/
Автор: Рыжик В.И. Александров А.Д. Вернер А.Л.
Теги: математика геометрия 8 класс
ISBN: 5-7084-0045-5
Год: 1997
Текст
А. Д. Александров
А.Л. Вернер
В.И. Рыжик
А.Д. Александров
А.Л. Вернер
В. И. Рыжик
Г1ША1ЕТРИЯ
Экспериментальное
учебное пособие
для учащихся
VIII класса
средних учебных
заведений
МОСКВА
О ГД Кул
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
1997
Редактор — В. В. Произволов
Александров А. Д. и др.
Геометрия. Экспериментальное учебное пособие для
учащихся VIII класса средних учебных заведений /
А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. — М.:
МИРОС, 1997. — 304 с.: ил.
ISBN 5-7084-0045-5
Учебное пособие предназначено для дифференцированного преподава-
ния в школах и классах различных типов: гуманитарных, обычных, с
углубленным изучением математики. Первая часть книги содержит три
главы курса планиметрии: «Параллельность и векторы», «Площади мно-
гоугольных фигур», «Геометрия треугольника», а также соответствующий
им стереометрический материал. Вторая часть — задачи по всем темам
курса, которые составлены для разных уровней обучения.
Изд. № ФЗО (03)
ISBN 5-7084-0045-5
ISBN 5-901032-12-8
© Александров А. Д., Вернер А. Л.,
Рыжик В. И., 1997
© Московский институт
развития образовательных систем
(МИРОС), 1997
Предисловие
Изучая геометрию в VII классе, вы, наверное, уже поняли,
что геометрия сочетает в себе и точность строгой логики, и
живую наглядность, и возможность разнообразного практиче-
ского применения. Каждая из этих сторон представлена в
настоящем учебнике. В нем продолжается дальнейшее логи
ческое построение того прекрасного здания, каким является
геоме/рия. В этом здании мы поднимемся еще на несколько
этажей, опираясь на то, что уже было построено. Вспомним
еще раз слова великого И. Ньютона: «Геометрия за то и
прославляется, что, заимствовав извне столь мало основных
положений, она столь многого достигает».
Весь обширный теоретический материал пособия можно
разделить на основной и дополнительный. Основного совсем
немного: один-два признака параллельности прямых, свойства
параллелограмма, понятие о векторе, формулы дтя площади
прямоугольника и треугольника, теорема Пифагора, понятия
о синусе, косинусе и подобии треугольников. Все остальное —
дополнительный материал. Он выводится в виде следствий
этих важнейших положений.
Если, изучая основной материал, вы как бы стремитесь
вверх по этажам того здания, которое называют «геометрия»,
то знакомство с дополнительным материалом — это подробный
осмотр каждого этажа. Знание этих теорем даст вам более
полное представление о науке, поможет решать задачи. Среди
параграфов и пунктов с дополнительным материалом есть те,
что содержат чисто теоретический материал, а есть такие, в
которых говорится о практическом применении геометрии.
Обширный дополнительный материал делится на тот, ко-
торый расширяет ваши геометрические представления (этот
материал обычно достаточно прост), и тот, в котором вы
углубляетесь в более сложные геометрические проблемы.
Большинство пунктов, в которых говорится о наглядной
стороне геометрии, о ее связи с другими областями науки
3
и культуры, следует просто прочесть, понять, обдумать. Здесь,
в частности, содержатся и материалы о пространственных
фигурах. Все эти разделы отмечены в пособии звездочкой (*),
которая стоит после номера параграфа или пункта.
Изучать геометрию по этой книге можно и так. Сначала
понять и запомнить формулировки основных теорем (даже не
знакомясь с их доказательствами) и затем применять их к
решению задач. Так поступали еще в Древнем Египте (теоремы
в то время не доказывали) и такой уровень изучения геомет-
рии — первый, можно было бы в шутку назвать «древнееги-
петским».
Но это еще не геометрия, а лишь достаточно поверхностное
знакомство с ней. Настоящая геометрия начинается с дока-
зательства теорем, а доказывать их начали в Древней Греции.
Этот уровень изучения геометрии — второй, который включает
в себя и доказательства теорем, можно назвать «античным».
Большая часть элементарной геометрии соответствует именно
этому, весьма высокому, уровню.
Однако в современной геометрии обсуждаются и такие про-
блемы, о которых речь во времена Евклида (и даже в XIX в.)
не шла. Сейчас даже в школьном учебнике такие проблемы
ставятся. И мы с вами их обсуждаем. Это — третий уровень,
уровень современной геометрии — науки, которая развивается
уже многие тысячелетия и которая продолжает расти и раз-
виваться и сейчас.
Введение
В VII классе в учебнике «Геометрия» были заложены ос-
нования систематического курса геометрии, как бы подведен
фундамент под то здание, которое предстоит строить пять лет.
Вспомним эти основания.
По^ле знакомства со свойствами простейших геометриче-
ских фигур — отрезков, углов, окружности и круга — изуча-
лась важнейшая геометрическая фигура — треугольник.
Прежде всего были доказаны признаки равенства
треугольников. Два треугольника называются равными,
если равны их соответственные стороны (рис. 1). У равных
треугольников равны не только их стороны, но и углы (рис. 2).
Напомним эти признаки:
Первый признак. Если две стороны и угол, заключен-
ный между ними, одного треугольника соответственно равны
двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого
треутольника, то такие треугольники равны (рис. 3).
Второй признак. Если сторона и прилежащие к ней
углы одного треугольника равны соответственно стороне и
прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие
треугольники равны (рис. 4).
Рис. 1 Рис. 2
5
ЕслпАВ=А1В1, /_А= /.Ay,
AC =AyCy,
то &АВС = ьАуВуСу
Рис. 3
Если АВ =y4jjBi. /-А=/_Ау
АВ = АВу,
ТО аАВС = ААуВуСу
Рис. 4
Затем были выведены свойства равнобедренного
треугольника.
Свойство 1. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны (рис. 5).
Свойства 2—3. В равнобедренном треугольнике медиана,
проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой
(рис. 6).
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Утверждение, обратное свойству 1, является признаком
равнобедренного треугольника: если два угла тре-
угольника равны, то треугольник равнобедренный.
При сравнении сторон и углов треугольника, доказывалось,
что в треугольнике против большей стороны лежит больший
угол (рис. 7). Верно и обратное: в треугольнике против боль-
шего утла лежит большая сторона (см. рис. 7). Теорема о том,
что в треугольнике сумма любых двух сторон больше его
третьей стороны, называется неравенством треуголь-
ника (рис. 8).
6
в
АВ + ВС > АС
Рис. 10
Эти три теоремы о неравенствах в треугольнике опираются
на теорему о внешнем угле треугольника: в треугольнике
внешний угол больше любого не смежного с ним угла треу-
гольника (рис. 9).
И наконец, было установлено, что сумма углов любого
треугольника равна 180° (рис. 10).
«Геометрия» для VIII класса предлагает для изучения сле-
дующие разделы: «Параллельность и векторы» (гл. 1), «Пло-
щади многоугольных фигур» (гл. 2), «Геометрия треугольни-
ка» (гл. 3).
Как и в предыдущем учебнике, рассказывается о соответ-
ствующих фигурах в пространстве и их свойствах, т. е. про-
должается знакомство с элементами стереометрии.
Параллельность и векторы
Слово «параллельный» в переводе с греческого
означает «идущий рядом». Параллельны, напри-
мер, две противоположные стороны прямоугольника или рельсы,
идущие рядом (рис. 11).
В геометрии говорят о параллельных отрезках, прямых, пло-
скостях и т. п. Евклид в «Началах», определяя параллельные
прямые, говорит так: «Параллельные суть прямые, которые,
находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны
неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не
встречаются».
Это определение Евклида можно отнести и к параллельным
отрезкам и к параллельным прямым. Сегодня говорят короче:
параллельными прямыми называются прямые, которые лежат
в одной плоскости и не пересекаются. А параллельные отрез-
ки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых.
Рис. 11
8
A
В
a
C D
a lib. AB IICD
Рис. 12
b
Параллельность прямых и отрезков обозначают значком ||,
например, а ||Ь, ДВЦСО и т. д. (рис. 12).
О параллельности говорится и в таких геометрических тер-
минах, как параллелограмм и параллелепипед.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которо-
го две пары параллельных сторон (рис. 13). Параллелограмм —
плоская фигура. Аналогичная ей пространственная фигура —
это параллелепипед (рис. 14). С первых классов вам известен
прямоугольный параллелепипед, грани которого — прямоуголь-
ники (см. рис. 14). У произвольного параллелепипеда все шесть
граней — параллелограммы (рис. 15).
В параллелепипеде противоположные грани параллельны
друг другу (как параллельны противоположные стороны парал-
лелограмма). Это значит, что плоскости, в которых лежат про-
тивоположные грани параллелепипеда, не имеют общих точек.
В этой главе мы начнем изучать новый вид величин — век-
торные. или, короче, векторы. Векторы — это величины, которые
9
характеризуются не только численным значением, но и направ-
лением.
Примерами векторных величин в физике являются скорость,
сила, давление. В геометрии векторы изображают направлен-
ными отрезками (рис. 16), т. е. отрезками, у которых указан
порядок концов.
Многие физические законы формулируются с помощью век-
торов, например знаменитые законы И. Ньютона в механике.
Само слово «вектор» латинское и в примерном переводе оз-
начает «цереносчик»: начало направленного отрезка — точку А —
вектор АВ как бы переносит в его конец — точку В.
§ 1. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
1.1 . Признаки параллельности прямых. Параллельность
двух прямых (или отрезков) распознают по углам, которые
эти прямые (или отрезки) образуют с третьей прямой, пере-
секающей их (или с отрезком, соединяющим эти точки). Эти
многочисленные признаки изображены на рис. 17.
Все эти признаки легко доказываются методом от против-
ного. Допустив, что прямые а и b не параллельны, мы каждый
раз приходим к противоречию с теоремой о внешнем угле
треугольника («Геометрия» для VII класса, п. 6.1) или с одним
из ее следствий (рис. 18).
На рис. 18 мы допускаем, что прямые а и b пересекаются
выше прямой с, получаем противоречие. Если же допустить.
Рис. 17
10
что они пересекаются ниже прямой с, то снова придем к
противоречию. Сделайте это самостоятельно.
А теперь попробуем сформулировать уже доказанные нами
признаки параллельности. Первый из них формулируется
очеЛ. просто: две прямые, перпендикулярные третьей прямой,
параллельны (речь идет, конечно, о прямых, 1ежащих в одной
плоскости). А вот чтобы кратко сформулировать остальные,
необходимо ввести специальные названия для углов, участ-
вующих в этих признаках. Сделаем это.
Итак, пусть прямая с пересекает две прямые а и b в точках
А и В (рис. 19). Тогда они образуют восемь углов с вершинами
в точках А и В.
Углы, прилегающие к отрезку АВ, называются внутренни-
ми. Те из них, которые лежат с одной стороны от АВ, назы-
ваются односторонними, а те, что лежат с разных сторон и
имеют различные вершины, - накрест лежащими. Так что уг-
лы 1 и 3 - внутренние накрест лежащие, а углы 1 и 4 -
внутренние односторонние.
Кроме внутренних односторонних и накрест лежащих су
шествуют еще и внешние од-
носторонние и накрест лежа-
щие углы. На рис. 19 углы 6
и 7 — внешние односторон-
ние, а углы 5 и 7 — внешние
накрест лежащие.
Наконец, пары углов 1 и
5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 назы-
ваются соответственными.
Теперь сформулируем при-
знаки параллельности (см.
рис. 17):
Рис. 19
11
D основание с
•А основание В
АВ ИСЛ
Рис. 20
Первый признак параллельности: если при пе-
ресечении двух прямых третьей соответственные углы равны,
то прямые параллельны.
Второй признак параллельности: если при пере-
сечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие
углы равны, то прямые параллельны.
Третий признак п а р а л л ел ь н ос т и: если при пере-
сечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних
углов равна 180°, то прямые параллельны.
Но мы в этих признаках использовали не все пары углов.
Поищите другие пары углов самостоятельно, сформулируйте
для них эти признаки.
В заключение отметим: утверждение о том, что две прямые,
перпендикулярные третьей прямой, параллельны, является
частным случаем любого другого признака параллельности.
Докажите это самостоятельно.
1.2 . Трапеция и параллелограмм. Признаки параллелограм-
ма. Если у четырехугольника имеется лишь одна пара парал-
лельных сторон, то такой четырех-
угольник называется трапецией
(рис. 20). Параллельные стороны
трапеции называются ее основания-
ми, а две другие стороны — боковы-
ми сторонами. Если боковые стороны
трапеции равны, то трапеция назы-
вается равнобедренной (рис. 21).
Узнать, будет ли четырехуголь-
ник трапецией, можно, используя
признаки параллельности прямых
(рис. 22).
В том случае, когда четырех-
угольник имеет две пары парал-
лельных сторон, то он, как вы уже
знаете, называется параллелограм-
мом (см. рис. 13). Другими словами,
параллелограммом называется четырехугольник, противопо-
ложные стороны которого параллельны.
Признаки параллелограмма формулируются не только че-
рез равенство углов (как уже полученные признаки парал-
лельности), но и через равенство отрезков. Сформулируем три
основные из них.
Первый признак: четырехугольник, противоположные
стороны которого попарно равны,— параллелограмм (рис. 23).
12
Рис. 21
б)
Рис. 22
d + p = 180'
в)
Если АВ = CD
и AD = BC,
* то ABCD -
Если А А = АС
и АВ= aD,
то ABCD —
Если ОА = ОС
и OB = OD,
то ABCD -
пара т.тетограмм
параллелограмм
парал телограмм
Рис. 23
Рис. 24
Рис 25
Второй признак: четырехугольник, противоположные
углы которого попарно равны,— параллелограмм (рис. 24).
Третий признак: четырехугольник, диагонали которо-
го, пересекаясь, делятся пополам,— параллелограмм (рис. 25).
Попробуйте доказать эти признаки самостоятельно.
1.3 . Доказательства признаков параллелограмма. Проще
всего доказывается второй признак. Сумма всех углов лю-
бого четырехугольника равна 360°. Поэтому А А +А В +А С +
+ А D = 360°. Так как Z. А = АС и АВ = AD, то А А +АВ =180°.
А тогда по третьему признаку параллельности прямых
AD||BC. Аналогично, А А +А D =180°. Поэтому АВ||£>С. Итак,
четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Чтобы доказать третий признак параллелограм-
м а, достаточно увидеть на рис. 26 две пары равных треуголь-
ников: A ABO = A CDO и А ВСО = A DAO (по первому призна-
ку равенства треугольников). Из равенства треугольников АВО
и CDO вытекает равенство углов 1 и 2 (см. рис. 26). Это накрест
лежащие углы при прямых АВ и CD, пересеченных прямой
АС. По второму признаку параллельности прямых АВ||СЛ.
Аналогично из равенства углов 3 и 4 следует, что ВС||АО.
Четырехугольник ABCD — параллелограмм.
13
“ _____________h a
P P
a) o)
Рис. 28
Чтобы доказать первый признак, выполним дополни-
тельное построение — проведем диагональ АС (рис. 27). Тогда
ДАВС = ДАОС (по трем сторонам). Поэтому Ll = Z.2 и AB\\CD,
Z. 3 = L 4, следовательно AD||.ВС.
1.4 *. Построение параллельных отрезков и прямых. На
практике, используя признаки параллельности, строят раз-
личные фигуры, содержащие параллельные отрезки (парал-
лелограммы, прямоугольники, трапеции). В теории же чаще
всего встречается такая задача.
Задача. Через точку М, не лежащую на данной прямой а,
провести прямую, параллельную прямой а.
Решение. Можно предложить несколько вариантов ре-
шения этой задачи. Самое простое решение такое. Опустим
из точки М перпендикуляр МР на прямую а (рис. 28, а).
Через точку М проведем прямую Ь±МР. Так как прямые а
и b перпендикулярны отрезку МР, то они параллельны
(рис. 28, б).
Решение этой задачи позволяет поставить очень важный
вопрос: а сколько прямых, параллельных прямой а, проходит
через точку М7 Такая прямая лишь одна — это построенная
нами прямая Ы Мы докажем это утверждение в следующем
параграфе.
1.5 *. Признак и построение прямоугольника. Из всех па-
раллелограммов чаще всего (и в теории, и на практике) встре-
чаются прямоугольники. Поэтому особо следует обозначить
14
Риг. 29
Рис. 32
Рис. 33
* Рис. 31
признак прямоугольника. Четырехугольник, в кото-
ром три угла прямые,— прямоугольник, т. е. четвертый его
угол тоже прямой, а противоположные стороны равны.
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD углы
А, В, С — прямые, т. е. А А =А В =А С - 90° (рис. 29). Так
как сумма всех углов любого четырехугольника равна 360°,
то Z.D = 90°. Итак, AD — прямой.
Покажем, что АВ = DC и AD = ВС. Допустим, что АВ * DC.
Тогда отложим на луче DC отрезок DM = АВ (рис. 30) и про-
ведем отрезок ВМ. Получим прямоугольник ABMD (по аксиоме
прямоугольника — «Геометрия» для VII класса, п. 7.3). Из
точки В на прямую CD опущены два перпендикуляра — ВС
и ВМ, что невозможно («Геометрия» для VII класса, п. 6.1.
следствие 4).
Итак, допущение, что АВ DC, ведет к противоречию.
Поэтому АВ = CD. Аналогично доказывается, что AD = ВС.
Доказанный признак часто будет использоваться при постро-
ениях прямоугольника.
Первое построение. Внутри прямого угла с вершиной А
возьмем точку С и опустим перпендикуляры СВ и CD на
стороны этого угла (рис. 31). Тогда четырехугольник ABCD —
прямоугольник.
Второе построение. В одной плоскости через концы отрезка
АВ проведены две прямые а и Ь, перпендикулярные этому
отрезку (рис. 32). Возьмем на прямой b любую точку С и
15
Рис. 35
Рис. 36
опустим перпендикуляр CD на прямую а. Получим прямо-
угольник ABCD. Отметим, в частности, что CD = ВА, т. е.
параллельные прямые а и Ь идут на постоянном расстоянии
друг от друга (рис. 33).
Признак прямоугольника можно сформулировать иначе:
четырехугольник, все углы которого равны,— прямоугольник.
Объясните, почему справедливо это утверждение.
1.6 *. Ромб и квадрат. Среди всех четырехугольников пря-
моугольник выделяется тем, что все его углы равны. Ромбом
называется четырехугольник, все стороны которого равны
(рис. 34). А четырехугольник, у которого равны и все стороны,
и все углы.— это хорошо знакомый вам квадрат (рис. 35).
Ромб, конечно, является параллелограммом (по первому при-
знаку параллетограмма — п. 1.2).
Легко убедиться, что диагона iu ро нба являются биссект
рисами его углов и они взаимно перпендику 1ярны.
Действительно, пусть диагонали ромба ABCD пересекаются
в точке О (рис. 36). Тогда равнобедренные треугольники АВС
и ADC равны. Поэтому ABAC = аВСА = ADAC = ADCA.
Следовательно. АС является биссектрисой углов А и С ромба
ABCD.
Аналогично диагональ BD является биссектрисой углов
В и D.
Далее Д АВО = Д ВСО = Д CDO = Д DAO (по стороне и двум
углам). Поэтому А АОВ = А ВОС = A COD =А DOA = 90°.
Итак, диагонали ромба АС и BD взаимно перпендикулярны.
Утверждения, обратные установленным двум свойствам ди
агоналей ромба, являются признаками ромба. Зде< ь мы дока-
жем первое из них. Параллелограмм, диагональ которого яв-
ляется биссектрисой его углов,— это ромб.
16
Действительно, если диагональ АС параллелограмма ABCD
является биссектрисой углов А и С, то в равных треугольниках
АВС и ADC все углы при стороне АС равны. Поэтому эти
треугольники — равнобедренные, т. е. АВ = ВС = AD = DC.
Итак. ABCD — ромб.
В «Геометрии» для VII класса уже говорилось об отличии
признака (например, равнобедренного треугольника) от его
свойства. Учебник для VIII класса начинается с рассмотрения
признаков параллелограмма и его свойств.
Обратите внимание: у слова «признак» корень «знак», т. е.
он как бы подает нам знак, по которому мы из множества всех
многоугольников можем выбрать тот, который нас интересует;
корень слова «свойство» — «свой», т. е. то, чем обладает та
фигура, о которой идет речь.
Слово «ромб» происходит от греческого rhombos, означаю-
щего «бубен». Оказывается, в древние времена бубны — музы-
кальные инструменты — были не круглыми, как сейчас, а имели
форму ромба.
Слово «квадрат» происходит от латинского quadratus — «че-
тырехугольный». Однокоренными являются:
кварта — интервал в музыке, содержащий четыре тона;
квартет — музыкальное произведение для четырех голосов
или инструментов, а также ансамбль из четырех музыкантов;
квартал — часть города, ограниченная улицами;
квартира — часть дома.
Попробуйте подобрать и другие однокоренные слова. В этом
вам помогут различные словари, в том числе этимологический.
Слово «трапеция», как уже упоминалось в предыдущем учеб-
нике, происходит от греческого, означающего «столик». Оно
сохранилось в русском языке в форме «трапеза» — обед, пища.
§ 2. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
2.1. Единственность прямой, параллельной данной. В § 1
мы получили несколько признаков параллельности. С их по-
мощью теперь можно строить параллельные отрезки, парал-
лелограммы, трапеции. В этом параграфе мы продолжим изу-
чение параллельности и найдем ряд свойств фигур, у которых
* Автор комментариев - Т. Г. Ходот.
17
есть параллельные отрезки. Все эти свойства основаны на
важнейшем утверждении о параллельных прямых.
Утверждение о единственности параллельной. Через данную
точку, не лежащую на данной, прямой, проходит лишь одна
прямая, параллельная данной (рис. 37).
Это утверждение мы докажем в следующем пункте. А сейчас
сделаем из него два простейших вывода:
1. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
между собой. Это еще один признак параллельности.
Действительно, пусть прямые а и b параллельны прямой с.
Докажем способом от противного, что а и b параллельны.
Допустим, что а и b пересекаются в точке А (рис. 38). Тогда
через А проходят две прямые, параллельные прямой с. А это
противоречит утверждению о единственности параллельной.
Следовательно, прямые а и b не пересекаются, т. е. а|| Ь.
2. Если прямая пересекает одну из двух параллельных
прямых, то она пересекает и другую из них (рис. 39).
Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая
с пересекает прямую а в точке А. Если допустить, что прямая
с не пересекает прямую Ь, то получится, что через точку А
проходят две прямые а и с, параллельные прямой Ь. А это
невозможно. Поэтому прямая с пересекает прямую b в точке В.
2.2. Доказательство утверждения о единственности парал-
лельной. Итак, рассмотрим произвольную прямую а и любую
точку А, не лежащую на прямой а. Прямую а считаем гори-
зонтальной, а точку А — лежащей выше а (рис. 40). Опустим
перпендикуляр АВ на прямую а и проведем через точку А
прямую Ь, перпендикулярную АВ. Как нам уже известно,
прямая Ь параллельна прямой а. Возьмем любую прямую с,
проходящую через точку А, и покажем, что прямая с пере-
секает прямую а.
18
A
b
Возьмем на прямой с какую-нибудь точку М в полосе
между прямыми а и Ь и опустим перпендикуляры МР на АВ
и МО на b (рис. 41). Получим прямоугольник АОМР. Прило-
жим последовательно друг к другу прямоугольники, равные
прямоугольнику АОМР, так, чтобы их стороны, лежащие на
луче АВ, покрыли отрезок АВ. Число п таких прямоугольников
|.1В|
должно быть больше, чем------• Объединение этих прямоуголь-
|АР|
ников составит прямоугольник АОКС, две вершины которого
С и ТС лежат ниже прямой а. Теперь приложим последовательно
друг к другу п прямоугольников, равных прямоугольнику
АОКС, как указано на рис. 42. Получим прямоугольник ACDE,
состоящий из л2 прямоугольников, равных прямоугольнику
АОМР. Его вершины С и D лежат ниже прямой а, а диагональ
AD лежит на луче AM прямой с. Так как точки А и D лежат
по разные стороны от прямой а, то прямая с пересекает
прямую а. Итак, любая прямая с, проходящая через точку
А и отличная от прямой Ь, пересекает прямую а. Следова-
тельно, через точку А проходит лишь одна прямая Ь, парал-
лельная прямой а.
2.3* . Пятый постулат Евклида и равносильные ему утвер-
ждения. Мы доказали утверждение о единственности парал-
лельной, опираясь на аксиому прямоугольника, согласно ко-
торой можно построить прямоугольник с любыми заданными
сторонами. У Евклида в «Началах» это утверждение заменял
пятый постулат, который гласит следующее: «И если прямая,
19
Рис. 44
падающая на две прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти
две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы
меньшие двух прямых» (рис. 43).
Из пятого постулата Евклида легко вытекает утверждение
о единственности параллельной. Докажите это самостоятельно
(рис. 44).
Верно и обратное. Если принять за аксиому утверждение
о единственности параллельной, то, опираясь на него, можно
вывести пятый постулат.
20
Действительно, допустим, что прямые а и b образуют с
прямой с внутренние односторонние углы а и /3, в сумме
меньшие двух прямых углов, т. е. меньшие 180° (рис. 45).
Тогда через точку Л проходит прямая d, отличная от прямой
а и образующая с прямой с такой угол у, который в сумме
с углом /3 равен 180°. Согласно третьему признаку параллель-
ности, прямые bud параллельны. Но тогда в силу утверждения
о единственности параллельной прямые а и b параллельными
быть не могут, т. е. они пересекаются. Ясно, что пересечься
они могут лишь с той стороны, где расположены углы а и р.
Итак, пятый постулат выполняется, если верно утвержде
ние о единственности параллельной.
О любых двух утверждениях, каждое из которых может
быть выведено из другого, говорят, что они равносильны.
Проводя рассуждения, доказательства, всегда можно заменить
одно утверждение равносильным ему, если это удобно. Мы
установили, что пятый постулат Евклида и утверждение о
единственности параллельной равносильны. Сейчас чаше всего
именно это утверждение принимают за аксиому при система-
тическом построении геометрии и называют его аксиомой
параллельности Евклида, хотя у Евклида такой аксиомы нет,
а есть равносильный ей пятый постулат. Мы же вместо пятого
постулата выбрали равносильную ему аксиому прямоугольни-
ка: она не только позволяет просто получить основные теоремы
планиметрии (например, теорему о сумме углов треугольника),
но и постоянно подтверждается практикой изготовления ре-
альных прямоугольников.
Замена при рассуждении утверждения равносильным
ему — один из наиболее распространенных и удобных приемов
в математике (не только в геометрии, но и в алгебре, например
при решении уравнений). Часто не говорят о том, что утвер-
ждения равносильны, а применяют выражение: «...тогда и
только тогда...» Например, точка равноудалена от концов
отрезка тогда и только тогда, когда она лежит на серединном
перпендикуляре этого отрезка. Соединяют равносильные ут-
верждения также символом
Постулат — одно из основных понятий геометрии. Слово «по-
стулат» происходит от латинского и означает «класть», «ставить»,
поэтому, например, однокоренное «пост» — это и место, где
поставлена стража, и сама стража. Однокоренным является
также слово «постамент» — подножие, пьедестал.
21
а) б)
Рис. 46
Если а II Ь,
то Al + Z4 = 18O°
в)
Рис. 47
Рис. 48
2.4. Свойства параллельных прямых, пересеченных третьей
прямой. Все теоремы о свойствах параллельности, которые мы
далее докажем, являются утверждениями, обратными призна-
кам параллельности. Вспомните эти признаки и сформули-
руйте обратные им утверждения. Проще всего это сделать так:
посмотрите на рис. 17 и подписи к нему и поменяйте местами
условие и заключение. Полученное видно на рис. 46.
Доказать достаточно любое из этих свойств, остальные
окажутся его следствиями.
Докажем, например, первое, применив снова метод от про-
тивного.
Допустим, что а|| Ь, но Z.l^Z.2. Тогда через точку В про-
ведем прямую d. которая наклонена к прямой с под углом
а, равным углу 1 (рис. 47). Она не совпадает с прямой Ь.
Прямые and параллельны (по первому признаку параллель-
ности прямых, см. п. 1.1). Но тогда через точку В пройдут
две прямые Ь и d, параллельные прямой а. А это противоречит
утверждению о единственности параллельной.
Остальные два свойства являются следствиями первого.
22
Действительно, Z.2 = 7-3 (рис.
48), a L2 + 7.4 = 180° (рис 49). А
так как Z.1=Z.2, то 7-1 = 7.3 и
7.1 + 7.4 = 180°.
А теперь сформулируем эти
свойства.
Свойство 1. Если две парал
leibHbie прямые пересечены
третьей прямой, то образованные
ими соответственные углы равны.
Свойство 2. Если две параллельные прямые пересечены
третьей прямой, то образованные ими внутренние накрест
лежащие углы равны.
Свойство 3. Если две параллельные прямые пересечены
третьей прямой, то образованные ими внутренние односто-
ронние углы в сумме равны 180°.
В заключение отметим, что частным случаем каждого из
этих свойств является такое утверждение.
Свойство 4. Если прямая перпендикулярна одной из двух
пара члелъных прямых, то она перпендикулярна и другой из
них (рис. 50).
2.5. Свойства параллелограмма. Вспомните признаки парал-
лелограмма, доказанные в п. 1.2. и посмотрите рис. 23—25.
Теперь сформулируйте утверждения, обратные утверждениям
о признаках параллелограмма. Все они начнутся словами:
«Если четырехугольник ABCD — параллелограмм, то...» Сле-
довательно, все эти утверждения являются свойствами парал-
лелограмма. Закончите формулировки сами. Например, первое
свойство звучит так: если четырехугольник ABCD—паралле-
лограмм, то его противоположные стороны равны. А можно
сказать и короче:
Свойство 1. В параллелограмме противоположные сто-
роны попарно равны.
Аналогично формулируются и два других свойства.
Свойство 2. В параллелограмме противоположные углы
попарно равны.
Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пере-
сечения делятся пополам.
Доказать эти утверждения можно, используя рис. 51 и 52.
а также признаки равенства треугольников и свойства парал-
лельных прямых (п. 2.4).
23
Еслп ABCD - параллелограмм,
то АВ = CD п AD = ВС,
АА = АСп АВ= AD
Риг. 51
Еслп ABCD - параллелограмм,
то АО = ОС п ВО = OD
Рис. 52
Во многих теоремах этого пункта (да и в дальнейшем) часто
встречается слово «попарно»: отрезки (или углы) попарно рав-
ны — это значит, что равны между собой любые два отрезка
(или угла) или. иначе, любая их пара.
В нашем случае противоположные стороны параллелограмма
попарно равны — значит, равны между собой любые две про-
тивоположные стороны этого параллелограмма.
2.6. Доказательства свойств параллелограмма
Доказательства свойств 1 и 2. Рассмотрим паралле-
лограмм ABCD (см. рис. 51). Проведем диагональ BD. В тре-
угольниках ABD и BCD общая сторона BD и прилежащие к
ней равные углы: Al — А2 (как накрест лежащие при парал-
лельных прямых AD и ВС и секущей BD) и Z.3 = А4
(АВ ||СЛ и секущая BD). Поэтому А АВЛ = A CDB (по второму
признаку равенства треугольников). Следовательно, АВ = CD
и АЛ = ВС (первое свойство), а также Z. А = Z. С и
А В = А2 + Z.3 = А1 + А4 = Z. Л (второе свойство).
Доказательство свойства 3. Пусть диагонали парал-
лелограмма ABCD пересекаются в точке О (см. рис. 52).
В треугольниках AOD и СОВ равны стороны АЛ и ВС (по
свойству 1), а также прилежащие к ним углы: Al = Z.2
(АЛ||ВС и секущая BD) и АЗ = А4 (АЛ||ВС и секущая АС).
Поэтому A AOD = А СОВ. Следовательно, АО = ОС и ВО = OD.
2.7* Характерные свойства фигур и опре (еления. Мы до-
казали три пары взаимно обратных утверждений. Вот первая
из них:
24
1) четырехугольник, противоположные стороны которого
попарно равны, является парад телограммом;
2) противоположные стороны параллелограмма попарно
равны.
Первое из этих утверждений — признак параллелограмма.
Второе же из них — его свойство. О свойстве фигуры, которое
одновременно является и ее признаком, говорят как о харак-
терном (или характеристическом) свойстве фигуры. Таким об-
разом, равенство противоположных сторон четырехугольни-
ка -— характерное свойство параллелограмма. Точно так же
равенство противоположных углов четырехугольника — это
тоже характерное свойство параллелограмма.
Давая определение какой-либо фигуры, всегда указывают
ее характерное свойство. Но одна и та же фигх ра может иметь
несколько характерных свойств. Поэтому возможны различ-
ные определения одной и той же фигуры. Например, возможны
такие определения параллелограмма:
1. Параллелограммом называется четырехугольник, проти-
воположные стороны которого попарно параллельны.
2. Параллелограммом называется четырехугольник, проти-
воположные стороны которого попарно равны.
3. Параллелограммом называется четырехугольник, проти-
воположные углы которого попарно равны.
4. Параллелограммом называется четырехугольник, диаго-
нали которого точкой пересечения делятся пополам.
Все эти определения относятся к одной и той же фигуре.
В этом случае говорят о равносильности нескольких возмож-
ных определений. Назовите не< колько возможных определе-
ний известных вам фигур, например прямоугольника, ромба,
квадрата. Можно ли определить прямоугольник как паралле-
лограмм, диагонали которого равны, а ромб как параллело-
грамм, диагонали которого взаимно перпендикулярны?
Слово «характерный» греческого происхождения и означает
«отличительные черты». Поэтому
характерные свойства — отличительные свойства;
характерные танцы — танцы, свойственные какому-нибудь
народу;
характеристика человека — описание отличительных черт ко-
го-либо.
25
Если AB = CD п АВ II CD,
то ABCD — пара пелограмм
Рис. 53
Рис. 5-1
2.8. Еще один признак параллелограмма. Теперь мы знаем,
что у параллелограмма противоположные стороны и равны и
параллельны. Утверждение, обратное этому, является еще од-
ним признаком параллелограмма.
Четвертый признак параллелограмма. Если в
четырехугольнике противоположные стороны равны и парал-
лельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство. Пусть в четырехугольникеABCD рав-
ны и параллельны стороны АВ и CD (рис. 53). Проведем
диагональ BD. Тогда Д ABD = Д CDB, так как в них сторона
BD — общая, АВ — CD, L1 = A2 (как накрест лежащие). Сле-
довательно, AD = ВС и ABCD — параллелограмм по первому
признаку.
2.9*. Полоса между параллельными прямыми. Слово «па-
раллельный», как мы уже говорили, в переводе с греческого
означает «идущий рядом». Более того, параллельные прямые
проходят на постоянном расстоянии друг от друга. Поясним это.
Пусть а и Ь — параллельные прямые (рис. 54). Возьмем на
прямой а две точки А и В и опустим из них перпендикуляры
AD и ВС на прямую Ь. Получим прямоугольник ABCD. Дей-
ствительно, ADDa и ВС±а (по свойству 4). А в прямоуголь-
нике противоположные стороны равны. Поэтому АВ = CD.
Отрезок AD (и ВС) перпендикулярен прямым а и Ь. Поэтому
он называется общим перпендикуляром прямых а и Ь.
Итак, мы доказали два утверждения.
1. Перпендикуляр, проведенный, из любой точки одной из
двух параллельных прямых до другой, является общим перпен-
дикуляром.
2. Все общие перпендикуляры двух параллельных прямых
равны друг другу и параллельны.
26
и
Эти два утверждения и означают, что параллельные прямые
проходят на постоянном расстоянии друг от друга.
Часть плоскости между параллельными прямыми назовем
полосой. Можно сказать, что параллельные прямые ограни-
чивают полосу постоянной ширины. Ширина полосы — это
длина общего перпендикуляра параллельных прямых, огра-
ничивающих полосу.
Наглядную картину высказанных утверждений дают ухо-
дящие вдаль рельсы железной дороги (см. рис. 11). Их общие
перпендикуляры представлены, хотя и несколько грубо, шпа-
лами. Параллельность рельсов про-
веряют именно по постоянству рас-
стояния, перемещая вдоль них со-
ответствующий шаблон.
2.10*. Направление и сонаправ-
ленность. Слово «направление»
обычно связано с движением: пеше-
хода, корабля, поезда, самолета
(рис. 55). Показывается направление
чаше всего стрелкой, например, ком-
паса или указателя (рис. 56). А в ге-
ометрии направление можно задать
лучом, т. е. как бы неограниченно
продолженной стрелкой (рис. 57).
Рис. 56
27
О кораблях, идущих в одном направлении, сообщается,
что они идут одним курсом или параллельными курсами. В
геометрии пишется иначе: два луча задают одно и то же
направление, если один из них содержится в другом или если
они лежат на параллельных прямых по одну сторону от прямой,
проходящей через начала этих лучей (рис. 58).
Лучи, задающие одно и то же направление, называются
сонаправленными. Обозначают сонаправленные лучи р и д так: р ft q.
Два луча р и д, лежащие на параллельных прямых или
на одной прямой, но не сонаправленные, называются направ-
ленными противоположно и обозначаются так: рЦд (рис. 59).
Оба случая сонаправленности лучей, о которых говорится
в определении, встречаются у соответственных углов, образу-
ющихся при пересечении двух параллельных прямых третьей
(рис. 60). Согласно свойству 1, доказанному в п. 2.4, они
равны. Это не случайно. Оказывается, это утверждение является
частным случаем следующей теоремы.
28
ТЕОРЕМА (об углах с сонаправленными сторонами). Углы,
стороны которых сонаправлены, равны.
Доказательство. Пусть у углов АОВ w А1О1В1 сонап-
равлены стороны ОА и О1А1, а также ОВ и OiBi. Достаточно
рассмотреть общий случай, когда прямые ОА и OiAi, а также
прямые ОВ и O\Bi параллельны (рис. 61). Частные случаи,
когда углы АОВ ИА1О1В1 — соответственные при параллель-
ных прямых, пересеченных третьей, мы 5 же рассматривали
в п. 2.4 (свойство 1). Пусть прямые ОА и OiBi пересекаются
в некоторой точке Ог- Угол с вершиной в точке Ог обозначим
а. Он будет соответственным с углом АОВ (при параллельных
ОВ, О2В1 и секущей ООг)- По свойству 1 параллельных пря-
мых а — А АОВ. Но угол а будет соответственным и с углом
А1О1В1 (при параллельных прямых А1О1, АОг и секущей
В1О2)- Поэтому а = А1О1В1 (по свойству 1). Следовательно,
Z. АОВ = A AiOiBi.
Из предыдущего текста понятно, что выражение «лучи со-
направлены» означает — они имеют одно и то же направление.
Прочитайте слова: соученик, соратник, соразмерность, со-
трудничество, соединение, софокусные линзы, сомножители
(так иногда называют компоненты умножения). Обратите вни-
мание на смысл приставки со-. Придумайте и другие слова с
этой приставкой.
29
р я
I I
I I
I I
а h_________________h_____________
Еслп р J. а п ql а,
то рП q
Рис. 62
Toplanglo
Рис. 63
Рис. 64
2.11*. Признаки сонаправленно-
сти. Нам довольно часто придется
устанавливать сонаправленность
двух лучей и далеко не всегда удоб-
но пользоваться определением со-
направленности. Нужны ее призна-
ки или характерные свойства. Одно
из таких свойств формулируется
так: два луча на плоскости сона-
правлены тогда и только тогда, ког-
да оба они перпендикулярны некото
рой. прямой и лежат с одной стороны
от этой прямой (рис. 62). Ясно, что
доказывать это утверждение надо
лишь для случая, когда лучи лежат
на параллельных прямых. План до-
казательства обеих частей равно-
сильности указан на рис. 63 и 64.
Рисунок 63 соответствует слову
«тогда», а рисунок 64 отвечает той
части, в которой речь идет об об-
ратном утверждении.
Это характерное свойство сона-
правленности позволяет легко дока-
зать еще один полезный признак
сонаправленности двух лучей: два
луча, сонаправленные с третьим лу-
чом, соналравлены.
Доказательство. Пусть
лучи тир сонаправлены с лучом
q. Покажем, что mtfp (см. рис. 64).
Поскольку mftg, то найдется такая
прямая а, к которой лучи т и q
перпендикулярны и лежат с одной
стороны от нее. Аналогично есть
такая прямая Ь, что pl. b, ql. b, и
р и q лежат с одной стороны от Ь.
Так как а± q и Ь± q, то а || Ь. Вы-
берем из прямых а и Ь ту, от ко-
торой луч q удален дальше. Это пря-
мая Ь. Оба луча тир лежат с одной
стороны от этой прямой и перпен-
дикулярны ей. Поэтому mttp.
30
§ 3*. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Определение параллельных фигур в пространстве. Па-
раллельных фигур в пространстве значительно больше, чем
на плоскости. Кроме параллельных прямых (или отрезков)
появляются еще параллельные плоскости, а также прямые,
параллельные плоскости (рис. 65).
Все эти случаи параллельности хорошо видны в комнате
(рис. 66), а также на гранях и ребрах прямоугольного парал-
лелепипеда — спичечного коробка (рис. 67). Так, параллельны
друг другу ребра A4i, ВВ\, CCi и DD\. Параллельность неко-
торых из этих пар, например АА\ и BBi или СС\ и ВВ\, для
вас очевидна, поскольку эти отрезки являются противополож-
ными сторонами прямоугольников.
Труднее установить, что параллельны, например, отрезки
AAi тСС\. Можно рассуждать так. Мы уже установили, что
A4i||BBi и CCill BBi. Мы знаем, что на плоскости две прямые,
параллельные третьей прямой, будут параллельны. Но верно
ли это в пространстве? Верно, но доказательство этого утверж-
дения не просто.
Рис. 66
31
Рис. 68
Основная трудность в дока-
зательстве в том, чтобы \ ста-
новить, что отрезки AAi и
CCi лежат в одной плоскости.
Ведь в пространстве не каждая
пара отрезков лежит в одной
плоскости. Например, нет та-
кой плоскости, в которой ле-
жали бы отрезки АВ и BiCi.
Определяя параллельность прямых в пространстве, прежде
всего говорят, что это прямые, которые лежат в одной пло-
скости, а затем уже добавляют, что они не имеют общих
точек (или что они не пересекаются).
Итак, две прямые в пространстве параллельны, если они
лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 68).
Определение параллельности плоскостей совсем простое: две
плоскости называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
Например, параллельны плоскости противоположных гра-
ней прямоугольного параллелепипеда или куба.
Аналогично говорят, что прямая и плоскость параллельны,
если они не имеют общих точек. Привести пример параллель-
ных прямой и плоскости совсем просто. Если две плоскости
параллельны, то любая прямая, лежащая в одной из них,
параллельна другой плоскости. Так, прямая AiCi параллельна
плоскости грани ABCD (см. рис. 67).
3.2. Вертикали и горизонтали. Перпендикулярность и па-
раллельность в пространстве. Самый простой признак па-
раллечьности в планиметрии формулируется так: два пер-
пендикуляра к ооной прямой параллельны (см. рис. 17, а).
В стереометрии это утверждение, конечно, не верно. Напри-
мер, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B}C}D] (см.
рис. 67) ребра AAj и ВС перпендикулярны робру АВ, но ясно,
что ребра AAi и ВС не параллельны (они даже не лежат в
одной плоскости).
Утверждения о зависимости параллельности и перпенди-
кулярности, верные в планиметрии, дословно на стереометрию
не переносятся. Но соответствующие им аналоги в стереомет-
рии все же есть. Например, если перпендикулярность прямых
32
1) Если dlo п р 1 а,
то ci II р
2) Если ci II р и а± ci,
то а 1 р
1) Если а ± а п Ь ± ci,
то а II Ь
2) Если а II 6 и а 1 ci,
то bld
Рис. 70
Рис. 69
Рис. 71
заменить перпендикулярностью прямой и плоскости, то полу-
чим ряд важных теорем стереометрии. Вот они.
1. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, парал-
лельны (рис. 69).
2. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна и другой (см. рис. 69).
3. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, парал-
лельны (рис. 70).
4. Если плоскость перпендикулярна одной из двух парал-
лельных прямых, то она перпендикулярна и другой (см. рис. 70).
Напомним, что прямая перпендикулярна плоскости, если
она пересекает плоскость, и перпендикулярна любой прямой,
лежащей в плоскости и проходящей через точку их пересе-
чения (рис. 71).
2 Зак 106
33
Рис. 73
Рис. 74
Проиллюстрируем эти теоремы, глядя на прямоугольный
параллелепипед (см. рис. 67). Обратите внимание, что любые
его грани и ребра либо параллельны, либо перпендикулярны.
Например, взаимно перпендикулярны три ребра, исходящие
из одной вершины, или перпендикулярны любые две его
соседние грани. О двух пересекающихся плоскостях говорят,
что они перпендикулярны, если угол между прямыми, про-
веденными в этих плоскостях и перпендикулярными их общей
прямой, равен 90° (рис. 72).
Можно получить представление о взаимно перпендикуляр-
ных и параллельных прямых и плоскостях, рассматривая не
только ребра и грани прямоугольного параллелепипеда, но
просто оглядев обычную комнату (см. рис. 66). В строительстве
параллельность и перпендикулярность стен и перекрытий зда-
ний, различных мачт и столбов реально означает их верти-
кальность и горизонтальность: стены должны быть вертикаль-
ными, а полы и потолки — горизонтальными, мачты и
телеграфные столбы должны стоять вертикально и т. п.
(рис. 73). Да и в природе стволы деревьев тянутся вертикально
вверх, перпендикулярно горизонтальной поверхности Земли
(рис. 74). Поищите, глядя на эти рисунки, утверждения о
зависимости параллельности и перпендикулярности в про-
странстве и сформулируйте их как утверждения о вертикатях
и горизонталях.
Горизонталь (горизонтальный) означает «параллельный го-
ризонту». Слово «горизонт» происходит от греческого horizon —
«ограничивающий» — кривая, ограничивающая часть земной по-
верхности, доступную взору. Она отделяет видимую для него
часть неба от невидимой. Слово «вертикальный» (от латинского
verticahs) означает «отвесный».
34
Если а II с и Ь II с,
то а II Ь
Еслп d II р и а с ci,
то а II р
Рис. 75
Рис. 76
3.3. Признаки параллельности в пространстве. В двух
предыдущих пунктах было сформулировано несколько при-
знаков параллельности прямых и плоскостей в пространстве.
Первый признак параллельности плоскостей.
Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны
(см. рис. 69).
Первый признак параллельности прямых. Две
прямые, параллельные третьей прямой, параллельны (рис. 75).
Второй признак параллельности прямых. Две
прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны
(см. рис. 70).
Первый признак параллельности прямой и пло-
скости. Если прямая лежит в одной из двух параллельных
плоскостей, то она параллельна другой плоскости (рис. 76).
К этим признакам добавим еще два.
Второй признак параллельности прямой и пло-
скости. Если прямая не лежит в плоскости и параллельна
некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она парал-
лельна и самой плоскости.
Докажем этот признак.
Дано: плоскость а, прямая а в плоскости а, прямая b11а
и b не лежит в а (рис. 77).
Доказать: b || а.
Доказательство. Поскольку прямые а и b параллельны,
то они лежат в некоторой плоскости /3. Плоскость (5 пересекает
плоскость а по прямой а. Если бы прямая Ь, лежащая в
35
плоскости [i, имела бы общую точ-
ку с плоскостью а, то эта точка
лежала бы на прямой а. А это
означало бы, что прямые а и b
пересекаются. Но они параллельны.
Получили противоречие. Поэтому
общих точек у прямой b и пло-
скости а нет, т. е. t?||cz.
В заключение укажем еще
один, второй признак парал-
лельности плоскостей. Если
две пересекающиеся прямые, ле-
жащие в одной плоскости, соответ-
ственно параллельны двум пересе-
кающимся прямым, лежащим в
другой плоскости, то такие плоско-
сти параллельны (рис. 78).
Этот признак можно увидеть,
глядя на произвольный (не обяза-
тельно прямоугольный) паралле-
лепипед (см. рис. 15).
Попробуйте доказать этот при-
знак способом от противного. По-
ищите другие примеры признаков
параллельности в пространстве.
3.4. Свойства параллельности в пространстве. Пожалуй,
самое главное утверждение о параллельности на плоскости то,
в котором говорится, что через каждую точку, не лежащую
на данной прямой, проходит единственная прямая, парал-
лельная данной прямой (рис. 79). Оно верно и в пространстве.
Объясните, почему (это не трудно).
Аналогичное утверждение верно и для параллельных пло-
скостей:
Через каждую точку, не лежащую на данной плоскости,
проходит единственная плоскость, параллельная данной пло-
скости (рис. 80).
А вот прямых, проходящих через данную точку и парал-
лельных данной плоскости, бесконечно много (рис. 81). Все
они заполняют плоскость, параллельную данной плоскости.
Как и параллельные прямые, находящиеся на одной пло-
скости, параллельные прямые и плоскости в пространстве
идут на постоянном расстоянии друг от друга. Например, пол
36
Рис. 82
Рис. 81
Рис. 83
и потолок в комнате (рис. 82). Пользуясь именно этим свой-
ствам, проверяют параллельность другу другу плоских поверх-
ностей. Объясните, как вы понимаете слова «идут на посто-
янном расстоянии друг от друга» (рис. 83).
37
3.5. Параллельность на плоскости и параллельность в про-
странстве. Мы уже обращали внимание на то, что некоторые
утверждения о параллельности верны как в планиметрии, так
и в стереометрии (например, утверждение о том, что две
прямые, параллельные третьей прямой, параллельны). Неко-
торые же утверждения, верные в планиметрии, в стереометрии
верны не будут (например, утверждение о том, что два пер-
пендикуляра к одной прямой параллельны). Тем не менее
многие утверждения о параллельности в пространстве можно
составить по аналогии с соответствующими свойствами парал-
лельных прямых на плоскости
В плоскости
1. Через точку плоскости,
лежащую вне данной прямой,
проходит единственная пря-
мая, параллельная данной
прямой (рис. 84, а).
2. Если прямая пересекает
одну из параллельных пря-
мых, то она пересекает и дру-
гую из них (рис. 85, а).
3. Если прямая перпенди-
кулярна одной из параллель-
ных прямых, то она перпенди-
кулярна и другой (рис. 86, а).
Приведем примеры.
В пространстве
1. Через точку пространст-
ва, лежащую вне данной пло-
скости, проходит единствен-
ная плоскость, параллельная
данной плоскости (рис. 84, б).
2. а) Если прямая пересе-
кает одну из параллельных
плоскостей, то она пересекает
и другую (рис. 85, б).
б) Если плоскость пересе-
кает одну из параллельных
плоскостей, то она пересекает
и другую (рис. 85, в).
3. Если прямая перпендику-
лярна одной из параллельных
плоскостей, то она перпендику-
лярна и другой (рис. 86, б).
