Автор: Слепян Л.И.
Теги: испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика судостроение металлургия обработка металлов механика деформируемых тел трещины
ISBN: 5-7355-0208-5
Год: 1990
Текст
ПИ. Слеп ян
ТРШИН
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Ленинград
„Судостроение"
1990
УДК 620.191.33
Рецензент докт. физ.-мат. наук Р. В. Гольдштейн
Slepian L. 1.
Mechanics of cracks. - 2-nd edition (revised) - L.: Sudostroenie,
1990.-296 p: ill.
ISBN 5-7355-0208-5
The book is devoted to analysis of statics, slow growth and dynamics of cracks in linear
elastic, nonlinear and elas,ticplastic continuous bodies, as well as in structured media, i. e. in
lattices, layered materials, media with block structure. The energy outflow from the edge of
growing crack is shown to take place. A lot of attention is drawn to discussion of criteria of crack
growth, connection between microlevel and macrolevel criteria. Some conclusions concerning
interpretation of solution to linear theory problems and elastic state near crack edge, are
obtained on the basis of geometricaly exact relations for stable nonlinear elastic material.
Asymptotic solutions to elastoplastic problems are obtained, pointing at the possibility
of steady growth of a crack. Crack growth under cyclic loading is discussed in terms of 2-constant
theory. The solutions to self similar, stationary and non-stationary problems of crack dynamics
are presented forsub-Rayleigh and super-Rayleigh, trans-sonic and supersonic ranges of crack
propagation velocity.
Tab. 1. 111. 58. Bibliogr. 150.
Слепян Л. И.
Механика трещин. - 2-е изд., перераб. и долг Л.: Судостроение,
1990.-296 с: ил.
ISBN 5-7355-0208-5
Рассмотрены статика, медленный рост и динамика трещин в сплошных линейно-,
нелинейно-упругих и упругопластических телах, а также в средах со структурой — в ре-
решетках, армированных (слоистых) материалах, в средах блочной структуры, где обна-
обнаруживается отток энергии от края распространяющейся трещины. Большое внимание
уделено обсуждению критериев роста трещин, связи между критериями на микро-
и макроуровнях. Некоторые выводы, относящиеся к интерпретации решений задач
линейной теории упругости и к состоянию у края трещины, получены на основе гео-
геометрически точных соотношений для устойчивого нелинейно-упругого материала.
Приведены асимптотические решения упругопластических задач, указывающие на
возможность устойчивого роста трещины. Рассмотрена двухконстантная теория роста
трещин при циклических нагрузках. Представлены решения автомодельных, стацио-
стационарных и нестационарных задач динамики трещин для до- и сверхрэлеевского, меж-
и сверхзвукового диапазонов скоростей их распространения.
Табл. 1. Ил. 58. Библиогр. 150.
С 12-90 © Издательство „Судостроение", 1981
048@1)-90
ISBN 5-7355-0208-5 © Л. И. Слепян, 1990,
с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Наиболее существенные отличия этого издания от первого издания
1981 г. следующие. Общие энергетические соотношения, лежащие
в основе механики разрушения, и их непосредственные следствия
(в частности, масштабные эффекты, легко определяющиеся в балочном
приближении) вынесены в отдельную (первую) главу. При этом энер-
энергетический критерий Гриффитса, в котором учитываются „поверхност-
„поверхностные" повреждения (их энергия пропорциональна площади поверхно-
поверхности магистральной трещины), обобщен учетом „объемных" поврежде-
повреждений (энергия пропорциональна объему, который ими охвачен). Этим
теория трещин объединяется с классическими представлениями
о прочности.
Четвертая глава (в первом издании - третья) дополнена описанием
двухконстантной теории распространения трещин в пластине при
циклической нагрузке. Туда же перенесен параграф, относящийся
к динамике трещин в упругопластическом теле. Введена новая гла-
глава - шестая, посвященная механике трещин в средах со структурой:
в решетках, армированных (слоистых) материалах, в средах блочной
структуры. Кроме того, внесено много дополнений и изменений.
Опущен материал, представляющийся автору второстепенным или
недостаточно завершенным. В результате объем книги остался прак-
практически прежним.
Отзывы о книге просим присылать по адресу: 191065, Ленинград,
ул. Гоголя, 8, издательство „Судостроение".
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Реальная прочность материала в образцах или в составе конструк-
конструкций на один-два порядка и более отличается от теоретически достижи-
достижимой прочности, определяемой межатомными (межмолекулярными)
связями1. Снижение прочности объясняется наличием дефектов,
в частности дислокаций, приводящих к пластическому течению при
относительно малых напряжениях, и трещин, в результате развития
которых может наступить хрупкое или квазихрупкое разрушение,
т. е. разрушение без заметных пластических деформаций.
С точки зрения прочности пластичность играет двоякую роль.
С одной стороны, предел текучести обычно ограничивает допустимую
нагрузку материала. С другой стороны, при пластическом течении
может происходить выравнивание напряжений и торможение трещин,
вследствие чего концентраторы напряжений, конструктивные и техно-
технологические дефекты становятся менее опасными. Поэтому можно
сказать, что пластичный материал с меньшим пределом текучести хотя
и менее прочен, но более надежен, чем менее пластичный материал
с большим пределом текучести.
В некоторых случаях, однако, особенно это относится к крупнога-
крупногабаритным конструкциям, разрушение материалов, которые в образцах
обнаруживают достаточно высокую пластичность, происходит как
хрупкое - путем распространения трещин. Такого типа разрушения
обычно неожиданны и иногда происходят без каких-либо видимых
причин. В предисловии Г. Либовица к книге [79] описано несколько
случаев внезапного разрушения кораблей на тихой воде, т. е. в усло-
условиях, когда напряжения в корпусных конструкциях должны быть
совсем малыми. Там же указывается, что в 1946 г. „число сообщений
о случаях разрушения подобного рода достигло 132", а к концу
1958 г. - 319. Все это, конечно, относится не только к кораблям, но и ко
многим другим техническим объектам.
Стремление выяснить причины таких явлений, определить связь
между свойствами „сплошного" материала и его сопротивляемостью
зарождению и развитию трещин, усовершенствовать на этой основе
способы разработки и испытаний материалов и конструкций привело
Прочность нитевидных кристаллов — „усов" приближается к теоретиче-
теоретической [21].
к становлению сравнительно нового направления в науке о прочно-
прочности - механики разрушения, и в частности механики трещин. Впрочем,
интерес к механике трещин обусловлен не только проблемами разра-
разработки материалов, проектирования и эксплуатации конструкций.
Можно назвать и другие области, где статика и динамика трещин
играют не последнюю роль: геология, сейсмология, разработка полез-
полезных ископаемых, судоходство в ледовых условиях и т. д.
Теория трещин занимает особое место в механике твердого дефор-
деформируемого тела. Дело в том, что распространение трещины опреде-
определяется процессами, происходящими как на макроуровне, так и на раз-
различного масштаба микроуровнях. Поэтому проблема разрушения
не может быть полностью решена лишь на основе классических конти-
континуальных моделей деформируемой среды.
Конечно, такое свойство материала, как упругость, также опре-
определяется законами микромира - характером межатомного взаимодей-
взаимодействия. Однако картина на макроуровне, осредненная по большему
числу микрообъектов, оказывается достаточно устойчивой, поэтому
упругость материала может быть экспериментально установлена без
привлечения данных о его строении. В несколько меньшей степени это
утверждение справедливо и в отношении пластичности. Что же касает-
касается распространения трещин, то здесь все существенно сложнее.
Результаты анализа „внешней" задачи - определения полей напря-
напряжений и деформаций в окрестности края трещины на основе макро-
макротеории (теории упругости, пластичности) еще не позволяют вынести
суждение о том, будет ли трещина распространяться. Во-первых, при
приближении к краю трещины, где материал претерпевает большие
деформации, его свойства изменяются и указанные теории теряют
силу. Во-вторых, такие теории не содержат никаких характеристик
прочности. В этих условиях естественно ввести критерий, по которому
на основании экспериментального определения некоторых свойств
материала и решения внешней задачи можно было бы судить о возмож-
возможности развития трещины. Так в механике трещин и поступают. Однако
достаточно общего стабильного критерия найти не удается.
Это* обусловлено тем, что на сопротивляемость материала зарожде-
зарождению и развитию трещин влияет много различных факторов, часть
из которых трудно поддается учету и взаимосвязь которых еще не-
недостаточно ясна. К таким факторам, кроме теоретической прочности
и пластических свойств (в частности, при больших растягивающих
напряжениях), можно отнести температуру, „историю" деформирова-
деформирования, влияние внешней среды, остаточные напряжения, конструктив-
конструктивные и технологические дефекты и пр.
В связи с этим не следует думать, что единственная цель теории -
дать методы расчета прочности конструкции, в которой появилась
трещина. Теория трещин должна служить для понимания, а не только
для расчета: для понимания того, как следует выбирать материал, как
его испытывать, как проектировать конструкцию, какие требования
необходимо предъявить к технологии ее изготовления, чтобы исклю-
исключить или уменьшить вероятность хрупкого разрушения. С учетом этой
-5-
цели наряду с экспериментами достаточно важным представляется
теоретический анализ модельных задач о трещинах. Расчетные методы
для статики и в особенности для динамики трещин необходимы также
при исследовании процессов разрушения и сопутствующих явлений
в других областях, например, как уже упоминалось, в сейсмологии
или в горном деле.
Данная книга в основном посвящена анализу внешней задачи
теории трещин, причем трещина трактуется как разрез по некоторой
поверхности внутри тела. Кроме того, обсуждаются вопросы, связан-
связанные с наиболее употребительными критериями роста трещины.
Рассматриваются типичные задачи статики трещин - в рамках
линейной теории упругости, а также в „балочном приближении", при
котором асимптотически точно определяется поток энергии, стекаю-
стекающей в край трещины при ее продвижении. Приводятся различные спо-
способы расчета потока энергии. Отмечается, что энергетический и сило-
силовой критерии не эквивалентны. В частности, это обнаруживается при
анализе задачи об изменении направления роста трещины.
Из линейной теории упругости следует, что, по крайней мере
в условиях медленного роста трещины, вся высвобождающаяся энер-
энергия деформации тела должна поглощаться при образовании новых
поверхностей. Показано, что этот парадоксальный вывод - следствие
некорректности континуальной модели упругой среды (без внутрен-
внутренней структуры), не позволяющей описать возможный отток энергии
от края трещины.
Полученные на основе линейной теории упругости решения задач
о трещине не удовлетворяют условиям применимости этой теории:
повороты оказываются большими, деформации - неограниченными.
В связи с этим рассматривается геометрически точная модель сплош-
сплошной упругой среды. Даются две интерпретации линейной теории упру-
упругости как геометрически точной теории, в которой связь между напря-
напряжениями и градиентом перемещения определяется законом Гука.
Далее на основе геометрически точных соотношений делаются
некоторые общие выводы о состоянии у края трещины. При этом
конкретные физические зависимости не привлекаются, вводятся лишь
предположения об упругости, т. е. о том, что энергия деформации
потенциальна, или об устойчивости материала.
Рассматриваются квазистатические задачи о трещине в упруго-
пластическом материале. Исследуется распределение напряжений
и деформаций у края трещины в условиях, когда при нагружении тела
трещина не растет и когда трещина растет в нагруженном теле. Анализ
проводится на основе геометрически линейных соотношений при усло-
условии текучести Треска - Сен-Венана и ассоциированном законе пласти-
пластического течения.
Для этих двух случаев результаты оказываются существенно раз-
разными. Первый отвечает, по существу, некоторому нелинейно-упругому
телу. При этом учет пластичности приводит к увеличению концентрации
деформаций. Во втором случае, когда при продвижении трещины
реализуется разгрузка, пластичность ослабляет концентрацию дефор-
деформаций, в результате чего в край трещины энергия не стекает: вся
энергия, высвобождающаяся в упругой области, поглощается в пласти-
пластической. Таким образом, в данной модели пластического течения
нельзя учесть поверхностную энергию, так что энергетический крите-
критерий Гриффитса здесь не подходит.
На основе деформационного критерия с учетом различия в кон-
концентрации деформаций, отвечающих указанным двум состояниям,
объясняется возможность устойчивого роста трещины при увеличении
нагрузки на тело, а также развитие трещины при циклических
нагрузках.
Рассматриваются типичные задачи динамики трещин в линейно-
упругом теле. Исследуются стационарная, нестационарная и автомо-
автомодельная задачи. Плоская задача о неравномерно движущейся трещине
решается на основе факторизации, приводящей к расщеплению фунда-
фундаментального решения (решения задачи Лэмба) на направленные волно-
волновые возмущения. Представлено решение соответствующей смешанной
задачи и для того случая, когда скорость точки раздела граничных
условий (скорость края трещины) переходит через критическое зна-
значение, в частности через значение скорости волн Рэлея. Автомодель-
Автомодельные задачи решаются путем привлечения аналитических представле-
представлений, которые даются формулой обращения двойного интегрального
преобразования.
Наряду с „точным" рассматривается более простое приближенное
описание динамики трещин. Построены графики функций, входящих
в точные и приближенные решения.
С ростом скорости трещины при фиксированном коэффициенте
интенсивности напряжений поток энергии в ее край неограниченно
увеличивается. В результате должен увеличиться и отток энергии.
Роль этого фактора обсуждается в связи с известным эксперименталь-
экспериментальным результатом - более низким уровнем предельной скорости тре-
трещины по сравнению с определяемым теорией упругости, т. е. по срав-
сравнению со скоростью волн Рэлея.
Рассматривается стационарная динамическая задача о распростра-
распространении трещины в упругопластическом теле. Основная особенность ре-
решения антиплоской задачи - снижение концентрации деформаций по
сравнению с квазистатикой. В плоской динамической задаче деформа-
деформации оказываются ограниченными и малыми при достаточно большой
скорости трещины. В этом случае полностью оправдывается примене-
применение геометрически линейных соотношений.
Чтение книги почти нигде не требует обращения к другим источ-
источникам. Сообщаемые в ней формулы и другие результаты, как правило,
выводятся. Исключением являются лишь некоторые общеизвестные
соотношения, например формулы Колосова-Мусхелишвили, которые
приводятся без вывода. В первых параграфах каждой из четырех глав
сообщаются необходимые для дальнейшего сведения из соответствую-
соответствующей теории сплошной среды. Предполагается, однако, что читатель
- 7-
знаком с основами теории функций комплексной переменной, с
интегральными преобразованиями, а также с обобщенными функция-
функциями и их аналитическими представлениями.
По различным аспектам механики трещин имеется довольно много
книг (часть из них указана в списке литературы). Данная книга, одна-
однако, отличается от ранее опубликованных известных автору книг не
только изложением, но и содержанием.
Читатель, интересующийся библиографией по каким-либо вопро-
вопросам механики трещин, должен обратиться к другим источникам, так
как по ссылкам, сделанным в данной книге, нельзя составить пред-
представление о громадной журнальной литературе. К тому же ссылки
не всегда даются на первоисточники.
В книге принята нумерация формул по параграфам. При ссылке
на формулу другой главы дополнительно указывается номер этой гла-
главы. Например, если упоминается формула C.2.1), то это означает
ссылку на формулу B.1) третьей главы.
Существенные замечания по первоначальному тексту книги
сделал ее научный редактор В. В. Новожилов. Рукопись читали также
Е. И. Григорьева, . А. М. Михайлов (гл. 1), В. А. Сарайкин (гл. 4),
К. Ф. Черных (гл. 2), Е. И. Григорьева и В. А. Сарайкин провели, кроме
того, расчеты к иллюстрациям. Автор выражает всем им искреннюю
признательность.
ГЛАВА 1
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ
КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ
И НЕКОТОРЫЕ ЕГО
СЛЕДСТВИЯ
Развитие разрушения - разрыв межатомных связей - проявляется
на макроуровне, т. е. в теории сплошной среды, в изменении жестко-
жесткости тела, что влечет за собой выделение энергии. Критерий Гриф-
фитса - критерий распространения трещины - состоит в том, что если
этой энергии достаточно для образования новой поверхности, точнее,
если выделяющаяся энергия не меньше поверхностной, то будет
развиваться трещина. То же заключение можно сделать и относительно
повреждений, распределенных по объему тела. Локализация - образо-
образование магистральной трещины - может происходить после длитель-
длительного накопления повреждений или сразу же после достижения напря-
напряжениями критического уровня, почти одновременно с возникнове-
возникновением повреждений, распределенных по объему. Но независимо от типа
и уровня объемных повреждений выделяющаяся из упругого тела
энергия пропорциональна напряжениям и, следовательно, отвечающий
им критерий состоит в нормировании напряжений.
В § 1.1 формулируется и обсуждается указанный энергетический
критерий. В следующем параграфе на простейших моделях упругих
тел (в „балочном приближении") продемонстрировано применение
этого критерия. Учет обеих возможностей - распространения трещины
и разрушения по классическому критерию (по уровню напряжений) -
позволяет, как показано в § 1.2, описать сильный масштабный эффект,
в частности изменение типа разрушения при увеличении размера.
В § 1.3 рассматриваются различные способы вычисления энергии,
высвобождающейся из упругого тела при росте трещины.
§1.1. Общие энергетические соотношения
и критерии разрушения
Рассмотрим упругое тело, на которое действуют обобщенные силы
Рк. Как известно, при фиксированных силах полная энергия
A~U-lPKuK A.1)
в положении устойчивого равновесия (локально) минимальна ([/- по-
потенциальная энергия деформации, ик - обобщенные перемещения).
Этот минимум достигается на возможных вариациях перемещений,
не приводящих к изменению жесткости тела. Последнее ограничение
-9-
существенно. Если его снять, то минимум А окажется недостижимым.
Действительно, пусть данное состояние равновесное. Нанесем телу
некоторое (малое) повреждение, которое уменьшит его сопротивление
деформации в каком-либо месте, например надрежем его. При этом
рассматриваемое состояние уже не будет равновесным. Тогда при
переходе к новому положению равновесия полная энергия уменьшится:
6А = 6U -
Q.
A.2)
Таким образом, в случае повреждения, нанесенного напряжен-
напряженному упругому телу, переход к новому равновесному состоянию
в силу A.2) сопровождается выделением энергии - работа внешних
сил на дополнительных перемещениях оказывается больше увеличе-
увеличения потенциальной энергии деформации.
Для частного случая - разреза в линейно-упругом теле - этот факт
можно проиллюстрировать диаграммой Р- и (рис. 1.1). Вначале тело
нагружается по „пути" ОА, затем проводится некоторый разрез, умень-
уменьшающий жесткость тела (нагружению тела с разрезом соответствует
„путь" ОВ). При этом обобщенное перемещение увеличивается на дли-
длину отрезка АВ, а работа силы Р (численно равная площади фигуры
0ABD) превышает накопленную потенциальную энергию (площадь
0BD) ровно на столько же, на сколько увеличилась потенциальная
энергия в результате надреза (площадь треугольника ОАВ, равная
разности площадей 0BD и О АС).
Рассмотрим пример. Пусть упругая полоса растянута в поперечном
направлении и так закреплена. Будем ее медленно разрезать в про-
продольном направлении. Тогда вследствие разгрузки энергия, запасен-
запасенная при растяжении полосы, будет высвобождаться.
Итак, при повреждении энергия выделяется. Почему же тогда
твердое тело не разрушается самопроизвольно и чем обусловлена его
прочность? Ответ на этот вопрос очевиден: повреждения сами по себе,
без затрат энергии, не возникают. Ясно, что если выделяющаяся при
данном возможном повреждении энергия меньше требуемой - погло-
поглощаемой при том же повреждении, то такое повреждение без воздей-
воздействия извне (без применения „режущего инструмента") произойти
не может. При обратном неравенстве разрушение будет происходить
динамически, равенству соответствует квазистатическое, сколь угодно
медленное разрушение, в процессе
которого непрерывно поддержи-
поддерживается состояние равновесия.
Предположим, что существуют
несколько типов повреждений, часть
из которых распределена по объему
(поры, рассеянные микротрещины), -
затраты энергии пропорциональны
о" объему, охваченному данным типом
повреждения, а часть - по поверх-
Рис. 1.1. ности (поверхности скольжения,
_В
О
Ъ
-10-
трещины отрыва), при этом энергия пропорциональна площади поверх-
поверхности, на которой сосредоточены повреждения. Пополним функционал
A.1) энергией повреждений, положив
т п
A =U + ZpKVK +ZyKSK - ZPKuKi A.3)
к=1 к=1 к
гдерк,ук - соответствующие плотности энергии, которые по предполо-
предположению могут зависеть от „пути" деформации и разрушения, но не за-
зависят от охваченных данным типом повреждения объемов VK и площа-
площадей поверхностей SK.
Повреждения обычно необратимы, и поэтому, допустив вариации
перемещений, приводящие к увеличению в каком-либо месте VK или
(и) SK, можно сформулировать условие прочности в виде
т п
ЬА = 6G + IpK6VfC +IyKbSK - ZPK?>uK > 0 A.4)
при любых 6и, если хотя бы одна из вариаций б VK, 6SK отлична от нуля
(в противном случае первая вариация А в положении равновесия
равна нулю). Равенство нулю левой части A.4) отвечает предельному
состоянию. (Энергетическому анализу развивающихся повреждений
посвящена статья [29].)
Размерность рк - напряжение, и поэтому критерий прочности A.4)
по объемным повреждениям аналогичен классическим критериям
прочности в напряжениях (конкретное соответствие определяется
зависимостью рк от вида напряженного состояния и от „истории"
деформации). Что же касается критерия прочности по поверхностным
повреждениям, то ввиду отличия в размерности (размерность пара-
параметра ук - Н/м), он не сводится к классическим критериям. Поэтому
и критерий развития трещины не сводится к нормированию напряжений.
А. Гриффите положил начало теории трещин [137, 138], постулиро-
постулировав критерий их устойчивости (распространения) в виде
71=27(ш = 0,п = 1), A.5)
где У - поверхностная энергия (поверхностное натяжение). Коэффи-
Коэффициент 2 в формуле A.5) введен из-за того, что трещина создает две
поверхности - два своих берега.
В пластичных материалах распространение трещины сопровожда-
сопровождается поглощением энергии при необратимых деформациях в движу-
движущейся вместе с трещиной пластической зоне. Эта энергия может на
несколько порядков превосходить поверхностную энергию. По предло-
предложению Г. Ирвина [140] и Е. Орована [145], ее учитывают как „эффек-
„эффективную" поверхностную энергию. Это обычно рассматривается как
существенный шаг в развитии теории, позволяющий распространить ее
на пластичные материалы. Следует, однако, иметь в виду, что в Отли-
Отличие от собственно поверхностной энергии, определяемой из незави-
независимых опытов, эффективная энергия находится из опытов по распро-
распространению трещин, т. е. из тех же опытов, для прогнозирования которых
используется ее значение [71]. Так что плата за расширение сферы дей-
действия теории велика. Трудности в определении эффективной поверх-
поверхностной энергии связаны с ее зависимостью от вида и „истории" напря-
напряженного состояния, а также от других факторов. Так, в условиях
плоской деформации ее значение обычно много меньше, чем при
плоском напряженном состоянии (когда размеры сквозной трещины
и пластической зоны достаточно велики по сравнению с толщиной
пластины, в которой развивается трещина). Задачей механики разру-
разрушения является определение эффективной поверхностной энергии как
функции поверхностного натЛжения, пластических свойств материа-
материала, его структуры, активности внешней среды, температуры и других
факторов - для возможных условий и вариантов развития разрушения.
К сказанному можно добавить, что и для идеально упругих мате-
материалов, где пластичность не проявляется, значение у в A.5) следует
увеличить по сравнению со значением поверхностного натяжения,
так как даже при медленном распространении трещины часть энергии
переходит в кинетическую энергию. Это обнаруживается при учете
структуры материала (см. гл. 6). Говоря в дальнейшем о поверхностной
энергии у, будем иметь в виду ее эффективное значение.
Критерий A.4) при т = О, п = 1 - критерий Гриффитса - можно рас-
рассматривать как классическую вариационную формулировку условия
равновесия, но для сплошной среды, наделенной (необратимой) по-
поверхностной энергией. Такая модель сплошной среды внутренне
непротиворечива и не нуждается ни в каком дополнительном крите-
критерии. Однако она недостаточно общая. Так, оставаясь в ее рамках,
нельзя описать возникновение трещин - разрушение тела без трещин
и вообще развитие недостаточно больших трещин.
Рассмотрим плоскую трещину диаметром d в безграничном (доста-
(достаточно большом) линейно-упругом напряженном теле. Пусть, для
простоты, напряжение на бесконечности, т. е. там, где влияние трещи-
трещины несущественно, характеризуется одной компонентой - тело растя-
растянуто по нормали к трещине напряжением о. Тогда, исходя из линейно-
линейности и соображений размерности, получаем, что при расширении трещи-
трещины на единицу приращения ее площади выделяется энергия, пропор-
пропорциональная o2d/E, где Е- модуль упругости (не выписанный здесь
коэффициент пропорциональности не зависит от указанных величин).
Таким образом, если размер трещины d недостаточно велик, выделяю-
выделяющаяся энергия окажется меньше требуемой и, следовательно, трещина
расти не будет.
Приходим к парадоксальному выводу: с уменьшением размера
трещины прочность тела неограниченно возрастает. Конечно, устой-
устойчивость здесь только локальная. В самом деле, энергия, выделяющая-
выделяющаяся при раскрытии трещины диаметром d, пропорциональна o2d3/E,
а поверхностная пропорциональна yd2, так что в отношении достаточ-
достаточно протяженной трещины имеет место неустойчивость „в большом".
Однако указанная энергия выделяется лишь при полном раскрытии
трещины, а поверхностная - поглощается в самом начале раскрытия.
Поэтому возникновение большой трещины, хотя и энергетически
- 12-
оправдано, требует преодоления энергетического барьера. Оценка
величины этого барьера, а именно им обусловлена прочность твердых
тел и, следовательно, само их существование, вытекает из равенства
o2d3/E -yd2- Отсюда минимальные значения диаметра трещины d
и энергетического барьера В оказываются (с точностью до числовых
коэффициентов) следующими:
d = yEo~2, B=y3E20~4. A.6)
Возьмем правдоподобные значения у = 103 Н/м, Е = 105 МПа,
о = 102 МПа. При этом d = 1 см, а барьер оказывается очень малым:
по порядку величины в = Ю^Н-м. Заметим, что поверхностное натя-
натяжение у * 1 Н/м, так что для хрупких материалов этот барьер ничтож-
ничтожно мал. Тем не менее должны существовать источники энергии, бла-
благодаря которым он преодолевается. Макроскопический опыт указы-
указывает на то, что источник содержится в предыдущей, менее локализиро-
локализированной форме процесса разрушения.
Вспомним основные стадии деформации стального образца при его
растяжении в испытательной машине: вначале это упругая деформа-
деформация, затем равномерно распределенное по длине образца пластиче-
пластическое течение, затем - образование шейки и, наконец, разрыв в резуль-
результате быстрого распространения поперечной трещины. Переход от одной
стадии к другой сопровождается все большей локализацией деформа-
деформаций. Так, упругая деформация равномерно распределена по объему
(измеренные относительные удлинения и сдвиги не меняются при
уменьшении базы измерения - элементов тела - вплоть до размеров,
близких к межатомным расстояниям), пластическое течение равномер-
равномерно охватывает образец в целом, однако при более пристальном рас-
рассмотрении оказывается, что оно в основном сосредоточено на удален-
удаленных друг от друга плоскостях скольжения. Образование шейки проис-
происходит в локальной области - на малом участке по длине образца,
а трещина представляет собой предельную локализацию: бесконечная
деформация - разрыв сплошности - сосредоточена на одной вновь
образованной поверхности, разделяющей образец на две части. Смена
стадий происходит в результате того, что дальнейшее развитие данной
стадии становится неустойчивым и оно подавляется последующей.
Подобная эволюция характерна и для других ситуаций: при дефор-
деформации материалов в составе конструкций, при намеренном разрушении,
в природных явлениях. Процесс деформации может быть и более
многообразным. Так, пластическое течение обычно сопровождается
разрыхлением материала, т. е. возникновением микротрещин, а рост
систем трещин и даже одной - „магистральной" в течение некоторого
времени (в некотором диапазоне изменения внешних нагрузок) может
быть устойчивым и происходить квазистатически, т. е. достаточно
медленно.
Из сказанного следует, что разрушение, разделяющее тело на
отдельные части, не является изолированным актом. Оно подготавли-
подготавливается всей „историей" предшествующей деформации.
- 13-
Учитывая все это, в принятой выше модели A.3), A.4) следует
сохранить влияние „объемных" повреждений, т. е. принять т > 0.
В простейшем варианте это означает, что наряду с критерием устой-
устойчивости существующей трещины, необходимо привлекать и класси-
классические критерии разрушения сплошного материала, выраженные
в напряжениях (или деформациях). Последние критерии, однако,
нельзя абсолютизировать, их нельзя применять для точек тела, лежа-
лежащих на краю трещины, так как там напряжения бесконечны. В резуль-
результате, сохранив лишь критерий по напряжениям, мы придем к другому
противоречию: при любой трещине тело лишено прочности. Таким
образом, необходимы оба критерия (они объединяются критерием
Новожилова - см. ниже).
Возникновение объемных повреждений (в значительной степени
обусловленное микронапряжениями), во-первых, может существенно
уменьшить энергетический барьер A.6) за счет понижения модуля
упругости в поврежденной области, а во-вторых, если оно происходит
динамически (из-за неустойчивости исходного „неповрежденного"
состояния), может сопровождаться выделением энергии, достаточной
для преодоления указанного барьера.
Возможность объемных повреждений не зависит от размеров обла-
области, так как и высвобождающаяся, и поглощаемая энергия пропорцио-
пропорциональны в этом случае объему. Однако для того, чтобы объемные
повреждения локализировались - привели к появлению трещины,
необходимо, чтобы они занимали достаточно большую область в соот-
соответствии с A.6).
Следует, однако, подчеркнуть, что модель сплошной среды не при-
приспособлена для описания подобных процессов. Локализация деформа-
деформаций (повреждений) связана с необходимостью создания поверхностной
энергии, а способностью отбирать энергию из трехмерной области
и сосредоточивать ее на поверхности обладает лишь уже существую-
существующая трещина, да и то при условии, что тело упругое. Эти трудности
снимаются переходом к более реалистической модели дискретной
среды.
Возникновение трещины в результате потери устойчивости равно-
равномерной деформации решетки прослежено В. В. Новожиловым [69, 70].
В указанных работах даны ориентировочные оценки для возможной
длины вновь образовавшейся трещины и предложен общий силовой
критерий, пригодный как для тел с трещинами, угловыми вырезами,
так и для обычной ситуации, когда напряжения и их градиенты огра-
ограничены. Критерий состоит в нормировании напряжений, осредненных
по некоторой области.
Исследованию взаимодействия трещин и областей объемных
повреждений посвящены работы В. В. Болотина [6, 7]. Эффекты локали-
локализации изучались Дж. Р. Райсом [80], А. Ф. Ревуженко и Е. И. Шемяки-
Шемякиным [82], Л. В. Никитиным и Е. И. Рыжаком (см. [54]).
В настоящее время вместо энергетического обычно употребляются
так называемые силовые критерии устойчивости трещин (силовой
критерий введен Г. Ирвином [141]), связанные с энергетическим.
- 14-
Мы рассмотрим их после определения напряжений у края трещины
в упругом теле. Вопросы, связанные с критериями квазистатического
роста и динамического распространения трещин в упругих, упруго-
пластических, дискретных телах, будут в дальнейшем обсуждаться
неоднократно.
§ 1.2. Балочное приближение и масштабный эффект
Механика разрушения представляет собой довольно сложную,
сильно математизированную науку, оперирующую с моделями линей-
но-и нелинейно-упругого, упругопластического, вязкоупругого тел,
с моделями, одновременно использующими понятия и методы механи-
механики, физики и химии, с моделями сплошных и дискретных сред, сред
с иерархией структур различного масштабного уровня; она изучает
процессы как в статике, так и в динамике. Вместе "с тем некоторые
достаточно существенные ее положения и результаты можно рассмот-
рассмотреть, не выходя за рамки стандартных понятий и методов курса сопро-
сопротивления материалов.
Балочное приближение в теории трещин (для динамики трещин
оно развито А. М. Михайловым [55]) представляет собой описание раз-
разрушения в рамках соответствующих упрощенных моделей упругих
тел. Точность этого приближения по существу та же, что и при его тра-
традиционном использовании для расчета напряжений: чем больше
гибкость балки, т. е. отношение ее длины к толщине, тем точнее опре-
определяется энергия ее деформации и, следовательно, изменение этой
энергии в процессе разрушения. Рассмотрим несколько типичных
задач об устойчивости трещин, используя энергетический критерий.
Отщепление лучины. Задача состоит в определении силы,
достаточной для дальнейшего распространения трещины (рис. 1.2).
В этих условиях, как отмечалось выше, высвобождающаяся энергия
равна увеличению потенциальной энергии деформации при вариации
длины трещины. Деформацией здесь охвачены балка („лучина") дли-
длиной / и, можно считать, какая-то область массивного упругого тела,
Рис. 1.2.
Рис. 1.3.
-15-
от которого балка отслаивается. Если h - толщина балки, Ь - ее
ширина иМ«1, справедливо асимптотическое равенство
\Р212 д I Р2\2 \]
6[/= +— С 6/, С = const, B.1)
[2EI а/ \ Eh2b /J
где дифференцируется по / энергия деформации дополнительная к
энергии изгиба балки (вид ее зависимости от указанных величин сле-
следует из линейности упругих свойств и соображений размерности).
Момент инерции / = ЬЛ3/12, поэтому второй член в правой части B.1)
порядка h/l по сравнению с первым и им можно пренебречь. Энерге-
Энергетический критерий 6U = 2уЬЫ приводит к зависимости
r.ri.№JL/l*L. B.2,
/ V 3 h
Но лучина может сломаться в результате изгиба. Критическое зна-
значение силы, определяемое из условия прочности для упругой балки
°max = 6Pl/(bh2) = oB, равно
1 h
Р = Р2= -bh~oB. B.3)
6 /
Здесь ов - предел прочности (временное сопротивление).
Формулы B.2), B.3) указывают на следующее. При достаточно
малой толщине лучины, когда Р2<Р1, отщепить ее нельзя: прежде чем
начнет распространяться трещина, лучина сломается (предполагается,
что некоторая начальная трещина существует). Если же толщина
достаточно велика, так что Рх <Р2, то будет распространяться трещи-
трещина. Как видно из формул B.2) и B.3), граничным значением толщины,
разделяющим области, отличающиеся типом разрушения, является
(рис. 1.3)
К = ПЕуо-2. B.4)
Таким образом, учет возможности распространения трещины при-
привел в данном случае к обнаружению сильного масштабного эффекта:
При геометрически подобном увеличении рассматриваемой системы
вначале (при h < h*) масштабного эффекта нет: критическая сила
растет пропорционально квадрату линейного размера (критические
напряжения сохраняются). Затем происходит смена характера разру-
разрушения - разрушение от нормальных напряжений при изгибе уступает
место отслоению. В дальнейшем критическое значение силы Р = РХ
пропорционально h3/2 и, следовательно, критические напряжения
убывают с увеличением размера.
В случае упругопластического материала изменятся лишь
- 16-
численные коэффициенты в формулах B.3), B.4) и, конечно, значитель-
значительно увеличится эффективная поверхностная энергия у.
Эта задача недавно была решена точно - как задача линейной
теории упругости, что позволило получить исчерпывающую информа-
информацию о напряженном состоянии вблизи края трещины [27].
Трещина по склейке. Пусть балка толщиной 2h, склеенная
из двух одинаковых балок (толщиной h), находится в условиях чисто-
чистого изгиба. Какова должна быть эффективная поверхностная энергия
склейки, чтобы последняя не нарушилась, т. е. чтобы балка деформи-
деформировалась как целая?
Надо заметить, что ввиду отсутствия касательных напряжений в
поперечном сечении (чистый изгиб) может показаться, что никакой
прочности от склейки вообще не надо требовать. В действительности
мы обычно не рассматриваем торцы балки, где приложена внешняя на-
нагрузка. Если же ее распределение отличается от такового для внутрен-
внутренних нормальных напряжений (в неповрежденной балке), то при рас-
расслоении, вообще говоря, изменится распределение напряжений в по-
поперечном сечении и это приведет к высвобождению энергии. Если исхо-
исходить из требования гарантированной прочности (при любых торцевых
распределениях нормальных нагрузок), т. е. ставить требование
„с запасом", то следует считать, что торцевой момент приложен лишь
к одной из склеенных балок. Тогда (для балок прямоугольного попе-
поперечного сечения) начальная JJ0 и после отслоения U1 плотности потен-
потенциальной энергии деформации следующие:
Uo =3M2/DEh3b), Ux =6M2/(Eh3b).
Критическое значение изгибающего момента определяется соотноше-
соотношением их - U0 = 2yb- Отсюда
М=Мг=Ь — Eyh3. B.5)
V 21
Но из условия прочности при изгибе (по-прежнему предполагаем нали-
наличие некоторой начальной трещины)
1
M = M2= — bh2oB. B.6)
6
Формулы B.5), B.6) при у = const приводят к тем же выводам
о масштабном эффекте, что и в предыдущем примере. Равнопрочность
(М! = М2) достигается, если
Отсюда видно, что выполнение требования к эффективной поверхностной
2-171 -17-
Рис. 1.4.
энергии склейки 7 ^ У* приводит
к необходимости учета масштабного
эффекта: указанная энергия должна
расти пропорционально толщине
склеиваемых балок.
Разрушение вала при
кручении (рис. 1.4). Критерий
развития кольцевой трещины имеет
вид
И2 _ М2
2GID ~ nGr4
¦ = 2пг2у,
где G-модуль сдвига, г-радиус вала. Отсюда М =M1=2n^Gyr5.
Условие прочности на срез (для^упругого вала)
Mr Ш
Jmax
и, следовательно, вал срежется при М =М2
л
=7°вГ3'
Таким образом, получается, по существу, тот же масштабный
эффект, что и в первом примере: при г<г4( вал срезается, при г> г*
распространяется кольцевая трещина. Из равенства М± =М2 находим
г* = l6Gyo~2.
Разрушение льда. В результате действия вертикальной силы
в ледяном покрове могут развиваться радиальные трещины. Из урав-
уравнения изгиба упругой пластины, лежащей на поверхности воды, сле-
следует, что в качестве естественной единицы длины можно взять
А. = [?h3/A2(l - v2)pg)]1/4, где h - толщина льда; v - коэффициент
Пуассона; р - плотность воды; g - ускорение свободного падения,
а перемещение можно представить в виде u = Pu/(pgX2), где и зависит
лишь от длины радиальных трещин, отнесенной к X (обозначим ее
через L).
Учитывая, что скорость увеличения потенциальной энергии дефор-
деформации в условиях квазистатического развития трещин равна скорости
роста энергии разрушения (за счет роста площади трещин)
Р26
= 2yhknL,
где п - число радиальных трещин, находим
P = {nydi)/dLI/2[A2(\ - v^
Отсюда видно, что в сходных условиях продолжающегося разрушения
- 18-
сила пропорциональна толщине льда в степени 13/8 (производная do /dL
от h не зависит).
При достаточно большом усилии реализуется альтернативный
механизм разрушения - в соответствии с классическим критерием -
от изгиба. В последнем случае масштабный эффект отсутствует и сила
пропорциональна h2- Таким образом, смена механизмов разрушения
при увеличении толщины льда затягивается и это необходимо прини-
принимать во внимание при моделировании.
Выявление и описание масштабных эффектов - одно из важных
приложений механики разрушения. Масштабные эффекты возникают,
конечно, не только в тех ситуациях, в которых оправдано балочное
приближение. Вводя критерий разрушения, мы неизбежно вводим
и некоторый характерный для данного материала размер, который
отсутствует в классических моделях упругого и упругопластического
тел, например у/Е-С этим размером связан масштабный эффект, учет
которого необходим при постановке модельных экспериментов и при
пересчете их результатов на натурные условия. Масштабный эффект
может проявиться по-разному в зависимости от конфигурации и на-
напряженного состояния тела или элемента конструкции, из которого
трещина черпает энергию для своего роста. В некоторых случаях,
в частности в рассмотренных выше, масштабный эффект проявляется
достаточно отчетливо и легко теоретически оценивается. Перечень
подобных -примеров можно продолжить. Так, радиус фронта кониче-
конических трещин, возникающих под действием внутреннего давления
в упругом полом шаре, оказывается пропорциональным радиусу
полости в степени 4/3 [12], а в плоской задаче - квадрату радиуса.
Но можно привести и такие примеры, когда масштабный эффект,
вносимый трещиной, количественно выразить намного сложнее.
Так, на эффективную поверхностную энергию, а следовательно, на
прочность влияют самоуравновешенные остаточные напряжения,
энергия которых частично высвобождается при росте трещины. Ясно,
что плотность высвобождающейся энергии (приходящейся на единицу
приращения площади трещины) и тем самым ее влияние на прочность
зависят от размеров тела (с увеличением размеров прочность должна
понижаться, что и обнаруживается на самом деле), но каковы здесь
количественные соотношения, не установлено. Далее, при определе-
определении трещиностойкости материала на лабораторных образцах (на тон-
тонких пластинах с трещиной) не удается удовлетворить условиям подо-
подобия, обеспечивающим возможность распространить выводы из таких
испытаний на крупногабаритные натурные конструкции. Дело в том,
что сохраняя отношение длины трещины к толщине пластины, мы
не можем сохранить отношение критических напряжений к пределу
текучести. Выход из этого положения лежит в развитии методов нели-
нелинейной механики разрушения, явно учитывающей пластические
Деформации у края трещины.
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, энергия, выделяю-
выделяющаяся при расширении трещины, приходящаяся на единицу прираще-
приращения ее площади, пропорциональна o2d/E. Отсюда и из энергетического
- 19-
критерия следует, что критические напряжения о* =const -d~1/2.
В опытах со сферическими и цилиндрическими стеклянными кол-
колбами Гриффите получил очень хорошее соответствие этой зависимости.
Колбы были прорезаны и изолированы изнутри, после чего в них соз-
создавалось внутреннее давление. Цилиндрические трубки, в которых
трещины были параллельны оси, подвергались, кроме того, осевому
сжатию. Тем самым создавались условия, близкие к равномерному
(если не учитывать влияния трещины) плоскому напряженному со-
состоянию с различным соотношением между напряжениями, действую-
действующими поперек и вдоль трещины.
В соответствии с описанной выше теорией, действующие вдоль тре-
трещины напряжения не должны оказывать влияния на ее развитие.
Такое влияние отсутствовало и в опытах (осевые напряжения изме-
изменялись от о/2 до - о, где о - кольцевые напряжения). Заметим здесь,
что в пластичных материалах роль продольных напряжений может
быть значительной.
Отклонения величины о*д/^~от средней при изменении длины тре-
трещины от 0,4 до 2,3 см составляли в опытах Гриффитса менее 5%. Таким
образом, с довольно высокой точностью критическое напряжение дей-
действительно оказалось обратно пропорциональным у/сГ.
Основываясь на результатах этих опытов, можно было также опре-
определить поверхностную энергию. Она оказалась равной 1,8Дж/м2.
Экстраполяция ее значений, полученных непосредственными измере-
измерениями в некотором диапазоне сравнительно высоких температур
(когда ее можно измерить), привела Гриффитса к несколько меньшим
значениям: примерно 0,60 Дж/м2 (формула для о* была выведена
Гриффитсом с ошибкой, в результате чего величина у, полученная при
обработке опытов с трещинами по этой формуле, оказалась равной
0,45 Дж/м2, т. е. ближе к истинному значению, но меньше его).
Наличие характерного размера /0 позволяет считать, что в общем
случае в прочности тела существует масштабный эффект (этому посвя-
посвящена, в частности, статья [78]), который определяется некоторой зави-
зависимостью, например, о* = 0в/A//0), где I - размер тела. Из опыта
известно, что / - убывающая функция. Для не слишком больших зна-
значений L//o это объясняется тем, что с увеличением размеров тела уве-
увеличиваются и размеры дефектов, которые могут в нем существовать
(и фактически существуют). Затем, когда размеры тела становятся
достаточно большими, размеры дефектов могут стабилизироваться,
может стабилизироваться и прочность, но во многих случаях этого
не происходит - и масштабный эффект сохраняется.
§ 1.3. Способы определения потока энергии
Способ определения энергии, высвобождающейся при росте тре-
трещин, указанный в § 1.1, основан на вычислении изменения потенциаль-
потенциальной энергии деформации тела и работы действующих на него внешних
сил при вариации размера трещины. Непосредственное его применение
-20-
часто оказывается неудобным: оно требует определения перемещений
везде, где приложены внешние силы. Кроме того, если тело полага-
полагается бесконечным и деформируемым внешними силами, приложенны-
приложенными на бесконечности, вариация перемещений там, где ее нужно опре-
определить, оказывается равной нулю, даже если вариация работы внеш-
внешних сил отлична от нуля, а сама эта работа и потенциальная энергия
деформации бесконечны.
Задачу можно существенно упростить, если учесть, что количество
выделяющейся энергии зависит от вариации перемещений лишь в той
области, где происходит разрушение (это следует из того, что при лю-
любой вариации перемещений, не нарушающей сплошности тела, 6Л = 0).
Поэтому существуют и „локальные" способы определения искомой
величины, основанные на учете напряжений и перемещений в месте
возможного разрушения. Один из таких способов был использован
в§ 1.2, где отмечалось, что в линейной задаче об отслоении балки
высвобождающаяся энергия - &А = U06l, где Uo - энергия деформации
балки, приходящаяся на единицу ее длины у края трещины. Рас-
Рассмотрим некоторые другие способы.
Внешние силы, действующие на линейно-упругое тело с трещиной,
обычно „переносят" на ее берега, т. е. рассматривают второе состояние
(см. § 2.2), вычитая из напряжений и перемещений их значения, соот-
соответствующие первому состоянию - тем же условиям, но для тела без
трещины. Покажем, что указанная замена не влияет на вычисляемую
величину потока энергии.
Рассмотрим обобщенную плоскую задачу. Пусть тело занимает
область Q, F- внешние силы, приложенные вне трещины (силы, сосре-
сосредоточенные на поверхностях, линиях или точках, выражаются с помо-
помощью обобщенных функций), L - длина трещины. Энергия, высвобож-
высвобождающаяся при вариации (увеличении) длины трещины за счет движе-
движения одного ее края,
ди dU
В линейном случае работа внешних сил
1
Q
и, как уже отмечалось в § 1.1, из C.1) следует
1 Г ди
ж"а- <3-2)
Q
Напомним, что при вариации L внешние силы полагаются неизменными.
Представим перемещение суммой и = их + и2, где индексы отвечают
- 21-
указанным выше состояниям. Внешние силы второго состояния - нап-
напряжения о, действующие на берега трещины, равные (с обратным
знаком) напряжениям первого состояния, действующим на линию тре-
трещины (здесь мы рассматриваем их как сосредоточенные на поверхно-
поверхности объемные силы). Имеем
1 Г 1ди. дщ
,dL dL
Но dujdh s 0, а по теореме взаимности (Бетти)
l(F- о) • duJdLdu = So * duJdLdQ = 0. Поэтому
Q Q
1 Г ди2
Г = —la 2dQ. C.3)
2) dL
о
Итак, формулы C.2) и C.3) эквивалентны.
Рассмотрим теперь локальный способ вычисления потока энергии.
Пусть трещина у своего края (х = 0) касается оси х. Напряжения на
продолжении трещины (х > 0) оу, действующие со стороны у > 0 на сто-
сторону у < 0, обозначим как O+(L, x). Снимем (квазистатически) эти
напряжения на бесконечно малом отрезке 6L. Это эквивалентно
продвижению трещины на тот же отрезок. Предположим, что раскры-
раскрытие трещины - разность перемещений верхнего и нижнего ее берегов
"в - "н = 2u_(L, х) - непрерывно по L;
uJL + 61, х + 61) - u_(L, x) FL - 0).
Тогда в силу линейности задачи выделится энергия (с точностью до ма-
малых высшего порядка)
Ы
ТЫ = — o+{L, х) • [2uJL, х - &L}dx.
о
Учитывая, что о+(^) = 0 при х < 0, а ы_(*) = 0 при х >0, получаем отсюда
(указание на длину трещины опускаем)
оо
1 Г й
Т= lim ojx) и (х- 6L)dx=lim \ojx) * и (- х)]. C.4)
6L-*o6L J х-о dx -
~СХ)
Эта формула применима во всех случаях, когда задача линейна1 [104].
Например, в задаче об отщеплении лучины (см. § 1.2)
В § 5.2 показано, что она справедлива и для динамики.
-22-
о+=лг(*)=р06(х)+м06'(х), _..._ ¦;..„ 2 .„ 6
?/о+(х) * «_(- х) = -Р20^ + М* у (Ро = Р(- 0), М0 = М(- 0)),
Предел C.4) удобно представить еще и в другом виде [104]. Прове-
Проведем преобразование Фурье над сверткой C.4). Учитывая, что ее носи-
носитель - правая полуось х, для вычисления предела производной можно
воспользоваться известной теоремой (обычно формулируемой для
преобразования Лапласа). Итак, если предел C.4) существует, то
он равен
= lim р2о/(ф)
C.5)
Еще один способ, который мы здесь рассмотрим, состоит в непо-
непосредственном определении потока энергии через контур, окружающий
край движущейся трещины. Вновь рассмотрим плоскую задачу. Про-
Проведем контур Г, охватывающий край трещины (сплошная кривая
на рис. 1.5). Пусть край трещины и контур движутся вправо со скоро-
скоростью и относительно среды. Скорость полагаем настолько малой, что
динамическими эффектами можно пренебречь. Поток энергии в
область Q, ограниченную контуром Г, через этот контур
Г ди
iV= \Uoudy+o- — dT, C.6)
J &
г
где первый член под интегралом определяет конвективный потек
энергии (Uo - плотность потенциальной энергии деформации), вто-
второй - работу (мощность) напряжений о, внешних по отношению к Q.
В общем случае, стягивая контур к краю трещины, найдем в пределе
энергию, стекающую в ее край при ее единичном продвижении: T = N/o.
Предполагая непрерывность раскрытия трещины в указанном
выше смысле, представим перемещение в виде
ит = Ajt, х, у)иот{х - ut, у), т = 1, 2, 3,
где Ат - непрерывная функция t, в данный момент (t=0)Am = l.
В производной
dujdt = uom{x, y)dAjdt - и диот/дх {t = 0)
- 23-
первый член не связан с ростом тре-
трещины и поэтому не дает вклада в по-
поток энергии в ее край: в пределе,
когда контур стягивается в точку,
Рис. 1.5. " |отЦо^Дт^Г=0. C.7)
Итак, в указанном пределе из C.6)
получаем
Г ди
T = \Uody-o dT. C.8)
Jr дх
Интеграл C.8) по произвольному замкнутому контуру называет-
называется1 J-интегралом [79,147] или Г-интегралом [117,127]. Если контур
Г ограничивает область без особых точек (точек, в которых не вы-
выполняются однородные уравнения равновесия или уравнения сов-
совместности деформаций), то он равен нулю. Действительно, он пред-
представляет собой поток энергии внутрь контура при стационарном
перемещении поля напряжений и перемещений вместе с контуром.
При этом в ограниченной контуром области энергия неизменна,
итак как там нет источников (стоков) энергии, нет и потока (сум-
(суммарного) через Г.
Дополним контур Г контуром, изображенным на рис. 1.5 пункти-
пунктиром. Вместе с Г он образует замкнутый контур, ограничивающий
область, не содержащую особых точек (если, конечно, в ней нет внеш-
внешних сил). Интеграл C.8) по горизонтальным его участкам равен нулю,
если на этих участках к берегам трещины не приложены напряжения.
Поэтому интеграл по Г' совпадает с интегралом по Г. Таким образом,
установлена инвариантность интеграла C.8): он не зависит от контура,
охватывающего край трещины, если в ограниченной им области нет
внешних сил и трещина лежит на прямолинейной оси х.
Если контуром Г охватить всю (конечную) прямолинейную тре-
трещину, то интеграл C.8) будет определять разность потоков энергии при
возможном ее расширении вправо и влево. Действительно, при смеще-
смещении трещины вправо [чему отвечает интеграл C.8)] слева она будет
закрываться - левый ее край будет источником энергии.
В случае пространственной трещины проведем в данной точке (где
она и ее контур предполагаются гладкими) плоскость перпендикуляр-
перпендикулярно трещине и ее контуру. Тогда вблизи пересечения этой плоскости
с контуром трещины состояние соответствует обобщенной плоской
задаче и для определения энергии, стекающей в край трещины при рас-
расширении ее следа в данной плоскости, можно использовать формулы
C.4), C.5). Что же касается интеграла C.8), то он будет отвечать свое-
своему назначению лишь при стягивании к контуру трещины.
1 В 1951 г. этот интеграл применительно к смещению произвольной сингу-
сингулярности был указан Дж. Эшелби (см. [123]).
-24-
Если рассматривать переход к новому равновесному состоянию,
отвечающему удлинению трещины на 6L, как варьирование некоторой
обобщенной координаты, то высвобождающаяся энергия Т (приходя-
(приходящаяся на единицу приращения площади трещины) - соответствующая
ей обобщенная сила, называемая силой, движущей трещину [9] (то же
относится и к любой другой сингулярности [123]). Она называется
также конфигурационной силой [118]. Следует подчеркнуть, что она не
является силой в обычном смысле, так как подрастание трещины или
смещение какой-либо другой особой точки не эквивалентно смещению
точки тела, к которой эта сила была бы приложена. Другой пример
подобной ситуации дает „самодвижущееся" тело. Пусть тело, напри-
например судно, самостоятельно движется в воде с постоянной скоростью.
В этом случае действующий на него главный вектор сил равен нулю;
следовательно, и на воду не действует сила (винт толкает воду назад,
корпус вперед, а суммарная сила равна нулю). Однако яско, что
существует поток энергии от тела в воду: об этом свидетельствуют
вихри и волны. Кстати, ниоткуда не следует, что „конфигурационная"
сила, создаваемая тунцом или дельфином для своего движения, не мо-
может меньше обычной силы - буксировочного сопротивления. Такого
рода эффекты - работа при отсутствии обычной силы - возникают вся-
всякий раз, когда „микроскопический" механизм не описывается явно
в макроскопической теории и проявляется в ней лишь в виде особой
точки как потенциальный источник или потребитель энергии. Можно
сказать, что особые точки (линии) представляют собой каналы обмена
энергией между макро- и микроуровнями. При этом суждение о рав-
равновесии нельзя вынести, основываясь лишь на соотношениях макро-
макроскопической теории, т. е. на подсчете энергии, высвобождающейся
на макроуровне, необходимы еще данные о мощности источника.
В теории трещин- это эффективная поверхностная энергия, определяе-
определяемая экспериментально. В принципе ее можно найти и теоретически,
но для этого необходимо привлечь данные о микроструктуре, необхо-
необходимо выйти за рамки макроскопической теории и явно описать меха-
механизм, в котором работа совершается с помощью сил (см. гл. 6).
Инвариантный интеграл C.8) можно применить для вычисления по-
потока энергии в произвольную особую точку (линию, поверхность) поля
напряжений при ее смещении относительно среды (при смещении
вместе со средой интеграл дает главный вектор сил, действующих
в области, ограниченной контуром Г; соответственно при повороте -
главный момент). В пространственном случае формула C.8) приобре-
приобретает вид
Т = llUQdydz -о —dS, C.9)
s дх
где S - замкнутая поверхность, ограничивающая область У, в которой
содержится особенность поля. Таким путем можно определить взаимо-
взаимодействие данной особенности, отвечающей, например, микроскопическому
-25-
включению или дислокации, с полем напряжений от заданной системы
внешних сил или взаимодействие особенностей друг с другом [118, 123].
Необходимо, однако, помнить, что это взаимодействие - сток энергии
в особую точку при ее смещении соответствует стационарной вариа-
вариации - смещению внешних сил вместе с особенностью. Если же при
вариации положения особой точки внешние силы не смещать, сток
энергии, вообще говоря, будет другим (в случае трещины он сохраня-
сохраняется). Величина Г по зависимости C.9) будет равна стоку энергии и при
неподвижных внешних силах только при условии типа C.7), иначе
говоря, только в том случае, когда смещение внешних сил не сопро-
сопровождается потоком энергии в неподвижную особую точку.
При необходимости, кроме механической энергии, в формулах
C.8), C.9) можно учесть и другие ее виды [117].
ГЛАВА 2
СТАТИКА ТРЕЩИН
В ЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ТЕЛЕ
В так называемой линейной механике разрушения полагается, что
напряженно-деформированное состояние тела с трещиной определя-
определяется линейной теорией упругости. В этой главе в рамках указанной
теории рассматриваются методы и результаты решения типичных
плоских и пространственных задач статики.
У края трещины напряжения и деформации оказываются неогра-
неограниченными, повороты- большими, т. е. там линейная теория непри-
непригодна. Поэтому решения для малой окрестности края трещины, полу-
полученные на основе линейной теории, следует рассматривать как проме-
промежуточную асимптотику, которая, по предположению, позволяет судить
(например, с помощью силовых критериев - см. § 2.2) о равновесии
тела с трещиной. Что же касается потока энергии в край трещины при
ее росте в упругом теле, то линейная теория определяет его правильно,
так как эта энергия поступает в основном из далеких от края областей,
где линейная теория справедлива. Более подробная интерпретация ре-
решений задач в рамках линейной теории упругости представлена в гл. 3.
§2.1. Основные соотношения линейной теории упругости
для однородной изотропной среды
Состояние сплошной линейно-упругой среды характеризуется век-
вектором перемещений и и тензором напряжений omn(m, п = 1, 2, 3), между
которыми имеется линейная связь - обобщенный закон Гука:
дип/дхт) + Х6тп div и. A.1)
-26-
Здесь отп - проекция на ось хп вектора напряжения, действующего
на площадку со стороны нормали, направленной вдоль оси хт; Х9 \i -
постоянные, характеризующие упругость среды (константы Ламе);
ит - соответствующая компонента вектора и; хт - ортогональные пря-
прямолинейные координаты; Ьтп - символ Кронекера (бшп = 1 при т = п9
5mn = 0 при т Ф п). Напряжения удовлетворяют уравнениям равно-
равновесия
Z domn/dxm = -Fn, A.2)
где Fn - проекция внешних объемных сил на ось хп.
В линейной теории компоненты тензора деформации: етп =
= 1/2(дит/дхп + дип/дхт) - относительное удлинение (т = п) или угол
сдвига (т Ф п); е = div и - объемное расширение; вектор о) = 1/2 rot и
определяет поворот. Предполагается, что все эти величины малы по
сравнению с единицей.
Будем рассматривать обобщенную плоскую задачу - плоскую
и антиплоскую, в которой предполагается, что перемещения и напря-
напряжения зависят лишь от двух координат х19 х2 (за исключением компо-
компоненты и3 при плоском напряженном состоянии). Плоская задача
формулируется либо как задача о плоской деформации: и3 = const,
О1з = о2з = ^'°-зз = ^е> ли^° как заДача ° плоском напряженном состоя-
состоянии, когда пренебрегается напряжениями о13, о23, о33. При плоском
напряженном состоянии закон Гука принимает вид
Отп = ЦЬтп + [2Х\х/{\ + 2\i)](t11 + 622)бшп. A.3)
Как видно из сравнения зависимости A.3) с предыдущими соотно-
соотношениями, отличие от плоской деформации проявляется лишь в том,
что постоянная X в A.1) заменяется на 2Х\х/(Х + 2ц). Кроме того, при
плоском напряженном состоянии и3 Ф const:
и3 = ~[Хх3/(Х + гцЖе^ + е22) + const. A.4)
В антиплоской задаче их = и2 = 0. При этом среди компонент напря-
напряжений не равны тождественно нулю лишь о13, о23. Отсюда и из ра-
равенств A.1), A.2) следует
о23 = \1ди3/дх2,
Аи3 = д2и3/дх21 + д2и31до?2 = - F3/\x. A.5)
При исследовании плоской задачи вместо х19 х2, и19 и2 будем
употреблять обозначения х, у, и, и и соответственно изменим индексы
у напряжений {например, будем писать оху вместо о12).
Как известно [61], в плоской задаче при отсутствии внешних
объемных сил рассматриваемые величины выражаются через две
- 27-
аналитические функции ф и ф комплексной переменной z =
формулами Колосова-Мусхелишвили:
iu) = K(p(z) - z<p'{z) - ф(г), oxx + oyy = 4 Re (p'(z);
z) + ф'(*)). A.6)
Здесь при плоской деформации к = 3-4v, а при плоском напряженном
состоянии к = C - v)/(l + v), где v = X/[2{K + \i)] - коэффициент Пуассо-
Пуассона, и3 = w - определяется по A.4).
Рассмотрим два частных случая. Пусть на вещественной оси оху = 0.
Тогда из представления A.6) следует тождество Im (хф"(х) + Ф'w) = 0.
Экстраполируем его на всю комплексную плоскость, положив
() = <p(z) - z(p'{z). Подставим это выражение в правые части формул
1.6) и заменим ф на /<р/2. Формулы A.6) принимают вид
Э
ф
A
4\iu = A - к) Ьп ф(г)- 2у Re ф'(^); 4ци = A + к) Re q(z) + 2у Im ф'(^);
"(z); оу>; = - 1т<р'(*) + у Reф"(z); A.7)
При этом оху = 0 (у = 0), а перемещения и напряжения выражаются
через одну аналитическую функцию (p(z).
Пусть теперь на вещественной оси оуу = 0. Тогда в представлении
A.6) Re (хф"(х) + 2ф'(х) + ф'(*)) = 0. Положим ф = -(^(z))'. После заме-
замены ф на ф/2 формулы A.6) принимают вид
4\iu = (к + 1) Re ф(г) - 2у Im ф'(г); 4цо = (к - 1) Im ф) - 2у Re (pf(z);
"(z); oyy = ylm(Q"(z); A.8)
Использование представлений A.7), A.8) для решения плоских
задач теории упругости связано с именем Вестергарда [150].
Любой аналитической функции ф в A.7), A.8) отвечает распреде-
распределение перемещений и напряжений, удовлетворяющее всем уравне-
уравнениям теории упругости. Действительно, в обоих случаях из аналитич-
аналитичности ф следует аналитичность ф, так что указанные представления-
частные случаи общего A.6). Упрощение, конечно, суживает возмож-
возможность удовлетворить граничным условиям, однако представления
A.7), A.8) достаточны для рассматриваемых ниже задач о трещинах
в однородном материале.
В антиплоской задаче, также при отсутствии внешних объемных
сил, перемещение и3 = w - гармоническая функция. Учитывая выра-
выражения для напряжений A.5), положим
^ш = Reф(z); ох = о13 = Re ф'(г), оу = о23 = - Im ф». A.9)
-28-
В задаче для полуплоскости у = 0, к которой сводится задача о тре-
трещине, расположенной на оси* в однородной изотропной упругой сре-
среде, будут ставиться граничные условия относительно перемещений
или напряжений при у = + 0. В первом случае A.7) относительно ком-
компонент
(и + l)Re (p(x + /0)
или
oy3, = -lm(p'(;t + i0); A.10)
во втором A.8)
4fiu = (x + l)Re ф(х + /0)
или
оху = - 1тф'(л:+Ю); A.11)
в третьем A.9)
или
Оу = -1тф'(х+/0). A.12)
Сравнивая выражения A.10), A.11), A.12), видим, что определение
функции <p(z) по указанным граничным условиям представляет собой
одну и ту же задачу во всех трех случаях.
Перейдем к пространственной задаче. Здесь, как и в случае плоской
задачи, для анализа конкретных ситуаций будем вместо уравнений
теории упругости использовать представление общего решения через
гармонические функции. В плоской задаче решение выражается, по
существу, с помощью двух гармонических функций, скажем вещест-
вещественных частей аналитических функций ф и ф (две другие определяют-
определяются условиями Коши-Римана). Общее решение однородных уравнений
трехмерной теории упругости можно представить через четыре гармо-
гармонические функции. Известно несколько различных форм такого пред-
представления, например представление П. Ф. Папковича [75]:
д з
%хкфк (т= 1,2,3),
A.13)
-29-
Так же как и в плоской задаче, к существенному упрощению при-
приводит симметрия. Пусть компоненты перемещения ut = и, и2 = и сим-
симметричны относительно плоскости х3 = z = 0 (здесь z - координата, а не
комплексная переменная), а и3 = w - антисимметрична. Положим
<I>0=(l-2v)/, Ф1=Ф2 = 0, Ф3= df/dz, Д/= 0. Получаем следующее
представление перемещений и напряжений через одну гармоническую
функцию {хх = х, х2 = у):
и = - A - 2v + A)d//dx; Д = zd/dz; и = - A - 2v + A)df/dy;
w = B-2v-A)a//dz; -^ = -A+4) — - 2v —
2ц dx2 dy2
ovv a2/ d2/ o2Z d/
-^--(l+A) — -2v—; -iLs(i-A)-!; A.14)
2ц ay2 ax2 2ц az2
¦ = -A-2v+A) ; = -z
аа 2ц
¦ = -A-2v+A); = z
2ц ахау 2ц dxdz2
^!1 = .
2ц dydz2 "
Видно, что из компонент вектора напряжений, действующего на
плоскость z = 0, не равна тождественно нулю лишь одна: ozz.
Конечно, данное представление не является вполне общим и в
рамках сформулированных выше условий симметрии. Однако если
внешние нагрузки приложены лишь к берегам трещины, расположен-
расположенной в ограниченной области на плоскости z = 0 (на каждый берег дей-
действует одно и то же нормальное напряжение), то представление A.14)
содержит решение задачи. Это же замечание относится и к другому
представлению, пригодному в случае, когда нормальное перемещение
w симметрично относительно плоскости z = 0, а тангенциальные пере-
перемещения и, о антисимметричны относительно той же плоскости.
Положим в A.13)
1 dg dh 1 dg 1 dh
(x + y zi|)); Ф= , Ф =
2 dz dz 2 dz 2 dz
1 dg dh
2 dx dy'
Поскольку g, h- гармонические функции, гармоническими явля-
являются и функции Ф^. В результате получаем следующее представле-
представление перемещений и напряжений через две гармонические функции:
-30-
dg дф dh дф
u«2(l-v) ——z — l u = 2(l-v)~—z-—
dz dx dz oy
Ojcx d? / d d
— =2A -v)—— + 2v — - z-— Ф;
2ц oxdz \ dz dx I
oyy d2h I д д2
2A - v)—— + 2v — - Z-—
2 ja oydz \ oz oy*
A.15)
д2Ф oxy о I dg dh\ д2ф
. (l)+1- z
2\x dz 2H dz \ dy dx I dxdy
Oxz d2g дф
2(i dz2 dx'
OyZ d2h дф
2 ц dz2 dy, "
Видно, что в этом случае на плоскости z = 0 равно нулю нормальное
напряжение.
С целью применить в дальнейшем указанные представления для
решения задач о круглой трещине запишем их в цилиндрических коор-
координатах г, 0, z, несколько преобразовав соотношения A.15). Представ-
Представление A.14) в цилиндрических координатах принимает вид
¦ ч df I df
щ = - A - 2v + A) — , щ = - A - 2v + А) - ;
dr r д0
dz
2v / i a2/ a/
A +4)+
2|i dr2 r \ r a82 dr/
+
°ee 1 , .,/i d2/ a/\ „ /
-—= A+Л) —+— -2v ; A16)
\ dr
-31-
о
!L = _ZJ!1L °ez = z d3f
l\x Z drdz2 ' 2ц г d9dz2 '
Функция /удовлетворяет уравнению Лапласа
1 д I df\ 1 d2f d2f
Д/=- — г— + L+_i=o. A.17)
r dr\ drj г2 ае2 dz2
В представлении A.15) введем две новые функции
а = g cos 9 + h sin 8, P = Л cos 9 - g sin 6
(g = a cos 9 - p sin 9, h = a sin 9 + p cos 9). A.18)
Поскольку g, h - гармонические функции, справедливы равенства
дх дхду dz2 ду1
дф d*g d2h d2h
ду дхду dz2 дх2
с учетом которых соотношения A.15) в цилиндрических координатах
примут вид
да аф ар z дф
u=2(l-v) z —; ufl=2(l-v) — ;
r dz дг e dz г дд
orr д2а аф д2ф
; -^ = 2A - v) —--+2v—--
2jli drdz dz dr
.2
—(i- v)
(i v) + +2v+
2ц r \ a9az dz) dz г \ г д92 дг
= - z-
2ц dz2
orfi /f / дзр 1 dp 1 д2а \ z д t дф ф
0) — + —
2\x \ drdz r dz r dQdz / г dQ \ dr r}
A.19)
-32-
ог7 д2а дф д2а v доз д2ф
__H = (l-v) (v+A) —= + z—-
2 ц dz2 дг dz2 r d9 drdz
Oez d2p
=(l-v) —-(v+
2ц dz2
aa a l ap
дг + г + г ae '
Перейдем к осесимметричному напряженному состоянию. Пола-
Полагая, что функции /, а, Р не зависят от 6, получаем следующие зави-
зависимости.
Задача I. На плоскость z = 0 действуют только нормальные напря-
напряжения [см. A.16)]:
а/ а/
— ; ue=0; uz=B-2v-A) — ;
аг az
1 dф
r de '
1 da
" r de
_^P_
dr
CO.
r
2ц dr2 r dr
A.20)
0qq i a/ a2/
2ц г dr dr2 '
2ц az2 2ц araz2
При этом на плоскости z = О
а/ а2/
— 0/1 ^ • /ч -— О • /ч —. /ч — П /1 01 \
Задача II. На плоскость z = 0 действуют только радиальные ка-
касательные напряжения (/"= Р = 0) - см. A.19):
да аф
г az дг
I д\ Огг а2(*
u7 = 1 - 2v - z — ф; = 2A - v) + 2v z
2 \ дгГ 2ц
3-171 -33-
2
— A — \
Г
ч da
ij •
dz
f 2v
dф
dz
z
r
ф
()— ; A.22)
2ц г dz dz r dr
2ц
д2а д2ф da а
zф +
zф
2ц dz2 drdz dr г
На плоскости z = О
da d
ur = 2(l-v) —; оГ2 = 2ц —; or9 = oe2 = 0. A.23)
dz dz2
Задача III. На плоскость z = 0 действуют только тангенциальные
касательные напряжения o$z(f= a = 0)- При этом
ар
иг=^=0, ие = 2A-v)—-; О6г = 2цA-v)
d
; О6г = 2цA-v);
dz dz2
dP
drdz r dz
(L24)
Функции a, рв осесимметричном случае, как это следует из их
определения AЛ8), удовлетворяют одному и тому же уравнению.
