полагая
,D если х^К"-1'
.(*. 0. если х?а, о?К.
Ясно, что dn{g0, gx\ *,) = «. ¦
Из лемм 4.2 и 4.3 непосредственно вытекает
Следствие 4.4. Для любого коцикла z?Zn+1{K, L; гся(И)),
когомологичного относительно L коциклу cn+1(g0); существует
такое отображение gr :Kn->Y, что gl\-^n_y=hl и cn+l(g1) = z.
В частном случае, когда A< = gr0|^n_i при всех t?I, из этого
следствия вытекает существование такого отображения g^. K"-r>Y,
что go\jn-i==gi\^n-i и cn+l{g1) = z.
Рассмотрим теперь три отображения ?0, glt g2- Kn ->Y и две
'«ЭЬмотопии ht, jt: Kn~l-*Y', 0<^<L для которых
Пусть kt: Kn~*-*Y, O^t^.1,—гомотопия, определенная равен-
равенством kt = h2t при t^l/2 и равенством kt — ]2t_x при t^.-^.
Лемма 4.5. Имеет место соотношение
(gv g2; jt). ¦
5. Теорема ^Эйленберга о распространении 251
Доказательство этой леммы мы оставляем читателю; см. [С],
стр 208. '
Возвращаясь к отображениям g0, gl и гомотопии ht, рассмотрим
произвольное собственное клеточное отображение <р: (К', L')->(K, L).
Пусть
g'^gp K'n->Y\ ht = htr. K'n-l-*Y.
Поскольку <р представляет собой собственное клеточное отображение,
оно однозначно определяет некоторое коцепное отображение
<ptt: С (К, L; кп(У))-+Сп(К', V: «.
и из леммы 3.4 непосредственно вытекает
Лемма 4.6. Имеет места равенство
5. Теорема Эйленберга о распространении
Пусть, как и в п. 3,
g: K~n->Y
— произвольное отображ^иие. Рассмотрим класс когомологий
препятствия c"+I(g)^Zn+ (К. L; vn(Y)) к распространению ото-
отображения g.
Теорема 5.1. Равенство fn+1(g) = O имеет место тогда и
только тогда, когда существует такое отображение h*: /Ся+1->К,
что
Доказательство. Достаточность. Пусть отображение h* суще-
существует. Рассмотрим отображение h = h*\-^n. Согласно лемме 3.2, для^
этого отображения имеет место равенство cn+l (h) = 0. С другой
стороны, поскольку gl^n-i = h|^я_ь определена различающая ко-
коцепь d" (g, h), причем, согласно лемме 4.2, имеет место равенство
Ы" (g, h) = С+1 (g) — cn+1 (ft) = C+1 (g). Следовательно, f+1 (g) = 0.
Необходимость. Пусть fn+1(g)—0, т. е. пусть cn+*(g)—Omod L.
Тогда, согласно следствию 4.4, существует такое отображение A :K"->Y,
что ?|-^я-1 = А|^я-1 и cn+1(ft) = 0. Так как cn+1(ft) = 0, то, согласно
лемме 3.2, отображение ft обладает распространением ft*: ^"+1-> Y. ¦
Если отображение g получено, как описано в п. 1, поэтапным
распространением некоторого отображения /: L-+Y, то в случае,
252 Гл. VI. Теория препятствий
когда cn+l(g) Ф О, мы не можем непосредственно продолжать наш
индуктивный процесс распространения отображения / (ибо согласно
лемме 3.2 отображение g уже нельзя распространить на Кп+1). Значе-
Значение теоремы 5.1 (принадлежащей Эйленбергу) состоит в том, что если
с"+1(?)^0'то<Н.,то следующий шаг этого процесса оказызается зоз-
можным после соответствующего изменения отображения g на
кп\к"-\
6. Множества Оп+1(/)
Каждому отображению f: L-*-Y мы при любом я ^ 1 отнесем
множество
On+\f)czHn+\K, L; «„(К)),
состоящее из классов когомологий fn+i(g)?Hn+1(K, Ц «„(К)) ко-
коциклов cn+l(g), отвечающих всевозможным распространениям g:K"->Y
отображения / на К" (в случае, когда отображение / не распро-
странимо на К", множество Ол+1(/), по определению, пусто). Ясно,
что имеет место следующее
Предложение 6.1. Если отображения fv /2: L->Y гомо-
гомотопны, то On+1(/i) = On+1(/2)-
Пусть теперь <р: (К', L')—>(K, L) — произвольное собстзенное
клеточное отображение, и пусть
<р*: Нп+1(К, L; ил(К))->Яп+1(^'. L'. и„(К»
— индуцированный им гомоморфизм групп когомологий. Тогда из
леммы 3.4 непосредственно вытекает
Предложение 6.2. Гомоморфизм <р* отображает множество
On+1(f) в множество On+1(f), где f' = fy- L'-*Y.
В частном случае, когда пара (к, L) является измельчением
пары (К', L'), а отображение <р — тождественным отображением,
гомоморфизм <р* является изоморфизмом и взаимно однозначно ото-
отображает множество Оп+1(/) на некоторое подмножество множества
On+1(J'). Кроме того, если обе пары (К, L) и (К1, L') симплициальны,
то тождественное отображение ер гомотопно симплициальному (и сле-
следовательно, собственному клеточному) отображению. Поэтому в этом
случае изоморфизм <р* отображает множество Ол+1 (/) на множество
Оп+1(/'). Таким образом, при измельчениях разбиения К множество
Ол+1(/) может только уменьшаться, а при симплициальных измельче-
измельчениях симплициальных разбиений оно не изменяется,- В. частности,
мы получаем отсюда
7. Задача гомотопии - 253
Следствие 6.3. Если пара (К, L) симплициальна, то для лю-
любого отображения /: L->K множество Оп+1(/) топологически
инвариантно, т. е. не зависит от триангуляции пары {К, L).
Из этого следствия, в силу предложений 6.1 и 6.2, непосред-
непосредственно вытекает, что для любого непрерывного отображения
<р: (К', L')->(K, L) триангулируемых пар индуцированный этим ото-
отображением гомоморфизм <р* отображает множество On+1(J) в мно-
множество Ол+1, где /' =з /<р : L' -> Y.
Будем теперь снова считать клеточное разбиение К произволь-
произвольным. Из определения множества On+1(f) и теоремы 5.1 немедленно
вытекают следующие две леммы.
Лемма 6.4. Отображение /: L—>Y тогда и только тогда
п-распространило на К, когда множество Оп+1 (/) непусто.
Лемма 6.5. Отображение /: L-+Y тогда и только тогда
(я+ \)-распространимо на К, когда множество Оп+1(/) со-
содержит нуль группщ Нп+1(К. L; я„(К)).
Повторно применяя эти леммы, мы получим
Предложение 6.6. Если для всех г, удовлетворяющих нера-
неравенствам п <; г < т, пространство Y г-просто и
НГ+ЧК. Ц *г(К)) = 0,
то любое п-распространимое на К отображение /: L->K
т-распространимо.
В частности, если размерность дополнения К \ L не превосходит т,
то при выполнении условий предложения 6.6 отображение /:/,—> К
тогда и только тогда распространимо на К, когда оно и-распро-
странимо. Отсюда вытекает
Следствие 6.7. Если для всех г^-1 пространство Y г-простоши
НГ+ЦК, Ц «,A0)=: О,
то любое отображение /: L-+Y распространимо на К.
7. Задача гомотопии
Пусть
/: K-+Y, g: K^Y
— произвольные отображения, совпадающие на L. Согласно п. 8
гл. 1, задача гомотопии (относительно L) состоит в том, чтобы
определить, гомотопны ли относительно L отображения / и g, т, е.
существует ли такая гомотопия ht; K-*Y, 0-^/^1, что
ftg=s/, /»,*=? и ^(\(,^/\(, 4ДЯ всех t$f,
254 Гл. VI. Теория препятствий
Наиболее важен случай, когда L=0, т. е. когда требуется опре-
определить, гомотопны или нет два данных отображения /, g: K-*Y.
Поскольку задача гомотопии сводится, как мы знаем, к некото-
некоторой задаче распространения, для ее решения можно использовать
метод препятствий.
Мы будем говорить, что отображения / и g п-гомотопны отно-
относительно L, если их ограничения /1 #« и g I ^n на К" гомотопны
относительно L. Ясно, что если отображения / и g гомотопны отно-
относительно L, то они и «-гомотопны. Так как пространство К пред-
предполагается линейно связным, то имеет место следующее
Предложение 7.1. Любые два отображения f,g: K~*-Y, для
которых /|i^=Sr|?. 0-гомотопны относительно L.
Верхнюю грань множества всех целых чисел и, для которых
отображения / и g «-гомотопны относительно L, мы будем называть
индексом гомотопности относительно L отображений fag.
Следующие два предложения доказываются точно так же, как
аналогичные предложения в п. 2.
Предложение 7.2. Если /— f'relL и g—g'ii\L, то индекс
гомотопности относительно L отображений f и g' совпадает
с индексом гомотопности относительно L отображений fug.
Предложение 7.3. Если пара (К, L) симплициальна, то
индекс гомотопности относительно L отображений f,g: K-*-Y
топологически инвариантен.
8. Препятствие dn(f, g; ht)
В этом пункте мы будем рассматривать произвольные отобра-
отображения
f.g.K^Y,
совпадающие на L и (и — 1)-гомотопные относительно L.
Пусть
A,: Kn-l-+Y, 0<*<l,
— такая гомотопия, что Ao = /|jf»-i. Ai = gr|^n-i и ht\L=f\L для
всех f ?/. Так как отображения / и g определены на К", то, сог-
согласно п. 4, определена деформационная коцепь dn(f, g; ht). Эту
коцепь мы теперь будем называть препятствием к распространению
гомотопии ht.
Лемма 8.1. Препятствие dn(f, g; ht) является п-мерным
коциклом разбиения К относительно подразбиения L; т. е.
8. Препятствие dn(f,g;h,) 25b
Доказательство. Так как отображения / и g определены на Кп+г,
то сп+1(/) = О = сп+1(?). Следовательно, согласно лемме 4.2, имеет
место соотношение
g; ht) = cn+\(J) — cn+Hg) = O. Ш.
Лемма 8.2. Гомотопия ht тогда и только тогда обладает
распространением h*: КП-+У, O^.t^.1, для которого h* = /|^л
и A* = g|^«, когда dn(J, g; А,) = 0.
Доказательство. Пусть J~K^I, M = {KX0)[)(LXI)U (A"X1) и
J hKX I).
= 0,
t = I.
Пусть cn+1(F)?Zn+1(J, M\ itn(K)) — препятствие к распространению
отображения F. Тогда, согласно формуле (i) п. 4, имеет место
раэенство
0) kdn(f, g\fit) = (—\)l>+1cn+HF).
Поскольку гомотопия h, тогда и только тогда обладает распростра-
распространением А*, когда отображение F может быть распространено до не-
некоторого отображения F*: Jn+1 -> К, а отображение k является изо-
изоморфизмом, лемма 8.2 немедленно вытекает из формулы (!) и леммы
3.2. ¦. ,
Пусть
Определим
отображение
F(x,t) =
F: ./"-!
fix).
АД*),
g(x).
> Y, полагая
если jc ^
если x ?
если х ?
— класс когомологий коцикла d"(f, g; ht). Оказывается, что спра-
справедлива следующая теорема Эйленберга о гомотопии, ана-
аналогичная теореме 5.1 о распространении.
Теорема 8.3. Равенство 8"(/, g; h() — 0 имеет место тогда а
только тогда, когда существует такая гомотопия А*:ЛС"->К,
<1', что
Доказательство. Рассмотрим отображение F, определенное при
доказательстве леммы 8.2. Гомотопия А* существует тогда и только
тогда, когда существует отображение F*: 7"+1->К, для которого
256 Гл. VI. Теория препятствий
F*\-jn-i —F\jn-i, т. е., согласно теореме 5.1, тогда и только
тогда, когда c"+1 (F) ~ 0. Это доказывает теорему, ибо изомор-
изоморфизм к в формуле (i) перестановочен с кограничным оператором. ¦
9. Группа R* (К, Ц /)
Пусть теперь /: К—>Y — произвольное отображение, 2 — про-
пространство .всех непрерывных отображений подразбиения Кп~1 в про-
пространство К и W—его подпространство, состоящее из отображений
^ g: Кп~1-*У> для которых s\i=sf\L' Мы определим группу
R"(K, Ц /), полагая
R"(K, L; f) = *x{W, w0),
где wo = f\-Rn-i.
По определению, элементами а группы R"(K, L; /) являются
классы таких гомотопий ht: K"~1->Y, 0<f<l, что
ho = f\-Rn-i=hl и ht\L = f\v 0<f<l.
Каждая такая гомотопия определяет класс когомологий 8" (/, /; ht) ?
?Нп(К, L; я„(К)), который, очевидно, зависит только от эле-
элемента а. При этом из леммы 4.5 непосредственно вытекает
Лемма 9.1. Отображение
?„: Rn(K. L; f)-+Hn(K, Ц *„(К)), ,
определенное формулой
является гомоморфизмом.
Замечание. В случае, когда пространство У не и-просто, ото-
отображение \п представляет собой скрещенный гомоморфизм.
ПустьJj^I^iK^jA тс„(К)) —образ группы R"(K, L; /) при
гомоморфизме \„, и пусть"
V ' Q/ = Q/ (К, Ц ъП (К)) = Н" (К. Ц ъп (К) )lf,
— факторгруппа группы Н" (К, L; кп (К)) по этой группе.
Лемма 9.2. Подгруппа J" (и, следовательно, факторгруппа
Q") зависит только от (и—\)-гомотопического класса ото-
отображения f относительно L; т. е. ]п, =./? для любых (и — 1)-
гомотопных относительно L отображений /, g: K~*-Y.
Доказательство. По соображениям симметрии достаточно пока-
показать, что ffcJg. Пусть kt: Кп~х-*¦ Y, 0 < t < 1 — такая гомото-
гомотопия, что feo = /j^-n-i, k1 = g^n-i и ft<|i=/|i для всех /?/,
10. Множества О» (f,g) 257
и пусть а — произвольный элемент группы Rn(K, L; /). По опре-
определению, элемент bn(t*)?f} представляет собрй_ класс когомологий
коцикла </*(/, /; А,). Определим гомотопию А<: /С*—»• К, 0 ^ t -^ 1,
полагая
1
с), если
Аз,_1(*)' если
k&t_2 (x), если
Ясно, что hl = g\^n-i=h*1 и h*t\L=*g\L для всех t?I. По-
Поэтому гомотопия А* определяет некоторый элемент |В группы
R"(K, L\ g). С другой стороны, из леммы 4.5 вытекает, что
d"(g. gi A^ = -d»(/, g; kt) + dn(f,
т. е. что ?я(а) = ?я(рN-^- Следовательно,
10. Множества q*(/> ^
Каждой паре отображений /, g: AT-»-К, для которой f\L —
мы отнесем множество
' OnU, g)^Ha{K, L;.«„
состоящее из классов когомологий 8"(/, ?; hf)?H"(K, Ц «„
соответствующих всевозможным гомотопиям А^ AT"—>Y,
для которых
(если таких гомотопий не существует, т. е. если отображения / и g
не (и—1)-гомотопны относительно L, то множество О"(/, g), по
определению, пусто). Очевидно, что имеет место следующее
Предложение 10.1. Если f '—> f те\ L и g — g' те\ L, mo On(f, g)=s
= On(f. g').
Далее, пусть <р: (К', t,')-*-(K, L) — произвольное собственное
клеточное отображение, и пусть
ср': Нп(К, L; кп
— гомоморфизм групп когомологий, индуцированный отображением (р.
Тогда из леммы 4.6 непосредственно вытекает
17 Ху Сы-цэяв
258 Гл. VI. Теория препятствий
Предложение 10.2. Гомоморфизм <р* отображает множество
О"(/. g) в множество O"(J', g'), где f'.=f<? и g' = g<f.
Следствие 10.3. В случае когда пара (К, L) симплициальна,
множество О"(/, g) топологически инвариантно, т. е. не за-
зависит от триангуляции пары (К, L).
Лемма 10.4. Для любых (и—»1)-гомотопных относительно L
отображений fug множество О" {f, g) является смежным
классом группы Н"(К, Ц я„(К)) по подгруппе J"(K. L; «„(К)),
Доказательство. Действительно, пусть 8"//, g; h\ и b"(f, g; А')—
произвольные элементы множества О"(/. g). Определим гомотопию
kt\Kn-x^>Y, 0<^<1, полагая k, = h2t, если f<-^ и kt = k'2_2v
если ^>-' Пусть а — элемент группы Rn(K, L; /), соответствую-
соответствующий этой гомотопии. Тогда, согласно лемме 4.5, имеет место равенство
Ч(«) = 8"(/. & А<)-8"(/> S- К)-
Поскольку \H{a.)?Jjn, тем самым доказано, что множество O"(f,g)
содержится в смежном классе 8"(/, g; ht)-\-J".
Обратно, пусть а—лроизвольный элемент группы R"(K, L; /),
и пусть ?п(а) = 8п(/, /; kt). Определим гомотопию h't : K"~l->Y,
0<!^<!1, полагая h't=k2l, если t^-g- и h't = h2t_v если t^--^.
Тогда •
S"(/. g; A;) = $n(a) + 8»(/, g; A,).
Этим доказано, что смежный класс 8"(/, g\ ht)-\-f} содержится
в множестве О"(/, g). Ш . -
¦Лемма 10.5 (основная демм.а о гомотопии). Отобра-
Отображения fug тогда и только тдгда п-гомотопны относи-
относительно L, когда
O4f. g) = J"f(K, L; «„(И)-
Доказательство. Необходимость. Пусть отображения / и f
и-гомотопны относительно L, т. е. пусть существует такая гомото-
,пия'а;: Kn^.Y, 0<*,<1,..что Aj = /|?n, Н]=^\Жп и h)\ t = f\L
для всех t?I. Пусть, далее, A, = A*[^n-i. Согласно теореме 8.3.
b"(f,g;ht)=Q, так что. смежный . класс . О".(f, g) содержит нуль
группы Н" (К, L; кп (К)) и потому совпадает с подгруппой J".
,- Достаточность. Пусть О"(/, g) = J". Тогда множество
О"(/> g) содержит нуль группы M"(K,L; itn(K)), и потому су-
//. Общая теорема о гомотопны 259
ществует такая гомотопия A,: Kn~1-*-Y, O^.t^.1, что Ао =
= /|Зг«-ь А, = ЙГ|зг"-ь Мл = /и для всех '€' и8й(/, g;h!) = 0.
Согласно теореме 8.3, существует такая томотопия h*: К" -> Y,
0<*<1, что Aj = /|^n-i, А*=#|^я и A*|jp-2 = A/|jfn-2 для
всех ? ? /. Следовательно, отображения fug и-гомотопны. ¦
11. Общая теорема о гомотопии
Следующая общая теорема о гомотопии непосредственно
вытекает из леммы 10.4 и 10.5.
Теорема 11.1. Любые совпадающие на L и (и — \)-гомотоп-
ные относительно L отображения /, g: K->Y однозначно,
определяют некоторый элемент х"(/> g) группы Q"(K, L; я/(К)),
который тогда и только тогда равен нулю, когда отображе-
отображения fug п-гомотопны относительно L.
Элемент x"(f, g) мы будем называть п-мерным характери-
характеристическим классом пары (/, g). Согласно следствию 10.3, в слу-
случае когда пара (К, L) симплициальна, класс x"(/- S) топологически
инвариантен.
Повторно применяя теорему 11.1, мы получим
Предложение 11.2. Пусть для всех г, удовлетворяющих не-
неравенствам п < r ^ т, пространство Y г-просто, и пусть для
некоторого отображения /: K->Y при тех же т имеют место
равенства
Qrf(K, L; «,(К))^0.
Тогда, если отображение g: K-+-Y, для которого g\L = f\L,
п-гомотопно относительно L отображению /, то отображе-
отображения fug т-гомотопны относительно L.
Следствие 11.3. Если для всех г, удовлетворяющх нера-
неравенствам 1 -^ г <[ dim (К \ L), пространство Y г-просто и
Hr(K, L; тсг(К)) = 0, "то любые совпадающие на L отображе-
отображения /, g: K-+Y гомотопны относительно L.
Рассмотрим, в частности случай, когда К связно, L пусто
и К = /С. Тогда имеет место •
Предложение 11.4. Следующие утверждения равносильны'.
(i) клеточное разбиение К стягиваемо по себе в точку;
(И) для всех т^-Х имеет место равенство tc,(/Q=0;
(Hi) для всех г, удовлетворяющих неравенствам 1 <ir < dim К,
клеточное разбиение К г-просто и НГ(К, я, (/(")) = 0;
(iv) для вхех г, удовлетворяющих неравенствам 1 ^ г ^ dim/С,
клеточное разбиение К г-просто и Q\(jK, кг(К)) = 0, где
i: K-+K — тождественное отображение. ;
17*
260 Гл. VI. Теория препятствий
12, Задача классификации
Пусть (j,: L—>Y — произвольное отображение, и пусть, W — мно-
множество всевозможных распространений отображения [х на К:
Множество W распадается на непересекающиеся гомотопические
классы относительно L. Согласно п. 8 гл. I, задача классификации
отображений из W состоит в том, чтобы охарактеризовать эти классы
с помощью каких-нибудь удобных инвариантов.
Отношение д-гомотопности относительно L разбивает множество W
на непересекающиеся я-гомотопические классы относительно L. Для
любого я^-1 каждый (и—1)-гомотопический класс относительно L
состоит, вообще говоря, из нескольких л-гомотопических классов
относительно L. Ясно, что сформулированная выше задача класси-
классификации будет решена, если мы с помощью каких-либо гомологи-
гомологических или когомологических инвариантов научимся перечислять все
я-гомотопические классы, содержащиеся в данном (я—^-гомотопи-
(я—^-гомотопическом классе.
Пуеть^—произвольный, но в дальнейшем фиксированный (я— 1)-
гомотопический класс множества W относительно L. Чтобы найти
все я-гомотопические классы множества W относительно L, содержа-
содержащиеся в классе 6, мы рассмотрим произвольное отображение_/]_^_^К
класса ft. Согласно лемме 9.2, подгруппа Д (AT, L; тс„(К)) =
=.J"(K, L; «я(К)) группы когомологий Н"(К, L; гс„(К)) не зави-
зависит от выбора отображения / и одназначно определяется классом 6.
Пусть
Q, t, и„(К)) = Яв(УС, L; и„(К))/Л(А:, L; «„
Согласно теореме 11.1, каждое отображение if ?6 определяет неко-
некоторый характеристический класс х"(/> ff)€Qe(^- ^! тсл(*0)-
Элемент а группы Q»(K, L; Кп(У)) мы будем называть /-допусти-
/-допустимым, если существует такое отображение g?Q. что х"(/» ffM553*-
Пусть ^4" — множество всех /-допустимых элементов группы
Q$(K, L; «л(К)). Очевидно, что имеет место следующее
Предложение 12.1. Для любых двух отображений /, g: K-+Y,
принадлежащих (и — 1)-гомотопическому классу 0, множе-
множество А1} является образом множества Ang при сдвиге группы
Q\ на характеристический элемент х"(/> ?), т. е.
Теперь мы уже можем доказать следующую общую теорему
классификации.
IS. Препятствия первой ступени 261
Теорема 12.2. Содержащиеся е данном (п-—\)-гомотопшв-
с ком классе Ь множества W относительно L п-гомотопическив
классы относительно L находятся во взаимнооднозначном соот-
соответствии с элементами множества А1} /-допустимых элементов
факторгруппы Qe (AT, L; *„(К)), где /^-произвольно выбранное
отображение класса 6.
Доказательство. Согласно теореме 11.1, каждое отображение
#?6 определяет некоторый элемент %я (/, g)? А*. Покажем, что
элемент х"(/> 8) зависит только от я-гомотопического класса ото-
отображения g относительно L. Действительно, если отображения g, h ? б
и-гомотопны относительно L, то, согласно теореме 11.1, имеет место
равенство
Xn(/'b)-X"<J'g) = Xn(g.h)=*Q,
т. е. равенство х*(/> g)***^(/, я). Поэтому соотзетствие g-*x'>(f' 8)
определяв! некоторое отображение t множества я-гомотопических
классов относительно L, содержащихся в классе в, в множество А"-
Из определения множества А1} непосредственно следует, что ото-
отображение х надъективно. С другой стороны, если х*(/> g)=aeXn(f< *)>
то
Xя (8- А) = Xя iS, А) -г Xя (Л «О — О-
и потому, согласно теореме 11.1, отображения g и h га-гомотопны
относительно L. Ш
Замечание. Поскольку множество А1} в общем случае эффективно
не вычислимо, нельзя сказать, что теорема 12.2 удовлетворительно
решает задачу классификации. Она лишь сводит эту задачу к задаче
вычисления множества А", которую в каждом отдельном случае
приходится решать специальными методами.
13. Препятствия первой ступени
Применим доказанные выше общие результаты к случаю, когда
рассматриваемое пространство Y (и —1)-связно, т. е. (см. п. 4 гл. V)
когда icr (К) я= 0 для всех г < я. Если я > 1, то пространство Y
односвязно и, следовательно, га-просто. Если я=1. то мы допол-
дополнительно предположим, что пространство К 1-просто, т. е. что его
фундаментальная группа абелева. Эти условия на пространстве К мы
будем предполагать выполненными до конца этой главы.
Пусть
. /: L^Y
— произвольное отображение. Согласно предложению 6.6, это ото-
отображение я-распространимо на К, так что первые нетривиальные
262 Гл. VI. Теория препятствий
препятствия мы встретим в размерности я -{-1. Оказывается, что мно-
множество Оп+1(/) классов когомологий этих препятствий состоит только
из одного элемента группы когомологий Нп+1(К, L; 1гя(К)).
Пусть 6:L->-K— постоянное отображение (т. е. Q(L)=y0). Так как,
согласно предложению 11.2, отображения / и б (л—1)-гомотопны,
то отображение / гомотопно отображению, переводящему (я — 1)-
мерный остов Ln~l разбиения L в точку у0. Поскольку для гомотоп-
гомотопных отображений множества Оп+1(/) совпадают, мы с самого начала
можем поэтому считать, что /(L"~1) = y0.
Так как /|in_i=9|in_i, то определена различающая 'коцепь
<*"(/• в)??"(?>'«я'(У)) (см- п- 4), причем, согласно лемме 4.2, ко-
коцепь d"(f, 6) является «-мерным коциклом разбиения L с коэффи-
коэффициентами в группе яя(К). Легко видеть, что значение [d"(/, 6)] (о)
этого коцикла на произвольной ориентированной я-мерной к'детке а
разбиения ? представляет собой класс [/„1 ^ жп (К) отображения /а=/)9
(напомним, что, по условию, /(да) = у0). Другими словами, в рас-
рассматриваемом специальном случае коцикл dn (/, 6) мы можем опре-
определить равенством
Класс когомологий х" (/)?//"(?; я„(К)) коцикла d"(/, б) мы
будем называть характеристическим, классом отображения /.
Предложение 13.1. Для рассматриваемого отображения f
множество Оп+1 (/) состоит из одного элемента .
шп+1 (/) = 8V (/) б Я л+х (/С, А; *„ (К)),
где 8* — пограничный гомоморфизм
l*:Hn{L: жп(У))-+Нп+1(К, L; «„
Доказательство. В первую очередь мы докажем, что элемент 8*хя (/)
содержится в множестве Ол+1(/). Так как f(Ln~l) = yQ, то ото-
отображение ./ обладает таким распространением f*: K"~>Y, что
/* (К" XL) = у0. Пусть Ь*: К"-*-У — постоянное отображение
Ясно, что различающая коцепь dn(f*, б*) является тривиальным
распространением коцепи d"(f, в), т. е. для любой ориентированной
re-мерной клетки о разбиения АГ им,еет место равенство
=
, 6)l(o), если
n
0, если
18. Препятствия первой ступени 263
Следовательно', элемент 6V(/) является классом когомологий коцикла
bdn (Л 6*) = ся+1 (/*) — С+1 (б*) = cn+1 (/*).
так что 8*хя(/) = тя+1(/*)€О"+1(/)-
Обратно, пусть а — произвольный элемент множества Оп+1(/).
Тогда существует такое распространение g*: К" ~> Y отображения /,
что f"+1(^*) = a- Так как, согласно предложению 11.2, отображе-
отображения g* и /* (»— 1)-гомотопны относительно L, то без потери общности
мы можем считать, что gr*|^n_i=/*|^/1_i. Нотогда, согласно лемме 4.2,
будет иметь место равенство
bng*, f*).
Так как, согласно п. 4, коцепь dn(g*, /*) принадлежит группе
С (К, L; гся(К)), это означает, что f"+1 (g*) = Тл+1 (/*)• Следова-
Следовательно, а = 8*хя(/). ¦ ^
Класс когомологий <on+1(/) = 8V(/) мы будем называть препят-
препятствием первой ступени к распространению отображения / или
просто первым препятствием.
Рассмотрим теперь задачу гомотопии. Пусть
/, g: K->Y
•—произвольные отображения, совпадающие на L, и пусть *"(/) и
*" (ё) -— характеристические классы этих отображений. Эти классы
принадлежат группе Нп(К\ nn(Y)) и зависят только от гомотопиче-
гомотопических классов отображений fag соответственно.
Предложение 13.2. Для рассматриваемых отображений f
и g множество О"(/, g) состоит, из одного элемента
п (К, L; *„
связанного с классами х"(/) и *"(#) соотношением
где f: Hn(K, L; я„(К))->На{К;^n(Y))~гомоморфизм, индуци-
индуцированный отображением вложения /: Кс(К, L).
Доказательство. Тот- факт, что множество On+1(/, g) состоит
только из одного элемента, непосредственно вытекает из предложе-
предложения 13.1 и определения деформационной коцепи; см. п. 4. При до-
доказательстве соотношения .(*) мы, не теряя общности, можем пред-
предполагать, что ч . .
Но тогда
<*"(/. 9) — dn(?, b) = dn(f, g),
264 Гл. VI. Теория препятствий
где 6 — постоянное отображение. Следовательно, '
хп (/) — х" (g) = /сол (/, g). ш
Класс ">"(/, gO мы будем называть препятствием первой сту-
ступени (или просто первым препятствием) к гомотопии отображе-
жений / и g.
Следствие 13.3. Для любого отображения /: K->Y имеют
место соотношения
J«(K, L; % (К)) = 0. Q"f {К, Ц *„ (Y))=*H* (К, L % (К)).
Заметим еще, что если пара (К, L) симплициальна, то, согласно
следствиям 6.3 и 10.3, классы когомологий *"(/)• и>л+1(/), ш"(/, g)
топологически инвариантны.
14. Теоремы распространения первой ступени
Используя препятствия первой ступени, мы можем теперь усилить
общие результаты п. 6 и получить эффективное решение задачи рас-
распространения для случая, когда размерность дополнения К \ L не
превосходит п -\- 1.
Напомним, что элемент группы когомологий H"(L\ G) называется
распространимым на К, если он содержится в образе гомомор-
гомоморфизма
Г: Н"(К; G)-+Hn(L; G),
индуцированного отображением вложения I: LcK-
Теорема 14.1. Для любого отображения /.: L-*-Y следующие
утверждения равносильны:
A) отображение f {п-\-\)-распространимо на К',
(Н) имеет место равенство
(Ш) класс когомологий х"(/) распространим на К.
Доказательство. Равносильность утверждений (i) и (ii) следует
из леммы 6.5 и предложении 13.1, а равносильность утверждений (И)
и (Ш) вытекает из точности когомологической последовательности
пары (К, L).
Следствие 14.2. Если размерность дополнения K\L не пре-
превосходит »-{-1, то отображение /: ?->К тогда и только
тогда распространимо на К, когда его характеристический
класс х"(/) распространим на К-
В этом следствии содержится, в частности, теорема распростра-
распространения Хопфа из п. 8 гл.. II; см. п. 17»
IS. Теоремы гомотетии первой ступени 265
Обобщением следствия 14.2 является следующая теорема, непо-
непосредственно вытекающая из предложения 6.6.
Теорема 14.3. Если для каждого г, удовлетворяющего нера-
неравенствам п < г < dim (К \ L), пространство Y г-просто и
Hr+l(K,L; яг(К)) = 0, то отображение /: L->Y тогда и только
тогда распространило на К, когда его характеристический
класс х"(/) распространим на К-
В частности, теорема 14.3 справедлива, если яг(К) = 0, при
п < г < dim (К \ L).
15. Теоремы гомотопии первой ступени
Следующая теорема является непосредственным следствием леммы
10.5 и следствия 13.3.
Теорема 15.1. Совпадающие на L отображения /, g: K->Y
тогда и только тогда п-гомотопны относительно L, когда
«>"(/. ?0 = 0.
В случае, когда L пусто, мы получаем отсюда
Следствие 15.2. Для любых отображений /, g: К ->К сле-
следующие утверждения равносильны:^
(i) отображения fug п-гомотопны;
(И) имеет место равенство
(ill) имеет место равенство
Следствие 15.3. Если размерность разбиения К не превос-
превосходит п, то отображения /, g: K-+Y тогда и только тогда
гомотопны, когда х" (/) = хл (g).
В этом следствии содержится, в частности, теорема Хопфа о гомо-
гомотопии из п. 8 гл. II; см. п. 17.
Обобщением следствия 15.3 является следующая теорема, непо-
непосредственно вытекающая из предложения 11.2.
Теорема 15.4. Если для любого г, удовлетворяющего неравен-
неравенствам re<r<dimAT, пространство Y г-просто и НГ(К] гсг(К))=05
то отображения /, g: K-*-Y тогда и только тогда гомо-
гомотопны, когда х" (/) = хя (g).
В частности, теорема 15.4 справедлива, если яг(К) = 0 при
«< г < dim/С
266 Гл. VI. Теория препятствий
16. Теоремы классификации первой ступени
Лемма 16.-1. Если для любого г, удовлетворяющего нера-
неравенствам п < г < &\т(К \ L), пространство У г-просто и
Hr+l (К, L; irr(K)) = 0, то для любого отображения /: К-*-У
и любого элемента а.?Нп(К, L; я„(К)) существует такое ото-
отображение g: К-+У,'что f\L=g\L и ш"(/, g) = a-
Доказательство. Пусть z ? Z" (К, L; кп (У)) — произвольный коцикл
класса а. Согласно лемме 4.3, существует такое отображение A: Kn-*Y,
что /|^-я_1 = А|^п_1 и d"(f, h) = z. Поэтому, согласно лемме 4.2.
имеет место равенство
Поскольку отображение / определено на К=>Кп+1, то са+1(/) = 0,
и потому сл+1(А) = 0, Следовательно, отображение h обладает рас-
распространением А*: Кп+1->У, а потому и распространением g: К-*-У;
см. предложение 6.6. Ясно, что f\L = g\L и шя(/, ^) = а. ¦
Если L пусто, то мы получаем отсюда следующую лемму.
Лемма 16.2. Если для любого г, удовлетворяющего неравен-
. ствамп<г<<ИтК, пространство Y г-просто и Hr+1 (K;i:r(Y))=0,
то для любого элемента ъ?Нп(К; я„(К)) существует такое
отображение /: К-*-У, что *"(/) = а.
Рассмотрим теперь множество W всех отображений g: K->Y,
для которых f\L = g\L, где / — произвольное фиксированное ото-
отображение К-*- Y.
Так как itm(K) = 0 для всех т < я. то множество W предста-
представляет собой один (я —¦ 1)-гомотопический класс относительно L.
Найдем все /г-гомотопические классы относительно L, на которые
разбивается множество W.
Теорема 16.3. Если для любого г, удовлетворяющего нера-
неравенствам п < г <l dim (К \ L), пространство Y г-просто и
Нг+Х (К, L; яг(К)) = 0, то п-гомотопические классы множества W
относительно L находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии с элементами группы На(К, L; irn(K)). Это соответствие
задается отображением g->(un(f, g).
Доказательство. Согласно следствию 13.3, имеет место равенство
ЩК. L; *,<?)) = Ня(К. L; жп(Ц.
17. Характеристический класс разбиения У 267
С другой стороны, согласно лемме 16.1, любой элемент множества
Qnf(K, L', яп(К)) /-допустим. Следовательно,
и потому теорема 16.3 непосредственно вытекает из теоремы 12.2. ¦
В случае когда L пусто, мы получаем отсюда
Следствие 16.4. Если для любого г, удовлетворяющего неравен-
неравенствам «<r<dimК.пространство Yr-npocmo uHrH (K,i:r(Y))=Q,
то п-гомотопические классы отображений f\K-*-Y находятся
во взаимно однозначном соответствии с элементами группы
Н"(К', я„(К)). Это соответствие задается отображением
Следствие 16.5. Если размерность разбиения К равна п. то
гомотопические классы отображений f: K-*-Y находятся во
взаимно однозначном соответствии с элементами группы
Н"(К; nn(Y)]. Это соответствие задается отображением
/->*"(/)•
В этом следствии содержится, в частности, теорема классификации
Хопфа из п. 8 гл. II; см. п. 17. i .
Обобщением следствия 16.5 является следующая теорема, непо*
средственно вытекающая из предложения 11.2 и теоремы 16.3.
Теорема 16.6. Если для любого г, удовлетворяющего нера-
неравенствам п < г <^ dim (К \ L), пространство Y г-просто и
НГ+1(К, Ц *,(К)) = О = ЯГ(К, L; *,(К)),
то гомотопические классы множества W относительно L на-
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами
группы Нп(К, L; я„(К)). Это соответствие задается отобра-
отображением g->u>"(f, g)-
В частности, теорема 16.6 справедлива, если 1сДК) = 0 при
п < r < dim (К \ L).
17. Характеристический класс разбиения Y
В этом пункте мы будем предполагать, что пространство К, удо-
удовлетворяющее условиям, сформулированным в начале п. 13, предста-
представляет собой конечное клеточное разбиение. Тогда, согласно тому же
п. 13, тождественное отображение t: Y—*-Y определяет некоторый
характеристический класс
268 Гл. VI. Теория препятствуй '
где 8 —постоянное отображение 6(К) = у0. Этот класс мы будем
называть характеристическим классом разбиения Y и будем обо-
обозначать его символом х"(К).
В частном случае, когда К является д-мерной сферой и, значит.
Kn(Y)**iZ, характеристический класс х"(К) является, как легко ви-
видеть, образующей свободной циклической группы H"(Y), соответ-
соответствующей данной ориентации сферы К.
Пусть /: L-+Y—произвольное отображение, и пусть
/•: Я"(К; *n(Y))->Hn(L; МП)
— индуцированный этим отображением гомоморфизм групп когомо-
логий. С помощью леммы 4.6, используя теорему 6 симплициальной
аппроксимации, можно легко доказать следующую лемму.
Лемма 17.1. Имеет место равенство
Эта лемма объясняет, почему теоремы Хопфа из п. 8 гл. II
являются частными случаями следствий 14.2, 15.3 и 16.5.
УПРАЖНЕНИЯ
A. Обобщения теории препятствий
1. Пользуясь характеристическими отображениями х» (см- упр. Н
гл. V), постройте теорию препятствий для случая, когда К является
геометрической реализацией произвольного полусимплициального мно-
множества.
2. Изучите понятие произвольного клеточного разбиения (CW-к о м-
плекса, см. Уайтхед [4]) и обобщите теорию препятствий на случай,
когда К представляет собой произвольное клеточное разбиение,
a L — его произвольное подразбиение;
3. Используя локальные коэффициенты, постройте теорию пре*
пятствий для, случая, когда пространство К не обязательно /г-просто.
B. Фундаментальная группа полусимплициального множества
Пусть К — произвольное связное полусимплициальное множество,
и пусть v0 — некоторая его вершина. Аналогично тому, как это было
сделано в упр. А гл. II для конечных симплицйальных разбиений,
фундаментальную группу «i{|Af]i \vo\) геометрической реализации \К\
множества К можно легко задать обравующимн н определяющими
хоотношениями.
Ломаной мы . будем называть произвольный путь клеточного
разбиения \К\, состоящий из конечного числа его ребер. Связность
множества К означает, что вершину |^0| разбиения \К\ можно
соединить некоторой ломаной с любой другой его вершиной |г>|.
Упражнения - 269
Пусть для любой вершины v Ф va произвольно выбрана такая ло-
ломаная Р(г>). При г> = г/0 за ломаную fi(i>0) мы примем вершину |г/0|.
Тогда каждое ребро е?|АГ| будет определять некоторую петлю
разбиения \К\ в точке |г>0|. Пусть ge соответствующий элемент
группы icj(|/f|^ |х>о|)- Докажите, что множество {?ele6|Af|} по-
порождает группу it^lATl. \vo\).
Для каждого ребра е? \К\ петля Хв состоит из конечного числа
ребер разбиения \К\, т. е. имеет вид
где аг = ± 1 для любого 1=1,2 п. Докажите, что. для соответ-
соответствующих ребрам ег?|АГ| элементов ge имеет место соотношение
(*«) *. = #& — &..
Докажите также, что для любого двумерного симплекса о ? \К\ имеет
место соотношение
(#„) #о (од) S, (и) "¦ i° Fл)-
Наконец докажите, что соотношения (Re) и (/?,) составляют полную
систему определяющих соотношений между образующими [ge\
группы ic1 (|AT); )х>о|). т. е. что абстрактная группа ^(К, v0), обра-
образующими которой являются символы вида ge, связанные соотноше-
соотношениями вида (Re) и (/?„), изоморфна группе WjflAfl. |i>0|)- Пользуясь
этим, сформулируйте определение группы ^ (К, v0), не использующее
в явном виде геометрическую реализацию |Д*| множества К.
Построенная группа ^(К, v0) называется фундаментальной
группой полусимплициалъного множества К в вершине v0.
Докажите следующие утверждения (см. Ху [7]):
1. Условие 2-распро?траннмости. Пусть L — связное
полусимплициальное подмножество множества К, содержащее вер-
вершину v0, и пусть / : (|Z.|, |©о|)->(^. Уо) — произвольное непрерывное
отображение его геометрической реализации \L\ в линейно связное
пространство К, переводящее вершину |г>0| в точку уо?К. Рассмо-
Рассмотрите гомоморфизмы
/,: ic^Z,, v?->*i(Y. у0), /ф: «j(Z,, v0) -*• % (К, v0),
индуцированные отображением / и отображением вложения /: LezK,
и докажите, что отображение / тогда и только тогда 2-распростра-
нимо на \К\, когда существует такой гомоморфизм А: ^(К, vo-^+
-ж^К, у„), что ftamhlt, причем для любого такого гомоморфизма А
существует такое распространение g: |^|2->-K отображения /, что
*
270 Гл. VI. Теория препятствий
2. Условие 1—гомотопности. Пусть /, g: (\K\,\ vo\)->
-*(Y> Уо) произвольные непрерывные отображения, и пусть
/•¦ g.--*i(K, vJ-^k^Y, y0)
— индуцированные ими гомоморфизмы. Докажите, что отображения
/ и g тогда и только тогда 1-гомотопны, когда существует такой
элемент Ь?щ(У, y0), что
*.(«)«***-'•/.(«)-5. «?«,(*• v0).
С. Обобщение теории препятствий, использующее группы
спектральных когомологий
Чтобы избежать осложнений, связанных с предельными перехо-
переходами, мы в основном тексте книги строили теорию лишь для конечных
клеточных разбиений. Однако эту теорию можно распространить и
на более общие пространства, если ввести в рассмотрение спек-
спектральные группы когомологий.
Пусть X— произвольное компактное хаусдорфово пространство,
А — его замкнутое подпространство и Y — некоторый абсолютный
окрестностный ретракт. Для любого конечного открытого покрытия
а = {а1, .. .,аг) пространства X мы символом Ка будем обозначать
его нерв (реализованный как симплициальное разбиение), а симво-
символом La — подразбиение нерва Ка, являющееся нервом открытого
покрытия подпространства А, состоящего из всех непустых подмно-
подмножеств вида At\at, i=\, .... г.
Отображение /: ,A->-Y мы будем называть п-распространимым
на X, если для него существует такое замощение а, что соответ-
соответствующее отображение вамощения <|>в: ?а->К п-распространимо
на Ка в смысле п. 2. (О замощениях и отображениях замощения
см. упр. В гл. II.)
Докажите следующее предложение, -выясняющее геометрический
смысл понятия п-распространимости:
1. Если пространство X метризуемо и dim (X \ А) ^ q, то для
любого n-распространимого на X отображения /: A->Y существует
такое замкнутое подпространство В пространства X, содержащееся
в Х\А, что dim В < q — п и отображение / обладает распростра-
распространением g: X \B~*-Y; см. Ху [5J, стр. 344.
Как и в основном тексте, мы будем теперь для упрощения рас-
рассуждений считать, что пространство К n-просто. -В этом предпо-
предположении мы. каждому отображению /: A-*-Y отнесем некоторое
подмножество Оя+1(/) группы спектральных когомологий Нп+Х
(X, А, *„), где1сп = Ял(К). ¦-¦¦¦¦.'
Если отображение / не n-распространимо на X, то мы считаем,
что множество О"+1(/) пусто. Пусть отображение / п-распростра-
Упражнения 271
нимо, т. е. пусть существует такое замощение а, что соответствующее
отображение замощения <|>e: La —*¦ Y обладает распространением
ty'x- K"-*-Y. Препятствие с"+' (<)>«) ?Zn+1(/fa, La\ я„) к распространению
отображения ф« определяет в группе Н"+1(Х, А; яя) некоторый
элемент Tf"+1 (w1 Множество всех таких элементов мы и примем за
множество Оп+1(/). Ясно, что гомотопным отображениям соответ-
соответствует одно и то же множество Оп+1(/).
Докажите, что
2. Отображение /: A-*-Y тогда и только тогда (и+ 1)-распро-
странимо на X, когда множество О"+1(/) содержит нуль группы
Н"+1(Х, А, я„); см. Ху [5], стр. 346.
Основываясь на этом утверждении, постройте теорию препятствий,
аналогичную теории, развитой в п. 6, 13 и 14.'
Обратимся теперь к задаче гомотопии. Мы будем говорить; что
отображения /, g: X-+Y п-гомотопнц, если для обоих отображе-
жений fug существует единое замощение а с такими отображе-
отображениями замощения <ра: Ка —*¦ Y и $л: Ка -*¦ Y соответственно, что
L L
а
Л„ Ла
Докажите следующее утверждение, выясняющее геометрический
смысл понятия п-гомотопности:
3. Если пространство X метризуемо и dimX^.q, то для любых
/t-гомотопных отображений /, g: .#—>• К существует такое замкнутое
подпространство ? пространства X, что dimB<.q — п и /L в~
~g\x\B' см- ХУ 15Ь СТР- 349'
Предполагая, что пространство Y п-простр, определите для любых
отображений /, g: X-+Y подмножество 6"(/. g) группы спек-
спектральных когомологий Н"(Х; irn), где irn^ir^(K), и докажите, что
4. Отображения /, g: X->Y тогда и только тогда п-гомотопны,
когда множество О +1 (/. g) содержит нуль группы Н" (X; гс„); см.
Ху [5], стр. 350.
Основываясь на этом утверждении, воспроизведите для рассма-
рассматриваемого случая результаты п. 10, 11, 12 и 15, касающиеся
задач гомотопии и классификации. . ' '
D. Обобщение теории препятствий, использующее группы
сингулярных когомологий
Обобщение теории препятствий, использующее группы спектраль-
спектральных когомологий, вполне удовлетворительно только тогда, когда
хотя бы одно из пространств, X и Y достаточно „гладко". Чтобы
построить удовлетворительную теорию препятствий для любых про-
пространств, необходимо использовать группы сингулярных когомологий
(ОЛЮМ [1J, Xy.[7J). . . : . .
272 Гл. VI. Теория препятствий
Пусть X, У—'¦ произвольные пространства, и пусть Л—произволь-
Л—произвольное (вообще говоря, не замкнутое) подпространство пространства X.
Мы будем говорить, что отображение /: A->Y n-распростра-
n-распространило на X, если отображение /ш: |5(Д)|-^-К, где
<о: (\S(X)\. \S(A)\)-+(X. A)
— естественная проекция (см. упр. I гл. V), я— распространимо на
|5(АГ)|; см. задание 1 упр. А.
Докажите, что отображение /: А -> У тогда и только тогда
й-распространимо на X, когда для каждого отображения
<р: (|/С|, \L\)-*(X, А) произвольной полусимплициальной пары (К, L)
в пару (Л", А) отображение /tp: L-+Y й-распространимо на К.
Кроме того, докажите, что если пара (X, А) полусимплициальна, то
введенное здесь понятие я-распространимости равносильно понятию
я-распространимости, которое следует ввести при выполнении зада-
задания 1 упр. А.'
Произвольно выбрав точку хо?А, рассмотрим гомоморфизмы
/,: те, (Л, jco)->ir,(K. уо). lt: те, (Л, .*„)->. те, (X, д:0),
где Уо = /(л;о)€^> индуцированные отображением /: A-+Y и вло-
вложением /: AgX. Предполагая, что пространства X, А и Y линейно
связны, докажите, что отображение / тогда и только тогда 2-рас-
пространимо на X, когда существует такой гомоморфизм h : тс,(Л", хо)->-
->МК- Уо). что /. = Л/.(ХУ 17]. стр. 177).
Предполагая, что пространство У линейно связно и я-просто,
определите для любого отображения/: А -> Y подмножество О +1 (/)
сингулярной группы когомологий Нп+1 (X, А; тся), где тсп = тсп(К, у0),
и докажите, что отображение / тогда и только тогда («-f- ^-рас-
^-распространимо на X, когда множество Оп+1(/) содержит нуль группы
Нп+1(Х, А; теп). Выведите отсюда все остальные результаты теории
препятствий, касающиеся задачи распространения.
Обратимся теперь к задаче гомотопии. Отображения /, g: X ->Y
мы будем называть п-гомоточными, если я-гомотопны отображения
/со, ?(о: S(X)-*Y; см. задание 1 упр. А. Докажите, что отобра-
отображения / и g тогда и только тогда й-грмотопны, когда для каждого
отображения <р: \К\-*Х произвольного полусимплициального раз-
разбиения \К\ в пространстве X отображения /tp и ?<р я-гомотопны.
Кроме того,, докажите, что если пространство X является полусим-
плициальным разбиением, то это понятие я-гомотопности равносильно
понятию й-гомотопности, которое следует ввести при выполнений
задания 1 упр. А.
Пусть хо?.Х и у0^ Y — такие точки пространств X и Y соответ-
соответственно, ЧТО f(X0)=ay0 = g(X^, И ПуСТЬ
/.. tf.:«i(*. xj-+*!&• Уо)
«-гомоморфизмы, индуцированные отображениями /, g: Х-*-У.
Упражнения 273
Предполагая, что пространства X, Y линейно связны, докажите,
что отображения /, g: X-*-Y тогда и только тогда 1-гомотопны,
когда существует такой элемент %?kx(Y, у0), что
*.<«) = б •/.(«)•«. «€*!(*¦ *о)-
Предполагая, что пространство Y линейно связно и л-просто,
определите для любых отображений /, g: X -*¦ Y подмножество
О" if, g) группы сингулярных когомологий HniX; тс„), где ¦гс„ =
= тс„(К, у0), и докажите, что отображения /, g: X -*-Y тогда и
только тогда" я-гомотопны, когда множество On(/, g) содержит
нуль группы Нп iX; тсп). Получите все остальные результаты, касаю-
касающиеся задач гомотетии и классификации.
Е. Теория препятствий к деформации
В этом упражнении будем считать фиксированными некоторую
пару (К, В) и некоторую конечную клеточную пару (/С, L). Напом-
Напомним, что отображение /: (/С, L)->(K, В) называется деформируе-
деформируемым в В, если существует такая гомотопия /,: (/С, L)->iY, В),
0<^<1, что /о==/ и /^/QcB. Ввиду того что подразбиение!
абсолютно удовлетворяет аксиоме о распространении гомотопии,
легко доказывается, что в этом определении мы можем потребовать,
чтобы для всех x?L и t?I имело место равенство /<(#) = /(*)•
Пусть Kn = Kn\}L. Мы будем говорить, что отображение
/: iK, L)-*iY, В) п-деформируемо в В, если отображение / Wn L\
деформируемо в В. Отображение / мы будем называть п-нормаль-
ным, если f(Kn~l)<=.B. Таким образом, отображение / тогда и
только тогда (л—1)-деформируемо в В, когда оно гомотопно отно-
относительно L некоторому л-нормальному отображению.
. Будем считать, что оба пространства К и В линейно связны.
Тогда ясно, что любое отображение /: (/С, ?)->(К, В) 0-дефор-
мируемо в В. Мы будем писать kx(Y, В, уо) = О, где уо?В, если
индуцированный вложением гомоморфизм
*.: *i(?. Уо) "¦«!<*'. Уо)
является эпиморфизмом. Докажите, что если %(К В, уо) = О, то
любое отображение /: iK, L)-*iY, В) 1-деформируемо в В.
Предположим теперь, что пара (К, В) л-проста в смысле упр. Е
гл. IV, где л>1. Тогда л-мерная относительная гомотопическай
группа тс„ = тс„(К, В) абелева, и потому ее можно использовать
в качестве группы коэффициентов.
Обычным образом определите для каждого «-нормального отобра-
отображения /: iK, L)->(K, В) л-мерную коцепь с" if) разбиения К с
коэффициентами в группе тс„ и докажите (Ху [.9J, стр. 194), что
1. Коцепь сп(/) является коциклом разбиения К относительно
подразбиения L.
18 Ху Cw-цзяв
274 Гл. VI. Теория препятствий
2. Равенство с"(/) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда
существует такая гомотопия ff:K->Y, 0-^.t^l, что /„=¦/,
/,(*•)=? и /,(*) = /(*) для всех х^К*-* н t?l;
3. Коцикл е"(/), тогда и только тогда когомологичен нулю в раз-
разбиении К относительно подразбиения L, когда существует такая
гомотопия ft:K^Y, 0<*<1, что fo = f,f1{Kn)czB и /,(*) = /(*)
для всех х^К" и ??/.
Определите далее подмножество О"(/) группы когомологий
Н"(К, L; 1г„) и докажите, что
4. Отображение /: (К, L)->(Y, В) тогда и только тогда (га—1)-
деформируемо в В, когда множество О" (/) не пусто.
5. Отображение /: (/С. L)->(K, В) тогда и только тогда га-де-
формируемо в В, когда Оп(/) содержит нуль группы Нп(К> L\ izn).
-.-¦:•.:€-. Если тс,(К, В, у0) = 0 и для каждого л>1 пара (К, В)
л-проста, а группа На(К, L;. кп), где чсп = чгп (К, В), равна нулю,
то любое отображение /: (К, L)->(K, В) деформируемо в В.
7. Если разбиения К и L линейно связны, то подразбиение L
тогда и только тогда является деформационным ретрактом разбиения К.
когда тс„(/С L, хо) = О для всех га!>1, где хо^?.
Постройте эту теорию препятствий к деформации
насколько возможно далеко и затем обобщите ее в направлениях,
указанных упражнениями Д, С и D. В частности, докажите, что
8. Если пространства Y и В являются абсолютными окрестност-
ными ретрактами, причем В замкнуто в Y, то следующие утвер-
утверждения равносильны:
(i) подпространство В является деформационным ретрактом про-
пространства К;
(ii) существует такая гомотопия fit: (К, В)->(К, В), 0<Ii? ^ 1, что
отображение Ло является тождественным отображением, a hl{Y)cB;
(Ш) для любого л^- 1 имеет место равенство
F. Отображения в пространство гомотопического типа (я, п)
Пусть Y—пространство гомотопического типа (it, га) (см.
упр. F гл. V). Пусть, далее, К — произвольное конечное клеточное
разбиение и ? — некоторое его подразбиение. В случае .га = 1 будем
дополнительно предполагать, что разбиения К и L связны. Оказы-
Оказывается, что в этом специальном случае задачи распространения,
гомотопии и классификации допускают следующие решения.
1. Случай л=1. Выберем в пространстве Y некоторую
точку у0, а в подразбиении L— некоторую вершину v0.
Задача распространения. Пусть /: (?, v0) -> (К, у0) — произволь-
произвольное отображение, и пусть
/,: irj(L, ?„)->*, (К. у0), /,: *,(!, «д)-»¦*,(*. f0)
Упражнения 276
— гомоморфизмы, индуцированные отображением / и отображением
вложения I: LczK. Докажите, что отображение / тогда и только
тогда распространимо на К, когда существует такой гомоморфизм
й: icj(AT, Vq) —>«!(К, у0), что ft = Mt, причем для любого такого,
гомоморфизма h существует распространение g: К ->¦ Y отображе-
отображения /, для которого gt — h.
Задача гомотопии. Пусть /, g : К -> У — произвольные отобра-
отображения. Не теряя общности, мы можем предполагать, что f(v0) —
= yo = g (v0), так что определены индуцированные гомоморфизмы
Докажите, что отображения / и g тогда и только т-огда гомотопны,
когда гомоморфизмы /, и gt эквивалентны, т. е. когда существует
такой элемент S^^iC- Уо)- чт0
Задача классификации. Пусть Н — множество всех гомоморфиз-
гомоморфизмов группы tcj (К, fi) в группу ir^K, yj). Отношение эквивалент-
эквивалентности, которое мы только что определили, разбивает множество Н
на непересекающиеся классы эквивалентности. Докажите, что гомо-
гомотопические классы отображений К ->¦ Y находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии с этими классами эквивалентности.
2. Случай га>1. В этом случае пространство Y «-просто,
и потому точку у0 можно не выбирать.
Докажите следующие теоремы, являющиеся, по существу, част-
частными случаями теорем 14.3, 15.4 и следствия 16.4:
Теорема распространения. Отображение /: L->Y тогда и
только тогда распространимо на К, когда его характери-
характеристический класс *"(/) распространим на К-
Теорема гомотопии. Отображения f,g- K-+Y тогда и только
тогда гомотопны, когда х" (/) =? х" (g).
Теорема классификации. Гомотопические классы отображе-
отображений К~>У находятся во взаимно однозначном соответствии
с элементами группы когомологий Нп(К; тс). Это соответствие
определяется отображением /->¦ х"(/).
3. Обобщите эти результаты в направлении, указанном в упражне-
упражнениях А и С.