38
Рис. 86
Подумайте, верны ли следующие утверждения (в некоторых
из них мы используем понятия о вертикалях и горизонталях):
а) прямая, параллельная одной из параллельных плоско-
стей, параллельна и другой;
б) две плоскости, параллельные одной и той же прямой,
параллельны;
в) прямая, перпендикулярная вертикальной прямой, гори-
зонтальна;
г) вертикальная прямая перпендикулярна горизонтальной
прямой;
д) если две плоскости вертикальны, то они параллельны;
е) плоскость, параллельная вертикальной плоскости, вер-
тикальна;
ж) если две плоскости параллельны, то любые две прямые,
лежащие в этих двух плоскостях, также параллельны;
39
Рис. 87
з) если две прямые параллельны, то они лежат в двух
плоскостях, параллельных между собой.
Подумайте и над такими вопросами:
1. На сколько частей делят пространство две параллельные
плоскости?
2. На сколько частей могут делить пространство три пло-
скости?
3. На сколько частей делят пространство плоскости всех
граней параллелепипеда?
3.6. Призмы и усеченные пирамиды. Изучая параллельность
на плоскости, мы рассматривали простейшие многоугольники,
имеющие параллельные стороны,— параллелограммы и тра-
пеции. Их аналогами в пространстве являются параллелепи-
педы, призмы и усеченные пирамиды (рис. 87).
С прямоугольным параллелепипедом (рис. 88) вы знакомы:
у него шесть граней — три пары равных другу другу прямо-
угольников, лежащих в параллельных плоскостях. Если все
ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то его грани —
квадраты, а он сам является кубом (рис. 89). Прямоугольный
параллелепипед — это пространственный аналог прямоуголь-
ника, а куб -— пространственный аналог квадрата.
Пространственным аналогом параллелограмма является па-
раллелепипед (см. рис. 87, а). У параллелепипеда шесть гра-
40
Рис. 88 Рис. 89
Рис. 91
Рис. 92
ней — три пары равных друг другу параллелограммов, лежа-
щих в параллельных плоскостях.
Диагональ АС разбивает параллелограмм ABCD на два тре-
угольника АВС и ACD так же, как диагональное сечение
ACCiAi разбивает параллелепипед ABCDA\B\C\D\ на две тре-
угольные призмы ABCAiBiCi и ACBAiCiBi (рис. 90).
У треугольной призмы АВСА1В1С1 — два основания — рав-
ные треугольники АВС и AiBiCi, лежащие в параллельных пло-
скостях, и три боковые грани — параллелограммы ABBiAi,
BCCiBi, АСС1А]. Их стороны AAi, ВВ], CCi называются боко-
выми ребрами призмы ABCAiBiCi-
Подобно тому, как на плоскости из треугольников можно
составлять четырехугольники, пятиугольники и вообще п-уголь-
ники, последовательно прикладывая по равным сторонам треу-
гольники (рис. 91), так, прикладывая друг к другу по одинаковым
41
боковым граням треугольные призмы, получаем четырехуголь
ные, пятиугольные и вообще п угольные призмы (рис. 92).
У л-угольной призмы л + 2 грани: два основания, лежащие
в параллельных плоскостях, и п боковых граней — паралле-
лограммов.
Призмы можно получить и так. Возьмем в плоскости а
многоугольник Р (рис. 93). Из его вершин проведем в одно
полупространство равные и парал тельные друг другу отрезки,
а затем последовательно соединим отрезками их концы. Тогда
получится многоугольник Р\, равный многоугольнику Р и
лежащий в плоскости сц, параллельной плоскости а. А между
плоскостями а и ai образуется столько параллелограммов,
сколько сторон у многоугольника Р. Эти параллелограммы
вместе с многоугольниками Р и Pi ограничат в пространстве
многогранник — призму, основаниями которой являются мно-
гоугольники Р и Р\. Параллелограммы же называются боко-
выми гранями призмы, а ребра призмы, соединяющие вер-
шины различных оснований,— боковыми ребрами призмы.
В том сшчае, когда боковые ребра (и грани) призмы пер-
пендикулярны плоскостям оснований, призма называется пря-
42
Рис. 97
мой (рис. 94). Боковые грани прямой призмы —- прямоуголь-
ники. Если у оснований прямой призмы равны все стороны
и все углы, то призма называется правильной (рис. 95).
Параллелепипед является особой призмой — любую пару
его противоположных граней можно считать основаниями.
Аналогом трапеции можно считать усеченную пирамиду
(рис. 96). Подобно тому как от треугольника прямая, парал-
лельная одной из его сторон, отсекает трапецию (рис. 97), так
от пирамиды плоскость, параллельная ее основанию, отсекает
усеченную пирамиду. Усеченная пирамида — это часть пира-
миды, лежащая между плоскостью основания и плоскостью,
ей параллельной.
Слово «призма» происходит от греческого prisma (в пере-
воде — «пилю»). Первоначально означало тело, все параллель-
ные разрезы которого представляют собой равные многоуголь-
ники. Понятно, что, с нашей точки зрения, не все такие тела
призмы. Можно, например, из двух равных наклонных призм
составить тело, которое в нашем смысле призмой не является.
Попробуйте это сделать сами.
Возможно, вам приходилось держать в руках стеклянную
призму. Тогда, наверное, вы заметили, что такая призма об-
ладает свойством разлагать световой луч на составляющие
разного цвета.
43
§ 4. ВЕКТОРЫ
4.1. Понятие вектора. Многие величины полностью харак-
теризуются своими численными значениями: длина, площадь,
температура, масса, цена. Их называют скалярными величи-
нами или, короче, скалярами. Но есть и такие величины.
которые характеризуются не только своим
числовым значением, но и направлением: си-
' да. скорость, перемещение. Например, мало
знать, что скорость поезда равна 50 км/ч.
* Надо знать еще, в каком направлении идет
Рис. 98 этот поезд. Другой пример: мы лишь знаем,
что перемещение из некоторого пункта равно
3 100 км. Но куда? На север, на юг, на восток,
на запад? Надо еще указать направление,
А например стрелкой (рис. 98). Такие величины,
г которые характеризуются не только своими
Рис 99 числовыми значениями, но и направлением,
называются векторными величинами, или
векторами. Численное значение вектора называют его моду-
лем, или абсолютной величиной.
Для обозначения векторов употребляются стрелки: а, Ь, с...
Эти обозначения читаются так: «вектор а», «вектор 6» и т. п.
Для модулей вектороВ-Д’потребляется тот же знак, что и для
модулей чисел: |а|, |Ь|...
В геометрии векторы изображают направленными отрезка-
ми, т. е. отрезками, у которых указан порядок концов: первый
конец считается началом, второй — концом. Рисуют направлен-
ные отрезки всегда со стрелкой на конце (рис. 99). Обозначают
направленный отрезок с началом А и концом В так: АВ.
Если направленный отрезок АВ изображает вектор щ то
длина отрезка АВ равна модулю
_► вектора ш |АВ | = | ёГ|. Поэтому
11 в геометрии модуль вектора на-
зывают также его длиной.
11 ! Часто направленный отрезок
[ тоже называют вектором (хотя
• это и не совсем верно). Поэтому,
; если направленный отрезок АВ
___Г|------------«-----------изображает вектор v, то пишем
I_________________——>
; АВ = | и | и говорим: «Вектор
! АВ равен вектору vt>. Пишем так-
—>
Рис. юо же |АВ| = | о |.
44
Перпендикулярность векторов означает перпендикуляр-
ность изображающих их отрезков (рис. 100). А два вектора
называем паратлельными, или коллинеарными, если изобра-
жающие их направленные отрезки параллельны или лежат
на одной прямой. Для обозначения перпендикулярности и
параллельности векторов применяются обычные симвоты:
а± Ь, а|'Ь и т. п.
Два коллинеарных вектора а и b могут быть направтены
одинаково (рис. 101, а) или противоположно (рис. 101, 6). Оди
наковал направленность или сонаправленность векторов
—>
АВ и CD означает сонаправленность лучей АВ и CD (рис. 102).
Для сонаправленных векторов а и Ь употребляется обозна-
—> —* -> —>
чение affb , а для противоположно направленных — a|ffe.
Со словами «модуль» или «абсолютная величина» вы уже
встречались в курсе алгебры. Так же, как и в геометрии, фак-
тически это длина отрезка. Модуль числа а — это длина отрезка,
начало которого — в начале отсчета, а конец — в точке, изобра-
жающей число а на числовом луче.
Интересно, что происхождение слов «модуль» и «абсолютная
величина» различно.
«Абсолютная величина» происходит от слов «развязывать»,
«разрешать», «освобождать». И в нашем случае его применение
понятно: абсолютная величина вектора или числа — это харак-
теристика, на которую не влияет направление вектора или знак
числа.
Слово «модуль» происходит от латинского modulus, перево-
дится как «мера» и означает некоторую числовую характеристику
вектора. Кстати, обратите внимание: модуль, мода, модифика-
45
Рис. 104
ция (изменение), модуляция (переход в музыкальном произве-
дении от одной тональности к другой) — это все однокоренные
слова.
Смысл слова «коллинеарный» понятен: это слово, родствен-
ное со словом линия (имеется в виду, конечно, прямая линия),
имеет приставку кол- (с-, со-), т. е. идущие вместе с некоторой
прямой.
Сравните со словом «коллинеарный» следующие слова:
коллегия — происходит от слов соп — с, вместе и lego —
читаю, выбираю;
коллектив — собрание людей;
коллекция — собрание однородных предметов.
4.2. Равенство векторов и угол между векторами. Поскольку
векторы характеризуются и длиной и направлением, то два
—» —>
вектора а и Ъ называют равными, если, во-первых, их длины
—> —>
равны, т. е. |а| = |Ь|, и, во-вторых, они имеют одинаковые
направления, т. е. affb (рис. 103).
Ясно, что одного равенства длин векторов недостаточно
для их равенства (рис. 104, а), и одной их сонаправленности
тоже мало для равенства (рис. 104, б).
Из определения равенства векторов, свойств и признаков
параллелограмма вытекает следующее важное утверждение:
два вектора АВ и CD, не лежащие на одной прямой, равны
тогда и только тогда, когда ABCD—параллелограмм.
Нам часто придется выполнять такое построение: строить
вектор с началом в данной точке и равный данному вектору,
или, как говорят, откладывать данный вектор от данной точки.
Конечно, от каждой точки можно отложить вектор, равный
данному, и притом только один (рис. 105). Объясните, как
выполняется это построение циркулем и линейкой.
46
PQ=~a
Рис. 105
Рис. 107
Для того чтобы было возможно производить действия с
векторами — сложение и умножение векторов на числа,— вво-
дят нулевой вектор, или, короче, нуль-вектор. Модуль нуль-
вектора равен нулю, а направления он не имеет. Изображается
нулевой вектор любой точкой, которая рассматривается как
——>
начало и конец этого вектора. Поэтому равенство АВ = 0
означает, что точки А и В совпадают. Считается, что нуль-
вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.
Подчеркнем, что сонаправленность определяется только для
ненулевых векторов.
Углом между двумя ненулевыми векторами называется
величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной
точки (рис. 106). Если векторы сонаправлены, то угол между
ними полагается равным 0°, а если они направлены проти-
воположно, то этот угол равен 180°.
47
4 3*. Вопросы, вопросы, вопросы... о векторах. Всегда ли
определение угла между ненулевыми векторами (см. рис. 10Ь)
дает один и тот же результат, независимо от того, от какой
точки мы откладываем векторы а и Ь? Или, как говорят,
—> —>
корректно ли оно? Ведь если бы, отложив векторы а и Ь от
разных точек О и Оу (рис. 107) мы получили бы, что углы
АОР и AiOiBi имеют разные величины, то таким определением
пользоваться было бы нельзя: величину какого из этих двух
—> —>
углов считать углом между векторами а и Ы Однако разных
по величине углов не получится. Из теоремы о равенстве
углов с сонаправленными сторонами (п. 2.10) вытекает, что,
откладывая одну и ту же пару векторов от различных точек,
мы получаем углы, величины которых равны (см. рис. 107).
Итак, определение угла между векторами корректно.
Аналогичные вопросы о корректности определения встают
и для определения равенслва векторов. Напомним, что два
вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены
(см. рис. 103). Чтобы данное отношение обладало обычными
свойствами равенства, необходимо, чтобы выполнялось такое
свойство: два вектора, равные третьему вектору, равны. Имеет
ли оно место? Убедимся, что имеет.
Равенство двух векторов а и Ь третьему вектору с означает,
во-первых, что их длины равны длине вектора с: |а| = | с |
и | b | = | с |. Из этих числовых равенств следует, что
—> —
| а | = | b |. Если среди трех рассматриваемых векторов есть
нулевой, то и два другие — нулевые. В этом случае требуемое
равенство доказано. Если же все векторы ненулевые, то из
равенств а — с и b = с следует еще, что а ТТс и Итак,
имеется сонаправленность двух векторов третьему вектору.
Поэтому векторы а и Ъ сонаправлены (см. п. 2.11). А это
вместе с равенством | а | = | b | и означает, что а = Ь.
В Доказанное нами утверждение,
/ что два вектора, равные третьему
_А" I вектору, равны, можно рассматри-
I / вать как признак равенства век-
/ / торов. Еще один признак равенст-
I J ва векторов связан со свойствами
I D параллелограмма. Он формулиру-
ется так: векторы АВ и CD равны
С •—
тогда и только тогда, когда равны
Рис 108 векторы АС и BD (рис. 108).
48
Рис. ПО Рис. 111
Если векторы АВ и CD не лежат на одной прямой, то
сформулированный признак вытекает из свойств и признаков
параллелограмма.
—> —>
Пусть отрезки АВ и CD лежат на одной прямой. Введем
на этой прямой координату х и пусть х*, хв, хс, хв — коор-
динаты точек А, В, С, D соответственно (рис. 109). Равенство
АВ = CD означает, что хв — ха = хв — хс (подумайте, почему).
Но из этого числового равенства следует, что хс — хл =
= хв — хв- А это равенство в свою очередь означает, что
АС = BD.
4.4. Сложение векторов и его свойства. Если тело переме-
стить из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С,
то его суммарное перемещение из А в С представляется век-
тором АС (рис. 110). Так складывают векторы АВ и ВС:
АВ + ВС = АС. (1)
В рассмотренном случае конец первого вектора АВ является
—-> —1
началом второго вектора ВС. В общем случае векторы а и Ь
складываются так.
Откладывают на какой-либо точке А вектор АВ, равный
вектору а, а потом от точки В вектор ВС, равный вектору
—> —> —*
h (рис. 111). Тогда вектор АС представляет сумму векторов а
и Ь:
49
а + b — АВ + ВС = АС.
Это правило получения суммы
—* -»
двух векторов а и b называется пра-
ва юм треугольника, потому что если
векторы АВ и ВС не лежат на одной
прямой, то их сумма представляет
сторону треугольника АВС.
Итак, можно сформулировать
определение: суммой двух век-
торов называется вектор, построен-
ный по правилу треугольника.
В частности, если вектор АВ
складывается с противоположным
—>
ему вектором ВА, то в сумме полу-
чается нуль-вектор. Поэтому если
бы мы не ввели нуль-вектор, то нельзя было бы сказать, что
для любых двух векторов определена их сумма.
При сложении векторов по правилу треугольника векторы
складываются в определенном порядке. Сумма а + b получа-
ется так, что от данной точки откладывается сначала вектор,
равный вектору а. А что будет, если откладывать сначала
вектор, равный вектору Ь? Оказывается, сумма получится та
же самая, т. е. выполняется переместительный закон
сложения, или, как еще говорят, сложение векторов ком-
му т и в н о (что и значит по-русски — переместительно): для
любых векторов а, b
а + b = b + а. (2)
Если векторы а и Ъ не параллельны, то, чтобы убедиться
в этом, достаточно построить параллелограмм, сторонами ко-
торого они являются: от точки О отложить вектор ОА — а, век-
—> —3*
тор OB = b и затем построить параллелограмм ОАСВ
—> —> —> —>
(рис. 112). Так как ОА = ВС, то ВС = а. Аналогично АС = Ь.
Поэтому, с одной стороны,
ОС — ОА + АС == а + Ь,
а, с другой стороны,
ОС = ОВ + ВС = b + а,
-> -* -»
т. е. в рассматриваемом случае а + b = Ь + а.
50
Рис. 114
Мы ввели правило параллелограмма-, если два вектора не
параллельны, то их сумма представляется диагональю постро-
енного на них параллелограмма.
В том, что равенство а + b — b + а справедливо и для кол-
линеарных векторов, убедитесь самостоятельно (рис. 113). Рас-
смотрите два случая, когда векторы сонаправлены и когда
они направлены противоположно.
Замечание. Правило треугольника естественно приме-
—>
няется при последовательных перемещениях: сначала АВ, за-
—> —>
тем ВС, в сумме получаем АС. Правило же параллелограмма
столь же естественно применяется, когда тело одновременно
испытывает два перемещения, как, скажем, человек, идущий
по палубе корабля. Одно перемещение — это перемещение его
вместе с кораблем, другое — по палубе (рис. 114, а). В сумме
же человек перемещается по диагонали параллелограмма, сто-
роны которого — это перемещение корабля и перемещение по
палубе. Совершенно так же перемещение лодки, пересекающей
реку, слагается из ее перемещения поперек и по течению,
т. е. вместе с водой (рис. 114, б).
Операция сложения векторов, как и операция сложения
чисел, обладает и сочетательным свойством, или ассоциатив-
ностью. Как для чисел, например, (2 -I- 5) + 6 = 2 + (5 + 6),
так и для любых векторов а, Ь, с:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с). (3)
—> —>
Доказательство. Отложим от точки А вектор АВ = а,
—> —> —> —>
затем вектор ВС = Ь, затем вектор CD = с (рис. 115). Тогда
(а + Ь) + 7 = (АВ + ВС) + CD = АС + CD = АВ.
51
с
Рис. 115
В то же время
а + (Ь + с) = АВ + (ВС + CD) — АВ + BD = AD.
Итак,
(а + Ь) + с = а + (Ь + с).
Пользуясь этим свойством для трех векторов, можно груп-
пировать слагаемые при любом их числе, т. е. заключать их
в скобки любым образом. Поэтому суммы векторов пишут,
никак не объединяя слагаемые скобками: а + Ь + с, а + b +
+ с + d и т. д.
Из сочетательного и переместительного свойств следует,
что, складывая любое число векторов, можно как угодно пе-
реставлять и группировать слагаемые. Это значительно облег-
чает сложение при числе слагаемых больше двух.
Слово «коммутативность» имеет тот же корень, что и слово
«мутация» (изменение). Приставка ком-, как уже говорилось,
означает «вместе». Поэтому коммутативность сложения — это
сохранение результата при изменении порядка слагаемых.
Слово «ассоциативность» происходит от термина «ассоциа-
ция» — объединение. Применительно к геометрии это означает:
при сложении (векторов, чисел) можно объединять в суммы
разные группы слагаемых.
Иногда употребляется выражение «рассуждать (думать,
узнавать) по ассоциации». Это значит: в одной ситуации увидеть,
узнать признаки какого-то другого явления и сделать из этого
некоторые выводы.
52
Рис. 116
Рис. 117
Рис. 118
4.5. Вычитание векторов. Взаимно противоположные век-
торы. Вычитание векторов, как и вычитание чисел,— это
действие, обратное сложению. Поэтому разностью а — Ь двух
векторов а и Ь называется вектор с, дающий в сумме с вектором
b вектор а:
с + b = а.
—> —>
Разность двух векторов а и b можно построить так. Отло-
—> —* —♦
жим от какой-либо точки О векторы а и Ь. Получим ОА = а
—> —> —>
и OB = b (рис. 116). Тогда вектор ВА и будет разностью
—> —> —>
а — Ь, поскольку ОА = ОВ + ВА. Поэтому можно написать
7= ВА= ОА - ОВ = а -Ъ. (4)
Вычитание векторов можно свести к сложению. Для этого
введем понятие противоположного вектора. Два ненулевых
вектора называются противоположными, если их длины равны
и они направлены противоположно (рис. 117). Каждый из
таких двух векторов называется противоположным другому.
Нуль-вектор считается противоположным самому себе.
Вектор, противоположный вектору а, обозначается —а (чи-
тается «минус а»).
Как при сложении противоположных чисел получается
нуль, так и при сложении противоположных векторов в сумме
получится нуль-вектор (рис. 118).
Поясните это простое утверждение самостоятельно.
Теперь мы можем утверждать, что результат вычитания
из вектора а вектора b тот же, что и результат сложения
векторов а и —Ь.
53
Действительно, пусть, как в равенстве (4),
Т = ВА - ОА — ОВ = а — 1э.
—> —> —>
По правилу треугольника ВА = ВО + ОА. Кроме того,
ВО = —ОВ = -Ь.
Поэтому
a-b‘=BA = BO + OA = OA + (-OB'i = а + (~Ь),
что и означает: а — b = а + (—Ь).
4.6. Умножение вектора на число. Определив сложение
любых двух векторов, мы теперь можем рассмотреть суммы
вида а + а, а + а + а и т. д. Такие суммы, как и в алгебре,
естественно обозначить 2а, За и т. д. (рис. 119). Уже этот
простейший пример показывает, что удобно ввести операцию
умножения вектора на число, и подсказывает, как дать со-
ответсз вующее определение.
Определение. Произведением вектора а * О на число
х О называется такой вектор ха, для которого выполняются
два условия:
1) его длина равна произведению длины вектора а на модуль
числа х, т. е.
|ха| = |х||а|; (5)
2) он сонаправлен с вектором а, если х > 0, и направлен
противоположно вектору а, если х < О (рис. 120).
Если же х = 0 или а = 0, то вектор ха, по определению,
нулевой, что согласуется с (5).
Убедитесь, что из данного определения непосредственно
вытекают такие следствия:
54
1. la = а для любого вектора а.
-» -»
2. (- 1)а = —а для любого вектора а.
____ —>
3. Ег ти ха = 0. то либо х = 0. либо а = 0.
_ —> —> —> “>
4. Если ха — xb и х 0, то а — Ь.
5. Если ха = уа и а 0, то х = у.
Отметим еще, что если два ненулевых вектора а и b кол
линеарны, то всегда можно подобрать такое число х, что
-> —*
а = xb. Подумайте, чему равно это число.
4.7 *. Вопросы, вопросы, вопросы... о сложении и умножении
—> —>
векторов. Складывая векторы а и Ь (в п. 4.4), мы поступали
так. Выбирали точку А, откладывали от нее вектор АВ = а,
—> —♦
затем от точки В откладывали вектор ВС = Ь и получали
——
вектор АС = а + Ь. А. если мы повторим эти построения, на-
чиная с другой точки Ai, отличной от точки А? Пусть
—-> —♦ —> —> —>
A\Bi = a, BiCi = b. Будет ли вектор А]С] равен вектору АС1
—> —>
Покажем, что AjCi = АС.
—>
Действительно, так как AiBi = АВ, то по признаку равен-
ства векторов АА} = ВВ\ (рис. 121). Аналогично из равенства
—> —> —> —> —> —>
BiCi = ВС вытекает, что ВВ\ = СС\. Поэтому АА\ = ССд. Но
—> —>
из этого равенства следует, что AiCi = АС.
Итак, сложение векторов определено корректно.
Кроме тех свойств, которые уже отмечены нами, операции
сложения и умножения векторов обладают и многими другими
свойствами. Сформулируем три свойства, верные для лю-
бых векторов а, b и любых чисел х, у.
1. х(уа) = (ху)а.
2. х(а + Ь) = ха + xb.
3. (х + у)а — ха + уа.
Эти свойства докажем позднее.
4.8 *. Векторный метод. Операции с векторами, рассмотрен-
ные в этом параграфе, составляют основу векторной алгебры —
раздела математики, изучающего векторы и действия с ними.
Аппарат векторной алгебры удобен при решении задач гео-
метрии и физики, техники и экономики. Мы будем иллюст-
рировать его возможности в течение всего курса геометрии.
И так же, как вы, наверное, уже привыкли при решении
55
задач и доказательстве теорем находить равные треугольники,'
вы овладеете и действиями с векторами. Проиллюстрируем
векторный метод на уже знакомых вам признаках паралле-
лограмма.
Решение задач и доказательство теорем векторным методом
проходят три этапа (подобно тому, как это происходит при
решении текстовых алгебраических задач).
Первый этап: условие задачи надо записать в векторном
виде, введя подходящим образом векторы (аналогично состав-
ляются алгебраические уравнения).
Второй этап: средствами векторной алгебры исходное
условие задачи, записанное в векторной форме, преобразуется
к такому виду, который дает решение задачи в векторном
виде (аналогично решение алгебраического уравнения).
И наконец, третий этап: полученным векторным соот-
ношениям дается толкование в исходных терминах (анало-
гично формулировка ответа задачи после решения алгебраи
ческого уравнения).
Итак, докажем векторным методом третий признак
параллелограмма: если диагонали четырехугольника, Пересе
каясь, делятся пополам, то четырехугольник — параллелог-
рамм.
Дано: О — точка пересечения диагоналей АС и BD четы-
рехугольника ABCD, АО = ОС, ВО = OD (рис. 122).
Доказать: ABCD — параллелограмм.
Доказательство. I этап. Положим АО = а, ВО - Ь.
Тогда
АО = ОС = а, ВО = OD = Ь. (6)
II этап. Используя (6), получим
АВ=лЬ + ОВ = а-Г, DC = DO + ОС = а-Ь;
AD = АО + OD = а + ~Ь, ВС = ВО + ОС = а + Ь.
56
Поэтому
АВ = DC и AD = ВС. (7)
III этап. Равенства (7) означают, что AB]fDC и AD ‘CfBC,
а также, что АВ = DC и AD = ВС. Первые два из этих соотно-
шений дают параллельность отрезков АВ и DC, а также AD
и ВС. Поэтому ABCD — параллелограмм.
Замечание. Пользуясь равенствами АВ = DC и AD = ВС
и применяя первый признак параллелограмма, можно дать
еще одно доказательство третьего признака.
§ 5*. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И РАВЕНСТВО ОТРЕЗКОВ
5.1. Параллельность отрезков и средние линии. Изучая
параллелограммы и векторы, мы уже несколько раз сталки-
вались с утверждениями, в которых из параллельности отрез-
ков следует их равенство и наоборот. Примерами таких
утверждений являются теорема о равенстве противоположных
сторон параллелограмма и обратное ей утверждение — первый
признак параллелограмма. Поищите среди доказанных нами
теорем другие аналогичные утверждения.
Соединение понятий равенства и параллельности (точнее,
сонаправленности) отрезков привело нас к понятию вектора.
В этом параграфе докажем еще несколько теорем, связываю-
щих параллельность и равенство отрезков. Они связаны с
понятием средней линии. Средняя линия есть, например, на
футбольном поле (рис. 123, а), на шоссе или улице (рис. 123, б).
Рис. 123
57
Средняя линия футбольного поля,
соединяющая середины его боко-
вых линий, параллельна и равна
его лицевым линиям. Эти свойства
средней линии прямоугольника
(ведь футбольное поле — прямо-
угольник) являются частным слу-
чаем теоремы о средней линии па-
раллелограмма. Вот она: отрезок, соединяющий середины про-
тивоположных сторон параллелограмма, параллелен и равен
двум другим его сторонам (рис. 124). Отрезок, о котором идет
речь в этой теореме, и называется средней линией паралле-
лограмма. Справедливость признака параллелограмма (п. 2.8)
и свойств параллелограмма (п. 2.5).
Утверждение, обратное теореме о средней линии паралле-
лограмма, является признаком средней линии парал-
лелограмма. Его можно сформулировать так: отрезок, про-
веденный из середины одной стороны параллелограмма до
противоположной стороны и параллельный другой его стороне,
является средней линией параллелограмма.
У параллелограмма две средние линии (см. рис. 124). У каж-
дого треугольника три средние линии — это отрезки, соеди-
няющие середины его сторон (рис. 125). Рисунок 125 подска-
зывает вам, что средние линии треугольника разбивают его
на четыре равных треугольника, а потому они соответственно
параллельны сторонам исходного треугольника и равны по-
ловинам этих сторон. Эту теорему докажем в п. 5.3.
Рис. 126
Рис. 127
58
о
о
Рис. 128
Еслп АВ = ВС п
то MN = NP
И еще в одной теореме речь пойдет о средней линии —
средней линии трапеции. Средней линией трапеции называют
отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции
(рис. 126). Средняя линия трапеции параллельна основаниям
трапеции и равна их полусумме. Эту теорему докажем в п. 5.4.
Теоремы о средних линиях параллелограмма и треуголь-
ника можно считать «предельными» (или «крайними») слу-
чаями теоремы о средней линии трапеции. В случае паралле-
лограмма меньшее основание трапеции «доросло» до большего,
а в случае треугольника оно «стянулось» в точку (рис. 127).
Теоремой, обратной первому утверждению теоремы о сред-
ней линии трапеции, является теорема Фалеса. В ней речь
идет о равных отрезках, отсекаемых на сторонах угла парал-
лельными прямыми (рис. 128).
5.2. Теорема Фалеса
ТЕОРЕМА. Параллельные прямые, пересекающие стороны
утла и отсекающие на одной из них равные между собой
отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне утла.
Дано: АО, параллельные прямые а, Ь, с, пересекающие
одну сторону угла в точках А, В, С, а другую — в точках М,
N, Р; АВ = ВС (рис. 129).
Доказать: MN = NP.
Доказательство. Проведем через точки М и N прямые
fe||OC и /||ОС. Они пересекут прямые b и с в точках К и L
соответственно. Получим два параллелограмма АМКВ и
59
то AL = LC
Рис. 130
то CL = LB
Рис. 131
BNLC и два треугольника MNK и NLP. Так как АВ = ВС,
АВ = МК и ВС = NL, то МК = NL. Кроме того, в треуголь-
никах MNK и NLP равны углы с сонаправленными сторонами:
ANMK = APNL и ANKM — APLN. Поэтому Д MNK = Д NPL
по второму признаку равенства треугольников. А тогда
MN = NP.
Частными случаями теоремы Фалеса являются следующие
признаки средних линий треугольника и трапеции.
Признак средней линии треугольника. Пря-
мая, проходящая через середину стороны треугольника парал-
лельно другой его стороне, пересекает третью его сторону в
середине (рис. 130).
Признак средней линии т pan еци и. Прямая, про-
ходящая через середину одной боковой стороны трапеции па-
раллельно ее основаниям, пересекает другую ее боковую сто-
рону в середине (рис. 131).
5.3. Теорема о средней линии треугольника
ТЕОРЕМА. Средняя линия треугольника параллельна его
стороне и равна ее половине.
Дано: Д АВС , точка К — середина стороны АВ, точка L —
середина стороны АС (рис. 132).
Доказать: KL11 ВС и KL = ±ВС.
Доказательство. Покажем, что Л'1.| | ВС. Проведем че-
рез точку К прямую а, параллельную прямой ВС (рис. 133).
60
Если АК = КВ п AL - LC,
то KL ИВС п КЬ = ЪвС
Рис. 132
Рис. 133
Эта прямая пересечет отрезок АС в некоторой точке Р. Согласно
признаку средней линии треугольника, эта точка является
серединой отрезка АС. Поэтому точка Р должна совпасть с
точкой L, т. е. ВС.
Докажем теперь, что KL = ^ВС. Проведем через точку L
прямую Ь, параллельную прямой АВ (см. рис. 133). Она пере-
сечет отрезок ВС в некоторой точке D. Четырехугольник
BKLD — параллелограмм. Поэтому KL = BD. Далее, A AKL =
= Д LDC по второму признаку равенства треугольников. Дей-
ствительно, AL = LC, a AALK - Z. LCD и ALAK = Z.CLD (как
соответственные). Поэтому KL = DC. Итак, KL = BD = DC, т. е.
KL = ^ВС. Теорема доказана.
5.4. Теорема о средней линии трапеции
ТЕОРЕМА. Средняя линия трапеции параллельна ее осно-
ваниям и равна их полусумме.
Дано: ABCD —трапеция, А0|| ВС, точка Р —середина
АВ, точка Q — середина CD (рис. 134).
Доказать: PQ| | AD и PQ = i(AD + ВС).
Доказательство. Проведем прямую BQ. Она пересечет
прямую АО в некоторой точке К. В треугольнике АВК отрезок
PQ — средняя линия. Поэтому PQ11 АК и PQ — ^АК. Первое
утверждение теоремы уже доказано, а чтобы доказать второе,
61
покажем, что ВС = DK. Это равенство вытекает из равенства
треугольников BCQ и KDQ. Они равны по второму признаку
равенства, так как CQ = QD, Z.BQC = Z.DQK (как вертикаль-
ные) и Z.BCQ = AKDQ (как накрест лежащие). А тогда АК =
= AD + DK - AD + ВС и PQ = ^(АО + ВС). Теорема доказана.
5.5. Деление отрезка на равные части. Мы с вами уже
умеем циркулем и линейкой делить отрезок пополам. Повторяя
эту операцию, можно разделить отрезок на четыре, восемь и
так далее равных частей. Теорема Фалеса подсказывает, как
с помощью циркуля и линейки разделить отрезок на любое
число равных частей. Пусть п — любое натуральное число и
АВ — данный отрезок (рис. 135). Из точки А проведем любой
луч /, отличный от луча АВ, и последовательно отложим на
кем от точки А п любых равных отрезков: AAi = А1А2 = ... =
= Ап 1АП. Соединим отрезком точки В и Ап и через точки
А], А», ..., Ап-1 проведем прямые, параллельные прямой ВАп.
Согласно теореме Фалеса, они пересекут отрезок АВ в точках,
разбивающих его на п равных частей.
62
5.6. Воспользуемся векторами... Теоремы о средних линиях
треугольника и трапеции могут быть просто доказаны век-
торным метолом. Например, докажем теорему о средней линии
треугольника.
Дано: Д АВС, К и L — середины сторон АВ и АС треуголь-
ника АВС (рис. 136).
Доказать: KL = i ВС и АТ|| ВС.
Доказательство: I этап. В векторной форме условие
теоремы можно записать так:
АХ = АВ, АС = АС. (1)
II этап. Используя (1), получаем
KL = AL-AK = '-АС -\аВ = | (АС - АВ) = | ВС.
Итак,
KL = |вС. (2)
III этап. Равенство (2) утверждает, во-первых, что
KL = ^ВС, и, во-вторых, что КЕ.Ц ВС (и даже больше, что
лучи KL и ВС сонаправлены). Теорема о средней линии тре-
угольника доказана.
Используя векторный метод, докажите самостоятельно
теорему о средней линии трапеции.
63
Еслп Z 1 + Z 4 = 180°,
то a 11 b
ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ГЛАВЫ I
В дальнейшем из фигур, рассмотренных в главе 1, чаще
всего встречается параллелограмм (рис. 137). Следует хорошо
запомнить его определение и два характерных свойства. На-
помним эти свойства.
Четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда
и только тогда: 1) когда его противоположные стороны по
парно равны; 2) когда его диагонали, пересекаясь, делятся
пополам (рис. 138).
Из признаков параллельности прямых достаточно запом-
нить первый (по равенству соответственных углов, см. п. 1.1,
рис. 139, а): ведь два остальных являются его простыми след-
ствиями (рис. 139, б. в).
Наконец, не забывайте, что такое вектор (рис. 140, а), как
складывают векторы (рис. 140, б) и как вектор умножают на
число (рис. 140, в).
64
Площади многоугольных
фигур
Название главы состоит из двух понятий: пло-
щадь и многоугольные фигуры. Возникает
вопрос: что это такое? Проще всего было бы сразу дать опре-
деление. Однако...
Площадь — понятие непростое, хотя поверить в это трудно.
Действительно, кто из нас не понимает, что площадь квартиры
складывается из суммы всех ее помещений; кто не знает, что
равные земельные участки имеют равные плошали; кто не
вычислял хотя бы площади прямоугольника? Но спроси нас:
что такое площадь? Ответ вряд ли последует.
И геометры на протяжении многих столетий видели свою
задачу лишь в вычислении площадей, они (даже Евклид) не
задумывались над тем, какое определение следует дать этой
геометрической величине.
Вычислять же площади начали давно. Еще 4000 лет назад
вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и тра-
пеции в квадратных единицах. Почему в квадратных? На-
верное, потому, что квадрат легко строить, он имеет равные
стороны, прямые углы, им легко заполнить плоскость без
пробелов, а значит, и многие геометрические фигуры, а затем
подсчитать число квадратных единиц, содержащихся в них.
На рис. 141 приведены три простейших примера вычисле-
ния площади, которые можно выполнить непосредственно,
подсчитывая число квадратов, содержащихся в фигуре.
Но обычно для простейших фигур вычисляют площади не
таким способом, а по формулам. Несколько таких формул вам
ЗЗак. 106
65
Рис. 142
уже известно. Например, для площадей прямоугольников
и треугольников. На рис. 142 изображены простейшие мно-
гоугольники и написаны формулы для их площадей. Но нужно
доказать эти формулы. С этого и начнем, а определение пло-
щади многоугольной фигуры отложим до конца главы.
Однако есть вопросы о площадях, решить которые в этой
главе мы еще не сможем: что такое площадь круга? Как
доказать, что она вычисляется по формуле S = лт^Ч А что
такое площадь произвольной фигуры?
Вопросы, вопросы... Все они возникли из раздумий над
названием главы. На часть вопросов ответы даются в этой
книге, на другие — в учебнике для XI класса, когда вы по-
знакомитесь с интегралами.
66
§ 6. КАК ИЗМЕРЯЮТ ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
В случае, когда длины сторон прямоугольника — целые
числа, не только легко вычислить его площадь, но (глядя на
рис. 143), можно и доказать: чтобы найти площадь прямо-
угольника, надо его длину умножить на его ширину.
А как быть, если длины сторон прямоугольника не выра-
жаются целыми числами? Пусть, например, они равны 3,5 м
и 6,4 м. В математике часто новую проблему удается решить,
если ее свести к уже решенной. Вот и здесь, если перейти к
другой, более мелкой единице измерения, например к деци-
метрам. то длины сторон опять станут целыми числами: 35 дм
и 64 дм. Если взять за единицу площади квадрат со стороной
1 дм, то площадь рассматриваемого прямоугольника будет
равна 35x64 = 2240 дм2 (квадратных дециметров).
2 2
Но в 1 м 100 дм , а потому площадь рассматриваемого
прямоугольника (скажем, комнаты) будет равна 22,4 м2. Этот
же результат получится, если перемножить 3,5 м и 6,4 м.
Кроме квадратных метров, дециметров, сантиметров, мил-
лиметров существуют и другие единицы площади. Так, пло-
щади небольших земельных участков измеряют в сотках
(сотку еще называют ар, 1 ар = 100 м ), а большое поле или
большой участок земли измеряют в гектарах (1 га = 10 000 м2).
Когда же речь пойдет о площадях областей, государств,
материков, океанов и т. п., то в качестве единицы площади
берут квадратный километр. Более крупных единиц площади
(у нас) не употребляют (в некоторых странах употребляют
квадратные мили).
Итак, подведем итоги: площадь прямоугольника равна про-
изведению длин его сторон. А именно, если длины сторон
прямоугольника Р равны а и b ,
то его площадь S(P) выражается
формулой
Рис. 143
При этом надо измерять длины
обеих сторон в одних и тех же
единицах, например в метрах или
в сантиметрах и т. п.
И так мы будем поступать всег- Рис- 143
да, когда речь пойдет о произве-
дении длин отрезков (говорят обычно короче — о произведении
отрезков, имея в виду произведение их длин).
67
a
Рис. 145
Рис. 144
§ 7. КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
7.1. Площадь прямоугольного треугольника. Если Т — пря-
моугольный треугольник с катетами а и Ь, то его надо до-
строить до прямоугольника Р со сторонами а и b так, как
показано на рис. 144.
Прямоугольник Р составлен из двух равных прямоугольных
треугольников Т и Т\. Площади их равны: S(T) = S(Z'i). По-
скольку S(P) = S(T) + S(Ti), то S(P) = 2S(T) и S(T) = | S(P) =
Итак, площадь прямоугольного треугольника равна поло-
вине произведения его катетов.
7.2. Площадь произвольного треугольника. Формула для
площади произвольного треугольника такова:
s = I ah. (1)
Здесь через а обозначена длина стороны ВС треугольника
АВС, а через h — длина его высоты AD, опущенной на сторону
ВС из вершины А (рис. 145).
Доказ ать справедливость равенства (1) совсем несложно,
если известно, как вычисляется площадь прямоугольного тре-
угольника. Проведем это доказательство.
Для расположения высоты AD возможны три случая, изо-
браженные на рис. 146.
Первый случай нам уже знаком: один из углов В или
С — прямой, т. е. треугольник АВС — прямоугольный с кате-
тами AD = h и ВС = а. Его площадь S = 1 ah.
68
Рис. 146
Во втором случае оба угла В и С — острые. Тогда
треугольник АВС разбивается высотой АО на два прямоуголь-
ных треугольника ABD и ACD с общим катетом АО и двумя
другими катетами BD = <ц и DC = <22 (рис. 146, б). Сумма
отрезков BD и DC дает сторону ВС, т. е. ai + а-г = а.
Площадь S треугольника АВС в этом случае равна сумме
площадей Si и S2 треугольников ABD и ACD. Поэтому
S = Si + S2 = | ash + | агЛ = | (ai + a-2}h = | ah.
Наконец, в третьем случае один из углов В или С
(будем считать, что угол В) — тупой (рис. 146, в).
Тогда треугольник АВС составляет вместе с прямоугольным
треугольником ABD прямоугольный треугольник ADC. Поэто-
му для их площадей выполняется равенство
S(AADC) = S(AABC) + S(AABD). (2)
Из равенства (2), обозначая, как и прежде, AD = h и
ВС = а, получаем
S(A АВС) = S(A ADC) - S(A ABD) =
= l-DCh-'-DBh = ~ (DC - DB)h = ^BCh = ah.
Итак, равенство (1) доказано во всех случаях.
Сформулируем его еще раз как теорему.
ТЕОРЕМА (о площади треугольника). Площадь треуголь-
ника равна половине произведения любой его стороны на
высоту, проведенную к этой стороне.
69
7.3* . Теорема о биссектрисе угла треугольника. Формула
для площади треугольника — одна из самых важных в гео-
метрии. Зная, как найти площадь треугольника, можно найти
площадь любого многоугольника, разбивая его на треуголь-
ники. И при доказательстве теорем мы очень часто будем
опираться на формулу (1). В качестве примера докажем сле-
дующую теорему.
ТЕОРЕМА. Биссектриса любого угла треугольника делит
противолежащую сторону на части, пропорциональные приле-
жащим сторонам треугольника.
Дано: ДАВС, АО — биссектриса угла А (рис. 147). Обо-
значим АС = Ь, АВ = с, ВО = р, СО = q.
Доказ ать:
£ = F <3>
Ч ь
Доказательство. Из вершины А проведем высоту AD
треугольника АВС, а из точки О проведем высоты ОК и OL
треугольников АВО и АСО (рис. 148). Так как АО — биссек-
триса угла А, то А АОК = Д AOL (в этих прямоугольных тре-
угольниках общая гипотенуза АО и равные острые углы).
Поэтому ОК = OL. Обозначим ОК = OL = d и AD = Л.
Подсчитаем двумя способами площади Si и S2 треуголь-
ников АВО и АСО. Получим:
S1 = = | cd (4)
и
S2 = | qh = | bd. (5)
Из равенств Д = и Д = £ следует равенство (3).
S2 q ->2 о
70
§ 8*. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ФИГУРЫ
8.1. Определение многоугольной фигуры. Многоугольной
фигурой мы назовем любую фигуру в плоскости, которая
является объединением конечного числа треугольников
(рис. 149). Например, параллелограмм, трапеция — много-
угольные фигуры.
Рис. 149
Рис. 150
Если же объединением конечного числа треугольников яв-
ляется пространственная фигура, то мы будем ее называть
многогранной фигурой. Например, поверхность куба или тет-
раэдра — многогранная фигура (рис. 150).
В том случае, когда треугольники, объединением которых
является многоугольная фигура, не имеют (попарно) общих
внутренних точек, мы говорим, что многоугольная фигура
составлена из этих треугольников или что она разбита на эти
треугольники (рис. 151). Например, диагональ разбивает па-
раллелограмм на два равных треугольника. Другой пример:
диагонали, проведенные из одной вершины выпуклого мно-
гоугольника, разбивают его на треугольники (рис. 152).
Мы говорим также, что многоугольная фигура Р составлена
из многоугольных фигур Pi и Рг и пишем Р = Pi + Рг, если.
71
Рис. 156
во-первых, фигура Р является объединением фигур Pi и Рг
и, во-вторых, Pi и Рг не имеют общих внутренних точек
(рис. 153).
Обратите внимание на то, что, конечно, каждый много-
угольник является многоугольной фигурой, но многоугольная
72
фигура может состоять из нескольких многоугольников, вовсе
не имеющих общих точек (рис. 154, а) или имеющих только
отдельные общие точки на границе (рис. 154, б).
8.2. Площади многоугольных фигур. Любая многоугольная
фигура состоит из треугольников. Поэтому ее площадь равна
сумме площадей этих треугольников. Так и считают площади
реальных многоугольных фигур, разбивая их на треугольники.
Например, вся территория страны разбита на треугольники
(их называют геодезическими), вершинами которых являются
специальные геодезические знаки (или геодезические вышки).
Специальные же формулы для вычисления площади вы-
водят лишь для небольшого числа наиболее часто встречаю-
щихся многоугольников. Во введении к этой главе мы уже
выделили два вида многоугольников — параллелограммы и
трапеции. Скажем о них еще раз подробнее.
8.3. Площадь параллелограмма и трапеции. Начнем с па-
раллелограмма.
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опу-
щенный из любой точки стороны параллелограмма на парал-
лельную ей сторону или ее продолжение (рис. 155), а также
длина этого перпендикуляра.
У параллелограмма две высоты, соответствующие двум па-
рам его противоположных сторон. Если на параллелограмм
смотреть как на пересечение двух полос между параллельными
прямыми, то две его высоты — это ширины этих двух полос
(рис. 156).
ТЕОРЕМА (о площади параллелограмма). Площадь парал-
лелограмма равна произведению любой его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне.
Доказательство. Разобьем диагональю А С параллело-
грамм ABCD на два равных треугольника АВС и ADC
(рис. 157). Площади этих треугольников равны i ah, где а —
длина стороны параллелограмма, ah — опущенная на нее
высота. Площадь S параллелограмма равна сумме площадей
этих треугольников. Значит,
S = ah + ah = ah.
73
Подобным же образом считают площадь трапеции, разбивая
ее диагональю на два треугольника (рис. 158).
Высотой трапеции называется общий перпендикуляр ее
оснований (или прямых, содержащих основания), а также его
длина (рис. 158).
ТЕОРЕМА (о площади трапеции). Площадь трапеции равна
произведению полусуммы оснований трапеции и ее высоты.
Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD с осно-
ваниями АВ = a, CD = Ь, высотой h (рис. 158). Проведя диа-
гональ АС, получим два треугольника с основаниями а, Ь и
одной высотой Л. Их площади будут равны Si = ah и
S2 = bh. Площадь же трапеции S = Si + S2 = ой +
1 . . а + b
+ - bh = —— h-
Замечание. Треугольник можно считать вырожденной
трапецией, когда одно из оснований стянулось в точку. В этом
, п с и + ь ,
случае можно считать, что b = О и из равенства S = —-— h
1 ,
получается равенство В = - ah для площади треугольника.
Другой случай вырожденной трапеции — параллелограмм.
В этом случае ее основания равны: а = Ь. И равенство
е а + ь
S = —-— h в этом случае дает формулу для площади парал-
лелограмма: S = ah.
8.4. Так что же такое площадь многоугольной фигуры? В
начале главы, поставив этот вопрос, мы сказали, что интуи-
тивное понятие о площади имеет каждый, а потому все свои
усилия употребили на вычисление площадей разных много-
74
Р=Р1+Р2
S(P)^S(P1) + S(P2)
Рис. 159
угольных фигур. Теперь же еще раз
задумаемся, что же такое площадь?
Число? Но ведь площадь одной и
той же комнаты можно выразить и
числом 24 м2 и числом 2400 дм2.
Значит, площадь становится числом
после того, как выбирается некото-
рая единица измерения площади.
Обычно это квадрат, стороной кото-
рого является единица длины.
В этом площадь сходна с длиной и тоже, как и длина, является
положительной скалярной величиной.
Свойства у нее те же, что и у длины: во-первых, складывая
(составляя) фигуру из двух фигур, мы складываем их площади
(рис. 159).
Во-вторых, площади одинаковых (равных) фигур равны.
Правда, точного понятия о равенстве произвольных фигур у
нас пока нет, но нам сейчас достаточно понимать, что такое
равные треугольники (а это-то мы знаем!).
Рис. 160
Равными многоугольными фигурами можно назвать такие
фигуры, которые одинаково составлены из соответственно рав-
ных треугольников (рис. 160). Например, равными будут пря-
моугольники, стороны которых равны (рис. 161).
Если вы еще раз прочитаете проведенные нами доказа-
тельства, то вы увидите, что в них использовались лишь эти
два свойства. Поэтому мы можем дать определение площади
многоугольной фигуры.
75
Определение ________________________________________
Площадью многоугольной фигуры называется положитель-
ная скалярная величина с такими основными свойствами:
1) если фигура составлена из нескольких многоугольных
фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур;
2) равные многоугольные фигуры имеют равные площади.
8.5. Вопросы, вопросы, вопросы... о величинах. Слово «ве-
личина» мы употребляем довольно часто, говорим и о ска-
лярных, и о векторных величинах. Величины играют очень
большую роль в науке, особенно в физике: почти все законы
физики выражают связи между теми или иными величинами.
В курсе физики изучают много различных величин: объем,
массу, скорость, силу, промежуток времени, температуру. Все
это физические величины. Что же это такое, величина?
Величина — это такое свойство предмета или явления, ко-
торое может быть в каком-то смысле больше или меньше и
которое можно точно оценивать. Например, температура бы-
вает больше или меньше, так же как масса тела, скорость
.движения и т. д.
Точная оценка величины называется измерением, поэтому
нередко говорят: величина — это то, что можно измерить.
Геометрические величины — такие свойства тел, которые
характеризуют их форму и размеры. Это длина, площадь,
объем, угол... В геометрии с их помощью описывают фигуры,
в физике — физические тела.
§ 9*. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ
МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
Равновеликими называются плоские фигуры, имеющие рав-
ную площадь, а также пространственные тела, имеющие рав-
ный объем.
76
В том, что данные многоуголь-
ные фигуры равновелики, можно,
конечно, убедиться, вычислив их
площади по формулам, выведен-
ным нами. Но есть и другой путь:
если разбить их на соответственно
равные многоугольные фигуры (на-
пример, на соответственно равные
треугольники). Поскольку площа-
ди равных многоугольных фигур
равны, а при сложении фигур пло-
щади их складываются, то, не вы-
числяя площадей фигур, мы тем
не менее можем сказать, что их
площади равны.