Например,
1 д I да\ a 4d2a
г U — +—-=0. A.25)
г dr \ dr / 2 d2
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно подставить гармони-
гармонические функции & h, выражение через a, P, в уравнение Лапласа A.17).
В качестве граничных условий на плоскости z = 0 можно задавать:
uz nnnozz (задача I), ur или orz (задача II), u0 или o0z (задача III). Как
видно из формул A.21), A.23), A.24), определение "функций /, a, P по
этим условиям представляет почти одну и ту же задачу во всех трех
случаях. Отличие заключается лишь в том, что функция / - гармони-
гармоническая A.17), а функции a, P удовлетворяют уравнению A.25). Это
отличие, однако, не вносит существенных изменений в процедуру ре-
решения осесимметричных задач о плоской круглой трещине.
-34-
§2.2. Плоские задачи о трещине
Рассмотрим линейно-упругое тело, ослабленное трещиной. Под тре-
трещиной здесь подразумевается разрез - поверхность, на которой пере-
перемещение может претерпевать разрыв. При нагружении тела трещина,
вообще говоря, раскрывается: предельное значение перемещения при
подходе к разрезу с одной стороны - перемещение верхнего берега
трещины ив - отличается от предельного значения перемещения при
подходе с другой стороны, т. е. от перемещения нижнего берега тре-
трещины ин.
Пусть тело находится под действием сил F, приложенных вне тре-
трещины, а ее берега не взаимодействуют и свободны от внешних напря-
напряжений. Пользуясь линейностью задачи, состояние нагруженного тела
с трещиной, т. е. перемещения и напряжения в нем, можно представить
суперпозицией двух состояний (см. § 1.3).
Состояние 1. Тело, загруженное теми же внешними силами F,
но при отсутствии трещины. Пусть при этом вектор напряжения, дей-
действующего, скажем, со стороны нижнего берега поверхности (на кото-
которой в действительности находится трещина) на ее верхний берег,
равен о.
Состояние 2. Рассматриваемое тело с трещиной, но при отсут-
отсутствии внешних сил F. На верхний берег трещины действует напряже-
напряжение - о, на нижний - напряжение + о.
Суммирование напряжений, отвечающих указанным состояниям,
снова приводит к исходному.
Анализ первого состояния - обычная задача теории упругости для
сплошного тела. Кроме того, первое состояние характеризуется огра-
ограниченными напряжениями (вне действия внешних сил). В то же вре-
время напряжения в окрестности трещины, как правило, неограничены.
Поэтому обычно достаточно рассматривать лишь второе состояние
упругого тела, т. е. полагать, что внешние силы приложены только
к берегам трещины. При этом если на верхний берег действует напря-
напряжение - о, то на нижний - то же напряжение, но противоположно
направленное, так что условия равновесия тела в целом выполняются
автоматически.
В свою очередь, второе состояние можно представить суммой, каж-
каждое слагаемое которой соответствует лишь одной из проекций напря-
напряжения - о на координатные оси.
Перейдем к обобщенной плоской задаче. Пусть трещина располо-
расположена на отрезке - Kz < I (z = x + iy). В соответствии со сказанным
выше достаточно рассмотреть три задачи.
Задача I. На берега трещины действуют только нормальные
напряжения. На указанном отрезке
оуу(х + Ю) = ОуУ{х - Ю) = - о(х);
BЛ)
Gxy{x + /0) = оху(х - Ю) = 0.
- 35-
Напряжения oxz = о13, oyz = о23 равны нулю во всей области. Если
тело и граничные условия симметричны относительно оси х, то, как это
следует из уравнений A.2), закона Гука A.1) и условий B.1), сим-
симметричны компоненты и, охх, оуу и антисимметричны и, оху. А так как
вне трещины перемещения и напряжения непрерывны, то
и = оху = 0 (/<lxl, у = 0). B.2)
Объединяя условия B.1), B.2), можем рассматривать лишь половину
тела, лежащую, например, в верхней полуплоскости у > 0.
Задача II. На берега трещины действуют только касательные
напряжения оху. На отрезке, где расположена трещина,
о (х + /0) = оху(х-/0) = -т(х);
B.3)
оуу(х + /0) = оуу(х - /0) = 0.
Перемещение w и компоненты напряжения о13, о23 равны нулю
во всей области. В случае указанной выше симметрии компоненты о,
оху симметричны относительно оси х, компоненты и, охх, оуу - анти-
антисимметричны. Отсюда следует
и = оуу = 0 (К\х\, у = 0). B.4)
Задача III (антиплоская задача). На берега трещины действуют
только касательные напряжения oyz = o23. При этом на берегах трещины
023(х + /0) = 023(х - /0) = - то(х), B.5)
а компоненты и = и = охх = оуу = оху = 0 во всей области. Если по-преж-
по-прежнему имеет место симметрия, то напряжение о23 симметрично отно-
относительно оси х, а компоненты w, 013 - антисимметричны. Поэтому на
продолжении трещины
w = 0 (/<Ы, у = 0). B.6)
Пусть длина трещины, расположенной внутри тела, мала по срав-
сравнению с характерным размером области, где существенно изменяется
напряженное состояние (при тех же условиях, но в отсутствие трещи-
трещины), и по сравнению с расстоянием от нее до границ тела. Тогда состоя-
состояние 1, по которому определяются граничные условия на берегах тре-
трещины, можно отождествить с равномерной деформацией безгранич-
безграничного тела при напряжениях, равных действующим в области располо-
расположения трещины. При этом упомянутое выше условие симметрии
выполняется автоматически и, кроме того, о, т, т0 = const.
Обращаясь к соотношениям A.7)- A.12), B.1)- B.6), видим, что
определение 2-го состояния, т. е. влияния трещины, сводится к опре-
определению аналитической функции (p(z), например, в верхней
-36-
полуплоскости при следующих условиях на ее границе у = + 0:
Recp
Imcp' =
B.7)
где р = о (задача I), р = т (задача Ц), р = т. (задача III).
В постановке смешанной задачи B.7) не указаны условия в точках
х = ± I, что вносит некоторый произвол в определение ф(х) как обоб-
обобщенной функции - „предела" аналитической функции ф) при
z -> х + Ю. Этот произвол устраняется требованием непрерывности
перемещения берега трещины. Кроме того, чтобы доопределить зада-
задачу, необходимо указать условие „на бесконечности". Учитывая, что
вне трещины перемещение непрерывно и что при удалении от нее оно
должно исчезать, положим
>).
B.8)
lim Re ф(х ± /О) = lim Re ф(х); ф) = O(l/z) (z
Общее решение такой задачи можно построить следующим образом.
Перепишем граничное условие B.7) в виде
Retp' = 0 (/ < Ixl), Im ф' = р(х) Ax1 < /).
B.9)
Чтобы преобразовать данную смешанную задачу (на части оси х
задана Reф', а на другой - 1тф') в обычную, т. е. в такую, для которой
при у = + 0, - «> < х < «> задана, скажем, вещественная часть аналити-
аналитической функции, введем новую функцию
B.10)
*2 - /2sgn х (Ixl > /, у = 0),
(Ixl < /, у = + 0).
Обращаясь к граничным условиям B.9), видим
Re Ф(х + *0) = - р(х)У/2 - х2 Ax1 < /),
ИеФ(х) = 0 (Ixl>/).
B.11)
В точках х = ± / функция Re Ф(х) не определена. Доопределение ее
может оказаться существенным для дальнейшего лишь в том случае,
если указанные точки являются носителями обобщенных функций.
Но функция с носителем, сосредоточенным в точке, представляет
собой линейную форму из производных б-функции Дирака.
Итак,
Re Ф(г) - Z ак6(Щх + /) + ЬкЫЩх - /) (z - ± I + Ю).
-37-
B.12)
Из условия B.8) следует, что
Поэтому функцию Ф(^) можно определить по граничным значениям ее
вещественной части B.11), B.12) с помощью интеграла типа Коши.
Полагаем, что р(х) - произвольная обобщенная функция, но в некото-
некоторых окрестностях точек х = ± / она регулярна (т. е. обычная функция),
причем произведение р(х)(Р - х2)~1/2 интегрируемо там в обычном
смысле.
Условие непрерывности перемещения берега трещины приводит
к исключению обобщенной функции B.12), поэтому в дальнейшем
полагаем ак = Ьк= 0. В результате получаем выражение для Ф(г):
B.13)
Отсюда и из соотношений B.10) находим, что при у = + 0
Re ф' =
B.14)
(UK/,
Из формул A.10)- A-12), B.14) следуют выражения для переме-
перемещений и напряжений. Их асимптотики вблизи края трещины имеют вид
(перемещение - верхнего берега)
1 + К
-38-
ху
vv
1+х
IT
2
B.15)
где 5- расстояние от края трещины (в сторону ее продолжения), а рим-
римская цифра означает номер задачи. Часто вместо коэффициентов N вво-
вводят коэффициенты интенсивности напряжений:
,„,. BЛ6)
Они определяются так
B.17)
Из упомянутых выше формул прир = const находим
Im(p'Gc) = '
- 1x1);
B.18)
Перемещения берегов трещины таковы, что она принимает форму
эллипса с размерами полуосей
(и-1)
Для такого жесткого материала, как сталь, отношение Ь/а может
достигать величины порядка 0,01, а для эластичной резины- может
превзойти единицу. Большее раскрытие трещины ведет к разрушению.
Приведем асимптотические формулы для распределения переме-
перемещений и напряжений у края трещины (г, Э - полярные координаты
с началом в точке х = /, у = 0; г -* 0). Обращаясь к B.13), A.10) - A.12),
находим:
Задача I:
и
4ц
Пг 9 Кг Пл
/ — cos — (к - cos 9); и 7 —
у л 2 4ц V л
9
л 9
— sin — (к - cos в);
л 2
-39-
кх е / 9 зе
rinsin
Ki e / е зв\ / лч
п.,.,~ , cos— 1 + sin—sin ; B.19)
УУ У2л7 2 \ 2 ? '
^1 39
,— - sm9cos .
i7 2 2
Задача И:
Ки ГТГ 9 Ки [2F 9
u~ / — sin — B + и + cos 9); и ~ /—cos — B-й-cos 8)}
4ц V л 2 4ц / л 2
КП 9 / 8 39\
sin—B + cos— cos—); B.20)
2
V2nr 2 \ 2 2
1 39 Ац 9/ 9 39'
i8cos—1- sin— sin
2\ 2 2,
V2
Задача
%
=. — sm
nr 2
III:
/ — sin
V "
-^^ sin -
«со:
в
2'
e
2 '
s 2 ; oxy~
v2ji
7 c<
у2л г
I в-
ir 2
B.21)
Приведем еще формулы для полубесконечной трещины @ < х < °°).
Положим z = -/ + Zj, |=-; + |i; ?(-/ + !!) = ?!(!!), подставим эти
выражения в соотношения B.13) - B.17) и устремим I к бесконечности.
Получим (индексы у переменных опускаем)
О
0, у=±0);
<7-х (х<0, у=0);
-40-
' '" (jc>0,
л
B.22)
1 Г р(^)УГ
Ьп Ф'(х) = - —т= Т^ d| (х <О, у = О),
л^ J 1
Указанные решения существуют, конечно, лишь в том случае, если
существуют соответствующие несобственные интегралы.
Из формул B.22) или B.18) можно получить решение однородной
задачи о полубесконечной трещине (оуу = оху - oyz = 0 при х > О, у = 0),
совпадающее с соответствующей асимптотикой B.19)- B.21) у края
трещины, берега которой свободны от напряжений. Положим в форму-
формуле B.18) z = - / + z15 р = р1/у2Ги устремим / к бесконечности. Находим
(индексы опускаются)
±ру[х (х>0, у = ±0);
B.23)
( )
Видно, что здесь Re ф = 0 при х < 0, Im ф' = 0 при х > 0. Состояние упру-
упругого тела, определяемое выражением B.23) для функции ф, характерно
тем, что хотя напряжения при удалении от края трещины стремятся к
нулю, суммарное их действие отлично от нуля. Другие подобные
решения ф = const z"/2, n = 0, ±1, ± 2,. . ., удовлетворяющие одно-
однородным уравнениям и граничным условиям на берегах трещины, при
п < 0 противоречат условию непрерывности перемещения берега тре-
трещины, а при п > 1 соответствуют неограниченному росту напряжений
при удалении от ее края.
При формулировке задачи I подразумевалось, что берега трещины
расходятся: о > 0 при у - + 0. Если и < 0, то берега трещины проникают
один в другой, т. е. возникает ситуация физически неосуществимая.
В действительности, при соприкосновении берегов возникают напря-
напряжения, не учтенные при постановке задачи, когда предполагалось, что
берега трещины не взаимодействуют. В связи с этим постановка за-
задачи I должна быть уточнена. Пусть по-прежнему трещина расположена
на отрезке 1x1 < /- отрезке Q, а на ее берега действуют внешние нор-
нормальные усилия ± о. Не исключая возможности того, что на части этого
отрезка са <= Q берега трещины сомкнуты и, следовательно, оуу Ф - о,
положим
oyv = -o (и >0, х^ со, у = + 0),
B.24)
и = 0 {оуу < - о, х е аз).
Неравенство оуу ^ - о отражает тот факт, что берега трещины,
по предложению, не притягиваются друг к другу, а могут лишь
-41-
отталкиваться, если и = 0. При этом напряжения сжатия в области со
ограничены, поскольку согласно зависимостям B.19) неограниченным
напряжениям сжатия на продолжении трещины (в данном случае
в области со) соответствует отрицательное перемещение верхнего бере-
берега трещины. Условия B.24) или равенство К\ = 0 для граничных точек
области со служат для определения этой области. Заметим, что если
множество со не пусто, то задача о трещине в линейно-упругом теле
в целом становится нелинейной.
Рассмотрим следующий пример. Пусть плоскость равномерно сжа-
сжата напряжениями оу = - о, а в центре трещины приложены сосредото-
сосредоточенные силы, раздвигающие ее берега: оуу = - Qb(x), Q > 0 (у = ± 0).
На основании предыдущих формул имеем
о =
(/l < 1*1).
Здесь область со состоит из двух отрезков, примыкающих к краям тре-
трещины: 1± < \х\ </. Из формулы для нормального напряжения видно,
что оно будет ограниченным в области со, если положить lx = Q/(no).
Отсюда следует, что при Q > л о/ раскрывается вся трещина (/х =/),
а при Q < л о/ на части ее длины берега сомкнуты Aг < /). Если же
Q = л о/, то хотя трещина раскрывается полностью, напряжения на ее
продолжении ограничены. Это как раз тот случай, когда действие
внешних нагрузок взаимно компенсируется в том смысле, что коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений обращается в нуль.
В случае если Q = ло/х < ло/,
Л)!
о( /.ln
При этом напряжение оуу < 0 при \х\ > 1Х и ограничено, перемеще-
перемещение о ^ 0.
Определим связь между коэффициентами интенсивности напряжений
-42-
и потоком энергии в край растущей трещины [36,121]. Основываясь на
формулах A.3.4), B.15), B.16) и учитывая, что
л 1 Гк+1
т = -м -n =— [ — (Kf
М = (Мг, Мц, Мш), JV = {Nh Nu, JVm). B.25)
Если напряжения, приложенные к берегам трещины, постоянны
и других внешних сил нет, то Кщщ = pyfnl [см. формулы B.18)] и
л/ Г к + 1 1
Г=— -j-(o2 + t2) + t2 . B.26)
Рассмотрим с энергетической точки зрения указанные выше одно-
однородные решения ф = 2ЛГ(- zI/2~", iV= const, n = 0, 1,. . ., у - z> 0 (z < О,
Imz = + 0). В качестве контура Г в соотношении A.3.8) возьмем прямо-
прямоугольник х = ± d, у = ± с, d/c -* 0. При этом поток энергии через стороны
х = ± d исчезает (при d/c -* 0) и с учетом симметрии остается интеграл
(y=c).
-оо
Из представлений A.7) для задачи I находим
оо
([('()J]d N
Видно, что
T
dx.
B.27)
N2 (n =
4ц
Из B.27) следует, что при п = 0 поток энергии через любой отрезок
ограничен, а для п > 0 нет (хотя суммарный поток при п > 0 и равен
нулю). То же относится и к задачам II, III. Итак, требование непрерыв-
непрерывности перемещений берега трещины, исключающее более сильные
особенности (чем при п = 0), для упругих задач эквивалентно требова-
требованию локальной ограниченности потока энергии. Как будет видно ниже,
последнее условие более общее, так как оно применимо и в тех случаях,
-43-
когда (вследствие пластичности материала) требование непрерывности
перемещения берега трещины не может быть выполнено.
Введем распределенные силы сцепления - напряжения взаимодей-
взаимодействия между берегами трещины вблизи ее края [4, 73]. При этом меха-
механизм потребления энергии при продвижении трещины оказывается
на макроуровне и становится наглядным.
Рассмотрим плоскую задачу о трещине, расположенной на отрез-
отрезке 1x1 < /. Пусть безграничное упругое тело растянуто в направлении
оси у напряжениями о, а берега трещины на отрезках I - а < \х\ < I
загружены напряжениями (силами сцепления) оуу = р. Для простоты
примем р = const. Перемещение верхнего берега трещины (перемеще-
(перемещение нижнего отличается лишь знаком) можно определить, основываясь
на формулах A.7), B.14). Оно оказывается следующим:
arccos
/-а
B.28)
Поток энергии через точки х = ± / (при росте трещины) будет исклю-
исключен, если взять такие силы сцепления, при которых коэффициент
интенсивности напряжений обращается в нуль. Эквивалентное усло-
условие: и = o(V/2 - х2) при 1x1 -+ I Из формулы B.28) следует
к + 1
р к + 1
.14 ц
1 - х2K/2].
Таким образом,
2л
arccos
ло
Р =
2arccos [(/ -
ло
2
— (а-0).
2а
B.29)
Вновь обращаясь к формуле B.28), находим перемещение верхне-
верхнего берега трещины (половину ее раскрытия) в точках х = ± (/ - а):
р к + 1
ц 2л
о к + 1
B.30)
-44-
Если сообщить трещине бесконечно малое удлинение - заменить /
на / + 6/, сохранив параметр а, то будет потеряна энергия 4у6/, равная
работе сил сцепления на участках, где они исчезли при росте трещины.
Из B.29), B.30) видно, что
^-^-/о2 (а-0). B.31)
8
Формулы B.26) и B.31) показывают, что плотность высвобождаю-
высвобождающейся энергии при наличии сил сцепления оказывается асимптотиче-
асимптотически (а -» 0) не зависящей от параметра а и стремится к тому значению,
которое отвечает отсутствию сил сцепления.
Мы пришли к следующему результату. Суммарная сила, действую-
действующая на берега трещины на ее концевых участках, при а -> 0 стремится
к нулю:
лб
однако ее работа при росте трещины на единицу длины стремится
к постоянной, отличной от нуля. Переходя к пределу, мы теряем эту
силу из виду - механизм потребления энергии переходит на микро-
микроуровень. Действие же этой силы - ее работа - не исчезает.
Рассмотрим произвольную трещину и возьмем точку на ее границе,
в которой существуют плоскость, касающаяся трещины, и касательная
к ее границе. Проведем ось z вдоль касательной, а ось х в плоскости,
касающейся трещины. В этих осях асимптотики напряжений и переме-
перемещений будут теми же, что и в плоской задаче для прямолинейной тре-
трещины B.15), B.19)- B.21). Конечно, формула B.17) для произвольной
трещины не годится, коэффициенты интенсивности определяются
решением соответствующей краевой задачи. По их значениям обычно
судят об устойчивости тела с трещиной. Силовой критерий Ирвина
[141] состоит в том, что либо для каждого вида деформации коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений сравнивается с соответствующим
критическим значением (Kic, КцСУ Кщс), либо нормируется некоторая
функция от указанных трех коэффициентов [117]. В последнем случае
критерием устойчивости трещины служит неравенство f(K\, Кц, Кщ) <
< /* = const. В частности, в качестве такой функции можно взять
функцию в правой части соотношения B.25). Тогда силовой критерий
становится полностью эквивалентным энергетическому критерию.
Очевидно, что эквивалентность критериев сохраняется и при любом
фиксированном виде деформации (фиксированном соотношении
между коэффициентами К\, Кц, Кщ). В противном случае выводы, сле-
следующие из энергетического и силового критериев, могут различаться.
Обширная литература посвящена расчетам коэффициентов интен-
интенсивности напряжений [2, 74, 79, 83, 90, 117].
Эксперименты показывают, что трещина обычно растет в направлении,
- 45-
перпендикулярном максимальным растягивающим напряжениям. В
хрупких материалах трещина может развиваться и при сжатии тела -
в направлении максимальных сжимающих напряжений. Разрушение
при сжатии рассматривалось во многих работах [16, 23, 46, 62-64, 130].
Существует и другой тип разрушения при сжатии, например торо-
торошение ледяного покрова, когда распространение поверхностных
повреждений происходит в направлении, перпендикулярном действию
сжимающих напряжений [19, 20]. На „макроуровне", где детали про-
процесса не описываются, это выглядит как распространение трещины при
„перехлесте" ее берегов. Разрушения такого типа обладают основными
чертами, присущими традиционным трещинам отрыва: энергия разру-
разрушения концентрируется на поверхности (в масштабах макроуровня)
и имеется концентрация у края, приводящая к распространению
разрушения.
§2.3. Трещина как результат действия
обобщенных внешних сил на сплошное тело
Рассмотрим плоскую задачу для безграничного сплошного тела
(без трещин), нагруженного внешними объемными силами qx + iqy -
= b(x)&(y)eia. Задача решается на основе соотношений A.6). Положим
<p=Alnz, ф=Б1пг, z=x+iy9 A,B=consl C.1)
Из условия непрерывности перемещений при z Ф 0 следует: В = - кА.
Определяя силу, действующую на круг \z\ = г < г0 со стороны остальной
части тела, и сравнивая ее с указанной внешней силой (рассматриваем
равновесие цилиндра единичной длины), находим А = - [2л(х + l)]~Va.
Отсюда
и + ш = - [4лц(х + 1)]-1Bи In г-еЩе1СС- C.2)
Тем же путем для антиплоской задачи [q3 = 6(xN(y)] на основе пред-
представления A.9) получаем
1 1
Ф = Inz, w = In г. C.3)
2л 2лц
Вернемся к плоской задаче и возьмем внешние силы в виде
(рис. 2.1, а)
Qx = 0, Яу=^[Чу-аЖх)-6(у + аЩх)] (а = л/2).
Переходя к пределу (а -> 0), находим
qx = 0, qy = -6(xN'(y). C.4)
- 46-
a)
б)
Ь)
0а
Рис. 2.1.
Этому соответствует изменение знака и дифференцирование по у
функций Ф и Ф (а = л/2) в C.1), C.2). Из C.1) получаем
Ф = -[2л(и + 1)г]-\ ф = - x^k + IJz]-1. C.5)
Приведем некоторые используемые в дальнейшем соотношения
-"-1-*-", n!Im z"" - ±(- 1)п+1лб^)(х)
(- \)тП\
(п - т)\
(я > ш),
О (п<т).
Отсюда, в частности, следует (у* - 0):
Re zz'2 -* х, Im zz ¦* + лб(х);
Re zz'3 -^ x, Im zz'3 -+ ± лб'(х).
Учитывая это, из формул A.6), C.5) находим
± Bи - 1)лб(х);
^.±(и-2)л6'(х).
C.6)
Взяв теперь вместо обобщенной нагрузки C.4) распределенную не-
некоторым образом на отрезке 1x1 < I, / > 0, получим трещину (в том
смысле, что и (х + /0) = - и(х - /0) Ф 0 Ax1 < /), и = 0 Ax1 > /, у = 0).
Однако, как видно из второй формулы C.6), касательные напряжения
на берегах трещины оказываются отличными от нуля, что противоре-
противоречит условиям задачи I. В связи с этим дополним полученное решение
решением аналогичной задачи, соответствующей внешним объем-
объемным силам:
(«=0),
- 47-
C.7)
и выберем коэффициент q0 так, чтобы касательные напряжения при
у = О исчезли. Внешние силы, которым в пределе (а -»• 0) соответствует
сумма C.4), C.7), показаны на рис. 2.1, б. Находим
q0 = B - х)/B + и), ф = - х/[л(х + 1)(х + 2)z], ф = 2ф.
Заметим, что данное выражение для функции ф удовлетворяет соотно-
соотношению, постулированному при выводе представлений A.7).
Умножим теперь внешние нагрузки на 2ц (х + 2)/х. В результате
найдем, что внешним объемным силам
qx = 2ц(х - 2N'(*N(у)/х, Qy = Ы* + 2N(х)в'(у)/*
соответствуют
z \ х- 1
1
л(и +
8ц
уу л(и +
)хх + 2ioxy
1)
1)
Г
U
-(
8ц
2
z
1
Z2
1 \
z2 ¦/ л(х + 1)
л(х
Здесь все предельные соотношения (у -* ± 0) отвечают обобщенным
функциям.
Пусть /0(z) - некоторая функция из определенных формулами
C.8). Она соответствует нормальному перемещению и(х + Ю) = 6(х).
Пользуясь принципом суперпозиции, ту же функцию, но для произ-
произвольного перемещения на отрезке \х\ < 1{оху(х ± /0) = 0) можно выра-
выразить в виде
В частности, если /(z) = oyy(z), а напряжение оуу(х) задано при 1x1 < /,
то соотношение C.9) приводит к интегральному уравнению относитель-
относительно перемещения и(х):
/
л(х + 1)
C.10)
решение которого нам уже известно [см. формулы B.14)].
Решение уравнения C.10) можно, однако, найти и без привлечения
представлений A.6). Проведем преобразование Фурье над обеими
частями уравнения. Получим
-48-
f(q) = f/
-oo
Отсюда
\q\uF=- OFyy(x + l)/D|i). C.11)
Обращая преобразования Фурье, можно найти связь между анали-
аналитическими представлениями функций о и оуу. Положим
(Л
где Г", Г~ - аналитические функции соответственно в верхней и ниж-
нижней полуплоскостях ? = х + it]. Тогда
Из равенства C.11) следует
C.12)
и+1 .
4 И уу
Л д
Введем функцию Ф(?) = и'@ >/? 2 " ' ^[Обозначаемая так функция,
например д I) = f +(Л >0), д I) = / -(Л <0), называется аналитическим
представлением для Дх).] Учитывая соотношения C.10), C.12), можем
записать (пределы - при Л -¦+ 0)
и+1
411
4Ц yyVlx (|л:|</). (ЗЛЗ)
Скачок функции Ф (предел разности Ф * - Ф "" при Л ¦* + 0)
4—171 - 49 -
в отличие от скачков функций и и Оуу известен на всей вещественной
оси, кроме точек х~- /. Дальнейшие рассуждения те же, что и после
введения функции Ф{г) формулой B.10).
Основное отличие изложенного метода решения уравнения (ЗЛО)
от предыдущего (см. § 2.2) состоит в том, что здесь использовалась
связь между функциями о и Оуу только на вещественной оси. Аналити-
Аналитические представления вводились независимо от существования пред-
представлений A.6) или A.7) для функций о и Оуу на всей плоскости. В этом
смысле данный метод является более общим.
Перейдем к задаче И. Расположим силы, как показано на рис. 2.1,в,
и устремим параметр а к нулю. Тем же способом, что и в задаче I,
получим (пределы - при у — ± 0)
- 2цб(х)б'(у); Чу = - 2д6'(х)б(у);
х + 1)г]; ф = 0;
i /к z \ / ч / и - 1
±()
о =
±6(х) +
л(и +.1) \ z z2 I л к + 1
8ц 8ц
b ±б'();
х~г;
л(х +
8ц/ z 8ц Г ч_ /
2io - +6f()+
Оуу oxx 2ioXy 6(x)+ х
л(к + 1) z3 и + 1 [ л
Для антиплоской деформации (рис. 2.1, г), учитывая формулы A.9),
C.3), находим
w = Imz - ± у х
л
= (ц/л)^2 - ц[х~2/л± /б'(х)] (у- ± 0).
Указанные выше фундаментальные решения можно использовать
для численного анализа задач о (криволинейных) трещинах и об их
взаимодействии. Пусть L - некоторая совокупность криволинейных
отрезков - трещин в безграничной плоскости. Основываясь на резуль-
результатах, приведенных выше, будем считать упругую плоскость сплош-
сплошной, а влияние трещин имитировать действием внешних обобщенных
объемных сил. Для однородной изотропной линейно-упругой среды
выписанные решения справедливы при любых расположении и ориен-
-50-
тации элемента трещины ds, с которым можно совместить начало
координат и вдоль которого направить ось х. Однако для криволиней-
криволинейной трещины каждой ее точке соответствует своя ориентация.
Аналогичный путь, основанный на формулах для точечного раз-
разрыва перемещений, может быть реализован и для пространственных
задач о трещинах - задач о трещинах, лежащих на некоторой поверхно-
поверхности и подверженных действию внешних напряжений, распределенных
на ней произвольным образом.
Заметим, что для антиплоской деформации анализ задачи о криво-
криволинейной трещине проводится и аналитическими средствами - путем
конформного преобразования - отображения криволинейного отрез-
отрезка на прямолинейный или на дугу окружности. В случае же плоской
задачи аналитические методы эффективны лишь для прямолинейной
трещины или для трещины, расположенной вдоль дуги окружности [61].
§ 2.4. Трещина на границе раздела
Пусть верхнюю полуплоскость заполняет упругая среда с парамет-
параметрами ji =jli , к =к1, а нижнюю- среда с параметрами ц =ц2, к =к2.
Рассматривая плоскую задачу о трещине, расположенной на границе
раздела \х\ < I, у = 0 при ц Ф ц2 и (или) х1Ф и2, нельзя основываться
на представлениях A.7), A.8), так как при указанных условиях сим-
симметрия относительно оси х, вообще говоря, исчезает. Обращаясь
к представлению A.6) и используя результаты предыдущего парагра-
параграфа, можно свести рассматриваемую задачу к задаче сопряжения [61]
и найти ее полное решение (детальное описание метода и результатов
дано в первом издании книги).
Основная особенность решения состоит в том, что если параметр
а = (ц2к1+|11)/(ц1к2+ц2)?= 1 (что возможно лишь для сжимаемого
материала), то при равномерной нагрузке на бесконечном множестве
сужающихся при приближении к краю трещины отрезков ее раскрытие
оказывается отрицательным (в задаче I на интервалах /A - е) < 1x1 < /,
0< е < 2,52- 10, а в задаче II на половине длины трещины). Отсюда
следует, что в действительности берега трещины на некоторой части ее
длины взаимодействуют - отталкиваются, что не было учтено при
постановке задачи. Поэтому напряжения, действующие на берега тре-
трещины, не могут быть постоянными (если а Ф 1). Точные решения этой
задачи, не содержащие осциллирующих особенностей, получены путем
введения зон контактного проскальзывания, лежащих на продолже-
продолжении раскрывшейся трещины, в которых нормальные перемещения
непрерывны [26, 88,129].
§2.5. Взаимодействие трещин
Пусть в безграничном однородном линейно-упругом теле имеется
п трещин,% расположенных в плоскости х19 х3 и занимающих области
<>к<х<Ьк, у = 0; к = 1,2,. . .,п; aK + 1>bK, an+1=°o, Ьо = - °°. Будем
- 51-
рассматривать обобщенную плоскую задачу, полагая, что на бесконеч-
бесконечности перемещения и напряжения отсутствуют, а берега трещин загру-
загружены внешними напряжениями ± о(х). Общее решение можно пред-
представить суммой решений трех задач, каждая из которых соответствует
лишь одной проекции вектора о и определяется условиями, аналогич-
аналогичными условиям B.7), B.8) для функции cp(z), аналитической в верхней
полуплоскости z = х + /у:
Re(p = 0(xeo)M 1щф'=р(х) (хб(о),
(p = O(l/z) (z-oo), o)=U(oK, bK), y=+0. E.1)
По-прежнему сохраняем требование непрерывности перемещения гра-
границы верхней полуплоскости.
Решение данной задачи можно получить, по существу, тем же ме-
методом, что и решение аналогичной задачи об одной трещине. Введем
аналитическую в верхней полуплоскости функцию Ф(г):
П (z - aK){z - bK);
/c=l
<an_m+1> E.2)
= 0, m = 0,1,. . .,n);
Предел Re Ф при у -> + 0 известен на всей оси х:
E.3)
Обобщенные функции с носителями в точках х = ак, х = Ьк исклю-
исключаются условием непрерывности перемещения границы верхней полу-
полуплоскости. При z-»>°o производная (p'(?) = 0(z~2) и, следовательно,
функция O(z) = O(z"-2). Отсюда и из условий E.3) находим Ф(г) и за-
затем по E.2)- iq'(z):
1
Ф{г) = —\
J %z m=0
E.4)
2, у>о,
где с - вещественные постоянные.
Полученное здесь решение удовлетворяет условию Re ф' = 0 при
-52-
х €. о, у = 0. В случае одиночной трещины отсюда и из оценки ф = O(l/z)
при z -* °° следует, что Re ф = 0 на продолжении трещины. Если же
п > 1, то последнее равенство автоматически выполняется лишь при
х< а19 х> Ьп, а для отрезков между трещинами из условия Re ф'= 0
следует лишь, что Re ф = const (на каждом таком отрезке - своя по-
постоянная). Указанная неопределенность возникает в связи с тем, что
условия E.3) для п > 1 соответствуют задаче с фиксированными напря-
напряжениями, действующими на границе полуплоскости в области 0), нуле-
нулевыми перемещениями в направлении действия внешних напряжений
при х< а19 х> bn(ReФ -> 0 при 1x1 -¦ °°) и произвольными перемеще-
перемещениями в том же направлении на отрезках между трещинами (постоян-
(постоянными в пределах каждого отрезка).
Решение поставленной задачи должно, однако, удовлетворять
условиям E.1), т. е. каждая из упомянутых постоянных должна обра-
обращаться в нуль. Это достигается надлежащим выбором коэффициентов
сш, число которых (л - 1) равно числу отрезков между трещинами.
Если определить коэффициенты ст так, чтобы разность перемещений
в точках ак, Ьк была равна нулю, например при к = 1, 2,. . ., п - 1,
то указанное условие выполняется. Отсюда следуют уравнения отно-
относительно коэффициентов ст:
icm \ . г = \ V. р. \ . dxdb,. E.5)
гп=0 ак GJ ак
Таким образом, функция ф' определена полностью.
Окончательные результаты существенно упрощаются в случае
периодической системы трещин. Пусть к = 0,± 1,. . ., ак = - / + kL,
bK = / + kL, L > 2/. (Длина каждой трещины 2/, расстояние между трещи-
трещинами L - 21.) Полагаем, что внешняя нагрузка также периодическая:
р(х + kL) = р(х).
Решение задачи можно найти на основе предыдущего решения,
если вначале полагать, что число трещин ограничено: к = 0, ± 1,. . .,
± N, а затем устремить N к бесконечности.
Как видно из формулы E.4), результат не изменится, если функ-
функцию /ф~умножить на постоянную. Примем для ограниченного значе-
значения N
фдг = П (kL)~4 П {z + 1-kL)(z-1-kL) =
L2 к=Х k=-N
П2 ЛГ Г /Z + /\21[ /z-/\2
(-P)- 1- -— 1-
L2 k«iL \ kL I \[ \ kL
Тогда
nz nl
i|i(z) = lim tyN = sin2 sin2 — .
-53-
Фиксируя ветвь радикала в E.4), E.5) так, чтобы при / < х < L - /
выполнялось неравенство yfty > 0, из E.6) получаем
(Щ-
(- If/ /sin2 — - sin2 —
V L L
E.7)
sin
L L
(*+1I-/, y=0).
Возвращаясь к формуле E.4) и учитывая периодичность внешней
нагрузки, находим (у > 0)
г/
sin2 — - sin2 "Г" х
L L
1
- z + kL
- z- kL
1 p(l) I sin2 — - sin2 —
Lj Lj
sin2
nz
sin2
Jt/
E.8)
sm
Здесь ветвь радикала определена в E.7); неопределенная целая функ-
функция (ряд с коэффициентами ст) опущена. Действительно, она равна
нулю, так как
V.p.
dx
J/sin2 —
- sin2
"ТОТ
sin
и, следовательно, равна нулю определяемая формулой E.8) разность
между перемещениями границы верхней полуплоскости в точках
x = ±/ + kL, k = 0, ±1,.... Поэтому, чтобы удовлетворить условию
E.1) относительно Иеф, достаточно положить
z
' -54-
где постоянная, значение которой при определении искомых переме-
перемещений и напряжений нас не интересует, - вещественная.
Заметим, что в данном случае, когда область, занимаемая нагру-
нагруженными трещинами, не ограничена и, следовательно, напряжения
и перемещения не стремятся к нулю при \х\ — °° , указанная выше
оценка для функции ф E.1) не имеет места. Однако при удалении от
плоскости, где расположены трещины, т. е. при Im z-* °°, производная
ф', а при надлежащем выборе постоянной в правой части выражения
E.9) и функция ф экспоненциально убывают.
Для наиболее интересного случая, когда нагрузка постоянна,
интеграл в правой части формулы E.8) выражается элементарными
функциями:
E.10)
Перемещения верхнего берега каждой из трещин и напряжения
между ними определяются формулами A.10) - A.12), где
sin dl
Lt
Г п/ л§
J»/sin2—t- sm2
-'V I L
pL I nx I л/
Arch cos /cos — (- / ^ x < /);
л I L '
. E.11)
sinч
д/sin2 sin2 —
I L
l)(l<\x\<L-l).
У края трещины
2I(/-x) л/
tg—
L
n i
. ~~L W E.12)
-Im<p'(x)~p /— -tg— (x-J + O).
2л(х -I) L
- 55-
Отношение коэффициентов интенсивности напряжений в рас-
рассматриваемой задаче к соответствующим коэффициентам для одиноч-
одиночной трещины той же длины
L nl I I .
— tg —, Х-1 --0|. E.13)
nl L \ L
Влияние на данную трещину остальных трещин с уменьшением
этого отношения довольно быстро исчезает. Так, при 1/L = 1/4 (расстоя-
(расстояние между трещинами равно длине каждой из них) из E.13) следует:
\ = У4/л* 1,128.
Взаимодействие трещин может приводить к эффектам^ которые
нельзя объяснить, оставаясь в рамках модели сплошного тела. В ста-
статье [43] показано, что при растяжении тела с периодической системой
трещин, изображенной на рис. 2.2, коэффициенты интенсивности напря-
напряжений для трещин, параллельных направлению растяжения тела,
могут оказаться больше, чем те же коэффициенты для трещин, ориенти-
ориентированных в перпендикулярном направлении. Это связано с тем, что
продольные трещины находятся в поле больших растягивающих
напряжений, „наведенном" поперечными трещинами. В результате
может произойти продольное расслоение тела.
Возможен, однако, и противоположный эффект, когда взаимное
влияние трещин приводит к ослаблению интенсивности напряжений
и тем самым к упрочнению тела (по сравнению с одиночной трещиной).
Рассмотрим задачу для периодической системы параллельных трещин,
расположенных, как показано на рис. 2.3. Вследствие симметрии
(предполагается, что трещины загружены одинаково) на линиях,
нанесенных пунктиром, равны нулю следующие компоненты переме-
перемещений и напряжений:
и = оху = 0 (I), i/=oyy = 0 (И), w = 0 (III), E.14)
где римскими цифрами указаны номера задач (см. § 2.2).
Итак, мы пришли к задаче о трещине в полосе, ограниченной пунк-
пунктирными прямыми, на краях которой имеют место какие-либо из усло-
условий E.14). Не останавливаясь подробно на этой задаче (некоторые
tttttttt
И П I I 11
21
Рис. 2.2. Рис. 2.3.
-56-
результаты и ссылки на литературу приведены в книге [117], укажем
лишь асимптотики для коэффициентов интенсивности напряжений при
постоянной нагрузке, действующей на берега трещины. Заметим, что
тем самым будет полностью определена и асимптотика перемещений
у края трещины, поскольку формулы B.19)- B.21) остаются справед-
справедливыми и здесь.
Если l/h -> 0, то, очевидно, приходим к рассмотренной выше зада-
задаче об одиночной трещине в безграничном теле. В случае же длинных
(часто расположенных) трещин, т. е. при h/l -» 0, коэффициенты интен-
интенсивности напряжений легко определяются из энергетических сообра-
соображений (так, как это делалось в § 1.2). Учитывая формулу B.25),
находим
Таким образом, если параллельные трещины одинаковой длины
расположены достаточно близко друг к другу (и так, как показано
на рис. 2.3), то коэффициенты интенсивности напряжений в задачах
I, III достаточно малы. Заметим, что для одиночной трещины К\ = Кц =
В случае антиплоской деформации, когда перемещение и напряже-
напряжения выражаются через одну аналитическую функцию (р (z), с помощью
конформного преобразования задача решается для произвольного
расстояния между трещинами. Положим
При этом полоса - °° < х< °°, 0< у< hl2, на нижней границе которой
у = О расположена трещина (- / < х < /), отображается на верхнюю
полуплоскость ?, отрезок, совпадающий с трещиной, - на отре-
отрезок - shBJi//h)< I < shBnl/h).
В силу симметрии иэ=0 при 1x1 >/, у = 0 и при - °° < х<°°9
y = h/2, что соответствует на плоскости ? лучам ? < - shBn//ft),
? > shBnl/h). На трещине (Im z = Im ? = 0)
dtp 2л / 2л/ \ d(p
-Im —= ?+ch Im-f = -т0Ш). E.15)
dz h \ n I ?
Таким образом, на плоскости 2; задача сводится к определению
функции ф, соответствующей одиночной трещине, берега которой
загружены напряжениями
023 = -— ,^„„ 0» 6-0).
Обращаясь к формулам B.17), где / следует заменить на shBn//ft),
-57-
и учитывая первое из равенств E.15), получаем следующее выражение
для коэффициента интенсивности напряжений (х0 = const):
КиГ Tjhth(nl/h).
Взаимодействию трещин при различных условиях и влиянию гра-
границ тела на состояние в окрестности трещины посвящено много работ.
Литература и. некоторые результаты приводятся, например, в книгах
[77,117]. Разрушение упругой среды, находящейся в стесненных усло-
условиях, часто сопровождается образованием упорядоченных систем
трещин. Это происходит в массивах горных пород, при высыхании
поверхностного слоя грунта и во многих других случаях. Теория этого
явления развивается в работах [15,17,18].
§ 2.6. Круглая трещина под действием
нормальных напряжений
Рассмотрим задачу о круглой плоской трещине в неограниченном
упругом пространстве. Пусть внешние напряжения действуют лишь на
берега трещины: r<l, z=±0 (г, 9, z- цилиндрические координаты).
Положим
F.1)
Вследствие симметрии на продолжении трещины (z = 0, г > /)
равны нулю нормальные перемещения uz и касательные напряжения
°rz> °Qz» Таким образом, достаточно рассмотреть, например, лишь
верхнее полупространство, на границе которого заданы
ozz=- о @<г</); uz=0 (г>/);
F.2)
<Vz=0ez=o (о ^г<°°).
Так же, как и в плоской задаче, добавим к этому требование не-
непрерывности перемещения границы полупространства. При указанных
условиях для определения перемещений и напряжений можно восполь-
воспользоваться соотношениями A.16), A.20). Функцию / и перемещение uz
также представим в виде ряда F.1).
В силу линейности задачи достаточно определить искомые функ-
функции отдельно для каждого из членов ряда, а затем просуммировать
по п. Конечно, решение для п Ф 0, каждое в отдельности, не годится,
так как нормальное перемещение верхнего берега трещины не может
быть отрицательным. Однако суммарное решение будет правильным,
если окажется, что перемещение uz > 0.
Функция /- гармоническая, так же как и ее производные по г.
-58-
Поэтому соответствующие коэффициенты Фурье можно представить
в виде (Jn = функция Бесселя)
dm
—-/„(r,z) = (- 1)
azm о
0<z, m = 0,1,2,. . . ; F.3)
0
Данное представление получается после подстановки соответ-
соответствующего члена ряда в уравнение Лапласа A-17), проведения преоб-
преобразования Ханкеля над полученным соотношением и применения фор-
формулы обращения к решению преобразованного уравнения.
С помощью аналитического продолжения на плоскости ? из извест-
известной формулы (полагаем пока п>0)
Г rntKBn - (- 1)*)!!
/„(чг)е-Л (f+к dq = — L_Li" (к = 0?i)
О
находим такие интегральные представления функций Бесселя через
обобщенные функции х^:
Jn(qr) = — (- 1)" Bл - 1)!! гVп 1 (*2 - r2);"/2 sin (qx)dx;
F.4)
^n(Qr) = Bл + 1)!! tV Пг2 - х2);"~3/2 sin (qx)dx.
Л о
Подставим первое из представлений F.4) в формулу для dfn/dz,
второе - в формулу для <32/n/dz2 F.3). Получим
^L = (. 1)п+1Bл - 1)!! г" f ф(х, z)(x2 - r2)+-"/2 dx;
dz о
- = -Bл + 1)!! г" I ф(х, z)(r2 - х2)-"/2 х dx; F.5)
2
2 «
ф(х, Z) = — J /H (Q)Q2-ne-gz sin
Л о
Заметим, что из соотношения
-59-
формулы A.16) для и, условия F.2) для той же функции и оценки
Jn (х) = О(хР ) при х -¦ Ь следует, что J** = Oicf1) при q -¦ 0. Поэтому
произведение в подынтегральном выражении для ф(х, z) интегрируемо.
Дальнейшие выкладки существенно упрощаются введением
вместо функции ср функции ф(х, z):
с дх I \ х I \ х дх д{х2)
Поскольку функция ф(х, z), как видно из ее определения, являет-
является аналитической функцией х, нечетной на вещественной оси х, она
в окрестности точки х = 0 представима степенным рядом, содержащим
лишь нечетные степени х. Следовательно, указанная формула опреде-
определяет ф(х, z) так же,как аналитическую функцию х (в некоторой окрест-
окрестности вещественной оси). Интегрированием по частям приведем соот-
соотношения F.5) к виду
^ = - rn Jф(х, z)(x2 - г2) ;*/2 dx;
OZ о
, z)(r2 - х2) ;
dz2
Обращаясь теперь к формулам A.16) и устремляя z к нулю, полу-
получаем следующие представления нормальных перемещений и напряже-
напряжений в плоскости z = 0 через функцию ф {х, 0):
uzn = - 2A - v)r" f <р(х, 0)(x2 - г2) ;^2 dx;
со ° F.6)
o2zn = - 2\ir~» J ф(х, 0)(г2 - x2);3/2 x^ + idx.
о
Соотношения F.6), как, впрочем, и соотношения F.5), замечатель-
замечательны тем, что левая часть первого из них при г > / полностью определяет-
определяется значениями функции ф при х > /, а левая часть второго при г < / -
значениями ф при х < /. Это и позволяет решить рассматриваемую сме-
смешанную задачу. Первые части равенств F.6) можно рассматривать как
интегральные преобразования с ядрами
которым соответствуют ядра обратных преобразований
2 2
хг{г2 - х2) -3'2 , хг(х2 - г2) ;^2.
л л
-60-
Обращая преобразования F.6), с учетом граничных условий F.1),
F.2) получаем
1 /
ф(х, 0) = х-™ l о»р" + 1(*2 - Р2) ;1/2 Ф (х < 0;
ЛЦ о
F.7)
ф(х,0) = 0 (*>/).
Остается доопределить функцию ф в точке х = /. Она, однако,
не может содержать слагаемое - обобщенную функцию с носителем,
сосредоточенным при х = /, так как в противном случае перемещение
uz оказалось бы разрывным [это видно из первой формулы F.6)]. Таким
образом, можно считать, что функция ф(х, 0) определяется первой
из формул F.7) для х</. Подставляя выражение для ф в формулы
F.6), находим искомые перемещения и напряжения (п ^ 0):
2A - v)r" ' '
о»р"+Ч*2 " Р2) :1/2 dQ X
(г<0; F.8)
(r>0.
Выпишем вытекающие отсюда формулы для перемещений и напря-
напряжений вблизи края трещины:
F.9)
2 и»р-ф (r^+_0).
о
Видно, что соотношение между асимптотиками перемещений и напря-
напряжений то же, что и в соответствующей плоской задаче (задаче о пло-
плоской деформации). Так, если представить асимптотические формулы
F.9) в виде
то из них следует: MjN = 2(\ - \)/\i. Точно такое же отношение опреде-
определяется формулами A.10), B.16), B.18), где к = 3 - 4v.
Пусть теперь п < 0. Поскольку знак п не влияет на уравнение,
-61-
которому удовлетворяют искомые функции, он не влияет и на форму-
формулы F.8), F.9). Поэтому в правых частях последних формул в показа-
показателях степени, т. е. там, где п не означает принадлежность (не является
индексом), следует заменить л на I п\, после чего указанные формулы
будут верны и для п < 0.
Просуммируем полученные выше выражения. Учитывая, что коэф-
коэффициенты ряда Фурье для внешней нагрузки определяются формулой
оп(г) = —Го(г,в)е-">8<й,
2л о
получаем
1 - v ' '
Л2Ц о о
2Л оо
К" / ГР \ \п\
xlo(p,«)p2^-JMe"*9-o
п=-°°
2Л / х
1 - v Г Г Г о(р,<х)(х4-р2г2)р
dpdxda
х4
(в - a) V (х2 - р2)(х2 - г2)
о г о
Л
2Л /
Л
/2 + р2 - 2/pcos (в - а)
о. =
г2 + р2 - 2rpcos (9 - а)
p2-2/pcosF-a)
'dadp =
(г > /,
/ + 0).
В заключение заметим, что в основе примененного здесь метода
лежит представление решения пространственной задачи суперпозицией
- 62 -
решений некоторых плоских задач (см. по этому поводу работу [1]).
Некоторые результаты для круглой и эллиптической трещин приве-
приведены в [73, 79].
§2.7. Осесимметричные задачи
Рассмотрим три осесимметричные задачи: на берега круглой тре-
трещины действуют нормальные напряжения ozz = - о(г) (задача I), каса-
касательные напряжения ozz = - т(г) (задача II), касательные напряжения
00* = - т0(г) (задача Ш).
Задача I о нормальных напряжениях решена выше и соответствует
п = 0. Приведем здесь формулы, отвечающие равномерному давлению
на берега трещины. При о = const из выражений F.8) находим (оо = о)
2A - v) , _
-оУ2/(/-г)
/-0);
I, r-/ + 0).
Видим, что перемещение берегов трещины и асимптотика напряжений
на ее продолжении в данной осесимметричной задаче отличаются от
соответствующих функций в плоской задаче лишь множителем 2/л.
Осесимметричная задача II о касательных напряжениях orz решает-
решается на основе представлений A.22), A.23). Ввиду того что граничные
условия A.23) здесь те же, что и в задаче о нормальных напряжениях
A.14), F.2), а именно
1И <г«Ь
dz2 2ц 2ц
можно воспользоваться результатами, полученными в § 1.6. Функция
а, однако, в отличие от/0 удовлетворяет уравнению A.25) и, следова-
следовательно, соответствует функции Д. Учитывая это и заменяя в формулах
F.8) для п = 1 uzl на иг, ozzl на orz и о на т = т(г), получаем
-63-
2A-
I I
- ( [ т(р)р2(х2 -
О О
2A-v) ГТ
dpdx
G.1)
л/V / y/r-l ) V'2~P2
О
В частности, при т = const отсюда следует
1- v / 1- v ,—- г
иг = trArch - т V 21A - г)
г 2I г 2\х У
г-/-0),
G.2)
Перейдем к задаче III о кручении: берега трещины нагружены ка-
касательными напряжениями o$z = - т0 (г). При этом на продолжении тре-
трещины отсутствует перемещение щ. Для решения этой задачи восполь-
воспользуемся представлением A.24). Сравнивая граничные условия данной
и предыдущей задач и учитывая, что функция р, так же как и а,
удовлетворяет уравнению A.25), видим, что все приведенные здесь
результаты, касающиеся задачи И, будут справедливы и для рассмат-
рассматриваемой задачи о кручении, если в формулах G.1), G.2) заменить т на
то/A - v), ur на ие, orz на ое2/A - v).
В предыдущей задаче при ограниченной нагрузке т перемещение
ur -¦ 0 при г -+ 0. Например, при т = const, как видно из первой фор-
формулы G.2),
1-v / ,
ur~ irln- (г-*0).
2ц г
Следовательно, стремится к нулю и перемещение щ в задаче III:
(г-0).
-64-
Однако угол поворота w = щ/г стремится здесь к бесконечности:
1 I
аз т01п - (г-*0).
2|i г
Задача III отличается от предыдущих осесимметричных задач отно-
отношением коэффициентов M/N [см. формулы B.15)] точно так же, как
антиплоская задача от плоской. Действительно, здесь выражение для
перемещения не содержит множителя 1 - v (в отличие от задач I, II).
Тем же отличается и выражение для перемещения w в антиплоской
задаче [ср. выражения A.12) с A.10), A.11), где для плоской деформа-
деформации (к + 1)/4 = 1 - v].
§2.8. Поток энергии при изменении направления
распространения трещины
До сих пор при анализе плоских задач рассматривались прямоли-
прямолинейные трещины, для которых поток энергии однозначно связан
с коэффициентами интенсивности напряжений. Формула B.25) спра-
справедлива и для криволинейной трещины, если только в некоторой
окрестности своего края она достаточно гладкая. Посмотрим теперь,
как будет меняться поток энергии при резком повороте направления
ее распространения. Ограничимся задачей об антиплоской деформации
безграничного тела.
Пусть первоначально прямолинейная полубесконечная трещина
начинает распространяться под углом 6 к прямой, на которой она
лежит (рис. 2.4, а). Полагаем, что берега трещины загружены напряже-
напряжениями о23 = - 6(х + х0), х0 > 0, у = ± 0. Отобразим плоскость z = х + /у
с разрезом на линии трещины на верхнюю полуплоскость
комплексной переменной ? = ? + ix\ (рис. 2.4, б). Соответствующее
конформное преобразование выражается функцией
- a- ? \ 1-е/л
Ч , а^О, (8.1)
где z - /0 < 0 при ? - /0 < - а. Верхний берег разреза на плоскости z
переходит в левую часть границы полуплоскости \ (? < ?0), нижний -
в правую часть границы (? > ?0). Соответствующие точки на плоско-
плоскостях z и ? отмечены на рис. 2.4 одинаковыми цифрами. Значение
?0 = - ав/л находится из уравнения z'(?) = 0 (- а<^ < а, т] = + 0).
Соответствующая точка на плоскости z - край трещины - определяет-
определяется равенством
(^Jfl^I-e/ne.e. (8.2)
+ 8/л
5-171 -65-
б)
t 2t a
t
-а Цо
Рис. 2.4.
а
Пусть а -* 0. Тогда, как следует из (8.1), пщгФ 0
=- /^7+ ав/п - — A -
(х<0, у = ±0).
О(а3);
(8.3)
На плоскости z вне разреза, а следовательно, и на верхней полу-
полуплоскости ? определена аналитическая функция <р A.9), через которую
выражаются перемещение и напряжения, причем в соответствии
с указанным выше
±0).
(8.4)
Далее, <p'{z) = {d<p/dt,)/z'(Z,). Отсюда и из (8.3) следует, что граничное
условие (8.4) на плоскости Z, преобразуется к виду
8а/л ± у A -
О(а3).
и, следовательно,
Ф= —In -—¦
Теперь с помощью интеграла типа Коши находим
с/ф 1/1 1
In | ——Г~
_ 1
-66-
(8.5)
Для определения энергии, высвобождающейся при изменении
направления распространения трещины, можно воспользоваться
формулой A.3.2). Перемещения в точках, где приложены внешние
сосредоточенные силы, бесконечны, поэтому рассмотрим изменение
перемещений (при изменении параметра а) на некотором расстоянии от
указанных точек, а затем перейдем к пределу, устремив это расстоя-
расстояние к нулю. Учитывая выражения для w (8.5), X (8.3) и z0 (8.2),
получаем
7<е>=
n\ix0 \ 1 + 0/л
При тех же условиях асимптотика напряжения Оез' У края прямо-
прямолинейной трещины (а = 9), как следует из формул B.21), B.22), опре-
определяется так:
cos (9/2)
°ез = °23C0S е ~ oi3sin е ~ г—ГГ (lzl " 0)'
л у xQ\z\
Если обобщить понятие коэффициента интенсивности напряжений,
положив
: (%@) = %),
т. е. определить его для направлений, составляющих угол 9 с линией
трещины, точно так же, как и для 9 = 0, то можно записать
2 9 / 1-6/Л \0/Л 1 2 1 2
(8.6)
= Яш F=0).
2ц
Итак, при резком изменении направления распространения трещины
поток энергии оказывается больше, чем можно было ожидать, осно-
основываясь лишь на данном обобщении коэффициента интенсивности
напряжений и формуле B.25).
Представим себе, что'материал в смысле прочности анизотропен.
Нельзя ожидать, что поверхностная энергия y{Q) связана в данном
материале с критическим значением коэффициента интенсивности
напряжений Кщ (9) именно той же зависимостью (8.6), что и высво-
высвобождающаяся энергия 7X9) с коэффициентом интенсивности напряже-
напряжений /Сш(9). Поэтому, чтобы определить направление распространения
трещины, а также нагрузку, при которой она начнет распространяться,
- 67-
необходимо сделать выбор между силовым и энергетическим крите-
критериями, которые, как видно, не эквивалентны.
ГЛАВА 3
НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО
Решения задач о трещинах в линейно-упругом теле указывают на
неограниченные деформации и большие повороты, т. е. противоречат
условиям применения линейной теории упругости. Необходимо
выяснить, как следует отнестись к таким решениям. В определенной
степени это можно сделать, основываясь на интерпретациях линейной
теории, введенных ниже (см. § 3.2.).
Принимается, что закон Гука в форме B.1.1) представляет собой
не линеаризованное, а точное соотношение, причем используемые при
его формулировке переменные - напряжения, перемещения и коорди-
координаты - можно полагать либо лагранжевыми, либо эйлеровыми (см. § 3.1).
Тем самым вводятся две различные механические системы, отличия
между которыми проявляются в области, где существенна геометри-
геометрическая нелинейность. В том же параграфе показано, что решения задач
из гл. 2 для трещин, берега которых свободны от внешних нагрузок,
отвечают лагранжевой интерпретации и соответствуют определяемой
ею модели упругого тела. Модель эта характеризуется взаимно одно-
однозначной связью между напряжениями - тензором Пиолы- Кирхгофа
и градиентом перемещения. Последний определяет потенциальную
энергию системы. Однако данная модель не отвечает никакому реаль-
реальному уравнению состояния. Достаточно сказать, что напряжения
(ограниченные) возникают здесь и при повороте тела в целом. Для
модели, соответствующей эйлеровой интерпретации, кроме того,
энергия деформации непотенциальна.
Данные модели, однако, с чисто механической точки зрения вну-
внутренне не противоречивы и обладают одним немаловажным достоин-
достоинством: они позволяют найти соответствующие им точные решения за-
задач о трещине. При удалении от края трещины поля напряжений и де-
деформаций, отвечающие этим двум моделям (и соответственно - ли-
линейной теории упругости), сближаются и, если деформации и повороты
вдали от трещины малы, становятся неразличимыми. Это дает основа-
основания полагать, что влияние геометрической нелинейности в данных зада-
задачах носит локальный характер и что там, где она не проявляется, резуль-
результаты линейной теории правильны. Область, вне которой влияние
геометрической нелинейности несущественно, для обычных жестких
материалов оказывается достаточно малой, что оправдывает примене-
применение геометрически линейной теории не только для упругого, но и для
упругопластического тела. При этом зависимости для напряжений
и перемещений у края трещины в линейно-упругом теле следует
рассматривать как промежуточные асимптотики, имеющие смысл лишь
на достаточно большом (хотя и малом по сравнению с размером тре-
трещины) расстоянии от края.
Анализ конкретных задач о трещинах в реальном нелинейно-упру-
нелинейно-упругом теле, напряженное состояние которого зависит лишь от его дефор-
деформации (не зависит от поворотов), провести аналитическими средствами
довольно трудно. (Решена плоская задача при условии сильного
начального растяжения тела [119].) Однако выводы о концентрации
деформаций (см. § 3.3), о связи между раскрытием трещины и напря-
напряжениями на ее продолжении, а также о потоке энергии (см. § 3.4)
можно сделать, основываясь на геометрически точных соотношениях
и не привлекая конкретных уравнений состояния. Достаточным
является введение довольно естественных предположений общего
характера, например об устойчивости материала. Оказывается, что
неограниченность деформаций у края трещины не является след-
следствием линеаризации. Она сохраняется и при точной постановке
задачи. Характер особенности может измениться, но поток энергии
сохраняется - линейная теория определяет его правильно.
§3.1. Некоторые сведения
из нелинейной теории упругости
Рассматриваем два состояния тела: исходное, при котором внеш-
внешние нагрузки и внутренние напряжения отсутствуют, и деформирован-
деформированное. Положение произвольной точки тела в исходном состоянии харак-
характеризуется радиус-вектором г, проекции его на прямоугольные оси
обозначаем буквами х19 х2, х3. Положение той же точки тела в дефор-
деформированном состоянии определяется радиус-вектором R, проекции
последнего на те же оси обозначаем буквами Х19 Х2, Х3. Вектор пере-
перемещения и = R - г, его проекции щ. = Хк - хк, к = 1, 2, 3.
Функцию точки тела, например перемещение, можно выразить
либо как функцию координат хк, либо как функцию координат Хк.
Первое представление называется лагранжевым (хк - лагранжевы
координаты), второе - эйлеровым (Хк - эйлеровы координаты).
Заметим, что вектор ^ = {dr/dxK)dxK (по повторяющимся индексам
не суммировать!) совпадает с линейным элементом длины \1К\ =1К =
-\dxK\, ориентированным вдоль оси хк в исходном состоянии, а век-
вектор LK = (dR/dxK)dxK соответствует тому же материальному элементу
(т. е. элементу, состоящему из тех же точек тела) после деформации.
Рассмотрим попарные скалярные произведения
LmLn = LmLnC0S Утп (m, Л = 1, 2, 3),
где LK = \LK\; ymn - угол между элементами (векторами Lm, Ln) после
деформации. При т = п произведение равно квадрату длины элемента
после деформации L^, а при тФ п определяет сдвиг (изменение
-69-
первоначально прямого угла между элементами). Отсюда следует
выражение для относительных удлинений
dR
-l=Vl+2eKK-l,
A.1)
сдвигов (т Ф п)
2е„
V(l+2emm)(l+2enn)
A.2)
и поворотов указанных элементов
дг dR
dR
дхк
A.3)
где ф|ст - угол между линейными элементами 1^. и /т. Здесь введены
компоненты деформации етп:
дхт дхп
дип
дхт
A.4)
Произведения (/х X l2)- l3, (Lx x L2)- L3 по модулю равны объемам
одного и того же элемента тела до и после деформации. Отсюда отно-
относительное изменение объема
А =-
у- и
dR dR
X
дх2
dR
- 1 =
-l
Vdet[6mn+2emn
]-l.
A-5)
Здесь и = \dx1dx2dx3\ - объем в исходном состоянии; V - объем после
деформации.
Если в правой части выражения A.4) пренебречь нелинейными
членами, т. е. произведениями компонент тензора-градиента переме-
перемещения дит1дхп, получим линеаризованные представления деформаций
через перемещения (см. § 2.1). Деформация тела - удлинения A.1)
и сдвиги A.2), а также повороты линейных элементов A.3) полностью
определяются компонентами градиента перемещения. Поэтому не
обязательно вводить нелинейные соотношения A.4). Однако линейно
- 70-
зависящий от перемещения тензор-градиент, вообще говоря, не обра-
обращается в нуль при отсутствии деформаций, ибо он определяет и пово-
поворот. В то же время компоненты тензора A.4), как следует из процедуры
их вывода, не зависят от поворота. Что же касается линеаризованного
тензора деформаций, то он от поворота зависит.
Представление деформаций через перемещения в эйлеровых пере-
переменных легко получается из приведенных формул. Действительно,
до тех пор, пока рассматриваются лишь геометрические соотношения,
понятия „исходное" и „деформированное" состояния чисто условны,
и их можно поменять местами, полагая деформированное состояние
исходным, а первоначальное - деформированным. Но при этом сле-
следует изменить знаки перемещений и углов поворота. Кроме того,
чтобы сохранить прежний смысл рассматриваемых величин, необходи-
необходимо изменить знак у деформаций и, конечно, очевидным образом
формулы для относительных удлинений и изменения объема. В резуль-
результате получаем
з
0 _дит м дип
*с тп - +
дХт *-< дХт дХп
к1
Ек = i л л - 1, cos Ф
кт
A.6)
Перейдем теперь к описанию напряженного состояния тела. Среди
различных возможностей мы отметим лишь две - те, которые приво-
приводят к линейным уравнениям равновесия. Линейные уравнения равно-
равновесия B.1.2) сохранятся, если в качестве напряжений взять компонен-
компоненты тензора напряжений (тензор Коши), отвечающие прямоугольным
декартовым координатам Хк. В этом случае уравнения B.1.2) выра-
выражают условия равновесия прямоугольного параллелепипеда, мыслен-
мысленно вырезанного из деформированного тела.
Итак, в эйлеровых координатах
<-Fm, окт=отк (т-1,2,3), A.7)
дХ«
где Fm - проекции внешних сил, отнесенных к единице объема дефор-
деформированного тела.
-71-
Линейные уравнения равновесия можно ввести и в лагранжевых
координатах. Возьмем в исходном состоянии объемный элемент тела
в виде прямоугольного параллелепипеда, построенного на элементах
^, и рассмотрим его грань с внешней нормалью 1К. В деформированном
состоянии на данную грань (которая, вообще говоря, переместилась,
повернулась и как-то деформировалась) извне будет действовать сила.
Ее проекции, отнесенные к площади грани до деформации, обозначим
через Ъкт. Последние представляют собой компоненты тензора
Пиолы-Кирхгофа (в книге [68. С. 81] указанные компоненты обозна-
обозначены как 0*?,. . .).
Справедливы уравнения равновесия [68]
I doKm/dxK=-Fm (m = 1,2,3), A.8)
где Fm - проекции внешних сил, отнесенных к единице объема до
деформации. В отличие от тензора Коши тензор Пиолы-Кирхгофа,
вообще говоря, не симметричен (отп Ф опт). [Величины, входящие
в уравнения B.1.2), A.7), A.8), совпадают при исчезающих малых
деформациях и поворотах.]
Приращение работы указанных „напряжений" над первоначально
единичным кубом при изменении перемещений можно выразить
так [68]:
. A.9)
т,п
Если работав не зависит от пути, по которому достигается данное
поле перемещении, то она равна удельной потенциальной энергии
деформации Uo (потенциальной энергии, отнесенной к единице объе-
объема до деформации). На основании A.9) компоненты тензора Пиолы-
Кирхгофа можно выразить через потенциальную энергию деформации:
(uo,
В качестве примера можно привести выражение для потенциаль-
потенциальной энергии через инварианты деформации е =?Хл +е22 +езз и ^
(что соответствует некоторому изотропному телу) [94]
1
2
Если здесь пренебречь членами, представляющими собой произведе-
произведение более чем двух компонент тензора-градиента перемещения,
получим выражение для потенциальной энергии линейно-упругого тела
-72-
3 3 3
1
к = 1
A.12)
(dujdxn - 0).
В последнем случае компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа связа-
связаны с градиентом перемещения законом Гука B.1.1):
Если тот же закон A.13) трактовать как точное соотношение,
но в эйлеровых переменных (заменив хт на Хт, отп на ошп), то работа
деформации для такой системы уже не будет потенциальной.
Вернемся к общему случаю и рассмотрим материал, для которого
существует удельная потенциальная энергия Uo (энергия, отнесенная
к единице объема до деформации), определяемая градиентом переме-
перемещения - тензором с компонентами дит/дхп. Составим выражение для
так называемой полной энергии, отнесенной к объему элемента до де-
деформации (полагаем, что внешние объемные силы отсутствуют):
(...4)
где отп - компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа - проекции сил, дей-
действующих на грани деформированного куба. Пусть при данных значе-
значениях компонент дит/дхп9Ътп указанная часть тела находится в равно-
равновесии. Тогда первая вариация полной энергии при вариации градиента
перемещения равна нулю:
Ufe4-W?)
m=l n=l
так как в соответствии с равенством A.10) равны нулю разности,
заключенные в круглые скобки.
Найдем теперь выражение для второй вариации A.14), полагая, что
явно выписанные в формуле A.15) компоненты ошп, представляющие
собой проекции внешних сил (по отношению к рассматриваемой части
тела), по-прежнему остаются неизменными. Снова обращаясь к соотно-
соотношению A.10), получаем
(U6)
д(дик/дх,) \дхт) \ дх,
1
-73-
Если равновесие тела устойчиво, то при вариации перемещений
потенциальная энергия его деформации должна возрастать быстрее
(убывать медленнее), чем работа внешних сил. Вследствие этого пол-
полная энергия должна возрастать, ее вторая вариация должна быть
неотрицательной [68].
В рассматриваемом случае, когда в качестве внешних приняты
силы, действующие на бесконечно малый выделенный элемент тела со
стороны остальной его части, положительность второй вариации
полной энергии в формуле A.16) означает, по определению, устойчи-
устойчивость материала.
Выведем еще формулу связи между удельной потенциальной
энергией и напряжениями, аналогичную по смыслу формуле A.10),
но для эйлеровых переменных.
Определим изменение энергии 6А 0 в единичном кубе @ <ХК < 1)
при вариации перемещений. Энергия изменится вследствие работы
напряжений, действующих извне на поверхность того элемента тела,
который после вариации перемещений совпадает с указанным единич-
единичным кубом, а также вследствие конвективного потока энергии - энер-
энергии, переносимой точками тела, пересекающими границы куба. Таким
образом,
A.17).
r(mJ
олп олт
где принято обычное правило суммирования по повторяющимся
индексам (т, п = 1, 2, 3). В этой формуле Ао - удельная энергия (энер-
(энергия в указанном единичном кубе) до вариации перемещений; onm-
компоненты истинных напряжений (компоненты тензора Коши), 6um-
вариации перемещений.
