/
Автор: Калиновский А.Н. Мохов Н.В. Никитин О.П.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика
Год: 1985
Текст
A. H. Калиновский
Н. В. Мохов
Ю. П. Никитин
ПРОХОЖДЕНИЕ
ЧАСТИЦ
ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ
ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
1g
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1985
УДК 539.12.04
Калиновский А. Н., Мохов Н. В., Никитин Ю. П. Прохожде-
ние частиц высоких энергий через вещество. М.: Энергоатомиздат,
1985. 248 с.
Впервые с единых позиций и в достаточно полном объеме из-
ложены вопросы, связанные с прохождением адронов и лептонов
через вещество, п проведен детальный теоретический анализ элект-
ромагнитных и адронных каскадов, развивающихся в конденсиро-
ванных средах. Представлены методы расчетов таких процессов.
Даны конкретные примеры применения развитых методов в практи-
ке современного физического эксперимента.
Для научных работников, а также аспирантов и студентов, спе-
циализирующихся в области физики высоких энергий.
Табл. 22. Ил. 115. Библиогр. 21.
Рецензент: В С. Барашенков
К
1704070000-426 „ _пол
--------------- Свод. пл. подписных изд. 1984
© Энергоатомиздат, 1985
051(01)—85
ПРЕДИСЛОВИЕ
В результате развития ускорительной техники, техники физическо-
го эксперимента и теоретических идей в последние годы получены ответы
на многие вопросы физики высоких энергий и тесно связанной с ней
радиационной физики высоких энергий, но целый ряд проблем еще
требует своего дальнейшего исследования. Настоящая книга посвяще-
на одной из таких проблем — ядерным и атомным взаимодействиям
при прохождении высокоэнергетических частиц через вещество и ре-
шению соответствующей краевой задачи переноса.
Взаимодействие быстрых частиц с веществом — актуальная проб-
лема, что обусловлено в основном ее прикладными аспектами: моде-
лирование физического эксперимента на ускорителях и с космичес-
ким излучением, радиационная защита ускорителей и космических
аппаратов, изучение изменения свойств среды под действием мощных
пучков элементарных частиц и ядер, электроядерный метод на реакто-
рах-размножителях, раковая терапия и др. Монографий и даже обзо-
ров с изложением методов расчета и обсуждением физической стороны
дела, на основе которых можно было бы создавать новые программы
расчета и использовать уже имеющиеся, на русском языке в настоящее
время нет.
Основное внимание в книге уделено процессам взаимодействия ад-
ронов при Е > 10 ГэВ* и методам расчета ядерно-электромагнитных
каскадов в веществе. В отличие от монографий, посвященных класси-
ческой теории переноса низкоэнергетического излучения, значитель-
ную часть книги занимает описание физических процессов и соответст-
вующих теоретических построений, поскольку при высоких энергиях
модельное описание в настоящее время — единственная возможность
получения замкнутого решения задачи переноса. Материал отобран и
кни Взаимодействия адронов при меньших энергиях детально рассмотрены в
к ге °- С. Барашенкова и В. Д. Топеева «Взаимодействие высокоэнергетичес-
частиц и атомных ядер с ядрами». М., Атомиздат, 1972.
3
излагается так, чтобы читатель при необходимости мог реализовать тот
или иной алгоритм самостоятельно без обращения к дополнительной
литературе.
С помощью описанных в книге методов расчета и вычислительных
программ выполнен детальный анализ характеристик высокоэнергети-
ческих электромагнитных и адронных каскадов, развивающихся в кон-
денсированных средах. Даны конкретные примеры применения раз-
работанных методов в практике современного физического экспери-
мента.
Часть рассматриваемых в книге вопросов находится еще в стадии
развития, поэтому при расстановке акцентов неизбежна определенная
субъективность, хотя авторы и приложили все усилия, чтобы свести
этот элемент к минимуму. Выбор материала сделан с учетом многолет-
него опыта работы авторов на крупнейших отечественных и зарубеж-
ных ускорителях. Предполагаемые читатели книги — научные сотруд-
ники и начинающие исследователи, специализирующиеся в области фи-
зики высоких энергий и радиационной физики на высокоэнергетичес-
ких ускорителях, а также в области космического излучения.
Мы будем весьма признательны всем тем, кто сочтет возможным со-
общить свое мнение о данной книге. Авторы выражают глубокую
благодарность В. С. Барашенкову за ценные замечания, способство-
вавшие улучшению книги.
ГЛАВА 1
ЯДЕРНО-ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ КАСКАД
1.1. Общие замечания
Отличительной чертой процессов взаимодействия частиц с ядрами
при высоких энергиях является их множественный характер, причем
в состав продуктов реакции входит практически весь спектр известных
элементарных частиц. Эти частицы, обладая достаточной энергией, в
свою очередь, взаимодействуют с ядрами среды, генерируя новые поко-
ления адронов, лептонов, фрагментов. Возникает межъядерный или
ядерно-электромагнитный каскад (ЯЭК). В принципе для полного опи-
сания каскада необходима информация о всех частицах и их сильных,
электромагнитных и слабых взаимодействиях в широком диапазоне
энергий.
Проблема расчета каскада возникает при исследованиях прохожде-
ния высокоэнергетических частиц через вещество, при проектировании
и реконструкции защиты ускорителей и космических кораблей, при
оценке радиационной обстановки на действующих ускорителях и фо-
на в экспериментах на пучках частиц, при расчете каналов частиц, про-
тяженных мишеней и т. п. Использование на ускорителях сверхпро-
водящих элементов и соответственно сильных магнитных полей выдви-
нуло ряд новых задач: расчет разогрева сверхпроводящих обмоток под
действием излучения, расчет межъядерного каскада при наличии маг-
нитного поля и др. Любой серьезный физический эксперимент на уско-
рителях начинается с моделирования каскадов в детектирующих эле-
ментах экспериментальной установки.
Энергия частиц, получаемая на ускорителях, возрастает примерно
на порядок каждые десять лет. Работают протонный синхротрон в Сер-
пухове— на 76 ГэВ; на встречных пучках протонов в ЦЕРНе с эф-
фективной энергией до 2000 ГэВ; ускоритель протонов в Батавии —
’•а 500 ГэВ, протонный суперсинхротрон в ЦЕРНе на 400 ГэВ.
В ЦЕРНе недавно осуществлен запуск установки со встречными про-
юн-антипротонными пучками с энергией 2-270 ГэВ, а в Батавии создан
первый сверхпроводящий ускоритель протонов на энергию 1000 ГэВ.
Серпухове ведется строительство протонного ускорителя на 3000 ГэВ.
зучается возможность создания ускорителя со встречными пучками
протонов с энергией 2-20 000 ГэВ.
чя эффективно реализовать все эти проекты, необходимы, в
стности, методы расчета ЯЭК, возникающих при прохождении через
нес ССТВ° адРонов с энергией от нескольких сот мегаэлектрон-вольт до
кольких тысяч гигаэлектрон-вольт. Исследование процессов все
5
с меньшими сечениями, а также усложняющиеся конструкции экспе-
риментальных установок и защит резко повысили требования к воз-
можностям и точности математического аппарата решения задач пере-
носа излучения через вещество. Решение задач оптимизации коллима-
торов, мишеней, защиты ускорителей и космических кораблей возмож-
но лишь при наличии эффективных алгоритмов расчета в широком диа-
пазоне энергии.
В дальнейшем изложении кинетическую энергию частиц в интерва-
ле от 0,025 эВ до 15 МэВ будем называть низкой энергией, в интервале
от 15 МэВ до 1 ГэВ — промежуточной энергией и в интервале Е Z>
> 1 ГэВ — высокой энергией.
На ускорителях диапазон изменения энергии при развитии ЯЭК
может охватывать в случае нейтронов до 14порядков: от 10' 2до 1012эВ.
Явления взаимодействия частиц с веществом в этом интервале ис-
ключительно многообразны, а при высоких энергиях еще далеки от
полного понимания. Особенно это относится к области энергий первич-
ных адронов Ео > 10 ГэВ, описанию которой посвящена значительная
часть книги.
1.2. Взаимодействие быстрой частицы со средой
Все известные в природе процессы обусловлены в конечном счете
взаимодействием элементарных частиц. В современной классификации
всего два типа элементарных частиц: лептоны и кварки. Предполага-
ется, что в природе существует шесть лептонов—е, р, т, ve, vm,vth
шесть кварков — и, d, s, с, b, t. Кварки и соответствующие им анти-
кварки являются структурными элементами адронов — реально наб-
людаемых частиц.
Известны четыре типа взаимодействия между элементарными час-
тицами. В порядке возрастания их силы — это гравитационное, сла-
бое, электромагнитное и сильное. Гравитационные и слабые силы дей-
ствуют между всеми сортами частиц, электромагнитные — только
между частицами, несущими электрический заряд, и фотонами, силь-
ные — только между адронами и составляющими их кварками.
Взаимодействие осуществляется посредством обменов некоторыми
промежуточными частицами — квантами соответствующих полей.
Квантом гравитационного взаимодействия является гравитон, слабо-
го— промежуточный бозон (W-^, Za), электромагнитного -фотон п
сильного — глюон. За исключением промежуточных бозонов, имею-
щих массу около 80 ГэВ, остальные кванты взаимодействия — без-
массовые.
Роль гравитационного взаимодействия в том круге явлений, кото-
рый мы будем рассматривать, ничтожна.
Электромагнитное взаимодействие играет важную роль при про-
хождении заряженных частиц и фотонов через вещество. Двигаясь в
среде, заряженная частица изменяет направление своего движения в
результате взаимодействий с электрическими полями атомных ядер,
причем в большинстве случаев изменение направления движения про-
исходит на весьма малые углы. Однако из-за высокой частоты таких
6
опкновений (они происходят в среднем примерно через (и/с)2-10”5
c_i см где v — скорость частицы, с — скорость света, р — плотность
^ещества) частица после прохождения толстого слоя вещества заметно
зменяет направление своего движения. Этот процесс называют много-
патным кулоновским рассеянием. Во время своих блужданий заря-
женная частица теряет энергию на ионизацию и возбуждение атомов ве-
щества, тормозное излучение и прямое образование e+e~-nap в поле
ядра и атомных электронов (полное сечение образования р+р~-пар на
4 порядка меньше [1]).
Средние потери энергии на излучение и прямое образование е'Ге~-
пар на единице длины растут примерно линейно с увеличением энер-
гии- ионизационные же потери релятивистских частиц слабо зависят
от энергии. Потери на излучение доминируют над потерями на иони-
зацию при энергии электрона: Е 700, (Z (- 1) МэВ. Потери энергии
электрона на прямое образование е ье_-пар примерно в а-1 137 раз
меньше потерь на тормозное излучение. Для всех частиц, кроме элект-
рона, сечение прямого образования е+е~-пары больше сечения тормоз-
ного излучения, которое обратно пропорционально квадрату массы из-
лучающей частицы. Потери энергии на эти процессы у тяжелых частиц
ощутимы лишь при очень высокой энергии. Например, у мюона в
железе потери на излучение и образование пар становятся сравнимыми
с потерями на ионизацию при Е — 350 ГэВ. Если релятивистская тя-
желая частица принимает участие только в электромагнитных взаимо-
действиях, она в состоянии пройти большие толщины вещества: мюон
с энергией 1000 ГэВ может с вероятностью 0,1 пройти по железу 320 м
[2,3].
Взаимодействие фотонов с веществом отличается от процесса иони-
зации, в котором участвуют заряженные частицы, тем, что при каждом
взаимодействии фотона он либо поглощается, либо рассеивается на
большой угол, тогда как при ионизации теряется лишь незначитель-
ная часть энергии и практически нет рассеяния на заметные углы. При
низкой энергии (ниже энергии ионизации) наиболее важным процессом
фотон-ядерного взаимодействия является релеевское рассеяние. При
дальнейшем увеличении энергии фотона последовательно доминируют
фотоэффект — поглощение фотона атомом с последующим испуска-
нием электрона; комптон-эффект — некогерентное рассеяние фотона
на атомных электронах; рождение е+е~-пары фотоном в электромагнит-
ном поле ядра и атомных электронов.
Энергия электронов, образующихся в последнем процессе (фотонов,
образующихся при тормозном излучении электронов), сравнима с
энергией первичного фотона (электрона). Если энергия первичного фо-
тона (электрона) достаточно велика, то электроны (фотоны), возника-
ющие в этих процессах, могут образовать следующее поколение фото-
°в (электронов). Эти процессы происходят поочередно, и число час-
Ц растет, пока их энергия не окажется слишком малой, чтобы с до-
аточной эффективностью образовывать новые частицы. В ходе этого
к ВСе большее число электронов попадает в такую энергетичес-
тео Область> где радиационные потери не могут конкурировать с по-
| ми на ионизацию,^пока, в конце концов, вся энергия первичного
7
электрона (фотона) не окажется полностью растраченной на возбужде-
ние и ионизацию атомов. Описанное явление называют электрон-фо-
тонным ливнем (ЭФЛ).
У фотонов существует еще несколько каналов взаимодействия с ве-
ществом: фотоядерные реакции с выходом нейтронов, пионов, мюонов
и др. Но максимальное сечение фотоядерной реакции с выходом нейт-
тронов на свинце в 350 раз меньше минимального значения суммы се-
чений комптон-эффекта и образования е+е“-пар.
Сильные адрон-ядерные (hA) взаимодействия можно разделить на
две группы: процессы без образования вторичных частиц (упругое
йЛ-взаимодействие) и с образованием хотя бы одной вторичной части-
цы (неупругое йЛ-взаимодействие). В первом случае адрон не изменя-
ет свои квантовые числа, а ядро может возбудиться и развалиться, а
также, оставаясь в основном состоянии, приобрести некоторый имп-
пульс. При прохождении через вещество адрон участвует в неупругих
йЛ-взаимодействиях. Частицы, образующиеся в результате этого вза-
имодействия, можно условно подразделить на две группы: быстрые
(Р — о/с > 0,7), в основном вновь родившиеся частицы, и медленные
(Р < 0,7), в основном нуклоны и фрагменты ядра. Среднее число обра-
зующихся при неупругом йЛ-взаимодействии быстрых частиц прибли-
зительно логарифмически растет с энергией и при энергии первичного
протона 3 ТэВ достигает примерно 18 в р/->-взаимодействии.
Эти частицы и часть медленных нуклонов в свою очередь неупруго
взаимодействуют с ядрами вещества, генерируя новые поколения ад-
роров, лептонов и фрагментов. Существует около 20 долгоживущих ад-
ронов (ctphn Xabs, где т — время жизни адрона в его системе покоя;
р, т — его импульс и масса; Xabs — пробег до неупругого ЙЛ-взаи-
модействия). Среди них нуклоны, заряженные л-и К-мезоны составля-
ют почти 100% полного числа образующихся долгоживущих частиц.
Короткоживущие (схр!т < Xabs) адроны, не успев провзаимодейство-
вать, распадаются в долгоживущие адроны, лептоны и фотоны. Поэто-
му возникающий в веществе каскад в литературе часто называют нук-
лон -мезонным.
Процесс последовательного размножения начинает затухать, когда
частицы оказываются слишком низкоэнергетическими. Уменьшение
энергии отдельных участников каскада происходит в результате рас-
пределения энергии начальной частицы между все возрастающим ко-
личеством вновь образованных частиц и из-за потерь энергии в резуль-
тате электромагнитных взаимодействий с веществом. Для медленных
нуклонов возрастает роль упругого йЛ-рассеяния. Протоны, теряя
энергию на ионизацию, останавливаются и, захватив электроны, пре-
вращаются в атомы водорода или поглощаются подобно нейтронам и
мезонам ядрами вещества. С уменьшением энергии возрастает вероят-
ность л~-захвата — поглощения л~-мезона ядром с последующим его
развалом. Образующиеся фрагменты ядер, как правило, низкоэнерге-
тичны и, обладая большим зарядом, короткопробежны.
Электроны и фотоны, возникающие при неупругом йЛ-взаимодей-
ствии, инициируют электрон-фотонный ливень. Эксперименты по изуче-
нию выхода фотонов в рр- и лр-взаимодействиях в диапазоне энергий
8
9—2000 ГэВ и 5—200 ГэВ соответственно показали, что основным
очником фотонов является распад л°-»-уу[4]. Экспериментально
П теоенное отношение числа электронов к числу заряженных л-мезо-
11 рождающихся в акте неупругого hA-взаимодействия, мало [(е++
н. ’\/ /л+ + л-) ~ (1—5)-1О4 в рр-взаимодействии при Ер =
‘ 1500 ГэВ [5], а <лл°> х «ля+>Н <пп~ >)/2, где<пл» > —
средняя множественность пионов сорта /1. Простые оценки показывают,
что электромагнитные процессы тормозного излучения и прямого об-
разования е+е--пар протонами, пионами и каонами дают пренебрежимо
малый вклад по сравнению с процессом л°->- уу, этот распад — основной
источник электрон-фотонного ливня. Время жизни л°-мезонов мало
Рл = 2,5-10-6 см), и большинство их образуется непосредственно в
акте взаимодействия и через распады короткоживущих (в основном
ц-мезона) адронов. Поэтому можно считать, что электрон-фотонный
ливень начинается практически в точке hA-взаимодействия.
Наиболее проникающими из частиц являются нейтрино и мюоны.
Последние можно разбить на две группы: так называемые прямые — от
распадов короткоживущих р-, ю-, <р-, D-, J, Ф-мезонов, и распадные —
от распадов долгоживущих л*-, /С±-мезонов. Экспериментально уста-
тановлено, что отношение числа прямых мюонов к числу л—мезонов
мало: (р+ + р“)/(л+ + л-) ~ 10-4 в широком диапазоне энергии
(70—400 ГэВ в рр-взаимодействии) и кинематических переменных [5].
Вероятность распада частицы на пути I равна Р (/) = 1 —ехр (— UhD),
где = cxplm. Для прямых мюонов Р (I) х 1, а для распадных Р (/) <к
< 1 при I ~ Xabs- На основании данных работ [5,6] можно получить
следующую грубую оценку для отношения дифференциальных сече-
ний рождения прямых и распадных мюонов:
| = (d3o/dp3)^»M/(d3 a/dp3)Pacn ~ 2- 10-3 Ео хЦ
при х > 0,5, Во 10 ГэВ и I< 26 £0, где Ео — энергия падающего на
вещество протона, ГэВ; х — доля его энергии, уносимой мюоном; I —
длина распадного промежутка, м. Для протона с энергией 3000 ГэВ в
грунте £ х 5. Поэтому при небольших распадных промежутках пря-
мые мюоны могут играть существенную роль, а при больших ими мож-
но пренебречь.
Таким образом, при падении высокоэнергетического адрона на
блок вещества развивается ядерно-электромагнитный каскад. В каж-
дой точке неупругого hA-взаимодействия могут образоваться л°-ме-
^оны, инициирующие электрон-фотонные ливни, от распадов л*-,
б,—мезонов образуются мюоны, проходящие значительные расстояния
веществе. Из ядер в процессе взаимодействия выбиваются нуклоны
феимущественно с импульсом р та 1 ГэВ/c, давая начало чисто нук-
нным каскадам. Через большое (в ядерных масштабах) время после
наибМОде11СТВИЯ В пРоцессе снятия ядерного возбуждения испускаются
точк°Лее медленные (Р >0.2 ГэВ/c) нейтроны, далеко уходящие от
вещр1- Р°ждения> протоны и более тяжелые осколки ядер, поглощаемые
немуСТВ°М В окРестнос™ точки взаимодействия. Аналогичный послед-
У процесс происходит при захвате ядрами л_-мезонов.
9
Слабое взаимодействие ответственно за распад многих элементар.
ных частиц и обусловливает различные процессы, происходящие прц
их столкновениях. Сечения этих процессов порядка 10-35 — 10“40 см2,
а сечения сильных взаимодействий порядка 10“26 — 10-27 см2. Тем
не менее слабые процессы в некоторых задачах оказываются сущест-
венными, — например, процесс образования мюонов в нейтрино-ядер-
ных взаимодействиях в условиях, когда существует мощный поток ней-
трино, а мюоны от других источников отсутствуют или подавлены.
Таковы вкратце основные процессы, происходящие при взаимодей-
ствии высокоэнергетических излучений с веществом. В зависимости
от рассматриваемого класса задач меняется роль различных процес-
сов. Потоки частиц за радиационной защитой ускорителей определяют-
ся в основном нуклон-мезонным каскадом; радиационный разогрев си-
стем ускорителя, сверхпроводящих магнитов — электрон-фотонными
ливнями от распадов л°-> ур. Ядерными фрагментами, л~-захватом и,
возможно, коллективным воздействием рождающихся частиц на веще-
ство в окрестности точки взаимодействия обусловлены особенности био-
логического действия адронов высоких энергий. При оптимизации
мюонной защиты нейтринных каналов ускорителей можно принимать
во внимание только распадные мюоны и мюоны от нейтрино-ядерных
взаимодействий, а при проектировании различных поглотителей —
распадные и прямые мюоны. Выбор существенных для данной задачи
процессов, происходящих при взаимодействии высокоэнергетических
частиц с веществом, значительно облегчает ее решение. Представле-
ние об общей картине этих взаимодействий и знание особенностей про-
исходящих при этом процессов дает возможность сделать этот выбор.
1.3. Основные понятия физики множественных процессов
Реакции взаимодействия элементарных частиц изучают в различ-
ных системах отсчета. Это связано как с чисто экспериментальными
причинами, так и с теоретическим удобством описания того или иного
явления. Ограничимся здесь обсуждением трех наиболее часто исполь-
зуемых систем отсчета.
Лабораторная система (Л-система). Эта система отсчета соответствует стан-
дартной постановке экспериментов на протонных ускорителях, когда пучок
частиц какого-то сорта а налетает на неподвижную мишень, состоящую из частиц
сорта b (протоны водорода, атомные ядра, атомные электроны). В этой системе
отсчета 4-импульсы взаимодействующих частиц имеют следующие компоненты:
Ра ~ (Еа< Ра)» Ръ = (тъ, 0), где Еа, ра — энергия и вектор импульса частипы
а; Еа = (pa + та, mh — массы частиц; скорость частицы a va =*
\Va\HEa (h = C= 1).
Антилабораторная система (АЛ-система). В этой системе отсчета покоится
частица а, а частица-мишень Ь налетает на нее со скоростью vf,. 4-Импульсы име-
ют компоненты: Ра = (та, 0); Ръ =(Ei>, р'ъ). Очевидно, что АЛ-система движет-
ся со скоростью — va относительно Л-системы.
Согласно формулам релятивистского преобразования
£б-=«Ь(1-"а) £а» -
•па
тьча
ть
— Ра
та
10
Ра
Еа-\-тЦть
Отсюда
Иля частиц с нулевой массой (та = О, фотоны, нейтрино) АЛ-системы не
твуст При та =/- О АЛ-система полностью физически эквивалентна Л-сис-
сущест у 'лее в тех С1Пучаях> когда частица а может выступать в роли стабиль-
ТвМ®» it1*1
ной мишени.
* Система центра инерции реакции (Ц-система). Эта система отсчета определя-
соотношением: р* + рь = 0. Сталкивающиеся частицы в Ц-системе пме-
СТСпавные, но противоположно направленные импульсы. Скорость Ц-системы от-
носительно Л-системы направлена против импульса ра и составляет:
Vc — Va/(Ea + mb). (1.1)
Относительно АЛ-системы скорость Ц-системы направлена против импульса рь и
составляет: t
, Рь
Vc E'b + ma
Кинематические переменные в различных системах отсчета. В Ц-системе энер-
гии частиц следующим образом выражаются через релятивистский инвариант S:
S (Ра + рьУ (Еа-\ Еьу-{ра+Рьу-
El~(S + ml-ml)/2Vs ; E^(S + «g-mg)/2 j/S J
1/S
Модули вектор-импульсов в Ц-системе вычисляются по формулам:
I Ра | |Р&| X(s- та, mb)/2 }^S~,
где X(S, та, ть) [S—(/na + mb)2]1/2 [S — (пга - ть)2]1/2-
Инвариант S выражается через массы частиц и энергию в Л или АЛ-системе:
S mg-|-mg + 2mbEa mg |-/ng + 2moE;.
Еа (S — ml~ml)/2mb; E'b (S—m2a—m2b)/2ma-,
pa = ‘k(S, ma, mb)/2mb; pb X(S, ma, mb)/2ma.
Зная va, vc и vc, можно с помощью известных формул релятивистских преоб-
разований [7] переводить любые кинематические характеристики первичных и
вторичных частиц, участвующих в реакции, из одной системы отсчета в другую.
При релятивистских преобразованиях вдоль оси соударения первичных час-
тиц поперечные компоненты импульсов р вторичных частиц не изменяются:
э Р'1-
“Р1™ ВТОРИЧНЫХ частиц и их продольные импульсы в различных системах от-
га легко выражаются через скалярные произведения 4-векторов задачи *:
Е (РРьУть; Е* (Р,Ра Р^/УГ; Е' (РРа) тп-,
(РРь)(РаРъ) тЦРР0)
Pl
(1.2)
тъ У(РаРъУг-т^т* ’
(^b)[wg + (PaPb)]-(PPo)[/n|(PaPb)J
pn---------------------
]^(РаРь)2- т* mf
, (PPg)(PoPb)-/ng(PPb)
~Wa]<(PaPb)3-m2ma
=^oB?l^IAR1°e пР°извсДеиие 4-векторов А и В определяется как (ЛЕ)
> где Л о и Вв — временные компоненты.
11
Переменные светового конуса. Вместо переменных (£, рц), характеризую,
щнх кинематическое состояние частицы, иногда удобно использовать перемен-
ные светового конуса: р+ — Е + рл; р_ = Е — р^. Эти переменные удовлетво-
ряют соотношению: р+р— = т2 + р\ = т\. Величину называют попереч,
ной массой.
Безразмерное отношение конусных переменных разных частиц p/k не изме.
няется при релятивистских преобразованиях вдоль оси соударения: p^/k+ =
= p'+/k'+; p-lk- = p'_Jk'_.
Фейнмановская безразмерная переменная. При высоких энергиях в процес-
се множественного образования адронов среднее значение поперечного импульса
вторичных частиц оказывается практически не зависящим от энергии (для вто-
ричных пионов (р ] ) ~0,35 ГэВ/c). В то же время средние продольные импульсы
вторичных частиц практически линейно растут с энергией. Поэтому удобно выби-
рать в качестве независимой безразмерную переменную:
'F ^||/р|| шах» (1-3)
которую называют фейнмановской переменной хр. Она изменяется при фиксиро-
ванном значении р в пределах
1 хр 1- (1.4)
Если речь идет об одной вторичной частице с 4-импульсом Р при произволь-
ных значениях импульсов других вторичных частиц, допускаемых законами сох-
ранения энергии-импульса, то максимальная энергия этой выделенной частицы
в Ц-системе определяется по формуле
£,*naX=(S +
0-5)
где <о — минимально допустимое значение эффективной массы частиц, сопровож-
дающих данную. Имея в виду (1.5), находим:
P*niax = [^тах ГП'2 • 0,6)
Для произвольных значений р 1 p’j тах = |Р*1тах- При достаточно высокой
энергии (S2> т2, <о2) и при |р*|» (р
xF^;2pJ/VS
(1-7)
Последнее выражение очень часто используют в качестве определения xF, од-
нако при этом пределы (1.4) оказываются только приближенными и даже практи-
чески недостижимыми в случае |p^j| ~ р±.
Переменная хр очень удобна для разделения событий в переднем и заднем
конусах в Ц-системе, в которой обе взаимодействующие первичные частицы рав-
ноправны. Ц-Систему используют для описания спектров вторичных частиц при
значениях хр, не слишком близких к нулю, она полезна при (1 — |xF|) 1.
т. е. вблизи кинематических границ спектра.
Переменная быстроты. В области небольших по модулю значений хр удоб-
ной безразмерной переменной, зависящей отр*ц, является переменная быстроты:
* 1 ।
у*=-— In
2
е*+р| 2
£*-р| 2
При релятивистских преобразованиях вдоль оси соударения переменная быстро-
ты изменяется аддитивно. Например, в Л-системе у = у* + (1/2) In [(1 + осУ
/(1 — Ос)], где vc = |vc| и определяется по формуле (1.1).
Таким образом, при переходе из одной системы отсчета в другую, движушУ10'
ся вдоль оси соударения с некоторой скоростью v, распределение событий по у
оказывается параллельно сдвинутым вправо или влево вдоль оси у относитель-
но нового начала отсчета на |Ay|j, = (1/2)In [(1 + о)/(1 — t»)].
12
Переменные Е и рц в любой системе отсчета выражаются формулами Е =
= т ch у, р„ = m , sh у. При |р* | « m± (|xF| -> 0) переменная быстроты
• ^р*!т . Пределы изменения у* очевидны:
^max Pfl'max
— In----------------------
/7Zi
₽* J-n*
, max ~ "|| max
Ш --------------
tn.
В других системах отсчета yv = у* + (1/2) In [(1 + f)/(l — v)J, поэтому
оеделы также легко находятся (г > 0 или v < 0 в зависимости от направления
движения системы отсчета относительно Ц-системы). Отметим, что в переменных
быстроты область малых, но конечных значений xF таких, что (2т S) <£
|xF I <*0^1. оказывается растянутой и логарифмически растет с увеличе-
/ т/с \
нием энергии: Az/* = 2 In Е- хв I. Поэтому переменная быстроты удобна для
\ ту /
использовании в области малых значений х-р.
Сечение реакции. При высоких энергиях наряду с процессами упру-
гого рассеяния вида а + b ->• а -Т b могут осуществляться самые раз-
нообразные превращения первичных частиц а и b во вторичные:
a A-b-^c + d+ (1.8)
При этом с ростом энергии в реакциях адрон-нуклонного, фотон-нук-
лонного, глубоконеупругого лептон-нуклонного взаимодействия типа
(1.8) число вторичных частиц в среднем увеличивается, растет и число
различных видов (каналов) реакции, возникают частицы самых разно-
образных сортов, даже такие, которых не было среди первичных стал-
кивающихся объектов. При этом выполняются все законы сохранения,
характеризующие данный тип взаимодействия (сильное, электромаг-
нитное, слабое): 1) сохранение энергии—импульса; 2) сохранение элект-
рического заряда; 3) сохранение барионного и лептонного квантовых
чисел; 4) сохранение изотопического спина и странности в сильных
взаимодействиях и др.
Количественной характеристикой реакции (1.8) является диффе-
ренциальное сечение dost, которое определяется следующим образом
(i — индекс, указывающий вид реакции). Пусть на некоторую элемен-
тарную мишень, содержащую частицы сорта b и имеющую объем dV,
падает пучок частиц сорта а, имеющих скорость va. Тогда число реак-
ций данного типа dN, в объеме dV за время dt должно быть пропорцио-
нально числу частиц сорта Ь в объеме dV и числу частиц пучка, пере-
секающих поперечное сечение dS объема dV в течение времени dt:
dNi = dot (nt dV) (na va dt).
Здесь пь, na — плотность частиц мишени и пучка в системе с покоящей-
ся мишенью; tibdV — число частиц b в объеме dV; navadt — число час-
п ц а’ пР°шедших через поперечное сечение мишени за время dt; nava—
отность потока падающих частиц. Дифференциальное сечение dot по
13
определению характеризует число реакций типа I, происшедших в еди-
нице объема в единицу времени при единичной плотности потока пада-
ющих частиц и единичной плотности мишени и измеряется в квадрат-
ных сантиметрах.
Дифференциальный характер do, определяется способом наблюде-
ния реакции (1.8). Если продукты реакции (частицы с, d ...) детектиру-
ются в некоторых интервалах импульсов от рс до рс + dpc, от р(1 до
р(! + dpd и т. д., то измеряется d/V, и соответственного; для данных ин-
тервалов изменения импульсов рс, pd... Интегрированием (суммиро-
ванием) по всем возможным значениям импульсов вторичных частиц в
реакции (1.8) получают полное сечение а, данной реакции.
При релятивистских преобразованиях вдоль (против) направления
скорости v0 величины do, и о, не изменяются, т. е. являются реляти-
вистскими инвариантами. Этот вывод следует из релятивистской ин-
вариантности числа реакций dN, и объема 4-мерного пространства-
времени dVdt, в котором осуществляются реакции. Для доказательст-
ва сделанного утверждения осталось рассмотреть свойства величины
пьп^а ПРИ релятивистском преобразовании. Покажем, что ее можно
представить в виде пьпаиа = пьпа\ча — vb|, где плотности частиц
па,ь и скорости v„,b взяты в системе отсчета, в которой частица-мишень
b движется со скоростью vfc вдоль (против) направления движения час-
тицы а. Поскольку п°ьпа = ava = [(PoPb)2 — т„ ml I1/2/
/(РаР1У), искомое соотношение легко доказывается (/а,ь — 4-векторы
плотности потоков частиц сорта а (й); та,ь — массы этих частиц).
Таким образом, если в определении d<yt подразумевать под vu раз-
ность скоростей частиц, сталкивающихся вдоль одного направления,
а под па и пь — плотности пучков этих частиц, то величина doz не бу-
дет зависеть от системы отсчета. Если же направления скоростей час-
тиц не совпадают, то вместо |va — vb| следует использовать {(v„ —
— vb)2 — [vovfJ2}1/2. Тогда величина dot, измеренная в произвольной
системе отсчета, совпадает с измеренной в Л-, Ц- или АЛ-системе [71.
Дифференциальное сечение удобно представлять в виде
^г = ср(Ш; 5) fl 2 p._pQ_pb\ (1.9)
/=1 Ei \/=1 )
где б<4)-функция отражает действие закона сохранения энергии-им-
пульса в реакции (1.8); N— число частиц, образовавшихся в конеч-
ном состоянии; ср — релятивистски инвариантная функция, зависящая
от динамики взаимодействия; S = (Ра + Ръ)2 — инвариант (1.2),
равный квадрату полной энергии в Ц-системе реакции (1.8); {pj} —
совокупность линейно независимых инвариантных переменных ти-
па (Ра — Рс)2, (Ра — Рл)2 и т. п., от которых зависит функция <р;
d?pj!Ej — элемент релятивистски инвариантного фазового объема час-
* Здесь (/а/ь) — скалярное произведение 4-векторов плотностей токов, оп-
редетенных как j = 1 — v2, n°v/~[/1 — с2) = (n, nv).
14
; который пропорционален обычному фазовому объему*, делен-
ному на энергию частицы. Из (1.9) следует:
N— 1
^ = F({pJ; S) П (1.10)
/= I
Интегрирование (1.10) по всем допустимым кинематическим значе-
ниям импульсов дает полное сечение данной реакции (1.8) ст,. Сумму
сечений всевозможных процессов, осуществляющихся при соударе-
нии частиц а и Ь, называют полным сечением взаимодействия:
otot = 2o£. (1.11)
I
Относительная вероятность данного канала реакции или число ре-
акций данного типа на одно взаимодействие w, — Oj/otot- Соответст-
венно относительная дифференциальная вероятность данного канала
реакции dwi = dOj/crtot-
Умножение иц на полное число взаимодействий 7V0 дает полное чис-
ло реакций типа i: Nt =
Инклюзивный способ изучения процессов множественного образо-
вания адронов. При высокой энергии, когда средняя множественность
вторичных частиц велика и количество различных каналов типа (1.8)
также достаточно велико, изучение каждого канала и каждой частицы
в данном канале практически невозможно. Тем не менее довольно важ-
ную информацию о механизмах процессов множественного образования
и о кинематических характеристиках адронов различных сортов можно
получить, изучая не отдельные эксклюзивные процессы (1.8), а инклю-
зивные реакции вида
а Т" b —> с Т~ X, (1.12)
где X — произвольная система недетектируемых частиц, которая об-
разуется вместе с детектируемой частицей с. При исследовании реакции
(1.12) детектор настроен так, что регистрирует только частицы сорта
с и измеряет их импульсы рс, причем если в реакции (1.12) образова-
лось несколько частиц сорта с, то любая из них может быть зарегистри-
рована.
Реакция (1.12) характеризуется одночастичным инвариантным диф-
ференциальным сечением инклюзивной реакции
Ecd*vjd*pc = f(pc;S), (1.13)
где функция f (рс; 3) — результат интегрирования (1.10) по импуль-
сам всех частиц, кроме одной (сорта с), суммирования по всем реакци-
ям, где образуется хотя бы одна частица сорта с, и суммирования по
всем частицам сорта с, образовавшимся в данной реакции.
Число квантовых состояний в элементе объема фазового пространства
par определяется в квантовой механике по формуле d?pdV/(2n)3 и называется
ементом фазового объема. Множители типа (2л)3 далее включаются в определе-
15
Из определения функции f (рс; 3) следует нормировочное соотно-
шение (правило сумм):
f f (рс; 3) = £ «с (S) = <пс> а.п (S), (1 14)
где <rzc> — средняя множественность частиц сорта с в реакции ab-
соударения; ст1п (3) — полное сечение неупругих оЬ-соударений;
стс (S)= У (3); — сечение образования пс-частиц сорта с в ab-
пв
соударении (1.12); ос (S) сечение образования частиц сорта с (хотя
бы одной) в реакции (1.12). В формуле (1.14) величина oin (3) фигури-
рует вместо полного сечения ab-взаимодействия <rtot (3) потому, что
при определении <пс> события упругого tzb-рассеяния обычно не учи-
тываются.
Правила сумм для инклюзивных одночастичных распределений. Кроме пра-
вила сумм (1.14) имеются и другие очевидные соотношения. Если просуммировать
сс (S) по всем сортам частиц, то
2oc(S) £Z>"C(S) O1O,(S).
С С пс
Точно так же 2 (пс) — (IV), где (N) — средняя множественность вторичных
частиц в реакциях взаимодействия частиц а и Ь. Далее, интеграл от 4-импульса
инклюзивной частицы Р^ равен
J (Вс)ц f (Рс» S) d3 рс/Ес — (Рц) °in (^)>
где<Р^> — средний полный 4-импульс, переносимый всеми частицами сорта с,
образованными в аб-соударении. Нетрудно выписать также следующие соотно-
шения, являющиеся следствием закона сохранения электрического заряда и пол-
ного 4-импульса:
2<?с(«с) = <?а+<2ь; 2<Рц)=(Ра+Рь)ц.
с с
Здесь Qa к, с — заряды частиц; Ра, Ру — 4-импульсы начальных частиц. Ана-
логичными методами можно получить различные правила сумм, выражающие
законы сохранения других дискретных квантовых чисел (странности, барионного
числа и др.).
Если определить одночастичную плотность распределения инклюзивных час-
тиц сорта с как
р(рс: S)=f(Pc; S)/0in(S), (1.15)
то функция (1.15) нормирована на среднее число частиц сорта с, а р (рс; S) еРрс/
/Ес — число частиц сорта с, попадающих в элемент релятивистского фазового
объема cPpJEe. Функция р (рс, S) удобна при проведении расчетов спектров
вторичных частиц.
Двухчастичные инклюзивные распределения и корреляционная функция.
Рассмотоим инклюзивное образование двух частиц в реакции
а+ b-+c+ d+ X, (1.16)
где с, d — детектируемые частицы; X — иедетектируемые адроны сопровождения.
Определим двухчастичную плотность распределения'.
Р(Рс Pd! S) = EcEdde ocd/oln(S)d3pcd3pd, (1 17)
где инвариантное дифференциальное сечение реакции (1.16) фиксируется детекто-
ром, регистрирующим только частицы сортов с и d и измеряющим их импульсы
16
(1-19)
Поскольку любая из частиц сорта с или d может быть зарегистрирована,
рс и ра- 11 J-/) автоматически содержится сумма по всем частицам сорта с и
в Ф°Рившимся в реакции аб-соударения. Поэтому функция (1 17) нормирована
следующим образом:
]’р(Рс. Pd> S)d3pcd3pd/EcEd ---(ncnd), (1.18)
и с ф d В случае, когда регистрируются две частицы с± и с2 одного и того же
сорта^ нормировка имеет вид:
р d3 pcl d3 рс2
р(рс1, рса;
J ас1
к как при регистрации второй частицы сорта с первую частицу этого сорта счи-
таем уже зарегистрированной
Аналогично можно определить «-частичные плотности распределения инк-
люзивных частиц. В принципе перебор всех возможностей приводит в пределе к
полному описанию процессов «Л-взаимодействия с различными конечными состоя-
ниями.
Если образование частиц с и d в реакции (1.16) происходит независимо (всег-
да имеются тривиальные корреляции, связанные с законом сохранения энергии-
импульса и дискретных квантовых чисел), то
Р(Рс, Pd. S) Р(рс, s)p(pd; S). (1.20)
Соответственно при выполнении этого условия <nc nd> = <«с> <nd>. Ес-
ли же соотношение (1.20) не выполняется, то образование инклюзивных частиц
cud называют коррелированным. Для описания этой корреляции вводят корреля-
C(Pc, p<j; S) p(pc, pd; S)—p(pc; S)p(pd; S).
Измерение на опыте этой функции и одночастичных плотностей распределения
позволяет описывать образование сразу двух инклюзивных частиц.
Общие свойства одночастичиых плотностей распределения. При ана-
лизе экспериментальных данных область допустимых значений пере-
менной xF (или у) принято разделять на три интервала:
1) область, где еще сказывается влияние (корреляция) налетаю-
щей в ./1-системе первичной частицы на вновь образованные: х0 < xF
V 1, где х0 = const (х0 < 1), или (2ml/rVS) < xF <1 1. Эту область
называют областью фрагментации налетающей частицы-,
2) область, гд • сказывается влияние (корреляция) частицы -
мишени (в Л-системе) на вновь образованные: — 1 xF < — х0,
или —1 xF <—2m± /1 S. Эту область называют областью фраг-
ментации частицы-мишени-,
3) промежуточная или центральная область, где не сказывается
влияние первичных частиц а и b на вторичные частицы: — х0 xF <
~ a-о, или —2т L, VS xF 2 mL , Vs.
Во всех трех случаях рассматриваются два наиболее распростра-
ненных варианта динамических гипотез: первый вариант (2/nL/VS <
- Aol<S1) оставляет центральную область по xF конечной при высо-
ких энергиях (VS>2mJx0, где х0 — некоторая фиксируемая из опы-
или теоретических моделей величина); во втором варианте централь-
с ” бласть по xF исчезает с ростом энергии (при 2 т±), а обла-
Фрагментации частиц а и b сливаются при lxF| -•> 0 (табл. 1.1).
17
А)
Таблица 1.1. Границы областей в переменных ХР и </*
(быстроты в Ц-системе) для двух динамических гипотез
Область
Фрагментации частицы а 'Ч 5 х н Гл 1Л * V. >> /л /л утг ХО 1П < у* < Ш — ^-L " ГП1 т1
Центральная У VI VI ч' V VI ч у h 1 <м 7-^ 1П <- * <- 1 VS хо In с у * < In т1 ~ т1
Фрагментации
b
частицы
Примечание. I — порядка I.
Рассмотрим, каким образом предполагаемая на основе интуитив-
ных физических предположений динамика процесса сказывается на
функции одночастичной плотности распределения. Заметим, что если
частица с бесспиновая или первичные частицы не поляризованы, то
функция р (рс; S) зависит только от модуля поперечного импульса
частицы с: р (рс; S) = р (рсИ, рс1; S).
Переменную, зависящую от продольного импульса, удобно записы-
вать в безразмерном виде через xf или у*. Вообще говоря, переменная
быстроты более удобна, так как ее очень легко представить в ковари-
антном виде: р*тах — У* или у* — pmin- В принципе функция р (рс;
S) может зависеть от каждой из этих переменных в отдельности;
р(рс; S) = p(l/Jkax—У*, У*~~pCL’> S) (121)
В области фрагментации частицы а функция (1.21) должна зависеть
только от г/тах — У*, так как зависимость от у*—отвечала бы
корреляции с частицей-мишенью Ь. Поэтому в этой области
Р(Рс; S) = Рп (i/max—У*, PcL\ S). (1.22)
Аналогично в области фрагментации частицы b
р(рс; S) —рь(р*—рйип, рс1’, S). (1-23)
18
неодинаковых первичных частиц (а =£ Ь) зависимости распреде-
"ЦЛ 1Й (1 22) и (1.23) от быстроты различны.
’1еНр центральной области, как ожидается, должны отсутствовать
оеляции как с частицей а, так и с частицей Ь. Это означает, что од-
ночастичная плотность распределения здесь вообще не должна зави-
Р (Рс; S) = Р (рс1; S). (1.24)
14з (1 22) и (1.23) следует, что в областях фрагментации при высоких
энергиях (S »/«!)
Р(РС; <S) = pQ,b(xF;pc±;S), (1.25)
а в центральной области зависимость от xF отсутствует. В формулах
(1 22) (1-25) оставлена зависимость от первичной энергии, так как
на опыте слабая зависимость от S имеет место в изученном до сих пор
интервале энергий.
Предельная фрагментация, скейлинг. Обсудим теперь основные
гипотезы о поведении р (рс; S) с ростом энергии, выдвинутые на основе
полуинтуитивных физических соображений (см., например, [7,8]).
Чоу и Янг выдвинули гипотезу о предельной фрагментации, заключаю-
щуюся в том, что при высоких энергиях достигается такой режим про-
цесса множественного образования адронов, когда продольные импуль-
сы фрагментов мишени в Л-системе перестают расти с увеличением энер-
гии и остаются ограниченными. Это означает, по сути дела, что спектр
адронов-фрагментов мишени перестает зависеть от кинематических ха-
рактеристик налетающей частицы и от ее квантовых чисел. Эту гипо-
тезу можно записать в виде:
Р(РС; 5) = рь(рсЛ, pci).
Выразим рсц через переменную xF при S > т2,/п2,/n2±. Исполь-
зуя закон релятивистского преобразования продольных импульсов,
находим
_ £*+ PcPSlI Е*(Еа + тъ) + РаР*ъ
cl - Vs
В области фрагментации мишени р^ < 0, поэтому, принимая
2p?M/KS, имеем:
_ mgx — mgx|
Pci ~ /nb(]Zx« + 4mc2/S-xF) ’
Значение ограничено, если |xF| > 2тс, lV"S (xF < 0). При этом
Pc«~^bXF~mcl/mbxF)/2.
фрагЙКИМ °бРазом, Рец зависит только от xF, и гипотеза предельной
к ()б '|'еИТа дИИ 03начает> чт0 одночастичная плотность распределения
пере ТИ ФРагментаПии мишени есть функция только безразмерных
иных xF и pci, не зависящая от первичной энергии
Pb(Pe][, pC±) = pb(xF, рс1).
воиство называют скейлингом или масштабной инвариантностью.
19
Используя аналогию между Л-и АЛ-системой, можно показать
что ограниченность рё\\ в системе, где частица а покоится, приводит
к скейлингу в области фрагментации налетающей частицы в Ц-системе
PO(4 Aa) = Pa(*F, Pci).
Последние свойства есть следствие гипотезы предельной фрагментации
[7]. Эта гипотеза ничего, однако, не говорит о центральной области и
скорее, отвечает ее полному исчезновению при S оо, так как эта об-
область в данном случае ограничена неравенствами — <
< xF < 2 mL
В рамках гипотезы предельной фрагментации множественность вто-
ричных адронов растет при S -> оо благодаря логарифмическому
увеличению областей фрагментации в пространстве быстрот:
<А> = <Аа> + <Аь>;
А'тах
ъУ = j Ра, b(iPmax У* (> pcF}dy*dpCF =
О
In (Vs/m) In (/s/m)
= J Pa,b(l^ax-^|)^*= f Pa,b(Y)dY =
o b
= pa.b(yjln(rs/m),
где pa,b (У) — плотность распределения в некоторой точке на интер-
вале интегрирования.
Если существует центральная область, ширина которой в простран-
стве быстрот логарифмически растет с увеличением энергии, то свойст-
во скейлинга может проявляться во всей области xF. Так как в цент-
ральной области плотность распределения вообще от xF не зависит, а
по переменной у имеет вид плато, то основная множественность вто-
ричных частиц обусловлена вкладом именно этой области:
In (l's/mj)
<А>~ j* p(pc)dy*dpcL ~In (/S/m),
—In
а области фрагментации дают в данном случае конечный вклад в
не зависящий от S при S —> оо. Гипотеза от том, что р (рс; S)
= Р (xF, Pci) и не зависит от первичной энергии во всей области значений
%f, называется фейнмановским скейлингом [7—9]. Эта гипотеза под-
держивается мультипериферической и простейшей реджевской моде-
лями процессов множественного образования адронов. Однако даже в
рамках этих моделей возможны нарушения фейнмановского скейлинга
(см. ниже). Все же представление о скейлинге очень привлекательно,
так как этот простой режим поведения одночастичных плотностей рас-
пределения при высоких энергиях свидетельствовал бы об отсутствий
в теории иных величин с размерностью энергии, кроме энергий первн4'
ных и вторичных частиц. Выполнение скейлинга позволяет экстрапо-
20
„вать данные, полученные при достигнутых уже энергиях, в об-
лир сверхвысоких энергий, которая будет изучаться на новом поко-
ЛЭС in ускорителей. Естественно, что задачи проектирования физичес-
л^защиты новых ускорителей протонов, проектирования и постанов-
КО1иовых фундаментальных экспериментов могут решаться сейчас толь-
КИ на основе имеющихся экспериментальных данных и их современной
интерпретации в рамках различных моделей.
1 4 Основные понятия и уравнения теории переноса
Ядерпо-электромагнитный каскад представляет собой процесс мно-
гократных стохастических актов взаимодействия частиц с ядрами и ато-
мами вещества. Расчет этого процесса основан на формализме разде-
ла статистической физики, называемого теорией переноса. Если энер-
гии частиц велики настолько, что квантовомеханические эффекты ин-
терференции волн, возникающих от различных рассеивателей, пренеб-
режимо малы*, то можно вывести линейные интегро-дифференциаль-
ные уравнения, описывающие баланс числа частиц в элементарном объ-
еме фазового пространства (г, Е, О). Такие уравнения называют урав-
нениями переноса излучения или кинетическими уравнениями Больц-
мана2*.
Линейность уравнений переноса следует из независимости последо-
вательных актов столкновения, поскольку считается, что число рас-
пространяющихся частиц в любом объеме много меньше числа ядер в
том же объеме, и взаимодействие частиц пучка между собой отсутству-
ет. Кроме того, полагается, что можно пренебречь эффектами, связан-
ными с упорядоченностью структуры атомов в кристаллической решет-
ке и с поляризацией частиц за счет спин-орбитального взаимодействия.
При выводе уравнений переноса рассматривается баланс числа час-
тиц сорта j: dNj — Ф7(г, Е, £2) dr dEdQ в объеме dr в окрестности точки г,
энергия которых заключена в интервале от Е до Е + dE, а направле-
ние скоростей — в телесном угле dll вблизи £4. Здесь Фу (г, Е, £2) —
дифференциальная плотность потока частиц /-го сорта в точке г,
называемая иногда плотностью углового потока.
Изменение числа частиц в элементе фазового пространства может
быть обусловлено: 1) утечкой частиц из элементарного объема dr при
неизменных значениях Е и О; 2) убылью частиц в результате взаимо-
действия с атомными ядрами; 3) распадом нестабильных частиц; 4)
непрерывными потерями энергии заряженных частиц в результате
электромагнитных взаимодействий с малыми передачами энергии
(непрерывное замедление)-, 5) приростом числа частиц, вызванным уп-
ругим или неупругим рассеянием, при котором частица сорта i с ко-
ординатами Е' и £2' в фазовом пространстве в окрестности точки г рож-
дает частицу сорта / в интервале энергий dE около Е и интервале на-
правлений d£l около £2; в частном случае I = j; 6) источником, прямо
Длина волны частицы должна быть много меньше расстояния между ато-
MI2*BenteCTBa’ а ВНУТРИ яДРа — меньше межнуклонных расстояний.
Kog *" Больцман в 1872 г. первым получил такие уравнения в газокинетичес-
21
испускающим частицы сорта / в рассматриваемый элемент фазового
пространства.
Составляя баланс числа частиц /-го сорта в элементе фазового про.
странства drdEdtl, получаем искомую систему стационарных уравне-
ний переноса:
^Фг-Qj + G; (1.26)
с граничными условиями на выпуклой поверхности S
Ф; (г, Е, £2) Is = Фо/ (Е, £2), Q n < 0, (1.27)
где п — нормаль к поверхности S.
В системе уравнений (1.26) / нумерует все сорта частиц, рассматри-
ваемые в задаче. Кроме того, введены следующие обозначения:
£2V + (г. Е) + (Г, Е) - 0, (г, Е); (1.28)
' ОС
V J dll J dE' Ж (г, E' E, £2' -> £2) Ф{ (г, E', £2'); (1.29)
Gj = G} (r, E, £2).
(1.30)
Здесь Gj — плотность внешних источников. Слагаемые в (1.28) ответ-
ственны последовательно за каждый из процессов (1)—(4), указанных
выше, а величины (1.29) и (1.30) —за процессы (5) и (6) соответствен-
но; ~Ej (г, Е) — полное макроскопическое сечение взаимодействия час-
тиц /-го сорта с энергией Е с ядрами среды в окрестности точки г; 2j =
= л (г) Gj (г, Е)/р (г), где р (г) и л (г) — плотность и плотность ми-
шеней вещества в точке г, Oj (г, Е) — микроскопическое сечение;
SjD (г, Е) — макроскопическое сечение распада нестабильных час-
тиц; = xjD = cTj (pj/mj) р (г) — пробег до распада частицы с
временем жизни ту, массой m.j и импульсом pj; ₽j (г, Е) =------X
X (г, Е) — тормозная способность вещества для заряженных час-
тиц в точке /; 2®/ (г, Е'—>- Е, £2' —- £2) — макроскопическое диффе-
ренциальное сечение инклюзивной реакции I -ф А -+ j 4- X:
Я, (г, Е'-^Е, ps)=-^- pjfij(r, Pj,S), (1.31)
р (г/
где fu = Ed3a/d3p — одночастичное инвариантное дифференциальное
сечение (1.13) (используется инвариантность фазового объема 6/3pzE
= pdEdil). Предположения, в которых получена система уравнений
(1.26), позволяют ограничиться случаем азимутальной симметрии сече-
ния (1.31), когда индикатриса рассеяния
(1.32)
22
зависит только от скалярного произведения
рв = 42'42 = cos в,,
___угол рассеяния в Л-системе.
гд При суммировании в (1.29) индекс i пробегает те же значения, что
" ^При записи нестационарных уравнений переноса в левой части
(1 26) добавляется слагаемое
~-£-Ф,(г, Е, 42, t),
v at
где v __ скорость частицы /-го сорта.
Решение общей краевой задачи (1.26), (1.27) одновременно для всех
сортов частиц ЯЭК в широком диапазоне энергий в случае произволь-
ной геометрии и систем произвольных размеров не представляется
возможным.
Методы решения задачи в некоторых частных случаях изложены, на-
пример, в [10—141. Так если рассматривается только один тип частицы,
система (1.26), (1.27) сводится к единственному уравнению. При низ-
кой энергии имеются хорошо развитые методы решения таких задач для
фотонов [101, нейтронов [11,14], электронов [13].
В ряде случаев кинетические уравнения могут быть существенно
упрощены. Так, в одномерных задачах оператор 42 у? сводится к опера-
торам
42у =
д
ц----, плоская геометрия;
дх I 2 я <L33>
р,-----1----------’ сферически симметрич-
r ная геометрия,
где /I = cos 6.
В азимутально-симметричных задачах размерность фазового про-
странства уменьшается здесь вдвое (г, Е, 42) (х, Е, р).
Если все сечения не зависят от энергии в рассматриваемом в зада-
че диапазоне, то, интегрируя (1.26) по энергии, можно получить одно-
скоростные уравнения. При этом (г, Е, 42) -> (г, 42). Сюда же примыка-
ет многогрупповой подход, когда сечения усредняют и уравнения инте-
грируют в пределах групп, на которые разбит исследуемый энергети-
ческий диапазон.
в однородных средах исчезают пространственные зависимости во
всех сечениях и в тормозных способностях вещества |3.
В задачах с сильной анизотропией рассеяния иногда используют
приближение прямо вперед, когда индикатриса рассеяния (1.32) пред-
ставляется в виде
S°(£', Е, ps)~K(E', E)6(l—ps)/2n;
К(Е',Е) = J &(Е', E,p3)dS2,
да
(1-34)
23
где ASi — конус вокруг направления движения первичной частицы
в котором лежат импульсы всех вторичных частиц. В таких задачах в
одномерном случае размерность фазового пространства удается умень-
шить до двух: (г, Е, Si) -> (х, Е). Именно в таком приближении полу-
чено наибольшее число решений уравнений ЯЭК без применения ме-
тода Монте-Карло [121.
При высоких энергиях часто применяют малоугловое приближение
когда ограничиваются первым порядком малости в разложениях функ-
ций распределения по угловой переменной (1 — ц « 1).
При низких энергиях широко используется метод сферических гар.
моник, в котором дифференциальная плотность потока частиц и инди-
катриса рассеяния представляются в виде рядов по полиномам Лежан-
дра:
Ф(г, £, £ (2/+1)Ф/(г,£)Л(р);
(1-35)
^(£',£,ps) = £ (2/ + 1)^(£',£)Л(ь).
4я ь=о
В случае слабой анизотропии углового распределения в разложениях
(1.35) можно ограничиться лишь первыми двумя слагаемыми, что соот-
ветствует диффузионному приближению.
Наиболее универсальным среди существующих методов является
метод Монте-Карло (см. разд. 1.5 и гл. 4, 6, 7).
Обзор этих и других методов, применяющихся в теории переноса
низкоэнергетического излучения (£ < 15 МэВ), можно найти в [10—141.
Современные методы, использующиеся при исследованиях электрон-
фотонных ливней, описаны в гл. 4, при расчетах ядерных каскадов в
гл. 5 и 6, при расчетах переноса мюонов — в гл. 7.
Несмотря на создание и успехи мощных универсальных программ
расчета явлений переноса излучений, приближенные аналитические и
полу аналитические методы интенсивно развивались и продолжают
развиваться. Причину этого прекрасно сформулировал Фано, отметив-
ший, что в достаточно широких пределах изменения координат фазо-
вого пространства ни один из приближенных методов не может считать-
ся удовлетворительным, но каждый из них пригоден для решения част-
ных задач переноса. Анализ таких приближенных методов позволяет
эффективно составлять из них последовательную теорию.
Наиболее радикальным способом упрощения процедуры нахожде-
ния решения задачи переноса является использование физических осо-
бенностей рассматриваемой проблемы. Это одна из причин того, что в
данной книге физике взаимодействий частиц уделено много внимания.
Большинство приближенных методов, описанных выше, реализуют эту
концепцию. В гл. 4—7 читатель найдет много примеров использования
выводов гл. 2 и 3.
В заключение определим некоторые часто используемые на практи-
ке функционалы дифференциальной плотности потока излучения (ин-
декс j опущен):
24
дифференциальная плотность потока энергии частиц
I (г, Е, й) = Е Ф (г, Е, Ji);
пространственно-угловая плотность потока частиц
Ф (г, Ji) = Ф (г, Е, Ji) dE-,
b
пространственно-энергетическая
плотность потока частиц
Ф (г, £•)=( Ф(г, Е, Q)dQ;
4Л
пространственное распределение плотности потока частиц
ф (г) = [ Ф (г, Е) dE = J Ф (г, Ji) t/Ji.
0 4л
(1.36)
(1.37)
(1.38)
Выполняя аналогичные (1.36)—(1.38) интегрирования функции / (г,
Е, Ji), можно получить соответствующие определения для плотности
потока энергии.
Иногда используются токовые характеристики поля излучения:
дифференциальная плотность тока частиц
J® (г, Е, Ji) = Ji Ф (г, Е, Ji);
дифференциальная плотность тока энергии частиц
J/ (г, Е, Ji) = Ji/ (г, Е, Ji).
Подобно формулам (1.36)—(1.38) записываются функционалы токо-
вых характеристик.
Полезна в приложениях интерпретация дифференциальной плотно-
сти потока Ф (г, Е, Ji, t) как пути, проходимого частицами, принадле-
жащими единичному объему фазового пространства, в единицу времени.
Отсюда, в частности, следует определение дифференциальной плотно-
сти столкновений (поглощений, рассеяний).
F (г, Е, Ji) = S (г, £)Ф (г, Е, Ji). (1.39)
Зная дифференциальную плотность потока, показания (отклик)
любого аддитивного детектора * можно определить как
N = f Jf D (г, Е, Ji) Ф (г, Е, Ji) dr dE dSl, (1.40)
где D (r, E, Ji) — функция чувствительности детектора, которая
представляет собой средний вклад в показания детектора от единицы
Длины пути частицы с координатами (г, Е, Ji) в объеме детектора.
Понятие «детектор» имеет здесь самый широкий смысл (13, 15].
25
1.5. Метод Монте-Карло в задачах переноса излучения
Возрастающие требования к математическому аппарату решения
задач переноса излучения через вещество и бурное развитие вычисли-
тельной техники сделали метод Монте-Карло основным, если не един-
ственным, методом во многих приложениях. В своем простейшем и
одновременно наиболее надежном и распространенном варианте________
прямом моделировании — этот метод заключается в численном моде-
лировании процессов взаимодействия и распространения частиц в ве-
ществе. Применение различных модификаций метода Монте-Карло,
так называемых методов уменьшения дисперсии, позволяет в некоторых
конкретных случаях существеннейшим образом облегчить решение за-
дачи. При этом в ограниченном объеме фазового пространства можно
достичь весьма высокой точности. Линейность задач теории переноса
позволяет переносить результаты моделирования на реальные ан-
самбли частиц.
Общей теории метода Монте-Карло и его приложениям к задачам
переноса излучения посвящены, например, [14, 16—191. Ниже изла-
гаются основные понятия метода, принципы построения траекторий и
оценки функционалов, используемые в гл. 4, 6 и 7 при описании алго-
ритмов моделирования каскадных процессов. При этом предполагает-
ся, что читатель знаком с основами теории вероятности и прочитал
предыдущие разделы настоящей главы.
Дискретная случайная величина ? определяется на дискретном множестве
xlt х2,..., хп. При этом вероятность того, что величина ? примет значение х,, со-
п
ставляет Р (? = х,) = р/, где все р, > 0 и У р, = 1.
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины ?
п
называют выражение М? = У, XtPi-
i= I
Величину, характеризующую разброс значений ? около среднего, называют
дисперсией-, определяется она как
D£ =M[(g - Mg)*] = М (Is) - (М|)2. (1.41)
Непрерывная случайная величина g определяется на интервале (а, Ь) функ-
цией р (х), которую называют плотностью вероятности. Вероятность того, что
| окажется в интервале (а, х),
Р(а<|<х) =Jp(x')dx',
а
(1.42)
ь
причем р (х) > О и \ р (х) dx — 1.
а
b
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Mg = j хр (х)Х
а
Xdx.
Можно доказать [16], что для произвольной непрерывной функции f (х) име-
ь
ет место соотношение м/ (g) = f f (х)р (х) dx.
26
чанных чисел у, равномерно распределенных в интервале
Для генератора слу
(О 1). уравне1П,е
у = Р (x)=J p(x')dx'
а
озволяет произвести случайный выбор значений
х Р1 (у).
(1 -43)
(1.44)
т -ой метод выборки называют методом обратных функций (или методом инвер-
аК) Его используют, когда интеграл в (1.43) может быть выражен через элемен-
С1<пные функции. В противном случае можно применить метод Неймана (или ме-
отбраковки). Этот метод состоит в следующем.
Переопределим на интервале (а, Ь) плотность распределения случайной вели-
чины § следующим образом:
р* (х) = р(х)/Мах[р (х)]. (1.45)
Выберем два случайных числа У1 и у2 и вычислим величину х' = а + yj (Ь —а).
Если у2 < р* (х'), то g = х'. Если же это условие не выполняется, пару (у1(
у2) отбрасываем, выбираем новую пару значений случайных чисел и повторяем
процедуру еще раз.
Наиболее распространенный способ применения метода Монте-
Карло в задачах переноса излучения — прямое моделирование физи-
ческой картины прохождения частиц через вещество. Пробег до взаи-
модействия R легко найти, решая кинетическое уравнение (1.26) с ну-
левой правой частью ДФ = 0. Рассматривая это уравнение в системе
координат, связанной с частицей, получаем его решение для нейтраль-
ных частиц Ф = Фо ехр (—SR). Соответствующая плотность вероятно-
сти имеет вид: р (г) = ехр (— г), где г = SR; S — макроскопическое
сечение взаимодействия с ядрами атомов среды. Решая уравнение
(1.43), получаем алгоритм моделирования пробега R нейтральных час-
тиц до взаимодействия: г = — In (1 — у) или R = — In (1 — у).
Соответствующие алгоритмы для заряженных частиц рассмотрены
ниже.
Радиус-вектор новой точки взаимодействия вычисляется из старых
координат г0 следующим образом:
г = г0 + R Й, (1.46)
где й — единичный вектор в направлении движения частицы.
В этой точке моделируется тип взаимодействия и тем или иным
способом само взаимодействие, число и сорт вновь рождающихся час-
тиц, их энергии и углы вылета, характеристики остаточного ядра.
Рожденные частицы транспортируются до новых точек взаимодействия
с учетом особенностей системы и возможного квазинепрерывного дей-
ствия электромагнитных процессов. Непосредственно в процессе мо-
делирования можно оценивать почти любой функционал от случайных
величин £. История завершится, когда все частицы поглотятся или вы-
летят из системы. Затем все повторяется N раз до достижения требуе-
мой статистической точности функционалов Ф.
Согласно центральной предельной теореме теории вероятности
n
Н61 при больших N распределение суммы У приблизительно нор-
п=1
27
мально. Поэтому
функционала Ф:
имеет место следующее соотношение для оценки
£п~Ф
<6 «0,997,
(1.47)
которое означает, что с вероятностью Р ~ 0,997 погрешность оценки
не превышает 6 = 3\rDt,/N.
Основными способами оценки дифференциальной плотности потока
частиц и производных функционалов при моделировании переноса из-
лучения являются:
1) оценка по столкновениям (поглощениям, рассеяниям) — под-
счет числа столкновении частиц сорта j в объеме фазового пространст-
ва У him — (Лг/г, ДЕ/, Л^т) по формуле (1.39):
</)
klm
1
NVMm
n = 1 i
(1-48)
где внешнее суммирование осуществляется по числу историй N, а
внутреннее — в данной истории по числу событий рассматриваемого
типа (поглощение, рассеяние и др.) с соответствующим макроскопичес-
ким сечением для частиц сорта /; и»/ — статистический вес час-
тицы (см. ниже); в случае прямого моделирования все = 1; вклад
в (1.48), отличный от нуля, получается только в случае, если фазо-
вые координаты частицы в данном событии принадлежат фазовому объ-
ему Vktm;
2) оценка по пробегу — подсчет суммы длин путей проходи-
мых частицами j-ro сорта, принадлежащими объему фазового простран-
ства Vhim:
Ф$п = - J(1 -49)
NVf‘lm n=i t
3) метод математических ожиданий — использование в приведен-
ных выше оценках суммирования математических ожиданий; например,
в оценке (1.49) вместо суммы длин участков траекторий частиц, при-
надлежащих Vhim, можно подсчитывать сумму их математических ожи-
даний:
Lp - [1 - ехр (-, (1.50)
^tkl
где % Я? — полное макроскопическое сечение взаимодействия частиц
j-ro сорта с энергией Е £ ДЕг с ядрами атомов среды в ячейке Дгк;
Д/?;1 — расстояние от точки влета частицы в ячейку Дг„ или от точки
взаимодействия внутри Д гй до границы этой ячейки в направлении дви-
жения частицы; использование для оценок величины (1.50) предпола-
гает постоянство сечения во всем объеме Vhim-, в противном слу-
28
е имеющем место для заряженных частиц, вид выражения (1.50)
Чсл'ожняется (см., например, разд. 6.2);
J 4) локальная оценка потока — суммирование в локальных детек-
торах плотности вероятности прихода из всех точек взаимодействия
частиц, не испытавших рассеяние:
р = г-2 exp (—2Д7?), (1.51)
где г — расстояние от точки взаимодействия до локального детектора;
др — отрезок этого луча в веществе; 2 — полное макроскопическое
сечение взаимодействия частиц с ядрами атомов среды; для заряжен-
ных частиц, теряющих при прохождении через вещество свою энергию
в электромагнитных процессах, выражение (1.51) снова видоизменяет-
ся (см. разд. 6.2).
Эффективностью оценки называют величину (tDg)-1, где t и Щ —
соответственно время счета и дисперсия оценки в расчете на одну исто-
рию. Для расчета ЯЭК можно предложить следующие рекомендации.
В центральной области ЯЭК эффективны первая и вторая оценки, при-
чем оценку по пробегу лучше использовать в оптически тонких зонах
(J < л1п), оценку по столкновениям — в оптически толстых (d > /.1П,
где^ — характерный размер зоны). На больших расстояниях от цент-
ральной области ЯЭК значительно эффективнее третья оценка. Ло-
кальная оценка удобна для детекторов малых размеров, расположен-
ных вне рассматриваемой системы.
Наряду с оценками типа (3), (4), применяют другие методы уменьше-
ния дисперсии: существенная выборка, метод сопряженных блужда-
ний, метод суперпозиции и др. Подробное описание этих методов см.
в [14, 16—19J. Остановимся здесь лишь на методе существенной вы-
борки, широко используемом при моделировании ЯЭК.
Пусть требуется оценить функционал Ф = J К (х) dx, где, напри-
мер, К (х) — индикатриса рассеяния, а х = (Е, й). Умножим и разде-
лим подынтегральное выражение на функцию плотности вероятности
Р (х) со свойствами (1.42):
Ф = f W (х) р (х) dx, (1.52)
где величину W (х) = К (х)/р (х) называют статистическим весом.
Оценку интеграла (1.52) методом Монте-Карло осуществляют по
£ к
Формуле Фту = n У W (xft), где точки xh определяются методом обрат-
t=i
них функций из уравнений (1.43) и (1.44).
Функция р (л) вида
р(х) = К(х)/Ф (1.53)
обеспечивает нулевую дисперсию. Выборка из функции р (х), прибли-
жающейся к (1.53), представляет собой оптимальную стратегию рас-
Чета по методу Монте-Карло.
В гл. 4, 6 и 7 даны конкретные алгоритмы реализации случайных
Роцессов методом Монте-Карло.
29
ГЛАВА 2
ПРОЦЕССЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ. РАСПАДЫ
НЕСТАБИЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
2.1. Тормозное излучение
Прохождение через вещество частиц, которые не участвуют непо-
средственно в сильных взаимодействиях (фотоны, электроны, мюоны)
определяется их электромагнитными взаимодействиями. В данной гла-
ве рассматриваются основные электромагнитные процессы, оказываю-
щие существенное влияние на развитие ядер но-электромагнитного кас-
када (ЯЭК) и его мюонной компоненты. Для сечений этих процессов
ниже приводятся наиболее простые и удобные для практического ис-
пользования выражения. Упрощения достигаются путем замены точ-
ных, но громоздких выражений простыми по форме приближенными
формулами (как правило, с погрешностью не выше 1—2%). Главным об-
разом, это замечание относится к взаимодействиям при низких энер-
гиях (порядка нескольких мегаэлектрон-вольт) и процессам с участи-
ем мюонов.
Распады нестабильных частиц рассматриваются здесь с целью ука-
зать основные источники электромагнитного (л° -> 2у) и мюонного
л± (/С±) ->- р,^ Vp, (vM) компонент каскада.
Тормозное излучение представляет собой процесс излучения фото-
на заряженной частицей в поле ядра и атомных электронов. Этот про-
цесс определяет главные энергетические потери в среде релятивистских
электронов, а при сверхвысоких энергиях — и мюонов. Тормозное
излучение, наряду с процессом образования электрон-позитронных
пар, является основным процессом, определяющим развитие электро-
магнитного ливня.
Тормозное излучение электрона. Дифференциальное сечение тор-
мозного излучения электрона в кулоновском поле ядра описывается
формулой [201:
ore (Е, со) da = 4aZ2 In (183 Z-1/3) r* (data) Fe (E, u), (2.1)
где a = e2lhc— постоянная тонкой структуры; re — классический
радиус электрона; Z — заряд ядра; и — со Е — отношение энергии
излученного фотона к энергии первичного электрона в лабораторной
системе. Функция Fe (рис. 2.1) может быть представлена в виде [211-
Fe(E, и) = [1 -fc (Z)/ In (183 Z-V3)] ы)2] [д (g)/4 -
— (1/3) In Z — fc (Z)l/ [Д (0)/4 — (1/3) In Z — fc (Z)l — (2/3) (1 — u)X
X I/a ©/4 - (1/3) in Z - fc (Z)]/[f1 (0)/4 — (1/3) In Z — Д (Z)l}, (2.2)
где fc (Z) — (aZ)2 У, 1/k (k2 + (aZ)2) — так называемая кулоновская
k=\
поправка [22], которая с погрешностью до четырех значащих цифр при
30
9 1 Графики функции Fe(E, и) при
р,|С’цных значениях энергии Е—Ее пер-
различных она (кривые рассчитаны
дляТвинца [20])
7 / < 2/3 может быть приближенно
представлена в виде.
fc (z) ~ (aZ)2 [1/(1 + (aZ)2) +
+ 0,20206 — 0,0369 (aZ)2 +
+0,0083 (aZ)* — 0,002 (aZ)6].
Параметр экранирования g пропорционален отношению эффективно-
го размера атома к максимальному значению прицельного параметра
о в модели Томаса — Ферми эффективный радиус атома опреде-
лится выражением а = а0 Z1'3, где а0 = Й2/тее2 — боровский радиус
атома водорода. В этой же модели параметр экранирования g вычисля-
ется по формуле
g ~ (136 тес2!Е) Z-1'3 и! (1 — и).
(2.3).
Функции Д и f2 с погрешностью не более 1—2% определяются (при g
1) формулами [211:
Д (g) = 20,867 — 3,242 g + 0,625 g2;
f2 (g) = 20,209—1,930 g—0,086 g2.
При g> 1 (g) = /s (g) =21,12-4,184 In (g + 0,952).
В случае полного экранирования параметр g ~ 0 и Д (0) =
= f2 (0) + 2/3 = 4 In 183.
Из вида функции Fe [см. формулу (2.2)] следует, что она слабо за-
висит от заряда ядра Z.
Кроме процесса тормозного излучения в поле ядра, при котором
атом остается нсвозбужденным, возможен процесс тормозного излуче-
ния на атомных электронах, в результате которого атом переходит в
одно из своих возбужденных состояний. Сечение тормозного излуче-
ния быстрого электрона на свободном электроне совпадает с сечением
тормозного излучения электрона на ядре с Z = 1 в случае отсутствия
экранирования [23, 24]. Дело в том, что основной вклад в сечение тор-
мозного излучения дает область небольших переданных импульсов:
191 ~ 7min = т2с3и /2 Е (1 — и). Если |q | «: mec, то отдачей элект-
рона (и тем более ядра) можно пренебречь. Условие |q | выполня-
тся, если тес2/Е < 1, т. е. для релятивистских электронов. Диффе-
ренциальное сечение тормозного излучения релятивистского электро-
пофП°ЛС атомпых электронов (с учетом их связи в атоме) определяется
°гее (Е, со) da> = 4aZreFee (и) da/w, (2.4)
ГДе Fee (и) = [1 + (] _ ы)2] ]п (]444 Z_2/3) _ (2/3) (1 — 'и) X
Х In (1212 Z~2/3).
31
Из сравнения выражений (2.1), (2.2), и (2.4) видно, что суммарное
сечение тормозного излучения электрона на атомном ядре и на атомных
электронах представляется в виде:
ore (Е, со) dco = 4aZ (Z + т]е) In (183 Z-1'3) rf (cZco/co) Fe (E, u),
где т]е = In (1444 Z-2/3)/In (183 Z-1/3). С погрешностью не больще
чем |1 —т]е| /Z < 0,4/Z, эту формулу можно аппроксимировать более
простым выражением:
оге(Е, со) dco = 4aZ (Z-J-1) In (183Z-1/®) г® (cfco/co) (f, и). (2.5)
Макроскопическое сечение тормозного излучения, измеряемое в
см-1, для простого вещества равно:
2re (Е, со) = (МАМ) pore (Е, со). (2.6)
Радиационная длина определяется выражением
4 = 4ar2Z(Z+ l)ln(183 Z-V3)pMAM. (2.7)
Здесь, как и в формуле (2.6), Na — число Авогадро; А — атомная
масса вещества; р — его плотность. Макроскопическое сечение тор-
мозного излучения в единицах радиационной длины дается выраже-
нием
Sre (Е, со) с/со = (с/со/со) Fe (Е, и). (2.8)
Функция Fe (Е, и) слабо зависит от Z, поэтому и макроскопическое
сечение тормозного излучения, выраженное в радиационных длинах,
практически одинаково для различных сред.
Для сложного однородного вещества макроскопическое сечение тор-
мозного излучения определяется по формуле
2 (Е, со) = Na р Т w, o're Аь
где суммирование проводится по всем сортам элементов, входящих в
состав среды. Радиационная длина в сложном веществе дается выраже-
нием
tT= 4ar® Na р J’S (Zi+l) In (183ZfI/3) / 2 и>г Af
Здесь wt — концентрации составляющих вещество элементов.
Угловое распределение тормозного излучения в ультрарелятиви
ском случае определяется следующей формулой [241:
dcTreB= -^-Ф(Е, со, 6),
т (Ц-62)2 со v
32
g £ р /тес2\ 6 — угол вылета тормозного фотона в лаборатор-
Г,Д" системе. Функция Ф (Е, со, б) слабо зависит от 6. Из приведенного
Сражения следует, что интенсивность тормозного излучения макси-
мальна вблизи угла 6 = 6тах = те<?1Е. Отметим, что угол 0тах не
чависит от энергии излучаемого фотона.
3 Из выражения (2.1) для энергетического спектра тормозного излу-
чения следует, что при со —*- 0 его интенсивность стремится к бесконеч-
ности, а полное сечение процесса расходится как In comin- Эта так на-
зываемая инфракрасная катастрофа является следствием непримени-
мости теории возмущений [в рамках которой была получена формула
(2 1)1 к процессам, в которых участвуют длинноволновые фотоны. При
введении радиационных поправок такого рода расходимости исчезают
[26]. Учет радиационных поправок необходим для описания процесса
тормозного излучения на изолированном атоме. В тех же случаях,
когда этот процесс происходит в конденсированной среде, спектр из-
лучения модифицируется в области малых частот за счет эффектов, об-
суждаемых ниже.
Во-первых, процесс радиационного излучения вызывает эффект
поляризации среды. Этот эффект можно учесть введением множителя
[211
Fp = [1 + п^Е^/пы2]-1,
(2.9)
где ne — плотность электронов в веществе; ле — комптоновская длина
волны электрона. При со » сос = Е (пеге'к21л)112 множитель Fp~ I,
а при со с ®с он определяется по формуле Fp ~ со2/сос. В этом случае
энергетический спектр тормозного излучения имеет вид: ате dco ~
~ сос/со, инфракрасная катастрофа отсутствует и полное сечение ста-
новится конечным.