Фигуры, которые возможно разбить на соответственно рав-
ные, называются равносоставленными (рис. 162).
9.1. Немного истории. Именно устанавливая равносостав-
ленность фигур, доказывали теоремы о площадях геометры
Древней Греции, в частности Евклид в ♦Началах». Ведь ал
гебры у них еще не было, и формулы выводить они не умели.
Вот примеры Предложений о площадях из «Начал» Евклида.
Предложение 41 (книга 1).
Если параллелограмм имеет с тре-
угольником одно и то же основание
и находится между теми же па
раллельными, то параллелограмм
будет вдвое большим треугольни-
ка (рис. 163).
Предложение 42 (книга 1).
Построить равный данному тре-
угольнику параллелограмм в дан-
ном прямолинейном угле (рис. 164).
Предложение 14 (книга 2).
Построить квадрат, равный дан-
ной прямолинейной фигуре.
Вы, наверное, уже догадались,
что когда Евклид говорит «рав-
ный», то он имеет в виду «равно-
великий», т. е. равный по площа-
ди. Выражение «между теми же
параллельными» означает, что у
Рис. 164
77
них равны высоты, а. выражение «в данном прямолинейном
угле» означает «с данным углом».
Как видно из приведенных примеров, проблема построения
фигур, равновеликих данным фигурам, издревле волновала
геометров. Из трех знаменитых задач древности о построениях
в двух речь идет о построениях равновеликих фигур. Первая
из них — проблема квадратуры круга: построить квадрат, рав-
новеликий данному кругу. Вторая — удвоения куба: постро-
ить куб, объем которого вдвое больше объема данного куба.
Интересно, что довольно простую теорему о том, что любые
две равновеликие многоугольные фигуры — равносоставлены,
геометры доказали лишь в первой половине XIX в. Это сделали
почти одновременно в 1832 г. венгерский математик Ф. Бойаи
и в 1833 г. немецкий офицер и любитель математики П. Гер-
вин. Поэтому эта теорема носит их имена: теорема Бойаи—
Гервина. Докажем ее.
9.2. Теорема о равносоставленности равновеликих много-
угольников
ТЕОРЕМА БОЙАИ — ГЕРВИНА. Любые две равновеликие
многоугольные фигуры — равносоставлены.
Доказательство этой теоремы мы разобьем на несколько
шагов — лемм. Для равновеликих фигур Р и Q применяем
обозначение: Р ~в Q, а для равносоставленных фигур Р и Q —
обозначение Р ~с Q. Для равных многоугольных фигур Р и Q
употребляем обозначение Р = Q.
Лемма 1. Две многоугольные фигуры Р и Q, равносостав-
ленные с третьей, фигурой R, равносоставлены.
Доказательство. Каждое разбиение многоугольной фи-
гуры осуществляется сетью отрезков. На фигурах Р и R изо-
бражены две сети, которые разбивают их на соответственно
равные фигуры Ру, Р2, Рп и Ri, R2, Rn так, что
Р = Pi + Р2 +...+ Рп и R = Ri + R2 + ...+ Rn-
Аналогично на фигурах Q и R сеть отрезков разбивает их
на соответственно равные фигуры Qi, Q2, Qn и
R ]. R 2, R п- Тем самым на фигуре R показаны две сети,
которые разобьют ее, а также каждую из фигур Ri и R j на
более мелкие фигуры RtI (рис. 165). Соответственно каждая
78
Рис. 166
Рис. 167
из фигур Pi и Qj также разобьется на части, равные частям
Rij. Следовательно, и фигура Р и фигура Q разобьются на
части, равные этим фигурам Ry. Поэтому фигуры Р и Q —
равносостав л ен ы.
Лемма 2. Равновеликие параллелограммы Р и Q, имеющие
равную сторону, равносоставлены.
Доказательство леммы сводится к двум случаям, изо-
браженным на рис. 166 и 167. Указанные на них разбиения
и доказывают лемму.
Лемма 3. Два равновеликих прямоугольника равносостав-
лены.
Доказательство. Пусть прямоугольник Р со сторонами
а, Ь и прямоугольник Q со сторонами с, d равновелики. Тогда
ab = cd. Можно считать, что а < b и с < d, а также а < с. Так
как ab = cd, то тогда b > d. Построим параллелограмм R со
сторонами b и с и высотой а, опущенной на сторону Ь (рис. 168).
79
Рис. 168
Это возможно, так как с > а. Поскольку S(P) = S(R) и па-
раллелограммы Р и R имеют по стороне, равной Ь, то Р ~CR
(по лемме 2).
Далее S(Q) = S(P) = S(R) и параллелограммы Q и R имеют
по стороне, равной с. Поэтому Q -R (по лемме 2). А тогда
Р Q (по лемме 1).
Лемма 4. Каждый треугольник равносоставлен с прямо-
угольником.
Доказательство. Проведем в данном треугольнике вы-
соту на большую сторону и перпендикулярную этой высоте
среднюю линию (рис. 169). Заменим получившиеся два пря-
моугольных треугольника на соответственно равные им тре-
угольники так, как это указано на рис. 169. Получим пря-
моугольник, равносоставленный с данным треугольником.
Из лемм 1, 3 и 4 вытекает следующее утверждение:
Лемма 5. Каждый треугольник равносоставлен с прямо-
угольником, одной из сторон которого может быть любой
заданный отрезок.
Объясните, в какой последовательности вы должны сослать-
ся на леммы, чтобы получить в результате утверждение лем-
мы 5.
Теперь уже можно завершить доказательство тео-
ремы Бойаи — Гервина.
Пусть многоугольные фигуры Р и Q равновелики. Они
составлены из некоторых треугольников. Пусть фигура Р со-
80
Рис. 170
ставлена из треугольников Т\, Т2, .... Тп (рис 170). Построим
прямоугольник Pi = АВВ1А1, основанием которого является
единичный отрезок АВ, а высота A4i равна S(T\). По лемме 5
Р\ ~Т\. После этого строим прямоугольник Р2 = А1В1В2А2,
высота которого А]Аг = S1T2). Снова имеем, что
5(7'2) = 5(Рг) и Рг ~с 7’г- Продолжая эти построения, получим
прямоугольник Р = АВВпАп = Р\ + ... + Рп- Так как Т\ ~BPi ...
...Тп рВРп, то Р' ~УР. Поскольку 7,1р-;Р1.....Тп~сРп, а
Р = Ti +... + Тп и Р = Р\ + Рг + ... + Рп, то Р ~г Р.
Проведем теперь аналогичное построение для фигуры Q,
строя на АВ прямоугольник, равновеликий фигуре Q. Так как
S(P) = S(Q), то в итоге построения получим тот же самый
прямоугольник Р. Как и для фигуры Р. получим, что
Q ~ Р. Но тогда по лемме 1 Р ~ Q.
pc pv
Можно, конечно, и другим способом доказывать равновели-
кость треугольника и прямоугольника. Например: построить пря-
моугольник, высота которого равна высоте данного треуголь-
ника, а основание равно средней линии этого треугольника,
перпендикулярной рассмотренной высоте. Попробуйте сами
провести это доказательство. Попытайтесь также придумать
какие-либо другие способы доказательства леммы 4, в частно-
сти: опустить высоту треугольника не на большую сторону.
Какие здесь возможны сложности? Как их преодолеть?
§ 10*. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННЫХ ТЕЛ
10.1. Объем прямоугольного параллелепипеда. Вам уже из-
вестно, что объем V прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех его измерений — длины, ширины и высоты
(рис. 171):
V — abc. (1)
Выводится эта формула так же, как и формула для площади
прямоугольника. Сначала рассматривается случай, когда
а, Ь, с — целые числа (рис. 172), затем когда они рациональ-
ные, и наконец, общий случай, когда а, Ъ, с — любые дейст-
вительные числа.
Заметим, что эту же формулу можно прочитать и так:
объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению пло-
щади его основания на высоту:
V = SH. (2)
Действительно, возьмем за основание грань со сторонами
а, Ь. Тогда ее площадь S = аЪ. И если высоту с обозначить
через Н, то из равенства V = abc получим V = SH.
— высота
ширина
V = abc, V = SH
Рис. 171
Рис. 172
82
Рис. 175
Заметим, что прямоугольный параллелепипед является
частным случаем прямой призмы, в основании которой —
прямоугольник.
10.2. Объем прямой призмы. Напомним, что у прямой
призмы боковые ребра и боковые грани перпендикулярны ее
основаниям (рис. 173). Любую треугольную прямую призму
можно перестроить в равновеликий ей прямоугольный парал-
лелепипед, перестраивая ее основание — треугольник — в рав-
новеликий прямоугольник (рис. 174). Сразу становится ясно,
что объем треугольной прямой призмы равен произведению пло-
щади ее основания на высоту: V = SH.
Любую же прямую призму Р можно разбить на треугольные
призмы Pi, Р2, Рп, разбивая ее основание Q на треугольники
Tl, Т2, .... ТП (рис. 175, а). Ее объем V(P) = V(Pi) + ... + Е(РЛ).
83
Рис. 176
Рис. 177
У всех призм Pi, Р2, , Рп одна и та же высота Н. Поэтому
V(P1) = SiH, ...» V(Pn} = SnH, где Si, .... Sn — площади треу-
гольников Ту, ..., Тп- Так как площадь S основания Q равна
сумме площадей Si, ...,Sn, то V(P) = V(Pv) + ... + V(Pn) =
= SiH + ... + SnH = SH.
Итак, объем любой прямой призмы равен произведению пло-
щади ее основания на высоту, т. е. формула V = SH справед-
лива для любой прямой призмы.
р
10.3. Объем любой призмы (и в частности, любого парал-
лелепипеда). Оказывается, что объем и наклонной призмы тоже
равен произведению площади ее основания на высоту, т. е.
вычисляется по той же формуле V = SH (рис. 175, б).
Доказательство этой теоремы приводится в следующем
пункте. Здесь же обсудим это утверждение.
Во-первых, параллелепипед является такой призмой, у ко-
торой любая грань может считаться ее основанием (рис. 176).
Тем самым у него три высоты, подобно тому как у паралле-
лограмма — две высоты (см. рис. 156).
Во-вторых, теорема об объеме призмы аналогична теореме
о площади параллелограмма. Как прямоугольнику равнове-
лики все параллелограммы, имеющие с ним общее основание
и общую высоту (рис. 177, а), так и прямой призме равнове-
84
пики все призмы, имеющие с ней /\о
общее основание и равные высоты / /
(рис. 177, б). р J I J
10.4. Доказательство теоремы об II/
объеме призмы. Напомним, что
нам предстоит доказать, что объем /-----VX /0//
любой призмы Р равен произведе- I Лх'У-С /Я
нию площади S ее основания Q на
высоту Н: V= SH.
Начнем с того, что построим по v I J уС е }
данной призме Р равновеликую ей /Г / 7
прямую призму Р]. Построение вы- / / / 1
полним так. Продолжим боковые ^»/
ребра и боковые грани призмы Р qJ
достаточно далеко в сторону за вто-
рое основание Q* и пересечем их
некоторой перпендикулярной всем
им плоскостью а (рис. 178). Многоугольник Qi, получившийся
в сечении, называется перпендикулярным сечением призмы Р.
Перпендикулярное сечение можно проводить через любую точ-
ку, но мы строим его так, чтобы плоскость а не имела с
призмой Р общих точек. Затем на продолжении боковых ребер
призмы Р отложим от вершин многоугольника Qi в сторону,
где лежит Р, отрезки, равные боковым ребрам призмы Pi. Их
вторые концы станут вершинами второго основания Qi приз-
мы Pi- Итак, нами построена прямая призма Pi, основаниями
которой являются перпендикулярные сечения призмы Р, а
боковые ребра у этих призм равны. Покажем, что призмы Р
и Pi равновелики.
Многогранник, лежащий между призмами Р и Pt (скошенная
призма с основаниями Q'и Qi), обозначим R. Рассмотрим еще
две скошенные призмы Т = Р + R и Т\ = Pi + R. Они равны,
так как их можно совместить, если сдвинуть скошенную призму
Ti на вектор v (см. рис. 178). Объемы равных многогранников
Т и Ti равны: V(T) = V^i). Но V(T) = V(P) + V(R), a
V(T1) = V(Pi) + V(R). Из равенства V(P) + V(R) = V(Pi) + V(R)
вытекает, что V(P) = V(Pi), т. e. призмы P и Pi равновелики.
Итак, мы доказали лемму: объем призмы равен произведению
площади ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.
85
Применим эту лемму к вычислению объема параллелепипеда.
Рассмотрим некоторый параллелепипед Р. Пусть его осно-
ванием будет грань Q, а Н — высота, опущенная на эту грань
(рис. 179).
В параллелограмме Q выберем сторону а и обозначим через
h его высоту, опущенную на сторону а. Построим перпенди-
кулярное сечение U параллелепипеда Р, перпендикулярное
ребру а. Получим некоторый параллелограмм, основанием
которого будет отрезок Л, а высотой — отрезок Н. Поэтому
площадь S(U) = hH. А тогда по лемме
V(P) = S(lf)a = hHa = ahH = SH.
Итак, мы доказали теорему: объем параллелепипеда равен
произведению площади его основания на высоту, проведенную
к этому основанию.
От объема параллелепипеда уже легко дойти до объема
любой призмы. Любую треугольную призму можно достроить
до параллелепипеда подобно тому, как треугольник можно
достроить до параллелограмма (рис. 180). Поэтому для тре-
угольной призмы справедливо равенство V = SH. Разбивая же
произвольную призму на треугольные, как указано на
86
рис. 181, и складывая их объемы, убеждаемся, что и для
любой призмы V = SH.
10.5. Объем тетраэдра. Вычисляя площади, можно было
бы пойти таким путем: зная площадь прямоугольника, найти
площадь параллелограмма (рис. 182, а, б), затем от паралле-
лограмма перейти к площади треугольника (рис. 182, в), а
потом перейти к площадям любых многоугольных фигур
(рис. 182, г). Казалось бы, зная, как вычислить объем призмы,
уже нетрудно дойти до вычисления объема тетраэдра, достра-
ивая его до треугольной призмы (рис. 183) или до паралле-
лепипеда (рис. 184). Но если треугольник, дополняющий дан-
ный треугольник до параллелограмма, равен исходному
треугольнику, то два тетраэдра, дополняющие данный тетра-
эдр до треугольной призмы, не равны данному тетраэдру, а
лишь равновелики ему. И чтобы доказать их равновеликость,
геометрам с древнейших времен приходилось использовать
методы, по-существу являющиеся методами интегрального ис
числения (так было и у Евклида).
87
Рис. 185
Рис. 186
Причина этих трудностей в том, что из равновеликости
многогранных тел не следует их равносоставленность (в то
время как любые две равновеликие многоугольные фигуры —
равносоставлены). Но об этом геометры узнали лишь в XX в.
Поэтому здесь мы лишь сообщим вам, что объем любой,
пирамиды (в том числе и тетраэдра) равен одной трети про-
изведения площади ее основания на высоту (рис. 185), т. е.
V = | SH,
О
а доказательство этой формулы отложим до XI класса.
10.6. Многогранные тела и их объемы. Подобно тому как
многоугольная фигура есть объединение треугольников, так
многогранное тело — это объединение конечного числа тетра-
эдров. Если эти тетраэдры не имеют общих внутренних точек,
то говорят, что многогранное тело составлено из этих тетра-
эдров. А объемом любого многогранного тела является сумма
объемов составляющих его тетраэдров.
Вычислите, например, объем октаэдра, длина ребра кото-
рого равна 1. Правильный октаэдр можно построить, соединив
отрезками центры соседних граней куба (рис. 186).
ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ГЛАВЫ 2
Достаточно помнить формулы для вычисления площади
прямоугольника: S = ab и площади треугольника: S = i aha.
Формулы для вычисления площади параллелограмма и пло-
щади трапеции — их простые следствия. Вспомните, как они
выводятся.
88
Геометрия треугольника
Ота глава является важнейшей в планиметрии.
Основная цель ее — выразить формулами одни
элементы треугольника через другие его элементы. Пока мы
знаем лишь одну такую формулу: для суммы углов треуголь-
ника. Благодаря ей, зная два угла треугольника, мы можем
вычислить третий его угол. Но по какой формуле найти,
например, величины углов треугольника, зная длины всех
трех его сторон? Такие задачи часто встречаются в практике,
а в теории они составляют содержание целого раздела мате-
матики — тригонометрии. Слово «тригонометрия» в переводе
означает «измерение треугольников». Важнейшие теоремы
тригонометрии и будут доказаны в этой главе, а начнем мы
ее с самой знаменитой теоремы геометрии — теоремы Пифа-
гора. Эта теорема как бы связывает главу о площадях с главой
о треугольниках.
Ничего странного в том, что тригонометрия — наука об из-
мерении треугольников, нет. Ведь metron — мера, gonia — угол,
tries — три. Таким образом, тригонометрия и есть измерение
фигуры, состоящей из трех углов, т. е. треугольника. «Измерить»
треугольник — это значит определить все его стороны и все
углы. Для измерения треугольника введены специальные фун-
кции, которые называются тригонометрическими.
89
§ 11. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
11.1. Формулировка теоремы Пифагора. В этой теореме
речь идет о прямоугольных треугольниках. Формулируется
она так.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Итак, если Т — прямоугольный треугольник с катетами
а, b и гипотенузой с (рис. 187), то теорема Пифагора утвер-
ждает, что
с* 2 = а2 + Ъ2. (1)
2 2 2
Заметим, что а , b , с — это численные значения площа-
дей квадратов со сторонами а, Ъ, с. Поэтому равенство
2 2 2
с = а + b означает, что площадь квадрата, построенного на
гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных
на катетах (рис. 188).
Теперь немного истории. Почти так формулировал эту те-
орему Евклид в книге 1 «Начал». Вот эта формулировка.
Предложение 47. В прямоугольных треугольниках квад-
рат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взя-
тым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
Древнегреческий мыслитель Пифагор, именем которого на-
звана эта теорема, жил в VI в. до н. э. (ок. 570 — ок. 500 гг.
до н. э.). Тогда математика только складывалась в теоретиче-
скую науку, и Пифагор оказал значительное влияние на ее
формирование. Однако теорему, носящую его имя, открыл не
он. Теорема была известна еще раньше в Древнем Египте и
Вавилоне, хотя, возможно, только как эмпирическое наблю-
90
дение. Надо думать, Пифа-
гор знал это, но нашел до-
казательство. Как уже отме-
чалось, теорема в то время
относилась к площадям, а
не к численным значениям
длин. Само название второй
степени числа — «а квад-
рат» или «а в квадрате» —
происходит от геометриче-
ского понятия «квадрат со
стороной а». Сначала была
геометрия — алгебра появи-
лась позже.
Сейчас найдено много
различных доказательств
теоремы Пифагора. У Евк-
лида ее доказательство было
достаточно сложным, о чем говорит и сложность сопровож-
давшего его чертежа (рис. 189). А вот еще два чертежа (рис.
190, а, б), глядя на которые можно догадаться, как доказы-
вается теорема Пифагора. Попробуйте доказать ее самостоя-
тельно.
Гипотенуза. Приставка гипо---означает «малый, умень-
шенный». Оказывается, у этой приставки есть еще одно зна-
чение, соответствующее предлогу под. Поэтому гипотенуза —
это «стоящая под»... прямым углом. Иначе говоря: гипотенуза
АВ треугольника АВС — это отрезок, который из вершины С
виден под прямым углом.
Катет. Происходит от греческого слова kata — «падать»,
означает «идущий сверху вниз». Интересно, что с этим термином
имеют общее происхождение слова: катастрофа, катапульта,
катаракта. Так, например, слово «катаракта» (теперь употреб-
ляется для обозначения глазной болезни, при которой глаз
полностью теряет способность видеть из-за пленки, плотно
закрывающей зрачок) первоначально имело два значения: во-
допад— завеса падающей с большой высоты воды, а также и
устройство, которое, падая сверху, плотно закрывает ворота
крепости.
91
190
Cl)
Рис.
11.2. Доказательство теоремы Пифагора. Пусть Т — пря-
моугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис.
190, а). Докажем, что с2 = а2+ Ь~.
Построим квадрат Q со стороной а + Ь (см. рис. 190, а).
На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы
отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоуголь-
ные треугольники Ту, Т2, Тя, Т4 с катетами а и Ь. Четырех-
угольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квад-
рат со стороной с.
Все треугольники Ту, Т>, Т3, Тл равны треугольнику Т (по
двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе
треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого
четырехугольника — прямые.
Пусть а и (3 — величины острых углов треугольника Т.
Тогда, как вам известно, а + [3 = 90°. Угол у при вершине А
четырехугольника Р вместе с углами, равными а и [3, состав-
ляет развернутый угол. Поэтому а. + /3 + у = 180°. И так как
а + (3 = 90°, то у = 90°. Точно так же доказывается, что и
остальные углы четырехугольника Р — прямые. Следователь-
но, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.
Квадрат Q со стороной а + b слагается из квадрата Р со
стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т.
Поэтому для их площадей выполняется равенство
S(Q) = S(P) + 4S(T). (2)
92
Так как S(Q^ = (а + 6)~, S(P) = с~ и S(T) = ab, то, под-
ставляя эти выражения в (2), получаем равенство
(а + t>)“ = с2 + 4^ аЬ.
Поскольку (а + Ь)2 = а2 + Ь~ + 2аЪ, то равенство (3) можно
записать так:
а2 + Ь2 + 2аЬ = с~ + 2аЬ.
2 9 9
Из равенства (4) следует, что с = а~ + Ь~'.
11.3* . Значение теоремы Пифагора. Теорема Пифагора —
это одна из главных и, можно даже сказать, самая главная
теорема геометрии. Значение ее состоит прежде всего в том.
что из нее или с ее помощью можно вывести большинство
теорем геометрии. В нашем курсе она будет служить основой
многих дальнейших выводов. Поэтому ее нужно твердо
усвоить.
Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама по
себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедрен-
ного треугольника (см. рис. 5 и 6) можно видеть непосредст-
венно на рисунке. Но сколько ни гляди на прямоугольный
треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами
есть такое простое соотношение: с2 = а“ + Ь2. Зато это соот-
ношение между соответствующими площадями хорошо видно
на рис. 190, а, б. Мы видим два различных построения одного
и того же квадрата Q со стороной а + Ь. На первом из них
квадрат Q слагается из квадрата со стороной с и четырех
треугольников. На втором — такой же квадрат получается из
квадратов со сторонами а и b и четырех таких же треуголь-
ников. Исключив в обоих случаях треугольники, видим, что
с = а" + Ь . В этом и состоит самый лучший геометрический
способ: посредством остроумного построения сделать неочевид-
ное очевидным. Например, в математических трактатах Древ-
ней Индии, доказывая теорему, часто приводили только ри-
сунок. Сопровождали его лишь одним словом: «смотри».
Сравнить два рисунка не трудно, в них — вся суть доказа-
тельства.
11.4 . Квадратный корень. Теорема Пифагора позволяет по
любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти
его третью сторону. Сначала находят квадрат стороны. На-
пример, если катеты прямоугольного треугольника равны 3 см
93
ii 4 см, то по теореме Пифагора квадрат его гипотенузы равен
25 см". Поэтому площадь квадрата, построенного на гипоте-
нузе, равна 25 см". И чтобы завершить решение этой задачи,
9
надо наити сторону квадрата, площадь которого равна 2э см".
Ясно, что она равна 5 см, так как 5" = 25. Итак, гипотенуза
рассматриваемого треугольника равна 5 см. Прямоугольный
треугольник со сторонами 3, 4, 5 был известен еще в Древнем
Египте.
Если известны гипотенуза и один из катетов, то можно
найти другой катет. Например, если гипотенуза равна 13 см,
а катет равен 5 см, то по теореме Пифагора квадрат другого
катета равен 132 — 52 = 144. И мы снова приходим к такой
задаче: найти положительное число, квадрат которого изве-
стен. В данном случае, когда квадрат числа равен 144, легко
подобрать нужное число. Оно равно 12. Следовательно, второй
катет рассматриваемого треугольника равен 12 см.
В обеих рассмотренных задачах нам пришлось по извест-
ному квадрату положительного числа находить само это число.
А именно, зная некоторое число а > 0, мы находим такое
9
число b > 0, что b = а. Найденное положительное число Ъ
обозначается так: b = Va и читается: «Ь равно корню квад-
ратному из а». Операцию нахождения числа по его квадрату
называют извлечением квадратного корня.
Нахождение положительного квадратного корня можно ис-
толковать геометрически как нахождение стороны квадрата,
площадь которого известна. Подробно об извлечении квадрат-
ного корня говорится в курсе алгебры.
Бывают случаи, когда нельзя найти точное значение квад-
ратного корня. Тогда мы будем искать его приближенное
значение либо по таблицам, либо с помощью микрокальку-
ляторов (например, ~ 1,414), либо оставлять в ответе знак
квадратного корня (например, \^2).
11.5. Признак прямоугольного треугольника. В теореме Пи-
фагора выражено важнейшее свойство прямоугольного тре-
угольника. Обратное ей утверждение является признаком пря-
моугольного треугольника. Именно этим утверждением
завершил книгу 1 своих «Начал» Евклид. У Евклида оно
звучало так:
Пр едложение 48. Если в треугольнике квадрат на одной
стороне равен вместе взятым квадратам на остальных двух
94
сторонах, то заключенный между остальными двумя сторо-
нами треугольника угол есть прямой.
Именно этот признак использовали в Древнем Египте зем-
лемеры — герпедонапты, строя с помощью веревочного тре-
угольника со сторонами 3, 4, 5 прямой угол. Сформулируем его.
ТЕОРЕМА (обратная теореме Пифагора). Если в треуголь-
нике сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей
его стороны, то треугольник — прямоугольный.
Доказательство. Пусть в треугольнике АВС (рис. 191, а)
АВ* 2 = АС2 + ВС2. (5)
Построим прямоугольный треугольник AiBjCi с катетами
AiCi = AC, BiCi = ВС и прямым углом С} (рис. 191. б). По
теореме Пифагора
AiB? = AiC2 + BiC?. (6)
Поскольку АС = A}Ci и ВС = BjCi, то из равенств (5) и (6)
2 2
следует, что АВ =AiBj. Поэтому и АВ = AiBp Итак, в тре-
угольниках АВС hAiBjCj стороны соответственно равны, т. е.
А АВС = АА1В1С]. А тогда Z.C = Z.Cj = 90° , т. е. А АВС —
прямоугольный.
§ 12*. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
12.1. Первые примеры применения. Мы уже говорили в
п. 11.3, что из теоремы Пифагора можно вывести целый ряд
других теорем. Многие из них связаны с вычислением длин
различных отрезков или расстояний между фигурами. При
решении многих задач мы будем выводить формулы, позво-
ляющие вычислять длины и расстояния.
95
Если АВ = AjBi и АС =А1С1,
AC = ZC1 = 90°,
то А АВС = aA^BjCj
Рис. 192
Рис. 193
Вот простой пример такого применения — еще один при-
знак равенства прямоугольных треугольников: если ги-
потенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны
гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то
такие треугольники равны (рис. 192).
Действительно, вычисляя по теореме Пифагора вторые катеты
этих прямоугольных треугольников, мы убеждаемся, что они
равны, т. е. треугольники равны (по трем сторонам).
Другой пример: из теоремы Пифагора непосредственно вы-
текает, что катет меньше гипотенузы (рис. 193). Раньше мы
это утверждение выводили из теоремы о том, что в треуголь-
нике против большего угла лежит большая сторона.
12.2. Длины диагоналей прямоугольника и прямоугольного
параллелепипеда. Когда задают прямоугольник (рис. 194, а)
или прямоугольный параллелепипед (рис. 194, б), то обычно
указывают их измерения — длины их сторон и ребер, т. е.
расстояния между соседними вершинами. Однако часто необ-
ходимо найти расстояния между противоположными верши-
96
a
a
Рис. 195
нами, т. е. длины их диагоналей (приведите примеры таких
задач). Теорема Пифагора позволяет это сделать. Ясно, что
длина диагонали d прямоугольника со сторонами а и b вы-
числяется по формуле
d = а2 + b2 (1)
как гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами ко-
торого являются стороны прямоугольника (рис. 195).
Чтобы вычислить длину di диагонали АС1 прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, проведем еще диагональ
АС его основания ABCD и рассмотрим два прямоугольных
треугольника АВС и ACCi (рис. 196). Применяя к ним теорему
Пифагора, получаем сначала
АС = Va2 + ь2,
а затем
di = ^АС2 + CCi = Vo2 + ь2 + с2. (2)
Равенства (1) и (2) равносильны таким равенствам:
>2 2 , г 2
а = а + b
и
d* = а2 + Ь2 + с2
(поскольку d и di — положительны).
Эти равенства выражают такие теоремы:
1. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квад-
ратов двух его измерений.
2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда ра-
вен сумме квадратов трех его измерений.
Первая является еще одной формулировкой теоремы Пи-
фагора, вторая — ее пространственным аналогом.
4 Заь. 106
97
12.3. Наклонные и проекции. Расстояния от точки до прямой
и до плоскости. Прямоугольный треугольник появляется каж-
дый раз, когда мы из некоторой точки А, не лежащей на
данной прямой р, проводим наклонную АВ и опускаем пер-
пендикуляр АС (рис. 197). Точка С называется проекцией
точки А на прямую р, а отрезок ВС называется проекцией
наклонной АВ на прямую р. Ясно, что теорема Пифагора
связывает длины наклонной АВ. ее проекции ВС и перпен-
дикуляра АС равенством
АВ2 = АС2 + ВС2. (3)
Из равенства (3) ясно, что перпендикуляр является крат-
чайшим из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой
р. Напомним, что длина перпендикуляра АС называется рас-
стоянием от точки А до прямой р.
Очевидно, верно и обратное утверждение: если отрезок
АС — кратчайший из отрезков, соединяющих точку А с точ-
ками прямой р, то АС ± р.
Всему рассказанному в этом пункте имеется полная ана-
логия в пространстве. Если из точки А, не лежащей в плоскости
а, провести наклонную АВ к этой плоскости и опустить пер-
пендикуляр АС на плоскость а, то появится прямоугольный
треугольник АВС (рис. 198). Точка С называется проекцией
точки А на плоскость а, а отрезок ВС — проекцией наклонной
АВ на плоскость а. И снова перпендикуляр АС является
кратчайшим из всех отрезков, соединяющих точку А с точками
плоскости а, а его длина называется расстоянием от точки А
до плоскости а. Верно и обратное: если отрезок АС — крат-
чайший из всех отрезков, соединяющих точку А с точками
плоскости а, то АС ± «.
98
Проекция. Опять нам встретилось слово с приставкой про-.
Происходит оно от латинского «простирать» и созвучно с фран-
цузским «бросать вперед».
Сравните слова «проекция» и «инъекция». Первое из них
означает распространение на плоскость или прямую, а второе —
вбрасывание, впрыскивание лекарства.
Перпендикуляр. Происходит от латинского слова pendere —
висеть и означает отвесную линию.
12.4. Теорема о трех перпендикулярах. Операции проекти-
рования на прямую и на плоскость, рассмотренные в преды-
дущем пункте, объединяет следующая важная теорема стере-
ометрии.
ТЕОРЕМА (о трех перпендикулярах). Наклонная к плоско-
сти перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, тогда
и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна
этой прямой.
Доказательство. Пусть даны наклонная АВ к плоскс
сти а, ее проекция ВС на эту плоскость и прямая р, лежащая
в плоскости а и проходящая через точку В (рис. 199, а).
В теореме два утверждения: 1) если АВ ± р, то ВС ± р;
2) обратно, если ВС ± р, то АВ ± р. Докажем их.
Возьмем переменную точку X прямой р (рис. 199, б). Рас-
смотрим две функции: f(X} = АХ2 и g(X) = СХ2. Так как
АС ± а, то треугольник АСХ — прямоугольный. Поэтому
Рис. 199
99
AX2 = AC2 + CX~. Значит, функ-
ции f(X) и g(X) отличаются на
постоянное слагаемое h = АС~,
т. е. f(X) — g(X) + h. Поэтому
функции f(X) и g(X) свои наи-
меньшие значения принимают
одновременно в одной и той же
точке. Из этого и следуют оба
утверждения теоремы.
1) Пусть АВ ± р. Тогда пер-
пендикуляр АВ к прямой р ко-
роче любой наклонной АХ к этой
прямой. Значит, и отрезок ВС короче любого отрезка СХ,
когда X * В. Поэтому ВС ± р. Первое утверждение доказано.
Докажем второе.
2) Пусть ВС _1_ р. Тогда перпендикуляр ВС к прямой р
короче любой наклонной СХ к этой прямой. Поэтому
АВ < АХ, если X * В. Следовательно, АВ J. р.
В доказанной теореме рассматриваются три перпендику-
ляра: АС-La, АВ± р, ВС1. р. Отсюда и ее название — теорема
о трех перпендикулярах. Эта теорема связывает также про-
ектирование на прямую и проектирование на плоскость. Со-
гласно этой теореме, проекцию точки А на прямую р — точку
В — можно получить так: сначала спроектировать точку А на
плоскость а в точку С, а затем спроектировать точку С на
прямую р. В результате получим ту же самую точку В.
Замечание. Можно получить интересное обобщение тео-
ремы о трех перпендикулярах. Заменим в этой теореме прямую
р на произвольную фигуру F в плоскости а (рис. 200). Пусть
X — переменная точка фигуры F. Из равенства f(X) = g(X) + h
делаем тот же вывод о наименьших расстояниях АХ и СХ:
они становятся наименьшими одновременно. Получаем такое
обобщение: пусть фигура F лежит в плоскости а, А — неко-
торая точка и С — ее проекция на а. Точка фигуры F будет
ближайшей к точке А тогда и только тогда, когда она явля-
ется ближайшей к ее проекции С.
Теорема о трех перпендикулярах оказалась, как мы видим,
только частным случаем теоремы о ближайшей точке, отно-
сящейся к любой плоской фигуре. При этом доказательство
ее ничуть не сложнее. Это примечательно! Один из моментов
в развитии математики состоит в том, что результаты, которые
прежде относились к более специальным фигурам, уравнени-
100
ям, функциям или к иным объ-
ектам математики, обобщаются
позже на гораздо более общие объ-
екты. Теорему о трех перпендику-
лярах доказали еще древние греки
(но доказывали они ее по-друго-
mv), а теорема о ближайшей точке
принадлежит геометрам XX в.
12.5. Теорема Пифагора для проекций отрезка. Прямоуголь-
ный треугольник АВС с гипотенузой АВ появляется, если этот
отрезок соединяет две точки А и В, лежащие на взаимно
перпендикулярных прямых р и q, пересекающихся в точке С
(рис. 201): A G р, В G q. Тогда отрезки АС и ВС — это проекции
отрезка АВ на прямые р и q соответственно. И теорему Пи-
фагора, выраженную равенством АВ2 = АС2+ ВС~, можно в
этих терминах сформулировать так:
ТЕОРЕМА (о проекциях). Квадрат отрезка равен сумме
квадратов его проекций на две взаимно перпендикулярные
прямые.
В этой формулировке не сказано, что концы отрезка лежат
на данных прямых, потому что это и не важно: теорема верна
и без этих ограничений.
Действительно, пусть на плоскости заданы две взаимно
перпендикулярные прямые р и q, а также некоторый отрезок
АВ (рис. 202). Опустив из точек А и В перпендикуляры АА\
и ВВ\ на прямую р, получим отрезок А]В], который называется
101
проекцией отрезка АВ на прямую р. Проекция отрезка АВ на
прямую р может выродиться в точку, если Aj = By, т. е. в
случае, когда АВ ± р (рис. 203).
Точно так же спроектируем отрезок АВ на прямую q в
отрезок А2В2 (рис. 204). Тогда
АВ2 = АуВ2 + А2В2,
что и утверждает теорема о проекциях.
Доказательство теоремы о проекциях вы легко проведете
самостоятельно, глядя на рис. 204 и вспоминая уже известные
вам теоремы, соответствующие тому или иному частному слу-
чаю, изображенному на рис. 205.
А для пространства теорема о проекциях звучит так: квад-
рат отрезка равен сумме квадратов его проекций на три взаимно
перпендикулярные прямые.
В общем случае эта теорема следует из теоремы о квадрате
диагонали прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 196).
12.6. Вычисление высоты треугольника. Зная теорему Пи-
фагора, легко можно выразить высоту треугольника через его
стороны.
Найдем сначала высоту AD треугольника АВС, проведенную
к большей его стороне ВС (рис. 206). Как обычно, положим
ВС = а, АС = b, АВ = с, AD - ha. Кроме того, положим
BD = х. Тогда CD = а — х. По теореме Пифагора АО2 =
= АВ2 - BD2 и AD2 = АС2 - CD2. Поэтому АВ2 - BD2 =
= АС2 - CD2, т. е.
с2 - х2 = Ь2 - (а - х)2. (5)
102
A
Из уравнения (5) получаем, что
9 9 9
2ах = + с~ - Ь2.
Поскольку AD2 = АВ~ — BD~, то Л2 = с~ — х2 и
. 2 "> 9 о 99
hi , с . (6)
4<Г
Последовательно раскладывая на множители как разности
квадратов в числителе правой части (6), получаем:
ha = —^р(а + b + с)(а + Ь — с)(а + с — Ь)(Ь + с — а).
4а2
Периметр а + b + с треугольника АВС обозначим 2р. Полу-
чим:
а + Ь — с — 2р — 2с; а + с — b = 2p — 2Ь; Ь + с — а — 2р — 2а.
Поэтому окончательно
hu = Vp(p - а)(р - Ь)(р - сУ. (8)
Проверьте, что формула (8) справедлива и для случая,
когда высота лежит вне треугольника.
12.7. Формула Герона. Так как площадь S треугольника
АВС выражается формулой S = ahu, то, подставляя в нее
ha по формуле (8), получаем, что
S = - а)(р - Ъ)(р - с}. (9)
Эта формула была получена в I в. н. э. древнегреческим
ученым Героном.
103
§ 13. СИН VC
Центральная часть этой главы (§13 —17) посвящена триго-
нометрии. Главную задачу тригонометрии составляет решение
треугольников. Решить треугольник — значит вычислить одни
его элементы, зная другие (например, найти углы треуголь
ника, зная его стороны).
Все основные понятия тригонометрии выражаются через
отношение отрезков. Об этом и рассказывается в следующем
пункте.
13.1. Отношение отрезков. Сравнивая длины предметов,
расстояния и т. п., мы часто говорим об их отношении. На-
пример, длина комнаты в 1,5 раза больше ее ширины. Но
вместо отношения дтин отрезков можно говорить об отноше-
нии самих отрезков. Действительно, при замене единицы дли-
ны отношение численных значении длин двух отрезков не
изменится (так как каждое из них умножится на одно и то
же число). Например, 5 м : 3 м = 500 см : 300 см Именно по-
этому можно говорить просто об отношении этих отрезков.
13.2. Определение синуса угла. Начнем с практических при
меров. Крутизну’ подъема ровной наклонной дороги, или ленты
транспортера, или эскалатора (рис. 207) можно задать не углом
наклона, а высотой подъема, приходящегося на длину прой-
денного пути. Интуитивно ясно, что в этих примерах высота
подъема пропорциональна пройденному пути. Если, например,
подъем 50 м пройденного пути составляет 6 м, то на 100 м
пути подъем составит 12 м. А крутизну подъема характеризует
отношение высоты подъема к пройденному’ пути, т. е. коэффи-
циент пропорциональности высоты подъема пройденному пути.
В рассмотренных примерах он равен 6 : 50 = 0,12.
Рис. 207
104
ВС-BA.
Q
sin A = 1
Рис. 209
Рис. 211
От практических примеров перейдем на язык геометрии.
Имеется некоторый острый угол А со сторонами р и q (рис. 208).
Сторону q считаем горизонтальной, а сторону р — наклонной.
По стороне р от вершины А движется точка В. Высота подъема
точки В — это длина перпендикуляра ВС, опущенного из
точки В на сторону q. а крутизна подъема — это отношение
НС
отрезков ВС и ВА, т. е. —. Это отношение и называется
синусом угла А. Как будет доказано в следующем пункте.
вс
отношение — не зависит от выбора точки В на стороне А.
вЛ
Итак, синусом острого угла называется отношение перпен-
дикуляра, опущенного из любой точки одн( Й стороны угла на
другую сторону, к расстоянию от этой точки до вершины угла
(ем. рис. 208).
Обозначают синус угла А так: sin А.
Если угол А — прямой (рис. 209), то <<пройденный путь»
ВА равен «высоте подъема» ВС, т. е. ВС = ВА. Поэтому
sin А = — = 1, т. е. синус прямого угла равен 1.
Определим теперь синус тупого угла А со сторонами р и q
(рис. 210). Снова считаем, что прямая q\, на которой лежит
сторона q, горизонтальна. Представим себе, что точка В дви-
жется пи стороне р тупого угла А. Крутизна подъема точки
В относительно прямой q\ точно так же задается отношением
перпендикуляра ВС к наклонной ВА. Это отношение, как нам
105
уже известно, бхдет сннчсом острого уила ВАС. смежного ту-
пому углу А.
Поэтому для тупого угла его синус определяется как синус
смежного ему острого угла.
Итак, синусы смежных углов равны.
Наконец, когда угол А развернутый, то высота подъема
точки В нулевая (перпендикуляр ВС вырождается в точку С,
рис. 211). Поэтому синус развернутого утла равен нулю.
Во введении к главе 3 говорилось о том, что решению
треугольников в значительной степени помогут новые функции —
тригонометрические. Вы хорошо знаете, что такое функция, и
даже подробно изучали некоторые из них: линейную, квадра-
тичную и др.
Напомним, что функция — это соответствие между элемен-
тами двух множеств (в нашем случае углов и неотрицательных
чисел), при котором каждому элементу первого множества (каж-
дому углу) ставится в соответствие ровно один элемент второго
множества (неотрицательное число).
Вы, по-видимому, заметили, что для разных углов синус
определен по-разному. Определение синуса угла состоит из
четырех частей:
1) синусом острого угла называется отношение перпенди-
куляра, опущенного из какой-нибудь точки одной стороны на
другую сторону, к расстоянию от этой точки до вершины угла;
2) синус тупого угла определяется как синус смежного с
ним острого угла;
3) синус прямого угла равен единице;
4) синус развернутого угла равен нулю.
Ясно, что пока еще трудно говорить о том, что введена
функция синус угла, так как из определений понятно лишь то,
что прямому и развернутому углу ставится в соответствие един-
ственное число (1 и 0 соответственно). А с острым и тупым
углами сложнее: для них синус определяется с помощью точки,
лежащей на стороне угла. Но ведь таких точек много, и непо-
нятно, какое будет отношение, если выберем другую точку.
Может, и отношение получится разным — в зависимости от
выбора точки, а потому и синус не будет функцией своего угла.
Чтобы синус действительно можно было рассматривать как
функцию, определенную на множестве углов, докажем (п.13.3),
что указанное отношение не зависит от выбора точки на стороне
106
угла. Иначе говоря, будет доказана так называемая корректность
определения. Определение — и вообще утверждение — коррект-
но, если оно не зависит от всевозможных вспомогательных
построений, которые при этом используются.
Обратите внимание: слова «корректность» и «коррективы»
(изменения, исправления) — однокоренные, родственные слова.
Утверждение корректно, если оно не требует уточнений,
исправлений — коррекции (коррективы).
13.3. Отношение перпендикуляра к наклонной. Определяя
синус острого угла в предыдущем пункте, мы отметили пробел
в этом определении: там не было доказано, что отношение
т— не зависит от выбора точки В на стороне р угла А (рис. 212).
ВА
Следующая теорема восполняет этот пробел.
ТЕОРЕМА (об отношении перпендикуляра к наклонной).
Пусть из точки В, лежащей на стороне р острого угла А,
опущен перпендикуляр ВС на сторону q этого угла. Тогда
отношение перпендикуляра ВС к наклонной ВА не зависит от
выбора точки В.
Доказательство. На стороне q выберем любую точку
М (рис. 213). Выразим площадь S треугольника АВМ двумя
способами. С одной стороны, S = та, где а = ВС, т — AM.
С другой стороны, S = ch, где h = MD — высота треуголь-
ника АВМ и с = ВА. Поэтому та = ch. Это равенство можно
записать как пропорцию
U)
с т
107
р
в
Если на стороне р взять другую точку Bj (см. рис. 212),
а затем повторить проведенные рассуждения, то снова полу-
а1 h „ а
чим, что — = —. Поэтому — = —.
ci гп С] с
Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит и от
того, на какую сторону угла опущен перпендикуляр. Чтобы
пояснить это, вернемся к равенству (1). Пусть, как и раньше,
М — точка на стороне q угла А и MD ± р. В правой части (1)
стоит отношение перпендикуляра MD к наклонной МА. Слева
в равенстве (1) стоит отношение, которое с выбором точки М
не связано. Значит, и правая часть равенства (1) от выбора
точки М не зависит.
Результаты этого пункта убеждают: определение синуса
дано корректно.
13.4. Синус величины утла. Определяя синус угла, мы
рассматривали угол как геометрическую фигуру. Но угол обыч-
но задают его величиной. Например, надо найти синус угла
величиной 70°. Но если взять два таких угла, т. е. два угла
по 70°, и, пользуясь определением, найти их синусы, то будут
ли равны эти синусы?
Докажем, что синусы углов, имеющих равные величины,
равны.
Возьмем два равных острых угла: А А и А М (рис. 214).
Из некоторой точки В на стороне угла А опустим перпенди-
куляр ВС на другую сторону угла А. Получим прямоугольный
треугольник АВС. Отложим на сторонах угла М отрезки
МР — АВ и MQ — АС. Тогда по первому признаку равенства
треугольников Д MPQ = Д АВС. Поэтому AQ = АС = 90°.
Итак, PQ — перпендикуляр, опущенный из точки Р одной
стороны угла М на другую его сторону.
108
Докажем теперь, что sin Л1 = sin А. Во-
if W n , нс
первых, sin М — Во-вторых, sin А = —.
Поскольку PQ = ВС и РМ = ВА, то
Л? вс . .
—— = —Значит, sin М = sin А.
гл! ал
Итак, синус однозначно опредетяется
не только самим углом, но и его величи-
ной. Поэтому мы можем говорить не толь-
ко о синусе угла, но и о синусе величины
угла и писать, например, sin 70°. Вместо
фразы: «Синус прямого угла равен едини-
це» мы можем теперь писать короче:
sin 90° = 1. Аналогично sin 180° — 0.
Удобно ввести угол величиной 0? Таким
углом можно считать вырожденный угол,
стороны которого совпадают (как стрелки
часов в 12-00). Для такого вырожденного
угла полагают по определению sin 0° = 0.
Так как синусы смежных углов равны,
то верно равенство
sin(180°— а) = sin а
для любого угла а от 0 ди 180°.
(2)
13.5. Синусы острых углов прямоугольного треугольника.
Синус чаще всего используется в прямоугольных треугольни-
ках. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 215) с прямым
углом С катет а = ВС — это перпендикуляр к прямой АС, а
гипотенуза с = АВ — это наклонная. Из определения синуса
и b
sin А = -. Аналогично sin В = где b = АС.
с с
Итак, синус острого угла в прямоугольном треугольнике
равен отношению противолежащего этому углу катета к ги-
потенузе.
Используя это. а также теорему Пифагора, можно вычис-
лить синусы 30°, 45°, 60°.
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник
АВС. Его острые углы равны 45° (рис. 216). Пусть его катеты
АС и ВС равны 1. Тогда гипотенуза АВ = Vl + 1 = V2.
109
Поэтому
sin 45°
ВС _ 1
ВА ~ 72
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник АВС, в ко-
тором Z. А = 30° и L В = 60° (рис. 217). Тогда в этом треу-
гольнике ВС = ^-АВ. (Вспомните, что на два треугольника
разбивает высота правильный треугольник.) Пусть АВ = 2.
Тогда ВС = 1 и АС — V4 — 1 = .
Поэтому
. __0 ВС 1 . 0 AC V3
sin3° = —= -HSin60 = =
13.6. Свойства синуса и его график. Так как каждому углу
соответствует его синус, то синус является функцией угла, а
точнее функцией величины угла. Укажем простейшие свойства
этой функции.
1. Синус каждого угла не больше 1.
Это следует из того, что перпендикуляр короче наклонной.
2. При возрастании угла от О до 90° его синус возрастает
от О до 1.
Действительно, возьмем прямой угол О со сторонами р и
q (рис. 218). Из вершины О внутрь этого угла проведем еди-
ничный отрезок ОА, образующий с лучом р острый угол а.
Из точки А опустим перпендикуляры АК и AL на лучи р и
q. Получим прямоугольник OKAL. Так как АО =1, то
АК = sin а. А поскольку OL = АК, то OL = sin а. Итак, sin а
равен длине проекции OL единичного отрезка АО на луч q.
Когда угол а возрастает от 0 до 90°, отрезок АО повора-
чивается вокруг точки О от положения ОДд на луче р до
110
положения OAi на луче q. Тогда А пробегает четверть окруж-
ности. При этом точка L движется от точки О до точки Ар
Длина отрезка OL, т. е. sin а, возрастает от 0 до 1, что и
утверждается в свойстве 2.
3. При возрастании угла от 90 до 180° его синус убывает
от 1 до 0.
Изменение синуса тупого угла при увеличении угла от 90
до 180° легко увидеть, если проследить за изменением про-
екции вращающегося единичного радиуса, когда конец ради-
уса пробегает еще четверть окружности (рис. 219).
4. Величина острого угла определяется синусом этого угла,
т. е., зная синус острого угла, можно найти сам угол. Это
значит, что для острых углов из равенства sin а = sin [} вы-
текает равенство а = [i. Докажем это.
Пусть sin а = sin fi. Для углов а и (5 логически возможны
три случая:
а) а > /3. Тогда (по свойству 2) sin а > sin /3. Значит, этот
случай не имеет места;
б) а < [3. Тогда (по свойству 2) sin а < sin (3. И этот случай
не имеет места. Поэтому имеет место третья возможность:
в) а = /3.
111
Аналогично из равенства синусов тупых \ глов следует ра
венство самих углов. Ести же не известен вид углов, то из
равенства синусов равенство углов не следует, углы могут
быть смежными. Например, если sin а = sin {5 — i, то один из
этих углов может быть равен 30°, а другой — 150°.
Если задана величина острого угла в градусах то синус
этого угла находят по таблицам или с помощью калькулятора
Синус тупого угла определяется как синус смежного ему
острого угла. По таблицам же или с помощью калькулятора
решают обратную задачу: находят величину острого угла, если
известен его синус. Сколь угодно точное вычисление синуса
для любых углов и обратно осуществляется по формулам выс-
шей математики.
На рис. 220 изображен график синуса: на горизонтальной
оси откладывается угол в градусах, на вертикальной — зна-
чение синуса. На графике хорошо видно, как изменяется
синус при изменении угла от 0 до 180°.