Поскольку мы полагаем, что тело однородно, а энергия зависит
лишь от деформации, при выводе искомой формулы можем считать
деформированное состояние равномерным (не зависящим от коорди-
координат). При этом не зависят от координат компоненты напряжений
и удельная энергия Ао. Учитывая это, равенство A.17) можно перепи-
переписать в виде
ЬА0 (Ь"тКт Т^F«шМо- A-18)
олп олт
Заметим, что величины 6ит являются лагранжевыми, а не эйлеро-
эйлеровыми вариациями (они определяют приращение перемещений некото-
некоторых фиксированных точек тела, а не приращение перемещений в фик-
фиксированных точках пространства). Поэтому символы дифференцирова-
дифференцирования по эйлеровым координатам и варьирования здесь не перес-тавимы.
В связи с этим перейдем к дифференцированию в правой части равен-
равенства A.18) по лагранжевым координатам. Имеем
- 74-
^хк _ди1\
п дхп 6кп dxj- (U9)
Символы д/дхк и б можно переставить, в результате чего равенство
A.18) принимает вид
Теперь с помощью уравнений A.19), записанных относительно
перемещений ит можно выразить компоненты ди^дхк через эйлеро-
эйлеровы производные ди^дХк. Находим
ди
°хк А дХп "" А
где Атп- алгебраическое дополнение элемента атп матрицы Машп11,
Далее,
fi / дит\ в / аКпАкт\ Акт Акт I дик
\ dxj \ А I A A \ дХп
Итак,
ЬА0= опт а \- А,
А \дХп
Акт
Учитывая произвольность вариаций эйлеровых производных от пе-
перемещений, отсюда находим
/ / ди« \
Акт Qnm= AdAJd —— + А0Акп.
\ d*n I
Из этой линейной системы {к = 1, 2, 3) получаем выражение для опт\
опт= ABKmB-*dAjd\—— + А0ВктАкпВ~\
\ дХ I
где В= det[Amr], Bmn- алгебраическое дополнение элемента А
матрицы \\АтпII. Замечая, что
- 75-
В дХ„_
приходим к искомой формуле
= дик т ВктАкп ^
"ш у R г,
A.21)
Напомним, что здесь первый член представляет собой сумму выписан-
выписанных выражений по к(к = 1, 2, 3).
Основываясь на соотношениях A.9) и A.20), можно установить
связь между компонентами тензоров Коши отп и Пиолы- Кирхгофа
ошп. Вначале предположим, что работа деформации потенциальна,
напряженное состояние - равномерное. Удельная энергия Uo, отнесен-
отнесенная к единице объема до деформации, и удельная энергия Ао, отнесен-
отнесенная к единице объема в деформированном состоянии, выражаются
одна через другую очевидным образом [см. формулы A.5), A.6)]:
i=det[amn]; A=det[amr]; A.22)
Используя одно из равенств A.22) (U0 = A0, А), записанное в ла-
гранжевых переменных, имеем
6?/о = АбАо + Аоб1 A.23)
В формуле для вариации 6А0 A.20) выразим элементы атп через
лагранжевы переменные. К искомой зависимости приводит следующая
цепочка равенств:
Акт
ОХК А А
п = AJA,
(L24)
где Атг1Атг) - алгебраические дополнения элементов 2fmn(omn) матри-
матрицы llomnll(llamnll). Далее,
6A = Amn6(durr/dxn). A.25)
-76-
Подставляя выражения A.20), A.24) и A.25) в правую часть равен-
равенства A.23), находим
Сравнивая это с формулой A.9), где А^= Uo, получаем искомую
зависимость
окт = Апкопт. A.26)
Последнее равенство можно рассматривать как систему уравнений
относительно компонентов олш. Разрешая ее, получаем выражение
эйлеровых компонент через лагранжевы
^пт=опкокт/А. A.27)
Используя равенство U0 = A0/A A.22), записанное в эйлеровых пере-
переменных, имеем
1 AQ
6UO = —6AO -6А. A.28)
0 А ° А2
Выразим вариацию
через вариации в лагранжевых переменных. К этому приводит цепоч-
цепочка равенств
Jdum\ Jdum\ дит ( дик
\дХп1 \ дхк ) дхк \ дХп
= а
кп
дхк) \ кт А } \ дХп
Jj = Aapn ^dujdxj ;
Отсюда
диа\ I дип \
^у- АатпЬ \—^ . A.29)
- 77-
Подставляя теперь равенства A.20), A.29) в формулу A.28), находим
дхк
Вновь обращаясь к формуле A.9) (А* = Uo), получаем искомую зависи-
зависимость, выраженную в эйлеровых переменных,
окт=оптакп/А, A.30)
а отсюда - обратную зависимость
0пт = Акп0кт- 0-31)
Заметим, что соотношения A.26), A.27), A.30), A.31) между компо-
компонентами тензоров Коши и Пиолы- Кирхгофа никак не связаны ни с за-
зависимостью напряжений от координат, ни с потенциальностью работы
деформации. Поэтому они справедливы независимо от того, выполня-
выполняются или нет высказанные ранее предположения, которые потребова-
потребовались лишь для использования формулы A.20).
В частности, если повороты и сдвиги равны нулю, из указанных
соотношений следуют формулы
11, 522
где Ет- относительные удлинения, причем в данном случае
L
- 1 (к = т).
В заключение отметим, что если в материале отсутствуют внутрен-
внутренние положительные источники энергии, то однозначная зависимость
напряжений от градиента перемещений (частным случаем которой
является однозначная зависимость от деформации) влечет за собой
существование потенциальной энергии. Действительно, предположим
противное. Тогда в пространстве компонент градиента перемещений
существует некоторый замкнутый путь, на котором энергия получает
ненулевое приращение. Меняя направление обхода того же пути на
обратное, обнаруживаем такое же по модулю приращение энергии,
но другого знака, так как в любой точке контура компоненты сГшл
сохраняются, а приращения компонент градиента перемещений изме-
изменяют знаки [см. формулу A.9)]. Отсюда следует, что существует такой
замкнутый путь, при обходе которого по определенному направлению
происходит выделение энергии. Такое тело, если бы оно существовало,
могло бы служить основным элементом вечного двигателя.
- 78 -
С этой точки зрения известное в литературе выделение идеально
упругих (гиперупругих) материалов из общего класса упругих лишено
реального физического содержания, по крайней мере для обычных
„пассивных" материалов, деформация которых не сопровождается
выделением энергии. Такое деление оправдано лишь для абстрактных
моделей; одна из них возникает при эйлеровой интерпретации линей-
линейной теории упругости.
§3.2. Лагранжева и эйлерова интерпретации
линейной теории упругости
Как отмечалось в §2.1, линейная теория упругости основана на
предположении о малости деформаций и углов поворота. Сейчас мы
отбросим это предположение (оно не выполняется в задачах о трещи-
трещинах) и посмотрим, чему соответствуют соотношения линейной теории
при некоторых интерпретациях величин, которыми она оперирует.
Линейные уравнения равновесия B.1.2) можно сохранить как точ-
точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в ка-
качестве компонентов напряжений отю включая заданные в граничных
условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. §3.1).
Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука
B.1.1), A.13), который теперь устанавливает линейную связь между
указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранже-
вых переменных). При этом напряжения возникают не только вслед-
вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в осталь-
остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворе-
непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произ-
произвольных значениях компонент градиента перемещений форму-
формулой A.12).
Таким образом, если в задачах, рассмотренных в гл. 2 в рамках ли-
линейной теории упругости, внешние напряжения полагать компонента-
компонентами тензора Пиолы-Кирхгофа, то все уравнения и граничные условия
сохраняются неизменными. Следовательно, неизменными сохраняются
и решения этих задач, отвечающих теперь геометрически точной моде-
модели сплошной идеально упругой среды с указанной выше связью между
напряжениями и градиентом перемещений.
Подсчитаем относительные удлинения и истинные напряжения
у края трещины в задаче I для плоской деформации. В соответствии
с зависимостями B.2.19) при v < 1/2
ди
дх
з«
аи
ах
1
1
= 0
1
1
ди2
дх2
22~Л
ди2
дх2
= 0,
1 - 2v
2ц
да,
дх2
1
3!2 =
аи2
V
«21
аи
ах
= 0
1+ V
ц
1
2
(*1
)
^и2
п
A U'
¦^/+0, х2 =
1
0);
-79-
°11 = 522 = 512 = 521 = 0 (*1 "* '" 0> Х2
Отсюда относительные удлинения
1- 2v 1
1 + v
-'+0, *а«0);
Истинные напряжения (компоненты тензора Коши)
Оц022К0, х2 0);
11 ?2 + 1 22 Б1 + 1 1-2V ' ' 2
°11 = °22 = °12 = °21 = 0 К - /- 0, Х2 = 0).
Таким образом, деформация у края трещины не ограничена,
а истинные напряжения при приближении к краю трещины по какому-
либо направлению стремятся к конечному пределу, зависящему,
однако, от направления.
Берега раскрывшейся трещины образуют эллиптический контур.
Действительно, пусть плоскость растягивается напряжениями о119 о22.
При этом, как следует из соотношений B.1.6), если точка, лежащая
в начале координат, не смещается и плоскость не поворачивается,
то на вещественной оси
и — 1 _ „ 1 _
—(°11+У+- (°1
Прибавляя к этому перемещения второго состояния (на бесконечности
напряжения отсутствуют, на берега трещины действует нормальное
напряжение - 522), определяемые соотношениями B.1.7), B.2.18):
и - 1 ^ к + 1
получаем перемещения берегов трещины, свободных от внешних
напряжений,
к + 1 и + 1
ui = — xi(Sn - 922); и2 = — V Р - А 522.
-80-
Отсюда, учитывая, что эйлеровы координаты Х1=х1 + и1, Х2 = и2
(х2 = 0), находим форму раскрывшейся трещины:
х + 1 у х + 1
Х2 = — 522 Jl2-X2Ja2, а = 1 + — (ог1 - 322).
Здесь 5Х1 - о22 > - 8ц/(х + 1)(в случае равенства трещина превращает-
превращается в отрезок, ориентированный вдоль оси х2).
Линейной теории упругости можно дать и другую интерпретацию,
а именно, можно полагать, что переменные, входящие в закон Гука
и в уравнения равновесия, эйлеровы; соответственно напряжения -
компоненты тензора Коши.
При решении задач механики твердого деформируемого тела эйле-
эйлеровы переменные обычно не применяются, так как положение границ
тела в деформированном состоянии заранее неизвестно и поэтому
неизвестно, где должны быть поставлены граничные условия. Однако
в случае задачи о прямолинейной трещине в равномерно растягивае-
растягиваемой упругой плоскости это затруднение легко преодолевается. Доста-
Достаточно рассмотреть задачу линейной теории упругости о растяжении
упругой плоскости с эллиптическим отверстием (одна из осей эллипса
ориентирована вдоль направления растяжения, о22 -*- р при х2 -+ °°).
Из решения этой задачи [61] следует, что при деформации плоскости
отверстие остается эллиптическим, изменяются лишь его размеры. Для
наших целей оси эллипса а, Ъ определяются из того условия, что до
деформации одна из них равнялась нулю, а другая - длине трещины.
Основываясь на результатах, приведенных в [61], находим
2/ 2lq (к + \)р
1 - q2 I- q2 4\i
Так как решение задачи соответствует не трещине (для которой
а = 21, Ъ = 0), а эллипсу (а, Ь > 0), все истинные напряжения оказывают-
оказываются ограниченными (точка Хх = Х2 = 0 не особая). Ограниченными
оказываются и напряжения о22, о21 (о21 -* 0 при приближении к краю
трещины). Отсюда, несмотря на неограниченность деформации, следу-
следует, что при квазистатическом росте трещины, рассматриваемой в рам-
рамках эйлеровой интерпретации линейной теории упругости, в ее край
энергия не стекает. Вся энергия, высвобождающаяся при росте трещи-
трещины в случае идеально упругого материала, здесь поглощается в среде,
которая, как уже отмечалось, не является идеально упругой (работа ее
деформации не потенциальна). Таким образом, в данной модели упру-
упругой среды собственно поверхностную энергию учесть нельзя: если она
будет положительной, то трещина вообще не сможет распространяться.
В дальнейшем будет видно, что такая же ситуация возникает в клас-
классических моделях упругопластического тела.
Если параметр q мал (для стали, например, условием прочности
6-171 - 81 -
он ограничен величиной порядка 10 2), то в рассматриваемой модели
упругой среды поглощение энергии происходит в малой окрестности
края трещины, где сказывается роль геометрической нелинейности.
Геометрической нелинейностью обусловлены и различия между
решениями, полученными при лагранжевой и эйлеровой интерпрета-
интерпретациях линейной теории упругости, - различия между компонентами
отп, дит/дхП9 определенными при лагранжевой интерпретации, и ком-
компонентами ошп, дит/дХп той же задачи в эйлеровой интерпретации.
Во-первых, указанные компоненты имеют различный смысл и отли-
отличаются друг от друга даже в том случае, когда они относятся к одному
и тому же состоянию сильно деформированного (повернутого) тела.
Во-вторых, различия в решениях обусловлены тем, упругие свойства
соответствующих моделей среды при больших деформациях не одина-
одинаковы. Так, при бесконечном растяжении (Ех = + °°, Е2 = Е3 = 0) лагран-
лагранжевой интерпретации соответствуют компоненты
Sn = °и = (* + 2\i)duJdXl = {X
а эйлеровой -
°i 1 = 0i 1 = (*- + 2\i)duJdX1 = (X + 2jli)?1/A + Е±) = к + 2ц.
При удалении от края трещины рассматриваемые решения сбли-
сближаются и, следовательно, влияние геометрической нелинейности
(влияние той области, где деформации и повороты велики) исчезает.
В жестких материалах, для которых закон Гука справедлив лишь
при малых деформациях, физическая нелинейность проявляется
в большей окрестности края трещины, чем геометрическая. Поэтому,
если материал способен деформироваться за пределами линейной
упругости, в первую очередь следует учитывать физическую нелиней-
нелинейность и лишь затем - геометрическую.
§3.3. О деформациях в окрестности особой точки
Приведенные выше решения задач о трещине, полученные на ос-
основе линейной теории упругости, указывают на неограниченные
деформации в окрестности края трещины. Этот вывод, как было пока-
показано в предыдущем параграфе, справедлив и в тех случаях, когда
линейная теория трактуется как некоторая геометрически точная,
причем независимо от того, в лагранжевых или в эйлеровых перемен-
переменных записываются (одни и те же по форме) линейные соотношения.
Возникает вопрос: присуща ли указанная неограниченность толь-
только линейной теории и приведенным геометрически точным ее интер-
интерпретациям или она сохраняется в более общем случае? Ниже дается
ответ на этот вопрос - указываются достаточные критерии неограни-
неограниченности деформации.
Рассмотрим однородную сплошную среду с особой линией. Возьмем
- 82 -
на ней некоторую точку, в которой существует касательная, и построим
плоскость, перпендикулярную касательной и проходящую через ука-
указанную точку. Введем в этой плоскости лагранжевы координаты:
прямоугольные х19 х2 и полярные г,0. Начало тех и других - в особой
точке; х2 = О при 6 = 0. Координату х3 направим по касательной к осо-
особой линии. Будем искать условия, при которых возможны ограничен-
ограниченные напряжения и деформации [94].
Предположим, что их предельные значения (г->()), зависящие от
полярного угла 6, существуют и ограничены. При этом существуют
ограниченные пределы для производных
lim— =umriQ), lim =umlB) C.1)
г-* О ОХп г+0 ОГ
(т,п= 1,2,3).
Поскольку деформации ограничены, перемещения непрерывны,
так что их предельные значения (г -> 0) не зависят от 0.
Учитывая предельные значения C.1), соотношения
ди ди ди sin 6
= cos в ;
дхх дг дв г
ди ди ди COS0
= sin 6 + ,
дх2 дг дв г
а также предел
1 дит д2ит
lim— = lim = u'm J0),
г^о г ов г-^о drdv
где штрих означает производную, находим
д
U'mr — ("rmCOS 0- u'm^in 0) = - (umr+ U^sin $
Ob
d
u'm2= —(u™sin 9+ u'mfios 9) = (umr+ u"mJcos 8.
do
Отсюда
u'mlcos9+u'm2sin9=0. C.2)
-83-
Обратимся теперь к уравнениям равновесия A.8) и перепишем их
в цилиндрических координатах (внешние объемные силы отсутствуют):
sin 9 +
O°im
дг
( ао2У
аэ
cos
77
9-
cos
г
doim
d9
9 do3
dx
sin
г
,m
3
9
= 0.
d02m
dr
Умножим обе части на г и проинтегрируем по г от нуля до р. Исполь-
Используя теорему о среднем, получаем
P{[olm(p,e)-olm(r1,8)]cose +
+ [o2m(p,9)-o2m(r2,9)]sin9 +
+ o'2m(r3, Э) cos 9 - o'lm(r4,9) sin 9 +
+ rsdo3m(rs,9)/dx3}=0 @«rl,...ir5<p).
Сократим на р и устремим р к нулю. Учитывая существование ограни-
ограниченных пределов и полагая, что вследствие гладкости особой линии
(в некоторой окрестности рассматриваемой точки)
находим уравнения равновесия относительно предельных значений
компонент тензора Пиолы- Кирхгофа
O2m(9)cos9-o'lm(8)sin8 = 0;
(o'mn(8) = limdomn(r,e)/d9).
Объединяя равенства C.2), C.3), получаем
«miO'iFi + u'maOan = 0- C-4)
Отсюда, в частности, следует, что
2 o'mn"'nm = 0. C.5)
m,n=\
Заметим теперь следующее. При изменении полярного угла 8
(г = + 0) точка в пространстве компонент градиента перемещения опи-
описывает некоторую кривую. Мы полагаем, что интервал изменения
полярного угла 9 можно разбить на участки, для каждого из которых
соответствующий отрезок указанной кривой не имеет точек „самопе-
„самопересечения". Ввиду того что на любом таком отрезке свойства материала
-84-
проявляются лишь на заданном пути деформирования, не имеющем
точек самопересечения, напряжения и энергия деформации на нем
однозначно зависит от градиента перемещения. Поэтому для любого
значения 0 вместо равенств C.4) или C.5), можно записать
±
m,n=l к,/=1
а работу деформации полагать потенциальной.
Сравнивая последнее равенство с выражением для второй вариа-
вариации полной энергии A.16), видим, что если материал устойчив F2Р > О,
вариация хотя бы одной из компонент градиента перемещения отлич-
отлична от нуля), то равенство C.6) не выполняется и, следовательно, дефор-
деформация в окрестности особой точки неограниченна (точнее, не суще-
существует ограниченных пределов для компонент градиента перемещения
или тензора Пиолы-Кирхгофа при г -+ 0, 9 = const).
Данное условие неограниченности деформации можно несколько
видоизменить. Вернемся к соотношениям C.2), C.3). Возьмем какое-ли-
какое-либо значение угла 8, при котором деформация изменяется, т. е. не все
производные итп равны нулю. Повернем координатные оси так,
чтобы данное значение соответствовало равенству 9 = 0. Тогда в этой
точке (в новых координатах)
Отсюда
з
x~~l —2Г иг - л f3 7)
где учтено, что вследствие непрерывности перемещения и'тз = 0. Так
как не все производные ит2 равны нулю, из равенства C.7) получаем
det[aS2r/di/mJ = O. C.8)
Здесь в общем случае т, п = 1, 2, 3. Для плоской деформации т, п = 1, 2.
Таким образом, если при произвольном расположении осей коор-
координат якобиан C.8) отличен от нуля (этому отвечает локальное взаим-
взаимно однозначное соответствие между векторами с проекциями б2п
и "тг)' Т0 конечные пределы для рассматриваемых компонент не
существуют.
Если работа деформации потенциальна, то, учитывая формулу
A.10), необходимое условие ограниченности деформации C.8) можно
записать в виде
-85-
f ^ 1=0.
l дип2дит2 J
D^detf ^ 1=0. C.9)
l дд J
В линейной теории упругости при ее лагранжевой трактовке левая
часть равенства C.9) равна \12(к +2ц)> 0 и, следовательно, деформа-
деформация в окрестности особой точки, как это и было установлено ранее,
неограниченна. То же происходит с материалом, потенциальная энер-
энергия деформации которого определяется выражением A.11). Действи-
Действительно, в последнем случае
где Атп - алгебраические дополнения элементов Zmn =6mn + дит/дхп
матрицы 112^11.
Перейдем к эйлеровым переменным. Если вместо тензора напряже-
напряжений Пиолы-Кирхгофа ввести тензор Коши, а лагранжевы координаты
заменить эйлеровыми, то все рассуждения, которые привели к равен-
равенствам C.6), C.8) сохраняют силу. Следовательно, сохраняются и ука-
указанные равенства. Они, однако, не тождественны первоначальным,
так как входящие в них величины имеют другой смысл. Покажем это
на примере одноосного напряженного состояния несжимаемого мате-
материала (материала, объем которого при деформации не меняется). Пусть
единственная отличная от нуля компонента тензора Коши
Ел ди
где Е - модуль упругости; Ек - относительное удлинение. Условие
несжимаемости имеет здесь вид
II (?к+1)=1.
Отсюда компонента тензора Пиолы-Кирхгофа
1)о.Б ^ (x xt).
A + ди/дхJ
Левая часть равенства C.8), где индекс 2 можно заменить на 1,
в эйлеровых и лагранжевых переменных будет представлена здесь
одним членом:
/ ди \ „ / ди\ 1 - ди/дх
до/д —7 -?, до/д — =?
дХ I \дх I A + ди/дхK
-86-
Видно, что для рассматриваемого материала условие C.8) не вы-
выполняется, если входящие в него переменные эйлеровы, и выполняет-
выполняется при ди/дх = 1 в случае лагранжевых переменных, когда материал,
по данному выше определению, устойчив лишь при достаточно малом
удлинении (Ег = ди/дх < 1).
Если работа деформации, приходящаяся на единицу объема, потен-
потенциальна, то равенство C.8) (в эйлеровых переменных) можно перепи-
переписать, используя зависимость A.21). Получаем
det
до.
'2 л
1 +Д
дХ2
det
det
дик
к1 д\
дХ0
к-\д
дХ2
дХ2
= 0.
дщ
(ЗЛО)
Но при ограниченной деформации относительное изменение объема
удовлетворяет неравенствам-1 < Д< °°. Поэтому равенство C.10V
тождественно условию C.9), записанному в эйлеровых переменных.
Итак, даже если условия C.8), C.9) в лагранжевых переменных
выполняются (материал неустойчив), а те же по форме условия в эйле-
эйлеровых переменных не выполняются, деформации и (или) напряжения
в окрестности особой точки неограниченны.
Приведенные выше рассуждения основаны на предположении,
что рассматриваемая точка особая. Обычно справедливость этого
предположения вытекает непосредственно из условия задачи. Именно
так обстоит дело в задаче о трещине, берега которой (хх < I, х2 = ± 0)
свободны от напряжений. Действительно, если при развитии трещина
дополнительно раскрывается, то, очевидно, вектор напряжений,
действующий на продолжение берега трещины (хх > I, х2 = + 0),
отличен от нуля. В то же время он равен нулю при хх < I, x2 = + Q
(переменные лагранжевы). Таким образом, напряжения, а следователь-
следовательно, и градиент перемещения у края трещины разрывны, данная точка
является особой. Вместе с тем, если трещина раскрывается так, что ее
берега образуют гладкий контур, наличие особой точки при эйлеровом
описании не очевидно. Так, при эйлеровой интерпретации линейной
теории упругости (см. §3.2) предел для напряжений при приближении
к краю раскрывшейся трещины конечен и не зависит от полярного
угла 8 (в эйлеровых переменных - д/2 ^ в < л/2 при г= + 0). Но в соот-
соответствии со сказанным выше при лагранжевом описании той же самой
задачи напряжения (компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа) разрывны.
Из этого примера следует, что в отношении напряжений данная точка
может быть особой при лагранжевом описании и в то же время обыч-
обычной при эйлеровом. Справедливо и обратное утверждение. Примером
является задача о закрытии эллиптической полости, рассматриваемая
-87-
при эйлеровой интерпретации линейной теории упругости. Если здесь
использовать лагранжево описание, то вследствие гладкости границы
полости (до деформации тела) компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа
будут непрерывными, край „трещины" в отношении напряжений будет
обычной (не особой) точкой. Однако при эйлеровом описании напря-
напряжения (компоненты тензора Коши) у края „трещины", в которую прев-
превращается эллиптическая полость после деформации тела, разрывны,
точка - особая.
Сказанное не означает, что различные способы описания приво-
приводят к разным выводам о напряженном состоянии тела. Напряженное
состояние от способа описания не зависит, различаются лишь тензоры
„напряжений", которые здесь используются, так как при лагранжевом
и эйлеровом описаниях они имеют различный смысл.
По отношению к деформации, однако, подобная изменчивость
исключена. Действительно, предположим, что при лагранжевом (эйле-
(эйлеровом) описании данная точка не особая, т. е. градиент перемещения
в ней непрерывен, относительное изменение объема удовлетворяет
неравенствам - 1 < Д < °°. Тогда (вследствие указанных неравенств)
имеет место локальное взаимно однозначное соответствие между гра-
градиентами перемещений ди^дх^ durrjdXrt Следовательно, и при эйле-
эйлеровом (лагранжевом) описании данная точка не особая. Поэтому, если
при каком-либо из указанных описаний точка - особая, то она будет
особой и при другом описании. В качестве примера можно снова
указать на эйлерову интерпретацию решения задачи о трещине в
рамках линейной теории упругости, где напряжения непрерывны,
а деформация разрывна (бесконечна).
Полученные выше критерии можно усилить [95], если ввести
довольно естественное предположение о том, что производные по г
от компонентов тензора градиента перемещений и тензора напряже-
напряжений, умноженные на г, при г -+ О стремятся к пределу (конечному или
к бесконечному). При этом справедливо следующее утверждение.
Если определитель
det до2п]д1—— I bconst >0 C.11)
при произвольном направлении оси х2 [т. е. если равенство C.8)
не выполняется], а асимптотика градиента перемещения и, следова-
следовательно, асимптотика тензора напряжений при г -* О зависит от 8 (не все
производные d2urr/dx^d8=0 при г= + 0), то градиент перемещений
или (и) тензор напряжений ошппри г=0 имеет логарифмическую или
более сильную особенность.
Действительно, пусть утверждение неверно:
omn=o(lnr), —- = оAпг) (г->0). C.12)
дхп
-88-
Тогда с учетом указанного предположения можем записать
дотп d2tim
г——-г—f-О (г-0), C.13)
дг
так как стремление к другому пределу приводит к противоречию
оценкам C.12). Кроме того, как и выше, полагаем, что вследствие глад-
гладкости особой линии
rdO3m/dx3-0 (г-0). C.14)
Из приведенных выше уравнений равновесия, записанных в ци-
цилиндрических координатах, получаем аналог формулы C.3):
-^ cos 9 - -^ sin 9 - 0 (г - 0). C.15)
д9 д9
Далее,
д2ит I д2ит 1 дит \ I дит 1 д2ит \
cos 9 - + — sin 9,
дгдв г дд I \ дг г д92
д2ит 1 дит
cos 9 + г sin 9.
д2
дх2дг \ агд9 г д9 / дг2
Отсюда
д2ит д2ит I дит д2ит 1 д2ит\
=г + г + — sin 9. C.16)
дх.дв дх2дг \ дг дг2 г дв2 /
1 2. \ I
Пусть при 9 = 9^ деформация изменяется, т. е. не все производные
д2ит/дхпдв стремятся к нулю при г -* 0. Положим 9* = 0 и соответствен-
соответственно повернем координатные оси. Тогда на основании соотношений
C.13)- C.16) имеем
—^--9 (г-0, 9 = 9).
аэ дл^аэ
Кроме того, вследствие непрерывности перемещений d2um/dx3dQ -*0
(г -¦ 0). Отсюда
з
-89-
и, так как не все производные от компонент градиента перемещения
стремятся к нулю,
что противоречит условию C.11). Таким образом, оценки C.12) не вы-
выполняются, что и требовалось доказать.
Приведенное утверждение остается в силе и при использовании
эйлеровых переменных [94].
§ 3.4. Поток энергии.
Связь между формой раскрытия трещины
и напряжениями на ее продолжении
В § 1.3 было показано, что поток энергии в край трещины, расту-
растущей в линейно-упругом материале (плоская задача линейной теории
упругости), при отсутствии внешних напряжений на ее берегах опре-
определяется инвариантным интегралом A.3.8). Переформулировка этого
утверждения применительно к нелинейно-упругому телу очевидна
[123,126]:
Г ~ ди
T=\U0dx2-0-—dr9 D.1)
где с/Г, х,2- лагранжевы переменные; о- сила, действующая извне
на единичный (до деформации) элемент с/Г контура Г; Uo - потенци-
потенциальная энергия деформации, отнесенная к единице объема тела до де-
деформации. В соответствии со смыслом указанных величин правая
часть равенства D.1) представляет собой поток энергии внутрь контура
Г при единичном стационарном смещении контура Г вместе с полем
напряжений и деформаций вдоль оси xv
Если контур Г замкнут и в ограниченной им замкнутой области
особые точки отсутствуют (во всех точках области выполняются одно-
однородные уравнения равновесия), а свойства материала не зависят от
координаты xv то при указанном смещении энергия внутри контура
сохраняется и, следовательно, интеграл D.1) равен нулю. Подчеркнем,
что этот вывод остается справедливым при произвольной связи между
напряжениями и деформациями в идеально упругом теле. В этом
легко убедиться и непосредственной проверкой.
Интеграл D.1) по замкнутому контуру преобразуем в интеграл по
области Q, ограниченной этим контуром, учтем уравнения равновесия
и выражение напряжений отп через удельную потенциальную энергию
A.10). Получим (суммирование по т, п)
-90-
dxm \ dxj
Q
dU0 д2ип _ д2ип ]
odxtdx2 = 0. D.2)
д(дип/дхт) дхтдх1 дххдхт
Q
Таким образом, поток энергии в край трещины, берега которой
свободны от внешних напряжений, определяется формулой D.1),
если Г - произвольный контур, охватывающий край трещикы. Его
можно провести вдали от края, где деформации и повороты по предпо-
предположению малы настолько, что применение линейной теории упругости
полностью оправдано. Тогда для расчета потока энергии можно исполь-
использовать решение задачи, полученное в рамках линейной теории упру-
упругости. Этот вывод, с учетом критерия Гриффитса, оправдывает приме-
применение линейной теории упругости для определения критических
нагрузок на упругое тело с трещинами.
Заметим, что для указанного способа определения потока энергии
[формулой D.1)] существование потенциальной энергии деформации
не является необходимым. Действительно, первый член правой части
формулы D.1) соответствует конвективному потоку энергии - энер-
энергии, переносимой вместе с частицами тела, пересекающими контур.
Для расчета этого потока не имеет значения, представляет ли Uo
потенциальную энергию или просто работу напряжений, действующих
извне на поверхность данного элемента тела на фактически реализуе-
реализуемом пути его деформации (отнесенную к объему элемента в исходном
состоянии). Конечно, если часть энергии может переноситься другим
путем, например вследствие теплопроводности, в выражении для
потока энергии это следует учесть отдельно.
Что же касается тождества D.2), то, хотя его левая часть отвечает
стационарному смещению контура вместе с полем деформаций, оно
не обязано выполняться, если работа деформации не потенциаль-
потенциальна. Для пояснения рассмотрим две материальные точки, одна из кото-
которых находится внутри контура Г до его смещения, другая - располо-
расположена относительно смещенного контура точно так же, как и первая
относительно несмещенного. Ввиду стационарности деформация
во второй точке после смещения контура та же, что и в первой до его
смещения. Однако если одна и та же деформация в этих двух точках
достигнута различными путями, то работа деформации может иметь
там различные значения. Следовательно, после смещения энергия тела
внутри контура может измениться и суммарный поток энергии через
контур оказаться отличным от нуля. Вместе с тем, если стационарное
смещение происходит на достаточно большое расстояние (например,
при росте трещины в полосе), так что стационарным оказывается
не только поле деформаций, но и весь путь нагружения, то энергия
деформации в рассматриваемых двух близких точках становится оди-
одинаковой и, следовательно, тождество D.2) начинает выполняться.
Поскольку в общем случае деформации неидеально упругого тела
-91-
тождество D.2) не имеет места, для определения потока энергии в край
трещины можно пользоваться формулой D.1) лишь при условии,
что контур Г, охватывающий край трещины, стягивается к нему.
Перейдем к определению связи между формой раскрытия трещины
у ее края и напряжениями на ее продолжении [92]. Рассматриваем
обобщенную плоскую задачу. Полагаем материал идеально упругим,
а трещину в некоторой окрестности ее края прямолинейной. Как и для
линейно-упругого тела, рассматриваем два состояния: состояние Ах
с данной трещиной, прямолинейная окрестность края которой располо-
расположена на оси хх при хх < /, х2 = 0, и состояние А2 с трещиной большей
длины (координаты края хх = / + б/, х2 = 0).
Пусть, д(х19 /)-„напряжение" (его проекции - компоненты о21,
о22), действующее на отрезок / < хх < I + б/ в состоянии Ах со стороны
верхней полуплоскости. Предположим, что состояние, когда к верхне-
верхнему и нижнему берегам трещины (абсцисса края которой хх = 1+Ы)
на указанном отрезке приложены напряжения + сио{х19 /), 0 < а ^ 1,
устойчиво. Тогда изменением параметра а от нуля до единицы можно
осуществить квазистатический переход из состояния А2 в состояние
Ах. Действительно, граничные условия при этом будут соответствовать
состоянию А19 а так как материал идеально упруг, процесс перехода
к данным граничным условиям несуществен.
Работа данных напряжений Г6/ = б [/равна
1 /+6/
6Г/=-2 1 \o(xv О'-а — и (х1,/ + 6/,а)Лс1сГа, D.3)
J J да
о 1
где 2u_{xv /+б/, а)-разность между перемещениями верхнего
и нижнего берегов трещины, нагруженных напряжениями + ад(х19 /)
(абсцисса края трещины хх = / + б/).
Интегрируя в D.3) по частям и учитывая, что указанная разность
при а = 1 равна нулю (/ < хх < /.+ б/), получаем
1+Ы 1
б?/ = 2$ $u_(xvl+6l,a)doL-o{x19Qdxt. D.4)
/ о
Предположим, что при росте трещины из состояния Ах в состоя-
состояние А2 раскрытие ее изменяется непрерывно:
и, (х15 / + б/, а) - и (xt - 6/, /, а) (б/ - 0),
где правая часть соответствует трещине с абсциссой края хх = / берега
загружены напряжениями +ао(х1 + б/, /). Кроме особых случаев,
когда действие внешних нагрузок взаимно компенсируется (при этом
б?/=0), данное асимптотическое равенство всегда справедливо при
продвижении трещины в однородной упругой среде вдоль той прямой,
на которой расположена окрестность ее края в начальном состоянии.
Учитывая это, равенство D.4) для б/ -> 0 можно переписать в виде
/+6/1
6G=2 I I и. (хг - б/, /, a) da • Ь{хх, I) dxx . D.5)
/ о
-92-
Как следствие устойчивости состояний А19 А2 и всех промежуточ-
промежуточных @ < а ^ 1) имеем неравенства
&U 2 Г
О < Г= < lim — \и {х1 - б/) • Ъ(хх) Лс, =
6/ 6/-0 6/ J
/
d
= 2 lim [о-(-х)*о(х)] D.6)
х-*о dx
(ы _(*J = и_(х191, 0), o(Xl) = о^, /)).
Теперь можно сделать некоторые выводы о связи между формой
раскрытия трещины у ее края и напряжениями на ее продолжении:
- раскрытие трещины 2и_{хх - б/) и напряжение о(хх) не могут
быть ортогональными;
- если перемещения берегов трещины непрерывны:
limu.(x1) = 0, D.7)
то напряжение, действующее на продолжение берега, не ограничено.
Действительно, в противном случае интеграл в правой части соотно-
соотношения D.6) был бы порядка оF/), что исключается данным соотношением.
Следствие. Если напряжение, действующее на продолжение бе-
берега трещины, ограничено, то раскрытие трещины при приближении
к ее краю не стремится к нулю - равенство D.7) не выполняется. Если
при этом раскрытие трещины стремится к пределу, то можно говорить
о величине раскрытия трещины на ее конце. В этом случае трещина
нормального разрыва заканчивается тупиком. В дальнейшем будет
видно, что подобная ситуация возникает в упругопластическом теле.
Далее, пусть @ < т < 1)
5 - N(xx - lYm (N= const, xx - / + 0), D.8)
тогда
Jc1)m (M= const, ;q-*/-0), D.9)
причем М • JV> 0.
Последние соотношения вытекают из положительности и ограни-
ограниченности производной dU/dl. Здесь поток энергии в край трещины при
ее квазистатическом продвижении, как следует из равенств D.6),
D.8), D.9),
6U Г/ 1-х \т
Т= <М-ЛМ ) dx = 2nmM'N/sin nm. D.10)
Ы J \ I
- 93-
В случае линейной теории упругости при переходе от равенства
D.5) к неравенствам D.6) в правой части появляется множитель 1/2,
а вместо правого неравенства появляется знак равенства. То же отно-
относится и к формуле D.10), которая при этом (т = 1/2) совпадает с приве-
приведенной ранее [см. формулы A.3.4), B.2.15), B.2.16), B.2.25)].
Заметим, что если напряжение, действующее на продолжение бере-
берега трещины, ограничено и трещина заканчивается тупиком, то требо-
требование непрерывности перемещения берега не выполняется. При этом,
однако, выполняется условие ограниченности потока энергии
(см. § 2.2), которое, таким образом, оказывается более общим.
ГЛАВА 4
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
В этой главе рассматриваются типичные квазистатические задачи
о трещинах в упругопластическом теле. Исследуются два варианта:
нагружение тела с фиксированной (неподвижной) трещиной и рост
трещины при фиксированном нагружении тела (стационарная задача).
Задачам, связанным с фиксированными трещинами, посвящена обшир-
обширная литература (см. [77]). Первой работой, относящейся к растущей
трещине, была статья [139], где рассматривалось движущееся упруго-
пластическое поле при антиплоской деформации тела (см. также [48]).
Решение задачи, однако, не было завершено, так как не учитывалось
наличие области разгрузки. Более полное решение соответствующей
стационарной задачи для упругопластического материала без упрочне-
упрочнения приведено в статье [128]. Та же задача для упрочняющегося,
а также идеально упругопластического тела рассматривалась в работах
[79, 95], аналогичные плоские задачи (для материала без упрочне-
упрочнения) - в статье [97].
Основной вывод формулируется на основе сравнения результатов,
отвечающих фиксированной и растущей трещинам. Показано, что для
фиксированной трещины пластичность понижает (ограничивает) напря-
напряжения, но увеличивает концентрацию деформаций. В этом смысле
состояние у края трещины соответствует нелинейно-упругому телу.
В случае растущей трещины влияние пластичности иное: наряду
с уменьшением (ограничением) напряжений уменьшается и концен-
концентрация деформаций. В результате при росте трещины энергия непосред-
непосредственно в ее край не стекает, что исключает применение критерия
Гриффитса. Здесь может использоваться деформационный критерий.
На его основе с учетом различий в упомянутых решениях можно
описать устойчивый рост трещины при монотонной и циклической
нагрузках.
Первые четыре параграфа главы носят вспомогательный характер.
В них представлены общие сведения об используемых моделях
-94-
упругопластического тела, приводятся зависимости для фиксирован-
фиксированных и движущихся полей напряжений и деформаций в областях пла-
пластического течения и разгрузки применительно к особой точке поля
линий скольжения. В последующем эти зависимости используются при
решении конкретных задач о трещинах.
§4.1. Некоторые сведения
из теории пластичности
Рассмотрим теорию пластичности, основанную на условии Треска-
Сен-Венана и ассоциированном законе пластического течения [28].
Условие Треска-Сен-Венана фиксирует значение максимальных
(по модулю) касательных напряжений. Область, где это значение
достигается, назовем областью пластичности. Упругой областью назо-
назовем ту, в которой условие пластичности не выполняется в данный
момент и не выполнялось ранее. Итак, в упругой области
т2<к2, A.1)
а в области пластичности неравенство A.1) переходит в равенство
т2 = к2. A.2)
Здесь т - максимальное касательное напряжение (максимальное отно-
относительно ориентации площадки, в которой действует напряжение);
к > О - предел текучести при сдвиге.
Если образец с боковой поверхностью, свободной от внешних
напряжений, растягивается напряжениями о, то максимальное каса-
касательное напряжение в нем т = о/2. Отсюда следует, что к = от/2, где
от - предел текучести (при одноосном растяжении).
Пусть ov o2, о3 - главные напряжения, т. е. нормальные напряже-
напряжения, действующие в трех взаимно перпендикулярных направлениях
(главных направлениях тензора напряжений), где касательные напря-
напряжения отсутствуют. Тогда максимальное по модулю касательное
напряжение совпадает с одним из следующих значений:
о.,- о» о, — о~ о,- о1
3 2 13 2 1 /i л\
*.——' ^=—г~> Тз="т~- (L3)
Равенство A.2) может достигаться лишь для одного из выписанных
максимальных значений касательных напряжений, если ни одна
из них не равно нулю, или для двух, если какие-либо два из главных
напряжений равны друг другу. Значения главных напряжений
om(m = 1,2, 3) определяются как корни уравнения
det[oKn- om6Kn] = 0. A.4)
-95-
Предполагается, что деформации упругопластического тела склады-
складываются из упругих и пластических ешп = етл + етл> причем упругие
деформации связаны с напряжениями законом Гука
о-—, A.5)
(".,.
а пластические - подчиняются ассоциированному закону пластиче-
пластического течения
Р = 1,2,3;
^п ^Р,
dt дотп
Лр^О (т^ = к2), Лр = 0 (Ц<к% domfl/dora«6rar6M. A-6)
Здесь f - время; Лр - коэффициенты пропорциональности (зависящие
от координат и времени t). Индекс р принимает значения 1, 2, 3, однако
суммирование в правой части равенства A.6) распространяется лишь
на те значения р, при которых т2 = к2, т. е. в правой части содержится
не более двух членов.
Существенно, что уравнениям совместности (вытекающим из усло-
условия, что деформации возникают вследствие некоторых перемещений)
— Z ¦
ОХ л UAjUA«
A.7)
а /де12+ де31
дх2дх3 дхх \ х3 дх2 дх
и еще четырем аналогичным уравнениям, получающимся из выписан-
выписанных циклической перестановкой индексов, удовлетворяют лишь сум-
суммарные деформации. Что же касается отдельно упругих и пластиче-
пластических деформаций, то они могут и не удовлетворять указанным урав-
уравнениям. Таким образом, перемещения и^ вообще говоря, нельзя
представить суммой упругих и пластических перемещений, как это
было сделано выше в отношении деформаций.
Коэффициенты Лр произвольны в той степени, в которой это допу-
допускается уравнениями совместности полных деформаций и другими
условиями конкретной задачи, в частности условиями сопряжения
пластической и упругой областей.
Соотношение A.6) эквивалентно утверждению, что пластические
деформации возникают вследствие сдвига (скольжения) на тех поверх-
поверхностях, где касательные напряжения по модулю достигают предельного
значения, причем скольжение происходит в направлении действия ка-
касательных напряжений, так что они совершают положительную работу.
-96-
Пусть в данной точке тела при t = tt т2, = /с2, при t > tx т^ < /с2.
Тогда будем говорить, что при t > t± происходит разгрузка (соответ-
(соответствующую область называют областью разгрузки). Полагаем, что при
разгрузке накопленные пластические деформации сохраняются,
а упругие - по-прежнему подчиняются закону Гука. Если при этом
ни одно из экстремальных значений касательных напряжений A.3)
не достигает по модулю предела текучести на сдвиг (т2 < к2), то связь
между напряжениями и полными деформациями, отсчитываемыми
от тех их значений о^пэ е^п, которые были достигнуты к началу
разгрузки, имеет вид
2JLIV
A.8)
1° = е°
Возможно, конечно, что при t> tx т2 < к2, т2 = /с2. Во всех таких
случаях по-прежнему справедливы зависимости A.5), A.6).
Другой из наиболее популярных вариантов теории пластичности,
основанный на условии Мизеса - условии постоянства интенсивности
касательных напряжений, здесь не используется.
Применительно к антиплоской деформации (в этом частном слу-
случае указанные теории пластичности совпадают) в дальнейшем будет
исследовано состояние у края трещины, растущей в упрочняющемся
материале. Примем, что при нагружении, т. е. при увеличении макси-
максимального сдвига у = v e3i + ез2> а также когда в процессе деформации
у = const, существует однозначная зависимость
причем направления максимальных касательного напряжения и сдви-
сдвига совпадают. Тогда
Полагаем по-прежнему, что при разгрузке (?<"|>°, у0 - макси-
максимальное значение у, достигнутое ранее) материал следует закону Гука
A.8), а предел текучести (предел пропорциональности) отвечает достиг-
достигнутому уровню напряжений или, если он не был превзойден, первона-
первоначальному пределу текучести т0:
xs=TO = /(oo^T^yI (т°^хо), ts=t0 (т°<т0), A.10)
где т°, о°13 0°2-значения соответствующих величин, достигнутые
к началу разгрузки.
7-171 -97-
В случае линейного упрочнения
(у
A.11)
и,следовательно,
Если область пластичности граничит с упругой областью, то возни-
возникает вопрос об условиях на этой границе. В соответствии с третьим
законом Ньютона вектор напряжения, действующий на границу, непре-
непрерывен. Пусть в рассматриваемом процессе граница пластической
области движется - это происходит, например, при нагружении тела
с фиксированной трещиной, когда пластические области расширяются,
или при росте трещины, сопровождающемся движением пластической
области. Тогда непрерывно перемещение на границе, а следовательно,
непрерывны и деформации, определяющие удлинения и сдвиг в гра-
граничной поверхности. Что касается других компонент тензора напряже-
напряжений, от которых не зависит упомянутый вектор, и компонент тензора
деформаций, не связанных с указанной деформацией граничной
поверхности, то они, вообще говоря, не обязаны быть непрерывными.
В дальнейшем, однако, будем полагать, что (если это не противоречит
конкретным условиям задачи) все компоненты напряжений и дефор-
деформаций на границе между упругой и пластической областями
непрерывны.
§ 4.2. Поля напряжений при пластическом течении
Рассмотрим вначале антиплоскую деформацию. Условие пластич-
пластичности A.2) принимает вид
Положим, удовлетворяя этому условию,
013 = -fcsin(p, 023 = fccos(p. B.2)
Обращаясь к уравнению равновесия
дх2
-98-
приходим к уравнению относительно функции ф в B.2)
дф дф
- cos Ф + sin Ф = 0. B.4)
дхг дх2
Левую часть последнего равенства можно рассматривать как
производную dyldl вдоль некоторой кривой, длина дуги которой*
обозначена через / и на которой в силу того же равенства ф = const.
На этой кривой cos ф = dxjdl, sin Ф = dx2/dl и, следовательно,
dx2/dxt = tg Ф = const. B.5)
Отсюда видно, что линии уровня ф = const прямые и совпадают
с линиями максимальных касательных напряжений (они называются
линиями скольжения). Действительно, касательные напряжения в пло-
площадках, повернутых относительно оси х1 на угол 9, 0qz= o23cos 9-
- o13sin 9= fccos((p- 9) достигают максимума (по модулю) при 9= ф,
9=ф+л. На э-тих направлениях tg 9 = dx2jdxl = tg Ф, что совпадает
с равенством B.5).
Итак, линии скольжения прямые. В обычных точках, где напряже-
напряжения непрерывны, линии скольжения не пересекаются. Эти прямые,
дополненные ортогональными им (в точках пересечения) кривыми,
можно рассматривать как координатную сетку. Обозначим радиус
кривизны указанных кривых через R, а угол наклона прямых (линий
скольжения) через 9. Уравнение B.4) в новых переменных будет
иметь вид
дф дф sin (ф - 9)
— ш$(ф- 9) + —- - - = 0, B.6)
дЯ д9 Я
где д/дЯ - производная вдоль линии скольжения (9 = const); A/Я)д/д9 -
производная по дуге координатной кривой, на которой Я = Я(9).
Радиус кривизны определяется равенством l/R = dB/ds, где 5- длина
дуги кривой, а положительные направления назначаются так, чтобы
элементы dR, ds образовали правую систему.
Поскольку 9 = ф(9 = ф + л), из уравнения B.6) видно, что при R Ф 0
производная дф/дЯ = 0 (как это и было установлено ранее), а зависи-
зависимость Я(9) произвольна. В частности, если R = °°, линии скольжения
параллельны, что соответствует равномерному полю напряжений
Ф = const; о13 = - fcsin ф; о23 = fccos ф, B.7)
а если на координатной кривой R = const = 0A), то R-г, 9 образуют
полярные координаты и мы имеем так называемое центрированное
поле линий скольжения (линии скольжения, пересекаясь в одной
точке - в полюсе, образуют „веер"):
-99-
ф (ф ); 13 ;
B.8)
O23 = ±fccos9; orz=0; oBz=±fc
В общем случае центр кривизны может описывать некоторую
кривую - эволюту, которой касаются линии скольжения (рис. 4.1).
Угловые точки эволюты - полюса центрированных полей. Равномерно-
Равномерному полю соответствует бесконечно удаленный полюс. Заметим, что
эволюта (или отдельные полюса), где Я=0, может лежать вне той
области, в которой напряженное состояние определяется соответ-
соответствующими линиями скольжения, или на ее границе.
В случае центрированного поля предел для напряжений при приб-
приближении к полюсу зависит от направления (от того, по какой линии
скольжения приближаться к полюсу) и, следовательно, полюс - особая
точка поля напряжений.
Перейдем к плоской задаче. Здесь 013~ 023 = 031 = О32 = 09 и
уравнение A.4) принимает вид
Отсюда и из равенств A.3) следует, что главные напряжения от
и экстремальные касательные напряжения \т определяются так:
1 ,
4012021 ; B.9)
4? = -—[^1+Bo33~oll-o22j].
4
Пусть т2 = /с2. В отличие от антиплоской задачи здесь через каждую
обычную точку проходят две линии скольжения, пересекающиеся под
прямым углом. (На этих линиях касательное напряжение по модулю
максимально и достигает предела текучести на сдвиг.) Это следует
непосредственно из формул преобразования компонент тензора напря-
напряжений при повороте координатных осей.
Таким образом, имеются два семейства линий скольжения, обра-
образующие ортогональную сетку. Определим направления на этих линиях
так, что если в данной точке линия первого семейства наклонена к оси
хх под углом Ф, то вторая - под углом ф + л/2. Отнесем к первому
семейству те линии скольжения, на которых напряжение орр = fc(p, p -
локальные полярные координаты, ось р направлена вдоль линии
скольжения первого семейства). Обозначим орр + о^ = о + (на линиях
скольжения 0рр - Орр = 0). При этом компоненты напряжений в прямо-
прямоугольных координатах х19 х2 будет определяться формулами
011+022=° + > 2о12+/(о22- 011) = 2/се21(Р. B.10)
Подставив эти выражения в уравнение равновесия, получим
Введем ортогональные криволинейные координаты а19 а2, отве-
отвечающие сетке линий скольжения. Соответствующие им параметры
Ламе обозначим через Я15 Я^
1
2
1
2
do +
дхх
do +
dx2
- 2/ссо5 2ф
¦ и™,,,.
дф
дф
дх2
¦- 2/csin
- 2 tain
2ф
2ф-
дф
дх2
дф
дхх
= 0;
0.
Учитывая
д
дхх
д
дх2
/(дх1/дашJ +
формулы
cos ф д
sin ф д
Нх дах
(дх2/даг
sin ф
я2
COS ф
1
я,
д
да2
д
да2
уравнения B.11) можно переписать в виде
cos ф д sin ф д
—— —-(о+-4кф)-—— ——
Нх dat H2 da2
sin ф д cos Ф д
D/) (
Я2 да2
- 101-
Отсюда получаем
д д
(о+ - 4/сф) = (о+ + 4/сф) = 0 B.12)
да1 да2
и,следовательно,
о+(а15 a2) =
Ф(а1? а2) ^Ю + /2(а2),
где Д, /2 - некоторые функции.
В соответствии с последним равенством разность между значения-
значениями угла ф на двух линиях первого семейства (a2 = a*>a2:=a**)
<P(«i> «*) - Ф(«1> «**) = /2(«*) - /а(О
постоянна (не зависит от aj. Из этого следует вывод: если на отрезке
а < а± <Ь какая-либо линия первого семейства прямая, то на том же
отрезке все линии первого семейства прямые.
В плоской задаче, так же как и в антиплоской, при условии \\ = к2
возможны, в частности, равномерное и центрированное поля напря-
напряжений. Если каждое из семейств линий скольжения образовано парал-
параллельными прямыми, то во всей области ф = const и из формул B.10),
B.12) следует, что компоненты напряжений постоянны. Пусть теперь
линии первого семейства - прямые, пересекающиеся в одной точке.
Тогда можно положить Hlda1 = dr, ф = a2 = 6 (or0 = к), где г, 9 - поляр-
полярные координаты. Из формул B.10), B.12) определяем напряжения
olx +022 = 2C-4fc6, 2o12 + i(o22- 011) = 2/ce2z'8 ; B.13)
С = const.
Если же °ге = "^> то положим Нх = г, а1 = 9 (ф = 8 + л/2),
H2da2 = - dr.
Из тех же соотношений находим, что напряжения по-прежнему
будут выражаться формулами B.13), если в последних изменить знак
параметра к. В отличие от центрированного поля в антиплоской задаче
здесь, помимо прямых, проходящих через полюс, линиями скольже-
скольжения являются ортогональные им дуги окружностей. Заметим, что
в плоской задаче линии скольжения, проходящие через полюс, могут
и не быть прямыми.
При плоской деформации компонента о33 определяется с учетом
того, выполняется или нет наряду с условием т2 = к2 условие пластич-
пластичности A.2) в отношении напряжений т2 (или т3). Если т23 <к2, то
пластическое течение - скольжение - происходит в плоскостях,
- 102-
перпендикулярных плоскости ххх2. Поэтому пластическая деформа-
деформация е^3, а следовательно, и упругая е|3 равны нулю. Из закона Гука
A.5) находим
033 = v(°ii + 022):=V0+- BЛ4)
Подставляя это в выражение для напряжений т23 B.9) и учитывая,
чтот^ = к2, получаем '
к2 I l-2v
•v-тг—'-Г <2Л5>
Если среднее напряжение ограничено, то ограничено и напряже-
напряжение 0+ (компоненты девиатора напряжений ограничены условием
пластичности). Тогда, как видно из равенства B.15), условие т|3 < к2
выполняется, если коэффициент Пуассона v достаточно близок к 1/2,
в частности для несжимаемого материала, где v = 1/2. В противном слу-
случае может оказаться, что условие пластичности A.2) выполняется
одновременно в отношении тх и т2(т3). Этот случай будет рассмотрен
в следующем параграфе.
§ 4.3. Деформации в неподвижных
и движущихся пластических областях
Начнем, как и при анализе полей напряжений, с наиболее простого
случая - рассмотрим антиплоскую деформацию. С учетом законов
течения A.6) и упругой деформации A.5), получаем
ёзт=Лозш + — озш (Л^О, ш = 1,2). C.1)
Пусть напряжения в пластической области не меняются: после того
как данная точка тела попала в пластическую область (вследствие
расширения последней при увеличении внешней нагрузки), напряже-
напряжения в этой точке сохраняются постоянными. Тогда обе части равенства
C.1) можно проинтегрировать по времени t, в результате чего оно
принимает вид
), C.2)
где время tic{xli x2) соответствует началу пластического течения
в данной точке.
Вид соотношения C.2), очевидно, сохранится, если компоненты
- 103-
e3m, o3m заменить соответствующими компонентами в произвольной
ортогональной системе координат. Возьмем в качестве координатной
сетки линии скольжения (прямые) и ортогональные им кривые. Каса-
Касательные напряжения на линиях скольжения по модулю равны пределу
текучести на сдвиг, т. е. экстремальны. Следовательно, касательные
напряжения на координатных кривых - на координатных линиях,
ортогональных линиям скольжения, - равны нулю. Отсюда и из соот-
соотношения C.2), записанного относительно компонент в указанной систе-
системе, получаем
1 ди^ diir,
е» = -=0; efl_ = —
Kz 2 dR *z 2#d6
= ±/с(л° + ]:
C.3)
1 u'(9)
u3=u3F), Л° = ±-^— (oez=±Jt),
3 3 2ц 2kR У
где R - радиус кривизны координатной кривой, проходящей через
данную точку; 0 - угол наклона линии скольжения, отсчитываемый
от оси xv
Если пластическая область ограничена упругой, то производную
duJdQ можно выразить через расстояние до указанной границы, изме-
измеренное вдоль линии скольжения, проходящей через данную точку.
На границе с упругой областью, где по предположению напряжения
и деформации непрерывны, е02= ± /с/Bц). Отсюда и из выражения C.3)
для этой компоненты находим
из(е)=±ЯЛ8)Л/ц, C.4)
где #*F) = R + L- радиус кривизны координатной кривой, пересекаю-
пересекающей линию скольжения (на ней находится рассматриваемая точка)
на границе пластической области; L = L0>Q (R+ > R)9 L = - Lo
(R+ <R), Lo - указанное расстояние до границы.
Снова обращаясь к выражению для компоненты e0z C.3), опреде-
определяем функцию
A..-L(ML,\ ,3.5,
Поскольку Л° > 0, должно выполняться неравенство R^ R.
Таким образом, расстояние между двумя произвольно выбран-
выбранными линиями скольжения при приближении к границе пластической
области не может уменьшиться. Этот вывод довольно прозрачен.
Действительно, в противном случае, поскольку на каждой из прямых
линий скольжения перемещение постоянно, деформация сдвига при
приближении к границе пластической области по модулю растет
и, следовательно, при удалении от границы в пластическую область -
- 104-
падает. Но это противоречит основному постулату теории пластического
течения: пластическое скольжение направлено в ту же сторону, что
и действующие на данной площадке напряжения сдвига (Л° ^ 0),
в результате чего при постоянных напряжениях пластическая дефор-
деформация арифметически суммируется с упругой деформацией.
Заметим, что в случае центрированного поля напряжений в форму-
формулах C.3)- C.5) R = r- расстояние от полюса до рассматриваемой
точки, R* - расстояние от полюса до границы пластической области,
измеренное вдоль той же линии скольжения.
При равномерном поле напряжений и3 = u3{s), где 5 - прямолиней-
прямолинейная координата, перпендикулярная линиям скольжения. Так как
в этом случае линии скольжения параллельны, деформация сдвига
на каждой из них постоянна. Отсюда следует, что пластическое тече-
течение возможно лишь на тех линиях скольжения, которые не пересе-
пересекаются с границей раздела между пластической и упругой областями.
Рассмотрим вопрос о непрерывности напряжений в пластической
области. Пусть напряжения претерпевают разрыв на некоторой линии.
Направим ось хх по касательной к этой линии в данной точке. Тогда,
как следует из условия пластичности B.1), компонента напряжения
о13, если она разрывна (коглпонента о23, очевидно, непрерывна),
определяется следующим образом:
°73 = ±\A2-0L, C-6)
где верхние индексы ± относятся к пределам при х2 = ± 0 (или х2 = + 0).
Но вследствие непрерывности перемещений деформация сдвига
плоскости х1х3 непрерывна [см. формулы C.2), C.6)]:
"+ir)v'k2"* C-7)
Поскольку сумма Л+ + 1/Bц) положительна, равенство ?j3 = e 13
C.7) выполняется лишь в том случае, когда q\3 = fc2. Однако при этом
компонента 013 непрерывна. Таким образом, напряжения в пласти-
пластической области непрерывны.
Что же касается деформаций, то они могут быть разрывными. Как
видно из формулы C.5), деформации разрывны, если разрывно отноше-
отношение RjR, в частности если разрывен радиус кривизны криволинейной
координатной линии. Деформации могут быть разрывными также
на любой линии скольжения в равномерном поле напряжений, если эта
линия не пересекает границу между пластической и упругой областями.
Определим теперь деформации в движущейся пластической
области (пластическая область перемещается при росте трещины).
Рассмотрим стационарную задачу озт = 03т(х1 - vt, х2), и3 = и3(хг -
- ut, x2), где скорость и > 0 настолько мала, что силы инерции несу-
несущественны. При этом зависимости для поля напряжений те же, что
и для неподвижного поля.
- 105-
Учитывая, что в данной стационарной задаче d/dt=- ид/дх19
равенство C.1) можно записать в виде
,3.8)
где Л/и заменено на Л. Исключая из этих уравнений функцию Л,
получаем
IU23 ^ U13 ^ I* \J'y)
d\in д2и^ 1 / до
Ц
Учитывая формулы B.7) и то, что на линиях скольжения (р = 9
(ф = 9 + л), уравнение C.9) можно привести к виду
U±——-, у = —, (ЗЛО)
dR \ dxj R
где 9 - угол наклона линии скольжения, отсчитываемый от оси xv
Из C.10) находим
1 dur> Tsin 9
е13 = - —^— ±-L-—(ln/г + Дв)), C.11)
^ OX j ^
где Д9) - произвольная функция. Если ввести расстояние до границы
пластической области, то вместо C.11) получаем
ysin 9 / 0R \
•¦¦¦*—р*-')• C12)
Теперь можно найти производную dz2jdxx и функцию Л. Учиты-
Учитывая, что dR/dx2 = sin 9d(ln R)/dQ, где (l/R)dR/dQ - производная по дуге
криволинейной координатной линии, имеем
2q
23
дх2 2R
+ cos 29 + [Я;(8)/BЯ)] sin 29 -[sin 29/B/?)] .
д9
-106-
C.13)
Из соотношения C.8) следует
1 / 1 ао23 де13\ 1 Г/, К*
о23 \ 2(i dxt дх2 I 2\iR [\ R
In + 1 cos 8 +
+ р^__ _ sine. C.14)
\ r*{Q) r ae / J
В частности, в центрированном поле линий скольжения, где R= г,
dR/dQ = 0, соотношения C.12) - C.14) принимают вид
_ ysin е
де23 у I К*
—- = +— (cos2 9In — + cos29 +
дх, 2 г
Л = (In —- + 11 cos е + —
2(хг[\ г / RJ
C.15)
Видно, что, по крайней мере, при малых значениях отношения
r/R*, когда
о^л in— I -о, тФ—I (з.1б)
2цг г U* 2/'
пластическое течение возможно лишь в секторе 161 < л/2. Следователь-
Следовательно, поскольку поле движется вдоль оси х19 в некоторой области
должна происходить разгрузка.
В случае равномерного поля напряжений обе части равенства C.8)
можно проинтегрировать по хх (от некоторой точки х%, х2 в пласти-
пластической области до точки х\ > xf, х2 в упругой). Тем самым мы возвра-
возвращаемся к соотношениям для неподвижного поля.
Заметим, что если поля напряжений в пластических областях уста-
устанавливаются по уравнениям B.1), B.3) и с учетом других условий за-
задачи для неподвижной и движущейся трещин одинаково, то скорости
деформаций в нестационарной квазистатической задаче представляют
собой сумму скоростей деформаций, определяемых расширением и сме-
смещением пластической области, и приведенные выше решения для не-
неподвижной и движущейся трещин складываются.
Вывод о непрерывности напряжений в пластической области сохра-
сохраняется и для движущегося поля. Деформации, определяемые движу-
движущимся полем напряжений, как видно, например, из формулы C.12),
- 107-
могут быть разрывными в тех же случаях, что и при неподвижном
поле.
Перейдем к плоской задаче. Рассмотрим стационарную задачу
о движущейся пластической области. При этом, как и выше, d/dt =
= - ид/дхг В соответствии с соотношениями A.5), A.6), B.9) деформа-
деформации в плоской задаче при условии т\=к2определяются зависимостями
^Г *-у Л1°-~7 А2(о. + 2/с)--^- A3(o-2fc) +
Id/ 3v \
+ otl о;
2\х дх \ 1X 1 /
de22 1 1
—— = — A.o +—Л2(о -2fc) +
дхх 2 x " 4 2
1 1 a / 3v \
+ — AJo +2k) + o22 о ;
4 3 2|i dx2 \ 22 1 + v /
C.17)
д 1 a / 3v
o33 о
33
B3) 33
dxt 2 3 2|i dxx \ 33 1 + v
ae12 1 1 a
A^AA)
o12;
о=ошш
A2A3 = O, m= 1,2,3.
Ограничимся случаем плоской деформации. Если Л2 = Л3 = О,
то из условия е33 = 0 и закона Гука A.5) находим
3v 1 - 2v
o =
1 + v 2 + 2
3v 1 - 2v 1
± = o11±o22); C.18)
- 2v ди~
- 108-
Теперь второе и четвертое уравнения C.17) можно записать в виде
д2и2 1 1 Г до+ до
- = — А1о_
1_ (l2)
2 4ц [ дхх
д2и2 д2и2 1 / do,, l-2v до.
2- = -2Л1о12 + -/
дх\ дх2 |i \ дхх 2 дх.
Умножим обе части первого из этих уравнений на 4о_о12, второго - на
о2. Учтем, что в соответствии с уравнениями равновесия
до+
дх.
до.
дхг
- 2
до12
дх2
до+
дх2
до.
дх2
-2
догг
дх,
а согласно условию пластичности о? +4о^2 = 4/с2, 4о12до12/дх2
+ о_до_/дх2 = 0. В результате получаем уравнение
д2и2\ д2и2 8A - v) /с2 до12
2- 4 + 4° 012 — = — " —• C.19)
дх\ дх\) " дххдх2 [i дх,
Предположим теперь, что одновременно с условием т2 = к2 выпол-
выполняется еще одно условие пластичности: т2 = /с2 или т2 = /с2. Тогда,
как следует из выражения для т23 B.9),
1 1 _ 1
°зз=—°+ + fc; 0=T0++Tfc;
3v I - 2v к
о33 о= о+ + C.20)
1 + v 2A + v) 1 + v
и из третьего уравнения C.17) находим
1 - 2\ до+
C.21)
Здесь и выше знак минус соответствует условию т2 = к2, знак плюс -
условию т2 = /с2.
В дальнейшем нас будет интересовать центрированное поле, напря-
напряжения в котором определяются формулами B.13) при 8 > 0 и теми же
формулами, но с измененным знаком параметра к при 8 <0, причем
напряженное состояние таково, что т2 < к2. В этом случае, как видно
- 109-
из формул B.13), C.21), функция Л2 оказывается отрицательной (если
полагать, что она отлична от нуля):
1- 2v
Л2 = — — Isin
К )
что противоречит закону пластического течения. Таким образом, при
указанных условиях Л2 = Л3 = 0.
Для случая центрированного поля B.13) уравнение C.19) прини-
принимает вид
д [ ди~ ио \
— — - =-2(l-v)vsin9. C.22)
d8 \ or r I
Отсюда
и2 = 2A - \)уг In rcos В +Л(г) + г/2(9), C.23)
где /i(r), /2F) - произвольные функции.
Обращаясь к последнему из равенств C.18), находим выражение
для производной dujdxx:
ди. l-2v
L= (С-2/с9)- A- v)<ysin2e-/'1(r)sin8-
дхх \i
- /2(9) sin 9 - /^(Э) cos 9, С= const. C.24)
Для равномерного поля напряжений уравнения C.17) можно
проинтегрировать по xv С учетом равенств C.18) получаем
ди. 1 l-2v
L = —Л?о + о+;
дхх 2 х 4|i +
C.25)
ди, 1 l-2v
—-л;о_
дх2 2 4ц
ди. ди2 I 1
дх2 дхх \ ц
Л°= lkl{xvx2)dxv
Отсюда находим
l-2v l-2v
+yi fiW; и2 ;
4ц 4ц
-110-
где ylj2 " координаты, направленные вдоль (прямолинейных) линий
скольжения; и, 2 - соответствующие компоненты перемещения; gia -
произвольные функции, удовлетворяющие, однако, условию Л°^0.
[При выводе соотношений C.26) учитывалось, что на линиях скольже-
скольжения oyiyl = оу2у2 = о+/2.]
Таким же путем, как и для антиплоской деформации, приходим
к выводу, что при условии \\ = к2 напряжения в пластической области
непрерывны.
§ 4.4. Напряжения и деформации в области
разгрузки
Рассмотрим стационарную квазистатическую задачу об упруго-
пластическом поле, движущемся вдоль оси xv Пусть кривая Г, опре-
определяемая зависимостью хх = х°(х2), - граница между областями
пластического течения {хх > х°) и разгрузки (xt < х°).
Начнем с антиплоской деформации. Как следует из формул A.8)
и уравнения равновесия,
2е°23 о?
дх\ dx2\ ц
Отсюда водно, что перемещение и3 в отличие от той же компоненты при
антиплоской деформации упругого тела, вообще говоря, не удовлетво-
удовлетворяет уравнению Лапласа. Для того чтобы можно было воспользоваться
выражениями для перемещения и напряжений через аналитическую
функцию B.1.9), представим перемещение в области разгрузки в
виде суммы
Х2
.-— o°23\dx2, D.1)
о
где Ыз> °2з ~ значения перемещения и соответствующей компоненты
напряжения в начале разгрузки, т. е. на линии Г.
Подставим данное выражение в формулы A.8). Поскольку задача
стационарна, для всех точек тела на прямой х2 = const в области раз-
разгрузки величины 1/°, о°3 постоянны (не зависят от координаты xt).
Учитывая это, получаем
ди\
дхг
1 \
*
^3 *
- 111-
где компоненты 0^з выражаются через перемещение и3 обычными
формулами линейной теории упругости. Вместе с тем указанные
компоненты, как видно из равенств D.2), удовлетворяют уравнению
равновесия, поскольку ему удовлетворяют компоненты напряжений
ошз, а величины oj3, ??3 не зависят от хх- координаты, по которой
дифференцируется напряжение о13. Следовательно, перемещение и*2
удовлетворяет тому же уравнению, что и перемещение в линейной
теории упругости (Ди3 = 0), чего нельзя было сказать о полном пере-
перемещении и3.