Во-вторых, при очень высокой энергии первичного электрона (более
101зэВ), а также при излучении очень мягких фотонов проявляется эф-
фект Ландау — Померапчука [27]. В этих условиях передача
импульса ядру в продольном направлении оказывается очень малой
- flnln)- В силу принципа неопределенности область взаимодей-
ствия сильно вытянута в продольном направлении. В результате уча-
ствующие в процессе электроны (первичный и вторичный) эффективно
взаимодействуют с группой атомов, расположенных вдоль направле-
ния движения первичного электрона, испытывая на них многократное
кулоновское рассеяние. Это приводит к нарушению когерентности
излу60*”2 ТОРМОЗНОГО излучения и в результате к уменьшению сечения
Сечение процесса тормозного излучения с учетом эффекта Ландау—
омеранчука и эффекта поляризации среды [21, 27]:
°re = 4are2 Z (Z4-1) In (183Z-1 '3) 11 — fc (Z)/\n (183Z”1 /3)] b (s) X
(0
2 —u)2][2<p(s) + /i(s)]/3—2u/i(s)/3}[l+Mj§/u2]-1e (2.10)
Зак- 283 33
где <р( Л(8) = 6(s) = ss= 1,3 Значения Таблица oo s) = 12s2 J cth ( j exp (—st) sin (st 0 — oo 24s2 —— f exp ( — st) -sin(sf) dt 2 J 7б1п(//2) L 0 1, s>l; l + ln(s)/ln(s0), 1>S>SO; 2, s0 > s; 7-108Г l1/2; (Zi/3/K L(l— u)Eb(s)\ 0 v функций <p (s) и h (s) приведены в 2.1. Значения функций <р (s) и h (s) i dt-—6ns2; (2.11) ?3)2;®o = nereXe/n. табл. 2.1.
S 0,0 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
<р (s) 0,000 0,258 0,446 0,686 0,805 0,880 0,931
h («) 0,000 0,094 0,206 0,475 0,695 0,800 0,875
s 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0
<p (s) 0,954 0,965 0,975 0,985 0,990 0,998 0,999
h (s) 0,917 0,945 0,963 0,975 0,985 0,994 0,998
В области не очень высоких энергий первичного электрона в сече-
ние тормозного излучения необходимо внести полуэмпирическую по-
правку [21, 281: К (Z) = [1 + (aZ)1/2 Зтес2/Е]. При энергии Е <
< 50 МэВ сечение в формуле (2.5) следует умножить на коэффициент
/С (Z) и положить fc (Z) = 0. Это обеспечивает разумную погрешность
вычислений (в пределах нескольких процентов).
Тормозное излучение частиц тяжелее электрона. Поскольку сече-
ние тормозного излучения обратно пропорционально квадрату массы
излучающей частицы (ore ~ г2 ~ I'm2), для тяжелых частиц этот
процесс становится существенным лишь при очень высокой энергии.
Поэтому соответствующие выражения для определенности будем при-
водить для мюона — частицы, следующей за электроном на шкале масс.
Формула для тормозного излучения мюона в кулоновском поле ядра
получается из формулы для излучения электрона заменой массы элект-
рона массой мюона тц. Кроме того, в качестве минимального значения
34
ьного параметра надо взять радиус ядра, так как комптоновс-
прицел ВОЛНы мюона = Шт^с меньше радиуса ядра. С учетом
кая ДЛ1 ий Сечение тормозного излучения мюона в кулоновском
этих зам
поле ядра UJ
оГ|11 (Е, со) tfo = 4aZ2
\r2e — F»{E, и),
r co
где
ЕДЕ, «) = [1 +(1 — и)2— у(1—«)]
(3/2) 183 (т^те) Z~ 2/3
(1 2) 183 ~\,'е (т^с2/Ете) uZ 1/3/(1—ч)+ 1
и = ДЕ, со, Е — энергия фотона и первичного мюона соответствен-
но.
В случае тормозного излучения мюона параметр экранирования
(т„ \ т„ с2 и „ . „
_И. J _Е---5f_z-i/3
те I Е 1—и
При полном экранировании (£ ~ 0)
[9 т / q т \
1+(1-U)3—f(l-u) 1П 4183 -^-Z~2/3 .
о | \ £ tYl(> i
Тормозное излучение мюона при его столкновениях с атомными эле-
ктронами необходимо рассмотреть отдельно. При достаточно высокой
энергии Е » т'^сг!те, когда переданный электрону импульс |q| =
= mlc2ul2E (1 — и) с тес и отдачей электрона можно пренебречь,
суммарное дифференциальное сечение тормозного излучения мюона на
ядре и атомных электронах имеет вид [11:
о ц (Е, со) dco = 4а [ — \ rfZfZ+qn) — ЕДЕ, и).
\ mu / “
В случае отсутствия экранирования параметр определяется по
формуле
п -!п 2£(|~ц) I Г (3/2) 183 (mu/me) Z 2'3
Л/ёт.^и / 1п 1831/7 3
I L 2 теЕ(1—и)
При полном экранировании
(т„ \ / / з пг„ \
1444—t z-2/з /1п — 183—H-Z-2/з].
те ) / \ 2 те I
лс^НТ/4^436 паРаметР можно заменить 1 с погрешностью не бо-
ю/о. Тогда дифференциальное сечение процесса принимает вид:
Оцх (Е, со) dco= 4а (г2 Z (Z + 1) — F^fE, и).
“
35
2.2. Процесс образования электрон-позитронных пар
Образование электрон-позитронных пар фотоном. Процесс образо.
вания электрон-позитронной пары фотоном в кулоновском поле ядра^ 1
обратный процессу тормозного излучения. Дифференциальные сече. ’
ния этих процессов связаны соотношением [20] (со, £) I
стге (£, оДЕ^/со2. По аналогии с формулой (2.1) можно записать [20]-
орт (со, E)dE — 4aZ2 re2 In (183Z~ 2/3) (2. j
CD '
где co — энергия первичного фотона; E — энергия одного из электро-
нов пары; и = Е/со.
Параметр экранирования £ = (136 m^/co) X Z~rlslu (1 — и), а
функция (рис. 2.2)
Gv (со, и) = [1 — fc (Z)/In (183 Z-1/3)] X
X {[w2 + (1 - «)21 (A (g)/4 - (1/3) In Z - fc (Z))/(In (183 Z- V3) _
- fc (Z)) + (2/3) и (1 - и) (fz (g)/4 - (1/3) In Z -
-A(Z))/(In (183Z-i/3)-A(Z))}.
Здесь функции Д (g), fz (?) и fc (Z) те же, что и в случае тормозного
излучения электрона, и функция Gv(co, и) слабо зависит от заряда ядра.
Суммарное сечение образования электрон-позитронных пар фото-
ном в поле ядра и атомных электронов можно с хорошей степенью точ-
ности представить в виде:
opv(co, Е) dE = 4aZ (Z + 1) In (183Z-1/3) re2 (d£/co)Gv (co, u). (2.13)
Макроскопическое сечение образования электрон-позитронных пар
в единицах радиационной длины дается выражением
(со, Е) dE = (dE/ы) Gv (со, и). (2.14)
Поскольку функция Gv (со, и) слабо зависит ст Z, величина (2.14) прак-
тически одинакова для различных сред.
В ультрарелятивистском случае
электрон и позитрон испускаются
преимущественно вперед: их эффек-
тивный угол вылета 6 ~
При сверхвысокой энергии, как и Б
случае тормозного излучения элект-
рона, необходимо учитывать эффект
Ландау — Померанчука. Тогда ДИФ"
Рис. 2.2. Графики функции Gv (со, и) ПРВ
различных значениях энергии пер
вичного фотона (кривые рассчитаны
свинца [20])
36
пьное сечение образования электрон-позитронных пар фо-
ЖьТприобрегаст вид [21,271:
,о £) dE = 4а Z (Z + 1) ln(183Z-4/3) [l-fc(Z).ln (183 Z"1/3)] X
и2 + (1 - «)21 (1/3) [2(^ <s) + 1г <s)] + (2/3) 11 0 - «)Xft (s)}.
* b Lj = i 37-103 [trm^c2ia и (1 — и) b (s)J 4/2, а функции b (s), <p (s) и
his} такие же, как и в формуле (2.10).
Н ' Пои низких энергиях в формулы для сечения образования элект-
позитронных нар необходимо ввести полуэмпирическую поправ-
Ропв [211, например, она сводится к добавке к полному сечению обра-
зования пар вида Л (Z) In (со') (со' = <o/m(,c2). Коэффициент A (Z)
зависит от вещества и может быть определен на основе данных [29] по
полным сечениям взаимодействия фотонов с веществом при низких энер-
гиях.
Прямое образование электрон-позитронных пар тяжелой части-
цей. Для определенности снова рассмотрим мюон. Дифференциальное
сечение процесса образования электрон-позитронной пары мюоном
[И
, . 16 du
оР11 (Е, и) du = — Z2 а2 г2 —
Gin(.E, u) + dHLG2ll.(E, и) ,
(2.15)
где и = е/Е; е — суммарная энергия пары; Е — энергия первичного
мюона;
1/2
Gin(Е, и)— J R (Е, и, х+) dx+‘,
(*+)mln
R (Е, и, х+) = J dt/t2 {[/(!—« + и2/2)—тД с4 и2] х
йп№
Зу2/П2 с4
-х+ + ^Ь_(2-/М ?)j +
[/(3 (1-н) + н2/2)-тД с4 z?]V
In Ц~2_________5
m2(l— и} 3
\83Z-1/3 т^/т,, \
(E, u) = -L
12
+ 1—J- (l+«)2lln
4 4,„
----U + «
3 3
183 У е тДе2^"1/3 J.
2 Ете(\ — и) J
по ~\.е± е’ Т~ 1 + (//тДс4|) х+х-\ в± — энергия позитрона (элскт-
’ * ~~ квалРат 4-импульса, переданного ядру.
слабойИЯ (~Е' и>> = G^ (Е> (Рис- 2 3>
°° зависит от заряда ядра.
37
Рис. 2.3. Графики функции (£, (ZJ
при различных значениях энерп1и
Е=£д первичного мюона (кривые рас.
считаны для свинца [1])
Прямое образование электрон,
позитронных пар мюоном в электро,
магнитном поле атомных электро,
нов учитывается заменой коэффцци.
ента Z'1 в формуле (2.15) фактором
Z (Z 1). Это справедливо при до-
статочно высоких энергиях (Е >
> т^с2/те), когда отдачей атом-
ных электронов можно пренебречь
(при высоких энергиях мюона, когда существен сам рассматриваемый
процесс прямого образования пар, это условие всегда соблюдается).
Для практических расчетов удобно пользоваться формулой, пред-
ложенной в работе 130], которая аппроксимирует результаты числен-
ных расчетов по формуле (2 15):
Opp. (Е, и) В (Z) F (Е) С (и),
где В (Z) = 6,3 (те m^)a2rfZ (Z + 1,3) [In (189 Z-’/з) + 0,605];
F (Е) = 1 — ехр (— d2 /40); d = In (E/m^c2); C (u) —
= a(1 4- a) ,u (u + a)2; a = 0,0071.
2.3. Неупругое взаимодействие мюонов
с атомными ядрами
В энергетических потерях мюона в среде важную роль играет про-
цесс взаимодействия мюона с атомными ядрами при высоких энергиях,
когда энергетически возможно множественное образование вторичных
адронов. Образование адронов при взаимодействии мюона с ядром мож-
но рассматривать как процесс фоторождения адронов в результате
взаимодействия с ядром виртуального фотона высокой энергии, испус-
каемого мюоном. Здесь рассматривается область малых переданных
нуклонам ядра 4-импульсов, когда виртуальный фотон близок по своим
свойствам к реальному.
Поскольку для широкого интервала энергий известно сечение фото-
рождения (из экспериментов с пучками фотонов, рис. 2.4) и энергети-
ческий спектр виртуальных фотонов может быть вычислен точно, то
сечение взаимодействия мюона с ядром можно связать с сечением уЛ-
взаимодействия. Дифференциальное сечение процесса можно предста-
вить в виде [11:
d2°nn _ « 1
dq2dEh 8 л2 Р'-б/4
{^г[(е2 + (Е — ЕД2) 72-2m2 ДЕЙ-у^] +
4-Lu (2т2с4-^)72),
38
5
"Ь3 -
с
о л Экспериментально измерен-
Р,1С- гнмость сечения взанмодеист-
най Лотонов с нуклонами от энергии фо-
?онов [31]
р _ энергия и импуль
первичного мюона; Е, - энергия
Хинных адронов; - квадрат
4 импульса виртуального фотона;
г
1
0,20,5 1 2 3 10 20 50 Еу,ГэВ
4-имиу-'10^ функции <72 И энергии фотона k. Эти величины связаны с
,JLhpm множественного рождения адронов реальным фотоном соот-
П#) -(кА я) (L, Отсюда следу-
что слагаемое, пропорциональное функции L, и описывающее
вклад продольной компоненты электрического поля, не вносит при q2-^-
->0 вклада в процесс фоторождения адронов (пионов). Считая, что вза-
имодействие виртуального фотона подобно взаимодействию реального,
можно в выражении для дифференциального сечения ограничиться
слагаемым, пропорциональным Ll и представляющим собой вклад по-
перечной компоненты поля.
Зависимость величины L± k Апо v(k) от q2 обычно параметризуют в
виде [11: [А2/(<72 + А2)]2 (А2 = 0,365 ГэВ2). Считая с хорошей сте-
пенью точности, что ov = const (см. рис. 2.4), после интегрирования
дифференциального сечения по q2 в пределах от (/„in = mfjAE2l(E —
— Eh) ДО 7max = 2Л4 Eh (M — масса нуклона) находим [11;
стмп( Е, и) du = -2- оу F^n (Е, и),
2п и
где
Ецп (Е, и) = [2—2и + (1 + 4/а)и2} In ц2+<а('
— [2—2и + (1 4-2/а)п2 + А2/2Е21 х
х [т~7Г1 1—тт]-2 п-а
[щ2+а (1 — и) и+ b J
u~EhIE', а— Л2/т^с4', b~ №/2МЕ.
В этих выражениях не учитывается вклад от области больших значе-
нии q (q2 > j ГэВ2), которую называют областью глубокой неупруго-
сти. Эта область интенсивно исследуется в настоящее время [30] Одна-
ко ее вклад в полные потери энергии мюона невелик и поэтому в пер-
вом приближении здесь не учитывается.
2-4. Взаимодействие электронов и фотонов
атомными электронами
Рон ассмотРим процессы взаимодействия фотонов, электронов и позит-
энепг С атомными электронами, которые существенны при невысоких
электрЯХ И опРеДеляют развитие низкоэнергетической компоненты
3?
Комптоновское рассеяние фотона. Дифференциальное сечение ком
птоновского рассеяния фотона на свободном электроне определяется
формулой 120]:
ос («о. w) dw — nr2 (mec2rWw0)Gc(w0, и), (2.16)
где соо, со — энергия первичного и вторичного фотона соответственно-
и = <о/со0. Функция Gc (со(), и) имеет вид:
Gc (соо, М) = _L(1 +W2_ 2 ЦА + -L±^>- w + -|—Y
и \ /eg kfi /eg u j
Здесь k0 = (£>0lmec2 и 1/(1 4- 2 ku) < и < 1.
Угол вылета вторичного фотона относительно направления импуль-
са первичного однозначно связан с его энергией: cos 0V — 1—1/и k0 4.
-f-l/^o- ПРИ этом угол вылета электрона cos 0е = 1—и (1 4~ 1 k0}
IV (1 — и) + 2/6„.
Если пренебречь энергией связи электрона в атоме, то сечение рас-
сеяния фотона на атомных электронах получается из формулы (2.16)
путем умножения ее на Z.
Фотоэффект. Сечение фотоэффекта на электронах Д-, L- и более вы-
соких атомных оболочках описывается приближенной формулой [21]:
°Рь («) 4лг| (aZ) (4 Z/k) (b0 + bjk + b2/k2) f (a Z), (2.17)
где k = <o/mec2, а параметры даны в табл. 2.2.
Таблица 2.2. Значения параметров в формуле (2.17)
a Z Ь„ bi / (aZ) a Z Ьо ь, ^2 l(aZ)
0,00 1,008 1,926 2,107 0,40 0,323 1,265 0,753 1,115
0 10 0,704 1,647 1,592 1,079 0,45 0,293 1,247 0,636 —
0,15 0,604 1,547 1,411 — 0,50 0,268 1,234 0,528 1,134
0,20 0,522 1 460 1,258 1,092 0,55 0,248 1,234 0,407 —
0,25 0,455 1,392 1,114 — 0,60 0,232 1,243 0,278 1,162
0,30 0,402 1,339 0,985 1,102 0,65 0 218 1,263 0,134 —
0,35 0,358 1,297 0,866 — 0,70 0,207 1,293 —0,041 1,201
Рассеяние электронов на атомных электронах. Дифференциальное
сечение процесса рассеяния электрона на свободном электроне (мел-
леровское рассеяние) дается выражением [20]
2лг? du
ом (Ео> Е) dE = -Ra те с2
Р ‘ о
1 1
и2 (1—и)2
П 2Тр+1 те с2
£ g Eg и (1 — и)
(2.18)
Угол между налетающим и одним из вторичных электронов однознач-
но связан с их энергиями: cos2 6 = Т (То + 2me с2)/Т0 (Т +
4- 2 тес2). Здесь и = Т /Т{1; Т н То — кинетическая энергия вторич-
4Q
первичного электрона соответственно, сечение процесса мелле-
Н0Г° Пго рассеяния в форме (2.18) учитывает тождественность вторич-
Р°БСэпектронов. Это находит свое отражение, в частности, в том, что
л 1 /2.
U В тех случаях, когда при рассеянии свободного электрона на элект-
связанном в атоме, последнему передается энергия, существенно
Р°Нвышающая ег0 энеРгню связи, атомный электрон можно рассмат-
пре„ть как свободный. При этом сечение рассеяния электрона на атом-
РН*х электронах получается из формулы (2.18) путем умножения ее на
7
Рассеяние позитронов на атомных электронах. Аналогично рассея-
нию электронов в случае передачи большой энергии атомному электро-
ну дифференциальное сечение процесса рассеяния позитрона опреде-
ляется формулой Бабба [20] для свободных электронов:
оБ (£о. Е) dE = тес^[~-Г0 [(2-г/2) -L -
- (3 - бу + г/2 - 2^) + (2 -1 Оу + 16г/2-8г/3) и -
-(1-б£/+12г/2-8г/3)гг2]},
(2.19)
где и = Т!Т0 (То, Т — кинетическая энергия первичного позитрона и
вторичного электрона соответственно); у — 1 (Tjm.fjc2 + 2) и 0 < и <
< 1.
Аннигиляция позитрона и электрона. Сечение процесса аннигиля-
ции свободных позитрона и электрона с испусканием двух фотонов
выражается формулой [20]
°а(£) =
ПГе
(Нй)
Г еа-|-4е+1
I (е2-1)
1п (в -р]/е2—1)—у==
(2.20)
где в = jE/(/nec2); Е — энергия позитрона. При е > 2 сечение процес-
са аннигиляции можно с хорошей степенью точности описать простой
формулой [211: оа (Е) = 1,6 лг^ е-7'9.
Из формулы (2.20) следует, что процесс двухфотонной аннигиляции,
существен лишь при очень низкой энергии позитрона. На связанном
атомном электроне возможен процесс аннигиляции позитрона с испус-
канием одного фотона, но вероятность такого процесса не превышает
° Двухфотонной аннигиляции.
2.5. Потери
обусловле
энергии заряженными частицами,
иные электромагнитными взаимодействиями
ной низацио,,НЫе потерй энергии. Средние потери энергии заряжен-
буждениИЦЫ ТЯжелее> чем электрон, с зарядом ze на ионизацию и воз-
лей ат°мов среды без учета эффекта плотности даются форму-
иеге— Блоха [31]:
-1 -^L. = Z2A
Р dx 02
Г In ( с2Р2'^тах \
L к /2(1-₽2) )
(2.21)
41
Здесь L — 2nrlmcc'N д (Z/A) = 0,1535 (Z/A) МэВ см2/г; f) = v/c\ Z и
заряд и атомная масса вещества; р — его плотность; 1 — средний по~
тенциал ионизации атома (/ ~ 20 Z эВ при Z ~ 1 и / ~ 10Z эВ '
Z > 20); ITniaX — максимальная детектируемая энергия или макси
мальная энергия, передаваемая 6-электрону:
UZmax = 2р2у2щес2/(1 + 2уте/М + тЦМ*), (2.22)
где у ~ Е/М-, Е, М — энергия и масса первичной частицы.
Для сложного вещества ионизационные потери энергии с хорошей
Степенью точности могут быть определены следующим образом 132]-
где W, — концентрации составляющих вещество элементов.
В области малых значений [3 (нерелятивистская частица) иониза-
ционные потери энергии сильно зависят от [3 (~1 |32). Минимума иони-
зационные потери достигают при Ру ~ 4, а затем растут линейно с
In у (так называемый логарифмический рост), как это показано на
рис. 2.5. Такое поведение ионизационных потерь объясняется качест-
венно следующим образом. Зависимость 1/р2 в нерелятивистской обла-
сти отражает тот факт, что чем меньше скорость частицы, тем больше
время ее нахождения вблизи атома и, как следствие, больше вероят-
ность взаимодействия. Логарифмический рост ионизационных потерь
обусловлен релятивистским уширением поперечного электрического
поля частицы, которое приводит к логарифмическому (In у) увеличе-
нию радиуса области вокруг трека частицы, где эффективно происхо-
дит возбуждение или ионизация атомов среды. С другой стороны, реля-
тивистское уширение поперечного электрического поля заряженной
частицы вызывает поляризацию среды (эффект плотности) и экраниров-
ку атомов, расположенных на большом расстоянии от трека частицы.
В результате логарифмический рост прекращается и ионизационные
потери выходят на так называемое плато Ферми [33J. Поведение ио-
низационных потерь энергии в области эффекта плотности и плато
Ферми показано на рис. 2.5 пунктирной кривой. Граница области, до
которой эффективно проникает поперечное электрическое поле, дается
формулой [32]: г = с/(0р, где <вр = (4 л/V/ (Z/Л) рге)1/2 — плазмен-
ная частота. Замедление логарифмического роста эффективно начина-
ется со значения у ~ Htitop. Эффект поляризации среды можно приб-
лиженно учесть, заменяя /2 (1—р2) в формуле (2.21) разностью /2/Т "
— Й2С0р. I
При измерении ионизационных потерь энергии эффект замедления
их логарифмического роста и выхода на плато может быть обусловлен
просто тем обстоятельством, что детектор оказывается неспособны
регистрировать потери энергии, превышающие Wp < 1Г)|1аХ
максимальная кинематически возможная энергия 6-электрона). Это»
например, происходит при измерении ионизационных потерь частинь»
проходящей через относительно тонкий слой газа. В этом случае энер
гичный 6-электрон может покинуть чувствительный объем детектор >
42
в нем лишь часть своей энергии. Для учета такого рода эф-
в формуле (2.21) Гтах следует заменить WD.
Фек‘ практических расчетах удобно пользоваться следующими форму-
ами Для средних ионизационных потерь энергии [34]:
J_ z2-^ (Вм + 0,69+ 21п ру—202—6) (2.23)
р dx Р2
в случае частицы тяжелее электрона и
L -^-=(fie+o,43+21п pY-р2-б)
р dx р
(2.24)
в случае электрона. Здесь In (шес )> Ве
= In (те(?Е Г1), б — поправка на эффект плотности:
0, у<уй,
2z/ln 10 + С + а(у!—у)ь, уо<у^уц
2г/In 10 +С, у>У1,
где у = 1g Ру, а значения параметров приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3. Значения параметров в формулах (2.23) и (2.24)
для потерь энергии заряженной частицей на ионизацию [35]
Вещество Z У, эВ ь, МэВ-см2/г - с а Ь и. Уо
с 6 78,1 0 0768 3,22 0,531 2,63 2 —0,05
А1 13 163 0,0740 4 21 0,0906 3,51 3 0,05
Аг* 18 218 0 0692 12,27 0,0255 4,36 5 2,02
Fe 26 337 0 0715 4,62 0,127 3.29 3 0,10
Си 29 376,7 0,0701 4.74 0,119 3,38 3 0,20
Sti 50 709 0,0647 6,28 0,404 2,52 3 0,20
W 74 991 0,0618 6,03 0,0283 3,91 4 0,30
РЬ 82 1180 0,0608 6,93 0,0652 3,41 4 0,40
и Вода Сцинтиллятор, пластик 92 1325 0,0594 6,69 0,0652 3,37 4 0,30
74,1 0,0853 3,47 0,519 2,69 2 0,23
63,8 0 0826 3,15 0,429 2,85 2 0,13
Ядер на я эмуль- сия 373 0,0698 5,55 0,022 4,01 4 0,23
Nal 562 0,0643 6,66 0,525 2,32 3 0,08
Газ при нормальных условиях.
дыи-| )011еСС ИОпизаиионных потерь энергии заряженной частицей скла-
частицСЯ И3 дискРетных элементарных актов, в каждом из которых
скольк* ° ОпРеделенн°й вероятностью теряет долю своей энергии. По-
(~1 е2^ веРОятность потери частицей большой доли энергии мала
’ Где е — теряемая частицей энергия), то таких актов при про-
43
хождении частицей тонкого слоя вещества будет относительно немного
Эти редкие акты и приводят к значительным флуктуациям потерь энер'
гии частицей относительно их наиболее вероятного значения. Флукту.
ации описываются функцией плотности вероятности ионизационных
потерь / (х, Д), где х — длина пути частицы в веществе (толщина слоя
вещества) и Д — энергия, теряемая частицей на этом пути. Флуктуа-
ции ионизационных потерь относительно их наиболее вероятного зна-
чения До весьма значительны при малой толщине слоя вещества х
(рис. 2.6). С увеличением толщины слоя они уменьшаются, прибли-
жаясь к распределению, определяемому функцией Ландау.
Рис. 2.5. Зависимость средних
ионизационных потерь энергии заря-
женной частицей от §у=р/Мс (р —
импульс частицы)
Рис. 2.6. Распределение флуктуа-
ций ионизационных потерь энергии
заряженной частицей ([5=0,9) в
слое аргона различной толщины х
при нормальных условиях [32] [Л —
распределение Ландау (2.25) ]
Флуктуации ионизационных потерь энергии релятивистской заря-
женной частицей при прохождении тонкого слоя вещества впервые бы-
ли рассмотрены Ландау. Формула для плотности вероятности иониза-
ционных потерь энергии в тонком слое вещества толщиной х имеет
вид [361:
/ (х, Д) = (1/1) фЛ (*), (2-25)
где фл(^) =------- f du ехр (ы In ы + lw); фЛ (/•)— универсальная
2л i J
-ioo-j-a
функция Ландау (рис. 2.7); 1 = Lx/fJ2; % = (Д — До) 1 [здесь L
то же, что и в формуле (2.21)]. Наиболее вероятные потери энергии
До связаны со средними потерями энергии в том же слое [ Д = (Ed/dx)xl
соотношением (Д — До) |32/£х = 0,37.
Из формулы (2.25) видно, что функция Ландау распределения по-
терь энергии обладает свойством автомодельности, т. е. вид распределе-
ния не зависит от толщины слоя вещества и первичной энергии части-
цы в области применимости формулы, а именно:
/ « Д или H(dEldx) < х < Wmax/(dE/dx).
44
рассмотрим
переменной Мт
ниедля <рл в
поведение функции Ландау при больших значениях
е. при больших потерях энергии). Перепишем выраже-
виде
со
срл (Х) = (1/л) ехр (—и 1п«—taz)sin(n и) и du.
о
л. шля нетрудно установить асимптотический вид функции Ландау
и°7 » 1 (иаФ ~ ~ Из этой формулы следует,
ПР вероятность больших потерь энергии падает как 1/Д2, т. е. так же,
чти ........ - -
как и вероятность образования о-электро-
на с энергией б при взаимодействии заря-
женной частицы с атомными электронами
(/ч/1 z£2). Это подтверждает вывод о том,
что флуктуации больших потерь энергии
определяются редкими (одиночными) со-
ударениями, в результате которых теряет-
ся значительная доля энергии первичной
частицы. Пик в области максимума рас-
пределения ионизационных потерь (см.
рис. 2.7) обусловлен большим числом даль-
них соударений, ведущих к возбуждению
атомов вещества.
Формула для плотности вероятности
ионизационных потерь в толстом слое ве-
щества (х — толщина слоя) была получена П.В. Вавиловым и имеет
вид
0,2
Ул
0,7
о :----1----г I
-5 0 5 10 X
Рис. 2.7. График универ-
сальной функции Ландау
[35]
[37]:
где
f (х, Д) = (1/g) <рв fa, *, Р2),
Фв fa,к, р2) = — ехр [X (1 + р2 С)] X
л
(2.26)
со
х J ехр [хД (г/)] cos (укв + xf2 (у)) dy;
о
М = (Д-Д)/№юах-х(1 +Р2-С); С= 0,577216;
А (у) = Р2 [In у+ Ci (г/)] —cos у—«/Si («/);
А (У) = У [In у + Ci («/)] + sin у~\-р2 Si (г/);
Si (у) = J du; Ci (у) = ? du; v. = g/№inax.
о u _« “
жр Беличина R7max определяется по формуле (2.22), а величина £ та
Vчто и в Формуле (2.25).
Передо*Малых31<ачениях параметрах (х < 0,01) функция фв fa, Р2)
(2.26) J3 ФУ"киИ1о Ландау <рл При х » 1 распределение
) “ановится близким к гауссову.
45
При прохождении частицей очень тонких слоев вещества форму
Ландау становится неприменимой (см. рис. 2.6), так как при мал^
толщине слоя вещества существенным становится вклад малых пеп*1
дач энергии (~/) в флуктуации ионизационных потерь. В подход'
Ландау соответствующие потери энергии не флуктуируют и равны сред
ним. Формула для флуктуаций ионизационных потерь энергии в очень
тонких слоях вещества получена в [381:
У(Х,Д)= V б(А-п/)С„,
1 = 0
(2.27)
Рис. 2.8. Зависимость полуширины
6 распределения флуктуаций иониза-
ционных потерь энергии в инертных
газах релятивистской заряженной ча-
стицей от отношения £// [37]:
Д — эксперимент; 1— расчет по формуле
(2.27); 2 — расчет по формуле Ландау
(2.25)
Рис. 2.9. Распределение флуктуаций ионизационных потерь энергии пионов с
импульсом р=3 ГэВ/c в слое газа (93% Аг+7% СН4 при нормальных услови-
ях) толщиной 1,5 см [37]:
гистограмма — экспериментальные данные;---------расчет по формуле (2.27);------
расчет по формуле Ландау (2.25)
где коэффициенты С„ удобно вычислять, пользуясь рекуррентными со-
отношениями:
С0 = ехр(—£Л//); С1 = С0|(Л—1)//;
с„+1 =(!//)
П —1
(Л-1)С„+ 2 Ст/(п~т)
т~0
Флуктуации ионизационных потерь, рассчитанные по формуле
(2.27), хорошо согласуются с экспериментальными данными (рис. 2.8 и
2.0).
Радиационные потери энергии электроном. Средние потери энергии
электроном, обусловленные тормозным излучением, на единицу пути в
веществе определяются по формуле
£— тесг
orc (Е, со) со rfco,
(2.28)
о
А
46
Л i Л Относительные потери энергий
ГђпоНом на ионизацию (/) и на излучение
электроном одной радиационной длине
(2) в свинце
[31]
дг __число Авогадро; р плот-
ов вещества; А - атомная масса
п случае полного экранирования (| ~ 0)
„нтеграл в (2.28) легко берется:
(dEldx)t = 4arfZ (Z + 1) (Аа рМ) X
Х£ Un (183 Z~1/3) + 1/181.
Или, вводя радиационную длину (2.7), имеем:
= b~r= 181n(183Z-‘/3). (2.29)
Е dx
Из формулы (2.29) выясняется физический смысл понятия радиаци-
онной длины, это длина пути электрона в веществе, на которой энер-
гия электрона в результате процесса тормозного излучения уменьша-
ется приблизительно в е раз.
Потери энергии на излучение (рис. 2.10) становятся больше иониза-
ционных, начиная с некоторой критической энергии ек, определяемой
соотношением
Потери энергии тяжелой частицей. Полные средние потери энергии
частицей выражаются формулой
= А (£) + [br (£) + bp (£) + bn (Е)] Е,
ах
(2.30)
где А, Ьг, Ьр и Ьп — функции, слабо зависящие от энергии частицы Е.
Слагаемое £ (£) описывает ионизационные потери энергии (2.23);
Ьг, ЬрнЬп — удельные потери энергии на излучение, прямое образова-
ние пар и потери за счет процессов множественного образования ад-
ронов:
,, ( 1 dE\ 1 Ад г /Е, , ,
°’-,р,п= — — = — — р \й>аг,р.п(Е,а)(ко,
\ Е dx Jr.p.n Е A v
г^е сг, Р,п —дифференциальные сечения соответствующих процессов;
£ - энергия фотона, электрон-позитронной пары или адронной струи-
[|е^рЧИНЫ Ьр, Ьп, см2/г, можно приближенно представить в виде*
лее копПп°ТерИ энеРгии на образование пар для частиц тяжелее мюона можно бо-
зование е-™° описать> следуя работе А. И. Никишова, Н. В. Пичкурова «Обра-
иажЬи/ е "паРы ПРИ столкновении быстрого ядра с тяжелым атомом».— Ядер-
4<изика, 1982, т.35, вып. 4, с. 964.
47
Lr (Z (Z + 1)M) In v[ 1 +.6e2 ln e—ег— 10e In e+_6lne+11
= '1 6(1 —e)3ln% J’
Lr (Z(Z 4-1)M) [In x—17/18], 8=1;
br = L,,(Z (Z 4-1 )/Л) (0,97 In-.У"1------------4- 2,15 V
\ 183Z-1/3A42c2/2me£4-l /’
, 2« Af.
o0 [In (E/Mc*) -0,5],
где Lr = aN A (2reme!M)~; для мюонов Lr = 3,27-10“®; Lp = (16/л) *
X (me/M) a2rl NA, для мюонов Lp = 6,01 • 10-®; 8 = E/^—- ^~Z~4»j.
Z = 183^- Z-2/3, <j0 = 1,8-10-29 Л0,9; M — масса частицы; a =
— 1/137. Если частица не мюон, то Ьп = 0.
Зависимость энергетических потерь тяжелых частиц от их энергии
приведена на рис. 2.11. С ростом атомного номера вещества и умень-
шением массы частицы величина (2.30) заметно возрастает. Во всех слу-
чаях потери энергии на тормозное излучение и прямое образование пар
доминируют при Е > 1000 ГэВ. При энергиях частицы, не превышаю-
щих нескольких сотен гигаэлектрон-вольт, когда еще доминируют ио-
низационные потери энергии, флуктуации потерь энергии хорошо опи-
сываются распределением Ландау или Вавилова (в зависимости от тол-
Рис. 2.11. Средние удельные потери энергии частиц на электромагнитные взаи-
модействия как функция энергии этих частиц:
с— энергетические потерн мюона в железе в процессах ионизации (i), образования пар
(р), тормозного излучения (г) и неупругого ядерного взаимодействия (п); б — полные л
терн энергии мюона в различных материалах; в — энергетические потери адронов в **
лезе
48
я вещества). При более высокой энергии энергетические поте-
щпНЫ сп° й част11цы и их флуктуации определяются процессами тор-
рП т},же" ЗЛуЧения, прямого образования пар и процессами образова-
мозног шь]Х адроПов в мюон-ядерных взаимодействиях. Для плотно-
нпя вУ^ЯТ1[0СТн энергетических потерь мюона при высокой энергии уда-
стп вер 1ть пр0ст0е аналитическое выражение (разд. 7.2). Распреде-
еТС>! * потерь энергии мюоном в данной области энергии можно сравни-
ieH1'iio четко рассчитать методом Монте-Карло. Подробнее этот вопрос
Те1 смотрен в гл. 7, посвященной прохождению мюонов через вещество
2 6 Многократное кулоновское рассеяние
Рассеяние заряженных частиц в тонком слое вещества. Проходя
через конечный слой вещества, заряженная частица через электромаг-
нитные силы взаимодействует с электронами и ядрами атомов. В ре-
зультате она испытывает множество актов рассеяния. Как следствие
этого на выходе из слоя направление движения частицы отличается от
первоначального. Точка ее выхода из вещества смещается относитель-
но точки, получаемой простым продолжением первоначального направ-
ления движения частицы до пересечения с поверхностью слоя на вы-
ходе из него (рис. 2.12). В конечном состоянии (на выходе из слоя) час-
тица характеризуется координатами Дх, Ду, t и направлением движе-
ния sin 6 cos ср, sin 0 sin ср, cos 0. При этом, очевидно, частица проходит
в веществе путь /, больший, чем толщина слоя t. При прохождении
частицы через вещество ее энергия уменьшается за счет различных ме-
ханизмов потерь энергии (ниже рассмотрено влияние ионизационных
потерь энергии на кулоновское рассеяние). Поскольку характер рас-
сеяния частицы зависит от ее энергии, то, вообще говоря, частица мо-
жет рассеиваться по-разному в различных точках своего пути в слое
вещества.
На первом этапе пренебрежем поперечным смещением частицы, из-
менением ее энергии, а также отличием / от t, т. е. будем считать слой
вещества достаточно тонким. В наиболее простом виде решение задачи
о многократном кулоновском рассеянии быстрой частицы при прохож-
дении ею слоя вещества получено Мольер [39]. Простой вывод формулы
юльер дан в работе [40]. Далее рассмотрение вопроса основывается на
эт,,х работах, а также на работах [41, 42].
Функция распределения заряженных частиц по полярному углу
°с ie прохождения слоя вещества t имеет вид [40]:
/(0)0^0 = vdv [/(о)(ц) + (ПД)/О) (ц) -ф (1/Д2) /2 (0 + ....], (2.31)
где
f<0) (о) = 2ехр (—v2);
/(п> (о) -1
п!
j и du Jo (ш) ехр (-—— и2) Г— ц2 In (— )]п.
О v 4 / L 4 \ 4 / J
(2.32)
49
Переменные 0 и и в формуле (2.31) связаны соотношением У = ХсКз
Здесь Хс и В — параметры, зависящие от вещества, энергии частищ]
и толщины слоя, а функции (2.32) представлены на рис. 2.13. При боц/
ших значениях v функции fn (v) (п 1) ведут себя, как v~~n -2. 1
Параметр В
определяется из уравнения
В — \пВ = Ь, (2.33)
где 1
,,, 6702,ЗЗр/ Z4 /ZF_Zr \
exp (b) = — ’ L s exp ex
p \ /
N
Здесь M — 2 —молекулярная масса сложного вещества-
N ~ N
Zs = Z u-'i Zi (Zi + 1); ZE = Z Zt (Zt + 1) In ZF2'3; Zx
z=i z=i
Рис. 2.12. Схематическое изобра-
жение процесса многократного куло-
новского рассеяния заряженной ча-
стицы, первоначально двигавшейся
перпендикулярно слою вещества тол-
щиной t
Рис. 2.13. Графики функций
vf(0)(v) (/), vfW(v) (2) и vf^(v) (5)
N
— Z wiZi (Z; + 1) In (1 + 3,34 (aZ;)2); p — плотность вещества,
1 = 1
г/см3; t—толщина слоя вещества, см; ш~относительные концентрации
составляющих вещество элементов.
Величину ехр (Ь) можно рассматривать как среднее число актов рас-
сеяния в слое вещества. В очень тонком слое и, следовательно, при ма-
лом числе актов рассеяния формула (2.31) становится неприменимой.
Условием применимости формулы Мольер принято считать неравенст-
во: ехр (Ь) > 20, откуда следует, что b > 3 или В > 4,5. Эти неравен-
ства ограничивают снизу толщину слоя вещества, когда можно поль-
зоваться формулой (2.31). Зависимость величины В от толщины слоя
вещества приведена на рис. 2.14.
Величина /с вычисляется по формуле
Хс = 4лге2 (рМА /М) Zs trnlcVE^. (2-34)
Здесь, как и ранее, р = vic, v — скорость частицы и с — скорость све-
та. Физический смысл величины хс заключается в том, что вероятность
однократного рассеяния на угол, больший, чемхс. равна единице. Есл
50
о 14 Зависимость параметра В от b [см.
рис- z На верхней шкале приведена
♦sss
чшина слоя измеряется в радиацион-
ных Длинах, то Хс = Хс V/ и ехр (Ь) =
— tr ехр (Ь).
Отметим также, что формула (2.31) при-
менима при не слишком больших углах
пассеяния. Соответствующее условие при-
водит к ограничению сверху на толщину
слоя вещества, для которого указанная
формула еще законна: у*В < 1. Из со-
отношений (2.31) — (2.33) следует, что
функция распределения по приведенному
особенностью: она не зависит от первичной энергии налетающей части-
цы, а определяется зарядом ядер атомов вещества, атомной массой и
толщиной слоя 1В — В (Z, А, /)]. Если рассеяние происходит в сравни-
тельно толстом слое вещества и величина В велика, то в разложении
(2.31) можно ограничиться первым слагаемым f° (у). В этом случае
функция распределения по v перестает зависеть от толщины слоя, от Z
н А.
углу v обладает важной
Как уже отмечалось, при прохождении слоя вещества частица теряет свою
энергию. Поскольку параметр В практически не зависит от энергии частицы,
влияние потерь энергии частицей на ее рассеяние можно учесть, заменяя в форму-
t
ле (2.34) величину t/E?^ интегралом fd/7£2 (/') 04 (/'). Для релятивистской части-
о
цы Р ~ 1. Тогда в приближении непрерывных потерь энергии Е (/') = Е —
— et (е — средние ионизационные потери энергии частицей на единице длины пу-
ти в веществе). Интеграл легко берется, и выражение для %с принимает вид;
Х| = 4лг2 (рЛГА/Л4) Zs(m* с*/Е*) t/(l-et/E),
что эквивалентно удлинению пути частицы в веществе в (1 —е//£)-1 раз (поте-
ри энергии в тонком слое вещества малы по сравнению с первоначальной энерги-
ей частицы Et < £).
Помимо фиктивного увеличения пути частицы в веществе, обусловленного
энергетическими потерями, многократное изменение направления движения час-
Jibl приводит к тому, что ее реальный путь I в слое вещества оказывается боль-
е толщины этого слоя t (см. рис. 2.12). Средний путь частицы при малом угле
. сеяния связан с толщиной слоя вещества соотношением: / — (£S/2£P2)2X
212М^/тИЛИ «'“О/* =(£s/2£₽2)2 где £s = =
толсть 1ЭВ' 1аким образом, в случае высокоэнергетических частиц и не слишком
1х слоев вещества отличием I от t можно пренебречь с точностью, определя-
приведенной формулой.
яни^ССеЯНИе заРяженных частиц в толстом слое вещества. При рассе-
велцкВТОЛСТОМ слое вещества, когда числовое значение В достаточно
чина г0’/В\Разложении (2.31) доминирующим слагаемым является вели-
те мног = ехР (— v^' При прохождении толстого слоя в результа-
смещенО1^дТНОГО Рассеяния частица приобретает заметное поперечное
ие (Ах, Ду) Поэтому, кроме распределения по углу рассеяния,
51
необходимо рассматривать распределение частиц по пространственн ом
смещению в поперечном направлении, которое в значительной степей^
скоррелировано с углом рассеяния. Поскольку в силу однородност
среды рассеяние в двух взаимно перпендикулярных плоскостях xz и
уг (см. рис. 2.12) происходит независимо, то распределение по проек.
ционному углу рассеяния срх и смещению Дх совпадает с функцией рас"
пределения по <р;, и Ду. В дальнейшем будем рассматривать распред^
ление по углу многократного рассеяния и смещению в какой-нибудь
одной плоскости, например xz, и обозначать срх, через ср и Дх через х
Функция распределения частиц по углу рассеяния ср и по попереч-
ному смещению х на выходе из слоя вещества толщиной t дается
жением [43]
выра-
Р (ф> *)- 4яу-^ехР^~(‘P2/2-2хф4 + х2 Дп)/4£)}, (2.35)
где
t
D=A0A2-AV, A0(t)= dz/W2 (z)',
b
A1(t) = ^dz(t~z)/W2(z)-, (236)
b
Л2(0 = Jdz(/-z)W2(z);
b
W(z) = 2£(z) P2 (z)/£s; E (z) — энергия частицы, МэВ, на расстоя-
нии z от начала плоского слоя вещества; Р (z) = v (z)/c ~ 1 для реля-
тивистских частиц; Es = 21,2 МэВ; расстояния z и t измеряются в еди-
ницах радиационной длины tr.
В приближении непрерывных потерь энергия частицы в точке с про-
дольной координатой z составляет Е (z) = Е — е z. В этом случае ин-
тегралы (2.36) легко берутся. Для частиц достаточно высокой энергии
и не слишком толстого слоя вещества (et/E « 1) можно считать, что
Е (z) ~ const ~ Е. Обозначив оф = VS/lo, ох = 1'Г2А2 и р = AJ
УАоА2, выражение (2.35) можно представить в виде:
] ( <р2
2(1-р2)^
F (<Р’ = 9------Т/Г^ ।
2лся<тфу1— р2 [
2р<Рх [ \1 (2.37)
°х °<р Ох / J
где в_ случае £Jz) = const =£ оф = Es Vt ltrIE\f2\ ox= ЕУ El^
IE ]^2; р = У3/2. Потери энергии можно приближенно учесть, заменив
£ в последних формулах величиной \AEEt, где Et — энергия частицы
на выходе из слоя (Et = £ — et).
Как видно из выражения (2.37), поперечное смещение частицы на
выходе из слоя вещества скоррелировано с углом многократного раС"
сеяния ср, причем коэффициент корреляции р = УЗ/2.
52
Я выражение (2.35) по поперечному смещению х, получаем рас-
ПнтегрирУ^рОе1Иционному углу рассеяния ф в одной из двух взаимно перпен-
плоскостей:
1 ( 1 Ф2 I
ГЧ>(ф)“ УйГСф2) еХР1 2 (<j>2> J
.„неквадратичным углом рассеяния: У«₽2> = оф = Es Д/tltrIE\/2.
со СР ш.пир по смещению х получается интегрированием выражения (2.35) по
fx(x)== У^Т^У
1 X2
2 <х2)
гдеУ<^)= У<Ф2></У3-
Рассеяиие в двух взаимно перпендикулярных плоскостях происходит неза-
исимо поэтому совместное распределение по проекционным углам рассеяния
Фх и <ру можно записать в виде
1 Г 1 / Ч'х Ф// \ ]
F (Фж, Фу) = F (Фх) F (<₽У) = ех₽ — (^-^7 + 7^7 j j’ (2 -38)
Полярный угол рассеяния 0 связан с проекционными углами <рх и <ру сле-
дующими соотношениями (в приближении малых углов 0, фх, фу < 1): фж =
_ g cos ф; фу = 0 sin ф; где ф — азимутальный угол, отсчитываемый от оси х.
Заменяя в выражении (2.38) переменные (qx, Ч>уУ (0. Ф) и интегрируя по ази-
мутальному углу ф, получаем распределение по полярному углу рассеяния:
20
^е(6)=-^7ехр {~02/<е2>}.
где среднеквадратичный угол рассеяния
УТ^Г^Уг^) — Es Vtit^/E. (2.39)
2.7. Распады нестабильных частиц
Нестабильные частицы и их роль в развитии межъядерного каскада.
Большинство массивных элементарных частиц (кроме электрона и
протона) нестабильны, т. е. обладают способностью самопроизвольно
распадаться на несколько вторичных частиц. Согласно законам сохра-
нения энергии-импульса нестабильная частица с массой т0 может рас-
падаться на любое число частиц с массами ть т2,..., тп, если выполня-
ется условие: т0 > тг + т2 + ... + тп. Однако возможные наборы
вторичных частиц ограничиваются законами сохранения момента коли-
ства движения, изотопического спина и различных дискретных кван-
леп™ чисел’ например законами сохранения электрического заряда,
тонного заряда, барионного заряда и др. [44].
Да н ас™ОтРим основные соотношения, описывающие процессы распа-
каскаСТа рЛЬНЫХ частиц’ и роль этих частиц в развитии межъядерного
тИт п Да вероятность того, что свободная нестабильная частица проле-
Расстояцце х от места своего образования и распадется в интервале
5з
от х до х + dx, определяется формулой dW (х) = (1/£) ехр (—х/ц ,
которая является простейшим следствием экспоненциального (по в *'
мени) закона любого радиоактивного распада. Здесь введены следу6”
щие обозначения: средняя длина свободного пробега нестабильной ч *°"
тицы до распада L = сгуР = cxplmc', у = Е/тс2 — лоренц-фактор паС
издающейся частицы; Р = рЕ, Е, рит — энергия, импульс и МасС'
распадающейся частицы соответственно; т — время жизни нестабилю
ной частицы в собственной системе покоя. Коэффициент у учитывает
релятивистское замедление хода времени в Л-системе по сравнению
системой отсчета, где распадающаяся частица покоилась; ср = v
скорость нестабильной частицы в Л-системе; с — скорость света, кото
рую далее, где это не оговорено, особо, будем полагать равной 1. Вели-
чину L для краткости часто называют длиной распада.
В табл. 2.4 приведены основные характеристики нестабильных час-
тиц, участвующих в развитии ЯЭК.
Таблица 2.4. Время жизни и некоторые моды распадов мюонов,
пионов и каонов
Частица Масса, МэВ Время жизни, с Мода распада
ц+ р~ 105,65946 2,197120 -IO-® е+ ve 98,6 % е- ve 98,6 %
л° 134,9626 0,828-10-1« у У 98,79 % у е~ е+ 1,21 %
л+ 139,5669 2,6030-10-8 р + v 100 % * н р- vu 100 %
Kt K°s 497,67 5,183-10-8 0,8923-Ю-10 л± е+ ve (v₽) 38,5 % л± рТ (уц) 27,0 % л+ л~ 68,61 % л° л° 31,39 °о —
к+ к- 493,669 1,2371 IO-8 р+ v(t 63,50 % е+ ve л° 4,82 ,о p-vM 63,50 % e-ven<> 4,82%
54
V 1ь нестабильных частиц Ь развитии межъядерного каскада в Кой'
ванных средах и в формировании различных его компонент оп-
денсиро с Kg только тинами взаимодействий (сильное, электромагнит-
ределяе KOTOpbIX участвуют эти частицы, но и их временами
н°е, сл та^л 2.5 приведены характерные длины распада некоторых
ж113Нгильных частиц. Выясним роль каждой из этих частиц в разви-
НеСТмежъядерного каскада в конденсированной среде. Длина пробега
Т,П'она до сильного неупругого взаимодействия составляет прибли-
а;1Р чьно 100 200 г/см2. Для веществ с различной плотностью диапа-
чон^изменения Х1п составляет от 100 (для воды) до 10 см (для урана,
Золь±рама). Рассмотрим роль нестабильных частиц в развитии высо-
коэнергетических ЯЭК (табл. 2.5).
Таблица 2.5. Длина распада некоторых нестабильных частиц
при импульсе р=1 ГэВ/с
Частица И* л° л± «1 К±
м 6,3-Ю3 1,9-10-’ 55 31 5,4-10-2 7,5
л°-м е з о н. Распад л°-мезона происходит в результате электромаг-
нитного взаимодействия и характеризуется очень малым временем
жизни (тло ~ 10~16 с) — на 8—10 порядков меньше времени жизни
л*-, К±-, р-мезонов, распадающихся за счет слабого взаимодействия
(см. табл. 2.4). Соответственной длина распада л°-мезона также очень
мала (L ~ 10~4 см при энергии в несколько гигаэлектрон-вольт). По-
скольку £/Xln < 1, то л°-мезон просто не успевает пр ©взаимодейство-
вать с веществом, в котором развивается каскад. Поэтому можно счи-
тать, что он распадается практически в точке своего образования. Не
участвуя в развитии ядерно-активной компоненты каскада, л°-мезон,
однако, является основным источником электромагнитной компоненты,
так как образующиеся в результате его распада два фотона иницииру-
ют электрон-фотонные ливни.
Заряженные пионы и каоны. Длина распада за-
ряженных л- и /(-мезонов значительно превосходит их среднюю дли-
ну пробега до неупругого ядерного взаимодействия (£л±, к± /Х1П»1,
™. табл. 2.5). Вследствие этого значительная часть заряженных пио-
ов и каонов активно участвует в образовании и развитии адронной
мпоненты каскада. Небольшая часть заряженных л- и /(-мезонов
ств Же ^спевает распасться прежде, чем испытает сильное взаимодей-
- ”аспад л± (Л^) Мг’ц является основным источником мю-
ра 1 КОмпоненты каскада, а также мюонных нейтрино. Отметим, что
К -пД заРяженных каонов по каналу /(-> лехе, называемый
тпии</Падом’ — °Д11Н из основных источников электронных ней-
рино (антинейтрино).
оравним* Т Ральные каоны. /Cs-мезон имеет длину распада,
Ую с длиной пробегало ядерного взаимодействия. Поэтому зна_
55
Чйгельная доля (50% при рко С~ 4 ГэВ'с) Ks- мезонов успеваег рас
пасться до взаимодействия с ядрами вещества. В 70% случаев
мезон распадается на два заряженных пиона, которые вливаются в яле '
но-активную компоненту каскада, а в 30% случаев — на два нейтра^'
ных пиона, являющихся источниками электромагнитной компонент '
каскада. Однако роль распада Ks л°л° как источника электрон-ф^*
тонных ливней незначительна по сравнению с распадами л°- мезонов"
образовавшихся непосредственно в адрон-ядерпых взаимодействиях’
Длина распада AZ-мезона намного превосходит его длину пробега лг
неупругого сильного взаимодействия, вследствие чего А7.-мезон уча-
ствует в развитии адронной компоненты каскада. Лишь незначитель-
ная часть Кь-мезонов распадается прежде, чем испытает сильное взаи-
модействие. Особо следует выделить распады ДД-мезонов по каналу
^eve, которые являются источником электронных нейтрино
Значение Ацз-распадов (А£->- лргц) как источников мюонов и мюон-
ных нейтрино невелико по сравнению с распадом л± (А^) -> pv(l.
Мюоны. Время жизни мюона столь велико по сравнению с заря-
женными пионами и каонами (тм/тл ~ 102), что вероятность его распада
на лету в конденсированной среде очень мала. Поскольку мюон не
участвует в сильных взаимодействиях, он замедляется главным обра-
зом за счет ионизационных потерь энергии в веществе и распадается
в конце своего пробега, практически остановившись. Таким образом,
мюоны играют доминирующую роль в каскаде на больших глубинах
вещества, образуя наиболее проникающую компоненту. Незначитель-
ная доля распавшихся на лету мюонов (р ->- интересна, глав-
ным образом, как источник электронных нейтрино, обладающих от-
носительно высокой энергией.
Распады с образованием нейтрино. Распады
пионов, каонов и мюонов с образованием нейтрино представляют осо-
бый интерес. Во-первых, это основные источники мюонных и элект-
ронных нейтрино, которые используются для создания соответствую-
щих нейтринных пучков на современных протонных ускорителях. Во-
вторых, распады заряженных пионов и каонов с образованием нейтри-
но являются одним из источников утечки энергии из области развития
межъядерного каскада. Нейтрино, обладая очень малым сечением взаи-
модействия с веществом (c^w ~ 0,7-10~38 Ev см2, где Ev — энер-
гия нейтрино, ГэВ), практически беспрепятственно покидает эффектив-
ную область развития ядерно-электромагнитного каскада.
Кинематика распада основных компонент каскада. Д в у х ч ас-
т и ч н ы е распады. В системе покоя частицы распадаю-
щейся на две вторичные частицы (О-*- 1+2), законы сохранения энер-
гии импульса имеют очень простой вид [45J:
£! + £! = тв, рТ + = 0. (2-40)
Здесь индекс 0 относится к распадающейся частице с массой т0, а ин-
дексы 1 и 2 — к продуктам ее распада с массами т1 и т2. Из формулы
(2.40) следует, что в системе покоя распадающейся частицы продукты
распада имеют равные по величине и противоположные по направле-
56
ктор-импульсы. Из формулы (2.40) также следует, что энергии
""'Личных частиц составляют:
£* = (ml + ml — m?)/2 m0; Е*2 = (ml + ml — m\)!2 m0.
Абсолютные
значения импульсов этих частиц вычисляются по формуле
- V[ml — (тг + mJ2] [ml — (тг—m2)2] /(2m0).
Рис. 2.15. Схема двухчастичного распада [см. (2.41)]
Энергия и компоненты вектор-импульса в Л-системе находятся с по-
мощью формул преобразования Лоренца [45]:
£j = Yo(£? + ₽oPZcos 6Z);
Pi П = Pi cos ег = y0 (0O Et + pt cos Of);
piL = pt sin 0; — pt sin 6*.
(2-41)
Здесь Е, — энергия вторичной частицы i (i — 1, 2); /Ли и р, ± — про-
дольная и поперечная компоненты импульса частицы i относительно на-
правления импульса распадающейся частицы; 0г — угол вылета части-
цы i относительно импульса распадающейся частицы; у0 = Е0!ти\
₽о == Ри'Е^, Е„ и р0 — энергия и импульс распадающейся частицы;
6/ — угол вылета продукта распада i в системе покоя распадающейся
частицы относительно направления, вдоль которого осуществляется
преобразование Лоренца (рис. 2.15).
Угол вылета 6,- однозначно связан с углом вылета О/ в системе покоя (или,
что то же самое, с энергией частицы i);
tg Qi=Pi sin 0* /у„ (p0 £; + р, cos e;).
Связь угла
Формулой.
вылета 0, с энергией (импульсом) частицы i в Л-системе выражается
cos 6г = (Ео Е,— т0 Ej'j/po pt. (2 42)
Ратная же связь, т. е. связь энергии с углом вылета частицы i, имеет вид [45]:
£<’ =(т0 E0E*i ± р0 cos 0; Ri )/(El—p$ cos2 0;), (2.43)
и R? -= mlp*2 —mf pgsin2©^
57
При fi > Ро физический смысл имеет решение со знаком плюс в числи
формулы (2.43). При этом энергия связана с углом вылета однозначно. Если р?6
< Ро, то возможны решения как со знаком плюс, так и со знаком минус. При э
одному углу вылета частицы соответствуют две различные энергии частицы ^.Т°ч
энергия оказывается связанной с углом вылета неоднозначно. Условие 0/ L- Л
как будет показано ниже, приводит к возникновению предельного (максимаР°'
но возможного) угла вылета дли частицы i. Ль‘
Чтобы формула (2.43) имела смысл, необходимо выполнение условия 7?’ >. q
Отсюда следует, что углы вылета должны удовлетворять неравенству т р*
— mtpQ sin 0. Если масса тг = 0, оно всегда выполняется, а это значи"
что для частицы i возможны любые углы вылета (от 0 до л). Любые углы вылета
возможны также, когда mop*lmipo = Р?у*/[>пТо > 1- В противном случае воз-
никает ограничение на угол вылета: 0г < 0™х = arcsin (₽Гт*/₽оТо)- Например
при распаде л (К) -> нейтрино может вылететь под любым углом (от 0 до nj
относительно импульса л (К)-мезона в Л-системе, так как масса нейтрино равна
0. Угол вылета мюона в той же системе отсчета ограничен величиной:
sineMs£ sin е™х=(1/2)[(шя(К) /шм)2- 1] тм/Ря(К),
если Pjk/q > гпп(К)Р^тц' При Распада я" и ^-мезонов с одинаковыми импуль-
сами (ря(к) > 1,2 ГэВ/c) по каналу л (К) —> предельный угол вылета мюо-
на, образовавшегося в результате распада К-мезона, оказывается больше пре-
дельного угла вылета мюона от распада л±-мезона. Для высокоэнергетичес-
ких пиоиов и каонов с импульсами РЯ(к/тл(К) > Pp!mv нах°Дим:
б;“К)/еГ(л) )Цт1 ~ 20.
Угол разлета ф между продуктами распада в Л-системе [45]:
cos ф = [Ет Ег—(1/2) (mg—m^ — mDJ/p! р2.
В случае распада л'1-> 2у угол разлета между у-квантами: cos ф = 1 — тя/
/2 E±E2- Минимальный (минимально возможный фщщ Ф л) угол разлета ре-
ализуется, когда в системе покоя л°-мезона фотоны вылетают перпендикулярно
направлению движения л°-мезона в Л-системе. Минимальный угол разлета фо-
тонов sin (фт1п/2) — тл0/Еп0. Максимальный угол разлета фтах = л Рса‘
лизуется, когда фотоны в системе покоя л°-мезона летят строго вдоль и против
направления его движения в Л-системе.
Установим также допустимый интервал изменения энергии продуктов рас-
пада в Л-системе. Из формул (2.41) следует, что максимальную энергию имеет
вторичная частица, вылетевшая в системе покоя первичной в направлении
вперед (0* = 0):
ЕГХ=?оН + ₽оР‘)- (244)
При движении вторичной частицы в системе покоя первичной в направлении
назад (0*- = л) энергия вторичной частицы в Л-системе минимальна:
^Ип=то(£;-₽ор‘)-
(2-45)
Рассмотрим далее, как распределены продукты двухчастичных распадов
стабильных частиц по энергиям, углам вылета и углам разлета. Если Распа,явЫ.
щаяся частица не поляризована или ее спин равен 0, то в ее системе покоя нет .
58
делениого
ропно:
направления*, в силу чего продукты её распада распределены Изот-
dW ( 0* , <₽*) = (1 /4 л) d cos 0* d <р* ;
— 1 -С cos 6* 1, 0 <р* «С 2л;
d№z. (z*)=(l/2) dz*, z*=cos 0*.
(2.46)
оопности углового распределения сразу же следует, что распределение
Цз ,,30ТР „яспада по энергии в Л-системе равномерно в допустимых кинемати-
;еРскмх пределах [см. формулу (2.41)]:
dWE (Et)~dEtl(E™*-E^n)^dEi/(2y„ ₽0 р’);
(2.47)
Минимальная и максимальная энергии определяются по формулам (2.44) и (2.45).
Общая схема получения dWv (р) по любой переменной такова. Устанавлива-
ется связь х = х (у) между величиной у, распределение по которой необходимо
получить, и величиной х, распределение по которой dWx (х) известно. Тогда
dll' у (у) получается из dWx (х) простой заменой переменных:
. dWx (%) dx (у)
dWy (у) =-------------— dy.
dx dy
(2.48)
Так, распределение по энергии можно получить из распределения (2.46) по cos0*.
используя связь cos 0* с энергией продукта распада в Л-системе, задаваемой
формулой (2.41). Применяя к (2.46) преобразование (2.48), получаем dWЕ (EJ =
= dEi/tyvPoP? в полном согласии с (2.47).
Для получения распределения по углу вылета продукта распада в Л-систе-
ме воспользуемся связью между углом вылета 0, и энергией Е; частицы, опреде-
ляемой формулой (2.42). Дифференцируя выражение (2.42) по Zj = cos 0, с уче-
том соотношения Ei — р2 ф- mi, получаем
dEj (Zi)/dzt= ро рЦ\Е0 Р~Ро Et zf|.
Если ро p*t то формула (2.43) определяет однозначную связь между энерги-
ей н углом вылета одного из продуктов распада, и распределение по Z; приобрета-
ет вид
dW, (г,)/^^ dEi(Zi} Р0Р‘
dEi dzL 2у(| Ро р’ |Е0 Pi — p„ Ег г;|
чен(?Чае каждому углу вылета отвечают два значения энергии и два зна-
в вилрПг’1?ГИ0Сти РаспРеделения. Суммарное распределение может быть выражено
dz, Ро т« 2^i 2Ро г1 + Eq Ki
То Pop; (б^-рЬ?)2
(2.49)
Бел и чин о о?
а к/ здесь та же, что и в формуле (2.43),
д°вательно аеТСЯ также> что поляризация вторичных частиц не измеряется и, сле-
пРостранств^ конечном состоянии также отсутствует выделенное направление в
59
В случае Ро > pi у частицы i существует предельный угол вылета б'.ча»
Когда угол вылета частицы 6, стремится к своему предельному значению
0*’’ах), плотность распределения (2.49) обращается в бесконечность. Это
чает, что наиболее вероятны углы вылета, близкие к предельному. Ковн
особенность плотности распределения (2.49) при 0£ — 0™ах интегрируема
Распределение, по углу разлета яр приведем для случая распада л»
^\('П)=(тло/Рл»£'ло) [(1—т))2"^ 1 - (1— UniaxVO— ’l) | ^1].
2?:
Здесь т] = cosip, — 1 sg: Т] i]max и i]max соответствует минимальному
разлета двух фотонов i]niax-= 1—2 m20/£20.
Углу
Плотность распределения по углу разлета имеет особенность при и —
= Птах (или при ip = трт1п): (ту -> i]max) -» 00 корневым образом. Это озна-
чает, что наиболее вероятны углы разлета фотонов, близкие к минимальному
Трехчастичные распады. Рассмотрим распад р,— -> е~ ve v
В приближении те1Ее «С 1 в системе покоя мюона распределение по энергии^
углу вылета электрона имеет вид [44]:
dWe = (1/2л) [(3 — 2е) + gn (1 — 2е)] в2 de dQ*.
Здесь g — вектор (спиновой) поляризации мюона: g = <s>/(I/2) = 2<s>-
<s> — среднее значение вектора спина мюона; П = р*/|ре| — единичный век-
тор в направлении 3-импульса электрона; е = Ее/Е™* и £™ах : т /2-
cos 0* = gn =z*. В случае распада р+ е+ ve знак плюс перед gn нужно за-
менить минусом. Как известно [44] (см. ниже), мюоны от распадов (К*)
рЛ + (v^Полностью продольно поляризованы: для р+ g р}х+/|р1Л+[ =
= — 1; для р- gpu_/ |Р|Л_| = + 1.
В отсутствие эффектов деполяризации эта поляризация мюонов сохраняется
вплоть до их распада при остановке.
Распределение по углу вылета электрона (позитрона) в процессе распада пол-
ностью поляризованного остановившегося мюона имеет следующий внд [44]
dWz (2*) =(1/2) [1 Т (1/3) 2*] dz*. (2.50)
Здесь знак минус соответствует электрону, а плюс — позитрону. Из формулы
(2.50) следует, что на опыте поляризацию мюона можно определять, измеряя асим-
метрию углового распределения электронов (позитронов), образовавшихся в ре-
зультате распада остановившихся мюонов. Если мюон не полностью продольно
поляризован, то распределение по углу вылета электрона (позитрона) приобрета-
ет внд:
dWz (z*) = (1/2) [1 Т (1/3) Рг*] dz*,
где Р — коэффициент, характеризующий степень продольной поляризации мюо-
на (Р 1). Одна из основных причин деполяризации мюона — так называема
кинематическая деполяризация — рассмотрена ниже.
Распределение по энергии электрона получается путем интегрирования в
ражения для dWe по углам вылета [44]:
dWe (е) = 2 (3 — 2е) е2 de.
Как уже отмечалось, трехчастичные распады мюонов и распады явлЯ® т
ся основными источниками электронных нейтрино. Поэтому они представл
интерес с точки зрения создания пучков электронных нейтрино на протеины У _
корителях. При создании пучков мюонных нейтрино К^-распады играют н
чительную роль по сравнению с двухчастичными распадами л (К) 11 И
60
к определяют примесь электронных нейтрино в пучке мюонных нейт-
распаДы де случаев может оказывать существенное влияние на интерпрета-
риво, татов нейтринных экспериментов, проводимых на протонных ускори-
телях. едение по энергии и углу вылета электронного нейтрино, образован-
ия в результате распада мюона на лету (ц -> evev^, в Л-системе имеет вид
[401’ dW=(3/2я) ( ev, 0v ) в® tfev d£2v ,
где /Д ev . 0v)=(y-/t8-* 6v ) [‘~ VW 6v X
X (у -cos 6v )] “ ev = 2£v /отв - Т=£ц /тц •
В случае трехчастичного распада 7<-мезона на лету — Кез -распады — рас-
пределение по энергии и углу вылета нейтрино в Л-системе имеет вид [46]:
dW=(4nj (а)) 1 fK ( bv , 0V ) е2 dev dS2v ,
где fK ( ev , 0V ) = (?-/T2-1 cos 6v ) X
xll-ev (y-W-1 cos0v)]2/[l — (ev /а)[у - ’Иу3— 1 cos 0v)’j.
Величина j (а) определяется из условия нормировки и составляет:
j (а) = —
2 (а—I)2 In
1
ба2
— 4-3—2а
За
где а т^Цт2к—т2п)-, ev ^2aE,JtnK , у = Ек jmK . Здесь, как и в случае
распада мюона, массой электрона пренебрегается.
Отметим, что законы сохранения энергии-импульса налагают на энергию и
угол вылета нейтрино в трехчастичном распаде ограничение: ev [у— 1/у2— IX
X cos 0v] 1.
Кинематическая деполяризация. При двухчастичных распадах л (К) p.vu
в системе покоя распадающейся частицы мюон оказывается полностью продоль-
но поляризованным. Эта вынужденная поляризация мюона является следствием
того, что в слабых взаимодействиях участвуют только левоспиральные нейтрино.
Спин безмассового нейтрино направлен всегда против его импульса, т. е. нейтри-
но полностью продольно поляризовано; gvn — — 1, cv = 2 <sv> — вектор
поляризации нейтрино; п — единичный вектор в направлении импульса нейтри-
но (для антинейтрино |vti = 4-1). В силу закона сохранения проекции момента
количества движения спиральность мюона X (р^) = 2 (s ± п^±) = + 1 в сис-
теме покоя пиона (каона), т. е. знак и значение продольной поляризации (спи-
ральности) мюона равны знаку и значению поляризации образовавшегося вместе
ним нейтрино (антинейтрино).
как Переходе в Л-систему спиральность нейтрино сохраняется, в то время
кой МЮо,‘ испытывает кинематическую деполяризацию. Механизм кинематичес-
ренцЛеГ10ЛЯризации можно пояснить следующим образом. Преобразования Ло-
ющейс ПРИ П°М0ЩИ К0Т0РЬ1Х осуществляется переход из системы покоя распада-
в то впЯ частицы в Л-систему, не меняют направление спина продуктов распада,
теме по МЯ Как направление их импульса может измениться на обратное. В сие-
на в К°Я Распадак)щегося пиона или каона (л (К) pv^) поляризация мюо-
чае Ра'с'п равна Одному и тому же значению [например, X (р+) = — 1 в слу-
аДа л+ (7<+) g+ независимо от того, в каком направлении от-
61
Рис. 2.16. Зависимость степени продольна
поляризации мюона, образовавшегося в KofI
зультате распада л(А)->-цу, от Е../Е Ре'
и- л( К)
носительно импульса л (А)-мезона вылете
мюон. Мюоны, вылетевшие в системе покоя
(К)-мезона в направлении назад по отношени”
к направлению движения первичногол (Ю-1и
зона, в Л-системе могут оказаться вылетевши'
ми в направлении вперед. При этом знак их
продольной поляризации изменится на обрат
ный (при Ря(/<) > Рц мюоны в Л-системе
всегда летят в направлении вперед независимо от того, куда они вылетели
в системе покоя распадающейся частицы). Поскольку в Л-системе пучок МК)0
нов состоит нз частиц, вылетевших в системе покоя л (Ю-мезона в направле-'
ниях вперед и назад, то средняя продольная поляризация мюонов будет отли-
чаться от поляризации мюонов, которой они обладали в системе покоя распа-
дающейся частицы.
Степень продольной поляризации мюона от распада л (К) -> рл> в Л-снс-
теме выражается формулой [47]
(Vh) =(£.U £и/РцРц)~(ел(К)тц/тл(К)РцРц)
или, при т,,/Е,. 1,
* НВ1
(^М= 6
(1—е) I т^(1—е)
тл (К) | тп (К)
где в = (Ец-Е^)/(Е™*
E™in) , 0 < е < 1.
Мюон, образовавшийся при распаде л pv , деполяризован сильнее, чем
образовавшийся в распаде К —(рис. 2.16). Это связано с тем, что в случае
распада л -> мюон имеет в системе покоя пиона скорость Р^(Я) приблизи-
тельно в 3 раза меньшую, чем в случае распада каона Рц(К).
ГЛАВА 3
МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССОВ МНОЖЕСТВЕННОГО
ОБРАЗОВАНИЯ АДРОНОВ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
3.1. Предварительные замечания
В этой главе кратко излагаются результаты анализа взаимодейст-
вий частиц с нуклонами и ядрами. Более детальные сведения можно
почерпнуть из монографий [7—9, 48] и обзоров [49—521.
Теоретическое описание процесса прохождения пучка адронов че-
рез конденсированную среду с необходимостью должно опираться на
экспериментальные данные о реакциях соударения адронов различных
сортов с нуклонами (водородная мишень) и различными ядрами. Одна*
ко многообразие реакций адрон-нуклонного и адрон-ядерного взаимо
действия, высокая множественность вторичных адронов и разнообр
62
актер „стик не позволяют при проведении расчетов опирать-
дйе „х Хю1,11Тельно на экспериментальные данные, тем более что при вы-
ся искЛ пергИях вряд ли вообще возможно получить исчерпывающую
с°кпХ ,ацию о всех каналах многочисленных реакций во всей допусти-
асти изменения кинематических переменных и в широком диа-
“первичных энергий соударения.
П В таких условиях можно ограничиться сведениями об инклюзивных
С пах вторичных адронов различных сортов, образованных в разно-
разных адрон-ядерных реакциях. Этот подход позволяет получить
Р пнфОрмацию об инклюзивных одночастичных распределениях адро-
BC1f определенного сорта, возникающих в среде в процессе развития
НдеРно-электромагнитиого каскада (ЯЭК). Моделирование ЯЭК на
основе инклюзивных спектров адрон-ядерного соударения существен-
но упрощает задачу и приводит к результатам, вполне достаточным для
проектирования и интерпретации экспериментов с толстыми мишенями,
расчета радиационной защиты и каналов, содержащих большое коли-
чество вещества и т. п.
С теоретической точки зрения такой подход позволяет получить
инклюзивное описание спектров адронов внутри конденсированного
вещества на некоторой глубине. Результирующие инклюзивные рас-
пределения адронов различных сортов, возникающих в результате не-
скольких последовательных взаимодействий с ядрами среды, дают ми-
нимум информации, необходимый для предсказания практически всех
средних характеристик ЯЭК. Следует, однако, помнить, что подобный
подход не учитывает корреляции между адронами, родившимися в од-
ном акте взаимодействия, и, следовательно, оставляет в стороне соот-
ветствующий класс задач. Все же можно полагать, что в результате
многократных взаимодействий эти корреляции в значительной мере
нивелируются, поэтому в дальнейшем их учитывать не будем.
В доступной в настоящее время и в ближайшем будущем области
энергий получить детальные экспериментальные сведения об одночас-
тичных инклюзивных адронных спектрах в различных адрон-ядерных
соударениях — задача практически нереальная. Поэтому приходится
использовать далеко не полные данные и экстраполировать их в об-
ласть кинематических переменных, где измерения не проводились, а
также использовать данные, полученные на некоторых ядерных мише-
нях, распространяя обнаруженные закономерности на все остальные
ядра, массы которых принимают промежуточные значения между теми,
Для которых проводились измерения.
1акие экстраполяции основываются на модельных представлениях
кот °ЦеССаХ множественного образования адронов на нуклонах и ядрах,
на Ге позво-пяют обобщить данные, полученные в частных случаях,
кнне°Лее ИЛН ме,1ее широкие интервалы значений первичных энергий,
Нен п’атических характеристик вторичных частиц, другие сорта мише-
1 Дост\Т А“ Оправданием соответствующих процедур экстраполяции
Занщ”1 Пнои для измерений области энергий является согласие предска-
нымц пз°г !10Ваипых иа теоретической модели с параметрами, найден-
Другцх данных опыта в одних условиях, сданными, полученными при
условиях [при другой энергии и (или) другой мишени].
63
Ниже кратко рассмотрены экспериментальные данные и основн
теоретические модели для описания процессов множественного р0)кЯ
ния при начальных энергиях £0 > 10 ГэВ. Главная цель этого ра
смотрения — качественные закономерности инклюзивных спектрI
вторичных адронов, образованных на нуклонных и ядерных мишенях "
количественное описание экспериментальных данных в рамках совррИ
менных теоретических моделей. р
3.2. Основные экспериментальные данные
Адрон-нуклонные взаимодействия. Процессы взаимодействия эле-
ментарных частиц характеризуются их полными сечениями otot J
сечениями неупругих взаимодействий <т1п. Для адрон-нуклонных взап-
модействий в области доступных энергий в Л-системе (Е — 54-2000
ГэВ) эти сечения составляют десятки миллибарн (~ 10~26 см2). В этой
области энергий otot и о1п слабо меняются, причем otot Для рр-взаимо-
действия сначала медленно убывает до энергии Е ~ 30 ГэВ, имеет
широкий минимум в области Е ~ 304-70 ГэВ, а затем медленно
растет, примерно на 10—12 %, при Е = 1500 ГэВ (рис. 3.1). Для
л±р-, К±р-, рр-взаимодействий otot измерены вплоть до энергии Е =
= 280 ГэВ и проявляют те же тенденции высокоэнергетического пове-
дения, что и в рр-взаимодействии, но их низкоэнергетическое поведе-
ние и положения минимумов отличаются от случая рр-взаимодейст-
вия и друг от друга (рис. 3.1).
Средняя множественность вторичных адронов, образующихся при
соударениях адронов и других частиц с нуклонами, растет с увеличе-
нием энергии. Здесь следует отметить, что этот рост существенно более
медленный, чем максимально допустимый (<JV>max — (К<$ — та~~
— ть), см. разд. 1.3). Наблюдаемый на опыте рост средней множест-
венности вторичных заряженных адронов с энергией (рис. 3.2), вклю-
чая данные, полученные в космическом излучении, описывается, напри-
мер, формулой
<Nch> = А + В In S 4- С (In S)2,
где S— квадрат полной энергии в Ц-системе, ГэВ2; 3<1 $
< 150 ГэВ; А, В, С — подгоночные параметры, различные для разных
реакций. При 10 ГэВ вполне удовлетворительное описание до-
стигается при использовании формулы <Nch~> = А 4 В In S, гл
Л = — (14-2); В = 1,5 4- 2 для различных реакций. Данные пр
> 10 ГэВ неплохо описываются также и степенной зависимостью.
<Nch> = aSP, где a = const; 0 ~ 0,2.
Примечательно, что для самых разнообразных процессов вза
действия (разные пучки и мишени) наблюдается практически унив
сальная зависимость <Nch> от энерговыделения реакции Q = 1еЯ.
— та — ть (см. рис 3.2). Этот результат был проверен экспери-
тально для пучков р, л±, Д'*, у, р+, е_, v, v на протонной мин!^”оВ
для процесса е+е_-аннигиляции. В случае пучков фотонов и леи
Q — W — т^, где W — эффективная масса вторичных адронов.
