Текст
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Том I
ПЕРЕВОД С ЛАТИНСКОГО
С.Я.ЛУРЬЕ V. М.Я.ВЫГОДСКОГО
ПРЕДИСЛОВИЕ
М.Я.ВЫГОДСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА • 1956
11-5-4
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ ПЕРВОГО ТОМА
«ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ» Л. ЭЙЛЕРА
Трехтомное «Интегральное исчисление» Эйлера завершает грандиоз-
ный курс математического анализа и его геометрических приложений;
первым звеном этого курса является двухтомное «Введение в анализ
бесконечно малых» (1748, 1749), вторым—«Дифференциальное исчисление»
(1755)2). К работе над «Интегральным исчислением» Эйлер приступил
в октябре 1759 г. Через четыре года, в декабре 1763 г., Эйлер сообщал
(в письме к X. Гольдбаху), что рукопись «Интегрального исчисления»
завершена полностью. Но, по-видимому, в течение ряда лет, протекших
до печатания «Интегрального исчисления» (первый том вышел в 1768 г.,
второй—в 1769 г., третий—в 1770 г.), Эйлер вносил в рукопись существен-
ные дополнения; так, в главе VI второго раздела первого тома он излагает
«не так давно найденные результаты» относительно интегрирования
(в алгебраическом виде) уравнения
dx dy
У АА 2Бх + Сх2 + /А + 2Ву + Су2 + 2Пр + Еу* '
Эти результаты были впервые опубликованы Эйлером в 1767 г., т. е
за год до публикации первого тома «Интегрального исчисления».
Термин «интегральное исчисление» в эпоху Эйлера употреблялся
в гораздо более широком смысле, чем теперь. Лишь небольшая часть труда
Эйлера посвящена интегрированию функций; остальные разделы охваты-
вают интегрирование дифференциальных уравнений—обыкновенных и с
частными производными. Как и всегда, излагая материал строго систе-
матически и в высшей степени популярно, Эйлер почти в каждой главе
доводит изложение до результатов, открытых буквально в последние дни
перед написанием трактата. Огромное большинство этих новых результа-
тов принадлежит самому Эйлеру. В «Интегральном исчислении» эта
манера Эйлера особенно ощутительна, так как теория дифференциальных
уравнений находилась в это время в стадии интенсивной разработки,
тогда как материал «Введения в анализ» и «Дифференциального исчисле-
ния» в значительной мере приобрел устоявшиеся формы.
С другой стороны, методика изложения в «Интегральном исчислении»
во многих отношениях ближе к современной, чем в предшествующих частях
курса. Например, интегрирование функций или элементарные методы
Э Русские переводы этих работ:
Леонард Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, т. 1, ОНТПЪ
1936.
Леонард Эйлер, Дифференциальное исчисление, Гостехиздат, 1949.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ ПЕРВОГО ТОМА
интегрирования дифференциальных уравнений излагаются и сейчас почти
в той же форме, в какой их впервые изложил Эйлер. Причиной этого
является, пожалуй, то обстоятельство, что в упомянутых разделах веду-
щую роль играет формальный элемент, и непревзойденное конструктивное
мастерство Эйлера оказало определяющее влияние на всю позднейшую
учебную литературу.
Конечно, доверие Эйлера к силе аналитического аппарата и к индуктив-
но найденным закономерностям потребовало позднее новой, более углуб-
ленной трактовки вопросов существования и единственности. Но даже и там,
где Эйлер игнорирует количественные оценки, позднейшие исследования
сохранили многие структурные черты изложения Эйлера; чтобы убедиться
в этом, достаточно познакомиться, скажем, с эйлеровой теорией прибли-
женного интегрирования дифференциальных уравнений (см., например,
в настоящем томе §§ 650—667).
В предисловии к новейшему изданию «Интегрального исчисления»г)
Л. Шлезингер, высказывая мысль, что Эйлер пришел бы к количествен-
ному методу, если бы он «поставил задачу действительно определить
величину допущенной погрешности», говорит, что история математики
еще должна осветить вопрос, почему математики XVIII века и в их числе
такие, как Эйлер и Лагранж, не пошли по пути, который спустя несколько
десятилетий проложили Гаусс, Больцано, Коши и Абель. На этот во-
прос мы сделали попытку ответить во вступительном слове к «Дифферен-
циальному исчислению» Эйлера 1 2); мы полагаем, что высказанные там
соображения применимы в полной мере и к «Интегральному исчислению»
Эйлера.
Нет сомнения в том, что «Интегральное исчисление» Эйлера знаме-
нует историческую эпоху в развитии математического анализа. Но этим
не ограничивается значение этого труда. Идейное его богатство и по настоя-
щее время не исчерпано полностью. В кратком очерке показать это нелег-
ко, и поэтому мы предпочитаем отослать читателя к недавно опублико-
ванным статьям3) Н. И. Симонова и Ф. И. Франкля, оставляя за собой
возможность позднее вернуться к этой теме, отметив и некоторые пункты
несогласия с упомянутыми авторами.
Не случайно поэтому, что «Интегральное исчисление» издавалось
чаще, чем другие курсы Эйлера; Петербургская академия наук издавала
его четырежды: в 1768—1770 гг., в 1792—1793 гг., в 1824—1827 гг. и в
1895 г. (в последнем издании—только третий том). Эйлер лишился зре-
ния в 1766 г. и корректур «Интегрального исчисления» читать не мог.
Поэтому в первом издании оказалось большое количество ошибок, лишь
частично исправленных в последующих трех. Редакторам новейшего
издания латинского оригинала Л. Шлезингеру и Ф. Энгелю мы обязаны
очень тщательным исправлением текста.
«Интегральное исчисление» не раз переводилось на живые языки,
но в переводе на русский язык оно появляется впервые. Объем работы и ее
срочность сделали необходимым разделить труд перевода между несколь-
1)Leonhardi Euler i, Opera omnia, v. 1, Берлин, 1913.
2) И несколько подробнее в статье «Математическая строгость в 18 веке», Инсти-
тут истории естествознания АН СССР, Труды совещания по истории естествознания,
1947, стр. 183—190.
3) Н. И. Симонов, О научном наследии Леонарда Эйлера в области диффе-
ренциальных уравнений,—Историко-математические исследования под ред. Г. Ф. Рыб-
кина и А. П. Юшкевича, Гостехиздат, 1954, стр. 513—595.
Ф. И. Ф р а н к л ь, Об исследованиях Л. Эйлера в области теории уравнений
в частных производных,—там же, стр. 596—624.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ ПЕРВОГО ТОМА
о
кими лицами; при этом были приняты меры к обеспечению единства
принципов перевода и терминологии. Вернейшим способом достижения
этой цели является стремление добиваться возможно большей близости
перевода к оригиналу. В тех случаях, когда такая близость могла бы поме-
шать правильному пониманию мысли Эйлера, переводчики первого тома
предпочитали дать необходимые пояснения в примечаниях.
Конечно, перевод математического трактата нельзя приравнять к пе-
реводу художественного произведения, но все же слова А. С. Пушкина:
«подстрочный перевод никогда не может быть верным», сказанные им
по поводу французского перевода «Потерянного рая» Мильтона, в извест-
ной мере справедливы и по отношению к научному сочинению. Язык
«Интегрального исчисления» Эйлера труднее, чем язык других его курсов,
может быть, потому, что на стилистическую обработку у автора не хвати-
ло времени, но, пожалуй, в большей мере вследствие новизны тематики.
В «Интегральном исчислении» гораздо больше «беллетристических» пояс-
нений, гипотетических высказываний и общих оценок. Во всех подобных
случаях мы стремились к точному воспроизведению мысли автора, а не
буквы, а в примечаниях приводили соответствующие выдержки из латин-
ского текста. Содержащиеся в примечаниях математические и историче-
ские пояснения принадлежат М. Я. Выгодскому. Были использованы
также примечания Л. И. Шлезингера и Ф. Энгеля; они отмечены инициа-
лами Л. Ш. и Ф. Э. Слова, добавленные переводчиками по стилистическим
соображениям, заключены в квадратные скобки.
В ряде случаев обозначения Эйлера заменены, но в таких случаях
всегда указываются обозначения оригинала. В вопросе о том, какие обо-
значения подлежат изменению, а какие нет, мы старались придерживаться
новейшего издания «Интегрального исчисления».
Пользуемся случаем выразить глубокую признательность 3. Г. Ли-
бину за его помощь в работе над переводом.
М. Я. Выгодский
ъ
о
Леонард Эйлер
ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГДЕ ИЗЛАГАЮТСЯ ОСНОВНЫЕ
НАЧАЛА МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ВПЛОТЬ ДО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Bill
Stil
Ю
g|W®
IBB
/ /' ; :
Jmpenfis Academue.: i^'penajis. Scjentia r um
SlilflliiSSIl^^
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
1. Интегральное исчисление есть метод, посредством которого по
данному соотношению между дифференциалами количеств находят соот-
ношение между самими количествами, а действие, с помощью которого
это достигается, называется интегрированием.
СЛЕДСТВИЕ 1
2. Значит, в то время как дифференциальное исчисление учит нахо-
дить соотношение между дифференциалами по данному соотношению между
переменными количествами, интегральное исчисление дает метод реше-
ния обратной задачиг).
СЛЕДСТВИЕ 2
3. В анализе * 2) постоянно попарно противоставляются друг другу два
действия, как, например, вычитание противоставляется сложению, деле-
ние—умножению, извлечение корня—возведению в степень. Подобным
же образом интегральное исчисление противоставляется дифференциаль-
ному исчислению.
СЛЕДСТВИЕ 3
4. Если предложено некоторое соотношение между двумя пере-
менными количествами х и у, то дифференциальное исчисление дает метод
разыскания отношения дифференциалов 3) dy : dx\ если же, наоборот, по
этому отношению дифференциалов требуется определить соотношение
самих количеств х и у, то эта задача относится к интегральному ис-
числению.
ПОЯСНЕНИЕ4) 1
5. В дифференциальном исчислении5) я уже отметил, что задачу ра-
зыскания дифференциалов нужно понимать не в абсолютном, а в относи-
г) В оригинале methodum inversam suppeditat (дает обратный метод).
2) Под анализом Эйлер понимает как алгебру (анализ конечных количеств),
так и анализ бесконечно малых.
3) Эйлер всюду пользуется обозначениями дх, ду и т. д., т. е. символ d обозна
чает курсивной буквой.
4) Scholion.
6) Л. Эй лер, Дифференциальное исчисление, перевод с латинского, вступи-
тельная статья и примечания М. Я. Выгодского, Гостехиздат, 1946, § 120, стр. 105,
Далее цитируется «Дифференциальное* исчисление».
10 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ
тельном смысле; это значит, что если у есть некоторая функция от х, то
нужно определить не столько сам ее дифференциал dy, сколько его отно-
шение к дифференциалу dx. Действительно, так как все дифференциалы
сами по себе равны нулю1), то какова бы ни была функция?/ количества я,
всегда dy = 0; таким образом, в абсолютном смысле здесь чего-нибудь боль-
шего нельзя и искать. Правильная же постановка вопроса такова:
х получает бесконечно малое, т. е. исчезающее 2) приращение dx\ требуется
определить, как относится к dx приращение, которое вследствие этого
получает функция у. Правда, оба приращения = 0; однако между ними
существует определенное отношение, которое и находится надлежащим
образом в дифференциальном исчислении. Так, если у^=х2, то, как
доказывается в дифференциальном исчислении, = 2х\ и это отношение
приращений верно лишь в том случае, если приращение dx, которым поро-
ждается dy, считать равным нулю3). Тем не менее, после того как сделано
это предостережение об истинном понятии дифференциала, допустимо
пользоваться и общепринятыми выражениями, в которых о дифференциа-
лах говорится как бы в абсолютном смысле, лишь бы мысленно всегда
иметь в виду истину. Так, мы вправе сказать: если?/ — х2, то dy = 2х dx.
Правда, если бы кто-либо сказал, что dy==2>xdx или что dy^^xdx, то
и это не будет ложным, ибо также и эти равенства имеют место вслед-
ствие того, что dx—О и dy — О. Но лишь первое равенство согласуется
с истинным отношением ~ = 2х.
dx
ПОЯСНЕНИЕ 2
6. У англичан дифференциальное исчисление называется методом
флюксий; сообразно с этим интегральное исчисление называется у них
«обратным методом флюксий», поскольку интегральное исчисление ведет
обратно от флюксий к текущим количествам4). Дело в том, что количе-
ства, которые мы называем переменными, англичане называют более
удобным наименованием «текущие количества», а их бесконечно малые
или исчезающие приращения называют флюксиями, так что для них
флюксии— это то же, что для нас дифференциалы5).
Это отличие в наименованиях уже настолько укоренилось, что вряд
ли следует ожидать, чтобы когда-либо было достигнуто согласование.
Я право же охотно заимствовал бы у англичан их словесные выражения,
но обозначения, которыми пользуемся мы, на мой взгляд, заслуживают
Э Дифференциальное исчисление, стр. 91—93, а также предисловие перевод-
чика, стр. 25—29.
2) evanescens; у Эйлера этот термин обозначает количество, равное нулю (оно
мыслится как постоянное).
3) neque hanc inerementorum rationem esse veram nisi inc rementum dx ex quo dy
nascitur, nihilo aequale statuatur.
4) quantitates fluentes, отсюда название «флюенты», т. e. «текущие» (подразуме-
вается— количества).
5) Английские математики, следуя Ньютону, обычно называли дифференциалы
«моментами»; понятие же флюксии соответствовало теперешнему понятию производ-
ной (за аргумент принималось время или иная величина, пропорциональная вре-
мени). Различие между флюксией и моментом, конечно, в данной связи несущественно,
так как Эйлер рассматривает по сути дела (см. предыдущий пункт) лишь отно-
шения дифференциалов, а они соответственно равны отношениям производных по
времени.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ Ц
безусловного предпочтения перед обозначениями англичан. Однако так
как вышло уже много книг, написанных тем и другим способом, то такого
рода согласование не принесло бы никакой пользы1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
7. Поскольку дифференциал какой-либо функции от х имеет вид X dx,
пусть теперь предложено такое дифференциальное выражение Xdx, в ко-
тором X есть какая-либо функция от х\ тогда та функция, дифференциал
которой = X dx, называется его интегралом и обозначается знаком , по-
ставленным спереди2), так что X dx обозначает то переменное коли-
чество, дифференциал которого = X dx.
СЛЕДСТВИЕ 1
8. Значит, в интегральном исчислении должно быть объяснено, каким
образом надлежит находить интеграл данного дифференциального выра-
жения X dx, т. е. ту функцию от х, дифференциал которой = X dx
и которая обозначается записью X dx.
СЛЕДСТВИЕ 2
9. Подобно тому как буква d есть знак дифференцирования, букву
мы применяем как знак интегрирования; поэтому эти два знака вза-
имно противоположны и как бы уничтожают друг друга, т. е. dX
будет = X: ведь знаком dX обозначается то количество, дифференциал
которого есть dX, а таким количеством и является X.
СЛЕДСТВИЕ 3
10. Так как дифференциалы следующих функций от х
х2, хп, а2 — х2
суть
2xdx, nxn~xdx,-----Лdx ,
то, пользуясь знаком интегрирования , мы, очевидно, получим:
\2xdx~x2', \nxn~1dx = xn; {------------~х dx л2 — х2.
J J J /а2—г
Отсюда яснее видно, как применяется этот знак.
г) huiusmodi conciliatio nullum usum esset habitura.
2) Эйлер пользуется общепринятой в его время записью знака интеграла
т. е. курсивным начертанием буквы s. Это обозначение введено Лейбницем, который
употреблял его уже в рукописи в 1675 г. В печати оно появилось в 1684 г. Буква s есть
сокращенное обозначение слова summa (так Лейбниц называл интеграл). Термин «ин-
теграл» (от слова integer—целый) введен Яковом Бернулли в 1690 г.
12 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ
ПОЯСНЕНИЕ 1
11. На первый взгляд представляется, что здесь в расчет входит
только одно переменное количество, и все же мы утверждаем, что как
в дифференциальном, так и в интегральном исчислении всегда рассмат-
ривается отношение двух или большего числа дифференциалов. Дей-
ствительно, хотя здесь появляется только одно переменное количество х,
однако на самом деле рассматриваются два количества: второе —это сама
функция, за дифференциал которой мы принимаем X dx. Если обозначить
ее буквой у, то будем иметь dy—Xdx, т. е. ~^=Х. Таким образом, здесь
предполагается отношение дифференциалов dy : dx, которое = X; отсюда
будем иметь у--= X dx, и надо считать, что этот интеграл мы находим не
столько из самого дифференциала Xdx (который при всяких обстоя-
тельствах = 0), сколько из его отношения к dx. Кстати сказать, знак \
обычно толкуется как начальная буква слова «сумма» х). Это толкование
возникло из мало подходящего представления* 2), согласно которому
интеграл рассматривается как сумма всех дифференциалов, и допустить
его можно не с большим правом, чем широко распространенное пред-
ставление, будто линии состоят из точек.
ПОЯСНЕНИЕ 2
12. Интегральное исчисление применяется гораздо шире, чем к инте-
грированию выражений, содержащих только одно переменное. В этом част-
ном случае мы находим функцию одного переменного по данному выра-
жению ее дифференциала; таким же образом интегральное исчисление
должно быть распространено на разыскание функции двух или большего
числа переменных, когда задано какое-либо соотношение между диффе-
ренциалами. Далее, интегральное исчисление не ограничивается только
дифференциалами первого порядка, но должно также дать правила, с помо-
щью которых можно находить функции как одного, так и двух или боль-
шего числа переменных, когда дано некоторое соотношение между диффе-
ренциалами второго или более высокого порядка. Вот почему мы построи-
ли определение интегрального исчисления таким образом, чтобы оно
включало в себя все вышеупомянутые исследования. В этом определении
под словом «дифференциалы» надо понимать дифференциалы любого
порядка, а говоря о соотношении, которое задается между ними, я упо-
требил слово соотношение для того, чтобы оно имело более широкий смысл,
чем слово отношение, которое казалось бы выражающим сравнение лишь
двух дифференциалов. На основании сказанного мы можем установить
следующее подразделение интегрального исчисления.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3
13. Интегральное исчисление разделяется на две части. Первая из них
излагает метод нахождения функции одного переменного по тому или
иному данному соотношению между ее дифференциалами как первого,
так и более высокого порядка.
г) См. предыдущее подстрочное примечание.
2) ex conceptu рагшп idoneo.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕРВАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 13
Вторая же часть содержит метод нахождения функции двух или
большего числа переменных, когда предложено соотношение между ее
дифференциалами первого или какого-либо более высокого порядка.
СЛЕДСТВИЕ 1
14. Итак, функция, которую требуется найти по данному соотношению
дифференциалов, может содержать лишь одно переменное, а может со-
держать и два или большее число, и в зависимости от этого интегральное
исчисление удобно разделить на две главные части, изложению которых
мы посвящаем две книги.
СЛЕДСТВИЕ 2
15. Итак, всегда предметом интегрального исчисления является
нахождение функций либо одного, либо многих переменных, причем, ра-
зумеется, задается какое-нибудь соотношение между дифференциалами
первого или какого-нибудь более высокого порядка.
ПОЯСНЕНИЕ
16. Так как мы здесь отнесли к первой части интегрального исчисле-
ния разыскание функций одного переменного по данному соотношению
дифференциалов, то может показаться, что надо ввести еще ряд частей
соответственно числу переменных, входящих в функцию, так чтобы вторая
часть содержала функции двух переменных, третья—трех, четвертая—
четырех и т. д. Однако же в этих последующих частях применяется почти
один и тот же метод, так что, если мы будем в состоянии находить функции,
•содержащие два переменных, то станет достаточно ясным и переход
к функциям, содержащим большее число переменных. Вот почему мы
нашли удобным объединить нахождение функций двух и большего числа
переменных и составить из этого лишь одну часть интегрального исчисле-
ния, которая будет изложена во второй книге.
Не лишне отметить, что эта вторая часть еще никогда не излагалась
в руководствах, хотя ее применение в механике, и особенно в учении
о жидкостях, принесло бы очень большую пользу. Но так как в этой обла-
сти почти ничего еще не исследовано, кроме первых зачатков, то наша
вторая книга интегрального исчисления будет весьма мало плодотворной,
и от нее не следует ожидать многого сверх упоминания о том, чего еще
остается желать. Однако, как мне кажется, уже и это принесет большую
пользу для дальнейшего развития науки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4
17. Каждая из двух книг, составляющих интегральное исчисление,
удобно подразделяется на части, сообразно порядку дифференциалов, из
соотношения которых нужно найти искомую функцию. Именно', первая
часть имеет дело с соотношением между дифференциалами первого по-
рядка1), а вторая—с соотношением между дифференциалами второго по-
рядка', сюда же можно отнести и дифференциалы высших порядков, так
как найденные результаты пока еще скудны.
т) primi gradus; дословно «первой ступени».
14 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ
СЛЕДСТВИЕ 1
18. Итак, каждая из двух книг будет состоять из двух частей. В пер-
вой из них будет рассматриваться соотношение между дифференциалами
первого порядка; во второй же мы встретимся с такими интегрированиями,
где задается соотношение между дифференциалами второго или более
высоких порядков.
СЛЕДСТВИЕ 2
19. Таким образом, в первой части первой книги ставится задача о
разыскании такой функции переменного х ^положим эту функцию = у
и = р . чтобы выполнялось некоторое заданное соотношение между
тремя количествами х, у, р. Иначе говоря: дано некоторое уравнение
с этими тремя количествами; требуется найти природу этой функции,
т. е. уравнение между х и у, не содержащее р.
СЛЕДСТВИЕ 3
20. Задачи же второй части первой книги будут ставиться так: ПОЛО-
СА dp dq
жим — р, - , = /• и т. д. и пусть предложено какое-либо уравне-
uU/ Ltd/ (Lx
ние, содержащее количества х9 у, р, q и. т. д.; требуется найти выражение
функции у через х или уравнение, связывающее х и у.
ПОЯСНЕНИЕ 1
21. Большую часть того, что до сих пор было сделано в интегральном
исчислении, надо будет отнести к первой части первой книги, так как на
разработку ее [материала] геометры направили свои усилия в первую
очередь; в той области, которая составляет содержание второй части, сде-
лано мало, а вторая наша книга до сих пор оставалась почти пустой.
Что касается первой части первой книги, которой главным образом
исчерпывается содержание нашего сочинения, то оаа в свою очередь раз-
бивается на ряд разделов сообразно с типом заданного соотношения
между количествами х9 у и = Соотношение будет самым простым
dy Y
по сравнению с другими, когда р = равняется какои-либо функции
от х, так что, полагая эту функцию — X, имеем ~ — X или dy—Xdx. В этом
случае все дело сводится к интегрированию дифференциального выраже-
ния X dx. Об этой операции мы уже упоминали выше. Ее обычно назы-
вают интегрированием простых дифференциальных выражений1) или инте-
грированием дифференциальных выражений, содержащих только одно
переменное. Дело сведется к тому же, если р — ^ будет равняться функ-
ции одного только количества у, ибо взаимная связь количеств х и у
такова, что каждое из них можно рассматривать как функцию другого.
Значит, и этот случай надо отнести к первому разделу. Если же р—
В оригинале formularum—формул.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 15
будет равно выражению, содержащему оба количества х и у, то будем
иметь дифференциальное уравнение вида Р dx-\~Q dy = 0, где Р и Q суть
какие-либо выражения1), составленные из х, у и постоянных количеств.
Хотя геометры пролили немало пота над интегрированием такого рода
уравнений, однако они продвинулись лишь едва дальше нескольких слу-
чаев довольно частного характера. Если же р определяется через х и у
более сложным образом, так что его значение не может быть представлено
явно, например, если
р5 — х2р3 * — хур + х5 — у5,
то остается неизвестным даже и путь, на котором можно пытаться отыскать
отсюда соотношение между х и у\ поэтому то немногое, что можно здесь
сказать по этому поводу, будет помещено вместе с вышеупомянутыми
случаями во втором разделе первой части первой книги. Итак, из всего
нашего сочинения выяснится в гораздо большей степени то, чего еще
остается желать, чем то, что уже сделано, ибо первое по сравнению со
вторым нужно считать лишь ничтожной частицей.
ПОЯСНЕНИЕ 2
22. В каждой из частей, о которых сказано выше, бываёт и так, что
надо отыскать не одну какую-либо функцию, а несколько сразу, причем
ни одну из них нельзя определить без помощи остальных, как в обыкно-
венной алгебре, где для решения задачи бывает нужно ввести в исчисление
несколько неизвестных, которые потом надо определить с помощью столь-
ких же уравнений. Может, например, случиться, что надо найти такие
две функции у и z количества х, чтобы
х dy-\- az2 dx = 0 и х2 dz + bxy dy = с dy.
Отсюда могли бы составиться новые подразделения нашего сочинения.
Но здесь, как и в обыкновенной алгебре, все дело сводится к исключению
одной буквы, чтобы в дальнейшем остались только два переменных
в одном уравнении. Поэтому, как мне кажется, нет нужды усложнять
изложение.
ПОЯСНЕНИЕ 3
23. Во второй книге интегрального исчисления, где отыскивается
функция двух или большего числа переменных по данному соотношению
между дифференциалами, разбираемые задачи гораздо более разнообраз-
ны. Пусть надо найти функцию z двух переменных х и t, и пусть ( ~~
означает отношение ее дифференциала к dx, когда переменным считается
только х, а — отношение ее дифференциала к dt, когда за перемен-
ное принимается только t 2). Первая часть будет содержать задачи следу-
expressiones.
2) Для обозначения частных производных Эйлер пользуется записью ’
( *
\ dt ) и т* п*’ гДе ск0^ки употребляются, чтобы отличить частные производные
от обыкновенных; см. подстрочное примечание к § 4 (стр. 9). Поскольку обозначе-
ния обыкновенных и частных дифференциалов у Эйлера одинаковы, мы для сохра-
нения этого единообразия пользуемся всюду знаком d.
16 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ
ющего рода: предложено некоторое определенное соотношение между
количествами х', t, z и —; задача состоит в том, чтобы найти
уравнение, связывающее только количества х, t и z. Отсюда будет
видно, какой функцией от х и t является z. Во второй части, кроме
о / dz \ / dz \ „ / d*z \
выражении ( 1 и ( \, в расчет войдут еще выражения ( \ ,
/ d* 2z \ / d2z \ х) тт /dz \
( dxdt ) и I di2 ) ’ смысл нужно понимать так: положим ( } = р
и = 7; здесь р и q снова будут некоторыми функциями от х и
Тогда при обозначениях, сходных с прежними, будем иметь:
( Л _ Л dp \ / d2z \ __ Л dp'X __ / dq \ . у d2z \ ___ / dq \
У dx2 J v dx ) ’ \ rfx dt J dt ) \dx ) 1 dt2 ) dt ) '
По данному соотношению, связывающему эти выражения и преды-
дущие, а вместе с тем и сами количества х, i, z, надлежит найти уравне-
ние, связывающее только эти три количества х, £, z. Такого рода задачи
часто встречаются в механике и гидравлике при исследовании движения
упругих тел и жидкостей. Поэтому крайне желательно, чтобы этот вто-
рой раздел второй книги интегрального исчисления был разработан со
всей тщательностью. Но нам не понадобится распространять это иссле-
дование на дифференциалы высших порядков, так как до сих пор не изу1-
чались еще никакие вопросы, которые потребовали бы столь значитель-
ного развития интегрального исчисления.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5
24, Если функции, которые в интегральном исчислении должны быть
найдены по соотношению между дифференциалами, не могут быть пред-
ставлены алгебраически, то они называются трансцендентными, посколь-
ку их подсчет2) превосходит (transcendit) силы обыкновенного анализа 3),
1 СЛЕДСТВИЕ 1
25. Итак, всякий раз, как интегрирование не удается4), надо считать
функцию, которую требуется получить путем интегрирования, трансцен-
дентной. Так, если дифференциальное выражение Xdx не допускает
интегрирования, то его интеграл, обозначаемый §Xdx, есть трансцендент-
ная функция от х.
СЛЕДСТВИЕ 2
26. Отсюда понятно, что если у будет трансцендентной функцией от
х, то и обратно х будет трансцендентной функцией от у, и в результате
такого обращения получаются новые трансцендентные функции.
_ / ddz\ f ddz\ S' d dz \
)в °ригинале < w
2) ratio—^десь это слово надо, повидимому, понимать в его первоначальном
смысле (счет, подсчет), а не в специальном математическом (отношение).
3) То есть алгебры.
4) Non succedit; см. ниже § 30.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 17
СЛЕДСТВИЕ 3
27. Соответственно различным частям и разделам интегрального исчи-
сления возникают еще более многочисленные роды трансцендентных
функций; более того, их число возрастает беспредельно. Отсюда ясно,
какое множество количеств из числа всех возможных нам еще неизвестно.
ПОЯСНЕНИЕ 1
28. Еще до того, как мы вступили в область анализа бесконечно малых,
мы имели возможность познакомиться с некоторыми видами трансцен-
дентных функций. Первый из них нам дало учение о логарифмах; ведь
если у означает логарифм отд;, так что у = /я1), то у безусловно будет транс-
цендентной функцией от х\ таким образом, логарифмы представляют
собой как бы первый вид трансцендентных функций. Затем, так как из
уравнения у — 1х в свою очередь х = еу 2), то также и х безусловно будет
трансцендентной функцией от у; такие функции называются показатель-
ными. Далее, рассмотрение углов открыло нам другой род трансцендент-
ных функций: так, если угол, синус которого = s, мы положим так
что с& = Arcsin s3), то нет никакого сомнения, что есть трансцендентная
и, более того, бесконечно многозначная 4) функция от $. Так как, обращая,
мы получаем $ = sin 5), то синус $ будет также трансцендентной функцией
угла <р6). Хотя с этими трансцендентными функциями мы познакомились
без помощи интегрального исчисления, однако же мы сталкиваемся с ними
уже, так сказать, на самом пороге интегрального исчисления; а их природа
нам уже так хорошо известна, что их почти что можно причислить
к алгебраическим функциям. Поэтому в интегральном исчислении, коль
скоро найденные там трансцендентные функции можно свести к логариф-
мам или углам, мы всегда смотрим на них как на алгебраические.
ПОЯСНЕНИЕ 2
29. Интегральное исчисление возникло из обращения дифференциаль-
ного исчисления, и потому оно приводит нас к познанию нового рода
величин наравне с остальными обратными методами. Так, если от новичка,
только что приступившего к изучению начал математики, не требуется
ничего, кроме знания целых положительных чисел, то, овладев сложением,
он тотчас же переходит к обратному действию, т. е. к вычитанию; тогда
он приобретает понятие об отрицательных числах. Затем, изучив умно-
жение и перейдя к делению, он там получит понятие о дробях. Далее, изу-
чив возведение в степень, он с помощью обратного действия предпримет
извлечение корней; так как это часто не удается, то ученик приобретет
понятие об иррациональных числах, и это знание считается достаточным
т) Обозначение Z.r Эйлер употребляет как для натуральных («гиперболических»)
логарифмов, так и для логарифмов с любым основанием (см. §§ 3, 9 и 87). Там, где
рассматриваются натуральные логарифмы, это специально оговаривается (ср. § 43).
2) В соответствии со сказанным в предыдущем примечании здесь е—произвольное
число.
3) В оригинале Arc. sin. 5.
4) infinitiformis.
5) В оригинале sin. Ф.
6) Слово «синус» в этой фразе употреблено не в смысле наименования функции,
а как название величины s, которая рассматривается как синус угла ср.
18 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ
на протяжении всего обыкновенного анализа1). Сходным же образом и инте-
гральное исчисление, если интегрирование не удается/ открывает нам
новый род трансцендентных количеств. Ведь от всех [выражений] можно
взять дифференциал, но не от всех дифференциалов можно взять интеграл.
ПОЯСНЕНИЕ 3
30. Сразу же после первых попыток выполнить интегрирование2)
нельзя отнести искомые функции к трансцендентным; часто бывает, что
и алгебраический интеграл удается получить лишь с помощью искус-
ственных приемов. Если же искомая функция будет трансцендентной,
то надо тщательно рассмотреть, не удастся ли привести ее к вышеупомя-
нутым простейшим видам, т. е. к логарифмам или к углам; в этом случае
решение можно поставить наравне с алгебраическим. Если и это не уда-
лось бы, то все же следует'искать простейший вид трансцендентных функ-
ций, к которому можно было бы свести искомую функцию. Для практи-
ческих же целей гораздо удобнее находить сколь угодно близкие к истине
значения трансцендентных функций3). С этой целью значительная часть
интегрального исчисления отводится отысканию таких бесконечных рядов,
которые содержали бы значения этих функций.
ТЕОРЕМА
31. Все функции, найденные с помощью интегрального исчисления,
неопределенны и требуют определения] последнее надо получить из уело
вия задачи, решение которой они дают.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Всегда существует бесконечное число функций, имеющих один и тот
же дифференциал, поскольку дифференциал функции P C, какое бы
значение ни придать постоянному С, всегда один и тот же и равен dP.
Поэтому и обратно, если предложен дифференциал dP, то интеграл есть
Р + С, где вместо С можно положить какое угодно постоянное количество.
Отсюда ясно, что та функция, дифференциал которой дан и равен dP, есть
неопределенная функция, так как она содержит произвольное постоянное
количество. Оказывается, что то же с необходимостью имеет место, если
нужно определить функцию по какому угодно соотношению между диффе-
ренциалами: она всегда будет пополняться произвольным постоянным
*) haecque cognitio per totam Analysin с отпишет snfficiens censetur. Под «обык-
новенным анализом» здесь, как и всюду, имеется в виду алгебра. Мысль Эйлера не
вполне ясна. Видимо, он хочет сказать, что в алгебре не рассматривают никаких
других обратных действий, кроме вышеперечисленных; дифференциальное же исчисле-
ние (см. ниже) не приводит к новым трансцендентностям. Таким образом, лишь в инте-
гральном исчислении возникнет потребность в новых трансцендентных количествах.
Следует отметить, что в 60-х годах XVIII века, когда писалось «Интегральное исчисле-
ние», теория логарифмов в курс алгебры не включалась. Во «Введении в анализ»
(§§ 96—ИЗ, стр. 100—114 русского перевода) учение о логарифмах излагается как
нечто новое для читателя. Здесь (§ 102) логарифмическая функция рассматривается
как обратная по отношению к показательной. Логарифмы впервые были включены
в курс алгебры Эйлером в 1770 г. (Эйлер, Алгебра, §§ 220—255).
2) Подразумевается, конечно, что первые попытки оказались неудачными.
3) Longc commodissimum est, ut valorcs functionum transcendentium vero proximo
exhibeantur. Дословно: «гораздо удобнее, чтобы значения функций выражались как
можно ближе к истине».
^ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ 19
количеством, между тем как в соотношении дифференциалов не обнару-
живалось никакого следа этого количества. Значит, функция, найденная
с помощью интегрального исчисления, определится тогда, когда упомя-
нутому произвольному постоянному будет дано определенное значение;
его всегда даст условие задачи, решение которой привело к этой функции.
СЛЕДСТВИЕ 1
32. Если функция у от х определяется из какого-либо соотношения
между дифференциалами, то благодаря вошедшему произвольному посто-
янному она может быть определена таким образом, чтобы, положив х^а,
мы имели бы у = Ь. После этого функция станет определенной, и при любом
значении, которое будет дано количеству х, функция у получит опреде-
ленное значение.
СЛЕДСТВИЕ 2
33. Если функция у определяется из соотношения между дифферен-
циалами второго порядка, то она будет содержать две произвольные
постоянные, поэтому она допускает определение по двум условиям х), и ее
можно определить так, чтобы при х= а не только количество у получило
данное значение Ь, но также и отношение стало равным данному значе-
нию с.
СЛЕДСТВИЕ 3
34. Если у есть функция двух переменных х и С найденная из соот-
ношения между дифференциалами, то она также содержит произвольное
постоянное; последнее может быть определено таким образом, чтобы при
получилось заданное уравнение, т. е. уравнение, выражающее при-
роду какой-либо заданной кривой* 2).
ПОЯСНЕНИЕ
35. Вышеупомянутое определение интегральных функций, т. с.
функций, найденных с помощью интегрального исчисления, в каждом
отдельном случае легко вытекает из условия разбираемой задачи. Оно не
х) В оригинале duplicem determinalioncin admitlit, т. е. дословно: «допускает
двойное определение».
2) Здесь Эйлер странным образом смешивает два различных вопроса. В первой
половине фразы речь идет об уравнении вида Р dy + Q dx -|- R dt = 0, которое во всей
его общности изучается в третьем томе «Интегрального исчисления» (задача 3, § 22
и след.). Там выведено и условие интегрируемости этого уравнения. Общий интеграл
этого уравнения действительно содержит произвольную постоянную. Однако в общем
случае нельзя найти такое значение постоянной, чтобы при t = а получить у = f
где / (х)—наперед данная функция.
Наперед данную функцию / (х) можно при известных ограничительных условиях
получить в том случае, когда мы имеем уравнение в частных производных вида
F . t. х, у,^, ^ = 0. Частные случаи такого уравнения Эйлер тоже рассматривает
в третьем томе «Интегрального исчисления» (задачи 10, Ии след., § 73 и след.), где
явно оговаривается, что общее решение содержит произвольную функцию (а не про-
извольное постоянное). Очевидно, во второй части фразы имеется в виду именно слу-
чай одного уравнения с частными производными, тогда как первая часть относится
к случаю уравнения в полных дифференциалах (или. что то же, к системе двух уравне-
ний с частными производными).
20 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ВООБЩЕ
создает никаких трудностей, разве что без нужды решение будет сведено
к дифференциалам, между тем как его можно было бы получить с помощью
обыкновенного анализа; в последнем случае, также, как в алгебре, как бы
вводятся лишние корни. Но так как это определение *) производится только
применительно к каждому отдельному случаю, то здесь, где мы излагаем
метод интегрирования вообще, мы будем стараться отыскивать интегралы
во всей полноте, т. е. так, чтобы постоянные, вошедшие в результате
интегрирования, оставались произвольными; мы будем определять их
только в том случае, если какое-либо условие будет нас к этому выну-
ждать. Заметим, что простейшим является такое определение функций
от х, при котором они сами делаются исчезающими, когда гг = О.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6
36. Говорят, что найден по л ный интеграл, когда искомая функция,
[заключая в себе] произвольное постоянное, представляется со всей общ-
ностью. Если же это постоянное уже определено тем или иным образом,
то интеграл называют частным.
СЛЕДСТВИЕ 1
37. Поэтому в любом случае существует только один полный инте-
грал; частных же интегралов можно получить бесконечно много. Так,
полный интеграл дифференциала х dx есть у х2 + С; частными же интегра-
лами являются у х2, y#2 + 1, х2 2 и т. д. в бесконечном мно-
жестве.
СЛЕДСТВИЕ 2
38. Полный интеграл содержит в себе все частные интегралы; все они
могут быть легко образованы из полного интеграла. Обратно же из частных
интегралов полный интеграл не становится известным. Но, как будет
видно в дальнейшем, в ряде случаев существует способ нахождения пол-
ного интеграла по частному.
ПОЯСНЕНИЕ
39. Иногда легко найти частный интеграл по соображению или по
догадке. Так, например, пусть требуется найти такую функцию у от х, что-
бы было dy + у2 dx ~ clx + х2 dy; это уравнение очевидно удовлетворяется,
если взять у == х. Но это—частный интеграл, так как он не содержит ника-
кого произвольного постоянного. Полный же интеграл, как оказывается,
есть у — -Д; он содержит в себе указанный выше частный интеграл,
который получится, если взять С —оо. Точно так же, если взять С=0,
то отсюда получается другой интегралу = , который так же удовлетво-
ряет вышеприведенному уравнению, как и первый у — х. Вообще все
частные интегралы, которые удовлетворяют уравнению, должны полу-
читься из оощеи формулы у — у-.х/, если мы будем давать произвольному
1) То сеть разыскание постоянных.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИЕ ВООБЩЕ 21
постоянному С все новые й новые значения; так, например, если
взять С = 1, то получается у = 1. Часто бывает так, что хотя некоторый
частный интеграл является алгебраическим, однако же полный интеграл
трансцендентный. Пусть, например, задано уравнение dy + ydx = dx-\r х dy\
сразу же ясно, что оно удовлетворяется, если положить у—х, но это—
частный интеграл; полный же интеграл, содержащий произвольное по-
стоянное С, есть у = х-\- Се~\ где через е обозначено число, логарифм кото-
рого = 1; очевидно, функция у является трансцендентной всегда, за исклю-
чением лишь того случая, когда берется С = 0.
Этих общих замечаний, предваряющих изложение самого инте-
грального исчисления (поскольку они относятся ко всем интегрированиям),
пожалуй, достаточно, а тейерь, после того как мы объяснили строение
сочинения, мы приступим к изложению предмета.
ОБЗОР ВСЕГО СОЧИНЕНИЯ
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ
КНИГА ПЕРВАЯ: она излагает метод разыскания функции от одного
переменного по какому-либо данному соотношению между дифферен-
циалами и содержит две части:
Часть первая', когда это данное соотношение содержит только диф-
ференциалы первого порядка.
Часть вторая', когда это данное соотношение содержит дифферен-
циалы второго или более высокого порядка.
КНИГА ВТОРАЯ: она излагает метод разыскания функций двух
или большего числа переменных ио какому-либо данному соотношению
между дифференциалами и содержит две части:
Часть первая', когда это данное соотношение содержит только диффе-
ренциалы первого порядка.
Часть вторая', когда это данное соотношение содержит дифферен-
циалы второго или более высокого порядка.
ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
КНИГА ПЕРВАЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЛИ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО КАКОМУ-
НИБУДЬ ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ
МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ГЛАВА I
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
40. Дифференциальное выражение рационально, когда диф-
ференциал dx переменного х, функцию которого надо найти, умножается
на рациональную функцию от х; иными словами, если X обозначает рацио-
нальную функцию от х, то дифференциальное выражение X dx называется
рациональным.
24
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 1
41. Следовательно, в этой главе мы ищем такую функцию от х (обо-
значим ее через у), чтобы ~ равнялось рациональной функции от х, т. е.
(если положить, что такая функция=Х), чтобы
СЛЕДСТВИЕ 2
42. Поэтому надо найти такую функцию от х, дифференциал кото-
рой = Х dx; интеграл этой функции, который обозначается X dxt даст
искомую функцию.
СЛЕДСТВИЕ 3
43. Если Р есть такая функция от х, что ее дифференциал dP=X dxf
то, поскольку и количество Р + С имеет тот же дифференциал, полный
интеграл предложенного выражения X dx есть Р-\-С.
ПОЯСНЕНИЕ 1
44. К первой части первой книги относятся такого рода задачи, где
требуется найти функцию одного переменного х по данному соотношению
между дифференциалами первого порядка. Таким образом, если искомая
функция = у то нужно достичь того, чтобы можно было, когда
задано какое-либо уравнение с тремя количествами х, у и р7 найти отсюда
свойство функции у, т. е. уравнение между х и у, не содержащее буквы р.
Однако эта задача, поставленная столь общим образом, повидимому,
настолько превосходит силы анализа, что никогда нельзя надеяться на ее
решение. Поэтому нам следует приложить свои усилия к простейшим
случаям; из них прежде всего мы сталкиваемся с тем случаем, когда р
равняется какой-либо функции от х, скажем X; тогда X dy=X dx,
так что требуется отыскать интеграл у = X dx; этому и посвящен пер-
вый раздел. Однако вследствие многообразия видов функции X й этот
случай весьма широк и связан с очень многими трудностями. Вот почему
мы решили в настоящей главе разобрать только такие задачи, где функ-
ция X рациональна с тем, чтобы далее перейти к иррационным и,
наконец, к трансцендентным функциям. Таким образом, эту часть удоб-
но подразделить на два раздела. В первом должно быть изложено инте-
грирование простых выражений, в которых есть функция только
количества х; во втором же надлежит изучить способ интегрирования
в том случае, когда предложено какое-либо уравнение между х, у и р.
Так как эти два раздела, и главным образом первый, более всего разра-
ботаны геометрами, они и займут наибольшую часть всего сочинения.
ПОЯСНЕНИЕ 2
45. Первоосновы интегрирования нужно почерпнуть из дифферен-
циального исчисления, подобно тому как основы деления заимствуются
из умножения, а извлечения корней—из способа возведения в степень.
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ 25
Кс/гда количество, которое требуется дифференцировать, состоит из не-
скольких членов, как, например, Р -н Q — В, его дифференциал есть
dP + dQ — dR\ поэтому и наоборот, если дифференциальное выражение
будет состоять из нескольких членов, как, например, Pdx-^Qdx Rdx,
то его интеграл будет Р dx 4- \ Q dx R dx, т. е. каждый член надо
интегрировать по отдельности. Далее, поскольку дифференциал количе-
ства аР есть adP, интегралом дифференциального выражения аР dx бу-
дет а Р dx, т. е. на какое постоянное количество умножается диффе-
ренциальное выражение, на такое же следует умножать и интеграл.
Таким образом, если дифференциальное выражение есть aPdx^bQdx^
^-cRdx, то какие бы функции от х ни обозначались буквами Р, Q, R,
интеграл будет а Pdx-\-b J Qdx-[rc R dx, так что интегрирование
нужно выполнить лишь для отдельных выражений Р dx, Q dx и Rdx>
После этого надо еще добавить произвольное постоянное С, чтобы по-
лучить полный интеграл.
ЗАДАЧА 1
46. Найти такую функцию от х, чтобы ее дифференциал был
= axndx, т. е. интегрировать дифференциальное выражение ахп dx.
РЕШЕНИЕ
Так как дифференциал степени хт равен mx^^dx, то и обратно
dx^m xm~rdx~ хт; поэтому хт~г dx ~ ~ хт.
Пусть т--1=п, т. е. m = n-{-i; тогда
хп dx ~ х^1 и а\хп dx
J п -г 1 J п -г 1
Следовательно, полный интеграл предложенного дифференциального
выражения axndx будет С. Правильность этого видна хотя
бы из того, что дифференциал этого выражения действительно оказы-
вается = axndx. Это интегрирование всегда имеет место, какое бы чис-
ловое значение мы ни придали показателю п*. положительное или от-
рицательное, целое или дробное или даже иррациональное.
Исключение составляет только один случай: когда показатель н =
= — 1, т. е. когда требуется интегрировать выражение . Но в диф-
ференциальном исчислении мы показали, что если 1х обозначает гипер-
« dx
болический логарифм от х, то его дифференциал будет = —; отсюда мы
обратно заключаем, что ~^lx, а (—~-=alx. Поэтому после приба-
а dx
вления произвольного постоянного полный интеграл выражения бу-
дет = alx 4- С = lxa 4- С\ если же положить 1с вместо С, то он выразится
в виде 1сха.
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 1
47. Итак, интеграл дифференциального выражения ахп dx всегда
алгебраический, за исключением только того случая, когда п~ — 1;
тогда интеграл выражается при помощи логарифмов, каковые следует
отнести к числу трансцендентных функций. Именно:
= alx-Y С = 1сха >
СЛЕДСТВИЕ 2
48. При положительных значениях показателя п надо хорошо
запомнить следующие интегрирования, как наиболее часто встречающиеся:
ах dx = jX2 С,
О
a dx ~ах 4- С, |
ах2 dx — у х3 4- С,
ах3dx х4-\-С, \ ах4 dx =хь 'г (/ \ ах3 dx = ~ х6 С.
4 ‘ ’ J a J 6 ‘
СЛЕДСТВИЕ 3
49. Если /г - отрицательное число, то, положив п = — т,’"получим:
С а ___ а \ С_ а f С
J (т —1)х'п~х Г
Отметим следующие простейшие случаи:
? a dx a t ,, ? a dx а ,, Г a dx а \ Г*
J ха х ? J х3 2х2 * ’ J х4 Зх3 ' ’
С a dx а , р С a dx а
j х5 4х4 1 ’ j х6 5х5
и т. д.
СЛЕДСТВИЕ 4
50. Интегралы получаются отсюда и тогда, когда п обозначает
дрооные числа. Пусть сначала п = у ; тогда
\adx Ух'л = ^1/7^+ С.
J т-у 2 г
Отметим следующие случаи:
a dx У х у х]/х — С, axdx}/х — у х2}/х 4- С,
ах2 dx\f х х3У х 4- С, ах3 dx]/х =^х4}/х С.
СЛЕДСТВИЕ 5
51. Положим теперь ; будем иметь:
adx 2а х —2а
j/хт 2 т у хт (т — 2) У хт^2
Гл. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 27
Отметим следующие случаи:
С a dx п „ С a dx —2а . п (* a dх —2а ,
\ =2ау X -|- С, \ ——: = - + С, \ ----— = — + С
J х ' х\/ х х J х2 х Зху^х
С a dx ‘ 2а _____
J Х2^Х 5х2у/х
СЛЕДСТВИЕ 6
52. Если вообще положим п = -^-, то получится:
р и н_+у_
\axydx — ^—x + С,
или через радикалы:
a dx 1/+ С.
J и +
Если же положить п — ? то получится:
v—р<
С a dx ча „
у-----=----х v н- С,
J Р- v — [1
х<
или через радикалы:
ПОЯСНЕНИЕ 1
53. Хотя я решил посвятить эту главу изучению только рациональ-
ных функций, однако эти иррациональности появились столь неприну-
жденно, что их можно рассматривать как рациональные функции. Доба-
вим еще, что отсюда х) можно находить интегралы и более сложных вы-
ражений, если вместо х подставлять функции какой-либо другой пере-
менной z. Так, если мы положим = то будем иметь dx~gdz\
а
поэтому, написав — вместо а, получим:
adz (/ + ^)п = {-Ау-(/+^Г1 + С.
В особом же случае, когда п = — 1:
^-7z</+rt+c.
Далее, если п = — т, то будем иметь:
С a dz — а .
J (/ + ^r =(m-l)g(/ + gZ)m-r +
Если положить п = , то получим:
5 а dz У + szV = (777 V+gz^+*+Сг
т) То есть из общей формулы § 46.
28
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
если же положить п = —— , то найдем:
adz \а (/ + gz)
+ (v—е (J +
ПОЯСНЕНИЕ 2
54. Кроме того, заслуживает быть отмеченным следующее замеча-
тельное свойство. Здесь требуется найти такую функцию у, чтобы
d,y = axndx; поэтому, если мы положим ~ = р, то будем иметь соот-
ношение р = ахп, из которого надо найти функцию у, а так как
то в силу соотношения ахп ~ р будем иметь также = + С. Таким
образом, мы имеем здесь случай, когда соотношение дифференциалов
задается некоторым уравнением, связывающим х, у и /?, о котором уже
известно, что оно удовлетворяется уравнением у С\ Однако
последнее будет уже не полным, а лишь частным интегралом для со-
отношения, содержащегося в уравнении у = + С, так как этот ин-
теграл не содержит нового постоянного, которое не входило бы в диф-
ференциальное соотношение. Полный же интеграл есть у = ~хп+х + С,
содержащий новую постоянную D; действительно, из этого уравнения
получаем = aDxn — /?, а поэтому у = ~гл + С. Хотя это свойство от-
носится не к настоящей главе, однако его было полезно отметить.
ЗАДАЧА 2
55. Найти такую функцию от х, чтобы ее дифференциал был — X dx,
где X обозначает любую целую рациональную функцию от х, т. е. опре-
делить интеграл X dx.
РЕШЕНИЕ
Так как X есть целая рациональная функция от х, то она должна
представляться выражением вида
X = а -]- [Зя + 7J:2 Ц- Ъх3 + £Х4 + Zxh + и т. д.
Согласно предшествующей задаче искомый интеграл есть
X dx = С + ах -L i (3#2 4- -i ?я3 + 4- Ъх^ + 4 ея5 4 С#6 4- и т. д.
J Z О *4 О Q
и вообще, если
X = ах1 -4 4_ и т. д.,
то получим:
t X dx — С 4- 4—+ * 4—гт^1 + и т. д.,
гл. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 29
где показатели k, р., v и т. д. могут также обозначать как отрицатель-
ные, так и дробные числа: надо только отметить, что при k= —1 будем
С a dx т
иметь \ = асх; этот случаи единственный, который следует отнести
к категории трансцендентных.
ЗАДАЧА 3
56. Пусть X означает любую рациональную дробную функцию от
описать способ, при помощи которого можно было бы найти интеграл
выражения Xdx.
РЕШЕНИЕ
Пусть Х = ^, причем М и А—целые функции от х. Прежде всего
надо посмотреть, не будет ли высшая степень количества х в числи-
теле М такой же, как в знаменателе 7V, или еще большей. В таком
случае из дроби — надо исключить х) при помощи деления целую часть.
Интегрирование ее не сопряжено ни с какими трудностями; поэтому все
' М
дело сводится к интегрированию такой дроби --, у которой в числи-
теле М высшая степень х меньше, чем в знаменателе N.
Затем надо найти все множители знаменателя N как простые, если
они окажутся вещественными, так и парновещественные * 2), т. е. такие,
которые заменяют пару простых мнимых множителей; одновременно
с этим надо посмотреть, все ли эти множители неравные или не все.
Дело в том, что для случая равенства множителей [вид] разложения
дроби на простейшие дроби 3) должен быть установлен иным образом,
чем в том случае, когда частные дроби, сумма которых равна предло-
- v М
женнои дроби , порождаются отдельными множителями, а именно:
простой множитель а + Ьх порождает дробь
А
а Ьх *
вели два множителя равны друг другу, т. е. если знаменатель N имеет
множитель (а + Ьх)2, то он порождает дроби
А . В .
(а + Ьх)2 1 а + Ьх 1
из множителя (а-!-Ьх)3 получаются три дроби:
А В d С
(а + Ьх)3 1 (а + Ьх)2 1 а -Ь Ьх
И т. д.
В оригинале употреблен термин elicere, т. е. «извлечь».
2) duplices reales.
3) Способ этого разложения изложен Эйлером во «Введении в анализ бесконечно
малых», §§ 39 — 45 (русский перевод стр. 47 — 62) и §§ 199 — 210 (стр. 183 —196).
30
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Что же касается парного множителя вида а2 — 2abx cos ; -ф Ъ2х\ то,
если нет другого множителя, равного ему, он даст частную дробь
А + Вх
а2 — 2abx cos С + ’
если же знаменатель N содержит два таких множителя, равных между
собой, то они порождают две частные дроби вида:
А + Вх С + Dx
(а2— 2abx cos С + b2x2)2 ' а2 — 2abx cos С + Ь2х2 ’
если же множителем знаменателя N будет куб (а2 — 2abx cos C-f- b2x2)3,
то из него возникают три частные дроби вида:
А-\-Вх । C-\-Dx E-\-Fx
(а2 — 2abx cos С + 62х2)3 1 (а2 — 2abx cos С + Ь2х2)2 а2 — 2abxcos С + Ь2х2
и т. д.
Когда предложенная дробь будет указанным образом разложена
на все свои простейшие дроби, все они будут содержаться в одном из
следующих выражений:
А А + Вх
(а + Ьх)п ил и '(а2— 2abx cos С + Ь2х2)п
Каждую из них нужно интегрировать отдельно, помножив ее на dx.
Сумма всех этих интегралов будет значением искомой функции
X dx —
СЛЕДСТВИЕ 1
м
57. Итак, при интегрировании всех выражений вида ~^-dx все де-
ло сводится к интегрированию двух выражений:
С A dx С (А + Вх) dx
j (а Ъх)п И j (a2-2abx cos С + Ь2х2)п 1
в которых вместо п последовательно пишутся числа 1, 2, 3, 4 и т. д.
СЛЕДСТВИЕ 2
58. Интеграл первого вида мы нашли уже выше (§ 53), откуда,
очевидно, будем иметь:
I (а "1" + Const,
J а + Ьх b f 1
Г A dx —А । р
J (Г+bxf ~ ~Ъ[ХТЪх) Const’
f* A dx —А р
} (TTR3 “ 2Ъ (а + Ьх)2 + Const’
и вообще:
С A dx — А р
} Х^Ьху^ ~ (п~]:) Ца -\-Ьх)^ + ^0П81'
гл. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 31
СЛЕДСТВИЕ 3
59. Для решения предложенной задачи не остается, следовательно,
ничего иного, как научиться интегрировать выражение
С (Л + Вх) dx
j (а2 — 2abx cos С + Ь2х2)п
сначала для случая /г =1, а затем для случаев п = 2, п = 3, п ~ 4 и т. д.
ПОЯСНЕНИЕ 1
60. Если бы мы не стремились избежать мнимостей, то все дело
можно было бы уже выполнить на основании изложенного выше; имен-
но, разложив знаменатель N на все его простые множители, будь то
действительные или мнимые, мы всегда сможем разложить предложеп-
Л А
ную дробь на частные дроби вида —- или z—г > и так как инте~
а. j ox yd ох}
грирование их не представляет трудностей, то мы получим интеграл
М г тт
всего выражения Но тогда оудет довольно утомительно попарно
соединять мнимые слагаемые1), чтобы получилось вещественное выра-
жение; однако этого безусловно требует суть дела.
ПОЯСНЕНИЕ 2
61. Здесь мы всегда исходим из предпосылки, что у нас есть воз-
можность разложить на множители каждую целую функцию, хотя ал-
гебра и поныне отнюдь не доведена до такого состояния, чтобы такое
разложение можно было выполнить на деле. Но из подобной предпо-
сылки в анализе исходят всегда: по мере того как мы продвигаемся
вперед, мы принимаем как бы за известное то, что осталось позади,
хотя бы оно не было достаточно исследовано; в данном же случае
можно удовлетвориться тем, что все множители могут быть найдены
по методу приближений с любой точностью. Точно так же, когда мы
дальше продвинемся вперед в интегральном исчислении, мы будем счи-
тать как бы известными интегралы всех выражений вида X dxt какую
бы функцию от х ни означала буква X, и мы будем считать, что до-
стигли очень большого успеха, если нам удастся привести к такому
виду более трудные интегралы. Практическому же применению это ни-
сколько не вредит, поскольку значения выражений вида X dx можно
определять с любой точностью, как мы покажем в дальнейшем. Как
бы то ни было, для интегрирования рассматриваемых здесь выражений
разложение знаменателя N на его множители совершенно необходимо,
так как эти множители по отдельности входят в выражение интеграла;
лишь в очень немногих (и притом в совершенно очевидных) случаях
можно обойтись без этого разложения. Так, например, если предложе-
^71^1 (У
но выражение 1
рейдет в выражение
то, положив хп — у, сразу видим, что оно пе-
flfo 1 1 /л • \
— , интеграл которого есть “/(1+у) =
т) Binas partes imaginarias... coniungere, тч e. «соединять попарно [сопряжен-
ные] мнимые части». И в дальнейшем мы часто переводим термин partes по смыслу
словом «слагаемые», «члены» и т. и.
32
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
1
— — Z (1 + Здесь не было нужды в разложении на множители. Но
случаи такого рода настолько очевидны, что обращение с ними не тре-
бует никаких особых объяснений.
ЗАДАЧА 4
62. Найти интеграл вида
„С (A + Bx)dx
У J «2 — 2abx cos С + Ь2х2 ’
РЕШЕНИЕ
Хотя числитель состоит из двух слагаемыхх) A dx 4- Вх dx, но вто-
рое Bxdx может быть устранено следующим образом. Так как
^,79 С —2а& dx cos С + 2&2т dx
I (а2 — 2abx cos С + Ъ2х2) = \ —5--Т - ,
v 7 J — 2abx cosC + &2x2 ’
В
то, умножив это уравнение на и отняв из предложенного, получим:
У ~ 2Ь~ 1 ~ 2аЬх C0S — \ а2 — 2а6х cosC + 62x2 ’
так что остается проинтегрировать только это выражение. Для кратко-
Л . Ba cos С /9
сти положим А ;---— = С, так что будем иметь выражение
Г С dx
j а2— 2abx cos С + Ъ2х2 ’
которое можно представить так:
Г ________С dx______
j a2sin2C + (&T — a cos Q2 '
Сделаем подстановку bx~a cos Z — av sin L тогда dx — a sin
ifi
ствие чего наше выражение получит вид
Г Са dv sin С : Ь * _ С Г dv
j a2 sin2 С (1 + у2) a&sinC j 1 + и2‘
Но из дифференциального исчисления мы знаем, что
С dv , . Ьх—acos£
\ -rv~9 = arctg v = arctg---г—,
J 1 + v2 ь ь a sin С
п АЬ^Ва cos С
а так как с=~— ------------ , то наш интеграл будет
вслед-
Л&+ВасозС . Ьх—a cos С
---ГГ-.-у-------arctg -
ab* sin С--------a sin ;
Поэтому интеграл предложенного выражения
(Л + Вх) dx
а2 —- 2abx cos С + Ъ2х2
х) См. предыдущую сноску.
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 33
будет
i1 -2ab*cos Ьх^У
Чтобы этот интеграл стал полным, надо еще прибавить произвольное
постоянное С.
СЛЕДСТВИЕ 1
л.- L Ьх— a cos С - . cos С z
63. Если к arctg——.д — прибавим arctg (так как мы можем
себе представить, что он содержится в постоянном, которое надо при-
. bx sin С
оавить), то получится arctg a2Z^XC0S > так чт0 будем иметь;
Г (А + Вх) dx
J а2 — 2abx cos С + Ь2х2
= A- l(a*- 2abx cos С + bW) + arctg
2Ъ2 V 1/1 аЬ2 sin £ о а _ Ьх cos (
с прибавлением постоянной С,
СЛЕДСТВИЕ 2
64. Если бы мы пожелали, чтобы этот интеграл исчезал при х
то надо постоянную С взять равной /а2, и тогда получится:
С (А + Вх) dx
j а2 — 2abx cos С + Ь2х2
В 1 Уа2 — 2abx cosC,-rb2x2 . Лб + BacosC . Ьх sin С
= I -------------------------‘ у— arctg г----------- .
Ь- a ab2 sin С а — Ьх cos С
Таким образом, этот интеграл зависит частью от логарифмов, частью
от круговых дуг или углов.
СЛЕДСТВИЕ 3
65. Если буква В исчезает, то исчезает и часть, зависящая от ло-
гарифмов, и получается:
Г A dx А Ьх sin С , р
j a2--- 2abx cos С 4- Ь2х2 jib sin С аГС а —bx cos С ~Г
Таким образом, этот интеграл выражается только через угол.
СЛЕДСТВИЕ 4
66. Если угол С прямой, а значит cos С —О и sin 4 -^1, то будем
иметь:
Г (А + Вх) dx В 7 Уа2 4- Ь2х2 А Ъх г
\ Г. Л 2 = Т2 1 1----—---’ + “Г arctg — + Ь .
J а2-\-Ь2х2 Ь2 a ab ь а
Если же угол равен 60°, а значит cosC= и sinC = ^, полу-
чится:
Г (A^-Bx)dx В , ]/ а2 — аЬх^-Ь2х2 ( 2Л6-|-2?а , Ьх У $
3 a2 — abx + b2x2 Ь2 а ’ аб2 )4з 2а — Ьх
34
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
1 1/3
В том же случае, когда С =120°, а значит cos^~ — — и sinC = -^, по-
лучится:
С (А + Вх) dx В , у4 а2 + аЬх + Ь2х2 . 2АЬ—Ва , Ьх |/3
\ “т—Ч:—= д» I 1---------------г-----arctg-^—.
} а2 + abx + b2x- Ь2 а аЬ2уЗ & 2а±Ьх
ПОЯСНЕНИЕ 1
67. Здесь особо замечательным оказывается, что в случае С = 0,
когда знаменатель, принимающий вид а2 — 2abx Ь2х2, становится ква-
дратом, интеграл перестает зависеть от угла.
Действительно, если положить угол С бесконечно малым, то будем
иметь cos С — 1 и sin С —С; поэтому логарифмическая часть есть -ДI >
а другое слагаемое
АЬ + В а Ьх± __(АЬ В а) х
аЬК, аГС а— Ьх ab (а— bx) ’
так как тангенс бесконечно малой дуги дравен самой дуге; таким
образом, это слагаемое становится алгебраическим. Поэтому получим
формулу
Г (A-{~Bx)dx В 7а — Ьх . (АЬ + Ва) х ,
\ Н----= -пг ------------г ----гт- + Const,
J (а — Ьх)2 Ь2 а ab (а — Ьх) 1
справедливость которой очевидна из предыдущего; действительно,
А^- Вх __ —В ' АЬ -Г Ва
(а — Ьх)2 Ь (а — Ьх) 1 Ь (а — Ьх)2
Но
Г — В dx В 7 , , ч В 7 В ? а — Ьх
\ Г-----TV =: Г ' ' W -~г / --------
J Ь (а— Ьх) Ь2 ' 7 о2 о- а
С + Ва) dx ; АЬ + Ва АЬ + Ва_____________(АЬ -р Ва) х
J Ь (а— Ьх)2 Ь2 (а— Ьх) ab2 . аЬ (а— Ьх) ’
если оба эти интегрирования определить с тем расчетом, чтобы при
—0 интегралы исчезали.
ПОЯСНЕНИЕ 2
,у dx
68. Если в дробном дифференциальном выражении наивысшая
степень х в числителе М на одну единицу ниже, чем в знаменателе А7,
то соответствующий член можно устранить тем же способом, каким мы
пользовались здесь. Именно, пусть
М —Ах71^ А-Вхп~2А~ Сха~3~\- и т. д.
и
Ат ~ ахп + + -[Хп~2 -н и т. д.
., М dx ,
Положим —тгт- =dy. 1ак как
dN — тх^1 dx~ ~(n — l)Pxn“2 dx-^ (в- -2)^хп~3dx и т. д.,
то
AdN____ dx ( j n-i L (/z 1) A3 n_2 u (n 3) x bf n_3 \
‘ na X na 'L r
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 35
Если вычесть это значение из dy, то останется
dy-^-^- = ^( ( В— (я~1)ЛНЖп-^/'С'_(”-2)л7Лжп-з+ \
V naN N \ \ пас J 1 \ па J 1
Поэтому, если для краткости положить
В —0^2-= 93, 2М? = (£, D -Л5 = э ит. д.,
па па па
то получится:
__ А /у ; С dx б&хп~2 + &хп~3 + £)а?п“4 + и т. д.) С М dx
У па ' j ахп + Их77"1 -|- *'хн'’2 -|- сх77- 3 и т. д, j TV
Стало быть этим способом все дробные дифференциальные выраже-
ния можно свести к таким, у которых высшая степень в числителе
двумя или несколькими единицами меньше, чем п знаменателе.
ЗАДАЧА 5
69. Интегральное выражение
С (А + Вх) dx
j (а2 — 2abx cos С + Ъ2х2)п+1
преобразовать в другое сходное, в котором степень знаменателя была
бы на единицу ниже.
РЕШЕНИЕ
Положим для краткости а2 — 2abx cos С + b2x2 = X и
С (А + Вх) dx
j 2pi+i ~ У'
В силу равенства
dX = — 2ab dx cos С 4~ 2b2x dx
имеем:
, C + Dx ^—п(С + Dx) dX Ddx
а Хп “ ~Xn+1 + Хп
и, следовательно,
С + Dx _ С 2nb (С + Dx) (a cos t— bx) dx t С D dx
~ J Х^1 J ~Х^ ’
Поэтому будем иметь:
! С + Dx _ Г dx (A+2nCab cos 'C-\-x (В-\-2nDab cost— 2пСЬ2)— 2nDb2x2) ( Г D dx
У п JOT” ~ г '
Теперь в первом из этих двух выражений определим буквы С и D
так, чтобы числитель делился на X. Очевидно, для этого необходимо,
чтобы он был = - 2nDX dx, откуда получаем:
А -р 2nCab cos С = — 2nDa2
п
В -j- 2nDab cos t — 2nCb2 — 4nDab cos Z
3*
36
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
или же В — 2nCb2 — 2nDabъъъЦ а отсюда
о п В — 2пСЬ2
b cos С
Из первого же условия имеем:
2nDa —~~ cos £
а
Приравняв друг другу эти два выражения, получим:
В а Ab cos — 2nCab2 sin2, = О,
или
р Ва + Ab cos С
‘ 2nab2 sin2 С ’
откуда
о , 9 Ba sm2 С — Ва — Ab cos —Ab cos С — Ba cos2 l В — 2nC b2 = = — a sin2 C a sinj ,
таким образом, находим: n —Ab — Ba cos C ~ 2na2b sin2 C
Стало быть, давая буквам С и D значения хт Ва + Ab cos С р) —АЬ — Ва cos С 2nab2 sin2 С ’ 2па2Ь sin2 С ’
будем иметь: . С + Dx Г —2nDdx , С Ddx /И . х С dx У Л—\ X» + \ х« ~ \ х~п ’
так что
С (Ad~Bx)dx —С — Dx /О л х гл С dx
) ' xu+l ~~Х*--------(2лг' " 1) D } ~Хп
или
С (А + Вх) dx — Ва~ — Aab cos С 4- (Ab2 -f- Bab cos С) х , (2п — 1) (АЬ 4- Ва cos С) С dx
j Xn+l 2na2b- sin2 С Xn 1 2na2b sin2 C J -Vrt
Поэтому, если выражение будет известно, то можно будет он ре-
С (А + Вх) dx
делить и интеграл \ '—.
СЛЕДСТВИЕ 1
70. Так как при прежнем обозначении, X ~ а2 — 2abx cos С+- Ь2х2,
имеем:
С dx 1 , bx sin £ , гч
\ чг — ~г—-—г arctg---г------- + Const,
J X ab sin ; ° а — bx cos ;
то получим:
С (А + Вх) dx — Ва2 —Aab cos С -г (АЬ2 4- Bab cos С) х
\ ^2 ~ ’
2а2Ь2 sin2 ZX
, Ab + Ba cos С . bx sin С
+ ~ arctg-----------s + Const.
2aAb2 sin3 С ь а — bx cos i,
та. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 37
1
Если положить 5 = 0 и Л=1, то будем иметь:
С dx —a cos С 4- Ьх 1 Ъх sin £ > .
5 X2 2a26sin2CT 2а35 sin3 £ аГС а— Ъх cos £ nS
,. Г (А + Вх) dx
Итак, интеграл \ ——-—--
X2
не содержит логарифмов.
СЛЕДСТВИЕ 2
71. Так как
dx
Z3
— a cos С + Ьх 3 Г dx ~
^а^пЧХ2" + WshPZ J х2+ Const’
то после подстановки найденного выше значения получим:
С dx _ —acos£ + 5x 3( — acos£ + &x) 1-3 . Ъх sin £
J jp ~ 4а26 sin2“cJ2 + 2-4а46 sin4 СХ~ ' '1ЛаП> sin5 С arClg а—бхёрГС ’
Отсюда далее следует
dx — a cos £ + Ьх । 5 (— a cos С + Ъх) ; 3 • 5 (— a cos С + Ъх)
X4 6a25sin2£X3 ' 4-6а45 sin4 £Х2 1 2-4-6aQb sin6 £ЛГ
, 1-3.5
bx sin С
2-4-6a75sin7C arCtg ~a — bx cos f *
СЛЕДСТВИЕ 3
72. Продолжая и далее последовательно поступать таким же обра-
зом, получим все интегралы вида
Г dx Г dx С dx С dx
JT’ jP’ Jr’ jf ит-д-
Из них первый выражается только через круговую дугу,
ные содержат, кроме того, и алгебраические члены.
а осталь-
ПОЯСНЕНИЕ
73, Нам достаточно знать интегралы j^n+i > так как выражение
С (А + Вх) dx
\ -—легко к ним приводится; действительно, его можно пред-
ставить в виде:
1 Г 2Ab2dx + 2Bb2x dx ~2Bab dx cos £ + 2Bab dx cos £
_ ,
но это выражение в силу того, что 2b2x dx — 2ab dx cos , = dX, переходит
в такое:
1 С В dX 1 С (Ab + Ba cos С) dx
2b2 J TTl+I + I J Х^ '
и f dX 1
Но = откуда получим:
Г (А-\- Вх) dx _ —В Ab Ba cos С dx
J Х^ " 2пЬ2Хп ' Ъ \ Х^} ’
38
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
следовательно, нужно знать лишь интегралы \ — , а их мы только
J Al
что нашли.
Теперь у нас есть все вспомогательные средства, необходимые для
интегрирования всевозможных дробных выражений dx, где М и N —
дельте функции от х. Таким образом, мы обладаем возможностью нахо-
дить интегралы всех выражений вида Vdx, где V есть любая рацио-
нальная функция от х. Относительно этих выражений следует заметить,
что если интегралы не будут алгебраическими, то их всегда можно
выразить через логарифмы или углы. Итак, нам остается только разъяс-
нить этот метод на нескольких примерах.
ПРИМЕР 1
74. Предложено дифференциальное выражение найти его
(X ] ^37 J- 37
интеграл.
Так как переменная х имеет меньше измерений в числителе, чем
в знаменателе, то данная дробь вовсе не содержит целой части. Далее,
надо учесть особенности знаменателя: имеет ли он два простых действи-
тельных множителя или нет? Если да, то не равны ли эти множители?
Следовательно, мы должны разобрать три случая.
I. Пусть знаменатель имеет два равных множителя и пусть он
— (а-]-Ьх)2; тогда дробь разлагается на две:
АЬ— Ва ; В
Ь (а + Ьх)2 1 Ь (а + Ьх) 1
а следовательно,
(А 4- Вх) dx
(а + Ьх)2
(« + М + Const.
Ь2 (а + Ьх) Лг у ' 1
Если интеграл нужно определить так, чтобы при .г— 0 он исчезал,
то находим:
(Л -j- Вх) dx _(АЬ — Ва) х В .а-^Ьх
(аА~Ьх)2 аЬ(аА-Ьх) Ь2 а
II. Пусть знаменатель имеет два неравных множителя, так что
предложенное выражение имеет вид
А + Вх ,
(a + bx)(f + $х) II. * * * * * * * Х'
Эта дробь разлагается на две частные дробя:
АЬ — Ва dx t Ag—Bf dx
bf — ag a+bx^T ag-bj f + gx
откуда получается искомый интеграл
С (Л + Вх) dx __ АЬ — Ва . а±Ьх Ag — Bf , f + gx р
J {а + Ьх) (f + gx) Ь (bf — ag) a ^g(ag-bf) f 1
Положим
Ab —Ba , Bf — Ag
------------ m 4- n, —гг-.— - = rn — n,
b (bf — ag)-g (bf — ag)
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 39
так что интеграл примет вид
ml (a + bX)(f±gx) п1 На + Ьх)
а/ а (/ + gx)
Будем иметь:
9 B(bf-ag) В
bg(bf—ag) ’
__ 2Abg- - Bag — Bbf
^n-~^bT(bf^gr~ ’
Следовательно,
С и + Вх} dx JL 1 (а + &х) (f + £х) I 2Abg—B(ag+bf) у / (а + Ьх)
J (а + bx) (/ + gx) ~ 2bg b af . 2bg(bf — ag) a(f + gx)
III. Пусть оба простых множителя знаменателя мнимые; в таком
случае знаменатель будет иметь вид a2 — 2abx cos ^4- Ь2х2. В этом случае
(он был уже разобран выше, § 64), будем иметь:
(А + Вх) dx
(A — 2abx cos С + Ь2х2
__ В а2 — 2abx cos С + b2x2 , Ab + Ва cos Q bx sin С
b2 а * ab2 sin С аГС а — bx cos С *
СЛЕДСТВИЕ 1
75. Во втором случае при f -- a, g-- b получим:
C (A--\-Bx)dx^ —В . а2 — b2x2 А ,а-\-Ьх
j а2 — Ь2х2 2Ь2 а2 2аЪ а — Ьх
Отсюда следует, что но отдельности
С A dx _____ А , а-\-Ъх
J а2 — Ь2х2 2аЪ а — Ьх '
И
Г Вх dx ___ —В у а2 — Ь2х2_ В , а .
} Z = Ъ2 Z + °*
СЛЕДСТВИЕ 2
76. В третьем случае, если положить cos С = 0, будем иметь:
С (А + Вх) dx В 7 а2 + Ь2х2 , А Ьх
\ Ъ + 1 ----а--Ч- Tb arCtS Т + С
и отсюда по отдельности
Г A dx А < Ьх , л
i^^==a6arCt^v + C
И
Г Bxdx ___В ]Va2-\-b2x2 ~
} at^bW-Ъ2 Z а “
40
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПРИМЕР 2
зХгь ^dx
-7-- , где показатель
77. Предложено дифференциальное выражение
т—1 меньше, чем п. Определить интеграл.
В последней главе «Дифференциального исчисления» *) мы нашли,
Хт~ 1
что простейшие дроби, на которые разлагается дробь п , если при-
нять тс за меру двух прямых углов, содержатся в следующем общем
выражении:
_ . (2k— 1) тс . т (2k — 1)тс т (2k — 1) л f (2k — 1) тс \
2 sin ---— sin —-----------2 cos--------— x — cos -----— )
n n n \ П /
(2k —l) г. Г\ ’
cos ------h X* 2 * )
n J
п
куда вместо k надо последовательно подставлять все числа 1, 2, 3 и
т. д. до тех пор, пока 2k— 1 не начнет превосходить число п2). Если
это выражение помножить на dx и сравнить с нашим общим выражением
(А + Вх) dx
а2 — 2abx cos С + №х* ’
л 1 л (2/с— 1) тс
то оудем иметь <7 = 1, b = 1, , =-----—
Л 2 . (2k — 1) тс . m(2k — 1) тс , 2 (2Л-1) тс т(2к— 1)тс
А — — sin ---—— sin —-----— <----cos ------'— cos — ----—
n n n ' n n n
или
n n
И
D 2 m (2k — 1)tc
В - • - cos —-------------—
n n
откуда
(7 ? 2 (2k — 1) тс . m (2k— 1) тс
x ib + Ba cos 4 = — sin - —— sin —*------—
n n n
и поэтому интеграл этого члена будет
т(2к—1) тс j'yf л о (2Аг-—1) тс о
—L-------/ I/ 1 _ 2х COS i------------------h
п г п
. (2Аг-—1)тс
2 . т (2к — 1)тс Х Sm п
I---sin -----------L. arctg------------77TZ--TV—
1 п п 5 л (2к — 1) тс
1 — X COS 2----------
п
Если же п — нечетное число, то сюда, кроме того, присоединяется
дробь > интеграл которой есть (1+#); верхний знак соот-
ветствует случаю, когда т нечетное, а нижний, когда т четное. Поэтому
т) Часть II, § 417, пример 1, стр. 569 русского перевода.
2) quoad 2к—1 numerum п superare incipiat. Из дальнейшего (см. конец настоя-
щего параграфа) ясно, что случай 2к — 1= п (при нечетном п) исключается.
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 41
ИСКОМЫЙ
интеграл
Г хт~г dx
J
выразится следующим образом:
•к
о >---------------------о Л, kJAlX
Li TTITZ ; "1 / j о ТС . л , Lt • 771 ТС 77
— cos — I I/ 1 — cos------------------------к х2 ч------sin — arctg---------------------
п п V п п п ® тс
1 —X cos —
п
. Зтс
2 Зтптс , 1 / . о Зтс . о(2. Зтптс . п
— — cos---------I I/ 12х cos------------к х^ 4- — sin---------arctgf-----------5-
п nV n n n ° , Зтс
1 — x cos-
n
. 5tc
о r /---------------E------- or X Sin-----
2 07ПТС J 1 / л o OTC . 9 , 2 . О7П7С . П
~ — cos---------II/ 1 -2x cos —к xz + — sin------------------arctg--------—=-
n nV n n n ° . От:
1 — x cos —
. 7tc
,---—---------------_ x sin —
2 7тптс > 1 / j n 7tc , 912. 7тптс . n
— — cos-------l I/ 1 — 2x cos-------г 4------sin-------arctg-----------s-
n n V n n n 0 . 7tc
1—x COS —
n
И T. Д.
соответственно нечетным числам, меньшим, чем п; таким образом, мы
получим весь интеграл для случая, когда п~ четное число; если же
п - - нечетное число, то к этому выражению присоединяется слагаемое
+ — I (1 + х) в зависимости от того, будет ли число т нечетным или
1
четным, так что, если z?z === 1, то присоединяется г (1 + ^)*
СЛЕДСТВИЕ 1
78.' Возьмем т = 1; тогда имеем выражение \ и для различ-
ных значений п получаем:
I-
Т Т С dX 4-
11 • yrp^ = arctgx’
Ш. т\Х з = — 4 cos 11Z1 — 2х cos ~ + х2
J 1 -k xd 3 3 V 3
TH
9 X sin
+ sin 4 arctg —————h v Z (1 + x).
o 3 ° . tz 3 4
1 — x cos -9-
o
- - cos ~ I 1 — cos + x2
4 n V 4
Зтс j 1 / л ч Зтс . 9
— < cos -г l I/ 1 - - 2x cos — + r~
4 4 V 4
. Зтс
( 2 . Зтс , XSin4"
+ 4-smTarctg-------------3^.
1—X cos --
4
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
VI.
~ COS I ~\f 1—2.7' COS + ж2
5 5 г о
dx
1 + х5
9 х sin -5-
~ sin Д- arctg----------:—
о 5 ° . тс
1 -х cos -=-
5
—cos 11/ 1 — 2х cos + ж2
о 5 г 5 1
. Зтс
X S1D —
5
. Зтс ,
sin >- arctg-----
1—х cos -7-
5
р(1+О-
j/" 1 —2x cosy-J-ж2
dx
1 + х6
X Sill -77-
, 2 . тс . b
-Г -d sin arctg---------------
6 6 ° л тс
1 — X COS -л-
b
- - COS I ~\f 1—2.7' COS + X2
6 6 г ь
. Зтс
XSin-зг
. 2 . Зтс b
+ - - sin --- arctg---------5-
b b 0 л Зтс
1-X’ cos —
b
2 DTC 7 I f a Q OTC . 9
----7- COS -7Г l I/ 1 — 2x COS + xr
b b r b
. OTC
, 2 . 5rc . ^sin^
V y sin у arctg-------
1—X cos —
b
СЛЕДСТВИЕ 2
79. Подставив вместо синусов и косинусов их значения там, где
это можно сделать без затруднений, получаем:
С dx 1 7 I /" /1 9 I 1 t- & 1/ 3 । 1 7 / л х
} у zn-^^^ + v^arctg^r + -Z(U-x),
или
С dx 1 7 1 + х 1 х 1/3
J 1 + я3 3 у 1—X_J_X2 1 /заГС з —X
т . тс тс 1 . Зтс Зтс
Далее, так как sin -у = cos -г = —— — sm -7- — — -cos —у-, имеем:
4 4 у 2 4 4
Г dx 1 , ]/l + xl/2 + x2 1 х ]/2
} 1+х< - + 2/2 /2 + ^ + Т|77аГС g I-»2’
Наконец,
С dx 1 , k 1 + Я/з + я2 . 1 t Зх(1— х2)
J “14-хб - 2 /3 1 /1-а;/з + а;2 + 6 g 1-4х2 + 7<' ’
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ 43
ПРИМЕР 3
80. Предложено дифференциальное выражение —, где показа-
тель т-\ меньше, чем п, Определить его интеграл.
Часть дробной функции > проистекающая из какого-либо
множителя, представляется следующим выражением:
о . 2А"К . 2mkit п 2т kit / 2bt\
2 sin---sin------2 cos------( x — cos — 1
n n n \ n /
f d о 2Atc , «А
n f t — 2x cos-h j
Сопоставление его с нашим выражением
А 4- Вх
а* 2 — 2аЪх cos С + Ъ2х2
дает
4 / 4 2А:тс
а = 1, у = 1, „ =-------- ;
п
л 2 , 2kit . 2т kit . 2 2kiz 2т kit 2 2т kit
А = — sin — sin — Д— cos — cos-------------, В =--------cos------;
п п п ' п п п п п
значит,
. / . 2 2kit . 2tnkit
Ab 4- Ba cos , = — sin---sin-------.
n n n
Поэтому интеграл, получаемый отсюда, будет
2А?тг
2 2km.it ; 1 Г, (> 2Ати 2 2 2kmit я sin
— — cos —— /1/1 -- 2х cos —-—к -1----------sin-------arctg — —
п ч г п 1 ч п - . 2kit
1 —X cos---
п
Сюда надо вместо к последовательно подставлять все числа 0, 1, 2,
Зит. д. т), пока 2к не превзойдет п.
х) В этом абзаце содержится ряд ошибок; правда, они погашают друг друга,
и результаты оказываются верными. Эйлер утверждает, что в выражение
2kit
2 2ктк 7"|/~ о 2kit 2 . 2kmit sin
----cos------I I/ 1 — 2х cos —- + х2 Н sin------ arctg---- -- (A)
n n V n n, n----,---------2kit 1
1--27 COS--
П
надо подставлять все значения А’----О, 1, 2, 3, ..., не превосходящие п\ из последую-
щего ясно, что это не оговорка, ибо в упомянутое выражение он действительно под-
ставляет и значение к — 0 и (в случае четного п) значение к= . Но в соответству-
ющих случаях корни знаменателя 1 — хп вещественны, так что выражение (А) не
х^ 1 dx
подходит. Интересно отметить, что в § 77, где интегрируется выражение ( д.п
Эйлер подобной ошибки не делает.
Подстановка 2к = п приводит выражение (А) к виду —— cos mitl 1 4 2х 4
_ , cos miz о
Эйлер преобразует последнее выражение к виду———-—Ц1'- х). Здесь допущена
вторая ошибка (пропущен коэффициент 2), вследствие чего результат оказывается
верным. Повидимому, таким же образом «исправляется» ошибка и при к = 0.
44
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
При к = 0 соответствующее слагаемое интеграла становится равным
1
— ~Z(1 — х), а когда п есть четное число, последнее слагаемое инте-
грала возникает, если положить 27с = /?; следовательно, оно будет равно
- cos mid |/1 2ж + ж2 = £2^2" l (i _j_ х).
Если число т четное, то будем иметь со8 7птг = -j-1, если же т нечет-
ное, то cosmir== —1.
Г 27^ 1 dx
Ввиду изложенного интеграл \ выражается следующим обра-
зом:
У1
2 2тпл 7I/4 о 2it , 0.2. 2тпти , п
— — cos — Z I/ 1 — Zr cos —-г х* Н--------------sin-------arete------------
п п г п п п , Лъ
1 - х cos —
п
. 4 т:
2 4тптг т 1 / 4 о 4тс 0,2. 4ттт; п
— cos---------I I/ 1 — lx cos----------к хи ~г — sin------arete ———г-
п п у п п п ° . 4тс
1 — X cos —
п
_____________________ бтг
2 бттт; , - Г. о бтс . 2 . 2 . бтпп; п
— — cos-------Z I/ 1 — Лх cos “ sin-----arete-...........- ь- -
п пт п ' п п . 071=
1 - X cos —
п
И т. д.
СЛЕДСТВИЕ
81. Пусть л/г =1 и будем вместо п последовательно подставлять
числа 1, 2, 3 и т. д.; тогда мы получим следующие интегрирования:
Ш. = --|z(l --x)-2.C0SyZ]/1_2.TC0Sy + T2
. 2л
, 2 . 2л , гзтз“
+ Т sin У arctg ~-2^ -
1 — х cos --
о
lv- -2Z(1_„x)_|coS2p)/l-2xCoS^ + r2
. 2ти
9О Х 8Ш ~Т 4
+ 4 sin т arcts---2i + У 1 (1 х}
1 —X cos ,
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 45
2тс
cos -г-
2ти „
COS + х*
dx
1 — T5
. 2%
X sin
о
~2к
~ 5'
, 2k
sin у arctg
1 — X cos
4тг
----у COS -г
п 4^
2х cos -
5
2
. 4тс
х sin -=-
. 2 . 4тс . 5
4- у sin у arctg ............у-.
1 5 5 6 . 4тс
1 —x cos у
b
1 ,,, х 2
- - Z (1 - а;) - т cos
. 2 . 2тс ,
+ У sin g- arctg
1 — 2х cos — + х2
2к
X Sin у
о
t 2к
1—X cos
о
г6
2 4tc
~6cos-6
L’COS^-T хг
, 2 . 4ru
+ -g- sin -g arctg
1 — X cos
. 4-л;
X sin у
b
4тг 1 6
6"
ПРИМЕР 4
82. Дано дифференциальное выражение
/х-т-1фд.77-т~1) fee
- x-r-r." — 5 где .
определить его интеграл.
Из
общий
примера 2 ясно, что любая часть интеграла
вид:
имеет следующий
— COS
n
— cos
n
о ik , 9 2 ипк .
— 2х cos-----х~ — — sin — arctg
п ' п 11 °
1i\ Z .T . ij ’ . 2 •
— 2x cos - - + A'2 4— sin
n 1 1 n
х sin —
1 — х cos —
-—-— arctg
n &
x sin -
n
HU
1 — X cos —
n
т — 1;
1
где i есть любое нечетное число, не большее, чем и1). Но
i (п — т) - f . irmz \ imn
cos -2 .... - = COS IT: — - -— = — COS------
n ft J n
*) Таким образом, случай i — n Эйлер не исключает, что видно и из дальней-
шего. Проистекающая отсюда ошибка не влияет на результат вследствие того, что
соответствующие члены суммы взаимно уничтожаются. Сф. подстрочное примеча-
ние к § 80.
46
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
И
i (п — т)т: . f . imit
sin —-------— — sin ( гтс---------
4- sin -—- .
Следовательно, логарифмические члены взаимно
гаемое интеграла в общем своем виде будет
(ТС
X sin -
уничтожаются, и сла-
, 4 . imv.
-4— sm — arctg
n n ° , lit
I X cos —
Положим для удобства угол-^- = (о, тогда будем
иметь:
х sin <о
, 4 .
— ч-----sin mco arctg -----------
1 n ° 1 —X COS (O
, 4 . о . x si n 3o>
+ — sin arctg
H ° 1—X COS 3(0
sin arctg
х sin 5<о
1-х cos 5со
, 4 , x sm гш
-4--sin ши arctg ~ ,
1 n ° 1 — X COS t co
где i есть наибольшее нечетное число, не превышающее показателя п.
Если само число п нечетное, то слагаемое, возникающее из подста-
новки i -= и, исчезает, так как siri /тгтт == О. Отметим еще, что весь этот
интеграл выражается только через углы.
СЛЕДСТВИЕ
83. Таким же образом находится и следующий интеграл, в котором
останутся одни только логарифмы, причем попрежнему -^- = (о:
С (х"1^1 - dx 4 7 1 г~л-г;--------т
\ А------— —— —------------cos т<о/ у 1 — 2х cos <о д- х2
J 1 + Xй п г
- - cos 3m<oZ ]/1 — 2х cos 3<о -j- х2
-—cosbrnwl 1/1 — 2х cos5(о + д?2
п г
—cos imwl |/1 — 2х cos но ф- х2,
до тех пор, пока нечетное число i не превзойдет показателя и1)..
ПРИМЕР 5
84. Предложено дифференциальное выражение
(хт~х — dx о л
з-----------1— } г^е п^> т— 1;
определить его интеграл.
*) Ср. подстрочное примечание к § 82.
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ. РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 47
На основании примера 3 можно найти любую часть интеграла;
положив для краткости = будем иметь:
™ cos 2кты1 y i — 2х cos 2Ахо Ц- z2 3 4 * + — sin 2кты arctg — х sin
п r 1 п ° 1 X COS 2/ссо
4- cos 2к (п - m)o)Z |/1 — 2х cos 2/ccd -ух2
2 , О7 , ч , х sin 2/ссо
-------sin 2к (п — т) id arc to-
п ' 7 & 1 — х cos 2/со>
Но
cos 2к (п т) со = cos (2Адг — 2/гллгсо) = cos 2кты
и
sin 2к (п — т) ш = sin (2/Ьг — 2/гллгсо) = —- sin 2кты,
вследствие чего этот общий член переходит в
4 . о 7 , х sin 2/ссо
— sin 2кт<£> arctg ~л---------zn— •
п ° 1 — х cos 2кт
Отсюда составляется следующее интегрирование:
Г — хп~т~1) dx .4.о , х sin 2<о
\ --п~—-— = Ч----------sin 2mu) arctg
J 1— хп 1 п 6 1—-xcos2w
, 4 . . . х sin 4w
H---sin 4жо arctg л------>—
n & 1 —X COS 4c.)
. 4 . . x sin 6u)
4---sin Ьжо arctg -л-----7.—
n & 1—x cos 6co
и т. д.;
четные числа возрастают до тех пор, пока не превзойдут показателя п1)
СЛЕДСТВИЕ
85. Отсюда же получается и следующее интегрирование (попреж-
- А .
нему — = io У :
\ ~----т--п—— -------Z (1 — я)
J 1 — хп П ' 1
4 . . _ _ __________
------cos 2mcoZ 1/1 — 2х cos 2w 4- х1
п-----г '
4 ---------
— — cos kmtel у 1 — 2х cos 4со 4~
4 ч г----------------
— — cos 6mcoZ |/ 1 — 2х cos 4со 4- х2
и т. д.;
также и здесь четные числа не следует продолжать дальше числа п2).
4 Ср. подстрочное примечание к § 82.
3) При четном п формула настоящего параграфа неверна: вместо последнего ее
4 г--------- 2
члена, имеющего вид Н--1у 14 2х4х2, надо взять член (—I)772*1—Z(1 4 х). См.
л п
подстрочные примечания к §§ 80 и 82. Издатели полного собрания сочинений Эйлера,
исправившие ошибку в § 80, не внесли соответствующего исправления в настоящий
параграф.
48 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПРИМЕР 6
86. Предложено дифференциальное выражение
, _______________________ dx
У — х3 (1 + х) (1 — х4 *) ’
найти его интеграл.
Дробная функция, являющаяся множителем при dx, но разложении
1
знаменателя на множители равна —рг \ она разлагается
г х3(14-х)2(1— х)(14-х2) г
на следующие простейшие дроби:
J____1_ 1____1________9 1 14-х _ rfy
х3 х2 + х 4 (1 4- я)* 8(1 4-х) 1 8(1 — х) ‘ 4(1 4-^)2 ~ dx ’
откуда с помощью интегрирования получается:
У = ‘ ',L Т + 1х + 4 (1 4-Z) ^8’Щ + -Г)—8-Щ — х)
у Z (1 4- х2) 4- arctg X.
Это выражение преобразуется к виду
. — 2 4- 2х 4- 5х2 , 1 + х 1 , 1 4- х2 . 1 .
у = С Н--7 <-I—------ь тг ‘ Д”—2 ~r arctg х.
* 4z2 (1 + х) х 8 1 — х2 4 6
ПОЯСНЕНИЕ
87. Нам удалось разработать эту главу так, что в этом круге во-
просов не остается желать ничего большего- Во всех тех случаях,
когда требуется найти такую функцию у от х, чтобы равнялось
рациональной функции от х, интегрирование не представляет никакой
трудности, разве что правила алгебры окажутся недостаточными для
нахождения отдельных множителей знаменателя; но тогда мы имеем
дело с недостатком, который надо отнести за счет алгебры, а не за
счет излагаемого здесь метода интегрирования. Далее следует также
обратить особое внимание на то, что во всех случаях, когда ~ рав-
няется рациональной функции от х, функция у, если она не алгебраи-
ческая, не содержит никаких других трансцендентных количеств, кроме
логарифмов и углов. При этом необходимо заметить, что здесь под
логарифмами надо всегда подразумевать логарифмы гиперболические, так
как дифференциал от 1х равен только в том случае, если взять
гиперболический логарифм. Впрочем, преобразовать гиперболические
логарифмы в обыкновенные чрезвычайно легко, так что приложение
исчисления к практическим вопросам из-за этого не наталкивается ин
на какие трудности. Поэтому нам надо теперь перейти к тем случаям,
когда выражение равно иррациональной функции от х. Здесь прежде
всего надо заметить, что всякий раз, как эту функцию1) можно будет
с помощью подходящей подстановки привести к рациональному виду,
Э Здесь речь идет, очевидно, о приведении к рациональному виду диффереп-
7 dy
циала dy, а не отношения -г-•.
ах
ГЛ. I. ОБ ИНТЕГРИРОВ.РАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 49
рассматриваемый случай будет сведен к задачам настоящей главы. Так,
| I 1/"^_1У #2
если бы мы имели dy =----------—?---dx, то ясно, что, положив х— z6,
откуда <£r=6z5dz, получим:
, (1 4- Z3 —Z4) П 5 7
dy — -——2—- • 6z5 dz,
и 14- z2 7
так что
= — 6z7 + 6z6 + 6z5 — 6z4 + 6z2 — 6 + - 6 2-,
dz 1 1 14- 22
откуда находим интеграл
у = — z8 + у z7 + z6 —z5 + 2z3 — 6z + 6arctg z
и, восстановив прежнее обозначение1),
у = — ~ х у^х 4--- х — -|~ |/я5-|-2 ]/^х—6 f^x-j- 6arctg yf х -|- С.
х) restitute valore.
ГЛАВА II
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ЗАДАЧА 6
88. Предложено дифференциальное выражение
7 dx
dy — ;
у а + рх + ух2
найти его интеграл.
РЕШЕНИЕ
Два множителя количества а 4- fte 4~ yz2 либо действительны, либо
нет/
I. В первом случае1) предложенное выражение будет иметь вид:
dy = ~-г, . Для уничтожения иррациональности положим
V (а + bx) (f + gx)
(а 4- bx) (f 4- gx) = (a -f- bx)2z2;
тогда будем иметь:
/— az2
—Г2--- ?
bz2 — g
а значит,
___2(ag — bf)zdz
(bz2-g)2
и
V (а + bx) (J + gx~> = - (afzT2g~Z ’
откуда
, —2tZ^ _ 2dz ^„*1/*/ + &х
У bz2— g g — bz2 И M r a ~y bx *
Поэтому, если у букв b и g одинаковые знаки, то интеграл выразится
через логарифмы, если же разные, то через углы.
4 Случай равных действительных корней Эйлер не рассматривает, так как в
этом случае интегрируемое выражение становится рациональным.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИЙ 5|
II. Во втором случае будем иметь:
7 dx #7/ = -—: У а2— 2abx cos С + Ь2х2
Положим b2x2 — 2abx cos £ Ц- а2 = (Ьх — az)2,
тогда — 2bx cos £ 4- а = — 2bxz + az2
и 2b (cos С— z) ’
откуда , adz(i—22C0sC + jz2) aX 26 (cos C-^)2
и ]/a2 - 2abx cos £ + bW = .
Значит, dy = dz и у =—^Z(cos£ —z). 6(cosC — z) b v ъ 7
Но bx— У a2—2abx cos C-\-b2x2 Z — f a
поэтому 1 yacosC — bx У a2 — 2abx cos C + b2x2 У- bl a
или y~^l (— a cos C+ bx + У a2~2abx cos^+b2x2) -\-C^
СЛЕДСТВИЕ 1
89. Способ, использованный в последнем случае, имеет более
широкое применение и может быть употреблен для интегрирования
выражения
7 dx
dy = -~—
а + рх + 7^2
всякий раз, как у есть положительное количество; действительно, так
как Ь=Уч и acos, = —то получается:
2 у 7
= 0^ + я/т + /а+₽я: + тя:2)+<7,
ИЛИ
у = ^1 (у₽+т^4-VT(«-t Ря-ь-р2)) +с.
СЛЕДСТВИЕ 2
90. Что касается первого случая, то в силу
С 2dz 1 ,/g + zl/j С 2dz 2 t zVb
} g—bz2 уЦ Yg—zVb И J g + bz2 ~ y^l аГС & yAJ
52
об Интегрировании дифференциальных выражений
будем иметь следующие случаи:
С_______dx_________ _ 1 Kg (а + М + Kfc (/ + g*) , q
J У(а + Ьх) (f + gx) Vbg Kg (я + Ьх)—УЬ (f + gx)
С ______dx_________ 1 £ У g(bx — a) + yb(f + gx) Q
J У(Ьх — а) (f + gx) УЦ Уg (bx— а)~УЬ (f + g'x)
C_______dx_________ 1 j yg(bx — a) + yb (gx—f)
J У(Ьх — a) (gx — f) ybg Уg (Ьх — а)—Уb (gx — /)
Г_______dx_________ —1 Уg(a — bx) + yb (f—gx) . Q
J У(а — Ьх) (f—gx) ybg Уg (a — bx) —УЬ(} — gx)
C _d3L^_== 2 arctg +C
J У(а — bx) (f + gx) ybg yg(a — bx)
C d*-------------= 2 arctg Vb^fL + c.
J У(а — bx) (gx — f) ybg У g(a — bx)
СЛЕДСТВИЕ 3
91. Из этих шести интегрирований первые четыре все подходят под
случай, рассмотренный в следствии 1, а два последних — под формулу
dy = ~~ ; положим, например, в предпоследнем выражении
У а + рх — -ух2
а/ = а, ag — bf = 0, bg = у;
тогда из него, если удвоить дугу1), получим интеграл
1 aretP’^K’T (« + ₽*-Т*2)
у ~ К7 g RV •
Через косинус же он выразится так:
У
1 — 2ух
— arccos —*—-
^7 З2 + 4а т
справедливость этой формулы явствует из дифференцирования.
ПОЯСНЕНИЕ 1
92* Из решения этой задачи ясно, что и более общее выражение
г __.. -., где X есть какая-либо рациональная функция от х. можно
интегрировать, применяя приемы предыдущей главы. Действительно,
если вместо х ввести переменное z, которое превращает радикал в рацио-
нальное выражение, то и X также перейдет в рациональную функцию
от z. То же имеет место в еще более общем случае, когда количество
X при обозначении ]Ла + fix 4- ух2 == и будет какой-либо рациональной
функцией количеств х и и. Действительно, в этом случае с помощью приме-
ненной подстановки получится рациональное дифференциальное выраже-
ние, ибо как вместо х, так и вместо и пишутся выражения, рациональные
То есть если применить формулу 2 arctg = arctg-j—
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНТ. ВЫРАЖЕНИЙ 53
относительно z. То же самое можно выразить и так: если функция X не
содержит никакой другой иррациональности, кроме ]/а + jir + р:2, то ин-
теграл выражения Xdx найти можно, так как с помощью подстановки
это дифференциальное выражение можно преобразовать в рациональное.
ПОЯСНЕНИЕ 2
93. Если же предложено какое угодно иррациональное дифференци-
альное выражение, то прежде всего надо посмотреть, нельзя ли преобра-
зовать его в рациональное при помощи какой-либо подстановки. Если
это удастся, то интегрирование может быть произведено по правилам
предшествующей главы. Вместе с тем понятно, что интеграл, если он не
алгебраический, не будет содержать никаких других трансцендентных
количеств, кроме логарифмов и углов.
Если же невозможно найти никакой подстановки, пригодной для
этой цели, то надо отказаться от труда интегрирования, поскольку мы
не в состоянии выразить этот интеграл ни алгебраически, ни при помощи
логарифмов или углов. Так, если X dx будет таким дифференциальным
выражением, которое никак не может быть приведено к рациональному
виду, то его интеграл X dx придется отнести к новому роду транс-
цендентных функций, и нам не останется ничего другого, как пытаться
найти для него значение, сколь угодно близкое к истине1). Но, допу-
стив существование нового рода трансцендентных количеств, мы,сможем
свести к нему интегрирование бесчисленных других выражений. Итак,
прежде всего надо прилагать усилия к тому, чтобы для какого-либо
рода отметить простейшее выражение, введение которого позволило бы
определить интегралы остальных выражений. Это приводит нас к чрез-
вычайно важному вопросу: каким образом следует приводить интегри-
рование более сложных выражений к более простым? Но прежде чем
приступить к этому, рассмотрим другие выражения, которые при помо-
щи подходящей подстановки можно освободить от иррациональности,
подобно тому как дифференциальное выражение X dx, по доказанному,
можно преобразовать в рациональное всякий раз, как X будет рацио-
нальной функцией количеств х и и~ |/ а + + р?2, т. е. когда не будет
входить никакая другая иррациональность, кроме квадратного корня
из выражения вида а + ух2.
ЗАДАЧА 7
р-
94. Предложено дифференциальное выражение X dx (а + Ъх)у, в кото-
ром X обозначает какую-нибудь рациональную функцию от х. Освобо-
дить его от иррациональности.
РЕШЕНИЕ
Положим
а + Ъх zv,
чтобы получить
ц
(а ЪхУ* = z^.
*) Ut eius valorem vero proxime assignare conemur.
54
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
Так как х = —-~а- , то после этой подстановки функция X превратится
в рациональную функцию количества z; пусть эта функция будет Z.
Так как dx = ~ zv-1 dz. наше дифференциальное выражение примет та-
кой вид: это выражение рационально, а потому его можно
интегрировать по правилам предыдущей главы, и интеграл, если он не
будет алгебраическим, выразится через логарифмы и углы.