Таким образом, можно положить
u* = — Recp(z); о*3 = Re (p'(z);
23= °23=~
D.3)
Определим условия, при которых может начаться разгрузка. Для
этого выразим производную дт2/дхх через параметры поля в пласти-
пластической области. В соответствии с формулами D.2), D.3)
1 дт2 до* до*
— = °1з + °2з = °1з°е Ф "~ °2з*т Ф • D.4)
2 дхх дхх дхх
Учитывая, что производная от аналитической функции может быть
записана в виде
(ф')'=е-1ад<р7др D.5)
(д/др - производная вдоль границы Г; а - угол наклона касательной
к границе Г в данной точке, отсчитываемый от вещественной оси xj,
и заменяя производную (р' по формулам D.3), D.2), равенство D.4)
можно преобразовать так, чтобы его правая часть определялась диффе-
дифференцированием вдоль границы Г. Находим
= o_Re I e-ia—^- I- o^Imle-"*^-
2 дхх ^ [ аР J " [ аР
а до23
(о13- о° +2[ieJ3) cos a sin a
ар ар
до23 а ]
cos а + (о.,,- о° + 2ue?,,)sin а . D.6)
аР аР J
Но на рассматриваемой границе о13 = oj3, а производную вдоль границы
-112-
можно определить через производную в пластической области (х, =
= х° + 0):
ааа
- = cos а + sin ос -
dp дх, дх
2
Используя, кроме того, уравнения совместности и равновесия,
запишем
= cos a —— + sin oc
dp dx, dx,
—— = cos oc — - sin ol — D.7)
dp dx, dx,
(x, = x? + 0).
Поскольку производные dem3/dx, соответствуют области пласти-
пластического течения, их можно выразить формулой C.8). Подставляя после
этого выражения D.7) в правую часть равенства D.6), находим
1 di2 Г до13 до23
— =(o,3cos ос + o23sin ос) cos а + sin ос
2 dx, [ dx, dx,
- 2|iA(o,3cos a + o23sin a) + (o23cos a -
do.
до23
а) cos а sin а
м д
^s ) c
13 м дх, дх,
Учитывая, что в пластической области т2 = к2 = const, получаем иско-
искомую зависимость
дт2
* D.8)
dx,
Здесь слева - производная в области разгрузки (х, = xj - 0).
Поскольку на границе т2 = к2, производная D.8) не может быть
отрицательной, иначе при удалении от границы в область разгрузки -
при уменьшении х, - максимальные касательные напряжения
8 -171 -113-
оказались бы больше их предельного значения. Вместе с тем Л ^ О,
поэтому, как видно из формулы D.8), разгрузка возможна либо когда
А(хг + 0, х2) = 0, либо когда орр = 0.
Таким образом, если в пластической области Л > 0, то разгрузка
начнется от линии скольжения; при этом граница Г будет прямой.
Из формулы D.8) следует также, что в любом случае разгрузка начи-
начинается „постепенно": на границе Г непрерывно не только максималь-
максимальное касательное напряжение, но и его производная по х1(дт/дх1 = 0).
Если область разгрузки занимает некоторый сектор в окрестности
края трещины, причем особая точка находится на границе области,
то деформации (а следовательно, и напряжения) в последней могут
изменяться лишь в том случае, если градиент перемещений ди*/дхт
имеет особенность не менее сильную, чем логарифмическая (см. § 3.3).
Вместе с тем более сильная особенность приводит к неограниченному
изменению деформаций (и соответственно напряжений), что противо-
противоречит условию пластичности.
Таким образом, особенность для градиента перемещения - лога-
логарифмическая. Можем положить
u3=Re (p(z); (p(z)=Azlnz + Bz;
D.9)
A = a + ib; В = с + id,
где a, b, с, d- вещественные постоянные. При этом
и3 = г[аAп г cos 6 - 9sin 9) - ЬAп г sin 9 + 9cos 9) +
+ ccos 9- dsin 9]+ 12е!>з °
о
1 дыт. 1
е13 = — —- = —[аAпг+1)-Ь8 + с];
13 2 дхг 2 J
D.10)
2 дх2 2
2
ды3
дх2
= ~ Ц[ЬAп г+ 1) + ав + d].
Поскольку компоненты напряжений ограничены, из последней форму-
формулы следует, что Ь = 0, а из второй находим
- 114-
13
а = lim 2 = lim 2 -
In bc2l
D.11)
r-*o in r x2-*o in \x2\
(lnr = ln lx2l-ln Isin 61, 0<161<л).
Другие постоянные определяются при решении задачи в целом. (В свя-
связи с рассмотренной задачей отметим статьи [10, 38].)
Перейдем к задаче о плоской деформации. С той же целью, что
и выше [см. формулу D.1)], представим перемещение суммой
1 \
, oo12\dx2 ;
D.12)
v (l-2v)o°
J22 1-v " 2мA - v) ' 2"
Подставив эти выражения в формулу A.8), получим
v Q 2ц
011=0ц+011- j_ v o22- ^ v eli;
-о* {4ЛЗ)
ди*т дщ \ 2|iv
Так же как и выше, напряжения о^п удовлетворяют уравнениям
равновесия (поскольку компонента о1Л, отличающаяся от о*1? диффе-
дифференцируется по х19 а величины о^п, ej^n от хх не зависят), и, следова-
следовательно, перемещения удовлетворяют обычным соотношениям линей-
линейной теории упругости. Таким образом, в соответствии с представле-
представлением B.1.6) можно положить
2\х{и* + ш*) = C - 4v)<p - *ф' - ф ;
- о! +2/o12 = 2(zcp" + i|/);
D.14)
o*=4Re(p' (o± = o11 ±o22).
Выразим производную д\21дх1 в области разгрузки (x1=xj~ 0)
через параметры поля в области пластического течения (хх = xj + 0),
где \\ = к2. Учитывая, что д!/дх1 = 1, dz/dp = e~ia, а также равенство
D.5), справедливое для любой аналитической функции, получаем
- 115-
дт\
дт\
2 =- o_Re Ф + 20121т Ф;
dx
Ф = 2-
дх
= 2еЧ(Х
р"+ i|)') + 4ieI"asin a
аф'
D.15)
ар ар
Из первого и третьего соотношений D.14) находим
i
1- v
2ц
du*
D.16)
Подставляя D.16) в правую часть равенства D.15), используя второе
из соотношений D.14) и учитывая, что на границе между пластической
областью и областью разгрузки о?п
сать выражение для функции Ф в виде
отП9
О-2Ш
7
l - v
а
ар
/sin а
-2^022-2A6^
ди
zmn, можем перепи-
перепи- v)ola)-
- /о
12
D.17)
Производные по р на рассматриваемой границе можно представить
через производные по xv x2 в пластической области (x1=xJ+0).
С учетом уравнений равновесия и выражений для компонентов дефор-
деформации имеем
до
22
до
22
до
ар
да
cos a + -
22
дх2
-sin а =
до
дх,
- cos а -
12
дх,
-sin а;
12
до
12
до
ар
ае
¦ cos а -
11
sin a;
11
ар
а
"dp
cos a +
д2их
дххдх.
¦ sin а;
D.18)
дх\
-cos а +
sin а =
-116-
de12 d2u« \ dt22
2 —— — cos a + —— sin a .
d дд j d
s
dxt дххдх2 j dxx
Пусть в пластической области на границе с областью разгрузки
Л2 = Л3 = 0. Тогда производные dt1jdxv dtl2/dxl9 входящие в равен-
равенства D.18), можно выразить через напряжения (и функцию А±) по фор-
формулам C.17), C.18). Подставляя после этого выражения D.18) в правую
часть D.17), найдем
ji
Ф = Л, е~2Ш (о. cos 2a + 2o12sin 2a) -
1 - v
D.19)
- do Jdxt + 2idal3/dxl.
Возвращаясь к выражению для искомой производной D.15),
используя D.19) и учитывая, что O_cos2a + 2o12sin2a= орр- oaa
и дх\1дхг - 0 при хг = х\ + 0, получаем формулу
дт? и
•^—^аАЛв"-'^- D-20)
левая часть которой относится к точке xt = xj - 0, х2, правая -к точке
xi= xi+ О» X2* ^3 эт°й формулы видно, что если в пластической
области на границе с областью разгрузки Лх >0, то на границе орр =
= oaa, так как левая часть соотношения D.20) не может быть отрица-
отрицательной. Таким образом, при At >0 граница с областью разгрузки
проходит по линии скольжения. Сохраняется также утверждение
о непрерывности производной дт/дх19 которая, как и в случае анти-
антиплоской деформации, на границе Г равна нулю.
Сохраним предположение, сделанное в § 3.3, а именно будем пола-
полагать, что существует (конечный или бесконечный) предел
доге
lim г (9 = const),
г-*о дт
где полярные координаты введены, как обычно, у края трещины
(ее берега (8 = ± л) свободны от внешних напряжений). Тогда из урав-
уравнения равновесия для плоской задачи
D.21)
дг дв
следует, что в упругопластическом теле все компоненты напряжений
ограничены. Действительно, компонента org и
- 117-
ограничены условием т\ = к2. Отсюда следует, что указанный предел
равен нулю, и поэтому, как видно из уравнения D.21), производная
дОцц/дв ограничена. Но 000 = 0 при 9 = л, ввиду чего компонента оее
также ограничена. Следовательно, ограничена и компонента огг.
Как и выше, рассматриваем разгрузку, происходящую в некотором
секторе с вершиной в особой точке (совпадающей с краем трещины).
При этом изменение напряжений в области разгрузки, ограниченное
в соответствии со сказанным выше, возможно лишь в том случае,
когда градиент перемещений имеет при г = 0 логарифмическую особен-
особенность. Положим
(р = 2|i(A 2z In z + A2z), Am = am + ibm,
D.22)
ф = 2\i{BlZ In z + B2z), Bm = cm + idm ,
где am,. . ., dm - вещественные постоянные (m = 1, 2), причем переме-
перемещения и напряжения в области разгрузки выражаются через функции
фиф формулами D.12)- D.14). Находим, что вследствие ограничен-
ограниченности напряжений
Cl=-2ai9 c/x = 0. D.23)
При этом перемещения и напряжения определяются формулами D.12),
D.13) и зависимостями
и*= г {[4A - v) In г cos 9 - 2C - 2v) 9 sin 9 - cos Q]ax -
-[4A - v) In г sin В + 2A - 2v)9 cos 9 + sin 9]bx +
+ 2A - 2v)a2cos 9 - 4A - v)b2sin 9 - c2cos 9 +
+ d2sin9};
= rtf- 4v ln ^ sin 9 + 2A - 2v) 9 cos 9 - sin 9]ax +
+ [4A - v) In r cos 9 - 2A - 2v) 9 sin 9 + cos Q]bx +
+ 2A - 2v)a2sin 9 + 4A - v)b2cos 9 + c2sin 9 + d2cos 9};
о*! = 2ц {[4(ln г + 1) - cos 29]^ - B9 + sin 29M^ + 2a2 - c2};
o*2 = 2ц[ахсо5 29 + (sin 29 - 29)bx + 2a2 + c2];
o*2 = i2ji[- B9 + sin 29)ox + bxcos 29 + d2]. D.24)
Заметим, что неограниченность компоненты o*t не противоречит
условию т\ < fc2, поскольку она не влечет за собой неограниченности
напряжения 01Г Однако логарифмическая особенность в выражении
- 118-
для о*! должна компенсироваться последним членом в правой части
первой из формул D.13). Из этого следует, что
hm = lim ¦
4A - v) г-о in г 4A - v) *2-o ln!x2l
Теперь можно перейти непосредственно к решению задач о трещи-
трещинах в упругопластическом теле.
§ 4.5. Нагружение упругопластического тепа
с фиксированной трещиной
Пусть в первоначально ненапряженном упругопластическом теле
имеется трещина, которая при нагружении тела раскрывается, но
не растет. За исключением особых случаев, когда действие внешних
сил у края трещины взаимно компенсируется, область пластичности
возникает при сколь угодно малой внешней нагрузке, поскольку
предположение об упругости материала приводит к неограниченным
напряжениям, а это противоречит условию пластичности.
Предположим, что внешние силы пропорциональны одному пара-
параметру и монотонно растут: F= tF0(xv x2, x3). Тогда при достаточно
малом значении параметра t^t* пластическая область будет малой
по сравнению с наименьшим размером, характеризующим трещину
(например, по сравнению с ее длиной, диаметром, радиусом кривизны
и т. п.), а также по сравнению с расстоянием до границы тела. При этом
состояние в малой окрестности края трещины, где возникает пластич-
пластичность, будет таким же, как и при полубесконечной трещине, и можно
считать, что при увеличении параметра t(t < f J пластическая область
расширяется без изменения ориентации и формы. Построим плоскость,
перпендикулярную краю трещины в данной точке. Предположим, что
отрезок на данной плоскости, соединяющий край трещины с произ-
произвольной точкой на границе пластической области, целиком лежит
в этой области, а напряжения на нем постоянны. Тогда при нагружении
тела напряжения в любой его точке, попавшей в пластическую область,
не будут изменяться и нигде не будет происходить разгрузки.
В указанных условиях, как уже отмечалось в § 4.3, уравнения
ассоциированного закона пластического течения можно проинтегриро-
проинтегрировать по времени, в результате чего получаем
3v \
6\ E.1)
етл Лк
дотп 2|
Поскольку разгрузка на самом деле не происходи^ можно считать,
что соотношение E.1), выполняется безусловно, т. е. можно экстрапо-
экстраполировать его на произвольное нагружение и на разгрузку. Такая
экстраполяция проводится лишь для мысленного эксперимента -
- 119-
вариации длины трещины. Она оправдана, поскольку выводы из это-
этого эксперимента будут сделаны для неподвижной трещины, т. е. для
условий, при которых равенство E.1) справедливо.
В указанных условиях для любого значения параметра t, скажем
t = f*, тело можно полагать упругим, так как его деформации одно-
однозначно определяются напряжениями. Заметим, что такое „упругое"
тело неоднородно, поскольку „упругие постоянные" Ак зависят
от координат. Более того, если трещина будет расти, т. е. ее край будет
перемещаться вместе с пластической областью, то значения функций
Лк в данной точке тела будут изменяться. Это, однако, не приводит
к необратимым потерям энергии деформации. Действительно, прира-
приращение работы пластической деформации
dfK д/к
dAP= omndePmri= omn- cfAK+ AKomnd— , E.2)
дотп дотп
где для большей общности вместо т? поставлена некоторая функция
/к > О, которая предполагается однородной функцией степени q ком-
компонент напряжений; Лк > О при fK = Ск = const, Лк = 0 при fK < Ск.
Для упомянутых выше условий пластичности (см. § 4.1) q - 2.
Вследствие однородности
dfK I dfK \ dfK
=d [0
mn-
domn/ do
Итак, в соответствии с равенством E.2)
E.3)
Но там, где с/Л^. =/=(), /к = const, а там, где dfKi=09 Лк = 0. Поэтому
второй член в правой части равенства E.3) тождественно равен нулю
и это равенство можно проинтегрировать. Учитывая, что вначале дан-
данная точка находится в упругой области, где Лк = 0, получаем
Ap-qfKAK. E.4)
Таким, образом, энергию пластической деформации, так же как
и упругой, можно в указанных условиях полагать потенциальной,
поскольку она определяется лишь значениями функций Лк, не зави-
зависит от пути нагружения и полностью исчезает при возвращении данной
точки в упругую область. Это дает возможность распространить выво-
выводы, касающиеся упругого тела, на упругопластическое, подверженное
- 120-
монотонному пропорциональному нагружению (при указанных выше
условиях). В частности, поскольку при стационарном продвижении
трещины (вместе с пластической областью) энергия не рассеивается -
полная работа пластической деформации не изменяется, весь поток
энергии из упругой области должен стекать в край трещины. И так как
напряжения у края трещины в упругопластическом теле ограничены,
ее раскрытие не может стремиться к нулю при приближении к краю:
трещина нормального разрыва должна заканчиваться тупиком
(см. § 3.4). Следовательно, в задаче о фиксированной трещине в упру-
упругопластическом теле не может ставиться условие непрерывности пере-
перемещения берега трещины, здесь выполняется условие ограниченности
потока энергии (см. § 2.2, 3.4).
Перейдем к конкретным задачам.
Антиплоская деформация. Рассмотрим безграничное упру-
гопластическое тело с полубесконечной трещиной, расположенной
на отрицательной полуоси хх. Полагаем, что берега трещины свободны
от внешних напряжений.
В упругой области напряжения и перемещения определяются через
коэффициент интенсивности напряжений формулами B.2.21), а в
пластической образуют центрированное поле линий скольжения B.8),
C.3) (ниже будет видно, что если в последних формулах взять верхние
знаки, то всем условиям задачи можно удовлетворить). Из сопостав-
сопоставления зависимостей B.2.21) и B.8) следует, что упругие и пластические
поля напряжений можно непрерывно состыковать, если границу их
раздела взять в виде окружности радиусом гос центром на продолже-
продолжении трещины г= га, 9 = 0 (значение г0 определяется ниже), полюс
центрированного поля совместить с краем трещины г= 0 (рис. 4.2),
а упругое поле сдвинуть вдоль оси хх на г0. Тогда на границе пласти-
пластической области (при переходе к ней извне и изнутри)
E.5)
где г', 8'- полярные координаты с центром г= г0. На границе г'= г0,
6'= 2 9. Отсюда и из E.5) видно, что напряжения на ней будут непре-
непрерывны, если взять
#• — Tf2 fci-rrVZi /с с\
ГО A-jjj^ZJIiV ). (p.Oj
На той же границе, как следует из B.2.21), C.3),
ди3 2Кт/Г0 в' 2к
Л-../Л^ ш cos _ = Го__ cos 9)
д8 - * ' ,W2* 2 ° ц
E-7)
- 121-
Рис. 4.2.
где R* = 2rocos 0 - расстояние от
края трещины до границы пласти-
пластической области. Видно, что при наг-
ружении тела - щж росте пластиче-
пластической области А = Л° = R*/r > 0. Итак,
в пластической области
и3 = 2yrosin 8,
е13 = sin 29, е2=—° cos2 9,
причем на границе области (г = 2r0cos 9) перемещения и деформации
непрерывны.
Теперь можно определить раскрытие берегов трещины у ее края,
которое, как было показано выше, должно быть и действительно
оказывается отличным от нуля. Поскольку в упругой области переме-
перемещения непрерывны,
А = 21im u3(xv+ 0) = 2u3|е= л/2
Подсчитаем поток энергии, который стекал бы в край трещины при
ее стационарном единичном продвижении вдоль оси xv если бы зави-
зависимости E.1), E.4) выполнялись и при разгрузке. Возьмем прямоуголь-
прямоугольный контур х2 = ± е -»- 0, хх - ± а -+ ± °°. В соответствии с равенством
A.3.8) и указанными выше зависимостями для напряжений и переме-
перемещения значение потока энергии определяется здесь следующим
образом:
Г=- 2
ди3
'23
гт2
2Ц
Последний результат полностью совпадает с полученным ранее для уп-
упругого тела B.2.25), что подтверждает сделанный выше вывод о
потенциальности работы пластической деформации в указанных
условиях.
В случае конечной трещины (длиной 2/) в упругом теле, подвер-
подверженном антиплоской деформации, в соответствии с формулой B.2.18)
без второго члена в ее правой части (берега трещины свободны от
внешних напряжений)
- 122-
Ф = р//2-*2 @23 "*Р> 1*1-~);
E.8)
p2\z\2
\2 = О2 + q2 _. |(п'|2 — в
!3 23 т « д
Определим протяженность и ширину зоны, ограниченной контуром, на
котором выполняется условие пластичности т2 = к2. Если х2 = 0, то из
уравнения x\s2 = I/2 - x2i, s = pA находим, что для хх > 0 указанная
зона заключена в пределах
Х_<Х±< Х+, Х_
Таким образом, длина пластической области (определенной по ре-
решению упругой задачи)
E.9)
Для определения ширины пластической области рассмотрим урав-
уравнение E.8) при т2 = /с2, определяющее зависимость х2 = х2{х1) для гра-
границы этой области:
(I2 - х2 + х2J + 4х2*2 = sA{x\ + х2J. E.10)
Там, где \х2\ достигает максимума, производная dxjdx^ = 0. Учитывая
это и дифференцируя обе части равенства E.10) по х19 получаем
х\ = /2/A - 54) - х\. Подставляя это в уравнение E.10), находим шири-
ширину пластической области
Is2
B-BQ- 2x2max =
Точное решение для конечной трещины при антиплоской деформа-
деформации упругопластического тела определяет следующее выражение для
длины пластической области [79]:
, 2 1+52 /. 25 . .
= 1* = /— Б\ -1, E.11)
п l-s2 \ 1 2 ' '
где Е- полный эллиптический интеграл второго рода. Если учесть
представления
я / х2 Зх4 \
Д*) = у 1-—— - ... (х<1), Дх)-1 (х-1-0),
- 123-
то можно выписать соотношения
Ljl = s2+ — s4+ . . . (s<l);
4
LJI-—1— E-1-0), E.12)
ЛA - S)
а из формулы E.9) получить
L0// = s2+^s*+... E<1);
E-1-0). E.13)
Сравнивая представления E.12), E.13), видим, что „упругое" реше-
решение E.13) приемлемо, если величина s2 = {p/kJ мала по сравнению
с единицей. При больших значениях s2 формула E.9) занижает размер
пластической области, хотя он, так же как и по точному решению
E.11), неограниченно возрастает при сближении уровня внешней
нагрузки с пределом текучести.
Результат более близкий к точному, получается в том случае, если,
по-прежнему рассматривая упругую задачу, задать в качестве гранич-
граничных условий на некотором интервале / < \хх\ < / + L напряжения о23,
отвечающие пределу текучести, и определить значение параметра L,
так, чтобы при \xt\ > /+ L выполнялось неравенство 023<fc (о23 ^ 0).
Соответствующее этому решение можно получить, рассматривая
трещину на отрезке \хх I < / + L и полагая, что ее берега на участках
/ < \хх\ < 1+ L загружены напряжениями о23 = к. При этом напряжения
в области \хх\> 1 + L можно определить, используя B.2.14) и учитывая
равномерное поле 023 = р, О13 = 0, отвечающее напряжениям на
бесконечности.
В результате получаем
2k I
р arccos +
л l+LX
2fc /(/ + LJ/-2-l
+ ~7arctg / 1 пхпз-з ('*i' > l + Ll EЛ4)
л у 1 - (/ + Lyx\2
Требование 023<fc (Ix1l>/ + L) эквивалентно требованию огра-
ограниченности напряжений, определяемых формулой E.14). Так как
- 124-
неограниченным может быть лишь первый член, в правой части равен-
равенства следует приравнять нулю выражение, заключенное в квадратных
скобках. Отсюда находим значение параметра L:
us
L= /A/cos 1), s=p/k.
2
E.15)
При этом
2 к
arctg
л
\xjsin ns/2
J >/+!).
E.16)
Выражение для длины пластической области, как следует из ра-
равенства E.15), можно представить в виде
L
т
2 ^ 5
•s2+— —
96 4
- 5)
E-1-0).
E.17)
Сравнивая это с представлениями E.12), видим, что некоторое
отличие от точного решения, заметное при малых напряжениях (л2/8 **
^1,23; л4/96 ^1,01), становится асимптотически несущественным
при их увеличении.
Графики зависимости отношения приближенного результата
к точному показаны на рис. 4.3, где кривая 1 соответствует формуле
E.9)- отношение LJL^ кривая 2- формуле E.15)- отношение L/L^
Определим в той же постановке раскрытие трещины в точках
хх= ±1 С этой целью воспользуемся формулой B.2.28), в которой,
переходя к принятым в данном параграфе обозначениям, следует
заменить о, р, I, ана р, к, 1+ L, L соответственно. Кроме того, следует
0,8
\
0,8 S
Рис. 4.3.
Рис. 4.4.
перейти к пределу (х -+1) и, поскольку рассматривается антиплоская
задача, опустить множитель (к + 1)/4 [ср. формулы B.1.10)- B.1.12)].
Учитывая равенство E.15), получим
4к ns
/lncos—
лц 2
E.18)
Точное значение раскрытия трещины у ее края в упругопласти-
ческом теле [79]:
4fc
лц
E.19)
где К полный эллиптический интеграл первого ряда. График зависи-
зависимости отношения А Х/Д* от s показан на рис. 4.4.
Плоская деформация. Напряжения в пластической области
у края трещины при условии т2=/с2 определяются комбинацией
центрированных и асимптотически равномерных полей. Ввиду отсут-
отсутствия внешних напряжений на берегах трещины к ним могут примы-
примыкать лишь равномерные поля, которые, в свою очередь, могут грани-
граничить с центрированными полями на лучах 9 = ± л/4, 9 = ± 3 л/4.
В задаче I (растяжение по нормали к трещине) получаем следую-
следующую картину линий скольжения (рис. 4.5, а): равномерные поля при
191 < л/4, 9 > 3 л/4 и центрированные поля между ними.
В соответствии с формулами B.13) и приведенным там замечанием
относительно знака при параметре к
022=С + /сл/2 ±к
A91
022=C+3kn/2 +fc A91^3л/4), С= const.
Отсюда находим
±(л + 2)/с
Ю
л
191 <—
4
Ш
E.20)
Рис. 4.5.
- 126-
Учитывая, что тело растягивается по нормали к трещине, следует
положить о22 > 0 (8 = 0), т. е. взять верхние знаки в равенствах E.20).
Получаем
°22 = (п + 2)к, °i2 = 0 A91^ л/4);
3
- sin2I9I
sin2iei
012 = /с cos 29
л Зл
— <181 ^
4 4
E.21)
О22=о12 = 0 A91^3л/4).
Если предположить, что т23 < fc2, то в соответствии с формулами
B.14), B.15)
2v/c^o33=v(o11+o2:
к2
T2<-[l + (l-2v)(n+l)]2i23<T2, (v>0),
4
причем равенство в первых двух соотношениях выполняется в секто-
ре191 ^ л/4. Отсюда видно, что х23 < к2 при v > v^ = л/[2(л + 1)]. В про-
противном случае одновременно с условием \\ = к2 в некотором секторе
выполняется условие т2 = к2 и напряжение о33 определяется там зави-
зависимостью C.20), следует взять верхний знак.
В случае сдвига вдоль трещины (задача II) нормальные напряжения
на продолжении трещины отсутствуют (они являются нечетными
функциями координаты х2 и непрерывны при хх > /). Поэтому в неко-
некотором секторе впереди трещины должно располагаться центрирован-
центрированное поле линий скольжения. К берегам, свободным от внешних напря-
напряжений, примыкают равномерные поля, которые могут граничить
с центрированным полем при 191 = л/4 или при 191 = Зл/4. Если учесть,
что в любом прямоугольном секторе 01<0<61 + л/2, не нарушая
условий равновесия и совместности, центрированное поле можно заме-
заменить равномерным (при этом знаки у параметра к в центрированных
полях при 9 < 92 и при 9 > 9t + л/2 должны быть различными), станет
очевидной большая общность второго варианта: равномерные поля,
примыкающие к берегам трещины, располагаются в секторах 191 > Зл4.
Итак, наиболее общим в данном случае является распределение
полей напряжений, показанное на рис. 4.5, б, где область I - центриро-
центрированное поле, определяемое формулами B.13) при С= 0 (принимаем те
знаки при параметре к, которые там указаны), области II и IV - равно-
равномерные поля, область III - центрированные поля, определяемые
-127-
теми же формулами, но с измененными знаками при параметре к
и неопределенном пока значении С.
В данной задаче имеет место симметрия: напряжения о119 о22-
нечетные функции координаты х2, о12-четная функция. Поэтому
достаточно определить их в верхней полуплоскости. Выпишем соот-
соответствующие формулы:
°и + °22 = °+ , 2012 + i(o22 - о1Х) = Z ;
0+ = -4fc9, I=2fce'e (8 ^ 6J;
о+ = -4/се1? I=2/cel8i (8^8^ +л/2); E.22)
о+ = 2С+ 4fc9, I = - 2^еш 8. +— < 9 < ;
\ 2 4 /
О22 =
Из последних равенств получаем
Зл
; 11 , E.23)
а из условия непрерывности напряжений на линии 9 = 9Х + л/2
С+кB9х + л + ^29^ = - /сB8х ±$^29^,
где верхние знаки соответствуют компоненте о11? нижние - компонен-
компоненте о22 (непрерывность компоненты о12 обеспечивается автоматиче-
автоматически), находим
1 1 / л \
9, = - — (л + С/к) = — — + 1U 0,6427.
4 4 \ 2 /
Очевидно, в формулах E.22), E.23) можно одновременно изменить
знаки при параметре к, что будет соответствовать переходу к сдвигу
в противоположьом направлении. При этом значение угла вх сохра-
сохраняется.
Определение деформаций в рассматриваемой плоской задаче
встречает большие трудности, чем в случае антиплоской [79]. Ограни-
Ограничимся здесь замечанием, что в соответствии со сказанным в начале
данного параграфа раскрытие трещины не стремится к нулю при приб-
приближении к ее краю. А так как при 9 = 0 перемещение и2 = 0 (задача I)
или их = 0 (задача II), то в задаче I и2 = и2(9) (г = 0), и2(9) Ф 0, а в задаче II
-128-
Ui = Ui(9) (r= 0), u\(Q) Ф 0. Поэтому компоненты деформации представ-
представляются в виде
() ()
с отличным от тождественного нуля тензором fmn, т. е. характеризуют-
характеризуются более сильной концентрацией, чем в линейно-упругом теле.
Перейдем к задаче о растяжении тонкой пластины (растяжение по
нормали к трещине - задача I). Будем рассматривать ее как задачу
о плоском напряженном состоянии. Строго говоря, вследствие нерав-
неравномерного утонения пластины должны возникнуть напряжения о13,
023, т. е. такая задача вообще не является плоской. Поэтому к выво-
выводам из указанной постановки следует относиться с определенной осто-
осторожностью, в частности их нельзя распространять на малую окрест-
окрестность края трещины, где отклонения от плоского напряженного состоя-
состояния могут быть значительными.
Решение задачи I E.21), построенное для плоской деформации,
здесь не подходит, так как при о33 = 0 т2 = к2{п/2 + IJ > к2 A91 < л/4),
что противоречит условию пластичности. Поэтому следует строить
поле напряжений исходя из равенства т2 = /с2. Для некоторого диапа-
диапазона изменения внешних растягивающих напряжений 0 < р < р0 усло-
условиям задачи удовлетворяет решение Д. С. Дагдейла [132] (решение этой
важной задачи связано также с именами Г. И. Баренблатта [4],
М. Я. Леонова [44] и В. В. Панасюка [73]), в котором полагается, что
пластическое течение в соответствии с указанным условием происхо-
происходит в бесконечно узкой зоне - на некотором отрезке, являющемся
продолжением трещины: / < хх < I + L, х2 = 0. В этом случае задача сво-
сводится к определению состояния упругого тела, растянутого на беско-
бесконечности напряжениями 022 = р, при следующих условиях на прямой
х2 = 0 [см. выражение B.9) для т2, где о22 > о1Х]:
О22 = 0 (\х1\<1), 022 = 2k(l<\x±\<l + L);
О12 = 0 (-«<*!<»), u2 = 0 (IxJ >/ + !), E.24)
причем параметр L определяется из условия lo22l <2k (\xx\ >/ + L).
Заметим, что сформулированная задача, по существу, эквивалент-
эквивалентна задаче о трещине длиной 2(/ + L), в упругом теле, берега которой
на участках / < \хх I < / + L притягиваются „силами сцепления" интен-
интенсивностью 2к, а размеры этих участков таковы, что напряжения в упру-
упругом теле ограничены (особенность типа Д9)/\/г в поле напряжений
при \xt I = / + L, возникающая вследствие действия внешних напряже-
напряжений, растягивающих тело, компенсируется той же особенностью,
но с другим знаком, появляющейся из-за действия сил сцепления).
В этом случае при росте трещины поток энергии через точки хх = ±
± (/ + L) равен нулю.
Таким образом, модель Дагдейла для трещины в упругопластическом
9-171 - 129-
теле вытекает из модели Баренблатта [4], если в последней принять
указанное выше значение для сил сцепления и рассматривать задачу I,
соответствующую плоскому напряженному состоянию. В связи с этим
данную модель пластического течения называют моделью Баренблат-
Баренблатта-Дагдейла.
. По существу, мы уже нашли решение сформулированной задачи.
Оно дается формулами B.2.28), E.14)- E.18). В последних формулах,
однако, как это следует из вывода и условий E.24), необходимо заме-
заменить параметр к на 2/с, о23- на о2:,, и3- на и2 и, кроме того, вновь
ввести множитель (к + 1)/4 = 1/A + v) в выражении для перемещений,
поскольку вместо антиплоской задачи рассматривается задача о
плоском напряженном состоянии.
Для определения перемещения берегов трещины на всем их протя-
протяжении воспользуемся формулой B.2.28). Заменим в ней о ~+ р, р -* 2/е,
а -" L, I -+ I + L. Положим к = C - v)/(l + v) и возьмем значение парамет-
параметра L, как указано выше E.15) (к -* 2к). Найдем
ns / x\ ns
sin — + /1 cos2 —
2k I 4 V I2 4
ns I x\ ns
u2 = ± ——- I / In
sin / 1 -cos2 —
4 V /2 4
E.25)
ns / x\ ns
-sin — + /1 cos2 —
- хЛп-
cx ns / x\ ns
— sin /1 cos —
/ 4 V /2 4
ns
IxJ^Z + L, x2=±0, L + /=//cos —.
4
Таким образом, полученное решение определяет разрыв переме-
перемещений на продолжении первоначально заданной трещины (/^ IxJ <
</ + !)- трещина оказалась длинее, чем это было принято при поста-
постановке задачи. Однако на дополнительно раскрывшиеся берега дей-
действуют напряжения („силы сцепления").
Такой результат - идеализация реального состояния, в котором
перемещения при \хх\ > I непрерывны, но в узких зонах на участках
/ ^ \хх I < I + L имеет место значительное пластическое течение, так что
перемещение и2 быстро возрастает по модулю [ы2(х15- х2) = - и2(хх>
х2)] при удалении от оси хх.
Узкая пластическая зона на продолжении трещины в тонкой
пластине, растянутой поперек трещины, отчетливо регистрируется
в эксперименте, причем теоретически предсказанная длина этой зоны
E.15) (к -> 2/с), E.25) при р^р« (значение р0 указано ниже) также
близка к истинной [45] (см. рис. 4.6).
- 130-
Найдем распределение напря-
напряжений в малой окрестности
особой точки xt = /, х2 = + 0, где
напряжение, действующее на бе-
берег трещины, разрывно:
'11
-Р.
f-0),
012 = 0
= 2к - р, о22 = 2/с > 0
^ = / + 0).
E.26)
Рис. 4.6.
Приведенные здесь выраже-
выражения для о j x вытекают из следую-
следующего. Если на данное поле на-
наложить равномерное: О11 = 0,
о22 = -р, то получим задачу, где напряжения на бесконечности равны
нулю. При этом, как показано в § 2.1, о1Х = о22 (хг = 0).
Для определения асимптотики напряжений при г = у/ (х1- /J +
+ х\ -> 0 можно воспользоваться формулами D.24), опустив там
звездочки и положив вследствие ограниченности напряжений а1 = 0.
Подчиняя выражения D.24) условиям E.26), где "равенства ^ = /±0
отвечают значениям 9 = 0, 9 = л, находим остальные постоянные
a2=fc/Bu)-p/(8|i);
= - k/Bn\i).
Таким образом, напряжения в окрестности указанной точки выра-
выражаются формулами
011 = B0 + sin29) + 2fc- p;
л
022 = B9- sin29)
012 = — (cos 29- 1).
Квадрат экстремального значения касательного напряжения
cos 29
- 131-
достигает максимума при
л р
0 2 к
и равен при этом
2
л2 л
Состояние пластичности наступает при т2 = к2, чему соответствуют
значения
— = —= —а = 2 Vl-2/л* 1,2056; 80 * 1,0283 * 59°.
к к л
Таким образом, при р/к = po/fc = 2 V1 - 2/л возникают „усы" - ли-
линии скольжения, ориентированные под углами ± 60 к оси хх (на кото-
которой при в = л находится трещина). После этого, т. е. при больших зна-
значениях отношения р/к, приведенное выше решение не годится, так как
оно в некотором секторе определяет экстремальное значение каса-
касательного напряжения тх >fc, что запрещено условием пластичности.
В эксперименте, действительно, появляются указанные линии сколь-
скольжения, а при дальнейшем увеличении нагрузки пластическая область
расплывается [45].
§ 4.6. Растущая трещина при антиплоской
деформации упругопластического тела
Как было показано в § 4.5, при нагружении упругопластического
тела с фиксированной трещиной концентрация деформаций оказывает-
оказывается большей, чем при прочих равных условиях в упругом теле. Рассмот-
Рассмотрим теперь стационарную задачу о растущей трещине. В отличие от пре-
предыдущего, когда при пропорциональном нагружении пластичность
(необратимость деформаций), по существу, не проявлялась и тело вело
себя как нелинейно-упругое, при росте трещины путь нагружения
усложняется, возникает разгрузка, необратимость пластических
деформаций становится существенной. В результате роль пластично-
пластичности в формировании поля деформаций у края трещины оказывается
противоположной: концентрация деформаций в упругопластическом
теле получается меньшей, чем при прочих равных условиях в упру-
упругом теле.
Пусть трещина расположена на оси хг при хх < l(t), причем ско-
скорость ее роста / = dl/dt > 0 и настолько мала, что силы инерции можно
не учитывать. Рассмотрим точку тела, координата х2 которой
-132-
положительна, но достаточно мала. Если вначале данная точка находи-
находилась далеко впереди трещины {хх ^> /@)), то в некоторый момент t = tt
она попадает в пластическую область. При дальнейшем продвижении
трещины пластическая область, движущаяся вместе с ее краем, ока-
окажется впереди рассматриваемой точки. Следовательно, в этой точке
должна происходить разгрузка. А так как материал неупругий, то
в некоторой области, примыкающей к берегам трещины, после разгруз-
разгрузки сохранятся остаточные деформации. Этот факт играет решающую
роль в уменьшении концентрации деформаций у края трещины.
Найдем асимптотически точные решения для линейно упрочняю-
упрочняющегося и идеально упругопластического материалов. Основываясь на
соотношениях A.8)- A.11) и учитывая, что вследствие неограничен-
неограниченности деформаций в окрестности края трещины начальный участок
диаграммы т(у), где т = 2|i7> можно не принимать во внимание, запишем
отз^гц^^ {t<t°), 0<|11<Ц, /л = 1,2;
FЛ)
где интервал 0 < t < t° - период нагрузки (монотонного увеличения
максимального сдвига 7 < У0; 70= 7 при г= t°; о^3, е°,3- достигну-
достигнутые к этому моменту напряжения и деформации.
Для области разгрузки представим перемещение и3 суммой D.1).
Тогда „напряжения" о*3, о^3, определяемые формулами D.2), будут
удовлетворять уравнениям равновесия так же, как и напряжения о13,
о23, а перемещение и*, через которое компоненты о*3, о*3 выражают-
выражаются обычными формулами теории упругости, будет гармонической
функцией (см. § 4.4).
Итак, предполагая, что окрестность края трещины разделена гра-
границей 191 = 9Х на области нагрузки и разгрузки, можно положить
A81 ^ej;
(IBI^ej, z=n+/*2, Л = *!-/(& F.2)
ImA = 0 (u3 = 0, 9 = 0), B=a+ib; lma,b,\ = 0-
К этому следует добавить требование непрерывности деформаций
и напряжений на границе 181= 91 (г > 0), а также условие
О23 = 0 A81 = л). F.3)
В соответствии с представлением F.2) в области нагрузки
и3 =ЛЛ sin XQ,
1 ди3 1
с13 = -= — Akfi-hin[(k- 1)9];
2 дхх 2
-133-
На границе
- 1)8 J;
x-1cos[(A.- 1N J;
„ °1з- ц 2e13, ^ o23- ^ 2e23
Отсюда с учетом формул D.1), F.2) в области разгрузки
"з = "з + A- аИ2е23<**2==г4asin(\e) +
о L
, sinB
- oc)cos[(l - A.)91]sin91
, sin 8
bcos [A - X)8] + A(l - cc)sin [A -
o23 = (i -^- = цХг^ [acos[A - ЛN] + bsin [A -
dx2
Из условий непрерывности напряжений, определяемых фор
и F.4), F.6), находим
-—A(l-a)sin[2(l- A.NJ.
-134-
При этом перемещения и деформации F.2), F.5), F.6) также оказывают-
оказываются непрерывными, а напряжения в области разгрузки выражаются
в виде
+ sin [A - X)8J cos[(l - Л)(8 - 6J]-
- A - a) sin[(l - A)eiKsin91/sin8I-x};
F.7)
- A.)ejcos[(l- )( )]
- sin [A - \)9 J sin [A - k)(Q - 8,]}.
Предположим, что область разгрузки простирается до края трещи-
трещины. Тогда, подчиняя второе из равенств F.7) граничному условию F.3),
получаем уравнение
tg[(l - X)8J tg[(l - к)(п - 8J] = a = цх/ц. F.8)
Так как в данной стационарной задаче d/dt = - ид/дхи и >0,
то условие нагрузки, т. е. монотонного роста максимального сдвига,
имеет вид
ду д , \А\
V? e? Ml
. (О < X < 1, I9K6J.
Таким образом, нагрузка возможна в секторе 101 ^ л/2. С другой
стороны, в области разгрузки должно выполняться неравенство У < "У0.
Используя приведенные выше зависимости для области разгрузки,
определяем производную
= A - К) {lm(Bzx'1)lm(BzK'2) + [Re(J3z*-1) +
дхх 2
+ 2A- <*)еУКе(&Л~2)} = ^2A- Х)А2г2Х'3Х
2
A- ot)e°3[flcos(B- X)e) + f?sin(B- ^)8)]} =
sinf(l-ШЛ
х-з —11 LJ1 ф; F.9)
- 135-
/ sine, \i-*
Ф = - cos[(l-
\ sin 8 /
При 8 = Bj рассматриваемая производная с учетом равенства F.8)
приводится к виду
х =—\Щ\ - к)А2г2к~3 Фо;
cos[(l - X)ejsin[91 - A - Х)п]
Ф° sin[0-*)(*-8 J] '
Отсюда следует, что она обращается в ноль в одной точке:
в1 = е^ = A- Х)п. F.10)
При этом
ду2 ду2
-^-<0 (8 = 8,0,), -^->0 (8 = 81>8J.
Следовательно, разгрузка может начинаться при значении 8 = 8^
удовлетворяющем неравенствам A - А.)л < 6, < л/2.
Примем нижнее значение 8Х в F.10), которому при фиксированном
параметре ос соответствует максимальная концентрация напряжений.
Тогда, как можно установить, рассматривая равенство F.9),
ду2/дхх > 0 при 8 > 8^, а значение показателя X определяется уравне-
уравнением F.10) - следствием уравнения F.8) при 8Х = 8^
tg[(l- A.Jn]tg[\(l - А.)л] = а = \ij\i. F.11)
Уменьшение максимального сдвига при разгрузке может привести
к вторичной пластичности в том случае, если будет превзойден уро-
уровень максимальных касательных напряжений. В рассматриваемой
задаче вторичная пластичность возникает у края трещины, если пре-
предел отношения
х(х ,х )
Я0 = Шп ^ I (t=Vo23 + o23, *!<0)
окажется больше единицы. Из формул F.4), F.6) следует, что при
х2 - + О
- 136-
sine, \i-\
}
sine, \i-A.
Для „критических" значений ос = a*, k = Xi( получаем уравнение
o o ~a* [( Xjej
F.12)
Подставляя сюда выражение параметра a F.11), приходим к равенству
sin [к^A - XJn] = cos [(I - kjn]. Отсюда и из формулы F.11) находим
1 cos /2л
К=-гг> «*»-- 77" «0,211. F.13)
V 2 1 - cos у 2л
При уменьшении параметра а, как следует из формул F.12), F.13),
R0 растет и, следовательно, при a < a^. возникает вторичная пла-
пластичность.
Граница в = в2, отделяющая область вторичной пластичности
(в > 62) от области разгрузки (в < в2), так же как и симметричная ей
граница в нижней полуплоскости, определяется условием R0 = 1
(a < a J. К нему следует прибавить граничное условие F.3), которое
при a < а* должно выполняться в области вторичной пластичности.
Для этой области перемещение и напряжения можно выразить
в виде, аналогичном представлениям D.1), F.1), а именно можно
записать
1 \
ПОО I ffY .
Й
Zb23 U23iaX2»
1 '
о
а = 2и (f — Foo>l + n00 m=l 7
где ?23 = е2з(х2)»- • • """ значения соответствующих компонент на гра-
границе 6 = 62; 1*з* - гармоническая функция.
Поступая так же, как и выше, но рассматривая три области - наг-
нагрузки, разгрузки и вторичной пластичности, можно определить гра-
границы областей и распространение деформаций у края трещины. Оказы-
Оказывается, что область вторичной пластичности, возникающей при a < a^,
занимает очень узкую зону, прилегающую к берегу трещины [95].
Зависимость показателя к, определяющего концентрацию деформа-
деформаций, от отношения модулей а показана на рис. 4.7. Видно, что с
уменьшением отношения модуля упрочнения \ix к модулю разгрузки
- 137-
л
0,5
Л
025
(/
1
0,5
Рис. 4.7.
1 ее
Рис. 4.8.
\х концентрация деформаций у края трещины также уменьшается.
Особенность для деформаций em3 ~/m(^)/rl ^ здесь, как и в линей-
линейно-упругом теле, того же порядка, что и для напряжений. Однако при
\ij\i<l показатель 1 - X < 1/2, поэтому произведение одиэ/дх1 на
контуре, окружающем край трещины (о-напряжение, действующее
на контур со стороны внешней области), стремится к обычной, локаль-
локально интегрируемой функции, когда контур стягивается к точке. В ре-
результате поток энергии в край трещины при ее росте оказывается
равным нулю - вся энергия, выделяющаяся из упругой части тела,
поглощается в пластической области.
Рассмотрим теперь ту же задачу, но для упругопластического мате-
материала без упрочнения. Выражения для полей напряжений и деформаций
в областях пластического течения и разгрузки получены ранее
[см. формулы B.8), C.15), D.9)- D.11)]. Возьмем для определенности
в формулах B.8), C.15) верхние знаки. Как уже отмечалось, при анти-
антиплоской деформации тела впереди трещины должно располагаться
центрированное поле линий скольжения, для которого функция Л
C.16) положительна при 181 < л/2 и обращается в нуль на линии сколь-
скольжения 181= л/2. Поэтому в соответствии с утверждением, доказанным
в §4.4, граница между областями пластического течения и разгрузки
может проходить лишь вдоль прямых 191 = 9 j < л/2.
Если у берега трещины возникает вторичное пластическое течение
A81 >QJ, то в соответствии с граничным условием F.3) там может
быть лишь равномерное поле напряжений. При этом на верхнем бере-
берегу трещины при удалении от ее края деформация е13 по модулю
убывает, а так как она отрицательна (при выбранных знаках в фор-
формулах B.8), C.15)), то dtxjdt >0, и, следовательно, о13 >0. Учитывая
граничное условиеДб.З) и условие пластичности A.2), имеем
Условия непрерывности напряжений на границе 8 = 8 х приводят
к уравнениям [см. формулы B.8), C.15), D.10)]
- 138-
Ц [o(ln r + 1) - bb x + c] = - fcsin 9x I In x + 11;
Отсюда находим
fc
a = — sin 9,; b = 0;
к
c = sin 9 t(ln R J9J + 2); F.15)
cf = (Э.зтЭ. + cos9.).
Как видно из представлений F.1), непрерывность напряжений
влечет за собой непрерывность деформаций. Удовлетворяя первому
из условий F.14), т. е. полагая в соответствии с формулами D.10), F.15)
об 2 + d = 0, получаем
И, наконец, второе из условий F.14) с учетом тех же формул
и последней приводит к уравнению относительно угла 8Х:
sinBj l+sin61
sin(91 + ctg91) sin9x
Отсюда и из предыдущего соотношения находим
9^0,344, 82 ^ л- 0,00640.
Графики для напряжений 013/к (кривая i), 023/k (кривая 2) и для
отношения т2/к2 (кривая 3) показаны на рис. 4.8.
Как следует из равенств C.15), в области первоначального пласти-
пластического течения A91 <9Х) деформации можно представить в виде
(г-0)
Ik L 1 к L
е13 sin91n —; ь2з~~ —Ь2 —, F.16)
2 ц ¦ г 4 ц г
где L - длина пластической области, измеренная вдоль оси xv
Действительно, в указанном секторе отношение RJL отлично
- 139-
от нуля и ограничено, поэтому замена R* на L под знаком логарифма
приводит к асимптотически несущественному изменению (ограничен-
(ограниченному для компоненты е х 3), т. е. первое из асимптотических равенств
F.16) справедливо. С учетом приведенного замечания, основываясь на
асимптотическом равенстве F.16), компоненту е23 можно представить
в виде
к R* к 1 9 9
?",-* ~ ?* = In2 + — In cos—+ sin2 — +
23 23 4ц г \i\ 2 2
1 L \ Я* дг* к Я* де23
+ —In In—, —— = cos2 9 In— — . F.17)
2 R* I r дхх 2цг г дхх
Так как разность dt'lJdx1 - дг23/дх1 после интегрирования по х1
не дает существенного вклада в значение деформации е23 по сравне-
сравнению с правой частью выражения для асимптотики этой компоненты
F.16), то из соотношения F.17) вытекает, что справедливо и второе
из асимптотических равенств.
Приближенно можно полагать, что длина L по-прежнему опреде-
определяется формулами E.11) или E.15).
В области разгрузки (9а < 9 < 9^ деформации претерпевают лишь
ограниченное изменение [см. D.10), F.15)]. В области вторичной пла-
пластичности (92 < 9 < п) компонента О23=0. Поэтому компонента дефор-
деформации €23 остается там без изменения. Следовательно, ее асимптотика
F.16) в этих областях (9 > 9Х) представляется в виде
к Lsin вл к L
е23 In2 In2 .
4ц х2 4ц х2
Таким образом, данная компонента остается бесконечной на бе-
берегах трещины.
Компонента е13 в области разгрузки имеет следующее асимптоти-
асимптотическое представление:
к Lsin 9X к L
е13 sin 9, In sin ВfIn—,
2ц г 2ц г
а в области вторичной пластичности она уменьшается при удалении
от края трещины.
Поскольку в области вторичной пластичности производная диг/дх2
остается постоянной (не зависит от л), перемещение в этой области
можно представить в виде
- 140-
где и°° (x2), ?2з(х2)~ соответствующие компоненты на границе 8 = 82.
Итак, в случае трещины, растущей в упругопластическом мате-
материале без упрочнения, напряжения ограничены, а концентрация
деформаций менее сильная, чем в упрочняющемся материале. Ясно,
что при этом, так же как и при росте трещины в линейно упрочняющем-
упрочняющемся материале, энергия в край трещины не стекает.
§ 4.7. Растущая трещина при плоской
деформации упругопластического тела
Ограничимся здесь асимптотическим анализом состояния у края
трещины, растущей в упругопластическом материале без упрочнения.
Зависимости для напряжений и деформаций в движущемся поле
пластического течения, а также в области разгрузки даны в § 4.2 - 4.4.
Анализ этих зависимостей приводит к выводу, что в некотором сек-
секторе, 181 > 9Х > 0, должна происходить разгрузка, причем луч 8 = 81?
где начинается разгрузка, совпадает с линией скольжения в центри-
центрированном поле напряжений.
Определим напряжения и деформации в окрестности края трещи-
трещины, полагая, что при любом значении е > 0 деформации в области г ^ е,
18! ^ л - е ограничены.
Начнем с задачи I. Здесь в секторе 181 < л/4 расположено равномер-
равномерное поле напряжений, причем компонента о12 = 0. Из уравнения C.19)
следует, что перемещение и2(л, х2) = - и2(ц, - х2) представимо в виде
и2 = /(Л + х2) - /(Л - х2\ Л = *! - l(t),
где /- производная функция. А так как о12 = 0, о = const, то
ди. ди~ диг ди~
2е. 2 = —- + = 0; + —- = const.
дх2 дхх дхх дх2
Следовательно, если какая-либо из компонент градиента перемещений
стремится к бесконечности при г -> 0, то /' (х) -¦ °° при х -* 0 и компо-
компонента деформации е22 =/'(л+ х2)+/'(л - х2) равна бесконечности
на линии 8 = л/4, что противоречит принятому выше допущению. Итак,
в равномерном поле A81 < л/4) деформация ограничена.
Обратимся к выражению для компоненты перемещения и2 C.23).
Ввиду ограниченности деформаций в равномерном поле и непрерыв-
непрерывности перемещений на границе с центрированным полем должна
выполняться оценка и2 = О(г) A81 = л/4). Отсюда следует, что
Л(г)--/2A- v) — rlnr;
И
- v) — (/2cos8- l)rlnr [г-0, 181>—). G.1)
ц \ 4/
- 141-
Подставляя выражение для Д ( г) в формулу C.24) (здесь и ниже
дифференцирование асимптотических соотношений оправдано),
находим
^— V 2A - v)—In г sin 9;
дх, |1 . • ¦
х2
Г ди. к I tgn/8\
м--- -Л1~УТA- v) —rlnrln sin9. G.2)
J d*i Д \ tge/2/
л
Производная ди2/дх2 при 191 < л/4 ограничена, а при 191 > л/4,
как видно из формулы G.1),
ди ,—
- /2A- v) In г sin 9.
дх2
Отсюда в соответствии с равенствами B.13), C.17)
2 д2и2 1 - v Г 1 1
Л- In г -7=- + б(л- х2) .
1 о. дххдх2 ц [ /Уг J
Так как 1пг<0 (г-* 9), функция А- >9 A91 > л/4) и обобщенная
функция 6(ti - х2) приводят при 9 = лД к приращению деформации
сдвига вдоль линий скольжения (еге) в направлении действия каса-
касательных напряжений:
Р 1-v
lim I A jdT) = In г > 9.
е-+о J Ц
Таким образом, при 191 = л/4 деформации еА1, е22 разрывны;
компонента е12 непрерывна, поскольку при 191 = л/4 напряжение
012 = 9. Непрерывными являются также компоненты егг (из-за непре-
непрерывности перемещения) и еее (вследствие непрерывности егги о).
Обратимся к выражениям для перемещений и напряжений в обла-
области разгрузки D.24). Из условия непрерывности перемещений и дефор-
деформаций на линии 9 = 9Х, где начинается разгрузка, следует непрерыв-
непрерывность всех компонент градиента перемещений, определяемых форму-
формулами D.24) и G.1), G.2). В частности,
ди^ дих I— к
—1-= V 2A - v)—In г sin B1;
дхх дхх [I
ди% дио г- к ,—
/2A- v)— In г (/2- cosej.
дхх дхх
- 142 -
Отсюда и из соотношений D.24) находим
/У к /2 к г—
в,-— — sine,, ьх = - (/Г-cose,). G.3)
4 fi 4 |i
Основываясь на равенствах D.12), D.24), G.1), G.2), G.3) и учиты-
учитывая выражения для деформаций
2е°2 ~ /2A - v)^-| JT- 2cos 8, + In | ^^ J] lnx2;
, + In | ^^ J]
j, е°2
можно выписать асимптотические представления для перемещений
и градиента перемещений в области разгрузки (г -* 0):
Xx2lnx2 + [sin@ + ei)- V2sin6]rlnr[;
u2^- y/2—{A - 2v)sin 6^2^X2 +
+ [A " v) (cos (9 + 9X) - JYcos 9) + sin 9xsin 9] rln r];
дил >— к
—»-V2(l- v) —sine^nr;
dxx \x
du. f— ' к \ r- I tg л/8 \ 1
- /2A - v)— (V2- cos 91)ln(sin 9) + ln — lnx2 ;
M L \ tgej/2/ J
G.4)
dx2
du~ /— к i—
—- - V2iA - v) — (V2 - cos 9-)In r;
u2 /—/c
=- - - V 2 — [A - 2v) sin 9X In x2 + v sin б^п r].
2 ц
- 143-
Напряжения в области разгрузки можно представить в виде
[см. формулы D.13)]
<Wn, *2) = <*тп(х2) + °шп(Л, х2) -
" <W*2Ctg 91> *2) = °тл(*2) +
так как вследствие непрерывности omn(*2ctS 9i > *2)= °тл(х2)> а вели-
величины о^л, е^п не зависят от координаты Л-
Обратимся к формулам B.13), D.24), G.3). Учтем, что если ешп =
= етп(г, 8) при в < 015 то e^n=emn(rsin 9/sin 9,, 9Х) при в ^ ех
(рис. 4.9: л о» го~ координаты, отвечающие началу разгрузки). То же
относится и к напряжениям о^п. В результате для 9 > 9Х > 0 находим
оп л /2 / sin9t
—^- + 29,- 5^29-+-— sine. 41nL
/с 2 2 \ si
+29, 5^29+ sine. 41n
fc /с 2 2 \ sin 9
- cos29+cos291]-^—(/2~- cos 9^2(9- 0J + sin28- sin29J;
G.5)
099 Оп Л yfl
—2I = —1 + 291 + sin291+ sin9.(cos29-
k к 2 2
- cos29J (V2- cos91[2(9- 9J- sin29+sin29J,
sin 9J2(8- 9^+5^29- sin29J
/7 ,—
+ (V2- cos91)(cos29- cos29J;
Оц=оо- /с, o22=oo+fc A91 < л/4).
Из данных формул видно, что компоненты 022, о12 ограничены
(92 ^ 9 ^ л), а компонента 01Х -> °° при 9 -> л. Следовательно, область
разгрузки не может достигать берега трещины при г > 0, так как иначе
при некотором значении 9=92<л вновь возникает состояние пла-
пластичности, а затем при 9 > 92 квадрат максимального касательного
напряжения т\ будет больше /с2, что запрещено условием пластичности.
-144-
Таким образом, при 9 > 92 здесь
лежит область вторичных пласти-
пластических деформаций. Если эта об-
область примыкает к берегу трещины,
то в ней в силу граничных условий
О22 = о12 = 0 A81 = л)
напряжения должны быть распре-
распределены равномерно, причем, как Рис. 4.9.
следует из физических соображений
и выражения для о1Л G.5), о1Х > 0. Отсюда и из условия пластичности
х2 = к2 находим
О22 = о12 = 0, 01Х=2к (82^9^л). G.6)
Полагая в формулах G.5) 9 = 92 и приравнивая правые части ука-
указанным значениям, получаем систему уравнений, из которой опреде-
определяется напряжение оо и углы 915 92: 9Х ^ 1,9561, 92 ^ 2,8292,
oo~4,105fc. При этом т2 = к2 A91 ^91? 92<191<л), т2</с2
FХ < 181 < 62), т. е. найденное решение, действительно, удовлетворяет
условиям пластичности.
Напряжения при 191 ^ л/4 будут: оХ1 = оо- к » 3,1054/с, о22 =
= 00 + к * 5,1054/с, 012 = 0. При л/4 ^ 9 < 9Х они определяются форму-
формулами B.13), где С = оо + кп/2; при 9Х ^ 9 ^ 92 - формулами G.5) и, на-
наконец, в области вторичной пластичности (92 ^ 9 ^ л) их значения
соответствуют равенствам G.6).
В § 4.3 показано, что в центрированном поле т23 < /с2. Что же
касается области 191 < л/4, то там, как видно из формулы B.15),
1 , \
>v=—(l-fc/oo) * 0,37821 , T2 = fc2(v^vJ, т23<к2.
Таким образом, при v > v^ напряжение о33 в указанной области
определяется формулой B.14), а при v<v^-первым из равенств
C.20), где 0+ = 2оо и следует взять верхний знак. Анализ показывает,
что если v > v^, то напряжение о33 находится по формуле B.14) во всей
области. В противном случае при 9 > л/4 происходит разгрузка по
отношению к имевшему место пластическому скольжению, связанно-
связанному с условием т2 = к2. При этом
В частности, в области вторичной пластичности
^vJ, o33 = (l-v)(oo-k)
io—171 - 145 -
% 1,0 8^2,0
Рис. 4.10.
Рис. 4.11.
,? ПЬ *JP
*
Графики квадратов экстремальных касательных напряжений т\,
Т2> тз> отнесенных к к2, показаны на рис. 4.10 (кривые /, 2, 3 соответ-
соответственно). На рис. 4.11 приведены графики отношений 01Х/к, О22/к,
°xJk> °зз/^ (кривые 1-4 соответственно). При расчетах было приня-
принято v = 0,3 < V
Деформации в области 181 < л/4 ограничены, а при л/4 < 8 < 82 они
имеют логарифмическую особенность G.4) (объемная деформация огра-
ограничена и определяется через напряжения законом Гука).
Укажем асимптотики перемещений для области вторичной пла-
пластичности (82 ^ 8 < л). Используя равенства G.6), C.19) и закон Гука
для объемной деформации, получаем
- х2) +/3(х2);
G.7)
где fv /2, /3 - произвольные функции. Учитывая непрерывность гра-
градиента перемещений на линии 8= 82, на которой Ц ±х2 = x2(ctg 82 ±
± 1) < 0 (х2 > 0), и привлекая формулы G.4), G.7), находим
к
/1A- v) —
- /2"sin9]rlnr +
V2 A - v) —[V2 cos 8- cos(8- ejjrlnr
- 146-
Отсюда
дил ,— к
--/2A- v)—sinG.lnr,
/с Г 1—
- V)— (/2- COS 9 Jin ( SHI 8) +
ц [
/ tgn/8
in
- v) —(/Г- cos в Jin r,
ji
ди2 7— к
—--- /2A- v)— sin 8, Inr.
дх2 \i
Из последних формул видно, что при г > е > 0 все компоненты гра-
градиента перемещения, за исключением производной дих/дх2, ограни-
ограничены. Последняя же на берегах трещины оказывается бесконечной.
Перейдем к задаче II. Здесь в некоторой окрестности 9 = 0 располо-
расположено центрированное поле линий скольжения (см. § 4.2), причем на оси
xi (Л >0) оп = 022 = 0- Из равенств B.13) следует, что в области пла-
пластического течения A81 < 8J
+ sin28), 012 = fccos28;
- sin28), 033 = vo+.
Обращаясь'к формуле C.23), учитывая асимптотическое равенство
dUj/dx! — - ди2/дх2 (справедливое, если указанные производные
неограниченно возрастают по модулю при г -»0) и ограниченность
компоненты dujdx2 при Л > е > 0, х2 = 0, находим
-- 2A- v) — Ar
Ц
к
1 / 8
— In2 г + 21n cos—I In r I sin 8;
u2 - 2A - v) — (A + cos 8) r In г;
fc
- 2A - v) — A In г sin 8 ;
- 147-
дх2
ди2
дх,
ди2
дх2
л
1
-2A
-2A
2
о_
1 — v
-V)
-V)
д2и
f
ц
к
м
fc
Ц
2
дххдх2
(Acos
A In г
1-
\
8 +
sin
- V
1
1)
8;
А
In г;
In г
г
G.8)
Из последней формулы следует, что коэффициент А = const должен
быть отрицательным.
Поступая точно так же, как и при решении задачи I, определяем
напряжения в области разгрузки (&г < 8 < 82):
о1Х _ / . sin
fc
- [2(8- 8J + SH129- sin2ej(l +>1 cosBJ;
= - 28t - 5Ш28, + A 41n + cos28- cos28t sinS. -
G.9)
°22
к ~~ *
- [2(8- 8J- sin28+ sin291](l + A cosSJ;
—^- = 005 28!+ [2(8- BJ + sin 29 - sin 28J4 sin 8X
fc
+ (cos 28 - cos 28 J A + A cos 8J;
В области вторичной пластичности 82 < 8 < л, где напряжения
постоянны,
О11 = 2к9 о22 = о12 = 0, 033 = 2vfc. G.10)
Напряжения в области разгрузки G.9) при 8 = 82 равны значениям,
полученным по формулам G.10). Отсюда находим
А*- 1,01360, 82 « 0,16696, 82 * 3,13845 « л - 0,00314.
- 148-
Таким образом, область вторичной пластичности очень узкая: угол
л - 82, соответствующий этой области, равен 10~3л.
Дальнейшее исследование задачи II показывает, что деформации
в области разгрузки асимптотически неизменны (при изменении коор-
координаты х2), как и в задаче I, а в области вторичной пластичности имеют
особенности того же типа, что и в области первоначального пластиче-
пластического течения G.8). Компонента dujdx2 однако, так же, как и в зада-
задаче I, на берегах трещины оказывается бесконечной.
Графики квадратов экстремальных касательных напряжений т2,
Т2> тз> отнесенные к /с2, показаны на рис. 4.12 (кривые 1, 2, 3, соответ-
соответственно), а графики отношений 1/2 011/к, 022/к, 012/к, 033/к-на.
рис. 4.13 (кривые 1, 2, 3, 4 соответственно). При расчетах принято
v = 0,3.
Таким образом, в случае плоской деформации идеально упруго-
пластического тела (без упрочнения) у края растущей трещины дефор-
деформации имеют логарифмическую особенность, за исключением сдвиго-
сдвиговой компоненты (и поворота) в задаче II, где особенность - квадрат
логарифма. В обеих задачах производная dujdx2 на берегах трещины
оказывается бесконечной - порядка In x2 (задача I) и In2 x2 (задача II).
В задаче I деформация в секторе 181 < л/4 ограничена, однако там
имеет место довольно большое всестороннее растяжение: среднее
напряжение о ^3,7721/с.
Ввиду того что напряжения в окрестности края трещины ограни-
ограничены, а производная ди/дхх имеет лишь логарифмическую особен-
особенность, при росте трещины, как и в антиплоской задаче, энергия в ее
край не стекает.
Замечание. Приведенные выше асимптотические равенства
содержат выражения In r, In x2> где под знаком логарифма стоит раз-
размерная величина. Такие выражения указывают на характер особен-
особенности и имеют лишь асимптотический смысл. В точном представлении
аргумент логарифма должен быть безразмерным, в связи с чем следо-
следовало бы писать ln(r/L), (In x2/L), где L - некоторый линейный размер.
В формулах, .содержащих указанные функции, можно произвести
замену первых выражений на вторые, после чего они будут иметь
более правильный вид. При этом параметр L естественно отождествить
с длиной пластической области. Однако если выбрана некоторая
0,25
О
1
,1
. ,
/
2,0
3,0%
1,0
0,5
О
Рис. 4.12.
Рис. 4.13.
-
, т
\—/_
,._
j
% 6
- 149-
единица длины, скажем, сантиметр, и значения г, x2i L выражаются
числами, то
In (r/L) ~ In г, In (x2/L) ~~ In х2 (г, х2 — 0).
§ 4.8. Критерии. Возможность устойчивого
роста трещин
Приведенные выше решения указывают на отсутствие потока энер-
энергии в край трещины, растущей в упругопластическом материале. Этот
факт настолько противоречит укоренившимся представлениям (выте-
(вытекающим из модели упругого тела), что воспринимается некоторыми
исследователями как парадокс, требующий принятия мер для его
преодоления. Но можно ли требовать от классических моделей сплош-
сплошной среды, чтобы в них обнаруживалась потребность в энергии для
разделения тела на части? Ведь в этих моделях ничего подобного
не заложено.
То, что это происходит в линейной механике разрушения, обуслов-
обусловлено свойствами упругого тела. При квазистатическом росте трещины
в напряженном теле энергия высвобождается, однако нигде, кроме
особой точки - края трещины, она не может поглощаться. Поэтому она
туда и стекает. Сам же механизм поглощения энергии данной теорией
непосредственно не улавливается. В случае рассматриваемой модели
упругопластического тела высвобождающаяся в упругой области
энергия может полностью поглощаться в результате необратимых
пластических деформаций у края трещины.
Таким образом, оставаясь в рамках этой модели, нельзя учесть
собственно поверхностную энергию, которая необходима для разрыва
связей и образования новых поверхностей. Можно ввести лишь эффек-
эффективную энергию - энергию, поглощаемую в пластической области.
Первая, однако, в пластических материалах (для которых имеет смысл
исследование пластической области на основе геометрически линей-
линейной теории) много меньше второй, поэтому в первом приближении
можно обойтись и без модернизации модели упругопластического
тела. Следует лишь отказаться от энергетического критерия Гриффит-
са, который здесь неприемлем. Он может быть заменен деформацион-
деформационным критерием - естественным аналогом силового критерия Ново-
Новожилова.
Осредним компоненту деформации, отвечающую рассматриваемой
задаче (е22, е21, е23 для задач I, II, III соответственно), по сектору г <а,
О <8 < л/4 и введем предельное значение осредненной деформации е*.
Критическое состояние у правого края трещины сопоставим с равен-
равенством
1 Л/4 а
2$ Ь2т«^9=е*. (8.1)
-150-
Здесь индекс т принимает значения 2, 1, 3 соответственно указанным
задачам для трещины, расположенной при хх < О, х2 = 0. Данный
критерий содержит две постоянные: линейный размер а и предельную
деформацию е*.
Рассмотрим задачу III об антиплоской деформации. В случае малой
пластической области у края фиксированной (неподвижной) трещины
выражение для деформации е23 имеет вид формул E.6), E.7).
Получаем
(8.2)
В стационарной задаче о растущей трещине асимптотика рассмат-
рассматриваемой компоненты деформации определяется формулой F.17).
Примем значение R* таким же, как и при неподвижной трещине
(см. § 4.6), и предположим, что а <^ Я*. Тогда, учитывая лишь главный
член асимптотики, найдем
(8.3)
Отношение критических значений коэффициентов интенсивности
напряжений, соответствующих растущей {Кщ ) и неподвижной {Кц1с)
трещинам
У=к/\х, (8.4)
для пластичных материалов оказывается очень большим, поскольку
параметр е* порядка единицы, а у - порядка 10~3 - 10~2. Этим объ-
объясняется возможность устойчивого роста трещины в пластическом
материале. Действительно, пусть в теле имеется некоторая начальная
трещина. Будем постепенно увеличивать действующие на тело нагруз-
нагрузки, раскрывающие трещину. При некотором их уровне достигается
состояние, отвечающее равенству Кщ = Кщс (8.2), после чего трещина
начнет расти. При этом будет происходить перестройка пластической
области у ее" края - переход от состояния, соответствующего непод-
неподвижной трещине E.7), к состоянию, описываемому решением стацио-
стационарной задачи для движущейся трещины F.23). Последнее характери-
характеризуется значительно большей сопротивляемостью материала распро-
распространению трещины {Kmcg ^> Кщс), поэтому для ее продвижения
необходимо увеличивать внешние нагрузки. Трещина станет неустой-
неустойчивой лишь тогда, когда уровень внешних нагрузок и длина трещины
будут отвечать состоянию, близкому к критическому для стационарно
движущейся трещины (8.3).
В заключение отметим проявление масштабного эффекта для тре-
трещины в пластине из упругопластического материала. Если пластина
достаточно тонкая, то область у края трещины, где пластическое
течение стеснено, т. е. та область, для которой предположение о пло-
плоском напряженном состоянии материала не оправдано, может быть
достаточно малой по сравнению с областью осреднения в критерии (8.1).
- 151-
В противном случае напряженное состояние уже нельзя полагать пло-
плоским. С увеличением толщины пластины в области осреднения оно
приближается к состоянию плоской деформации, что ведет к снижению
критического значения е*. Таким образом, трещиностойкость с увели-
увеличением толщины пластины уменьшается.