64
пяюшее большинство ( — 80%) вторичных (вновь рожденных)
Подавлю {'пы следует также отметить, что средняя множествен-
аДРонОВ ов антипротонов, гиперонов и других тяжелых частиц в ис-
”0СТованной области энергий растет быстрее, чем полная множествен-
н0С1лЬ„кпюзив11ые распределения по продоль-
и и м пульсам (см. также разд. 1.3). Большинство вторич-
н ы ма онов образуется в области значений фейнмановской перемен-
НЫ-Х | ~ 2|piil''J/rS~< °>1- Эту область значений xF условно считают
Рис. 3.1. Зависимость полно-
го сечения адрон-нуклонных
взаимодействий от энергии
Рис. 3.2. Зависимость сред-
ней множественности вторич-
ных заряженных адронов в
адрон-нуклонных соударени-
ях от энергии, идущей на об-
разование новых частиц
Q=J'S—та—ть
центральной областью, или областью пионизации, поскольку основную
долю вторичных частиц здесь составляют пионы. Некоторое относитель-
но небольшое число частиц образуется в области фрагментации первич-
ных адронов 0,1 |хр| ^(0,8 4-0,9) и в дифракционной области
0,8 ~ 0,9 < | xf| < 1. В этой области продольных импульсов об-
разуются самые быстрые частицы, сорт которых совпадает (за исключе-
нием, может быть, заряда) с сортом налетающей частицы (или частицы-
мишени). Они, как правило, возникают в процессах неупругой дифрак-
ции, когда в результате процесса взаимодействия возбуждается один
или оба первичных адрона и образуется система частиц с небольшой
множественностью, характеризующаяся теми же квантовыми числа-
ми, что и первичный адрон, за исключением, быть может, спина и чет-
иерш' ° частн°сти, это может быть и просто адрон того же сорта, что и
3 В °чень гРУбом приближении экспериментальные данные об инклю-
ского'с ИвваРиантнь1х печениях согласуются с гипотезой фейиманов-
Зак. 295
(3.1)
3
65
и зависимость от первичной энергии не очень сильная. В частности
центральной области (при xF = 0) функция f (xF, р±, VS) в рп.’в
ударениях увеличивается в 1,5—2 раза для вторичных заряженных'00’
онов при изменении энергии от = 5 до 23 ГэВ. В рр-соударениях '
области энергий VS = 234-63 ГэВ эта функция при xF ~ о увел 8
чивается еще на 30—40%. Если рассматривать функцию р (xF
VS) = f/oln, то при Хр ~ 0, в области ]/S = 234-63 ГэВ она увеличи'
вается всего на 15—25%, т. е. почти в 2 раза медленнее.
Форма/(у*, р±, ]/•$) как функция быстроты в центральной области
имеет вид широкого колокола (рис. 3.3) с максимумом в районе малых
1*7*1- Плато по этой переменной в центральной области отсутствует
Строго фейнмановского скейлинга пока не наблюдается. Однако воя
пикающие неопределенности здесь не превышают 1,5—2, что для фено,
менологии сильных взаимодействий не так плохо.
В конкретных случаях при проведении численных расчетов на ос-
нове формул с выполнением скейлинга слабый рост с энергией функции
(3.1) в центральной области можно учесть, введя поправочный множи-
тель (множители) в подгоночных формулах. Что касается фрагмента-
ционной области, то здесь функция р (xF, pL; ]AS), начиная с энергии
V5 ~8 ГэВ, уже практически не зависит от с погрешностью около
10%. Это свойство называют ранним скейлингом в области фрагмента-
ции.
Отметим, что в рр-соударениях инклюзивные спектры естественно
симметричны относительно точки хР = 0 (у* = 0), а в лр“, Кр~ и
других процессах — несимметричны.
Инклюзивные распределения вторичных
адронов по поперечным импульсам. В области
значений pL < 1,54-2,0 ГэВ/c зависимость распределений вторичных
адронов от р± практически универсальна и имеет вид:
f (*f, Pl) ~ ехр (— Ьтх), (3.2)
где tnL = Цт2 + pV>m — масса вторичной частицы; параметр
« 6 (ГэВ/c)-1. Более детальный анализ данных указывает на зависи-
мость параметра b от xF, а также на более сложную функциональную
зависимость от р±. Формулой (3.2) можно пользоваться лишь для гру-
бой ориентировки. Существенно отметить, что среднее значение <7nj>
практически не зависит от энергии для частиц данного сорта. На рнс.3.4
представлена зависимость dN/dpi от т1 при энергии встречных рр '
пучков ЦЕРН (VS ~ 60 ГэВ) для вторичных л-, /(-мезонов и др.
В области р± > 1,5 4- 2 ГэВ/c режим (3.2) сменяется более медлен-
ным (степенным) падением f (xF, р±) как функции р г, причем скорость
падения зависит от первичной энергии соударения. В этой области зна-
чений используются подгонки вида:
f (хр, рх) = ф (хк) (pi + m2) <3-3)
где хц = 2p*tyrS, а т, п (S) — некоторые параметры.
66
^дрон-ядериые процессы множествен
ген'
нива^‘^"е-^альные данные> как правило представляют в виде отноше-
Эксп ^^„„„„.„япьинх сечений, множественностей и лпугих хаоакте-
нпя ДИ1Р'РсН'-“1*'- ” ”
стик процессов на ядрах и на нуклонах.
Р тпялипии. возникшей при исследовании взаимодействий
ной
ААпац'ии. Процессы соударения частиц с ядрами обычно срав-
Г е Н тся с реакциями взаимодействия с квазисвободны.ми нуклонами.
“дифференциальных сечений, множественностей и других характе-
' Следуя ^традиции, возникшей при исследовании взаимодействий
частиц с ядрами фотоэмульсионным методом, вторичные адроны под-
Р и с. 3.3. Инклюзивное рас-
пределение по быстроте в
Ц-системе вторичных заряжен-
ных пионов, образованных в
рр-соударениях при энергии
£о=69 ГэВ в Л-системе
Р и с. 3.4. Распределение вто-
ричных адронов по поперечной
массе т,:
сплошная линия — данные о л^-ме-
зонах, Д — л мезоны; О — К-ме-
зоны
разделяют на три группы. К первой относят частицы со скоростью |3=
== v с 0,7. Эти частицы называют ливневыми. Они оставляют свет-
лые следы в фотоэмульсии. Их среднюю множественность обозначают
<N«>. Частицы со скоростью 0,3 < р < 0,7 оставляют серые следы
В фотоэмульсии. Это преимущественно протоны, выбитые из ядра в ре-
зультате внутриядерного каскада. Их среднюю множественность обоз-
начают *<7Vg>>. Частицы со скоростями |3 0,3 оставляют черные сле-
°ь‘ в фотоэмульсии. В основном—это продукты процесса развала ядра
и так называемые испарительные протоны. Среднюю множественность
черных следов обозначают Среднюю множественность серых
4 ерных слеД°в обозначают <Wh> = <Wg> + <Wb>. Эти части-
им ~~ Пр°Дукты ФРагментац11И ядра, ливневые же частицы — это пре-
н^Щественно продукты фрагментации налетающей частицы и вторич-
д аДРОны из центральной области быстрот. Экспериментальные
ые по средним множественностям приведены в табл. 3.1.
ные пЗМереНИЯ на яДеРиых мишенях проводят в Л-системе и все дан-
3„ Редсгавл яют именно для этой системы отчета.
67
Таблица 3.1. Средняя множественность вторичных частиц
при столкновении протонов с ядром фотоэмульсии Ет
ГэВ <NS) <Ng> <Nb) W £<>, ГэВ (Ns) <wg> (*J
6,2 3,2 3,58 5,68 9,26 3500 22,0 2,06 6,80
17,2 5,4 2,10 5,69 7,79 200 12,7 — 7^68
22,5 6,5 3,38 5,22 8,60 200 13,0 — — 7,30
* (Nh) = (Ng) + <"b).
Инклюзивные спектры вторичных адронов изучают как функции
переменной и одной из продольных переменных (см. разд. 1.3);
у = (1/2) 1п|(£ + р^ (Е — /?„)]; т] = — In tg (0/2); х = Pi/Po.
Переменная псевдобыстроты т] близка к переменной быстроты у
для частиц с продольными импульсами рл > mL. Использование пере-
менной т] связано с тем, что во многих экспериментах на ядерных
мишенях импульсы вторичных частиц не измеряют (измеряют в Л-си-
стеме только углы вылета по отношению к направлению импульса
частиц первичного пучка).
Экспериментальные данные для множественных процессов на яд-
рах представляют в виде R = < Ns>a /<.Ns>n; Rz = (dNs/dZ)Al
l(dNsldZ)N и т.п., где индексы А и N относятся к ядерной и нуклонной
мишени (Л — число нуклонов в ядре); Z = у, ч] или х.
Удобной мерой толщины ядра является величина
v=X<$,s/ofbs, (3.4)
где о£ь’6Д— сечение поглощения частиц пучка при взаимодействии с ну-
клоном или ядром*. Параметр v характеризует среднюю толшину ядра
в единицах средней длины свободного пробега адрона в ядре до погло-
щения Xabs = <(оХ;Рл)-1>, где рд — плотность нуклонов в ядре.
В эту формулу входит средняя величина -Срл1^».
В модели последовательных соударений налетающей частицы с нук-
лонами ядра величина v интерпретируется как среднее число неупругих
соударений внутри ядра, при которых первичная частица сохраняется
как лидирующая (имеющая наибольшую энергию).
При изучении процессов множественного рождения на ядрах изме-
ряют также двух- и трехчастичные корреляционные функции и другие
характеристики процесса. Эти данные существенны при выборе кон-
кретной модели, но после этого выбора для наших целей достаточно
знать одночастичный инклюзивный спектр вторичных адронов, обра-
зованных на ядрах. Поэтому здесь не будем рассматривать тонкие дета-
ли процесса, следующие из экспериментальных данных.
* Под сечением поглощения здесь понимается сечение всех неупругих пр
цессов, за исключением сечения процессов возбуждения мишени, при котор
новые частицы не образуются.
68
' ч е н и я поглощения заряженных адронов измеряют
° выбывания из пучка. Наблюдаемые значения сечений o^bs не-
Меохо°описываются формулой оптической модели [8, 511:
оо
Oabs = 2л. J dbb {1 — ехр [ — v (Z>)]},
О
(3.5)
у_____прицельный параметр; v (b) оХ Т (Ь)\ — сечеппе по-
мещения налетающей частицы нуклоном ядра*; Т (Ь)-----------опти-
ческая толщина ядра:
dzpA (z, b)’, J рл (z, b) dV —A. (3.6)
f
Интеграл в последней формуле берется по объему ядра. Если в сред-
нем по объему ядра <v (б)> » 1, то Oabs « л/?2, где R — среднеквад-
ратичный радиус ядра: R ~ г0Л1/3; г0 = 1.2 /. Если же <v (б)> « 1,
TO Oabs — ^Oabs-
Из данных опыта следует, что для адрон-ядерных взаимодействии
параметра в формуле Oabs=o0A“ близок к значению а=2'3. Для прото-
нова ~ 0,69, для л±- мезонов — 0,75, для ^-мезонов 0,74—0,77.
Зависимость o^bs (Е) от энергии Е в Л-системе для случая налетающих
адронов существенно более слабая, чем oCbs (Е). Сечения oabs
можно считать практически постоянными вплоть до энер-
гий Е = 200 4- 300 ГэВ и, по-видимому, при больших энергиях
(табл. 3.2). Для фотонов <?v (fe)> « 1, но на опыте параметр а (уД) «
~ 0,9, что свидетельствует в пользу существования адронной компо-
ненты в волновой функции фотона. Для виртуальных фотонов (про-
цессы электророждения адронов на ядрах) а (у*Л) ~ 1 в области глу-
бокой неупругости, где эффективная масса вторичных адронов W >
> 2 ГэВ, квадрат переданного адронам 4-импульса Q2 > 14-2 ГэВ2.
Средняя множественность адронов, обра-
зованных и а ядрах. При энергии налетающих адронов Е >
> 50 ГэВ в Л-системе наблюдаемое отношение средней множе-
ственности вторичных ливневых адронов в адрон-ядерных соударе-
ниях к величине описывается приближенной формулой [511
a bv, где а ~ 0,4, b ~ 0,64-0,7 (рис. 3.5).
Следует подчеркнуть, что значения R согласно этой формуле су-
щественно меньше, чем можно было ожидать на основе каскадной мо-
дели адрон-ядерного соударения [481. Это весьма существенно при вы-
°РС модели для описания адрон-ядерного соударения.
Следует учитывать, что o^bs отличается от сечения поглощения адронов
но°вбОД,,ЫМ НУКЛОНОМ [481. Использование значений o^bs Для свободных нукло-
приводит к погрешности (3.5) до 20%.
09
Т а б л и ц а 3.2. Сечение поглощения протонов и л -мезонов
различными ядрами oabs, мб
Ео, ГэВ Be с AI Fe Си РЬ и
Протоны ~ ~ —-—,
К) 208 256 456 753 822 1804 1974
20 205 252 450 746 814 1793 1963
50 204 251 448 743 812 1790 1960
100 205 252 450 746 814 1793 1963
200 207 255 454 750 816 1800 1970
500 211 260 460 759 828 1813 1984
1000 215 264 466 766 836 1824 1996
2000 219 268 472 774 844 1835 2008
5000 224 274 481 785 855 1851 2025
10000 228 279 487 793 864 1863 2037
20000 232 283 493 801 872 1875 2049
лг-Мезоны
10 164 204 380 651 715 1646 1812
20 157 196 367 633 696 1619 1782
50 152 190 358 621 683 1597 1761
100 151 189 357 619 681 1584 1757
200 153 191 360 623 685 1601 1764
500 158 197 369 636 699 1623 1787
1000 163 204 380 651 715 1646 1812
2000 171 213 393 669 734 1675 1841
5000 183 226 412 695 762 1716 1884
10000 192 237 428 717 784 1749 1919
20000 202 249 445 739 808 1783 1953
Отметим также, что для первичных виртуальных фотонов и нейт-
рино v = 1, но тем не менее R (у*Л) > 1 и R (тЛ) > 1, что свидетель-
ствует о присутствии адронной компоненты в волновой функции час-
тиц первичного пучка.
Инклюзивные спектры вторичных адро-
нов в адрон-ядерных взаимодействиях.
Экспериментальные данные указывают, что в адрон-ядерных взаимо-
действиях спектры вторичных адронов обладают следующими законо-
мерностями [5U:
1) в области фрагментации первичного пучка (т] > Лшах — 2) от-
ношение Rn < 1 и убывает с ростом параметра v;
2) в области фрагментации ядра (т) 14-2) отношение описыва-
ется приближенной феноменологической формулой Rn = 1+S (й)
' (v — 1), где S (л) 2,54-3. В данном случае Rn не зависит от пер-
вичной энергии, начиная с Е >30 4-50 ГэВ;
3) в области, промежуточной между случаями (1) и (2), при энергии
Е 100 ГэВ намечается плато в поведении 7?п;
70
. данные по электро-и нейтринорождению адронов на ядрах указы-
. что в области высоких значений т] (более 2) ~ 1- а ПРП Л —
ВЗЮТ, 1
~ п экспериментальные данные о фрагментах ядра указывают, что
пжественности <7Vg>, <N6>, выходы изотопов и т. д. при энергии
""летающих адронов Е > 10-4-20 ГэВ практически не зависят от Е.
”а‘ оезуЛьтаты свидетельствуют о том, что при высокой энергии среднее
^Т' .о внутриядерных взаимодействий перестает зависеть от Е. Такое
Ч11-ение называют режимом предельной фрагментации ядра [511;
предельной фрагментации ядра [511;
□ -pfl
о —
7,5
1,0
i i I I
7 2 3 р^,ГэВ/с
Р и с. 3.5. Зависимость R от пара-
метра v в КА- (A), nA (□) и
рА (О) -взаимодействиях при энергии
первичного пучка 100 ГэВ
0
Р и с. 3.6. Показатель а (р . ) в за-
. «(₽ l>
впспмости типа ЬаЛс/аЛр~ А
для инклюзивного сечения образова-
ния адронов и струй с большими р
на ядрах
6) при образовании адронов с большими р± ( > 2 ГэВ с) наблюда-
ется нетривиальная зависимость сечения от числа нуклонов в ядре
(рис. 3.6);
7) для ливневых частиц зависимость спектров по поперечным им-
пульсам такая же, как в адрон-нуклонном соударении.
Завершая краткий обзор экспериментальных данных о процессах
множественного рождения при соударениях с нуклонными и ядерными
мишенями, заметим, что эти данные позволяют ограничить круг тео-
ретических моделей, которые приходится использовать при проведе-
нии расчетов процесса прохождения адронов через конденсированные
3.3. Теоретические модели множественных процессов
Адрон-нуклонные соударения. Ограничимся кратким обзором двух
иболее развитых в качественном и количественном отношении тео-
г т,,ческих моделей множественных процессов - статистической
Дродипамической (СГ) и мультипериферической реджевской (МР).
71
(Основные типы моделей множественных процессов обсуждаются
детально в работах [7, 8,48-511. Кварк-партонную модель здесь отно-
сим условно к моделям MP-типа и обсуждаем ниже). Эти модели осно-
ваны в какой-то степени на противоположных точках зрения на пр0.
цесс множественного образования адронов. СГ-модели основаны на
представлении о коллективном характере взаимодействия адронов
для описания которого используют статистические методы и гидродц!
намические уравнения движения релятивистской адронной жидкости
MP-модели основаны на теоретико-полевой картине квазинезависимсй
го образования адронов из многих центров, где формируется либо один
адрон (адронный резонанс), либо группа адронов (кластер), выступаю-
щая в начальной стадии процесса как единое образование и распадаю-
щаяся в дальнейшем по определенным законам (в том числе и по ста-
тистически-гидродинамическим). Ниже обсуждаются простейшие ва-
рианты указанных моделей, которые достаточно хорошо согласуются
с данными по наиболее существенным характеристикам множествен-
ных процессов, допускают представление экспериментальных законо-
мерностей в простой аналитической форме и содержат не слишком много
подгоночных параметров, слабо зависящих от первичной энергии и дру-
гих факторов. Такой несколько упрощенный подход позволит в даль-
нейшем предложить сравнительно простые и универсальные полуфг-
номенологические формулы для описания спектров вторичных адронов
в широком диапазоне кинематических характеристик первичных и вто-
ричных частиц.
С Г-м одель. Рассмотрим наиболее популярный вариант модели,
первоначально развитый Л. Д. Ландау [53]. Эта модель основана на
следующих качественных предположениях о механизме процесса мно-
жественного образования 17, 81:
1) на первом этапе процесса образуется единая сильно возбужден-
ная адронная система (жидкость), которая в результате сильного вза-
имодействия между ее элементами быстро приходит в состояние тер-
модинамического равновесия;
2) на второй стадии адронная система испытывает изоэнтропий-
ное расширение — по предположению, по законам термодинамики и ре-
лятивистской гидродинамики;
3) на конечной стадии процесса, когда температура элементов сис-
темы падает до значений порядка массы пиона, формируются реальные
адроны и происходит распад элементов системы на вторичные частицы.
Распад элемента объема адронной жидкости в собственной системе
отсчета происходит, по предположению, по статистическим законам,
т. е. распределение вторичных адронов по импульсам в этой системе
отсчета задается обычным статистическим распределением Ферми или
Бозе для адронов с полуцелым и целым спинами соответственно:
dWtPp = (2л)-3 gV [exp (Е/Т) ± I]-1,
где g — число спиновых, зарядовых и других состояний частицы Дан
ного сорта; V — конечный объем системы в конце стадии гидродинами
ческого расширения; Е — Vp2 -J- tn2 — энергия (р —- импульс в ука
72
системе отсчета; т — масса частицы); Т — температура эле-
jaHiion HOft жидкости в момент распада на реальные адроны.
меНсашсственную роль для предсказаний различных характеристик
иных частиц в СГ-модели играет уравнение состояния адронной
BTOP'octh Р = сое> где ? — Давление; е — плотность энергии; с0 —
ость звука в адронной жидкости. В случае, когда состояние систе-
СЬ°бнизко по своим свойствам к ультрарелятивистскому газу, со -= L 3.
оЫ,итературе обсуждаются и другие значения Со, позволяющие добить-
® ЛпуЧШего соответствия между СГ-моделью и опытом. Для иллюстра-
СЯц основных предсказаний модели ограничимся значением со = 1/3,
%торое часто используют при сравнении модели с опытом. Следует так-
же отметить, что в СГ-модели количество вторичных частиц не задано
/химический потенциал р = 0). Оно определяется из условия термоди-
намического равновесия (равненство нулю термодинамического потен-
циала).
Дополнительные предположения СГ-модели состоят в том, что: а)
в момент перед началом гидродинамического разлета (расширения)
системы адронная жидкость покоится как целое (скорость элементов
жидкости и = 0 в момент времени / = 0). (В случае нуклон-нуклонного
соударения это условие выполняется в Ц-системе. При соударении ад-
ронов с неодинаковыми массами рассмотрение проводится в системе
равных скоростей); б) нуклон в момент соударения представляет со-
бой тонкий диск толщиной 2 ~ (\/тп) mNlEo (тя, mN — массы пио-
на и нуклона; Ео — энергия первичного нуклона в Ц-системе) и радиу-
сом ~ /«л1. Таким образом, начальный объем системы в СГ-модели
является, вообще говоря, свободным параметром и его значение под-
бирается из физически наглядных соображений или путем сравнения
предсказаний модели с опытом.
Основные физические предсказания СГ-модели Ландау [7,8] сле-
дующие:
1) множественность вторичных адронов растет с энергией соударе-
ния постепенному закону: <АС> ~ 51/4 ~£1/4, где Е — энергия на-
летающего адрона в Л-системе;
2) спектр вторичных адронов (в основном пионов) по быстротам оп-
ределяется целиком законами гидродинамического разлета и имеет
приблизительно гауссову форму:
4- «(2л£)-</2 ехр [-(//*)W],
/V dy*
где для А'Л/-соудареиия В ~ 0,6 In (E/ntx) + 1,6. Ширина распределе-
ия по быстротам медленно растет с ростом первичной энергии по за-
ну Ду ~ (in Е.'т^У12. СГ-модель описывает по существу лишь цент-
р льную часть спектра быстрот. В этой области спектр по быстротам
Дленно растет с энергией, т. е. скейлинг отсутствует;
опп РаспРеделение вторичных адронов по поперечным импульсам
систе1еЛЯетСЯ в модели практически тепловым движением элементов
Мы и приближенно описывается формулой
dN/dpL exp (—mjT).
(3.7)
(3-8)
73
Влияние гидродинамического разлета приводит к слабому росту
среднего поперечного импульса с увеличением первичной энергии
который аппроксимируется формулой </?i> ~ £₽, где значение р Пд
разным оценкам составляет р = 1'14 4- 1/12.
Предсказания (1) — (3) качественно неплохо согласуются с данны-
ми опыта. Распределения типа (3.7) и (3.8) часто используют для ап-
проксимации экспериментальных данных. Предсказываемое распре-
деление по (3.8) в области < 1,04-1,5 ГэВ/c вообще является
практически единственным четким теоретическим предсказанием отно-
сительно /^-распределений вторичных адронов. Более того, значе-
ние параметра Т~ х пг^1 ~ 7 ГэВ-1 очень близко к эксперименталь-
но измеренному значению 7"1 tv 64-7 ГэВ-1 для адронов различных
сортов.
СГ-модели плохо приспособлены для использования в области фраг-
ментации (лидирующих частиц), хотя в различных их разновидностях
удается добиться хорошего описания экспериментальных данных. СГ-
модель применяют иногда и для расчетов процессов образования адро-
нов с большими поперечными импульсами, когда согласие с опытом до-
стигается подгонкой параметров модели. Применение СГ-модели в ука-
занных выше кинематических областях пока не стало универсальным
и общепринятым. Поэтому обсудим здесь модели, которые успешно объ-
ясняют качественное поведение адронных спектров в достаточно широ-
ком диапазоне кинематических переменных.
М Р-м одель [7,8]. Мультипериферический подход к процессам
множественного образования адронов основан на представлении об об-
разовании в результате соударения адронов высокой энергии большого
количества квазинезависимых центров испускания вторичных адронов
(одного или нескольких). Это представление опирается на предположе-
ние о малых эффективных передачах импульса между центрами обра-
зования вторичных адронов, которое в общих чертах неплохо согласу-
ется с экспериментальными данными о процессах множественного рож-
дения.
Теоретический анализ адрон-адронных взаимодействий в рам-
ках мультипериферической модели основан на использовании техники
мультипериферических диаграмм (рис. 3.7). Линии со значками а н b
относятся к первичным адронам, внутренние линии между центрами
испускания — виртуальные состояния, переносящие энергию и им-
пульс от первичных частиц к вторичным; лучи или пучки лучей, выхо-
дящие из центров испускания, символизируют вторичные адроны.
Гипотеза о доминирующей роли подобных диаграмм при описании
процессов множественного образования адронов с небочыпими Pl
(менее 1,0—2,0 ГэВ/c) оказалась весьма плодотворной. Разработано
несколько разновидностей мультипериферической модели, с помощью
которых успешно объясняются такие физические явления, как степен-
ное (реджевское) поведение с энергией амплитуд упругого рассеяния н
квазидвухчастичных процессов адрон-адронного взаимодействия, л0Г?
рифмический рост множественности вторичных адронов, явление скег -
линга и его нарушения при сравнительно низкой энергии в областя
74
питании гладкое (типа плато) поведение спектра по быстротам
^тральной области и др. [7,8, 501.
Б Параллельно с мультиперифиризмом развивался метод комплекс-
моментов (реджистика), основанный на представлении об анали-
НЬ1Хрском поведении парциальных амплитуд рассеяния адронов как
Т*1 цпй момента импульса, продолженных аналитически в плоскость
«омпчексных моментов [541. Оказалось, что самые правые полюсы пар-
Е iTibHofi амплитуды в аннигиляционном канале реакции, расположен-
ные в верхней полуплоскости комплексных моментов, определяют
поведение полной амплитуды процесса при высокой энергии в канале
рассеяния [541.
Г Кроме полюсов, важную роль в формировании асимптотического по
энергии поведения амплитуды рассеяния играют более сложные особен-
Р и с. 3.7. Мультипери-
ферическая диаграмма
процесса множествен-
ного образования
Рис. 3.8. Реджеонная диаграмма
процесса упругого рассеяния (а) и
лестничная диаграмма (б)
ности в плоскости комплексных моментов — точки ветвления различ-
ного типа, возникающие в результате итераций полюсной амплитуды.
Полюсы амплитуды в плоскости комплексных моментов называют по-
люсами Редже. Эти полюсы обусловливают степенное поведение
амплитуды с ростом энергии. Для унификации методики вычисле-
ний в рамках метода комплексных моментов разработана специальная
диаграммная техника. При этом амплитуда рассеяния двух адронов
а Ь-+ а + b описывается диаграммой рис. 3.8, а, где волнистая ли-
ния Р символизирует полюс Редже (в аннигиляционном канале реак-
ция имеет вид а + а —> b 4- Ь). Это виртуальное состояние, которым об-
мениваются взаимодействующие адроны, называют реджеоном. Как
и в случае обычной виртуальной частицы, излучение и поглощение
реджеона описывается функцией распространения, или пропагатором
реожеона, который пропорционален степенной функции от энергии:
(S, t) ~ (S/S0)“(')t
где S — квадрат энергии соударения в Ц-си-
ctrMG’ const; * — квадрат передачи 4-импульса между взаимодей-
Ко УюЩими адронами; а (/) — положение полюса Редже в плоскости
ния? е^ных моментов, зависящее от t. При/<0 (в канале рассея-
тс2 а- вещественная функция I. Фукнцию a (/) называют траек-
риеи реджеона.
четноД>Ке|°Н КаК внРтУальное образование имеет квантовые числа:
^е1еннТЬ ж 113оспин (Л> G-четность и др. Реджеон не обладает опре-
Ь1М физическим значением спина при произвольных значениях
75
t. Однако при t = т~ (т — масса физической частицы, квантовые чис
ла которой совпадают с квантовыми числами реджеона) постулирует '
соотношение Re а (т2) = J, где J — спин физической частицы. Гово
рят, что физическая частица располагается на реджевской траектории"
такую траекторию именуют по названию соответствующей частиц^
(р-трасктория, л-траектория, //-траектория и т.д.).
Из данных о спектре масс и спинах адронов, а также о поведении
а (/) при t <Z 0 установлено, что реджевские траектории линейны:
Rea (/) = J + a' (0) (t — m2),
где a' — наклон траектории. Отметим еще одну особенность реджео-
пов. Им приписывается дополнительно специальное квантовое число
сигнатура о: для бозонов о = (—I)7, для фермионов о = (—l)J±i/s
Траектории с разной сигнатурой, но одинаковыми другими квантовы-
ми числами различны.
Кроме траекторий, на которых расположены известные физические
частицы, особую и важнейшую роль в теории играет гипотеза о вакуум-
ной траектории, которая соответствует реджеону, обладающему кван-
товыми числами вакуума, и характеризуется значением a (0) = 1 (или
близким к единице). Параметр a (0) называют пересечением. Вакуум-
ный рсджеон имеет специальное название — померон (в честь И. Я. По-
меранчука, доказавшего теорему об асимптотическом равенстве сече-
ний взаимодействия частиц и античастиц с одной и той же мишенью).
Остальные реджеоны имеют пересечения a (0) < 0,5.
Амплитуда упругого рассеяния Т (S, /) на нулевой угол (/ = 0)
связана с полным сечением взаимодействия оптической теоремой
Im Т (S, 0)=Sotot (S). Поскольку вклад отданного реджеона в мнимую
часть амплитуды зависит от энергии по закону Im7’/? (S, 0)~0д(£,0)~
~Sa(0), то соответствующий вклад в сечение ofot (S)~Sa(0)_1. При S-*
оо доминирующую роль играет померон. Поэтому otot (5) ®
»ofot(S)~const. Наблюдаемое поведение Otot (5) можно описать, учиты-
вая поправки к механизму обмена помероном за счет обмена другими
реджсонами, многократных обменов реджеонами (в особенности, поме-
ронами) и взаимодействия реджеонов (померонов) друг с другом. Много-
кратные обмены и взаимодействия между рсджеонами отвечают особен-
ностям типа точек ветвления в плоскости комплексных моментов.
Сопоставление предсказаний метода комплексных моментов и муль-
типериферических моделей позволило установить тесную связь меж-
ду ними. Дело в том, что суммарный вклад мультипсриферическиХ'
гребенок (диаграмм рис. 3.9, а) с различным числом центров образова-
ния адронов в полное сечение ot0t (S) также приводит к степенной
зависимости ot[,t (S) ~Sa(0) ', где a (0) определяется вершинам»
взаимодействия в центрах испускания адронов. С одной стороны, вкЛ^
отдельной гребенки в otot представляет собой как бы разрезанн}
диаграмму лестничного типа (рис. 3.8, б, 3.9, б), которая соответся
вует умножению амплитуды гребенки на комплексно сопряженн}
величину.
76
с лпугой стороны, мнимая часть неразрезанной диаграммы типа
ицы с точностью до численного множителя совпадает с результа-
леСТвычисления вклада данной гребенки в otot. В результате при-
т01*1 < к выводу, что лестничные диаграммы имеют реджевское (сте-
Х0Д1 ос) поведение. Обмен лестницами с различным числом ступенек
пеННвалентен обмену реджеоном. Обратно вычисление мнимой части
ЭКдГпаммы с обменом реджеопом эквивалентно суммированию возве-
АПнных в квадрат по модулю диаграмм типа гребенок [7, 81.
Де Такая связь между реджистикой (метод комплексных моментов) и
ультиперифиризмом позволяет плодотворно использовать свойства
этих моделей для получения тео-
ретических предсказаний относи-
тельно инклюзивных спектров
вторичных адронов в процессах
множественного рождения [7,
8, 50].
Анализ свойств мультиперифе-
t)
Р и с. 3.9. Мультипсриферпческая
«гребенка» (а) и результат ее квад-
рирования (б) (знак * означает
комплексное сопряжение)
рической гребенки показал, что
такой процесс характеризуется
следующими свойствами распреде-
ления вторичных частиц [7, 81:
1) в центральной области быст-
рот при достаточно высокой энер-
гии [ In (E/mN) >4 4-5] спектр по быстротам не зависит от пер-
вичной энергии и имеет вид плато: dN/dy си. const;
2) в областях фрагментации спектры по быстротам обладают свой-
ством скейлинга: EcPdcPp — F (у„ — у, pi); Ed?a/cPp = F (у—уь, pL).
Эти формулы относятся к областям фрагментации частиц а и b
соответственно;
3) средний поперечный импульс инклюзивного адрона не заивсит
от энергии <ZpL> ~ const. Этот вывод является следствием гипотезы
об эффективно малых (и не зависящих от энергии) передачах импуль-
сов между центрами испускания;
4) в силу результатов (1)—(2) средняя множественность частиц в
гребенке логарифмически растет с энергией: <ZN> = а 4- b In (Е/т)',
5) испускание адронов различными центрами происходит практи-
чески независимо. Если в каждом центре излучается только один ад-
Рон, то распределение вторичных событий но множественности пуас-
соновское: р (N) = о/у(ощ = ехр (—N/ <N>) <7V>W/M, где ow —
сечение образования N адронов (топологическое сечение). Это распре-
деление справедливо и для полного числа частиц, и для только заря-
женных частиц.
в Свойства (1)—(2) естественно имеют место в рамках реджистики
д02ИЛп °™еченной выше качественной эквивалентности обоих подхо-
сам Р®джистика позволяет более детально предсказывать спектры
Укач'Х бЬ1СТРЬ1Х вторичных частиц по продольным импульсам, а также
ске(д1Вает на энергетическую зависимость слагаемых, нарушающих
риан1ИПГОВ°е повеДение спектров при не очень высоких энергиях. Ва-
т Реджистики с пересечением померона ар (0) = 1 + А (А =
77
— 0,06-7-0,15) позволяет объяснить рост с энергией ot0t(S),o
и спектры по быстротам в центральной области [8, 50]. ’
Центральная область быстрот. Рассмотрим диагра»
рис. 3.10, а и выделим инклюзивную частицу с. В мультипериферической гм^
бенке продольные импульсы частиц вЦ-системе в среднем последовательно ygj
вают от pin яа ра до р2|| = — ра = рбц- Будем считать, что первичная эне
гия н эффективные массы частиц с р« > р*ц и с рл < р?ц достаточно вет '
ки (условие применимости реджистикн в дальнейших оценках). Нетрудно пока"
зать, что квадрат эффективной массы частиц с рп > р*ц примерно равен- '
sac ~ I {Ра~ Рс)г| ~ та тсу ехр (уа — ус). Здесь считалось, что уа ,
так как частица с взята из центральной области быстрот, которая достаток
но развита лишь при выполнении указанного условия.
Квадрат эффективной массы частиц
She ~\ (Рь~ РсУ I ~ тьтс1 ехр (ус — уь).
С Ри < Pell составляет примерно
Вычисление инклюзивного инва
Рис. 3.10. Диаграмма типа «гребенки» с выделенной инклюзивной частицей
с (а) и результат ее квадрирования (б, в)
риантного дифференциального сечения (квадрирование по модулю диаграммы
рис. 3.10, а) сводится к вычислению диаграмм рис. 3.10, б или 3. 10, в, где волнис-
тые реджеоновские линии, перечеркнутые крестом, заменили разрезанные лест-
ницы. Эта операция выполнена на основе указанной выше эквивалентности об-
менов лестницей и реджеоном. Перечеркивание реджеона означает, что при вы-
числениях диаграммы рис. 3.10, необходимо учесть только мнимую часть про-
пагатора реджеона при t = 0: Im DR (S', 0) ~ (S')“fi(0), где S' — квадрат эф-
фективной массы частиц — ступенек лестницы, образовавшей реджеон. Вершины
aaR и bbR являются постоянными величинами, которые можно определять неза-
висимо из данных о поведении полных сечений и дифференциальных сечений уп-
ругого рассеяния адронов [7, 8, 55]. Вершина RR'cc зависит только от тс в си-
лу релятивистской инвариантности и не зависит от первичной энергии (скейлинг
в центральной области).
Инвариантное дифференциальное сечение вычисляется по формуле
[7, 8] Ecd3a/d3pc ~ S^&T, где ДТ" — амплитуда, соответствующая диаграмме
рис. 3.10, вс разрезанными реджеонами (лестницами). Эта диаграмма содержит
два пропагатора реджеонов R и R', поэтому Д7’ ~ (SaC)tt/?<0>' (Sbc)^
Нетрудно показать, что SaCSbc ял татьт\ ехр (уа — уъ) ~ т\ S. Тогда
Ес
d3 о
d3 Рс
X Ч‘НР.‘ (mci)
К, R’
( Sac (0) 1 ( st>c\aR' (0>
I so / \ so )
где сумма взята по всем сортам обмениваемых реджеонов, подходящих по кван
товым числам. В функцию (OTci) собраны все множители, зависящие от incj
78
т1И не вычисляются. С учетом только главных вкладов при А -> оо
коТ0^= 1;
(Яр
с = чсРР (тс1) +Чрр (тс±) «р ( - ) + Ч'яр (™с1) ехр (
Ес d-'Pc
^"а=Ь’Ю d3o yl/SX^
^-^=^J + 2<Pchf/fe)
а видно что поправочные к померону слагаемые вымирают с ростом энер-
?иТдовольно медленно. „
ГИ Наблюдаемый на опыте рост с энергией выхода адронов в центральной обла-
объясняется (см. [8, 50, 53]) по-разному, например: вымиранием отрицатель-
стИ знаку поправок к чисто померенному вкладу [при ар((0) = 1J, ростом
НЫ ода резонансов, распад которых увеличивает выход наблюдаемых стабильных
ВЫпонов (относительно сильных взаимодействий) в центральной области; отли-
чием а (0) от единицы [ар (0) = 1 + А, А > 0]. В последнем случае ожидается
степенной рост выходов вторичных частиц: EtfPaldPpc ~ S&q> (m±) и степенной
рост средней множественности: (N) ~ 5Л inS/(a + b in S + c ln2S). Отдать
предпочтение какому-то одному механизму не представляется возможным из-за
отсутствия однозначных убедительных аргументов в исследованной области энер-
гий в пользу определенного механизма [50, 52].
В центральной области быстрот при S оо поправки за счет процессов ис-
пускания сразу нескольких гребенок сокращаются благодаря правилам АГК
[56] с вкладами от процессов упругого перерассеяния и дифракционного образо-
вания адронных ливней с небольшой массой (S < 54-6 ГэВ2). Однако при суще-
ствующих энергиях указанное сокращение происходит далеко не полностью:
из-за действия закона сохранения энергии при испускании нескольких гребенок
первичная энергия распределяется между ними в среднем поровну. При конечных
энергиях среднее число гребенок ограничено. При этом при фиксированной энер-
гии с ростом числа гребенок испускаются частицы, быстроты которых становятся
все более ограниченными. Этот эффект также может имитировать рост высоты
плато с увеличением энергии. С эффектом испускания нескольких гребенок свя-
зывают уширение распределения по множественности по сравнению с пуассо-
новским [8, 57].
Области фрагментации. Для краткости рассмотрим область
Фрагментации налетающей частицы а. Фрагментация адрона-мишени b рассмат-
ривается аналогичным образом. В области фрагментации разность быстрот нале-
тающей частицы и инклюзивной частицы с невелика (уа — ус ~ 1). Поэтому эф-
фективная масса Sac также невелика, и нельзя свести разрезанную верхнюю часть
лестницы на диаграмме рис. 3.11, а к разрезанному реджеону. Масса S;,c по-преж-
нему считается большой (Sbc ~ S). В результате инклюзивное дифференциаль-
ое сечение описывается амплитудой АТ, которая вычисляется по диаграмме
фос 1’^’ верхняя вершина (acRac) на этой диаграмме есть неизвестная функция
Р (Уа Ус, mCj), а мнимая часть пропагатора реджеона R есть Im Dp (Stc,
> \Ъъ<Э ~ S . В этом случае
d3pc =
Оставляя
имеем:
при S -> оо вклад померона с ар (0) = 1 и полюсов с (0) ~ 0,5,
d3 о f S \_
d3 Рс (Уа ~Ус, mci)ep (Уа~ Ус, гас1)4|у )
79
Поправочное слагаемое убывает по закону S-^2, и скейлинг наступает к
стрее, чем в центральной области быстрот. В некоторых процессах скейлинг '
переменной xF в области фрагментации выполняется, начиная с довольно неболП°
той энергии (£ 10-?20 ГэВ) в Л-системе, в частности, для инклюзивных п±
и К* -мезонов, образованных в рр-соударениях. Для вторичных р, £- и особен'
но р скейлинг в рр-соударениях реализуется лишь при энергиях S ~ юз рэвг'
Это явление объясняют с позиций гипотезы дульности. В тех случаях, когда квац
товые числа состояний ab, abc, be, ас не экзотические* и невозможны обмен
/- и <р-траекториями, скейлинг наступает при более высоких энергиях (поз^
ний скейлинг). Если один из каналов ab, abc или ас экзотический, то скейлнн
часто выполняется, начиная с небольших значений энергий (ранний скейлингг
Рис. 3.11. Лестничная (а) и редже-
онная (б) диаграммы образования
инклюзивной частицы с в области
фрагментации адрона а
Рис. 3.12. Реджеонная диаграмма
образования лидирующей частицы
(а) и результат ее квадрлрова-
ния — трехреджеонная диаграмма
(б)
[52]. Однако эти проблемы пока еще далеки от своего окончательного решения'
Здесь полезно отметить эмпирический факт: использование переменной х£ =
= £*/£1*лах вместо фейнмановской переменной xF = pj/| P# Imax позволяет
часто достигнуть скейлингового описания области фрагментации в более широ-
ком диапазоне первичных энергий.
Лидирующие частицы. Рассмотрим область значений 1 —
— |Хр| <S 1, соответствующую самым энергичным частицам в Ц-системе (лиди-
рующие частицы). Такие частицы образуются за счет механизма, представленного
на диаграмме рис. 3.12, а, с обменом реджеоном с подходящими квантовыми чис-
лами между верхней вершиной acR' и нижней вершиной bR'X (X — струя ад-
ронов). В рассматриваемом случае инклюзивный адрон с вылетает в переднюю
полусферу. Аналогично можно рассмотреть образование лидирующих адронов,
вылетающих в заднюю полусферу. Квадрируя диаграмму рис. 3.12, а, приходим
к диаграмме рис. 3.12, б, если эффективная масса адронной струи X достаточно
велика. В результате инвариантное дифференциальное сечение образования
инклюзивных частиц с определяется формулой
а Рс R, R', R" \ *0 )
где Sx — эффективная масса адронной струи: Sx ~ S (1 - xF) + тс - 2/ищ/
/ Хр.
Главный вклад при S -> оо дает слагаемое с R = Р, а поправки за счет
вкладов реджеонов с aR (0) ~ 0,5 убывают по закону S~^2. Формулу (3-9) назы-
вают трехреджеонным приближением. Она довольно хорошо предсказывает
сы.
80
* Экзотическим называют канал реакции, в котором отсутствуют резонан
ктров по xF (или по х£), даже если учитывать в первом приближении
,:ормУ с траектории /?', R", подходящие по квантовым числам. Например,
лишь ОС"ОБ । р л++ А основной вклад в инклюзивный спектр обуслов-
в Реакц’,’1ом реджеоном с квантовыми числами нейтрона. Его траектория ап (/) ~
ленобме и —pin}. При |/| « т„, руководствуясь формулой (3.9), где
» 0,5 с к" (0) = 1, получаем £я, d?old3pn+ ~ (1 — |xF|)2, что довольно неп-
R " тветствует эксперименту. Точно также нетрудно параметризовать и дру-
лохо с00Т ИВНЬ1е спектры и сравнить их с данными опыта (это сделано ниже).
г„е «ни-1 шИЙ эффСКТ трехреджеонная формула дает при описании спектра ли-
«у ппотонов в пр соударении, где предсказывается резкий рост инклюзив-
ДИ₽о спектра при |xF| -* 1 по закону Erd3o/d3pp~(\—|xF|) -1. Такой рост наблю-
110Г° я на опыте, причем поведение спектра в области 0,8 < |xF| < 0,95 удается
Писать, включая полюсы с пересечениями ар(0) = 1 и aR, R„ R (0) ~ 0,5 [58]
Предсказания относительно степенной xF (хЕ) зависимости инклюзивных
ктпов полученные в рамках реджистики, весьма важны при параметриза-
СПи экспериментальных данных в широком диапазоне первичных энергий. При
этом во многих случаях удается при использовании переменной хЕ описать наб-
людаемые спектры в области pCJ < 1-5-2 ГэВ/с вплоть до очень малых значений
т е. всю кинематическую область единой формулой, содержащей простые
степенные зависимости типа (1—х£)" (см. ниже).
В тех случаях, когда переход а -> с не может осуществиться за счет обмена
одним реджеоном в силу отсутствия реджеонов с подходящими квантовыми чис-
лами (экзотический ас-канал), в формулу (3.9) вместо траекторий полюсов aR, (/)
и ар,. (/) следует подставить траектории точек ветвления с наибольшим пересе-
чением ас (0) (обмен, по крайней мере, двумя реджеонами). Положение точки вет-
вления, возникающей из-за обмена п реджеонами, определяется из соотношения
п
154] асп (f) = max (/,) — п + 1], где максимум вычисляется в области до-
i 1
пустимых значений квадратов передач 4-импульсов tit переносимых реджеонами,
н
при фиксированном t и условии У, ~[/— — ”]/— t, выражающем закон сохра-
нения поперечных импульсов в вершине перехода а -> с с испусканием несколь-
ких реджеонов.
Адрон-ядерные взаимодействия. Модель внутриядер-
ных каскадов. В классическом варианте этой модели 148] вто-
ричные частицы, образующиеся при первом соударении налетающего
адрона с нуклоном ядра, взаимодействуют с остальными нуклонами
как наблюдаемые частицы; частицы, возникающие во вторичных соу-
дарениях, снова взаимодействуют с нуклонами и т. д., т. е. происходит
каскад наблюдаемых частиц [8]. Исследования [48] показали, что та-
кая модель успешно применима лишь при Ео < 54-10 ГэВ, где вы-
слптельные программы на ее основе (см. гл. 6) находятся, по-види-
вне конкуренции. При Ео > 10 ГэВ противоречия между рас-
П01]амп И ОПЬ1ТОМ становятся весьма значительными. Предпринятые
гоча'ТКИ моДиФикаЦИИ простейшего варианта модели — введение мно-
Ре поТ,1ЧНЬ1Х взаим°Действий и уменьшение плотности нуклонов в яд-
1 SKcnMePe пРохожДения адронной лавины [48] — улучшают согласие
инцу еРиментальными данными и позволяют поднять верхнюю гра-
q энергии в расчетах примерно до 50 ГэВ.
Наиболее ° А е л и- Среди СГ-моделей взаимодействия адронов с ядрами
распространена гидродинамическая модель Ландау, до-
81
полненная предположением о взаимодействий с ядерной трубкой
волнительные постулаты заключаются в следующем [8]:
До-
1) предполагается, что налетающий адрон взаимодействует со вс
ми нуклонами ядра, расположенными вдоль траектории адрона в яде^
ном веществе. Это взаимодействие носит коллективный гидродинадЛ
ческий характер. Первичный адрон как бы вырезает трубку ядерног
вещества цилиндрической формы радиусом порядка тй1 и высотой
равной размеру ядра вдоль направления движения адрона в систем’
отсчета, в которой это соударение рассматривается. В частности, в Д
системе (ядро покоится) среднее число нуклонов в ядерной трубке v
= Tlo^bs/o^bs [см. формулу (3.4)];
2) ядерная трубка принимается за отдельную частицу с массой
равной суммарной массе нуклонов в трубке; нуклонная структура
трубки игнорируется;
3) соударение адрона с ядерной трубкой рассматривается в систе-
ме, где скорости этих объектов равны и направлены навстречу цруГ
ДРУГУ (система равных скоростей);
4) адрон и трубка в системе равных скоростей испытывают лорен-
цево сокращение в продольном направлении;
5) в момент соударения адрон и ядерная трубка образуют единую
статистически-гидродинамическую систему, дальнейшая эволюция
которой проходит по законам релятивистской гидродинамики и ста-
тистической физики, дополненным уравнением состояния (см. выше).
Положения (1)—(5) дополняют обычную модель Ландау. Рассмот-
рение термодинамики процесса и решение уравнений гидродинамики
приводят к следующим предсказаниям (скорость звука в ядерном веще-
стве принимаем равной с0 = l/j/З (с2 =1/3 [8]):
1) в адрон-ядерных взаимодействиях средняя множественность
вторичных адронов растет с энергией Е в Л-системе и с ростом числа
нуклонов в ядре А по закону ~ (1 + v)E1^4;
2) спектр вторичных адронов по быстротам определяется законами
гидродинамического разлета и имеет приближенно гауссову форму.
Вид спектра зависит от значения v. Если v < (1 + с0)/ (1 —с0), то
И:
dNs _ W) ру_ Г _ (</* + Уо)2]
dy* ~ У2лЬ Р|_ 2L ]’
где y0 = arthv0; L = 0,561п—-—]- 1,61п 2 _ + 1,6;
mN 1 -|-V
(3.10)
i>0 = th
3(v-l)
1 +v
arth Л—-
v-f-1
y* — быстрота в Ц-системе; o0 — скорость Ц-системы относительно
системы равных скоростей.
Асимметрия распределения по быстротам относительно
у* = 0 возникает из-за несимметрии начальных условий в
при соударении адрона с ядерной трубкой слева и справа от
значения
Ц-системе
ПЛОСКОСТИ
ения Если v> (1 + с0)/(1 — с0), уравнения гидродинамики
соуДаР ются и их решение проводится численно для различных зна-
УсЛ°„ "[8]. Приближенно спектр имеет вид (3.10), где параметр у0
пении .
функция V (и Со),
еС% при Pi тл спектР вторичных адронов по поперечным импуль-
описывается приближенно зависимостью
dNg/dpi ~ ехр (—т^ Т),
т ~ Шх- Здесь поперечное движение адронов в основном тепловое.
rfe ако при достаточно высокой энергии сказывается боковое гидро-
ямпческое движение, что приводит к слабой зависимости от
д\ где 6» 1,144-1/12. Указанное экспоненциальное
определение относится к области значений рл < 14-2 ГэВ/c, в ко-
осой образуется основная доля частиц. Часть частиц, однако, может
образовываться при температуре адронной жидкости Т » гпл. Эти
флуктуационные процессы связывают с образованием частиц с рА >
>14-2 ГэВ;
~ 4) предсказываемая СГ-моделью Л-зависимость средней множест-
венности ливневых частиц имеет вид: <MS> = а + М1/3. Эта зави-
симость аппроксимируется степенной функцией от A: <N.S> ~ Аа,
где по разным вычислениям а ~ 0,154-0,20 [8];
5) относительный выход ливневых адронов различных сортов в
адрон-ядерных соударениях такой же, как в адрон-нуклонных, и
определяется распределением Ферми или Бозе для энергетических
спектров фермионов или бозонов, образующихся в системе покоя эле-
мента ядерного вещества при его распаде на реальные адроны. Если
масса адрона сорта i достаточно велика (mf » Т ж тл), то отношение
средних множественностей составляет [8]
« J7L [f (1 )]-1 /2 pL) 3'2xp
<пл> 3 V \2 ) \mn ) p ( mn]'
где qt — статистический вес адрона сорта i (число спиновых и изоспн-
новых состояний <?л = 3);
b
е ак. здесь относится к фермионам (бозонам),
р' подавляет образование тяжелых частиц.
х ассматриваемая СГ-модель предсказывает слабую
Тг,,. ктсристик ливневых частиц от А, что согласуется с
Выу М°ЖПЬ Tax-e начес
взаии3 ЧаСТНЦ в области //* <
энер5есИ"ВИЯМИ Г™- (3.10))
нм » свойства
Множитель
зависимость
эксперимен-
также качественнотгравильно предсказывает увеличение
г < 0 по сравнению с адрон-нуклонными
,1. В рамках этой модели при высокой
ны свой спектров серых и черных следов целиком обусловле-
“ ствами возбужденного ядра и должны рассматриваться на ос-
'’^ственн ядеРНЬ1Х моделей. В целом СГ-модель способна описать мно-
ое образование ливневых частиц в адрон-ядерных соударени-
83
нове ЧНсто
'‘АА'-рГИИА моде
ственное образование
ях в исследованной области энергий вполне удовлетворительным Л
разом [8, 49], однако ряд важных деталей она все же не способна объ
нить, например спектр лидирующих частиц.
М Р-м одели с упругим и неупругим Пе
рассеянием. Поскольку для наших целей интересны предел Ь
ния MP-модели, относящиеся главным образом к процессам множр38'
венного образования адронов на ядрах, остановимся кратко на осн
ных предсказаниях такого типа моделей [8, 50, 51]. В разработанн^'
до настоящего времени подходах MP-типа к проблеме физическая Я
тина адрон-ядерного взаимодействия в несколько упрощенном изтс
жении выглядит следующим образом.
Полагается, что основными процессами, приводящими к множест
венному образованию вторичных адронов, является рождение однЛ
или нескольких адронных гребенок при соударении первичного адр<2
(или составляющих его компонент) с нуклонами ядра. Предполагает,
ся, что при доступных в настоящее время энергиях на одном нуклоне
ядра образуется не более одной адронной гребенки. Образование гре-
бенок на нуклонах ядра, уже участвовавших во взаимодействии, счи-
тается невозможным.
Подобный квазиглауберовский подход, развивавшийся в [59] (ст
также [81), предсказывает подавление процессов каскадного размноже-
ния в результате вторичных взаимодействий родившихся в первом ак-
те адронов с нуклонами ядра в сравнительно высокоэнергетическоь
части спектра. Это предсказание качественно согласуется с эксперимен-
том и противоречит простейшей каскадной модели [48] без модифика-
ций, указанных в начале настоящего раздела.
Основные предсказания MP-модели, дополненной гипотезой о мно-
гократном упругом и неупругом перерассеянии первичного адрона г
образованных им дифракционным образом адронных состояний с не-
большой эффективной массой (в том числе адронных резонансов) на
нуклонах ядра, заключаются в следующем [8, 59].
1. В высокоэнергетической части спектра вторичных инклюзивных
частиц сорта с, где Ес > EJ‘2, отношение спектров по быстротам I
аА- и «./V-соударениях оценивается как Ra (у) = ОаьР аа^(~
где а — налетающий адрон; Еа — его энергия; А —ядро; oabs
сечение образования одной гребенки на ядре Л; Oabs — сечение погл
щения адрона а ядром: = nfdb2 [ofj, Т (й)1 ехр [—(6)1;
прицельный параметр; Т (Ь) — оптическая толщина ядра [см. (3-оН»
Оп, — сечение неупругого взаимодействия адрона а с нуклоном. Здес
и ниже рассматриваются события с небольшими значениями попере
ного импульса инклюзивной частицы: рс1 < Ес.
2. В центральной части спектра быстрот, где выполняются н г
венства р' < рс < ра, предсказывается отношение
/?А(Г/)~ЛоГп/Оа4з . (3JI)
Здесь р' — некоторое значение импульса, подбираемое так,чт0£^)Ты
выходить за пределы центральной области по переменной быс в
84
оценка р' > 1 ГэВ г); ofn = ot0t (aN) — ое, (aN) — aD (aN)-,
(грУба” сечение дифракционного образования адронных струй при
соударении.
д/V-coy-* ]1анТнОе дифференциальное сечение инклюзивного процесса
1 НБеа в рамках рассматриваемой модели соответствует результату
на ЯД ьсного приближения (когда все нуклоны ядра действуют неза-
S® 1Ю1Г
E.^^A^A^AB^faN^eX),
д,__недетектируемые вторичные адроны и продукты развала ядра;
недетектируемые адроны.
3 Грубая оценка интервала быстрот в Л-системе, где должно иметь
место соотношение (3.12), дает
- / m/L y]|/3
mN
(3.12)
2£a \
A''* '
In
В этой области средняя множественность ливневых частиц растет с
энергией логарифмически, а с ростом А — по закону <A/S> — Л1/3.
В области у > In (2Eahncs_ А*'3) зависимость 7V, от Л с ростом у
ослабевает по сравнению с зависимостью Л1/3 и при у > In (Ec/2mCi)
совсем исчезает. В области энергий Еа< 103 ГэВ следует ожидать,
что <1VS> ~Аа(Еа), где а (Еа) « 0,154-0,20. Лишь при очень высо-
кой энергии (£„>10'’—10s ГэВ) может установиться режим
<л;> ~л*/3.
К. в а р к-п артонная модель адро н-я д е р н ы х
взаимодействий. Гипотеза о том, что релятивистский адрон
представляет собой совокупность точечных объектов — партонов [9],
оказалась очень плодотворной для качественного понимания процес-
сов множественного образования адронов на нуклонах и ядрах [51].
Наиболее распространена мультипериферическая трактовка партон-
ной флуктуации адрона, которая состоит в том, что адрон, последо-
вательно распадаясь на партоны, образует партонную гребенку (см.
Рис 3.9). Высокоэнергетические партоны практически не взаимодей-
ствуют с покоящимся адроном-мишенью (нуклоном); взаимодействие
осуществляется с помощью сравнительно медленных партонов, обла-
дающих продольными импульсами р$ ~ т (параметр т обычно поряд-
на ГэВ). Время, необходимое для образования столь медленных пар-
соста адРон°м высокой энергии, согласно принципу неопределенности,
А/ ~ (ДЕ)-1 ~ Е, <т\>, (3.13)
энергия налетающего адрона в Л-системе; т\ = /н2+ <№!.>;
поперечный импульс партона.
аДронТаЛЬНЫй анализ процесса образования партонных флуктуаций
т011ы 3 ПОказь1Вает [61], что флуктуации, содержащие медленные пар-
ная ’ пРцсУтствУют в адроне с вероятностью, близкой к единице, сме-
РУг друга через малые промежутки времени т ~ т~г. При вы-
85
сокой энергии образование последовательно во времени двух n 1
ных флуктуаций с временем жизни (3.13) маловероятно. С ростом3?10*1,
гии такие эффекты «вымирают». Однако одновременное образов^'
двух таких флуктуаций возможно [61]. Медленные партоны этих (КЗ
туаций могут провзаимодействовать с мишенью одновременно
эффект особенно сильно проявляется, когда мишень составная Л
пример атомное ядро. Если налетающий адрон сам составной, то в Па’
ма вероятно образование партонных флуктуаций как одной из сос
ляющих компонент адрона, так и одновременно несколькими. В ча^
ности, в аддитивной кварковой модели такие флукутации образую^
структурными кварками адрона, которые в случае покоящегося адоф*
определяют его кварковый состав. Партонные флуктуации струКууНа
пых кварков в исследованном диапазоне энергий, по-видимому „
перекрываются в пространстве 1621.
Это обстоятельство обеспечивает практически независимое взаимо-
действие каждого структурного кварка налетающего адрона с мише-
нью. Простейшую иллюстрацию этого свойства аддитивности струк.
турных кварков предоставляют данные о полных сечениях взаимодей-
ствия мезонов с нуклонами и нуклонов с нуклонами. Для этих
величин с погрешностью не более 10—15% выполняется соотношение
Otot (JtN)/otot (NN) = 2/3 при высокой энергии. Числовое значение
этого отношения отвечает количеству парных соударений межд}
структурными кварками при мезон-нуклонном и нуклон-нуклоннсч
взаимодействиях.
В отличие от модели последовательных упругих и неупругих пе-
рерассеяний лидирующих адронов на нуклонах ядра в аддитивной
кварковой модели учитываются взаимодействия структурных (состав-
ляющих) кварков с нуклонами ядра [62]. Вероятность неупругого взаи-
модействия v структурных кварков налетающего адрона из п* с нук-
лонами ядра вычисляется согласно формуле
U"v = (<4s) ~' R bCvn exp[ -(n-v)T (ft)] 11 -exp [ -o"bs T (6)])v.
(3.14)
где Gabs — сечение поглощения структурного кварка нуклоном; b —
прицельный параметр; С\ — биномиальный коэффициент; Т (Ь) —
оптическая толщина ядра (3.6). Считается, что сечения qN- и ^-взаи-
модействий при высоких энергиях одинаковы согласно теореме Поме-
ранчука. Значение Oabs находится из данных опыта о сечениях адрои‘
нуклонных взаимодействий посредством сравнения с предсказаниями
аддитивной кварковой модели [62].
Обычно сечения взаимодействия кварков и- и d-типа считают оди
наковыми, а кварков s-типа и более тяжелых — несколько меньшп
в соответствии с данными опыта. При выводе формулы (3.14) яДР
считалось сплошным объектом (оптическая модель). Эта формула и
* В мезоне имеется два структурных кварка (кварк и антикварк), а в бар *
не — три.
86
ii физический смысл: она учитывает вероятность поглощения
е1 пР°сТ° ых КВарков при условии, что п — v структурных кварков
т ьгтывают неупругого взаимодействия (эти кварки называют спек-
не 11СП и\ Множитель С„ учитывает число возможных сочетаний из
'"кварков ио v.
о счеты кварк-партонных каскадов в ядре 151, 631 проводятся с
1 а Времени формирования партонной флуктуации структурного
учетом р gT0M в форМуЛе (3.13) величина Е — энергия, переносп-
кварьа,, р ым Кварком. Взаимодействие медленного партона с
"аЯ дом ядра нарушает когерентность данной партонной флуктуа-
|’УкЛ° результате чего партоны начинают превращаться в структурные
ц“‘рКИ за время, определяемое формулой (3.13), где Е — энергия, пе-
реносимая данным партоном. „ л
Р Структурный кварк — это объект, обладающий собственной пар-
енной флуктуацией, содержащей медленные партоны, способный к
сичьному взаимодействию. Если энергия партона, принадлежащего
первичной партонной флуктуации, удовлетворяет неравенству
Е <m2L> > R, где — средний размер ядра, то он не успевает пре-
вратиться в структурный кварк внутри ядра и оказывается «стериль-
ным» относительно сильных взаимодействий. Такие партоны превра-
щаются в структурные кварки, а последние — в наблюдаемые адроны
)же вне объема ядра и не участвуют в развитии внутриядерного кварк-
партоиного каскада.
Из сказанного выше следует, что при высоких энергиях высоко-
энергетическая часть спектра вторичных адронов согласно предсказа-
ниям рассматриваемой модели формируется за счет однократных не-
упругих соударений структурных кварков первичного адрона с ядер-
ными нуклонами.
Развитие кварк-партонного каскада в ядре описывается количест-
венно на основе каскадных уравнений следующего типа [51]:
d/V(E->-e) 0 ехр { _р<_/ р| ф-
ое de
x-Z (е)
+ Аехр{—[х—-т—1(e)] X
о
Е
X (С р) f Ло
J да) ds
е
^СЬ Q — энергетический спектр вторичных структурных
чеСк К°П На глУбине х в ядерном веществе; dN (Е e)/cfe — энергети-
ком и спектР партонов, образованных первичным структурным квар-
е еРгией Е при первом соударении с нуклоном ядра; 1 (е) =
ствед щ±'>—Длина свободного пробега партона в ядерном веще-
нУКлог ФоРмирования вторичного структурного кварка; р — плотность
понять( В В ядРе’ Первое слагаемое в этом уравнении, как нетрудно
^•стот °ПИСЫВае1 С11ектР вторичных партонов, родившихся в первом
новении, которые не успевают превратиться в способные к
87
(3.15)
сильному взаимодействию структурные кварки внутри ядерной мат
рии на глубине х. Они формируют спектр вторичных структурны'
кварков на глубине больше х. Второе слагаемое учитывает процеХ
превращения партонов в структурные кварки внутри ядерной матери!
на глубине, меньшей х, и вторичные взаимодействия вновь образовав*1
шихся структурных кварков в ядерном веществе.
Уравнение (3.15) выписано здесь в упрощенном виде для плоского
слоя ядерного вещества. Его нетрудно обобщить на случай сферичес-
кого ядра 1641, учесть распределение партонов и структурных кварков
«у
S
Рис. 3.13. Сравнение
предсказаний модели
кварк-партонного ка.
скада в ядре для отно-
шения с эксперимен-
тальными данными о
взаимодействии прото-
нов с энергиями £0=
= 400, 200, 50 и 24 ГэВ
(на рисунке кривые
справа налево) с ядра-
ми фотоэмульсии [63]
по поперечным импульсам [63—65], образование различных сортов
кварков, распределение первичной энергии адрона между его струк-
турными кварками [631, процессы образования одновременно одной,
двух или трех (для первичных барионов) партонных гребенок струк-
турными кварками первичного адрона с вероятностями согласно фор-
муле (3.14) и другие детали кварк-партонного каскада.
Вопрос о превращении структурных кварков в адроны решается
пока на феноменологическом уровне (модели фрагментации, слияния,
рекомбинации [661). Заметим здесь лишь, что проблема пока еще
далека от своего полного решения. Как показывает сравнение расче-
тов, выполненных в рамках рассматриваемой модели, с данными опы-
та, спектры вторичных ливневых адронов, образованных на ядрах,
неплохо соответствуют расчетным спектрам вторичных структурных
кварков [51, 53]. Поэтому модель, по-видимому, способна описать ка-
чественные и количественные черты адрон-ядерных множественных
процессов вполне удовлетворительным образом (рис. 3.13).
Аддитивная кварковая модель предсказывает для отношения вы-
ходов вторичных пионов при взаимодействии протонов с ядрами и ну-
клонами следующие значения [621: при х = Е1Е0 ~ 2/3 (Еа — эиеР
гия первичных протонов, Е — энергия пионов)
Rx=Wr. (3J6)
88
в лА-соударениях результат (3.16) имеет место при х « 1/2.
рД.реакциях при х 1 3 ожидается.
Rx^W1 + aWs, (3.17)
r [dN (рА n)/dx]f [dN (рр -+ n)!dx]\ вероятности W, вы-
паяются по формуле (3.14); параметр а зависит от модели превраще-
ЧНС структурных кварков в пионы, но по разным оценкам а « 1 [501.
р льтаты (3.16), (3.17) следуют из предположения о том, что в соот-
тствующих областях изменения х мезоны образуются с участием
топько кварков-спектаторов. Предсказания (3.16), (3.17) согласуются
с экспериментом (см. [62]).
В центральной области рассматриваемая модель предсказывает
отношение спектров пионов по быстротам:
(3.18)
где щ___число структурных кварков в налетающем адроне h; сечения
поглощения кварков q и адронов h ядром А вычисляются по формуле
(3.5), где под oNbs следует понимать сечение неупругого взаимодейст-
вия с/ или h с нуклоном. Предсказание (3.18) отличается от предска-
заний модели многократного перерассеяния лидирующего адрона
(3.11). Но обе эти модели предсказывают, что спектры лидирующих
частиц, образованных на ядрах и нуклонах, имеют одинаковую форму.
В целом аддитивная кварковая модель с кварк-партонными кас-
кадами в ядре, описываемая уравнениями типа (3 15), по-видимому,
лучше согласуется с экспериментом, по крайней мере для ливневых
частиц, чем другие модели [51]. Однако в рамках этой модели прихо-
дится выполнять сложные расчеты внутриядерных каскадов, что сни-
жает возможности ее применения для расчетов прохождения адронов
через конденсированные среды, которые сами по себе достаточно слож-
ны Поэтому в качестве разумного компромисса более удобно исполь-
зовать полуфеноменологические формулы, описывающие эксперимен-
тальные данные о спектрах вторичных адронов, образованных в ад-
рон-ядерных взаимодействиях, в широкой области энергий и значе-
ний А. При выборе аналитической формы для таких представлений
следует учитывать результаты теоретических моделей, которые согла-
суются с данными опыта (см. ниже).
Лептон-ядерные взаимодействия. При взаимодействии лептонов
(электронов, мюонов, нейтрино) с нуклонами и ядрами множествен-
ное образование адронов происходит в области так называемой глу-
окои неупругости, когда потерн энергии лептона в результате взаи-
модействия значительны v > 2-4-3 ГэВ и велики передачи квадрата
^-импульса вторичным адронам (—t Q1 > 1 -4-2 ГэВ2/с2). Процессы
электро-, мюоно- и нэйтринорождения адронов на нуклонах и ядрах
исываются диаграммой вида рис. 3.14, где образование адронов осу-
Щсстваяется за счет взаимодействия виртуального фотона (или
р Д)зонов — квантов слабого взаимодействия) с нуклоном (ядром).
"'ьпые фотоны высокой энергии также могут генерировать адроны
89
на нуклонах и ядрах. Существование таких процессов свидетельству
о том, что состояние фотона, реального или виртуального, содер^
виртуальную адронную компоненту, взаимодействие которой с
шенью и приводит к множественному образованию вторичных адронов
Сечение поглощения реальных фотонов нуклонами в а = 1 137 раз'
меньше сечения адрон-нуклонного неупругого взаимодействия, Так
как вероятность перехода фотона в адронное состояние прогюрщ1о.
нальна квадрату константы электромагнитного взаимодействия («
— e2lhc, е — элементарный заряд, равный заряду электрона)
Опыт показывает, что спектры вторичных адронов в процессе фото
рождения в центральной области быстрот по форме близки к спектрам
возникающим в адрон-нуклонных соударениях. Во фрагментационной
I
Рис. 3.14. Диаграмма процесса глубоконеупругого
лептон-нуклонного взаимодействия (X — адронная
струя)
области фотона спектры близки по форме к спектрам мезон-нуклопно-
го соударения, а процесс фрагментации нуклона-мишени такой же,
как и в адрон-нуклонных соударениях. Сечение процессов фотопо-
глощения на ядре зависит от числа ядерных нуклонов и параметри-
зуется в виде [511 о1п (уЛ) ~ oln (yN)A^, где 0 ~ 0,9. Если бы адрон-
ная компонента волновой функции реального фотона отсутствовала,
то следовало бы ожидать значения 0 — 1. Эксперимент свидетельст-
вует о том, что 0 заметно меньше единицы и, следовательно, внутри
ядра осуществляется процесс поглощения адронной компоненты фото-
на и процессы взаимодействия вторичных адронов с внутриядерными
нуклонами.
Как показывают экспериментальные данные, в процессах электро-,
мюоно-, нейтрииорождения адронов па ядрах зависимость сечения
поглощения виртуальных фотонов (у*) ядром иная, чем для реальных
фотонов. При параметризации сечения в видеоП1 (у*Л) ~ oJn (y*A/)X
параметр 0 оказывается различным в областях слабой неупругости и
глубокой неупругости [51]. В области изменения безразмерной пере-
менной х = Q2/ (2mA-v + mft) от х = 0 до х ~ 0,054-0,10 параметр Р
растет от 0,9 до 1,0. В области х > 0,054-0,10 он равен примерно 1,0
с некоторыми систематическими отклонениями от этого значения в
большую или меньшую сторону. Значение 0 = 1,0 свидетельствует
о пекогерентном действии нуклонов ядра в процессах электророжде1111Я
в области глубокой неупругости.
Данные о множественности вторичных адронов в глубокопеупрУ
гих процессах свидетельствуют о том, что <CNs (y*A)4>/<Ns
> 1, <NS (yA)>!<iNs (yN)> > 1. Эти результаты указывают
осуществление вторичных взаимодействий внутри ядра после перв1
ного y*N-, -еМ-взаимодействия,
Обсудим теперь две наиболее распространенные теоретические мо-
л взаимодействия реальных и виртуальных квантов электрослабо-
взаимодействия с нуклонами и ядрами.
г° в модели векторной доминантности (МВД) (см., например, [671)
стулируется, что фотон (у или у*) можно представить в виде супер-
П°зпцин нейтральных векторных (V) мезонов (р°, со и других мезонов),
вторые и участвуют в сильном взаимодействии с нуклоном-мишенью.
Константа перехода у (у*) -> V определяется при этом из данных о
адпаиионном распаде V-мезонов или об образовании V-мезонов в
Процессе е+е_-аннигиляции. Однако МВД предсказывает неправиль-
но зависимость oin (уЛ), а,п (у*Л) от А, поскольку в этой модели
еечения фотопоглощения пропорциональны сечениям поглощения век-
торных адронов ядром о|п (УЛ) ~Л2/3.
Качественно правильное объяснение Л-зависимости сечения фото-
поглощения дает кварк-партонная модель, согласно которой [511 фо-
тон переходит сначала в кварк-антикварковую пару (qq), а затем ком-
поненты этой пары взаимодействуют с нуклоном-мишенью. Поскольку
сечение сильного взаимодействия кварка-партона с мишенью велико
лишь в случае, когда он достаточно медленный (обладает импульсом
р ~ т), пара qq асимметрична по энергии. Одна из компонент пары пе-
реносит почти всю энергию у (у^)-кванта, а другая оказывается срав-
нительно пизкоэнергетической. Именно этот медленный кварк и успе-
вает провзаимодействовать с мишенью за время жизни т кварковой
флуктуации фотона (x~v/Q2). Кварк-спектатор образует в резуль-
тате высокоэнергетический спектр вторичных адронов, а медленный
кварк — низкоэнергетическую часть спектра. Таким образом, в
кварк-партонной модели фотон подобен по своим свойствам одному
(виртуальному) кварку, что резко отличает его свойства от свойств
Еекторного мезона, состоящего из симметричной по энергии од-пары.
Детальный анализ процесса лептон ©рождения адронов на ядрах
в рамках кварк-партонной модели [681 показывает, что при значении
бьёркеновской безразмерной переменной х = Q2/2mwv < Л1/3 тл/тп
расстояния, на которых у*-квант существует в виде асимметричной
?</-пары, превышают размеры ядра R (R ~ тл'А1^3, где тл — масса
пиона). В этой области значений х должен проявляться эффект ядер-
чого поглощения адронной компоненты виртуального фотона, что и
наблюдается на опыте. При х > тл!тц у*-квант существует в виде
'мметричиой эд-нары на расстояниях, не превышающих межну-
к,1<>нные расстояния в ядре. В этом случае нуклоны ядра действуют
некогерентно и параметр р = 1. При значениях x^mnhnN ожпдает-
। что р > 1 Этот эффект связан с действием закона сохранения
Ргчи-импульса и явлением слияния партонных облаков (гребенок)
У чонов ядра в системе отсчета, где ядро движется с релятивистской
^нергией [681. При х < tnn'mN значение р убывает с уменьшением х
рЭновится заведомо меньше единицы при х < А~} 13тл1т^.
нроваСЧеТЫ вызванного лептонами кварк-партонного каскада в ядре
прОцеДятся На основе каскадного уравнения так же, как и в случае
ссов, вызванных адронами, с учетом качественных эффектов, рас-
91
смотренных выше. Результаты таких расчетов [511 согласуются с экс
периментальными данными, но не выражаются простыми аналитиЧе '
кими зависимостями. При изучении высокоэнергетической части спек/
ров вторичных адронов можно руководствоваться данными, получен"
ными на нуклонах. В низкоэнергетической части спектра существеннь
внутриядерные каскады.
Образование адронов с большими ру на ядрах. Как уже отмеча-
лось при обсуждении экспериментальных данных, зависимость инва-
риатных инклюзивных дифференциальных сечений образования ад-
ронов от ру качественно изменяется в области ру > 1,5—2 ГэВ с
Смену экспоненциальной (или гауссовой) зависимости от степенной
связывают с процессами жестких кварк-кварковых соударений, про-
исходящих за счет обмена глюонами — нейтральными цветными кван-
тами сильного взаимодействия [69]. Эти процессы описываются кали-
бровочной теорией сильного кварк-глюонного взаимодействия, назы-
ваемой квантовой хромодинамикой [70]. В модели одноглюонного об-
мена между кварками сталкивающихся адронов предсказывается за-
висимость при больших
Ed3<Ed3p~ руп, п = 4 (3.19)
в области углов вылета вторичных адронов 0* ~90° в Ц-системе.
При достигнутых энергиях в области ру > 1,54-2 ГэВ/c наблю-
дается степенная зависимость инвариантного сечения от (см. обсуж-
дение экспериментальных данных в начале этого раздела), но показа-
тель степени п в зависимости (3.19) оказывается существенно больше
предсказываемого квантовой хромодинамикой (п ~ 64-10) [71].
Имеется множество работ, где предлагаются различные модели,
позволяющие аппроксимировать наблюдаемую экспериментально за-
висимость Ed'a'd-'p отр± в области р± > 1,54-2 ГэВ/c. Не обсуждая
детально эти модели, отметим, что их основные результаты имеют вид
(3.3). Наиболее интересной и пока убедительно не объясненной явля-
ется Л-зависимость инвариантных сечений образования адронов с
большими ру на ядерных мишенях:
Ed3o/rf!p~ (3.20)
В области р у >1,5 ГэВ с показатель степени а (р±) в протон-ядерных
соударениях превышает единицу и растет с увеличением pL, достигая
значений а (ру « 5 ГэВ/c) х 1,1 для вторичных л±-мезонов; а (ру ~
« 6 ГэВ/c) ~ 1,3 для протонов, антипротонов и К_-мезонов; а (ру —
~ 4 ГэВ/c) ~ 1,2 для К+-мезонов.
Данные о рождении адронных струй с большими pL в рА- и
соударениях свидетельствуют об еще более быстром увеличении па-
раметра а (ру) с ростомру. В то же время в процессе образования мас-
сивных лептонных пар в рА-соударениях наблюдалась зависимост
dcddm^ ~ Aa<mw\ где a (mw) ж 1 при тмм > 4 ГэВ (тМ1 — эфф^
тивная масса мюонной пары). Эта Л-зависимость вполне согласует
с моделью аннигиляции <7<?-пары в лептонную ц+р_-пару через ВИР
туальный фотон соответствующей массы. Для образования массивн
92
необходимы сравнительно высокоэнергетические кварки (анти-
па^ЬкИ) число которых в движущемся ядре пропорционально числу
„уклонов А 1511.
° Общепринятого удовлетворительного объяснения Л-зависимости
с а> 1 пока не найдено, хотя модели кратных перерассеяний
^окоэнергетических кварков друг на друге и на ядерных нуклонах
ВЬчественно «работают» в нужном направлении [50].
Ка В сложившейся ситуации проще всего для расчета спектров адро-
с большими рх, образовавшихся в результате развития межъядер-
каскадов в протяженной конденсированной среде, использовать
Формулы типа (3.3) с экспериментально наблюдаемой Л-зависимостью
(3.20).
Взаимодействие ядер с ядрами при высоких энергиях. Весьма ог-
раниченные данные о процессах множественного образования адронов
при соударениях релятивистских ядер с ядрами неплохо описываются
в рамках модели многократного перерассеяния нуклонов одного ядра
на нуклонах другого [72]. Основные результаты этой модели сводятся
к следующему
1. В центральной области быстрот вторичных частиц и небольших
рс[, где |xf! « 1 (*F =р*||/|р*||тах|, p*i измеряется в Ц-системе MV-
соударения), инвариантный дифференциальный спектр инклюзивных
частиц с (в основном пионов) описывается формулой
d3 о(Al-FA2 —> с-|-X) /[ /[ N-.d3 ° (N-|-М—>с |-Х)
d3 рс 12 d3 рс
(3.21)
где Аъ А2 — ядра с соответствующим числом нуклонов; X—недетек-
тируемые продукты реакции.