§ 14*. ПРИМЕНЕНИЕ СИНУСА
14.1. О важнейших понятиях курса геометрии и их приме
нении. Введя основное понятие тригонометрии — синус, мы в
этом параграфе рассмотрим некоторые из многочисленных и
разнообразных возможностей его применения. Так мы уже
поступали, когда доказали теорему Пифагора. Так будем по-
ступать и впредь: выделять в отдельных параграфах немногие
важнейшие понятия и теоремы геометрии, а затем специаль
ные параграфы посвящать их применению. В этой главе таких
основных параграфов три: о теореме Пифагора (§ 11), синусе
(§ 13) и косинусе (§ 15). Все остальные параграфы покоятся
на этих «трех китах».
14.2. Решение прямоугольных треугольников с помощью
синуса. Теперь мы имеем возможность для прямоугольных
треугольников решать ту задачу, о которой уже несколько
раз говорили,— находить углы, зная стороны треугольника.
Зная катеты а, b и гипотенузу с прямоугольного треугольника
ЛВС (рис. 221), мы можем теперь найти его острые углы А и
В. Сначала находим один из этих углов, используя равенства:
. a b (1)
sin А = —, sin В = — •
с с
112
Рис. 221 Рис. 222
Затем по найденному синусу находим величину этого угла.
Второй угол дополняет найденный до 90°.
Легко решить и обратную задачу: по острому углу и
одной из сторон прямоугольного треугольника найти остальные
его элементы. Возможны два случая: 1) даны острый угол и
гипотенуза; 2) даны острый угол и катет.
Случай 1. Даны гипотенуза с и острый угол А. Тогда
Z. В = 90° — Z. А. Из (1) находим катеты: а = с sin А,
Ь = с sin В.
Запомните: катеты находят умножением гипотенузы на
синус противолежащего угла.
Случай 2. Даны острый угол А и катет а. Тогда
Z. В = 90° — Z. А. Гипотенузу с найдем из формулы sin А =
Тогда с = .а —. Катет b можно вычислить по теореме Пифа-
sin А
J-----у
гора: b = *с“ — а . Но можно и так: b = с sin В.
Запомните: гипотенузу находят делением катета на синус
противолежащего угла.
14.3. Вычисление площади треугольника. Площадь треу-
гольника можно найти, зная две его стороны и угол между
ними. Пусть известны стороны Ъ, с треугольника АВС и угол
А между ними (рис. 222). Тогда площадь S этого треугольника
вычисляется по формуле:
S = | be sin А. (2)
Докажем »₽. Проведем высоту hc = CD из вершины С. Тогда
sin А = —. Поэтому h( = b sin А. Подставляем выражение для
Ь
113
hc в формулу площади треугольника: В = С^с' 0тгюДа
S = be sin А.
14.4. Теорема синусов. Так называют следующее важное
утверждение:
sin А
а
>льно. так как
ТЕОРЕМА. Отношение двух сторон треугольника равно от-
ношению синусов противолежащих им углов.
Дано: Д АВС.
Доказать:
а _ sin А (3)
b sin В
Доказательство. Проведем в треугольнике АВС высоту
CD из вершины С. Поскольку CD является катетом треуголь-
ников ACD и BCD, постольку CD = b sin А и CD = a sin В. Сле-
довательно, b sin А = a sin В. Отсюда и следует (3).
Теорему синусов можно сформулировать и так: синусы углов
треугольника пропорциональны противолежащим сторонам,
т. е. для любого треугольника имеют место равенства:
sin В _ sin С (4)
b с
a sin A b sin В sin А
b sin В с sin С а
sin В sin В sin С „ ...
= —-— и —-— ----------Поэтому справедливо (4).
о о с
14.5. Решение треугольников с помощью теоремы синусов.
Задачу «решить треугольник по некоторым его элементам»
можно рассматривать в двух вариантах.
Первый вариант. Имеется треугольник и известны
некоторые его элементы. Найти остальные элементы.
Второй вариант. Заданы некоторые отрезки и углы
(или их величины). Найти (построить) треугольник, для ко-
торого заданные отрезки и углы являются заданными его
элементами.
Теорема синусов позволяет решить треугольник по одной
стороне и двум углам, а также и по двум сторонам и углу
против одной из них. Рассмотрим оба варианта решения этих
задач.
114
Задача la. Имеется треугольник АВС. Известны его сто
рона и два угла. Найти две другие его стороны и третий угрл
треугольника.
Решение. Возможны два случая.
1. Даны сторона (обозначим ее а) и два прилежащих к
ней угла: Z.B и Z.C. Так как сумма углов треугольника равна
180°, то третий угол А получаем так: Z. А = 180°— А В — А С.
Затем, пользуясь теоремой синусов, из равенства
о
sin А
sin В
находим сторону Ъ. Получим b — а -----Точно так же на-
‘ sin .1
sin с
ходим с = а —-
sin А
2. Даны сторона а и два угла: противолежащий угол А и
прилежащий угол В. Сначала находим третий угол:
А С = 180°- А А - А В.
Стороны b и с находим, как в случае 1.
Задача 16. Заданы два угла а и [i и отрезок d. Наити
(построить) треугольник с углами, равными а, [5, и стороной,
равной d.
Решение. Ясно, что в обоих рассмотренных в задаче 1а
случаях имеется единственное решение, когда а + /3 < 180°.
Если же а + (5 > 180°, то задача решения не имеет.
Задача 2а. Имеется треугольник АВС. Известны две его
стороны а и Ь и угол А против стороны а. Найти сторону с
и два других угла этого треугольника.
Решение. По теореме синусов siiiB = — si nA. Находим
а
угол В по значению его синуса. Если — sin А <1, то таких
а
углов два (один острый, другой т>пой) и задача имеет два
решения. Если — sin А = 1, то А В = 90° и задача имеет един-
а
ственное решение. И наконец, вариант, при котором
~ sin А > 1, невозможен, поскольку треугольник АВС задан и
sin В < 1.
Задача 26. Заданы два отрезка а. Ъ и угол А. Найти
(построить) треугольник со сторонами а, b и углом А против
стороны а.
115
В случае, когда sin Л > 1, задача решения не имеет
(объясните, почему). Для остальных двух случаев, рассмот-
ренных при решении задачи 2а, проведите построение такого
треугольника с помощью циркуля и линейки и объясните,
сколько решений имеет задача в каждом случае.
14.6. Пропорциональность отрезков на сторонах угла, отсе-
ченных параллельными прямыми. В теореме Фалеса (п.5.2)
рассматривался случай, когда параллельные прямые отсекают
на сторонах угла равные отрезки. Здесь покажем общий слу-
чай, обобщающий теорему Фалеса.
ТЕОРЕМА (обобщенная теорс ма Фалеса ). Пусть параллель
ные прямые пересекают стороны угла. Тогда отрезки, отсечен-
ные ими на сторонах угла, пропорциональны.
Это общее утверждение охватывает несколько частных слу
чаев, изображенных на рис. 223 Проведем доказательство
для первого из этих случаев. Все остальные случаи следуют
из первого чисто алгебраически. Слезайте соответствующие
выкладки самостоятельно.
Дано: a j | b, L А (рис. 223, а).
Доказать:
Доказательство. Поскольку а 11 Ь. то Z. ЛВС = Z. APQ
и Z. АСВ = Z. AQP (как соответственные углы при парал.тель-
ных прямых, пере< еченных третьей прямой). Положим
Z. АВС — а и Z. АСВ = [3. Применим теорему синусов к треу-
гольникам АВС и APQ. Получим:
AC sin a aq sin а
--- — ------ ~ -----------
------ ~ ---------------- гт --------- ~ ----------------
ЛИ sin [3 -Al' sin [3
Из равенства (7) следует, что
.w _ к?
лв - др'
(7)
(8)
т. е. ABAQ = АС АР. А из последнего равенства вытекает (5).
116
Чтобы из (5) получить (6), запишем, что АР = АВ + ВР и
AQ = АС + CQ, и подставим эти выражения в (5). Получим:
АК + ВР _ ас + CQ
АВ~ * “ АС
(9)
Поделив почленно в
обеих частях равенства (9), имеем:
1
(10)
откуда и следует (6).
Равенство
АВ _ KL
ВС ~ ! w
(И)
соответствующее случаю, изображенному на рис. 223, б, по-
лучается из (5) и (6) чисто алгебраически.
14.7. Вспомним векторы... В § 5 вслед за теоремой Фалеса
мы доказали обратные ей утверждения — теоремы о средних
линиях треугольника и трапеции. Они являются признаками
параллельности и говорят о паралтельности прямых, отсека-
ющих на сторонах угла равные отрезки Аналогично справед
либо обратное утверждение и для обобщенной теоремы Фалеса.
Оно также является признаком параллельности прямых. До-
кажем эту теорему, применяя векторы.
ТЕОРЕМА (обратная обобщенной теореме Фа teca) Если
на сторонах угла две прямые отсекают пропорциональные от-
резки, то эти прямые параллельны.
117
ь
Рис. 224
Дано: Z. А, прямые а и Ъ пересекают его стороны в точках
В, С и Р, Q (рис. 224); АВ : BP = АС : CQ.
Доказать: a||b.
Доказательство. Запишем в векторной форме условие
_ —•►
теоремы: так как АВ : BP — АС : CQ, то ВР = а АВ и
—♦ —* ——>
CQ = а АС. Выразим векторы АР и AQ'.
№=№ + ВР=АВ + аАВ = (\+а)АВ, (12)
AQ=AC + CQ=AC + aAC = (l+a)AC. (13)
Далее, используя (12) и (13), получим
PQ=AQ-AJ,= (l+a)AC-(l+a)AB =
= (1 + а)(АС - АВ) = (1 + а) ВС.
Итак,
PQ = (1 + а) ВС (14)
Из равенства (14) следует, что PQ11 ВС, т. е. а|| Ь.
Замечание. Равенства (12), (13) и (14) говорят и о про-
порциональности сторон треугольников АВС и APQ:
AP = ^?=JPQ = 1 (15)
АВ АС ВС ’
Мы доказали аналог теоремы о средней линии треуголь-
ника. Аналог теоремы о средней линии трапеции сформули-
руйте и докажите самостоятельно.
14.8. Параллельное проектирование. Семейство (пучок) па-
раллельных прямых, пересекающих стороны угла, осуществ-
ляет параллельное проектирование точек и отрезков, лежащих
на одной стороне угла, на другую его сторону (рис. 225).
В частности, эти прямые могут быть перпендикулярны одной
из сторон угла и тогда мы полччаем то проектирование точек
118
и отрезков, которое уже рассматривалось в пп. 12.3 — 12.5.
Этот частный случай параллельного проектирования с по-
мощью перпендикуляров называется ортогональным проекти-
рованием (рис. 225, б). Обобщенная теорема Фалеса выражает
основное свойство параллельного проектирования — оно со-
храняет отношение отрезков.
Этим же свойством обладает параллельное проектирование
в пространстве на плоскость семейством параллельных прямых
(рис. 226). Все чертежи и рисунки пространственных фигур,
иллюстрирующие курсы геометрии, выполняются в параллель-
ной проекции. Поэтому отношения отрезков, лежащих на
одной или на параллельных прямых оригинала, должны быть
равны отношениям изображений этих отрезков на чертеже.
В частности, середина отрезка изображается серединой про-
екции этого отрезка. Рисуя пространственные фигуры, необ-
ходимо придерживаться этих правил.
Но как же разделить отрезок в данном отно-
шении? Теорема Фалеса и ее обобщение подсказывают, как
это сделать. Возможны два случая.
119
!________a__________। 1- Отношение задаете я как от
р ношение натуральных чисел р и
1 • \Qs'’ ? ® этом случае возьмем некото-
। 9____। рыи угол О и на одной из его
9/^ \ сторон отложим отрезок. ОА, рав-
\ ный данному отрезку а. На дру-
Pxz”\ \ гой стороне у гла О сначала от-
q s'_____\ °________\ кладывается р отрезков, равных
В некоторому отрезке с, т. е. стро
Ри<- "8 ится отрезок ОР = ре. А затем от-
кладывается еще q таких отрез-
ков, т. е строится отрезок Ру =
= qe (рис. 227). Через точку Р проведем прямую /'| AQ. Точка
пересечения прямой I с отрезком ОА разобьет его на отрезки,
отношение которых равно р : q.
2. Отрезок а требуется разбить на отрезки, отношение
которых равно отношению дву х заданных отрезков р и q
(рис. 228).
В этом случае на одной стороне угла О снова отложим
отрезок ОА = а. На другой стороне угла О отложим отрезки
ОР = р и PQ = q. Через точку Р проведем прямую Z|| AQ. Точка
В, в которой прямая / пересекает отрезок ОА, делит его, согласно
обобщенной теореме Фалеса, в данном отношении р : q.
Используя обобщенную теорему' Фалеса, постройте четвер-
тый пропорциональный отрезок, т. е. для данных трех отрез-
ков а, Ь, с найдите такой отрезок d, чтобы выполнялось
а с
равенство г = —.
о а
Ортогональный — сложное слово, имеющее два корня:
gonia — угол и ortho — прямой, правильный.
Интересно, что со словом «ортогональный» (прямоугольный)
однокоренными являются: ортопед (oithopodeo — ходить прямо
на ногах; ортопед — врач, занимающийся лечением неправиль-
ного строения костей человека), орфография (orthos — правиль-
ный, grapho— пишу).
14.9. Практические приложения теоремы синусов. С по-
мощью теоремы синусов решаются важные практические за-
дачи.
3 ад ач а 1. Найдите расстояние до недоступного предмета
(например, расстояние до цели, ри< 229, а).
120
Рис. 230
Решение. Пусть надо определить расстояние от данного
пункта А до недоступного пункта В. Берут еще пункт С и
измеряют расстояние АС = Ь, а также углы между отрезками
АВ и АС, СВ и СА. Получается геометрическая задача: в
треугольнике АВС известны стороны АС и прилежащие к ней
углы А и С; найти сторону АВ (рис. 229, б). Эта задача уже
решалась ранее (п. 14.5).
Задача 2. Определить высоту недоступного предмета
(рис. 230).
Решение. Предполагаем, что есть возможность переме-
щаться по горизонтали в направлении к предмету (рис. 230, а).
Выберем два пункта А и В и в каждом из них найдем угол,
под которым виден предмет. Так получается геометрическая
задача: в треугольнике АВС известны сторона АВ, L А = а и
внешний угол В = fi. Найти высоту, опущенную из вершины С.
Обозначим искомую высоту CD через h и положим
АВ = с, ВС = а (рис. 230, б). Из треугольника BCD определим
высоту h = a sin/Л Теперь надо найти а. По теореме синусов
121
a = c Sln-<4• Угол в — внешний для треугольника АВС. Следо-
sin С
вательно, /3 = а + Z. С.
Отсюда L С = /3 — «. Теперь мы можем вычислить а, а
затем Л.
Подумайте, как, используя теорему синусов, решить такую
задачу: определить ширину реки, оставаясь на одном се берегу.
§15. КОСИНУС
15.1. Определение косинуса. Синус помог нам решить много
интересных и важных задач. Но у синуса есть существенный
недостаток — он не определяет угол. Если, например,
sin а = 0,5, то а = 30° или а = 150°. Поэтому однозначно най
ти угол по синусу нельзя. Однозначно найти угол можно с
помощью другой тригонометрической функции — косинуса уг-
ла. Если синус характеризует степень наклона угла (когда
одна сторона угла горизонтальна), то косинус показывает, в
каком отношении изменяются длины отрезков при ортого-
нальном проектировании. Точное определение этого понятия
предварим одним примером.
Рассмотрим маятник, скажем метроном АВ (рис. 231). Он
совершает колебательное движение, отклоняясь от вертикали
в разные стороны. Этому отклонению соответствует длина
проекции АС маятника АВ на горизонтальную прямую х. Но
122
А-С
о)
Рис. 233
длина АС не определяет однозначно положение маятника.
Мало знать длину проекции АС, надо еще знать, на каком
луче прямой х лежит АС. Поэтому прямую х делают числовой
осью с началом в точке А. Если проекция лежит справа от
А, то ей приписывают знак плюс, а ес ли слева от А, то знак
минус. Проекция АС, взятая со знаком, уже однозначно
определит положение маятника АВ, т. е. угол а, который
образует маятник с осью х.
Длину АВ, длину проекции АС, взятхю со знаком, и угол
связывает функция угла, называемая косинусом. Опреде-
лим ее.
Пусть дан угол А, взят отрезок АВ на одной стороне угла
А и АС — проекция отрезка АВ на другую сторону угла А или
ее продолжение (рис. 232). Тогда косинусом утла А называется
число, которое обозначается cos А и определяется равенствами:
cos А =
лС л
—, когда угол А острый;
Ari
АС
——, когда угол А тупой или развернутый;
Ari
О, когда угол А прямой.
(Если угол А прямой, то длина АС равна нулю. Именно поэтому
cos А = 0.)
Из данного определения следует, что косинусы смежных
углов противоположны (в то ьремн как синусы смежных углов
равны).
Действительно, рассмотрим два смежных угла с общей
вершиной А и общей стороной АВ, один из которых — острый,
а другой — тупой (рис. 233, а). Опустим перпендикуляр ВС
на другую сторону острого угла А. Тогда, по определению.
косинус острого угла А равен а косинус смежного ему
123
тупого угла равен ——- Следовательно, эти косинусы отлича-
ются только знаком.
Если же смежные углы прямые, то их косинусы равны
нулю, и утверждение о косинусах смежных углов также спра-
ведливо (рис. 233, б).
Наконец отметим, что для развернутого угла А проекция
АС = АВ. Поэтому из определения косинуса вытекает, что
косинус развернутого угла равен минус единице: cos А = — 1.
15.2. Основное тригонометрическое тождество. Для любого
угла его синус и косинус связаны важным равенством:
sin2A + cos2A =1. (1)
Его называют основным тригонометрическим тождеством.
Оно вытекает из теоремы Пифагора (а для прямоугольного
треугольника с единичной гипотенузой и есть теорема Пифа-
гора). Докажем его.
Пусть А — острый угол и ВС — перпендикуляр, опущен-
ный из точки В одной стороны угла А на другую его сторону
(см. рис. 232, а). Тогда по определению косинуса и синуса
ВС . ас „ „
sin А — и cos А = По теореме Пифагора:
АВ2 = АС2 + ВС2.
Используя эти равенства, получим:
9,9 9 9 9
, . лч2 Z ,ч2 (ВС\ (АСГ АС + ВС АВ1 ,
(sin А) + (cos А) ~ + [ав] “ 31В7 "ав7”1’
Равенство (1) доказано для острых углов. Если угол А —
прямой, то sin А = 1, cos А = 0, и равенство тоже справедливо.
Пусть А — тупой угол и ВС — перпендикуляр из точки
В одной стороны угла А на продолжение другой его стороны
ВС АС 9
(см. рис. 232, б). Тогда sin А = cos А = —— и АС +
АВ АВ
+ ВС2 = АВ2.
Поэтому снова
9 2 9 9 9
, . .ч2 , ,х2 ВС\ ( АС\ ACT + ВС* АВ ,
(sin А) + (cos А) = L = 2 = —2 = i-
\ / \ / АВ
Проверьте, что равенство (1) верно и для развернутого угла.
Итак, равенство (1) справедливо для любых углов.
124
Используя равенство (1), можно показать теперь, что ко-
синус, как и синус, зависит только от величины угла.
Действительно, если угол А острый или прямой, то косинус
его неотрицателен. Тогда из равенства (1) получаем, что
cos А = V 1 — sin2 А. (2)
Если же угол А тупой или развернутый, то косинус его
отрицателен. Тогда, снова используя (1), имеем, что
cos А = — V 1 - sin2 А. (3)
Поскольку sin А зависит лишь от величины угла А, то из
(2) и (3) следует, что и cos А тоже зависит лишь от величины
угла А. Поэтому, как и для синуса, мы пишем, напри-
мер, cos 40°, cos 50°, cos а, где а — величина угла А. Так,
cos 90°= 0, cos 180°= —1. Кроме того, полагаем по определе-
нию cos 0°= 1. Это согласуется с данным определением для
косинуса острого угла: в этом вырожденном случае АС = АВ
-о АВ _
и потому COS 0 = — = 1.
Зависимость косинусов смежных углов теперь можно вы-
разить так:
cos (180°— а) = — cos а. (4)
15.3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами
ВС = а, АС = b и гипотенузой АВ = с (рис. 234). Запишем
косинусы острых углов треугольника АВС. Так как катет
АС — проекция гипотенузы АВ, то по определению косинуса
. АС
острого угла cos А = или
cos А = — •
с
(5)
125
Аналогично
о а
cos В = — •
с
(6)
Итак, косинус острого угла прямоугольного треугольника
равен отношению катета, прилежащего к этому углу, к гипо-
тенузе.
Короче: косинус равен отношению прилежащего катета к
гипотенузе.
Из равенств (5) и (6) следует, что
b = с cos А (7)
и
А = с cos В. (8)
Поэтому, чтобы найти катет с помощью косинуса, надо
умножить гипотенузу на косинус прилежащего к этому катету
острого угла. А как с помощью косинуса найти гипотенузу?
Теперь вспомним, что
а л
— = sin А
с
и
(9)
(10)
(ID
Сопоставив (6) и (9), получим:
sin А = cos В.
Аналогично из (5) и (10) следует:
cos А = sin В.
Но, как вам известно, Z. А + Z. В = 90°. Острые углы, сумма
которых равна 90°, называют дополнительными (друг к другу
до 90°). Поэтому равенства (11) и (12) выражают такое свой-
ство: синус одного из дополнительных углов равен косинусу
доугого угла. т. е.
sin а = cos (90°— а). (13)
Используя последние равенства и найденные значения си-
нуса, получаем: cos 60°= sin 30°= 0,5, cos 45°= sin 45°= —I—,
V2
cos 30°= sin60°= ly.
12G
Мы доказали, что синус одного из двух дополнительных
углов равен косинусу другого (и наоборот). Заметим, что именно
это свойство косинуса положено в основу его названия: коси-
нус — с латинского сокращенное complement! sinus — синус до-
полнения, т. е. синус угла, дополняющего данный угол.
С приставкой ко- мы уже встречались, в том числе и в
математике. Так, например, слово «ордината» происходит от
ordo (лат.) — порядок, а координаты — это числа, которые все
вместе (в дополнение друг к другу) однозначно определяют
положение точки на плоскости или в пространстве.
15.4. Свойства косинуса и его график. Косинус, как и
синус, является функцией угла, точнее функцией величины
угла. Укажем некоторые свойства этой функции. Первые два
свойства вытекают из определения косинуса.
1. Косинус любого угла не больше единицы и не меньше
минус единицы, т. е. — 1 < cos а < 1. При этом если
cos а = — 1, то а = 180°, а если cos а = 1, то а = 0.
2. cos (180°— а) = — cos а.
3. При возрастании угла от 0 до 180° косинус убывает
от 1 до —1. Убывание косинуса означает, что если а > [i, то
cos а < cos /3.
Чтобы доказать это свойство, воспользуемся полуокружно-
стью единичного радиуса с центром Л и диаметром ЛЕ (рис. 235).
Зададим на прямой DE числовую ось с началом в точке А и
единичным отрезком АЕ. Проведем радиус АВ и получим угол
ВАЕ некоторой величины а. Пусть точка С — проекция точки
В на прямую DE. Тогда cos а = АС при а < 90°(рис. 235, а)
и cos а = — АС при а > 90° (рис. 235, б). Это значит, что
cos а равен координате точки С на оси АЕ.
Рис. 235
127
Когда cz возрастает от 0 до 180° (т. е. когда точка В про-
бегает полуокружность от точки Е до точки D), точка С
пробегает диаметр ED от точки Е до точки D. При этом
координата точки С, т. е cos а убывает от 1 до —1.
Замечание. Найдите другое доказательство этого свой-
ства, опираясь на свойства синуса и равенство
cos а = sin (90° — а), а также на свойство 2.
4. Косинус однозначно определяет угол. Это значит, что из
равенства coscz = cosp' вытекает равенство а — [5.
Это свойство доказывается так же, как аналогичное свой-
ство для синуса острого угла. Докажите его самостоятельно.
Косинус, как и синус, находят по таблицам или с помощью
калькулятора. В особой таблице дтя косинуса нет необходимости,
если уже составлена таблица значений синуса. Действительно,
для углов до 90° cos а = sin (90° — а), а если а > 90°, то косинус
можно находить из равенства cos а — — cos (180°— а).
Как и для син> са, приведем график косинуса (рис. 236).
§ 16. ПРИМЕНЕНИЕ КОСИНУСА
16 .1. Обобщенная теорема Пифагора (ОТП). Сейчас докажем
важную теорему, которая для прямоугольного треугольника
является просто теоремой Пифагора. Поэтому естественно, что
эту теорему мы называем обобщенной теоремой Пифагора или
сокращенно ОТП. У нее есть и другое название — теорема
косинусов. Она звучит так.
ТЕОРЕМА. В каждом треугольнике квадрат любой его сто-
роны равен сумме квадратов двух других сторон минус удво-
енное произведение двух других сторон и косинуса угла между
ними.
Дано: А АВС (рис. 237).
Доказать: выполняется равенство
с* 1 2 = а2 + b2 — 'lab cos С П)
(а также аналогичные равенства для а2 и Ь~).
Доказательство. Для угла С есть три возможности.
1) Угол С прямой. Тогда cos С = 0 и формула (1) ста-
новится теоремой Пифагора для треугольника АВС.
2) Угол С острый. В треугольнике АВС есть еще хотя
бы один острый угол. Пусть это будет угол В (рис. 238, а).
128
Рис. 238
Из вершины А проведем высоту AD. Так как углы В и С
острые, точка D лежит внутри отрезка ВС. Отрезок CD = Ь]
будет катетом в прямоугольном треугольнике ACD с гипоте
нузой АС = b и прилежащим острым углом С Поэтому
b-[ = b cos С. (2)
9
По теореме Пифагора находим с из другого прямоугольного
треугольника ABD с катетами AD = h и BD = а — Ьр Получаем:
с2 = (а - b,)2 + h2. (3)
Но h2 = b2 — Ь2 из треугольника ACD. Подставим это вы-
ражение для Л2 в равенство (3) и заменим по формуле (2).
Приходим к доказываемому равенству:
с2 = а2 - 2abr + b2 + b2 - b2 = а2 - 2ab cos С + Ь2.
3) У гол С тупой. Снова проведем высоту из вершины А,
Теперь ее основание — точка D лежит на продолжении стороны
ВС за точку С (рис. 238, б). Снова обозначим отрезок CD через
Ьр В этом случае BD = а + {ц и из прямоугольного треуголь-
ника ABD по теореме Пифагора
c2 = h2 + (a + fej2. (4)
5 Jah. 106
129
По определению косинуса тупого угла cos С — — Поэ-
тому t>i = — b cos С. Наконец из треугольникаACD снова полу-
чаем, что Л2= Ь2— Ь2. Подставляя в (4) это выражение для h2
и выражение для Ь±, т. е. = b cos С, снова получаем (1):
с2 = b2 — b2 + а2 + 2abj + Ь2 = а2 + Ъ2 — 2ab cos С.
16 .2 . Решение треугольников с помощью ОТП. Наконец
можно решить ту задачу, которая была сформулирована в
начале главы: найти углы треугольника, зная его стороны.
Задача 1. Даны три. стороны треугольника. Найти его
углы.
Решение. Пусть известны стороны а, Ъ, с треугольника
АВС. Тогда с помощью ОТП получаем:
cos С =
2аЬ
(5)
Так как значение косинуса определяет угол, то из (5) угол
находится однозначно. Аналогично находим L А и L В.
Отметим, что формула (5) позволяет сделать такие выводы:
1. Если с2 = а2 + Ъ2, то cos С = 0 и Z. С = 90°. Это утвер-
ждение, обратное теореме Пифагора, уже доказано (п. 11.5).
2 2 2
2. Если с < а + b , то cos С > 0 и Z. С острый.
3. Если с2 > а2 + Ь2, то cos С < 0 и Z. С тупой.
И еще одну важную задачу помогает решить ОТП.
Задача 2. Даны две стороны треугольника и угол между
ними. Найти третью сторону и остальные два угла.
Решение. Пусть известны стороны а, b треугольника
АВС и угол С между ними. Тогда по формуле (1) находим
третью сторону с. Затем, снова пользуясь ОТП, находим углы
А и В (как указано при решении задачи 1). Эти углы можно
найти и по теореме синусов (объясните как).
16 .3*. Практическое применение ОТП
Задача 1. Найти расстояние между двумя недоступными
предметами, располагая дальномером.
Решение. Пусть предметы расположены в точках А, В,
а мы находимся в некоторой точке С (рис. 239). Измеряя
130
Рис. 239
Рис. 240
расстояние дальномером, находим СА = Ь, СВ = а. Измеряем
угол С между СА и СВ. Тогда расстояние АВ = с можно найти
по ОТП.
Задача 2. Найти расстояние между двумя недоступными
предметами, когда нет дальномера.
Решение. Пусть предметы расположены в точках А, В
и видны из точек С, D (рис. 240). Измеряя CD и нужные
углы, находим расстояния СА и СВ (задачи 1, а, б, п. 14.5).
Измеряем также угол между СА и СВ. После этого мы находим
АВ, применяя ОТП к треугольнику АВС.
§ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
17.1. Решение прямоугольных треугольников. Чаще всего
решать и в теории, и на практике приходится прямоугольные
треугольники. Мы уже рассматривали такие задачи в п. 14.2
сразу же после того, как ввели понятие синуса. Прямоуготь
ный треугольник АВС с катетами о, Ь и гипотенузой с (рис. 241)
однозначно задается либо одной из своих сторон и одним из
острых углов, либо любыми двумя сторонами. Действительно,
в каждой из таких задач можно построить лишь один пря-
моугольный треугольник с заданными двумя элементами
(вспомните, как это делается). Но сей-
час речь пойдет не о построении тре-
угольника по заданным элементам —
отрезкам и углам, а о решении его
по численным значениям их длин и
величин углов. Перечислим все воз-
можные здесь случаи и решим тре-
угольник в каждом из них.
Рис. 241
131
Рис. 242
Задача 1. Заданы гипотенуза с и острый угол А.
Решение.
Z. В = 90° — Z. А,
а = с sin А, (1)
b = с cos А.
(2)
Задача 2. Заданы катет b и прилежащий к нему острый
угол А.
Решение. Снова Z. В = 90° — А А. Из (2) находим:
Ь
cos А
(3)
Поскольку а = с sin А, то из (3) вытекает, что
, sin А
а = Ь-------
cos А
(4)
Задача 2 часто встречается на практике, когда надо опре-
делить высоту предмета (дерева, мачты, столба) по длине его
тени (рис. 242).
Задача 3. Заданы катет а и противолежащий ему острый
угол А.
Решение. Снова Z. В = 90° — А А, а из (1) следует, что
а
с = ~---У
sin А
Подставляя (5) в (2), получим:
, cos А
Ь = а —----
sin А
(5)
(6)
132
Задача 4. Заданы катет а и гипотенуза с.
Решение. Второй катет находим по теореме Пифагора,
а острый угол А определится своим синусом, который равен
а
отношению —
с
Задача 5. Заданы два катета а и Ь.
Решение. Гипотенуза с находится по теореме Пифагора,
а острые углы можно найти, например, по их синусам.
17.2. Тангенс угла. Как мы убедились в предыдущем пунк-
те, с. помощью понятий синуса и косинуса всегда можно
решить прямоугольный треугольник. Но поскольку при ре-
шении уже рассмотренных и многих других задач появляется
их отношение, то для удобства вводят третью тригонометри-
ческую функцию угла — тангенс, который определяется как
отношение синуса угла к его косинусу. Итак, тангенсом угла
называется отношение синуса этого утла к его косинусу.
Тангенс обозначается символом tg. так что по определению:
, . sin А
tg А =-----• (<)
cos А
Для прямого угла тангенс не существует, так как
пл о о Sin .A .
cos 90 = 0 и отношение ^os для прямого угла А теряет смысл.
В прямоугольном треугольнике АВС с катетами а = ВС и
Ь = АС (см. рис 241) sin А = ~ и cos А = Поэтому
, sin A aba
tg А = ---- = (8)
cos А с с b
Итак, тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен
отношению катета, противолежащего этому углу, к приле
жащему катету.
Например, тангенс острого угла равнобедренного прямо-
угольного треугольника равен 1.
Равенство (4), дающее решение задачи 2, теперь запишется:
а = b IgA. (9)
Как уже говорилось, задача 2 дает возможность находить
высоту предмета по длине его тени. А вот другое практическое
истолкование тангенса. Тангенс характеризует крутизну подъ-
ема в горах, если под крутизной подъема понимать отношение
смещения по вертикали к смещению по горизонтали. Это
удобно при работе с картой.
133
17.3. Свойства тангенса и его график.
Тангенс есть отношение синуса к коси-
нусу. А синус и косинус зависят лишь
от величины угла. Поэтому и тангенс
зависит лишь от величины угла, т. е.
является функцией величины } гла:
tga =
sin а
cos а
Найдем несколько значений этой
функции:
tg 0°= S1P_Q° = 0;
cos 0°
tg 30°
tg 45°
tg 60°
sin 30°
cos 30°
sin 45°
cos 45°
sin 60°
cos 60°
А теперь выясним, как изменяется
tg а, когда a возрастает от 0 до 90°.
Построим прямоугольный треугольник
АВС, у которого катет АС =1 и
Z. А = а (рис. 243). Тогда другой его катет ВС = tg а. Когда
угол а возрастает от 0 до 90°, катет ВС возрастает от нуля
до бесконечности. Итак, мы доказали важное свойство тан-
генса:
1. При увеличении угла от О до 90° тангенс растет от
нуля до бесконечности.
Из этого свойства вытекает второе свойство тангенса.
2. Для острых углов тангенс определяет угол.
Оно доказывается так же, как аналогичное свойство синуса
(п. 13.6). Это свойство позволяет найти угол в задаче 5 (п. 17.1)
из равенства:
, . а
^А=ь-
(10)
График тангенса приведен на рис. 244.
134
17.4. Котангенс, секанс, косеканс. Кроме трех уже введен-
ных нами функций — синуса, косинуса, тангенса — иногда
рассматривают еще три тригонометрические функции, которые
называются котангенс (обозначается ctg), секанс (обозначается
sec) и косеканс (обозначается cosec). Они определяются равен-
ствами:
ctg а -
cos а
sin а
1
sec а = ------,
cos а
1
cosec а - ----
sin а
(И)
(12)
(13)
Из них котангенс используется чаще, а секанс и косеканс —
очень редко. Поищите, в каких решенных нами задачах
удобно воспользоваться этими функциями. Нарисуйте графики
этих функций, зная графики синуса и косинуса.
Вы обратили внимание: появились еще две тригонометри
ческие кофункции — котангенс и косеканс? Из их определений
теперь понятно, что это функции, дополнительные к тангенсу
и секансу. Очевидно, должны выполняться равенства:
ctg а = tg (90° - а) и cosec а = sec (90° - а).
Справедливость этих равенств нетрудно доказать.
17.5. Из истории тригонометрии. Тригонометрия — «изме-
рение треугольников» — развивалась прежде всего в связи с
потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому
ее зачатки были уже в Вавилонии, где астрономия получила
значительное развитие. В знаменитом труде
ученого Птолемея «Альмагест» (II в.), где
изложена античная система мира, содер-
жатся элементы не только тригонометрии
на плоскости, но и на сфере. В Древней
Греции вместо синуса угла рассматривали
длину хорды, соответствующей удвоенному
углу между радиусами единичной окруж-
ности (рис. 245). Это по существу то же
самое, так как синус равен половине такой
хорды. Первые тригонометрические табли-
древнегреческого
Рис. 215
135
цы хорд были составлены Гиппархом в II в. до и. э. Синхе,
тангенс и косинус появляются в астрономических сочинениях
индийских ученых IX — X вв. В частности, тангенс упоми-
нается в свяли с задачей определения высоты Солнца по длине
тени, решение которой необходимо для изготовления солнеч-
ных часов
Выделение тригонометрии в специальный раздел матема-
тики связано с именем выдающегося персидского ученого
Нжирэддина Туси (1201—1274). В Европе первое изло-
жение тригонометрии было дано в ХА в. немецким уч< ным
Региомонтаном (1436—1476). Современный вид тригоно-
метрия получила в работах крупнейшего математика XVIII в.
Леонарда Эйлера (1707—1783).
Обобщенная теорема Пифагора в другом виде доказана у же
в «Началах» Евклида (Предложения 12 и 13 книги 2). Вот
как звучит Предложение 12: «В тупоугольных треугольниках
кваорат на стороне, стягивающей тупой угол, больше вместе
взятых квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на
дважды взятый прямоугольник, заключенный между одной из
сторон при тупом угле, на которую падает перпендику 1яр, и
отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при ту-
пом угле».
Сделайте чертеж для этого Предложения и убедитесь, что
оно является ОТП для тупоугольного треугольника.
Теорема синусов была получена выдающимся среднеазиат-
ским ученым Б и р у н и в XI в.
§ 18. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
18.1. Общее понятие о подобных фигурах. Подобными на-
зываются любые две фигуры, имеющие одинаковую форму.
Например, подобны любые два квадрата, или два круга, или
два равносторонних треугольника (рис. 246). Более сложный
пример подобных фигур дают любые две фотографии, отпе-
чатанные с одного и того же негатива с различным увеличе-
нием: изображения на них одних и тех же предметов подобны
(рис. 247). Ясно, что на таких фотографиях все расстояния
изменяются в одном и том же отношении. Этим свойством —
постоянством отношения соответствующих расстояний — и оп-
ределяется подобие фигур. Сейчас рассмотрим лишь подобные
треугольники, а изучение подобия более сложных фигур от-
ложим до IX класса.
136
18.2. Определение и свойства подобных треугольников. При-
менив сказанное в предыдущем пункте к треугольникам, есте-
ственно придем к такому определению:
Определение ------------------------------------------
Треугольники называются подобными, если их стороны
пропорциональны.
Подробнее: треугольник Л]В[С] подобен треугольнику АИС,
если отношения их соответствующих сторон равны одному и
тому же числу, которое называется коэффициентом подобия
(рис. 248), т. е.
Л,Н- Л,С. R.C.
-АН- = (П
где k — коэффициент подобия.
В том случае, когда треугольник А]В!С] подобен треуголь-
нику АВС с коэффициентом подобия k, применяют такое обо-
значение:
А А^В^Су А АВС, или, не указывая коэффициент,
<^ААВС.
137
Рис. 249
Рис. 250
Равенство является частным случаем подобия. Например,
отсекаем средней линией KL треугольник AKL от треугольника
АВС (рис. 249). Поскольку АК = ^АВ, AL = ^АС.
Этот пример и рис. 250 подсказывают два свойства подоб-
ных треугольников.
Свойство 1. У подобных треугольников соответственно
равные углы.
Дано: AyljBjCi <^ААВС.
Доказать: Z. Aj = Z. А, А В1 = А В, А Сх - А С.
Доказательство. Обозначим, как обычно, стороны тре-
угольника АВС через а, Ь, с, а стороны треугольника
A]B]Ci — через aj, fej, Ср
Поскольку выполняются равенства (1), то
— = — = — = *. (2)
а b с
Поэтому
а1 = ka, bx= kb, Cj= kc. (3)
Если теперь найти cos А] по ОТП и воспользоваться равен-
ствами (3), то получим:
cos Ai
bl + cl-aj k2 (b2 + c2 a2} _ Ь2+с2 а2
2biC! 2kzbc 2Ьс
Поскольку cos А] = cos А, то A Aj = А А. Аналогично доказы-
вается, что А В] = А В и A Ci = А С.
Свойство 2. Отношение площадей, подобных треугольни-
ков равно квадрату коэффициента подобия.
Дано: Д AjBjC! со А АВС.
138
Доказать: ЛД = k2S, где Sy — площадь треугольника
AjjBjCj, aS — площадь треугольника АВС.
Доказательство.
S = ab sin С, S] = я1^1 sin Ср
Поскольку О] = ka, by — kb 1л А Су = А С, то
1 1 9 1 9
S] = g a , by sin Су = - ka kb sin C = Ar (- ab sin C) = k~S.
18.3. Признаки подобия треугольников. Первый признак
подобия треугольников похож на первый признак равенства
треугольников. Только в нем равенство соответствующих сто-
рон заменяется их пропорциональностью. Сформулируем этот
признак.
ТЕОРЕМА (первый, признак подобия). Если две стороны
одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника, а углы треугольников, заключенные между эти-
ми сторонами, равны, то треугольники подобны.
Дано: А АВС и А АуВуСу, А А = A Ay, = 4(, = fe.
Доказать: А АуВуСу оэ а АВС.
Доказательство. Употребляя обычные обозначения,
найдем ВС2 и ВуС2 по ОТП. Получим:
ВС2 = Ь2 + с2 - 2 be cos А
И
ВуС2 = Ь2 + с2 - 2 fejCj cos Ay = k2 (b2 + c2 - 2 be cos A).
Следовательно, ByC2 = k2BC2, t. e. ’ = k и A A]B]C] oo
op A ABC.
k
Второй признак подобия еще проще. Оказывается, что
треугольники подобны, если их углы соответственно равны.
Но поскольку сумма углов любого треугольника равна 180 ,
то для равенства углов треугольников достаточно равенства
лишь двух пар из них. Поэтому второй признак подобия
треугольников можно сформулировать так:
139
ТЕОРЕМА (второй признак подобия). Если два угла одного
треугольника соответственно равны двум углам другого тре-
угольника, то такие треугольники подобны.
Дано: Z. А = Z. Ау, А В = Z. By.
Доказать: А АуВуСу А АВС.
Доказательство. Во-первых, отметим, что А С = А Су.
Далее запишем теорему' синусов для треугольников АВС и
Q] = Ь1 = С1 (4)
sin Aj sin В] sin С!
и
а _ b _ с
sin A sin В sin С (°)
Поделив равенство (4) на равенство (5) и воспользовавшись
тем, 4TosinA = sin A], sin В — sin By, sin С = sin Ci, получим:
Q1 _ fcl _ c1
a b c
t. e.
AAyByCy <^AABC.
Следствие. Если прямая пересекает данный треугольник
и параллельна одной из его сторон, то она отсекает от него
треугольник, подобный данному (см. рис. 250).
Полученные признаки позволяют просто доказать следую-
щее общее свойство подобных треугольников.
Свойство 3. В подобных треугольниках отношения
соответствующих отрезков (т. е. медиан, высот, биссектрис
и т. п.) равны коэффициенту подобия.
Для медианы это свойство вытекает из первого признака
подобия (рис. 251), а для высот и биссектрис — из второго
(рис. 252).
18.4. Признаки подобия прямоугольных треугольников.
Следствиями признаков треугольников являются такие приз-
наки подобия прямоугольных треугольников:
1. Прямоугольные треугольники, имеющие равные острые
углы, подобны;
140
Рис. 252
2. Прямоугольные треугольники подобны, ес iu их катеты
пропорциональны;
3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного тре-
угольника пропорциона чьны гипотенузе и катету другого пря-
моугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
18 .5 . Применение подобия к графическому решению задач.
Подобие треугольников имеет огромное практическое значение
для изображения предметов, для моделирования и графиче-
ского решения задач. Графическое решение — это решение
посредством чертежа. Рассмотрим простой пример. Мы уже
решали задачу: определить расстояние до недоступного пред
мета. Решение было получено с помощью теоремы синусов.
Теперь дадим ее графическое решение. Уточним условия.
Задача. Найти расстояние от пункта А до пред мета С,
ес iu С виден из А, но недоступен (рис. 253).
Решение. Выбираем пункт В, из которого также виден
предмет С (рис. 253, а). Измеряем расстояние АВ и углы А и
В между АВ и линиями АС, ВС.
Делаем чертеж (рис. 253, б). Проводим отрезок AjB] и от
его концов откладываем в одну сторону углы, равные углам
141
А и В. Получаем треугольник AjBjCj, подобный треугольнику
АВС. Значит, стороны этих треугольников пропорциональны:
АС _ ,1В
Расстояние АВ измерено. Отрезки Л]С] и А]В] можно из-
мерить на чертеже в любых единицах, так как их отношение
никак не зависит от этого выбора. Из написанной формулы
находим расстояние АС. Задача решена.
Другие задачи, решенные раньше с помощью теоремы си-
нусов и ОТП, можно решать аналогично. Рассмотрите их
самостоятельно.
§ 19*. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
В предыдущих параграфах этой главы мы рассмотрели
главные задачи — задачи геометрии треугольника, связанные
с решением треугольников, и ввели основные понятия триго-
нометрии — той области математики, которая возникла из
решения треугольников. Но в геометрии треугольника есть
много и других результатов. Более простые, которые тради-
ционно включаются в школьный курс математики, рассмот-
рим в этом параграфе, а более сложные, дополняющие обыч-
ный школьный материал,— в следующем.
19.1. Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.
Чтобы найти эту точку, поступим так. Рассмотрим треуголь-
ник АВС. Вспомним, что все точки, равноудаленные от двух
вершин А и В, лежат на серединном перпендикуляре р отрезка
АВ. Аналогично все точки, равноудаленные от вершин В и С
142
лежат на серединном перпенди-
куляре q отрезка ВС. Прямые р
и q пересекаются в некоторой точ-
ке О (поскольку р и q перпенди-
кулярны пересекающимся пря-
мым АВ и ВС). Так как О G р, то
ОА = ОВ, а так как О G q, то
ОВ = ОС. Итак, выполняется ра-
венство
ОА = ОВ = ОС, (1)
т. е. точка О равноудалена от всех
вершин треугольника АВС.
Отметим, что поскольку
и серединный перпен-
ОА = ОС, то через точку О проходит
дикуляр г третьей стороны АС треугольника АВС (рис 254).
Если теперь построить окружность S радиусом В = ОА,
центр которой лежит в точке О, то эта окружность пройдет
через все вершины треугольника АВС. Говорят, что окружность
S описана около треугольника АВС, а также, что треугольник
АВС вписан в окружность В.
Итак, нами доказана следующая теорема: около каждого
треугольника можно описать окружность; центр ее лежит на пе-
ресечении серединных перпендикуляров сторон треугольника.
Убедитесь, что v остроугольного треугольника центр опи-
санной окружности лежит внутри треугольника (рис 255. а),
а у тупоугольного — вне треугольника (рис. 255, б). Для пря
моугольного треугольника центром описанной окружности яв-
ляется середина его гипотенузы (рис. 255, в). Объясните, по-
чему.
19.2. Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника.
Перед тем как искать эту точку, убедимся, что все точки
биссектрисы угла равноудалены от его сторон, и обратно.
любая точка внутри угла, равноудаленная от его сторон,
лежит на биссектрисе угла.
Первое из этих утверждений вытекает из равенства пря-
моугольных треугольников по острому углу и гипотенузе (рис.
256, а). Второе же следует из равенства прямоугольных тре-
угольников по катету и гипотенузе (рис. 256, б).
Теперь точку, равноудаленную от сторон треугольника АВС,
можно искать по аналогии с тем, как мы искали точку,
143
равноудаленную от его вершин. Сначала проведем биссектрису
р угла А (рис. 257). На ней лежат все точки, равноудаленные
от сторон АВ и АС. Затем проводим биссектрису q угла В. На
ней лежат все точки, равноудаленные от сторон АВ и ВС.
Биссектрисы р и q пересекутся в некоторой точке О внутри
треугольника АВС. Точка О будет равноудалена от всех трех
сторон треугольника АВС. Поэтому и биссектриса г угла С
пройдет через точку О.
В треугольниках ОАВ, ОВС, ОАС углы при вершинах А,
В, С острые (как половины углов треугольника АВС). Поэтому
высоты OK, OL, ОМ, опущенные из точки О на стороны АВ,
144
ВС АС. имеют своими основаниями точки К, L, М. лежащие
внутри сторон АВ. ВС. АС треугольника АВС. Так как точка
О равноудалена от сторон АВ. ВС. АС, то
ОК = OL = ОМ. (2)
Положим г = ОК и проведем окружность Q с центром в
точке О радиусом г. Окружность Q пройдет через точки К, L,
М, а все остальные точки сторон треугольника АВС удалены
от О больше, чем на г, и лежат вне Q. Говорят, что окружность
касается сторон треугольника АВС или вписана в треугольник
АВС. Говорят также, что треугольник АВС описан около
окружности Q.
Итак, мы доказали следующую теорему: в каждый тре-
угольник можно вписать окружность, центр которой лежит на
точке пересечения биссектрис углов треугольника.
19.3. Точка пересечения медиан — центр масс треугольника.
Оказывается, не только биссектрисы треугольника пересека-
ются в одной точке, но и его медианы, и его высоты. Докажем
это сначала для медиан тре\ гольника.
Проведем в треугольнике АВС медианы АК и BL (рис. 258).
Обозначим через О точку их пересечения. Проведем среднюю
линию KL. Как нам известно, KL | | АВ и KL = АВ. Поэтому
в треугольниках ОАВ и OKL углы соответственно равны. Сле-
довательно, А ОАВ A OKL (коэффициент подобия равен 2,
поскольку АВ = 2 KL). Но тогда АО : ОК = ВО : OL = 2:1.
Если теперь провести медиану СМ и рассмотреть точку ее
пересечения с медианой АК, то эта точка пересечения также
разобьет ее (а также и СМ) на отрезки, относящиеся как
2:1. Поэтому точкой пересечения АК и СМ также будет
точка О. Следовательно, все три медианы проходят через точ-
ку О и делятся ею в отношении 2 : 1 (считая от вершин
треугольника).
Нами доказана следующая теорема: все медианы тре-
угольника пересекаются в одной точке и делятся ею на отрезки,
относящиеся как 2 : 1 (считая от вершин треугольника).
Точка пересечения медиан для реальной плоской треуголь-
ной пластины, изготовленной из однородного материала, яв-
ляется центром масс этого материального треугольника. По-
этому и в геометрии точку пересечения медиан треугольника
также называют центром масс этого треугольника (или цент-
ром тяжести).
145
19.4. Точка пересечения
высот треугольника (орто-
центр). Чтобы доказать, что
высоты (или их продолже-
ния) треугольника АВС пе-
ресекаются в одной точке,
выполним следующее до-
полнительное построение.
Проведем через вершины
треугольника АВС прямые,
параллельные его сторонам
(рис. 259). Получим тре-
угольник KLM, подобный треугольнику АВС (по равенству их
углов). При этом точки А, В, С станут серединами сторон
треугольника KLM. Поэтому прямые, на которых лежат вы-
соты треугольника АВС, являются серединными перпендику-
лярами сторон треугольника KLM. А как уже доказано
(п. 19.1), эти прямые пересекаются в одной точке.
Итак, мы доказали еще одну теорему: все высоты тре-
угольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Ясно, что точка пересечения самих высот лежит внутри
остроугольного треугольника (рис. 260, а) или является вер-
шиной прямоугольного треугольника (рис. 260, б), а в тупо-
угольном треугольнике в одной точке пересекаются продол-
жения его высот (рис. 260, в).