Критерии разрушения применительно к распространению трещин
в упругопластических телах обсуждаются во многих работах (см. на-
например, [11, 49, 77, 79]).
§ 4.9. Динамика трещины в упругопластическом теле
Рассмотрим те же стационарные задачи, что и в § 4.6, 4.7, но с уче-
учетом сил инерции, т. е. в динамической постановке. Зависимость пла-
пластических свойств от скорости деформации учитывать не будем - сох-
сохраним условие пластичности A.2) и закон пластического течения A.6).
Тогда по сравнению с квазистатическими задачами изменятся лишь
уравнения равновесия B.1.2), в которых объемные силы будут отлич-
отличны от нуля: Fj = - pd2Uj/dt2 = - pc2d2u;/dx2, где последнее равенство
вытекает из предположения о стационарности задачи для трещины,
расположенной при х2 = у = 0, хх - ct = х < О, с = const > 0.
Начнем, как обычно, с антиплоской задачи. В соответствии со ска-
сказанным выше и принимая во внимание соотношения, приведенные
в §4.1, условие пластичности, уравнение движения и связь между
перемещением и напряжениями можно записать в виде
doxz
дх
d2w
дх2
d2w
дхду
doyz
ду
Л П А
°У
- рс2
1
ц
1
и
d2w
дх2 °
dOxz
дх '
дау2
дх
(9.1)
Граничные условия при у = 0:
oyz=0 (x<0); oyz>0, w = 0 (x>0). (9.2)
Введем наряду с прямоугольной полярную систему координат
г, 9(х = г cos 9, у = г sin 9) и предположим, что частные производные по г
от напряжений и деформаций знакопостоянны в некоторой окрестно-
окрестности г = 0 при 9 = const Тогда, учитывая, что по условию пластичности
напряжения ограничены, при г -»0 имеем
- 152-
до{]
dr \ r
o\—\l
sin 9 do,7 cos 8
O Oy; (9.3)
Oy, Oy;
дх г ду г
где 0у= oxz, oyz; o]j = dOij/d 9.
Обращаясь теперь к уравнениям (9.1), находим
а / диЛ /
д \ j \
cos8 sin9 =0A).
д2 J
г cos8
дд \ dxj \дхду дх2
Учитывая, что dw/dx = 0 при 9 = 0, видим, что деформация сдвига
1
ехг = — dw/dx также ограничена и, следовательно, для ее производных
справедливы асимптотические формулы (9.3).
Положим
°rz = °xz cos 9 + oyz sin 9 = fc sin 0);
O0Z= оуг cos9 - oxz sin8 = fc cosG).
При этом условие пластичности удовлетворяется автоматически, а из
уравнений (9.1) с учетом сказанного выше следуют равенства
к sin со
A-0)');
да2 sin 9
sin 9
ctg co(l - а)'); (9.4)
A- G)')(sin2co- а2 sin2 9) = О,
где z'xz= dtxJdQ, аз' = d(o/a9, а2 = c2/c^ = рс2/ц < 1.
Из последнего уравнения видно, что у края трещины возможны
равномерное поле напряжений
со = 9; oxz, oyz = const (9.5)
и неравномерное
@ = ±arcsin(ocsin 9). (9.6)
- 153-
Обращаясь к выражению для функции Л (9.4), находим, что в не-
неравномерном поле
1 / 1
Л=— ±—Vl- a2 sin2 9- cos9 , 0 < а < 1.
\и \ а /
Поскольку Л ^ 0, в последней формуле и соответственно в правой
части выражения (9.6) следует взять знак плюс.
Равномерное и неравномерное поля, каждое в отдельности, не
удовлетворяют граничным условиям (9.2). Разгрузка с изменением
напряжений при г = 0 невозможна вследствие ограниченности дефор-
деформации txz (см. § 4.4). Остается комбинация полей (9.5), (9.6), а именно
G) = arcsin(a sin 9) A91 <9J;
a) = arcsin(asinej + 8- 9*(9**? 9^ л).
Привлекая граничное условие при 9 = л, получаем
Итак, рассматриваемые функции определяются зависимостями
°xz= ~ fcG1 - a2 sin2 9 - a cos 9) sin 9 ;
oy2=k(Vl- a2 sin2 9 cos 9 + a sin2 9),
8
ди> Г Orz+o'QZ к .
= - I dQ = [9 - arcsm (a sin 9)]
dx J fia2sin 9 ца
dw n к
oxz=-k, oyz=0, —- = -— sgn9
dx 2 ца
(8*< 19! <л).
Отсюда
d2w kcos 9 7 a cos 9
дхду \iar
dw к I bin 61
=/(y) + In y + (9.7)
ду ца \ у 1"" a sin2 8+ a cos 8
a Vl- a2sin29 + cos 8A
+ —In , @<IBI<ej;
2 Vl- a2sin29-cos9/
- 154-
fc Г а 1 - а
— —In 1пA-а2)
ду \ia [ 2 1 + а
Функция /(у) определяется условием непрерывности деформаций
на границе с упругой областью, где при 8 = 0 dw/dy = oy2/\i = fc/(i (x = L).
Подчиняя выражение для dw/dy (9.7) данному условию, найдем
fc Г 1- a L 1 1 - а2 1
Ду)=— 1 + In— + —In—¦—- + —1пA + а)
|i [ а \у\ 2 4 а
Теперь можно выписать формулы для перемещения
к { \ I L \ I 1 1- а2\
w = \у A- a) In +1 +а 1+—In +1пA + а)
ца ( [ \ lyl / \ 2 4 /
I sin в I а >/l- а2 sin2 9+ cos 6 1
+ In , + — In . -
V 1 - a2 sin2 6 + a cos в 2 V 1 - a2 sin2 9 - cos 9 J
- x[9- arcsin(a sin9)]( A81 ^ 8J;
fc С Г I L \ /1 1- a2
w = \y A- a) In +1 +a 1+—In
lyl / \ 2 4
a 1- a 1 л
+ — in in(i - a) x sgny
2 1+a J 2
Таким образом, асимптотика деформации zyz, способствующей
продвижению трещины, здесь имеет логарифмическую особенность
fc I- a L
tyz~ In— (г-0, 181<п),
2ц a г
Раскрытие трещины у края определяется так:
— = + (У=±0, х<0). (9.8)
дх 2 ЦОС
Видно, что при уменьшении скорости трещины деформация неограни-
неограниченно возрастает. То же относится и к углу, характеризующему раскры-
раскрытие трещины (9.8). В отличие от квазистатики здесь деформация имеет
менее сильную особенность, разгрузка непосредственно у края трещи-
трещины отсутствует (она может происходить при удалении от края). Приве-
Приведенное решение отличается еще и тем, что оно указывает на клино-
клинообразную форму раскрытия трещины.
-155-
Перейдем к задаче о плоской деформации - рассмотрим задачу L
Добавляя в уравнения равновесия силы инерции и привлекая соотно-
соотношения, постулированные в § 4.1, можем записать следующие равенства,
справедливые в области пластичности при условии т^ = к2 B.9):
do.
дх
до.
ду
д2и
дх2
д2о
дхду
д2и
дхду
3
2A + v)
3
2A +
An j.
— А О _ +
-Ло.1
д2и
дх2
1
Здесь о = — (охх-
2
остальные
до
дх
1
2Ц
1
2Ц
— О А
— ZiY
ху
0уу)
обозначения
доху
до
ду
д
дх
д
дх
ду
даХ}
дх
(о .
Г
1 Q
г ¦
1
и —
1
7@*х
прежние.
дги
РС дх2 ~
,d2o
РС дх2
3A - 2v) '
2A + v) ,
3A - 2v)
2A + v)
doXy
дх '
2n(l + v) /
3A - 2v) \
- = G;
\.
)'
oV
T
ди до
дх ду
(9.9)
Граничные условия при у = О
0^=0^=0 (х<0); о = ох>,= 0, 0з,у >0 (х>0). (9.10)
Функции о_, оху ограничены условием пластичности. Основываясь
на приведенных зависимостях, можно показать [99], что среднее
напряжение также ограничено. Таким образом, как и в случае квази-
квазистатики, все компоненты напряжений ограничены.
Далее, рассуждения, аналогичные тем, которые приводились
в случае антиплоской деформации, приводят к представлениям
(9.11)
ди
дх
(A =
причем
const,
+ A In г,
г-0),
ди
дх
ди
q , ^
- к cos (to- 26), oxy = - fcsin(u- 26),
указанные здесь асимптотики можно дифференцировать.
- 156-
Подставляя это в соотношения (9.9), получим равенства
[1 - A - 2v) a2] (p sin 9 - A cos 9) - q cos 9 =
= - A - 2v) у cos (g) - 39);
p cos 9 - A ctg 9 cos 9 - [ctg 9 cos 9 - A - 2v) a2 sin 9] q =
= A - 2v) у sin (g> - 39);
p sin 9 + q cos 9 - A cos 9 = у sin (g) - 29) sin 9 -
- 2Ar/ccos (g) - 29);
p'cos 9 - q'sin 9 + A sin 9 = у cos (g) - 29) sin 9 +
+ 2Ark sin (g) - 29);
2A + v)|i
m' = -(A + q) ctg 9, o' = ^ ^ [p - (q + A) ctg 9],
a = c/c2, у = fc(G)' - 2)/|i, A = - q'@). (9.12)
Отсюда находим
к [ «'- 2
p' = — < [cos (g) - 49) cos 9 -
ц ( а2ф5т 9
- A - 2v) a2cos (со - 39) sin2 9] - [g)'@) - 2] a2ctg 9j;
у 5 (9.13)
[cos (со - 49) - A - 2v) a2sin (со - 39) sin 9];
a2cp
p'sin 9 + [q + fl'(O)] cos 9 - "psin (to - 29) sin 9
2fcrcos(G)- 29)
Ф = 1 - A - 2v)a2sin29
и уравнение относительно функции G)(9)
(со' - 2)[cos2 (g> - 49) - a2(l - 2v + <p) sin2 9] -
(9.14)
Если g)'@)t^2, to, как следует из выписанных соотношений, при
малых значениях полярного угла Л < 0. Таким образом,
A = G)'@)-2 = 0,
- 157-
и, следовательно, деформация также ограничена. Как видно теперь
из уравнения (9.14), здесь, так же как и в случае антиплоской деформа-
деформации, возможно существование равномерного поля напряжений
со'= 2, 01 = 0^ = 0' = 0 (9.15)
и неравномерного поля, где
cos (g) - 49) = ± a y/ 1 - 2v + ф sin 9;
(сУ - 2) sin Bco - 89) r 2a2(<p - v) sin 29
8n<x2r<psin9 ' sinBG)-89)
Как равномерное, так и неравномерное поля в отдельности не
удовлетворяют граничным условиям, причем неравномерное поле не
удовлетворяет условиям при 9 = 0 и при 9 = ± л. Поэтому здесь реше-
решение должно представляться равномерными полями в некоторых
окрестностях 9 = 0 и 9 = ±л и неравномерными - вне указанных
окрестностей. В равномерном поле в окрестности 9 = 0 в соответствии
с равенствами (9.10), (9.11) и (9.15) оз = 29. Отсюда и из первого равен-
равенства (9.16) следует, что на границе с неравномерным полем
cos229= a^l- 2v+ (p)sin26;
Г 4 + 2A- v)<x2 + a V 16A - v) + 4v2a2
191= 912= arcsin
L 8 + 2A-2v) a4
I9I=934= л- 921, 0<91<л/4, л/4<92<л/2.
Как показывает анализ возможных вариантов [99], условие Л > О
приводит к исключению граничных значений 91? 93. В результате
находим, что неравномерные поля лежат в интервалах
92<191 <94, л/4 ^92<Зл/4 ^94= л- 9х<л,
где (9.17)
о)'>2, cos(@-49) <0, sinBw-89) >0 (9 >0), Л>0.
Итак, напряжения у края трещины распределены следующим
образом:
Зоо Зоо
- fc; ow=——r+fc; °xv=o
2A+ v) yy 2A+ v)
3o
-- fccos(u- 29); A91 ^
2A + v)
- 158-
Зо
°ху =
Охх'
F4^
2A
- к
2к,
161
+ V)
sin (аз -
°УУ
<л).
: cos (аз
28)
= °ху =
(<
0
26);
92<
(9.18)
Здесь со определяется первым из равенств (9.16), (*)(82) = 282, о - по
формуле (9.12) при о(82) = оо, а оо - из уравнения
° fe = 0 A81 = 94). (9.19)
Что касается напряжения о^, то оно определяется в области
181 < 82 по одной из следующих формул (в зависимости от того, выпол-
выполняется ли соответствующее условие пластичности):
1 + v
k ( к),
3*v
1 + v
(
fc)- (9-2°)
В остальных областях A81 > 62) *
°zziy)= OzJS^t) + v l°xx(^) + Оуу(в) - охх{в2) - 8ууF2)]. (9.21)
Деформации в соответствии с представлениями (9.11) определя-
определяются так:
. г .,, . 3A-2V)
V)
1
... ^)- p'Wctgs]*.
Здесь интегрирование проводится на интервале 82^5<min(8, 84);
еххо ~ деформация txx в секторе 181 < 82; функции р', q определяются
зависимостями (9.13), (9.16), (9.17) (а>'@) = 2).
Раскрывшиеся берега трещины образуют клин, угол при вершине
которого 2Р определяется равенством
д
tgH_il,,$,.„„,.
- 159-
Приведем формулы, справедливые при малой скорости трещины
(а -0):
0 ~
tyy
2A +
3
v)
+ .
fc
fc
M
fc
Ц
(-
2
2
Зл
+ 28
2
V2(l-v)
a
a
sin8-
sin8-
fc >/ 2A - v) / /— tg 8/2 \
— i К/У - 2cos 6 - In ;
Ц « \ tgn/8/
du fc 2 V 2A - v) / y[T
dx
(л/4
0
tgp-
<8 =
2
fc
*Зл/4);
[ + Л)A
4/Г
a
и при
a
+ v)
- V
iei
cos 9 , со'
9 - л/4, 8 - Зл/4.
напряжения и деформации непрерывны
и постоянны. Компоненты напряжений определяются соотношениями
(9.18)-(9.21) с учетом того, что при к^Ов неравномерном поле
&)'-> 4.
Полученное выше решение следует рассматривать, вообще говоря,
как асимптотическое (г -* 0). Однако оно точно удовлетворяет гранич-
граничным условиям задачи и поэтому может трактоваться и как точное
решение, отвечающее некоторым внешним нагрузкам. В последнем
случае при 181 < 82 Л = 0 и, следовательно,
3A - 2V) оо к
+ v)
2\х
е
уу
3A - 2v) oo fc
° + . (9.22)
4H1 + V 2A
Отличной особенностью решения плоской задачи является огра-
ограниченность всех компонентов деформаций, а также поворота, причем
данные величины [с учетом равенств (9.22)] - порядка k/\\ia), т. е.
достаточно малы в обычных жестких материалах, если отношение
- 160-
зп
4
2
S.
4 _
Ofio
0,25 0,5
10
0,5
Рис. 4.14.
Рис. 4.15.
Рис. 4.16.
о
10
lhs.
0,5 0,25
/ 1
'
" ¦
0,5
0,25
v = 0
^ 0,25
0,5
ot,
скорости трещины к скорости сдвиговой упругой волны не слишком
мало по сравнению с единицей. При этом геометрически линейная
постановка оправдана полностью. Как и в случае антиплоской задачи,
раскрывшаяся трещина принимает у края форму клина, угол при
вершине которого 2|3 увеличивается при уменьшении скорости трещи-
трещины Bр - л при с/с2-+ 0).
На рис. 4.14 показаны графики 92и94>92, на рис. 4.15 - графики
оо/к < 5 и [с учетом равенств (9.22)] max е^ц/fc, на рис. 4.16 - графики
(ц/Ас) tg Э (верхние кривые) и тах(- гху) \х/к (нижние кривые). Динами-
Динамика трещин в упругопластическом теле исследовалась во многих
работах [99, 134, 135,136,144].
§ 4АО. Рост трещины при циклических нагрузках
Как известно, трещины более чувствительны к повторяющимся
нагрузкам. Если при данной фиксированной нагрузке трещина не
растет, а при циклической нагрузке того же уровня распространяется,
то это может происходить лишь под влиянием необратимости дефор-
деформаций. Циклический рост трещины можно описать в рамках модели
упругопластического тела (с добавлением критерия разрушения),
если должным образом учесть пластические деформации, возникаю-
возникающие как при нагружении тела и росте трещины (см. § 4.5-4.7), так
и при разгрузке.
11 -171
- 161-
При достаточном уровне внешней нагрузки у края трещины в уп-
ругопластическом теле возникает настолько высокая концентрация
деформаций, что трещина начинает расти. Распространение трещины
при фиксированных внешних напряжениях влечет за собой резкое
снижение концентрации деформаций, которая приближается к уровню,
определяемому решением стационарной задачи о квазистатическом
росте трещины. Поэтому росту трещины должно сопутствовать увели-
увеличение внешних напряжений. При уменьшении последних (т. е. в период
разгрузки) характер деформаций у края трещины изменяется так,
что при последующем нагружении тела концентрация деформаций
снова оказывается достаточной для того, чтобы трещина росла,
и т. д. [109].
Рассматриваем бесконечную пластину в условиях плоского напря-
напряженного состояния. На отрезке 1x1 < / при у = 0 имеется трещина,
начальная полудлина которой / = /0. Пластина растягивается в направ-
направлении по нормали к трещине, берега которой свободны от внешних
напряжений. Задача описания напряженно-деформированного состоя-
состояния пластины решается в постановке Дагдейла. Сохранив известное
решение этой задачи [см. E.14)- E.18), E.25)], учтем, что в действи-
действительности на продолжении трещины перемещения непрерывны и
имеются лишь значительные пластические деформации в узкой вытя-
вытянутой зоне Kx<L. В связи с этим дополним указанное решение
предположением, что в области Kx<L, 0<У<о (У-эйлерова
координата, до деформации Y = y) имеется „пластический слой",
состоящий из не связанных между собой волокон, ориентированных
вдоль оси У. В этом слое оуу = от, оху = 0. Здесь и ниже (в отличие от § 5)
L - координата конца пластической зоны, длина которой равна L - /.
В дальнейшем рассмотрим следующие друг за другом нагружение
и разгрузку пластического слоя. Будем полагать его жесткопласти-
ческим, деформирующимся лишь при оуу = ± от. Там, где это суще-
существенно, учтем укорочение слоя за счет упругой разгрузки материала,
происходящей по мере продвижения трещины.
Введем „деформационный" критерий, аналогичный по смыслу
силовому критерию Новожилова [69, 70], а именно примем, что трещи-
трещина не будет развиваться (ее полудлина / не станет больше /Д если
осредненный по длине а зазор у ее края 2h меньше некоторого крити-
критического значения 2 А:
1 '
М/) = — J h{l,x)dx<A, A0.1)
а/-а
где 2h(x, I) - расстояние между берегами трещины с учетом пласти-
пластического слоя, заштрихованного на рис. 4.17. На нем показано: а- со-
состояние с начальной трещиной (о= оо, /= /0); б- состояние с растущей
трещиной (о>оо, />/(,); е-состояние в конце разгрузки (o=Rov
I- lv u= ut+ о2). Цифрами обозначено: I- упругая область; II- пла-
пластический слой; III (о^=0), IV {оуу < О-р и= их)- пластически дефор-
деформированный материал на берегу трещины; 1 - берег трещины, 2- зазор
- 162-
Рис. 4.17.
h(l, х), 3 - и(х, x)(l - e), 4 - eu(x, x) - зазор за счет упругой деформа-
деформации волокна в момент разрыва.
В обозначениях о(/, х), h{l, x) первый из аргументов указывает
на полудлину трещины. Там, где это не может вызвать недоразумения,
аргументы и и h будут опускаться. Ввиду малости размера а ^ min (/,
I - /) (это подтверждается ниже) и предположения о жесткопластиче-
ском характере деформирования пластического слоя будем полагать
h(l, х) = о(/, /)- bu(x, х), где Ь = 1 - е, е = от/?, Е- модуль упругости,
и(х, х) - длина волокна в пластическом слое в точке х в момент его
разрыва, Ьо(х, х) - длина того же волокна с учетом упругой разгрузки
при разрыве (рис. 4.17, б), о(х, х) = 0 при х < /0. Итак, трещина растет,
если
1
/-a
A0.2)
В случае неравенства h(l)< Д трещина неподвижна. Неравенство
h(l) > Д невозможно.
Нагружение (задача I). Перемещение верхнего берега
трещины длиной 21 при напряжениях оуу=о^ , приложенных на отрез-
отрезке (с, d), 0 < с < d ^ L {у = 0), и при отсутствии напряжений на беско-
бесконечности б линейно-упругой пластине в соответствии с B.2.14) опре-
определяется так:
(d-x)lni
P(d)-P(x)
- 163-
I P(c) + P(x) i Id c\
(c - x) In + 2p(x) arcsin arcsin—
'p(c)-P(x)' РУ'\ L Lf
- 2xln
Если принять о* = - о, с = 0, d = L, а затем о* = от, с= I, d = L и сло-
сложить перемещения A0.3), отвечающие этим двум задачам, потребовав
для суммы иD х) = ди/дл: = 0 (x = L, У=0), то получим решение
Дагдейла
2от Г ,L sin ос +
u(U)f (Oln
Lsina-
L + /x+P(x)p(/)l 4oT/
+ 2xln ^—- ; и(/, 0 = In cos a ; A0.4)
L(/ + ) J л?
2от/ / 1 + sin a
a = яо/Bот), //I = cos a , u(l, 0) = In
uE \ 1 - sin a
С помощью преобразования Лапласа
'о
из A0.2) находим
5-— A-ехр(-as))Г;
[X1
х-, [Ь(к- А)]к
иа о=а X к! ехр мк - к>ь х=о - и/в-
/с=0
Анализ показывает, что при малом е достаточно хорошей аппрок-
аппроксимацией (и асимптотикой при X -+ °°) является следующая:
x(X) = e^*e^ (X < 1),
и(Х) = еь + — [1 - ехр (- 2е(Х - 1))] {к ^ 1).
е
Соотношения A0.4) и A0.6) определяют приращение длины трещи-
трещины при росте нагрузки:
/ - /0 = a In [- 2Bl0 In (cos a)] (X < 1), (Ю.7)
- 164-
/-/o = fl[l-?/oln(cosa)- ell] (Ь>1, \е«П), Б = 2е/(лД).
Нижняя граница для напряжений, при которых трещина может раз-
развиваться, определяется равенством [см. A0.4) - A0.6)]
= A,K(\) = l, о = оо, а0 = лоо/Bот).
A0.8)
Равенству еи(/, l) = A(h(l, /) = A) отвечает верхняя граница для
длины трещины при заданном уровне нагрузки:
/ = /* = -BеЯ1п (cos а)-1. A0.9)
Обозначим все величины, отвечающие концу процесса нагруже-
ния, индексом 1: / = l19 L = L19 u(l19 х) = и 1(/1, х) и т. д.
Разгрузка (задача 2). Пусть внешнее напряжение, достигнув
уровня о = о19 монотонно убывает до значения о = Rat, R < 1. Ввиду
того, что состояние в упругой области описывается линейными одно-
однородными уравнениями (теории упругости), решение задачи с учетом
разгрузки можно представить суперпозицией решений двух задач,
потребовав, чтобы суммарные значения напряжений и перемещений
при у = 0 и у -»• °° соответствовали достигнутым с учетом „истории"
деформирования: о = ot +02 = Ro1(o2<0); оуу = -от на том отрезке
оси х{1х <х< 12), где уменьшение внешней нагрузки вызвало пласти-
пластическую деформацию сжатия; перемещение о = оt в области L2<x<Ll,
где - от < Оуу < от; о = 0 при х > Lv
Полагаем, далее, что трещина не „залечивается" - ее длина остает-
остается неизменной, а оуу = 0 при х < 1Х.
Удовлетворить сформулированным условиям можно, сложив
решения двух задач: рассмотренной задачи о нагрузке и дополнитель-
дополнительной задачи с условиями
о 2 = 0(х<11), о =-2от {lx<x^L2)9
A0.10)
( ) ()
где индекс 2 отвечает окончанию разгрузки. Дополнительная задача
при условиях A0.10) также является задачей Дагдейла, но для других
значений внешней нагрузки и напряжений в пластической зоне. Ее ре-
решение имеет вид, аналогичный по структуре A0.8),
о^, /J = 4ВА11\п (cos <х2), [JA19 0) = - 2BAlt X
1+sinoc, /, л(о. - о) A0.11)
Xln -, L2= -—, а2 = -^ -.
1 - sin а2 cos а2 4от
Можно показать, что при х > L2 выполняется неравенство
-165-
Из равенств A0.11) для ос2, L2 видно, что с уменьшением о граница
области вторичной пластичности L2 растет, удовлетворяя.неравенству
L2 < L19 до тех пор, пока берега трещины не коснутся друг друга в ее
центре (х = 0). Момент касания определяется условием \){lv 0) =
= о1(/1, 0) + о2^, 0) = 0, что равносильно равенству
sina
tg-
L2 a
—- = cos—LVcosa1 <1.
A0.12)
Зависимости для R = R0 и отношения и2/и1 при х=/1? соответ-
соответствующие моменту касания, следуют из соотношений A0.4), A0.11),
A0.12)
2 / at
1 arcsinj tg—
In (cos а2)
In (cos а J
A0.13)
Зависимости для-Я0 и ф (при # = #0) от oJoT показаны на
рис. 4.18 (кривые 1, 2).
После соприкосновения берегов трещины в ее центре дальнейшее
сжатие пластического слоя затруднено. Примем, что этап разгрузки
R < Ro не влияет на рост трещины. Отсюда и из характера зависимости
для Ro A0.13) следует, что отрицательный полуцикл, не играя замет-
заметной роли при малых отношениях ох/оТУ становится существенным,
когда это отношение приближается к единице.
При разгрузке зазор на интервале осреднения (длиной а) Ь2A19 х) =
= h1(/1, x) + u2(/1, /J равномерно убывает (как в отношении иД х),
принимаем, что на этом интервале о2(/х, х) = о2(/15 /J) вплоть до
момента касания порванных волокон в точке х = 1х. При дальнейшем
снижении внешних напряжений в области /1-о<х</1~а1 зазор
будет по-прежнему равномерно
убывать, а на интервале 1Х - аг <х<
< 1Х пластически деформированные
волокна сомкнутся и произойдет их
укорочение за счет пластической
деформации сжатия. Это и является
причиной роста трещины при сле-
следующем нагружении. Координата
/х - ах определяется равенством
¦
0,6
/
/
/
0,2 0,4- 0,6 0,8 6,/бт
Рис. 4.18.
b&i, 'i-ei)--u2('i. 'i)-
A0.14)
Интервал, на котором пласти-
пластически деформированные волокна
- 166-
при разгрузке смыкаются, будем называть зоной контакта (ап - ее дли-
длина в п-м цикле).
Вторичная нагрузка. В этот период напряжение о увеличи-
увеличивается от значения Rox до ог. Для неподвижной трещины решение
задачи (задачи 3) можно найти тем же путем - прибавлением к преды-
предыдущему решения дополнительной задачи, которое определяется теми
же формулами A0.11), где от заменяется на - от и индекс 2 - на 3.
По мере роста внешних напряжений зазор на интервале осредне-
осреднения также будет равномерно увеличиваться:
h3(l19 х) = /],(/,, х) + о2(/1? /J + и3(/1? /J A0.15)
Если мысленно увеличить напряжения до максимального значе-
значения ох при неподвижной трещине, то, учитывая, что о2 = -о3 и
h^lj) = А, из равенств A0.15), (с учетом A0.14)), получим
Ч lv х) = hx{ ll9 х\ Й3( у = hx( у = Д (ах = 0),
M'i^M'i,*) (/i- a^x^- al5 flx>0), A0.16)
Неравенство u3 > ftx объясняется укорочением волокон на интер-
интервале lx - аг < х < 1Х (рис. 4.19).
На рис. 4.19 изображена окрестность края трещины (слева 1Х - /0 < а,
аг < а; справа \х - /0 > a, «j > а: на рис. 4.19, а - после первой нагрузки
(о = о19 u=u1), на рис. 4.19, б- после первой разгрузки (o=Ro1,
о=и1+о2), на рис. 4.19, в - после второй нагрузки до о = ох при
неподвижной трещине (о = о19 и=и1). Цифры I, II, III, 1 обозначают
то же, что и на рис. 4.17, 2 - зазор в точке х = 1г- а, 3- зазор в точке
х = 1Х - а19 4 - зазор в области lt - ах < х < 1Х.
Как следует из A0.16), в случае ах >0 (- о2(/1? у >ео1(/1, у.)
при некотором уровне внешних напряжений о < ох трещина начинает
расти в соответствии с критерием (ЮЛ), При ах = 0 рост трещины
невозможен (ft3('i)^ А ПРИ ° ^ °i)-
Решение дополнительной задачи (вторичное нагружение) в усло-
условиях роста трещины (задача 4) можно получить аналогично, учитывая,
что суммарные напряжения оуу = 0 при /х < х < I и история деформи-
деформирования материала различна на интервалах К x^L2 иL2 < х < Lr
Последнее означает, что необходимо решать две разные задачи в зави-
зависимости от положения правой границы пластического слоя L+3: зада-
задачу 4, а при L+ ^ L2 и задачу 4, бпри L2<L+< Lv
Анализ показывает, что в связи с малостью отрезка 12<х<11
действующие на нем (в задаче 4) напряжения оуу4 = от можно
- 167-
а;
j
1
\
1
IIII
ж
1
/
1 IIII
! л"
1
1
\
Ira l0
5) 1 I
LLLLLIj111111111 i 111111; 11111111111
1
i
I
тптттт
ш
lUII
Tnilllllinrfi
i
i
л
h 1га
1 ^
III
ш
III
4111
i
¦
i
i
I
I
II
л
II
If a I1-a1 bi
8) 1 i
1
Ш
j;
л
ЦЦ1И11ШТП
\ш
If a 1,-a, ^
h LfQ-i
Рис. 4.19.
не учитывать, упростив тем самым дальнейшие выкладки. При этом
задача о дальнейшем нагружении оказывается эквивалентной зада-
задаче 1, но с измененными длиной трещины (/ = /2), зазором и интервалом
изменения внешнего напряжения. Приращение длины трещины в за-
задаче 4, б оказывается много меньше полученного в задаче 4, а (при
условии (/2 - /J/fj <? 1, выполняющемся для всех известных конст-
конструкционных материалов). Поэтому им можно пренебречь и в качестве
решения задачи 4 принять: приращение длины трещины определяется
соотношениями A0.6), A0.11), смещение и длина пластической области
по окончании нагружения - соотношениями A0.4) при / = /2, о = ох.
Таким образом, приращение длины трещины рассчитывается лишь
для периода, когда L+ ^ L2, а к началу следующей разгрузки имеем
то же состояние, что и после первого нагружения, но с увеличенными
размерами трещины и пластической области, а также - с измененной
связью между осредненным зазором и перемещением у края трещины.
Итак, после первой разгрузки длина трещины будет увеличивать-
увеличиваться, если а1 > 0. Рост при следующих циклах зависит от величины av
Возможны два случая: а1^аиа,<а. Если ах > а, то с принятой
точностью осредненный зазор h3(l19l1)=tu3(/х, Q = - о2AХ, 1Х). Посколь-
Поскольку на отрезке 1Х - а < х < 1Х при разгрузке возникает зона контакта,
- 168-
на том же отрезке о2(/1, /х) < - h1(/1, x) (рис. 4.19). Отсюда и из крите-
критерия A0.1) следует, что
-02(/1,/1)>Д. A0.17)
В этом случае приращение длины трещины при вторичной нагруз-
нагрузке может быть рассчитано, как и в задаче I (и х заменяется на о3).
Можно показать, что если at > а, то и ап > а (п > 1), и если /п > 1Х +
+ а- а19 то ап > а.
Каждый следующий цикл будет отличаться от предыдущего лишь
начальной длиной трещины, причем критерий A0.17) по-прежнему
будет выполняться, так как u2(/n, Q/{J(lv 11)>\ при ln>lv Таким
образом, для решения задачи при п > 1 можно пользоваться соотноше-
соотношениями A0.4), A0.6), A0.11), присвоив переменным индекс п (номер
цикла нагружения) и полагая, что все величины соответствуют концу
процесса нагружения или разгрузки в п-м цикле. Разрешая A0.6) отно-
относительно X = Хп = (/п+1 - 1п)/а, находим
Лл= 1 - Bе)-Чп1п[1 - е(хя- еь)) (хл > е\ A0.18)
кп = - 4Б/П1п (cos а2); а2 = по гA - R)/DoT) {R0^R< 1).
Если R < Ro, то R заменяется на RQ. Ниже для упрощения записи
не учитывается приращение длины трещины при первом нагружении
A0.7), но сохраняется обозначение /0 для начальной трещины. До тех
пор, пока (/п+1 - 1п)Цп ^ 1, можно полагать п непрерывной перемен-
переменной, а зависимость A0.18) - дифференциальным уравнением (/п+1 - ln =
= dl/dn = r), интегрируя которое, получим искомую связь между
числом циклов и длиной трещины
И(Хп) - И (min (х0, е~2е))] (ип > еь);
A0.19)
по = тах[0;Л(И(еь)-И(ко))];
где Н(. . .) - интегральный логарифм. Число циклов до разрушения
можно найти из A0.19), подставив туда значение кп из A0.6) при
к = «> (кп = еь + 1/е),
п, = A[\i(eb) - Н(х0) - 2e2eli(e-2e)] (к0 ^ еь);
A0.20)
*)
- 169-
0,6
ол
0,2
III*
Рис. 4.20.
Критическое значение длины тре-
трещины (/ = /*, п = п*, К = °°) определяется
из A0.18): /* = - DBelncos aj =
Зависимость ///* от п/п* при к0 = 1,01
приведена на рис. 4.20.
Рассмотрим случай 0<ах < а2. Если
неравенство A0.17) выполняется (при
ах <а оно может и не выполняться), то
прирост длины трещины в каждом
цикле будет больше, чем по формуле
A0.18) при том же значении о2, до тех
пор, пока зона контакта не достигнет
величины а. Это объясняется влиянием
зазора после первого нагружения hx(lx,
х). Как следует из A0.15), A0.16), где 1Х заменяется на /п (см. также
рис. 4.19), с принятой точностью Ь3Aп, 1п - а) = hx(lx, lx - а) > и3(/п, /п)
Ввиду малости отношения а//0 указанное различие в скорости
роста трещины можно игнорировать, т. е. полагать, что и в этом случае
справедливы формулы A0.18) - A0.20).
Пусть и2(/1Э lx)>- &IJ(Ix+q) @<ах<а). Тогда 1п при п - °° будет
стремиться к конечному пределу. Действительно, если длина трещины
окажется равной /п = 1Х + а - av то отрезок 1п - а < х < 1п будет принад-
принадлежать зоне контакта и, следовательно, h3(ln) = - о2(/п, /п) = - u2('i>
Ijyh < ^» что противоречит критерию A0.1). Поэтому трещину можно
считать нераспространяющейся. Разрешающая способность рассматри-
рассматриваемой теории, по-видимому, недостаточна, чтобы обоснованно судить
о поведении трещины в интервале 1ХЫAХ + а) < \iJ0v 'i)' ^ ^- Ввиду
малости этого интервала с принятой точностью можно принять в каче-
качестве критерия равенство [см. A0.11)]
~ 4Я/0 In(cos<x2)=l
A0.21)
и считать, что если левая часть больше единицы, то трещина распро-
распространяется в соответствии с соотношениями A0.18) - A0.20), если
меньше, - то трещина не распространяется.
Сравнение с экспериментами и анализ результатов.
Имеется обширная литература с данными экспериментов по многоцик-
многоцикловой усталости. Однако обычная формапредставления результатов
в виде зависимости л* или Г от К{К= ох утГ/) для предлагаемой теории
недостаточна, если только не приведены отдельно значения ох и /.
Затруднено было также использование работ, в которых не указано
значение предела текучести материала.
В связи с этим для определения постоянных А, а и сравнения
результатов с экспериментом использовались в основном работы
60-х гг. (ссылки см. в [109]), когда представления Г (К) еще не стали
общепринятыми и более полно, чем в последующие годы, указывались
- 170-
характеристики материалов, подвергаемых испытаниям, и другие
данные экспериментов.
Определение постоянных. Постоянные А и а определялись
для алюминиевого сплава BSL 65 D,4% Си, 0,7% Mg, 0,7% Si, 0,6% Mn,
от = 395 МПа, Е = 6,9 • 104 МПа) и малоуглеродистой стали (от = 243 МПа,
? = 2,0* 105МПа). Было найдено: А = 1,63 • 10~5 мм, а = 2,6 • 10 мм
(сплав BSL65);A = 2,84 • КГ5 мм, а = 2,3 • 10~6 мм (сталь).
Изучались нераспространяющиеся трещины (ссылки в [109]).
Трещина считалась нераспространяющейся при заданной нагрузке,
если она не увеличивала своей длины при приложении п = 107 (а иног-
иногда п = 109 - 1011) циклов нагрузки. Для диапазона 0,0652 < /° ^ 2,42 мм
была найдена экспериментальная зависимость
/°о| =с0, 0+^0,A-Я),
A0.22)
где /° - полудлина нераспространяющейся трещины (максимальной
из нераспространяющихся); с0 = 1,8 • 104 МПа3 мм. Эти эксперименты
были использованы для определения А из соотношения A0.21).
График зависимости для о + (МПа) от /°(мм) по формулам A0.22) -
кривая 1 и по формуле A0.21) - кривая 2, а также экспериментальные
точки - среднее по четырем измерениям-представлены на рис. 4.21.
Видно, что различие между кривыми в рабочем диапазоне меньше
экспериментального разброса. Заметные отклонения начинаются при
больших /° и в области очень коротких трещин, например, при напря-
напряжениях о± = 10 МПа /° = 19 мм A0.22) и /° = 5,9 мм A0.21).
Для определения а использовалась формула A0.20), куда подстав-
подставлялись экспериментальные значения п*(/0, о2). Значение а определя-
определялось как среднее результатов вычислений.
Испытывались на растяжение при постоянном среднем напряжении
1/2o^l + R) = 77,0 МПа и переменной амплитуде тонкие стальные плиты
о*
55
hi
39
Л
23
О 0,8 1,6 2,» 1°
Рис. 4.21.
\
\
\
V
Рис. 4.22.
0,8-10*
1,6-106
- 171-
с центральным вырезом сложной формы. Время до разрушения в реаль-
реальных образцах включает в себя время образования трещины и распро-
распространения ее вчполе напряжений начального концентратора, что никак
не учитывается в решении изложенной выше задачи. Поэтому сопо-
сопоставление с теоретическими результатами было проведено для трещи-
трещины длиной 15 мм, что примерно в 4 раза больше величины начальной
прорези. По графику / = /(п) была определена скорость Г при / = 15 мм.
Для определения постоянных использовались формулы A0.20), A0.6)
и (ЮЛ 1). Критерием являлось хорошее прохождение расчетной кривой
п* = п*(°±) среди экспериментальных точек (рис. 4.22), штриховая
кривая соответствует другим значениям постоянных: Д = 1,63 • 10 мм,
а = 1,32 • 10~6 мм (отношение А/а в обоих случаях одинаково и равно
12,3). Обращает на себя внимание близость значений постоянных для
стали и алюминиевого сплава.
Сравнения приведенных выше теоретических результатов с раз-
различными экспериментами свидетельствуют о том, что предложенная
в [109] и приведенная выше теория циклического роста трещины
в тонкой пластине пригодна для описания многоцикловой усталости.
В этом случае она позволяет сделать правильные выводы относительно
длины нераспространяющейся трещины, скорости распространения
трещины в различные этапы ее роста, влияния асимметрии цикла. При
слишком малой начальной длине трещины, когда амплитуда напряже-
напряжений, при которых она растет, приближается к пределу текучести
(в результате чего происходит сильное увеличение начальной длины
пластической зоны), характер процесса изменяется: локализованные
пластические деформации уступают место пластическим деформациям
в относительно больших объемах материала. Это выражается в перехо-
переходе к малоцикловой усталости, для которой указанная теория непри-
непригодна.
Остановимся еще на связи одной из постоянных рассматриваемой
теории, а именно, критического значения осредненного зазора с крити-
критическим значением коэффициента интенсивности напряжений Кс [111].
Экспериментальное определение Кс - одной из основных характе-
характеристик сопротивления материалов хрупкому разрушению - связано
с существенными трудностями: результаты испытаний тонколистовых
конструкционных материалов нестабильны. Это объясняется сильным
влиянием зон пластичности, возникающих у краев трещины при нагру-
жении лабораторного образца. Коэффициент интенсивности напряже-
напряжений - характеристика, имеющая ясный смысл в линейной механике
разрушения упругого тела. Использование этой характеристики для
упругопластического тела оправдано лишь в том случае, когда соот-
соответствующая асимптотика поля напряжений (типа квадратного корня)
достаточно явно реализуется в некоторой окрестности края трещины.
Но для этого необходимо, чтобы размер пластической области был мал
по сравнению с длиной трещины (и с расстоянием от трещины до края
образца). На образцах малых размеров (имеется в виду плоский обра-
образец с центральной сквозной трещиной, нагруженный нормально к пло-
плоскости трещины), обычно используемых при лабораторных испытаниях
- 172-
для определения Кс, удовлетворить указанному требованию не
удается.
Если же (L - /)// -* 0, то, как видно из A0.4),
L-1 а2 л2о2
- = . 10.23)
/ 2 8о2
В достаточно широкой пластине (в которой трещина может стать
нестабильной при относительно малой пластической зоне) Кс = о ynf*
B.2.18) и, следовательно,
L - /*- лК2/(8о2), A0.24)
что свидетельствует о стабилизации длины пластической зоны L - I при
увеличении длины трещины (и соответствующем снижении критиче-
критической нагрузки). Это, в свою очередь, ведет к стабилизации эффектив-
эффективной поверхностной энергии и, следовательно, - к стабилизации Кс.
С другой стороны, как следует из A0.9), A0.23), критическое
значение длины трещины при а -»• 0
/* Д , о д/лГ~ Е
л о2
Отсюда и из A0.24) находим искомую связь
A0.25)
Подчеркнем, что Кс в A0.25)-„истинное" значение - предел,
к которому стремятся критические значения коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений при увеличении длины трещины (и ширины образца).
ГЛАВА 5
ДИНАМИКА ТРЕЩИН
В СПЛОШНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
В главе рассматривается обобщенная плоская задача о динамике
прямолинейных трещин в линейно-упругом безграничном теле. Внача-
Вначале решаются фундаментальные задачи динамики для упругой полу-
полуплоскости, подверженной воздействию на ее границе (см. например
[93]). Они решаются как в точной постановке (на основе линейной
теории упругости), так и для некоторой приближенной модели [86, 96,
108, 148], использование которой значительно упрощает анализ дина-
динамики трещин и не сопровождается существенной потерей точности.
- 173-
(Сравнения решений, отвечающих „точной" и приближенной моделям,
приводятся в § 5.2, 5.4, 5.6.)
Основной вывод из анализа однородных задач состоит в том, что
при фиксированном коэффициенте интенсивности напряжений поток
энергии неограниченно возрастает, когда скорость трещины прибли-
приближается к скорости волн Рэлея (или волн сдвига в задаче III). В связи
с этим при большой (дорэлеевской) скорости трещины должен суще-
существовать значительный отток энергии от ее края - возможная причи-
причина изменений в степени гладкости берегов трещины, происходящих
по мере ее динамического развития. Эти изменения видны на фотогра-
фотографии берега трещины (рис. 5.1), разделившей на две части пластину из
эпоксидной смолы (образец любезно предоставлен автору
А. А. Диаровым).
Основные математические трудности в решении задач динамики
трещины связаны с определением напряжений при заданном законе ее
движения. Этому и уделяется главное внимание. Если решение (для
произвольного закона) построено, то введением критерия достигается
замкнутость общей задачи об описании распространения трещины.
Некоторые примеры решений общей задачи приведены в § 5.7.
Распространение трещины с постоянной скоростью рассматрива-
рассматривалось, в частности, в статьях [125, 131]. Задача о динамике трещины
с переменной скоростью при антиплоской деформации решена Б. В. Ко-
Костровым [33]. Та же задача для плоской деформации при нагрузках,
независящих от времени, - Л. Б. Фройндом [133] и при произвольной
нагрузке - Б. В. Костровым [34]. В указанных работах плоские задачи
иследовались для дорэлеевской скорости, а в статье [143] - для диапа-
диапазона, заключенного между скоростями волн Рэлея и волн сдвига.
Сверхрэлеевский диапазон применительно к расклиниванию с посто-
постоянной скоростью рассматривался в статьях [87, 114, 124].
В дальнейшем метод, примененный Б. В. Костровым был усовер-
усовершенствован [96] (см. также [37, 86, 108, 115]), что, в частности, привело
к сокращению числа квадратур в общем решении (§ 5.4). Этому методу,
который отличается от метода Винера- Хопфа тем, что после фактори-
факторизации все рассуждения проводятся „на физической плоскости",
Рис. 5.1.
- 174-
т. е. рассматриваются оригиналы, а не изображения, посвящены § 5.3,
5.4. Тем же методом решается смешанная динамическая задача о пере-
переходе через критическую скорость, в частности, задача о трещине,
скорость которой может изменяться на объединении указанных выше
диапазонов [113].
Автомодельные задачи решаются на основе аналитических пред-
представлений, определяемых формулой обращения двойного интеграль-
интегрального преобразования [86, 93, 115].
Динамические задачи для трещины на границе раздела упругих
сред с разными свойствами решены в ряде работ И. Л. Симонова,
в частности в [88, 89]. Отметим еще обзорные работы по динамике
трещин [76, 142, 146].
§ 5.1. Основные соотношения динамики
линейно-упругого тела
Однородные уравнения динамики линейно-упругого тела полу-
получаются из уравнений равновесия B.1.2) после замены внешних объем-
объемных сил Fj силами инерции - pd2iij/dt2 (p - плотность). Подставив
после этого вместо напряжений их выражения через перемещения
B.1.1), придем к уравнениям
/ д2щ д2и} \ д
— + +А6,-; div и =
\ j
д2щ d d2u;
= \i + (X + (Li) div u=p
d& dxj dt2
где, как и ранее, применяется правило суммирования по повторяю-
повторяющимся индексам. Умножая каждое из написанных трех уравнений
(/=1, 2, 3) на орт соответствующей оси и суммируя по j, получаем
векторное уравнение (Д - оператор Лапласа)
д2и
дДн + (Л+ ц) graddivii- р = 0. A.1)
dt2
Общее представление векторного поля:
и= grad(p+ rot ф, A.2)
где функция ф называется скалярным потенциалом, а векторная функ-
функция ф- векторным. После подстановки A.2) в уравнение A.1) прихо-
приходим к следующему равенству
Г д2ф1 / д2ф\
grad (А + 2ц)Дф~ р + гофДф- р =0. A.3)
L dt2 J \ dt2 I
- 175-
Соотношение A.3) удовлетворяется, если
д2Ф д2ф
с2Дф - —- = 0; с2Дф --— = 0. A.4)
ot ot
Здесь с15 с2 - скорость волн расширения (продольных волн) и волн
сдвига (поперечных волн):
Л — 1
tfiv/(l -
2v), A
V h/p ;
4
3
1
1-
- V
¦2v
где /С - модуль объемного расширения.
Волновые уравнения A.4) определяют общее решение [93], причем
на функцию ф, не уменьшая общности, можно наложить некоторое
дополнительное условие, поскольку система A.4) состоит из четырех
скалярных уравнений относительно четырех функций: ф и трех проек-
проекций ф, а задача динамики формулируется относительно трех функ-
функций - компонент перемещения ы,-. Таким условием может служить
равенство div ф = 0 или любое другое, совместное с условиями, кото-
которым должен удовлетворять вектор и в конкретной задаче [93].
При плоской деформации (и3 = 0) среди компонент вектора ф
остается лишь одна ф3 (в дальнейшем индекс опускается). При этом
две скалярные функции
дф дф дф дф
— A.5)
OXi OX2 OX2 OXX
определяются двумя уравнениями A.4), записанными относительно
двух скалярных потенциалов: ф и ф = ф3. В этом случае отмеченный
выше произвол исчезает и никаких дополнительных'условий на потен-
потенциал ф накладывать нельзя.
Уравнения для плоского напряженного состояния (о33 = 0), как
и в статике, отличаются лишь значением постоянной. Для того чтобы
от соотношений, отвечающих плоской деформации, перейти к соотно-
соотношениям для плоского напряженного состояния, достаточно опреде-
определенным образом изменить значение коэффициента Пуассона v: если
в выражении для x = 3-4v (см. § 2.1) заменить v на v^=v/(l + v),
то получим и = C - v)/(l + v), что как раз и соответствует плоскому
напряженному состоянию. Производя ту же замену в первом из урав-
уравнений A.4), получим вместо с2
2ц Е I с2 \
с2= — = = 4с2 1-— , A.6)
3 A- v)p" рA- v2) 2\ с2 У
где Е - модуль Юнга, а значение с2 остается без изменений.
- 176-
В дальнейшем будем рассматривать плоскую деформацию, имея
в виду, что переход к плоскому напряженному состоянию достигается
указанной заменой.
В случае антиплоской деформации [1^ = ^2 = 0, и3 = и3(х1,
x2)]divii=0 и из уравнения A.1) получаем
д2и
3
A.7)
Отметим аналогию между динамикой упругого тела при антипло-
антиплоской деформации и динамикой идеальной сжимаемой жидкости.
Линеаризованное уравнение относительно потенциала, определяющего
безвихревое движение идеальной упругой жидкости, совпадает
с первым из уравнений A.4), в котором, однако, следует изменить
значение постоянной, а именно в выражении cf = A/р)(/С -+- 4ц/3) поло-
положить Ц = 0 (жидкость идеальна - не сопротивляется сдвигу). Второе
уравнение удовлетворяется тождественно, так как движение жидко-
жидкости безвихревое. Обычно состояние жидкости описывают полями
скоростей и давлений
ди дф дф
0 = =grad =grad<t>, Ф = ; A.8)
dt dt dt
P= - о = - Kdiv и = - КДф = - ра2фМ2 = - рдФ/dt.
Видно, что уравнение A.8) относительно потенциала Ф совпадает
с уравнением A.7) относительно перемещения и3, если в последнем
уравнении заменить с2 = |i/p на с2, = К/р.
В антиплоской задаче о плоской трещине ставятся условия
A.9)
В аналогичной с точки зрения математического описания плоской
задаче о динамике жидкости задаются нормальная скорость и давле-
давление на границе полупространства
дФ
=^р 0 (Xl<t_(t)9 Xl>l+{t), х2 = 0); A.10)
ot
12—171 " * ' ' ""
Если начальные условия нулевые, то из последнего равенства
A.10) следует, что в указанной там области Ф = 0. Таким образом, анти-
антиплоской задаче о трещине A.7), A.9) полностью эквивалентна линеари-
линеаризованная задача о погружении некоторого тела в полупространство
идеальной сжимаемости жидкости, когда граничные условия - ско-
скорость и° = о°/ц и давление Р-задаются на невозмущенной поверх-
поверхности жидкости.
Для дальнейшего потребуются решения фундаментальных задач
о динамике полупространства. Начнем с более простой антиплоской
задачи.
Пусть на границе верхнего полупространства х2 = 0 задано напря-
напряжение
о2з = 6@6(^1), A.11)
причем и3 = и = 0 при t < 0.
Проведем преобразование Лапласа по t и Фурье по хх над уравне-
уравнением A.7) и граничным условием A.11). Получим
d2uLF
~(q2 + b2s2)uLF=0;
A.12)
duLF
дх2
ох2
оо оо
Здесь Ь2 = 1/с2; uLF(s, q, x2) = 5 J u(t, xv x2)e~st+iqx*- dtdxv Из уравнения
-оо
и граничного условия A.12) с учетом того, что uLF -* 0 при х2 -+ + °°,
находим
AЛЗ)
Укажем формулу, с помощью которой осуществляется обращение
изображений такого типа [93, 115]. Пусть двойное преобразование
(Лапласа и Фурье) функции f(t, x) приводит к такому изображению
fLF{&, q), что после замены q = sp оно представляется в виде
dw
W = — >0 (p>0), Ц-р) = Цр); A.14)
dp
w0 = tv(O) > 0.
Тогда уравнение
w(p) + izp = t+w0 A.15)
- 178-
разрешимо относительно функции d = p(t, z), где р > 0 при iz > О, р < О
при iz < 0, а искомая функция f(t, x) определяется следующим образом:
/fc *) = /(f - w0) */°fc x), / = dg/dt,
f° = Hm \fe{t, z) - fc(t, z)], z = x + /y,
ло a A-16)
?(/,z) =/»(/, z) (y^O),
fa, z) = -—h [p(t, z)] dp(t, z)/dt.
2ji
Здесь символ * означает свертку по переменной U а значения p(t, z),
dp{t, z)ldt доопределяются указанными выше неравенствами, т. е. по-
получаются аналитическим продолжением: для функции 7? от значений
z = iyiy > 0), где р < 0, dp/dt < 0 (t > 0), и для функции /° от значений
z = iy(y< 0), где р > 0, dp/df >0 (f > 0).
В частности, при w = 0, как видно из уравнения A.15), •
t dp I
Р > Г. f(^) М
\z dt xz 2nz \ iz
Заметим, что свертку с производной g'(t- w) можно отнести
к функции p*(t, z), после чего последняя станет аналитическим пред-
представлением функции f(t, x) [115].
Изображение A.13) удовлетворяет условиям A.14):
w{p) = x2 V b\ + p2, w0 = b2x2 ^0, x = xx.
При этом
izp = x2 y/ b\ + p2 + izp = t + b2x2,
—
— =± —
(t2 + 2b2fx2 - b^z2)/2 ; A.18)
1
лц V^2 + b2Btx2 - b2x2) '
u(f, x2, x2)=f(t, xl9 x2)=f°(t- b2x2,.
eeJ_ H{t-b2r)
лд vf2""
Таким образом, при указанном импульсном воздействии возбуж-
возбуждается цилиндрическая сдвиговая волна A.18).
При произвольном воздействии на границу полупространства
°2з = °2з('> xi) (X2 = 0) решение получается из фундаментального A.18)
суперпозицией
где S33- фундаментальное решение A.18) (и = 533 при 023
а символ * * означает свертку по переменным t и х19 которая для
изображений переходит в произведение
uLF(s, q, х2) = S^(sf q, х2) 0%(s, q). A.20)
Перейдем к плоской задаче. Пусть на границу х2.= 0 упругого
полупространства х2 > 0 действуют напряжения
012=т(*,х), 022=0(^^) (x=*i). A.21)
Тем же путем, что и выше для антиплоской задачи, из уравнений
A.4) получаем
A.22)
Ф = Ф3. nl? = V s2b\2 + q2, b^2 = 1/c^.
Обращаясь к равенствам A.5), из A.22) находим
2F = - nxAe-x2ni + iqBe'x2"г A.23)
U2
Закон Гука B.1.1) с учетом граничных условий A.21) приводит
к уравнениям
(л* + q2)A - 2iqn2B = oLF/\i;
liqn^A + (n2 + q2)B = xLF/\i
откуда следует
A = ((n| + q2) 0LF + 2iqn2xLF),
(iff
- 180-
^(A аJ171"), A.24)
Если в выражении для R положить 5 = iqc, то уравнение R = О
при q Ф О
r^c)= B - Ъ2с2J - 4 Vl - Ъ2с2 /1 - Ь2с2 = 0 A.25)
определит скорость поверхностных волн - волн Рэлея: с = сд > 0.
Скорость волн Рэлея близка к скорости волн сдвига (сд < с2). В частно-
частности, при v = 1/4 cR = с2 у/2 - 2/V3" * 0,9194с2.
Исследование рассматриваемой задачи - задачи Лэмба - приведе-
приведено в [93]. Здесь мы ограничимся определением перемещений на гра-
границе полупространства х2 = 0. На основании соотношений A.23), A.24)
для х2 = 0 получаем соотношения аналогичные A.20), но для плоской
задачи
A.26)
Для функции Sfl" в обозначениях, принятых в формуле обраще-
обращения A.16),
Ф
— (Ь2 + 2р2 - гш^а);
A.27)
Радикалы, входящие в равенства A.27), и функция RQ определя-
определяются так:
^, y=0),
±iy/t2/x2- b2sgnx (IxKc^, y=±0);
- 181-
(\x\>c2t, y=0),
± i y/t2/x2 - b\ (Ixl < c2t, у = ± 0);
R0=(bl-2t2/x2J
4(t2/x2) Vbf- t2lx2 Vb|- t2lx2 (Ixl 3» Cl4 у = 0),
±4i(t2/x2) \lt2lx2- b\ y/bl- t2/x2sgnx (c2t < Ixl < cj, y= ±0),
- 4(t2/x2) y/t2lx2- b\y]t2lx2- b\ (Ixl < c2t, y= 0) (x= xx Ф 0).
Отсюда и из соотношений A.16), A.17), A.27) находим (х=х1, с=х/0
0 (Ixl >сД
_ 2Ь|с2 B- Ь|с2) Vl- b\c2 yjb2c2- 1 sgnx
12~ B- b|c2L+ 16A - bjc2)(b|c2- 1)
CjO,
- b?ci)
(Ixl
При выводе последнего равенства учтено, что функция f{?) = //B л^
является аналитическим представлением 6-функции Дирака 6(л).
Аналогичным образом определяются и остальные функции:
4Ъ2с\\ -
пуф- blc2L-*
Ъ22с\1-
¦ blc2)
V 16A -
blc2J
Vl-b2c2
bicubic-
Vl - b\c2
>- 1)] '
5,, = ¦
лд4B- blc2)^ 16A - bicubic2- 1)]
(c2/< IxKc^;
b|c2 Vl - blc2 blc2 Vl - bf c2
522-
@ < Ixl < c20; A.29)
- 182-
1- V
(с = x/t,
- 2Ь§с2A -
(х = 0)
- blc2/(l - v) (с - 0)).
Функции 511Э. . .,522, как видно из первых двух равенств A.26),
определяют перемещения при сосредоточенном импульсном воздей-
воздействии, например u1=S11 (т = 6@б(х), x^F=l, о = 0). В общем случае
решение выражается двойной сверткой:
и2 = ^21 * * т + 522 * * о.
Характерная особенность приведенных решений - изменение зна-
знака перемещений, когда с становится больше скорости волн Рэлея.
В области Ixl < erf соответствующая компонента перемещения грани-
границы полупространства направлена в ту же сторону, что и действующий
на границу импульс. Действительно, если oLir=l, т = 0, то импульс
действует вдоль отрицательного направления оси х2 и перемещение
U2= S22 <^' если же 0 = 0» jLF= 1> то аналогичное заключение можно
сделать относительно импульса напряжений т и компоненты переме-
перемещения u1 = S11<0. При тех же условиях, но в области Ixl > cRt, указан-
указанные компоненты положительны (кроме тех точек на оси с= х/^.где они
обращаются в ноль). Графики функций RJ[c) (кривая 1) и a(v) S12[a(v) =
= n|if/(l - v)] при сФск (кривая 2} показаны на рис. 5.2, а графики
fl(^U) fl(v)S22, a@), 533- на рис. 5.3 E33- перемещение в задаче III
A.18) для х2=0). В расчетах принято v = 0,3 (c^cx ^0,5345, cr/c2*
% 0,9274).
Для определения напряжений на продолжении трещины и переме-
перемещений ее берегов достаточно знать функции Smrt на оси х= хг Однако
выражения для них A.28), A.29) слишком сложны, что затрудняет
решение конкретных задач. В связи с этим предложено приближенное
Юг
Рис. 5.2.
Рис. 5.3.
- 183-
описание функций S119 S22, сохраняющее основные черты точного,
но существенно более простое [86,96,148].
В приближенном описании функции S/iF, S?? заменяются на
cLF = _
eLF =-
°220
1- V
1- V
A.30)
При этом сохраняются полюса s= ±i
Рэлея, и асимптотика при q -* °°:
1 - v y]q + /0 д/q - *'О
cLF ^ cLF ^ cLF ^ cj[.F
°11 °11O °22 °220 ц q2
отвечающие волнам
1- V
а значения постоянных ЬA2^ можно взять либо равными Ь,2, либо
определить их из условия' лучшей апроксимации в том или ином
смысле [86]. В частности, можно потребовать, чтобы функции S^f
и Sj?0 (m = л) асимптотически совпадали в окрестности полюсов,
отвечающих волнам Рэлея, т. е. при s -* ± iqcg. При этом Smn ~ Smn0 при
c = x/t-*±cR.
Формула обращения A.16) или A.17) приводит к функциям
Sllo=0(\xl>c2J), S22O=0(\x\>Cljy,
1,3
1,1
1,0
0,9
—-^rr
¦
/
—)—
л
, /
1J08
^? 0,25 0,50 0,75 c/cz ^
*—^
2
0,1 0,2 0,3 0,Ь 0,5v
Рис. 5.4.
Рис. 5.5
- 184-
1-
лц
1-
V
t
V
ь-
сУс
*-
ft?.
с2
1
с2
с2/с#- 1
Отношения 5220/522, SlljSll (кривые i, 2 соответственно) для
v = 0,3 показаны на рис. 5.4, где принято указанное выше требование
асимптотического совпадения, которое определяет следующие значе-
значения постоянных:
1
i/a
[4(b2 + b2 - 2b2b2c*) - Ь22B -
Зависимость отношений fy^ 2;*/b2 от коэффициента Пуассона
показана на рис. 5.5 (кривые /, 2 соответственно).
§ 5.2. Состояние у края трещины
и поток энергии
Прежде чем переходить к решению конкретных задач о динамике
трещины, найдем распределение напряжений и перемещений у ее края,
а тем самым - соотношение между интенсивностью напряжений и по-
потоком энергии в край трещины в зависимости от ее скорости. Как пока-
показано в статье [121] и как это будет видно ниже, распределение напря-
напряжений и перемещений у края трещины зависит лишь от ее текущей
скорости. Исключением являются те моменты времени, в которые
к краю трещины приходят разрывные фронты волн напряжений от
внешних сосредоточенных источников. Учитывая сказанное, состоя-
состояние у края трещины можно определять, исследуя стационарную задачу
l(t) = ut, u = u(x1- ot, х2), и = const > 0, B.1)
где хх = l(t) - координата правого края трещины, расположенной
•на осих1(х1 <1, х2 = 0).
При этом для того чтобы распространить результаты на нестацио-
нестационарную задачу, достаточно значение постоянной скорости трещины о
принять равным значению скорости l(t) = dl/dt в нестационарной задаче
в данный момент времени, т.е. положить и = и (f) = /(*). Подчеркнем,
однако, что здесь речь идет лишь о распределении напряжений и пере-
перемещений, а не об их амплитудах. Для определения последних, напри-
например коэффициента интенсивности напряжений, необходимо рассматри-
рассматривать конкретную задачу, и если эта задача нестационарна, то решение
будет зависеть не только от скорости роста трещины в данный момент
времени, но и от всей предыстории ее движения.
- 185-
Обозначив хх - ut = x и полагая, что того же типа зависимость B.1)
имеет место и для потенциалов Ф = ф(х, х2), ф = ф(х, х2), из уравнений
A.4) получим
д2ф <Jф о2
а + = 0, а = 1 ;
дх2 дх\ с\
д2ф д2ф о2 B-2)
дх2 дх2 с2
Пусть скорость края полубесконечной трещины удовлетворяет
неравенствам 0 < и < с2. Тогда а, Р > 0 и можно положить
= р, х2 >/р= Я, B.3)
в результате чего уравнения B.2) преобразуются к виду
д2ф d2w дф а2ф
—- + —?- = 0, —!- + —^- = 0. B.4)
ах2 dp2 dx2 dq2
Решения этих уравнений - гармонические функции переменных л;
р(для ф) и х, </(для ф) - представим в виде
B.5)
zp= x+ /д zq= x+ /q; Л= o+ /ft, 5= c+ /cf= const
Для антиплоской деформации, как следует из уравнения A.7),
можно положить
С= е+ //= const B.6)
Дальнейшая конкретизация выписанных выражений проводится,
как и в случае статики, из условий на берегах трещины (отсутствие
внешних напряжений) и на ее продолжении: симметрично относитель-
относительно оси хх перемещение их- задача \ перемещение и2- задача II,
антисимметрично перемещение и3- задача IIL Кроме того, учитываем
условие ограниченности и отличия от нуля потока энергии в край
трещины. Из последнего условия для трещины, берега которой свобод-
свободны от внешних напряжений, следует 5= 3/2.
Из условий симметрии находим, что для задачи I b= d= О, для
задачи II а= с= 0 и для задачи III /= 0.
Подчиняя решения условию отсутствия напряжений на берегах
трещины, приходим к уравнениям (задача I):
а2ф а2Ф а2Ф
B — + -
дх2дх дх\ дх2
-186-
/ г- <?2ш д2ф д2ф\
ц 2 Va + Р =
\ дхдр дд2 дх2/
= — ц |2 Va г'2 a sin -^ + г'2 сA + p)sin -f | = О
2
(9р=8<3=п);
ди2
°22 = -
¦+Х
ди2
дх2
1 - а дх,
2а- Э- 1 dut
1- а
д2ф
"дх1
дх
1-Р д2ф 2а- Э-
+
др2
+
1- а
г- д2ф \ 3 Г1 + р 9Р
- 2 VP = ц —7= a cos —
dxdqj 4 [ Vr~ 2
(ер=ед=л);
Р
+ 2 / — ccos—=0
гр = V*2 + Р2,
вр = arctg (p/x),
= arctg (q/x).
Из первого уравнения находим с = - 2 уаа/A + Р). Второе уравнение
удовлетворяется автоматически (вследствие принятого значения s).
Определяя тем же путем напряжение о х х и компоненты перемещения,
получаем следующие зависимости.
Задача I:
оп=—цо
2И-Р)
cos Fр/2) 4 V«P" cos (9q/2)
~ 1 + э
3 f cos(9p/2) 4V«P cos(9g/2)
o2, —ца -A + P) ^— + -
4 /^7 1 + P
sin(9p/2) sin(9g/2)
B.7)
3 Г _ 2v/aF i— 1
"i = — a V rp cos (9p/2) - -—- v-rq cos (9g/2) ,
= — a yfa \- yJTp sin (9p/2) + ——- Jl~sm (8g/2)
2 [ 1+P
- 187-
задача II:
3
°ii=— №
l+2a-P sin
sm
3
о,, = —
4 VaP cos(9p/2) cosiQq/2) 1
- A + P) 7=^- I.
B.8)
3
= — d,
2 1 + P
задача III:
013 = " — еЦ
sinFg/2)
°2з-— ец
B.9)
Для трещины конечной длины эти формулы определяют асимпто-
асимптотику перемещений и напряжений у ее правого края.
Если в полученных зависимостях положить a, d= const о и устре-
устремить скорость и к нулю, получим в пределе аналогичные соотношения
для неподвижной трещины B.2.19) - B.2.21).
Заметим, что на оси х гр= rq= x, fip= Bg= 0 (х>0, х2=0),
тр~ тя~ ~ *> бр= Йд= ± л (х<0, х2 = ±0). Учитывая это и вводя
новые постоянные - коэффициенты интенсивности напряжений B.2.16),
из формул B.7) - B.9) находим следующие зависимости:
задача ?
0),
23ГУосA- Р)
B.10)
где функция R*(о) определена равенством A.25);
- 188-
задача II:
(х<0, х2 = ±0);
задача III:
B.12)
(х < О, х2 = ± О).
Здесь, как и выше, в пределе при о -» О получаются соотношения
для статики B.2.15), B.2.16).
Покажем, что формула A.3.4), выведенная для квазистатики,
справедлива и для динамики [104]. Пусть вектор напряжения, дей-
действующий на продолжение нижнего берега трещины, о+ (х- 00, пере-
перемещение верхнего берега п. {х - 0 0, перемещение нижнего отличается
лишь знаком. Приложим к нижнему берегу напряжение ао+ (х - ut + т)
и тот же вектор, но другого знака, - к верхнему берегу (т > 0,
0 ^ а ^ 1, о+ (х) = 0 при х < 0, и_ (х) = 0 при х > 0). Ввиду линейности
задачи дополнительное перемещение (на интервале -x^x-of^O)
ыа — аи7 (т -+ 0). Сингулярность в точке х = of, порождающая поток
энергии, приобретает множитель 1 - а, а в точке х - и? = - т появляет-
появляется та же сингулярность, но с множителем а. Потоки энергии через
указанные точки пропорциональны квадратам соответствующих
множителей, а поток энергии (на единицу приращения длины), созда-
создаваемый нагрузкой, приложенной на интервале -т<х-и*^0к бере-
берегам трещины, равен
а Г д
2— —[и (х- ut) + un(x- of)]-о. (х- of+x)dx-
-2<хA- a)lim[ii (-т)*о+(т)]\
Заметим теперь, что напряжения ±о+, приложенные к бере-
берегам трещины на малом отрезке у ее края, не влияют на общий
поток энергии (при т -> 0 их влияние на фиксированном расстоянии
от края трещины исчезает), они лишь перераспределяют его из
- 189-
точки х = 0 на отрезок - т < х < 0. Поэтому справедливо уравнение
Г=A- «JГ+а2Г+2аA- a)lim[u_(- т)*а+
из которого и следует формула A.3.4).
Влияние скорости проявляется лишь в том, что отношения ^l9
Мц/ЛГц, Мш/ЛГщ, как видно из формул B.10)-B.12), зависят от
скорости.
Итак, формулы A.3.4), B.10)-B.12) приводят к следующему
соотношению для потока энергии в край трещины, распространяющей-
распространяющейся в условиях плоской и антиплоской деформаций упругого тела
[36,121]:
2ц I ВД
где a = l-o2/c2, p = 1 — и2/с|, а функция #*(о) определена равен-
равенством A.25).
При переходе к плоскому напряженному состоянию, как уже отме-
отмечалось в §5.1, следует изменить значение коэффициента Пуассона-
заменить параметр с2 на с\ A.6). Учитывая неравенства Д*(и)<0
@ < о < с#), #*(о) > 0 (сд < о < с2), видим, что перемещение верхнего
берега трещины в задачах I, II того же знака, что и напряжение на
ее продолжении
<>22> °> ui°i2 > 0> B.14)
если скорость трещины меньше скорости волн Рэлея. При этом поток
энергии в край трещины Г > 0 независимо от знаков указанных компо-
компонент B.13). В противном случае (с# < и < с2) неравенства B.14) меняют-
меняются на обратные, т. е. если в задаче I трещина раскрывается, то на ее
продолжении напряжения о22 должны быть сжимающими. Растягиваю-
Растягивающим напряжениям соответствует „перехлест" берегов трещины (допу-
(допустимый лишь при такой постановке задачи, когда на перемещения
берегов не накладывается ограничений, что, конечно, неприемлемо).