Отношение выходов вторичных частиц сорта с в А хЛ2-соударении
[£cd3o (Аг + А2^ с 4- X)/tf7?c]/oin (ДХЛ2) = FAt z2 и в MV-соударе-
нии [Ecd3o (N + с + X)/d3pc]/otot (NN) = Fnn при |xF| « 1
определяется согласно (3.20) выражением
Fa\azIFnn — ^i^2°tot (NN)/oin (Л1Л2), (3.22)
где Otot(W) — полное сечение AW-взаимодействия; oln (ЛХЛ2)—
сечение неупругих Л1Л2-взаимодействий.
Формулы (3.21), (3.22) следуют непосредственно из оптической
модели соударений ядер с ядрами и справедливы для не слишком лег-
ких ядер Аъ А2; (3.22) можно представить и в другой форме:
Fai42 FnN = <?V.41Z> <>Д2>Ф (ТЦЛо),
лм = Tlotot (NN),’o1B (NA); oln (NA) — сечение неупругих
Я-взаимодействий;
ф (ЛХЛ2) = oln (M4x)oln (M4a)/otot (NN)uin ИИ2).
речения crln (NA) параметризуются в виде: oJn (NA) ~ 39Л0’72 мб,
гдерСНИЯ1 И И 2) - в виде:о1п (АгА2) ~ nR20 (А'/3 + /1>/3 - с)2,
— 1,52 • Ю-13 см; с ~ 1,35. Такие параметризации согласуют-
93
ся с имеющимися экспериментальными данными (см. [721, где выц01
нено детальное сравнение с экспериментом).
2. В области фрагментации нуклона ядра при xF >0,1 предска-
зывается следующее поведение спектров как функций xF: '
FЛ1А2 /Fnn ~ Nд, А3 •’(Ар)> (3.23)
где NAl = Л1<тin (NA2)/о1п (Ац42) — среднее число участвующих Во
взаимодействии нуклонов ядра Поведение величины у (лу) > О
определяется из данных о NA- и AW-взаимодействиях. Параметр
у (xF) медленно растет с ростом xF. При xF ~ 0,5 у (xF) ~ 0,2.
3. В области фрагментации нуклонов ядра Д2 имеет место форму,
ла, аналогичная (3.23). Соотношения (3.22) и (3.23) справедливы при
высоких энергиях, приходящихся на нуклон налетающего ядра Д
(Еа1/А1 > 100 ГэВ [28]). Если же Ау <с А2, то эти соотношения могут
выполняться даже при энергии порядка нескольких (десятков) гига-
электрон-вольт на нуклон ядра.
При не очень высокой энергии соотношения (3.22), (3.23), вообще
говоря, не должны иметь места и следует либо использовать феноме-
нологические параметризации экспериментальных данных, либо при-
менять модель внутриядерного каскада [481.
3.4. Феноменологическое описание инклюзивных спектров
Существующие модели для описания инклюзивных распределений
адронов в рр-соударениях при Ео> 1 ГэВ основаны на конкретных
упрощающих предположениях и поэтому описывают процесс в ка-
кой-то ограниченной области кинематических переменных. Так, ме-
тод комплексных моментов, обобщенный на инклюзивные процессы,
предсказывает поведение функций распределения по скейлинговой
переменной xF раздельно в областях фрагментации и пионизации и
не дает указаний для промежуточной области. Распределение по по-
перечному импульсу рх в методе комплексных моментов не определя-
ется, и его приходится постулировать, выбирая гауссову или экспо-
ненциальную форму и подгоняя параметры из сравнения с опытом.
Модели статистического, термодинамического типов также содержат
достаточно много подгоночных параметров. Кроме того, подобные мо-
дели дают неправильную зависимость инвариантного сечения от по-
перечного импульса при рх > l-j-2 ГэВ/с.
Все это не позволяет в рамках какой-либо конкретной модели
обеспечить количественное согласие теории с экспериментальными
данными в широком кинематическом интервале, не прибегая к под-
бору свободных параметров. Насущная необходимость в описании
инклюзивных спектров, особенно при движении вверх по шкале энер-
гий, инициировала многочисленные попытки создания соответствую-
щих феноменологических формул.
Основные черты инклюзивных распределений адронов в реакц»11
hp сХ можно анализировать, используя простые выражения вида
EcFalcFp = Со (рх) (1 — хР)п; п(рх_, р0). (3-24
94
чения параметра п для различных реакций в области импульсов
пвичного адрона р0 ~ 1004-200 ГэВ/c в Л-системе при Р1 <
1 2 ГэВ/c и 0,2<xF< 1 приведены в табл. 3.3 [73].
блица 3.3. Значения параметра п в формуле (3.24)
для различных реакций
Реакция л+—>К+ Л“ - ->к- К+^л+ л— л+ -> р -» Р
— п 1,28 1,40 2,28 2,50 1,78 2,13
Реакция л+->р —> р К+~>р к-^р р—> л+ р—>
п 2,98 2,58 1,72 1,56 3,43 3,10
Реакция р —> К+ Р- > п~ р —> л+ л+ -> Л“ л- л+ л+— -К-
п 2,87 4,53 3,71 3,32 2,94 2,30
Реакция л- —К+ К+->л~ К~ - л+ Р-» ~Р
п 1,98 2,98 2,51 4,13 4,68 8,09
При анализе взаимодействий полезно понятие среднего коэффици-
ента неупругости </О. В табл. 3.4 приведены заимствованные из
[74] асимптотические значения <ZKV> = <ZKnE>, рассчитанные (ниж-
ние цифры) и полученные экспериментально (верхние цифры). В pN-
реакции при Е ~ 20 ГэВ </Ст> ~ 0,15; </(+> ~ 0,46; <К- > —
0,13; <К0> ~ 0,41 [74].
В работе [75] предложены выражения для эффективных инвариант-
ных сечений инклюзивных реакций
рЛ-»-(л±, К±, р, 2±) + Хл; РА-+(р, п) + ХА (3.25)
Для протонной и ядерной мишеней. Формулы содержат не больше сво-
бодных параметров, чем конкретные модели, и, главное, обладают
всеми качественными свойствами в области малых (р± <1,5 ГэВ/с)
и больших (р± > 1,5 ГэВ,!с) поперечных импульсов, описывая спект-
ры во всей области —1 xF 1.
и В качестве кинематических переменных используют х' = Е*1Етах
Pi, где Е* и Е*пах — полная энергия инклюзивной частицы в Ц-
v,CLeMe 11 ее максимально возможное значение. Переменные х' и р±
cti°в^лпзи границы фазового пространства и в центральной обла-
I (см. разд. 1.3). Кроме того, в этих переменных должен наблюдать-
Ранний скейлинг.
95
Таблица 3.4. Средние значения коэффициента неупругости
Реакция Ео, ГэВ сн2 AI Fe РЬ
nA -» л°Х 200—2000 0,17+0,01 0,19±0,02 0,19+0,02 0,21+0,09
л± —> л°Х 200—2000 0,17 0,33±0,02 0,19 0,38+0,04 0,21 0,37+0,05 0,23 2 0,39+0,04
рА л°Х 103—3 104 0,31 0,31 0,31 0,30 0.17+0,01
— —• — 0,19
С учетом качественных предсказаний реджевской и партонной мо-
делей получено [75] следующее выражение для спектров частиц в пер-
вой из реакций (3.25):
- -^- = Сг Ab (₽i) (1 -х')с’ ехр (-С3 V) Ф (рх);
Ол d3 р
ехр (— Свх.) (3.26)
Ф (Pi) = ехр (—С4 pl) + С5 —>
где b(pt) =
boPj_> Pi «С Г;
b0 Г, рх > Г, х± ~ 2рх /У S ,
а параметры Ьо, Г, р2, Сг, найденные методом наименьших квадратов
по экспериментальным данным, приведены в табл. 3.5. Там же даны
массы соответствующих частиц т и минимальные массы со системы
Ха из (3.25) в случае нуклонной мишени.
Таблица 3.5. Значения параметров в формулах (3.26), (3.27)
Частица т, ГэВ со, ГэВ Р1 Ьо Г, ГэВ с. Са С, С. Сь с.
р 0,93828 0,93828 1,3 0,13 5,0 0,018 126 1,14 — — —
п 0,93957 1,07785 1,3 0,14 5,0 0,018 126 1,14 — —
л+ 0,13957 1,87775 0,88 0,10 4,0 0,25 3,1 0,88 3,0 2 11,3 9,8 10,7 8,8
0,13957 2,01613 0,86 0,11 3,5 0,20 4,0 1,18 3,0 2
к+ 0,49371 2,05388 1,2 0,12 4,0 0,075 2,5 1,60 3,0 2
к- 0,49371 2,37027 1,2 0,12 4,0 0,078 6,1 2,46 3,5 2
р 0,93828 2,81484 1,1 0,12 5,0 0,080 8,6 2,30 4,2 2 10,5 12,0 12,0
2+ s- 1,18937 1,19735 1,43598 1,57555 1,1 1,1 0,12 0,12 4,0 4,0 0,015 0,014 0,3 0,4 1,3 1,6 4,0 3,8 1 1
—
Для описания дифференциального сечения второй из реакции (3. ?
использованы [75] предсказания реджевской модели при |xfI > ’ ’
дифракционной двух кластерной модели при |л+| < 0,7 и предел
ния партонной модели при больших Учтены трехреджевские
шины PPP, PPR, RRP, и RRR (см. разд. 3.1), которые параме Р
зованы в виде Gppp^ (t) = Go ехр (at). Здесь Р — померон с р
96
пней ар (/) = 1 + 0,15/, a R — эффективный невакуумныи полюс
с траекторией aR (t) = 0,5 + 0,75/, а = const. Окончательно
[Fpp + С2 Аь(р^ х'(1 — х')СаР! (р\ +р2)-4’5];
стл d3 Р
Fpp=[\ +S-’/2 (1 -х')-,/2](1 -х'Г,+0-3р1 ехр(-3,5р1),
(3.27)
где функция b (р±) такая же, как в формуле (3.26), а значения пара-
метров приведены в табл. 3.5. Для реакции рА -> пХа Fpp = 0.
а) инклюзивной реакции рр—+ . . . (кривые — расчет по формуле (3.26):-----------------
Ро=24 ГэВ/г,-------------ро=15ОО ГэВ/г; экспериментальные данные, заимствованные из
175] для р0 от 6 до 1500 ГэВ/с: •—Р^ =0,2 ГэВ//?; —=0,8 ГэВ/г; x'—E*/E*max)‘t
б) реакции рр—►р-Ь ... [кривые — расчет по формуле (3.27)]
На рис. 3.15—3.21 представлены результаты расчетов по формулам
(3.26), (3.27) в сравнении с экспериментальными данными [75]. Наблю-
дается хорошее согласие в широких диапазонах ядер-мишеней (р, Be,
Ti, W) первичных импульсов 6 р0 1500 ГэВ/c, поперечных
ГэВ,с И продольных Ротах импульсов,
это свидетельствует о высоком качестве предложенных формул, что
Делает их удобным инструментом анализа инклюзивных распределе-
ний.
Однако несколько пониженная точность описаний спектров при
Малых pt и деталей Л-зависимости являются платой за универсаль-
ность формул (3.26) и (3.27). При расчетах ядерно-электромагнитных
каскадов (ЯЭК) малые поперечные импульсы играют существенную
Роль. Кроме того, необходима информация о реакциях типа (3.25) для
ех налетающих частиц, участвующих в развитии ЯЭК, в широком
4 Зак. 295 97
диапазоне первичных импульсов р0 > 0,1 ГэВ/c. В результате прове-
денного анализа различных предлагавшихся в литературе полуэмпи-
рических формул [76—83] в настоящее время для проведения теорети-
ческих расчетов ЯЭК можно рекомендовать следующую систему фе-
номенологического, описания'^ инклюзивных распределений адронов
в ЛЛ-взапмодействиях. т
Область Ео > 5 ГэВ. Пусть налетающая частица — нуклон. 1ог-
да в интервале 0,8 < xF < 1 спектры лидирующих нуклонов опись
98
ся PPP- 11 РР7?-вклйДами трехреджеонного формализма. Средняя
63 ожественность этих нуклонов описывается эмпирической формулой
~ 0,135 (Л + 2)-0’385. Распределения остальных быстрых ну-
клонов находятся с помощью формул [76, 801 (x = xF):
d2 W р*
-----“ = ЬС2|х| + С3х*);
dxdpt 4/5
X [ехр(—C4pi) + C5exp(—С6р±)],
(3.28)
Рис. 3.18. Инвариантное сечение
образования инклюзивных адронов в
рр-столкиовениях при р. =0,2 ГэВ/с
(кривые—расчет [75] для р0=
=300 ГэВ/c; экспериментальные точ-
ки из [75] для 6<ро<15ОО ГэВ/с;
— экспериментальные данные для
рВе взаимодействия из [75] при
Ро=29 ГэВ/с и р. =0; х'=
=E*/E*mai)
Рис. 3.19. Инвариантное сечение образования л°-мезонов в рр-столкновениях
(расчетные кривые и экспериментальные точки — из работы [75])
где х xF = pp/pmax, а модифицированные параметры Сг, обеспечи-
вающие согласованное описание спектров, приведены в табл. 3.6.
Таблица 3.6. Значения параметров С, в формуле (3.28)
А С, С. с. с. С» с.
<40 >40 2,87 2,80 —2,99 —1,78 3,2 0,3 3,91 5,38 5,82 5,80 2,99 2,80
4* 99
Для описания процесса образования вторичных л- и Л'-мезонов
можно рекомендовать пользоваться формулами [77—791:
—= Cj -4- (1 F exp (—С5 xR)Ф(pl);
axapi х
F~ 1 —exp (—Sp*2/C3—pl/C4);
ф (p2±) = (! — C6) exp (—C7 p\) + ce exp (—Cs p\),
(3.29)
где xR = р*/рГпах, x'H E*/EnWX, а параметры С; приведены в табл. 3.7.
Звездочкой отмечены величины в Ц-системе реакции.
Рис. 3.21. Импульсное распределение протонов
и пионов под углом 0 = 77 мрад в Л-системе
в р7\-взаимодействии при ро=ЗОО ГэВ/c. Расчет
по формулам (3.26), (3.27) (-----), по термоди-
намической модели (--------) и эксперименталь-
ные точки из [79]
Р и с. 3.20 Инвариантное сечение образования
адронов в plP-взапмодействии при ро=ЗОО ГэВ/с
(расчетные кривые и экспериментальные точки —
из работы [75])
Пусть теперь налетающая частица — л^мезон. Спектры нуклонов
при xF 0 описываются формулой (3.28), а в области xF > 0 — фор-
мулой, приближенно описывающей экспериментальные данные 184]:
d2 N
, . 2" =5i ехр(—В2х)[ехр( В3/Д)+£4ехр(—В5р±)]. (3.30)
ах ар ±
Здесь Вх-1,8; В2 = 5,2; В3 = 3,78; В4 = 0,47; Bs = 3,6.
Для лучшего описания Л-зависимости спектров используют на-
бор формул (3.28)'—(3.31) для водородной мишени в сочетании с мо-
дельными предсказаниями (3.16) — (3.18) и рис. 3.13.
Инклюзивные распределения вторичных л-мезонов приближенно
описываются формулой из работы [801:
d2 N Со
. , 2 = [С4ехр (—С2 х» + С3] С\ exp (—QpJ.
(3.31)
Параметры С, приведены в табл. 3.8.
100
ТаблпИ3 3.7. Значения параметров Ct в формуле (3.29)
ЯДРО Частица С, С, С, С4 С5 с. С, С,
л+ 2,47 1,80 3,0 0,010 2,78 0,30 12,0 2,70
Л"" 1 74 2,60 1,0 0,009 2,94 0,30 12,0 2,70
Нз к+ 0,17 1,30 3,0 0,010 2,78 0,46 4,2 2,65
к- 0,12 3,60 1,0 0,009 2,94 0,48 5,0 2,70
л + 2,32 1,89 2,6 0,010 3,03 0,30 12,5 2,65
Л“ 1.62 2,52 0,7 0,008 3,13 0,32 11,0 2,70
Be к+ 0,11 1,28 2,6 0,010 3,03 0,51 4,3 2,65
к- 0,09 3,80 0,7 0,008 3,13 0,52 5,5 2,70
л+ 2,27 1,93 2,0 0.008 3,23 0,32 12,0 2,65
Л“ 1,61 2,58 0,3 0,005 3,33 0,35 10,5 2,70
Al к+ 0,12 1,31 2,0 0,008 3,23 0,52 4,4 2,70
к- 0,09 3,84 0,3 0,005 3,33 0,52 5,7 2,75
л+ 2,25 1,89 1,8 0,006 3,57 0,35 Н,2 2,65
Л — 1,59 2,53 0,2 0,002 3,70 0,37 10,0 2,70
cu к+ 0,13 1,35 1,8 0,006 3,57 0,54 4,6 2,75
к- 0,10 3,90 0,2 0,002 3,70 0,55 6.0 2,80
л+ 1,95 1,82 1,5 0,005 4,00 0,37 11,0 2,65
Pb Л“ 1,52 2,44 0,1 0,001 4,17 0,40 10,0 2,70
к+ 0,14 1,40 1,5 0,005 4,00 0,55 4,9 2,85
к- 0,10 3,96 0,1 0,001 4,17 0,56 6,5 2,90
Таблица 3.8. Значения параметров Ci в формуле (3.31)
Реакция X с„ С, С2 С, С.
л+~» л+ <0 1,7 0,33 7 0,0001 5,7
>0 1,7 0,22 5 0,115 5,7
Л~ —> л— <0 1,7 0,31 13 0,0001 5.7
' >0 1,7 0,2 5 0,115 5,7
л+ -> л- <0 5,4 0,14—O,14/1OVS 13 0,0001 5,7
>0 5,4 0,14—0,14/101/5 5,5 0,0001 5,7
нук^ЛЯ Описания в Л-системе распределений медленных каскадных
ях ЛОнов’ образующихся в hA-взаимодействиях при высоких энерги-
• используются формулы из работы [76]:
101
d?N _ Г iljj exp( —£/cclf) |
dE Mi L aii [1—exp (— £0/а1г)]
; П2; exp ( —£/Ct2i) 1 П (£ 0)-
a2i-[1 —exp (—£0/a2i)] ]
g(E 0) = |^оехр( — 62/M. 0<л/2;
[/Voexp( —л2Д0), 0 2>л/2,
(3.32)
где при Еп > 5 ГэВ параметры имеют следующие значения: п1г —
= 0,21 КИ; п2р = 0,0245/Л; п1п = 0,27/Л; п2п 0,032)Л4; а]р ==
= 0.027С; а2р = 0,16С, а1п = 0,023С; а2п = 0.15С; С = 1 — 0.001Д;
Хо = (0,12 + 0,00036А)/£; No — нормировочный множитель такой,
что 2л |’g (Е, 6) sin 6d6 = 1.
о
На рис. 3.22—3.24 приведены некоторые результаты моделирова-
ния методом Монте-Карло (см. гл. 6) инклюзивных распределений про-
тонов и л±-мезонов в рА- и л А-соударениях при энергиях Ео — 100
и 3000 ГэВ. В процессе моделирования использовалась система фор-
мул (3.28)—(3.32).
Область Е„ < 5 ГэВ. Если первичная кинетическая энергия адро-
нов лежит в интервале 0,1 < Ео < 1 ГэВ, то можно воспользоваться
формулами из работы [83], особенно удобными при построении анали-
тических решений уравнения переноса нуклонов промежуточных энер-
гий. Дифференциальные спектры вторичных нуклонов в Л-системе
представляются в виде суммы квазисвободной и каскадной составляю-
щих:
d2Nij!dE cfQ = d2Nli/dE ciQ + d2Nc4!dE dSl, (3.33)
где
(£., Е, и.) = п„ (Ei) ,с;) х
dE c/Q 2лЕо \ Eq /
(3.34)
(14 Зцр,);
х 6 £)‘
d_21(£0,£,|is)
dEMi 4л
щ cos 0 —косинус угла рассеяния в Л-си-
стеме. Здесь пц, £, а, т, со и т] — парамет-
ры, найденные аппроксимацией результатов
расчета нуклон-ядерных взаимодействий по
модели внутриядерного каскада[83]. В табл.
3.9 приведены значения параметров ппп и £
Рис. 3.22. Инвариантное сечение реакции рЛ/->л X
при £о = 1ОО ГэВ для р ± = 0,3 ГэВ/c. Гистограм-
мы— результат моделирования из формул (3.29), точ-
ки— экспериментальные данные [84] (расчетные 1
экспериментальные данные для л_-мезонов умень-
шены в 2 раза)
Рис. 3.23. Результат моделирова-
ния инклюзивных распределений ад-
ронов в реакции рр->-сХ при Ео =
=3000 ГэВ (поперечный импульс
OsSp^ С0,2 ГэВ/c; А — р; ф —л+;
О — л)
Рис. 3.24. Проинтегрированное по
р^ инклюзивное распределение про-
тонов (А) л+ (ф)- и (О)-ме-
зонов в реакции п+р^-сХ при Ео=
= 3000 ГэВ
для некоторых ядер. Для других реакций ntj определяются следую-
щим образом:
прп = [И—Z)/(2 А — Z)] пп п,
nnJ,= [Z/(24— Z)] ппп\
nw=[(/H-Z)/(2^-Z)]n„n,
(3.35)
где Л и Z — атомная масса и заряд ядра соответственно.
Таблица 3.9. Значения параметров в формуле (3.34)
Е„, ГэВ о А1 Си РЬ
"пп 6 "пп 6 ппп Е ”пп Е
0,05 0,68 0,01 0,61 0 01 0 53 0,01 0,40 0,01
0,1 0,78 0,02 0,69 0,02 0,56 0,02 0,42 0,02
0,2 0,78 0,20 0,79 0,02 0 63 0,02 0,46 0,02
0,3 0,80 0,20 0,72 0,20 0 56 0,20 0,44 0,05
0,4 0 66 0,40 0,59 0,40 0 52 0,20 0,31 0,40
0 5 0 47 1 00 0,41 1,00 0,34 0,80 0,23 0,80
0,6 0,33 1,60 0,30 1,60 0,24 1,40 0,16 1,40
Параметры второй из формул (3.34) практически не зависят от Z
Ри *3 < Z < 82 и энергии налетающего нуклона в интервале 0,1 <
< 1 ГэВ и равны а = 0,3 МэВ-1; о -= 0,01; т ~ 0,2; я = 0,5.
103
Для более детального описания инклюзивных спектров адронов в различных
реакциях в диапазоне кинетической энергии первичного адрона 0,02 < Ео <
< 5 ГэВ можно использовать формулу [82]
d2 Nn
Ее, E,e)=Fq+FL+Fc, Д>1, (3.36)
tlE-iCLciu '
где слагаемые в правой части описывают распределения по углам и энергии адро-
нов, образовавшихся в результате квазиупругого рассеяния лидирующих и кас-
кадных адронов соответственно:
tffNq(E0, Д)
F<7 = 3/, t------ fq (6) exp
2л3/2 69(Eo, 0)
^L(E0, Л)
£L =-------------
(E—Eq(E0, 0))2
6* (So, 0)
(3.37)
dtt,
2„
(3.38)
fc=-^-^(£. Е, Д).
(3.39)
Приведем параметры и функции, входящие в эти выражения, используя
как в [81], кинетические энергии Ео и Е, МэВ, и углы в Л-системе 0, рад.
Для формулы (3.37):
q ( 0,8, если « = / («, j=p, п);
( 0,2, если i =£ j;
Uq (Е„, Д)— 1,17 [1 -0,8 ехр (~gl (Ео))] {1 -ехр [ — (Eo/35O)i - *]} х
X ехр (—0,081/Д—1);
fq (0)= aq (Ео) ехр [-0,5aQ (Ео) О2];
Eq (Ео, 6) = Ео cos2 0/[ 1 + Ео sin2 0/(2/^)] —0,25;
й(Ео)=4-1О1оЕ^+ЗЗ.ЭЕо °-6В;
6g(E0, 0)=25 (1 +0,008Ео 0);
aq (Eo)=4[0,5-bO,01E§/(2000+Eo)](l+Eo/2/nJV),
где /Пд, — масса покоя нуклона, МэВ.
Для формулы (3.38):
’1
L
Ч
2/3, если i — j;
1/3, если вторичный адрон отличается от первичного на единицу по за-
рядовому состоянию;
0—в остальных случаях;
Nl(E0, Д)=^28,1 exp[-gj (Ео)] (Д + 69)-i;
/l(£. е) = Ег(«, kt} ехр [—77 (ОД-^О2)];
d/VL
(Ео, Е) = (1-Е/Ео)/Ео, 7 = /; 2/ЗЕ0, 7 ¥=/;
gz(u, ^)=(1 + 772)[1-|-5,2^(2-|-772)-7]/[1 + ехр(-77л:)];
77 = Е/т2; т2 = 2ООЕо/(Ео + 26ОО);
kt = 1,21 Е„ [(2000-J- E„) V1 + 1п Л]”1;
104
Для формулы (3.39).
f4j(E, 6) = 9с(Ео)ехр
dNc ,г р »,_____ас(Ер, Д) / __ Е \у Ео
dE ( °’ ’ ’ Е+62 к eijmax ) «//max
ес ke
[ 20(J0-(~l/l И7 £610-3—i) + fc4 и3 03 1;
L т3 /г7
ас(Е0, Д)
eij max
Ас (Ео, Л) {(y+ [£-. 1п (1+£о/б2 (т+ 1))]} >
g __ е__— eL — кинетическая энергия, уносимая каскадными частицами;
е и eL___кинетическая энергия, уносимая нуклонами квазиупругого рассея-
ния и лидирующими частицами соответственно; е^тах — максимально возмож-
пая кинетическая энергия частиц сорта /; е = Ео — Е* (Ео, А) — [Nn(E0, Д)—
— 1]ЕС (Д) — m„Nn (Ео. 4) — Ez (Ео, Д), £*, Ес> Ez — средняя энергия
возбуждения ядра, отрыва нуклона из ядра и развала ядра соответственно;
Т(£о, Д) = 3(О,ОО1£о)°'06 [1 — ехр(-А2£0)]; А2=5-10 « (1 + Д,/3);
fee = [ 1 + б2 (Т+ 1)/3£о (^/Ео+ 1,75)]-1;
ё2 = 250Д“,/2 [14-2,5£0 (1000+E0)-i ехр ( — 0,024)];
Nn(E„, Д)= (1+"|/Д) ехр {—?(Д)ехр[—Х(Д)«]};
и = 1п(£0/3,68); ЦД)=0,087Д2/3+4,15; X (Д)=0,72 (1 + In Д)”0-4;
Nn(EQ, Д)=^л1ехр(О,О751/Д^Т)£(£о, Д);
= 0,5335 (Eg + 2mN £„)0,125_2
g(E0, Д) ехр[-О,25.1Ов£5-2-О,7(Д-1)1/4/(1 + 1О-3£о)];
(1 + и|)[1+5,2^4«3 (2+ ««)-!]
qc 1+ехр(—и3л)
ц3=£/т3; т3=2ОО£о(£о+56О)-1;
| 1,21£0 (2000+Ер)-1 (1 +1п Д)-°-5, j=n, р-
4 I О,3(Ео — Ю00)(£0+ Ю00)-1, / = л;
Е7=0,01 Уе0-IO-3 (1+0,25 1пД).
Долю т]^. каскадных частиц [на примере первичных нейтронов в формуле
(3.39)] определяют согласно следующим соотношениям;
Nn/Np = \l + ехр (-Ео/2000)] (Д + 1 -Z) Z~i;
I 1 3—ап
\
^(Ео, Л)
^я.=
NaM
Nn(E0, 4)
д? — | — д/ 2 1°"
Л+-1 3 NnM- bn
2gn—1
Еп
МЛ(ЕО, Д)
; Ьп =6 (1 + яп);
3 Млм +
яп=7(Д—Z)-i[l—0,5ехр(—10-9ЕЗ)].
105
Распределения испарительных частиц, образующихся в результа-
те распада возбужденных состояний ядер, изотропны по углам. С уче.
том зависимости кулоновского потенциального барьера от температу-
ры То возбужденного ядра энергетические спектры нуклонов можно
приближенно представить в виде:
dNj/dE = (Ё/Т2) ехр (— Ё/Т), (3.40)
где Nj — выход испарительных частиц сорта /;
|£, /=п;
U-Vo/(1+0,157*), /=р;
Т = 0,47V, То = (10 £*/Л)1/2; Го = 1,115Л"1/3; Е* — энергия воз-
буждения остаточного ядра (см. разд. 6.3).
Полное и дифференциальное сечение (мб) высокоэнергетического
упругого и квазиупругого рассеяния можно вполне удовлетворительно
описать [851 формулами для А >9 и Ео > 5 ГэВ:
°е! (Л) = 6.38Л1-04; |
ое1(Л)/ааЬ8(Л) = 0,13Л°.37;)
12.5Л1163 ехр ( —14,5Л0’661) +
+ 17,5Л0-33ехр( —10|/|), Л <62; (3.42)
= 50Л1 •33 ехр(—60Л°-331/|) +
dil
+ 20Л°’40ехр( — 10|i|), Л^62. (3.43)
Здесь t = —2р2 (1 — cos 6) « —р202, р — импульс частицы, ГэВ/с.
В заключение, используя инвариантность фазового объема d3p Е,
выпишем связи между инвариантными сечениями инклюзивных про-
цессов при различном выборе независимых переменных:
£ da __ х' da _______ Е da _____ 1 da
~ dx dp\ р2 dp da Р dEda'
ГЛАВА 4
ЭЛЕКТРОН-ФОТОННЫЕ ЛИВНИ
4.1. Качественные закономерности развития
электрон-фотонного ливня
В гл. 2 были рассмотрены основные элементарные процессы в,за*
модействия электронов (позитронов) и фотонов с изолированными ат
мами, с ядром атома и атомными электронами. В данной главе изу
ется процесс прохождения высокоэнергетических электронов и Фс
нов через конденсированную среду (далее везде, где это не оговоре
106
4.1- Относительные потери энергии
лектроном на одной радиационной длине в
jHUe [31] на ионизацию и возбуждение ато
св’ тормозное излучение (2) и образова-
ние 6-электронов (3). [Процессы неупругого
ссеяния электрона на атомных электронах
Рключены в ионизационные потери (/), если
Вотерп энергии в каждом акте не превышают
0 255 МэВ; в противном случае эти процессы
рассматриваются как меллеровское рассеяние
(3)]
особо, под электроном понимается также
п позитрон). Такой процесс пред-
ставляет собой совокупность большо-
го числа элементарных процессов
Проведем сначала качественное рассмотрение проблемы на примере
прохождения высокоэнергетического электрона (£e»mt,c2) через
плоский слой вещества толщиной в несколько радиационных длин.
При малых энергиях электрона основным механизмом его потерь энер-
гии являются процессы ионизации и возбуждения атомов среды
(рис. 4.1). С увеличением энергии электрона его относительные иони-
зационные потери энергии уменьшаются и все большую роль начина-
ют играть потери энергии на излучение. При энергии электрона, рав-
ной критической энергии ек, потери энергии на излучение сравнива-
ются с ионизационными. При Ее з> е„ потери энергии на излучение
становятся доминирующими Критическая энергия ек зависит от ве-
щества (табл. 4 1). Для оценки ек, МэВ, можно пользоваться прибли-
женной формулой [86], которая справедлива с погрешностью не более
10% для веществ с атомным номером 13 Z 92:
е„ ~ 550/Z.
(4-1)
Таблица 4.1 Значения радиационной длины tr, критической энергии ек,
мольеровской единицы длины гм (см. ниже) и средних ионизационных потерь
энергии dE/dx в минимуме ионизации для некоторых веществ
Вещество dE/dx,, 'г ек, МэВ
А р, г/см3 МэВ-см2/г г/см2 СМ Гду, см
с 6 12 0 1 55 1,78 42,7 27,5 75,9 7,68
А1 13 27,0 2,70 1,62 24 0 8,9 39,3 4,76
Аг 18 40,0 1,40 1,51 19,55 14,0 29,8 9,96
ге 26 55,9 7,87 1,48 13,84 1,76 20,5 1,82
Сц Sn % РЬ и 29 50 74 63,5 118,7 183,9 8,96 7,31 19,3 1,44 1,28 1,17 12,86 8,82 6,76 1,43 1,21 0 35 18,7 11,4 7,9 1,62 2,25 0,93
82 92 207,2 238,0 11,35 18,95 1,13 1,09 6,37 6,00 0,56 0,32 7,2 6,6 1,65 1 ,03
Вода Сцинтил Ялерная 1 ,00 2,03 36,1 36,1 73,0 10,5
лятор, пластик эмульсия 1,032 3,815 1 ,97 1,44 43,8 11,02 42,9 2,94 87,1 16,4 10,4 3,8
“тновое стекло SF-5 4 08 — 10,4 2,54 15,8 3.41
3,67 1,32 9,49 2,59 12,5 4,39
107
При прохождении слоя вещества толщиной в одну радиационную
длину tr энергия электрона в результате процессов тормозного излу
чения уменьшается в среднем в «е» раз (см. разд. 2.5). Значения радиа'
ционной длины для некоторых веществ приведены в табл. 4.1. дЛя
оценки величины tr, г/см2, можно пользоваться приближенной фОр.
мулой [861:
tr ~ 180 Л Z2, (4 2)
которая верна с погрешностью не более 20% при 13 <1 Z 92.
Пробег электрона до взаимодействия с атомом вещества, в резуль-
тате которого электрон излучает тормозной фотон, можно оценить
воспользовавшись формулой (2.10) для дифференциального сечения
тормозного излучения электрона, которую можно представить в виде:
dZre (Е, со) = (cfco'co) (1 + ш* (£. «). (4.3)
где dZre — макроскопическое дифференциальное сечение, выражен-
ное в единицах радиационной длины; и = ы/Е; со и £ — энергия тор-
мозного фотона и электрона соответственно; Fe (Е, и) — функция,
слабо зависящая от Е и и (см. рис. 2.1); ш0 = ХеУ п^ге!п (пе — плот-
ность электронов в веществе; ге — классический радиус электрона;
— комптоновская длина волны электрона). Множитель Fp = (1 ф-
+ ы'о/п2)"1 учитывает эффект поляризации среды. С хорошей степе-
нью точности Fe ~ 1, поэтому полное макроскопическое сечение тор-
мозного излучения нетрудно оценить:
£ге(Е)~\ *7\--~1п(да0-*), ^«1. (4.4)
J (и2 фи2)
Таким образом, полное макроскопическое сечение тормозного из-
лучения высокоэнергетического электрона не зависит от его энергии и
определяется только свойствами вещества. Длина свободного пробега
электрона до излучения тормозного фотона в единицах радиационной
длины определяется формулой
Ке ~ 1 Zre ~ 1/ In (дао1). (4 5)
Для свинца, например, Хге ~ £/9. Из формулы (4.5) следует, что, при
прохождении слоя вещества толщиной в одну радиационную длину
электрон в среднем испускает In (да£ ’) тормозных фотонов. Учитывая,
что при этом энергия электрона уменьшается в «е» раз, можно оценить
среднюю энергию каждого из испущенных фотонов:
<(ov> ~ 0,6£е/ In (дао *)- <4'6)
Для свинца ~ Ее/15. Поскольку тормозные фотоны характе-
ризуются очень пологим энергетическим спектром (da do ®
энергия испускаемого фотона подвержена значительным флуктуация'’
и может сильно отличаться от среднего значения, определяемого ф°Р'
мулой (4.6). В процессе тормозного излучения может быть испущен
относительно большой вероятностью высокоэнергетический фотон (на
пример, с энергией со ~ EeIZ). При этом ультрарелятивистский элект
108
Макроскопическое сече-
взаимодействия фото-
[31]
Рис. 4.2.
нпе процессов
на со свинцом
испустивший его, даже теряя значительную энергию, остается
Р ’же высокоэнергетическим и способным эффективно излучать высо-
Воэиергетические тормозные фотоны.
ь Излученный фотон, взаимодействуя с атомами среды, может либо
оглотиться в результате фотоэффекта, либо испытать комптоновское
Пассеянне на атомных электронах, либо образовать электрон-позн-
попную пару в кулоновском поле ядра или атомных электронов
с 4.2). Роль фотоэффекта незначительна при энергии фотона cov >
> 1 МэВ, причем, чем легче вещество, тем меньше сечение фотоэффек-
та (зависимость от числа электро-
нов в атомной облочке Z5) по срав-
нению с сечением комптоновского
рассеяния (Z) и с сечением образо-
вания е!е~-пар (~Z (Z+1)). При
малой энергии фотона наиболее ве-
роятный процесс его взаимодей-
ствия с веществом — комптонов-
ское рассеяние на атомных элект-
ронах. С ростом энергии фотона
все более вероятным становится
процесс образования электрон-
позитронных пар, который при
энергии фотона, в несколько раз
превышающей значение 2т,.с2,
становится преобладающим. При энергии фотона cov > 1 ГэВ макро-
скопическое сечение процесса образования е+е--пар практически не
зависит от энергии. Средний пробег фотона при этих энергиях до взаи-
модействия, в результате которого образуется электрон-позитронная
пара, составляет
Х.Р1> ~ 9/,/7.
(4-7)
Образовавшиеся электрон и позитрон уносят каждый в среднем по по-
ловине энергии фотона и могут в свою очередь в результате взаимо-
действия с атомами среды испустить тормозные фотоны, которые затем
образуют электрон-позитронные пары и т. д. Процесс размножения
фотонов, электронов и позитронов происходит лавинообразно, но не
беспредельно. По мере роста числа вторичных частиц средняя энергия
каждой из них падает. При энергии электрона ниже критической он
начинает тормозиться, главным образом, за счет ионизационных по-
терь энергии. С уменьшением энергии фотона все более вероятным ста-
новится процесс комптоновского рассеяния. Образующиеся при этом
комптоновские электроны имеют энергию ниже критической и не уча-
ствуют в процессах размножения. Таким образом, когда энергия каж-
и из вторичных частиц, образующих лавину, становится достаточно
да?0'1 ,(напРимеР> в случае свинца Ее < ек ~ 7 А4эВ, < 5 МэВ),
льнейшее размножение частиц в лавине прекращается и она начина-
Описанный процесс носит название электрон-фотонного
109
Р и с. 4.3. Экспериментально измеренная
зависимость среднего числа заряженных
частиц в ЭФЛ, инициированном в свицце
электроном с энергией Ео=50 ГэВ, от глч
бины его проникновения t [86]: ’ у"
пунктир — уровень возможных флуктуаций,
ответствующий одному стандартному отклонению
от среднего значения 0
Суммируя сказанное, продоль-
ное развитие ЭФЛ (т. е. развитие
каскада в направлении движения
первичной частицы) можно качест-
венно охарактеризовать следующим
образом. Вначале идет быстрое на-
растание числа частиц в каскаде с увеличением глубины его про-
никновения в среду (участок / каскадной кривой на рис. 4.3). При этом
средняя энергия, приходящаяся на одну частицу, быстро падает.
В области максимума ливня (когда среднее число частиц в ливне макси-
мально) средняя энергия каждой из заряженных частиц близка к кри-
тической энергии для данного вещества. По достижении максимума
число вторичных частиц в ливне начинает медленно уменьшаться
(участок II каскадной кривой). Этот так называемый «хвост» ливня
состоит главным образом из фотонов (и образуемых ими комптонов-
ских электронов) с энергией, которой примерно соответствует мини-
мальное суммарное макроскопическое сечение взаимодействия фото-
на с веществом (для свинца эта энергия равна нескольким мегаэлект-
рон-вольтам). Таким образом, на большой глубине развития ливня
доминируют комптоновски рассеянные фотоны.
На небольшой глубине проникновения ЭФЛ в вещество (до макси-
мума ливня), когда идет интенсивное размножение частиц за счет про-
цессов образования е+е_-пар фотонами и тормозного излучения элек-
тронов, развитие ливня в поперечном направлении обусловлено в ос-
новном многократным кулоновским рассеянием электронов (позитро-
нов). Действительно, средний угол разлета между тормозным фотоном
и испустившим его электроном составляет [211:
<6ет>г — (8mec2/£0) In (£0/mec2),
(4.8)
где Ео — энергия первичного электрона. Средний! угол, под которым
вылетают электроны и позитроны в процессе образования е_е+-пар
фотоном, составляет [21]:
<6<?v>P — (mec2/£) In (Е/т^),
где E — энергия вторичного электрона (позитрона). Средний квадра-
тичный угол многократного кулоновского рассеяния релятивистско-
го электрона в слое вещества толщиной t выражается формулой (2.ЗУ)
^e\=-^V t!tr,
Е
где Es ~ 42mec2; Е — энергия электрона.
ПО
Средний свободный пробег фотона до взаимодействия, в котором
„ азуется электрон-позитронная пара, составляет 9tr/7 1см. формулу
м 7)1 Средний свободный пробег электрона до взаимодействия, в ко-
тором излучается тормозной фотон с энергией cov > сос, выражается
формулой
юс) = 1/Sre (E, co > coc),
где
ге (£» 7--* е>с)
р и du
J (г? + шВ)
"с
Здесь величины Е, и, w0 те же, что и в формулах (4.3) и (4.4), а ис —
. а Е. При ис » для величины свободного пробега Хге (со > сос) =
= tr/ In (£7сос)-
Процессами, приводящими к размножению частиц, можно считать
такие процессы тормозного излучения, в которых испустившийся
фотон уносит заметную долю энергии первичного электрона (напри-
мер, сос ><COV> ~ £/15 для свинца). Тогда Xre (со > <cov>) ~
~ 0,4/г и <6ev>r/<0e>c ~ In (£/mec2)/5; <6ev>p/<6e>c ~
~ In (Е/т^/ЗО для свинца. Из этих оценок следует, что многократ-
ное кулоновское рассеяние играет решающую роль в поперечном раз-
витии ливня, когда энергия, приходящаяся в среднем на одну вторич-
ную заряженную частицу ливня, не слишком велика. В самом же
начале ЭФЛ, когда энергия вторичных частиц еще достаточно высока,
развитие ливня в поперечном направлении крайне незначительно, так
как абсолютные значения углов <6ev>r и <6ev>p очень малы (на-
пример, <6ev>r ~ 1/30и<6е?> ~ 1/200 при £ = 1 ГэВ). Электрон,
имевший первоначально энергию £0 = 1 ГэВ, пройдя слой вещества
толщиной в одну радиационную длину, обладает в среднем энергией
£ = 0,3 ГэВ, а угол его многократного рассеяния на пути t — 0,4£
составляет <6Г>С ~ 1/20. Из этого примера видно, что многократное
кулоновское рассеяние начинает играть определяющую роль в попе-
речном развитии ЭФЛ на глубине проникновения каскада, равной
1—2 радиационным длинам, так как средняя энергия, приходящаяся
на одну вторичную частицу в ливне, уменьшается экспоненциально
с увеличением глубины его проникновения.
На большой глубине проникновения (в области «хвоста» ливня) и
на большом расстоянии от продольной оси ЭФЛ поперечное развитие
каскада обусловлено, главным образом, комптоновским рассеянием
низкоэнергетических фотонов.
Макроскопические дифференциальные и полные сечения процес-
сов образования е~е+-пар фотоном и тормозного излучения электрона
слабо зависят от энергии первичной частицы (при £ > 1 ГэВ). Выра-
женные в единицах радиационной длины [см. формулы (2.8) и (2.14)1,
ни практически одинаковы для различных веществ независимо от
мной массы и атомного номера вещества. Поэтому глубину проник-
вения ЭФЛ естественно выражать в единицах радиационной длины
Интенсивное размножение частиц в ЭФЛ происходит до тех цОп
пока средняя энергия, приходящаяся на одну вторичную частицу ' ’
станет близкой к критической энергии ек. При энергии ниже крцТн
ческой электроны тормозятся в основном в результате потерь энергИи
на ионизацию и размножение вторичных частиц прекращается. СЧц
тая для простоты, что в процессе тормозного излучения электрона ис-
пущенный фотон уносит половину энергии электрона (на самом деде
средняя энергия тормозного фотона существенно меньше), а в процес-
се образования фотоном электрон-позитронных пар каждая из вторич-
ных частиц также уносит энергию, равную половине энергии фотона
число поколений вторичных частиц в каскаде можно оценить как К
— log2 (£0/ек), где Ео — энергия первичной частицы. Из этой оцен-
ки следует, что число вторичных частиц N в ливне составляет N
или N ~ Е0/ек.
На начальной стадии развития ЭФЛ (начиная с глубин t > 1 -у 2ф)
и в области максимума ливня его поперечное развитие определяется
многократным кулоновским рассеянием вторичных электронов. Сред-
няя энергия электронов в области максимума ЭФЛ близка к крити-
ческой энергии для данного вещества ек. Среднеквадратичный угол
рассеяния таких электронов после прохождения ими слоя вещества
толщиной в одну радиационную длину — £s/eK, а средне-
квадратичное смещение от оси ливня по порядку значения оценивается
как гм ~ trEslzK. Величину гм называют мольеровской единицей длины.
С погрешностью не более 10% для 13^ Z 92 мольеровскую едини-
цу можно принять равной [86]:
Гм — 7Л Z.
(4.9)
Значения гм для некоторых веществ приведены в табл. 4.1. Физичес-
кий смысл мольеровской единицы длины состоит в том, что она харак-
теризует развитие ЭФЛ в поперечном направлении, которое практи-
чески перестает зависеть от вещества, если расстояние от оси ливня
выражается в мольеровских единицах гм-
Экспоненциальное затухание ЭФЛ на большой глубине его про-
никновения в вещество [ — ехр (—Z/А)] характеризуется длиной ослаб-
ления А, которая слабо зависит от энергии первичной частицы (см.
разд. 4.5). Длина ослабления А приблизительно равна пробегу
наиболее проникающих фотонов до их взаимодействия: Хтах = 1/ртт>
где цтщ — минимальный коэффициент поглощения фотонов в веще-
стве. Коэффициент поглощения фотонов равен сумме макроскопичес-
ких сечений основных процессов взаимодействия фотона с веществом
(фотоэффект, комптоновское рассеяние и образование пар): р =
= 2ф (со) + 2ц (<") + (®) [87]. Величина А, будучи выражена в
радиационных длинах, слабо зависит от сорта вещества и составляет
приблизительно 2—3tr.
Таким образом, развитие ЭФЛ в веществе определяется тремя ос-
новными параметрами: радиационной длиной tr, критической энерги-
ей ек и мольеровской единицей длины гм. Рассмотрим для конкретно-
сти развитие ЭФЛ в легком (с небольшим Z) и тяжелом (с большим
112
71 веществах, инициированною частицей (электроном или фотоном)
энергией Ео (соо)- В легком веществе критическая энергия |см. фор-
,пу (4.1)1 больше, чем в тяжелом (например, е^1 е£ь ~ 6). Соответ-
ственно в ливне, развивающемся в легком веществе, число вторичных
частиц в Ек/el раз меньше, чем в тяжелом, при одной и той же энергии
епвнчной частицы, инициировавшей ЭФЛ. Пространственные рас-
пределения вторичных частиц в каскадах для легких и тяжелых ве-
ществ также различаются. В легких веществах ЭФЛ более вытянут
в направлении движения первичной частицы, чем в тяжелых вещест-
вах На рис. 4.4 показаны контурами эффективные области развития
Рис. 4.4. Контуры областей, в которых выделяется 90% энергии ЭФЛ, разви-
вающегося в алюминии и свинце [86]
ЭФЛ в алюминии и свинце при одной и той же энергии первичной час-
тицы. Поскольку продольное развитие ливня определяется радиаци-
онной длиной вещества, то длина ЭФЛ для легких и тяжелых веществ
приблизительно одна и та же в единицах tr. Развитие ЭФЛ в попереч-
ном направлении характеризуется мольеровской единицей гм, которая,
будучи выраженной в единицах радиационной длины, оказывается
для легких веществ значительно меньшей, чем для тяжелых. Для алю-
миния, например, гД1 ~ 0,5/Д1, а для свинца гДЬ 3/₽ь. Поэтому эф-
фективная область развития ливня в свинце приблизительно в 6 раз
шире, чем в алюминии.
4.2. Основные количественные характеристики
электромагнитного каскада. Определения
Изучение процесса развития ЭФЛ представляет значительный
практический интерес. Достаточно упомянуть такие области приме-
п^чия, как проектирование и создание электромагнитных калоримет-
э„В’ повсеместно используемых в экспериментальной физике высоких
тпо ГИ11’ Э также решение целого ряда радиационных проблем на элек
РивННЫХ И протонных ускорителях высоких энергий. Ниже рассмат-
предЮТСЯ важнейшие характеристики электрон-фотонного ливня,
вставляющие практический интерес.
преде^Н0Я И3 главных характеристик является пространственное рас-
Функ ЛеН„Не вторичных частиц в ЭФЛ. Это распределение описывается
Нией £' (/г, £01 £с> которая имеет смысл плотности вероят-
на
пости обнаружить на глубине t и на расстоянии г от оси ливня п части
сорта i с энергией Е, большей Ес, в ЭФЛ, инициированном частице^
сорта / с первичной энергией Ео (i, j = у, е~, е+). В дальнейшем верхИ
ний индекс / будем опускать, имея в виду, что в конкретных случаях
всегда рассматривается определенный! сорт частицы, инициировавшей
каскад. Зная плотность распределения Pt, можно найти плотность
распределения среднего числа частиц сорта i по энергии и в простран-
стве:
оо
Nir(E0, Ес, nPt(n, Ео, Ес, г, t).
п=0
(4.Ю)
На практике часто бывает важно знать, как та или иная характе-
ристика ЭФЛ флуктуирует около своего среднего значения. В рассмат-
риваемом случае пространственного распределения вторичных частиц
в ЭФЛ знание функции Рг (и, Ео, Ес, г, t) решает задачу о флуктуа-
циях. В ряде случаев достаточно знать лишь возможные флуктуации
которые характеризуются дисперсией:
Ф2 =2 ^Pi(n)-Nf.
п=0
(4-11)
По аналогии с (4.10) можно ввести плотность распределения числа
частиц сорта t, направление движения которых составляет угол 0 с
осью ливня (направлением движения первичной! частицы):
оо
Nie (Ео, Ес, 6, /) = 2 nPi (п, Ео, Ес, 6, t).
п~ 0
Дисперсия этой величины, характеризующая ее флуктуации, опреде-
ляется по формуле (4.11).
Интегрируя функцию Nir (Ео, Ес, г, t) (или Nie (Ео, Ес, 6, /)) по
радиусу г (или функцию Nte по углу 6), находим распределение сред-
него числа частиц сорта i по глубине i (так называемую каскадную кри-
вую):
Nt (Ео, Ес, t) = [ dr Nir (Ео, Ес, г, t).
о
На практике удобно пользоваться такими величинами, как значение
Nt (Ео, Ес, t) в максимуме 7У™ах и положение этого максимума по
глубине t (/max).
Важной характеристикой ЭФЛ является распределение в прост-
ранстве поглощенной энергии ливня. Энергия первичной частицы,
инициировавшей ЭФЛ, диссипирует в процессе развития ливня, пе-
редаваясь вторичным частицам, и в конечном итоге поглощается ве
ществом в результате ионизации и возбуждения атомов среды. Час
говорят не о поглощенной! энергии, а об энергии, выделившейся в СР
де, имея в виду, что энергия первичной! частицы, трансформированн
в результате развития каскада в энергию б-электронов и энергию в
114
ения атомов среды, не пропала бесследно. Ее можно при опре-
6 енных условиях измерить. Для описания процесса диссипации энер-
деЛ вВедем функцию w (Ео, Е, г, /), характеризующую плотность ве-
ГИ'ятности выделения энергии Е в точке с координатами t и г = (р, ср),
Р0Я/р (f) — полярные координаты точки в плоскости, перпендикуляр-
Г^й оси ливня. Тогда плотность пространственного распределения вы-
делившейся энергии выразится формулой
W (Ео, г, /)== [ Ew (Ео, Е, г, t) dE.
о
Здесь W (Ео, г, 0 — средняя энергия, выделившаяся в единице объе-
ма в окрестности точки (г, t). Флуктуации энерговыделения в прост-
ранстве определяются функцией w (Ео, Е, г, I) и характеризуются
дисперсией:
[Д2 w (Е) dE— IE21/ f w (Е)
_b ji 6
<у2е
dE.
Важными с практической точки зрения являются также такие ха-
рактеристики ЭФЛ, как средняя суммарная длина треков заряженных
частиц <Е> и среднее число пересечений Ncr заряженными частица-
ми некоторого заданного числа плоскостей! (как правило, расположен-
ных на одинаковом расстоянии друг от друга перпендикулярно оси
ливня). Средняя суммарная длина треков заряженных частиц в ЭФЛ
<L> находится с помощью функции РсЪ (L), являющейся плотностью
вероятности обнаружить в ливне суммарную длину треков, равную
оо
L: <Е> = f ЕРсЪ (L)dL. Введем также функцию Рст (т, п) — плот-
о
ность вероятности обнаружить п пересечений! заряженными вторичны-
ми частицами ЭФЛ плоскости с номером т. Среднее число пересечений
плоскости т заряженными частицами
Ncr (m) = 2 nPcr (m, n).
n=0
Флуктуации этой! величины характеризуются дисперсией!
(Ter (rri) = V /г2 Pcr (т, п)—(ш).
и = 0
Среднее суммарное число пересечений К плоскостей
Л’сг = 2 «( 2 рсг(^.«))= 2 ^сг(т)-
n = 0 1 / т=1
лУктуации Ncr характеризуются дисперсией
оо / К \
Осг’ 2 ”2 I v РСГ (/«>«) - -^сг-
п = 0 \т=1 /
115
Относительные флуктуации среднего числа пересечений 6 = о /»,
уменьшаются с ростом числа плоскостей К. Расстояние между n.noci сг
стями d = I К, где I — толщина плоского слоя вещества, на котопп'
выделяется подавляющая часть энергии ЭФЛ (например, 95%). [+'Г
расстояние между плоскостями становится меньше пробега электп Й
на до взаимодействия d < Zrf = trl In (1/щ0) [для свинца Хге ~ о {у
см. формулы (4.4) и (4.5)], возникают сильные корреляции между
лом пересечений треков заряженных частиц с соседними плоскости'
ми. Из-за этого обстоятельства увеличивать число поперечных плоско' *
стей, где подсчитывается число пересечений, сверх ~ L7.re нецелей
сообразно, так как при К > Ко относительные флуктуации числа пе-
ресечений Ncr практически не изменяются с ростом К.
4.3. Основные результаты аналитических решений
задачи о развитии электромагнитного ливня
Аналитические методы решения задачи об ЭФЛ развиты в работах
[34, 88—92] и достаточно хорошо известны. Поэтому кратко рассмот-
рим только основные результаты, следующие из аналитических реше-
ний данной задачи.
При аналитическом подходе к проблеме используются два основных
приближения, оправданных в различных энергетических областях,
в рамках которых удается получить аналитическое решение задачи о
развитии ЭФЛ. В так называемом приближении А [90] рассматрива-
ются лишь вторичные частицы с энергиями, значительно превосходя-
щими критическую энергию (Е з>ек). В этом случае вполне оправданы
следующие упрощения: 1) сечения процессов образования пар и тор-
мозного излучения считаются независящими от энергии первичной
частицы; 2) дифференциальные сечения этих процессов имеют вид,
соответствующий! случаю полного экранирования ядра атомными
электронами; 3) пренебрегается ионизационными потерями энергии
электронов по сравнению с потерями энергии на тормозное излучение;
4) пренебрегается комптоновским рассеянием фотонов как процессом,
приводящим к «поглощению» фотона, по сравнению с процессом обра-
зования электрон-позитронных пар.
Кинетические уравнения, описывающие развитие ЭФЛ в случае
пренебрежения комптоновским рассеянием фотонов, ионизационными
потерями энергии электронов и угловой расходимостью вторичных
частиц в ливне, имеют следующий вид [91]:
dл (£)/dt = 2 f у (£') 2pv (£', £) dE' + [ л (£') 2re (£',£'—£) dE’ -
E E
E
— J л (£) Sre (£,£ — £') d£'; (4-12> .
0
dy (E)/dt = [° л (£') (£', £) dE'-f у (£) 2^ (£, £') dE'. (4-13^
Ё 0
116
чпесь л (E)dE = л (£0, £, t)dE и у (E)dE = у (£0, £, ME - сред-
J число электронов и фотонов с энергией в интервале от £ до £ dE
Нееглубине t развития ливня (I выражается в единицах радиацион-
на‘ длины t); (Е, E')dE' — вероятность образования фотоном с
н01\гнрй £ электрона (позитрона) с энергией в интервале от £' до
щеР dE' на единице пути вдоль оси ЭФЛ; 2ге (£, E')dE' — вероят-
ность излучения тормозного фотона с энергией между £' и £' Ч dE
япектроном с энергией Е на единице пути.
Рели ЭФЛ инициирован фотоном с энергией £0, то начальные усло-
М1Яимеют вид: л (£) |(=0 0; у (£) к=о = 6 (Е - £«)- В случае пер-
вичного электрона у (£)!t=o = 0, л (£)|/==0 - б (£ — £р).
При полном экранировании ядра атомными электронами (^ ~ U)
пиФЬепенциальные макроскопические сечения процессов образования
электрон-позитронных пар (£, E')dE' и тормозного излучения
Лотона 2ГР(£,£'ИА' зависят лишь от отношения £'.£, т. е.
v E')dE' = 2 (u)du, где и = £'/£. Используя это обстоятельство
и применяя к левым и правым частям уравнений (4.12) и (4.13) преоб-
разование Меллина, приходим к следующей системе уравнений 191]:
dn (s)/dt = —A (s)n (s) + В (sjy (s);
dy (s)/dt = С ($)л (s) — D у (s),
где л (S) = JE*n (E)dE-, у (s) = J£sy (E)dE; D = 7/9; A (s), В (s) и
C (s) — известные функции [91]:
b(s)=
2 8 8 .
— 1+s + 3 (3+s) s (2+s) ’
c (s) ----------—+—-—; Ф («)=-7- in (s!);
17 3s 3(s+l) (s+2) ds
Л = 0,577 ... — постоянная Эйлера.
Среднее число частиц определенного сорта (например, электронов)
с энергией выше некоторой £с определяется формулой:
Ео
Ае(£0, £с,/)= f n(E0,E,t)dE.
Ес
В приближении А каскадной теории эта величина выражается через
параметр s следующим образом [88]:
Ке (Ео, Ec,t) -Н (s) (£0/£c)s ехр {4 (s) t}/|АЖ, (4.14)
Где Ф (s) = 2л<л ^(^^(sJ/^sJZ + a/s2 .
В случае первичного электрона И (s) = [D + («)] Щ ($) — Х2 (s)]
а ~ 1 а первичного фотона И (s) — С (s)/ 1Хх (s) — Х2 (s)l и а = 12.
117
Функции Xj (s) и X2 (s) выражаются через функции A (s), В ($), с
и D так: ’
X, (s) = (l/2) {[Л (s) + D]- |/[Л (s) - D]2 + 4В (s) С (s));
К (s) = 1 /2 {[A ($) + Г»] + К[Л (s)-D|2 + 4B(s)C(s)].
Параметр s связан с t и х — Ео Ес соотношением: t ==
= —( In х — a/s)l (rfX, (sj ds).
Как видно из формулы (4.14), величина Ne (Ео, Ес, I), определяю-
щая каскадную кривую, зависит лишь от Ео Ес и глубины проникни
вения ЭФЛ /.
Параметр s, появляющийся в решении задачи о развитии ЭФЛ
называют возрастом ливня. Это название связано с тем, что параметр
s увеличивается по мере развития ЭФЛ. В начальный момент s о
в максимуме ливня $ = 1 ив области затухания ЭФЛ s > 1.
С уменьшением энергии вторичных частиц (при Е ~ ек) пренебре-
жение ионизационными потерями энергии электронов и комптоновским
рассеянием фотонов становится неправомерным. Эти процессы учиты-
ваются в приближении Б каскадной теории в предположении, что:
а) ионизационные потери постоянны и не зависят от энергии электро-
на dEldt = — const; б) комптоновское рассеяние эквивалентно по-
глощению фотона с данной энергией и его сечение не зависит от энер-
гии фотона 2 к (Е) = const.
Уравнения каскадной теории в приближении Б получают из урав-
нений (4.12) и (4.13) добавлением в их правые части слагаемых, учи-
тывающих изменение баланса частиц в рассматриваемом фазовом
объеме dtdE в результате ионизационных потерь энергии е, (дл (Е)/дЕ)
|в уравнение (4.12)1 и комптоновского рассеяния 2ку (£) [в уравне-
ние (4.13)1 [88]. Интегральный энергетический спектр электронов в
приближении Б определяется формулой [89]
Ne (Ео, Ес, t) = D (s)H (s) Р (s, е) (£0/sb)s ехр {Хл (s)/} ]/q (s). (4.15)
_ I dX, (s) s Is
Здесь D (s) = — —— -п-^- /Г (s + 1), где Г (s + 1) — гамма-
функция, и
P(s,8) = eej e_^(l—dy)s dy, (4.16)
e
где e c^. 2,3£c/eK; eK — критическая энергия; функции H (s), Хг (s) и
Ф (s) те же, что и в формуле (4.14). Как следует из формул (4.15) и (4.16),
плотность распределения электронов зависит от отношений Еи^к 11
Ес1ьк, а не от самих энергий Ео и Ес:
Ne (Ео, Ес, t) = Ne (£0/ек, £с/ек, /).
Формула (4.15) имеет достаточно сложный вид. Однако если положить
Ес = 0, то для некоторых параметров каскадной кривой Ne (Ео, 0> О
удается получить весьма простые выражения. Простое выражение п°*
118
чается также и для суммарной длины пробега заряженных частиц
оно вместе с выражениями для N™* (£0) и /П1ах приведено в
бч 4.2. Интегральный спектр электронов в области максимума лив-
ня описывается формулой (881:
N™*(E0,E) = N™* (£0)/(е),
где- eeEJ ^dyly.
е
Таблица 4.2. Некоторые характеристики развития электромагнитного ливня
в приближении Б (L и t измеряются в единицах радиационной длины,
х=Е’о/ек)
Параметр Первичный электрон Первичный фотон
^тах JV™X(EO, ^с=0) (О 1,01 (In х— 1) 0,31х/У1пх—0,37 X 1,01 (In х—0,5) 0,31x/"|/lnx— 0, 18 X
Аналитическое решение трехмерной задачи о развитии ЭФЛ мож-
но получить в приближении Ландау [92], справедливом в области ма-
лых углов отклонения движения вторичных частиц от направления
первичной частицы: sin 6 ~ 6 1. Плотность пространственного
распределения частиц в ливне в этом случае можно приближенно пред-
ставить в виде F (г) = К (s)rs~~2 (/+l)s-4-5. Здесь г — расстояние от
оси ЭФЛ в мольеровских единицах гм; s — возраст ливня; К (s) — нор-
мировочный множитель, вычисляемый
по приближенной формуле (при $<1,6):
К (s) ~ 0,443s2 (1,9— s). Результаты
численного расчета пространственного
распределения электронов в ливне в
приближении Б приведены на рис. 4.5.
Аналитические решения, полученные
на основе упрощенных моделей, описы-
вающих развитие ЭФЛ, дают достаточ-
но хорошие количественные резуль
таты для легких веществ (Z < 20) и
Достаточно высоких энергий вторичных
частиц (£с > что СИЛЬНо огра-
НыхС’, ^Анальные распределения вторич-
мУМаЭЛ(Т—Р°Н0В В в области его макси-
Роков 134]. Энергия первичных элект-
VKa^„ в единицах критической энергии ек
на Для каждой кривой
119
ничивает область их применения. Решение же при помощи аналити
ческих методов, например, задачи о флуктуациях характеристик лив'
ня или его развития в среде, обладающей сложной геометрией, прак"
тически не представляется возможным. Однако рассчитанные по ана'
литическим формулам такие характеристики развития ЭФЛ, как по"
ложение и значение максимума ливня, а также суммарная длина тре.
ков вторичных заряженных частиц, могут быть использованы ддя
количественных оценок в широком круге возникающих на практике
задач.
4.4. Моделирование электрон-фотонного ливня методом
Монте-Карло
Решение трехмерной задачи о развитии ЭФЛ в композиции слоев
различных веществ, характеризующейся сложной геометрией (а имен-
но такие задачи, как правило, представляют интерес с практической
точки зрения), возможно лишь численными методами. Основным яв-
ляется здесь метод Монте-Карло. Моделирование развития каскада
имитацией (с соответствующей вероятностью) процессов взаимодейст-
вия электронов и фотонов с веществом позволяет: 1) учесть все влияю-
щие на развитие ливня физические процессы взаимодействия электро-
нов и фотонов с атомами среды; 2) учесть все особенности энергети-
ческого поведения сечений этих процессов, особенности энергетических
и угловых распределений вторичных частиц; 3) решить задачу о раз-
витии ЭФЛ для среды со сложной геометрией и составом компонент;
4) наиболее прямым способом решить задачу о флуктуациях ха-
рактеристик ливня.
Немаловажным для практики фактором является простота и на-
глядность алгоритма решения задачи методом Монте-Карло, что по-
зволяет легко вычислять различные функционалы и учитывать внешние
факторы, влияющие на развитие каскада (например, магнитное папе
в среде). Недостатком метода Монте-Карло является его относительно
медленная сходимость (относительная точность метода порядка N~' 2,
где N — число разыгранных историй, см. разд. 1.5).
Создано много разнообразных программ, позволяющих рассчиты-
вать развитие ЭФЛ методом Монте-Карло [21, 42, 93—95] и др. Они
различаются в основном лишь удобством пользования программой и
степенью ее универсальности. Именно эти причины и доступность обус-
ловили широкое распространение программы SIMEXI [93] в СССР и
программы EGS-3 [42] за рубежом.
Общая схема моделирования развития электромагнитного ливня.
Процесс моделирования ЭФЛ включает в себя моделирование процес-
сов распространения фотонов и электронов (позитронов) в веществе
и их взаимодействий с атомами среды. При этом прослеживается судь-
ба каждой из вторичных частиц ЭФЛ. Числа, отображающие харак-
теристики всех частиц в ливне на данном этапе моделирования его раз-
вития, хранятся в соответствующем разделе (массиве) памяти ЭВ. •
Этот массив обычно организуют таким образом, что па самом верхне «
его уровне хранятся характеристики самой низкоэнергетической час-
120
[bi В первую очередь прослеживается судьба частицы самого верх-
него уровня. Прослеживание прекращается, если: а) происходит вза-
Н юдействие; б) энергия частицы оказывается меньше некоторого на-
"ецед заданного порога обрезания Ес или в) частица попадает в опре-
Пепенное место пространства. В случае взаимодействия частицы на
Аспхний уровень массива помещают характеристики той вторичной
частицы, энергия которой минимальна, и процедуру прослеживания
повторяют уже с новой частицей. То обстоятельство, что в первую
очередь прослеживается судьба частицы с наименьшей энергией,
обеспечивает сохранение глубины (размера) массива в пределах
1ощ (Е0/Ес), где Ео — энергия частицы, инициировавшей каскад.
Если энергия частицы меньше пороговой или частица попадает в
определенное место пространства (например, покидает блок вещества),
то ее прослеживание прекращают и начинают прослеживание судьбы
частицы со следующего, более низкого уровня массива, который! с это-
го момента становится верхним. Розыгрыш отдельного каскада (исто-
рии) заканчивают, когда из массива извлечены и прослежены все вто-
ричные частицы.
Такую схему прослеживания называют лексикографической. Па-
раллельно с прослеживанием судьбы каждой из частиц ливня (просле-
живанием дерева траекторий) ведется накопление [и (или) вычисле-
ние] информации, необходимой для получения требуемых функциона-
лов: пространственного, углового и энергетического распределения
частиц определенного сорта, флуктуаций их параметров и других ха-
рактеристик развития ЭФЛ.
Прежде чем перейти к моделированию конкретных процессов, рассмотрим
алгоритм розыгрыша случайной величины, представляющий собой обобщение
метода отбраковки (см. разд. 1.5), который широко используется при модели-
ровании ЭФЛ. Пусть функцию плотности распределения f (х) случайной вели-
чины х можно представить в виде:
п
f(x) = У ai^i(x)gi(x),
i=l
(4.17)
где > 0; 0 gt (х) 1 и <рг (х) > 0 для всех х из области определения
ь
(ч < х Ь) функции <f; (х) и f <pt (х) dx = 1. Тогда алгоритм розыгрыша слу-
„ „ а
чайной величины х, подчиняющейся закону распределения (4.17), состоит в сле-
дующем [21, 41] (символами у и ц обозначим случайные числа равномерно рас-
пределенные в интервале от 0 до 1).
1. Выбирается случайное целое число / (1 j п) с вероятностью, про-
порциональной аг, т. е. такое, для которого выполняется условие
7-1
2
« = 1
/ I п
“г <Т< У “i / У «!•
/= 1 /1=1
Чай 2 Разыгрывается (например, методом обратной функции, см. разд. 1.5) слу-
ая величина х из распределения <р> (х).
ri пОт^нРается такая случайная величина х, для которой функция gj (х)
Оярт/ В пРотивном случае случайная величина х бракуется и процедура повто-
нпется, начиная с п. 1.
втакоТ°Г метод Розыгрыша удобен, когда удается представить функцию f (х)
м виде, чтобы п было небольшим, легко производился розыгрыш х из всех
121
распределений ф, (х) и значения функций g; (х) не очень сильно отличались
1 (т. е. браковка результатов розыгрыша происходит достаточно редко). При
розыгрыше этим методом вероятность браковки 1 — 1/Z а;, а среднее числ0
попыток, необходимых для розыгрыша одной случайной величины
Моделирование распространения частиц в среде. Средняя длина
свободного пробега частицы (у, е~, е+) до взаимодействия X выража-
ется через ее полное сечение взаимодействия с атомами среды
X = 1/ (7VApotot/Al) = 1/Stot,
где Ад — число Авогадро; р — плотность вещества; М — молеку-
лярная масса; ot0t —полное сечение взаимодействия с атомом (моле-
кулой) среды; Stot — макроскопическое полное сечение взаимодейст-
вия.
Вероятность взаимодействия частицы на интервале пробега (х, х + dx) оп-
ределяется по формуле dP (х) = dx/X (х). Поскольку средняя длина пробега мо-
жет меняться в процессе распространения частицы в среде (например, если час-
тица теряет энергию или переходит из одного вещества в другое), то, вообще го-
воря, X зависит от х, т. е. X = X (х).
Число взаимодействий на пути от х до (х + dx) обозначим d/V. Очевидно, что
dW = N(x) dx/'k (х) или dN!N = dxl"t. (х),
где N (х) — число непровзаимодействовавших частиц, пришедших в точку х.
Интегрируя это уравнение, получаем:
{X \
— J dx/X (х) >, No = N (х0).
х« 1
Число взаимодействий
п (х) = NB
и вероятность провзаимодействовать на интервале от х0 до х
X
— J dx/К (х)
X»
Интеграл
X
У dx'/X (x')=7Vjv (4.19)
Хо
п/Л0=1—ехр
представляет собой число средних пробегов, пройденных частицей при ее дви-
жении от точки с координатой х0 до х. При X (х') = X = const в интервале от х0
до х величина N^ равна просто (х — х0)/Х. Число средних пробегов N^, как это
следует из формулы (4.18), подчиняется закону распределения
1—ехр (—Л/х). (4-20)
Розыгрыш случайной величины N^ производится методом обратной функции-
N^= •— In у, где у — случайное число, равномерно распределенное в интерва
ле (0, 1). Подставляя эту величину в правую часть соотношения (4.19). можн
определить место взаимодействия частицы.
122
распространение фотонов определяется тремя ос-
иными процессами: образованием электрон-позитронных пар, комп-
1)0 овским рассеянием и фотоэффектом. Сечения этих процессов доста-
Т°чно малы, так что прохождение фотонов через вещество можно мо-
нтировать как последовательность прямолинейных отрезков между
^заимодействиями (в этой цепи могут быть «разрывы», например, в
БпуЧае образования пар). Если среда, в которой движется фотон, ге-
С1рОгенна, т. е. состоит из слоев различных веществ и число этих сло-
ев конечно, то интеграл в выражении (4.19) приобретает впд:
х —xi
К
где х G Xi), Xi (i = О, 1 ...) — координаты границ слоев веще-
ства, в каждом из которых значение X постоянно. В рассматриваемом
случае пробег фотона до взаимодействия разыгрывается по следующей
схеме [41J:
1) разыгрывается величина = —In у;
2) определяется средний свободный пробег X для текущего место-
положения фотона с данной энергией;
3) вычисляется возможный пробег фотона /г =
4) определяется расстояние d до ближайшей границы слоя по на-
правлению движения фотона;
5) фотон прослеживается на расстояние /2 = min {4,
6) если (ХЛ\ — /2) = 0. т- е- h = 4. то произошло взаимодействие
и розыгрыш пробега можно считать законченным;
7) если (7Л\ — /2) > 0, т. е. /2 = d, то это значит, что фотон достиг
границы слоя. Если граница слоя выбрана условно (например, для
сбора в этом месте необходимой информации о развитии ливня) и ве-
щество следующего слоя то же самое, то процедуру повторяют, начи-
ная с (3). Если вещество слоя меняется, процедуру повторяют с (2).
Распространение электронов и позитро-
нов в веществе определяется процессами упругого рассеяния е~ (е+)
в кулоновском поле ядер атомов среды, неупругим рассеянием е~ (е+)
на атомных электронах, процессом радиационного торможения е~ (е+)
и аннигиляцией позитронов. Все эти процессы, за исключением анни-
гиляции позитронов и процессов тормозного излучения, имеют очень
большое макроскопическое сечение, что делает практически невозмож-
ным моделирование распространения заряженной компоненты элект-
ромагнитного каскада как дискретной последовательности процессов
взаимодействия с прямолинейным движением между этими взаимодей-
ствиями, как в случае фотонов*.
вия Например, средняя длина свободного пробега электрона до взаимодейст-
ы, ’ ® Результате которого испускается тормозной фотон, определяется по фор-
элёк 4 И в слУчае свинца составляет = <г/9. Средний же свободный пробег
X 10^°/Э| В свинне Д° упругого кулоновского рассеяния составляет Хс ~ 2,5 X
Фотон ‘г см‘ § 26], т’ е‘ Хг/Хс^4-103 » 1. Средний свободный пробег в свинце
Шут С энеРгией со > 1 ГэВ до взаимодействия составляет величину, не мень-
• чем 9/г/7 [см. рис. 4.2 и формулу (4.7)].
123
Основной вклад в сечения процессов взаимодействия электроне
с атомами (ядрами и атомными электронами) среды вносят события
малой передачей импульса от электрона к мишени. Такие событцС
очень слабо влияют на флуктуации характеристик ЭФЛ. Поэтому уКаЯ
занные процессы удобно объединить и рассматривать их влияние на
распространение электронов в среде непрерывным образом (усред-
нение по многим актам взаимодействия). Усреднение производят по
отрезкам пути, существенно превосходящим длину свободного про-
бега электрона относительно взаимодействий с очень малой передачей
импульса. С другой стороны, взаимодействия электронов с атомами
вещества, в которых передается заметная часть импульса от электрона
к мишени, нельзя рассматривать усреднение, так как такие события
определяют флуктуации характеристик ЭФЛ.
Деление процессов на непрерывные (многократные) и дискретные
(кратные) в некотором смысле условно, однако очень удобно с практи-
ческой точки зрения. Это позволяет избежать необоснованных трудно-
стей, связанных с моделированием очень большого числа взаимодей-
ствий с малой передачей импульса, которые, будучи представленными
в усредненном виде, могут быть корректно описаны в аналитической
форме с помощью хорошо обоснованных теоретических формул.
Неупругое рассеяние электронов и позитронов на атомных электро-
нах представляет собой пример процесса, который удобно моделиро-
вать, разбивая акты неупругого рассеяния на два класса путем вве-
дения некоторого энергетического порога Ть. Неупругое рассеяние
электрона, в результате которого образуется 6-электрон с кинетичес-
кой энергией, большей, чем Ть, рассматривается как дискретный про-
цесс. Средняя длина пробега электрона до такого взаимодействия оп-
ределяется приближенной формулой Хе ~ 0,036Zp2Tb4> 13 Z 92,
которая следует из выражения (2.18) для дифференциального сечения
мёллеровского рассеяния. Здесь р2 = v2!c2 ~ 1, если первичный элек-
трон релятивистский; Ть — энергетический порог, МэВ. Для свинца
в случае Ть = 0,2 МэВ Хс ~ 0,6/гр2.
Столкновения с малой передачей энергии 6-электронам (Т<Тъ)
включаются в непрерывные ионизационные потери энергии [21,42,
93]. Формула (2.24), описывающая средние ионизационные потери
энергии электроном (dE!dx)u включает в себя и случаи большой пере-
дачи энергии 6-электронам (Г > Ть). Поэтому ее необходимо моди-
фицировать:
Лпах
/ dE \п.п dE \ С у- (4.21)
\ dx /и \ dx Ji J dT
ть
где Т — кинетическая энергия 6-электрона; dSIdT — макроскопи-
ческое дифференциальное сечение неупругого рассеяния электрона
на атомном электроне [фактически мёллеровское рассеяние, см. фоР'
мулу (2.18)] или позитрона на атомном электроне [рассеяние Бас ,
см. формулу (2.19)]. Значение Ть предполагается здесь достаточно боль
шим, чтобы атомные электроны можно было рассматривать как пра
тически свободные.
124
В подпороговые потери энергии электрона (dE/dx)an можно вклю-
1ТЬ и радиационные потери энергии электрона на излучение низко-
энергетических фотонов с энергиями со < Ть-
ы___энергия тормозного фотона; dSr/dco — макроскопическое
дифференциальное сечение тормозного излучения [см. формулу (2.8)1.
Д Упругое рассеяние электронов в кулоновском поле ядер атомов
среды также можно рассматривать как непрерывный процесс много-
кратного кулоновского рассеяния. Распределение по углам рассеяния
эчектрона после прохождения слоя вещества толщиной t описывается
формулой Мольер (2.31).
Наличие процессов, непрерывно влияющих на распространение
электронов в среде, осложняет моделирование их прохождения через
вещество. Непрерывные потери энергии электроном приводят к тому,
что сечения дискретных взаимодействий электрона все время изменя-
ются. К тому же от одного взаимодействия к другому электрон уже
движется не прямолинейно, его путь искривляется в результате мно-
гократного кулоновского рассеяния.
Моделирование пробега электрона до дис-
кретного взаимодействия. 11робег электрона X до дис-
кретного взаимодействия можно смоделировать, разыграв значение
N). из (4.20), а затем решив уравнение (4.19) относительно х, положить
пробег X равным х — х0. Такой способ розыгрыша может быть сопря-
жен с большими техническими трудностями, связанными с решением
уравнения (4.19).
На практике удобно разыгрывать пробег электрона до дискретно-
го взаимодействия, вводя фиктивное макроскопическое сечение взаи-
модействия 2р]42]. Фиктивное сечение Sf, не зависящее от энергии
электрона, выбирают таким образом, чтобы его значение превосходи-
ло действительное суммарное сечение дискретных процессов 2д (х)
Д1я любых значений х (или энергий электрона Е), т. е. (x)XSf 1.