СЛЕДСТВИЕ 1
95. При помощи этой подстановки можно решить более общую за-
1
дачу Положим (а -\-bxy — и. и пусть буква V обозначает какую-нибудь
рациональную функцию двух количеств х и и. Поскольку V после того,
V
и —а
как будет положено х = —— , становится рациональной функцией ко-
личества и. выражение V dx = — du будет рациональным.
СЛЕДСТВИЕ 2
96. Точно так же, если в выражение X dx будут входить две ирра-
циональные функции одного и того же количества а-\-Ъх. а именно
1 £ 2nv_а
{а + Ъху = и и (а + Ьх)п = V, то, положив а + bx — znv, получим х —-»
u = zn и v = zy; поскольку вследствие этого X становится рациональной
функцией от .z, a dx = dz. выражение X dx после этой подста-
новки будет рациональным.
СЛЕДСТВИЕ 3
97. Таким же образом становится понятным и следующее. Положим
111
(а + bx)x =и. (а + bxy = v, (а + bx)v = t и т. д.
Пусть буква X обозначает какую-нибудь рациональную функцию коли-
честв х. и. v. t и т. д.; тогда дифференциальное выражение Xdx ста-
новится рациональным, если положить аbx ~ zyx-'\ в самом деле, бу-
дем иметь:
X =---г---', и—Z^. v = ZXv. t — z^’- и т. д.
о
и
d# “ Цг 21хdz.
о
ПРИМЕР
98. Пусть предложено выражение dy = ~ xdx -=_ . Положив
у 1 -ha;—у 1 4-я
j < 7 ---623 dz (1—26)
1 + х = z% найдем dy —--, или
dy — — Qdz (z3 -j- z4 -j- z5 -j- z6 4- z7 -j- z8),
Гл. 11. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИИ 55
откуда, итегрируя,
XI з, 6 ₽ д 6 , 3 a
2/=C-yz^-yZs_ze__z7__z8_yz9
и, восстанавливая [прежнее переменное],
У = С — у3/ (1+ж)2— yjZ (1Ч-ж)5—1—Ж —y(14-z) уЧ + ж
— ^1+х — ^(1+х)У1 + х.
Итак, интеграл выражается даже алгебраически.
ЗАДАЧА 8
£
99. Предложено дифференциальное выражение
Xdx(a,^x~'\\ где X
\f + gX J
обозначает какую угодно рациональную функцию от х. Освободить его
от иррациональности.
РЕШЕНИЕ
Положим
а + ^ _ _v
/ 4- gx
Тогда
^ + ^y = ZH,
а— fz* л — ag) dz
x — ---'— и dx = —-------AL-------- ,
g^-b (gz*-—by
Таким образом, вместо X получится рациональная функция от г; если
положить ее равной Z, то наше дифференциальное выражение примет вид
V (bf— ag) Zzp‘+*''~1 dz
(gz'^bf ’
Так как это выражение рационально, то его можно интегрировать
по правилам гл. I.
СЛЕДСТВИЕ 1
1
100. Положим f — и; если X будет какой-нибудь рацио-
нальной функцией двух количеств х и щ то дифференциальное выра-
жение X dx с помощью, примененной выше подстановки преобразуется
в рациональное, и поэтому способ интегрирования известен.
СЛЕДСТВИЕ 2
101, Если X будет рациональной функцией количества х и коли-
честв вида
12 1
(.7+Td =“ <7+jr) = v’ (т+?г)
56
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
взятых в любом числе, то дифференциальное выражение X dx станет
а -|- Ьх \
рациональным, если применить подстановку откуда
------- и и — z^\ V = z1'*
gz^~b
X
t = Z^.
ПОЯСНЕНИЕ 1
102. В этих случаях приведение к рациональному виду удается,
несмотря на то, что входят несколько иррациональных выражений
по той причине, что все они одновременно делаются рациональными
в результате одной и той же подстановки, при которой и само коли-
чество х выражается рационально через новое переменное z. Если же
предложенный дифференциал содержит такие два иррациональных выра-
жения, которые не могут быть оба одновременно сделаны рациональными
с помощью одной и той же подстановки (даже если бы этого можно
было достигнуть для каждого в отдельности), то приведение к рацио-
нальному виду не может иметь места, если не случится, что дифферен-
циал можно разбить на два слагаемых, каждое из которых содержит
только одно иррациональное выражение. Пусть, например, предложено
дифференциальное выражение
7 dx
Умножив его числитель и знаменатель на ]/1+#2 + ]/1 — я2, получим:
7 dx 1^1 + х2 . dx 1/1 — х2
аУ = ~^-------+ —2^— ’
и каждое из двух слагаемых можно отдельно сделать рациональным
и интегрировать.
Получается*.
У - С - Ц t Itdg
Но здесь удобнее всего уничтожить иррациональность, положив
в первом слагаемом j/l-p#2 — а во втором |/1 — х2 — qx. Действи-
тельно, хотя отсюда получается:
1 1
х= г____— и я = ,
р2— 1 1 4- q2
однако для dy получается рациональное выражение
/7?/ = dp - q*dq .
У 2(р2 —1) 2(1 + q2)s
ПОЯСНЕНИЕ 2
103. Что касается общих
от иррациональности, то вряд
выражений, которые можно освободить
ли можно преподать какие-либо более
х) В первом издании опечатка: у —С
J^l— х2— р41 + х2
2х
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИИ 57
действенные указания; добавим пока тот случай, когда функция X со-
держит два радикальных выражения Уа-^Ъх и У-f-^gx. Положив
а 4- bx = (f 4- gx) t2.
получим:
а — ft2
х “ ’
и [так как]
1/<г+ь = ±^^, =
V gt—b у gt2~b
то в дифференциальном выражении будет содержаться только одно-
иррациональное выражение ]/gZ3 — 6, которое легко устранить при
помощи новой подстановки, как мы объяснили в задаче 6.
Переходя теперь к другим случаям, мы должны в первую очередь
рассмотреть дифференциальное выражение
Е
х^~1 dx (а + ЬхпУ >
которое вследствие своей простоты имеет очень большое значение во всем
анализе. Здесь мы принимаем, что буквы т, п, [х, у означают целые
числа; если бы эти числа не были целыми, их было бы легко привести
_ и
к такому виду. Так, например, если бы мы имели х 3dx (а 4-b Ух)у,
то нужно было бы подставить х = ив; отсюда dx — би5 du, после чего
получается:
бгг3 du (а-\-Ъи3у.
Далее можно принять, что п имеет положительное значение; действи-
тельно, если бы этот показатель был отрицательным и мы имели бы,
скажем,
и
dx (а + Ьх~пу,
1
то положим # = —, и получится выражение
и
— и~т~1 du (а 4- Ьип)\
подобное первоначальному; таким образом, нам надо исследовать, в каких
случаях первоначальное выражение может быть освобождено от ирра-
циональности.
ЗАДАЧА 9
104. Определить случаи, когда дифференциальное выражение
и
я"1"1 dx (а 4- Ьхп)у
можно привести к рациональному виду,
РЕШЕНИЕ
Прежде всего ясно, что если у == 1, т. е. если —целое число, то
выражение само по себе рационально и нет надобности ни в какой под-
.58
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
становие. Если же —дробь, то надо пользоваться подстановкой
и притом двоякой.
I. Положим
а + bxn = zzv,
и
чтобы получилось (а Ц- Ьхп)'* — и^\ тогда будем иметь:
откуда
m
1и* — а\п
х=\-ъ> >
и поэтому
т~—п
11 v , , 7 1и* — а\ п
xm~-t dx = —г du -7— ,
по \ о J
вследствие чего наше выражение примет вид:
т- -п
Л du П .
по \ о /
„ т— п
Отсюда ясно, что всякий раз, как показатель —-— и, значит,
т -
— будет целым числом, положительным или отрицательным, это выра-
жение рационально.
II. Положим
а + Ъхп = xnz\
так что
и
и
V |х
(а + Ьх-у = -^^-
тогда
пг
(zv-b)n
откуда
т
-+1
n(z*-b)n
Поэтому наше выражение примет вид:
—dz
^+*+1
n(zv — Ь)п v
<ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИЙ 59
откуда ясно, что наше выражение будет рациональным всякий раз, как
будет целым числом.
Легко понять, что невозможно придумать другие подстановки, при-
годные для этой цели1).
Поэтому мы приходим к выгоду, что иррациональное выражение
и
хт~1 dx (а Ьхпу
можно освободить от иррациональности, если либо либо
€удет целым числом.
СЛЕДСТВИЕ 1
105. Если —целое число, то случай является легким сам по себе.
Действительно, положим m = in, и пусть xn=v, тогда xm = vi\ поэтому
i -
наше выражение получит вид — vl dv (а -|- bv)y и может быть освобо-
ждено от иррациональности, как в задаче 7.
СЛЕДСТВИЕ 2
106.-----Если же не есть целое число, то для того, чтобы было
возможно приведение к рациональному виду, необходимо, чтобы
---------к— было целым числом, но это возможно только в том случае, если
п V v
= а поэтому т-\-р должно быть кратным числа n = v.
СЛЕДСТВИЕ 3
107. Поэтому, если выражение
хт dx(a + Ъхпу
может быть приведено к рациональному виду, то и выражение
xm±an-i fa х Ъхпу-
0 Facile autem intelligitur alias substitutioncs huic scope idoneas excogitari non
posse. Случаи интегрируемости, рассмотренные здесь Эйлером, были указаны уже
в письме Ньютона к Лейбницу от 24 октября 1676 г. (Ньютон, Математические рабо-
ты, ГТТИ, 1937, стр. 238 — 240). Эйлер впервые высказал утверждение, что эти случаи
единственные. Слова Эйлера «легко понять, что невозможно придумать другие под-
становки, пригодные для этой цели», можно было бы принять за утверждение, что
этот факт легко доказать. Такое толкование, однако, совершенно исключается, ибо
в § 110 Эйлер говорит, что он, не колеблясь, утверждает невозможность
других рационализируюших подстановок, и в подтверждение ссылается на то, что со-
вершенно не видно, какая подстановка могла бы привести к Пели. Вслед за этим спе-
циально оговаривает, что этот аргумент нельзя рассматривать как доказательство.
Итак, слова «легко понять...» означают не что иное, как наличие субъективной
уверенности, основанной на опыте.
Утверждение Эйлера было доказано лишь в 1853 г. П. Л. Чебышевым для
случая, когда показатели степени рациональны, которым ограничивается и Эйлер.
(П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. II, Издательство АН СССР, 1947,
стр. 52 — 69). Соответствующая теорема для случая иррациональных показателей была
доказана Д. Д. Морду хай-Болтовским (Известия Казанского университета, 1926).
60
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
допускает такое же приведение, какие бы целые числа ни были взяты
для аир. Значит, для того чтобы распознать случаи, когда приведение
возможно, достаточно положить т < п и u < у.
СЛЕДСТВИЕ 4
dx
108. Если m = 0, то имеем выражение — (а-^Ьхп)у\ оно всегда под-
ходит под первый случай и приводится к рациональному виду, если
положить
действительно, оно преобразуется в выражение
>ir'- du
п (иУ — а)
ПОЯСНЕНИЕ 1
и
109. Так как выражение я7™"1 dx (а 4- ЬхпУ можно привести к рацио-
нальному виду всякий раз, как m = in (где i означает любое целое
число — положительное или отрицательное), и так как эти случаи
очевидны сами по себе, то стоит, нам кажется, рассмотреть более тща-
тельно остальные случаи, допускающие это приведение. Для этой цели
положим v=n, а также т < п и р. < п. Необходимо, чтобы т + \^=п.
Отсюда получатся следующие простейшие в своем роде типы, приводи-
мые к рациональному виду:
1
I. dx (а + Ьх2)2,
2 1
IL dx (а + Ьх3)2, х dx (а 4- Ьх3)3.
з 1
III. dx (а + Ьх*)^, х2 dx (а 4- Ьх4)^.
4 3 2 1
IV. dx (а -|- &г5)5, х dx (а + bx5)5, х2 dx (аЬх6)6, х3 dx (a J- Ьх5)3.
5
V. dx {а + Ьх6)6, х1 dx (аЬх6)6.
Стало быть, допускают приведение
i-д. в
,r±2a dx\a -|- Ъх2)2 1,
2 в
я±3а dx {а + Ьх3)21,
з
х±4а dx (а 4 Ьх*)4 ± ,
т±,5<х (lx ,
х±6ct dx {а 4- Ьх6) \
и следующие выражения:
я1±3а dx (а 4- Ьх3)2±\
1 ± з
х2± dx (а 4~ Ьх*)^ 1,
а:1±5сс dx (а 4- Ьх6)6 \
о
“± в
х2±6а dx (а -4 Ьх5)6 ',
1 ± з
х2±6« dx (аЬхь)6 4
fa _[_ Ьх6)6
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИЙ 61
ПОЯСНЕНИЕ 2
110. Но хотя бы выражение х™"1 dx (а + Ьхпу и нельзя было осво-
бодить от иррациональности, все же всегда возможно свести к нему
-±р
интегрирование всех выражений вида j;m±Tlcc—1 dx (а + bxny , так что,
если рассматривать интеграл первого выражения как известный, можно
найти интегралы и этих выражений. Так как такое приведение приносит
в анализе очень большую пользу, необходимо его здесь изложить.
Впрочем, мы, не колеблясь, утверждаем здесь, что, кроме тех случаев,
которые, как мы здесь показали, допускают приведение к рациональ-
ному виду, нет никаких других, которые можно было бы освободить от
иррациональности при помощи какой-либо подстановки. Так, если пред-
ложено выражение Г.-Х — , то невозможно подставить вместо х такую
У а-\-Ьх3
рациональную функцию от z, чтобы а + Ьх3 стало допускать извлечение
квадратного корня. Правда, можно возразить, что для нашей цели
было бы достаточно подставить вместо х хотя бы иррациональную
функцию от z, лишь бы в знаменатель \Sa-\-bx3 вошла иррациональ-
ность, которая уничтожала бы подобную ей иррациональность, содер-
жащуюся в числителе dx, таким же образом, как это получается в вы-
dx а тт
ражении , если применить подстановку х=~Но хотя
у а + Ьх3 у z3— b
здесь, правда, и вышло удачно, совершенно не видно, каким образом
это могло бы произойти в предыдущем случае. Однако же я отнюдь
не хочу, чтобы вышесказанное рассматривалось как доказательство1).
ЗАДАЧА 10
111. Привести интегрирование выражения
г ц
\ х™^1 dx (а + Ьхпу
if
к интегрированию выражения \ x^^dx (а + Ьхпу.
РЕШЕНИЕ
Ь+1
Рассмотрим функцию хт (а-pЬхпу ; так как дифференциал ее
(max'11-1 dx + mbx”1^1 dx + + bx™*"-1 dx^(a + bxny,
TO
ц + 1 11 11
х™(а+ЬхпУ = xm~'dx (a + bxny + + $ x^^dx^a+bx^,
откуда получается:
C b n\V -----------C xm~1dr (л -4- hr’V
J x ax^a^DX) (mv + nv. + m)b (тч + пр. + пчуь dx(a + bx).
T) Hoc tamen minime pro demonstrations haberi volo.
62
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
СЛЕДСТВИЕ 1
112. Так как отсюда получается также
и £+1 и
£ хт~' dx (а + ЬхпУ = хт(а + ЬхП'>-(w + np+n^b С хт dx {а
J \ t / та mva J \ /
то вместо т напишем т — п и будем иметь следующее приведение:
р. —+1 и
я"1-”-1 dx (а + ЬхпУ = *m~r‘(а + ^тТ-С x™-i dx (а + Ьхп)\
J \ 1 ' (zn— п) а (т — п)^а J 4 7
СЛЕДСТВИЕ 2
и
113. Итак, если считать интеграл я"1’1 dx {a ~h bxnY известным, то
и
можно получить также интегралы вида хт±п~1 dx(a + Ъхп^ и, идя далее
и
подобным же образом, получить все интегралы вида \ хт±ап—i &х ъхп}\
ЗАДАЧА И
с ”+1
114. Привести интегрирование выражения \ хт~х dx (а + Ъхп)^ к
и
интегрированию выражения \ x™^1 dx(a^ bxn^.
РЕШЕНИЕ
V + 1
Дифференциал функции хт (а 4- Ъхп) может быть выражен следую-
щим образом:
(ma - + + dx {а + +dx {а + Ьх^+\
откуда выводится
^+1
хт(а + Ьхпу
= -(y + nv).a- хт~^х(а + ЬхпГ+'-г
поэтому получим:
-4-1
хт-^х(а + ЬхпУ
^+1 н
+ _n(H + v)a f dx ЬхПу
m>i + п (ц-Н \i) ту 4- п (fx+'O J 4
гл. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИЙ 63-
СЛЕДСТВИЕ 1
115. Далее из того же уравнения получаем:
Теперь напишем р — v вместо р, и тогда получим такое приведение:
И , - ц
\ z”1"1 dz (а + bznY = + С x™-i dx (а + Ьху
J х 1 / пра пая J \ 1 /
СЛЕДСТВИЕ 2
ь
116. Поэтому, если допустить, что интеграл х^1 dx (аЪхпу
С
известен, то можно получить и интегралы \ х™”1 dx {а Д- Ъхп} ,
а, подвигаясь таким же образом дальше, также и интегралы
\ dx {а 4 Ьхпу , где р означает любое целое число.
СЛЕДСТВИЕ 3
117. Если сопоставить сказанное с предшествующим, то все инте-
гралы вида
Г
\ хт^ап^ dx {а 4- Ъхпу
р
могут быть приведены к интегрированию 1 dx(a-\- Ъхп)\ и следова-
тельно, все они зависят от одной и той же трансцендентной функции.
ПОЯСНЕНИЕ 1
р
118. Из дифференциала выражения хт (a Ъхп)\ расположенного'
следующим образом:
dx (а 4 Ъхп^ + 1 dx (а 4- Ъхп^ ,
мы получаем такое приведение:
р , р
Г 1 4 7 / , 7 1 (а + ЪХПУ* ПМ С - А 7 / 7 77\М
\ хт+п~{ dx (а + Ъх ) =-------------г \ dx (а + Ъх ) ,
J \ i / J \ I / >
и, кроме того, если вместо т и р написать т — пир-Н, получим такое
обратное приведение:
ц . -4-1 ц
С « 4 7 / I L n\V + 1 хт~п (а + Ьхп)у + i . 7
\ dx (а + Ъх ) =----------------7---4- \ хт~{ dx а + Ъх ) .
\ \1/ т — п --n) J 1 f
Таким образом, приведение достигается здесь при помощи одной
операции, тогда как данные выше формулы требуют двукратного приве-
дения. Мы получили отсюда шесть приведений; так как они весьма
64
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
достопримечательны, мы их приводим все вместе.
- и
т С m+n-ldx(a I bxn}v _ vx™ {a + &rn)___m\a Г t
Ь V ax^bx ) ~ [zn. + n(fx + .)]6 [zn.+n(fx + .)]&}x dx(a+bx ) .
и ^+1 и
II. $+ fa”? = ----------S xm~l dx<a + ЬхПУ-
III. 5dz[« + ta")’+1 _ rrC + dl (“ + fa")’
p_ t £
IV. $ x^dx{a 4- ЪхГ = -~^°±6--n)- + 5 Z-* dx(a + ЪхГ
и , H н
V. ^^^l^^^xm~tdx{a + bxny^
JA
VI. xm~~n~idx(a + bxny = x-La + 6rr )-n (y + 6 C xm-t dx \
j m—n — n) } v 7
ПОЯСНЕНИЕ 2
119. По поводу этих приведений надо прежде всего заметить, что
[в каждом из них] первое выражение интегрируется алгебраически, если
коэффициент последнего выражения исчезает. Так:
- nv+1
Из I, если т = 0, = — '>
—т
тт Р- —т С т—-П 1 j / г ь п\ п хт~п(а rbxn) п
из II, если — = —— , \ хт п 1 dx(a+ Ъх ) =-;-----;
* V п 3 41 ' {т — п) а ’
—т
из IV, если — = —— , \ хт^1 dx (а 4- bxTl) п = ~— •
v n J ' та
из V, если т = 0, xn~l dx (а + Ьхпу = + .
Далее, заслуживают быть отмеченными те случаи, в которых коэф-
фициент последнего выражения делается бесконечным; тогда приведение
не может состояться, а первое выражение имеет своеобразный интеграл,
который должен быть получен отдельно. В первом приведении § 118 это
происходит, когда = —— ,и выражение хт+п~1 dx (а + Ьхп) п , если
положить a-\-bx =x z или х — ~zn^l переходит в ——; инте-
грал этого выражения следует определять по правилам первой главы.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИЙ 65
Во втором приведении это происходит прим-тг, причем выражение
dx - 2V_ а
— (a-\-bxn)\ если положить a + = или хп =—, переходит
Г
J п (zv — а)
В третьем приведении это происходит при
выражение \ dx (а + Ьхп)
п
X = ~Ъ-----Г >
zn — о
1
z =---- , В
и
переходит в
и^1 du дд
1— Ьип
, если положить
_z-m+n-l fa
---й—г--- или,
—пь л
= —-----1, причем
а + Ъхп = xnzn или
если положить
В четвертом приведении это происходит при р = 0; тогда выраже-
ние \ g ^п- рационально само по себе.
В пятом то же самое происходит при р = 0, в шестом — при т = п,
С dx '+1
причем выражение \ — (а-\~ЬхпУ , если положить a~rbxn = zv, пере-
V f z^^dz
ходит в \ ~.
ПРИМЕР 1
120. Найти интеграл выражения х ^х , где показателю т дают-
]/ 1--------------------------------X2
ся положительные значения.
В этом случае ввиду того, что а = 1, /> = — 1, п — 2, р == — 1, v = 2,
первое приведение дает
Г xm+1 dx —хт —х2 т Р хт~1 dx
J УТ^х2 ~~ пг-Ы ‘ ’
Отсюда в зависимости
четные числа, получим:
для нечетных чисел
от того, берутся ли для т нечетные или
Р х2 dx
J 1 —х2
х2 dx
]/ 1 —X2
х^ dx
]/1 — х2
- -1 ж8 ]/! - а:2 + 4
х6 dx
]/1—ж2
1 к -1 о , 5 С x^dx
1 -^4- ,. \ —г=
6 6 J / 1 — 2
0 В оригинале ошибка: вместо
du
-7--напечатано
1 — Ьип
uin+zn-idu __ _ ит+п
1 — Ьип (т 4- л) Ъ
ит r 1 Г
mb2 1 b2 j
цтп-1
а — Ьип
66
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
для четных чисел
х3 dx
]/" 1-X2
х5 dx
У 1—z2
х7 dx
]/1— x2
-4-*2 и -*2+4
О о *
-^х*У1 -х2 + ^~ j
-ухв J
х dx
1 —х2
х3 dx
]/" 1 — x2
x5 dx
Далее, так как
й т. д.
dx . С х dx ..г --Z
г- = arcsin х и \ —г — == — у 1 — х2
/1—X2 J /1—X2 Г
то мы получим следующие интегралы:
для первой группы
dx
- г...= arcsin х,
У1 —ж2
х2 dx 1 г-.-----5 . 1
—-- — - = —тухУ 1 - т2 4-—arcsin т,
/1—z2 2 '2
хЧх / 1 0.1-3 ------5 .1-3
—— - = — ( -г хА-\-^-,х ) У 1 — -х2+ -о—, arcsin я,
У1— х2 <4 2-4 J * 1 2-4
x3rfx /1 5 . 1-5 о . 1-3-5 -----в . 1-3-5
= — ( ~^Х5+ у-^Хd + ^гу-ах ) У 1 — Я2 + х—r-parcsin#,
j/1___х2 \ 6 1 4-6 2-4-6 / г ! 2-4-6
x8rfx Z 1 7 .1-7 5 . 1-5-7 3 . 1-3-5-7 > „
|/Т^2 \8Х + (Г8Ж +4-6-8а: + 2-4-6-8 х)у 1 +
. 1-3.5-7
+ Г4^8 arcsin.г;
для второй группы
х dx
Y1 — х2
х3 dx
У1—Z2
х5 dx
/1 —z2'
х7 dx
У1 — x2
СЛЕДСТВИЕ 1
121. Значит, и вообще для выражения
1-3-5 ... (2i —1) т
КОСТИ ПОЛОЖИМ ----9 = получим
х2^ dx
т-, если для крат-
следующий интеграл:
х2^ dx т . т f । 2 о . 2-4 г . 2-4-6 7
= J arcsin х ~ J ( х -г -й я3 + Т %5 + 'ПГ7 х1 + • • •
V/ 1 д.2 о о • Э о • Э • /
2-4-6...(2i-2)
3-5-7 ... (2i-1)
V1 - х2
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. ВЫРАЖЕНИЙ 67
СЛЕДСТВИЕ 2
Г* + 1
122. Равным образом для выражения \ — __________ , если для краткости
J у 1—х2
2*4-6... 2? u z
положим 2“5“7—(2?Т"1)==-^? получим следующий интеграл (исчезающий
при £ = 0):
x2i+1 dx
= + + + ... +1-32^-6 (2i271)x«) /1—’.
ПРИМЕР 2
dx
123. Найти интеграл выражения — в тех случаях, когда для т
V 1 — х2
берутся отрицательные числа.
Здесь надо пользоваться вторым приведением, которое дает
р хт~3 dx ._xm “2 "fAl— х2 тп— 1 С хт~~1 dx
J У^!— х2 2 т — 2 j у*" 1—х2
. С dx ]/1 — X2 тт
откуда ясно, что при т — 1 будет \__________: = — -----. Далее, при
J х2 У 1 — X2 х
т = 2 выражение после подстановки 1 — х2 = z2 переходит в вы-
— dz
ражение ।, интеграл которого равен
_ £ I __ _ £ i 1+/1—х2 _ __ i 1 + /Г^х2
2 1 z 2 j — у^ 1 — х2 х
Отсюда мы получаем два ряда интегрирований:
Г dx 1+/1—X2 X X
J х У^ 1 — х2
Г dx V1 - X2 . 1 C dx
' L I
J х3 У 1 — х2 2x2 2 J X /1 — X2
Г dx У1 —x2 3 f* dx
j х5 ]/i—x2 4x4 4 J x3 У1 — X3
C dx _ /Г^2 5 P dx
J X7 j/1 - - X2 6x6 1 g J x5 У1 — X2
P dx J x2 )/ 1 —X2 f* dx и T. Д. X ’ I^T^X2 , 2 (* dx
J x4 X2 3x3 1 3 j X2 У1 —X2 ’
P dx _ У1 — x2 4 e dx
J xe У 1 — X2 5x3 1 5 J X4 У1 X2
и т. д.
68
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Отсюда получится, как в двух предыдущих следствиях,
dx
z2i+i у
1—/ 1 — х2 _ т Г 1 2 2-4
х \ а;2 * За;4 ' 3-5а;6
.. +
2-4...(2i-2)
3-5 ... (2i —l)x2i ) У 1 Х ’
dx с 1 , 1 , 1'3 , , 1-3 ... (2г —1) А
2,21+2 j/у___\ х ' 2а;3 1 2-4а;5 ' * ' ‘ * 2-4 ... 2ix2^ + 1 J
УЧ-х21).
ПОЯСНЕНИЕ 1
124. Теперь можно уже без труда найти интегралы вида
x^dx^-x2)^
для всех чисел т2) и для нечетных р. Наши общие приведения3), при-
способленные для этого, таковы:
- н
I. \ xm+1 dx (1- х2)2
IL \ хт~3 dx (1 -я2) 2
III. xm'1dx(l-x2)^+1
IV. хт~г dx — х2) 2 1 =—x^dx^-x2)2 .
V. xm*i dx (1 - ж2)’1^1 = ~a;,n(1~a;2)-2. + у- dx (1 - х2)2 .
н , Т+1 . „ |Х
VI. Хт-3(1 - Х2)2+‘ = *™ ---- + ~| §*”’~1<М1-Х2)2.
Действительно, если положить у==--1,
ведения дают:
то четыре последних при-
хт"^ dx
*|Л 1 — а;2
a?m-1 dx __ хт
]/(1— а;2)3 1^1 — х2
xm+1 dx хт С хт 1 dx
___ — — :_______—----\ — --------
(1 X2)S |/ 1 х2 J У1 X2
а?т~1 dx
УГ—х2 ’
.--------гт-2 лЛ 1
-----^-4
Г ТП-----
хт~А dx
W-^ ’
В оригинале \ -------= С — ...
J а;21 у 1 — а;2
2) То есть как для положительных, так и для отрицательных (целых) т.
3) См. $ 118.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНТУ ВЫРАЖЕНИЙ ($9
откуда получаются интегрирования для случаев2) р, = 1 и и — — 3,
а отсюда далее и остальные.
ПОЯСНЕНИЕ 2
125. Что касается других иррациональных выражений, более слож-
ных, то для них вряд ли можно дать правила, при помощи которых
их можно привести к более простому виду. В каждом отдельном слу-
чае, когда такие выражения встречаются, приведение по большей части
напрашивается само собой, если только эти выражения вообще допу-
скают приведение. Так, например, если будем иметь выражение
Г Р dx
\ Qn+i ’ т0’ будет ли число п целым или дробным, это выражение всегда
f A dx
можно свести к другому выражению вида \ , которое считается
более простым. Действительно, так как
, R _QdR — nRdQ
то, положив
Р dx
Qn+l
у, будем иметь:
R __ С Pdx + QdR—nRdQ
У "г “ J
Теперь определим R так, чтобы Р dx 4* Q dR~ nR dQ делилось на Q
или, поскольку Q dR уже имеет множитель Q, чтобы Pdx — nRdQ
равнялось QT dx; тогда получится:
dR 4- Т dx
Qn
ИЛИ
Р dx
R Г dR \-T dx
QT1+ J “ Qn
Но функцию R всегда можно определить так, чтобы выражение
Pdx — nRdQ получило множитель Q; правда, выполнить это в общем
виде нельзя; однако же если мы попытается сделать это на отдельных
примерах, то скоро заметим, что это всегда удается. Здесь же я прини-
маю, что Р и Q — целые функции, а тогда всегда можно будет получить
такую же функцию и для R. Если случайно окажется, что dR 4-Т dx ==(),
то заданное выражение будет иметь алгебраический интеграл, который
таким образом будет найден, В противном же случае это выражение
можно будет и дальше приводить к другим, в которых показатель зна-
менателя последовательно уменьшается на единицу, и если п — целое
у dx
число, то в конце концов дело сведется к выражению вида , которое
несомненно является простейшим. Так как в этой главе вряд ли можно
предложить еще что-нибудь, что могло бы помочь в интегрировании
иррациональных выражений, то мы перейдем к изложению метода инте-
грирования этих выражений при помощи бесконечных рядов.
:) Имеются в лиду соответствующие случаи интеграла
и
$Х (j-xrf .
y^Qn
70
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ДОБАВЛЕНИЕ
ЗАДАЧА
Предложено выражение dy = (х 4- ]/1 4~ я2)”dx\ найти его интеграл.
РЕШЕНИЕ
т? I —2 “2 —1 л cta(u2 + l)
Если положить х + V 1 4-я — гг, то х = —т;— и dx = —, вслед-
1 г 1 2гг 2гг2
ствие чего наше выражение получит вид
dy = у ггп~2г/гг(гг2+1),
а следовательно, его интеграл
мп+1 un—1
У = 2(n + l) + 2(n—1) + Gonst •
будет всегда алгебраическим (исключаются случаи лг = 1 и п — — 1).
СЛЕДСТВИЕ 1
Ясно, что и выражение такого более общего вида
dy = (х + У l-^x2)nXdx
можно интегрировать тем же способом, лишь бы X было рациональной
ц2________________________________________________<£
функцией от х. Действительно, если положить я = , то вместо X
получается рациональная функция от и; пусть она = {7; тогда получается;
dy = ±-Uun~2du(u2 4-1).
Это выражение либо рационально, если п —целое число, либо легко
приводится к рациональности, если п — дробное число.
СЛЕДСТВИЕ 2
Так как ]/1 +я2— , то, положив ]/Л + я2 = и, можно будет
проинтегрировать выражение
dy (я+ ]/1 +я2)п X dx
также и в том случае, если X будет любой рациональной функцией
количеств я и и. Действительно, при подстановке я = — ~1 функция X
переходит в рациональную функцию от одного гг; положив ее равной CZ,
получим, как и раньше,
dy = ^Uun~2du(u2 + \).
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 71
ПРИМЕР
Пусть предложено выражение dy = (аж+ Ъ + х2) (х + -\-х2)п dx.
Положив х ~ ’ получим:
dy = а(^1) + Ь(^ + 1).| du (ui + 1}
или
dy = — un~3 du (а (и4 — 1) + b (и4 + 2и2 4- 1));
интеграл этого выражения есть
?/ — _JL±_L_ 7тп+2 I & пп । а „тр-2 I Глпч!
?/"4(n + 2)U +2n +4(n — 2)и i-^onst.
Он является '"алгебраическим, исключая лишь те случаи, когда либо
?г = 2, либо п — —2, либо же п = 0.
ГЛАВА III
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
ЗАДАЧА 12
126. Выразить при помощи бесконечного ряда
циального выражения dy^Xdx, где X — дробная
ция от х.
интеграл диффереи-
рациона льна я функ-
РЕШЕНИЕ
Так как Х~ дробная рациональная функция, ее значение всегда
можно развернуть таким образом, чтобы было
Х=--Ахт -yBxm+n^Cxm^n-^Dxm^n-VExm^n+ и т. д.,
где коэффициенты А, В, С и т. д. составляют рекуррентный ряд, кото-
рый определяется из знаменателя дроби1). Поэтому помножим отдельные
члены на dx и проинтегрируем; в результате этого интеграл у выра-
зится следующим рядом:
_ Axm+1 Brrm+n+1 t Cxm+2n+1
У т + 1 т л- п + 1 1 т + 2п 4-1
ит. д. + Const;
если в ряде для X встретится член вида --,
в интеграл войдет член Mix.
то вследствие этого
ПОЯСНЕНИЕ
127. Так как интеграл Xdx, если он не является алгебраическим,
выражается через логарифмы и углы, то, следовательно, значения лога-
рифмов и углов можно представить при помощи бесконечных рядов.
Уже во «Введении» 2) мы привели несколько рядов такого рода; однако
не только эти ряды, но и бесконечное число других можно получить
путем интегрирования. Будет полезным пояснить это на примерах,
в которых мы будем разлагать в ряды главным образом такого рода
х) «Введение в анализ бесконечно малых», т. I, § 63 (стр. 81 русского перевода).
2) «Введение в анализ бесконечно малых», т. I, гл. VI — VIII.
ГЛ. Ш. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 73
выражения, знаменатель которых двучлен; затем, однако, мы рассмотрим
еще несколько случаев, когда знаменатель является трехчленом или
многочленом. Но в первую очередь мы будем при этом выбирать такие
выражения, у которых дробь может быть преобразована в другую, имею-
щую знаменателем двучлен.
ПРИМЕР 1
128. Проинтегрировать дифференциальное выражение при по-
мощи ряда.
Пусть у — » тогда у — I (а 4-я) + Const. Значит, если определить
интеграл так, чтобы он исчезал при х — 0, то у — I {а 4-я) — 1а.
Но так как
--- — — —----------------—р л-т—|-----и т. д
a -J- х а------------------------------аЛ а*
получим, находя интеграл тем же способом,
37 37^ 37^ 37^ 37^
У = ~ 2^2 + За’3 ~ 4а* + 5а* — и т' д' ’
откуда получается уже известный результат:
гр /у 3 /у 4
= и - д-
СЛЕДСТВИЕ 1
129. Если мы возьмем х отрицательным, так что dy = а х' то
таким же образом обнаружится, что
/у -у2 /уЗ
j / \ 7 *0*0 *О *О
Ца - х) — 1а — — — 2^ — — — и т. д.
Комбинируя эти ряды, получим:
Zzy2 хуЛ /у б /у S
/О О\ О 7
(аи — х2) = 2Ла--,— и т- Д-
v a2 2tz4 3ab 4tz8
И
1 a x
a — x
2x . 2x3 . 2z5 , 2z7 .
— -Г<з + ^Н~^+ 11 T
а За3 эа5 la7
Д-
СЛЕДСТВИЕ 2
130. Эти два последних ряда получаются путем интегрирования
выражений — 2х dx о 7 / 1 . х2 , я4 , Л a2_x2 - ZxdxA -г i- + И т. д J
и 2а dx о 7 / 1 - ж2 - х1 Л a^^^2adx^ <? + й4+ ао+ ит. flj.
Но = Z(«2-x2)-Za2, a а2 — z2 4 7 J а2—хЛ а — х
так что мы могли бы обойтись уже одними этими формулами, интегри-
руя их с помощью рядов.
74
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПРИМЕР 2
131. Проинтегрировать дифференциальное
мощи ряда.
Пусть dy = ^-^2; поскольку у = arctg — ,
выразить при помощи бесконечного ряда. Так
a dx
выражение пРи по~
этот угол можно будет
как
а 1 х2 . ж4 хв , х3
+72 = У— о5'"*- а^ + а» — И Т’ Д’’
то, интегрируя, будем иметь:
Л X х3 , X5 х1 .
y==arctg- = --sr3 + g75-7^+ и т. д.
ПРИМЕР 3
132. Выразить при помощи рядов интегралы выражений
х dx
L + х3
Так как
dx
1 Н-ж8
——1 — Х3 + хв- я9-}-я12 — и т. д.,
1 + X3
то
С 1 л . 1 7 t 1 n । 1 14
\ -Т+^г = *—4 * +т* 10* +13* и т- д-
и
Ж dX 1 п 1 Е . 1 Q 1 1 I । 1 U
Г+7Г=Т*2-у*5ъ* -ii* +14*; -и т-д-
Но согласно § 77 мы будем иметь с помощью логарифмов и углов
$ -i+Х8 =4-z(1+*)-4cos‘tzV< 1 -2х cos-j+&
2 . те Х Sln Т
+ -sin-3-arctg------- ,
1 — X COS
\ = - у z(1 + a:)--j cosyZl/l-2zc°Sy +х2
) 1 —Л <J U О у <J
, 2 . 2те . XSin~3
+ v sin -у- arctg---.
U О л
1 — X cos --
о
гт % 1 2те Г1 .тс 3 . 2я • /3
Но COS-r = ^y, COS-X-— Х-, Sin-— — —~, откуда полу-
О О О 0^1
чается:
С dx 1 7/л ( \ 1 7 -1 г\-;—5 1 г х уЗ
\ -г-—г (14-^) — -rZyi—^ + ^aH—arctg,
Jl + sa 3V,/ Зг УЗ 2 — x
5 - -4 ‘ <* + + i1 arolg ,
причем интегралы, как и ряды, берутся так, чтобы они исчезали при
# —0.
ГЛ III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 75
СЛЕДСТВИЕ 1
133. Если теперь сложить эти ряды, получается:
= х + + у~ж8-^а;10—^-ж11 + и т. д.,
а если вычесть второй из первого, получим:
А/ 1 + а?
3 у 1—х^-х2
= х —уХ2 —yX’—gX8 —ix10 + ^xn + H Т. д.,
что также
_ 1 , (1 + х)2 _ 1 , (1 + х)»
3 1— х+х2~ 3 1+х» •
СЛЕДСТВИЕ 2
(* х% dx 1
134. Так как \ 1 + а.8 =-у Z (1 4-#3)> то получим таким же образом
4ц1 + ж3) = 4-х3 — -|-жв+-^ж9 — ^Х124-И т. д.
О О V о
Если прибавить этот ряд к предыдущим, то будут встречаться все
степени х.
ПРИМЕР 4
135. Выразить при помощи ряда интеграл
,. С ^+X^dx
У } 1 + х* ’
Так как
= 1 — х44-х8 — х124-х16 — и т. д.,
то
у = « + у^-уа:5-ух7 + -^а:94-^а;и-^х13—^х15 + и т. д.(
Но согласно § 82, где надо взятьем =1, а п = 4 и положить j = w,
этот же интеграл будет равен
. х sin ш , . о . х sin Зю
у = sin io arctg .-- 4- sin 3w arctg -5- .
0 1 — X COS (O 1 ° 1 — X COS 3(0
ж 11.1
Ho - - = (1) = 45°, поэтому sin w = , cos w = —, sin 3co = —, cos 3w —
4 J у 2 У 2 У 2
— 1 o
==~y^t Значит, получим:
1 х 1 х 1 хУ 2
у arots + Vi “rotg 7^ = VIarctg W
76
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПРИМЕР 5
136. Выразить при помощи ряда интеграл
С (14- a?4) dx
У= \
Так как 1 — я64-^12 —^18 + я24 —и т. д., то
1 4- х6
l/=z + |x6--|^ “11 + Гз ж13 ^7 ж17 ~ п Т- Д’
Но. согласно § 82, где надо взять zn=l, п=6 и со=^- = 30°, имеем:
2 . . х sin со , 2 . о . х sin Зо>
у = -г sin се arctg 4—-— -h -5- sin За) arctg — •
з 3 &1 — xcosw 3 — x cos Зш
. 2 . г- . a? sin 5ш
+ -тг sin do) arctg . — с .
1 3 ° 1 — х cos 5о>
Но sina> = -i-, cos 00 — sin Зю — 1, cos3cd=-0, sin 5w = ~, cos 5w =
= —; следовательно,
1 x 2 1 a?
, = y arctg + , arctg » t ? arctg —
ИЛИ
1 . X ,2 . 1 Зх(1 — X2)
У = ~3 arctg -г- у arctgx = y arctg
СЛЕДСТВИЕ 1
137. Пусть
Г х2 dx IqIq.IieIo-ii
z= \ П-? = -3 ^-y*9 + 15* “21Ж + И T- Д':
если положить х3 ~ п, то
1 С du 1 . 1 . о
2 = Г J l + ^ = TarctSu = -3 arct^ •
Отсюда образуется такой смешанный ряд:
.71 q , 1 " 1 ч 71 q 1. -I -I 1 то , 71 151 17
Х^"3Х ^^Х ~11Х + 13Х+15х +17^ п т‘ Л‘г
сумхма которого есть
1 Зх(1-X2) п о
-г arctg 5—\ о , \ arctg х3.
3 & 1 — 4т2 4- х4 1 3 &
СЛЕДСТВИЕ 2
138, Если здесь взять п = — 1 и соединить воедино оба угла1),
то получится:
1 . 3#(1 — х2) 1 . о 1 . Зх — 4х34-4х5 — х1
-V arctg т;—у-гд-— — -у arctg хА = arctg > i—п-в;
3 b 1 — 4х2-±х4 3 & 3 1 — 4х24-4х4 — Зх6
J) То есть воспользоваться соотношением
Arctg а 4- Arctg b — Arctg
а 4- b
1 — ab
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
77
эта дробь путем деления числителя и знаменателя на 1 — я2-(-а?4 при-
Зх___________________х^ <_>
водится к виду -j—> а это—-тангенс тройного угла, тангенс которого
есть X) так что
I Зх__X9
у arctg t ~3хт = arctgя;
на то же самое явно указывает и найденный нами ряд.
ПРИМЕР 6
139. Проинтегрировать при помощи ряда выражение
(хт~34. xn~m~3) dx
dy = ----l + xn
Так как = 1- хп-Г х2п — х3п 4- хы — и т. д., то будем иметь:
хт хп—т хт+п х2п—т х2п+т х?,п-т
Ту — _ _L_____;______________ __1------L _______ _ jj fj, д ,
“ т 1 п— т пл-т 2п— т 2п^-гп 1 Зп — т
Согласно § 82 этот ряд выражает сумму нескольких круговых дуг
(их можно видеть в § 82).
СЛЕДСТВИЕ
/^т-1_хп—т—1\
140. Если предложено выражение dz = ----i—xn—'— ’ т0» иосколькУ
—= 1 хп 4- х2п 4- х3п + и т. д., найдем таким же образом:
хт хп~т хп+т х2п~т х2п+т хзп~т
Z т п — т п-\-т 2п — т ~2п + т Зп— т ~‘”И Т' Д’
Значение этого выражения получено в § 84.
ПРИМЕР 7
(1 г 2х) dx
141. Преинтегрировать при помощи ряда выражение dy = \——-р—2;-
1 X -f- X
Прежде всего этот интеграл, очевидно, есть у = Z(l+^ + ^2)- Чтобы
обратить его в ряд, надо помножить числитель и знаменатель данного
выражения на 1 - х, так что получится:
, (1 + х—2х2) dx
аУ =-----СТ----’
а так как
. * 3 =1 4- х3 у- х6 -j- + ^12 + • • • и т. д.,
то, интегрируя, получим:
х2
2
2х5 х4 t х5
-3"+-Г^~5’
2х6 ( х7 ! х8 2х9 (
“6 ’"Т ~8 9 '
и т. д.
СЛЕДСТВИЕ 1
142. Таким же образом можно найти у — I (1 4~ х + х14" ^3) ПРИ
помощи ряда.
78
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Действительно, так как у +1 (1 —-х) = Z(1 — я4), то
. х2 . х3 , х4 . г5 . г6 . х7 . г8 , х9 . а;10 .
У = х^ 2“ + '3“ ' ”4“+ 5“+ “6 * 1 7~3 8~ + ЯГ + Ч(Г + И Т‘ Д‘
.4
Xs
~ ~2~
И т. д.
или
Зг1 t хг> . xG
6
। х7 Зг8 1 х9
г“7 8~ + 1Г
Т. д.
, X2 . X3
4 1 5
СЛЕДСТВИЕ 2
1 + 2rr
143. С другой стороны, дробь .-----——2, развернутая в рекуррентный
ряд, дает
1 Ц-rr- -2гг2-•-гг3rr4 — 2rr5-J-гг6-|-rr7 — 2rr8 4- и т. д.,
откуда, интегрируя, получаем тот же ряд, что и выше.
ПРИМЕР 8
144. Проинтегрировать выражение dy = — dx r ,--2 пРи помощи ряда,
1 Лх COS С,-“рГ
Согласно § 64, где [надо взять] Л=1, В^О, а = 1, 6 = 1, интеграл
этого выражения есть
1 А х sin С
~ sin С аГС 1 — % cos С ’
а с помощью рекуррентного ряда находим:
,———п-----2= 1 -\-2х cos С + (4 cos2 С — l)^2 + (8cos3C — 4cos Q#3
+ (16 cos4£—-12 cos2£+1)#4+ (32 cos5^ —32 cos3£ + 6 cosQ я5 + и т. д.
Помножив этот ряд на dx и проинтегрировав, получим искомый интеграл.
Преобразовав степени cos^ в косинусы кратных углов, находим:
у ^=х-\~^-х2(2 cosQ + ^rr3 (2 cos 2£ +1) +-^-#4 (2 cos 3^ + 2 cos С)
+ 4я5(2 cos4C + 2 cos2C+1) + 4-£e(2 cos 5'+ 2 cos ЗС + 2 cos Q + и т. д.
о и
СЛЕДСТВИЕ 1
145. Если положить
(1—г cos С) dr
~ 1 — 2х cos С + г2 ’
то в интеграле § 63 будет А — 1, В= — cosС» а=1 и 6=1, и поэтому
z = — cos ^Z1/1 — 2# cos £ + х2 + sin С arctg —r sin-^ - ,
а с помощью ряда, так как *)
1 —г cos С— _|_£C0Sr -|_£2cos2C + 23COS3L +^4cos4C+ и т. д.,
1 — 2х cos С + г2 1
4 Ряд а0 + агх + а2х2 + а3х3 + ..., представляющий дробь ~rc°Sj> > опре-
1 — Zx COS Q “I- X
деляется рекуррентным соотношением a„+1 = 2a„ cos С—причем а0 = 1 и —cosC.
Отсюда находим a2 = 2cos2C—l = cos2£, а3 = 2 cos 2С cos С — cos С= (cos С + cos ЗС)—
— cosC = cos3C и т. д.
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 79
мы получаем:
111 1
z .г-7-.г* 2 cos^-4-.г3 cos2^ Ц-— .г4 cos3^ +-г-.г5 cos 4^-! и т. д.
о 4 О
СЛЕДСТВИЕ 2
146. С другой стороны, так как
, _ dx (— х cos £ cos2 С + sin2 Q
Z 1—2x cos C 4- x2 f
TO
z — cos £ 11/1 — 2x cos С -г + sin2 C i—^~dx r ,—2 -
r 1 1 J 1 — 2x cos C 4- x2
Поэтому для у = -—9 . a получается другой бесконечный ряд,
J 1 — £х cos 4- х
к которому присоединен логарифм, а именно:
у = I у 1 __ 2х cos ; Ц- х*
J sm2t
+ -“A— ( x -J-4-^2 cos * + cos2C + -7- x* cos3^ 4- ит.дЛ .
1 sm2 C \ 2 3 ‘4 J
ЗАДАЧА 12 a1)
147. Проинтегрировать иррациональное дифференциальное выражение
р-
dy = хт~~{ dx(a+ bxn) v при помощи бесконечного ряда.
РЕШЕНИЕ
р-
Пусть ау = с, тогда
р-
dy — схт~{ dx^i ±~хпу ,
причем мы принимаем, что с не является мнимым количеством2). Так как
р-
а Х ) " 1 h Ь-а Х + Ь-2.-«2 Х + Ь-2,-3^ Х + И Т* Д*’
то, интегрируя, будем иметь:
/ Хт ] ХТП + П (и Ъ2 Хт+2п [JL ([1 •v) (fJL 2^) b3 Хт + Зп \
у с т 1 1^. а т 4- п> ’ 1^-2^- а2 т 4- 2п 1^- 2^-3^ - а3 т 4- Зп И Т* Д /•
Этот ряд продолжается до бесконечности, исключая лишь тот случай,
когда /—целое положительное число.
Если же в случае, когда v —четное число, количество а будет отрица-
тельным, наше выражение надо будет представить так:
р- Р- P2L_1 “
dy = х™”1 dx (bxn — а)у = by хт+ v dx 1 —x~n ,
Э В подлиннике по ошибке здесь дан вторично заголовок «задача 12».
2) Этой оговоркой Эйлер исключает случай отрицательного а при четном
см. ниже.
80
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
а так как
ПИ' 1
ИД „-П , Р-<Н—^)а2 „-2П
b-Z> Ь-2ч-й2
Н(Н—>) (И—2^) а3
19-29-39-&3
X'3п-|^ и т> Д.,
то, интегрируя, будем иметь:
п . (n~2v) п
т-\- т+ ...... — т+ —----~
ух V [ад ух V [А ([А— \) да ух v
ту + [ап ту + ([А — у)п 1 1\-2\-&2 ту J- ([л — 2^) п
И Т. Д.
Если а и b — положительные числа, можно применять и то и другое
разложение.
ПРИМЕР 1
148. Проинтегрировать выражение dy —- при помощи ряда.
У1 — X2
Прежде всего из сказанного выше ясно, что у = arcsine, а следова-
тельно, и этот угол выразится через бесконечный ряд. Действительно,
так как
1 Л I 1 о , 1-3 4 , 1-3.5 6 , 1-3-5.7 я ,
; _- = 1 + -^^ + -^^ +n~~fiX +9~/ h +И Т*
у I__х2 2 2-4 2-4-6 2-4-Ь-о
ТО
. 1 X3 , 1-3 х5 , 1-3-5 X7 , 1.3-5-7 х* .
У^х + 2' 3 ~^2-4'ЛП^2-4-б' 7 -г2-4-6-8' 9 + И Т’ Д>’
при этом то и другое выражение определено так, чтобы при z = 0 оно
исчезало.
СЛЕДСТВИЕ 1
149. Если х = 1, то ввиду того, что arcsinl^y, будет
% ,,11-3, 1-3-5 . 1-3-5-7 .
2—1 ‘ 2-3 + 2-4.5"^2-4-6-7"'“ 2-4-6-8-э + И Т’ Дф
Если же положить х^ у, то в силу того, что arcsin-|- = 30° = ,
будем иметь:
or _ 1 1 1-3 , 1-3-5 1-3-5-7
6 — 2 + 2-23-3' 2-4-2S-5 ! 2-4-6-2’-7 + 2-4-6-8-29-9+ И Т’ Д’
Если сложить десять членов этого ряда, то получим 0,52359877;
помножив на 6, получим 3,14159262; это число отличается от истинного
только в восьмом знаке.
СЛЕДСТВИЕ 2
150. Если предложено выражение dy =
У X---------------------------------------X2
получим:
7 2udu 2 du
dy — —= —... .
]fu2 — и1 У 1 — u2
то, положив X = ?/2,
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
81
Следовательно, у = 2 arcsin и —2 arcsin / х , а с помощью ряда получим:
о ( 1 и3 1-3 и5 1-3-5 и1 X
у — 2^и+у 3 +274'~5~+2Д7б’ 7 + 11 т- Д-) ’
ИЛИ
о / , 1 х ,1-3 х2 ,1-3-5 х3 . X , г—
У-2С"*"2 "3 *Т4“"*Т4^б”Т+ М Т’ Д-у1^-
ПРИМЕР 2
151. Проинтегрировать выражение dy == dx]/2ах- -х2 при помощи
ряда.
Положив х = и2, получим dy = 2и2 du ]/ 2а — и2; при помощи приведе-
ния I (§ 118), если п — 2, т=1, а~2а, 5=^—1, а — 1, у~2, получим:
з
и2 du]/2a — и2== - - и (2а - - и2)2, -j- ~ а du |/2а — и2 .
Теперь при помощи третьего приведения, если взять т=1, а —2а,
b~ — 1, п==2, р= — 1, у = 2, получается:
( du /2а — и2 ----= 4"и V “ и2 -С « f du ;
J 2 J /2а —u2
но
? du .и . / x
J /2а — и2 “ /2а /2а
поэтому
3
и2 du /2а — и2 = — и (%а ~ и2)2 ~ ~~
— 4 и (и2 — а) /2а — и
+ -у- аи /2а - и2 Д- 4 °2 arcsin —/С
4 2 /2а
~"о I 1 9 . / X
— и~ + о- а~ arcsin-^-z= .
2 V 2а
Следовательно,
у = 4 " а) V^ах — х2 + о2 arcsin 4 .
2 /2а
Для нахождения же ряда имеем:
1
dy = dx V 2ах(^ 1-^“
о 1 / Л 1 X 1-1 X2 1 • 1 • 3 X3
= x^dx( 1 — ---у-у • -ГУ — у-г-л •
С 2 2а 2-4 4а2 2-4-Ь 8а3
и т. д. ) \/ Г,
и отсюда, интегрируя, получаем:
5 7 9
_/_2. I 1 2x2 14 2x2 2x2
2'5-2а 2-4’7-4а2~2.4-б'9^8Г3
или
__________/ х 1 х2 1-1 х3 1-1-3 х4
У = <3 ~ ‘2 ' ЬУ — 2Ti' 7Т72 ~ 2Тб' 5Г&Р “
И т.
Д-)/2а ,
т. д.^)2]/2аж .
82
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
СЛЕДСТВИЕ 1
152. Этот интеграл легче найти, полагая х = а- V, откуда полу-
чается dy = —dv ya2~-v2 и при помощи приведения III [§ 118]
? dv\f a2 ~v2^~v У a2 — v2 + 4- а2 ,
J 1 2 г 2 J 1<а2~у2
откуда
у — С~ у v |/а2 — V2—- ~ a2 arcsin ~ ,
или
у =--С - ~-(а-х)У 2ах — х2—a2 arcsin -—- .
2 ' 7 г 2 а
1
Для того чтобы было у = 0 при х = 0, нужно взять С = у я2 arcsin 1,
так что
— —L _ х\ 1/2ах ~х2 + — я2 arccos -—~ .
2 7 т 2 а
Действительно,
Ух 1 а — х
arcsin -= — arccos----- .
У 2а 2 а
СЛЕДСТВИЕ 2
j г 9 Т71 О' 0^ 3 . 7Cfl2
153. Если положить х = у, то получается у~—$------’ а Раз“
ложение в ряд дает
о 2/ 1 1 1-1 1-1-3 \
у —2а Q2 3 2 -5 23 2-4-7-23 2-4-6-Э-2’ И Т' Д’ ) ’
откуда заключаем, что
___3 /3 , в / 1 1 1-1 1-1-3 _
4 +°< 3 2-5-22 2-4-7-2"1 2-4-6-Э-26 ' И Т’ Д' J ’
а согласно доказанному выше [§ 149]
о/, .1,1-3, 1-3-5 , \
— 3С^~2-3-22 + 2-4-5-24 + 2-4-6-7-26 + И Т’ Д’ ) ’
из сопоставления этих двух рядов можно получить много других.
ПРИМЕР 3
154. Проинтегрировать выражение dy = ... при помощи ряда.
у 1 + г2
Интеграл этого выражения, взятый так, чтобы при я —0 он исчезал,
есть у — I (^+ У 1 -г х2\, а так как
1_
2
___1____
]/Т + г2
1-3 . 1-3-5
2ЛХ ~21^6
то тот же интеграл, выраженный через ряд, будет
1 г3 ! 1 * 3 х5 1-3-5 г7 (
Т' “Г + 2Д ‘ “5“ “ Г4Л ~ +
И Т. д.
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 83
ПРИМЕР 4
dx
155. Проинтегрировать выражение dy — --- при помощи ряда,
ух2 — 1
Интегрирование дает г/ = /(гг + ]Лг2—1); это выражение исчезает,
если положить х=1. Но ввиду того, что
1 _ 1 1 1-3 I 1-3-5
уЛ2--1 х ’ 2х3 ' 2-4х5 1 2.4-бх7”* и т- Дч
этот же интеграл будет
, 1 1-3 13 5
У — —О О 2 О / / 4 о / а Р R И Т * Д *
2 -2х2 2•4•4х4 2 • 4 - 6 •6х6
Для того чтобы это выражение исчезало при х=1, постоянная опреде-
ляется так, что
7 , 1 (л 1 > । 1-3 /' . 1 > , 1-3-5 ( ' IX,
у 1х - • 5—5 (1---2~ ) 4“ ь~~г 7 ( 1-Г } о / р Ъ ( 1--б~ ) 4" и Т. Д-
* * 2*2< х2 ) 2-4-4\ х4 J 2-4-6-6Х х6 J
СЛЕДСТВИЕ
156. Если положить x—Y-^u, то получается:
^=-±=-. = ^Г1+4К
у^2и + и2 2и у
__ du / . 1 и |_1’3 и2 .1-3-5
к Т’ 2 +Л4’^"“ГГб‘
откуда, интегрируя, будем иметь:
3 5 7
1 / о 1 2«2 . 1*3 2и2 1-3.5 2и2
Т*3--2+2Г4* Г4“Г/Т6*Г8
И т, д. )
или
/ л 1и , 1 -Зи2
У = V ~ 2 '3^2 ГТ 5.4
i-3-5«3 , \1/Т-
2-4'6'7.8^~ и т- «• J V2и •
ПРИМЕР 5
с?х
157. Проинтегрировать выражение dy = _
С помощью интегрирования получается:
_____________________________1 _ ! _
У (п — 1) (1 — х)п-1 п—1
(у делается равным 0, если х = 0), или
С помощью же ряда имеем:
dy = dx 1 4- пх +
вследствие чего тот же интеграл выразится так:
лх2 ( п(п + 1)х3 , п (п + 1) (п + 2) х4
2/ = ^ + —+-ТТ4Г--1------------------1-Г3.4---+ и т- д-
Л'акже и отсюда ясно, что
при помощи ряда
п — 1
1-2-3
1
84
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ
158. Этот способ слишком ясен, чтобы надо было подробнее на нем
останавливаться; поэтому я изложу здесь другой менее очевидный спо-
соб получения рядов, который часто может принести в анализе исклю-
чительную пользу.
ЗАДАЧА 13
159. II редложено дифференциальное выражение
dy — хт 1dx(a 4- bxn)'
Обратить его интеграл в ряд другим способом.
РЕШЕНИЕ 1
и
Положим у -- (д Ьхпу z; тогда
-1
dy — (a-\-bxny (dz(a 4- bxn) 4~~ bx*'1 zdx ,
откуда получается:
хт~г dx = dz (a 4- bxn) 4- ~ bx'1-'1 z dx,
или
dx = v dz (a 4- bxny) 4- npbx*1'1 zdx. -
Прежде чем отыскивать ряд, которым определяется значение z, надо
заметить, что в случае, когда х исчезает, мы имеем1):
Iх „i t
dy ~ aN хт~[ dx — а^ dz,
I _
так что dz — — хт Tdx.
х) Поясним ход мысли Эйлера. Предполагается, что т— целое число (как видно
нз § 161, допускается, что оно может быть и отрицательным и равным нулю). Отно-
сительно числа п, невидимому, предполагается, что оно целое положительное, ибо
ниже (см. решение 2 настоящего параграфа) ряд z=Arm~n4-Bam~2rt4-Cxm“3n назван
«нисходящим». Эйлер ищет разложение z в ряд по методу неопределенных коэф-
фициентов в предположении, что такое разложение возможно. При этом он не исклю-
чает невозможности такого разложения, ибо нпже прямо указывает случаи невоз-
можности (см. § 161). В «первом решении» разыскивается разложение в ряд, рас-
положенный по возрастающим степеням х, и Эйлер хочет объяснить, почему в этом
разложении не равные нулю коэффициенты могут быть лишь при членах степени
т ; - in (где через i мы вместе с Эйлером обозначаем натуральное число). Мотивировка
состопт в следующем. В уравнениях
dy = xm~1 dx (а + ЪхпУ , (1)
dy ~ (а -j- ЬхпУ р dz (а 4- Ьх11) 4- bxn~rz dx j (2)
отбрасываются слагаемые Ьхп и — bxn~'z dx и сопоставляются полученные два выра-
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 85
Поэтому положим
z - Ахт + Вхт+п t Cx,n^n+Dxra^n+n т. д.
Тогда будем иметь:
^|==теЛжт-1 + (те+«)^т+п~1^ (m + 2n)Cxmtin~1 + H т. д.
dz
Подставим эти ряды вместо z и в уравнение
~ (а. + bxn) -j- прЬх”'1 z - = 0;
расположив каждый из членов по степеням х, получим такое уравнение:
mvaAx1'^1 + (m + n) vaBx™*^1 + (т + 2п) чаСх™' ^1 и т. д.
— v + mvbA + (in-г п) чЬВ
+ п^ЪА 4" п^ЪВ
откуда, положив каждый из членов равным нулю, определим введенные
коэффициенты1) при помощи следующих формул:
mvaA — v = 0, откуда А = ,
(m+n)»aB + (m')^n^)bA-^Q, В^ + А’
женин дифференциала dy. Получается уравнение
dz~~ хт~1 dx. (3)
Отбрасывание производится в предположении, что х~ 0. Если считать, что п
есть целое положительное число, то такое отбрасывание по существу правомерно.
Эйлер мог бы сослаться на § 88 «Дифференциального исчисления» (стр. 92 русского
перевода), где говорится об исчезающих количествах, которые исчезают не только
по сравнению с конечной величиной, но и по сравнению с другим исчезающим коли-
чеством. На современном математическом языке это означало бы, что отбрасываемые
количества оказывают влияние на главные члены правых частей уравнений (1) и (2).
Отпосительно уравнения (1) это совершенно очевидно; в уравнении же (2) главная
часть слагаемого --- bxn~Az dx, как и главная часть слагаемого Ъхп dz, имеет относи-
тельно х порядок р~\п—1, где р— низкая степень искомого разложения.
Таким образом, при п > 1 уравнение (3) будет верным с точностью до главных
членов и разложение z должно начаться (при а Ф 0) с члена степени т.
Отсюда Эйлер без дальнейших пояснений заключает, что разложение должно
иметь вид
z = Ах™ + Вх™*п 4- Сх™*2п 4- ..., (4)
и это, действительно, почти очевидно, если обратить внимание на вид правой части
уравнения (1) и заметить, что разложения правых частей (1) и (2) при подстановке
(4) будут состоять из соответственно подобных членов.
Эйлер, повидимому, точно воспроизводит соображения, которые привели его
к мысли искать разложение вида (4). В самом деле, несколько ниже (см. второе
решение) он ищет по аналогии с (4) разложение вида
z = Ахт~п + Вхт~2п + Схт~3п 4- . .., (5)
которое никак нельзя мотивировать рассуждениями, аналогичными вышеприведен-
ным.
*) coefficientes ficti.
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
/ .X ч , // ч , ч 7 7Х /л ((ш + я) V + П'1) Ь п
(т 4 2n) vaC 4- ((m 4 и) v + п?) ЬВ = 0, С=-------(т + 2п)4Г" В'
(m4~3n) 4-((m4-2n) м-^nu.) &С = О, D = — 6 С
[и т. д.].
Таким образом, любой коэффициент без труда определится из предыду-
щего, а тогда будем иметь:
и
у = (а 4- ЪхпУ (Ахт 4- Вхт+п 4- Схт^‘ 4- Dxm^n 4- и т. д.).
РЕШЕНИЕ 2
Подобно тому как мы взяли здесь ряд, восходящий по степеням х,
точно так же мы можем составить и нисходящий ряд:
Z = Ахт~п 4- Вхт^п 4- Схт?;п 4- Dxm~in 4- и т. д.,
так что
^ = (щ-п)Лжт-’,-14-(щ-2п)Ва:"'-2П-14-(?ии т. д.
Подставив эти ряды, получим:
{т — п) ^ЬАхт~ъ 4- (ш-тг) w,Ax™'~n~1 Ц- 2п) чаВхп*'~*п~'1
4- (т — 3n) va Сх™^3*1"1 4 и т. д.
4- щьЬА + (т — 2п) vbB + (т — 3ri) vbC J~ (w — in)vbD
4- прЬВ -\-npbC -\-npbD
Отсюда буквы Л, В, С и т. д. определяются следующим образом:
(m — п) vbA 4- нпЬА — v = 0, л 1 откуда A = —, r , ' (яг — n) у + njjL b
(m — п) уаЛ -ф (т — 2n) чЬВ 4- п^ЬВ = 0, p a (m — 2n) у + ni b ’
(т — 2п) vaB 4- (m -- Зп) чЬС + щ±ЬС = 0, Q— —2n) > a p (яг — Зя) \ -|- Я|л b *
(т — 3h) vaC 4- (m - 4n) vbD 4- npbD = 0, ~(m — 3n) v a (m — 4я) \ + ntJi b *
где опять закон следования этих букв очевиден.
СЛЕДСТВИЕ 1
160. Первый из этих рядов замечателен тем, что в случае, когда
(т 4Л/г) + пр = 0, т. е. когда — ^ — -^-=1, он обрывается и дает алге-
браический интеграл. Второй же ряд обрывается всякий раз, как
п яг
m tn ~ U, т. е. -- — г, где i означает целое положительное число.
СЛЕДСТВИЕ 2
161. Оба эти ряда имеют некоторое неудобство, состоящее в том,
что ими не всегда можно пользоваться. Действительно, когда либо т = 0,
либо т 4“= 0> нельзя пользоваться первым рядом: когда же
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
87
(т — in) v 4- пр = 0, т. е. —
ние второго, так как члены во
бесконечными.
делается невозможным использова-
всех упомянутых случаях стали бы
СЛЕДСТВИЕ 3
162. Но здесь, кстати, на помощь приходит то обстоятельство, что вся-
кий раз, как один из этих рядов нельзя применить, всегда можно исполь-
.. т
зовать другой, за исключением лишь тех случаев, в которых и — — и
Ц. , JTL тт .
—целые положительные числа. Но так как при этом v— 1, то мы
имеем целые рациональные выражения, и эти случаи не представляют
никаких трудностей.
СЛЕДСТВИЕ 4
163. Оба ряда для z можно объединить следующим образом. Пусть
первый ряд == Р, второй так что можно принять как z^P, так и
z=Q. Чтобы соединить оба ряда, можно взять z = aP4P(>, где а4Р=1.
ПОЯСНЕНИЕ
164. Однако же из того, что мы даем два ряда для 2, отнюдь не
следует, что эти два ряда равны друг другу. Действительно, значения у,
получающиеся отсюда, вовсе не должны быть равны друг другу: они
должны только отличаться друг от друга на постоянную величину. Так,
если обозначить первый найденный нами ряд через Р, а второй через Q,
р-
то, поскольку* из первого получается у = (а + Ьхп)уР, а из второго
р- р
у (аbxn)y Q, количество (а 4 bxn)y (Р — Q) безусловно будет постоян-
ным Д, а поэтому Р — Q = С (а 4 bxn) С
Конечно, как тот, так и другой ряд дает лишь частный интеграл,
так как он не содержит никакой постоянной, которая не содержалась
бы уже в дифференциальном выражении. Однако этим же способом
можно найти для z и полное значение. Действительно, сверх прежде
взятого ряда Р или Q можно положить
z = Р -j- а 4 р#п 4 ух2П д- + и т. д.
После подстановки ряд Р определяется как раньше; что же касает-
ся второго, нового, ряда, то надо сделать так, чтобы получилось
nvaftxn 1 + 2nvayx2n 14 3nva$x3n 14- 4nvae#4n 14- и т. д.
4 npba. 4 zivfcp
4- ?гр^Р
4 2nv&7 4 3nvZ>8
4 4^p^
4 Эйлеру хорошо известно (см. § 169), что один из рядов Р, Q может сходить-
ся при таких значениях ж, при которых другой расходится. Однако он этим не сму-
щается, так как он вообще оперирует с рядами формально, безотносительно к тому,
сходятся ли они или расходятся. См. «Дифференциальное исчисление», §§ 109—111,
стр. 100—101.
88
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Отсюда определяются
? = T=r^±2±Lp, 8==^+^.Т) 8=-(н+Зу)\8 и т
ча 2va Зч'а * 4va
так что получится
г_р,а С 1 —А. А гп 1 'Ф + '') &2 г2га Н(.^ + -*) (1* + 2v) 63 „
ИЛИ
откуда
у = Р (а + Ьхпу 4- аяС ;
это—полный интеграл, так как постоянная а остается произвольной.
ПРИМЕР 1
(/л?
165. Проинтегрировать этим способом выражение dy = -Г-—- при
у 1—#2
помощи ряда.
При сопоставлении с установленным общим видом получим а = 1 г
Ь = - -1, /лг = 1, Аг = 2, а = 1, v = 2, откуда, если положить у = z ]/Т — э:2.
первое решение
z = Ах 4- Вх3 4- Сх5 4- Dx7 4- и т. д.
дает
Л = 1, 5 = С = ~В, D = %-C, E = %rD и т. д.,
3 э 7 9
откуда выводим
У — + Щ-7ж7 + и т- Ж2;
этот интеграл исчезает при ж—0; значит, ?/ = arcsin т.
Пытаться применить здесь второй способ бесполезно, ибо = !•
СЛЕДСТВИЕ 1
166. Если положить я —1, то на первый взгляд кажется, что у — О,
так как |/1ж2 = 0; однако надо обратить внимание на то, что в этом
случае сумма бесконечного ряда становится бесконечной1); поэтому ничто
не мешает тому, чтобы у = -^< Если положим х = ~, то y^3QQ^= ,
а потому
/л , 2 , 2-4 2-4-6 , , А /3
"б-С'*’з'-4 + з-5-42' 3-5-7-43 1 ” Г‘ Д' ) 4 ’
х) Чтобы убедиться в том, что сумма ряда
ГЛ. Ш. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
89
СЛЕДСТВИЕ 2
167.
Подобным же образом, если предложено выражение dy =
находим:
/ 2 3 [ 2*4 5 2*4*6 7 - А 1/ГП
У = ( х~^х + 375 х • и т* д-J Е1 + ^
и вместе с тем
У = 1(х-г \/X. +я2).
ПРИМЕР 2
168. Проинтегрировать этим способом выражение ; пРи'
помощи ряда.
Здесь т = 0, лг — 2, u = 1, v = 2, а = 1 и 6 = ~1. Значит, надо поль-
зоваться вторым рядом, взяв
z = -^£1= — Ах 2 + Вх 4 + Сх 6 + Вх 8 4- и т. д.
у 1 — ж2
Получится:
Я = 1, В = ~А, С=^В,
obl
Отсюда заключаем, что
С другой стороны,
согласуются1), так
. 2 . 2-4 , 2-4-6 . \ лг
"^Зх4 + 3-5x6 + з.5.7х8 + и т' Д*у И
Л —
интегрирование дает у = I
как
— ; эти
X
оба они исчезают при £—1 2).
значения
У
бесконечна, нам достаточно сравнить его с рядом
11-3 1-3-5
3 + 3-5 + 3--5-7
который совпадает с рядом
1+1+1
3 5 7
Однако ничто не дает основания полагать, -что так рассуждал и Эйлер. Скорее всего
он опирается на заранее известное равенство
arcsin х — ( х + х3 +1-4 х5 + ... Y1 — х2
V 5 о*о /
и, подставляя сюда х —1, заключает, что
1 +
2-4
375
arcsin 1
О
Ср. § 14 вступительной статьи к «Дифференциальному исчислению» (стр. 28—29).
х) conveniunt.
2) К этому месту Л. Шлезингер дает следующее подстрочное примечание: «Так
как при х--1 сумма ряда становится бесконечной, то отсюда не следует, что для
этого значения х произведение ряда на 1— х2 исчезает; ср. § 166».
В самом деле, в § 166 Эйлер говорит, что первый сомножитель произведения
Гх + ~ X3 + ~ X5 -к " ? X7 + ... уЧ —X2
О и* Э и • Э • /
(О
обращается при х—1 в бесконечность, а потому «ничто не мешает» выражению (1;
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 1
169. Так как этот ряд сходится только при х > 1, а в этом случае
выражение у 1 - становится мнимым, то этот ряд совершенно беспо-
лезен г).
СЛЕДСТВИЕ 2
170. Если предложено dy = —уХ-~— , то для у получается тот же
х у х2 — 1
ряд, умноженный на )/-—1, и будем иметь:
У~ С2 ' Зж4 ' 3-5ж6+ 3-5-7ж® и т’ )УХ
Полагая же х — , получим dy = и у = С — arcsin и или
г • 1
у = С — arcsin — ,
'Г
’быть равным у . Нелишним будет дополнительно отметить, что произведение
< 1, J 2-4 , 2-4-б 'Wrzr*
\.жа + 3ж4^' 3-5ж« 1 3-5-7ж8 + " } ' (2)
н в самом деле не исчезает при 1, а «обращается» в г ~. Ошибка Эйлера тем
более примечательна, что Эйлер легко мог бы ее избежать, если бы положил в выра-
1
.женин (2) х = . Тогда оно преобразовалось бы к виду
ДгЦ2з+j^+|±p+... (3)
О О • U О • U • < х
’те
Если сопоставить (1) и (3) и учесть, что при х~1 произведение (1) дает — , то
ТС
станет ясным, что произведение (2) при х~1 дает iy.
Не кто иной, как Эйлер, еще за 20 лет до написания «Интегрального исчисле-
ния» (в 1749 г.) обнаружил многозначность логарифмической функции комплекс-
ного переменного. С другой стороны, Эйлер специально обращает внимание на то,
что выражение У1—х2 становится мнимым при | х\ > 1, т, е, как раз для тех зна-
чений г, при которых рассматриваемый ряд сходится (см. § 169). Однако Эйлер не
.. 1— 1 — х2
указывает, с каким из значении I---------«согласуется» значение произведе-
ния (2), Так как Эйлер, невидимому, ограничивается положительными значениями х
, 1—
(не меньшими, чем 1), то все значения в /--------имеют вид —zep, где ср — одно
1 — р^ 1 — х2
из значений аргумента комплексного числа---------. Поскольку Эйлер полагает
я я
/1 = 0, это значение аргумента должно содержаться между—у и лр • При этих
7 1- 1 • Л
оговорках произведение (2) «согласуется» с выражением Z--------Pz .
haec series nullius est usus.
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ сц
где надо взять С = 0, так как этот ряд исчезает, если положить х--=со;
таким образом, у — -arcsin- ; это согласуется с [разложением], полу-
1
ченным выше [§ 165], если положить —= и.
ПРИМЕР 3
171. Проинтегрировать этим способом выражение dy _ ——- -------
У а + Ьх1
при помощи ряда.
В этом случае т=1, /7 = 4, р—1, v = 2; поэтому, если положить
у — z У а + Ьх4, первое решение дает
z = Ах + Вхь Сх$ + Вх13 ~г и т. д.,
где
.4 = 1,
а
В = ~А.
Ъа
— 76
9а
В, D = и г. д„
так что
X х ЗЬх~} . 3-762х9
У \ а 5а2 5-9а3
3-7-1163х13 ,
5-9‘13а4
и т. д. ) \га + Ьх4.
Здесь, однако, имеет место и второе решение, если положить
z == Ах~3 + Вх^1 + Сх~11 4“ Вх~1ъ4 й т. д.,
где
Л = -~, В = =1л, С = =^В, П = =^Сит.д„
Ъ ob 96 136
откуда заключаем, что
__ ( 1 За t 3-7а2 3*7-11а3 , Г?
у ~~ \Ьх'‘ 5Ь2х7 г5-963хи 5-9.13&4а45’г И Т' д’ > Г а = Ьх ,
из этих рядов первый исчезает при я —0, второй же - - при ж—со.
СЛЕДСТВИЕ 1
рядов есть постоянная вели-
172. Следовательно, разность этих двух
чина1), т. е.
+4- 36х5 ( 3‘762х9 _ 3.7Л163х13 ,
5а2 1 5 -9а3 5-9-13а4 ; ИТ. д
। 1 За , 3-7а2 _ 3-7.11а3 -Т- ИТ. Д
6х3 562х7 1 5-96V1 о-9-1364х15
]/*а -д- bx4 = Const.
СЛЕДСТВИЕ 2
173. Собирая члены этих двух рядов, будем иметь:
а + 6х4 3 а3 + 63х12 ,3-7 а5 -j- 65х20 С
abx3 5 а262х7 "^5’9 а^Ь^х11 И Т’ 1/Тд
х) Первый ряд сходится только при | х |
а второй — только при
примечание к § 164.
, так что ряд §173 сходится только при a;—4z
подстрочное
92
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Какое бы мы значение
всегда получится одно и то
ни придавали х в
же количество1).
этих выражениях, для С
СЛЕДСТВИЕ 3
174. Так, если <2 =1 и
b = 1, то этот
будет всегда равен постоянному,
ряд,
помноженный на ф4! 4
'Г4
т. е.
4- х4 3
х3 5
, 3-7
х7 1 5-9
и т.
Д-
1 -|- X20
Так как при х = 1 получается
3 ; 3-7 3711 л
5 "г 5-9 5-9-13 1
и т.
Д-
то, следовательно, этому же значению равен и данный выше ряд, какое бы
значение ни придавать количеству х.
СЛЕДСТВИЕ 4
175. Этот последний ряд с чередующимися знаками легко преобра-
зовать с помощью разностей2) в другой ряд, снабженный одинаковыми
знаками, откуда заключаем, что та же постоянная
Z. ( , . 1 , 1-3 , 1-3-5 } 13-5-7 , \
5' 3-9 5-9-133-9.13-17^ И Т' Д' ) г2!
г ' с- 13
этот ряд сходится довольно оыстро, и С оудет приближенно равно у .
ПОЯСНЕНИЕ
176. Изложенный [в § 159] метод состоит в том, что образуется
некий неопределенный ряд3), а его определение выводится из природы
дела. В пользе этого метода лучше всего можно убедиться при решении
дифференциальных уравнений; однако и для нашей нынешней цели он
часто применяется с пользой. При помощи этого же метода обратные
трансцендентные количества, как, например, показательные количества,
а также синусы и косинусы углов, выражаются через ряды; хотя эти
ряды уже известны из другого источника, однако будет полезно изло-
жить здесь способ их отыскания при помощи интегрирования, так как
таким же путем могут быть открыты и другие замечательные ряды.
ЗАДАЧА 14
177. Обратить в ряд показательное количество у ~ ах.
4) Количеству х можно (см. предыдущее примечание) придавать только два зна-
4 / 4/—
“I / л / а ~
чения: х~ + I/ у и х~ — у ; для 6 получаются два значения, равных по абсо-
лютной величине, но отличающихся знаками.
2) См. «Дифференциальное исчисление», ч. II, § 7, стр. 214.
3) Ista methodus in hoc consistit, ut series quaedam indefinita fingatur
ГЛ. Ш. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
93
РЕШЕНИЕ
Беря логарифмы, получаем ly — xla и, дифференцируя, dxla,
или — = yla. Отсюда следует найти выражение у через ряд. Хотя пол-
ный интеграл имеет более общее выражение, но надо обратить внимание
на то, что в нашем случае при гс==О должно получиться Поэтому
образуем для у такой ряд:
у = 1 -j- Ах - Вх2 Схэ г Dx^ -|- и т. д.,
откуда получается:
— А + 2Вх + ЗСх2, -4 и т. д.
Подставив эти ряды в уравнение ~ — yla — 0, будем иметь:
АА~%В х \-ЗС яа + 4.D я3-у 5£х4-р и т. д. |
> — la — Ala Bia —Cla — Dla j—0,
откуда коэффициенты определяются так:
A —la, В = ~ Ala, C = ~Bla, D = ^-Cla hi. л.
А о 4
Отсюда следует, что
а 1 ' 1 г i-2 1-2-3 1 1.2-3-4 И Ъ Д*
Это есть тот самый хорошо известный ряд, который дан во «Введении» *).
ПОЯСНЕНИЕ
178. Для синусов и косинусов углов приходится спускаться до диф-
ференциалов второго порядка, из которых затем следует получить соот-
ветствующий интегральный ряд. Но так как двойное интегрирование
требует двойного определения, то ряд надо образовать так, чтобы он
удовлетворял двум условиям, заимствованным из природы дела. Этот же
способ можно распространить и на другие изыскания, даже на такие,
где мы имеем дело лишь с алгебраическими количествами. С такого
рода примера мы здесь и начнем.
ЗАДАЧА 15
179. Выражение у — (х А~х2 ')п обратить в ряд, расположенный
по степеням х.
РЕШЕНИЕ
Так как ly — nl (х + ]/1 Ц- х2), то —
п dx
; теперь для уничтоже-
р 1 Д- х2
пия знака радикала возьмем квадраты, получится:
(1 + я2) dy2 = п2у2 dx2.
г) «Введение в анализ», т. I, гл. VII, §§ 114—117, стр. 115—117
94
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Это уравнение будем снова дифференцировать, принимая dx за постоян-
ную, в результате чего после деления на 2dy получится1):
d2y (1 + х2) + хdx dy — п2у dx2 = 0.
Отсюда и надо выразить у через ряд. Но прежде всего ясно, что если
х = 0, то у будет равен 1, а если х бесконечно мал, то у=(1+*)п=
=Л -^-пх2). Поэтому образуем такой ряд:
у = 1 -X пх -\-,Ах2 + Вх3 + Сх^ + Dx^ + Ex* + и т. д.,
откуда
~ = п -к 2Ах -к ЗВх2 -к 4Сл:3 -к bDx^ -к бТ?#5
dx
и т. д.
^ = 2Л + 6Вж+12Са:2 +20^3+30^+ и т. д.
Сделав подстановку, получим:
2А + 6Вх-\- 12Cz:2 + 202Ъ:3+ 30 Ex* -k ^2Fxb + и т. д. ]
+ 2А +6В +12С
+ п +2А 4-ЗВ +4С
— п2 — п3 — Ап2 — Вп2 — Сп2
+ 202)
-Dn2
Отсюда выводятся следующие определения:
п2 n(n2-l) c _J(n2-4) #(п2-9) /
Л~2’ 2’3 ’ 3’4 ’ 4’5 Д”
так что
п2 2 п(п2 — 1) 3 п2(п2 — 4) л , п(п2—1)О2—-9) 5
у = 1 + ™ + Г2 х + -х + -ТW х + х
• 1-2-3-4-5-6
”1-2-3’4’5’6'7
СЛЕДСТВИЕ 1
180. Так как у = (х -к ]/1 т #2)п, то, положив z = ( — х + |/14-я2)п,
получаем для z подобный же ряд, но только в нем х берется с отри-
цательным знаком. Отсюда, следовательно, вытекает:
п2 2 , и2(и2-4) . t п2 (п2 —4) (п2—16) 6 (
1’2^ ’ 1.2.3’4 1’2’3’4’5’6 1
х1
и т. д.
У —2_ п(п2 — 1) 3 ; п(п2-1)(п2 — 9)
2 ~ Г 1’2*3 Х ' i’2-3’4’5
n(n2-l)(n2-9)(n2-25) 7
Н 3 ИТ. Д.
и
у + ^
' 2
> = 0
СЛЕДСТВИЕ 2
181. Если положить х= |/ • 1 sincp,
то |/ i ~k ^* 2 = cos<p, откуда
у " (costp -k V — 1 sin ср)71 = cos /г р-С |/ — 1 sin п ср
0 В подлиннике второй дифференциал обозначае тся через дду, а вторая крон *-
дду
водная—через .
2) См. подстрочное примечание к § 159.
ГЛ. Ц1. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
95-
и
z = (cos — V — 1 sin ep)n = cos ny~Y — 1 sin nep;
отсюда мы заключаем:
л Л2 . 2 г л2 (л2 —4) . . nz(nz— 4) (л3—16) . 6 .
COS Пер 1 ~ sin2 ер Sin4 ©-----__Z sin6 ер 4- И Т. Д.,
sin тиу = П sin ер
п (л2 — 1)
1-2-3
sin3 ер J-
п(п2 —1)(п2 —9)
1-2-3-475
Sin5 ер
п (л2 — 1) (л2— 9) (л2— 25)
Г2-3-4-5-6-7
Sin7 ер Д-
и т. д.-
СЛЕДСТВИЕ 3
182. Эти ряды могут служить для умножения углов; они обладают
той особенностью, что первый обрывается только в тех случаях, в ксь
торых п~ четное число, а второй — только в тех, в которых п нечет-
ное число.
ЗАДАЧА 16
183. Предложен угол ер; выразить как его синус, так и косинус-
через бесконечный ряд.
РЕШЕНИЕ
Пусть у — sin ер, a Z = COS ер, тогда dy = dep 1 — у2, dz = depj/1 - z2.
Возьмем квадраты
dy2 = dep2 (1 — у2) и dz2 = dep2 (1 — z2);
продифференцируем, приняв dep за постоянную; получим:
d2y = — у dep2 и d2z = ~zdy2.
Следовательно, у и z надо определить из одного и того же уравне-
ния. Но для у = sin ер надо принять во внимание, что если ер исчезает,
то у становится равным ер, а для z — cosep — что если ер исчезает, то*
z=i—g-ep2 или z ~ 1 +Оер. Поэтому образуем ряды
У = ер 4 Лер3 + Бу5 + Су1 4- И Т. Д.,
z = 1 4- аер2 4- Р?4 + 7<р6 + и т. д.
Сделав подстановку, получим:
2• 3 Ay -j- 4- 5 Бу36* 7 Сер5 и т. д. |
+ 1 + А + Б г °
и l-2a+3-43?2-j-5 • 6 7 ер 4 J- и т. Д- 1
откуда -4- 1 4- а -4 заключаем: А = , В = =4 , В с = ^, С0' L) ит. д
2-3 4 • о 6-7 ’ 8-9
i О & а = — - , □ =- , 1-2 ’ 1 3-4 ’ т==7 1 5-6 ’ ^"778 и т- Д
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
Отсюда получаются хорошо известные ряды:
. ср ср3 Ср3 ф?
sin <Р = -I- j ,2.3.4.5 — + и т- «•>
cos?=l-ft + 17&4~Г&+ И Т- Д-
ПОЯСНЕНИЕ
184. Нам не было нужды доходить до дифференциалов второго
порядка: из дифференциалов выражений у — since и z~cos<p, которые
суть dy~zd^ и dz -- - у dy, легко найти те же ряды. Действительно,
составив, как раньше, ряды
у = <р Л ср3 2?<р54 С<р7+ и т. д.
z = 1 Л- аср2 + рср4 -}- 7<р6 + и т. д.
сделав подстановку, получим из первого ряда:
1 4- ЗЛ<р2 4- 55<р4 4- 7С<р6 + и т. д. |
1- а - 8 - 7 ) = 0’
а из второго
2аср— 43^3-4 67Ф5 - и т. д.
4-1 + Л +В
откуда выводятся такие определения:
а=~2’ Л = Т’ :3=-4-- в = ’ С = Тит-д-’
и поэтому
1 о , 1 1
а=“¥’ Р=+Т1м- ^=~2:з.таи т- «•’
1 1 Я ; 1 Г 1
*'1— 2-3’ в~ 2-3-4-5 ’ с 2-3-4-5-6-7’Л т‘Д‘
Эти значения согласуются с полученными выше. Отсюда понятно, каким
образохм два уравнения вместе взятые часто легче обращаются в ряды,
чем если бы мы пожелали каждое из них рассматривать отдельно.
ЗАДАЧА 17
185. Выразить через ряд значение количества у, которое должно
удовлетво рятъ у равнению
т dy пdx
Va + by* V'f + g^
РЕШЕНИЕ
Интегрирование этого уравнения дает
~ I (У'а 4- Ьу^ 4- у ] b) g%- + х ]/g) 4- С,
уъ V g
ГЛ. III. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
97
откуда выводим
п У Ъ п Уъ
1 / р^ у 4- gx~ 4- х р^ g а ( У/:4- gx~— a?]/ g
У “ \ / 2 уъ \ к )
беря постоянные h и к так, чтобы hk^=j. Отсюда мы убеждаемся в том,
что, если х взять исчезающим, то
п \/ Ъ п Уъ
1 / Уfх Уg У^Уо а / У]—х Уg \тУff
У ~~ 2,уь \ h / 2уь \ к )
(д , / УН\тУд\
ауу~к) )'
или
п V и П Ь
тУя {УТг\тУЛ , их
чр к) ) 2т. У /
Положив у = А -4- Вх, будем иметь В = п~—Л Ь_У— , так что постоян-
т У у
ную В можно будет определить из постоянной
п Уъ п
а= 1
2УЬ WyU \ykJ J
Обратно,
п уи
и
Теперь для нахождения ряда возведем предложенное уравнение в
квадрат:
т2 (/ + gx2) dy2 = ?г2 (л + by2) dx2
и продифференцируем его еще раз, взяв dx постоянным, так что после
деления на 2dy получится:
ттг2 d2y (/ + gx*2) m2gx dx dy — n2by dx2 — 0.
Теперь для у образуем ряд
у = А Вх + Сх2У Dx3y Ex4 Fx5 + • и т. д.;
подставив его, получим:
2т2у С + 6т2 fD х + 12m2fEx2 + 20in2jFx^ + и т. д. ’
+ 2m2gC + Qm2gD
4- m2gB 4~ 2m2gC 4- 3m2gD
— п2ЬА—п2ЬВ — п2ЬС — n2bD j
98
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Поскольку А и В даны, остальные буквы определяются следующим
образом:
г д2& л
С ~ 2m2fA’
jj — — р £ — n2b — bn2g £
2 • 3m2f ’ ~ 3.4m2/ ’
p n2b — 9m2g n n n2b—16m2g F
? “ 4-5m2/ b*6m2f
тг__л2д — 25m2g p j _n2b — 36m2g p,
6*7m2/ 1 7.8m2/ Gr’
и таким образом ряд для у будет известен.
ПРИМЕР 1
186. Трансцендентную функцию carcslnx выразить через ряд,
ложечный по степеням х.
Положим у = earcsin х, тогда ly — lc* arcsin х и ~ ,
dy2 (1 — #2) = у2 dx2 (1с)2 и, дифференцируя,
d2y (1 — х2) — xdx dy — ydx2 (Ze)2 — 0.
Теперь заметим, что если положить х исчезающим, то будем
^=cx=l+^Zc. Поэтому образуем ряд
у = 1 xlc + Ах2 + Вх3 + Сх* -f- Dxb + и т. д.;
подставив его, будем иметь:
1-2Л + 2-ЗВ£-гЗ-4£я24-4-5Аг3 + 5.6и&г;44- и т. д.
-1-2Л
-2Л
-H(Zc)2
остальные коэффициенты следующим образом:
С = Ц®1.4,
3-4 э.Ь
„ т. д.
4-5 6-7
распо-
откуда
иметь
- - 1с
-(Zc)2-(Zc)3
Отсюда определяются
Л“1-2 ’
-2.3В — 3-4С
-ЗВ -4С
-B(Zc)2 -C(Zc)2.
2-3
Пусть для краткости Zc—у, тогда
сarcsin х — 1 । < 72 I 7 (i + 7 ) гз __ 7 (4 + 7 ) ^4
с — if Г'2 -f- 1>2.3 ! 1.2-3-4
7(1 + 72)(9 + 72)г5 . 72(4+72)(16 + 72) Г6
1.2.3-4-5 1-2.3.4.5.6
и Т. Д.
ПРИМЕР 2
187. Полагая х~ sin ср, найти ряд, расположенный по степеням х,
который выражал бы синус угла иср.
Положим у = sin иср и заметим, что когда ср исчезает, получается
х — ср и у — пер — пх, т. е. у = 0 -\~пх, что и есть начало искомого ряда.
ГЛ. Ш« ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
,99
Теперь имеем:
7 dx 7 dy
d<? = г и .
т /1—x2 т /1—у2
Следовательно,
dy ndx
/Г=У2 —
и, взяв квадраты,
(1 — я2) dy2 = я2 dx2 (1 — г/2),
‘откуда
d2y (1 — х2) — х dx dy + п2у dx2 = 0.
Поэтому образуем следующий ряд:
у =: пх + Ах3 + Вх3 + Сх7 -|- Dx9 + и т. д.
Подставив его, будем иметь:
2-ЗАг-4 4-5Ва;34-6- 1Схь4-8-QDx7 + и т. д.
— 2-ЗЛ - 4-5В — 6-7С
— п -ЗЛ -5В — 7С
4-я3 4~я2Л 4- п2В ~\-п2С
Отсюда определяем:
так что
п (п2— 1) о п (п2— 1) (п2— 9) ₽ п (п2— 1) (п2— 9) in2— 25) 7 .
у = пх- 2 з Xs + -----Х + И Т- Д-
1.2.3-4-5.6-7
или
п (п2---1) . 3 п (п2 — 1) (м2 — 9) . 5
sin я© = я sin ©------4 о о smJq> И----------- < -н пЦ-т—-sin0 о— и т« д.
‘ 1 1-2'3 1 1.2-а'4.э
ПОЯСНЕНИЕ
188. Так как этот ряд обрывается только в тех случаях, когда я —
нечетное число, то для случаев с четным я надо заметить, что этот
ряд можно удобно выразить через произведение sin 9 на другой ряд,
расположенный по степеням cos 9. Для нахождения этого ряда положим
cos 9 = я, тогда
sin 719 — z sin 9 ~ z |/1 — и\
откуда ввиду того, что
^9 = —
du
У1 —и2 ’
получится в результате дифференцирования
/1 —u3
zu du
У‘1 — и2
100
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ИЛИ
— ndu cos — dz (1 — и2) — zu du;
это выражение, если его еще раз дифференцировать, приняв и за по-
стоянную, дает
—ndusinny = зи dudz — z du2 — — n2z du2,
у 1— и2
sin пч>
так как r-__L = z.
У 1— и2
ТТ - sin nv
Поэтому искомый ряд для z = gia"-< должен быть получен из урав-
нения
d2z (1 — и2) — 3ududz — z du2 + n2z du2 — 0,
причем надо отметить, что так как и — costp, то тогда и исчезает (в этом
случае р==90°), будем иметь либо z — 0, если п~ четное число, либо
z = 1, если п = 4а + 1, либо z = —1, если п — 4а-1. Каждый из этих
случаев должен быть обращен в ряд особо. Чтобы обнаружить начало
каждого ряда, положим <р = 90°— о>; тогда при исчезающем ю получаем:
и — cos = о), sin ср — 1, sin и ср = sin (90° • п — пю) = z.
Теперь для отдельных случаев:
L Если п = 4а , то z-- — sinno) = — пи.
IL Если п = 4а4-1, то z—cos/zcd—1.
III . Если п = 4а-4-2, то z = sin rzw = ~ пи.
IV . Если п =^4а-уЗ, то z= — cos пт ~ — 1.
Отсюда выводятся ряды, уже достаточно известные.
o'
'о
ГЛАВА IV
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ЗАДАЧА 18
189. Пусть X обозначает алгебраическую функцию от х. Найти
интеграл выражения Xdxlx.
РЕШЕНИЕ
Найдем интеграл X dx\ пусть он равен Z; так как дифференциал
количества Z 1х есть dZ 1х-]-^-^ , то
X
Zlx=A dZlx + {~— ,
J J x
и поэтому
dZ lx = Xdxlx. = Zlx — { .
J J J x
Таким образом, интегрирование предложенного выражения приве-
дено к интегрированию выражения , которое, если Z будет алгеб-
раической функцией от х, уже не содержит логарифма, и поэтому с ним
можно поступать согласно данным выше правилам. Если же X dx
не может быть выражен алгебраически, то этот способ не приносит ни-
какой пользы, и будет целесообразно удовольствоваться обозначением
интеграла Xdxlx и находить его значение с помощью приближения.
1
Исключение составляет случай X —— , когда, очевидно, имеем:
С 'Д 1х=^(1х)2 + С.
г х 2 ' 7 1
102
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 1
190. Если предложено выражение XdxlV, где V обозначает какую-
либо функцию1) от х, и если положить Xdx = Z, то тем же спосо-
бом [найдем, что] интеграл заданного выражения будет = ZIV — ;
таким образом, он приводится к алгебраическому выражению, если
только Z выражается алгебраически.
СЛЕДСТВИЕ 2
191. В связи с особым случаем — 1х надо заметить следующее: если
положим 1х — и и U есть любая алгебраическая функция от ц, то инте-
Udx -
грирование выражения --- не будет представлять трудности, так как
doc
в силу — = du оно переходит в выражение U du, и его интегрирование
относится к предыдущим главам.
ПОЯСНЕНИЕ
192. Это приведение основывается на том, что так как
d (ху) = у dx -Vxdy 2),
то, обратно, ху = у dx + х dy, и поэтому у dx = ху — х dy, так что
этим путем интегрирование выражения у dx всегда приводится к инте-
грированию выражения xdy. Поэтому если предложено какое угодно
выражение V dx и если функцию V можно разложить на такие два
множителя, скажем V = PQ, что оказывается возможным найти интег-
рал \^Pdx — S, то в силу Pdx = dS будем иметь Vdx — PQdx = QdS
и, следовательно,
$ Vdx~QS —$ SdQ.
Такого рода приведение приносит большую пользу в тех случаях, ког-
да выражение S dQ проще предложенного выражения V dx и [осо-
бенно, когда] оно вдобавок может быть приведено таким же образом
к [еще] более’простому. Иногда же весьма кстати случается, что та-
ким путем в конце концов приходят к выражению, сходному с предло-
женным; в этом случае равным образом интегрирование получается.
Так, например, если после дальнейшего приведения мы нашли бы
S dQ — Т п V dx, то имели бы V dx — QS — Т — п V dx, а отсюда
J Л + 1
2) Как видно из дальнейшего, предполагается, что V выражается через х алгеб-
раически.
2) В оригинале д.ху\ точка играет роль скобок.
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
103
Итак, это приведение приносит большую пользу в тех случаях, когда
оно приводит либо к более простому, либо к тому же самому выраже-
нию. Исходя из этого положения, дадим ряд важных случаев, в кото-
рых выражение Xdxlx либо допускает интегрирование, либо может
быть удобно выражено при помощи ряда.
ПРИМЕР 1
193. Найти интеграл дифференциального выражения xndxlx, где п
обозначает какое угодно число.
Так как хп dx = —4ч то
> п +1
хп dx lx = 4ч п+1 хп+11х — -4-f xn+1 d (lx) J п+ 1 х 7 = +7а;п+1/а;-+Д ^dx = ~^lx- . * я™. п + 1 п + 1 J п+1 (п+1)а
поэтому
\ хп dxlx — “4т (lx---4?
J п+1 \ п+1
Таким образом, это выражение интегрируемо до конца.
СЛЕДСТВИЕ 1
194. Полезно будет заметить простейшие случаи, когда п целое
число, положительное или отрицательное:
dxlnx —xlx — X) С С?Х . 1 . '1 \ —н- 1х = 1х , J X* X X
xdxlx =4rX2 lx —\-х2 Л 4 х2 dxlx = ^-x3lx —4 ^3, о У х3 dxlx = ^~ х^ lx — 4? 4 16 С dx J 1 . 1 J 1х ’ С dx . 1.1 } ^1х > С dx , 1 , .11 \ —< Iх = — -,—ЛХ — -у-—. . J х5 4х4 16х4
СЛЕДСТВИЕ 2
195. Случай lx = -^-(1х)2, как совершенно исключительный, мы
уже отметили выше. Он получается также и приведением к исходному
выражению. Действительно, при помощи вышеуказанного приведения
имеем:
lx = lx-lx — lx*d(lx) = (lx)2 — ^1х,
и отсюда 2 с^1х = (1х)2, а следовательно,
104
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
ПРИМЕР 2
196. Выразить интеграл выражения
dx 7
4 —х
при помощи ряда.
Приведение, которое применялось выше, [само по себе] дает мало
выгоды, ибо получается:
С dx ir — i ~1_-lx — — I 1
J 1— X 1 — Х J X 1 X
Но так как
I г-1— = х -T-i-x2 -г Vх3 +4-Х4 + и т. д.,
1----X di О 41
то
С dx 7 1 . 1 Q , 1 О , 1 Л j 1 С |
J ~X + ^Ж +-д2: +25Ж 1" и T- Д>’
и поэтому
(* dx 7 7 1 7 in lo 1д 1 с
\ -j---lx --= I .-Ix — x---T X2 — -77 X3 — та x1 — x5 — и T. Д.
j 1 — x 1—x 4 9 lb z.0
Этот интеграл исчезает в случае х = 0; действительно, хотя 1х в этом
случае обращается в бесконечность1), однако
1 ' 1 1
I £—у = у X2 + ИТ. Д.
исчезает таким образом, что даже после умножения на 1х он обращается
в нуль, ибо вообще хп1х — 0 при х~ 0, если только п — положительное
число.
СЛЕДСТВИЕ 1
197. Если положить \~x~u, то получим:
dx 7 du 7 /Л х du 7 1
,---lx =------I (1 — u) = — l -л-
1--X . и x ' и 1 — и
и поэтому
5dX 7 /1 .1 9 . 1 q , 1 ..1 R i
j— lx = C + u 4-^-и2 +-9 M +16M +25“ + и Т. Д.
Для того чтобы это выражение исчезало при х — 0, т. е. при и = Х?
следует взять
^,1111 1 2
С= 4 “9-16-25- И Т< Д- =”'61Т<
СЛЕДСТВИЕ 2
198. Итак, если принять 1— х=и,- т. е. х и — 1, то будут равны
между собой следующие выражения:
-1Х’ 1и--х--X2------^гХ3 Х4—~ II т. д.
4 9 16
1 о . , 1 О . 1 О . 1 4 ,
= и Т. д.,
х) In infinitum abit.
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫ^ ВЫРАЖЕНИЯ
105
т. е. будем иметь:
у 7Г2 — Ix-lu = Х 4- и и2) 4--^- (#3 + и3) + (я4 + w4) + ИТ. д.
СЛЕДСТВИЕ 3
199. Этот ряд лучше всего сходится, если положить х = и—^- .
а в этом случае будем иметь:
g-л2 — (Z2)2 = 1 +2^4 + 4^9+87^6 +ЙГ25+32736"!“ и т- Д-
Следовательно, мы имеем сумму ряда
+4^+4жб+и т'д-
^2 1
не только для 7 = 1, когда она равна -g-, но и для .г—у, когда она
равна 4^2 _А. (12)2.
СЛЕДСТВИЕ 4
1 2
200. Если положим х — у и м = у, то сумма ряда
. 5 , 9 17 33 65 ,
1 +з274“г'33-9"! 3*-16Ч 35.25 + Зв-36"1" И Т' Д’’
1Ч- 2n 1 3
общий член которого = х-г- ’ окажется равной -л- тс2 —13 -1 — , но отсюда*
нельзя найти сумму ряда
+4+4 +4^+п т'д'
1 2
по отдельности для случаев х — — и х = у •
ПРИМЕР 3
1
1 — X
1
т г— , имеем:
1 1 — X
dx
х (1 — х) ’
201. Найти интеграл выражения х)2 11 °^Ратить его е Ря&
m С dx 1
1 ак как \ -7-Л--го = -л--, то
J (1 — х)2 1 — х
С dx 7
\ 71 \ о —
J (1—я)2
1 1 .
НО ввиду ТОГО, ЧТО _ - =----h
X I J. X} X
dx
J а; (1 — х)
1
1 — X
откуда находим интеграл
С dx 7 lx 7 7 1 xlx 1 1
J (1—x)2 1 X 1 — X 1 X 1 — X
взятый так, чтобы он исчезал при х = 0.