О. Группы гомологии пространств гомотопического типа (к, п)
Пусть К и L — два полусимплициальных полиэдра гомотопических
типов (it, n) и (х, и) соответственно. Тогда, согласно предыдущему
упражнению, гомотопические классы отображений K—>L находятся
18*
276 Гл. VI. Теория препятствий
при п = 1 в естественном взаимно однозначном соответствии с клас-
классами эквивалентности гомоморфизмов ic->t, а при я> 1—в есте-
естественном взаимно однозначном соответствии с самими гомоморфиз-
гомоморфизмами тс->т. Отсюда непосредственно вытекает тот важный факт, что
полиэдры К и L тогда и только тогда гомотопически эквива-
эквивалентны, когда группы тс и т изоморфны.
В частности, для любого пространства X гомотопического типа (тс, п)
и любой группы коэффициентов О группы сингулярных гомологии
Нт(Х; О) и когомологий Нт(Х; О) зависят только от чисел т, п
и групп тс, О. Эти группы мы соответственно будем называть т-мер-
т-мерной группой гомологии и т*мерной группой когомологий
пары (тс, п) с коэффициентами в группе О и будем обозначать их
символами Нт{к, п; О) и Нт(к, я; О) соответственно. При я = 1 мы
будем в этих обозначениях указание на число п опускать. Анало-
Аналогично в случае, когда группа О является группой целых чисел Z,
указание на эту группу мы также будем опускать.
Таким образом, при ге= 1 и G=Z рассматриваемые группы обо-
обозначаются символами Нт{к) и Я (тс) соответственно. Мы будем их
называть т-мерной группой гомологии и т-мерной группой кого-
когомологий группы л соответственно.
При л as 1 можно обобщить определение группы Нт (ic; О) и
#т(тс; G) иа случай, когда О представляет собой произвольную
абелеву группу, на которой группа к определена как группа левых
операторов. Действительно, так как фундаментальной группой произ-
произвольного пространства X гомотопического типа (тс, 1) является
группа тс, то определены группы сингулярных гомологии Нт(Х; О)
и когомологий Нт(Х; G) с локальными коэффициентами в группе О.
Докажите, что эти группы не зависят от выбора пространства X и,
следовательно, их можно обозначать просто символами Ят(тс; О)
и Нт(к; О).
> Н. Полусимплициальное множество AT (я) группы я
Пусть тс — произвольная абстрактная группа в мультипликативной
записи. Следующим образом определим полусимплициальное множе-
множество К (тс) (см. Маклейн и Эйленберг [1]).
1. Однородное определение. Для каждого п^-0 рас-
рассмотрим множество Ф" всех упорядоченных (и+ 1)-членных последо-
последовательностей (х0, .,.., хп) элементов группы тс. Эти последовательности
мы будем называть п-множествами группы тс. Два л-множества
(Xq, .... хп) и (у0 уп) группы тс мы будем называть эквива-
эквивалентными, если существует такой элемент х?тс, что yi = xxi для
всех / = 0 л. Тем самым множество Ф" распадается на непере-
непересекающиеся'классы эквивалентности [х0, ...,.*„], которые мы будем
называть п-мерными симплексами группы тс. Грань o(i), где
0^я, произвольного «-мерного (я > 0) симплекса c=s[x0, ..., х„]
Упражнения . 877
группы те мы определим формулой
в«>=[*0, .... *,_,, х1+1 хп].
Докажите, проверив условие (ПСМ) из упр. Н гл. IV, что в силу
этих определений множество К (те) всех симплексов группы те пред-
представляет собой полусимплициальное множество.
2. Неоднородное определение. Для каждого «>.О рас-
рассмотрим множество всевозможных л-членных последовательностей
(я:, хп) элементов группы те. Грань о(/), где 0 </<[«, произ-
произвольной я-членной (я > 0) последовательности а = (xv .... хп) мы
определим формулами
aW=a(xv .... xt_v xtxl+l, xi+3 xn), 0</<и.
Докажите, проверив условие (ПСМ), что в силу этих определе-
определений множество всех таких последовательностей является полусим-
плициальным множеством.
Докажите, что это полусимплициальное множество может быть
отождествлено с множеством К (w) в силу соответствия
3. Матричное определение. Рассмотрим множество всех
(и+1)Х (п-\-1)-ттрт. ваов||<*у||, где /, У = 0 л, элементы dtj
которых принадлежат группе -к и удовлетворяют соотношению
dljdjk = dik, i, у, As=Q, .... я.-
За грань о('\ где 0^/^л, матрицы о при и>0 мы примем ма-
матрицу, получаемую из матрицы о вычеркиванием i-й строки и /-го
столбца.
Докажите., проверив условие (ПСМ), что в силу этих определе-
определений множество всех таких матриц представляет собой полусимпли-
полусимплициальное множество.
Докажите также, что это полусимплициальное множество может
быть отождествлено с множеством К (w) в силу соответствия
[*о- •-•• х»]~1аиЬ dtj*szTlxj'
4. Докажите, что полусимплициалъный, полиэдр |/С(те)j является
пространством гомотопического типа (те, 1); см. упр. Н гл. V.
5. Пусть Л: те ->т—произвольный гомоморфизм абстрактных групп.
Докажите, что соответствие [л;0, .... хп]-*-[h(x0), .... h(xa)] опре-
определяет симплициальное отображение /А: К (it) ->¦ К (т). Докажите, что
если гомоморфизмы h, k: те->т эквивалентны, то клеточные отобра-
отображения, соответствующие симплициальным отображениям /л, и Д, го-
гомотопны.
278 Гл. VI. Теория препятствий
I. Стягиваемые полиэдры, в которых свободно действует
группа я
Пусть К — стягиваемый (конечный нли бесконечный) снмплнцналь-
ный полиэдр в слабой топологии (см. [С — Э], стр. 105), на кото-
котором абстрактная группа тс свободно действует как группа снмплн-
циальных гомеоморфизмов. Пусть далее X— пространство траекто-
траекторий /(/it, и пусть р\ К-+Х — естественная проекция (см. п. 6 гл. I).
Докажите, что полиэдр К универсально накрывает пространство X
с помощью проекции р. Выведите отсюда, что пространство X
является пространством гомотопического типа (тс, 1).
Докажите существование таких полиэдров К для любой группы я.
Указание: вершины симплициального полиэдра К определите как
пары (Е, и), где \ — произвольный элемент группы тс, а п — положи-
положительное целое число. Пары Ио,по), .... (?fl,nq) тогда и только тогда
считайте вершинами некоторого симплекса полиэдра К, когда
ло < • • • < nq' Введите в К слабую топологию. Докажите, что для
любого конечного подполиэдра F полиэдра К н любой вершины
(?, п)?К, где я— такое, число, что п > m для каждой вершины
(т), ш) ? F, соединение подполиэдра F с вершиной (?, л) содержится
в /С. Используя этот факт и то обстоятельство, что в К введена
слабая топология, докажите, что тс? (/()== 0 для всех q^O, т. е. что
полиэдр К Стягиваем. Для каждого элемента $?тс определите сим-
плициальное отображение i: К->К как отображение, переводящее
вершины (т), п) в вершины ($т), п). Проверьте, что группа тс тем самым
определяется как группа левых операторов полиэдра К. Докажите,
что каждый гомеоморфизм S Ф 1 не имеет неподвижных точек, т. е.
что группа тс свободно действует на полиэдре К-
J. Влияние фундаментальной группы
Пусть X — произвольное линейно связное пространство, в кото-
котором отмечена точка хо?Х (базисная точка). Изучим влияние фунда-
фундаментальной группы тс = тс! (X) на строение групп гомологии и кого-
мологий пространства X.
Согласно лемме 8.2 гл. V, пространство X можно вложить в неко-
некоторое пространство Y гомотопического типа (тс, 1), причем отображение
вложения /: XcY будет индуцировать изоморфизм lt: ^(X) «тс^К).
Пусть п > 1 —такое целое число, что Tcm(A") = O при 1 < m < и.
Докажите следующие утверждения: . ' \
1. При /и О группа тст(К, X) равна нулю, а при m > и имеет
место изоморфизм C,: nm(Y, X) »icM_i(X). (Указание: воспользуй-
воспользуйтесь точностью гомотопической последовательности пары (X, Y).)
2. При т^л группа Hm(Y, X) равна нулю, а прн щ = п-\-1
гомоморфизм Гуревича g: тсп+1(К, X)->Hn+1(Y, X) является эпи-
эпиморфизмом. (Указание: воспользуйтесь теоремой Гуревича для отно-
относительных групп; см. упр. С гл. V.)
Упражнения 279
3. Индуцированный отображением вложения гомоморфизм
является изоморфизмом при т < п и эпиморфизмом при т = п. (Ука-
(Указание: воспользуйтесь точностью гомологической последовательности
пары (X, К).)
4. В коммутативной диаграмме ¦ ,
)^Й+Яп (*)-!*+#„ (К)
.1'
где g, h, k — гомоморфизмы Гуревича, сферическая подгруппа
Ея (A^Im (А) группы Я„ (X) совпадает с подгруппой Im (dtt)=Ker (t#).
5. Индуцированный отображением вложения гомоморфизм
Я1" (X) <-— Нт(У)ж Нт (тс)
является изоморфизмом при /и < я и мономорфизмом при т = п.
6. Подгруппа Л" (Л") = Im (/*) группы Нп(Х) состоит из всех
элементов, аннулирующих сферическую подгруппу ?„(АГ).
Объединяя эти утверждения, мы получаем следующую класси-
классическую теорему:
Если кт(Х) = 0 при 1 < т <и, то
Нт (X) ж Нт (тс), Я (X) » Ят (тс) лри /и < и,
где тс = tcj (Л").
К. Вычисление групп Ят(«; О) и Ят(я; О)
Следуя принятому обыкновению, мы абелевы группы, для которых
группа тс определена как группа левых операторов, будем называть
¦к-группами. Если в тс-группе О существует такая система элемен-
элементов \ga), называемая ее к-базисом, что элементы %ga, где $?тс и
8а € {?яЬ составляют базис группы О, то группу О мы будем на-
называть к-свободной тс-группой. Гомоморфизм тс-групп /: А->В мы
будем называть ic-гомоморфизмом, если он перестановочен с опе-
операторами из группы тс. Если для любой тс-группы В и любой тс-под-
группы А группы В каждый тс-гомоморфизм /: А -> О может быть
распространен до некоторого тс-гомоморфизма g: В -> О, то тс-группу О
мы будем называть к-инъективной тс-группой.
Пусть /„(О) — подгруппа тс-группы О, состоящая из всех элемен-
элементов g?Q, для которых %g=g при любом ??тс, и пусть Уя(<?) —
280 Гл. VI. Теория препятствий
факторгруппа группы О по подгруппе ?„@), порожденной всеми
элементами вида \g-*~g* где ??те и g(-Q.
Докажите следующие утверждения:
1. Имеют место изоморфизмы
Яо (те; О) * У. (О), Я» (те, О) « /. (О).
2. Если те-группа О те-свободна, то Ят(те; О) = 0 для всех /и > 0.
Бели те-группа О те-инъективна, то Я" (те; О) = 0 для всех m > 0.
3. Если те = 1, то Яот(те; О) = 0 = Я" (те; О) для любой группы О
и всех от^>0. Если группа те является свободной (неабелевой) груп-
группой, то Яот(те; О) = 0 » Ят (те; О) для любой те-группы О и всех m >- 2.
4. Если группа те является свободной абелевой группой с г обра-
образующими и тривиально действует на группе О, то
Нт (те; О) = 0 = Нт (те; О) при лГ> г.
Ят(те; О) ж OW « Ят(те; О) при т < г,
где OJ = O-р- . • • +0 — прямая сумма / экземпляров группы О.
5. Если группа те является циклической группой конечного по-
порядка г, то для каждого р^-0 и любой те-группы О имеют место
изоморфизмы
(«5 О) * /. (О)/Л«. (О) « Я2р+2 (те; О),
О)«^я(О)/^(О)«я2"+1(«; о),
где Жя@)с/я@) и 7VK@KZ,K@) — образ и ядро те-гомоморфизма Д:
О^*-О, определенного формулой Д (g) =g~\-ig-\- ... -\-?~lg,g?Q,
где ? — образующая группы те.
В частности,
#2р+1 («) « * ж Я2р+2 (те), Я2р+2 (те) = 0 = Я2р+1 (те).
6. Теорема об универсальных коэффициентах.
Если группа те тривиально действует на группе 0. то
Нт (те; О) т Нт (те) ® О + Тог (Ят_, (те), О).
Я™ (те; О) м Нот (Ят (те), О) -+- Ext (Ят_х (те), О).
7. Соотношения Кюннета. Пусть те и т — произвольные
группы, и пусть теХт — их прямое произведение. Тогда
Нт (те X «) = 2 ^р («) ® ^ W + 2 Тог (Яр (те), Я, (т)).
p+q—m l
Утверждения 4 — 7 позволяют полностью вычислить группы
Ят(те; О) и Я" (те; О) для любой абелевой группы те с конечным
числом образующих и лдобой группы О, в которой группа те дей-
действует тривиально,
Упражнения
L. Полусимплпциальиое множество Kin, я) Эйлеиберга—
Маклейиа
Пусть тс — произвольная абелева группа в аддитивной записи.
и пусть я— произвольное целое положительное число. Определите
полусимплициальное множество А'(тг, и), принимая за его от-мерные
(от >. 0) симплексы с я-мерные коциклы единичного m-мерного сим-
симплекса Дот с коэффициентами в группе те и определяя их грани o(i),
0<*<от, формулой о(" ={е1т) о, где
— гомоморфизм, индуцированный, рассмотренным в [С — Э], стр. 233]
симплициальным отображением е1т'. Ат_1-+Ат. Докажите, проверив
условие (ПСМ), что тем самым мы действительно получаем некоторое
полусимплициальное множество. Это множество /С (те, л) мы будем
называть полусимплициалъным множеством Эйленберга — Мак-
лейна; см. Маклейн — Эйленберг [1].
Докажите, что множество К (те, 1). по существу, совпадает с мно-
множеством К (тс) и что геометрическая реализация \К(к, п)\ множе-
множества К (к, я) имеет гомотопический тип (те, я).
М. Влияние группы я„(ДГ)
Пусть X — произвольное (я—1)-связное (я ^.2) пространство.
Изучим влияние группы к = кп (X) на строение групп когомологий
и гомологии пространства X.
Согласно лемме 8.2 гл. V, пространство X можно вложить в неко-
некоторое пространство К гомотопического типа (тс,, и), причем отображение
вложения /: XcY будет индуцировать изоморфизм /„: теп(X) г»тс„(К).
Пусть q > я — такое целое число, что ¦кт(Х) = 0 при и < от < q.
Докажите следующие утверждения:
1. Группа wm(K, X) равна нулю при m^.q, а при от>^ имеет
место изоморфизм <?,: тст(К,- X) ««„_!(X).
2. Группа Нт(У, X) равна нулю при m^.q. а при /и = ?+1
гомоморфизм Гуревича g: ic?+1(K, А")->Я?+1(К. А") является изо-
изоморфизмом.
3. Индуцированный отображением вложения гомоморфизм
l#iHm(X)-+Hm(Y)~Hm(*, я)
является изоморфизмом при m<iq и эпиморфизмом при m = q.
4. В коммутативной диаграмме
28? Гл. VI. -Теория препятствий
где /, g, h, k-~ гомоморфизмы Гуревича, сферическая подгругша
? (X)=lm(h) группы Нд{Х) совпадает с подгруппой Im(d^)=Ker(/#).
5. Индуцированный отображением вложения гомоморфизм
/#: Hm(Y)~»Hm(X)
является изоморфизмом при m < q и мономорфизмом при m = q,
причем в последнем случае его образом является подгруппа А9 (X).
Объединяя эти утверждения, мы получаем, что
Нт(ъ,п)- при m<q,
Hq {X)l Zq (X) «'Я, («.-я), Л' (Х):~ Н" AС. п).
6. Составное отображение
рассматриваемое как элемент группы Я?+1(те, п; izg(X)), не зависит
от выбора пространства К и называется инвариантом kqn+l(X)
пространства X. Докажите, что следующие условия равносильны:
(i)- инвариант kqtt+1 (X) равен нулю;
¦ (И) отображение h: Ttq{X)^*-Hq{X) является мономорфизмом;
(Hi) отображение l#\ Hq+l(X)—>-Hq+l('K, n) является эпиморфиз-
эпиморфизмом.
7. Если q = tir^-l, то, согласно упр. С гл. V, гомоморфизм
h: Tt (Х)->Н (X) является эпиморфизмом. Поэтому Яя+1(те, я) = 0.
Докажите, что kl+2(X) = 0 тогда и только тогда, когда гомомор-
гомоморфизм h является изоморфизмом.
ГЛАВА УП
КОГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
1. Введение
Для произвольных пар (X, А) и (К, В), каждая из которых со-
состоит из некоторого пространства и его подпространства, мы будем,
следуя п. 8 гл. I, обозначать символом ъ{Х, А; К, В) множество
всех гомотопических классов отображений пары (X, А) в пару (К, В).
Как показано в п. 8 гл. I, множество ъ(Х, А; К, В) является функ-
функтором, контравариантным по (X, А) и ковариантным по (К, В).
В случае, когда пространство X является «-мерной сферой 5я,
подпространство А состоит из одной точки so?S", а подпростран-
подпространство В пространства К—из одной точки у0 ? К, множество те (X, А; У, В)
представляет собой множество элементов «-мерной гомотопической
группы «„(К, у0); см. гл. IV. Как показано в двух предыдущих гла-
главах, наличие в множестве тся(К, у0) групповой операции чрезвычайно
облегчает решение задач распространения и классификации, осо-
особенно для отображений «-мерной сферы S" в пространство К.
В этой главе мы будем рассматривать в некотором смысле двой-
двойственный случай, когда пространство К является /и- мерной сферой Sm
и его подпространство В состоит из одной точки so?Sm. В этом
случае множество к(Х, A; Y, В) мы будем обозначать симво-
символом ът(Х, А) и будем называть его m-мерным когом о топи-
топическим множеством пары (X, А). В п. 5 мы покажем, что
если пара (X, А) удовлетворяет .некоторым простым дополнитель-
дополнительным условиям, то множество те (X, А) определяется как абелева
группа, которую мы будем называть m-мерной квгомотопи-
ческой группой пары (X, А). Эта группа была впервые оп-
определена Борсуком [3] и позднее детально изучена Спаньером. Она
приносит большую пользу в задачах классификации и распростра-
распространения отображений пространства X в m-мерную сферу Sm.
Для каждой пары (т, ») чисел т и «, для которых множества
кп(Х, А, х0) и ч^ЧХ, А) являются абелевыми группами, операция
композиции отображений определяет некоторый гомоморфизм
гсл (X, А, х0) ® ъ (X, А) -> гсл (Sm, s0).
Поскольку при т==п правая часть представляет собой аддитив-
аддитивную группу Z целых чисел, этот гомоморфизм определяет „двойст-
„двойственность" между гомотопическими и когомотопическими группами.
Эту двойственность мы подробно ивучаем в заключительном п. 12.
284 ,' Гл. VII. Когомотопическце группы
2. Когомотопические множества пт(Х, А)
Пусть Sm — единичная «-мерная сфера (/»+ 1)-мерного евкли-
евклидова пространства, и пусть s0 — точка A. О, .... 0). Как сказано
в введении, т-мерным когомотопичвским множеством пт(Х, А)
пары (X, А) называется множество всех гомотопических классов
относительно А отображений пары (X, А) в пару (Sm, s0). Оно пред-
представляет собой контравариантный функтор пары (Л, А). Если А пусто,
то это множество мы будем обозначать символом «"(Л') и навивать
т-мерным когомотопиявским множеством пространства X.
Множество if(X, А) имеет особый элемент, а именно гомотопиче-
гомотопический класс постоянного отображения 0: X -> $0. Этот элемент мы
будем обозначать символом 0 и называть нулем множества я1* (X, А).
Поскольку точка s0 представляет собой замкнутое подмножество
сферы Sm, легко видеть, что
пт(Х, А) = пт(Х, А).
где А—-замыкание множества А в пространстве X. Таким образом,
6*8 ограничения общности мы могли бы считать, что подпростран-
подпространство А замкнуто в пространстве X. Однако мы этого делать не бу-
будем по крайней мере до тех пор. пока нам это по существу не
понадобится.
Для полноты мы введем еще множество я°(Л\ А), понимая под
ним множество всех одновременно открытых и замкнутых подпро-
подпространств пространства X, не пересекающихся с подпространством А.
Нулем 0 множества я0 (Л", А) мы будем считать пустое подпростран-
подпространство пространства X.
8. Индуцированные отображения
Поскольку множество «"* (X, А) является контравариантным функ-
функтором пары {X, А), каждое отображение /: (X, Л)->(К, В) инду-
индуцирует некоторое отображение
/*: «"(К, В)->^(Х, А).
По определению, это отображение переводит произвольный элемент а
множества nm(Y, В) в элемент /*(а) множества кт(Х, А), являю-
являющийся гомотопическим классом составного отображения <р/: (Л", А) ->
->EЯ|, s0), где <pt (К, B)-*(Sm. s0) — произвольное отображение
класса а. Очевидно, что нуль множества •тс'" (К, В) переходит при
отображении /* в нуль множества те1*(Л1, А). Кроме того, отображе-
отображение /* зависит только от гомотопического класса отображения /
относительно семейства {А, В].
В этом пункте мы докажем ряд важных свойств индуцирован-
индуцированных отображений.
3. Индуцированные отображения 28b
Рассмотрим пару (X, А), для которой подпространство А про-
пространства X непусто. Стянув подпространство А в точку qA, мы
получим некоторое пространство ХА. Пусть
f:(X.A)-*{XA,qA)
— естественная проекция (отображение отождествления). Как мы
знаем, эта проекция гомеоморфно отображает X \ А на XА \ q^
Лемма 3.1. Отображение /*, индуцированное проекцией /,
является биективным отображением множества «""(А^, qA)
на множество те (А", А).
Доказательство. Пусть а ? «т (X, А), и пусть <р: (X, А) -> (Sm, s0)—
произвольное отображение класса а. Определим отображение
ф : (ХА, qA)->(Sm, s0), полагая
если у ^ XА \ qA,
s0, если у =^qA-
Поскольку в силу предложения 6.1 гл. I отображение <]> непрерывно,
оно определяет некоторый элемент р множества 1ст(АЛ. qA). Так
как ф/ = <р, то /*(P)s=a. Следовательно, отображение /* надъек-'
тивно.
Пусть теперь 5, ij: (АЛ, 9д)->E'", s0) — такие отображения, что
составные отображения ?/ и т)/ гомотопны относительно А. Тогда
существует такое отображение
F: (XXL AXl)-»(Sm,s0).
что F(x, O) = tf(x) и F(x, l)s=7j/(x) для всех jt^A'. Определим
отображение G:(XAXI> 9а X/)-> Em, s0), полагая
^-f)- если у€^\^д.
s0. если у = 9д.
Это отображение непрерывно и потому определяет некоторую го-
мотопию относительно точки qA, связывающую отображения I и ч\.
Следовательно, отображение /* инъективно. ¦
Значение леммы 3.1 состоит в том, что она сводит вычисление
когомотопических множеств любой пары (X, А) с непустым А к вычи-
вычислению когомотопических мнoжeqтв некоторой другой пары, для кото-
которой подпространство А состоит из одной точки а. При этом, поскольку
при т > 1 сфера Sm односвязна, отображение вложения I: Хс(Х, а)
индуцирует, как легко видеть, биективное отображение /* множества
itm(X, а) на множество -^"(Х), если только, конечно, рассматри-
рассматриваемые пространства удовлетворяют необходимым условиям, обеспе-
обеспечивающим возможность распространения гомотопии. В частности, эти
285 Гл. VII. Когомотопическив
условия заведомо выполнены для любой точки а?Х, если про-
пространство X паракомпактно и хаусдорфово.
Теорема 3.2 (теорема о вырезании' для отображе-
отображений). Если отображение /: (X, А)-*(У, В) представляет со-
собой относительный гомеоморфизм, т. е. если f гомеоморфно
отображает Х\А на У \В, и если пространство X ком-
компактно, подпространство А непусто, пространство У ре-
регулярно и хаусдорфово, подпространство В замкнуто, то
индуцированное отображением f отображение /* является
биективным отображением множества те (К, В) на множе-
множество ^(Х, А).
Доказательство. Пространство В непусто, так как непусто про-
пространство А. Следовательно, мы можем стянуть каждое из этих
пространств в точку, первое в точку qA, второе в точку qB. Пусть
\: (X, А)-*(ХА. qA). ц : (К, В)->(УВ, Яв)
— естественные отображения отождествления. Без труда проверяется,
что отображение / индуцирует такое взаимно однозначное непре-
непрерывное отображение
g- (XA. qA)->{YB, qB) ¦ *
пары (ХА, q&> на пару (Ув, qB), что nf — gt Так как простран-
пространство X компактно, то компактно и пространство ХА. Так как про-
пространство Y регулярно и хаусдорфово, а подпространство В замк-
замкнуто, то пространство Ув хаусдорфово. Являясь взаимно однозначным
непрерывным отображением компактного пространства в хаусдорфово,
отображение g гомеоморфно, и потому отображение g* биективно.
Но /*if = !;*?*. причем, согласно лемме 3.1, отображения ?* и tf
биективны. Следовательно, отображение /* = $*^r*7j*~1: те (К, ?)->
->тет(Л\ А) также биективно. ¦
Наложенные в теореме 3.2 дополнительные условия на простран-
пространства X и У опустить нельзя. Покажем на примере, что если эти
условия не выполнены, то теорема неверна.
Пусть пространство У представляет собой единичный от-мерный
шар евклидов^ /и-мерного пространства, а подпространство В — его
граничную (т—1)-мерную сферу. Выбрав две различные точки
у0, уЛ ? В, рассмотрим пространства X = У \ у0 и А = В \ yQ. Оче-
Очевидно, что пара (X, А) деформационно ретрагируется в пару (yv у,)
и потому itm{X, Л) = 0. Так как V (К, В)«Z, то отображение
/*: те (К, B)->ttm(X, А), индуцированное относительным гомеомор-
гомеоморфизмом I: (X, А)е:(У, В), не инъективно. В этом примере прост-
пространство X не компактно.
Пусть теперь пространство Y представляет собой единичный
(/«+ 1)-мерный шар (nt-f-1)-мерного евклидова пространства, про-
4. Кограничный оператор 281
странство X— его граничную /и-мерную сферу, подпространство А
состоит из одной точки сферы X, а пространство В определяется
формулой B = (Y\X)UA. В этом случае itm{X, A)^Z, в то
время как itm (К, В) = О, так что отображение Г : тет (К. В) ->гст (X, А),
индуцированное относительным гомеоморфизмом /: (X, A)c(Y, В),
не надъективно. В этом примере пространство В не замкнуто.
Следствие 3.3 (теорема вырезания -для подпрост-
подпространств). Пусть пара (X, А) состоит из компактного хаус-
дорфова пространства X и его замкнутого подпространства А.
Тогда для любого открытого множества V пространства X,
содержащегося в А, отображение вложения
е: (X\V, A\V)<z(X, A)
индуцирует биективное отображение е* множества ът(Х, А)
на множество Km(X\V, A\V).
Доказательство. Поскольку е представляет собой относительный
гомеоморфизм, следствие 3.3 в случае, когда множество ^\V не-
непусто, непосредственно вытекает из теоремы 3.2. Если А \ V пусто,
то A = V и, следовательно, подпространство А одновременно от-
открыто и замкнуто в X. Поскольку любое отображение ср: X \A->Sm
единственным образом распространяется тогда до некоторого отобра-
отображения ф: (X, A)-*(Sm, sQ). отображение е* биективно и в этом
случае.
Замечание. В следствии 3.3 условие, что пространство X компактно
и хаусдорфово, может быть заменено условием, что замыкание мно-
множества V содержится внутри пространства А. Проверка этого
утверждения оставляется читателю.
4. Кограничный оператор
В этом пункте мы построим для когомотопических множеств ко-
кограничный оператор 8, аналогичный кограничному оператору для
групп когомологий. К сожалению, при его построении нам придется
пользоваться одним из вариантов теоремы распространения Титце,
и потому мы будем вынуждены наложить на пару (X, А) некоторое
условие нормальности.
Пару (X, А) мы будем называть бинормальной, если простран-
пространство X бинормально (см. п. 9 гл. I), а его подпространство А замк-
замкнуто. Для каждой такой пары пространства X и X X А по опре-
определению, нормальны. В частности, пара (X, А), бинормальна, если
пространство X является полусимплициальным полиэдром, а под-
подпространство А — его подполиэдром или если пространство X пара-
компактно и . хаусдорфово, а подпространство А замкнуто.
288 Гл. VII. Когомотопические группы
В дальнейшем мы будем считать все рассматриваемые пары (Л", А)
бинормальными.
Рассматривая (т-\- 1)-мерную сферуSm+1 как соединение сферы Sm
с двумя точками (северным и южным полюсами), мы будем через ?++1
и Е™+1 обозначать соответственно ее северную и южную полусферы.
Таким образом,
Отмеченную точку s0 мы будем выбирать на экваторе Sm.
Рассмотрим диаграмму
«(Л;5т) я (X, A; Sm+\ s0)
, А; ЕТ\ Sm)X«{X, A; Sm+\
отображение а которой индуцировано операцией ограничения ото-
отображений, а отображения р и f индуцированы отображениями вло-
вложения.
Поскольку полусферы Е%+1, 2?2+1 стягиваемы по себе в точку s0,
а пара (X, А) бинормальна," легко видеть, что отображения а и f
биективны. Поэтому определено отображение
8 = f"фа: тет (А) -*• irm+i (X, A).
Это отображение мы и будем называть пограничным оператором
для когомотопических множеств.
Геометрически кограничный оператор 8 определяется следующим
образом. Пусть е?кт(А) и <р: A-*-Sm — произвольное отображение
класса е. Так как полусфера Е++1 стягиваема по себе в точку, ото-
отображение <р обладает некоторым распространением
1' Sm).
Пусть
— такая гомотопия, что отображение ^ представляет собой отобра-
отображение вложения, а отображение \г переводит сферу Sm в точку s0
и гомеоморфно отображает открытую полусферу E™+1\Sm на „про-
„проколотую сферу" 5m+1\s0. Ясно, что обладающая этими свойствами
гомотопия %t существует и что отображение \х с точностью до гомото-
пии относительно Sm определяется единственным образом. Тогда
отображение Ej<p#: (X, A)-*-(Sm+1, s0) принадлежит, как легко видеть,
классу .8 (е) = -j-ipa (e).
Очевидно, что оператор 8 переводит иуль множества я1* (Л)
в нуль множества «т+1(Х, А). Кроме того, так как отображения
5. Групповая операция в множествах ят(К,А) 289
ос, р и 1 перестановочны с отображениями, индуцированными непре-
непрерывными отображениями пар, a Ssf^, то справедливо
Предложение 4.1. Для любого отображения /: (X, A)->{Y, В)
бинормальных пар имеет место коммутативная диаграмма
¦^(А)Лкт+ЦХ. А)
тет(В)Лтет+1(К, В),
где g: А->В — отображение, определенное отображением /.
5. Групповая операция в множествах пт(Х, А)
Поскольку мы в этом пункте будем использовать теорию пре-
препятствий, нам будет удобно считать рассматриваемую пару (X* А)
клеточной парой, т. е. пространство X считать конечным клеточ-
клеточным полиэдром, а подпространство А — его подполиэдром. Распро-
Распространение результатов этого пункта на более общие пары будет ука-
указано в упражнениях в конце главы.
Клеточную пару (Л", А) мы будем называть п-косЪязной, если для
каждого целого q^n и любой группы коэффициентов О группа
когомологнй И9{Х, А; О) равна нулю. В частности, пара(Я\ А) я-ко-
связна, если размерность множества X \ А меньше я. Однако это
условие нам неудобно, так как размерность не является гомотопиче-
гомотопическим инвариантом. Согласно теореме об универсальных коэффициен-
коэффициентах, пара (X, А) тогда и только тогда я-косвязна, когда для
всех ?>-я равна нулю целочисленная группа когомологий Н9(Х, А).
Для любой пары (К, у0), состоящей из пространства Y н точки у0,
мы символом Tt(X, A; Y, у0) будем обозначать множество всех гомо-
гомотопических классов отображений (X, Л)->(К, уд). Ясно, что каждое
отображение /: (К, уо)->(К', у^) индуцирует некоторое отображение
/.: «(*. A; Y, yo)-+*(X. A; Y', у'о)
этих множеств. В частности, для любой тройки (К, В, у0) отобра-
отображение вложения I: (В, у0) <=. (К, у0) индуцирует отображение
/,: те(Л\ Л; В, уо)->я(ЛР. А; К, у0).
Напомним, что пара (К, В), где К и В —линейно связные про-
пространства, называется п-евязной, если те, (К, ?) = 0 для всех ?<«.
Используя препятствия к деформации (см. упр. Е гл. VI), легко
видеть, что имеет место следующая
Леима 5.1. Если пара (X, А) п-косвязна, а пара (К, В)
п-связна, то отображение /„ является биективным отобра-
отображением множества к(Х. А; В, у^) на множество w(X, A; Y, уд).
19 Ху Сы-цзян
290 Г4. VII. Когомотопические группы
Будем теперь считать, что пара (X, А) является B/и— 1)-косвяз-
ной, где m — некоторое положительное целое число. Имея в виду
определить в этом случае на множестве ^(Х, А) некоторую груп-
групповую операцию, мы рассмотрим тройку (Y, В, у0), для которой
K = 5mX5m. B^S™ \JSm, yo = (v*o)-
Так как, согласно предложению 3.4 гл. IV, пара (К, В) является
B/и—1)-связной парой, то, согласно лемме 5.1, отображение
/„: к(Х, А; В, уо)-*к(Х, A; Y, Уо) биективно.
Пусть, далее,
У,: *{Х, А; В, уо)-*кт(Х, А)
— отображение, индуцированное отображением /: (В, yo)->(Sm, s0),
для которого J(s, so) — s = J(so, s) при всех- s?Sm.
Наконец, пусть
А»: кт(Х, А)Х«т(Х, %А)-ис(Х. А; К, у0)
— отображение, переводящее произвольную пару (a, j-J) элементов
множества чст(Х, А) в элемент А»(а, ф)?к(Х, A; Y, у0), являю-
являющийся классом отображения <рХф: (X, A)->(Y, y^, где <р, ф: (X, А)->
—>(Sm; s0) — отображения классов аир соответственно. Ясно, что
это построение корректно определяет отображение А,, т. е. что
элемент А» (а, Р) зависит только от упорядоченной пары (а, Р).
Рассмотрим отображение
k = J?\. ът(Х, А)Х*т(Х, А)->Кт(Х, А).
Для любой пары (а, Р) элементов множества кт(Х, А) элемент k(a, P)
этого же множества мы будем называть суммой элементов а, р и
будем обозначать его символом а + р
Теорема 5.2. Для любой Bт—1)-косвяаной клеточкой пары
(X, А) множество кт(Х, А), является абелевой группой отно-
относительно операции а + р. Нулем этой группы служит нуль
множества icm(X, А). Для любого элемента а.?чст(Х, А) про-
противоположный ему элемент —а представляет собой класс
составного отображения г<р, где г: (Sm, so)-*-(Sm, s0) — произ-
произвольное отображение степени —1, а <р: (X, A)->(Sm, s0) —про-
—произвольное отображение Класса а.
Доказательство, (а) Коммутативность. Рассмотрим гомео-
гомеоморфизм ?: (К, у0) -* (К, у0), определенный для любой пары точек
(s, t) сферы Sm равенством ?(s, t) = (t, s). Поскольку гомеомор-
гомеоморфизм 5 отображает подпространство В на себя, он определяет неко-
некоторый гомеоморфизм -ц: {В, у^->(В, у^. При этом очевидно, что
5. Групповая операция в множествах ят(Х, А") 291
/т) = у и Jri = j. Следовательно, имеет место коммутативная диа-
диаграмма
К, А; К, Уо) *?-«(*, А; В. yo)s
\ кт(Х, А):-
i
К, А; К, УоК— «(*. А; В, у
Пусть а, р — произвольные элементы множества кт(Х, А);
Из определения отображения h^ немедленно следует, что ч
Следовательно,
(Ь) Ассоциативность. Рассмотрим тройку (Z, С, z0), где
С/Л sy- С/Л ч/ С/Л /^ С/Я \ / С/Л \ / С/Я -, /„ „ _ \
= о X>j X" • l<=o V" V " • Zq = (Sq, Sq, Sq).
Используя результаты упр. S гл. I, легко проверить, что пара (Z, С)
является Bт— 1)-связной парой и, следовательно, согласно лемме 5.1,
отображение вложения %: (С, zo)-*(Z, z0) индуцирует биективное
отображение
х,: к(Х, А; С, zo)-+k(X, A; Z, z0).
Определим отображение X: (С, z^-*-(Sm, s0), полагая
iSj, если s2 = s0 = s3,
s2. если s1 = s0 = si,
sz, если s1 = s0 = s2,
и рассмотрим индуцированное им отображение
Х„: л(Х А; С, zo)^icm(X, A).
Для любых элементов a, p, f множества ът(Х, А) отображение
9. ф, х- (х> A)->(Sm, So)
— произвольные отображения классов a, p,- f соответственно, опре-
определяет некоторый элемент |х„(а, |3, 7) множества к(Х, A; Z, z0),
зависящий только от элементов а, р, ^. Рассмотрим в множестве
itm(X., А) элемент Х.х-уДа, р, f) и докажем, что
=V;V.(«. р. т)=<
19*
292' ' Гл. VII. Когомотопические группы
Пусть отображение р: (Z, го)-*-(К. у0) определено формулой
p(Sj, s2- si) = {sv s2)- Так как это отображение переводит С в В,
то оно определяет некоторое отображение 6: (С, zo)-*(B, y0), и
потому имеет место коммутативная диаграмма
(Л", Л: Z, z0) *¦*-*- *(Л\ Л; С, г0)
Р* • Iе*
«(*. Л; К, у0) <-!*-*(*, Л; В, у0).
Кроме того, ясно, что
РАО*. Р. Т) = *.(<*• ?)•
Пусть теперь /: (Л(, Л)->(С, г,)) — произвольное отображение
класса х^ц^сс, р, f). Тогда отображение X/ принадлежит классу
^»*rV»(a» Р>.Т)' а отображение /9/—классу а+р. Пусть ак (Z, «о)-*"
->(Sm, s0) — отображение, определенное равенством w(sv s2, sa) = s3.
Ясно, что отображение ш/ принадлежит классу f. Так как отобра-
отображение / переводит пространство X в пространство С, то отобра-
отображение /9/Х«/ переводит пару (X. А) в пару (В, у^, причем
У(Л/Х ">/) = >¦/• Следовательно, («+P) + T=WV.(«. P. T)-
Аналогично доказывается, что а —}— (^ —j— 7) = ^*1С«ГaIJt* (<*• Р> Т)-
(c) Существование нуля. Пусть а^«т(Л", Л), и пусть
<р : (Л", A)-*-(Sm,s0) — произвольное отображение класса а. Пусть,
далее. С: (Л", A)->(Sm, sj — постоянное отображение ((.(X) = s^.
Тогда отображение <рХС переводит пару (ЛГ..Л) в пару (В, уц) и
обладает тем свойством, что У(<рХС) = <р- Следовательно, a-j-O«=a.
(d) Существование противоположных элементов.
Пусть a?itm(A'. Л), и пусть <р: (X. A)-*-(S-, ^ — произвольное
отображение класса я. Тогда для любого отображения г: (Sm, sJ->
-> (Sm, s0) степени — 1 гомотопический класс р ^ wm (X, Л) состав-
составного отображения г<р зависит только от элемента а. Докажем, что
+р О
р
Без ограничения общности мы можем считать, что отображение г
определено формулой
г(х0, .... xm_lt xm) = (x0, ..., xm-i< xm).
Пусть ?™ и ?™ — полусферы сферы Sm, определенные соответ-
соответственно неравенствами лт!>0 и xm^.Q. Тогда г отображает ?™
на ?™, а Я* на ?*. .
Рассмотрим гомртопию ht: (Sm, so)->(Sm, s0), 0<f<l, для
которой отображение Ао представляет собой тождественное отобраг-
жение, а отображение А, обладает тем свойством, что А1(?1") = *о-
5. Групповая операция в множествах пт(Х, А) 293
По определению, составное отображение Л,ср принадлежит классу а,
а составное отображение А,г<р— классу р. Пусть Mt = y~l(Em)
и Л, =* ?¦'(?"). Так как
Х = МХ \}М2. ЛсЛ^Л^.
то отображение h^ X А,лр переводит пространство X в простран-
пространство В и составное отображение Ц* = У (Л^ X Ai''*?) принадлежит
классу a—j—р. Кроме того, очевидно, что if(x)=hly(x), если х?Мх,
и ^(x) = k1rt((x), если ;е?Л12. Мы определим гомотопию ф,: (Л!", Д)->
-*Em, s0), 0<*<1, полагая
f А.»(л:), если xfM,,
Л>(х)=={ 'Т с '
если *(jAJ2.
Отображение ф0 также принадлежит классу а + [3. Так как отобра-
отображение Ао представляет собой тождественное отображение, то отобра-
отображение <|>0 переводит пространство X в полусферу ?™. Поэтому это
отображение гомотопно относительно А постоянному отображению
e(X) = s0. Следовательно, <*-{-? = 9. ¦
При т = 1 или при т = 3 сфера «Sm представляет собой топо-
топологическую группу с единицей s0. Пользуясь этим, мы можем в кого-
мотопическом множестве кт(Х, А) любой пары (X, А) ввести умно-
умножение, принимая за произведение оф любых двух элементов а и C
множества v:m(X, А) класс отображения Х'.(Х, A)->(Sm, s0), опре-
определенного формулой X(x) = <?(x)ty(x), где ^, ф: (Л', Д)->Eт, s0) —
произвольные отображения классов а и § соответственно. Ясно, что
относительно этой операции умножения множество пт(Х, А) обра-
образует группу.
Предложение 5.3. При т = 1 или при m = 3 для любой
Bт—1)-косвязной клеточной пары (X, А) в множестве it*1 (Л", А)
имеет место равенство
ч а, $?пт(Х, А).
Доказательство. Рассмотрим отображение (а: (К, Уо)"
определенное формулой jj,(s, t) = st, где s. t — произвольные эле-
элементы топологической группы 5™.
Согласно лемме 5.1, существует такая гомотопия ft: (X, А)->
-*(У> Уо). 0</<1, что /0 = <рХ<|> и /,(Л")с:Я, где <?, ф —про-
—произвольные отображения классов аир соответственно, По опреде-
определению, составное отображение |х/0 принадлежит клвссу afJ, а состав-
составное отображение jfx — классу a -j- р. Но так как /, (X) с В, то
Pf\ = Jfv Следовательно, a[3 = a-|-[3. Щ
Докажем теперь, что отображения, индуцированные непрерывными
отображениями, и кограничные операторы являются гомоморфизмами.
294 Гл. VII. Когомотипические группы
Предложение 5.4. Для любого отображения
/: (X, Л)->(Л". А')
Bт—\)-косвязной клеточной пары (X, А) в Bт—1)-косвязную
пару (X', А') индуцированное отображение
/*: itm(A"', АУ-+т»(Х, А)
является гомоморфизмом.
Доказательство. Пусть а, р— произвольные элементы множества
¦кт(Х', А'), и пусть <р, ф: (A", A')->(Sm, s0) — произвольные ото-
отображения классов пир соответственно. Согласно лемме 5.1, суще-
существует такая гомотопия gf: (Xf, A')-+(Y, у0), 0<*<1, что
^0==(рХ<|» и gl(X)c В. По определению, элемент а-{-р предста-
представляет собой класс составного отображения jgv и потому элемент
/*(а-{-р) представляет собой класс составного отображения jgxf.
С другой стороны, так как элементы /*(а) и /*(р) являются
классами отображений ср/ и ф/ соответственно и так как gof =
= <р/ X ф/. то отображение jgxf принадлежит классу /* (а) -{- f* (P).
Следовательно, f (a +P) = /*(<*) + /*(р). ¦
Предложение 5.5. Для любой Bm-f- \)-косвязной клеточной
пары (X, А) с Bт—1)-косвязным подпространством А когра-
ничный оператор Ь: кт(А)->пт+1(Х, А) является гомомор-
гомоморфизмом.
Доказательство. Пусть а, p?itmD), и пусть ср. ф- A->Sm—про-
A->Sm—произвольные отображения классов я и [3 соответственно. Согласно
лемме 5.1, существует такая гомотопия gt: A-+SmXSm, 0<*<l,
что ?о —?Х<1» и gj (А) с Sm V Sm. По определению, составное
отображение jg{. A->Sm принадлежит классу a—f-p.
Поскольку букет Е"^+ \/ Е"^+1 стягиваем по себе в точку (s0, sX
отображение-gt обладает распространением
*f: (X. A)^(Ei+1VE"l+\ Sm\/Sm).
Пусть ju: E™+1 \/ E^_+1 ->E™+1 — отображение, аналогичное ото-
отображению /: 5m V Sm->S"t. Тогда составное отображение /#?}*
является распространением составного отображения Jgv Следова-
Следовательно, классом отображения hJ^gf является элемент S(а-}-р).
Пусть р(: E™+1XE™+i->El+1, .i = l, 2,—проекция, опреде-
определенная формулой pt(yv У2) = У1- Ясно, что составное отображение
Pxgf' (X, A)->(E™+1,Sm) является распространением составного
отображения pxgv классом которого, очевидно, является элемент а
Аналогично составное отображение p2g# является распространением
отображения p2gt класса р. Поэтому отображение Ьгр?^ принад-
6. Когомотопическая последовательность тройки 295
лежит классу 5 (а), а отображение %хр<?^— классу 8 ({5). Рассмотрим
отображение
W: (Е^+1 V Е*+\ Sm V Sm)->(Sm+1 V Sm+\ (s0. s0)),
определенное формулой ФЧур Уг) = (^i (^i)* ^(Уг))- Так как
то отображение ./4?g-f, где У: 5""+1 V Sm+1 -+Sm+1 — отображение,
аналогичное отображению /: Sm V Sm->Sm, принадлежит классу
)И(Р)
Но ясно, что Уч7^]* = $,y»g-«. Поэтому. 8 (а + Р) = 8 (а) + 8 (Р). ¦
6. Когомотопическая последовательность тройки
Бинормальной тройкой (Л"; А, В) мы будем называть тройку,
состоящую из некоторого бинормального пространства X и таких
его замкнутых подпространств А и В, что Azd В. Для каждой такой
тройки пары (X, А)г (X, В) и (А, В) являются бинормальными
парами.
Согласно п. 3, отображения вложения /: (А, В)с(Х, В) и
/: (X, В)с(Х, А) при любом /м^-0 индуцируют некоторые ото-
отображения
Г: «""(Х, В)->жт(А, В), f: nm{X, А)->«т(Х, В).
С другой стороны, композиция отображения
k*: кт(А, В)-**™(А).
индуцированного отображением вложения k: А с (А, В), и когранич-
ного оператора
8: п'п(А)-+ж'п+1(Х; А),
представляет собой некоторое отображение
8*: ¦к'" (А, В)->жт+1(Х, А),
которое мы будем называть пограничным оператором тройки
(X; А, В). Таким образом, по определению,
Отображения /*, /*, 8* позволяют написать следующую последова-
последовательность множеств и их отображений:
" (А, В) —¦> кт+J (X, А)
296 ' Гл. VII. Когомотопические группы
Эту последовательность мы будем называть когомотопической по-
последовательностью тройки (X, А, В), а в частном случае, когда
5 = 0,—когомотопической последовательностью пары (X, А).
Как обычно, образом отображения 8*: кт(А, B)->wm+1(X, A)
мы будем называть множество Jm(8*) = 8*(кт(А, В)), а его ядром
Кег(8*)— прообраз 8*-1@) нуля 0 множества кт+1(Х, А). Анало-
Аналогично определяются образ и ядро каждого из отображений /' и /*.
В силу этих определений имеет смысл вопрос о точности кого-
когомотопической последовательности, т. е. вопрос о том, совпадает ли
образ каждого отображения этой последовательности с ядром сле-
следующего отображения. Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы
должны выяснить, какие из следующих щести вложений справедливы:
A)
B) 1тГс=Кег8*;
C) 1т8*с=КегУ*;
D) 1т/*зКег/*;
(&) 1т/*зКег&*;
F) 1т&*зКег/.
Теорема 6.1. Вложения A) — D) имеют место для любой
бинормальной тройки (X, А, В).
Доказательство. Для доказательства вложения A) мы рассмотрим
произвольный элемент a?tf"(X, А). По определению, элемент l*f(a)
является классом отображения <р|д, где <р: (X, A)->(Sm, s0) — про-
произвольное отображение класса а. Поскольку ср(Л) = 50, отсюда сле-
следует, что Г/*(а) = 0, т. е. что 1тУ*с:КегГ.
Чтобы доказать вложение B), мы рассмотрим произвольный эле-
элемент $?if(X, В). По определению, отображение ср = <Ид- гДе
<j»: (X, B)->(Sm, s0) — произвольное отображение класса [3, принад-
принадлежит классу /*ф). Определим распространение f#:(X, А)->
->(?*+\ 5") отображения ср> полагая (ptt(j»:)=(j»(jc) для каждой
точки х?Х. Так как y#(X)c:Sm, то 5l<pttW = so- Поскольку
отображение ^уй принадлежит, по определению, классу 8*/*([3), тем
самым доказано, что 8*/* ф) = 0, т. е. что Im Г с Кег 8*.
Для доказательства вложения C) мы рассмотрим произвольный
элемент f?<Km(;A,B) и распространение у?*:{Х, А)->(Е™+1, Sm)
произвольного отображения %: (A, B)->(Sm, s0) класса т- По опре-
определению, составное отображение ?(ХЙ принадлежит классу 8*()^
?itm+l(X. А). Поскольку ^tt(fl)s=rx(fl)"=s0, формула
( Хп(х), если х?Х, /s=0,
F(x, t) = \ s0, если x?B, .t?I,
I s0, если х?Х, t — \,
7. Основная лемма 297
определяет некоторое отображение F: (X X 0) U (В X I) U {X X 1)-*-
->?^+l. Так как пара (X, В) бинормальна, а полусфера E++l
заполнена, то отображение F обладает распространением F^:
ХХ1->ЕТ\ Определим гомотопию ft\ (X. B)->(Sm+1, s0),
О ^ t ^ 1, полагая
Mx) = iiPn{x, t), x?X, t?I.
Ясно, что /0 = ?,xtt7 и fi(X) = s0. Следовательно, /8*(y) = 0, т. е.
ImS'cKer/.
Чтобы доказать вложение D), мы рассмотрим произвольный
элемент а.?пт(Х, В), для которого /*(а) = 0. Пусть ср: (Л", В)->
->(Sm, s0) — произвольное отображение класса а. Так как отображе-
отображение (р/ = (р|д принадлежит классу **(а) = 0. то существует частичная
гомотопия <L: (A, B)-*(Sm, s0), 0<]/< 1, отображения <р, для кото-
которой <)»0=гш|д и <j»j (Л) = s0. Поскольку пара (X, А) бинормальна,
а сфера 5 является компактным абсолютным окрестностным ретрак-
том, из результатов упр. N гл. I следует, что гомотопия ф, может
быть распространена до такой гомотопии yt: (X, B)->(Sm, s0),
0^.t ^1, что <рй = <р- Рассмотрим отображение (рг Так как <р2 ^—— <р.
то классом этого отображения является элемент а. С другой сто-
стороны, так как <pj (A) = <j», (A) = s0, то отображение <pj определяет
некоторый элемент ф?пт(Х, А), причем т*(р) = а. ¦
В упр. В в конце этой главы будут приведены примеры, пока-
показывающие, что вложения* E) и F), вообще говоря, места не имеют.
При некоторых дополнительных условиях мы докажем их в п. 8 и
п. 9 соответственно*
7. Основная лемма
Лемма 7.1. Пусть А — произвольный 2т-косвязный (конечный)
полиэдр, и пусть X — конус над А с вершиной v. Тогда погранич-
пограничный оператор Ь отображает группу пт (А) на группу rcm+1 (Л", А).
Доказательство. В первую очередь мы рассмотрим случай, когда
либо dim А ^ 2т — 1, либо т = 1.
Пусть a^itm+I(^, А), и пусть
/: (X, A)->(Sm+\ s0)
— произвольное отображение класса а. Триангулировав сферу 5m+1
таким образом, чтобы 1) точка s0 была вершиной этой триангуляции,
2) сфера Sm представляла собой ее подразбиение и 3) северный
полюс и сферы Sm+1 являлся внутренней точкой некоторого
(«+ 1)-мерного симплекса, не принадлежащего звезде точки s0, мы
ввиду классической теоремы о симплициальной аппроксимации можем
считать, что / представляет собой симплициальное отображение
29it Га VII. Когомотопические группы
некоторой конечной триангуляции пары (X, А) на эту триангуляцию
пары E". s0). При этом триангуляцию пары (X, А) мы можем
выбрать так, чтобы конус К над Bт— 1)-мерным остовом В== А т~х
разбиения А являлся подразбиением разбиения X. Пусть
ср: (К, B)MSm+\ s0)
— ограничение отображения / на паре (К, В). Поскольку отображе-
отображение ср симплициально, а точка а является внутренней точкой некото-
некоторого (/м-(-1)-мерного симплекса триангуляции сферы Sm+1, прообраз
С = у~1(и) точки и при отображении ср имеет размерность не боль-
большую, чем т. Кроме того, ясно, что В(\С = 0.
Пусть 9 : В X I ->К — отображение отождествления, посредством
которого мы из призмы fix / получаем конус /С. Это отображение
переводит верхнее основание В X 1 призмы В X. I в вершину v,
а остальную часть этой призмы гомеоморфно отображает на К \v.
В частности, любая точка множества C\v единственным образом
представляется в виде 6 (d, f), где d?B, 0<*<Ч. Так как мно-
множество С компактно и не пересекается с В, то существует такое
положительное действительное число г < 1, что числа t, для которых
6(d, t)?C, удовлетворяют неравенству г ^.t < 1. Кроме того, мно-
множество D точек d?B, для которых 6 (d, t) ? С, замкнуто и его раз-
размерность меньше, чем т (ибо dimC<m). Пусть Е — множество всех
точек 6(d, t), для которых d?D и г<^<;1. Ясно, что
СсЕ, В(\Е = 0, dim?'<m.
Для доказательства леммы 7.1 нам понадобятся некоторые гомо-
топии отображения 9. Построение этих гомотопий мы опишем лишь
вкратце, отсылая читателя за деталями к статье Спаньера (см. Спа-
ньер [1], стр. 299).
Так как dim E < т, то отображение <р гомотопно относительно В
такому отображению ф: (К, B)->(Sm+1, s0), что ф(и) = С и
') Пусть U — такая сферическая окрестность точки s0 в сфере Sm+1, что
U, и пусть
N' = E(\N.
Так как dim М' < dim О, то существует такая гомотопия at: M'->U, 0<<< 1,
отображения <р 1^., что «((M')czU \ U и o<|jy> === <Р 1у\г' для всех '€/• Мы
распространим эту гомотопию иа M'\}N\}B, считая, что at\Ni\B = 4\ 11
для всех tdl. Поскольку мйожество 1Г(гомеоморфное (т -\- 1)-мерному шару)
стягиваемо по себе в точку, гймотопию at можно распространить до некото-
некоторой гомотопий $t '• М -> U отображения у \м. Определим, наконец, гомотопию
7. Основная лемма 299
Так как so(fcty(E). то в конусе К существует такое открытое
множество W, что EcW н «0 <? Ф (Ю- Пусть р: K->f — такая непре-
непрерывная действительная функция, что р~1@) = ? и p~1(\) = K\W.
Протаскивая ф (Е) к точке и по лучам евклидова пространства Sm+l \ s0
со скоростью, определяемой функцией р, мы получим такое отображе-
отображение х: (К> B)-*-(Sm+1, s0), гомотопное относительно В отображе-
отображению ф, что х (и) = Е').
Аналогичным образом, используя действительную непрерывную
функцию "ц: К->1, для которой ri~}@) = D, мы можем построить
отображение-'Ж: (К, В)->(К. В), переводящее множество Е в вер-
вершину v, отображающее К\Е гомеоморфно на K\v и гомотопное
относительно В тождественному отображению. Ясно, что отображе-
отображение % = -^М~1 :{К, B)-*-{Sm+}, s0) гомотопно относительно В ото-
отображению х> причем х (u)===v.
Поскольку х (•») = «, существует такое положительное действи-
действительное число s< 1, что при s^f.^1 и всех х?В точка иВ(х, t)
принадлежит северной полусфере Е^+г. Пусть
Р={Ь(х, t)\x?B, s<f<l},
Ясно, что %(P)czE++1 и %(Q)c:Sm+1\sQ. Протаскивая %(Q) вдоль
геодезических дуг по направлению от северного полюса до тех пор,
пока Q не отобразится в южную полусферу E"L+1, мы получим такое
отображение
X: (К. fi)->EOT+1, 4
гомотопное относительно В отображению х, что X (Р)сЕ™+г и
^+1
Поскольку ср~ф~Х~*"""*'^ге1 Я- из аксиомы о распространении
гомотопии следует, что в классе а существует такое отображение /,
что /|^. = X и потому
/(P)c^+1, f(Q)cEi+1, /(PnQ)c5m.
Наша цель состоит в том, чтобы построить такое отображе-
отображение g: А -*¦ Sm, для класса р ^ тс (А) которого имеет м есто равен
1t:X-+Sm+l отображения <р, считая, что 7,|ж = ^ и Т<|ххж = <Р1х\ж Для
всех t. Ясно, что отображение <\> == fj обладает всеми нужными свойствами. —
Прим. ред. ^
') Отображение \ переводит каждую точку х?К в точку х(х)> делящую
в отношении A—p(*))/p(jc) отрезок евклидова пространства Sm+1 \ s0, соеди-
соединяющий точки ty(x) и и, а гомотопия Н: /СХ I-+Sm+1, связывающая ото-
отображения ф и х> линейно отображает каждый отрезок хУС.1, х^К, на отре-
отрезок, соединяющий точки ф (х) и х (х)- ~ Прим. ред.