1 огда процедура розыгрыша пробега электрона до дискретного взаи-
модействия сводится к следующему:
1) разыгрывают пробег X, соответствующий фиктивному постоян-
ному сечению : X = —In y/2f;
2) выбирают случайное число т] и сравнивают с величиной
(хо + X)/Sf = е 1. Если г| е, то произошло дискретное
взаимодействие; в противном случае вычисляют новое значение х0 =
~ *о + X и процедуру повторяют, начиная с (1).
н Распространение электронов в среде можно моделировать и иначе,
Разыгрывая в явном виде пробег электрона до дискретного взаимо-
н 1ствия [93]. При таком подходе прослеживание электрона ведут
3 ем разбиения его траектории на наперед заданные достаточно малые
2 Резки Ах такие, что сечение процессов дискретного взаимодействия
d на протяжении каждого отрезка можно с хорошей степенью точ-
125
ностп считать постоянным: 2d ~ Sd (х) ~ Sd (х + Ах). На каждом
таком отрезке (шаге) разыгрывают наличие акта дискретного взаимо
действия в соответствии с вероятностью, определяемой сечением 2
Возникающие при таком способе моделирования искажения в растг е
делении по числу актов дискретных взаимодействий [за счет прибли-
жения Sd (х) = const] и в распределении по месту взаимодействия
можно сделать пренебрежимо малыми соответствующим уменьшением
шага Ах. Процедура розыгрыша состоит в следующем-
1) вычисляют сечение Sd = Sd (х);
2) электрон прослеживают на шаг Ах : х = х + Ах;
3) вычисляют его новую энергию Е = Е — /\Е, где АЕ — потери
энергии на шаге Ах, обусловленные непрерывными процессами АЕ
= Ах (dE/dx)nn;
4) разыгрывают изменение направления движения электрона за
счет процесса многократного кулоновского рассеяния на пути Ах и
вносят соответствующие поправки в первоначальное направление дви-
жения электрона;
5) выбирают случайное число у, равномерно распределенное в
интервале (0, 1), и сравнивают с величиной е = 1 —ехр (— SdAx).
Если у < е, то произошло дискретное взаимодействие. В противном
случае процедуру повторяют, начиная с (1).
Рассмотрим далее комбинированный метод моделирования распро-
странения электронов в среде [21], который тесно связан с розыгры-
шем кинематических характеристик вторичных частиц, образующихся
в результате дискретных взаимодействий. Особенность этого метода
состоит в том, что в нем не используется в явном виде сечение Sd.
Пусть дифференциальное сечение дискретного процесса по какой-
либо кинематической переменной можно представить в форме (4.17).
d Sd (и) =2 “г 4>i (ы) Si («) du,
1=1
где, например, в случае тормозного излучения и = со/Е; со и Е —
энергия тормозного фотона и первичного электрона соответственно.
По смыслу определения функций <рг (п) и gt (и) [см. формулу (4.17)1
п
величину Уаг можно рассматривать как полное фиктивное се
«= 1
чение дискретного процесса: Sf > f d£d = Sd. Тогда процедура ро-
зыгрыша пробега частицы до дискретного взаимодействия состоит в
следующем: v
1) разыгрывают пробег Z в соответствии с фиктивным сечением-ч»
2) частицу прослеживают на длину разыгранного пробега Л ' х
— х -|- X;
3) разыгрывают кинематическую характеристику и из соответству
щего распределения <рг (п);
4) если разыгранная величина и бракуется, то процедуру nor\L.
ряют, начиная с (1). В противном случае взаимодействие считают
ностью разыгранным.
126
Нетрудно показать, что эта процедура эквивалентна розыгрышу пробега
ы в соответствии с действительным сечением взаимодействия 2d и после-
Ч2тшему моделированию кинематических характеристик на основе дифферен-
циального сечения процесса. Действительно, вероятность того, что длина про-
а > разыгранная на основе фиктивного сечения 2 f, не будет забракована,
вставляет 2d/2f. Если перед «удачным» розыгрышем длины пробега k — 1 ро-
1гоышей были забракованы, то путь /, пройденный частицей при таких усло-
иях будет распределен по закону Пуассона (поскольку каждая попытка ро-
зыгрыша пробега независима):
(2f Z)*-1
^(O=L^Tijr2fexp(-s,Z).
С другой стороны, вероятность того, что будет произведено именно k — 1 «не-
удачных» попыток розыгрыша, составляет:
Отношение 2d/2f представляет собой вероятность удачной попытки розыгрыша
длины пробега, а второй множитель в формуле для — вероятность того, что
перед этим не будет совершено k — 1 удачных попыток. Суммируя по всем воз-
можным числам неудачных попыток, получаем закон распределения пройден-
ного частицей пути до взаимодействия:
W(l)=^Wh(l)Wk= 2 \ S.exp(-St/)X
xA(,_2a/2l).-.^d„P(_210j>ie^=
=2d exp (—2,1) exp (2f I—2d Z) = 2d exp (—2d Z).
Таким образом, путь частицы до взаимодействия Z распределен по закону, оп-
ределяемому действительным сечением взаимодействия 2d, как и утверждалось
выше.
Моделирование типа дискретного взаимодействия. После того как
разыгран пробег до дискретного взаимодействия и определены коор-
динаты точки взаимодействия, необходимо определить тип взаимодей-
ствия (если возможно несколько конкурирующих процессов). Номер
типа взаимодействия подчиняется закону распределения: F (i) =
~ где Oj — полное сечение процесса номер /’; od — 2 Oj —
/=1 /=i
полное суммарное сечение всех возможных дискретных процессов взаи-
модействия. Номер типа взаимодействия i разыгрывается путем выбора
случайного числа у и определения номера I, удовлетворяющего усло-
виюп F (* - 1) < у F (I).
Определив тип взаимодействия, необходимо разыграть кинемати-
(£)КИе хаРактеРИСТ11к11 продуктов взаимодействия, такие как энергия
' А полярный (0) и азимутальный (<р) углы вылета. В общем случае
Dai<^4HOe состояние> образованное в результате взаимодействия, ха-
сризуется несколькими параметрами (Ег, 0г, фг) : к = {Xi,
2'F(Uir) И Дифференциальное сечение процесса имеет вид: dno =
<л)«пХ. Полное сечение процесса дается выражением а = j F (к) X
127
X dnf. и функция f (X) = F (F)/g представляет собой плотность pac.
пределения параметров {X,}, из которой следует произвести соответст-
вующую выборку. В случае розыгрыша параметров {/.,} комбиниро-
ванным методом (т. е. обобщенным методом отбраковки) нормировка
функции f (к) может быть произвольной.
Моделирование процесса тормозного излучения электроном (по-
зитроном). Дифференциальное сечение тормозного излучения электро-
на (позитрона) представляется формулой (2.10). Поскольку углы выле-
та вторичного электрона и фотона малы [см. формулу (4.8)1, то можно
в первом приближении считать, что в процессе тормозного излучения
вторичные продукты движутся в направлении первичного электрона.
Из выражения (2.10) для сечения процесса тормозного излучения
с учетом эффекта Ландау—Померанчука следует, что при значениях
параметра 1 сечение (2.10) переходит в сечение, определяемое фор-
мулами (2.1) и (2.2). Поэтому, следуя работе [211, энергию вторично-
го фотона необходимо разыгрывать при s< 1 из выражения (2.10), а
при s > 1 — из дифференциального сечения, определяемого формула-
ми (2.1) и (2.2) , с учетом эффекта поляризации среды, который учиты-
вается фактором (2.9). Макроскопическое дифференциальное сечение
тормозного излучения в единицах радиационной длины можно пред-
ставить в виде [21]:
dZTJdti = «Д, (u)gr (и) + а2/2 (u)g2 (и), (4.22)
где и = (о/Е0; w — энергия тормозного фотона; Ео — энергия пер-
вичного электрона;
(Z)/1„(183Z--/3)1{^+ X
{(1/2) [In (1 4-w§) —In (©§)]);
а2 = (1/2) [1 — fc (Z)/ In (183Z-’/3)]_
Функция Д (и) определяется формулой
П [1П(Ц-®ог)-1п (№§)] ("2 + ^) '
Функция распределения Д (и) во втором слагаемом выражения (4.22)
имеет вид: /2 (и) = 2и3/ (и2 + wq). Эффектом поляризации среды (су-
щественным при и < wu) в нем можно пренебречь, не внося этим су-
щественной погрешности, так как этот эффект уже учтен в первом сла-
гаемом, где он играет существенную роль. Таким образом, можно по
ложить f2 (и) ~ 2и.
Розыгрыш значения и из распределения /t (и) можно проводить методом
обратной функции (см. разд. 1.5): и = о>0Д/ехр (?) — *• Розыгрыш значения^
из распределения /2 (и) можно проводить либо методом обратной функци ,
дает и = Т/у, либо, выбирая максимальное из двух равномерно распределенн
случайных чисел: и = max {у1( у2).
128
разыгранное значение величины и бракуют, если и > 1 — mj?IE0,
о происходит сравнительно редко и соответствует случаю, когда ис-
Чущенный фотон имеет энергию, превышающую кинетическую энер-
ию первичного электрона, что запрещено кинематически.
Г функции gi (н) и g2 (и), по которым производится браковка разыг-
анной величины и, определяют следующим образом. В случае, когда
^оправка на эффект Ландау—Померанчука несущественна (s > 1):
, fd—«) [1-Л (3,898g— 0,9805g2)], g <1; 2
S1W I (i — W) [i — Л7/(g)], g > 1;
ёг («) =
1 —В (3,242g — 0,625g2), g < 1;
l—BH (g),g>l,
(4.24)
где g— параметр экранирования: g = (l3b/Zi,3)umec2lEn (1—• u);
A = {4 [ In (183Z-’/3) — fc (Z)] + 1/3}-1; В = {4 [ In (183Z->/3) —
- fc (Z)]}-1; H (g) = 4,184 In (g + 0,952) — 0,280; fc (Z) — куло-
новская поправка [см. формулу (2.2)1.
В случае, когда необходимо учитывать эффект Ландау—Померан-
чука (s < 1), функции gi (и) и g2 (и) имеют вид:
gt (и) = (1/3) (1 — и) [2<р (s) + h (s)]b (s); (4.25)
g2 («) = <P (s)b (s). (4.26)
Параметр s, по которому производится выбор между выражениями
(4.23), (4.24) и (4.25), (4.26) для функций (и) и g2 (и), определяется
уравнением (2.11). На практике этот выбор удобно делать, сравнивая
с единицей не параметр s, а близкое к нему значение параметра s':
s' = 1,37 • 103 [ (m^lE0)utTl (1 — и)!1/2,
где tr — радиационная длина, г/см2.
Отметим, что выражение (2.2) для функции Fe (Ео, и), определяющей пове-
дение дифференциального сечения тормозного излучения при s > 1 (за исключе-
нием очень малых значений и ~ ш0), справедливо лишь при не слишком больших
значениях параметра экранирования g. Это обусловлено тем, что при g -> оо,
когда (g) ~ f2 (g) о, функция Fe (£0, и) становится отрицательной, что
противоречит смыслу понятия о дифференциальном сечении. На практике отри-
цательных значений сечения можно избежать, полагая Fe(E0, и) = 0 при g
Smax (-Z, £0), где
gnax(Z, £0) = ехр ф[,12 -у lnZ—4fc(Z)] J 4,184| —0,952.
Моделирование неупругого рассеяния электронов и позитронов на
Зт°мных электронах. Дифференциальное сечение неупругого рассея-
Ия электрона па электроне дается формулой Меллера (2.18). Макро-
скопическое дифференциальное сечение этого процесса, выраженное
единицах радиационной длины, можно представить в виде [211:
Зак- 295 129
dY^du — af (u)g (и), где и = TlT0\ T 11 To — кинетическая энергия
вторичного 6-электрона и первичного электрона соответственно;
„ 2 , з
а = 2лГе tr —----;-----: f (и)
А Гь
«о < и < у); g («) =
+ ZL„2 27-p-|-1
El Ео
и
(1-«)
»о 1
1 — 2«р и2
1—2»р
Ро2
; и0— ТЪ!ТО.
Здесь Ть — пороговая энергия, начиная с которой процессы неупру-
гого рассеяния электрона на электроне рассматриваются как дискрет-
ные [см. формулу (4.21)].
Розыгрыш переменной и из распределения f (и) проводится мето-
дом обратной функции: и = «0/ [1 — у (1 — 2rz0)l-
По аналогии с меллеровским рассеянием сечение рассеяния позит-
рона на электроне (2 19) можно представить в виде [21] dZE/du =
— af (u)g («) Здесь d^b/du — макроскопическое дифференциальное
сечение процесса, выраженное в единицах радиационной длины;
и = Т/То-, Т—кинетическая энергия 6-электрона; То — кинетическая
энергия первичного позитрона; а = 2лг| tr (pZNpJA)3/Tb’, f (и) =
= -~ (н0 < и < 1); g (и) = {1 - [ (2 - у2)и -
1 —"о «“ Ро
_ (3 _ 6^ + t/2 — 2у3)и2 + (2 — 10// + 16f/2 — 8у3) и3 — (1 — Бу +
4-12у2 — 8t/3)«4J}; у 1/ (1 + Тй1шес2)\ Ть — пороговая энергия.
Розыгрыш величины и производится по формуле: и = н0/[1 —у >
X (1 — Но)]-
Моделирование процесса образования электрон-позитронных пар.
Макроскопическое дифференциальное сечение процесса образования
электрон-позитронных пар фотоном по аналогии с процессом тормоз-
ного излучения можно представить в виде [21]:
d2pv/du = aji (u)g1 (и) + a2f2 (u)g2 (и).
Величина dZpv здесь выражается в единицах радиационной длины;
и = £7со — отношение энергии вторичного электрона (позитрона) к
энергии первичного фотона;
^ = [1 — /с (Z)/ln (183Z~«/3) {2/3 + (36 [In (183Z-1/3)—(Z)])-1};
a2 = [l — /с (Z)/1n(183Z-*/3)] X
1
}; А(«) = 1; /2(«)-12(«-1/2)2-
Розыгрыш величины и из распределения fr (и) производят, просто
= у. Из распределения /2 (и) переменная и разыгрывается либо методом
12 [ 3 9 [In (183Z I/3) — fc(Z)]
Розыгрыш величины и из распределения (и) производят, просто nofLaJ'gT.
и = у. Из распределения /2 (н) переменная и разыгрывается либо методом
ной функции и = [ (у — 1/2)/4]'/3, либо с помощью выбора из трех случаи
чисел -j’p у2, Уз такого, которое максимально отличается от L •
130
Лчя учета эффекта Ландау—Померанчука по аналогии с тормозным
77.',линем для характеристики процесса образования е+е~-пар вво-
ИЗ'тУпараметр s' = 1,37 • 103 [т^/сои (1 и)]1/2. Если s' > 1, то
ЛЬект Ландау—Померанчука несуществен и дифференциальное се-
яние образования пар описывается формулами (2.12) и (2.13). В этом
случае
/ l-C(2,914g-0 447g2). К1;
gl(U) \l-CH(g). 5>1;
/ 1—А (3 898— 0.9805g2). g<l;
( i— АН(&' ?>1.
где g = 136/«,.c2Z1/3/o)tz (1 — и); ? — параметр экранирования; С =
= 4 [ In (183Z-1/3) — fc (Z)]_ 1/6; H (g) и А здесь те же, что и в фор-
мулах (4.23) и (4.24).
При s' < 1 необходимо учитывать эффект Ландау—Померанчука:
gi («) = (I/2) <s) + h <s)]fo <s); S2 («) = 4 (s)b (s), где tp (s), h (s),
b (s) определяются по формулам (2.10) и (2.11).
Моделирование процесса комптоновского рассеяния фотона на
электроне. Дифференциальное сечение комптоновского рассеяния фо-
тона на свободном электроне описывается формулой (2.16). Макроско-
пическое сечение процесса, выраженное в единицах радиационной
длины, можно представить в виде [211 dZJdu = af (u)g (и), где и =
= <о соо — отношение энергии вторичного у-кванта к энергии пер-
вичного; а = 2лгДг (pZ/VAM) In (1 2k0)/k0; k0 = <йп,/тгес2; f (ti) =
= [ In (1 + 2A:0)]-r (1 u); (1 + 2/г0)-г < и < 1; g (и) = (1 2uk0) X
X [1 + (&o — 2£0 — 2)w + (1 + 2ku)u2 + k20u3].
Розыгрыш величины и из распределения f (и) производится мето-
дом обратной функции: и = (1 + 2/г0)~т.
Моделирование процесса многократного кулоновского рассеяния.
Функция плотности распределения рассеянных электронов по поляр-
ному углу 0 дается формулой (2 31). Для практических целей в раз-
ложении (2.31) достаточно ограничиться тремя первыми слагаемыми.
При v < 2 доминирует слагаемое f(0> (о) — 2 ехр (—и2), которое опи-
сывает угловое распределение частиц, испытавших большое число рас-
сеяний на малые углы. Для больших значений v (v> 2) главным ста-
новится слагаемое /(1> (о), которое описывает однократное рассеяние
на большой угол. Слагаемое /(2> (о) можно рассматривать как поправ-
ку к сумме двух первых в области v х- 2.
Таким образом, для моделирования процесса многократного куло-
новского рассеяния в тонких слоях вещества необходимо разыгрывать
величину v из распределения:
F (о) = v [f° (v) + (1 (у) + (1 B2)f^ (и)1.
Полярный угол 0 связан с v соотношением 0 = %СУBv. Параметры В
Хс определяются формулами (2 33) и (2.34) соответственно.
131
Следуя работе [421, представим функцию Р (0 в виде:
Р (V) = fi (U) Si (0,
где cq = 1 — Х/В; ft (v) = 2v exp (—v2); v £ (0, oo); gt (0 = 1; a
= pG2/B; f2 (0= 1/p; vQ (0, p); g2(0=(o/G2)
as = G3/2y.2B\ f3 (v) = 2p2u-3; v Q (p, oo); g3 (v) = (iAG3) (>/«» (V)
+ 7(1) (0 + /(a) (0/5).
Рекомендуемые численные значения имеющихся здесь параметров
следующие [421: X = 2; р = 1; G2 = 1,8; G3 — 4,05.
Из распределения /j (о) величина v разыгрывается методом обратной функ-
ции: v = У — In у.
Из распределения /2 (и) величина v разыгрывается по формуле v = р-у.
В случае розыгрыша значения v из распределения fs (v) удобно предваритель-
но перейти к распределению по переменной д = 1/v. Тогда функция плотности
распределения величины ц принимает вид:
f-ц 01) = 2рЧ 0 < 1] < 1/р,
а функция «браковки» определяется формулой
(ti)=(^-4/G3) W(o) 0rW(1> ОгЧ+Л2’ ВгЧ/В).
В таком подходе случайная величина ц разыгрывается посредством выбора мак-
симального из двух равномерно распределенных случайных чисел ц =
= max {-yj, -у2}/р или прямым способом (т. е. методом обратной функции) ц =
= Ут/щ
Функции g2(0 и g3(v) являются линейными комбинациями функций
/х°) (у), ft1) (v) и /(2> (0. На практике функции (0 и /(2) (0 вычис-
ляют заранее (табулируют) по формуле (2.32). При больших значениях
v (v > 10) используют асимпто-
тическое поведение этих функций:
</«) (0 ~ц-2”-2.
В качестве иллюстрации на
рис. 4.6 приведено сравнение ре-
зультатов расчета по рассмотрен-
ной выше схеме с данными экспе-
римента по рассеянию электронов
в тонких золотых фольгах. Наблю-
дается хорошее согласие теорети-
ческих предсказаний с экспери-
ментальными данными вплоть до
очень больших углов рассеяния.
Р и с. 4.6. Распределения по углу
сеяния 0 электронов с кинетиче
энергией 15,7 МэВ, рассеявшихся в
лотой фольге толщиной 18,66-Ю 1
и 37,28-10-3 г/см* (0 [42]: KapJ]0:
гистограмма — расчет методом Монте
ф — экспериментальные данные
132
4 5 Результаты экспериментальных и теоретических
исследований электромагнитных ливней
Процесс развития ЭФЛ в конденсированных средах достаточно
хороню изучен как теоретически ([21, 88, 89, 94, 96]), так и экспери-
ментально (186, 97, 981 и другие оригинальные работы, ссылки на
орые имеются в указанных обзорах). Тем не менее продолжается
интенсивное исследование процесса развития ЭФЛ в различных ве-
ществах и при различных энергиях теоретическими (расчетными) и
экспериментальными методами. Это обусловлено, главным образом,
насущными потребностями экспериментальной физики высоких энер-
гий и физики космического излучения. Глубокое понимание закономер-
ностей развития ЭФЛ и возможность количественного описания их
развития необходимы, например, при проектировании электромагнит-
ных калориметров — одного из основных приборов в арсенале совре-
менной экспериментальной физики высоких энергий, при создании
электронных пучков на ускорителях протонов на высокие энергии, при
решении радиационных проблем на ускорителях и т. д.
Развитие электромагнитного ливня в продольном направлении.
Экспериментально измеренные зависимости числа заряженных частиц
(электронов и позитронов с энергией Е > Ес ~0,5 МэВ) в ЭФЛ от
глубины его проникновения t показаны на рис. 4.7. На первоначаль-
ной стадии развития ЭФЛ доминируют процессы тормозного излуче-
ния электронов и позитронов и процесс образования фотоном электрон-
позитронных пар, приводящие к интенсивному размножению вторичных
частиц. С ростом глубины проникновения ливня t процесс размноже-
ния частиц замедляется. При энергиях вторичных частиц порядка
критической ек размножение каскадных частиц прекращается и число
частиц в ЭФЛ достигает максимума. Положение этого максимума по
переменной t слабо зависит от первичной энергии частицы Ео (в рас-
сматриваемом случае — электрона), инициировавшей каскад, и мо-
жет быть приближенно выражено формулой [96]:
Алах — ]п
где /тах измеряется в радиационных длинах. Число заряженных час-
тиц в максимуме ливня с хорошей степенью точности определяется по
приближенной формуле [961
М"ах = 10,71£8’ЯЗБ,
где Ео — энергия, ГэВ.
После достижения максимума по
числу вторичных частиц ЭФЛ на-
чинает постепенно затухать. Затуха-
Ние ливня характеризуется длиной
нни, ’ 4'7' Каскадные кривые для ливней,
г9у]ЦИ,иР°ванных электронами в свинце
электроне^)8™ 7казана энеРгИя первичных
133
ослабления Л (см. разд. 4.1). Экспериментально измеренные длины
ослабления электромагнитных ливней в различных веществах приве-
дены в табл. 4.3. В той же таблице указаны приближенные значения
длин поглощения фотонов = 1 ртщ в области минимального по-
глощения и соответствующие им энергии фотонов. Из приведенных
данных видно, что значения Л слабо зависят от первичной энергии
частицы, инициировавшей каскад (в данном случае — электрона), ц
близки к значениям для соответствующих веществ. Эти результаты
подтверждают определяющую роль фотонов, обладающих максималь-
ной проникающей способностью, в развитии каскада на большой глу-
бине.
Таблица 4.3. Длина ослабления электромагнитных линий Л,
инициированных электронами с энергией Ео [961,
и приближенные значения длин поглощения и энергии
наиболее проникающих фотонов [87]
Вещество Ес, ГэВ г/см2 рад. дл. » г/см2 МэВ
А1 6 0,6—1 64,3 62,5 2,7 2,6 46 20
Си 6 1 0,6 39,0 35,7 34.5 3,0 2,8 2,7 33 8
Sn 0,9 30,3 3,4 29 5
W 5—15 28,0 4,1 27 4
Pb 6 1 0,6 24,7 21,7 21,3 3,9 3,4 3,3 24 3,5
Развитие каскада, инициированного фотоном, в продольном на-
правлении подобно развитию каскада, инициированного электроном.
Каскадная кривая в случае первичного фотона может быть аппрокси-
мирована следующим образом [97]:
Ne (Еь, Ес, 0 = At? ехр (—bt).
(4.27)
Здесь глубина проникновения t измеряется в единицах радиационной
длины. Значения параметров А, а и b для каскадов, инициированных
фотонами в свинцовом стекле, приведены в табл. 4.4. Результаты рас
четов методом Монте-Карло продольного распределения ЭФЛ хорош
согласуются с экспериментальными данными (рис. 4.8).
134
Таблица — Е л, ГэВ 4.4. Значения параметров в формуле (4.27) [96]
0.1 0,3 0,5 0,7 1,0 5,0
А 4,54 7,18 8,24 8,32 8,58 !0,88
а 1,00 1,45 1,65 1,84 2,03 2,74
ь 0,515 0,493 0,476 0,470 0,468 0,454
На практике часто бывает удобно пользоваться такой характеристикой про-
дольного развития ливня, как 6ned, которая определяется как глубина проник-
новения ливня, по достижении которой в веществе поглощается ровно половина
энергии ливня. Доля выделившейся энергии практически не зависит от полной
Р и с. 4.8. Зависимость доли выделившейся энергии на единице радиационной
длины от глубины проникновения инициированных электронами с энергией 6 ГэВ
каскадов в различных веществах [96] (гистограммы — результаты расчетов
методом Монте-Карло)
в едиИИ ,каскада- ссли продольный размер области энерговыделения измеряется
чтод ницах 4ned (рис. 4.9). Из данных, приведенных на рис. 4.8 и 4.9, следует,
глотитИМеРН0 98% энергии электромагнитного ливня выделяется в толщине по-
выпячт,еЛЯ’ составляющей |96] t (98%) ~ 3/гаец. Величину t (98%) можно также
выраз„ть через /гаах и А [96]: t (98%) ~ + 4А.
Даете 1а™Х легких поглотителях, как вода и алюминий, также наблю-
рнмен Х0Р0шее согласие результатов теоретических расчетов с экспе-
нпч JT°M в Ш1Фоком диапазоне глубины проникновения / и расстоя-
ния от оси ливня г (рис. 4.10).
135
1,о
У 0,8
а
СО
I’ 0,6
m
О
§£W
о
0,5 7,0 1,5 2,0 t/tp^cL
Рис. 4.9. Доля выделившейся энергии до глуби-
ны t/tmed в каскаде, инициированном фотоном
[96]
К наблюдаемому согласию результатов тео-
ретического расчета с экспериментом в ряде
случаев надо подходить с определенной степенью
осторожности. Это связано с тем, что в экспери-
ментах по изучению закономерностей развития
ЭФЛ, выполненных на основе электронной
(счетчиковой) методики, часто не удается точно
установить энергетический порог регистрации
вторичных частиц Ес. Поскольку основные ха-
рактеристики каскада весьма чувствительны к
энергетическому порогу регистрации, то в ряде
случаев сравнение расчетов с экспериментом может оказаться некорректным.
В таких ситуациях существует опасность добиться «блестящего» согласия с
экспериментом путем подбора соответствующего порога регистрации или дру-
гих параметров, точное значение которых либо неизвестно, либо его невозмож-
но извлечь из описания эксперимента.
На рис. 4.11 показаны результаты эксперимента по изучению раз-
вития электромагнитного ливня, инициированного позитроном. Экс-
перимент был выполнен при помощи стримерной камеры, помещенной
в магнитное поле, что давало возможность точно установить энергети-
ческий порог обрезания и при желании его варьировать. На том же ри-
Рис. 4.10. Продольное распределение энерговыделения ЭФЛ в воде и в алю-
минии. инициированного электроном с энергией 1 ГэВ [42]:
1 — результаты эксперимента; 2 — результаты расчета методом Монте-Карло (возле ка_^_
дой кривой, описывающей плотность энерговыделення в ливне, указан интервал в рад
альном направлении, для которого она была получена)
136
р с 4 11. Зависимость среднего Чис-
я электронов и позитронов в ливне,
инициированном позитроном с энергией
1 ГэВ от глубины его проникновения в
свинец [42] при различной энергии вто-
ричных электронов (позитронов) Е:
, насчет методом Монте-Карло с учетом
магнитного поля; 2 - то же без учета маг-
нитного поля (точки - результат экспери-
мента)
сунке показаны результаты расче-
та развития электромагнитного
ливня в условиях, соответствую-
щих экспериментальным. Наблю-
дается хорошее согласие резуль-
татов расчета с экспериментом
при энергии вторичных электро-
нов Е > 5 МэВ и удовлетворительное при Е > 10 МэВ. При энер-
гии Е > 25 МэВ (на рисунке не показано) согласие между расчетом
и экспериментом несколько хуже.
Приведем еще один важный для практического применения результат —
теоретическую каскадную кривую (рис. 4.12), которая является в значительной
мере универсальной и отражает зависимость относительного числа заряженных
частиц в электромагнитном ливне Nе/М™х от глубины его проникновения т>
Рис. 4.Г2. Универсальная ка-
скадная кривая [97]
а
0,7
0,5
ОД
0,3
0,2
।
о ОД 0,8 1,2 Ес/ек
Рис. 4.13. Зависимость коэффициента
п=Р(Ес/ек) в формуле (4.28) от отноше-
ния Ес/ек [86]:
кривая — расчет по формуле (4.29) в приближе-
нии Б каскадной теории; точки — расчет мето-
дом Монте-Карло
дгтахЖеНН°й В единиЧах г — t/tmax (Лпах — глубина положения максимума ЭФЛ).
« и ^тах определяются по приближенным формулам [98]: /V™ax= 10Eg«9,
Ционных1’™ 1П (£о/0>05)> где Ео — полная энергия ливня, ГэВ; /тах — в радиа-
ведение Аллт™' 11Риведенная универсальная каскадная кривая описывает по-
вешрстоо независимо от энергии частицы, инициировавшей каскад, и сорта
Щ К Bd’ В КОТОРОМ ливень развивается.
практическКТеРИСТИКе ПРОДОЛЬНОГО развития ЭФЛ можно отнести также такую
ных частиц11 важ11ую величину, как средняя суммарная длина треков заряжен-
зывают чт В электРомагнитном каскаде. Расчеты методом Монте-Карло пока-
Энеогии „5 сУммаРная длина треков электронов и позитронов пропорциональна
РГИИ частицы, инициировавшей ЭФЛ [97]:
(L)=a (Е0/ёк) t,
(4.28)
137
Коэффициент а зависит от энергетического порога регистрации Ёс и растёт «
его уменьшением, причем а -> 1 при Ес -> 0 в полном соответствии с резуль С
том, вытекающим из аналитического решения задачи в приближении Б
табл. 4.2). Зависимость коэффициента а от энергетического порога регистра^'
в приближении Б дается формулой [86]: ии
а = F (ц) = 1 + цс11 Ei (—ц) ~ е11 [1 ф- ц In (ц/1,526)], (4 2gj
где г) = 2,29Ес/ек. Приближенное выражение для функции F (ц) (рис. 4.13) ха
растеризуется погрешностью не выше 10% дляц 0,3. Выражение (4.29) хорошо
описывает поведение коэффициента а в зависимости от ц для легких веществ
В [86] показано, что выражение (4.29) хорошо описывает данные, получевные
для значений коэффициента а в легких и в тяжелых веществах, если параметп
Б определить как ц = 4,58 (Z/Л) (Ес/ек). р
Рис. 4.14. Экспериментальная зависимость плотности энерговыделения от рас-
стояния г до оси ливня, инициированного в свинце электроном с энергией 6 ГэВ
[96]
Развитие электромагнитного ливня в поперечном направлении.
Поперечное распределение частиц в ЭФЛ имеет две характерные об-
ласти: узкую центральную и широкую периферическую (рис. 4.14).
Профиль ливня в поперечном направлении можно аппроксимировать
с хорошей степенью точности приближенным выражением [97]:
F (г, /) = Cr ехр (—r'Zr (/)) + С2 ехр (—г'Х2 (/)).
В этой формуле первое слагаемое описывает центральную область, а
второе — периферическую. Зависимость (/) приведена на рис. 4.1а-
С увеличением глубины проникновения ливня t ширина его централь-
ной области увеличивается (см. рис. 4.14 и 4.15). „
Центральная область в поперечном распределении частиц в ЭФ‘1
формируется за счет многократного кулоновского рассеяния электро-
нов ( и позитронов) в веществе. Форма этой части поперечного распре-
деления практически перестает зависеть от Z вещества, если расстоя^
ние г от оси ливня выражать в мольеровских единицах (напомним,
мольеровская единица длины гм = (Es/EK)tr, r&eEs = 21,2 МэВ и
критическая энергия для данного вещества). Поскольку средняя эн р
гия, приходящаяся на одну вторичную частицу в ливне, уменынае
с глубиной его проникновения, то как следствие увеличивается р I
138
еянне заряженных частиц. Помимо того, проходя большие толщи
Се1цества, заряженные частицы рассеиваются на большие углы. Все
Бто п приводит к уширению центральной области поперечного расире-
де пения частиц в ЭФЛ с глубиной его проникновения.
Рис. 4.15. Экспериментальная за-
висимость ширины центральной об-
ласти поперечного профиля ливня,
инициированного в свинце электро-
ном с энергией 32 ГэВ [96]
Рис. 4.16. Экспериментально измеренная ширина ливня, инициированного в
свинце электроном с энергией 1 (X), 2 (О) и 4 ГэВ (ф) [96]
На большом расстоянии от оси ливня и на большой глубине его
проникновения (/ > 2/тах) поперечное распределение вторичных час-
тиц определяется фотонами, обладающими максимальной проникаю-
щей способностью. Для перифери-
ческой области в этом случае (ког-
да t
Апах ) Z2 ~ А 1^3, где Л —
длина ослабления ЭФЛ в продоль-
ном направлении. Ширина ливня
с учетом центральной и перифери-
ческой областей растет с глубиной
/ и не зависит от энергии первич-
ного электрона (рис. 4.16).
„Важной характеристикой развития
яФ. I является доля энергии, выделив-
шейся в области, ограниченной ци-
линдрической поверхностью с радиусом
г. ось которой совпадает с осью ливня,
окно также ввести такую характери-
ИКУ’ как энерговыделение вне этой
цилиндрической области (рис. 4.17).
Лол я энергии ЭФЛ, выде-
Аиу^Х пределов цилиндра ра-
миниро , J в экспериментах с алю-
ВЫМ X (Л>’ медным (•) И СВИНЦО-
ЦИир0ванн"хглотителем Лля ЭФЛ, ини-
6 ГэВ ( ЫХ электроном с энергией
чета м <ГПСТО[Рамма — результаты рас-
п°глотителя)М Монте'Карло для медного
139
Для сравнения на рис. 4.17 приведены результаты расчета методом Монте-Кар-
ло. Наблюдается хорошее согласие предсказаний теории с экспериментом.
Из результатов измерений и теоретических расчетов следует, что размер
цилиндрической области, в пределах которой выделяется приблизительно 95%
энергии ливня, составляет: г (95%) ~ 2rM — 2tr(Es/eK).
Сравнение результатов теоретических расчетов различных харак-
теристик электромагнитных ливней с многочисленными эксперименталь-
ными данными позволяет сделать вывод о хорошем согласии теории с
экспериментом. Это обстоятельство, в свою очередь, позволяет широко
использовать теоретические расчетные методы для решения широкого
круга практических задач, связанных с развитием ЭФЛ. Преимущество
такого подхода состоит в его универсальности, а его надежность га-
рантируется приведенными выше результатами, свидетельствующими
о хорошем согласии расчетов методом Монте-Карло с данными опыта
по всем главным характеристикам электромагнитного каскада в кон-
денсированной среде.
ГЛАВА 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НУКЛОН-МЕЗОННОГО
КАСКАДА
5.1. О приближенных методах расчета каскадов
Любой теоретический расчет процесса прохождения излучения че-
рез вещество требует детальных знаний характеристик взаимодейст-
вий частиц пучка с атомами (электронами, ядрами) среды. Четкое
представление картины взаимодействия частиц различного сорта с
веществом позволяет во многих конкретных случаях выделить глав-
ные черты процессов и соответственно упростить нахождение анали-
тического или численного решения задач переноса. Соотношения и
закономерности протекания различных физических процессов, рас-
смотренные в гл. 1—3, позволяют успешно описывать явления при
исследованиях такого сложного процесса, как ядерно-электромагнит-
ный каскад в конденсированной среде.
Большая часть теоретических результатов, полученных при реше-
ниях задач прохождения частиц высоких энергий через вещество, ос-
нована на применении метода Монте-Карло. Лишь этот метод позво-
ляет наиболее корректно описать все многообразие физических явле-
ний, сопровождающих развитие ЯЭК, практически при любой геомет-
рии среды со сложными неоднородностями. Однако ограниченные воз-
можности метода Монте-Карло в протяженных системах больших раз-
меров, потребность в быстрых вариантных расчетах, стремление вы-
явить и изучить общие закономерности процесса переноса излучения
(пусть при ограниченном числе переменных фазового пространства)
привели к необходимости разработки оригинальных приближенных
(аналитических и численных) методов. Исторически именно такие
методы были разработаны первыми и в некоторых приложениях до сих
пор остаются основными.
140
Ланная глава посвящена описанию наиболее распространенных
ближенных методов решения задачи переноса излучения в одно-
ПР11 ° м пОЛубесконечном слое вещества, на который нормально па-
Р0^ широкий мононаправленный пучок высокоэнергетических адро-
р[рИ высоких энергиях рассматривается распространение трех
Н°Вовных компонент адронного каскада — протонов, нейтронов и
°± мезонов (см. разд. 1.1), хотя описываемые методы можно применить
Л пая других частиц. Если специально не оговорено, кинетические
энергии частиц первичного пучка Ео и распространяющихся частиц
Е измеряются в гигаэлектрон-вольтах, а глубина слоя х — в граммах
на 1 см2- Закономерности развития высокоэнергетических ядерно-элект-
ромагнитных каскадов в веществе будут приведены в следующей гла-
ве.
5.2. Решение уравнений переноса космического излучения
Физика космического излучения уже давно столкнулась с пробле-
мой прохождения высокоэнергетических частиц через вещество.
В этой области физики традиционно используются специфические под-
ходы и приближения, поэтому рассмотрим их отдельно.
Наиболее ранние теоретические расчеты ядерно-каскадного про-
цесса в атмосфере были выполнены в работе [99]. Основные допущения,
используемые обычно в физике космического излучения при решении
кинетических уравнений, следующие [100- 102]:
1) первичное космическое излучение, падающее на земную атмо-
сферу, состоит из потока протонов и а-частиц с чисто степенным энер-
гетическим спектром: (Е) = С7Е,-Т~1; у = 1,7±0,1;
2) л-мезоны не генерируют вторичных нуклонов;
3) сечения адрон-ядерных взаимодействий не зависят от энергии,
причем макроскопические сечения = 2n = Z^1; — средняя
длина пробега нуклона в атмосфере до ядерного взаимодействия;
4) электромагнитными взаимодействиями протонов и л±-мезонов
пренебрегается, т. е. отсутствует четвертое слагаемое в формуле (1.28);
5) для угловых распределений вторичных релятивистских адронов
используется приближение прямо—вперед (1.34);
6) коэффициенты неупругости не зависят от энергии, откуда сле-
дует, что индикатрисы рассеяния однородны (скейлинг по переменной
“У K(E',E)dE = K(u)du-, и = Е'Е.
эти приближения позволяют значительно упростить систему урав-
нении (1.26)—(1.27) и найти ее решение.
1ак, уравнение для пространственно-энергетического спектра ну-
клонов принимает вид:
<ЭФ7 (х, Е)/дх = -(1 Ду) (1 -G77) Ф7 (х, Е) +
+ 21-р-Со ФЛ*. £); /=р,«; i=p, (5.1)
‘¥1
141
причем
Ф„(0, £) £(£)= Cp£-v-i; Ф„(О,Е) = О;
Фк(х, Е)=а(Е)ехр(—х/Х«); G;> = ^иУ Ки(и)с1и. ^-2)
о
Решением уравнения (5.1) для протонов, например, является функция
Ф„(х, Е) = -^
. а (Е) X Г / х \ (
+—exp(~bexp(-W '5-3>
где для земной атмосферы параметры имеют следующие значения 1101]:
Gpp = Gnn — 0.2; Gpn = Gnp = 0,1; GAw = Gpp + Gpn = 0,3; GaN =
= 2.6; Xp = Xn = = 95 _г/см2; Xa = 46,5 г/см2, X = iN у
X (1 — GnaO'1 - 135 г см2; X = Xjv(l — Gpp + G^,)-1 = 105 г/см2;
P (E) = 2,09E V-1; a (£) = 0,1 IE-?-1.
Глубина атмосферы x линейно связана с плотностью р и температу-
рой Т воздуха х = const рТ cos 0О, где 00 — зенитный угол. При
х —> сю фп /ф;, —> 1.
С использованием приближений (1)—(6) и решения (5.3) находится
решение и для функции распределения л-мезонов [ЮН:
Фл (х, £, 0о) = 2 пь (К Е, 0о)'х* ехр (—х/Х).
Здесь
n^X.E.OJ _^Гр(Е)+ х a(E)GKjv
Хд, | х—ха
X (н----
I Е cos 0О /
(^> Е, 0о) - лЛ-г (Z, £, 6„) Г ] (k i F
I Л Aft,—J J \ COS V(
(5.4)
(5.5)
(5.6)
где для земной атмосферы Gn^ = Сря+ + Gpn- ~Gnn+ + G„n —
Вя = ИЗ ГэВ; А,,-! Хл П — G„« (*— 1, Е, OJ]-1, k >2;
= 115 г/см-2; Gnn (fe—1, X, E, 60)=nft-_1i (X, E, 60) .[ n^X.E', 6o)
E
Xgnx Enn (u) = 20 exp (—7u). Остальные обозначения в ф°Р
мулах (5.4) (5.6) такие же, как в выражении (5.3).
142
оо решение принимает простой и характерный вид:
Фя (х, Е) ж f (£) х ехр (—х/Х0),
r Q Г *1
f(E)=^ Р(Е) + -Ц-а(Е)ба„ .
Я Ко есть Предел
Зная решение (5.4), можно вычислить плотности источников (1.30)
мюонов п мюонных нейтрино от распадов л± -> р± + vu (т|Л) и решить
соответствующую задачу переноса мюонов. На основе известной функ-
ции (5.4) рассчитывают источник фотонов от распадов л° -> уу и реша-
ют уравнения электрон-фотонного ливня (см. гл. 4)*.
5.3. Аналитические методы расчета переноса
высокоэнергетического излучения
Рассмотрим теперь другие приближенные методы решения задачи
переноса адронов через вещество, развитые (как и все последующие
методы) в рамках физики высоких энергий на протонных ускорителях.
В ранних работах [103, 104) так же, как и в физике космического
излучения, для угловых распределений вторичных адронов исполь-
зовали приближение прямо—вперед. В этом приближении легко запи-
сать решение для нерассеянной компоненты излучения. Для нейтронов:
Фоп (х, £) = Фоп (0, Е) ехр [—2„ (Е)х). (5.7)
Для протонов и л±-мезонов:
ФоДх, £) = ФоДО, Ej)
РДЕД
РДЕ)
ехр
2ДЕ') + 2/р(7?')
РДЕ')
dE'
(5-8)
где величины Ej (х, Е) определяются из
уравнения х=
Для моноэнергетического пучка с энергией Ео
фо; (0, Ej) = No}6 [Ео — Ej (x, £)].
(Е}х, Е)
f dE'/^E').
(5.9)
Чтобы получить решение для рассеянной компоненты Ф, (х, Е),
приходится делать ряд допущений. Считается, что при достаточно вы-
соких энергиях можно пренебречь энергетической зависимостью сече-
нии (Е) ~ 2;, электромагнитными взаимодействиями протонов и
-мезонов (р,- (£) ~ 0) и распадами л±-мезонов (2лГ> (Е) ~ 0). Тог-
в в °Дн°мерном случае дифференциальный оператор (1.28) принимает
L = д/дх + 2 j.
(5.10)
Него излуч очень выс°кой энергии необходимо учитывать также фотоны тормоз-
- >чения мюонов и прямое образование электрон-позитронных пар.
143
Если при этом выбрать специальный вид индикатрисы рассеяния (1 34ч
то удается получить аналитическое решение краевой задачи (1 261
(1.27). В [104] для индикатрисы рассеяния использовали выражение
Кц(Е',Е) = ^Е'ЧЕ‘+1, (5Л1)
где числовые значения параметров N} пропорциональны асимптоти-
ческим значениям коэффициентов неупругости частицы сорта /; ft
= = 0,64; /= 0,216. Подставляя выражение (5.11) в с’оотно.
шение (1.29), с учетом (5.10) получаем:
ФДх, Е) = Nj^jexp(—Sj%)(Ez0/Ez + 1) X
477^Г2/112|/хВ(£0’ £)Ь (5.12)
[В (£0, £)J '
где В (Ео, Е) = N In (Ео/Е)-, 1Г (у) — модифицированная функция
Бесселя первого порядка; Ео—энергия первичных протонов в ши-
роком мононаправленном пучке.
Простое решение (5.12) находится во вполне удовлетворительном
согласии с экспериментом [104].
В [103] показано, что в рамках указанных выше приближений ре-
шение задачи переноса (1.26), (1.27) для нуклонов и л-мезонов с опе-
ратором L в виде (5.10) можно получить в квадратурах, если индикат-
риса рассеяния (1.34) представляется в следующей общей форме:
Ki} (Е', Е) = [F, (Е', Е) + n (E')h (Е) (5.13)
gj (Е)
с условием 'ZJFj (Е', Е) 4 t] (E')h (Е) = М (Е')Н (E),rnegj (Е),М (£')
и Н (Е) — произвольные функции.
Выбирая среди инклюзивных сечений (см. гл. 3) удовлетворяющие
соотношениям (5.13), удается получить выражения для дифференци-
альной плотности потока пионов и нуклонов в явном виде.
Например, если Кц (Е', Е) = g [а7- (£') + б/7 т] (Е')Ь
gj (Е)
Ео
M(E')==a(E')4»l(F'); 2 = 2,; С (Ео, E) = 2j M(E’)dE'-,
Е
Ео
В(Е0,Е)=--^ f i](E')dE,
Е
то после преобразований Лапласа по переменной х решение уравнении
переноса при условии (5.9) находится в виде [103]:
^-2л,м|(’1(£»)6м+“Л£о)11/х
\ / г-
Со
X /ЩЦЗЙЖЁЙ+ЖК,) Jх
144
X /2 [2 ]/x[C(E0, E') + B(E', £)] ] -
£o x
-_exp(-Sxj_ Г dE, C dx, bo [2 )(£',£)(%—%')] X
^(£) J J I
' -^7 [£H£')Sj(x', E')exp(Sx')] b
oE
E'
[— V gi (£') Gi (x', E') exp (Sx')l f dE" 2a; (£") X
dE' J J
« E
(x—x') I1/2
C(E', E") + B(£", E) J
Л [2 J л(х-х') [C (£', E") + В (E", E)J]
где Gj (x, E) — плотность внешних источников (1.30); Io, Ilt I2 — мо-
дифицированные функции Бесселя соответствующих порядков; i, j =
= р, п, зт*.
Примеры использования других индикатрис рассеяния и описание
техники преобразований можно найти в [1031.
Эффекты, которыми пренебрегалось выше при решении краевой
задачи, можно рассматривать как малые возмущения и включить их
в плотность внешних источников:
Gj (х, Е) = Gj (х, Е) + j (£) + 2j-2 j (E)-2/D (E)l ©j (x, E). (5.14)
При высоких энергиях методы теории возмущений можно также
эффективно использовать для нахождения угловой зависимости диф-
ференциальной плотности потока. Вместо (1.34) запишем индикатрису
рассеяния в виде [105]:
^(£\Е,^ = ^(£\£)Цр^- + ^(£',£,Иб), (5.15)
Z7X
где Fu — поправочное слагаемое, делающее формулу (5.15) точной
(или приближенно точной). Сильная угловая анизотропия вторичных
адронов, образующихся в адрон-ядерных взаимодействиях при высо-
ких энергиях, приводит к тому, что второе слагаемое в формуле (5.15)
много меньше первого. (В этом относительный успех использования
приближения прямо—вперед при высоких энергиях.) Это позволяет
применить итерационный метод решения системы ядерно-каскадных
Уравнений. В качестве нулевого приближения одним из способов, опи-
ррдНЫХ выше> выбирают решение задачи в приближении прямо—впе-
Ф(/0) (х, Е, р) = <Dj (х, Е), р — cos 6. (5.16)
пл СИСТеМа УРавнений первого приближения для дифференциальной
тности потока в плоском полубесконечном слое толщиной Н пред-
145
ставляется следующим образом:
£j<D<.‘)=Qp)+Gp’;
Ф^ДО, Е, р)=0, 0<р^1;
ф/*)(7/,£,Н) = 0, — 1^р<0,
(5.17)
где оператор Lj совпадает с оператором (1.28) с учетом формулы (1.33)
Ео
Q<’>(x,E,p) = Ej ДгДЕ',Е)2г(Е')ф!‘>(х,Е',р)г/Е'; (5.18)
Ео
G/° (х, Е, И) = GJ (х, Е, р) + 2 [ Fij (Е', Е, р) х
1 Е
X 2ДЕ')Ф<и>(х,Е',р)г/Е'. (5.19)
Примечательно, что величина р = cos 6 входит в формулы (5.17)_
(5.19) как параметр, а не как переменная. Это означает, что система
(5.17) решается теми же алгоритмами, что и описанные выше уравне-
ния в приближении прямо—вперед. Подставляя в формулу (5.19) ре-
шение системы (5.17) и повторяя итерации необходимое число раз,
получаем решение задачи об угловом потоке.
Два метода решения краевой задачи (1.26), (1.27) для адронного
каскада в плоском полубесконечном слое в малоугловом приближении
развиты в работах [106—108].
Имея в виду дальнейшее использование итерационной процедуры
(5.14), предположим, что при Е> 1 ГэВ справедливы соотношения:
2ДЕ) = 20; 2)on(E) + 2/D(E) = 2£/(E);
Е, ps) = -^2-Ej(E',E, ps),
g(E)
(5.20)
где So — const; S]on (E) — макроскопическое сечение выведения час-
тиц /-го сорта из данного интервала энергий в результате ионизацион-
ных потерь; g (Е) — функция, сглаживающая энергетическую зави-
симость индикатрисы рассеяния.
Величину 2}оп можно определить из соотношения
S}on (Е) Ф, (х, Е, р) = [₽, (Е) Фj (х, Е, р)]. (5.21)
ОС
Интегрируя выражение (5.21) по всем значениям х и р и учитывая, что
при высоких энергиях р/ (Е) яг 0, получаем:
2)ОП(Е)«-₽;(Е)^(Е)/|ДЕ),
где
(Е)= J г/р [ 4хФ; (х, Е, р). (5’22)
Д-i о
146
функцию (5.22) можно найти, используя итерационную процедуру
пршение найденное из приближенных методов, описанных выше.
‘^грубом приближении 11061
2 *оп (Е) « С (Л)₽; (Е) Е, Е > 1 ГэВ,
где С (Л) __константа, зависящая только от атомной массы атомов
^функцию g (Е) удобно параметризовать в виде g (Е) = Е"", где
л » 2. Введя обозначения [103]
ЧгДх, Е, р) = £(Е)ФДх, £, р)ехр (Еох);
V = 2 Чг>; Ко (Е', Е, Ик) = 2 Kj (Е', Е, р5);
I i
(5.23)
удается после разложения по полиномам Лежандра, использования
соотношения (5.20) и суммирования уравнений преобразовать систему
(1.26) и свести ее к одному интегродифференциальному уравнению для
функции Ч^ (х, Е) и j дифференциальным уравнениям относительно
функций (х, Е) [106, 108]. Здесь ’F;, 4% Koi, Кц — /-е гармоники
разложения функций (5.23) по полиномам Лежандра.
При малых углах в этих разложениях основную роль играют сла-
гаемые с большими I. Так как Рг ( cos 0) ~ Jo (16), где Jo (у) — функ-
ция Бесселя нулевого порядка, то
Чгj (х, Е, cos 0) = j J„ (16) Чго (х, Е) I dl.
о
(5.24)
При больших I бесконечные по I системы уравнений приближенно све-
дутся к следующим уравнениям:
е0
— +S£ (Е) ¥,(х, Е) = £0 J dE' К01 (Е’,Е) Ч^ (х,Е') +
Е
+ Gl(x,E); (5.25)
— (Е) (х, Е) =
дх
Е„
= 20J dE' Кп(Е',Е)Чп(х, E) + Gn(x,E), (5.26)
Е
причем при высоких энергиях Чг/ (0, Е) — 4fJ( (0, Е) — 0.
° Уравнениях (5.25), (5.26) ЪЕ = У^Е/-, G, = Gjt (х, Е) —
I армоники разложений плотности внешних источников по полиномам
Лежандра.
певе^РИМе1"ЯЯ К УРавнениям (5-25), (5.26) преобразование Лапласа по
•1учцМеН11°Й Х И диФФеРенпиРУя эти Уравнения по энергии, удается по-
ногТТЬ явиое выражение для /-й гармоники дифференциальной плот-
и потока адронов сорта /:
147
Фл (х, Е) = ехр (-2, (£) х) —X
2л1 g (Е)
с-Н°° Ео
X J ехр (Ьх) (Е~ J dE' кл (Е'.Е) X
с—jco * Е
X[A(Z,£')+/oz(Z,E')], (5.27)
то
где fi (X, Е) = f ехр (—лх)Чг; (х, E)dx, a fol (X, Е) — трансформанта
о
преобразования Лапласа для функций типа (5.7), (5.8) в задаче о нор-
мальном падении на барьер мононаправленного широкого пучка адро-
нов.
Решение задачи находится на основе формулы (5.27) взятием ин-
теграла типа (5.24). Выражение (5.27) при I = 0 дает также непосред-
ственную оценку энергетического спектра.
Найденное решение при энергии частиц первичного пучка от 20
до 70 ГэВ вполне удовлетворительно согласуется с эксперименталь-
ными данными [106, 108].
Метод, развитый в работе [107], позволяет определить пространственно-уг-
ловые распределения частиц каскада в плоском слое, облучаемом моноэнергети-
ческим мононаправленным пучком адронов сорта i0 с энергией Ео 1 ГэВ. Со-
гласно подходу [107] дифференциальную плотность потока в интеграле столкно-
вений следует разложить в ряд по угловой переменной вплоть до слагаемых вто-
рого порядка включительно. Проинтегрируем полученные уравнения по энер-
гии в пределах некоторых групп или, если Ещщ 1 ГэВ, по всему энергетичес-
кому спектру. Используем при этом, что при высокой энергии Sj (Е) +
+ 2 Е/- (Е) «2; [см. (5.20)]. Тогда функция пространственно-углового распре-
деления Ф; (х, р) удовлетворяет следующей системе дифференциальных урав-
нений:
В '~0х Н-Ф/(х, pi) = 2 Ф» (А’> В)~ЬРг; Е Р')]Ц_
+Чы ехр( —2гх);
Фу (0, в > 0)=0; Ф,- (И, р < 0) = 0,
(5.28)
где
, д Г . '
Е=~ О-В2)^-
йр L 0р
р
max
С dE
ац— i ---------
11 If ______f
J cmax c
p
min
P
max
max
— Bs) х
р
max
W = J
£mln
Г ___dE
J ^max — E
£mln
Х2;(Е)^(Е', E, ps);
p
“max
dE C
------ 1 (£)(£',£, Bs=l)-
£max—c J
E
1
(5.29)
148
г ого говоря, в усреднениях (5.29) должна присутствовать весовая функ-
Е, ц). Однако, если ширина группы £тах— Emln невелика, выра-
ция ^/5’29)’ приблизительно справедливы.
При i — 1 фундаментальное решение системы (5.28) легко находится:
ехр ( — ац х)
2 "]/ Р,- j х
« = /•
Л’(х, ц) =
1 / ! — Р
---—— ехр —-----------
УР,-;х \ 2рг;х
Тогда искомая функция определяется итерационным способом:
N
р) = 2 S fip^x, и). (5.30)
i V — 0
Здесь V—номер итерации; (х, р.) = /^) (х, р)+ У ///'’(1 —бг;),
V' = 1
X 1
где № (х, p)=fdx' J dp' fj(x, х', р, р')Ч<г ехр (—2/х);
о —1
X I
g)=px' J dp' fj(x, х', р,, ц') [а^ + Ро-Л]
о —1
Сумма (5.30), вычисленная при N = 1, практически совпадает с результата-
ми численного решения системы (5.28) при не очень больших энергиях, х и 0.
Кроме того, это решение находится в согласии с расчетами методом Монте-Кар-
ло и экспериментальными данными при Ев = 10 и 70 ГэВ [107].
5.4. Численные методы решения ядерно-каскадных
уравнений
При высокой энергии первичных адронов Ео > 1 ГэВ наиболее
известны следующие схемы численных решений ядерно-каскадных
Уравнений: 1) многогрупповая схема метода дискретных ординат
П09]; 2) метод многоуровневых итераций [781; 3) метод последователь-
ных столкновений [110]. Во всех случаях рассматривается одномерная
задача, когда плоский однородный слой толщиной Н облучается ши-
роким мононаправленным пучком адронов. При этом никаких упро-
щающих предположений о функциональной зависимости индикатрисы
Рассеяния не делается.
НртеРвь,а метоД решения [109] заключается в том, что систему ки-
11нт1Ческих Уравнений для плотности потоков нуклонов и л^-мезонов
на КГРИРУЮГ по энеРгии в пределах каждой из q энергетических групп,
этом010'31’16 Разбивают весь рассматриваемый интервал энергий. При
jion исп°льзуюг понятие о макроскопическом сечении выведения
т°да В 9(?ЭЛее пРименяют стандартные приемы многогруппового ме-
группо ^"гРУпп°вом приближении вычисляют групповые сечения и
ИнтерваЫе ИндикатРисы в 42 точках неравномерно разбитого углового
149
Для того чтобы решить систему трех уравнений (/ = р, п, л±ч
используют метод последовательных приближений. Решение задачи
для n-го приближения распадается на <7тах циклов (по числу групп)
каждый из которых представляет собой итерационный процесс с ис-
пользованием нелинейного ускорения при вычислении углового про-
филя решения (метод средних потоков). Итерированное решение на-
ходят интегрированием уравнений по характеристикам. Численное
решение многогрупповой системы уравнений осуществляют с помо-
щью известных реакторных программ РОЗ-5 [111].
Результаты расчетов по описанной методике неплохо согласуются
с экспериментальными данными при Е„ ~ 20 ГэВ. Полученная ин-
формация по пространственно-угловым и энергетическим распределе-
ниям позволила выявить некоторые закономерности. Однако ограни-
ченное число узлов угловой сетки метода дискретных ординат не в
состоянии достаточно хорошо описать анизотропию рассеяния при
энергиях Ео> 50-1-100 ГэВ. Как показал более детальный анализ,
этот метод недостаточно устойчив для процессов с большой множест-
венностью вторичных частиц. Кроме того, нетривиален вопрос об ус-
реднении групповых констант. По-видимому, эта методика применима
лишь при энергии Ео < 10 ГэВ как раз в той области, где приближен-
ные аналитические методы решения еще недостаточно точны.
В работе [78] развит второй подход к решению задачи переноса
высокоэнергетических частиц. Выделим в функции дифференциальной
плотности потока часть Фо^ (х, Е, р), отвечающую нерассеянному
потоку, (5.7), (5.8). Систему уравнений для потоков рассеянного из-
лучения представим в виде:
LOj = SOj-[-Gj; j = р, п, п+,ц-,К+,К~',
Ф; (0, Е, р) = 0, 0 < р 1;
<&j(H,E, р) = 0, — 1«Ср<0,
где
L = р -А. + 2 tot (Е); 2 .tot (Е) = 2. (Е) + S/D (Е);
дх
2Л 1 Ео
5Ф, = У dtp J dp' j* dE’ 'Zj(E')9!>jj(E',Е, рй)ФДх, Е' р')[
О — I Е
G, (х, Е, р) = Goy (х, Е, р) + [р, (Е) Ф; (х, Е, р)] + 2 §ФЬ
Oh i=f=i
Ео
Goj (х, Е, р) = 2 л 2 f dE' (£') (Е',Е, р)Фог (х, Е').
i Е
Функции Фог (х, Е) определены формулами (5.7), (5.8).
(5.31)
(5.32)
(5.33)
150
Используя функцию Грина Г, (х', х, Е, р) оператора L, получаем
ешение уравнений (5.31) для области углов 0< р С 1:
р
Ф7(X, Е, р) f Г; (х', х, Е, р) (Gs dx'. (5.34)
b
Для области углов —1 гД р < 0 необходимо заменить пределы ин-
тегрирования в формуле (5.34) 0 и х соответственно х и ЕЕ
функция Грина оператора L определяется по формуле
Г;(х/ х, Е, р) = ехр
X— х'
2
Р
Третье слагаемое в правой части уравнения (5.33) разумно учиты-
вать итерационным образом. Тогда, вводя обозначение:
fj(x, Е, р)= ГДх'.х, Е, p)G7 (х', Е, р) dx', (5.35)
о
уравнение (5.34) для текущей итерации можно представить в форме
интегрального уравнения Вольтерра второго рода:
Ф; (х, Е, р) — ГДх', х, Е, р) S(Dj (х', Е, р) dx' — f}(x,E,ii). (5.36)
b
Разобьем интервал энергий частиц каскада на две области:
1)0,4 ГэВ:С£С£п; 2) 15 МэВ ^£^400 МэВ. (При Е < 400 МэВ
ионизационный пробег меньше пробега до неупругого ядерного взаи-
модейстия, и угловые распределения становятся значительно менее
анизотропными.) В первой области по аналогии с соотношениями
(5.15)—(5.19) используем методы теории возмущений по углам для пе-
редней полусферы 0< р 1. Представляя индикатрису рассеяния в
виде (5.15), получаем вместо формулы (5.32) выражение типа (5.18).
Соответственно третье слагаемое в выражении (5.33) преобразуется
также к виду (5.18) и, кроме того, появляется четвертое слагаемое:
_ 2л 1 Ео
G/v) (х, £, р) = G; (х, £, р) + j dq J г/р' f dE' (£') X
' 0 —I E
ХР1}(Е',Е,^ФГ,)(х,Е'.ц'),
(5.37)
где v _
Решение
номер внешней итерации по углам; Ф(г0) (х, Е, р) = Ф, (х, £) —
Уравнений (5.35) и (5.36) в нулевой итерации при Е^ = 0.
151
Подставив выражение (5.37) в формулу (5.35) и применив квадрату,
ры Гаусса в методе конечных сумм при решении уравнения (5.36),
ходим рекуррентное соотношение:
wm exp —2;tot (Et) —— | X
L Ph J
(^ni Ец Ph) —
<n= I
xGj-(xm, El,^} +y W) к.д£.,Е;)ф.(хпг, £f,tift)l, (5.38)
Ph J— Ph '
по которому функция Фу вычисляется в узловых точках Хп, Е;, Ц.
начиная с граничных х = О, Е = Ео, р = 1. Здесь ш, — веса квад-
ратуры Гаусса.
Внешние итерации по углам и внутренние по уравнениям системы
(5.31) и по второму слагаемому в формуле (5.33) заканчиваются, если
при s-й итерации выполняются условия:
max
х€Ю, Н]
Цб[0, 1]
гею, 4; г]
| <D(S> (у, Е, р)—ф<5~'> (х, Е, р) |
|®s(x. Е, р)|
(5.39)
< е,
где е — относительная погрешность вычислений. При е = 0,01 не-
обходимое число итераций по каждому из трех циклов не превышает
пяти.
Во втором интервале энергий 15 < Е < 400 МэВ система уравнений
(5.31) сводится на первом этапе к уравнениям:
ЕФп — Snn Фп Ь 00п,
Гф.-^р.ф.^Со.,
Ос
(5.40)
Первое из них решается [после приведения к виду (5.36)] методом дис-
кретных ординат для угловой и энергетической переменных. При этом
формулы типа (5.38) используются для всего интервала углов: —1
«С р. 1. В источник Gon дает вклад нерассеянное излучение и все
адроны с энергией Е > 0,4 ГэВ. Для заряженных частиц вклад в
источник дает нерассеянное излучение, все адроны с энергией Е >
> 0,4 ГэВ и нейтроны с энергией 15 Е 400 МэВ. Применив ко
второму из уравнений (5.40) преобразование Лапласа по координате
х, получим решение в виде
0,4 г- Е’
флх’е',1)=175г1<,£'^
Е L Е
dE"
₽j (£")
,Е’,» X
X ехр
S-tQt (E")dE"
Ру(Е")
(5.41)
152
Используя формулу (5.41), вклад от заряженных частиц в источни-
G и GUj можно найти итерационным методом. Необходимое число
Итераций при этом — одна—две.
Описанный алгоритм положен в основу вычислительной программы
HAMLET. Многочисленные сравнения результатов расчета с экспе-
риментальными данными указывают на хорошее согласие в широком
диапазоне энергий, вида материалов, толщины слоя вещества [78, 112,
113J-
Для некоторого класса задач довольно эффективен метод последо-
вательных столкновений в виде, предложенном в [1101. Функция рас-
пределения представляется в форме ряда по последовательным столк-
новениям:
Ф; (х, Е, р) = lim у Ф!”> (х, Е, р),
п= 0 '
где Ф/л) — функция распределения частиц сорта j м-го поколения.
При этом имеют место рекуррентные соотношения Ф/п+° = Bj[2%j X
где оператор рождения частиц S определен согласно формуле
(5.32), а оператор переноса В для нейтральных частиц имеет вид:
dx' ехр
Sj(E) (х—х')
фДх', Е, р),
а для заряженных частиц
dE" ехр
г" 2; (£') dE'
J ₽j (£')
E
(pj(x", E", p),
E"
причем x" = x — p f dE'/$j(E').
E
Функции нулевого поколения определяются выражением типа (5.7),
(5.8).
При реализации метода [ПО] пренебрегается распадом л-мезонов,
многократным кулоновским рассеянием и альбедной частью излуче-
ния, т.е. углами образования вторичных адронов 6>л/2. Кроме того,
Редполагается, что частица, взаимодействующая с ядром, имеет на-
правление движения вдоль нормали к поверхности слоя. При этом
Рассеяиия вводится такая коррекция, что вместо фор-
У ы (5.32) следует пользоваться соотношением
Stj Ф<"> = j ф' ^°dE' 2дьт (E't Е> ф(п)
О Е
Byion,^ и) = CnSB[E', Е, ps = cos(6 • 2-"/2)1; Сп — соответст-
нормировочный множитель.
153
Предполагая дополнительно, что 2>(Е) = 2(E), можно построить
простой вычислительный алгоритм, удовлетворительно работающий
при высокой энергии для достаточно толстых слоев.
5.5. Методы решения уравнений переноса адронов
промежуточных энергий
Если энергия первичного адрона Ео < 1 ГэВ или энергия адронов
в процессе развития высокоэнергетического адронного каскада в сре-
де уменьшилась до нескольких сот мегаэлектрон-вольт, качественная и
количественная картины взаимодействий с веществом существенно
отличаются от случая высоких энергий. Полные и дифференциальные
сечения при указанных промежуточных энергиях существенно зависят
от энергии и атомной массы ядра, угловые распределения значительно
менее анизотропны, ионизационные пробеги сравнимы с пробегами до
неупругого ядерного взаимодействия и поэтому с уменьшением энергии
в суммарном потоке нейтроны начинают превалировать над заряжен-
ными адронами. Область промежуточных энергий представляет значи-
тельный самостоятельный практический интерес в приложениях к ус-
корителям типа мезонных фабрик, к толстым боковым защитам уско-
рителей протонов с энергией Ео > 1 ГэВ и к защите космических ко-
раблей.
Известно немало попыток решения уравнений переноса нуклонов
промежуточных энергий: метод сферических гармоник в Р3-приближе-
нии [114], полуаналитический метод [115], метод дискретных ординат
[116, 117], приведенная выше итерационная схема (5.40), (5.41) с ис-
пользованием метода дискретных ординат для угловой и энергетичес-
кой переменной. Во всех этих работах существенно используются кон-
кретные особенности характеристик адрон-ядерных взаимодействий в
области промежуточных энергий. Использование теоретически обосно-
ванных численных схем расчета позволяет получать надежные ре-
зультаты вплоть до энергии Е ~ 10 МэВ.
Удобное для анализа основных закономерностей решение уравнений пере-
носа нуклонов с энергией 0,1 Ео 1 ГэВ предложено в [83]. В методе [83]
предполагается, что функция распределения протонов в некоторой точке на рас-
стоянии от источника, превышающем ионизационный пробег, в основном опре-
деляется полем нейтронов в окрестности этой точки, а именно имеет место при-
ближенное соотношение:
dQ' J dE' &пр (Е', Е, щ)Ф„(г, Е', «')+
Е
+ 6pjo6[r-r0-S20Q0(£0, £)] 6 (Я-Яо) ехр [-<?,(£«, £)] , (5-42>
где мононаправленный (в направлении Яо) и моноэнергетический £0 источник
частиц сорта /0 расположены в точке г0;
Е'
С dE'
Qo(E', Е)= | :
F
Фр (Г’£’Q)^P (£)+£(£)
154
£'
Q, (E’, £)-j" dE"
E
S (£") &PP(E"yi-db(E")/dE"
P(E")+A(£")
c0
0>pp(E) -J cf£'S(£') J dSl tf>pp (E‘, E, ps);
E 4л
E'
&np(E' E, ps) J dE" &>np (E' , E" , gs);
£„
Д (£)= j dE’ S(E’) (£'-£){ dtl^pp(E', E, ц8).
E 4л
Подставив формулу (5.42) в уравнение (1.26) при j = п, систему кинетичес-
ких уравнений можно разделить и получить приближенное уравнение для функ-
ции распределения только нейтронной компоненты Для его решения функция
распределения и индикатриса рассеяния представляются [83] в виде суммы ква-
зисвободпой и каскадной составляющих:
Ф; (г, Е, Я) Ф? (г, Е, Я) + Ф/ (г, £, Я);
Е, = (Е',Е, ps) + ^f;.(£', Е, iis),
(5-43)
где для описания Л®?. и используются выражения (3.33) и (3.34) соответст-
венно.
На первом этапе решается одномерное уравнение переноса нейтронов квази-
свободного рассеяния. Учитывая сильную анизотропию углового распределения
этих нейтронов в каждом акте /гЛ-взаимодействия, можно применить малоугло-
вое приближение. Тогда после преобразований Фурье по х, Меллина по Е и
Ганкеля по 6 уравнение переноса нейтронов принимает вид:
(1 + ip) £—ЯГ= 2~’.
(5.44)
гДе F (р, V, /)= | 6 <Ш0 (0v) J dx ехр ( —i рх 2 ) J d£(£/£0)(-' X
О — оо о
х (*, Е, 0); Н= — 0,5 ,^-ехр ( — v2/4rf);
\ dv2 v dv / т]
*1 t L Е — о,5; JB — функция Бесселя нулевого порядка. Здесь предпола-
алось, что вектор пучка первичных нейтронов Яи нормален к плоскости источ-
ника и отсутствует энергетическая зависимость макроскопического сечения 2,
также параметров индикатрисы ппп и £ из табл. 3.9.
Решая уравнение (5.44), можно найти функцию энергетического распреде-
ния нейтронов квазисвободного рассеяния
оо
Ф’(Х, £)=j ф?(х, Е, 6) 6de=exp (-2 X) (Е/£О)6-'/2 х
о
Ге,- 1 + 11^
X I 6 (£ Е0)-\-ппп 1/ X
L £о V 1п(£0/£)
X£'g-I/2 Л (g)<p(g, О)Л(2/ТТ)1,
g
(5.45)
155
где т' = 2х In (£0/£); A (g) = J <р (g, х) ехр (—x2/4)xdx; <p(g,
о ' и
g — собственные функции оператора Н и соответствующие им собственные зна
чения; 27 — суммирование по дискретным значениям g (при g •< 0 есть, По
крайней мере, одно дискретное значение g = g0) и интегрирование по области
непрерывных значений g при 0 g оо.
Получена также [83] приближенная формула для спектра нейтронов, сов-
падающая с точным выражением (5.45) при х сю и х -* 0:
(«, E)=sxp (-Z х) (Е-Е,) +
+ 'е(.+<еТе> ф
Eq 1П (Eq/E)
где <p (у) = 1 + A (g0)<p (g0, 0) [Д (y)/y — 1]; g0 = 0,5 (x — 0,25)2; x =.
= V2nnn (g + 1) - 0,25; A (g0)<p (g0, 0) = 0,5 (x + 0,125) (4x2 + 7x + 4)/
(x -p I)3; li (y) — модифицированная функция Бесселя первого порядка.
Теперь при известной функции распределения нейтронов кв аз и свободного
рассеяния каскадную составляющую Фсп (х, Е, Я) полной функции распределе-
ния (5.43) можно найти, например, в Ргприближении метода сферических гар-
моник.
В общем случае точечного источника в бесконечной однородной среде функ-
цию Фп (г, £, Я) на больших расстояниях от источника можно оценить из сле-
дующего простого соотношения:
1 д I
Фп(г, £, Я)«—----------— фп (х, £, Я)
2лх ох 1х = | г ।
где Фп (х, £, Я) —найденная функция распределения плотности потока нейтро-
нов для безграничного плоского источника.
Подставляя это выражение в формулу (5.42), находим замкнутое решение
задачи о переносе нуклонов промежуточных энергий.
Результаты расчета по полученным формулам неплохо согласуются с экс-
периментом и другими расчетными результатами. Найденные в [83] приближен-
ные аналитические решения особенно удобны для исследования асимптотичес-
ких свойств функций распределения и для синтеза с высокоэнергетическими
монте-карловскими программами.
5.6. Решение краевой задачи переноса низкоэнергетических
нейтронов и вторичных фотонов
Диссипация энергии в процессе развития ЯЭК приводит к тому, что
частицы рано или поздно попадают в область низких энергий Е <
< 15 МэВ. Вероятность ядерных взаимодействий заряженных частиц
здесь пренебрежимо мала (Rion/Eln <1 10~3), поэтому, за исключен!!
специальных случаев, рассматривается лишь двухкомпонентное по
излучения: нейтроны и фотоны. Краевую задачу переноса этого из У
чения можно решать с использованием хорошо развитых метО
11, 111]. Уже упоминавшиеся методы [ 114, 115] и программы НАЛ
[78], ANISN [116], РОЗ-400 [117] включают в себя алгоритмы реш^!
задачи переноса низкоэнергетического излучения. Однако особенн
рассматриваемой ситуации позволяют с успехом использовать г
ближенные аналитические решения.
156
Нейтроны. Источники замедляющихся нейтронов распределены по
глубине защиты и практически изотропны, поэтому, начиная с некото-
пого расстояния от центральной области адронного каскада, хорошо
применим метод сферических гармоник низкого порядка в виде [78]
и диффузионно-возрастное приближение в форме [118]. Рассмотрим
пллпобнее первый из этих методов, реализованный в программе
HAMLET 178, 119].
Наряду с квазиоднородностью и изотропностью источников
/v (£ >. 15 МэВ) < 0,5 2(Е < 15 МэВ)) неупругое рассеяние низко-
энергетических нейтронов близко к изотропному. Это позволяет огра-
ничиться двумя первыми слагаемыми ряда в разложении функции
распределения и индикатрисы рассеяния (1.35) по полиномам Лежанд-
ра и в аналогичном разложении плотности источников. Рассматривая
среду с А > Ю и, следовательно, с малой анизотропией упругого рас-
сеяния, сведем полученные уравнения для 0- и 1-й гармоник к квази-
диффузионному многогрупповому уравнению, где в отличие от клас-
сического случая учтем переход нейтронов из всего интервала 8 МэВ
Е Ео во все группы вплоть до энергии 0,5 МэВ:
— Do d* (х) Ф9 (*) = В4 (х), а=1, ..., М, (5.46)
dx2
? — 1
где 2g = 2’—S’"*9; Вч(х) = Фр (х)ф G’ (х);
p=i
Eq-\ Eq-\
Di (х) =--------- f dED (E) Фо (x, E); Ф? (x) =
Ф’ (X) J
q
Еч
Eq- 1 Ep- 1
Sp-?(x) =--1---- f dE f dE' 2(Е')Е0(Е',Е)Ф0(х, E);
фЧ« e E
Ея ep
Eq—l
W)==W) f <*Е2(Е)Ф0(х,Е);
Eq
Eq — l
q4 (x) =--!--- f dEG0 (x, E) Фо (x, E);
Ф9 W J
м Eq
число энергетических групп; Фо, So и Go — нулевые гармоники
разложения по полиномам Лежандра функции распределения, ин-
дикатрисы рассеяния и плотности источников соответственно; D(E) =
Z. l/(3Str (Е)) —коэффициент диффузии; 2tr(E) = 2(E) — р(Е)2е1(Е);
Е(Е) « 2/(ЗА).
Плотность внешних источников определяется низкоэнергетически-
и нейтронами, образовавшимися в процессе развития ЯЭК:
Go(x, Е) = 2л £ J dE'(Е')~~р (Е', Е) Фк (х, Е'),
k=p, л, р ,
cmln
157
где £,nin — нижний порог по энергии при решении задачи о переносе
адронов с Е > Emln (Erain = 15 МэВ); Ф;.(х, Е') — энергетические
распределения этих адронов; dNhn/dE—сумма спектров каскадных и
испарительных нейтронов в 1гА-соударении.
Групповые константы О'?, S'? и S1^ обычно слабо зависят от вида энерге-
тического распределения нейтронов Фо (х, Е) и практически не зависят от х
[120]. Это позволяет использовать заранее составленные «стандартные» библио-
теки групповых сечений (см., например, [120, 121]). Однако, чтобы учесть осо-
бенности спектров нейтронов, образующихся в процессе развития в веществе
высокоэнергетических адронных каскадов, групповые константы в диапазоне
энергий 0,5 Е 15 МэВ целесообразно усреднять по вычисляемым спектрам
итерационным образом. Для первой итерации легко получить [119]
= S?n+ Se?/(4M)Eg/(E9_1-Eg);
__ V<7 ( i _ —-----—------
й - е! 1 л р _р ’
\ л Cq — l /
ЕЧ—1 р’ 4 р
S^=Sf„ f dE' —ехр {-Е'/ТР) + ^ ~ -----------------Р— 6?1Р + 1,
Eq ‘р £Р~1 р
(5.47)
где Тр — температура возбуждения ядра А нейтронами, принадлежащими р-й
группе.
Теперь зная групповые константы [120,121] и (5.47), уравнения (5.46)
можно решить методом функций Грина. Опуская индекс q, запишем:
—Dd2f (х', х)/<3х2+2ь f(x',x) = 8 (х—х'у, 1
f (х', х) -> 0 при х -> ± 00 • I
Применив к этому уравнению фурье-преобразование q>(t) =
оо
= f ехр (—itx) f(x', x)dx, получаем = ехр(—+ Dt2).
Применяя обратное преобразование к функции <р(/), находим
f (х', х) = (2 V^~D )-1 ехр (-V^JD |х -х' |)
или окончательно
Ф? (х) = f —В ) - ехр
j 2 / D4
х’ | | dx', (5-49)
где H — толщина рассматриваемого слоя вещества.
Простое решение (5.49) вполне удовлетворительно описывает по-
низкоэнергетических нейтронов вне центральной области ЯЭК.