106
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Теперь для того, чтобы найти ряд удобнейшим образом, положим
1— х = и\ наше выражение примет вид
— du 1 ел \ du ? 1 du f .1 «.I о < 1 л . 1 к . 7
—2-Z (1 — и) — -51 ~л-=-2 ( ZZ-f- v zz2 + v и3 +-Г zz4 + + И T. д. ) .
ua х 7 к2 1—и к2 \ 1 2 3 4 ‘5 J
Поэтому, интегрируя, находим:
С dx , п , .и , и2 , и3 и4
J (1— х? 1х — С+1и+-^. + 2-3 + з-4 + 4-5 + и т- Д-
Чтобы и это выражение исчезало при гс — О, т. е. при zz=l, необ-
ходимо, чтобы
„ 1 1 1 1 ,
1-2 2-3 3-4 4-5 И Т’ Д’—
Ввиду того, что х = 1 — zz, получим:
и . и2 , и3 . к4 .
4.9 1 9-3 + 3-4 4-5 И Т' Д’
-1 1U + (l-u)Z(l-u) z _ ! (l-u)Z(l-u)
1 и и
СЛЕДСТВИЕ 1
202. Таким же образом, если dy = —I , то
и у и 1 и
2 , 1 . Г 2 du
у =--7= I 1--1- \ ---7= ,
и и J (1 — u)yfu
и, положив zz = гг2, получим:
Г 2 du Г __ 9 ? 1 + я
J (1-u)Vu J
Следовательно,
9; l + VT 2 , 1
У = 21 1-7Г- ’
1— у и у и 1 и
-а так как, разлагая в ряд, имеем:
= 77^ С“+1“2 + т “3+4 “4 + и т-д0 ’
то получим также
у = 2]/" и 273 zz j/* zz + 3Т5 zz2 |/ zz+^zz3]/zz + и т. д.
СЛЕДСТВИЕ 2
203. Если же мы помножим на , то получим:
. и2 и3 К4 и5 1/7 1+VU I 7/1 \
м+2^ + зЗ + 4-^+Г9+ И Т‘ +
а эта сумма равна также
= (1 +р7) z(l +/Й)4- (1 -/й) z(l -/й).
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
107
Если взять и — 1, то (1 — /«) z (i - V») = о> и мы получим:
1111 1
+ м + и т‘ д‘ ==2/2-
ЗАДАЧА 19
204. Пусть Р означает функцию от х. Найти интеграл выраже-
ния dy — dP (lx)n.
РЕШЕНИЕ
При помощи приведения, показанного выше, получается:
у = Р (lx)n -^Pd (Zx)n = Р (lx)n - п J Цх}п~\
откуда, положив ^^-^- = (1, будем иметь таким же образом
5 W1 = Q (&Г1 (^Г2-
Если мы будем и дальше подвигаться таким же образом и если
окажется возможным взять следующие интегралы:
С Р dx Г Q dx D С Rdx о С 8 dx т
\ ----= v, \ ' = Н, \ ---— о, \ --------~ Т и т. д.,
J X V J X J X J X '
то получим искомый интеграл
$ dP (lx)n - р (lx)n ~ nQ (1х)п^
4- п (п — 1) R (Zx)n~2 — п (п — 1) (п — 2) S (1х)п~3-}~ и т. д.
Если показатель п — целое положительное число, то интеграл вы-
разится в конечном виде.
ПРИМЕР 1
/рТЛ 1
205. Найти интеграл выражения х rndx (lx)2. Здесь и =2, а Р = ,
откуда Q = и й - (у^+ 1)3. Отсюда мы получаем:
V хт dx (lx)2 = Xю*1 ( - 21*- + Л .
J 4 7 \т + 1 (т +1)2 1 (т + I)3/
Этот интеграл исчезает при я —0, если только п?4-1>0.
СЛЕДСТВИЕ 1
С 2-1
206. Следовательно, при х=1 получается х"1 dx (lx)2 = -jp ,
а из предшествующего [§ 193] ясно, что, если выражение ^xmdxlx про-
интегрировать так, чтобы интеграл исчезал при х = 0, то при х=1 по-
лучится хт dx lx “ .
108
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
dx
207. Если же — 1, так что имеем выражение — (Zz)2, то его
интеграл будет (1х)2 = у (Zz)3; это — единственный случай, который
надо исключить из общей формулы.
ПРИМЕР 2
208. Найти интеграл выражения хт~х dx (lx)3.' В этом случае л = 3
и Р~ — , откуда
поэтому искомый интеграл есть
\xm~1dx{lx')s = xm ( + .
J v \ т т2 1 т3 J
Этот интеграл исчезает при я = 0, если только т > 0.
СЛЕДСТВИЕ 1
209. Если в интервале, взятом так, чтобы он исчезал при х— 0.
положить затем z—1, то будем иметь:
\ Xю-1 dx = Т , \xm~ldxlx =—{ хт~^х(1х)2=+~
j т J т2 J х 7 1 иг3
И
Z"1-1 dx (lx)s = - i-^L2 .
J v 7 m1
СЛЕДСТВИЕ 2
210. В случае же m = 0 интеграл будет
стало быть, его нельзя определить так, чтобы он исчезал при я = 0,.
ибо в этом случае было бы необходимо прибавить бесконечную постоян-
ную. Но этот интеграл исчезает при х~ 1.
ПРИМЕР 3
211. Найти интеграл
п хт
Р ~ — , ТО
т
выражения xmidx(lx)n. Так
как здесь
Q=~,
v т2
/>*771 уу»7?1
/? =* £ = —. и т. д.,
т3 тЛ ’
откуда искомый интеграл
\ хт^ dx (1х)п =
__ т X (lx)n п (Z#)71-1 п (п— 1) (7я)п“2
\ т т2 ' т3
п (п— 1) (п — 2) (1х)п~3
иг4
И Т. Д.
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
109
В случае же т = 0 имеем:
СЛЕДСТВИЕ 1
212. Если т > 0, то найденный интеграл исчезает при х — 0; далее,
если взять я = то интеграл будет
где знак -f- имее~ силу, если тг —четное число, а нижний знак — , если
п нечетное.
СЛЕДСТВИЕ 2
213. Эта двойственность устраняется, если вместо 1х
1 1
— /—•; тогда, проведя интегрирование таким же ооразом и
написать
положив
гг=1, получим:
1>2-3 ... п-
mn+1
ПОЯСНЕНИЕ
о • 5 Х
----Г + И т. д-J.
214. Если показатель тг—дробное число, то найденный интеграл
. - 1
выражается через бесконечный ряд; так, например, если тг--= — — ,
получается:
(* dx 1 . 1 I 1’3 . 1'
\------= .r (--------1------j+--------J-V —
2m2 (lx) 2 4m3 (lx) 2 8m4 (lx) 2
Сначала, пока x берется растущим от 0 до 1, этот ряд можно пред-
ставить следующим образом:
^x^dx хт Г 1 1-3 , 1-3-5
1 Cm 2т21х "Г 4т3 (lx)2 8т4 (1х)3 ) *
Если показатель п отрицательный, то хотя бы он был и целым,
найденный интеграл будет все же продолжаться до бесконечности. Но
в этом случае2) интегрирование можно провести другим способом, при
помощи которого интеграл приводится в конце концов к выражению
С Т dx
вида \ , интегрирование которого никаким способом не может быть
сделано более простым. Это приведение мы покажем в следующей задаче.
1
х) Чтобы устранить мнимости, Эйлер выносит —z— за скобки и преобразует
у 1х
1 х
к виду —_______= ; то же преобразование делается под знаком интеграла.
2 ) To-есть при целом отрицательном п.
110
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ЗАДАЧА 20
215. Последовательно сводить интегрирование выражения dy =
ко все более простым выражениям.
РЕШЕНИЕ
Предложенное выражение представим так:
dy = Xx-^ra<
аг (1х)п
С dx —1
и так как \ —ту— = ---.... , то
J х (1х)п (п— 1)(1х)п 1
I 1 С Л / V \
У = (л —l^Zz)"-1 + J (te)"”1 a л x>
Поэтому, если мы будем последовательно полагать
d(Xx) — Pdx, d(Px) = Qdx, d(Qx) = Rdx и т. д.,
то, продолжая это приведение, получим:
__ —Хх Рх Qx
^ = (n —l)(Zz)^1—(n —l)(n—2)(Zz)«“2— (n—l)(n —2)(п — 3)(1х)^~3 ~И Т* Д*’
[суммирование продолжается до тех пор], пока, наконец, не дойдем
до интеграла
________1______ Г V dx
(л — 1) (л — 2) ... 1 J 1х 1
так что всякий раз, как п будет положительным целым числом, инте-
грирование в конце концов приведется к такого рода выражению.
ПРИМЕР 1
216. Найтц интеграл дифференциального выражения
dx
*
Здесь л — 2, а X — х™^1, откуда Р~ тхт~\ а следовательно, интеграл
Г г™-1 dx хт , т Г dx
У J (lx)2 lx 1 1 J lx *
а от выражения —интеграл можно взять только в случае т~0г
когда = 11х. Но если т=0, то интегрирование предложенного
выражения даже и не зависит от последнего интеграла, ибо имеем
в законченном виде:
С dx 1 .
V -- \ /7 \2 -- 7 Т *
V J х (lx)2, lx
ПРИМЕР 2
/рТМ 1
217. Отыскать интеграл дифференциального выражения
для случаев, когда п есть целое положительное число.
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Ilf
Так как Х—х17^1, то
р — d — гит™''1
dx
но тогда
R^m3xm-1, и т. д.
Поэтому интеграл будет иметь такой вид:
__ С х171-1 dx_ xm mxm m2xm
У== У (Zx)n “ — (и—IXZx)”-1 — (ra—l)(ra—2) (&)"-« “ (и-l) (ra-2) (ra-3) (Zz)""3
I m71-1 £ x171-1 dx
“ * * * +7«“—1) (л—1) ..ГТ J lx ”
СЛЕДСТВИЕ
218. Подставляя вместо n последовательно числа 1, 2, 3, 4 и т. д.,.
получим следующие приведения:
C х171-1 dx_ xm t m C xm-1 dx
j (lx)2 ~~ /x T1 J lx ’
C x171-1 dx _ xm mxm m2 C x171^1 dx
J (Zx)3~ “ — 2 (Zx)2 — 2Л/х + П J lx ’
C xm'~1 dx xm mxm m2xm m3 Г xm~1 dx
J (Zx)4 = “ ’3 (lx)3 ~ 3 • 2 (lx)2 ~ 3.2 • IZx ' ТТЛ J & *
ПОЯСНЕНИЕ
(* x™-1 dx
219. Эти интегрирования зависят от выражения \ —; если;
положить ^m = z, то в силу х™'1 dx — — dz и lx~--lz это выражение
ш ш
С dz
приводится к простейшему виду \ . Если бы можно было найти этот
интеграл, то он принес бы огромную пользу в анализе, но никакими
средствами его до сих пор не удалось выразить ни через логарифмы,
ни через углы, а как его выразить при помощи ряда, мы покажем ниже
(§ 228). Повидимому, это выражение \ представляет особый вид транс-
цендентных функций, который безусловно заслуживает весьма тщатель-
ного изучения. Это же трансцендентное количество часто встречается
при интегрировании показательных выражений. Мы решили рассмотреть
их в этой же главе, так как они столь тесно связаны с логарифмиче-
скими функциями, что каждый из этих двух родов функций легко обра-
тить в другой. Так, например, только что рассмотренное выражение
— , если положить lz = x, так что z = ех и dz — exdx, преобразуется
в показательное выражение ех , интегрирование которого, стало быть
равным образом недоступно для нас.. Итак, мы здесь будем изучать вы-
ражения, поддающиеся обработке, но такие, которые при помощи про-
стой подстановки нельзя привести к алгебраическому виду. Так, напри-
мер, если И —какая-либо функция от w, a v = ax, то выражение V dx
lv j dv V dv
в силу того, что х==-^ и = переходит в выражение , кото-
рое по отношению к переменному v является алгебраическим. Стало
112
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
быть, мы исключаем [из рассмотрения] выражения вроде > так
как они, если положить ax~v, не представляют никакого затруднения.
ЗАДАЧА 21
220. Отыскать интеграл дифференциального выражения axXdx, где
X обозначает какую-либо функцию от х.
РЕШЕНИЕ 1
С 1
Так как d (ах) — ах dx la, то, обратно, \ axdx~-^ ax] поэтому, если
разложить предложенное выражение на множители X*axdx, то с по-
мощью приведения будем иметь:
t ахХ dx =^ахХ —Г С axdX.
J la la J
Если, далее, положим dX = Pdx, так что
V ахР dx = ~ ахР -4- axdP,
J la la J
то получится такое приведение:
ахХ dx = -Г ахХ — Л- „ ахР + ( ах dP.
J - la (la)1 (la)1 J
Далее, если положить dP--Qdx,T<> будем иметь такое приведение:
\axXdx =^-axX-7^~2axP-\-7^iaxQ-\-~3 {axdQ.
J • la (la)2 (lap v (lap J v
Так, полагая, далее, dQ — Rdx, dR — Sdx и т. д., можно продвигаться
вперед, пока не дойдем до выражения, которое либо интегрируется,
либо^является простейшим в своем роде.
РЕШЕНИЕ 2
Можно разложить это выражение на множители и другим образом.
Положим Xdx~ Р или X dx — dP. Если придать выражению вид
ax-dP, то будем иметь:
ахХ dx = ахР — la ахР dx.
Подобным образом, если положить ^Pdx--Q, получим:
axX[dx — ахР — 1а • axQ Д- (la)2 axQ dx.
Далее, положим ^Qdx = R и получим:
j
ахХ dx = ахР - 1а • axQ + (la)2axR - (laf \ axR dx.
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
113
Таким путем можно подвигаться последовательно вперед насколько
желательно, пока мы не дойдем до выражения, которое либо интегри-
руется, либо является простейшим в своем роде.
СЛЕДСТВИЕ 1
221. Первым решением можно пользоваться всегда, так как функ-
ции Р, Q, R и т. д. получаются путем дифференцирования функции X, ибо
n dX 'X dP ,, dQ
Р=~т- , <2 = , R = Т- и т. д.
dx Л dx dx
Поэтому, если Х~ целая рациональная функция,
придем к выражению ах dx — ~ • ах; стало быть,
грал может быть выражен в законченном виде.
то в конце концов
в этом случае инте-
СЛЕДСТВИЕ 2
222. Второе решение имеет место только в том случае, если можно
взять интеграл Р выражения X dx\ его можно продолжать только до
тех пор, пока удается брать последовательные интегралы
Pdx--Q, \Odx~R и т. д.
ПРИМЕР 1
223. Найти интеграл выражения аххп dx, где п обозначает целое
положительное число.
Так как в этом случае то, применяя первое решение, бу-
дем иметь:
f аххп dx — * аххп аххп~1 dx.
j la la J
Подставляем сюда вместо п последовательно числа 0, 1, 2, 3 и т. д.
Поскольку в первом случае [п — 0] интеграл известен, получим сле-
дующие интегралы:
ах dx = — ах,
J 1а
Г л- 7 1 а- 1 х
\ ах dx^=~r а х ~ а >
J la (lay
f ахх2 dx^~ ахх2 — ахх + 4-Д ах,
J la (lay (lay
С ж о 7 3 X 2 , 3-2 х 3-2-1 х
\ а хг dx = T~ ахх6 — ахЛ + ахх ~ ах и т. д.,
J la (lay 1 (lay (lay
откуда приходим к общему выводу, что для любого показателя п
\ axxndx=ax(~
J \1а
И т.
К этому выражению надо еще прибавить произвольную постоянную,
чтобы получить полный интеграл.
114
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ
224. Если интеграл надо определить так, чтобы он исчезал
х — 0, то
ах dx = ~ах — ~ ,
J la la
При
axxdx =ах f 7-— 7А2 -г/Аг >
J \la (la)2 J (lay
Х97 X С x<il ^Х I 2 • 1 \ 2*1
а хл dx—a( -г--------уууо + у-у, — у-у, ,
< la (1а)2 1 (lay У (1аУ
х о 7 х f х3 Зх2 3-227 3 • 2 • 1 \ 3-2-1
ах3 dx — ах ( 7---ууу- + тгтз — тгтг ) + г?гг
\ la (lay 1 (la)3 (lay J 1 (la)4
ПРИМЕР 2
225. Отыскать интеграл выражения ——
И T. Д.
если п обозначает целое
положительное число.
В этом примере удобно применить второе решение; так как здесь
1 ___I
X — — , то Р— ,------~yi и отсюда получается такое приведение:
X (Z2 ± J X
Г ах dx —ах 1а С ах dx
j хп (п—1) хп~г п—1 J 2?гг~1'
Очевидно, что при отсюда нельзя ничего получить, — это есть
о о С axdx «
как раз упомянутый выше случаи \ , представляющий собой осо-
бый вид трансцендентных функций. Допустив этот вид, мы сможем
выразить через него интегралы в следующих случаях:
ах dx „ ах ( la С ах dx
х2 1 -хт 1 J х f
ах dx
ах axla , (la)2 f axdx
2х2 2* 127^~ 2 -1 J х
ах dx л ах ах1а
х4 Зх3 3-2х2
ах (la)2 (1а)3
З^Гь; ' 3^2Л
ах dx
х
С
откуда получим в общем виде
С ах dx „ ах axla ах (Id)2
j хп (п—Х)хп'~1 (п—1)(п—2)хп~2 (п — 1) (п — 2) (п—3) хп~3
ах(1а)п~2 ________(Za^1 C axdx
(П--1) (П--2) ... 127 "Г" (П — 1) (П-2) ... 1 J 27
СЛЕДСТВИЕ 1
226. Стало быть, если допустить трансцендентное количество
~^х^ ? то мы выРажение axxmdx, будет ли показатель т положитель-
ным или отрицательным целым числом, интегрировать сможем. При
этом в первом случае интегрирование не зависит от этого нового транс-
цендентного количества.
СЛЕДСТВИЕ 2
227. Если же т — дробное число, то ни первое, ни второе решение
не доводит дела до конца, но каждое пз них дает для интеграла бес-
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Н5
1
конечный ряд. Так, например, если т=-------— , то из первого решения
мы будем иметь:
ах dx
х
1 , 1 , 1-3 , 1-3-5 , > 1/- , „
а < l(A 2x(la)* 2^~ 4x2(Za)3^“ 8х3 (la)* ' И Т’ Д-ДГЖ + С
а из второго
(* axdx . ах / 2х 4х21а . 8х3 (1а)2 16т4 (1а)3 .
Jy- =С + у^ 1т-~1-з -‘--ТзПГ- 1-3-5-7 + и т- д-
ПОЯСНЕНИЕ 1
С ах dx
228. Трансцендентное количество \ —у можно выразить при по-
мощи ряда, расположенного по степеням х. Действительно, так как
х 117 1х2 (^а)2 < Х‘А (^а)3 I
a = 1-}-х1а-\—j.2.3 + и т- «•>
ТО
axdx \ 1 , х^а । %2 (1а)2 . х3 (la)3 . х4 (Za)4
— = с + /ж+яг+т^+тЬт+г2то +
И т. д.
Если же вместо а мы возьмем число, гиперболический логарифм
которого единица, и обозначим это число буквой е, то будем иметь:
ех dx . р , , ( х ( 1 х2 t 1 х3 ( 1 х4
-г1х + у + у Г2 + Т Г^з^Т 1-2-3-4
т. д.
Полагая в этой формуле — z, так что х — lz, мы сможем проинтегри-
dz
ровать упомянутое выше выражение при помощи ряда
dz_r . , lz , 1 (Zz)2 , 1 (Zz)3 , 1 (lz)* ,
z7-g-“z+t + t тт^т птз+т rm-
и T. Д.
Для того чтобы этот интеграл исчезал при z —О, постоянная С должна
быть бесконечной J); поэтому отсюда нельзя сделать никаких выводов
для других случаев. Такое же неудобство будет иметь место в том
случае, если мы будем делать интеграл исчезающим при z = 1, ибо
*) Л. Маскерони в своем комментарии к «Интегральному исчислению» Эйлера,
С dz
вышедшем в 1792 г., доказал, что при 0 < х < 1 интеграл \ — представляется (схо-
дящимся) рядом
(Z^ 1
1-2 3
Л 4- Z (— lz) + у +
(^)3
1-2-3
где А — постоянная, и что если интеграл должен обращаться в нуль при х~0, то
для А надо взять значение
.4 = 0,577215664901532 ...
(постоянная Эйлера—Маскерони). У Эйлера эта постоянная была введена и вычис-
лена уже в «Дифференциальном исчислении» (ч. II, § 143, стр. 303—304) в связи
111 1
с суммированием гармонической прогрессии 1-J-—-J- —-J- — ... -j . Сочинение
2 о 4 х
Маскерони помещено в качестве приложения к «Интегральному исчислению»
в XII томе первой серии полного собрания сочинений Эйлера (L. Euleri, Opera
omnia, series I, v. XII, 1914).
116
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Liz = 10 станет бесконечным. Кроме того, ясно, что если интеграл будет
вещественным при значениях z, меньших единицы, когда lz отрица-
тельно, то. при значениях, больших единицы, он станет мнимым, и
обратно. Итак, природа этой трансцендентной функции распознается мало.
ПОЯСНЕНИЕ 2
229. Если интегрирование не удается или если найденные выше
[§§ 223, 225] ряды оказываются неудобными, то, разложив в ряд коли-
чество ах, можно сразу же без всяких других вспомогательных средств
представить интеграл выражения ахХ dx в виде ряда; именно, будем
иметь:
ахХ dx = \ X dx + ( Хх dx ф- \ Хх2 dx + ч Хя3 dx -f- и т. д.
J 1 J 1 ’ 2 J 1' Z * о J
Так, если Х^хп, будем иметь:
х n j п ’ хГ1+1 । хП+2 1 хГ1+3 0а)2 1 хп+4 СО3 1
ах dx-C + ^^~r 1-(^р2)+ 1.2(п + 3)' г 1-2-3(п + 4)+ и т‘ д’’
причем надо отметить, что, если п — целое отрицательное число, ска*
^n+i
жем — I, то вместо —надо писать 1х.
ПРИМЕР 3
230. Выразить интеграл выражения через бесконечный ряд.
Применяя первое решение, получим здесь X = :
р __ dX_ 1 . п _ dP _ 1-2 р _ dQ ' 1-2-3
dx (1—х)2 * V dx (1—х)3 * dx (1 — х)4 и т* Д ’
а отсюда — следующий ряд:
Г axdx __ х/ 1 1 1-2 1-2-3 X
3 “ ^(l-x)Za ~ (1-х)2(1а)2 + (1 — х)3(1а)3 (1 —x)‘(Za)4 + И Т' Д' ) ’
Другие ряды можно найти, если разложить в ряд либо ах, либо
1
дробь . Но удобнее всего, повидимому, тот, который получим пред-
положительно, образуя ряд1). Для краткости примем за а число е, так
что /е = 1, и положим dy = e dx или
* 1—х’
dy . Л х2 х3 х4 п
/(1 —X) — 1 — X — -т-v. — 7-^77 ---и т* Д- " 9.
dx4 7 1-2 1-2-3 1-2-3-4
Теперь для у образуем такой ряд:
у ^: С = А ^Вх^- Cx2-irDx3jr Ех* + Fx5+ и т. д.
г) Quae seriem fingendo eruitur.
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
117
После подстановки получится:
В 4- 2Сх + 3Dx2 + kEx^ 4- 3Fx* + и т. д.
~В ~2С -3D -ЬЕ
откуда определяем:
В-1. С_1(1 + 1) С = Ц1 + 1+4),
£=4(1+1+4+‘), МС'+'+тЧТ)"’- «
ЗАДАЧА 22
231. Отыскать интеграл дифференциального выражения dy — xnxdx
и выразить его через бесконечный ряд.
РЕШЕНИЕ
Нет более удобного способа, чем обращение показательного выра-
жения хпх в бесконечный ряд; получится:
пх Л , у . w2z2 (lx)2 , w3z3 (Zz)3 . n4z4 (Zz)4
х = i +nxlx' -rV+-т4Е+тот
И т. д.
Помножив это выражение на dx и проинтегрировав каждый член в
отдельности, получим:
dx = я,
х dx lx = х2 ( ~ — ~У ,
= -у + у) ,
5 л (/.)«-.. - Ц?- т -“ *>
J <J <J <J ij <J _/
и T. д.
Таким образом, если подставить эти ряды и расположить их но
степеням 1х, то искомый интеграл выразится через следующее бесчис-
ленное количество бесконечных рядов:
7/ С „ПХ 1 <1 пх «2z2 п3х3 + "4Д_ и т
у — 22 Ь 32 44 + 55 ИТ. Д-J
пх21х / ' 1 пх . «2Z2 п3х3 «4Z4 Д
+ 1 ( <21 З2 г 43 54 + 65 И Т. Д. J
п2х3 (1х)2 / ' 1 пх п2х2 п3х3 «4Z4 \
+ 1-2 ( <3f 42 b 53 64 + 75 И Т. Д. J
, «3z4 (lx)3 / ' 1 пх | «2z2 п3х3 i"4*4 и т и \
! ’ 1-2-3 Ч*1 ~ б2 1 63 74 + 85 ИТ. Д у
Этот интеграл взят так, чтобы он исчезал при я = 0.
1 IB
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ
232. Если по выполнении интегрирования таким способом положить
х = 1, то значение интеграла х™ dx будет равно следующему ряду:
. п , п2 п3 . п4 п5 .
1 —2г +уз" 44+55“ё^“г и т- «•
Этот ряд в высшей степени достопримечателен изяществом построения
своих членов.
ПОЯСНЕНИЕ
233. Таким же способом находим интеграл следующего вида:
у == хпххт dx = £ хт dx( I4- nxlx -j- п Х. —И ~ Х 4 и т. д. .
Проинтегрировав каждый член в отдельности, получим:
xmdx= --: ,
т + 1
х™Чх 1х = хт^( - —4 >
J \ т 4 2 (т + 2)2 /
хт^ dx (lx)2 = хт^ ( -4 - + 44 -
J v 7 \zn + 3 (т + З)2 (т + З)3 /
С т+Чл \з т+4/(^)3 3(/х)2 , 3-2/х 3-2-1 >
\ хт 3 dx (lx)3 - х 4 ( 4 7——- — -—"утт )
j ' 7 \zn + 4 (zn + 4)2 (т + 4)3 (zn + 4)4 J
и т. д.
Если мы определим интеграл так, чтобы он исчезал при х -= 0, а
затем положим 1, то для этого случая значение интеграла х^х^ dx
выразится следующим весьма замечательным рядом:
1 п । п2 п3 п4
zn+1 (zn + 2)2 ! (zn + 3)3 (т -у 4)4 ~ ” (т + 5)5
Очевидно, этот ряд не может иметь места во всех тех случаях, когда
т — целое отрицательное число.
Я не присоединяю сюда других примеров показательных выражений,
так как по большей части их интегралы выражаются крайне неизящно,
а способ обращения с ними здесь в достаточной мере изложен. Однако
же особого внимания заслуживают выражения, допускающие интегриро-
вание в законченном виде и содержащиеся в следующей формуле:
ех (dP 4- Р dx). Очевидно, интеграл этого выражения есть ехР. Но для
случаев такого рода трудно дать правила нахождения интеграла; по
большей части здесь надо предоставить место догадке. Так, например,
если будет
интеграл,
предложено выражение
если его можно взять,
ехх dx
(1+*)2
то нетрудно догадаться, что
должен иметь
6х z
такой вид: - , .
1 X
ГЛ. IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Ц9
Сравнение дифференциала
ех (dz (1 -j- х) xz dx)
(1 -j- х)2
с предложенным выражением дает
dz (1 ф- х) + xz dx ~ х dx,
откуда сразу же ясно, что z—1, а если бы это не было само собой
ясным, то на основании правил судить было бы трудно. Поэтому я пе-
рехожу к другому роду трансцендентных выражений, уже включенных
в анализ, а именно, выражений, содержащих либо углы, либо синусы
и тангенсы углов.
ГЛ/VBA V
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
ЗАДАЧА 23
234. Предложено дифференциальное выражение X ch; arcsin хт); оты-
скать его интеграл,
РЕШЕНИЕ
Так как d arcsin х =—, то предложенное выражение мы раз-
У 1— х2
ложим на множители следующим образом: arcsin xXdx, Если уже Xdx
допускает интегрирование, причем ^Xdx = P, то наш интеграл будет
(* ~v 7 • • (* Р dx
\ л dx arcsin х — Р arcsin х — \ ;
J J /1 — х2
следовательно, дело уже сведено к интегрированию алгебраического
выражения; правила для такого интегрирования даны выше.
Впрочем, если X = , то интеграл, очевидно, будет
У 1— х2
? dx , 1 ? \9
\ —Г arcsin .г ——(arcsin яг.
J у 1- ж2 2 V ’
Это — единственный случай, когда в интеграл входит квадрат угла.
ПРИМЕР 1
235. Интегрировать выражение dy = хп dx arcsin х.
Так как Р = \ хп dx = , мы будем иметь:
2Tri + 1 . 1 С я/1*1 dx
----arcsin х----\ .
У п + 1 п+ 1 J Y1—г2
2) В V и следующих главах автор пользуется обозначениями Ang. sin х,
Ang. cos a?, Ang. tang, x.
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
121
Отсюда для различных значений п интегралы найдутся при помощи
§ 120. Это следующие интегралы:
dx arcsin х~х arcsine 4- ]/1 — х2 — 1,
х dx arcsin х = х2 arcsin х + ~х ]/1 — х2 —arcsin х,
£
3
о , • 1 л ’ , 1 / 1 о , 1-3 A-i/i-о 1 13
я'Мя arcsin .r == — я4 arcsm -гХ^-^-ух i у 1 — хй — -г • n--7 arcsm х.
4 1 4 < 4 2-4 j f 42-4
Х1
х2 dx arcsin х = у х* arcsin х 4
Они взяты так, что исчезают при £ = 0.
ПРИМЕР 2
236. Интегрировать выражение dy = arcsin х.
Так как
х dx
]/ 1 —-х2
- ]/Т - X2 - Р,
то искомый интеграл будет
/л , Га---9 . , С dx 1/1-X2
7/ — С - • ]/ 1 — arcsin х 4- \ —у. ,
J Y 1 J /1—
и таким образом получим:
у = ? - Х.ЛХ arcsin х~С — 1/1 — я2 arcsin х 4- х.
J /1 — ^ у
ПРИМЕР 3
237. Интегрировать выражение dy — —dx arcsin х.
(1 — а?2)2
Здесь
2 /1— х*’
(1 —г2)2
X
откуда получим:
у — —уЛ=. arcsin х -
х 1/1 — У
х dx
1 — х2
ИЛИ
Srfa? . х ’.71 Гл------9
-----х arcsm х = __2 arcsm х 4- / |/ 1 — х\
I /1_ж2
(1—х2)2
Этот интеграл исчезает при х = 0.
122
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ
238. Подобным же образом интегрируется выражение
dy = Xdx arccos я.
Действительно, так как
7 dx
d arccos х — — ,
/1-яг2
то, полагая X dx = Р. будем иметь:
у Р arccos х + .
J/1 — х*
Мало того, если предложено выражение dy ^Х dx arctg х, то полагаем
X dx = Р, и в силу
7 . dx
d arctg х = . ,
6 1 + X-
интеграл будет
(* Р dx
у = \ X dx arctg х — Р arctg х - - \ •
Стало быть, всякий раз как X ей может быть дан алгебраически,
интегрирование приводится к алгебраическому выражению, и таким
образом надо считать, что дело завершено. Но так как в эти выра-
жения входил угол, синус, косинус или тангенс которого был = х, рас-
смотрим теперь также и такого рода выражения, в которые входит
квадрат или более высокая степень этого угла.
ЗАДАЧА 24
239. Пусть <р обозначает угол, стус или тангенс которого есть
какая-либо функция от х, причем dy = udx, и пусть предложено выра-
жение dy =X dx tpn; надо его интегрировать,
РЕШЕНИЕ
Пусть Xdx~P, так что имеем dy dP\ интегрируя, получим:
у = <?пР — п Pu dx.
Подобным же образом пусть теперь будет Pu dx = Q; тогда
«р"-1 Pu dx = Q - (п -1) J <р" 2 Qu dx;
затем, полагаяdx = R, имеем:
ф^2 Qu dx = ^2 /? - (n - 2) J фп~ 3 Rudx.
Таким образом, степень угла <р непрестанно понижается, пока, наконец,
не дойдем до выражения, свободного от угла <р; это будет всегда выполни-
мым, если только п — целоеположительное число и если можно взять один
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
123
за другимг) интегралы
Xdx~P, Pudx = Q, Qudx—R и т. д.;
если эти интегралы не берутся, то интегрирование предпринято безу-
спешно.
ПРИМЕР
240. Пусть «р есть угол, синус которого = х, так что d.y = —-,
у 1 — х2
Интегрировать выражение dy----yndx.
Очевидно,
Х = 1, Р = х, Q = 'у = -УГ-х\ -?^L- = -т.,
j/1-г-2 J /1-х’-
5 = Т = X и т. д.
/1—X2
Найдя эти выражения, получим:
у = <pn dx = tpn# 4~ ^pn~1 ]/1 — X' -- я (я — 1) уп^2х
— п (п — 1) (я — 2) рп'3 ]/1 — х2 + и т. д.
Следовательно, для различных значений показателя п будем иметь:
tp dx — ух |/1 — х2 — 1,
tp3 dx ~ у2х -j- 2ф |/1 — х2, — 2 • 1х,
tp3 dx — tp3j? + З?21/1 -- х2 — 3 • 2срж — 3*2-1 |/~ 1 — х2 4- 6
и т. д.
Эти интегралы определены так, чтобы они исчезали при
ПОЯСНЕНИЕ
241. Если X dх = и dх = dy, то интеграл выражения уп dy есть
z^pj?n+1; равным образом, если Ф — какая-либо функция угла «р, то ин-
тегрирование выражения Фгг dx = Ф dy не представляет никакой трудно-
сти. Гораздо большее значение имеют выражения, содержащие синусы,
косинусы и тангенсы углов, интегрирование которых имеет широчайшее
применение во всем Анализе, так как в особенности задачи теоретиче-
ской астрономии приводятся к такого рода выражениям. Первоначальные
же основы должны быть получены из дифференциального исчисления.
Так как
d sin пу == п dy cos пу,
— ndy
d etg пу = ,
° ‘ Sin2 пу
d cos пу ~ — n dy sin ny,
& 1 _ — ndy cos ny
sin ny ~~ sin2 ny ’
7 . ndy
dtgny= — ,
° r cos2 ny
1 _ n dy sin ny
cos2 ny
d
cos ЯСС
x) Dummodo... haec integralia continue sumere liceat.
124
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
мы получим отсюда следующие элементарные интегрирования:
г 1 Г 1
\ dy cos т?.ср = -- sin лг<р, \ dy sin no = —- cos ny,
C dw 1 . C dw 1
\---J— = tffn®, \ =------CtgTZ©,
J cos2 nep n ° r J Sirr ПФ П ° ‘
f dy cos nep 1 C cfcpsinnep_ 1
J sin2 nep nsil^nep’ J COS2 nep n COS nep ’
а из них вытекает сразу же интегрирование дифференциальных выраже-
ний следующего вида:
dy (Л ф-В cosep -ф С cos 2у -фD cos Зср ф-Е cos 4ср ф- и т. д.),
так как интеграл, очевидно, равен
111
Ау ф- В sin ср 4- у С sin 2у ф- у D sin Зср ~^Е sin 4ер и т. д.
Далее следует привлечь на помощь те [формулы] сочетания углов,
которые излагаются в элементарной математике, а именно:
sin a- sin [3 = cos (а — Р) — у cos (а ф- [3),
1 1
cos а • cos ? — у cos (а — [3) ф- у cos (а ф-13) ,
sin а - cos р = у sin (а + 8) -|- у sin (а —13),
= у sin (а + Р) — у sin (р — а).
Исходя из них, можно произведения нескольких синусов и косинусов
разложить на простые синусы или косинусы.
ЗАДАЧА 25
242. Найти интеграл выражения1) dysinny.
РЕШЕНИЕ
Представим это выражение разложенным на два множителя:
sinn-1p-dp sinep. Так как dy sin ср = —cosp, то
dy sinn© — — sin11'1 ср cosp ф- (п — 1) dy sin11'2<р cos2©.
Отсюда в силу cos2 ср ==1 — sin2 ср будем иметь:
dy sinn© = — sinri-1 <? cos <? 4- (/г — 1) dy sin71'2 <? — (п - 1) d<psmn cp.
Так как в этом уравнении последнее выражение подобно предложенному,
то отсюда получается такое приведение:
dep sinTi ср = - у sin71'1© cos ср ф- dy sinn"2
J) Эйлер пишет: sin-cpn, cos-efA
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
125
и наше интегрирование приводится к более простому выражению:
dy sinn~2 ©. Но так как самые простые случаи
pepsin0 ср = ср и dy sin ср =— cosep
известны, то тем самым подготовляется путь ко все большим и большим
показателям:
dy sin0 ср = ер,
dy sin ср = - cosep,
\ dy Sin2 cp= — у Sin ср cos ср hycp,
Г 7 . О 1 . 2 2
\ dy Sir cp - sin2 у COS у — cos Cp,
Joo*
Г7 - 4 1.3 1-3 . .1.3
\ dy sin4 cp = - у snrep cosep — — sm cp cosep + ep,
r , . , I.4 1*4 . 2 2-4
*\ acp Sin^ep = ySin4 ep cosep- .Sirrep COS -—COSO,
J * О о- Э о • о ‘
С , . ft • I., 1-5.3 1*3-5 . . 1-3-5
\ dy sm6 ер = — — Sin. ср COS ср — - — sind ср COS ср — sin Ф COS ср + гт-7—А Ф
J ‘ * о ‘ 4-о ‘ * 2-4*0 1 1 2-4-0 ‘
И т. д.
СЛЕДСТВИЕ 1
243. Всякий раз, когда п — нечетное число, интеграл выражается
только через синус и косинус; если же п- четное число, то интеграл,
кроме того, содержит и самый угол и является поэтому трансцендентной
функцией.
СЛЕДСТВИЕ 2
244. Поэтому в тех случаях, когда л -нечетное число, необходимо
прежде всего отметить, что если даже угол или дуга ср возрастает до
бесконечности, интеграл все же не может возрасти далее определенного
предела, тогда как если /г —четное число, интеграл возрастает до беско-
нечности.
ПОЯСНЕНИЕ
245. Таким же образом следует поступать с выражением c/epcosncp;
будучи разложено на множители cosn-1 <р • с/ср cosep, оно дает
dy cosn ср = cosn-1 ср sin ер -j- (n — 1) dy cos71-2 у sin2 ср
= cos71”1 cp sin ср 4- (n — 1) \ dy cosn“2<p — (rt — 1) \ dy cos71 cp.
Так как последнее выражение подобно предложенному, отсюда полу-
чается:
dy cosn <р = у sin ср cos71-1 ср Д- С dy cosn~2 ср.
126
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Так как в случаях п = 0 и п= 1 интегрирование очевидно, то ясно,
как последовательно переходить ко все более высоким степеням:
cZpcos°p —р,
rfpcosp — sin р,
\ apcos4p = y smpcosp + yp,
\ d'p cos3р = -i sin р cos2 р + -у sin р,
J о о
С , 4 1 . о , 1.3 . , 1-3
\ ар cos4 р — ~ sinp cosd<p + ^y sin р cos р ф^-^р, ’
С 1 1.4 2.4
\ rfp cos5 р = ~ sin <р cos4p + sin ср cos2 ср-J-sinp,
J О о»и о * и
Г , e 1 - - , 1-5 . » 1-3-5 . . 1-3-5
\ a® cos”® = -7Гsin ® cos® ~l„ sin® cosJ®-|-., .-g sin® cos® + о .-б®
J ‘ ‘ 6 ‘ ‘ 4b ‘ ‘ 2-4-b 1 * 2.4-b*
И т. Д.
ЗАДАЧА 26
246. Найти интеграл выражения d'p sinm p cosn p.
РЕШЕНИЕ
Чтобы легче выполнить это, рассмотрим произведение sin*1 р cos7 р,
дифференциал которого есть
р- d'p sin*1"1 р cos7+1 (р — v d'p sin*1-1-1 р cos7"1 р.
Теперь, смотря по тому, будем ли мы подставлять в первый член
cos2= I sin2или во второй sin3p = 1 --- cos2p, получается либо
d (sin*1 'р cos7 'р) — -j- p,dtp sin*1"1 p cos7"1 p --- (p v) d'p sin*1-1-1 p cos7"1 p.
либо
d (sin*1 p cos7 p) = — v d'p sin*11 p cos7"1 p -J- (p -j- v) d'p sin*1"1 p cos7+1 p.
Отсюда получаем два приведения:
I. \ d'p sin*14'1 р cos7"1 р — — jTZp; sintl ? c°sv p+ d'p sin*1"1 pcos7"1 p.
c i г
IIД d'p sin*1-1 p cos741 p = sin*1 pcos7p j sin*1-1 p cos7"1 p.
Поэтому предложенное выражение d'p sinmpcosnp последовательно
приводится ко все более простым степеням как sin р, так и cos р до тех
пор, пока одна [из этих функций] или совсем исчезнет или останется
в простейшем виде; в последнем случае интегрирование само собой
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
127
очевидно, так как
1 С 1
t/p sinm<pcos<p = + ^yl й^пП1+1<? и \ dy sin<p cosn<p= — cosn+1cp.
ПРИМЕР
247. Найти интеграл выражения dy sin8 <р cos7 ср.
С помощью первого приведения при о- = 7 и v 8 получаем:
dy sin8<p cos7<p = “ Ys sin7 ? cos8<p + ~ dy sin6<p cos7<p.
Это выражение преобразуем с помощью второго приведения
t/<psin6<pcos7<p = ^sin7<pco,s6<p + ^ dy sin6<p cos5<p
и таким образом будем продвигаться все дальше:
С 1 5 С
\ dy sin6<pcos5<p = — pj-sin5<pcos6<p +jy \ dy sin4<pcos5<p,
\ dy sin4 cp cos°<p = -g- sin5 <pcos4<p у \ dy sin4<p cos3<p,
dy sin4<pcos3<p = — у sin3<p cos4<p + y dy sin2cp cos3cp,
dy sin2<p cos3 <p == у sin3<p cos2 ? + у dy sin2 <p cos <p,
\ dy sin2<pcos(p = —у sin<pcos2<p -|- у \ dy cos<p + у sin<p \
Отсюда получается интеграл предложенного выражения
С 1 1-7
\ dy sin8 ср cos7 <р = — sin7 ср cos8 <р -|- sin7 ср cos6 <р
1 13 13-13
1-7-6 .г в 1-7-6-5 . 5 4 1-7-6-5-4 ,3 4
- 15ЛЗЛТ sinJ ? cos’ ? + 15.13.n.9 sin5 ср cos* ? -151311-97 Sin’ ср COS* ?
1.7-6- 5-4-3 . , „ 1-7.6-5.4-3-2 . „ , 1.7-6-5-4-3-2 .
+ 15.13-ll-9-7.5Sin 'Р C0S 'Р “ 1^1-Г1Г9^5Г38тСР C0S ? + 15.13-11-9-7.5.3 8Ш
ПОЯСНЕНИЕ
248. Но всегда, когда встречаются такие случаи, лучше произведе-
ние sinm<pcosncp разлагать на синусы или косинусы кратных углов,
после чего отдельные слагаемые интегрируются без всякого труда.
Кстати, я здесь [лишь] ради краткости обозначил угол просто буквой <р,
и общность нисколько не увеличится, если выразить его через а<р + Р,
так же как [употребленное] прежде выражение arcsin я имеет столь же
128
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
широкий смысл, как если бы вместо х была написана какая угодно
функциях).
Рассмотрим теперь такие выражения, в которых синус или косинус
находятся в знаменателе; простейшие из них:
I И щ ср cos ср с?<р sin ср
sin ср * ’ cos ср * ' sin ср * * cos ср
Интегралы этих выражений надлежит узнать прежде всего. К первому
выражению применим следующие преобразования:
с?ср с?ср sin ср с?ср sin ср — dx . ч
—= —.—2—1 — -2 (полагаем cos© = ж), откуда
sinep sin2 ср 1 — cos2 ср 1—х2 4 г /’
1^1 + ^ 1^1 + cos Ср
} sin ср 2 1— х~ 2 1 —cosep ’
ко второму
С?ср с?ср COS Ср С?ср cos Ср dx , . .
—т— = -I——- = — ---- (полагаем sm© = я); следовательно,
COSCp COS"ср 1 — Sin2 ср 1—X2 4 г /’
С с?ср 1 j 1 -р я 1^1 + sin ср
J cos ср ~2 1—х 2 1 — sin ср
Интегрирование третьего и четвертого выражений, очевидно, выполняется
посредством логарифмов.
Таким
I.
образом, надо будет хорошо заметить следующие интегралы:
d<f = _ А/ 1-1- cos ф _ , /1 —cosy = _
sin у 2 1 —cosy уГ+cosy ё 2
II.
1 /l+sin<P = zKl+sinJP^z Г
J cosep 2 1— Sill <р )/1 — sin ер Ч
хр cosep = z g. _ С d^_ _ С ср
Sin ср т J tg Ср 3го
- slQCf> = — I cos <р = \ dxplgtp.
cosep г J
Отсюда следует III + IV2):
Г с?ср , sin ср ,
\ —------1--= I-----1 = I tg 9
J Sin СР COS Ср COS ср ° 1
ЗАДАЧА 27
.А//ЧГГ.. - с?ср sin™ ср rfcp cos™ ср
249. Наиши интегралы выражении cosyi^ и sin”?
РЕШЕНИЕ
Прежде всего сразу же видно, что каждое из этих двух выражений
преобразуется в другое, если положить <р = 90° — ф, так как при этом
получается sin<p~cosd), a cos о ~ sin Ф и, заметим к тому же, dtp ——б/ф.
9 Nihiloque res foret general!or, si per + exprimeretur, quaemadmodum
etiam ante haec expressio Ang.sinz aeque late patet, ac si loco x functio quaecunqe
scribcretur. Видимо, Эйлер хочет сказать, что какая-либо замена переменной (на-
пример, ? — acpi + p), произведенная в одной из формул интегрирования, не расши-
рила бы круга элементарно интегрируемых функций.
2) To-есть складывая равенства III и IV.
ГЛ. V/ВЫРАЖЕНИЯ, содержащие углы ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
129
Поэтому достаточно заняться только первым выражением. Применение
первого из данных в § 246 приведений, если взять 1— — п,
дает
С dcp sinm ср 1 sin"1”1 ср т — 1 С с?ср sin* * 7 В *"-2 ср
j cos71 ср т — п cos"”1 ср ' т — п j cos" ср *
sin <р в
концов
при этом показатель количества
шается на два, так что в конце
sin ср _________________1______
)S" ср (п — 1) COS"”1 ср 7
выражением cos^ * Второе же приведение,
если принять р - 1 == m и v — 1~- п, дает
либо к
поэтому
числителе всякий раз умень-
придем либо к
остается
мы
нам
данное
d ср
COSп ср ’
заняться только
там же (§ 246),
rZcp sinm ср __ 1 sinm+1 ср п— 1 С с?ср sin"1 ср
cos"”2 ср m — n + 2 cos"”1 ср т—п + 2 J cos" ср ’
откуда получается:
dcp sin1" ср 1 sinm+1cp т — п + 2 С с?ср sin7" ср
cos" ср п — 1 cos"”1 ср п— 1 j cos"”2 ср
При помощи этого приведения показатель количества cos<p в знамена-
теле всякий раз уменьшается на два, так что, наконец, мы придем или
к d<psinm<p, или к ’ Интегрирование первого из этих выра-
жений показано уже выше, второе же выражение, если ттг > 1, при
помощи первого приведения преобразуется в конце концов либо
С с?ср g* С dw sin со
к \ —, либо к \ —---------L: но интеграл первого из этих выражении
J cos ср J cos ср г г г
равен I tg ^45° + 4~?^) » а второго - - Zcoscp.
СЛЕДСТВИЕ 1
250. Первое приведение не имеет места, когда т — в этом случае
С c?cp sin" ср г с?ср sin"”2 ср „
выражение cos" ср нельзя привести к выражению \ —1 - Вто-
рым же приведением можно пользоваться всегда; правда, при этом
исключается случай п=1, но тогда интегрирование может быть осуще-
ствлено при помощи первого приведения.
СЛЕДСТВИЕ 2
251. Основой первого исключения является то,
rfcpsin"”acp
cos" ср интегрируемо полностью1) и имеет интеграл
что выражение
— 1 sin"-1 ср
n—1 cos"-1 ср
г) Est absolute integrabilis, Формула I § 426, из которой получена первая
формула приведения § 249, была выведена из соотношения
d (sin11 ср cos7 ср) —[л dcp sin11”-1 ср cos7”1- ср — (р. + v) dcp sin11^1 ср cos7”1 ?•
В случае ^ + у=0 (т. е. при ш = п—2) уже одно первое слагаемое правой части дает
дифференциал функции sin11 ср cos7 ср и в этом смысле «интегрируемо полностью».
При обозначениях настоящего параграфа в рассматриваемом случае получается
формула
( sin"”1 ср sin"”2 ср
d -----) = (Л — 1) с?ср ---------1 .
cos" 1 ср J v 7 т COS ср
130
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Стало быть, имеем в этих случаях
С с?9 sin ср
\ —V- =------1 = tg ср,
J COS2 ср COS ср ° т
С с?ср sin2 ср 1 sin3 ср 1 3
J COS4 ср 3 COS3 Ср 3 g
dy sin ср __ 1 sin2 ср _ Г 3
cos3 ср 2 cos2 ср 2 &
с?ср sin3 ср __ 1 sin4 ср 1 4
cos5 ср 4 cos4 ср 4 ® <Р*
ПРИМЕР 1
252. Найти интеграл выражения
Первое приведение дает
с?ср sinm ср
COS ср
in-!
cos ср т— 1
с?ср sin™~2 ср
cos ср
Отсюда, начиная со случаев, которые известны сами по себе, имеем:
£ —= Ztg<45° + |<p') ,
j cos ср 6 \ 1 2 т J
С с?ср sin ср , ,
\ _l------_т_._ — /cos9 — /sec 9,
j COS ср т т
С с?ср sin2cp . , С с?ср
\ = -S1I1 О - - \ - - ,
J COS ср т J COS ср
С С?ср sin3 ср 1 • 2 t 7
\ —-------— — .—sin2 ср 4* I sec о,
J cos ср 2 т 1 r
f c?cp sin4cp 1 . о . । f dec
\ —1------— = —rsiiro — sin cp 4- \ —,
J COS Cp 3 T r J COS Cp
C C?9Sin5Cp 1 . . 1-9 I ?
\ —-------— =------r sin4 9 —ft sin2 9 -H sec 9,
J cos cp 4 T 2 T T
C c?cp sin6 9 1 . к 1 . о . . С c?cp
\ —-------—-sin&9 — -x-smJ9 — 8Ш94- \ —- ,
j cos cp 5 T 3 T T J cos cp
C c?9 sin7 9 1 « л 1 • 4 1 . n . /
\ —-------— = —- sin6 о —T sin4 9 — — sin2 9 4-1 sec 9
J cos 9 6 * 4 T 2 T 1 r
и T. Д.
ПОЯСНЕНИЕ
253. Для остальных случаев знаменателя все дело сводится к следую-
щим приведениям:
С с?9 sinm 9 sinm+1 с₽ С / • m
\ -1—5—" =---------- — т \ at? sm™ 9,
j cos2 9 cos 9 j T т
с?9 sinm 9 _ 1 sinm+1 9 т — 1 С sinm 9
cos3 9 ~ 2 cos2 9 2 J cos 9
c?9sinm9__ 1 sinm+19 m — 2 Г d^ sinm 9
cos4 9 3 cos3 9 3 j cos2 9
c?9 sin171 9 _ 1 sinm+19 m — 3 Г d^ sinw 9
cos5 9 ~ 4 cos4 9 4 J cos3 9
и T. Д.
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
*31
ПРИМЕР 2
254. Найти интеграл выражения -
Второе приведение в силу т = 0 принимает вид:
С (Zcp 1 sin ] п — 2 С (Zcp
J COSn ср п — 1 COS11'1 ср ’*'/1—1 J COSn“2Cp ’
так как простейшие случаи
= и 5с-^ = а?(45° + 1'Р)
уже известны, то к ним можно преобразовать и все следующие: Г (Zcp _ sin ср \ COS2 Ср COS Ср ’ С (Zcp 1 sin ср 1 Г (Zcp J COS3 ср 2 COS2 ср * 2 J cosep ’ С dy 1 sin ср 2 sin ср J COS4 Ср — 3 ’ COS3 ср 1 3 cosep ’ С (Zcp _ 1 sin ср ,1-3 sin ср । 1'3 С (Zcp j cos5 ср 4 cos4ср 2-4 sin2 ср 2-4 J cosep ’ f (Zcp 1 sin cp .1*4 sinep 2-4 sin cp J COS6 cp 5 COS5 Cp 3-5 COS3 Ср Г 3-5 cosep
И Т. д.
СЛЕДСТВИЕ 1
255.
Подобным образом
получим такие интегрирования:
dy
sin ср
7, 1
= Ztg-2 <р,
(Zcp
sin2 <р
COS Ср
sin ср ’
(Zcp __ 1 COS Ср . 1 C (Zcp
sin3 ср 2 sin2 ср ~r 2 j sin cp ’
(Zcp _______ 1 cos cp 2 cos cp
sin4 cp 3 sin3 cp 3 sin cp ’
fltcp _ 1 cosep 1-3 cosep ( 1-3 £ dy
sin-5 cp 4 sin4 cp 2-4* sin2 cp ^2-4 J sinep
и т» д.
СЛЕДСТВИЕ 2
256. Затем имеем:
£ (Zcp sin ср_ 1 1
' cos" cp n — 1 Cos-^cp
и
(Zcp COS <p l 1
sin" cp ~ n — 1 sin“4<p
Далее,
(Zcp sin2 ср Г (Zcp Г dy C (Zcp cos2 cp _____________________ C (Zcp C £Z<^
cos" cp j cos" cp J cos cp J J sin 'cp “ j sin"-cp J зф!,~?|Я>
9*
132
QB ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
и
Г rfcp sin3 ср _ f rfcp sin ср Г dcp sin ср Г rfcp cos3 <p C cos ср Г rfcp cos ср
J cosn<p j cosncp j cosn“2cp ’ j sinncp J sinncp J sin7^2 cp *
При помощи этих приведений можно беспрестанно подвигаться дальше
ЗАДАЧА 28
257. Найти интеграл выражения ^ogTl *
РЕШЕНИЕ
Для этого случая можно приспособить приведения, примененные
выше, взяв в предыдущей задаче т с отрицательным знаком; тогда
С dcp _ 1 1 j m 4-1 С ________с?ср_____
J sinm ср cosn ср ’ т 4- п sinm+1 ср cos п~1 ср т 4- п j sinm+2 ср cosn ср ’
если вместо т написать т — 2, то отсюда после обращения1) получится:
Г с?ср _ 1 1 zn 4- п — 2 С с?ср
j sinm ср cos" ср т — 1 sinm'1 ср cosn-1 ср ' т — 1 J sinm“a ср cosn ср
Второе приведение, подобное этому, имеет вид:
С (2ср _________ 1 1 ,т4-« — 2 С с?ср
J sinm ср cosn ср п— 1 sin771'1 cpcos71'1 ср п— 1 j sinm ср cosn“2 ср
Из формул этого рода простейшими являются
(А—— = —— = ^tg ^45° + -^-ср V .--------^/tgcp,
С __^L_ __ _ ctg V = tg ср,
J Sin2 Ср ° г J COS2 Ср &
из них можно получить более сложные:
С rfcp __ 1 j С rfcp
J sin ср cos2 ср ~~ cos ср ~r J sin cp ’
c • * i c
J sin2 cp cos cp sin cp ‘ j cos cp ’
A i , V
3 cos3 cp T J sin cp cos2 cp ’
. _____ = _ 1. _L_ + C
j sin4cpcoscp 3 sin3cp 1 J sin2 cp cos cp ’
\ = 1 1 I
J sin cp cos6 cp 5 cos5 cp ”r
C dcp______________1 1 _________
j sin6 cp cos cp 5 sin5 cp ) sin4 cp cos cp ’
C rfcp _ 1 1 . C rfcp
J sincpcos3cp 2 cos2 cp ~ j sincpcoscp T
C rfcp _ 1
J sin3 cp cos cp 2 sin2 cp
Г dcp _ 1 1
j sin cp cos5 cp 4 cos4 cp J sin cp cos3 cp
4) To есть если выразить второй интеграл чзрез первый.
Ср COS4 Ср
rfcp
Ср COS4 Ср
Ср COS Ср ’
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
533
sin5 ср cos ср
dcp
sin ср cos7 ср
dcp
sin7 ср cos ср
i i , С
4 sin4 ср ‘ j sin3 ср cos ср
I 1 ,с
6 cos6 ср ‘ j sin ср cos5 ср *
----1---1---L V ------------
6 sin6 ср j sin5 ср cos ср
И Т. д.
d4 = 1 I 2 V —=_____________________________1_______L 2 f
sin2 ср cos2 ср sin ср cos ср j sin2 ср sin ср cos ср ‘ J cos2 ср ?
С rfcp ______________ 1 1 . 4 С dcp
j sin2 ср cos4 ср 3 sin ср cos3 ср 3 j sin2 ср cos2 ср ’
С ctcp ______________ 1 1 4 Г ctcp
J sin4 ср cos2 ср 3 sin3 ср cos ср 3 j sin2 ср cos2 <$>
Таким образом, сколь угодно сложные выражения приводятся
к простым, которые легко интегрировать.
СЛЕДСТВИЕ 1
258. Оба показателя: при sin у и при costp, можно одновременно
уменьшить на двойку; действительно, по первому приведению [§ 257]
С rfcp ________ 1 1 jxH-v—2 Г </ср
J sin11 ср cosv cd Р- 1 sin11”1 ср cosv“1 ср И— 1 J sin11—2 ср cosv ср
после чего это выражение по второму приведению при т = р — 2 й п = >
дает
Г с?ср ____________ 1 1 . j р + —4 С dy
j sin11—2 ср cosv ср v 1 siпи“3 ср cosv'—1 ср 1 j sin11—2 ср cosv~~2 ср
откуда заключаем:
Г dy ___________ 1 1 . h + v—2 1
3 sin11 ср cosv ср Р- 1 sin11”1 ср cosv~1 ср (l1—1) (v — 1) sin11”3 ср cosv~1cp
(p- +у —2) (u- + v- -4) C___dcp______
0 1) (v 1) J sin11—2 cp cosv“2 cp
СЛЕДСТВИЕ 2
259. Приведя первые два члена к общему знаменателю, получим:
Г dy ___________ (fx— 1) sin2 ср — (v — 1) cos2 ср
J sin11 cp cosv ср (p.— 1) (v— 1) sin11—1 cp cos'7-1 cp
। (p- + ^ —2) Qx + v—4) Г______dy .
(P- 1) (v 1) J sin11—2 cp cbsv“2 cp
этим приведением можно пользоваться для сокращения вычислений
всегда, исключая случаи р, = 1 или v = l.
ПОЯСНЕНИЕ
260. Выражения вида g. дГП eos^~cp можно привести к более простым
также и следующим весьма удобным способом: надо умножить числи*-
134
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
тель на sin2<p-|-cos2<p= 1, после чего получим:
С dy __ С б?с₽ . С dy_____________
j sinm ср cosn ср j sinm“2 ср cos’1 ср j sinm ср cosn“3 ср
Это можно продолжать до тех пор, пока в знаменателе останется
только единственная степень. Так, например,
dy
sin ср cos ср
б?ср
sin2 cd cos2 ср
С с?ср sin ср
J COS Ср
rfcp cos ср __ ^sin ср
sin ср cos ср ’
с?ср Г rfcp __ sin ср
sin2 ср г J cos2 ср ~~ cos ср
cos ср
sin ср
Если же предложено выражение ^пп ^cos^V’ Т° можно исполь-
зовать формулу sin у cos ? = у sin 2у, откуда, полагая ю = 2р, будем иметь:
_2_2rfcL а 271-1 d<a
sinn2cp " J sin71 ш ’
а это выражение решается согласно данным выше указаниям. При при-
менении этих вспомогательных приемов к выражению dy sinm у cosn у
ничего больше не требуется, если только т и п.— целые числа, поло-
жительные или отрицательные. Если же они являются дробными числами,
то не встречается необходимости давать какие-либо наставления, так
как случай, в которых интегрирование удается, выявляются сами собой,
а каким образом интегралы, которые нельзя взять, выражаются при
помощи рядов, мы изложим подробнее в следующей главе.
Теперь же мы перейдем к рассмотрению дробных выражений,
у которых знаменатель есть a ±-bcosy или степень этого выражения;
такие выражения встречаются очень часто в теоретической астрономии.
ЗАДАЧА 29
261 Отыскать интеграл дифференциального выражения
dy
a~\~b cos ср
РЕШЕНИЕ
Самый удобный способ нахождения этого интеграла—это привести
f________________________________________________________'Х2
предложенное выражение к обычному виду, полагая cosф = , так
2х
что получится в рациональном виде sin ср — , а отсюда dycosy----
2dx(l—??) 7 2 dx гр
== ~(1 -4-’ И следовательно’ = Т+х2 ’ ^аК КаК
. , а + Ъ + (а — Ь)х2
а + b cos ъ ——. ; о ~ ,
1 1 1 + X-
то наше выражение получит вид
с?ср _________________________ 2 dx
ayb cos ср а + Ъ + (а — Ь) х2 1
это дает либо угол, либо логарифм, смотря по тому, будет ли а > Ь
или а <• Ь:
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
135
В случае а > b найдем:
f d* = - 2 arctg
J а 4-& cos ср у а2 — Ь2 ё )/а2 — Ь2 ’
в случае же а < Ъ
С rfcp ______ 1 — а2-\-х(Ъ— а)
J а 4-6 cos ср “ у ь^а2 УЬ^а2-х(Ь-а) *
Но
1/ 1 — cos cp . 1 sm cp
x= I/ г------ = t g-г-ф =~;
r 14- cos cp ° 2 T 14- cos cp
эту подстановку, имеем:
(a-b)x _ 2z/a2-62_
- g a + b-(a-b) x*
сделав
2 arctg
__ 2 sin ср У а2 — Ь2 _ sin срУ оа —&а
— агс ё (а ц cos — (а—(1 — cos агс ё а cos ср 4- Ь
Поэтому для случая а > b получим:
\ d<f = 1 arete
J a 4- b cos ср У a2_b2 ° a cos ? + & 1
ИЛИ
t/cp 1 . sin ср у a2 —
—arcsin--------'---
a 4- b cosep у a2_b2 u 4-6 cos cp
или
C rfcp 1 a cos cp 4- b
\ ....._i----— - arccos—-----------,
J a 4-6 cosep у a2 i)2 a+ & cosep
а для случая a < b
f 1 / У& + a (1 4-cos cp) 4-У& — a (1 — cosep)
J a4-&cos^p " уb2 — a2 УТ^а (1 4- cos cp) — (1 — cos cp) ’
или
t/cp
a 4- b cos cp
1 a cos cp 4- b 4-.sin cp Уб2— a2
У b2 — a2 a 4-5 cosep
Я7 1 1
В случае же & = а интеграл равен— =<p, откуда
f — f о. sin ср
j 14- cos ср ° 2 ~~ 14- cos ср
Эти интегралы исчезают при ср = 0.
СЛЕДСТВИЕ 1
тт t/cp sin ср —d COS ср
262. Для выражения —г-т—— = —~г-----------интеграл, взятый так,
г а 4- b cos ср а 4- b cos ср
чтобы он исчезал при ф = 0, равен ^-1—a—; таким образом, имеем:
г т г Ь а 4- b cos ср
dy sin ср ____ i £ a-\-b
a4-£ cos ср b a 4-& cosep
136
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
263. Что касается выражения
dy cos ср
а + b cos ср ’
то оно преобразуется
в & fr egg <0 i значит, интеграл может быть выражен через реше-
ние задачи [29]:
cZcp cos ср _____ ср а Г с£ср
а + b cos ср b b J а + b cos ср
ПОЯСНЕНИЕ 1
264. После того как это интегрирование выполнено, можно найти
С?ср
также интеграл выражения со~р ’ где я— целое число; невидимому,
удобнее всего получается, как кажется, вид интеграла при таком
предположении х);
С dy = Л sin ср , Г rfcp
J (а + b cos ср)2 а + b cos ср 1 J а + b cos ср ’
откуда находим:
= (Л + В cos ср) sin ср С аср
(а + b cos ср)2 ' \ (а + b cos ср)2
Л -- 2 .о , TYI -- 2 то •
dy
(a-y-b cos ср)3
откуда находим:
д —b „ _ —Ь2 __ 2а2 + &2
Л ~ а2—Ъ2 ’ В ~ 2а (а2 —Ь2) ’ т ~ 2а(а2 — №) '
Таким же образом можно продолжать исследование, переходя ко все
более высоким степеням,—работа, конечно, довольно скучная.
Но задача может быть разрешена с большой легкостью следующим
образом. Рассмотрим более общее выражение и положим
V dy(f + g cos ср) _ Л sin ср Г dy(B + C cos ср)
J (а + b cos cp)n+1 (а + b cos у)п j (a -f- b cos ср)п
Взяв дифференциалы, получим такое уравнение:
fA~g cos <р = A cos (а + Ъ cos <р) + nA b sin2 <р + (В + С cos ср) (а + b cos <р).
Так как sin2cp = 1 — cos2<p, оно принимает такой вид:
— / — g cos ср + Ab cos2 ср 1
+ пАЪ-у Аа cos<p— nAb cos2 <р
+ Ва + ВЪ cos ср + Cb cos2 ср (
+ Са cos ср )
т) Quod fingendo integralis forma commodissime praestari videLur.
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
137
откуда, приравняв каждый член нулю, находим:
ag—bf K~af~bg Г _ ^ — ^(ag—bfi
Л n(a2~-62) ’ а2 —62 ’ п(а2 —62)
В итоге получается такое приведение:
cfo (/ + g cos ср)
(а + Ъ cos cp)n+1
(ag—6/) sin ср 1
n (a2 — b2) (a + b cos cp)n *” n (a2—b2)
(” (a/ —6g) + (” —1) (ag—bf) cos cp)
(a + 6 cos cp)n
G помощью этого приведения дойдем, наконец, до выражения
С rfcp (h + к cos ср) к , bh — ак Г tfcp
J а + b cos ср r bT b J а + 6 cos ср
известен из сказанного выше. Ясно, однако, что всегда будет
ПОЯСНЕНИЕ 2
265. Встречаются также такие выражения, в которые входит еще
вдобавок показательное количество е®*, содержащее угол ср в показателе.
Представляется желательным показать, как надлежит поступать с та-
кими выражениями, так как на этом получит наилучшес освещение
изложенный выше метод приведений. Дело в том, что с помощью выше-
указанного приведения мы здесь приходим к выражению, сходному
с предложенным, откуда можно получить и самый интеграл. G этой
целью заметим, что еасР dtp = у еа?.
ЗАДАЧА 30
266. Найти интеграл дифференциального выражения
dy = еа(? dcpsinn <р.
РЕШЕНИЕ
Приняв еа? за дифференциальный множитель, получим:
У ~ *4е<ХС? 8*пП ? ~ ~ е<Х!₽ sin11'1 ср cos ср;
таким же образом найдем:
еа? d<p sin11"1 ср cos ср
1 IP
= — еасР sin" 1 ср cos ср — — \ еа(Р dp ((п — 1) sin71*2 ср cos2 <р—sinn tp)r
а так как cos2 ср = 1—sin2 ср, последнее выражение приводится к сле-
дующему:
(п—1) еасРdtp sinn~2ср — п е°"Рdtp sinnср,
откуда имеем:
ea<Pdtpsinntp
=»ува<Р s*n” —с^еа<₽ 9 cos eOt? sin71”2 ср—~ dtp sinn ср.
138
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Поэтому, если соединить последнее выражение с первым, получится:
Г j . п sin71'1 ср (a sin ср — п cos ср) . п(п — 1) С . п_9
easin’1? =--------------^24^-----+ \ e^sm""2?.
Очевидно, в двух случаях интеграл получается в законченном виде,
именно при п —О и n —1, причем1)
Г . 1 1 С j (a sin ср — cosep) . 1
\ еа<₽ cto — — еаср- и \ cfo sin ср —--------5-^----—- + -2 . .
J т а а J тт а2 + 1 1 а2 + 1
а к этим интегралам приводятся все следующие, в которых п есть
целое число, большее единицы.
СЛЕДСТВИЕ 1
267. Так, если /г = 2, мы получаем такое интегрирование:
f , .9 еаср sin ср (a sin ср — 2 cos ср) . 1-2 1-2
\ cfo sin2ср =------2 - ;---------+ —г 2 . .. еа<?--------------. a . ..;
J т т а2 + 4 а (а2 + 4) а (а2 + 4)
если же /г = 3, —такое:
еа<₽ dep sin3 ср
__ sin2 ср (а sin ср —3 cos ср) ( 2-Зеа<р (а sin ср —cos ср) ( 2-3
" ?+"9 ’ (а2 +1) (а2 + 9) Г (а2 +Т) (а3+ 9) ’
причем интегралы взяты так, что они исчезают при ср = 0.
СЛЕДСТВИЕ 2
268. Если, определив таким образом интегралы, положим а<р= — со,
так, чтобы еа? исчезало, то получим, очевидно, общую формулу
dtp sin" <р = еа<р d<p sinn'2 ср,
а стало быть, интегралы для этого случая2) аср^ -оо будут
Г 1 С 1
\ еа? dep — — — , у eat? dtp sin ср ~ 4 ,
e^d<p sin2ср —
еа<₽ do sin3<р =
-1-2
а (а2 + 4) ’
1-2-3
(а2+1)(«2 + 9) ’
_ , - л _1-2-3-4
еа? аФ sin4 ф = , 2 , .2 ,
г г а (а2 4-4) Щ + 16)
1-2-3-4*5
sin5
Т (а2+1) (а2+ 9) (а2+ 25) ‘
х) В нижеследующих двух интегралах добавлены соответственно члены
1
и g2 1 с тем расчетом, чтобы каждый из этих интегралов обращался в
при ср —0.
2) В нынешних обозначениях
1
нуль
[П-2
С аФ , . п п(п— 1) Г
\ е *c?cpsinncp——\
) 1 а2 + n2 J
0 0
Предполагается, что а > 0. Аналогично для нижеследующих формул.
ГЛ. V. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ УГЛЫ ИЛИ СИНУСЫ УГЛОВ
t39
СЛЕДСТВИЕ 3
269. Поэтому, если будет предложен такой бесконечный ряд:
, 1-2 1-2-3-4 , 1-2-3-4-5-6
1+ а2+ 4 + (а2 + 4)(а2+16)'Г(а2 + 4)(а2+16)(а2 + 36) + И Т’ Д”
ТО
s а еа? dp (1-|-sin2 р + sin4 рsin6 ри т. д.)
или
Г еасР<Ар
$ = — а \ ----—L-
J COS4 Ср
где после интегрирования положено ар = — оо.
ЗАДАЧА 31
270. Отыскать интеграл дифференциального выражения еа? dp cos" р.
РЕШЕНИЕ
Поступая таким же образом, как и выше, получим:
ея? dp cosn <р = еа? cosn р + у ея? dp sin р cos"'1 р,
а затем
е“* dp sin р cos"'1 р
1 1
= — eat?sinp cosn хр —еосР dp (cosnp — (n — 1) cos^p sin3p).
Это последнее выражение переходит в
— (n —1) ea? dp cos"'2 рn еа? dp cos" р,
так что
ed(P dy cosn р
=—еа cos" р 4- ~~2еа? sin ? cos"'1 р + —~ бя cos"-2 <р — dp cosn р,
откуда получаем:
Г « ? n ea<? cos""1 р (a cos р 4-n sin р) , п (п — 1) С ,
\ еяс?dp cos"cd =-------, J -------—ь 2 , о \ eatpdp cos" 2p.
J T * a4 + zz2 a2 + zr J T T
Отсюда простейшие случаи:
f 7 1 C 7 eac? (a cos p + sin p) .
\ e^ d^^-^ e^ -г C, \ eacP dp cosp =x--------------—|- C.
К ним приводятся все последующие, в которых п — целое положитель-
ное число.
140
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
ПОЯСНЕНИЕ
271. Если разъяснены простейшие случаи, то открывается и другой
путь для нахождения интеграла предложенных выражений, а также
и следующего более общего ea<?dtp sinmp cosn<p. Действительно, так как
произведение sinm<pcosn<p можно разложить в сумму нескольких сину-
сов или косинусов, каждый из которых имеет вид М sinkp или
М coshp, то интегрирование сводится к интегрированию одного из двух
выражений: еа<? dtp sin Х<р или e^dtp coskp. Положим k<p = co; тогда будем
иметь:
] -СО 1 — со
e^dtp sin k<p = у eK da sin co и 'e^dtp cos = у dcocosco;
их интегралы на основании предыдущего таковы:
г(0 7 . Хе* (д sin со— X cos «>) Xea<f> (a sin Хес —X cos Лер)
ек d& S1H со =-------------g—г,----------------- — —=— -------Нт?------------~
д2 + X2 д2 + X2
Т, \е^ (д COS со 4- X sin со)
ек аю cosco — --—- —2-г^5----------
4" X2
Хеаср (а cos Хер -4- X sin Хер)
И+Х2~“
откуда, наконец, получаем:
г (д sin Хер — X cos Хер)
\ ea^dv sink<p = —-------г"'т>------
1 ‘ * дг4-Х^
С 7 > еа? (д cos Хф 4- X sin Хер)
cosл<р = - -~
Если бы я сразу же вместо sin<p и cos<p написал в общей формуле
sink<p и coskp, то не было бы нужды в последнем приведении; но так
как оно не представляет никакой трудности, то я отдал предпочтение
краткости.
О'
о
5
ГЛАВА VI
О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ,
РАСПОЛОЖЕННЫЕ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ
КРАТНЫХ УГЛОВ
ЗАДАЧА 32
272. Представить интеграл выражения в виде ряда, рас-
положенного по синусам кратных углов.
РЕШЕНИЕ
После того как обычным образом получено разложение в ряд
, 1 — = 1 — п cos<p + и2 cos2 — п3 cos3 ср 4-/г4 cos4 ср — ит. д.,
1 + п COS V Т т т т
степени косинуса обращаем в косинусы кратных углов при помощи
формул, данных во «Введении»1). Прежде всего для нечетных степеней
имеем:
COS ер = COS ср ,
COS3 ср = COS <р + COS Зер,
с 10 . а о . 1 р-
cos5 <р = Jg COS <Р + 16 cos 3<Р +16 cos 5<p,
, 35 21 q.7 r , 1
COS7 <p = COS <p + COS 3<p+~ COS 5<рф^ COS /ер,
9 126 , 84 о , 36 г , 9 _ , 1 n
C0S9 ? _ cos ? cos Зф + 256 cos 5? + 256 cos 7? + cos 9<p.
При этом надо заметить, что, вообще, если положить
cos2^1 ср = A cosep -р В cos Зф 4- С cos 5<р + D cos 7<р + Е cos 9ер + и т. д.,
то будем иметь:
4 _ 9 1’3-5 ... (2k- 1) 2 . 4К~"2
А " Z 2*4’6 ... 2k~ 22л“1 ’ 2 ' 3 * 4 К ’
В=Л^А, С=^В, D = ^c, А=^Дит. д.,
A т I -}-Z А -о А -4
х) «Введение в анализ бесконечно малых», т. I, гл. XIV, § 261.
142
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
а для четных степеней имеем:
COS°Q == Т,
COS2 ср = у + у cos 2<р,
4 3 . 4 9,1 /
cos4 ср — g- -f- -g- cos 2cp + у cos 4cp,
10 . 15 o . 6 . 1 a
cos6 «Р = 09 + Q9 cos 2<p + 7^7 cos 4p + XK COS 6cp,
cos8 ?=fi+ficos 2<p+ficos +ficos 6<p+ficos 8<p-
Вообще, если положить
cos2A tp = 21 -j- S3 cos 2(p -I- ® cos 4<p + Ф cos 6<p 4- ® cos &p 4- и т. д.
то будем иметь:
1-3-5 ... (2к—1) _ 1 6 10 14 4Х —2
Л 2-4-6 ... 2к ““а2*-1 * 2 ’ 3 * 4 * к ’
Я5=4гЛ> и т- д-
к + 1 X 4- 2 Л + 3 Л + 4
Если теперь подставить эти значения, то получится:
1
1 + п COS Ср
= 1 - - п COS ср 4- у гс2 cos2tp 1 3 - — nd cos 4 Зср + у ft4 cos ^cp — + /г5 cos 5<p -f- я т. /ц.
+4«2 3 3 4 П 4 +jni 5 5 — 75 ГГ 16 . 6 7 7 + 32 П ~^П
+lni 10 5 -16п . 15 в + 32W • 2i 7 64 n , 28 g 36 „ + 128П 296И
. 1° в + 32П 35 7 - 64 П , 56 8 +128 п 84 9 20b
. 35 8 -1“128П
Отсюда ясно, что если положить
-----—= А — В cos ф -к С cos 2ф — D cos Зр 4- A<cos4q— и т. д.г
1 + It COS Ср * *
то
^=i+4rt2+4w4+^nl!+ и т-д,)
или
. . 1 , . 1-3 . , 1-3-5 в . 1-3-5-7 я ,
Л=14уП ^"274^ + 2-4-6^ +2-4-6.Sn ’ И Т’ Д*
Таким образом, очевидно, что
А~ .
1 — я2
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 143
Точно так же
г? . 3 3 . 10 5 .
В = п-г +
И т. д.
1 2 1-3 А 1-3-5 в
~2П +У4П ' 2ХбП + “ Т‘
а следовательно,
Впрочем, и это
значение и следующие можно с меньшим трудом
определить следующим образом. Так как
1
1 + п COS р
= А — В cos р + С cos 2р - D cos Зр -|~ Е cos 4р — и т. д.,
то, помножив
это равенство на l-f-ncosp, в силу формулы
1' 1
cost? coskip = у COS (k — 1)р + у cos (k + 1) <р
получим:
1 = Л
— В cosp+ С cos 2р — D cos 3p + E cos 4p - и т. д.
+ An ~ у Bn
~y Bn + y Cn ~y Dn
Так как мы уже определили Л,
отсюда следующим образом:
2D — Сп
Е =-----
п
+ ~2
+ ^Еп
—Dn
то остальные
коэффициенты определяются
D___2С— Вп
п
п 2F — En
(j- =------
n
r 2В — 2 Ап
п
jj, 2Е—Dn
г =------ ,
п
И т. д.
Найдя же эти коэффициенты, уже легко
будем иметь:
тельно, так как
1 • 1
ysmkp, то
найти и интеграл. Действи-
\ — В sin <р 4- ~ С s in 2<р —
J 1 + п cos р 2 г 3
Этот ряд
валось.
расположен по синусам углов
1
D sin Зр 4- у Е sin 4р — и
р, 2р, Зр и т. д., что и
т. д.
требо-
СЛЕДСТВИЕ 1
место
Прежде всего ясно, что это разложение может иметь
том случае, когда число п меньше единицы; действительно,
273.
только в
если п>1, то каждый коэффициент окажется мнимымх). Если же п=1,
то в силу 1 + cos р = 2 cos3 у р будем иметь:
С с?р _______ С 2
J 1 + COS Ф 1
COS^ у р
1
у?-
1
' 4 Ибо все коэффициенты выражены через /Ь-— - .
/1 —п2
144
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
1 2/1 \
274. Мы имеем А = —= и В = — I — 11; остальные же
J/1 —п2 п \/1 — п2 /
коэффициенты С, D, Е и т. д. составляют такой рекуррентный ряд, что
если Р и (2-—два каких-либо смежных коэффициента, то следующий
2 2
за ними будет1) — Q—P, Так как корни уравнения z2 —— 1 равны
1 -Р у i_
---------, то любой член содержится в следующей формуле:
1 —
а
СЛЕДСТВИЕ 3
275. Но так как в нашем законе [следования коэффициентов] берется
не A, a 2А, то при Х = 0 должно получиться 2Л, а следовательно,
а 4- р = 2. ;
затем при к = 1 должно получиться
a + ft (а-Р)/Г^ = 2 —21/1 —п2
л *" л п
откуда
Следовательно,
2
]/ 1 — 71’2
а = 0 и В = 2 ,
1 Vi — ri1
Таким образом, любой член, кроме А, равен
2 /1 —/1 —п2У-
у 1 —га2 \ п /
СЛЕДСТВИЕ 4
276. В развернутом виде коэффициенты имеют такой вид:
л = -=L= ,
V \— п2
2) Так как C~^-B — 2At то рекуррентная формула будет справедлива, начиная
с коэффициента С, если через А обозначать половину свободного члена. Это и имеет
в виду Эйлер в начале следующего параграфа.
Исходя из рекуррентной формулы, Эйлер ниже получает общее выражение коэф-
фициента при cos kcp в разложении re^os' у П° косииУсам кратных дуг. Метод
получения этого общего выражения ^с помощью характеристического уравне-
ния з2—— z — изложен во «Введении в анализ», ч. I, § 224—227, стр. 2И—213.
n J
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 145
В — 2~~2
п рЛ — л2
с 4/1~^
Л2 У' i — п2
р _8- 6л2 —2(4 — л2)/1^2
п3 yf 1 — п2
Е — *6 —16п2 + 2л4 —2 (8 — 4zz2) /Г^2
л4уЧ— п2
,, 32 — 40л2 + Юл4 — 2 (16 —12л2 + л4) 1 —л2
г —---------------------------------,
л5 у 1 — л2
G _ 64 — 96л2 + 36л4 — 2л6 — 2 (32 — 32л2 + 6л4) ^1^2Л2
л6 У1 • - л2
И Т. Д.
СЛЕДСТВИЕ 5
277. Так как п <_ 1, то эти коэффициенты в большинстве случаев
легче определять при помощи рядов, найденных нами раньше, а именно:
Л Л , 1 2 ! 1-3 4 , i'3’5 в , 1-3-5-7
Л — 1 + 2п +2.4« + 2-4-6 п + 2-4-6-8
и т. д.,
c==4"2
/) = Г„з
4
F = + +
lb
2 .3-5 4 . 3‘5-7 6 , 3-5-7-9 8
4 + +б” + 47678П +УбТМ0П + И Т'
3-4 , , 3.4-5-6 . , 3-4-5-6-7-8 в .
Гб П -С-1+ П + 2-6-4-8-В-16 П +
4-5 2 . 4.5-6-7 , , 4-5-6-7-8-9 в
2-8П ~^2-8-4-10n "I"2-8-4-10-6-12”
5-6 , , 5-6-7-8 . , 5-6-7-8-9-10 в ,
2-io” +2-1674.12” +~2-10-4-12-6-14 ” "г И Т‘
6-7 2 6-7-8-Э , . 6-7-8-9-10-11 в ,
2-12” + 2-12-4-14” + 2-12-4-14-6-16 ” + И Т‘
и т.
lU
1+4
И т. д.
ПОЯСНЕНИЕ
278. При этих значениях имеем:
( -—= Лф — В sin ф -I- С sin 2<р 4" S4n Зф Ч- 4 Е sin 4ф — и т. д.,
j 1 + л cos <р 1 г 1 2 ' 3 Г14 г ’
в этом ряде нужно прежде всего обратить внимание на первый член Л^,
который с возрастанием угла <р должен непрерывно возрастать и при-
том до бесконечности, тогда как остальные члены будут то возрастать,
то убывать. Однако они не переходят определенной границы, так как
sin кер не может ни возрастать выше, чем 4-1, ни убывать ниже, чем
— 1. Далее, так как этот интеграл —он был найден вышех) — равен
1 Л + COS Ср
- г——- arccos -----т- ,
— l + «C-OSCf
г) § 261, случай а > Ъ.
10 л. Эйлер
146
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
то указанный ряд равен этому углу* Поэто.му, если назвать этот угол
/ 7 V1 —п2 \
так что аш = , то
\ 1 -Г п COS Ср /
to
п + COS ср
COSO) = г--------- ,
1 + n COS Ср
а следовательно, /гc-os<p—cos ш —n cos<p cos со = 0, откуда обратно
COS со — п
COS Ср = ~л---- .
т 1 —П COS СО
Так как это выражение получается из предыдущего, если взять п отри-
цательным, то
7 rfco/l — П2
ПФ = -л—-------"
г 1 — п COS С1>
И
-----'1= = Лю + В sin со + С sin 2ю 4- 4- В sin Зш + -,-Е sin 4о> 4- и т. д.
/1 —«2 2 3
Но так как
—- = Лер — В sin<i>+ С sin 2<р—~D sin Зу4~ уЕ sin 4ф — и т. д.
1 1
и - --— = /1, то имеем:
/1 — п2
Г 1 1
О = В (sinсо - sin<p) 4- С (sin 2со 4~ sin 2<р) 4- у D (sin Зю - sin 3<р) + п т. д.
Будет полезно заметить себе эти соотношения.
ЗАДАЧА 33
279. Представить интеграл выражения cZcp(l-4 7icos<p)v в виде ряда,
расположенного по синусам углов, кратных углу о.
РЕШЕНИЕ
Так как
(1 4- п cos <p)v = 1 + у п cos ? + (рТ') cos2
------------------------------------------------{)(>,_ 2) 3 „ ,
+ ’ " ‘у. 2~3-- 7i3 COs3 ? + И Т* Д * ’
то, положив
(1 4~ coscp)v = А 4“ В cos ср 4- С cos 2^ 4- D cos Зср 4~ Е cos 4- и т. д.,
получим с помощью формул, указанных выше1):
А = ! + уЩ)4 п2□. AhL=2)C=3).1-3
п4
Ь2-3-4
-1) ... (ч-5) 1*3*5 6 ,
1*2*34/ 6 ‘2*4*6П "Г
т. д. ,
Г 1-2*3
1-3
d 1-2-3-4-5 2-4-6 П И Т
9 Формул § 272, выражающих степени косинуса через косинусы кратных дут.
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 147
Эти ряды можно представить яснее таким образом:
1 Ч—1)(v-2) (.-3)
2-2 П ф 2-2-4*4
Л = 1 +
а . У (V----1 ) ... (V — 5) G .
n П + И Т* Д-
1 R v n , v(v-l)(.-2) 3 v(v-l)(v-2)(v-3)(v-4)
— —п -Г 2-2*4-4-6
И5+ И т. д.,
а после того как найдены эти два коэффициента Л и В, будет более
удобным, исходя из них, следующим образом определить остальные
коэффициенты. Так как
у1 (1 + п cosep) = 1{А-\-В cosep + С cos 2ер 4- D cos Зер ф- Е cos 4ер + и т. д.),
то если возьмем дифференциалы и разделим на —dep, получим:
\n sin __ В sin ер з- ~С sin 2<р -J- 3D sin Зер -J- 4Е sin 4ер -J- и т. д.
1 + Ti COS ер А + В COS ер - j - С COS’ 2ер -J- D COS Зер -J- Е COS 4ер + и т. д. ’
Теперь перемножим крест-накрест и в силу формул
1 1
sin kep COS ер — — sin (к + 1) ер + у sin (к -- 1) ер
и
I I
sin ер COS кер = ~ sin (к + 1) ?-7 sin (к --1) ер
придем к такому уравнению:
О = В sin ер 4- 2С sin 2ср 4- 3D sin Зер -j- 4Е sin 4ср 4 5F sin 5ер и т. д.
+~вп -(-J Gn +4 Dn -\АЕп
+ lDn -г 4 В'п -\~Fn -г 4 Gn
— у Ап — ~Bn -^Сп — -Е Dn Еп
+ ~2 Сп +iDn + v Еп +~Fn ±^Gn.
Из этого уравнения получаются такие определения:
(у 4- 2) Сп 4- 2В — 2v Л п = 0 (v -и 3) Dn 4- 4С - (у -- 1)Вп^0 c = Z) = 2v .4n—2Д (y + 2) n (y-A) Bn-AC + 3)«
(у --‘-4) 4- 6Z> — (v -- 2) Сп = 0 £’ = (v — 2)Cn — 6D C + 4) n
(у + 5) Fn 4- ЗЕ — (v — 3) Dn — 0 F = ('j — 3)Dn — 8E G + 5) n
(v 4.6) Gn 4- 10F - (v - 4) En - 0 G = G — 4)En—tQF (v-h 6) n
148
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
Подставив сюда полученные выше значения для А и В, найдем:
I 2)(У—3) 2 , 3.Q —1) —5) \
С 4 < 2-2-4 + 2-2-4-4-G ' 2-2-4-4-6-6-8 + и т" д' ) ’
2.2- 4.46 1 2-2-4-4-6-6-8 « + И 1. Д J ,
/-’_16П4< 12-3-v(v—l)(v—2)(^-3) , 2-3.4v(-,-i)...(v-5) 2j_ \
L -lbn <---------2:2-4-Гб-ёГ8----- "Г2.47Гб7б.8-8.1О П + 11 Т’ Д‘ )
и т. д.,
откуда можно сделать заключение о виде последующих рядов.
По нахождении этих коэффициентов получим искомый интеграл
11 1
dy (1 cos Ay + В sin ср -%С sin 2у 4- у D sin Зр + ~^Е sin 4р + и т. д.
СЛЕДСТВИЕ 1
280. Для сходства с этими рядами, дающими С, Е и т, д., можно
таким же образом выразить и значение В:
"‘-I " -О-
Однако ряд, найденный для Л, имеет особый вид, не подчиняющийся
этому закону.
СЛЕДСТВИЕ 2
281. Если сравнивать между собой ряды для А и В, то между ними
можно заметить различные соотношения. Из их числа прежде вс$го об-
ращает на себя внимание следующее:
Л л 4- у В ~ ^-у? п
.Q-D „2 . .(.-1)(.-2) (.-3) 4
"Г 2.4 2.4.4.6 ‘
, >Q-1) ... Q-5)
2.4.4.б-б-8
И6 4“ и Т. д.
Оно отличается от ряда для А
только знаменателями.
СЛЕДСТВИЕ 3
282. Положим дг? так что
аг 2 । 0—1) д j >0 —1)0 — 0 0— 3) е .
Ar = П2 4- —lyy—4-У.-4.4Щ -L п + И Т. Д
„2 . .0-1)0-00-3) 4
1 2-2 П + Г2?Г4Л П
+ и т. д.
Если теперь мы будем рассматривать п как переменную, то дифферен-
цирование даст
« 1= 2 Л--1) п, + „ д. 2Л.
ndn 2 2.4.4
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 149
Но так как
dN -
4Дя dn + В dn + 2п2 dA + п dB
__
= 2 An dn,
то
2vAn dn = 2n* 2 dA \~ В dn \~ n dB.
СЛЕДСТВИЕ 4
283. Следовательно, по данному коэффициенту А можно найти при
помощи интегрирования коэффициент В таким образом:
Вп — 2 (v An dn — n2d А)
или же (из этой последней формулы)
в ==2('-21 Andn — 2An !).
n J '
При этом надо заметить, что интеграл Andn должен исчезать
при п — 0, так как в этом случае исчезает В.
ПОЯСНЕНИЕ
284. Ряды, найденные для букв В, С, D и т. д., можно выразить
при помощи непрерывно добавляемых множителей 3 *) также и следующим
образом:
С = • ? ( 1 + "2 + ™
л. prf 4- и т. д.),
г-—+ и т- Д- ) •
(»_8)(»-9) „ 2 , \
+ -—6Л4—Рп + и Т. д.у
v...(v—4) га5/, (ч — 5)(v —6) 2 (v — 7)(ч — 8) р 2
= -Г7.ТГ“ ’ 16 <1 2Л2--п +-----4714— Рп
(^ — 9) (^ — 10) п 2 . \
+ ~---(Ti6““jPn +и т-д-)’
причем в каждом из этих рядов буква Р обозначает взятый целиком
предыдущий член. При помощи этих рядов коэффициенты часто нахо-
дятся легче, чем на основании правила, данного выше, в котором каж-
дый член определяется по двум предыдущим, притом же упомянутое
правило страдает тем недостатком, что если у есть целое отрицатель-
ное число (кроме -1), то некоторые коэффициенты вовсе нельзя
х) Член—п2 dA интегрируется по частям.
2) Per continues factores; дословно: «через непрерывные множители». Смысл:
каждый член ряда представляется в виде произведения предыдущего члена на соот-
ветствующий дополнительный множитель.
150
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
определить и их надо взять из данных здесь рядов. Так, если
3_ п2
1 * ~2
9 . Ч- О - О - I л
П + 2333“
v = — 2, то В--=чАп= — 2Лп и
4-5 „2 ( 4-5-6-7 д 4-5-6-7-8-9 6
1 2-6-4-8-6-10
то С = -— Вп и
если v= — 3,
u 1-2
6-7 2 , 6-7-8-9
2-8 1 2-8-4-10
6•7-8-9-10-11
‘ 2-8-4-10-6-12
/г6 -j- и т.
3
если , = — 4, то D = —Сп и
с, 5-6-7 га4 / . , 8-9 , . 8-9-10-11
з( ^гЗб" +23(6432
. , 8-9.10.11-12-13 6 .
П г 2-10.4-12-6.14 П + И Т’
если > = — 5, то Е = — Dn и
11-12-13-14-15 (
_______________ п1
12-4-14-6-16
„ 6-7-8-Э л5 / . , 10-11 ,
^^-ГгЗЗ’ТбС^-ЗЗг-"
, 10-11-12-13 . . 10-
__________________i________________
1 2-12-4-14_2-
и таким же образом для остальных.
ПРИМЕР 1
285. Разложить в ряд интеграл выражения dy (1 4-п coscp)v? если
ч —целое положительное число.
Полагая
(1 -J- п cos <p)v = А 4-В cos у -i- С cos 2у 4- D cos Зер - Е cos 4ср 4- и т. д.,
будем иметь для отдельных значений показателя
1) если ч = 1: А = 1, В = п, С = 0 и т. д.;
2) если ч = 2: А = 1-г~п2у В~2п, C=^~n2t D~ 0 и т. д.;
3) если ч — 3: А = 1 -4 у тг2, В == Зп 1 4- -- п2 , С — п2, D = п3,
Е = 0 и т. д.;
4) если v = 4: /1=1 4у я2 4-~|- В = 4/г 1 4--^ i
С = Зп2 ( 1+4«2>) 1 В = тг3, Е^~п\ В = 0 и т. д.
\ 6 J о
Эти случаи не представляют никакого затруднения. Для последующе-
го употребления полезно будет заметить лишь первый (свободный) член А:
при = 1 А = 1,
при = 2 /1=1 4-п2,
при ^ = 3 А —1 4-Е2.
4 . Ч 4 . Ч - 2.1
при v = 4 А = 1 4 2-^ п2 -4 -2Л2Д74
\ л о । 5-4-3-2 ,
при. = о 4-1 +^2 ^ + 2~2-4Т S
г- 4 i , 6-5 9 . 6-5-4-3 4 . 6-5-4-3-2-1 6
при,= 6 А=1+^п-+^7^п*+2^мпв>
налу 7-6 2 । 7-6-5-4 л t 7-6-5-4-3-2
при V = 7 .4 = 1 +2-2 + 333333-п
И т. д.
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И'КОСИНУСАМ 151
ПРИМЕР 2
286. Разложить в ряд интеграл выражения .
Полагая
1
---------------= А 4- В cos ср -j- С cos 2ср 4- D cos Зср Е cos 4ср 4- и т. д.?
(14- п cos <р)и
получим из предыдущих формул, подставив у = — р:
4 _ 4 I lJ-Cu- + * 1) „2 I Н (И4-1) (н+ 2) (р. — 3) . , н(;*+1) (М- + 5) 6 ,
-4—1-f- 2 2 + 2-2-4-4 ’ 2-2-4-4-6-6 ‘ ’
в = ( 1 4 (L±W±1) „2 + (2 + 1W.+ 4) Рпг + G- + 5)(p + 6)jPre2 и т д \
‘ у 2*4 1 4*6 Ь-8 /
Г НР-+1) «2 ( 4 . (.tx+2)(P- + 3) 2 (;i+4)(p + 5) „ 2
С - -12-- ' ~2 С 1 ~ Гб П 4 Г8 ™
+ + и Т. д.) ,
/)_ + га3/. I (f + 3)(|a44) 2 (р*4о)(^4б)р 2 \
- 1-2-3 ’ 4 < “Г 2*8 4-10 * ’ *
Здесь, как и раньше, в каждом из рядов Р обозначает предыдущий
член. Эти коэффициенты зависят друг от друга следующим образом:
-2Gu-2) Г Л , 9 л
В = = —---\ Ап ап — 2Ап
п J
~ 2В4 2[1/1п
(р“2) п ’
8£4(н*4 3)/Ь
(р.—5) п
4С4(^4 1)Вп „ 6Р4(^4 2) Сп
Gu-3)n ’ (р-4) и
с __ 10Р4(р*44)£>г rr 12G4(p*45) Fra
— (и — 6) и 1 Г1 (р — 7) п
И т. д.
Средство избавиться от недостатка, получающегося, когда и, есть
целое число, дано уже выше. Здесь же мы прежде всего займемся ис-
следованием того, каким образом можно определить коэффициенты в каж-
дом случае из предшествующего случая х). Это можно сделать так: так
как мы имеем
-------------= А В cos с? + cos 2ср + D cos 3s 4- и т. д.,
(14 п cos 4)ц
то положим
1
---------— = А' 4- В' cos9 Ц- С' cos 2ср 4- Df cos Зср -4- и т. д.
(1 + п cos 4)|М
При умножении этого ряда на 14- п cos ср из него должен получиться
первый ряд. Но это произведение равно
Аг 4- Bf coscp4- (Р cos2ср -j- D* cos Зср -|- и т. д.
1 1
4- А'п - Вгп 4-у С'п
111 1
А^В'п +~С' +^-Drn +~Drn,
]) То есть каким образом коэффициенты Л', С' разложения-
(1 4 п cos ср)11 +
= zl'4- Bf cos ср + С" cos 2® 4 ... можно выразить через коэффициенты разложения
1
(14га cos <р)и
152
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
откуда заключаем, что
= 2(А~А')
п ’
р, __ 2(С—С')—В'п
п
г, 2(В—В') — 2А'п
п
Ef — 2(Д —Д') —
п
Стало быть, если бы
чили бы и следующие
каким образом можно
только был известен коэффициент А', мы полу-
коэффициенты В', С', D' и т. д. Посмотрим же,
определить Af по Л. Имея
а = 1 + ^+12 и2+„4 + и т. д.;
Л‘ - t + Има + 2) <^.+3> <Ji±i + „ д
будем рассматривать п как переменную величину и, помножив первый
ряд на будем его дифференцировать, так что получится:
d (Лп11) = _1 р.(р + 1)(р- + 2)
dn ‘ ‘ 2-2
I Р- (Р- + 1) (^ + 2) + 3) (р> + 4) +3 .
2-2-4-4 -г п 1
Этот ряд, очевидно, равен рпУ—*А'\ поэтому Л' определяется через Л
следующим образом:
Но так как для .. d(An^) , ndA Л ' .— х1 — д ц • d(„H) * \>-dn 1 случая u, ~ 1 мы найдем1) Л — , то, поскольку __ п dn 3 ’ (1 —п2)2
будем иметь: г _ 1 _ , 1 л/Л 2 1 3 3 * У1—" б 9 (Г—п2)2 (1 —П2)~
Это уже есть значение А при р. = 2. Так как [теперь]
с?Л __ Зп
dn 5 ’
(i-^Я
то для и — 3 получим:
(1 —п2)2
1 — п2
Зп2 '2
5 “ 5 *
2(1— п2)2 (1 — п2)2
-) Из разложения Л в ряд по степеням п.
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 153
Если мы будем и далее продвигаться вперед таким же образом, то
найдем:
при у —=1
при р = 2
при у = 3
при и == 4
при р ~5
У 1- п2
______1_______
(1 - П2) У1 -пУ
1 +у п2
(1 ’
. , 3 ,
2" "
(1--П2)3 У1 - п2 1
1 + Зп2 + 4
о
(1 —П2)4 У 1 — п2
СЛЕДСТВИЕ 1
287. Таким же образом можно определить и остальные коэффици-
енты В', Cf и т. д. по соответствующим им В, С и т. д.; все эти соот-
ношения будут подобны друг другу, т. о. подобно тому как
д, _ d ( ndA
~ d(n^) ~ У™ ’
также будет и
р, __d (ВпУ) $ ndB ^f d (CrdL) t ndC
” d(r^) = V-dn ’ “ ~ ’ udn
СЛЕДСТВИЕ 2
288. Но выше мы нашли, что В' = ? откуда
тл( IdA т~) . ndB
— — з — AJ i — j
pan pdn
а отсюда
p Bdn + ndB + 2dA — 0.
Помножим [это уравнение] на получится:
d (Вп^) + 2лРх~1 dA — 0,
откуда, интегрируя,
Вп^ = — 2 nv—^ dA ~ — 2н^~~1 А Д- 2 (р — 1) Лии~2 dn,
и поэтому
в_ _2d Г inr.ld
П ' пУ- 3
а выше [§ 286] мы имели
В=~ — 2Ап — ~ { An dnt
п J
154
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 3
289. Приравняв эти значения, мы получим уравнение между А и /г,
из которого количество А определяется через /г; в самом деле, будем
иметь:
n~v- { dA — Ап { An dn,
э п j
откуда после двукратного дифференцирования получается:
(1 -n2)dM4^1-2(u.4-l)ndnd^-p.(fi + 1)Л dnz = 0.
ПОЯСНЕНИЕ 1
290. Если мы сравним эти [§ 286] значения А с полученными выше
[§ 285], где р было целым отрицательным числом, то мы обнаружим
замечательное соответствие.
В прежних выражение
и ш v = 0 А = 1
А=1
м = 2 А=1А~п2
у = 3 А =1+4'г2
v = 4 А = 1 + Зп2 4- 4 п*
Отсюда заключаем, что если
(1 + п cosep)7 = А + В cosep-'- С cos2<p-r и т. д.
и
(1 -4 HCOSCp/7^1 = ?( + 53 COS ср® cos2ep -j- и т. д.,
то
А
^ = (1—П2)7 У i^Z2’
Так как для случаев, когда v —целое положительное число, значе-
ние А определить нетрудно, то его также легко найти и для случаев,
когда ч отрицательно.
ПОЯСНЕНИЕ 2
291. Для случая значения каждой из букв Л, В, С, D и т. д.
уже найдены выше[§276], а именно (для краткости получаем —~-— ml:
л - 1 —-, В = -^=-, С=-А^,
/1 —n2 /1 —п2 / 1~п2 у 1 —п2
при [Л == 1
и т. д.
В этих выражениях
А =
/1 — п2
А =--------1------
(1 — п2)/1 — п2
1+-U2
д —_________2
(1 — п2)2 /1 — nf
4 - 3 о
1 -Г “?г
—_________г.____
(1 — пЯу'уА — п2
1 + Зп2 -р п4
Л О
и- — 2
Р = 3
[1 = 4
р = 5
(1 —„2)4/ 1 —„2
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 155
и вообще для любого члена
2т^
А = . ....
1 — л* 2
Поэтому если для подобного же члена в случае и = 2 мы напишем /V',
то будем иметь:
у/ (^)
dn ’
Но
d (АЛ) __ 2т^ , 2VzmA‘~1 dm
dn ~ Г ’’’ dn /1--^ ’
(1 — п2)2
причем
dm ______________________________ т
п У1 —п2
откуда заключаем, что
у/__ 2m?k 2\т^ __ 2т^ (1 4-к рЧ — п2)
~ 5 1 -п2 " (1—Т2) /г^Ъ2 ’
(1-/г2)2
Поэтому, если мы положим
---------— = А -h В cos ф С cos 2© 4- D cos Зф -4 Е cos 4ф -4 и т. д.,
(1 + п COS Cf)2 * т ‘ 1 1
то будем иметь:
1 д _ 2т (1 + /П442) г _ 2т2 (1 + 2 /ПАТ2)
Л — 3 , /5 — 3 , с - ““ 3 ’
(1 —П2)2 (1—п2)% (1—П2)2
n 2m3 (1 + 3
1) ----Ь---У ----L и т. д.
(1--п2)2
Если же показатель и будет дробным числом1), то коэффициенты А,
В, С, D. Е и т. д., невидимому, нельзя определить иначе, чем посред-
ством рядов, данных выше. Значение же первого коэффициента А можно
определить с любой точностью2) особым способом, как мы показываем
в следующе!! задаче.