360 Гл. VII. Когомотипические группы
ство 8(Р)=а. Рассмотрим отображение fi: B->Sm, определенное для
всех точек х ? В формулой ц (х) = /6 {х, s). Если dim Л< 2т — 1, то
В = А и мы положим g" = |A. Пусигт=1. Поскольку отображе-
отображение / определено на всем пространстве X, препятствие с2(|а) к рас-
распространению отображения р, равно нулю (см. гл. II, упр. D) и,
следовательно, это отображение 2-распространимо на Л. Поэтому,
согласно следствию 7.4 гл. II, отображение ц обладает распростра-
распространением g: A -> Sm.
Для того чтобы доказать равенство 8(C) = а, где Р?гс"*(Л)—
класс отображения g, мы рассмотрим отображение А: (/С, ?)->
->(E++1, Sm), определенное формулой Л9(х, t) = /Q(x, s-\-t — st),
х?В, t?I. Поскольку h\B = g\B, это отображение обладает рас-
распространением k: К [) Л->?*?+1, для которого k (х) == g (x) при х? А
и k(x) = h(x) при х ^К- Согласно теореме распространения Титце, ото-
отображение k распространимо до некоторого отображения g# : (X, Л)->
->(?'7+1> Sm)- Компонируя это отображение с построенным в п. 4
относительным гомеоморфизмом ?,, мы получим отображение
Так как g#\A = g, то, согласно п. 4, отображение /tt принадлежит
классу 8ф).
Докажем, что отображения / и /tt гомотопны относительно Л.
Так как ?tt|^. = A. то /1*~^А = /tt|*relВ и потому /\кцА~
~/ /** |^. м А rel Л, ибо /(Л) = ^о = / (Л). Поскольку конусы над
симплексами разбиения А составляют триангуляцию пространства X,
для которой Х2"* U Л = К U Л, отсюда следует, что отображения /
и /** 2т-гомотопны относительно Л. С другой стороны, так как
пространство А по условию 2т-косвязно, а пространство X стяги-
стягиваемо по себе в точку, то пара (X, Л) Bж-|-1)-косвязна. Поэтому,
согласно предложению 11.2 гл. VI, отображения / и /** гомотопны
относительно А.
Тем самым, в частном случае, когда либо с!1тЛ<2/м—1, либо
/м = 1, лемма 7.1 полностью доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда пространство А односвязно
(ит>1).
Оказывается, что в этом случае пространство А' доминируется
своим B/м— 1)-мерным остовом В. Действительно, так как 2т—1 ^-3
и пространство Л о'дносвязно, то пространство В также односвязно
и потому пара (Л, В) я-проста для каждого п~^-2т. Поскольку для
любого п~^-2т имеет место равенство
Я" (А, Л2л1-2) = Яя(Л) = 0.
'¦ 7. Основная лемма 301
препятствия . к деформации: в пространство В отображения вложения
е: (А', А**-*)с:(А. В)
(см. гл. VI, упр. Е) все равны нулю и потому это отображение
деформируемо в В. Следовательно, существует такое отображение
у. А->В, что его композиция tj с отображением вложения /: ВсА
гомотопна тождественному отображению пространства А. Но это и
означает, что пространство А доминируется пространством В.
Поскольку пространства X я К являются конусами над простран-
пространствами А и В соответственно, отображения Л j обычным способом
можно распространить до некоторых отображений
Ъ (К, В)->(Х, А), Ь {X. А)->(К, В),
также обладающих тем свойством, что композиция lj гомотопна
тождественному отображению пары (X, А). Следовательно, имеет
место коммутативная диаграмма
тс™ (А) 1-—-»¦ *т (В) ? > тс1" (А)
Поскольку dim В ^ 2т — 1, то, по доказанному выше, оператор 8
отображает группу icm(fi) на группу it"+1 (/С, В). Поэтому для любого
элемента а^«*+1(^, А) существует такой элемент ^«"(В), что
8<т) = ? (а). Пусть р = Г (Т) € ** D)- ТогДа
8 (?) = ЬГ (т) == ?Ь (Т) = /? (а) = а.
Тем самым лемма 7.1 полностью доказана и для случая, когда
т> 1. а пространство А односвязно.
Докажем теперь лемму в общем случае. Пусть А'сХ—объеди-
А'сХ—объединение разбиения А с конусом над его одномерным остовом. Это
объединение очевидно односвязно и 2т-косвязно. Рассмотрим ото-
отображения вложения k: Ac А', %'. (Л", А)с(Х, А') и соответствую-
соответствующую коммутативную диаграмму
(X, A') -SU тс«+1 (X, А).
Так как <Нт(Д'\Д)<;2 н т+1>2, то отображение ** эпи-
морфно. Пусть X'—конус над А'. Так как пара (А", А') гомотопн-
чески эквивалентна паре {X1, А'), а пространство А' односвязно и
/
302 Гл. VII. Когомотопические Группы
, 2/к-косвязно, то оператор 8 отображает группу кт(А') на группу
кт+1(Х, А'). Следовательно, оператор 8 отображает группу ит(Л)
на группу т:т+1(Х, А), Ш
8. Вложение (в)
Тройку (X, А, В) мы будем называть (конечно) триангулируе-
триангулируемой, если существует такая конечная триангуляция пространства X,
что подпространства А к В являются ее подразбиениями.
Лемма 8.1. Для любой триангулируемой тройки (X, А, В),
для которой пара (А, В) 2т-косвязна, имеет место вложе-
вложение F) из п. 6, т. е. в последовательности
ъ>п(А, В) —-»¦ кт+1(Х, А) -?->¦ Km+liX, В)
образ отображения Ь* содержит ядро отображения j*.
Доказательство. Для любого подмножества К пространства X
мы положим
Пусть /: (X, А, В)-*(ХГ X^Aq^B,, X1UВ,) — отображение,
определенное равенством f(x)==(x, 0) для всех х?Х, и пусть
flSSBf\{A, BV fa — fkx,AV
Так как /j представляет собой отображение вырезания, соответ-
соответствующее вырезанию подпространства (В, \ Во) U Xt из пространства
^iU-^oll5/. то, 'согласно следствию 3.3, отображение /* биективно.
С другой стороны, ясно, что
Поскольку, согласно П. 3 и п. 4, имеет место коммутативная диа-
диаграмма
, В) ->¦ Tt™+l(X, A) -?-» пт+ЧХ, В)
•i
it" (Хх иЛи В,, Хх U В,) -1». тс^+1 (X,, Xv[} Ао U В,),
отсюда вытекает, что для доказательства леммы 8.1 достаточно
доказать, что кограничный оператор Ь* надъективен.
Пусть g\ (XiUA,, Хг\] A0UB,)<-(Xr ХгЦ А0[}В,) — отображе-
отображение вложения. Так как, согласно предложению 10.1 гл. I. простран-
пространство Хх U А, представляет собой деформационный ретракт про-
\ 8. Вложение F) 303
странства X,, то индуцированное вложением g отображение g*
биективно. Поскольку имеет 1*есто коммутативная диаграмма
\
\B,, X1UBj^ -^-> ¦кт+1(Х1, Х1[]А0[}В1)
отсюда следует, что нам достаточно доказать надъективность когра-
ничного оператора SJ.
Стянув множество В в точку q, а-множество Х^ — в точку г,
рассмотрим соответствующее отображение отождествления
A: (X.UA,, X.UAoUB,, X^B,)-*^, ABUq, q)
(здесь символом К, где К — некоторое подпространство простран-
пространства Ла = Л, мы обозначаем соединение пространства К с точкой г,
а символом Лв — множество Ло, в котором подмножество Во стянуто
в точку q). Пусть
Так как, согласно п. 3 и п. 4, имеет место коммутативная диаграмма
U ^
4
¦ -m^'AB, AB\jq),
а согласно теореме 3.2, отображения А* и h\ биективны (ибо ото-
отображения At и А2 являются относительными гомеоморфизмами), то
для доказательства леммы достаточно доказать, что оператор 8*
надъективен.
Рассмотрим отображение вложения
k : (Ав, Ав, 0)с(Ав, AB[}q, q)
и его ограничения kl = k\(A 0. и k2 = k\,^ A у Ясно, что имеет
место коммутативная диаграмма
[}q, q) -i> «"+* (Ав, AB\jq)
. Ав).
304 Гл. VII. Кргомотопические/группы
Пусть а?ят(Лв), и пусть y:-AB-*Sr — произвольное отображе-
отображение класса а. Поскольку сфера Sm линейно связна, мы можем считать,
что <р (q) = s0. Но любое такое отображение <р единственным образом
распространимо до некоторого отображения у: (Ав U q, q)~* (Sm, s0).
Поэтому отображение k* надъективно. С другой стороны, так как
пространство Ав является сильным деформационным ретрактором
пространства Ав U q, то отображение А* биективно. Поскольку
пара (Л, В), по условию, 2/к-косвязна, пространство Ав также
2т-косвязно, и потому, согласно лемме 7.1, отображение Ь* надъек-
надъективно. Следовательно, отображение 8* = А*~ 18*А* также надъективио. ¦
9. Вложение (б)
Лемма 9.1. Для любой триангулируемой тройки (X, А, В)
для которой пара {X, А) 2т-косвязна, имеет место сложе-
сложение E) из п. 6. т. е. в последовательности
кт(Х, В) —-» те«(Д, В) —¦+ кп+ЦХ, А)
образ отображения i* содержит ядро отображения Ь*.
Доказательство. Пусть а — такой элемент группы it™ (Л, В), что
8*(а) = 0, и пусть <р- (A,- B)-*(Sm, s0) — произвольное отображение
класса л. Мы должны доказать, что отображение <р можно распро-
распространить на все пространство X.
Пусть Х" = Х"[} А, где Хп — л-мерный (л^-0) остов некоторой
триангуляции пространства X (относительно которой подпростран-
подпространство А является подразбиением). Ясно, что отображение ср может
быть распространено на подпространство Хт. Пусть отображение <р
уже распространено до некоторого отображения <ря: (Хп, B)-*(Sm, s0),
где т < » < 2т — 1. Рассмотрим отображения вложения
(Л, В) -^ч, (Хп, В) -is-> (Xя.. Л) -^-» (X, А) -%¦ (X, X")
к пограничные операторы Ь , Ь\, 82 из диаграммы
т(Хп B)Zm(A, В)
4N. Л ,. Л
")-2+*т+\х, Л).
Эта диаграмма обладает следующими свойствами:
a) 8**я = А*82; см. п. 3 и д. 4.
b) hjn==bi, - по определению операторов 8j и 8j.
9. Вложение E) 305'
c) Im (8t) = Ker(k*a); \ см. п. 6 и п. 8.
d) 1т(/я) = Кег(/'я); \ _ см. п. 6.
Пусть р — элемент множества кт(Хп, В), определенный отобра-
отображением сря. Так как отображение срл является распространением ото-
отображения ср. то /„(Р) = а, и потому
А>2 (р) = 8*/: (>) = 8* (а) = 0.
I
Следовательно, согласно свойству (с), существует такой элемент
1 ? и™ (Хп, Л^что Ь\ G) = ? (Р). Так как dim (X" \ А) = п < 2т — 1
и пара (^, X") 2/м-косвязна, то, согласно теореме 5.2, множе-
множества ^(Х", А) и пт+1(Х, Xя) являются абелевыми группами. Кроме
того, легко видеть, что отображение 8j является гомоморфизмом
(см. доказательство предложения 5.6). Следовательно,
Пусть ф: (Xя, А) -> E™. s0)—произвольное отображение класса — у,
и пусть / = <ря X ф- Так как / (А) с 5™ X *0 <= 51" V -S1". то, согласно
лемме 5.1, отображение / гомотопно относительно А такому ото-
отображению g, что g(Xa) a Sm V S. Рассмотрим составное отображение
X=*jg'-(X", B)-*(Sn. s0),
где j: Sm V Sm¦-*¦ Sm — отображение, определенное в п. 5. Так
как g\A = f\A и <|)(Л) = $0, то хи = ?я|д==?- Следовательно, ото-
отображение ? также является распространением отображения «р на X".
Пусть P'^icm(A"e, В) — его класс. Рассуждая так же, как при доказа-
доказательстве предложения 5.5, мы без труда получим, что
т. е., согласно доказанному выше, что (р)
Пусть отображение /„: iP_(X, Хп)->тгт{^п+\_](п) индуцировано
вложением, и пусть 8^: %т(х", В)^-т:п+1(Х''+\ Xя) — кограничный
оператор. Тогда 83=/Я82 и, следовательно, 8з(р) = 0. Согласно
результатам упр. D в конце главы, из этого равенства вытекает,
что отображение ^ может быть распространено до некоторого ото-
отображения сря+1 на Ха+1.
Поскольку число л являлось в этом рассуждении произвольным
целым числом, подчиненным неравенствам т < п < 2т — 1, тем самым
по индукции построено распространение <p2)n_i отображения ср
на X т~1. Так как пара (X, А), по условию, 2/»-косвязна, то ото-
отображение tp2m^-i может быть распространено на все X. Следова-
Следовательно, элемент а содержится в образе отображения Г. ¦
20 Ху Сы-цзяв
6 Гл. VII. Когомотопическйе группы
Объединяя утверждения теоремы 6.1 ;( лемм 8.1 и 9.1, мы полу-
получаем следующую теорему:
Теорема 9.2. Если тройка (X, AJВ) триангулируема и
На(А, В) = 0^/Нп(Х, А)
для всех п ^ 2т, то отрезок
кт(Х, А)^+ът(Х, В)-^-+кт(
-¦«•»+»(*, В) —-*...
когомотопической последовательности обладает свойством
точности.
Следствие 9.3. Если пара (X, А) — триангулируема и
Н" (А) = 0 = Н" (X, А) для всех л>2/ге, то отрезок
'. А)-?+
когомотопической последовательности обладает свойством
точности.
10. Когомотопическйе группы в высших размерностях
Теорема 10.1. Если клеточная пара (Х< А) т-косвязна,
то пт(Х, Л) = 0.
Доказательство. Так как сфера S (т— 1)-косвязна, то любые два
отображения ср, ф:- (X, A)->(Sm, s0) (m — 1)-гомотопны, а потому,
согласно следствию 11.3 гл. VI, и просто гомотопны относи-
относительно А. Ш -
Значение этой теоремы состоит в том, что она обеспечивает
конечность когомотопической последовательности любой (конечной)
клеточной тройки (X, А, В), т. е. тот факт, что, начиная с неко-
некоторого места, все члены этой последовательности становятся рав-
равными нулю.
Следствие 10.2. Если триангулируемое пространство X
т-косвязно, то пт(Х) = 0.
В частности, из этого следствия вытекает тот очевидный факт,
что для пространства X, состоящего из одной точки пр.и любом т > 0,
имеет место равенство um(^) = 0. Заметим, что для т = 0 это
неверно: множество ifi(X) состоит, очевидно, из двух элементов.
11. Связь с группами когомологий
В п. 4 гл. V мы построили некоторый естественный гомомор-
гомоморфизм hm (гомоморфизм Гуревича) гомотопической группы пт(Х, А)
в группу целочисленных гомологии Нп(Х, А). В этом пункте
//. Свкаь с группами когомологий 307
мы построим аналогичное отображение
hm: ««(A1. А)^Нп(Х, A; Km(Sn, s0)), т > О,
где Нт{Х, A; T:n{Sm, s0)) -Лгруппа сингулярных когомологий
пары (X, А) с коэффициентам» в группе icOTE'", s0), являющееся
гомоморфизмом, когда пара (X, \4) клеточна и Bт— 1)ткосвязна.
Так как группа i:in(Sin, s0) является свободной циклической груп-
группой и тождественное отображение сферы Sm определяет некоторую
ее образующую, то эту группу мы можем естественным образом
отождествить с группой Z целых чисел и, следовательно, группу
когомологий Нт(X, A; Km(Sm, s0))— с группой Нт(Х, А).
€'"S'" )
m 0
Пусть Xm€^'"('S'"' *o) — характеристический класс когомологий
сферы Sm; см. п. 17 гл. VI. Очевидно, что этот класс
является не чем иным, как образом при гомоморфизме Гуревича
hm: i:m(Sn, so)-*Hm(Sn, s0) образующей группы i:m(Sm, sQ) = Z,
и потому сам является образующей (ибо, согласно теореме Гуревича
из п. 4, гл. V, гомоморфизм hm является изоморфизмом).
Мы определим естественное отображение hm, полагая
где а—произвольный элемент группы кт(Х, А), а ср: (X, A)->(Sm, s0)—
произвольное отображение класса а. Это определение корректно, так
как, согласно аксиоме гомотопии теории сингулярных когомологий,
гомоморфизм
f:Hn(Sn, so)-*Hm(X, A),
индуцированный отображением ср, зависит только от класса, а.
Предложение 11.1. Если пара (X, А) клеточна(и Bт — 1)-
косвязна, то отображение hm является гомоморфизмом.
Доказательство. Пусть
Г : Нт (Sm, *„) -> Нт (Sn V Sn, (s0, s0)),
k*: Hm(SnXSn, (s0, so))^Hm(SmVSn, (s0, s0)
— гомоморфизмы, индуцированные проекциями pt: Sm XSm->Sm,
/ = 1, 2, отображением j: Sm\/ Sm->-Sm, определенным в п. 5, и
отображением вложения k: Sm V Sm <= Sm X Sm. Ясно, что
Пусть а, $?ът(Х, А), и пусть ср, <|>: (A". A)-*(Sm, sQ)~произ-
sQ)~произвольные отображения классов а и р соответственно. Так как, согласно
лемме 5.1, отображение ср X ф гомотопно относительно А некоторому
20»
308 Гл. VII. Когомотопические /руппы
отображению g: (X, А)->(Sm V Sm, l/Q, $0)), то f^pfigtel A
и ф<~р2А# rel А. Следовательно,
С другой стороны, так как отображение jg: (X, A)-+(Sm, s0)
принадлежит, по определению, классу a—J- р. то
hm(
Следовательно, A'"(a + P) = hm(a.)-+-h
Предложение 11.2. Для любого отображения /: (X, A)->(Y, В)
имеет место коммутативная диаграмма
A)<rf—t:m{Y, В)
I'*" \нт
Нт(Х, A)+f—Hn(Y, В).
Доказательство. Пусть a^icm(K, В), и пусть ср: (К, B)->(Sm, s0) —
произвольное отображение класса а. Тогда составное отображе-
отображение ср/ принадлежит классу /*(<*), и потому
Предложение 11.3. Для любой бинормальной пари (X, А)
имеет место коммутативная диаграмма
тс"»(Л)—?->icm+1(A', A)
\нт \hm
Ят(Л)—^¦Ят+1(А', Л).
Доказательство. Рассмотрим отображения
Я'"E'п, «0)-?-%Я;п+1(?++1. Sm)^-
где ?, — построенное в п. 4 отображение. Из определения харак-
характеристических классов хт непосредственно вытекает, что 8*(^) =
Пусть а?пт(А), и пусть <р: A ->Smт-произвольное отображение
класса а. Так как (см. п. 4) элемент 8 (а) представляет собой класс
отображения ЭДк (X, A)-*(Sm+1, s0), где <|>:. (X, A)->{E%+\ Sm)~
12. Свя&ь с гомотопическими группами ' 309
произвольное распространение отображения <р> то
Из этих двух предложений непосредственно вытекает
Предложение 11.4. Для любой бинормальной тройки (X, А, В)
естественные отображения hm, /и= 1, 2, .... составляют ото-
отображение когомотопической последовательности этой тройки
в ее целочисленную когомологическую последовательность:
| \hm \нт \нт
Н\Х. Ау-»...->Нт(Х, Ау->Нт (X, В)->Нт{А,
Заметим, в заключение, что из теоремы 16.6 гл. VI немедленно
вытекает
Теорема 11.5 (теорема X о пфа). Для любой (т-\- 1)-косвяз-
ной (т > 0) клеточной пары (X, А) отображение hm является
изоморфизмом группы ът\Х, А) на группу Нт(Х, А).
Таким образом, для любой (от+ 1)-косвязной клеточной пары (X, А)
имеют место соотношения
А)^Нт(Х, А), п"(Х, Л) = 0 при п>т.
12. Связь с гомотопическими группами
Ясно, что для любых пат множества ияEда, $^ и umE", s^
тождественны друг другу, т. е. состоят из одних и тех же элементов.
Если п^.2т — 2, то, согласно п. 5, множество um(S", s0) является
группой, в то время как множество itn(Sm, s0) является группой
для любых пит. Покажем, что при л <; 2т — 2 множества ия (Sm, $0)
и umE", ^0) совпадают и как группы.
Пусть а, р — произвольные элементы группы itmE", s0). Ясно,
что существуют такие отображения ср, ф: (S", so)->(Sm, s^ клас-
классов аир соответственно, что
где ?м- и Е- — северная и южная полусферы сферы 5" соответ-
соответственно. Тогда отображение # = (рХф переводит пространство X
в букет Sm V Sm и класс составного отображения Jg, где j — по-
построенное отображение из п. б, представляет собой сумму элемен-
310 Гл. VII. Когомотопические группы
тов а и р в группе icm(S", s0). С другой, стороны, так как
?(¦*)¦ если х?Е+,
если
то класс отображения jg представляет собой сумму элементов аир
также и в группе я„ (Sm, s0). Тем самым доказано следующее
Предложение 12.1. Когомотопическая группа %m(Sn, s0) со.в-
падает с гомотопической группой nn(Sm, s0), т. е.
*m(Sn, so) = ?n(Sm, s0).
Пусть теперь (X, А) — произвольная пара, и пусть хо?А. Для
любых элементов <*?кт(Х, А, х0) и P?ic"(Ar, А) составное ото-
отображение ф?. где
9= {Im< Im~l> Jm-l)-*(X, А, х0),
<|>: (X, Л)->E", s0)
— произвольные отображения классов аи^ соответственно, пред-
представляет собой отображения пары (/т, д/т) в пару EЛ, s0) и потому
определяет некоторый элемент [ф, ср] группы Km{S", s0). Этот эле-
элемент зависит только от элементов а и C, и мы будем его обозна-
обозначать символом р о а и называть композиционным произведением
(или просто композицией) элементов аир. При т = п произведе-
произведение Р»а принадлежит группе icmEm, s0) и, следовательно, может
рассматриваться как целое число.
Из определения сложения в группах кт(Х, A, s0) и icmE", s0)
немедленно вытекает
Предложение 12.2. Для любых элементов av а.2?кт(Х, А, х0)
и р?тсп(^. А) имеет место равенство
Покажем теперь, что если выполнены предположения п. 5, при'
которых множество я" (X, А) является группой, то справедливо сле-
следующее
Предложение 12.3. Для любых элементов a.?i:m(X, A, jcq)
и Pj. р2^1ся(Аг, А) имеет Место' равенство
Доказательство. Пусть отображение ср: (fm, Im~l, /n~1)^-(-Y, A, x0)
принадлежит классу а, а отображения ф^ ф2: (X, A)—>(S", sQ)
принадлежат классам Pj и р2 соответственно. Согласно лемме 5.1,
отображение <]>! X фг гомотопно относительно А некоторому отобра-
отображению g: (X, А)-> (S" V S"¦ Xso> so))> причем, по определению,
Упражнения 311
элемент Р, + р2 является классом отображения'/?, и потому эле-
элемент (Pi-|-f}2) о а — классом отображения jgy. Аналогично элемент
Pjoa-j-^0* является классом отображения /А, где А : (/т, д/т)->
->E" V S", (s0, s0)) — произвольное отображение, гомотопное отно-
относительно д1т отображению ^«р X Фг?- Но
'йТ: (/m. dIm)-»(Sn, sQ),
и потому за отображение А мы можем принять отображение gy. ¦
Объединяя предложения 12.2 и 12,3, мы можем сказать, что
композиционное произведение представляет собой гомоморфизм
7V(*. А, хо)®кп(Х, A)->*m{Sn, s0).
Доказательства следующих двух предложений мы оставляем
читателю:
Предложение 12.4. Для любого отображения /: (X, А, х0) ->
->(Y, В, у0) и произвольных .элементов а.?пт(Х, А, х0), Р?ял(К, В)
имеет место равенство
Другими словами, индуцированные отображения f* и /„ двой-
двойственны друг другу.
Предложение 12.5. Пусть (X, А, В) — произвольная бинор-
бинормальная тройка, и пусть хо?В. Тогда для любых элементов
а^'кт(Х, А, х0) и р^1сп-1(Л, В) имеет место равенство
где Е: nm-i(S"~l)—>-Km(S") — надстроечный гомоморфизм Фрей-
денталя; см, п- 11 гл- V.
Таким образом, в случае когда гомоморфизм S является изомор-
изоморфизмом, операторы д, и 8* можно рассматривать как отображения,
двойственные друг другу.
УПРАЖНЕНИЯ
А. Обобщение на компактные пары
Ради простоты большинство результатов в этой главе сформули-
сформулировано и доказано для триангулируемых пар. Однако с помощью
теории спектральных когомологий почти все эти результаты могут
быть без большого труда перенесены на любые конечномерные ком-
компактные пары (X, А), т. е. на пары, для_которых пространство X
является конечномерным компактным хаусдорфовым пространством,
а подпространство А — его произвольным замкнутым подпростран^
ством. Мы будем говорить, что такая пара {X, А) п-косвязна, если
312 Гл. VII. Кого'мотопические группы
для всех q^n, группа целочисленных спектральных когомоло-
гий Н9(Х, А) равна нулю.
Докажите, что для любой B/га — 1)-косвязной конечномерной
пары (X, А) методы п. 5 позволяют ввести в множество пт(Х, А)
коммутативную групповую операцию; см. Масси [1], стр. 283. Дока-
Докажите также, что для любых конечномерных компактных пар инду-
индуцированные отображения /* и пограничный оператор 8 являются
гомоморфизмами, если только выполнены соответствующие условия
косвязности.
Иной подход к построению групп пт(Х, А) возможен для ком-
компактных пар (X, А), для которых dim X < 1т — 1. Пусть а = [U] —
произвольное конечное открытое покрытие пространства X, Ка — его
геометрический нерв и La — геометрический нерв открытого покры-
покрытия а П А = {U П А] пространства А. Поскольку dim X < 1т — 1,
конечные открытые покрытия а пространства X, для которых
dim Ка < 1т — 1, образуют конфинальное подмножество М напра-
направленного множества всех открытых покрытий пространства X. Так
как (Ка, ?„) представляет собой конечную симплициальную пару,
то для каждого покрытия а?М множество кт(Ка, La) является
абелевой группой, и, как легко видеть, семейство {^(/С., ?j|a?M}
этих групп является прямым спектром.
Докажите, что группа те1" (А", А) изоморфна предельной группе
этого прямого спектра; Спаньер [1], стр. 277.
Это означает, что когомотопические группы удовлетворяют
аксиоме непрерывности. Используя это обстоятельство, можно легко
перенести результаты, доказанные для конечных триангулируемых
пар, на любые компактные пары (X, А), для которых dim X < 1т — 1.
Сделайте это по отношению к следствию 9.3.
В. Связь с надстроечным гомоморфизмом Фрейдеиталя
Рассмотрим отображения вложения р: (Sm+\ so)c(Sm+\ Ei+1)
и q: (E++l. 5ra)c:Ein+1, ?™+1). Согласно следствию 3.3, отобра-
отображение q* биективно, так что определено обратное отображение 0*.
Докажите, что имеет место следующая коммутативная диаграмма
Jw
", so)—
где Е — надстроечный гомоморфизм. Так как отображение р* также
биективно, коммутативность этой диаграммы означает, что когра-
ничный оператор 8* совпадает, по существу, с гомоморфизмом Е.
Упражнения 313
Рассмотрим следующий отрезок когомотопической последователь-
последовательности тройки (Е++\ 5ш, s0):
Так как полусфера ?++l стягиваема по себе в точку, то Im/* = 0
и Кег/ = тея+1(?++\ Sm). При т,= 2 и я=1 это показывает, что
в рассматриваемом случае вложение F) из п. 6 места не имеет,
ибо Tzi(S1) = O, в то время как tc3(S2)«Z. Аналогично при т = Ъ
и я = 2 не имеет места вложение E) из п. 6, ибо ir4(S3)«Z2,
в то время как ir3S2
С. Связь с группами коцепей
Пусть (К, L) — произвольная клеточная пара, и пусть а—произ-
а—произвольный элемент множества n"(f(m, /С1"), где, как обычно, Кт—
=Кт U L. Выбрав в классе а произвольное отображение <р: (&т. Кт~г)->
->E", s0), рассмотрим для любой клетки о™?/С отображение <pt =
— <р|/ т дт\ Это отображение определяет некоторый элемент [cpj
группы «mEn, s0), зависящий только от элемента а и клетки af.
Положив ф (а) (о™\ = Г<рЛ, мы получим, следовательно, некоторую
m-мерную коцепь ф(а) пары (К, L) с коэффициентами в группе
Докажите, что множество %я\Кт,Ч(т ) является абелевои груп-
группой относительно сложения, определенного по методу п, 5, и что
соответствие а-».ф(а) определяет изоморфизм
ф: ъпЩт, Rm-l)~Cm(K, L; «ИEЯ, s0)).
Докажите также, что этот изоморфизм перестановочен с гомомор-
гомоморфизмами, индуцированными непрерывными отображениями, и что имеет
место коммутативная диаграмма
г{кт, к1*-1)—-—¦*«п+1{кт+\ кт)
¦ Г
Ст (К. L; ЯщE«. so))^Ucm+1 (К. L; «га+1Eя+1. s0)).
D. Связь с теорией препятствий
Пусть (К, L) — произвольная конечная_клеточная пара, и пусть
а — произвольный элемент множества тс" (Л1). Выбрав в классе а
некоторое отображение <р* /Cm->5", рассмотрим препятствие
, L; «.(S-." So))
314 Гл. VII. Когомотопические группы
к распространению отображения <р; см. п. 3 гл. VI. Ясно, что это
препятствие зависит только от элемента, а.
Докажите, что
где 8: кп(кт)-+ izn+l(l(m+\ Km)~кограничный оператор, ф —по-
—построенный в упр. С изоморфизм, а Е — гомоморфизм групп коцепей,
индуцированный надстроечным гомоморфизмом групп коэффициентов.
Таким образом, в случае когда гомоморфизм S является изоморфиз-
изоморфизмом, коцепь ф8(а), по существу, совпадает с препятствием ст+х (ср).
В частности, отображение <р тогда и только тогда обладает распро-
распространением на Кт+1, когда элемент 8 (а) является нулем множества
кп+1(кт+\ Кт).
Е. Строение группы я"(Х, А)
Для любой Bд—1)-косвязной клеточной пары (X, А) определим
в группе тс"(X, А) последовательность подгрупп
считая, что элемент а группы кп(Х, А) тогда и только тогда при-
принадлежит подгруппе Dmi когда в классе а существует такое отобра-
отображение /: (X, A)-+(S", s0), что f(Xm) = s0. Определите в группе
Нт(Х, A; 'tmE", 50)) такие подгруппы
Р?(Х. A; «m(Sn. «„)) и R"{X, А; «гаEя, 8$.
(см. Ху [6] и Чен [1]), что
Dm- yDm _ jm ^_ д. ^ (^ ^ п = п 2П — 2,
где
/:(Х,А; «m(Sn, so))=P:(X, A; vm(Sn, So))/^ra (X, A; *m{Sn.s0)).
F. Соотношения между гомоморфизмами, индуцированными
непрерывными отображениями
Пусть (X, А) — такая триангулируемая пара, что Нп(Х) — 0 =
= Н" (А) для всех п ^ 2т — 1, где т — некоторое положительное
целое число. Докажите, что следующие утверждения равносильны:
1. Гомоморфизм /*: Н" (X)-*¦ Нп (А), индуцированный отображе-
отображением вложения i: А а X является» изоморфизмом при и > т и эпи-
эпиморфизмом при п = т.
2. Для любого п > т. имеет место равенство Нп(Х, А) = 0.
3. Для любого а > т имеет место равенство icn(X, Л) = 0.
4. Гомоморфизм ?*: к"(X)->ка(А), индуцированный отображением
вложения I: А с: X, является изоморфизмом при п > т и эпимор-
эпиморфизмом при п = т. ' ~-
Упражнения . 316
Далее, пусть X и Y — произвольные Bт — 1)-косвязные триан-
триангулируемые пространства, и пусть f : X—> Y — произвольное отобра-
отображение.
Докажите, что следующие утверждения равносильны:
5. Гомоморфизм /*: Hn(Y)->Hn(X), индуцированный отображе-
отображением /, представляет собой изоморфизм при и > m и эпиморфизм
при п = ш.
6. Гомоморфизм /*: тс"(К)—>iz"(X), индуцированный отображе-
отображением /, представляет собой изоморфизм при и > m и эпиморфизм
при п = т.
ГЛАВА VIII
ТОЧНЫЕ ПАРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Введение
Спектральные последовательности были впервые рассмотрены Лерэ
в спектральной теории гомологии (и когомологий) расслоенных про-
пространств; но они оказались полезными и во многих других вопросах.
Например, Серр, перенеся результаты Лерэ в теорию сингулярных
гомологии и использовав связь между гомотопическими группами и
группами сингулярных гомологии, получил важную информацию
о гомотопических группах сфер. Аналогично Эйленберг, Масси и
Спаньер нашли применение спектральным последовательностям в за-
задаче изучения гомотопических групп полиедров.
Согласно Лерэ, спектральная последовательность
представляет собой некоторую весьма сложную систему групп и гомо-
гомоморфизмов, являющуюся, начиная со второго члена, инвариантом
рассматриваемого расслоенного пространства. Имея чрезвычайно слож-
сложное строение, эта последовательность может быть до конца вычи-
вычислена только в очень частных случаях. Тем не менее почти всегда
из нее можно извлечь много полезной информации и идей для углуб-
углубленного изучения рассматриваемых пространств.
Масси упростил построение Лерэ, вложив произвольную спект-
спектральную последовательность в еще большую, но более гибкую си-
систему, называемую точной парой. В этой главе мы будем излагать
теорию спектральных последовательностей по Масси. Первоначальное
построение Лерэ будет изложено в упр. А. *"
В следующей гл. IX мы, следуя Серру, изложим приложения
спектральных последовательностей к теории гомологии и когомологий
расслоенных пространств. В дальнейшем результаты этой главы
будут использованы при вычислении некоторых групп тст Eя).
2. Дифференциальные группы
Пусть А— произвольная абелева группа. Эндоморфизм
d: А^-А
этой группы мы будем называть дифференциальным оператором,
если
2. Дифференциальные группы 317
т. е. если d [d (а)] = 0 для всех элементов а ? А. Абелеву группу А,
в которой выбран некоторый дифференциальный оператор d, мы
будем называть дифференциальной группой. Ясно, что все диффе-
дифференциальные группы и все их гомоморфные отображения, перестано-
перестановочные с операторами d, составляют некоторую категорию &t
([С —Э], стр. 142), которую мы будем называть категорией диф-
дифференциальных групп.
Если дифференциальные группы А и В обладают тем свойством,
что А С В и отображение вложения /: Лс В принадлежит катего-
категории &а, то группу А мы будем называть подгруппой дифферен-
дифференциальной группы В. В этом случае в факторгруппе С = В\А есте-
естественным образом определяется такой дифференциальный оператор d,
что проекция g: B->C принадлежит категории &d. Снабженную
этим дифференциальным оператором группу С мы будем Называть
дифференциальной факторгруппой группы В по подгруппе А.
Ясно, что имеет место точная последовательность
B.1) Q-+A-Z-+B-Z-+C-+Q.
Обратно, для любой точной последовательности B.1) дифферен-
дифференциальных групп и их отображений группу А можно с помощью
мономорфизма / отождествить с подгруппой группы В, а группу С —
с помощью эпиморфизма g—с дифференциальной факторгруппой В/А.
Для любой дифференциальной группы А мы символом % (А) будем
обозначать ее группу циклов, т. е. ядро оператора d, а симво-
символом g} (А) — ее группу границ, т. е. образ оператора d. Условие
dd = 0 означает, что &(А)с%(А).- Заметим, что группы & (А)
и %(А) являются подгруппами дифференциальной группы А, причем
d = 0 на каждой из них. Факторгруппу
мы будем называть производной группой дифференциальной группы А.
Для нее d — 0.
Для любого отображения /: А-*-В категории i?d из соотношения
df=fd вытекает, что отображение / переводит %{А) в %{В) и
Я'(А)"ъ 98 (В), и потому индуцирует некоторое отображение
Без труда проверяется, что соответствие SB представляет собой
ковариаитный функтор ([С — Э], стр. 146), определенный в катего-
категории &Л и принимающий значения в той же самой категории1).
') Собственно говоря, значения функтора &€ принадлежат категории &
абелевых групп. Однако последнюю категорию можно рассматривать как
подкатегорию категории &а, считая любую абелеву группу дифференциаль-
дифференциальной группой с d — 0. — Прим. ред.
318 Гл. VJJI. Точные пары и спектральные последовательности
Отображения /, g: А-*-В категории &а называются гомотоп-
гомотопными (обозначение /~?). если существует такой гомоморфизм
?: А-+В, что
Гомоморфизм \ называется гомотопией, связывающей отображения /
и g. Если требуется его явно указать, то вместо /~g" мы будем
писать ?: / — g. Легко видеть, что если / — g, то Зв (/) = Зв (g).
Рассмотрим теперь произвольную точную последовательность
объектов и отображений категории a?d. Пусть а ? Зв (С) и пусть
х?%(С) — произвольный цикл класса а. Поскольку отображение g
эпиморфно, существует такой элементу^/?, что g (у) = х. Поскольку
gd(y) = d(gy) = 0, существует такой элемент z?A, что f(z) =
= d(y). Так как fd(z) = d(fz) = 0, то d(z) = 0, и потому элемент z
определяет некоторый элемент fi?J{?(.<4), который, как легко видеть,
зависит только от элемента а. Мы определим отображение
полагая д(а.) — ф. Поскольку дифференциальные операторы на груп-
группах Зв (С) и Зв (А) тривиальны, отображение д принадлежит кате-
категории 8d. Таким образом, в категории &d имеет место треугольная
диаграмма !):
. ?0(Ау-Ш2->Зв(В)
N. /
д\ /Х{
Без труда проверяется, что эта треугольная диаграмма является
точкой диаграммой в том смысле, что ядро каждого ее гомомор-
гомоморфизма совпадает с образом предыдущего гомоморфизма.
3. Градуированные н дважды градуированные группы
Говорят, что абелева группа А градуирована,, если каждому
целому числу п (положительному, равному нулю или отрицательному)
отнесена некоторая подгруппа Ап группы А, причем группа А
является прямой суммой
') Собственно говоря, эта диаграмма является диаграммой в категории
см. предыдущее примечание. — Прим. ред.
3. Градуированные и дважды градуированные группы 319
этих подгрупп. Элементы подгруппы Ап называются при этом одно-
однородными элементами группы А степени п, а сами подгруппы
А„ — однородными составляющими градуированной группы А.
Аналогично абелева группа А называется дважды градуирован-
градуированной, если каждой упорядоченной паре (т, и) целых чисел сопоста-
сопоставлена некоторая подгруппа Лт> я группы А, причем группа А является
прямой суммой
2
этих подгрупп. При этом элементы подгруппы Лгап называются
однородными элементами группы А степени (т, и).
Гомоморфизм /: А-*-В дважды градуированных групп •
т, п т,п ,
называется однородным \ гомоморфизмом степени (р, q), если 1
/ (Аи, я) <— "т+р, n+q ' »
для каждой пары (т, п). Дважды градуированные группы и их одно-
родные гомоморфизмы составляют некоторую категорию &,,, кото-
которую мы будем называть категорией дважды градуированных групп.
Аналогично определяется категория &g градуированных групп.
Если дважды градуированные группы А и В обладают тем свой-
свойством, что Ad В и отображение вложения /: А с В является одно-
однородным гомоморфизмом степени @, 0), то группа называется одно-
однородной подгруппой дважды градуированной группы В. В этом слу-
случае факторгруппа С = В/А естественно изоморфна прямой сумме
групп B^JA „. Отождествив группу С с этой прямой суммой, мы
превратим группу С в дважды градуированную группу, которую мы
будем называть дважды градуированной факторгруппой группы В
по подгруппе А. Ясно, что естественная проекция g: B-*C является
однородным отображением степени @, 0).
Очевидно, что ядро и образ любого отображения категории &ь
являются однородными подгруппами соответствующих дважды градуи-
градуированных групп.
Аналогичные понятия могут быть, конечно, введены и для градуи-
градуированных групп.
В алгебраической топологии мы имеем дело с градуированными V
(или дважды градуированными) группами, снабженными однородным 1
дифференциальным 'оператором. Для таких групп производная группа
также, очевидно, градуирована (или соответственно дважды градуи-
градуирована). Рассмотрим, например, группу С(X) всех сингулярных цепей
пространства X с целочисленными коэффициентами; см. [С—-Э],
320 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
стр. 234. Эта группа С(Х) естественным образом градуирована:
где Сп(Х) — группа л-мерных цепей при к^О и Сп(Х) = 0 при
л<0. Граничные гомоморфизмы д: Сп(Х)-*-Сп_1(Х) определяют
однородный дифференциальный оператор
d = d: C(X)-*C(X)
степени —1. Ядро Z(X) и образ В(Х) этого оператора являются одно-
однородными подгруппами градуированной днфференциалъной группы С (X)
и потому также градуированы:
Поэтому производная группа Н (X) группы С (X) также градуирована:
= 2//,(*)•
я
где Нп(Х) — л-мерная группа сингулярных гомологии пространства X
при л > 0 и Нп (X) = 0 при л < 0.
4. Точные пары
Точной парой мы называем систему
#=<D. E; t, J, k>,
состоящую из двух абелевых групп D и Е и трех гомоморфизмов:
/: D->D, J: D-+E, k: E-+D,
обладающих тем свойством, что имеет место точная треугольная диа-
диаграмма
i
Каждой такой паре можно сопоставить некоторую другую точную
пару
8" = <D', E'; I1, /, k'>,
которая называется ее производной парой. Чтобы построить эту
пару, мы рассмотрим эндоморфизм
4. Точные пары 321
определенный равенством d = jk. Так как вследствие точности,
kj' = O, то dd — jkjk~j(kj')k = O. Таким образом, эндоморфизм d
представляет собой дифференциальный оператор группы Ё. Пусть
— соответствующая производная группа, и пусть
D' = i(D).
Так как D'cD, то i(D')cDf. Мы определим эндоморфизм
полагая if = l\D,. Легко видеть, что
kl%(E))cD', k
откуда вытекает, что гомоморфизм k индуцирует некоторый гомо-
гомоморфизм
Наконец, пусть x?D', и пусть у — такой элемент группы D, что
i(y) = x. Ясно, что элемент j(y) принадлежит группе %(Е), и его
смежный класс по подгруппе <Jg (E) не зависит от выбора элемента у.
Обозначая этот смежный класс символом /' (лг), мы получим некото-
некоторый гомоморфизм
/: D'-*E'.
Тем самым, все объекты, составляющие производную пару 1?', пол-
полностью построены. Тот факт, что эта пара является точной парой,
проверяется совершенно автоматически.
Повторив это построение исходя из пары &"', мы получим вто-
вторую производную пару %", затем третью производную пару %'"
и т. д. В результате мы получим бесконечную последовательность
точных пар
*Г"=<?>". .?"; /", /". А">. и = 1, 2
для которой
?"=?" и ?"':=(?"'"% еслии>1.
Последовательность {%"} обладает двумя следующими важными
свойствами. Во-первых, группы D" образуют убывающую последо-
последовательность
причем гомоморфизм i": D" —>¦ D" является ограничением гомомор-
гомоморфизма / на D". Пересечение всех групп D" мы будем обозначать
21 Ху Сы-цзян
322 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
символом D°°. Во-вторых, согласно сказанному выше, для любого^
п~^>\ эндоморфизм
является дифференциальным оператором группы Еп, причем группа
Еп+1 представляет собой производную группу группы Еп относи-
относительно этого оператора. Последовательность дифференциальных групп
Е = ?' Е2 Еп
мы будем называть спектральной последовательностью, ассоцииро-
ассоциированной с точной парой &*. Как только что было сказано, эта по-
последовательность обладает тем свойством, что Е"+1 = е^(Я") для
каждого п > 0.
Для спектральной последовательности {??"} определен естествен-
естественный гомоморфизм
сопоставляющий каждому элементу группы % (?") его смежный класс
по подгруппе $? (?"). Таким образом, А„ представляет собой эпи-
эпиморфизм некоторой подгруппы группы Е" на группу Еп+1. Для лю-
любого р > 0 мы положим
Аналогично гомоморфизму п\ = пп гомоморфизм hpn представляет собой
эпиморфизм некоторой подгруппы группа Еп на группу Еп+Р. Под-
Подгруппа %п группы ?", на которой определен гомоморфизм пра, ин-
индуктивно определяется формулами
{E^-'\ p>\.
Пусть Еп — пересечение всех подгрупп %%, р = \, 2 и
пусть А„: Е" -> Ёп+! — ограничение гомоморфизма А„ на подгруппе ?".
Ясно, что группы {?"] и гомоморфизмы [пп\ составляют прямой
спектр абелевых групп (см. [Г'—В]). Предельную группу Е™
этого прямого спектра мы будем называть предельной группой
спектральной последовательности {?"}.
В частности, если существует такое целое число г ^. 1, что
d" = 0 для всех «>-г, то
пп:Еп^Еп+\
пп
и, следовательно, Еп = Еп и ha = hn для всех я^. г. Поэтому в этом-
случае ?f « fr.
5. Дваокды градуированные точные пары 323
В общем случае предельную группу Е°° можно следующим обра-
образом выразить через члены исходной точной пары Ч?.
Пусть
/<">_=. Л" ...Л D->Dn+xcD.
Так как /(л> = /|о« при п^.1, то гомоморфизм /(л> по существу
представляет собой я-кратную итерацию гомоморфизма /: D-+D.
Пусть
Q
где 1т/(п) и Кег/'л) — образ и ядро гомоморфизма /(л) соответственно.
Тогда, как легко проверить, .
В следующих главах и в упражнениях в конце этой главы будет
подробно разобран ряд важных примеров точных пар. Здесь же мы
укажем лишь один простой чисто иллюстративный пример.
Рассмотрим произвольное пространство с конечной фильтра-
фильтрацией, т. е. пространство X, в котором выбрана конечная возрастаю-
возрастающая последовательность подпространств
(Ф) 0 = Х_1<=Хо<=Х}<= ... <=ХГ = Х.
Обозначая символом Н прямую сумму всех групп сингулярных гомо-
гомологии с данной группой коэффициентов G, мы положим
P р, Хр_х).
р ¦ р ~\
Ясно, что гомоморфизмы гомологических последовательностей пар
(Хр, Хр_{) определяют некоторую точную пару
9H(<b)*-{D,E;l.J, k),
которую мы будем называть гомологической точной парой про-
пространства X с фильтрацией (Ф).
5. Дважды градуированные точные пары
В точных парах #=={D, E; t, J, А), с которыми мы будем иметь
дело в дальнейшем, группы D, Е, как правило, дважды градуиро-
градуированы, а гомоморфизмы /, /, k однородны. Поэтому в последователь-
последовательных производных парах #л пары ^ группы D", Еп также дважды
градуированы:
2
Р, Ч Р,Я
а гомоморфизмы i''n), /п\ А(л> и dn = jnkn однородны. Для элементов
групп Dp, q и Epig, т. е. для однородных элементов степени (j>, q),
21* '
324' Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
число р мы будем называть их главной степенью, число q — до-
дополнительной степенью, а число p-\-q — полной степенью.
Легко видеть, что степени гомоморфизмов I ', ft , J выра-
выражаются формулами
deg(*(B)) = deg@, deg(ft(B)) = deg(ft),
deg (у") = deg (/) — (« — 1) [deg (/)],
и потому степень дифференциального оператора d"— формулой
deg (d") = deg U) + deg (ft) — (я — 1) [deg (/)].
Для нас особое значение будут иметь дважды градуированные
точные пары ^ = (D, Е\ I, j, ft), для которых гомоморфизм / имеет
степень A, —1), гомоморфизм j — степень @, 0) и гомоморфизм ft —
степень (—1, 0). Такие точные пары мы будем называть д-парами. Для
этих пар
(<?1) гомоморфизм /" имеет степень A, —1),
(<?2) гомоморфизм jn имеет степень (—п-\-\, п—1).
(дЪ) гомоморфизм ft" имеет степень (—1, 0),
(д4) гомоморфизм d" имеет степень (—п, п — 1).
Аналогично точную пару 'ё мы будем называть Ь-парой, если
гомоморфизм I имеет степень (—1, 1), гомоморфизм J — степень @, 0)
и гомоморфизм ft — степень A, 0). Для этих пар
(81) гомоморфизм /" имеет степень (—1, 1),
(82) ' гомоморфизм у" имеет степень (п—1, —п+1),
(83) гомоморфизм ft" имеет степень A, 0),
(84) гомоморфизм d" имеет степень (п, —п-\-1).
Каждую й-пару & — {D, E; I, j, ft) можно представлять себе з виде
диаграммы
6. Регулярные пары 326
в которой каждая лесенка гомоморфизмов, получающаяся когда мы
движемся на один шаг сверху вниз, а затем на два шага слева направо
и снова вниз, например лесенка
... ». Dp_u я+1 > Dp< q -у Ер q > Dp_h q > Dp< ?_, >¦
представляет собой точную последовательность.
Аналогично можно представлять себе производные пары е?а,
я = 2, 3 ....
В определенном смысле понятия d-пары и 8-пары двойственны
друг другу. Действительно, пусть ^ = (D, Е; i, j, k) — произвольная
дважды градуированная точная пара. Мы отнесем ей точную пару
?"* (?*, ?*; /•, /, k*), полагая
E E_Pi _q
(Эти формулы имеют смысл, ибо D* = D и Е* = Е.) Степени гомо-
гомоморфизмов /*, J* и k* мы определим формулами
r) = — deg@, deg(/) = —deg(y), deg (k*) = — deg ¦(*).
Построенную (очевидно, точную) пару ?f* мы будем называть парой,
двойственной паре Ч?. Ясно, что d-паре двойственна 8-пара, а 8-паре
двойственна д-пара.
Примером d-пары является гомологическая точная пара ^Н{Ф)
из п. 4, так как для этой пары группы D и Е дважды градуированы:
а гомоморфизмы /, j, k, очевидно, однородны и имеют соответственно
степени A, —1), @, 0), (—1, 0).
6. Регулярные пары
Говорят, что d-пара 1? = (р, Е; i, J, k) регулярна, если
(Рд\) Dpt4 = 0 при р<0.
(Рд2) Ep,q = V при q<0.
Из свойства (Рд1) и точности последовательности
Dp,(f—* Ep,q —* Dp-\,q
следует, что Еру q = 0 при р < 0. Поэтому для любого 0< л ^оф '
имеют место равенства
^)? = 0 при f<,Q или '
326 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
Отсюда следует, что при п > р каждый элемент группы EJJ, я является
циклом, ибо оператор d" имеет степень (—п, п — 1). С другой сто-
стороны, при n>q-\-l ни один отличный от нуля элемент группы ??,9
не может быть по тем же соображениям границей относительно опе-
оператора dn. Следовательно,
(Pd4) fi?, = ??V =»....=??» при «>тах(р.
Так как любой гомоморфизм 1Т имеет степень A, —1), то
откуда в силу свойства (Р<?1) вытекает, что
Dp,q=r0 при р+1<л<оо.
Рассмотрим теперь гомоморфизм /: Dp>q-*-Dp+htl_v Из свойства
(Р<?2) и точности последовательности
вытекает, что отображение / эпиморфно при ^0 и изоморфно при
q < 0. Таким образом. ,
0 ~»> Км —+ '-+ t>m.o -^ Dm+h _х » Dm+2t _, ж ...
где отображение /: Dm>0—>-Dm+li _, эпиморфио. Мы положим
где
J^m (8Г) = Dm+1> _! =
Группу Dm+i, _i мы можем рассматривать как подгруппу группы
??вт(&), и тогда ввиду формулы (Р<?5) будет определен гомоморфизм
К.9: Dp.,^Wp+4&)' ¦ Я>0.
где X/,? = /7+V ... il — не что иное, как (q-{- 1)-кратная итерация
гомоморфизма /: D-+-D. Пусть
&Р. Я &)?= V 9Фр. ,) =D"pX2q+l, -!
Если р<0, то 3@Piqtff) = 0, так как DPig = 0. Если ? = 0. то
3&p,q(&) — <$'P+q(ih' так как отображение ХА? совпадает с эпи-
эпиморфизмом Л Таким образом, для каждого /»^0 имеет место, ко-
конечный убывающий ряд
6. Регулярные пары 327
Пусть » > max (р, q + 2). Рассмотрим диаграмму
cp+n-l, q-n+2 > Up+n-2, q-n+2 > Up+n-\t q-n+l —"» I*p, q > t->p-\,
! t
q
®вр-\, q+\
где а и p — изоморфизмы, индуцированные изоморфизмом
» :?>„+,+,,-г-*?>„+<,+,+i,-r-i- г>1, а 7 — отображение вложения.
Верхняя строчка этой диаграммы, являясь частью точной пары *&",
представляет собой точную последовательность, а ее прямоуголь-
прямоугольник, очевидно, коммутативен. Так как л>тах(р, q-{-2), to ввиду
свойств (Р<?3), (Р<?4) и (Р<?6) имеют место равенства
Ep+b-i,q-n+2 = 0, EnPt = ?^?. Dp_i>? = 0,
и потому
Таким образом, группа &6Р>9&) представляет собой расширение \
группы ^вр-\,я+\{^) с помощью группы E^iQ.
Аналогично 8-пару & = (D, E; I, j, k) мы будем называть регу-
регулярной, если
(Р81) ¦ DPitl = 0 при q<0,
(Р82) ?р,'? = 0; при р<0.
¦ s
Рассуждая как и выше, мы получим, что для любой регулярной
8-пары имеют место равенства
(Р83) ??>(? = 0, если р<0 или q < 0, где 1<л<оо;
(Р84) Eptll=Ep+q= ... =?^?, если п > max(p, q+ 1);
(Р85) Dp,, = Гх1п-2 ... =/' (Dp+n.it ,.,+,);
(P86) D", ? = 0, если ? -f- 1 < n < со.
При р<0 гомоморфизм l-DPtq->Dp_Vg+l является изоморфизмом,
так что
Мы положим
где
= Do,
328 Гл. VIII. Точные пары.и спектральные последовательности
Обозначая через Зв ,,,„(&) подгруппу D^p\q группы е%?р !-<,(&). мы
для любого /я ^- О получим конечный убывающий ряд:
для которого
(Р88) 3eP,
В качестве примера мы рассмотрим d-пару &"Я(Ф) из п. 5. Эта
пара, очевидно, обладает свойством (Р<Н), в то время как свойство
(Рд2), вообще говоря, для нее не выполняется. Однако если про-
' странство X представляет собой конечный симплициальный полиэдр,
а пространство Хр для любого р— его подполиэдр, содержащий его
р-мерный остов.; то свойство (Рд2) выполнено, и потому в этом
случае пара &"Я(Ф) является регулярной d-парой. Если, в частности,
Хр представляет собой р-мерный остов полиэдра X, то ? =0
для всех дфО, а группа Ер0 — Нр(Хр, Хр_}) является группой
/>-мерных цепей полиэдра X с коэффициентами в группе О. При
этом, как нетрудно видеть, дифференциальный оператор d: Ep> 0—>Ep_it 0
в точности совпадает с граничным оператором на группе р- мерных
цейей. Следовательно, в этом случае
Если п ^-2, то оператор dn равен нулю, так как он уменьшает до-
дополнительную степень q. Поэтому
7. Градуированные группы #(<?) и
Пусть Ч?-=.(р, Е\ i, j, k) — произвольная регулярная д-пара.
Определим градуированную группу
полагая
Поскольку оператор dn имеет степень (—п, п — 1), каждый элемент
группы Е", q является циклом, так что имеют место эпиморфизмы
R, &) = 4 q -^-> 4 q -X • • • -S±U Е1:?=Е%,Г
Пусть х — их композиция.
7. Градуированные группы R{%) и S(#) 329
Так как, согласно свойству (Рд8) из п. 6, имеет место изомор-
изоморфизм Efiqtt 3@Oiq(g) и так как &во,ч&)<=.&вч&Ул то определен
мономорфизм
Таким образом,
(Рд9) Л,
Определим теперь градуированную группу
о
полагая
Sp (?") = EPi о-
Так как при я>2 ни один отличный от нуля элемент группы E"p>о
не является границей относительно оператора d", то имеют место
мономорфизмы
, Е%о = Е%$ -±+ Е% о ^-U ... -- 4, о -X Е\ о - S
Пусть t — их композиция.
Так как, согласно свойству (Рд8) из п. 6, имеет место изоморфизм
Ер*, о» ^?Л о &)№,- х, 1 (ST) = &еР &)IS0P-1.1 («Г).
то определен эпиморфизм
¦*:.<Я?,
С другой стороны, так как
то У?: Sffip(f&)->SII(&) и без труда проверяется, что имеет место
коммутативная диаграмма
\ /
?р, о '
Таким образом, гомоморфизм р является композицией эпиморфизма х
и мономорфизма i.
Для регулярной 8-пары SS градуированные группы /?(#) и S(8*)
определяются аналогично. Поскольку в этом случае оператор d",
имеет степень (л, —я+.l), ни один отличный от нуля элемент
группы ??, q не является границей относительно оператора d", и при
/1^2 всякий элемент группы EnPi о является циклом. Поэтому, так же
330 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
как и раньше, можно определить эпиморфизмы х и мономорфизмы t.
Однако роли групп R (&) и S (^) при этом переставляются, так что,
например,
(Р89) Sp (?) JL>eZ0-USVp (if).
Кроме того, так как S^p(^f) = DQiq и Rq(&) = EQq, то
]: 3l&g(&)->Rq('&) и имеет место коммутативная диаграмма
(Р810) &е„
\
Замечание. В определении группы Rq (Чз) можно было бы
группы ?о, q заменить группами Ео, q. Тогда все результаты этого
пункта сохранились бы без какого-либо изменения, за исключением
того, что гомоморфизм j в свойстве (Р810) пришлось бы заменить
гомоморфизмом р. Однако в случае, когда точная пара ^ возникает
из градуированной дифференциальной группы с фильтрацией (см.