Фотоны. Основными процессами образования фотонов при Р
витии ЯЭК в веществе являются [ 119, 122]: распад л° -> уу, радиаци
ный захват тепловых и замедляющихся нейтронов, неупругое рас
159
flHe быстрых нейтронов и снятие остаточного возбуждения ядер
после каскадно-испарительной стадии взаимодействия.
Плотность источников фотонов первого процесса вычисляют в ходе
расчета электрон-фотонного ливня (см. гл. 4). Угловые распределения
фотонов в остальных процессах можно считать изотропными, а плот-
ность источников представить в виде
G (х, Е, р.) = у
Ny (Е) £ S’ Ф’ (*) + 2 Zftl (В) Ф° (%) +
9 = 1 9=1
Еа
2 f d'E' (Е') & (Е, Е) Фк (х, Ег) ,
А = р,п,л Emjn
(5.50)
где Ф’(х) определяется формулой (5.49); Ф*(х, Е) — энергетическое
распределение адронов с Е > 15 МэВ; М — полное число групп низ-
коэнергетических нейтронов; — число групп быстрых нейтронов в
интервале 0,5 Е 15 МэВ; Ny(E) — выход фотонов с энергией
Е на один акт захвата нейтронов; — сечение радиационного захва-
та в q-й группе; 2?п (Е) — сечение неупругого рассеяния нейтронов
q-й группы с выходом фотона с энергией Е; 9!>у(Е', Е) — энерге-
тическое распределение фотонов при снятии остаточного возбужде-
ния ядер; Emln = 15 МэВ.
Энергетический спектр фотонов при захвате нейтронов и снятии
остаточного возбуждения согласно статистической теории можно пред-
ставить в виде: М(Е?) ~ ЕЕ|ехр(—Еу/Т), где Т — температура из-
лучающего ядра; В — нормировочный множитель.
Спектр фотонов при неупругом рассеянии быстрых нейтронов с вы-
сокой степенью точности можно считать б-функционным.
При известном источнике (5.50) уравнение переноса для плотности
потока энергии фотонов I(x, Е, р) = ЕФ(х, Е, р) в одномерной гете-
рогенной защите с заменой переменных Е = mjl. можно записать в ви-
Т I
. 01 (х, к, 10 р
И ------------F Е (х, X) I (х, X, р) = и (х) I dp6 м (к’, X) х
— I
Л
X Jdtp' I (X, X, р') 4-G (х, К, р), (5.51)
О
с^ато^^’ — макроскопическое сечение взаимодействия фотонов
мами (электронами) среды в точке х; Z — длина волны фотона;
{х> = пе(х)ге72;
(Х'Л) =
/ М\2/ X . V , \ ,
"Г IТ7 й —-------1 + Ps X X -J-2,
\ Л / \ Л Л j
0 в остальных случаях;
158
— 1 +7/ — Л — косинус угла рассеяния; р' = ppg + V1 — х
xVl—p2cos<p'; пе и re — электронная плотность и классический
радиус электрона соответственно.
Уравнение (5.51) можно решить итерационным путем методом дискретных
ординат [122, 123]. В интеграле столкновений разложим функцию I (х, X', р')
в ряд по полиномам Лежандра вплоть до £-й степени, а индикатрису рассеяния_
до ЛТ-й степени. Коэффициенты разложения индикатрисы К,п (X) вычисляются
аналитически, а к гармоникам дифференциального потока применим квадратур,
ную формулу:
4Л — 2 alq I (х< 7, [lq)iaig— (Г?)
4=1
где pg и Wq — узлы и веса квадратуры Гаусса.
Разобьем интервал изменения X на Nj подынтервалов длиной h — MJ j и
применим к интегралу по pg в (5.51) квадратурную формулу Гаусса /Уд-порядка.
Тогда интеграл столкновения на v-й итерации находится в виде:
2»т К*
S(v) (х, Хр р) = П (х) 2 2 Bqk(Xt I1) Z(V“*> (х< pg) ,
4 =1Д—О
где K*=min [Nh, Nj — /}; Nh h=2; £=Хд —Xft_j = р«д— psft_p B'fc(x, p) =
L м
— 2 aiqBi(F) 2 C^Km(Xj).
1 = 0 m = 0
Матрицы C^f, представляют собой комбинации индексов разложения и весов
квадратуры Гаусса.
При интегрировании уравнения с известной правой частью F = S + G ин-
тервал изменения пространственной координаты разбивают на части узлами xj.
При этом границы раздела различных материалов и внешние границы включают
в число узловых точек. Предполагая, что F — линейная функция на интервале
[Xj_ 1f xj, а макроскопическое сечение 2 (х, Xj) на этом интервале постоянно,
проинтегрируем уравнение (5.51) вдоль фиксированного луча рр:
(х/, Ху, p₽) = exp
Si (Xj) Ax/
Up
/(V)(^-1, pP) +
Д/ £)/ __Д)
+ S(v-’> (хг, X/, Hp)+—-----— S(v-1> (^-1. Fp)’
P-p Fp
Mci—DL 1—exp [ —2г (Х7-) Ахг/рр]
D",= 21 l‘'”
Интегрирование всякий раз начинают с границ барьера, на которых зада-
ны краевые условия. Итерационный процесс прекращают, если на v-й итера-
ции выполняется условие (5.39) для всех значений х, X и р.
Описанный метод приводит к хорошим результатам даже в сильно анизо-
тропных случаях при L = 13 и М = 3. Критерием для выбора координатно
сетки является условие S i (Ху)Ах,- 0,5.
Таким образом, приведенные в настоящей главе методы позволяют
рассчитать многокомпонентное поле излучения в плоско-параллельном
слое вещества при развитии в нем ядерно-электромагнитного каска-
да.
160
ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДЕРНО-ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
КАСКАДОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
6 1. Метод Монте-Карло в задачах переноса частиц
высокой энергии
Ядерно-электромагнитный каскад (ЯЭК) представляет собой про-
цесс случайных независимых актов взаимодействия частиц с веществом.
Зная законы распределения частиц в акте взаимодействия, можно
рассчитать конкретную случайную реализацию процесса, воспользо-
вавшись методом Монте-Карло. В настоящее время этот метод явля-
ется, по существу, единственным, позволяющим рассчитывать развитие
ЯЭК в произвольной геометрии при наличии внешних электрических
и магнитных полей. При этом относительно легко достигается детальное
описание картины взаимодействий и решение задач о флуктуациях,
корреляциях, малых возмущениях.
Метод Монте-Карло представляет собой, по существу, модельный
эксперимент, где, в отличие от действительного эксперимента, можно
в широких пределах варьировать условия «опыта». Возможность изуче-
ния влияния того или иного физического эффекта, а также выделения
маловероятных процессов с помощью метода существенной выборки
(см. разд. 1.5), наряду с уже отмеченными чертами, делают метод
Монте-Карло основным инструментом физики высоких энергий на
стадиях планирования эксперимента, обработки и инерпретации его
результатов, при решении большого комплекса радиационных проблем.
Общая картина процессов при прохождении быстрой частицы че-
рез вещество рассмотрена в гл. 1, моделирование электрон-фотонных
ливней (ЭФЛ) — в гл. 4, техника метода Монте-Карло — в разд. 1.5.
Ниже рассмотрены особенности и конкретные схемы моделирования
высокоэнергетических адронных каскадов. Некоторые общие вопросы
использования метода Монте-Карло при высоких энергиях частиц ос-
вещены в [19, 45, 48, 124, 1251.
Две важные особенности характеризуют моделирование распростра-
нения высокоэнергетических адронов в конденсированных средах:
1) в отличие от процесса переноса адронов низких и промежуточ-
ных энергий через вещество адронный каскад при высоких энергиях —-
сильно ветвящийся процесс, что обусловлено множественной гене-
рацией частиц в ядерных взаимодействиях при энергиях Ео > 1 ГэВ;
2) в отличие от другого каскадного процесса ЭФЛ (см. гл. 4) прак-
тически все расчеты адронных каскадов основаны на использовании
феноменологических моделей и формул (см. разд. 3.4).
Е Первая особенность приводит к тому, что при первичных энергиях
«л ~ 50 ГэВ и кинетической энергии обрезания в расчете Eth ~ 10 МэВ
ЯТВ° тРаектоРнн» становится разветвленным настолько, что расчет
в е В пРОтяженных системах с просмотром всех «ветвей» за разумное
Фак 'Я Не пРедставляется возможным даже на современных ЭВМ. Этот
наряду с отсутствием полной информации о сечениях всех каналов
Зак- 295 1б!
реакций при высоких энергиях и трудностями точного обеспечения
закона сохранения энергии-импульса в каждом моделируемом акте
/И-соударения, инициировал создание инклюзивных схем расчета ЯЭК
Вторая особенность обусловлена современным состоянием теорий
множественных процессов (см. гл. 3). В отличие от квантовой электро,
динамики, эта теория не дает единого описания распределений, обра.
зующихся в высокоэнергетических ядерных реакциях адронов во
всем диапазоне кинематических переменных, существенном для моде-
лирования ЯЭК. В рамках какой-либо конкретной модели не удается
обеспечить количественное согласие теории с экспериментальными
данными даже в узком фазовом интервале, не прибегая к подбору сво-
бодных параметров. Поэтому, за исключением отдельных попыток
точного моделирования hA-взаимодействий из фазового пространства
145] или через квазидвухчастичное рождение адронных резонансов [126
127], все существующие и широко используемые методы и программы
расчета высокоэнергетических ЯЭК базируются на феноменологичес-
ких описаниях*. По этим причинам, а также из-за того, что отдать
явное преимущество какой-либо из существующих программ расчета
ЯЭК, по-видимому, нельзя, данная глава отличается по построению
отгл. 4, где известно, как фактически точно описать каждый из физи-
ческих процессовЭФЛ. Отметим, что в настоящей главе, если специаль-
но не оговорено, рассматривается для неразмножающих сред каскад
протонов, нейтронов и л±-мезонов и сопровождающие его ЭФЛ, ини-
циированные распадами л° -> уу. Первичная кинетическая энергия
адронов и кинетические энергии частиц каскада обозначаются как Ео
и Е соответственно.
6.2. Схемы моделирования и вычислительные программы
Среди существующих и широко используемых методов и программ
расчета высокоэнергетических ЯЭК можно выделить в зависимости от
способа моделирования актов адрон-ядер него взаимодействия три
группы:
1) эксклюзивный подход: НЕТС — программа, созданная в ORNL
[126, 127]; SHIELD — программа, созданная в ОИЯИ [128]; програм-
мы для исследований с космическим излучением (см. например, [102]);
2) квазиэксклюзивный подход: FLUKA — программа, созданная в
Лейпциге и CERN [85, 129];
3) инклюзивный подход: MARS — серия программ, созданных в
МИФИ и ИФВЭ [19, 130—1351; CASIM — программа, созданная в
FNAL [1361; KASPRO — программа, созданная в Лейпциге и CERN
[80, 1371.
В программах первой группы в каждом акте адрон-ядерного
взаимодействия осуществляется прямое моделирование процесса обра-
зования одновременно любого числа частиц различных сортов, допу-
* Модели внутриядерного каскада, используемые в [126, 128], при энергиях
£0 > 3 ГэВ также следует рассматривать как феноменологические,
1 62
емых законами сохранения. В программах НЕТС и S HIELD ис-
зуется каскадно-испарительная модель [48,1381 При расчете ЯЭК
П°кажд°м столкновении адрона с ядром моделируются его взаимодей-
Б 1Я с внутриядерными нуклонами, разыгрываются возможные ка-
налы реакции, последующее испарение частиц из возбужденного ядра
и вычисляются характеристики остаточного ядра.
В программе НЕТС осуществляется прослеживание судьбы нейтро-
нов с энергией Е > 0,025 эВ, протонов и л+-мезонов сЕ 104-15 МэВ,
а также л'-мезонов вплоть до их остановки. При этом учитываются
многократное кулоновское рассеяние, упругое ядерное взаимодействие
/приближенно), страгглинг (разброс по пробегам), распады мезонов,
рождение л°-мезонов, мюонов, фотонов и тяжелых ядерных фрагмен-
тов. Перенос фотонов и соответственно развитие электрон-фотонного
ливня (ЭФЛ) в программе НЕТС непосредственно не рассматривается.
Имеется версия для расчета каскадов с участием дейтонов и а-частиц.
Геометрия и композиция материалов могут быть достаточно сложными.
Из-за ограничений области применимости каскадно-испарительной мо-
дели и машинных возможностей максимальная первичная энергия, при
которой еще можно успешно пользоваться программой НЕТС, составля-
ет Еп = 30 4- 50 ГэВ. Времена счета и требуемая машинная память
весьма значительны (до нескольких часов счета и 575 К памяти на
IBM 360 90).
Программа SHIELD, использующая каскадно-испарительную мо-
дель [48], основанную на статистической аппроксимации эксперимен-
тальных данных, в основных чертах похожа на программу НЕТС. Она
написана для ЭВМ типа БЭСМ-6. Максимальная энергия адронов при
вычислениях Ео = 30 ГэВ.
Программы НЕТС и SHIELD ориентированы на детальный расчет
нуклон-мезонных каскадов в системах не очень больших размеров
(< 5А1п) при энергии Ео < 10 ГэВ. Они успешно применяются для
исследований каскадов в размножающих средах (в электроядерном
методе, например) и для расчетов вероятностных распределений в де-
тектирующих системах.
В программах типа [102], ориентированных на очень высокие энер-
гии, используется большое число допущений, характерных для не
следований с космическим излучением (см. разд. 5.1). В качестве основ-
ной характеристики элементарного акта взаимодействий обычно ис-
пользуют распределение коэффициентов неупругости, одинаковое для
ну ..тонов и л-мезонов. Энергия обрезания снизу при расчете каскадов
обычно исключительно высока (Eth > 3 ГэВ).
[85 io 1 Т ° Р У Ю г Р У п п У входят программы семейства FLUKA
91. Множественное рождение адронов описывается в этих прог-
раммах феноменологическими одночастичными инклюзивными распре-
клюНИЯМИ^СМ- Разд’ ЗЛ). При эт°м приближенно моделируется экс-
п п ЗИВный процесс с использованием алгоритма, обеспечивающего вы-
нение закона сохранения энергии в каждом столкновении:
чаля П^И моделиРовании элементарного акта hA-взаимодействия сна-
Ся‘ выбирается случайный порядок, в котором будут разыгрывать-
Пличные типы вторичных адронов;
163
2) вводится число С — счетчик баланса энергии в данном событии
которое вначале полагается равным нулю; закон сохранения энергии
обеспечивается при С = 1;
3) вводятся счетчики Dijk и Gijk — трехмерные числовые массивы
используемые для обеспечения в процессе моделирования близости
коэффициентов неупругости в Л-системе средним значениям
(см. гл. 3) для вторичной частицы сорта / при взаимодействии с ядром
адрона сорта i с импульсом pih внутри импульсного интервала Дрь;
4) в начале события заранее подготовленные значения для
всех pih заносятся в счетчики Diih‘,
5) каждый раз при выборе частицы j ее относительная энергия
Ej/Ei добавляется к счетчикам С и
6) моделирование рождения адронов продолжается до тех пор, пока
не нарушатся условия
С 1; Gijk^.Dijk', (6.1)
7) если для очередной генерируемой частицы С > 1 или Gijk >
> Dtjh, эта частица не может быть рождена в данном событии и соот-
ветствующее ей значение Ej/Ei должно быть вычтено из счетчиков С
и Gijh,
8) ее импульс и угол запасаются в специальных числовых массивах
Pijh и для использования в следующем событии такого рода;
образование новой частицы типа ijk не моделируется до тех пор,
пока^не будет использована эта запасенная частица из массивов Р^к
и А"}к;
9) после записи параметров адрона-«неудачника» в массивы Рць
и A ijh продолжается моделирование рассматриваемого события с
вторичным адроном следующего типа;
10) процесс завершается, когда при выборке последнего типа вторич-
ных адронов нарушаются оба или одно из условий (6.1); в этом случае
частице приписываются точные значения энергии Ej и импульса pj,
обеспечивающие закон сохранения С=1, и лишь угол вылета адрона из
ядра 0j разыгрывается из инклюзивных распределений;
11) чтобы устранить возникающее смещение, привнесенное на
предыдущем шаге неслучайностью энергии Ej и импульса pj, использу-
ется следующий прием: каждый раз, когда происходит приписывание
частице фиксированного импульса pj, принадлежащего интервалу вто-
ричных импульсов Дрь увеличивается на единицу элемент Лум Д°"
полнительного числового массива; в самом начале счета все элементы
этого массива полагаются равными нулю;
12) теперь, если в процессе генерации события выпал импульсpj,
а соответствующий элемент массива /tjhl не равен нулю, импульс pj
отбрасывается и элемент уменьшается на единицу.
Описанная схема довольно эффективна. Она хорошо воспроизводит
кинематические корреляции, однако не описывает динамические.
В программе серии FLUKA диапазон энергий протонов, нейтронов и
л± -мезонов 50 МэВ Е < 1000 ГэВ, Eth = 50 МэВ. В достаточно
сложных геометриях вычисляются пространственные распределен!!
плотности адронных взаимодействий (звезд) S(r) и плотности энерг
164
печения е(г). Пространственное распределение энерговыделення от
9Ф Т при распадах л" уу описывается эмпирическими формулами.
Общим в программах третьей группы является инклюзив-
моделирование актов адрон-ядерных взаимодействий с применением
Нетода статистических весов. При этом используется феноменологичес-
Мое описание инклюзивных распределений частиц (см. разд. 3.4), а за-
кон сохранения энергии-импульса выполняется в среднем по многим
событиям. Главное приложение этих программ — решение широкого
круга физических задач на протонных ускорителях с энергией £0 >
>10 ГэВ.
" Программы этой группы не требуют огромных вычислительных
мощностей и позволяют в полной мере использовать достоинства
метода существенной выборки (например, в задачах с маловероятными
каналами реакций [80, 1391). Диапазон энергий адронов в программах
CAS1M и KASPRO от 50 МэВ до 1000 ГэВ, а в комплексе MARS —
от 15 МэВ до 5000 ГэВ и даже до 107 ГэВ [140]. Время счета одной исто-
рии растет с энергией лишь логарифмически в отличие от первых двух
групп программ, где этот рост линеен.
Важная особенность третьей группы программ — это возможность
прецизионного описания ЭФЛ, инициированных распадами л° ->• уу в
процессе развития адронного каскада. Созданы варианты MAXIM
[141, 1421, MARS-8 [1351, MARS-9 [143] и KASPRO [144], в которых
осуществлен синтез с программами моделирования ЭФЛ методом
Монте-Карло AEGIS [145], ее модификациями [143] (см. разд. 6.3) и
EGS [42]. Непосредственно в процессе расчета адронного каскада осу-
ществляется прямое или квазипрямое моделирование сопутствующих
ЭФЛ. Это позволяет, в частности, выполнять корректный расчет про-
странственного распределения энерговыделения в веществе для высо-
коэнергетических ЯЭК при наличии внешних электромагнитных полей.
Последнее особенно важно в приложениях к радиационному разогреву
сверхпроводящих магнитов [134] и экспериментальным исследованиям
на ускорителях (подробнее — см. гл. 8).
Физические процессы, рассматриваемые при переносе протонов,
нейтронов, л±-мезонов (а в некоторых версиях — дополнительно
Н* и р), аналогичны учитываемым в НЕТС. Геометрии, композиции
материалов и внешние электромагнитные поля могут быть достаточно
сложны. Набор вычисляемых функционалов также может быть доста-
точно широк.
Алгоритмы и особенности комплекса MARS описаны в разд. 6.3.
В программе CASIM [136] и ее модификации MAXIM [141, 142] ин-
клюзивные распределения быстрых частиц описываются в рамках тер-
модинамической модели Хагедорна—Ранфта [146]. Для описания рас-
Ределений каскадных нуклонов используются феноменологические
г&?МуЛЫ (3-32) из разд. 3.4. В каждой точке ядерного взаимодействия
еРируется строго один транспортируемый адрон (р, п или л±) со
Сп ""веским весом, математическое ожидание которого совпадает
ц Лнои множественностью. Функция выборки таких адронов пропор-
Ип нальна произведению энергии в лабораторной системе координат и
юзивного дифференциального сечения. Дополнительно в этой
165
же точке может генерироваться один или несколько регистрируемых
адронов, функция выборки которых пропорциональна просто дифферен-
циальному сечению. Большинство функций выборок в программе пред-
ставлено в виде числовых таблиц. Макроскоспические сечения hA-
взаимодействия предполагаются не зависящими от энергии. Перенос
всех частиц осуществляется с помощью шаговой методики с фиксиро-
ванными шагами. Энергия обрезания для адронов составляет £.. =
= 50 МэВ.
Для описания инклюзивных распределений адронов в программе
KASPRO используется система феноменологических формул [80] (см.
разд. 4.3). Так же как и в программе CASIM, при каждом элементарном
акте hA -взаимодействия моделируется рождение только одного фикси-
рованного адрона. Программа предназначена главным образом для
расчетов выходов адронов и электронов из толстых мишеней. Энергия
обрезания адронов £th 50 МэВ.
6.3. Моделирование ядерно-электромагнитных каскадов
в комплексе MARS
Все общие черты инклюзивных программ, приведенные в предыду-
щем разделе, присущи комплексу MARS. Основные идеи и ранние
версии программ этого комплекса описаны в [19, 119, 130 —133].
Рассмотрим отличительные особенности современной
системы программ MARS в основном на примере MARS 9 [143]:
1) диапазон кинетических энергий адронов 1 МэВ 5000 ГэВ;
2) при высоких энергиях в каждом акте hA-взаимодействия инклю-
зивным образом моделируется рождение строго фиксированного числа
адронов — одного быстрого нуклона, одного заряженного л-мезона и
одного медленного каскадного нуклона; сорта адронов (р или ц, л+
или л~) разыгрываются случайно, при этом статистические веса час-
тиц удваиваются, а математические ожидания статистических весов
совпадают с соответствующими средними множественностями адронов;
3) характеристики образованного л±-мезона с половинным весом
используются для описания рождения л°-мезона в этой же вершине;
А t-мезоны в задачах, где они специально не изучаются или не рас-
сматривается образование мюонов, включаются в л±-мезонную ком-
поненту;
4) для описания макроскопических сечений hA-взаимодействий в
диапазоне кинетических энергий адронов от 15 до 50 МэВ используют-
ся стандартные библиотеки ядерных данных (см. гл. 5); при энергиях
50 МэВ 20 ГэВ используются данные [48], а при Е > 20 ГэВ
результаты, приведенные в табл. 3.2; для ядер с промежуточными зна-
чениями А используется степенная интерполяция;
5) точно (на основе имеющихся данных) описывается упругое рас"
сеяние частиц на ядрах водорода;
6) учитывается кулоновское рассеяние заряженных частиц, а также
упругое рассеяние на ядрах сЛ> 1;
7) учитывается действие внешних электрических и магнитных по-
лей;
166
я) ЯЭК рассчитывается в трехмерных гетерогенных системах, в
оторых может присутствовать до трех материалов, причем каждый
К жет представлять собой смесь до шести веществ;
Ь 9) для описания геометрии задачи и переноса частиц используются
(крОме MARS-9) точные методы аналитической геометрии; в задаче мо-
гут одновременно рассматриваться до 35 плоскостей, 13 цилиндричес-
ких и 5 сферических поверхностей [133];
10) в программах MARS-9, где геометрия предполагается существен-
но произвольной, для описания переноса частиц используется итера-
ционный шаговый метод; число поверхностей в принципе не огра-
ничено;
11) широко применяется метод математических ожиданий;
12) в каждой задаче одновременно могут использоваться все четыре
вида оценок, описанных в разд. 1.5; локальная оценка в программах
MARS-4 и MARS-9 может применяться для расчета пространственно-
энергетической плотности потока частиц и плотности энерговыделения
в детекторах малых размеров в сложных геометриях;
13) рассчитываемые величины — пространственные распределе-
ния плотности адрон-ядерных взаимодействий (звезд) S;(r), плотности
потока частиц Фу(г), плотности энерговыделения ег(г), эквивалентной
дозы Я(г), разогрева АТ(г), статистические погрешности (1.41),
(1.47) дифференциальных распределений, энергетические спектры ад-
ронов Ф;ъ(Е) в некоторых областях k и спектры утечки; проводится
также приближенная оценка спектров нейтронов в диапазоне энергий
от0,025эВ до 15МэВ; вычисляются различные свертки с участием пере-
численных распределений; здесь индекс j = р, п, л*, a i идентифици-
рует вклады в энерговыделение адронов при развитии каскада, низко-
энергетических частиц и ЭФЛ от распадов л° —>- ур.
Комплекс состоит из следующих программ.
MARS-4 [133] — расчет адронного каскада с описанием энерговы-
деления от ЭФЛ с помощью приближенных полуэмпирических фор-
мул. Возможна локальная оценка потока. Основная область использо-
вания — расчеты пространственных распределений потоков адронов в
защитных и ускорительных конструкциях, расчет наведенной актив-
ности.
MARS-5 [134] — расчет дифференциальных распределений адронов
типа р, п, л+, л~, К+, К- на выходе из толстых мишеней. Вычис-
ляются также распределения плотности остановок отрицательных ад-
ронов л-, К", р, 2-.
MARSHI [147] — программа, синтезирующая инклюзивный ме-
Д при высоких энергиях и эксклюзивный подход (модель внутриядер-
Г°!.{аскаДа) при промежуточных энергиях.
MARSU[140] — ультрарелятивистский вариант комплекса MARS,
рМеняемый при энергиях Е > 5000 ГэВ.
влет RS-6 434] — расчет адронного каскада в веществе при наличии
ств Них электРомагнитных полей. Моделирование траекторий осуще-
ваетЯеТСЯ численно методом ломаной спирали. В удобной форме учиты-
ся азимутальная структура системы,
167
MARS-7 11351 — вариант MARS-6, в котором энерговыделение от
ЭФЛ, образующихся в результате распадов уу, описывается по-
луэмпирическим алгоритмом с учетом радиальной расходимости ливня
Включен перенос испарительных протонов и нейтронов, а также
нуклонов, возникающих в результате захвата остановившихся л~-ме-
зонов ядрами среды. При этом Ец = 1 МэВ.
MARS-8 [135] — программа, аналогичная предыдущей, за исклю-
чением того, что в нее включено квазипрямое моделирование ЭФЛ с
использованием алгоритма AEGIS [1451.
MARS-9 [143] — система программ для расчета ЯЭК в существенно
произвольной геометрии при наличии любых больших и малых неод-
нородностей, внешних электрических (Е) и магнитных (В) полей. Зна-
чительно модифицировано описание физических процессов из програм-
мы MARS-8, а также большинство вычислительных процедур. И в ад-
ронной, и в электрон-фотонной части программ полностью изменен
алгоритм переноса частиц и способа получения оценок. Система вклю-
чает в себя программы: MARS-9M — главным образом прецизионный
расчет пространственного распределения плотности энерговыделения
е(г) (в том числе при 0) при любых полях В(г), расчет выходов
электронов и фотонов из толстых мишеней, облучаемых адронными
пучками;
MARS-9S — расчет ЯЭК в произвольно больших блоках вещества,
расчет большого числа радиационных функционалов, расчет выходов
адронов из толстых мишеней, возможность локальной оценки потоков
адронов разных сортов; пространственно-зависимый выбор способа
переноса частиц и оценки функционалов;
MARS-9T — программа, аналогичная программе MARS-9M, пред-
назначенная для расчета ЯЭК в сложных магнитных структурах боль-
ших протонных ускорителей; входит в пакет программ MARTUR [1531,
где может использоваться в комплексе с известной nporpaMMofiTURTLE
[1481.
Дерево траекторий при расчете адронного каскада в
веществе образуется вершинами — точками неупругого hA-взаимо-
действия с тремя «взвешенными» длиннопробежными адронами в конеч-
ном состоянии (см. выше), соединенными прямолинейными или криво-
линейными пробегами этих частиц. Образующиеся л°-мезоны, дающие
начало многочисленным ЭФЛ, развивающимся параллельно, из-за
малого времени жизни (тло ~ 1 ()~10 с) предполагаются распадающими-
ся на два фотона непосредственно в точке своего рождения.
Ветвящиеся траектории частиц просматриваются по лексико-гра-
фической схеме, где в памяти ЭВМ в каждый момент времени хранится
информация лишь об одной ветви дерева с записанными ответвления-
ми. Генерация и обработка новых ветвей по каждому из ответвлении
производится последовательно от конца ветвей к основанию дерева.
Техника моделирования дерева траекторий методом Монте-Карло де-
тально описана в разд. 4.4.
Для сокращения времени счета в некоторых случаях удобно вос-
пользоваться процедурой типа рулетки [191. Для каждого сорта частии
в текущей истории набирается из всех предыдущих историй макси
пьный статистический вес в ЛА-соударении k-ro поколения IFjnax (fe).
Берется число Р«1 ис вероятностью 1 — Р траектория, статисти-
ческий ВОС КОТОрОЙ W^(k) < IP'max (fe)a, заканчивается. Здесь а « 1.
С вероятностью Р траектория просматривается дальше, но с весом
if(/)(fe)/P. Аналогичная процедура применяется, если статистический
веС частицы стал очень мал, например W < 10~12. Для Р = 0,01,
а = 10~4 и первичной энергии Ео > 50 ГэВ время счета ЯЭК в си-
стемах больших размеров при одинаковой статистической погреш-
ности может уменьшаться в 3—10 раз.
Электромагнитные взаимодействия адронов
описываются формулами гл. 2. Сечение распада л*-мезонов л —р +
4- v включается в макроскопическое сечение: 2Л(Е) = 2abs (Е) ф-
+ тя1схр, где Е, р и тя — энергия, импульс и масса покоя л-мезона
соответственно; ст = 781 см.
Неупругие ядерные взаимодействия. Если
энергия адрона, взаимодействующего с ядром, составляет Ео > 5 ГэВ,
в каждой вершине генерируется , как отмечалось выше, один быстрый
нуклон (р или п), л-мезон (л+ или л-) и один медленный каскадный
нуклон (р или п) с соответствующими удвоенными статистическими
весами.
Такая схема по сравнению, например, с алгоритмом рождения
только одной частицы в вершине (CASIM, KASPRO), значительно
уменьшает флуктуации произведения статистического веса выборки
на энергию частицы WjEj. Этот факт особенно важен при расчете про-
странственного распределения плотности энерговыделения е(г). Сум-
1_ w
ма^ 2 ^jW7/n)E/) сходится достаточно близко к первичной энергии Ео
n=l j
уже при N ~ 504-100. Моделирование характеристик быстрых частиц
осуществляется в Ц-системе, при этом разыгрывается пара кине-
матических переменных хр и р±, которые затем
лабораторные значения переменных Е и 0.
Пусть налетающая частица — нуклон: i = р, п. В этом случае
спектр нуклонов нормирован на двойку. Тогда, если выполняются
условия
у < 0,135/2(А + 2)0,366; j = г; Ео > 15 ГэВ, (6.2)
где у — случайное число из интервала (0, 1), то генерируется двойной
Дифракционный нуклон случайного сорта j методом обратных функ-
ций (1.43) из РРР- и PPR-слагаемых трехреджеонного описания (см.
Гл- 3). Если условия (6.2) не обеспечиваются, рождение нуклонов мо-
делируется методом обратных функций из феноменологических формул
Ji При этом, как и везде ниже, учитываются соотношения (1.3)—
U-о) и случайным образом определяется, какую из переменных хр
или pi разыгрывать первой.
При описании процессов образования вторичных пионов и, эф-
фективно, /(-мезонов используется формула (3.29) для d2N/dxdp\.
перечный импульс разыгрывается методом обратных функций, а
переменной хр используется функция выборки Д(хР; pl) =
169
пересчитываются в
= Со(/>1) exp (—C’JxfI), где Cn - нормировочный множитель, а
параметр Сх выбирается в зависимости от класса задачи. Дополнитель-
ный статистический вес равен:
2d2 N (Хт,, р .) I .
Г =----и я <Xf’ Р^' (6-3)
dxpdp^ I ’
Пусть теперь налетающая частица — л-мезон: i = л+, л~. Спектр
быстрых нуклонов в этом случае нормирован на единицу. Рождение
вторичных нуклонов описывается формулами (3.28) и (3.30), причем
переменные xf и pL разыгрываются непосредственно методом обрат-
ных функций. При моделировании рождения вторичных л-мезонов
используется формула (3.31) для d?N/dxdp\ и функция выборки
f2(x, Pi) = Соехр(—С; | х | )[ехр(—С2р\) + С3ехр(—С4р1)1,
где Со, ..., С4 — некоторые параметры. Соответствующий статистичес-
кий вес имеет вид, аналогичный (6.3).
Рождение медленных нуклонов (р или п) с энергией Е 1 ГэВ моде-
лируется в Л-системе. Энергия и углы вылета частиц находятся с ис-
пользованием числовых таблиц методом обратных функций из феномено-
логических формул (3.32), а испарительных нуклонов — из формул
(3.40). Статистический вес каскадных нуклонов приблизительно совпа-
дает с их полной множественностью: <.п(Е0 > 5 ГэВ)> ~ 0,514КА.
Если кинетическая энергия первичного адрона в hA-взаимодействии
заключена в интервале 15 МэВ Ео 5 ГэВ, моделирование осу-
ществляется в Л-системе. При Ео > 0,4 ГэВ генерируются две частицы:
нуклон (р, п) и л-мезон (л+, л-), при меньших энергиях — только
один нуклон (р или п). Используется следующая нормированная
функция выборки (при фиксированных максимальной Ео и минималь-
ной Efh энергиях)
/3(Е, 0) = Со[1 + ^(Ео, Eth),'E]C2(E, т)ехр(—Еб/т), (6.4
где Со, Съ С2 — параметры; т = 0,2Ео(0,5 + Ео)_1- При i j в квад-
ратных скобках формулы (6.4) остается лишь второе слагаемое. Ис-
пользуя формулу (3.36) для описания инклюзивных спектров нуклонов
(р или п) и л-мезонов (л+ или л-), статистический вес этой выборки
можно представить в виде
__ 2л sin 6 N ,р 0.
~ f3(E, 6) dEdii 1 '
Дополнительно вычисляется (3.40)
Во всех случаях азимутальный угол <р, точнее, функции cosep и
sincp моделируют по алгоритму Неймана. Вырабатывают два случайных
числа Ух и у2 и вычисляют величины а = 2уг — 1; Ьг = а2 + Тг-
Если b2 > 1, то эту пару случайных чисел отбрасывают и берут но-
вую; в противном случае принимают:
cosip = (а2 — Тг)^2; sincp = 2ay2/b2.
170
у п р У г ° е я д е р н о е рассеяние. Моделирование вы-
коэнергетического упругого и квазиупругого рассеяния адронов на
ядрах с Л > 9 осуществляется непосредственно из формул (3.41)—
(3.43).
При моделировании упругого рассеяния адронов на ядрах атомов
водорода используют данные о полных, упругих и дифференциальных
сечениях, полученные в работах [149—1521.
При Е < 0,8 ГэВ (далее о — сечения, мб, Е — энергия, ГэВ):
G
(РР)
tot
1,1748-10 —3/£2 3,0885/£ + 5,3107,
9,3074-10 - 2/£2+ 1,1148-10”2/£+ 22,429,
8.8737-10- 4/£2 + 53,31£ + 3,5475,
О
£<0,04;
0,04 < £ <0,31;
0,31 < £ < 0,8;
(ир) =
tot
5,0574-10 '3/£2 + 9,0692/£ + 6,9466,
0,23938/£2 + 1,802/£ + 27,147,
34,5,
£ < 0,04;
0,04 < £<0,4;
0,4 < £ <0,8;
аРР ° tot > £ < 0,31;
<tfP) =. 24, 0,31 < £ = с 0,4
. 23,5, 0,4 s С £ < 0,8;
<#₽) = (1/2) [2о'о7>- 0(е^/о{Рр +(1 /2) о<₽₽).
При £ < 2,5 ГэВ сечения лр-взаимодействия берут в табличном виде из
[151]. При более высоких энергиях используют следующие формулы:
ot(Pt₽)--=37,5 + 7£-1/2,
£ > 3,5 ГэВ;
а<РР)=7+21,ОЗ£-°'837,
£ > 3,5 ГэВ;
42,0,
37,5+26,45£ ~0,852,
3,5 < £ < 8 ГэВ;
£ > 8 ГэВ;
, , [ — 0,222£+12,48,
<ф?р> =
I 6,0 +73,144£-1-32,
3,5 < £ < 8 ГэВ;
£ > 8 ГэВ;
»!s+
—4,6б£ р42,95,
—0,75£+31,24,
21,5 |- 18,91£-°-716.
2,5 < £ < 3 ГэВ;
3 < £ < 6 ГэВ;
£ > 6 ГэВ;
a(n-p)J -1.66Е + 37.34,
) 23,6 I 25,51£—0,959
2,5 < £ < 5 ГэВ;
£ > 5 ГэВ;
₽)__
ej —
— 1,4£ 1-10
—0,166£ + 6,298,
3,5+9,93£-°953
2,5 < Е < 3 ГэВ;
3 < £ < 6 ГэВ;
£ > 6 ГэВ;
₽) = 3,78 + 7,27£-°’896
£ > 2,5 ГэВ.
171
В интервале энергий 0,8 < Е < 3,5 ГэВ сечения адрон-нуклонных взапмОДе6
ствий находятся путем степенной интерполяции. При энергиях Е < 3 ГэВ дил'
ференциальное сечение рассеяния аппроксимируется в виде: (*)‘
da/dii ~ A cos4 0* + В cos3 0*-|- 1,
где 0* — угол рассеяния в Ц-системе. Для этих энергий косинус угла рас
сеяния разыгрывается равномерно и вес выборки для рассеянного адрона сое"
тавляет: W = (A cos4 0* + В cos8 0* + 1)/ (1 + 0,2Л), а для протона отдачи-
W = (A cos40* — В cos3 0* + 1)/ (1 + 0,2.4).
Коэффициенты Л и В в зависимости от энергии вычисляют согласно [15ц
При Е > 3 ГэВ дифференциальное сечение упругого нуклон-нуклонного рас'
сеяния аппроксимируется выражением
da/dt = ехр (а + Ы).
Здесь переменная i связана с косинусом угла рассеяния в Ц-системе соотноше-
нием cos 0* = 1 — |1|/2№, где № = S/4 — Ц- ш|)/2 ф- (/п| — /д|)2] /(4S);
S—квадрат полной энергии соударения в Ц-системе; т1 и т2—соответствен-
но массы налетающей и покоящейся частиц. Параметр определен в [152]:
< 7,26фО,О313ро для рр и пр,
b {
I 7,3 для пр\
р0 — первичный импульс.
Косинус угла рассеяния в Л-системе находится из кинематических соотно-
шений для частиц с равными массами.
Для рассеяния нуклона
cos 0 = ]/'l+£'o/2m (1-j-cos 0*)/[2ф(£о/2т) (1 ф-cos 0*)]
и для протона отдачи
cos 0=}^\-[~Е0/2т (1 —cos 0*)/[2ф(Е0/2т) (1—cos 0*)].
После рассеяния энергия нуклона Е=0,5Ев (1 ф- cos 0*), энергия протона
отдачи Е' = £0 — £. Угол и энергия лмезонов после упругого рассеяния оп-
ределяются аналогично.
Энерговыделение в веществе при развитии ЯЭК
обусловлено тремя компонентами: 1) электромагнитными взаимодейст-
виями адронов с Е > Eth; 2) заряженными частицами с Е < Ещ и
частицами, образующимися при снятии остаточного возбуждения ядра;
3) частицами ЭФЛ, инициированного распадами л° —уу.
Энергия ДЕ — Ei — Е2, теряемая на отрезке пути I заряженным
адроном / с начальной энергией Еъ находится из соотношения
Я,(Е2) = R}(Ei) - I (6 6)
с помощью прямой и обратной степенной интерполяции из заранее
вычисленных таблиц пробегов Rj(E) (см. гл. 2).
Во всех отечественных и зарубежных работах, опубликованных А
появления работы [1421 и посвященных расчетам высокоэнергетиче^
ких ЯЭК, заряженные адроны, достигшие кинетической энергии Ь
< Eth, считались останавливающимися и выделяющими свою энерг
локально. В работе [142] показано, что для некоторых задач такой и
ход может приводить к большим погрешностям, и необходимо про • g
живать перенос протонов и л±-мезонов вплоть до энергий поря
172
В в программах MARS-7, MARS-8 и MARS-9 включен алгор итм
1 тй переноса и энерговыделения заряженных адронов с энергией
Р^нХале 1 МэВ < Е < Efh = 10-20 МэВ.
Б Среднюю энергию возбуждения ядер (ГэВ) вычисляют по формулам
боты [851, модифицированным для легких ядер [1191:
РЭ ( СЕ0, Ео<0,05 ГэВ;
0.05С +
0,005Л,
0 (А —ЮС),
0,05 <Е0 <5 ГэВ;
Ео > 5 ГэВ,
£о___кинетическая энергия налетающего адрона, ГэВ; для л^ме-
зона Ео ~ ег0 полная энергия;
с ( 1, А >26;
( (Л—2)/24, 3<Л<26.
При расчете энерговыделения приближенно считают, что половина
энергии возбуждения Е* идет на образование нейтронов, четверть —
на образование протонов и четверть — на образование вторичных
ядер тяжелее водорода. Затем моделируют перенос нейтронов и их
энерговыделение изотропно в сфере радиусом 7)п (Е — 20 МэВ). Изо-
тропно испускаемые протоны прослеживают до их остановки анало-
гично частицам с Е < Eth- Тяжелые ядра, по предположению, выде-
ляют свою энергию локально в точке образования.
При моделировании ЭФЛ от распадов нейтральных л-мезонов вместо
двух рассматривают один фотон с удвоенным статистическим весом.
Функцию выборки принимают в виде/(Е?) = 2Ет/ряЕя, где рп и Ел —
импульс и энергия л°-мезона соответственно. Тогда энергия, угол и
статистический вес фотона определяются соотношениями:
Е v = [рпЕл £ + (1 /4) (Ея-ря)2]1 /2;
cos 6V = (Ея/Рл) (1 —тМЧЕу Ел); W = ЕЯ/2ЕТ;
£ 6(0,1).
(6-7)
Азимутальный угол ср, как и во всех процессах ниже, разыгрывается
изотропным согласно формулам (6.5).
Во всех программах для моделирования процесса прохождения фо-
тонов в среде (за исключением MARS-8, MARS-9M и MARS-9T) исполь-
зуется алгоритм [136], модифицированный в работах [133, 143]. Про-
бег фотонов до образования е+е“-пары моделируется из распреде-
ления:
р(х) = (7/9/г)ехр(—7x/9tr), (6.8)
ГдеД- — Радиационная длина (см. гл. 2).
Функция выборки энергии электронов (позитронов) и соответствую-
щий удвоенный статистический вес с учетом распределений из гл. 2
записывается в виде:
/(Ее) = 2Ее/Е?; 1
lT = (9/7)[(4/3)(Ee/Ev-l) + Ev/Ee]. )
173
Угол вылета электрона 6 моделируется следующим образом:
6 = (У—а2)1/2;
у = {а-2 __ g [а-2—(а2 + я2)-1]}-1;
а (те/пЕе) In (Еу/те); g £ (0, 1).
(6.10)
Следуя работе [1361, удобно пользоваться переменной 10, г/см2:
7.0 = 3251n(1000£c)/(lnZ)1’73, (6.Ц)
где Z — атомный номер среды.
При таком выборе единицы длины продольное распределение плот,
ности энерговыделения Г(х/Х0) приближенно не зависит от глубины х
и энергии электрона при энергиях Ее > 6 ГэВ. Деформацию распре-
деления при меньшей энергии удобно учесть, используя вместо F(x'X„)
функцию С0£(х7Х0), где х' = х + 1,2(1000£'е)-1/% а Си — норми-
ровочный коэффициент. Функция C„F(х77.0) затабулирована в програм-
ме [ 1361. Радиальную расходимость ЭФЛ (см. гл. 2) можно учесть, вводя
эффективный угол 6 = г!х. Тогда пространственное распределение
энерговыделения ЭФЛ, начинающегося в точке, найденной из форму-
лы (6.8), и инициированного электроном с энергией и углом, выбранны-
ми из распределений (6.9), (6.10), можно представить в виде:
е(х, e = r/x) = c0F(x'/Mg(6); 1 (612)
g(6) = (О,46Х.о/хм) ехр (—0,46Хо 6/хм), )
где л'м 0,0212?г/Е с — мольеровская длина; Ес — критическая энер-
гия материала среды, ГэВ, причем F(х7Х0) = 0 при х < 0. Таким обра-
зом, моделируется вектор О, определяемый суперпозицией углов из
формул (6.7), (6.10) и (6.12) и соответствующих изотропных азимуталь-
ных распределений, и энергия ливня распределяется вдоль этого луча
согласно зависимости C0F(x710).
В гетерогенной среде, состоящей по лучу из N отрезков различных
по свойствам материалов, глубина вещества в единицах (6.11) вычисля-
N
ется по формуле х/10 = и на каждой границе осуществляется
» = 1
соответствующий пересчет углов, исходя из формулы (6.12).
В программах MARS-8, MARS-9M и MARS-9T после нахождения па-
раметров фотона из формул (6.7) осуществляется квазипрямое модели-
рование ЭФЛ методом Монте-Карло по алгоритму AEGIS [1451. Глав-
ное отличие от прямого моделирования в этой программе заключается
в том, что ЭФЛ представляется неветвящимся процессом. В каждой
вершине дерева траекторий вместо двух частиц (е+е~ или уе~) моде-
лируется рождение только одной случайной частицы с удвоенным
статистическим весом. В такой схеме закон сохранения энергии вы-
полняется лишь в среднем по ряду столкновений и вносятся дополни-
тельные флуктуации в полученные результаты. Однако при это
радикальным образом сокращается время счета и требуемая памят
ЭВМ. Лишь такая схема позволяет выполнить почти прямое модели^"
ванне ЭФЛ в процессе развития адронного каскада при энергии Еи ~
174
1()0 ГэВ- В программах MARS-9M и MARS-9T при описании ЭФЛ
льзован приведенный ниже новый алгоритм переноса электронов,
11СП°тпонов и фотонов, улучшена точность построения траекторий в
П°3нптном поле, изменен ряд вычислительных процедур.
Ма\1 оделирование траекторий во всех программах се-
\1ARS, кроме MARS-9, осуществляется одновременно с оценкой
А-нкционалов в геометрии, задаваемой произвольно ориентирован-
^\1И плоскостями, цилиндрическими поверхностями с осями, парал-
НЫпЬными координатным осям, и сферическими поверхностями. Пере-
сечения луча (1.46) со всеми поверхностями вычисляются точно с ис-
пользованием аппарата аналитической геометрии.
Рассматриваемый блок вещества предполагается состоящим из ко-
нечного числа N однородных гомогенных зон. Каждой зоне поставле-
на в соответствиие одна контрольная точка — любая точка зоны, не
принадлежащая ее границам. Ее задание определяет все характеристи-
ки зоны—индекс материала зоны, список ограничивающих зону
поверхностей и т.д.
Индекс принадлежности отрезка луча г i-й зоне определяют сле-
дующим образом. При пересечении лучом внутренней границы точку,
смещенную по лучу вперед, соединяют отрезками прямых с последо-
вательно перебираемыми контрольными точками. Если на t-м отрезке
нет пересечения с поверхностями, ограничивающими t-ю зону, или чис-
ло пересечений с какой-либо поверхностью четное, то отрезку присваи-
вают индекс принадлежности t-й зоне.
Рассмотрим розыгрыш пробега в такой геометрии отдельно для ней-
тронов и заряженных адронов. Выберем случайное число у, равномер-
но распределенное в интервале (0, 1).
Вероятность того, что нейтрон с энергией Е не испытает неупруго-
го ядерного взаимодействия при прохождении п зон вещества, состав-
ляет:
Р„ = ехр
- V 2Д£)/;
i=i
(6.13)
где 2;(Е) — макроскопическое сечение поглощения нейтрона в i-й
зоне; — длина отрезка луча в t-й зоне.
Номер зоны, в которой нейтрон испытает взаимодействие, опреде-
ляется из условия Рп < у < или
л —I п
2 2г/г<—1пу< у 2г/;, п= 2,...,N. (6.14)
i=l i=l
Тогда пробег нейтрона составит
*= 2^+т-
'=1 \ i=> /
Ес
трон |С,Ч01!ие (6-14) не выполняется ни для каких значений и, то ней-
читают вылетевшим из блока.
175
Если необходимо получить информацию на значительных рассто
ниях от источника, то применяется экспоненциальное преоб'
разевание: при моделировании длина пробега Хг = ’
кусственно увеличивается в г-й зоне в С, раз и вводится дополнитель'
ный статистический вес
Су0-1 при Ci = C = const,
«7 = '
Сп ехр
(6.15)
при Ct = f(i).
Для заряженных адронов введем следующие обозначения:
Е
ЛСг = 0.(£г-1)-<2/(^), (6.16)
J ₽г(£ ) '
и
где |В;(£) — тормозная способность вещества — средние потери энер-
гии частицей на электромагнитные процессы (см. гл. 2) в г-й зоне для
протонов или л±-мезонов. Тогда условие (6.14) принимает вид:
AQ;<—1пу< 2 Д(2<-
«=1 < = 1
(6-17)
Вычислим следующую величину: Q„(£') = In? ф- Qn(En-i) + —AQi-
i — 1
Из предварительно затабулированных значений Q;(£) по величине
Qn(E') с помощью квадратичной интерполяции находят энергиюЕ', при
которой произойдет ядерное взаимодействие. По разности Д£ = En-i~
— Е' и зависимости пробег — энергия находят часть пробега до ядер-
ного взаимодействия АД в зоне п и определяют свободный пробег R =
П—i
= и h + дд.
/=1
Пусть условие (6.17) не выполняется ни для каких значении п.
Тогда, если ионизационный пробег превосходит расстояние по лучу до
внешней границы, частицу считают вылетевшей из блока, а если не
превосходит, то поглотившейся в соответствующей зоне.
Моделирование траекторий в программах MARS-9 начинают с ро-
зыгрыша пробега R адрона до ядерного взаимодействия. Для нейтронов
его вычисляют по формуле R = —2f 1(£)1пу, где 2; — макроскопичес
кое сечение неупругого взаимодействия нейтрона с ядром е£0
материала. Для заряженных адронов с энергией Е > 5 ГэВ ПР06”
моделируют аналогичным образом, при энергиях 0,05 ^ £ < 5 ГэВ И '
пользуют алгоритм (6.17), а при £ < 0,05 ГэВ считают, что R совпа-
дает с ионизационным пробегом R'°a (£).
Далее для построения трехмерной траектории частицы использу
шаговый метод. В этом методе легко и естественно моделируется мн
176
атиое кулоновское рассеяние частиц, действие внешних Электро-
г°крнтНых полей и др. Исследуемая система может обладать произволь-
ма-Нп0 сложности геометрией и по составу материалов; одновременно
110,1 т быть задано любое число систем координат, в том числе криво-
М°нейных. Одно из главных достоинств данного метода заключается в
•1Й что не требуется вычислять координаты точек пересечения тра-
Т°тории с поверхностями, а необходимо только определить принадлеж-
ность отрезка траектории к той или иной зоне. Последняя процедура
Рачительно проще и требует во много раз меньше счетного времени.
Чюбая граница в стандартном шаговом методе локализуется с
точностью до шага /, что вносит определенную погрешность в резуль-
тат Использование везде больших значений I приводит к значительно-
му искажению картины процесса. Использование малых значений I
приводит к неприемлемо большому времени счета. Поэтому для комп-
iei<ca MARS-9 была создана следующая итерационная шаговая методи-
ка 1143, 153].
Шаг I принимают равным разыгранному пробегу R или частному
отделения R на целое число L. Пусть начальная точка Оп отрезка I
принадлежит зоне с номером п, а конечная О/( — зоне с номером k.
Тогда для локализации пересечения отрезка трактории I с границей
с наперед заданной точностью 6 необходимо:
сделать шаг длиной Z/2 из Oh в направлении Oh — Оп и определить
номер зоны, в которой находится конец этого шага Ог;
сделать шаг длиной /,4 из 0; в направлении Оп — Oh, если 0; при-
надлежит /г-й зоне, или в направлении Oh — Оп, если Ог принадлежит
k-ii зоне.
Процедуру продолжают т раз, пока величина Z/2"1 не станет мень-
ше 6, после чего итерацию продолжают с шагом, равным 6. Процесс
заканчивают, когда после шага длиной 6 в направлении 0п — Oh точ-
ка 0г окажется в /г-й зоне. Длины отрезков 0п0г и 0г0ь известны в
этом случае с точностью не хуже 6. Если в процессе итераций оказы-
вается, что точка пересечения отрезка I с границей находится на рас-
стоянии отточки Оп, меньшем 6, весь отрезок считают принадлежащим
к-й зоне, и наоборот.
Изменение энергии заряженных частиц на шаге и оценку функцио-
щ в°В ТИПа энерговыделения осуществляют в этой схеме по алгоритму
Ш-о). Вакуумные промежутки проходят увеличенными шагами. Если
в процессе итераций пересекается граница между t-м и /г-м материала-
ми. то на границе шаг трансформируют по закону lk — /;2г(£)/2й(£),
... 11 — макроскопические сечения hA-взаимодействия для i-ro
вещества соответственно; Е — энергия в момент пересечения.
заряженных адронов с Е < 0,05ГэВ lh = /,Д1°П (£)'£}оп(£).
м Расчеты показали слабую зависимость времени счета по такому
этой^ ОТ ® Б интервале 6 ~ 0,0054-0,05 см и высокую эффективность
ОсобрСХеМЫ при Расчете адронных и электрон-фотонных каскадов,
и нно в условиях сложной геометрии.
В /гцПИ в задаче присутствует магнитное поле В (г) = {ДДг), £у(г),
г Н. то заряженная частица при прохождении отрезка / траекто-
177
11 k-го
Для
рии изменит свое направление. Пусть частица с импульсом р и заряпом
двигалась в направлениий = {(ож, <s>v, <в2). Тогда новое направлений
движения й' = {со*, оф, а'г} после прохождения шага I определите
следующим образом:
<о; = Т)-1 [(ож (1 + а2—р2—у2) + 2со& (у + ар) ф 2(о2 (ay [3)];
= D-1 [2(ож (оф—у) + Oj, (1 — а2 + р2—у2) ф
+ 2(ог (а + Ру)];
©; = D-1 [2ых (Р + ау) + 2(0„ фу—а) -4- со2 (1 — а2 -ф2 ф у2)],
(6.18)
где а = НВХ; р = 1ВУ\ у = gB2; g = 0,0015Z^/p; D = 1 ф а2
ф Р2 + у2; I — шаг, см; В — индукция магнитного поля, Тл; р — цм.
пульс частицы, ГэВ/с.
Аналогичные формулы можно получить и для движения в электри-
ческом поле. Предполагается, что шаг I мал настолько, что на нем
можно пренебречь изменением компонент поля и уменьшением энергии
частицы в веществе за счет ионизационных потерь.
Алгоритм моделирования кулоновского рассеяния на шаге / опи-
сан в гл. 2. Пересчет углов при переходе от старого направления й к
новому Q' также, как и во всех вышеописанных дискретных процессах
ядерного взаимодействия, осуществляют по следующим формулам
(для правой системы координат!)-.
(0ж = (0ж рф(р/а) (о)жю2 costp—0)у sin <р);
оф = со;/ р ф (Р/а) (<о& (о2 cos <р ф <ож sin <р);
оф = о)2р—оф cos (р,
(6.19)
где р = cos 6 — косинус угла рассеяния в Л-системе; <р — азиму-
тальный угол рассеяния; а = (1 — <в2)1/2; Р = (1 — р2)1/2.
Приведем в заключение используемый в программах MARS-4 и
A1ARS-9 алгоритм локальной оценки потока частиц. Энергетические
распределения частиц /-го сорта в m-м детекторе определяются как
математическое ожидание по формуле
ФДгЛ, Е)=М
К • Pj(Eh,r) у d'Njj х
— '‘г2 2л dE dQ
k = 0 i=p, п, л
х (гл. Eh-lt Eh, pft) 7)J 7]с (ABftm—(oft) TIE (AE;im—Eft)
(6.20)
где Wh — статистический вес k-ro hA-взаимодействия: Wh
A-1 Sn g
= П П Wns, определяемый как произведение статистических вес
П=\ S=1 С1 «4.
всех Sn выборок в каждом из предыдущих (k — 1) взаимодейств! .
Pj(E, г) — вероятность (6.13) для нейтронов или, с заменой 2 Л
AQf (6.16), для заряженных адронов; г — |Гт — rh| — расстояние
/г-й точки взаимодействия до детектора т в точке г^; рь =
(«я = (г™ — rh)/r; d2Nц/dEdil — инклюзивное распределение W
178
нов /-ГО
сорта во взаимодействиях с ядрами в точке
rfe адронов i-ro
сорта;
1, j = п‘
Pj , j=pt л;
₽/ (£) Ле =
1, если <щ Е ASJ/гт;
О в противном случае;
1, если Ek Е kE'km",
О, если нет.
Здесь Р;_тормозная способность вещества; ASJU — кинематически
„зрешенная область направлений движения частиц сорта /; А£{,т —
интервал разрешенных энергий. Этот интервал для нейтронов опреде-
ляется кинематическими пределами; для заряженных адронов допол-
нительно принимаются во внимание потери энергии на отрезке луча
г в веществе. Распределения плотности энерговыделения и других функ-
ционалов в локальных детекторах находятся из формулы (6.20) путем
соответствующих сверток типа (1.40).
6.4. Некоторые характеристики ядерно-электромагиитных
каскадов
Рассмотрим основные закономерности развития ЯЭК в конденси-
рованных средах, полученные с помощью комплекса MARS. Одновре-
менно для демонстрации качества программ везде, где это возможно,
приведем результаты исследований других авторов.
В тех случаях, когда продольные размеры слоя вещества невелики
(L Aabs), адронный каскад не сильно изменяет спектры выходящих
частиц. Йх дифференциальные распределения оказываются близкими
к соответствующим распределениям в hA-взаимодействиях с изолиро-
ванными ядрами. Это заключение следует из рассмотрения рис. 6.1—
6.3, где представлены результаты для различных мишений при энергиях
протонов от 0,4 до 50 ГэВ.
В толстых слоях вещества при высокой первичной энергии Ео про-
дольные распределения плотности потока вторичных частиц принима-
ют характерную форму каскадной кривой. На рис. 6.4, 6.5 приведены
рассчитанные распределения вместе с экспериментальными данными в
апазоне энергий от 9 до 150 ГэВ. Под плотностью треков на рис. 6.4
нимается суммарная плотность потока протонов с кинетической энер-
рЭ£И ГэВ и л±-мезонов с кинетической энергией Е > 0,08
пр0^аксимУм продольных распределений плотности потока частиц,
итерированных в поперечной плоскости (поперечный интеграл),
Ф (г) = 2л J Ф (z, г) г dr (6.21)
Растет с - °
А [110к Энергией по закону, близкому к линейному. Длина ослабления
затель квазиэкспоненциального спада распределения (6.21)]
179
100 200 300 WO 100 200 300 5,МэВ
Рис. 6.1. Дифференциальные распределения нейтронов за алюминиевым и
кобальтовым барьерами толщиной L при нормальном падении на них широкого
пучка протонов с энергией 400 МэВ:
кривые — экспериментальный коридор [154]. Расчеты: гистограммы — [128]; • — [155]; А —
MARS-4.
Рис. 6.2. Угловое распределение
адронов с £^35 МэВ из медной ми-
шени длиной 5 см, облучаемой про-
тонами с импульсами ро—8 (----------)
и 24 (-------) ГэВ/с:
экспериментальные точки — из [156]; кри-
вые — расчет MARS
й£/с!£2,часгп./ср
Рис. 6.3. Угловые распред?-^
адронов с энергией выше & . я
(/) и 2 ГэВ (2) из алюминиед
медной мишени длиной о/ *
соответственно: ьЯце
ро=5О ГэВ/c; точки - экснериг<еи«
данные [157]; кривые — расчет М
180
Рис. 6.4. Пространственное распределение плотности треков в ядерных эмуль-
сиях, размещенных в железном барьере, облучаемом узким пучком протонов:
верхняя кривая и точки ф— поперечный интеграл (6.21); остальные кривые и точки —
продольное распределение на различном расстоянии г. см. от оси пучка, кривые — расчет
MARS: «) -£0=9,1 ГэВ, эксперимент [158]; б) — £[. = 18,3 ГэВ, эксперимент [159]
ИС- 6.5. Распределение (6.21) плотно-
и потока заряженных адронов в желез-
ом барьере, облучаемом д--мезонами раз-
личных энергий:
+ -Ul’nnP “Экспериментальные данные [112];
1‘WJ; кривые — расчет MARS
Рис fir т * *
плоти Радиальные распределения
сталь °СТи звсзд на различной толщине
тоня,НОГО поглотителя, облучаемого про-
г-Хль" ° ЭНерГПеЙ 200 ВэВ
□^Ммам™ Расчетов по монте-карловским про-
САММ[1звГ---------FLUKA [129]; ---- -
l‘Jb], гистограммы —MARS-4
181
после прохождения максимума и переходной области монотонно 1
растает с энергией, становясь примерно постоянной при энергиях £
> 304-50 ГэВ. Для таких энергий в распределениях вторичных адпЛ-
с энергией £ > 20 МэВ Л ~ (l,54-l,7)XaBs. 1 н°в
Следствием резкой анизотропии рассеяния при высоких энерги
(значение <р±> ограничено) является сильный радиальный гп!
диент плотности потока и плотности звезд (рис. 6.6). Шлотност'
звезд S(z) — число неупругих ядерных взаимодействий, инициирован6
ных адронами с £ > 50 МэВ, в единице объема вещества]. При высоких
Рис. 6.7. Энергетические спектры нейтронов за боковой поверхностью желез-
ного цилиндра радиусом £, на оси которого равномерно по длине взаимодейст-
вуют протоны с энергией 3 ГэВ с линейной плотностью 1 протон/см (штрихи —
расчет [162])
энергиях во всех случаях справедливо следующее поведение функции
распределения в поперечной плоскости: Ф(г) ~ (1/г)ехр(—r/кг), гдв
кг = кг(Е0, z) — некоторая функция толщины поглотителя и первичной
энергии.
Энергетическое распределение частиц ЯЭК сильно зависит от пер-
вичной энергии £0, структуры поглотителя и входящих в него мате-
риалов, начальных условий, пространственной области. Однако вне
центральной области каскада и особенно в направлении, перпендику-
лярном оси первичного пучка, эти зависимости существенно ослабляют-
ся. Остается главным образом зависимость от материала в диапазоне
энергий £ < 20 МэВ. При энергиях £ < 1 ГэВ нейтроны превалирую
над всеми другими частицами. В интервале 1 <£ < 10МэВ вел
поток вторичных фотонов. п0
На рис. 6.7 приведены результаты расчетов спектров нейтронов
программам MARS и LENTMC [1611. Для удобства представления
гетические распределения умножены на энергию нейтронов. На э ‘
же рисунке приведены результаты расчета [162]. В распределен
четко выделяются два максимума: в районе энергий нейтронов
182
I н £ ~ 0,2 МэВ. Увеличение толщины защиты в радиаль-
~ ^правлении с 20 до 100 см существенно не изменяет формы спект-
ра- нчение энергии первичных протонов также слабо влияет в
/ В-ей ситуации на форму спектра нейтронов (рис. 6.8). Распределе-
на0 ланы за боковой поверхностью цилиндрической защиты, со-
jjjlfl ЗД-Сь а
Рис. 6.8. Энергетические спектры утечки нейтронов из гетерогенного цилиндра
тля двух значений энергии первичных протонов
стоящей из 50 см железа и 100 см бетона по радиусу, на внутреннюю
поверхность которой под углом 0 ~ 3 мрад падает равномерно по дли-
не пучок протонов с линейной плотностью
железа бетоном существенно изменило
вид распределений: остался один высоко-
энергетический максимум приЕ~150МэВ
и распределение при низких энергиях
стало близко к закону ~ Е~*.
На рис. 6.9 приведены результаты рас-
чета прохождения нейтронов с начальным
фетром вида СЕ~* при Е 200 МэВ и
С£-2 ПрИ £ 200 МэВ через слой бе-
тона. Энергетические распределения про-
онов и л±-мезонов резко отличаются по
т Рме от спектра нейтронов при кинети-
ВК1Кои эчергии Е < 1 ГэВ. Относительный
nojlllb,n поток адронов с энергией
Упа ° за барьером слабо зависит от
Тад Падения нейтронов источника и от
ЩИны барьера, по крайней мере, в диа-
рис. 69
f-Тонным г анеРгстические спектры адронов за
ц°Делы1Ы1“ арьеР°м толщиной 100 см (кривая —
1 спектр нейтронов источника)
1 протон/м. Экранирование
183
паЗоне 50 —200 см. Нейтроны приблизительно составляют 9j
протоны — 7,5% и л±-мезоны — 2% полного потока частиц
Распределение интенсивности фотонов, образующихся при ра
тии ЯЭК, имеет характерную форму (рис. 6.10). Анизотропия расГфИ'
ления падает с уменьшением энергии. Максимум в районе энергщ £ е'
~7 МэВ обусловлен захватными фотонами (см. разд. 5.6). Выс
энергетическая часть спектра, определяемая ЭФЛ от распадов л° ^°Ко'
для таких толщин (~ 180 см Fe) при не очень высоких энергиях
тонов лежит на несколько порядков ниже этого максимума.
Рис. 6.10. Энергетическое распре-
деление интенсивности потока фото-
нов под различными углами на глу-
бине 180 см железного барьера, об-
лучаемого протонами с энергией
£о=Ю ГэВ
Рис. 6.11. Полное число звезд в
полубесконечном слое железа гои
падении на него одного протона
или нейтрона (О) с энергией £0:
/ — расчет MARS-6 для минимальной
энергии £fh=50 МэВ; 2— предсказания
[163] для протонов и Efh =100 МэВ; 3 —
расчет НЕТС [164] для протонов и £fh =
= 15 МэВ
Рассмотрим некоторые интегральные характер ист и-
к и ЯЭК. Энергетическая зависимость полного числа звезд Ns в
железе приведена на рис. 6.11. В широком диапазоне энергий приведен-
ные результаты аппроксимируются функцией NB(E > 50 МэВ) =
= 5,9£J’”\ где для нейтронов 10-1 Ео 104 ГэВ, для протонов
5 Ео 104 ГэВ. На том же рисунке приведены результаты других
теоретических работ: N3(E > 100 МэВ) = 2Е0 [ 163] и N3 (Е > 15 МэВ) =
= 4,36£0 + 75 при£0 > 40 ГэВ [164]. Результаты [164], основанные
на каскадно-испарительной модели, представляются завышенными
при высоких энергиях.
Квазиальбедо % адронов с энергией £ > 20 МэВ показано на рис-
6.12. Приведем главные свойства квазиальбедо:
1) наблюдается быстрое увеличение значения Е с ростом энерги
вплоть до нескольких гигаэлектрон-вольт, затем эта зависимость ста
носится более слабой, eg
2) при £0 > 5 ГэВ результаты расчета Е по программе МАК
можно описать следующим образом:
г п/ ] 19£о’447 для железа,
g, /о={
1 16,6£о’зв для бетона;
184
ри Ео > 40 ГэВ (железо) и £с> 100 ГэВ (бетон) значение |
?1шает 100%, т.е. на один падающий адрон обратно из блока вы-
преБЬ1 больше одного адрона с энергией Е > 20 МэВ;
'°Дл\Т в спектре квазиальбедо практически отсутствуют частицы с
гией £>0,74-1 ГэВ независимо от первичной энергии;
ЭН65) вклад заряженных адронов в g составляет < 10%;
Рис. 6.12. Полный об-
ратный выход (квази-
альбедо) адронов из же-
лезного (/) и бетонного
(2) полубесконечных
барьеров как функция
энергии первичных про-
тонов:
...... — расчет MARS-4;
......— расчет HAMLET
[77J;.4 — эксперименталь-
ные данные [165, 166] для
бетона
6) при Ео > Ю ГэВ квазиальбедо практически не зависит от типа
первичного адрона.
Энерговыделение при развитии ЯЭК. На рис.
6.13 показан рассчитанный по программе MARS-6 компонентный сос-
став полного энерговыделения. Выделены следующие группы частиц,
теряющих свою энергию в электромагнитных процессах:
Рис. 6.13. Вклад
различных компо-
нент излучения в пол-
ное энерговыделение
в блоке железа в за-
висимости от энер-
гии падающих на
него протонов:
*~р. Л112 и -I-------
пряженные частицы от
Иронов с £<20 МэВ
•-испарительные про-
бны и фрагменты (d, t
Спадов°л«-Д1>1?ЭФЛ от
1) заряженные адроны и мюоны, участвующие в развитии ЯЭК;
‘l заряженные частицы, образуемые нейтронами с кинетическими
Сергиями Е < 20 МэВ;
щ испарительные протоны и фрагменты (d, t, а ...);
1 частицы ЭФЛ, инициируемые распадами л°->-уу.
эн а „Нижней границе рассматриваемого диапазона кинетических
пЬ1 1 * * ии Го = 1 ГэВ вклад ЭФЛ составляет около 4%, остальные груп-
етСя РИмеРно равнозначны. С ростом энергии доля ЭФЛ увеличива-
нотп "РИмеРНо Д° 90% при Ео = Ю4 ГэВ; вклад остальных групп мо-
Нно убывает.
185
Рис. 6.14. Распределение плотно-
сти энерговыделения по длине раз-
личных мишеней, одинаково секцио-
нированных в единицах Хаьв=Х:
диаметр мишеней 2,54 см; первичная
энергия протонов Ео=300 ГэВ; гистограм-
мы — расчет MARS-4; точки — эксперимен-
тальные данные [167]
Рис. 6.15. Радиальные распределе-
ння плотности энерговыделения на
глубине 45 см медной мишени, об-
лучаемой пучком протонов с
= 400 ГэВ:
точки — экспериментальные данные Под
расчеты методом Монте-Карле
FLUKA [I29J;------CASI"
[136];------------------------—MAXIM [141, 143]; сплош-
ная гистограмма — MARS-9M; штриховг |
гистограмма — MARS-9S
Еще более значительна роль ЭФЛ в распределении плотности
энерговыделения е(г) в центральной области ЯЭК. В средних и тяжелых
веществах при энергиях Ео > 100 ГэВ ЭФЛ практически полностью
определяет максимальные значения
е(г) на малых расстояниях от оси
пучка.
Резкий рост максимума продель-
ного распределения плотности энер-
говыделения и смещение его к нача-
лу мишени с увеличением атомного
номера вещества мишени обусловле-
ны возрастающей ролью ЭФЛ (Р11С-
6.14).
Рис. 6.16. Продольное распределение
плотности энерговыделения в трех Ра-
альных интервалах графитовой мнш i
(р=1,71 г/см3), облучаемой протонам*
Ео=1ООО ГэВ; расчеты [135] по програ”
мам: _
А - MARS -7; О - MARS-8; 4 -
MAXIM; гистограммы: расчет по ЛР°Г
—---- — MARS-ЯМ:--------MARS ' *
186
радиальные распределения плотности энерговыделения приведены
iC 6.15. Распределение плотности частиц в пучке в поперечной
Н3 ^кости гауссово с дисперсией о = 1,25 мм. Значительно больший,
п‘1ОСоТмеченный ранее для плотности потока, радиальный градиент
чеМ шины е связан здесь именно со спецификой энерговыделения от
инициированных распадами нейтральных л-мезонов. При очень
Э сокой энергии даже в легких материалах эта компонента целиком
Вппеделяет максимальную плотность энерговыделения етах. Поэтому
°пя надежных расчетов в области максимума функций е(г) при энер-
гиях превышающих 100 ГэВ, особенно важно прецизионное описание
Рис. 6.17. Продольное распределе-
I к максимальной плотности энерго-
выделения в графитовой мишени при
различной первичной энергии прото-
нов (а,,=0,07 см, ол = 0,14 см)
Р и с. 6.18. Плотность энерговыде-
ления, деленная на соответствующую
первичную энергию протонов, как
функция радиуса в графитовой ми-
шени в максимуме каскада:
-------av=0,07 см и а^=0,14 см;
-------О1>=0,7 см и ад = 1,4 см
ЭФЛ. Детали описания адронной компоненты ЯЭК, за исключением
одного-двух первых актов образования л°-мезонов, не оказывают ре-
шающего влияния на е1ПаХ.
Сравнение результатов расчетов энерговыделения по различным
^ммам приведено на рис. 6.16 Распределение плотности прото-
ном В ПУЧКе пРеАПОлагалось гауссовым в вертикальном и горизонталь-
а управлениях со стандартными отклонениями (дисперсиями)
ра ' см и сгл = 0,14 см соответственно. Результаты расчетов по
юг ’ НЧНЫМ пРогРаммам серий MARS и CASIM в целом неплохо согласу-
ДРУГ с другом.
ме Мдр^С’я6,17’ 618 приведены результаты расчетов [135] по програм-
ЛецИя ° пространственных распределений плотности энерговыде-
сцн пуВ гРаФитс Для протонов с энергией от 100 до 5000 ГэВ. Диспер-
^ожно КЭ П° веРтикали (<*») и горизонтали (oft) указаны на рисунках,
отметить деформацию распределений с ростом энергии и отсут-
187
ствие радиальной зависимости при г с 0,5amln. Этот результат, впеп
вые полученный в работе [142], означает, что именно эта область paaif
сов отвечает действительному максимуму eIIiaX. При энергии £ >
> 1000 ГэВ и радиусе г > 1 см плотность энерговыделения, разделен
ная на £0, не зависит от первичной энергии (скейлинг). В этой облает/
имеет место соотношение: е7£0 = 4,1 • 10~5 г-2’32, г-1, где _
< 10 см для графита; ст < 1 см; Ео > 1000 ГэВ.
В широком диапазоне энергий максимальная плотность энерговы
деления подчиняется простому закону етаХ — С£", где параметру с
и п при Ео > 2004-300 ГэВ зависят только от материала мишени и
размеров пучка. Так, п = 1,44 при ov = 0,07 см, = 0,14 см и ц =
= 1,2 при о„ = 0,7 см, Од = 1,4 см для графита.
Интересно отметить также, что максимальная плотность энерговы-
деления е1пах зависит только от площади пучка и не зависит от его фор.
мы, т.е. от соотношения между av и оЛ [135, 142].
ГЛАВА 7
мюоны высоких ЭНЕРГИЙ
7.1. Образование мюонов и особенности их взаимодействий
Исследования мюонов и нейтрино высоких энергий направлены на
решение важнейших проблем физики элементарных частиц [1, 3,
30, 169]. На всех создаваемых ускорителях нового поколения, напри-
мер УНК (ускорительно-накопительный комплекс на энергию прото-
нов 3000 ГэВ [170]), важное место в экспериментальных программах
занимают нейтринные эксперименты. На больших ускорителях мюоны,
являясь наиболее проникающей компонентой, определяют значитель-
ную часть объема радиационно-физических защит, стоимость которых
составляет заметную долю стоимости всего комплекса. Важное место
занимают мюоны в физике космического излучения.
В разд. 1.2 было показано, что основным источником мюонов явля-
ются распады долгоживущих мезонов
л±->р±Ц-м(м); £± -> рЛ + v (v).
Там же отмечалось, что во многих приложениях с ростом энергии
возрастает роль распадов короткоживущих мезонов р, <о, <р, •"!’
на один или два так называемых прямых мюона. И, наконец, в не*
тринных экспериментах при высоких энергиях важной оказывает
инклюзивная реакция
(72)
рХ,
сечение которой линейно возрастает с энергией. и3
Кинематика указанных распадов описывается соотношениям^ 1
гл. 2. Исследованию образования прямых мюонов в последние _
посвящено много работ (см., например, [51). Результаты предста
88
ются
акте
пар
обычно в виде отношения выхода мюонов к выходу л+-мезонов В
hA-взаимодействия. Так, экспериментальные данные по выходу
прямых мюонов хорошо аппроксимируются выражением [6]
N (р+ + V+ + л-) = С (S)B (xF) • IO4, (7.3)
где
С (5)
—1,91 + 0,88 In VS, V S > 15,44 ГэВ;
0,5, VS~< 15,44 ГэВ;
B(xF) =
1 —2xf ,
(l-xF)/3,
xF <z. 0,4;
0,4 < xF< 1;
с и xf — квадрат полной энергии рр-соударения и фейнмановская
переменная для мюона соответственно.
При прохождении через вещество образовавшийся мюон теряет
свою энергию на ионизацию и возбуждение атомов, в процессах пря-
мого образования е+е_-пар, тормозного излучения и в процессах
ядерного взаимодействия через виртуальный фотон. Эти процессы
обозначаются ниже i, р, г, п соответственно. Средние удельные потери
энергии мюона можно представить в виде
— (dE/dx)lot = а, (Е) + Е [ар (Е) + ar (Е) + ап (Е)],
где функции alt р> г> п приведены в гл-. 2.
Средние удельные потери энергии мюонов в различных материалах
[31 приведены в табл. 7.1. Там же представлены средние пробеги мюо-
нов
е0
R = [-------—-------.
J — (dE/dx)tot
Если при не очень высоких энергиях главным механизмом потерь яв’
ястся ионизация и возбуждение атомов, то при Ео > 800 ГэВ в грун-
те, Ео > 300 ГэВ в железе и Ео > 100 ГэВ в уране отчетливо видна
определяющая роль процессов прямого образования е+е~-пар и тор-
мозного излучения.
Реально потери энергии есть результат последовательности диск-
ретных событий. В случае, если на рассматриваемом отрезке траекто-
рии мюона число событий данного типа невелико или эффективное се-
иие больших передач энергии ДЕ мало, флуктуации потерь энергии
гТт быть весьма значительными. В гл. 2 приведены выражения,
исывающие дифференциальные сечения процессов I, р, г, п для мю-
Дей Э Рнс’ ? 1представлены основные характеристики взаимо-
твия мюона с веществом при различных энергиях 13].