19.5. Вспомним векторы... Теорему о центре масс треуголь-
ника (а также ее различные обобщения о центре масс других
фигур) можно доказать,
применив векторный метод.
Рис. 260
146
Рассмотрим треугольник АВС. Введем векторы а = АВ и
b = АС. Тогда медиана АК = i (а + Ь) (как половина диагонали
параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, рис. 261).
Далее, как и в п. 19.3, проведем медиану BL и обозначим
через О точку пересечения АК и BL. Вектор
BL = | (ВА + ВС) = | (-а + Ь - а) = | - а. (3)
__ —> —*
Вектор АО отличается от вектора АК некоторым числовым
множителем а: АО = аАК, т. е.
АО = |(а + Ь). (4)
——*
Точно так же вектор ВО отличается от вектора BL неко-
торым множителем р-.
ВО = Р || - aj . (0)
Далее:
ВО = АО - АВ = j(a + Ь) - а = а(| - 1) + jb. (6)
__ —>
Приравняв два выражения для ВО (5) и (6), получим:
-/<о + ^= + 171
Из (7) следует, что
(i-г-дА ®
_ ——э*
Так как векторы а и Ъ неколлинеарны, то равенство (8)
возможно лишь в том случае, когда в обоих его частях стоят
нулевые векторы, т. е. когда
1 - | - р = 0; I - | = 0. (9)
2
Решив систему (9), получим, что а = (3 = -•
2
Итак, мы еще раз доказали, что АО = -АК, т. е. что точка
о
О делит медиану АК (а также и все другие медианы) в отно-
шении 2:1.
147
OA = OB=OC = OD
Риг 262
Рис-
Рис. 264
19.6. Замечательные точки тетраэдра. Пространственным
аналогом треугольника является тетраэдр. И в нем также
можно построить точку, равноудаленно ю от всех его четырех
вершин, т. е. центр сферы, описанной около тетраэдра
(рис. 262), точку, равноудаленную от всех его четырех граней,
т. е. центр сферы, вписанной в тетраэдр (рис. 263), а также
центр масс — точку пересечения отрезков, соединяющих вер-
шины тетраэдра с. центрами масс противоположных им граней
(рис. 264).
Точка, равноудаленная от вершин тетраэдра, строится так
же, как точка, равноудаленная от вершин треугольника, толь-
ко серединные перпендикуляры сторон треугольника надо за-
менить серединными плоскостями, т. е. плоскостями, прохо-
дящими через середины ребер тетраэдра и перпендикулярными
этим ребрам (рис. 265).
148
AK=KB. BL=LC, CM = MD
о 1 AB p ± ВС у 1 DC
O = a f\ p Ay
Рис. 265
Сохранится аналогия и в построении точки, равноудален-
ной от граней тетраэдра: вместо биссектрис у i лов треугольника
надо взять биссектральные полуплоскости двугранных углов
тетраэдра (рис. 266).
Наконец, доказать, что четыре отрезка, соединяющие вер
шины тетраэдра с центрами масс противоположных им граней,
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1
(а не 2 : 1), можно так же, как это сделано в предыдчщем
пункте векторным методом.
Попробуйте провести во всех трех случаях подробные рас-
суждения.
Аналога же ортоцентра треугольника у тетраэдра нет.
§ 20*. ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
20.1. Теорема Чевы. В § 19 мы нашли четыре замечательные
точки треугольника: центры описанной и вписанной окруж-
ностей, точку пересечения медиан
и точку пересечения высот треу-
гольника (или их продолжений).
В 1678 г. итальянский матема-
тик Чева (1648—1737) нашел не-
обходимые и достаточные условия
пересечения в одной точке трех от-
резков, исходящих из вершин тре-
угольника (рис. 267).
149
Они формулируются так:
ТЕОРЕМА ЧЕВЫ. Пусть на сторонах треугольника АВС
выбраны точки Ai 6 ВС, В\ G АС и Ci G АВ. Тогда отрезки
AAi, BBi и CCi пересекаются в одной точке тогда и только
тогда, когда выполняется равенство:
CAt BCt _
BtC ’ А,В * CtA = r '
Доказательство
1. В теореме Чевы два взаимно обратных утверждения.
Сначала докажем, что если отрезки AAlf ВВг, CCj пересека-
ются в точке О, то выполняется равенство (1).
Проведем через вершину В прямую а | | АС (рис. 268). Пусть
прямые AAi и CCi пересекают прямую а в точках Р и Q
соответственно. Тогда из подобия треугольников АА^С и
РА]В имеем:
СА. АС
—- ----- (2)
АгВ РВ ' '
Аналогично из подобия треугольников АС^С и ВС-^Q :
ВС\ BQ
С\А ~ АС'
(3)
Наконец, из подобия тре\гольников ОАС и OPQ получим:
АВ. РВ
—- ------ (4)
BjC BQ V '
Перемножив соответственно левые и правые части равенств
(2)—(4), получим (1). Первое утверждение доказано.
2. Докажем обратное ему утверждение. Пусть выполнено
равенство (1). Покажем, что отрезки А41( ВВ^, ССу проходят
150
через одну точку. Пусть О — точка пересечения отрезков
и ВВр Проведем из точки С через точку О луч I. Пусть
он пересечет сторону АВ в точке С (рис. 269). Тогда, как
доказано,
АВ, СА' ВС'
~в[с * Aji * сЯ~ = 1-
Из (1) и (5) получаем, что
вс ВС,
=---- (6)
с?Г
Следовательно, точки С и С] детят отрезок ВА в одном и
том же отношении Поэтому точки С' и Cj совпадают. Итак,
все три отрезка ААр ВВ\, СС^ проходят через точку О.
20.2. Следствия теоремы Чевы. Следствием теоремы Чевы
является теорема о точке пересечения медиан треугольника,
так как в этом случае (рис. 270)
АВ] CAj ВС'
В'С А,В С'А
Просто получить из теоремы Чевы и теорему о точке пе-
ресечения биссектрис треугольника. Вспомним, что для бис-
сектрис ААу, BBi и CCi выполняются равенства (см. п. 7.3):
АВ] АВ СА' СА ВС' ВС
В^С = ~ВС' А^В = АВ’ С^А = ~Са’
перемножим их (рис. 271). Получим (1).
А вот новая теорем а: прямые, соединяющие вершины тре-
угольника с точками касания вписанного круга, пересекаются
в одной точке (она называется точкой Жергона).
В этом случае (рис. 272)
АВХ = АСУ, ВА} = ВС}, САг = СВ^ (8)
151
в
в
Действительно, центр вписанной окружности — точка Р рав-
ноудалена от сторон треугольника АВС. Поэтому опущенные из
точки Р перпендикуляры РА], РВ}, PC] равны. Следовательно,
Д АРВХ = Д АРС], Д ВРС] = Д ВРА] и Д СРА] = Д СРВ]. Из ра-
венства этих треугольников и вытекает (8), из (8) вытекает (1).
Наконец, обратимся к теореме о пересечении высот тре
угольника. Внутри треугольника пересекаются высоты лишь
остроугольного треугольника АВС (рис. 273). Для него
АС; = b cos А, ВС] = a cos В, BAj = с cos В, СА] = b cos С,
СВ] = a cos С, АВ] = с cos А, где а — ВС, Ь = АС, с = АВ, от-
куда и следует (1). Но высоты тупоугольного треугольника не
пересекаются, а пересекаются их продолжения, причем вне
треугольника. Непосредственно теорему Чевы в той формули-
ровке, что была дана, в этом случае применить нельзя. Однако
теорема Чевы допускает такое обобщение, в котором уже речь
пойдет о прямых, проходящих через вершины треугольника.
Точка же пересечения этих прямых может лежать вне треу-
гольника. Рассмотрим такое обобщение.
152
20.3. Обобщенная теорема Чевы. Чтобы обобщить теорему
Чевы, введем отношение направленных отрезков, лежащих
на одной прямой.
На прямой АВ возьмем произвольную точку С, отличную
от точек А и В (рис. 274). Тог^а направленные ^отрезки
АС и СВ коллинеарны. Так как СВ * 0, то АС = А СВ. Если
С лежит на отрезке АВ, то AC ff СВ и А = Если же С лежит
Со
вне отрезка АВ, то ylCtjCB и А = —
Cd
Имея это в виду, говорят, что точка С делит отрезок АВ
в отношении А. При этом считают, что случай А < 0 соответ-
ствует положению точки С на прямой АВ вне отрезка АВ.
АС
Итак, будем отношение отрезков АС и СВ, лежащих
Cd
на одной прямой, понимать как отношение их длин, если
АС и СВ сонаправлены, и как такое же отношение, но со
знаком минус, если АС и СВ направлены противоположно.
Теперь, если в равенстве (1) отношение отрезков понимать
именно в таком смысле (со знаком), то теореме Чевы можно
дать обобщение.
Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые а, Ь, с
проходят через вершины А, В, С треугольника АВС и пересе-
кают прямые ВС, СА, АВ в точках Aj. Cj соответственно
(рис. 275). Тогда прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке
или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место
равенство (1).
(О параллельных прямых иногда говорят, что они проходят
через одну бесконечно удаленную точку.)
Для частного случая параллельных прямых (рис. 276) со-
отношение (1) следует из равенств:
АВ, А, В ВС, ВС
—- = —. —- ------------------ (9)
В,С ВС С,А СА1 ’
Для общего случая (1) доказывается с помощью того же
дополнительного построения, что и в п. 20.1. Проверьте это
самостоятельно.
И доказательство теоремы о точке пересечения высот для
тупоугольного треугольника получится так же, как в п. 20.2,
если в выражениях проекций сторон треугольника на другие
стороны или их продолжения учитывать знаки соответству-
ющих косинусов. Например, AjB = с cos В (рис. 277) и т. д.
153
Рис. 277
Рис. 278
20.4. Теорема Менелая. Менелай Александрийский (I —
II вв. н. э.) — греческий математик и астроном, один из со-
здателей сферической тригонометрии. В этой теореме отноше-
ния отрезков тоже понимаются со знаком.
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ. Пусть дан треугольник АВС и точки
Ci, Bi, А1 принадлежат соответственно прямым АВ, АС, ВС.
Точки Ai, Bi, Ci лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда выполняется равенство:
ACj BAj CBj
CtB AjC BjA
(Ю)
Доказательство. В этой теореме тоже два взаимно
обратных утверждения. Докажем сначала, что если прямая I
пересекает прямые ВС, АС, АВ соответственно в точках
А], В), Ci (рис. 278), то выполняется равенство (10).
Проведем любую прямую р, пересекающую прямую I, и
через точки А, В, С проведем соответственно прямые а|| I,
t>|| Z, с|| I. Прямые a, b, с, I пересекут прямую р в точках К.
L, М. N. По теореме о прямых, пересеченных параллельными
прямыми,
АС\ KN ВАг Lfi СВ1 MN
~<\В = XL ’ ~А^С = М V’ Г~А = NK'
Перемножая равенства (11) и учитывая, что
КН _ M.V _ L.V _
УК ~ Л Л/ = XL =
получаем (10). Первое утверждение доказано.
154
(И)
(12)
Обратное утверждение докажите самостоятельно тем же
методом, что и при доказательстве теоремы Чевы.
Замечание. Любая прямая, не проходящая через вер-
шины треугольника, не параллельная его сторонам, либо не
пересекает ни одну из его сторон, либо пересекает две его
стороны и не пересекает третью. Поэтому в равенстве (10)
либо все три отношения имеют знак минус, либо два из них
имеют знак плюс, а третье — минус. Во всех случаях произ-
ведение в левой части (10) отрицательно (см. рис. 278, (5).
Вы обратили внимание на то, что перед формулировкой
теоремы Чевы сказано, что Чева нашел необходимые и доста-
точные условия пересечения в одной точке трех отрезков, ис-
ходящих из вершин треугольника?
До сих пор мы не употребляли слов «необходимо и достаточно»,
хотя на самом деле неоднократно имели в виду эти понятия:
мы формулировали теоремы, используя слова «тогда и только
тогда», изучали признаки и свойства фигур, которые фактически
содержат в себе необходимые и достаточные условия.
Теперь поговорим подробнее о связях между необходимыми
и достаточными условиями, с одной стороны, и признаками и
свойствами фигур — с другой.
Начнем с необходимых и достаточных условий.
Слова «необходимо» и «достаточно» часто встречаются в
нашей обыденной речи. Например, вполне понятна фраза
школьника: «Мне достаточно принести домой пятерку по мате-
матике, чтобы у мамы стало хорошим настроение» (иначе го-
воря: «Если я получу пятерку по математике, то у мамы будет
хорошее настроение»).
Естественно, что не всякое необходимое условие является
и достаточным (ведь правда, если сумма двух углов 180°, то
они не обязательно смежные?). Так же и наоборот: не всякое
достаточное условие является необходимым (если два угла
равны, то они не обязательно вертикальные).
Но бывают случаи, что выполняются одновременно и необ-
ходимые и достаточные условия, и тогда эти условия могут
быть сформулированы в одной теореме (в том числе и со
словами «тогда и только тогда»), а доказательство такой теоремы
будет состоять из доказательств двух взаимно обратных утверж-
дений. Примером такой теоремы и является теорема Чевы.
155
Рис.
AjBi -AjCj
AB ~ AC ~ AC
Если AA^AAu
Z B1 = А В, to
AyljBjCj дАВС
Рис. 282
Рис. 281
Рис. 283
Если дТ|^ А Т,
1 k
S(TJ
ТО ---лг =«
S(T)
Рис. 284
156
ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ГЛАВЫ 3 И КУРСА VIII КЛАССА
Как уже говорилось, важнейший результат главы 3 (да и
всей евклидовой геометрии) — это теорема Пифагора. Важно
запомнить и обобщенную теорему Пифагора (п. 16.1), которую
называют также теоремой косинусов (рис. 279).
Конечно, надо знать определения синуса и косинуса, а
также запомнить, что в прямоугольном треугольнике синус
острого угла равен отношению противолежащего катета к
гипотенузе, а косинус — отношению прилежащего катета к
гипотенузе (рис 280).
Синус и косинус связаны основным тригонометрическим
тождеством:
sin2a + cos2cz = 1.
О подобных треугольниках следует запомнить, что это тре-
угольники, стороны которых пропорциональны (рис. 281), а
также два признака подобия треугольников: по равенству двух
углов (рис. 282), а также по равенству углов и пропорцио-
нальности заключающих их сторон (рис. 283). Конечно, надо
помнить, что отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия (рис. 284).
Мы уверены, что вы помните формулы для площади пря-
моугольника (S = ab), для площади треугольника (S = i o.ha),
какой-нибудь признак параллельности прямых и два харак-
терных признака параллелограмма (см. рис. 138).
Мы надеемся также, что вы не забыли о векторах, помните,
как их складывают и как вектор умножают на число (см.
рис. 140).
Ну и конечно, вы еще с VII класса помните признаки
равенства треугольников, свойства равнобедренного треуголь-
ника и теорему о сумме углов треугольника.
Вот тот необходимый минимум, без которого нельзя в
IX классе продолжить изучение геометрии. А там предстоит
более подробно изучить окружность, круг, векторы, коорди-
наты, преобразования и, как итог, еще раз вернуться к ос-
нованиям геометрии. Но это впереди...
Слово к учителю
Задачи к каждому параграфу и, по возможности, к каждому
пункту разбиты на три рубрики: А, Б, В.
В раздел А отнесены задачи, требующие самых несложных
интеллектуальных операций: наблюдения, рисования фигур в
соответствии с заданными условиями, простейших логических
умозаключений.
В разделе Б находятся задачи разных видов: 1) содержащие
сведения теоретического характера; 2) работа с геометриче-
скими величинами; 3) прикладные задачи; 4) стереометрические
задачи.
Раздел В включает задачи, которые, не увеличивая набора
основных геометрических фактов, позволяют увязать их между
собой разными способами.
Разбиение задач по этим рубрикам достаточно условно, и
при желании учитель может трактовать их по-своему.
ЗАДАЧИ К § 1
Вопросы для самоконтроля
ж Как могут быть расположены две прямые на
плоскости?
л В старых учебниках геометрии параллельными
прямыми называли такие прямые, которые не
пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
Как вы поясните такое определение?
ж Какие признаки параллельности вы знаете?
158
Рис. 285
л Что такое трапеция? А что такое равнобокая
трапеция?
л Какие признаки параллелограмма вы знаете?
л Можете ли вы назвать признаки прямоуголь-
ника?
л Будет ли четырехугольник прямоугольником,
если у него есть два прямых угла?
а Какие признаки ромба вы знаете?
а Можете ли вы перечислить признаки квадрата?
л Какая неплоская фигура аналогична паралле-
лограмму? прямоугольнику? квадрату?
Основная задача
1.1. а) Докажите, что противоположные стороны прямо-
угольника параллельны, б) Объясните, почему прямоугольник
является параллелограммом, в) Почему параллелограммом яв-
ляется ромб? г) Почему параллелограммом является квадрат?
Задачи к пункту 1.1
1.2. На рис. 285 выберите такую прямую, которая пересе-
кает две другие прямые. Отметьте какой-либо из углов, об-
разованных при этом пересечении. Укажите для этого угла:
а) соответственный угол; б) накрест лежащий угол.
159
Рис. 287
Рис. 288
рис. 286. Есть ли для
1.3. Отметьте какой-либо угол на
него: а) соответственный угол; б) накрест лежащий угол?
1.4. Укажите параллельные прямые на рис. 287.
1.5. На сколько частей могут разделить плоскость три
прямые? А четыре?
1.6. Докажите, что прямые параллельны, если: а) внешние
накрест лежащие углы равны; б) сумма внутренних односто-
ронних углов равна 180°; в) сумма внешних односторонних
углов равна 180°.
1.7. Нарисуйте отрезок. Постройте отрезок, симметричный
данному, относительно некоторой точки, не лежащий на от-
резке. Как расположены данный и построенный отрезки?
1.8. Укажите параллельные прямые на рис. 288.
160
1.9. Объясните, почему три точки одной окружности не
лежат на одной прямой.
1.10. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС. Про-
ведена биссектриса внешнего у гла при вершине В. Докажите,
что она параллельна основанию треугольника.
1.11. Нарисуйте угол О. а) На одной его стороне отложите
два отрезка ОА] и А]Аг, а на другой — отрезок ОВ] = ОА], а
затем отрезок В]Вг = А]А2- Докажите, что АгВг|| -А1В1-
б) Продолжите стороны угла за вершину О. На сторонах
угла О отложите два равных отрезка ОА] и ОВ], а на про-
должениях сторон — два равных отрезка ОА2 и ОВг- Докажи-
те, что А2В2 || А]В1.
1.12. Нарисуйте два равных треугольника АВС] и АВСг с
одной стороны от прямой АВ. Докажите, что С]Сг1|АВ.
1.13. Нарисуйте равнобедренный треугольник, а) Проведите
медианы из вершин основания. Их концы соедините отрезком.
Докажите, что он параллелен основанию.
б) Изменится ли результат, если вместо медиан провести
биссектрисы?
в) Изменится ли результат, если вместо медиан провести
высоты?
1.14. Нарисуйте окружность, а в ней диаметр. Из разных
концов диаметра проведите равные хорды. Будут ли они па-
раллельны?
0 Зак. 106
161
1.15. Нарисуйте прямой угол А]СВ]. На лучах СА] и СВ]
выберите точки А и В соответственно. Углы А]АВ и ВуВА
разделены на три равные части каждый лучами, выходящими
из точек А и В. Докажите, что два из них лежат на парал-
лельных прямых.
1.16. На окружности поставлены по порядку точки А, В,
С, D. При этом АВ = ВС = CD. Докажите, что АВ || ВС. Среди
условий есть лишнее. Какое?
Задачи к пунктам 1.2 и 1.3
Трапеция
1.17. Объясните, почему четырехугольник ABCD на рис. 289
является трапецией?
1.18. Нарисуйте трапецию. Проведите в ней диагонали,
а) На сколько треугольников разбилась эта трапеция? б) А
сколько всего треугольников на этом рисунке?
1.19. Нарисуйте любую трапецию. Разделите ее одной пря-
мой на: а) параллелограмм и треугольник: б) параллелограмм
и трапецию; в) две трапеции; г) два треугольника; д) два
четырехугольника, причем без параллельных сторон: е) тре-
угольник и пятиугольник.
1.20. Равнобокую трапецию нарисовали мелом на доске.
Потом часть ее стерли. Сможете ли вы восстановить трапецию,
если от нее остались: а) основание и боковая сторона; б) ос-
нование и диагональ; в) боковая сторона и диагональ; г) ос-
нование и точка пересечения диагоналей; д) боковая сторона
и точка пересечения диагоналей?
1.21. Возьмите лист бумаги в форме четырехугольника.
Вам требуется вырезать из него трапецию, основание которой
совпадает со стороной четырехугольника, а) Как это сделать?
б) Всегда ли можно это сделать?
1.22. Заготовка из дерева является трапецией. Сколько
понадобится таких заготовок, чтобы сделать: а) чертежный
треугольник; б) рамку для картины?
162
1.23. Нарисуйте трапецию как результат: а) пересечения
двух трапеций; б) объединения двух треугольников; в) объе-
динения прямоугольника и двух треугольников; г) объедине-
ния двух трапеций; д) объединения квадрата и прямоугольного
треугольника; е) объединения двух прямохтотьных треуголь-
ников; ж) объединения равностороннего и прямоугольного тре-
угольников; з) объединения двух равнобедренных треугольни-
ков; и) объединения трех равносторонних треугольников;
к) объединения четырех прямоугольных треугольников.
1.24. Можно ли составить трапецию из: а) двух равных
прямоугольных треугольников; б) двух равносторонних тре-
угольников; в) двух равных равнобедренных треугольников?
Параллелограмм
1.25. Объясните, откуда следует, что четырехугольник на
рис. 290 является параллелограммом.
1.26. Нарисуйте параллелограмм, а) Проведите хорду, па-
раллельную какой-либо его стороне. Сколько параллелограм-
мов на вашем рисунке? б) Проведите еще одну такую же
хорду. Ответьте на тот же вопрос, в) Проведите теперь две
хорды, параллельные разным его сторонам. Ответьте на тот
же вопрос, г) Составьте сами похожую задачу.
163
1.27. Нарисуйте любой параллелограмм. Как разделить его
на: а) два треугольника; б) треугольник и трапецию; в) две
трапеции; г) два параллелограмма?
1.28. Параллелограмм нарисовали мелом на доске. Потом
часть его стерли. Сможете ли вы восстановить параллелограмм,
если от него остались: а) две стороны; б) сторона и диагональ;
в) диагональ и вершина, не лежащая на ней; г) сторона и
точка пересечения диагоналей; д) три вершины; е) середины
трех сторон?
1.29. Вырежьте из бумаги треугольник. Разрежьте его на
две части так, чтобы из них можно было составить паралле-
лограмм.
1.30. Как получить параллелограмм одними только сгиба-
ниями тетрадного листа?
1.31. Объясните, откуда следует, что четырехугольник
ABCD на рис. 291 является параллелограммом.
1.32. Нарисуйте параллелограмм как результат пересече-
ния: а) двух углов; б) двух треугольников; в) двух паралле-
лограммов; г) двух трапеций.
1.33. Нарисуйте параллелограмм как объединение: а) двух
треугольников; б) двух параллелограммов; в) прямоугольника
и двух треугольников; г) треугольника и трапеции; д) двух
трапеций.
Задачи к пункту 1.4
1.34. Дана прямая и точка вне ее. Как построить прямую,
параллельную данной и проходящую через данную точку,
164
в
Рис. 292
используя только: а) циркуль и линейку; б) линейку и уголь-
ник; в) угольник; г) линейку? (Под линейкой и угольником
понимаются чертежные инструменты.)
1.35. Постройте параллелограмм по: а) сторонам и диаго-
нали; б) сторонам и углу; в) двум диагоналям и углу между
ними.
Задачи к пункту 1.5
1.36. Объясните, почему четырехугольник ABCD на рис. 292
является прямоугольником.
1.37. Как разделить прямоугольник на: а) два прямоуголь-
ника; б) три прямоугольника: в) четыре прямоугольника;
г) два равных треугольника; д) четыре равных треугольника;
е) параллелограмм и два треугольника; ж) шесть равных
треугольников; з) пять равных прямоугольников; и) две части
так, чтобы из них можно было составить равнобедренный
треугольник?
1.38. Нарисуйте квадрат. Отметьте его вершины, середины
сторон и точку пересечения диагоналей — всего девять точек.
Сколько вы сможете насчитать прямоугольников с вершинами
в этих точках?
1.39. Прямоугольник нарисовали мелом на доске, а потом
стерли. Сможете ли вы восстановить его, если от него остались:
а) сторона и вершина, не лежащая на ней; б) сторона и
165
середина противоположной стороны; в) диагональ и вершина,
не лежащая на ней; г) средняя линия и точка на противопо-
ложной стороне; д) диагональ; е) средняя линия?
1.40. Восстановите квадрат, если от него остались лишь:
а) сторона; б) диагональ; в) средняя линия; г) центр и две
точки на противоположных сторонах.
1.41. Придумайте приспособление для измерения толщины
бревна в любом его месте.
1.42. Вы идете лесом по прямой и вдруг — болото. Как
его обойти так, чтобы выйти на ту же прямую, по которой
вы шли?
1.43. Нарисуйте прямоугольник как: а) пересечение двух
прямых углов; б) объединение двух равнобедренных треуголь-
ников; в) объединение двух одинаковых трапеций; г) объеди-
нение двух квадратов.
1.44. Объясните, почему четырехугольник ABCD на
рис. 293 является прямоугольником?
1.45. Постройте прямоугольник по: а) стороне и диагонали;
б) диагонали и ее углу со стороной; в) диагонали и ее углу с
другой диагональю.
Рис. 293
166
Задачи к пункту 1.6
Квадрат
1.46. Является ли квадратом такой прямоугольник, у ко-
торого: а) точка пересечения диагоналей равноудалена от сто-
рон; б) диагонали перпендикулярны; в) диагонали являются
биссектрисами; г) диагонали делят его на четыре равных
треугольника?
1.47. Найдутся ли четыре точки, являющиеся вершинами
квадрата, на сторонах: а) квадрата; б) прямоугольника; в) ром-
ба; г) равнобедренного прямоугольного треугольника; д) про-
извольного прямоугольного треугольника; е) произвольного
треугольника?
1.48. Как составить квадрат из: а) двух прямоугольных
треугольников; б) двух прямоугольников; в) двух трапеций;
г) четырех прямоугольных треугольников; д) трех треуголь-
ников; е) равносторонних треугольников?
1.49. Восстановите квадрат по таким оставшимся от него
точкам: а) двум соседним вершинам; б) двум противополож-
ным вершинам; в) вершине и центру (точке пересечения диа-
гоналей); г) серединам двух противоположных сторон; д) се-
рединам двух соседних сторон; е) центру и двум точкам на
одной стороне, ж) Пираты зарыли клад в одной из вершин
квадрата. На карте местности они отметили три камня, о
которых стало известно, что ими отмечены центр квадрата и
точки на его сторонах. Займетесь ли вы поисками клада?
1.50. Постройте квадрат по: а) стороне; б) диагонали,
в) сумме диагонали и стороны.
1.51. Как получить квадрат одними только сгибаниями
любого листа бумаги?
Ромб
1.52. Является ли ромбом такой параллелограмм, у кото-
рого: а) диагональ делит его на два равносторонних треуголь-
ника; б) одна из диагоналей делит угол пополам; в) точка
пересечения диагоналей равноудалена от его сторон; г) есть
прямой угол; д) диагонали равны?
1.53. Найдутся ли точки, являющиеся вершинами ромба
на сторонах: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба;
г) равнобедренного прямоугольного треугольника; д) произ-
167
вольного прямоугольного треугольника; е) произвольного тре-
угольника?
1.54. Составьте задачи о ромбе, аналогичные задаче 1.48.
1.55. Постройте ромб по: а) стороне и углу; б) стороне и
диагонали; в) двум диагоналям; г) диагонали и углу; д) высоте
и углу.
1.56. Как получить ромб одними только сгибаниями тет-
радного листа?
ЗАДАЧИ К § 2
Вопросы для самоконтроля
а В чем состоит утверждение о единственности
прямой, параллельной данной?
а Какие следствия можно получить из утверж-
дения о единственности?
л Какие признаки параллельности прямых вам
известны?
а Какие свойства параллельных прямых можете
перечислить?
< Какими свойствами обладает параллелограмм?
л Какие признаки параллелограмма вы знаете?
л Можете ли назвать свойства прямоугольника?
а Какие свойства ромба вам известны?
л Какие свойства квадрата можете перечислить?
л Какие свойства полосы вы знаете?
л Как доказывается, что некоторое свойство фи-
гуры является ее характерным свойством?
л Какие примеры характерных свойств разных
фигур можете привести самостоятельно?
л О каких лучах говорят, что они имеют одина-
ковое направление? А противоположное?
а Как вы понимаете фразу: «Две точки движутся
в одном направлении»? А фразу о движении
в противоположных направлениях?
Основные задачи
2.1. Нарисуйте две параллельные прямые а и Ь. Нарисуйте
точку, не лежащую на этих прямых. Нарисуйте перпендику-
168
ляры из этой точки на а и Ь. Докажите, что эти перпенди-
куляры лежат на одной прямой.
2.2. Нарисуйте две параллельные прямые а и Ь. Нарисуйте
затем прямую с, перпендикулярную прямой а, и прямую d,
перпендикулярную прямой Ь. Пусть прямые с и d различны.
Докажите, что они параллельны. Перескажите доказанное
утверждение как признак параллельности прямых.
Задачи к пунктам 2.1 и 2.2
2.3. Лист бумаги лежит на столе. Его ближний край сов-
падает с краем стола. Объясните, почему его дальний край
параллелен дальнему краю стола? (И лист и стол — прямо-
угольные.)
2.4. Два листа бумаги расположены на столе так, что у
них оказались параллельными горизонтальные края. При этом
вертикальные их края также соответственно параллельны.
Почему? (Листы — прямоугольные.)
2.5. С помощью линейки проведите пять параллельных
отрезков. Объясните, почему параллельны между собой первый
и пятый отрезки? Как выгтядит обобщение этой задачи?
2.6. Из одного угла прямоугольного листа бумаги в клеточку
проведен отрезок, который доходит до края этого листа. Как
он проведен, если при этом он пересекает: а) горизонтальных
и вертикальных линий поровну; б) горизонтальных линий
больше, чем вертикальных; в) вертикальных линий больше,
чем горизонтальных?
2.7. На сколько частей разбивают плоскость параллельные
прямые, если их: а) две; б) три: в) четыре; г) десять; д) п?
Как это доказать в случаях г) и д)?
2.8. Параллельными прямыми пло1 кость разбита на части.
Сколько этих прямых, если число полученных частей равно:
а) 3; б) 10; в) 1993? Как это доказать?
2.9. На сколько частей могут разбить плоскость: а) две
прямые; б) три прямые; в) четыре прямые?
2.10. Пятью прямыми плоскость разбита на 12 частей.
Нарисуйте такие прямые.
2.11. Имеются три прямые: а, Ъ, с. Пусть при этом: а) а
параллельна Ь и b параллельна с. Сколько тут пар параллель-
ных прямых? б) а параллельна b и пересекает с. Сколько тут
169
пар пересекающихся прямых? в) а пересекает b и b пересекает
с. Сколько тут пар пересекающихся прямых?
2.12. О трех прямых было сказано следующее: а) среди
них есть одна пара параллельных прямых; б) они разбивают
плоскость на шесть частей; в) среди них есть пара пересека-
ющихся прямых. Возможно ли, чтобы все эти утверждения
были верными?
2.13. О трех прямых было сказано следующее: а) среди них
ровно одна пара параллельных прямых; б) среди них ровно
одна пара пересекающихся прямых; в) плоскость разбита ими
на такие части, среди которых нет треугольника. Могут ли быть
верными все три сообщения? А какие либо два из них?
Задачи к пункту 2.4
2.14. Укажите равные углы на рис. 294, где прямая а
параллельна прямой Ь, а прямая с параллельна прямой d.
2.15. Укажите равные углы на рис. 295, где прямая а
параллельна прямой Ь, а прямая с параллельна прямой d.
Рис. 291
170
Рис. 296
2.16. Вычислите величины неизвестных углов на рис. 296,
если известно, что прямые а и b параллельны.
2.17. Найдите неизвестные углы на рис. 297.
2.18. Придумайте сами задачи, похожие на задачи преды-
дущих двух номеров.
171
2.19. Прямоугольный лист бумаги согнули так, что линия
сгиба пересекает две его противоположные стороны. Разогните
лист и укажите на нем полученные равные углы.
2.20. Два шоссе пересекаются за пределами карты. Как
найти угол между ними?
2.21. На листе бумаги нарисовали угол, а потом оторвали
его вершину. Сможете ли вы построить биссектрису этого
угла?
2.22. Биллиардный стол имеет форму прямоугольника.
Шар находится на средней линии стола. Его ударяют о борт
под углом 45°. Угол падения при ударе шара о борт равен
углу отражения. Можно ли его поставить с самого начала
так, чтобы его траектория прошла через начальную точку?
2.23 Две параллельные прямые пересечены третьей. Сколь-
ко при этом может быть углов: а) острых; б) тупых; в) прямых;
г) равных?
2.24. Пусть известны углы, которые прямая с составляет
с прямыми а и Ь. Сможете ли вы найти угол между прямыми
а и Ь?
2.25. О прямых а, Ь и с известно: 1) прямые а и Ь парал-
лельны, а прямая с составляет с ними равные углы; 2) прямые
а и b параллельны, а прямая с составляет с ними неравные
172
углы; 3) прямые а и b пересекакт я, а прямая с со< тавляет
с ними равные углы; 4) прямые а и b пересекаются, а прямая
с составляет с ними неравные углы. Содержат ли эти данные
противоречия?
2.26. Нарисуйте равнобедренный треугольник АВС с вер-
шиной В. Докажите, что прямая, проходящая через В парал-
лельно АС, является биссектрисой внешнего угла треугольника.
2.27. Прямая пересекает боковые стороны равнобедренного
треугольника АВС < вершиной в точке А в точках К и L.
Объясните, почему прямая отсекает от данного треугольника
равнобедренный треугольник, если она параллельна ВС. А
какой треугольник она будет отсекать, если исходный тре-
угольник будет равносторонним?
2.28. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК угла
А, а из точки К проведена прямая, параллельная АС. которая
пересекает сторону АВ в точке L. Оказывается, что треугольник
AKL — равнобедренный. Докажите это.
2.29. Проведена хорда KL треугольника АВС, параллельная
АС; АС = 1. Сможете ли вы узнать, насколько больше периметр
треугольника АВС, чем периметр треугольника BKU
2.30. В круге проведены параллельные межд\ собой диаметр
АВ и хорда CD. Докажите, что хорды АС и BD видны из
центра под равными углами.
2.31. Через концы одного диаметра окружности проведены
две параллельные хорды. Докажите, что они равны. Проверьте
обратное.
2.32. Через точку В треугольника АВС провели прямую,
параллельную АС. Рассмотрев углы при вершине В, можно
заметить, что в сумме они составляют столько же, сколько
углы исходного треугольника. Значит ли это, что мы таким
образом можем доказать теорему о сумме углов треугольника?
Задачи к пунктам 2.5 и 2.6
Параллелограмм
Основная задача
2.33. Докажите такие свойства параллелограмма: а) сумма
его соседних углов равна 180°; б) диагональ образует с про-
тивоположными сторонами равные углы.
173
2.34. На рис. 298 обозначены некоторые величины парал-
лелограмма. Какие еще величины можно найти?
2.35. Нарисуйте параллелограмм ABCD такой, что: a) AD
меньше АВ и угол А тупой; б) ВС меньше CD и угол В тупой;
в) AD больше АВ и угол С острый; г) ВС больше АВ и угол
D прямой; д) его диагонали равны; е) его диагонали перпен-
дикулярны.
2.36. Пусть ABCD — параллелограмм. Не рисуя его, поста-
райтесь ответить на такие вопросы: а) Пусть АО больше АВ.
Что больше: AD или СП? ВС или АВ? б) Пусть угол В тупой.
Какой угол больше: L С или Z. D?
2.37. Нарисуйте такой параллелограмм, в котором есть
диагональ, которая: а) длиннее каждой стороны; б) короче
каждой стороны; в) равна одной из сторон; г) равна каждой
стороне.
2.38. Чему равен периметр параллелограмма, если его сто-
роны равны: а) 1 м и 2 м; б) 15 см и 26 мм; в) а и Ь. А
чему равен его периметр, если он составлен из двух равно-
бедренных треугольников с периметром 1?
2.39. Чему равны стороны параллелограмма, если его пе-
риметр равен 2 м и: а) разность соседних сторон равна 1 см;
б) отношение соседних сторон равно 2; в) он составлен из
двух равнобедренных треугольников с периметром 1 м?
2.40. Вычислите все углы параллелограмма, если один из
его углов: а) 20°; б) 100°; в) в 2 раза больше другого; г) на
90° больше другого.
2.41. Сколько углов каждого вида может быть в паралле-
лограмме? А в трапеции?
2.42. Из листа бумаги вырежьте параллелограмм. Займемся
его перегибанием и наблюдениями за тем, что будет получать-
ся. Итак, что вы увидите, если при его перегибании совпали:
а) соседние вершины; б) противоположные вершины?
2.43. Придумайте определение равным параллелограммам.
Оказывается, если бы паркет делали из равных параллело-
граммов, то им можно было бы выложить всю плоскость. Как
вы это объясните?
2.44. Используя свойства и признаки параллелограмма,
придумайте способ нахождения расстояния между двумя пунк-
174
б)
Рис. 298
тами на одном берегу реки, находясь на другом ее берегу.
Что это за способ?
2.45. Как сделать параллелограмм, у которого периметр
равен 80 см и: а) острый угол равен 20°; б) стороны равны;
в) одна из диагоналей равна стороне; г) угол между диагона-
лями прямой; д) диагонали равны?
2.46. Сформулируйте и проверьте утверждения, обратные
утверждениям о свойствах параллелограмма: а) его противо-
положные стороны равны; б) диагональ делит его на равные
треугольники; в) диагональ составляет с противоположными
сторонами равные углы; г) противоположные углы равны.
2.47. Докажите, что в параллелограмме биссектрисы сосед-
них углов перпендикулярны, а биссектрисы противоположных
углов параллельны (или лежат на одной прямой).
2.48. В параллелограмме ABCD провели биссектрису угла А.
а) Пусть она пересекает ВС в точке К. Докажите, что
треугольник АВК равнобедренный.
б) Пусть она пересекает прямую CD в точке L. Сколько
равнобедренных треугольников вы сможете насчитать на по-
лученном рисунке?
в) Пусть известны периметры треугольников АВК и KCL.
Сможете ли вы найти периметр треугольника ADL?
г) Может ли точка К быть серединой ВС?
д) Оказывается, если точка К — середина ВС, то точка
С — середина DL. Докажите это.
е) Пусть теперь DM — биссектриса угла D и точка М лежит
на ВС. Сможете ли вы, зная стороны параллелограмма, най-
ти МК?
ж) Пусть точки К и М совпадают. Что вы сможете доказать
в этом случае?
2.49. Через точку О пересечения диагоналей параллело-
грамма (ее называют еще центром параллелограмма) провели
175
прямую. Она пересекает стороны параллелограмма в точках
А и В. Докажите, что точка О делит отрезок АВ пополам.
2.50. В равнобедренном треугольнике АВС с вершиной В
АВ = 2. АС — 3. Точка X движется по АС. Из нее проводятся
два отрезка: ХК параллельный ВС, где точка К лежит на АВ,
и XL параллельный АВ, где точка L лежит на ВС. Пусть
ХА = х. Выразите через х периметр четырехугольника KBLX.
2.51. Внутри угла взяли точку. Проведите через нее такую
хорду угла, которая этой точкой делится пополам.
Прямоугольник
О< новные задачи
2.52. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямо-
угольника (его центр) равноудалена от его вершин.
2.53. Сколько на рис. 299: а) прямоуголь-
ников: б) различных прямоугольников?
Рис. 299
2.54. Нарисуйте прямоугольник, у кото-
рого: а) диагональ в 2 раза больше меньшей
стороны; б) диагональ делит угол пополам;
в) диагональ перпендикулярна другой диаго-
нали.
2.55. Нарисуйте четырехугольник с рав-
ными диагоналями, но не прямоугольник.
2.56 Какая получится фигура, если: а) от прямоугольника
отрезать прямоугольник; б) к прямоугольнику приставить та-
кой же прямоугольник?
2.57. Прямоугольный лист бумаги согнули пополам, а затем
полученный лист тоже согнули пополам. От того угла, где
оказался центр прямоугольника, отрезали: а) треугольник;
б) квадрат; в) прямоугольник. Можете ли вы сказать, какая
будет форма дыры, если развернуть лист?
2.58. В основании четырехугольной пирамиды PABCD ле-
жит прямоугольник ABCD. Ее боковые ребра РА, РВ, PC, PD
равны, а) Для каждой ее треугольной грани укажите равную
ей треугольную грань, б) Пусть KL — средняя линия основа-
ния. Докажите, что треугольник PKL — равнобедренный.
176
в) ПуСть от вершин А и D отложены на ребрах АР и CD
равные отрезки AM и DN. Докажите, что треугольник PMN
равнобедренный, г) Тот же результат получится, если отрезок
равный AM, отложить на ребре CD от точки С. Докажите это.
В
2.59. Найдите неизвестный отрезок х на рис. 300.
2.60. Как найти периметр прямоугольника, если известны:
а) длины перпендикуляра из его центра на стороны; б) пери-
метр треугольника, отсеченного от прямоугольника его диа-
гональю, и сама диагональ; в) периметры прямоугольников,
полученных после того, как в данном прямоугольнике провели
хорду, параллельную одной из сторон.
2.61. Из точки на гипотенузе прямоугольного треугольника
провели перпендикуляры к его катетам. Известны периметры
двух полученных при этом треугольников. Сможете ли вы
найти периметр данного треугольника? Составьте и решите
обратную задачу.
2.62. Равны ли прямоугольники, если равны их периметры?
2.63. В некотором прямоугольнике можно найти стороны,
зная его периметр. Что это за прямоуго тьник?
2.64. В круге проведены два перпендикулярных диаметра.
Из точки А на его окружности проведены перпендикуляры
АВ и АС на эти диаметры. Радиус круга равен 1. Сможете ли
вы найти ВС?
Рис. зоо
177
Ромб
А
2.65. Пусть а — сторона ромба, а Р — его периметр, а) За-
пишите форму ту для периметра ромба в зависимости от а.
б) Запишите зависимость стороны а от Р. в) Как называется
каждая из этих зависимостей? г) Пусть а = 59 мм. Чему равен
периметр ромба? д) Пусть а изменяется от 2 до 3 см. В каких
границах лежит периметр ромба? е) Пусть периметр ромба
равен 10 см и сосчитан с ошибкой, не большей, чем 1 см.
Чему равна сторона а?
2.66. Нарисуйте ромб ABCD, в котором: а) АС больше BD:
б) угол А больше угла С; в) диагонали равны; г) диагональ
равна стороне.
2.67. Нарисуйте четырехугольник с перпендикулярными
диагоналями, но не ромб.
2.68. Какой получится четырехугольник, если: а) от ромба
отрезать параллелограмм; б) к ромбу приставить такой же
ромб так, чтобы их равные стороны совпали?
2.69. Докажите, что: а) диагонали ромба делят его на
четыре равных треугольника; б) все хорды ромба, параллель-
ные его сторонам, равны. Какие следствия можно получить
отсюда?
2.70. а) Докажите, что в ромбе перпендикуляры, проведен-
ные из одной вершины на стороны, равны, б) Будет ли это
верно в другом параллелограмме? в) Верно ли обратное а)
утверждение?
2.71. На листе бумаги нарисовали угол, а затем вершину
его оторвали. Сможете ли вы построить биссектрису этого
угла?
2.72. Лист бумаги имеет форму ромба. Как из него склеить
конверт?
3
2.73. Острый угол ромба равен 60°. Докажите, что одна из
диагоналей делит его на два равносторонних треугольника.
2.74. Найдите углы ромба, если: а) его диагонали равны;
б) диагональ равна стороне; в) диагональ составляет со стороной
угол а.
178
2.75. Может ли диагональ ромба равняться: а) его стороне,
б) половине его стороны; в) удвоенной стороне? В том случае,
когда одна диагональ может удовлетворять поставленному
условию, может ли и вторая удовлетворять ему же?
2.76. В некотором ромбе можно найти периметр, зная
только одну7 его диагональ. Что это за ромб?
2.77. Равны ли ромбы, если равны их периметры?
2.78. В параллелограмме ABCD провели биссектрису угла В.
пересекающую в точке L сторону AD. После этого провези
хорду LK, параллельную стороне. Есть ли на полученном
рисунке ромб? Сколько их?
Квадрат
2.79. Про некоторый четырехугольник Вася сказал, что
это — ромб, а Федя сказал, что это — прямоугольник. Могут
ли быть правы оба?
2.80. Какими свойствами обладает квадрат?
2.81. Вы находитесь в центре квадрата и хотите найти его
периметр. Сколько построении или измерений вам для этого
понадобится? Нельзя ли уменьшить их число?
2.82. С прямоугольным листом бумаги поступают так же,
как в задаче 2.57. Как сделать разрез стоженного вчетверо
листа, чтобы полученное отверстие имело форму квадрата? А
ромба? А прямоугольника?
2.83. Пусть в основании четырехугольной пирамиды PABCD
лежит квадрат ABCD, а ее боковые ребра равны. Такая пи-
рамида называется правильной четырехугольной пирамидой,
а) Докажите, что ее боковые грани равны между собой,
б) Пусть точки К и L — середины ребер АВ и AD. Докажите,
что треугольник PKL — равнобедренный, в) Какую точку М
на ребре РА вы можете указать, чтобы треугольник KLM был
равнобедренным? г) Какую точку N на ребре PC вы можете
указать, чтобы треугольник BDN был равнобедренным? д) Ка-
кие отрезки на ребрах DA, DC, DP отложить так, чтобы тре-
угольник с вершинами в их концах был равнобедренным?
179
2.84. Равны ли квадраты, если равны их периметры?
Задачи к пункту 2.8
2.85. Пусть ABCD — параллелограмм. Сколько параллело-
граммов можно будет насчитать на рисунке, если:
а) отложить равные отрезки AN и ВМ на сторонах AD и
ВС, а также равные отрезки АК и DL на сторонах АВ и CD,
после чего провести отрезки KL и MN;
б) отложить равные отрезки ВК и DL на сторонах ВС и
AD, после чего каждую вершину параллелограмма соединить
с точками К и L.
2.86. Восстановите параллелограмм, если на рисунке оста-
лись такие его элементы: а) две стороны; б) сторона и диаго-
наль; в) диагональ и вершина, не лежащая на ней; г) три
вершины; д) середины трех сторон.
2.87. Пусть отрезок АВ движется параллельно самому себе,
причем точка Л все время находится на прямой а. По какой
линии движется точка В?
2.88. Установите вид четырехугольника KLMN на рис. 301.
2.89. На плоской поверхности установили два равных стер-
жня. Каждый из них может вращаться вокруг точки закреп-
ления. Можно ли их соединить так, чтобы эти стержни всегда
были параллельны?
Рис. 301
180
Задачи к пункту 2.9
2.90. На одном краю полосы взяли две точки и провели
две хорды, параллельные между собой. Докажите, что: а) эти
хорды равны; б) хорды, перпендикулярные краю полосы, рав-
ны между собой.
2.91. Как вы истолкуете фразу: «Две улицы пересекаются
под углом 60°»?
2.92. Как из бумажной полосы вырезать: а) прямоугольник;
б) квадрат; в) равносторонний треугольник?
2.93. Как через точку' внутри полосы провести прямую
так, чтобы полученная при этом хорда: а) равнялась данному
отрезку; б) делилась в этой точке пополам?
2.94. Используя только двустороннюю линейку: а) разде-
лите угол пополам; б) разделите отрезок пополам; в) ^двоите
данный угол; г) удвойте данный отрезок; д) восставьте пер-
пендикуляр в данной точке прямой, е) проведите прямую,
параллельную данной прямой и проходящую через данную
точку; ж) проведите перпендикуляр из данной точки на дан-
ную прямую? (В двусторонней линейке использсются только
ее края.)
2.95. На краях полосы возьмите две точки и перегните
полосу по прямой, проходящей через эти точки. Какая по-
лучится фигура? Лучше всего, если вы изобразите ее, не рисуя
исходной полосы.
2.96. Какой фигурой может быть: а) пере.ечение двух полос;
б) объединение двух полос?
2.97. Представьте: а) параллелограмм как пересечение двух
полос; б) треугольник как пересечение трех полос. Какие еще
фигуры могут получиться в результате пересечения трех полос?
2.98. Если точка делит пополам как>ю-то хорду полосы,
то она делит пополам любую хорду полосы, проходящую через
данную точку. Докажите это.
2.99. Из двух точек одного края полосы провели две* хорды,
образующие с этим краем равные углы. Равны ли эти хорды?
181
Задачи к пунктам 2.10 и 2.11
2.100. На рис. 302 укажите лучи одного направления,
противоположных направлений и разных направлений. На
рис. 302, в укажите равные углы.
2.101. Нарисуйте луч. Отметьте какую-либо точку на пло-
скости. Проведите из нее луч: а) того же направления; б) про-
тивоположного направления; в) другого направления.
2.102. Нарисуйте фигуру, которую образуют лучи одного
направления, отложенные от всех точек: а) отрезка, б) прямой.
2.103. Нарисуйте окружность, отметьте на ней точку и
проведите из нее луч в направлении радиуса, проведенного в
эту точку. Теперь отметьте точку, диаметрально противопо-
ложную взятой, и проведите из нее луч противоположного
направления. Какую фигуру вы получите, если проделаете
подобное со всеми точками окружности?
2.104. а) Докажите, что углы, стороны которых соответст-
венно противоположны, равны между собой, б) Как связаны
между собой величины двух углов, у которых одна пара сторон
направлена одинаково, а другая — противоположно?
2.105. Под каким углом к направлению на север движется
яхта, если ее курс лежит на: а) юго-запад; б) северо-запад;
в) северо-северо-запад; г) юго-юго-запад?
2.106. Азимут — это угол между направлением движения
туриста и линией север—юг. Отсчитывается по часовой стрелке
от 0 до 360°. а) Пусть туристы движутся по параллельным
прямым и в одном направлении. Объясните, почему азимут
их движения один и тот же. б) Пусть теперь они движутся
Рис. 302
182
по параллельным прямым и в противоположных направле-
ниях. Какая связь есть между азимутами их движений?
2.107. Турист шел лесом, выдерживая некоторый азимут,
затем прошел немного на север, а потом уже по другому
азимуту, нежели вначале. Могут ли прямые, по которым он
двигался в начале и конце движения, быть параллельными?