ниже п. 11), принятый нами вариант определения группы Rq(&)
обладает преимуществом естественности.
8. Основная точная последовательность
Пусть & — {D, E; t. J, k) — регулярная d-пара. Оказывается, что
при определенных условиях на дважды градуированную группу Е1,
где v > 0, имеет место некоторая полезная точная последовательность,
которую мы будем называть основной точной последовательностью.
Теорема 8.1. Если все строки группы Е2, кроме, быть может,
двух, тривиальны, т. е. если существуют такие целые-числа
о и b, a < 6, что
?*i? = 0 при рф а, Ъ,
то имеет место точная последовательность
, т-а
Доказательство. Согласно условию, при рФ а, Ь имеет место
равенство ?^1? = 0, п>2, и, следовательно, равенство ?^ = 0.
Поэтому цепочка подгрупп (Рд7) из п. 6 в силу изоморфизмов tP<?8)
ив п. 6 определяет точную последовательность
' 0 ^Еа, т-а ~> SV
8. Основная точная последовательность 331
Так как оператор dn имеет степень (—я, я— 1) и а<Ь, то при
я ;> 2 каждый элемент группы ?jj, „,_„ является циклом, и потому
имеют место эпиморфизмы
р2 х*. рЗ х*_^ »"ь рЛ+1 _оо
Ев, п«-в * св, т-а * * ' " * ce, m-a — *-e, т-а>
где я = max (a, «— a+1). Аналогично при п^-2 ни один, отлич*
ный от нуля элемент группы ?", т_6 не может быть границей отно-
относительно оператора d", и потому имеют место мономорфизмы '
роо р"+1 jjj р" i" 1* 2
**6, щ —6 — &Ь, т—Ъ
где л = max F, да — ?+1)- Следовательно, указанная выше точная
последовательность приводит к точной последовательности
Для вычисления ядра гомоморфизма срт мы изучим ядра гомомор-
гомоморфизмов %г, г = 2, .... п. Ядро гомоморфизма %Т состоит из элемен-
элементов группы Ета,т-а' являющихся границами относительно оператора dr.
В группе- Ет существуют только два члена полной степени /»-\- 1,
которые могут быть нетривиальны, а именно члены Е?, m+i-e и?б, m+i-b-
Элементы первой группы являются циклами, и оператор dT тогда и
только тогда отображает вторую группу в группу E\tm-a, когда
г = Ь — а. Поэтому при Ь — а = \ отображение <рт мономорфно.
При г = Ь — а ^> 2 имеет место точная последовательность
Е * t-e, m-a "¦ ?-в, т-а>
причем ?^, т-а =?в, т-Ф Еа*т-а — Ёа,т-а и
Следовательно, имеет место точная последовательность
= ° ПРИ * —« =
Аналогично доказывается точность последовательности
Сопоставляя все эти точные последовательности, мы и получим иско-
искомую точную последовательность.
Как мы видели, Xm+i = 0 при 6 — а=1. Поэтому имеет место
Следствие 8.2. Если в условиях теоремы 8Л Ъ — а = 1, дао
каждого т имеет место точная последовательность
О —> El, т-а ¦**+ $вт (?) -^ 4 „-» —» О,
332 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
так что группа &вт&) представляет собой расширение
группы Т?а,т-а при помощи группы Еь.т-ь-
Аналогично доказывается
Теорема 8.3. Если все столбцы группы Е2, за исключением,
быть может, двух, тривиальны, т. е. если существуют такие
целые числа а и b, a < Л, что
Е\ q = 0 при q Ф а, Ь,
то имеет место точная последовательность
Следствие 8.4. Если в условии теоремы 8.3 b — e = l, то для
каждого т имеет место точная последовательность
О —> El.b, ь -Ьц. sffa (Jf) Лв+ E2m_a_ e _> о.
mo« что группа Шт&) представляет собой расширение
группы Еш-»,» при помощи группы Ё^^а-
Хотя две предыдущие теоремы покрывают большую часть прило-
приложений, все же иногда основная точная последовательность необходима
и при некоторых более слабых условиях.
Условие {X, {*; v). Пусть X, {*, v — такие целые числа, что
X < A и v^t. Мм будем говорить, что точная пара ?* удовлетво-
удовлетворяет условию {a, ja; v), если для каждого целого числа т,
X^ot^ja, существуют такие числа аы, Ьт, ст и dm, удовлетво-
удовлетворяющие соотношениям
: . am-\-bm = m== cm+dm, am<cm,
что, во-первых, E\>q = 0 для любой пары (р, q), для которой
p-\-q = m и которая отлична от пар (ст, Ьт) и (ст, dm), и, во-вторых,
A) ?р,? = ° ПРИ P + q — m— 1 и /><am — v,
B) ?р,, = 0 при
Рассуждения, аналогичные использованным при доказательстве
теоремы 8.1, позволяют доказать следующую теорему, частными,
случаями которой являются теоремы 8.1 и 8.3.
Теорема 8.5. Если пара % удовлетворяет условию {К у.; vj,
то имеет место точная последовательность
9. Отображения точных пар 333
Следствие 8.6. Пусть v>-l, и пусть {ат\—такая последо-
последовательность целых чисел, что
для каждого /п!>0. Если Е?р>? = ° для каждой пары (р, q),
для которой p-\-qz=m и рФат, то
Доказательство. Положив ст = ат-\-\ и dm = bm—1, мы по-
получим, что для каждого ц > О пара #" удовлетворяет условию
{О, 1*; v}. С другой стороны. Elmdm = 0 для всех /п>-0. ¦
Для регулярных 8-пар условие {X, jj,; v} формулируется анало-
аналогично, а основная точная последовательность из теоремы 8.5 прини-
принимает вид
Аналогично видоизменяются и теоремы 8.1 и 8.3.
К регулярным д- и 8-парам мы еще вернемся в упр. В в конце
главы. •
9. Отображения точных пар
Пусть 4^r = <,Dr ?r; tT, jT, kr>, r = l, 2, — произвольные
точные пары. Отображением
(ср, ф): ^->^2
первой пары во вторую мы будем называть такую пару гомомор-
гомоморфизмов <р: DX-*D2 и ф: Ех—>Е2, что
tp/j = ^<р, фу-j = У2<р, cpAj = А2ф.
Так как tyd, == d$7 где dr = jrkr, то гомоморфизм ty представляет
собой, отображение дифференциальных групп в смысле п. 2 и по-
потому индуцирует некоторый гомоморфизм
ф': е\-*е1
Так как
<p(D0 = <p*i (DO = i2? (Di)cf2 (О2) =D2,
то, полагая <р =<p|D', мы получим некоторый гомоморфизм
<р': Di->b2- Легко проверяется, что пара гомоморфизмов Ор', ф')
представляет собой отображение производных пар. Это отображение
(<р', ф'): ^"J—>^2 мы будем называть производным отображением
для отображения (<р, ф). Ясно, что множество всех точных пар и их
334 Гл. V11L Точные пары и спектральные последовательности
отображений образует категорию, а операция построения производ-
производных пар и производных отображений является ковариантным функ-
функтором.
Повторяя построение производного отображения, мы получим
последовательность отображений
(<РП, <!>"): tf?-*8a. n = 1.2
обладающих, в частности, ''тем свойством, что гомоморфизмы
ф": Е"—>Е<2, п—1, 2, ..., спектральных последовательностей пере-
перестановочны с дифференциальными операторами d", причем гомомор-
гомоморфизм фя+1 индуцирован гомоморфизмом фя.
В случае, когда точные пары ^ и fft дважды градуированы,
интересны не любые их отображения, а лишь так называемые одно-
однородные отображения, т. е. отображения (<р, ф), для которых оба
гомоморфизма (риф однородны и имеют одну и ту же степень (р, q).
Эта общая степень (р, q) называется степенью отображения (<р, ф).
Сдвигом индексов в одной из данных точных пар мы всегда можем
достичь того, чтобы любое данное однородное отображение (<р, ф)
сохраняло степени, т. е. имело степень @, 0). В этом случае
каждое производное отображение (<рп, фя) также сохраняет степени.
Пусть теперь 4?v &2 — регулярные d-пары, и пусть (<р, ф): <&1->-
-*&2 —их произвольное отображение, сохраняющее степени. Тогда
гомоморфизм (р2 определяет некоторый гомоморфизм
переводящий группу &вт(&^ в группу &€„,<&?, а группу 3&p,q(&i)—
в группу &6p,q&%)> Кроме того, гомоморфизмы фиф2 определяют
гомоморфизмы
перестановочные с эпиморфизмами х и мономорфизмами i из п. 7,
Предложение 9.1. Гомоморфизм (<р, ф)* является изоморфиз-
изоморфизмом, если выполнено одно из двух следующих равносильных
условий:
(i). <P2: D\^iDl,
(II) . ф2: ??»^.
Доказательство. Ясно, что из условия A) вытекает изоморфность
отображения (<р, ф)*. Импликация A)гф (И) непосредственно следует
из леммы о пяти гомоморфизмах. Чтобы доказать импликацию
(ii)=^(i), достаточно привести очевидную индукцию по основной сте-
степени, используя при этом свойство (Pdl) и лемму о пяти гомомор-
физмах.а
10. Дифференциальные группы с фильтрацией 335
Замечание. Предложение 9.1 остается в силе при замене в усло-
условиях (i) и (Н) верхнего индекса 2 любым положительным числом п.
Действительно, тот факт, что из условия (i) вытекает изоморфность
отображения (<р. ф)*, немедленно следует при любом п. из результа-
результатов п. 6, а равносильность условий A) и (ii) доказывается точно так
же, как и выше.
Очевидно, что аналогичные утверждения имеют место и для ре-
регулярных 8-пар.
Пусть теперь снова пары %х и ffa произвольны. Отображения
(«р. «1»), (о, т): S*!-*^
этих пар мы будем называть гомотопными (обозначение (ср, ty)—
~(о, т)), если существует такой гомоморфизм ?: Ег —>?2, что
для всех jc^Oi и y?Ev Легко видеть, что справедливо следующее
важное
Предложение 9.2. Если отображения (<р, ф) и (о, т) •
топны, то их производные отображения (<р', <|/) и (о', т') со-
совпадают.
Поэтому (<рп, (|)") = (оя, Xя) для всех »!>2. В частности, если
?*! и ^2 — регулярные д-пары или регулярные 8-пары и если ото-
отображения (<р. ф) и (о, т) сохраняют степени, то из (<р, ф)г^(о, х) вы-
вытекает, что (<р, ф)* = (о, т)*.
10. Дифференциальные группы с фильтрацией ;
Пусть А — произвольная дифференциальная группа. Возрастаю-
Возрастающей фильтрацией группы А называется такая возрастающая после- |
довательность ее подгрупп {Ар} (где р пробегает все целые числа), что !
\JAP*=A. A"cAp+\ d(Ap)cAp.
р
Для каждого элемента а дифференциальной группы А с возра-
возрастающей фильтрацией [Ар] нижняя грань целых чисел р, для кото-^
рых а ? Ар, называется весом элемента а и обозначается символом w(a).i
Очевидно, что '
w(a — i)<max[©(fl), w(b)], •w(da)^.w(a).
Обратно, если на группе А задана числовая функция w, принимаю-
принимающая целые значения (включая —оо) и обладающая этими двумя
свойствами, то, полагая
мы определим на А возрастающую фильтрацию \АР
336 Гл. VIII. Точные пиры и спектральные последовательности
Рассматривая гомоморфизмы дифференциальных трупп с возра-
возрастающей фильтрацией, мы всегда будем требовать, чтобы каждый
такой гомоморфизм /: А-+В был перестановочен с операторами d
и сохранял фильтрацию, т. е. чтобы имели место соотношения
fd = df. f(A")cBp.
Ясно, что все дифференциальные группы с возрастающими фильтра-
фильтрациями и все их гомоморфизмы (перестановочные с операторами d
и сохраняющие фильтрацию) составляют некоторую категорию ^f \.
Подгруппы и факторгруппы групп категории & определяются
естественным образом. Они тоже принадлежат категории &~{. В част-
частности, производная группа $в (А) любой группы А из &~\ также
принадлежит категории ?Гt. Легко проверяется, что операция ?№
(см. п. 2) представляет собой ковариантный функтор, определенный
и принимающий значение в категории &?",.
Для любой группы А из <^"(- определена присоединенная гра-
градуированная группа
4
для которой
Ясно, что любое отображение /: А->В индуцирует очевидным обра-
образом некоторый однородный сохраняющий степени гомоморфизм
Группу g (А) и гомоморфизм g (/) мы будем иногда обозначать сим-
символами Ли/ соответственно. Легко проверяется, что операция &
представляет собой ковариантный функтор, определенный в катего-
категории &?", и принимающий значения в категории ??/, см. п. 3.
Особое значение для нас будет иметь градуированная группа
присоединенная к производной группе Ш'(А).
Поскольку группы Ар~1, Ар, А^ являются дифференциальными
группами, точная последовательность
О -¦ А"'1 -* А" -* Ар -* О
определяет, согласно п. 2, треугольную диаграмму
10. Дифференциальные группы с фильтрацией 337
Определив градуированные группы ¦¦••••
формулами
мы получим, что гомоморфизмы I, j, k этой треугольной диаграммы
определяют некоторые гомоморфизмы
I: D-+D, j: D-+E, k: E->D,
составляющие точную пару
V(A)=(D, Е, I, j. k).
Мы будем говорить, что эта точная пара ассоциирована с груп-
группой А. Ее группы D и Е градуированы, а гомоморфизмы /, J, k
однородны и имеют степени 1, 0, —1 соответственно.
Пусть теперь /: А->В — произвольное отображение катего-
категории S1"I- Ясно, что это отображение определяет два отображения
/у. АР-*ВР и /р: Ар-*Вр категории &d, а прямые суммы произ-
производных гомоморфизмов
C Ф
определяют некоторое отображение
У (Л ==(?/¦ Ь
точных пар в смысле п. 9. Легко видеть, что операция Ч§ является
ковариантным функтором, определенным в категории <&~г и прини-
принимающим значения в достроенной в п. 9 категории точных пар.
Убывающей фильтрацией дифференциальной группы А назы-
называется такая убывающая последовательность ее подгрупп [Ар), что
(\АР = 0. Лр=> Ap+1, d (Лр)с А".
р
Вес w(а) элемента а?А определяется в атом случае как верхняя
грань таких целых чисел р, что а?Ар.
Ясно, что все сказанное выше справедливо (с соответствующими
изменениями) и для категории aF^, дифференциальных групп с убы-
убывающей фильтрацией и их отображений (перестановочных с опера-
операторами d и сохраняющих фильтрацию). ;
В дальнейшем под профильтрованной дифференциальной
группой мы будем понимать дифференциальную группу, снабженную
либо возрастающей, либо убывающей фильтрацией. Спектральную
последовательность [Еп, л=1, 2... }, построенную по точной
паре if (Л), ассоциированной с профильтрованной дифференциальной
группой А, мы будем называть спектральной последователь-
последовательностью группы А.
22 Ху Сы-цзяв
338 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
11. Градуированные дифференциальные группы с фильтрацией
Возрастающей (или убывающей) фильтрацией градуированной.
дифференциальной группы А мы называем возрастающую (или убы-
убывающую) фильтрацию \АР) группы А, для которой каждая группа Ар
является подгруппой градуированной группы А. Такую фильтра-
фильтрацию \АР) мы будем называть регулярной, если для любого отлич-
отличного от нуля однородного элемента а ? А имеют место неравенства
(РФ1) 0<w(a)<dega,
т. е. если его вес и степень оба неотрицательны и вес не превосхо-
превосходит степень.
Профильтрованные дифференциальные группы, с которыми мы
будем в дальнейшем иметь дело, как правило, будут либо профиль-
профильтрованными д-комплексами, т. е. градуированными дифферен-
дифференциальными группами с регулярной возрастающей фильтрацией, для
которых оператор d имеет степень—1, либо профильтрованными
Ь-комплекса ми, т. е. градуированными дифференциальными груп-
группами с регулярной убывающей фильтрацией, для которых оператор
d имеет степень + 1.
Теорема 11.1. Точная пара
1Г(Л) = (О. Е; I, У, *),
ассоциированная с регулярным д-комплексом А, является
регулярной д-парой.
Доказательство. Поскольку дифференциальные группы Ар и
Лр = .4р/Лр~1 градуированы, производные группы $в (Ар) и S6{Ap)
также градуированы. Полагая
мы определим группы D и Е пары 46 (А) как дважды градуирован-
градуированные группы. При этом легко видеть, что гомоморфизм I имеет
степень A,— 1), гомоморфизм/ — степень @, 0), а гомоморфизм k —
степень (—1, 0). Таким образом, пара &(А) действительно является
д-парой.
С другой стороны, ясно, что условие (РФ1) регулярности воз-
возрастающей фильтрации \АР) группы А равносильно следующим двум
условиям:
(РФ<?2) Ар — 0 при р < 0,
(РФдЗ) АрсАр для всех р.
Но из условия (РФд2) следует, что DPtt) = 6 при /><0, а из усло-
условия (РФдЗ), — что EPiQ=3s0 при q < 0. Следовательно, пара &
регулярна. ¦
//. Градуированные дифференциальные группы с фильтрацией 339
Рассмотрим теперь градуированные группы ?&(&), Rtff) и S(^),
соответствующие регулярной d-паре е =1Г(Л). ассоциированной
с регулярным d-комплексом А.
Вложение АрсА индуцирует некоторые гомоморфизмы
АР,,: Dpig = mp+q (A") -> $ep+q (A),
причем, как непосредственно следует из условия (РФдЗ), отображе-
отображение hptQ является эпиморфизмом при <7<0 и изоморфизмом при
q < 0. В частности,
Прямая сумма этих изоморфизмов определяет однородный, сохра-
сохраняющий степени изоморфизм
A:
Согласно п. 10, группа ?№(А), & потому и группа 3@Р+9(А)
обладает некоторой естественно определенной фильтрацией. Подгруппа
этой фильтрации группы ?/вр+я (А) с индексом р совпадает, очевидно,
с подгруппой hpq(Ppq). Мы обозначим ее символом &6p<q(A). Без
труда проверяется, что гомоморфизм А„. и _v где m = p-\-q, изо-
изоморфно отображает подгруппу ?@Piq(js)' на подгруппу 3@р>q(A).
Отсюда и из свойстз (Рд7) и (Рд&) п. 6 немедленно вытекает
Теорема 11.2. Фильтрация группы Жт(А) имеет вид
(РФд4) &вт{А) = &ет
а ее присоединенная градуированная группа &3&т(А) изо-
изоморфна группе 2 ?р%> причем
Р+ч=т
(РФ<?5) №р, g (A)imp^, q+l (A)« е?1Г
Так как, согласно условию (РФд2), имеет место равенство
Л~1=0, то
и, следовательно, R (ft) = ?Ю (А0). При этом легко видеть, что ком-
композиция ix гомоморфизмов (Рд9) из п. 7 совпадает с гомоморфизмом
индуцированным вложением /: А0с А, так что гомоморфизм Ш'(/)
представляет собой композицию эпиморфизма х и мономорфизма t.
Определим теперь градуированную группу А = 2 Ар, полагая
Ap = Epi0. Так как оператор d группы Е имеет степень (—1, 0),
22*
340 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
то А является подгруппой дифференциальной группы Е и
Sp$?) = El,o=<mp(A),
так что S(&)t=$e{A).
Пусть х?Ар. Тогда х?А" и dx? Ар_хсА"~1; см. (РФдЗ). Сле-
Следовательно, элемент х является циклом группы Ар и потому опре-
определяет некоторый элемент g (х) группы Ар = Ер> 0. Ясно, что соот-
соответствие - х —> g (x) представляет собой сохраняющий степени эпи-
эпиморфизм g: A-+A, перестановочный с оператором d, причем
индуцированный им гомоморфизм
совпадет с гомоморфизмом j2: 3e(&)-+S(g) из диаграммы (PdlO)
п. 7, если мы отождествим группы ?№ (А) и J5?(A) с группами
Ш'(&) и 5(^) соответственно. Таким образом, гомоморфизм Ш'(g)
разлагается в композицию эпиморфизма х и мономорфизма i, откуда
вытекает, что его ядром в группе Шр{А) служит группа ?№Р_ХЛ (А),
а его образом в группе gf€p (A) = EPt о — группа Ep°t о.
Аналогичные результаты ямеют место, конечно, и для регулярных
8-комплексов. В частности для таких комплексов остаются спра-
справедливыми (с очевидными изменениями) теоремы 11.1 и 11.2. Для
градуированных групп Sf8(&), R(&) и S(&) имеют место отождест-
отождествления
где Ао = А°1А1 = А/А1 и А = 2*EPi 0. В силу этих отождествлений гомо-
гомоморфизм J: S^(^)-*R(^) из диаграммы (РдЮ) п. 7 совпадает
с гомоморфизмом
индуцированным естественной проекцией /: А-*А0. Кроме того,
определен естественный, сохраняющий степени мономорфизм
g: А'-* А, перестановочный с оператором d, причем индуцированный
им гомоморфизм
совпадает с композицией и гомоморфизмов (Р89) из п. 7.
Важный пример регулярного комплекса возникает при рассмотре-
рассмотрении произвольного конечного симплициального разбиения X, снабжен-
снабженного фильтрацией.
(Ф) 0 = АГ
12. Отображения градуированных групп с фильтрацией 341
обладающей тем свойством, что каждое подразбиение Хр содержит
все />-мерные симплексы разбиения X. Тогда для любой группы коэф-
коэффициентов О группа цепей А*=С(Х) разбиения X является регу-
регулярным d-комплексом с фильтрацией и градуировкой, определяемыми
формулами
Легко видеть, что соответствующая точная пара IS (А) совпадает
с парой 1ГН(Ф), определяемой фильтрацией (Ф); см. п 4. Таким
образом, в рассматриваемом случае пара ^Й(Ф) является регулярной
д-парой.
Аналогичным образом группа коцепей разбиения X над группой 0
определяется как регулярный S-комплекс.
12. Отображения градуированных дифференциальных
групп с фильтрацией
Пусть А и В— регулярные d-комплексы. Гомоморфизм /: А —> В
мы будем называть отображением д-комплексов, если он пере-
перестановочен с оператором d и сохраняет степени и фильтрацию, т. е.
если -
_; fd-df, f(Am)<=Bm, f(A»)<=B".
Ясно, что все регулярные d-комплексы и их отображения составляют
категорию <Жд> являющуюся подкатегорией категории <^~,.
Пусть /: А—>В — произвольное отображение категории
Согласно п. 10, оно индуцирует некоторое отображение
, / > if (S)
соответствующих точных пар, а также некоторый гомоморфизм
производных групп.
Из предложения 9.1 и следующего за ним замечания немедленно
вытекает
Предложение 12.1. Если для отображения /: А->В кате-
категории еЗГа имеет место при некотором п > 1 одно из следую-
следующих двух равносильных условий:
(i) Г/- О«(Л)«О«E),
(И) ф/: Е"(А)^Е"(В).
то гомоморфизм <?№'(/) является изоморфизмом.
342 Гл. VIII. Точные пары а спектральные последовательности
Аналогичным образом определяются отображения Ь-комплексов
и категория еЗГ? регулярных комплексов и их отображений. Ясно,
что предложение 12.1 остается справедливым и для отображений
категории %°
УПРАЖНЕНИЯ
А. Непосредственное построеиие спектральной последователь-
последовательности дифференциальной группы с фильтрацией д
Пусть А —произвольная дифференциальная группа с возрастаю-
возрастающей фильтрацией [Ар], и пусть
'P *— Dp <—•..<— L>p »_ Op »_...«_ ?,p,
Zo с ... с ZnD с ZTг с ... с Z\ с Z°D = А"
*"-"}. я>0,
Проверьте, что •
| = B°BcBic...cB;cB;+1c...cZa
Пусть
и пусть
Dn=^Dp, En=%Enp.
р р
Вложения Zp-n с Zp_n+l и Bpz\ с BpZ]i+i определяют однородный
гомоморфизм /": ?)"->?>" степени 1. Вложения Zp-n+\cZp-n+i и
BapZ]i+\<z{ZnpZ]i-\- BpZ\+\) определяют однородный гомоморфизм
J": Dn-*En степени — (я—1). Наконец, поскольку d(Zj)cZp_n,
d(ZpZ\)=:BpZ\ и d[Bl~*) = Q дифференциальный оператор d инду-
индуцирует однородный гомоморфизм А": Еп —>¦ D" степени—1. Докажите,
что для любого я ;> 1 пара
(D". Еп; Iя, Г, kn)
является точной парой и совпадает с ассоциированной точной па-
парой ^"(Л), построенной в п. 16. Докажите, что дифференциальный
оператор
dn
степени —я индуцирован оператором d.
Упражнения 343
Описанное прямое построение спектральной последовательности [Еп]
дифференциальной группы А с возрастающей фильтрацией принад-
принадлежит Лерэ; см. Лерэ [1].
Проведите аналогичное построение для случая убывающей филь-
фильтрации [Ар]
B. Регулярные пары, удовлетворяющие условию {X, щ v}
Пусть #" = {D, Е; i, J, К) — либо регулярная d-пара, либо ре-
регулярная 8-пара. Докажите следующие утверждения:
1. Если ?р,? = 0 при рфО, яфО и /> + ?О. где р > 0 и
\^-2, то пара ^ удовлетворяет условию {0, р; n} при
ао = —1, bo=l, co = O, do = O,
ат — ^ bm — m, cm = m, dm = 0, 0<m<p.
2. Пусть v, p0, pv р2 и qQ — такие целые числа, что v>l,
Ро > А > Ръ > ° и 9о > °- ТогДа если
(i) Е1,я = ° ПРИ Р<Ро> Р + Р\ и />^J»2-
00 Ер,? = 0 при 9<9го-
то пара ^ удовлетворяет условию {0, Ро+^о — 2; n}.
3. Пусть v, р0, pv q0 и qx—такие целые числа, что v^.1,
Ро > Pi > ° и ?о > ?i > °- ТогДа если
@ ?р.? = 0 при р<р0 и рфрх,
(Н) fp,« = 0 при ?<^0 и ?=??i.
то пара ^ удовлетворяет условию {0, po-\-qo—\; ч).
C. Умножение в точных парах
Пусть А — произвольный регулярный 8-комплекс. Умножение в А,
относительно которого А является кольцом, называется допустимым.
когда выполнены следующие условия:
(Ml) если х?А" и y?Aq. то ху^Ар+ч.
(М2) если х?Ар и y?Ar то ху?Ар+д,
(МЗ) оператор d является антидифференцированием, т. е. для
любых элементов х ? Ар и у ^ А имеет место равенство ^.^
d (ху) = (rfx) >» + (-1)" х {dy).
Покажите, что для любого я = 1, 2„ ... каждое допустимое
умножение в А определяет в группах D" и Еп точной пары
v ^П(Л) = (ОЛ, Еп\ Iя, jn, kn)
некоторое умножение, обладающее следующими свойствами (Масси [2].):
344 Гл. VIII. Точные пары а спектральные последовательности
Л. Если элементы х и у однородны и имеют соответственно сте-
степени (/?. q) и (г, s), то элемент ху тоже однороден н его степень
равна (p-{-r, q-\-s).
2. Гомоморфизм i" является гомоморфизмом кольца Dn, рассма-
рассматриваемого как D"-модуль, т. е.
in (xy) = x[in (у)] = [in(x))y ,
для любых элементов х, у ? Dn.
3. Гомоморфизм у" мультипликативен!, т. е.
Г W = jn(x)jn(y)
для любых элементов х, y?Dn.
4. Оператор d" = jnkn является антидифференцированием группы Еп,
т. е. для любых элементов x?Epq и у?Ёп имеет место равенство
dn (xy) = [dn (х)] у + (-1)р+г х [dn (у)].
5. Для любых элементов х ^ DnPt q н у ? Еп имеют место равенства
D. Точная пара локально тривиального расслоения над конеч-
конечным симплициальным разбиением
Рассмотрим локально тривиальное расслоение X с базой В,
проекцией w:X~>B и слоем F; см. гл. III. п. 4. Предполагая, что
база В является конечным снмплициальным разбиением, будем обо-
обозначать ее р-мерный остов символом Вр. Пусть О — произвольная
абелева группа. Используя группы сингулярных гомологии, опреде-
определим дважды градуированные группы D и Е, полагая
Xp; G), EPiq = Hp+q(Xp, *,_,; О),
где X =о)-1(Вр). Легко видеть, что, определив гомоморфизмы
/: D->D, j: D~>E и k: E->D так же, как в примере, рассмо-
рассмотренном в п. 5, мы получим некоторую точную пару
V = (D, E; I, у, k).
Эта пара называется гомологической точной парой расслоения
Х-+В.
Рассмотрите ее производные пары ^>e = (D", En; in, jn, kn) и
докажите следующие утверждения:
1. При ге!>2 пара Й не зависит от триангуляции базы В.
2. Группа Ep,q естественно изоморфна группе гомологии
Нр(В; Hq(F; О)) базы В с коэффициентами в локальной системе
групп Н (F; О).
Упражнения , '345
3. Пара Ч§ является регулярной d-парой. и Dp<qm Hp+IJ(X; G)
при q < 0.
Постройте когомологическую точную пару расслоения Х-*-В
и докажите для нее аналогичные утверждения.
Е. Гомотопическая точная пара
Пусть К — произвольное конечное связное клеточное разбиение,
и пусть v — некоторая его вершина. Обозначая символом Кп ге-мёр-
ный остов этого разбиения, рассмотрим для каждой пары (кр. /Ср"!),
р=\, 2, .... точную гомотопическую последовательность
и определим две дважды градуированные группы D и Е формулами
ър+д(Кр, v), если />>0 и p-\-q"^,2,
О, для других значений р и q;
к+ Лкр, Кр~ , V), если./>^-1 и
j\-Kp+g(Kp, v)], если />>1 и
О, для других значений р й q.
Ясно, что гомоморфизмы /, у, k гомотопических последовательностей
пар (Кр, Кр~1) однозначно определяют некоторые гомоморфизмы
/: D-+D, j: D->E, k: E->D. "
Докажите, что треугольная диаграмма .
D —->D
\
точна, т. е. что пара ^(К, v)={D, E\ i, j, k) является точной
парой. Эта пара называется гомотопической точной парой раз-
разбиения К в точке V. Докажите следующие утверждения:
1. Гомоморфизмы /, j, k пары 'ё {К, V) однородны и имеют
соответственно степени A, —1), @, 0), (—1, 0). Другими словами,
пара IS (К, V) является d-парой в смысле п. 5.
2. Если/><2 или p + q<2,ToDPig = 0.Ewviq<0iip-i-q> A,
то 'Dp,ttB*p+t(K.'o). .
3. Если р<2, или q < 0, или p-\-q<2, то Epq = Q.
4. Пара ?"(/(¦, V) является регулярной d-парой в смысле п. 6.
346 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
5. Любой путь ?:/-»¦/(', соединяющий две вершины v0 и Oj
разбиения К, индуцирует естественное изоморфное отображение
*Ю = (Ч*. -к)'- VW. »,)«?(*. «о)
точных пар в смысле п. 9. При этом если пути ?, 7;: 1->К\ со-
соединяющие вершины Vq и V,, гомотопны в К относительно концов
отрезка /, то Ч? (?) = 4$ (уу, Это означает, что гомотопические точные
пары &(К, v), отвечающие всевозможным вершинам v разбиения К,
составляют в К локальную систему точных пар. Ясно, что это
справедливо и для всех производных пар Ч$п (К, V).
6.. Пусть К и L — произвольные связные клеточные разбиения,
а г» и w — некоторые их вершины. Любое клеточное отображение
/: (К, v)—>(L, w) индуцирует некоторое отображение
причем соответствия (К, v)->'g(K, v) a f->if(f) представляют
собой ковариантный функтор, определенный в категории <?jT всех
пар (К, v), состоящих из некоторого клеточного разбиения К и
произвольной его вершины v, и всех их клеточных отображений и
принимающий значения в категории 4S& всех регулярных й-пар и
всех их отображений.
7. Если связное разбиение К накрывает разбиение К. то
Sf(<o): if (К, v)&5f(K, v).
где ш: К—>К — проекция, я v?K и v? /С — такие вершины, что
а) (©) = ©. Таким образом, при рассмотрении пары %{К, v) и ее
производных пар мы без существенной потери общности можем всегда
считать разбиение К односвязным.
8. Производная пара ЧР(К, v) = {D2, В; /2. Д ft2) является
инвариантом гомотопического типа разбиения К.
9. Если р<Ъ или p-\-q<2, то D2p,g = 0.
10. Если ?<0 и p-|_gr> 1, то Dp,,«яр+„(/(, v).
2
11. Если /><2 или q<0, то E2p,q = 0.
12. Если разбиение К односвязно, то при любом />^> 2 группа ЕР<0
изоморфна его группе гомологии Нр{К).
13. Если разбиение К г-связно, то tip,q = 0 при /><г+1 и
?р,? = 0 при р<г.
14. Точная пара ^(К, v) содержит следующею точную после-
последовательность Уаптхеда:
*2 п2 '' rfi Г- F2 к' п 2 i2
Упражнения 347
Если разбиение К односвязно, то, согласно утверждениям 10 и 12,
для каждого р ^> 2 имеют место естественные изоморфизмы
?>*+,, .,*«, (К, v), Ер, о « Яр (AQ.
так что последовательность Уайтхеда для односвязного разбиения К
имеет вид
... »-?>р.о >тср(/С. v)—+Hp(K)—-»-Dp_]to—->
Из точности этой последовательности, в частности, вытекает (в силу
утверждения 13), что если разбиение К (я — 1)-связно, где ге^-2,
то гомоморфизм у2: пр(К, v)->Hp(K) является при /><я изомор-
изоморфизмом, а при /> = ге+1—эпиморфизмом. Это утверждение, по
существу, совпадает с теоремой Гуревича.
15. Из результатов п. 6 ц п. 7. примененных к регулярной
d-паре Ч$ = ^(К, v), вытекает, что при р^2 имеют место изомор-
изоморфизмы -• n •
« «р (К. v), rp («о=о, 5Р («о » нр (К).
тогда как при /> < 2 группы 30р(&), Rp(&) и Sp(^) тривиальны.
Таким образом, диаграмма (РдЮ) из п. 7 переходит в диаграмму
р, 0
Коммутативность этой диаграммы означает, что группа В%о изоморфна
образу*группы ир(/С, v) в группе Нр{К) при гомоморфизме у2.
16. Пусть
— гомоморфизмы, индуцированные вложением КраК, и пусть
rcp>?(/C, о) — образ гомоморфизма \рГ Тогда
*p>G(Ar, v) при />>2 и
—0 пРч Р<2 или при
В силу этих изоморфизмов последовательность (Рд7) из п. 6 пере-
переходит в последовательность
для которой, согласно свойству (Р<?8) из п. 6, имеют место изомор-
изоморфизмы
348 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
При q = 0 из утверждения 15 следует, что группа ,«p_i, i(^T. V)
является ядром гомоморфизма р.
17. Все предыдущие результаты имеют место для любых полу-
симплициальных разбиений и вообще для любых клеточных разбиений.
18. Пусть X — произвольное линейно связное пространство,
а х0 — некоторая его точка. Рассмотрим сингулярное симплициаль-
ное множество K = S(X). Его геометрическая реализация является
связным полусимплициальным разбиением, а точка х0 определяет
некоторую вершину v этого разбиения. Пара ^(/С, v) представляет
собой гомотопический инвариант пары (X, х0) и называется гомо-
гомотопической точной парой пространства X в точке х0. Мы
будем обозначать ее символом ^(Х, х0). Из соотношений
«т(К, v) ~«т{Х, х), Нт(К) = Нт(X)
следует, что все сформулированные выше результаты для гомотопи-
гомотопических групп и групп гомологии пары (К, да) имеют место также
и для групп кт(Х, х0) и Нт(Х).
Применение гомотопической точной пары и ассоциированной
С ней спектральной последовательности лимитируется тем, что мы
очень мало знаем о группах Ер>г
F. Когомотопические точные пары
Пусть К — конечное клеточное разбиение размерности п, и пусть
г — наименьшее целое число, большее, чем -~(п-\-Л). Рассмотрим
когомотопическую точную последовательность тройки (/С. ЛТр+\ Кр}:
*г(К, K'+l)-t*...^* (К, Kp+l)-U«ffl{К. Kp)-U
->«m(кр+\ К")-->«m+1 (К. K^-U...,
где / и У — гомоморфизмы, индуцированные вложениями, а к—ко-
граничный оператор, и определим дважды градуированные группы D
и Е, полагая
1кр+ч(К, К"), если p-\-q>r,
р>я~\ о, если p-\-q<r;
если
Г\0)<=кг{К. /Ср+1), если
О, если p + q <г-~-1.
Гомоморфизмы I, J, k когомотопической последовательности очевид-
очевидным образом определяют некоторые: рднороднце гомоморфизмы
Упражнения . . 349
треугольной диаграммы
D '—.>D
\
J
имеющие степени (—1, 1), @, 0) и A, 0) соответственно. Докажите,
что эта треугольная диаграмма точна, т. е. что пара Ч?*(К) =
= {D, E; I, j, k) является точной 8-парой. Эта пара, вообще говоря,
не регулярна в смысле п. 6. Мы будем называть ее когомотопи-
ческой точной парой разбиения К (см. Масси [1] и Петерсон [1]).
Докажите для пары ^*(К) аналоги утверждений предыдущего
упражнения. В частности, докажите, что точная пара ?*а (К) содержит
точную последовательность
_. • • > Dp-1,1 >?>р_2,2 >Ср_1,1 *DPll > ....
причем
?>р-1,1 = Г" (К), DP_2l2 =r ж" (К), ?Р_,,, » Н" (К), р> г.
где Г"(К) — образ гомоморфизма /: «"{к, Кр)-*к"(К. Кр~1): Таким
образом, имеет место следующая точная последовательность:
где h-—определенный в п. 11 гл. VI естественный гомоморфизм.
Докажите, что Гр = 0 при p^ii, т. е. что гомоморфизм h является
изоморфизмом при р = п и эпиморфизмом при р = п — 1. Это
утверждение совпадает с теоремой Хопфа.
G. Гамма-функтор абелевых групп
Отображение /: А-*-В абелевой группы А в абелеву группу В
называется квадратичным, если
для любых элементов а, Ь, с труппы А. Рассмотрим отображение
cfy: AX A-*-B, определенное формулой
Ь(а, b) = f{a + b)-f(.a)-f<P), . :
где а, Ь^А. Это отображение оценивает отклонение отображения /
от гомоморфизма. Докажите, что отображение / тогдаi и только
тогда квадратично, когда отображение cfy билинейно. В частности,
любой гомоморфизм квадратичен. Докажите также, что композиция
квадратичного отображения с произвольным гомоморфизмом й&ляется
квадратичном отображением. L ,
350 Гл. VIII. Точные пары и спектральные последовательности
Квадратичное отображение /: А—>В называется однородным,
если
/(-«) = /(«)
для любого элемента а ? А. Докажите, что каждое квадратичное
отображение является суммой гомоморфизма и однородного квадра-
квадратичного отображения.
Пусть F(A) — свободная абелева группа, образующие да (а) кото-
которой находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами
а ? А, и пусть R (А) — подгруппа группы F (А), порожденная всеми
элементами вида
да (а) — да (— а),
да(а -f- Ь + с) — то (р + с)—да(с + а) —
„ — да (а -f-?) + да (а) + w(b)-\-w (с),
где а, Ь, с?А. Определим абелеву группу Г (А), полагая
Пусть [с], где а?А, —элемент да (а) + R (А) группы Г (Л).
Докажите, что соответствие а -> [а] определяет однородное квадра-
квадратичное отображение у. А~>Г(А). Докажите, что для любого одно-
однородного квадратичного отображения f:A~*B существует такой
гомоморфизм h:T(A)~*B, что А^ = /.
Докажите, что для любого гомоморфизма f:A~*B соответствие
[a]-*[fa] определяет некоторый гомоморфизм г
и проверьте, что соответствия А—>Г(А) и /->Г(/) определяют
ковариантный функтор Г, определенный и принимающий значения
в категории абелевых групп и их гомоморфизмов. В частности, если
/: А ж В, то Г(/): Г(Л)«Г(В).
Докажите следующие элементарные свойства этого функтора
(Дж. Г. К. Уайтхед {7]):
1. Если группа А является аддитивной группой рациональных
чисел, то Г (А) « А.
2. Если всякий элемент группы А имеет конечный порядок и
делится на свой порядок, то Т(Л) = 0. В частности, если А пред-
представляет собой группу рациональных чисел, приведенных по модулю 1,
тоГ(/4) = 0.
3.' Если группа А является свободной абелевой группой со сво-.
боднымй образующими at, индексы / которых линейно упорядочены,
то Г (Л) является свободной абелевой группой со свободными обра-
образующими f(at) и <рт(ау, ak), где j<k.
4. Если группа А является конечной циклической группой
порядка h с образующей а, то Г (А) представляет собой цикли-
Упражнения 351
ческую группу порядка А или 2А {в зависимости от того, четно или
нечетно Л) с образующей f (а).
5. Если группа А является прямой суммой 2 Ар подгрупп Ар,
индексы р которых линейно упорядочены, то
2 qr
Свойства C) —E) позволяют вычислить группу Г (А) для любой
збелевой группы А с конечным числом образующих.
6. Для любого эпиморфизма / гомоморфизм Г(/) также является
эпиморфизмом.
7. Для любой группы А с конечным числом образующих из соот-
соотношения Г (/): Г (А) « Г (В) вытекает соотношение / : А « В.
8. Любая группа операторов it группы А действует также и
в группе Г (Л) согласно формуле
9. Если группа к является группой операторов групп А и В,
а гомоморфизм / перестановочен с операторами из я, то тем же
свойством обладает и гомоморфизм Г(/).
10. Функтор Г перестановочен с операцией предельного перехода
по прямому спектру.
Докажите также, что группа D\lQ (см. утверждение 14 упр. Е)
изоморфна группе T(it2(/C. v)).
Н. Трансгрессия и надстройка
Пусть А — произвольный регулярный d-комплекс. Рассмотрим
определенный в п. 11 естественный эпиморфизм g : A->A и группы
Лр = Л° П Лр. При /> < 0 эпиморфизм g отображает группу А°р
в нуль и потому определяет некоторый гомоморфизм
А: Ар/А°р->Ар.
При р > 1 Гомоморфизм А перестановочен с оператором d и
потому индуцирует производный гомоморфизм
А.: $Юрр
Докажите, что образами гомоморфизмов g, = ?№ (g) и ht в группе
$вр (А) являются соответственно группы
8. \9вР W) = Eft*. К \Мр №)\ = ЕРр. о-
Рассмотрим теперь гомоморфизм А, совместно с граничным гомо-
гомоморфизмом д:
?№р(А)+— 3@р(А(А°)—-> S^p-i(A°), />^-2.
352 Гл. VIII. Точнь1е пары и спектральные последовательности
Пусть J—образ, а К — ядро гомоморфизма ht, и пусть L — образ,
а Ж — ядро гомоморфизма д.
Для любого элемента х ? J выберем в группе &вр (А/А0) элемент у,
для которого Л, (У) = лг, и рассмотрим элемент д(у). Смежный класс
этого элемента по подгруппе д(К) группы Sffp-i.{A°), очевидно,
однозначно определяется элементом х, так что соответствие х->д(у)
определяет некоторый гомоморфизм
Этот гомоморфизм называется трансгрессией.
Согласно п. 7, группа ?#)P_i является факторгруппой группы
3№р-\(А0)- Пусть х — соответствующая проекция. Докажите, что
прямоугольная диаграмма
Е',0
коммутативна и что ядром проекции г служит группа д (К)- Следова-
Следовательно, проекция х индуцирует изоморфизм
в силу которого трансгрессия Т совпадает с дифференциальным опе-
оператором
; d": EpPiQ-+EiP^.
Это-позволяет для произвольной d-пары определить трансгрессию
как дифференциальный оператор dp.
Аналогично трансгрессий определите гомоморфизм-
называемый надстройкой. При -^вр (Л) = 0 = &вр-х (А) гомомор-
гомоморфизм д является изоморфизмом и надстройка имеет вид
' S « htd~l: Жр.х (А0) -» ?Vp (A).
В этом случае трансгрессия dp = Т является изоморфизмом и в диа-
диаграмме
Упражнения 353
образ надстройки ? совпадает с образом мономорфизма с, а ее
ядро — с ядром эпиморфизма х. Докажите также, что
Получите аналогичные результаты для регулярных 8-комплексов А.
I. Свойства квадратов Стинрода
Пусть (Л", А) — произвольная пара, состоящая из пространства X
и некоторого его подпространства А. Пусть, кроме того, Z2— цикли-
циклическая группа порядка 2. Воспроизведите определение квадратов
Стинрода
Sql: Нп(Х, A;,Z2)-+Hn+l(X, A; Z2),
и докажите следующие их свойства (Стинрод [2], Картан [1]):
1. Sql о f = f* о Sql для любого отображения /: (Л", Д)->(К, В).
2. Sql о 8 = 8 о 5^', где 8 — кограничный оператор когомологиче-
когомологической последовательности пары (X, А).
2
j+k=i
4. Sql (a) = 0. если dim (a) < t.
5. Sql(a) = anjCL, если dim (a) = i.
6. S°) :
7. Отображение Sql совпадает с кограничным оператором, соот-
соответствующим точной последовательности
О —>• Z2 —>• Z4 —> Z2 —> О,
так что имеет место точная последовательность
...-»//"(*, А; гА)-+Нп(Х, А\ Z2)-^^
-+НЯ+1(Х, A; Z2)-+Hn+1(X, A; Z4)->...
23 Ху Сыцзяв
ГЛАВА IX
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАССЛОЕННЫХ
ПРОСТРАНСТВ
1. Введение
В этой главе мы изучим связи между группами гомологии (и ко-
когомологий) произвольного расслоенного пространства, его базы и его
слоя. Как уже отмечалось, основным орудием этого исследования
у нас будет служить аппарат спектральных последовательностей,
построенный в предыдущей главе.
Следуя Серру. мы будем рассматривать лишь сингулярные группы
гомологии и когомологий. От расслоений мы будем требовать, чтобы
для них выполнялась аксиома о накрывающей гомотопии и чтобы
их слои были линейно связными пространствами. Поскольку нам
будет удобно положить в основу определения сингулярных групп
не симплексы, а кубы, мы начинаем с изложения кубической теории
гомологии и когомологий. Затем мы каждому расслоению сопоста-
сопоставляем некоторую точную пару и вычисляем для нее член Е2
(см. п. 3—10; основные результаты в л. 5—6).
Далее мы излагаем ряд приложений. В п. 11 мы выводим соотно-
соотношения между многочленами Пуанкаре расслоенного пространства, его
базы и его слоя, а в следующих трех параграфах строим некоторые
важные точные последовательности, в том числе известные последо-
последовательности Гизина и Вана.
В последних пунктах этой главы (п. 15—18) мы рассматриваем
регулярно накрывающие пространства. Возникающую здесь трудность,
ваключающуюся в несвязности слоя, мы обходим с помощью неко-
некоторых вспомогательных расслоений. Получающуюся спектральную
последовательность Картана мы применяем к задаче изучения конеч-
конечных групп, действующих на-сферах, и к вадаче о влиянии фундамен-
фундаментальной группы на группы гомологии и когомологий.
2. Кубическая сингулярная теория гомологии
Традиционная симплициальная теория сингулярных гомологии
([С—Э], стр. 233—262) основывается на рассмотрении непрерывных
отображений единичного л-мериого симплекса Д„ в данное простран-
пространство X. Однако в теории расслоенных пространств вначительно более
удобно рассматривать кубическую теорию, в которой симплекс Д„
заменен п-мерным кубом /". В этом параграфе мы вкратце изложим
2. Кубическая сингулярная теория гомологии 355
эту теорию. На доказательстве эквивалентности кубической и сим-
плициальной теорий (см. Маклейн, Эйленберг [2]) мы останавливаться
не будем.
Сингулярным п-мерным кубом пространства X мы называем
произвольное непрерывное отображение и: I" —> X. При и = 0 сингу-
сингулярным кубом считается произвольная точка пространства X. При
»> 0 для любого /= 1, 2 ... п нижняя и верхняя 1-е грани Х°и
и Х}« куба в определяются как сингулярные (я—1)-мерные кубы,
задаваемые формулой
(Х*и)(*ь .... '«-i)=*«(*i /(-1. е, U fn_i),
где е = 0, 1 и (tx *„_,) ? Z". Очевидно, что при / < J имеет
место равенство
A/AyeAy-iV
где е, *i = 0, 1.
Пусть Qn(X) — Свободная абелева группа, порожденная всеми
сингулярными «-мерными кубами пространства X, если я^>0, и
Qn(A")a=0, если п < 0. Ясно, что формула
определяет для каждого п некоторый гомоморфизм
д: Q
который, как легко проверить, обладает тем свойством, что дд = О. Та-
Таким образом, мы получаем цепной комплекс {Qn(X), д] ([см.С — Э],
стр. 161). Однако оказывается, что в отличие от симплициальиой
теории этот цепной комплекс не приводит к „правильным" группам
гомологии пространства X. Например, в случае когда пространство X
состоит из одной точки, простые вычисления показывают, что для »
любого я]>0 целочисленная я-мерная группа гомологии комплекса I
{Qn(X), д) является бесконечной циклической группой. Поэтому
мы должны как-то .нормализовать" этот комплекс.
С этой целью мы каждому сингулярному (я— 1)-мерному (я > 0)
кубу и пространства X отнесем сингулярный я-мерный куб Da,
положив
Сингулярный л-мерный куб v пространства X мы будем называть
вырожденным, если v = Du для некоторого а. Другими словами,
куб v тогда и только тогда вырожден, когда он не зависит от по-
последней координаты tn точки (tv .... tn)?In. Для любого я>0
вырожденные сингулярные я-мерные кубы-пространства X порождают
23*
35S Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
некоторую подгруппу Dn(X) группы Qn{X). Так как \'D = Db'i при
<<» и l'nD=l, то
dDu = 2 (—l-)'(xjDe — X?Da) = 2 (—l)l(D\)u — DX?a).
т. е. оператор д переводит группу Dn(X) в группу Оп_г(Х). Следо-
Следовательно, вырожденные сингулярные кубы образуют подкомплекс
\Dn(X), д\ цепного комплекса {Qn(X), д }.
Для любого целого числа я факторгруппа
является, очевидно, свободной абелевой группой. Эту факторгруппу
мы будем называть группой нормализованных п-мерных сингуляр-
сингулярных кубических цепей пространства X. Поскольку оператор д
переводит группу Dn(X) в группу Dn_l(X), он для любого я опре-
определяет некоторый гомоморфизм
д: Сп(Х)-^Ся_1(Х),
который мы будем называть граничным гомоморфизмом. Ясно,
что дд = 0, так что мы получаем цепной комплекс {Сп(Х), д]. Для
произвольной абелевой группы (Г группу гомологии Нп (X; О) и
группу когомологий НЯ(Х; О) этого цепного комплекса над груп-
группой О мы будем называть п-мерными группами кубических син-
сингулярных гомологии и когомологий пространства X с группой
коэффициентов О.
Прямая сумма С(Х) всех групп Сп(Х) является градуированной
дифференциальной группой с однородным дифференциальным опера-
оператором
д: С(Х)-+С(Х)
степени —1. Мы будем называть эту группу группой всех норма-
нормализованных сингулярных кубических цепей пространства X.
Для любого подпространства Хо пространства X группу Сп(Хо)
можно рассматривать как подгруппу группы Сп(Х). Факторгруппа
С„(Х, Х0) = С„(ХIСп(Х0)
ивоморфна, очевидно, свободной абелевой группе, порожденной невы-
невырожденными сингулярными я-мерными кубами пространства X, не
являющимися кубами подпространства Хо. Поскольку гомоморфизм д
переводит С„(Х) в С„_1(Х), а С„(Х0) — в С^СА",,), он индуцирует
граничный гомоморфизм
д: Сп(Х, X^C^iX. Xo). ..
2. Кубическая сингулярная теория гомологии 357
для которого <?<Э = 0. Таким образом, мы получаем цепной комплекс
{Сп(Х, Хо), д). Группы гомологии и когомологий этого цепного
комплекса называются группами гомологии и когомологий про-
пространства X относительно подпространства Хо и обозна-
обозначаются .символами Нп(Х, Хо; О) и Нп(Х, Хо; О) соответственно.
Прямая 'сумма С(Х, Хо) групп Сп(Х, Хо) представляет собой гра-
градуированную дифференциальную группу, называемую группой всех
нормализованных сингулярных кубических цепей простран-
пространства X относительно пространства Хо. Прямая сумма Н(Х, Хо; О)
групп Н„(Х. Хо; О) называется полной сингулярной группой
гомологии пространства X относительно подпространства Хо
с группой коэффициентов О, а прямая сумма Я* (А", Хо; О) трупп
Нп(Х, Хо; О) — полной сингулярной группой когомологий про-
пространства X относительно подпространства Хо с группой
коэффициентов О.
Так же, как в традиционной симплициальной теории, в кубиче-
кубической теории можно ввести понятие групп гомологии и когомологий .
с коэффициентами в произвольной локальной системе 0 = {Qx \x?X\ I
абелевых групп; см. Стинрод [1] и Эйленберг [3]. Мы здесь ограни-
ограничимся важнейшим частным случаем, когда оба пространства X и Хо
линейно связны. Пусть х0 — произвольная точка пространства X,
принадлежащая подпространству Хо (если, конечно, последнее под-
подпространство непусто). Так же, как и в симплициальной теории,
легко показывается, что без изменения групп гомологии и когомо- •
логий мы можем ограничиться рассмотрением сингулярных кубов, все
вершины которых совпадают с точкой х0. Но тогда коэффициенты
всех,цепей и коцепей над локальной системой О будут принадлежать
группе 0Ха, в которой, как мы внаем, действует как группа опера-
тороз фундаментальная группа *i(X, Xo). Таким образом, задача
построения групп гомологии и когомологий с локальными коэффи-
коэффициентами сводится к задаче построения групп гомологии и когомоло-
когомологий с коэффициентами в некоторой группе, в которой действует
группа itj(A", х0).
Итак, пусть О — произвольная абелева группа с группой левых
операторов itj (X, Хо). Для каждого п мы введем в рассмотрение
группу
Сп(Х, Хо;. Q)=*Cn(X, X0)®Q,
где Сп(Х, Хо) — группа нормализованных сингулярных кубических
и-мерных цепей пространства X относительно подпространства Хо
(порожденная га-мерными кубами, все вершины которых совпадают
с точкой х0). Пусть u®g-—произвольная образующая группы
С„(Х, Х0)®О, где и: /"—>Х — невырожденный сингулярный, куб
пространства X, не являющийся кубом подпространства Хо и обла-
обладающий тем свойством, что все его вершины совпадают с точкой Хц,
358 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
a g—-элемент группы О. Определив для каждого 1=1...., п
петлю о,«: 1-^-Х формулой
в/и @ =*«(/, tn),
где f{a:f и ^ = 0 для всех ]ф1, мы положим
(—1)' {Xieefoeltf— Х?в®*}. "
где [ога] — элемент группы itj(^f, x0), соответствующий петле atu.
Полученный гомоморфизм
д: Сп(Х. Хй; 0)->Сп_1{Х. ХО; О)
обладает, как легко видеть, свойством дд = О. Таким образом, мы
получаем цепной комплекс [С„(Х, Хо; О), д). Группы гомологии этого
цепного комплекса и называются группами гомологии Н„(Х, Хо; О)
пространства X относительно подпространства Хо с локаль-
локальными коэффициентами в группе G. Аналогично определяются
группы ко гомологии Нп{Х, Л"о; О) пространства X относи-
относительно подпространства Хо с локальными коэффициентами
в группе О.
В дальнейшем нам понадобится некоторое уточнение понятия
вырожденных сингулярных кубов. Именно мы будем говорить, что
вырожденность сингулярного куба и: /"->ЛГ равна q, если суще-
существует такой невырожденный сингулярный куб v: I"~9-*-X, что
u — D9v, где D* —7*кРатная итерация операции D. Таким образом,
невырожденный куб имеет вырожденность 0 и вырожденность куба
и: /" -> X. не менее чем q. если
«(*!....,*„)=«(/, *,.г 0 0)
для каждой Точки {tx tn) куба /".
3. Фильтрация группы сингулярных цепей расслоенного
пространства
В этом и следующих пунктах мы будем рассматривать произ-
произвольное фиксированное расслоение ш: Х-+В в смысле п. 3 гл. III.
Зафиксировав некоторую точку хо?Х, мы положим Ь0 = а>(х0)?В
и Fsstt)-!^,,). Подпространство F пространства X мы будем назы-
называть слоем данного расслоения. Базу В и слой F в дальнейшем
(до п. 14 включительно) всегда будем считать линейно связными.
Как немедленно следует из теоремы существования накрывающих
путей, пространство X будет тогда также линейно связным. Поэтому,
согласно сделанному в п. 2 замечанию, при рассмотрении кубических
групп сингулярных гомологии и когомологий мы можем ограничиться
3. Фильтрация группы сингулярных цепей 359
лишь сингулярными кубами, все вершины которых совпадают с точ-
точками х0 или Ьо. Во всем последующем мы будем без дальнейших
оговорок считать, что все рассматриваемые сингулярные кубы обла-
обладают этим свойством.
Мы будем говорить, что сингулярный куб и: /п-*-Х имеет вес
<w(u) = p, если вырожденность сингулярного куба ош: /"—>В равна
я— р. Другими словами, куб и тогда и только тогда имеет вес р,
когда при изменении координат tp+v .,., tn точка u(tv .... tn)
остается в одном и том же слое, но переходит из слоя в слой при
изменении координаты tp. Ясно, что вес w(a) каждого сингулярного
куба и пространства X удовлетворяет.неравенствам
C.1) 0<w(«)<dim(«),
а также соотношениям
C.2) да(Х',в)<да(в) при 1 <*<до(в) и е = 0, 1.
C.3) да (X* я) = да (в) при да (и)< / < dim (в) и е = 0, 1.