При этом независимо от знака компонент о22, о12 {х > 0, х2 = 0) поток
энергии Т<0 (Г-+0 при и •* с2). Последнее неравенство приводит
к следующему выводу: если эффективная поверхностная энергия
положительна, то трещина не может распространяться со скоростью,
превышающей скорость волн Рэлея (сд < о < с2).
Из формулы B.13) вытекает еще одно важное заключение: в пло-
плоской задаче при фиксированном коэффициенте интенсивности напря-
напряжений поток энергии в край трещины неограниченно растет с увели-
увеличением ее скорости @ < и < сд). Так, если в статике
0 ^(III), B.15)
- 190-
то при и -+ cR
1 4
НшГ=Т0 =
Отношения
1 2
- т(и)/т0
Г(о)
ДЛЯ О
<
1
С2 1
Для антиплоской задачи критической является скорость волн
сдвига
Ш -> со (о-с2).
- и/с2) BЛ7)
о 2 совпадают с функциями a(vM22
(задача I), a{\)S11 (задача II), a@)S33 (задача III)- см. формулы A.18),
A.29), B.13) и рис. 5.3.
Таким образом, в динамике особенно ярко проявляется некор-
некорректность рассматриваемой континуальной модели сплошной упру-
упругой среды. Оставаясь в рамках этой модели, мы получаем вполне
определенную связь между силовыми и энергетическими параметра-
параметрами механизма разрушения B.13)-B.17), причем зависимость этой
связи от скорости оказывается одинаковой для любого материала.
Но в теории упругости не содержится сведений о механизме разруше-
разрушения. Этот парадокс, как уже отмечалось, нельзя разрешить, не выходя
за рамки континуальной модели без внутренней структуры.
Естественно принять силовой критерий разрушения, т. е. полагать,
что разрушение упругого материала происходит при некотором значе-
значении силы, действующей на элемент определенной (малой) площади.
В данном случае это эквивалентно введению критического значения
коэффициента интенсивности напряжений. Предположим, что поверх-
поверхностная энергия также фиксирована. Тогда она не может превышать
того значения, которое получено выше B.15), B.17) для и =0 (иначе
критическая сила не приводила бы к разрушению, т. е. не была бы кри-
критической). При этом избыток энергии Г(и) - 2?, неограниченно увели-
увеличивающийся с ростом скорости трещины, должен уноситься упругими
волнами высокой частоты. Эти волны, после того как их интенсивность
станет достаточной, могут приводить к дополнительным поврежде-
повреждениям материала у берегов трещины. Возможно, именно этим объясня-
объясняется явление, наблюдаемое в опытах на некоторых материалах: вна-
вначале, пока скорость трещины мала, ее берега оказываются гладкими,
а после того, как скорость становится достаточно большой, - шерохо-
шероховатыми (см. рис. 5.1). При большей скорости (около половины скорости
волн сдвига) может наблюдаться ветвление трещины. Этот факт обыч-
обычно связывают с тем, что при такой скорости направление, на котором
растягивающие напряжения максимальны, не совпадает с продолже-
продолжением трещины, а составляет с ней некоторый угол [79].
Определим соотношение между раскрытием трещины и напряже-
напряжениями на ее продолжении для приближенной модели A.30). Ввиду того
что связь между перемещениями и напряжениями здесь постулирова-
постулирована лишь для границы полупространства, искомую зависимость найдем,
используя другой метод.
- 191-
Считая, что решение рассматриваемой „однородной" стационарной
задачи существует как предел решения некоторой нестационарной
задачи, можно перейти от соотношений A.26) к соответствующим зави-
зависимостям для стационарной задачи, положив 5 = s' + iqu, домножив обе
части равенства A.26) на 5' и устремив 5' к нулю [93,115]. В результате
получим
Щ*(Я) = Рг(я) <?(«), i?*fa) = P2(qH% (q)
«m*fa) = Urns' u*V + iqu, q);
f s
0m*n (q) = tons' O^jf E' + iqi), q); B.18)
s'-O
P12(q) = limSif'22{s + fqu, q\
где символом F* обозначено преобразование Фурье в системе коорди-
координат, движущейся вдоль оси х± со скоростью и. Например, если их =
= и1(х1-о0,то
«Г* = W* - u
«Г* =
Для приближенной модели A.30)
1 1 цA - u2/cr) q2
B.19)
B.20)
Обращаясь к формулам A.26) и учитывая найденные выше зависимо-
зависимости B.18), B.19), получаем
B.21)
2A-v)
Отсюда, вводя коэффициенты интенсивности напряжений, находим
(х = х — и ? > 0 х = (Л
1- v \Л - bf2 lU и2 / 2F
, 2 2 /
ц 1 - и2/с^ V п
- 192-
О12J2 = 0 (лг<0, *2 = 0), и12 = 0 (х>0,
1- v
Т=Т*= 2,1A - о2/с2) (*?^"Ь'*и2 + *" ^-Ь!„и2). B.22)
Отношение потока энергии Г* , вычисленного по формулам A.31),
B.22), к его точному значению Т B.13) при одинаковых коэффициен-
коэффициентах интенсивности напряжений совпадает с отношением S220/S2g
(задача I) или S.1JSll (задача II). Графики указанных отношении
показаны на рис. 5.4.
Рассмотрим еще задачу I для распространения разреза с межзву-
межзвуковой скоростью [87, 114]: с2 < а < сг При этом р = - у < 0 и уравнение
относительно ф B.2) становится волновым
д2ф д2ф и2
= 0; ?= — -1, B.23)
дх\ дх2
так что дозвуковое решение B.3) - B.6) не подходит.
С учетом симметрии можем ограничиться решением для верхней
полуплоскости. Положим, удовлетворяя уравнениям B.2), B.23),
Ф=.Л11е(х+|7ау)\ ф = Я(-х- /ууГкЯ(-х- у/Ту), B.24)
где А, В - вещественные постоянные; \к- const Определяя отсюда
напряжения и подчиняя их граничным условиям
находим \к и выражения для перемещений и напряжений на границе
полуплоскости
D V-1 1 (V-D2
В = 4—7==:COsnvK:j vk.= k+0), 0)=—arctg
2vi> л
(- jc)V|CsinnvK, x<0; B.25)
- 1
Из условия ограниченности потока энергии у края разреза следует
к>29 что отвечает отсутствию потока энергии в точку х = 0. При мини-
минимальном значении к 2 < v2 <5/2. Заметим, что к частному решению
неоднородной задачи для устранения слишком сильной особенности
(если такая возникает в точке х = 0) прибавляется однородное реше-
решение, для которого к < 2.
Положив для четных к: А(у - 1) > 0 (у Ф 1), имеем и2 > 0, о22 ^ 0.
Для к нечетных о22 < 0 при и2 ^ 0.
is—171 - 193-
Характерным отличием от до- и сверхзвукового режимов является
зависимость значений vK от скорости и.
Таким образом, в отличие от докритического режима энергия
в край разреза не стекает. Вместе с тем, волне расширения (потенциалу
ф) соответствует поток энергии к берегам разреза:
/ ди°2 ди°Л 1
Г=- и °22—^+ о?2^ =Т ^2^3bav2(vK- IJ х
\ дх дх I 2
(*), х^О, Г>0,
где величины с ноликами определяются без учета потенциала ф.
Однако в отличие от обычной ситуации (для теории трещин в сплош-
сплошной упругой среде), когда поступающая энергия исчезает в особой
точке х=0д_здесь она вся уносится сдвиговой волной с носителем
lyl ^ - х/у/у, х < 0, отраженной от свободных берегов разреза.
Если край разреза движется в противоположном направлении
(трещина укорачивается: - с, < и < - с2) в отличие от B.24) следует
положить (у > 0) ф = (- х + VV~y)v* tf(- x + у у/у). При этом \к = к - 0),
к>2.
Для задачи II G) в B.25) заменяется на 0) - 1/2.
§ 5.3. Расщепление фундаментальных решений
Решение обобщенной плоской задачи о динамике плоской трещины
в линейно-упругом теле, так же как и в статике, можно представить
суперпозицией решений трех основных задач (см. задачи I, II, III).
Каждая из таких задач является смешанной: на части границы полу-
полупространства задана одна из компонент перемещения, на остальной
части - соответствующая компонента напряжения (еще одна компо-
компонента напряжения задана на всей границе)-см. условия B.1.10)-
B.1.12), B.2.1)-B.2.6). Однако в отличие от статики здесь точки
раздела граничных условий (края трещины) движутся, причем в общем
случае с переменной скоростью.
Кроме указанных условий на границе полупространства задана
линейная связь типа A.19), A.26), например в задаче I
Для того чтобы решить такую задачу, достаточно найти компонен-
компоненты, связанные соотношением типа C.1), на границе полупространства,
поскольку еще одна компонента напряжения задана (для задачи I
012= 0). Полное решение выражается свертками. Для той же задачи
их{г, хх,х2) = Sl2(t, xv х2) * * 022{t, хх)\
- 194-
u2(t, xv x2) = S22(t, xv x2) * * 022(t, xj,
где символ * * означает свертку по переменным t, xv
Однако „уравнение в свертках" C.1), где S22{t, хх) = S2J,t, x19 + 0),
содержит две неизвестные функции: и2(хх^ о) и 022(хг е со). Здесь
а) - область, где задана функция о22, - берег трещины. Метод решения
таких уравнений для случая, когда область со не является изолирован-
изолированной точкой @ ^ f), основан на факторизации - разбиении изображения
SLF на множители SLF= S^FS^F, что эквивалентно представлению
5= S+ * * 5_. Цель факторизации - расщепление фундаментального
решения на функции, отвечающие направленным волновым воз-
возмущениям.
Рассмотрим изображение SLF(s, q) - аналитическую функцию
переменных 5 и q с особыми точками
Sm = *Я"т > Чш = " "/"mt um = const ф О,
гл=1,2,. . .,п; ut<u2<. . . <un. C.2)
Предположим, что ее можно представить в виде произведения
где каждый сомножитель S%F имеет свои особые точки, отвечающие
скоростям ошв диапазоне u^ ^ um ^ и*. Полагаем, что функции 5^
на плоскости q- медленного роста (существует такое число v, что
IS?FKIlv ll)
?p
Покажем, что Sjit, х) - функция с носителем в секторе u~Kt**x <
^о+к^на плоскости х, L Как следует из условий C.2), при Res>0
на вещественной оси q особых точек нет. В формуле обращения
положим 5= iqc+ p. Тогда
i +oo a+j°°
pf-ifl(x-c$J. C.3)
При этом особые точки на плоскости qC.2) переместятся:
Ф
Qm= - '(Р+ iQrrA/Um, Qm= (Re p >0).
Urn- С
Если с<о~то, деформируя путь интегрирования в формуле
- 195-
обращения для преобразования Фурье C.3) в верхнюю полуплоскость
д, где особых точек нет, обнаруживаем, что SK = 0 при х < ct. Если же
с>и?, то, деформируя путь в нижнюю полуплоскость q (при с>о?
особые точки расположены в верхней полуплоскости), получаем: SK = О
при х > ct. Поскольку значение с произвольно, приходим к выводу
Если о^ = о? = ик, носитель SK сосредоточен на луче х = uKt:
sK= ZgKn(tWn)(x-UKt);
5^Л (-iq)nrin(«
n=0
В частности, если
то
C.4)
к
N
т=0
Носитель обобщенной функции Dnt+x/u - точка ^ = х = 0, которая
лежит на луче х = uKt.
Рассмотрим теперь свертку нескольких функций SK - произведе-
произведение их изображений. Поскольку произведению принадлежат все
особые точки сомножителей, справедливо утверждение: носитель
свертки (по t и х) представляет собой объединение носителей сверты-
свертываемых функций SK и областей (секторов) между ними.
Далее, пусть Q{t, х) = 0 при х < l(t), f{t, x) = 0 при х < ut, I = dl/dt ^ и
(о = const). Тогда
Q{t,x)**f(t,x) = Q [x<l(t)l C.5)
Аналогично, если Q(t, х) = 0 при х > l{t), f(t, x) = 0 при x>ut, / > и, то
<?(*,*) **/(*,*) = 0 [*>/(*)]. C.6)
- 196-
Справедливость утверждения C.5) можно доказать так. Представим
свертку C.5) в виде
где множители - функции Хевисайда - введены с целью подчеркнуть
расположение носителей свертываемых функций. Вклад в интеграл
будут давать те области интегрирования, где подынтегральное выраже-
выражение отлично от нуля: ? > /(т), х- uf^?- от. Отсюда для x<l(t)
получаем
0^-/(т)</(*)-/(т)-и(*-т). C.7)
Но / ^ и, поэтому правая часть соотношения C.7) не больше нуля.
Противоречивость неравенств C.7) означает, что при х < l(t) подынте-
подынтегральное выражение везде равно нулю и, следовательно, равна нулю
свертка C.5). Точно так же доказывается и равенство C.6).
Для антиплоской задачи факторизация проводится без труда.
Действительно, функция S^(s, q), как видно из выражения A.13)
при х2= 0, определяется так:
53L3F=-— (Ч2
Ее можно представить в виде
SLF= SLFSLF.
C-8)
Функция SLFимеет две особые точки q= ± isb2, первая из которых
сохранилась для функции S^F, вторая - для функции S+F.
Для дальнейшего потребуются функции PkF= l/S±F. Оригиналы
указанных функций определяются формулой C.4) при к = - 1/2, к = 1/2:
Vc7 t~+U2
S. = 2- -U-
f-x); C.9)
- 197-
?-3/2
W fi(c2f - х) F(-c2f - х) = 6(с2* + х)).
В результате факторизации функции S~ фундаментальное реше-
решение A.18) для х2 =0
1 H(t-b2 М)
зз- _.. rz ГГТ "Л+ 5- V*-*J
оказалось расщепленным на две функции 5+, 5., каждая из которых
отвечает направленному волновому возмущению. Если носитель
533 - расширяющийся отрезок - c2t< х ^ c2t (сектор на плоскости х,
t\ то носитель 5+ - точка х = c2t, носитель S_ - точка х = - c2t (лучи
на плоскости х, t).
Перейдем к плоской задаче. Для задачи I функция s?f A.26)
(в дальнейшем нижние индексы опускаются) имеет особые точки
q = ± isb^, q = ± isb2 (точки ветвления) и q = ± is/с (полюса). Предста-
Представим ее в виде
C.10)
При таком представлении указанные выше полюса не являются
особыми точками функции DL^ (устранимые особые точки). Для нее
сохраняются лишь точки ветвления. Функция SfrF, которая после заме-
замены параметра Ъх на blic совпадает с приближенным описанием A.30),
легко факторизуется разложением на множители. Основная задача
состоит в факторизации функции DLF.
Полагая 5 > 0, проведем разрезы на мнимой оси q: [- ib2s, - ib^],
[ib^, ib2s]. Тогда R ~bls2q2/(\ - v) и, как видно из C.10), IDLFI -1,
8 -*0 (\q\ -* °°). Кроме того, функция Г^р вне особых точек не обра-
обращается в нуль. Поэтому факторизацию DLF = DI^FD^F [где D1^) имеет
лишь две особые точки из четырех указанных - в нижней (верхней)
полуплоскости q] можно провести с помощью интеграла типа Коши
[61], положив
оо
= ехр [Ф± E, q)], Ф± fe ,) - ± -
-оо
C.11)
(при вычислении интеграла Imq > 0 для Ф+ и Img < 0 для Ф_).
- 198-
Учитывая, что In DLF{s, q)-»0 при q ¦+ ± °° и
что подынтегральное выражение представляет со-
собой аналитическую функцию комплексной пере-
менной I с особыми точками ? = ± /Ь15 ? = ± /Ь2
(точки ветвления) и ? = q/s (полюс), контур инте-
интегрирования можно деформировать, проведя его по
берегам отрезка [- /Ь2, - ibj для функции Ф+,
когда Img > 0, и по берегам отрезка [ib19 ib2] для
функции Ф_ (Im <7 < 0). Контуры и направление их
обхода показаны на рис. 5.6.
Заметим, что на берегах указанных отрезков,
как следует из выражения для функции R A.24),
2q2J j J
R = {Ъ2282
4/q2
где радикалы положительны, знак минус относит-
относится к правому берегу в верхней полуплоскости и к
левому берегу в нижней полуплоскости, а знак
плюс - к остальным двум берегам. Учитывая это и
полагая ? = /ос, можно преобразовать равенство
C.11) к виду
ь2
1 Г <p(a)dal 4a
()
lb1
-ib0
Рис. 5.6.
2\2
Bа2-Ь2)
В соответствии с формулами A.16), A.17), где gL=l, g
b2
l f ф(а)с?а]
C.12)
exp —
2nz [n
2 2
1 Г ф(а)с?а 1 Г <f(a)doi
= —V. p. I +
J
a+t/z n
a + t/x
+ i(f>(t/x)H(± t/x - bt)H(b2 + t/x)
± itp(i/x)H{± t/x- b1)H(b2 + t/x)
(Ф(-а)=ф(а));
D°±=6(x)H(t) + Q±(t/x);
1 [l Г2ф(«Ма1л
0+ = —— exp — V.p. ___ ф ;
nlxl [П J OL+t/x\ ~
Ф±= si
(y = + 0),
(y = - 0)
- 199-
sin(p(oc)=-
D+ = —
of
VBa2 - Ъ22)А + 16a4(b2 - a2)(a2 - b2) '
—Q+.
of
C.13)
Видно, что носитель функции D+- сектор c2t^x^c1t, функции
D_-сектор -cj^x^ - c2t, как это и определяется положением
особых точек Df^Ha плоскости д.
Функцию 5^C.10) можно представить в виде
•• П SLF •
ш—1
s- iqcR
Оригиналы, отвечающие этим функциям, будут
1 - v
S01=
¦S02 =
'04
2ц VCi
rHcr
К3'2
- х),
б(с^-х).
Функциям Р^ = 1/50^Г соответствуют
^0!=-
й Vct Г+
-112
C.14)
C.15)
t-1/2
-200-
C.16)
Носители функций РОт{т = 1, 2, 3, 4): х = - схи х = t = 0, х = f = О,
х = cxt. Что касается функций EkF = l/DkF, то, как видно из процедуры
вывода зависимостей для D+ C.13),
д
dt
1 Г 1
ехр V. р.
п\х\ [ л
Я(± ГД-
(p(a)cfa
a + t/x
X
C.17)
Переход к приближенному описанию A.30) состоит в пренебреже-
пренебрежении вторыми членами в правых частях формул C.13), C.17) (двойная
свертка с ?>(xN(t) - тождественное преобразование) и замене парамет-
параметра Ъ1 на bl1t.
Полученные зависимости позволяют написать следующие пред-
представления функции SLF в виде произведения двух функций, оригина-
оригиналы которых определены выше:
/л = 1,2,3; .
C.18)
с LF - r)LF с LF cLF cLF
°3- -1У- °O1 °02°03'
Носители функций 5Ш+, 5Ш. и области между ними указаны
в табл. 5.1 {c = x/t).
Аналогичные соотношения можно написать для функций РщГ =
= l/Sjff. Ввиду того что носители функций Р02, Р03 точечные (х = t =D),
во всех вариантах представления C.18) носители функций Рт+, Рт_
будут одинаковыми:
Таблица 5.1.
m
1
2
3
Носители
cR^c<Cl
c2^c^cl
Sm-
-c^c^Cr ;
Промежуточная
область
-C2<C<-CR
-cR<c<cR
cR<c<c2
- 201-
Функция S{{ A.26), фигурирующая в задаче II, отличается от
лишь одним параметром в множителе S?f S^F C.14). Если в функциях
sou 5о4» 5oi> 5о4» pov ро4 B-14)- B-16) заменить параметр q на с2,
то все приведенные выше зависимости будут отвечать функции Sx \.
Как видно из табл. 5.1, в представлениях C.18) носители функций
S%F, S?F лежат вне одного из диапазонов между соседними скоростя-
скоростями - с2, - Сд, Сд, с2. Это позволяет решить задачу о трещине, распро-
распространяющейся со скоростью (в том числе и переменной) в любом из
указанных диапазонов (см. § 5.4).
Проведем факторизацию SLF применительно к межзвуковому
диапазону: с2 < и < сг Заметим, что функция, факторизация которой
достигается с помощью интеграла типа Коши, должна быть такой,
чтобы ее логарифм стремился к нулю при q -+ ± °°. Следовательно, ее
модуль должен стремиться к единице (q -> ± °°), а ее индекс (прираще-
(приращение аргумента, деленное на 2л) должен быть равен нулю. Этим усло-
условиям удовлетворяет функция DLF C.10), но факторизация C.18) для
межзвукового диапазона не годится.
Положим s=/gu+p. Тогда функция S(/go+p, q) будет отвечать
преобразованию в движущейся системе координат: преобразованию
Фурье S(t, of+ л) по Л= *- ufc параметром qn преобразованию Лапла-
Лапласа по t с параметром р[93, 115]. Для решения задачи о распространении
трещины (разреза) с межзвуковой (фиксированной) скоростью и
достаточно факторизовать SLF = S^FS^F так: 5+ = 0 при х <ut(\] <0),
S.= 0 при Л >0 (SLF(iqu + ру q) не имеет особых точек при Img^O,
S^F(iqu + р, q) - при Im q ^0, р >0). Анализ показывает, что при
с2 < и <сх для задачи I, II (см. формулы B.25), B.2), B.23)]
IndSLF= G) @, IndSLF=- G) (II).
2
Прир= + 0
О)"" (I);
( q
Мб
'2-" (II); C.19)
Q=[B- Ь^о2L+16A- Ь2о2)(Ь2О2- 1)]1/2.
В представлении C.19) имеется нужное разбиение на множители,
и этого достаточно для решения стационарной задачи (см. § 5.4). Для
факторизации SLFn$H p >0 (т. е. для решения нестационарной задачи)
представим
SLF(iqu + p,q) = SLF(iqu + 0, <?)D?F; C.20)
- 202 -
0
u + 0, q)
Так как индекс не зависит от p(Rep>0), функция DO обладает
нужными свойствами и ее можно факторизовать с помощью интеграла
типа Коши C.11). Заметим, что в формулах C.20) вместо SLF{iqu + 0, q)
можно взять любую функцию с теми же индексом и ростом при q -* ± °°,
например, в задаче I положить
0 (- 'ч + рИ/ч + р)-1-; C.2i)
SLF/S%F -M (q - ± oo), Ind D^ = 0.
В отличие от C.18) факторизация DLF C.21) приводит к функциям
с носителями при х > of(D+) и при х < ut(Dj (c2 < и < сх); диапазона,
содержащего о, в котором обе эти функции были бы равны нулю,
здесь нет.
§ 5.4. Общее решение обобщенной плоской задачи
о динамике трещины
Обратимся к формулам связи между перемещениями и напряже-
напряжениями на границе упругого полупространства A.13), A.26). В силу сим-
симметрии в задаче I т= 0, в задаче II о= 0. Таким образом, для всех трех
задач имеет место соотношение
uLF(s,q)=SLF( s,q)OLF(s,q), D.1)
где выражение для функции SLF, а также смысл переменных ц о
конкреткзуются в зависимости от номера задачи так, как это следует
из указанных формул. Пусть в результате факторизации SLF= S^FS^F-
получены функции S+, Р+, 5_, Р_ (P+F= 1/S±), удовлетворяющие
условиям
Sit, л) = Pit, л) = 0 (х > DJ); D.2)
Рассмотрим нестационарную задачу (начальные условия нулевые)
о полубесконечной трещине, расположенной на оси х%= х < l(t). Счи-
Считаем, что 6epiera трещины загружены напряжениями о= o_(t, л), где
- 203 -
0 = °22 (задача I), о12 (задача II), о23 (задача III). В соответствии с усло-
условием, принятым при выводе зависимостей для функций SLF (см. § 5.1),
с удалением от трещины напряжения стремятся к нулю. Предположим,
что скорость края трещины удовлетворяет условию
и.^/<и+. D.3)
Представим перемещение и и напряжение о в виде сумм и = и+ + и_ ,
о+ + о^, где индекс плюс относится к функциям с носителем на про-
продолжении трещины (х > l(t)), индекс минус - к функциям с носителем
на берегах трещины (х < l(t)). В силу симметрии и+ = 0, однако, чтобы
не уменьшать общности решения уравнения D.1), не будем пока это
учитывать. Полагая, что функции о. , и+ заданы, а функции о+ , и_
подлежат определению.
Разделив обе части уравнения D.1) на S^F, представим его в виде
F + <?*). D.4)
Равенство D.4) эквивалентно следующему:
Р_ * * и_ + (Р_ * * и+ - S+ * * o_)H(l{t) - х) =
= S+ * * о+ - (Р_ * * u+ - S+ * * о_)Н(х - /(*)). D.5)
Если носители функций и_ , о+ , удовлетворяющих данному урав-
уравнению, действительно расположены в указанных выше областях, то,
учитывая условия D.2), D.3) и утверждения, доказанные в §5.3,
приходим к выводу, что
D.6)
S+,**o+ = 0 (x{))
Вторые члены в левой и правой частях уравнения D.5) удовлетворяют
тем же равенствам, что и первые D.6), поскольку они содержат множи-
множители в виде функций Хевисайда с указанными аргументами.
Таким образом, левая часть равна нулю при х > l(t), правая - при
х < l(t), а так как они равны друг другу на всей оси х, каждая из них
может быть отлична от нуля лишь в точке х = l(t). Можно, следователь-
следовательно, записать
Р. * * u_ = (S+ * * о_ - Р. * * u+)H(l(t) - х) + С;
D.7)
5+ * * о+ = - E+ * * о. - Р_ * * и+)Н{х - l(t)) + С,
где С- обобщенная функция с носителем в точке х = l(i). Такая функ-
функция представляется в виде
С Л Jm@m>(x-l(t)). D.8)
- 204-
Свертывая теперь обе части первого из равенств D.7) с функцией
5_, второго с функцией Р+ и учитывая, что S_ * * Р_ = Р+ * * 5+ = 6($6(х)
(S+FP±F= 1)> а свертка с б-функцией - тождественное преобразование,
получаем искомые формулы
и = 5. * * {E+ * * о. - Р_ * * u+)H(l(t) - х) + С};
D.9)
о+ = -Р+** {E+ * * о. - Р. * * и+)Я(х- /(*))- С}.
Выражения в фигурных скобках равны нулю при х > l{t) (для и J и при
x<l(t) (для о+), а функции 5-5 Р+ удовлетворяют условиям D.2),
поэтому можно утверждать, что полученные решения также удовлет-
удовлетворяют нужным условиям, а именно
Обобщенная функция С должна определяться дополнительными
условиями, так же, как и в статике. Эта функция порождает однород-
однородные решения. Действительно, если о_ = ы+ = 0, а С ± 0, то, как следует
из формул D.8), D.9),
x z ШЬМЦ - l{x))dxd\ =
m=0
' D.10)
А дт Г
dxm
m=0
0 t
n дт
Z
T
0
To, что носители этих функций действительно удовлетворяют
условиям и = 0 при х > l{t), о = 0 при х < l(t), следует из процедуры
вывода формул D.9), D.10), но это можно установить и непосредствен-
непосредственно. На основании неравенств D.3). имеем х- l{t) + o_(f- т) < х- /(т) =
= х - /(*) + /(f) - /(т) ^ х - l(t) + и + (f - т). Отсюда и из равенств D.2)
получаем S_(t- т, х - /(т)) = 0 (х > /(f)), P+ (f - т, х - /(х)) = 0 (х < /@), а
следовательно, тем же равенствам удовлетворяют и функции и, о.
Функции 5+ , Р± известны (они не связаны с конкретной задачей
о трещине). Таким образом, решение D.9) в общем случае определяет-
определяется четырехкратным интегралом.
Найдем выражения для асимптотик напряжений и перемещений
У края трещины. Пусть носители функций 5_ , Р+ и скорость трещины
определяются неравенствами
iV E-)> iV^*<lV (рЛ 0<1<и1<и2- DЛ1)
-205-
Положим
u+ = C = 0, S+**o_=/(f,x);
P+=g(t,x)H(x- utt)H2{u2t- x);
S_ = h{t, х)Я(- \}tt- x)H2{u2t + x);
где функции Хевисайда введены, чтобы явным образом указать на но-
носители функций Р+ , S_ . (Так как g, h - обобщенные функции, следо-
следовало бы писать Н(х- Ujf+ 0),. . . ,H{u2t + х + 0). Мы этого не делаем,
однако имеем это в виду.)
В соответствии с формулами D.9) и зависимостями D.11), D.12)
D.13)
хн(- и,!- ?)Я(иат+ ?№(/(*- х)- x + t)dT<%.
Имеем l(t- т) = l(t) - /(f Jx, ^- т < t± ^ f. Как видно из представ-
представления D.13), на носителе подынтегрального выражения выполняются
неравенства
0 <[о, + /(О]т < /(От- 6</(д-х, ? < 0. D.14)
Если l(t) - л: -^ + 0, то из соотношений D.14) следует, что при опре-
определении соответствующей асимптотики можно полагать 0 ^ т -> 0,
0 ^ ? -* 0. При этом для значений х, U где функция f{x, t) непрерывна,
f(t- т, х- |) -*•/(/, х). Вынося эту функцию за знак интеграла находим
и_~[5+а*)*.о_а*)ПШт,$)Л<? (х-ад-0), D.15)
где область d_ определяется неравенствами, вытекающими из пред-
представления D.13):
2? .,
D.16)
/(От - l{t) + х ^ ? < 0.
На рис. 5.7 указанная область заштрихована, прямая 7: ? = - UjT,
прямая.2: ? = - о2т,прямая 3: ? = х- /@ + /(*)т.
Аналогичным образом представление
|)/(^- х,х- 5)ДF- и.т) х
-со О
хя(и2т- ?)Н1х- !-/(*- x)]dTd^
приводит к неравенствам
0 <[ut - /(О]т < | - /'(От <х- J(f) - + 0, 0 < \ .
-206-
С учетом ограничения на ско-
скорость трещины D.11) снова получаем
? -* т -* 0 и, следовательно, в обла-
области, где функция непрерывна,
X И Р+(!,
(х-/@ + 0).
D.17)
Область d+, заштрихованная на
рис. 5.7, определяется неравенствами
и2т,
0
х - /(f) + /(f)x .
Рис. 5.7.
D.18)
На указанном рисунке прямая 4: ? = OjT, прямая 5: ? = о2т, прямая 6:
Когда Uj = u2 и Функции Р+, S_ можно представить в виде Р+ =
= р(*N(х- и 0, 5_ = sBN(x+ о 0, указанные на рис. 5.7 области превра-
превращаются в отрезки прямых:
и +
г-=т_ (of.)-
D.19)
При этом
т± -* О,
$ ^ P+cfid^ = ^ р(т)с/т, П «S.dTd^ = ^ s(x)dT .
Рассмотрим однородные решения
и_ = 5. * * С, о+ = Р+ * * С,
определенные формулами D.10), в которых заменим т на t- т. На носи-
носителе функции 5_(Р+)
Для границ указанных областей получаем уравнения
х.^т^т., (SJ, т+1^т^т+2 (PJ,
-207-
D.20)
D.21)
Еслих^ l(t), то
т.^0, i(t-T^)~i(t
и из уравнений D.21) следует
Указанными значениями можно заменить пределы интегрирова-
интегрирования по т в формулах D.10).
Рассмотрим теперь трещину конечной длины L{t) <x <l+{t),
/+ - /_ > /0 > 0 (t^ 0). Представим напряжения суммой
о = о_ + о~ + о+, D.22)
где о_ - напряжения, действующие на берега трещины, о~ - на продол-
продолжение трещины х ^ /± .
Выражения для напряжений о~ можно получить из формулы D.9)
для напряжений о+, если в ее правой части заменить о_нао_ + о~ (при
этом о+ = о+) или заменить о_ на о_ + о+, Р+ на Р_, S+ на S__ (при этом
о+ = о") (полагаем, что / < utt, а носители функций Р+, S+(P_, 5_) распо-
расположены при и ^<х< o2f(- o2f <x^- uj)). Итак, при и+ = 0
о+ = - Р+ * * {[5+ * * (о. + о-)]Н[х - /+@] + С+};
о- = - р * * {[5, * * (о. + o+)]H[L(t) - х] + С""}, D.23)
где С~ - обобщенные функции, сосредоточенные на краях трещины
х = 1+.
Заметим, что влияние напряжения о на функцию о+(о+ на о~)
сказывается с запаздыванием на время, необходимое для распростра-
распространения возмущений от одного края трещины до другого со скоростью
о2. Так, если 0" = 0 при t < tv to
когда t<t_, где значение L определяется уравнением 02(?_- тх) =
= /+(О - Цт^. При этом L > тх, так как /+ - /_ > /0 > 0 (t> 0). Анало-
Аналогично, если о+ = 0 при f < т2, то
0-*] = 0 D.24)
при f < t+, a
«a(^-b) = '+(b)-UO D.25)
при ?+ > т2.
-208-
Зависимости D.23) позволяют в принципе рассчитать напряжения
на продолжении трещины. Подставим выражение для функции о~
в первую из формул D.23). Вначале определим напряжение о+, полагая
его значение в правой части формулы равным нулю, затем подставим
туда найденную зависимость. Отличие „второго приближения" скажет-
скажется с некоторым запаздыванием, определяемым равенствами D.24),
D.25). Повторяя те же действия, т. е. снова подставляя в правую часть
найденное выражение для 0+, получим следующее приближение и т. д.
Существенно, что для определения точного результата при любом
конечном значении времени потребуется лишь конечное число таких
приближений, так как каждая последующая поправка запаздывает
на время At> /o/o2 по сравнению с предыдущей.
После этого напряжение о" можно определить по второй из формул
D.23), а перемещения берегов трещины - по формуле D.9), полагая
найденные напряжения о" внешними. Впрочем, поскольку напряже-
напряжения определены для всех значений х, перемещения можно найти,
обратив соотношение D.1):
u(t, х) = S(t, х) * * о (t, х), о = о_ + о" + о+.
Рассмотрим стационарную задачу для трещины, распространяю-
распространяющейся с постоянной скоростью о. В этом случае и= и(х- ut), o =
= о(х- и t). Решение такой задачи можно найти как предел, к которому
при t -+ °° стремится решение соответствующей нестационарной задачи
с нулевыми начальными условиями. Перейдем в D.1) к преобразова-
преобразованию Фурье в движущейся системе координат, положив 5 = iqu + р,
домножив на р и устремив р к нулю [93, 115]. Получим
tf*{q) = &F{iqo + 0, q)oF*{q). D.26)
При докритической скорости (lul < cR- задачи I, II и Iо I < с2 -
задача III)
/qu + 0, q) = fo(u)SLF(+ 0, q), D.27)
где 5Lir(+ 0, q) соответствует статической задаче
d=(l-v)/u (I, II), d=l/M (III),
а функция /0 определяется формулами A.18), A.29) и рис. 5.3:
/0 = -a(v)S22 (I), /0 = -fl(v)S11 (II), /o = -a@)S33 (HI).
D.28)
Отсюда видно, что в докритических диапазонах скорости трещины
при заданных напряжениях на ее берегах решение стационарной
14—171 -209-
динамической задачи и(\], и), о(л, и),ц=х- ut, отличается от решения
статической задачи лишь множителем /о(о) в выражении для пере-
перемещения:
ы(П, и) = /о(иМп, 0), о(л, о) = о(п, 0).
В диапазоне с#< о < с2 (для задач I, II) в D.27) функция /0 сохра-
сохраняется, a 5LF(+ 0, д) заменяется:
SLF(iqU + 0, q) - - /0(u)d(iq + О)'2 (- iq + ОI'2,
в результате чего в решении появляется неопределенная функция,
отражающая действие источника энергии в точке x1 = ot (см. § 5.2, 5.5).
Для тех же задач в межзвуковом диапазоне (с2 < о < ct) функция
SLF(iqo + 0, q) определена формулой C.19). Решение задачи D.26)
в межзвуковом диапазоне достигается с помощью того же метода, что
и статической задачи - как „задачи сопряжения" [61]. Учитывая требо-
требование ограниченности потока энергии (в межзвуковом диапазоне это
влечет за собой отсутствие потока в край разреза), для задачи I поло-
положим [см. формулы B.25)]
где первое равенство соответствует разрезу \ц\<1, второе-для
разреза при л < 0; о) заменяетсялна а) - 1/2 для задачи II. Как и в фор-
формулах B.3.13), скачок функции Ф(?) известен [с учетом D.26), C.19)] на
всей вещественной оси и и'(ц), о(ц) определяются интегралом типа
Коши. Например, для задачи I (см. § 2.3; р - плотность) на основании
выражений C.19), D.26) имеем
±таа± (g= ±0);
po2 yfa
'-^"iv.p.U—I -^sin™|x
" - л
(у=+0);
-210-
/ ЛМ" 1 Г /6 + /W о«) ^ .
о - - — —г- й\ sin по
\ / / л J / II I
Заметим, что в стационарной задаче длина трещины сохраняется
неизменной. Если трещина движется и ее длина конечна, то с одной
стороны она раскрывается, с другой - смыкается. При этом в диапазо-
диапазоне 0 < и < сд в точке Т) = - ' энергия выделяется (вытекает из особой
точки), а в точке ц = / поглощается (стекает в особую точку).
Вернемся к нестационарной задаче. Как видно из соотношений
D.15) - D.19), в областях, где функции, вынесенные за знак интеграла,
непрерывны, асимптотики перемещений и напряжений у края полу-
полубесконечной трещины определяются произведением: первые из множи-
множителей - функции времени - зависят от истории движения трещины,
вторые - сингулярные множители (интегралы по областям d± или
в пределах т±^2) зависят лишь от разности х- / и скорости трещины
l{t). Таким образом, последние множители можно определить, рассмат-
рассматривая стационарную задачу. На основании соотношений D.13), D.15),
имеем
0- = И 5_(т, Qdxdl = S_(t, x) * * Н{1 -х).
d-
Положим /= ut, где значение постоянной скорости совпадает
со скоростью края трещины / в данный момент времени в нестационар-
нестационарной задаче. Тогда
1 Г о 1
1,<д—\ /(е- ю)-1 .
5 [ 5- iqU J
Заменим 5 = iqu + 5', домножим обе части последнего равенства
на sf и устремим 5' к нулю. В пределе получим
Отсюда
со
Q. = \ (iq + 0) SLF(iqo, q) е-'ч(х~1) dq.
2л J
— 00
Пусть
S±F(iqo, q) = /_(u)SfF(O, q); SF@, q) = - (iq + 0)'2. D.29)
-211-
Тогда
Таким же способом находим: если
D.30)
то
Я(х - 0
Итак, в нестационарной задаче о полубесконечной трещине асим-
асимптотики перемещения и напряжения у края трещины можно предста-
представить в виде
(х - / - 0);
). D.31)
Перейдем к однородным решениям. Для тех значений t9 в которых
функции f(t), i(t) непрерывны, формулы D.10), D.20) определяют
следующие асимптотические равенства (х - / -»• 0; /ш = 0 (т Ф к), fK = /)
и.-f(t)
дк
дхк
дхк
D.32)
Видно, что интегралы в правых частях этих равенств также можно
определить, рассматривая стационарную задачу. В соответствии
с формулами D.10), D.14)
u.-f(t)H_, a+~f(t)H+
D.33)
-212-
Положим, как и выше, / = ut, и = const Тогда
5 - iqu
(- iq)K
s - iqu
Если справедливы равенства D.29), D.30), то в нестационарной
задаче о полубесконечной трещине
дк+1
fAKt)]——-[x-i(t)]:lt2.
дхк х
D.34)
Но при любом значении к = 0,1,. . . однородные решения D.33),
D.34) не удовлетворяют условию непрерывности перемещения берега
трещины (локальной ограниченности потока энергии). Следовательно,
в тех случаях, когда функции S^F, P^F представляются в виде D.29),
D.30), обобщенная функция С = 0.
Выпишем выражения для функций fJu) D.28), /_(и) D.29), /+(о)
D.30). Для плоской задачи функции SLF, P^F определим применительно
к факторизации, проводимой для решения задачи о полубесконечной
трещине, движущейся с дорэлеевской скоростью, т. е. в соответствии
со вторым вариантом факторизации из указанных соотношениями
C.18). Основываясь на формулах A.24), A.29), A.30), C.8), (ЗЛО), C.12),
C.14), получаем следующие зависимости (- с2 < и < с2, и Ф + с^):
задача I:
= - fl(vM
22
(c=o, o(v) = nuf/(l- v)),
1 - v Vl + o/Cj
1 +
D.35)
Ct /Со
exp
п JCl/u-pJ'
-213-
Ф(р) = arctg Q, Q :
-c2/c2J
c2/c2J
для приближенной модели A.30)
SLF =
- v Jblies+iq
pLF = .
s/cR- iq
D.36)
yolifs- iq
= -a(vM220 (c=o);
1- v л/ГГьТГи"
1 +
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
V
N
к
\
0 0,25 0,50 0,75 v/cz рИс. 5.8.
Рис. 5.9.
-214-
Рис. 5.10.
1,05
0,95
0,90
0,85
OfiO
0,75
V
2
—7—
1
V
\
\
\
J
v/c2
задача II: в соответствии со сказанным в § 5.3 приведенные выше
формулы D.35), D.36) будут отвечать задаче II, если параметры с19 Ь15
blic в выражениях под явно выписанными радикалами (У~") заменить
на с2, Ь2, Ь2* соответственно;
задача III:
Ш= /t 2/2 =" fl(°)S33 (с = и),
1
V1 + и/с2
AM = VI - о/с2. D.37)
Графики функций - /0(с) (см. рис. 5.3), |i/_(u)/(l - v) (рис. 5.8), /+(и)
(рис. 5.9) пронумерованы соответственно указанным выше задачам
(для задачи III следует положить v = 0). Графики отношений функций
/+, определяемых формулами D.36), к их точным значениям D.35)
показаны на рис. 5.10, где кривые 1 (для /J и 2 (для /+) относятся
к задаче I, кривые 3 (для /_) и 4 (для /+) - к задаче IL В расчетах приня-
принято v = 0,3. Параметры Ь^2^ определялись по формуле A.31).
§ 5.5. Переход через критическую скорость
Формулы D.9) определяют решение нестационарной смешанной
задачи при условии D.3), когда скорость точки раздела граничных
условий / заключена между скоростями границ носителей функций S+,
Р+ и S_, P_ D.2) при данной факторизации. Другая факторизация может
отвечать другому диапазону. Рассмотрим теперь задачу для случая,
когда скорость / переходит из данного диапазона в другой.
Пусть на интервале O^t<t1 скорость точки раздела граничных
условий заключена в пределах иш^/^иш+1. Допуская, что суще-
существует факторизация
S1+ = P1+ = 0 (*<ит+А 5 = o (*<V> x>unf), E.1)
можем записать решение задачи для интервала t < tx в виде формул
D.9), в которых функциям S+ , Р± следует приписать индекс 1:
и. = 5,. * * [{S1+ * * о. - РЛ. * * и+)Н{1 - х) + CJ,
о+ = - Р1+ * * [E1+ * * о. - V * * и+)Н(х - /) - CJ. E.2)
Здесь обобщенная функция С D.8) обозначена через Сг.
Положим, что при t > tx скорость / лежит в пределах
°p^Vi> rn<p^n (um+1>uj E.3)
-215-
(если р = п, то это означает, что / > оп). Таким образом, считаем, что при
t=t1 скорость точки раздела граничных условий, пересекая „крити-
„критическую" скорость иш+1, а возможно, и ош+2,. . ., переходит в другой
диапазон, указанный неравенствами E.3). Предположим, что суще-
существует факторизация вида E.1), где индекс т заменяется на р (если
р = п, то ^)
S2. = P2. = 0 (x>upt), 52+=P2+ = 0 (x<up+1t).
Представим соотношение D.1) в виде
(Р2_ * * и - 52+ * * о_)Н{1 - х) = 52+ * * о+ -
-(P2_**u-S2+**o_№-/). E.4)
В отличие от равенства D.5) здесь свертка Р2_ * * и_(и= ы+ + uj,
вообще говоря, отлична от нуля при х > /, так как при t < tx скорость
/ < Op. Поэтому из уравнения E.4) нельзя получить два равенства типа
D.7), как это оказалось возможным для уравнения D.5). Однако при
всех значениях t S2+ * * о+ = О (х < I), так как всегда выполняется
неравенство /^ор+1. В уравнении E.4), таким образом, левая часть
равна нулю при х > /, правая - при х < I Следовательно,
о+ = - Р2+ * * К5а+ * * о. - Р2_ * * и)Н(х - 0 - CJ, E.5)
где С2 - обобщенная функция типа D.8), сосредоточенная при х= l(t).
Правая часть последнего равенства содержит, однако, неизвестную
функцию ы_ (функция и+, как и о_, полагается заданной).
Представим и_ = ux_ + u2_, где ut_ - функция, определяемая
первой из формул E.2) для любого значения t. Поскольку u1_=u_
при К tv на этом интервале и2_ = 0. Поэтому для любого значения t
свертка ы2_ * * Р2_ = 0 при х > I Но данная свертка в правой части
равенства E.5) содержит множителем функцию Хевисайда Н(х- I)
равную нулю при х < I Следовательно, произведение равно нулю при
всех значениях х Ф I, и с точностью до обобщенной функции, сосредо-
сосредоточенной при х = /, которую можно включить в неопределенную фун-
функцию С2, справедливо равенство
(Р2_ * * и)Н(х- I) = (Р2_ * * и+ + Р2_ * * их_)Я(х- /).
Правая часть этого равенства известна: функция и+ задана, а функция
ut_ определена первой из формул E.2).
Подставим в правую часть соотношения E.5) выражение для
функции i/j. в виде
их_ = V * * {(«i+ * * о. -Р^** и+)[1 - Я(х- /)] + Сх).
-216-
E.6)
Получим
о+ = ~ f2+ * * {[S2+ * * 0- - Р2- * * Ц+ ~
- Р2. * * 5t_ * * E1+ * * о. - ff"utt Cx -
-(Slt**o_-JV**ut)H(x-0)lx
хЯ(х-/)-С2}.
Поскольку
P3-**St.**Sl.~P2_**S*S2.;
Р2. * * 5Х_ * * Рх_ = Р2_ * * [6@ б(х)] = Р2_ ,
подчеркнутые члены в выражении E.6) взаимно уничтожаются и фор-
формулу для искомой функции о+ можно переписать в виде
о+ = Р2+ * * Ир2- * * V * * (^ - (S1+ * * о. -
- Рх_ * * и+)Н(х - 1))Щх - Ь + С2}. E.7)
Пусть f < tv Тогда, учитывая тождество
Р2- **$!-= $2+ **?!+ E.8)
видим, что выражение в квадратных скобках E.7) равно нулю при х < I
и, следовательно, множитель #(*-/), стоящий после квадратных
скобок, можно опустить. Учитывая тождество Р2+ * * Р2_ * * 5Х_ =Р1 + ,
которое следует из предыдущего E.8), находим {t<t1)
Сравнивая этот результат со второй из формул E.2), видим, что
С2 = 0 при t < tt.
Таким образом, функция о+ как для t < tv так и для t > tx опреде-
определяется формулой E.7), где С2 = 0 при t<t±. Для этого же периода
множитель H(x-t), стоящий после квадратных скобок, может быть
опущен, в результате чего формула E.7) становится тождественной
второй из формул E.2). Функция и_ определяется равенством
u. = S**(o+ + oJ- u+. E.9)
- 217-
Перейдем к случаю, когда при t = tx скорость точки раздела гранич-
граничных условий убывает, т. е. к случаю р <т. Запишем уравнение
D.1) так:
Р2- * * и- - E2+ * * о - Р2_ * * ujtf (/ - х) =
= (S2+**o-P2_**u+)#(x-/). E.10)
Ввиду того, что Р2_**ы_ = 0 при х > I для любого значения t,
из равенства E.10) следует
u_ = S2_ * * [{S2+ * * о - Р2_ * * ы+)Я(/ -х) + С2]. E.11)
Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным выше для
случая р> т.
Положим о+ = о1+ + о2+, где функция о1+ определяется второй
из формул E.2) для любого значения t Поскольку о2+ = 0 при t<tv
свертка S2+ * * о,+ = 0 при х < I и для t > tv Следовательно, произве-
произведение (S2+ * * o2jH(l - х) = 0 при всех значениях х Ф I и с точностью до
обобщенной функции, которую можно включить в неопределенную
функцию С2, справедливо равенство с известной правой частью
E2+ * * o)H(/-x) = (S2+ * * o_ + S2+ * * 01+)Я(/-х).
Подставив сюда выражение для о1+, определяемое, как было
условлено, второй из формул E.2) для любого значения t, и учитывая
тождества 52+ * * Р1+ * * 51+ = 52+, 52+* *Р1+* *Р1. = Р2., преобра-
преобразуем формулу E.11) к виду
х) + С2} • E.12)
Так же как и выше, приняв во внимание тождество 52+ * * ?1+ =
= Р2_ * * 51_^замечаем, что для периода f < tx множитель H(l - х), стоя-
стоящий после квадратных скобок, можно опустить. Используя тождество
S2_ * * S2+ * * Р1+ = Sj., находим
и. = Sx_ * * [E1+ * * о. - Рх. * * и+)НA -х) +
Сравнивая это с выражением E.2) для и_ видим, что формула E.12)
справедлива и для f < tl9 но при ^ < tx обобщенная функция С2 = 0.
Функция о+ определяется после этого так:
-218-
Рассмотрим теперь задачу о динамической деформации упругой
полуплоскости, на границе которой заданы одна из компонент напря-
напряжения, действующего на границу: о = о_(х</@) (другая компонента
равна нулю (- °° < х < °°)) и соответствующая компонента перемеще-
перемещения и = u+(x > l{t)). Искомыми являются функции о = о+ (х > /), и = и_
(х < /). Начальные условия нулевые.
Пусть при t < tx скорость точки раздела граничных условий удо-
удовлетворяет неравенствам - cR < / < сд, а при t > tx неравенствам
cr<1< c2. Выражения для функций 512±, ?12± определены равенства-
равенствами (ЗЛО) - C.18), из которых видно, что
g gR-iqfl. E.13)
(Заметим, что функции, обозначенные здесь как S/? Sf-jf, в соот-
соотношениях C.18) имеют индекс на единицу больше: 5^/, $??.) Переходя
к оригиналам, получаем
/а 1 д
\дх cR
d 1 д
+
dx cR dt
Вернемся к формуле E.7). Имеем
Поскольку свертка с б-функцией - тождественное преобразова-
преобразование, а дифференцирование не расширяет носителя функции, ясно, что в
данном случае выражение в квадратных скобках формулы E.7) равно
нулю при х < I и функцию Н(х - /), стоящую после этого выражения,
можно опустить. Учитывая, кроме того, что Р2+ * *Р2~ * *^i- = ^i+>
найдем
E.14)
-219-
Обратимся теперь к формуле E.9). Представим ее с учетом послед-
последнего равенства в виде
и. = 5** {о_- Р1+**[E1+**о_- P1.**uJ(l- Я(/-х))- CJ +
Используя тождества
S * * Р1+ * * 51+ = 5; S * * Р1+ * * Рх_
получаем
ux_ = V * * [(S1+ * * о_ - Pt_ * * и+)Я(/ - х) + CJ + S2_ * * С2 E.15)
Сравнивая зависимости E.14), E.15) с формулами E.2), видим, что
решение E.2), полученное для дорэлеевской скорости точки раздела
граничных условий, можно экстраполировать так, как это предписы-
предписывается указанными формулами E.2), - на диапазон Сд < / < с2. При
переходе через рэлеевскую скорость появляются, однако, дополни-
дополнительные слагаемые Р2+ * * С2 для напряжения о+ и S2. * * С2 для пере-
перемещения и_, где С, - неопределенная обобщенная функция, сосредо-
сосредоточенная при х = l(t) и равная нулю при t < tv
В плоской задаче требование непрерывности перемещения берега
трещины (ограниченности потока энергии) приводит к равенствам
Cl = 0, C2 = f(tN[x-l(t)]9 E.16)
где неопределенная функция f(t) = 0 при t <tx.
Действительно, функции S[?, i^f представимы в виде D.29), D.30),
и поэтому, как показано в § 5.4, Сх = 0. Что же касается однородных
решений 52_ * * С2, Р2+ * * С2, то, воспользовавшись соотношениями
D.29), D.30), D.32), D.33), E.13), находим для них следующие асимпто-
асимптотические выражения (х -* /):
(cR<u = i< с2).
Отсюда
u_ - - f(t)^f_(u)(u/cR - I)'1 -— № - x]\/2 ,
yjn dxK
- 220-
ot~-/(fL=/t(»)(»/cr l)-1-^*-^)];1'2. E.17)
V^ 0XK
Видно, что при к = 0 (и только при к: = 0), когда функция С2 опре-
определена выражением E.16), однородные решения удовлетворяют
нужным условиям. При этом функция f{t) остается неопределенной.
Она соответствует сосредоточенному источнику энергии, движуще-
движущемуся со сверхрэлеевой скоростью (cr < / < с2).
Как следует из формул B.2.25), D.31), E.17), интенсивность излу-
излучения энергии из края трещины связана с функцией f(t) следующим
образом:
1- v / 1 + Ц/с,
2 c/f
§ 5.6. Автомодельная задача
Рассмотрим задачу о трещине, начальная длина которой равна
нулю. В этом случае метод, основанный на последовательном учете
взаимного влияния напряжений о^х^/Д изложенный в §5.4, не
может быть применен. Если задача автомодельна: и = tKb(t/xu t/x2),
то ее можно решить другим способом, например на основе метода
функционально-инвариантных решений [32, 31, 117, 122]. При этом
используются решения уравнений теории упругости, определенные
и вне плоскости трещины. Однако для приближенной модели A.30)
состояние вне указанной плоскости не определено, постулирована
лишь связь D.1) между перемещением и напряжением в плоскости
трещины. С целью получить решение как для точной, так и для прибли-
приближенной моделей, воспользуемся другим методом, основанным на
введении аналитических представлений, определяемых формулами
A.16), A.17). Для реализации этого метода достаточно соотноше-
соотношения D.1).
-221-
Полагаем, что функция SLF(s, q) D.1) удовлетворяет условиям
SLF(s,sp) = -SLF(l,p);
S
— SLF(l, - it/z) = S0(z/t) - - const (z = x + iy, \z\ - °°);
z z
F.1)
So[(x + i0)/t] = -So[(x-iQ)/t] (-u0t<x<u0U oo>0),
причем функция SQ(z, t) ограничена и отлична от нуля в некоторой
полосе + 0 < у < а (- а < у < - 0), - (и 0 - z)t^ х < (и 0 - t)t при любом
значении е > 0. Введенные в § 5.1 функции SLF{s, q), отвечающие
рассматриваемым задачам, удовлетворяют условиям F.1). Для задач
I, II и0 = Ср, для задачи III и0 = с2.
Пусть напряжение o(t, x) представимо в виде
o=Dn(t)*Q(x/t). F.2)
Обобщенная функция Dn{t), п = 0, ± 1,. . ., определена так:
При этом свертка с Dn(t) означает - п-кратное дифференцирование по t
(п < 0), n-кратное интегрирование (п > 0) или тождественное преобра-
преобразование (п = 0), Dn(t) * Dm(t) = Dn+m(t). Из представления F.2) следует,
что LF- преобразование функции о((, х) имеет вид
0LF(s,q) = s-"-2Q0(s/q), F.3)
где Qo"~ некоторая функция, которая получается в результате указан-
указанных преобразований. Отсюда и из соотношений D.1), F.1) получаем
uLF(s, q) = s-»-3Q0(s/q)SLF(l, q/s), F.4)
и, следовательно, перемещение представимо в виде
u(t,x) = Dn+1(t)*Q1(x/t). F.5)
Значение п в F.2) - F.5) определяется зависимостью для напряже-
напряжения о_ или перемещения и+ (для них это значение предполагается
одинаковым). Так, если o_ = 6(uof-x), то п = -1. Действительно,
О = Я(ио-х/0, o_ = d/dtQ{x/t) = D-1{t)*Q(x/t). Для о. = const(- o_f<
<x<u+t) n = 0.
Используя формулы A.16), A.17), находим связь между аналитиче-
аналитическими представлениями для функций и и о (обозначаем их теми же
-222-
буквами, но вместо переменной х для и и о пишем z для их аналити-
аналитических представлений):
[—) = D.n.l(t)*o(t,z).
2niz \t
Отсюда
u{t,z) = Dn+2{t)*
r \ il
t ч v. t[D.n-2(t) * u(t, z)]
0(t,z) = Dn+1(t)* —— . F.6)
Полагаем, что для функций u{t, x), o(t, x) существуют представле-
представления Коши, которые даются формулами A.16), A.17), и введенные здесь
аналитические представления - представления Коши. В связи с этим
ofcz)-Od/z), u{t,z) = O{llz) (Ы-~). F.7)
Данное предположение, очевидно, выполняется в рассматриваемой
задаче о трещине, поскольку при любом конечном значении t функ-
функции и, о- финитные.
Пусть заданы функции
u(t, х) = u+(f, х) {х <- IV, х > иа0;
0(t х) = o.(t х) (- IV < х < иа0; F.8)
и требуется найти функцию
u = u.(- ^xt<x<u2t), о = о+ (х<-01|, х>и20.
При сформулированных условиях F.6) - F.8) решение задачи не
единственно, так как существуют нетривиальные однородные реше-
решения. Например, для п = - 1, положив и+ = о_ = 0, можно записать
u(t, z) = uo(z/t) = i[
- u2)]/2sgnx (х<-и^, x>u2r, y=0),
F.9)
1/2 (-u^<x<M, y=±0).
- 223 -
При этом
О (x<-iV, x>u2t)
у-+0
и, так как при -u1t<x< iJt uo(z/t) = - uo(z/t) (у = + 0), в соответ-
соответствии с равенствами F.1), F.6) на том же интервале o(t, z) = o(t,z)
(у = + 0), а следовательно, о_ = 0. Вместе с тем ы_ Ф 0, о+ ^ 0, т. е. нетри-
нетривиальное однородное решение действительно существует.
В связи с этим введем, как обычно, условие непрерывности пере-
перемещения границы полуплоскости
u,{U + u12t ± е) - u+(t, + u12t + e) - 0 (е - 0), F.10)
которое для задачи о трещине ограничивает поток энергии. Уравнение
F.6) решается, по существу, тем же методом, что и аналогичное урав-
уравнение для статики (см. § 2.2). В соотношение F.6) введем функцию Q
Скачок функции Q на вещественной оси Q(t, х) = Q(t, z) - Q(t, z)
(y = + 0) при x<-u1f и при x>u2t известен. Функция [гио(гА)Уг
в указанных областях непрерывна, поэтому он определяется так:
Ofe x) = [D.n.3W * u(t, x)]/[xuo(x/t)] =
= [D.n.2(t) * u+(t, x)]/[xuo(x/t)]. F.12)
Второе равенство вытекает из первого, поскольку скорости концов
трещины -о^О, и2>0, и если при некотором значении t=tx коорди-
координата данной точки х > u2tx или х < - о^, то эти неравенства сохраня-
сохраняются и для t < tlf вследствие чего свертку по времени с функцией и
можно заменить (для указанных областей) на свертку с функцией и+.
На интервале - uxt<x<u2t непрерывно отношение S0{z/t)/u0(z/t).
Поэтому на том же интервале, как видно из равенства F.11),
Здесь, вообще говоря, нельзя заменить о на о_: если функция о
интегрируется (п = - 2, - 3,. . .), то для t=tx свертка будет зависеть от
напряжений o(t, х), которые для t<t19 точнее, для t < max (-х/и 19
х/и2), обозначены как о+. Однако при п > - 1, когда свертка в правой
части равенства F.13) не меняет носителя функции o(t, x),
-224-
поэтому скачок Q(t,z) известен и в указанном интервале. Именно
этими значениями л ^- 1 и ограничимся.
Остается учесть возможные скачки в точках х=- и^, х = и?
существенные для дальнейшего лишь как сингулярные обобщенные
функции. Поскольку последние сосредоточены в указанных точках,
а функция Q(U), как следует из ее определения F.11) и выражений
F.5), F.9), представима в виде Q(f, z) = D_^f) *M(z/t) (М- некоторая
неопределенная функция), можно написать
ф/х) = I t<»->[Am&(™)(x+ ux/) + Вт&(т\х- и20]
m-0
(х=-и^ x=u2t), F.14)
где Ат,Вт- неопределенные постоянные.
Из выражений F.5), F.9), F.11) видно, что fi(f, z)= O(l/z) при
\z\ -* °° и, следовательно, Q(t, z)- представление Коши для Q(t, х).
Таким образом, функция Q(t,z) определяется интегралом типа Коши
по ее скачкам F.12), F.13), F.14). Для перемещений и напряжений,
используя равенства F.11), можно написать следующие формулы:
u(t,x) = lim[u(t,z)- u(t,l)];
)- o(t,z)];
m »?Ч "'
- z)
F.15)
Здесь у - область интегрирования: ? < - Ujf, ^>u2^; сумма по
m - аналитическое представление обобщенной функции - Q(t, x) для
точек х = - uxt, x = u2tF.14). Из условия F.10) следует к=п. Искомые
функции и, о определены формулами F.15) с точностью до 2(п + 1)
произвольных постоянных (п = ~ 1, 0, . . .). Функция иоB/0 и все
слагаемые в выражении для w{z/t)y кроме интеграла по области у F.15),
непрерывны на у. Отсюда, как непосредственно видно из формул
15-171 -225-
F.15), последние определяют перемещения на у (и = и+) независимо
от значений упомянутых постоянных. Напряжения о на интервале
-ult<x<u2t при п>- 1 от этих постоянных зависят, поскольку
свертка с Dn+1M F.15) означает (п + 1) кратное интегрирование по t.
По той же причине, по которой нельзя было заменить о на о. в форму-
формуле F.13) при п < - 1, можно утверждать, что вклад в интеграл на ука-
указанном интервале будут давать значения о = о+, соответствующие
однородным решениям.
Из сказанного следует, что произвольные постоянные должны
определяться условием F.8) относительно функции о. А именно, они
должны быть выбраны так, чтобы на интервале - u1t<x<u2t напря-
напряжение о, рассчитанное по формуле F.15), совпадало с заданным: о = о_.
Из соотношений F.15) следует, что при 0 < х < u2t
x/U2
(^фЛ
FЛ6)
где Ф^хД)- скачок функции Фх(гА) = w(z/t)/[(z/t)SQ(z/t)] при x>u2t.
Второе слагаемое в правой части выражения F.16) должно быть равно
нулю. Следовательно,
1/и2
I Tm-iOi j_|dT=0> ш = 0, 1,...,П. F.17)
о
Система линейных уравнений F.17) определяет постоянные Вт.
Точно так же из условия о = о_ при - и^ < х < 0 получается система
уравнений относительно постоянных Ат:
о
где Ф2(- x/t) - скачок функции Ф2(- z/i) = w(z/t)/[(z/t)S0(z/t)] при
В симметричной задаче, т. е. в случае когда ох = и2 = и, o_(t, -х) =
= o,(t,x) имеем Ат = Вт. При этом, как следует из формул F.15),
при;с-*и* + 0 коэффициент интенсивности напряжений выражается
следующим образом:
Id I t\n*i
Кz
S0(u)Jnui\ и
[ S0(a)Q(a) j
:"и / -, da (n = -
-226-
Qbc/t) = to_(t, x); d = (- 1)П+1ШП (п = 0,1,. . .). F.18)
Пусть к берегам трещины приложены постоянные сосредоточенные
силы: о_(/, х) = - &{x)H{t) (л = - 1). Тогда из формул F.18) получаем
50(и)
где / = uf- текущая полудлина трещины, функция /0 определена
формулами D.35)- D.37) (см. рис. 5.3). Сравнивая с формулой B.2.17)
для р(?) = 6(?), видим, что здесь отношение статического коэффициен-
коэффициента интенсивности напряжений к динамическому равно/0(о).
В случае равномерно распределенной нагрузки ojt, х)=— H(ut-
- \x\)H(t) получаем зависимости
EDV) ^ - ^i>2^(u) ^ 1 (и - 0). F.19)
Здесь К к Е- полные эллиптические интегралы первого и второго
рода.
Для приближенного описания A.30)
F.20)
На рис. 5.11 представлены графики отношений К(и)/К@), построен-
построенные по формулам F.19) и пронумерованные соответственно рассматри-
рассматриваемым трем задачам, а на рис. 5.12, 5.13- отношения KffKi, Kfa/Кц
соответственно (v = 0,3). При расчетах принимались значения парамет-
параметра fyi,2)*> определяемых формулами A.31).
Как видно из рис. 5.4, 5.10, 5.13, в случае задачи II приближенное
-227-
описание приводит к довольно значительному отличию от точного
результата даже для умеренных скоростей. Лучшее соответствие
получается при выборе параметра b2ie из условий совпадения функций
Slx и 5110 в среднем на интервале 0 < x/t < cx [86] (принимаются глав-
главные значения соответствующих интегралов). Графики зависимостей
отношений bxjb2 (кривая 1), b2jb2 (кривая 2) от коэффициента Пуас-
Пуассона показаны на рис. 5.14, а соответствующий этому график отноше-
отношения коэффициентов интенсивности напряжений К^/Кц, определенных
по формулам F.19), F.20), - на рис. 5.15.
0ч25 0,50 0,75 \Щ
ш0 0,25 0,50 0,75 v/c2
Рид. 5.12.
-Ц25
Рис. 5.11.
1,10
0,90
0,70
\
\
\
0 0,25 0,50 0,75 /сг
Рис. 5.13.
0,8
о,
-—-—•
1 0,
2
\
^>
2 0,
Ъ 0
1
У
1,30
1,20
1,10
1,00
0,90
I
О 0,25 0f50 0J5 v/cz
Рис. 5.14.
Рис. 5.15.
-228-
§ 5.7. Некоторые задачи о динамике
полубесконечной трещины
Начнем, как обычно, с антиплоской задачи. Пусть, полубесконеч-
полубесконечная трещина (х < /@) расширяется со скоростью j < с2 (/> 0). Как было
показано выше C.9), функции S+, Р+ для антиплоской задачи сосре-
сосредоточены на луче x = c2t. При этом общее решение нестационарной
задачи относительно напряжения на продолжении трещины О23=о+,
соответствующее импульсу о _ = б (t - 10 N (х - х0), х0 < I @), дается
формулой D.9) при С = 0
л(х-х0) V х- 1(т0)
где т0 подчиняется уравнению
G.1)
G.2)
Итак, при действии сосредоточенного импульса напряжение на
продолжении трещины представляет собой сосредоточенную силу,
движущуюся со скоростью и и изменяющуюся во времени. Параметр
т0, удовлетворяющий уравнению G.2), соответствует моменту, когда
фронт волны, излученной импульсом, достигает края трещины и по-
порождает указанную сосредоточенную силу.
Перемещение в плоскости хх = х, х2 определяется сверткой фунда-
фундаментального решения A.18) с напряжениями о_ + о+[о_ = 6(f- to)$(x-
- х0), о+- определяется зависимостью G.1)]. Вычисления приводят
к формуле
Ш х„ x2)Y {НШ х19 х2)] -
- H[f(t -T0 + t0, хх- с2(т0 - t0), x2)]};
fit, x19 x2) = {t- t0J - Ь22[{х1 - х0J + х2]; Ъ2 = 1/с2.
Таким образом, при действии на берега трещины указанного
импульса влияние ее движения сказывается лишь через параметр
т0 - время прихода фронта сдвиговой волны, излученной импульсом,
к краю трещины. Последующее движение трещины @ ^ / < с2) не вли-
влияет на решение.
Перемещения в плоскости хх> х2 определяются суммой прямой
и отраженной волн. Первая описывается фундаментальным решением
A.18) и представляет собой цилиндрическую сдвиговую волну, излу-
излученную импульсом, действующим на границу полуплоскости. Вторая
возникает в момент прихода фронта прямой волны к краю трещины.
- 229 -
ис* * '
В круге, ограниченном ее фронтом
(*i -л - с2(т0 - 'о)J + *2 < bl(t -
- т0J, отраженная и прямая волны
взаимно уничтожаются, поэтому
перемещения и напряжения там
равны нулю (см. рис. 5.16, где возму-
возмущенная область заштрихована).
Решение, соответствующее про-
произвольной нагрузке берегов трещи-
трещины, получается из приведенных
выше суперпозицией. В частности,
зависимость для напряжений на про-
должении трещины имеет вид
х- хп
f о) - *о
G.3)
При вычислении асимптотики напряжений (х -+ l(t) + 0) уравнение
относительно та легко разрешается. Действительно, при этом !«->?,
и если в данный момент скорость трещины l(t) непрерывна, то Дт0 -
- l(t) — i(t)(t - т0). Отсюда и из указанного уравнения следует
c2~Ht)'
G.4)
Учитывая это, можно записать
о *-•
- хп
x~c2t
х- хп
Заметим, что при постоянной скорости трещины асимптотические
равенства G.4) становятся точными.
Пусть берега трещины при t = 0 нагружаются постоянными равно-
равномерно распределенными напряжениями o_ = -o = const. При этом
из формулы G.3) получаем
2о
л
2о I
л У
Vs
't(c2
х-
г2(-х + /(
х-/(т0:
- /W)
-/@
т0) /c2f-x + /(r0)
) arCtg7 jc-/(T)
(х - l(t) + 0).
-230-
G.5)
Предположим, что критический коэффициент интенсивности
напряжений Кщс = К не зависит от скорости трещины. Тогда, учитывая
асимптотическое равенство G.5), приходим к следующему уравнению
относительно скорости трещины:
_2о_ / К
л
Отсюда
пК2 \ пК2
на-а **=-
8о2;Г" *" * 8o»c,f
t
Ш) = /@) + \c2t - c2U II + In -Ц\ H(t - Q,
где f* - время между моментом нагружения берегов трещины и нача-
началом ее движения. Иногда эту задержку движения, проявляющуюся
в эксперименте, ошибочно относят к свойствам материала. В действи-
действительности она, как показано выше, представляет собой время нараста-
нарастания коэффициента интенсивности напряжений до своего предельного
значения. В дальнейшем скорость трещины (в данной модели процесса)
асимптотически приближается к скорости волны сдвига [59]. Если
на берега трещины действуют внезапно приложенные постоянные
сосредоточенные силы [о_ = - Qf>(x)H(t), /@) > 0], то из формулы G.3)
следует
+ пх V x-/(t0)
Вводя, как и выше, постоянный критический коэффициент интен-
интенсивности напряжений К, находим
/@ = /@)+[— -/@) I fl - е~а^
nc2K2
i
-231-
Видно, что при достаточно большой силе [с2/а > /@)] после прихода
сдвиговой волны к краю трещины последняя начинает расширяться
с уменьшающейся скоростью [начальное значение скорости /(f*) = c2-
- ос/(О)] и ее край удаляется от точки приложения силы на расстояние
/(°°) = с2/а.