2.108. Если две материальные точки движутся в одном
направлении, то их траектории параллельны или совпадают.
Почему? Верно ли обратное?
2.109. Курс корабля — это то же, что и азимут для туриста.
Пусть два корабля плывут параллельно прямой береговой
линии в одном направлении. Отсюда следует, что они плывут
одним курсом. Объясните это.
2.110. Объясните, почему движутся по параллельным пря-
мым: а) корабли, плывущие одним курсом; б) туристы, идущие
по одному азимуту. (При этом они не находятся на одной
прямой.) в) Могут ли они двигаться по параллельным прямым,
если их курсы (азимуты) различны?
2.111. Турист пошел лесом из дома по направлению к
озеру, до которого 5 км. Он следовал по азимуту и сверялся
с компасом каждые 15 мин, однако на озеро не попал. Почему?
2.112. Два туриста идут по одному и тому же азимуту из
двух пунктов, находящихся на одном меридиане. Идут ли
они параллельными маршрутами? А если пункты находятся
на одной параллели?
2.113. Шхуна контрабандистов идет курсом N—N—О. Сто-
рожевой катер мчится ей наперерез. Что это значит, по-ва-
шему? Как это понятие связано с курсом корабля? Важно ли
здесь, с какого борта катера находится шхуна?
2.114. Пеленг — это угол между направлением движения
корабля и направлением на некоторый объект. Пусть два
корабля плывут параллельными курсами и в одном направ-
лении. а) Пеленг с первого корабля на второй 60°. Каков
пеленг первого корабля со второго? б) Оба корабля и маяк в
некоторый момент времени оказались на одной прямой. До-
кажите, что пеленги с каждого корабля на маяк одинаковы.
2.115. Два корабля, идя одним курсом, запеленговали маяк.
При этом пеленги оказались одинаковыми. Что из этого сле-
дует?
2.116. Нарисуйте куб. Укажите на нем лучи одинаковых
направлений, противоположных направлений, разных направ-
лений.
183
2.117. Объясните, почему на прямой существует два на-
правления. А сколько направлений существует на плоскости?
На окружности? В пространстве? На сфере?
2.118. Какую фигуру образует на одной прямой: а) объе-
динение двух лучей одного направления; б) пересечение двух
тучей одного направления; в) объединение двух лучей проти-
воположных направлений; г) пересечение двух лучей проти-
воположных направлений?
2.119. Возьмите квадрат. В каком направлении идет его
хорда наибольшей длины, выходящая из. а) вершины; б) се
редины стороны; в) точки на стороне? А в каком направлении
идет из вершины хорда наименьшей длины? Решите анало-
гичную задачу для прямоугольника. Составьте аналогичную
задачу для правильного треугольника, круга.
2.120. Из одной вершины прямоугольника в противопо-
ложную движется по двум взаимно перпендикулярным на-
правлениям материальная точка. Каков ее наименьший и
наибольший путь?
ЗАДАЧИ К §3
Вопросы для самоконтроля
а Какие параллельные объекты в пространстве
вы знаете?
а Можете ли вы привести примеры параллельных
фигур в пространстве?
а Определения каких параллельных объектов в
пространстве можете назвать?
а Какие признаки параллельности двух прямых
в прог гранстве вы знаете?
а Какие признаки параллельности фигур в про-
странстве вам известны?
а Какие признаки перпендикулярности прямой
и плоскости можете перечислить?
а Какие плоскости называют перпендикулярны-
ми? Приведите примеры таких плоскостей.
а Какие свойства параллельных фигур в про-
странстве вам известны?
184
л Можете ли вы привести примеры аналогичных
утверждений о параллельных фигурах на пло-
скости и в пространстве?
Задачи к пункту 3.1
3.1. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDAiBiC\D\. Назовите его ребра, параллельные: a) AD;
б) CiPi; в) CD; г) ВВ\.
3.2. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDA\BiC\D\. Как вы думаете, будут ли параллельны пря-
мые: a) AD и ВВу, б) AD и C\Di; в) AD и AiCi; г) АС и B\D};
д) А] С и CiD?
Б
3.3. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDAyByCiD}. Нарисуйте теперь отрезки BD и B\D\. Изве-
стно, что они параллельны, а) Нарисуйте другие отрезки на
поверхности параллелепипеда, параллельные BD. Какую фи-
гуру заполняют все такие отрезки? б) Какой отрезок равен и
параллелен отрезку C\D и проходит через точку А? в) Нари-
суйте отрезок, параллельный AZ>i и проходящий в задней
грани, г) Нарисуйте отрезок, параллельный CyD и проходящий
через точку К — середину отрезка AD. д) Какую фигуру об-
разуют все такие отрезки, если точка будет двигаться по ребру
AD от А к О?
3.4. а) Нарисуйте отрезок АВ. Пусть отрезок АС не лежит
на прямой АВ. Из каждой точки отрезка АВ проведите в одну
сторону от АВ отрезки, равные и параллельные АС. Какая
при этом получится фигура? Каким еще аналогичным способом
можно получить ту же фигуру?
б) Нарисуйте куб. Можно считать, что он получен так.
Взяли квадрат ABCD и из каждой его точки провели отрезок,
равный и параллельный АА], в одну сторону от основания.
Все проведенные отрезки и заполнят куб. Каким еще анало-
гичным способом можно получить этот же куб?
185
a)
б)
Рис. 303
3.5. Нарисуйте фигуры, которые получаются, если дейст
вовать способом, указанным в задаче 3.4, б): а) с кругом,
б) с треугольником. Если вы сделали верные рисунки, то перед
вами окажутся цилиндр и треугольная призма.
3.6. Поставим куб на край стола так, чтобы его ребро
совме< тилось с краем. Если осветить его пучком света, парад
лельным другому его ребру, лежащему на столе, то на стене
за столом мы увидим тень в форме квадрата. Как поставить
куб на столе, чтобы его тень на стене была такой, как на
рис. 303?
3.7. Пусть параллельным пучком света освещаются: а) па-
раллельные прямые; б) пересекающиеся прямые; в) скрещи-
вающиеся прямые. Какой, по-вашему, будет тень от них? Для
ответа на этот вопрос проведите дома соответствующий опыт.
3.8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiC^Di точ-
ка К — центр грани А4]В]В (точка пересечения ее диагоналей),
точка L — центр грани CDD\C\. а) Докажите, что KL парал-
лелен АР. Каким еще ребрам параллелепипеда параллелен
отрезок КШ б) Нарисуйте отрезок, параллельный А4]. Каким
ребрам параллелепипеда он параллелен? в) Нарисуйте отрезок,
параллельный АВ. Каким ребрам куба он будет параллелен?
г) Как вы думаете, пересекаются ли все проведенные вами
отрезки?
3.9. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDA\B\C\D\. Нарисуйте теперь отрезок, равный и парал-
лельный: a) А]Р и проходящий через точку Pj; б) А]Р и
проходящий через точку А; в) CD} и проходящий через точку
Р; г) СР] и проходящий через точку С]; д) A\D и проходящий
через точку Ci; е) A\D и проходящий через точку В.
186
3.10. Нарисуйте куб ABCDAyByC^Di. Пусть точка А' дви-
жется по поверхности куба, траекторией ее движения является
отрезок, параллельный АС. Какую фигуру заполнят все такие
отрезки, когда X движется по: a) ВА; б) AAi; в) AiBi;
г) BiDi; д) ABi; е) AiC?
Задачи к пункту 3.2
3.11. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDAiBiCiD\. Какой его грани перпендикулярно ребро:
a) CCi; б) DC; в) AiBi?
3.12. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Какому
ребру перпендикулярна его грань: а) верхняя; б) правая; в) пе-
редняя?
3.13. Нарисуйте куб ABCDA}B\C}D\. а) Объясните, почему
АА] перпендикулярна АС; б) А почему CCi перпендикулярна
AiCi? в) Нарисуйте диагональ грани куба, перпендикулярную
BBi; г) То же задание для ВС; д) То же задание для CD.
3.14. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDA\B\C\D\. На его поверхности нарисуйте несколько от-
резков, выходящих из точки D и перпендикулярных: a) AD;
б) CD; в) DDi.
3.15. На рис. 304 РАВС — правильная треугольная пира-
мида. Пусть PQ — перпендикуляр из точки Р на основание
АВС пирамиды. Докажите, что точка Q является центром
треугольника АВС, т. е. QA = QB = QC.
3.16. Пусть ABCD — правильный тетраэдр. Докажите, что
перпендикуляры, проведенные из
его вершин на противоположные
грани, равны между собой.
3.17. На рис. 305 изображены не-
которые части куба. Для каждого А
многогранника нарисуйте его вид со
стороны каждой грани этого куба в
таком порядке:спереди, сверху, сле-
ва, сзади, снизу, справа. рис 304
187
a)
a)
Рис. 306
3.18. Перед вами на рис. 306, а вид спереди некоторого
многогранника, который является частью куба. Нарисуйте эту
часть и другие ее виды.
3.19. Перед вами на рис. 306, б вид спереди и сверху
некоторого многогранника, который является частью куба.
Нарисуйте его вид слева. Пусть теперь указанные два вида —
виды спереди и слева. Нарисуйте его вид сверху.
3.20. Может ли многогранник, являющийся частью куба,
выг 1ядеть на трех видах — спереди, сверху и слева — таким
образом, как на рис. 307?
3.21. Предложите способ для установки вертикальной мач-
ты на земле.
3.22. Точка О лежит в некоторой плоскости и перпенди-
куляр АО к этой плоскости попадает как раз в эту точку. Его
продлили по другую сторону от плоскости на отрезок
ОВ = АО. Возьмем на нашей плоскости любую точку X. а) До-
кажите, что ХА = ХВ. б) Сформулируйте и проверьте обратное
утверждение.
3.23. Из точки А на плоскость проведен перпендикуляр
АО. а) Пусть точка О является центром окружности, лежащей
на данной плоскости. Возьмем точку X на этой окружности.
188
Рис. 308
Докажите, что расстояние АХ не меняется при движении
точки по окружности, б) Сформулируйте и проверьте обратное
утверждение.
3.24. Найдите на рис. 308 прямую, перпендикулярную
плоскости.
3.25. В тетраэдре РАВС ребро РВ перпендикулярно осно-
ванию АВС. Кроме того, в нем РВ = АВ = ВС. а) Докажите,
что РА = PC. б) Верно ли обратное утверждение? Все ли условия
задачи нужны для доказатель-
ства обратного утверждения?
3.26. На рис. 309 PABCD —
правильная четырехугольная
пирамида, а) Докажите, что
PQ — перпендикуляр к основа-
нию ABCD. б) Нарисуйте от-
резки на поверхности пирами-
ды, которые перпендикулярны
PQ. в) Нарисуйте прямую АХ,
перпендикулярную основанию,
г) Докажите, что АС перпен-
189
дикулярно плоскости BPD. д) Найдите на атом рисунке пря-
мую, перпендикулярную плоскости АРС.
3.27. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС. а) Пусть точка
А' — середина ребра РВ. Докажите, что РВ перпендикулярно
сечению АКС. б) Нарисуйте сечение этого тетраэдра, перпен-
дикулярное ребру АС. в) Видите ли вы на этом рисунке
отрезок, который перпендикулярен ребрам АС и РВ? г) А
теперь попробуйте нарисовать отрезок в этом тетраэтре, ко-
торый перпендикулярен ребрам АР и СВ.
3.28 В тетраэдре РАВС ребро РА перпендикулярно ребрам
РВ и PC. Кроме того, РА = РВ = PC.
а) Докажите, что ребро РВ перпендикулярно грани АРС.
б) Какие еще ребра этого тетраэдра перпендикулярны его
граням?
в) Нарисуйте такие отрезки на поверхности этого тетраэдра,
которые перпендикулярны граням АВР, СРВ.
г) Отметьте точку X на ребре РВ и нарисуйте сечение этого
тетраэдра, которое перпендикулярно РВ. Какую оно имеет
форму?
д) Нарисуйте сечение этого тетраэдра, которое перпенди-
кулярно АР.
е) Сечение, которое вы нарисовали в пункте д), пересекает
ребро АС в какой-то точке. Нарисуйте теперь сечение, прохо-
дящее через эту точку и перпендикулярное PC.
3.29. Сможете ли вы объяснить, почему параллельны ребра
прямоугольного параллелепипеда, которые расположены меж-
ду верхним и нижним его основанием?
3.30. Нарисуйте куб ABCDA\B\CiDi- Точка X движется по
его поверхности. И каждый раз проводится отрезок ХХь
равный ребру куба и лежащий в нем. Нарисуйте фигуру,
получающуюся при этом, если переменный отрезок перпен-
дикулярен грани ABCD, а точка X прошла по: a) AD; б) ло-
маной АВС; в) BD; г) всему треугольнику D\C\Bi-
Задачи о перпендикулярных плоскостях
3.31 Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCZ)A]BiCii)i. Назовите его грани, перпендикулярные:
190
а) верхней грани; б) левой грани; в) правой грани, г) Теперь
попробуйте, не глядя на рисунок, назвать грань, перпенди-
кулярную передней грани. Проверьте себя, поглядев на рису-
нок. Теперь попробуйте, опять же не глядя на рисунок, назвать
еще одну грань, перпендикулярную передней грани, д) А
сколько всего в прямоугольном параллелепипеде пар взаимно
перпендикулярных граней?
3.32. На рис. 310 перед вами два квадрата, расположенных
в пространстве так, что AD\ перпендикулярно AD. а) Объяс-
ните, почему эти квадраты перпендикулярны между собой,
б) Нарисуйте отрезок АС. Оказывается, что треугольник
D\AC перпендикулярен квадрату ABCD. Откуда это следует?
в) Какой еще треугольник с вершинами в данных точках
перпендикулярен квадрату ABCD? г) А есть ли треугольники,
перпендикулярные другому из данных квадратов?
3.33. Нарисуйте треугольную пирамиду РАВС, в которой
РВ перпендикулярно АВ, РВ перпендикулярно ВС, АВ пер-
пендикулярно ВС. (Такую пирамиду можно увидеть, глядя
на верхний угол комнаты, в которой вы находитесь.) Запишите
все пары перпендикулярных между собой граней в этой пи-
рамиде.
3.34. Последите за переплетом книги, когда вы ее откры-
ваете. Когда его края будут перпендикулярны между собой,
тогда будут перпендикулярны и сами корочки переплета. Мо-
жете ли вы объяснить, почему так получается?
3.35. Перпендикулярность двух плоских поверхностей про-
веряют с помощью плотницкого угольника. Можете ли вы
объяснить, как это делают и на чем основана такая проверка?
191
3.36. Пусть мы делим торт двумя вертикальными разрезами
на четыре куска. При этом мы увидим, что полученный в
результате разреза угол в каждом из этих кусков прямой.
Попытайтесь дать этому объяс нение.
3
3 37. Нарисуйте куб ABCDAiB}C\Dy. Обозначьте его сечение
AAiCiC. Какая грань куба перпендикулярна этому сечению?
3.33. Пусть АВС п АВС 1 —два равносторонних треуголь-
ника, точка К — середина АВ. При этом С\К перпендикулярно
КС. а) Объясните, почему эти треугольники перпендикулярны
между собой, б) Проведите отрезок CCi и найдите на по-
лученном рисунке другие пары взаимно перпендикулярных
треугольников.
3.39. Нарисуйте куб и несколько его сечений, перпенди-
кулярных: а) нижней грани; б) передней грани; в) правой
грани.
3.40. Нарисуйте правильную четырехугольную пирамиду
PABCD. а) Докажите, что ее сечение PBD перпендикулярно
основанию ABCD. б) Нарисуйте еще одно сечение, перпенди-
кулярное основанию, в) Докажите, что сечения РАС и PBD
взаимно перпендикулярны.
3.41. Верны ли, по вашему мнению, такие утверждения:
а) Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны
между собой любые две пересекающиеся прямые, одна из
которых лежит в первой плоскости, а другая — во второй;
б) Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, лежащая
в одной из них и перпендикулярная их общей прямой, будет
перпендикулярна другой плоскости; в) Если две прямые пер-
пендикулярны, то они лежат в двух перпендикулярных между
собой плоскостях; г) Если две плоскости перпендикулярны, то
найдется прямая, которая перпендикулярна каждой из них.
Задачи к пункту 3.4
3.42. Укажите пары параллельных между собой плоскостей
в прямоугольном параллелепипеде.
3.43. Какую плоскость называют горизонтальной? А вер-
тикальной?
192
3.44. Кубик поставили на стол. Сверху на него поставили
другой кубик. Объясните, почему верхняя грань полученного
многогранника горизонтальна.
3.45. Один спичечный коробок поставили на другой, а)
Докажите, что в полученном многограннике найдется пара
параллельных граней, б) Сколько вообще может оказаться
таких пар?
3.46. Как на вертикальном столбе установить горизонталь-
ную площадку? Как вы можете получить два параллельных
распила деревянного бруса прямоугольного сечения?
3.47. Объясните, почему часовая и минутная стрелки дви-
жутся в параллельных плоскостях?
3.48. Корешок книги поставили на стол. Объясните, почему
верхние края книги лежат в горизонтальной плоскости
3.49. Возьмите два одинаковых конверта. Как вы их рас
положите, чтобы их длинные стороны лежал!’ в параллельных
плоскостях. (При этом сами конверты не лежат в этих пло-
скостях.)
3.50. На рис. 311 KLMN — сече-
ние куба плоскостью, проходящей че-
рез середины соответствующих ребер
куба, а) Докажите, что оно парал-
лельно передней грани куба, б) Какой
еще грани куба оно параллельно? в)
Нарисуйте другое сечение куба, па-
раллельное этим же граням, г) На-
рисуйте сечение, параллельное ниж-
ней грани куба. д) Нарисуйте
сечение, параллельное левой грани
куба, е) На сколько частей делят куб
два сечения, одно из которых парал-
лельно нижней грани, а другое параллельно левой грани? ж)
Если к этим сечениям добавить сечение, параллельное пере-
дней грани, то на сколько частей будет разделен куб?
3.51. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС. Отметьте в
нем точку К — середину ребра РА, точку L — середину ребра
РВ, точку М —• середину ребра PC. Известно, что треугольник
KLM параллелен нижней грани тетраэдра, а) Нарисуйте другие
его сечения, также параллельные нижней грани, б) Нарисуйте
сечение, проходящее через точку К и параллельное правой
грани, в) Нарисуйте сечение, проходящее через точку К и
193
параллельное левой грани, г) Нарис йте сечение, проходящее
через М и параллельное задней грани, д) На сколько частей
разделился тетраэдр сечением KLM и теми, которые указаны
в пунктах б) и в)?
3.52. Пусть мы рассматриваем ортогональную проекцию
прямоугольного параллелепипеда на плоскость, параллельную
одной из его граней. При этом другие его грани будут изо-
бражаться на этой плоскости параллельными отрезками. Мо-
жете ли вы объяснить, почему так будет?
В
3.53. а) На сколько частей делят пространство две парал-
лельные плоскости? б) А три? в) На сколько частей могут
делить пространство три плоскости? г) На сколько частей
делят пространство плоскости всех граней прямоугольного па-
раллелепипеда?
3.54. Верны ли, по вашему мнению, такие утверждения:
а) Если одна из двух параллельных плоскостей пересекает
третью плоскость, то и вторая тоже ее пересекает, б) Если две
плоскости вертикальны, то они параллельны, в) Плоскость,
параллельная вертикальной плоскости, сама вертикальна,
г) Если плоскости параллельны и одна из них перпендикуляр-
на некоторой прямой, то и другая перпендикулярна той же
прямой, д) Если две плоскости параллельны, то любые две
прямые, лежащие в двух этих плоскостях, также параллельны,
е) Если две прямые параллельны, то они лежат в двух пло-
скостях, параллельных между собой.
ЗАДАЧИ К § 4
Вопросы для самоконтроля
Какие два вида величин вам известны? При-
ведите примеры. Чем они различаются?
а Как изображаются векторы?
а Что такое модуль вектора? Чему он равен?
а Какие векторы называют: а) коллинеарными;
б) сонаправленными; в) перпендикулярными?
а Какие векторы называют равными? А когда
они не равны?
а Какие признаки равенства векторов вы знаете?
а Как построить вектор, равный данному?
а Что такое нуль-вектор?
194
а Как найти угол между двумя векторами?
л Как сложить два вектора?
< Какими свойствами обладает сложение векто-
ров?
л Какой вектор называют разностью двух векто-
ров?
л Как построить разность двух векторов?
а Какие векторы называют противоположными?
Чему равна их сумма?
л Как умножить вектор на число?
л Какие свойства умножения вектора на число
вам известны?
Задачи к пункту 4.1
4.1. Нарисуйте прямоугольник ABCD. Назовите направлен-
ные отрезки, заданные вершинами прямоугольника. Какие
из них: а) лежат на прямой АС; б) параллельны прямой CD;
в) перпендикулярны прямой CD1
4.2. Нарисуйте параллелограмм ABCD и проведите его диа-
гонали. Пусть они пересекаются в точке О. Назовите векторы,
заданные вершинами и точкой пересечения диагоналей. Какие
из них: а) коллинеарны вектору АВ; б) коллинеарны вектору
АС; в) сонаправлены с вектором CD; г) противоположно на-
правлены вектору BD; д) перпендикулярны вектору AD1
4.3. Нарисуйте прямую а. Нарисуйте вектор: а) лежащий
на прямой а; б) параллельный прямой а; в) перпендикулярный
прямой а.
4.4. Нарисуйте вектор, затем вектор: а) коллинеарный дан-
ному; б) сонаправленный с данным; в) направленный проти-
воположно данному; г) перпендикулярный данному.
4.5. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDA\B\C\D]. Укажите вектор: а) коллинеарный AD; б) со-
направленный с АВ; в) противоположно направленный A4j;
г) перпендикулярный AjDi; д) сонаправленный с АС; е) пер-
пендикулярный АС.
195
Задачи к пунктам 4.2 и 4.3
Равенство векторов
Л
4.6. Нарисуйте прямоугольник ABCD. Среди векторов, за-
данных его вершинами, укажите равные.
4.7. Нарисуйте: а) отрезок АВ и его середину О; б) парал-
лелограмм ABCD и две его диагонали, пересекающиеся в точке
О. Среди векторов, заданных этими точками, укажите равные.
4.8. Нарисуйте*прямую и нацией ^ве точки А и В. а) На-
рисуйте вектор АВ и вектор ВС — АВ. б) Нарисуйте вектор
ВА и вектор AD = ВА. в) Равны ли векторы AD и ВС?
—>
4.9. Нарисуйте вектор а и какую-нибудь точку А. Отложите
от нее вектор АВ = а. От точки В отложите вектор ВС, равный
а. Нарисуйте точку X так, чтобы ХА = а.
4.10. Нарисуйте любую фигуру. От всех ее точек отложите
равные векторы. Концы этих векторов образуют новую фигуру.
Сравните ее с данной. Какое предположение вы сможете сде-
лать? Сможете ли вы его обосновать?
4.11. Нарисуйте куб ABCDAiB]CiDi. а) Среди векторов,
заданных его вершинами, у^ажи^е равные, б) От точки А от-
ложите вектор, равный DA, CD, DD\. в) То же задание, что и в
предыдущем пункте, выполните для середины ребра BiCp
В
—> —> __
4.12. Пусть АВ = CD. Какие еще равные векторы можно
задать этими точками?
4.13. Нарисуйте треугольник АВС
—> —>
а) Нарисуйте точку А] и отложите векторы AiBi = АВ,
—-> —> —> —>
В\С = ВС, A',D = АС. Что вы заметили? Попытайтесь это объ-
яснить, используя перемещение материальной точки.
б) Отложите векторы A]/f = ВА, KL = СВ, LM — АС. Что
вы заметили? Попытайтесь это объяснить.
—* —* —> —>
4.14. Что следует из условий: a) PQ = 0; б) АВ = ВА;
в) а || b и а±Ь ?
196
Угол между векторами
_ „ —*
4.15. Нарисуйте прямую I и вектор а, ей непараллельный,
а) От двух разных точек А] и Аг прямой р отложите два
—> —* —>
вектора, равные а: А]В] и АгВг- Почему прямые -Ai-Bi и АгВг
—>
образуют с р равные углы? Почему В\Вг = А]Аг?
б) Отложите от двух точек А] и Аг векторы AjCi и АгСг,
—>
сонаправленные с вектором а. Почему прямые А]С\ и АгСг
образуют с р равные углы? Верно ли это, если
AjC] || а и АгСг II <2?
4.16. Найдите величины углов между векторами
АВ и АС, АВ и ВС, АВ и СА, ВА и СА для таких треугольников
АВС: а) равностороннего; б) прямоугольного, в котором
АС = ВС, L С = 90°; в) имеющего L А — 50° и С В = 30°;
г) имеющего А А = 50° и АС = АВ; д) имеющего А А = уч и
А В = <рг-
4.17. Нарисуйте единичные векторы (длиной 1), образую-
щие угол 30°: а) АВ и АС; б) АВ и BD; в) АВ и АТ, где А' —
любая точка. Сделайте то же для угла 140°.
Г*
□
4.18. Нарисуйте правильный тетраэдр ABCD. Найдите пару
векторов, заданных его вершинами, которые образуют между
собой угол 60°, 120°, 90°.
В
4.19. Нарисуйте вектор. От его начала и конца отложите
векторы равной длины, образующие с данным вектором один
и тот же угол. Будут ли равны эти векторы?
—> —>
4.20. Нарисуйте вектор а = ОА. Нарисуйте по разные сто-
—> —> —> —>
роны от прямой ОА два вектора: Ь = ОВ и с = ОС так, что:
а) А Ьа = 30°, А Та = 50°;
б) А Ь Т = 100°, А ТТ = 120°;
—» —> —>—>
в) А b а = уч, А с а = <рг-
w —» —>
Найдите угол между b и с.
197
4 21. Нарисуйте три вектора на плоскости так, что угол
между каждой парой векторов один и тот же. Чему равен
этот угол?
Задачи к пункту 4.4
Основная задача
4.22. Докажите, что модуль суммы двух векторов не пре-
восходит суммы модулей этих векторов. Выясните, когда имеет
место равенство этих выражений. Обобщите этот результат.
4.23. Нарисуйте треугольник АВС. Нарисуйте векторы:
а) АВ + ВС; б) СВ + ВА; в) СА + АВ; г) ВА + СВ;
—> —♦ —> —>
д) ВА + СА; е) СВ + СА. ж) Суммой каких векторов, заданных
вершинами треугольника АВС, является вектор СВ?
4.24. Нарисуйте параллелограмм ABCD. Нарисуйте век-
торы: а) АВ + ВС; б) AD + DC; в) СВ + ВА; г) АС + CD;
д) АВ + DA; е) BD + АС; ж) АВ + DC; з) AD + СВ;
и) АВ + АВ; к) СВ + CD; л) АВ + АС; м) DB + СА.
4.25. Нарисуйте параллелограмм ABCD. Суммой каких век-
торов. заданных вершинами параллелограмма, являются век-
торы: а) АС, б) СА, в) BD, г) DA, д) DC.
4.26. Нарисуйте четырехугольник ABCD. Нарисуйте век-
торы: а) АВ + ВС + CD; б) ВА + AD + DC; в) DA + CD + АВ;
г) АС + BD + СВ; д) ВС + BD + CD; е) АВ + DB + СВ;
ж) АВ + СА + BD + DC.
р
4.27. Самолет пролетел 200 км на юго-запад, а затем 300 км
на запад. Сделайте соответствующий рисунок, используя век-
торы. На каком расстоянии он оказался от начальной точки?
Придумайте < ими похожую задачу.
4.28. Вертолет летел на север со скоростью Vi. Вдруг под-
нялся западный ветер и начал дуть со скоростью Кг- а) Сделайте
соответствующий рисунок, б) При каком соотношении между
этими скоростями вертолет будет лететь на северо-восток?
4.29. Дайте векторное истолкование ситуации, описанной
в басне И. А. Крылова про лебедя, рака и щуку.
198
4.30. Нарисуйте куб. а) Выберите любую пару его вершин
и нарисуйте вектор, заданный этими вершинами. Нарисуйте
еще один вектор, полученный таким же способом. Нарисуйте
сумму7 этих векторов, б) Нарисуйте вектор, заданный парой
его вершин. Нарисуйте два вектора, заданных так же, суммой
которых является данный вектор. Затем три вектора. Затем —
четыре и т. д.
другие аналогичные ра-
перенести на точки, не
назвать сумму векторов:
4.31. Нарисуйте на плоскости любые три точки А, В, С.
Объясните, почему АВ + ВС = АС и СВ + ВА — СА. Какие еще
аналогичные векторные суммы можно записать, используя
эти точки? Можете ли вы при этом обойтись без рисунка?
4.32. Нарисуйте на плоскости точки А, В, С, D. Докажите,
что АВ + ВС = AD + DC. Составьте
венства. Можно ли эти равенства
лежащие в одной плоскости?
4.33. Можете ли вы без рисунка
а) АВ + ВС + СА; б) KL + LN + NK; в) PQ + BS + QB?
4.34. Из одной точки выходят три вектора, длина каждо-
го — 1. Они образуют между собой углы 60°. Чему равна
длина их суммы?
4.35. Нарисуйте три прямые а, Ь, с, проходящие через
точку О. A ab = А ас = 60°.
—>
а) От точки О отложите на прямой а вектор а. Постройте
на прямых b и с такие векторы b и с, что а = b + с.
—>
б) От точки О отложите на прямой b вектор Ь. Постройте
на прямых а и с такие векторы а и с, что а = b + с.
4.36. Нарисуйте параллелограмм ABCD. Пусть точка К —
середина стороны ВС, точка М — середина стороны CD. На
прямых АВ и AD нарисуйте такие векторы, которые дают в
сумме вектор: а) АК; б) AM; в) DK; г) ВМ; д) КМ.
Задачи к пункту 4.5
4.37. Нарисуйте треугольник АВС. Нарисуйте векторы:
a) AC - АВ; б)^ АВ*- АС; в) ВА - ВС; г) ВА - СВ;
д) ВА - АС; е) ВА - СА.
199
4 38 Нарисуйте параллелограмм АВ( D. Нарисуйте векто-
ры: а) АВ - AD; б) _AD - АВ; вЦ СВ - ВА; г) СВ - DA;
д) СВ - AD; е) DB - DA; ж) АС - BD.
4.39. Нарисуйте параллелограмм ABCD. Нарисуйте вектор
АВ. Укажите вектор, ему противоположный. Укажите другие
пары противоположных векторов.
4.40. Нарисуйте вектор. Постройте вектор, ему противопо-
ложный.
4.41. Не рисуя, назовите вектор, противоположный вектору:
а) АВ: б) ВА; в) PQ.
4.42. Вернитесь к задаче 4.37. Там, где это удобно, выпол-
ните вычитание с помощью противоположных векторов.
4.43. Вернитесь к задаче 4.38. Там, где это удобно, выпол-
ните вычитание с помощью противоположных векторов.
4.44. Докажите, что АВ = ХВ — ХА для любой точки X.
4.45. Составьте задачу на вычитание векторов, аналогичную
задаче 4.30.
4.46. Нарисуйте любую фигуру. Нарисуйте любую точку
О. Выберите любую точку ь данной фигуре и нарисуйте вектор
с началом в точке О и концом в выбранной точке фигуры.
Нарисуйте вектор с началом в О и противоположный уже
нарисованному вектору. Так проделайте со всеми точками
взятой фигуры. Что вы заметили?
4.47. Выразите вектор х из равенств: а) а + х = Ь;
->—>—>
б) а — х = Ь; в) х — а — Ь; г) х + а = 0.
4.48. Нарисуйте иллюстрации к таким векторным равен-
ствам: а) — (а + —а — Ь; б) — (а — = — а + Ъ; в) а —
— (Ь + с) = а — Ь — с; г) а — (b — с) = а — b + с.
4.49. Пусть АВ = CD. Докажите, что для любой точки О
верно равенство ОА + ОС = ОВ + OD. Верно ли обратное
утверждение?
200
Задачи к пункту 4 6
—> —>
4.50. Нарисуйте вектор а. Постройте векторы 2а, — За,
1 -» 1 -»
4 а' ~ 2 а‘
4.51. Нарисуйте параллелограмм ABCD. Пусть О — точка
—> —> —>
пересечения его диагоналей. Обозначим АС как a, a BD как Ь
—* —> —> —>
Выразите через а и Ь векторы: а) АО: б) OD: в) АЕ; г) ВС:
д) CD; е) DA.
4.52. Нарисуйте фигуру и выберите любую точку О. Вы-
берите любую точку X фигуры, нарисуйте вектор ОХ, а затем
вектор 2ОХ. Проделайте так со всеми точками фигуры и рас
смотрите фигуру, состоящую из концов полученных векторов.
Что вы заметили? Попробуйте затем умножать вектор ОХ
на другие числа, в частности на отрицательные. Подтвердились
ли ваши наблюдения? Какое предположение вы можете сде-
лать? Можете ли вы его обосновать?
4.53. Нарисуйте две любые точки А и В. Выберите затем
любую точку О. Постройте точку X так. чтобы ОХ = — ОА +
+ ~ ОВ. Что вы можете сказать о точке X? Постройте теперь
о
точку У так, чтобы ОУ = — 2ОА + ЗОВ. Что вы заметили?
♦ 1 —>
Постройте теперь точку Z так, что OZ = 2ОА — - ОВ. Л что вы
заметили теперь? Проведите побольше наблюдений, обращая
каждый раз внимание на сумму' коэффициентов при векторах
ОА и ОВ. Не возникла ти у вас гипотеза о расположении
конца построенного вектора относительно прямой в зависи
мости от суммы этих коэффициентов? А относительно отрезка?
3
—> —> “*
4.54. Выразите вектор b из равенства: а) а = zb;
б) а = —‘ЛЬ; в) а = Ь; г) а = —0,5Ь.
4.55. На отрезке АВ д тиной 20 см лежит точка С, причем
АС =15 см. Выразите: а) АС через АВ, б) АВ через CD,
в) ВС через АС.
201
4.5G. На отрезке PQ взята точка А', такая, что
РА' : XQ = 2:1. Выразите: а) РА' через PQ: б) QX через А'Р;
в) PQ через QX. Сделайте то же самое, если РА' : XQ = 2:3.
Сможете ли вы решить эти задачи в общем случае, когда
РА' XQ=K7
4.57. Пусть А и В — две данные точки. Какую фигуру
—> —э*
образуют все точки А' такие, что: а) АХ' = tAB, где0<£<1;
б) ВХ = tBA, где 0<t< 1; в) АХ = tAB, где t>0; г) ВХ = tBA,
где t>0; д) AX' = tAB, где t<0; е) АХ = tAB, где — l<t<l?
ЗАДАЧИ К § 5
Вопросы для самоконтроля
а Какие геометрические фигуры имеют средние
линии?
а Какая хорда называется средней линией тре-
угольника? А трапеции?
а Какие свойства имеет средняя линия треуголь-
ника? Трапеции?
а Какими свойствами обладает средняя линия
параллелограмма?
а Что происходит со средней линией трапеции в
крайних случаях?
а Кто такой Фалес?
а В чем состоит теорема Фалеса?
а Какие следствия можно получить из теоремы
Фалеса?
Задачи к пункту 5.1
5.1. Докажите, что средняя линия параллелограмма: а) де-
лит пополам любую его хорду, соединяющую точки на про-
тивоположных сторонах; б) проходит через точку пересечения
диагоналей.
5.2. Какими свойствами обладает средняя линия: а) пря-
моугольника; б) ромба; в) квадрата?
5.3. В параллелограмме проведены две средние линии.
Сколько параллелограммов получилось? А что получится, если
202
провести две средние линии в прямоугольнике? В ромбе?
В квадрате?
5.4. а) Докажите, что угол между средними линиями па-
раллелограмма равен одному^ из его углов, б) Чему он равен
в прямоугольнике?
5.5. а) В параллелограмме провели две средние линии.
Известен периметр данного параллелограмма. Сможете ли вы
найти периметры всех полученных параллелограммов? б) Со-
ставьте обратную задачу.
5.6. Может ли средняя линия четырехугольника лежать
вне его? А обе средние линии?
5.7. а) На сколько частей разбивают выпуклый четырех-
угольник обе его средние линии? б) На сколько трапеций
разбивают трапецию обе ее средние линии?
5.8. Докажите, что средняя линия выпуклого четырех-
угольника меньше, чем его полупериметр.
5.9. В выпуклом четырехугольнике провели обе средние
линии. Известны периметры всех четырехугольников, на ко-
торые он разбит этими средними линиями. Можно ли найти
периметр исходного четырехугольника?
5.10. Как бы вы определили, что такое средняя линия
полосы? Какие у нее свойства? Признаки?
5.11. Нарисуйте тетраэдр и его среднюю линию, а) Дока-
жите, что она является медианой в треугольнике, стороны
которого лежат на поверхности тетраэдра, б) Докажите, что
она меньше четверти суммы всех его ребер.
Задачи к пунктам 5.2 и 5.5
Основные задачи
5.12. Боковую сторону трапеции разделили на три равные
части и через точки деления провели ее хорды, параллельные
основанию. Докажите, что и другая боковая сторона трапеции
разделится на три равные части. Обобщите задачу. Составьте
обратную.
5.13. Докажите, что точка пересечения медиан треуголь-
ника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от
вершины.
203
5.14. Нарисуйте любой отрезок, а) Разделите его на три
равные части, б) Постройте данного отрезка.
5.15. Как разделить доску по ширине на три равные части,
имея под руками только линейку с сантиметровыми делени-
ями?
5.16. Как данный отрезок разделить на три равные части,
если можно только проводить прямые и удваивать отрезки?
В
5.17. Из точки О проведены лучи а, Ь, с. На луче а взяты
точки А и А] так, что ОА = AAj. Из точек А и А] проведены
параллельные прямые до пересечения с лучом b в точках
В и Bi соответственно. Из точек В и В\ проведены параллель-
ные прямые до пересечения с лучом с в точках С и С] соот-
ветственно. Докажите, что: а) на луче с получились равные
отрезки; б) прямые АС и AjC] параллельны. Будут ли верны
эти утверждения, если данные лучи не лежат в одной пло-
скости?
Задачи к пункту 5.3
Основные задачи
5.18. Докажите, что средняя линия треугольника отсекает
от данного треугольник того же вида как по сторонам, так
и по углам.
5.19. Докажите, что: а) средняя линия треугольника делит
пополам любую его хорду, выходящую из вершины; б) медиана
делит пополам среднюю линию треугольника, которую пере-
секает.
5.20. Докажите, что высоты треугольника (или их продол-
жения) пересекаются в одной точке.
5.21. На сторонах угла О отложили равные отрезки ОА и
ОВ. На продолжениях его сторон отложили соответственно
204
отрезки ОА-[ = 2ОА и OBi = 2ОВ. Докажите, что AjBi = ЛАВ.
Обобщите задачу.
5.22. а) Сколько средних линий можно провести в тре-
угольнике? б) На сколько частей они разбивают треугольник?
в) Докажите, что все эти части равны между собой, г) Что
представляет собой объединение двух из них?
5.23. В треугольнике с периметром 1 провели три средние
линии. Чему равен периметр каждого полученного треуголь-
ника?
5.24. Какими свойствами обладает треугольник, у которого
равны: а) две средние линии; б) три средние линии?
5.25. Дан разносторонний треугольник. Какая из его сред-
них линий является самой длинной? самой короткой?
5.26. Может ли средняя линия треугольника быть: а) пер-
пендикулярна его стороне; б) равна его стороне; в) равна двум
его сторонам; г) больше его сторон?
5.27. Нарисуйте треугольник, высоту на основание и сред-
нюю линию двух других его сторон. Каково взаимное распо-
ложение высоты и средней линии?
5.28. Можно ли восстановить нарисованный треугольник,
если от него осталось: а) одна средняя линия; б) две; в) три?
5.29. На бумажном треугольнике постройте среднюю ли-
нию. Согните его по этой средней линии. Заметьте точку, в
которую попала вершина треугольника. Что это за точка в
треугольнике?
5.30. Вырежьте из бумаги равносторонний треугопьник.
Как одними только сгибаниями получить его среднюю линию?
5.31. Как, используя свойство средней линии треугольника,
найти: а) расстояние до недоступной точки; б) расстояние
между двумя недоступными точками?
5.32. Как вычистить периметр треугольника, вершина ко-
торого недоступна?
5.33. На одной стороне угла О находились две материальные
точки А1 и Аг, причем ОА2 = 2ОА\. Они одновременно двину-
лись по параллельным прямым до второй стороны угла и
достигли ее одновременно. Чему равно отношение скоростей
этих точек? Обобщите задачу.
205
5.34. В тетраэдре РАВС провели средние линии в гранях
РАС и РВС, параллельные PC. Докажите, что они равны и
параллельны.
3
5.35. Хорда треугольника параллельна одной из его сторон
и равна ее половине. Является ли она его средней линией?
5.36. В треугольнике провели среднюю линию и хорду из
вершины, ее пересекающую. Сколько на сделанном рисунке
будет средних линий?
5.37. Сравните по величине среднюю линию равносторон-
него треугольника и его высоту.
5.38. Может ли средняя линия треугольника равняться той
медиане, которую она пересекает? Быть больше ее? Меньше?
5.39. Найдется ли на средней линии треугольника такая
точка, которая равноудалена от: а) вершин треугольника;
б) сторон треугольника?
5.40. В треугольнике провели среднюю линию. Докажите,
что прямая, проходящая через нее, равноудалена от вершин
треугольника.
5.41. Нарисуйте равносторонний треугольник, а) Отразите
его от одной из его средних линий. Нарисуйте пересечение и
объединение исходного и полученного треугольников, б) От-
разите его от всех его средних линий. Нарисуйте пересечение
и объединение всех треугольников — данного и построенных.
Сравните периметры полученных фигур с периметром данного
треугольника.
5.42. Средняя линия некоторого треугольника на 1 больше
одной его стороны, на 1 меньше другой его стороны и равна
третьей. Чему равен периметр этого треугольника?
Задачи к пункту 5.4
Основные задачи
5.43. Докажите, что каждая точка средней линии трапеции
равноудалена от ее оснований. Найдется ли на ней такая
точка, которая равноудалена от ее боковых сторон?
5.44. Докажите, что средняя линия оснований равнобокой
трапеции является ее осью симметрии. Какие следствия отсюда
можно получить?
206
5.45. Докажите, что средние линии трапеции, пересекаясь,
делятся пополам.
5.46. Нарисуйте трапецию. На какие части она разобьется,
если провести в ней: а) среднюю линию; б) среднюю линию
оснований; в) обе средние линии?
5.47. Может ли средняя линия трапеции быть: а) перпен
дикулярна стороне трапеции; б) равняться стороне трапеции;
в) быть больше стороны трапеции?
5.48. Запишите формулу для средней линии трапеции,
а) Выразите из нее каждое из оснований трапеции, б) При-
ведите численные примеры вычисления по полученной фор-
муле. в) Пусть одно из оснований стало увеличиваться. Что
будет при этом происходить со средней линией? г) Пусть одно
из оснований увеличилось в 2 раза. Как при этом изменилась
средняя линия? д) А как она изменится, если оба основания
уменьшить в 2 раза? е) Докажите, что средняя линия больше
меньшего основания, но меньше большего основания, причем
избытки одинаковы, ж) Какую величину дает формула для
средней линии трапеции, когда сама трапеция вырождается
в треугольник?
5.49. М< жно ли восстановить трапецию по оставшимся на
рисунке средней линии и: а) одному из оснований; б) диаго-
нали; в) еще одной средней линии?
5.50. Из точки О в двух направлениях одновременно по-
ползли два жука, каждый со своей постоянной скоростью.
Спустя 1 с после начала движения расстояние между ними
было 1 м. Какое расстояние будет между ними через: а) 2 с;
б) 3 с; в) 10 с; г) 2,5 с?
5.51. Как построить трапецию, в которой заданы средняя
линия и обе диагонали?
5.52. Докажите, что средняя линия трапеции перпендику-
лярна ее высоте.
5.53. Есть ли на средней линии трапеции точка, равно-
удаленная от вершин: а) одного основания; б) обоих оснований;
207
в) одной боковом стороны; г) двух; д) основания и боковой
стороны? Есть ли на ней точка, равноудаленная от: е) трех
сторон; ж) всех сторон?
5.54. Как вычислить длину средней линии трапеции, если
известны: а) периметр и боковая сторона равнобокой трапеции;
б) части, на которые делит большее основание высота, прове-
денная из вершины меньшего основания равнобокой трапеции;
в) большее основание, боковая сторона, угол между каждой
боковой стороной и основанием, равный 60°; г) боковая сто-
рона. диагонали, которые делят угол при основании пополам;
д) высота, равные боковые стороны, взаимно перпендикуляр-
ные диагонали; е) углы при меньшем основании 90 и 120°,
ботьшая боковая сторона, равная меньшей диагонали. При-
ведите численные примеры.
5.55. Вычислите периметр равнобокой трапеции, в которой:
а) боковая сторона равна 2 и средняя линия равна 1; б) средняя
линия равна 1 и из середины боковой стороны, равной 1,
другая ее сторона видна под углом 90°.
5 56. Боковые стороны трапеции перпендикулярны, раз-
ность оснований равна 1. Чему равна ее средняя линия?
5.57. В трапеции провели среднюю линию и диагональ,
а) Объясните, почему часть средней линии трапеции в каждом
треугольнике разбиения является средней линией этого тре-
угольника. б) Пусть большее основание трапеции и одна из
средних линий треугольников известны. Можно ли найти
другое основание трапеции? в) Что изменится, если вместо
диагонали провести высоту из вершины трапеции?
5.58. В трапеции с основаниями а и b (а > Ь) провели
среднюю линию. Затем провели диагональ.
а) Могут ли полученные части средней линии быть рав-
ными? б) В каком отношении делится эта средняя линия
диагональю?
Теперь проведите еще одну диагональ.
в) Чему равен отрезок средней линии между диагоналями?
г) Могут ли полученные три части средней линии быть рав-
ными? д) Если нет, то какая из них самая большая?
5.59. Может ли средняя линия трапеции проходить через
точку пересечения ее диагоналей?
208
5.60. Составьте сами задачу, аналогичную 5.58, проведя
вместо диагоналей хорды трапеции, параллельные ее боковым
сторонам.
5.61. В трапеции ABCD провели среднюю линию KL (точка
К — середина АВ. точка L — середина CD. Сравните между
собой такие пути из А в С: ABC. AKLC. ADC.
5.62. Боковую сторону трапеции разделили на три равные
части и провели через точки деления прямые, параллельные
основаниям. Пусть основания трапеции равны а и Ь. Чему
равны длины пол} ченных хорд трапеции?
ЗАДАЧИ К § 6
Вопросы для самоконтроля
л. Даны два прямоугольника. Зависит ли отно-
шение их площадей от выбора единицы изме-
рения площади?
а По какой формуле вычисляют площадь прямо-
угольника?
а Знаете ли вы формулу вычисления площади
квадрата?
а Какие единицы измерения площади вы знаете?
а Какое обязательное условие должно выполнять-
ся при вычислении площади прямоугольника?
6.1. Вычислите площадь прямоугольника, длины сторон
которого равны: а) 23 см и 18 мм (выразите площадь в кв.
мм): б) 2,5 м и 78 см (выразите площадь в кв. м); в) 3,8 км
и 500 м (выразите площадь в га).
6.2. Нарисуйте прямоугольник. Пусть его площадь равна
S. Нарисуйте теперь прямоугольник площадью 2S; 3S.
6.3. Одним прямым разрезом разделите площадь прямо-
угольника пополам. Предложите несколько способов решения.
6.4. Нарисуйте прямоугольник. Пусть его площадь равна S.
Нарисуйте теперь прямоугольник площадью ^8; ^S.
о 4
6.5. Чему равна площадь прямоугольника, если его пери-
метр равен 4 м и: а) отношение размеров равно 2; б) длина
больше ширины на 0,5 м.
209
6.6. Используя понятие площади прямоугольника, дайте
геометрически ю иллюстрацию таким равенствам для положи-
тельных чисел:
а) (а + Ь)с = ас + be, г) (а + t>)2 = а2 + 2аЬ + Ь2;
б) (а — Ь)с = ас — Ьс; д) (а — Ь)2 = а2 — 2аЪ + Ь2.
в) (а + Ь)(а — Ь) = а2 — Ь2;
6.7. С помощью площади прямоугольника укажите, как
может быть найдено значение выражения: а) (а + b)(c + d);
б) (а — Ь)(с - d).
6.8. Сможете ли вы, используя площадь прямоугольника,
истолковать такие равенства для положительных чисел:
а) а : b = с : d; б) а : b = b : с?
6.9. а) Нарисуйте квадрат. Нарисуйте другой квадрат, сто-
рона которого в 2 раза больше стороны данного квадрата. Во
сколько раз площадь второго квадрата больше площади пер-
вого? б) Что вообще происходит с площадью квадрата, если
его сторона изменяется (увеличивается или уменьшается) в
несколько раз? в) Пусть площадь одного квадрата в 100 раз
больше площади другого квадрата. Во сколько раз больше его
сторона? г) Сформулируйте результат, полученный в этой за-
даче.
6.10. Нарисуйте два квадрата так, чтобы они имели общий
центр и параллельные стороны, а) Пусть сторона меньшего
квадрата составляет 2/3 стороны большего. Как вы думаете,
какая площадь больше: маленького квадрата или оставшейся
части большого квадрата? б) Пусть сторона маленького квад-
рата составляет 9/10 стороны большого. Сколько процентов
от площади исходного квадрата находится в оставшейся части?
6.11. Нарисуйте прямоугольник. Пусть его основание рав-
но d, а высота — Л. Запишите формулу его площади, а) Пусть
основание увеличилось в 2 раза, а высота не изменилась. Что
произошло с площадью? б) Пусть основание уменьшилось в
5 раз, а высота не изменилась. Что произошло с площадью?
в) Пусть основание изменяется, а высота остается постоянной.
Объясните, почему зависимость между площадью и основанием
является прямой пропорциональностью, г) Какая зависимость
существует между площадью и высотой при постоянном ос-
новании? д) Пусть основание прямоугольника увеличилось в
3 раза. Что сделать с его высотой, чтобы его площадь не
210
изменилась? е) Объясните, почему при постоянной площади
прямоугольника его основание и высота являются обратно
пропорциональными величинами? ж) Может ли прямоуголь-
ник иметь одну из сторон 1 км, а площадь меньше, чем
1 кв. мм?
6.12. Что произойдет с площадью прямоугольника, если:
а) основание увеличить в 2 раза, а высоту увеличить в 3 раза:
б) основание уменьшить в 4 раза, а высоту увеличить в 8
раз: в) основание и высоту уменьшить в 1,5 раза; г) основание
и высоту увеличить на 10%.
6.13. Как вы найдете площадь фигур на рис. 312? Жела-
тельно сделать как можно меньше измерений.
6.14. В каких границах лежит площадь прямоугольника,
если одна его сторона больше 15 мм и меньше 16 мм, а другая
его сторона больше 12 мм и меньше 13 мм?