ЗАДАЧА 34
292. Для разложения выражения (1 + п cos <p)v в ряд вида
А + В cos ф + С cos 2ср D cos 3? Е cos 4ф 4- и т. д.
определить свободный член А с любой точностью.
РЕШЕНИЕ
Так как необходимо, чтобы было п < 13), то найденный выше [§279]
ряд для А сходится; однако, если п мало отличается от единицы, при-
дется на деле взять в разложении весьма много членов, прежде чем
х) Для целых значений д коэффициенты получаются но методу настоящего
параграфа с помощью перехода от р. к р+1.
2) veto proxime.
3) См. § 273.
156
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
значение А получится с достаточной точностью, в особенности в том
случае, если v будет сколько-нибудь большим числом, положительным
или отрицательным. Но, если написать разложение в ряд выражения
(1 4 п coscp)^7”1 = 91 4 S3 cos ср 4' 6 C°s2cp -f- и т. д.,
то, поскольку зависимость А от члена 91 выражается в виде1)
V-U 1
4 —(1—п2) 2 91, мы будем иметь для нахождения этого члена А два
ряда:
А _ 1 - „2 . 74-1)4-2)4-3)
А ~ 1 + 2-2 П т 2-2-4-4 : П
, v (v—1) (у—2) (у—3) (у—4) (у—5) 6
“Г 2-2-4-4-6-б
И Т. д.,
(v + l)(v + 2) „ . (га+1) (у+ 2) (v+ 3) (у+ 4)
2-2 2-2-4-4
, (у + 1)(у + 2)(у + 3)(у + 4)(у + 5)(у + 6)эт6 ,
ф 2-2-4-4-6-6 ” ф
В каждом отдельном случае можно применять тот из этих рядов, кото-
рый лучше сходится. Однако же поскольку остальные коэффициенты Вг
С, D, Е и т. д. должны в конце концов сходиться2), это открывает
другой путь для приближения к значению А. Действительно, так как
эти коэффициенты определяются попеременно через четные и нечетные
степени* п, то, взяв любой угол а, будем иметь:
(1 4- п cos а)7 = А 4- В cos а 4 С cos 2а 4- D cos За -4 Е cos 4а 4- и т. д.
и
(1 — п cos a)v = А — В cos а 4 С cos 2а — D cos За 4 Е cos 4а и т. д.
Сложив эти ряды, получим:
1 1
~ (1 4- п cos a)v + у (1 “ n cos a)v —4 4 C cos 2a 4 E cos 4a 4 G cos 6a 4 и т. д.;
если мы вместо а напишем здесь 90° — а, то получим:
1 1
-£ (1 4 ft sin ар 4"2"(1 — ft sin ар ~ А — С cos 2а -’г Е cos 4а — G cos 6а и т. д.;
поэтому, если сложить эти равенства, снова уничтожается половина
членов. Образуем несколько выражений такого рода3) и для краткости
положим:
~ (1 4 ft cos ap 4 7- (1 — ft cos ap 4 (1 4 n sin ap 4-^ (1 — n sin ap — 9(,
' ~ (1 4- ft cos pp 4^- (1 — n cos pp + A (1 4 n sin pp 4-~ (1 — n sin pp = 93,
1111
4 (1 + n cos 7)'' + T (1— ti cos T (1 4 >г sin tT + T (1 - n sin 7)v ®
__________ и т. д.
r) Cm. § 290.
2) Эйлер утверждает здесь, что последовательность В, С, D, Е,... (при данных
значениях п и v) должна иметь пределом нуль.
3) Здесь а, р, 7, ... — некоторые значения переменной а, пока неопределенные;
в дальнейшем они фиксируются различным образом.
ГЛ. VI. о РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 157
Вместо коэффициентов В, Ct D, Е и т. д. будем писать соответственно
(1), (2), (3), (4) и т. д. для того, чтобы легче было представить члены,
сколь угодно удаленные от начала. Итак, мы будем иметь:
51 == Л + (4) cos 4а + (8) cos 8а+ (12) cos 12а + и т. д.,
® = Л + (4) cos43+(8) cos8p+(12) cos 12р+ и т. д.,
К = Л + (4) cos 4? + (8) cos 87 + (12) cos 12? + и т. д.
и т. д.,
а отсюда мы получаем следующие приближения1).
I. Если возьмем 4а = у или а = у, то получим:
= Л-(8)+ (16)-(24)+ и т. д.
Следовательно,
Л = 51 +(8)-(16)+ (24)- и т. д.
Поэтому, если можно пренебречь членом (8) и последующими ввиду их
малости, то с достаточной точностью будем иметь Л==5(.
II. Возьмем два ряда и положим 4а = -^- и 4^ = ~, так чтоа = -^ ,
?=+ Тогда
cos4а + cos4p — 0, cos8а + cos8р — 0, cos 12а + cos 12^—О
и
cos 16а+ cos 16р = —2,
откуда2 * *) следует, что
51+ 53 = 2Л-2 (16)+ 2 (32)-2 (48) и т. д.
и поэтому
А = -1(91 + 53) + (16)-(32)+ и т. д„
иметь:
cos 16а + cos 1бр + cos I67 = О,
cos 20а + cos 20р -н cos 20? = 0,
cos 24а + cos 243 + cos 24? = — 3,
где числа (16), (32) по большей части будут столь малы, что ими
можно пренебречь.
III. Сложим три ряда и положим 4а = 43 = '^ , 4у=^р , так что
тс г\ тс 5тс
а = 24’ ’ Т^24;ТОГДа бУДеМ
cos 4а + cos 4J3 + cos 4у = 0,
cos 8а + cos 8р + cos 8? = 0,
cos 12а + cos 123 + cos 12y = 0,
откуда заключаем, что
+ = -1(9!+ 53 + ®)+ (24)-(48) + и т. д.
2) Для постоянного члена А.
^Имеется ввиду, что cos 20а-Ь cos 2ф = cos 24а 4-cos 24^ = cos 28а + cos 28^0,
cos 32а + cos 323-= 2 и т. д.
158
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
IV. Если это определение представляется недостаточно точным >
тогда сложим четыре такого рода выражения *31, 33, 6, 3); пусть при этом
г q UTT / / > 7 7С и
43 = ^-, 4T = -g , = —; тогда найдем, что
« + 33 + 6 + ® = 4А-4(32)-;-4(64)- и т. д„
а следовательно, с гораздо лучшим приближением
СЛЕДСТВИЕ 1
293. По найденному значению А нетрудно найти следующее за ним В,
так как
В = ( An dn — 2An.
п J
Поскольку же в А входит член (1 + ncosa)7 или (1 4- nf)\ где / включает
в себя все указанные выше синусы и косинусы1), отсюда для В получаем:
,Л(1 : „fl- _ 2„ (1 „,Г „ .
СЛЕДСТВИЕ 2
294. Узнав коэффициенты А и В, по ним можно получить все сле-
дующие, как мы показали выше, а после того как они найдены, инте-
грирование выражения dy (1 Д- п cosy)v само собой очевидно.
ЗАДАЧА 35
295. Разложить интеграл выражения dyl (1 Д- п cosy) в ряд, распо-
ложенный по синусам углов у, 2у, Зу и т. д.
РЕШЕНИЕ
Так как
I (1 4- п cos у) == п cosy — -- И2 COS2 у + у П3 COS3 у — Y И4 cos4 у и т. д.,
то, приведя эти степени косинусов к простым косинусам, получим:
1 (1 + п cos у) = п COSjy — 1 2“ ' 1 2 • -у п2 cos 2? + £ 1 о о 1 — п6 cos 3^ -- -- 4 1 4 * 4- п4 cos 4у о *
и т. д.
1 о , ' 2 п ’ 1 "з ’ __ 1 4 4 ( 1 ’Т/г Э г 16п
1 3 4 , 1 10 5 1 15 ~
—л 4 -г- „„ • -7 ПЛ
4 8 5 16 6
1 10 G 1 > — -4- 1 35 7
6 32 т 64
1 35 R
8 128 ’
2) То есть подставляя вместо / выражения вида, -h^cosa, 4 п sin а, будем
получать (учетверенные) члены, входящие в приближение выражения для свободного
члена А, Каждый из этих членов порождает соответствующий член приближению
выражения для В.
ГЛ. VI. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ 159
Поэтому, полагая
I (1 4- п cos ср) = - А 4- В cos ср — С cos 2ср 4 D cos Зр- и т. д.,
будем иметь:
1 п2 1-3 п* ) 1'3-5 п6 Y3’5-7
Л 2 * 2 2’4 * 4 +2”4’6 * 6 + 2-4’6-8
/г8 ।
g- + и т. д.
Рассматривая число п как переменное, получим:
ndA 1 2 , 1’3 4 , 1.3-5 6 , 1
“Г~ = -7 п + У/ Я4 4“ п 4“ И т< д. = ______
dn 2 2’4 1 2-4’6 1<1_п2
Следовательно,
1,
dA = -d?_
п ]/ 1 — П‘
dn
п
откуда интегрированием получаем:
пл
п
Действительно, [выбрав постоянную] таким образом, мы при
п имеем Л —Zl -^0, Далее будем иметь:
1 о 1 . ЬЗ п3 , 1-3-5 п- .
yZ?=.._w+ —.^+__.у+ и т. д.;
дифференцирование дает
пЧВ 1 9 , 1-3 4 . 1-3’5 e , 1
2.dn 2 2-4 2-4-6 1 УЗ — п2
Следовательно,
П‘
исчезающем
1.
— 1пА~С ~ 1~
1 77Э dn dn
~dB = —_ - __------,
2 П2уГ1_п2 П2
п
и, интегрируя,
1 о __ -/Г=^2 i 1
2 п п ’
где интеграл определен так, чтобы он
Поэтому для двух первых членов
= -,
1 п
исчезал при м = 0.
имеем:
А = 1
и
В
--П‘
пл - - п 1
так что Л == Z . Для получения же остальных продифференцируем
исходное равенство:
J " ~~ Bdy sin ср 4’ 2Cdy sin 2р — 3Ddz> sin Зо 4- ^Edy sin 4<p - - и т.' д.,
или
О =—----------В sin ср 4’ 2С sin 2<р — 3D sin Зф 4Е sin 4<р - - и т. д.
14- п cos ср т т * 1 г
Поэтому после умножения на 2 4-2/zcoscp получается:
О = 2п sin ср — 2В sin ср -j- 4С sin 2ср — 6D sin Зф 4’ ЗЕ sin 4ср — и т. д.
— Вп -\-2Cn —3Dn
4- 2Сп — 3Dn 4" ^Еп — 5Кя,
160
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
откуда
С
В-----п
jj___ЬС — Вп
Е —
п
6Р — 20п р _ 8Е—ЗРп
kn ’ 5«'
Но так как В =
2 — 2 1/1 — п2
-------------- то
п
2 — п2 — 2 )Л1 — п2
п2
или
и тогда
/1 —п2
п
77 2 Л
Е = ,, I -
D
--п1 \8
------ и т. д.
/(14 п cos<p)
„ 1—ГГ— п2
Поэтому, если мы для краткости положим - -——--— = т, то получится:
2т 2 2 2 о * о 2 . .
— 4- у т cos ср — у т* cos 2ср4у т3 cos Зср — у m4 cos 4ср 4-
и т. д.>
а следовательно, искомый интеграл
rfcpZ (1 -|- п cos ср) = Const—cpZ 4- т sin ср — т2 sin 2ср
2 2 2
|- -,г/п3 sin Зр -. -/п4 sin 4'р j- ---/п5 sin 5<р — pi т, д.
У 10 Э
СЛЕДСТВИЕ 1
296. Положив п=1, будем иметь m — 1 и
2 2 2 2
I (1 -1- cos ср) = —/2у cos ср — у cos 2<р Ц-у cos Зср — у cos 4сри т. д.,
а также1)
2 2 2 2
I (1 - - cos <р) = — /2-р cos ср - - у cos 2ср —ту- cos Зср -- у cos 4<р — и т. д.
Но так как
1 4“ COS ср = 2 COS2 у ср И 1 —COS ср = 2 sin2 у ср,
то получим:
1 111
I COS у ср = — /2 4- COS <р — у COS 2tp Ц- у COS Зср-COS 4ср И Т. Д.
и
1 1 1.1
I sin у ср = —-/2— cos р :—ycos2<p—cos Зср — у cos 4ср — и т. д.,
откуда
1 2 2 2
Ztgycp= — 2cos<p—у cos Зср—| cos 5р— у cos 7ср — и т. д.
4 п~—1, откуда т~ — 1.
=5
ГЛАВА VII
ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ
КАКИХ УГОДНО ИНТЕГРАЛОВ
ЗАДАЧА 36
297. Отыскать с любой точностьюх) значение какого угодно инте-
грального выражения у = X dx,
РЕШЕНИЕ
Поскольку всякое интегральное выражение является само по себе
неопределенным, его принято делать определенным всегда таким обра-
зом, чтобы интеграл у= Xdx получил данное значение, скажем Ь,
если переменному х дать какое-либо определенное значение, скажем а.
После того как интегрирование таким путем стало определенным, вопрос
сводится к определению значения, которое будет иметь инте-
грал г/, если переменному х дать какое-либо иное значение, отличное
от а. Для этого сначала дадим переменному х значение, мало отли-
чающееся от а, скажем а-Н? так что а —весьма малая величина. Так
как функция X изменяется мало, напишем ли мы а или а 4- а вместо х,
то мы можем считать ее как бы постоянной, а тогда интегралом диф-
ференциального выражения X dx будет Хх + Const == у\ но так как при
х а должно получиться у — Ь, а значение X остается как бы неизмен-
ным, то будем иметь Ха + Const Ь, а поэтому Const Ха, откуда
получаем у b + X (х — а). Поэтому если мы дадим переменному х зна-
чение а-\-а, то получим соответствующее значение переменного у\ пусть
оно будет = Ь + р. Теперь, исходя из этого случая, мы сможем подобным
же образом определить у, если переменному х будет дано другое зна-
чение, незначительно превосходящее a-f-a; действительно, если вместо
х подставить а + а? то полученное отсюда значение X можно будет снова
считать постоянным, откуда получим y--=b^?>^X(x— а — а). Эту опе-
рацию можно продолжать сколько угодно; чтобы ее смысл* 2) усматри-
г) vero proxime. .
2) Cuius ratio quo melius perspiciatur. Вследствие многозначности слова ratio
здесь возможны различные смысловые оттенки, например: «чтобы как можно лучше
усмотреть закон этой операции».
162
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
вался как можно лучше, мы представим дело так:
при х = а пусть х = л И у = ъ.
при х == а' пусть Х = А' и у~ Ъ' = ЬА-А^а' — а),
при х == а” пусть и у ~b” =-bf 4- Af (a,” — а').
при x~a,ft пусть Х = Л"' и т. и Д-, у = Ь'" = + .А" (а'" —а")
где принимается, что последовательные значения а, а', а", а'" и т. д.
отличаются друг от друга на весьма малые разности. Действительно,
мы будем иметь Ь' = Ь + А (а' — а), ибо такой вид получит найденная
выше формула у ~ bX (х—а)' в самом деле, X становится равным Л,
так как х принимается равным а, а затем переменному х дается значе-
ние = а', которому соответствует у = Ь'. Таким же образом будем иметь
Ь” = Ъ' A' (а" — а'), затем Ь'" = Ь"-{-А" (а'" — а") и т. д., как мы положили
выше. Стало быть, подставляя предшествующие значения, будем иметь:
Ъ' = Ь^-А (а' — а),
Ъ* = b + А (а' — а) + Af (а" — а'},
b'” = b + A(a' - a) -I- A' (a"-a') + A" (a'"- a"),
b"" = b + A (af — a) + A( (a(f — а') Д- A” (a,' f' — a") + A(’f (a'''f — a''')
и т. д.
Если x будет превышать а на какую угодно величину, возрастающий
ряд a', aff, attf и т. д. надо будет продолжить до х, и тогда послед-
няя сумма даст значение количества у.
СЛЕДСТВИЕ 1
298. Пусть приращения, на которые возрастает х, положены равны-
ми между собой, а именно равными а, так что a' = a4-a> a" = a + 2a,
а'" ==аЦ-Зя и т. д.; пусть при подстановке этих значений вместо х
функция X будет переходить в А', Л", А'" и т. д., причем последнее
из значений а', а", а'" и т. д., скажем а-^-па, будет равно х, а послед-
нее из значений А', Л", A,ft и т. д. будет равно X; тогда будем иметь:
У = Ь 4-а (Л Ц- А' + А” + Af,f Ц- ... -4 X).
СЛЕДСТВИЕ 2
299. Следовательно, значение интеграла у получается с помощью
суммирования ряда Л, А', Л", . . ., X, члены которого образуются из
выражения для X, если подставлять вместо х последовательно а, а 4- а,
а 4- 2а, ...,а4'^а. Действительно, сумма этого ряда, помноженная на
разность а и прибавленная к Ь, дает то значение переменного у, кото-
рое соответствует значению х а па,
СЛЕДСТВИЕ 3
300. Чем меньшими мы полагаем разности, на которые возрастает
значение [переменного] х, тем точнее определяется таким путем значе-
ние у, если только вследствие этого члены ряда Л, Л', Л" и т. д. также
изменяются на малые разности. Если же этого не происходит, то ука-
занное определение будет крайне ненадежным.
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ЩЗ
СЛЕДСТВИЕ 4
301. Это приближенное вычисление, [исходя] из учения о рядах,,
можно истолковать так.
По указателям
а, а’, а", а'",.. ., х
надо образовать ряд
Л, Л', A", А'", ..., X,
общий член которого X задан дифференциальным выражением dy = X dx;
пусть в этом ряде последнему члену предшествует член 'X, отвечающий
указателю 'х. Теперь надо образовать новый ряд
A (а,' — а), А' (а" ~ а'), А” (а'" ~а”), ..., 'X (х — 'х).
Если положить сумму этого ряда равной 5, то интеграл приближенно
будет
у = ^Xdx^bA- S.
ПОЯСНЕНИЕ 1
302. Интегрирование обычно определяется так. Говорят, что это
есть суммирование всех значений дифференциального выражения X dx,
если переменному х придавать последовательно все отличающиеся друг
от друга на разность dx значения, начиная от некоторого данного значения
вплоть до х; разность же эту нужно считать бесконечно малой. Таким
образом, этот способ представления интегрирования подобен тому, согласно*
которому в геометрии линии мыслятся как совокупности бесчисленных
точек. Подобно тому как это последнее представление, если его пра-
вильно выразить, может быть допущено, так можно допустить1) и при-
веденное объяснение интегрирования, когда на помощь ему призваны,
как это нами здесь сделано, истинные начала, чтобы можно было отра-
зить всякие нападки: Из изложенного же метода во всяком случае
ясно, что интегрирование можно получить из суммирования с любой
точностью; точно же его нельзя совершить иначе, как положив, что
разности являются бесконечно малыми, т. е. нулями. Из этого источника
возникли как наименование «интегрирование», которое называют также
«суммированием», так и знак интеграла . Коль скоро суть дела вы-
яснена, их вполне можно сохранить.
ПОЯСНЕНИЕ 2
303. Если бы на каждом из промежутков, на которые мы разделили
переход2) от а к х, количества А, А', А*, А'" и т. д. действительно
были постоянными, то мы нашли бы точное значение интеграла
Стало быть, причина ошибки именно в том, что эти количества на каж-
дом отдельном из этих промежутков не являются постоянными. Так, для*
первого промежутка, на котором переменное х возрастает в пределах
2) В оригинале употреблен глагол tolerare (стерпеть).
2) saltum — дословно «скачок».
164
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ,ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ:
от а до а'3), А есть значение / количества X, соответствующее
пределу а, но другому пределу а' соответствует А', так что по-
скольку А' не равно А, постольку вкрадывается ошибка. Так как
в начале этого промежутка X = А, а в конце X = А', то было бы более
уместно принять некое среднее [значение] между А и А'; это будет
принято во внимание в уточнений этого метода, которое будет изложе-
но несколько ниже. Впрочем, полезно будет уже здесь заметить, что
для любого из промежутков можно с равным правом брать как началь-
ное, так и конечное значение, учитывая в то же времячто если при
одном способе погрешность будет в сторону избытка, то при другом,
по большей части, в сторону недостатка. В силу этого отсюда можно
получить два выражения, из которых одно дает слишком большое зна-
чение для у, другое — слишком малое, так что оба эти значения будут
представлять собой как бы границы истинного значения количества у.
Сообразно тому, как мы представили дело в § 301, значение количе-
ства у = X dx будет заключаться между следующими двумя границами:
&+ А (а' — а) + А' (а" — а') +А" (а'" — а") + . . . + fX (х — fx)
и
b + А' (а' — а) + Л" (а" — а’) + А'" (а" — а”) + ... + X (х — ’х)}
найдя эти границы, можно подойти ближе к истинному значению.
ПОЯСНЕНИЕ
3
304. Мы уже указали на то, что эти
промежутки, через которые,
как мы приняли, последовательно возрастает х, должно полагать весьма
малыми, чтобы соответственные значения Л, Л', А" и т. д. мало отли-
чались друг от друга; исходя главным образом отсюда, и надо решать
вопрос, надлежит ли брать эти промежутки a' —a, a" —a', а"' —а” и
т. д. равными или не равными между собой. Действительно, там, где
при изменении х значение [количества] X изменяется лишь незначитель-
но, можно спокойно брать большие промежутки для х, а там, где ока-
зывается, что функция X сильно изменяется, когда [количеству] х сооб-
щается незначительное изменение, следует брать очень малые проме-
жутки. Так, например, если X.= —, то очевидно, что когда х под-
У 1 — х2
ходит очень близко к единице, сколь бы малым ни был взят промежу-
ток, на который увеличивается х, функция X может подвергнуться чрез-
вычайно большому изменению, ибо, наконец, если взять х = 1, она
возрастает даже до бесконечности. Значит, в этих случаях такой способ
нахождения приближенного значения (по крайней мере, для того про-
межутка, на одном из краев которого X становится бесконечным) при-
менять непозволительно. Однако это неудобство легко устранить либс
преобразованием выражения к другому виду при помощи подходящей
подстановки, либо применяя специально для этого промежутка особый
способ интегрирования. Так, например, пусть предложено выражение
- -х dx- . Для промежутка от х=1 — ш до х=1 нельзя найти интеграл
У 1 — XJ
изложенным способом; тогда полагаем х—1 — z, иг окажется очень
9 a termino a ad а'; в математической литературе слово terminus имеет таким
значение: «член». Поэтому допустим и такой перевод: «от члена а до [члена] а'».
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 165
малой величиной, так как пределами для z будут О и со; при этом полу-
dz (1 — z) dz ... 2 z r
чится выражение 4. -4=.-. = 1), интеграл которого'—4= , взя-
/3z — 3z2 + z3 V 3z } r r /3 1
“i 2 /и о
тыи] в этом промежутке, дает часть—искомого интеграла. Это ухищ-
уз
рение можно применять во всех случаях такого рода; что же касается
самого метода, описанного выше, то его следует пояснить несколькими
примерами.
ПРИМЕР 1
305. Найти приближенно интеграл у= xndx, взятый так, чтобы
он исчезал при х = 0.
В этом случае а = 0 и 6 = 0, а Х = х\ Теперь пусть значения пере-
менного х возрастают от 0 на одну и ту же разность а, так что будут
указатели 0, а, 2а, За, 4а, ..., х,
ряд 0, ап, 2пап, Зпап, 4пап, . .., хп,
а предпоследний член есть (я —а)п; поэтому границы интеграла
у = С хп dx = xn+1
* J n-h 1
суть
a(0 + an4-2nan + 3nan+ • +(я-а)п)
и
a(an + 2nan + 3nan+ ... + xn);
они будут тем теснее, чем меньше взятый промежуток а. Так, если
а = 1, границы будут
0+1 + 2п + Зп + 4п+ ... +(я-1)п
и
14 2п + Зп + 4п+ ... +яп;
если взять а = у , то границы будут
_^_(0 + 1 + 2"+3"-|-4"ф ... +(2z-l)")
И
_1_(1 + 2” + Зп + 4п+ ... +(2х"));
. 1 :
вообще, если а = —, то границы будут
_1_г(0+1 + 2" + 3"+4”+ ... +(^-1)")
И
-7Аг(1 + 2" + 3"+4”+ ... + (mz)");
хп
вторая из них превышает первую на избыток —. Отсюда ясно, что если
взять число т бесконечно большим, то обе границы дадут истинное
значение интеграла.
х) Разумеется, это равенство приближенное.
166 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 1
306. Итак, сумма ряда 1 + 2П + Зп + 4П + ... + (тх)п тем бли
1
подходит к чем большим будет взято число т. Поэто
(если положить тх = z) сумма прогрессии
1+2п + Зп + 4п+ ... +zn
тем ближе подходит к чем большим будет число z.
’СЛЕДСТВИЕ 2
307. Но из первой границы [§ 305], если положить mx = z, [видт
1
что] то же количество zn'1 дает приближенно сумму следующе
ряда:
0+1 + 2п + Зп + 4п+ ... +(z-l)n,
откуда, взяв среднее значение, получим более точно
1 + 2" + Зп + 4п+ ... +(z-l)n + 4z" = ^_z’1^
или, прибавив к обеим частям 42”’ получим приближенно
1 + 2п + зп + 4л+ ... +zn = ^Tz’l+1+4zn;
это согласуется с тем, что нам известно об истинной сумме этой пр
грессии х).
ПРИМЕР 2
а члены ряда
1
ап ’
где предпоследний
308. Найти приближенно интеграл j — , взятый так, чтобы <
исчезал при х=\.
В этом случае а=1, а 6 = 0; следовательно, если от а до х2) пол
жить промежуток прогрессии равным а, то указателями будут
а, аД-а, а-[-2а, а Д-За, ..., х,
1 1 1 х
(а + а)п ’ (a -j- 2а)п ’ (а + За)п ’ ’ * ’ ’ ’
1 /V
член А, а так как теперь наш интеграл ecG
_ 1________1______
л—1 (п — 1) .т"' 1 ’
0 Формула для суммы степеней натуральных чисел, найденная впервые Якове
Бернулли около 1685 г. (невидимому, путем неполной индукции), была доказа1
Эйлером, исходя из установленной им общей формулы суммирования рядов («фо
мула Эйлера -Маклорена»). Доказательство было впервые опубликовано в «Дифф
ренциальном исчислении» (ч. II, § 134, стр. 296 — 297 русского перевода), издание
в 1755 г. Однако нет сомнения, что уже в начале 30-х годов Эйлер владел эти
доказательством. См. подстрочное примечание к русскому переводу «Дифференциал:
ного исчисления» на стр. 289 — 290,
0 Intervallum progressions; в других местах Эйлер пользуется и термине
differentia progressions (разность прогрессии); поэтому мы сохраняем в перевод
слово «промежуток».
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 167
то это значение будет заключено между границами
/ , 1 1 1 , . 1 \
а V 1 + (i + ар + (1 4- 2а р + (1 4- Зар Т * * • т ар J
и
Z 1 , 1 1 . . 1 >
а (1 4-ар (1 4-2ар + (1 4-Зар хп ) *
Если положить а = 4“ ’ т0 эти границы будут
тп~2 f ___।___i____।--------I--_----------1_ .. . л___.
4 4- lp^ (m 4-2)nT(m 4-3)n^ ' (mx—Ip
и
___i_____|___1____|___----
(m 4- 2p T (m 4- 3p (m 4- 4p
—Y
(mx)n J
Они тем ближе подходят к значению интеграла
больше будет взятое число т. При этом надо
zz = 1 интеграл будет = 1х.
1________________1
п — 1 (п—1) а;71'1 ’
чем
заметить, что в случае
СЛЕДСТВИЕ 1
309. Если же мы положим тх = т-\- zt так что х = > то полу-
чатся такие прогрессии:
1 ( __|__L____1___1___L . -4_-_____Л
\ тп Т(т4 1)” •- 2р * ’ * Й4- z— Ip J
и
тп~{ (--------1_______1___-1-- + . Н-----—*
<(т4-1Р 4m4-2p^(/n4-3p^ ^(m+z)nJ'
сумма одной из них больше, а другой меньше, чем
1 тп~г (т 4- zp-1 — zn71"1
zT^T (zi—1) (mK-p1 = (п—1) (т Р^р-1 ’
в случае же п = 1 это выражение переходит в I ( 1 + — J .
СЛЕДСТВИЕ 2
310. Так как первая из этих прогрессий больше, чем вторая1), то
будем иметь:
111. 1 (m4-2p“1—mn“1
znn (zn 4- ip (zn 4- 2)n *** ' (m 4-z — Ip (zi— 1) mn-1 (m 4- zp^1 ’
111. 1 (m 4- zp"1 —
(m 4- lp + (m 4-2p + (m 4- Зр + + (zn 4- zp < (^— 1) 4- s)^1 *
Прибавим с обеих сторон здесь , а там2)
1
(m 4- z)n *
затем возьмем
0 To есть каждый член первой суммы больше,
чем соответствующий член
второй суммы.
2) То есть в первом неравенстве.
168
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
среднее арифметическое; получим более точно
1 , 1 ? . 1 ,1 , , 1
тп (т + I)71 (т + 2)п ”* (т + 3)п ' ' * ' (т + z)n
__(2m-hn— l)(m + z)n—(2z-h2m— n+l)mn
2 (n— 1) mn (m + z)n T
это выражение в случае п = 1 переходит в
I Л । г А । 1 I 1
V ‘ т ) ‘ 2т ‘ 2(m-\-z)
СЛЕДСТВИЕ 3
311. Положим z = nw; тогда будем иметь приближенное выражение
суммы следующего ряда:
1 , 1 1 , ।____1 __ (2m+ra—1) (l-htQn—2m (1+tQ+ft—1
тп (т + 1)п (т + 2)п тп (j _р vyn 2 (п — 1) тп (1 + v)n ’
а в случае п = 1
1 I 1 I 1 I . 1 _1 (\ 1 \ ] 2 -I- v
т "* m + 1 "* т-\-2 "* т ти ' » 2т (1 + у) ’
откуда, если t>=l, получим приближенно
1 , 1 . 1 ] . 1 __ 2п (2т + zz -1) — 4m + п— 1
тп ' (m + l)n ' (т + 2)71 ' * 2птп 2п+1 (п-— 1) тп
и
1 ,___1 , 1 , I J__72-U —
т " т^\/г ' ' ' ”* 2т ”* 4т
СЛЕДСТВИЕ 4
312. Отсюда получаем правило для приближенного нахождения
логарифмов сколь угодно больших чисел, тогда как обычно применяе-
мые ряды годятся лишь для чисел, мало отличающихся от единицы.
Напишем и вместо 1 + и; тогда будем иметь:
/ 1 1 г 1 I I 1
т'т-^-1'т-\-2' ти 2ти
Из этого выражения 1и определяется тем точнее, чем большим
берется число т.
ПРИМЕР 3
313. Выразить приближенно интеграл у = > взятый такг
чтобы он исчезал при х -- 0.
Как мы знаем, этот интеграл есть у = arctg ; для получения его
приближенного значения имеем а = 0, 6 = 0; следовательно, если поло-
жить, что значение переменного х возрастает от 0 постоянно на одну и
ту же разность а, то, так как X = , значения интеграла будут для
указателей 0, а, 2, . .., х
1 с с с t
с ’ с2 —|— а2 ’ с2 -j- 4а2 т ’ т с2 + х2 ’
предпоследний член этого ряда есть 'X = —а)2
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 169
Поэтому значение нашего интеграла у == arctg— приближенно равно
С 1 . С С . с Л .
а \ с с2 -|- а2 "Т" с2 + 4а2 с2 + (я — а)2 ) ’
другое же приближенное значение, меньшее истинного (тогда как пер-
вое слишком велико), есть
Л с t ______с . с , __Л
а \с2 + а2 с2 + 4а2 с2 + 9а2 1 с2 + х2 )
Если взять
1
а•— .а там
с
среднее
с
а С2 + X2 ’
между ними, {предварительно] прибавив
то получим лучшее приближение
здесь
( с . с . с . с . . с Л
\ с2 "Т" с2 + а2 с2 + 4аа с2 + 9а2 ' ' ‘ тс2 + &2J
= arctg |+ ±( А + -^-а) = arctg
q(2c2 + x2)
2с (с2 + х2)
Итак, для этого угла мы имеем приближенно верное значение
t < 1 1 | 1 ! ,1 Л д (2с2 4-х2)
arc g с ас -Г с2 _г_ аа “г с2 4^2 . • • • “г с2 _[_ х2 J 2с (с2 4- х2)
Это значение будет тем менее отличаться от истинного, чем меньшим
будет число а по отношению к с. Поэтому если за с взять очень большое
число, то вместо а можно будет взять единицу, откуда, положив z = cv,
получим:
__ ( 1 , 1 , 1 . 1 1 > 2 + v2
arctg и —С С2 -h с2 + 1 + с2_|_4 -Г с2 + 9 + • • "Гс2_|_ c2„2 J 2б (1 + V2) ’
это значение будет тем более точным, чем большим взять число с.
СЛЕДСТВИЕ 1
314, Если положить с = 1 (в этом случае ошибка должна быть зна-
чительной), получится:
. 4 < 1 1 1 I 1 I , 1 2 + V2
arctgи — 1 +1 + 1 + 1+4 । 1+9+ +ii+v2 2(1 +о2) ‘
Пусть v = 1, тогда arctg 1 ?= == 1 == , а следовательно,
тг = 3, что несколько отличается от истинного значения.
Если положить с = 2, то будем иметь:
arctg v = 2 Q-4- + + ^зрд + .. . + 4 + 4ц2 J — 4 (1 + ..2) >
откуда, если и=1, получим:
. . те 9 С 1 . 1 , 1 Л 3 23 3 31
arctg 1- 4 —2 fp4 + 4 + 1+4 + 4 ) 8 - 20 8 “10’
31
а следовательно тс =-= 3,1, с лучшим приближением.
170
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
315. Пусть с = 6; тогда
. < 1 । 1 . 1 । । 1 Л 2 + у2
arctgи - 6^3б + 36+1 + 36_|_4+ • • • +36 + 36i?2) 12(1 + ^) ’
1 1
откуда при v=y и при & = получается:
, 1 „ f 1 , 1 , 1 . 1 А 3
arctg 2 6^36 + 36+1 + 36 + 4 + 36 + д ) 20,
. 1 п С 1 , 1 , 1 \ 19
arctg 3-6Q36 + 36+1 + 36 + 4J 120-
Но arctg+ arctg 4“ = arctg ! = -?*• Следовательно,
Z J 4
71 1 9 < 1 X 1 _L_ 1 Л J- 2 37 - 1063 7 - 695
4 " V 36 + 37 + 407^ 15 120 1110 40 888 1
или и = ~-|= 3,1306.
СЛЕДСТВИЕ 3
316. Если же мы сразу положим там1) v= 1, то получится:
* а( 1 I 1 j-lj-l,1
4 " ° V 36 37 "Г 40 45 52 61 72 ) 8 ’
откуда ~ = 3,13696, что еще более близко к истинному значению, т. е.
сложение большего числа членов приводит ближе к истине.
ЗАДАЧА 37
317. Усовершенствовать изложенный выше метод приближенного
нахождения значений интегралов, чтобы меньше уклоняться от истины.
РЕШЕНИЕ
Пусть у = X dx есть предложенное интегральное выражение, значе-
ние которого у=Ъ при х—а уже известно, [безразлично], задано ли
оно самим условием интегрирования или ранее выведено из усло-
вия с помощью нескольких действий. Дадим, далее, переменному
х значение, несколько превышающее то число а, которому соответствует
у = Ь. Пусть, наконец, Х = А при х=а. В изложенном выше методемы
приняли, что пока х незначительно превышает а, X остается постоянным
и равным А, и что поэтому
X dx = А (х — а).
Но поскольку X не является постоянным, постольку и равенство
Xdx= Х(х -а) также неверно; на самом же деле имеем:
X dx = X (х — а) — (х — a) dX.
L) То есть в первой формуле § 315.
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 171
Положим dX = Р dx, тогда
(х — a) dX = Р (х — a) dx;
если теперь мы будем считать [количество] Р — постоянным, пока х
не намного превосходит а, то будем иметь:
Р (х — a) dx = у Р (х — а)2,
и таким образом получится:
у = X dx—b-\- Х(х— а) -~ Р(х — а)2.
Это значение уже ближе к истине, возьмем ли мы для X и Р те зна-
чения, которые они принимают при х = а или же которые они принимают
при x = a-\-d, т. е. при наибольшем значении, до которого, как мы
положили, растет х при этой операции. Смотря по тому, положим ли мы
х=а или х~а-\-а, получим отсюда две границы, между которыми
заключена истинная величина. Таким же образом мы сможем продвигаться
и дальше. В самом деле, так как Р не является постоянным, то
Р(х a)dx — у Р(х— а)2—~ (х — a)2 dP;
положив dP = Q dx, получим отсюда
(х — a)2 dP = Q (х — a)2 dx — у Q (х — а)3,
если только рассматривать Q как постоянную величину. Таким образом,
имеем:
у = Xdx= b^X(x~a)~^P(x—a)2 + ^Q(x~a)3.
Если таким же способом будем продвигаться дальше, то, положив
Х = ^-, Р = ^-, R = ^r-> 5=?ИТ.Д.,
dx dx v dx dx dx
найдем:
1 1 1
y = b + X(x-a)-j-P(x^a)2 + ^Q(x-a')3-^^R(x — a)i
+2^m‘s(x~a')5~~ 11 т- д-
Этот ряд быстро сходится, если только х не намного превосходит а;
будучи продолжен до бесконечности, он даст истинное значение коли-
чества у, если в функции X, Р, Q, R и т. д. будет подставлено крайнее
значение # = a-j-a. Если же мы не желаем продолжать этот ряд до бес-
конечности, то лучше всего будет продвигаться вперед от промежутка
к промежутку, придавая переменному х последовательно значения а,
а', а", afff, affff и т. д.; затем надо искать для каждого из них значе-
ния, соответствующие буквам X, Р, Q, R, S и т. д., и пусть это будут
следующие значения: если
х = а, a', a", a,f>, aIV, ау и т. д.,
172
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ТО
Х = А, А', А", А'", -1IV, А4 и т. д.,
^L = p = B, В’, В", В"', BIV, BN и т. д.,
ах
= Q = С, С, С", CIV, CN и т. д.,
dx х » >
^- = B = D, D', D", D"', Diy, Dvh т. д.;
dx
далее, пусть
у—Ь, Ь', 6*, b”'t 6IV, Ьу и т. д.
Приняв эти обозначения, получим, как это понятно из сказанного выше,
Ъ' — b + А' (а' — а) — В' (а' — а)2 + ~С' (а' — а)3 — — D' (а' — а)* + и т. д.,
b"=b' + А" (а" -а')-±-В" (а" -а’)2 + ~С" (а" - а')3
" о
— —а')4+ и т. д.,
1 1
b"f =• b” + А"' (а'" — а") —7 Bf" (a"r — а")2 + Cttf (aftf — а")3
— ^D"' (а"'а')4 + и т- Д->
6IV = b"' + *4IV (а™ - а"') - 2 BIV (aIV - а" ')2 + ~ а"У
—(aIV =-а'")4+и т- Д-
и т. д.
Эти выражения надо продолжать до тех пор, пока не получится значе-
ние количества у для значения переменного z, сколь угодно отличаю-
щегося от начального значения а.
СЛЕДСТВИЕ 1
318. Таким образом, в этом методе приближенного вычисления мы
пользуемся такой теоремой (справедливость ее была доказана уже в «Диф-
ференциальном исчислении»)г): если у есть такая функция переменной х, * 1
2) В «Дифференциальном исчислении» (§ 57, вторая часть, стр. 247 русского
перевода) дана формула, которая при обозначениях настоящего параграфа имела бы вид
b = y-X(x-a) + ^P(x-a)*-^Q(x-a)3+... (1)
А о
Эта формула получена Эйлером из формулы Тейлора
1 1
b = y + X{a-x) + A.P(a~x)^~Q(a~x)^.^, (2)
выведенной (опять-таки при иных обозначениях) в § 48 второй части (стр. 242). Вывод
этот — он совпадает с выводом, данным самим Тейлором (1713), — Эйлер воспроизво-
дит и в «Интегральном исчислении» (см. ниже § 322). Несмотря на то, что формулы
(1) и (2) почти не отличаются друг от друга, Эйлер дает отдельно (в § 321) вывод
формулы (1), еще менее строгий, чем вывод формулы (2) (см. примечание к § 321):
Между тем в § 317 уже был приведен гораздо более строгий вывод формулы (1)
(по существу совпадающий с выводом, данным Иоганном Бернулли в 1694 г.; см.
«Вступительное слово к Дифференциальному исчислению Л. Эйлера», стр. 10 — И).
ГЛ. VII. ОБЩИН МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 173
которая при х—а становится равной 'Ь, и если положить
dy у’ dX dP s-ъ dQ
— = -—<- = /{ и т. д.,
dx ax ax v dx
то вообще будем иметь:
y = b + X(x-a)-^P(x~a)2 + ^Q(x~ays-~R(x~a)i .
+ 1^6S~ и т- д<
СЛЕДСТВИЕ 2
319. Если бы мы захотели продолжать этот ряд до бесконечности,
то не было бы необходимости принимать значение переменной х лишь
немного отличающимся от а. Но для того чтобы сделать ряд более сходя-
щимся, полезно весь переход от а к гг разделить на промежутки
и к каждому из них применить описанную здесь операцию.
СЛЕДСТВИЕ 3
320. Сделаем так, чтобы значения количества х возрастали, начиная
от а, на постоянные разности, равные а; пусть последнее значение
а-\-па — х, так что, если
ге—а, а-|-а, а-|-2а, а + За, ..., ге,
то
Х = А, А', А", А'", ..., X,
™Р = В, В', В", В'", ..., Р,
dx
^- = Q = C, С', С", С". ..., Q,
dx v х
4^- = R = D, D', D". D'", .... R
dx
И T. Д.,
и отсюда
y=bt b1, 6*, b"f, . .., y;
соединяя все ряды вместе, получим для значения х — х:
у — 6 +а (Л' + Л*4- A,,f + ... +Х)
—|а2(В' + В' + В'" + ...+Р)
+ |а3(С'+С'+С"' + ... +0
-1а4(1)'+Л'+Я'"+ ...+R)
И Т. д.
В самом деле, если принять, что функция у допускает разложение в степенной
ряд (а в XV1I1 веке никто не сомневался в возможности такого разложения), то при
сходимости ряда (1) формула (1) строго вытекает из рассуждений § 317.
Почему же Эйлер счел необходимым привести еще один вывод? Ответ на этот
вопрос содержится в первой фразе § 321. Рассуждение § 321 апеллирует к «природе
дифференциалов», тогда как в § 317 используются средства интегрального исчисле-
ния. Хотя последнее и построено на базе дифференциального исчисления, однако
Эйлер предпочитает вывод, непосредственно основанный на свойствах дифференциа-
лов как исчезающих разностей.
174
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
ПОЯСНЕНИЕ 1
321. Доказательство упомянутой в следствии 1 теоремы, на которой
основывается вышеизложенный метод приближения, можно построить,
[исходя] из природы дифференциалов, следующим образом. Пусть у есть
функция от х, причем у = Ь при х^=а, и пусть мы ищем значение коли-
чества у, когда х на сколько-нибудь превосходит а. Начнем с наиболь-
шего значения количества х и будем последовательно нисходить к
дифференциалам. Из [свойств] дифференциалов ясно1), что
Если х будет
х — dx
х — 2dx
х — 3dx
то у будет
у — dy + d2y — d3y + d*y~ и т. д.
у ~ 2dy3d2y — 4d3y5d4y — и т. д.
у — 3dy 4- 6d2y — 10d3y + 15d*y ~ и т. д.
Если х будет то у будет
х — !/ - ndy + + + d3y
। М» + 1)<» + 2)(М-3) „ т д
1 • Z • о • 41
Положим теперь x — ndx~ а, тогда п — * , а следовательно, является
бесконечно большим числом. Но тогда, согласно условию, значение,
получающееся для у, должно быть = Ь\ поэтому мы будем иметь:
L .. (x~a)dy (x — a)2d2y (x—a)3d3y (x_ayd*y
y dx i-2dx2 l-2-3c?x3 l-2-3-4rfx4 д*
*) Нижеприводимые выражения получаются из общего выражения
п п (п — 1)
У + ^2 d У+ • (1)
выведенного в § 46 второй части «Дифференциального исчисления» (стр. 242 русского
перевода). Для натуральных значений п тем же способом:
у— dy + d2y— d3y + d^y — ... (2)
Как в настоящем параграфе, так и в § 322 доказательство основано на крайне
нестрогом предельном переходе от конечных разностей к дифференциалам; но в настоя-
щем параграфе эта нестрогость усугубляется ничем не обоснованной экстраполяцией.
Здесь лишний раз обнаруживается почти безграничное доверие Эйлера к силе фор-
мулы. Нс будь так, Эйлер мог бы с помощью привычных ему средств подтвердить
формулу (2), скажем, такими рассуждениями: по определению конечных разностей
имеем:
у' = у~ dy', (3)
dy' = dy — d2y't (4)
d2y' = d2y— d3y', (5)
где через у' обозначено значение у, отвечающее х—dx. Из (3) п (4) получаем:
y' = y~dy-\-d2y'. (6)
Из (5) и (6) находим:
У' = у — dy-\-d2y — d3y' (7)
и т. д. Если еще добавить условие (для Эйлера необязательное), чтобы ряд (1) был
сходящимся, то оно сведется к условию, чтобы drny' исчезало при т = оо.
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 175
Если мы теперь положим
^ = Х, ^- = р, ^- = Q, ^r- = R и т. Д.,
dx dx dx dx
то найдем, как и выше,
у = Ь + Х(х — а) — ^-Р(х — a)2 + ^rQ(x — a)3 — ^R(x — а)4 + и т, д.
Отсюда ясно, что если х превосходит а на чрезвычайно малую величину,
то достаточно положить у—Ь-[-Х(х — а); на этом и основано приближе-
ние, предложенное в самом начале1), т, е. та граница, где X опреде-
ляется по большему значению переменного х.
ПОЯСНЕНИЕ 2
322. Таким же образом, как это рассуждение открыло нам только
одну из данных выше границ, ко второй границе нас приведет следую-
щее рассуждение. Именно, как мы прежде нисходили от х к а, так
теперь мы будем восходить от а к х.
Если а переходит в то Ь перейдет в
a-\-da b-\-db
a + 2da b+2db + d2b
a + 3da b + 3db + 3d2b + d3b
a-^nda b-^-ndb-^71 d2b + n —— d3bJr и т, д.
Пусть теперь а п da = х или п = а и пусть значение количества
b станет = у. Пусть, далее, Л, В, С, D и т. д. будут значения введен-
ных выше функций X, Р, (2, R и т, д,, если вместо х написать а.
В настоящем случае будет
л db D d2b „ d3b
А ~ da ’ В = И Т‘ Д'
Поэтому будем иметь:
у = & + А (х — а) + у В (х— а)2 + у С (х — а)3 + ^ D (х— а)4+ и т. д.
За исключением знаков, этот ряд во всех отношениях подобен преды-
дущему. Если х незначительно превышает а, так что Ь-\-А(х — а) выра-
жает значение количества у с достаточной точностью, то отсюда полу-
чится вторая из указанных выше границ. Если же переход от а к х мы
так же, как и выше в § 320, разобьем на равные промежутки с раз-
ностью а и если мы обозначим предпоследние члены в каждом из рядов
0 quod est fundamentum approximationis primum propositae.
176 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
через 'X, fP, fQ, 'R и т. д., то получим для у в качестве второй: гра-
ницы
У — Ь -р а (Л + А' 4- А" 4~ .. . + 'X)
+ ^а2(В + В'+В"+ ... + 'Р)
+ -g- а3 (С + С' + С"... +'(?)
И т. д.
Таким образом, и этим исправленным методом мы получим две границы,
между которыми заключено истинное значение количества у. Значит,
мы еще более приблизимся к истинному значению, если возьмем сред-
нее арифметическое между этими границами; при этом получится
^& + а(Л + Л' + Л'+ ... +Х)-Аа(Л + Х) + ±аЦВ-Р)
+ {а® (С 4- С 4- С" + ... +Q)-^{C + Q) + ^{D-R)
+ -^(Е + Е' + Е' + ...+S)-^(E + S)+^(F-T)
И т. д.
Благодаря этому данные выше приближения получают существенное
исправление уже от одного только прибавления члена -—а2(5 — Р).
ПРИМЕР 1
323. Выразить приближенно логарифм любого числа х. Здесь, оче-
видно, у = ; этот интеграл берется так, чтобы он исчезал при ж=1.
Стало быть, а = 1, Ь = 0 и X 1 = — . Теперь примем, что восхождение от
единицы до х буде1 т происходить с промежутками, равными а; так как
г. dx 1 л dP 2 D dQ 6
= — и = —- =
dx х2 dx X3 dx x^
то при указателях
х — 1, 1 -га, 1 -р 2а, I4-За, ..., X
будет
Х = 1, 1 1+а’ 1 1 -|- 2а ’ 1 1 4- За ’ ’ ’ ’ ’ 1 X ’
1 1 1 г
Р = — 1, — (1+а)2 ’ (1 + 2а)” (1 + За)2 х* Г
2 2 2 2
<2 = 2, (1+а)3 ’ (1 + 2х)” (Ц-За)3 ’ ’ ’ ’ ’ аг3 ’
Я=-6, - 6 (1+а)4 ’ 6 (1 + 2а)*’ 6 (1+За)*’ •••’ г4
И т. д.
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 177
откуда получаем:
1 (1 । 1 . 1 । 1 , 1 \
/я = а( 1+,—---г + 'I-' .)Т ••• Ч-)
< 1 + а ‘ 1 -г 2а 1 1 + За 1 х /
1 3 ( , , 1,1 1 ! , 1
3 а < 1 (1 + а)3 + (1 + 2а)3 ! (1 + За)3 ’1" ’ ’ ’ “ х3
1 5 Г . . 1 , 1 1 , ,1
5 “ < 1 “ (1 + а)5' ‘г (1 + 2а)5 + (1 + За)5“ х5
— ~a5f 1 + 4') - т^а6 ( 1 —АЧ
10 \ J 12 \ х6 J
И т. д.
гт 1
Поэтому, если взять а = получится:
_____L_J_ I I 1 > ДН-1 Х2~1
т ' т + 1 т + 2 * тх ) 2тх ^т2х2
1 ( £ 1_____1 ____1 X _ z3 + l _ г4—1
3 '\т3 ! (m-hl)3 (т -J- 2)3 ' (тх)3 ) 6m 3z3 8m4z4
, 1 / 1 1 , 1 , 1 Л + 1 ________ z6 — 1
‘ о Дт5 (m + I)5 ' (т 4- 2)5 Г * (тх)5 ) 10m5z5 12mf,x6
И т. д.
СЛЕДСТВИЕ
324. Если эти прогрессии *) продолжить до бесконечности, то сумма
последних членов 2) будет
2 т — 1
1 » тх 4- I _
2 тх
1 . тх -4 1
2 (т — 1) х ’
а сумма первых членов3)
__ 1 . m Д- 1
2 т — 1 ’
а так как
1 , х (тх 4- 1)
2 т 4- 1 ’
m —1
1хл-2 I W+1 4.1 1___ __
^2 (m — 1)х^ 2 т-1'2
Ч Прогрессиями здесь называются строки последнего выражения § 323; до бес-
конечности продолжается последовательность этих строк.
2) То есть членов, не заключенных в скобки; из них составляется два ряда:
_ £ 1 Д1, . I -__________1 т
2 |_ т 2т2~^ Зт3 4т^ 1 ’’’ J 2 т — 1
1
тх
1 1 _
2т?х~ Зт3х3 ^т^х4^
1 тх-{- 1
2 тх
11 II
3) То есть сумма ряда — 4- 4- 4-_
7 J 1 гп ЗтА 1т1
178
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
то отсюда получится:
I ^2 ( —1____i___1__р 1 -L . _l JLA
m-| 1 'w -| 2тт-| 3 1 *** ‘ тх)
_2у_____, 1 , 1 ; t 1 >
: 3 (т + I)3 'г (m -1 2)3 1 (т -| З)3 т ' ’ ’ ’ mV )
”' 5 3 (т + I)5 ’ (т + 2)5 (m + З)5 ‘ mV )
И Т. д.
Это выражение, если продолжать его до бесконечности, дает истин-
7 х (тх + 1)
ное значение I ~.
т +1
ПРИМЕР 2
325. Применяя этот метод, выразить приближенно дугу круга,
тангенс которой равен—.
Очевидно, речь идет об интеграле у = ’ исчезающем при
х — 0; имеем а = 0 и 5 = 0; затем
у с р______________dX_____ —2сх q dP — 2с (с2 — За?2)
• с2-| a?2’ dx (с2 + г2)2 ’ dx (с2 + а?2)3 ’
Р __ dQ __ бсх (Зс2— 4а?2) __ dP _ 6с (Зс4 - 33с2а?2 -р 20а?4)
dx (с2 + а?2)4 ’ dx (с2 + а?2)5 И Т*
Эти формулы, если их [ряд] продолжать до бесконечности, дают
, сх са?3
V с2 + а?2 (с2 + а?2)2
са?3 (с2 — За?2) са?5 (Зс2 — 4а?2)
3 (с2 Д- а?2)3 4 (с2 Д- а?2)4
са?5 (Зс4 — 33с2а?2 Ц- 20а?4
20 (с2 + а?2)5
И т. д.
Если же мы положим, что х возрастает на промежутки, равные 1
так что а = 1, то будем иметь:
с = — 2с3 с6 ’ 5 = 0 и т. д.,
С' = — 2с (с2 — 3) (сЧ1)2 ’ п, 6с(3с2 —4) (с2+1)4 ’
с = . — 2с (с2—12) п„_ 12с (Зс2—16)
(с2 + 4)3 ’ (с2 + 4)4
С'" = — 2с (с2 —27) (с2+ 9)” ’ п,,, 18с (Зс2 — 36) “ (с2 + 9)4
А = -2-, с2 5 = 0,
= -Л—, пг
с3 + 1’ ~ (с2 + I)2
с2 + 4 Пгг " (с2 + 4)2
Д' f f с Л " с2 + 9 ’ туг г г 6с "(с2Н-9)2
с р _ — 2са? 0 2с(с2 — За?2) ,, _ бса? (Зс2 — 4а?2)
~с2+а?2’ (с2 -р а?2)2 ’ (с2 + з?2)3 ’ (с2 + а?2)4
и отсюда
__ Г 1 , 1 , 1 , 1 ; 1 >
Ч? т?+ Г'С2 ? С сЧ- 9 d ‘ т с! г Г J
1 с са?
2с 2 (с2 4- а?2) ^2 (с2 Д- а?2)2
с / 1 f с2 — 3 , с2 —12 t с2 — 27 . с2 — За?2
~У 3А + Р + У 4 (с2 + у)т+•••+
1 с (с2 — Зх2) сх(3с2 —4х2)
+ (У ' 67?+ i’2’)T 8(c2 + i2)4"
и т. д.
ГЛ VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 179
СЛЕДСТВИЕ
326. Итак, если положить так что у— arctg 1 = то
будем иметь:
те __ _ 1 । 4 £ , 4 _| 1___1_1 1
4"' 4"“г 17 + 20 1 25 “г 8 8 16 128
4 Л 1 , 13 4 11 32 Л 1 1 1
3V56 ' 17* + 20s 25s 323 ) + 384 - 1536 -+ 128-256 '
Значение этого выражения не очень отличается от истинного. Впрочем,
я привожу эти примеры только для пояснения, а не для того, чтобы
отсюда стали ожидать более легкого получения приближения, чем
с помощью других методов.
ПРИМЕР 3
1
327. Найти с любой точностью интеграл взятый
так, что он исчезает при =
При помощи приведений, изложенных выше, получаем:
0 р х Лх — — (*---
\------= е х х— \ е х dx,
J X J
причем слагаемое е Хх исчезает при .z = 0. Нам надо теперь искать
г -1 „1
интеграл z — \ е Xdx, так как по его нахождении получим у е Xx—z\
мы уже заметили выше, что бесполезно пытаться применить к этому
примеру другие методы приближения. Так как при ^=0 z исчезает,
то а — 0 и Ь = 0; далее, Х — е х\ отсюда
24 \
-5) и т. д.
v _ dR / j _ 12 36
dx е ^#8 X1 * Z6
Если бесконечно продолжать [писать] эти
значения, то будем иметь:
Этот ряд слабо сходится, какое бы значение ни дать количеству х.
Поэтому мы будем восходить от 0 к х по промежуткам, полагая вместо
180
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
х последовательно 0, а, 2а, За и т. д., причем надо заметить, что А = 0,
В = 0, С — 0, 7)=0 и т. д., и наше правило дает
-1 _± __1_ -К л 4 _1 4
z = a(e а + е За + . . . + е xj-—~^ae х — ^а2е х-
Если мы пожелаем определить отсюда значение переменного z
j
для случая х = 1 и если мы вместо а возьмем малую дробь —, то
получим:
П 71 П 71 71
z.= —(e 1 4-е з.._е 4_р _j_e п\_
п- 1 7 2пе 4п2е
7L Tt Tt
; 1 / —ТЛ—2 , — ъ п — 4 . -пП-6 . . - п — 2лА . 1 1
':'тСе _i 16 1 е IT^'"'1'6 rt1 >'г — 48л4е ’
Если взять здесь вместо п даже не очень большое число, как, на-
пример, IO, то значение количества z найдется с точностью до миллион-
ной доли единицы; оно окажется еще в 20 раз более точным, если за
п взять 20.
ПОЯСНЕНИЕ 1
328. Этого примера достаточно, чтобы показать исключительную
пользу этого метода приближения. Однако иногда встречаются случаи,
в которых даже и этим методом нельзя пользоваться, хотя бы мы раз-
делили весь отрезок, на который возрастает переменное х, на самые
малые промежутки. Это происходит в тех случаях, когда в каком-либо
промежутке функция X возрастает до бесконечности, когда переменному
х придается некое определенное значение, хотя бы сама величина инте-
грала у = X dx и не была в этом случае бесконечной. Так будет,
например, если
где?
это количество становится бесконечным при х — а, тогда как интеграл
у = С — 2 |/а — х в этом случае конечный. Это обязательно бывает всякий
раз, как множитель вида а — х в знаменателе имеет показатель, меньший
единицы. Тогда в интеграле этот множитель переходит в числитель.
Если же показатель того же множителя в знаменателе есть единица или
больше единицы, тогда и сам интеграл при х — а становится бесконеч-
ным: так как в этом случае не приходится говорить о приближении,
то здесь речь идет только о тех случаях, когда показатель меньше
единицы, ибо тогда аппроксимация действительно нарушается. Однако
же есть легкий способ устранить это неудобство, а именно: если диф-
ГЛ. VII. ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
181
X dx
феронциал будет иметь вид ———г— , где к <
(а — х)л:[х
так что х--~а Х и d:c-- —dz; тогда
= — [jlXz’ х 1 dz; это выражение при х~а,
становится бесконечным, или —что приводит
и, то положим а — х = z^,
наш дифференциал будет
т. е. при 2 — 0, уже не
к тому * же — для проме-
жутков, где функция X становится бесконечной, надо фактически про-
вести интегрирование отдельно, положив х — а ± аг, тогда выражение
X dx станет достаточно простым, ибо (о весьма мало, так что интегри-
рование не представит никаких трудностей. Так, например, если мы уже
получили значение выражения у = \ .—— разбиенцем на промежут-
J у а1 —
ки от х — 0 вплоть до — а, то для этого последнего промежутка
положим ж —а —тогда надо будет интегрировать выражение
(а — со)2 d(»
— 6а2ш2 -|- 4а<*>3— св4 * 6
которое вследствие
чрезвычайной малости ш переходит в выражение1)
V UJ р (д' р j 1Д Ш
2 ]/ш к 4а
32а2 ) ;
интеграл его при ш — а будет 2)
5а а2
12 \га 32а ]/ а ’
если брать большее число членов, то этот способ можно применить не
только к последнему промежутку, но и к двум и большему числу по-
следних промежутков, полагая ш = 2а или ш — За. Для тех промежутков,
где знаменатель уже достаточно мал, лучше пользоваться этим методом,
чем изложенным выше.
ПОЯСНЕНИЕ 2
329. Иногда встречается и другое неудобство; [оно состоит в том],
что знаменатель исчезает в двух случаях, как, например, если. мы
имели бы
X dx
/ (а — х) (х—Ь) ’
где переменное х должно всегда заключаться между границами а и Ь,
так что, после того как оно возрастет от b до а, оно затем снова убы-
вает от а до Ь, а между тем интеграл у продолжает непрерывно расти 3),
и значит, его значение не может быть удобно определено посредством
промежутков. В этом случае надо привлечь на помощь подстановку
1 1
х — — [а + Ь) —,у (a -- b) cos о,
t/cn ]/а Z св 7(»-у
4) В первом издании--------— ( 1—,
2 у^св \ 2а 8а2 J
о , т-» .’ a 7а2 VCt
2) В первом издании I/ аа----------|- —— -- .
6 Vа 4а2 а
3) crescere.
182
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
которая даст
dx = у {а — b) dy sin
и
{а — х) (ж — b) = — 6)+4 (а — 6). cos у (а — Ь) — ~ (а — b) cos
ИЛИ
j
{а — х) (х — b) —(а — b)1 2 * 4 * * sin2 <р,
откуда мы получаем у — X dy, и здесь уже нет никакого неудобства,
поскольку угол у можно непрерывно увеличивать равномерно все дальше
и дальше х).
Это распространяется и на те случаи, когда два множителя в зна-
менателе имеют неодинаковые показатели, как, например, если мы
имели бы
(• X dx
У = \ 2V-------
J у (а — 2.)И (% — б)'7
причем р и v были бы меньше, чем 2k; последний показатель я пред-
полагаю четным. Если теперь р и v не равны, но р < v, то их можно
х) Из последующего текста видно, что «рост» интеграла понимается как п о-
ложительное его приращение. Трудно с уверенностью сказать, как Эйлер пред-
ставлял себе возможность такого роста. При рассмотрении следующего примера,
где в подынтегральное выражение входит радикал | — х)'(к (х—6)v, Эйлер специ-
ально оговаривает, что число 2Х он предполагает четным. В связи с этим можно
подумать, что Эйлер рассматривает в одних случаях положительное, а в других —
отрицательное значение корня. Нам представляется, однако, что дело обстоит иначе.
Применив подстановку х=—(а + 6) ——(а— 6) cos ср, Эйлер преобразует выражение
(А — х) (х— Ь) к виду (а — 6)2 sin2 ср, и из результата видно, что квадратный корень
1
из последнего выражения Эйлер считает равным -- (а — b) sin ср, Мы полагаем, что
1
Эйлер не обратил внимая и я на то, что прип < ср < 2тс выражение ^(a~b) sin ср
имеет отрицательное значение. В подтверждение сошлемся на результат второго
примера, рассматриваемого Эйлером. Если в выражении \ / (а —х)^ (х — Ъ)у взять 2А.--4,
4 / Г ~ ".
jx = 1, \ = то указанная подстановка даст |/ — (а - -b)2 sin2 ср, и по Эйлеру полу-
1
чается sin2 ср, Но тогда нельзя «продолжать угол ср докуда угодно», ибо
1
sin2 ср при те < ср < 2тр становится мнимым,
Источник ошибки Эйлера мы усматриваем не только в формальном проведении
операции извлечения корня, но главным образом в том, что определенный интеграл
рассматривается Эйлером в первую очередь как значение первообразной функции;
суммирование же является лишь одним из средств вычисления интеграла. Ср. § 253,
а также «Вступительное слово к Дифференциальному исчислению Эйлера»,
стр. 26 — 28,
ГЛ. VIL ОБЩИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 183
привести к равенству следующим образом:
2Х_—-------
f X dx р (г —6)^
У "" \ 2КЛ——---— •
у (а — х)и (х — &)и
Если теперь по-прежнему положить
Г 1
х = у (а + Ь) — 2 (а — b) cos ср,
то получится:
Z Л - . А > ’—2А С К”’;)' И - ’'
у = ( —J \ X sin л <р (1 — cos 2К ;
здесь можно продолжать угол <р докуда угодно и пользоваться способом
промежутков1). После этих замечаний вряд ли что-либо еще воспрепят-
ствует этому методу приближения.
х) Methodo per intervalla procedente.
ГЛАВА VIII
О ЗНАЧЕНИЯХ, КОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПРИНИМАЮТ
ТОЛЬКО В ОПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЯХ
ЗАДАЧА 38
330. Найти значение, которое интеграл
С х'п dx
J У1
принимает при х=У причем интеграл определен таким образом, чтобы
он исчезал при х = 0.
РЕШЕНИЕ
В самых простых случаях, когда т = 0 или т— 1, положив после
интегрирования х = 1, имеем:
С dx xdx
j утуд = -j И
Далее, выше (§ 120) мы видели, что вообще
f xm+1 dx т f х^1 dx | Wi/i----
J J/1—т2 т+1 /1--Т2 m_Ll
следовательно, в случае х = 1
xm+r dx
/1—Г2
т Г х1п 1 dx
m-И J у/1 —т2 *
Поэтому, если мы будем последовательно переходить от самых про*
стых значений показателя т ко все большим значениям, мы получим:
С* dx к
Sx2 dx 1 тс
С х1 dx 1 • 3 тс
j У'1 —х2 2-4 2
Р х dx
\ ........~ = 1
J V 1 — х2
0 X3 dx __ 2
J ~ 3
(’ х5 dx ____2-4
J "“3-5
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
185
Р z6 dx 1 - 3 • Э тс
j 1 ^2 2-4-6 2
z3 dx
1-3-5-7 тт
2-4-6-8 ”2
Р хУ dx 2-4-6
J д/~ 1 —х2 3-5-7
Р х9 dx 2•4•6 - 8
j y^Y___х2 — 3-5-7-9
Р x^dx _J-3-5...(2n —1) тс Р 2-4-6...2п
J /1^2 ~ 2-4-6. ,.2п * 2 - ЗТ5’-7ГГ.(2п + 1) *
СЛЕДСТВИЕ 1
331. Итак, интеграл f — при х = 1 выражается алгебраически
J У 1 — х2
в случаях, когда показатель т есть целое нечетное число; в случаях же,
когда показатель есть четное число, интеграл содержит квадратуру
круга; действительно, тс всегда означает окружность круга, диаметр
которого = 1.
СЛЕДСТВИЕ 2
332. Если перемножить почленно две последние формулы, то полу-
чится:
С х2п dx Р x2n+1 dx 1 тс
J 1 — х2 j 1—z2 ~~ 2fi + 1 2 ’
разумеется, при я=1; ясно, что эта формула верна и в том случае,
когда п не будет целым числом.
СЛЕДСТВИЕ 3
333. Это равенство останется верным при тех же условиях и в том
случае, если положим x^z^\ действительно, если взять и я=1,
получится [соответственно] 2 = 0 и 2=1. Итак,
« г2п7+7-1^ « ,2nv + 2v-l^ !
V2 \ -— — • \ ---— =----------— • —
J ]Л — z2v J Cl —s2v 2n+l 2
и, положив 2пч 4- v — 1 = р, будем иметь при z = l:
(• z^dz Р z^dz _ 1 л.
j ' J _v(^+i)' 2 •
ПОЯСНЕНИЕ 1
334. Тот факт, что можно получить такое произведение двух инте-
гралов, тем достопримечательное, что это равенство остается в силе
даже тогда, когда ни одно из этих выражений в отдельности нельзя
представить ни алгебраически, ни при помощи тс. Так, например, если
у = 2, а р = 0, то получим:
dz ? z2 dz 1 тс тс
1 — J 1 — 2 2 4
1£6
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
и таким же .... .. Q образом д = 0 получается \ dz Р z3 dz _ 1 73 73
при У <J, J |/ l — 26 J yr~~z^ ~ 3"‘ ”2 = 6“
v = 3, fl = l » Р zdz Р z* dz _ 1 7Г 73
» J J У1—z8 “ 6 T = 12
» v == 4, д — 0 » Р dz Р z4 dz 73 73
J /1 —z8 J j/' 1 — z3 4 * T ““"8
» v = 4, р —- 2 » Р z2 dz Р z^ dz _ 1 73 73
J У1 -z8 J yi — z* ~ 12 ‘ 2Г
^ = 5, Р = 0 » Р dz Р z5 dz _ 1 73 73
J У 1 — z10 J yiZ2io a ~2 = 16
» v = 5, <1 = 1 » Р zdz Р ze dz _ 1 73 73
J У 1 —z1"» J У1— z1» ~ 10* 2“ = 20
ft v == 5, ft Р z2 dz Р z1 dz _ 1 73 73
>? f) J У J yi'^z™ 15* T = 30
ft v 5, Р — 3 ft Р z3 dz Р z8 dz _ 1 73 73
ff z? J У1 —z1» J у 1—z1» ^20* ~2 "40
Эти теоремы без сомнения заслуживают всяческого внимания.
ПОЯСНЕНИЕ 2
335. Отсюда нетрудно найти также значение интеграла £ у
J У X—X2
при х — 1. Действительно, если мы напишем X'== э2, то этот интеграл
превратится в 2 \ —’__; поэтому для случая х == 1 мы получим сле-
J у 1— z2
дующие значения:
Р dx С хх dx 1-3-5-7
J ]/”х — х2 J /х — х2 2*4-6-8
Р х dx 1 Р х^ dx 1»3»5 • 7»9
J = J /м2 = "ЖГ8Ло“‘ “
Р х2 dx 1'3
j ]/ х — х2 2'4
Р х3 dx 1'3-5 Р хт dx ____l*3*5...(2m— 1)
j у/" sp 2*4’6 j / jq 2*4*6. . 2t?z
Отсюда следует, что те значения, которые получают при х = 1
интегралы, содержащие более сложные выражения такого же рода,
могут быть кратко выражены при помощи рядов; применение этого
способа мы поясним на нескольких примерах.
ПРИМЕР 1
336. Выразить при помощи ряда значение
интеграла
Р dx
при х=1.
Придадим интегралу вид
£ --dX---(1 +Х2)2,
/1—х2 '
ГЛ. VIII. о ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
187
так что будем иметь:
’ dx
1-3-5 fi
2.4.6
проинтегрировав каждый член в отдельности для случая гг==1, получим:
Г dx 1 I 1,9 1-9-25 "-4.9.25.49
} 2 V + 4Л6 ”-4-16-36 +Т16.36-64 ~ и- т- Д'У •
СЛЕДСТВИЕ
337. Подобным образом для того же случая найдем:
х dx
У 1 — х±
х2 dx
1 — х*
А 1 , 1 1 , 1 1 , 7V
1 3'5 7 + 9 11+ и т- Д- - 4 ’
те ( 1 12-3 12-32-5 12-32-52-7
2 2м + 22ДТб--” 22-42-63-8 + и т' Д
Р ж3 dx ___ 2 4 6 8 I 10
) Vl“l ”33-5 ‘Т-77-9 + 9Л1
ос^ doc 1 1 ——*"" 1
Но — -------- = —у у 1 - и поэтому = у при х=1~ Стало быть,
1
последний ряд = -9- .
ПРИМЕР 2
С 1 1 I- CLX2
338. Выразить при помощи ряда значение интеграла \ dx I/ —-%
о случае х = 1.
Так как
]/1 + ахг =; 1 + у ахг - - а2#4 + 9/^ — и т. д.,
С dx
то, умножая на \ —и интегрируя, получим:
dx 1/ 1±£±
Г 1 —ж2
1-1-1-3 „ , 1-1-1-3-3-5
й~ 2-2-4-4 а + 2-Г4-4-6-6
а3 и т.
откуда можно узнать обвод эллипса1).
ПРИМЕР 3
339. Выразить при помогци ряда
в случае х = 1.
Представим это выражение в виде
значение интеграла
dx
}/" X (1 —ГЕ2)
dx (1 4- х) “
zr—, так что оно будет
1 1 I ИЗ 2 ИЗ.5 3 . \
1~~2х + 2Гьх 2Т(+ + Н Т‘ Д- J'
J) См. мемуар 154 (по указателю Энестрема): Animadversiones in rectificationem
ellipsis, Opusc. var. arg. 2, 1750, стр. 121; Leonhardi Euler i, Opera omnia,
series 1, v. 20, стр. 21, особенно стр. 25 (Л. Ш.).
188
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Отсюда получим такой ряд:
с dx /", 1 , 1*9 1-9*25 t \
\ —— = тс 1 — 4- —------ — 4- и т. д. ) ;
J ^(l — ara) к 4 4-16 4-16-36 J
он не отличается от [ряда] примера 1. Это и не удивительно, поскольку
наше выражение приводится к выражению примера 1, если положить
х = 22.
ЗАДАЧА 39
340. Определить значение [при 1] интеграла \ — х2) к
исчезающего при х — 0.
РЕШЕНИЕ
Приведения, данные выше в § 118г), дают для этого случая
^4-1
х™-1 dx (1 - ж2)4+1 = —_]-----------V dx (1 - ж2)4 ;
J m + и. Д-2 т -j- д + 2 J 4 7
если здесь взять jt == 2тг1, то при х = 1 получим:
хт~' dx (1 -z2)”+2 =-^±-4- хт~' dx (1 - х2)п~^ .
J 7 m + 2w+l J 4 7
f3 dx
В предыдущей задаче было найдено значение \ - ; для крат-
J У 1 - х-
кости положим его равным М и от него будем переходить к последую-
щим значениям:
Г хт~Л dx _
J 1----X2
С - 1
\ х™'1 dx (1 - x2f = -4-г М,
J 7 т-$- 1
С т—1 7 н 2\2 - 1,3 W
к ^(1 ж) - ль
С - 1-3-5
I г^~1 лТ /1 _ г2\2 —____1 ° °______ М
} (тД-1)(^ + 2)(тЧ-3) Л
и, вообще,
С dx (1 — .т2Г~ 2 —_________UL?- • •(2n~1L________дт
J (ЦД1 X) (m+l)(m + 3)(m + 5)...(m + 2n—1)
Теперь нужно рассмотреть два случая в зависимости от того, будет ли
т—1 четным или нечетным числом. Действительно, если m—1 есть
,, 1-3-5... (т —2) т: ,
четное число, то М — о , если же т— 1 есть нечетное
2-4-6... (т — 1) 2
а) В формуле III § 118 надо положить v = 2, п = 2, a=lt b——1.
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
189
Отсюда вытекают следующие значения:
dx — х2 — ~ х dx 'j/'l — у
С х2 dx У 1 — х2 — 4“ * я3 dx V1 - - х2 = 4“ •
J 4 4 J о э
\ xi dx у' 1—х2 = 1-| • х5 dx У1 — х2 = -1- • ~
^х^хУ1-х2 = ^^.^- х7 dx У1-а;2 = -1-.|±|
« з ч г з
\ dx (1 - х2)2 = g \ х dx (1-ж2)2 = А-
С 3 1 Ч-тг Г -12
\ х2 dx (1 -- .г2)2 - -----— . V dx (1 — х2)2 — -^ • у
V х^ dx (1 - х2)2 — х5 dx (1 - х2)2 = yi« yg
3 3
а;6с?а:(1 — ж2)2 6.8.10 ' 16 x7dx(i -х2)2 — -^- • 7_д_и
5 Г » 5
dx (1 - х2)2 = g \ х dx (1-«2)2=у
С - 1 Ч— Г -19
\ х2 dx (1 — х2)2 == — • у x2dx (1 — х2)2 = у • у
xi dx (1 - х2)2 = 40 |g О5 dx С ~ а;2)2 = Т Ои
J О • 1\J J f £/ • 1 1
5 л 5
xS} dx (1 x%}2 — —- — —- • —— \ x^ dx (1 — 7'2}2 — — • “
J X 8.10-12 32 J ' J " 7 9-11-13
и т. Д.
ЗАДАЧА 40
341. Найти при x^ i значения интегралов и Г - .а;--——
J |/О—a;3 J ^(1— х3)2
{определенных так, чтобы они исчезли при ./ = ()].
РЕШЕНИЕ
Положим для самых простых случаев:
(* dx . С х dx
\ ' 3- =Л, I .г. = В,
J /1 — Xй
х2 dx
1 — х3 ’ 3 [У" 1 — я3 ’
х dx 1Э, (* х2 dx
/(1—X3)2 J |/(1- X3)2
на основании первого приведения § 118, положив а = 1 и 6 —
имеем для случая х = 1
С Г -И
\ х™^1 dx (1 - хпу = , ту - \ ж"1-1 dx (1 - хпУ'.
Следовательно, для первого интеграла, где z? -3, v —3 и и = - 1, имеем:
1,
хт^2 dx (1 - х2) з = -^-6
х ' т + 2
190
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
а для второго, где п = 3, ч = 3 и и — — 2:
2 с _ 2
\ хт+2 dx (1 A Xs) з = \ ж"'-1 dx (1 - ж3 *) 3 .
Отсюда получим для [интегралов] первого вида:
С dx , \ V1 г — J у 1 — X3 f х3 dx 1 4 \ — = — А J |/ 1 —X3 ' Г* х6 dx 1 4 J 3-6 А Г* х9 dx 1 • 4 • 7 д \ |ДТ^з-~ 3-6-9 А С x^dx _ 1-4-7-10 , J fl^? “ 3 6-9-12 Я Р х dx р С х2 dx \ 3/"i Д & \ Vi О' J у 1—х3 J у 1 — г (* X1 dx 2 Т) f х5 dx 3 „ \ о —_ . -D \ „ . . — _ О J —X3 4 J |/ 1 — X3 ° Г х7 dx 2-5 j? Г* х9 dx 36 J Д_хз 4-7 /J J (2-| 5 .8е Р ж10 dx 2-5-8 о Г х11 dx З-б 9 J р/1 — х3 4*7*10 J 1—х3 5*8 11 С х13 dx 2*5*8 -И ту С хи dx 3-6-9-12 г j jj/1 х3 4-7-1U-13 j рА] х3 5-8-11 11 и т. д.,
а для [интегралов] второго вида:
С = 1 J p(i-*3p Г х3 dx 1 . / 1 J 1/(1 —Z)2 2 x dx P x2 dx q, ) У(1-Ар J |/(1-Z)2 [* xi dx “i т>' C x5 dx 3 хл, J ^(1 x3)2 5 j —x3)2 4
е хе dx 1-4 ( J [7(1—x3)2 2-5 Г x3 dx 1*4*7 Д, ( J j7(l-x3)2 2-5-8 P a12dx 1-4-7-10 ( ? 2-5-8-11 . ’ x1 dx 2-5 p, P x8 dx 3-6 j ^(l—x3)2 5-6 j ^/(i^x3)2 x10 dx 2-5*8^/ e x11 dx 3-6*9 p/"(l — x3)2 3-6-9 j — хзу2 4-7*10 ’ x13 dx 2-5-8*11 jy, C x14 dx 3-6-9-12 ^Z(l-z3p 3-6-9-12 (| 4-7-10.13° и T. Д.
Отсюда заключаем, что, вообще,
С x^dx _ 1-4-7 ... (Зга — 2) С x3n-dx __ 1-4-7 ... (Зга-2)
J У 1~- г ~~ 3-6-9 ... Зга А J 3 (ТА^зр ~ 2-5-8 ••• (Зга —I)-'
Г- x^dx 2-5-8 ... (Зга—1) „ С x3«+1 dx _ 2-5-8 ... (Зга —1) рг
\ “рДДг-4-7-10 ... (Зга+1)'7’ J р(1-ж3)3 3-6-9... Зп
е хяп+г dx 3-6-9 ... Зга р С x3n+2 dx _____________ 3-6-9...Зга р,
J [' 1 -А = 5-8ЛТ.. .(Зга-) ° } рДДДр ~ Т7Л0 ... (Зга АД
При этом надо заметить, что С = -А и С = 1 Д
2 тс
i) В § 353 показано, что А = В/= а из формул § 371 вытекает, что
3 у 3
—— и В =
/3
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
191
СЛЕДСТВИЕ 1
342. Эти формулы можно комбинировать различными способами,
так что отсюда получаются замечательные теоремы, а именно:
х3п dx Р д;Зп + 2 flx АС' _ 1 ( ’ dx
j/Г-ж3” J ^(1-ж3)2 Злг -к 1 ” Зп + 1
a?371+1 dx f* хяп dx уТВ - 1 ( ’ dx
£ 1 —ж3 J р(Т^Ж3)2 Зп + 1 3?г + 1
а;3 п + 2 flx р a?3n+i dx 2В'С 1 С " х dx
—х3 J — а;3)2 Згс + 2 Згс -г 2 j |/(1 —а?3/
СЛЕДСТВИЕ 2
343. Так как теперь в расчет уже
ля к трем1), то будем иметь:
не входит отношение показате-
е 1 dx г* х^ 1-1 dx
J f/ 1— х3 j 3|/(1 —а?3)2
p x^ dx C l dx
J /Д — x3 J p(l —ж3)2
f* dx P dx
J j/ 1— X3 J £/(l~X3)2
1 C dx
1 p x dx p dx
X J |/ 1 —ж3 J j/(l — '
1 C x dx
K j У(Т^3)2
Поэтому из двух последних выражений заключаем:
х dx ‘ р dx __ р х dx
frl-x3 ' J У(1^3)2 ’ J ’
Quia nunc ratio exponentium ad ternarium non amplius in computum ingre-
ditur. Под «отношением показателя к трем» понимается вычет показателя по моду-
лю 3. Аргументация Эйлера состоит в том, что формуле § 342 можно придать тот
вид, в котором они переписаны в настоящем параграфе, где через X обозначено произ-
вольное натуральное число. Это обстоятельство он считает достаточным, чтобы утвер-
ждать справедливость формул при любом натуральном значении. Последняя форму-
ла настоящего параграфа, выведенная из второй и третьей, выражает соотношение
BAf=Bf. Подставляя в формулы настоящего параграфа последние шесть выраже-
ний § 341, можно получить еще ряд соотношений, из которых существенно новым
будет В' А.
Современного читателя поражают смелость, с которой Эйлер совершает свою
экстраполяцию, и совершенная недостаточность его аргументации. Надо, однако,
иметь в виду, что те же результаты Эйлер получает и иным путем (см. ниже §§ 353,
371); кроме того, этот виртуознейший вычислитель мог проверить результаты эмпи-
рически.
Таким образом, категоричность суждения Эйлера отражает его полную уве-
ренность в правильности результата.
192
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 3
344. Положим rr == и ).п= т\ тогда наши теоремы получат такой
вид:
zm^ dz Р dz __ 1 C z^1 dz
у i—z^n } " w J ^l — z3n ’
zm+n-i dz ^zrf^i dz n P z2rH 1 dz P zn-1 dz 1 P z2^1 dz
У1 — z3'1 ' J z3")2' — m J 1 —z3« J jZ(l—z3'1)2 — m J ^(1—z3«p ’
7 ЗАДАЧА 41
345. По данному интегралу 1 • xin^l Лх j.hi-I-Xti 1 найти интеграл 1
при х == 1. J (1 —Ж») п J (1- - Z’1) "
РЕШЕНИЕ
Для того чтобы этот интеграл был конечным, необходимо, чтобы т
и к были положительными числами. Так как, согласно общему приве-
дению г),
жт+’1-1 dx (1 - хп) V =-, "7 — хт~1 dx (1 - xnY ,
J mv + zz(fJL + v) j v 7
то положим v=n, a u == к — n, так что тогда будем иметь:
р хт+п-1 с[х т (• xm-1 dx
\ п—Ь т + к \ n~h
J (1 —я") n J (1-z") п
Так как значение последнего интеграла дано, положим его равным А.
п —к
Положим для краткости (1 - хп) п = Р] тогда повторное применение
этого приведения даст
\ - Л,
Г хт+п 1 dx т .
j Р w л к7 ’
Г xnt+2?r 1 dx т(т + п) ,
j Р (пг + А) («г + п 4- к) " ’
Г zm+37l~1c?x т (т + п) (т 4- 2п) .
j Р (т 4- к) (т + п 4- к) (т + 2п 4- к)
и, вообще,
С xm~^an~~^dx т (т + п) (т + 2п) ... (т+(а — 1) п)
j Р (т + к) (т + п + к) (т + 2п 4* к) . .. («г 4* (3 — Г) п + А‘) '
СЛЕДСТВИЕ 1
346. Пусть таким же образом при % = 1 имеем:
SzP-1 dx n
------—. . —
71— q ’
(1- Хп) п
г) См. формулу I § 118.
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
193
для краткости будем писать Q вместо (1—хп) п ; тогда будем иметь:
Г Xp+an~~1 2 * * * dx __ (/? + п) (р 4 2п) ... Ср+(<х —1)и)_ п
J Q (JP + 9)(Jp + " + g)(p + 2n + 9) ... (/? + (« — 1)п4?)
Это выражение содержит столько же множителей, сколько и преды-
дущее.
СЛЕДСТВИЕ 2
347, Положим теперь р — тп-\-к для того, чтобы сделать второй
числитель равным первому знаменателю. Тогда произведение этих двух
выражений равно
тп (тп 4- п) (т 4 2п) ... (тп + (а — 1) п) . т>.
(тп 4 к -|- q) (тп 4 п -|- к -|- q) (тп 4 2п 4 к 4 q) ... (тп 4 (а — 1) п 4 к 4 q) т
далее, пусть тп + к 4- q = тп 4- п, т. е. q-n— к\ тогда это произведение
будет равно AJB* и поэтому
Sxm-han-l dx /» xZn + fa+an-l ™ С xm~1 dx Г* xm+k-i dx
п—к \ h тп -| an \ п—к \ k *
(1 — хп) п J (1 — х”)п J(l —х«) n J (1—х")п
Эта теорема достойна всяческого внимания, ибо здесь не требуется
ничего большего, кроме того, чтобы а было целым числом.
СЛЕДСТВИЕ 3
348. Поэтому напишем р вместо m-j-an; получим:
Sx^’1 $х Г* dx л» хтп-1 &х г- xm+fe-i dx
п—k \ h ТП \ \ ,
(1— хп) п J (1 — Х")п J(l~хп) п J (1—хп)п
Если мы примем теперь m к = п, т. е. т=п — к, то ввиду того,
что при х=1
5п—k
х71'1 dx 1 — (1—x7i) n 1
к n — к n — к 7
(1 — x”)n
получимx):
SXH~“1 ^x P ХИ O dx j r» xn-h~l flx л
n -h \ h jx \ n—k . kiz ‘
(i-x") n J (i~z4 ' j(i-*n)~ 1X718111 ""
Далее, положив х = г^, а затем рьч = р, 'т =--q и к — \п, получим:
С зГ'-1 dz С zP+^-l _ 1 С dz 2.
'(1— з9)1-Л j (1 — ~ P ' (1—'
2) В нижеследующей формуле последнее преобразование совершается на осно-
вании результата § 352, где Эйлер прямо указывает, что этот результат был исполь-
зован в § 348.
2) В первом издании здесь была допущена опечатка: в правой части вместо
— было напечатано — ; в Полном собрании сочинений Эйлера (серия I,- т. И) Л. Шле-
Р Р
13 л. Эйлер
194
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ 1
349. Вытекающие отсюда частные теоремы таковы:
I. /1 = 2, А = 1: С х^ * 1 dx С Xй dx 1 ( . dx 7Z
J х2 J 1 — xl J У 1—x2
II. 72 = 3, С dx C x^ dx { xdx
/с = Г.
.) f (1 .<)- C — xs Iх J f (1 —a?3)2 ~ 3;.У 3' ’
п = 3, А: = 2: С + 1 dx Г + 1 dx 1 ( dx
J У 1— xs J ]/ (1—xzy ) l’ 1 Зр. у з ’
III. 72=4, А= 1: С х*1 — * dx C x^~ dx И хг dx z;
J У (1 X4)S J У1 — x^ tl ( J у 2^У2 ’
п = 4, А-=2: Г dx + 1 dx 1A x dx 7U
J у \ j Ю—Л — I1 J У1— ж4 4}1 ’
п = 4, А = 3: Г x'1-1 dx Г x^dx 1' у dx 7t
J ' J 4^(1 — x4)3 I1 , J У 1 —x^ 2^/2 ’
II T. Д.
можно привести
Здесь надо заметить,
к рациональности11). Для
г* хп- k-i dx
что выражение | —---------
1 п —
(1— хп) п
хп
этого положим ------- — zn,
1 — x)l
т. е. хп
n—k
zn
1 + zn ’
dx dz и C / xn > n dx
откуда ~ • Ho наше выражение = \ J • ~ , поэтому
C } dz
оно сделается = \ -L n , причем надо определить интеграл так, что-
J 1 “Г z
бы он исчезал при я = 0, а следовательно, при z = 0; если затем поло-
жить х = 1, т. е. z = оо, то он даст то значение, которое нам здесь
нужно. Но вскоре [§ 3521 мы покажем, что значение этого интеграла
С zn-k-rdz
\ 1 + zd~~ при z—оо, а следовательно, и значение интеграла
Л* 37^ £^^7
1 ------7г_д [при я=1], может быть выражено через углы, значения
(1—хп) п
которых я здесь только что привел. Далее, заслуживает упоминания
Г* х"1"^ dx
то преобразование выражения |--------- _к, которое получается, если
(1^) гГ
f * z^~ i dz
положить 1 — хп = z™. Оно дает — — > причем надо интегрировать
(1-^) п
так, чтобы интеграл исчезал при гг = О, т. е. при z=l, после чего надо
положить я=1, т. е. z=0. Мы придем к тому же, если, изменив знак
зингер исправил эту опечатку, но возникла другая ошибка: в тексте коэффициент
неправильно записан в виде — , а в сноске указано, что в первом издании было
1 Г z<^dz
якооы напечатано -- \ -.—-4—.
Р J (1 —
О То есть к интегралу от рационального выражения.
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
195
С - &
перед выражением ---------, оудем интегрировать так, чтобы оно
(I —11
исчезало при z=0, а затем положим 2 = 1: ничто не мешает написать х
вместо z, и мы получим следующую замечательную теорему:
(* x'n~1 dx р х^1 dx
I n-k i n—m '
J (I— xn) n J (1— xn) n
Следовательно, в выражении такого вида можно поменять местами
показатели т и А, конечно, для случая х=1. Таким образом, для
предшествующего выражения, приводимого к рациональности (там мы
имели m = 77 — /с), получим:
р х1г~ ,г’1 dx (* dx
| п~ k \ k ‘
J (I — xn) n J (l—^)n
Отсюда также следует, что при z = оо будем иметь:
Г dz _ С dz
J 1 J 1 + zn ‘
ПОЯСНЕНИЕ 2
350, Исходя из этого1), можно выразить интегралы (для случая х= 1)
более сложных выражений с помощью изящных рядов. А именно, если
положить в данном выше приведении т-ук~ р, т. е. А = р —тп, то
будем иметь:
р zm + n-i т С хт~у dx
\ т + п— р Р \ т+п— р ’
,)(1 —г«) п .'(1— хп) ”
пусть теперь имеется 'дифференциальное выражение вида
^т~1 Л.-
dy —----{A + Bxn + Cx^ + Dx^n+ и т. д.),
(1-я") п
которое надо проинтегрировать так, чтобы у исчезало при х = 0, и пусть,
требуется отыскать значение количества у в случае х—1. Если в этом
случае положить
р хт~ 1 dx ______q
I m+n—р ’
v (1 — хУ1) п
то искомое значение равно
+ + ит- д-к
V Р р(11 + «) н(р- + л)(р + 2п) у
Следовательно, и обратно, если предложен ряд
л ! т Т) ! т + п) с 1 т Н- «) (т 4- 2п) п , TI m
]) Из второй формулы § 345.
196
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
то его сумма будет равна следующему интегральному выражению:
<И- xmZ^<A+B^+Cx2n+DxSn+ ” '• Д-),
J (1 — х”) п
если после интегрирования положить я=1. Поэтому, если удастся
найти сумму ряда А + Вхп 4* Сх2п 4- и т. д. и затем выполнить интегри-
рование, то мбжно будет получить сумму предложенного ряда.
ЗАДАЧА 42
351. Найти для случая х — оо значение интеграла выражения
рги—1 dx
- * 1), определенного так, чтобы он исчезал при оо.
РЕШЕНИЕ
Выше, в § 77 мы уже представили интеграл этого выражения, опре-
деленный как раз так, чтобы он исчезал при я = 0. Этот интеграл, если
для краткости положить А — имеет такой вид:
2 . . /5-к-------, 2 . . х sin oj
cos тиф/ V 1 ~ 2х cos ф -р х* 4— sin ты • arctg--
п-----------------------------------------------------* 1 1 п 61 — X cos ш
— — cos Зты11/1 — cos Зф 4* я2 + — sin Зты • arctg z-s*n_^
п 1 1 1 п ° 1 — X COS Зш
— — cos Ьты1 /1 2х cos 5ф 4- х2 4- — sin 5ттгФ • arctg ----- 5<JJ-
п г 1 п ° 1 — х cos 5ш
— — cos \ты1 V \—2х cos Хф 4- х2 4 — sin \ты * arctg - 27S^n^ai
п г 1 1 п ° 1 —X COS Xto ’
аде X обозначает наибольшее нечетное число, меньшее, чем показатель
п\ при этом, если само п —нечетное число, то сюда надо еще прибавить
член ±—Z(l+^) в зависимости от того, будет ли т нечетным или
четным числом: в первом случае имеет силу знак плюс, во втором —
знак минус.
Здесь мы ищем значение этого интеграла, получающееся при х=оо.
Прежде всего оценим члены, содержащие логарифмы. При х^оо имеем:
I [1 — 2х cos Хф 4- £2 = I (х — cos Хф) 2) = 1х 4-1 — cos^ ~ ix>
;ибо cos^-- — 0; поэтому логарифмические члены дадут
—— (cos ты + cos Зты 4- cos 5тиф 4- ... 4- cos \ты)
f . lx \
[ ± — j если п нечетно \ .
х) Здесь опущено существенное указание, что т должно быть меньше л,
в противном случае интеграл имеет бесконечное значение.
i ’ 2) В подкоренном выражении вместо 1 берется cos2Xw; эта замена не оказывает
влияния на результат, ибо х бесконечно велико.
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
197
Положим, что этот ряд косинусов
cos лгю + cos Зты -f- cos эты -j~ • • • + cos = s;
тогда, умножив на 2 sin/то, будем иметь:
2s sin mw = sin 2лгю + sin 4woj -p sin 6mw sin (k 1) mto
- sin 2лга) — sin 4mco — sin 6mw — . . . ,
откуда получаем:
$sin (X +1) тпш
2 sin znto
Если л —четное число, то X == zz — 1, и таким образом логарифмические
члены дают
lx sin птм lx sin 771 тс
п sin mm п sinznw ’
ибо Лш — тс.
Но так как т — целое число, то sin/лтс — О, и стало быть, эти члены
исчезают. Если же п-~ нечетное число, то к = л — 2, и сумма логариф-
мических членов становится равной
lx sin (п —1) 7П0) 1х
п sin 771ш П ’
но sin (л — 1) тлсо — sin (тлтс — тлю) = + sin тлсо; здесь верхний знак имеет
силу, если т — нечетное число, а нижний —в противном случае; это
имеет место также и для двузначности во втором члене; таким образом,
получим:
_ lx sin 771W 1х __ л
“г — * ~ “Н — — О.
п Sin 771Ш П
Итак, логарифмические члены всегда взаимно уничтожаются. Это
ясно и из того, что в противном случае интеграл был бы бесконечным,
тогда как он должен быть, очевидно, конечным1).
Итак, остаются одни только углы; объединим их в одну сумму,
тт « X SIH k<i)
Для этого рассмотрим arctg cos; эта дуга в случае х — 0 исчезает,
1
затем в случае х = она становится квадрантом; при дальнейшем
увеличении х эта дуга будет превосходить квадрант, пока, наконец,
при х— со ее тангенс не станет равным — - = — tg aw = tg (тс —kw),_
а потому сама дуга = тс — kw, вследствие чего все дуги, взятые вместе,
дадут
~ ((тс — w) sin тлю + (тс-4- Зю) sin Зтлю + (тс—5w) sin 5тлю-|-. . . -|- (тс—kw) sin ктлю).
*) При условии, что т < л; вместо выражения
zn-1 dx
нии х можно рассматривать выражение--------.
хт *dx
Г+хп~
при бесконечном значе-
198
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Отсюда мы получим два ряда:
~(sin тш -p-sin 3m:o 4- sin 4~ • • + sin «) = —“ p,
— (sin m:o 4- 3sin 3m о 4- 5 sin 5m о 4“ • • • + ^ sin Xmw) = —~ q.
Исследуем каждый ряд в отдельности и начнем со второго. Выше
мы получили
, о 1 г r sin М +1) тт
cos mo 4- cos 3mn 4- cos 5mn -r . .. + cos кт о = s — .? .— -- ;
1 2 sm mm
если мы будем рассматривать угол о) как переменный, то дифференци-
рование даст
— mdw (sin mtn 4~ 3 sin Зтсо -|- 5 sin 5m:o 4- . . . 4- X sin Xmoo)
__(K + 1) m dm cos (K + 1) mm m dm sin (К -|-1) m<o cos
2 sin тш 2 sin2 mm ’
следовательно,
_ (X.+ 1) cos (X.+ 1) ты sin (k 4- 1) лгю cos mm
2 sin mm 2 sin2 mm *
или
К cos (K+ 1) mm sin Kmm
2 sin mm 2 sin2 mrn
Что касается другого г) ряда
р = sin m:o -j- sin 3mco + sin 5mo 4- . . + sin \mai,
то помножим обе части на 2 sin mto; получим:
2p sin ma) = 1 - - cos 2ma) — cos 4mw — cos &ma) — ... — cos (X 4-1) ma)
cos 2ma) cos 4/nn) ф cos 6mo> 4- • ,
так что
1 — cos (К -P 1) mm
p =-----^-4------— .
1 2 sm mm
Если теперь n будет четным числом, то к = /г — 1, откуда
cos (X 4- 1) ты = cos = cos тъ
и
sin (X 4“ 1) sin тъ ~ О,
следовательно,
1 — cos тъ п cos тк
г 2 sin тт 1 2 sm тт
а стало быть, все дуги, взятые вместе, составляют
2тс 1 — cos тп 2ю it cos т’к __ п
п 2 sin тт 1 п 2 sin тт nsinwo ’
ибо iua — it.
То есть первого.
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
199
Пусть теперь п — нечетное число, тогда к = га —2, откуда
cos (k + 1) ж == cos (ттс — mio) и sin (k + 1) = sin (ттс — moi),
t. e.
cos (k+ 1) ma) — cos cos ma) и sin (k + 1) ma) --= — cos mivsin mco
и, следовательно,
1 — cos mn cos mm (n—1) cos mn cos mm . cos mn cos mm
p = —- . и — q — —v-------------------------------
1 2 sm mm 2 sin mco 2 sin mm
откуда сумма всех углов есть
тс (1 — cos тп cos mco) со (тг — 1) cos тп cos mco со cos тп cos mco
п sin mm ‘ п sin mm ' п sin тт ’
так как /гео == тс, то эта сумма приводится к
п
п sin mco
Итак, является ли показатель п четным или нечетным, при х=оо
имеем:
Г xm'-1 dx п п
j 1 +хП n sin пгео . тп
п sin---
п
СЛЕДСТВИЕ 1
352. Отсюда вытекает упомянутая выше (§ 349) формула
С dz _ Г zkl dz п _____ п
\ 1 zn J 1 zn . (п — к) п . кп
п sm ---- п sin —
п п
(при z=oo), откуда следует, что выражение
Sxn-k~l &х г» xh~l dx
п- k \ k
(1 — х^)~ J (1 — Хп)п
(при х = 1), которое, как мы показали, равно предыдущему выражению,
также равно —.
п sin —
СЛЕДСТВИЕ 2
353. Просмотрим бегло простейшие случаи для выражений обоих
видов при z= со и х1:
С dz ___ С dx ______ п п
\ 1 + 2а ~~ \ 1 — 2 ’
J -г j у 1 JC 2 sin ~--п
Sdz ____ С zdz ___ С dx С xdx _____________ п 2п
} 1+^~ J = =3/3 ’
f dz ____ z2dz ___ f dx f x2dx _____________ n n
J 1 + zl ” J = J 1Ж-*1)3 4 sin 2 = 2/^ ’
4
Sdz z^dz f dx f x^dx тс n
i + 7«= J i+^= J J =6s.n 1 тс= У
6
200
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 3
354. Так как
1 __1 ) * n I k(k + n) 2П ( к(к + п)(к + 2п) зп ,
А 1 пх н —in х -г- га.2га.3га X + и т. д.,
(1 — хп)п
то, помножив на xl,~1dx, а затем интегрируя и полагая z=l, получим:
П
. ктс
nsin—
п
1 к к (к + п)
к п (к + п) п-2п (к + 2п)
к(к + п)(к^2п)
Если вместо к цйписать п — к, то получится также
тс ___ 1 п — к (п — к) (2п— к) (п — к) (2п— к) (Зп— к)
, ктс п— к[ п (2п— к) п-2п(3п— к) . п-2п-3п(4л— к)
п
ПОЯСНЕНИЕ
355. Для выражений, содержащих трансцендентные количества, мы
уже выше нашли замечательные значения, которые интегралы прини-
мают, когда переменному количеству придается некоторое определенное
значение1). Поэтому здесь нет нужды снова рассматривать такие выра-
жения. Но отсюда2) становится понятным, что особенно замечательны по
сравнению со всеми прочими те значения интеграла у X dx, которые
соответствуют значениям переменного х, обращающим функцию X либо
в бесконечность, либо в нуль; эти значения интегралов по большей
части могут быть выражены значительно короче. Так, интегралы выра-
жений \ ------ и \ принимают значения, более замечатель-
J (1— х^)v
ные, чем все прочие, если z—1, a z==co; тогда знаменатель пер-
вого выражения исчезает, а знаменатель второго становится бесконеч-
ным. Далее, достойно всяческого внимания то обстоятельство, что, как
С 1 dz
мы здесь показали, значение интеграла \ —,—— при z^oo получает
столь изящное выражение, как ——-------. Так как доказательство этого
п sin —
п
было проведено со множеством околичностей3), то законно возникает
подозрение, что его можно получить гораздо более легким путем, хотя
[такого] способа пока еще не видно. Во всяком случае ясно, что это
доказательство надо искать, исходя из рассмотрения синусов кратных
углов. Во «Введении»4) я выразил sinтс через произведение бесчислен-
/) Pro formulis quantitates transcendentes continentibus supra jam praecipuos
valores, quos integralia dum variabili certus quidam valor tribuitur, recipiunt, evol-
vimus. Мы затрудняемся, однако, указать, о каких именно результатах здесь
говорится. Если речь идет о трансцендентных первообразных, то Эйлер мог иметь
в виду §§ 314, 315, 316, 326. Но по точному смыслу фразы здесь речь должна идти
о трансцендентных подынтегральных функциях.
2) По-видимому, имеются в виду интегралы, рассмотренные в настоящей главе.
3) Cuius demonstratio cum per tot ambages sit adstructa.
4) «Введение в анализ», §184.
ГЛ. VIII. О ЗНАЧЕНИЯХ ИНТЕГРАЛОВ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
201
вых сомножителей, отсюда, как мы скоро увидим1), можно вывести
ту же истину много легче; однако я не склонен считать этот путь
наиболее естественным.
Это исследование найдет место в следующей главе, где я научу, как
выражать значения, которые интегралы принимают (как и в этой главе)
в каком-либо определенном случае, через бесконечные произведения,
т. е. через произведения, состоящие из бесчисленных сомножителей.
Поскольку это дает для Анализа обильные вспомогательные средства,
отсюда можно ожидать и многих других приобретений.
*) См. ниже § 368.
ГЛАВА IX
О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ЗАДАЧА 43
356. Разложить в бесконечное произведение значение интеграла
dx . которое он принимает в случае я=1.