Пусть теперь Бо—произвольное линейно связное подпространство
пространства В, содержащее точку 1>0 (если оно не пусто), в пусть
Х0 = ш~1(В0). Ясно, что подпространство Л"о также линейно связно.
Рассмотрим группу С=з=С(Х, Хо) всех нормализованных сингу-
сингулярных кубических целей пространства X относительно подпро-
подпространства Хо. Эта группа является градуированной дифференциальной,
группой с однородными составляющими С„ = Ст(Х, Хо) и диффе-
дифференциальным оператором д степени —1. Поскольку группа С есте-
естественно изоморфна свободной абелевой группе, порожденной всеми
невырожденными сингулярными кубами пространства X, не принад-
принадлежащими подпространству Хо, 'мы можем отождествить ее с этой
последней группой. Это позволяет определить в группе С возра-
возрастающую фильтрацию {С}, в которой подгруппой С является под-
подгруппа группы С, порожденная невырожденными сингулярными кубами,
вес которых не превосходит р. Действительно, очевидно, что
[)Ср = С, СрсСр+\ д{Ср)сС
р
и что?р является подгруппой градуированной группы С, т. в. группа Ср
градуирована подгруппами Срт = Ср {\Ст. Из неравенств C.1) немед-
немедленно следует, что для любого отличного от нуля однородного эле-
элемента с?С имеют место неравенства
C.4) 0<w(c)<dim(c).
где w (с) — нижняя грань целых чисел р, для которых О'$ С. Таким
образом, дифференциальная группа С с фильтрацией [С] является
регулярным ^-комплексом в смысле п. 11 гл. VIII.
360 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
4. Ассоциированная точная пара
Рассмотрим регулярный ^-комплекс С^С(Х, Хо), построенный
в предыдущем пункте. Согласно п. 11 гл. VIII, ассоциированная
с ним точная пара
V(C)=:{D, Е; I, j, k)
является регулярной d-парой. В этом параграфе мы вычислим дважды
градуированную дифференциальную группу Е. Поскольку
Ер,9 = ёЮР+11{С% где С=С/Ср-\
мы для этого в первую очередь должны выяснить строение градуи-
градуированной дифференциальной группы Ср.
По определению, Cm^Cm/C^T1. Пусть и — невырожденный син-
сингулярный куб из группы Ст. а [в] — соответствующий элемент
группы Срт. Из соотношений C:2) и C.3) немедленно вытекает, что
дифференциальный оператор д группы Ср переводит элемент [и]
в элемент
т
(О <?[«!= S (-1)'(№«]-№«]}
i-p+i
группы б?-1-
Пусть теперь и: 1т->Х — произвольный сингулярный куб с ве-
весом «»(«)<;р. Полагая q = m — р, определим два сингулярных куба
Ври: /Р-+В, Fpu:
формулами
Bpu(tv .... tp) = <BU(tl. .... tp, 0, .... 0);
/>(*,. .... V = «@ 0. /, t9);
(так как
ш«@ 0, tt *?) = ши@ 0) = b0,
то Fpu (*! tq)^^)- кУбы вра и рРа определены для каж-
каждого куба и и для любого р, удовлетворяющего неравенствам
w («X р < dim и Легко ?5идеть- что эти кубы обладают следую-
следующими свойствами: :
A) Если куб «принадлежит подпространству Хо, то куб Ври
принадлежит подпространству Во. ~~
B) Если w(a)<p, то куб Ври вырожден.
C) Если куб и вырожден и q = Q, то куб Ври тоже вырожден;
если куб и вырожден и ?>0« то кУб Рри тоже вырожден.
-{4) Если />т>, то Bjftu = Bpa и /7/Л'и = Х*_р/7ри для любого
е = 0, 1. ¦-'
4. Ассоциированная точная пара 361
Рассмотрим теперь градуированную дифференциальную группу
Кр = Ср(В, BQ)®C{F)
с однородными составляющими
и дифференциальным оператором dP, определенным на образующих ft®/
группы Кр формулой
(И) d f
Степень оператора dP равна, очевидно, —1. Ясно (см. свойства A)
и C)), что формула
где и — произвольная образующая группы С\ однозначно определяет
некоторый гомоморфизм <р: СР->КР- Согласно свойству B), гомо-
гомоморфизм <р переводит подгруппу Ср~1 в нуль группы Кр и потому
индуцирует некоторый гомоморфизм *
ф: Ср-+Кр
фзкторгруппы СР = С/С~1. Из свойств A) — D) при этом следует,
что гомоморфизм ф перестановочен с дифференциальными операто-
операторами д и dp групп Ср и Кр соответственно, т. е. является отобра-
отображением дифференциальных групп в смысле п. 12 гл. VIII.
Так как группа Ср(В, Во) свободна, то ,
где Hq(JF) —^-мерная группа сингулярных гомологии слоя F¦ Поэтому
для каждой пары целых чисел (р, q) гомоморфизм <|> индуцирует
некоторый гомоморфизм
Теорема 4.1. Гомоморфизм xP,q является изоморфизмом
группы Ep,q на группу Ср(В, B0)®H9(F).
Чтобы доказать эту теорему, достаточно построить отображение
1»: Кр-*-Ср, для которого композиция фр является тождественным авто-
автоморфизмом группы Кр> а композиция |м]> гомотопна тождественному
автоморфизму группы Ср.
Лемма А. Для каждой пары сингулярных кубов и: 1Р->В и
V- l"-+F существует такой сингулярный куб
362 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
что
(А2) Bpz=*u a Fpz=*v;
(A3) l'p+iz = М (и, \*tv) при I < q и е = О, 1;
(А4) если куб v вырожден, то вырожден и куб z;
(AS) если куб и принадлежит подпространству Во, то куб z
принадлежит подпространству Хо.
Доказательство этой леммы будет изложено в п. 8.
Ввиду свойства (А 1) сингулярный куб z = M(u,v) определяет
некоторый элемент М[и, v] группы Ср. Если куб и вырожден, то
ввиду свойства (А2) имеет место неравенство Ш)(г)<.р и, следова-
следовательно, М [и, v] = 0. Если же вырожден куб v, то вырожден н куб z
и потому снова М[и, т»] = 0. Наконец, если куб и принадлежит
подпространству Во, то куб z принадлежит подпространству Хо и,-
следовательно, опять М[п, т>] = 0. Таким образом, формула
Af [a, v],
где u%v — произвольная образующая группы Кр = Ср(В, Во)®С(F)
однозначно определяет некоторый гомоморфизм (i: Кр ~> Ср.
Из свойства (A3) следует, что гомоморфизм (i перестановочен
с дифференциальными операторами, т. е. является отображением
дифференциальных групп, а из свойства (А2) следует, что компо-
композиция <j>(i является тождественным автоморфизмом группы Кр. Таким
образом, для доказательства теоремы 4.1 остается лишь дока-
доказать, что композиция pj* гомотопна тождественному автоморфизму
группы Ср.
Лемма В. Для любого сингулярного куба и: lp+g-+X веса
существует такой сингулярный куб
что
(Bl)
(82) Bpv = Bpu;
(83) v@ О, t, tx ^) = и(О. .... О, /, tgy,
(84) \°p+lv = u и \p+lv = M(Bpu, Fpu);
(85) \\+iV = Dp\'iU при i>p и е = 0, 1;
(86) если q>0 и куб и вырожден, то вырожден и куб v;
(87) если куб и принадлежит подпространству Хо, то
тем же свойством обладает и куб v.
Доказательство этой леммы будет изложено в п. 9.
S. Производная пара 963
Теорема 4.1 из леммы В вытекает почти непосредственно. Дей-
Действительно, соответствие «-*•(—Yf Dpu оИр*еделяет однородный
эндоморфизм ?: Ср -> Ср степени 1, ибо, во-первых, если куб а
вырожден, то при q > О куб Dpa,' согласно свойству (В6), также
вырожден, а при ^ = 0 куб Dpu, согласно свойству (В2), удовле-
удовлетворяет соотношению w (Dpu) < р. Во-вторых, если куб и принад-
принадлежит подпространству Хо, то, согласно свойству (В7), куб Dpu
также принадлежит подпространству Хо и, наконец, в-третьих, если
® (й) < Р< т0- согласно свойству (В2), да (Dpa) < р. Кроме того,
нз формулы (i) и свойств (В4) и (В5) непосредственно вытекает, что
для каждого элемента с?Ср. Это означает, что композиция {«4
гомотопна тождественному автоморфизму группы 5Р. ¦
Изоморфизм хР,я: Ер.ц^СрФ' Bo)®Hq^f) вскрывает геометри-
геометрический смысл различны^ степеней, определенных в группе Е. В даль-
дальнейшем первую степень, р мы будем называть степенью но базе,
а вторую степень q — степенью по слою. Полную степень p~\-q
мы будем называть также размерностью.
б. Производная пара
В предыдущем пункте мы изучили ассоциированную точную пару
= (D, E; I, J, Л) регулярного ^-комплекса и построили
однородный изоморфизм
Х: E~C(B,B0)®H(F)
степени @, 0). Рассмотрим теперь Производную пару
Sf2(C) = (D2. В, Р, р, Л*>
пары ^ (С) в смысле п. 4 гл. VIII.
Чтобы изучить строение дважды градуированной группы Е2, ыы
должны вычислить дифференциальный оператор d = jk группы Е.
Посредством изоморфизма х мы можем перенести этот оператор
на группу С (В, B0)®H(F). Вычислением этого последнего опера-
оператора мы сейчас и займемся.
Сначала мы покажем, что фундаментальная группа %(?. Ь9) дей-
действует в группе H(F) как группа левых операторов.
Лемма С. Для каждой петли о: I-+B, удовлетворяющей
соотношениям o@) = ft0 = o(l), существует такой однородный
гомоморфизм D3: C(F)-+C(X) степени 1, сопоставляющий
364 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
каждому сингулярному п-мерному кубу v слоя F сингулярный
{п-\-\)-мерный куб Dav пространства X, что
(Cl) \°iDQV=:V,
(С2) (aDav)(t, tv .... tn) = a(t);
(СЗ) D^\v=l\+iDav, e = 0. Г,
(С4) если куб v вырожден,, то вырожден и куб DQv.
Доказательство этой леммы будет изложено в п. 10.
Предусмотренный этой леммой гомоморфизм D, мы будем назы-
называть деформацией группы C{F), накрывающей петлю а. Ввиду
свойства (С2) гомоморфизм Da определяет некоторый однородный
эндоморфизм Уо: C(F)->C{F) группы C(F), сопоставляющий каждому
сингулярному «-мерному кубу v слоя F сингулярный «-мерный
куб Jjv слоя F, определенный формулой
i tn)=(Dav)(l, tx tn).
Согласно свойству (С4), куб J6v вырожден, если вырожден куб v.
Кроме того, из свойства (СЗ) легко следует, что J,d = dJa. Следо-
Следовательно,- гомоморфизм У, индуцирует некоторый эндоморфизм
группы Н {F).
Лемма D. Если две петли а, х принадлежат одному и
тому же элементу группы ¦к1 (В, Ьо), то отображения J, и Jx
ценно гомотопны.
Доказательство этой леммы будет изложено в п. 10.
Согласно лемме D, эндоморфизм группы H{F), индуцированный
отображением /„, зависит только от класса [а] петли а в группе
^(В, Ьо). Следовательно, группа 1^E, Ьо) действительно действует
в группе H(F) как группа операторов. Это позволяет определить
на группе С (В, B^®H(F) дифференциальный оператор dB как
граничный оператор группы цепей пары (В, Во) с локальными коэф-
коэффициентами в группе H(F); см. п. 2.
Теперь мы уже можем дать ответ на поставленный выше вопрос.
Именно оказывается, что при отождествлении посредством изомор-
изоморфизма х группы Е с группой С (В, B0)$t)H(F) дифференциальный
оператор d переходит в дифференциальный оператор dB. Точнее,
это утверждение формулируется в виде следующей леммы:
Лемма 5.1. Изоморфизм х является отображением диффе-
дифференциальных групп, т. е. dBx = %d.
Доказательство. Докажем, что йд = Х^Х~1- С этой целью мы
рассмотрим произвольную образующую «® А группы С (В, B0)(&H(F).
Пусть ч
5. Производная пара 365
— сингулярный ^-мерный цикл класса гомологии h?Hq(F). Здесь
Vj — сингулярные ^-мерные кубы слоя Т7, a cij — целые числа. Рас-
Рассмотрим сингулярную (/*-)-$-мерную цепь
г
2= 2j a,M{u, v,)
пространства X. По определению гомоморфизмов (J. и % цепь z
определяет некоторые элементы
"• х (в®А)??,'„.
групп Ср и ?„г4 соответственно. Граница цепи г выражается фор-
формулой ¦
г рЛ-q
dz=2 S (— 1)'йу{Х?Ж(«, «у) J- Х?Ж (a, wy)}.
При I i> /7 из» свойства (A3) (см. п. 4) следует, что
1\М (а, г>;) = М (и, l\-.pv]), е = О, 1.
С другой стороны, так как цепь / является циклом, то выражение
является линейной комбинацией вырожденных сингулярных кубов
слоя F. Следовательно, пренебрегая вырожденными кубами, мы
можем написать выражение для дг в следующем виде:
г Р
^ = 2 22 (— l)la,{x}M(a, Vj) — Х?Ж(«. vj)}.
Отсюда и из соотношения C.2) вытекает, что цикл дг принадлежит
группе Ср~х. Его образ в факторгруппе Ср~1 также является циклом
и потому определяет некоторый элемент у группы Е и . При этом,
согласно определению оператора d, имеет место равенство
Следовательно, элемент х(У)==Х<^1~1(а® А) является классом гомо-
гомология цикла
2
366 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
группы Ср-1(В. В0)®С(/7) относительно оператора dp. Но ясно,
что для любого <<р куб ?p_iX*Af(e, v)) совпадает с кубом Х*«.
Что же касается куба /7p_1XjAl(e, vj), то он определен формулой
= М(и, Vj)(O, ...-., О, в, 0 О, tx tq),
где е стоит на 1-м месте, из которой, в частности, следует, что
/7р_1Х|Л!(и, vj)-=Vj, Таким образом,
где gfj — цикл группы C(F), определенный формулой
г
}
Имея в виду вычислить класс гомологии последнего цикла, мы
каждому ^-мерному сингулярному кубу v слоя F отнесем (д-\- 1)-
мерный сингулярный куб Dv пространства X, положив *
(Dv)(t.-tx tq) = M{u, to@ 0. t. 0 0. tx tq),
де t стоит на /-м месте. Так как
(*Dv)(t, /, g = (e/a)@
где а;и: 1-*В — построенная в п. 2 петля, то, как легко проверить,
соответствие v-+Dv определяет деформацию
D: C(F)-+C(X),
накрывающую петлю atu. Так как
(Dvj) @, ix t<) = Vj Ci ^).
(Dfty) A. /i V = /VxXjAI («, t»>) (fi /,).
то отсюда следует, что цикл gt принадлежит элементу [з;и]Л
группы Hq{F). Следовательно,
г
'1 (« ® А) = 2 (— 1)' {Х{« g) [s,e] А —Х?и ® А) =
Тем самым равенство Х^1~1 = ^в полностью доказано. ¦
Из доказанной леммы непосредственно вытекает
Теорема 5.2. Для каждой пары целых чисел (р, q) изомор-
изоморфизм х индуцирует изоморфизм
W E\,t~H,{B. Bo; Ht(F))
ч
6. Гомологии с произвольными коэффициентами 367
п
группы Ер<9 на р-мерную сингулярную группу гомологии про-
пространства В относительно подпространства Во с локальными
коэффициентами е групп* Hq(F).
Заметим, что, согласно этой теореме, дважды градуированная
группа Е2 зависит только от пространства В, подпространства Во,
слоя F и действия группы те, (В) в группе H(F). В частности, если
группа «](/?) тривиально действует в группе H(F), то группа Е2
имеет то же строение, что и соответствующая группа для прямого
произведения В X Р- Отличие расслоений от прямых произведений
проявляется здесь в дифференциальном операторе d2.
в. Гомологии с произвольными коэффициентами
В дв*ух предыдущих пунктах мы ради простоты ограничивались
целочисленными коэффициентами. Однако полученные там резуль-
результаты легко могут быть обобщены на случай любых коэффициентов.
Пусть О — произвольная абелева группа, и пусть С — построен-
ный выше регулярный д-комплекс С(Х, Хо). Рассмотрим группу
нормализованных сингулярных цепей пространства X относительно
подпространства Хо с коэффициентами в группе О. Она является
градуированной группой с однородными составляющими
и дифференциальным оператором д степени —1. Определим в этой
группе возрастающую фильтрацию \АР), полагая
Тем самым группа А определяется как регулярный <?-комплекс. Рас-
Рассмотрим ассоциированную точную пару
SfO4) = (D, E; I, J, k)
и ее производную пару
ff»D)*»(D*. ?»; Р. р, *«).
Так как группа С является прямым слагаемым группы С, то
Пусть
Определим в этой группе дифференциальный Оператор dF, полагая
l
368 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
для каждой ее образующей b®f®g. Тогда ясно, что
&вр^Кр) = Ср{В, B0)®Hq(F; О).
где Hq(F; О) — ^-мерная группа сингулярных гомологии слоя F
с коэффициентами в группе G.
Очевидно, что построенный в п. 4 гомоморфизм ф определяет
некоторое отображение ф: АР-*КР, индуцирующее гомоморфизмы
Хр,9: Ep>q-*Cp(B, BJ®Hq(F; О).
Ясно также, что из сформулированных в п. 4 лемм немедленно
вытекает
Теорема 6.1. Гомоморфизм %pq является изоморфизмом
группы Eptq на группу Ср(В, B0)®Hq(F, О).
Далее из лемм С и D п. 5, вытекает, что группа icj(B, b0) дей-
действует в группе H(F; О) как группа левых операторов. Пусть
dB — граничный оператор группы С (В, B^®H(F; О), рассматри-
рассматриваемой как группа цепей с локальными коэффициентами в группе
H(F\ Q). Как легко проверяется, лемма 5.1 остается справедливой
и в этом общем случае. Следовательно, имеет место
Теорема 6.2. Для каждой пары целых чисел {р, q) изомор-
изоморфизм х индуцирует изоморфизм
xPi4: E2p,g~Hp{B,B0; Hq(F; О))
группы EPiq на р-мерную группу сингулярных гомологии про-
пространства В относительно подпространства Во с локальными
коэффициентами в группе Hq(F; О).
Важный частный случай этой теоремы возникает при А=С (X) ® О.
В этом случае подпространство Во пусто и гомоморфизм хр q пред-
представляет собой изоморфизм группы Ep>q на группу гомологии
Нр{В; Hq(F\ О)) пространства В с локальными коэффициентами
в группе Hq(F; О).
Аналогичные результаты имеют место и для групп кого.мологий;
см. упр. А в конце главы.
В большинстве приложений группа -к1 (В, Ьо) тривиально дейстзует
в группах гомологии и когомологий слоя F. В частности, это имеет
место, когда пространство В односвязно или когда пространство X
является косым произведением над В с линейно связной структурной
группой; см. Серр [1], стр. 34.
Рассмотрим теперь случай, когда группа коэффициентов О является
либо аддитивной группой целых чисел,. либо полем. В этом случае
изоморфизм хра теоремы 6.2 представляет собой изоморфизм О-мо-
. 4 \
7. Спектральная гомологическая последовательность 369
дулей. Поэтому если группа п1(В, ?0) тривиально действует в группе
Hq(F; О), т. е. если группа Нр(В, 30; Hq(F, О)) является чзбычной
группой сингулярных гомологии с коэффициентами в группе Hq (F; О),
то для вычисления группы EJ,,q можно применить теорему об уни-
универсальных коэффициентах (см. [С — Э], стр. 204). Поэтому имеет
место следующая
Теорема 6.3. Если группа п1(В, Ьо) тривиально действует
в группе Hq(P, О), то
E2p,q~Hp(B, Во; 0)®0Нд(Р; О) +
Ч-ТогоСЯр^Я, Во; О), Hq(F; О)).
Периодическое произведение Joro обладает тем свойством, что
Toro(Z, Ж) = 0, если хотя бы одна из групп L и М является сво-
свободным G-модулем. Отсюда вытекает
Следствие 6.4. Если хотя бы одна из групп Нр.^В, Во; О)
и Hq(P; О) является свободным 0-модулем, то
El, „ да Нр (В, Во- О) ®о Нч (F; О).
Заметим, что условия этого следствия автоматически выполнены
в случае, когда группа О является полем.
7. Спектральная гомологическая последовательность
Регулярный д-комплекс
А=С®0, где С = С(Х, ХО),
построенный в предыдущем пункте, порождает, согласно п. 4 гл. VIII,
последовательность
1 Vn(A) = {Dn, En; in,kn, f)
производных пар ассоциированной точной пары ^(А) = ^1(А).
Группы Еп этих пар являются дважды градуированными дифферен-
дифференциальными группами с дифференциальными операторами dn = jnkn.
-Их последовательность
{Еп\п = 1, 2, ...},
т. е. спектральную последовательность пары & = &(А), мы будем
называть спектральной гомологической последовательностью
расслоенного пространства X относительно подпростран-
подпространства Хо с группой коэффициентов О.
Поскольку А является регулярным д-комплексом, для этой после-
последовательности справедливы все результаты п. 10—П гл- VIII,
84 ху Си-ц»*и
/
370 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
В частности,
ffl<$) = m{A) = H{X, XQ; О).
При этом в группе Н(Х, Хо; О) определена некоторая фильтрация
Нт (X. *0; О) = №т, о
причем соответствующей присоединенной градуированной группой
является группа ?°°, т. е.
Группу $0р q(&) мы в дальнейшем будем обозначать символом
h^^x^Jg).
Начиная с этого места, мы должны будем различать случаи, когда
подпространство Хо пусто и когда оно не пусто. Рассмотрим сна-
сначала случай, когда подпространство Хо пусто.
Сингулярный куб а пространстваг X тогда и только тогда имеет
вес да(«) = 0, когда куб та представляет собой отображение в одну
точку. Поскольку мы предположили, что.все вершины куба а совпа-
совпадают с точкой х0, куб ши должен быть отображением в точку Ьо,
что возможно только тогда, когда куб и представляет собой сингу-
сингулярный куб слоя F. Тем самым доказано, что A° — C(F)®G.
Но, как мы знаем, Rg(g) = 3Vg(A°}, см. п. 11 гл. VIII. Следо-
Следовательно,
Rq&)=:Hq(P; О).
Рассмотрим теперь группу Sp(?*). Как мы знаем, Sp (&) = Ш,, (А),
где А — градуированная дифференциальная группа с однородными
составляющими Ap = Epi0. С другой стороны, группа EPtQ посред-
посредством изоморфизма хр,о отождествляется с группой Cp(B)®H0(F; G),
причем, ввиду того что слой F линейно связен, группа HQ(F; О)
совпадает с группой О. Имея в виду, что в группе О группа itj (В)
действует тривиально, мы получаем отсюда, что А =С (B)®G-
Следовательно,
Применяя теперь результаты п. 7 гл. VIII, мы получим следую-
следующие две коммутативные диаграммы:
Hq{F; O)-b->Hq(X; G) H^X; О)-^-»Яр(В; О)
8. Доказательство леммы А 371
где гомоморфизмы б, и ш, индуцированы вложением б: FaX и проек-
проекцией ш: Х-*В соответственно, х — некоторые эпиморфизмы и
i — некоторые мономорфизмы. Из этих диаграмм непосредственно
следует, что группа H0>q{X; Q) представляет собой образ гомомор-
гомоморфизма б,, а группа Hp_XtX(X; G) — ядро гомоморфизма <!>„•.
Рассмотрим теперь случай, когда подпространство Хо непусто.
В этом случае FczX0, откуда, как легко видеть, вытекает, что j4°=s=0
и, следовательно, что Е", q = О = Е<?д. В частности, /
С другой стороны, как и выше,
Hp(B. В0;О).
и потому по-прежнему имеет место нетривиальная коммутативная
диаграмма
. Hp(X,X0;
из которой следует, что ядром гомоморфизма а>, является группа
Hp^lti(X, Хо; О), а его образом—подгруппа, изоморфная группе В^,о~
Аналогичные результаты имеют место и для групп когомологий;
см. упр. В в конце главы.
8. Доказательство леммы А
Мы докажем лемму А индукцией по целому числу q.
Пусть сначала q =* 0. Тогда сингулярный куб v представляет собой
точку х0 и доказательство сводится к построению для каждого сингу-
сингулярного куба а: 1Р-+В такого сингулярного куба z=M (a, v): Ip -> X,
ЧТО U>Z = Ui
Пусть Vo — вершина @ 0) куба 1Р. Поскольку Vo предста-
представляет собой сильный деформационный ретракт куба 1Р, мы. применив
теорему 3.1 гл. III, можем построить такое отображение у: 1р-*-Х,
что <»у = и и y(V0) = x0. Пусть Va — произвольная вершина куба 1Р.
Так как и (VJ = Ь0 и шу = и, то точка у (VJ принадлежит слою F.
Поскольку слой F линейно связен, существует такой путь oe: I-+-F,
что oa@) = y(Vj и оаA) = х0.
Пусть Q — подпространство куба /р, состоящее из всех его вершин.
Определим гомотопии ft: I"->B, 0<f < I. и gt\ Q-*X, 0</<l,
полагая
для каждого t?I и каждой вершины Va куба 1Р. Так как
So = y\q и Ш8( = /Ад Ддя всех
24*
372 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
то, согласно теореме 3.1 гл. III, существует такая гомотопия g*: /P->A",
0<*< 1, что
g*0 = У и gt= g)\Q, <og* = ft для всех t?/.
Пусть z — gy Ясно, что z представляет собой сингулярный куб
пространства X, все вершины которого совпадают с точкой д:0.
Кроме того, шг = и. Тем самым лемма А для случая ^ = 0 пол-
полностью доказана.
Пусть теперь q > 0, и пусть удовлетворяющие условию леммы
кубы М (и, v) уже построены для всех кубов и и всех кубов v, для
которых dim«<^. Наша задача состоит в построении сингуляр-
сингулярного куба z = M(u, v) для любых двух сингулярных кубов и: 1Р->В
и v: I4->F. \
Предположим сначала, что куб v вырожден, т. е. что он не
зависит от последней координаты,'так что, в частности, Х^(v) — Xj(v).
В этом случае мы определим куб z = M (и, v) формулой
z (h tp+q) = М (и, Х°г>) (ti tp+g-i).
Ясно, что условия (А1), (А4) и (А5) леммы А выполнены. Усло-
Условие (А2) проверяется простой выкладкой:
Bpz(tx ^) = a>2(^ tp. 0 0) =
= шЛ1(и, XJJ»)(f, tp, 0 0) =
=*=«(*,. .... tp);
j»)@ 0, h ^-i)
f,_l)=f»(fl tq).
Условие (A3) при i = q очевидно:
К>+<1г(*1 tP4q-\) = Z(ti tp+ll_i, e) =
С другой стороны, при i < q имеет место равенство
-i, e, tp+t tp+Q_{)
tp+i-ъ
9. Доказательство леммы В 375
Но так как 1<? и куб v вырожден, то куб Х/х», а потому и куб
М(и, \]v) также вырождены. Следовательно, '
M(U, Wujih Ь+я-1)г=*М(й< Х|Ч>)(*1 tp+q-i, 0) =
= М(и, $-il\v)(ti tp+q_i).
Поскольку \'ik°Qv = \09-.ikltv, условие (A3) тем самым полностью про-
проверено.
Остается построить куб z = М (a, v) для невырожденного куба v.
Пусть Р = /"+» = /"Х/? и Q = F0X/*U/pX<?/e, где Vo —вер-
—вершина @ 0) куба I", a 61" — теоретико-множественная граница
куба Iя. Так как множество Q, очевидно, деформируемо в стягивае-
стягиваемое множество V0Xf[}V0XdI9 = V0Xf9, то Q стягиваемо по себе
в точку и потому является сильным деформационным ретрактом
куба Р.
Определим теперь отображения /: Р—>В и g: Q—>X, полагая
f(tx tp, sx sq) = u{tx tp);
.... 0, Sj s?) = «Ej sg);
= M(u, l]v)(tl tp, Si Sq_i).
Ясно, что отображение g однозначно и, следовательно, согласно
предложению 5.1 гл. I, непрерывно. Кроме того, очевидно, что
(!)?• =/|q. Поскольку, как мы видели, множество Q является сильным
деформационным ретрактом куба Р, к отображениям / и g приме-
применима теорема 3.1 гл. III, согласно которой существует такое ото-
отображение а: 1р+<1->Х, что (i>2 = / и z\Q = g.
Поскольку ?> 0, все вершины куба 1Р+Я содержатся в Q, откуда
следует,, что все вершины сингулярного куба z = M(u, v) простран-
пространства X совпадают с точкой х0. При этом условия (А1) — (А5),
очевидно, выполнены. Тем самым индуктивное построение кубов М (и, v)
полностью завершено. ¦
9. Доказательство леммы В
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы А
и состоит в построении куба Dpu индукцией по числу q. В общих
чертах эта индукция проводится следующим образом.
Пусть сначала ^ = 0, и пусть
Р = /р+1-/р X Л Q=»(/p X 0)U(V0X /)U(/p X 1)сР,
где Vo — вершина @, .... 0) куба /р. Ясно, что множество Q является
сильным деформационным ретрактом куба Р. Определим два отобра-
374 Гл. IX. Спектральные последоваильности расслоенных пространств
жения /: Р-+В и g: Q->X, полагая
fifi *,.') = •«& tp).
tp, 0) = а(*р .... tp),
0, t)=*x0,
tP. l) = M(Bpu, Fptt)(tt tp).
Применяя теорему 3.1 гл. III, мы получин такое отображение v: Р-*-Х,
что aw = / и v \Q = g. Поскольку Q содержит все вершины куба Р,
отображение v является сингулярным кубом, все вершины которого
совпадают с точкой л:0. При атом ясно, что. куб Dpu=*v удовле-
удовлетворяет всем условиям (В1) — (В7).
Пусть теперь q > 0, и пусть кубы Dpu уже построены для всех
кубов и веса «»(«)<;р и размерности dim» <р-\~q. Рассмотрим
сингулярный куб и пространства X веса w(u) ^.р и размерности
dim(u) = p-\-q. Если куб и вырожден, т. е. если он не зависит
от последней координаты, то Xop+llu=ssXp+llu, и мы определим куб
формулой
V (ti, .... tp+ll+i) = Dpkp+llU (/, tp+q).
При этом из предположений индукции легко следует, что усло-
условия (В1—В7) выполнены.
Таким образом, нам остается построить куб v = Dpu лишь для
невырожденного куба и. С этой целью мы рассмотрим куб
Р=1Р X / XI" ias Ip+9+1
и его подмножество
<? = (/* X 0 X/?)U(/p XI XI9)U(V0 X/X/*)U(/p Х/Х dl%
где Vo— вершина @ 0) куба /р, а д!9 — теоретико-множествен-
теоретико-множественная граница куба Iя, и определим два отображения /: Р-+В
и g' Q->X формулами
.... tp, t, sv .... sq) = Bpu{tv .... tp\
.... tp, 0, Sj S9) = U (tv .... rp) Sj, . . ., Sg)i
.... ^.1. Sj sq)^M{Bpu, FpU)^ tp, Sl sg),
g@ 0. t, sx s?) = «CO 0. si *,)="
= Fpu(Sl sg),
g(tv .... tp, t, sv .... st.v e, s, *,-i)»=
= Bp\p+iU(t\, ..., tp, t, S\ Sq-i).
Так как множество Q является сильным деформационным ретрактом
куба Р и <t>g — f\Q, то существует такое отображение v: Р~+Х.
что u>v — f и v\o==g- Поскольку Q содержит все вершины куба Р,
10. Доказательство лемм С и D - 37&
отображение v является сингулярным кубом, все вершины которого
совпадают с точкой л:0. Тот факт, что куб Dpu s= v удовлетворяет всем
условиям (В1) — (В7), проверяется автоматически, ш
10. Доказательство лемм С и D
Чтобы доказать лемму С, мы, рассматривая петлю а как сингу-
сингулярный одномерный куб базы В, определим для каждого сингуляр-
сингулярного я-мерного куба v слоя F куб Dov формулой
v),
где М — операция, предусмотренная леммой А. Поскольку Dav пред-
представляет собой сингулярный (л-(-1)-мерный куб пространства X,
соответствие v->Dev определяет некоторый однородный гомоморфизм
Da: C(F)-+C{X)
степени 1. То, что этот гомоморфизм удовлетворяет условиям
(С1) — (С4) немедленно вытекает из свойств (А1) — (А4) операции М.
Тем самым лемма С полностью доказана.
Перейдем к доказательству леммы D. Пусть о и х — две петли
базы В, соответствующие одному и тому же элементу группы icj (В, Ьо).
Тогда существует такой сингулярный двумерный куб и: 12->В, что
в (О. О = *о— «A. 0. «(*. O) = e(f). «(f. I) = x(f)
Для каждого f?/. Пусть D, и D,—деформации группы С (F),
накрывающие пути а и т соответственно. Для каждого сингулярного
л-мерного куба v слоя F мы построим такой сингулярный (л -f- 2)-
мерный куб Qv пространства X, что
(D2) 52Qt» = «;
(D3) l\Qvit, h, .... tn) = v(h, .... ttt);
(D4) XjQv =D,v, >^Qv = D^v,
(D5) Qk'v = l*+2Qv, e = 0, 1, t=\, .... n;
(D6) если куб v вырожден, то вырожден и куб Qv.
Куб Qv мы построим индукцией по размерности л куба v.
Пусть сначала л = 0, т. е. пусть куб v представляет собой
точку х0. Рассмотрим подпространство
куба /8 и определим отображение /: А->Х, полагая
376 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
для всех t ? /. Ввиду того что ш/ == и \Л и А представляет собой
сильный деформационный ретракт куба /2, отображение / обладает,
распространением g: 12->Х, накрывающим куб и. Рассматривая
отображение g как сингулярный двумерный куб пространства X,
мы примем его за куб Qv, Ясно, что условия (Dl) — (D6) будут
при этом выполнены.
Пусть теперь л > 0, и пусть куб Qv уже построен для каждого
сингулярного куба v слоя F, имеющего размерность, меньшую я.
Пусть, кроме того, V— произвольный сингулярный куб слоя F раз-
размерности л. В случае когда куб v вырожден, мы положим
Qv(s, t, h tn) = Q
Если же куб v невырожден, то мы рассмотрим подпространство
4 = (/X0X/B)U(/XlX/")U@X/X/")U(/X/X<?/")
куба /л+2 = /2Х/л и определим два отображения /: А->Х
и у: 1п+ —>?, полагая
= u(s, t),
f(s, 0. *, tn) = D,v(s, f, tn).
f(s, 1, t, tn) = Dj>{s, t, tn),
/@. *. *, tn) = v{tx tn),
f(s, t, U *i_i, e, U tn-.i) = Ql\v(s, t, U tn-\).
Так как ш/ = <p \A и А — сильный деформационный ретракт куба /л+2»
то отображение / обладает распространением g: /я+2->А", накры-
накрывающим отображение (р. Это отображение g мы и примем за (д-)-2)-
мерный куб Qv. Проверку того, что в обоих случаях условия (D1)—(D6)
выполнены, мы оставляем читателю. Тем самым кубы Qv полностью
построены.
Рассмотрим теперь эндоморфизмы
У,, Ут: C(F)->C(F),
определенные деформациями D, и Dx соответственно, и однородный
эндоморфизм К группы C{F) степени 1, определенный для каждого
сингулярного куба tn-I"->F формулой
, t. h tn).
Поскольку, как легко видеть.
эндоморфизмы У„ и Ут цепно гомотопны. Лемма D полностью доказана.
Замечание. В случае когда X представляет собой локально три-
вцальное расслоенное пространство, доказательства лемм А —Р могут
11. Многочлены Пуанкаре 377
быть упрощены на основании следующих соображений. Каждый син-
сингулярный куб и: I" ->В индуцирует локально тривиальное расслоен-
расслоенное пространство U над кубом I". Ясно, что все необходимые для
доказательства лемм А — D построения достаточно провести в про-
пространстве U, что не представляет никаких трудностей, так как
по теореме Фельдбау (см. [С], стр. 67) это пространство эквивалентно
прямому произведению I"XF-
11. Многочлены Пуанкаре
Пусть О — произвольное поле и М — градуированное векторное
пространство над полем О с однородными составляющими Мр. Раз-
Размерность пространства Мр мы будем называть р-м числом Бетти
пространства М и будем обозначать его символом Rp(M). Ясно, что
пространство М тогда и только тогда конечномерно, когда все числа
Бетти Rp(M) конечны я только конечное число их отлично от нуля.
В дальнейшем мы раз и навсегда будем предполагать (если только
не будет явно оговорено противное), что все рассматриваемые гра-
градуированные векторные пространства М над полем О конечномерны
и что Мр = О при р < 0.
Для каждого такого пространства М определим его многочлен
Пуанкаре ф (М) и его эйлерову характеристику ^ (М) равенствами
Доказательство следующих элементарных свойств многочленов Пуан-
Пуанкаре мы оставляем читателю:
A) Для любого подпространства L пространства М имеет место
равенство
B) Для любых двух градуированных векторных пространств М
и N имеет место равенство
C) Для любого градуированного векторного пространства М,
снабженного линейным дифференциальным оператором d: М -> М
степена —1, имеет место равенство
ф {&в (М)) = ф (М) — A -f t) ф (d Щ)).
D) Если. ;подпро,странство L градуированного векторного про-
пространства М, снабженного линейным дифференциальным оператором d
степени —1, обладает тем свойством, что L[)d(M) = 0, то. подпро-
подпространство N = L(\Z(M) изоморфно подпространству простран-
378 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
ства §6 (М), состоящему из классов гомология, содержащих элементы
подпространства N. причем
(неравенство f ^.g между двумя многочленами / и g означает,
что разность g — / является многочленом с неотрицательными коэф-
коэффициентами).
E) Если подпространство L градуированного векторного про-
пространства М, снабженного линейным дифференциальным оператором d
степени —1, обладает тем свойством, что LczZ(M), то
где N— подпространство пространства ?№ (М). состоящее из классов
гомологии, содержащих элементы подпространства L.
Если для некоторой пары (Y, YQ), состоящей из пространства Y
и его подпространства Ко, векторное пространство H(Y, Ko; О)
конечномерно над полем G, то его числа Бетти, многочлен Пуанкаре
и эйлерова характеристика называются соответственно числами Беттн,
многочленом Пуанкаре и эйлеровой характеристикой пари (Y, Yo)
над полем О и обозначаются символами
RP(Y. Уо> О). ф(К. Yo; О) и Х(К. Yo; О)
соответственно.
Применим эти общие понятия к исследованию введенной в п. 7
спектральной гомологической последовательности расслоения, Пусть
группа щ(В, Ьо) тривиально действует в пространстве H(F; О),
и пусть пространства Н(В, Во; О) и H(F; Q) конечномерны.
Теорема 11.1. При высказанных предположениях имеет место
неравенство
Rm(X, Х0', О)< 2 RP{B, BQ;O)R (F; О).
p+q-m
Теорема 11.2. При этих же предположениях имеет место
равенстяо
(Х, Хо; 0) = ХE. BQ; Q)X(F; О).
При Во=0 теорема 11.1 утверждает, что числа Бетти расслоен-
расслоенного пространства X не превосходят чисел Бетти прямого произве-
произведения 5 X Р< а теорема 11.2 утверждает, что эйлерова характери-
характеристика пространства X совпадает с эйлеровой характеристикой прямого
произведения В X F-
Эти две теоремы являются непосредственными следствиями некото-
некоторой более общей теоремы, касающейся многочленов Пуанкаре. Пусть
ф {В, Во; О) *. bf+ba+1t'+1 +••¦.+ b/. p > а > О,
/
//. Многочлены Пуанкаре 379-
—¦ многочлены Пуанкаре векторных пространств Н{В, Во; О) и H(F; О)
соответственно, и пусть
Ниже, говоря о многочлене Пуанкаре ty(M) дважды градуирован-
градуированного векторного пространства М над полем О с однородными соста-
составляющими Мрг9, мы всегда будем иметь в виду его многочлен Пуан-
Пуанкаре, соответствующий градуировке, определенной полной степенью
p-\-q. В частности, это будет относиться к дважды градуированному
пространству
(ясно, что это пространство конечномерно).
Упомянутую выше общую теорему мы можем теперь сформули-
сформулировать следующим образом:
Теорема 11.3. Если пространства Н(В, Во; О) и H(F; О)
конечномерны, то пространство Н(Х, Хо', О) также конечно-
конечномерно и его многочлен Пуанкаре определяется формулой
; О)—
При »том многочлен ф(Д) обладает тем свойством, что
Доказательство. Согласно следствию 6.4, член Е2 спектральной
гомологической последовательности рассматриваемого расслоения
выражается формулой
Во; 0)®0H(F; О)
и потому имеет конечную размерность. Следовательно, конечную
размерность имеет и член Е™, а потому и пространство Н(Х, Хо; О).
С другой стороны, согласно свойству B), имеет место равенство
; О),
а согласно свойству C), — равенство
Следовательно,
ф(Л\ Хо; О)
Тем самым первая часть теоремы полностью доказана.
380 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
Для доказательства последних двух неравенств мы для каждого
я ^. 2 рассмотрим подпространство
пространства Е". Так как оператор d" имеет степень (—я, я—1),
то любой элемент этого подпространства является циклом, так что
имеют место эпиморфизмы
М2 -> М* ->...-> Мп -> Мп+'->...-> ЛГ.
При этом ввиду свойства E) для каждого я]>2 имеет место не-
неравенство
из которого следует, что
•Но
уИ2 «[Яв E, 50; О) + На+1 (В, Во; О)] ®0 Н (F; О) -f
+ Н(В, Во; 0)®aH1(F; О),
и потому ф (Л12) >- ф (Е2) — PV, что возможно лишь при
Для доказательства второго неравенства мы для каждого л ^- 2
рассмотрим подпространство
пространства Е". Н» один отличный от нуля элемент этого подпро-
подпространства не может быть границей относительно оператора d\ так
что имеют место мономорфизмы v
лг-> ... ->лг+1->лг"-> ... ->лг^лЛ
При этом, согласно свойству D), для каждого я;>2 имеет место
неравенство
((
откуда, как и выше, следует, что
12. Точная последовательность Гизина 381
Так как, с другой стороны,
ф(ЛР)>ф (?*)-<??/,
то ф(Д)<<??/. ¦
Следствие 11.4. Имеют место равенства
/W*' Х0' O) = R9(B,B0; Q)R^F; О),
R^-dX, Хо\ О) = Яр(Я, Во;
Применим теорему 11.3 к изучению расслоенных пространств,
база В и слой F которых являются над полем О гомологическими
сферами, т. е. для которых
где р > 1 и q > 0. Оказывается, что при ? =? /> — 1 многочлен
Пуанкаре пространства X над полем О полностью определяется
в этом случае многочленами Пуанкаре базы В и слоя F. Именно
имеет место следующее
Предложение 11.5. Если q + p—1, то
Доказательство. В рассматриваемом случае P = tp, Q= I, U = t^,
V — \. и потому, согласно теореме 11.3,
ф (X; О) = A + *р) A + *•) - A +V) ф (Д),
где ф(Д)< г*" и ф(Д)<^. Так как ? =? р — 1, последние нера-
неравенства возможны лишь при ф(Д) = О. ¦
В критическом случае q = р — 1 мы получаем, что либо ф (Д) = О,
либо ф(Д) = ^р~1. Таким образом, имеет место следующее
Предложение 11.6. Если q = p — 1, то многочлен ф(Л"; О)
имеет либо еид (l -МРH + *""'). либо еид Г+/*".
Из предложений 11.5 и 11.6 следует, что пространство X.
являющееся гомологической я-мерной сферой, только тогда может
быть расслоенным пространством над односвязной гомологической
р-мерной сферой В, слоем F которого является гомологическая
^-мерная сфера, когда q = p — 1 и п = 2р—1; ср. [С], стр. 175.
Для р = 2, 4, 8 примерами таких расслоений являются расслоения
Хопфа; см. п. 5 гл. III.
12. Точная последовательность Гизина
Пусть О — либо аддитивная группа целых чисел, либо поле,
•и пусть слой F является над О гомологической r-мерной (г^-1)
сферой. Пусть, кроме того, группа iti(S, b0) тривиально действует
382 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
в группах гомологии и когомологий слоя F. Тогда справедлива сле-
следующая
Теорема 12.1. Имеет место точная последовательность
, Во; О)Л*+Нт_г{В, Во;
->Нт (X. Хо; О)-2»-. Нт(В, Во; О) -Ь+... ,
гомоморфизм ш* которой индуцирован проекцией ш: (X, Хо)->
->(В, До).
Эту последовательность мы будем называть гомологической по-
последовательностью Разина.
Доказательство. Поскольку слой F является гомологической
r-мерной сферой, в члене Е2 могут быть нетривиальны лишь два
столбца, а именно столбцы, состоящие из групп
??р,о~Нр(В. Яр; ф. Ер,г» Нр{В, Во; G)®aH,(F; G)^HP{B, Bo; О).
Применяя теорему 8.3 гл. VIII, мы, в силу коммутативной треуголь-
треугольной диаграммы, приведенной в конце п. 7, немедленно получаем
отсюда требуемую последовательность. ¦
Аналогично доказывается
Теорема 12.2. Имеет'место точная последовательность
... j?+Hm(B, Во; 0)^>Нт(Х, Х0; О)-С*
->Нт-г(В, Во\ О) -?¦ Нт+Х (В, Во; О) -^^.
гомоморфизм ш* которой индуцирован проекцией ш : (X, Хо)-+
-+(В, Во).
Эту последовательность мы будем называть когомологической
последовательностью Гизина.
Если Яо=0. то Н°(В; О) ж О. Пусть s = <f*(l)?Hr+1(B, О).
Тогда можно доказать, что для каждого элемента х ? Нт~Т(В; О)
имеет место равенство
<р* (jf) = X KJ S = S <J X,
причем 2sss:0, еслк г че*но. Поскольку этот результат будет ис-
использован только в этом параграфе, мы его доказательство опустим;
см. Серр [1], стр. 61.
В качестве приложения последовательности Гизина, мы в пред-
предположении, что расслоенное пространство X является для некоторого
» > г гомологической га-мерной сферой, изучим целочисленное кольцо
когомологий Н*(В) базы В. Из точности когомологической после-
последовательности Гизина немедленно следует, что в этом случае гомо-
гомоморфизм
ср: HL'T~l{B)->H"\B)
12. Точная последовательность Гизина 383
является мономорфизмом, если /п = 0 или /»=я=л, эпиморфизмом,
если т = 1 или т = п -\- 1, и изоморфизмом для всех других зна-
значений т. Следовательно,
Hm(B)^.Z. если /и =з 0 mod (г-1- 1), 0<от<я,
Нт(В) = 0, если m#0mod(r-|-l), 0<от<я.
Строение группы Нт(В) при т^п зависит от того, как связаны
между собой числа «иг. Именно, если
то, как легко проверить, кольцо когомологий Н*(В) порождается
тремя элементами 1 6Я0(Б) « 2, s=<f(l)?HT+1(B) и *?Я"(Я),
где * — такой элемент, что элемент &*(?) является образующей
группы Hn(X)t&Z. При этом ?2 = 0, так что с аддитивной точки
зрения кольцо Н*(В) является свободной абелевой группой с базисом
A2.3) {1, s, s2, .... t, st, s4, ...}
(знак и умножения Колмогорова — Александера мы опускаем).
Пусть теперь
Рассмотрим точную последовательность
О -?+Н° (В)-^+Н
где Hn(X)^Z и Нр1г+1) (В) s* Z. Из того, что труппа Нп(В) изо-
изоморфна некоторой подгруппе группы Н" (X), следует, что либо
Hn{B)^Z, либо Я"(В) = 0. Если H"(B)xZ, то ^ = 0 и,-следо-
и,-следовательно, отображения ш* и' <р* являются изоморфизмами. В этом
случае группа Н* (В) представляет собой свободную абелеву группу
с базисом A2.3). Если же #"(B)=J), то ИП+1(В) является цикли-
циклической группой конечного порядка k !> 1. В этом же случае группы
Нт(В) при т^-n определяются формулами
Hm(B)^Zk, если /n==i0mod(r+l),
Нт(В) = 0, если m =jfe 0 mod (r-f 1),
так что группа Н*(В) обладает системой образующих
A2.4) A. s, Л ...},-
причем при 1^.р образующие s1 свободны, а при />р имеют
конечный порядок k.
384 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
13. Точная последовательность Вана
Пусть снова О — либо аддитивная группа целых чисел, либо
поле, и пусть база В рассматриваемого расслоенного пространства X
односвязна и является над О гомологической r-мерной (г > 2)
сферой. Сначала мы рассмотрим случай, когда Во=а0.
Теорема 13.1. Имеет место точная последовательность
гомоморфизм 9, которой индуцирован вложением 8: FczX.
Эту последовательность мы будем называть гомологической
последовательностью Пана.
Доказательство. Поскольку пространство В является гомологи-
гомологической r-мерной сферой, только две строки члена Е2 могут быть
нетривиальны, а именно строки, состоящие из групп
Е\, q « Нр (В; G)®aHq (F; О)« Я, (F; О), р = 0, г.
Применяя лемму 8.1 гл. VII н используя коммутативность одной
из треугольных диаграмм, построенных в п. 7, мы немедленно полу-
получим требуемую последовательность. ¦
Аналогично доказывается
Теорема 13.2. Имеет место точная последовательность
.,. _^^ нт (X; О) —->¦ Нт (F; О) -!%
-* Hm~r+1 (F; G) -?-> Л"+1 (А-; О) —->...,
гомоморфизм 0* которой индуцирован вложением 0: FczX.
Эту последовательность мы будем называть когомологической
последовательностью Вана.
Гомоморфизмы р* определяют некоторый эндоморфизм /
р»: H*(F; 0)->/T(F; О).
Как показал Лерэ, этот эндоморфизм является дифференцированием
если г нечетно и антидифференцированием, если г четно, т. е.
p'(* U У) = Р*(*) U У+(-1)(г+1) р * U Р*(У)
для любых элементов x?Hp(F; О) и y?H*(F; О). Доказательство
этого утверждения мы оставляем читателю.
Рассмотрим теперь случай, когда 50 = fte и. следовательно, Xo—F.
Так как база В является гомологической r-мерной сферой, то
ЯгE, Ьо; О)«Оа Нт(В, Ьо; О) = 0 при т Ф г. Поэтому члены Е2
18. Точная последовательность Вана 385
и Е* имеют не более одной нетривиальной строки, а именно строки,
состоящей из групп
#. « » Щ (Ъ О), Е?,д**Н9 {F; О).
Отсюда и из теоремы 8.1 гл. VIII немедленно вытекает
Теорема 13.3. Для каждого целого числа m имеют место
изоморфизмы
Нт{Х, F; O)~Hm_r{F; О), Нт(Х, F-, О)^Нт'Т{Р] О).
Применим" эти теоремы к расслоенному пространству
с начальной проекцией u>: Х-*-В, определенной в п. 10 гл. III
и слоем
F = [B; bQ, bQ).
Так как хс1(В)=:0, то, согласно п. 2 гл. IV, слой F линейно связен,
так что теорема 13.1 • применима. Заметив, что ввиду стягиваемости
пространства X для всех т^\ имеет место изоморфизм
и принимая во внимание изоморфизм Но (F) ж Z, мы немедленно
получаем отсюда следующую теорему Mppca:
Теорема 13.4. Группы гомологии пространства F — [В; b0, bQ],
где В — произвольное односвязное пространство, гомологии
которого совпадают с гомологиями г-мерной сферы, выра-
выражаются формулами
Hm(F)»Z, если m==0mod(r — 1).
Hm(F) = 0, если тф0то<1(г—1).
Важные применения точная последовательность Вана находит
также в теории расслоений над сферами, слои которых также
являются сферами. Именно пусть гомологии слоя F совпадают
с гомологиями s-мерной сферы, где s^-1. Сохраняя введенные выше
предположения о базе В, мы рассмотрим целочисленные группы
гомологии Нт(Х).
Предположим сначала, что s ^ 2. Тогда из точности гомологи-
гомологической последовательности Вана вытекает, что индуцированный вло-
вложением гомоморфизм
9 Н
является эпиморфизмом, если т — г — 1 или m=sr-\-s—1, моно-
мономорфизмом, если т^^г Или m — r-\-s, и изоморфизмом при всех
25 ХЛСы-цзян
386 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
других значениях т. Поэтому нам нужно вычислить группу Нт(Х)
лишь для четырех критических значений г — 1, г, r-\-s—1, r-\-s
размерности т.
Вычислим группу Нг_г(Х). Если г — I Ф s, to, поскольку слой F
является гомологической 5-мерной сферой, имеет место равенство
Пусть г — 1 = s. Мы определим некоторый численный инвариант k
данного расслоения, рассматривая гомоморфизм
p.: HO(F)->HS(F).
Если р, = 0, то мы положим Л = 0. Если же р, Ф 0, то фактор-
факторгруппа Hs(F)lp,[H0(F)] представляет собой конечную циклическую
группу, и мы примем за к порядок этой группы. Ясно, что группа
//r_i(AT) при г — l=s выражается через инвариант k согласно
формуле
Z, если А = 0,
Для вычисления группы НТ(Х) достаточно рассмотреть последо-
последовательность
Zk, если k ф 0.
) достаточно расс
О -ii+ Нг (F) -Ь+ Нг (X) -*+ Яо (F) _8fc» 0.
ой немедл
из точности которой немедленно следует, что
f Z, если г Ф s,
Z-\-Z, если г = 5.
Что касается группы Hr+s^(X) то, поскольку Яг+5_,(/=¦) = О
(ибо г>0), мы непосредственно получаем, что
Вычислим наконец группу Hr+a(X). Так как HT+S(F) —
= #r+i_i(/7) —0> т0 из точности последовательности
HT+S (F) -Ь* HT+S (X) -54 Я, (F) -L*+ Яг+,_, (/=)
вытекает, что
В оставшемся случае 5=1 индуцированный вложением гомоморфизм
является эпиморфизмом, если m = r — 1, мономорфивмом, если
m.~r-\- 1, и изоморфизмом, если m < г — 1 или m > r-\- 1. Поэтому
14. Урезанные точные последовательности 387
группу Нт(Х) достаточно вычислить лишь для критичевких значе-
значений г — 1, г и г+1 размерности т. Вычисление проводится так же,
как и в случае s > 1, и потому предоставляется читателю.
Заметим, что те же результаты можно получить, используя
вместо гомологической последовательности Вана гомологическую
последовательность Гизина.
14. Урезанные точные последовательности
Пусть, как и выше, G— либо аддитивная группа целых чисел,
либо произвольное поле. Рассмотрим случай, когда Хо—0, а группа
iri(B, b0) тривиально действует в группе Н(F; О).
Теорема 14.1. Если Нт(В, G) = 0npu 0<т<р и Hm(F; G) = 0
при О < т < q, то имеет место точная последовательность
Hm (В; G)-^-> Ят_, (F; G) -> ... -^-*-> W2 (B; G)
гомоморфизмы бф и u>t которой индуцированы соответственно
вложением 6: FcX и проекцией ш: Х->В, а гомоморфизм Т
представляет собой трансгрессию.
Доказательство. Согласно теореме 6.3, имеет место изоморфизм
E}j^Hi(B; G)®aHj(F; G) + Tor0[tf,_i(B; О), Hj(F; G)}.
В частности, E\,j = Q, если 1ФО, j ф 0 и t-\-j <jt> + g — 1.
Поэтому в каждой размерности т, удовлетворяющей неравенствам
0<;m<jt>-4-? — 1, член Е2 обладает только двумя возможно не-
нетривиальными однородными составляющими, а именно составляющими
El, о « Нт (В; О), 4 т « Нт (F; О).
Применяя теорему 8.5 гл. VIII и учитывая результаты п. 7 гл. VIII,
мы немедленно получим отсюда требуемую точную последовательность. ¦
Следствие 14.2. Если Hm(F; О) = 0 для всех т > 0, то
шф: Нт{Х\ O)«Wm(B; О) для всех т>0.
Доказательство. Применим теорему 14.1, полагая р = \ и
# = оо. ¦
Следствие 14.3. Если Нт(В; О) = 0 для всех т>0, то
вф: Hm(F; О)«Ят(Л"; О) для всех т>0.
Доказательство. Применим теорему 14.1, полагая р = оо,
a q = l. Ш
25*
388 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
Следствие 14.4. Если Нт(X) — 0 для всех т > О и Нт(В; О)ш6
при О < т < р. то при 2 < т < 2р — 2 имеет место изомор-
изоморфизм Т: Hm(B; G) «//„,_!(/=•; О).
Доказательство. Полагая q — \ и применив теорему 14.1, мы
получим, что Hm{F\ G) = 0 при 0 < т < р — 1. Теперь остается
еще раз снова применить теорему 14.1 при q = p — 1. ¦
Аналогичные результаты имеют место, конечно, и для групп
когомологий.
15. Спектральная последовательность регулярно
накрывающего пространства
Пусть X — произвольное линейно связное регулярно накрывающее
пространство в смысле п. 16 гл. III с локально линейно связной
базой В и проекцией
(о: Х-*-В.
Легко видеть, что база В обязательно линейно связна, а простран-
пространство X локально линейно связно. Произвольно выбрав базисную
точку хо?Х, примем за базисную точку пространства В точку &„==
— (в(л:0). По определению, слой F — w^l(b0) дискретен, и, как мы
знаем, проекция и> индуцирует некоторый мономорфизм
ш,:те г(Х, х0) -*¦ itj (В, Ьо):
При этом, поскольку пространство X регулярно накрывает про-
пространство В, образ
этого мономорфизма является нормальным делителем группы пг (В, Ьо),
причем факторгруппа
it = *i(*. bo)lx(X, x0)
действует в X, как группа правых операторов; см. теорему 16.6
гл. III. Любой элемент ? Ф 1 группы тс представляет собой, таким
образом, некоторый гомеоморфизм пространства X на себя без не-
неподвижных точек.
Пусть U^ —стягиваемое, не обязательно конечное, симплициальное
разбиение (в слабой топологии), в котором группа тс свободно дей-
действует как группа симплициальных гомеоморфизмов (относительно
существования такого разбиения см. упр. I гл. VI). Пусть, далее,
В — пространство орбит WP/тс и т: W-+P — естественная проекция.