ПуСТ1Нализ приведенных результатов с очевидностью показывает недо-
в п МОсть использования приближения непрерывного замедления
вещеЦИЗионных расчетах прохождения мюонов высокой энергии через
189
Таблица 7.1. Средние полные (tot) и парциальные потери энергии мюон
на ионизацию и возбуждение атомов (t), прямое образование е+е~-пар (п? ив
тормозное излучение (г), ядерное взаимодействие (п) и полные средние
пробеги мюонов в грунте (р=1,8 г/см3), бетоне (р = 2,35 г/см3),
железе (р = 7,87 г/см ) и уране (р= 18,72 г/см3)
dE/dx, МэВсм2/г
Е, ГэВ tot Р Г/СМ1
Грунт
10 2,187 2,179 — 7,806- -3 — 4,931+т
15 2,243 2,230 — 1,276- -2 — 7,187 ' з
20 2,281 2,263 — 1,801- -2 — 9,395+3
30 2,369 2,306 3,352- -2 2,915- -2 — 1,368-4
40 2,424 2,335 4,856- -2 4,090- -2 — 1,7834-4
60 2,535 2,372 8,091- -2 6,566- -2 1,625—2 2,585 ' 4
80 2,626 2,398 1,154- -1 9,164- -2 2,182—2 3,360 4
100 2,714 2,417 1,513- -1 1,185- -1 2,743—2 4,110+4
150 2,932 2,456 2,456- -1 1,886- -1 4,156—2 5,870+4
200 3,140 2,478 3,444- -1 2,618- -1 5,582—2 7,518+4
300 3,558 2,509 5,500- 1 4 145- 1 8,459—2 1,051+5
400 3,980 2,531 7,624- -1 5,732- -1 1,136—1 1,315+5
600 4 836 2,562 1,199 9,035- -1 1,721—1 1,770+5
800 5,705 2,584 1,644 1,246 2,311—1 2,149^ 5
1,0+3 6,583 2,601 2,094 1,597 2,905—1 2,475+5
1,5+3 8,808 2,633 3,230 2,505 4,401—1 3,127+5
2,0+3 1,104+1 2,655 4,376 3,417 5,909—1 3,631+5
3,0 | 3 1,538+1 2,686 6,679 5,125 8,950—1 4,392+5
4,0+3 1,973+1 2,708 8,988 6,833 1,202 4,961+5
6,0+3 2,842+1 2,739 1,361- -1 1,025 [-1 1,320 5,795+5
8,0+3 3,711 + 1 2,761 1,825- -1 1,367- -1 2,443 6,415+5
1,0+4 4,581+1 2,778 2,228 -1 1,708- |-1 3,069 6,897+5
2,0 F4 8,928+1 2,831 4,605- -1 3,416- н 6,238 8,432+5
3,0+4 1 328+2 2,863 6,923 -1 5,125 1 9,443 9,334+5
4,0+4 1,763+2 2,885 9,240i (-1 6,833-| L1 1,267+1 9,996+5
6,0+4 2,634+2 2,916 1,388- -2 1,025- 2 1,918+1 1,091+6
8,0+4 3,505+2 2,938 1,851- -2 1,367-| 1-2 2,574+1 1,157+6
1,0+5 4,376+2 2,955 2,3154 1-2 1,708-| 1-2 3,234+1 1,208+6
3,352—2 = 3,352-1О-3
1,361 + 1 = 1,361-10»
Бетон
10 2,211 2,205 5,618—3 .— 4,819-J t-3
15 2,260 2,251 — 9,159-3 7,056J
20 2,295 2,282 1,291—2 . 9,249 рз
30 2,368 2,323 2,435—2 2,086—2 1,353+4
40 2,415 2,351 3,530—2 2,923—2 _ 1,769+4
60 2,510 2,388 5,884—2 4,687—2 1,651—2 2,5784
80 2,585 2,414 8,392—2 6,535—2 2,217—2 3,362-] -4
100 2,655 2,433 1,101—1 8,447—2 2,787—2 4,126J
150 2,828 2,473 1,789—1 1,343—1 4,223—2 5,9404 -4
200 2,989 2,495 2,511—1 1,862—1 5,671—2 7,760- r
300 3,309 2,527 4,015—1 2,946—1 8,593—2 1,084J -□ к
400 3,629 2,549 5,571—1 4,072—1 1,154—1 1.371- Э r.
600 4,274 2,581 8,772—1 6,413—1 1,749—1 1,878J u 15
800 4,926 2,603 1,204 8,839—1 2,348—1 2,312j
190
Продолжение табл. 7.1
|,ГэВ dE/dx, МэВ-см®/г R, г/сма
tot I P r n
1,0+3 1,5+3 2,0+3 з,о+3 4,0+3 6,0+3 8,0+3 1,0+4 2.0+4 3,0+4 4,0 4 6,0+4 8 0+4 5,584 2,621 1,536 1,133 2,951—1 2,693- F5
7,249 2,652 2,374 1,776 4,471—1 3,475- -5
8,987 2,675 3,219 2,493 6,003—1 4,094- -5
1 227J hl 2,706 4,919 3,739 9,092—1 5,042- -5
1,556-1 hl 2,729 6,625 4,986 1,221 5,758- -5
2^213- 2,870- hl hl 2,761 2,783 1,004-1 1,347-1 -1 hl 7,478 9,971 1,849 2,482 6,821- 7,612-! СЛ СЛ
3,528-q hl 2,800 l,680-| hl 1,246+1 3,118 8,247-1 -5
6,8154 hl 2,855 3,403- -1 2,493+1 6,337 1,025- -6
1,010- -2 2,886 5,116- -1 3,739+1 9,594 1,144- -6
1,3394 h2 2,909 6,830- -1 4,985+1 1,288+1 1,229- -6
1,998- 2 2,940 1,026- -2 7,478+1 1,949+1 1,351- -6
2,657- -2 2,963 1,369- -2 9,971+1 2,615+1 1,437- -6
1,04-5 3,316-| 1-2 2,980 1,711-1 L-2 1,246+2 3,285-|-l 1,505-| -6
Железо
10 1,941 1,925 — 1,599—2 — 5,595- 3
15 1,998 1,972 — 2,630—2 — 8,132- h3
20 2,040 2,002 —. 3,726—2 -— 1,061- -4
30 2,173 2,042 6,979—2 6,059—2 — l,533n r4
40 2,255 2,069 1,010—1 8,524—2 — 1,981- -4
60 2,424 2,104 1,681—1 1,373—1 1,509—2 2,828- -4
80 2,579 2,127 2,394—1 1,921—1 2,026—2 3,630- h4
100 2,733 2,145 3,137—1 2,488—1 2,547—2 4,387- -4
150 3,125 2,181 5,081—1 3,971—1 3,860—2 6,078- -4
200 3,516 2,201 7,110—1 5,520—1 5,183—2 7,586- -4
300 4,316 2,230 1,132 8,752—1 7,854—2 1,016- -5
400 5,134 2,251 1,564 1,213 1,055—1 1,227- F-5
600 6,804 2,280 2,449 1,915 1,598—1 1,562- -5
800 8,508 2,300 3,349 2,644 2,146—1 1,823- -5
1,0+3 1,024+1 2,316 4,256 3,393 2,697—1 2,037- 1-5
1,5+3 1,463+1 2,345 6,543 5,320 4,086—1 2,441- -5
2,0+3 1,863+1 2,366 8,841 6,871 5,487—1 2,738- h5
3,0+3 2,699+1 2,395 1,345+1 1,031 + 1 8,311—1 3,174- h5
4,0+3 3,535+1 2,415 1,808+1 1,374+1 1,116 3,504+5
6,0+3 5,208+1 2,444 2,733+1 2,061 + 1 1,690 3,960- -5
8,0+3 6,881+1 2,465 3,659+1 2,748+1 2,268 4,301- -5
1,0+4 8,554+1 2,480 4,585+1 3,435+1 2,850 4,561- -5
2,0+4 1,692+2 2,530 9,218+1 6,870+1 5,792 5,376J -5
3,0-|~4 4,0-'4 6,0+4 8,0+4 1.0+5 2,529+2 2,559 1,385+2 1,031+2 8,769 5,847- -5
3,366+2 2,579 1,848+2 1,374+2 1,177+1 6,198- -5
5,0404 2 2,608 2,775-1-2 2,061+2 1,781 + 1 6,671- -5
6,715+2 2,629 3,702+2 2,748+2 2,390+1 7,023- |-5
8,390+2 2,645 4,628-1-2 3,435+2 3,003+1 7,286- 1-5
Уран
IU Is 1,599 1,566 — 4,217—2 — 6,965h 1-3
20 1,668 1,598 — 7,008—2 — 1,002- -4
30 1,724 1 624 — 9,995—2 > — 1,296-| -4
40 2,021 1,659 1,988—1 1,638—1 — 1,810-1 1-4
2,200 1,681 2,874—1 2,315-1 — 2,286-1 -4
191
Продолжение табл. 7j
Е, ГэВ dEfdx, МэВсм’/г £ Г/см»
tot | 1 Р г п
60 80 100 150 200 300 400 600 800 1,0+3 1,5+3 2,0+3 з,о+з 4,0+3 6,0+3 8,0+3 1,0+4 2,0+4 3,0+4 4,0+4 6,0+4 8,0+4 1,0+5 2,575 2,951 3,336 4,332 5,355 7,466 9,636 1,409-1 1,864+1 2,325+1 3,5014 1 4,426 1 6,585+1 8,745+1 1,307- -2 1,739+2 2,171-|-2 4,331+2 6,492+2 8,653+2 1,298+3 1,7304-3 2,162+3 1,710 1,730 1,745 1,775 1,792 1,816 1,833 1,857 1,874 1,887 1,911 1,929 1,953 1,970 1,994 2,011 2,024 2,065 2,089 2,106 2,131 2,148 2,161 4,769—1 6,776—1 8,859—1 1,420 1,991 3,151 4,337 6,747 9,185 1,164+1 1,779+1 2,397+1 3,635+1 4,874+1 7,353+1 9,833+1 1,231-г 2 2,472+2 3,712+2 4,952+2 7,433+2 9,914+2 1,239+3 3,752—1 5,268—1 6,842—1 1,096 1,528 2,433 3,378 5,349 7,398 9,507 1,497+1 1,791 + 1 2,686+1 3,582 + 1 5,372+1 7,163+1 8,954+1 1,791+2 2,686+2 3,581+2 5,372+2 7,163+2 8,954+2 1,256—2 1,687—2 2,121—2 3,213—2 4,316—2 6,539—2 8,782—2 1,331—1 1,787—1 2,246—1 3,402—1 4,568—1 6,919—1 9,289—1 1,407 1,888 2,373 4,822 7,301 9,798 1,483+1 1,990-1-1 2,500+1 3,124+4 3,841Ъ 4,489+4 5,755 -4 6,7974-4 8,396+4 9,550+4 1,121+5 1,243+5 1,346+5 1,513+5 1,635+5 1,819+5 1,950+5 2,136+5 2,268+5 2,373+5 2,690+5 2,879+5 3,010+5 3,199+5 3,330+5 3,435+5
aq1 | । i i i uni lit i uni-i—i i it rd
70г 703 70* Е0,ГэВ
Рис. 7.1. Энергетическая зависимость
пробега мюонов до образования е+е~-пары
(р), тормозного излучения (г) и ядерного
(п) взаимодействия в железе
Р и с. 7.2. Относительные потери энеРаа.
мюона в одном акте образования е+е '
ры (р), тормозного излучения (г) и ЯД г
кого взаимодействия (и)
р и с. 7.3. Дифференциальные вероятности
потерь энергии мюона с энергией 2000 ГэВ
в процессах образования е+е^-пар (р),
тормозного излучения (г) и ядерного вза-
имодействия (и) в грунте
рис. 7.4. Энергетическая зависимость среднеквадратичного угла отклонения
= 4у2 в различных процессах взаимодействия мюонов на единицу пути
в железе
7.2. Расчеты прохождения ультрарелятивистских мюонов
через вещество. Флуктуации потерь энергии
Основные закономерности распространения мюонов не очень вы-
сокой энергии в веществе можно выявить, решая одномерное уравне-
ние переноса мюонов в приближении непрерывных потерь энергии
1101, 169, 171—173]. Методы решения, использующиеся в физике кос-
мического излучения, были рассмотрены в разд. 5.1.
В пренебрежении распадом мюонов и их угловыми отклонениями
при тормозном излучении, образовании е+е_-пар и неупругих ядер-
ных взаимодействиях, уравнение переноса мюонов в плоском одномер-
ном барьере было впервые решено в работе [171]. Полученное выра-
жение для радиального распределения потока мюонов на фиксирован-
ной глубине х имеет вид (см. также разд. 2.6):
Ф (Ео, х, г) =---——-------ехр Г-------------1, (7.4)
4лЛ2(£с, х) [ 4Л2(£0, х) J v
где А2 (Ео, х) = j X2 [£ц(£0, *')1 (х—х')2 dx';
о
р
о — энергия мюона, нормально падающего на барьер; Ец — энергия
10011 а на глубине х; эта энергия находится из решения уравнения
Е0 jr,
X __ f dE'
е ~~[dEldx(E')]' X2 (£р)—среднее квадратическое угловое откло-
ни'16 мюона на единице пути, связанное со средним углом много-
Ратного кулоновского рассеяния (МКР) (см. гл. 2) соотношением
^О-4)С62>.
Зак- 295 193
192
Анализ показывает [3, 172], что при энергии Ео < 100 4-200 г J
предположения, используемые при получении решения (7.4) в толст
слое вещества, вполне обоснованы. Однако отмеченные в конце разд 7"?
особенности взаимодействия ультрарелятивистских (Ео > 100
мюонов с веществом требуют детального описания индивидуальна
актов испускания мюоном тормозных фотонов, прямого рождений
е+е~-пар и неупругого ядерного взаимодействия. Флуктуации потег>Я
энергии и угловых отклонений мюонов, роль которых возрастает с уве
личением энергии, существенно изменяют пространственно-энергетц
ческие распределения потока мюонов в веществе 12, 3].
В работе [3] развит следующий алгоритм моделирования прохожде-
ния высокоэнергетических мюонов через вещество.
По известным средним пробегам X (см. рис. 7.1) разыгрывается про-
бег мюона до испускания тормозного фотона или фотоядерного взаимо-
действия. В этой точке разыгрываются тип взаимодействия и из рас-
пределений, приведенных в гл. 2, энергия и угол мюона после взаимо-
действия. Приближенно угол отклонения мюона в точке взаимодейст-
вия можно моделировать из нормального распределения с соответст-
вующими дисперсиями (см. рис. 7.4). Азимутальный угол ср разыгры-
вается с использованием алгоритма (6.15).
Перенос мюонов между указанными дискретными событиями осу-
ществляется с помощью шаговой методики (см. разд. 6.3). На каждом
шаге I Zr>n моделируются следующие процессы:
1) многократное кулоновское рассеяние (см. гл. 2);
2) действие внешних электрических или магнитных полей Iсоот-
ношения (6.18)1;
3) потери энергии мюона на ионизацию и возбуждение атомов из
распределения Ландау [35] (см. гл. 2);
4) потери энергии мюона на образование е+е~-пар в приближении
непрерывного замедления или по алгоритму, изложенному ниже.
Выбор шага мюона I в сложных системах при наличии внешних
электромагнитных полей осуществляется из условия выполнения трех
требований [174]:
1) малость потерь энергии ДЕ частицей по сравнению с текущей
энергией, что обеспечивает, в частности, применимость малоуглового
приближения;
2) малость изменения индукции и направления поля В на шаге;
3) малость поперечного смещения мюона Дг за счет МКР и магнит-
ного поля по сравнению с минимальным размером элементов системы
t в направлении смещения Дг = /Д<р « t, где Дер = HR —изменение
направления движения мюона на шаге / под действием магнитного
поля, a R — радиус кривизны траектории в магнитном поле. Потре-
буем постоянства и независимости Дг от шага I. Тогда, учитывая, чт
R ~ Е, можно записать следующее выражение для определения шага
мюона с энергией Е 1174]: I = Cj^E, где значение параметра С выби
рается из выполнимости условий (1)—(3). В частном случае
полнении этих условий шаг / может равняться разыгранному
К Р-n) или расстоянию по лучу до границы сред.
при вы
пробегу
194
Изменение координат и углов на выбранном шаге представляется
де суммы двух компонент, одна из которых обусловлена МКР, а
Б тая получается в процессе интегрирования уравнения движения
в магнитном поле [175]. Пересчет углов при переходе от старого
М1°°павления Й к новому Q' так же, как и в моделируемых дискретных
питиях, осуществляется по формулам (6.19).
С° Судьба мюона в каждой истории прослеживается до вылета из
гчаемой системы или до уменьшения кинетической энергии ниже
лотовой £th. В реализующей описанный метод программе MUTRAN
Жчно Eth = 20 МэВ.
Рис. 7.5. Распределение по пробе-
гам мюонов различной энергии в
поглотителях из железа и грунта
Рис. 7.6. Энергетическая зависи-
мость среднего пробега мюонов
(-----) и пробега с учетом флукту-
аций (-------)
Вычисленные по этой программе распределения мюонов по про-
бегам до остановки приведены на рис. 7.5. С ростом энергии и атомной
массы вещества наблюдается увеличение ширины распределений. Рас-
четы показывают, что в рассматриваемых случаях определяющими
являются флуктуации потерь энергии на тормозное излучение и фото-
Черные взаимодействия.
Флуктуации потерь энергии приводят к увеличению среднего про-
ега мюонов в веществе при энергиях, больших нескольких сот гига-
* 'ектрон-вольт. На рис. 7.6 для трех материалов представлены энер-
гетические зависимости средних пробегов мюонов (табл. 7.1) и пробегов
Учетом флуктуаций—толщин, которых достигнет 1% мюонов, па-
на поглотитель. Из рисунка видно, что разница может состав-
7* Д° 50 ‘
195
В работе [2] получена функция распределения по энергии ул ltd
релятивистских мюонов, прошедших слой вещества. Рассмотрен3'
флуктуации совместно во всех четырех процессах взаимодействия мюо*
нов (I, р, г, п) и изучено влияние каждого из них на формнровани'
энергетических спектров за различными толщинами вещества. е
Пусть слой вещества х таков, что в нем потери энергии Д малы по
сравнению с начальной энергией Е. Решая аналогично [35] соотвегст
вующее уравнение переноса с учетом всех вышеупомянутых проще'
сов, получаем распределение по потерям энергии мюона в тонком слое
вещества
/(Д, £, х) —(1/2 iti) J 2 Л (£> Р)}; (7.5)
Е
Ik (Е, Р) = J (е> Е) [1 —ехр (—ре)] Je, (7 6)
о
где \Vh (е, Е) — плотность вероятности потерь энергии е на единице
пути за счет процесса типа /г. Так как основные функциональные за-
висимости сечений тормозного излучения (г) и неупругого ядерного
взаимодействия (и) для мюонов имеют одинаковый вид, эти процессы
в дальнейшем будем рассматривать совместно:
Wr+n (е, £) = Wr (е, Е) + Wn (е, £).
Очевидно, что
Ih (Е, р) < (£) = 1/Xft, (7.7)
где Sfe (£) — макроскопическое сечение взаимодействия типа /г; —
пробег до этого взаимодействия. Так как 2г Sr+n, из соот-
ношений (7.5)—(7.7) приходим к естественным оценкам: если слой ве-
щества х таков, что
x/Zfe « 1, (7.8)
то для получения за ним энергетического спектра мюонов можно не
учитывать процесс типа k. Предположим, что в формуле (7.5) сущест-
венны такие р, что
2тер «1, z = р£ 1. (7-9)
Тогда интегрирование в формуле (7.6) можно производить от 0 до °°-
Для ионизационных потерь имеем [35]:
х/г =рЛг + р£[1 + р2—С—ln(pemax)],
где hh — средние потери энергии на пути х за счет процесса типа А;
Е = £х; В = 0,3 (/ne/p2)ZM; A iiZ — атомные масса и номер вещества
соответственно; те — масса электрона; Егаах — максимальная энергия,
которая может быть передана атомарному электрону при ионизация,
Р — скорость мюона; С — 0,5777 — постоянная Эйлера. Для ультра-
196
пятивистских мюонов на основании результатов гл. 2 запишем
дифФеРенциальные сечения остальных процессов в виде
у7г+п (е, Е) = Ьг+п/е; Wp (е, Е) = bpa (1 + а)/[е (е Е + а)2],
^;а= 0,0071.
X
где bh
Величины (—dEldx)r+ni р вычисляются по формулам, приведен-
ным в гл. 2. Выполняя интегрирование в (7.6), получаем
S /ft = /у+п (С + In Z) + М1^) [С _|_ ln {az) _
Р. Г. п
— (1—az) ехр (az) Ei(—az)],
и функция распределения по потерям энергии примет вид (и = арЕ)
6+1“
f (Д, Е, х) =----!--- I du ехр / — [Хы 4-и In и —
2л i аЕ J I b
б— joo
—Гр Оф (u)—aDr+n Ф2(и)] |,
(7.Ю)
где Фх (и) — С + In и — (1 — и) ехр (и) Ei (—и); Ф2 (и) = С +
+ In (и/a); b = аЕ/%; Dh = X = (Д — ht)ll — 1 — р2 -ф С +
+ In (втах/иЕ), или в действительных переменных
f (Д, Е х) = —1— f dy ехр {--]-[^У + У^У+ОрФ3(у) +
пас, J I о
0
+ Dr +„ (у)] | sin {- (у +-Dp Ф4 (у) ф aDr+„]}, (7.11)
где Ф3 (у) = С + In у — (1 + у) ехр (—у) Ei (у); Ф4 (у) = 1 —
— (1 + у) ехр (—у).
В интеграл (7.11) наибольший вклад вносит первый период подын-
тегрального синуса, следовательно, интеграл определяется такими у,
что у ~|_ Dp(&i (у) + aDr+n ~ Ь. Поэтому, если Dp » b (толстые слои
вещества), в интеграле (7.11) существенны у ~ |/2 (Ь — aDrJrn)/DT,.
фти слой вещества тонок (Dp < b), то интеграл (7.11) определяется
(7о?СТЬЮ интегРиРовання У ~Ь. Так как у = арЕ, предположение
v-9) сводится к условиям
Е > 2те; (7.12)
К(Е—2hr +n)/ahp » 1. (7.13)
мос+СЛОВИе не наклаДЬ1вает ограничений на область примени-
т и ВЬ1Ражения (7.11), где с самого начала предполагалось, что по-
Ри энергии малы по сравнению с начальной энергией. Если толщи-
За«- 295 107
на слоя такова, что не выполняется условие (7.12), то при вычисл
нии 1Р в (7.6) нужно в качестве нижнего предела интегрирования гЛ
пользовать 2те. В этом случае распределение по потерям энергии mkvC
на описывается выражением
С+1 <»
f(A, Е, х) =----- С du ехр / — [7ы + « In и —
2ni аЕ J I b
0—I 00
—Dp Ф5 (и, q)—aDr+n Ф2 (w)]} , (7
где Ф6 (и, q) = Ei (—qu) — In q — 1 + exp (—qu) — (1 — u) x
xexp(—u) Ei (—u); q=2mj (аЕ), переходящим в (7.10) при выполнении
условия (7.12). Если х 2 1, выражение (7.14) переходит в распое-
/?=г, р, п
деление Ландау. В этом случае в интеграле (7.14) существенны и ~Ь
[35]. Для таких толщин вещества (х < Хр)
b = аЕЦ » аЕИрВ = (—dE/dx)p/B ~ 10-3Z2E ~ 1,
и из (7.14) получаем более точную, чем (7.8), оценку для толщины х,
на которой при получении решения достаточно учитывать только иони-
зационные потери
"vL (—Л-nh/+expl—lnmJ7’5>
Если слой вещества х таков, что
х 2 (7.16)
k=r, п
то при нахождении функции распределения по потерям энергии мюо-
нов в формулах (7.11) и (7.14) можно пренебречь тормозным излуче-
нием и ядерными взаимодействиями мюонов. Условие (7.16) выполня-
ется при Dp Тогда в (7.14) существенны w ~ 1, и для толщины
слоя х, за которой энергетический спектр определяется потерями энер-
гии только на ионизацию и прямое образование е+е~-пар,
х « 1/ [Ьг+П (С — In о)]. (7.17)
В этом случае решение упрощается. При £ > 2те, например,
б-]-1СО
/(А, Е, х) =-1--- f duexp / — [Xw+ и In и—Dp Ф1 («)] k (7.18)
2ni aE J I b J
6—loo
Функция (7.18) очень удобна для использования при моделировании
переноса мюонов методом Монте-Карло в схеме, описанной в начале
разд. 7.2, если шаг / удовлетворяет условию (7.17).
На рис. 7.7 представлены распределения по потерям энергии мкХ>
ном, полученные по приведенным выше формулам и рассчитанные по
модифицированной программе MUTRAN [3]. В этом варианте програм-
мы потери энергии на прямое образование е+е--пар рассматривалис
198
дискретный процесс с соответствующим дифференциальным се-
лением. Распределения по потерям энергии удовлетворительно согла-
,,К)ТСя на малых толщинах вещества (рис. 7.7). На более толстых сло-
ях где, как и следовало ожидать, согласие ухудшается (нижний ри-
сунок), рекомендуется пользоваться результатами прямого модели-
рования процесса переноса. С увеличением толщины слоя распреде-
Р и с. 7.7. Плотность вероят-
ности того, что мюон с энер-
гией 1000 ГэВ на слое железа
различной толщины х потеря-
ет энергию А:
1 — расчет по формуле (7.10) (крн-
вая) и методом Монте-Карло (ги-
стограмма) без учета тормозного
излучения и ядерных взаимодей-
ствий; 2 — расчет по формуле
(7.18) и методом Монте-Карло с
учетом всех процессов
ления становятся гауссоподобными и величина наиболее вероятных
потерь энергии стремится к средним потерям Д (рис. 7.8).
Таким образом, можно отметить следующее:
17 щ еСЛИ толш-ина слоя вещества такова, что выполняется условие
1 15), энергетический спектр мюонов за слоем определяется только
пнизационными потерями и для его получения можно пользоваться
Распределением Ландау;
те/. для вычисления энергетических спектров мюонов за слоями ве-
1Da> толщина которых удовлетворяет условию (7.17), можно поль-
аться выражением (7.18), пренебрегая тормозным излучением и
оядерным взаимодействием мюонов;
в л ' Флуктуации в двух последних процессах играют главную роль
формировании энергетических спектров мюонов за толстыми (х >
? ~ ^п) слоями вещества.
199
Рис. 7.8. Зависимость отношения
наиболее вероятных потерь энерги”
мюона в слое вещества к средним
потерям на этом слое, вычисленным
в приближении непрерывного замел
ления, от z = g/emax.’
-------расчет с учетом флуктуаций nnu
тормозном излучении и ядерных взаимо
действиях, процессы столкновений с
атомными электронами и прямого обпаС
зовання пар рассматривались в прнбчи
женни непрерывного замедления-
-------—расчет с учетом Флуктуаций
во всех четырех процессах
Рассмотрим влияние флук-
туаций потерь энергии на рас-
пределение интегрального по-
тока мюонов в веществе. Из
рис. 7.9 (слева) видно, что
при не очень высоких энергиях влияние флуктуаций потерь энер-
гии на этот функционал определяется в основном ионизационным страг-
глингом. При Е > 3004-500 ГэВ определяющими становятся флук-
туации потерь энергии на тормозное излучение и ядерные взаимодейст-
Р п с. 7.9. Вероятность Р достижения мюоном с начальной энергией Е глуби-
ны х поглотителя из железа:
R — пробег мюона до остановки с учетом всех процессов в приближении непрерывного
замедления:-------с учетом флуктуаций во всех процессах;-— в приближении
непрерывного замедления рассматриваются процессы тормозного излучения, образовани
пар и ядерные взаимодействия (а) и образования пар и столкновения с атомными эле
ронами (б)
вия мюонов. Различие кривых на рис. 7.9 (справа) обусловлено у че-
том и неучетом флуктуаций потерь энергии на прямое образование
е+е~-пар в различных расчетах. Учет же ионизационного страггли -
га не изменяет функции Р (х, Е) в железе при Е > 300 ГэВ [31.
7.3. Мюоны при развитии адронных каскадов
Как отмечалось в разд. 1.2 и 7.1, мюоны возникают при распада_
долгоживущих и короткоживущих мезонов в веществе и на так на
ваемых распадных промежутках, а также в реакциях типа (7-2)- 1
того, что пробег до распада Хр мюонного «родителя» линейно в
200
т с его энергией, вероятности высокоэнергетических распадов, в
тоТОрых образуется наиболее проникающая компонента, весьма малы,
прямое моделирование распадов, особенно в веществе, крайне неэф-
фективно. Поэтому в работах [3, 173, 174] развит следующий алгоритм
моделирования образования мюонов.
Адронный каскад в мишени и в поглотителях рассчитывается инк-
люзивным образом (разд. 6.2, 6.3). В каждом акте неупругого адрон-
ядерного взаимодействия генерируется шесть адронов (р, п, л±, /<±)
со статистическими весами, математические ожидания которых совпа-
дают с соответствующими средними множественностями. В том же
взаимодействии моделируется рождение прямых мюонов с исполь-
зованием соотношения (7.3).
Пробеги образовавшихся адронов до новых ядерных вазаимодей-
ствий X разыгрываются по схеме разд. 6.3. В этих точках для каждого
л- или А-мезона с учетом кинематики моделируется образование мюо-
на со статистическим весом W^ = W0Zd (Е)/2 (£) и неупругое ядер-
ное взаимодействие с весом Wo = Ц702аЬз (£)/2 (£). Здесь Е и Wo —
энергия и статистический вес адрона в конце пробега 7; 2 = 2abs +
4- 2d; 2abs и 2d — макроскопические сечения соответственно погло-
щения и распада л- и Л-мезонов.
Рождающиеся адроны участвуют в дальнейшем развитии каскада,
генерируя новые поколения адронов и лептонов, а судьба мюонов про-
слеживается по алгоритмам, описанным в разд. 7.1. Дерево траекто-
рий в веществе достаточно рассматривать до третьего поколения, по-
скольку адроны высших поколений практически не дают вклада в
формирование поля мюонов [3, 173].
Если траектория адрона пересекает вакуумный (или воздушный)
промежуток, то осуществляется принудительный распад на нем л- и
Л-мезонов с соответствующим статистическим весом. Точка распада
на промежутке d находится из следующей плотности распределения:
р (х) = ехр (—x/ZdJ^d1 П — ехр (—dAD)]-1.
Статистический вес образующегося мюона равен W^ = [1 —
— ехр (—d/kD)], где ц = 1 для распадов л± -> р± + v (v) и rj = 0,65
Для распадов Л'±->- р.± + v (у).
С оставшимся весом Wo = Wo — W^ адрон прослеживается даль-
ше до вещества, где взаимодействует с атомными ядрами. Энергию и
угол вылета мюона в точке распада находят с помощью кинематических
соотношении из гл. 2. При высоких энергиях в поглотителях большой
толщины моделируется также образование мюонов в реакции (7.2).
Ниже приведены некоторые результаты расчетов по описанному
алгоритму полей мюонов в веществе при развитии высокоэнергети-
^еских адронных каскадов [3, 1741. Исследуемые функционалы —
г) — дифференциальная плотность потока мюонов и Ф (г) =
о (2’ г)2лгс1г —- продольное распределение потока мюонов в кру-
Ге Радиусом R.
201
Рис. 7 10. Продольное распределение ди<Ьар
ренциальной плотности частиц с £^20 МэВ е'
оси железного поглотителя, на который падаНа
протоны различной энергии: д Ют
— суммарное распределение;
---мюоны
~ адроны;
Таблица 7.2. Толщина поглотителей (с
при которой совпадают плотности потоков
адронов и мюонов на оси пучка протонов
с энергией Ео
Материал Е„, ГэВ
30 300 3000
Бетон 617 830 916
Железо 300 355 380
Уран 240 250 275
На рис. 7.10 показаны вклады адронной и мюонной компоненты в
функцию F (z, г) при г 0. Видно, что начиная с некоторой толщины
поглотителя полностью доминируют мюоны. Эти толщины приведены
в табл. 7.2 для адронов и мюонов с энергией Е > 20 МэВ [3].
Рис. 7 11. Продольное распределе
ние потока мюонов в круге радиусом
£ = 250 см при падении на железный
поглотитель протонов с энергией
£о = 3000 ГэВ:
1 — расчет [174]; 2 — расчет без учета
«прямых» мюонов; указана статистиче-
ская погрешность расчетов
Рис. 7.12. Энергетические спектры
мюонов на двух толщинах поглоти-
теля, на расстоянии d = 100 м от ко-
торого протон с энергией 3000 ГэВ
взаимодействует с мншенью
На рис. 7.11 приведены результаты расчета функции Ф (г) без уче-
та рождения «прямых» мюонов [31 и с учетом их рождения [174], опи-
сываемого выражением (7.3). Анализ показывает, что при энергии
Ео > 1000 ГэВ в ситуациях, когда пучок адронов падает непосредст-
венно на плотный поглотитель, неучет или некорректное описание про*
202
сса рождения прямых мюонов может приводить к заметным погреш-
ностям на большой толщине.
н Энергетические спектры мюонов на оси стального поглотителя при-
целены на рис. 7.12. На малой толщине всегда наблюдается заметная
трансформация спектров с ростом z. Начиная с некоторых значений
, устанавливаются квазиравновесные энергетические спектры мюо-
нов, которые снова претерпевают изменения на максимально возмож-
ной' для данной энергии толщине. Зависимость от радиуса функции
£ (z, г) уменьшается с увеличением ~ . я ..
щпн'ы z (рис. 7.13).
распадного промежутка d и тол-
Рис. 7.14. Зависимость интеграль-
ного потока мюонов на различной
толщине z железного поглотителя
от распадного промежутка:
энергия взаимодействующего с мишенью
протона Еа=3000 ГэВ;----------- 7?=250 см;
--------7?=5О см
Рис. 7.13. Радиальное распределе-
ние плотности потока мюонов на
толщине z=100 м железного погло-
тителя, на расстоянии d от которого
протон с энергией 3000 ГэВ взаимо-
действует с мишенью
При не очень большом растоянии d мишени от поглотителя Ф (z)
растет практически линейно с ростом d (рис. 7.14). При d > 504-100 м
вид функции значительно изменяется. Характер приведенных зависи-
мостей определяют в основном два конкурирующих фактора: геомет-
рический фактор и вероятность распада л- и Д-мезонов. Отметим, что
если при больших распадных промежутках не учитывать углы откло-
нения мюонов в точках распада л- и /(-мезонов, погрешность в опре-
делении дифференциальной плотности потока мюонов может быть
весьма значительной.
Вклад мюонов от распада каонов в полный поток зависит от соот-
ношения выходов л- и Д-мезонов и распадного промежутка, как пра-
вило, увеличиваясь с толщиной поглотителя. Представленные на
РИс- 7.15 отношения потоков мюонов изменяются в диапазоне 0,15—0,45
и слабо зависят от энергии первичных протонов и материала погло-
тителя. При анализе приведенных на рисунке данных необходимо учи-
тывать следующее: вероятность распада каонов примерно в 7 раз боль-
ше, чем пионов; спектр л-мезонов в существенной области круче спект-
Ра Л-мезонов; угол рождения каонов в адрон-ядерных взаимодействи-
ях больше; угол отклонения мюонов при распаде Д-мезона примерно
'’О раз больше, чем при распаде л-мезона.
203
При d > 24-3 м наибольший вклад в процесс формирования п
мюонов в веществе дают распады (7.1) на этом промежутке Одна ”
при больших значениях первичной энергии Ео, распадного промеж °
ка d и толщины поглотителя z потоки мюонов, генерируемые по Вс *
объему поглотителя нейтрино в реакциях (7.2), могут превзойти по™
распадных мюонов, начиная с некоторой z0 (рис. 7.16). При z
потоки распадных мюонов резко убывают с увеличением толщин 2°
Рнс. 7.15. Продольное распределе-
ние отношения потока мюонов, рож-
денных в распадах Д^-мезонов, к
потоку мюонов, образованных в
распадах л±-мезонов в стальном по-
глотителе, на расстоянии d от кото-
рого протон с энергией 3000 ГэВ
взаимодействует с мишенью:
ф,О —d=I00 м; А. А— d=2500 м; тем-
ные значки — В=50 см; светлые — /?=
=250 см
Рис. 7.16. Продольное распределение
потока мюонов в круге двух радиусов
в стальном поглотителе (z^500 м) и за
ним (z>500 м) в случае взаимодейст-
вия протона с энергией 3000 ГэВ с ми-
шенью на расстоянии <7=2500 м от по-
глотителя
При этом быстрые нейтрино, образованные в распадах (7.1) на проме-
жутке d и проходящие из-за малости сечения vX-взаимодействия ог-
ромные расстояния в веществе, продолжают генерировать мюоны и
на толщинах поглотителя, значительно превышающих г0. Этот эффект
играет важную роль в экспериментах на больших протонных ускори-
телях и в исследованиях с космическим излучением.
ГЛАВА 8
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ
ИССЛЕДОВАНИЯ ЯДЕРНО-ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
КАСКАДОВ
8.1. Калориметры (спектрометры полного поглощения)
Принципы работы калориметров. Типы калориметров. При попа-
дании в конденсированную среду высокоэнергетическая частица в зави-
симости от ее природы инициирует электромагнитный или адроннь»
каскад (см. гл. 1). При этом такие характеристики каскада, как, на'
пример, энерговыделение в области развития ливня, суммарная длин
204
пеков заряженных вторичных частиц, оказываются пропорциональ-
энергии первичной частицы и могут служить для определения
Сергии первичной частицы, инициировавшей каскад. Приборы, по-
зволяющие определять энергию первичной частицы путем измерения
характеристик вызванного ею каскада, называют калориметрами или
спектрометрами полного поглощения, имея в виду, что для наиболее
точного определения энергии частицы необходимо обеспечить полное
поглощение ее энергии, выделившейся в виде каскада, в чувствитель-
ном объеме калориметра.
Калориметры подразделяются на электромагнитные и адронные
по типу детектируемых каскадов. Их различают также по принципу
работы, т. е. по тому, какую характеристику каскада и каким образом
они детектируют. Это может быть, например, измерение ионизации,
производимой вторичными заряженными частицами ливня, или изме-
рение интенсивности сцинтилляционных вспышек, вызванных разви-
тием каскада в сцинтиллирующих материалах, или измерение интен-
сивности черенковского излучения в гомогенных прозрачных средах,
которое пропорционально суммарной длине треков вторичных заря-
женных частиц. В принципе возможно определение энергии первичной
частицы путем измерения такой экзотической характеристики ини-
циированного ею каскада, как акустическое излучение ливня (см.,
например, [140]).
Существует множество различных типов электромагнитных и ад-
ронных калориметров [176], предназначенных для наиболее успешного
решения тех или иных задач, возникающих при проведении экспери-
ментов в области физики высоких энергий и физики космического из-
лучения. Типичными задачами, решаемыми с помощью калориметров,
являются: 1) определение энергии первичной частицы; 2) определе-
ние энергии, уносимой сгустком частиц (струей), 3) определение на-
правления движения первичной частицы и координат ее места входа
в калориметр; 4) идентификация частиц.
Однако независимо от характера решаемой задачи, типа калори-
метра и принципа его работы все калориметры имеют одну общую чер-
ту: их функционирование существенным образом опирается на ис-
пользование основных закономерностей развития каскадов. Напом-
ним кратко эти закономерности, которые были подробно рассмотрены
в предыдущих главах.
1- В процессе развития каскада энергия первичной частицы рас-
пределяется между большим числом вторичных частиц и в конечном
итоге поглощается в пределах некоторой эффективной области разви-
тия каскада. Толщина слоя, в котором поглощается энергия, выделив-
шаяся в каскаде, слабо зависит от первичной энергии (~ In £0) По-
глощенная энергия пропорциональна первичной энергии.
2- Продольные размеры каскадов значительно превосходят их по-
перечные размеры. Вторичные частицы в каскаде группируются по
аправлениям движения вблизи оси ливня, направленной по импуль-
У первичной частицы. Это является следствием малости поперечного
мпульса, передаваемого вторичным частицам в процессах множест-
ниого образования. В случае адронных взаимодействий <рх> ~
205
~ 0,3 ГэВ/с и в случае взаимодействия электронов и фотонов (п \
~ тес. ь ~
3. Пространственное распределение вторичных частиц каскада
его энерговыделение подвержены значительным флуктуациям. С уВе
личением энергии относительные флуктуации уменьшаются как Е0~Ч2
так как число вторичных частиц в каскаде растет с увеличением энеп’
нии как Ne ~Е0.
4. Электромагнитный (ЭФЛ) и адронный (ЯЭК) каскады имеют ряд
общих закономерностей в своем поведении. Однако совершенно разная
природа этих процессов и различный состав вторичных частиц приво-
дят к тому, что в поведении ЭФЛ и ЯЭК наблюдаются и существен-
ные различия (табл. 8.1).
Калориметры можно разделить на два основных типа. К первому относятся
калориметры, представляющие собой единый блок активного вещества_гомо-
генные калориметры (например, блок сцинтиллятора или радиатора излучения
Вавилова—Черенкова). Детекторы этого типа обеспечивают наилучшее опреде-
ление энергии первичной частицы. Калориметры на основе сцинтилляторов (на-
пример, Nal) чувствительны к суммарным ионизационным потерям энергии вто-
ричных заряженных частиц в ливне, а калориметры на основе радиаторов излу-
чения Вавилова—Черенкова (например, свинцовое стекло) — к суммарной дли-
не треков вторичных заряженных частиц в ливне (которая, как было показано
в гл. 4, линейно зависит от энергии первичной частицы). Ко второму типу кало-
риметров относятся многослойные (многопластинчатые) детекторы (так назы-
ваемые калориметры типа сендвич). Многослойные калориметры широко ис-
пользуются для детектирования адронных и электромагнитных каскадов, тогда
как гомогенные калориметры применяются в основном для регистрации ЭФЛ.
Калориметр типа сендвич представляет собой набор активных детектирующих
слоев, чередующихся со слоями плотного пассивного вещества, в которых про-
исходит интенсивное развитие каскада. Это позволяет обеспечить разумные раз-
меры и стоимость калориметра даже при детектировании адронных каскадов.
Многослойные калориметры позволяют достичь высокой чувствительности из-
мерений такой характеристики каскада, как число пересечений треков заряжен-
ных частиц со слоями активного вещества (см., например, гл. 4) или иониза-
ционные потери энергии в этих слоях.
Как правило, в первую очередь калориметры применяют для опре-
деления энергии частицы. Для успешного решения этой задачи разме-
ры калориметра (независимо от его типа) должны удовлетворять сле-
дующим требованиям [971:
1) при заданной энергии и определенном сорте первичной частицы
сигнал, получаемый с калориметра, не должен зависеть от координат
точки первого взаимодействия;
2) для заданных размеров калориметра сигнал должен линейно
зависеть от энергии первичной частицы;
3) для заданных размеров калориметра его энергетическое разре-
шение оеЕ должны определяться, главным образом, статистическими
флуктуациями измеряемых характеристик каскада (ое Е ~ Е~ )’
4) для фиксированной энергии первичной частицы Е энергетичес-
кое разрешение калориметра, начиная с некоторого размера калори-
метра, не должно улучшаться при дальнейшем увеличении его ра3
меров;
5) форма распределения амплитуд сигналов должна быть симм
рична. При недостаточно большом размере калориметра к несимме
206
аб1ица 8-1- Сравнение свойств электромагнитных и адронных каскадов
Характеристика Электромагнитный каскад Адронный каскад
—-— Процессы размноже- ния Свободный пробег до взаимодействия Средний коэффициент веупругости взаимодей- ствия Вторичные частицы Продольное развитие каскада Положение максиму- ма каскада Характерная длина за- тухания каскада Длина эффективной области развития каска- да Поперечное развитие каскада Поперечный размер эффективной области развития каскада Недетектируемая энер- Неэффективно детек- тируемая энергия Основные источники ^Уктуаций Образование е~е+-пар и тормозное излучение электрона (9/7) tr для фотонов, tT In (Прo>v)дЛЯ электро- нов (А') ~ 1 для фотонов, (А) ~ 0,07 для элек- тронов Электроны и фотоны Слабо зависит от ве- щества, если глубину i выражать в единицах радиационной длины X = t/tr ~1п Ео Л=(3-4-4)/г, не зави- сит от Ео Сф = (10-4-30) tr /.,ф 1П Eq Слабо зависит от ве- щества, если расстояние от оси ливня выражать в мольеровских единицах Г М Е ,tT/et: гэФ — 2гм Нет Низкоэнергетические фотоны Глубина первого взаи- модействия Неупругие адрон-ядер- ные соударения Пробег адрона до неуп- ругого взаимодействия: Л1п~71/ЛаО|п (А>~0,5 Преимущественно л-мезо- ны и нуклоны Слабо зависит от вещест- ва, если глубину t выра- жать в единицах длины сво- бодного пробега адрона до неупругого взаимодействия X^=t/Kin ~1п Ео Л= (1-4-2) Ain, увеличи- вается с ростом Ео Аф=(54-10)Лщ ^эф In Eq Слабо зависит от вещест- ва, если расстояние от осн каскада выражать в г/см2 Гэф Ain Энергия, идущая на воз- буждение и расщепление ядер; энергия, уносимая нейтрино Низкоэнергетические нейтроны и фотоны, ядер- ные осколки, мюоны Энергия, передаваемая л°-мезонам в первом взаи- модействии, и его глубина
--
207
ричной форме распределения амплитуд сигналов приводят флук
ции доли энергии каскада, выделяющейся вне чувствительной обп^3'
калориметра, поскольку эти флуктуации не подчиняются гауссовСТИ
закону распределения. °МУ
Электромагнитные калориметры. Для детектирования ЭФЛ
пользуют как калориметры типа сендвич, так и гомогенные кало^'
метры, состоящие из единого блока активного вещества ВажнейщЗ
характеристикой калориметра является его энергетическое разрешД
ние. Практически важно также обеспечить линейную зависимость
сигнала от энергии первичной частицы, что всегда достигается, есл
утечки энергии ливня из чувствительного объема калориметра малы
В гомогенном калориметре бесконечных размеров
(случай полного поглощения энергии) точность в определении энергии
ограничена статистическими флуктуациями в числе элементарных про-
цессов, происходящих при развитии электрон-фотонного ливня. Сум-
марные ионизационные потери и суммарная длина треков электронов
(позитронов) в ЭФЛ так же, как и их флуктуации, зависят от отноше-
ния В = Ес/ек, где Ес — энергетический порог регистрации вторич-
ных электронов; ек — критическая энергия активного вещества ка-
лориметра (см. гл. 4). Для калориметра на основе кристалла Nal (| =
= 0,5/12,5 = 0,4) относительная точность в определении энергии
выражается формулой [177]
ое 'Е ~ 0,007/
(8.1)
Здесь и далее, где это не оговорено особо, Е — энергия, ГэВ.
Любая, даже незначительная, утечка энергии из чувствительного объема
калориметра ухудшает его разрешение. Так, в калориметрах на основе свинцо-
вого стекла зависимость энергетического разрешения от утечки энергии выража-
ется формулой [178]
or/£=[<Tr/£]i=oo (1+4е + 50еЭ,
где е — доля недетектируемой энергии ливня (е 0,1) и t — продольный раз»
мер калориметра. В калориметре с фиксированными размерами доля теряемой
(недетектируемой) энергии логарифмически увеличивается с ростом энергии
первичной частицы, что приводит к ухудшению энергетического разрешения по
сравнению с калориметром бесконечных размеров.
Экспериментально измеренное энергетическое разрешение
(рис. 8.1) описывается приближенной зависимостью [97]:
ое'Е = 0,009/Е1/4. (8-2)
Из сравнения этого выражения с теоретической зависимостью (8.1)
следует, что при энергии Е ~ 1 ГэВ, когда утечка энергии ливня из
чувствительного объема детектора мала, экспериментально измерен-
ное энергетическое разрешение близко к теоретическому. С увеличе-
нием Е увеличивается относительная доля потерь ее из-за утечк
энергии, что приводит к соответствующему ухудшению разрешен
по сравнению с теоретическим для детектора с бесконечными Раз'
рами, когда утечки нет. Следует подчеркнуть, что разница в зако
поведения (8.1) и (8.2) не может быть объяснена флуктуациями в 1
208
е фотоэлектронов, которые также приводили бы к зависимости
В отличие от калориметров, выполненных на основе Nal, точность
чмерения энергии калориметрами, выполненными на основе свинцо-
*0 стекла, определяется, главным образом, флуктуациями в числе
фотоэлектронов и может быть выражена формулой [178]:
[сг£/Е]/вОо = (£) £2 + 1/W1/2 0,006 + 0,036-1/2 £-1/2,
где g — среднее число фотоэлектронов на 1 ГэВ выделившейся энер-
гии (как правило, 103); 6 — отношение площади фотокатода к вы-
ходной площади радиатора (обычно 6 0,5); о0 (£) — величина, оп-
ределяемая не только флуктуациями ливня, но и поглощением излу-
Рис. 8.1. Экспериментально изме-
ренная зависимость энергетического
разрешения калориметра на основе
Nal длиной 24 tr от энергии первич-
ной частицы [97] (/) и зависимость,
рассчитанная по формуле (8.1) (2)
чения Вавилова—Черенкова в самом радиаторе. Типичное энергети-
ческое разрешение калориметров на основе свинцового стекла можно
описать приближенной формулой [961:
иЕЕ — (0,044-0,05)//Ё.
Многослойные калориметры можно разделить на
дискретные и пропорциональные [86]. В дискретных измеряется число
заряженных частиц, пересекающих активные слои. Типичный пример
такого калориметра — калориметр, состоящий из слоев трубок Кон-
верси с поперечным размером 3,5 X 5 мм, чередующихся со свинцовы-
ми пластинами толщиной t = Q,9tr [179]. Экспериментально измеренное
энергетическое разрешение такого детектора описывается выражением
1179]
о£Е = 0,12/К£, 0,5< Е < 3 ГэВ. (8.3)
Энергетическое разрешение дискретных калориметров определяется
флуктуациями числа пересечений активных слоев заряженными час-
тицами и дается выражением [86]:
ое/Е = 0,032 VeK t/[F (Ес/ек) cos (Ес/лек) Е] • (8.4)
Здесь Ес — минимальная детектируемая энергия электрона, МэВ;
ек — критическая энергия, МэВ; Е — энергия ливня, ГэВ; t — тол-
щина пассивного слоя калориметра, радиационные длины; F (£с/ек) —
Коэффициент, учитывающий уменьшение суммарной длины треков
3аРяженных частиц, обусловленное введением энергетического поро-
Га Регистрации £с у= 0 [см. разд. 4.5]. Расчет по формуле (8.4) для ка-
209
лэриметра на основе трубок_ Конверси [179] приводит к следующем
результату: ое/Е = 0,11 УЕ (Ес ~ 0), который хорошо согласует^
с экспериментальным результатом для энергетического разрещенцЯ
такого калориметра [см. формулу (8.3)].
В пропорциональных многослойных калориметрах измеряете
энергия, выделившаяся в активных слоях за счет ионизационных по
терь энергии заряженных частиц. В этих калориметрах точность при
определении энергии зависит не только от флуктуаций числа пересе-
чений активных слоев заряженными частицами, но и от флуктуаций
ионизационных потерь энергии, а также от флуктуаций суммарной
длины треков заряженных частиц в активных слоях. Вклад последних
двух источников в погрешность измерения энергии первичной части-
цы зависит от плотности вещества активных слоев калориметра.
Рассмотрим влияние флуктуаций ионизационных потерь энергии в актив-
ном слое вещества на точность определения энергии пропорциональными кало-
риметрами. В плотных активных веществах (жидкости, твердые вещества) флук-
туации ионизационных потерь описываются функцией Ландау (см. разд. 2.5).
Вид этой функции не зависит от энергии частицы. Поэтому ширину распределе-
ния ионизационных потерь Д можно характеризовать величиной [86]:
о(Д)/Д=2/1п(4Г/Нт1п),
где £mjn — минимальная энергия 6-электронов, обычно принимаемая равной
30 эВ; Ш' — энергия, при которой в слое толщиной х, г/см2, образуется в сред-
нем один 6-электрон с энергией выше чем W. Численное значение величины W,
эВ, определяется по формуле: W = 1,5 • 105xZ/A . Пренебрегая асимметрией в
функции плотности распределения ионизационных потерь, в первом приближе-
нии вклад флуктуаций ионизационных потерь энергии в точность определения
энергии первичной частицы можно определить как [86] (о^Е) N In (10‘х).
где Л' — число пересечений треков заряженных частиц с активными слоями ка-
лориметра: N ~ (E/eK)t (t — толщина пассивного слоя калориметра в радиа-
ционных длинах). При толщине активного слоя х = 1 г/см2 вклад флуктуаций
ионизационных потерь невелик: он не превышает 3°6 основного вклада, обуслов-
ленного флуктуациями числа пересечений N [см. формулу (8.4)]. Если активное
вещество — газ, то х ~ 10~8 г/см2. При этом энергетическое разрешение кало-
риметра ухудшается приблизительно в ~\/1 раз за счет вклада флуктуаций иони-
зационных потерь. Реальная ситуация еще хуже, так как в тонких слоях газа
ионизационные потери флуктуируют значительно сильнее, чем это предсказы-
вается формулой Ландау (см. рис. 2.6).
Низкоэнергетические вторичные электроны в ливне имеют широкое угловое
распределение, что приводит к большим флуктуациям расстояний, проходимых
ими в активных слоях калориметра. Эти флуктуации особенно значительны в
газовых активных слоях. Во-первых, минимальная детектируемая энергия в
газовых слоях ниже, чем в плотных слоях, и, следовательно, электроны в газо-
вых слоях имеют еще более широкое угловое распределение. Низкоэнергетичес
кие электроны, которые движутся вдоль слоя, выделяют в нем намного больше
энергии, чем электроны, движущиеся перпендикулярно слою. Во-вторых, мно-
гократное кулоновское рассеяние в слое плотного вещества приводит к тому, что
электрон быстро покидает этот слой. Соответственно уменьшается длина пути
электрона в активном слое вещества и ее флуктуации. Роль перечисленных про-
цессов иллюстрирует рис. 8.2.
Суммируя сказанное выше, можно заключить, что в многослойных
калориметрах с активными слоями из плотного вещества энергетичес-
кое разрешение определяется в основном флуктуациями числа пере-
сечений треков заряженных частиц с активными слоями [формула
210
р с 8.2. Вклад флуктуаций числа пересечений
Jn Ионизационных потерь энергии (2) и длин
vt'h электронов (3) в суммарное энергетическое
Разрешение (4) многослойного калориметра
Рсвинец, (1/3) tr, —газ]. Расчет методом Мон-
те-Карло для первичного электрона '[182]
(8.4)1- Однако в очень тонких активных
слоях начинают сказываться, как и в га-
зовых слоях, флуктуации ионизационных
потерь энергии и флуктуации длин пути
электронов. В дискретных калориметрах,
в которых подсчитывается число вто-
ричных электронов в активных слоях,
в погрешность определения энергии дают вклад только флук-
туации числа пересечений. Недостатком таких калориметров являет-
ся то, что при больших энергиях первичных частиц, когда плотность
вторичных частиц в ливне достаточно велика, регистрирующую ячейку
активного слоя могут пересекать одновременно два и более треков
вторичных электронов. Это приводит, во-первых, к нелинейной зави-
симости сигнала от первичной энергии и, во-вторых, ограничивает
точность в определении энергии.
Рис. 8.3. Экспериментально измерен-
ная зависимость энергетического разре-
шения калориметра типа сенднич от
доли потерянной энергии е в продоль-
ном (/) и поперечном (2) направлени-
ях [181] для электрона с энергией
15 ГэВ
Как и в случае гомогенных калориметров, на энергетическое раз-
решение многослойных калориметров влияет утечка энергии каскада
из чувствительной области калориметра (рис. 8.3). Энергетическое
разрешение калориметра наиболее чувствительно к потерям энергии
(к ее утечке) в продольном направлении.
Переходный эффект. В многослойных детекторах пассивные и
активные слои вещества имеют различные плотности, атомные номера и, как
следствие, критические энергии. На границе таких слоев происходит изменение
числа и спектра вторичных электронов и фотонов. Различие в многократном рас-
сеянии в этих слоях также вносит вклад в изменение равновесного спектра вто-
ричных частиц. Этот эффект, называемый переходным, оказывает влияние на
абсолютное значение энергии, выделившейся в активных слоях и регистрируе-
мой калориметром. Измерения показывают, что в многослойных детекторах
< 1, где Ev — зарегистрированная детектором энергия; Е — энергия
частицы, инициировавшей каскад. Так, в калориметре, состоящем из чередующих-
ся слоев свинца (хр = 24 г/см2) и сцинтиллятора (ха = 0,63 г/см2), отношение
о'с составило 0,52 [180]. В калориметре с пассивными слоями из легкого ве-
щества — мрамора (хр = 23 г/см2) это отношение составляет EJE = 0,85 [181].
а практике переходный эффект не вызывает затруднений в использовании мно-
ослойных калориметров, так как они градуируются в пучках электронов с за-
птПее известной энергией. В результате устанавливается связь между Е и Ес,
° позволяет затем по измеренному значению Ev определять энергию первичной
21 1
частицы Е. Замечание о градуировке калориметра также относится и к гомогец.
ным детекторам.
Адронные калориметры. Каскады, инициированные адронами
флуктуируют значительно сильнее, чем электромагнитные. Значитель-
ная часть выделившейся энергии ЯЭК недетектируема. Это, прежде
всего, энергия, идущая на возбуждение и развал ядер атомов среды, и
энергия, уносимая из чувствительного объема калориметра нейтрона-
ми, мюонами и нейтрино (см. рис. 8.4, а также разд. 6.4). Как видно
из результатов расчетов, почти половина энергии ЯЭК, инициирован-
ного первичным протоном, выделяется в виде электромагнитных лив-
ней, Ju около 1/3 энергии практически недетектируемо. Доля энергии,
выделившейся за счет электромагнитных ливней, растет с увеличени-
ем энергии первичного адрона (см. рис. 6.13). Флуктуации электро-
магнитной энергии на одно стандартное отклонение, например, для
л+-мезона с энергией 10 ГэВ составляют 40%.
Энергетическое разрешение адронных ка-
лориметров Это разрешение определяется главным образом
флуктуациями адронного каскада. Главными из них являются флук-
туации доли энергии, выделившейся в виде электромагнитных лив-
ней, и флуктуации доли недетектируемой энергии. Между этими флук-
туациями наблюдается отрицательная корреляция: чем больше энер-
гии передается л°-мезонам (основному источнику ЭФЛ, см. разд. 1.2),
тем меньше энергии идет на возбуждение и расщепление ядер атомов
среды, и наоборот. Немаловажное влияние на точность определения
энергии первичного адрона оказывает процесс утечки вторичных час-
тиц из ограниченной чувствительной области калориметра.
Лучшее энергетическое разрешение было пока достигнуто на гомо-
генном калориметре, выполненном на основе жидкого сцинтиллятора
[183]: ое/Е = 0,09 + 0,11/|/Е (10 < Е < 150 ГэВ). Присутствие по-
стоянного слагаемого в этой формуле указывает на то, что энергети-
ческое разрешение определяется не только флуктуациями элементар-
ных процессов, число которых пропорционально первичной энер-
гии Е.
Для детектирования адронных каскадов наиболее широко приме-
няют многослойные калориметры. Для толщины пассивных слоев
хр 100 г/см2 в [86] предложена эмпирическая формула, хорошо опи-
сывающая наблюдаемые значения энергетического разрешения:
ge/E = V он IE 4 gem /Е, (8 •5а)
где ahlYЕ = 0,5/УЕ — слагаемое, соответствующее флуктуациям
адронного каскада (главным образом флуктуациям недетектируемои
энергии);
оем/УЁ = RV (xpltr)IKE (8'5б)
-— слагаемое, имеющее типичную для энергетического разрешения
электромагнитного калориметра зависимость; коэффициент К
соответствует средней доли энергии, выделяющейся в виде электро
212
итных ливней; коэффициент R = 0,4 определяется эмпирически,
путем достижения наилучшего согласия с экспериментальными дан-
ными. Наблюдается хорошее согласие результатов расчета по форму-
ле (8.5) при R — 0,4 с экспериментом при хр < 100 г/см2 (рис. 8.5).
На энергетическое разрешение адронных калориметров оказывает
сильное влияние утечка энергии каскада из чувствительной области
калориметра (рис. 8.6). Как и в случае электромагнитных калоримет-
ов, энергетическое разрешение особенно чувствительно к утечке
энергии в продольном направлении. В работе [178] предложена про-
стая полуэмпирическая формула, позволяющая определить длину
адронного калориметра с железными пассивными слоями, необходи-
Рис. 8.5. Зависимость энер-
гетического разрешения мно-
гослойного калориметра от
толщины пассивного слоя хР:
точки — экспериментальные дан-
ные [96]; кривые — расчет по фор-
муле (8.5)
Р п с. 8.4. Относительный вклад т] раз-
личных процессов в энерговыделение ка-
скада, инициированного протоном в мно-
гослойном калориметре (железо — жидкий
аргон) [177] (пунктирные кривые —неде-
тектируемая энергия):
I — ионизационные потерн заряженных адронов;
2 — электромагнитные ливни; 3 — возбуждение и
развал ядер, нейтрино; 4 — ядерные реакции;
5 —утечка частиц из чувствительной области де-
тектора
мую для поглощения 95% энергии ливня: L (95%) ~ 9 In £ + 40,
где L — длина калориметра, см, а £ — энергия первичной частицы,
ГэВ.
Необходимо иметь в виду, что утечка энергии из чувствительной
области калориметра может происходить (и происходит) через перед-
нюю плоскость калориметра (так называемое явление квазиальбедо
или обратное рассеяние, см. разд. 6.4, рис. 6.12). Как правило, эта
^ел^ЗуНевелика и не превосходит 2—3% полной выделившейся энер-
а Основной вклад в погрешность определения энергии частицы при помощи
4°НН0Г0 калориметра вносят флуктуации доли энергии, выделившейся в виде
р’ тРОмагнитного каскада, и сильно скоррелированной с ней доли недетекти-
Но 11 ° и энергии, идущей на возбуждение и расщепление ядер атомов среды. Яс-
1>азПрТ0 чем меньше доля недетектируемой энергии, тем лучше энергетическое
Коце^Шение калориметра. Энергия, идущая на возбуждение и развал ядер, в
тнЧо ЧНОм итоге уносится из чувствительного объема калориметра низкоэнерге-
ьЬ1рСкнми испарительными нейтронами. В работе [184] предложен оригиналь-
метод уменьшения доли недетектируемой энергии межъядерного каскада,
213
приводящий к существенному улучшению энергетического разрешения калоп
метра. Идея этого метода состоит в том, что пассивные слои в калориметре ти
сендвич изготавливают из 238U. При взаимодействии нейтронов с энергией в* "а
сколько мегаэлектрон-вольт с ядрами 238U происходит реакция деления эт*6"
ядер, в результате которой образуется в среднем 2,6 вторичных нейтрон**
В результате нескольких последовательных реакций деления заметно возраста**
число вторичных нейтронов и число их взаимодействий с ядрами вещества ак
тивных слоев калориметра. Кроме того, в результате осуществления реакций
деления и захвата нейтронов образуется большое число фотонов. Суммарная
энергия, выделяющаяся в виде фотонов, составляет в среднем 560 МэВ на 1 ГэВ
энергии первичной частицы (в случае больших размеров поглотителя). Все это
вместе приводит к эффективному увеличению доли детектируемой энергии адрон-
ной компоненты межъядерного каскада приблизительно в 1,5 раза по сравне-
нию со случаем, когда пассивные слои калориметра изготовлены из железа
Рис. 8.7. Зависимость амплитуды
сигнала А от энергии первичной ча-
стицы Ео в калориметрах типа сенд-
вич с железными (хр = 1,5 мм) и
урановыми (хр = 1,7 мм) пассивны-
ми слоями (толщина активных сло-
ев — жидкий аргон составляла 2 мм
[184])
Рис. >8.6. Экспериментально изме-
ренная зависимость энергетического
разрешения адронного калориметра
типа сендвич от доли потерянной
энергии е в продольном (7) и попе-
речном (2) направлениях [181]
(рис. 8.7). При этом, естественно, улучшается и энергетическое разрешение ка-
лориметра. Так, энергетическое разрешение калориметра с железными пассив-
ными слоями толщиной 1,5 мм и активными слоями из жидкого аргона толщи-
ной 2 мм составляет: аЕ = 0,471/е (£ — энергия, ГэВ). При замене слоев же-
леза урановыми слоями толщиной 1,7 мм энергетическое разрешение значи-
тельно улучшается и достигает оЕ = 0, 31/Е [184[.
Измерение координат и направления движения первичной части-
цы. Под измерением координат частицы при помощи калориметра
обычно понимают измерение координат точки ее взаимодействия (или
места входа в калориметр) в поперечном по отношению к ее импульсу
направлении. Для определения координат частицы калориметр Д°л‘
жен обладать возможностью измерения развития ливня в поперечном
направлении. Информация о развитии ливней в поперечном направ-
лении позволяет также разделить в пространстве каскады, инициир0"
ванные несколькими частицами одновременно. Это означает, что су
шествует возможность пространственного разделения частиц, Bbi
вавших эти каскады. Развито несколько подходов к решению этой з
дачи.
214
Калориметры с годоскопической стр у к т у -
0 й активных слоев. Типичным примером таких калори-
метров являются калориметры типа сендвич, в которых активные слои
z J1H некоторые из них) представляют собой набор сцинтилляторов,
изготовленных в виде достаточно узких полос — стрипов, сегментов
[185, 186]. Измерение распределения энерговыделения в ливне в по-
перечном направлении дает возможность определить положение центра
тяжести ливня на нескольких глубинах его проникновения: yGj =
N N
где А ц — амплитуда сигнала, измеренная стрипом
i = 1 i 1
с номером i в активном слое с номером /; d — ширина стрипа. Коор-
динаты положения центра тяжести ливня в поперечном направлении
yoj являются хорошим приближением для определения координат мес-
та входа частицы в калориметр. В калориметре с годоскопической
структурой [1861 координатная погрешность не превышала о„ ~2 мм
для энергий ЭФЛ в несколько десятков гигаэлектрон-вольт при ши-
рине полосы (стрипа) сцинтиллятора d = 1,5 см. Даже при энергии
ливня £ ~ 0,5 ГэВ, когда особенно велики флуктуации характерис-
тик развития ливня, координатная погрешность составила оу ~ 6 мм.
В годоскопическом калориметре уверенно разделяются в пространстве
каскады, инициированные двумя фотонами, если расстояние в попе-
речном направлении между их точками входа в калориметр превыша-
ет 5 см [186]. В совокупности с высокой точностью определения коор-
динат частицы и ее энергии указанное свойство делает годоскопические
калориметры мощным инструментом исследования событий с большой
множественностью вторичных частиц.
Необходимо отметить, что определение с высокой степенью точности
центров тяжести поперечного распределения ливня на нескольких
глубинах его развития позволяет восстановить в пространстве поло-
жение оси ливня, т. е. направление движения первичной частицы.
Годоскопические калориметры можно с успехом использовать для
определения координат места входа в калориметр первичного адрона.
Поскольку адронные каскады характеризуются более широким попе-
речным распределением и большими флуктуациями, чем электромаг-
нитные, то и координаты адрона определяются со значительно худ-
шей точностью, чем координаты электрона или фотона. Типичная ко-
ординатная погрешность в адронном случае оу ~ 24-5 см [961.
Калориметры с ячеистой (сегментирован-
ной) структурой. Типичные особенности калориметров с яче-
истой структурой можно проследить на примере гамма-спектрометра
*АМС [1871. Установка ГАМС представляет собой набор ячеек из про-
зрачного свинцового стекла. Размер ячейки 36 X 36 X 420 мм (по
направлению пучка частиц размер ячейки составляет I = 420 мм, что
обеспечивает полное поглощение электромагнитного ливня в продоль-
ном направлении). Энергетическое разрешение калориметра характе-
ризуется полуэмпирической формулой [187] од/£ = 0,027 +0,125 |£.
координатная погрешность о(/ = 1,3 мм. Зависимость ее от попереч-
Ого размера ячейки d (при d > 3 см) может быть аппроксимирована
215
выражением [178]: ау = о,/0 ехР (^о)> гДе °.чо = 0,8 мм и d0 =
= 65 мм. Столь высокая пространственная точность достигается пу.
тем минимизации разности между измеренным двумерным распреде-
лением ливня в пространстве и распределениями, полученными в
процессе градуировки на пучке электронов. Уменьшение размера
ячейки d (d < 3 см) практически не приводит к улучшению простран-
ственного разрешения прибора. При увеличении размеров ячейки про-
филь ливня в поперечном направлении измеряется все меньшим коли-
чеством ячеек. В результате увеличиваются флуктуации амплитуд
сигналов и возрастает координатная погрешность. В пределе, когда
размер ячейки превышает ширину ливня так, что весь ливень «уме-
щается» в одной ячейке, координата определяется с точностью до
размера ячейки.
Важной особенностью спектрометра ГАМС является его способность раз-
делять в пространстве близколежащие ливни. Так, можно разделить каждый из
двух фотонов, образовавшихся в результате распада л° -> 2у, если расстояние
между их точками входа в калориметр L 2,5 см. Это означает, что разделение
фотонов возможно даже в случае, когда они попадают в одну ячейку [187].
Хорошее пространственное разделение частиц, высокая координатная точ-
ность и хорошее энергетическое разрешение позволяют использовать калоримет-
ры ячеистого типа в качестве приборов, измеряющих массы частиц. Например,
спектрометр ГАМС позволяет измерить массу л°-мезона (по распаду л°2у) с
погрешностью <зм/М — 2,4%, а массу тдмезона (по распаду т] 2у) с точностью
ам1М = 1,3% Л
Идентификация частиц в калориметрах. При помощи калоримет-
ров можно идентифицировать частицы, используя специфические осо-
бенности прохождения их через вещество в зависимости от их сорта.
На практике калориметры широко используют для идентификации
мюонов, электронов и адронов.
Мюоны при прохождении через вещество теряют энергию в основном
в результате процессов ионизации и возбуждения атомов среды. Толь-
ко при энергиях мюона Ец > 100 ГэВ начинают сказываться такие
процессы, как тормозное излучение, образование е_е+-пар и множест-
венное образование адронов на ядрах (см. разд. 2.5). Поэтому мюоны
отличаются большей по сравнению с адронами проникающей способ-
ностью. Проходя через вещество, мюоны испытывают также много-
кратное кулоновское рассеяние. Однако если энергия мюона достаточ-
но высока, то кулоновское рассеяние не приводит к заметным откло-
нениям направления движения мюона от первоначального (см. гл. 7).
Например, средний угол рассеяния мюона с энергией Е^ = Ю Гэ°
по прохождении им слоя железа толщиной 1,8 м составит всего
<0> ~ 2 • IO-2 рад.
Характерными особенностями прохождения мюонов через вещество
при < 100-4-300 ГэВ, используемыми для их идентификации, яв-
ляются: отсутствие взаимодействий, в результате которых теряется
значительная доля энергии, превышающая масштаб флуктуации ио-
низационных потерь энергии; отсутствие взаимодействии, приводя
щих к сильному рассеянию частиц, превышающему масштаб, онреде
ляемый многократным кулоновским рассеянием.
216
Основной критерий, по которому можно установить (на определен-
ном уровне достоверности), что прошедшей через калориметр части-
цей был мюон, заключается в следующем: мюоном следует считать
частицу с минимальной ионизирующей способностью, прошедшую без
видимых взаимодействий через весь калориметр и при этом не испы-
тавшую рассеяния на большой угол.
Для л-мезонов в широком интервале энергий вероятность пройти
без видимых взаимодействий слой железа толщиной I можно выразить
формулой
W (/) = ехр (—Z/X), (8.6)
где 1 О' 19 см [188]. Это значение близко к длине свободного пробега
л-мезона до неупругого ядерного взаимодействия Xin, поэтому можно
заключить, что л-мезоны, прошедшие слой железа толщиной I, — это
в основном такие пионы, которые испытали лишь многократное ку-
лоновское рассеяние (аналогично мюонам) и упругое ядерное рассеяние
на малые углы. Таким образом, критерий отсутствия актов рассеяния
на большие углы в этом случае не приводит к заметному уменьшению
вероятности имитации л-мезоном прохождения через калориметр мюо-
на по сравнению со значением, определяемым формулой (8.6).
Электроны и фотоны, проходя через вещество, инициируют элект-
ромагнитный ливень, который отличается от адронного каскада. Ос-
новные различия в характеристиках электромагнитного и адронного
каскадов, используемые для отделения электронов (и фотонов) от ад-
ронов при помощи калориметра, состоят в следующем.
1. При одной и той же энергии первичной частицы продольные и
поперечные размеры ЭФЛ в несколько раз меньше соответствующих
размеров адронного каскада.
2. Доля энергии ливня, детектируемой в калориметре, в случае
электромагнитного каскада выше, чем в случае адронного.
3. В отличие от адронного каскада в ЭФЛ почти все заряженные
вторичные частицы ультрарелятивистские: [3 = vic ~ 1.
На практике для разделения электронов и адронов используют все
три различия в поведении электромагнитных и адронных каскадов.
Например, калориметры, основанные на регистрации излучения Ва-
вилова—Черенкова вторичных заряженных частиц, могут быть с ус-
пехом использованы для идентификации электронов (фотонов), по-
скольку доля релятивистских вторичных частиц, способных испус-
кать это излучение в адронных каскадах значительно меньше, чем в
ЭФЛ, где практически все вторичные электроны (позитроны) ультра-
релятивистские. Сравнительно небольшие продольные размеры таких
калориметров, которые вполне достаточны для обеспечения практи-
чески полного поглощения электромагнитного ливня, совершенно
недостаточны для обеспечения развития адронного каскада, что также
способствует повышению коэффициента подавления (режекции) фона
адронов. В случае, когда известен импульс первичной частицы, режек-
Цию адронов можно провести более эффективно, используя ограниче-
ния на отношение р'Е (р — импульс частицы, измеренный, например,
при помощи магнитного анализа, Е — энергия частицы, измеренная
8 Зак. 295 217
калориметром”). Отношение р/Е первичного электрона должно быть
близко к единице. Типичное значение коэффициента режекции* ** адро-
нов, достигаемое при помощи калориметров на основе свинцового
стекла, составляет К ~500. Использование информации о развитии
каскада в поперечном направлении позволяет дополнительно улучшить
режекцию адронов в 2—3 раза [176].
Если импульс первичной частицы неизвестен, то информация о
пространственном развитии ливня дает коэффициент режекции, дости-
гающий 10 [189].
Многослойные калориметры годоскопического типа, позволяющие
получать информацию о продольном и поперечном развитии ливня, так-
же могут быть использованы для идентификации электронов. Напри-
мер, в калориметре типа сендвич с активными слоями из жидкого ар-
гона [190] был достигнут коэффициент режекции К ~ 400 при эффек-
тивности регистрации электронов 83°/0.
Возможности разделения электронов и адронов при помощи калориметров
ограничены тем, что подавляющая часть энергии первичного адрона в процессе
адрон-ядерного взаимодействия может быть передана вторичному л°-мезону
(или нескольким л°-мезонам). Распадаясь на два фотона, л°-мезон инициирует
электромагнитный ливень, характеристики которого очень схожи с характерис-
тиками ливня, инициированного электроном той же энергии, что и первичный
адрон. Для уменьшения адронного фона выгодно использовать в качестве погло-
тителя (пассивных слоев) вещества с большим значением отношения Хщ//Г ~
~ Z2M3/4. Так, для свинца ‘kixJtr ~ 33.
Помимо ставшего уже традиционным использования калориметров для раз-
деления электрон—мюон—адрон, в последнее время калориметры все шире при-
меняют для идентификации нестабильных частиц на основе определения инва-
риантной массы продуктов их распадов [176] (например, л®, т] ... -> уу; р,
У/ф ... -> е+е-). С использованием этой техники были выполнены исследования
по спектроскопии чармония, обнаружены очарованный т]с-мезон, процесс об-
разования прямых фотонов в адрон-адронных соударениях (здесь существенной
была проблема имитации одиночных фотонов фотонами от распадов мезонов) и
др. (см. обзор [176], в котором даны ссылки на оригинальные работы).
8.2. Акустическая регистрация частиц высоких энергий
В работах [191, 192] предложен новый способ детектирования час-
тиц высоких энергий, основанный на регистрации акустического из-
лучения, возникающего в результате развития инициируемого ими
ядерно-электромагнитного каскада в плотной среде. Акустический
метод регистрации был предложен для детектирования нейтрино сверх-
высоких энергий [191 —193] в эксперименте ДЮМАНД [194]
(DUMAND — Deep Underwater Muon And Neutrino Detection) с ис-
пользованием в качестве активного вещества детектора огромной мас-
сы океанской воды (~10и т).
Последовательная теория термоакустического механизма генерации звука
в воде частицами высоких энергий развита в [140]. Простейший механизм геие-
* Для электронов и нуклонов измеряется их кинетическая энергия, для мезо-
нов — полная энергия, для антипротонов (антинейтронов) — их полная энергия
плюс масса покоя: Е = £tot + Мс2.
** Коэффициент режекции К~ N означает, что в среднем один из N адро-
нов ошибочно идентифицируется как электрон (позитрон).
218
лапин акустического излучения — термоакустический — состоит в образовании
звуковой волны в результате быстрого расширения жидкости в эффективной
области энерговыделения каскада. Расширение жидкости в результате ее нагре-
ва'зависит от энерговыделения каскада Q: AV aV^T aVQ/VCp = aQ/Cp,
е а — коэффициент теплового расширения; Ср — теплоемкость вещества;
0 _- его плотность; V — объем области энерговыделения каскада.
’ Уравнение, описывающее распространение звука в воде в случае термоакус-
тического механизма генерации, имеет вид [140]:
1 д2 Р а д2 q (г, /)
ДР — — --------=--------------------.
с| dt2 Ср dt2
Здесь Р (г, t) — акустическое давление; q (г, I) — плотность энерговыделения;
с___скорость звука. Решение этого уравнения дается интегралом Кирхгофа:
а Р dV д2 !
Р(г,*У . r --------ГГ <7 И', t
4лСр J |г—г | о/2 \
(8.7)
который берется по объему эффективной области энерговыделения каскада.
Развитие ЯЭК происходит за время ~ 10 8 с; характерная же длитель-
ность акустического сигнала составляет ts ~ 10 5 с. Поэтому можно считать,
что энерговыделение каскада происходит мгновенно:
<7 (г, 0 = 9 (г)6 (О-
(8-8)
Используя соотношение (8.8), можно существенно упростить интеграл (8.7):
Р(г, 0 =
а
4лСр
с2
cs
д
dfl
(8.9)
Здесь интегрирование ведется по сфере радиусом P—cst с центром в точке
детектирования г Выражение (8.9), которое представляет собой формулу Пуас-
сона для решения однородного волнового уравнения с начальными условиями
д
Р (г, 0) = (a/Cp) q(r) и ~^Р(г, 0) =0, не содержит в явном виде зависимость
от частоты звука, что не позволяет, например, учесть поглощение звука в сре-
де или частотные характеристики детектора акустического излучения. При ра-
счете акустического излучения на больших расстояниях от источника необходи-
мо учитывать поглощение звука в среде, которое существенно зависит от его
частоты Применяя к левой и правой частям соотношения (8.7) преобразование
Фурье и вводя функцию %, учитывающую поглощение звука, для частотной
компоненты акустического сигнала получим [140]-
а С у (со) /со \
(8.10)
Численное интегрирование выражения (8.10) по области энерговыделения
каскада сопряжено с большими техническими трудностями, так как функция
ехР [i (co/cs)|r — г'|] сильно осциллирует. Используя аксиальную симметрию
области энерговыделения каскада, кратность интеграла в формуле (8.10)
можно понизить. Для практических расчетов пространственное распределение
эиерговыделения каскада можно приближенно описать выражением:
9 (г, Р) = ~Г~ S А1 (г) ехр [—р/Х (г)].
(8.U)
8*
219
В случае больших расстояний R между областью энерговыделенйя и точкой де.