у 1 — х2
РЕШЕНИЕ
Тем же способом, каким мы выше приводили выражения с более
высокими степенями к простому виду, мы будем здесь приводить выра-
жение ? ~-^=— последовательно ко все более высоким степеням. Так как
J /1—X2
при х ~ 1 имеем:
Р Q[x пг _j_ j р xm+1 dx
J ~~ т J ’
то получим:
Г dx 2 с х2 dx _2 • 4 С х4 dx 2 * 4 • 6 С х6 dx
j 1 —х2 1 J 1 — х2 J /1 — х2 1-3’5 J |/ 1 —х2
Отсюда заключаем, что при неопределенном i будем иметь:
Г dx _ 2-4-6-8...2i Г х2г dx
j ,j/rj —х2 1 • 3-5’ 7 ... (2t 1) j -у j —x2
вплоть даже до того, когда вместо i берется бесконечное число. Теперь
будем подобным же образом восходить от выражения \ х х. ; тогда
v J V 1 — а?2
найдем:
С* х dx _ 3-5-7-9 ... (2/4-1) Г x2i+ItZx
J У1 —х2 2-4-6-8...2Z J 173^2’
Теперь я замечаю, что если /—бесконечное число, то выражения
С х11 dx (* x2^+1(Zx
I и \ Г
J V1 —X2 J 1 —X2
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 203
будут иметь отношение равенства. В самом деле, из основного приве-
дения1) ясно, что если т — бесконечное число, то
С хт~1 dx С zm+1 dx С хт*3 * dx
J 1 — Z2 J 1 — Z2 J 1 — X2
Более того, имеем, вообще,
Zm+»dx _ С xm^dx 2) ,
УТ^х2 J ]/1—Z2 7
какова бы ни была разность между р и v, лишь бы она была конечной.
Стало быть, имеем:
С x2i dx Г x2l+1 dx
J J ]/1—z2 ’
и если положить
2-4-6 ... 2i м 3-5-7-9 ... (2/ + l)__ у
1-3-5 ... (2г —1) ~~M И 2-4-6-8 . .. 2i — х' ’
получим:
(’ dx С xdx = М N = — 1
J г 1 — х2 ' J У1— х2 ‘ ‘ А'
(при 2=1).
Но
х dx л - Г dx л
-у---= 1, а \ -7-^= = „
У1— X2 J У1— х2 -
откуда следует, что
Г* dx _____ М
J У 1-х*~ W
Так как произведения М и N состоят из равного числа множителей,
2
то, разделив первый множитель у произведения М на первый множи-
3 4
тель у произведения 7V, второй множитель у первого произведения
5
на второй множитель у второго произведения и т. д., находим:
М 2-2 4-4 6-6 8-8 ,
--—----. - — -. . .-- и т Д
N 1-3 3-5 5-7 7-9 < А
Отс юда получаем [значение интеграла] для случая х 1 в виде беско-
нечного произведения:
С dx ‘2-2 4-4 6-6 8-8 л
J УТ^х2 БЗ 3-5 5-7 7-9 д 2
*) То есть из первой формулы настоящего параграфа,
2) Предыдущее рассуждение доказывает эту формулу для случая, когда у—р
есть четное число, между тем как в следующей формуле эта разность берется рав-
ной единице. Однако этот дефект восполняется в «Пояснении» § 359.
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 1
357. Итак, мы вывели для значения тс то же бесконечное произве-
дение, которое некогда нашел уже Валлис и правильность которого мы
подтвердили во «Введении», идя по совершенно иному пути1). Итак,
о 2*2 4*4 6<6 8*8
те==2Тз-375-5~7-7^- И Т' Д-
СЛЕДСТВИЕ 2
358. Совершенно безразлично, в каком порядке располагать отдель-
ные множители в этом произведении, лишь бы ни один не был пропущен.
Так, например, можно несколько начальных множителей взять отдельно,
а остальные расположить в должном порядке2 *), как, например,
2L- A 2J4 416 6_J 8Л0
2 - 1 ’3-3’5-5’7-7’~9-9 ' И Т’ Д’’
или
_ 2-4 2-6 4-8 6-10 8-12
2 — 1-3 3^5*5^7 7-9 '91Г 0 Т’ Д”
или
_к_ 2_ 2-4 4-6 6-8 8 10
2 — 3 "1-5*3-7'5-9*7-1Г и т- д-’
или
я 2-4 2-6 4-8 6-10 8-12
2 - 3-5 07 3-9 5-11'7-13' И Т’ Д'
ПОЯСНЕНИЕ
359. Это разложение основывается на том, что значение интеграла
С rfx
\ ~ , где i означает бесконечное число, будет одним и тем же, как
J /1—X2
бы ни изменялось конечное число а. Это ясно из приведения
(• dx i + 1 Р х1*1 dx
j ]/1—х2 * i—т
когда за а берутся значения, разнящиеся на 2. Но, кроме того, нет
никакого сомнения в том, что интеграл £ заключен как в гра-
J у 1—%2
ницах между интегралами ? и f j , а так как последние
J у 1 — х2 J у 1—х2
равны между собой, то и все промежуточные выражения также должны
быть равны им же. Это верно и в расширенном смысле для более
Э См. «Введение», т. I, § 185, стр. 171. Следует заметить, что вывод формулы
Валлиса, данный в настоящей главе, по существу совпадает с выводом Валлиса.
2) debi to ordine. Эти слова надо понимать не в том смысле, что порядок
сомножителей сохраняется прежний; под «должным порядком» понимается такой,
который подчинен простой закономерности.
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 205
-сложных выражений, т. е, мы имеем:
Г dx _____ Г xl dx
i (1 —= J (1—х^ *
где i обозначает бесконечное число.
Действительно, так как
(* хт+п~1 dx т С xm-1 dx
J п~к т-\-к j n~~fe ’
(1— хп) п (1 — хп) п
то эти выражения при т = со равны между собой. Отсюда видно, что
предыдущие два выражения равны в тех случаях, когда а = п, или
я = 2/г, или а = Зп и т. д. Если же а имеет некоторое среднее
значение, то и значение выражения должно занимать некое среднее
{место] между двумя равными значениями; поэтому оно будет равно
каждому из них. Установив это основное положение, мы сможем решить
следующую задачу.
ЗАДАЧА 44
360. Выразить через произведение бесчисленных множителей отноше-
ние двух следующих интегралов-.
х”^1 dx (1 — хп) п и dx(l—хп) п
в случае х — 1.
РЕШЕНИЕ
Так как
хт-' dx (1 - xn)^ = xm+n-1 dx (1 - хп)~^
(в случае х—1), то значение этого интеграла может быть приведено
к интегралу, бесконечно удаленному от него1), следующим образом:
x^dx^-z’1')—
__ (m + fc) (m + fc + л) (m + fc + 2п)... (m + fc + in) C
- m(m + n)(m + 2n) ... (m + in) ) ' 1
где мы принимаем, что i означает бесконечное число.
Подобным же образом для другого предложенного выражения будем
иметь:
, к~п
\ x^~x dx(l —хп)п
+ ^ + ”) 6х -г & + 2п) .. . (|х + fe + in) С ^+in+n__t dx(A —
но интегральные выражения, находящиеся в правой части обоих равенств,
J) ad integrate infinite remota; дословно: «к бесконечно отодвинутому
: интегралу.
206
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
так как их показатели бесконечны, будут равны, несмотря на то, что
числа т и и не равны между собой; при этом каждое из этих двух
бесконечных произведений состоит из одного и того же числа множи-
телей. Поэтому, если каждый множитель поделить на каждый, т. е.
первый на первый, второй на второй ит. д., то отношение двух предло-
женных интегралов выразится так:
h—n
\ dx^~хп) п~ ~ И (т + А:) (+ п) (m + к + п).(p + 2n) (m + к + 2п)
к—п т.^_!гк) (т -j- п) (и + к + п) (?п + 2п) (ji + к -4- 2л) Д’’
J — 1 dx (1 — хп) п
причем надо определить оба интеграла так, чтобы они исчезали при
г — 0, и затем положить х = 1; необходимо также, чтобы буквы т, р, п, к
обозначали положительные числа.
СЛЕДСТВИЕ 1
361. Если разность йисел т и р кратна числу /г, то в найденном
произведении бесчисленные множители взаимно уничтожаются и останется
конечное число множителей. Так, например, если р~тХ/г, будем
иметь:
(тп) (гп,к) (т + 2п) (т + к + п) (т -h 3«) (т -j- к + 2п)
тп(т-^к-^п) (т + п) (т + к -J- 2п) (т - 2п) (т + к -Г Зл) И Т’
77Z —к
а это выражение приводится к .
СЛЕДСТВИЕ 2
362. Однако же значение данного выше произведения в силу необ-
ходимости конечно; это ясно как из интегральных выражений, отношение
которых оно выражает, так и из того, что в отдельных множителях
числители и знаменатели поочередно то большие, то меньшие1).
СЛЕДСТВИЕ 3
363. Если положим т ~ 1, р = 3, тг=4 и к = 2, то будем иметь:
е dx
J _3-3 7-7 11-11 15.15
f ж2dx ПГзЗПМЗ" 13'17" И Т’ Д’’
J V1 —х* 4
а выше мы нашли, что произведение этих двух выражений — ^.
ЗАДАЧА 45
364. Значение, которое принимает при интеграл
^x^dx (l-aC)”,
выразить через бесконечное произеедецие.
, _ т А- ч 4- к т 4- 2л
Ч То есть в множителях -, ---, ••• числитель поочередно*
7 тп т + к + п т + п 1
то больше знаменателя, то меньше.
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 207
РЕШЕНИЕ
Так как в предыдущей задаче отношение этого интеграла к другому
k—n
интегралу х^~х dx (1 --хп) п было выражено в виде бесконечного про-
изведения, то следует в этом последнем интеграле взять р. таким, чтобы
интеграл можно было взять. Поэтому возьмем р. = п; тогда интеграл
станет равным
k
c-|(i-^=12=Vr;
он определен так, что исчезает при ^= 0: затем положим я=1, как
требует условие, и так как этот интеграл станет = мы получим
интеграл предложенного выражения для случая х = 1 в следующем виде:
1 n 2n(zn + fe + n) 3n(m + fe+2n)
i * zn(/c+n) ’ (лп + п) (/; + 2n) ’ (т + 2п) (к + Зп) ' Д'
Перераспределив отдельные множители, мы можем представить этот
интеграл в следующем виде:
С гт-1 1 (А гп^гГ = п . +_^__Зп (zn + fe + n) . 4п (zn + fe + 2n) .
j ' ' тк (пг + п) (к + п) (пг + 2п) (к + 2п) (пг + Зп) (к + Зп) * '
СЛЕДСТВИЕ 1
365. Так как в этом выражении буквы т и к можно поменять
местами, то, следовательно, при равны друг другу следующие ин-
тегралы:
хт~1 dx (1 - :in'f n = xh~l dx (1 -
это равенство мы вывели уже выше в § 349.
СЛЕДСТВИЕ 2
366. Если ?п= п-к, то значение нашего выражения равно значению
С 5^”1 dz
выражения \ при "•- «э. Поэтому, если мы (ввиду того, что
т . и + я у п — а
т-\-к, — п) положим т = —и то оудем иметь:
xm~l dx Г х^ 1 clx С z^1 dz £m~-1 dz
n+a ' j 71—a ) 1 -4- zn 1 -- z'1
(l—xn)2n (1 — xn) 2n
^n 2 ’ 4n2 4 6n2 6 8n2
n3 — з2 9n2 — a2 25n2 — a2 49n2 — a2
Это произведение можно также представить следующим образом:
2 2n-2n 4n-4n 6п-6п
п — л (п 4-а) (Зп — а (Зп 4- а) (5п — а) (5п4-я)(7п — а) и т- Д’
208
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Следовательно,
оно (согласно § 351) выражает также значение количества
. znn ати
п sin — п cos
л 2л
СЛЕДСТВИЕ 3
367. Если же мы просто положим к = п-~т, то
С х171^1 dx Г г zm~7 dz C &z
J rn J n—m. J 1 _j_ zn j 1 +
(1—z") n
1 n2 4л2 9л2
= ----.---------------------------------• И T II
л — zn zn (2л — zn) (n + m)(3n — m) (2n + zn) (4n—zn) '
Это выражение получается из вида, найденного первоначально1). Разу-
меется, это равенство имеет место, если положить ж—1 и z=oo.
ПОЯСНЕНИЕ 1
368. Во «Введении»2) я нашел уже для умножения углов следующее
равенство:
. zn?c zn?c f . т2 \ f . zn2 \ f . \ f л zn2 \
= и т- д-
гт . (л--zn) 7С . ZH7C ,
Но так как sin------— = sin—, то, принимая во внимание, что п — т = а,
п п ’
мы получим также
. zhtc кп/. ^>/4 \ <4 ^><4 >
s^v^C^A^^A^^A1-^/ и т- д"
что приводится к такому виду:
. тп кп (п — к) (п + к) (2л—к) (2п-{-к) (Зп—к) (Зп + к)
sinV = 7T 4л* 9^ и т-
или, если заменить к его прежним значением,
. ZnTL ТС , х zn (2л—zn) (n+zn)(3n—zn) (2n + zn) (4n—zn)
sin — = — (.n — g^- и T. Д.
Отсюда для —7C---- получаем, очевидно, то же самое произведение, ко-
л sin —
л
торое выражает значение наших интегралов, и таким образом, мы имеем
новое доказательство той замечательной теоремы, которую мы выше
[§ 351] преодолели на многочисленных окольных путях [и которая уста-
навливает], что
С хт~1 dx С xn—m—i dx j* 2m'-1 dz __ С z^171-1 dz тс
\ ТП \ п—т “ \ 1 + Zn ~ \ 1 + . zn?c
~ (l-x”)^ (l-гп) п ~ nSin^
*) То есть из последней формулы § 364.
2) «Введение», т. I, § 184.
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 209
ПОЯСНЕНИЕ 2
369. Чтобы наше выражение имело более широкое применение, по-
к U 7 U71
ложим - = т. е- = Т0ГДа найдем:
ж"1-1 dx (1 - xnY~l
м 2 (т\ + Tiji) 3 (mv + п (у + м)) 4 (пг< + п (jx + 2м))
mjx (т + 00 + О (т + 20 О + 2м) (т + 30 О + Зм) и т- Д •
м 2 (т + п|i) 3 (т + п\). + им) 4 (тм + п\>. + 2пу) 5 (тм + njx + Зим)
т;л (m + 00 + O (m + 2n)(jx + 2м) (т + Зп) (ji + Зм) (т + 4п) ([х + 4м) И Т* Д*
В этом выражении буквы т, п (соответственно) переместимы с бук-
вами [х, v, исключая лишь первый множитель, который не связан
с остальными законом непрерывности3); если же мы помножим на п,
то переместительность будет полной; отёюда мы заключаем, что
Г -+-1 с ——1
п \ хп 1dx(\ — хп)N = v \ х'^~[ dx (1 — xv)n
В случае, когда м —лг, это равенство приводится к прежде отмеченному.
Кроме того, будет полезно рассмотреть частные случаи, получающиеся
при различных значениях р и у.
ПРИМЕР 1
370. Пусть р = 1 и v = 2; тогда будем иметь:
С хт~Т dx _ 2 2 (2т + и) 3 (2т + Зп) 4 (2т + 5п) - " f dx
J /Г—— т ' 3(т + п) 5(m + 2ra) 7(m + 3n) ’ И Т’ Д‘ — п \ ^г^_х2^п-т '
Это выражение можно представить в следующем более удобном виде:
С хт-1 dx__2 4 (2т + п) 6 (2т + Зп) 8 (2т + 5п)
j p l —хп т 3(2т~\-2п) 5(2т + 4п) 7 (2т + 6п) и т- Д->
откуда выводятся следующие очень частные случаи:
f dx о 2-4 4-6 6-8 С dx
J у 1 — х2 3 • 3 5 5 7 7 j pl—+
С dx _Г) 4-5 6*11 8-17 10-23 _ 2 f dx
} /1^3-~z’3.8’5.14’7.20’9.26 ’ И Т’ д‘ “3 J
Г xdx 4.7 6-13 8-19 10-25 2 С dx
\ ^з.ю'б.к’т.гг’ 9-28' и т- д- = з )
х) Quo nostra formula latius pa teat; дословно: «чтобы наше выражение прости-
ралось шире». В других местах Эйлер употребляет выражение formula latius patent
в смысле «формула явления более общая». В данном случае такой перевод невозмо-
жен, так как введение нового обозначения не придает формуле более общего вида.
К тому же сам Эйлер в начале § 374 высказывает суждение, которое в буквальном
смысле противоречит сказанному здесь. Он говорит: Caeterum hae formulae, in quas
litteras [x et v introduxi, latius non patent quam primum consideratae, т. e. дословно:
«впрочем выражения, в которые я ввел буквы и м, не простираются ниже, чем
сначала рассмотренные». По существу противоречия тут нет: подстановка к = ~
не придает формуле большей общности, но позволяе!1 легче усмотреть новые за-
кономерности.
210
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Р _9 4‘3 6*7 8*И 10‘15 _ 1 Г dx
} /1^4 ~ZW5-9'7-13‘ 9-17 ’ и т. д. - 2 J *Г(1^х2)-8
Р xdx 4*4 6*8 8*12 10*16 _ 1 Р dx
j 1‘3~б’5*10‘7*14‘ 9*18 ’ и т- Д* -2 } /13^2
ИЛИ
л 2*4 4-6 6-8 8-10
~1'3-3‘5-5'1-1' 9-9 ‘ И Т’ Д’’
Г х2 dx _ 2 4-5 6-9 18-13 10-17 _ ! f* dx
J /1=^~ 3 3-75-11" 7-15 ' 9-19 ' И Т’ Д‘ " 2 J
Г х3 dx __ 2 4-6 6-10 8-14 10-18 _ 1
J 4-ЗГ8-5-12-746- 9-20 * И Т' Д' — 2'
ПРИМЕР 2
371. Пусть р. = 1, a v = 3; тогда будем иметь:
х™^1dx ___ 3 2(Зт-\-п) 3(Зтп-|-4п) 4(Зтп-|-7п) ___ 3 Р dx
У(1_г«)2 ~т 4(™ + п) 7(m + 2m) 10(m + 3n) И Т* Д‘~ n J {/(I — x3)n'm’
откуда выводим следующие очень частные случаи: 3 Р dx
Р dx _ 3 2-5 3-11 4-17 5-23 W т тт —
J (1— X2)2 ~ 1 4-3 7*5 10-7 13*9 и. . . 2 J y-G—ж3 ’
Р dx __3. 2*6 3*15 4-24 5-33 И Т. д* = dx
J j/(l—ж3)2 1 *4*4' 7*7 ’10.10’13*13’ (1—Z3)2
_ 3_ 2*6 5-9 8*12 11*15
или ~ 1 '4*4' 7*7’10*10*13*13‘ И Т. д*,
Р х dx _ 3_ 2*9 3*18 4*27 5*36 И т. д. = dx
J (1—ж3)3 2 *4*5* 778 10*11’13*14 frl — X2
__3 3*6 6*9 9*12 12*15
или 2 '4*5' 7-8’10-11"13-14' И т. д.,
Р dx ___3 2J 3-19 4-31 5-43 и т. д. = 3 Р dx
J (1—г4)2 ~ 1 4*5 7*9 ’10*13*13*17’ 4 J ^(1— X2)2
Р х2 dx = 1* 2*13 3*25 4*37^ 5*49 7-11*1015 13-19 и т. д. == 3_ P dx
J (1—х^)2 4-7 ’ 4 J jZ 1— X3
ПРИМЕР 3
372. Пусть р. = 2 и V —3; тогда будем иметь:
р xm-1 dx 3 2 (Зт + 2п) 3 (Зт + 5п) 4 (Зт + 8п) _ 3 х dx
J jZiZTa-" —2т' 5(т + п) ' 8(™ + 2ге) U(w + 3ra) Т‘ Д’ — п «/ _^п_т
откуда выводим следующие частные случаи:
f' dx 3 2-7 3-13 4-19 5-25 _ 3 Г xdx
j УЗЗ-2 ’5'3 8,5 11,7 14>9' и т’ д’ ~ 2 J /I-*3 ’
с dx 3 2-9 3-18 4-27 5-36 Г х dx 1
J 2 5-4 8‘7 и-10 14’13 J
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 211
или 3-3 6-6_ 9-9 _ 12-12 и т. д.,
"2-4 5-7 —8-10 11-13
х dx _ 3 2.12 3-21 4.30 5>39 и т. д. = х dx
1- X3 4 5-5 8-8 11-11 14-14 [/ 1 —х3
или __3 " 4 * 4*6 7-9 10*12 13-15 5-58-8 11-11 14-14 и т. Д-,
dx _ 3_ 2-11 3*23 4-35 5-47 и т. д- = 3 Р xdx
и' 1—х* " 2"' ' 5-5 * 8*9 ’11>13*14*17‘ 4 J |/(1—X3)3
х2 dx __ 1 2-17 3-29 4-41 5-53 и т. д. = 3 Р х dx
1—х* " 2 ‘ 5*7 *8Й1’ТР15‘14-19’ 4 J ^71 _ Тз
ПРИМЕР 4
373. Пусть р. = 1 и V — 4, тогда будем иметь:
х77^1 __ 4 2 (4?п + и) 3 (4m + 5n) 4 (4m + 9n) _ 4 P dx
^(1 —ягп)3 ~~ m' 5(m + n) ’ 9 (m + 2n) ' 13 (m + Зп)' И T’ Д’ — n j
откуда получаются следующие частные случаи:
dx
(1--X2)3
£ 2-6 3-14 4-22 5-30
1 5-3* 9>5 ‘13-7’17.9*
и т.
д.= 2
dx
4 4-3 6-7 8-11 10-15
или - 1 ‘з.5'579’7.1з‘ 9.17 ’ и т. д.,
dx _ 4 2-7 3-19 4-31 5-43 - 4 С dx
^(7Z^ 'Гм mmW и т’ Д—Т J ^(TZ^
xdx __ 2 2-11 3-23 4-35 5-47 _ 4 Р dx
" 1'5-5 ‘9-8-13.11.17-14- И Т’ Д' ' 3 J ’
dx 4 2-8 3-24 4-40 5*56 Р dx
Р(Г^з= Т-5Т5- 9Щ-13ЛЗ-17Л7- И Т’ Д' = J
4 4-4 6-12 8-20 10-28
или -Т’575”979”1з.1з’177Г7' 11 т- «•>
4 2-8 6-12 10-16 14-20
или же —у’575’9.9’^зтуз’^.р’ и т- Д*>
х2 dx 4 2 • 16 3 - 32 4 • 48 5*64 Р dx
и т-д- = J
4 4*8 6*16 8-24 10-32
или — -у- •^7’9Л1’ 13-15' ТПЭ ’ И Т’ Д’
4 4-8 8-12 12-16 16-20
или же = у *577*9*11' 13*15' Т7ТТ9- И Т’ Д
В этом и предыдущих примерах уже содержится случай и = 3 и v = 4
ПОЯСНЕНИЕ
374. Впрочем, выражения, в которые я ввел буквы р и v, не распро-
страняются шире, чем выражения, которые были рассмотрены сначала1).
]) См. первое подстрочное примечание к § 369.
212
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Действительно, ряды1) зависят от двух дробей и. ~ , а так как по-
следние всегда можно привести к общему знаменателю, то достаточно
исследовать выражения
е хт-1 dx _____ С х^1 dx
J 1^(1—Хп)п~к J К(1— хп)п~т'
Так как их значение в случае х — 1 равно следующему произведению:
1 п (т + к) 2п (т + к + п) Зп (т + к + 2п)
к т (к-\-п) (т + п) (к + 2п) (т + 2п)(к + Зп) И Т* Д*’
то, если в каждом отдельном члене переставить множители знаменателя
и иначе распределить члены, то же произведение получит такой вид:
т + к п (т-\-к-\-п) 2п (т-\- к + 2п) Зп (т-\-к Н- Зп)
тк (т + п) (к + п) (т + 2п) (к + 2п) (т + Зп) (к + Зп) И Т’
Этот вид кажется более удобным для запоминания. Так как подобным
же образом
С 1 dx ________ Г х^1 dx
J У'(1 — xn)n~<i J ^(1 — Хп)п~Р
= Р+Ч л n(p + q + n) 2n (JD + ? + 2п) Зп(р + д-\- Зп)
~ PQ (Р + п) (д + п) (р + 2п) (д + 2п) (р + Зп) (д + Зп) ’ ' ’1
то, разделив предыдущую формулу на последнюю, получим:
к—п
V xm^dx{i — хп) п
х^1 dx (1—хп) п
__ РУ + *) . & + п) (д-\-п){т-\-к-{- п) . (р + 2п)(д + 2п)(т + fc + 2п) .
“ тк (р + д) (т + п) (к + п) (р + д + п) (т + 2п) (к + 2п) (р + д + 2п)
Все члены этого выражения построены по одному и тому же зако-
ну. Исходя отсюда, можно вывести замечательные сопоставления таких
выражений; чтобы о них легче было упоминать, я для краткости буду
применять следующее сокращенное написание.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
375. Значение, которое принимает интегральное выражение
\ — хп) п при х— 1, мы для краткости обозначим знаком (— j ,
где надо еще подразумевать показатель п, который при сравнении не-
скольких таких выражений я предполагаю одним и тем же.
СЛЕДСТВИЕ 1
376. Прежде всего ясно, что и чт0 кажДое из этих
выражений равно
p + g n(p + q + n) 2n(p-\-g-\-2n) и т
РЧ ’ (Р + л) (7 + п) (/z-h 2п) (д + 2п)
х) series; имеются в виду бесконечные произведения, в которые разлагается каж-
дый из интегралов § 369.
ГЛ. IX. о РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 213
Закон роста этих членов очевиден, поскольку отдельные множители как
в числителе, так и в знаменателе непрерывно увеличиваются на одно и
то же число п, так что, зная первый член, уже легко образовать
следующие.
СЛЕДСТВИЕ 2
377. Далее, если р = п, то выражение интегрируется и, очевидно,
G)=(£)=I;точно так же (4 )=(?)=р ’ [если ?="]• Далее’
так как [§ 352]
\ dx (1 — хп) ™ = . -рк
\ 7 n sin —
J л
и так как [в этом случае] q — п = — р, т. е. p-\-q=n, то
< Р А f п — р \ = тс
< р ) nsin^'
п
Поэтому значение выражения можно вычислить до конца всякий
раз, как либо р = п, либо либо p-\-q=n.
СЛЕДСТВИЕ 3
378. Так как мы нашли [§ 345] приведение
#р+п—1 dx (1 — хп} п = - А- 1 dx (1 — хп) п ,
то, следовательно,
/ + = р ( Р_\
\ q ) р + q х. q ) ’
а отсюда
< z Л = f = (р—п\ = д~п ( р Л
Ч q ) \Р J P±q—n\ q J p + q—n\q — nj'
далее также
Г р^\(^—^)(д—п) в <р—пЛ
М/ (p + q~n)(p + q~-2n) \q~n ) '
Следовательно, числа р и q можно всегда опустить ниже л.
ЗАДАЧА 46
379. Найти различные произведения двух выражений рассматривае-
мого рода, так чтобы эти произведения были равны между собой.
РЕШЕНИЕ
Пусть, следовательно, требуется найти числа a, b, с, d и р, q, г, s
так, чтобы =
214
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
п (сd п)
(c-\-n)(d + n)
п (г 4- S + л)
(г + п) (s + п)
Так как1)
(а \ __ а + Ъ п (а + Ъ + п) / с \ __ с + d
b ) ~ ab (а + п) (Ъ + п) и т- Д* ’ \ d ) ~ cd
( Р\ Р + Ч п(р + д + п) Л г \ __г + *
\<1) pq (Р ri) (qп) * Д” \s) rs
то это произойдет, если будет
(a +b)(c + d) _ (р + у) (г + s)
abed pqrs
д’, е. если
abed (р + д) (г + s) = pqrs (а + Ь) (с 4- d),
[и притом] так, чтобы множители (их по шести с той и с другой сто-
роны) были порознь равны2).
Значит, среди четырех множителей abed и [четырех множителей]
pqrs должно быть, по крайней мере, по два соответственно равных.
Таким образом, пусть s — d\ тогда должно получиться
abc(p-Yq) (r+d)=pqr(a + b) (c + d).
I. Возьмем в качестве второго множитель г; так как он не может
быть равным множителю с, ибо в этом случае мы имели =
то положим г—Ь, так что
ас (р + q) (b + d) = pq (а + b) (с + d).
Здесь ни р ни q не может равняться Поэтому необходимо положить:
1) Либо />+ (? = « +тогда
ас (Ь 4 d) = pq (с + d);
но ни с, ни b-\-d не может быть равно c~[~df ибо в этом случае получи-
лось бы либо d = 0, либо b — с, а в последнем случае было бы
Значит, остается [только одна возможность]: a--=c~^d и pq = с (b-\~dy,
поэтому p-b-]-d и # = с, откуда получается
ma)-та)-
2) Либо р-^ q^c-\- d, а следовательно, ас (Z> + d) = pq (а 4~ Ъ). В этом
случае с не может быть равно ни р, ни q, ибо [в обоих этих случаях]
получилось бы = Значит, с^а~\~Ь, так что pq^= a(b^-d).
Стало быть, р=а, q = b~\~d, г = b, s = d и, следовательно,
акт та)-
II. Так как случай г =-а не отличается от предыдущего (вследствие
переместимости букв а и 6), то положим г = тогда получится:
abc(d-Yp + q) = pq(a + b) (c4~d).
Так как г не может быть равно с, то множитель d4-p -q нельзя
положить равным ни р, ни q, ни c~\~d^ остается [только одна возмож-
4 См. § 376.
2) ita ut, cum utrinque sex sint factores, singuli singulis sint aequales.
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 215
ность]: d р — q = аЬ, и тогда abc = pq(c — d). Так как с не может
быть равно c + d, а р и q равноправны, то пусть р = с\ тогда +
-|- 6 — с — d и аЪ = (с-г d) (а+ 6 — с — d); следовательно, a = c-[-d, q= b,
р = с, r=b~}-c, s=d. Таким образом, получается:
тшж*-?).
СЛЕДСТВИЕ 1
380. Эти решения сводятся почти к одному и тому же1), и из них
получаются три равных произведения двух выражений:
или же в буквах р, q, г:
ХХХХХХХХХХХХХ-
СЛЕДСТВИЕ 2
381. Если разложить эти выражения2) в бесконечные произведения,
то найдем:
( ( р + q Л — + ? + г . п<2 (p + qjrjn) . 4п2 (/? + g + г + 2п)
к<?Д Г ) pqr (р+п) (q + n)(r + ri) ’ (Jp + 2n)(? + 2n)(r+2n)
Отсюда ясно, что три буквы р, £, г можно любым образом переста-
влять, отсюда можно [снова] вывести три найденные выше формулы.
СЛЕДСТВИЕ 3
382. Вернемся к интегральным выражениям; тогда окажутся рав-
ными между собой три следующих произведения:
хР~1 dx С &х р ^q-i &х л rr^+r“1 dx
J J У(1 —rrn)n-r J “/(1 — J */'(1 —а;П)"-Р
C rr^“1 dx ? x^+r~A dx
J ”/ (1 — rsn)n-r J ’X(l — xn)7i~(i ’
СЛЕДСТВИЕ 4
383. Следует особо отметить случай, когда п. Действительно,
в этом случае
и (Р"\ = * t
< Г ) XrJ г XqJ
п
и учесть соотношение
Э Второе решение получается из первого, если поменять ролями сомножители
: чтобы получить третье, доста-
и к этому выражению
точно представить его левую часть в виде
применить первое решение.
2) Можно взять любое из трех равных выражений предыдущего параграфа;
-Эйлер берет первое.
216
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
и эти три произведения будут равны---------—. Стало быть,
nr sin —
п
f xn-p-i dx С xn-p+r-i dx Г xV-1 dx Г dx __ гс
У(1—а:")"-’' ' ' У(1—а:п)"-Р ““ JlГ(1 J V (1—xn)P nrsin^
п
ПОЯСНЕНИЕ
384. Это тройное свойство произведений двух выражений заслужи-
вает особого внимания; если мы будем подставлять вместо /?, q, г раз-
личные числа, то получим следующие частные равенства:
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 217
Эти выражения верны для всех чисел п; если [среди чисел р, q, г}
встретились бы числа, большиеj чем п, то, как мы видели выше, их
можно было бы привести к меньшим, [чем п].
ЗАДАЧА 47
385. Найти различные произведения из трех выражений рассматри-
ваемого рода так, чтобы эти произведения были равны между собой.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим произведение
. В разложенном
виде оно дает
. ”3 (/> + ? + г + * + ”) . и т п
pqrs (р + л) (q + л) (г + я) ($ + я) ‘ Д ‘
Очевидно, оно сохранит одно и то же значение, каким бы образом мы
ни заменяли друг другом четыре буквы. Далее, то же разложение полу-
чается и из произведения OGXSO , где имеет место такая же-
взаимозаменяемость. Следовательно, равны между собой все следующие-
произведения:
©тс-^)'
©сх-т-х-х ©mcT)-
cxx©)©©).
©С©(©©• ©©©©©•
Из предшествующего свойства J) сами собой вытекают произведения дру-
гого вида; действительно,
(©)(©©-(©(©)
Далее,
нии дает в
также и произведение Р ) С О ПРИ разложе-
(р + Q + г) (р 4- г + $)
качестве первого члена ~(р + г)~ ’ в этом произведе-
нии можно поменять местами как р и г, так и q и $, так что
сп (©)©©©©©©>
ПОЯСНЕНИЕ
386. Хотя эти равенства кажутся очень общими, однако они не дают
никаких новых сравнений, которые не содержались бы уже в изложен-
х) То есть из формул § 380, которые надо применить к произведению двух
последних множителей в каждом из предыдущих выражений настоящего параграфа.
218
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
ном выше. Действительно, последнее равенство
txe-xxxxcxcxxx)
получается от перемножения равенств
ххххсхсхд схеххсхсх)-
Способ же образования равенств первого рода станет ясным из сле-
дующего примера: равенство
(ХХХХХХХХСХ)
получается от перемножения равенств:
ex сххте-хх схххххххх-
Эти сравнения особенно полезны для приведения друг к другу
значений различных выражений одного и того же порядка, т. е. при
данном числе п, с той целью, чтобы интегрирование свелось к наимень-
шему числу выражений, задав которые, уже можно было бы определить
при их помощи остальные.
ЗАДАЧА 48
387. Найти простейшие выражения, к которым можно свести
интегрирование всех случаев, содержащихся в выражении вида
/ д \__ г аД-1 dx
V 7 ) — J У(1 —*
РЕШЕНИЕ
Прежде всего Q—= —;
отсюда получаются следующие случаи:
(!>* (XX. (XX. (XX- (XX-
Далее1), (^)
п sm —
п
откуда уже известны значения всех
выражений, указанных ниже:
(X)- (XX?. (X)-. (ХХ8 —
Правда, этих значений недостаточно для нахождения всех осталь-
ных; кроме них, надо считать как бы известными следующие:
(XX* еххс. (ХХ^’--
Из этих выражений при помощи выведенных выше равенств уже
..можно определить все остальные. Из их числа наиболее полезно
Э См. § 377.
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 219
заметить следующие:
( п — а к / п \ __ / п — а\ / п — а + & к
V. а ) \Ъ 7 ““ к Ъ 7 к а ) J
/ п — а \ / п — а — b \_ / п — & > / п — а — b \
к^~“) к Ъ )\~ А а )>
f п— а \ S' 71— Ь— 1 \ / п — а — b \_ / п—b \ / п — а \ / п — а — b \
k~V“) к ъ А га-1 )^\~Г А^=т A a /
Из первого из этих равенств, положив а = &Ц-1, находим:
/ п — 1 \_ / п — а\ f 71 Л . f 71 — а\
) к^А: к<г="1) ’
/ п > 1
где ( --т ) = ; поэтому при помощи взятых выражении опре-
CL J. J G J.
/га —1 к
деляется ( —— ) .
Из второго, положив Ь=1, выводим:
/ п — а— 1 к _( 71 — 1 Л / 71 — а— к ( 71 — а\
к I Ак^“ А а ) : ) •
Из третьего, положив 6 = 1, находим:
7 п— а — 1 к „ ( 71 — 1 к Л 71 — а\ ( 71 — а— Л . f 71— а\ f 71 — ^к
к га-1 ) ~ < а ) 1 АТ ) АА ’
Таким образом, можно найти все выражения —; из них, да-
лее, положив в третьем равенстве 6=2, получим:
/ п — а — 2 к / 71 — 2 к / га— га к 7 71 — а — ~ к f 71 — 71 — ^k
< га-1 Ак^ A^lA ~а ) А^ А^-) ’
отсюда находим выражения и, [поступая] далее таким об-
разом1), все выражения вида , ибо этот вид содержит все
[другие]. Работу эту можно значительно сократить при помощи первых
равенств. Действительно, найдя , получим из первого2)
/п — 2k__/ га — а — 2 к ( 71 \ . / 71 — а — 2 к
<Г^Ак га + 2 А А А га ) f
а из второго 3)
Равным образом, найдя выражения , получим из них сле-
дующие:
/ п — 3\_ / п — а — 3 Л / / п — а — ЗЛ
<^+3> = < « + 3 А а ) ’
2) То есть полагая в третьем равенстве & = 3, & = 4 и т. д.
„ /га — а \ / п \ f п—a\fn—
2) Из равенства ( —— у 1 = ( —j ( ------------- L заменив в нем а через
а + 2 и Ъ через а.
3) Подставляя & = 2.
220
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 1
388. Из равенства
Zn—1 / п — а\ А п—
" а-1 < ) ** )
определяем:
Z п — 1В Zп — IX т А п—1\ S А п — IX s
L 2 >'й’ Ст)-®’ (.—;=® "т- д-;
Сп — а—1 \ Zn—1\ Z п — а —1 \ Z п — а\
--j- ) = ( ) V -а- ) ’ I ~~аГ~ ) полУчаем
следующие выражения:
Ап— 2\ аЛ Z п— 3\ аВ А п—4\ аС А п — 5> a.D
(—)=Т’ (—)=Т’ (—) = Т’ С-т->т 11 т-«-
СЛЕДСТВИЕ 2
389. Равенство
Z п — а — 1 Л_ Zп— 1 \ Zn— а Л А л— а —1 \ Z п — а\ Z п — 2 \
V a-i А^=ТА a ) А~ J
дает
Z п— ЗА__аАВ Z п — 4\____аВС Z п— 5Х ___aCD /п— 6 \_____a.DE
\1Г )~~$а ' <”з“А А ’ АА"Т
Отсюда найдем выражения
а именно:
Z п — 2 Л _ Z п— а —2 \ Z п А Z п— а — 2
g *4“ 2 у \ч а Н- 2 J и J х^ и
/Л_Zn —2\__ Sp4 Zn — 2\ _ еМ /п — 2\ __
< 3 А ^АВ 1 (<~4“ ) “ 2аВС А 5 A 3aCD 1 < ~б“) " 4aDE
а также и выражения
/ п — а — 2\ _Z п — 2Л / п — а — 2\ / п — а \
< 2 А<^“ А “ ) ’
а именно:
/ п — 3 Л $аАВ / п — 4> раВС п — 5Л fyxCD f n — 6 A faDE
)"~^A 1 <~2“ ' <~2“ A AT ) ""ST
СЛЕДСТВИЕ 3
390. Далее равенство
дает
Zn — 4 Л a^ABC Z n — 5 \ afyBCD An — 6"\ aftCDE
= ^AB ’ < “T J = < 3~) = ~ UAB ’
Поэтому равенство
Zn — 3\__Zn — a — 3 \ Z n > Z n — a — 3
v + 3y I a-F3 \ a
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 221
дает
/л —3\_ 8-гМВ /л — 3\_ fBsXB ( п~ 3\_ Ъг',АВ
< 4 J ~ 1аЗАВС ’ < 5 ) — 2a$BCD ' < “6“ ) — 3^CDE И Т' Д’
<р ( п— а — 3 \ f п— 3 \ f п — а — 3 \ / п—а >
1ОЧНО так же из ( -------- \ = ( ----- } ( —— - } : ( ] выводим
выражения
Z п — 5\ a^BCD /п — 6Л ol^CDE / п — 7\ a^DEF
< з )— ’ v .4 ) = ) = ь^ав и т’ д’
ПРИМЕР 1
391. Развернуть все случаи, содержащиеся в выражении
С хр-х dx __ /" р \
J V (1—~~ \ Я ) ’
где п=2, причем f= р^д '
Все эти выражения, очевидно, могут быть найдены либо алгебраи-
чески, либо при помощи углов. Однако же, пользуясь вышеприведен-
ными правилами, получаем (так как числа р и q не должны1) быть
больше, чем 2) лишь одно выражение, зависящее от круга:
так что наши случаи будут
ПРИМЕР 2
392. Развернуть все случаи, содержащиеся в выражении
Р xP“x dx f р \
j (1—х3)3~У ч Я / ’
где п^=3, причем1) = —~~~ •
Здесь основные случаи, к которым приводятся остальные, таковы:
Г4>-—~-^=» « f П-Л-t ;
1 1 > 3sln| 3/3 <*' j i'll-*1)’
если это принять, то остальные случаи будут:
(!>* (4)4. (4)4.
(4)=«. (4)4.
G4-
х) Согласно § 378.
222
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПРИМЕР 3
393. Развернуть все случаи, содержащиеся в выражении
С dx / р
J ^(1-х4)^- к Q J ’
где п = к, причем 4~~)
От круга зависят следующие два выражения:
f 3 \ ТС ТС ( ТС Q
к 1 ) , ™ 21ЛГ ~"а И \2 7 / • 2тс — 4
4 z 4 sm -г z 4 sm т
4 4
Кроме того, необходимо иметь одно особое трансцендентное выражение
и тогда остальные определяются следующим образом:
(4М (1)4. (4)4. (4)4.
(4)- (4)4. (1)4.
(4)-. (4М
аЛ
ПРИМЕР 4
394. Развернуть все случаи, содержащиеся в выражении
С хр-1 dx ____________________ / р \
J р<(1 —х5)5-9 Ч 9 / ’
еде п = 5, причем (44) = 744 (f) ’
От круга зависят следующие два выражения:
44—--“ < 44-4-?.
5 sin 5 sin
5 5
кроме которых надо взять два новых трансцендентных выражения:
4)^ (4-^
при их помощи все выражения определяются следующим образом:
ГЛ. IX. О РАЗЛОЖЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ В БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 223
ПРИМЕР 5
395. Развернуть все случаи, содержащиеся в выражении
С xi^1 dx ____f Р \
J р<(1- \ ? 7 ’
где п = 6.
От круга зависят следующие три выражения:
С5\ те те / 4 \ те те __
1 ) а - ™ 3 а’ к 2 У . 2те “ 3 т/з"
6 Sin —- 6 Sin v. ' ° г °
6 6
и, кроме того, надо взять следующие два трансцендентных выражения:
(4)"^ и ^в.
При их помощи все выражения определяются следующим образом:
(4>Ц4>4. ©=! (4)4 (4)4(4)=4•
(4)- (4)4. (4)4. (4)4 (4)4-
ПОЯСНЕНИЕ
396. Эти определения можно продолжать до тех пор, пока будет
угодно; среди них надо обратить особое внимание на случаи, в которых
вводятся новые виды трансцендентных. Первый из таких случаев встре-
чается при п = 3, а именно:
Г 1 > _ е dx
“ J 1^(1-®3)’ ’
значение этого выражения в виде бесконечного ^произведения, как мы
видели выше [§ 371], равно
3 2-6 5-9 8-12
1 * 4-4 * 7-7 ’ 10-10 * И Т' Д'’
что по формуле1) для (так как п = 3) равно также
2 3-5 6-8 9-11 12-14
1-1 * 4-4 ’ 7-7 * 10-10 * 13-13 * и т* Д*
Ч См, § 376.
224 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
Далее, из класса и —4 рождается новое трансцендентное выражение:
равное следующему бесконечному произведению:
3 4-7 8 11 12-15 16-19 __3 2-7 4-11 6-15 8-19
1 -2 ‘ 5^6 ‘ 9Л6 ’ 13-14 ’ 17Й8 ’ 11 т’ д> — 2 ’ 5-3 ’ 9-5 ’ 13-7 ’ 17-9 ’ И Т’ Д’
Из класса и=5 получаем два новых трансцендентных выражения:
7 3\ f х2 dx _ Г dx _ 4 5-9 10-14 15-19
i ^'(1-^)4 J ~ 1-3’ 6-8’ 11-13’ 16Л8 ’ И Т- Д'
и
/2х_е xdx _ 4 5-9 10-14 15-19
к 2 / J “’ 2-2 ’ 7-7 ’ 12-12 ’ 17-17 ’ ИТ,Д’’
так что
/ 3 \ f 2 > 2-2 7-7 12-12 17-17
С 1 ) : С 2 ) - 1-3 ’ 6-8 ’ 11-13 ’ 16-18 ’ и т‘ Д>
Класс п=6 дает два следующих трансцендентных выражения:
/ 4 \ С х3 dx Р dx __________ If у dy
Ч 1 ) J (1 — х6)5 J S/ 1 — х^ 2 j (1 — у3)5
(если положить х2 = у) и
/ 3 Ч__ Р х2 dx ____ Р х dx ____ If dy _______ If dz
Ч ) J |^(1 — я6)2 J /1 — х® J /1 — У3 J (1 — £2)2 ’
если положить у = х2 и z = x3. Но надо заметить, что между этими
выражениями и первым выражением
С dx = 2 £ у dy = 2 ( 2
j ^(Г^3)2 - J |Z<2 >
существует соотношение1) Т (Д = а ("I-) (4’У’ так
принять первое выражение за известное, то здесь достаточно
из двух.
что, если
взять одно
(второе соотношение
§ 384), но
соотношение
S
5
ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
КНИГА ПЕРВАЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЛИ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ функций
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО КАКОМУ-
НИБУДЬ ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ
МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА I
О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
397. Говорят, что в дифференциальном уравнении имеет место
разделение переменных1), если можно разделить2) уравнение на два
члена так, чтобы в каждый входило только одно переменное со своим
дифференциалом.
СЛЕДСТВИЕ 1
398. Следовательно, когда дифференциальное уравнение устроено3)
так, что его можно привести к виду Xdx = Y dy, в котором X есть
*) separatio variabilium.
2) dispescere.
3) est comparata.
226
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
функция одного лишь z, a Y — одного лишь у, тогда говорят, что это
уравнение допускает разделение переменных.
СЛЕДСТВИЕ 2
399. Если Р и X обозначают функции одного лишь z, a Q и У - -
фунции одного лишь у, то уравнение PYdx=QXdy допускает разделе-
ние переменных; действительно, будучи разделено на ХУ, оно перехо-
Р dx Qdy
дит в уравнение —= - у - , в котором переменные разделены.
-А л
СЛЕДСТВИЕ 3
400. Стало быть, в уравнении общего вида ^ = У разделение пере-
менных имеет место в том случае, если V есть такая функция перемен-
ных х и у, что ее можно разложить на два множителя, один из которых
содержит одно лишь переменное z, а другой — одно лишь у. Действи-
тельно, если У = АУ, то отсюда получается уравнение с разделенными
переменными *) ~ = X dx.
ПОЯСНЕНИЕ
401. В этом разделе мы решили рассматривать такое соотношение
между х. у и р ^мы полагаем отношение дифференциалов =
в котором р равняется какой-либо функции переменных х и у. Здесь
же мы рассматриваем сначала тот случай, когда эта функция разлагается
на два множителя, из которых первый есть функция одного лишь х,
а второй одного лишь у, так что уравнение может быть приведено
к виду Xdx^Y dy, в котором два переменных, как говорится, отделены
друг от друга. Этот случай включает в себя и рассмотренные выше
простые выражения, где У=1, так что dy = Х dx и у= \Хах\ тогда
все дело сводится к интегрированию выражения X dx. Столь же мало
трудностей содержит и уравнение с разделенными переменными X dx =
= Уdy, с которым можно поступать совершенно так же, как с простыми
формулами; это мы покажем в следующей задаче.
ЗАДАЧА 49
402. Интегрировать дифференциальное уравнение, в котором пере-
менные разделены, т. е. найти уравнение между самими переменными.
РЕШЕНИЕ
Уравнение, допускающее разделение переменных, всегда приво-
дится к виду Y dy = X dx, в* котором X dx можно рассматривать как
дифференциал некоторой функции переменного х, a Y dy ~ как диф-
ференциал некоторой функции переменного у. Так как дифференциалы
0 aequatio separata; дословно: «разделенное уравнение».
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
227
равны, то необходимо, чтобы и* их интегралы были также равны или
разнились на постоянное количество. Значит, надо проинтегрировать оба
выражения, каждое в отдельности, по правилам, изложенным в преды-
дущем разделе, т. е. надо искать интегралы Ydy и Найдя
их, будем иметь уравнение
Y dy = X dx Const,
которым выражается конечное соотношение между количествами х и у\
СЛЕДСТВИЕ 1
403. Итак, всякий раз, как дифференциальное уравнение допускает
разделение переменных, интегрирование может быть выполнено по тем
же правилам, которые были даны выше для простых выражений.
СЛЕДСТВИЕ 2
404. В интегральном уравнении
Y dy ~ X dx -И Const
либо обе функции Y dy и X dx алгебраические, либо одна алгебраи-
ческая, а другая трансцендентная, либо обе трансцендентные, поэтому
соотношение между х и у будет либо алгебраическим, либо трансцен-
дентным.
ПОЯСНЕНИЕ
405. По мнению некоторых, в разделении переменных состоит вся
основа решения дифференциальных уравнений, так что если предложен-
ное уравнение не допускает разделения переменных, следует искать
подходящей подстановки, в результате которой вновь введенные перемен-
ные сделают возможным разделение переменных. Итак, все дело сво-
дится к тому, чтобы указать для любого предложенного дифференциаль-
ного уравнения такую подстановку (т. е. такое введение новых пере-
менных), благодаря которой имело бы место разделение переменных.
Конечно, надо было бы желать, чтобы был обнаружен такой метод
нахождения подходящей подстановки для любого случая, но в этом
вопросе не найдено решительно ничего определенного, так как боль-
шинство подстановок, которые до сих пор были в употреблении, не?
основывается на каких-либо определенных началах. Далее, нельзя рас-
сматривать разделение переменных как истинную основу всякого инте-
грирования по той причине, что оно оказывается совершенно бесполез-
ным при решении дифференциальных уравнений второй и более высоких
степеней; ниже я изложу другое начало весьма общего характера. Пока
же, в настоящей главе, мне кажется целесообразным изложить главней-
шие интегрирования, выполняемые с помощью разделения переменных.
Ведь в этом трудном деле весьма важно познакомиться с возможно
более разнообразными методами.
228
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧА 50
406. Привести к разделению переменных дифференциальное уравне-
ние Pdx — Qdy, в котором Р и Q —однородные функции от х и у одного
и того же числа измерений, и найти его интеграл.
РЕШЕНИЕ
Так как Р и Q — однородные функции от х и у одного и того же
Р
числа измерений, то [дробь] -^- будет однородная функция нулевого
измерения и, стало быть, если положить у —их, перейдет в функцию
от и. Поэтому положим у— их; тогда перейдет в функцию U от и,
так что будем иметь dy — Udx. Но, так как у —их, то dy — и dx-У х du;
после этой подстановки наше уравнение получит вид и dx -\-xdu = U dx;
(это уравнение] —с двумя переменными х и и, которые, очевидно, могут
быть разделены. Действительно, перенеся члены, содержащие dx, в одну
часть, получим:
xdu — (U — и) dx,
и потому
dx __ du
х U — и '
Интегрирование этого
переменного и можно
уравнения дает 1х — \
определить х1), откуда
du
'U — u ’ ТаК ЧТ° тепеРь из
далее находим у —их.
СЛЕДСТВИЕ 1
407. Еще лучше, конечно, если окажется возможным выразить
интеграл также через логарифмы, так что 1х будет равен лога-
рифму какой-либо [алгебраической] функции от и; тогда получится
алгебраическое уравнение между х и и, а следовательно, если подста-
вить вместо и значение — , алгебраическое уравнение между х и у.
СЛЕДСТВИЕ 2
408. Так как у— их, то ly — lu-\-lx, но lx — , поэтому
, , , С du С du t С du
ly — си 4- \ -r-7--== \------h \ r7----;
1 \ U — и Л и ' \ U — u ’
-сведя эти два интеграла в один, получим:
С Udu
j и (U — и)
0 По-видимому, в этой фразе допущена какая-то редакционная ошибка; быть
может, и напечатано вместо х и наоборот. В оригинале: ita ut iam ex variabili и
*detcrminetur
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
229
Однако при этом необходимо заметить, что нельзя в каждом интеграле
для 1х и 1у прибавлять произвольное постоянное; как только постоянное
прибавлено к одному из интегралов, тем самым уже определяется то
постоянное, которое должно быть прибавлено к другому интегралу, так
как должно быть
1у ----1х-'г 1и.
СЛЕДСТВИЕ 3
409. Имеем:
Г du Г du — dU 4- dU C dU С dU — du
\ ~ У ТП^и J ~ \ ~U—u *
но второй член интегрируется при помощи логарифмов; поэтому х)
1х=\ -и),
т. е. l(x(U — н)) = и^и ' Значит, нет разницы, будет ли интегрируе-
C du 0 dU
мым выражение \ у _и или \ — .
ПОЯСНЕНИЕ
410. Так как этот метод распространяется на все однородные
уравнения и пользованию им не препятствует иррациональность, кото-
рая может содержаться в функциях Р и Q, то он заслуживает самой
высокой оценки и наибольшего предпочтения перед другими методами,
которые применимы лишь к весьма специальным уравнениям. Кроме
того, отсюда мы убеждаемся, что все уравнения, которые при помощи
какой-либо подстановки могут быть приведены к однородности, можно
решать тем же методом. Так, например, если предложено уравнение
7,97 a dx
dz 4 z dx == —>
x-
1
то сразу же ясно, что подстановкой z — — оно приводится к однород-
ен?/ . dx a dx 9Х 9 , 7 , 9 9Х
ному уравнению---?^~ *~ у* 2" или2) х* dy = dx (х* — ay)*
Впрочем, нетрудно бывает усмотреть, можно ли при помощи такого
рода подстановки привести предложенное уравнение к однородному
виду. В большинстве могущих представиться случаев3) достаточно
испытать подстановки х = ит и у = vn; при этом легко будет решить,
возможно ли взять показатели т и п так, чтобы везде получилось одно
и то же число измерений. Что же касается более сложных подстановок,
то в уравнениях этого рода они вряд ли уместны, исключая лишь те
случаи, когда они сами бросаются в глаза. Изложенный здесь метод
интегрирования будет небесполезно пояснить на нескольких примерах.
p du
J U^u ‘
х) Согласно § 408 1х =
2) См, § 414.
3) Plerumque, quoties quidem fieri potest.
230 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ПРИМЕР 1
411. Дано однородное дифференциальное уравнение х dx + у dy = ту dx;
найти его интеграл.
dy тух
Отсюда, очевидно, ~ = —----; положив у~их, имеем:
ту — х ти—1 у — и ’
а так как dy = и dx -\-xdu, то получим:
7 7 ти- udx -\-х du = — dx,
откуда dx и du — и du
х ти — 1 — и2 1 — ти + и2
или 1 7 — и du + —- т du dx 2 1 J ~ mdu
х 1—ти + и2 1 — ти + и*
отсюда, интегрируя, получим:
1х = — 4-1 (1 — ти + и2) — 4- \ -а---—г + Const.
2 v 1 7 2 J 1—znw-hK2 1
Здесь надо рассмотреть три случая в зависимости от того, будет ли
т > 2 или т < 2, или же т = 2.
1) Пусть т > 2; тогда 1 — ти-\-и2 получит вид
/ \ < 1 \ . 1 а2 +1
(и — a) f и — — ] , причем т = а + — = ---— ;
так как
da a du a du
, ч ( 1 > а2—1 и — а а2 — 1 1 ’
(в_в)^в„_у
то
= — у I (1 — ти и ) — 2(О2_П I р + С
' ' и-----
а
ИЛп
I (х j/1 — ти 4- и2) + I аи~а = 1С
х * 1 7 1 2 (а2 — 1) аи — 1
Если У снова подставить значение и = , то интегральное уравнение
будет иметь вид lVx2-mxy-Vy4^±^l^- = lC
или
а2+1
/ ау_а2х х 2 (а2— 1) -------
( ау-х ) Ух2-тху+у2 = с.
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ЦЕРЕМЕННЫХ
'231
2) Пусть т < 2 или m==2cosa; тогда
du _______ 1 и sin а
1—2ucosa + u2 ”” sin а ° 1 — u cos а
откуда
I (х ]/1 - - ти + и2) = С —COS arctg . ttsing—
v r 1 ' sin а ° 1 — и cos а
ИЛИ
т 1 г 2 q /"* cos ос l У sin (X
11/ хл — mxy -f г/3 = C-:-arctff —------ .
r & sina ° x — у cos a
3) Пусть m = 2; тогда
C du ___________________________ 1
J (1—u)2 1 — U *
откуда
l[x(i-u)}=C—Д-- или l(x-y)==C--~-
ПРИМЕР 2
412. Предложено однородное дифференциальное уравнение
dx (ах + Ру) = dy (-[х + 8у);
найти его интеграл.
Положив у=их, будем иметь:
и dx 4- х du = dx ,
7 + Su
и поэтому
, л / , ъ \ rfufbu + ^7—у +du
dx __ du (7 + ou) _ \ 2 2 r J \ 2 2 J
x ^a + pu—7U — Su2 a + (3—7) u—^u2 ’
отсюда, интегрируя, получим:
И здесь надо рассматривать те же случаи, что и выше, в зависимости,
очевидно, от того, имеет ли знаменатель a-(-({? — 7) и — &и2 два неравных
вещественных множителя или два равных [вещественных], или два
мнимых.
ПРИМЕР 3
413. Предложено однородное дифференциальное уравнение
х dx-\-y dy = xdy — у dx;
найти его интеграл.
Здесь = Положив у = их, имеем:
м dx х—у
и dx + xdи = -г2— dx или xdu~ -----dx\
1 1 — и 1—и ’
232 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
отсюда получается:
dx du — и du
х ~~~ 1 + и2,
и после интегрирования
lx = arctg и — I ]Л1 + п2 + С
или
I И*2 + У2 = С + arctg .
ПРИМЕР 4
414. Предложено однородное дифференциальное уравнение
х2 dy = (х2 — ay2) dx\
найти его интеграл.
о dy х2-^ ау2
Здесь, очевидно, =; положив у^их, получим:
и dx + х du = (1 — au2)dxt
и поэтому
dx du j С du
x 1 —zz— au2 J 1—и — au2
на вычислении этого интеграла не стоит останавливаться.
ПРИМЕР 5
415. Предложено однородное дифференциальное уравнение
xdy — y dx= dxУх2 j- у2\
найти его интеграл.
/л dy у + V х2 + у2 -
Очевидно, ~~ > откуда, положив у=их, будем иметь:
и dx-^x du = [и + 1 + и2) dx
или
xdu = dxY 1 + н2,
г у у 1 dx du
[дифференциальное уравнение] — = —> интеграл ко-
так что имеем
торого есть
lx = la+l(u + yr^] = la + l(^/^^
или
lx == la +1 -у.-------
/^ + 2/2 -у
откуда получаем:
ах
Х^ г .....—---1 ,
+ — у
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
233
ИЛИ
}Лг* 2 + г/2 = а-|-г/,
откуда
х2 = а2+ 2ау.
ПОЯСНЕНИЕ
416. Сюда можно причислить и трансцендентные функции, лишь бы
только под знаками их стояли функции нулевого измерения1) перемен-
ных х и у, так как при подстановке у==их они переходят в функции
переменной и. Так, например, если в уравнении Рdx == Qdy, сверх того,
что Р и Q суть однородные функции одного и того же числа измере-
ний, входят выражения вида
J Ух2 + у2 • а? ла?
I-----ех arcsin— - COS— И т. Д.,
х ,/а?2 + у2 У
то изложенный метод можно применить с равным успехом, ибо если
dy Y
положить у = их, то отношение сделается равным функции одной
лишь новой переменной и.
ЗАДАЧА 51
417. Дифференциальное уравнение первой степени2)
dx (а + + уу) = dy (В + гх + гу)
привести к разделению переменных и проинтегрировать.
РЕШЕНИЕ
Положим
а + + уу = t и В + гх + ~у = и,
так что tdx^udy. Отсюда получаем:
„ — — —«С + т* —£^ + я£ —
3'=—У рС—у£ ’
откуда dx'.dy = dt — у du) :$du-s dt).
Стало быть, получаем такое .уравнение:
dt — du = Pw du — eu dt,
или
dt (£Z + ги) = du (₽u + y).
Так как это уравнение однородное и подходит под пример § 412, то
интегрирование уже выполнено.
г) mode afficiant functiones nullius dimensionis.
2) primi ordinis; дословный перевод («первого порядка»), конечно, невозможен.
Уравнения первого порядка по терминологии Эйлера называются aequatiemes primi
gradus, т. е. дословно: «уравнения первой ступени» (или «первой степени»).
234
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Однако же существует случай, в котором это приведение к одно-
родности не имеет, места; это— случай, когда — ]£ = 0; тогда устра-
няется возможность введения новых переменных t и й. Стало быть,
для этого случая требуется особый способ решения.
Последнее выполняется следующим образом. Поскольку теперь
предложенное уравнение будет иметь вид:
a dx + {fix + чу) dx — bdy-\~n{fixJr уу) dy,
положим fix + ^y = z; тогда
dy _ д +
dx S + nz
гт 7 dz—Й dx
Ho dy = —, следовательно,
dz — p dx a + z 7
B + aXi
где переменные, очевидно, могут быть разделены; действительно,
_ dz (5 + nz)}____________________________
аХ- aT + pS+(7 + ^)3 *
Интегрирование этого уравнения вводит логарифмы, за исключением
случая 7 + «р == 0, когда оно алгебраически дает:
Ж-2(а7 + ^) + С-
СЛЕДСТВИЕ 1
418. Итак, так называемое дифференциальное уравнение первой
степени вообще не может быть приведено к однородному виду, но надо
исключить случаи, в которых эти случаи приводят к совер-
шенно иному уравнению с разделенными переменными.
СЛЕДСТВИЕ 2
419. Если в этих исключительных случаях п — 0, т. е. если пред-
ложено уравнение dy = dx{a -ф -|- yy)2), то, положив fix^-^y — z, ввиду
того, что 8=1, получаем уравнение dx = ^z 9 интегРал которого
есть
f ё— _ I-с--,
или
Р + т (а++ту) = с^х-
х) Aequatio ergo differentialis primi ordinis, uti vocatur, in genere ad homoge-
neitatem reduci nequit, sed casus, quibus = inde excipi debent. Современный
автор, подводя итог изложенному в § 417, сказал бы, что уравнение рассматриваемого
типа вообще .могисет быть приведено к однородному виду, но случай рС = уе состав-
ляет исключение. Можно допустить, что Эйлер оговорился. Думается, однако, что
здесь не оговорка и что выражение «вообще не может быть приведено» употреблено
в смысле «не всегда может быть приведено».
2) Коэффициент у положен равным 1, что, очевидно, не влечет потери общности.
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
235
ЗАДАЧА 52
420. Предложено дифференциальное уравнение
dy-^ Ру dx = Q dx,
в котором Р и Q — любые функции переменного х, а другое переменное у
со своим дифференциалом нигде не имеет более одного измерения1). При-
вести это уравнение к разделению переменных и проинтегрировать.
РЕШЕНИЕ
Будем искать такую функцию переменного х (пусть это будет X),
чтобы после подстановки у = Хи уравнение допускало разделение пере-
менных. Тогда получается:
X du + и dX + РХ udx^Q dx.
Это уравнение, очевидно, допускает разделение переменных, если
dX + PXdx = 0, т. е. если
так что интегрирование дает
lX=-^Pdx, т. е. X = e~SPdx
Стало быть, если взять для X эту функцию, то наше уравнение после
преобразования будет X du = Q dx или
du = ^ = eSPdxQdx.
Так как Р и (^ заданные функции переменного х, то отсюда получаем:
С V Р dx -j У
и = \ е^ Q dx = -^~ .
Поэтому интеграл предложенного уравнения есть
y = e~SPdx $ e$PdxQdz.
СЛЕДСТВИЕ 1
421. Стало быть, решение этого уравнения dy-\- Ру dx = Q dx тре-
бует двух интегрирований: первого — для выражения Р dx и второго—
для выражения e^Pdx Q dx. Но при этом произвольное постоянное до-
статочно прибавить при втором интегрировании, так как значение пере-
менного у содержит не более одного постоянного. В самом деле, если
даже написать при первом интегрировании Pdx-\-C вместо Р dx, то
выражение для у останется тем же.
Э altera autem variabilis у cum suo differential! nusquam plus uno habeat di-
mensionem; смысл слов «со своим дифференциалом» (cum suo differential!) нам не-
ясен. Быть может, следовало бы перевести «равно как и его дифференциал», но и
при таком толковании непонятно, зачем употреблены эти .слова. Поэтому мы пред-
почли буквальный перевод. По существу же ясно, что речь идет об интегрировании
линейного уравнения первого порядка.
236
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
422. Следовательно, при интегрировании выражения Pdx доста-
точно взять его частный интеграл; поэтому постоянному слагаемому
подобает придать такое значение, чтобы вид интеграла стал наиболее*
простым.
ПОЯСНЕНИЕ
423. Вот, стало быть, другой класс уравнений (не менее обширный,
чем предыдущий класс однородных уравнений), который можно привести
к разделению переменных и таким путем проинтегрировать. Из него
проистекают в изобилии применения в Анализе, так как здесь буквы
Р и Q обозначают какие угодно функции переменного х. Таким же
образом можно, очевидно, поступать и с уравнением
R dy + Ру dx~Q dx,
где R обозначает какую угодно функцию от х. В самом деле, после
разделения на R получается предложенный вид уравнения, только
Р Q
вместо Р и Q надо будет писать и , так что интеграл будет
Для уяснения этой задачи добавим несколько примеров.
ПРИМЕР 1
424. Предложено дифференциальное уравнение
dy + у dx = xn dx;
найти его интеграл.
Так как в этом случае P=l, Q = xn. то Pdx~ х, и интегральное
уравнение получит вид
у == е х \ exxn dx.
Если п — целое положительное число, получим (§ 223):
у = е~х(ех(хп— пхп~~1-\-п(п—l)zn~2— и т. д.)4-С),
или в развернутом виде
у = Се~х + хп — пхп~{+ n (п — 1) хп~2 — n (n — 1) (п-— 2) хп^ + и т. д.
Отсюда мы получаем для наиболее простых значений числа п\
если п = 0, то у = Се~~х 1,
если то у = Се~~х-- х— 1,
если п = 2, то у~Се~~х-}-х2 — 2х-}-2*1,
если п = то у = х+— 3z2 + 3-2z —3-2* 1
и т. д.
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
237
СЛЕДСТВИЕ 1
425. Если, следовательно, постоянное С положить = 0, то будем
иметь частный интеграл
у = хп — пхп~1 -j-л(п— 1)хп~2 — п(п— 1)(п — 2)д?п 3'^ и т. д.,
который является, очевидно, алгебраическим, покуда п —целое положи-
тельное число.
СЛЕДСТВИЕ 2
426. Если интеграл требуется определить так, чтобы при <г = 0
значение у исчезало, то постоянное С должно быть взято равным по-
следнему (постоянному) члену с обратным знаком; следовательно, [в этом
случае] интеграл всегда будет трансцендентным.
ПРИМЕР 2
427. Предложено дифференциальное у равнение (1 — х2) dy + ху dx == a dx;
найти его интеграл.
Если разделить это уравнение на 1—я2, то оно приводится к виду
так что Р = J значит,
Pdx^ —I j/1 -х2 и e$Pdx =— 1 ,
J У VI—X2
откуда находим интеграл
У = /1^? С VT=5 + С)
(1—х2)2
Поэтому искомый интеграл будет
у == ах — С У1 — хг.
Если требуется определить его так, чтобы он исчезал при х = 0, то
надо взять С = 0, и тогда будем иметь у = ах.
ПРИМЕР 3
428. Предложено дифференциальное уравнение dy -|—= a dx,
1/ 1 -к э?2
найти его интеграл.
Так как Р =——и 0 — а, то
/1 + <г2 Х
\р dx^nl [х-^У 1+я2) , e^Pdx
и
Следовательно, искомый интеграл будет
у = (У 1 -их2 —х}п adxi
238
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для его вычисления положим х +V1 -рх2 = и\ тогда получится
и2— 1
ж = -2ц , откуда
л du (1 + и2)
следовательно,
$ иПйх = 2(п—1) + 2 (л 4-1) "* С'
Так как (|/1 -т х2 — х)п = w~n, то
у r„~n j ДЦ"1 । аи
У * 2 (n —1) 2 (n + 1) ’
или
y = C(/l+^2-^)n4-2(^T)(/l+^2-^)+27£pi)^1 + :c2 + ^ •
Это выражение приводится к виду
г/ = с(/Гм2-^)п + ^-1УТ+^-^1 ;
если нужно определить интеграл так, чтобы ?/ = 0 при х = 0, то надо
st Т1(1
взять С =--ъ.
п2-1
ЗАДАЧА 53
429. Предложено дифференциальное уравнение
dy + Ру dx~ Qyn^ dx,
где Р и Q обозначают какие угодно функции от х. Привести его к виду,,
допускающему разделение переменных, и проинтегрировать.
РЕШЕНИЕ
Т7 1
Если положить то это уравнение сразу же приведется к только
х .. dv dz
Что рассмотренному виду; действительно, так как , то наш&
уравнение, разделенное на г/, т. е. уравнение
у + Р dx = Qyn dx,
тотчас переходит в уравнение
-- + Pdx = ^
nz z
т. е. dz — nPzdx~ - nQ dx,
интеграл которого есть
2= -enipdx^e-n^PdxnQdx,
и поэтому
1 Р dx С —n^Pdxfi
— = — пе J \ е J (Jdx.
уп J
Но с этим уравнением можно поступать так же, как и с преды-
дущим, а именно, искать такую функцию X, чтобы после подстановка
ГЛ. I. о РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
239
у == Хи получилось уравнение, допускающее разделение переменных.
Но [после подстановки] получается:
X du + и dX + РХи dx - Xn+1un+1Q dx.
Поэтому пусть dX-Y PXdx^Q, т. е. X — e~~^Pdx, тогда будем иметь:
= XnQ dx = е~п$ р dx Q dx
и, интегрируя,
-Л= &~n^PdxQdx,
пип J v
а так как
У $Pdx
u=:=j{=e^ У'
то будем иметь, как и прежде,
1= -nenlpdx\e~n^PdxQdx.
У J
ПОЯСНЕНИЕ
430. Следует считать, что этот случай не отличается от преды-
дущего, так что здесь не получается ничего нового. Эти два класса
дифференциальных уравненийг) — почти единственные сколько-нибудь
широкие классы, для которых можно осуществить разделение перемен-
ных. Прочие случаи, которые при помощи той или иной подстановки
можно привести к виду, допускающему разделение переменных, по боль-
шей части являются слишком частными, чтобы от них можно было
ожидать значительной пользы. Однако же мы здесь изложим несколько
случаев, заслуживающих предпочтения перед остальными.
ЗАДАЧА 54
431. Предложено дифференциальное уравнение
try dx -rfixdy -ф хтуп (чу dx 4- ox dy) = 0;
преобразовать его к виду, допускающему разделение переменных, и про-
интег ри ровать.
РЕШЕНИЕ
Разделив все уравнение на ху, получаем такой вид:
। ап< 7^ । ЦА q
х у ' ry J
Отсюда сразу же видно, что подстановки xay$ — t и х^у*~и должны
принести значительную пользу. Действительно, отсюда получится:
a dx } 3 dy dt 7 dx ft dy du
x ~ у t x ' у и ’
а следовательно, наше уравнение примет вид
А+ а;”у ?“ = ().
Z 1 и
]) То есть однородные и линейные уравнения.
240 0Б ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Но из подстановки следует, что
zj.aS—рт __ tbU~ Р И Uat~y,
и поэтому 5 —Р —т д X __ jaS—pTjjaS—рТ , у — ja3—рТ^аЗ-₽Т -
подставив эти значения, получим: 3 m—*rn an—рт aS-ЗТ д!а6-РТ = 0, г 1 -м
откуда *ГП—Зт an—Вт dt + u^^ du = Q.
Интеграл этого уравнения есть
Тп—Sm ап—pm
aS—рТ „aS—рт
— Вт — fyn
Теперь остается только восстановить значения уГи = х^у\
Надо, впрочем, заметить, что если — Sm = 0 или an —Рт^О, вместо
написанных выше членов следует писать [соответственно] It или Zn.
ПОЯСНЕНИЕ
432. К предложенному уравнению приводит следующий вопрос:
найти такую зависимость между переменными х и у, чтобы
у dx = аху + bx™+1yn+1.
Для решения этого вопроса надо взять дифференциалы, в резуль-
тате чего получается:
у dx^axdy -J- ay dx Ц- bx™yn ((m + 1) у dx + (n Ц- 1) x dy).
Сравнив это уравнение с данным выше, имеем:
a = a — 1, p = 7 = (m + 1) b, В = (пЦ- 1) Z>;
следовательно,
aS — py = (n— m)ab — (n+l)fe,
an — pm = (n — m) a — n и рг — от = (n — m) 6;
тем самым интегральное уравнение найдено.
ЗАДАЧА 55
433. Предложено дифференциальное уравнение
у dy -\-dy (a + bx j- nx2) = y dx(c-\- nx).
Привести его к виду, допускающему разделение переменных, и проинте-
грировать.
ГЛ. I. о РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
241
РЕШЕНИЕ
Так как отсюда следует
dy ______у (с + пх)
dx у + а + Ьх + пх2 ’
то испробуем подстановку
У (с +пх) и(а + Ьх + пх2)
у + а + Ьх + пх2 ’ • * У с _|_ пх — и
Должно быть dy=--udx1 т. е.
dy__и dx__dx(c + пх— и)
у у а + Ьх + пх2
Но из логарифмов Д получаем уравнение
dy___du dx (b + 2nx) n dx— du dx(c-\~nx— u)
у и a + bx + nx2 c-\-nx — и a-\-bx-\- nx2 '
которое преобразуется к виду
du (с + пх) — пи dx dx (с—Ь — пх — и)
и (с + пх — и) а + Ьх + пх2 ’
ИЛИ
du (с + пх) dx(na-\-c2—Ьс-\-(Ь— 2с)и-\~и2)
и (с -р пх— и) (с пх— и) (а-\~Ьх + пх2)
Это уравнение, будучи помножено на спх — и, очевидно, допускает
разделение переменных; и мы получаем:
dx _ .du
(а + Ьх + пх2) (с + пх) ~~ и (па + с2—Ьс^(Ь — 2с)и + и2)
Интегрирование этого уравнения может быть выполнено при помощи
логарифмов и углов. Но лишь благодаря случаю, который едва ли можно
было заранее предвидеть, эта подстановка привела к желательной цели,
и потому эта задача большой пользы принести не может.
ЗАДАЧА 56
434. Предложено дифференциальное уравнение
п dx (1 + у2) /1 + у2
/Г+72
привести его к разделению переменных и проинтегрировать,
РЕШЕНИЕ
Ввиду наличия двух иррациональностей вряд ли каким-либо обра-
зом может сразу стать ясным, какую подстановку надо применить.
Конечно, надо искать такую, в результате которой под одним и тем же
знаком корня не оказались бы оба переменных вместе. Для этой цели
IX m X и(а-\-Ьх-\-пх2) *
1) Го есть сначала логарифмируя уравнение у — ————--- , а затем диф-
С пх — и
ференцируя.
16 л. Эйлер
242 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
кажется подходящей такая подстановка:
X—и
1 4- хи ’
она дает
(l+^2)d + ^)
1 У " (1+хи)2
и
, __c?x(l + u2)— с?и (1 + х2)
(1 + хи)2
Подставив эти значения в наше уравнение, получим:
— и dx (1 4- u3)-|- и du (1 +#2) = ndx (1-|-u2) 1 -\-и2.
Это уравнение, очевидно, допускает разделение переменных, а именно,
получается:
dx ___ и du
1 4- X2 4, u2^ уЛ1 + u2 + и)
Это уравнение, если положить 1 + и3 —Z3, становится более стройным1):
dx dt
i + x2 " t(nt + V^—l) ‘
1 + s2
Устранив иррациональность при помощи подстановки t = > полу-
чаем уравнение
dx 2ds(l— +) __ 2 ds t 2n ds
l + x2~ (1 4- S2) (n + 1 + (n— l)i'2)" 1+H 1 -n + l+(n — l)s2 ’
интегрирование которого уже не представляет никакой трудности.
ПОЯСНЕНИЕ
435. В этом случае особенного внимания заслуживает подстановка,
X + и
у — 1 ? при помощи которой устраняется двойная иррациональность.
Поэтому стоит посмотреть, что может дать более общая подстановка
ах + и
У 1 + рхи
Отсюда получается:
о о (а — pu2) (1—арх2) u (1 — арх2)
а-^2=—a+W~’ r+rfr-
и
, dx (а — Ви2) +с?и (1 — арх2)
аУ~~~ "ТГ+рхЩ2 *
Легко видеть, в какого рода уравнениях могла бы принести пользу
эта подстановка; именно, при ее помощи двойная иррациональность
V<х —рй /а —pu2 /
. - приводится к простои , которую можно затем без труда
у 1 —арх2 1 + 'Р^и
привести к рациональному виду.
) concinnior.
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
243
Вот почти и псе случаи, при которых находит место приведение
к разделимости переменных. После обстоятельного их рассмотрения ста-
нут легко доступными и остальные случаи, какие до сих пор были
изучены. Я присовокуплю сюда лишь исследование относительно слу-
чаев, когда уравнение dy 4* у2 dxахт dx допускает разделение перемен-
ных, поскольку к уравнениям подобного рода часто приходят и посколь-
ку само это уравнение некогда было среди геометров предметом усерд-
ного изучения1).
ЗАДАЧА 57
436. Определить для уравнения dyу2 dx — ах™ dx те значения пока-
зателя т, при которых это уравнение может быть приведено к разделе-
нию переменных.
РЕШЕНИЕ
Прежде всего это
переменных в случае
dy = dx (а — у2), то dx ~ .
быть направлено на то, чтобы
случаи к этому случаю.
Положим у — ~ ; тогда
уравнение само по себе допускает разделение
т = 0. ~ "
dy
Действительно, так как в этом случае
Поэтому все наше исследование должно
при помощи подстановок свести другие
— Ъ dz 4* b2 dx ==• ax™z2 dx.
Для того чтобы
тогда
этот вид стал сходным с предложенным, положим
— m
mj dt , dt
x dx = —-и dx —--
и мы получим:
j , .az2 dt b2 .ttvt
bdz~]------=——т dt.
m + 1 m-j- 1
Ъ = —-у; > это уравнение станет еще более сходным
Если взять
с предложенным, а именно будем иметь:
—m
dz --z2 dt — -—Jm+1 dt.
(m + I)2
Если бы в этом уравнении переменные были разделимы, то и само
предложенное уравнение было бы приведено указанной подстановкой
к виду, допускающему разделение переменных и обратно. Отсюда мы
заключаем, что если предложенное уравнение допускает разделение пере-
менных в случае т = п, то оно допускает разделение также в случао
т = 444 ’ этим пУтем из случая т = 0 мы не получаем иного,
Положим у = ; тогда
7 dx dz } llz dx
У X2 х2 1 X3
4 См. примечание к § 441,
244
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И
97 dx 2zdx . z2 dx
irdx = ~--------Ц-------r
1 xA xA 1 z4
Отсюда получается:
dz ( z-1 dx jYi 7
--------------------------5“ -r i- == dx
или
„2 rCr
dz — = — axm+2 dx;
X2
1
пусть теперь x= - ; тогда
dz 4- z2 dt = аГт~л dt.
Это уравнение таково же, как и предложенные; отсюда делаем вывод:
если разделение удается в случае т = п, оно удается и в случае
т = — п — 4.
Итак, из одного случая т-п получаются два других, а именно:
т =
----^-7 и т = — ?г~4. Но так как случай т~0 известен, то, при-
меняя попеременно эти две формулы, получим следующие случаи:
,4 8 8 12
т = — 4, т == — — , т - — о- , т = —~ ,
7 3 3 5 5
12 16
т = — у , т = — у и т. д.;
у — 4г
все эти случаи содержатся в формуле т = гууу *
СЛЕДСТВИЕ 1
437, Итак, если будет либо т = 2'г+Т * ли^° т 2г —1 7 то УРавне"
ние dy ~\-y2dx = ахт dx с помощью нескольких повторных подстановок
в конце концов может быть приведено к виду du 4 и2 dv = с dv, а в этом
уравнении можно произвести разделение переменных и интегрирование.
СЛЕДСТВИЕ 2
438. Стало быть, если т = у—
, то уравнение
dy iry2dx---=- ах™ dx
1
при помощи подстановок x = tm+i и
dz -x-z2dt = —^-7^2 tn dt,
(m +1)2
___ a
У ~~ (m -j- 1) z
где п
приводится к виду
— 4г
2Г=Л ’
этот случай должен считаться на одну ступень более низким.
СЛЕДСТВИЕ 3
__4t-
439. Если же т = * то УРавн^ние
dy ^ry^dx — ахт dx
ГЛ. Т. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
245
при помощи подстановок
1 1 Z 4 .
= — и у =--------т. е. y — t-
t J х х* 1
приводится к виду
dz -Yz^dt — atn dt,
в котором
„ = -4(i-l) __ .
2Z — 1 2 (i -1) Д 1 ’
этот случай опять на одну ступень ниже.
СЛЕДСТВИЕ 4
440. Стало быть, все случаи разделяемости, найденные таким путем,
дают для показателя т отрицательные числа, содержащиеся между гра-
ницами 0 и —4. Если же i — бесконечное число, то получается случай
zn= —2. Впрочем, этот случай сам по себе ясен, так как уравнение
dy + y^dx^—*
становится однородным, если положить г/= [§ 410].
ПОЯСНЕНИЕ 1
441. Уравнение dy 4- у2 dx — ахт dx обычно называют уравнением
Риккати по имени графа Риккати, который первый предложил случаи
с разделяющимися переменными1). Я здесь представил это уравнение
0 Якопо Риккати (1676—1756) привел уравнение второго порядка xmd2x=-
= d2y + dy2‘ к уравнению рассматриваемого здесь вида. Хотя ему и были известны
случаи сводимости к уравнению с разделяющимися переменными, но в своем мемуаре,
напечатанном в 1724 г., он их ие указал, а лишь поставил задачу о разыскании
случаев, сводящихся к разделению переменных. В том же выпуске журнала «АсСа
eruditorum», где был помещен мемуар Риккати, было напечатано зашифрованное
в виде анограммы сообщение Даниила Бернулли о найденном им решении. задачи
Риккати. Через два года, в течение которых никаких публикаций по этому вопросу
не последовало, Д. Бернулли опубликовал свое решение полностью. Как по методу,
так и по результатам оно почти не отличается от решения, изложенного в предыду-
щих параграфах «Интегрального исчисления».
Когда Эйлер говорит (§ 435), что уравнение Риккати было предметом усердного
изучения, он имеет в виду не опубликованную в то время оживленную переписку
между рядом выдающихся математиков, в числе которых были Даниил Бернулли,
'Иван Бернулли (его отец), Николай I Бернулли (его двоюродный брат), Николай II
Бернулли (его родной брат), X. Гольдбах и сам Эйлер. Эта переписка была опубли-
кована лишь в 1843 г. внуком Эйлера, непременным секретарем Петербургской акаде-
мии наук П.-Г. Фуссом (Correspondence, malheniatique el physique de quelques cclebres
geometres du XVIII siecle, U 1, 2, St.-Petcrsbourg, 1843).
Уравнение более общего вида
^-=P(X)y^ + Q(x)y + R(X), (А)
(IX
которое по почину Даламбера получило наименование уравнения Риккати, также
было предметом изучения Эйлера, начиная с 1738 г. В 1762 г. Эйлер доказал, что
если известен один частный интеграл уравнения (А), то последнее сводится к линей-
ному и интегрируется с помощью двух квадратур. Если же известен еще один част
пый интеграл, то достаточно одной квадратуры.
246
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
в самом простом виде, так как к нему сразу же приводится уравнение
dy + АуЧ^ dt = Bt^dt, если положить At^dt^dx и = (р. + 1) х.
Обе подстановки, которыми я пользовался, являются очень простыми;
однако и с помощью более сложных подстановок не обнаруживается
никаких других случаев разделяемое™. В связи с этим представляется
в высшей степени замечательным, что рассматриваемое уравнение крайне
редко допускает разделение переменных, хотя число случаев, когда такая
возможность оказывается, поистине бесконечно.
Впрочем, это исследование можно перенести с показателя на простой
т
коэффициент1); действительно, положив y = получаем:
dz ф-mz -|- х 2 z2 dx = ax 2 dx\
1 2x 1
если теперь положить
х2 dx — dt и х 2 — —I,
dx 2dt
то получится - = ----—— , откуда
X ( ТП —]— t
dz + 7^ + z2dt-adt-
Следовательно, во всех тех случаях, когда = ± 2i, т. е. равно
четному числу, положительному либо отрицательному, это уравнение
можно привести к разделяемое™, а значит, уравнение
dz ± -^-z^dt — a dt
всегда интегрируемо. Если далее положить z = и — 2 (т + 2) У ’ то ПОЛУ~
чится:
, । 2 j . т + 4)
du-}-и dt —adt 4 (m + 2)2 z2 ’ ’
— rr
а для случаев, когда переменные разделяются, когда = 2/ £ i, будем
иметь:
du ф- u2 dt = a dt +
О более плодотворном исследовании этого уравнения, поскольку оно
имеет очень большое значение, я расскажу еще в дальнейшем2), когда
буду заниматься интегрированием дифференциальных уравнений с по-
мощью бесконечных рядов3). Исходя отсюда, мы легче получим случаи,
допускающие разделение переменных, а вместе с тем сможем найти
интегралы.
Caeterum haec investigate ab exponente ad simplicem coefficientem traduci
potest. Смысл этой фразы ясен из последующего: Эйлер хочет показать, что уравне-
ние Риккати можно с помощью подстановки преобразовать в такое уравнение, где
параметр т входит не в показатель степени, а в коэффициент.
3) Uberiorem autem huius aequationis evolutionein, quandoquidem est maxirni
in omen ti, in sequentibus docebo.
3) См. «Интегральное исчисление», т. II, гл. VII, §§ 940, 941. 943, 955 — 966;
ср. также §§ 831- 841.
ГЛ. I. О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
247
ПОЯСНЕНИЕ 2
442. По-видимому, вряд ли возможно дать более подробные указания
относительно разделения переменных, которые могли бы оказаться полез-
ными; отсюда понятно, что этот метод можно применять лишь к очень
немногим дифференциальным уравнениям. Поэтому я перейду к объясне-
нию другого принципа, из которого можно черпать интегрирования; этот
принцип имеет гораздо более широкое применение, ибо он может быть
применен к дифференциальным уравнениям высших порядков, так что,
как кажется, в нем содержится истинный и естественный источник всех
интегрирований.
Этот принцип состоит в том, что для любого предложенного уравне-
ния между двумя переменными всегда существует некоторая функция,
после умножения на которую уравнение становится интегрируемым.
Иначе говоря: все члены уравнения надо перенести в одну сторону; тогда,
утверждаю я, всегда существует некоторая функция двух переменных х
и у. скажем У, [такая], что после умножения выражение VPdx-\-VQdy
оказывается интегрируемым, т. е. оно является истинным дифференциа-
лом, порожденным дифференцированием некоторой функции двух пере-
менных х и у. Положим эту функцию =*S, так что dS ^VPdx^-VQdy;
так как Pdx-]-Q dy = 0, то будем иметь также d5 = 0, а следовательно,
8 — Const. Это последнее уравнение будет интегралом, и притом долным,
дифференциального уравнения Pdx~{-Q dy — O, Значит, все дело сводятся
к нахождению этого множителя V.
(У
го
о
5
ГЛАВА II
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
ЗАДАЧА 58
443. Исследовать предложенное дифференциальное уравнение: является
ли оно непосредственно1) интегрируемым или нет!
РЕШЕНИЕ
Расположим все члены уравнения по одну сторону от знака равен-
ства так, чтобы уравнение приняло вид Р dx -у Q dy == 0; тогда уравнение
будет интегрируемо само по себе, если выражение Pdx^Qdy будет
истинным дифференциалом какой-либо функции двух переменных х и у,
а это имеет место, как мы показали, в Дифференциальном исчислении2),
если дифференциал количества Р, когда за переменную принимается только
у, так относится к dy, как дифференциал количества Q, когда за пере-
менную принимается только х, к dx\ иными словами (применяя способ обо-
значения, которым мы пользовались в Дифференциальном исчислении), если
( dP^f dQ\
V dy ) к dx )
per se.
a) См. «Дифференциальное исчисление», ч. 1, 231 и 240. В настоящем пара-
X о- . I dP I I dQ I
графе Эйлер снова устанавливает необходимость условия | р достаточ-
ность же этого условия не обоснована ни в «Дифференциальном исчислении»,
ни в даннном сочинении. Это не мешает Эйлеру в конце настоящего параграфа
обратить теорему. Ставить этот пробел в упрек Эйлеру это означало бы упрекать
всю математику XVIII века в недостаточном внимании к требованиям логической
строгости. Во «Вступительном слове к „Дифференциальному исчислению" Л. Эйлера»
автор попытался выяснить всю неуместность подобных упреков. Можно, пожалуй,
добавить еще, что в § 449 Эйлер, излагая прием эффективного разъяснения перво-
образной функции, казалось бы, вплотную подошел к необходимости доказать, что
выражение Q — V является функцией только у (см. также § 452). Имеющихся в его
распоряжении средств было бы совершенно достаточно, чтобы с легкостью доказать
равенство нулю производной Q — V по х (ср. § 457). Но Эйлер настолько убежден
в справедливости обратного предложения, что в § 449 даже не упоминает о постоян-
стве^—-V (относительно х). По существу здесь нет и проигрыша в строгости, так
как для обращения теоремы о дифференциале постоянного количества у Эйлера
не было необходимых средств.
ГЛ, II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
249
Действительно, если Z — та функция, дифференциал который есть
CdZ
и Q = С , а отсюда следует, что
/ rfP \ __ / d*Z \ / rfQ А __ / d*Z \
\ dy ) \dx dy ) И \ dx ) \dy dx) '
Но
/ d2Z \ dtz \
\ dx dy J \ dydx ) '
откуда и вытекает, что ( 4#’") * Поэтому если предложено диф-
ференциальное уравнение Pdx-\-Qdy = Q и требуется определить, является
ли оно непосредственно интегрируемым или нет, то это распознается
таким образом. Надо найти дифференцированием значения и *
Если они будут равны друг другу, то уравнение интегрируемо само
по себе; если же эти значения не равны, то уравнение само по себе
не интегрируемо.
СЛЕДСТВИЕ 1
444. Следовательно, все дифференциальные уравнения, в которых
переменные разделены, интегрируемы непосредственно; действительно,
они будут иметь вид X dx^- Y dy = 0; здесь X есть функция одного
только х, a Y — одного только у, и поэтому
СЛЕДСТВИЕ 2
445. Обратно: если в предложенном дифференциальном уравнении
Р dx + Q dy = 0 имеем 0 и ^—-^-^==0, то переменные в этом
уравнении разделены: действительно, в этом случае буква Р~ функция
только переменного х, a Q — только переменного у. Значит, уравнения
с разделенными переменными составляют как бы первый класс непосред-
ственно интегрируемых уравнений.
СЛЕДСТВИЕ 3
446. Может, очевидно, быть и так, что J ~ хотя ни
одно из этих значений не равно нулю. Значит, существуют уравнения,
интегрируемые непосредственно, хотя переменные в них и не разделены.
ПОЯСНЕНИЕ
447. Критерий, с помощью которого мы распознаем уравнения, инте-
грируемые непосредственно, чрезвычайно важен для того метода интегри-
рования, который мы собираемся здесь изложить. Действительно, если
обнаружится, что уравнение интегрируемо непосредственно, то его инте-
250
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
грал можно найти с помощью только что изложенных указаний1); если
же уравнение не будет интегрируемым непосредственно, то всегда .будет
существовать такое количество, по умножении на которое заданное
уравнение станет интегрируемым непосредственно. Поэтому все делр
сведется к тому, чтобы для любого заданного уравнения, которбе не инте-
грируемо непосредственно, найти подходящий множитель, который сделал
бы его непосредственно интегрируемым. Если бы такой множитель можно
было всегда найти, то ничего большего не надо бы и требовать. Однако
эти изыскания удаются очень редко, и до настоящего времени они вряд
простерлись шире, чем на такие уравнения, которые мы уже научились
решать при помощи разделения переменных. Тем не менее, я не колеблюсь
отдать решительное предпочтение этому методу перед предыдущим, так
как он представляется мне более соответствующим природе [дифферен-
циальных] уравнений; кроме того, его можно распространить и на диф-
ференциальные уравнения высших порядков, по отношению к которым
разделение переменных не приносит никакой пользы.
ЗАДАЧА 59
448. Найти интеграл дифференциального уравнения, о котором
известно, что оно непосредственно интегрируемо.
РЕШЕНИЕ
Пусть дано дифференциальное уравнение Р dx-}-Q dy = 0, в котором
и следовательно, Pdx-}-Qdy будет дифференциалом
какой-то функции Z двух переменных х и у, так что dZ = Р dx^-Q dy.
Так как, стало быть, мы имеем уравнение dZ = 0, то искомый интеграл
будет Z — С. Значит, все дело сводится к тому, чтобы найти эту функ-
цию Z. Это нетрудно сделать, поскольку мы знаем, что dZ^Pdx^-Qdy.
Действительно, если считать переменным только х, а второе переменное
у рассматривать как постоянное, то dZ — Pdx. Здесь мы имеем простое
дифференциальное выражение, содержащее только одно переменное х\
проинтегрировав его по правилам предыдущего раздела, получим:
Z= Pdx^\- Const,
но при этом необходимо заметить, что в это постоянное может как-либо
входить и количество у, которое мы приняли здесь за постоянное. По-
этому вместо Const напишем У, так что
Z= Pdx + Y.
Далее будем таким же образом считать х постоянным, рассматривая
только у как переменное. Так как в этом случае dZ^Qdy, то будем
также иметь Z~ Q dy Const; но это постоянное будет содержать коли-
чество х, так что оно будет функцией от х\ обозначив ее через X, будем
иметь:
Z^ ^Qdy + X.
9 per praecepta iam exposita; по-видимому, здесь оговорка, так как указания
даны ниже (§ 448).
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
251
Хотя ни здесь функция X, ни выше функция Y не определяются, однако,
так как должно быть
Р dx~\-Y = Q dy + X,
то отсюда определятся обе функции. Действительно, Pdx — Q dy
^X — Y, а потому количество Pdx — Q dy всегда распадается на два
слагаемых, одно из которых будет функцией только от z, а другое —
только от у\ отсюда уже сами собой определятся значения X и У.
СЛЕДСТВИЕ 1
449. Так как то нет даже нужды в двух интегрирова-
ниях. Действительно, найдя интеграл Р dx, будем его снова дифферент
цировать, считая переменным только у\ пусть получится V dy\ тогда
необходимо, чтобы V dy + dY = Q dy, а поэтому
dY = Q dy - V dy = (£ - V) dy.
СЛЕДСТВИЕ 2
450. Итак, интегрирование уравнений Р dx ~\-Q dy интегрируемых
непосредственно, должно производиться следующим образом. Надо искать
интеграл ^Pdx, рассматривая у как постоянное; этот интеграл надо
снова дифференцировать, рассматривая только у как переменное. Пусть
после этого получится V dy\ тогда Q — V будет функцией только от у.
Отсюда найдем У — — V)dy, и искомое интегральное уравнение будет
Р dx + У = Const.
СЛЕДСТВИЕ 3
451. Или же надо искать Qdy, рассматривая х как постоянное,
этот интеграл надо снова дифференцировать, считая х переменным, а у
постоянным. Пусть после этого получится U dx. Тогда P — U обязательно
будет функцией только от х. Отсюда найдем X = J (Р — U) dx, и искомое
интегральное уравнение будет Q dy + X = Const.
СЛЕДСТВИЕ 4
452. Из существа дела ясно, что безразлично, каким из этих двух
путей идти: действительно, и в том и в другом случае мы неизбежно
придем к одному и тому же интегральному уравнению, если только
предложенное дифференциальное уравнение будет непосредственно инте-
грируемым. Ведь тогда в первом случае непременно окажется, что(> — V
является функцией одного только у, а во втором —что P — U является
функцией одного только х.
252
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ
453. Этот метод интегрирования можно пытаться применить и до
того, как произведено исследование, является ли уравнение интегрируе-
мым; действительно, если бы при применении способа, указанного
в следствии 2, оказалось, что Q— V есть функция только от г/, или
если бы при применении способа, указанного в следствии 3, оказалось,
что P—U есть функция только от х, то уже одно это служило бы до-
казательством, что уравнение интегрируемо непосредственно. Однако же
лучше прежде всего исследовать, интегрируемо ли уравнение само по
себе или нет, т. е. имеет ли место равенство — > ибо 1ТРИ
этом исследовании приходится прибегать только к дифференцированию.
Мы приведем теперь несколько примеров уравнений, интегрируемых
сами по себе, для того чтобы можно было уяснить не только самый
метод интегрирования, но и те замечательные свойства, о которых мы
упоминали.
ПРИМЕР 1
454. Проинтегрировать уравнение
dx (ах + Ру + у) + dy J- Ъу + г) = О,
интегрируемое непосредственно.
Так как здесь
Р = ах + р?/ + у и Q = pz 4- 8г/ -}- е,
то
Равенство этих количеств подтверждает, что уравнение интегрируемо
непосредственно. Рассматривая, согласно следствию 2, у как постоян-
ное, найдем:
Р dx = у ах2 + $ух + 7^;
теперь будем иметь Vdy = fixdy и (Q — V) dy = dy (8г/ а); поэтому
значит, интеграл будет
у ах' -г $УХ + Iх С у 8?/а + = С
Следуя же способу, указанному в следствии 3, и рассматривая х как
постоянное, получим:
Qdy = fixy + ~ 8у24 еу.
Это уравнение, если рассматривать у как постоянное, дает U dx — $ydx\
j
отсюда (Р -- U) dx — (ах 4- 7) dx и Х = у ах2 4-7^, а следовательно,
^Qdy + X^C
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ 253
дает тот же интеграл, что и раньше. Вместе с тем мы видим также, что
^Pdx—^Qdy=~ ах2 + 7^ — v ^У2 ~
дто выражение само собой распадается на две функции Х~ Y.
ПРИМЕР 2
455. Проинтегрировать уравнение
<*У а^у — у или dx dy / _ х \ q
У у ]/ х2 -J- у2 х2 + у2 У \ х2 + у2)
интегрируемое непосредственно.
Здесь
Р - z-! . и <2 = 1---------_А—,.
V X2у2 У уУх'2 + yZ
Для установления признака непосредственной интегрируемости имеем:
и ( ~ —у
<^У ) I \dxj~ з ’
(я2 4- у2)2 (х2 + у2)2
а эти два значения равны между собой. Для нахождения интеграла
применим теперь правило следствия 2 и будем иметь:
Р dx = I (х + 1/^д?2 + у2) и V dy ~-7 у dy--
J (х+/х2 + У2) /х2 + у:
или, помножив числитель и знаменатель на х2-^у2 —х,
у уД2 + у2 — х 1 х
У х2 + у2 У у |/ X2 + у2
откуда
= 0 и К= —Г)^г/ = О;
таким образом, искомый интеграл есть
I (х+ ]/Ъ2 + ?/2) "Const,.
Согласно правилу следствия 3 имеем:
V Q dy = ly — х £ --&у ,
J J у V *2 + у2
1
положив у = -д-, будем иметь:
f dy С dz 1 i ।
~7z(^+r^ + i).
а следовательно,
5 Q dy = ly
значит Udx= ——==
откуда (/* — U)dx = Q.
254
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИМЕР 3
456. Проинтегрировать уравнение
(я;2 + У2 — ^2) dy 4- (а2 4- 2ху х2) dx = 0,
интегрируемое непосредственно.
Очевидно, здесь
Р == а2 4- 2ху 4- х2 и Q == х2 4~ у2 — и2,
откуда (j~^ = 2x и равенство этих выражений указывает
на непосредственную интегрируемость.
Далее имеем:
Pdx = а2х + х2у + ~х3 и Vdy = x2dy,
откуда
(Q-~V)dy=(y2~a2)dy и Y = ±-у3 - а2у.
Следовательно, интеграл есть
а2я:4" + у ^3+ у У3 ~~ а^У = Const.
Вторым способом получаем:
Q 'dy = х2у + у у3 — а2у,
откуда
U dx = 2ху dx,
а следовательно,
(Р - U) dx — (а2 4~^2)^ и X = а2х 4- у х3,
откуда получается тот же интеграл, что прежде.
ПОЯСНЕНИЕ
457. В этих примерах мы имели возможность получить на деле-
Pdx, а отсюда определить его дифференциал V dy, считая переменным
одно только у. Если же этот интеграл Pdx не удается взять, тб не-
ясно, как можно было бы получить отсюда V dy, поскольку выражение-
Pdx, рассматриваемое само по себе, может содержать любое постоян-
ное, включающее в себя также и у. Посмотрим теперь, как следует по-
ступать в этом случае. Положим Z= ^Р dx-\-Y\ нам надо найти
(d\Pdx\ е (dz\ dY u (dZ\ n
------- == V. Так как \ P dx — Z — Y, то V == H- — v--. Ho K— = P,
у dy J J \dy / dy \dx J
a значит’ иб°Gf)==V4-di-Отсюда будем
иметь:
J \.dy J
ГЛ. II. ОБ! ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
255
поэтому количество V находится интегрированием выражения dx(^^^) ’
в котором у рассматривается как постоянное, после того как при ра-
зыскании значения ^~^одно только у считалось переменным. Но так
как здесь снова добавляется постоянное, содержащее г/, то отсюда
нельзя определить функцию У, которую мы ищем. Причина этой не-
удачи заключается, очевидно, в неопределенности интегралов Рdx и
J ТаК КаК каждыи из них включает в себя произвольную
функцию количества г/. Значит, это препятствие было бы устранено,
если определить и тот и другой интеграл с помощью какого-либо опре-
деленного условия. Положим, например, что интеграл Р dx берется
так, чтобы он исчезал при х=/ (причем постоянное / можно взять по
произволу); тогда другой интеграл должен быть взят в со-
ответствии с тем же законом. Сделав это, будем иметь функцию
одного только г/, и интеграл уравнения Р dx + Q dy = 0
будет
= Const,
если только оба интеграла Р dx и dx(^^ , в которых у рассма-
тривается как постоянное, определены так, чтобы они исчезали, когда
в каждом из них количеству х придается одно и то же значение /.
Таким образом, получаем следующее правило:
ПРАВИЛО ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕПОСРЕДСТВЕННО
ИНТЕГРИРУЕМОГО УРАВНЕНИЯ Pdx + Qdy = 0, ГДЕ
458. Надо искать интегралы Р dx и \ dx^-j , рассматривая у
как постоянное количество, так, чтобы оба интеграла исчезали, когда
количеству х придается какое-либо определенное значение, скажем x = f.
Тогда Q-^dx^ -^) будет функцией одного только у\ пусть она бу-
dem^Y; искомый интеграл будет
Р dx г У dy = Const.
Или (что приводит к тому же) надо искать интегралы Q dy и
\ dy , рассматривая х как постоянное количество, так, чтобы оба
интеграла исчезали, когда количеству у придается какое-либо определен-
ное значение, скажем y = q. Тогда Р dy будет функцией одного
только х\.если положить ее—Х, то искомый интеграл будет
\ Q dy 4- \ X dx — Const.
256
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
В истинности этого правила можно убедиться из сказанного выше;
|это говорится] на случай, если бы кому-либо показалось произвольным
наше утверждение, что оба выражения Pdx и должны
быть определены по одному и тому же закону, т. е. что оба выраже-
ния должны исчезать, когда количеству х придается некоторое опреде-
ленное значение, скажем x-=f. Однако, чтобы случайно кто-либо не по-
думал, будто второе интегрирование с равным правом может быть опреде-
лено и по другому закону, я прибавлю еще следующее доказательство.
Первое интегрирование действительно зависит от нашего произвола;
поэтому допустим, что оно определено так, чтобы интеграл Р dx исчезал
при x=^f. Я утверждаю, что после этого второй интеграл^ dx(^~^
по необходимости должен быть определен с помощью того же условия.
В самом деле, пусть Pdx^Z. тогда Z будет такой функцией количеств х
и у, которая исчезает при х —/. Значит, Z будет иметь множите-
лем / — х или какую-либо положительную его степень (/ — х)\ так что
Z = (/ — х^ Т. В таком случае, поскольку \ dx^^'} выражает значение
количества ( ~ будем иметь dx(^ j . Отсюда
ясно, что этот интеграл также исчезает при x = f, так что определение
этого интеграла уже не зависит от нашего произвола.