Как известно, пространство Р является пространством типа (тс, 1),
а проекция х — универсальным накрытием.
15. Спектральная последовательность накрывающего пространства 389
Следуя Эресману, мы введем в рассмотрение пространство К=
= (W X Х)/п орбит прямого произведения W X X. считая, что
группа it действует слева в W X X согласно формуле
Определим отображения
Д- Г X X -?
полагая /(«>, л) = т(«>) и г («>,#) = ш (*). Очевидно, что Д = /
и г? = г для всех ??it. Поэтому эти отображения индуцируют не-
некоторые отображения
1
Без труда проверяется, что отображения Х,:К->Р и р:К->?
являются расслоениями в смысле п. 3 гл. III со слоями X a W со-
соответственно. (Можно показать, что эти расслоения даже локально
тривиальны.) Мы будем называть их расслоениями, ассоциирован-
ассоциированными с регулярным накрытием ш: Х-^-В.
Пусть теперь G— произвольная абелева группа. Так как Р
является пространством типа (it, 1), то, согласно упр. 6 гл. VI,
Hm(*;G) = Hm(P;G), fT(it; G) = Hm(P; G).
(Заметим, что эти формулы остаются справедливыми и для случая,
когда группа it является группой левых операторов группы G, только
тогда под группами Hm{P; G) и Нт(Р; G) следует понимать группы
гомологии и когомологий с локальными коэффициентами в группе G.)
Поскольку слой W ассоциированного расслоения р: Y-*-B стя-
стягиваем по себе в точку и потому ацикличен, из следствия 14.2 вы*
текает, что р»: Hm{Y)xjHm(B) для всех от>0. Поэтому
A5.1) р.: Нт (К; О) » Нт (В; G), т > 0.
Рассмотрим теперь, ассоциированное расслоение X: К->/> со
слоем X. Соответствующую гомологическую точную пару
и ассоциированную с этой парой спектральную гомологическую по-
последовательность {?"} мы будем называть соответственно гомологи-
гомологической точной парой и гомологической спектральной после-
последовательностью регулярного накрытия ш: Х->В.
Согласно п. 5, фундаментальная группа itj (P, pQ) «it действует
в группе Н(Х; G), как группа левых операторов. Следовательно,
согласно теореме 6.2, имеет место равенство :
A5.2) Е*л<&Нр(.Р;Н,{Х
. 390 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
С другой стороны, согласно п. 7, группа &в (&) = # (К; О)« Н (В; О)
обладает такой фильтрацией
что
Кроме того, имеют место равенства
/?,(#) = //,(*; О). р р
и две коммутативные треугольные диаграммы
#,(*;(})-=*¦¦ Я, E; О) Яр (В, О) Л+ Яр (it; О)
СО, q Ер, О
в которых гомоморфизм ш, индуцирован проекцией ш: X -> В, а го-
гомоморфизм р. определен формулой p. sasX^p-1, причем отображения х
в этих диаграммах являются эпиморфизмами, а отображения i — мо-
мономорфизмами. Кроме того, образом гомоморфизма ш, является группа
3&Oiq(if), а ядром гомоморфизма р., — группа 3№p-i,i(&).
Аналогичным образом строятся когомологическая точная пара
• *r = (D*, ?*; Г. Г, k*)
и когомологическая спектральная последовательность {?*"}
регулярного накрытия ш: Х-*-В. Для когомологической спектраль-
спектральной последовательности
A5.3) Е*»Н*(Р; Н*(Х; О)) = Я*(я; Н*(Х; О)).
При этом группа J5? (&*) — Н* (В; G) снабжена фильтрацией, к кото-
которой Присоединена градуированная группа ?*°°. Кроме того,
Я9C*) = //«(*; О), S,(?»)=* Л»(и; О),
и имеют место две коммутативные треугольные диаграммы
Н9 (В; G) -?-» Н" (Л"; О) Нр (л; О) -Ь-> Яр (В; О)
V У \ /
N ?о;? Cp.oi
свойства которых аналогичны свойствам соответствующих диаграмм
для групп гомологии. В случае когда группа О является коммута-
коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, изоморфизм A5.3) является
кольцевым изоморфизмом.
17. Влияние фундаментальной группы 391
16. Теорема Смита
В этом и следующем пункте мы изложим несколько приложений
построенной в п. 15 спектральной последовательности.
Теорема 16.1. Дискретная группа тс, свободно действующая
в конечномерном локально стягиваемом ацикличном простран-
пространстве X, не имеет элементов конечного порядка.
Доказательство. Предположим противное, а именно что группа %
содержит элемент % порядка г ф\. Подгруппа группы те, порожден-
порожденная элементом %, является циклической группой порядка г и сво-
свободно действует в X. Поэтому мы можем предполагать, что группа тс
сама является циклической группой порядка г. Пусть В = Х1к —
соответствующее пространство орбит. Так как пространство X ре-
регулярно накрывает пространство В, то это последнее пространство
также локально стягиваемо и конечномерно.
Пусть Q = Z — аддитивная группа целых чисел, в которой три-
тривиально действует группа л. Рассмотрим спектральную гомологи-
гомологическую последовательность накрытия Х-*-В. Так как простран-
пространство X ациклично, то E2Piо«ЯрAс) и ?^>? = 0 при ?=?0, откуда,
в силу теоремы 8.3 гл. VIII, непосредственно следует, что
Я,(Я) « Я,(и). р>0
Но Нр(В) = 0 при р > dim В, так как пространство В локально
стягиваемо. В то же время Яр(те)«тс при любом нечетном р. Следо-
Следовательно. ? элемент существовать не может. ¦
17. Влияние фундаментальной группы иа группы гомологии
и когомологий
Пусть В — произвольное линейно связное пространство. Так как
геометрическая реализация сингулярного симплициального множе-
множества 5E) имеет те же гомотопические и гомологические группы, что
и пространство В (см. упр. I гл. V), мы без потери общности можем
предположить, что пространство В локально стягиваемо и потому
существует пространство ^^универсально- накрывающее простран-
пространство В. При этом, как мы знаем, фундаментальная группа п = к1(В)
пространства В свободно действует в пространстве л.
Теорема 17.1. Если тср(В) = 0 при 1 <jt><r, то для любого
р < г и любой группы коэффициентов G, в которой группа тс
действует тривиально, имеют место естественные изомор-
изоморфизмы
|1,:ЯДЯ;О)«ЯрAс;О). ц*: Н" (и; О)» Н" (В; Q).
392 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
Доказательство. Рассмотрим спектральную гомологическую после-
последовательность накрытия Х-*-В, построенную в п. 15. Из условий
.теоремы немедленно следует, что Нд(Х; О) = 0 при 0<^<г и
потому, ввиду: формулы A5.2), что
?^,? = 0 при p-{-q<r и q^Q.
Но тогда из теоремы 8.5 гл. VIII и одной из коммутативных треуголь-
треугольных диаграмм, указанных в п. Чб, следует, что отображение (а, для
всех р < г является изоморфизмом. Рассматривая спектральную кого-
когомологическую последовательность, мы можем аналогично показать,
что отображение }i* при р < г также является изоморфизмом. ¦
Таким образом, фундаментальная группа пространства/* опреде-
определяет группы гомологии и когомологий этого пространства во всех
равмерностях, меньших г. если только itp(fi) = 0 при 1 </?<г.
Чтобы изучить эти группы в размерности г, мы рассмотрим го-
гомоморфизмы:
ш,: ЯД*; 0)->Нг{В; О), ш*: Нт(В\ О)-+Нт{Х; О),
индуцированные проекцией а>: Х-*-В. Пусть Е,(В; О) — образ го-
гомоморфизма ю., а АГ(В; О) — его ядро.
Теорема 17.2. Если яр(В) = 0 при 1 </?<г, то имеют место
точные последовательности:
(a) Я, (X; О) -Л* Я, E; О) -fit* Яг («; О) -* 0.
(b) Яг (*; О) <-?- Яг E; О)<^- НТ (к; О) ч- 0
в, следовательно,
Нг (В; О)/Ег (В; G)« Яг (it; G), А' (В; G)« Я' («; О).
Доказательство. Снова рассмотрим спектральную гомологическую
последовательность- накрытия Х-*-В, обращая особое внимание на
однородные составляющие группы Е2 полной степени г—1 иг.
Легко проверяется, что при
«т = °- Ът = т, ст = т, dOT = 0, « = /¦— 1, г
выполнено условие [г — 1, г; 2}; см. п. 8 гл. VIII. Так как /Jo,r-i= 0
и E2,t о «* ^г E; О), то, следовательно, имеет место точная последо-
последовательность
\с) Нг (В; Q)-**+Hr (it; О)-»0.
Согласно п. 15, ядром гомоморфизма ц, является группа S6Т^1л х (&),
а образом гомоморфизма wt:Hr(X; Q)-+Hr(B; Q) — группа 3&Qtr(if).
Так гак. среди однородных составляющих группы Е°° полной сте-
17. Влияние фундаментальной группы 393
пени г могут быть отличны от нуля только составляющие Щг н Е*о>
то J#,_i, i (&) *» Звй% 10f). Тем самым точная последовательность (а).
полностью построена. Рассматривая .спектральную когомологическую
последовательность, мы аналогично получим точную, последовав
тельность (Ь). ¦
В доказательстве теоремы 17.2 мы условие [г — 1, г; 2} исполь-
использовали не полностью. На самом деле имеют место более длинные
точные последовательности:
Теорема 17.3. Если «р(В) = 0 при 1 <р</\ mo имеют место
точные последовательности:
(d) Я,+1E;0)-^-*Я,+1Aс; О)-*+^(Нг(Х; О))
-+Hr(B; O)-?t+Hr(ir, 0)-^0,
(e) НГ+1(В; 0)^-Я'+1(«; 0)^?Цнг(Х; 0))«-С
<-Нг(В; 0)<-^Яг(«; G)<-0.
Определение операций. 1Ж и Ул см. в упр. К гл. VI.
Доказательство. Из условия {г — 1. г; 2}, так же как и в дока-
зательстве теоремы 17.2, вытекает, что имеет место точная после-
последовательность
(i) е8,,-Лч.Я,(Я;О)-6ь*ЯгAс;О)-».0.
где, согласно утверждению 1 упр. К гл. VI, группа ?о, г«
s»Но(«;НТ(X; О)) изоморфна группе J^(Hr(X; О)). Чтобы удли-
удлинить эту точную последовательность, мы должны рассмотреть одно-
однородные составляющие группы Е2 полной степени г-j-l. Среди этих
составляющих только три могут быть отличны от нуля, а именно
9 0 0
Ео,r+ъ Ei, г, Er+i3om //r+i(ic; О).
Пусть «^-2. Так как дифференциальный оператор dn группы Е"
имеет степень (— п, п — 1), то элементы групп Ео, г+\ и Е\, т являются
циклами, и оператор d" тогда и только тогда переводит E"+i, о
в Е",п когда « = г-j-l- Ввиду того что каждый элемент группы EqiT
представляет собой цикл, имеет место точная последовательность
.... рГ+1 dr+l , pr+l х рг+2 л
(II) cr+i,o— >co,r—>co,r-*-U.
Так как ?r+i, о = Е'Ц о, ?о, г = ^o,V и ?^, = ?5,+Д то последова-
последовательности (i) и (ii) мы можем объединить в одну точную последова-
последовательность
(Hi), /&.,, 2 -Л* 4 , -А^Я, (В; О) -?¦ Яг («; О) -^ О,
394 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
где <р, B=dr'11. Поскольку ядром оператора dr+1, очевидно, служит
группа ErXl, o = ?h-i, о и так как ?,+1, о *#,+ i(ii:; О), то из одной
из коммутативных треугольных диаграмм, указанных в п. 15. выте-
вытекает точная последовательность <,
(IV) Нг+1 (В; О) -**¦ Яг+, (к; О) -&+ 4 г.
Объединяя последовательности (iii) и (iy), мы и получаем точную
последовательность (d). Точность последовательности (е) доказывается
аналогично. ¦
Замечание. В случае когда группа О является группой целых
чисел, группы ЕгE; О) и АГ(В; О) по существу совпадают с груп-
группами ?Г(В) и ЛГ(В), рассмотренными в упр. I гл. VI; см. также
Маклейн — Эйленберг [1].
18. Конечные группы, свободно действующие на сфере ST
Пусть тс — произвольная конечная группа, свободно действую-
действующая на г-мерной сфере Sr, и пусть B = Sr/n— соответствующее
пространство орбит, a w:Sr—>B — естественная проекция. Так как
группа я конечна, то сфера Sr универсально накрывает простран-
пространство В посредством проекции ю, так что группу тс можно рассмат-
рассматривать как фундаментальную группу пространства В. Мы применим
к этому пространству результаты п. 17, принимая за группу коэффи-
коэффициентов аддитивную группу Z целых чисел, в которой группа % дей-
действует тривиально. > . '
. Согласно теоремам 17.1 и 17.3, для всех р < г имеют место
естественные изоморфизмы
(i) fv W,(B)«W;(f), (х*
4
а при р=*г — точные последовательности
(И) 0-+Нг+1(ж)-Ь+и
О») о <- яг+1 («) <-?- /. (Я' E0) ¦?- нт (В) *?- нт
(следует иметь в виду, что dim В =г и потому Яг+1(В)=0=Яг+1 (В)).
Предложение 18.1. Если в группе % существует элемент %,
меняющий ориентацию сферы Sr, то число г четно.
Доказательство. Поскольку элемент !• изменяет ориентацию
сферы Sr, его порядок А отличен от единицы. Подгруппа группы it,
порожденная элементом 5, является циклической группой порядка А
и свободно действует на сфере Sr. Следовательно, не теряя общности,
мы можем считать, что сама группа % является циклической груп-
18. Конечные группы, свободно действующие на сфере Sr 395
п )й порядка Л с образующей ?. Так как ? изменяет ориентацию сферы ST,
то $ (х) = — х для каждого элемента х свободной циклической группы
Hr (S) и потому /,(#' (Sr)) = 0. Следовательно, точная последова-
последовательность (Ш) имеет в рассматриваемом случае вид
0<_Яг+1(те)<-0<-Яг(В)<-^-Я'(те)<-0.
откуда следует, что
(iv) Я'+1(те)=0, |Л Hr (it) ж Нг (В).
Но, согласно утверждению 5 упр. К гл. VI. первое равенство воз*
можно только при четном г. Ш
Предложение 18.2. Если в группе к существует элемент $Ф\;
сохраняющий ориентацию сферы Sr, то число г нечетно.
Доказательство. Как и выше, мы можем считать, что группа «
является циклической группой, порожденной элементом ?. Поскольку ?
сохраняет ориентацию сферы Sr, группа it тривиально действует
в группе Я, E0. так что J1[(Hr(Sr))=sHr(Sr). Следовательно, точ-
точная последовательность (И) имеет теперь вид
(v) ' 0-+Hr+l{ic)-+
Таким образом, группа Hr+i(ic) изоморфна подгруппе свободной
группы Hr(Sr) и. следовательно, сама свободна. Но, согласно
утверждению 5 упр. К гл. VI, это возможно лишь при Я,+1(я) = 0.
Следовательно, число г нечетно. ¦
Предложение 18.3. Если при г четном группа it содержит
более одного элемента, то эта группа является циклической
группой"второго порядка и для любого I ^р-^r имеют место
соотношения
НрE) = 0, Я'(В) «it, если р четно,
Яр(В)«it, Нр(В) — 0, если р нечетно.
Доказательство. Пусть 5=?1 н ч\Ф \ — два элемента группы те.
Согласно предложению 18.2, оба элемента % и t\ должны изменять
ориентацию сферы ST и, следовательно, элемент %ч\~х должен сохра-
сохранять ее ориентацию; поэтому, ввиду того же предложения 18.2,
должно иметь место равенство |'»)~1= !• Этим доказано, что группа «
является циклической группой второго порядка. Утверждения относи-
относительно групп гомологии и когомологий для любого рФг немедленно выте-
вытекают из изоморфизмов (i) и (iv). Чтобы найти группу НТ (В), можно либо
воспользоваться известной связью между группами гомологии и кого-
когомологий, либо рассмотреть точную последовательность (И). Действи-
Действительно, так как группы #r+1(it) и J%(Hr(Sr)) являются группами
395 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
второго порядка, то отображение <р„ изоморфно. С другой стороны,
Яг(те) = 0. Поэтому Нт (В) = 0. ¦
Предложение 18.4. Если при г нечетном группа те абелееа,
то она циклична. При атом Нг (В)« Z « Нг (В) и для любого р.
удовлетворяющего неравенствам 0 < р < г, имеют место со-
соотношения
Яр(В) = 0, Я'(В) я* те, если р четно,
Я,(В) «те, Я*(В) = 0, если р нечетно.
Доказательство. Согласно предложению. 18.1, каждый элемент
группы 1С сохраняет ориентацию сферы Sr. Поэтому
так что точная последовательность (ii) принимает вид
(vi) 0 — Яг+, (те) -&-> Нг E0 -±+ Нг (В) -Ь-> Нг (*) —* 0.
Поскольку каждый элемент группы л сохраняет ориентацию
сферы Sr, пространство В является ориентируемым многообразием
размерности г и, следовательно, НТ (В)» Z « Нг (В). Пусть А —
порядок группы w. Из определения гомоморфизма ю, легко следует,
что существуют такие образующие ,а?ЯД5г) и р?ЯДВ), что
ю,(а) = Ар, откуда, ввиду точности последовательности (vi), непо-
непосредственно вытекает, что группа Нт (те) является циклической груп-
группой порядка h.
Ввиду изоморфизмов (i) нам следует, в силу результатов упр. К
гл. VI, доказать лишь цикличность группы ic. Предположим против-
противное, а именно что группа те не циклическая. Тогда существует такое
простое число р, что группа те содержит подгруппу вида Zp-\-Zp,
где Zp — циклическая группа порядка р. Поэтому, без потери об-
общности, мы можем считать, что группа те сама имеет вид Zp-\-Zp.
Поскольку Hr (Zp) я* Zp, из результатов упр. К гл. VI следует, что
в этом случае группа Zp является прямым слагаемым группы ЯДте).
Но это невозможно, так как, согласно доказанному выше, последняя
группа является циклической группой порядка А = р2. ш
Замечания. 1. Из компактности сферы Sr следует, что любая
дискретная группа те, свободно действующая на сфере Sr, конечна.
2. Из предложений 18.3 и 18.4 немедленно получаются, в частности,
значения всех групп гомологии и когомологий действительных про-
проективных пространств.
Упражнения . 397
УПРАЖНЕНИЯ
А. Когомологии с произвольными коэффициентами
Пусть О — прбизвольная абелева группа, и пусть С —регулярный
^-комплекс С(Х, Хо). Рассмотрим группу А* сингулярных коцепей
пространства X относительно пространства Хо с коэффициентами
в группе О. Группа А* является градуированной дифференциальной
группой с однородными составляющими А*т — Нот(Ст, О) и диф-
дифференциальным оператором 8 степени 1. Так как группа Нот (С, О)
представляет собой прямое произведение групп Нот (Ст, О) (см.
[С — Э], стр. 188), то группа А* является подгруппой группы
Нот (С, О). Определим убывающую фильтрацию \А*Р) в группе А*,
полагая
Группа А*р является подгруппой градуированной группы А* с од-
однородными составляющими А? = А р П Ат. Определим весовую функ-
функцию w на группе А*, считая весом w(f) произвольного элемента
/?Л* верхнюю грань всех целых чисел р, для которых f?A*p.
Докажите, что для каждого отличного от нуля однородного элемента
/?Л* имеет место неравенство 0^w(/)<!dim/, т. е. что по от-
отношению к фильтрации [А*р\ группа А* является регулярным 8-ком-
йлексом.
Пусть ¦
SfD*) = (D*. Я*; Г. f, k')
—- ассоциированная точная пара. Докажите, что
E*p,q^Hom{Cp\B, Bo), H\F; О)).
Elq~H"{B,B0;Hq{F; О)),
где НР(В, Во; Hq(F; О)) — /7-мерная группа сингулярных когомо-
логий пространства В относительно подпространства Во с локаль-
локальными коэффициентами в группе Ия (F; О). Докажите также, что,
в случае когда группа О является коммутативным ассоциативным
кольцом с единицей, эти изоморфизмы являются изоморфизмами
колец.
В. Спектральная когомологическая последовательность
Пусть А* — регулярный 8-комплекс, построенный в предыдущем
упражнении, и пусть
V (Л*)» ф*п, Е*а; t*n, fn, k*n)
— производные пары ассоциированной с ним точной пары *ё ==^(Л*).
Соответствующую спектральную последовательность {е*"\п=* 1,2, ...}
-39S Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
мы будем называть спектральной когомологической последова-
последовательностью пространства X относительно подпространства Хо
над группой О.
Постройте в группе $10 (%) = $& (А*) — Н* (X, Хо\ О) фильтрацию
Нт (X X Q} =
и докажите, что
т. е. что к этой фильтрации присоединена градуированная группа Е°°.
Группы S&p.,qC^) мы будем в дальнейшем обозначать символом
НР'"(Х, Хо; О).
Предполагая, что Хо = 0. докажите, что Rq(&) = H9(F; О) и
Sp (&) — Нр (В; О) и что имеют место коммутативные диаграммы
НЦХ; О)—^-^H^F; О) НР(В, О)
гомоморфизмы в* и ю* которых индуцированы отображениями 9: FczX
и ю: Х—*-В соответственно, отображения % являются эпиморфизмами,
а отображения!—мономорфизмами. Докажите, что группа И1' 9~г(Х; О)
представляет собой ядро гомоморфизма 9*. а группа НР'°(Х; О) —
образ гомоморфизма а>*.
Рассмотрим отображения
/*«-» (F. О) -JU Н (X, F; О) <-Ч?~ Нт (В, О), т^г.
Пусть М — образ гомоморфизма <oj а К — его ядро. В упр. Н гл. VIV
был построен некоторый гомоморфизм
Г: Ъ-\М)-+Нт{В; О)/К,
называемый трансгрессией, причем, как было там показано, этот
гомоморфизм по существу совпадает с дифференциальным оператором
а • Ео,т-*-рт,О'
Из этого совпадения, в частности, следует, что группа Ет> о изо-
изоморфна образу группы Ит(В; О) в группе Нт(Х; F; О) при гомо-
гомоморфизме ш*.
Для случая, когда О является группой вычетов по модулю 2, дока-
докажите, что трансгрессия Т перестановочна с квадратами и приведен-
приведенными степенями Стинрода.
Упражнения 399
i
Аналогичным образом исследуйте трансгрессию в спектральной
гомологической последовательности, построенной в п. 7.
C. Теорема о максимальном цикле
Сохраняя введенные в п. 3 предположения, будем считать до-
дополнительно, что группа О является полем.
Докажите следующую теорему:
Теорема. Если Нт(В, BQ; G) = 0 для всех /и > р и Hm(F; G) = 0
для всех /и > q, то
Нт(Х, Хо; О) = 0 для всех /и > p-\-q,
Hp+g (X, Хо; G) * Нр (В, Во; О) ® <,//, (F; G).
Выведите отсюда следующие предложения:
1. Если"#т(Л"; G)==0 при всех т > 0, то имеет место по крайней
мере одно из следующих трех утверждений:
(a) Нт(В; О) = 0==Ят(/?; G) для всех т > 0;
(b) Нт(В; О)ф0 для бесконечно многих значений т;
(c) Нт (F, б)Ф0 для бесконечно многих значений т.
2. -Если для локально тривиального расслоения Х~>В про-
пространство X является евклидовым пространством R", а слой F связен,
то пространства В и F ацикличны.
D. Теорема об изоморфизме
Сохраняя предположения п. 3, будем дополнительно считать,
что Х0Ф 0 и, следовательно, В0Ф 0. ¦ ч
Докажите следующую теорему:
Теорема. Если Нт(В, Во; О) = 0 при всех /и < р и Hm(F\ G) = 0
при 0 < т < q, то
ш,: Нт(Х, Хо; О)»Нт(В, Во; О) при всех m<
и имеет место точная последовательность
Hp+q+1 (X, Хо, О) -&-> Hp+q+l (В, Во; G)
-*-np+q(A, л0, и)——>Т1р+д(а, a0, u)-*-v.
Докажите аналогичную теорему для спектральной когомологи-
когомологической последовательности.
Е. Некоторые применения спектральной последовательности
накрытия
Докажите следующие утверждения:
1. Если те — свободная циклическая группа и для любого m ~^. О три-
тривиально действует в группе гомологии Hm(X; G), то группа Нт(В; С
400 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
является расширением группы Нт(Х; О) при помощи группы
Нт_г(Х; О). В частности, если группа О является полем, то группа
Нт(В; О) представляет собой прямую сумму групп Нт(Х; О) и
2. Если группа я конечна, а Труппа О является полем, харак-
характеристика которого либо равна нулю, либо взаимно проста с поряд-
порядком группы я, то
Нт(В; О)«У,(Нт(X; О)), HF(В; О) «/.(Нт (X; О)).
3. Если группа л является прямым произведением свободной
циклической группы и конечной группы порядка я и для любого т >. О
тривиально действует в Группе Нт (X; О), а группа О является полем,
характеристика которого равна нулю, либо взаимно проста с h, то
Нт{В; О)ъНт(Х-, Q) + Hm^X', О).
F. Соотношения между алгебрами когомологий пространства
и его пространства петель
Пусть В—произвольное линейно связное, односвязное пространство
с отмеченной точкой Ьо, и пусть Х=[В; В, Ьо]. Как мы знаем,
пространство X стягиваемо и является расслоенным пространством
с бавой В и слоем F = A(B), где А (В) — пространство петель про-
пространства В в точке Ьо. Докажите следующие утверждения:
1. Если алгебра когомологий H*(F; К), где К — произвольное поле,
изоморфна внешней алгебре над полем К, порожденной одним эле-
элементом нечетной степени п, то алгебра когомологий Н*{В\ К) изо-
изоморфна алгебре многочленов от одной переменной четной степени
я+1 (Серр [1], стр. 95).
2. Если алгебра когомологий H*(F; К), где ^^—произвольное
поле характеристики 0, изоморфна алгебре многочленов от одной
переменной четной степени «, то алгебра когомологий И* (В, К)
изоморфна внешней алгебре, порожденной одним элементом нечетной
степени п-\- 1 (Серр {1], стр. 95).
3. Если алгебра когомологий Н* (В, К), где К — произвольное
поле, изоморфна алгебре многочленов от одуюй переменной четной
степени п^-2, то алгебра когомологий H*(F; К) изоморфна внеш-
внешней алгебре, порожденной одним элементом нечетной степени я — 1
(Серр [1], стр. 85).
4. Если алгебра когомологий Н* (В; К), где К — произвольное
поле характеристики 0, изоморфна внешней алгебре, порожденной
одним элементом нечетной степени я, то алгебра когомологий Н* (F; К)
изоморфна алгебре многочленов от одной переменной четной степени
я —1 (Серр [1], стр. 81).
5. Если алгебра когомологий Н*(В; К), где К — произвольное
поле характеристики 0, изоморфна внешней алгебре, порожденной
Упражнения 401
одним элементом четной степени я>.2, то алгебра когомологий
H*(F; К) изоморфна тензорному произведение внешней алгебры,
порожденной одним элементом степени п — 1 и алгебры многочленов
от одной: переменной степени 2(« — 1) (Серр |I]t стр. 81).
6. Если Нт(В; K)&Hm(Sa, К) при всех м </?(« — 1)+Г,
где К — произвольное поле характеристики р Ф 0 и «>. 3 — нечетное
целое число, то подпространство алгебры когомологий H*(F; К),
состоящее из элементов степени, не превосходящей р(п — 1), обла-
обладает однородным базисом вида {1, у, у2 у*, г), где
degy = « — 1, degz = /?(« — 1),
У =0 (Серр [1], стр. 88).
7. Если подпространство алгебры когомологий Н*(В; К), где
К — произвольное поле характеристики р Ф 0, состоящее из элемен-
элементов степени, не превосходящей pq, где q— некоторое четное целое
число, обладает однородным базисом вида {1, у, у2, .... у*»", z],
где
причем ур = 0, то подпространство алгебры H*(F; К), состоящее из
элементов степени, не превосходящей pq-~2, обладает однородным
базисом вида {1, и, v), где
g ?—1, dtgv = pq — 2
(Серр [1], стр. 88).
О. Алгебры когомологий пространств типа (Z, л)
Пусть Z -г- свободная циклическая группа. Докажите, что цело-
целочисленная алгебра кОгдмологий H*(Z) группы Z (т. е. целочисленная
алгебра когомологий пространства типа (Z, 1)) изоморфна внешней
злгебре, порожденной элементом степени 1, а целочисленная алгебра
когомологий #*(Z, 2) пространства типа (Z, 2) изоморфна алгебре
многочленов от одной переменной степени 2.
Используя утверждения 1 и 2 упр. F, докажите также, что для
любого п ^. 1 алгебра когомологий Н* (Z, «; К) пространства
типа (Z, п) над произвольным полем К характеристики 0 изоморфна
при п нечетном внешней алгебре, порожденной одним элементом
степени п, а при п четном — алгебре многочленов от одной пере-
переменной степени п.
Н. Алгебры когомологий пространств A(S")
Пусть S" — сфера размерности я>-2, и пусть 2я = Л Eя) — про-
пространство петель сферы 5я в некоторой ее точке s0. Рассмотрите,
стягиваемое расслоенное пространство Г = {5Я; 5", sQ] над сферой Sn
26 ху С
402 Гл. IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств
с проекцией ш: 7*->S" и слоем 2я = ш~1($0) и покажите, что из
теоремы 13.2 вытекает изоморфизм
Докажите, что при нечетном п отображение р* алгебры Я* Bя) является
дифференцированием, а при четном п — антидифференцированием.
Рассмотрите однородный базис {et\, 1 = 0, 1, 2, ... алгебры Я*Bя),
состоящий из элементов
«о=1. «j = P-4«*-i). ' = 1. 2
размерности dimet = l(n — 1) и докажите следующую теорему:
Теорема. Умножение в алгебре когомологий Я* Bя) произ-
производится по правилу epeq = ср> qep+r где cPt q — целые числа, причем
. (i) если п нечетно, то
сР-9~ p\q\ '
(И) если п четно, то ср<д = 0, когда р и q оба нечетны, и
ср.я— [p/2]l[g/2]\
в противном случае, где [х] — целая часть числа х:
Затем докажите следующие утверждения:
1. Если п нечетно, то (ei)p = (pl)ep. Если же п четно, то
р и еге2р = е2ре1 = е2р'+1
2. При п четном алгебра Н*Bя) изоморфна тензорному произ-
произведению алгебр H*(Sn~l) и H*{Q2n~l).
3. При п нечетном алгебра Я* B"; К) над произвольным полем АС.
характеристики 0 изоморфна алгебре многочленов от одной пере-
переменной степени п—l.-При п четном алгебра Я*Bя, К) изоморфна
тензорному произведению внешней алгебры, порожденной одним эле-
элементом степени п— 1, и алгебры многочленов от одной переменной
степени п.
4. При нечетном п алгебра Я* B"; К) над произвольным полем К
характеристики р Ф 0 изоморфна факторалгебре алгебры многочле-
многочленов от бесконечного числа переменных ft степеней р'(п—1) по идеалу,
порожденному элементами вида (/;)р. / = 0, 1
5. Алгебра когомологий H*(Sn~l X 22я~1) изоморфна тензорному
произведению Я*Eя^1)®Я*B2я).
I. Алгебры когомологий и-связных расслоений над сферами
Пусть я^-3. Рассмотрите пространство Хп re-связного расслое-
„ния над сферой S3 и докажите следующие утверждения об «fro
алгебре когомологий И*(Хп; Z8) (Cepp [3]);
Упражнения 403
1. В размерностях .<11 алгебра Н*(Х3; Z2) обладает однород-
однородным базисом вида A, а, Ь, с, й], гдесИта=4, dim ?=5, dim с = 8,
dimd = 9, причем b = Sq1a, c^=a2, d = ab.
2. В размерностях <[8 алгебра Н*(Х^, Z2) обладает однородным
базисом вида {1, е, /, g, h, I], где dime = 5, dim/= dim ^ = 6,
dim A = 7, dim/=^, причем f = Sqle, Н = 8д^ = 8д2е, l — Sq2f,
Sq2g = 0.
3. В размерностях ^7 алгебра Н*(Х6; Z2) обладает однородным
базисом вида {1, j, k), где dim J = 6, dim k = 7, причем SqlJ — O,
S2J 0
4. Группа №(Х6; Z2) порождается одним элементом т, обладаю-
обладающим тем свойством, что Sqlm Ф 0.
26*
ГЛАВА X
КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ,
1. Введение
При вычислении групп nm(Sn) основную роль играет принадле-
принадлежащая Серру теория классов абелевых групп. В настоящей главе мы
изложим эту теорию; вычисление же групп i:m(Sn) составит предмет
следующей главы.
В п. 2—6 мы вводим основные формальные определения теории
Серра, а в п. 7—10 получаем главнейшие топологические следствия,
наиболее существенным из которых является весьма далекое обобще-
обобщение теоремы Гуревича. Из этого обобщения вытекает, в частности,
конечность числа образующих гомотопических групп любых одно-
связных конечных полиедров.
2. Определение классов
Семейство IS абелевых групп мы будем называть классом, если
выполняются следующие четыре условия:
КП. Семейство $f содержит группу, состоящую из одного элемента.
КГ2. Любая группа А, изоморфная некоторой группе семейства #,
также принадлежит семейству в.
КГЗ. Любая группа А, являющаяся подгруппой или факторгруппой
некоторой группы семейства 5°, также принадлежит семейству ©*.
КГ4. Любая абелева группа А, являющаяся расширением неко-
некоторой группы семейства 5° с помощью группы, также содержащейся
в семействе 5°, сама принадлежит семейству '€.
Укажем некоторые примеры классов. Проверка того, что эти
семейства действительно являются классами, оставляется читателю.
A) Класс Л всех абелевых групп.
B) Класс 6 всех групп, состоящих из одного элемента.
C) Класс JLf всех абелевых групп с конечным числом образующих.
D) Класс о?" всех конечных абелевых групп.
E) Класс всех конечных абелевых групп, имеющих порядок,
не делящийся ни на какое простое число из данного множества
простых чисел. В частности, в случае когда это множество простых
чисел состоит из всех чисел, кроме числа р, мы получаем класс JLp
j?cex конечных абелевых групп порядка рг. г = 0, 1, 2, ...
S. Примарные компоненты абелевых групп 406
F) Класс J" всех периодических групп, т. е. групп, все элементы
которых имеют конечный порядок.
Другие примеры классов будут указаны в следующем параграфе,
а также в упр. А в конце главы.
В качестве упражнения читателю рекомендуется доказать* что
непустое семейство #" абелевых групп тогда и только тогда является
классом, когда для каждой трехчленной точной последовательности
/,->Л1-> N абелевых групп выполняется следующее условие:
КГ5. Если L^4S и N?%, то М^Ъ.
Легко также видеть, что каждый ,класс Ч? обладает следующими
свойствами:
КГ6. Если А& и В?ё, то А-\-В?%.
КГ7. Если А ?8", то для любой абелевой группы В с конечным
числом образующих группы Л® В и Тог (Л, В) принадлежат классу Sf.
КГ8. Если группа А?& имеет конечное число образующих,
то Нт(А)?& для всех /и; см. упр. G гл. VI.
Следует заметить, что никакой класс & не является множеством,
так что, имея дело с классами, необходимо во избежание противо-
противоречий принимать обычные меры предосторожности; ср. [С — 3].
стр. 156.
3. Примарные компоненты абелевых групп
Пусть р— произвольное простое число. Следуя принятой в тео-
теории групп терминологии, мы будем называть р-примарной компо-
компонентой некоторой абелевой группы А ее подгруппу, состоящую из
всех элементов порядков рТ, г = 0, 1, 2 .... Известно, что если
группа А периодична, то она представляет собой прямую сумму всех
ее /7-примарных компонент. Таким образом, для вычисления перио-
периодической группы достаточно найти все ее примарные компоненты;
см. [Ка].
Если для некоторого простого числа р абелева группа А сов-
совпадает с ее /7-примарной компонентой, т. е. если все ее элементы
имеют порядок, являющийся степенью числа р, то группа А называется
р-примарной группой. Абелева группа с конечным числом обра-
образующих тогда и только тогда /7-примарна, когда она конечна и ее
порядок имеет вид j/. Очевидно, что для любого простого числа р
все /?-примарные группы образуют некоторый класс S"p.
Пусть теперь F— произвольное семейство простых чисел. Ясно,
что все периодические группы, обладающие тем свойством, что для
каждого простого числа р из семейства F их ^-примарные компоненты
равны нулю, составляют некоторый класс. Если семейство F содержит
все простые числа, то этот класс является классом 6. Если семейство F
состоит из всех простых чисел, кроме одного простого числа р, то
этот класс совпадает с классом ?Рр. Если семейство F пусто, то этот
класс совпадает с классом J".
406 Гл. X. Классы авелевых групп
4. ^-понятия
Для любого гомоморфизма f:.A-*-B абелевых групп мы симво-
символами Im/, Кег/ и Сокег/ будем обозначать соответственно его
образ f(A), ядро /-1@) и коядро Bjlmf. Очевидно, что имеет
место точная последовательность
О -> Кег / -> А -U В -*¦ Сокег / -> 0.
Кроме того, легко видеть, что любая пара гомоморфизмов -
определяет точную последовательность
О -> Кег / -> Кег gf -> Кег g -*¦ Сокег / -> Сокег gf -*¦ Сокег g -> 0.
Эту последовательность мы будем обозначать символом S(f, g).
В многих вопросах необходимо пренебрегать группами некоторого
данного класса Sf. В связи с этим мы будем говорить, что группа А
является ^-тривиальной группой, если Л ? Sf. Гомоморфизм f: А-*-В
является ^-мономорфизмом, если Кег /?8", и ^-эпиморфиз-
^-эпиморфизмом, если Сокег /^8". Гомоморфизм, являющийся одновременно
^-эпиморфизмом и ^-мономорфизмом, называется ^-изомор-
^-изоморфизмом. Группы А и В мы будем называть ^-изоморфными,
если существует хотя бы один ^-изоморфизм /: А->В. В случае
когда класс if представляет собой класс 6, эти понятия совпадают
с соответствующими обычными понятиями теории групп. При этом
более или менее очевидно, что для любого класса Ч? эти ^"-понятия
обладают теми же формальными свойствами, что и обычные понятия
F-понятия); см. упр. В в конце этой главы.
Мы будем говорить, что две абелевы группы А и В &-эквива-
&-эквивалентны, если существует абелева группа L и два ^"-изоморфизма
/: L-+A и g: L-+B.
Предложение 4.1. Абелевы группы А и В тогда и только
тогда ^-эквивалентны, когда существует абелева группа М
и два ^-изоморфизма h: A-+M н k: B-+M. /
Доказательство. Достаточность. Пусть L — подгруппа пря-
прямой суммы А-\-В, состоящая из таких элементов (а, Ь), что
п (а) = k (b). Определим гомоморфизмы /: L-*- А и g: L-+B, пола-
полагая f(a,b) — a и g(a, b) = b. Без труда проверяется, что оба
гомоморфизма fug являются ^"-изоморфизмами.
Необходимость. Пусть группы А и В ^"-эквивалентны,
т.. е. пусть существует абелева группа L и два ^-изоморфизма
/: L-> А и g: L-+B. Рассмотрим факторгруппу М прямой суммы
А~\-В по подгруппе, состоящей из элементов вида (/(/), g(l)), где
/??. Пусть р: А-\-В-*М — естественная проекция. Определим
5. Совершенные и полные классы 407
гомоморфизмы А: А-*М и k: В->М, полагая А(а) = р(а, 0) и
k(b) = p@, b). Без труда проверяется, что гомоморфизмы h и k
являются ^-изоморфизмами, ¦
Очевидно, что отношение ^-эквивалентности рефлексивно и сим-
симметрично. Покажем, что оно и транзитивно, т. е. является отноше-
отношением эквивалентности.
Пусть группа А ^-эквивалентна группе В, а группа В ^-экви-
^-эквивалентна группе С. Согласно определению и предложению 4.1, тогда
существуют две абелевы группы L, М и четыре ^-изоморфизма:
/: L-+A, g: L->B, h: B-+M, k: C-+M.
Поскольку отображение hg: L->M является ^-изоморфизмом, отсюда
следует, что группы А и С также й'-эквивалентны.
5. Совершенные н полные классы
Классы абелевых групп, с которыми мы будем в дальнейшем
иметь дело, будут удовлетворять некоторым дополнительным условиям.
Класс if мы будем называть совершенным, если Нт(А).?& для
любой группы А?& и каждого /и>0. Класс #" мы будем называть
полным, если Л®В??\ Тог (А, В) ?#" для любой группы A^ff
и любой круппы В. Если же включения А®В?& и Тог (А, В)?&
имеют место лишь при A^4g и B^ig, то класс Ч? мы будем назы-
называть слабо полным. Наконец, класс % мы будем называть сально
полным, если каждая (конечная или бесконечная) прямая сумма групп
класса ЁГ также принадлежит классу "rS. Любой полный класс, оче-
очевидно, слабо полон и, как можно проверить, любой сильно полный
класс полон и совершенен; см. упр. С в конце этой главы.
Роль условий полноты в топологических вопросах может быть
проиллюстрирована следующим предложением.
Предложение 5.1. Пусть 4S — произвольный полный класс абе-
абелевых групп. Тогда для любого линейно связного простран-
пространства X, любого его подпространства Хо и любой локальной
системы 0={0^\х^Х} абелевых групп на пространстве X,
для которой Ох%& в любой точке х^К, группа Нт(Х, Хо; О)
для каждого т^>0 принадлежит классу #".
Доказательство. Пусть хо?Х, и пусть G = GXi>. Согласно п. 2
гл. IX, группа Нт (X, Хо; О) изоморфна некоторой факторгруппе группы
Ст (X, Хо) ® О. Так как последняя группа принадлежит, по условию,
классу 1?, то и группа Нт(Х, Хо; О) принадлежит классу %. ш
Легко видеть, что указанные в п. 2 классы A), B) и F) являются
сильно полными классами, а классы C), D) и E) — совершенными
К слабо полными, но не полными. Рассмотренные в п. 3 классы
408 Гл. X. Классы абелевых групп
сильно полны; в частности, сильно полон класс S"p всех /7-примар-
ных групп. Пример совершенного и полного, но Не сильно полного
класса указан в утверждении 2 упр. А в конце этой главы.
В дальнейшем мы будем считать, что рассматриваемый класс &
либо слабо полон (а также совершенен), либо полон. Однако
различие между этими двумя случаями не имеет большого практи-
практического вначения. Действительно, рассматриваемые в приложениях
гомотопические группы и группы гомологии, как правило, имеют
конечное число образующих, и, как легко видеть, для любого класса &
класс Ч?f абелевых групп, все подгруппы которого с конечным числом
образующих принадлежат классу &, всегда сильно полон, причем
6. Классы абелевых групп и расслоенные пространства
Вновь принимая соглашения и обозначения п. 3 гл. IX, будем
дополнительно считать, что группа «j(B, b0) тривиально действует
в группах гомологии и когомологий слоя F. Кроме того, каждый
раз, когда явно не оговорено противное, мы будем за группу коэф-
коэффициентов О принимать группу целых чисел. В обозначениях указа-
указание на эту группу мы будем, как правило, опускать.
Пусть % — произвольный класс абелевых групп. Рассмотрим
спектральную гомологическую последовательность, построенную в п. 7
Гл. IX.
Лемма 6.1. Если ?р>??8' для некоторого я>1, то Ер°,д?&.
Доказательство. Труппа Епр*} является факторгруппой группы ?^>?
и потому принадлежит классу ъ. Так как для достаточно большого N
группа Е% д совпадает с группой Ep°t q, то, следовательно, эта по-
последняя группа также принадлежит классу ?". ¦
Лемма 6.2. Если &?,)?% при t-\-j = p-{-q и t*Cp, где
р и q — данные числа, то Hp>q(X, Xo)^^. В частности, если
при t-{-j = p + q, mo Hp+q(X,
Доказательство. Достаточно заметить, что группа Ну(Х, XJ
является расширением группы ^_i,y+i(^> -^o) ПРИ помощи
группы Eft], причем Н0,т(Х, Хо) = Ео',т. Ш
Предложение 6.3. Пусть %—произвольный слабо полный
класс абелевых групп, и пусть г > 0 — некоторое целое число.
ЕслиНт(В,В0)€& и H% Н Х?%
при 0</я<г,
6. Классы абелевых групп и расслоенные пространства 409
Доказательство. Согласно доказанным выше леммам, достаточно
показать, что Е2Р,Я?& при 0 < /* + ?<>. Так как, согласно тео-
теореме 6.3 гл. IX,
Е%д~Нр(В, B0)®Hg(F) + Tor(Hp_l(B, Во). Hg(F)),
то включение Ep^^^f при /7>1, ?>0 и 0<,p-^-q^,r имеет
место ввиду слабой полноты класса *?. Если же q — О и 0</?^г,
то ?^,о«Яр(В, Во)?&, так кцк H0(F) ж Z. Наконец, если Воф0,
то Я0(В, В0) = 0 и, следовательно,
Е2,m = О. fii,m-i » Я,(В, Во)®Hm_x{F)?%, 0 < /и<г.
Если же Во=0, то Я0(В, Bu)wZ и, следовательно,
4 » « Ят (F) ^ 8я. Ei, m_j » ^ (В. В
» « Ят (F) ^ 8. Ei, m_j » ^ (В. Во)
Предложение 6.4. Пусть *? — произвольный полный класс>
Если Нт(В, В0N^' при т^р и Hm(F)?% при tn^q, где
р>0 и q>0, то Нт(Х, Хо)?% при m^p + q.
Доказательство. Ввиду полноты класса Ч§ из условий предложе-
предложения следует, что E?ij?& при t-\-j~^-p-\-q- Поэтому это предло-
предложение является непосредственным следствием доказанных- выше
лемм. ¦
В оставшейся части пункта мы будем предполагать, что Во ф 0
и, следовательно, что Н0(В, В0) = 0.
Теорема 6.5. Пусть IS — произвольный слабо полный класс.
Если H,(B, Во) = 0 и Нт(В, Во)?# при \<т<р, a Hm{F)^4S
при 0 < т < q, где р > 0 и ?>О, то индуцированный проекцией ш
гомоморфизм
X Х, Во)
является ^-изоморфизмом при т^,г и ^-эпиморфизмом при
т = г-{-\, где г = А
Доказательство. Как мы знаем (см. п. 7 гл. IX), ядром гомо-
гомоморфизма ш# служит группа Hm_lt t (X, Хо). Поэтому ^-мономорфность
при /и<г гомоморфизма ш# будет доказана, если мы покажем, что
\ при f-Ь/О и У>1. Но так как
5 (Я/_1(В, Во),
то Ео,/ = 0, E{j*=O и Е2у6#\ если f>l, У> 1. и
Таким образом, при /и^г гомоморфизм ш# действительно является
^-мономорфизмом.
410 Гл. X. Классы абёлевых групп
С другой стороны, образом гомоморфизма ш# является группа
(см. п. 7 гл.. IX), причем
= Ет, О С ... cEm.oCEm.oCZ ¦ . . CZEm,0 = Н/п E, 50),
,,,,,-,. 2<я</и.
Так как составляющая ?2г-я(Л-1 имеет полную степень т—
то при 2^я<^/и она принадлежит классу %. Следовательно,
коядро Ё?т> o/^m.V гомоморфизма ш,/также принадлежит классу #\ ¦
Замечание. При /? < q-{- 1 условие НХ(В, В0) = 0 можно заменить
условием #iE, 50)?#. Действительно, в доказательстве включения
Е\,r-i?& было, по существу, использовано только это последнее
свойство.
Теорема 6.6. Пусть 1? — произвольный полный класс. Если
Нт{В, Во)€% при 0<т<р и Hm(F)?% при 0<m<q, где
р > 0 и q > 0, то индуцированный проекцией ш гомоморфизм
ш,: Нт(Х, Х0)->Нт(В, Во)
является ^f-изоморфизмом при т^,г и 4f-эпиморфизмом при
т = г^-\. где r = p-\-q—1.
Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 6.5.
Начиная с этого места мы будем считать, что подпространство Во
состоит из одной точки Ьо. В этом случае ^
Н0(В,В0) = 0 и Нт(В,В0)~Нт(В) при
Предложение 6.7. Пусть <ё — произвольный слабо полный
класс. Если Н1(В) = 0 и Нт(Х)?% для всех т > 0, а Нт(В)^
при 1 < т < р,. где р>0. то Нт (F) ? 8" при 0 < т < р — 1 и
гомоморфизмы
являются ^-изоморфизмами и потому определяют %"-экви-
%"-эквивалентность групп Hp_l(F) и Нр(В).
Доказательство. Проведем индукцию -по числу р. При р = \
предложение тривиальным образом верно. Пусть оно уже доказано
для р— 1, где р>\. Тогда Hm(F)^ при 0 <т<р — 2, а
группа Hp_2(F) ^-эквивалентна группе Нр_1(В) и потому также
принадлежит классу %. Применяя теорему 6.5 при q = p—1 и
В0 = Ь0, мы получим отсюда, что отображение ш# представляет собой
^-изоморфизм группы Нр(Х; F) на группу Нр(В, Ьо). Так как
6. Классы абелевых групп и расслоенные пространства 411
и Нр_х(Х)?'&, то из точности последовательности
следует, что отображение д также является ^-изоморфизмом. ¦
Предложение 6.8. Пусть %—произвольный полный класс.
Если Нт(Х)€% для всех /и>0 и Нт(В)^^ при 0<т<р, где
р>0, то Hm{F)^ при 0</и<р —1, а при р— 1<«<2р — 2
гомоморфизмы
Hm(F)*-d-Hm+1(X. F)-^Hm+l(B. bo)~Hm+1(B)
являются ^-изоморфизмами и потому определяют ф-экви-
валентность групп Hm(F) и Нт+1(В).
Доказательство аналогично доказательству предыдущего пред-
предложения. В
Пространство X мы будем называть ^-ацикличным, если
Нт (X) ? % для всех т > 0.
Теорема 6.9. Пусть % — произвольный слабо полный яласс,
и пусть Нх (В) = 0. Тогда если любые два из пространств X, В, F
^-ацикличны, то %-ацйклично и третье пространство.*
Доказательство. Если ^-ацикличны пространства В и F, то из
предложения 6.3 при г = оо и 5О=0 следует ^-ацикличность про-
пространства X.
Если ^-ацикличны пространства В и А\ то из предложения 6.7
при р = оо следует ^-ацикличность пространства F.
Пусть, наконец, ^-ацикличны пространства X и F. Мы докажем
включение Hp(B)^4f индукцией по числу р. При р = 1 это вклю-
включение тривиальным образом верно. Пусть р> 1, и пусть Нт(В)^^
при 1 < т < р. Тогда, согласно предложению 6.7, группа Нр (В)
©-эквивалентна группе Hp_x{F) и, следовательно, Hp(B)^if. Ш
Применим полученные результаты к частному случаю, когда
X = [В; В, Ьо], а отображение ш: Х~-*В является начальной проек-
проекцией. Как известно, слоем F этого расслоения является пространство
Л(В)==[5;й0. Ъо]
всех петель пространства В в точке Ьо. Пусть пространство В одно-
связно и, следовательно, пространство Л (В) линейно связно. Тогда
к расслоению и>: X —*-В применимы все результаты настоящего
пункта. Так как пространство [В; В, Ьо] стягиваемо по себе в точку,
то из предложений 6.7 и 6.8 немедленно вытекает следующая
Теорема 6.10. Пусть % — произвольный класс абелевых групп,
и пусть Hm(B)^4f прк, 0</и<р. Тогда группа Яот(ЛE))
412 Гл. X. Классы абелевых групп
%-эквивалентна группе Hm+l(B) ngu
A) 0 < т < р, если класс 4S слабо полон,
(ii) 0<m<2p— 2, если класс Ъ полон.
В частности, если класс IS слабо полон, то пространство А (В)
тогда и только тогда ^-ациклично, когда ^-ациклично пространство В.
С другой стороны, применяя теорему 6.10 к пространству В
гомотопического типа (гс, п), где п > 1, и учитывая, что для такого
пространства пространство А (В) является пространством гомотопи-
гомотопического типа (гс, п—l), мы немедленно получим (принимая за класс #
класс 6), что
Ят(гс, п— 1)«#т+1(тс, я) при 0<т<2я —2.
Заметим, наконец, что справедливо также следующее
Предложение 6.11. Для любой абеле$ой группы гс, любого
целого числа я > 1 и любого слабо полного класса *ё следую-
щие утверждения равносильны:
(I) ЯтAс)?# для всех т>0.
(II) Нт(п, я)?# для всех т>0.
7. Приложения к «-связным расслоениям
Пусть В — произвольное линейно связное пространство с отмечен-
отмеченной точкой д0. Последовательность пространств (В, п), п = 0, 1,2, .....
и отображений
Р„:(В. «)-»(В, я — 1), «=1,2,3,..,.
мы будем называть разверткой пространства В, если (В, 0) = В
и для каждого я > 0 отображение {Зя ¦ представляет собою я-связное
расслоение с бавой (?> я — 1). Существование разверток непосред-
непосредственно вытекает из результатов п. 8 гл. V. В случае когда про-
пространство В локально линейно связно и полулокально односвязно,
за расслоение ^ мы можем принять универсальное накрытие ^ про-
пространства В.
Пусть {(В, я), р.}—произвольная развертка пространства В.
Так как расслоение р„, по условию, я-связно, а его база (В, п — 1),
по определению, (я — 1)-связна, то слой Fn этого расслоения имеет
гомотопический тип (яя(В), п — 1). Кроме того, ясно, что отобра-
отображение
<оя = р1р2...р„: (В, п)-»В. я=1,2, ....
представляет собой л-связное расслоение с базой В.
Применяя теоремы 6.9 и 6.11 к расслоению {)„, мы немедленно
получаем следующее
Предложение 7.1. Если яяE)??\ где я> 1, а % — произволь-
произвольный совершенный и слабо полный класс абелевых групп, то
7. Приложения к п-связным расслоениям 413
провтранетео (В, я) тогда а только тогда *€• ациклично, тъда
пространство (В, я— 1) %-ациклично.
Аналогично, применяя к расслоению §п теорему 6.6 при q = oo,
мы получим
Предложение 7.2. Если яп(В)^^, где я>1, а Ч? — произ-
произвольный полный и совершенный класс, то для каждого /п]>0
отображение
(РД: Ня{В.п)-+Ня(В.п-1) ,
является ^f-изоморфизмом.
В случае когда пространство В (я — 1)-связно, мы можем счи-
считать, что (В, т) = В для всех т-^п— 1. В этом случае имеет место
Предложение 7.3. Пусть 4g — произвольный совершенный и
слабо полный класс, и пусть я>1, Р>п. Тогда если про-
пространство В (»—\)-связно, a itn(?)?$f и Нт(В)^Чб при
я < /я < р, то индуцированный расслоением р„ гомоморфизм
(РЛ- НтФ. п)-+Нт(В)
является Чб- изоморфизмом при /»</? и %-эпиморфизмом при
Доказательство. Поскольку слой F = Fn расслоения {3„ имеет
гомотопический тип (я„E). п—1), из предложения 6.11 .следует,
что Hm(F)?& для всех т > 0. Пусть подпространство BoczB со-
состоит из одной точки. Тогда Нг{В, 50) = 0 и Нт(В, BQ)^ для
каждого т < р, и потому применима теорема 6.5 с q = со. Согласно
этой теореме, гомоморфизм
(P»)tt: »m{X.F)-*Нт(В, Во), X = (В. я),
является Й'-изоморфизмом при /»</? и ^-эпиморфизмом при
т — р-\-\. Так как Hm(F)?& для всех т>0, то из точности
гомологической последовательности пары (X, F) следует, что для
всех т > 0 отображение
' J: Hm(X)-*Hm(X, F)
является ^-изоморфизмом. Для завершения доказательства остается
заметить, что
где
k:Hm(B)~Hm(B,B0), m>0,
— естественный изоморфизм.
414 Гл. X. Классы абелевых групп
8. Обобщенная теорема Гуревича
Теорема $.1. Пусть Чб — произвольный совершенный и слабо
полный класс, и пусть X— такое односвязное пространство,
что пт(Х)?& при 1 </»<», где п^.2. Тогда гомоморфизм
Гуревича
являепа 4f-изоморфизмом при 0<т<^« и Чё-эпиморфизмом
при т = п + 1.
Доказательство. Мы докажем эту теорему индукцией по п. При
п — 2 теорема 8.1 сводится к обычной теореме Гуревича, так как
тогда, по условию, по(Х) — О и п1(Х) — 0. См. теорему 4.4 и упр. С
гл. V.
Пусть теорема 8.1 справедлива для всех »</>, где р>2.
Докажем эту теорему для п = р. Так как, по предположению, гомо-
гомоморфизм hm является Ч?-изоморфизмом при 0 < т < р и ^-эпимор-
^-эпиморфизмом при т = р, то нам нужно только.доказать, что отображе-
отображение Ар явлиется ^-мономорфизмом, а отображение hp+l — ^-эпи-
^-эпиморфизмом.
Рассмотрим произвольную развертку {(X, г), рг} пространстза X
(см. п. 7). Поскольку пространство X односвязно, мы можем счи-
считать, что (X, \) = Х. Тогда отображение
будет представлять собой (р—1)-связное расслоение пространств
(X, р—1) над пространством X. Рассмотрим диаграмму
Ь
.Ня(
гомоморфизмы ш,, о)д которой индуцированы проекцией а>, а гомо-
гомоморфизмы gm и hm являются гомоморфизмами Гуревича. Согласно
определению (р—1)-связного расслоения, гомоморфизм iot притер
является изоморфизмом. Так как пространство (X, р — 1), по усло-
условию, (р—1)-связно, то, согласно обычной теореме Гуревич?, гомо-
гомоморфизм gp является изоморфизмом, а гомоморфизм gp+1 — эпимор-
эпиморфизмом. Таким образом, нам остается лишь доказать, что гомомор-
гомоморфизм Ш? является ^6 - изоморфизмом при т—р и ^-эпиморфизмом
при т = р-\~ 1.