Перейдем к плоской задаче. С целью упростить окончательные
результаты воспользуемся приближенным описанием A.30). Как было
показано выше (см. также [86]), по крайней мере для дорэлеевской
скорости трещины, результаты, следующие из приближенного описа-
описания, достаточно близки к точным. Ограничимся определением напря-
напряжений на продолжении трещины. Для кратности будем писать сх или с2
вместо clie = l/blic (задача I) или с2* = 1/Ь2* (задача Ц), имея в виду, что
значение этого параметра в окончательных результатах можно заме-
заменить в соответствии с приведенными выше рекомендациями.
Пусть 0 ^ l(t) < cr. Напряжения на продолжении трещины о+ = о22
(задача I) или о+ = о12 (задача II) определяются второй из формул D.9),
где С = и+ = 0. Если о_ = 6(t - to)&(x - х0), то, как следует из указанной
формулы,
о+ = - P+(t, х) * * [S+(f- f0, х- хо)Н (х- Щ]. G.6)
В соответствии со сказанным в § 5.4 и формулами C.15), C.16)
S+(t, х) = S03(t, х) * * S04(t, х) =
2у/пс1
/ 1 д а
— —+ —
\cR dt dx
Подставляя это в формулу G.6), получаем
cr j /1 а а \
о = — ^с - Cr — — + — ф .
2л г K\cR dt dxj
с^- х)] * * [(х- х0 - cR(t- t0));3'2 x
х H(cx(t- t0) - x + хо)Я(х - /(*))] =
-2
-232-
H{Cl(t-t0)-x + x0)
x-xo-CR(t-to)
где параметр тл удовлетворяет уравнению
G.7)
Из последнего соотношения следует
/ 1 д с
дх ct-/(ij'
Возвращаясь к равенству G.7), находим
(С — pd) Со — /^Т )
0+
2л
J
Для нагрузки общего вида о_ = o_(f, x) решение получается супер-
суперпозицией. Его можно записать так:
у/с^ - сд) cj?-/(tJ
О . = : X
2л
:
Cl - /(т
/(О
(/-OVqC^-g
/с, - Сд СД- /(Г) 1
¦л„
/(О f
2л
/c7-lw Jx-W)
U(t)-
Ht)-ctto
-233-
- х0 - cR(t - to)Y+3'2 H[Cl(t - t0) - I(t) +x0]o_(t0,x0) X
x dtodxo (x - l(t) + 0).
В частности, для постоянной сосредоточенной силы о_ = - s?6(x-
-xo)H(t) A@) >х0)
Oil- /(т J/ск If 1
л
На интервале
i^ X~/(T*)
). G.8)
G.9)
второй член в квадратных скобках G.8) отличен от нуля и по модулю
больше первого. Следовательно, если Q > 0, т. е. силы раскрывают
берега трещины (задача I), в начальный период G.9) на продолжении
трещины имеет место сжатие. В период сжатия, как это видно из соот-
соотношений между напряжениями о+ и перемещениями берегов трещины
при ее дорэлеевской скорости (см. § 5.2), берега трещины должны
заходить друг за друга, что, конечно, невозможно. Поэтому, по край-
крайней мере в период (х - x^lc^ <t< [l(t) - хо]/с#, указанное выше
решение задачи I не годится. Однако в дальнейшем, после прихода
волн Рэлея [t > (l(t) - x^cr], область сжатия уходит от края трещины
и возникает растяжение. В связи со сказанным ясно, что более пра-
правильная запись формулы для коэффициента интенсивности напряже-
напряжений при Q = const > 0 должна иметь вид
. ГТ
K, = limJ2n[x-l(t)]o. = Q —
i - /юл*
¦ X
H[CRt-l(t)-
X —
- 234-
Как показал В. А. Сарайкин [85], при достаточно быстром росте
силы, действующей на берега трещины, излучение волны отрицатель-
отрицательных напряжений может приводить к торможению трещины.
Приведем еще решение, отвечающее постоянной равномерно
распределенной нагрузке берегов трещины: о_ = - о = const (х ^ /(г)).
Решение можно получить суперпозицией, основываясь на зависимости
G.8). Для этого достаточно заменить Q на о и проинтегрировать правую
часть указанного выражения по х0 (по всему носителю). В результате
найдем
2о Г 1 - /(т J/сд cRlcx
л
-arctg
л-
Видно, что в отличие от антиплоской задачи здесь при ограничен-
ограниченном критическом коэффициенте интенсивности напряжений скорость
трещины должна стремиться к скорости волн Рэлея. В действитель-
действительности, как показывают эксперименты, в условиях механического
нагружения предельная скорость трещины оказывается существенно
ниже скорости волн Рэлея [47, 49, 120]. Возможно это объясняется
влиянием нагрева материала у берегов распространяющейся трещины,
происходящего вследствие поглощения энергии, выделяющейся при
разрушении [25, 47, 108].
ГЛАВА 6
ДИНАМИКА ТРЕЩИН
В СРЕДАХ СО СТРУКТУРОЙ
В 80-х гг были опубликованы точные решения задач о динамиче-
динамическом распространении разрушения в некоторых моделях линейно-упру-
линейно-упругих сред со структурой. Основные цели исследований в этом направле-
направлении - определение зависимости трещиностойкости материала от
параметров его структуры и скорости трещины, а также выявление
и описание тех эффектов, которые не обнаруживаются в рамках клас-
классической сплошной упругой среды без структуры.
- 235 -
Начало было положено статьёй [100], где рассматривалась антипло-
антиплоская задача о распространении трещины в решетке с квадратными
ячейками. Антиплоской задаче посвящены, кроме того, статьи [101,
102]. В работе [41] дано решение задачи о динамике трещины при пло-
плоской деформации решетки. Более простая задача из этого класса,
позволившая провести наиболее полное исследование аналитически-
аналитическими средствами,- одномерная задача о волне разрушения в цепочке
[НО]. Некоторые заключения, относящиеся к динамике трещин в
средах со структурой довольно общего вида, сделаны в статьях [103,
104, 105]. В [39, 40] исследовано влияние анизотропии решетки. С тех
же позиций и теми же методами исследовано распространение трещи-
трещины в модели армированного (слоистого) материала [58] и в среде блоч-
блочной структуры [106]. Роль структуры освещается также в работах
[51,52,60].
Основное, что позволяет учет структуры, это возможность обна-
обнаружить волны, уносящие часть энергии от края распространяющейся
трещины или от фронта волны разрушения. Параметры этих волн
и создаваемый ими поток энергии оказываются существенно завися-
зависящими от структуры среды и от скорости распространения разрушения.
Учет мощности излучения позволил выразить макроскопические
критерии разрушения - энергетический критерий Гриффитса и сило-
силовой критерий Ирвина - как функции скорости распространения разру-
разрушения, зависящие также от параметров структуры. Характерным для
решеток является минимум трещиностойкости (минимум общей
энергии, потребной для распространения трещины), достигаемый
в районе половины критического значения скорости - скорости волны
сдвига для антиплоской задачи и волны Рэлея для плоской. В работе
[39, 40] установлено сильное влияние анизотропии на поток энергии,
идущий в край трещины на макроуровне. Для армированного мате-
материала с относительно малой жесткостью связующего при распростра-
распространении трещины разрыва волокон с собственно поверхностной энергией
можно не считаться, так как ее вклад пренебрежимо мал по сравнению
с энергией излучения, обусловленного структурой [58]. Это позволило
выразить эффективную поверхностную энергию через прочностные,
упругие и геометрические параметры композита.
Из результатов, приведенных в упомянутых работах, следуют
принципиальная возможность распространения трещины со* сверхзву-
сверхзвуковой скоростью, когда энергия, идущая на разрыв связей, отбирается
лишь из ближайших слоев решетки [101], и неустойчивость распростра-
распространения разрушения с малой скоростью (это относится, конечно, только
к хрупкому материалу).
Задачи ставились как однородные стационарные (для наблюдате-
наблюдателя, движущегося вместе с фронтом разрушения). Рассматривались
полубесконечные трещины (волна разрушения). Это, однако, не пре-
препятствует перенесению результатов и на конечные трещины, распро-
распространяющиеся с переменной скоростью, если только масштабы на
микроуровне много меньше соответствующих макроскопических.
Бесконечные системы дифференциальных уравнений динамики решетки
- 236-
решались с помощью дискретного и непрерывного преобразований
Фурье и методом Винера- Хопфа. В решении для решетки определя-
определялись предел, соответствующий моменту разрыва связи, и длинновол-
длинноволновая асимптотика, отвечающая решению той же задачи для сплошной
среды без структуры. Сравнение этих результатов позволяет найти
отношение собственно энергии разрушения (энергии разрыва связи)
к полной энергии, стекающей к краю трещины по длинноволновому
приближению среды без структуры.
§6.1. Решетки и эквивалентные им сплошные среды
Рассмотрим дискретную периодическую систему, состоящую из
абсолютно жестких масс - „частиц" (возможно наделенных моментами
инерции), взаимодействующих друг с другом с помощью безынерцион-
безынерционных связей. Независимо от того, моделируется ли таким образом
кристаллическая решетка [30, 53] или какая-либо макроскопическая
упругая система, будем употреблять термин „решетка" и говорить
о ней как о среде с микроструктурой, а о динамике решетки - как о
процессе на микроуровне. В отличие от этого динамику сплошной
среды без структуры - длинноволновое (низкочастотное) приближе-
приближение для динамики решетки будем называть процессом на макроуровне.
Периодичность означает существование такой тройки некомпла-
некомпланарных векторов- трансляционных векторов ак, к = 1, 2, 3, что при
смещении в целом на любой из них решетка остается неизменной
(имеются в виду наименьшие по модулю вектора, удовлетворяющие
этому условию). Говоря о периодичности, имеют, конечно, в виду
начальное (недеформированное) состояние решетки. Параллелепипед,
построенный на векторах ак, называется ячейкой (элементарной ячей-
ячейкой). Выбор указанной тройки векторов и, следовательно, форма
ячейки не однозначны. Однако объем ячейки фиксирован, так как
число периодически повторяющихся групп частиц - число ячеек,
содержащихся в данной (достаточно большой) области, не зависит от
того, какая форма будет приписана ячейкам.
Если решетка кинематически не изменяема (т. е. не является меха-
механизмом) и свободна (ее частицы не закреплены), то в отношении макро-
макроскопически равномерной статической деформации она эквивалентна
некоторой сплошной упругой среде без структуры. Определим упру-
упругие свойства такой среды, основываясь на зависимости потенциаль-
потенциальной энергии решетки от обобщенных перемещений.
Перемещения частиц решетки (проекции перемещения на прямо-
прямоугольные оси хк, к = 1, 2, 3) при ее макроскопически равномерной
деформации можно представить в виде
"к = YkPQ + *4 (v), yKi = const,
где и? - „местное" перемещение частицы (например, относительно
центра масс в ячейке); v - номер частицы в ячейке. Из однородных
-237-
уравнений равновесия можно выразить и^ (v) через yKi, а затем, через
те же параметры найти потенциальную энергию деформации связей
решетки, приходящуюся на одну ячейку. Разделив эту энергию на
объем ячейки, получаем зависимость для удельной потенциальной
энергииU0(yll9y12>. . • У33У
Определим эквивалентную сплошную среду без структуры той же
зависимостью плотности потенциальной энергии от yKi, полагая послед-
последние компонентами градиента перемещения сплошной среды ик:
Ук1 = duK/dxi9 ик = yKlxi + ск, ск = const.
Тогда, если взять достаточно большие „образцы", вырезанные
из решетки и из эквивалентной ей сплошной среды, и, приложив силы
к их границам, подвергнуть их макроскопически равномерной дефор-
деформации, получим (при равных силах) достаточно малые отличия в отно-
относительных перемещениях границ [вследствие ограниченности u? (v)].
Иными словами, определенная так эквивалентная сплошная среда
обладает той же упругостью, что и решетка при ее макроскопически
равномерной деформации.
Для сплошной среды обобщенным координатам yKi соответствуют
обобщенные силы 0/к в том смысле, что
dUo/dyKl = olK, A.1)
где 0iK - компоненты (несимметричного) тензора напряжений Пиолы-
Кирхгофа (см. § 3.1). Равенство A.1) устанавливает связь между дефор-
деформацией и напряжениями „эквивалентной" сплошной среды. При малых
деформациях и поворотах, т. е. при yKi -> 0 тензор 0/к переходит в сим-
симметричный тензор напряжений 0\к. В этом предельном (линейном)
случае
°1к =
и, следовательно, упругие модули определяются так
d2U0
Отсюда видно, что в общем случае имеется 21 постоянная; если же
среда изотропна (если решетка эквивалентна изотропной среде), их
число сокращается до двух (см. по этому поводу [68]).
Модель сплошной среды без структуры можно использовать
и в случае макроскопически неравномерной деформации решетки,
если только деформация изменяется достаточно медленно в масштабах
радиуса взаимодействия и размера ячейки. При распространении
введенного выше соответствия на динамику необходимо потребовать,
чтобы перемещения медленно изменялись не только по координатам,
-238-
но и во времени. Естественным масштабом времени для решетки
является наибольший период длинноволновых „оптических" колеба-
колебаний (когда частицы в ячейке движутся преимущественно относитель-
относительно центра масс), частота которых не стремится к нулю с увеличением
длины волны (см., например, [30]). Если это условие выполнено, то
основной вклад в кинетическую энергию дает движение частиц вместе
с центром масс ячейки, вследствие чего сохраняется (статическая)
зависимость потенциальной энергии от 7к/« При этом плотность сплош-
сплошной среды р0 определяется как средняя плотность масс в решетке.
Осредняя тем же способом внешние силы, приходим к уравнениям
динамики эеквивалентной сплошной среды - длинноволновому
(низкочастотному) приближению для уравнений динамики решетки
а ди0
Р<7 A-2)
dxi d(duK/dxi)
где qK - проекции внешних сил, отнесенных к единице массы.
Соответствие между дискретной средой и некоторой сплошной
можно установить и в более общем случае [42], когда неравномерность
деформации и скорость ее изменения произвольны - не являются
малыми. При этом, однако, сплошная среда по необходимости будет
обладать другими свойствами, ее деформация не будет подчиняться
уравнению A.2).
О точном соответствии между функциями дискретного и непре-
непрерывного аргументов можно говорить, конечно, лишь в том случае,
когда они совпадают в точках, где определена первая. Интерполяция
вне указанных точек, вообще говоря, произвольна. Естественное
дополнительное условие, делающее такую интерполяцию единствен-
единственной, - минимальность ширины спектра функции непрерывного аргу-
аргумента, что достигается восстановлением ее по преобразованию Фурье
над функцией дискретного аргумента.
Преобразование Фурье функции дискретного аргумента п и форму-
формула обращения имеют вид
1<ь<г3); (ьз)
п
ЛП) = ГТГ I f°(<l)e~iqndQ> n = (n19n29n3), dq = dqtdq2dq3, A.4)
BлK J
где Б„ - куб: - л < qK < n (показатель степени 2я перед интегралом
равен размерности пространства). Интерполяция /(?), ? = (?i> ^2> ^з)
определяется формулой A.4), в которой пк полагаются непрерывными
(заменяются на ?к)
Г
A.5)
-239-
Отсюда преобразование Фурье функции непрерывного аргумента
оо оо
Г 1 ГГ
fF(q) = /(De'^dS =—-— \fbip)eir*o-P> dpd\ =
J BлK JJ
-оо -оо В
= I /Fo(pN(p - q)dp =fF°№Bn(q), d% = d^^2^3, A.6)
где 6(р) - дельта-функция Дирака в трехмерном пространстве
I = б(р1N(р2N(р3)], Нв (q) = Ня е Вп\ Нв = 0 (q ^Bn).
Пусть А - множество функций /(л), пк = 0, ± 1,. . .; В - множество
функций /(?), где ? - непрерывная вещественная переменная, таких
что fF(q) = 0, если q^ Вп. Тогда соотношения A.3), A.5) устанавливают
взаимно-однозначное соответствие между /(я) и /(?). Такое же соот-
соответствие имеет место и в отношении некоторых операций над ними.
Во-первых, если существует предел fF°(q) при q ~+ 0, то
так как fFo @)=/F @).
Во-вторых, если взять две пары соответствующих функций /1>2(л),
/^2(?), то их свертки - дискретная и непрерывная - также будут соот-
соответствующими функциями, т. е. если обозначить
/» * /2(л) = I /»/2(л - т) = /(п), A.7)
m
то непрерывная свертка
Ш*/2F) = Г/,Ш6- n)dn =/(!)• A.8)
-оо
Это следует из того, что между „изображениями" сверток (q e Вп)
и „оригиналами" - самими свертками - существует взаимно одно-
однозначное соответствие, а изображения/f2(g) =f*o2{q) при q e ^n.
Заменим в A.7), A.8) /2(п) на /2(-л), /2(?) на /2(- ^). Тогда из срав-
сравнения указанных равенств следует
Z A(ra)/2(ra) = Г Л(П)ШЛ| (п = ? = 0). A.9)
m -оо
В линейных системах энергия - квадратичная функция, и равенство
A.9) позволяет установить точное соответствие между дискретным
и непрерывным описанием однородных систем; дискретной и непре-
непрерывной функциям, совпадающим при целочисленных значениях
-240-
пк=?,к> соответствуют одинаковые значения энергии, определяемой
суммированием по указанным значениям и интегрированием.
Применению дискретного преобразования Фурье в задачах для
систем с периодической структурой посвящена статья [72].
§6.2. Стационарная задача
Нашей целью является вывод макроскопического критерия разру-
разрушения упругой среды через параметры ее микроструктуры. Имея это
ввиду, можно считать, что по масштабам микроструктуры скорость
трещины, направление ее распространения изменяются достаточно
медленно. Это позволяет рассматривать установившиеся („стационар-
(„стационарные") режимы для полубесконечной трещины, развивающейся с по-
постоянной скоростью, хотя на макроуровне трещина может быть конеч-
конечной, а параметры ее движения - переменными.
Таким образом, в рамках указанной цели основное значение при-
приобретает стационарная задача динамики решетки.
Единственность обсуждавшегося выше соответствия между ди-
дискретным и непрерывным была обусловлена привлечением дискрет-
дискретного преобразования Фурье A.3)- A.5). В стационарном случае, одна-
однако, более удобной является другая интерполяция.
Рассмотрим периодическую функцию
—, xl+al9 х2, x3\=f(t9x19x29x3)9 B.1)
где хк - дискретная переменная (хк = ск, ск ± ак, ск ± 2ак,. . .); t - не-
непрерывная. Такая функция может быть решением „стационарной"
задачи: наблюдатель, перемещающийся (скачками) вдоль координаты
xt через равные промежутки времени aju{u - средняя скорость),
в каждый период между скачками будет видеть одну и ту же картину
(изменяющуюся в течение периода ах/и). Ясно, что функция, удовле-
удовлетворяющая условию B.1), в действительности зависит не от t и х
отдельно, а лишь от разности - ut + хх = т|:
f=fo(-ut + x1, x2, х3). B.2)
При и Ф 0 ее первый аргумент принимает все вещественные значения
из-за непрерывности времени U Переходя к „соответствующей" фун-
функции непрерывного аргумента х19 конечно, проще всего не менять
представления B.2), полагая в нем координату хх непрерывной. Тогда
функция /0 будет отвечать стационарной задаче в полном смысле этого
слова: /0 не зависит от t для наблюдателя, движущегося вдоль оси хг
с постоянной скоростью и. Ввиду того, что на зависимость / от t не на-
накладывается никаких ограничений, зависимость /0 от ц (от непрерыв-
непрерывной переменной xj, вообще говоря, не отвечает соотношению A.6),
т. е. преобразование Фурье над ней по хх не принадлежит множеству
-241-
Бп, а сама функция /0 не принадлежит множеству интерполирующих
функций, рассмотренных в §5.1. При этом преобразование Фурье /0F*
(q, х2х3) по непрерывной переменной т) =хх - ut можно рассматривать
как преобразование по (- ut) при фиксированном хх = О или как преоб-
преобразование по непрерывной переменной х при of = 0.
Предположим, что при и = 0 существует решение статической
задачи/0(х1? х2, х3), являющееся пределом (для почти всех ut) реше-
решения динамической задачи при о -* 0. Это означает, что как бы ни мало
было значение и > 0, допускаются периодически возникающие дина-
динамические возмущения (связанные, например, со скачкообразным
распространением трещины в решетке), которые, однако, заметны
лишь в исчезающе малый промежуток времени по сравнению с пе-
периодом aju (и - 0) и, следовательно, на исчезающе малом интервале
отрезка ах оси xt. Тогда, если функция fo(xx - ut, x2x3) интегрируема
(по первому аргументу), для любого фиксированного значения q1
со
fl(qltx2,x3) -S Г0(ц,х2,х3)е^Чг\ =
= I J
2- /о(а1П'Х2'
-foFo(qiai,x2,x3) (o-O). B.3)
Таким образом, при указанных условиях преобразование Фурье
по л с точностью до множителя (e"*ifli - ^/(/qj, не зависящего от вида
функции /0, стремится (и -* 0) к дискретному преобразованию Фурье
для предельной статической задачи. Если же речь пойдет об однород-
однородных соотношениях между преобразованиями Фурье различных функ-
функций, с чем мы будем неоднократно иметь дело при исследовании
конкретных задач, то упомянутый множитель не будет играть никакой
роли и при и -+ 0 соотношение относительно непрерывных преобразо-
преобразований по л будет переходить в соотношение относительно дискретных
преобразований по пг [в функции от q1a1 B.3)].
Решения линейных стационарных задач, вообще говоря, не един-
единственны. Действительно, в таких задачах не ставятся начальные усло-
условия и тем самым не фиксируются решения однородных уравнений,
в частности для бесконечных областей - гармонические волны, кото-
которые могут распространяться по данной системе. В связи с этим предла-
предлагались различные „правила отбора" (принципы причинности или
предельной амплитуды, предельного поглощения, принцип Зоммер-
фельда, принцип Мандельштама, см. по этому поводу [8, 13, 50]), цель
которых обеспечить единственность решения за счет исключения
начальных возмущений или волн, приходящих из „бесконечности".
- 242 -
Ниже устанавливается довольно простое правило отбора, основанное
на принципе причинности [8], или принципе предельной амплитуды
[13], пригодное как для непрерывных, так и для дискретных задач,
стационарных (в указанном выше смысле) в движущейся системе
координат [93, 102]. В соответствии с упомянутым принципом един-
единственность стационарной задачи достигается введением условия:
решение стационарной задачи является пределом (t -+ °°, \ц\ < const < °°)
решения той же, но нестационарной задачи с нулевыми начальными
условиями.
Пусть последняя приводится к соотношению
uLF(s,q) + SLF(s, qH^(s,q) = 0, B.4)
где SLF - аналитическая функция 5 и q, не имеющая особых точек
инулей при Re5>e1>0, llmql < е2(е1), a uLF, oLF- изображения
функций медленного роста, например, если и - функция непрерывной
переменной х,
оо оо
uLF(s,q)= 5 5 u(t,x)exp{iqx-st)dtdx,
-оо о.
а если имеется в виду дискретная переменная п = 0, ± 1,. . . {х- an), то
оо
uLF°(s, q) = I I u(t, n)exp (iqn - st)dt
n о
Одна из функций u, о может быть задана во всей области х, t, другая -
подлежит определению. В смешанной задаче на части области может
быть задана одна из этих функций, на остальной - другая. Функции
в соотношении B.4) могут зависеть и от других переменных. Предполо-
Предположим, что существуют пределы (t -* °°, \ц\ < const < °°)
lim u(t, х)еш = и(х\);
B.5)
lim o(tf x)emt ()
также функции медленного роста, связанные соотношением
0, B.6)
где uF*{q),. . . - преобразования Фурье по Т| [см. формулу B.3)]. Соот-
Соотношение B.6) появляется при формальном решении стационарной
задачи, функция 5^ может иметь особые точки и нули на веществен-
вещественной оси д, что и делает решение неединственным. Найдем связь между
функциями SLF{s, q) и 5^ (q) при условии B.5).
Для непрерывного случая положим в соотношении B.4) 5 = /со +
+ iqu + е. Из формул обращения немедленно следует [93], что uLF(iQ +
+ iqu + e, q),. . . являются преобразованием „на луче"
оо оо
I I o(t, л)ехр {iqr\ - zt)dtdi\;
-»о B.7)
u{t, ц) = u(t, x)eiut = u(tf] + ut)eriat.
-243-
Домножим обе части B.4) на е. Учитывая предположение B.5), предель-
предельную теорему для преобразования Лапласа (lim u(t) = limeuL(e)) и B.7),
получаем '~*°° е~*°
ifi(q) = - SLF{0 + iqu + to, q)oF*{q). B.8)
Слагаемое-символ 0 (нуль) употребляется, как обычно, в том смысле,
что сумма представляет собой предел справа:
SLF(Q + iqu + to, q) = lim SLF{t + iqu + to, q).
Итак, из B.8) получаем следующее предельное равенство
SF*(q) = SLF{0 + iqu + to, q), B.9)
дающее правило обхода особых точек и нулей функции SF*(q) при инте-
интегрировании в формуле обращения для преобразования Фурье по ц.
Заметим, что SrF(s, q), l/SLF{s, q) - преобразования фундаменталь-
фундаментальных решений соответствующей нестационарной задачи: uLF = SLF при
о = - 6(rN(x), oLF= l/SLF{s, q) при и = - 6(?N(х). Если рассматриваемая
линейно упругая среда устойчива, то указанные фундаментальные
решения не растут экспоненциально и их LF-изображения не имеют
особых точек, а следовательно, и нулей на вещественной оси q при
Re 5 > 0. Поэтому представляем B.9) функция SF* на вещественной
оси доопределяется полностью в том смысле, что из B.9) однознач-
однозначно устанавливается правило обхода ее особых точек и нулей. Равен-
Равенство B.9) означает, что при формальном решении стационарной задачи
везде, где встретится выражение iqu + to (в частности, G) = 0 или и = 0),
его следует рассматривать как предел справа. Тогда решение будет
отвечать упомянутому требованию, т. е. будет являться пределом
решения той же, но нестационарной задачи с нулевыми начальными
условиями.
Для случая дискретной переменной приходим к тому же резуль-
результату. Представим формулу обращения в виде (а > 0)
л a+i°°
Iff
"to п)= Т~Т \ \ "^k
4л2/ J J
s, g)exp (st - iqri)dsdq,
i i i
4л2/
»-л
ак± = а+/(лBк ± 1) + q)u + to.
Положим 5 = Bлк + q)iu + /со + up, q = q - 2пк. Тогда
00 Bк+1)л а/Ь+ш
1 • , 1 ^ Г f г*
— ii(f,n)e"ZG)t = > \ I uLFo{iq'u + /со +
и 4л2/ ^-'
к=-оо J J
-244-
+ up, g')exp (upt - iqx\)dpdq
00 a/u+in
uLFo(iqu + to + up, q)exp (upt - iqn)dpdq
B.10)
Соотношение B.10) представляет собой формулу обращения для
двойного преобразования: непрерывного преобразования Фурье по ц
(здесь т) и соответственно п = х можно рассматривать как непрерывную
переменную - так, как это уже указывалось выше для решений ста-
стационарных задач) и дискретного преобразования по uf = 0, 1, ....
Равенство B,4) можно переписать в виде
ри^Цр, q) = - SLF°(iqu + to + up, q) рО^Цр, q).
В стационарной задаче можем полагать ц=х- ut = n- ut непрерывной
переменной. Преобразование Фурье по Т) приводит к тому же соотно-
соотношению B.6). Устремляя р к нулю и учитывая B.5), получаем, что
в дискретном случае
= SLFo@ + iqu + to, q). B.11)
Рассмотрим некоторые следствия. Пусть
S4q) = P0{f19. . .,/*,. . .,U /к-Ши + йа + О, q), B.12)
где fK - целые функции по обеим переменным, а особые точки и нули
функции Р могут находиться лишь там, где какая-либо из функций fK
обращается в нуль. Введем вспомогательную однородную задачу
+ to, q)uFiq) = O, B.13)
ненулевые решения которой представляют собой обобщенные функ-
функции с носителем в точке q = q0, где f(iqou + to, q'o) = 0.
При некоторой зависимости u(q) [рассматриваемое фиксированное
значение u = uo = u(qo)] функция Q(q) = qu(q) + со в некоторой окре-
окрестности q = q0 будет удовлетворять равенству (дисперсионному урав-
уравнению) /O'Q(g), g) = 0. При этом Q- частота, и^= Qlq- фазовая ско-
скорость, и^ = dQ/dq - групповая скорость. Последовательно дифферен-
дифференцируя данное равенство, получаем
(d//dQ)u^+d//dg = 0
а2/ а/ дие а2/ а2/
—L U2 + —L —И + 2 i^u+_L = o B.14)
dQ2 ё dQ dq dQdq g dq2
-245-
До перехода к пределу / = /(iQ + e, q), е -* + 0. При Re e > 0 корень
уравнения/ = 0 будет отличаться от q0. Обозначим его qQ + у. Полагая
и = const (и = и0), имеем
df df
—r(TU-rt) + — 7 +
oU oq
1 г a2/ a2/ a2/
+ — (yu - /eJ + y2 + 2 ?(yu -!
2 [ aQ2 ' dq2 aQa
+ . . . =0 [/ = /(iQ, q)9 q = q09 Q0 = Q(q0)]. B.15)
Рассмотрим некоторые частные случаи, которые встретятся в даль-
дальнейшем. Пусть a//dQ ф 0, о Ф Ug. Тогда при е-^ + 0в ряде B.15) асим-
асимптотически существенны лишь первые два члена (у •* 0 при е -> 0).
Сохраняя только эти члены и используя первое из равенств B.14),
находим
y~>ie/{u-ug) (e- + 0). B.16)
Таким образом, при указанном условии точка q = q0 представляет
собой предел сверху (из верхней полуплоскости q), если о > и^, и пре-
предел снизу в противном случае.
Пусть u = ug#0, а//дЙ#0, dug/dqФ0. Обращаясь к B.14), B.15),
находим
V ~ ± J2ivz/(dug/dq) (е^ + 0). B.17)
Видно, что при этом q = qQ - двойной корень: один „приходит" из верх-
верхней полуплоскости, другой - из нижней.
Пусть теперь df/dQ = d2f/dQdq = O, и Фиё, д2[/дп2Ф0. Тогда, как
следует из тех же соотношений, корень снова двойной:
^ V2 1— (е- + 0). B.18)
0 " ug ° + ug
В отличие от B.17) здесь корни приходят из разных полуплоскостей
только при и < и^.
Определим расположение корней в случае четырехкратного нуля
функции h2(q) = 2A - cos q) - й2, ft = qu, о = 1, q0 = о = 0. При помощи
соотношений B.14), B.15) или непосредственно из условий B.11), B.12)
находим
- 246-
(к = 1,2,3); y4*»ie/2 (Ree>0, e-+0). B.19)
Таким образом, здесь три корня приходят из верхней полупло-
полуплоскости и лишь один - из нижней.
Видно, что в случае однократного корня B.16) формулы B.11),
B.12) приводят к принципу Мандельштама [50] для неоднородной
вспомогательной задачи B.13), стационарной в движущейся системе
координат. Действительно, как следует из формулы обращения для
преобразования Фурье, полюс q = qQ ± /0 (ug ^ и) в выражении для if*,
отвечающем неоднородному уравнению B.13), соответствует синусои-
синусоидальной волне излучаемой влево (в сторону х-* - оо если полюс - пре-
предел из верхней полуплоскости q, т. е. при ug<u) или вправо (при
Dg > и). Это эквивалентно принципу Мандельштама, согласно которо-
которому энергия, распространяющаяся со скоростью ug [8], должна излучать-
излучаться „на бесконечность" (а не приходить из бесконечности), т. е. влево,
если Ug<u и вправо при ug>u. При кратных корнях B.17)- B.19)
непосредственное применение принципа Мандельштама было бы
затруднено, кроме, пожалуй, случая B.18) при u > ug.
Если сказанное относительно целой функции / справедливо для
любой из функций fK B.12), т. е. свойства нулей fK исчерпываются рас-
рассмотренными случаями, то сохраняются и выводы о происхождении
особых точек и нулей функции Р, попадающих в пределе {t -> °°) на ве-
вещественную ось q, а следовательно, и о направлении излучения.
Введя равенство B.9) или B.11), мы вынуждены рассматривать
неоднородную задачу, поскольку решение однородной задачи с нуле-
нулевыми начальными условиями остается нулевым (в решетке нет син-
гулярностей, которые могли бы быть источниками энергии). Однако
интересующие нас процессы - разрушение и сопровождающее его воз-
возбуждение высокочастотных войн происходят, по масштабам макро-
макроуровня, у края трещины, где внешние силы как правило отсутствуют.
Учет же внешних сил, действующих вдали от края трещины - по
масштабам микроуровня, внес бы неоправданные дополнительные
сложности в решения конкретных задач. Проще считать, что эти силы
действуют „на бесконечности" и рассматривать однородную задачу.
Возникающее при этом противоречие со сказанным выше можно разре-
разрешить, рассматривая однородную стационарную задачу как предел
неоднородной нестационарной.
Рассмотрим вначале неоднородную смешанную нестационарную
задачу, приводящуюся к уравнению
iqu, q)\JiF(t + tqo, q) + S?F(e + iqu, q)o^F(t + iqu, q) =
+ iqu,q\ B.20)
где i?LF- изображение внешних сил и, как обычно, индексом +(-)
обозначены функции с носителем при Л > 0 (л < 0) и изображения
таких функций, не имеющие при е > 0 особых точек при Im q > 0
(Im q < 0). Заметим, что если в указанном выше смысле Im q = + 0,
-247-
то такая точка считается принадлежащей верхней полуплоскости (или
нижней, если Im q = - 0).
Пусть справедливо представление
iqu, q)=f(q9q) =SL/(e + /qo, q)SL/(z + iqu, q). B.21)
Здесь S^F(S^F) не имеет особых точек и нулей в верхней (нижней)
полуплоскости q, включая вещественную ось (при е > 0), где регуляр-
регулярна и не имеет нулей (также при е > 0) функция S%F. Тогда для е = + 0
выражение B.20) можно переписать в виде
RF*(q)
№ B.22)
где любая из выписанных функций, например RF* = RLF(z + /go,g)
при е = + 0.
Предположим, что произведение SF*SF* в точке q = qp, p = 0,1,. . .,
на вещественной оси q обращается в нуль порядка о)р, т.е.
^S? - const @ + /(, - qp))«+ @ - i(q - Яр)Г~
B.23)
Правая часть B.22) должна удовлетворять двум условиям. Во-пер-
Во-первых, она должна давать вклад в решение стационарной задачи, следо-
следовательно
/%)=/LF@ + /qo,q)*0. B.24)
Во-вторых, так как мы хотим найти решение однородной задачи, RF*(q)
как обобщенная функция должна быть равна нулю:
RFiq) = fF*SF*SF* =0 (- ~ < q < ~). B.25)
Решение задачи B.24), B.25) при условии B.23) существует:
f*= ?ак[@- i(q- qp))-1-K + (- l)*@+«(q- qp))-K] =
™p / ЛК
= 2лу ак — eMfo-qp);
^-- к!
B.26)
п?р < G)p ^ шр + 1; ак = const
Полное решение складывается из частных, отвечающих правым
- 248-
частям вида B.26) для всех тех вещественных значений q, при которых
Sf*S%* = 0. Учитывая еще и решение однородного уравнения B.22),
получаем
ul* = Sl*{ I bKqK + Z 2? (- l)«aKp[0 + i(q - Яр)Г^к};
к=0 р к=0
of—^H- 2 M* + I l\p[0- /(<J- qp)]-1"* ; B.27)
o;* ( *=0 p k=0 )
n-0,1, . . . .
Переход от неоднородной задачи [см. формулы B.20), B.22)] к одно-
однородной открывает возможность притока энергии из бесконечности, что
было ранее исключено введением равенств B.9), B.11). Однако теперь
это контролируемая возможность: выбирая должным образом (исходя
из физической постановки задачи) постоянные в правой части B.27) и
используя равенство B.9) или B.11), мы предотвращаем другие, кроме
заданной, возможности притока энергии. Заметим, что если qp Ф 0,
то введение соответствующего члена в правой части B.27) порождает
поток энергии в форме высокочастотной волны (с частотой - <7рО).
§ 6.3. Волна разрушения в цепочке
Роль структуры среды в динамике разрушения достаточно ярко
проявляется при исследовании простейшей модели - одномерной
решетки-цепочки, состоящей из частиц, расположенных на прямой
и взаимодействующих с помощью линейно-упругих связей. Разруше-
Разрушение (частичное) состоит в том, что при некотором критическом напря-
напряжении связи ее жесткость внезапно уменьшается. Исследование распро-
распространения волны в такой цепочке имеет и некоторое самостоятельное
значение в связи с вопросами, возникающими при постановке задачи
о распространении плоской волны разрушения в хрупком теле.
Известны различные формулировки задачи о распространении
волны разрушения (волны дробления) в упругом хрупком теле [65- 67].
Каждый из предложенных вариантов теории такого процесса основан
на какой-либо гипотезе, например, о скорости волны разрушения [14,
66, 67], об интенсивности упругого предвестника [22] или об энергии
разрушения [91, 107]. Введение дополнительного соотношения необ-
необходимо для замыкания системы уравнений динамики сплошной упру-
упруго-хрупкой среды. Однако без привлечения данных о структуре фронта
разрушения подобное соотношение нельзя обосновать. Это обстоятель-
обстоятельство отличает волны разрушения от „обычных" нелинейных волн,
макропараметры которых определяются независимо от структуры
фронта [107].
Указанное принципиальное затруднение можно устранить [110],
если обратиться к среде со структурой, что и делается ниже. В качестве
- 249 -
простейшей модели среды со структурой взята прямолинейная цепоч-
цепочка: каждая из составляющих ее частиц взаимодействует с двумя сосед-
соседними с помощью линейно-упругих безынерционных связей. Масса
каждой частицы, расстояние между ними и жесткости неповрежден-
неповрежденных связей приняты за единицы измерения; это означает, что за еди-
единицу скорости принимается скорость длинных волн в неповрежден-
неповрежденной цепочке. Ясно, что при этом соответствующая одномерная среда
без структуры до разрушения характеризуется единичными плотно-
плотностью и жесткостью. При некотором напряжении связи о = оЛ << 1 про-
происходит ее частичное разрушение: жесткость связи принимает (поло-
(положительное) значение а2 < 1. В отличие от постановки той же задачи
в рамках модели сплошной среды, здесь надобность во введении
каких-либо дополнительных гипотез не возникает.
Учет структуры приводит к обнаружению высокочастотных волн,
уносящих часть энергии от фронта разрушения (эффект, аналогичный
повышению температуры [91]). Это позволяет определить макроско-
макроскопический критерий разрушения и макропараметры процесса - отноше-
отношения ojo^, о2/о*, где ох = const- осредненное напряжение в упругом
предвестнике, 02 = const- осредненное напряжение за фронтом раз-
разрушения. Оказывается, что ох < о* и что разрушение может происхо-
происходить и в том случае, когда о2 < о^ (о^ > 0). Последний вывод может
показаться странным, если его рассматривать, оставаясь в рамках
модели сплошной среды без структуры. Здесь же он очевиден: полные
напряжения за фронтом разрушения (с учетом высокочастотных волн)
превышают осредненное значение.
Рассматриваем стационарную задачу. Полагаем, что скорости и и
ускорения а являются функциями одной переменной Л = х- ut, где
х = 0, ±1,... (шаг цепочки о=1). Заметим, что подобным образом
нельзя представить перемещения, которые из-за наличия упругого
предвестника зависят еще и от х.
В случае неповрежденных связей для произвольной частицы спра-
справедливо уравнение движения
где (?(Л) - увеличение расстояния между данной частицей (х = Л + и0
и соседней частицей справа (*= Л + uf + l); #(Л)- внешняя сила, дей-
действующая на данную частицу. Из определения Q следует
<Г(л) а(л + 1)а(Л).
Отсюда получаем следующее уравнение „в напряжениях" [для непо-
неповрежденной цепочки напряжение °(Л) = (?(Л)]
u 2Q"D) + 2<2(Л) - <2(П - 1) - ( )
C.1)
-250-
Пусть частичное разрушение связи происходит при ц = О, после
чего, т. е. при ц < О, о = oc2Q. Чтобы учесть это, достаточно для т) < О
компенсировать в C.1) напряжения A - ol2)Q с помощью внешних сил,
положив
(л) - Q_ (л - 1) - 0-(л + DL
= яо(л) + A - «2Шл - 1) - О.(л)]},
где Р0(л) = #o0l + 1)"" "о(Л)"" внешняя сила, растягивающая связь
(с учетом разрушения).
Будем считать внешние силы Р0(л) ограниченными. Тогда функ-
функция Q(\]) непрерывна и задача сводится к уравнению
Лч)- <?.(л - D- О.(л + О) = Л)(л) C.2)
с условием
0+№)в 0.@) = о, (о(+ 0) = о„ о(- 0) = а2о J. C.3)
В этих соотношениях можно считать заданным макронапряжение
за фронтом разрушения о2 и определять о19 и и осциллирующие волны
за фронтом и в предвестнике. Удобнее, однако, полагать заданной
скорость фронта и и находить соответствующие ей остальные величины.
Если разрушение связи происходит не по сигналу извне, который
мог бы поступать, скажем, при Л = 0, а когда напряжение достигает
критического уровня о = о+ („естественное разрушение"), то разыски-
разыскиваемое стационарное решение должно удовлетворять еще одному
условию: суммарное напряжение при л > 0 (с учетом осредненной
и осциллирующих волн) должно быть меньше, чем о* (полагаем о* > 0
независимо от того, происходит разрушение при растяжении или при
сжатии связи).
Решение данной стационарной задачи не единственно. Доопреде-
Доопределим его в соответствии со сказанным в § 6.2. Из C.2) получим уравне-
уравнение типа B.20):
Л2@ + iqu, <?)#+ a2h2@ + /qua, 4)Q?«Pf, C.4)
где функция
h2@ + iqu, q) = 2A - cos q) + @ + iquJ C.5)
при и > 0 имеет конечное (неограниченно растущее при и -*• 0) число
нулей на вещественной оси q. На примере функции C.5) легко увидеть
-251-
связь между расположением нулей h2(t + igo,cj), т.е. знаком их мни-
мнимой части при е -* + 0, и знаком разности vg - и, указанную для более
общего случая в § 6.2. Полагая u, q > 0, из равенства
h2{iqu, q) = 2A - cos q) - q2u2 = 0
C.6)
получаем следующие выражения для фазовой (в стационарной задаче
и^ = о) и групповой скоростей
2 q
— Isin— I;
Я 2
q q
cos— sgn sin —;
C.7)
Определим теперь расположение нулей функции C.5). Пусть q = р > 0 -
корень уравнения C.6). Тогда для искомого значения с учетом C.7)
имеем уравнение (е -> + 0, q - р -> 0, и = const)
h2(e + iqu, q) - e2 + 2iepu +
dh2
dq
(q - p) =
e2 + 2fepo + 2uffe + p(ug - u)](q - p) = 0
и если и Ф ug, то б ~ /е/(и - и^).
В данном случае, как следует из C.7),
(о = const).
Но последняя разность обращается в нуль при q = р. Следовательно,
она меняет знак с увеличением q после каждого из корней C.6) (если
при данном значении и имеется двойной корень, то он считается за
два). Знаки указанной разности и корни C.6) р1?. . ,,Р5 показаны
на рис. 6.1.
Итак, если 0 < о < 1, то нули функции C.5) q = qK следующие
(см. также §6.5):
2\sin qll\
Рис. 6.1.
-252-
C.8)
Очевидно, что число положительных значений qK нечетно (см. рис. 6.1).
Как видно из C.5), Re h2(e+ iqo, q)- четная функция q, мнимая
часть - нечетная, поэтому при q < О
9-2-1<(*-2 <•• •<<?-!< 0. C.9)
Для q - О
h2(e + /qu, g) - g2(l - о2) + 2/que + e2 (и ф 1).
Последнее выражение обращается в нуль при
(ЗЛО)
Учитывая C.8) - (ЗЛО), для диапазона 0 < и < 1 можно представить
h2@ + iqu, q) = A - iJ)@ - iq)@ + iq) X
2n+l
ХГТ|1
П
2n
n
1 +
Функция Ф(д) имеет счетное множество нулей, расположенных чет-
четверками симметрично относительно вещественной и мнимой осей ком-
комплексной плоскости q. Можно представить Ф№ = Ф+(iq, и) Ф_(iq, и),
где Ф±(/д, о) - комплексно сопряженные функции, не имеющие нулей
и плюсов в верхней полуплоскости q (включая вещественную ось) -
Ф+ и в нижней - Ф_. Итак, в диапазоне 0 < и < 1 имеем
(ЗЛ1)
Очевидно Л2@ + /qu/a, q) допускает точно такое же представление,
но если Р* = Р*(и), то обозначим р^(о/а) = 7 к(°)-
Используя факторизацию C.11) и перейдя к однородной задаче
(см. B.25)), преобразуем C.4) к виду @ < и < ос)
-253-
Указанная в C.12) правая часть соответствует ситуации, при ко-
которой энергия подводится к фронту разрушения неосциллирующей
волной слева - со стороны х = - °°.
В классе ограниченных функций 0+(л) решение уравнения C.12)
единственно (с точностью до множителя А)
0-iq hl(q,u) *ЛЧ' a2@ + /q) hl{q, u/a)
C.13)
Ввиду непрерывности Q(r\) удлинение в момент разрыва можно
найти, основываясь на C.11), C.13):
= lim q
q-++oo
Этими формулами определяется постоянная А. Длинноволновое
приближение {q -* 0) имеет вид
• 0 - iq V 1 - u2 a2@ + iq) V 1 - (u/aJ
Отсюда
l-(o/aJ o2 a / l-o
1 - и2 ' о4 и v 1- (и/аJ
Незатухающие осциллирующие волны, распространяющиеся впе-
впереди (сзади) фронта разрушения, определяются полюсами выражений
C.13) для Q+{Q_) на вещественной оси q при q Ф0, т. е. нулями функ-
функций h2(q, u)[hl(q, u/a)]: q= ± p*(q= ± v^). Находим
2.^, u/a)exp(- 1ркЛ)
-254-
±fo) = M±(q) f 1 -
^iq) = N±(q)\ 1 - ("^
1 '
Амплитуда волны напряжений
1 - (о/аJ . ЛГ+(Эк)Ф+0'Эк, и/а)
В соответствии с C.11) при q Ф О
\{iq, i)h
1/2
\h2(iqo/a,q)\
1/2
В пределе, при q ¦* Р?
Отсюда
Аналогично находим
1/2
,U2
C.17)
Скорость масс определяется следующим образом. Имеем
а{ц) = du/dt = - и и (т)), (f(q) = /qu i/(gf).
-255-
Учитывая, что а(ц) = о(л) - о (л - 1) (о+(л) = <2+(л); о_(л) = «2О.(л))
и а^(д) = A - eZ?OoF(g), получаем
t/ = - го^о^ехр (—jsin — + 2nB&(q) ~
\2/ 2
- - oF/u + 2лВ6(д) (q - 0), Б = const. C.18)
Осредненное значение скорости (длинноволновое приближение)
определяется как оригинал указанной в C.18) асимптотики:
их =и+ = - ох/и + #, u2 = u_ = - 02/u + Я.
Постоянная Б определяется из очевидного условия и1=-о1, Вт
A ^И
"i=-°i' = (и- lJOj-Oa/u. C.19)
Скорости масс в незатухающих осциллирующих волнах получают-
получаются как вклады соответствующих полюсов изображения C.18), т. е. за-
заменой параметра q [явно выписанного в C.18)] на Рк(т>к):
В +
2
V- C-20)
\и.к\=
Поток энергии. Использованное выше правило отбора стацио-
стационарных решений приводит к тому, что незатухающие осциллирующие
волны, групповая скорость которых больше (меньше) фазовой, присут-
присутствуют лишь перед (за) фронтом разрушения. Тем самым поток энер-
энергии, соответствующий этим волнам, берет начало на фронте разруше-
разрушения. Кроме того, от фронта разрушения оттекает энергия, заключен-
заключенная в упругом предвестнике постоянной интенсивности (длинноволно-
(длинноволновое приближение). Единственным источником энергии, теряемой при
внезапном уменьшении жесткости связи, может, таким образом, быть
лишь волна постоянной интенсивности за фронтом разрушения, энер-
энергия которой создается работой напряжения о2. Итак, должно выпол-
выполняться следующее соотношение относительно потоков энергии:
+ 2 Aju - ugK) + Гои = - а2и2. C.21)
Здесь А1 = {и\ + of)/2 - о\ - плотность энергии в упругом предвестнике
- 256 -
постоянной интенсивности; А2 = {и\ + 02/<х2)/2 - плотность энергии
з осредненной волне за фронтом разрушения; А+к (А_к) - осредненная
плотность энергии осциллирующей волны; и - ее фазовая, ugK - груп-
групповая скорость [- ирк("" °7к) - частота]; То = A - а2)о2/2 - энергия
разрушения.
Осредненная плотность энергии осциллирующей волны
Кк =тО"+к'2 + *o+Kl2), A.K =-(luKl2 + Ю_к12/а2).
4 4
Выражения для амплитуд входящих сюда напряжений и скоростей
указаны в C.4), C.16), C.17) и C.20). Соотношение C.21) может служить
(и использовалось) для контроля результатов вычислений по приве-
приведенным выше формулам.
Определим отношение энергии разрушения Го к общей энергии Т,
исчезающей на макроуровне при единичном продвижении фронта
разрушения. Из формул C.21), C.19), C.15) следует
Т= Го + Z A - ugK/u)A.K - I A - ug
к к
= - о2и2 - АхA - и) - А2и = A - и2)/Bи2) X
() BJ2
Таким образом,
Функция к (а, и) полностью определяет влияние структуры среды
на макропараметры волны разрушения. Введение этой функции доста-
достаточно для замыкания уравнений динамики упруго-хрупкой сплошной
среды без структуры.
Пусть о0^и<1, оо = 2 Isin (qo/2)\/qo % 0,2106 [qQ - минимальный
положительный корень уравнения q0 = 2tg {qo/2) * 8,987]. Тогда урав-
уравнения h2(iqi) + 0, q) = 0, h2(iqu/a + 0, q) = 0 имеют по одному положи-
положительному корню q = Эх = 2Э, q = 7i = 2v соответственно; 0 < Р, у < л.
При этом осциллирующие волны распространяются лишь за фронтом
разрушения (ц < 0). Обращаясь к C.14), C.15) и учитывая уравнения,
которым удовлетворяют Э, у, можем записать
о,
-257-
В указанном интервале f{x)(x = р, у) монотонно возрастает: df/дх > О,
а у < р при а < 1. Поэтому ojo^ < 1 (а < 1).
Далее, пусть а-¦ О, о0<о/а<1. Тогда число положительных
корней уравнения h2(iqu + 0, q) = 0, равное т для р? и т + 1 для р~э
неограниченно возрастает: m ~ 1/(ло) -> °°, а уравнение h2(iqu/<x + О,
q) = 0 имеет лишь один положительный корень у. При этом с доста-
достаточной асимптотической точностью можно представить р^2лк±
± 2arcsin (лко), где к: = 1, 2,. . ., т для Р? и к: = 1, 2,. . ., т + 1 для Р~, и
найти
к=1
В свою очередь для у[ справедливо асимптотическое представле-
представление У1 ~~ у24A - о/а) (о -> а), причем у~ монотонно возрастает при
уменьшении о, достигая на нижней границе рассматриваемого интер-
интервала значения у~ * 5,140. Подставив эти данные в C.15), найдем (а - 0)
о, 1 о2 а 1
-0,2887; -2- —— — (и -> а);
о* о 4V3A - о/а)
°1 02 /U \
— * 0,9023; —^- ^ 0,9442 — = 0,2106
о* о* \а /
(множитель а/о в формуле для ojo^ стремится к единице; он, однако,
сохранен с целью расширить диапазон о/а, хорошо описываемый этой
формулой).
Таким образом, не только ох < о^, но при определенных условиях и
о2 < о*.
На рис. 6.2 показаны графики /с(а, и) в функции от о/а для а = 0.9,
0.8, 0.4, 0.2, 0.1 (кривые /-5 соответственно), на рис. 6.3 - графики
о12(о/а) при тех же значениях а.
Видно, что при достаточно малых значениях о2 (но таких, когда
разрушение еще может происходить) скорость о определяется по зна-
значению о 2 не однозначно. Представляется, что меньшее значение ско-
скорости отвечает неустойчивой ветви 02(о/а). При этом скорость о при
любом значении а < 1 имеет отличную от нуля нижнюю границу
(на наличие нижней границы для о указывалось в [107]). Например,
для а = 0,8 и 02 = 0,95 минимальное значение о = omin * 0,38 (напомним,
что за единицу скорости принята скорость длинных волн в неповреж-
неповрежденной цепочке).
Заметим, что в случае естественного разрушения, кроме найден-
найденных, при 02/°* "^ 1 существует еще и статическое решение: о = 0.
Того же типа неоднозначностью характеризуются и функции
/с(а, о) (на рис. 6.2 показаны графики /с(а, о/а).
Видно также (рис. 6.3, а), что о1/о^<1. Верхняя граница для
- 258-
k(a,v)
0,8
0,6
Oft-
0,2
Я
BBSS
V
r
V
;—-z
^^
ч
Ч
\
ч
0,2 0> 0,6 0,8 v/a
Рис. 6.2.
I/O*
0,6-
л
2' 3
.5
¦\
Й2 /?Л fttf 0,8 v/a
Рис. 6.4.
^
3,5
2,9
1.7
0,5
0,1 0,4- 0,6 0,8 v/a
02 A3*,
1
1
I
L-,—
ог=о*
0,2 Ofi- 0,6 0,8 v/a
Рис. 6.3.
напряжений впереди фронта разрушения Е(о/а) равна арифметиче-
арифметической сумме ох и амплитуд осциллирующих волн с групповыми скоро-
скоростями большими и. На рис. 6.4 показаны графики Z/o^ при тех же зна-
значениях а. Стационарные решения для задачи о естественном разруше-
разрушении существуют, когда указанная граница I < о*.
Теми же методами исследованы нелинейные волны, отвечающие
кусочно линейной диаграмме о - е более общего вида [24, 112].
§ 6.4. О соотношениях между потоками энергии
на различных уровнях описания структуры
линейно-упругой среды
Вернемся к общему соотношению B.20). Найдя отсюда о+, и_,
по формуле A.3.4) или A.3.5) можно определить поток энергии в+край
распространяющейся трещины, приходящийся на единицу приращения
ее длины. Длинноволновое приближение для SF*(q) = SL*(iqo + 0, q)
(ввиду ограниченности скорости и частота qu стремится к нулю при
q-+ 0, поэтому длинноволновое приближение одновременно являет-
является и низкочастотным) - асимптотику при q -* 0 можно рассматривать
как описание среды без учета ее структуры. Определив потоки энергии,
- 259^
соответствующие этому приближению и полному представлению для
SF*, получим искомое соотношение между потоками энергии, отвечаю-
отвечающее тому уровню структуры упругой среды, который нашел отражение
в структуре функции SF*.
В дальнейшем верхний индекс у SF* опускаем.
Пусть S(q) B.21) локально интегрируема, а ее асимптотики предста-
вимы в виде
S = Л@ + /g)a@ - /q)p + O(qa+P+^) (q - 0);
5 = 2te±z'ndl(jlv + Oiq^) (q - ± °°), D.1)
А, В, у > 0; cf = Ind 5.
Ниже при выводе упомянутого соотношения будут также опреде-
определены связи между параметрами a, P, d и потоками энергии. Положим
lA\uBnj
+
Н
\ 1 / v\
T[T) T(T) D.2)
Тогда
S*=l + O(qV) (q-0);
5^=1 + O(q-T) (q-±«); IndS^(q) = 0. D.3)
Теперь можно факторизовать S, т. е. представить, основываясь на фор-
формулах D.2), D.3), так:
\\ { > @ iqJ\; D.4)
Учитывая, что In \Sj[q)\ - четная, а ArgS^q)- нечетная функции
- 260 -
и полагая Arg 5^@) = 0, приходим к следующим выражениям для пре-
предельных значений:
S*±-l fa-±i~), S,±^k±x fa-0);
00
к = exp H I — ArgS,(q)dtj) ; D.5)
О
S+ - yfBir (ЯГ'2"* fa-H, S.-yfZiO-iqpx fa - 0);
fa--i«), S.-y/AiO + iq)**-1 fa - 0).
Заметим, что к - величина, вообще говоря, размерная, ее значе-
значение может зависеть от выбора единицы длины.
Обратимся теперь к общему решению B.27). В соответствии с A.3.5)
поток энергии в край распространяющейся трещины определяется
асимптотиками uf*, о{*при q++i°° (см. формулы B.27), D.5)].
Исходя из условия ограниченности (ненулевого ) потока энергии,
находим, что оно выполняется лишь при целом индексе d < max G)p
[см. формулу B.23)]:
D.6)
T=ro = -b?d.1 .(</<-1).
В длинноволновом приближении fa -* 0), отвечающем среде без
структуры, нули q = qp при рФО fa0 = 0) отсутствуют. Получаем, что
при целом индексе D = (& - Р)/2 < 0H [для длинноволновой асимпто-
асимптотики S D.5)]
D.7)
Итак, можно сделать следующие выводы.
1. Ограниченный и отличный от нуля поток энергии в движущуюся
особую точку (точку раздела граничных условий) возможен лишь при
целом индексе функции 5@ + iqu, q) B.21).
2. Сток энергии в особую точку (движущуюся вправо) возможен,
если индекс четный, неотрицательный и меньше max (wp).
При тех же условиях, но в случае нечетного индекса, особая
точка - источник энергии.
3. Если индекс отрицательный, особая точка может быть лишь
источником энергии.
4. Ограниченный и отличный от нуля поток энергии на обоих
уровнях (на микроуровне и в длинноволновом приближении) суще-
существует лишь в том случае, если d = D = (а - р)/2. Последний вывод
-261-
вытекает из того, что поле на макроуровне представляет собой асимп-
асимптотику „точного" решения (решения на микроуровне) и, следователь-
следовательно, им обоим соответствует одно и то же значение к в первом или
втором члене правей части B.27). Отсюда и из формул D.6), D.7) сле-
следует равенство индексов D = d.
Исходя из этих выводов прокомментируем плоскую задачу о ди-
динамике трещины в сплошной линейно-упругой среде. В дорэлеевском
диапазоне скорости трещины а =Р =- 1/2, D = 0 и при а00 Ф О суще-
существует положительный поток энергии. В диапазоне между скоростями
волны Рэлея и волны сдвига а = - 3/2, Р = 1/2, D = - 1 и при Ьо Ф О
поток энергии отрицательный - из особой точки. В межзвуковом
диапазоне индекс дробный и поток энергии отсутствует. Тот же вывод
сохраняется и для сверхзвуковой скорости, так как при этом D = - 1/2.
Допуская поток энергии из бесконечности лишь в форме неосцил-
лирующей волны, существующей и на микроуровне, т. е. полагая
в D.6) adp = 0 при р Ф О и что D = d < 0H, находим соотношение между
потоками энергии на микро- и макроуровнях
оо
dq\
_.,)-!. D.8)
\л J Ч I
О
Так как d = D = (a- P)/2, в данном случае п+ = п_ и, как видно
из формул D.2), 5^ - безразмерная.
Заметим, что при движении особой точки в противоположном
направлении (о < 0), что соответствует смыканию берегов трещины,
знак потока энергии изменяется: при четных значениях d > 0 край тре-
трещины - источник энергии, при нечетных и при d ^ - 1 - сток.
В качестве простейшего примера ситуации, в которой уточнение
теории, первоначально пригодной лишь для длинных волн, может
повлечь за собой изменение выводов о „статьях" расхода энергии,
можно привести задачу о неупругом падении нити на жесткое основа-
основание. Пусть точка контакта нити с основанием (граничная точка зоны
контакта) движется влево (о < 0): при ц > 0 нить покоится на основа-
основании, при т] < 0 - движется к основанию („трещина" закрывается). Если
учесть (приближенно) изгибную жесткость нити, то уравнение ее дви-
движения можно записать в виде (как и выше, положительным считает-
считается напряжение, препятствующее положительному перемещению)
д4и д2и
- + Ъ2 =-о (а, Ь = const > 0).
дхА dt2
В данной задаче (S) = я2д4 + Ь2 @ + iquJ - (iqu + 0JЬ2 (q - 0).
При этом в обозначениях, принятых выше, для длинноволнового
приближения (а = 0) а = 0, Р = - 2, D = 1 и при а10 Ф 0 имеет место
ограниченный поток энергии в точку контакта. Действительно, туда
должна стекать кинетическая энергия нити. Однако учет изгибной
жесткости (а > 0) приводит к другому выводу: при тех же значениях ос,
-262-
р индекс d = 0 и, следовательно, сток энергии в точку невозможен - вся
энергия, поступающая к точке контакта на „макроуровне", т. е. по
длинноволновому приближению, излучается в виде энергии изгиб-
ных волн. Решение однородной задачи с учетом изгибной жесткости
нити имеет вид
/ а Ьиц\ /
и =-А л sin Я(-п);
\ Ьи а I
0+ =АЬ2\JЫц); A=const>0. D.9)
Если а -+ О, то перемещение и_ D.9) стремится к перемещению абсо-
абсолютно гибкой нити, синусоидальная волна исчезает. Однако как бы
ни был мал параметр а > О, поток энергии в точку контакта остается
равным нулю, т. е. не стремится при о-^Ок потоку энергии в длинно-
длинноволновом приближении.
Учет деформаций сдвига вновь изменил бы вывод о потоке энер-
энергии и т. д. Таким образом, о потоке энергии можно говорить лишь
применительно к конкретному уровню структуры.
Заметим, что в рассмотренной задаче излучение изгибных волн
возможно лишь при о < 0, так как их групповая скорость больше фазо-
фазовой (последняя вследствие стационарности задачи равна и), а распро-
распространение возмущений на область т] > 0 запрещено: и+ = 0. Взяв в этом
примере о > 0, видим, что „трещина" может распространяться при
высокочастотном возбуждении (полагаем, что по масштабам макро-
макроуровня параметр а мал и, следовательно, частота Ьи2/а велика). При
этом равномерное движение возникает за счет энергии волн.
Рассмотрим теперь периодическую (в плоскости трещины) решет-
решетку, состоящую из точечных масс, каждая из которых взаимодействует
с конечным числом других масс, причем притяжение двух масс друг
к другу пропорционально увеличению расстояния между ними. Кон-
Конкретный вид решетки и характер ее деформации не фиксируются.
Предполагается, однако, что удлинение каждой из разрываемых
связей описывается одной и той же функцией времени (со сдвигом,
зависящем от положения связи). Одинаковыми полагаются жесткости
разрываемых связей и массы, взаимодействие между которыми осуще-
осуществляется с помощью этих связей.
Пусть направление от массы т к массе п вдоль разрываемой связи
определяется единичным вектором 1тп и к массе п приложена внешняя
, сила R{t, хIтю а к массе т - та же, но противоположного направления
сила, х = 0, ± 1,. . . - номер разрываемой связи (предполагается, что
разрываемые связи можно пронумеровать так, что при x<vt они
оказываются разорванными, а при x>ut неповрежденными). Других
внешних сил нет.
Предположим, что вследствие однородности решетки вдоль оси х
соотношение между удлинением разрываемых связей Q(t, x) и силами
R{t, x) для неповрежденной решетки представимо в виде
(Ffe Ч) - [1 - EIF(s, drjRWfe q)/E, D.10)
-263-
где Е - жесткость связи; символом F обозначено дискретное преобра-
преобразование Фурье по х. Принимая R = EQ_ + Р, где Р - внешние силы
в задаче о трещине, т. е. компенсируя действия разорванных связей,
приходим к уравнению
SLF(?F + QLF = {SLF- \)&р1Е. D.11)
Положив здесь s = iqu + е, е > 0, умножив обе части на е и устремив
е к нулю, придем к уравнению типа B.6). Таким образом, соотношение
между потоками энергии для решетки определяется функцией S(q)
B.9), где SLF взято из формулы D.10).
Кроме того будем предполагать устойчивость решетки, вследствие
чего функция SLF{s, q) не имеет особых точек и нулей при Re s > 0
(Im q = 0), и симметрию: Q(t9 - х) = Q(t, х) при R = 8(fNxO. Отсюда и из
D.10) следует, что SLF(s, q) четная вещественная функция q при s > 0.
В дальнейшем потребуется более сильное утверждение, а именно,
SLF(s, q) > 0 при s > 0. Покажем это. Равенство D.10) при s > 0 можно
рассматривать как соотношение для статической деформации решетки,
смещению масс которой препятствуют упругие опоры (их жесткость
пропорциональна s2). Пусть RL = exp (icox), RLF = 2л6(д + со). Тогда
Еф = [1 - {SLF{s, (х)))]ехр(/а)х). Работа внешних сил, осредненная
по периоду Bл/со):
2Е
больше энергии растягиваемых связей
В = — EIQ42 = [1 - (SLF(s, co))-i]2/B?).
2
Итак, 0 < 1 - (SLF(s, «))-1<1 (А>0), 0 < (SLF{s, q))'1 < 1.
Покажем теперь, что для решетки индекс d равен нулю и более
того, AtgS(q) - финитная функция [103].
Положим R = 6(tNxO, где 6mn - символ Кронекера, и проведем
преобразование Лапласа (при нулевых начальных условиях) над
уравнениями динамики решетки (здесь они не выписываются). Тогда
члены, соответствующие силам инерции, будут содержать (в отличие
от других членов уравнений) множитель s2. Отсюда следует, что при
достаточно больших значениях Ы (Re 5 = е > 0) изображения переме-
перемещений vk можно определить методом последовательных приближений,
который приводит к оценке
+1>)) (Ы - «), D.12)
-264-
где к: - минимальное число связей, с помощью которых данная масса р
взаимодействует с какой-либо из масс, подверженных действию внеш-
внешних сил. Поэтому при Img = 0 справедлива оценка: QLF{s, q) = O(s~2)
(\s\ -» °°). Но при указанных внешних силах, как видно из D.10),
(^F(s9 q) = [1 - (SLF{s, q))~1]/E. Таким образом, при достаточно больших
значениях Isl (е > 0) функция SLF(s, q) близка к единице. Следователь-
Следовательно, при этом \nuSLF{iqo +?,<j) = 0. Но, как уже отмечалось, SLF не
имеет особых точек и нулей при е > 0, поэтому ее индекс при умень-
уменьшении е не изменяется и остается равным нулю и для S(q).
Далее, если, рассматривая стационарную задачу, взять R = ехрО'дп)»
то тем же путем снова получим оценку D.12), где s = iqu. Отсюда видно,
что при достаточно больших значениях д2и2 внешние силы не создают
потока энергии (решетка - фильтр низких частот) и, следовательно,
соответствующая этой стационарной задаче комплексная амплитуда
1 - [S (</)]" * вещественна. Вместе с тем, как показано выше, SLF(e, 0) > 0
(е > 0) и поэтому можно принять аргумент 5@) = 0. Так как IndS = 0,
a Arg 5 - нечетная функция q, приходим к выводу, что при достаточно
больших значениях q2u2 Arg5 = 0.
При дорэлеевской скорости трещины а = Р = - 1/2, п+ = п_ = 1/4
(d = v = 0) и поэтому Arg S = Arg 5^.
Очевидно, что распространение трещины в решетке сопровождает-
сопровождается потоком энергии, идущей на разрыв связей. Но, возможно, для длин-
длинноволнового приближения поток энергии отсутствует. В этом случае
энергия поступает в край трещины по существу лишь из ближайших
слоев решетки, так что поток энергии на макроуровне не обнаружи-
обнаруживается. Динамика трещины в решетке при таких условиях рассмотре-
рассмотрена в [101].
Если скорость трещины достаточно мала, то к моменту разрыва
данной связи возмущения, вызванные излучением волн при разрыве
предыдущих связей, рассеиваются и напряженное состояние решетки
можно считать статическим. Для такого „квазистатического" процесса
распространения трещины формула D.8) неудобна (в работе [102] она
использована для определения предела при и -> 0, см. § 6.5). Выведем
формулу, позволяющую непосредственно определить fc@).
Факторизацию периодической функции SLF(+ 0, q), которую будем
обозначать как S(q), можно провести с помощью периодического анало-
аналога интеграла типа Коши [102]. При этом полагаем, что разорваны связи
х = - 1, - 2,. . .; соответственно индексом + (-) снабжаем функции
с носителями при х = 0,1,,..,(- 1, - 2, ...)]• Имеем
jl gЦ) (Im q S 0);
4л \ 2 /
1 1
6±~±—- + —-
4л 2л
18 171 - 265-
6+-— («-+Н. D-13)
2л
В асимптотическом представлении для 6± сохранена лишь веще-
вещественная часть, поскольку мнимая нечетна и не дает вклада в интег-
интеграл [S(?) - неотрицательная четная функция, ArgS = 0].
В длинноволновом приближении решетка эквивалентна класси-
классической модели упругой среды и асимптотика S при q -* 0 имеет вид
D.1), а = Р = - 1/2. Отсюда и из D.13) находим
S+-X2 (Q-+ + i°°)> С = const;
л
Х = ехр(—
\2л
Уравнение D.11) теперь можно представить в виде [аналогичном
B.22), B.26) при т = 0, но для периодического аналога б-функции
D.13)]:
_ QF 17 0-/q\ / q\
S<? += D 1 + cth -I - 1-cth 1, D = const.
S+<? += D 1 + cth
Отсюда
ID 1 2ED2
Длинноволновое приближение
uF_ = — Qf ~ -7=- @ + iqY^Dx-1.