После того как это установлено, интегралом непосредственно ин-
тегрируемого уравнения Pdx-[-Qdy = Q будет Р dx + Y dy = Const,
где Y=^Q— Действительно, положим^ Pdx — Z. причем, ко-
нечно, в этом интегрировании у считается постоянным; тогда будем
иметь уравнение Z+ Y dy ~ Const, которое и является искомым ин-
тегралом. Это обнаруживается хотя бы из дифференцирования. В самом
деле, так как
dZ~ Р dx~Y dy —Pdx-Ydy dx ,
то дифференциалом найденного уравнения будет
Pdx-Y dy dx (^) + Ydy = Q.
Ho Y = Q — dx , откуда получается P dx~Q dy = 0, а это и есть
предложенное дифференциальное уравнение, а то, что(>— dx есть
функция одного только у, следует из того, что дифференциальное урав-
нение является непосредственно интегрируемым.
ТЕОРЕМА
459. Для всякого уравнения, которое не является непосредственно
интегрируемым, всегда существует такое количество, что после умно-
жения на него уравнение становится интегрируемым.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
257
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть имеем дифференциальное уравнение PdxJrQdy = 0. Предста-
вим себе его полный интеграл; это будет некое уравнение между х и у,
в которое должно войти произвольное постоянное количество. Найдем
из этого уравнения это произвольное постоянное количество; получится
уравнение такого вида:
Const = некоторой функции количеств хиу.
Если продифференцировать это уравнение, то получим 0 = М dx 4- N dy] это
уравнение уже свободно от указанного произвольного постоянного ко-
личества, вошедшего вследствие интегрирования, и потому необходимо,
чтобы это дифференциальное уравнение согласовывалось с предложенным,
ибо в противном случае предположенный интеграл не был бы истинным.
Значит, необходимо, чтобы из того и другого уравнения получалось одно
и то же соотношение между dx и dy. Следовательно, будем иметь
ф = а П0Т0МУ = а = Но так как Mdx-\-Ndy есть ис-
тинный дифференциал, полученный из дифференцирования некоторой функ-
ции количеств х и у, то • ПоэтомудляуравненияРс& +
+ = О безусловно будет существовать некий такой множитель L, что
(d(LP)\(d(LQ)X
\ dy } Ч dx J ’
т. е. что это уравнение, будучи помножено на L, станет непосредственно
интегрируемым.
СЛЕДСТВИЕ 1
460. Итак, для всякого уравнения Р dx-\-Q dy = 0 существует такая
х Т /d(LP)X /'d(LQ)X
функпия L, что V dx ) * или в РазвеРнУтом виде
или
Если будет найдена эта функция L, то дифференциальное уравне-
ние LPdx + LQdy~§ будет непосредственно интегрируемым.
СЛЕДСТВИЕ 2
461. В предложенном уравнении можно без всякого ущерба вместо
Q написать единицу, так как всякое уравнение может быть представ-
лено в виде Pdx^dy = 0. Поэтому нахождение такого множителя L,
который превратил бы уравнение в непосредственно интегрируемое,
зависит от решения уравнения
причем надо заметить, что
258
ОВ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ
462. Так как здесь требуется найти функцию двух переменных х
и у, на зависимость между которыми (содержащуюся в уравнении
Р dx + Q dy = 0) вовсе не обращается внимания, то это исследование
входит в нашу вторую книгу, где такого рода функцию надо находить
по некоторому данному соотношению между дифференциалами. Действи-
тельно, в настоящем исследовании мы оставляем без внимания предло-
женное уравнение, согласно которому выражение Pdx-^Q dy должна
стать равным нулю, и ищем безотносительно [к этому уравнению] такой
множитель L, чтобы выражение Pdx-\-Qdy после умножения на нега
превратилось в истинный дифференциал некоторой конечной функции Z,
т. е. чтобы dZ---LP dx LQ dy. Лишь после того, как будет найден
этот множитель L, мы будем рассматривать равенство Pdx-YQdy^O
и сделаем отсюда вывод, что функция Z должна равняться постоянному
количеству. Поскольку никак нельзя ожидать, чтобы нам удалось дать
метод нахождения таких множителей для любого предложенного диффе-
ренциального уравнения, рассмотрим те случаи, для которых такой
множитель известен, каким бы путем он ни был получен. Однако для
наиболее широкого использования этого метода полезно будет в то же
время заметить, что стоит нам узнать один какой-нибудь множитель
для какого-либо дифференциального уравнения, как мы тотчас же сможем
без труда вывести из него бесчисленные другие, которые также сделают
предложенное уравнение интегрируемым само по себе.
ЗАДАЧА 60
463. Дан один какой-нибудь множитель L, делающий уравнение
Р dx-\-Q dy=^Q непосредственно интегрируемым} найти бесчисленные дру-
гие, множители, которые выполняли бы ту же обязанность.
РЕШЕНИЕ
Так как L (Р dx + Q dy) есть истинный дифференциал какой-то функ-
ции Z, то по данным выше правилам мы найдем эту функцию Z, так
что будем иметь L (Р dx + Q dy) = dZ. Теперь ясно, что это выражение dZ
будет допускать интегрирование и в том случае, если оно будет помно-
жено на любую функцию количества Z; обозначим ее так: cp(Z)1). Так
как, стало быть, и выражение (Р dx + Q dy) Ly (Z) является интегрируе-
мым, то (Z) также будет множителем предложенного уравнения
Р dx-\-Q dy превращающим это уравнение в интегрируемое. Поэтому,
найдя один множитель L, надо искать путем интегрирования количество
Z = L(Pdx + Qdy), и тогда выражение Lcp(Z), где вместо (Z) можно
взять любую функцию количества Z, даст бесчисленные другие мно-
жители, выполняющие ту же обязанность.
ПОЯСНЕНИЕ
464. Хотя для любого дифференциального уравнения достаточно
знать только один множитель, однако встречаются случаи, когда весьма
полезно иметь под рукой много или даже бесконечное число множите-
лей. Так, например, если предложенное уравнение удобно разделяется
х) Эйлер пишет Ф : Z
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
259
на две части вроде
(Pdx + Qdy)+(Rdx + Sdy) = O
и известны все множители, при помощи которых каждая часть Pdx-^Qdy
и R dx-\- S dy, взятая в отдельности, может быть сделана интегрируемой,
то иногда отсюда можно получить общий множитель, делающий обе
части интегрируемыми. Пусть L<p(Z) —общее выражение для всех мно-
жителей выражения Pdx-\-Qdy, a М<р(7) — общее выражение для всех
множителей выражения R dx-\- S dy. Так как ф (Z) и ф (7) означают какие
угодно функции количеств Z и V, то, если можно их взять так, чтобы
£ф (Z) = Му (7), мы будем иметь множитель, подходящий для уравнения
Р dx + Q dy + R dx + dy = 0.
Само собой разумеется, что это представляет удобство только в тех
случаях, когда множитель для всего уравнения может сделать интегри-
руемыми также его отдельные части, взятые порознь. Поэтому надо
остерегаться того, чтобы придавать этому методу преувеличенное значе-
ние и чтобы считать уравнение неразрешимым, когда метод не приводит
к успеху: ведь может случиться и так, что все уравнение имеет мно-
житель, который не подходит для отдельных его частей. Так, напри-
мер, если предложено уравнение Р dx-\-Q dy = 0, то множитель, делаю-
щий отдельно взятую часть Pdx интегрируемой, очевидно, есть — ,
где X означает какую угодно функцию количества х, а множитель, дела-
ющий интегрируемой вторую часть Qdy, есть ; и хотя никак не может
оказаться, чтобы т. е. чтобы исключая лишь слу-
чаи, очевидные сами по себе, однако выражение Pdx-\-Qdy, взятое
в целом, безусловно всегда имеет множитель, при помощи которого
оно становится интегрируемым.
ПРИМЕР 1
465. Найти все множители, при помощи которых выражение
aydx-\-fixdy становится интегрируемым.
Первый из этих множителей, —, сам собой бросается в глаза; он
a dx , Вdy т.п, у t „
дает выражение ——интеграл которого есть alx-\- ply = I (хаур).
Значит, любая функция ф (хау$) от хау$, помноженная на —, даст
ху
подходящий множитель; следовательно, общий вид этого множителя
1
есть —Действительно, функция количества хау$ есть в то же
ху
время и функция логарифма этого же количества. Ведь если Р будет
функцией количества р, а П—функцией количества Р, то и П будет
функцией количества р и обратно.
СЛЕДСТВИЕ
466. Если в качестве функции взять любую степень хпауп$, то вы-
ражение aydx+fixdy становится интегрируемым, если его помножить
на хпа^{уп^’, в этом случае интеграл усматривается сам собой; он
равен ^-хпауп?.
260
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ПРИМЕР 2
467. Найти все множители, делающие интегрируемым выражение
Ху dx^-dy.
Первый множитель — сам собой бросается в глаза, а так как
^Х dx + == + или le^Xdxyt то все функции этого коли-
\хвх
чества или же количества у, будучи разделены на у, дадут под-
ходящие множители. Значит, общее выражение для всех множителей будет
1
= — <р
У
СЛЕДСТВИЕ
468. Для выражения Ху dx + dy множителем будет также коли-
чество e^Xd\ которое является функцией только одного х, Так как при
помощи этого множителя становится интегрируемым также выражение
36, где 36 означает какую угодно функцию количества х, то этот мно-
житель окажется подходящим и для выражения dy + Ху dx + 36 dx.
ЗАДАЧА 61
469. Предложено уравнение dy-^Xydx^^dx, в котором Хи£
любые функции количества х. Найти подходящий множитель и проин-
тегрировать это уравнение,
РЕШЕНИЕ
Так как второй член 36 dx становится интегрируемым при умноже-
нии на любую функцию количества х, следует рассмотреть, может ли
стать интегрируемым первый член dy-{-Xydx с помощью такого рода
m f XdX
множителя. Так как к этому результату приводит множитель ,
то, применив его, получим искомое интегральное уравнение:
ИЛИ
ty = e_SAox ^’XdxXdx,
как мы нашли уже выше [§ 420].
СЛЕДСТВИЕ 1
470. Ясно также, что если вместо у входит какая-либо функция
от^у, так что мы имеем уравнение с?У-j- YX dx = 36 dx> то его можно
С Xdx
сделать интегрируемым при помощи множителя , и интеграл будет
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
261
СЛЕДСТВИЕ 2
471. На основании этого [можно проинтегрировать] уравнение
dy + у X dx = ynZ dx, ибо, будучи разделено на уп, оно получает вид
~ — jg dx\ если здесь положить —— У и учесть, что
У”1 УПг'1‘ У’1 А
---dy, т. е. что
уп
dy dY
уп п — 1 ’
то получается:
------------------------+ =
п — 1
или
dy — (я — 1) УХ da; = - (п - 1) Zdx,
-(n-l) f X dx
а это уравнение с помощью множителя е « становится интегри-
руемым, и его интеграл будет
-(n-t) fx<*xy= e~(n~l)^Xdxy,dx,
илиx)
-pL- =-(«-1) e(n-1)^ Xdx 5 dx.
ПОЯСНЕНИЕ
472. Для члена dy-\~yXdx множитель в общем виде есть
— <р (е^ Xdxy\, если взять в качестве функции степень, то подходящим
-z m\Xdx m i .. 1 m\Xdx m o
будет множитель e J у , дающии интеграл — е J ут. Значит,
цадо сделать так, чтобы с помощью того же множителя стал интегриру-
емым и второй член ynZdx\ это произойдет, если взять т—1=— п,
т. е. т = 1 — п, в результате чего интегралом этого члена будет
ет$ Xdx£ dx, и таким образом, мы получим искомое интегральное урав-
нение:
1 е«-> Sс e»-">S
1 — п ° J
оно полностью совпадает с только что полученным [§ 471].
ЗАДАЧА 62
473. Предложено дифференциальное уравнение
ay dx -\-fixdy == xmyn (^у dx + Ъх dy);
отыскать подходящий множитель, который бы сделал это уравнение
интегрируемым, и найти самый интеграл.
1) Ср. § 429.
262
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим каждый из двух членов в отдельности. Как мы видели
выше, все множители для первой части aydx-]-fixdy будут содержаться
1
в выражении — <р(яауР). Для второй части
хтуп (уу dx + Вя dy}
1
первый множитель есть т+1 ; с его помощью получается выражение
а; у
_^_^dy , интеграЛ которого есть 1(хуу5). Значит, общий вид множи-
х у j
телей этого выражения есть m+1 W+1 <р (#ту5). Для того чтобы сделать
37 у
эти два множителя равными между собой, возьмем в качестве функций
степени; тогда будем иметь:
ct—1 у\^Р—1 - ^VY—ni——n—1
Значит, надо положить ра = ту — т и = — п, откуда получается:
тп — Вт
г = -aS-_-gY- и
Поэтому множитель будет
д-р. a— iy\i.$—1 — д-vy—n—1,
вследствие чего наше уравнение получит вид
д-ца— 1^нР— 1 (ay dxfix dy) = i (^y dx ±Ьх dy).
Здесь каждый из двух членов является непосредственно интегрируемым,
и поэтому искомый интеграл есть
£ xV.ayV.^ = £ Const.
Он согласуется с тем, который был найден в предыдущей главе [§ 431],
ап —Вт
аВ —ру *
СЛЕДСТВИЕ 1
474. Если для краткости положить
уп — Bn ап —
аВ — Ву И аВ — ру ’
то для дифференциального уравнения
ay dx + dy = хтуп (ду dx + Вя dy)
полным интегралом будет
А ^НауНР = Const.
СЛЕДСТВИЕ 2
475. Если окажется, что р —О, т. е. = от, то интеграл будет
приведен к логарифмам, и будем иметь:
I (хау$) = Const.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
263
Если же м = 0, т. е. = то интеграл будет
— х^ау^ = I (яту5) + Const.
и*
ПОЯСНЕНИЕ
476. Исключением из этого решения представляется случай, когда
= (Зу, так как в этом случае оба числа р и м становятся бесконечными.
Но если 8 = 1 то наше уравнение получает вид
ay dx + Pre dy = хтуп (ay dx + pre dy),
или
(ay dx + 3z dy) Ql — pmyn^ = 0.
Так как это уравнение имеет два множителя, то, приравнивая нулю
каждый из них в отдельности, получаем два решения. Первое полу-
чается из уравнения ay dx -\-fixdy = 0, интеграл которого есть хау$ = Const.
Второй же множитель сам по себе дает конечное уравнение 1 — ~-хтуп = 0.
Каждое из этих решений удовлетворяет уравнению. То же самое надо
иметь в виду относительно всех дифференциальных уравнений, которые
можно разложить на множители; здесь, так же как в конечных урав-
нениях, каждый из множителей дает решение. Но но большей части
конечные множители удаляются сразу же путем деления, — еще прежде
чем приступают к интегрированию, поскольку считают, что они проникли
в уравнения не из существа дела1), длишь в результате произведенных
математических действий; поэтому (совершенно так же, как в алгебре)
часто бывает, что они заведомо приводят к бесполезным решениям2).
ЗАДАЧА 63
477. Предложено однородное дифференциальное уравнение} найти
такой подходящий множитель, который бы сделал это уравнение интегри-
руемым, и отсюда получить его интеграл,
РЕШЕНИЕ
Пусть Р dx + Q dy = 0 — предложенное уравнение, в котором Р
и Q — однородные функции п измерений количеств х и у. Будем искать
множитель L так, чтобы он также был однородной функцией, число
измерений которой к. Так как теперь выражение L(P dx-\-Q dy) должно
быть интегрируемым, то интеграл будет функцией количеств х и у,
имеющей X 4- п + 1 измерений3).
х) non ex natura rei.
2) ut ... ad solutiones inutiles essent perducturi.
3) Эйлер исходит здесь из предпосылки, что интеграл полного дифференциала
LP dx + LQ dy, где LP и LQ — однородные функции К+n измерений, всегда является
•(с точностью до постоянного слагаемого) однородной функцией X + п +1 измерений.
Что эта предпосылка неверна для случая Х+п+1=0 (а именно этот случай здесь
и берется), это Эйлеру известно (см. § 481), так что мы имеем дело с досадным
недосмотром. Эта ошибка не влечет неверного результата лишь потому, что она
тотчас же погашается другой ошибкой Г равенство LPx + ZQy = (X + п +1) Z при
264
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если обозначить эту функцию через Z, то по свойству однородных
функций будем иметь:
LPx + LQy = (k -р п + 1) Z.
Поэтому если взять k = — n—1, то количество LPx + LQy будет либо
1
Px-hQ?/’
равным нулю, либо постоянным1), откуда получаем £ =
следо-
X п 1 = 0 несовместно с Z — и _ - ^) . Надо думать, что Эйлер и сам видел, что
Рх 4- Qy J
его рассуждение небезупречно, ибо вслед за ним он дает другой вывод («из разде-
ления переменных»), а в § 481 замечает, что «особый способ, основанный на разде-
лении переменных», он применил потому, что в случае, когда LP и LQ — однород-
ные функции —1 измерения, «может получиться, что интеграл не есть функция
нулевого измерения».
В § 481 содержится также утверждение, что исключительное положение, когда
интеграл не является однородной функцией (X. 4-л 4-1) измерения, может иметь место
лишь в случае Х4-«=— 1. Это утверждение остается недоказанным, хотя Эйлер
мог бы доказать его, пользуясь теми же средствами, которые он применяет в «особом
способе». Действительно, пусть Р и Q— однородные функции п измерений, т. е.
P—x^U и Q — xaV, где U и V—функции от и—~. Условие интегрируемости [диф-
ференциального выражения Pdx + Qdy есть
( nV— и^ (1)
du \ du у
или
d (U -F nV) -= (п -F 1) V du» (2)
Следовательно,
Р dx-\-Qdy~ xnU dx 4- xnV (x'du 4- и dx) = x^U 4- uV)*dx 4- du. (3)
Если то в силу (2) равенство (3) принимает вид
~п + 1 Г ХП+1 |
Р dx+ Q dy = xn(U + uV')ldx + —1 d (U + uV) =d —— (Z7 + «7) . (4)
/z 4~ - I и 4- 1 I
Стало быть при n #=—1 интеграл есть однородная функция («4-1) измерения.
Тут же выясняется, каков общий вид интеграла в случае п~—1. В этом слу-
чае из (2) следует, что функции U и V должны удовлетворять соотношению
U-\-uV—a (5)
Где а — некоторое постоянное. Значит, равенство (3) принимает вид
Pdx + Qdy=^ + Vdu==d(alx+W), (6)
Л.
где W = V du есть однородгх^ функция нулевого измерения.
Стало быть, в случае п —— 1 интеграл является однородной функцией нулевого
измерения лишь при а = 0. При а #= 0 к функции нулевого измерения прибавляется
выражение, пропорциональное логарифму однородной функции 1-го измерения.
Можно думать, что Эйлер руководился соображениями, близкими к вышеизло-
женным. Действительно, соотношение (5), если в него подставить U — xP, V — xQr
У л
и — ~ , примет вид1
Px + Qy — а» (Ту
Это соотношение четко высказано (без доказательства) в § 480. Кроме того, в настоя-
щем параграфе в противоречии с (неверной) формулой LPx-\- LQy~(K 4- п 4-1) Z
и тотчас же вслед за ней говорится, что при Хх= — п — 1 «количество LPx 4- LQy
будет либо равным нулю, либо постоянным [отличным от нуля]».
!) См. предыдущее примечание.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
26£
вательно, это и есть множитель, подходящий для нашего уравнения.
Тот же вывод можно сделать и из разделения переменных; действи-
тельно, если положить у = их, то будем иметь P = xnU и Q = xnV, где U
и V —функции одного только и, а так как dy = udx~i xdu, то
Р dx + Q dy xnU dx + xnVu dx + xnVx du
или
P dx-p Q dy = xn (U + Vh) dx + x^V du.
Но это выражение становится интегрируемым, если его разделить
на xn+1 (U + Угг); значит, наше выражение Pdx-\-Qdy после разделения
на xn+1 (U± Vu) = РхQy и после обратной подстановки значений
7 = -™ И гг = —
хп хт х
станет интегрируемым; иными словами, подходящим множителем будет
1 Р dx 4- Q dy n
Ра:Qy > а следовательно, уравнение pz — 0 всегда является непо-
средственно интегрируемым.
Теперь, чтобы найти его интеграл, проинтегрируем выражение
С Р dx
j Px + Qy ’ РассматРивая У как постоянное; при этом надо опре-
делить интеграл с таким расчетом, чтобы он исчезал при я = Далее,
положив для краткости px^Qy = возьмем значение j и будем
том же условии, снова рассматри-
искать интеграл \ ах
вая у как постоянное.
Тогда рд.будет функцией только количества у> т. е.
Q _ „С dx( — — Y
Px + Qy } ’
а искомый интеграл будет
п dy = Const.
J Px + Qy J
СЛЕДСТВИЕ 1
478. Итак, выражение
Р dx-}-Qdy
Px + Qy
является непосредственно интегрируемым; поэтому если положить для*
краткости
Р - /? и $ о
Px+Qy П Px + Qy °’
fdR\ f dS\
то мы должны иметь j = •
Но У
(sf ) = ( ) - HS) - :
266
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Поэтому получим:
СЛЕДСТВИЕ 2
479. Это же равенство можно также вывести из свойства однород-
ных функций. Действительно, так как Р и (7 — [однородные] функции п
измерений количеств а; и у и так как
то будем иметь:
Значит, найденное нами равенство
?(<)<)>(<)<))
превращается в тождество
nPQ = nPQ.
СЛЕДСТВИЕ 3
480. Если однородное уравнение Р dx Q dy = 0 окажется непосред-
ственно интегрируемым и если Р и (7 —функции —1 измерения,
тоЛг-{-(7у будет постоянным числом. Пусть, например, таким уравне-
нием будет
х dx^- у dy _р,
х2 4- у2 ’
«ели вместо dx и dy напишем х и у, то получится:
^2 + У2 _ л
я2, 4~ У2
ПОЯСНЕНИЕ
481. Как мы показали в «Дифференциальном исчислении», если V
будет однородной функцией п измерений количеств а; и у и если поло-
жить dV = Р dx -h Q dy, тох) Рх -\-Qy = nV. Поэтому если Р dx-\- Q dy
будет интегрируемым выражением, а Р и (> —однородными функциями
п — 1 измерений, то сразу же находится интеграл, а именно, будем
иметь V = ~(Px-{-Qy), и для этого нет нужды ни в каком интегриро-
х) «Дифференциальное исчисление», ч. I, § 222 (стр. 155 русского перевода).
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
267
вании. Вместе с тем мы видим, что из этого правила надо исключить
случай, когда и —О, как это получается с нашим уравнением после
того, как оно при помощи множителя принимает интегрируемый вид
" О’ где &х и умножаются на функции ~1 измерения;
действительно, здесь интеграл нельзя получить без интегрирования.
Причина этого исключения заключается в том, что интеграл интегри-
руемого выражения Pdx-\-Qdy, в котором Р и Q суть однородные функ-
ции п — 1 измерений, лишь в том случае есть однородная функция п
измерений, когда п не равно 0; действительно, только в этом случае
может получиться, что интеграл не есть функция нулевого измерения,
у г х dx 4~ у dy
как это и имеет место для дифференциального выражения —2 2-~ ,
я “г У
интеграл которого есть 1 (х2 у2).
Вот
почему мы доказывали то, что выражение
Р dx 4- Q dy
Px~[-Qy
интегри-
руемо данным выше [§ 477] особым способом, основанным на разделяе-
мое™ переменных. Однако безотносительно к тому, откуда мы это
узнали, в разбираемом вопросе наиболее примечательно то, что все
однородные уравнения Р dx-^Q dy = $ становятся при помощи множи-
теля + непосредственно интегрируемыми. Таким же образом жела-
тельно иметь общий метод, при помощи которого можно было бы нахо-
дить этот множитель a priori; такой метод, разумеется, в величайшей
мере обогатил бы анализ. Но до тех нор, пока не удается этого достиг-
нуть, будет чрезвычайно полезно хорошо изучить такие множители для
возможно большего числа случаев. Мы уже нашли их для двух типов
уравнений; будем теперь искать множители и для прочих уравнений,
способ интегрирования которых мы изложили выше. Тот же способ
приведения к разделению переменных откроет нам эти множители, что
мы и покажем в следующей задаче.
ЗАДАЧА 64
482. Предложено дифференциальное уравнение, которое можно при-
вести к разделению переменных] найти такой множитель, при помощи
которого это уравнение становится непосредственно интегрируемым *
РЕШЕНИЕ
Пусть Р dx Ц- Q dy = 0 такое уравнение, которое при помощи неко-
торой определенной подстановки, вводящей вместо х и у два других
переменных t и и, допускает разделение переменных. Положим, что
после этой подстановки получится Р dx~\~Q dy = Rdt-\-S du и что теперь
в выражении Rdt^-S du, если его разделить на V, переменные будут
R dt 4- б1 du R у
разделены, так что в выражении ---у---- количество уг есть функция
одного лишь t, а — — функция одного лишь и.
m R dt 4- S du
Так как выражение ----------- интегрируемо непосредственно, то
Р dx 4- Q dy
и выражение ----— будет интегрируемым, поскольку оно станет
268
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
равным первому, если в V будут восстановлены переменные х и у.
В этом случае из приведения к виду с разделенными переменными
уравнения Р dx^-Qdy — § мы узнаем, что множитель, при помощи кото-
1
рого это уравнение становится непосредственно интегрируемым, есть у .
Таким образом, для уравнений, которые удается привести к разделению
переменных, мы можем найти множитель, который сделал бы их инте-
грируемыми.
СЛЕДСТВИЕ 1
483. Итак, метод интегрирования дифференциальных уравнений при
помощи множителей имеет столь же широкое значение, как и первый
метод, основанный на разделении переменных, ибо само это разделение
переменных для всякого уравнения, в котором оно удается, дает и мно-
житель.
СЛЕДСТВИЕ 2
484. Более того, метод интегрирования при помощи множителей
имеет более широкое значение, чем упомянутый первый, если только
можно найти множители для таких уравнений, относительно которых
неизвестно, каким образом надо приводить их к разделению переменных.
ПОЯСНЕНИЕ
485. Хотя из произведения к разделению переменных можно найти
подходящий множитель, однако пока еще неизвестно, каким образом,
зная множитель, можно осуществить разделение переменных. Вот почему
также и по этим соображениям метод интегрирования при помощи
множителей заслуживает значительного предпочтения перед первым.
В самом деле, хотя до сих пор именно разделение переменных приво-
дило нас к нахождению множителей, однако нет никакого сомнения
в том, что существует путь нахождения множителей, совершенно неза-
висимый от разделения переменных, хотя до сих пор этот путь нам еще
не известен. Но он будет постепенно становиться более ясным, если мы
научимся распознавать подходящие множители для как можно большего
числа уравнений. Поэтому в приведенных ниже примерах мы найдем
те множители, которые пока что удалось получить из разделения пере-
менных.
ПРИМЕР 1
486. Предложено дифференциальное уравнение первой степени
dx (ах + Ру + 7) + dy (За; + <zy 4- С) = 0.
Найти для него подходящий множитель.
Это уравнение можно преобразовать к виду, допускающему разде-
ление переменных, если предварительно положить1)
ах -|- Ру -j- y = г и =
так что
a dx + Р dy — dr и В dx 4 е dy = ds,
*) Ср. § 417.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
269
откуда получается:
, е dr — $ds i a ds—Ъ dr
dx =------и dy =-----------— .
ае—3$ v аг— pb
Вследствие этого наше уравнение, если отбросить знаменатель как
постоянную величину, будет
er dr — Рг ds + as ds — 8s dr = 0;
так как это уравнение однородное, оно становится интегрируемым, если
его разделить на er2 — (p H 8)rs + as2. К такому же выводу можно прийти
и из разделения переменных. Действительно, если положить r = su, то
получается:
es2u du + zsu2 ds — fisu ds + as ds — 8s2 du — Sszz ds = 0,
или
s2 du{zu — 8) 4-$ds(ezz2 — Pzz — 8zz-J-a) = 0.
Это уравнение, будучи разделено на
s2 (eu2 — Pu — 8u +a),
дает уравнение с разделенными переменными. Поэтому множитель нашего
уравнения есть
1 _______________1_________ 1
s2 (ем2—фи—Ьм 4- a) ег2— ^rs—Brs 4- as2 г (er— ps) 4- s (as — br) ’
<если снова подставить значения [г и s], то это выражение получит вид
__________________________________1_________________________
(аа?4- ₽з?4-т)((ае —₽Ь)а?4-те —рС)4-(Ьа?4- еу + С) ((«£ — ₽Ь) У 4- ’
или после раскрытия
( (as —?S)(^2 + (? + 8)^ + e?/2+T2: + ^) + ^2 —(? + 8)т? + т22+ |
‘ | + (ays — (Р — В) aC — уЗ2) х + (ае£ + (Р — В) ?e — p2Q у / '
Поэтому уравнение
________dx (ах 4- 4- I) 4- da? (ba? 4- еу + С)__________ q
(ае —pb)(aa?244p4-b)a^4-eya4-Yz44y)4-^z4-£y4-C-' ’
где
А = ауг — (Р — 8) а' — у82,
Я^аеГ^Р-В) 7е-р2;,
С = а?2-(Р + В) Т? + т2е,
будет непосредственно интегрируемым.
СЛЕДСТВИЕ
487. Даже если случайно окажется, что аг — р8 = 0, это не влияет
на множитель, хотя разделение переменных при помощи этой операции
[в этом случае] не удается.
Пусть а = тиа, р = mb, Ъ = па, г = пЬ. Тогда имеем такое уравнение:
dx {т {ах + by) + у) + dy {п {ах + &/) + £) = 0.
270
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Так как
А = а (па — mb) (т£ — п^),
В = b (па — mb) (т^ — п^),
С = (m£ — П?) (аС — bi),
то по удалении общего делителя множителем будет
____________________________________1
{па —mb) {ах -f- by) +___________________________’
так что уравнение
{ах + by) {mdxjn dy) + dx + ^dy _ q
{па — mb) {ax -f- by) + «С — b^
будет непосредственно интегрируемым.
ПРИМЕР 2
488. П редложено дифференциальное уравнение
у dx (с + пх) — dy (у + а + bx р пх2) = 0.
Найти подходящий множитель1),
тт У (с +пх) и{а-\-Ьх-\- пх2)
Произведем подстановку —г—- , ,—« = и или у = ———L так
r J y + a-\-bx + nx2 с + пх — и ’
что наше уравнение короче запишется в следующем виде:
у dx (с + пх) — у (s+/ke) _ q,
или
y^^(udx-dy)^,
или
у2 {с + пх) / Ц Q
И \ У У )
(надо тщательно остерегаться, чтобы не опустить здесь какого-либо
множителя). После подстановки найдем:
dy udx du . dx{b-[~2nx) . du — ndx dx{c-\-nx — u)
у у u~~ a + bx + nx2 'c-{~nx — и a-\-bx-[-nx2
__ du{c-{-nx) dx{na-{~c2 — bc + (b — 2c)u-\-u2)
u{c-\-nx — u) (c-\-nx—u) {a + bx + nx2)
Поэтому наше уравнение^получит такой вид:
у2{с-\-пх)2 (du dx {па + с2 — bc-\-{b — 2c)u + u2)\ „
и{с-\-пх — и) \ и {a-\-bx-\-пх2) {с-\-пх) J
Переменные разделятся, если помножить это уравнение на множитель-
и {с-\-пх—и)
у2 {с + пх)2 {па + с2 — bc-\-{b — 2с)и-\-и2)
Тогда получается:
du_______________________dx______________
и{па-\-с2 — bc-\-{b—2с)и-\-и2) {а + Ьх + пх2) {с + пх) ~~ ’
Итак, чтобы найти искомый множитель, остается только подставить,
Ч Ср. § 433.
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
271
тудат) вместо и его значение; тогда мы найдем множитель
__________________________________а-\-Ъх-\- пх2
п(^ + Ъх + пх2)у3 + (а + Ъх-\- пх2) (2па— Ъс-\- п(Ъ— 2с) х)у2 + (па + с2—Ъс) (а + Ъх + пх2)2у ’
который приводится к такому виду:
____________________________1___________________________
пу3 + (2па — Ъс) у2 + п(Ъ — 2с) ху2 + (па + с2 — Ъс) (а + Ъх + пх2) у *
ПРИМЕР 3
489. Предложено дифференциальное уравнение
п dx (1 + у2) V1 + у2 . / \ 7 Л
----+ О - у) dy = 0;
найти такой множитель, который сделал бы это уравнение интегри-
руемым.
Выше (§ 434) мы положили у=-*~- или zz = откуда
40 7 а 1 -\-хи 1 + ху ’ J
х_у= “(It*2) и 1 | (1 + ^)(1+^) .
Х У i + xu И к + У (1 + ^)2
тогда наше уравнение получает такой вид:
з
п dx (1 + х2) (1 + и2)2 । udx(i + х2) (1 4~ и2) — и da (1 + х2)2 _
(1+аш)3 (1 -|- хи)3
Если это уравнение сначала помножить на (1 + та)3, а затем разде-
лить на ______
(1 + ж2)2 (1 + м2) (и + п V1 + М2),
то переменные разделяются. Поэтому множителем нашего уравнения будет
(1 + хи)3
(1 + X2)2 (1 + и2) (« + п 1 + и2)
-ГТ Л I 9 (1 + У2) (1 + #и)2
Прежде всего этот множитель, так как 1 + и2 = -—- , полу-
чает вид
1 + ха
(1 4-я2) (1 + у2) (« +л
Далее, так как zz — Л ~ , имеем:
И 1 + жу и i-f-M i + xy '
Поэтому наш множитель получает вид
___________________________1_____________
(l + 2/2)U — 2/+«Уг(1 + ^2)(1 + ?/2)) ’
так что уравнение
n с?а; (1 + у2) + у2 + (х— y)dyY i-jx2 _ q
(1 + 2/2) (*—2/ + n V(1 + ^2) (1 +i/2)) ]/1 + ^а
является непосредственно интегрируемым. На интегрировании его я но
буду останавливаться, так как его интеграл я дал уже выше.
!) То есть в предпоследнее выражение.
212
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИМЕР 4
490. Д ругим достопримечательным п риме ром может служить
уравнение
1
у dx — хdy4- ахпуdy (хп + Ъ)п =0.
Если его представить в виде
4 -L
х dy — у dx 4-у £n+1 dy = -£ хп^ dy 4- а,хпу dy (хп -{-Ь)п ,
то оказывается, что каждая из частей уравнения становится интегри-
руемой, если ее помножить на
1 •
хп+1 + а Ъхпу (хп + Ь)п
Чтобы найти этот множитель, исходя из разделения переменных,
надо применить следующую далеко не очевидную подстановку:
х
--------=
(хп + Ь)п
откуда
n_ bvnyn .
I--уПуП '
поэтому уравнение
^=^y + az-ydy = 0
(хп + Ъ)п
переходит в такое:
у2 dv + yn+1 г/71*1 dy + dbvnyn'¥1 dy__, q
1 — уПуП
1—уПуп
Если это уравнение умножить на »
„ . —г 4- v/1"1 dy = 0,
vn (а& + у) ~ v
то переменные разделяются:
откуда получается тот же множитель.
ПРИМЕР 5
491. Предложено дифференциальное уравнение
dy + y2dx-~ = 0.
Найти такой множитель, при помощи которого это уравнение
может быть сделано интегрируемым.
1. dt
Согласно § 436 положим х = у ; так как dx = —, то наше выра-
жение получит вид dy~~^^ + at2dt. Далее, подставим сюда y = t — t2z*
ГЛ. II. ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
273
получится
— Z2 (dz 4- z2 бй — a dt);
если это выражение разделить на t2(z2—a), то переменные разделяются;
значит, и наше уравнение, разделенное на
t2 (2з _ а) = = (1 _ хуу _ ,
X2
станет интегрируемым. Отсюда видно, что множитель будет ,
а уравнение
х4 dy + х4г/2 dx— a dx_~
х4 (1 —ху)2— ах2
будет непосредственно интегрируемым.
Будем рассматривать х как постоянное; тогда интегралом, порожден-
ным из dy, будет
1 / ^(1 —+ । у.
2 У а /а- х(1 — ху)
чтобы получить значение количества X, продифференцируем это выраже-
ние вторично и получим:
2ху dx- ~dx । 7 у х4у2 dx—a dx
х2 (1 —ху)2— а х4 (1 — ху)2—ах2 ’
откуда
х4у2 dx — a dx — 2х3у dxх2 dx dx v 1
ал —--------л~7л ------9------— о и Л = —-------4 С;
х4 (1 — хуу — ах& х& х
поэтому полным интегральным уравнением будет
I V а + х(У~хУ) _а ,
У~а — х (1 — ху) х
ПОЯСНЕНИЕ
492. Вот, стало быть, довольно значительное число случаев таких
дифференциальных уравнений, для которых нам известны множители.
Их рассмотрение, по-видимому, принесет не малую пользу нашему значи-
тельному исследованию. Хотя нам еще далеко до определенного метода,
который позволил бы находить подходящие множители в любом случае,
но мы отсюда сможем получать типы таких уравнений, которые можно
сделать интегрируемыми при помощи данных множителей. Так как такое
занятие, по видимому, обещает принести очень большую пользу в этой
трудной науке, то в следующей главе мы будем исследовать, для каких
уравнений могли бы подойти данные множители. Примеры же, разоб-
ранные здесь, дают нам удобные виды множителей, которые смогут
служить основой для нашего исследования.
о
ГЛАВА III
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, КОТОРЫЕ СТАНОВЯТСЯ
ИНТЕГРИРУЕМЫМИ ПРИ ПОМОЩИ МНОЖИТЕЛЕЙ
ЗАДАННОГО ВИДА
ЗАДАЧА 65
493. Определить функции Р и Q количества х так, чтобы диффе-
ренциальное уравнение Ру dx + {у + Q) dy == 0 стало интегрируемым при
помощи множителя
, где М и N — функции от х.
y3 + My2 + Ny 'ГУ
РЕШЕНИЕ
Р'У
Необходимо, чтобы дифференциал1) коэффициента ~при
dx, порожденный переменностью количества у, был равен дифференциа-
лу коэффициента » если [в этом коэффициенте] за перемен-
ное принимается только х. Равенство между этими равными значения-
ми, если отбросить общий знаменатель, дает
- 2Ру3 - РМу* = (у3 + Му2 + Ny) § - (у + (?) .
Если расположить это равенство по степеням у, получим:
О = 2Py3dx 4 РМуЧх
+ y3dQ + My2dQ + Ny dQ
— y3dM — y2dN
-Qy4M-Qy dN.
Приведя к нулю каждую из этих степеней в отдельности, получаем
Речь идет, очевидно, не о самих дифференциалах, а об их отношениях
к дифференциалам соответствующих переменных, т. е. на современном языке о про-
изводных.
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
275
прежде
всего N dQ— QdN = Qf т.
е.
dN dQ
; из интегрирования этого
уравнения следует, что JV = a(2. Далее имеем еще два условия: .
I. 2Pdz + dQ-dM = 0.
IL PMdx + MdQ — adQ — QdM = O.
Отсюда I-М — II*2 дает
~ М dQ - М dM + 2а dQ + 2Q dM = 0,
или
НО _l 2Q — М dM
+ 2а —М 2а —М ’
если это уравнение разделить на (2а —М)2 и проинтегрировать, то
получим:
Q С М dM С dM 2 С dM
(2а —М)2 - J (2а —М)3 = J (2а — М)2 “ J (2а — М3) '
или
___2_____ -1 - + _1+ в =. м~1- + в
(2а — М)2 2а — М^(2а—М)2 (2а— М)2 Г
Итак, будем иметь:
(? = М-а-ьР(2а-М)2,
и значит,
2Pdx — dM — dQ = +2pdM(2a-M);
таким образом, вместо М можно взять какую угодно функцию количе-
ства х. Поэтому примем М — 2а~X; тогда будем иметь:
Pdx = -₽XdX, (? = a-X + ₽X2
и
• ;V = a2-aX + apX2.
Поэтому для уравнения
- fyXdX + dy (a - X + ЗХ2 + у) = О
мы имеем множитель
1
у* + (2a - X) у2 + a (a - X + $Х2) у ’
при помощи которого это уравнение становится интегрируемым.
СЛЕДСТВИЕ 1
494. Придадим уравнению такой вид:
dy (у + А + BV + СУ2) - CyVdV = 0;
тогда будем иметь a = Л, X — — BVрХ2 = flB2V2 — СУ2, следовательпог
С
р = —, откуда множитель будет
1
у3+(2Л-ЬВТ) у2+А (Л+ВИ+СР) у ’
Zfa ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
495. Если здесь взять V=a-^%, то получится уравнение, сходное
с тем, которое мы проинтегрировали выше в § 488; множитель также
согласуется с тем, который мы там дали* Этот множитель можно удоб-
нее представить в таком виде:
____________1___________
у (у + А)2 + BVy (у + А) -j- A(JV2y
СЛЕДСТВИЕ 3
496, Если положить y + A = z, то наше уравнение будет
dz(z+BV+CV2)-C(z-A)VdV = Q;
для него является подходящим множитель
1
(z—A)(z2 + BVz + ACV2) ’
поэтому уравнение
dz (z + BV + СТ2)—С (z—A) VdV = Q
(z—A)(z2 + BVz + ACV2)
является непосредственно интегрируемым,
ПОЯСНЕНИЕ
497. Подобно тому как здесь мы приняли множитель уравнения
Ру dx + (у 4- Q) dy = 0 равным + > так же мы можем вместо него
взять в более общем виде -2 ; тогда непосредственно интегри-
руемым должно стать уравнение
Pyndx + (уп + Qy71’1) dy __ 0
y2 + My + N
Если мы сопоставим его с видом R dx-\-S dy = 0, для которого имеет
место J = > т0 будем иметь:
(и - 2) Руп+1 + (и - 1) РМуп 4- nPNyr^
- v + Му + Ю У-' •S ~ (У- + <?<,«) ( + 2 )
лли, расположив уравнение по степеням,
(п — 2) Pyn+1 dx 4- ~ 1) PMy^dx 4- nPNy7^1 dx
^y^dQ - MyndQ- Ny^dQ
+ yn+1dM+ yndN+ Qyn~ldN =0;
-H QyndM
если приравнять нулю каждый член в отдельности, получим:
I. (п-2) Pdx = dQ -dM.
II. (n-l)MPdx = MdQ-QdM~ dN.
III. nNPdx = N dQ-QdN.
ГЛ. Ш. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 277
Пусть Pdx = dV. Тогда из первого уравнения получим Q = A +
+ (/г — 2)У; подставив это значение во второе уравнение, получим:
MdV + {ri-2)VdM^AdM + dN^^
а третье получит вид
2NdV + (п-2) VdN + MdN - NdM + A dN = 0.
Исключая из этих уравнений dV, находим:
/ о\т7 < л M2dN — MNdM—2NdN
(П_2)У + Л= - 2NdM^SN--------•
Если бы мы захотели исключить отсюда У, то гмы столкнулись бы
с дифференцио-дифференциальным уравнением1). Однако случай, когда
п = 2, разрешим.
ПРИМЕР
498. Пусть при развертывании этого уравнения \мы имеем случай
п — 2, так что непосредственно интегрируемым должно быть следующее
уравнение':
у (Ру dx + (y+Q) dy) _ n
y* + My + N
Прежде всего должно быть Q = AA~M\ далее,
2ANdM - AMdN = М (MdN - NdM) - 2NdN.
Это уравнение мы должны интегрировать, а так как оно не содер-
жится ни в одном из разобранных выше типов, то надо посмотреть,
каким способом можно облегчить его решение. Положим М — Nu; тогда
MdN -NdM = — N2du
и
2NdM — M dN^2N2 du + Nu dNt
откуда
или
2AN2du + ANu dN + A73w du + 2NdN = 0
2dN . Au dN . 2A du , , n
Далее, подставим— = и или N = —; тогда получим:
— 2 dv — Au dv -j- 2Av du и du —0
или
2Av du и du
2 + Au 2 + Au
Здесь переменное количество v имеет только одно измерение2), и
потому ясно, что это уравнение станет интегрируемым, если его разде-
Э То есть дифференциальное уравнение второго порядка.
2) То есть уравнение линейное; интегрирующий множитель
по правилу § 469.
1
(2 + Аи)2
вычислен
278
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
лить на (2^)-Ли)2; тогда получится:
v £ и du С 1 + Аи
(2+Лк)2 J (2 +Лк)3 = Л2" ~ Л2 (2 +Ли)2 ’
С (2 +Лк)2— 1—Аи г
поэтому v = ———-|2----------. Взяв вместо и какую угодно функцию от
будем иметь:
'С(2 + Л^-1 — Аи ’ ’ С (2 +Ли)2 — 1 — Аи
И
Q ЛС(2 + Лк)2 —Л
V' 0 (2 +Лк)2 — 1— Аи *
Теперь из третьего уравнения мы получаем 2NPdx — NdQ — QdN или
2Pdz = Nd . Но <С<2 + ^2_-1. , откуда d = 2Cdu(2+Au),
и поэтому
р Л2с^(2 + Лн)
С(2 + Л+-1 — Аи ’
Поэтому наше непосредственно интегрируемое уравнение есть
A2Cy2du (2 + Лк) + у dy (С (2 + Лк)2 у — (1 + Л к) у + ЛС (2 + Лк)2—Л) Q
С (2 + Лк)2у2— (1 + Аи) у2 + А2иу + Л2
Если положить Лм + 2 = ^, то это уравнение получит такой вид:
ACyt dt-\-y dy (Ct2— t + 1) + A dy (Ct2 — 1)_
У* Ct2y2 — (t— 1)у2 + Л(£ — 2)у + Л2
Отсюда, положив Л = <х, C = S и находим:
ауху dx + у dy {а + [Зх + ух2) — a dy (а— ух2)_
У (а + Зх + ух2) у2—а (2а + $х) у + а3
СЛЕДСТВИЕ 1
499. Таким способом, очевидно, можно интегрировать следующее
уравнение:
ctyxy dx-\-ydy(a + fir + ух2) — ady(a — ух2) = 0.
Каким образом надо привести его к разделению переменных, это сразу
не усматривается. Но подходящий множитель есть
______________У___________
(а + ^х + ух2) у2 —а (2а + £х)у + а3 ’
СЛЕДСТВИЕ 2
500. Этот множитель, если разложить его знаменатель на множи-
тели, можно выразить еще следующим образом:
| [(« + ?£+ тяг)?/-а(а + 4P^Q+ax'J/^p2 —erf] ]
(а + fix + ух2) у : 4 _________ >
I Г (а + + -pr2) у + а (а + у ) — аж ]/ 82 — а? 1 I
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 279
СЛЕДСТВИЕ 3
501. Значит, если мы положим
az,
то множитель будет
а + у + z
12
а так
1
a2-{-~a^x + az
как у == —. д — 2 , то наше уравнение будет иметь вид
Я “Г “Г
;<ху dx 4- dy (' z 4- у Зя 4- = 0.
Но
1
--------а (аЗ + ^х2) dx—az dx + 2vx) + a dz (а + Зх + ^х2)
dy =
подстановке этого значения получается чрезвычайно сложное
а при
уравнение.
ЗАДАЧА 66
502. Найти дифференциальное уравнение вида
yPdx 4- (Qy 4- R) dy = 0,
в котором Р, Q и R —функции от х, так, чтобы оно стало интегри-
руемым при помощи множителя г&е S-тоже функция от х.
РЕШЕНИЕ
„ , , Q«m+1 + 7?u,n -
Так как dx умножается на т?--г-о , a dy на - ‘ ,тонеобхо-
J (1 + 51/) (1+ £>/)”
димо, чтобы
{т 4-1) Рут (1 + Sy) - пРSym" .-d + ^) (Ут+1 dQ + ут dR)-ny dS(Qy^i + Rym} _
если развернуть это уравнение, получится:
(т + 1) Рут dx + (т + 1 - п) PSym+1 dx - Sym+2 dQ
— ymdR— ym+1 dQ + nQym+2 dS _Q
- Sym+1dR
4- nRym** ldS
Отсюда
Pdx = и SdQ = nQ dS,
и поэтому
Q^=AS^ и dQ - nAS11-1
280 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
подставив эти значения в средний член, получим:
m+ *~n SdR - пА8п~г dS~SdR -4- nRdS = 0
т + 1 1
ИЛИ
- SdR __ ds RdS = 0
m +1 *
и поэтому
dR _ tm + V3dS = _ _]_ !) Л1$п-2 dS.
о
разделив на Sm+1 и проинтегрировав, будем иметь:
R ~ я (т+1)Л5^т-2
п—т — 2
Положим А = (т + 2 — п) С; тогда
Q = (Ш + 2 - ri) CSn и R - BSmn + (т + 1) CS^1;
поэтому
Pdx = BSm dS-\-(n—i) CSn~2dS.
Следовательно, будем иметь такое уравнение:
ydS (BSm + (n~l)CSn^)+dy((m + 2-n) CSny + BSm+1 + (m +
ут
(1+W ’
Будучи помножено на
оно становится интегрируемым, причем
в качестве S можно взять какую угодно функцию количества х.
СЛЕДСТВИЕ 1
503. Итак, мы сможем интегрировать уравнение
BySm dS -h BS”^1 dy + (n - 1) CySn^ dS + (m -}- 1) CS^1 dy
(m + 2 — n) CSn у dy = 0.
Оно сразу же разлагается на такие две части:
BSm (ydS -h Sdy) 4- CS>^ ((n - 1) ydS + (m +1) Sdy + (m + 2 - n) S2y dy) = 0:
каждая из этих частей, взятая в отдельности, будучи умножена на
становится интегрируемой.
ут
СЛЕДСТВИЕ 2
504. Первая часть BSm (у dS Д- 5 dy) становится интегрируемой при
помощи множителя ср (Sy); действительно, выражение В (ydS + Sdy) ср (Sy)
является непосредственно интегрируемым. Значит, множителем для этой
части будет, [в частности], Sx~~myl (1 + Sy)^\ он, очевидно, включает
ут
в себя принятый нами множитель (если взять k = m и р = — п).
Тогда имеем:
7/^ .... С dv
• RSm (yds + Sdy) = R\ . . ~;
(l + 6\/)n J (1 + О
здесь положено Sy = v.
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
281
СЛЕДСТВИЕ 3
505. Для второй же части, которая, если положить , полу-
чает вид
£(_(„_ + (m + 2 — n)ydy)-,
мы будем иметь:
(« — 1)CW 7 (m+l)vdy (m + 2—n)dy
vn < (n— l)y
-——— / — m —1 —m—n —m —1 \
Поэтому эта вторая часть получит такой вид:
"1+п z 1 + бу \
(п—1) CS'Lyn ~l d( П±1 ].
S /
Следовательно, множитель, делающий эту часть интегрируемой, будет
в общем виде
А . лЩп
т±п г т+1 I
$Пу^ \ Sy^l /
СЛЕДСТВИЕ 4
506. Стало
быть, для второй части множителем^будет, [в частности],
п— 1
-----m+n+[X (m-p£) , и тогда эта часть получит вид
Sn+^y ”
-(п-1)
' ' р. (m-Al) | m+1
S^y п~‘ S
Интеграл этого выражения есть
(я —1) CZP' + 1
н + 1
Z-L л- и у
= -^+Г-
yn~l s
СЛЕДСТВИЕ 5
507. Множитель для первой части (1 -[-А/)1* можно сделать
совпадающим с только что найденным множителем второй части, если
взять k — m и р = — п, в результате чего получится общий множитель
l-t-tfy
= v и —+1— = интеграл нашего
S
уравнения будет
, и тогда, если положить Sy
Г vm dv , 1 п п
+ или
vm dv CSn-x ymtl n
l+v)n + (l + Sy)"-!- ‘
282
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ
508. Итак, уравнение, которое мы научились интегрировать в этой
задаче, можно решать с помощью выше [§ 464] установленных начал,
а именно для каждой из двух его частей искать множители, а затем
сделать их совпадающими друг с другом. Здесь мы показали замеча-
тельную пользу, которую приносит этот метод.
Мы могли бы также придать множителю вид 2 так
(1 + &У + 1 У )
что уравнение
Ут (yPdx + (Qy + R) dy) __ ~
(1 + ^ + ТУ)"
должно было бы интегрироваться непосредственно. Проведя вычисление
таким же способом, как это было сделано выше, мы найдем:
(т+1) Рут dx+(т+1 - п) PSym+1dx+(т+1 2«) PTym^dx - Тут™ dQ r = 0.
~ymdR~- + ym^dQ- Stf^dR- nRym^dS + + Sym+*dQ+nQym+3dT Tym^dR nQym^dS nRym+* dT
Из последнего члена - TdQ + nQdT = = 0 заключаем, что Q = AT\
а из первого, что Pdx dR = J подставив эти значения в два средних
члена, получим: R dS — —£-АТ dT = 0
и т-\- 1
RdT т-\- 1 1 A ST”-1 dT = 0.
Из этих двух уравнений первое интегрируется непосредственно, если
яг= — 2. Второе же может интегрироваться, если яг = 2и—1; в самом
деле, тогда
RdT - + ЛТ”1-1 (TdS - SdT) = 0
ИЛИ
п RdT—TdR A (TdS —SdT) п
Интеграл этого уравнения есть
откуда
—r ~~в
пТп Т ~ п ’
R = BTn+nAr^ 5.
Кроме того, заслуживает быть отмеченным случай т = —1; этот
случай вместе с предыдущими мы разберем в прилагаемых ниже
примерах.
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
283
ПРИМЕР 1
509. Определить уравнение
у Pdx + (Qy -\-R)dy = Q
е 1 а
так, чтобы после умножения на 4-Гуа)п оно стало непосредственно
интег ри руемым.
Так как m=—1, то мы сразу же получаем d7? = 0, а поэтому
R = Cz далее, как и выше, Q = АТп и dQ = пАТ^1 dT* значит, осталь-
ные два определения будут
_ PSdx - AT11-1 dT + CdS = 0,
- 2PTdx - AST^ dT + ATn dS + CdT = 0.
Исключая отсюда Pdx, получим:
л52 * * * *7п-1 dT _ 2ATndT - ATnSdS + 2CTdS - CSdT = 0.
Положив здесь S2=Tv, получим:
2TdS — SdT = TS( = Tdvi/j
< s T J v yv
и будем иметь:
4 ATnv dT—2ATndT -1 AT”'1 dv 4- CTdv^T = o,
£ * 1/ V
ИЛИ
- ± ATn^ d(~'} + CTdvVT = Q
Z \ 1 У у v
Первую часть этого выражения можно сделать интегрируемой при
1 / v—4 Л
помощи множителя > а ВТ0РУю~при помощи множителя
1 1
—— cp(v); следовательно, общим множителем будет ------*-------. От-
т V Т п+-
Т (v — 4) 2/г
сюда получается такое интегральное уравнение:
_ 1
------------- + с = D,
П— 9---------J П+ -
(2п — 1) (v — 4) 2 (v — 4) 2 v
откуда можно определить 71 через v; далее, имеем:
S=YTv, R = C, Q = AT” и Pdx^0^-^-1-7.
о
СЛЕДСТВИЕ 1
1
510. В случае, когда п = ^~, ввиду того, что получаем:
1л
2 v—4
dv
(v— 4) v
или
±Al-J—-±cl
2 v—4 2
284
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Отсюда, положив v = 4гг2 и С получим:
7 > 7 1 ”И И 4-
Z ---- . К/-----=z Const
1 — u2 1 — и
ИЛИ
Отсюда, далее, 5 = 2и У'Т ~2и |~02 У' (1 ~ ^2) и R = С = Х4; далее,
и
Но
Значит,
л
<2 = л(|±£)2 /£(i-u2)
n , KAdu , KAdT AdT
Pdx^ — + ^r—~%Ги '
dT — 2u du 4' du
У = “ •
p , __ Adu (1 4- 4 + 2ku)
л - IQ •
1 — u2
Поэтому для уравнения
+ (>+!L у / F(l^j ] _ о
множитель будет
1
1+2ги/(|4“03 ^’(l —гг2) + £'2^(1 — “2)(|4^У
СЛЕДСТВИЕ 2
Й11. В случае, когда п= —, имеем:
+ 2С ]/и = - 2D или
у л (и—4)^
4Z) + 4C/w '
Положим и = 4и2, так что У = /1 6/4 ; тогда
A = 2«Kr=2„|/lSgl, R = C, е_/4<£±-^
II
__ Cdu CdT AdT __Cdu ^_du (C + Du + Ou2) (Ou3 — ЗСи — D).
Pdx—- H — 2T2u — -f- U(u2—l)2(D-|2Cu) ’
отсюда можно определить и уравнение, и множитель.
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
285
ПРИМЕР 2
512. Определить уравнение
у Pdx + (Qy + R)dy = O
1
оно стало непосред-
так, чтобы, будучи умножено на туун >
ственно интегрируемым.
Так как т ~- —2, то из вышеизложенного [§ 508] имеем:
ос А ФП . о о АТп 1 В
RS = — 7 п 4- В или R = —_ 4- — .
п nS S
Подставив это значение во второе уравнение, получим:
S2 — о.
(2п +1) АТп dT _ 2ATn+1dS дтпдз _ AST”"1- dT 4-BdT 2BTdS
nS2 ~г" У
nS
Это уравнение распадается на три части:
AS f (2n + l)T2”-dT 2T2^dSX ,
пТп < S2 S3 ) ^Л1 \Т Т2 )
или
Для краткости положим
£ 71
£2 Р ’ Я. И £2 1 ’
С 1
тогда 6 — ,
qr
такой вид:
г'=4’ °ткуда
и наше уравнение получит
или
^—dpA
ngV pr
aVp
q2r г
dq-\~— dr - 0,
dp + dq 4 Bdr — 0.
И VP 4\r
Будем рассматривать эти три части по отдельности. Первая из них
становится интегрируемой, если ее помножить на
V р ( ч
вторая-
если ее помножить на и третья — если ее помножить на <р(г).
V р
Для того чтобы два первых множителя совпали между собой, положим
р^ = q^ или рк+1 — 7^+^,
V г V р
откуда
И 4~ 1
Р r=X 1 7*^+1 4П^~2П-}-1ф
Значит,
k + 1=-^ZT и н + !=-W + l) = 4=r
286
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
и, следовательно,
2^+1
р'= 2n—1
2п
2л —1 *
Поэтому помножив уравнение на
4п
у-
Vp
£2п+2п—1гп1),
получим:
или
или
рк dp + Aqv dqA-Bq2^24-1 rn dr = О,
4n2+2n
4п2-|-2п
^1>Л. d [ ,2^. (1 - 4r) ] + Bq^-'dr _ 0.
4vn
Помножив это уравнение на g2n“i (1 — 4г)^, получим:
4vn 4n 4n2-b2n-|-4vn
q2^~i (t d [ 1_4rj ] + Bq 2n—1 n dr(y_ 4r^ = Q>
Пусть 4v + 4^ + 2 = 0 или v= — n—Тогда оба члена можно интегри-
ровать, и мы будем иметь:
~(/2,\~1\с ? 2п“‘ (l-4r)v+1+B t rnrfr (1— 4r)v = Const.
4л (v+ 1) 7 ' 7 * J ' z
Ho v-|-l== — n + ~ = — ^2 1 > и таким образом получится;
2n—1
- 4 <!n (»- +в - c°"st-
(1—4г) 2
Следовательно, q выразится через г, и мы найдем:
6’ = — , Т = —,
qr q
а затем
Д = ^ + -£, Q = ATn и Pdx=-dR.
х) В первом издании здесь вместо гп по ошибке стояло rn+1, а в следующей
т 4л - 4л
формуле вместо ------т- было . Эта ошибка отразилась на всех последующих
ZiZl — 1 ZtZl 1
формулах настоящего параграфа, а также на формулах §§ 513 и 514. В третьем изда-
нии (1824 г.) формулы настоящего параграфа были исправлены, но в §§ 513 и 514 сохра-
нены ошибочные формулы. В Полном собрании сочинений Эйлера исправлены все
формулы.
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
287
СЛЕДСТВИЕ 1
513. Если п = —» т0 будем иметь:
Jg(l-4r)4-2Bj/7 = (7,
С—2В /Г
ИЛИ q = Л(1-4г) ’ 0ТКУ«а
S = А(1 — 4г) т = Л2(1 —4г)2 q = /7(С-2Д/7)
г(С—2ВУ~г) ’ г(С—2В/г)2 ’ 1г-4г
И
о Q + nB _ В — 2Q _ г (В— 2С/7)(С — 2В/7)
nS “ S “ Л(1 —4г)2
или
BCr — 2(B2 + C2)rVr + 4BCr2
Л(1 —4г)2
СЛЕДСТВИЕ 2
514. Положим для того же случая г = -^-м21); тогда
4Л(1—и2) т_ 4Л2(1 —и2)2
Л — и2 (С—Ви) ’ * 1 ~ и2 (С—Ви)2 ’
__ и(С—Ви) т> и2(В—Си)(С—Ви)
" “ 2(1 —и2)- ’ Л 4Л (1 — и2)2 ’
откуда
(В2 + С2) (Зи2 + и*) - 2ВС (и + Зи3) ,
4Л(1 — и2)3 ’
и уравнение yPdx-\ (Qy + R)dy = 0 станет интегрируемым, если оно
будет умножено на
Vi+Sy + Ty2 _ 1 1/~л , 4Л(1-и2)у "4Л2(1-и2)2у2
У2 —у2 т 'Г и2(С — Ви) *" и2 (С — Ви)2 ’
ПРИМЕР 3
515. Определить уравнение
уР dx + (Qy + R) dy = О,
которое, будучи умножено на
у2п-1
(1 + ^ + т^
стало бы непосредственно
интегрируемым.
Здесь тп = 2п—1, Q = ATn и далее, согласно вышеизло-
женному [§ 508] R = ПАТ71”1 SВТп; остается еще уравнение
R ds - - ЛТ”1"1 dT = 0.
In
0 В оригинале употреблена подстановка г —и2 (применительно к неверным
выражениям 61, Т и т. д.; см. примечание к § 512). Следуя Ф. Энгелю, мы берем
1
подстановку г = -^«2, как более удобную для верных формул.
288
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Если в это уравнение вместо В подставить найденное значение,
оно получит вид
(2п - 1) АТ^1 S dS - (п - 1) ATn~2S2 dT
- 2АТп~1 dT + 2ВТп dS - BT^S dT = О,
или
(2п - 1) ATSdS -(n — i) AS2dT-2ATdT+ 2BT2dS- BTSdT = 0.
Первый член, если положить S2^u, получит вид
( П - А J АТ du - (« - 1) Аи dT - 2АТ dT,
ИЛИ
f ( 1 (п—i)udT 2dT \
р—; 1, г
\ (, а~2)Т ““)
или
4п —3
1 /9 ЛТ2п~{ f du 2(n—i)udT ^dT \
I 2n_2 4n-T‘ 2n—2 1
\ T2n~ 1 (2n — 1) T2n -1 (2n — 1) T2n-1 J
= ^(2n-l)AT^1 d(
У yr2n— 1
ИЛИ
4n-3 1
или
&n-V)AT^d 0!_4)j+A|£d^)=o.
Положим
^- = P и 7’2"-1(jp.-4) = 9 = 7,2n-1(Jo-4),
1
/71271— 1 Q
так что 1 = » откуда
^n-i 1 Г pq^-1
1 " Г '
Значит,
(2ге-1)Л(^-4)^ 2В/^Д
9 V p(j>—-4)2n-1 P
или
(2n—1) A dq
q 2
dp . у P Z\
-j—= u.
n + ~
(p—4)
Это уравнение, будучи проинтегрировано, дает
— 2А
dp'A^ р
= 2С;
1
2
п —
Q
(р — ^)
2
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
289
---AT--^r\dv^-^ = C.
f_2 4
ПОЯСНЕНИЕ
516. Я не останавливаюсь на этом подробнее, так как я привел эти
примеры главным образом с той целью, чтобы дать упражнения в изло-
женном выше методе решения дифференциальных уравнений. Действи-
тельно, в этих примерах мы встретились с довольно трудными уравне-
ниями, но их удалось разложить на части таким образом, чтобы для
отдельных частей отыскать подходящие множители и по ним опреде-
лить общий множитель. Теперь же будем исследовать другие типы
уравнений, которые можно сделать интегрируемыми с помощью множи-
телей.
ЗАДАЧА 67
517. Определить функции Р, Q, R, S количества х так, чтобы
уравнение
(Py+Q^dx+ydy^O
стало интегрируемым при помощи множителя
РЕШЕНИЕ
Очевидно, необходимо, чтобы
/ rf[(Py + Q) (У2 + Ду + 1$УЧ \ /d[y (y2 + Ry + S)n]
V dy ) dx
Разделив на (у2 -р Ry + получаем отсюда
Р {у2 + Ry + 5) + л (Ру -г (>) (2у + У?) = + dS)
ИЛИ
(2п 4-1) Ру2 dx + (п + 1) PRy dx 4- PS dx
— ny2 dR 4- 2nQy dx 4 nQR dx > = 0.
— nydS
Отсюда, следовательно, получается Pdx=---t)----
и
(n + l)RdR +2Qdz-dS = 0, J^L + QRdx = 0
2n +1 x 7 2n +1 x
и, далее,
~SdR - -(n + i)RdR dS .
(2п+1)Я - 2(2n+l) 2 ’
значит,
, 9 2SdR __ (n+l)RdR
+ (2n + l)i? “ 2n + l
290
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2 4
R27^ S^C-r-R2^,
-2
S=^-R2 + CR2n+i,
-2п-3
2
Это уравнение, будучи помножено на R2n+i и проинтегрировано, дает
и отсюда
а также
Qdx= dR и Pdx = ^^.
v 4(2п+1) 2л+4 2п +1
Отсюда мы получаем уравнение
— 2п—3
( пу - ~ R - CR 2,1+1 ) dR + (2 п Н- 1) у dy = 0.
Оно становится интегрируемым при помощи множителя
-2
(у2 + Яу + 17?2 + С7?2п+1)П.
СЛЕДСТВИЕ 1
518. В случае, когда я = —, получается dR = 0% R = A, а осталь-
ные [два] уравнения суть
(п -р 1) АР dx--r2nQ dx — ndS = 0
и
PS dx A~n AQ dx = 0.
Значит,
p 7 AQdx ____ 2Qdx— dS
l (1X 2S " A~~ ’
и поэтому
(Л2 - 45) Q dx - -2SdS,
или
, — 2S dS n 7 — A dS
Qdx- rи Pdx — -^2_46.
Таким образом, уравнение
(Ay 4 2S) dS . 1 n
"Ь-У +ydy = V
становится интегрируемым при помощи множителя
1
Yy* + Ay+S
СЛЕДСТВИЕ 2
519. Положим здесь А — 2а, a S х; уравнение
(ау + х) dx + 2y dy (х—а2) _
(х — а2) у2 + 2ау + х
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
291
является непосредственно интегрируемым; отсюда можно найти интеграл
уравнения
х dx 4- ay dx 4- 2ху dy — 2а2у dy = О,
которое становится интегрируемым, будучи разделенным на
(х — а2) У у2 + 2ау 4- х.
СЛЕДСТВИЕ 3
520. Для нахождения интеграла примем сперва х за постоянное;
тогда интеграл второго члена
dy
У у* + 2ау + х
есть
2 у У2 + 2ау + X + 2а1 (а + у — У у2 + 2ау + х) + X.
Дифференциал его, если принять у за.постоянное, есть
dx a dx \ У у2+ 2ау+х 5
]<i/2 + 2ai/ + ^ а + у~ Уу2 + 2ау + х Г
если приравнять [это выражение] первому члену уравнения
(ay + х) dx
(х — а2) У у2 + 2ау + х
то найдем dX = и X = — al (а2 — х).
Следовательно, полным интегралом будет
Vy^2ay\x + al а + У~.^±_2аУ+± = С.
у а2 — х
СЛЕДСТВИЕ 4
521. Заслуживает упоминания также случай п = —1; если написать
а вместо с4--р он даст уравнение
(у + aR) dR - \- у dy = 0,
которое, будучи разделено на у2RyaR2, становится интегрируемым.
Это уравнение однородное.
ПОЯСНЕНИЕ
522. Можно также для уравнения
{Py + Q}dx-rydy = $
принять множителем (у -\-R)m (у 4- 5)п; тогда должно быть
( dWy+Q) (y + Rrn (y + S)n] Л/ d[y(y + R)^ + >
Ч dy J \ dx ) ’
откуда находим:
P dx (у + R) (у + 5) + m dx (Py Q) (y -j- £)
+ n dx (Py + 0 (y + R) = my (y + 0 dR -{- ny (y-\-R) dS.
19*
292
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Это уравнение можно развернуть в
(т + п -J- 1) Ру2 dx -J- (и +1) PRy dx 4- PRS dx
— my2 dR 4- (m 4- 1) PSy dx 4- mQS dx
— ny2 dS 4- (m 4- n) Qy dx 4* nQR dx
— mSydR
— nRydS
откуда получаем:
Pdx =
m dR ~\-n dS
m + n + 1
Qdx =
—PRSdx
mS 4- nR
— RS (mdR + ndS)
(m 4- n + 1) (mS + nR) ’
И
а отсюда
(ли dR 4- n dS) ((ti 4- 1) R 4- (w 4- 1) 5*)
m 4- тг + 1
(m 4- n) RS (m dR 4- n dS)
(m 4- n 4- 1) (mS 4- nR)
mS dR — nR dS = 0,
или
m(n 4-1) R dR — mn RdS 4- n (m 4- dS — mnS dR
m (m~\- n) RS dR ^-n(m-\-n) RS dS
mS + nR
а это уравнение приводится к виду
(n+\}R2dR + (m-n-\.)RSdR-mS2 dR
4-(m4-l)6'2d54-(n-m-l) RSdS-nR2 dS = 0.
Так как последнее уравнение однородное, то разделим его на
(n+l)R3 + (m-2n-l)R2S + (n-2m-l)RS2 + (m + l)S\
т. е. на
(R -5)2 ((п+ 1) R +(т + 1)5),
чтобы оно стало интегрируемым. Если же это самое уравнение разде-
лить на R— S, то будем иметь:
(n+l)RdR + mSdR-nR dS-(m + l)SdS = 0.
Разделим его на (R — S)((n4-1) R+ 1) S) и произведем разложение
на частные дроби:
dR / /п 4- и 4-1 । л +1 Л
m + „ + 2 R-^S Н (п+ 1) R + (m + 1) S' )
dS / иг 4-п 4-1 т 4-1 Л—О
+ w + < S^R h (п 4- l)J?4-(ni+l)^ ) ~~
ИЛИ
(т + п + 1) (dR — dS) (n+l)dR + (m+i)dS _ Q
R — S + (ti4-1) J? + (^+l)^
откуда, интегрируя, получим:
(7? - .y)m+n+1 ((n+1) R + (m +1) 5) = C.
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
293
Пусть R — S = и; тогда
и отсюда
„ _ (тп + 1) « а (n + 1) и . а
U 'm + n +2 цтп+пи-1 и m+n + 2‘ um+n+1 *
Далее,
D л _____________________(тп — n)du (m-\-n)adu
PCtX~ ™ + п + 2 ит+п+з
И
О /7 т — — С а -4- (т + u А ( а_______("+1) и А
” и \ ит+п+1 “* т+ п + 2 am+n+i m + n + 2j'
СЛЕДСТВИЕ 1
523. На основании сказанного можно интегрировать следующее
уравнение:
ydy + ydu^^^~^^)
. du / аа . (т—п) а (т + 1) (п + 1) иа X __ л
+ ~ „2ТП+2П+2 + (/п + п + 2)ит+« (тп + п + 2)а J ~ и;
оно становится непосредственно интегрируемым, если его умножить на
а ( (пг+1)и>т/ , । a (n + l)u>n
+ ^ + Л + 2 ) + ит+п+1 m + П+ 2 ) ‘
СЛЕДСТВИЕ 2
524. Пусть т = тогда наше уравнение получит вид
, 2п an du , a2 du 1 , п
ydy- и.2п+2 +-^T--judu = 0.
Множитель этого уравнения есть' u2n+i ’ Поэтому
а
если положим у = 2—^2п+1 , то получим уравнение
7 adz . az du 1 7 л
Z и2«+1 Н ц2п+2 + М = О’
которое становится интегрируемым, если его помножить на ~ и2^ .
1 1
Или положим еще z = у -1) и а = -у Ь\ тогда уравнение будет
bdy , by du
ц2П+1 * Ц2п+2
ydy — и du
а множитель будет (г/2 —и2)п.
х) Разумеется, через у здесь обозначено не то переменное, которое выше
обозначалось той же буквой.
294
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 3
525. Если т = — п, то получается уравнение
7 7 г f 1 / О А \ 7 П/fL dllr
ydy-nydu + + -4- (zz2 — 1) и du-— = 0.
Это уравнение становится интегрируемым, если его помножить на
(<y + i~^n+l'>u)n G + •
Если же положить y^-^-^Zj то получается уравнение
7 7 1. i п 7 д dz . az du
zdz-nzdu-\- ~г (п* — 1) и du---------= 0.
'4х 7 и 1 и2
Это уравнение становится интегрируемым при помощи множителя
(z -у (п+1)и} (Д-у(п — 1)и^ П .
СЛЕДСТВИЕ 4
526. Положим здесь z — uv\ тогда получится уравнение
u2v dv -^udu v2 — nv-\-— 1)^ = a dv.
(1 \п
v~ 2 (" + 1Л
----. --------I , то обе части уравнения станут
У —у (« — !)/
интегрируемыми.
п „ *-|(»+1) „+1-(га-1)5
Действительно, если положить --------= s, т. е. у — —г,
1 / .4 (Д - S) ’
у——(«—!)
то получается:
sn+1u du ( — (п— 1)^„2п.мп asn ds
(1—s)a 2?Г-Ср u s as~ (1 —s)2 ’
интеграл этого уравнения есть
^П+1 ц2 г sn ds
2 (1 —б')2 = Л J “(1 —s)2 •
ПОЯСНЕНИЕ
527. Для того чтобы в общем случае придать нашему уравнению
более изящный вид, положим т— — к— 1 + р- и —л—1 —р-, так
что m^-zz^-2= — 2к; тогда получим уравнение
ydy — ydu — 2 (к + 1) аи2^ + и du(^x аи21 -[-|а2и4?Л = О,
которое становится интегрируемым при помощи множителя
(у +а^+1 _ Qy+ ак2х+1
ГЛ. Ш. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
295
Положим у 4* = zzz; получится уравнение
uzdz- dz -\~du(^z2 — у- z =0,
которому соответствует множитель
и мы найдем интеграл
/г С ,7 ( 1 Iх f X + IL \ Р- k 1
,c=aH4z+^-; 4—2г)
+ 2Ки2*< + 2А. > < 2Х )
который, следовательно, согласуется с дифференциальным уравнением
z dz -ь v (z+) <z - ~i~)=au2Xdz-
ЗАДАЧА 68
528. Определить функции Р, Q, R и X количества х так, чтобы
уравнение dy 4- у2 dx -г X dx =’0 стало интегрируемым при помощи мно-
1
мтш •
РЕШЕНИЕ
Очевидно, должно быть
/I Д У2 + х 1 Л 1
dy “ Py* + Qy+R dx U Py* + Qy + R ’
а отсюда
2у (Ру* AQyЯ) - (у*X) (2 Ру + (?) = -y*dP-ydQ-dR .
Значит, должно получиться:
= 0.
Qy2 dx + 2Rу dx — QX dx
--y-dP — 2P Xy dx + dR
+ ydQ
Поэтому мы имеем:
dP dR v
dR
dP ’
d2P
Следовательно, считая dx постоянным, имеем dQ = —; значит, долж-
но получиться:
9 О , . 2Р dRdx (pp п
2Rdx-\------------—=0,
1 dP dx 1
ИЛИ
dP d2P
RdP + PdR = -^-f .
296
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Интегрирование этого
уравнения дает
р/г=.£+с’
откуда
д _ № , с .
4Р dx* ~г Р ’
далее,
dP у С . dP* d*P
dx И Л рг + 4Р2</х2 — 2Pdx* ’
Положим P = S* 2, так что S есть какая-нибудь1) функция от т;
тогда получим:
P = S\ Q =
2SdS „ C dS2
dx ’ Л "" S2 + dx2
С d2S
S* S dx2
Если взять эти значения, то уравнение
dy 4- у* dx + X dx
~Py2 + Qy + R
будет непосредственно интегрируемым2).
ПОЯСНЕНИЕ
= 0.
529. Это решение получит более удобную форму, если придать
множителю вид -2--р ; теперь должно быть
1 ,5 р(у2+х) _ i , р
dy U y2 + 2Qy + R dxa y2 + 2Qy+R ’
откуда получается:
2PQy2 dx + 2PRy dx - 2PQX dx
- y* dP-2PXy dx-RdP
— 2QydP +PdR
+ 2PydQ
Здесь удобно определяется из каждой [группы членов] в от-
дельности , а именно:
dP 7 Rdx—Xdx-\-dQ dR — 2QX dx
— = Щ ax = q = д .
Отсюда заключаем, что 2Q (R + X) dx = dR. Теперь мы определим
отсюда сам элемент dx3)\ найдем;
, __ dR
аХ " 2Q(R + x) *
*) То есть произвольная.
2) Интеграл этого уравнения найден в § 533.
3) Идея дальнейших преобразований такова: вместо того чтобы искать выра-
жения Р, Q, R и X через х, Эйлер ищет выражения х, X и Р через R и Q. Надо
иметь в виду, что, как и в § 528, число условий на единицу меньше числа искомых
функций и что вследствие этого общее решение зависит от произвольной функции.
Таким образом, можно принять Q за аргумент, и тогда R есть произвольная функ-
ция от этого аргумента.
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
297
Подставив это значение, получаем:
QdR __ (Я—X) dR ,
R+X" 2Q(R + X)
или
2Q2, dR = RdR-XdR + 2QR dQ + 2QX dQ,
откуда
2Q2dR~2QRdQ~RdR
— 2QdQ~dR
и значит,
о , x_2(Q2-R2)dR
2QdQ—dR *
Следовательно,
, _2QdQ—dR dP _ 2QdQ—dR
И p " 2(Q2 —Я) ’
поэтому P = A j/^2 — R.
Пусть Q2 — R^S1)', тогда получим:
dx = -^, X=iQ-^d9--Q2-S-, R = Q2-S и Р = А1/У.
4Qa as v ’ v r
Поэтому будем иметь уравнение
которое становится интегрируемым при помощи множителя
Vs~
y2 + 2Qy+Q2-S ~ ’
Для нахождения интеграла этого уравнения примем Q и S за постоян-
ные; тогда получится:
f луУ^ - 1 1 y+Q-Vs~ , у
J (y + Q)2-S 2l y + Q_ys^ ’
где V — определенная функция от б1 или от Q. Теперь будем дифферен-
цировать полученное выражение, приняв у за постоянную; получится2):
dQ
2^ S ,у _ y2dS + iQS dQ — Q2dS — S dS
(y+Q)2-S + " 4Q«y + Q)2-S)ys~
и поэтому
__у2 dS + 2Qy dS + Q2 dS — S dS dS
x) Здесь вводится новое количество 61, так что теперь xt X, Р и R выражаются
через количества 61, Q, одно из которых является произвольной функцией другого.
Явные выражения количеств X, Р, R, Q через я найти не удается, вследствие чега
в результате вместо дифференциального уравнения, связывающего у, dx, dy получается
уравнение, связывающее Q, S, у, dQ, dS, dy. Интеграл этого уравнения содержит
Q, S, у, но из двух количеств Q, А1 одно является произвольной функцией другого.
Если задать зависимость между Q и S, то можно получить дифференциальное урав-
нение, связывающее х, у, dx, dy.
2) В результате приравнивания найденного выражения и соответствующих членов
полного дифференциала.
298 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Следовательно, интеграл нашего уравнения есть
1 + 1 С _dS_ =
2 y + Q + V'S Ф 4 J Q/f
СЛЕДСТВИЕ 1
530. Особым случаем является тот, в котором R = Q2; при этом
dP 1 Q2 dx—Xdx^dQ 2dQ— 2Х dx
~Р~ —Щах— q — q •
Отсюда мы получаем следующие два уравнения:
Q2dx-\-Xdx— dQ--= 0 и Q2dx-'rXdx— dQ--=O.
Они совпадают друг с другом; поэтому будем иметь:
Xdx = dQ-Q2dx и IP = 2 <\Odx.
СЛЕДСТВИЕ 2
531. Если взять Q отрицательным, так что мы будем иметь уравнение
dy + у2 dx — dQ—~Q2dx--= 0,
—2 jQ dx
то оно становится интегрируемым при помощи множителя •
Интеграл будет
_^_е-2У«^ + у= Const,
y~Q
где V — функция от х. Чтобы определить ее, будем дифференцировать,
принимая у за постоянное:
dQ -2fQdx , 2Qdx ~2^Qdx , __ y2dx — dQ — Q2 dx -2$Qdx
~ra (y—Q)2
откуда
$ e~^Qdxdx,
так что интеграл есть
л п ~2\Qdx
СЛЕДСТВИЕ 3
532. Поэтому, если предложено уравнение
dy 4- у2 dx + X dx = 0
и если известен какой-либо его частный интеграл y — Qt так что
dQ + Q2 dx-^X dx = 0
и поэтому
dy + У2 dx — dQ — Q2 dx — 0,
ГЛ. III. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
299
r 1 - 2 f Q dx
то множителем для этого уравнения будет е J > а полным
интегралом
Се2$
Qdx , 1 _с
e~2^dxdx.
‘ у—Q
ПОЯСНЕНИЕ
533. Уравнение
найденное нами в предыдущем пояснении не таит в
трудностей. Действительно, если положить у — Q^z, то
zdS dS(z2-S)
2$ 4QS *
Для того чтобы вместо двух первых членов образовался
z=v]^S; тогда найдем, что
л i/o" 1 и2 dS dS n dv dS n
dv У S + —гг.---T7V = 0 или —r 4------7=. = 0.
r 1 4Q 4Q v2 — 1 1 4Q-j^ s
2S
себе больших
получим:
один, положим
Это — уравнение с разделенными переменными; его интеграл есть
1 7 1 + v 1 г dS y + Q
л-1 т2-- = т \ —> гДе v — - .
2 1 — v 4
Уравнение же, найденное в самом решении [§ 528],
X d2S
функция количества х, а -^~ =
оно становится непосредственно
где 5 — какая угодно
ляется более трудным;
если его разделить на
С2?72 2Sy dS j dS~ , С
y dx ‘ dx2 1 № z
, dS
a , представ-
интегрируемым,
dS
dx
С
S2 *
Приняв х за постоянную, найдем интеграл
1 . S2y dx — S dS i у/ n 1-
arctg —----—r----k V = Const.
Vc 6 dxVc
Теперь, чтобы найти функцию V, надо взять дифференциал, прини-
мая за постоянное у\ этот дифференциал есть
_ Sd2S dS2
dx dx . „г
---7-----aTV-----+</У’
и он должен быть равен второй части, [т. е. выражению]
С dx d2S
^-~Sd7 + ydx
7Q dS\2 , c
iSy dx ) S2
С dx Sd2S t c2 2 ,
-s^-~dr + Sydx
s2( Sy-~y + c
2
300
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Значит,
Поэтому полный интеграл есть
1 . S2y dx—S dS . f dx
УC 5 dx У C J s
Если мы возьмем S = x, [найдем, что] для 'уравнения1)
dy + y2dx + ~ = 0
полный дифференциал будет
1 arctg ^£_A=jD.
Ус & Ус *
Пусть теперь S = хп\ тогда
и d ^- = п(п — 1) хп~2 dxt
dx dxx/
и значит, можно будет проинтегрировать уравнение
dy+y^+^-^^=o-,
его интеграл будет
рСarCtg (2я—1) г2’11 ~D-
Выше [§ 436] мы нашли, что уравнение
dy 4- у2 dx + Схт dx = 0
—4.1
можно привести к разделению переменных всякий раз, как т== 21 ± 1
в тех же случаях можно будет найти такую функцию S, чтобы
С d2S ___ Г'лп
Sdx2~ Х ’
но поскольку это уравнение относится к дифференциальным уравнениям
второго порядка, здесь мы его касаться не будем.
ЗАДАЧА 69
534. Определить ^функции Р и Q двух переменных х и у так,
чтобы дифференциальное уравнение Pdx-rQdy — О, будучи разделено на
Px^-Qy, стало интегрируемым само по себе.
РЕШЕНИЕ
гр Р dx~Y Q dy --
1ак как выражение —px-^Qy должно быть интегрируемым, то по-
ложим Q = RP, так что^будем иметь '> пусть dR ^=М dx + N dy.
9 Ср. § 491.
ГЛ. ш. ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
301
Должно иметь место равенство
dy х + Ry dx х + Rу ’
откуда получаем:
—R—Ny _ Мх—R
(x + Ryf ~ (x + Ry)*
или 7V = — — . Отсюда
У
выражение должно быть
функцией количества
тегрирования получается
цией нулевого измерения
dR — М dx — dy — Му у как эт0
У у2
интегрируемым, необходимо, чтобы Му было
у dx — х dy j х
, ибо ——в РезУльтате этого ин-
или, что то же, R будет функ-
количеств х и у. Поскольку очевидно,
что это условие будет удовлетворено, если Р и Q будут однородными
функциями одного и того же числа измерений от количеств х и у; зна-
чит, таким путем мы пришли к тому же интегрированию однородных
уравнений, о котором мы говорили в предыдущей главе [§ 477].
СЛЕДСТВИЕ 1
гог гр di —R du
53b. 1ак как t , интегрируется непосредственно, если
или [R =;Q) , то будет интегрируемым и выражение
dt du S' t \
T + \ к"J
^ClF
оно может быть представлено в таком виде:
dt , du f С dt Г du У
t и ' \ J t J и )
где буква / означает какую угодно функцию количества, к которому
эта буква отнесена 2).
СЛЕДСТВИЕ 2
г, р i тт dt dx du dy г „
53b. Доложим x" и 7Г= У ’ 1ИЗ пРеДыДУЩег° параграфа вы-
текает, что] выражение
]) В первом издании] R = fund • — . В дальнейшем употребляются обозначения
t (Г dt С du\ ( Г dx С dy\
3) ubi littera / denotat functionem quamcunque quantitatis sufixae.
302
ОБ интегрировании дифференциальных уравнений
будет непосредственно интегрируемым. Поэтому, если
dx R dy « -
то выражение _р'ду будет непосредственно интегрируемым, какой бы
функцией количества х ни было X и какой бы функцией количества у
ни было У.
СЛЕДСТВИЕ 3
537. Поэтому, если требуется найти функции Р и Q так, чтобы
уравнение Р dx -\-Q dy — Q стало интегрируемым после деления на
PX-\~QY (где X — какая угодно функция от х, а У —от у), то должно
быть
2_ m f С dy\
Р Y^\X J Y ) '
СЛЕДСТВИЕ 4
538. Поэтому, если знаки ср и ф означают какие угодно функции и
если будем иметь
то уравнение Pdx-YQdy^Q станет интегрируемым, если оно будет раз-
делено на PX-YQY.
ПОЯСНЕНИЕ
539. Таким образом, можно обнаружить бесчисленные уравнения>
которые удастся интегрировать, хотя другим путем было бы очень
трудно усмотреть, каким образом их можно привести к разделению*
переменных. Однако это исследование относится по существу ко второй
книге «Интегрального исчисления», хотя здесь уже даны замечательные
образцы такого способа исследования; действительно, мы определили
функцию R двух переменных х и у по определенному условию, нало-
женному на М и 2V, а именно: Mx^Ny = 0,\т. е. х ( ~ у == 0,
т. е. по определенному условию, [задающему соотношение] дифферен-
циалов х).
9 Значительная часть материала II и III глав содержится в мемуаре Эйлера
(№ 269 по списку Энестрема) «De Integratione acquationum differentialium», Novi
comment, acad. sc. Petrop., 8 (1760/1), 1763, p. 3; Leonhardi Euler i, Opera
omnia, series I, vol. 22 (Ф. Э.).
0
ГЛАВА IV
О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
540. Частный интеграл дифференциального уравнения есть со-
отношение переменных, удовлетворяющее уравнению и не заключающее в себе
никакого нового постоянного количества *). Следовательно, он противопо-
лагается полному интегралу: последний включает в себя постоянное
количество, которое в дифференциале не содержится, но в интеграле
должно содержаться с необходимостью.
СЛЕДСТВИЕ 1
541. Стало быть, если известен полный интеграл, то из него можно
получать бесчисленные частные интегралы, поскольку указанному
произвольному постоянному количеству будут придаваться все новые и
новые определенные значения.
СЛЕДСТВИЕ 2
542. Значит, если предложено дифференциальное уравнение между
переменными х и у, то всякая функция от х, которая, будучи под-
ставлена вместо у, удовлетворяет уравнению, дает частный интеграл,
если только он случайно не окажется полным.
СЛЕДСТВИЕ 3
543. Всякое дифференциальное уравнение приводится к виду =
где V — некоторая функция количеств х и у; поэтому, если известно
такое соотношение между х и у, откуда получаются равные значения
и V, то это соотношение надо будет считать частным интегралом.
х) Недостаточность этого определения восполняется в § 546.
304 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ 1
544. Иногда легко найти частный интеграл по догадке, как, напри-
мер, если предложено уравнение
a2dy — y2dx = a2 dx 4- ху dx.
Здесь сразу же ясно, что оно удовлетворяется, если принять у=х.
Поскольку это соотношение не содержит не только никакой новой по-
стоянной, но даже и того постоянного количества а, которое содер-
жится в самом дифференциальном уравнении, то это, несомненно, част-
ный интеграл; из него ничего нельзя заключить о полном интеграле.
Впрочем, часто знание частного интеграла открывает путь к нахожде-
нию полного интеграла. Так обстоит дело в этом же самом примере.
Если положить в нем z/ = ^4~z, то получается:
a2 dx -^a?dz-\- х2 dx + 2xz dx 4- z2dx = a2 dx + x2 dx + xz dx,
или
a2 dz + xz dx 4- z2 dx = 0.
fl2
Если положить 2 == — , то это уравнение преобразуется в
7 xv dx 7
dv-----= dx.
а2
™ х dx —х2
Будучи помножено на е °2 = е2а2 , оно становится интегрируемым
и дает
— X2 —х2 X2 —х2
е 2а2 v = \ е 2а2 dx или ' v = е2а2 \ е 2а2 dx.
Хотя этот интеграл чрезвычайно трансцендентен, однако он включает
в себя и данный выше чрезвычайно простой частный интеграл. Дей-
ствительно, если постоянное количество, появляющееся в результате
—X2
интегрирования \ е2а2 dx, взять бесконечным, то получается и=оо,
т. е. z = 0, откуда у = х. Иногда же частный интеграл мало помогает
нахождению полного интеграла. Если, например, мы имеем уравнение
a3 dy— у3 dx a3 dx — х3 dx,
то ему, очевидно, удовлетворяет у=х\ если же положить y = x-'-z, то
получается уравнение
a3 dz 3#2z dx + 3xz2 dx z3 dx~ 0,
решение которого представляется не более легким, чем решение дан-
ного уравнения.
ПОЯСНЕНИЕ 2
545. В этих примерах частный интеграл сразу же бросается в глаза,
но бывают случаи, когда его усмотреть труднее. Хотя нахождение част-
ного интеграла редко открывает путь, приближающий нас к полному
интегралу, однако же часто знание частного интеграла оказывается
чрезвычайно важным, так как при его помощи нередко оказывается воз-
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 305
можным полностью завершить дело. Действительно, мы уже обратили
внимание на то, что во всех тех задачах, решение которых приводится
к дифференциальному уравнению, произвольное постоянное количество,
присоединяемое в результате интегрирования, определяется из условий,
присоединяемых к каждой задаче, так что всегда требуется найти только
частный интеграл. Поэтому если случилось бы, что можно найти этот
самый частный интеграл, не прибегая к помощи полного, то можно было
бы найти решение задачи, хотя бы мы не были в состоянии проинте-
грировать дифференциальное уравнение. Очевидно, в этих случаях надо
считать, что решение найдено без помощи настоящего интегрирования,
так как, собственно говоря, нельзя считать, что какое-либо дифферен-
циальное уравнение проинтегрировано, если не найден его полный инте-
грал. Вот почему будет полезно рассмотреть те случаи, в которых
можно найти частный интеграл.
ПОЯСНЕНИЕ 3
546. Здесь чрезвычайно важно обратить внимание на то, что не все
значения, удовлетворяющие какому-либо дифференциальному уравнению,
могут считаться его частным интегралом. Пусть, например, имеется
уравнение dy == . или ™ — х. При х=а как уга — х, так и
у а—х аУ
~ становятся равными нулю, так что уравнение х — а удовлетворяет
этому дифференциальному уравнению, и тем не менее оно никак не
является его частным интегралом. Ведь полным интегралом будет
у = С — 2)/а — х или а — х = у (С — у)2; какое бы значение мы ни при-
давали постоянной С, из него никак не получается а — я = 0. Равным
образом уравнению
. = ж cfc + у cfy
/х2 + у2 — а2
удовлетворяет конечное уравнение х2-±-у2 = а2\ однако же оно не может
быть отнесено к числу частных интегралов, так как оно не содержится
в полном интеграле у = С 4' 1Ае2 + у2 —а2.
Значит, от частного интеграла недостаточно требовать, чтобы он
удовлетворял дифференциальному уравнению; надо, сверх того, добавить
условие, чтобы он содержался в полном интеграле. Поэтому разыска-
ние частных интегралов является делом очень рискованным, если в то
же время неизвестен полный интеграл, а зная полный интеграл, мы не
имели бы никакой нужды в особых методах отыскания частных инте-
гралов. Ведь к разысканию частных интегралов полезно прибегать глав-
ным образом в тех случаях, когда не удается найти полный интеграл.
Значит, для того чтобы наша работа оказалась плодотворной, надо дат!,
критерии, которые позволили бы судить, являются или не являются
частными интегралами некоторого дифференциального уравнения [те или
иные] значения, которые удовлетворяют этому уравнению.
Дело в том, что всякий интеграл есть такое значение, которое
удовлетворяет дифференциальному уравнению, но не наоборот, т. е. не
всякое значение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению, есть
интеграл. Так как до сих пор на это обращалось мало внимания, то я
постараюсь изложить этот вопрос со всей ясностью.
306
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧА 70
547. Пусть в дифференциальном уравнении dy = функция Q исче-
зает при х — а. Определить, в каких случаях уравнение х = а есть част-
ный интеграл предложенного дифференциального уравнения.
РЕШЕНИЕ
Так как (2 = ~, т0 ПРИ х = а и и равны нулю, значит, зна-
чение х = а безусловно удовлетворяет предложенному дифференциаль-
ному уравнению dy = однако отсюда еще не следует, что оно яв-
ляется [частным] интегралом, иными словами, одного этого еще недо-
статочно, но, сверх того, требуется, чтобы уравнение х = а содержалось
в полном интеграле [как частный случай], когда постоянной, присо-
единившейся в результате интегрирования, придано некое определенное
значение. Итак, положим, что Р есть интеграл выражения ~, так что
полный интеграл будет у = С + Р. При подстановке х= а это уравнение
может удовлетворяться только в том случае, если Р — оо при х = а\
действительно, в этом случае, если взять постоянное количество С
также бесконечным, то при подстановке х=^ а количество у остается не-
определенным. Поэтому только в том случае, если Р = оо при х~а,
уравнение х = а следует считать частным интегралом. Вот критерий, на
основании которого можно распознать, будет ли значение х = а, удо-
в то же время
оно будет интегралом
если при х = а не только (? = 0, но, кроме того,
Чтобы изложить это
влетворяющее дифференциальному уравнению dy = -^ ,
частным интегралом или не будет. А именно,
лишь в том случае,
интеграл обращается в бесконечность. 1
яснее, положим (поскольку при х~а имеем (? = 0)
Q = (a-x)nR,
где п означает некоторое положительное число х). Так как уравнению
Лп. &х dx
аУ Q = (^х)пР
можно придать вид
, a dx
dy == т----г
и (а. —
7 dx
3 dx
Л1 dx
ЧГ ’
то возможность обращения Р в бесконечность 2) будет зависеть от чле-
Г a dx
на \ ;----г—; если этот член при х=^а становится бесконечным, то и
J (а—х)п ’ г
интеграл Р= будет бесконечным, каковы бы ни были остальные
члены. Но
a dx а
t— х)п (п — 1) (а — х)^1 ’
х) Разумеется, предполагается, что R(a)=£0.
2) ratio illius infiniti Р.
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 307
Это выражение лишь тогда становится бесконечным при х~а,
когда п~ 1 есть положительное число или га—1. Поэтому лишь тогда,
когда показатель п в выражении Q = (a — x)nR не меньше единицы,
уравнение х=а надо считать частным интегралом.
СЛЕДСТВИЕ 1
548. Следовательно, во всех тех случаях, когда при Q = — х)п R
показатель п меньше единицы, уравнению dy — но соответствует ча-
стный интеграл х — а, хотя таким образом дифференциальное уравнение
удовлетворяется.
СЛЕДСТВИЕ 2
549. Если показатель п меньше единицы, то выражение стано-
вится бесконечным при х~а. Отсюда мы получаем новый критерий,
а именно: если предложено уравнение dy — и если при х = а имеем
Q = О, а = оо, то значение х = а не является частным интегралом этого
уравнения.
СЛЕДСТВИЕ 3
550. За исключением указанных случаев, частным интегралом урав-
нения dy = , где Q = Q при х — а, всегда будет х — а, если только
при х = а не получится ~ = оо, т. е. \х=а будет частным интегралом]
всякий раз, как значение выражения будет либо конечным, либо
исчезающим.
ПОЯСНЕНИЕ 1
551. Этот вывод, основанный на обращении гипотетических пред-
ложений, пожалуй, может показаться подозрительным и противореча-
щим правилам логики; но в действительности все наше рассуждение
находится в полном согласии с этими правилами, так как из отрица-
ния следствия оно умозаключает к отрицанию предпосылки. Действи-
тельно, когда в выражении Q~(a~x}nR показатель п меньше едини-
цы, ~ становится = оо при х — а. Поэтому если при х—а не ста-
новится равным оо, а следовательно, либо имеет конечное значение,
либо исчезает, то показатель п безусловно не меньше единицы, т. е.
он будет либо больше единицы, либо равен единице. В обоих случаях
интеграл Р= становится бесконечным при х — а и потому урав-
нение х =--а есть частный интеграл. Таким образом, если в дифферен-
циальном уравнении dy — количество Q становится равным нулю
dQ
при x-~-(iy то надо подвергнуть рассмотрению значение для случая
308
ОВ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
х = а, Если это значение оказывается либо конечным, либо исчезающим,
то уравнение х=а есть частный интеграл; если же оно бесконечно,
то этому значению нет места среди [частных] интегралов, хотя оно
и удовлетворяет дифференциальному уравнению. То же прав ло верно
т г t Р dx
и тогда, когда дифференциальное уравнение имеет вид dy^—^-, т. е.
1 и когда при х = а имеем Q = (d какой бы функцией от х, у
ни было Р\ более того, нет необходимости и в том, чтобы Q было функ-
цией одного только переменного х\ оно одновременно может включать
в себя каким-либо образом и другое переменное у.
ПОЯСНЕНИЕ 2
552. Доказательство это исходило из того, что количество Q, исче-
зающее при х^а, должно включать в себя в качестве множителя ка-
кую-то степень количества (а — х), что для алгебраических функций
очевидно. Но и для трансцендентных функций имеет место то же пра-
вило, ибо по степени они равносильны алгебраическим функциям3).
Пусть, например, dy=^-~--^ здесь Q ^lx — la^l — и Q^Q при х^а.
Находим ; так как это выражение не становится бесконечным
при х = а, то х будет частным интегралом. Это остается в силе
и для уравнения dy — > если только Р не становится = 0 при
х = а. Пусть, например, Р = —; интегрируя, имеем:
у = С-|-1 (lx — 1а) и ldL^ev—c.
Если теперь принять постоянную С=оэ, получаем —0, а значит,
х = а\ следовательно, х=а есть частный интеграл. Точно так же пусть
X х
dy == Рdx : (еа — е); здесь Q = ea — e и потому Q = 0 при х = а. Так как
dQ 1 f * dQ е
а следовательно, при х^а имеем —, то х = а оудет
и в этом случае частным интегралом.
х
Возьмем—еа, чтобы интегрирование оказалось выполненным; тог-
X х у—С
да у = С -j- al (еа — е), а следовательно, е* = е + е ° ; если положить С =
X
= со, будем иметь еа = е, а поэтому х = а; стало быть, х = а есть част-
ный интеграл.
3) cum potestate talibus dignitatibus aequivaleant. Это придаточное предложе-
ние нам неясно по смыслу. Невидимому, Эйлер хочет сказать, что для трансцендентной
функции Q (аг), обращающейся в нуль при а? —а, так же как и для алгебраической,
имеет место равенство Q (а?) — (х —а)п R (х), где п — некоторое положительное число,
и R (а) =/= 0.
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИИ 309
ПРИМЕР 1
553. Предложено дифференциальное уравнение dy = в котором S
У £
исчезает при х = а. Определить случаи^ в которых уравнение х=а есть
его частный интеграл.
Так как здесь = то dQ = ; значит, для того, чтобы
х = а было частным интегралом, необходимо, чтобы при х=а количество
dQ dS о dS2
было конечным. Б этом случае и количество 7 должно
dx 2dx^ S J Sdx-
c idS*
быть конечным, а так как а исчезает, то также] -л, а следовательно,
* dx2
и , должно исчезать. Но тогда значение этой дробих) при^ = а есть
2dSd2S 2d2 S
то , <> • = -у <>— ; стало быть, это значение должно быть либо конечным,
dS dx2 dx2
либо = 0. Таким образом, для того чтобы уравнение х = а было част-
ным интегралом предложенного уравнения, требуются следующие условия:
во-первых, чтобы было = 0 при х = а\ во-вторых, чтобы было ^ = 0
<PS
i оказалось бы либо конеч-
и о
и, в-третьих, чтобы значение выражения
ным, либо = 0, — лишь бы оно не было бесконечно большим. Если X
есть рациональная функция, то эти три условия сводятся к тому, что
S должно иметь множителем (а — х)2 или более высокую степень.
ПОЯСНЕНИЕ
554. Это решение применяется для того, чтобы распознать, движет-
ся ли по кругу тело, притягиваемое к центру сил. Именно, если поло-
жить, что расстояние тела от центра равно х и что центростремитель-
ная сила, соответствующая этому расстоянию, равна X, то для време-
ни t получается такое уравнение:
х dx
dt = --- - _ —-----,
у Ex2 — с* 4 — 2ax2 J X dx
где E есть постоянное, вошедшее в результате предшествующего инте-
грирования. Для этого постоянного пишется такое значение, чтобы
уравнению удовлетворяло значение х=а\ в этом случае тело будет об-
ращаться по кругу. Стало быть, здесь
X = Ех? — с* — 2ах2 X dx
с4 Г
или можно взять S=E-------? — 2а \ Xdx. Это количество, а также и его
X2 J
дифференциал — 2аХ должны исчезать при х = а, но второй диф-
, 2Ч d?S 6с4 2а dX
ференциал Э ^-2=----г---д— не должен обращаться в бесконечность.
л х ' ах* ос doc
1' - dS
4) То есть дроби -------—
^dx У S
; к ней применяется правило Лопиталя.
2) differentio-differentiale.
310
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Значит, постоянное а будет значением количества х, получающимся
из уравнения = с4; это значение есть радиус круга, по которому
тело сможет обращаться при условии, что постоянное Е, от которого
зависит скорость, будет подобрано так, чтобы Е = -|- 2а \ X dx при
6с4 , 2а dX
х-=а, если только при этом не случится, что выражение — -|——
х ах
или окажется бесконечным.
Если же это произойдет, то движение по кругу не будет уже иметь
места. Чтобы показать это, положим
X = Ъ-^-У'а — х,
так что количество
dr __ 1
dx ~~ 2 ]/* а-х
при х = а станет бесконечным, а уравнение ссг3Х = с4 получит вид
аа3^ = с4. Но тогда в силу
С 2 3
\ X dx = bx — у (а — ж)2
будем иметь:
Е = ааЪ + 2ааЬ = Зааб,
и наше уравнение получит вид
х dx
dt — -- ... .... .