С другой стороны, поскольку <о = Р2Рз • • • Рр-р ДЛя этого доста-
достаточно доказать, что при любом г = 2, 3, .... р — 1 индуцирован-
9. Относительная теорема Гуревича 415
ный расслоением $г гомоморфизм
(Рг)й:Ят(*. r)->Hm(X, r-1) f
является S?-изоморфизмом при m = р и ^-эпиморфизмом при m = р-\~ 1.
Пусть В = (Х, г — 1). Ясно, что мы можем считать, что
(В, г — 1)=*В и (В, г) = (Х, г). С другой стороны, так как про-
пространство В односвязно и тст (В) ? 4S при 1 < m < р, то Нт (В) ? 4$
при 0 < т < />. Поэтому, согласно предложению 7.3, гомоморфизм фг)д
является ^-изоморфизмом при т=р и ^-эпиморфизмом при m=p-j-l. ш
Следствие 8.2. Пусть Ч? — произвольный совершенный а слабо
полный класс, и пусть X — такое односвязноё пространство,
что Нт{Х)^ при 1 <т<п, где п>2. Тогда %т{Х)?Ч? при
0<т<«. . .
Это следствие немедленно вытекает из теоремы 8.1 индукцией
по т. В силу этого следствия любое односвязноё %'-ацикличное
пространство X <?-асферично, т. е. itm(^)^^ для всех от> 1.
В частности, имеет место
Следствие 8.3. Гомотопические группы любого односеязного
конечно триангулируемого пространства имеют конечное
число образующих.
9. Относительная теорема Гуревича
Теорема 9.1. Пусть % — произвольный совершенный и полный
класс, и пусть X — такое односвязноё пространство, а Хо —
такое его односвязноё подпространство, что п2(Х, Хв) — 0 и
wm(X, ^оN^" пРи 2 < т < п, где п ^>2. Тогда гомоморфизм
Гуревича
Ат: пя(Х. Х0)-+Нт(Х,
является &-изоморфизмом при 2 ^ т ^ п и ^-эпиморфизмом
при т = я + 1.
Доказательство. Мы докажем эту теорему индукцией по. и. При
я = 2 теорема верна, так как Н2(Х, Х0) = 0 и, согласно упр. С
гл. V, отображение А3 является изоморфизмом.
Пусть теорема 9.1 уже доказана для п—1. Тогда в условиях
этой теоремы отображение hm при 2^/и<и будет ^-изоморфиз-
^-изоморфизмом и потому при 0<т<я будет иметь место включение Нт (X, Х0) ? %.
Следовательно, нам нужно только доказать, что гомоморфизм hn
является ??-ивоморфизмом, а гомоморфизм hn+1 — Й'-эпиморфизмом.
Произвольно выбрав некоторую точку хо?Хо, рассмотрим про-
пространство путей Y = [Х; X, хо\. Оно является расслоенным про-
пространством над пространством X с проекцией <о: Y->X, определен-
определенной для всех ??К равенством <о($)=?@). Пусть Y0 = [X; Хо, х0].
416 Гл. X. Классы абвлевых групп
Пространство Ко линейно связно и
Поэтому itj (К,,) = 0 и кт (К„) ? ?* при 2 < m < » — 1. Следовательно,
согласно теореме 8.1, гомоморфизм Туревича g'. itm(K0)-»#m(K0)
является ?"-изоморфизмом при т = п—1 и s-эпиморфизмом при
Поскольку слой F — <о~1 (х0) = А(Х) расслоения го линейно свя-
связен и Нт(X, Хо)?& при О < т < я, мы можем к этому расслое-
расслоению применить теорему 6.6 с р = п и q=*\. В результате мы
получим, что индуцированный этим расслоением гомоморфизм
год: Hm(Y, YQ)->Hm(X, Хо) является ^-изоморфизмом при т = п
и ^"-эпиморфизмом при т = п-\~\.
Рассмотрим теперь диаграмму
I*
Нт (X, Хо) 4^- Нт (К, Ко) ^* Я,,., (Ко).
I*.
Так как эта диаграмма коммутативна, то hm=*w#d# gm_idtta~ .
Следовательно, гомоморфизм hm является ^-изоморфизмом при т — п
и ^-эпиморфизмом при т = п-\~1. Ш
Следствие 9.2. Пусть X — такое односвязное пространство
и Хо — такое его односвязное подпространство, что п2(Х, Х^)=0.
Тогда, если при 2</»<я группа Нт(Х, XJ) принадлежит
совершённому и полному классу Ч?, то группа кт(Х, XJ при
2 < т < я также принадлежит классу %.
Замечание. Если класс <i? лишь совершенен и слабо полон, то
теорема 9.1, вообще говоря, неверна. Например, пусть X = А"Х В,
и пусть Х0*=АХЬ, где А и В — произвольные односвязные про-
пространства, а Ь? В, причем пространство В Й'-ациклично. Варьируя
пространство А, можно легко показать, что для некоторого класса *ё
теорема 9.1 тогда и только тогда верна, когда класс # совершен-
совершенный и полный. Аналогично можно показать, что теорема 8.1 спра-
справедлива тогда и только тогда, когда класс ¦'ё совершенен и слабо
полон.
• 10. Теорема Уайтхеда
Теорема 10.1. Пусть *?—произвольный совершенный и пол-
полный класс, а X и Y — произвольные односвязные пространства.
Тогда для любого я>2и любого отображения /: X-*Y, для
которого гомоморфизм /«: k2(X)->k2(Y) является эпиморфиз-
эпиморфизмом, равносильны следующие утверждения:
Упражнения ill
A) гомоморфизм /„: ¦кт(Х)-*тст(У) является %'-изоморфиз-
%'-изоморфизмом при т < п и 46-эпиморфизмом при т = п;
B) гомоморфизм /^: Hm(X)->Hm(Y) является ^-изомор-
^-изоморфизмом при т<.п и Ч?-эпиморфизмом при т — п.
Доказательство. Рассмотрим цилиндр Zf отображения /. Согласно
п. 12 гл. I, оба пространства X и Y естественным образом^ опре-
определяются как подпространства цилиндра Zp причем пространство Y
является его сильным деформационным ретрактом. В соответствии
с этим отображение / представляется в виде композиции ri отобра-
отображения вложения i: X с Zf и сильной деформационной ретракции
г: Zf->-Y. Поскольку ретракция г индуцирует изоморфизмы гомо-
гомотопических групп и групп гомологии, отсюда следует, что утверждения
A) и B) равносильны соответственно следующим двум утверждениям:
(Г) гомоморфизм /„: irm (X) -»izm (Zf) является 46-изомор-
46-изоморфизмом при т < и и 46-эпиморфизмом при т = п;
B') гомоморфизм i^: Hm(X)^>Hm(Zf) является 46'-изомор-
46'-изоморфизмом при m < ft и Ч?-эпиморфизмом при т = п.
С другой стороны, из точности гомотопической и когомологи-
когомологической последовательностей пары (Zf, X) следует, что утвержде-
утверждения A0 и B') равносильны соответственно следующим двум утвер-
утверждениям:
A") для всех 2 < т < п имеет место включение nm(Zf,
B") для всех 2 <т<п имеет место включение Нт(Zf,
Поскольку, согласно теореме 9.1, последние два утверждения
равносильны, равносильность утверждений A) и B) тем самым пол-
полностью доказана. ¦
УПРАЖНЕНИЯ
А. Примеры классов абелевых групп
Кроме описанных в п. 2 и п. 3 классов абелевых групп, можно
указать также следующие классы:
1. Класс всех абелевых групп, мощность которых не превосходит
данного бесконечного кардинального числа На- В частлом случае,
когда К« является мощностью натурального ряда чисел, мы получаем
класс Ла всех счетных абелевых групп. Докажите, что этот класс,
совершенен и слабо полон, но не полон.
2. Класс всех абелевых групп А, для которых существует такое
целое число N (зависящее от группы.Л), что Na = 0 для каждого
элемента а ? А. Докажите, что этот класс совершенен и полон, но
не сильно полон.
27 Ху Сы-цзян
-418 Гл. X. Классы абелевых групп
3. Класс всех абелевых групп, удовлетворяющих условию мини-
минимальности для подгрупп. Докажите, что этот класс совершенен
и слабо полон, но не полон.
B. Составные гомоморфизмы
С помощью точной последовательности S(f, g) (см. п. 4), соот-
соответствующей паре гомоморфизмов /: А-*В и g: В-*С, докажите,
что для любого класса & имеют место следующие утверждения:
1. Если гомоморфизмы fag являются ^-мономорфизмами, то
Й'-мономорфизмом является и гомоморфизм gf.
2. Если гомоморфизмы fag являются Й'-эпиморфизмами, то
^-эпиморфизмом является и гомоморфизм gf.
3. Если гомоморфизм gf является Й'-мономорфизмом, то Й'-мо-
номорфизмом.является и гомоморфизм /.
4. Если гомоморфизм gf является Й'-эпиморфизмом, то Й'-эпи-
морфизмом является и гомоморфизм g.
5. Если гомоморфизм gf является Й'-мономорфизмом, а гомомор-
гомоморфизм / — Й'-эпиморфизмом, то гомоморфизм g является Й'-мономор-
физмом.
6. Если гомоморфизм gf является Й'-эпиморфизмом, а гомомор-
гомоморфизм g — Й'-мономорфизмом, то гомоморфизм / является Й'-эпимор-
физмом.
C. Полные и совершенные классы абелевых групп
Докажите следующие утверждения:
1. Для любого класса <i? абелевых групп следующие три утвер-
утверждения равносильны:
(a) класс <ё полон;
(b) если A^S, то А®В?& для любой абелевой группы В;
(c) каждая. конечная или бесконечная прямая сумма групп, изо-
изоморфных произвольной группе A^S, также принадлежит классу *?.
2. Каждый сильно полный класс является совершенным и полным
классом.
Существуют ли не совершенные или не слабо полные классы,
до сих пор неизвестно.
D. Обобщение леммы о пяти гомоморфизмах
Докажите, что лемма о пяти гомоморфизмах ([С — Э], стр. 35)
остается верной и по модулю произвольного класса *ё, т. е. для
любых двух пятичленных точных последовательностей и любых пяти
гомоморфизмов групп первой последовательности в соответствующие
группы второй последовательности, удовлетворяющих соотношениям
коммутативности, из того что четыре крайних гомоморфизма являются
К-изоморфизмами следует, что средний гомоморфизм также является
^-изоморфизмом.
Упражнения ¦ 41$
Е. Обобщение теоремы о разложении в прямую сумму
Рассмотрите произвольный класс % абелевых групп и точную
последовательность
для которой существуют такие два гомоморфизма g,: А2-*А1 и
gA: А5-*АА, что эндоморфизмы flgl и /^4 являются ©-изоморфиз-
©-изоморфизД ф h A^A
5
мами. Докажите, что в этом случае гомоморфизм h: A^Ag-^A^, опреде-
определенный формулой h(x, y) = fs{x)-Jrgi{y), является if-изоморфизмом.
F. Тензорные и периодические произведения ^-эквивалент-
^-эквивалентных групп ~ ;
Пусть Ч? — произвольный полный класс. Докажите, что если
группы А а В соответственно Й'-эквивалентны группам Л' и В',
то группы А® В и Тог (Л, В) соответственно ^-эквивалентны груп-
группам А'® В' и Тог (Л', В').
G. ^-точные последовательности
Пусть ^-произвольный класс абелевых групп. Подгруппы А и В
некоторой абелевой группы О называются О>-равными, если гомо-
гомоморфизмы вложения А(\В->А и А(\В->В являются Й'-изомор-
физмами. Последовательность абелевых групп и их гомоморфизмов
называется ^-точной последовательностью, если в каждом ее
члене образ „входящего" гомоморфизма' #-равен ядру „исходящего*
гомоморфизма.
1. Докажите известные элементарные свойства точных последо-.
вательностей (см. [С—Э]. стр. 74) для любых ^-точных последова-
последовательностей.
2. Обобщите результаты п. 8 гл. VIII, получив тем самым ряд
основных Й'-точных последовательностей.
Н. Индуцированные гомоморфизмы
Пусть X, Y — произвольные односвязные пространства, группы
гомологии которых имеют конечное число образующих, и пусть
/: X -» К—такое их отображение, что гомоморфизм /,: гс2 (X) -*• щ (К)
является эпиморфизмом.
1. Пусть &" — класс всех конечных абелевых групп, «У — класс
всех периодических групп и О — поле характеристики 0. Докажите,
что следующие четыре утверждения равносильны:
(a) отображение. /#: Нт(Х)->Нт(У) является ^-изоморфизмом
при /»<« и ^"-эпиморфизмом при от = и;
(b) отображение /д: Hm(X)->Hm(Y) является ^"-изоморфизмом
при т < п и ^-эпиморфизмом при т = п;
(c) отображение /tt: Hm(X; 0)->Hm(Y; G) является изомор-
изоморфизмом при от<» и эпиморфизмом при т = п;
'27*
420 Гл. X. Классы абелевых групп
(d) отображение /#: Hm(Y; G)->Hm(X; О) является изоморфиз-
изоморфизмом при т < и и мономорфизмом при т = п.
2. Пусть 4Fр — класс всех конечных абелевых групп, порядок
которых не делится на данное простое число р, а $р — класс всех
периодических групп, /?-примарные компоненты которых тривиальны.
Пусть, кроме того, О — произвольное поле характеристики р. Дока-
Докажите, что следующие четыре утверждения равносильны:
(a) отображение /#: Hm(X)-*Hm(Y) является ^"р-изоморфиз-
мом при т<и и ,^,-эпиморфизмом при т = п;
(b) отображение /#: Hm(X)->Hm(Y) является ^-изоморфизмом
при т < и и ^-эпиморфизмом при т = п;
(c) отображение /#: Нт(Х; G)->Hm(Y; О) является изоморфиз-
изоморфизмом при m<n и эпиморфизмом при щ = п;
(d) отображение /#: Hm(Y; G)->Hm(X', О) является изомор-
изоморфизмом при m < я и мономорфизмом при т^=п.
Значение этих двух предложений заключается в том, что во мно-
многих случаях они позволяют заменять вычисление по модулю некото-
некоторого класса *? вычислением с коэффициентами в поле.
Заметим, что к отображению /, удовлетворяющему условиям этих
предложений, применимы теоремы 10.1, ибо классы J1 и J"p совер-
совершенны и полны. Стоит также иметь в виду, что утверждения (Ь),
(с), (d) этих предложений равносильны даже' тогда, когда группы
гомологии пространств X и Y не имеют конечного числа образующих.
ГЛАВА XI
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР
1. Введение
В этой заключительной главе мы рассмотрим задачу о вычисле-
вычислении гомотопических групп сфер. Мы не будем здесь излагать всех
известных к настоящему времени результатов, касающихся этой аа-
дачи, поскольку они носят, как правило, сугубо технический харак-
характер. Мы ограничимся изложением лишь некоторых отдельных фактов,
имеющих самостоятельный интерес, как-то теорема о надстройке
Фрейденталя (формулируемая в п. 2 и доказываемая в п. 2—5), свой-
свойства псевдопроективных пространств и многообразий Штифеля
(п. 10—11).и теория хопфовского инварианта (п. Г4 и упр. С).
Мы уже знаем, что при г < 0 группа яя+гE") тривиальна, а при
г = 0 она является свободной циклической группой. Используя *ре-
вультаты последних двух глав, а также упомянутые выше ревуль-
таты, мы вычисляем в п. 15—17 эту группу при г=1, 2, 3 и 4.
Группа icn+r(Sn) известна также и при 5^г-^15. Однако для этих
значений t мы никаких вычислений проводить не будем, а лишь сфор-
сформулируем окончательный результат (п. 18).
2. Теорема о надстройке
Мы будем рассматривать «-мерную (и > 1) сферу 5" как экватор
(я+ 1)-мерной сферы 5n+1, обозначая через а и v соответственно
северный и южный полюсы последней. При этом, произвольно выбрав
некоторую точку $0?S", мы будем символом
обозначать пространство петель сферы 5n+1 в точке s0. _
Основой наших рассуждений будет отображение /: Sn-*W, со-
сопоставляющее каждой точке x?S" петлю / (д;) сферы S"+1, соединяю-
соединяющую по кратчайшим геодезическим точку sQ с полюсом и, полюс и
с точкой х, точку х с полюсом v и, наконец, полюс v с точкой *0.
Ясно, что отображение / является гомеоморфизмом сферы 5* на под-
подпространство /E") пространства W. Отождествив для любой точки
x?Sn точку х с точкой t(x), мы можем поэтому рассматривать
сферу S" как подпространство пространства W, а отображение
i: Sn-*W — как отображение вложения.
422 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
Для дальнейшего весьма важно, что петля i(s0) естественно гомо-
гомотопна вырожденной петле wo?W, отображающей отрезок / в точку s0,
т. е. что точки w0 и l(s0) пространства W связаны в W некоторым
естественным — и потому однозначно определенным — путем о.
Пусть . s ..'
/,: «m (S: s0) -> «m (IT. I (s0)), m>0,
— гомоморфизм, индуцированный отображением I;
— изоморфизм, индуцированный путем в, и
— изоморфизм, предусмотренный предложением 2.2. гл. IV.
Композицию
/'Г " " 2 = А,оЛ: ^En.>o)->^+iE"+1. s0)
гомоморфизмов /,, at и h, мы будем называть -надстроечным гомо-
гомоморфизмом (или просто надстройкой). Легко проверяется, что этот
гомоморфизм совпадает с надстроечным гомоморфизмом в смысле п.. 11
гл. V, построенным для рассматриваемого частного случая.
Теорема 2.1 (те'орема Фрейденталя о надстройке). Над-
етроечяый гомоморфизм 2 является изоморфизмом при
т < 2/t—1 и эпиморфизмом при т = 2п — 1.
Доказательство. Так как отображения о, и ht являются изомор-
изоморфизмами, то нам нужно только доказать, что отображение /, является
изоморфизмом при т < In — 1 и эпиморфизмом при т = 2л — 1. Ио,
согласно теореме Уайтхеда (теорема 10.1 гл. X), для этого доста-
достаточно доказать, что индуцированный вложением / гомоморфизм
является изоморфизмом при т < In — 1 и эпиморфизмом при
т — 2п—1. Так как, согласно теореме 13.4 гл. IX, имеют место
соотношения
Z' если т = 0 mod л,
= 0, если тфО mod».
то нам достаточно поэтому доказать лишь следующую лемму:
Лемма 2.2. Имеет место изоморфизм
Эту лемму мы докажем в трех следующих пунктах.
3. Каноническое отображение 423
Пусть U и V — северная и южная полусферы сферы Se+1.
Из теоремы 11.1 гл. V и теоремы о надстройке немедленно вы-
вытекает
Следствие 2.3. Гомоморфизм вырезания
является изоморфизмом при 2 < т < 2я и эпиморфизмом при
т = Чп.
Тождественное отображение сферы S" может быть распростра-.
нено до некоторого отображения/: (Еп+ , $")—>•(?/, 5"). Компонируя
это отображение с вырезанием е: (U, Sn)c(Sn+1, V), мы получим
отображение
* = */:(?"+1,S")->(S"+!, V),
которое в силу того, что полусфера V стягивается по себе в точку s0,
гомотопно в (Sn+1, V) некоторому отображению
А: {Еп+1\ Sn)->(Sn+1, s0),
принадлежащему образующей группы «„+iE"+1, s0). Для любого эле-
элемента о группы rcOT(Se, *0) элемент Е(а) группы tm+1E"+1, s0)
является, как легко видеть, классом составного отображения Щ, где
" «)>: (?"+1, Sm)->(?"+l. 5")
— произвольное распространение некоторого отображения <p:Sm—>Sn
класса а.
3. Каноническое отображение
Рассмотрим пространство путей X=[Sn+1; s0, Sn+1]. Согласно
п. 13 гл. III, пространство X представляет «обой расслоенное про-
пространство над сферой Sn+1 с проекцией ш: X->Sn+1, определенной
для каждого пути х?Х равенством ш(х) = хA). Слоем ««"Ч^о)
этого расслоения является рассмотренное в предыдущем пункте про-
пространство W.
Пусть U и V — северная и южная полусферы сферы S"+1, и пусть
Мы начнем с того, что определим'некоторое отображение
и: (U XW, SnX W)-*(Xa, Xo),
которое мы будем называть каноническим отображением.
С этой целью мы каждой точке b?U отнесем путь u
соединяющий по кратчайшим геодезическим точку s0 с полюсом и
424 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
и полюс и с точкой Ъ. Ясно, что соответствие ft->f (b) представляет
собой некоторую секущую поверхность ?: U->XU расслоения ш.
Мы определим отображение и равенством
*(*./) = /• Т (»)•
где ft?t/, f?W, а под / ¦ f (ft) понимается произведение путей /
и т (ft). Согласно этому определению,
<•>«(*. Л = ». b?U,f?W.
Лемма 3.1. Каноническое отображение и является гомото-
гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Определим отображение X: (А"в, А"о) ->¦ (U X W»
5" X W)» полагая
где [ffoCJC)] — путь, обратный пути f<o(jc). Так как
иХ (х) = х (ш (*), х ¦ [Тш (дг)]-!)= (jc • IT"» (JC)]) ¦ т« (х).
Хч (ft, /) = X (/ • -г F)) = (Ь, [/ ¦ -г 0I • [Т (г;)]).
то каждое из отображений иХ и Хи гомотопно тождественному ото-
отображению. ¦
Определим теперь отображение
I»: SnXW-+W,
полагая р (ft, /) = / • I (b) для 'любых ft ? S" и / ? И?, где 1: S" -+W —
построенное в п. 2 вложение.
Лемма 3.2. Отображение р гомотопно в Xv ограничению t
1 = х ]sn х w: S" X.W -> Хо отображения и.
Доказательство. Наглядно говоря, гомотопия, связывающая ото-
отображения \х и v, достигается „разматыванием" пути l(b) до половины
его первоначальной длины. Чтобы определить эту гомотопию фор-
формулой, мы построим гомотопию ht: Sn->XV, 0-^f-^-l, для которой
ho — l и Ai = f, положив
\ht (ft)] (я) = I/ (x)) (уф^), ft € S". в 6 /¦•'€/•
Затем мы определим гомотопию ft^: SnX^->-^o> O^f^l, для
которой fto = p и A1 = v, равенством
4. Изоморфизм Вана рх 425
4. Изоморфизм Вана р„
В этом пункте для каждого q^-О мы построим некоторый изо-
изоморфизм
P.: Hn(Sn)®Hq(W)~Hn+l!(W).
Пусть m = n~\-q~\-l. Построение изоморфизма р, мы произведем
в шесть этапов.
Этап 1. Так как южная полусфера V сферы 5Я+1 стягиваема
по себе в точку sQ, то из теоремы о накрывающей гомотопии сле-
следует, что пространство W является сильным деформационным ретрак-
том пространства Xv, и йотому соответствующее отображение вло-
вложения индуцирует изоморфизм
Ъ Hm(X,W)^Hm(X, Xv).
Этап 2. Рассмотрим гомоморфизм
тр Нт{Хи, Х0)->Нт(Х, Xv),
индуцированный отображением вложения (Хц, Х0)->(Х, Xv).
Пусть
Yu = «."»(DB). Yv = a.-' (Dv), Y = Ya П Yv.
Поскольку множества Yu и Yv, объединением которых является про-
пространство X, открыты, для них имеет место теорема о вырезании,
и потому соответствующее отображение вложения индуцирует изо-
изоморфизм
Hm(Ya,Y)~Hm(X,Yv).
Так как пространства U, V и S" представляют собой деформацион-
деформационные ретракты пространств Du, Dv и D соотзетственно, то из тео-
теоремы о накрывающей гомотопии следует, что пространства Хи, Xv
и Л"о являются деформационными ретрактами пространств Кв, Yv и Y
соответственно. Сопоставляя эти замечания, мы немедленно получаем,
что отображение 7) представляет собой изоморфизм.
Э т а п 3. Поскольку каноническое отображение является гомото-
гомотопической эквивалентностью, оно индуцирует изоморфизм
V Hm(UXW, SaXW)~Hm(Xa, Хо).
Этап 4. Согласно теореме Кюннета, имеет место изоморфизм
С: Я„+1 (?/, S") ® Hq(W) ~Hm(UX W, Sa X W).
Этап 5. Поскольку пространство X стягиваемо по себе в точку,
имеет место изоморфизм
д: Hm(X,W)~Hm
426, Гл. XI. Гомотопические группы сфер
Этап 6. Поскольку пространство U стягиваемо rib себе в точку,
имеет место изоморфизм
тензорное произведение
в: Hn+l (t/, S") ® Hq (W) « Нп (Sn
которого на тождественное отображение также является изомор-
изоморфизмом.
Компонируя построенные изоморфизмы, мы получаем искойый изо-
изоморфизм :
р. = дГЧСб-1: Нп (Sn) ® Hq (W) ~
Можно показать, что этот изоморфизм р, совпадает с гомомор-
гомоморфизмом р, из точной последовательности Вана (см. теорему 13.1,
гл. IX) расслоения м: X->Sn+1; см. Ван [2].
5. Связь между гомоморфизмами р„ и /д
Пространстзо петель W обладает, согласно п. 11 гл. III. некото-
некоторым непрерывным умножением
Это умножение определяет в полной группе гомологии
m=0
так называемое умножение Понтрягина, относительно которого эта
группа является кольцом. В этом умножении произзедение а • C про-
произвольных элементов я?Нр(W) и (J?Hq(W) определяется формулой
где аХ? — элемент группы Hp+l](WXW), соответствующий в силу
формулы Кюннета элементам а и C, a
М.: Hm{WXW)-*H
— гомоморфизм, индуцирозанный отображением М.
Предложение 5.1. Для любых элементов а.? Нп (Sn) иф?Н„(W)
имеет, место соотношение
где /#: Hn(Sn)-+H,,(W) —гомоморфизм, индуцированный по-
построенным в п. 2 вложением i. S"->W.
5. Связь между гомоморфизмами рф и i# 427-
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
т {U XW,SaX W) -*! ¦ Н
1д [
Нт {U XW,SaX W) -*! ¦ Нт (Ха, Хо) -Л Нт (*. Xv) *¦- Ня (X, W)
1 [ [ 1
гомоморфизмы о и г которой индуцированы отображениями вложе-
вложения, а гомоморфизмы д являются граничными операторами. Все ква-
квадраты этой диаграммы коммутативны, так что
A) drV. = o"^V-
Но, согласно лемме 3.2,
B) ^. = °!V
Кроме того, в силу теоремы Кюннета имеет место изоморфизм
и коммутативная диаграмма
Ип+1 (?/, 5я)® Hq(W)-;->Ha+q+l(Ux W, S» X W)
|e I a
На Eя) ® Hq (W) +> Hn+q EЛ X W),
из которой следует, что
(S) Х = ^6-!.
Из формул A), B) и C) немедленно вытекает, что
откуда в силу определения отображения (* непосредственно следует, что
Пусть, в частности, ^ч=0. Группа H0(W) является свободной
циклической группой, порожденной элементом е, являющимся классом
гомологии точки w0, рассматриваемой как нульмерный цикл простран-
пространства W. Применяя к этому случаю предложение 5.L мы получим,
что для каждого элемента a.?Hn{Sn) имеет место равенство
%(<*) = е-/#(<*) = Р. (а®е):
Следовательно, на группе Hn(Sn) изоморфизм 1Л является изомор
физмом. Лемма 2.2 тем самым полностью доказана.
428 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
6. Гомотопические группы триады
Рассмотрим пространство путей
Т = [W; S\s0).
Так как, согласно предложению 3.1. гл. IV, для каждого от имеет
место естественный изоморфизм
то гомотопическая последовательность пары (W, S") порождает точ-
точную последовательность
Легко видеть, учитывая что группа гст(Т) изоморфна гомотопической
группе itm+2(S"+1; U> V) триады (Sn+1; U, V), что эта последова-
последовательность по существу совпадает с надстроечной последователь-
последовательностью триады (S"+1; U, V); см. п. 10—11 гл. V.
Чтобы использовать свойство точности этой последовательности,
мы должны вычислить гомотопические группы пт(Т). Здесь мы
в первую очередь можем заметить, что из теоремы о надстройке 2.1.
немедленно вытекает следующая
Лемма 6.1. Если от < 2л —2, mo umG) = 0.
Чтобы вычислить гомотопические группы пространства Т в более
высоких размерностях, мы введем в рассмотрение пространство путей
Q=[W;Sn, W].
Как мы знаем, это пространство имеет гомотопический тип сферы S"
и представляет собой расслоенное пространство над W с проекцией
ш: Q—>W, определенной для каждого пути о? Qравенством <в(о)=оA).
Слоем («"'(s,,) этого расслоения, служит пространство Т.
Так как Hm(W) = 0 при 0</я<я и Hm(T) = O при 0 < m <
< 2/t—1, то, согласно теореме 14.1, гл. IX, имеет место точная
последовательность
Я3„-2 (Т)-*...-* Hm+l (Q) -* Hm+1 (W) -*
При этом Hm+l (Q) = 0 = Hm (Q) для всех m > n, ибо простран-
пространство Q имеет гомотопический тип сферы 5". Следовательно, Нт(Т)я&
~ #m+i (Ю при п < m < 3/t — 2. Тем самым доказана следующая
Лемма 6.2. W2n_,G)«Z и Нт(Т) = 0 при 2л— 1 < m < Зл — 2.
Рассмотрим теперь произвольное отображение /: S2n-l->T, го-
гомотопический класс которого является образующей свободной цикли-
циклической группы it2n_jG) ~H2n-i(T). Ясно, что это отображение
7. Конечность гомотопических групп нечетномерных сфер 429
индуцирует изоморфизм
Ввиду лемм 6.1 и 6.2, это значит, что /#: Hm(S2a~1) ^ Hm(T) для
каждого m < Зи— 2. Следовательно, в силу теоремы Уайтхеда инду-
индуцированный отображением / гомоморфизм
является изоморфизмом при m < Зи—3 и эпиморфизмом при m=Zn— 3.
Тем самым мы доказали следующее
Предложение 6.3. При m < Зга — 3 группа тстG) изоморфна
группе KmiS2"'1), а группа w3n_3(T) изоморфна некоторой
факторгруппе группы ^зя-з^2")-
7. Конечность гомотопических групп нечетномериых сфер
В этом пункте мы будем рассматривать гомотопические группы
я-мерной сферы S" в предположении, что число п нечетно. Поскольку
гомотопические группы одномерной сферы S1 полностью вычислены
в п. 2 гл. IV, мы можем считать, что я^-3.
Пусть ш: X->S"— произвольное я-связное расслоение над сфе-
сферой 5". По определению,
izm(X) — Q, если /и<га,
т>п.
Слоем F этого расслоения является пространство гомотопического
типа (Z, п — I).
Согласно следствию 8.3 гл. X, абелева группа wmE") имеет для
любого т конечное число образующих. Отсюда в силу обобщенной
теоремы Гуревича немедленно вытекает, что для любого т группа Нт (X)
также имеет конечное число образующих.
Пусть К — поле характеристики 0. Так как число п — 1 четно,
то, согласно упр.. G гл. IX, алгебра когомологий H*{F; К) изоморфна
алгебре мнбгочленов над полем К от одной переменной степени п.— 1.
Пусть d^H"~1(F:, К)—образующая алгебры H*'(F; К).
Рассмотрим когомологическую последовательность Вана (см. тео-
теорему 13.2 гл. IX):
Так как число п нечетно, то гомоморфизм р* этой последователь-
последовательности является дифференцированием. С другой стороны, поскольку
Н"(Х; /С) = О = //П~1(ЛГ; К), гомоморфизм р* изоморфно отображает
группу Я" (F; К) на .группу H°(F; К), откуда, в частности.
430 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
следует, что элемент р*(а) группы H°(F; K)^K отличен от нуля. Так
как векторное пространство #р<я~ '(F; /С) над полем К порождено
элементом а? и так как гомоморфизм р* является дифференцирова-
дифференцированием, то для любого элемента k ? К имеет место равенство
р* (ka") = pkp* (а) а.Р ~ 1. -
Тем самым доказано, что
p.. Hp(n-l\F; К) ~ Н'"~1Пп-1) (F; К)
для каждого положительного целого числа р.
Это означает, что отображение р* является изоморфизмом для
всех от > 0. Поэтому в силу точности последовательности Вана для
любого от > 0 имеет место равенство Нт(Х; /е) = 0. Поскольку
группа Нт{Х) имеет конечное число образующих, а поле К является
полем характеристики 0, это возможно лишь тогда, когда группа Нт (X)
конечна для всех т > 0. Отсюда в силу обобщенной теоремы Гуре-
вича (теорема 8.1 гл. X) немедленно следует, что группа ът(Х)
конечна для всех т. Тем самым мы доказали следующую теорему:
Теорема 7.1. Для любой нечетномерной сферы S" группа wOTE")
при любом от > п является конечной группой.
8. Итерированная надстройка
Естественное вложение S"+1 cA(S"+2) (см. п. 2) индуцирует вло-
вложение
J: AEn+1)->A2(Sn+2).
Компонируя его с естественным вложением I: S" -> АEЯ+1)* мы по-
получаем вложение
Для каждого т вложение k индуцирует гомоморфизм
Кроме того, имеет место естественный изоморфизм
Предложение 8.1. Гомоморфизм ljtm совпадает с итерирован-
итерированной надстройкой Е2.
Доказательство. Согласно п. 2, имеет место изоморфизм
1). s0) ~
8. Итерированная надстройка 481
Аналогично имеют место изоморфизмы
+% s0),
Так как lt ==fP и kt = j,it, то утверждение предложения 8.1 немед-
немедленно вытекает из коммутативности диаграммы
(.
\,
Из предложения 8.1 и теоремы 2.1 непосредственно вытекает
Предложение 8.2. Гомоморфизм к„ является изоморфизмом
при /и<2я — 1 и эпиморфизмом при от = 2я—1.
Если от полных гомотопических групп перейти к их р-примарным
компонентам, то с помощью итерированной надстройки Е2 можно
будет получить значительно более точные результаты.
Теорема 8.3. Пусть п !> 3 — произвольное нечетное число,
р — некоторое простое число и-Ё — кладе всех конечных абе-
левых групп, порядок которых взаимно прост с числом р.
Оказывается, что итерированная надстройка
является 4$'-изоморфизмом при т<р(п-{-1) — 3 и &-эпимор-
&-эпиморфизмом при т = р(п-\-1) — 3.
Доказательство. Согласно предложению 8.1, достаточно доказать
соответствующее утверждение для гомоморфизма
индуцированного естественным вложеяием k : Sn-* A2 (Sn+2).
Пусть К — поле характеристики р, и пусть
*#: tfm(A2(S"+2); K)-+Hm(Sn. К)
— гомоморфизм групп когомологий, индуцированный вложением k.
Согласно теореме Уайтхеда (теорема 10.1 гл. X) и утверждению 2
упр. Н гл. X, нам достаточно показать, что гомоморфизм А** при
{ — 3 является изоморфизмом.
\
432 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
Но, согласно предложению 8.2, гомоморфизм kt является изомор-
изоморфизмом при m < 2я—1 и эпиморфизмом при /и = 2ге—1. Следова-
Следовательно, в силу теоремы Уайтхеда (теорема 10.1 гл. X) и утвержде-
утверждения 2 упр. Н гл. X, гомоморфизм Att является при тп < 2ге—1
изоморфизмом. С другой стороны, согласно утверждениям 6 и 7
упр. F гл. IX, при п < /ге</>(ге+ 1) — 3 имеет место равенство
Поскольку ге>3, это означает, что при m<;/>(я+1) — 3 гомо-
гомоморфизм Л** является изоморфизмом. ¦
Следствие 8.4. Пусть ге^-3 — произвольное нечетное число и
р — некоторое простое число. Оказывается, что р-примарные
компоненты групп rcm(S") и itm,n+z(S3) для любого т < п-\-Ар—б
изоморфны между собой.
Доказательство., Мы проведем доказательство индукцией по числу я.
При я = 3 утверждение, очевидно, справедливо. Пусть q^-5— про-
произвольное нечетное число,. и пусть следствие 8.4 верно для всех
нечетных чисел п, удовлетворяющих неравенствам 3 ^ п < q^
Согласно теореме 8.3, ^-примерные компоненты групп wm(S*)
и тст_2($*~2) изоморфны между собой, если т — 2<p(q — 1) — 3.
Так как <7>-5, то (р—1)(<7 — 5)>0 и, следовательно,
— 1) — 3.
Поэтому т — 2</>(<7 — 1) — 3, когда m<q-{-4p — 6.
Поскольку, по предположению индукции, ^-примерные компо-
компоненты групп vm_2(S{'~2) и vm_9+3(^) при т < q-\-bp — б изоморфны
между собой, отсюда вытекает, что следствие 8.4 верно и для n = q. Ш
9. Примарные компоненты групп nm(S3)
Следствие 8.4 показывает, что вычисление р-примарных компо-
компонент гомотопических групп любых нечетномерных сфер сводится
к вычислению /J-примарных компонент гомотопических групп трех-
трехмерной сферы S3. Имея в виду вычислить эти последние компоненты,
мы введем в рассмотрение 3-связное расслоение ш: X-*-S3 над сфе-
сферой S3, слоем F которого служит пространство гомотопического
типа (Z, 2).
Лемма 9.1. Группа целочисленных гомологии Нт(Х) про-
пространства X тривиальна при нечетном т и является цикли-
циклической группой порядка п = ~ при четном т > 0. Таким обра-
образом, эти группы образуют последовательность
Z, 0, 0, 0, Z2, 0, Z3, 0, Z4, 0, Z5, ...
9. Примарные компоненты групп am(Sa) 433
Доказательство. Рассмотрим когомологическую последовательность
Вана (см. теорему 13.2 гл. IX):
гомоморфизм р* которой является, как мы знаем, дифференцированием
алгебры H*(F), "изоморфной, согласно упр. G гл. IX, алгебре много-
многочленов над кольцом целых чисел от одной переменной степени 2.
Так как кт(Х) = 0 при /и<3, то Нт(Х) = 0 при т<3, и
потому
Пусть а — элемент групп tP^F), для которого р*(а) = 1. Этот
элемент порождает алгебру H*(F) и обладает тем свойством, что
*() 1
Пусть т = 2л, где л ^> 2. Отрезок последовательности Вана, от-
относящийся к этому значению т, имеет вид
О -+ Н2п (X) -+ Н2п (F) — -* H2"-2(F) -+ Я2я+1 (X) -+ 0.
Так как группа H2n(F) является свободной циклической группой
с образующей а", для которой р*(ал) = ла"~1, то отображение р*
на этой группе мономорфно и его коядро представляет собой цикли-
циклическую группу порядка п. Поэтому в силу точности выписанной выше
последовательности
Лемма 9.1 следует отсюда непосредственно в силу известной двой-
двойственности между гомологиями и когомологиями. ¦
Теорема 9.2. Для любого простого числа р соответствующая
р-примарная компонента группы rcm(S3) тривиальна при т < 2р
и является циклической группой Zp при т — 2р.
Доказательство. Пусть Ч? — класс всех конечных абелевых групп,
порядок которых взаимно прост с р. Так как, согласно лемме 9.1,
при 0 < т < 2р имеет место включение Нт(Х)?'&, то в силу обоб-
обобщенной теоремы Гуревича ът(Х)?'& при 0 < т < 2р. Кроме того,
группа i:2p(X) по тем же соображениям ^-изоморфна группе Zp.
С другой стороны, так как X язляется пространством 3-связного
расслоения над сферой S3, то пт E3) » ът (X) для всех т > 3. Тео-
Теорема 9.2 следует отсюда непосредственно, ¦
Следствие 9.3. Пусть п^-Ъ — произвольное нечетное число
up — некоторое простое число. Оказывается, что р-примарная
компонента группы nm(Sn) тривиальна при /и<л+2р — 3
и является группой Zp при т = п-{-2р — 3.
28 Ху Сы-цзян
434 Гл. Xf. Гомотопические группы сфер
Доказательство. Так как />!>2, то п-\-2р — 3<л-{-4/>— 6,
и потому в силу следствия 8.4 /7-примарные компоненты групп •km{S")
и ¦Km_n+z{Si) изоморфны между собой. ¦
10. Псевдопроективные пространства
Пусть
— пространство, получающееся приклеиванием к л-мерной сфере S"
некоторой (re-f- 1)-мерной клетки ?"+1 посредством отображения
<р: dE"+1 = S"-*-S" степени А.(см. п. 7 гл. I). Это пространство мы
будем называть псевдопроективным пространством ([А— X],
стр. 266). При А>0 его группы гомологии выражаются формулами
Hm(P) = Q, если тфО.п.
Лемма 10.1. Для любого т < 2й—1 имеет место точная
последовательность
0 -> *т E") ® Zh -+ um (Я) -> Тог (*„., E«); Zh) -+ 0.
Доказательство. Отображение <р очевидным образом распростра-
распространяется до некоторого отображения ф :?л+1—>Р. Рассмотрим комму-
коммутативную диаграмму:
.1 If* Ф*Т If*
верхняя строка которой является гомотопической последовательностью
пары (Я, S") и гомоморфизмы
«p.: «m(S")-^
которой индуцированы отображениями (риф соответственно. Так как
отображение <р имеет степень А, то. согласно упр. А в конце этой
главы, при т < 2л — 1 для любого элемента а ? тст E") имеет место
равенство <pt(a) = fta. С другой стороны, согласно упр. В в конце
этой главы, отображение ф, является при т^2п—1 изоморфизмом.
10. Псевдопроективные пространства 435
Поэтому, при m < In — 1 мы из гомотопической последовательности
пары (Я, 5") получаем точную последовательность
«»E") -*-> *т (S") ->*т (Я) -**„,_, E") -Ь-«„,_, (S").
Поскольку ядро и коядро гомоморфизма ср%: ит (S") —> ят (S") изо-
изоморфны соответственно , группам Тог (тст EЛ), ZA) и ят EД) ® 2А,
лемма 10.1 следует отсюда непосредственно. ¦
Пусть <в: Х-*-&, как и выше, — 3-связное расслоение над
сферой S3. Согласно доказанному выше, /7-примарная компонента
группы тс2р(ЛГ) является циклической группой порядка р. Пусть
/: S2p-*-X — отображение, гомотопический класс [/) которого
является образующей этой' /?-примарной компоненты.
Рассмотрим псевдопроективное пространство Р = Р/+1. По опре-
определению, SPpcP. Поскольку />[/] = 0, отображение / может быть
распространено до некоторого отображения g: Р-ь-Х. Пусть
% = u>g: P-*S3—композиция отображения g с расслоением <о: X->S3,
и пусть
— соответствующий гомоморфизм гомотопических групп.
Лемма 10.2. При т < 4р — 1 гомоморфизм х, является моно-
мономорфизмом. При т^4р—1 этот гомоморфизм отображает
группу кт(Р) на р-примарную компоненту группы izm(S3).
Доказательство. Ясно, что нам достаточно доказать соответствую-
соответствующее утверждение для индуцированного отображением g гомоморфизма
Так как, согласно обобщенной теореме Гуревича (теорема 8.1 гл. X),
группа тст (Я) для всех т является />-примарной группой, то гомо-
гомоморфизм gt ,отображает группу гст(Р) в р-примарную компоненту
группы ят(ЛГ).
Пусть 8* — класс всех конечных абелевых групп, порядок которых
взаимно прост с числом р. Достаточно доказать, что гомоморфизм g,
является ^-изоморфизмом при т < Ар—1 и 8*-эпиморфизмом при
т = Ар — 1. .
Из определения отображения g непосредственно следует, что
S±t: ^2p (Я) ~ H^piX). Поэтому в силу леммы 9.1 гомоморфизм
^tt: ^m(^>)~>^m(^) является ^-изоморфизмом для любого т < 4р.
Для завершения доказательства остается теперь л.ишь применить тео-
теорему Уайтхеда (теорема 10.1 гл. X). ¦
Доказанная лемма показывает, что задача вычисления /7-примарных
компонент групп rcm(S3) сводится (по крайней мере при т < Ар—1)
к задаче вычисления гомотопических групп пространства P = P2J.
28*
436 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
Теорема 10.3. При /ге<4/>— 2 группы кт(Р) тривиальны для
всех т, отличных от 2р, Ар — 3 и \р — 2. В то же время
~ Zp> eCJlU
Доказательство. Согласно теореме Гуревича, irm (P) = 0 при
т < 2р и п2р(Р)ж Zp. Согласно лемме 10.1, примененной к случаю
п = 2р, А = р и т <! 4/> — 3, имеет место точная последовательность:
Согласно теореме о надстройке (теорема 2.1), при т^.4р— 3
имеет место изоморфизм nm(S2p) «гrcm-i {S2p~1). Наконец, так как
1р —1^.3, то, согласно следствию 9.3, />-примарная компонента
группы t«_iE2p~1) тривиальна при т < 4р — 3 и является груп-
группой Zp при т=4р — 3. Сопоставляя все эти утверждения, мы не-
немедленно получаем, что
кт(Р) = 0, если 2/> < те < 4/> — 3,
Далее, согласно лемме 10.2, р-примарная компонента группы K
тривиальна при 2р < т < Ар—-3 и является группой Zp при т==
= 4р — 3, откуда ввиду следствия 8.4 вытекает, что для любого
нечетного я^-3 />-примарная компонента группы izm(Sn) тривиальна
при п-\-2р — 3<m<n + 4/> — 6. Так как, согласно теореме 2.1,
тет(^2р)~тет+1(^2р+1) ПРИ <4р — 2, то, следовательно, /?-при-
марная компонента группы nm+1{S2p+l) тривиальна-при 4р — 3<
< т < 6р — 6. В частности, так как 4р — 2 < 6р — 6 при р > 2,
то />-примарная компонента группы ^4р-2(^2Р) при/?> 2 тривиальна,
откуда в силу леммы 10.1 (примененной к случаю п = 2р, h = p и
т = 4р — 2) немедленно следует, что я4р_2(Р) «* Zp. ш
Следствие 10.4. Пусть р — произвольное простое число.
Тогда р-примарная компонента группы тст (S3) тривиальна при
2р < т < 4р — 3 и является группой Zp при т = 4р — Ъ. Если
р > 2, то р-примарная компонента группы rc4p_2(S3) также
является группой Zp. - *
Следствие 10.5. Пусть р — произвольное -простое число.
Тогда р-примарная компонента группы rcm(S") для любого не-
нечетного л^-3 тривиальна при п-\-2р — 3<m<n-f-4/> — 6.
Группа я„+4р_6E") либо тривиальна, либо является группой Zp.
П. Многообразия Штифеля 437
11. Многообразия Штифеля
Пусть п ^-4 — произвольное четное число. Рассмотрим многооб-
многообразие Штифеля V = Vn+h2 всех единичных касательных векторов
сферы S" (см. упр. G гл. III). Это многообразие односвязно и, за
исключением групп
Но (V) » Z, Ял_, (V) « Z2, Я2„_, (V) « Z,
все его группы гомологии тривиальны; см. [С], стр. 161, и Шти-
фель [1] и [2]. Ясно, что многообразие V представляет собой рас-
расслоенное пространство над сферой S", слои которого гомеоморфны
сфере S"~l. Пусть ш: V—>S" — соответствующая проекция. Согласно
п. 6 гл. V, расслоение ш: V-+S" определяет точную последователь-
последовательность
• • ¦ - «* (У) ^* ** ($") ^- «„., (s"-1) a- «m_, (У) -.......
Обычно эту точную последовательность используют для вычисления
гомотопических групп многообразия V. Мы же, напротив, используем
ее для вычисления групп тст (S").
Пусть ит — образующая группы izm{Sn), являющаяся классом
тождественного отображения. Рассмотрим следующий отрезок ука-
указанной выше последовательности:
• • • -¦«.00
")—
Согласно теореме Гуревича, тгв_, (К) « Z2. Поскольку гомоморфизм х*
является эпиморфизмом, отсюда и из точности этой последователь-
последовательности вытекает, что образ гомоморфизма dt является подгруппой
группы i^-iOS") индекса 2, так что dt (»„)= ± 2«„_,. Можно
доказать, что на самом деле <*«(я„) = 2и„_,, но этот факт нам не
понадобится.
Гомоморфизм dt при m > л описывается следующей леммой (об
используемой в этой лемме операции компонирования элементов гомо-
гомотопических групп см. упр. А в конце этой главы).
Лемма 11.1. Для любого расслоенного пространства X над
сферой S" с линейно связным слоем F гомоморфизм dt из точ-
точной последовательности
... - тгт (X) - тгт (S") -*»> тгт_, (F) -+ «т_, (А") - ...
отображает надстройку S (а) «ад каждым элементом
a€7tm-i('S'I~1) e композицию dt («„) о а.
Доказательство. Пусть А : S"~l->F — произвольное отображение
класса dt(un). Согласно упр. А в конце этой главы, гомоморфизм
А, : ™ш_, (S")—»¦«„_, (jP), индуцированный отображением ft, обла-
29 Ху Сы-цзян
438 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
дает тем свойством, что kt (a) = dt (ип) о а для любого элемента а
группы rcm_i(S"~ )• Поэтому утверждение леммы равносильно утвер-
утверждению о коммутативности диаграммы
Рассмотрим изоморфизм wt: кт(Х, F) m izm(Sn), индуцирован-
индуцированный проекцией ш: X->Sn. Так как, по определению, гомомор-
гомоморфизм dt представляет собой композицию изоморфизма со-1 и гранич-
граничного гомоморфизма д: кт(Х, F)->i:m_, (F), то отображение
k: 5"~1->F класса dt(un) мы можем построить, выбрав произволь-
произвольное отображение h: (Еп, 5л')->Eл, So) класса ип, построив (с по-
помощью теоремы о накрывающей гомотопии) отображение Н: (Еп, 5л-1)->
->(ЛГ; F), для которого a>H = h, и положив & = #|5„_1 .
Пусть a?icm_, E"). Мы должны доказать, что kt(a.) = dtZ(a).
Пусть ср: Sm~1->-Sn'1 — произвольное отображение класса а. Тогда
отображение &ср принадлежит классу &«(а). Произвольно распростра-
распространим отображение ср до некоторого отображения ф: (fi71, Sm~1)-^
-^(Е"^"'1). Согласно п. 2, отображение Аф принадлежит классу Е(а).
Поскольку <f>Hty = hty, отображение Щ принадлежит классу «-^(а)
и, следовательно, отображение к<? = Щ\зт-\ — классу dtS(a).¦
Вернемся теперь к гомотопическим группам многообразия Шти-
феля V^ = V^n+i>2- Используя обобщенную теорему Гуревича, мы не-
немедленно получим, что
A) для любого т > 0 группа rcm(V) имеет" конечное число
образующих;
B) если т<п — 1, то Km(V) = 0;
C) имеет место изоморфизм тс„_,(У) «Z2;
D) при п— 1 < т < 2п — 1 группа nm(V) конечна и 2-примарна;
E) группа ъ2п_1(У) изоморфна прямой сумме группы Z и конеч-
конечной 2-примарной группы.
Лемма 11.2. Существует такое отображение q: S2n~x-+V,
что индуцированный им гомоморфизм
для всех т является ^-изоморфизмом, где & — класс всех
конечных 2-примарных групп.
Доказательство. Согласно свойству E), существует такое отобра-
отображение q: S п~ —*-V, что его гомотопический класс а порождает сво-
13. Примарные компоненты гомотопических групп 439
бодную циклическую подгруппу группы TC2n_i(V0. индекс которой
является степенью двойки. Поскольку гомоморфизм Гуревича группы
n2n_1(V) в группу H2a-i(V) является ^-изоморфизмом, отсюда сле-
дует; что индуцированный отображением q гомоморфизм
также является ^"-изоморфизмом при /те —2я — 1, а потому и при
всех т. Для завершения доказательства остается применить теорему
Уайтхеда (теорема 10.1 гл. X). ¦
Из этой леммы немедленно вытекают следующие дополнительные
свойства гомотопических групп многообразия V:
чF) при т > 2л—1 группа ът(У) конечна;
G) для любого нечетного простого числа р соответствующая
/>-примарная компонента группы ът (V) изоморфна />-примарной
компоненте группы кф (S2").
12. Конечность гомотопических групп четномериых сфер
Теорема 12.1. Для любой четномерной сферы S" группа
¦rcm(S") при любом т > п. отличном от 2л—1. явщется ко-
конечной группой. Что же касается группы it2a-iE*). то эта
группа изоморфна прямой сумме группы Z и некоторой конеч-
конечной группы.
Доказательство. Поскольку rcm (S2) » пт E3) при т > 2, теорема
для я = 2 верна. Пусть я^-4. Тогда, согласно п. 7 и п. 11, для
любого т > п, отличного от 2л— 1, обе группы ът(У) и icmJ.j (S"~^)
конечны. Поэтому, из точности последовательности пт (V) -> rcm (S") -*¦
—*-TCm_j (S") следует, что группа izm(S") также конечна.
В критическом случае т = 2п—1 мы введем в рассмотрение
класс © всех конечных абелевых групп. Из точности указанной
выше последовательности следует, что гомоморфизм
является ^"-изоморфизмом. Но это и значит, что группа тс2п_, (S")
-изоморфна прямой сумме группы Z и некоторой конечной группы. ¦
13. Примариые компоненты гомотопических групп
четномерных сфер
В этом пункте мы вычислим /7-примарные компоненты некоторых
гомотопических групп кт (S") четномерной сферы S". Так как
ът (S2) ~ тст (S3) для всех «^.3, то без ограничения общности мы
можем считать, что л ^.4» когда применимы результаты п. 11.
29*
440 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
Рассмотрим следующий отрезок построенной в п. 11 точной по-
последовательности:
С помощью гомоморфизма ш, и надстройки 2 мы определим
оморфизм
щ
гомоморфизм
Г:
полагая Г (а, р) = wt (а) -f- 2 (Р) Ддя любых элементов а?жт(У) и
Лемма 13.1. Гомоморфизм Г является 46-изоморфизмом, где
46— класс всех конечных 2-примарных групп.
Доказательство. Согласно лемме 11.1, композиция надстройки Е
и гомоморфизма dt совпадает с эндоморфизмом kt группы Km-i(Sn~l)
индуцированным отображением k: Sn~1-*-Sn~1 степени d = ±2. Но,
согласно утверждению упр. А в конце этой главы, эндоморфизм kt
является ^-автоморфизмом. Поэтому лемма 13.1 непосредственно-
вытекает из результатов упр. Е гл. X. ¦
Теорема 13.2. Гомотопическая группа wm(S") четномерной
сферы S" %-изоморфна прямой сумме групп пт (S2n~l) и «m_, (Sn~'),
где, как и выше, % — класс есех конечных 2-примарных групп.
Доказательство. Так как кт (S2)«izm (S3) для всех т^-3, то
для я = 2 теорема верна. Если же я!>4, то теорема непосредственно
вытекает из лемм 13.1 и 11.2. ¦
Значение теорем 12.1 и 13.2 заключается в том, что они сводят
вычисление гомотопических групп четномерных сфер к вычислению
гомотопических групп нечетномерных сфер, поскольку из этих теорем
немедленно вытекает
Следствие 13.3. Для любого нечетного простого числа р и
любого четного п р-примарная компонента .группы %,(?") изо-
изоморфна прямой сумме р-примарных компонент групп ^(S2")
«-m-1E-1).
14. Инвариант Хопфа
Чтобы усилить теорему 13.2, нам понадобится понятие инвари-
инварианта Хопфа. Мы изложим здесь определение этого инварианта,
принадлежащее Серру.
Рассмотрим я-мерную сферу S" с отмеченной в ней точкой so?S".
Пусть 2" = А E") — пространство петель сферы S" в точке s0.
Введем в рассмотрение естественный изоморфизм
У- %»-2^")«^Л-1E")
141 Инвариант Хопфа 441
и гомоморфизм Гуревича
Пусть /: SUl~l-*-^>—произвольное отображение, и пусть
1/16 w2»-i OS") — его гомотопический класс. Инвариантом Хопфа
отображения / называется целое число H(f), однозначно определен-
определенное равенством
Г1 (/]) # (/) и2,
где «2 — образующая р2A) группы Я2я_2Bл), построенная с помощью
гомоморфизма р, Вана (см. теорему 13.1 гл..IX). Другие определения
инварианта Хопфа будут изложены в упр. С в конце этой главы.
При нечетном п инвариант #(/) всегда равен нулю. Для любого же
чётного я всегда существует отображение /, для которого //(/) = 2.
Для трех исключительных значений п, а именно для я = 2, 4, 8
(и только для этих значений) существуют отображения /, для кото-
которых //(/)= 1. Этими отображениями являются, например, построен-
построенные в п. 5 гл. III отображения Хопфа; см. Хопф [2] и [С], стр. 138.
Теорема 14.1. Пусть п— произвольное четное число, и пусть
/: 52я~1->-5я — произвольное отображение с инвариантом
Хопфа H(f) = k Ф 0. Пусть, далее, % — класс всех конечных
абелевых групп, порядок которых делит некоторую степень
числа k. Тогда для любого т ^-1 формула
определяет некоторый гомоморфизм
X,: ^(^-^«.«(^-
являющийся ^-изоморфизмом.
Доказательство. Ясно, что при л = 2 теорема справедлива.Поэтому
мы можем считать, что я >¦ 4.
Отображение / очевидным образом определяет некоторое ото-
отображение g: 22я->2". Пусть
— гомоморфизм алгебр целочисленных когомологий, индуцированный
отображением g. Согласно упр. Н гл. IX, алгебра Н* Bя) обладает
таким однородным базисом {at), что dim at = i(n — 1) для каждого
/ = 0, 1. ... и
oe==l. (OjJ = 0
442 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
Аналогично алгебра Я*B2я-1) обладает таким однородным бази-
базисом {bt}, что dim й, = /Bл — 2) для каждого / = 0, 1, ... и
Так как Я(/) = Л, то g*(a2) = kb1 и потому
(Р 0 g* («яр) = it («аР = & Фх)р = ft" (р I) V
Следовательно,
Так как очевидно, что ?*(л2/,+1) = 0, то тем самым гомоморфизм g*
полностью описан.
Пусть теперь /: S"~1—*-Qn— построенное в п. 2 естественное
вложение. Рассмотрим индуцированный этим вложением гомоморфизм
Л Н*(9Я)-».Я'E"-1).