2 yC
В соответствии с A.3.5) T = 2D2Ex~2 и, наконец
-— f InS(q)dq) (Arg5 = 0). D.14)
n J /
Заметим, что функция SLF в D.11) может отличаться от обозначен-
обозначенной так же в B.4) положительным множителем (Q_o+)/(u_0+)> что су-
существенно при использовании формулы D.14) (в формуле D.8) этот
множитель не проявляется).
-266-
В общем случае, когда дискретная переменная задана не как цело-
целочисленная переменная @, ±1,...); х = 0, ± а,..., интеграл D.14)
берется по полупериоду S(q), т. е. по интервалу @, л/а), и домножается
на о/л (вместо 1/л).
Основываясь на приведенных здесь зависимостях D.8), D.14)
и формулах E.2.13), B.2.25), можно выразить макроскопический крите-
критерий хрупкого разрушения К = Кс(и) через характеристику структуры
Го. При положительной докритической скорости трещины
i/2
*мтг -
O-D>/Pfc(u)
1/2
(к(о), а возможно и Го равны fci(u),. . ., Toi,. . .), а при и = О
%> Kllc ''
8ЦГО
1/2
1/2
Здесь к имеет тот же смысл, что и в B.1.6): к = k(v).
После этого задачи динамики (квазистатики) трещин в упругом
теле можно рассматривать без учета структуры, т. е. в рамках модели
сплошной среды.
§ 6.5. Потоки энергии при распространении
трещины в решетках
Начнем, как обычно, с антиплоской задачи для решетки с централь-
центральным взаимодействием точечных частиц, расположенных в узлах без-
безграничной квадратной сетки. Пусть в точках с целочисленными зна-
значениями прямоугольных координат х, у сосредоточены частицы
единичной массы, каждая из которых взаимодействует с четырьмя
соседними с помощью безынерционных линейно-упругих связей
единичной жесткости. В длинноволновом приближении решетка экви-
валейтна сплошной среде с единичными модулем сдвига и скоростью
волн сдвига. Уравнения движения масс имеют вид
u(t, х- 1, у) + u(t, х + 1, у) + u(t, х,у- 1) + u{t, х, у + 1) -
- 4n(f, х, у) - d2u{t, х, yjldt2 = - o{t, x, у)
(х,у=0,±1,...).
E.1)
-267-
Здесь и - перемещение по нормали к плоскости х, у; о- внешняя
сила того же направления, t - время. Рассматриваем задачу стационар-
стационарную в координатах ц, у(ц = х - ut, и = const > 0), а именно,
Тогда перемещение можно представить так: и = и(ц, у), где ц - непре-
непрерывная переменная для любого целочисленного значения х. Уравнения
E.1) принимают вид
и(ц- 1,у) + и(л + 1,у) + и(л,у- 1) + м(Л,У+1)-
- 4и(л, у) - о2д2и(л, у)/дц2 = - о(л, у). E.2)
Пусть трещина расположена между слоями у = 0 и у = 1 при л < 0,
так что разрыв связи между массами происходит в момент t * л/и (г) = 0)
после чего, т. е. при t > х/и (т) < 0), массы, расположенные в слое у = 0,
не взаимодействуют с массами слоя у = 1. Уравнения E.2) будут опи-
описывать динамику решетки с трещиной, если компенсировать взаимо-
взаимодействие между массами внешними силами, положив для у = 0,1:
E.3)
где оо - внешние силы в задаче о трещине.
Положим
оо(Л,у) = ('1)>;+1оо(л) (У = 0,1);
E.4)
00(Л,У) = 0 (у<0, у>1).
Проведем над уравнениями E.2) преобразования Фурье - непре-
непрерывное по л и дискретное по у. Получим
Joo
[exp(/s)- l]oFiq)
о/, Ч U2 > Ь2 = 2A - COS <j) + (fQU + ОJ.
2A- ) + h2
Обращая дискретное преобразование, находим
л
-п
-268-
/(g,i-у) = -/(<?, у).
В частности, для у = 1
Отсюда и из E.3), E.4) получаем уравнение типа B.20)
(г + h)o$ + — (г + h)uF. • = о* (o+ = 2ы+). E.5)
4 2
В обозначениях, принятых в § 6.2 [см. формулы B.20) - B.25)],
SF,s5(q) ' 5F,(q) = _^r + /j). E.6)
2п 2
Функция Sjf* обращается в нуль на вещественной оси q там (и толь-
только там, так как г + h Ф 0), где h = 0. Последнее уравнение имеет корни
<7 = <7о = 0> <J = ±Qm*0; /л = 1,2,... 2л + 1; п = 0,1,...
Для достаточно большой скорости (и > и0 = 2 Isin <xo/2l/ao * 0,2106,
а0 - минимальный положительный корень уравнения ос0 = 2tg(ao/2)^
* 8,987) п = 0. С уменьшением скорости п возрастает, п -¦ °° при и -> + 0.
Так при и =оо появляется двойной корень (п = 1 при их <о ^о0),
затем он разделяется на два (их < и < оо); при и =их снова появляется
двойной корень (п = 2 при и2<и^о1), разделяющийся на два
(и2 < и < Uj), и т. д. Нулевой корень соответствует равенствам B.18)
(/> = h2), ненулевые {т = 1, 2,. . .)- формуле B.16) или B.17). Послед-
Последний случай реализуется, когда прямая Q = uq на плоскости q, Q ка-
касается графика функции Q = 2 Isin q/2\. Возникающий при этом двойной
корень уравнения h2 = 0 - следствие слияния двух однократных
корней при увеличении и (см. рис. 6.1). Из непрерывности указанных
функций, вторая из которых определяет групповую скорость ug = dQ/dq,
и дифференцируемости \sinq/2\ в точках пересечения с прямой ug
(при и > 0) следует, что в этих точках (при 0 <о < 1) чередуются нера-
неравенства ug < и (q = qx), Ug > о (q = q2) и т. д. (двойной корень считает-
считается за два).
Функция г2 при q = 0 в нуль не обращается, в остальном же все
сказаное об h2 справедливо и для г2. Те же чередующиеся неравенства
в нечетном числе (при q>0) нулей q = q13 q29. . ., q2s+i (s = ® пРи
и > ut = (sin a1)/<x1 * 0,30275, <хх = [4 + 2A - cos aj]/sin at *-6,977).
Таким образом, нули произведения S?*(q)S**(q) [см. формулы
B.22), E.6)] при 0 < и < 1 совпадают с нулями h.r и соответствуют
wp = 1/2 B.23):
q = qo=0, q = q2, q = q4,. . ., q = q2n;
-269-
где Рт - нули г на положительной полуоси q (нули h+ относятся к ниж-
нижней полуплоскости q и соответствуют неравенству о <о^ B.16), C.8),
нули г_ - к верхней полуплоскости, о > о^).
Итак, в B.27) тр = 0. Что же касается AigSF*(q), то ввиду указан-
указанного чередования неравенств чередуются и значения аргумента (q ^ 0):
Argr =
0 (q<qlt
Л
О (q < р19
л
2 Pl Q
2, я3<я<я4^ • •);
E.7)
2, P3<q<P4,- • •}•
Число нулей, как у Л, так и у г на положительной полуоси q нечет-
нечетно, поэтому, как видно из E.17), в полном соответствии со сказанным
в§6.4 ArgSF*(q)-финитная функция. Обращаясь к формуле D.8),
видим, что в данном случае
d<7
о
и, следовательно,
л
т
где q^ - (положительные) нули h, отвечающие неравенствам и ^ и^-
(Qk = Qk при к = 2, 4,. . ., 2п; <? = qK при к: = 1, 3,. . ., 2п + 1), тот же
смысл имеют верхние индексы ± у рк.
Итак, на макроуровне можно увидеть поток энергии в край трещи-
трещины Т (поток на единицу ее длины). Однако только к(и)Т идет на разру-
разрушение связи (fc(o)< 1). Избыток энергии A - к(о$Г уносится от края
трещины высокочастотными волнами (д*, р~ - отвечающие им волно-
волновые числа), которые обнаруживаются лишь на микроуровне. Рассмот-
Рассмотрим предельные случаи.
Пусть и -+ 1 - 0. Тогда п =s = 0 и к(и) = q~Jp~x. Из уравнений
2A - cos д~) = (од'J, 4 + 2A - cos p~) = (op~J находим
~ 2V3A - иJ, р" * 2,809, ф)A - и2)'2
* 1,2332, Го * 0,6166/С2.
E.8)
Таким образом, в отличие от сплошной среды, где при фиксированном
-270-
коэффициенте интенсивности напряжений поток энергии в край тре-
трещины неограниченно возрастает (и -* 1 - 0), в решетке энергия, теряе-
теряемая при разрыве связи, стремится к конечному пределу E.8), при
фиксированной энергии разрушения коэффициент интенсивности
напряжений стремится к положительной постоянной. Вместе с тем
стекающая энергия, определяемая длинноволновой частью спектра,
та же, что и в сплошной среде. Следовательно, при и -* 1 - 0 почти вся
стекающая к краю трещины энергия уносится высокочастотными
волнами.
Пусть теперь и -* + 0. Тогда, как уже отмечалось, я, 5 -> °°. Пред-
Представим
/С
= 2лк ± 2(arcsin (лки)
(О < arcsin (лки) + е* ^ л/2);
к E.9)
п± = 2л(ЛГ+ к) ± 2(arcsin yi
N = [1/(ли)] @ ^ arcsin У(ли(ЛГ+ к)J - 1 + ?*¦ ^ л/2),
где [л:] - целая часть х. В представлении для q* возможны два вариан-
варианта: либо n=N- 1, либо п =JV (это непосредственно следует из анализа
уравнения h2 = 0).
В первом случае все параметры q^. определяются указанными
равенствами. Во втором случае уменьшим на единицу значение п, что
не изменит предела для коэффициента fc(u), так как отношение
Qmtom+i "^ Ь То же справедливо и для второго из равенств E.9), где
можно принять л = JV? - iV- 1?N«= [у2/(ли)].
Подстановка выражений E.9) в уравнения h2 = 0, г2 = 0 приводит
к оценкам е^ = o(arcsin (лки)),
у^ = о (arcsin y/(nv(N+K)J- 1).
Таким образом,
N-l Nx-l
1 - л~1к:-1 arcsin (лки) A + оA))
- 1A + оA))
&к = г = .
1 - л* 1к~1 arcsin у(лкиJ - 1A + оA))
Отсюда следует
N
1 2 v^ 1
lnfc(u) = 1п2^-— У —arcsin (лки)
2 л ^ к
- 271 -
JV1
2 V l ¦ 2 l
л ^—' к ^ 2
k=N /J
if dx 2 Г r~- dx t t Гч
1 arcsinx + — I arcsiny*2- 1 =- In(l+y2).
л J x л J x
0 1
Итак, limfc(u) = JT- 1 при и -> + 0.
Точно тот же результат дает решение квазистатической задачи
(и=0). В формуле D.11) положим Q+ = o+, Q_ = 2u_. Сравнивая это
с E.5), E.6), видим, что для рассматриваемой решетки в D.11) SLF(iqu +
+ 0, q) = rlh. Таким образом, основываясь на формуле D.14), находим
/ 1 Г 4 + 2A-
fc@) = exp - — '
2л J 2A - cos q)
о
Как видно из E.8), при фиксированной энергии связи Го поток
энергии на макроуровне Г -* °° при и ¦* 1 - 0 (и -* с2 - 0). Поэтому
приближение скорости трещины к скорости волн сдвига (в антипло-
антиплоской задаче) требует неограниченно возрастающего потока энергии.
Рассмотрим сверхзвуковой режим (о > 1).
Из дисперсионного соотношения h2 = 0 следует, что cg = 1 при q = 0.
Поэтому для и > 1 корень q = qQ = 0 принадлежит h_, на вещественной
оси q h+ в нуль не обращается. Следовательно, не обращается в нуль
при q = 0 и произведение S_S+. Отсюда следует, что при о > 1 не суще-
существует однородных решений того типа, который рассматривался выше
для и < 1, т. е. решения с потоком энергии на макроуровне. Это, конеч-
конечно, следует и из анализа динамики трещины в упругой среде без струк-
структуры. Обратимся к неоднородной задаче.
Пусть берега трещины (частицы в слоях у = 0, 1 при П < 0) загруже-
загружены постоянными силами. В этом случае классическая постановка
задачи о распространении трещины со сверхзвуковой скоростью
(о > с2) также приводит к отсутствию потока энергии в край трещины
(Кщ = 0). Однако при анализе динамики решетки такой поток обнару-
обнаруживается. Положим
00 = АН(- л), о** = Al(iq + 0), А = const.
Из E.5) находим
oftd-T^rU-
r+(q)M+'0)/'
А
iJQ ~ 2(iq + 0) \h_(q)K(+i0)~ ''
-272-
u(n) - 0 fa - + 4 u@) = lim (- iq)u?{q) =
A U 2 \i/2
2 [\p7Vu^T
и(л) TTZT ^--eo)-
Суперпозиция данного состояния и равномерного сдвига решетки
и(т), у) = Л (у - 1/2) соответствует однородной задаче о сверхзвуковом
распространении трещины в поле равномерно распределенных сдви-
сдвиговых напряжений:
оп = 0, о -Л,
Таким образом, в напряженной решетке скорость трещины может
превзойти скорость волн сдвига (это объясняется тем, что скорость
распространения возмущений в решетке не ограничена максимальной
групповой скоростью), однако при малых напряжениях - не намного.
Пусть а = о+(~)/о@) «С 1 (о@) = ос). Тогда
В отличие от сплошной среды однородные решения для решетки
не исчерпываются указанными выше. Дополнительные решения порож-
порождаются нулями h+r_ на вещественной оси q вне q = 0 (см. B.27)).
Пусть поток энергии из бесконечности порожден нулем г_: q = рх =
= р" (энергия поставляется волной с волновым числом q = p[). Тогда
из B.27), E.5) следует
г+ F h
— w* + w* = A
E.10)
Для определения асимптотик перемещений вдали от края трещины
достаточно рассмотреть асимптотики изображений E.10) у веществен-
вещественных особых точек q = ±рх - /0; другие особые точки более слабые, они
определяют колебания, амплитуда которых стремится к нулю при
удалении от края трещины. При q -* р±
h+(Pl) A
- 273-
Отсюда следует
lim
Функция и0 удовлетворяет однородным уравнениям E.2), посколь-
поскольку г2(р1) = 0. Она описывает колебания решетки, при которых массы,
расположенные в соседних слоях (у и у + 1), движутся в противопо-
противоположных направлениях.
Перемещение в момент разрыва определяется по формуле A.3.5).
Находим
и{0) =
(о > 1).
Отсюда определяется постоянная А{2и@) = о+@) = ос).
Полагая А > О, определим отношение u@)/u(°°), которое, очевидно,
должно быть больше единицы, если и@) действительно является кри-
критическим перемещением, приводящим к разрыву ранее неповрежден-
неповрежденной связи. Оно оказывается следующим (q1 = 0 при и ^ 1)
X =
1
= \ — F - 2cosPl - p.sinpj (I - q\lp\)
График X(d) показан на рис. 6.5. Заметим, что сумма и = ы+(л) +
+ "_(л) ~ ио(Ц> 1) определяет решение задачи о распространении тре-
трещины под действием пульсирующих сил, приложенных к ее берегам.
Таким образом, распространение трещины в решетке может про-
происходить и при отсутствии потоков энергии на макроуровне. Энергия,
идущая на разрыв связей, черпается в этом случае из ближайших
„атомных" слоев, где она либо запасена при предварительной макро-
макроскопической деформации решетки (при этом возникают макроскопи-
макроскопические волны, но потоков энергии в край трещины на макроуровне
1,15
1,10
1,05
' 05
А
1,0
Рис. 6.5.
Рис. 6.6.
-274-
нет), либо создается работой внешних сил, действующих на берега
трещины, либо поступает с осцилирующей волной, не обнаруживаемой
намакроуроЕне.
Перейдем к плоской задаче.
Пусть в узлах плоской равносторонней треугольной решетки
(рис. 6.6) сосредоточены единичные массы, каждая из которых взаимо-
взаимодействует с шестью соседними массами при помощи безынерционных
линейно-упругих связей единичной длины и единичной жесткости.
В длинноболновом приближении решетка эквивалентна изотропной
сплошной среде с плотностью р = у2/3, скоростями волны расширения
сх = д/9/8 ^ 1,0607 и волны сдвига с2 = уЗ/8 ^ 0,6123. Коэффициент
Пуассона v = 1/3. Указанным значениям скоростей длинных волн
расширения и сдвига соответствует скорость длинных поверхностных
волн cR = 1/2C - УЗI/2 * 0,5630 {cR/c2 = [2A - /Щ)]1'2 * 0,9194).
Ясно, что сами по себе величины скоростей и плотности в безраз-
безразмерное отношение То/Т входить не могут, поскольку они зависят от
выбора единиц измерения. Существенны лишь параметры cjc2 (здесь
cjc2 = у/з) и, например, /з/8о/с2 (в принятых единицах эта перемен-
переменная равна и).
Введем прямоугольную систему координат х19 х2, как показано
на рис. 6.6, и набор из шести единичных векторов IK = (cos (лк/3),
sin (л/с/3)) (к = 0, 1,. . ., 5), направленных от любой данной массы вдоль
ее связей с другими массами. Координаты масс определяются векто-
вектором х' = ш/0 + п/1, где т, п- целые числа. Обозначим: u{t, х) = {и1,
и2)) - перемещение масс,P(t, x) = (Р19Р2) - внешние силы.
Рассматривая вначале неповрежденную решетку, запишем уравне-
уравнение движения масс
d2u(t, x)
dt2
QK = [u(t, x + IK) - u{t, x)] • IK,
где QK - внутренняя сила, действующая на данную массу вдоль век-
вектора 1К. Пусть о = const и в координатах r\=x1-uti y = x2 задача
стационарна: u(t + 1/и, х + /0) = u(t, x). Тогда можно положить и = и(х),
х = х - utIQ = (т], у). При этом уравнение движения и выражение для
внутренних сил примут вид
^У QK(x)IK = Р(х\ QK(x) = [и(х + IK) - и(х)] • IK.
дц2 L
к=0 . E.11)
Пусть трещина - разрыв связей между слоями у = 0, у = д/з/2 -
распространяется со скоростью о = const > 0 вдоль оси х±: связи разры-
разрываются по очереди через равные промежутки времени Д?=1/Bо).
При т) = 0 исчезают внутренние силы, действующие по направлению 1Х
-275-
(равные Qx при t) > 0), а при ц = 1/2 - силы, действующие по направле-
направлению L (равные (L при ц > 1/2).
Уравнение C.11) будет описывать динамику решетки с трещиной,
если компенсировать внешними силами взаимодействие между масса-
массами, нарушенное трещиной, т. е. компенсировать внутренние силы
QiK^Q^Vi) ПРИ П<0 и Q2(r\I0) = Q5{T\l0+I2) при л < 1/2.
Из соображении симметрии следует, что в задаче I (растяжение вдоль
нормали к трещине):
О2(Л) з 02(Ш0) = g(n - 1/2) = Q
а в задаче II, т. е. в задаче о сдвиге
- 1/2) = 0((л -
Учитывая это, положим
РЫ0) = Мл)/4 ±
Р(Щ0
E.12)
E.13)
EЛ4)
Здесь и ниже верхние знаки соответствуют задаче I, нижние - за-
задаче II; Р0(л) - внешние силы в задаче о трещине; Я- функция Хеви-
сайда; индекс +(-) приписывается, как обычно, функциям с носите-
носителями при л > 0 (л ^ 0), а также Фурье-образам таких функций.
В дальнейшем будет показано, что из E.11), E.14) следуют равен-
равенства E.12), E.13). Поэтому введение слагаемого Q_ в E.14) действитель-
действительно компенсирует взаимодействие между слоями у = 0, у = уЗ/2
[см. рис. 6.7, где цифрами 1-5 отмечены внешние силы: N(ut), ± N(- ot-
- 1/2), Ml - of), ± Ml/2 - uf), N(- 1 - ut)].
В задаче I силы 0г(ц), 02(л) исчезают при одинаковых положитель-
положительных значениях, т. е. при одинаковом предельном растяжении связей.
Что же касается задачи II, то рассматриваемому стационарному реше-
решению отвечает предельное растяжение связи, ориентированной вдоль
вектора /х [предельная сила Qj@) > 0], и то же по абсолютной величине
предельное сжатие связи, ориентированной вдоль вектора L [пре-
[предельная сила 02A/2) = - <31@) < 0].
Проведем над уравнением E.11)
преобразование Фурье - непрерыв-
непрерывное по л и дискретное по у (индексы
в символах F^Fq опускаем):
Рис. 6.7.
X exp
-276-
С учетом равенства E.14) находим
I
к=0
(- /г • 1К) - l]i/F • /к г = D 5);
J*1" = JVf(q)[/4 ± /5 ехр (iq/2) + & ехр fa/2) ± /2) ехр (iV5s/2)]. E.15)
Проектируя на оси хх, х2, получаем уравнения
1 + 4sin2 cos—cos u2q2 uf
[ 2 2 2 J *
+ V3 sin — sin uF/ = if F;
^F="tA TexpT"
E.16)
Выражения для Q^(q) определяются из E.15) формулой обращения
дискретного преобразования Фурье:
Если теперь обратится к E.16) и учесть симметрию интервала
интегрирования в E.17), то можно убедиться, что Q^{q) = ± ехр {iq/2)Q^(q)
и, следовательно, равенства E.12), E.13) действительно выполняются.
Решение рассматриваемой стационарной задачи доопределяется,
как и предыдущий, по правилу B.9), т. е. заменой iqu на iqu + 0. С уче-
учетом этого из E.16), E.17) следует
-277-
F(n2) Vn? - 1 - Fin,) Jn\-
V 2'V x
F(n) = 3 [cos — - nY + 6sin2 — (l ± cos—| A + n)
¦ (iqu + 0J [A ± cos— j (l+n)-n cos —+ 11;
2 / 2
Г q 2 1 9
Я = 1 + 2 sin2 — + — {iqu + 0J cos—;
D =' 1 + 3 sin2 — + — (iqu + 0J 4 + 4sin2 — + (iqu + ОJ1.
Получаем основное уравнение неоднородной смешанной задачи
Следовательно, искомое отношение энергий определяется формулой
D.8), где S* = 5, так как для решетки Arg S* = Arg 5 (см. § 6.4).
Поскольку Arg 5 - финитная функция, интегрирование в D.8)
распространяется лишь на конечный интервал. В данном случае, как
показывает анализ, Arg 5 = 0 при q > 2,6/и.
Своеобразие расчета к(и) определяется тем, что значения ArgS
зависят не только от значений 5, но и от „истории" - определяются по
непрерывности по мере изменения q.
При q = 0 можно положить Arg S = 0. Это значение сохраняется
в некоторой окрестности q = 0, а затем Arg 5 изменяется. В точках, где
5 обращается в нуль, а также в особых точках он может быть разрывен.
Поэтому определение Arg 5 при 5 = S(iqu + 0, q) „по непрерывности"
затруднено. Выход из этого затруднения может состоять либо в пред-
предварительном анализе свойств рассматриваемой функции [41], либо
в расчете последовательности значений fce(u) при е -> + 0, где fce(u)
рассчитывается по той же формуле D.8) при S = S{iqu + e, q). Дело
в том, что при е > 0, как уже отмечалось, функция 5 не имеет особых
точек и нулей на вещественной оси q, и чем больше е, тем медленнее
изменяется Arg 5. Была разработана программа, предусматривающая
уменьшение шага по q там, где Arg S меняется быстро, и увеличение
в области медленного изменения [39, 40]. В результате этого при умень-
уменьшении е приращение Arg S оставалось везде ограниченным заданной
постоянной, несмотря на то, что при е = + 0 функция разрывна. Такой
процесс быстро сходился, тем самым отпала необходимость анализа
- 278-
(
f
Л4
ч
\
0,6
oh-
0,1
0,0 02 W
Рис. 6.8.
0,8
0,6
0,1
к@)
Щ
/
I
1
2 ¦ 6 8
Рис. 6.9.
поведения S вблизи особых точек и нулей и расчет к(и) стал достаточ-
достаточно простым.
На рис. 6.8 показаны графики функций fc(o), пронумерованные
соответственно номерам задач, причем на оси абсцисс скорость трещи-
трещины отнесена кс^- для задач I, II и к с2 - для задачи III. По поводу
представленных зависимостей можно заметить следующее. „Глобаль-
„Глобальные" черты кривых для всех трех задач по существу одинаковы: вели-
величина 1//с(и), а следовательно, и энергия, исчезающая на макроуровне
при Го = const, имеют минимум при @,3 - 0,5)с2. Отсюда следует, что
медленное распространение трещины в хрупком материале (по край-
крайней мере, рассматриваемой структуры) неустойчиво. Общий характер
кривых 1/к(и) оказался тем же, что и принятый в [5] для объяснения
причины колебаний в скорости трещины при достаточно медленном
ее расклинивании. Таким образом, наличие ветви, где dT/du < 0,
обусловлено не только возможным уменьшением энергии пластиче-
пластических деформаций с ростом скорости трещины, но и изменением интен-
интенсивности оттока энергии, связанного со структурой материала.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. В опытах со сте-
стеклянными колбами Гриффите [137] получил значение Г= Г* примерно
в 3 раза большее, чем определенное им экстраполяцией значение
поверхностной энергии (см. § 1.2). Если принять в качестве поверхно-
поверхностной энергии Го и учесть, что для квазистатики l/fcIIj(u) ^ 2,4 (зада-
(задача III) [100], l/fcln(u)^3,6 (задача I, II) [41]- см. рис. Ь.8, то получим
значение Г, лишь на 20% отличающееся от найденного экспери-
экспериментально.
В упомянутых выше работах [39, 40] было исследовано влияние
анизотропии - изменения жесткостей связей параллельных трещине.
При этом было обнаружено сильное влияние ослабления этих связей
на отток энергии от края распространяющейся трещины. Зависимость
к@) от отношения жесткости продольных связей к жесткости попереч-
поперечных к в квадратной решетке (антиплоская задача), рассчитанная в [39]
по формуле D.14), показана на рис. 6.9.
-279-
§ 6.6. Трещина в среде блочной структуры
и в армированном материале
Блочная структура. Попытки теоретического описания
сейсмических колебаний, возбуждаемых распространяющейся трещи-
трещиной, обычно основываются на исследовании соответствующей задачи
в рамках механики однородной сплошной среды (см., например,
[35, 81]). Вместе с тем существенную роль, особенно для воспроизве-
воспроизведения высокочастотной составляющей сейсмического воздействия,
может играть учет структуры. Сошлемся на статью [84], в которой
подчеркивается „Две фундаментальные особенности литосферы - той
арены, на которой разыгрывается сейсмический процесс, - это ее
дискретная структура и нелинейный характер основных взаимодей-
взаимодействий. Литосфера представляет собой иерархию блоков (отдельностей),
разделенных относительно тонкими податливыми пограничными
зонами..."
Ниже рассматривается модельная задача о распространении трещи-
трещины в линейно упругой среде периодической блочной структуры.
На такой задаче выявляется основная роль структуры, под влиянием
которой формируется излучение от края распространяющейся трещи-
трещины, не обнаруживаемое в рамках модели однородной сплошной среды.
Определение мощности излучения аналитическими методами сводится
к квадратуре D.8). Рассматриваемая здесь блочная структура по суще-
существу также является решеткой, но в отличие от рассмотренной в пре-
предыдущем параграфе в ней учитывается инерция вращения частиц -
блоков. Динамика такой системы описывается системой из трех урав-
уравнений (вместо одного).
Пусть недеформируемые кубические блоки единичного размера
связаны линейно-упругими тонкими прослойками. Обозначим u, wx,
ь)у - перемещение центра блока вдоль оси z и повороты вокруг осей
х, у, не зависящие от z. Разности смещений центров соседних граней
(первый индекс - направление нормали к грани, второй - направле-
направление смещения) выражаются так (толщиной прослойки по сравнению
с длиной ребра блока пренебрегаем):
Д*Д х, у) = u{t} х + 1, у) - u{t, Х>У) + — [uy(t, х, у) + uy(t, х + 1, у)];
Д*х& х, у) = - uy(t, х, у), Azy(t, х, у) = Ujfo х, у); F.1)
ЛУЛ х9 у) = u(t, х, у + 1) - u(t, х, у) - у [<•)*(*, х, у) + ИЛ*, х9 у + 1)].
Принимая за единицу жесткость прослойки, т. е. полагая, что сила
взаимодействия блоков численно равна относительному смещению
центров их граней, получаем следующие уравнения движения
-280-
блоков (масса блока также принимается за единицу измерения):
Axz{t, х, - 1, у) - Axz{t, х, у) + Ayz(t, х, у - 1) - Ayz(t, x, у) +
+ u(t,x,y)=Pz(t,x,y);
- — [Ayz(t, х, у) + ДуД х, у - 1)] + Д2у(/, х, у) +
uxfc х, у) = Mx(f, х, у); F.2)
О
— [Axz{t, х, у) + Д„(*, х - 1, у)] - Д„(*, х, у) +
+ — uy(t,x,y)=My(t,x,y).
О
Здесь Pz> Mx, Му - сила и моменты, действующие на блок. В принятых
единицах измерения полярный момент инерции блока относительно
любой из рассматриваемых центральных осей равен 1/6, В последних
двух уравнениях пренебрегается влиянием крутящего момента,
возникающего вследствии разности поворотов соседних блоков отно-
относительно их общей оси. Для оценки роли такого упрощения ниже,
наряду с формулами F.2), рассматривается система уравнений, уточ-
уточненная благодаря учету упомянутого момента относительно оси х
(учет влияния момента относительно оси у затрудняет решение зада-
задачи). При этом левая часть второго уравнения в системе F.2) дополняет-
дополняется слагаемым
- — [(oxfc х + 1, у) + сох(*, х - 1, у) - 2иха х, у)], F.3)
о
где значение коэффициента 1/6 вытекает из предположения, что каса-
касательное напряжение численно равно относительному смещению соот-
соответственных точек граней блоков.
Заметим, что из F.1), F.2) получаются уравнения для антиплоской
деформации решетки E.1), если сохранить лишь первое уравнение
И ПОЛОЖИТЬ С0х = СОу = 0.
Будем рассматривать стационарную задачу для полубесконечной
плоской трещины x<ut, движущейся между слоями у=0 и у=1
с постоянной скоростью и, полагая, что перемещение и повороты
зависят лишь от двух переменных ц-х - ut и у.
19-171 "~ 281 -
Положим My - 0 и возьмем Pz и Мх такими, чтобы с их помощью
компенсировать взаимодействие между слоями у = 0, у = 1 при ц < 0:
F.4)
Конкретное выражение функции Р(ц) будет установлено позднее.
Будем полагать решение симметричным относительно плоскости
трещины:
u(n,y+l) = - u(n,-y), y = 0,±l,...
юх(п,У+1)яих(п,-у); F.5)
ь>у(Л,У+1)в- "у(П,-у),
что согласуется с F.4). После преобразования Фурье непрерывного по ц
и дискретного по у получим
[4 + @ + iquJ - 2(cos q + coss)]uFF + i sin gG)^F-
F.6)
61 sin suFF + [9 + @ + iquJ + 3cos s]uFF =
- 6i sin qiiFF + [9 + @ + iquJ + 3cos q]o)ff = 0.
Решение системы F.6) имеет вид
uFF(q,s) = AjA; u$F = A2/A;
Ax=- 1*(ч)[Ъг sin s(eis + 1) - 3cos s{eis - 1) -
- (9 + @ + /quJ(e15 - 1)] [9 + @ + iquJ + 3cos q];
A2 = /^(q) { - 6/ sin s[9 + @ + iquJ + 3cos q]{eis - 1) +
+ 18sin2 q(eis + 1) - 3[9 + @ + iquJ + 3cos q] [{4 +
+ @ + iquJ - 2cos q) {eis + 1) - 2cos s{eis + 1)]};
i4 = a + Ь cos s;
a = - [9 + @ + /<juJ] [24 + 13@ + iquJ + @ + iquL] +
+ cos q[72 - 3@ + iquJ - @ + к/иL];
Ь = [72 - 3@ + iquJ - @ + к?иL] + 3[24 +@ + /quJ] cos q. F.7)
-282-
Силы взаимодействия между слоями у = 0, у = 1 с учетом условий
симметрии F.5) выражаются так
, 0) = u(
1.4-JK
Отсюда и из F.7) находим
pf(q)
6 + @ + iquJ
X
12A - cos q) + @ + iquJ A1 + cos q) + @ + iquL \ '2
48 + @ + iquJ A5 + cos q) + @ + /quL'
F.8)
Принимаем, что берега трещины, распространяющейся вдоль оси х
между слоями у = 0,1 и расположенной при ц < 0, не взаимодействуют.
Учитывая это, положим
Подставляя в формулы F.8), получим уравнение типа B.20).
Таким образом, для подсчета соотношения между потоками энер-
энергии можно воспользоваться формулами D.8), D.14), (здесь, как и для
рассмотренных выше решеток, Arg 5 = Arg SJ. Графики к(и) показаны
на рис. 6.10 [кривая / - по соотношению F.8),
кривая 2-е учетом дополнительного слагае-
мого F.3)]. Для квазистатики получаются
следующие значения: для первого случая
к@) * 0,2558, для второго - fc@) * 0,2719.
Состав и направленность излучения при
распространении трещины в среде блочной
структуры и в решетках изучались С. В. Дрбо-
главом (это нашло некоторое отражение
в [24]). Им обнаружено, что по крайней мере
для одной из излучаемых волн существует
особое направление (зависящее от скорости
трещины), при удалении вдоль которого от ее рис# б.ю.
0,8
0,6
0,1
h
/
\
1
ll
0.1 0,4- 0,6 v
-283-
края амплитуда излучения убывает медленнее, чем в других на-
направлениях.
Армированный материал. Рассматривается плоская задача
о стационарном распространении свободной трещины, движущейся
перпендикулярно волокнам в дискретном однонаправленном компо-
композите. Постановка задачи учитывает дискретную структуру композита
[58] и приводит к конечным напряжениям в материале. Трещина
продвигается вперед, когда нормальное напряжение в волокне дости-
достигает предела прочности. При анализе длинноволнового приближения
обнаруживается, что напряжение в окрестности кончика трещины
не ограничено и указанный выше критерий распространения трещины
становится неприменимым.
Таким образом, различные приближения при описании композиту
требуют введения различных характеристик прочности: в первом слу-
случае такой характеристикой является прочность волокна о^, во вто-
втором - эффективная поверхностная энергия у.
В отличие от решеток с безынерционными связями здесь на микро-
микроуровне энергия не теряется. Поэтому цель решения этой задачи - уста-
установить связь между упругими, прочностными и геометрическими
характеристиками композита, т. е. характеристиками микроуровня,
и макроскопическим критерием разрушения [58]. Одновременно опре-
определяется и мощность излучения упругих волн, распространяющихся от
края движущейся трещины. Соответствующая статическая задача
рассмотрена в [56], динамическое распространение трещины разрыва
волокон с учетом последующего расслоения композитного материала
в рамках модели однородной сплошной среды изучалось в [98].
Рассмотрим композит, который (в данной плоской задаче) имеет
периодическую слоистую структуру, слои ориентированы в направле-
направлении оси у. Пусть Е, \i - модули нормальной упругости и сдвига; h19
h2 - толщины слоев (размеры вдоль оси х); р19 р2 - плотности, соот-
соответственно, волокна и связующего. Принимаем, что только первое из
них сопротивляется растяжению вдоль оси у и только второе обладает
податливостью на сдвиг, перемещением вдоль оси х пренебрегаем.
Движение волокна описывается волновым уравнением с правой
частью, которая выражает действие связующего на волокно (и - пере-
перемещение волокна вдоль оси у, w - перемещение связующего)
1 д2и
ду2 с2 dt2 Ehx
dw
дх
F.9)
где сх = у?/р; квадратные скобки означают скачок заключенной в них
производной при переходе (вдоль оси х) через волокно с номером п = О,
± 1,. . . Смещение связующего также удовлетворяет волновому
уравнению
d2w I d2w
= 0, F.10)
дх2 с2 dt2
- 284-
где с2 = VmVp• На линиях контакта волокна и связующего перемеще-
перемещение непрерывно.
Пусть вдоль оси х при у = О со средней скоростью и < с0 =
= с2(Я/Л2)(Г+р1/]1/(р2/22))~1/2 (с0 - скорость распространения длинных
волн вдоль оси х, H = h1+h2) распространяется полубесконечная
трещина - последовательность разрывов волокон. Интервал времени
между следующими друг за другом разрывами составляет (ht + h2)/o.
По связующему, не сопротивляющемуся растяжению, трещина распро-
распространяется безпрепятственно.
При указанных условиях можно рассматривать стационарную зада-
задачу, но этот термин нуждается здесь в некоторых пояснениях. Если
перемещения волокон un(t, у) записать как функцию стационарных
переменных у, ц=х- ut, х = Нп9 то, как уже говорилось в § 6.2, можно
ввести интерполяцию, полагая х - непрерывной переменной. Послед-
Последняя, однако не имеет никакого отношения к переменной х в уравне-
уравнении F.10). Наблюдатель, движущийся со скоростью о, будет регистри-
регистрировать неизменное поле деформаций и скоростей, но это то поле, кото-
которое получается указанной интерполяцией его значений на дискретных
волокнах. Что же касается динамики связующего, то для движущегося
наблюдателя процесс будет периодическим, но не стационарным.
Поэтому уравнение F.10) следует решать как нестационарное.
Проведя над уравнением F.10) преобразование Фурье по (- ut)
и считая при этом х независимой переменной, получим обыкновенное
уравнение
дх2 с2
Подчиняя его общее решение условиям на границах слоя связующего
и учитывая периодичность, находим
uf +uF _
n+1 n~l
[ дх \п c2sh[h2(O + i
- 2ul ch [h2@ + iqu)/c2]
c2 sh [h2@ + iqu)/c2]
X{cos(Hq)-ch[h2@ + iqu)/c2]}.
Обращаясь теперь к уравнению F.9), после того же преобразования
по (- ut), имеем (индекс п опускается)
d2tf I Н \2 Н
uF = 0, S =
dy2 \ Eh^l Eh, I c\
-285-
2ц @ + iqu)
[cos{Hq)-ch(h
-l/2
BCahjShlMO + iQuVca]
Убывающее при у -+ °° решение этого уравнения определяет искомую
связь между перемещением границы у = 0 верхней полуплоскости
(у > 0) и действующим на нее напряжением
(y =
F.12)
Анализ показывает, что Ind S = - 1/2. Как следует из результатов § 6.4,
поток энергии в край трещины в этих условиях невозможен. Впрочем,
это ясно и непосредственно из постановки задачи: разрыв волокна
происходит мгновенно и, следовательно, не сопровождается стоком
энергии.
В длинноволновом приближении E ~ 50)Ind So = 0 и следовательно
сток энергии Т возможен. Дальнейший анализ показывает, что при
о <сп
dq
ЕНик
к = ехр —
где S* определяется по D.2).
Для квазистатики (и = + 0) получается следующий результат [56]:
Н
F.13)
На рис. 6.11 приведены графики отношения левой части формулы F.13)
к правой и/с0 [b = Pa^/Pi^i)]
. Г
к
of
Н
E\i
Ehth2
(к имеет размерность длины).
В заключении оценим величину у = Т/2 для реального компози-
композита при и = + 0. Воспользуемся дан-
данными из работы [116] (с. 116, 117,
табл. I, II; волокна из бора, свя-
связующее- смола ERLA-4289): hx =
= Л2 = 0,01см, ? = 4.14-107Н/см2,
о* =3,17- 105Н/см2, ц = 8,27Х
X 104 Н/см2. Вычисляя по фор-
формуле F.3), получим у = 134 Н/см
A,34 • 107 дин/см), что на несколь-
несколько порядков превосходит истин-
истинную поверхностную энергию
5 • 103 дин/см, обусловленную мо-
молекулярными силами сцепления
[117] с. 49, табл. 2.2).
0,21
v/c0
-286-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А. Я., Зиновьев Б. М. Численное решение задач теории
упругости для тел с разрезами // Изв. АН СССР. МТТ.* 1978, № 5. С. 89-97.
2. Андрейкив А. Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев:
Наук, думка, 1982. 345 с.
3. Атомистика разрушения: Сб. статей / Под ред. Р. В. Гольдштейна. М.: Мир,
1987.246 с.
4. Баренблатт Г. И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком раз-
разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметричные трещины // ПММ.
1959. Т. 23. Вып. 3. С. 434-444.
5. Баренблатт Г. И., Салганик Р. Л. О расклинивании хрупких тел. Автоколе-
Автоколебания при расклинивании // ПММ. 1963. Т. 27. С. 436-449.
6. Болотин В. В. Уравнения роста усталостных трещин // Изв. АН СССР.
МТТ. 1983. № 4. С. 153-160.
7. Болотин В. В. Объединенные модели в . механике разрушения // Изв.
АН СССР. МТТ. 1984. № 3. С. 127-137.
8. Болотовский Б. М., Столяров С. Н. О принципах излучения в среде с диспер-
дисперсией // Пробл. теорет. физики. М.: Наука, 1972. С. 267-280.
9. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высш. шк., 1980. 368 с.
10. Витвицкий П. М., Кривенъ В. А. О структуре пластических зон у вершины
трещины при антиплоской деформации // Докл. АН СССР. Серия А. Физ.-мат.
и техн. науки. 1981, № 4. С. 32-36.
11. Витвицкий П, М., ПанасюкВ.В., Ярема С. Я. Пластические деформации
в окрестности трещин и критерии разрушения // Пробл. прочности. 1973. № 2.
С. 3-18.
12. Войтишек Я. В., Слепян Л. И, Гидродинамическая модель пробивания
хрупкой пластины//ФТПРПИ. 1985. № 3. С. 31-35.
13. ВоровичИ.И., БабешкоВ.А. Динамические смешанные задачи для
неклассических областей. М.: Наука, 1979. 319 с.
14. Галин Л. А., Черепанов Г. П. О самоподдерживающемся разрушении
напряженного хрупкого тела//Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. № 3, с. 543-546.
15. Голъдштейн Р. В., Капцов А. В. Взаимодействие удаленных трещин и
формирование структур разрушения / Ин-т пробл. механики АН СССР.
Препр. № 179, М., 1981. 66 с.
16. Голъдштейн Р. В,, Ладыгин В. М., Осипенко Н. М. Модель хрупкого раз-
разрушения слабо пористого материала при сжатии и растяжении // ФТПРПИ. 1974.
№ 1. С. 3-13.
17. Голъдштейн Р. В., Осипенко Н. М. Разрушение и формирование струк-
структуры // Докл. АН СССР. 1978. Т. 240. № 4. С. 829-832.
18. Голъдштейн Р. В., Осипенко Н. М. Структуры разрушения. (Условия
формирования. Эшелоны трещин) /Ин-т пробл. механики АН СССР. Препр. № ПО.
М., 1978, 59 с.
19. Голъдштейн Р. В., Осипенко Н. М. Механика разрушения ледяного покро-
покрова. Ин-т пробл. механики АН СССР. Препр. № 200. М., 1982. 72 с.
- 287-
20. Годъдштейн Р, B4i Осипенко Н, М, О локализованном хрупком разруше-
разрушении тонких тел с трещиноподобными дефектами при сжатии со стесне-
стеснением // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 158-167.
21. Гордон Дж. Почему мы не проваливаемся сквозь пол. М.: Мир, 1971. 272 с.
22. Григорян С. С. Некоторые вопросы математической теории деформирова-
деформирования и разрушения твердых горных пород // ПММ, 1967. Т. 31. Вып. 4. С. 643—669.
23. Гузъ А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными
напряжениями. Киев: Наук, думка, 1983. 295 с.
24. Дрбоглав С. В., Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Распространение упругих
волн в условиях разрыва сплошности//Пробл. нелинейн. акустодиагностики.
Таллинн, Валгус, 1986. С. 43-50.
25. Ермак А. А. Температурное поле в окрестности движущейся трещи-
трещины // Физ.-техн. пробл. разработки полезных ископаемых. 1978. № 1. С. 35-41.
26. Захаров В. В., Никитин Л. Б. О зоне проскальзывания при расслоении
упругих материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 3. С. 172-175.
27. Элатин А. Н., Храпков А. А. Полубесконечная трещина, параллельная
границе упругой полуплоскости // Докл. АН СССР, 1986. Т. 291, № 4. С. 810-813.
28. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
29. Кондауров В. И. Энергетический подход к задаче континуального разру-
разрушения твердого тела // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1986. № 6. С. 17-22.
30. Косевич А. М. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука,
1972. 280 с.
31. Костров Б. В. Автомодельные задачи о распространении трещин касатель-
касательного разрыва.//ПММ, 1964. Т. 28. Вып. 5, С. 889-898.
32. Костров Б. В. Осесимметричная задача о распространении трещин нор-
нормального разрыва // ПММ. 1964. Т. 28, Вып. 4. С. 644-652.
33. Костров Б. В. Неустановившееся распространение трещины продольного
сдвига // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 6. С. 1042-1049.
34. Костров Б. В. Распространение трещин с переменной скоростью.//ПММ,
1974. Т. 38. С. 551-560.
35. Костров Б. В. Механика очага тактонического землетрясения. М., Наука,
1975.176 с.
36. Костров Б. В., Никитин Л. В., Флитман Л. М. Механика хрупкого разруше-
разрушения // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 3. С. 112-125.
37. Костров Б. В., Осауленко В. И. Распространение трещины с произвольной
переменной скоростью под действием статических нагрузок // Изв. АН СССР,
МТТ, 1976. № 1. С. 84-99.
38. Кривень В. А. Обобщение представлений зоны пластичности при анти-
антиплоской деформации идеально упругопластических тел с остроконечным кон-
концентратом напряжений // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ-мат. и техн. науки. 1983.
№ 2. С. 33-36.
39. Кулахметова Ш. А. Влияние анизотропии решетки на отток энергии при
распространении трещины // Вест. ЛГУ. 1985. № 22, С. 51-57.
40. Кулахметова Ш. А. Динамика трещины в анизотропной решетке.
Докл. АН СССР. 1985. Т. 281. № 2. С. 300-303.
41. Кулахметова Ш. А., Сарайкин В. А., Слепян Л. И. Плоская задача о тре-
трещине в решетке // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 3. С. 112-118.
42. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 415 с.
43. Куршин Л. М., Суздалъниикий И. Д. Напряженное состояние упругой
плоскости, ослабленной бесконечным рядом продольно-поперечных тре-
трещин // ПМТФ. 1975. № 5. С. 179-186.
44. Леонов М. Я. Элементы теории хрупкого разрушения // ПМТФ. 1961.
№ 3. С. 85-92.
45. Леонов М. Я., Витвиикий П. М., Ярема С. Я. Полосы пластичности при
растяжении пластин с трещиновидным концентратором// Докл. АН СССР. 1963.
Т. 148. № 3. С. 541-544.
-288-
46. Линьков А. М. Замечание к вычислениям предела прочности на сжа-
сжатие // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 4. С. 154-170.
47. Лукас Роберт А. Квазистатический термоупругий анализ распростране-
распространения трещин // Механика. Период, сб. пер. иностранных статей . М.: Мир, 1970.
№ 1. С. 136-151.
ЬЪ.Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир,
1970. 443 с.
49. Макклинток Ф., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике разру-
разрушения // Прикладные вопросы вязкости разрушения. М.: Мир, 1968. С. 143—186.
50. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и кванто-
квантовой механике. М.: Наука, 1972. 437 с.
51. Маслов Л. А. Модель трещины как излучателя упругих колебаний // ПМТФ.
1976. № 2. С. 160-166.
52. Маслов Л. А. Движение трещины в дискретной среде // Изв. АН СССР.
МТТ. 1980. № 4. С. 136-140.
53. МарадудинА., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристалли-
кристаллической решетки в гармоническом приближении. М.: Мир, 1965. 383 с.
54. Механика разрушения горных пород / В. И. Кондауров, Ш. А. Мухамедиев,
Л. В. Никитин, Е. И. Рыжак. М.: Ин-т физики Земли АН СССР, 1987; 218 с.
55. Михайлов А. М. Обобщение балочного подхода к задачам теории тре-
трещин // ПМТФ. 1969. № 3. С. 171-174.
56. Михайлов А. М. О разрушении однонаправленного стеклопластика. —
Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 5, С. 131-139.
57. Михайлов А. М. Динамика однонаправленного стеклопластика // ПМТФ,
1974. № 4. С. 139-145.
58. Михайлов А. М., Слепян Л. И. Стационарное движение трещины в одно-
однонаправленном композите // Изв. АН СССР. МТТ. 1986* № 2. С. 180-187.
59. Молчанов А, Е., Никитин Л. В. Динамика трещины продольного сдвига
после потери устойчивости // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 2. С. 60-68.
60. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука,
1984. 255 с.
61. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической тео-
теории упругости. 5-е изд. М.: Наука, 1966. 707 с.
62. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Изд-во иностр. лит.,
1954. 647 с.
63. Науменко В. П. Хрупкое разрушение и прочность материалов при сжатии
и растяжении / Ин-т пробл. прочности АН УССР. Препр. Киев. 1987. 38 с.
64. Никитин Л. В., Одинцов В. Н. Образование протяженных сомкнутых тре-
трещин отрыва в хрупких горных породах//Докл. АН СССР, 1987. Т. 294. №4.
С. 814-817.
65. Никифоровский В. С, Шемякин Е. И. Динамическое разрушение твердых
тел. Новосибирск: Наука, 1979. 271 с.
66. Николаевский В* Н. Предельная скорость фронта разрушения и динами-
динамические перегрузки хрупких материалов. М.: Ин-т пробл. механики АН СССР,
Ин-т физики Земли им. О. Ю. Шмидта. Препр. № 123.1979. 57 с.
67. Николаевский В. Н. О динамике фронтов разрушения в хрупких те-
лах//Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 5. С. 106-115.
68. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
69. Новожилов В. В. О необходимости и достаточном критерии хрупкой проч-
ности//ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 2. С. 212-222.
70. Новожилов В. В. К основам теории равновесных трещин в упругих те-
лах//ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 797-612.
71. Новожилов В. В., Слепян Л. И. Некоторые достижения и проблемы меха-
механики разрушения//Вестн. АН СССР. 1987. № 9. С. 96-111.
72. Нуллер Б. М.,' Рывкин М. Б. О краевых задачах для упругих областей
периодической структуры, деформируемых произвольной нагрузкой//Изв..
ВНИИГ им. Веденеева: Сб. науч. тр. 1979. Т. 136. С. 49-55.
-289-
73. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.
Киев: Наук, думка, 1968. 246 с.
74. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений
около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. 445 с.
75. Папкович П. Ф. Теория упругости. Л.-М., Оборонгиз, 1939. 640 с.
76. ПартонВ.З., Борисковский В. Г. Динамическая механика разрушения.
М.: Машиностроение. 1985. 263 с.
77. Партой В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения.
М.: Наука, 1985, 502 с.
78. Полипов А. Н. Объяснение масштабного эффекта на основе энергетиче-
энергетического критерия разрушения // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1, С. 106-110.
79. Разрушение' Т. 1. Микроскопические и макроскопические основы меха-
механики разрушения. М.: Мир, 1973. 616 с; Т. 2. Математические основы механики
разрушения. М.: Мир, 1975. 764 с.
80. Райе Д. Р. Локализация пластической деформации//Теоретическая
и прикладная механика: Тр. XIV международн. конгресса ШТАМ М.: Мир, 1979.
С. 439-471.
81. Райе Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 217 с.
82. Ревуженко А. Ф., Шемякин Е. И. Некоторые постановки краевых задач
L-пластичности // ПМТФ. 1979. № 2. С. 128-137.
83. Саврук М. П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами.
Киев: Наук, думка, 1981. 323 с.
84. Садовский М. А. Состояние и перспективы научных исследований по
прогнозу землетрясений // Вестник АН СССР. 1985. № 10. С. 26-38.
85. Сарайкин В. А. Динамика плоской упругой трещины при переменных
нагрузках. Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 2. С. 138-147.
86. Сарайкин В. А., Слепян Л. И. Плоская задача о динамике трещины
в упругом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 4. С. 54-73.
87. Симонов И. В. О поведении решений динамических задач в окрестности
разреза, движущегося с трансзвуковой скоростью в упругой среде // Изв. АН СССР.
МТТ, 1983. № 2. С. 109-116.
88. Симонов И. В. Об установившемся движении трещины с участками
проскальзывания и отрыва по границе раздела двух упругих материалов//ПММ.
1984. Т. 48. Вып. 3. С. 482-489.
89. Симонов И. В. Нестационарное движение трещины поперечного сдвига
по границе раздела упругих сред // ПМТФ. 1986. № 6. С. 129-138.
90. Сиратори М.у Миеси Т., Маиусита X. Вычислительная механика разруше-
разрушения. М.: Мир, 1986. 334 с.
91. Слепян Л. И. О волне хрупкого разрушения//Инж. журн. МТТ. 1968.
№ 4. С. 190-192.
92. Слепян Л. И. О связи между свойствами сплошной среды, напряжениями
и деформациями в окрестности трещины // Числен, методы механики сплош.
среды. Новосибирск. 1971. Т. 2. № 4. С. 126-133.
93. Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 374 с.
94. Слепян Л. И. О деформациях в окрестности особой точки // Изв. АН СССР.
МТТ. 1972. № 4. С. 70-79.
95. Слепян Л. И. Деформация у края растущей трещины // Изв. АН СССР.
МТТ. 1973. № 4. С. 139-148.
96. Слепян Л. И. Приближенная модель динамики трещины // Динамика
сплошной среды. Новосибирск: СО АН СССР, 1974. Вып. 19-20. С. 101-110.
97. Слепян Л. И. Растущая трещина при плоской деформации упругопласти-
упругопластического тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. № 1. С. 57-67.
98. Слепян Л. И. Трещина в слоистой среде // Избр. пробл. приклад, механи-
механики. М.: ВИНИТИ, 1974. С. 657-664.
99. Слепян Л. И. Динамика трещины в упругопластическом теле // Изв.
АН СССР. МТТ. 1976. № 2. С. 144-153.
-290-
100. Слепян Л. И. Динамика трещины в решетке // Докл. АН СССР. 1981.
Т. 253. №3. С. 561-564.
101. Слепян Л. И. Распространение трещины при высокочастотных колеба-
колебаниях решетки // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. № 3. С. 566-569.
102. Слепян Л. И. Антиплоская задача о трещине в решетке // Изв. АН СССР.
МТТ. 1982. №5. С. 101-115.
103. Слепян Л. И. О связи между решениями смешанных динамических
задач для сплошной упругой среды и решетки // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 3.
С. 581-584.
104. Слепян Л. И. Динамика хрупкого разрушения в средах со структу-
структурой // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 6. С. 121-130.
105. Слепян Л. И. Динамика хрупкого разрушения в средах со структурой.
Неоднородные задачи // Мат. методы механики тверд, деформируем, тела
М.: Наука, 1986. С. 143-149.
106. Слепян Л. И., Кулахметова Ш. А. Распространение, трещины в массиве,
состоящем из жестких блоков с упругими прослойками // Изв. АН СССР. Физика
Земли. 1986. № 12. С. 17-23.
107. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Разрушение хрупкого стержня при про-
продольном ударе // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 2. С. 63-72.
108. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Теория трещин. Основные представления
и результаты. Л.: Судостроение, 1976. 43 с.
109. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. К теории роста трещины при цикличе-
циклических нагрузках//Изв. АН СССР. МТТ, 1983. № 5. С. 113-126.
ПО. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Волна разрушения в цепочке//ПМТФ,
1984. № 6. С. 128-134.
111. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Способ определения вязкости разрушения
по результатам циклических испытаний // Пробл. прочности. 1987. № 10. С. 14—18.
112. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Ударные волны в нелинейной цепоч-
цепочке // Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Наука, 1988. С. 175—186.
113. Слепян Л. И., Фишков А. Л. Смешанная плоская задача при неравномер-
неравномерно движущейся точке раздела граничных условий // Актуал. пробл. механики
сплош. среды. Исслед. по упругости и пластичности. Л.: изд-во ЛГУ. 1980. Вып. 13.
С. 172-181.
114. Слепян Л. И., Фишков А. Л. К задаче о распространении разреза с меж-
межзвуковой скоростью // Докл. АН СССР. 1981. Т. 261, № 6. С. 1316-1319.
115. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестацио-
нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. 343 с.
116. Чамис К. Микромеханические теории прочности // Композит, мате-
материалы. Разрушение и усталость. М.: Мир., 1987. Т. 5. С. 106-165.
117. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
118. Черепанов Г. П. Механика разрушения горных пород в процессе буре-
бурения. М.: Недра, 1987. 308 с.
119. Черных К. Ф., Литвиненкова 3. Н. Теория больших упругих деформаций.
Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. 254 с.
120. Шардин X. Исследование скорости разрушения // Атомный механизм
разрушения. М.: Металлургиздат, 1963. С. 297—329.
121. ШерЕ.Н. Об энергетическом условии в носике нестационарной тре-
трещины // ПМТФ. 1969. № 3. С. 175-178.
122. Шер Е. Н. Динамика растущего с постоянной скоростью прямолинейно-
прямолинейного изолированного разреза в условиях антиплоской деформации // ПМТФ. 1977.
№ 4. С. 166-177.
123. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: Изд-во иностр. лит.
1963. 247 с.
124. Barenblatt G. L, Goldstein R. V. Wedging of an elastic body by a slen wedge
moving with a constant super-rayleigh subsonic velocity // Int. J. Fract. Mech. 1972.
V. 8. N 4. P. 427-434.
-291-
Г25. BrobergK. В. The propagation of a brittle crack // Arkiv f. Fysik, 1960. V. 18.
N2. P. 159-192.
126. Chang S. J. Path-independent Integral for Rupture of perfectly Elastic
Materials // Z. fur angew. Mat. und Physik. 1972. V. 23. P. 149-152.
127. Cherepanov G. P. Point defects in Solids Fundamentals of Deformation and
Fracture // Proc. Eshelby Mem. Symposium, Cambridge University Press. 1985. P. 605-623.
128. Chitaley A. D.f Me Clintock F. A. Elastic-plastic mechanics of steady crack
growth under antiplane shear // J. Mech. and Phys. Solids. 1971. V. 19. N 3. P. 147-163.
129. ComninouM. The interface crack //Trans. ASME. Ser. E. J Appl. Mech. 1978.
V. 45. N 2. P. 287-290.
130. CotterellB. Brittle fracture in compression // Int. J. Fract. Mech. 1972. V. 8. N 2.
P. 195-208.
131. Craggs J. W. On the propagation of a crack in an elastic-brittle material//J.
Mech. and Phys. Solids. 1960. V. 8. N 1. P. 66-75.
132. Dugdale D. S. Yielding of stell sheets containing slits // J. Mech. and Phys.
Solids. 1960. V. 8. N 2. P. 100-104.
133. Freund L. B. Crack propagation in an elastic solid subjected to general loading.
II. Non-uniform rate of extension // J. Mech. and Phys. Solids. 1972. V. 20. N 3. p. 141-152.
134. Freund L. В., Douglas A. S. The influence of inertia on elastic-plastic anti-
plane-shear crack growth // J. Mech. Phys. Solids. 1982. V. 30. N 1/2. P. 59-74.
135. Fao Y. C.f Nemat-Nasser S. Dynamic fields near a crack tip growing in an
elastic-perfectly-plastic solid // Mechanics of Materials. 1983. V. 2. P. 47-60.
136. Gao Y. C, Nemat-Nasser S. Mode II dynamic fields near a crack tip growing in
an elastic-perfectly-plastic solid. // J. Mech. Phys. Solids. 1984. V. 32. N 1. p. 1-19.
137. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids. // Philos. Trans.
Roy. Soc. London. Ser. A. 1920. V. 221. P. 163-198.
138. Criffith A. A. The theory of rupture. // Proc. First Inter. Congress Appl. Mech.
Delft. 1924. P. 55-63.
139. Hult J. A. H. Fatigue crack propagation in torsion. // J. Mtch. and Phys. Solids,
1957. V. 6. N1. P. 47-52.
140. Irwin G. R. Fracture dynamics // Fracturing of Metals. ASM. Cleveland. 1948.
P. 147-166.
141. Irwin G. R. Analysis of stress and strain near the end of a crack traversing a
plate // J. Appl. Mech. 1957. V. 24. N 3. P. 361-364.
142. KalthoffJ. F. On the measurement of dynamic fracture toughnesses - a review
of recent work // Int. J. Fract. 1985. V. 27. P. 277-298.
143. F-vcTpot ?~?,
Mechanica zniszczenia. Teoria i zastoswania Warszawa. Wydawn, Polskieg.
Nauk. 1976.
144. Lo K. K. Elastic-plastic field at the tip of a propagationg shear crack // Quarterly
of applied mathematics. April 1982. P. 27-36.
145. Orowan E. O. Fundamentals of brittle behaviour in metals. // Symp. Fatigue and
Fracture of metals. 1950. N. Y. Wiley. 1952. P. 139-167.
146. Ravi-Chanddr K., KnaussW.G. An experimental investigation into dynamic
fracture. Part. I-IV//Int. J. Fract. 1984. V. 25. P. 247-262; V. 26. P. 65-80; 141-154,
193-204.
1471 Rice J. R. A path independent integral and the approximate analysis of strain
concentration by notches and crack // J. Appl. Mech. 1968. V. 35. N. 2. P. 379-386.
148. Rose L. R. F. An approximate (Wiener-Hopf) kernel for dynamic crack problems
in linear elasticty and viscoelasticity // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1976. V. 349.
N. 1659. P. 497-521.
149. SteifP. S. Crack extension under compressive loading // Eng. Fract. Mech. 1984.
V. 20. N 3. P. 463-473.
150. Westergaard H. M. Bearing pressures and cracks//J. Appl. Mech. 1939. V. 6.
N 2. P. A49-A53.
-292-
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотика промежуточная 26, 69
Асимптотика напряжений и переме-
перемещений 38-40, 44, 55, 61-64, 88, 93,
141-143,146-148, 205, 207
Барьер энергетический 13
Вариация длины трещины 21,120
Вектор трансляционный 237
Волны высокочастотные 247, 249, 250
— осциллирующие 254
Градиент перемещения 70, 78,114, 238
Деформация антиплоская 51, 57, 65, 97,
98,103,121
— пластическая 96
-плоская 27,126,156, 275
Длина трещины критическая 170
Задача антиплоская 27,36, 152, 178, 197,
229,267
— внешняя 5
-Лэмба7,181
-нестационарная 107,185, 202, 211
— обобщенная плоская 27, 35, 52
— о падении нити 262
-плоская 27, 46,108,180, 232, 275
— пространственная 29
— смешанная 37,194, 278
-стационарная 132, 152, 185, 209, 236,
285
-133, 39, 41, 47, 56,126,141,186, 276
-1133,40,56,127,147,186,276
-11134,40,56,186,279
Закон Гука 26
— пластического течения 96,119
Индекс 202, 261, 264
Интеграл инвариантный 24, 25, 90
-типаКоши38, 210
, периодический аналог 265
Компоненты деформации 27, 70
Константы Ламе 27
Координаты лагранжевы 69
— эйлеровы 69
Коэффициенты интенсивности напря-
напряжений 39, 57, 67,173,188,189
, критические значения 45, 151,
231,267
-М, N38, 39, 43, 93
Критерий деформационный 150,162
— прочности классический 11
— разрушения макроскопический 267,
384
— силовой Ирвина 14, 45, 68,191
Новожилова 14, -»¦ 150,162
— энергетический Гриффитса И,
68,150
Ирвина — Орована 11
Линии скольжения 99,132
Локализация 9,14
Макроуровень 5, 25, 46, 237
Материал упрочняющийся 97,133
Микроуровень 25, 237
Модель Баренблатта — Дагдейла 129,
130,
-приближенная динамика трещины
184,191,214, 227, 232
Мощность излучения 236, 280, 284
Напряжение касательное максималь-
максимальное 95
экстремальное 132,146,149
Напряжения главные 95
-, непрерывность 105
Носитель функции 195, 201, 203
Область пластичности 95
вторичной 136,140
-разгрузки 114,140
— упругая 95
• 293 -
Объемное расширение 27
Опыты Гриффитса 20, 279
Относительное изменение объема 70
— удлинение 27, 70
Пластическая зона в тонкой пласти-
пластине 130
Поворот 27, 70
Повреждения объемные 3,11,14
— поверхностные 3, 11
Поле линий скольжения центрирован-
центрированное 100,109
Потенциалы векторный и скалярный
175,177
Правила отбора 242
Правило обхода 244
Предел текучести 95
Представление Вестергаарда 28
— Папковича 29
Представления аналитические 49,
179,222
Преобразование двойное, формула
обращения 178
— конформное 57, 65
-Лапласа 164,178
-Фурье 178
функции дискретного аргумен-
аргумента 239
Приближение длинноволновое 237,
254, 259, 261, 266
Принцип Мандельштама 247
Прочность теоретическая 5
Работа внешних сил 10, 74
— деформации 74,120
пластической 120
— нулевой силы 45
Размер линейный 19
Разрушение льда 18
Разрыхление 13
Решения однородные 41, 43, 207, 212,
236, 245, 248
— фундаментальные 178,180
Сдвиг 27, 70
Сила конфигурационная 25
Силы сцепления 44,129
Символ Кронекера 27
Скорость волн расширения 176
--РэлеяШ
сдвига 176
— групповая, фазовая 245, 256
Состояние второе 35
— первое 35
— плоское напряженное 27,129,162,176
Среда дискретная 14, 237
— сплошная эквивалентная 238
Тензор Коши 71
, связь, с тензором Пиолы — Кирх-
Кирхгофа 76
— Пиолы — Кирхгофа 72
Теорема Бетти 22
Точка особая 24
Требование локальной ограничен-
ограниченности потока энергии 43, 94, 213
— непрерывности перемещения берега
трещины 3'/, 43, 94, 213
Угол сдвига 27
Удлинение относительное 27, 70
Уравнения волновые 176
— динамики 175
— равновесия 27, 71, 72
— совместности 96
Условия граничные 29
— на бесконечности 37, 55
— пластичности Треска - Сен-Венана 95
Устойчивость материала 74
Факторизация 195, 265
Формулы Колосова — Мусхелишви-
ли28
Эволюта 100
Энергии избыток 191, 270
— источник 13, 24, 261
-отток 6,191,256
-поток 6, 23, 26, 43, 91,122, 150, 190, 193,
249, 256, 261, 265, 270, 272, 286
, условия ограниченности 43, 94
Энергия высвобождающаяся 10, 20, 45,
67,150
— деформации 9, 72—7'4
— поглащаемая 11,12
-поверхностная 11, 67,150, 279
эффективная 11, 25, 236
склейки 17
— повреждений 11
— полная 9, 73
, вариация 11, 73
, — вторая 73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 3
Из предисловия к первому изданию 4
Глава 1. Энергетический критерий разрушения и некоторые
его следствия 9
§ 1.1. Общие энергетические соотношения и критерии разрушения ... 9
§ 1.2. Балочное приближение и масштабный эффект 15
§ 1.3. Способы определения потока энергии 20
Глава 2. Статика трещин в линейно-упругом теле 26
§ 2.1. Основные соотношения линейной теории упругости
для однородной изотропной среды 26
§ 2.2. Плоские задачи о трещине 35
§ 2.3. Трещина как результат действия обобщенных внешних сил
на сплошное тело 46
§ 2.4. Трещина на границе раздела 51
§ 2.5. Взаимодействие трещин 51
§ 2.6. Круглая трещина под действием нормальных напряжений 58
§ 2.7. Осесимметричные задачи 63
§ 2.8. Поток энергии при изменении направления распространения
трещины 65
Глава 3. Нелинейно-упругое тело 68
§ 3.1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости 69
§ 3.2. Лагранжева и эйлерова интерпретации линейной
теории упругости 79
§ 3.3. О деформациях в окрестности особой точки 82
§ 3.4. Поток энергии. Связь между формой раскрытия трещины
и напряжениями на ее продолжении 90
Глава 4. Упругопластическое тело '. 94
§ 4.1. Некоторые сведения из теории пластичности 95
§ 4.2. Поля напряжений при пластическом течении 98
§ 4.3. Деформации в неподвижных и движущихся пластических
областях j, 103
§ 4.4. Напряжения и деформации в области разгрузки 111
§ 4.5. Нагружение упругопластического тела с фиксированной
трещиной 119
§ 4.6. Растущая трещина при антиплоской деформации
упругопластического тела 132
§ 4.7. Растущая трещина при плоской деформации упругопласти-
упругопластического тела 141
§ 4.8. Критерии. Возможность устойчивого роста трещин 150
§ 4.9. Динамика трещины в упругопластическом теле 152
§ 4.10. Рост трещины при циклических нагрузках 161
-295-
Глава 5. Динамика трещин в сплошной упругой среде 173
5.1. Основные соотношения динамики линейно-упругого тела 175
5.2. Состояние у края трещины и поток энергии 185
5.3. Расщепление фундаментальных решений 194
5.4. Общее решение обобщенной плоской задачи о динамике
трещины 203
5.5. Переход через критическую скорость ,.. » 215
5.6. Автомодельная задача • 221
5.7. Некоторые задачи о динамике полубесконечной трещины 229
Глава 6. Динамика трещин в средах со структурой. 235
6.1. Решетки и эквивалентные им сплошные среды 237
6.2. Стационарная задача 241
6.3. Волна разрушения в цепочке 249
6.4. О соотношениях между потоками энергии на различных уровнях
описания структуры линейно-упругой среды 259
6.5. Потоки энергии при распространении трещины в решетках 267
6.6. Трещина в среде блочной структуры и в армированном материале 2*80
Список литературы 287
Предметный указатель 293
Научное издание
СЛЕПЯН ЛЕОНИД ИОСИФОВИЧ
МЕХАНИКА ТРЕЩИН
Монография
Издание второе, переработанное и дополненное
Заведующий редакцией Д. В. Павлов
Редактор Т. Г. Крепе
Художник переплета Г. Е. Николаев
Художественный редактор Е. Я. Радомысльский
Технический редактор Е. А. Полякова
Корректор С. Н. Маковская
ИБ № 1423
Подписано к печати 28.02.90. М—15537. Формат 60x90Vi6. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Усл.печ.л. 18,5. Усл. кр. отт. 18,5. Уч. изд. л. 17,85. Тираж 1660 экз. Заказ 17}., Изд. № 4287-88.
Цена Зр. 90к.
Издательство „Судостроение", 191065, Ленинград, ул. Гоголя, 8.
Набрано в издательстве „Судостроение" на наборно-печатающем автомате оператором М. А. Марен-
ковой.
Тульская типография Государственного комитета СССР по печати, г. Тула, пр. Ленина, 109.