6.15. Площадь прямоугольника лежит в границах от 40
до 50 кв. см. а) Одна его сторона равна 18 см. В каких
границах лежит другая его сторона? б) Одна его сторона
находится в границах от 20 до 25 см. В каких границах
лежит другая его сторона?
6.16. а) Сторону квадратного участка измерили и получили,
что она равна 10 м с погрешностью 0,5 м. С какой погреш-
ностью при этом получится его площадь? б) С какой погреш-
ностью надо измерять его сторону, чтобы его площадь была
измерена с погрешностью 0,1 кв. м?
211
6.17. Перед вами лист бумаги из тетради. Как получить
из него лист бумаги площадью в 2 раза меньшей? Если это
сделали вы и ваш сосед, то получились ли у вас обязательно
равные прямоугольники? А как получить из того же листа
бумаги лист площадью в 4 раза меньшей, чем площадь данного
листа? А теперь перегните исходный лист пополам 5 раз
подряд. Во сколько раз площадь полученного листа меньше
площади исходного? А можно ли перегибанием листа получить
из него лист площадью в 3 раза меньшей, чем исходная
площадь?
6.18. Перед вами страница книги. Сколько процентов со-
ставляет площадь, занятая ее текстом, от общей площади
страницы? Сначала попробуйте дать ответ на глаз, а затем
проверьте его вычислениями.
6.19. Книгу некоторого формата решили переиздать, при-
чем новый формат составляет половину старого. Как изменятся
затраты бумаги в пересчете на один экземпляр?
6.20. Для облицовки стены дома имеются равные квадрат-
ные плитки. Как вы узнаете, сколько понадобится плиток?
6.21. Требуется узнать, сколько деревьев можно посадить
на данном прямоугольном участке земли. Как вы будете дей-
ствовать?
6.22. Вам нужно сделать квадратную песочницу для ма-
лышей в вашем дворе. Какие данные для этого понадобятся?
6.23. Необходимо рассчитать число полок для вашей биб-
лиотеки. Составьте план вычислений.
6.24. Как можно установить, что освещенность одной ком-
наты больше, чем освещенность другой? (Имеется в виду
освещенность солнечным светом.) При этом нет возможности
эту освещенность как-то измерить.
6.25. Когда для практики важнее знать площадь квадрата,
нежели его периметр? А наоборот? Приведите примеры.
3
6.26. а) Даны два квадрата площадью S каждый. Их
наложили друг на друга так, что при объединении получился
прямоугольник площадью 1,5S. Какова площадь их общей
части? б) Дан прямоугольник площадью S. Два прямоуголь-
ника площадью 0,58 каждый наложили на данный прямо-
угольник так, что он имеет с данным прямоугольником общую
сторону. Какова площадь оставшейся части?
212
6.27. Из данного квадрата надо вырезать квадрат, равный
по площади оставшейся части. Как это сделать?
6.28. Какая зависимость существует междх площадью и
периметром квадрата? Существует ли она и для прямоуголь-
ника?
6.29. Чему равен периметр прямоугольника, если его пло-
щадь равна 20 кв. м и: а) длина равна 5 м; б) длина составляет
125% от ширины?
6.30. Имеются два прямоугольника. Какие из следующих
утверждений верны: а) если прямоугольники равны, то их
площади равны; б) если площади прямоугольников равны, то
и прямоугольники равны; в) если равны их площади, то
равны и периметры; г) если равны периметры, то равны и
площади; д) если один из них имеет большую площадь, то
он же имеет и больший периметр; е) если один из них имеет
больший периметр, то он же имеет и большую площадь?
6.31. Можно ли сделать прямоугольник площадью 4, если
периметр равен: а) 8; б) 10е; в) 10 е?
6.32. Есть ли такие прямоугольники, у которых стороны
измеряются целыми числами, а площадь численно равна пе-
риметру?
6.33. Прямая, перпендикулярная одной из сторон прямо-
угольника, делит пополам его площадь. Докажите, что она
же делит пополам и его периметр. Сформулируйте и проверьте
обратное утверждение. Изменятся ли полученные вами ре-
зультаты, если прямая не будет перпендикулярна стороне
прямоугольника?
6.34. Поясните рисунком такие приближенные равенства
для положительных чисел, близких к 0: а) (1 + а)(1 — а) ~ 1;
б) (1 + а)2 ~ 1 + 2а; в) (1 — а)2 ~ 1 — 2а; г) (1 + а)(1 + Ь)~
= 1 + а + Ь.
ЗАДАЧИ К § 7
Вопросы для самоконтроля
л. Как найти площадь прямоугольного треугольника?
а Как найти площадь произвольного треугольника?
а Почему формула площади прямоугольного тре-
угольника является частным случаем формулы
площади произвольного треугольника? Объясните.
213
Задачи к пункту 7.1
Основная задача
7.1. а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике про-
изведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты,
проведенной на нее. б) Каждую из величин в этой формуле
выразите через остальные, в) Запишите эту формулу в виде
пропорции.
7.2. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, ка-
теты которого равны: а) 62 см и 25 мм; б) 54 дм и 58 см.
Выразите полученную площадь в кв. см.
7.3. Какую часть составляет площадь S от площади тре-
угольника АВС на рис. 313? Точки К, L, М — середины сторон
треугольника.
Рис. 313
214
Рис. 314
7.4. Нарисуйте прямоугольный треугольник. Нарисуйте за-
тем треугольник: а) с той же площадью, но не равный первому;
б) с площадью в 2 раза большей; в) с площадью в 2 раза
меньшей.
7.5. Запишите формулу площади прямоугольного треуголь-
ника через длины его катетов. Что произойдет с площадью,
если, не меняя одного из катетов, другой: а) увеличить в
2 раза; б) уменьшить в 3 раза? в) Пусть один из катетов не
меняется. Какой будет зависимость между площадью и другим
катетом? г) Пусть один из катетов увеличился в 10 раз. Что
сделать с другим, чтобы площадь треугольника не изменилась?
д) Пусть площадь треугольника не меняется. Какой зависи-
мостью связаны между собой его катеты?
7.6. Как изменилась площадь прямоугольного треугольника,
если: а) один катет увеличили в 2 раза, а другой — в 3 раза;
215
б) один катет уменьшили в 2 раза, а другой — в 3 раза;
в) один катет уменьшили в 3 раза, а другой увеличили в 4
раза: г) один уменьшили на 20%, а другой увеличили на 20% ?
7 7 а) Каждый катет прямоугольного треугольника равен
1 м и при этом измерение его произведено с точностью до
1 см. В каких границах находится значение его площади?
б) Площадь участка земли, имеющего форму прямоуголь-
ного треугольника, требуется найти с точностью до 10 кв. м.
Один катет равен 50 м, другой — 60 м. Точность измерения
составила 1 м. Можно ли гарантировать нужную точность в
измерении площади?
3
7.8. Пусть ABCD — прямоугольник. Точка К — середина
стороны CD, точка L — середина стороны ВС, точка М —
середина стороны AD, точка N — середина стороны АВ. Какую
часть площади прямоугольника составляют площади таких
многоугольников: a) ABD; б) АВМ; в) ABKD', г) ABLKD;
д) ABLKM; е) KLNM?
7.9. Дан квадрат ABCD. Докажите, что площадь заштри-
хованной фигуры на рис. 314 равна площади квадрата.
7.10. Пусть ABCD — квадрат. Точки К, L, М, N — сере-
дины сторон AD, ВА, СВ, DC соответственно. Какую часть
площади квадрата составляют плошади таких фигур: а)
CDK\ б) DAL; в) АКСМ; г) объединения АКСМ и BLDN; д)
пересечения АКСМ и BLDN?
7.11. Чему равна площадь треугольника АВС на рис. 315?
7.12. Определите площадь четырехугольника ABCD на рис.
316?
7.13. Диагонали выпуклого четырехугольника равны а и
Ь. Они взаимно перпендикулярны. Чему равна площадь этого
четырехугольника? Изменится ли полученный результат, если
четырехугольник не будет выпуклым? А если диагонали не
будут взаимно перпендикулярны?
Задачи к пункту 7.2
Основные задачи
7.14. Пусть а и b — две стороны треугольника, hu и hf, —
проведенные к ним высоты треугольника, а) Докажите, что
216
Рис. 316
ж)
Рис. 317
217
б)
aha = bhb- б) Запишите эту формулу в виде пропорции в) До-
кажите, что ha = ht>, если а = Ь. г) Сформулируйте и докажите
обратное утверждение, д) Докажите, что в треугольнике на
большую сторону проводится меньшая высота, е) Сформули-
руйте и проверьте обратное утверждение.
7.15. Докажите, что в равных треугольниках соответствен-
ные высоты равны.
7.16. Вычислите площадь треугольника, у которого: а) ос-
нование 16 см, а высота к нему 12 дм; выразите ее в кв. см.
б) основание 1,2 км, а высота к нему равна 230 м; выразите
ее в кв. м.
7.17. Квадрат со стороной 3 разделили на 9 равных квад-
ратов (рис. 317). Чему равна площадь треугольника АВС?
7.18. Как найти площади заштрихованных фигур на
рис. 318? Сделайте на этом рисунке измерения и получите
результат. Желательно сделать как можно меньше измерений.
7.19. За единицу площади выбран квадрат со стороной в
одну клеточку вашей тетради. Нарисуйте квадрат площадью
9 таких квадратных единиц. Внутри него нарисуйте треуголь
ники площадью: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
218
Рис. 319
7.20. Запишите формулу площади треугольника. Составьте
и решите задачу, аналогичную задаче 7.5.
7.21. Какой бы треугольник ни нарисовал Федя, его зака-
дычный друг Вася может, ничего не измеряя, нарисовать
треугольник с такой же площадью, но не равный ему. Как
он это делает?
7.22. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все
ребра равны d. Чему равна площадь сечения РАС?
219
7.23.
равна 4
Пусть сторона исходного квадрата в игре «танграм»
см. Чему равны площади всех ее частей?
7.24. В треугольнике со сторонами а, Ь, с а > b > с. Рас-
положите в порядке возрастания его высоты Ла, Л/,, h, .
7.25. а) Основания двух треугольников равны. Докажите,
что их площади относятся как высоты, проведенные к этим
основаниям, б) Высоты двух треугольников равны. Докажите,
что площади этих треугольников относятся как основания,
на которые проведены эти высоты.
7.26. Два треугольника имеют общий угол. Докажите, что
отношение их площадей равно отношению произведений сто-
рон, заключающих этот угол.
7.27. Два треугольника имеют равные площади. Следует
ли из этого, что они равны?
7.28. Площадь одного треугольника больше, чем площадь
другого. Следует ли из этого, что и периметр его больше? Как
бы вы определили, в каком случае имеет смысл считать, что
один треугольник больше другого?
220
Рис. 322
7.29. Сравните площади фигур, изображенных на рис. 319.
7.30. Как вы будете искать площади фигур на рис. 320?
Постарайтесь обойтись наименьшим числом измерений.
7.31. Найдите неизвестную площадь треугольника
(рис. 321).
7.32. Чему равна площадь четырехугольника ABCD
(рис. 322)?
7.33. В треугольнике АВС провели медиану А4]. а) Дока-
жите, что площади полученных частей треугольника одина-
221
ковы, б) Возьмите на медиане какую-нибудь точку и соедините
ее с вершинами В и С. Укажите треугольники, равные по
площади.
7.34. а) Дв° стороны треугольника равны а и Ь. Чему равно
наибольшее значение площади такого треугольника? б) До-
кажите, что из всех равнобедренных треугольников с данной
боковой стороной наибольшую площадь имеет прямоугольный
треугольник.
7.35. Нарисуйте равнобедренный треугольник АВС с осно-
ванием АС. Возьмите точку X на основании. Из нее на боковые
стороны проведите перпендикуляры. Докажите, что их сумма
не зависит от выбора точки X на стороне АС. Останется ли
верным это утверждение для точки X, взятой внутри тре-
угольника АВС? А что получится, если взять точку внутри
равностороннего треугольника и проводить из нее перпенди-
куляры на все его стороны?
7.36. По стороне ВС прямоугольника ABCD движется точка
X. Докажите, что площадь треугольника AXD при этом не
меняется.
7.37. Внутри квадрата находится треугольник. Докажите,
что его площадь не больше половины площади квадрата.
ЗАДАЧИ К § 8
Вопросы для самоконтроля
а Какая фигура называется многоугольной?
а Можете ли вы привести примеры фигур, явля-
ющихся многоугольными и не являющихся та-
ковыми?
а Какая фигура называется многогранной?
л. Какие примеры фигур, являющихся многогран-
ными и не являющихся таковыми, можете вы
привести?
а В каком случае говорят, что одна многоуголь-
ная фигура составлена из других многоуголь-
ных фигур? Приведите примеры.
а Какая разница между многоугольником и мно-
гоугольной фигурой? А что у них общего?
а Как вычисляют площадь реальной многоуголь-
ной фигуры?
а Что такое высота параллелограмма?
222
а Какие многоугольные фигуры называют рав-
ными?
а Какими свойствами задается площадь много-
угольной фигуры?
а Что такое высота трапеции?
а Чему равна площадь параллелограмма?
а Чему равна площадь трапеции?
а Можно ли считать по формуле для площади
трапеции площадь параллелограмма? А пло-
щадь треугольника?
Задачи к пунктам 8.1, 8.2 и 8.4
Основная задача
8.1. Пусть Fi и 7*2 — многоугольные фигуры, G] — много-
угольная фигура, являющаяся их объединением, a Gj — мно-
гоугольная фигура, являющаяся их пересечением. Докажите,
что S(Fi) + S(F2) = S(Gi) + S(G2).
8.2. Фигуру F разрезали на две фигуры: F] и F2. Выразите
площадь фигуры F через площади полученных фигур.
8.3. Площадь фигуры F равна сумме площадей фигур
F\ и F2. Значит ли это, что фигура F составлена из фигур
F] и F2?
8.4. Фигура F составлена из п равных треугольников. Какую
часть составляет площадь каждого из этих треугольников от
площади фигуры F1
8.5. Две фигуры составлены из одинакового числа попарно
равных треугольников. Откуда следует, что площади этих
фигур равны?
8.6. а) Нарисуйте какой-нибудь выпуклый четырехуголь-
ник. Постройте другой выпуклый четырехугольник, равнове-
ликий данному, б) Решите теперь аналогичную задачу для
пятиугольника.
223
8.7. Нарисуйте квадрат. Как разделить его на две равно-
великие части: а) одним отрезком; б) одной ломаной; в) одной
кривой линией; г) одной замкнутой линией?
8.8. а) Нарисуйте прямоугольник. Где-нибудь поставьте
точку. Можете ли вы провести через данную точку прямую
так, чтобы она делила пополам площадь прямоугольника?
б) Можно ли одной прямой разделить пополам площади двух
прямоугольников? в) Трех прямоугольников?
8.9. На стороне данного равностороннего треугольника Федя
нарисовал прямоугольник, равновеликий этому треугольнику.
Но пришел Вася и стер треугольник. Сможете ли вы его
восстанови ть ?
8.10. Два равных прямоугольных треугольника АВС и
DBC с общим катетом ВС расположены в одной полуплоскости.
Их гипотенузы АС и BD пересекаются в точке К. Докажите,
что: а) треугольники АВС и BCD равновелики; б) треугольники
АВК и CDK равновелики. Будут ли верны полученные ре-
зультаты, если углы АВС и DCB останутся равными, но не
прямыми?
8.11. В треугольнике АВС АВ = АС. На сторонах АВ и АС
от вершины А отложены равные отрезки АК и AL. Докажите,
что: а) треугольники ABL иАКС равновелики; б) треугольники
КВР и LPC равновелики (Р — точка пересечения СК и BL).
8.12. Из равных равносторонних треугольников составили
равносторонний треугольник. При этом обошлись наименьшим
возможным числом треугольников. Какую часть от площади
полученного треугольника составляет площадь исходного рав-
ностороннего треугольника?
8.13. Фигура Ft составлена из К\ равных треугольников,
а фигура F2 составлена из К2 таких же треугольников. Срав-
ните площади фигур Fi и F2- Изменится ли результат срав-
нения, если эти фигуры будут составлены соответственно из
такого же количества равных прямоугольников?
8.14. В квадрате ABCD провели диагональ АС, затем от
него с угла С отрезали квадрат. Докажите, что два четырех-
угольника, граничащие по части диагонали АС, равновелики.
Составьте из них прямоугольник.
8.15. На гипотенузе равнобедренного прямоугольного тре-
угольника построили квадрат. Квадрат построили и на его
катете. Докажите, что площадь первого квадрата в 2 раза
224
ботьше площади второго. Используйте результат этой задачи
для построения квадрата площадью в 2 раза большей, чем
площадь данного квадрата; затем — для нахождения площади
квадрата, если известна только его диагональ.
8.16. Докажите, что площадь прямоугольника не больше,
чем половина площади квадрата, построенного на его диаго-
нали. Может ли площадь этого квадрата быть больше площади
прямоугольника в 1000 раз? А в каком случае площадь пря-
моугольника равна именно половине площади такого квад-
рата?
8.17. Гипотенузу прямоугольного равнобедренного треуголь-
ника увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилась его
площадь? Полечится ли у вас тот же результат, если увеличить
в 2 раза гипотенузу произвотьного прямоугольного треуголь-
ника?
8.18. В треугольнике провели среднюю линию. Какую часть
площади данного треугольника составляет площадь получен-
ного треугольника?
8.19. Через вершины квадрата перпендикулярно его диа-
гоналям проведены прямые до их взаимного пересечения.
Сравните площадь полученного четырехугольника с площадью
квадрата. Сможете ли вы решить аналогичную задачу, если
будет дан не квадрат, а прямоугольник? А для произвольного
выпуклого четырехугольника?
8.20. Пусть АВС — правильный треугольник площадью S.
Каждая его сторона продолжается на равный отрезок: АВ —
за вершину В, ВС — за вершину С, СА — за вершину А.
Найдите площадь треугольника, вершинами которого явля-
ются концы продолженных отрезков. Составьте и решите та-
кую же задачу для квадратов. Попробуйте это сделать и для
других многоугольников.
Площадь параллелограмма
8.21. Вычислите площадь параллелограмма, у которого:
а) сторона равна 14 мм, а высота к ней — 3,2 см; б) сторона
равна 1532 мм, а высота к ней — 0,16 м. Выразите полученную
площадь в кв. см.
8.22. Запишите формулу площади параллелограмма. По-
ставьте вопросы, аналогичные вопросам о площади прямо-
угольника в задаче 6.11, и ответьте на них.
8 Зак 106
225
Рис. 323
8.23. Пусть а и b — длины сторон параллелограмма,
hu и hb — длины высот, проведенных к ним. а) Докажите, что
aha = bhb- б) Выразите из этой формулы каждую из величин,
в) Запишите ее в виде пропорции и дайте словесную форму-
лировку этой пропорции, г) Докажите, что если соседние
стороны параллелограмма равны, то равны и высоты, прове-
денные к ним. д) Докажите утверждение, обратное предыду
щему. е) Докажите, что большая высота параллелограмма
проводится на меньшую его сторону, ж) Докажите утвержде-
ние, обратное предыдущему.
В
8.24. Какую часть составляет площадь S от площади па-
раллелограмма ABCD на рис. 323?
8.25. Чему равна площадь ромба, в котором сторона рав-
на 2, а острый угол равен 30°?
226
8.26. а) Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры.
Какая из этих фигур имеет большую площадь? б) Квадрат и
ромб имеют одинаковую площадь. Сравните периметры этих
фигур.
8.27. Предложите сами другие способы для вывода формулы
площади параллелограмма.
Площадь трапеции
8.28. Вычислите площадь трапеции, у которой: а) основа-
ния 1,2 см и 8 мм, а высота 0,02 м; б) основания 1,5 м и 9
дм, а высота 60 см. Каждую полученную площадь выразите
в кв. см.
8.29. Основания равнобокой трапеции равны а и Ь. Боковая
сторона образует с основанием угол 45°. Чему равна ее пло-
щадь?
8.30. Как разделить на две части, равные по площади:
а) квадрат; б) прямоугольник; в) трапецию. Предложите как
можно больше способов.
8.31. Запишите формулу для площади трапеции. При ка-
ких условиях из этой формулы можно получить формулу для
площади параллелограмма? А формулу для площади тре-
угольника?
8.32. Пусть ABCD — прямоугольник. Через точку К — се-
редину стороны CD — провели отрезок PQ так, что точка Р
лежит на стороне ВС, а точка Q — на прямой AD. Докажите,
что площадь четырехугольника ABPQ равна площади четы-
рехугольника ABCD. Аналогичное построение выполнили для
точки L — середины стороны АВ, проведя отрезок RS. Дока-
жите, что площадь четырехугольника SRPQ равна площади
четырехугольника ABCD.
8.33. Предложите другие способы для получения формулы
площади трапеции.
ЗАДАЧИ К § 9
Вопросы для самоконтроля
а Какие фигуры называются равновеликими: а) в
плоскости; б) в пространстве?
227
Рис. 324
* Какие фигуры называются равносоставленны-
ми? Приведите примеры.
а В чем заключается теорема Бойаи—Гервина?
9.1. Составьте две неравные многоугольные фигуры из двух
равных: а) равнобедренных треугольников; б) прямоугольных
треугольников; в) произвольных треугольников; г) равносто-
ронних треугольников.
9.2. Составьте две неравные фигуры из: а) двух равных
прямоугольников; б) двух равных квадратов; в) трех равных
квадратов.
9.3. Докажите, что равновелики любые две фигуры, изо-
браженные на рис. 324.
9.4. а) Нарисуйте какой либо выпуклый четырехугольник.
Постройте другой четырехугольник, равновеликий и не рав-
ный данному, б) Решите аналогичную задачу для пятиуголь-
ника.
9.5. На стороне треугольника Федя нарисовал прямоуголь-
ник, равновеликий этому треугольнику. Но пришел Вася и
стер треугольник. Сможете ли вы его восстановить?
9.6. Сложите из всех частей «танграма»: а) выпуклую
многоугольную фигуру; б) пятиугольник.
9.7. Возьмите некоторые части «танграма» и сложите из
них две разные фигуры. Предложите своему соседу по парте
доказать их равновеликость, не сказав, однако, из каких
частей они были составлены.
9.8. Перекроите в прямоугольник: а) прямоугольный тре-
угольник; б) произвольный треугольник; в) прямоугольную
трапецию; г) произвольную трапецию; д) параллелограмм.
228
9.9. Нарисуйте прямоугольник, у которого длина в 1 раза
больше ширины. Разрежьте его на две части, из которых
можно сделать квадрат.
9.10. Нарисуйте прямоугольник, у которого длина в 2 раза
больше ширины. Разрежьте его на три части, из которых
можно составить квадрат.
9.11. Прямоугольник размерами 4x9 разбейте на 36 еди
ничных квадратов. По их границам проведите трехзвенную
ломаную, которая разбивает его на две части, из которых
можно составить квадрат.
9.12. Нарисуйте прямоугольник. Как разбить его на две
равновеликие части: а) одним отрезком- б) одной ломаной;
в) одной кривой линией; г) одной замкнутой линией?
9.13. Нарисуйте треугольник. Где-нибудь поставьте точку,
а) Можете ли вы провести через данную точку7 прямую так.
чтобы она делила пополам площадь треугольника? б) Можно
ли одной прямой разделить пополам площади двух треуголь-
ников?
9.14. Из равных треугольников составили новый треуголь-
ник. Какую часть площади полученного треугольника состав-
ляет площадь исходного треугольника?
ЗАДАЧИ К § 10
Вопросы дпя самоконтроля
а Какая геометрическая фигура называется мно-
гогранным телом? Приведите примеры много-
гранного тела и фигуры, которая таковым не
является.
а По какой формуле вычисляется объем: а) пря-
мой призмы; б) любой призмы; в) пирамиды?
а Какие вы знаете свойства объема?
а Зависит ли отношение объемов двух многогран-
ных тел от выбора единицы измерения объема?
Задачи к пункту 10.1
А
10.1. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда,
измерения которого равны: а) 12 дм, 14 см и 150 мм; б) 17 м.
229
6,4 м и 5,75 м. Выразите полученный результат в разных
единицах объема.
10.2. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Пусть его
объем равен V. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
объемом 2V,
10.3. Как разбить прямоугольный параллелепипед на два
многогранника с одинаковым объемом?
10.4. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда,
если сумма трех его измерений равна 1 и: а) они относятся
как 3:2: 1; б) длина больше ширины, а высота — длины на
0,1?
10.5. Ребро куба стало уменьшаться, а) Пусть ребро нового
2
куба составляет - ребра старого. Как вы думаете, что больше:
О
объем маленького куба или тот объем, который потерял первый
куб? б) Сколько процентов первоначального объема потерял
первый куб в тот момент, когда его ребро составило 90% от
первоначального?
10.6. а) Нарисуйте куб, затем другой с ребром в 2 раза
большим. Во сколько раз объем второго куба больше объема
первого куба? б) Вообще, что происходит с объемом куба, если
его ребро изменяется (увеличивается или уменьшается) в не-
сколько раз? в) Пусть объем одного куба в 2 раза больше
объема другого куба. Во сколько раз больше его ребро? г) Сфор-
мулируйте результат, полученный в этой задаче.
10.7. Что произойдет с объемом прямоугольного паралле-
лепипеда, если: а) все его ребра увеличить в 2 раза; б) все
его ребра уменьшить в 10 раз; в) длину увеличить в 4 раза,
ширину уменьшить в 2 раза и высоту уменьшить в 2 раза;
г) все измерения уменьшить на 25% ?
10.8. От данного куба требуется отрезать куб, равновеликий
остающейся части. Как это сделать?
10.9. В каких границах лежит объем прямоугольного па-
раллелепипеда, у которого: а) все ребра находятся в границах
от 10 до 11 см; б) ребра равны 10 см, 11 см и 12 см. а измерены
с погрешностью 0,5 см?
10.10. Требуется сделать куб объемом 27 см3 с погрешно-
стью, не превышающей 1 см3. Чему должно быть равно ребро
такого куба и с какой точностью оно должно быть сделано?
230
10.11. Куб с ребром 1 м распилили на кубики с ребром
1 дм, а потом все эти кубики поставили один на другой. Чему’
равна высота полечившегося столба? А если распилить его на
кубики с ребром 1 см? А если на кубики с ребром 1 мм?
10.12. Подсчитайте, сколько кубометров воздуха приходит-
ся на одного ученика в вашем классе? (По норме должно быть
не меньше 6 м .)
10.13. Два куба с ребрами 1 см и 2 см переплавили в один
куб. Чему равно ребро нового куба?
10.14. Кубический ящик имеет толщину стенок, равную
0,1 его ребра. Сколько процентов объема ящика составляет
объем его стенок?
10.15. При укладке дров в поленницу пустые1 промежутки
между поленьями занимают 20% объема всей поленницы.
Чему равен объем поленницы, состоящей из 1 м дров?
10.16. Прямоугольный лист металла площадью Si после
прокатки стал иметь площадь S2- Как изменилась его тол-
щина?
10.17. На позолоту 1 м" идет 1 г золота. Какова толщина
позолоты?
10.18. Лист железа имеет массу 50 кг. От него требуется
отрезать лист массой 10 кг. Как вы будете действовать?
10.19. а) Куб из металла весит 8 кг. Сколько весит куб из
того же металла, у которого ребро в 2 раза меньше? б) Имеется
два куба из одного и того же металла. Первый весит в 10 раз
больше. Во сколько раз больше его ребро?
10.20. Сколько литров воды содержится в: а) кебе с ребром
10 см; б) в прямоугольном параллелепипеде с ребрами 20 см,
12 см и 10 см. А бензина?
10.21. Сосуд имеет форму куба с ребром 10 см. Он заполнен
водой доверху. В него опустили куб с ребром 5 см. Сколько
из него выльется воды, если куб: а) металлический; б) дере-
вянный?
10.22. Как, имея под руками сосуд в форме прямоугольного
параллелепипеда, вычислить объем металлического шара?
В
10.23. Используя формулу для объема, дайте истолкова-
ние таким равенствам: а) (а + Ь)3 — а3 + За2Ь + ЗаЬ“ + Ь3;
б) (1 + а) ~ 1 + За при малых а. Попробуйте распространить
этот результат и на куб разности.
231
10.24 а) Даны два куба объемом Г каждый. Объединением
их является прямоугольный параллелепипед объемом 1.51’.
Чему равен объем их пересечения? б) Два куба объемом V
каждый расположены так, что объем их пересечения равен
0,5Г. Чему равен объем их объединения?
10.25. а) Ребра прямоугольного параллелепипеда равны
а, Ь, с. Насколько изменился его объем, если каждое из них
увеличили на d. б) Каждое ребро прямоугольного параллеле-
пипеда увеличили на 1. Оцените изменение его объема.
10.26. Чему равен объем куба, если его диагональ равна 1?
10.27. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда,
если его диагональ равна 1 и составляет: а) со стороной- ос-
нования угол 60°; б) с квадратным основание угол 45°?
Задачи к пункту 10.2
10 28. Чему равен объем правильной призмы с ребром 1,
если она: а) треугольная; б) четырехугольная?
10.29. Напишите формулу объема прямой призмы. Что
произойдет с ее объемом, если: а) площадь основания увели-
чилась в 2 раза, а высота не изменилась; б) площадь основания
не изменилась, а высота уменьшилась в 5 раз.
Какой является зависимость между: в) объемом и высотой
при постоянной площади основания; г) объемом и площадью
основания при постоянной высоте; д) площадью основания и
высотой при постоянном объеме?
10.30 Металлический слиток имеет форму прямой призмы,
в основании которой трапеция. Каков вес слитка, если осно-
вания трапеции 10 см и 8 см, боковая сторона трапеции 6 см,
а высота призмы 20 см. Удельный вес металла 10,4 г/см3.
10.31. Тонкая медная пластинка имеет форму треугольника.
Как вычислить ее толщину, если она меньше 1 мм, но есть
линейка и точные весы?
10.32. Как вычислить объем воды в плавательном бассейне?
10.33. Как вычислить объем сена на сеновале, заполненном
доверху?
232
10.34. Как вычистить, сколько воды выносит Нева в Фин-
ский залив за 1 ч?
Задачи к пункту 10.5
10.35. Чем' равен объем правильной пирамиды с высотой 1,
если ребро ее основания равно 1 и она: а) треугольная; б) че
тырехугольная?
10.36. Вычислите объем пирамиды Хеопса. Ребро ее осно-
вания равно 233 м, а высота 146 м.
10.37. Чему равен объем правильной пирамиды с пебром 1,
если она: а) треугольная; б) четырехугольная?
10.38. Нарисуйте правильную треугольную призму
ABCAiB\C\. Какую часть объема призмы составляет объем
тетраэдра: а) А\АВС; б) CAiBiCi; в) А^В^ВС?
10.39. Дан куб ABCDA\B]C\D} с ребром 1. Чему равен объем
пирамиды: a) A-\ABCD; б) CAAjBi; в) B\AD]C; г) OABCD, где
точка О — середина диагонали BD1
10.40. Плоскости двух равносторонних треугольников
АВС и DBC со стороной 1 перпендикулярны Чему равен объем
тетраэдра ABCD?
10.41. Как изменится объем правильного тетраэдра, если
его ребро увеличить в 2 раза? А объем правильной четырех-
угольной пирамиды?
Задачи к пункту 10 6
10 42. Из последовательности равных кубов составляется
многогранное тело. При этом каждые два последовательных
куба имеют общую грань. Нарисуйте многогранное тело, если
кубов было: а) 3; б) 4.
10 43. Нарисуйте многогранное тело, три проекции кото-
рого заданы на рис. 325.
233
ИО МН SQ
а) \\\/ б) в)
Рис. 325
Рис. 326
234
10.44. Чему равен объем части куба с ребром 1, заданной
на рис. 326?
10.45. Пусть М\ и М2 — два многогранных тела с объемами
V1 и Кг, Р — их пересечение, a Q — их объединение. Найдите
связь между Vj, Кг, V(P), V(Q).
ЗАДАЧИ К § 11
Вопросы для самоконтроля
л. Что вы знаете о Пифагоре?
л Какие вы знаете формулировки теоремы Пи-
фагора?
л В чем состоит теорема, обратная теореме Пи-
фагора?
л Какой треугольник называется «египетским»
и почему?
Основная задача
11.1. Как вычислить площадь равнобедренного треуголь-
ника, у которого известны все стороны? Приведите численные
примеры. А как вычислить высоту, опущенную на боковую
сторону?
Задачи к пунктам 11.1 и 11.2
11.2. Вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника,
если его катеты равны: а) 8 и 6; б) 0,4 и 0,3; в) 1 и 2; г) 5 и 5.
11.3. Вычислите катет прямоугольного треугольника, если
известны другой его катет и гипотенуза: а) 1,2 и 1,3; б) 1,5
и 2,5.
11.4. Найдите неизвестные элементы прямоугольного тре-
угольника согласно табл. 1 (№ 1—4); а и b — катеты, с —
гипотенуза, S — площадь.
11.5. Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника рав-
на 2. Обозначим меньший его катет через х. Запишите теорему
Пифагора для случая, когда больший катет: а) в 2 раза больше
меньшего; б) на 1 больше меньшего. Сможете ли вы найти
катеты этого треугольника?
235
Таблица 1
Л'- п п и Ь С S
1 6 8
2 12 13
3 0,3 0,4
4 1 /3
5 2 6
6 3 1
4 1 1'4
8 12 1
11.6. Пусть один из катетов прямоугольного треугольника
равен 1. Обозначим его гипотенузу через х. Запишите теорему
Пифагора, если другой катет: а) в 3 раза меньше гипотенузы;
б) на 1 меньше гипотенузы. Сможете ли вы найти неизвестные
стороны треугольника?
11.7. Вычислите длину неизвестного отрезка по рис. 327.
11.8. а) На рис. 328 обозначьте какой-нибудь прямоуголь-
ный треугольник. Найдите в нем гипотенузу и выразите ее
через другие стороны этого же треугольника, б) Затем найдите
такой треугольник, в котором эта же гипотенуза является
стороной другого прямоугольного треугольника. Выразите ее
еще раз, но уже через стороны второго треугольника, в) При-
думайте сами задачу по рисунку, подобную предыдущей, но
уже используя катет.
Г
11.9. Вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника,
катеты которого равны: а) 3 см и 4 см; б) 3 мм и 4 мм; в) 3 м
и 4 дм.
11.10. Вычислите катет прямоугольного треугольника, ги-
потенуза и катет которого равны: а) 5 м и 4 м; б) 5 м и 4 дм;
в) 5 дм и 40 см.
236
Рис. 328
237
11.11. Один муравей пополз из некоторой точки на юг со
скоростью 1 см, с, а другой — из той же точки на восток со
скоростью 2 см/с. а) Какое расстояние будет между ними через
5 с? б) Через сколько секунд расстояние между ними будет
больше 1 м?
11.12. Скорость гребца, плывущего поперек реки, 3 км/ч,
а скорость течения реки 4 км/ч. Гребец плыл на другой берег
40 мин. а) Какое расстояние он преодолел? б) С какой ско-
ростью он передвигался? в) Решите эту задачу в общем виде.
11.13. Лестницу длиной 6 м, упирающуюся одним концом
в стену и отстоящую от нее другим концом на 3 м, подвинули
к стене на 1 м. Насколько верхний конец лестницы стал
выше? Насколько ее надо отодвинуть, чтобы верхний конец
стал ниже на 1 м?
11.14. Лестница стоит на полу в два раза ближе к одной
стене, чем к другой. Приставленная к ближайшей стене, она
упирается в потолок, а приставленная к более далекой стене,
она упирается в середину стены. Длина лестницы 3 м. Чему
равно расстояние между стенами комнаты, ее высота и рас-
стояние между концами лестницы, прислоненными к стенам?
11.15. Придумайте способ для построения отрезка, длина
которого равна корню квадратному из любого натурального
числа, например, из 11.
11.16. Чему равна длина ломаной на поверхности куба с
ребром 1 (рис. 329)?
11.17. Ломаная линия идет через вершины куба, ребро
которого равно 1. Три ее проекции изображены на рис. 330.
Вычислите длину этой ломаной.
11.18. В тетраэдре РАВС ребра РВ = ВА = ВС = 2. Вычис-
лите площадь его поверхности, если ребро РВ перпендикулярно
грани АВС и А АВС равен: а) 90°; б) 120°; в) 60°.
11.19. В тетраэдре РАВС А РСВ = А РСА = А ВСА = 90°.
PC = ВС = АС = d. Чему равна площадь поверхности этого
тетраэдра? Чему равен его объем? Решите также эту задачу,
если А ВСА = 60°; 120°.
11.20. В тетраэдре РАВС А РСА = А РСВ = А САВ -
= А РАВ — 90°. АВ = АС = PC = 1. Вычислите остальные его
ребра.
11.21. Два равносторонних треугольника АВС и CBD име-
ют общую сторону ВС, равную d. Точка К — середина ВС,
А АКБ - 90°. Чему равно AD?
238
Рис. 330
11.22. Дан прямоугольник. Известно расстояние от неко-
торой точки плоскости до трех его вершин. Сможете ли вы
найти расстояние от этой точки до четвертой его вершины?
А если данная точка не лежит в плоскости прямоугольника?
11.23. Бревно имеет диаметр у тонкого конца 450 мм. Из
него нужно выпилить доски шириной 360 мм и толщиной
30 мм. Сколько получится досок? А сколько их будет, если
взять доски шириной 270 мм?
11 24. Понадобилась доска шириной 20 см и толщиной
2 см. Какое нужно взять бревно, чтобы из него можно было
выпилить такую доску? А 10 таких досок?
239
Зависимость между геометрическими величинами
11.25. Найдите зависимость между неизье<тными отрезка-
ми на рис. 331.
11.26. Могут ли катеты прямоугольного треугольника:
2 2
а) равняться гипотенузы; б) быть меньше гипотенузы;
2
в) быть больше гипотенузы?
11.27. Может ли гипотенуза прямоугольного треугольника
быть: а) в 2 раза больше каждого катета; б) в 3 раза больше
каждого катета; в) в 100 раз больше каждого катета?
11.28. а) Один катет составляет гипотенузы. Какую часть
от нее составляет другой катет? б) Гипотенуза в 3 раза больше
одного из катетов. Во сколько раз она больше другого катета?
в) Один из катетов в 2 раза больше другого. Во сколько раз
больше гипотенуза каждого из них? г) Один из катетов со-
ставляет 90% гипотенузы. Сколько процентов от нее составляет
другой катет?
Рис. 331
240
11.29. а) Пусть один из катетов увеличивается Что про
исходит с гипотенузой? б) Пусть один из катетов не меняется,
а гипотенуза уменьшается Что происходит с другим катетом?
11.30. Насколько изменилась гипотенуза, если: а) каждый
катет увеличился на 1; б) каждый катет уменьшился на 1;
в) один катет увеличился на 1. а другой уменьшился на 1?
г) Объясните, почему увеличивается гипотенуза прямоуголь
ного треугольника, если один из катетов постоянен, а другой
увеличивается.
11.31. а) Каждый катет прямоугольного треугольника уве-
личили в 2 раза. Что произошло с гипотенузой? б) А если
каждый катет уменьшили в 2 раза? в) Гипотенузу хотя г
увеличить в 2 раза. Во i колько раз для этого надо увеличить
катеты?
11.32. Нарисуйте прямую а. Возьмите точку А вне ее
Проведите из точки А к прямой а перпендик', ляр АВ. а) Пусть
точка -Y движется по прямой а так. что ВХ увеличивается.
Что происходит с АХ? б) Пусть точка У движется по прямой
а так, что AY уменьшается. Что происходит с BY?
11.33. Нарисуйте прямей угол О. Возьмите точки А и Ai
на одной стороне угла и точки В и В] на другой стороне угла,
причем так, что точки А и В находятся ближе к О, чем
А] и Bi. Сравните между собой отрезки: a) ABi и АВ:
б) А1ВиАВц в) AiBi и АВ. Как, не измеряя отрезков
А1В иАВ], установить, какой из них длиннее?
11.34. Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые.
Расположите на них точки К, L, М, N по одной на каждом
луче по порядку обхода. Как. не измеряя отрезков
KL, LM, MN. NK, расположить их в порядке возрастания
длин?
11.35. Запишите формулу для площади равностороннего
треугольника, сторона которого равна а. а) Как называется
такая зависимость площади от стороны? б) Вычислите этуг
площадь при а = 12 см. в) Выразите из этой формулы сторону'
треугольника, г) Приведите пример вычисления его t тороны
по заданной плошади.
11.36. Докажите, что четырехугольник с вершинами в
серединах сторон квадрата сам является квадратом.
11 37. На сторонах АВ, ВС, CD, DA квадрата ABCD выбра-
ны точки Ai, Bi, Ci, Dy так, чтоАА1 = ВВу = ССу = DDy. Най-
241
дите площадь четырех?, голышка A\BiC\D\, если: а) А4д = 4,
А\В = 3: б) А41 = 1. -41В = 2; в) A4i = а. А^В = Ь.
11.38. Вычислите площадь: а) равнобедренного треуголь-
ника с основанием 2 и боковой стороной 3; б) равностороннего
треугольника со стороной 2; в) равнобедренного прямоуголь-
ного треугольника с гипотенузой 1; г) прямоугольного тре-
угольника с гипотенузой 2 и острым углом 30°.
11.39. Как, зная диагонали ромба, найти его сторону?
Приведите примеры.
11.40. Дана равнобокая трапеция, в которой известны все
стороны. Как вычислить ее: а) высоту; б) диагональ? Приве-
дите примеры.
11.41. Нарисуйте треугольник. Проведите в нем высоту на
самую большую сторону. Для каждого из получившихся пря-
моугольных треугольников запишите теорему Пифагора. Ка-
кие следствия можно получить из этих равенств?
11.42. Пусть стороны равнобедренного треугольника изве-
стны. Как вычислить: а) медиану на боковую сторону; б) хорду
треугольника, соединяющую вершину с противоположной сто-
роной?
11.43. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой,
а) В этом треугольнике провели медиану ВК. Как найти ее
длину, если известны катеты? б) Известна длина медианы
ВК и катета ВС. Как найти другой катет? Другие медианы?
в) Известна длина медианы ВК и катета АС. Ответьте на те
же вопросы, что и в предыдущем пункте, г) Известна гипо-
тенуза и медиана ВК. Как найти катет и другие медианы?
д) Известны две медианы. Как найти третью?
11.44. АВ и CD — два перпендикуляра к прямой BD, ле-
жащие с одной стороны от нее.
a) BD — 1, АВ = 1, CD = 2. Вычислите АС.
б) АС = 3, CD = 3, АВ = 2. Вычислите BD.
в) АВ = BD = 3, АС = 5. Вычислите CD.
г) BD = d], АС = d>, АВ = 2CD. Найдите AD.
11.45. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4.
Из концов гипотенузы проведены перпендикуляры до пере-
сечения с продолжениями катетов. Чему равны их длины?
11.46. Отрезки АВ и CD перпендикулярны, а) Докажите,
что АС" + BD2 = AD" + ВС", б) Пусть точка D движется к
точке Вив конце концов совпадает с В. Как в этом случае
242
будет выглядеть доказанное в предыдущем пункте равенство?
А если она совпадает с А?
11.47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма
катетов меньше, чем полторы гипотенузы.
11.48. а) Из одной точки окружности проведены две пер-
пендикулярные между собой хорды с длинами а и Ь. Можете
ли вы найти радиус этой окружности? б) В окружности радиуса
В проведены две равные и перпендикулярные хорды д чиной
d. Чему равно расстояние между центром окружности и точкой
пересечения этих хорд? в) Пусть известны радиус окружности,
длины двух взаимно перпендикулярных хорд и расстояние
от центра окружности до точки пересечения этих хорд. Смо-
жете ли вы установить связь между этими величинами?
11.49. В окружности проведены диаметр и хорда, перпен-
дикулярная ему. Она делит диаметр на отрезки длиной
а и Ь. Можете ли вы найти длину хорды?
11.50. Точка движется по окружности радиуса 1. Из нее
проводятся перпендикуляры на два взаимно перпендикуляр-
ных диаметра, а) Чему равен один из перпендикуляров, когда
другой равен 0,5? б) Могут ли они оба быть больше, чем 0,5?
в) Докажите, что сумма их квадратов постоянна, г) Чему
равно расстояние между основаниями этих перпендикуляров?
11.51. Как вычислить площадь треугольника, если изве-
стны две его стороны и высота на третью сторону?
11.52. Заполните пустые места в табл. 1 (№ 5—8), если а
и Ь — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипоте-
нуза, S — его площадь.
11.53. Точки А и В лежат на биссектрисах смежных углов
с общей вершиной О. Как найти расстояние между ними,
зная их расстояние от О?
11.54. Согласно теореме Пифагора, площадь квадрата, по-
строенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,
построенных на катетах. Постройте на гипотенузе и катетах
равносторонние треугольники и сравните таким же образом
их площади.
11.55. Эта задача взята из древнего китайского трактата
«Математика в 9 книгах»: «Имеется водоем со стороной в
1 чжан. В центре его растет камыш, который выступает над
водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз
коснется его. Спрашивается, какова глубина водоема и какова
длина камыша?» (Чжан и чи — меры длины, 1 чжан = 10 чи.)
243
Задачи к пункту 11.5
11.56. Является ли треугольник прямоугольным, если его
стороны равны: а) 4, 5, 6; б) 30 см, 40 см и 5 дм; в) 0,5 м,
1,2 м и 1,3 м; г) 4, 4г, 4г?
< 1 I
11.57. Может ли быть прямоугольным треугольник со сто-
ронами: а) а, а + 1, а + 2; б) а, а + 1, 2а?
11.58. Докажите, что треугольник со сторонами а2 — 1,
2а, а2 + 1 является прямоугольным.
11.59. Стороны прямоугольного треугольника умножили на
одно и то же положительное число. Докажите, что новые три
числа также являются сторонами прямоугольного треугольни-
ка. Будет ли это справедливо, если к сторонам прямоугольного
треугольника прибавить одно и то же число?
11.60. К каждому из катетов прямоугольного треугольника
прибавили одно и то же число. Какое число надо прибавить
к гипотенузе, чтобы полученные три числа были сторонами
прямоугольного треугольника? Обобщите задачу.
Задачи к § 12
Вопросы для самоконтроля
л. Какие следствия теоремы Пифагора вы можете
привести?
а По какой формуле вычисляется диагональ:
а) прямоугольника; б) прямоугольного парал-
лелепипеда?
а Как измеряется расстояние от точки до: а) пря-
мой; б) плоскости?
а Что такое проекция точки на: а) прямую;
б) плоскость?
а Что такое: а) наклонная к плоскости; б) про-
екция наклонной на плоскость?
а Как можно найти расстояние от точки, не ле-
жащей в плоскости, до прямой, лежащей в
этой плоскости?
244
Основные задачи
12.1. Из точки А к данной прямой р проведены перпен-
дикуляр АВ и две наклонные АС и AD. Докажите, что: а) сети
ВС = BD, то АС = АВ, б) если АС = АО, то ВС = В/), в) ее пи
ВС > BD, то АС > АО; г) если АС > AD, то ВС > BD. Дайте
различные формулировки этим утверждениям. Как выглядят
соответствующие утверждения в пространстве?
12.2. Нарисуйте прямоугольный треугольник АВС с кате
тами а и Ь и гипотенузой с. Пусть h = CD — высота этого
треугольника, опущенная на гипотенузу, и яр Ь\ — проекции
катетов на гипотенузу. Докажите, что: а) А" = «16г,
б) а’ = сак в) Ь2 = сЬ\. Дайте этим равенствам словесную
формули ровку.
Задачи к пункту 12.1
12.3. Укажите на рисунке все пары равных треугольников,
если: а) в равнобедренном треугольнике проведены высоты на
боковые стороны; б) из двух противоположных вершин пря-
моугольника опустили перпендикуляры на его диагональ.
12.4. Докажите равенство прямоугольных треугольников
по: а) катету и медиане к другому катету; б) катету и медиане
к этому катету.
12.5. Докажите, что каждая вершина ромба равноудалена
от тех сторон, которым она не принадлежит.
12.6. Докажите равенство равносторонних треугольников
по высоте.
Задачи к пункту 12.2
12.7. Вычислите: а) диагональ квадрата со стороной
1, V2, 3; б) сторону квадрата, диагональ которого равна
1, у/з\ 10 мм; в) площадь квадрата, у которого диагональ
длиннее стороны на 1.
245
12.8. Вычислите: а) диагональ прямоу гольника со сторо-
нами 2 и 3: б) периметр и плошадь прямоугольника, в котором
сторона равна 3, а диагональ 6.
12.9. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепи-
педа, у которого ребра равны: а) 1, 2, 3; б) 20 см, 1 дм, 620 мм.
12.10. Запишите формулу, связывающую сторону квадрата
и его диагональ. Проанализируйте ее. Какие следствия вы
можете отсюда получить? Составьте аналогичную задачу для
куба.
12.11. Запишите формулу, связывающую диагональ квад-
рата с его площадью. Дайте ей наглядную иллюстрацию.
12.12. Вычислите приращение: а) диагонали квадрата, если
его сторона возросла от 1 до 2; б) диагонали квадрата, если
его сторона изменилась от 15 см до 13 см; в) стороны квадрата,
если его диагональ уменьшилась от 10 до 9; г) стороны квад-
рата, если его диагональ d изменилась на величину х.
12.13. Сторона квадрата равна 12 см и измерена с погреш-
ностью 0,5 мм. С какой погрешностью будет вычислена его
диагональ? Составьте сами аналогичные задачи, используя
диагонали куба, прямоугольника и прямоугольного паралле-
лепипеда. Составьте также и обратные задачи.
12.14. Как сделать квадрат, у которого: а) диагональ боль-
ше стороны на 1; б) площадь равна сумме площадей двух
равных квадратов; в) площадь равна разности площадей двух
данных квадратов?
12.15. Установите связь между периметром, площадью и
диагональю прямоугольника. Проанализируйте эту формулу.
Сможете ли вы найти аналогичную формулу для прямоуголь-
ного параллелепипеда?
12.16. Пусть диагональ прямоугольного параллелепипеда
составляет с ребрами основания, выходящими из одной вер-
шины, углы а, /3, у. Докажите, что cos2a + cos2y3 + cos2’/ = 1.
12.17. Пусть диагональ прямоугольного параллелепипеда
равна 1 и составляет с двумя равными ребрами основания
углы 60°. Вычислите: а) ее угол с третьим ребром; б) все его
ребра; в) площадь поверхности и объем. Попробуйте сами
придумать задачу по этому сюжету.
246
12.18. Ломаная идет через вершины куба, ребро которого
равно 1, и на трех проекциях выглядит так, как указано на
рис. 332. Чему равна ее длина?
2.19. На двух соседних сторонах прямоугольника постро-
или квадраты. Нарисуйте диагонали этих квадратов и данного
прямоугольника. Расположите их длины в порядке возраста-
ния.