1/ 3aa&z2— aa3b — 2<xbx3 + ~ ax2(a - x)2
Для этого уравнения значение х = а безусловно не подходит в ка-
честве интеграла. Действительно, имеем:
X = a (a — х) — a2b — abx + 2Ьх2 4- ~ х2 а — х ,
и так как множителем этого выражения будет не (а — х)2, а только
з
(а — х)2, то частный интеграл х — а не может иметь места.
ПРИМЕР 2
г" г* doc
555. П редложено дифференциальное уравнение dy _ , в кото-
р Sm
ром S исчезает при х — а. Найти случаи, когда х—а есть частный
интеграл.
Поскольку X = 0 при х-~а, можно принять Х = (а — х)1 В] тогда
знаменатель
т
откуда ясно, что уравнение х = а будет частным интегралом предложен-
Хиг ' е*
ного уравнения, если —---положительное число, большее или равное
единице, т. е. если либо к= — , либо к > — . Судить об этом чрезвы-
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИИ ЗИ
чайно легко в том случае, если 5 — алгебраическая функция. Если же
она трансцендептна, так что показателя к нет возможности выразить
численно1), то можно будет пользоваться вторым правилом. Именно,
т—п
пл rwn d О т S dS ,
так как |7 о == Q, то -7 - ==---7--. Если x = а есть интеграл, то значе-
r dx пах r
ние этого выражения при х-=а должно быть либо конечным, либо ну-
левым. Значит, в этом случае необходимо, чтобы также и количество
—— было конечным. Стало быть, надо искать значение этого выра-
жения при х а; если это значение окажется бесконечно большим, то
уравнение х — а не будет интегралом; если же это значение будет либо
конечным, либо нулевым, то это уравнение безусловно будет частным
интегралом предложенного уравнения. Здесь надо рассмотреть два слу-
чая в зависимости от того, будет ли т > п или т < п.
I. Пусть т>п. Так как при х~-а имеем $т~п — 0, то х = а безу-
словно будет интегралом, если только при том же значении х не бу-
dS т-i dS
дем иметь -у =оо. Если же = со, то может случиться и так, что
(ArJb
уравнение х-—-а будет интегралом, и так, что не будет. Для распозна-
вания этого положим так чт0 паше выражение получит вид
Sm~n
\ и числитель, и знаменатель этого выражения исчезают при х = а,
вследствие чего значение его приводится2) к
(т — п) Зт~п^ dS — (m—n) dSn+2
пТ'1'"1 dT п dxn d2S
Если это выражение является конечным или нулевым, то х == а будет
интегралом. Таким же образом можно подвигаться дальше, различая
случаи
ТТ 17 Л dSn
II. Если т < п, то наше выражение будет ; для того что-
€ы его значение было конечным, необходимо, чтобы ~^ = 0, а кроме
того, поскольку и числитель и знаменатель исчезают при х~а, значе-
ние нашего выражения будет:
_ п dSn~~T d2S п dSn~~2 cPS
(п — m) dS dxn — (n— m) Sn~m^ dxn 7
это значение должно быть конечным.
Однако вопрос решится легче всего, если сразу же положить х —
ау-ю; так как при х~а имеем 5 = 0, то при этой подстановке ко-
личество 5 всегда может быть разложено в выражение вида
Р<оа у~ (ЛУ у- -у и т. д.;
в нем достаточно будет рассмотреть только один член Рю*, содержащий
наннизшую степень количества ш. Если окажется, что а— или что
а> — , то уравнение х = а безусловно будет частным интегралом.
4 ut exponens k in numeris exhiberi nequeat; невидимому, имеется в виду не
.принципиальная невозможность, а практическая; ср. примечание к § 552 и соответ-
ствующий текст.
2) По правилу Л опита ля.
312
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ
556, Этот последний метод самый надежный, и даже к трансцен-
дентным выражениям его можно всегда применять с наилучшим успе-
doc
хом. Именно, пусть предложено уравнение dy=^—^~, в котором при
х — а знаменатель Q = 0, но числитель Р не исчезает. Тогда надо по-
ложить х = а 4 (о и рассматривать количество о) как бесконечно малоег
так что все его степени исчезают по сравнению с низшей и количест-
во Q принимает вид 7?о)4 Из этого будет ясно, что, если показатель X
не меньше единицы, уравнение х = а непременно будет частным интег-
ралом предложенного ”
7 dx
ние dy = - —,,
1 / , , ъх
I/ 14 cos —
того, ЧТО COS 77 = —1,
уравнения. Так, например, пусть имеем уравне-
знаменатель которого исчезает при х = а ввиду
Положим х~а — о); тогда будем иметь:
TZX f 7ГСО \ . 7T2CO2
cos — = cos ( z----= —14- ,
a \ a J 1 2a2
так как <о бесконечно мало, Значит, знаменатель нашего уравнения
станет = Отсюда мы заключаем, что х = а безусловно будет част-
а у 2
ным интегралом [данного уравнения]. Однако же это не будет интеграл
уравнения
1 4 cos —
а
ЗАДАЧА 71
557. Предложено дифференциальное
ные разделены; исследовать его частные
уравнение^ в котором
интегралы.
перемен-
РЕШЕНИЕ
Пусть предложено уравнение у = -у- , в котором X есть функция
только от х, а У —функция только от у. Прежде всего положим Х = 0
и отсюда будем искать значения количества х. Пусть одно из них есть
х = а, так что при х — а получается А = 0; затем будем рассматривать
dX . .
значение выражения при х = а\ если это значение не будет беско-
нечным, то х = а безусловно будет частным интегралом предложенного
уравнения. Или же положим ж = рассматривая о) как бесконечно
малое количество. Если получится X = А14, то показатель X, если только*
он не будет меньше единицы, укажет интеграл х = а\ если же он будет
меньше единицы, то уравнение х ~ а не должно считаться интегралом.
Такому же рассмотрению мы подвергнем знаменатель Y второй
части: если он исчезает при у = b и если в том же случае выражение
dY
~Р~ не становится бесконечным, то уравнение у~Ъ будет частным ин-
ау
тегралом, То же самое произойдет, если при у = получится У =
= фо)\ где показатель X не меньше единицы.
ГЛ IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 313
СЛЕДСТВИЕ 1
558. Если члены уравнения с разделенными переменными не яв-
ляются дробями, знаменатели которых в определенных случаях исче-
зают, то нет и такого рода частных интегралов,—разве что в уравне-
нии вида Р dx — Q dy множители Р и Q в определенных случаях стано-
вятся бесконечными; однако же этот случай легко приводится к пре-
дыдущему.
СЛЕДСТВИЕ 2
559. Так, например, если мы имеем dxlg^ — ^~-~ , то прежде всего
частным интегралом будет у — &; далее, поскольку при х — а имеем
tg^~oo, первый член надо выразить в виде dx * Знаменатель его,
ПХ
С^2а
2а ’
если положить х — а — со, получит вид
, /те тею У , теоз
так как здесь показатель количества со не меньше единицы, то уравне-
ние х — а также будет частным интегралом.
СЛЕДСТВИЕ 3
560. Значит, таким путем для одного и того же уравнения можно
наити два и более интегралов. 1ак, например, для уравнения -—
частными интегралами будут а — х = 0 nb~y = a;ux можно-
также получить из полного интеграла (а — х)т — С(Ь — у)п: первый, если
взять С — 0, второй, если взять С—оо.
п dy
Ъ — у
СЛЕДСТВИЕ 4
гол тт madx nb dy
5Ь1. Подобным же ооразом для уравнения -2-—2 = w—^2 существует
четыре частных интеграла: а-}- х ='0, а -х — 0, Ь^у ~ 0, 5 — ~ 0. Пол-
ным же интегралом будет
т , аД-х __ 1 ..L Л 7 & + У
2 а — х" 2 1 2 Ъ — у ’
ИЛИ
или
(а + х)т(Ъ-уГ = С(а-х)т(Ъ + у)п.
Непосредственным следствием отсюда являются данные выше интегралы.
СЛЕДСТВИЕ 5
562. Отсюда ясно, что если мы будем иметь
Р dx
dy =
314
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
то частные интегралы будут —О, с4-я = 0, если только
показатели а, р, у и т. д. не будут меньше единицы. Поэтому, если Q
ость рациональная функция количества х и если предложено уравне-
, Р dx
ние й?/ ,
то все множители количества Q, если положить их рав-
ными нулю, дадут частные интегралы.
ПОЯСНЕНИЕ 1
563. Это верно и для мнимых множителей, хотя отсюда можно из-
влечь лишь незначительную пользу. Например, если предложено урав-
нение dy — ^,2 j то знаменатель а2 -|- х2 порождает частные интегралы
х = а]/—1 и х= —— 1. Правда, не столь очевидно, что они являют-
ся следствием полного интеграла у = С arctg ~~ . Однако, когда мы по-
лагаем х а ]/ — 1, надо обратить внимание на то, что arctg — 1 =
= со ]/ —1; значит, если придать постоянному количеству С такой же
вид, но с обратным знаком, то второе количество у останется неопре-
деленным, несмотря на то, что мы совершаем подстановку ж = 1;
поэтому указанную подстановку надо считать частным интегралом.
В самом деле, мы имеем вообще
-I г----т С duY ~ 1 ]/ — 1 7 1 -h И
arctg и у — 1 == \ 2— == —5— I z ;
& F J 1 — н2 2 1 —и ’
если здесь положить и = + 1 или — 1, то получается со — 1; эта
бесконечность и является причиной того, что найденные интегралы
имеют место. И вообще можно утверждать, что если будем иметь dy =
Р dx
~q— и если знаменатель Q будет иметь множитель (а~ух)к, показа-
тель которого не меньше единицы, то уравнение а + х = 0 всегда будет
частным интегралом. Если же к будет хотя бы и положительным, но
меньшим единицы, то а 4-^ = 0 не будет частным интегралом, хотя при
х = — а дифференциальное уравнение и удовлетворяется.
ПОЯСНЕНИЕ 2
564. То, что дифференциальному уравнению может удовлетворять
такое значение, которое, тем не менее, не является его интегралом,
представляет собой замечательный парадокс, до сих пор, насколько мне
известно, никем не замеченный; почти даже непонятно, каким образом
этот факт можно привести в согласие с обычным представлением об ин-
тегралах1). В самом деле, всякий раз, когда удается получить такое
7) Insigne hoc est paradoxes a nemine adhuc, quantum mihi quidem constat,
observatum, quod equation! differential! eiusmodi valor satisfacere queat, qui tamen
eius non sit integrals; atque adeo vix patet, quomodo haec cum solita integralium
idea conciliari potest.
Полагая, что возможность существования решения, не входящего в полный
интеграл, никем прежде не была замечена, Эйлер ошибается. В журнале Парижской
Академии наук (Histoire d I’Academie des Sciences de Paris) за 1734 г. (вышел из пе-
чати в 1736 г.) А. Клеро опубликовал мемуар (Solution de plusieurs problemes ou il
s’agit de trouver des courbes dont la propriete consiste dans une certaine relation
entre lours branches, exprimee par une equation donnee), где, между прочим, в ка-
честве отступления от основной темы было выполнено интегрирование уравнения,
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 315
соотношение между переменными, которое, будучи подставлено в пред-
ложенное уравнение, удовлетворяет ему, делает его тождественным, вряд
ли кому-либо приходит на ум сомневаться в том, что это соотношение
надо считать частным интегралом. Однако же при этом легко впасть в
ошибку. Так, например, хотя уравнению dy ]/а2 — х1 — у2 = xdx-у у dy и
удовлетворяет конечное уравнение х2 + у2 — а2, тем не менее, мы совер-
шили бы грубую ошибку, если бы стали считать его частным интегра-
лом, так как это уравнение отнюдь не содержится в полном интеграле
у = С—у а2 — х2 — у2, Поэтому, хотя всякий интеграл должен удовлетво-
рять дифференциальному уравнению, однако же отсюда нельзя сделать
обратного заключения, что всякое конечное уравнение, которое удовле-
творяет [дифференциальному уравнению], есть его интеграл: кроме этого
требуется, чтобы это конечное уравнение обладало еще некоторым опре-
деленным свойством (каково оно, мы изложили выше); лишь из него
следует, что [конечное уравнение] содержится в полном интеграле. Но
это отнюдь не противоречит истинному понятию интеграла, установлен-
ному здесь, и такого рода сомнение никогда не может коснуться инте-
гралов, найденных по определенным правилам; оно имеет место только
относительно тех интегралов, которые мы нашли как бы по догадке.
Однако в тех случаях, когда интегрирование не удается, догадке отво-
дится очень важная роль, и вот тогда надо всячески остерегаться, чтобы
не выдавать [без основания] какое-либо удовлетворяющее соотношение
за частный интеграл. Мы уже показали это на уравнениях с разделен-
ными переменными; теперь надо со всей тщательностью исследовать,
каким образом следует избегать такого рода ошибок во всех дифферен-
циальных уравнениях вообще.
ЗАДАЧА 72
565. Пусть некоторое соотношение между двумя переменными удов-
летворяет дифференциальному уравнению. Определить, является ли это
соотношение частным интегралом или нет.
РЕШЕНИЕ
Пусть Р dx = Q dy - предложенное дифференциальное уравнение, где
Р и Q — какие угодно функции от х и у; пусть этому уравнению удов-
летворяет некоторое соотношение между х и у, из которого получаем
у-^Х, где X- какая-то функция от х, так что, если вместо у всюду
написать X, то в самом деле выходит, что Pdx = Qdy, т. е. что
. Спрашивается, можно ли считать это значение у = Х интегра-
лом предложенного уравнения или нельзя. Чтобы решить этот вопрос,
„ , dX . Р
положим у = лфо); тогда получим -—гт = у, причем надо отметить,
(JLJC dtp
известного и сейчас под именем уравнения Клсро. Путем дифференцирования этого
дифференциального уравнения Клеро находит как общий, так и особый интеграл и
на ряде примеров показывает, что каждая из прямых, совокупность которых образует
полный интеграл, является касательной к особому интегралу. Через 14 лет Даламбер
(Histoirc de 1’Academie de Berlin, 1748) получил аналогичные результаты для урав-
нения более общего вида («уравнение Даламбера»). Если результаты Клеро могли
остаться незамеченными, поскольку они были даны лишь попутно, то результаты
Даламбера, казалось бы, должны были бы обратить на себя внимание Эйлера, кото-
рый в то время сам находился в Берлине. Но, видимо, и они остались Эйлеру не-
известными.
316
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
dX P
что при (о = 0 будем иметь — . Поэтому благодаря [введению]
Р » >
выражение после такой подстановки можно будет представить как
dX
сумму количества и количества, находящегося в такой зависимости
от w, что оно исчезает при (о==01). В даном вопросе2) достаточно рас-
сматривать w как бесконечно малую частицу; поэтому высшими степе-
нями ее можно пренебрегать по сравнению с наинизшей. Итак, положим,
что отсюда получается 4- ЛА, тогда мы будем иметь ~ = ЛА
или — ---=Sdx. Теперь из сказанного выше ясно, что у = Х (т. е. <о=О)
А
будет частным интегралом лишь тогда, когда показатель к будет равен
единице или больше единицы; действительно, рассуждение, подобное
приведенному
предлагаемом случае, когда w = 0, стать бесконечным.
иметь место только в том случае, когда К равно единице или
если уравнению Pdx = Qdy или <~
то надо подставить г/ — Х-4-w,
Ж dX
малую, и затем исследовать выражение
что к
ный интеграл предложенного уравнения.
ПОЯСНЕНИЕ
566. Поскольку (о рассматривается как бесконечно малое количе-
ство, представляется, что значение, которое получает количество
после подстановки г/ = Хн-о), удобнее всего найти с помощью диффереи-
гг Р
цирования. 1ак как
е о 7 (* dbi
выше, показывает, что интеграл \ о ах = \ -г- должен в
' ' <А
А это может
1. Итак,
dy Р v
удовлетворяет значение у = X,
рассматривая частицу ю как бесконечно
если не окажется,
1, то можно будет заключить, что значение у = Х и есть част-
(сть функция от х и у, то полагаем
d q ~ М dxX N dy.
P v dX
-q , если подставить у = л, переходит в .
у написать Х-рА то эта Дробь перейдет в
то отсюда
По условию дробь
Поэтому, если вместо
+ Ж). А так как показатель количества w есть единица,
ах
должно было бы следовать, что уравнение у-=Х всегда является частным
дифференциалом, между тем как возможен п противный случай. Из этого
ясно, что дифференцирование применять вместо подстановки нельзя. Чтобы
. Р л/-------V । dX
это было видно яснее, положим, что мы имеем = |/ у — А + дт •
С/ vtz
Р dX -
Тогда после подстановки = X Ч-ю, очевидно, получаем 'q- —•
Если же воспользоваться дифференцированием, то, полагая
d = М dx + N dy.
Р dX
3) Quare ob <n expressio hac substitutionc reducetur ad una cum quan-
titate ita per co affecta, ut evanescat posito <o = 0.
2) In hoc negotio.
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 317
получим 7V —
1
—г - и отсюда найдем:
2 } 2/ — ^
4- 2V(o.
Q ~~ dx
Это выражение отличается от первого. Первое выражение исключает
уравнение у~Х из числа интегралов; второе же, повидимому, вклю-
чает1). Правда, здесь надо отметить, что само N содержит отрицатель-
ную степень количества со, вследствие чего степень со понижается. Но
чтобы не было необходимости принимать в соображение это обстоятель-
ство, всегда предпочтительно, отменив дифференцирование, пользоваться
истинной подстановкой2). Соблюдая эту предосторожность, будет нетрудно
решить для всякого значения, удовлетворяющего какому-либо дифферен-
циальному уравнению, является ли это значение истинным интегралом
или нет.
ПРИМЕР 1
567. Уравнению
dx(i-ym)n = dy(i~xm)n,
очевидно, удовлетворяет у~х, Требуется определить, является лиу = х
частным интегралом или нет.
Положим 2/ = ж -J-се; рассматривая со как очень малое количество3),
имеем:
ут — х™ 4 тх™"1^
и
(1 = (1 - хт - rnxm^ co)n = (1 - zm)n - тпх™-1 со (1 — zm)n“1.
Поэтому уравнение
dy (1 — vm)
= получит вид
. . day , /ппх^1 со
1 J---= I----------
‘ d% 1—хт ’
d(a mnxrYl~1 dx
т. е. — =------—- 1ак как 10 имеет здесь целое измерение, то
уравнение у = х безусловно есть частный интеграл предложенного
дифференциального уравнения.
ПРИМЕР 2
568. Уравнению
ady ~ a dx —dx]/^у2 — х2
удовлетворяет значение у = х. Исследовать, является ли это значение его
частным интегралом или нет.
Положим ?/ == ^ -|-со; тогда, считая ш бесконечно малым количеством,
имеем:
Уу2 — х2 — ]/* 2яхо;
-следовательно, a dw — dx ]/2zco или °L^=-dxyr2x,
у (О
Э Illa scilicet aequationem у=У ex integralium numero removet, haec vero ad-
mittere videtur.
2) Quare ne hanc rationem spectare opus sit, semper praestat vera substitutione
4iti, differentiatione seposita.
3) spectato <o ut quantitate minima.
318
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Так как здесь dto разделен на степень количества ю, показатель
которой меньше единицы, то, следовательно, значение у = х не является
частным интегралом предложенного уравнения, хотя и удовлетворяет
ему. Иными словами, если бы удалось получить полный интеграл этого
уравнения, то обнаружилось бы, что уравнение у = х в нем содержаться
не будет, каким бы образом ни определялось произвольное постоянное,
вошедшее благодаря интегрированию.
ПОЯСНЕНИЕ
569. Отсюда становится по-новому понятным, почему решение воп-
роса об интеграле зависит от показателя количества to. Ведь так как в
предложенном примере, положив у = х-\-ы, мы получили = du> У2х,
у ш
то, интегрируя, будем иметь 2а j/o) = С + ~ х |/ 2х . Но по предположе-
нию to есть бесконечно малое количество; здесь же, как бы мы ни опре-
деляли постоянное С, количество to получает к нечное значение, которое
даже может стать сколь угодно большим. Поскольку это противоречит
предположению, отсюда с необходимостью следует, что уравнение у — х
не может быть интегралом, и это должно происходить всякий раз, как
tZto оказывается разделенным на степень количества to, показатель
которой меньше единицы. Другое дело обратный случай, когда в
результате изложенной выше подстановки получается — = л dx, так что,
если положить R dx = Is, имеем Iw = 1С + IS, или to = CS. В этом слу-
чае ясно, что если взять в качестве постоянной С исчезающее количе-
ство, то безусловно и само количество to станет исчезающим. То же прои-
зойдет, если получится R dx, где л> 1. Действительно, в этом слу-
1 • 1
чае будем иметь ——-—= С — 2? или (к — l^to^”1 = . Если здесь
взять С=оо, то количеств) to действительно станет исчезающим, как
этого требует условие.
Впрочем, уравнение, данное в этом примере, освобождается от ирра-
циональности, если положить x~p2 — q2 и y~-p2S~(r\ при этом полу-
чается уравнение ^aqdq — kpq(p dp — qdq) или a dq = p2 dp -- pqdq, с ко-
торым, по-видимому, ничего нельзя сделать и, следовательно, нельзя
получить его полный интеграл. Этому уравнению уже не удовлетворяет
х — у, т. е. 7 = 0; отсюда также можно заключить, что значение у — х
не является частным интегралом.
ПРИМЕР 3
570. Уравнению
a2 dy — a2dx = dx (у2 — х2)
удовлетворяет значение у = х. Исследовать, является ли это значение его
частным интегралом или не является.
Положим z/ = x + to, рассматривая to как бесконечно малое количе-
ство. Ввиду того, что у2 — <г2 = 2<rto, наше уравнение получит вид a2dto =
^2xtodx или a-^S^2xdx. Следовательно, поскольку здесь dto делится
на первую степень количества to, уравнение у = х безусловно будет
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 319
частным интегралом предложенного уравнения, и притом оно заключается,
в полном интеграле1). Последний можно найти, если положить
а2
у — х —- ; тогда
a* du 7 f а4 , 2их du 7
—т == ах ( -----или А аи Ч-----ъ— z= dx.
и2 \ил и J А
Помножив это уравнение на еа2 , получим интеграл
Х2 Х2
еа2 и = С + \ еа2 dx,
откуда
— < с — Л
у — х— а2еа2 С + \ ea2dx ] .
Если принять, что постоянное С бесконечно, получается у — х.
ПОЯСНЕНИЕ
571. Если в этом уравнении так же, как выше, положить x = p2 — q2
и У = р 2 ~г q \ то получается a2dq^2p2q {pdp-- qdq). Этому уравн нию
удовлетворяет </ = (), откуда получаем случай у = х. Но если произвести
это преобразование, то трудно усмотреть, как следует находить интеграл.
Если мы продумаем данное выше приведение, то мы поймем, что это
уравнение становится интегрируемым, если помножить его на е(р2—q2)^2 :
поскольку это далеко нс очевидно само собой, будет целесообразно при-
менить подстановку р2 — q2^=r2, которая дает р2^= q2 -j- г2 и pdp — qdq^
= г dr. Поэтому уравнение преобразуется в a2 dq = 2qr dr (q2 + г2) или
аа dq , , г3 dr 1
= г dr -р- ; если положить = 5, то это уравнение будет интегри
роваться без труда. Итак, всякий раз, как удается найти такое соотно-
шение между переменными, которое удовлетворяет дифференциальному
уравнению, по этому способу можно судить, надо ли считать это соот-
ношение частным интегралом или нет. Однако вряд ли можно предло-
жить общие правила нахождения таких частных интегралов; имеющиеся
же правила открывают в равной мере возможность находить полные
интегралы. Так, например, то, что мы заметили выше относительно урав-
нений с разделенными переменными, уже в силу того, что переменные
там разделены, открывает в то же время путь к нахождению полного
интеграла. Точно так же, если второй метод — метод множителей — при-
водит к успешному результату, то по большей части из самих множи-
телей, при помощи которых уравнение становится интегрируемым, можно
уже получить частные интегралы, как мы покажем в следующих пред-
ложениях.
ТЕОРЕМА
572. Если дифференциальное уравнение Р dx + Q dy = 0, будучи умно-
жено на функцию М, становится интегрируемым, то M — Q будет его
частным интегралом, если только е этом же случае2'), Р или Q не ста-
новится бесконечным.
г) atque adeo etiam in integral! complete continetur. Невидимому, Эйлер хочет
этим сказать, что в данном случае полный интеграл фактически удается найти
(см. ниже).
2) То есть одновременно с соотношением М=0.
320
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Положим, что и есть множитель количества Л/1); требуется пока-
зать, что уравнение гг = О есть частный интеграл предложенного уравне-
ния. Так как и равно определенной функции от х и у, то можно опре-
делить отсюда второе переменное у, так что получится2) уравнение
между двумя переменными х и и. Пусть это уравнение будет
R dx + A du = 0.
Положим М = Nu\ тогда будет интегрируемым следующее уравнение:
NRu dx + NSu du = 0.
Если теперь ни R, ни А не разделены на и (в этом случае ни Р, ни Q
не обращаются в бесконечность при и = 0), то интеграл непременно
будет делиться на гг3).
Действительно, будем ли мы получать его из члена NRudx, рас-
сматривая и как постоянное, или из членов NSu du, рассматривая х
как постоянное, и в том и в другом случае получается интеграл, вклю-
чающий в себя множитель и, если, конечно, при интегрировании опу-
стить постоянное количество. Отсюда мы заключаем, что полным интег-
ралом будет выражение вида ггУ = С4), Поэтому если постоянная С
будет взята равной нулю, то частным интегралом будет гг = 0, исключая,
разумеется, те случаи, когда функции R и S уже сами по себе разде-
лены на и и когда поэтому наше рассуждение теряет свою силу.
За исключением этих случаев всякий раз, как уравнение Р dx^~ Q dy — 0,
будучи умножено на функцию М, становится непосредственно интегри-
руемым, а эта функция М имеет множитель и, частным интегралом
будет п = Это верно равным образом и для [других] в отдельности
взятых множителей функции М.
2) То есть, что M=Nu, где TV не обращается в бесконечность при и = 0. В том
же смысле надо понимать аналогичные формулировки в дальнейшем.
2) В результате подстановки функции у = у(хи) в данное дифференциальное
уравнение.
3) Quodsi iam neque Л neque S per и dividatur, quo casu posito u=0 Deque P
neque Q abit iu iufiuitum, integrate utique per и erit divisibile. Начало фразы
в буквальном переводе звучало бы так: «если теперь ни 2?, ни 5 не делится на w...»,
но по смыслу такой перевод был бы явно неправильным. Хотя аргументация Эйле-
ра здесь не отличается полной ясностью, но все же видно, что основная мысль
такова: выражение NRu ds + NSu du должно по условию представлять полный диф-
ференциал. Чтобы найти первообразную, надо вычислить интеграл и NR dx, считая
и постоянным. Если R не обращается в бесконечность при и = 0, то и интеграл
NR dx обладает тем же свойством, так что первообразная (определенная с точ-
ностью до слагаемого, не зависящего от х) обращается в нуль при и = 0. Аналогич-
но для второго». Таким образом, словами «ни /?, ни S не разделены на и» Эйлер
хочет сказать, что аналитические выражения R и S не имеют вида
„ L (хи) „ К (хи) л
R ——5——Ь—' (где L и К не исчезают при и = 0).
и и
Для Эйлера совершенно естественно, что ок не уточняет требований, наклады-
ваемых на функции Rt S и и (ху). Однако нам не ясно, почему Эйлер (во
фразе, которая в переводе заключена в скобки) из конечности R и 5 выводит за-
ключение о конечности Р и Q, а не наоборот.
4) В оригинале F = иС.
ГЛ. IV. о НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 321
ПОЯСНЕНИЕ
573. Сделанное здесь ограничение абсолютно необходимо, так как,
если им пренебречь, то все рассуждение лишается почвы1). Чтобы
легче понять это, рассмотрим уравнение
adx -\-dy — dx = 0;
у-х 1 v ’
будучи помножено на у — х, оно, очевидно, становится интегрируемым;
стало быть, полагаем этот множитель у — х~и или у = х-\-и\ тогда
наше уравнение будет A-du^§\ будучи помножено на и, оно пере-
ходит в a dx-\- и du == 0. Так как здесь член adx не умножен на и2), то
отсюда никак нельзя заключить, что интеграл будет делиться на и;
действительно, этот интеграл есть ax-j-^ и2. Отсюда ясно, что если член,
[содержащий] dx, помножен на и, то, хотя бы другой член, [содержа-
щий] du, и не имел множителя и, тем не менее интеграл будет делить-
ся да и, как это, например, имеет место для выражения и dx^-xdu, инте-
грал которого хи имеет множитель и. Отсюда понятно, что если выра-
жение Pudx-]-Q du интегрируется непосредственно, то и интеграл (ра-
зумеется, если опустить постоянную) будет делиться на и, лишь бы
только Q не было разделено на и или на степень и более высокую,
чем первая.
ТЕОРЕМА
574. Если дифференциальное уравнение Pdx--Qdy=~Q, будучи раз-
делено на функции М, становится непосредственно интегрируемым, то
частным интегралом будет М = 0, если только при М = 0 ни Р, ни Q
не исчезает,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 3)
Пусть делитель М имеет множителем и, так что M^=Nu\ требуется
доказать, что и == 0 будет частным интегралом; то же самое относится
к каждому из сомножителей, входящих в делитель М, если он имеет
их несколько. Так как и есть функция количеств х и у, то отсюда
можно выразить второе из этих количеств у через х и щ тогда полу-
чится уравнение вида R dx-\~ S du = 0. Значит, это уравнение, будучи
разделено на Nu, станет непосредственно интегрируемым. Следователь-
Rdx . S du
по, надо искать интеграл выражения + > причем мы предпола-
гаем, что в этом уравнении ни R, ни А не умножены на и; поэтому
множитель и из знаменателя не устраняется. Если этот интеграл
R dx
вычислять только из члена , рассматривая и как постоянное, то
1 С R dx
получается — \ ——h?(tt)j если же вычислять его из второго члена
Л du „
, принимая х за постоянное, то, поскольку о не содержит и в ка-
честве множителя, строение интеграла будет таково, что при и = 0 он
станет бесконечным. Значит, строение интеграла (пусть он будет V)
таково, что он становится = со при и = 0. А так как полный интеграл
2) claudicet; дословно: «хромает».
2) То есть не содержит множителя и,
3) Ср. сноски к § 573.
322
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
будет V = С, то это уравнение, если принять, что постоянное С беско-
нечно, удовлетворяется при и = 0.
Итак, мы заключаем отсюда, что если делитель М = Nu делает
дифференциальное уравнение Pdx-\-Qdy = Q непосредственно интегрируе-
мым, то из какого-либо множителя и, входящего в делитель М, полу-
чается частный интеграл и = 0, если только количества Р и Q или R
и 5 не исчезают при и — 0.
СЛЕДСТВИЕ 1
575. Если уравнение Pdx-\-Qdy = Q будет однородным, то, как мы
видели выше [§ 477], оно становится интегрируемым, если его разделить
на Px^-Qy, а поэтому его частным интегралом будет Px-\-Qy = 0. Так
как последнее уравнение также однородное, то оно будет иметь множи-
тели вида ах-\-$у, каждый из которых, будучи приравнен нулю, дает
частный интеграл.
СЛЕДСТВИЕ 2
576. Для уравнения
у dx (с 4- пх) — dy (у -т а + Ъх + пх2) — 0
мы выше [в § 488] получили делитель, при помощи которого оно ста-
новится интегрируемым; из этого делителя получаем, [во-первых], част-
ный интеграл г/=0; далее [имеем уравнение]
пу2 + (2па —be) у 4- п (Ь — 2с) ху 4- (па 4- с2 — be) (а 4- Ьх 4- пх2) = 0;
его корни суть
пу = -i- be — па 4- п с —iQ х ± (с + пх) j/*Ь2 — па.
СЛЕДСТВИЕ 3
577. Для дифференциального уравнения
мы дали выше [в § 489] делитель, при помощи которого оно становится
интегрируемым; из этого делителя получаем частный интеграл
х ~ У + п ]/(1 4~ #2) (1 + У2) = 0 или у2 — 2яг/4- — я2 4- тАе24- п2у2 4- п2х2у2,
из которого далее получаем:
____х 4г n U — а?2) 1— л2
У 1 — п2(14-х3)
СЛЕДСТВИЕ 4
578. Для дифференциального уравнения
dy + y*dx-a-^ = Q
372
мы выше [в § 491] нашли множитель > откуда получаем
частный интеграл #2(1—ху)2 — а = 0, а отсюда #(1 — #?/) = ± V# или
у = ~ * Следовательно, мы получаем два частных интеграла; они
оказываются мнимыми, если а будет отрицательным количеством.
ГЛ. IV. О НАХОЖДЕНИИ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕН. УРАВНЕНИЙ 323
ПОЯСНЕНИЕ
579. Вот почти все, что до настоящего времени открыто в теории
дифференциальных уравнений [первого порядка]; впрочем, некоторую
помощь окажет излагаемое ниже учение о дифференциальных уравне-
ниях второго порядка. А сюда уместно отнести не столь давно найден-
ные1) результаты, относящиеся к сравнению некоторых трансцендентных
выражений. А именно, подобно тому как логарифмы и круговые дуги,
хотя они и являются трансцендентными количествами, можно сравнивать
друг с другом и даже вводить в вычисления наряду с алгебраическими
количествами, так можно установить подобное же сравнение для опре-
деленных трансцендентных количеств высшего рода; речь идет о коли-
чествах, содержащихся в выражении
С dx
J уГ А + Вх + Сх3 + Dx3 + Ех1 9
куда можно дополнительно ввести еще рациональный числитель вида
91 + |- и т. д. Правда, этот вопрос чрезвычайно труден, и даже
может показаться, что он превышает силы Анализа, однако он решает-
ся с помощью определенного метода. Отсюда Анализ обогащается мно-
гими немаловажными достижениями, и в первую очередь, как мне ка-
жется, значительно совершенствуется решение дифференциальных урав-
нений. Действительно, пусть будет предложено такое уравнение:
dx _ dy
+ + + + ~ /Л + By -]-Су2 + Dx3 + Еу* ’
Сразу ясно, что его частный интеграл есть х = у, однако представляет-
ся, что полный интеграл будет чрезвычайно трансцендентным, так как
ни одно из этих двух выражений само по себе не может быть сведено
ни к логарифмам, ни к круговым дугам. Тем более удивительным
будет тот факт, что полный интеграл можно выразить даже при помощи
алгебраического уравнения между хну. Но чтобы лучше уяснить
метод, ведущий к решению этих высоких вопросов, мы приложим его
сперва к известным нам трансцендентным количествам, содержащимся
в выражении £ - dx ... - , а затем покажем его применение к дру-
j "у А Вх -|-
гим более сложным выражениям.
х) Из дальнейшего видно, что Эйлер имеет в виду результаты, содержащиеся
в работах, опубликованных в 1761—1767 гг.
5
ГЛАВА V
О СРАВНЕНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ,
СОДЕРЖАЩИХСЯ В ВЫРАЖЕНИЯХ ВИДА
Р Pdx
J /4 4- 2Вх -Ь Сх2
ЗАДАЧА 73
580. Пусть между х и у предложено алгебраическое уравнение
а + 2р(х 4- у) + 7 (х2 + у2) + 2Ъху = 0.
Найти такие интегральные выражения заданного вида1), которые
можно было бы сравнивать друг с другом.
РЕШЕНИЕ
Продифференцируем предложенное уравнение и его дифференциал
2р dx 2р dy 4- 2ух dx 4~ 2уу dy 4- 28# dy 4- 28у dx == 0
представим в виде такого уравнения:
dx (Р 4- ух 4- 8у) + dy (₽4- уу 4- 8я) = 0.
Положим р 4- ух 4- оу == р и р 4- уу 4’ — q\ из первого [соотношения]
будем иметь:
р2 = р2 4~ 2р7# 4- 2р8у 4- у2х2 4- 2у^ху 4~.^2у2.
Вычтем отсюда предложенное уравнение, помноженное на 7, т. е. уравнение
0 == «7 4- 2Р727 4- 27ру г 72#2 4- у2у2 4~ 278^7/.
Тогда получим:
/?2 = Р2 — а? + 2р(8 — 7) у + (82 — I2) у2.
Таким же образом найдем, что
q2 = р2 — ос7 4- 2Р (8 — 7) х 4~ (82 — 72) х2,
п гг С Р dx
Ч Го есть вида \ — — — .
J У А + 2Вх + Сх2
ГЛ. V. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 325
откуда1) pdx-\- qdy = 0. Поскольку теперь р есть функция от у, а
q — такая же функция от х, положим
?* 1 2 3-а7 = Л; р(8-7) = В и 82-72 = С,
откуда . в й । о 30 1 3 1 о — 7 В
и, значит, В2 + 32С 32С~В2 (J J ТТ <v 1 2ВЗ 1 ~ 2ВЗ
Первое же 2) [уравнение] дает _ З2 — А __ 2В(3(32 —Л) а— 7 - 32С —В2 '•
Если взять 5, dx . dy n эти значения а, у, о, то уравнение — = 0 примет вид dx , dy q VА + 2Вх + Сх2 ' УА + 2Ву + Су2
Значит, этому дифференциальному уравнению удовлетворяет уравнение
2В8(32 — А) . , 32С-В2 о , 2Х . В2 + 32С п
- VC /В + 2.8 (х + У) + У2) + ХУ = °'
Так как это уравнение содержит новое постоянное р, то оно бу-
дет, сверх того, полным интегралом найденного дифференциального
уравнения.
Нет нужды, чтобы указанные выше выражения равнялись буквам
Л, В, С\ достаточно, чтобы они были им пропорциональны, откуда
получаем:
З2 — «7 _A S-hl С
?(В—7) = В И V = В •
Следовательно,
. ЗС В2 ЗА х
о = и « = ^_^(0_7),
т. е.
З2 ?2АС , 23Л
х) В этой, и особенно в следующей, главе разъяснения Эйлера не всегда обла-
дают достаточной отчетливостью. В данном случае скупо брошенное слово «откуда»
недостаточно выясняет связь между двумя предыдущими уравнениями и уравне-
нием
р dx + q dy = 0. (1)
Каждое из двух предыдущих уравнений, если заменить в них р и q выражениями
7> = 3 + 7х + 6?/, j
1 = 3 + ~{у + Ъх, J
равносильно данному уравнению. Последнее является, таким образом, интегралом
уравнения (1) не только тогда, когда р и q выражаются формулами (2), по также
и тогда, когда
_р=|/82—«7 + 2? (В —7)?/+(о2 — 72)?/2, |
q = V?2 —«7 + 23 (В—7) х+ (В2 —72)г/2. /
3) То есть уравнение ₽2 — cq — А.
326
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Поэтому полный интеграл дифференциального уравнения
______________________dx____________dy = q
УA + 2Bx + Crf Ф УA^By + Cyi
есть
Р2 (В2 - АС) + 2РтАВ + 2^В2 (х + у) + У В2 (х2 + у2) + 2^В (PC - 7В) ху = О,
где отношение у представляет собой произвольное постоянное.
СЛЕДСТВИЕ 1
581. Если извлечь корень из предложенного уравнения, то полу-
чится:
2 + 2^х + о2х2 —а-f — 2З7Х — 72х2
-
или, если вместо а и о подставить их значения,
-3-&Е+ iZg
СЛЕДСТВИЕ 2
582. Значит, если х = 0, то получается:
Положим это значение = а; тогда
-Ва + 85 = У^АС - 2^АВ.
Взяв квадраты, получим:
т2В2а2 + 2рт В2 а + р2В2 = рМС - 2^ АВ,
откуда
у —А—Ва + 'СА (А + 2Ва + Са2)
Т ’ Ва2
ИЛИ
з _ В (А + Ва + VА (А+2Ва + Са2)}
[ ~ АС—В2
ПОЯСНЕНИЕ 1
583. Для того чтобы взятое уравнение
а + 20 {х + у) + т {хг + уг) + 2Ъху = О
удовлетворяло дифференциальному уравнению
_____________________dx______।____dy_____= q
VА+ 2Вх + Сх2 "Г VАА-‘2ВуА-Суг
необходимо, чтобы
02 —ау = тЛ, Р(8 —у)=тВ и 82 — ^2 — тС,
ГЛ. V, О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 327
откуда
Р + 72/ + V m М + + Сх2)
и
₽ + 7Ж + ty = V™ (Л + 2Ву 4- Су2).
По заданным А, В, С можно определить только три из букв: а,
р, 7, В и т, а две остаются неопределенными. Поэтому, если даже раз-
делить взятое уравнение на какой-либо из коэффициентов, все же одно
из входящих в него постоянных будет новым, а следовательно, его
надо будет считать полным интегралом. Таким образом, хотя ни один
из членов дифференциального уравнения не допускает алгебраического
интегрирования, однако полный интеграл может быть выражен алге-
браически. В качестве произвольного постоянного можно ввести то зна-
чение количества у, которое оно получает при я = 0. Но так как может
случиться, что это значение окажется мнимым, то будет уместно опре-
делить это постоянное так, чтобы при х = а мы имели у = Ь\ при таком со-
глашении [интеграл] можно применять во всех случаях. Отсюда будем иметь:
(3 4- Y& 4- Sa _-j ГА 4- 2Ва 4- Са2
34-^4- йь = у Л + 2В6 4- СЬ2 *
откуда находим:
^а 4- S&) Л 4-2Ва + Са2 —Q&4-Sa) Л 4- 2776 4- С62
— т/*Л 4-2Ва 4-Са2 + /Л+УвьТСб2
и
]/т (Л + 2Ва + 6Л2) =
(S — ?)(& — а) ]/ Л 4-2Ва 4-Са2
/Л+2ВТ+СБ2 — /Л-Н2Ва4-Са2 ’
или
]/т ==
_________(в —т) (Ь — а)______
/ Л4-2В&4-С62 — Л 4- 2Ва 4- Са2
Для краткости положим
]/'А + 2Ва + Са2 = % и ]/Л + 2ВЬ + Cb2 = 5В,
так что
]/т =
(5 —у) (6 — а)
53 — 31
И
3_31(Та4-ед-ЯЗ(тб4-йа)
1 53-31
Тогда уравнение 3(8 — *f)=mB получит такой вид:
откуда
я (т« + 8Ь) - SB (76 + 8a) = ,
+ ySHSB — у А — ТВ (a + b) — 4С (а2 — ab + &2) |
+ т-ЪА + ЪВ(а + Ь)-ЬСаЬ J =
328
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Поэтому ПОЛОЖИМ
у = п 3133 — nA -j- пВ (а 4- b) — nCab,
о = nA + пВ (а + b) + пС (a2 -abA- Ь2) — лг*3135,
»-aw. „ (t _ а) № _ Я),
$~пВ(Ь — а)2, а следовательно, 8 — 7 = п^_а^ •
Так как В + у = пС (Ь — а)2, то будем иметь В2— у-^тС. Наконец,
надо, чтобы (xy = P2 — mA, т. е.
г oq - п2В2 (Ъ - ау - п2А {Ь - а)2 (33 - 3()2
или
а7 = п2 (Ь - а)2 [В2 (Ь - а)2 - А (33 - ЭД)2 ] -
Так как при х — а имеем у ~ Ь, то будем иметь также
а-- — 2р (а + &) — у (а2 + Ь2) — 2ЬаЬ,
откуда
а = п (а - Ь)2 [А — В (а + b) — Cab — 3133];
поэтому взятое нами уравнение есть
(Ь-а)2(А-В(а + Ь)-СаЬ~Ш)+2В(Ь-а)2(х + у)
-(A+B(a + b) + Cab-3133) (х2 + у2)
+ 2 (4+ В (а+ Ь) + С (а2 - аЬ-± b2) ~ 3133) ху = 0.
ПОЯСНЕНИЕ 2
584. Положим 3=0, так что уравнение примет вид а + 7 (ж2 + у2):
+ 2Вжу = 0; тогда будем иметь:
__ —-Вх'-Рр/'—ау + (В2—у2)х2
У - - - •
Положив — ос7 = mA и В2— ^{2 — тС, так что
будем иметь:
7У + Вх = ]/'т (А + С,/;2),
__________.dy (
У~А -i- Сх2 VЛ + Су2
Полным интегралом этого уравнения будет само взятое уравнение, для
которого будем иметь — или 8 = |/ 72---Е- . Если же требуется,
чтобы у = b при х = 0, то, поскольку 7& = ]/mA, будем иметь д = —;
далее, mA и о = "|/"+ тС. Поэтому будем иметь уравнение
у^тА х Vm (A+Cb^
которое дает
т ГА. + СЪ2 .11/4 + Сх^
У= V ~а^+Ь V
ГЛ. V. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ
32?>
Это есть полный интеграл записанного выше дифференциального урав-
нения. Поэтому если взять х с отрицательным знаком, то полным инте-
гралом дифференциального уравнения
dx dy
Уа + Сх2 ~УаГ+Су*
будет
l/~A + Cb2 , , i/'A + Сж2’
y-xV ^T~ + bV
Если же таким образом провести вычисление в общем случае, то
полным интегралом дифференциального уравнения
______. dy_____ = О
j/" А -г 2Вх -j- Сх2 j/" А 2Ву + Су2
окажется (если для краткости положить ]/Л-|- 2Bb -U СЬг = 53)
/, г—А . ВЬ \ , . ВЬ \ ВЬ2 г—---------—
AVA + ТлЗг)+ х (® + “ /ЛЗГ 4 УА +2Вх т Сх‘-
Отсюда, очевидно, получается предыдущий случай, если положить
В = 0. Но при помощи нетрудной подстановки можно привести выраже-
ния, содержащие В, к случаю, когда В = 0.
ЗАДАЧА 74
585. Пусть II (z) означает ту функцию от z, которая возникает
из интегрирования выражения у^~ с’ где интеграл взят так, чтобы
он исчезал при z = 0. Установить сравнение между такого рода функ-
циями.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим дифференциальное уравнение
dx dy
У А-\-Сх2 У А + Су2
Так как по условию
С—^^ = 11(3;) И ? -----= П(у),
J У А + Сх V 7 J Y А + Су2
причем интегралы взяты так, чтобы первый исчезал при ж —0, а второй
при у = 0, то полный интеграл будет
Но выше [§ 584] мы видели, что этот интеграл есть
ЛГА + СЪ2 . кЛГа+'с&
y=xV~^~+bV
Здесь при ж —0 получается у = Ъ, а так как 11(0) = 0, то будем
иметь:
П(2/) = 1] (^)+П(Ь).
.330
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Значит, этому трансцендентному уравнению удовлетворяет алгебра-
ическое уравнение
1/А + С&2 г1ГаГСх2
у = х Г/ —----\-by —.— .
$ У А У А
Таким же образом, если взять b с отрицательным знаком, то урав-
нение
П(г/) = П(ж) —П(Ь)
согласуется с таким:
т Га + с&2 , 1 Га + Сх2
у=*У —а—ЬУ
Таким образом как сумма, так и разность двух функций такого
рода могут быть выражены функцией подобного же рода. При этом
теперь нет никакой разницы между переменными и постоянными коли-
чествами, поскольку П (г) означает определенную функцию от г, а именно:
П(г)= ? ,-dz ,
J У A+ Cz2
причем П(г), так как мы приняли, исчезает при 2 = 0. Приняв этот
«способ обозначения, [приходим к следующему выводу]: для того чтобы
[имело место соотношение]
П(г)=П(р) + П(^),
необходимо, чтобы
тГА + С^2 . 1ГА+Ср2
г = Ру
а для того чтобы
П(г) = П(р)-П(?),
необходимо, чтобы
1 Г А + Сд2 л Г А + Ср2
г=ру -^г—чУ ~~а~ *
Если же там и здесь1) уничтожить иррациональность, то между р, q
и г получается следующее уравнение:
pi 4- 4- r4 _ 2p2q2 - 2p2r2 - 2q2r2 = .
Вид этого уравнения обнаруживает следующее свойство: если р, q,
г—стороны некоторого треугольника и если около него описать круг,
обозначив диаметр последнего через Z, то всегда будем иметь А -ф СТ2, = 0.
Полученное выше уравнение, поскольку оно заключает в себе несколько
корней, удовлетворяет следующему соотношению:
П(р)±П(9)±П(г) = 0.
х) utrinque, т. е. «с обеих сторон». Обычно это выражение означает «в обеих
частях уравнения». Весьма возможно, что и здесь смысл таков же. Однако здесь
у нас два иррациональных уравнения, и получающееся рациональное уравнение
является следствием каждого из них. Так как, кроме того, иррациональности входят
лишь в правые части уравнений, то мы предпочли перевод «там и здесь», допуска-
ющий оба толкования.
ГЛ. V. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 331
СЛЕДСТВИЕ 1
586. Если положить Л —1 и С = — 1, то отсюда сразу же можно
вывести известные [формулы] сравнения круговых дуг. Действительно,
в этом случае
H(z) = £ = arcsin z;
7 J /1-22
поэтому, для того чтобы
arcsin г = arcsin р arcsin q,
необходимо, чтобы
q^^qyx — р\
а для того чтобы
arcsin г == arcsin р — arcsin q,
необходимо, чтобы
г = рУ X — q2 — qy \ — р2,
что известно.
СЛЕДСТВИЕ 2
587. Если А = 1 и С = 1, то будем иметь:
следовательно, если
Z (г+/1+^)=I (р+К1+72)+1 (д+/1+?),
то будем иметь:
г = р /1 + g2+ q /1+р,
а если
I (г + = I (р + К1+Р) -1 {q + /ГР?),
то будем иметь:
г = pV iq2 — g /1 + р2,
что непосредственно вытекает из основного свойства логарифмов.
СЛЕДСТВИЕ 3
588. Если в первой из двух общих формул [§ 585] положим <? = /?,
так что
П(г) = 2П(р)
то будем иметь: Далее, если имеем и если взять г=р 1/Л + С^ 1/Л + Ср2 Г А 1 4 V А
332
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
то будем иметь:
Но
П(г) = 11 (р) + 211(77) = 311 (р).
A + Cq* _
А
11(г) = ЗП(/?),
Значит, если
то
г=р
ПОЯСНЕНИЕ
589. Для того чтобы можно было с меньшим трудом продолжать
это умножение, примем во внимание, кроме уравнения
П(г) = П(р)4-П(7),
отвечающего соотношению
-1 Г A + Cq* . 1 Г~А ТСр
Г~РУ —
также и уравнение
Г1(р) = П(г)-П(9),
которому отвечает соотношение
Р-Г V —А—
Из этих соотношений получаем:
++С ^9+
или
/А + Сг2 Cpq , ЛГ ( А + Ср*\( A + Cq*
У -А-^—Г-гУ А~
Поэтому условием для того, чтобы
U(r) = II(?) + H(g),
мы имеем не только
г=р]/Г1 + A qi^.qy i а-~ р2,
по также и
/+Р - -'г рч+V (1+^Ж1+А-
Положим для краткости ^/"1 4- р2 = Р\ если взять q = py так что
11(г)^2П(р),
то будем иметь:
г = 2Рр и 1 + г2 = ™ р2 4- Р2.
ГЛ. V. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 333
Если взять вместо q это значение количества г1), то оно даст
П(г) = ЗП(р),
причем имеем:
г= ^-/>3+3/)2/2
И
)/’1 + ^-г2 = 4г^2 + /)3-
Снова заменим q, взяв вместо него это [последнее] значение коли-
чества г; получим:
П(г) = 4П(р),
причем
г = ~~[-Рр3 +
и
V1+л-г2=+Т р2р*+pi-
Подставим вместо q это [последнее] значение количества г; тогда
получится:
П(г) = 5П(р),
причем
и
л / Л г 2 5С2 п . . ЮС по 2 ,
г 1 + зг/ = ~^Рр +^4“р Р +р •
Отсюда можно сделать следующее общее заключение; для того
чтобы
11(г) = лП(р),
должно быть
ИЛИ
r „ /р+'? (/> - .
2|<С\ Г AJ 2^ С\ У А)
Итак, это соотношение между р и г будет удовлетворять дифферен-
циальному уравнению
dr п dp
VX+c? “ V(д+Ср’У' ’
при этом надо помнить, что
р=/*+¥•
Схема повторений выкладки такова: заменяем в формуле II (г)—П (/») + П (д)
буквы г и q соответственно буквами г' и г и затем берем Л (г)~2Л (/>); теперь г
исключено, так что в обозначении г' штрих можно отбросить; так же поступаем
при соответствующих алгебраических преобразованиях. Аналогично при последующих
выкладках.
334
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ЗАДАЧА 75
Р dz
590. Полагая -р===- = П(г) и беря интеграл так, чтобы он
исчезал при z — f, вследствие чего П(2) становится определенной функ-
цией от z, установить сравнение между такого рода функциями,
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим дифференциальное уравнение
dx . dy _ g
VA ^Cx2 VA + Cy*
Интегрируя его, получаем:
П (я) + П (г/) = Const,
но должен также существовать интеграл вида
a + T(^2 + ?/2) + 2S^ = 0.
Чтобы он имел место, необходимо, чтобы
— ац — Ат и В2—у2=Ст.
Тогда будем иметь:
цх + ву — Ут (Л + Су2) и цу 4- • 8я = Ут (Л + Сх2).
Положим, что постоянное, вошедшее в результате интегрирования,
определено так, что при х = а получается у — Ь. Тогда интеграл будет
П(Ж)+П(2/)=ПГ(а) + П(6).
Для того чтобы найти алгебраический вид, положим для краткости
VА-Ь Са2 = 91 и УA-\-Cb2 = S3;
тогда будем иметь:
ца -|- 86 == 35 Ут и 4- Sa = 91 Ут,
откуда находим:
Ш — 58a . г~~ 2 936-9U Лг~
* 62— a2 г 62— а2 г
Поэтому алгебраическое интегральное уравнение будет
(916 - 35a) х + (356 - 9U) у - (62 - а2) УА^Су2,
или
(916 - 35a) у + (S56 - 91a) х = (62- а2) /лТСЛ
Отсюда у определяется через х таким образом:
(91a — 936) х + (62 —а2) Уа + (№
У ~ 936
ГЛ. V. о СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 335.
Помножим числитель и знаменатель этой дроби на tyib 4- 25а; в силу
[соотношений]
Ql262 — = A(b2 — a2)
и
(91а - 256) + 25а) = (912 - 252) ab - 2X25 (62 - а3) - - (62 - а2) (Cab + 3123)
приходим к уравнению
__ (Cab 4- 2123) х , (216 + 23а) V А + Сх*
У~ А г- А
Отсюда далее получаем:
(62 - а2) /Т+Ср = (316 - 33а) я - / Л+?+,
if А 1 Cv2 - _^2~~g2) :г । тАаа-Ст2
Здесь опять помножим числитель и знаменатель на 916 -j- 25а;
получаем:
OW = - с<”+№> .-i-^gLy-л+с?.
Итак, трансцендентное уравнение
П (г)+ 11(0=11(^+11(2)
допускает алгебраическое представление, а именно: если для краткости
положить
VA + Cp2=P, VA + Cq2 = Q и VA+~Cr2=R.
то уравнение
П(0 = П(^)+П(2)-П(г)
даст
-PQr-Cpqr + PRq + QRp
S -
И
| Cs2 — —CPqr—CQpr-rCRpg + PQR
или
]/Л 1 Cs2 — PQR+C(Rpq—Pqr — Qpr)
СЛЕДСТВИЕ 1
591. По условию 11 (/) = 0; значит, если положить для краткости
А + Cf2 == F и r = f, так что R = F, то уравнение
П(0 = П(р) + П(0
даст
F{Pq + Qp)-PQf-Cfpq
А
И
- FPQ+CFPi~cf №+Qp) .
336
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
592. Если уравнение положить q^f и Q — F, так что 11 (</) = 0, то [§ 590] II (S) = П(?)-П (г)
даст F(Rp-Pr) + fPR-Cfpr S А
и у А + Cs* = FpR-CFPr + Cf(Rp-Pr) А
СЛЕДСТВИЕ 3
593. Если С = 0 и А=1, то будем иметь:
11 (z) = dz = z — f,
так как интеграл надо взять так, чтобы он исчезал при z = f. Тогда,
очевидно, будет Р==1, <2=1 и 7? = 1; поэтому, для того чтобы
П(5) = П(^) + П(д)-П(г),
т. е. чтобы s^p-]-q — r, должно быть
s = — г q-L- р и У1 + Os2 = 1,
что ясно само собой.
СЛЕДСТВИЕ 4
594. Если положить Л=1 и С = — 1 и взять 11 (z) = arccosz, так
что /= 1, то будем иметь:
arccos 5 = arccos р + arccos q — arccos г
при условии, что
з~ pqr — PQr-YPRqA-QRp
и
]/1 — s2 PQ R Pqr Qpr — Rpq.
Если здесь взять г=1 (тогда /?—0 и arccos r=l), то будем иметь
з—pq — PQ и |/1 — s2 = Pq \ Qp.
ПОЯСНЕНИЕ
595. Отсюда выводятся известные правила для косинусов, на которых
я не буду останавливаться. Однако же наиболее легкий случай, когда
Л = 0 и С = 1, а следовательно, Г1 (z) == — R (при / = 1) кажется
связанным с значительными трудностями, поскольку выражения для 5
и для УA~\~Cs2 s [§ 591] обращаются в бесконечность. Чтобы предот-
вратить это неудобство, будем сначала рассматривать число А как
бесконечно малое. Тогда будем иметь:
Рау^+л.р + -±- Q = q + ±-. R-r+i.
ГЛ, V- О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 337
Таким образом, для того чтобы Is = Ip + lq- lr, оказывается (необ-
ходимым, чтобы]
разложив каждый из членов, получим:
л _ Aqr Apr . Aqr Apq Apr Apq
2p 2q 1 2pA~ 2r A- 2q 2r
u;iiis=y, как этого требует природа логарифмов. Наконец, заметим,
что из найденных выражений без труда выводится умножение трансцен-
дентных функций рассматриваемого вида; так, например, можно будет
найти алгебраическое соотношение между х и у, необходимое для того,
чтобы II (у) =- чП (х).
ЗАДАЧА 76
596. Положим II (z) — и возьмем, этот интеграл так,
чтобы он исчезал при z = 0.
Разыскать [формулу} сравнения трансцендентных функций такого
рода.
РЕШЕНИЕ
Установим между двумя переменными х и у такое соотношение:
a -j- у (х2 г/2) 4~ 2Ъху = 0,
откуда
_ —Ъх -J- У— aq + (S2 — у2) а?2
Положим — aq --Ат и о2 - у2 — Ст, так что
чу д- ьх — Ут (А + Сх2)
и
ЧХ &у = ]Ст (А а- Су2).
Дифференцируя же данное уравнение, получим:
dx (чх + Ъу) + dy (чу + Зя) = 0
или
-7=±===-г-т^= = 0.
/Л + Cz2 УА+Су2
Теперь положим
dx(L + Mx-) dy(L + My2) = dy -
YA + Cx* "Г /Л + Су2 У ’
так что, интегрируя, имеем:
11 (х) + П (у) = Const + V у т.
338
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
А так как
dy — dx
УА + Cif " /А + Сх2
то будем иметь:
dVVm= -yi-^^^ .
у'АЛ-Сх2
Принимая во внимание, что
Ут (А у Сх2) — Ъх
У - ~ •>
будем иметь:
х2 -- у2 = (д'У2 — mA -- тСх2-- 6У2 у 2сУ J/m (А -И СУ2)).
Но здесь 72 - о2 = —тС\ следовательно,
.гт .г— М dx (2Ъх ~Ст (A-f Сх2)— тА — 2тСх2)
dv у т —--------------——У--------------- .
72 у А у Сх2
Интеграл здесь удается представить в удобном виде, а именно
мы получаем:
V Кт = ZHZC™ - -Т к^^2’-
72 Г
Эта формула, если учесть, что
/т (А 4 СУ2) — 77/ 4- ох,
переходит в [соотношение]
T71Z— оШ2-''Мху — ЪМх2 . г— Мху f —
V у т —---------------- У т —-----— У т
Поэтому мы будем иметь:
11 (х) П(у) = Const - - }/ т
при условии, что
уу А- Ъх = Ут (А -н СУ2) и ух у Ъу [ т (А 4- Су2) *)
п что, кроме того,
— ау^=Ат и о2 — у2^Ст.
Чтобы определить постоянную, положим, что при получается у =
так что
II (X) + II (у) = II (Ь) - Ут.
Но тогда имеем:
^Ь^]/тА и об = ]/тА у тСР,
а следовательно,
]Cm/L * 1/ mA + mCb2
< = -У- иЬ=-----------ъ----•
А Разумеется, эти условия не являются независимыми: одно из них вытекает
из другого.
ГЛ. V. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ
339
Отсюда мы заключаем, что если
у УА + хУА + СЬ^ = b У А 4- Сх2
или, что то же, если
X У А 4- у УА + СЬ2 = ьу А 4- Су2,
ТО
II (ж) 4-П (у) == П (й)
Mb ху
где 11 означает такую функцию стоящего под этим знаком количества, что
П(г) = J
dz(L + Mz2}_
\/ А^С-А ’
причем этот интеграл взят так, что он исчезает при z —0. Установив
природу этих функций и устранив различие между постоянными и пере-
менными величинами, будем иметь:
П(г) = П(р)4-П(?)4-^,
Г А
если
q У А 4- р )/ Л 4- Сг2 = г У А 4- С р2
и
р У A-j- q V А -н Сг2 = г У А 4- Cq2,
откуда
r = Р Г4 + С? + <7 УЛ~+СУ2
У а
и
рл - Сг- = м+бУ)
Уа
СЛЕДСТВИЕ 1
597. Взяв z с отрицательным знаком, имеем:
11(-Z)^ —U(z).
Поэтому, беря количества р и q с отрицательным знаком, найдем, что
И (Р) 4-11(7) 4-П (г) =
I А
при условии, что
р У А 4- q УааСг2 4- Г у Аа Cq2 = 0,
ИЛИ что
q У А -г р УА + Сг2 4- г УА-\~Су = 0,
или что
г СХ+ р У Л Cq- + q УААСр2 = 0,
или что
Cpq - У А. (Л 4- Сг2) +У(А-г С р) (Л + Cq2) = 0,
откуда образуется следующее соотношение:
4- р У (А 4- Cq2) (Л 4- С?2} + qy (А 4- Ср2) (А 4- Сг2)
+ гУ(А + Ср2) (Л4-СУ) = &
340
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
598. Следовательно, этим методом можно найти три такие функции
вида П(г), сумма которых выражается алгебраически. То, что мы пока-
зали о сумме, имеет силу также для суммы двух минус третья.
СЛЕДСТВИЕ 3;
599. Если мы положим L^A и М = С, то предложенная функция
11 (z) = dz УА + Cz2 3 будет выражать площадь кривой, у которой абсциссе z
соответствует аппликата j/А + Cz2. Сумма же трех таких площадей
получит такое алгебраическое выражение:
!!(/>) +II (7)+ П'(г) = ,
если установить указанное выше соотношение между pt q и г.
ПОЯСНЕНИЕ
600. Это свойствох) порождено тем, что дифференциал dV оказался
допускающим интегрирование2). В самом деле, мы имеем:
а так как
У т (Л + Сх2\ =
то будем иметь [уравнение]
$у Mdx(x2 — y2)
ТУ +
Его интеграл можно с удобством определить из взятого уравнения
а -р у (х2 + у2) + 2Ьху = 0.
А именно, положим
х2 + у2 — t2 и ху = щ
тогда
а 4- yi2 4- 28w — 0
или, взяв дифференциалы,
xdx^-ydy = tdt\ xdy + ydx = du и ^t dt -A^du = Q.
Из первых двух уравнений получаем:
(х2 — у2) dx — xt dt — у du,
2) То есть свойство, выведенное в § 596.
3) То есть интеграл оказался рациональной функцией от х, у.
ГЛ. V. о СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ
341
и так как t dt == , то будем иметь:
(х2 -y-)dx = - — (8я + Тг/),
так что
dx(x2—~y2) _ du
“ у /
и значит,
dV= -yidu
откуда, очевидно, следует, что
у _ _ Мху
В решении мы получили то же выражение, но с большим трудом. При-
мененным здесь способом мы сможем с успехом воспользоваться в сле-
дующей задаче, где нам предстоит рассмотреть более сложные выражения.
ЗАДАЧА 77
601. Положим, что
П = £ dz(L + Mz2 + Пг* + (№ + и т. д.)
причем интеграл берется так, что он исчезает при 2 — 0. Разыскать
{формулу} сравнения между трансцендентными функциями этого рода.
РЕШЕНИЕ
Пусть, как и прежде, между переменными х и у установлено
соотношение
а + 7 (х2 + г/2) 4- 2Ьху — 0
и пусть
— ау — Ат и В2 -- - у2 = Ст;
тогдг
727 + 82— У т(АМСх2} и ^x^ly = Ут (Л + Сг/2);
если же взять дифференциалы, то будем иметь:
dx г dy = 0
V А 4- Сх2 У^+Сф*
Теперь положим
dx (L + Мх2 + Пх* + Охе) dy (L + Му2 + Пу* + Оу6) __ ™ , л—
Va + Cx2 Ул + Су2 “ vm'
так что имеем:
П (х) + II (у) = Const + V У т.
342 ОВ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
, > d и dx
Ввиду того, что =--------г- ---, это уравнение переходит в
V А + Су2 уА + Сх2
dx (М ( х2 --у2) + N (х4— г/4) + О (х6 — г/6))
Ул + Сх2
а так как |/т (Л-{- Сх2) = чу 4- оя, то
dx (х2 — у2) (М + N (х2 + у2) -Г О (х1 + х2у2 4- у4))_
ЧУ +
= dV Ут,
Теперь пусть x2A~y2=t2 и ху — и, так что
а -и 4С 4 2оц = 0 и yi dt + & du = О
или
, Й du
tdt =---------
Из уравнений
х dx -f у dy = t dt и х dy а у dx = du
получаем
(ж2 — у2) dx — xt dt — у du = - - у Уу 4 ьх),
а поэтому
dx (х2 — у2) du
ЧУ + ох у ’
откуда будем иметь:
dV = - - [М 4- xV (ж2 -Ь ?/) f- О (ж1 + Ду2 + у4)].
Но
z2_1_?/2 = f2 = ZZlrL2b“
И
X4 -- Х2у2 -j- у* --^С - и2.
гл du —tdt
Заметив еще, что — = —, мы приходим к выводу, что
7Т7 М du , At3dt . Ot* dt . Ou2 du
dv =------------ -------s— H---7— •
7 o o 7
Интегрируя, получаем:
V ' 4r7 ! 66 ’
Если мы теперь положим, что у -= b при £ = 0, то будем иметь:
У mA Ут (А А- СЬ2)
у -- б = ----=-----
1 ь ъ
и а — — b УmA ; но тогда
уУ А + х У А + СЪ2 — Ъ У А 4- Сх2 ,
х У А -4 у УаТсЪ2 - b уАуСу2
и
b У А = х У А + Су2 -г у У А + Сх2
ГЛ. V. о СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ
343
Так как
V =
Mb ху j Nb (х2 + у2)2 , ОЬ (х2 Ч- У2)3 , ОЬх3у3
У mA 4 / т~(АА-СЬ2) 6 / т(А Д- СЬ2) ' Ъ У mA ?
то наше соотношение между трансцендентными функциями, которому
удовлетворяют предыдущие [иррациональные алгебраические] уравне-
ния1), будет таково:
II (ж) II (у) = П (Ь) - 4- —
v ’ ' ’ /А 4/A-CW
, Ob (х2 Д- у2)3 Obx3y3 Nb5 Ob1
' 6 Ya + сь2 з/л 4/л + сР 6/лТёР ’
Здесь надо обратить внимание на то, что в рациональной форме [алге-
браическое соотношение имеет вид]
— I) У А + + । 2хУ V А А-СЬ2 __ g
или
тъ ,^_h2 ‘^yVA + C&
’ -у -b
Отсюда получаем:
(Ж2 -1- у2)2 _bi== _ &ХУ W(X + C&2)
А
и
(;r2 -- z/2)3 — b6 =
_ 664.ry yfA + Cb2 1262х2у2(Л + С&2) 8r3y3 (Л + C62)3/'2
VA A ~~A /Л
так что наше уравнение ость
н (X) + II (у) = II (&) -
. Nbx2y2 , '^ОЪ3х2у2
-р- А + С b - ~1—
СЪг
^^(ЗЛ-1-467?).
ЗА /Л 7
СЛЕДСТВИЕ
602. Если положить b — r,
получит вид
II (р) П (q) + п (г) = {М + А>2 + Ог^)
х = — р,
у = то наше уравнение
1
_ ЛХ/х+сг2 ор^
А 1 7~ЗЛ/Л
причем
p2-'r q2 = г3
АА-Ул+Cr*,
/лг 1
откуда
А 4- С г2 г2 — рЪ — q2
К А ~ ~2pq
determinationes, дословно: «определения».
344
05 ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
СЛЕДСТВИЕ 2
603. Если подставить это значение вместо , то получится
следующее уравнение, в которое три количества р, q, г входят равно-
правно:
П (Р) + П (7) + П (г) 4- 72 + г2)
у А 2 у А
4- 4^7 (pi ь qi + ri + p2q2 + p2r* + ?2r2)’
О у A
этому уравнению удовлетворяют выражения, данные выше, или же
следующее рациональное ^уравнение:
= р* + qi+- 2/) V - 2р2г2 - 2?2г2. :
СЛЕДСТВИЕ 3
664о Если к числителю интегрального выражения мы прибавили
бы еще член Pz8, так что имели бы
11/ С dz(L^Mz2 + Nz^AOz^Pzs)
(z) ~ J +
гэ к найденному только что уравнению присоединился бы еще член
~~ f* р* + 7е + г6 4- p2q^ -4 р2г^ 4- рЧр 4- р^г2,4- 74г2 4- 72/Л + 4 P2q2r2 .
\ у А ч 3 у
ПОЯСНЕНИЕ
605. Эти зависимости можно также вывести из данных выше при-
ведений1). Действительно, с их помощью найдем, что
11 (z) == Е у~А~~с~з 4~ алге^Раическое количество,
и если мы будем последовательно подставлять вместо z количества /?,
q, г, которые будут зависеть друг от друга так, как мы указывали
выше, то будем иметь:
Г d? ' I f d{? । C dr =o
j У A + Cp2 J У A + Cg2 ’Г J /Z+CT5
Отсюда заключаем, что]
и (р) + п (7) + ВД - /Кр) +/(?)+/АН/
где буква / означает некоторую алгебраическую функцию того количе-
ства, перед которым поставлена эта буква. Сумма же этих трех функ-
!) См. § 118.
ГЛ. V. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ
345
ций свелась бы к найденному выше выражению, если было бы принято
в соображение заданное соотношение между р, q. г; иными словами,
оттуда надо было бы исключить букву С. Однако такое приведение
потребовало бы огромного труда.
Теперь впервые уместно оценить метод, который я здесь применил
и который, будучи совершенно своеобразным, на первый взгляд, при-
водит [задачу] к более трудной1). Во всяком случае, сравнение транс-
цендентных функций, о котором я намерен говорить в следующей главе,
как мне кажется, вряд ли можно выполнить иным методом. Вот почему
в полезности этого метода лучше всего будет убедиться в следующей
главе.
!) Hie vero imprimis mebhodum, qua hie sum usus, speebari convenit, quae cum
sib prorsus singularis, ad magis arduam deducere videbur.
ГЛАВА VI
О СРАВНЕНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ,
СОДЕРЖАЩИХСЯ В ВЫРАЖЕНИЯХ ВИДА
? Р (1Z
' V А 4- 2t>z н- Са2 + 2D»3 + Л’»4
ЗАДАЧА 78
606. Задано следующее соотношение между д и у\
а -4 7 (я2 + У2) + + ^2У2 — 0.
Получить отсюда трансцендентные функции заданного вида, которые
можно было бы сравнивать друг с другом.
РЕШЕНИЕ
Определим из заданного уравнения оба переменные количества
___ — OZ + У — 3L — ^2 — aq х2 — уСх-
У 7 Н-
и
r = — О1/++ ——
7 + Су2
Эти корни можно привести к заданному виду, если положить
— щ = Ат, — = и —
отсюда
Ат . Ет , АЕт2
а = — , — — и о2 = Ст + у2 + .
7 v i ^2
Следовательно, будем иметь:
72/ + + ^2У = Vm(AA~Cx2 -!г Ех^) ,
7^ Ц- + ^ху2 = Ут (Л 4- Су2 + Eyi) .
Но само предложенное уравнение, если его продифференцировать,
лает
dx {щх + -О ъХу2) + dy (у?/ -р С ^2у) = 0;
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 347
если сюда подставить найденные выше значения, получим:
_____dv _____ Q
+_________________________' /л + O/4-W4 ”
Значит, н наоборот; если предложено это дифференциальное уравне-
ние, то ему удовлетворяет следующее конечное уравнение:
- - Ат -ц 72 (т2 у2) J 2ху | Y4 Т- Ст^2 Д- АЕт2 — Етх2у2 ~ О
или, если положить ' =к. то следующее:
— А д к (х2 л- у2) -f- 2ху \/к2 -у- кС л- АЕ — Ех2у2 = 0.
Так как это уравнение содержит постоянное количество к, не содер-
жащееся в дифференциальном уравнении, то оно будет в то же время
п полным интегралом, а отсюда получается:
ку х ]/ Е2 4 кС д- АЕ — Ех2у = \fk (Л ~Сх2 4- Ех^)
и
А л Д // Vk2'ETiC~^AE -Ёху2^ /Г( Д“+’Су2 + .
СЛЕДСТВИЕ 1
607, Можно выбрать постоянную к так, чтобы у ~ Ь при х = 0; тогда
кЪ = \гАк и b |//Л кС + ЛЁ - /ЦЛ"+ СЬ2 ' Ё1А) ,
следовательно,
к = А и У/Х+ТсХаЁ = А I' ХАХСХХХЪ^ :
поэтому будем иметь:
Ау - х /Л (Л 4- Cb2 -t Eh') -Eb2r2y = b УА(А +
п
Ах ]-у |/Л(Л + СЬ2 Е/А]I— Eb2xy2 = b С Л (Л Су2 -г Еу^) .
СЛЕДСТВИЕ 2
G08. Следовательно, это конечное соотношение между х и у будет
полным интегралом дифференциального уравнения
dx dy
______________: Г = 0.
у А+ Сх2 + Exi У А + Су2 + Еу*
Выраженный рационально относительно х и у этот интеграл будет
мл еть вид
Л (х2 + у2 - Ь2) -У 2ху Г Л (лДСбЧСЕ^) - ЕЬ2Х2У2 = 0.
348
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
СЛЕДСТВИЕ 3
609. Значит, у выразится через х следующим образом:
__ Ъ /ЧДГ+ Сх2 + Ех*) — х уА(А + СЬ2 + Е№)
У“ А~ЕЬ2х2 ’
и из этого значения получается:
угА^СуГ-±Еф
_ (A ЕЬ2х2) / (А-^-Cb2 Ч- Eb4) (А'+СхЧ^Ех^) — 2АЕЬх (Ь2 + х2) -- СЬх (Д ЕЬ2х2)
__ _
СЛЕДСТВИЕ 4
610. Придавая постоянному количеству Ъ произвольные значения>
можно отсюда получить бесчисленные частные интегралы, из которых
наиболее замечательны следующие:
1) если взять b = 0, то у = --х\
2) если взять о = оэ, то у = ’
3) если А Cb2 -- ЕЬ* = 0, откуда
тогда
_ + V С2 — ^АЕ
” 2Е
Ь 1^А (А + Сх2 + Ех*)
А^Е&х2
ПОЯСНЕНИЕ
611. Теперь очень ясно видно, насколько полезен этот метод, при
помощи которого мы, идя обратным путем, приходим от конечного
уравнения к дифференциальному уравнению. Действительно, поскольку
интегрирование выражения £---—— никак не может быть выпол-
J VA +Сх2 + Ех^
нено ни при помощи логарифмов, ни при помощи круговых дуг, нельзя
не удивляться тому, что такое дифференциальное уравнение можно про-
интегрировать и притом алгебраически. В самом деле, то, что было
изложено в предыдущей главе при помощи этого же метода, можно
получить и обычным методом, представляя дифференциальные выражения,
каждое в отдельности, либо через логарифмы, либо через круговые
дуги, после чего сравнение их сводится к алгебраическому уравнению.
Но так как в данном случае такое интегрирование совершенно не имеет
места, то не видно никакого другого метода, при помощи которого
можно было бы найти полученный здесь интеграл. Поэтому изучим
данный вопрос более тщательно.
ЗАДАЧА 79
612. Пусть 11(2:) означает такую функцию от z, что II (z) =
== \ причем интеграл берется так, чтобы он исчезал при
J ]Л4 + Сз2 +Ez4
z = 0. Найти [формулу} такого рода функций.
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 349
РЕШЕНИЕ
Если между двумя переменными х и у установить вышеуказанное
соотношение, то, как мы видели, окажется, что
______।______dy __ g
VA + Сх^Ё^ VЛ -н Ci/2 + Еу*
Так как мы положили, что у~Ь при я —0, то, интегрируя, получаем:
II (Ж)-ь II (у) = П (6).
Поскольку теперь уже нет никакого различия между переменными
х, у и постоянным Ъ, положим х /?, у — q и b = — г, так что П (6) =
= —П(г); тогда соотношение
П(р) + И(?) + П(г) = 0
между трансцендентными функциями выразится следующими алгебраиче-
скими формулами:
(Л - Ep2r2) q + рУа(А + Сг2Х£г*) + г У А (А + Ср2 + Ер*) = О
ИЛИ
(Л - Ep2q2) r^q У А (Ал. Ср2 Ер*) 4 р У Л (Л + Cq2 4- Eq*) = О,
или
(Л - Eq2r2) p~r yA(A-,Cq2 + Eq*) -L q У А {А Л-С г2 A-Er*) = 0.
Эти формулы возникают из уравнения
1 (р2 -Ь f - г2) _ Ep2q2r2 + 2pq \/'A(A + Cr* + £r4) = 0.
Если привести его к рациональному виду, то получим:
Л2 (pl r4 _ 2p2q2 — 2p2r2 — 2q2r2)
— 2AEp2q2r2 (р2 + 72 + г2) — 4ACp2q2r2 E^q^ = 0.
Однако последнее уравнение ^следствие множественности его корней
удовлетворяет всем вариациям знаков в данном выше трансцендентном
уравнении.
СЛЕДСТВИЕ 1
613. Взяв г отрицательным, получим:
П(г) = П(р)Н-ПО),
и тогда будем иметь:
Р У A (A + Cq2 + Eg*) 4 q У А(А + Ср2 + Ер*)
А — Ер2о2 ’
откуда заключаем, что
Л + С4+Т4
__ (А + Ер2д2) У (А + Ср2 + Ер^) (А + Cq2 + Eq^) + 2AEpq(p2 + q2) +Срд (А + Ергд2)
~ ~ (А—Ер2д2)2
ЗаО
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ 2
614. Следовательно, если мы положим (}=р, так что
П(/’) = 2П(/>),
то будем иметь:
2р V А (А + Ср* 2 * + /з>4 *)
г=-------л-__--------
и
-| Г А + Сг2 + Ёг* ___ Я2 4- 2АС р- 4- 6Л£д4 4- 2СЕд6 4- Е-р*
V л - (А-Е^у '
Так можно определить1) функцию, равную удвоенной функции
того же вида.
СЛЕДСТВИЕ 3
615. Если положить
2pVA(A + Cp2 + Ep*j
</=----------------И
V A(A'rCq^-Eq^
. I (zl2 + 2АСр2 + ЬАЕр* + 2СЕр6 + ЕРр»)
(А—Ер*)2
так что имеем И (<у) = 2П (/?), то из следствия 1 получаем 11(г) = ЗП (/>).
и теперь будем иметь:
р (ЗЯ2 4- 4ЛСр~ 4- $АЕр* — Е2р^)
Г Л2 — 6АЁ р± — \(.'Е pQ — 3/:2д8
ПОЯСНЕНИЕ 1
616. Слишком утомительно продолжать дальше это умножение
функций и еще менее возможно уловить закон их следствия. Для крат-
кости положим
У А (Л + Ср*4- Ер*) = АР и Л - Ер* - Л<₽,
так что
Ср* = АР* - Л - Ер* и Ер* = Л (1 - gj),
тогда [формулы] умножения до учетверения включительно будут таковы:
если положим
П (г) = 211 (Ру 11 (s) = 311 (р) и II (t) - 411 (р),
то найдем2):
2Рр р (АР* — $2) . 4рР^ [2Р2 [2Р2 (2 — — $2]
r- 5U ’ 5_ 4Р2’(1— >) ’ ф1—167;4(“1— $)
*) assignari.
2) Формула
г = ~^~ а)
получается непосредственно из первой формулы § 614 с помощью соотношений
/А'(А + Срг+Е^) = АР, (2)
(3)
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 351
Если же таким образом мы положим
У А (Л г С г2 + Er4) - AR
и
A — Er* = AR,
то будем иметь:
^-16P4(1-S₽)
Л — SJJ2 11 JI — ^4 ?
откуда для учетверения получаем:
2Rr т 2R2 (2 — SR) - SR2
_ ЯН-16Н4(1-^)
Л'“ SR4
Поэтому, если для умножения на восемь положим 11 (z) == 811 (/?), тс
будем иметь:
__ 2Tt = &RR [2R2 (2 —SR) —7?2]
Z~~ 3 ЯР- 167i1{l - $R)
< Отсюда понятно, как надо действовать при последовательном удвоении,
но подметить закон возрастания не удается. Однако же открытие такого
закона было бы в высшей степени желательным для дальнейших успе-
хов Анализа, — именно такого закона, чтобы из него можно было опре-
делить в общем виде соотношение между z и р для равенства
Формула
P(4P*-F)_ /4).
5]32—4Р2(1 —43) ' ’
выводится из первой формулы § 613, в которой надо заменить q и г соответственно
на г и у. После этой замены имеем:
_ р У А (А + Сг2 + ЕА) + г V А (А + Ср2 + Ер4)
s- • А —Ер2 г2 ' • <!
Второй член числителя преобразуется здесь по формулам (1) и (2), знаменатель—по
формуле (3). Что касается радикала, входящего в первый член числителя, то выра-
жение, данное в § 614, неудобно для выполнения подстановок (2) и (3), так как в нем
произведены упрощения, которые теперь служат помехой. Поэтому надо использо-
вать непосредственно вторую формулу § 613, положив в ней q — p. Получим:
-| Г А^ Сг2 — Ег\(Л \ ^Ср2 Epv) \ \АГРр‘х Срг {А Ерх}
V ~~ А (Л —£>4)2 • ( }
Сюда, согласно (2) и (3), подставляем
А + Ср2 -г Ер4 = Ар2, (7)
£>4^4—(8)
а множитель Ср2 в последнем члене числителя заменяем выражением АР2— Л(2 —ф),.
вытекающим из (7) и (8).
Дальнейшие вычисления не требуют пояснений.
Формула для t получается из первой формулы § 614, которая теперь имеет вид,
_ 2г 1ЛЛ (А + Сг2 + &1)
A —Er1
Числитель преобразуется по формуле (6), а знаменатель —по формуле (1).
352
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Il (z) = лг!1 (р) таким же образом, как это удалось сделать в предыдущей
главе; это позволило бы узнать замечательные свойства интегралов вида
’ благодаря чему наука об Анализе значительно подви-
нулась бы вперед.
ПОЯСНЕНИЕ 2
617. Наиболее удобным способом изучения закона следования пред-
ставляется рассмотрение трех членов, следующих друг за другом:
П(гг) = (лг—11(г/) = лгП (л>); II (z) - (п + 1)II (р).
Так как здесь
Il(rr) = II(2/) — Н(р) и Il(z)-II(y)+lI(p),
то будем иметь:
_ у У~Ца + Ср2+- Ер4)~—р V А (А + Су2 Еу4)
Х~~ А~Ер2у2 "
__ у V А(А + Ср2 4- Ер4) 4- р V А (А + Су2 + Еу4)
А—Ер2у2 — —~ <
откуда и заключаем, что
(А - Ер2у-) (х + z) = 2у УА(А ^~Ср2 +^).
Положим, как прежде,
у А (А-\-Ср2 + Ер4) = АР и А-Л>4-А$,
а так как каждое из количеств гг, у, z заключает в себе множитель р
в первой степени, то пусть
х = рХ, у = pY и z = pZ\
тогда будем иметь:
[1 - (1 - Щ) У2] (X 4-- Z) - 2PY
или
_____^У______v
~ 1 —(1 —ЗДУ2
При помощи этой формулы по двум последовательным членам X
и У без труда находится следующий за ними член.
Для лучшей обозримости положим
2P — Q и !-$ = £,
г/ QY V m
так что Z — —— X. 1еперь искомая последовательность получит
1 — <1I “
такой вид:
1) 1,
2) 9-
„ QW + G)2Q$3
, ^-3Q^ + Q^(1 + 2O)-Q6£2
°) $6~3Q2^4q + Q«P2D(2+O) —
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 353
Итак, вопрос сводится к тому, чтобы разыскать последовательность
Г7 Q? V
по данному соотношению Z = — Л между тремя последова-
тельными членами X, У, Z, причем первый член = 1, а вто-
Q
Р°и = Т=а-
ЗАДАЧА 89
618. Пусть П (z) означает такую функцию от z, что П(г)---
(* dz (L + Mz2 + TVz4)
= \ —-—---—— , причем интеграл взят так, что он исчезает при
J
z = 0; найти [формулу] сравнения между трансцендентными функциями
такого рода.
РЕШЕНИЕ
Установим между двумя переменными х и у такое соотношение:
Лу + W — ЕЬ2х2у = Ъ ]/А (Л + Сх2 ц- Ех*),
т. е.
Ах + S3// - Eb2xy2 = b ]fA(A + Cy2 + Ey*),
или же после освобождения от иррациональности
Л (х2-\-у2~~ Ъ2) + 2$Qxy — ЕЬ2х2у2 = 0.
Здесь ради краткости положено 53 = ]/Л(Л 4 Cb2A~ ЕЬ*), Тогда, как мы
видели выше,
dx । dy _q
VA + Cx2 + Ех* /Л“+СУ + £у4 -
Положим теперь
rfx (L + Мх2 + Nx*) dy(L + Mу2 + Wy4) _ у-д
Уа + Сх2 + Ех* УА + Су2 + Еу* v ’
так что (при нашем способе обозначения)
И (я) + И (у) = Const + bV /Л.
Здесь надо определить постоянное так, чтобы при 0 получалось у-^Ъ.
Итак, вопрос сводится к нахождению функции V; подставив для этой
цели вместо dy его значение из предыдущего уравнения, будем иметь:
Ъ dV VA = dx (х2~у2)+ N (х4~^4))
У / Л + Сх2 + УГх4
но так как
b YT(A + Cx2 + Ех*) - Ау + ЯЗя — ЕЪ2х2у,
то
__ dx(x2-y2) (M + N(x2 + y2))
Ay + %x — Eb2x2y
Теперь возьмем рациональное уравнение
Л (х2 + у2 — Ъ2) 4- 2534?/ ЕЬ2х2у2 — 0
354
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ПОЛОЖИМ
так что
х2-\-у2 ~ Z2, ху = и,
А (£2 _ Ъ2) + - ЕЬ2и2 = О,
и поэтому
At dt = — %5du-\- ЕЪ2и du.
Далее, поскольку
х dx + У dy = t dt и x dy + у dx — du,
будем иметь:
(x2, — у2) dx = xtdt — y du
или
A (x2 — y2) dx — — du (Ay 4- 93# — Eb2x2y),
так что
dx (x2 — y2) du
Ду 4- Ъх— Eb2x2y A ’
откуда получаем:
dV = +
а так как
+ 2 7 2 2Ъи , Eb2U2
t2 = £2---.—I--------
A 1 A ’
то будем иметь:
dV = J (AM + ANb2-2%Nu + ENbW).
Отсюда, интегрируя, получаем:
Mu Nb2u ! S3 Nu2 ENb2u2
~A ~A~ + ~A2 3A~ ’
Так как и = ху, то, подставив это значение, будем иметь.
П^) + П(2/) = П(6)-^-^
53 Nbx2y2
А \Аа
ENb3x3y3
ЗЛ У А
Но так как
%5ху = у АЬ2 — ~ А (х2 + у2) 4- у ЕЪ2х2у2,
то
П^) + П(2/) = П(6)-^-Л^<Л(6М^2 + ?/2)-|^У).
Этому уравнению удовлетворяют данные выше алгебраические формулы,
которые выражают соотношение между х, у и Ь. Поэтому, если взять
уравнение
n (JP) + п (7) + п (г) = < А (р* + <72 + - 1 Eptq^ ) ,
у А 2А У А \ ° /
ГЛ. VI. о СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 355
то оно удовлетворяется, когда между р> q и г устанавливается сбот^
ношение
(Л — Ep2q2) r^p^A{A + Cq2 + Eq*) + q У А (Л + Ср2 4- Ep*) = 0
или
(Л — E p2r2) q-'^p У А (Л + Cr2 4- Er*) + г У А (Л + Ср2 д Ep*) = 0,
или
(Л — Eq2r2) p-r qy А (Л’+ Cr2 4- Er*) 4- г У А (Л + Cq2 + Eq*) = 0.
Освобождаясь от одной иррациональности, получаем:
Л (^2+ — z’2) + %pq У~А (А-Ь Сг 4- Er*) — Ep2q2r2 = О
или
Л 7’2 - ?2) 4- '2рг У А (Л -г Cq2 4- Eq*) — Ep2q2r2 = 0r
или
Л (<?24-^2 — р2) + У А (Л + Ср2 4- Ер*) — Ep2q2r2 = ft
и, полностью освободившись от иррациональности,
E2p*q*r* — 2АЕp2q2r2 (р2 4 q2 4- г2) — 4ЛСp2q2r2
4-Л2 (р* + q* 4-г4 — 2p2q2 — 2p2r2 — 2q2r2) = Ct
СЛЕДСТВИЕ 1
619. Пусть q = r = s\ тогда мы будем иметь уравнение
11W + 211М = ( Л 2S>) - 1 ) ,
которому удовлетворяет соотношение
(Л - Es*) р 4- 2s УХуУУс^ + Es*) = 0.
СЛЕДСТВИЕ 2
620. Возьмем s отрицательным и вместо р подставим это значение1 )j
тогда получим:
2II (s) + И (9) + П (Г) + + JEE Г А (1* + 2^) - | Ер^ Л
у А ЛЛ У А Ч ° У
= ( а (р2 4- q* + г2) - 4 Eptq2^
при условии, что
_ 2б- УааАа~С52 +
Р ’ А — ЕА
ft В соотношение
П (Р) + П (?) + II (Г) = + r Г А (р2 + 2 + Г3} _ 1 Ер2 2Г2 1
у А 2Ау A L J
(.§ 618) подставляем выражение П (р) из первой формулы § 619, а в последующие
формулы § 618 —выражение р из второй формулы § 619 (в обеих формулах ^ 619
« заменяется на —4*
356
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
откуда
А (А + Cs2 + Es1)2 + А (4АЕ — С2) 1
(А —
Эти значения надо подставить в полученные выше [§ 618] формулы.
СЛЕДСТВИЕ 3
621. Это дает возможность сделать так, чтобы алгебраические члены
исчезли, и тогда будут сравниваться между собой только трансцендент-
ные функции. Пусть, например, N == 0. Тогда достаточно положить
s2 = gr, чтобы получилось
2П(5) + П(д)4-П(г) = 0.
Но при s2^qr имеем:
Г2 VAqr(A + Cqr + Eq2r2)
A — Eq2r2
С другой же стороны,
_ ~~q У А (Л + Сг2 + £>4) —г У А (А + Cq2 + Eq*)
Р ~~ А — Eq М
Если приравнять эти значения, то возникает такое уравнение:
(А2 4- 2?2я4г4) (д2 — Gqr ф- г2) — 8Cq2r2 (A -j- Eq2r%)
- 2AEq2r2 (q2 4- 10?г 4- г2} = 0.
ПОЯСНЕНИЕ
622. Если П(з) выражает дугу некоторой кривой линии, соответ-
ствующую абсциссе или хорде 2, то, исходя отсюда, можно сравнивать
между собой несколько дуг этой кривой так, чтобы либо разность между
каждыми двумя дугами оказывалась алгебраической, либо дуги имели
данное отношение друг к другу. Таким способом можно обнаружить
такие замечательные свойства кривых, которые вряд ли можно усмотреть
из каких-либо иных соображений. Что касается сравнения круговых
дуг, известного из элементарной математики, то, как мы видели, его
легко произвести на основании предыдущей главы; оттуда же легко
достигается и сравнение параболических дуг. На основании же настоя-
щей главы можно таким же образом провести сравнение эллиптических
и гиперболических дуг. Действительно, дуга конического сечения в общем
случае представляется выражением
J J с + ех2
оно преобразуется к виду
dx (а + Ьх2)
У ас -|- (ае + Ьс) х2 -р Ъех*
х) Для вывода этой формулы можно использовать вторую формулу § 613, заме-
нив в последней буквы r, р, q соответственно буквами р, $, Выражение Л +
которое войдет множителем в первый и последний члены числителя, надо предста-
вить в виде (Л-р Cs2 + Е$*)— Cs2,
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 357
а с этим выражением можно поступать согласно данным объяснениям,
полагая А —ас, С~ ae-^bc, Е — be, L~a, M~b и Аг = 0.
Это исследование можно распространить и на выражения со знаме-
нателем
VЛ + 25z + Cz2 + Z»z3 + Ez\
оно сходно с предшествующим, поэтому я и собираюсь изложить его
здесь. Из этого изложения станет также ясно, что здесь крайний предел,
до которого мы можем дойти. Более же сложные интегральные выраже-
ния, в которых под знаком радикала встречаются более высокие степени
количества z или же в которых самый знак радикала имеет более высо-
кую степень, по-видимому, нельзя сравнивать между собой таким способом,
исключая лишь очень немногие случаи, которые могут быть приведены
к указанному виду при помощи какой-либо подстановки.
ЗАДАЧА 81
623. Пусть 11 (z) означает такого рода функцию от z, что
У J V A + 2Bz + Cz2 + 2Dz>+E^
Сравнить между собой такие функции.
РЕШЕНИЕ
Установим между двумя переменными х и у соотношение, выражае-
мое уравнением
а + 2р (х + у) + 7 (х2 + у2) + 2Ъху + 2е^у (я + у) + ^х^у2 = 0;
так как отсюда получается
^2__ “ 2г/ 4* + ех2)—а~23х—^х2
У " X + 2гх + Сх2 ’
то по извлечении корня будем иметь:
__ — В—Вх — ех2 + ]/" (3 + Вх -)- ex2)2 — (а + 2рх + ух2) (у + 2ех + £х2)
У „ 2ех + Гх2 ' ' \
Приведем радикал к предложенному виду, положив
Р3 — ay ~ Am, — аз — Ру — Вт,
82 — 23- — ау —- у2 — Cm, 8s — pc — ys — Dm,
г3-— у^ = Ет,
откуда можно определить пять из шести коэффициентов а, р, у, 8, г.
а к шестому присоединяется еще буква т1), так что взятое уравнение
включает еще произвольную постоянную. Стало быть, если ради крат-
кости положим
VA~-\- 2Bxa Cx2 + 2Dx3 + Ex* = X
х) atque ad sextum insuper accedit littera m ... Эйлер, по-видимому, хочет ска-
зать, что пять неизвестных из общего числа семи (а, £, у, В, е,-£, т) можно выразить
через два из них. В дальнейшем (§§ 625 и 626) неизвестные 8, у, В, г, т выражаются
через а, С и притом так, что значения пяти отношений ({3: а, у : а, В : а, е : а, т : а)
определяются значением шестого (С: а).
358
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И
/Л + 2Ву + Су2 + 2Dy3 -h Еу* = У,
го будем иметь:
Р 4 12/ + + £#2 + 2гху + ^х2у -Х\^т
и
Р + + ty + *У2 + 2лху + ^ху2 ^YVm.
По взятое уравнение, если его продифференцировать, дает
dx (Р + Iх 4 °у + 2sxy + гу2 + ^ху2) + dy (Р + уу 4 от + st2 4- 2гху + £т2у) = 0.
Эти выражения [в скобках], поскольку они совпадают с предыду
гцими, дают
У dx Ут 4* X dy |/m = 0
или
dx , dy M
Интегрируя, получаем:
П (т) + II (у) = Const.
Если у = b при х = 0, то это постоянное количество будет П (0) +11 (/>),
и вообще, если у — Ъ при х — а, то это постоянное количество будет
= П(а) + П(6). Итак, если буквы а, р, у, В, г, £ определены вышеука-
занными условиями, то взятое алгебраическое уравнение между х и у
будет полным интегралом дифференциального уравнения
__________dx___________.dy= р
УА + 2Вх + С^а“+ +"£^ УА^2Ву + Су2 + 2Dy3 + Ёу*
СЛЕДСТВИЕ 1
624. Для определения букв а, р, у, В, s, £ надо сначала взять два
уравнения, написанных [в § 623] справа, именно:
(В — 7) р — аг — Вт и (В — 7) г — СР — Dm.
Из этих уравнений будем искать две буквы риги найдем:
(В— y)B + *D (Ъ — ^D+'QB
Р = + 42 171 И £ /X т
СЛЕДСТВИЕ 2
625. Положим ради краткости В — у — X, т. е. В — у + К; тогда
о Da -у Вк B'Q + DK
В = —----- т И а = -72--Г т-
r X2 — аС —etc
Теперь из первого и последнего условий получаем:
32Г - аг2 - « - Еа) т;
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 359
подставив сюда предыдущие значения, получим:
B2C—D2a _ „
—----г- т~ AQ — Еа,
откуда
В*С — D2a
Но из первого и последнего условия следует [также], что
2)2^2 _ В2,2 + т _ D2a^ = (AD2 _ B2Ej m?
откуда получаем:
_ [(Лс — Еа) (AD2 — В2Е) к2 4- 2BD (АС — Еа) к + АВ2С2 — D2Ea2]
(B2C — D2a)2
СЛЕДСТВИЕ 3
626. Остается третье уравнение
27k+k2-2^-aC-C/n.
Подставив вместо т его значение [в выражение § 625 для р и е], имеем:
□ (Ж — Еа) (Da^BX)
Р" B2C — D2a
И
_(АС—Еа) (BC + DX)
£" ВК — D2a
Если подставить эти значения [первое уравнение настоящего пара-
графа], то оттуда получится удобное выражение1)
С (АС — Еа) (B2C — D2a) — 2BD (AC — Ea)2 — (B2C — D2a)2
2 (АС — Еа) (AD2 — B2E)
ПОЯСНЕНИЕ
627. Так как этими значениями нельзя пользоваться в случае, когда
AD2 — В2Е = 0, то я изложу здесь другое решение, не страдающее этим
недостатком. Положим, как прежде, S-- у 4- к и пусть, сверх того,
т) commode inde colligitur; дословно: «оттуда с удобством получается». Но при
таком переводе мы приписали бы Эйлеру утверждение, что выражение для л полу-
чается без особого труда. Мы полагаем, что Эйлер этого не хотел сказать, ибо,
идя указанным путем, избежать громоздких выкладок, по-видимому, не удается.
Подставив в уравнение
27k + k2 — 2qj£_ аС~Ст
выражения для р и s, а также выражение
(V-aQ (АС-Еа)
B2Z—D2a
и освободившись от знаменателей, мы получаем в левой части многочлен третьей
степени (относительно к). Его удается разложить на множители и представить в виде
(к2 — аС) [2 (AC — Ea)(AD2 — B2E)X±2BD (АС —Еа)2 + (B2C — D2a)2].
Правая же часть будет иметь вид
С (Х2 — аС) (АС—Еа) (B2C-D2a).
Наше уравиение распадается на два; одно из них (к2—<4 —0) Эйлер оставляет без
внимания. Другое является линейным и решается с «удобством».
360
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
к2 = с£ + р,, так что первые формулы1) принимают вид
P=^(Da + 5k) и S=^-(5C + Dk).
Теперь первая в сочетании с последней2) дает
= ™ (52C-D2a).
Из этого уравнения определяется отношение между а и С; так как этого
отношения достаточно3), то пусть будет
а = [tA — В2т и С = рЕ — D2m;
отсюда будем иметь:
к2 — р. + (рЛ — В2т) (рЕ — D2m),
откуда4) получаем:
7 = g [2ВВ\ + (ЛД2 + В*Е) р] - 2Б2^т3 - .
Значения а и С, будучи подставлены в [последнюю] формулу след-
ствия 3, дают
Х = ^- + 5Дт
2т 1 2 1
Если приравнять квадрат этого количества найденному выше значению
количества сс, + р5), то мы придем к уравнению
р (р — Ст)2 4_ 4: (BD — АЕ) т2р + 4 (AD2 — BCD 4- В2Е) т3 = 4т2,
Чтобы его решить, положим р — Мт; тогда получим:
4
т — М (М — С)2 + 4М (BD — АЕ) + 4 (Л Л»2 —BCD + &Е) ’
2) Речь идет, очевидно, о первых двух формулах § 625.
2) Здесь, по-видимому, речь идет о системе уравнений § 623. Из первого и по-
следнего уравнений этой системы надо исключить у и в полученное уравнение под-
ставить вместо 0 и е вышеприведенные их выражения. Получаем:
ТП 2
[(Da 4- ВК)2С —(ВС ч- Z)X)2a] = (ЛС — Еа) т.
Выражение в скобках преобразуется к виду
(X2 _ (В2^, _ D2a^ = _ D2ay
3) Поскольку без ущерба для общности одно из значений а, 0, у, Ь, е, С можно
взять по произволу.
4) Эйлер здесь, как и в других местах настоящей главы, необычно скуп на
разъяснения. Надо полагать, что для вывода этого выражения использовано первое
(или последнее) уравнение системы § 623. Предыдущие формулы данного параграфа
позволяют выразить а и 3 через т, р и а, причем К входит в первой степени и в
квадрате. После замены К2 выражение р + (рЛ— В2т)([л£’—D2m) (в котором не надо
открывать скобки) выносим за скобки (рЛ— В2т). Быть может, Эйлер имел в виду
какой-то другой, менее громоздкий ход вычислений, но по существу необходимо
использовать вышеуказанные соотношения.
5) illi valori аС 4 р; имеется в виду выражение
X2 ( = аС 4-р)= р 4-(аЛ — В2т) (р7?— D2m),
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 361
Здесь М есть произвольная постоянная, требуемая для полного интег-
рала/Таким образом, все буквы а, (3, у, В, е, £ окажутся выраженными
[дробями] с одним и тем же знаменателем. Опустив его1), будем иметь:
а = 4(М-52), р = 2.В (7И — С) +4^4Z>;
1 = 4АЕ-(М~-С)^ ^ЦЕМ-D*),
^2D(M- С)-{-ABE, b = M2-C2 + A(AE + BD).
После того как эти количества найдены, наше каноническое урав-
О = а + 20 (х + у) < т (ж2 + у2) + 28ху + 2гху (х + у) + &2у\
если для краткости положить
М (М - С)2 + 4М (BD - АЕ) 4 (AD2 - BCD 4- В2Е) = Д,
будучи разрешено, даст
04 8ж + еж2 + у (7 + 2ех + ,ж2) — ± 2]/~А (4 2Вх + Сх2 + 2Dx3 + Ex4),
0 + 8y + sy2 + ^(T-!-2ey-i-,y2)= ± 2 |/Д (Л 4- 2Ву + Су2 -f- 2Dy3 + Еу4).
Стало быть, это есть полный интеграл дифференциального уравнения
Q „ __________dx_____________j____________dy___________
± /А + 2Вх + Сх2"+ 2Dx* + Ex* ± А+ 2Ву + Ctf + 2Dy* + ~Ёу* '
ПОЯСНЕНИЕ
628. Так как здесь все зависит от подходящего определения коэф-
фициентов, то стоит потрудиться изложить его в более изящной форме.
Для этого с самого начала положим
8 = у-рХ и X2 — а£ — Мт;
тогда должны быть выполнены следующие пять условий:
I. р2 — ay = Ат.
II. е2 — у, — Ет.
III. рХ — as — Вт.
IV. =
V. Мт2-2^-2^ = Ст.
Комбинируя третье и четвертое, выводим, [во-первых], т (ВХ + Da) =
= Р(Х2 — £>) = $Мт, а следовательно Р = ~ > [и, во-вторых],
т (ВХ + ВО = е (X2 — аО - ъМт,
DX + BZ
а следовательно £ = —.
Если теперь исключить у из первого и второго [условия], то полу-
чается:
т (А — £a) = 02s — е a =-----т,
х) При этом изменятся нс только значения а, р, у, о, е, но также значение т.