Согласно лемме 2.2, элемент е = /* (аг) является образующей группы
Используя имеющуюся в пространстве Q" операцию умножения,
мы определим отображение у : S" X 22я~1-»-2'1, полагая у(х, w)—
= l(x)-g(w) для любых x?S"~l ида^О2". Согласно упр. Н
гл. IX, алгебра H*{S"~l X 22") естественным образом изоморфна
тензорному произведению H*(Sn~1)®H*(Q2n~1). При этом, как легко
видеть, индуцированный отображением ср гомоморфизм
определяется формулами
bp.
Это показывает, что гомоморфизм ср#: Ят(9")-^Ят(S"'1
является мономорфизмом, причем его коядро в каждой размерности m
имеет конечный порядок, равный степени числа k. По соображениям
двойственности отсюда следует, что гомоморфизм
для любого m является ^-изоморфизмом. Поэтому в силу теоремы
Уайтхеда индуцированный отображением ср гомоморфизм
гомотопических групп также является ^-изоморфизмом для всех fn.
15. Группы яп + i(Sn) ил„+2 (S") ¦ 443
С другой стороны, группа я/|1EпХ2гл) изоморфна прямой
сумме */n(S"-1) + *,n(s/''~1). причем ^(Q2"-1) » «„^(S2"). Кроме
того, группа ^„,B") изоморфна группе тст+1E"). Очевидно, что эти
изоморфизмы переводят гомоморфизм <р. в гомоморфизм if. Ш
Следствие 14.2. Если H(J)= ± 1. то гомоморфизм ^ является
изоморфизмом, и потому надстройка Е: nm(Sa~1)-*-'Km+l(Sa)
является для всех т^-\ мономорфизмом.
Поскольку для любого четного п существуют отображения /,
для которых Я(/)=2, теорема 13.2 является следствием теоремы 14.1.
16. Группы nn+1(S") и nn+2(S")
Поскольку ¦Km(Sl) = Q для всех т>1 и пт E2) «¦кт (S3) для
всех т > 2, мы можем считать, что «>.3.
Теорема 15.1. Для любого «>-3 группа ¦Rn+l(Sn) является
циклической группой второго порядка:
un+1E")«Z2, я>3.
Доказательство. Пусть ^ — пространство 3-связного расслоения
над сферой 53. Согласно лемме 9.1, имеют место изоморфизмы
С другой стороны, согласно теореме о надстройке 2.1,
...« ил+1 E") «...
Следовательно, 1гл+1Eл)« Z2 для всех ге^>3. ¦
Образующая группы тс„+1 E") строится следующим образом.
Пусть р: S3->S2 — отображение Хопфа из п. 5 гл. III. Согласно
п. 6 гл. V, класс отображения р представляет собой образующую
группы 1г3E2). Так как надстройка Ё: ir3 E2)-> ir4 E3) является эпи-
эпиморфизмом, то класс надстроенного отображения Ер: 54->53 является
образующей группы n:4(S3). Поэтому образующей группы Kn+i(Sn)
служит класс отображения Ип~2р, получающегося («— 2)-кратным
применением операции надстройки к отображению Хопфа р.
Теорема 15.2. Для всех п^-Ъ группа ¦Kn+2(Sn) является цикли-
циклической группой второго порядка:
п+2
)
Доказательство. Применяя лемму 10.1 к случаю ге = 4, й = 2,
= 5, мы получаем точную последовательность:
0 -> Z2 ® Z2 -> я5 (Й) -*- Tor (Zv Z2)--> 0.
444 Гл. XI, Гомотопические группы сфер
Так как Z2®Z2»*Z2 и Tor(Z, Z2) = 0, то к6(Р%)жг2. Следова-
Следовательно, согласно лемме 10.2, 2-примарная компонента группы ic5(S3)
изоморфна группе Z2. С другой стороны, при р > 2, согласно тео-
теореме 9.2, /7-примарная компонента группы к5E3) тривиальна. Таким
образом, гс5 E3) « Z2.
Поскольку инвариант Хопфа отображения Хопфа 57->S4 равен
единице, мы можем использовать следствие 14.2 при я = 4 и т = 6,
из которого ввиду теоремы 2.1 вытекает, что Е: я5 (S3M4
Поэтому ic6(S4)«Z2.
Наконец, согласно теореме 2.1,
*6 (S4) » «7 (S5) «... « «л
Следовательно, гсл+2 EЛ) » Zj для всех п ^- 3. ¦
Найдем образующую группы «л+2E"). Пусть i: S*^yP^~естествен-
S*^yP^~естественное вложение. При доказательстве леммы 10.1 было показано, что
образующей группы ^(Рг) служит класс отображения, являющегося
композицией отображений i и S2p: 55->S4. Компонируя это отобра-
отображение с отображением х: Рг->о из п. 10, мы получим отображе-
отображение у№р, класс которого является образующей группы rc5(S3). Но
классом отображения Xi является образующая группы n4(S3), и
потому это отображение гомотопно отображению Ир : S4->S3. Таким
образом, образующая группы ks(S3) является классом отображения
S5->S3,
где р: S3-»-S2—отображение Хопфа. Поэтому для любого л^
образующей группы «л+2E") служит класс отображения Лп~3Ч,
получающегося (л—3)-кратным применением операции надстройки
к отображению д.
Следствие 15.3. Имеют место изоморфизмы
Согласно п. 6 гл. V, образующие этих циклических групп
являются гомотопическими классами отображений
р: ^-*S2, poSpiS4-^2, poSpoS2p: S5-+S?
16. Группы nn+3(S")
Группа 1с5(^2) вычислена выше (см. следствие 15.3).
Теорема 16.1. Группа л6E3) является циклической группой
двенадцатого порядка:
' 16. Группы Яп + i(Sn) 440
Доказательство. Применяя лемму 10.1 к случаю « = 4, А = 2,
от = 6, мы получаем точную последовательность
0->Z2®Z2-*ic6(P2)-*Tor(Z2, Z2)->0.
Так как Z2® Z2 « Z2 и Tor(Z2, Z2) « Z2, то группа Пб(Рг)? которой,
согласно лемме 10.2. изоморфна 2-примарная компонента грулпы ^(S3),
является расширением группы Z2 посредством группы Z2 и потому
состоит из четырех элементов.
Согласно теореме 9.2, 3-примарная компонента группы ic6(S3)
изоморфна группе Z3, а все остальные р-примарные компоненты
этой группы тривиальны. Следовательно, группа л6E3) состоит из
двенадцати элементов и потому изоморфна либо группе Z12, либо
группе Z2-\-Z6.
Предположим, что я6 (S3) да Z2 -\- Z6. Пусть X — пространство
5-связного расслоения над сферой S3. Тогда
Я6 (X) * «6 (X) « «((S3) » Z2 + Z6,
и потому, согласно теореме об универсальных коэффициентах (см.
[С—Э], стр. 204),
Яб (X. Z^ » Нот (Н, (X); Z]> » Z2+ 22.
Но это противоречит результатам упр. I гл. IX. Следовательно,
3
62
Из этого доказательства непосредственно следует, что составное
отображение
определяет некоторый элемент второго порядка группы я6E8).
Можно показать, что образующей группы я6E3) служит класс характе-
характеристического отображения ?: S6-*^3 (см. [С] стр. 117) естествен-
естественного расслоения группы SpB) над сферой S6 со слоем Sp(l); см.
Бо'рель и Серр [1], стр. 442.
" Следствие 16.2. Группа w6(S*) является циклической группой
двенадцатого порядка:
Образующей группы ^(S2) служит класс составного отображения
р%: 5е->52.
Теорема 16.3. Группа ic7(S4) является прямой суммой сво-
свободной циклической группы и циклической группы двенадца-
двенадцатого порядка:
Доказательство. Пусть q: S'-^-S* — отображение Хопфа, рас-
рассмотренное в п. 5 гл. III. Так как H(q)= 1, то к этому отображению
446 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
применимо следствие 14.2 с л = 4, /я = 7. Следовательно, имеет
место изоморфизм
Но, как мы знаем, 7C7(S7)«Z и гс6 (S3) яа Z12. ¦
Ясно, что отображение </ определяет образующую свободной компо-
компоненты Z группы л7E4), а надстроенное отображение Е?: 57->54 —
образующую периодической компоненты Z12 группы л7E4).
Теорема 16.4. При ге^-5 группа яян.3Eв)' является цикли-
циклической группой двадцать четвертого порядка:
ЯЛ+3 (•$") ** ^24' П >- 5.
Доказательство. По теореме о надстройке 2.1, гомоморфизм Е
отображает группу л7E4) на группу л8E5), причем, согласно упр. D
в конце этой главы, ядром гомоморфизма Е является циклическая
подгруппа группы л7E4), порожденная произведением Уайтхеда [е,.е],
где е — образующая группы те4 (S*), определенная тождественным
отображением сферы S*.
С другой стороны, из известной теоремы о характеристических
отображениях (см. [С], стр. 146, 152) следует, что
[е. e]*=*2lq]—*LK].
где г ±= ± 1 в зависимости от выбора ориентации. Поэтому в группе
•гс8E5) имеет место соотношение
Это показывает, что элемент S [q] имеет порядок 24 и является
образующей группы rc8(S5).
Наконец, согласно теореме о надстройке 2.1,
Таким образом, яя+3E'1)« Z24 для всех ге^-5. ¦
Мы видим, кроме того, что при п^-5 образующая группы itn+3(,Sn)
определяется отображением H"~iq: S -*-S", получающимся (я—4)-
кратным применением операции надстройки к отображению Хопфа
q: S7^S*.
17. Группы *„+4Eл)
Группа ¦k6(S2) вычислена выше (см. следствие 16.2).
Теорема 17.1. Группа ir7(S3) является циклической группой
второго порядка:'
17: Труппы я„+4 (Sn) 447
Доказательство. Согласно теореме 9.2, р-примарная компонента
группы ic7E3) тривиальна для всех простых чисел р > 3. Кроме
того, согласно следствию 10.4, 3-примарная компонента группы
ic7E3) также тривиальна. Следовательно, группа" ic7E3) является
2-примарной группой.
Рассмотрим теперь пространство X 6-связного расслоения над
сферой S3. Так как я7 (S3) « я7 (X).« #7 (X), то
Hom(ic7E3), Z2)^H7(X; Z2).
Но, согласно утверждению 4 упр. I гл. IX, Н7(Х; Z2) ~ Z2. Поэтому
группа я7E3) изоморфна циклической группе Zq, где q = 2h, й^-1.
Если й > 1, то каждый гомоморфизм группы я7 E3) в группу Z2
может быть разложен в композицию гомоморфизмов
и потому из точности указанной в утверждении 7 упр. I гл. VIII
последовательности вытекает, что Sgrl<x = O для каждого элемента
а.?Н7(Х; Z2). Так как это противоречит утверждению 4 упр. I
гл. IX, то, следовательно, й=1 и ir7E3)«Z2. ¦
Как показал Хилтон (Хилтон [2], стр. 549), оба отображения
существенны. Следовательно, они гомотопны друг другу и опреде-
определяют отличный от нуля элемент группы w7E3).
Следствие 17.2. Группа w7(S2) является циклической группой
второго порядка:
Отличный от нуля элемент группы л7E2) определяется каждым
из отображений
Теорема 17.3. Группа w8E4) является прямой суммой двух
циклических групп второго порядка:
Доказательство. По тем же соображениям, что и в доказательстве
теоремы 16.3, имеет место изоморфизм
Остается отметить, что ic7E3)«Z2 и я8 E7) « Z2.
448 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
Группа л8E4) порождена двумя элементами аир второго порядка,
где а — класс любого из отображений
9): 5s->S4,
a p — класс отображения доЪ5р: S8->-S4.
Теорема 17.4. Группа ic9(S5) является циклической группой
второго порядка:
Доказательство. Рассмотрим следующий отрезок построенной
в п. 6 надстроечной последовательности:
Ч (Т) -*+ «8 (S4) -+ «9 (S5) -*¦ щ (Г) ^+ *7 (S4) -^ «8 (SB) -> 0.
При доказательстве теоремы 16..4 было замечено, что ядром гомо-
гомоморфизма 2: ic7 (S4) -> ic8 (S5) является свободная циклическая группа.
С. другой стороны, согласно предложению 6.3, я7 (Т) да я7(S7) « Z.
Поэтому ввиду точности рассматриваемой последовательности отобра-
отображение ср: 1с7(Т)-*1с7E4)мономорфно. и потому отображение S: ^i(S4)->
-^¦^(S5) эпиморфно.
-Поскольку существуют изоморфизмы я8 (Г) « я8 (S7) « Z2, ядро
гомоморфизма S: ic8 (S4) -> ic9 (S5) содержит не более двух элементов.
С другой стороны, для элемента а группы w8(S4), определенного
отображением S (? о S4p): S8 —> S4, имеет место равенство
Следовательно, ядро гомоморфизма S: ic8(S4)->ic9(S5) состоит в точ-
точности из двух элементов 0 и а. Поэтому я9 (S5) яа Z2. ¦
Отличным от нуля элементом группы ic9(S5) является класс Еф)
отображения S(9°25p): S9-*^. С другой стороны, произведение
Уайтхеда [е, е] образующей е группы л5E5) на себя также отлично
от нуля. Следовательно, [е, е] = Ир; (Серр [3], стр. 230).
Теорема 17.5. При п^-Ь группа Kn+i(Sn) тривиальна:
^+4E") = 0, «>6.
Доказательство. По теореме о надстройке 2.1, гомоморфизм S
отображает группу ic9(S5) на группу wI0(S6). При этом, согласно
тонкой теореме о надстройке (см. упр. D в конце этой главы),
имеет место равенство S [е, е] = 0. Следовательно, я10E6) = 0.
Наконец, согласно теореме 2.1,
Таким образом, яд+4E") = 0 для всех «>6.
18. Группы я„ + г (Sn), 5 ^.r ^ 15 449
18. Группы nn+r(Sn), 6<r<16
В этом последнем пункте книги мы приведем список групп теп+г()
для г = 5, 6, 7, 8. Доказательства см. Серр |5], [6]. К настоящему
времени группы nn+r(Sn) известны также и для 9^г^15; см.
'Года [1], [2], а также Тода [3], где указаны некоторые исправления.
г=5
r = 6
/¦ = 7
«is E7)«Z2-I-Z2H-Z2
450 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
УПРАЖНЕНИЯ
А. Законы дистрибутивности
Пусть ct€«m(S". s0), ф?-яп(Х, Xq), и пусть
/: (Г, STEMS'. s0), g: (s". so)-+(X. x0)
— отображения классов аир соответственно. Класс ~(?v:m(X, x0)
составного отображения gf мы . будем обозначать символом р о а и
будем называть композицией элементов а и р.
Докажите, что
1. Элемент р»а группы пт(Х, х0) однозначно определяется
элементами аир.
2. Правый дистрибутивный закон. Для любого эле-
элемента р^1ся(Лг, л;0) соответствие a-*poa определяет гомоморфизм
группы 1сотEя, s0) в группу icm(X, л;0). Более того, этот гомомор-
гомоморфизм совпадает с гомоморфизмом gt, индуцированным отображением g.
3. Левый дистрибутивный закон. Если пространство X
является //-пространством с гомотопической единицей х0 или если
элемент а является надстройкой Е(8) над некоторым элементом
8?n:m_1(.S'I~1, s0), то соответствие р->роа определяет гомоморфизм
группы кп(Х, хй) в группу кт(Х, х0) ([С], стр. 149).
Рассмотрите, в частности, случай, когда (X, xo)==(S", s0). Пусть
отображение g:(S", so)->(S", s0) имеет степень d. Докажите, что
индуцированный отображением g гомоморфизм
" (Sn, s0)
обладает следующими свойствами:
4. Если п=1, 3, 7 или если ffi<2n—1, то gt(a) = da. для
любого элемента а^1сотEя, s0).
5. Если Я1 = 3 и п = 2, то g".(a) = d2a для любого элемента
«€*зE2. «о) (ХопфШ).
6. Для любых т > 0 и п ^ 3 гомоморфизм gt является ^-авто-
^-автоморфизмом, где *& — класс всех конечных абелевых групп, порядок
которых делит степень числа й.
В. Относительные (и+1)-мерные клетки
Пусть (X, А) — относительная (ft-j- 1)-мерная клетка, полученная
приклеиванием шара Е"+1 к пространству А с помощью отображения
g: 5"-* А. Полагая /(*) = * для всех точек x?En+1\Sn— X\A,
мы, очевидно, получим некоторое отображение /: (?"+1, S")-*-(X,A),
являющееся распространением отображения g. Это отображение / на-
называется характеристическим отображением для относительной
клетки (X, А). Отождествив пространство А с точкой, мы в качестве
соответствующего факторпространства получим, очевидно,(n-j- Ь)-мер-
Упражнения 451
ную сферу Sn+l. Пусть A: X^>Sn+1 — естественная проекция. Вы-
Выбрав произвольно точку so?Sn, положим xo = f(so)?A. Приняв
точки s0 и л:0 за базисные точки гомотопических групп, проверьте,,
что имеет место коммутативная диаграмма:
т. е. что hJt*=Hd. Пользуясь этим, докажите, что:
1. Если отображение S мономорфно, то отображение Д также
мономорфно. Если отображение Е эпиморфно, то отображение А„
также эпиморфно.
2. При т < 2л отображение /. является мономорфизмом, ото-
отображение й„— эпиморфизмом и группа пт(Х, А) разлагается в пря-
прямую сумму образа Im/, и ядра КегА„.
3. Если пространство Лг-связно, где г<[я, то при т-^.п-\-г
отображение /, является эпиморфизмом; см. Дж. Г. К. Уайтхед [6],
стр. 14, и Хилтон [1], стр. 464.
i Примените эти результаты к относительной (р+9)"меРной
клетке (А', А), для которой X = S"XS9 и A = S"\/S9. Согласно
утверждению 2 и теореме 3.1 гл. V, при любом т <C2p-\-2q — 2
имеют место естественные изоморфизмы:
icm(s" X S9
Кроме того, согласно утверждению 3, при т ^ p-\-q-\-min(p, q) — 2
имеет место равенство КегАф = 0.
С. Другие определения инварианта Хопфа
Определение инварианта Хопфа Н / отображения
^Sn, л>2,
изложенное в п. 14, принадлежит Серру. В этом упражнении мы
укажем ряд других равносильных определений. Каждое из этих
определений допускает естественное обобщение, но эти обобщения
уже не обязательно равносильны.
N 1. Определение Хопфа. Переходя, если нужно, к гомо-
гомотопному отображению, мы можем считать, что / представляет собой
симплициальное отображение относительно некоторых триангуляции
сфер 5s" и 5". Тогда прообразы /~!(«) и f~l(v) любых двух
452 Гл. XI. Гомотопические группы сфер
различных внутренних точек и и v некоторых я-мерных симплексов
сферы 5" являются непересекающимися (п—1)-мерными подмного-
подмногообразиями сферы S2"'1. Докажите, что инвариант //(/) равен коэф-
коэффициенту зацепления этих подмногообразии, рассматриваемых как
(л—1)-мерные циклы сферы S2"; см.. Хопф [2J м [С], стр. 138.
Это определение может быть распространено на некоторые отобра-
отображения произвольных многообразий.
2. Определение Стинрода. Пусть Ж — цилиндр отображе-
отображения /. Алгебра целочисленных когомологий Н*(М, S2n~l) (напомним,
что S2n~lczM) обладает, однородным базисом [а, Ь\, для которого
dim а = п к dim b = 2л. Докажите, что
см. Стинрод [3], стр. 983, и Серр [2] стр. 146. Это определение
может быть перенесено на любые отображения /: Sn+l^1-*Sn. Дей-
Действительно, в этом случае алгебра Н*{М, 5"+'~1; Z2) обладает од-
однородным базисом {а, Ь], для которого ditna = re и dimb = n-\-l,
что позволяет определить обобщенный инвариант Хопфа H(J)?Z2
формулой Sqla ~H(f)b.
3. Определение Уайтхеда. Отождествив экватор 5я
сферы 5" с точкой, мы в качестве соответствующего факторпрост-
ранства получим букет 5Я\/5Я. Композиция gf отображения /с есте-
естественной проекцией g:Sn->Sn\/Sn определяет некоторый'элемент
\gf] группы .«2л-1 E"V5"). "Докажите, что инвариант Н (/) является
проекцией элемента [g/1 на прямое слагаемое к%п-i(S ""^я* Z группы
5"V5"). Поскольку
при т -^ 4« — 4, это определение очевидным образом обобщается
на отображения /: Sm~+Sn, для которых т ^ 4« — 4; см. Дж. Уайт-
хед [2] и Хилтон [1]. В этом случае обобщенный инвариант
Хопфа определен при т < 4« — 4 и представляет собой некоторый
гомоморфизм
Докажите следующие свойства этого обобщения инварианта Хопфа:
(i) при т ^ Зге — 3 для любых элементов а ? «m(S") и рр р2 € тев (-^0
имеет место равенство
(Pi+P2) ¦«=Pi ° <*-f- р2 ° <*+iPiP2] • л (а);
(И) при /»<4ге — 4 для любого элемента a.^m-i\Sn' ) имеет
место равенство
ЯЕ(а}=0;
Упражнения ¦ ¦ 453
(Hi) если число я нечетно, то при /»^4л —4 для любого эле-
элемента a?rcm(.S") имеет место равенство
2Нл==0;
(iv) при от<]4я— 4 из равенства Sa = 0, где. a^um(S"), вы-
вытекает при нечетном л равенство #а = 0, а при четном п вклю-
чение Ha.?2i:m(S2n-'1).
4. Определение Хилтона. Отождествив подмножество S" V-S"
прямого произведения 5" X Sn с точкой s0, мы в качестве соот-
соответствующего факторпространства получим 2л-мерную сферу S2".
Пусть _
А: (S" X Sn, Sn VSn) -
— естественная проекция. Для любого от > 0 мы определим обоб-
обобщенный инвариант Хопфа
Я*: *m(S
как композицию А,р?, гомоморфизмов
^тE" VS") -p+ *m+1 (S" X 5".
где g1, и А„ — гомоморфизмы, индуцированные соответственно отобра-
отображениями g и А, а /? — проекция группы rcm(S"V«S") на ее прямое
слагаемое *m+1(S" X S". 5Я\/5Л).
Докажите, что это обобщение инварианта Хопфа обладает сле-
следующими свойствами:
(i) если от < 4л —4, то Я* = ЕЯ; Хилтон [1], стр. 473, и 13],
стр. 166;
(И) для любых элементов a ? %п (S9) и {J ? ът E") имеет место
равенство
(Ш) если число л нечетно, то 2#*а = 0 для любого элемента
5Й
6И()
(iv) если число л четно, то для любого элемента a^icm(S") не-
нечетного порядка из равенства Н*а = 0 вытекает, что a = Sp
для некоторого элемента p6wm-i Eя).
*
D. Тонкая теорема о надстройке
Теорема о надстройке 2.1 является лишь простейшей частью
основной теоремы Фрейденталя и обычно называется грубой теоре-
теоремой о надстройке. Более тонкая часть результата Фрейденталя мо-
может быть сформулирована в следующем несколько усиленном Уайт-
хедом виде (Дж. Уайтхед [2]):
30 Ху Сы-цзян
454 • Гл. XI. Гомотопические группы сфер
1. Образ гомоморфизма 2 : «2b(Sb)->«2»+i(Sb+I) является подгруп-
подгруппой группы «2n+i(S"+1), состоящей из элементов, инвариант Хопфа
которых равен нулю.
2. Ядро гомоморфизма S:'K2B-i(S")->K2e(SB+1) является цикличе-
циклической подгруппой группы Гс2л_ 1 Eя), порожденной произведением Уайт-
хеда [е, е], где е — образующая группы icn(S"), определенная тож-
тождественным отображением сферы S". Если число п четно, то инва-
инвариант Хопфа элемента [е, е] равен двум, и потому порядок этого
элемента бесконечен. Если же число л нечетно, то 2[е, е] = 0, при-
причем [е, е] = 0 тогда и только тогда, когда в группе ic2n+iE"+1) су-
существует элемент, инвариант Хопфа которого равен единице.
БИБЛИОГРАФИЯ
Книги
Александров, Хопф (Alexandroff P. und Hopf H.)
[А—X] Topologie I, Springer, Berlin, 1935.
Byp6aKH(BourbakiN.)
[Б] Elements de mathematiques, Hermann, Paris, 1939—1948.
Веблен (VeblenO.)
[B] Analysis Situs (Amer. Math. Soc. Coll. Pub., vol. 5, Part 2), 2nd ed.,
1931.
Гуревич, Волмеи (Hurewicz W. and Wa 11 men H.)
[Г — В] Теория размерности, М., 1948 (перевод с английского)
Зейферт, Трельфалль (Seifert H. und Threlfall W.),
[3 — Т] Топология, Л., 1938.
Капланский (Kaplanskyl.)
[Ка] Infinite Abelian Groups, Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, 1954.
Карта и, Эйленберг (Cart an H. and Eilenberg S.)
[K -*• Э] Гомологическая алгебра, М., 1960.
Келлн (Kelley J. L.)
[К] General Topology, D. van Nostrand Co. Inc., New York, 1955.
Jle4uieu(LefschetzS.)
JIi] Topology, Amer. Math. Soc. Coll. PubL, vol. 12, 1930.
JlJ Алгебраическая топология, М., 1949.
Topics in Topology, Annals Ы Math. Studies, № 10, 1942.
Морс (Morse M.)
Mi] The Calculus of Variations in the Large, Amer. Math. Soc. Coll. Publ.,
vol. 18, 1984.
[Мг] Introduction to Analysis in the Large, 2nd ed. Mimeographed, Institute
for Advanced Study, Princeton, 1951.
CTHHpofl(SteenrodN. E.}
[C] Топология косых произведений, М., 1953.
Стиирод, Эйленберг (SteenrodN. E., Eilenberg S.),
[С — Э] Основания алгебраической топологии, М., 1958.
Хилтон (Hilton P. J.)
[Хн] An Introduction to Homotopy Theory, Cambridge Univ. Press, 1953.
XyffluS. T.)
[Xy] Homotopy Theory I, Dittoed Technical Reports, Tulane University. I960.
Ill e в а л л e (C h e v a 11 e у C);
[Ш] Теория групп Ли, I, M., 1948.
Статьи
Арене (Arens R.J
[1] Topologies for homeomorphism groups, Amer, J. Math., 68 A946),
У 593-610. .
30*
456 Библиография
[2] A topology for spaces of transformations, Ann. of Math., 47 A946),
480—495.
Блейкерс, Масси (В 1 akeгs A. L, MasseyW. S.)
[1] The homotopy groups of a triad, I, II, III, Ann. of Math., 53 A951),
161—205; 55 A952), 192—201; 58 A953J, 409—417.
[2] Products in homotopy theory, Ann. of Math., 58 A953), 295—324.
Б о рель, Cepp (Bor el A., S erre J.-P.)
II] Группы Лн н приведенные степени Стинрода, сб. «Расслоенные
пространства», М., 1958, стр. 247—282.
Борсук (В о г s u k КД
[1] Sur les retracts, Fund. Math., 17 A931), 152—170.
[2] Ober eirie Klasse von lokal zusammenhangenden Raumen, Fund. Math.,
19 A932), 220—240.
[3] Sur les groupes des classes de transformations continues, С R. Acad.
Sci., Paris, 202 A936), 1400—1403.
Брушлннскнй (Bruschlinsky N.}
[1] Stetige Abbildungen und Bettische Gruppen der Dimensionszahlen 1 und
3, Math. Ann., 103 A934), 525—537.
В а н (W a n g H. C.)
[1] Some examples concerning the relations between homology and homo-
homotopy groups, Indagationes Math., 9 A947), 384—386.
[2] The homology groups of the fibre bundles over a sphere, Duke Math. ].,
16 A949), 33—38.
Вер ма (Verma S.)
[1] Relation between abstract homotopy and geometric homotopy. Disser-
Dissertation, Wayne State University, 1968.
Войдыславскнй (Wojdeyslawski M.)
[1] Retractes absolus et hyperespaces des continue, Fund. Math., 32 A939),
184—192.
Г р н ф ф н и (Q r i f f i n J. S., Jr.}
Л1] Theorems on fibre spaces, Duke Math. J., 20 A953), 621—628.
Гуревнч (Hurewicz W.)
[11 Beitrage zur Topologie der Deformationen I—IV. Proc. Acad. Wetensch.,
Amsterdam, 38 A935), 112—119; 521—528; 39 A936), 117—126, 215—224,
[2] On the concept of fiber space, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 41 A955),
956-961.
Гуревнч, Стннрод (Hurewicz W. and Steenrod N. E.)
[1] Homotopy relations in fibre spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 27 A941),
60—64.
Д а у к e p (D о w k e г С. Н.)
[1] Mapping theorems for non-compact spaces, Amer. 1. Math., 69 A947),
200—240.
Джексон (J а с k s о n J. R.>
[1] Comparison of topologies on function spaces, Proc. Amer. Math. Soc, 3
A952), 156—158.
[2] Spaces of mappings on topological products with applications to homo-
homotopy theory, Proc. Amer. Math. Soc, 3 A952), 327—333.
Д ж и в e p (G i e v e r J. B.)
[1] On the equivalence of two singular homology theories, Ann. of Math.,
51 A950), 178—191.
Дугунджн (Dugundji J.)
[1] An extension ot Tietze's theorem, Pacific J. Math., 1 A951), 353—367.
Библиография 457
Зильбер, Эйленберг (Z i I b е г J. H., E i 1 е п b е г g S.)
[1] Semi-simplicial complexes and .singular homology, Ann. of Math., 51
A950), 499—513.
Каи (KanD. Щ
[1] Abstract Homotopy I—IV. Proc. Not. Acad. Sci. USA, 41 A955), 1092—
1096: 42 A956), 255—258, 419—421, 542—544.
К a p т а н (С а г t a n H.)
[1] Une theorie axiomatique des carres de Steenrod, С R. Acad. ScL, Pa-
Paris, 230 A950), 425—427.
Кёртис (CurtisM. L.)
]l] The covering homotopy theorem, Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956),
682—684.
Куратовский (KuratowskiCJ
[1] Quelques problemes concernant les espaces metriques non-separables,
Fund. Math., 25 A935), 534—545.
Л e p э (L e г а у J.)
[1] L'anneau spectral et l'anneau filtre d'homologie d'un espace localement
compact et d'une application continue, /. Math. Pures Appt. {9), 29
A950), 1—39.
[2] L'homologie d'un espace fibre dont la fibre est connexe, A Math. Pures
Appl. (9>,29 A950), 169—213.
Л я о (L i а о S. D.J
[1] On non-compact absolute neighborhood retracts, Acad. Sinica, Science
Record, 2 A949), 249—262.
Ma клей и, Эйлеиберг (MacLane S., Eilenberg S.},
[1] Relations between homology and homotopy groups, of spaces, Ann. of
Math., 46 A945), 480—509; II, Ann. of Math., 51 A950), 514—533.
[2] Acyclic models, Amer. J. Math., 78 A953), 189—199.
M а с с и (M a s s e у W. S.)
[1] Exact couples in algebraic topology, I—V, Ann. of Math., 56 A952),
363—396; 57 A953) 248—286.
[2] Products in exact couples, Am. of Math., 59 A954), 558—569.
[3] Some problems in algebraic topology and the theory of fibre bundles,
Ann. of Math., 62 A955), 327—359.
M и л н о р (М i I n о г J.)
11] Construction of universal bundles, I—II, Ann. of Math., 63 A956), 272—
284, 430—436.
Myp (Moore J. (Ц
[1] Some applications of homology theory to homology problems, Ann. of
Math..& A953), 325-350.
[2] On homotopy groups of spaces with a single non-vanishing homology
group, Ann. of Math., 59 A954), 549—557.
О л ю м (О 1 u m P.}
[1] Obstructions to extensions and homotopies, Ann. of Math., 52 A950),
1—50.
Петер'сон (Pete"'rs'on F. P.)
[1] Some results on cohomotopy groups, Amer. J. of Math., 78 A956),
243—257.
Cepp (Serre J.-P.)
II] Сингулярные гомологии расслоенных пространств, сб. «Расслоенные
пространства:», М., 1958, стр. 9—115.
[2] Гомотопические группы и классы абелевых групп, сб. «Расслоенные
пространствам М., 1958, 124—162.
458 Библиография
[3] Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg-MacLane, Comtn. Math.
Hetv, 27 A953), 198—232.
[4] Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane, C. R. Acad. Sci., Paris, 234
A952), 1243—1245.
[5] Sur la suspension de Freudenthal, С R. Acad. Sci., Paris, 234 A952),-
1340—1342.
[6] Quelques calculs de groupes d'homotopie, С R. Acad. Sci., Paris. 236
A953), 2475—2477. ;
С п а н ь e p (S p a n i e r E. H.jl
[1] Borsuk's cohomotopy Groups, Ann. of Math., 50 A949), 203—245.
CTHHpofl(SteenrodN, E.)
[1] Homology with local coefficients, Ann. of Math., 44 A943), 610—627.
]2[ Products of cocycles and extensions of mappings, Ann. of Math., 48
A947), 290—320.
[3] Cohomology invariants of mappings, Ann. of Math., 50 A949), 954—
988.
fl)
[1] Calcul de groupes d'homotopie des spheres, С R. Acad. Sci., Paris, 240
A955), 147—149.
[2] Le produit de Whitehead et l'invariant de Hopf, C, R. Acad. Sci., Paris,,
241 A955), 849—850.
[3] p-primary components of homotopy groups. I. Exact sequences in the<
Steenrod Algebra, II. Mod p Hopf invariant. Mem. Coll. Sci. Univ.
Kyoto, Ser. A A968).
[4] Composition methods in homotopy groups of spheres, Prinston, 1962";
(готовится к печати русский перевод).
Уоллес (Wallace A. D.) ';
[1] The structure of topological semigroups, Bull. Amer. Math. Soc, 61
A955), 95—112.
У a ft т x e д Дж. (W h i t e h e a d G. W.)
[1] On spaces with vahishing low-dimensional homotopy groups, Proc. Nat.
Acad. Sci., USA, 34 A948), 207—211.
[2] A generalization of the Hopf invariant, Ann. of Math., 51 A950), 192—237,
[3] On the Freudental theorems, Ann. of Math., 57 A953), 209—228.
У а й т x e д Дж. Г. К. (W h i t e h e a d J. H. C.)
[1] Simplicial spaces, nuclei and m-groups, Proc. London Math. Soc. B),
45 A939), 243—327.
[2] On adding relations-to homotopy groups, Ann. of Math., 42 A941), .
409—428.
[3] On the groups nT(Vn, mj; and sphere bundles, Proc. London Math. Soc.
B), 48 A944), 243—291; 49 A947), 478—481 (список опечаток).
[4] Combinatorial homotopy I, II, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949), 213—
245, 453-496.
]5[ On the readability of homotopy groups, Ann. of Math., 50 A949),
261—263.
[6] Note on suspension, Quart. J. Math., Oxford B), 1 A950), 9—22.
[7] A certain exact sequence, Ann. of Math., 52 A950), 51—110.
[8] On the theory of obstructions, Ann. of Math., 54 A951), 66r-84.
Фокс (FoxR.H.)
[1] On homotopy type and deformation retracts, Ann. of Math., 44 A943),
40—50.
[2] On fibre spaces I, II, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A943), 555—557,733—
735.
[3] On topologies for function spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 51 A945),
429—432,
Библиография 459
Ханнер (HannerO.)
[1] Some theorems on absolute neighborhood retracts, Arkiv Math., Soenska
Vetens. Acad., 1 A951), 389—408.
X и лт-он (H ilton P. J.)
[1] Suspension theorems and the generalized Hopf invariant, Proc. London
Math. Soc. C), 1 A951К 462—492.
[2] The Hopf invariant and homotopy groups of spheres, Proc. Camb. Phil.
Soc, 48 A952), 547—554.
[3] On the Hopf invariant of a composite element, /. London Math. Soc, 29
A954), 165—171.
Хопф (Hopf H.)
[1] Ober die Abbildungen der dreidimensionalen Sphere auf die Kugelflache,
Math. Ann., 104 A931), 637—665.
[2] Ober die Abbildungen von Spharen auf Spharen niedrigerer Dimension,
Fund. Math., 25 A935), 427—440.
Xy (Hu S. T.J ,
[1] Inverse homomorphisms of homotopy sequence, Indagationes Math., 9
A947), 169-177.
[2] On spherical mappings in a metric space, Ann. of Math., 48 A947),
717—734.
[3] A theorem on homotopy extension, ДАН СССР, 57 A947), 231—234>
[4] An exposition of the relative homotopy theory, Duke Math. I., 14 A947),
991—1033.
[5] Mappings of a normal space into an absolute neighborhood retract,
Trans. Amer. Math. Soc, 64 A948), 336—358.
[6] Extension and classification of the mappings of a finite complex into a
topological group or an л-sphere, Ann. of Math., 50 A949), 158—173.
[7] Extensions and classification of maps, Osaka Math. J., 2 A956), 165—
209.
[8] On generalising the notion of fibre spaces to include the fibre bundles,
Proc. Amer. Math. Soc, 1 A950), 756—762.
[9] Cohomology and deformation retracts, Proc. London Math. Soc. B), 53
A951), 191—219.
[10] On the readability of homotopy groups and their operations, Pacific J.
Math., 1 A951), 583—602.
[11] On products in homotopy groups, Univ. Nac del Tucuman, Revista,
Ser. A, 8 A951), 107—119.
[12] The homotopy addition theorem, Ann. of Math., 58 A953), 108—122.
Хюбш (HuebschW.)
[1] On the covering homotopy theorem, Ann. of Math., 61 A955), 555—563.
Чен (Chen C.)
[1] A note on the classification of mappings of а Bя — 2)-dimensional
complex into an n-sphere, Ann. of Math., 51 A950), 238—240.
Штнфель (Stiefel EJ
[1] Richtungsfelder und Fernparallelismus in Mannigfaltigkeiten, Comm.
Math. Helv., 8 A936), 3—51.
Эйленберг (EilenbergS.)
[1] Cohomology and continuous mappings, Ann. of Math., 41 A940), 231—
251.
[2] Singular homology theory, Ann. of Math., 45 A944), 407—447,
[3] Homology of spaces with operators, I. Trans. Amer. Math. Soc, 61
A947), 378—417; 62 A947), 548 (список опечаток).
[4] On the problems of topology, Ann. of Math., 50 A949), 247—260.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный окрестиостиый ретракт
41, 46—49, 87, 274
— ретракт 41, 45
Аксиома о накрывающей гомотопии
39, 55, 89, 101, 142
: абсолютная 89, 141
полиэдральная 89, 142
накрывающем пути 118
распространении гомотопии 24
отображений 45
Алгебра когомрлогий 400—402
База 89, 90, 93
Базисная точка 179, 193 -
Борсука теорема о распространении
гомотопии 48
расслоении 148 ,
распространения 45
Букеты пространств 204
Вана изоморфизм 425
— точная последовательность 384,
433'
Вес 359
Войдыславского теорема 43
ГамМа-фуиктор 349
Гизииа точная последовательность 381
Гомеоморфизм относительный 20
Гомотопическая единица 111
— инвариантность 30
— последовательность расслоения 214
триады 224
— — тройки 165, 172, 192, 222
— система 171
.аксиомы 172
. групповые операции 175
—' —, индуктивное построение 190
,свойства 192
.теорема единственности 173
-, — об эквивалентности 191
.эквивалентность 173
— эквивалентность 154
Гомотопические группы 154
Гомотопические группы абсолютные
155
абстрактные 182, 193
накрывающих пространств 216
относительные 158
расслоенных пространств 213
, связь с когомотопическими
группами 309—311
склеенных пространств 235
сфер 421—454
.теоремы сложения для элемен-
элементов 230
— — триады 224, 428
: //-пространств 197
— классы 23, 27
Гомотопический тип 169
Гомотопической инвариантности свой-
свойство 168
Гомотопия 20—21
—, аксиома распространения 24—26,
46-52
—, абсолютная 24, 48
—, окрестиостная 47
—, накрывающая, аксиома о распро-
распространении 89
— относительная 24
—, теорема Хопфа 78
'—, теоремы первой ступени 265
— частичная 27
Градуированная группа 318
дифференциальная присоеди-
присоединенная 336
с фильтрацией 338
Граничный оператор 161, 223
Грассмаиа многообразие 146
Группа гомологии 65
группы 276
пространств гомотопического
типа (я, п) 275
сингулярных кубических 356
— градуированная 318
^ дифференциальная 317
— когомологий пространств гомото-
гомотопического типа (я, п) 275
Предметный указатель
461
Группа гомологии сингулярных ку-
кубических 356, 357
— периодическая 405, 419
— р-примариая 405
я-группа 279
Гуревича гомоморфизм 415, 206
— теорема обобщенная 414
относительная 415
— теоремы 83, 208. 233, 347
Дважды градуированная группа 319
точная пара 323—325
Деформации задача 36
Деформационная коцепь 249
Деформационно гомеоморфные под-
подпространства 149
Дес юрмациониый ретракт 27
Деформация 22
—,теория препятствий 273
Дифференциальная группа 316
ассоциированная 337
присоединенная 338
производная 317
¦ с фильтрацией 30, 335
Дифференциальный оператор 316, 321
Дифференциальных групп спектраль-
спектральная последовательность 342
Единичный л-мериый симплекс 15
Естественная инъекции 203
— проекция 17, 202, 304
— эквивалентность 175
Естественный гомоморфизм 60, 71
— изоморфизм 171
Задача классификации 23, 27, 260,274
— иакрытия 38
— распространения 7, 8, 26, 33, 100
Замкнутая поверхность 44
, фундаментальней группа 85
Индекс распространимости 245
Каиа условие 200
Квадраты Стинрода 353
Классы абелевых групп 404—420
сильно полные 407
слабо полные 407
совершенные 407, 418
полные 407, 418
— когомологий препятствия 251, 250
Клейна бутылка 43
Когомотопическая группа 283
— последовательность 295
Когомотопическое множество 284, 294
Кограиичный оператор 287, 295
Конус над пространством 33, 44 ¦
— частичный 36
Коцепь деформационная 249
— различающая 249
Куратовского вложение 42
Кюннета формула 280
Лемма о пити гомоморфизмах 418
Линейной связности компонента 113
Локальная система групп 184
простая 186
Локально тривиальные расслоения 93,
143
Максимальный цикл 399
Мёбиуса лист 43
Многообразие Грассмана 146
— Штифеля 145, 437
Надстроечная последовательность
триады 226 - "
Надстройка 226, 351, 422, 453
— итерированнаи 430
—, теорема о 421, 453
— Фрейденталя 226, 312, 421
Накрывающая гомотопия^ЗЭ
Накрывающие пространства 128—134
обобщенные 151
регулярно 133
универсально 131, 138
Накрытие 38
Ограничение отображения 8
Относительная л-мерная клетка 20,
450
Относительные гомотопии 26
,классы 27
.теорема сложения ,232
— гомотопические группы 158, 193
Относительный гомеоморфизм 20
Отображение 7
— алгебраически тривиальное 97
— асроциирования 109
— ассоциированное 108 .
— вложения 8
—, гомотопное кулю 27, 51
— дифференциальных групп с филь-
фильтрацией 337
— каноническое 423
— квадратичное 349
— клеточное 240
— комбинированное 15
— надстроечное 87
— несущественное 27
— поверхностей 153
— по значениим 107, 109
462
Предметный указатель
Отображение производное 163
— прямых произведений 148
— расслоений 103
— стягиваемое в пространство 27, 36,
38
— существенное 27
— тора 6
— точных пар 333
— характеристическое 238, 450
— частичное 8
— экспоненциальное 53
— п-деформируемое 273
— п-нормальное 273
— п-распространнмое 245, 270
Отображения гомотопные 21, 27
— п-гомотопные 254, 270, 271
Ограничение 8
Пара бинормальная 287
— п-косвязная 311
— п-простая 274
Петель произведение 59, 114
Петля 54, 421
— вырожденная 59, 114
— обратная 59
— эквивалентная 59
Полуснмплициальные допустимые
подмножества 241
— множества 198—201
, гебметрическая реализация 236
группы 276
, оператор вырождения 199
полные 200
——-i фундаментальная группа 268
Эйленберга-Маклейна 281
Послойное отображение 130
Препятствия 244
— к распространению гомотопни 254
отображения 244, 271
— множество ОК*Ч{) 252 .
— первой ступени 261
—, теория 313
Прнмарная группа 405
— компонента 405, 432, 439
Производная тройка 160
Пространство базисное (база) 89, 90,
93
— бинормальное 25
— гомотопическн простое (п-простое)
186
— гомотопического типа (я, п) 235,
274
— доминирующее 49
•*- заполненное 9, 41
— линейно вполне несвязное 128
— линейно свизное 62, 64
Пространство локально линейно связ*|
ное 64 i
— локально односвязное 134 ,J
— локально ретрактное расслоенное
— локально стягиваемое 49
— локально тривиально расслое
(косое произведение) 93, 344
— муровскнх путей 149
— накрывающее 128
— — регулярно 133
универсально 132
— обобщенное накрывающее 151
— однородное 143 <
— односвязное 62 ¦}
— отображений 105, 147, 148 I
— петель 113, 114—118, 401 |
— полулокально односвязное 134
— проективное 434-^-436
— псевдопроективное 434—436
— путей 113, 423, 428
— расслоенное 88
— склеенное 18—20, 48
— с конечной фильтрацией 323, 341
— стягиваемое 22
—, топологическая сумма 19
— траекторий (орбит) 18, 278, 388
— п-косвязное 289
— п-связное 83, 208, 232, 289
— n-связное расслоённое 218
//-пространство 116
Путь 149
Развертка пространства 412
Различающая коцепь 249
Размерность 363
Распространеине 7
— накрывающей гомотопин 89
Распространения индекс 245
— задача 7, 274
Расслоение 62
—, гомотопические группы 213
— ретрактное 140
—,спектральные последовательности
354, 407
— с дискретными слоями 124
— сфер 96, 144
— п-связное 218, 412, 434
Регулярная пара 325
.условие {X, p.; v} 343
— д-пара 325
— 3-пара 327
Ретракт 12, 41
— абсолютный 41, 45
окрестиостный 41, 45, 46, 87
— деформационный 28, 51
Предметный указатель
463
Ретракт сильный 28, 50, 51
— окрестностный 41
Ретракция 12
Секущие поверхности 100, 105, 142
Свойство точности 165
Снмплнциальные множества 199
Сингулярное симплнцнальное множе-
множество 199
Сингулярный комплекс 66, 272
—. симплекс 66, 272
— n-мерный куб 355
—, вес 353
вырожденный 355, 358
, грани 355
Скольжение 134
Слой 93
Спектральная последовательность, ас-
ассоциированная с точной парой 322
— — гомологическая 369
— — когомологическая 397
дифференциальной группы с
фильтрацией 342
,предельная группа 322
— — расслоенных пространств 354
регулярно накрывающего про-
пространства 388
Степень главная 324
— дополнительная 323
— однородности 295
— отображения 20, 59, 76, 84, 87
— по базе 363
— полная 324
— по слою 363
Стннрода квадраты 353
Стягивание 22
Сфера, гомотопические группы 421
— как однородное пространство 144
—, хопфовскне расслоения 96
Теорема Брауэра о неподвижной точ-
точке 12
— вырезания 287
— гомотопнн Хопфа 78
— Гуревича 83, 208, 233, 347
— единственности 173
— классификации накрывающих про-
пространств 138
первой ступени 265
Хопфа 79, 87
— о вырезании для отображения
286
замощениях 86, 271
— — надстройке 421, 453
накрывающей гомотопни 95, 188
накрывающем пути 54
Теорема Брауэра о накрытнн 64,
130
послойном отображении 130
прямых суммах 211
распространении гомотопнн 47,
48
расслоении 193
— ¦ пространств отображений
120
точности 193
— распространения Борсука 45
первой ступени 264
Хопфа 76, 87
Эйлеиберга 251
— расслоения 264
— реализации 236
— Тнтце 9
Топология допустимая 17, 147
— компактно открытая (компактной
сходимости) 147
— отождествления 17
— равномерной сходимости 147
— слабая 278
— Уайтхеда 237
Топологическое отождествление 17,
43
Тор 43
Трансгрессия 351, 387, 388
Уайтхеда теорема 233, 416
— топология 237
— точная последовательность -346
— умножение 195, 446, 454
Универсальное накрывающее прост-
пространство 131
Универсальные коэффициенты, теоре-
теорема 280, 445
Условие {X, (i, v} 332
Факторпространство 18, 143
Фактортопологня 18
Фильтрация 335, 358
Фрейденталя надстройка 226, 312,
421
Фундаментальная группа 59
влияние на' группы гомологии
и когомологнй 278
как группа операторов 185
полуснмплицнального множе-
множества 84
»
Характеристический класс 126
разбиение 268
— отображения 262
пары 259
Хопфа инвариант 440, 451
464 Предметный указатель
Хопфа отображение 96 Числа Бетти 44, 378 i
— теорема гомотопнн 78 ]
классификации 79, 87 Штнфеля многообразие 145, 437 ,<
распространения 76, 87 Эйленберга подкомплекс 67, 243 1
расслоения сфер 96 — теорема о распространении 251 -j
— теоремы 76—83, 87, 349 1
Экспоненциальный закон для npoi
Цилиндр отображения 31 етранств отображений 112 '
—< частичного отображения 34 If -понятия 406—412
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия автора • 5
Глава I. Основная задача; предварительные понятия 7
1. Введение 7
v • i. Задача распространения . . . . : 7
3. Метод алгебраической топологии 10
V" • 4. Задача ретракции 12
5. Комбинированные отображения 15
6. Топологическое отождествление 17
7. Склеивание 18
8. Задача гомотопни и задача классификации . . . . ' 20
9. Теорема о распространении гомотопии 24
10. Относительные гомотопии ' 26
11. Гомотопические эквивалентности 28
12. Цилиндр, отображения 31
-13. Обобщение задачи распространения 33
j. 14. Цилиндр частичного отображения 34
* • 15. Задача стягивания 36
У • 16. Задача накрытия 38
17. Наиболее общая задача 40
Упражнения . 41
Глава II. Некоторые частные случаи основных задач 53
1. Введение . . 53
2. Экспоненциальное отображение р: R —>S1 . 63
• 3. Классификация отображений S1—fr-S1 56
» 4. Фундаментальная группа , 59
• 5. Односвязные пространства 62
- 6. Связь между группами ni(X,x0) и Н,(Х) ........... 65
v 7. Группа Брушлинского 70
• 8. Теоремы Хопфа . . 76
9. Теорема Гуревича 83
Упражнения - 84
Глава Ш- Расслоенные пространства 88
1. Введение .¦._..'.. 88
• 2. Акснома о накрывающей гомотопии ........ 89
3. Определение расслоенного пространства . . . . . ,.¦..».,-" 90
• 4. Локально тривиальные расслоения 93
• б. Хопфовскне расслоения сфер , ¦:.. ,. 96
» 6. Алгебраически тривиальные отображения ........ ..•¦. 97
• 7. Накрытия и секущие поверхности ..........* •.. . 100
8. Отображения расслоений и индуцированные расслоенные про-
пространства .........". 103
9. Пространства отображений : :, . 105
• 10. Пространства путей . ИЗ
• 11. Пространства петель 114
» 12. Аксиома о накрывающем пути , . . . . . ..... 118
« 13. Теорема о расслоении пространства отображений ...... 120
14. Индуцированные отображения пространств отображений .... 122
15. Расслоения с дискретными слоями . . . 124
' • 16. Накрывающие пространства .' .' 128
17. Построение накрывающих пространств ............. , 134
Упражнения ....... /140
466 Оглавление
Глава IV. Гомотопические группы 154 :
1. Введение ' 154
2. Абсолютные гомотопические группы 155
3. Относительные гомотопические группы 158
4. Граничный оператор 161
5. Индуцированные гомоморфизмы 162
6. Алгебраические свойства 164
7. Свойство точности 165
8. Свойство гомотопической инвариантности 168
9. Свойство инвариантности при расслоении .......... 169 •
10. Свойство тривиальности 171
11. Гомотопические системы 171
12. Теорема единственности 173
13. Групповые операции 175
14. Роль базисной точки 179
15. Локальные системы групп 184
16. Гомотопнческн простые пространства , . 186
Упражнения . . .- „. . . 190
Глава V. Вычисление гомотопических групп . . 202
1. Введение .... 202
2. Гомотопические группы прямого произведения двух пространств 202
3. Букеты -пространств ¦ 204
4. Гомоморфизм Гуревнча 206
5. Теоремы о прямых суммах 211
6. Гомотопические группы расслоенных пространств 213
7. Гомотопические группы накрывающих пространств 216
8. Определения и свойства расслоения 218
9. Гомотопическая последовательность произвольной тройки . . 222
10. Гомотопические группы триад v 224
И. Надстройка Фрейденталя . . 226
Упражнения 230
Глава' VI. Теория препятствий < . . . 244
'„ 1. Введение 244
2. Индекс распространимости , 245
3. Препятствие cn+1 (g) 246
4. Различающая коцепь 248
5. Теорема Эйленберга о распространении 251
6. Множества О+1 (/).... 252
7. Задача гомотопин 253
8. Препятствие d*(f, g; ht) 254
9. Группа Rn(K,L;f) 256
10. Множества On(f,g) 257
П.,Общая теорема о гомотопин 259
12. Задача .классификации •*¦¦,. 260
13.. Препятствия первой ступени 261
14. Теоремы распространении первой ступени • ¦ • ¦ 264
15. Теоремы гомотопнн первой ступени 265
16. Теоремы классификации первой ступени 266
17. Характеристический класс разбиения У 267
Упражнения 268
Оглавление 467
Глава VII. Когомотопические группы 283
1. Введение . . . Л. . . . 283
2. Когомотопические множества я™(X, А) 284
3. Индуцированные отображения 284
4. Кограннчный оператор 287
5. Групповая операция в множествах:пт(Х,А) 289
6. Когомотопнческая последовательность тройки 295
7. Основная лемма 297
8. Вложение F) 302
9. Вложение E) 304
10. Когомотопнческие группы в высших размерностях 306
11. Связь с группами когомологнй 306
12. Связь с гомотопическими группами 309
Упражнения , 311
Глава VIII. Точные пары и спектральные последовательности ... 316
1. Введение . . 316
2. Дифференциальные группы 316
3. Градуированные и дважды градуированные группы 318
4. Точные пары 320
5. Дважды градуированные точные пары 323
6. Регулярные пары 325
7. Градуированные группы Я(?) н S (?)....< ,328
8. Основная точная последовательность . 330
9. Отображения точных пар 333
10. Дифференциальные группы с фильтрацией 335
11. Градуированные дифференциальные группы с фильтрацией . . 338
12. Отображения градуированных дифференциальных групп с
фильтрацией 341
Упражнения 342
Глава IX. Спектральные последовательности расслоенных пространств 354
1. Введение ....'. 354
2. Кубическая сингулярная теория гомологии .. . 354
3. Фильтрация группы сингулярных цепей расслоенного про-
пространства 358
4. Ассоциированная точная пара 360
5. Производная пара 363
6. Гомологии с произвольными коэффициентами 367
7. Спектральная гомологическая последовательность 369
8. Доказательство леммы А 371
9. Доказательство леммы В 373
10. Доказательство лемм ChD 375
11. Многочлены Пуанкаре 377
12. Точная последовательность Гнзнна 381
13. Точная последовательность Вава 384
14. Урезанные точные последовательности . 387
15. Спектральная последовательность регулярно накрывающего
пространства 388
16. Теорема Смита 391
17. Влияние фундаментальной группы на группы гомологии и ко-
когомологнй '.'..•• 391
18. Конечные группы, свободно действующие на сфере 5Г . . . . 394
Упражнения 397
X
468 Оглавление -\ '
Глава X. Классы абелевых групп ". ¦, 404
1. Введение i*. 404
2. Определение классов •...'.• " ,„ 404
3. Примарные компоненты абелевых групп . . . . ., 405
4. tf-поиятии «^ 406
5. Совершенные и полные классы '.'k 407
6. Классы абелевых групп и расслоенные пространства .... ".:¦,$ 408
7. Приложении к n-свизным расслоениим »'. 'Щ 412
8. Обобщеннаи теорема Гуревнча •-•*¦ 414
9. Относительная теорема Гуревича . ...;........ . ,|, 415
10. Теорема Уайтхеда .;;' 416
Упражнения ? 417
Глава XI. Гомотопические группы сфер i. 421
1. Введение f 421
2. Теорема о надстройке . . .-. :..'., -.тт'-421
3. Каноническое отображение : 423
4. Изоморфизм Вана р* %;. 425
5. Связь между гомоморфизмами рф и «^ . .• . . . ' •. "- 426
6. Гомотопические группы триады ,-/ 428
7. Конечность гомотопических групп нечетномерных сфер . . . . ; 429
8. Итерироваинаи надстройка >ь 430
9. Примарные компоненты групп ят (S3) 432
10. Псевдопроектнвные пространства 434
.11. Многообразия Штшрели . ' 437
12. Конечность гомотопических групп четнрмериых сфер . . ... 439
13. Примарные компоненты гомотопических групп четномерных
сфер - 439
14. Инвариант Хопфа ." 440
15. Группы nn+,(S») и яп+2Eп) 1 . . 443
16. Группы nn+3(S») , 444
17. Группы яп+4E") 446
18. Группы nn+r(S"), 5<r<15 449
Упражнеиии 450
Библиография . . . . 455
Предметный указатель • • • 460
Ху Сы-цзян
ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ
Редактор Г. М. Цукермак. Художник Н. А. Усаче»
Художественный редактор В.. И. Шаповалов. Технический редактор Г.' В. Маркова
Корректор И. П. Максимова
Сдано в производство 23/XII 1963 г. Подписано к печати 4/VI1 1964 г. Бумага 60Х901/,.*
= 14,6 бум. л. 29,3 печ. л., Уч.-изд. л. 25,3. Изд. М 1/0572. Цена 1 р. 92 к. Зак. 1977.
Темилга 1964 г. Изд-ва ИЛ„ пор. М 20
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, Ново-Алексеевская, S2.
Ленинградская типография М 2 вмени Евгении Соколовой сГлавполиграфпрома»
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.