тектирования сигнала (R >> аэф, где аэф — эффективный поперечный размер
области энерговыделения) получаем [140]: F
X q (г, р) р dp dtp dz, (8.12)
где D — 1 + (Z — z)1 2/7?2; Z, R — координаты точки детектирования; z, p, <p_
координаты точки, в которой произошло энерговыделение dQ — q (z, pjpdpdtpdz.
Используя соотношение (8.11) и интегрируя выражение (8 12) по р и <р, прихо-
дим к следующему выражению для Ptj:
air I v Ai & &
Р<л ~ “° ci‘ f Kdhi (1 + ₽f)3/2 X
X'/.Hexpli-----Ry D ), (8.13)
\ cs J
где P?=(co/cs)2 Kf (z)/D.
Применяя к выражению (8.13) обратное преобразование Фурье, полу-
чаем:
a 1 С Г v А‘(г| V <г)
Pl'' у5 si" <S-U>
0 0 , = 1
где t0 = R~[/d/cs .
Выражения (8.13) и (8.14), описывающие поле акустического излучения
ЯЭК, весьма громоздки и могут быть использованы только для численных рас-
четов. Однако основные особенности формирования поля акустического излуче-
ния каскада можно проследить, если область энерговыделения каскада прибли-
женно представить в виде тонкого цилиндра длиной L и радиусом а, где £ и a —
эффективный продольный и поперечный размеры области энерговыделения ЯЭК.
В этом приближении частотная компонента сигнала акустического давления в
ближней волновой зоне (£ R ЕЧ/. = R*) и под оптимальным углом излу-
чения (£ cos 0/X 1) дается выражением [191]
,р | = ________2_____£
1 4л3/2 Ср у—'
где Е — энергия каскада, выделившаяся в объеме V = лсРЦ 2лХ — длина вол-
ны звука. В дальней волновой зоне (R 7?*) |РИ| ~ (<о/4л2) (a/Cp) (E/R).
Основные особенности акустического излучения ЯЭК можно сфор-
мулировать следующим образом (в приближении цилиндрической об-
ласти энерговыделения):
1. Излучение когерентно (Рэф ~ со|Ри| ~Е) в области частот
/ fc = cs/ (2л X), где 2л X ~ 2a, а — радиус области энерговыде-
ления каскада. При а = 24-3 см fc ~ 25 кГц.
2. В ближней волновой зоне излучение квазицилиндрично (Ряф
~ 1/КЕ) и существует в области тонкого диска толщиной L и ра-
диусом R порядка длины поглощения звука в воде (~1 км на частоте
~25 кГц в морской воде), причем плоскость диска перпендикулярна
оси каскада.
220
3. Длительность акустического сигнала ts ~ 2a’cs 1(J-S с.
Оценим акустическое давление сигнала Рэ$ ~ о> |Р(0| в случае раз-
вития каскада с энергией Е в морской воде (а ~ 2 • 10-4 град-1,
(j = 3,6 • Ю7 эрг/ (г • град); cs = 1,5 • 10s см/с). Принимая а = 3 см,
д=7 миХ =2а/(2л), получаем: Р3ф ~0,01 (£/Е0) (l.'J^Z?), где Ео =
— Ю16 эВ; Раф — давление, Па; R — расстояние от оси каскада до
точки детектирования, см. На расстоянии R = 100 м от оси ливня,
вызванного частицей с энергией Ео— 1016 эВ, давление акустического
сигнала:
Рэф ~ 10 4 Па, (8.15)
т. е. оно сопоставимо с собственным тепловым шумом детектора акус-
тического излучения — гидрофона (Рт ~ 10~4 Па на частоте 25 кГц),
Таким образом, акустическое излучение может быть использовано для
детектирования частиц сверхвысоких энергий (>1016 эВ) в воде.
В проекте ДЮМАНД предполагается использовать в качестве де-
тектора слой воды, расположенный на глубине около 5 км в океане,
который «просматривается» большим числом ФЭУ (порядка 105 шт.).
ФЭУ регистрируют черенковские световые вспышки от ливней, раз-
вивающихся в результате взаимодействий v (-v) + /V -> р, (т) + ад-
роны в чувствительном объеме детектора. Чувствительный объем уста-
новки определяется числом ФЭУ и длиной ослабления света в морской
воде (15—20 м) и составляет 109 м3 при числе ФЭУ порядка 10б шт.
Чувствительный объем установки ограничивается трудностями, свя-
занными с обеспечением надежной работы ФЭУ на глубинах порядка
5 км (давление на такой глубине составляет 5 • 107 Па). Велика также
стоимость необходимого большого числа ФЭУ. Использование же акус-
тического излучения каскадов высоких энергий для их регистрации
позволяет при том же самом числе детекторов (в этом случае уже гид-
рофонов, которые значительно дешевле ФЭУ) увеличить чувствитель-
ный объем установки на два порядка и довести его до 1011 м3, так как
длина ослабления звука в воде (порядка 1 км) значительно превосхо-
дит длину поглощения черенковского излучения 15—20 м.
Основные закономерности формирова-
ния акустического сигнала, предсказывае-
мые на основе термоакустического меха-
низма генерации звука, были подтвержде-
ны экспериментально [195] (рис. 8.8). На
том же рисунке приведены результаты
расчета по формуле (8.9) акустического
сигнала на расстоянии /?=1 мот оси пучка
Диаметром d = 4,5 см для трех положений
детектора вдоль оси пучка (от z = 0 —
Рис. 8.8. Зависимость акустического давления
от энерговыделенйя в слое воды интенсивного
пучка протонов с энергией 200 МэВ [точки — ре-
зультаты эксперимента [195], кривые — расчет по
формуле (8.9); число протонов ~ 1012]
221
места входа пучка в воду — до z — 30 см — конца области Знерговщ-
деления). Наблюдается линейная зависимость амплитуды акустичес-
кого давления от выделившейся энергии, как это и предсказывается
теорией, основанной на термоакустическом механизме генерации зву-
ка. Теоретические расчеты удовлетворительно согласуются с резуль-
татами эксперимента. Разница в наклонах кривых 1—3 обусловлена
резким увеличением плотности энерговыделения протонов в конце
их пробега (пик Брэгга). Хорошее согласие теории с данными экспе-
римента наблюдается и при исследовании зависимости акустического
давления от расстояния до источника звука и от диаметра области энер-
говыделения [140, 195].
Наиболее сильным аргументом в пользу термоакустического механизма об-
разования звука является зависимость амплитуды акустического давления от
температуры воды. Согласно термоакустическому механизму амплитуда сигнала
пропорциональна коэффициенту теплового расширения а [см. формулу (8.7)].
Р и с. 8.9. Зависимость амплитуды
акустического сигнала от температу-
ры воды:
(точки — результаты эксперимента [195];
---------теоретическая зависимость без
учета электрострикции; ------- — с учетом
электрострикции на треках заряженных
частиц)
Для воды коэффициент теплового расширения а линейно уменьшается с пони-
жением температуры, обращаясь в 0 при Т ~ 4 °C. При дальнейшем понижении
температуры коэффициент а становится отрицательным. Если звук генерирует-
ся в результате термоакустического механизма, то зависимость амплитуды акус-
тического сигнала от температуры воды должна быть аналогична поведению ко-
эффициента теплового расширения. В эксперименте [195] наблюдалась линей-
ная зависимость амплитуды сигнала от температуры воды, как это и предсказы-
вается теорией на основе термоакустического механизма генерации (рис. 8.9).
Отрицательные значения амплитуды акустического сигнала соответствуют сигна-
лу разряжения, в отличие от сигнала сжатия, которому соответствуют положи-
тельные значения амплитуды. Из результатов, представленных на рис. 8.9, сле-
дует, что акустический сигнал обращается в нуль при температуре воды Т сй
— 6 °C, в то время как согласно термоакустическому механизму это должно
происходить при температуре Т 4 °C, когда а =0. Это различие можно объяс-
нить явлением электрострикции на треках заряженных частиц. Ионы, образую-
щиеся при прохождении через вещество (воду) заряженной частицы, за счет
своего электростатического поля служат центром притяжения близлежащих
молекул, и вокруг них формируются центры локального сжатия. Электрострик-
цпонное сжатие вещества не зависит от температуры воды. Как показывают
оценки [140], учет явления электрострикции приводит к тому, чго акустический
сигнал обращается в нуль не при Г — 4 °C, а при Т ~ 6 °C в полном соответст-
вии с результатами эксперимента [195].
Хорошее согласие теории с результатами эксперимента дает осно-
вание применять теорию образования звука в воде, основанную на
термоакустическом механизме, к расчету поля акустического излуче-
ния, возникающего при развитии в воде ядерно-электромагнитных
каскадов, инициированных частицами сверхвысоких энергий. Специ-
фическая форма образующегося акустического поля позволяет не толь-
222
ко восстановить положение оси ЯЭК в пространстве, но и опреде-
лить направление его развития, т. е. направление движения иниции-
ровавшей каскад частицы. На рис. 8.10 приведены частотные спектры
на расстоянии R = 100 м от оси каскада с энергией 107 ГэВ для раз-
личных положений z детектора вдоль оси каскада. Наблюдается
смягчение частотного спектра при движении детектора вдоль оси кас-
када по направлению импульса первичной частицы, что объясняется
уширением каскада с увеличением глубины его проникновения. На
рис. 8.11 приведена временная зависимость акустического давления
Рис. 8.10. Частотные спектры аку-
стического сигнала
Рис. 8.11. Форма сигнала давле-
ния (развитие во времени) с учетом
(-------) и без учета (------- ) по-
глощения звука в морской воде
на различных расстояниях от оси каскада в области максимума ливня
(г = 8 м). Для учета поглощения звука в воде функция % (со) в формуле
(8-14) бралась в виде [196J: у (<г>) = ехр (—0,115 t]S); т] =
= 0,036 (щ/2л)3/2 км-1, где S =- |г — г'| расстояние от точки
детектирования до элемента объема dV', в котором выделилась энергия
q (r’)dV' [см. формулу (8.7)1. Сигнал давления представляет собой сле-
дующие друг за другом сигналы сжатия и разрежения, каждый с эф-
фективной длительностью т ~ 104-20 мкс. Положение сигналов дав-
ления на временной шкале (t—R/cs) и их длительность указывают на
то, что эффективным источником звука является область ЯЭК вблизи
его оси радиусом около 2 см. Отметим, что амплитуда сигнала сжатия,
равная 6,2 • 10~5 Па на расстоянии 100 м от каскада, близка к зна-
чению 10'4 Па, полученному в приближении цилиндрической
области энерговыделения [см. формулу (8.15)]. Акустическое давление
растет почти линейно (^Ео’07) с увеличением полной энергии ЯЭК
(рис. 8.12).
223
Рис. 8.12.
сигнала от
скада £о
Зависимость амплитуды акустического
энергии ядерно-электромагнитного ка-
Таким образом, акустическое излучение
ЯЭК отражает его пространственно-энергети-
ческие характеристики, фактически воссоз-
давая акустическое изображение каскада, и
может быть использовано для регистрации
ливней сверхвысоких энергий (> 1016 эВ) в
детекторах огромной массы (порядка 1011 т).
8.3. Моделирование физических экспериментов
и радиационные проблемы
Рассмотрим некоторые другие приложения описанных в предыду-
щих главах методов расчета ядерно-электромагнитных каскадов. С
ростом энергии частиц, сложности эксперимента и расширением воз-
можностей вычислительных программ число таких приложений в фи-
зике высоких энергий и физике космического излучения возрастает
лавинообразно. Поэтому дадим лишь краткий обзор основных областей
применения методов расчета ЯЭК, главным образом, на высокоэнер-
гетических ускорителях.
Моделирование физического эксперимента. В разд. 8.1 и 8.2 это на-
правление уже было частично проиллюстрировано. Расчеты ЯЭК —
основа стадии планирования современных экспериментов с пучками
высокоэнергетических частиц. Главные цели здесь — оценка ожидае-
мого результата, оптимизация отдельных элементов экспериментальной
установки и определение фоновых условий на детекторах. Примерами
решения этих задач с помощью монте-карловских программ, описан-
ных в гл. 6, могут служить: расчет фоновых потоков адронов в районе
регистрирующей аппаратуры и оптимизация уран-вольфрамового кол-
лиматора в гиперонном эксперименте [197]; оптимизация толстой ми-
шени и расчетное восстановление спектра нейтрино в нейтринном экс-
перименте ИФВЭ [46, 198]; оптимизация выхода антипротонов из
мишеней с использованием магнитного поля [80] (в этой работе для
расчета маловероятных каналов реакций эффективно применены ме-
тоды существенной выборки, см. гл. 6); моделирование образования
характеристического излучения адронных атомов при остановках в
мишени л--, -мезонов и ^--гиперонов [139]; оптимизация струк-
туры нейтринного канала УН1< (см. гл. 7).
Радиационный разогрев мишеней и поглотителей. При высоких
энергиях и интенсивностях пучков частиц энерговыделение в вещест-
ве при развитии ядерно-электромагнитных каскадов может приводить
к ряду макроскопических эффектов: плавление, испарение, растрес-
кивание, накапливаемые радиационные повреждения [135, 142, 143,
199, 200].
Мгновенный радиационный разогрев может быть определен из вы-
численной плотности энерговыделения е (г) и резерва энтальпии ма-
224
гериала АЯ (Т). Величина е (г) зависит от многих параметров (см.
разд. 6.4). Максимальные значения плотности энерговыделения етах
в графитовой мишени, определяющие максимальную температуру,
приведены на рис. 8.13 в зависимости от площади пучка В = 4nuv(jh,
где ов и oh — стандартные отклонения в вертикальном и горизонталь-
ном направлениях нормального распределения плотности числа прото-
нов в пучке. Расчеты выполнены по программе MARS-8 [135] для про-
тонов с энергией £0 от 100 до 5000 ГэВ Результаты для Ео ЮООГэВ,
Рис. 8.13. Зависимость Стах от
площади пучка протонов. Для энер-
гии 1 ТэВ указаны соотношения
стандартных отклонении в обоих на-
правлениях:
9—<sh=<s»; о —стд=2 ста: + —<тл = 10 ас
Рис. 8.14. Резерв энтальпии (8.16)
для керамики ВеО и графита как
функция температуры при начальной
температуре То=20 °C [135]
показанные для пучков трех различных форм, демонстрируют об-
наруженную в [142] и отмеченную в разд. 6.4 независимость величины
етах ОТ формы пучка.
Резерв энтальпии (рис. 8.14) вычисляется как
т
&Н (7) = J Cp(T')dT', (8.16)
То
где То и Т — начальная и конечная температура материала мишени
соответственно; Ср (Т) — удельная теплоемкость.
Пространственное распределение температуры в мишени непосред-
ственно после короткого (по сравнению с характерным временем теп-
лопроводности) импульса протонов определяется из уравнения
АЯ [г (Г)] = 1,6 • Ю-107е (г), где АЯ — резерв энтальпии, Дж/г;
е — плотность энерговыделения, ГэВ/г; / — число протонов в импуль-
се.
Если задаться максимальным разогревом Ттах, то можно вычис-
лить минимально допустимый размер пучка на мишени На
Рис. 8.15 приведена рассчитанная в [135] величина J/^B. Приведенные
225
зависимости позволяют оптимизировать создание мишеней и погло-
тителей на проектируемых ускорителях, а также условия их работы
В частности, с использованием этих данных создан поглотитель системы
аварийного вывода протонов с энергией 1000 ГэВ [2001.
Интересно отметить также проблемы экстремального поведения ве-
щества в специальных (обычно ртутных) мишенях для антипротонных
накопителей [142, 1991 (рис. 8.16), когда энерговыделение достигает
значений, при которых происходит заметное пространственное пере-
распределение плотности вещества [1991. Рисунок 8.16 демонстрирует
Рис. 8.15. Минимально возможный
размер пучка на графитовом погло-
тителе (Ггаах = 2300 °C) как функ-
ция числа протонов различной энер-
гии в пучке при мгновенном им-
пульсе
Рис. 8.16. Продольное распределе-
ние плотности энерговыделения в
ртутной мишени, облучаемой прото-
нами с энергией 80 ГэВ:
пучок — гауссиан <ту=30 мкм,
=60 мкм); интервал значений радиуса
0^ г С 15 мкм; ф — расчет в приближении
локального поглощения нуклонов с энер-
гией Е<20 МэВ; О — расчет с учетом пе-
реноса этих частиц
также эффект учета переноса низкоэнергетических протонов, впервые
обнаруженный в работе [142] (см. гл. 6).
Радиационный разогрев сверхпроводящих магнитов. Отклоняю-
щие и фокусирующие сверхпроводящие магнитные системы (СМС)
основа проектов ускорительных комплексов нового поколения. Вслед-
ствие неизбежных потерь протонов на различных стадиях рабочего
цикла ускорителей сверхпроводящие магниты функционируют прак-
тически при постоянном воздействии на них ионизирующего излуче-
ния. Энергия, выделяющаяся в элементах магнитов при развитии
ЯЭК, приводит к радиационному повреждению материалов, переходу
сверхпроводящих обмоток в нормальное состояние и дополнительным
тепловым нагрузкам на криогенную систему. Поэтому проблеме взаи-
модействия высокоэнергетических частиц с СМС уделяется сейчас
пристальное внимание [134, 197, 201—205]. Без принятия специальных
мер защиты [206] радиационный разогрев СМС может оказаться основ-
226
нь1м фактором, ограничивающим проектную интенсивность пучков
на новых ускорителях.
Допустимые в отношении радиационного разогрева потери про-
тонов на единицу длины магнитной структуры ускорителя можно оп-
ределить следующим образом:
А/ (г, L т, £) = Eq (г, L т) етах (г, £),
где г радиус-вектор исследуемой области сверхпроводящих обмо-
ток; £ = ///max; / плотность тока, при которой исследуется переход
магнита; /тах — максимально возможная плотность тока в маг-
ните при начальной температуре Ти, равная критической для кабеля
в максимальном магнитном поле; т длительность импульса облуче-
ния; Eq — тотность энерговыделения в обмотке, соответствующая
переходу магнита в нормальное состояние; етах — максимальная
плотность энерговыделения в магните при мгновенных потерях на нем
одного протона с энергией £.
Пространственные распределения плотности энерговыделения в
сверхпроводящих магнитах УН К (и соответственно величина етах)
рассчитаны в работах [134, 201, 202] с помощью комплекса программ
MARS (см. разд. 6.3). Исследованы различные условия облучения
пучками протонов с энергией от 200 до 3000 ГэВ. Типичные резуль-
таты расчета по программе MARS-9M (см. разд. 6.3) приведены на
рис. 8.17. Расчет выполняли при наличии магнитного поля и в его от-
сутствие. В упомянутых работах обнаружен почти линейный рост
8щах в обмотке с увеличением энергии протонов (при £ > 200 ГэВ):
Етах = СЕп, где п « 1, а параметр С зависит от условий облучения.
Во всех работах до появления статьи [205] предполагалось, что
при адиабатическом разогреве еч совпадает с энтальпией (8.16) сверх-
проводящего кабеля. В [205] показано, что в действительности пре-
дельно допустимую плотность энерговыделения в реальных СМС мож-
но оценить следующим образом:
Eq (г, т) = A// IT (g)]T) (г, g, т),
где функция т] во всех случаях строго больше единицы.
Функция т), рассчитанная в [2051, оказалась зависящей от радиа-
льного градиента плотности энерговыделения в обмотке, значения
индукции магнитного поля в точке г, эффективных теплофизических
параметров обмотки (в первую очередь, от теплопроводности в
радиальном направлении), от коэффициента тетосъема а. На рис. 8.18
приведены результаты расчета вместе с экспериментальными данными
Для двух предельных случаев длительности облучения: «мгновенного»,
когда отсутствует временная зависимость, нестационарного», когда от-
ношение т]/т не зависит от т.
Ограничения на допустимые потери А/, вычисляемые из найденных
Функций етах и Ед, весьма жесткие, поэтому в [134, 206] на основе
анализа характеристик ЯЭК и специальных расчетов каскадов пред-
ложены меры, существенно снижающие £тах в конкретных сверхпро-
водящих системах.
227
Радиационная защита. Наиболее традиционное приложение ме-
тодов расчета прохождения излучения через вещество — исследование
радиационной защиты. Круг решаемых здесь задач исключительно ши-
рок, но в конечном счете проблема сводится к определению конфигура.
ции и толщины защиты, обеспечивающей уровни излучения, допустимые
нормами радиационной безопасности [207]. Требуемая кратность ос-
лабления потоков частиц часто весьма большая (I05—1010), конфигу-
рация защиты сложная, поэтому в данных задачах весьма эффективно
использование различных синтетических методов и модификаций ме-
тода Монте-Карло (см. разд. 1.5, 5.5, 6.1).
0 100 200 z,см
Рис. 8.17. Продольное распределе-
ние плотности энерговыделенйя в
сверхпроводящей обмотке дипольно-
го магнита УНК, облучаемого под
углом к вакуумной камере 1 мрад
узким пучком протонов с энергией
3000 ГэВ (внутренний радиус ка-
меры 3,5, обмотки — 4,5 см; результаты приведены для максимумов радиального
и азимутального распределений;-----------------В = 5 Тл;-------------В = 0)
Р п с. 8.18. Функция ц (г, т) при облучении диполей УНК в процессе уско-
рения:
г — медианная плоскость, где индукция магнитного поля В=0,8 Вмакс; теплопроводность
=0,25 Вт/(см • К); кривые — расчет [205]; точки — эксперимент [203, 205]
Результаты расчетов ЯЭК, непосредственно применимые к иссле-
дованию радиационной защиты, уже были приведены в разд. 6.4. Ука-
жем здесь несколько характерных задач, успешно решаемых с помощью
методов, описанных в гл. 5—7.
В [131] рассчитаны энергетические спектры протонов, нейтронов,
л±- и К^ь-мезонов, мюонов и фотонов за толстыми комбинированными
защитами, облучаемыми протонами с энергией от 1 до 1000 ГэВ. Рас-
чет осуществляли с помощью программы SYNHET, синтезирующей
численный алгоритм решения кинетических уравнений программы
HAMLET (см. разд. 5.4) и метод Монте-Карло в программе A1ARS (см-
разд. 6.3). Такой подход позволил в сложных ситуациях оценить до-
зовый состав излучения за защитой высокоэнергетических ускорите-
лей.
Пример расчета дозы за бетонной защитой дан на рис. 8.19. Энер-
гия протонов, взаимодействующих с алюминиевой мишенью длиной
228
40 см, составляет 70 ГэВ. Расчет [133] хорошо согласуется с резуль-
татами измерений с помощью ионизационной камеры.
Серия экспериментов и расчетов в похожей ситуации выполнена
на протонном синхротроне FNAL при энергиях от 200 до 400 ГэВ
[208]. Исследованный диапазон толщины боковой грунтовой защиты
составлял от 2 до 17 длин свободного пробега адронов до поглощения
(260—1610 г/см2). Во всем этом диапазоне результаты расчетов погло-
щенной дозы методом Монте-Карло отличались не более чем в два раза
от экспериментальных данных, полученных с помощью ионизационной
камеры.
Рис. 8.19. Распределение
поглощенной дозы за боковой
бетонной защитой канала № 8
протонного синхротрона ИФВЭ
[133]:
гистограмма — расчет по програм-
ме MARS-4; точки — результаты
измерений ионизационной камерой
Р и с. 8.20. Проекции на плоскость У/
траекторий мюонов в магнитной структуре
УНК:
F, D — фокусирующие и дефокусирующие квад-
рупольные линзы соответственно; В — дипольный
магнит с индукцией В=5 Тл; начальная энергия
мюонов 500 ГэВ
Целый ряд радиационных задач решен на основе результатов рас-
чета ЯЭК в работе [200] при создании системы аварийного вывода из
ускорителя пучка протонов с энергией 1000 ГэВ.
В гл. 7 были описаны методы расчета образования и переноса в ве-
ществе мюонов высоких энергий. На ускорителях нового поколения,
таких как ускорительно-накопительный комплекс (УНК) ИФВЭ на
энергию протонов 3000 ГэВ, мюоны во многих случаях полностью оп-
ределяют глобальную защиту. В [174] выполнены расчеты полей мюо-
нов вокруг кольцевых туннелей протонных синхротронов. На
рис. 8.20 приведены вычисленные траектории мюонов. Расчеты про-
хождения мюонов в магнитных элементах и грунтовой защите осуществ-
ляли с учетом всех процессов, описанных в гл. 7. Для случая равно-
мерных на участках 200—300 м по длине кольцевого ускорителя по-
терь протонов под углом 0-~1 мрад к вакуумной камере на рис. 8.21
приведены рассчитанные изопотоки мюонов в грунтовой защите УНК.
Результаты получены внутри и снаружи кольца при энергии протонов
3000 ГэВ. Обращают на себя внимание значительные размеры защи-
229
ты, которые в некоторых случаях (нейтринный канал, например) мо.
гут быть еще больше. Это одна из причин необходимости создания вы-
сокоточных методов расчета прохождения мюонов через вещество
Дозиметрия и функции чувствительности детекторов. Весьма широ-
кое применение методы расчета прохождения частиц высоких энергий
через вещество находят и в дозиметрии. Можно привести следующие
примеры:
Рис. 8.21. Изопотоки мюонов (мюон/см2 на 1 протон/м)
исследование дозовых распределений в биологических системах в
полях излучения за защитой высокоэнергетических ускорителей и
космических аппаратов [2091;
всестороннее изучение дозовых распределений в тканеэквивалент-
ных фантомах, облучаемых пучками частиц высоких энергий [210—
Р и с. 8.22. Максималь-
ная поглощенная (ниж-
ние данные) и эквива-
лентная (верхние дан-
ные) дозы в плоском
тканеэквивалентном фан-
томе, облучаемом широ-
ким пучком нейтронов
с энергией Ео:
•, О — расчет по програм-
ме MARS-4; А . А — расчет
[210] X, 4-расчет [211]
212]; главная цель таких исследований — приложение к нормированию
излучений и раковой терапии; на рис. 8.22 приведены расчетные данные
по максимальным дозам в 30-см фантоме, облучаемом нейтронами; вид-
но, что с ростом энергии опасность излучения значительно возрастает;
изучение процессов, сопровождающих остановку л~-мезонов в ве-
ществе; при этом рассматривается возможность использования пучков
л_-мезонов для лучевой терапии и для синтеза новых изотопов, иссле-
дуются радиационные повреждения материалов полупроводниковых
230
детекторов и сверхпроводящих магнитов; на рис. 8.23 и 8.24 приведе-
ны некоторые характеристики захвата л_-мезонов в кремнии и биоло-
гической ткани [2131;
исследование функций чувствительности различных детектирую-
щих систем — энергетических зависимостей откликов детекторов, об-
лучаемых пучками высокоэнергетических частиц; выполненные рас-
четы ядерно-электромагнитных каскадов позволили найти такие функ-
Р и с. 8.23. Энергия, поглощенная
внутри сферы радиусом г при оста-
новке л_-мезона в биологической
ткани и кремнии в точке г=0
Рис. 8.24. Зависимость средней ли-
нейной передачи энергии от расстоя-
ния до точки захвата л~-мезона в
биологической ткани
ции в широком диапазоне энергий для детекторов Lil и BF3 в полиэти-
леновых замедлителях [1611 и для ядерно-эмульсионных дозиметров
[2141.
Даже краткий обзор приложений методов и программ расчета по-
казывает, с одной стороны, их возможности, а с другой — все возрас-
тающие запросы практики физики высоких энергий в эффективных,
информативных и надежных методах расчета прохождения частиц вы-
соких энергий через вещество.
ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КОНСТАНТ
И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
1. Классический радиус электрона
ve=e2/mec2~2,8-10~13 См.
2. Комптоновская длина волны электрона
^=Л/тес~3,85-10-11 см.
3. Комптоновская длина волны мюона
ft/m„ с~ 2 - Ю-is см.
4. Комптоновская длина волны нуклона
X^ = ft/mNc~0,2H0-13 см.
5. Радиус ядра (Д — число нуклонов в ядре)
/? = 7?ОА1/3, Ro~ (1,14-1,2)-Ю-is см.
6. Боровский радиус атома водорода
ао=О,53-1О-6 см.
7 Томсоновское сечение
тт= (8/3) jw|«0,67- 10-2« см.
8. Масса электрона
те« 0,511 МэВ «9,1-Ю-2В г.
9. Масса мюона
mJt « 105,6 МэВ.
10. Масса пиона
тпо ~ 135 МэВ,
тя± «139,6 МэВ.
11. Масса каона
тКо ~ 498 МэВ,
т뱫 494 МэВ.
12. Масса протона
тр « 938,3 МэВ « 1,66-10-24 г.
13. Время жизни мюона
т «2,2-10-6 с.
В
14. Время жизни пиона
тя0« 0,83-10-16 с,
тя± «2,6-10-в с.
232
15. Время жизни каона
ТК±~ 1,21110 в с,
—0,89.10-в с,
гк£ —5,2.10- в с.
16. Скорость света в вакууме
с го 3-1010 см/с,
17. Постоянная Планка
/1^6,6.10-22 МэВ-css 1,05.10 -1 эрг.е.
18. Число Авогадро
Л'А — 6,02-1023 (г-моль)-1.
19. Постоянная тонкой структуры
а = еа/йс« 1/137.
20 Заряд электрона
е~ 4,8-10-ю СГСЭ.
21. 1 ТэВ=103 ГэВ = 106 МэВ=109 кэВ=1012 эВ,
1 эВ ss 1,6- Ю-i2 эрг 11 600 К.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугаев Э. В., Котов Ю. Д., Розенталь И. Л. Космические мюоны и нейт-
рино. М.: Атомиздат, 1970.
2. Мохов Н. В., Стриганов С. И., Узунян А. В. О флуктуациях потерь
энергии ультрарелятивистских мюонов. — Препринт ИФВЭ 80-56, Серпухов
1980.
3. Mokhov N. V., Semenova G. I., Uzunian A. V. Muon production and trans-
port in matter in the enegry range 101—105 GeV. — Nucl. Instrum and Methods,
1981, vol. 180, p. 469.— Препринт ИФВЭ 79-101. Серпухов, 1979.
4. Множественное образование нейтральных частиц в пион-протонных и
протон-протонных взаимодействиях/Ю. А. Будагов, В. П. Джелепов,
В. Б Фляшн и др. — ЭЧАЯ, 1980, т. 11, с. 687.
f 5. Craigie N. S. Lepton and photon production in hadron collisions. — Phys.
Reports, 1978, vol. 47, p. 1.
6. Prompt muon production at small xF and p in 350 GeV p Ее-collisions/
J. L. Ritchie, A. Bodek, R. N. Coleman e. a. — Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 44,
p. 230.
7. Никитин Ю. П., Розенталь И. Л. Теория множественных процессов.
М.: Атомиздат, 1976.
8. Никитин Ю. П., Розенталь И. Л. Ядерная физика высоких энергий.
М.: Атомиздат, 1980.
9. Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами: Пер. с англ. М.: Мир,
1975.
10. Фаио У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма-излучения Пер. с англ.
М.: Госатомиздат, 1963.
11. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса: Пер. с нем. М.: Мир,
1972.
12. Alsmiller F. S. A General category of soluble nucleon-meson cascade equa-
tions. — Report ORNL-3746, Oak Ridge, 1965.
13. Кольчужкин A. M., Учайкин В. В. Введение в теорию прохождения
частиц через вещество. М.: Атомиздат, 1978.
14. Спанье Дж., ГелбардЭ. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов.
М.: Атомиздат, 1972.
15. Льюиис Дж. Ценность. Сопряженная функция: Пер. с англ. М.: Атом-
издат, 1972.
16. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.
17. Франк-Каменецкий А. Д. Моделирование траекторий нейтронов при
расчете реакторов методом Монте-Карло. М.: Атомиздат, 1978.
18. Метод Л1онте-Карло в атмосферной оптике/Г. И. Марчук, Г А- Михай-
лов, М. А. Назаралиев и др. Новосибирск: Наука, 1976.
19. Мохов Н. В. Методы Монте-Карло в проблеме переноса частиц высоких
энергий через вещество. Препринт ИФВЭ 76-64. Серпухов, 1976.
20. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Нау
ка, 1981. , г
21. Messel Н., Crawford D. F. Electron-photon shower distribution funct
N. Y.: Pergamon Press, 1970.
234
22. Davies H., Bethe H. A., Maximon L. C. Theory of bremsstrahlung and
Dair production. II. Integral cross section for pair production.—Phys. Rev.,
1954, vol. 93, p. 788
23. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. — 3-е изд. М.: Наука, 1974.
24. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская
квантовая теория. Ч. 1. М.. Наука 1968.
25. Wheeler J. A., Lamb W. A. Influence of atomic electrons on radiation and
pair production. — Phys. Rev., 1939, vol. 55, p. 858.
26. Лифшиц E. M., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория.
Ч. 2. М.: Наука, 1971
27. Migdal А. В. Bremsstrahlung and Pair Production in Condensed Media
at High Energies. —Phys. Rev., 1956, vol. 103, p. 1811.
28. Koch H. W., Motz J. W. Bremsstrahlung cross-section formulas and rela-
ted data. — Rev Mod Phys , 1959, vol. 31, p. 920.
29. Storm E., Israel H. I. Photon cross-sections from 1 keV to 100 MeV for
elements Z=1 to Z=100.—Nucl. Data Tables, 1970, vol. A7, p. 565.
30. Muon Physics. Electromagnetic interactions. Vol. 1/Ed. by V. W. Hughes
and C. S. Wu. — N. Y. — San Francisco—London: Academic Press, 1977.
31. Ritson D. M. Instrumentation Proceedings of Summer Institute on
Particle Physics, 1981, SLAC Report № 239.
32. Review of Particle Properties/Data particle group. — Rev. Mod. Phys.,
1980, vol. 52, № 2.
33. Fermi E. The Ionization Loss of Energy in Gases and Condensed Materi-
als. — Phys. Rev., 1940, vol. 57, p. 475.
34. Хаякава С. Физика космических лучей. Ч. 1. Ядерно-физпческий ас-
пект: Пер. с англ./Под ред И П. Иваненко. М. Мир, 1973.
35. Sternheimer R. М Density effect for the ionization loss in variuos mate-
rials. — Phys. Rev., 1956, vol. 103, p. 511.
36. Ландау Л. Д. О потерях энергии быстрыми частицами на ионизацию.
J. Phys. USSR, 1944, vol. 8, р. 201. Собрание трудов, т. 1. М : Наука, 1969. —
482 с.
37. Вавилов П. В. Ионизационные потери тяжелых частиц высоких энер-
гий. — ЖЭТФ, 1957, т. 32, с. 920.
38. Ермилова В. К-> Чечин В. А. Флуктуации ионизационных потерь энер-
гии в очень тонких слоях вещества. — Препринт ФИАН, 1976, № 10.
39. Moliere Z. Theorie der streunng schneller gelander Teilchen 1. Einzelstre-
unng am abgeschirmten coulomb feld. — Z. Naturforsch., 1947, Bd. 2a, S. 133.
40. Bethe H. A. Afoliere’s theory of multiple scattering. — Phys. Rev., 1953,
vol. 89, p 1256.
41. Scott W. T. The Theory of small-angle multiple scattering of fast charged
particles. — Rev. Mod. Phys., 1963, vol. 35, p. 231.
42. Ford R. L., Nelson W. R. The EGS code system: Computer program for
the Monte Carlo simulation of electromagnetic cascade showers (Version 3). —
SLAC Report, 1978, №210.
43. Nelson W. R. The shielding of muons around high energy electron accele-
rators: Theory and measurement. — Nucl. Instrum, and Methods, 1968, vol. 66,
p. 293
44. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1981.
45. Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. М.: Наука, 1970.
46. Расчетный метод восстановления спектра нейтрино в нейтринных экс-
периментах на протонных ускорителях/Д. С. Баранов, А. Н Калиновский,
Е. П. Кузнецов и др. — Препринт ИФВЭ, 77-22. Серпухов, 1977.
, 47. Hayakawa S. Polarization of cosmic-ray ц-mesons: theory. — Phys. Rev.,
1957, vol. 108, P. 1533.
48. Барашенков В. С., Тонеев В. Д. Взаимодействия высокоэнергетических
частиц ц атомных ядер с ядрами. М.: Атомиздат, 1972.
49. Никитин Ю. П., Розенталь И. Л., Сергеев Ф. М. Взаимодействия частиц
высоких энергий с ядрами. — Успехи физ наук, 1977, т. 121, вып. 1, с. 3- 53.
50. Андреев И. В., Дремин И. М. Механизмы процессов множественного
Рождения. — Успехи физ. наук, 1977, т. 122, вып. 1, с. 37—79.
235
51. Николаев Н. Н. Кварки во взаимодействиях лептонов, фотонов
нов высокой энергии и с ядрами. — Успехи физ. наук, 1981, т. 134
с. 369—430.
и адр0.
вып. 3,
52. Лиходед А. К.. Шляпников П. В. Энергетическая зависимость инклю
зивных сечений и выходов частиц при высоких энергиях. — В материалах Меж
дународного совещания «Процессы множественного рождения и инклюзивны
реакции при высоких энергиях». Серпухов, 1977, с. 5—79.
53 Ландау Л. Д. О множественном образовании частиц при столкновении
быстрых частиц. — Изв. АН СССР. Сер физ , 1953, т. 17, с. 51.
54. Коллииз П. Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий-
Пер. с англ М : Атомиздат, 1980.
55 Тер-Мартиросян К. А., Шабельский Ю. М. Множественное рождение
частиц при высокой энергии. Сравнение с данными опыта. — Ядерная физики
1977, т. 25, с. 670. ’
56. Абрамовский В. А., Грибов В. Н., Канчели О. В. Характер инклюзив-
ных спектров и флуктуаций в иеупругих процессах, обусловленных многопо-
меронным обменом. — Ядерная физика, 1973, т. 18, с. 595.
57. Ter-Martirasyan К. A. Multipomeron production of showers at high ener-
gy. — Phys. Lett., 1973, vol. 44B, p. 179.
58. Кайдалов А. Б. Неупругие взаимодействия адронов при высоких энер-
гиях. — В кн.: Элементарные частицы. Вторая школа физики ИТЭФ. М.: Атом-
издат, 1975, вып. 3, с. 5.
59. Шабельский Ю. М. Абсорбционные части адрон-ядерной амплитуды и
множественное рождение частиц на ядрах. — Ядерная физика, 1977, т 27
с. 1084
60. Грибов В. Н. Пространственно-временное описание взаимодействия ад-
ронов при высоких энергиях. — В кн.: Элементарные частицы. Первая школа
физики ИТЭФ. М.: Атомиздат, 1973, вып. 1, с. 65.
61. Ансельм А. А. Качественная картина сильных взаимодействий при вы-
соких энергиях. — В кн.: Элементарные частицы. Первая школа физики ИТЭФ.
М.: Атомиздат, 1973, вып. 2, с. 3.
62. Анисович В. В. Составляющие кварки и партоны в мягких процессах. —
В кн.: Материалы 14-й Зимней школы ЛЙЯФ по физике ядра и элементарных
частиц. — Л.: изд. ЛИЯФ АН СССР, 1979, т. 1, с. 3.
63. Волошин С. А., Никитин Ю. П., Порфиров П- И. Кварк-партонный
каскад в ядре и спектры вторичных адронов в адрон-ядерных соударениях. —
Ядерная физика, 1980, т. 31, с. 762.
64. Волошин С. А., Никитин Ю. П., Емельянов В. М. Л^ножественное рож-
дение на ядрах в модели партон-адронного каскада. — Ядерная физика, 1977,
т. 26, с. 1104.
65. Волошин С. А., Никитин Ю. П. Распределение вторичных адронов по
поперечным импульсам в НА -соударениях. — Ядерная физика, 1978, т. 27,
с. 223.
66. Dar К. Р., Hwa R. С. Quark-antiquark recombination in the fragmenta-
tion region. — Phys. Lett., 1977, vol. 68B, p. 459.
67. Сакураи Дж. Токи и мезоны: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1972.
68. Захаров В. И., Николаев Н. Н. Партонная модель и глубоконеупругие
процессы на ядрах. — Ядерная физика, 1975, т. 21, с. 434.
69. Dokshitzer Y. L., Dyakonov D. I., Troyan S. I. Hard processes in quantum
chromodynamics. — Phys. Reports, 1980, vol. 58C, p. 269.
70. Marchiano W., Pagels H. Quantum chromodynamics. — Phvs. Reports,
1978, vol. 36C, p. 137.
71. Глебов В. Ю. Большие р. и струи в адрон-адронных соударениях.
В кн.: Физика высоких энергий. Материалы 16-й Зимней школы ЛИЯ®- -Л-
изд. ЛИЯФ АН СССР, 1981, с. 54.
72. Shabelsky Yu. М. On the multiplicity of the secondaries produced in colli-
sions of relativistic nuclei. — Preprint № 464 LNPI, Leningrad, 1979.
73. Brandenburg G. W. Experimental study of low p± inclusive scattering
and comparison with quark-parton models. — In: Proc. XIV Rencontre de Moriond
Les Arcs-Savoie—France, 1979, Quarks, Gluons and Jets, vol. 1, p- 507.
236
74. Шабельский Ю. М. Процессы множественного рождения в адрон-ядер-
ных соударениях при высоких энергиях. — ЭЧАЯ, 1981, т. 12, вып. 5, с. 1070.
75- Мохов Н. В., Никитин Ю. П. Инклюзивные распределения адронов в
протон-протонных и протон-ядерных соударениях при высоких энергиях. —
В кн.: Проблемы ядерной физики и космических лучей: Харьков: изд. ХГУ,
J977, вып. 6, с. 19.
76. Ranft J., Routti J. Т. Hadronic cascade calculations of angular distri-
butions of integrated secondary particle fluxes from external targets and new empi-
rical formulae describing particle production in proton-nucleus collisions. —
Particle Accelerators, 1972, vol. 4, p. 101.
77. Фоломешкин В. H. Эмпирическая формула для спектров пионов и ка-
онов в рр-столкновсниях. — Препринт ИФВЭ 71-22. Серпухов, 1971.
78. Кимель Л. Р., Мохов Н. В. Распределения частиц в диапазоне энергий
10-2—Ю12 эВ, инициированные в плотных средах высокоэнергетическими адро-
нами. — Изв. вузов СССР, сер. Физика, 1974, № 10, с. 18.
79. Кимель Л. Р., Мохов Н. В. Дифференциальные сечения адрон-ядерных
взаимодействий и некоторые результаты расчета межъядерных каскадов. —
В сб.: Вопросы дозиметрии и защиты от излучений/Под ред. Л. Р. Кимеля и
В. К. Сахарова. At.: Атомиздат, 1975, вып. 14, с. 37.
80. Optimisation of antiproton fluxes from targets using hadron cascade cal-
culations/B. V. Chirikov, V. A. Tayurski, II. J. Atorhing, J. Ranft. — Nucl. In-
strum. and Methods, 1977, vol. 144, p. 129.
81. Сычев Б. С., Серов А. Я., Маиько Б. В. Аналитическая аппроксимация
дифференциальных сечений образования вторичных частиц в неупругих нуклон-
ядерных взаимодействиях при энергиях выше 20 МэВ. — Препринт AtPTH
№ 799. М., 1979.
82. Барашенков В. С., Славин Н. В. Феноменологическая аппроксимация
неупругих лА'-взаимодсйствий в области высоких энергий. — Acta Phys. Polo-
nica, 1981, vol. В 12, p. 959.
83. Методика приближенного аналитического расчета межъядерного кас-
када, инициированного нуклонами средней энергии в защите ускорителей/
At. В. Казарновский, Г. К- А1атушко, В. Л. А1атушко, Э. Я. Парьев, С. В. Се-
режников. — Атомная энергия, 1981, т. 50, с. 190.
84. А-dependence of inclusive hadron scattering at 100 GeV/А. E. Brenner,
D. C. Carey, J. E. Elias e. a. — Fermilab-Conf. 80/47-Exp. Fermilab., 1980
85. Ranft J. Estimation of radiation problems around high energy accelera-
tors using calculations of the hadronic cascade in matter. — Particle Accelerators,
1972, vol. 3, p. 129.
86. Amaldi Ugo. Fluctuation in calorimetry measurements. — Physica Scripta,
1981, vol. 23, p. 409.
87. Немец О. Ф., Гофман Ю. В. Справочник по ядерной физике. — Киев:
Наукова думка, 1975.
88. Беленький С- 3. Лавинные процессы в космических лучах. — At.: Гос-
техпздат, 1948.
89. Беленький С. 3., Иваненко И. П. Каскадная теория ливней. — УФН,
1959, т. 69, с. 491.
90. Росси Б. Частицы больших энергий: Пер. с англ. At.: Изд-во иностр,
лит., 1955.
91. Ландау Л. Д., Румер Ю. Б. Каскадная теория электромагнитных лив-
ней. — Собрание трудов, 1969. At.: Наука, т. 1, с. 302.
92. Ландау Л. Д. Угловое распределение частиц в ливнях. — Собр. трудов,
1969, At.: Наука, т. 1, с. 328.
93. Штерн Б. Е. Библиотека подпрограмм для моделирования электромаг-
нитных процессов в веществе при высоких энергиях.— Препринт ИЯИ, П-0081,
1978.
Штерн Б. Е. S1MEX-1. Программа генерации электромагнитных каскадов
в веществе. — Препринт ИЯИ, П-0082, 1978.
94. Байшев И. С., Мохов Н. В. Пространственные распределения энерго-
выделения электрон-фотонного ливня. — Препринт ИФВЭ, 79-124. Серпухов,
1979.
237
95. Методика расчета физических характеристик гамма-телескопа «Гам-
ма-1»/В. В. Акимов, И. Д. Блохинцев, К. В. Воробьев и др. — Препринт ИКы
Пр-684, 1981
96. Miiller D. Electron showers of high primary energy in lead. — Phvs pP,,
1972, vol. D5, p. 2677. J ' V >
97. Iwata S. Calorimeter. — Preprint DPNU, 1980, № 13.
98. Gordon H. A. Sampling calorimeters in high energy physics. — Proc of
Summer Institute on Particle Physics, 1980, SLAC Report № 239, p 241.
99. Розенталь И. Л. О ядерно каскадном процессе в широких атмосферных
ливнях космических лучей. — Докл. АН СССР, 1951, т. 80, с. 731.
100. Мурзин В. С., Сарычева Л. И. Космические лучи и их взаимодействие
М.: Атомиздат, 1968.
101. Liland A. Analytic evaluation of pion, kaon and muon distribution in
the atmosphere. — Fortsch. Phys., 1975, vol. 23, p. 571.
102. Демьянов А. И., Мурзин В. С., Сарычева Л. И. Ядерно-каскадпый про-
цесс в плотном веществе. М.: Наука, 1977.
103. Alsmiller F. S. A general category of soluble nucleon-meson cascade
equations. — Report ORNL-3746, Oak Ridge, 1965.
104. O’Brien K- Extra-nuclear hadron cascade calculations using Passow’s
approximation. - Nucl Instrum, and Methods, 1969, vol. 72, p. 93.
105. Alsmiller R. G., Jr., Alsmiller F. S. A perturbation method for solving
the angle dependent nucleon-meson cascade equations. — Report ORNL-3467,
Oak Ridge, 1963.
106. Ендовицкий В С., Кимель Л. Р., Мохов Н. В. Аналитический метод
расчета нуклон-мезонного каскада высоких энергий 1 —103 ГэВ.— В сб.: Во-
просы дозиметрии и защиты от излучений/Под ред. Л. Р. Кимеля. М.: Атомиз-
дат, 1971. вып. 12, с. 15.
107. Об одном методе вычисления угловых распределении каскадных час-
тиц высоких энергий/В. С. Ендовицкий, Л. Р. Кимель, Н. В. Мохов, А. X. Рах-
матулина. — Там же, с. 24.
108. Исследование нуклон-мезонного каскада в защитных средах/В. С. Ен-
довицкий, Л. Р. Кимель, Н. В. Мохов, Г. И. Бритвич, В. Н. Лебедев. — Пре-
принт ИФВЭ 71-96. Серпухов, 1971.
109. Многогрупповой метод расчета нуклон-мезонного каскада в плотных
средах при высоких энергиях 1 —103 ГэВ/Ю. Н. Бриков, Т. А Гермогенова,
А. А. Дорофеев и др. •— В сб.: Вопросы дозиметрии и защиты от излучении/Под
ред. Л. Р. Кимеля. М.: Атомиздат, 1971, вып. 12, с. 3.
ПО. Гельфанд Е. К-, Серов А. Я., Сычев Б. С. Использование метода после-
довательных столкновений для расчета защиты от излучений ускорителей. —
Тр РТИ. М.: РИАН СССР, 1974, №20, с. 136.
111. Перенос быстрых нейтронов в плоских защитах/Т. А. Гермогенова,
С. Ф. Дегтярев, В. В. Орлов и др. М.: Атомиздат, 1971.
112. Теоретическое и экспериментальное исследования прохождения вы-
сокоэнергетических адронов через защитные среды/Г. И. Бритвич, Л. Р. Ки-
мель, В. Н. Лебедев, Н. В Мохов — Препринт ИФВЭ 74-86. Серпухов, 1974.
113. Кимель Л. Р., Мохов Н. В. Расчет межъядерных каскадов в диапазоне
энергий Ео = 0,05 — 400 ГэВ. — В сб.: Вопросы дозиметрии и защиты от из
лучений/Под ред. Л. Р. Кимеля и В. К- Сахарова. М.: Атомиздат, 1975, вып. 14,
с. 37.
114. O’Brien К., McLaughlin J Е The propagation of the neutron component
of the nucleonic cascade at energies less than 500 MeV’. — Nucl. Instrum and
Methods, 1968, vol. 60, p. 129.
115. Зайцев Л. H., Комочков M. M., Сычев Б. С. Основы защиты ускорите-
лей. M.: Атомиздат, 1973.
116. Shielding against neutrons in the energy range 50 to 400 MeV/R. G. Al-
smiller, F. R. Mynatt, J. Barish, W. Engle. — Report ORNL-TM-2554, Oak Ridge,
1969.
117. Оптимизация толщины бетона в гетерогенных боковых защитах Уск0"
рителей высокой энергии/Е. А. Белогорлов, Г. II. Бритвич, Г. И. КРУПНЫН 1
др. — Тр. VII Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц-
Дубна, 1981.
238
118. Манько Б. В., Сычев Б. С. Пространственно-энергсТическое распре-
деление нейтронов низкой энергии в защите ускоритерей протонов. — Тр. РТИ.
М.: РИАН СССР, 1974, №20, с. 147.
119. Мохов Н. В. Исследование межъядерного каскада, инициированного
в веществе адронами с энергией 1—5000 ГэВ. Автореф. на соиск. уч. степ. канд.
физ.-матем. наук. М.: МИФИ, 1975.
120. Бергельсон Б. Р., Суворов Л. П., Торлин Б. 3. Многогрупповые методы
расчета защиты от нейтронов. М.: Атомиздат, 1970.
121. Биологическая защита транспортных реакторных установок/
Д. Л. Бродер, С. А. Козловский, В. С. Кызьюров, К- К. Попков, С. М. Рубанов,
М.: Атомиздат, 1969.
122. Мохов Н. В., Гребенев В. Н. Расчет распределений гамма-квантов с
энергией 10-1—105 МэВ в защите протонных ускорителей. — В сб.: Вопросы
дозиметрии и защиты от излучений/Под ред. В. К- Сахарова. М.: Атомиздат,
1977, вып. 16, с. 7.
123. Kataoka I., Takeuchi К- Accord and some results of a numerical integra-
tion method of the photon transport equation in slab geometry. — Papers of Ship
Res. Inst., 1965, № 6.
124. James F. Monte-Carlo for particle physicist. — Strasburg, 1968.
125. Учайкин В. В. О моделировании переноса частиц с размножением ме-
тодом Монте-Карло. —Журн. вычислит, матем. и матем. физ., 1976, т. 16,
с. 758.
126. Armstrong Т. W., Chandler К. С. НЕТС — a high energy transport co-
de. — Nucl. Sci. Engng,. 1972, vol. 49, p. 110.
127. Coleman W. A., Armstrong T. W. NMTC — a nucleon-meson transport
code. — Nucl. Sci. Engng., 1971, vol. 43, p. 353.
128. Барашенков В. С., Соболевский Н. М., Тонеев В. Д. Прохождение пуч-
ков высокоэнергетических частиц через толстые слои вещества. — Атомная энер-
гия, 1972, т. 32, с. 217.
129. Ranft J., Routti J. Т. Monte Carlo programme for Calculating threedi-
mensional high energy (50 MeV —500 GeV) hadron Cascades in Matter. — Comput.
Phys. Commun., 1974, v. 7, p. 327.
130. Мохов H. В. Расчет методом Монте-Карло распределений частиц в за-
щите ускорителей на энергии Ео = 50 МэВ—1500 ГэВ. — Тр. IV Всесоюзн.
совещания по укорителям заряженных частиц, Москва, 1974. М.: Наука, 1975,
т. 2, с. 222.
131. Мохов Н. В., Фролов В. В. Расчет методом Монте-Карло дозового
состава излучения за защитой высокоэнергетических ускорителей. — Атомная
энергия, 1975, т. 38, с. 42.
132. Кучинин С. Л., Мохов Н. В., Расцветалов Я. Н. MARS-3 — программа
расчета методом Монте-Карло трехмерного высокоэнергетического адронного
каскада в гетерогенных средах. — Препринт ИФВЭ 75-74. Серпухов, 1975.
133. Байтов И. С., Кучинин С. Л., Мохов Н. В. Расчет методом Монте-Кар-
ло трехмерных адронных каскадов при энергиях 20 Л1эВ—3000 ГэВ (программа
MARS-4). — Препринт ИФВЭ 78-2. Серпухов, 1977.
134. Maslov М. A., Mokhov N. V. Radiation heating in superconducting
magnets and proton beam-loss limitations during acceleration. — Particle Acce-
lerators, 1980, v. 11, p. 91, Препринт ИФВЭ 79-135. Серпухов, 1979.
135. Mokhov N. V. Energy deposition in targets and beam dumps at 0,1 —
5 TeV proton energy. —Fermilab report FN-328, 1980.
136. Van Ginneken A. CASIM-program to simulate transport of hadronic cas-
cades in bulk matter. — Fermilab report FN-272, 1975.
137. Ranft J. KASPRO — a Monte-Carlo programme to calculate: a) partic-
le fluxes as modified by the habron cascade in targets, and b) energy deposition
and star densities in the material. —CERN Report LAB II-RA/75-1, 1975.
138. Bertini H. W. Intranuclear-cascade calculation of the secondary nucleon
spectra from nucleon-nucleus interactions in the energy range 340 to 2900 MeV and
comparisons with experiment. —Phys. Rev., 1969, vol. 188, p. 1711.
139. Изучение адронных атомов и характеристик элементарных частиц с
помощью кристалл-дифракцпонного спектрометра на протонном синхротроне
239
ИФВЭ/Д. С. Денисов, А. В. Желатинов, В, М. Желязников И др. — Ппепт..
ЛИЯФ № 459. Ленинград, 1979. F ри,1Т
140 Acoustic detection of high energy particle showers in water/O. A Asl •
riyan, B. A. Dolgoshein, A. N. Kalinovsky, N. V. Mokhov. — Nucl. InstrnJ!'
and Methods, 1979, vol. 164, p. 267. m-
141. Edwards H., Mori S„ Van Ginneken A. Studies on radiation shieldinn of
Energy Doubler magnets.— Fermilab report UPC-30, 1979. ё 1
142. Mokhov N. V., Van Ginneken A. Calculations of energy deposition densi
ties in high energy accelerator targets.— In: Proc, high intensity targeting work'
shop, Fermilab, 1980, Wisconsin, p. 64; also Fermilab Report TM-977, 1980.
143. Мохов H. В. Радиационный разогрев элементов ускорителей на сверх-
высокие энергии: физические аспекты проблемы. — Препринт ИФВЭ 82-16Я
Серпухов, 1982.
144. Ranft J., Nelson W. R. Monte-Carlo calculation of photon, electron and
positron production from primary proton beams.— CERN Report HS-RP/031/рр
1979.
145. Van Ginneken A. AEGIS — a program to calculate the average behavior
of electromagnetic showers.— Fermilab Report FN-309, 1978.
146. Grote H., Hagedorn R., Ranft J Atl as of particle production spectra._-
CERN Report, Geneva, 1970.
147. Крючков В. П., Лебедев В. Н., Мохов Н. В. Расчет поглощенной дозы
в блоках вещества, облучаемых адронами высоких энергий.— Препринт ИФВЭ
76-132. Серпухов, 1976.
148. Brown К. L., Iselin Ch. Decay TURTLE — a computer program for simu-
lating charged particle beam transport systems, including decay calculations. —
CERN, Report 74-2. Geneva, 1974.
149. VEGAS: A Monte-Carlo simulation of intranuclear cascades/K.Chen,
Z. Franekel, G. Friedlander e.a.— Phys. Rev., 1968, vol. 166, p. 949.
150. Compilation of cross sections p and p induced reactions/E. Brassi
J. P. Droulez, E. Flamino e.a. —CERN/HERA, Report 73-1, 1973.
151. Monte-Carl calculations on intranuclear cascades/N. Metropolis, R. Bi-
vins, M. Storm e.a.— Phys. Rev., 1958, vol. 110, p. 185.
152. Gabriel T. A., Santoro R. T., Barish J. A calculational method for predi-
cting particle spectra from high-energy nucleon and pion collisions (E 3 GeV)
with protons.— Report ORNL-TM-3615, Oak Ridge, 1971.
153. Байшев И. С., Маслов М. А., Мохов Н. В. MARTUR-комплекс про-
грамм расчета транспортировки и взаимодействия частиц в протонных ускорите-
лях.— В сб. аннотаций докладов VIH Всесоюзного совещания по ускорителям
заряженных частиц. Серпухов, 1982, с. 92.
154. Neutron and proton spectra from targets bombarded by 160 MeV protons/
J. Wachter e.a. Report ORNL-TM-1781, Oak Ridge, 1967.— Phys., Rev., 1967,
vol. 161, p. 971.
155. Calculation of the neutron and proton spectra from thick targets bombar-
ded by 450 MeV protons and comparison with experiment/R.G. Alsmiller e.a.—Nucl.
Sc.. Engng., 1969, vol. 36, p. 291.
156. The angular dependence of dose and hadron yields from targets in 8 GeV/c
and 24 GeV/с extracted proton beams/G. S. Levine, D. M. Squier, G. B. Staplton
e.a.— Particle Accelerators, 1972, vol. 3, p. 91.
157. Пространственно-угловое распределение вторичных частиц от внешних
и внутренних мишений на 70ГэВ/Ф. Д. Влацкий, Г. И. Крупный, В. И. Лебедев
и др.— Препринт ИФВЭ 74-142. Серпухов, 1974.
158. Measurement of the nuclear cascade at 10 GeV/с with emulsions/
R. L. Childers, C. D. Zerby, С. M. Fisher, R. H. Thomas.— Nucl. Instrum, and
Alethods, 1965, vol. 32, p. 53.
159. A study of the nuclear cascade in steel initiated by 19.2 GeV/с protons/
A. Citron, L. Hoffman, C. Passow e.a.— Nucl. Instrum, and Methods, 1965, vol.
32, p. 48.
160 Measurements of cascade of 150 GeV pion in iron/K. Anderson, J. Curry,
J. Pilcher, J. Sidles.— FNAL Prop. 331, Fermilab, 1974.
240
161. Байшев И. С., Махонькое А. С., Мохов Н. В. Низкоэнергетический
компонент излучения на высокоэнергетических ускорителях.— Препринт ИФВЭ
77-134- Серпухов, 1977.
162. Armstrong Т. W. Alsmiller R. G. Calculation of the residual photon dose
rate around high-energy proton accelerators.— Nucl. Sci., Engng., 1969, vol. 38,
p 53.
163. O' Brien K. Transverse shielding calculations for the components of a
1/2 TeV proton synchrotron..— USAEC Report, HASL-199, 1968.
164. Santoro R. T., Gabriel T. A. Nucleon and pion star production from high
energy (> 40GeV) protons incident on iron. — Report ORNL-TM-3355, Oak
Ridge, 1971.
165. Обратный выход нейтронов из защиты под действием протонов с энер
гией 660 МэВ/Л. Р. Кимель, М. М Комочков, В. П. Сидорин, Б. С. Сычев,
А. П- Череватенко.— Препринт ОИЯИ Р16-3514. Дубна, 1967.
166. Квазиальбедо адронов высоких энергий от бетона при энергии падаю-
щих протонов 9 ГэВ/В. А. Григорьев, Л. Н. Зайцев, И. Б. Иссинский и др.—
Препринт ОИЯИ Р15-6729. Дубна, 1972.
167. Energy deposition in thick target by high energy protons: measurement
and calculation/M. Awschalom, P. J. Gollon, C. Moore, A. Van Ginneken.— Nucl.
Instrum, and Methods, 1975, vol. 131, p. 235.
168. Sievers P. Measurements of the energy deposition of 200 and 400 GeV/c
protons in aluminium and copper.— CERN-TM SPS/ABT/77-1. Geneva, 1977.
169. Исследование мюонов сверхвысоких энергий/Т. П Аминева, В. А. Ас-
тафьев А. Я. Варковицкая и др. М.: — Наука, 1975.
170. Балбеков В. И., Дмитревский Ю. П., Курнаев О. В. Ускорительно-на-
копительный комплекс ИФВЭ.— Тр. VI Всесоюзного совещания по ускорите-
лям заряженных частиц. Дубна, 1981, т. 1, с. 1.
171. Eyges L. Multiple scattering with energy loss. — Phys. Rev., 1948, vol.
74, p. 1534.
172. Muon transport and the shielding of high-energy (sg 500 GeV) proton
accelerators/R. G. Alsmiller, Jr. F. S. Alsmiller, J. Barish, Y. Shima.— Report
CERN-71-16. Geneva, 1971, vol. 2, p. 601.
173. Бритвич Г. И., Мохов Н. В., Узунян А. В. Образование и распростране-
ние мюонов в веществе при высоких энергиях. — Препринт ИФВЭ 76-66. Сер-
пухов, 1976.
174. Маслов М. А., Мохов Н. В., Узунян А. В. Расчет полей мюонов во-
круг высокоэнергетических протонных ускорителей.— Препринт ИФВЭ 82-75.
Серпухов, 1982.
175. Маслов М. А., Мохов Н. В., Узунян А. В. О моделировании траекторий
частиц высоких энергий в среде с произвольным магнитным полем.— Препринт
ИФВЭ 78-153. Серпухов, 1978.
176. Fabjan С. W., Ludlam Т. Calorimetry in high-energy physics.— Prep-
rint CERN, 1982, EP/82-37.
177. Longo E., Sestili I. Monte-Carlo calculation of photon-initiated electro-
magnetic showers in lead glass.— Nucl. Instrum, and Methold, 1975, vol. 128,
p. 283.
178. Prokoshkin Yu. D. Hodoscope calorimeters as basic coordinate-energy
detectors of particles in the experiments in the 10 TeV range.—• Proc, of the Second
ICFA Workshop on Possibilities and Limitations of Accelerators and Detectors,
1980, p. 405.
179. A low-cost total absorption track detector of high energy particles/L. Fe-
derici, N. Nardi, F. Ceradini, M. Conversi.— Nucl. Instrum, and Methods, 1978,
vol. 151, p. 103.
180. Characteristics of electromagnetic shower sampling counters/S. L. Stone,
J. S Poucher, R. D. Ehrlich, e.a.— Nucl. Instrum, and Methods, 1978, vol.
151, p. 387.
181. A detector for neutral-current interactions of high-energy neutrinos/
A. N. Diddens, M. Jonker, J. Panman e.a.— Nucl. Instrum, and Methods, 1980,
vol. 178. p. 27.
182. Fisher H. G. Multiwire proportional quantameters. — Nucl. Instrum,
and Methods, 1978, vol 156, p. 81,
241
183. A liquid-scintillator total-absorption calorimeter for the study of neutrin
inter act ions/A. Benvenuti, D. Cline, W. T. Ford e.a.— Nucl. Instrum, and MetbnH?
1975, vol. 125, p. 447. ^nods,
184. Iron liquid-argon and uranium liquid-argon calorimeters for hadron ener
gy measure me nt/C. W. Fabjan, W. Struczinski, W. J. Willis e.a. — Nucl lustrum”
and Methods, 1977, vod. 141, p. 61. ra'
185. The measurement of the spatial coordinates of high energy photons with
a scintillation hodoscope spectometer/Yu. B. Bushnin, S. V. Klimenko, R. N. Kras-
nokutsky e.a.— Nucl. Instrum, and Methods, 1973, vol. 106, p. 493.
186. A hodoscope spectrometer for high energy photons/Yu. B. Bushnin
S. V. Donskov, A. V. Inyakin e. a.— Nucl. Instrum, and Methods, 1974 vol 19п’
p. 391. ’ u’
187. Hodoscope gamma spectrometer GAMS-200/F. Binon, C. Brieman
V.A. Davydov e.a.—Nucl. Instrum, and Methods, 1981, vol 188, p 507.
188. Performance of a magnetized total absorption calorimeter between 15
GeV and 140 GeV/М. Holder, J. Knobloch, J. May e.a.— Nucl. Instrum, and
Methods, 1978, vol. 151, p. 69.
189. Particftl Identification in a Hodoscope Cherenkov Spectrometer/
V. A. Davydov, A. V. Inyakin, V. A. Kachanov e. a.— Nucl.' Instrum, and Me-
thods, 1977, vol. 145, p. 267.
190. A large liquid-argon shower detector for an 1SR experiment/C. W. Fabjan,
M. Hurris, J. Lindsay e.a.— Nucl Instrum, and Methods, 1979, vol. 158, p. 93.
191. Аскарьян Г. А., Долгошеин Б. А. Акустическая регистрация нейтрино
высоких энергий.— Препринт ФИАН, 1976, № 160.
192.
высоких
193.
194.
ческими т__
т. 122, с. 3.
195. Experimental studies of the acoustic signature of proton beams traversing
fluid media/L. Sulak, T. Armstrong, H. Bavauger e.a.—Nucl. Instrum, and Methods,
1979, vol. 161, p. 203.
196. Свердлин Г. H. Прикладная гидроакустика.— Ленинград: Судострое-
ние, 1976.
197. Мохов Н. В., Погорелко О. И., Фролов В. В. Расчет фоновых условий и
радиационного разогрева сверхпроводящих обмоток в гиперонном эксперименте
ИТЭФ.— Препринт ИТЭФ-114. М., 1975.
198. Спектры вторичных частиц, возникающие при взаимодействии прото-
нов с импульсом 70 ГэВ/с с ядрами протяженной мишени /Д. С. Баранов,
А. Н. Калиновский, ГОП. Никитин, Р. А. Рзаев, А. В. Самойлов. — Препринт
ИФВЭ 74-132. Серпухов, 1974.
199. Bohannon G. Target behavior calculations.— In: Proc. High Intensity
TargetingWorkshop, Fermilab, 1980, p. 85.
200. A high intensity beam dump for the Tevatron beam abort system/J. Kidd,
N. V. Mokhov, T. Murphy e.a.— In: Proc. Nat. Accel. Conf. Washington, 1981.
201. О нестационарных тепловых полях в сверхпроводящих магнитных сис-
темах при потерях высокоэнергетических частиц/А. Г. Дайковский, М. А. Мас-
лов, Н. В. Мохов, А. И. Федосеев.— Препринт ИФВЭ 77-139. Серпухов, 1977.
202. Мохов Н. В. Радиационные нагрузки и радиационный разогрев эле-
ментов конструкции высокоэнергетических ускорителей.—Жури, техн., физ.,
1979, т. 49, с. 1254.
203. Dixon R., Mokhov N. V., Van Ginneken A. Beam induced quench
study of Tevatron dipoles.— Fermilab Report FN 327, 1980
204. Зайцев Л. H. Проблема стабильности сверхпроводящих магнитов при
импульсном облучении.— ЭЧАЯ, 1980, т. 11, с. 525.
205. Маслов М. А., Мохов Н. В. О допустимом энерговыделении в сверхпро-
водящих обмотках магнитов при импульсном облучении частицами высоких
энергий.—Препринт ИФВЭ-81-128, Серпухов, 1981.
206. Protection measures for superconducting magnet units of the UNK against
radiation/V.I. Balbekov, S. L- Kuchinin, V. N- Lebedev e.a.— In: Proc. Work-
242
энергий.— Препринт ФИАН, 1976, № 160.
Аскарьян Г. А., Долгошеин Б. А Акустическая регистрация нейтрино
энергий.— Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, с. 232.
Dolgoshein В. Proc, of 1976 DUMAND Summer Workshop, 1976, Hawaii.
Березинский В. С., Зацепин Г. Т. Возможности экспериментов с косми-
нейтрино очень высоких энергий: проект ДЮМАНД -УФН, 1977,
shop on Possibilities and Limitations of Accelerators and Detectors, Fermilab,
Oct. 1978, Batavia, 1979.
207. Лебедев В. H., Мохов Н. В., Сычев Б. С. Состояние и проблемы физики
защиты ускорителей. — В сб.: Вопросы дозиметрии и защиты от излучений/
Под ред. В. К- Сахарова. М Атомиздат, 1979, вып. 18, с. 152.
208. Cossairt J. D., Mokhov N. V., Murphy C.T. Absorbed dose measurements
external to thick shielding at a high energy proton accelerator: comparison with
Monte-Carlo calculations. —Fermilab — Publ.— 81/59, 1981. Also Nucl. Instr.
Methods, 1982, vol. 197, p. 465.
209. Мохов H. В., Потемкин E. Л., Фролов В. В. Расчет распределений доз
в фантомах за защитой ускорителей па энергии 1 —1000 ГэВ.— Атомная энергия,
1975, т. 38, с. 42.
210. Дозы частиц высоких энергий (1 ГэВ —5 ТэВ) в тканеэквивалентных
фаитомах/В. Т. Головачик, Е. Л. Потемкин, В. Н. Лебедев, В. В. Фролов.— Пре-
принт ИФВЭ 74 58. Серпухов, 1974.
211. Alsmiller R. G., Jr., Armstrong Т. W., Coleman W. A. Absorbed and
equivalent dose for neutrons in the energy region from 60 to 2000 MeV and for
protons in the energy region from 400 to 3000 MeV.— Preprint ORNL-2924. Oak
Ridge, 1974.
212. Бритвич Г. И., Мохов Н. В. Энерговыделение в веществе от лептонов
высоких энергий— Препринт ИФВЭ 75-120. Серпухов, 1975.
213. Мохов Н. В., Потемкин Е. Л. Распределение поглощенной энергии
при эт—-захвате.— Тезисы докладов III Всесоюзного совещания по микродози-
метрии. М.: МИФИ, 1979, с. 62.
214. Байшев И. С., Лебедев В. Н., Мохов Н. В. Исследование характеристик
ядерно-эмульсионного дозиметра в диапазоне энергий нейтронов 0,5—300 МэВ.—
Атомная энергия, 1978, т. 44, с. 247.
ПРЕДМЕТНЫЙ
Адронная жидкость 72
— — уравнения состояния 73
Адрон-нуклонные взаимодействия 64,
71
— ядерные взаимодействия 67, 81
Аннигиляция позитрона и электрона
41 1
Бьеркеновская переменная 91
Быстрота 12
— центральная область 78
Векторной доминантности модель 91
Деполяризация кинематическая 61
Дерево траекторий 120, 168
Диаграмма лестничная 76
— мультипериферическая 74
— типа гребенки 76
Дисперсия 26
Идентификация частиц в калоримет-
рах 216
мюонов 216
электронов 217
Индикатриса рассеяния 22
Инклюзивные реакции 13
дифференциальное сечение 15
правила сумм 16
распределения в адрон ядерных вза-
имодействиях 70
— по поперечным импульсам 66
— по продольным импульсам 65
д>еномепологическое описание 94
Калориметр 204
адронный 212
гомогенный 208
многослойный 209
пространственное разрешение 214
с годоскопической структурой 215
с ячеистой структурой 215
электромагнитный 208
энергетическое разрешение 208, 212
Каскадная кривая ПО, 133, 137, 179
Каскадная теория 116
244
УКАЗАТЕЛЬ
приближение А 116
приближение Б 118
Кварки 6
спектаторы 87
структурный 6, 86
Комптоновское рассеяние 40
---- моделирование 131
Кинематические переменные 11
— — светового конуса 12
Корреляционная функция 17
Критическая энергия электрона 45,
107
Лептон ядерные взаимодействия 89
Масштабная инвариантность 19
Математическое ожидание 26
Метод Монте-Карло 26
моделирование электрон-фотонного
ливня 120
ядерно-электромагннтного каскада
161
Многократное кулоновское рассеяние
49
в толстом слое вещества 51, 189
в тонком слое вещества 49
моделирование 131
Множественность средняя 64, 69
Модель взаимодействия 71
---- аддитивная кварковая 86
----внутриядерного каскада 81
— кварк-партонная 65 85 91
— многократного перерассеяния ну-
клонов 93
— мультипериферическая реджев-
ская (МР) 74, 84
— статистическая гидродинамиче-
ская (СГ) 72, 81
Мольеровская единица длины 112
Образование пар 36
моделирование 130
мюоном 37
фотоном 36
Переходный эффект 211
Плато Ферми 42
Плотность потока частиц 21
локальная оценка 29
оценка по столкновениям 28
__ по пробегу 28
Полюс Редже 75
Поляризация мюона 60, 61
— среды 33, 42
Потери энергии 41, 189
ионизационные 41
на излучение 45, 193
флуктуации 43, 195
Прямые мюоны 188
Радиационная длина 32, 107, 108
— защита 228
Радиационный разогрев 224, 226
Распад нестабильных частиц 53
двухчастичный 56
длина 54
трехчастичный 60
Рассеяние электронов 40
— позитронов 41
---- моделирование 129
Реджеон 75
— траектория 75
Резерв энтальпии 225
Сечение реакции 13
поглощения 69
дифференциальное 13, 15
макроскопическое 22
Система отсчета 19
антилабораторная 10
лабораторная 10
центра инерции 11
Скейлинг 19
Соотношение пробег—энергия 189
Спектрометр полного поглощения
205
Термоакустический механизм генера-
ции звука 218
Тормозное излучение 30
моделирование 128
мюона 34
электрона 30
Угол вылета 57
— разлета 58
Уравнения переноса 21
диффузное приближение 24
методы решения 140
нестационарные 23
односкоростные 23
приближение прямо вперед 23
стационарные 22
Фейнмановская переменная 12
Фоторождение 38, 90
Фотоэффект 40
Функция чувствительности детектора
25
Фрагментация 19
— области 18, 79
Электрон-фотонный ливень (ЭФЛ)
7, 106
возраст 118
моделирование 120
решение уравнений 116
Эффект Ландау — Померанчука 33
Эффективность оценки 29
Ядерная трубка 82
Ядерно-каскадные уравнения 21, 140
аналитические методы решения 143
численные методы решения 149
Ядерно-электромагнитный каскад
(ЯЭК) 5, 161
акустическое излучение 218
моделирование 161
решение уравнений 140
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................ 3
Глава 1. Ядерно-электромагнитный каскад......................... 5
1.1. Общие замечания........................................... 5
1.2. Взаимодействие быстрой частицы со средой.................. 6
1.3. Основные понятия физики множественных процессов . ... 10
1.4. Основные понятия и уравнения теории переноса..............21
1.5. Метод Монте-Карло в задачах переноса излучения........... 26
Глава 2. Процессы электромагнитного взаимодействия частиц с веще-
ством. Распады нестабильных частиц ........................... 30
2 1. Тормозное излучение.....................................30
2.2. Процесс образования электрон-позитронных пар..............36
2.3. Неупругое взаимодействие мюонов с атомными ядрами........38
2.4. Взаимодействие электронов и фотонов с атомными электронами. 39
2.5. Потери энергии заряженными частицами, обусловленные элект-
ромагнитными взаимодействиями.................................41
2.6. Многократное кулоновское рассеяние ..................49
2.7. Распады нестабильных частиц...............................53
Глава 3. Методы описания процессов множественного образования
адронов при высоких энергиях ................................. 62
3.1. Предварительные замечания................................ 62
3.2. Основные экспериментальные данные........................ 64
3.3. Теоретические модели множественных процессов..............71
3.4. Феноменологическое описание инклюзивных спектров..........94
Г л а в а 4. Электрон-фотонные ливни..............................106
4.1. Качественные закономерности развития электрон-фотонного
ливня........................................................106
4.2. Основные количественные характеристики электромагнитного
каскада. Определения.........................................113
4.3. Основные результаты аналитических решений задачи о развитии
электромагнитного ливня ..................................... 116
4.4. Моделирование электрон-фотонного ливня методом Монте-Кар-
ло ...........................................................120
4.5. Результаты экспериментальных и теоретических исследований
электромагнитных ливней................................. ... 133
Глава 5. Методы решения уравнений нуклон-мезонного каскада .... 140
5.1. О приближенных методах расчета каскадов...................140
5.2. Решение уравнений переноса космического излучения.........141
5.3. Аналитические методы расчета переноса высокоэнергетического
излучения.....................................................143
5.4. Численные методы решения ядерно-каскадных уравнений . . . 149
5.5. Методы решения уравнений переноса адронов промежуточных
энергий.......................................................154
5.6. Решение краевой задачи переноса низкоэнергетических нейтронов
и вторичных фотонов...........................................156
246
Глава 6. Исследование ядерно-электромагнитных каскадов методом
Монте-Карло........................................................161
6.1. Метод Монте-Карло в задачах переноса частиц высокой энер-
гии ..........................................................161
6.2. Схемы моделирования и вычислительные программы..........162
6.3. Моделирование ядерно-электромагнитных каскадов в комплек-
се MARS.......................................................166
6.4. Некоторые характеристики ядерно-электромагнитных каскадов 179
Глава 7. Мюоны высоких энергий....................................188
7.1. Образование мюонов и особенности их взаимодействий .... 188
7.2. Расчеты прохождения ультрарелятивистских мюонов через ве-
щество. Флуктуации потерь энергии.............................193
7.3. Мюоны при развитии адронных каскадов.....................200
Глава 8. Примеры применения методов и результатов исследования
ядерно-электромагнитных каскадов...............................204
8.1. Калориметры (спектрометры полного поглощения)............204
8.2. Акустическая регистрация частиц высоких энергий..........218
8.3. Моделирование физических экспериментов и радиационные про-
блемы ........................................................224
Значения некоторых констант и физических величин...........232
Список литературы. ... -..........................................234
Предметный указатель .............................................244
Александр Николаевич Калиновский,
Николай Вениаминович Мохов,
Юрий Петрович Никитин
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ
ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
Редактор 3. Д. Андреенко
Переплет художника О. В. Камаева
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Технический редактор Л. Ф. Шкнлевич
Корректор 3. Б. Драновская
ИБ № ИЗО
Сдано в набор 04.06.84. Подписано в печать 21.02.85. Т-06666.
Формат 60Х90'/1б Бумага кн.-журн. нмп.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 15,5.
Усл. кр.-отт. 15,5. Уч.-изд. л. 17,97. Тираж 770 экз. Заказ 2У5.
Цена 2 р. 50 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговл -
129041, Москва, И-41, Б. Переяславская ул., 46.