Так как при умножении а, р, 7, S, s, С на А— М (М — С)2 + 4М (BD — AE)+4(AD'2 —
— BCD + В*Е) количество т приобретает множитель А2, то новое выражение для m
будет /п = 4А.
.362
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
а отсюда
£ (AM - В2) - а (ЕМ - D2);
поэтому полагаем
а = п (AM — В2) и = п (ЕМ - D2).
Далее из тех же условий имеем:
Eft2 — Еа^ = Ле2 — А
или
т(АС~£а) = Ае2~£?2.
G этим уравнением поступаем следующим образом. Подставив [пред-
варительно] значения а и £ [в выражения для р и е], имеем:
? = nAD+^(K-nBD)
•и
е = пВЕ + -£(Х-пВЯ);
если для краткости положить k — nBD = nMN, то будем иметь:
% = n(ADA~BN) и s = n(BE + DN)-,
так как
Л£ - Еа = « (52Е - AD2)
и
-4г2 - ЕР2 = п2 (ЛВ2Е2 + AD2N2 - A2D2E - B2EN2),
т. е.
Ле2 - Ер2 = и2 (В2Е - ЛЕ2) (ЛЕ - N2),
то получаем:
7 = >г(ЛЕ-№).
Но так как
>. = n(HD±MN)
и
X2 = п2 (AM - В2) (ЕМ - D2) + Мт,
то будем иметь:
Мт = п2 [2BDMN 4- - АЕМ2 + М (AD* + В2Е)],
или
т = п2 (2BDN + MN2 - АЕМ + AD2 4- В2Е).
Наконец, в пятом уравнении [левая его часть] р$ — уХ —~^т(М — С),
будучи развернута, дает
рг - ;Х = п2 ((AD + BN) (BE + DN) - (АЕ - N2) (BD + MN))
= n2N (2BDN + MN2 - АЕМ + AD2 + B2E) = Nm,
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 363
1
откуда N = — (М — С), и поэтому
Л
т = п2 (BD (М-С)+±М(М-Су - АЕМ + AD2 + В2Е).
Если взять п = 4, то отсюда получаются данные выше значения.
ПРИМЕР 1
629. Найти полный интеграл дифференциального уравнения
dp । dq = q
dz У a A-bp dz Vd-\~bq
j
Здесь х = р, у = q. А = а, В = — bt С = О, Z) = 0, 7? = О, отсюда полу-
чаем коэффициенты
а — 4аМ — 3 = ЬМ, у — — М2,
£-0, s-О 5 = М2
и
д-М3,
так что полный интеграл есть
ЬМ + М2р - M2q - ± 2М УЩа'+Ьд>
т. е.
b + M(p-q)^ ±2VMla^bp^
или
b^M{q — рУ~- i 2УМ (a-\-bq),
причем эти двойные знаки при радикалах должны согласоваться со зна-
ками в дифференциальном уравнении.
ПРИМЕР 2
630. Найти полный интеграл дифференциального уравнения
dP j dq = q
dzl^ad-6p2 +
Взяв р и у — qt будем иметь А = а, В ~ 0, С = b, D = 0, [2? = 0],
я следовательно,
а = 4лЛ/, р-0,
^0, s-0, В = Л/2-&2,
и
Д = Л/(Д/-6)2.
Поэтому полный интеграл представится одним из следующих урав-
нений:
(Л/2 __ &2) р _ (М _ by q ± 2 (м - Ь) УМ(а + Ър2\
364
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
т. е.
(М+Ь) p~(M~b)q = ±2VMla+bp2)
и
(M+b)q-(M~b)p = ±2]ПЦа + bq2).
ПРИМЕР 3
631. Найти полный интеграл дифференциального уравнения
____________________dP I _ Q
j
Взяв х — /?, у = q, будем иметь А = а, В = 0, <7 = 0, D = — b, Е = 0;
следовательно,
а = 4а Af, р = 2аЬ, 7 == — М2\
Г=-Ь2, е=ЬМ, 8 = АР
и
Ъ = М3±аЪ2,
откуда полный интеграл
2аЬ+ М2р + ЬМ р2 + q ( - М2 4- 2bMp -b2p2)^=±2 У(М3+аЬ2)(а + ~Ьр3)г
или
2ab + М р (М + bp) - q (М - bp)2 = + 2V (М3 + а Ь2) (а + Ьр3)
и
2ab + Mq(M + bq) - р (М - bq)2 = ± 2 У (M3+ab2) (a+bq3).
ПРИМЕР 4
632. Найти полный интеграл дифференциального уравнения
dP । dq
± V а + bp* a + bq*
Положив х =/>, У = + будем иметь:
А = а, В = 0, С = 0, В = 0, Е=Ь,
а следовательно,
а = 4а Af, р = 0, 7 = 4ab — М2,
С = 4 ЬМ, е = 0, 8 = М2 + 4аЪ
и
Д = AI3- 4аЬМ,
откуда полный интеграл
(М2 + iab) p+q (iab- М2-|-4ЬМр2) = ± 2 VМ (М2 - iab) (а + Ьр)г
(М2 + 4а6) q 4- р (4ab - М2 4- 4Ш92) = + 2 УМ (М2 - iab)(a + bqT).
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 365
ПРИМЕР 5
633. Найти полный интеграл дифференциального уравнения
dp । dq
+ а + bpb У а + bq§
Положим х—р2 и y = q2\ тогда наше общее уравнение, если поло-
жить Л = 0, примет такой вид:
dp . dq
± /25 + Ср2 + 2Dp* +~Ерв / 2В + С72+"2£>^4 + Я?6 ’
Значит, надо взять В = --а, С = D = 0 и Е = Ь, так что коэффициенты
определятся таким образом:
а = — а2, р :== аМ, у = — Л/2,
С = 46Л/, г = 2аЬ, В = 7И2
и
& = М3±а2Ь;
следовательно, полный интеграл
аМ + М2р2 + 2abp* + q2 (— М2 — kabp2 + кЬМр*)
= ± 2pV(M3 + a2b)(a^ bp^t
или
аМ + M2q2 + 2abq* + р2 ( - М2 + ^abq2 + 4bMq*)
= ± 2q V^M^^b^a-Ybq^.
СЛЕДСТВИЕ
634. Если взять постоянную М = — а2Ь, так что М3 а2Ь = 0, то
получится частный интеграл, который представится так:
2q2 /Ь— |/a F Ъ
или
2 _ ?2 1/Z •
Ц 2р2 у Ь— у а Ъ ’
очевидно, он удовлетворяет дифференциальному уравнению.
ЗАДАЧА 82
635. Пусть предложено дифференциальное уравнение
dp , <lq
-\-bp2 + ср^ epb а + Ъф + cq^ + eq§
Представить его полный интеграл в алгебраическом виде.
366
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РЕШЕНИЕ
Предыдущее дифференциальное уравнениег), проинтегрированное-
алгебраически, можно привести к этому виду, если положить х = р* 2
и у — q2, а также А = 0; в самом деле, тогда получим:
__________dP____________।________d_q___________0
+ V 2В + Ср + 2РР + £>6 ± у 2B PCq2-\-2Dq^-У Eq&
Поэтому надо только, чтобы
Л = о; Я = 4а> c=zb’ D = P Е = е’
откуда коэффициенты а, р, 7, В, е, С определятся следующим образом:
а - - а2, р = а (AZ — fe), 7- -(Л/-6)2,
С = ^еМ — с2, г = с (М — b) -L 2ае, 8 = 'М2 — Ъ2 4- ас,
А = М (М — Ь)2 + асМ — abc 4- а2е
= (М — b)3p b (М — Ь)2 4- ас (М — Ь) 4- а2е.
Так как постоянное М зависит от нашего произвола, то отсюда полу-
чится полный интеграл
Р + 8/>2 + е/>4 + q2 (7 + 2г/?2 4- £/?«) = ± 2р У Д(а + 6/?2 + с/?4 + е/?в),
Р + 8</2 4- eq* + />2 (7 + 2г</2 ,</4) = ± 2q j/Д (а + bq2 4- cq* + eq6).
Хотя эти два уравнения согласуются друг с другом, но вследствие на-
личия двух знаков в самом дифференциальном уравнении надо написать
оба уравнения, перенеся [в них] оттуда двузначность2). Но в этих слу-
чаях получается следующее рациональное уравнение:
0 = а + 2(3 (/?2 + 72) + 7 (р* + q*) 4- 28/?V + 2ep2q2 (р2 + q2) + ^p*q*.
СЛЕДСТВИЕ 1
636. Если взять постоянную М так, чтобы А стало равным нулю,
2 E-\-Fp2
то получается частный интеграл вида q , в чем можно уое-
диться и a posteriori. Действительно, чтобы уравнение удовлетворялось,
надо, чтобы
aG3 4- bEG2 4- cE2G 4- еЕ3 = 0;
отсюда определяется отношение Е : G\ далее находим F = — G и, наконец,.
и —cEG — 2eE2 _ 2aG2 -\-2bEG + сЕ2
И “ aG аЕ
СЛЕДСТВИЕ 2
637. Изменим постоянную М так, чтобы М — b == ~ ; тогда
о д2 д2
? = /2-» 7=-/Г>
ас , о 5 а2 . 2аЬ .
е = у2 + ° ~ + ас
— а2,
C = 4ie-c2 + ^,
г) То есть уравнение задачи 81 (§ 623).
2) quae binae quidem acqualioncs inter se conveniunt, sed ob ambiguitatem sig--
lorum in ipsa aequalione differential! ambae notari debent, ambiguitate inde sublata.
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 367
Д=^-(а-ЬЬ/2+С^+е/6),
и интегральное уравнение будет
а2/2 а (а + 2bf2 + с/4) р2 af2 (с + 2е/2) р‘1
— q2 (а2 — 2а/2 (с + 2ef2) р2 + /2 (с2/2 — 46е/2 — Лае) р*)
= ± 2afp Y(a + bf2 4- cf4 4- e/6) (a 4- bp2 + cp4-]- ер6),.
откуда ясно, что при р = 0 будем иметь q2=f2.
СЛЕДСТВИЕ 3
638. Это уравнение легко преобразуется к виду
af2(a-\-bp2-(-cp4 4- ер6) + ар2 (а 4- bf2 4- cf4 + е/6)
— а2 (а — cf2 р2)2 — aef2 р2 (f2 — р2)2 +4ef2p2q2 (af2 -|- ар2 Д- bf2p2)
= ± 2fp Y a (a-(-bf2-г cf4 4- е/6) а(а-(- Ьр2 4- ср14- ер"),
откуда сразу видно, что при е = О оно по извлечении корня примет вид
/ |/а (а + Ьр2 -г ср4) Т р Ya (а-(-bf2 + cf4) = q(a- cf2p2).
Это уравнение есть полный интеграл дифференциального уравнения
dP 1 dp___________= 0
У а + Ьр2 + ср*1 + а + bq2 + cq4
в полном согласии с ранее [§ 607] найденным.
СЛЕДСТВИЕ 4
639. Точно так же ясно, что и в общем случае, когда е не исчезает,
удобнее выразить полный интеграл так:
(/ V а (а 4- Ьр2 4- ср4 4- ер6) + р Ya (а 4- bf2 4- cf4 4- ef6))2
= q2 (а - cf2p2)2 4- aef2p2 (/2 - p2)2 - 4ef2p2q2 (af2 4- ap2+ bf2p2);
так как при p = 0 имеем q = /, то это уравнение соответствует такому
соотношению между трансцендентными функциями:
±11 (р)±П(7) = ±П(0)±П(/).
ПОЯСНЕНИЕ 1
640. Итак, виды трансцендентных функций, которые подобно круго-
вым дугам можно сравнивать между собой, содержатся в следующих
двух интегральных выражениях:
С dz С dz
J VА + 2Bz + Cz2 + 2Dz3 + Ez4 J a + bz2 + cz^ + ez*
•368
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
и, по-видимому, этот метод не может быть распространен на другие
-более сложные виды. Точно так же второе из этих выражений не допу-
скает в знаменателе нечетных степеней количества z, разве что случайно
простая подстановка окажется достаточной для приведения к вышеука-
занному виду. Легко убедиться в том, что к [общему] выражению
dz
/Z+ 2Bz + Cz2 + 2l)z3 + £z4 + 2Ez5 + Gz3
безусловно нельзя применить такой метод: действительно, если коэф-
фициенты подобрать так, чтобы удалось извлечение корня, то получится
выражение вида
dz
а + bz -н cz2 ez3 ’
так как интегрирование этого выражения вводит и логарифмы и кру-
говые дуги, то совершенно невозможно, чтобы несколько функций такого
рода могли быть сравниваемы между собой алгебраически. Впрочем,
первое выражение шире, чем второе, так как второе получается из первого,
если положить Л =0 и вместо z написать z2. Что же касается первого,
то стоит отметить, что оно сохраняет тот же вид и в том случае, если
его преобразовать при помощи подстановки
, = а + •
у 4-’
в самом деле, тогда получается:
С ФТ — dy .
J У А (7+оу)4+2В (а + й/)2 (7 + By)2 + 2Ща+&у)3~(7 + ’
отсюда ясно, что количества а, 0, 7, 8 могут быть взяты так, чтобы
нечетные степени исчезли. Или же их можно определить и так, чтобы
первый и последний члены исчезли; если затем положить у = и2, то снова
получится выражение, свободное от нечетных степеней.
ПОЯСНЕНИЕ 2
641. Уничтожение нечетных степеней удобнее всего производить
следующим образом. Так как выражение
А + 2BZ + Cz2 + 2Z)z3 -4- Ez*
всегда обязательно имеет два вещественных множителя, то интегральное
выражение можно представить так:
С dz
J у (а + 2bz 4- cz2) (/ 4- 2gz + Az2) ’
а By
если положить z ——-4^-
7 4-Sy
то оно переходит в
__________________________________Ф7—aS) dy___________________________________
/(а (7 +Ву)2+26 (а + ру) (Т4-Ву)4-с (а + Ру)2) (/ (7 + By)2 + 2g (« + &) (т4-^у) 4-Л (а4фу)2) ’
где множители знаменателя, если их развернуть, примут вид
(«72 4- 2Zkx7 4- са2) 4- 2 («70 4- 4- 4- саВ) у 4- («о2 4- 2 60S 4" с?2)
(/72 4- 2ga7 4- ha2) 4- 2 (/78 4- gaZ + g07 4- ЛаВ) у 4- (/82 4- 2g08 4- h$2) y2.
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 369
Если теперь в обоих выражениях средний член сделать исчезающим,
то получится:
о —— са —g^— ha
Й ау + ba ~
и отсюда
bh2 + <bg + cf) а? + cga2 = ag"2 (ah + bg) ay + bha2,
ИЛИ
2 = (ah — cf) ад + (Z>A — eg) a2
‘ bf—ag ’
откуда
T _ ah—cf+У(ah — cf)2 + ^(bf— ag) (bh — eg)
a 2 (bf — ag)
Значит, было бы достаточно рассмотреть лишь такие выражения,
где нечетные степени отсутствуют, что и было нами сделано в начале
этой главы. Однако если в эти выражения входит, сверх того, и числи-
тель, то такое приведение уже не имеет места.
ЗАДАЧА 38
642. Пусть п означает какое-либо целое число; найти выраженный
алгебраически полный интеграл дифференциального уравнения
dy . __ ndx
У А + 2Ву + Су2 + 2Dy3 + Еу* У А + 2Вх + Сх2 + 2Dx3 + Ex*
РЕШЕНИЕ
Полный интеграл, выраженный в трансцендентных функциях, есть
II (у) — nil (х) + Const.
Чтобы отыскать алгебраическое выражение этого же интеграла,
полагаем M—C — L; пусть по формулам, найденным выше (§ 627),
а = 4(ЛС-В24-Л£), Р-4Л£> + 2В£, 7 = 4ЛЕ~В2,
С = 4 (СЕ - В2 + EL), £ = 4ВЕ + 2DL,
Z = ^AE + 4BD + 2CL + L2
и
S = L3 + CL2 4- 4 (BD — АЕ)+4 (AD2 + В2Е -- АСЕ).
При этих обозначениях, если
р + Ър + &р2 + q (Т ч 2sp + Ср2) = 2 /ЦА + 2Вр + Ср2 + 2Dps + Ер*),
₽ + §7 + 372 + Р (Т + 2г? + С92) = - 2/Л (Л + 259 + Cq2 + 2Dq3 + Eq*),
ТО
П (q) = П (р) 4- Const.
370
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Оба эти уравнения согласуются друг с другом и содержатся в рацио-
нальном уравнении
а -Ь 2р (р + g) -f- т (р* 2 + q2) + 2.bpq + 2spq (p + q)^ ^p2q2 = 0,
поэтому, если мы примем, что q=b при р = а, то постоянное L надо
определить так, чтобы
а + 2В (а + Ь) + 7 (а2 4- Ь2) + 2ЬаЬ 2гаЬ (а + Ь) 4- ^а2Ь2 = 0;
тогда будем иметь:
П(д) = П(р) + 11(6)-И(а),
где уже нет никакого различия между постоянными и переменными.
Положим р = 6, так что
П (9) = 211(^-11 (а);
с этим уравнением согласуются данные выше алгебраические уравнения,
если только количество L будет определено так, чтобы
а 4- 2^ (а + р) + у (а2 4- р2) 4- 2Ъар 4- 2гар (а 4- р) 4- ^а2р2 = 0,
откуда выводится1), что
~ L (а — р)2 = А -|- В (а 4- р) 4~ Сар 4- Вар (а 4- р) 4- Еа2р2
± У (А + 2Ва + Са2 -г 2Ва3 4- Еа*) (А 4- 2Вр + Ср2 +~2D~p3~+Ep*)~
После того как это значение L установлено, мы определим отсюда
надлежащим образом буквы а, р, 7, S, г, £ при помощи данных выше
формул. Будем теперь рассматривать р и q как переменные, а а как
постоянное количество: тогда уравнение
а 4- 2₽ (р 4- д) 4- 7 (р2 + 72) + 2^9+24>q (p + q) + ^P2q2 = 0
будет полным интегралом дифференциального уравнения
dq _ 2 dp
/А + 2BqTCq2 + 2Dq3 + Eq* ~ /4 + 2Bp + Ср* + + Ep* *
После того как мы таким образом определили q через р, определим г
при помощи уравнения
а 4- 2£ (д + г) + 7 (q2 -j- г2) 4- 2с>дг 4- 2гдг (д 4- г) + ^q2r2 = 0;
тогда будем иметь:
11(г)-П(7)^Г1(р)-11 (а),
ибо если положить q=a и г=р, то буква L, входящая в значения а, {3,
7, 5, г, определяется так же, как раньше. А так как
И(^) = 2П(р)-П(а),
то будем иметь:
И (г) = 311 (/?) — 211 (а)2).
4 Подставляем выражения для а, {3, 7, S, г, Си решаем квадратное (относи-
тельно L) уравнение.
2) То есть П (г) — II (а) = 3 [Л (/>) — П (а)].
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 371
Значит, если взять а постоянным, то полученное выше алгебраи-
ческое уравнение между q и г, где q надо выразить через р из после-
дующего уравнения, будет полным интегралом дифференциального урав-
нения
dr 3dp
/4 + 2Br + Cr2 + 2Z)73“+£>4 ~ Id *
После того как будет найдено выражение г через р, будем искать 5
из уравнения
а + 2р (г 5) + Т (^2 + $2) + 2Srs 4- 2srs (г 4- s) + Cr2s2 = О,
причем L всегда будет сохранять первоначально найденное значение;
тогда будем иметь:
Il (s) - D (г) = II (р) - П (а) или П (5) = 411 (р) - 311 (а) *);
так что это алгебраическое уравнение будет полным интегралом диффе-
ренциального уравнения
ds \dp
У А + 2Bs ^Cs^YlDs^^ ~ /Л + 2В р + С~р2 + 2D />3 ТЁр* ’
Так как, применяя этот способ, можно дойти докуда угодно, то оче-
видно, что для нахождения полного интеграла дифференциального урав-
нения
dz п dp
/л + 2Bz + Cz2 + 2Dz3 + Ezi ~ /й+ТВр + C/>2 + ZD/>3
надо выполнить следующие операции:
1) Ищем количество L так, чтобы
I
L (р — а)2 = Л + В {а -4 р) 4- Сар -\-Dap (а -4 р) -4 Еа2р2
± 2Ba ^~Ca2~+ 22)а3+ %Dp* + Ер*).
2) Определяем отсюда буквы а, р, 7, 8, е, С по следующим форму-
лам:
а = 4(4С-В2 + 4£), р = 442) 4 2BL, ^ = ^AE-L\
^ = i(CE-D2~EL), г = 4ВЕ + 2DL, 8 = 442? 4- 4#2) + 2CL + ТА
3) Образуем ряд количеств р, q, г, 5, г; первое из них р.
второе 7, третье г и т. д., последнее же, n-е по порядку, пусть будет z;
эти количества последовательно определяются при помощи следующих
уравнений:
а + 2Р (р + д) + 7 (р2 -J- д2) + 2лрд 4- 2грд (р + д) + tp2g2 = О,
а 4- 2,3 (д + г) +ч(д2^-г2) + 2Ъдг +2гдг (д + r) ±^д2г2 =0,
а 4- 23 (г -4 $) -4 7 (г2 4- -?2) + 4- (г 4- $) г ^2^’2 == 0
И т, д.,
пока не дойдем до последнего количества z.
4 То есть П (/)— П (а) = 4 [II (р) — II (а)].
372
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4) Соотношение между р и и, которое вытекает отсюда, будет пол-
ным интегралом предложенного дифференциального уравнения, а бук-
ва а играет здесь роль произвольного постоянного, вошедшего благо-
даря интегрированию.
СЛЕДСТВИЕ
643. Отсюда можно также найти полный интеграл дифференциаль-
ного уравнения
mdy __ ndx
у А + 2Ву + Су* + 2£>^+£^ ~ / Д + + Сх* + 2Dx3 + Вх* ’
где т и п означают целые числа. В самом деле, положим, что каждый
из этих двух членов
__
" У А + 2Ви + Си* 2 + 2Du?+~EiA ’
и будем искать соотношение как между х и у, так и между у и а;
по исключении отсюда и получим алгебраическое уравнение между х
и у.
ПОЯСНЕНИЕ
644. Для того, чтобы здесь извлечение корня, повторяемое в отдель-
ных уравнениях, не создало двузначности, надо будет вместо каждого
из них пользоваться двумя, уже полученными путем извлечения корня.
А именно, чтобы из первого уравнения определить надлежащим обра-
зом q по р, мы сначала имеем:
—Ь/>-е/>2 + 2 /Д (А+2Вр^Ср*+2Вр* + ЕУ)
q~ ' ~( + 2гр+^
и затем надо взять
2 ]/Д (А -р 2Бу -г Cq2 -У 2-Dq3 + = — 3 — op — eq2 — р (у + 2e£-j- р?2).
Таким же образом надо будет поступать и далее при отыскании соот-
ношения между каждыми двумя следующими количествами. При этом
следует еще заметить, что целые числа т и п должны быть положи-
тельными и что найденное здесь решениег) не распространяется на от-
рицательные числа, потому что дифференциальное выражение
dz
У A^'2Bz^C^+ '2Dz3+W4 ’
если положить z отрицательным, меняет свою природу2), Впрочем, по-
скольку мы выразили выше алгебраически равенство
11 (х) + И (у) = Const,
с его помощью можно разрешить также и те случаи, когда т или п
является отрицательным числом; если, например, будем иметь
II (г) = Ы1 (р) + Const,
*) banc investigationem; дословно: «это исследование».
2) naturam suam mutat. Эйлер хочет сказать, что П (г) не равно —П(—з).
ГЛ, VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ 373
то будем искать у так, чтобы
II (у) +11 (2) = Const,
и тогда
IT (у) — — Ы1 (р) + Const.
ЗАДАЧА 84
645. Пусть П(я) обозначает такую трансцендентную функцию ко-
личества z, что
И /х = С dz (ЭД + 82+ (£z2 + $z3 + (^)
' ~ j yrA + 2Bz + Cz~ + 2Dz3 + Ez*
Найти сравнение между такого рода функциями.
РЕШЕНИЕ
С помощью коэффициентов А, В, С, Е и произвольного по-
стоянного L определим следующие значения:
а = 4 (АС - В2 + AL), р = 4AD + 2BL, д = 4А E-L2,
r^4(CE-D2 + £B), e = 4BE+2DL,
В - 4АЕ + 4BD + 2CL + L2
и между двумя переменными х и у установим соотношение
а + 2р (х + у) + у (ж2 + у2) + 28з:у + 2ехт/ (х + у) + Са:2у2 = 0.
Тогда для уравнения
I__________dy__________= 0
VА + 2Вх + Сг2 + 2Dx3 + Ех3 ' УА + 2Ву + Су2 + 2Dy3 + Eyi
будем иметь (без двузначности)
р + + £ГСа у (т _l 2ъх Ч- Са:2) = 2 УЦАу2Вх 4- Са:2 + 2Dx3 + Ex*),
р + Zy + еу2 + х (Т + 2еу + Q/2) = 2 /Д (Л + 27?у + Су2 + 2Z)?3' + Еу*),
где
Д = L3 4- CL* + 4 (BD - АЕ) L + 4 (AD3 + В*Е - АСЕ).
Поэтому, если положить
dx (а + s-8x + <$.х2 + ^)х3 + dy (а + SBy + Sy2 + Фу3 + gyl) _ 2dy
yA + 2Bx + Cx2 + Wx3 + Ext VA+2By + Cy3 + 2Dy3 + Eyi~ ’
так что
11 (x) + П (у) = Const +2V у Д,
то будем иметь:
dx [8 (х — у) + в (х2 — у2) + S) (ж3 — у3) + <5 (х3 — у«)J _
УА + 2Вх + Сх2 + 2Е)х3 + Ех1 ~ ’
ИЛИ
dy _ (а:—у) + g (ж2 —у2) + ® (ж3 —y3) + S (ж4 — y<)J
в + Йя + гх2 4 у (y 2ех Д- Са;2)
374
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Положим теперь х + у — t и ху — и; так
। j j - 7 х dt — du
-\-у dx = du, то будем иметь dx = ----
X у
как dx~\~dy^= dt и xdy~\~
или (х — у) dx = х dt — du,
1 ч /1
и, кроме того, х = —t 4- I/ ~^t2 — и. При этих обозначениях взятое на-
ми уравнение получает вид
а 4- 2fit 4- yt2 4- 2 (8 — 7) и 3- 2г1и 4- Си2 = О,
откуда, дифференцируя, получаем:
(р 4~ 7^ Ч- Ч- du (8 — у 4" &t 4~ Си-) = О,
а значит,
dt — ~~du 7 + £* + £ц)
~ P+V + eu
и
х dt du——№ + 7г + £И +(5—у) х + ztx + £ их]
~ ~ 3 + VH-s«
или
xdt — du^ ~~ + ^ + + у (т + 2гх + Сх2)]
3 + 7г + £И
Таким образом, будем иметь:
dx (x— y)
3 + Bx + ex2 + у + 2ex-i- Cx2) р + 1
— du
а следовательно,
dV ПВ + (£ t + Э (г2—к) + (t2—2и)]
3+ V + ей
ИЛИ
__ Н- dt [23 + &t + ® (i2— и) + (£2—2и)]
В—7+ег + Си
Но, разрешив уравнение, получим:
— P — ей + p2 — ay + 2 (72 + Be — 7B) и + (s2 — 7Q и2
7
ИЛИ
— 3 — еи + 2}^Д (Л + £и + Ей2)
следовательно,
dV + в* +$ d2 — u)+^t (t2~2u)]
7
и поэтому
И (Ж) + II (у) = Const - fM% + ^+W-^+(^2-2U)] _
J У А + Lu + Ей2
ГЛ. VI. О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ КОЛИЧЕСТВ
375
Далее находим:
— (&— 7) —+ V—7)2—<*С + 2 ((8 — у) £—ЗС) t + (е2 — уУ г2
и £ = ,
это выражение переходит в
ц_. -(8-7)-et + 2/A(l, + 2Jt + ^)
откуда
_ rff (% + Gt + $ (ta~ и) + (t2 — 2и))
2 /Г(£+Сг+2ZU + £72)
и таким образом, [выражая подынтегральное выражение] через Z, будем
иметь:
II (х) + п (у) = Const + С ^+^5+^^-в) + ^,У-2и)).
V' кг" j V L + C + 2Dt + Et^
Это выражение, если оно не окажется алгебраическим, всегда мо-
жет быть выражено либо через логарифмы, либо через круговые дуги.
После интегрирования надо только снова подставить вместо t его зна-
чение # + у.
СЛЕДСТВИЕ 1
646. Если мы хотим, чтобы у b при х = а, то постоянное L надо
определить так, чтобы
у L (а — Ь)2 — А + В (а + Ь) Ц- Cab + Dab (а + b) + Еа2Ь2
±У (А+2Ва + Са2 + 2Da* + £а4) (Л + 2ВЪ + C& + 2D& + ЕЪ*),
и тогда наше постоянное будет = П (а) -П (6), если последний интеграл
взять так, чтобы он исчезал при t = а + 6.
СЛЕДСТВИЕ 2
647. Таким же образом можно выразить и разность между функ-
циями Л (ж) — П(у), изменив в первой или во второй формуле знак
радикала, благодаря чему знак одного из дифференциальных выражений
изменится на обратный.
СЛЕДСТВИЕ 3
648. Количество V, служащее для сравнения этих функций, будет
алгебраическим, если дифференциальное выражение
dt (%£+ Т + а + ^2) + G (2(6-7) + + ^2) Э
С VL+C + 2Dt + Et2
допускает интегрирование, ибо второе слагаемое
_ _2.^:ХА (© 4- 2®г)
интегрируется непосредственно.
376 ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПОЯСНЕНИЕ
649. Этот совершенно новый вопрос о сравнении трансцендентных
функций рассмотренного вида мы изложили настолько подробно, насколь-
ко это на наш взгляд требовалось для настоящего раздела. Когда же
нам надо будет применить этот метод к сравнению дуг кривых, длина
которых выражается такого рода функциями, то придется остановиться
на этом вопросе подробнее; там рассмотрение особых свойств, которые
при этом обнаруживаются, сможет принести особенную пользу. Но нам
кажется, что этот вопрос удобно отнести к учению о решении дифферен-
циальных уравнений, поскольку при помощи этого метода могут быть
получены, и притом в алгебраическом виде, полные интегралы таких
уравнений, которые мы понапрасну стали бы решать другими методами.
В заключение этого раздела мы изложим общий метод приближенного
определения интегралов всяких дифференциальных уравнений.
&
ГЛАВА VII
О ПРИБЛИЖЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧА 85
650. Пусть предложено какое-либо дифференциальное уравнение.
Найти его полный интеграл с любой точностью1),
РЕШЕНИЕ
Пусть х и у — те два переменных, которые входят в предложенное
дифференциальное уравнение; это уравнение будет иметь вид^-^Е,
где V- какая-либо функция от х и у. Мы желаем найти полный инте-
грал; это значит, что когда количеству х придается определенное зна-
чение, скажем х = а, другое переменное у должно получить некоторое
определенное значение у ~Ь. Сначала подойдем к этому вопросу так:
будем искать значение количества у, когда количеству х придается зна-
чение, мало отличающееся от а, т. е. будем искать г/, положив .г —
Но поскольку есть чрезвычайно малая частица, значение у также бу-
дет чрезвычайно мало отличаться от Ъ\ поэтому пока х изменяется
только от а до a-h<o, количество V можно рассматривать как посто-
янное. Пусть при х~а и у—Ъ имеем V; тогда на протяжении этого
чрезвычайно малого изменения будем иметь = А и, интегрируя,
Ь-\- А (х — а), прибавляя, разумеется, такое постоянное количество,
чтобы при х~а получить у—д. Подставим теперь = а + тогда
у — b -4- Лео.
Таким же образом, как из первоначально данных значений х~ а и
у~Ъ мы нашли ближайшие следующие значения х = и y~b-\-A<s),
можно и от этих значений последовательно подвигаться дальше через
чрезвычайно малые промежутки2) до тех пор, пока, наконец, не до-
стигнем значений, сколь угодно удаленных от первоначальных. Для того
чтобы нагляднее представить эти операции, расположим их друг за
г) vero proximo.
2) per intervalla minima.
378
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
другом следующим образом:
Количества
х
У
V
Последовательные их значения
а, af, а", а"', aIV, .. ., ’х, х
b", b'", 6IV, .. ., 'у, у
А, Л", Л'", Л1У, 'V, V
То есть исходя из первых [значений] х--а и у=~-Ь, которые были даны,
имеем V -~-А\ далее для вторых [значений] будем иметь bf = 6-р А (а' — а),
причем чрезвычайно малая разность1) а' —а взята по произволу. Исходя
отсюда и полагая х==а', у = Ъ‘, находим V==A', и теперь для третьих
[значений] получится b" = b' + А' (а" — а')\ отсюда, полагая х == а” и у” == Ь,
находим V = А", Теперь для четвертых [значений] будем иметь b'" = Ь” -\-
-г А" (а'" —- а"), а отсюда, полагая х=-а'" и у^Ь'", найдем V = A"';
таким путем можно будет дойти до значений, сколь угодно удаленных
от первоначальных. Первый ряд, содержащий последовательные значения
количеств х, можно взять по произволу, лишь бы он восходил (или
нисходил) через чрезвычайно малые промежутки.
СЛЕДСТВИЕ 1
651. Значит, для отдельных чрезвычайно малых промежутков вы-
числение ведется единообразно, и таким путем получаются значения,
от которых зависят следующие [за ними]. Стало быть, по этому способу
можно для всякого отдельно взятого значения х найти соответствующее
значение у.
СЛЕДСТВИЕ 2
652. Чем меньшими берутся промежутки, через которые возрастают
значения х^ тем с большей точностью находятся значения, соответствую-
щие каждому из них. Тем не менее погрешности, допущенные в каждом
отдельном случае, хотя бы они были и очень малы, все же накопляются
вследствие их многочисленности.
СЛЕДСТВИЕ 3
653. Ошибки, получающиеся при этом вычислении, проистекают из
того, что на отдельных промежутках мы рассматриваем оба количества
х и у как постоянные, и таким образом функция V принимается за по-
стоянную. Значит, чем более меняется значение количества V при пере-
ходе от какого-либо промежутка к следующему, тем больших ошибок
следует опасаться.
ПОЯСНЕНИЕ 1
654. С этим неудобством мы встречаемся в первую очередь там, где
значение V либо исчезает, либо обращается в бесконечность 2), даже если
изменения, которым подвергаются х и г/, довольно малы. В этих слу-
чаях можно избежать ошибок, по крайней мере, очень больших, сле-
дующим образом. Пусть в начале такого промежутка х == а и у = Ь;
тогда в предложенном уравнении полагаем х = а±<о и так
2) differentia а'—a minima.
2) in infinitum excrescit.
ГЛ. VII. О ПРИБЛИЖЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 379
что будем иметь = причем, однако, подстановка х--=а\-^ и
у=^Ь-\-^ в V выполняется так, что количества ш и ф рассматриваются
как чрезвычайно малые, иными словами, высшие степени отбрасываются
по отношению к низшим, благодаря этому интегрирование для этих
промежутков нередко можно будет выполнить на деле. Но от такого
исправления вряд ли будет польза, если только члены, порожденные
самими значениями а, Ь, не уничтожены взаимно. Пусть, например,
имеем уравнение
dy а* 2
dx х2 — у2
и пусть в начале должно быть х = а и у~а, тогда для промежутка,
начинающегося здесь, полагаем х~а-\-ю и у — а -ф ф;. получим:
с?ф а2
dto 2аш — 2аф’
ИЛИ
2(0 с?ф — 2ф с?ф = а с/(0,
или
7 — 2ф d'b
а а
_ 2ф
это уравнение, будучи помножено на е а—1---------и проинтегрировано,
даст
ибо при <0 = 0 должно получиться ф = 0. Отсюда будем иметь:
ф2 ф2
со =-----77. = —или a (а' — а) == — (Ьг — £>)2,
а—2ф а \ \ >
где b = а. Отсюда для следующего интервала получаем bf = b-\-
+ 1^~а(аг —а). Ясно, что в этом случае значение х нельзя увеличить
за пределы а, так как тогда у стало бы мнимым.
ПОЯСНЕНИЕ 2
655. Всюду [в литературе] излагаются правила для выражения ин*
тегралов дифференциальных уравнений через бесконечные ряды; но эти
правила по большей части обладают тем недостатком, что они дают
лишь частные интегралы1), не говоря уже о том, что эти ряды сходятся
только в определенном случае, а поэтому в других случаях не приносят
никакой пользы. Если, например, предложено уравнение dy + у dx =
= ахп dx, то нам рекомендуют составить в общем виде такой ряд2):
у = Ах6- + Вх*+* + Сх*+2 -\-Dxd+3 -|- и т. д.
г) Указываемый здесь недостаток относится, конечно, не к мотиву, а к его
изложениям; ср. § 663.
2) iubemur huiusmodi seriem in genere fingere.
380
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Подставив его, получаем:
аЛж®'1 + (а -к 1) Вх6- 4-(а 4- 2) + { 4" (а 4- 3) 4- и т. д.
+ Л -р В 4- С
— ахп
Значит, надо положить а-1 = тг, т. е. а—тогда будем иметь
А а
Л=="^; далее, приведя и остальные члены к нулю, получим:
о —Л „ -В п Г—С
5 = —-73, С = —D = —y И Т. Д.
71 -J- 2 71 -J- 3 71 +
и, таким образом, будем иметь ряд
ах71*1 ахп+'2 ахп+3
714-1 (71+1) (71+ 2)+ (71 + 1) (71+ 2) (71+ 3)
ахп+4
~ (n +1) (п + 2) (п + 3) (л + 4) + 11 Т> Д’
Однако это только частный интеграл, так как, когда исчезает х,
одновременно исчезает и у, если только п-|-1 не является отрицатель-
ным числом, а кроме того, этот ряд сходится лишь тогда, когда х
берется очень малым. Поэтому отсюда никак нельзя узнать такие зна-
чения у, которые соответствовали бы любым значениям х. Метод же,
который мы здесь обрисовали, не страдает этим пороком: действительно,
прежде всего он дает полный интеграл, поскольку при данном значе-
нии х он приписывает данное значение количеству у; далее, путем
постепенных переходов через весьма малые промежутки он всегда подхо-
дит очень близко к истине и позволяет дойти докуда угодно. Этот
метод может быть усовершенствован следующим образом.
ЗАДАЧА 86
656. Усовершенствовать вышеизложенный метод приближенного ин-
тегрирования дифференциальных уравнений так, чтобы он меньше
отступал от истины.
РЕШЕНИЕ
Пусть предложено уравнение = У, которое надо проинтегриро-
вать. Погрешность изложенного выше метода возникает из того, что на
отдельных промежутках функция V рассматривается как постоянная,
тогда как в действительности она претерпевает изменение, особенно если
промежутки берутся не очень малыми. Однако же изменяемость коли-
чества V на каждом интервале можно учесть тем же способом, каким
мы пользовались в § 321 предыдущего раздела. А именно, если коли-
честву х соответствует у, то в силу основного свойства дифференциа-
лов1) количеству х — ndx, как мы видели, соответствует
к т. д.;
если взять п бесконечным, то это значение будет
у Tl20?2y n3d3y . 714 d4y
У-«^+-Т2--Т^ + Г2^4- И Т- «•
4 ex natura differentialium.
ГЛ. VH. о ПРИБЛИЖЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 381
Положим теперь х—ndx—a и
? . п* 2 d2y п3 d3y . n4 d^y L
y_ndy+—^--------т^ + т-^- и Т. д. =Ь.
Будем рассматривать здесь на каждом интервале значения [а и &]
как первые, а последние пусть обозначаются буквой х и у. Поскольку
п ’ п0ЛУчим:
у=ь+ё=^1
(х— a)2 d2y (г—a)3 d3y
1-2^3 г Ъ2*3^3
(г — a)4 d^y
l-2-3-4t£r4
И т. д.
Это выражение, если х не намного превышает а, быстро сходится, и
поэтому очень удобно для приближенного нахождения значения у.
Однако, для того чтобы развернуть отдельные члены этого ряда, необ-
dy т7 d2y dV
ходимо принять во внимание, что--=к, а следовательно, —= —.
а ОС CLX CLX
Но V есть функция от х и от у\ поэтому, если положить dV = М dx-\- N dy,
то, учитывая, что = будем иметь = или при обозна-
d2^ f dV A ’ Т7 ( dV А И
чениях, уже разъясненных выше1), j -j- V J • Из этого
выражения таким же способом, каким само оно получилось из предшест-
вующего = V3 получим следующее выражение:
dx3 dx2 J \ dx J \ dy J \dxdy ) ' \ dy J ' \ dy2 J
Но так как само значение у еще не известно, то этим способом полу-
чается лишь алгебраическое уравнение, при помощи которого выражает-
ся соотношение между х и у, если только случайно не окажется доста-
точным полагать на концах [промежутков]
Вторая же операция, изложенная в § 322, определит в явном виде
значение у, которое будет соответствовать значению х, в конце какого-
либо промежутка, когда в начале того же промежутка будем иметь
х~---а и у = Ъ. А именно, положив x—a-\-nda, получим:
7 . 7 7 . 71 (Т1 1) 79 7 г 71 (71 1) (п 2) 74 7 г
y = b^ndb-’—у-£—- б72о-|~—~ i~~2~з----------d3bи т. д.,
причем теперь а и b рассматриваются как переменные. Так как
п = —и, значит, это число бесконечное, то будем иметь:
da
г , (х — a) db (х — a)2 d2b . (х — a)3 d3b
У = Ь + —da — + + -ТГОаЗ- f И Т- Д-
Но если в функции V написать х = а и у~Ъ\ далее, подставив
эти же значения х и у, будем иметь:
da2 \ dx J \ dy )
х) См. сноску к § 443.
2) nisi forte sufficiat in terminis posuisse y--b.
382
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И
Подобным же образом надо образовать и последующие [выражения].
Пусть после того, как мы напишем х = а и у = Ь,
d/ = A, = d^3 = C, и т. д.;
dx dx- dx3 dx^
тогда значению x = a-t~a) будет соответствовать значение
у = Ь + Л(о + у + C'o)3 + “Z>w4+ и т. д.
Для следующего интервала эти два значения будут уже начальными,
и из них таким же образом следует получить конечные значения.
СЛЕДСТВИЕ 1
657. Так как здесь мы учли переменность функции V, то можно
установить уже большие промежутки, а если бы мы захотели продол-
жать до бесконечности [последовательность] выражений Л, В, С, D и
т. д., то можно было бы взять сколь угодно большие интервалы, и тогда
для у получился бы бесконечный ряд.
СЛЕДСТВИЕ 2
658. Если мы возьмем только два первых члена найденного ряда,
так что получится у=Ъ-\-Аы, то мы будем иметь предшествующее опре-
деление; отсюда в то же время выясняется, что погрешность, которая
там была допущена, равняется последующим членам, взятым вместе.
СЛЕДСТВИЕ 3
659. Но даже если бы мы взяли большее число членов найденного
нами ряда, тем не менее было бы не благоразумно устанавливать слиш-
ком большие интервалы для того, чтобы а) получило умеренное значение1),
особенно если при этом количества С, D и т. д. делаются очень
большими.
ПОЯСНЕНИЕ
660. На особенно большие препятствия наталкиваются эти операции
в том случае, если какой-нибудь из коэффициентов Л, В, С, D и т. д.
обращается в бесконечность. Однако это случается только на определен-
ных промежутках, где само количество V обращается или в нуль, или
в бесконечность. Как бороться с этим препятствием, мы уже вкратце
г) consul turn tamen non erit intervalla nimis magna constitui, ut w valorem
modicum obtineat. Слово modicus (умеренный, посредственный, малый) здесь употреб-
лено, по-видимому, в том смысле, что w не должно быть ни настолько малым, чтобы
число итераций стало слишком большим, ни настолько большим, чтобы понадобилось
брать слишком много членов ряда.
ГЛ. VII. О ПРИБЛИЖЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 383
указали и вскоре покажем более подробно. Пожалуй, отметим еще, что
вычисление для каждого отдельного промежутка ведется одинаково, так
что, коль скоро будет найден способ вычисления для первого интервала,
который начинается со взятых по произволу значений х = а и у = Ь,
этот же способ будет пригодным и для следующих интегралов. Поскольку
для конца первого интервала имеем
х а 4- ю = а'
и
у = b 4- Лю 4-4- Вм2 4--^- Си3 4- 7J7 £>ю4 4- и т. д=й',
эти значения будут начальными для второго интервала, из которых та-
ким же образом следует получить конечные значения; иными словами,
это вычисление так же исходит из букв af и Ь', как предыдущее вычи-
сление из букв а и 6. Это станет яснее на следующих примерах.
ПРИМЕР 1
661. Найти приближенно полный интеграл дифференциального у рав-
нения
dy = dx (хп-{-су).
Так как здесь V = ^ = xn4-c^, то, дифференцируя, будем иметь:
= их"-1 + схп + с2у,
и далее таким же образом
= п (п — 1) хп~2 4- псх71'14- 4- с3г/,
~~ = п (п — 1) (п - • 2) хп~3 4- л (л — 1) схп~2 4- пс2 х4'1 4- с3хп 4- с4г/
и т. д.
Поэтому если мы положим, что значению х=а соответствует у-=Ь,
то какому-либо другому значению х = а 4- ю будет соответствовать
у — Ь 4- a) (cb 4- ап) ~ ю2 (с26 4- сап 4- па4'1)
4-~ ю3 (с3Ь 4- с2ап 4- пса4'1 4- п (п — 1) ап~2)
--Дю4(с4^4-с3ап4-мс2ап~14 п(п—1) сап~2 ±п(п~1)(п-~2) ап~3) и т. д.
Если количество ю взять достаточно малым, то этот ряд будет сходиться
сколь угодно быстро и, если таким же образом положить, что a 4-w = а'
и что соответствующее начение у = Ь', то отсюда мы тем же способом
придем к следующим значениям; эту операцию можно продолжать до-
куда угодно.
384
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИМЕР 2
662. Найти приближенно полный интеграл дифференциального урав-
нения dy == dx (я2 + у2).
Так как здесь = х2-±у2, то, дифференцируя последовательно,
будем иметь:
^ = 2х+2х2у + 2у3
И
= 2 + кху + 2z4 + 8я2г/2 + 6г/4,
= 4г/ +12х3 + 20яг/2 + 1 &х^у 4~ 40я2г/3 -р 24г/5,
~ = 40я2 + 24г/2 + 104ж3г/ + 120яг/3 4- 16я6 + 136я4г/2 + 240я2г/44- 120г/6.
и т. д.
Поэтому если вначале х — а и г/ = 6, то будем иметь:
А = а2 4- Ь\
В = 2а + 2а2Ь + 2Ь3,
С = 2 + 4аЬ + 2а4 + 8а262 + 664,
D = 46 + 12а3 4- 20а62 4- 16а46 4- 40а263 4- 2465,
Е = 49а2 + 2462 4- Ю4а36 + 120а63 + 16а6 + 136а463 + 240а264 + 12066.
Стало быть, какому-либо другому значению х = а4-ш будет соответст-
вовать
У = 6 + Лео -| -^1Ао2 4- у ^о)4 4-Гоп £ю54- И Т. Д.
2 1 6 24 120
и из таких двух значений — пусть это будут х == af и у = bf, снова мож-
но получить следующие значения.
ПОЯСНЕНИЕ
663. Так как все дело сводится к нахождению этих коэффициентов
Л, В, С, D и т. д., то я замечу, что эти же коэффициенты можно най-
ти и без дифференцирования. На последнем разобранном примере
^ = я24-2/2 это обнаружится следующим образом.
Поскольку мы установили, что у = Ъ при я = а, положим в общем
виде z = a4-w и г/=б4-ф; тогда наше уравнение примет такой вид;
= а2 4- 62 4- 2a<n 4~ 0)3 4- 26ф 4 ф2;
ГЛ. VII. О ПРИБЛИЖЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 385
так как с исчезновением <о одновременно исчезает ф, положим
ф = + pw2 +4- ею5 4- и т. д.
Подставив это значение, получим:
а 4- 2ро) 4- 37о)2 -4 4&о3 + 5ео)4 ф и т- Д*
= а2 + Ь2 4- 2а<о 4- о>2
4- 2<х6о) 4- 2р£(о2 4- 27&и3 4- 2S
4- а2<о2 4" 2ар(о3 4- 2а7<1)4
+ ₽2w4;
приведя каждый член в отдельности к нулю, получим:
а = а2~Н2, 2p = 2aZ>4-2a, 37 = 2pfe + а2 + 1,
4В = 2^Ь 4- 2ар, 5г = 28Z> 4~ 2^7-4 р2, 6С = 2г5-4 2ао4- 2р^ и т. д.
Отсюда получаются те же значения, что были найдены выше при помощи
дифференцирования. Этот метод не только проще, чем предыдущий, но он
еще и тем превосходит предыдущий метод, что его можно применять всегда,
тогда как предыдущий метод в некоторых случаях мы стали бы применять
понапрасну. Такой случай имел бы место в приведенных примерах, если
начальные значения а и Ъ исчезали бы, так как при этом очень многие
коэффициенты обратились бы в нуль. На это неудобство мы обратили вни-
мание уже выше; более того, возможен и такой случай, когда все коэффици-
енты либо исчезают, либо обращаются в бесконечность. Но это имеет
место только на определенных промежутках, для которых придется по-
этому проводить вычисление особым способом. Для остальных же проме-
жутков, по-видимому, удобнее применять изложенный здесь метод после-
довательного дифференцирования, так как последнее часто выполняется
проще, чем подстановка, и подчиняется определенным правилам, имею-
щим место всегда — даже для трансцендентных уравнений. Итак, нам
подлежит изложить правила, относящиеся к вышеуказанным особым
промежуткам.
ЗАДАЧА 87
664. Пусть при интегрировании уравнения = V оказывается, что
для какого-либо интервала количество V либо исчезает, либо становится
бесконечным. Указать [способ] интегрирования для этого промежутка.
РЕШЕНИЕ
Пусть в начале рассматриваемого нами промежутка имеем х — а и
у = Ь\ положим так что (поскольку в этом случае V либо ис-
чезает, либо обращается в бесконечность) либо Р, либо Q, либо оба
[эти количества] исчезают при х — а и у=Ь. Чтобы от этих граничных
значений пойти далее, положим х— а4-<° и ?/— 6 4-ф; тогда ~ — ~ ,
Как Р, так и Q будет функцией количеств <о и ф, из которых по край-
ней мере одно исчезает при oj = 0, ф = 0. Чтобы найти отношение между
386
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
со и ф хотя бы приближенно, положим ф = тсоп; тогда от-
куда mnQ^1 == Р.
Здесь Р и Q в силу соотношения ф — тар будут содержать степени
одного только количества ю1); из этих степеней достаточно удержать
лишь наименьшие, так как по сравнению с ними можно более высшие
степени рассматривать как исчезающие.
Итак, надо приравнять друг другу низшие степени количества о? и
вместе с тем привести их к нулю2); отсюда определится как показатель
п, так и коэффициент т. Если бы мы пожелали затем точнее узнать
соотношение между <о и ф, то, найдя т и лг, перейдем к более высоким
степеням, положив
ф = mo)n 4-M(on+m 4-Дг(оп+7 и т. д.,
и отсюда определим подобным же образом столько же последующих
членов, сколько окажется необходимым в зависимости от величины про-
межутка, т. е. частицы <о.
СЛЕДСТВИЕ 1
665. Пусть при х=а и у=Ъ ни Р, ни Q не исчезают; тогда, при-
менив подстановку = a + у = Ь-}-6\, найдем = -ди т ; отсю-
да приближенно ас£ф=Ла?<о и ф= —<о. Это есть первый член предшест-
вующего приближения: когда мы его найдем, остальные получатся так
же, как прежде.
СЛЕДСТВИЕ 2
666. Если исчезнет только а, то будем иметь приближенно3 * *)
^(М<»н + ЛГГ) = Л;
отсюда, положив ф = тшоп, получаем:
Д = (Мши +МтУип'г).
Если здесь ну > р,
то должно быть лг == 1 — р и тпМ — А. Но это имеет
силу лишь при условии, что у(1 — р) > р, т.
то надо положить и— 1—[-/г> = 0, т.
е. что v
е. п =
> 7- — . Если же
1—н
1
j-p-, рассматривая
< 7
1 —Н
второй член как более низкую степень. Если же будем иметь v— iZZjl ’
то оба члена надо будет рассматривать как равные степени; получим
я = р и А = тп(М + Л^р7); отсюда надо определить т.
х) meras potestates ipsius со; дословно: «чистые степени количества ю».
2) То есть приравниваются и показатели низших степеней и коэффициенты со-
ответствующих членов.
3) Буквы М, 7V, р, у здесь имеют не тот смысл, что в § 664. Рассмотренное
Y х А +...
дифференциальное уравнение имеет вид-—" ----*
ГЛ. VII. О ПРИБЛИЖЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНП. УРАВНЕНИЙ 387
ПОЯСНЕНИЕ
667. Вряд ли можно дать здесь какие-либо указания общего харак-
тера» но в каждом представившемся случае нетрудно усмотреть все,
что ведет к решению. Если все показатели были бы целыми, то можно
было бы воспользоваться правилом Ньютона, которое устанавливает
с помощью параллелограмма [вид] решения; как привести дробные
показатели к целым, также хорошо известно. Такие случаи встречаются
столь редко, что было бы бесполезно входить в подробные разъяснения
[приемов], которые опытный человек легко изобретет в каждом случае.
Пусть, например, мы пришли к уравнению (а j/’юВф) = у; из сказан-
ного выше ясно, что первая операция даст ф=тп)/а), откуда получаем
= а отсюда становится известным т (два значения). Более
того, данное уравнение, если положить = приводится к однород-
ному и поэтому может быть проинтегрировано точно. Я не буду более
подробно останавливаться на этих вещах, которые вряд ли окажутся
когда-либо полезными, и перейду к последнему вопросу, который под-
лежит рассмотрению в этой части, а именно, каким образом надо решать
дифференциальные уравнения, в которые отношение дифференциалов
= входит либо с несколькими измерениями, либо даже трансцен-
дентно. Покончив с этим вопросом, я перейду ко второй части, в кото-
рой мы встретимся с дифференциалами высших порядков.
ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
КНИГА ПЕРВАЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЛИ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО КАКОМУ-
НИБУДЬ ДАННОМУ СООТНОШЕНИЮ
МЕЖ ДУ ДИффЕРЕНЦ НАЛАМ И
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
В КОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ДОСТИГАЮТ
НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ИЛИ ВХОДЯТ
ДАЖЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНО
ЗАДАЧА 88
668. Положим отношение дифференциалов = р. Пусть предложено
какое-либо уравнение между двумя количествами хи р, Найти соотноше-
ние между самими переменными х и у.
РЕШЕНИЕ
Пусть дано уравнение между р и ж; допуская разрешимость уравне-
ний, можно из этого уравнения искать [выражение] р через х и найти
функцию от х, равную количеству р. Значит, мы придем к уравнению
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 389
вида р = X, где X есть некоторая функция только от х. Поскольку
р = ^Х, мы будем иметь dy = X dx, и таким образом вопрос приводится
к [задаче, рассмотренной] в первом разделе: надо найти интеграл выра-
/»
жения Xdx, после чего искомый интеграл будет у= \ Xdx.
Если заданное уравнение между х и р будет иметь такой вид, что
из него легче выразить х через р, чем р через-я, то будем искать х,
и получится х= Р, где Р есть какая-либо функция от р. Продифферен-
цировав это уравнение, получим dx = dP, а отсюда dy = pdx = pdP.
Интегрируя, получаем у = pdP или у = рР — Pdp. Значит, два
переменных х и у выразятся через третье р следующим образом:
х~Р и у = рР — Р dp,
откуда выявляется соотношение между х и у.
Если нельзя с удобством определить ни р через х, ни х через р,
часто можно достичь того, что и то и другое количество с удобством
определяется через новое количество zz. Положим, что мы нашли x = U и
р =V, где U и V являются функциями одного и того же переменного и.
Тогда будем иметь dy — pdx = V dU и таким образом х и
у выражаются через одно и то же новое переменное количество zz.
СЛЕДСТВИЕ 1
669. Таким же образом может быть разрешен и случай, когда
предложено любое уравнение между р и вторым переменным количе-
ством у, так как две переменные х и у можно поменять [ролями]. При
этом определим ли мы р через у, или у через р, или и то и другое
через новое переменное zz, надо иметь в виду, что dx = ~ .
СЛЕДСТВИЕ 2
670. Элемент дуги кривой, прямоугольные координаты которой х
и у, представляется выражением Уdx2 4- dy2. Если отношение
= или = VI±2
dx f 1 r dy p
будет равняться функции либо от х, либо от у, то отсюда можно будет
найти соотношение между х и у.
СЛЕДСТВИЕ 3
671. Так как соотношение между х и у находится путем интегри-
рования, то при этом вводится новое постоянное количество; поэтому
такое соотношение надо считать полным интегралом.
ПОЯСНЕНИЕ 1
672. До сих пор мы подвергали рассмотрению только такие диф-
ференциальные уравнения, где ^если положить = предлагается
соотношение между тремя количествами х, у и р, из которого можно
390
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
с удобством выразить значение количества р через х и г/, так что р =
будет равняться некоторой функции от х и г/. Теперь же мы переходим
к рассмотрению таких соотношений между х, у и /?, откуда значение р
или определяется через х и у не столь удобно, или вовсе не поддается
определению. При этом простейшим случаем, несомненно, является тот,
когда в предложенном соотношении одно из переменных количеств (х
или г/) вовсе отсутствует, так что предлагается только соотношение
между р и х или между р и г/; этот случай мы и разобрали в настоя-
щей задаче.
Сущность решения состоит в том, что из предложенного уравнения
между х и р определяют не букву р через х (разве что это может ока-
заться более легким), а наоборот, х через р или даже обе эти буквы
через новое переменное и. Если, например, предложено уравнение
х dx a dy == Ъ dx2 + dy2 ,
dy
которое, если положить = принимает вид
х ар Р1 •>
то из него не легко определить р через х. Но так как
х = &]/1 + р2 — ар
и так как
у = р dx ~ рх— \х dp,
то будем иметь:
У = Ьр У 1 + р2 — ар2 — dp У1 + р2 + у ар2.
Тем самым устанавливается соотношение между х и у.
Пусть теперь мы пришли к такому уравнению
х3 dx3 -j- dy3 == ах dx2 dy или х3~гр3 = арх',
здесь уже не удается удобным образом определить ни х через р, ни р
через х. Поэтому я полагаю р -их, откуда имеем х-\-1Рх=аи\ значит,
. 7 adu(i — 2и3)
А так как теперь dx = —'2 - , то получаем:
. о С н2 du (1 — 2u3)
У — а\ —7Ti---зГз- J
приведя к более простому виду, получаем:
1 9 2и3--1 2 С и2 du 1 о ^и3--1^2 (Г’ 4-
у == тг а2 и——отъ — а2 \ ,, , или у = — а2 гг-—4- а2 • —5 + Const.
6 (14-м3)3 j(l + «3) 6 (I4-U3)2 1 3 14-u3
ПОЯСНЕНИЕ 2
673. После того как нам удалось разобрать в общем виде тот слу-
чай, когда предлагается уравнение между х и р или между у и р, надо
будет рассмотреть, в каких же случаях удается решить предложенное
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 391
уравнение, если в него входят все три количества х, у и р, Прежде
всего замечу, что если два переменных х и у всюду составляют одно
и то же число измерений, то каким бы образом ни входило, сверх того,
количество р, решение всегда можно свести к ранее рассмотренным слу-
чаям, а именно, с такими уравнениями можно поступать совершенно
так же, как с уравнениями однородными; к этому типу их по праву
и относят; действительно, поскольку измерения, порождаемые дифферен-
циалами, должны быть всюду равны, надо требовать выполнения усло-
вия однородности только от конечных количеств х и у* Поэтому всякий
раз, как они всюду составляют одно и то же число измерений, надо
будет считать уравнение однородным. Таково, например, уравнение
х2 dy — у2 dx2dy2 — Q или рх2—у2 — р2 = 0.
Далее, допускают решение также такие уравнения, в которых одна
из переменных, х или у, нигде не имеет более одного измерения, каким
бы образом ни входило, сверх того, отношение дифференциалов р *
На этих случаях мы остановимся здесь подробнее.
ЗАДАЧА 89
674. Пусть в предложенном уравнении между х, у и р (^где
два переменных количества х и у всюду составляют одно и то же число
измерений. Найти соотношение между х и у, которое было бы полным
интегралом этого уравнения.
РЕШЕНИЕ
Так как в предложенном уравнении между х, у и р два перемен-
ных количества х и у составляют одно и то же число измерений, то если
положить у —их, количество х уничтожится при делении, и получится
уравнение, содержащее только два количества и и р\ оно определит
соотношение между этими количествами, так что можно будет выразить
либо и через р, либо р через и. Теперь из у— их следует, что dy —
— udx^-xdu, а так как dy — pdx, то будем
dx du л
и поэтому — — • А так как р задано через
du
выражение > заключающее только одно
можно будет проинтегрировать по правилам,
< г С du
разделе, и будем иметь 1х — \ ~—-
через и, а поскольку у —их, оба переменные х и у определяются через
одно и то же третье переменное и. Так как
произвольное постоянное, то это соотношение
ным интегралом.
иметь pdx—udx^x du,
и, то дифференциальное
переменное количество,
изложенным в первом
Таким образом, х выражается
интегрирование вводит
между
х и у будет пол-
СЛЕДСТВИЕ 1
du
---, то будем также
р — и' J
675. Так как —
X
- Эта формула удобнее в том случае,
иметь
1х— — I (р — и) +
когда
уравнения между р и и легче выразить количество и
из предложенного
через р.
392
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
СЛЕДСТВИЕ 2
676. Если интеграл ( —— или С можно
r J р— и J р— и
логарифмов, так что = IU, то будем иметь
х = CU и у = CUu. Следовательно, соотношение
выразить алгебраически, а так как и — —, то эту
лэгко исключить.
выразить при помощи
lx — 1С + IU, откуда
между х и у можно
третью переменную и
ПОЯСНЕНИЕ
677. Для обыкновенных однородных уравнений мы дали выше [§ 406]
то же самое решение; последнее, таким образом, не находится в зависи-
в силе
мости от измерений дифференциалов; более того, оно остается
и тогда, когда отношение дифференциалов входит в уравнение транс-
цендентно. Действительно, решение приводится к интегрированию диф-
Y dx du
ференциального уравнения с разделенными переменными — = тем же .
способом, каким это было сделано при помощи первого метода. Вто-
рой же метод, которым мы пользовались выше, когда мы искали инте-
грирующий множитель, который делал бы дифференциальное уравнение
непосредственно интегрируемым, здесь совершенно не может иметь места,
так как в результате дифференцирования конечного уравнения дифферен-
циалы никогда не могут приобрести несколько измерений. Стало быть,
этим способом1) мы находим не то конечное уравнение между х и у,
которое в результате дифференцирования воспроизвело бы само пред-
ложенное уравнение, но, по крайней мере, такое, которое согласуется
с ним2), чему не препятствует то постоянное, которое, войдя в уравне-
ние благодаря интегрированию, делает интеграл полным3).
ПРИМЕР 1
678. Пусть ни одно из переменных количеств х и у само не входит
в предложенное уравнение, а входит только отношение дифференциалов
р. Найти полный интеграл.
Положим = р; тогда предложенное уравнение будет содержать
единственное переменное р и постоянные; значит, решив это уравнение,
поскольку оно содержит несколько корней, получим р = а, р —8, р = Т
А dy
и т. д. А так как р = , то из отдельных корней получаются полные
интегралы, каковыми будут
?/ = ocrr-Va, г/ — $х-\-Ь, у = ух + с и т. д.
г) То есть способом разделения переменных.
2) sed quae saltern cum ea conveniat; этим Эйлер, невидимому, хочет выразить ту
смысль, что всякая функция = удовлетворяющая конечному уравнению, най-
денному описанным способом, удовлетворит данному дифференциальному уравнению.
3) et quidem non obstante arbitraria ilia constante, quae per integrationem In-
gres sa, integrate completum reddit; не совсем ясно, какой смысл Эйлер хотел вложить
в эту фразу и чему именно могли бы препятствовать постоянные интегрирования:
тому ли, чтобы имело место «согласование» с данным уравнением, или тому, чтобы
последнее не воспроизводилось с помощью дифференцирования. Грамматически на-
прашивается первое толкование; по смыслу же представляется более вероятным
второе.
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
393
Каждый из этих интегралов в равной мере удовлетворяет предложен-
ному уравнению. Если бы мы захотели все эти интегралы охватить
одним конечным уравнением, то полный интеграл имел бы вид
(у — ах — а) (у — — Ь) (у - чх — с) и т. д. = 0.
Этот интеграл, как мы видим, заключает не одно новое постоянное>
а несколько: а, Ь, с и т. д., а именно столько, сколько корней имеет
дифференциальное уравнение нескольких измерений.
СЛЕДСТВИЕ 1
679. Так, для дифференциального уравнения
dy2 — dx2 = 0 или р2 — 1 == О
ввиду того, что р== +1 и — 1, имеем два интеграла: у — х-\-а-
и у = х-\-Ь\ если их объединить, получим:
(г/ - х - а) (у + х — Ь) = О
ИЛИ
у2 — х2 — {а + Ь) у — (а — b) х + аЪ = 0.
СЛЕДСТВИЕ 2
680. Пусть предложено уравнение
dy3 + dx3 = 0 или р3 1 = 0,
так как его корни суть р = — 1, р =-------- и Р =--2--- ’ то
х . . л 1 + . г й 1 — /^з
иметь либо у = — х-\-а, либо у =-----,жти либо у ^--------- ^4-с;
объединив эти уравнения, получим;
у3 + Xs - (а + Ъ + с) у2+(а — -+ j^— 3 Z? — •1 Z~ 3 ху
+ ( -а + b+ ^~3 c'')x2 + (ab + ac + bc) у
. f, 1-/^3 1 + У=3 ,4 , л
+ Ъс--------------ас----9---ab j х — abc = О.
Это уравнение можно выразить еще и так:
у3 + я3 — fy2 — gxy — hx2 Ay + Bx + C — 0,
где постоянные А, В, С должны быть такими, чтобы это уравнение
допускало разложение на три простых.
ПРИМЕР 2
681. Предложено дифференциальное уравнение
у dx — x Уdx2 4- dy2 = 0.
Найти его полный интеграл.
394 О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Положив — р, получаем у - х ]/'! 4- р2 = 0. Пусть у —их; тогда
будем иметь:
откуда по второй формуле1)
1х = - 1{р-и)+ \---4== = -1(р-и) - dp(p + Yi + p2)
J p—V 1+ p2 J
и
dpyi-[-p2 = ^pVl+p2 + ~l (р + У1 + Р2},
откуда заключаем, что
lx = C-±-l(yi+p2-p)— -^рУ1+р2--^-р2
и
у = их — X У'p2-\i.
ПРИМЕР 3
682. Найти полный интеграл уравнений
у dx - х dy = пх У dx2 4- dy2.
Так как~ = р, т наше уравнение есть у — рх = пх У1 + р2; если
положить у ~их, оно переходит в
и — р = п У1 4- р2.
Поскольку
1х^
будем иметь:
lx — — In УЛ 4- р2 — —^р- — ,
г ‘‘ J пУ1 + р*
откуда
1х = С - In У1+Р - 41 (р + У^+Р2].
Поэтому имеем:
х — Д— (У1 + р2 — р}п
у^+ргr 1
И
А так как и2 — 2ир 4-= я2 + п2р2, то будем иметь:
и—п У и2 +1 — п2 , ——5 — пи + У и2 +1 — п2
Р=—\_ni - и /1+т>2=—--------------------
х) То есть по формуле § 675.
О РЕШЕНИИ БОЯЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 395
И
j/T+7 - р =
* * * 1 — п
откуда
а (1 — п2)
1 — п
где
Если
или
Если
U — -- .
х
и=1, то будем иметь:
2и
и
. 2аи 1 2ах2
% и2 + 1 и х2 -j- у2 ’
у2-\-х2 — 2ах.
п ~- — 1, то получаем, как в предыдущем случае,
и2 — 1 , г.—; 5 — U2 — 1
^ = -2iT- и = — 2ц—
откуда
2а 2ах'2
а
X = —.
(2
|/1+У * 1 ' 1 1 + ма х* + у*
Значит, и я = 0, и я2-}-?/2 — 2ах О1).
ПОЯСНЕНИЕ
683. Это уравнение, если в обеих его частях взять квадраты и из-
влечь его корень р — -У~, приводится к обыкновенному однородному
уравнению. В самом деле, сначала получаем:
у2 — 2р ху + р2х2 — п2х2 + п2р2х2,
а затем
_ х dy_ y±ntfy4 %2—-п2х2
PX^~dx = •
Это уравнение, если положить у— их, станет уравнением с разделяю-
щимися переменными. Особо надо отметить случай, когда п2~1; тогда
имеем у2 — 2рху = х2, или
__dy у2— х2
Р dx 2ху 1
так что
2ху dy ~\-x2 dx — у2 dx — 0.
В оригинале: .х — —— (]А + р2 + р) = — == —s • Значит,
у 1 + /?2 1 + u2 x2jr у2
и # = 0, и х2 + у2 + 2ах ~0. (В Полном собрании сочинений ошибка исправлена.)
396 О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Это уравнение можно интегрировать и по частям1), так как
2ху dy — у2 dx становится интегрируемым при помощи множителя
’ для того чт0^ы ПРИ этом также и часть x2dx стала интегри-
1
руемой, вышеупомянутый множитель должен принять вид ~2, и таким
образом, мы получим уравнение
=()
X2
интеграл которого есть ~\-х = 2а, как и прежде, с той лишь разницей,,
что второе решение # = 0 не обнаруживается. Дело в том, что когда
наше квадратное уравнение при n—1 вдруг становится простым, второй
корень пропадает2). Но его можно найти, положив 1 —а; тогда имеем:
у2 — 2рху — х2~ 2а#3 — 2а/?2#2,
и поэтому рх бесконечно; если теперь отбросить члены, исчезающие по
сравнению с другими, то получим:
— 2рху — #2 — 2а/?2#3,
а это уравнение допускает деление на # и потому дает второе решение
# = 0. Такое решение приводит к успешному результату, когда значение
р можно получить с помощью извлечения корня; если же уравнение
имеет большее количество измерений, а тем более является трансцен-
дентным, то мы не можем обойтись без применения изложенного здесь
метода.
ПРИМЕР 4
684. Предложено уравнение
х dy3 + у dx3 — dydx^f ху (dx2 + dy3);
найти его полный интеграл.
J) per partes; «интегрирование по частям» состоит в том, что левая часть уран-
нения ^предварительно умноженного на разбивается на два слагаемых (на две-
части), каждое из которых является полным дифференциалом. В современной терми-
нологии наименование «интегрирование по частям» сохранялось для частного слу-
чая, когда одно из слагаемых рассматривается как дифференциал произведения.
2) «Исчезновение» решения х=0, как легко видеть, не стоит ни в какой связи
с понижением степени уравнения
у2— 2рх + р2х2 — п2х2 ^n2p2x2't (1}
записав его в виде
q2 — 2qx + х2 — n2x2q2 + п2х2,
1 dx
где q =——~r~ > мы видим, что х = 0 является и в общем случае
Р
(2)
решением (в рас-
ширенном смысле) для обоих корней уравнения (1); в этом же смысле оно является
решением и для частного случая п = 1. Ничего неожиданного поэтому не будет в том,
что и с помощью предельного перехода, предпринятого ниже, обнаружится тот же
результат. Цель этого предельного перехода состоит, очевидно, в том, чтобы все члены
делились на х. Но эта цель достигается лишь ценой необоснованных «отбрасыва-
ний». Причина «исчезновения» решения х = 0 состоит, конечно, в том, что был введен
1 у2
интегрирующий множитель —£. Впрочем, и в интеграле ™ + # = решение х = 0
X х
содержится в качестве предельного случая.
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 397
Если положить — р и у = их, то наше уравнение получит такой
вид:
р3 + и = р Уи (1 4-Р2).
Теперь составляем [уравнение]
dx________________________________ du
х р----и
ИЛИ
1х ~ —ц- — I (р — и) 4- ~ .
J р—и ' 1 J Р — U
Но из данного уравнения следует, что
4- Р2 + ^Р /1 -4р + р2
или, возводя в квадрат,
И = 1 - рз ±1. pi +1.р2 |/’(14-р2)(1-4р4-р2),
а отсюда
р - »] = 4 Р t1 + Р2^2 ~ Р) ~ 4 Р2 И1 4- Р2) (1-4р4-р2),
.откуда получаем:
dp [dp (2 — р) ( dp У1—!±р + р-
Р— и~2р(1 — ? 4-?2) "И2 (1 — + /?2) /Г+У2 *
Во втором из этих членов положим
V 1+jD2 Ч'
Так как
2+/4-(1-?2)2
Р I — ?2
d 4gdg(2+/4-(l-g2p)
Р (1 —?2)2/4-(1-92)2
и
1 П п2 _(3 + ?2) (2 + / 4 -(1-92)2)
1 Р 1 Р ~ (1-92)2 ’
то получим:
С dp __ 1 С dp (2 — р) £ С _______g2 dq____
} р — и" 2 J Р + Р2> J (З + g2) /4 —(1 —g2) ’
где второй член не интегрируется ни при помощи логарифмов, ни при
помощи круговых дуг.
ПРИМЕР 5
685. Найти такое соотношение между х и у, чтобы, если положить
$ — ]Лdx2 4- dy2, получилось s2 — 2ху.
398 0 РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Так как s=\f2xyy т0 будем иметь:
ds = = xdy±^x .
V 2ху
Если положить d-~ = p, а у = их, то отсюда получим:
/т+?= 5^,
у Ли
или и = У2и (1 + р2) — р, и, извлекая корень,
_ 1/ 1 + p2 , 1—Р _ 1—р + /1 + р2
И / —2~+ уг - /2
поэтому
и = 1 — р +/?2 + (1 — р) /1 + рг
р~и= -(1-р) (1-^+]/ГГ72)-
Значит,
\ dp — dp /4 лГГ~1-+ — — ]г> - А ( dpVl+p2
j р—и J 2р (1—р) (-1 Р V “Ь Р ) 2 Р 2 j р(1 — р)
Положив р = 1 „ ? , имеем:
2?
г <?р/1Т/ _ с -</? (i+g2)2
J P(l — P) J ?(1 —?2)(?2+2?—1)
= ^-2 ^^4-4 ^—4^ =Z^z|±-’+/2Z-^±ni
J q J l — ?2 J (9+ О2 —2 1— q r /2 — 1—у
и отсюда
___1_ z /2 + 1 + q = z / £+?А_1_ t /2+1 + q
/2 /2 — 1—? + 2? J /2 /2—1—?
Теперь
n „ (! + ?)(!-2g-?2) _(!+?) (2-(I-?)2)
P~U'------2q 2q ’
и, таким образом, имеем:
Zx = 6;_Z(1 + ?) + Z?-Z(2-(1+?)2)+z(^)--A:Z^±1+^
= Z(2a)-Z(2-(l+ g)2)--^=Z lC2 + 1 = ,
' ’ 4 ' 47 ' /2 /2—1 — ?
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 399
где в = | = |(1 + ?)2 и 14 <7 = У^, откуда
1
ах (—VУ
х у _|_ у у
ИЛИ
1
У#— \Гу \ У~2
V я + Уу /
или
(j/я + Уу) = а (Ух — -
х — у — а
Итак, получилось так называемое интерсцендентное г) уравнение
между х и у.
ПОЯСНЕНИЕ
686. Это решение завершается легче, если прямо из уравнения
«+ Р= /2и (1 + р2)
или
м24-2ир + р2 = 2и-у2ир2
искать значение количества р. Будем иметь:
или из
и
_ (1 — u)(2u-j~y 2u) _ (1 — и) У2и
Р U 2и—1 ~ /2й—1 *
Поэтому
lx=\ = С-1(\-и)- —
J Р —и J (1 — и)у2и х J (1 — и)У 2и ’
Пусть и = v2', тогда
du ______ 1 С 2dv ______ 1 1 + v
(1-н) У 2^ ” V2 J "" У? L ’
откуда
lx = la — I (1 — и}
__у 1 + У и
У2 1 —уй *
Э interscendens—термин, созданный искусственно на манер термина transcen-
dens (трансцендентный); последний в буквальном переводе означает превосходящий;
попытавшись перевести столь нее буквально слово interscendens, мы могли бы ска-
зать «через восходящий» — слово, которое звучит по-русски так же плохо, как
interscendens по-латыни.
400 0 РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Поскольку находим:
1
ах (Vx — Yy
как было найдено и выше. Поэтому, если требуется найти кривую,
которая была бы определена прямоугольными координатами х и у так,
чтобы ее дуга 5 была = ]/2яг/, то уравнение, определяющее ее при-
роду, будет
Wx + Vy)V^ = a(p/r — Уу^2
Впрочем, очевидно, что таким же образом можно разрешить вопрос,
если дуга $ будет равняться какой угодно однородной функции одного
измерения количеств х и у или если будет предложено любое однород-
ное уравнение между ж, у и $. Полезно будет показать это в следу-
ющей задаче.
ЗАДАЧА 90
687. Пусть s— ]/chr2ch/2 и пусть предложено какое-либо одно-
родное уравнение между х, у и s, т. е. такое, в котором эти три
переменные х, у и s всюду составляют одно и то же число измерений.
Найти конечное уравнение между х и у.
РЕШЕНИЕ
Положим уих и s = vx\ благодаря такой подстановке из предло-
женного однородного уравнения исключается переменное х, и мы полу-
чим уравнение между двумя переменными и и v, откуда можно опре-
делить v через и. Пусть, далее, dy — pdx\ тогда ds == dx + р2, и мы
будем иметь:
р dx = и dx + х du
и
dx р2 = v dx + х dv\
значит,
dx du ____ dv
х ~~ Р~-Ы~~ -fT+p2~'—v
Так как теперь v уже задано через и, то пусть dv = qdu\ тогда
получаем:
1/1+ Р2 = v + pq - qu
и, взяв квадраты,
1 + р2 — (v — qu)2 + 2pq(v — qu) + /А?2,
откуда находим:
q(v — qu)+y(v — qu)2—l-rq2
р- г=р
и
qv— и + У (v— qu)2—i + q2
p — tl 1 — q2 •
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 401
Отсюда выводим, что
О Я2) du (qv— и — — qu)2 - 1 4- q2)
qv — и 4- 4- q2 1 + u- — v2
Поскольку v и q заданы через и, отсюда можно найти х через то же
количество а так как qdu--du, то
lx = la — l VT+^~v - С + <
J 1 + и2 - v2 9
но, кроме того, имеем у^-их, и если вместо и подставить -£, то мы по-
лучим искомое уравнение между х и у.
СЛЕДСТВИЕ 1
688. Так как 5 выражает дугу кривой, соответствующую прямо-
угольным координатам х и у, то таким образом определяется кривая,
дуга которой равна какой-либо функции одного измерения количеств
х и у; эта кривая будет алгебраической, если интеграл
£ \du~\f (v—£u)2—1 + 72
J 1 4- и2 — V2
можно выразить через логарифмы.
СЛЕДСТВИЕ 2
689. Таким же образом можно было бы решить задачу, если бы s
обозначало такое интегральное выражение, что ds~Qdx, где Q — какая-
либо функция количеств р, и и v, В [ этом случае из равенств
dx du dv
— —------— ~--- надо наити значение количества р, и так как V задано
х р— и Q—v 1
через и, то будем иметь:
ПРИМЕР 1
690. Пусть требуется, чтобы s — <*^ + Р?/; тогда будем иметь
у = а4-Р& = =Р> откуда с — qu — а, а следовательно,
этот последний член равен
rfu/a2+fl2-l_______, 2 , 02 _ I \ 1 V du .
1—а2 — 2а₽и + (1— ₽2)и2 ' 2 J а2—1 + 2ари + (р2—1) и2 ’
402 О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
он преобразуется в
С _______________(Р* 2—1) 6?u/a2+82—1__________
J (и (р2-1) +аЗ— /а2 + ₽2~1) (иф2—1) + а5+ /а2^ р2^!)
— l_z Ф2—1) и + ар— /а2 + р2-1
~2 ф2— 1) и + + /а2 + ра-1
Если положить и = , то искомое интегральное уравнение по возве-
дении обеих его частей в квадрат принимает вид
х2 + у2 — (ах + Ру)2 (р2— 1) у + а$х— х /а2 + р2—1
°2 (р2 — 1)у + арх+х/а2 + р2 —1
Но если положить
(Р2—- 1) у 4- а^х~х ]/а2 -j- Р2 — 1 = Р,
(Р2 — 1) у-\-а$х-\-х ]/а2 -f- Р2— 1 = Q,
то будем иметь:
PQ = (Р2 - 1)2г/2 4- 2ар (Р2 - 1) ху
4- (а2 „ 1) (р2 _ 1) Х2 =: (Р2 _ 1) (fax 4- Ру)2 - X2 - у2),
PQ Р
откуда, изменив постоянную1), получим -^ —q ; значит, либо Р == 0,
либо Q = 6; таким образом, общее решение2) есть
(Р2 — 1) у 4~ аря ± я |/а2 4- Р2 — 1 — с,
а это — уравнение прямой линии.
ПРИМЕР 2
691. Пусть требуется, чтобы $ = тогда будем иметь о— пи2 и
g=2nu, откуда
1 + и2 — v2 == 1 4- и2 — п2п4 и v — qu = — пи2,
а значит,
ix=u-i
Г 1 J 1+и2- п-и1
Это выражение нельзя проинтегрировать при помощи логарифмов.
ПРИМЕР 3
692. Пусть требуется,
v = -t и2 и q~ — ,
/1+и2
чтобы £2 = х2 + у2; тогда будем иметь
откуда 1 4- и2 — V2 = 0. Значит, решение надо
4 То есть обозначив а/1 —р2 через Ь.
2) solutio in genere.
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 403
искать из первых формул, откуда имеем г):
1
/1 + а2
__I
о2 — 1 =•-- -7-—5- и qv — и ~ 0.
* 14- и2 *
Следовательно, р~ и — 0, т. е. ==0, так чт0 получаем у=пх.
ПРИМЕР 4
693. Пусть требуется, чтобы s2 ~ у2 + пх2, т. е. и = ]/гг2 + п и
7 = ; тогда будем иметь:
1 + и2 — v2 = 1 — п, v — qu = - и q2 — 1 = .
Поэтому получим:
lx = la-l +
1 П J У U2 + 71 у п — 1
откуда
. ________________________________
X I у -\- У у2 ПХ2 | ' П— 1
b \ х /
Значит, всякий раз, как есть квадратное число, уравнение
между х и у оказывается алгебраическим.
Пусть J/^тогда п ~ 1 и s2 = у2 + х . Этому усло-
вию удовлетворяет алгебраическое уравнение
которое преобразуется в
2 1 1—m 2 2
хт _ 2Ьт х т у = 7 Ьт
т2—1
или
А А
__(т2— 1) хт— /п2Ът
У 1 1 — т
2 (т2— 1) Ът х т
2) Solutionem ergo ex primis formulis repeti convenit, unde fit... Видимо,
мысль Эйлера такова: последней формулой § 687 пользоваться нельзя, так как вы-
ражение 1-4- и2 — v2, входящее в эту формулу под знаком логарифма и в качестве
знаменателя подынтегрального выражения, обращается в нуль. Поэтому Эйлер поль-
зуется «первыми» формулами § 687, т. е, формулами, выражающими р и р—и через
и, v, q. Выражения для v — qa, q2 — 1 и qv — и берутся, конечно, не оттуда, а из
данного соотношения s2 = x2-\-y2. Подставляя эти выражения во вторую из «первых *
формул, получим р — и—0,
404
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЛЕДСТВИЕ
694. Положим . Тогда, если
то
или
__Ь2п + (га2— i)x2n
У 2 (п2 — 1) Ьп 1 ’
___№ 4- За?4
662х
Поэтому, если
то
х2
3“ *
ЗАДАЧА 91
695. Положим = р, и пусть дано такое уравнение между х, у
и р, в котором второе переменное у имеет только одно измерение.
Найти соотношение между двумя переменными х и ?/.
РЕШЕНИЕ
Отсюда [следует, что] у будет равняться некоторой функции от х
и р\ дифференцируя, получаем dy = Р dx-\-Q dp, а так как dy^pdx,
то будем иметь дифференциальное уравнение (Р — р) dx-\-Q dp = 0, кото-
рое и надо проинтегрировать. Так как в него входят лишь два пере-
менных х и р, а дифференциалы содержатся в первой степених), то
надо пытаться найти его решение с помощью методов, которые были
изложены выше * 2).
Во-первых, решение можно будет найти в том случае, если Р^р,
т. е. если dy=pdx-^Qdp. Это будет иметь место, если у будет опре-
делено через х и р уравнением у = рт4-П, где II — какая-либо функция
от р. Тогда будем иметь Q — > а так как решение сводится к
[решению] уравнения Qdp = Q, то [возможно одно из двух]: либо будем
иметь dp = O и, значит, р — а, т. е. 7/~ая4-0, где второе постоянное 0
определяется из самого предложенного уравнения, ибо, положив [в нем]
р = ос получаем 0 = П; либо будем иметь Q = 0, так что х = —~~ и
у — —~ —-J-П. Очевидно, оба решения являются алгебраическими, если
П есть алгебраическая функция от р.
Во-вторых, уравнение (Р — р) dx-]- Q dp ~ 0 будет допускать решение
в том случае, если одна из переменных х со своим дифференциалом dx
J) simpliciter; дословно: «просто».
2) Тоссть во втором разделе.
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 405
не превосходит одного измереният). Это случится, если будем иметь
= где Р и П — функции только от р; тогда будем иметь Р = Р и
__ xdP । dn
dp dp ’
значит, получится уравнение
(Р - р) dx 4- х dP 4- dll = 0
или
( dP
которое и надо проинтегрировать; будучи умножено на с' р~р, это
уравнение дает
f dP г Г dP лп
е) Р~РХ= _ t J Р-Р.
.. dP dR _
Положим = /Г ; тогда интегральное уравнение будет
р r С R dll г С dn dR
Нх = с-у-р=^=с-}^р->
откуда
С 1 f dTVdR
Х~ R i<\ dP
И
СР , п Р С dUdR
В-третьих, решение не представит никаких трудностей; будем иметь
уравнение у = X 4-Vр, где через X и V обозначены какие-либо функ-
ции от х. Действительно, тогда будем иметь:
dy ~ p d.x = dX 4-7 dp 4- p dF,
и поэтому
7 , f dV — dx 4 dX
dP + Pi-^-)=--v-
Пусть у = , так что 7? тоже будет функцией от х; тогда
V r С dX
rP^c-)-r>
или
— 6д д С
Р~ V V J р
И
y=X±CR-R ( .
Это уравнение выражает соотношение между х и у.
В-четвертых, уравнение (Р — р) dx ч- Q dp — 0 допускает решение в том
случае, если оно будет однородным. А так как член pdx содержит два
измерения, то это будет иметь место в том случае, если столько же
измерений будет и в остальных членах. Отсюда ясно, что Р и Q должны
Э То есть если уравнение (Р — р) dx + Q dp~0 линейно относительно х и dx.
406
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
быть однородными функциями одного измерения количеств х и р. По-
этому если у будет так определено через х и р, что у будет равняться
однородной функции двух измерений количеств х и р, то решение
удастся. Действительно, если будет dy — Pdx-^Qdp, то уравнение, со-
держащее решение (Р — p)dx -'-Qdp = 0, будет однородным и станет
непосредственно интегрируемым, если его разделить на (Р — р) х -f Qp,
СЛЕДСТВИЕ 1
696. В четвертом случае, если положить y^z2, предложенное урав-
нение должно быть однородным уравнением между тремя переменными
х, z и р. Поэтому, если будет предложено какое угодно однородное
уравнение между х, z и р, в котором три буквы х, z и р всюду со-
ставляют одно и то же число измерений, задача всегда допускает решение.
СЛЕДСТВИЕ 2
697. Поменяв переменные ролями, положим x = v2 и
— = <7, так что
dy
р = у ; если теперь будет предложено какое-либо однородное уравнение
между у, v и то задачу можно будет решить таким же образом.
ПОЯСНЕНИЕ
698. В четвертом случае условие, чтобы уравнение (P—p)dx-^
-j-Qdp — O оказалось однородным, можно заменить более широким.
А именно, положим х = v^ и p =q^ и пусть уравнение между v и q
(Р — dv + vQqv-i dq = 0,
получаемое после подстановки, является однородным; тогда Р будет
однородной функцией у измерений, a Q — однородной функцией р изме-
рений. А так как
dy = Р dx + Q dp = рРун-i dv + vQqv-i dq,
то у будет однородной функцией р + у измерений. Поэтому задача допу-
скает решение в том случае, если между х, у и р будет предложено
такое соотношение, что после подстановки у —+ x^v^,%p~ q^ по-
лучается однородное уравнение между тремя количествами z, v и q,
так что число образованных ими измерений будет всюду одним и тем же.
Если будет предложено такого рода однородное уравнение между z, v
и q, то решение задачи можно осуществить следующим образом. По-
скольку dy — pdx, будем иметь:
(р Ц-у) zh+v-1 dz ~ рии-1 qV dv;
теперь положим z— rq и v — sq, и тогда предложенное уравнение будет
содержать только две буквы г и s, одну из которых можно определить
через другую; далее, в результате этих подстановок получится уравнение
(р + у) т-и+у— 1 ^н + У—1 (rdq + qdr) — ps^1 ^+у — i ($dq-j-qds),
из которого получаем:
dq _ _ ds — (р + \) гН+у- 1 dr
I"" (p. + v) rH4-y_;Ly'7
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 407
Это — дифференциальное уравнение с разделенными переменными,
так как s задается через г. Два приведенных здесь случая [§§ 696, 697],
очевидно, содержатся в формулах y = zv-+\ x — v11- и а именно:
первый —если р. = 1 и v = 1, второй же—если ^ = 2 и у = — 1. Теперь надо
пояснить на примерах. Эти случаи следует проиллюстрировать примера-
ми, также и предыдущие, из которых особенно замечательным является
первый, ибо он сразу дает искомое интегральное уравнение с помощью
дифференцирования предложенного уравнения у = рх -1- II, так что нет
никакой нужды в интегрировании, если не считать второго решения,
порождаемого уравнением dp — 0.
ПРИМЕР 1
699. Предложено дифференциальное уравнение
у dx — х dy = а У dx2 + dy2.
Найти его интеграл.
Если положить р, то получим у — рх = а]^! 4- р2. Это уравне-
ние ввиду того, что dy^pdx, после дифференцирования дает —xdp~~
— . а Р , Так как эт0 уравнение делится на dp, то оно дает, во-пер-
V 1 + р3
вых, р = а, и отсюда у — ах + а]/1 4- а2.
Второй же множитель дает — ар т — -— V 1+рг
и, значит, у — —— -— 4- а 1/ 1 4- р2 = а , У 1 + р2 г у 1 + р~
откуда х2-\-у2~ а2. Это —также интегральное уравнение, но так как оно
не включает нового постоянного, то его нельзя считать полным интег-
ралом. Полный же интеграл заключает в себе два уравнения, а именно:
у = ах + а j/t + а2
и
х2~Уу2 = а2,
которые можно охватить следующим одним уравнением:
((г/ — ая)2— а2 (1 +<х2)) (х2 + г/2 — а2) — 0.
ПОЯСНЕНИЕ
700. Если не прибегать к такой операции, то решение этой задачи
оказывается довольно трудным. А именно, если мы освободим от ир-
рациональности дифференциальное уравнение
у dx — xdy = аУdx2 + dy2
путем возведения в квадрат и затем, извлекая корень, определим отно-
dy
jneHHe , то получим:
(х2 — a2) dy — ху dx — ± a dx^ х2 + У2 — &2*
408
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Решение этого уравнения при помощи известных нам методов сопряжено
с трудностями. Можно найти множитель, благодаря которому оба члена
становились бы непосредственно интегрируемыми. Действительно, пер-
вый член (ж2 — a2) dy — ху dx становится интегрируемым, если его раз-
делить на у (ж2 —а2), причем его интеграл = I 2У -- , следовательно,
общий вид множителя, делающего это выражение интегрируемым, есть
1 ( У \
Ф I —— у j г
у(гг2— а2)--------—а2}
Функцию надо определить так, чтобы при помощи того же мно-
жителя и второй член a dx]/х2-]- у2 — а2 стал интегрируемым. Таким
множителем является
1 . ____у ______________1________.
у (х2— а2) У х2 + у2 — а2 (х2—а2) уЛг2у2— а2 ’
в результате получаем:
(х2 — a2) dy — ху dx 4? а dx
(х2—а2)]/х2 + у2 — а2 х2 а2
Чтобы теперь найти интеграл первого члена, будем рассматривать х как
постоянное. Тогда интеграл будет
= Ку++у2—а2) +
где X означает некоторую функцию количества х, обладающую тем
свойством, что если взять теперь за постоянную у, то будем иметь:
х dx . 7 у __ — ху dx
(у + У?"%2 + у2 — я2) х2 -|- у2 — а2 (х2 — д2) Vя2 + У2 — д2
ИЛИ
— ху dx
— я dx (у— 1<х2 + у2 —а2) . _ ______________________
(х2 — а2У1^х2-\-у2 — а2
(х2 — а2) / х2 + у2 — а2
откуда
Поэтому искомый интеграл будет
Z (,у + Ух2±у2-а2) + 1 =
Ух2 — а2
+ ±1х-±^
2 х — а
или
у+ Г^ + у2—°2
у/ х2 — а2
или = а
откуда
у + Vх2 -{-у2 —а2 = а(х ± а),
и следовательно,
х2 — а2 = а2 (х ± а)2 — 2а (х ± а) у,
или
х =F а = а2 (х 4- а) ~ 2ау.
Но это только одно из двух интегральных уравнений; что касается дру-
гого интегрального уравнения х2-\-у2 — а21 то надо считать, что оно
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
409
исчезло вследствие деления. Впрочем, то же решение уравнения
(а* 2 — х2) dy + ху dx — ± a dx\f х2 - у2 — а2
получается легче, если положить у = и]/а2 - - ж2, откуда
з
(а2 — х2)2 du= ± a dxY(а2 — х2) (и2 — 1) ,
или
du zb а .
^и2—! ~ а2 — %2 1
этому уравнению можно удовлетворить, если взять и = однако этот
случай не содержится в интегральном уравнении, как мы показали уже
выше. Отсюда могло бы возникнуть подозрение, что второе решение
х2-\-у2—а2 надо даже вовсе исключить; однако же, если мы тщательно рассмо-
,. у dx — х dy
трим Ч первоначальное уравнение —________ — — а, то окажется, что это не
У dx2 + dy2
так. Действительно, если х и у суть прямоугольные координаты кривой
линии, то формула у$х х~ выражает перпендикуляр, опущенный из
у dx2+ dy2
начала координат на касательную: следовательно, этот перпендикуляр
должен быть постоянным. Само собой очевидно, что это имеет место для
круга с центром в начале координат, а его уравнение есть х2 + у2 = а2. Тем
самым реальность этих решений, которые могли бы на первый взгляд
показаться мало пригодными, все же подтверждается, хотя их обоснова-
ние не усматривается с достаточной ясностью2).
ПРИМЕР 2
701. Пусть предложено дифференциальное уравнение
, j a (dx2 + dy2)
у dx — xdy = —-—™—— .
Найти его интеграл.
Если положить dy = р dx, то получаем у — рх = а (14- р2) и, диф-
ференцируя, — xdp = 2apdp. Отсюда заключаем, что либо dp — Q и, зна-
чит, р = а, а следовательно, у — ах + а (14 а2), либо х = — 2ар и
у = а (1 — р2). Таким образом, ввиду того, что р— , будем иметь
4ау = 4а2 — х2. Если истолковать это уравнение геометрически, то оно
полностью удовлетворит поставленному условию.
Если найти корень предложенного уравнения, получим:
2а dy + х dx « dxYх2 4- 4ау — 4а2.
Это уравнение, если положить у = и(4а2 — х2), преобразуется в
2а du (4а2 — х2) — х dx (4аи — 1) — dxY (4а2 — х2) (4аи — 1);
4 si... perpendamus.
2) Atque hinc realitas harum solutionum, quae minus congruae videri poterant,
confirmatur, etiamsi earum ratio baud clare perspiciatur.
410
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
последнее же уравнение, если положить 4аи — 1 = £2, преобразуется в
t dt (4а2 — х2) — t2x dx~t dx\f ^a2 — x2.
Так как это уравнение делится на t, то можно принять *), что t = 0
и, значит, а = а следовательно, 4ау = 4а2 — х2.
ПРИМЕР 3
702. Пусть предложено дифференциальное уравнение
у dx — x dy = а\/~dx34-dy3.
Найти его интеграл.
Это уравнение мы вряд ли смогли бы решить обычным способом,
« dy
пытаясь наити из него отношение ~.
dx
Но если положить dy — pdx, то получим у — рх~а 4-у?3 и после
дифференцирования xdp = , откуда следует одно из двух: либо
dp — Q и, значит, р — а, откуда у — ах-ГаУ 14-а3» либо
— ар2 а
X = _ ... - И У = -77- = ,
у Г(1+?3)2
откуда р2 = — у , и, ввиду того, что у3 (1 4- /?3)2 = я3, будем иметь
о . (а "0 а — уУ у)2 х3
р3 = - 1, а отсюда » или
У¥ У У У
х3 + (аУа — у/у)2 = О.
ПРИМЕР 4
703. Пусть предложено дифференциальное уравнение
у dx — nxdy — аУdx24- dy2.
Найти его интеграл.
Если положить dy = р dx, то будем иметь у — прх~ аУ Л 4-р2, от"
куда, дифференцируя, получим:
(1 — п) р dx — пх dp = —,
у 1 + р2
или
nxdp __ a dp
dx -~
п
Это уравнение, будучи помножено на рп~1 и проинтегрировано, дает
п
2) conciudere licet; дословно: «можно заключить».
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
411
Отсюда мы выводим следующие случаи, допускающие интегрирование 2)'
если п = р3х = С — у а р2 — ]/1 + р2\
если п = -|, р6х = С--^а (у -р + /1 + р2;
7 - „ 6 / й 6 Д16*42,6*4*2\.1 г-.—--д
если п = у, ^ = С-ТаОв-ТР4+5зР2 + 5Тз71)1/1 + р2>
и если п = , будем иметь у = рх 4- аУ1 4- pz 4- и
А ЛК
с 2ка ( , 2\ , 21(21—2) \ ,
^21+1 (21+1)рО (21-1)^ +(21—1) (21—3)^ И Т. Д J |/1 + р .
Поэтому если взять X — со, так что п=1, то будем иметь:
у = рх + аУ1 + у и х =
откуда, если постоянное С будет равно 0, сразу же получается найден-
ное выше решение x2jry2--=a2. Если же постоянное количество С не ис-
чезает, то малейшее различие в количестве р вызывает бесконечное из-
менение количества х. Следовательно, количество р можно рассматривать
как постоянное, насколько бы ни изменилось х; значит, полагая р = а,
получим второе решение. Этим в значительной степени разъясняется
сомнение, возникшее в связи с примером 1.
ПРИМЕР 5
704. Пусть предложено дифференциальное уравнение
A dyn = (Вха + Су$) dxn,
где п = Найти его интеграл.
Если положить то будем иметь Арп = Вха + Су3. Теперь по-
ложим p—q^, хv?>n и y^zan так, чтобы получить одновременно урав-
нение
Aqa$n = Bv°$n + Cza$n.
Если положить z = rq и v ~ sq, то это уравнение перейдет в
4 = + CWn. Но так как
dy = а пгап~{ dz~a nran‘^i qa^—i (rdqA~q dr)
и
р dx = р qa$ dv = Р £а£Н?п—1 (5 dq 4- q ds),
то
aran~t (rdq-± qdr) = ps^-1 q«&+^n~an (sdq + qds).
Но по условию ар + рп — an = 0; значит,
aran dq + aran “1 qdr = p$Pn dq + 1 q ds
*) Ср. формулу I § 118.
412
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
и, следовательно,
dq dr — Зб'Рп~1 ds
~q~~ ^n-aran
Но
значит,
JD \ В J
и, следовательно,
Но легче вести вычисление таким образом: взяв 4=1, будем иметь:
£
а
пусть у~х$щ тогда будем иметь:
x^du-^-^x и dx = xndx(B -[-CuF)^
Р
я а — В
а так как , то это уравнение переходит в
£
Зя du + ecu dx — 8 dx (В + Cu$)n,
откуда
dx ' 3du
X — au
ЦВ + Си$)п
a
Таким образом, x определяется через и, а так как и — х ?у, то полу-
чится уравнение между х и у.
ПОЯСНЕНИЕ
705. Вот каким образом надо выполнять действия, когда между
переменными ж, у и отношением — рих дифференциалов предлагается
соотношение, из которого нельзя удобным образом найти значение р.
Очевидно, в этом случае вычисление надо вести так, чтобы с помощью диф-
ференцирования, полагая dy -^ p dx или dx = ~ ,
придти в конце концов
к простому х) дифференциальному уравнению, содержащему только два
переменных. С этой целью часто оказывается необходимым пользоваться
подходящими подстановками. Вот примерно и все, чего удалось дости-
2) То есть уравнению, линейному относительно р.
О РЕШЕНИИ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 413
гнуть геометрии в решении дифференциальных уравнений первого по-
рядка; в самом деле, как мне кажется, я вряд ли упустил здесь какой-
либо из применявшихся до сих пор методов отыскания интегралов.
Можно ли надеяться на значительно большие достижения в интеграль-
ном исчислении? Я не стал бы этого утверждать 2), хотя есть очень
много таких открытий, которые прежде казались превосходящими силы
человеческого ума.
Как было сказано, я разделил «Интегральное исчисление» на две
книги: в первой из них рассматривается соотношение между двумя пере-
менными, а во второй — между тремя или большим числом переменных.
Здесь я в меру моих сил изложил уже первую часть первой книги,
посвященную дифференциалам первого порядка. Поэтому я перехожу ко
второй части этой книги, в которой будет отыскиваться соотношение
между двумя переменными по данному соотношению между дифферен-
циалами второго и более высокого порядка.
г) vix equidem affirmaverim.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу первого тома «Интегрального исчисле-
ния» Л. Эйлера................................................ 3
ПЕРЕЧЕНЬ ГЛАВ, СОДЕРЖАЩИХСЯ В ПЕРВОМ ТОМЕ
Предварительные замечания об интегральном исчислении вообще...... 9
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
КНИГА ПЕРВАЯ
Часть первая или метод нахождения функций одного
переменного по какому-нибудь данному соотношению между
дифференциалами первого порядка
Раздел первый. Об интегрировании дифференциальных выражений..... 23
Глава I. Об интегрировании рациональных дифференциальных выражений 23
Глава II. Об интегрировании иррациональных дифференциальных выражений 50
Глава III. Об интегрировании дифференциальных выражений при помощи
бесконечных рядов.......................................... 72
Г л а в а IV. Об интегрировании логарифмических и показательных выражений 101
Глава V. Об интегрировании выражений, содержащих углы или синусы
углов.................................................... 120
Глава VI. О разложении интегралов в ряды, расположенные по синусам
и косинусам кратных углов................................. 141
Глава VII. Общий метод приближенного нахождения каких угодно инте-
гралов ................................................ , . . . 161
Глава VIII. О значениях, которые интегралы принимают только в опреде-
ленных случаях............................................ 184
Глава IX. О разложении интегралов в бесконечные произведения .... 202
Раздел второй. Об интегрировании дифференциальных уравнений.... 225
Глава I. О разделении переменных............................... 225
Глава ТГ Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи
множителей............................................... 248
Глава III. Об исследовании дифференциальных уравнений, которые стано-
вятся интегрируемыми при помощи множителей заданного вида .... 274
ОГЛАВЛЕНИЕ 415
Глава IV. О нахождении частных интегралов дифференциальных уравнений 303
Глава V. О сравнении трансцендентных количеств, содержащихся в выраже-
0 Pdx
ниях вида \ —.................................................. 324
,) /Л + 2Вх + Сх2
Глава VI. О сравнении трансцендентных количеств, содержащихся в выра-
f pdz
жениях вида \ ~г------:.......-............................... 34b
Глава VII. О приближенном интегрировании дифференциальных уравнений 377
Раздел третий. О решении более сложных дифференциальных уравнений 388
О решении дифференциальных уравнений, в которых дифференциалы дости-
гают нескольких измерений или входят даже трансцендентно........ 388