12.20. Из двух противоположных вершин данного прямо-
угольника на его диагональ провели два перпендикуляра. Как
вычислить расстояние между их основаниями? Может ли при
этом диагональ разделиться на три равные части?
12.21. Данный прямоугольник перегнули по его диагонали.
Выразите изменение расстояния между его противоположными
вершинами в зависимости от его сторон. В каких границах
оно находится?
Задачи к пункту 12.3
12.22. Нарисуйте горизонтальную прямую а. а) Нарисуйте
точку А вне ее, а также ее проекцию на а. б) Нарисуйте точку
В на прямой а и несколько точек, проекцией которых является
точка В. На какой линии расположены все такие точки?
12.23. Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые
а и Ъ. а) Нарисуйте точку О, не лежащую на них, и проекции
точки О на эти прямые, б) Нарисуйте по одной точке на этих
прямых. Найдите точку на плоскости, проекциями которой
являются две взятые точки.
12.24. Нарисуйте остроугольный треугольник. Нарисуйте
проекцию каждой его вершины на прямую, проходящую через
противоположную ей сторону. Сделайте то же для тупоуголь-
247
Рис. 333
ного и прямоугольного треугольников. Какое наблюдение вы
можете сделать?
12.25. Нарисуйте любой треугольник. На его сторонах от-
метьте две точки. Найдите точку на плоскости, проекциями
которой являются данные точки. Лежит ли она в треуголь-
нике? Может ли она лежать на его стороне? В его вершине?
248
12.26. На рис. 333 укажите проекцию каждой наклонной
на прямую а.
12.27. На рис. 334 задан горизонтальный отрезок. Укажите
наклонную, для которой он является проекцией.
12.28. На рис. 335 укажите проекцию каждой наклонной
на горизонтальную прямую а и вертикальную прямую Ь.
Укажите наклонную, проекцией которой является каждый
горизонтальный или вертикальный отрезок.
12.29. Пусть а — наклонная, ai — ее проекция, <р — угол,
который они составляют между собой, h — перпендикуляр.
Заполните табл. 2.
12.30. Нарисуйте проекцию отрезка АВ на прямую а в
случае, если: а) АВ не имеет с а общих точек; б) АВ пересекает
а; в) АВ перпендикулярен а.
12.31. Нарисуйте прямую а, точку А на ней и наклонную
АВ к ней. Всегда ли можно провести из точки В к прямой а
другую наклонную, которая: а) равна данной; б) больше дан-
ной; в) меньше данной? А сколько таких наклонных можно
провес ги?
12.32. Нарисуйте горизонтальную прямую. Нарисуйте на
ней отрезок АВ. а) Нарисуйте такой отрезок, для которого
АВ является проекцией. Сколько таких отрезков можно на-
рисовать? б) Есть ли среди всех таких отрезков наибольший?
Наименьший?
249
Таблица 2
Л ’ п п а “1 h У
1 2 30°
2 1 45°
3 3 60°
4 2 1
5 2 1
6 1 1
7 1 60°
8 3 45°
9 2 30°
10 у/2 1
11 5 30°
12 5 45°
13 5 60°
14 2 v<2
12.33. Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые.
Пусть точки Л и В не лежат на них. Нарисуйте проекции
отрезка АВ на каждую из них. Может ли при этом случиться
такое, что: а) одна из проекций — точка; б) обе проекции —
точки?
12.34. Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые.
Нарисуйте отрезок так, что его проекции на эти прямые: а)
не имеют общих точек; б) имеют общий конец; в) пересека-
ются; г) расположены не так, как в предыдущих пунктах.
12.35. Нарисуйте отрезок, проекциями которого являются
фигуры, изображенные на рис. 336.
250
a)
б)
в)
г) б)
Рис. 336
12.36. Нарисуйте угол и его хорду. Нарисуйте ее проекции
на стороны угла, а) Может ли одна из них оказаться точкой?
б) А обе? в) Могут ли они быть равны?
12.37. Нарисуйте любой треугольник. Нарисуйте проекции
его сторон на прямые, проходящие через другие стороны.
12.38. Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые:
горизонтальную и вертикальную. Нарисуйте отрезок так, что-
бы его концы лежали на данных прямых и при этом: а) про-
екции отрезка были равны; б) горизонтальная проекция была
больше; в) горизонтальная проекция была меньше; г) гори-
зонтальная проекция была меньше вертикальной в 2 раза.
А как вы сделаете то же самое, если концы отрезка не будут
лежать на данных прямых?
12.39. Что происходит с проекцией наклонной фиксиро-
ванной длины по мере увеличения ее угла с данной прямой?
12.40. а) Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости а из
точки А, ВС и BD — два равных отрезка на этой плоскости.
251
А наименьшая?
Докажите, что AC = АР. Докажите
обратное утверждение, б) Сколько
равных между собой наклонных
можно провести из точки, не ле-
жащей в этой плоскости? Как рас
полагаются на плоскости концы
этих наклонных?
12.41. Из одной точки к данной
плоскости проводятся наклонные,
а) Докажите, что большей наклон-
ной соответствует и большая про-
екция. Докажите и обратное ут-
верждение. б) Есть ли среди таких наклонных наибольшая?
12.42. а) Перпендикуляр к плоскости виден из некоторых
точек плоскости под равными углами. Что из этого следует?
б) Из некоторой точки перпендикуляра на плоскость видны
под равными углами проекции некоторых наклонных, про-
веденных из той же точки. Что из этого следует?
12.43. На рис. <337 ABCD — квадрат, а вертикальный от-
резок РВ — перпендикуляр к его плоскости, а) Нарисуйте
наклонные из точки Р к плоскости квадрата, идущие в его
вершины, б) Укажите проекции этих наклонных, в) Найдите
среди них равные наклонные, г) Какая из этих наклонных
наибольшая? д) Чему равна ее длина, если АВ = ВС = 1 и
длина перпендикуляра равна 1?
12.44. Два квадрата имеют общую сторону и лежат в
перпендикулярных плоскостях. Нарисуйте проекцию отрезка,
соединяющего их вершины, на каждую из этих плоскостей.
12.45. Нарисуйте к>б, его диагональ и проекцию ее на
плоскость каждой грани куба.
Угол прямой с плоскостью
12.4G. а) Поставьте чертежный угольник с углом 30° на
стол так, чтобы больший его катет был вертикален. Какой
угол образует со столом его гипотенуза? б) Ответьте на тот
же вопрос, если вертикальным будет меньший катет.
12.47 Возьмите чертежный угольник с равными катетами.
Как расположить его на столе, чтобы гипотенуза была накло-
нена к столу под углом 45°?
252
Рис. 338
12.48. а) Вырежьте из картона равносторонний треуголь-
ник. Пусть одна его сторона лежит на столе. Как его распо-
ложить, чтобы другая сторона составляла со столом угол 60°?
А какой угол при этом будет составлять со столом третья
сторона?
б) Теперь вырежьте из картона квадрат. Как его расположить
на столе, чтобы его диагональ составляла со столом угол 45°?
А можно ли его расположить так, чтобы диагональ составляла
со столом угол, меньший, чем 45°? Больший, чем 45°?
12.49. Нарисуйте горизонтальную плоскость а. Нарисуйте
отрезок АВ, лежащий в ней. Нарисуйте теперь треугольник
АВС в вертикальной плоскости (i. Найдите на рисунке углы,
которые образуют с а стороны треугольника СА и СВ. Чему
равны эти углы, если треугольник АВС: а) равносторонний;
б) прямоугольный равнобедренный и АС — ВС°
12.50. Квадрат ABCD лежит в горизонтальной плоскости,
а квадрат АВВрАд лежит в вертикальной плоскости. Нарисуйте
угол между: а) АВ\ и ABCD; б) AjB и ABCD; в) AjO и ABCD;
г) АС и А41В1В; д) BD и ААуВ^В; е) BjC и AAjBiB. Чему они
равны?
253
Рис. 339
12.51. На рис. 338 PQ — перпен-
дикуляр к плоскости а, в которой
лежат: а) треугольник ABQ; б) квад-
рат ABCD; в) треугольник АВС;
г) прямоугольник ABCD. Найдите
на этом рисунке углы между пря-
мой РА и плоскостью а. Затем най-
дите углы, которые образует а с
другими прямыми.
12.52. а) На рис. 339 РАВС —
правильный тетраэдр, PQ — пер-
пендикуляр к плоскости АВС. Укажите угол, который состав-
ляет с плоскостью основания ребро РА, ребро РВ, ребро PC.
Объясните, почему эти углы равны, б) Решите аналогичную
задачу для правильной треугольной пирамиды, в) Решите
аналогичную задачу для правильной четырехугольной пира-
миды.
12.53. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС. Нарисуйте
угол, который составляет с плоскостью РВС ребро
АР, АВ, АС. Объясните, почему эти углы равны.
12.54. Пусть РАВС — правильная треугольная пирамида.
Докажите, что медианы боковых граней, проведенные из вер-
шины Р, составляют с ее основанием равные углы.
12.55. Куб ABCDA\BiCiD\ расположен так, что его грань
ABCD лежит на столе. Нарисуйте угол, который составляют
с плоскостью стола: a) DC]; б) ВАг, в) АП; г) С]В; д) B]D;
е) D\B. Чему равны эти углы?
12.56. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед
ABCDA\B\C\D\. Нарисуйте угол между: а) АВ] и ABCD;
б) ABi иЛ1В]С1£>г, в) B]D и ABCD; г) B]D и CDDiC^.
12.57. а) Прямая составляет с вертикальной прямой угол
<р. Какой угол она составляет с горизонтальной плоскостью?
б) Составьте и решите обратную задачу.
12.58. Из одной и той же точки к одной и той же плоскости
провели две наклонные. Проверьте такие утверждения: а) рав-
ные наклонные образуют с данной плоскостью равные углы;
б) обратное утверждение. Составьте сами задачу по этому
сюжету.
12.59. Что значат такие фразы: а) Солнце видно под углом
30°; б) Солнце поднимается над горизонтом; в) Одна лестница
круче другой.
254
Рис. 340
12.60. Через данную точку на плоскости проводятся все
возможные лучи, которые образуют с ней один и тот же
острый угол. Какую фигуру образуют все такие лучи? Что
изменится, если вместо лучей взять прямые?
12.61. Четыре ребра тетраэдра равны 1. Чему равно наи-
большее значение его объема?
12.62. Какие из следующих утверждений верны: а) проек-
ция наклонной является отрезком; б) проекция наклонной
всегда меньше самой наклонной; в) равные наклонные имеют
равные проекции; г) наклонные, имеющие равные проекции,
равны; д) большая наклонная имеет большую проекцию:
е) меньший отрезок имеет и меньшую проекцию.
12.63. Нарисуйте окружность с центром О. Нарисуйте два
ее взаимно перпендикулярных диаметра. Пусть некоторая
точка X движется по окружности. Понаблюдайте за проекцией
ОХ на каждый из диаметров. К каким выводам вы пришли?
255
‘ 12.64 Из одной точки к одной пря-
мой проведены перпендикуляр и две
/ наклонные. Докажите. что разность
/,'вХ у квадратов наклонных равна разности
// \ / квадратов их проекции. Проверьте об-
\ , ратное утверя-дение. Какие отсюда мож-
а п но получить следствия?
12.65. Докажите, что в равнобедрен-
Рис- 341 ном треугольнике равны проекции:
а) боковых сторон на основание; б) бо-
ковых сторон на прямые, проходящие через другие боковые
стороны; в) основания на прямые, проходящие через боковые
стороны; г) высоты к основанию на боковые стороны; д) высот
к боковым сторонам на основание; е) высот к боковым сторонам
на прямые, проходящие через другие боковые стороны.
12.66. Для равнобокой трапеции составьте сами задачи,
похожие на предыдущую.
12.67. Используя результаты задачи 12.2, вычислите длины
отрезков х, у, z на рис. 340.
12.68 На сторонах угла 45° взяты точки АиВ на рассто-
яниях 1 и 2 от вершины. Отрезок АВ проектируется на каждутю
из сторон угла, а) Вычислите длины этих проекций, б) Вы-
числите АВ. в) Попытайтесь решить задачу в общем виде.
12.69. Внутри угла А, равного 60°, взята точка В. Проекции
АВ на стороны угла равны 2 и 3. Вычислите АВ. Попытайтесь
решить задачу' в общем виде.
Задачи к пункту 12.4
12.70. Что следует из того, что прямая, лежащая на пло-
скости, перпендикулярна: а) наклонной к этой плоскости;
б) проекции некоторой наклонной к этой плоскости?
12.71. На рис. 341 ABCD — прямоугольник, РВ — перпен-
дикуляр к его плоскости. Объясните, почему: а) РА ± АО;
б) PC ± DC', в) будет ли PD J. АС?
12.72. Вернитесь к условию задачи 12.50. Укажите проек-
цию точки: а) В\ на AD: б) А] на СВ; в) С наАА]; г) D на
BBi; д) С на ABj; е) D на.А\В; ж) А; на BD; з) В\ на АС.
12.73. Сторона АВ равностороннего треугольника АВС ле-
жит на плоскости а, точка C’i — проекция точки С на пло-
256
iкость а. а) Нарисуйте высоты в треугольниках АВС и АВС]
на сторону АВ. б) Докажите, что отношение площадей этих
треугольников равно отношению этих высот.
12.74. Из точки на биссектрисе некоторого угла проведен
перпендикуляр к его плоскости, а на этом перпендикуляре
взята некоторая точка. Докажите, что она равноудалена от
сторон угла. Проверьте обратное.
12.75. Натуралист хочет подойти поближе к редкой птице,
сидящей на дереве. Чем ближе он подходит к этому дереву,
тем ближе он к птице. Почему?
Задачи к пункту 12.5
12.76. Дан отрезок длины 1 и две перпендикулярные пря-
мые. Отрезок проектируется на каждую из них. Чему равна
одна из проекций, если другая равна: а) 0,5; б) 0.1?
12.77. Вычислите длину отрезка АВ при таких координатах
точек А и В: а) (1, 2) и (2, 1); б) (—3, —2) и (—1, —1); в) (—1, +1)
и (+2, -1); г) (-1, +1) и (3, 2); д) (-1, -3) и (4, 1).
12.78. Дан отрезок постоянной длины и две перпендику-
лярные прямые. Этот отрезок проектируется на данные пря-
мые. а) Пусть одна из проекций увеличивается. Что проис-
ходит с другой? б) Может ли изменение одной проекции
равняться изменению другой?
12.79. Проекции данного отрезка равны 2 см и 3 см и
измерены с точностью до 1 мм. В каких границах лежит
длина самого отрезка?
12.80. Можно ли получить длину некоторого отрезка с
точностью до 1 мм, измерив его проекции с точностью до
1 мм?
В
12.81. Как изменилась длина отрезка, если его проекции
на две взаимно перпендикулярные прямые: а) увеличились
вдвое; б) уменьшились втрое? Обобщите полученные резуль-
таты.
9 Зак пх>
257
Задачи к пунктам 12.6 и 12.7
12.82. Вычислите площадь треугольника со сторонами:
а) 13, 14, 15; б) 3 м, 42 дм, 540 см; в) 1, V2, т/3.
12.83. Запишите формулу Герона для равнобедренного тре-
угольника. Проанализируйте ее.
12.84. На листе бумаги нарисован четырехугольник. Как
вычислить его площадь, сделав как можно меньше измерений?
12.85. Требуется сделать треугольник, у которого заданы
две стороны и площадь. Как вы будете действовать? Приведите
пример.
12.86. В тетраэдре РАВС ребро РВ перпендикулярно грани
АВС, РА = PC. Какие ребра достаточно знать, чтобы вычислить
площадь его поверхности?
12.87. Можете ли вы вычислить глубину реки, находясь
на ее берегу?
12.88. Как вычислить площадь: а) параллелограмма, если
известны его стороны и диагональ; б) параллелограмма, если
известны его диагонали и сторона; в) трапеции, если известны
все ее стороны; г) треугольника, если известны его сторона и
медианы к двум другим сторонам; д) треугольника, если из-
вестны две стороны и медиана к третьей стороне; е) треуголь-
ника, если известны три медианы?
12.89. Два круга с радиусами и /?2 пересекаются по
хорде длины d. Расстояние между центрами кругов равно а.
Пусть три из этих четырех величин известны. Как найти
четвертую? Составьте аналогичную задачу для пространствен-
ных фигур.
ЗАДАЧИ К § 13
Вопросы для самоконтроля
л Меняется ли отношение двух отрезков при из-
менении единицы измерения?
л Что такое синус острого угла? Тупого угла?
258
2
Рис. 342
прямого угла? Развернутого
л Чему равен синус
угла? Угла 0°?
а Какие вы знаете свойства синуса?
Задачи к пунктам 13.1 и 13.3
Л
13.1. Вычислите длину отрезка х на рис. 342.
13.2. Чему равно отношение отрезков, длины которых рав-
ны: а) 1 см и 1 дм; б) 12 мм и 1,2 см; в) 165 см и 0,8 м;
г) 1 мм и 1 км?
13.3. Отрезок имеет длину 15 см. Какую длину имеет
отрезок: а) длиннее в 15 раз (выразите в м); б) короче в 30 раз
(выразите в мм).
13.4. Как изменится значение длины отрезка: а) при умень-
шении единицы длины в 10 раз; б) при увеличении единицы
длины в 5 раз?
13.5. Измерив два отрезка некоторой единицей длины, мы
получили, что один из них длиннее другого в 2 раза. После
этого мы захотели сравнить их длины поточнее и решили
для этого уменьшить единицу длины в 10 раз. Добьемся ли
мы цели таким путем?
13.6. а) Одна веревка в 2 раза длиннее другой. От каждой из
них отрезали половину. Во сколько раз длиннее оставшаяся часть
большей веревки? А если отрезать по i начальной длины? б) До
каникул Вася был выше Феди в 1,1 раза. За каникулы каждый
из них вырос на 5 см. Во сколько раз теперь выше Вася?
259
Рис. 343
13.7. Запишите зависимость у от х на рис. 343.
13.8. На стороне угла А берется точка В и из нее проводится
перпендикуляр ВС к другой стороне угла. Вычислите отно-
шение ВС : ВА, если Z. А равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°. Какое
предположение вы можете сделать, получив эти результаты?
13.9. а) Нарисуйте остроугольный треугольник. Обозначьте
его стороны а и Ь. Проведите высоты Ли и Л^. Вспомните, как
получить равенство: hu : b = hb : а. Сформулируйте этот ре-
зультат, используя понятия перпендикуляра и наклонной,
б) Проделайте такую же работу и для тупоугольного треуголь-
ника, обозначив через Ь сторону, лежащую против тупого
угла.
13.10. Вычислите длину отрезка х на рис. 344.
Задачи к пунктам 13.2 и 13.4
13.11. Запишите выражение для синусов углов, указанных
на рис. 345.
260
Рис. 344
13.12. а) Нарисуйте равнобедренный треугольник АВС с
вершиной А, а затем его высоту АК. Запишите выражения
для синусов углов: АВС, АСВ, ВАК, САК. б) Нарисуйте пря-
моугольник ABCD и его диагональ АС. Запишите его выра-
жения для синусов углов: CAD, CAB, ACD, АСВ.
13.13. Вычислите, проведя нужные измерения, синусы уг-
лов треугольников со сторонами: а) 2, 3, 4; б) 4, 5, 6.
13.14. а) Чему равны синусы углов: а) 120°; б) 135°; в)
150°? б) Нарисуйте в тетради таблицу синусов углов и запол-
ните ее.
13.15. Вычислите синусы углов треугольника АВС, если:
а) АВ = АС = 3, ВС = 2; б) АВ = АС = 4, ВС = 6.
261
13.16. Как вы будете вычислять синусы углов, отмеченных
на рис. 346?
13.17. Вычислите синусы углов, образованных сторонами
и диагоналями прямоугольника со сторонами 3 и 4.
13.18. Вычислите синус острого угла равнобедренной тра-
пеции ABCD, если АВ = ВС = CD = 2, AD = 4.
13.19. Докажите, что синус одного из углов треугольника
равен синусу суммы двух других его углов.
Задачи к пункту 13.5
13.20. Выделите прямоугольный треугольник на рис. 347.
а) Для каждого острого угла этого треугольника укажите
противолежащий катет. Запишите выражение для синуса этого
угла, б) Для каждого катета этого треугольника укажите
противолежащий ему угол.
262
Рис. 347
13.21. а) Постройте прямоугольный треугольник с катетом
1 и гипотенузой 2. Измерьте его острые углы транспортиром.
Затем с помощью синуса вычислите его углы. Совпадают ли
с точностью до 1° полученные значения? б) Постройте пря-
моугольный треугольник с катетами 1 и 2. Проделайте такую
же работу, что и в предыдущей задаче.
13.22. Вернитесь к задаче 13.15. Вычислите острые углы
рассмотренных в ней треугольников.
13.23. Вычислите синусы углов треугольника АВС, если:
а) АВ = 3, АС = 2, Z. С = 90°; б) АС = 1, ВС = 2, L. С = 90°;
в) АС = 3, ВС = 4, Z С = 90°.
13.24. а) Нарисуйте в тетради прямоугольный треугольник.
Измерьте его углы транспортиром. Вычислите синусы его ост-
рых углов, б) Оставьте один из катетов без изменения и
начните увеличивать второй катет. Как при этом будет из-
меняться синус угла, лежащего против постоянного катета?
А как будет изменяться синус угла, лежащего против изме-
няющегося катета?
13.25. Пусть известна скорость реки и собственная скорость
катера. Катер должен двигаться перпендикулярно берегу. Как
вы определите, под каким углом к берегу его следует для
этого направить?
263
S 13.26. а) Пятиметровая лестница
у' расположена так, что ее верхний
[ конец достигает трехметровой от-
z---' метки. Какой угол она образует с
__/ полом? б) Как вычислить угол подъ-
ема лестницы?
13.27. Как можно вычислить.
Рис 34К под каким углом к земле располо-
жен эскалатор метро?
13.28. а) Представьте себе, что на некоторой схеме склон
горы выглядит так, как на рис. 348. Попытайтесь объяснить,
что такое средняя крутизна такого склона. Как бы вы вы-
числили его среднюю крутизну? б) Как вычислить среднюю
крутизну трассы скоростного спуска? в) А как бы вы объяс-
нили, что такое средний уклон реки? Как его вычистить?
13.29. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости прямоуголь-
ного треугольника CBD (Z. В = 90°). Нарисуйте тетраэдр
ABCD. Вычислите углы, под которыми видны из вершин
тетраэдра ABCD ребра противоположных граней, если,
а) ВА = ВС = BD; б) АВ = 1. ВС = BD = 2; в) АВ = 1. ВС = 2,
BD = 3.
13.30. Пусть АВ — перпендикуляр на плоскость прямо-
угольного треугольника CBD (Z. В = 90°), АВ — 1, АС и AD —
наклонные к этой плоскости длиной 2 каждая. Под каким
углом видна из точки А сторона CD? Что произойдет с этим
углом, если точка А начнет двигаться по этому перпендикуляру
к плоскости? От плоскости?
13.31. В правильном тетраэдре РАВС известно ребро. Как
найти угол АКС, где точка К — середина ребра РВ?
13.32. В тетраэдре РАВС грани РВА и РВС — прямоуголь-
ные равнобедренные треугольники с прямым углом при вер-
шине В, РВ = 1, Z. АВС = 120°. Вычислите углы в грани
РАС. Для каких еще величин угла АВС вы можете решить
задачу?
13.33. В тетраэдре ABCD АС = СВ, AD = DB. Пусть точка
К — середина АВ, а угол CKD прямой. Какие ребра тетраэдра
вы измерите, чтобы вычислить углы в треугольнике CKD?
264
13.34. Как узнать, какой угол образует с плоскостью а
наклонная, проведенная к ней из точки Д, не лежащей в
данной плоскости, если известно расстояние от А до а? При-
ведите пример.
13.35. Из точки А на прямую а проведены перпендикуляр
АС и наклонная АВ. Как вычислить угол между наклонной
и ее проекцией с помощью синуса, если известны: а) АВ и
АС; б) ВС и АВ; в) АС и ВС?
13.36. Вычислите синусы углов прямоугольного треуголь-
ника, если: а) проекции катетов на гипотенузу равны 1 и 3;
б) высота, проведенная на гипотенузу, равна 1, а проекция
одного из катетов на гипотенузу равна 2; в) один из катетов
равен 2, а его проекция на гипотенузу равна 1.
13.37. Вычислите синусы углов между: а) высотами и сто-
ронами равностороннего треугольника; б) двумя высотами рав-
ностороннего треугольника; в) диагоналями и сторонами квад-
рата.
13.38. Как вычислить углы прямоугольного треугольника,
если известны: а) катеты; б) отношение катетов; в) катет и
медиана к другому катету: г) катет и медиана к этому катету;
д) катет и медиана к гипотенузе; е) площадь и сумма катетов;
ж) площадь и гипотенуза? Выберите сами числовые данные
и получите результат.
13.39. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма
синусов острых углов больше 1 и меньше 2. Можно ли сузить
границы для этой суммы?
13.40. а) Постройте прямоугольный треугольник, у которого
2 1
синус одного из углов равен -; больше -; меньше 0,1. б) Смо-
и 4
жете ли вы построить такой прямоугольный треугольник, у
1
которого синус одного угла равен -, а синус другого угла
2 3 4
равен -; синус одного угла равен а другого угла равен
13.41. Верно ли, что: а) с увеличением угла в 2 раза его
синус увеличивается тоже в 2 раза; б) с уменьшением синуса
угла в 3 раза сам угол также уменьшается в 3 раза?
265
Задачи к пункту 13.6
13.42. Постройте угол, синус которого равен 0,7.
о Ь
13.43. Какая лестница более крутая: а) в 20 ступенек,
поднимающаяся на 3 м, или в 25 ступенек, поднимающаяся
на 2 м; б) в 20 ступенек, поднимающаяся на 3 м, или в 15
ступенек, поднимающаяся на 2 м?
13.44. Верно ли: чем короче путь на вершину, тем он
круче?
13.45. Из данной точки А, лежащей в плоскости а, про-
водятся к ней наклонные одной и той же длины. Докажите,
что чем ближе к плоскости а другой конец наклонной, тем
меньше угол, образуемый наклонной с плоскостью а.
13.46. Из данной точки А, не лежащей в плоскости а,
проводятся к ней наклонные разной длины. Докажите, что
чем больше наклонная, тем меньший угол она образует с
плоскостью а. Приведите пример.
13.47. Расположите в порядке возрастания синусы таких
углов: а) 35, 45 и 40°; б) 135, 145 и 140°; в) 35, 120 и 50°;
г) 62, 115 и 120°.
13.48. Верны ли такие утверждения: а) если углы не равны,
то и синусы их не равны; б) если синусы углов не равны, то
и сами углы не равны; в) большему углу соответствует больший
синус; г) меньшему синусу соответствует меньший угол?
ЗАДАЧИ К § 14
Вопросы для самоконтроля
я. Как можно решать прямоугольные треугольни-
ки с помощью синуса?
а Какие вы знаете формулы площади треуголь-
ника?
а В чем состоит теорема синусов?
266
л Как можно решать треугольники с помощью
теоремы синусов?
л В чем состоит обобщение теоремы Фалеса?
л Какие вы знаете свойства параллельного про-
ектирования?
л Как можно разделить отрезок в данном отно-
шении?
л Какие вы знаете практические применения тео-
ремы синусов?
Основные задачи
14.1. В равнобедренном треугольнике рассмотрим такие
величины: основание а, боковую сторону Ь, высоту на осно-
вание h, угол при основании [}, угол при вершине а. Как
найти неизвестные величины, если известны: a) hub;
б) Лиа; в) а и Л; г) b и fi. Выберите сами две любые из этих
величин и ответьте на тот же вопрос. Приведите численные
примеры.
14.2. Выразите площадь выпуклого четырехугольника че-
рез его диагонали и угол между ними. Есть ли какая-то связь
между полученной вами формулой и формулой площади тре-
угольника через две его стороны и синус угла между ними?
14.3. Пусть в треугольнике АВС проведена биссектриса
АК. Докажите, что АВ : АС = КВ : КС. Сформулируйте по-
лученный результат в общем случае, не используя буквенных
обозначений. Какие следствия можно получить из этого ра-
венства? Верно ли обратное утверждение?
Задачи к пункту 14.2
14.4. На рис. 345 выберите прямоугольный треугольник.
Как с помощью синусов указанных углов: а) вычислить ка-
теты, зная гипотенузу; б) вычислить гипотенузу, зная катеты?
14.5. Решите прямоугольный треугольник АВС, если изве-
стны следующие его элементы: а) с = 12, Z. А = 40°;
б) с = 6,3, А А = 72°; в) а = 1, А В = 54°; г) а = 1, А А = 22°.
14.6. Заполните пустые места в табл. 3.
267
Таблица 3
С Z Л z В а ь
1 15°
20° 3,1
75° 0,4
18° 5
8 5
14.7. Угол подъема дороги составляет в среднем 2°. На
какую высоту поднимется турист, пройдя по этой дороге 12 км?
14.8. Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть
выдвинута на 20 м, а ее крутизна может достигать 70°.
Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого
этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?
14.9. Пусть DB — перпендикуляр к плоскости треугольника
АВС.
a) AD = 1, L DAB = 30°, Z. BDC = 45°. Вычислите CD.
б) АВ = 2, Z. ADB = 40°, Z. BCD = 60°. Вычислите ВС.
14.10. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника ABC, Z С = 90°.
а) АВ = 1, Z. РВС = 20°, Z. САВ = 40°. Вычислите PC.
б) PC = 1, Z. СРВ = 60°, Z. АРВ = 50°. Вычислите РА.
14.11. Пусть известна длина наклонной к плоскости и
угол, который она составляет с плоскостью. Как найти рас-
стояние до плоскости от того конца наклонной, который в
плоскости не лежит?
14.12. Из одной и той же точки к одной и той же плоскости
провели две наклонные. Пусть известны их длины и углы,
которые они составляют с плоскостью. Какая связь есть между
этими четырьмя величинами? Какие следствия вы сможете
получить, установив эту связь?
268
14.13. С какой прямой на плоскости составляет наимень-
ший угол наклонная к этой плоскости?
В
14 14. На стороне угла а на расстоянии d от вершины О
находится точка А. Чему равно расстояние от нее до прямой,
проходящей через другую сторону угла? (Разберите разные
случаи.) Составьте и решите обратные задачи.
14.15. а) Две прямые а и b пересекаются в точке О под
острым углом а. На прямой а находится точка А такая, что
ОА = d. Чему равно расстояние от А до Ь? б) Пусть точка А
переместилась по прямой а на расстояние d\. На каком теперь
расстоянии она находится от прямой Ь? (Рассмотрите разные
случаи.)
14.16. Как найти площадь равнобедренного треугольника,
если известны: а) основание и угол при вершине; б) боковая
сторона и угол при вершине; в) высота и угол при вершине;
г) высота и угол при основании? Проведите вычисления с
выбранными вами данными.
14.17. Как найти площадь прямоугольника, если известны:
а) диагональ и угол, который она составляет с большей сто-
роной; б) диагональ и угол между диагоналями; в) большая
сторона и угол между диагоналями? Проведите вычисления
с выбранными вами данными.
14.18. В круге с радиусом R проведена хорда. Она видна
из центра под углом На каком расстоянии от центра она
находится? Какова длина хорды? Проведите вычисления с
выбранными вами данными.
14.19. В прямоугольном треугольнике рассматриваются та-
кие величины: стороны, высота, проведенная на гипотенузу,
проекции катетов на гипотенузу. Пусть две из них известны.
Сможете ли вы найти остальные?
14.20. Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет
и гипотенуза, а) Как найти его медианы? б) Как найти его
биссектрисы? в) Как найти длину отрезка, перпендикулярного
к гипотенузе, от ее середины до катета или его продолжения?
14.21. Выразите диагонали ромба через его сторону и угол
между сторонами.
14.22. Даны гипотенуза прямоугольного треугольника и
его площадь. Как найти его катеты?
269
14.23. Сможете ли- вы найти по известной диагонали и
стороне площадь: а) прямоугольника; б) ромба; в) паралле-
лограмма; г) равнобокой трапеции?
Задачи к пункту 14.3
14.24. Вычислите площадь: а) равностороннего треуголь-
ника со стороной 1; б) равнобедренного треугольника с боковой
стороной 1 и углом при вершине 30°; в) треугольника со
сторонами 2 и 3 и углом между ними 120°; г) прямоугольного
равнобедренного треугольника с катетом 1; д) прямоугольного
равнобедренного треугольника с гипотенузой 1.
14.25. Как сделать треугольник площадью 1 и при этом:
а) равнобедренный со стороной 1; б) равнобедренный с углом
45° при вершине; в) со сторонами 1 и 2; г) со стороной 1 и
углом 60° при ней; д) с углами 45°, 60° и стороной 1?
14.26. Пусть стороны треугольника равны а и Ь, а угол
между ними равен <f>. Запишите формулу площади треуголь-
ника через эти величины, а) Выразите из нее sin <р. б) Пусть
а = Ь. Выразите теперь sin <р. в) Пусть а = b = d. Выразите
величину d. г) Пусть величины а и Ь не изменяются, а угол
стал увеличиваться. Что происходит с площадью треуголь-
ника? При каком значении угла площадь треугольника будет
наибольшей? Чему она будет равна?
14.27. Пусть а и b — длины смежных сторон параллело-
грамма, а угол между ними равен <р. а) Докажите, что его
площадь вычисляется по формуле S = ab- sin у>. б) Как по-
лученная формула выглядит для ромба? в) Можно ли по этой
формуле вычислить площадь прямоугольника? г) Как с по-
мощью этой формулы вычислить угол между соседними сто-
ронами параллелограмма? д) Пусть длины сторон параллело-
грамма не меняются, а меняется только угол между смежными
его сторонами. В каких границах лежит его площадь?
14.28. а) В треугольнике АВС точка К лежит на стороне
АС. Пусть Z. ВСК = <р. Тогда для площади треугольника АВС
справедлива такая формула: S = АС ВК sin <р. Докажите это.
270
Рис. 349
б) Пусть <р — угол между диагоналями выпуклого четы-
рехугольника ABCD, aS — его площадь. Докажите, что
S = ^AC BD sin <р.
14.29. В задаче 14.28 получена формула площади выпук-
лого четырехугольника через его диагонали и угол между
ними. Выразите ее словами. А верна ли такая формула для
невыпуклого четырехугольника?
14.30. Запишите формулу площади прямоугольника, обо-
значив длину диагонали прямоугольника через d, а угол
между диагоналями через <р.
14.31. Переменная хорда KL данного круга с центром О:
а) движется перпендикулярно диаметру; б) вращается вокруг
некоторой фиксированной точки, взятой на данном радиусе.
В каких границах лежит площадь треугольника KOL?
14.32. В тетраэдре известны длины трех ребер, выходящих
из одной вершины, и углы между ними. Как найти площадь
поверхности тетраэдра? Выберите сами числовые данные и
получите результат.
14.33. Вычислите отношение площадей Si и S% фигур, изо-
браженных на рис. 349.
14.34. Сравните площади Si и S2 на рис. 350.
271
14.35. а) Докажите, что неизвестная площадь х на рис. 351
больше, чем каждая из известных, б) Сможете ли вы ее найти?
в) Обобщите эту задачу.
14.36. Известны две стороны треугольника и угол между
ними. Как найти биссектрису этого угла? Сможете ли вы
вывести формулу, связывающую эти величины?
14.37. Как найти площадь треугольника АВС, в котором
известны: a) ht>, углы А и С; б) ha,hb и угол С?
14.38. В выпуклом шестиугольнике все углы равны по
120°, а стороны равны 1 и 2 (через одну). Вычислите его
площадь.
14.39. Треугольник АВС — остроугольный. Треугольник
AiBiCi таков, что каждая его сторона меньше соответствующей
стороны треугольника АВС. Докажите, что и площадь его
меньше, чем площадь треугольника АВС. Будет ли это верно,
если исходный треугольник не будет остроугольным?
Рис. 351
272
Задачи к пункту 14.4
14.40. а) Дан треугольник АВС. Запишите для этого тре-
угольника по теореме синусов, чему равны такие отношения:
а : b; b : с; с : л; sin А : sin В; sin С : sin В; sin А : sin С. б) На-
рисуйте треугольник PQR и сделайте для него аналогичное
задание, в) Нарисуйте треугольник. Назовите его сами и по-
вторите задание.
14.41. Вычислите отношения сторон b : а; с : а в треуголь-
нике АВС, в котором: a) А А = 120°, Z. В = 30°; б) Z. А = 90°,
Z В = 30°; в) А А = 178°, А В = 1°.
14.42- Пусть дан треугольник АВС. Запишите теорему си-
нусов для сторон а и Ь. а) Сколько величин участвует в этой
формуле? б) Что следует из этой формулы при равенстве углов
А и В? в) Что следует из этой формулы при равенстве сторон
а и Ы г) Что следует из этой формулы, если Z. А > Z. В? д) Что
следует из этой формулы, если а > Ь?
14.43. Спортивный самолет летит по замкнутому треуголь-
ному маршруту. Два угла этого треугольника равны 60 и 30°.
Меньшую сторону треугольника он пролетел за 1 ч. За какое
время он пролетит весь маршрут, сохраняя постоянную ско-
рость?
14.44. Три дороги образуют треугольник. Назовем его
АВС. При этом А А — 20°, А В = 150°. Автомобилист, находясь
в пункте А, хочет попасть в пункт С побыстрее. При этом
следует учесть, что АС и СВ — проселки, АВ — шоссе и ско-
рость движения по шоссе в 2 раза больше, чем по проселку.
Какой путь ему выбрать?
273
14.45. В 12.00 нарушитель свернул с основной магистрали
и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В 12.00 инспектор
ГАИ помчался по проселку со скоростью 70 км/ч наперерез
нарушителю. Успеет ли инспектор остановить нарушителя у
перекрестка шоссе и проселка? Схема дорог указана на рис. 352.
3
14.46. (Решить перед доказательством теоремы синусов.)
Нарисуйте остроугольный треугольник АВС. Из вершины С
проведите высоту CD на АВ. а) Выразите CD из треугольников
CAD и CBD и докажите, что a sin В = b sin А. б) Верно ли это
равенство для тупоугольного и прямоугольного треугольников?
14.47. а) Запишите формулу теоремы синусов в другом
виде, б) Сколько можно составить пропорций из формулы
теоремы синусов? в) Сколько из этих пропорций независимых?
г) Как вы объясните такую фразу: «Синусы углов треугольника
пропорциональны его сторонам»? Запишите ее в виде формулы.
14.48. Вычислите неизвестные элементы треугольника
АВС, в котором: а) а = 10, Z. А = 45°, Z. В = 65°; б) с = 2,
А А = 10°, А В = 100°; в) Ъ = 10, a = 20, А А = 30°.
14.49. Решите треугольник АВС, в котором: a) Z. В = 10°,
с = 10, b = 3 и тупой угол С; б) те же значения углов и сторон,
что и в предыдущем пункте, но угол С — острый;
в) А В = 10°, с = 3, b = 10.
14.50. Пусть известны угол при вершине равнобедренного
треугольника и одна из его сторон. Как вычислить неизвестную
его сторону, используя теорему синусов?
14.51. Как найти площадь параллелограмма, если известна
его диагональ и углы, которые она составляет с его сторонами?
14.52. Углы двух треугольников соответственно равны. До-
кажите, что стороны этих треугольников пропорциональны.
Верно ли обратное?
14.53. Используя теорему синусов, докажите, что в равно-
бедренном треугольнике равны: а) биссектрисы углов при ос-
новании; б) высоты на боковые стороны. Сформулируйте и
докажите более общее утверждение.
14.54. Запишите теорему синусов для прямоугольного тре-
угольника. Как с ее помощью можно решать прямоугольные
треугольники? Приведите примеры.
274
Задачи к пункту 14.5
14.55. Пусть РА — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника АВС. Вычислите площадь поверхности тетраэдра РАВС,
если: а) РА = ВС = 1, А РВА = 45°, Z. РВС = 60°; б) PC = 2,
РВ = 3, РА = 1. Z. АСВ — 120°. Составьте сами аналогичные
задачи.
14.56. В тетраэдре РАВС А АРС = А ВРС, А АСР = А ВСР.
а) Сколько равнобедренных треугольников среди его граней?
б) Пусть известны PC, А АРС, А АСР. Сможете ли вы найти
площадь поверхности тетраэдра?
В
14.57- Решите треугольник АВС, если: а) а = 1, Ь = 2,
fi = 60°; б) а = 1, Ь = 2, /3 = 150°.
14.58. Пусть в треугольнике известны сторона и два при-
лежащих к ней угла. Как найти в этом треугольнике: а) бис-
сектрисы; б) высоты?
14.59. В треугольнике АВС проведена медиана АК. Дока-
жите, что АВ : АС = sinZ. КАС : sinZ. КАВ. Какие следствия
можно получить из этого равенства?
14.60. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник,
а) Прямой угол разделили лучами на три равные части. Какой
отрезок на гипотенузе оказался наибольшим? б) Гипотенузу
разделили на три равных отрезка. Какой из них виден из
вершины прямого угла под большим углом? Придумайте ана-
логичную задачу для равностороннего треугольника.
14.61. Медиана равнобедренного треугольника образует,
как известно, с его равными сторонами равные углы. Сможете
ли вы сравнить углы, которые она образует в неравнобедрен-
ном треугольнике с неравными его сторонами? (В обоих слу-
чаях данная медиана проходит между указанными сторонами
треугольника.)
Задачи к пунктам 14.6 и 14.7
14.62. Найдите длину неизвестного отрезка на рис. 353.
275
3
Рис. 353
14.63. Нарисуйте отрезок, а) Выберите любые два числа и
разделите этот отрезок в отношении, равном отношению дан-
ных чисел, б) Проделайте то же с тремя числами.
14.64. Нарисуйте три отрезка. Разделите один из них в
отношении, равном отношению двух других отрезков.
14.65. Нарисуйте любые три отрезка. Постройте отрезок,
к ним «четвертый пропорциональный». Сколько разных ре-
шений вы получите?
14.66. Пусть дан единичный отрезок, а также
отрезки а
___ 9
и Ь. Постройте такие отрезки: a) ab\ б) а ; в)
..а2 \ 3
Д) -п'. е) а .
Ь2
Задачи к пункту 14.9
14.67. Из вершины триангуляционного пункта хотят из-
мерить ширину реки. Высота пункта известна. Как это сде-
лать?
14.68. Человек, стоящий у окна, виден тем хуже, чем
выше этаж, на котором он находится. Объясните, почему.
14.69. Участок земли имеет форму выпуклого многоуголь-
ника. Можно ли найти его площадь, используя теорему си-
нусов. Как это сделать?
14.70. На холме стоит башня. Как найти ее высоту?
14.71. Вы находитесь на прямой дороге, идущей мимо
высокого здания. К основанию здания не подойти. Как вы-
числить высоту этого здания?
14.72. Турист поднялся на скалу над берегом озера. С нее
хорошо видно облако и его отражение в озере. А можно ли
найти высоту облака?
276
ЗАДАЧИ К § 15
Вопросы для самоконтроля
а Что такое косинус острого угла? Тупого угла?
а Чему равен косинус прямого угла? Разверну-
того угла? Угла 0°?
а Какая есть связь между косинусами смежных
углов?
а Какое тождество называется основным триго-
нометрическим?
а Какие следствия можно получить из основного
тригонометрического тождества?
а Чему равен косинус острого угла прямоуголь-
ного треугольника?
а Как с помощью косинуса найти в прямоуголь-
ном треугольнике катет? А гипотенузу?
а Как связаны между собой тригонометрические
функции острых углов прямоугольного тре-
угольника?
а Какие свойства косинуса вы знаете?
а Какие различия между синусом и косинусом
вам известны?
Основная задача
15.1. а) Нарисуйте острый угол с вершиной О. Пусть его
величина равна а. На стороне угла О отложите отрезок
ОА = а. Пусть точка А] — проекция точки А на другую сторону
угла О и ai = ОА]. Докажите, что ai = a cos «. б) Пусть а —
произвольный отрезок на стороне угла О, величина которого
а, а аг — его проекция на другую сторону угла. Докажите,
что и тогда ai = a cos а. в) Изменятся ли результаты, полу-
ченные в предыдущих пунктах, если угол а будет тупым?
Задачи к пункту 15.1
15.2. Запишите выражения для косинусов углов на рис. 345.
15.3. Вычислите косинусы углов треугольника, рассмотрен-
ного в задаче 13.23. Для всех случаев найдите сами углы.
277
15.4 Дан отрезок длиной d. Он проектируется на прямую
a, dy — длина его проекции. Угол между а и прямой, содер-
жащей отрезок, равен а (а < 90°). Запишите формулу, свя-
зывающую d. d\ и а. а) Укажите в этой формуле пропорцио-
нальные величины, б) Выразите из нее d. в) Выразите из нее
cos а. г) Не меняя d, увеличиваем а. Что происходит с d^?
Дайте геометрическую иллюстрацию, д) Не меняя d, увели-
чиваем dp Что происходит с а? Дайте геометрическую иллю-
страцию. е) При каком угле а проекция отрезка фиксирован-
ной длины достигает наибольшего значения? Наименьшего
значения? В каких границах лежит длина проекции?
Задачи к пункту 15.2
15.5.
числите
а) Вычислите sin а, если cos а равен -, - -, -т=. б) Вы-
г~ 3 5 V3
1 V2 _ ,
cos а, если sin а равен -, -д-, 0,1.
15.6. Могут ли синус и косинус одного угла равняться:
а) и б) +0,6 и -0,6; в) + и------------2=?
2 3 v5 V5
15.7. Запишите основное тригонометрическое тождество,
а) Выразите из него cos2 a, cos a, sin2 a, sin а. б) Пусть
cos а растет. Что происходит с sin а? в) Пусть sin а убывает.
Как меняется cos а? г) Как из него получить: | sin а | < 1?
| cos а | < 1?
Задачи к пункту 15.3
15.8. Рассмотрите прямоугольный треугольник на рис. 345.
а) Для каждого острого угла этого треугольника укажите
прилежащий катет. Запишите выражение для косинуса этого
угла, б) Для каждого катета этого треугольника укажите угол,
для которого этот катет является прилежащим.
278
15.9. а) Чему равны cos 120°, cos 135°, cos 150°? б) Составьте
для косинуса таблицу, аналогичную таблице из задачи 13.14.
15.10. Корабль плывет на восток с постоянной скоростью
V. В некоторый момент времени пеленг на маяк равен <р\, а
спустя какое-то время он равен <р2- Через какое время маяк
будет для этого корабля точно на севере?
15.11. Наклонная к плоскости а длины d составляет с а
угол >р, а ее проекция на а равна dj. Запишите формулу,
связывающую между собой эти величины. Проанализируйте
эту формулу.
15.12. Сторона АВ равностороннего треугольника АВС ле-
жит в плоскости а. Точка С проектируется на плоскость а в
точку С\. а) Докажите, что отношение площадей треугольни-
ков АВС и ABCi равно отношению их высот, проведенных к
стороне АВ. б) Проверьте это утверждение для равнобедренных
треугольников, в) Проверьте его для произвольных треуголь-
ников.
15.13. Треугольник АВС — равносторонний, BD — перпен-
дикуляр к его плоскости. Пусть известны АВ и угол, под
которым виден из точки А перпендикуляр BD. Как вычислить
площадь поверхности и объем тетраэдра ABCD1 Приведите
пример.
15.14. В тетраэдре РАВС грани РАВ и САВ — равные рав-
нобедренные треугольники с общим основанием АВ. Медиана
РК грани РАВ перпендикулярна грани АВС. Пусть известны
АВ и угол при основании грани РАВ. Как вычислить площадь
поверхности и объем тетраэдра? Приведите пример.
15.15. Вычислите угол, который составляет с прямой а
отрезок АВ, если АВ = 1 и проекция отрезка АВ на а равна:
а) б) 0,5; в) 0,9; г) 1.
15.16. Вычислите длину проекции единичного отрезка
АВ на прямую а, если угол между прямой а и АВ равен:
а) 30°; б) 50°; в) 90°.
15.17. Чему равна длина отрезка АВ, если его проекция
на прямую а равна 1, а угол между прямой а и АВ равен:
а) 20°; б) 45°; в) 60°?
279
15.18. Даны две перпендикулярные прямые. Отрезок дли
ной d имеет концы на этих прямых и составляет с одной из
них угол </>. Найдите его проекции на эти прямые.
15.19. Нарисуйте равносторонний треугольник АВС и его
медианы АК и ВМ. Пусть АВ = 1. Вычислите проекции:
а) АВ на прямую АС; б) АС на прямую АВ; в) АК на прямую
АС; г) ВМ на прямую АВ; д) АК на прямую ВМ.
15.20. Найдите косинусы острых углов прямоугольного тре-
угольника, в котором: а) проекции катетов на гипотенузу
равны 1 и 3; б) высота равна 1, а проекция одного из катетов
на гипотенузу' равна 2; в) один из катетов равен 2, а его
проекция на гипотенузу равна 1. Затем найдите сами углы.
15.21. Вертикальный отрезок длиной d повернулся вокруг
своего конца на острый угол <р. На сколько сместился другой
его конец по вертикали и по горизонтали? Как изменится
результат, если угол будет прямым или тупым? (Эту задачу
легко понять, глядя на часы.)
15.22. Ломаная АВС состоит из двух перпендикулярных
отрезков — горизонтального отрезка АВ длиной ri] и верти
кального отрезка ВС длиной d-г. Ломаную АВС повернули
вокруг точки А на угот <р. Чему равно горизонтальное и
вертикальное смещение точки С? Чему равно расстояние меж-
ду начальным и конечным положением точки С?
15.23. Из точки А на одной из сторон угта провели пер-
пендикуляр АВ на другую его сторону, а из точки В провели
перпендикуляр ВС на первую сторону. Известны длины этих
перпендикуляров. Сможете ли вы найти сам угол и расстояние
от А до вершины угла?
15.24. Как найти углы равнобокой трапеции, зная все ее
стороны? Приведите пример.
15.25. Решите, используя косинус, задачи: а) 14 1; б) 14.5.
15.26. Как найти площадь равнобедренного треугольника,
используя синус или косинус, ес ш изве<тны: а) о< нованш и
угол при вершине: б) боковая сторона и угол при вершине;
в) высота и угол при вершине; г) высота и угол при основании?
Приведите пример.
15.27. Известна сумма синусов углов прямоугольного тре-
угольника. Как найти сумму косинусов этих углов?
280
Задачи к пункту 15.4
1 2
15.28. Постройте угол, косинус которого равен: а) б) —
о Э
15.29. Из точки А перпендикуляра к плоскости проводятся
разные наклонные к этой плоскости. Докажите, что чем длин-
нее наклонная, тем длиннее ее проекция. Докажите и обратное
утверждение.
15.30. Из точки А на плоскости проводятся различные
наклонные постоянной длины. Сравните длины их проекций
на данную плоскость в зависимости от угла, который они
составляют с плоскостью.
15.31. Расположите в порядке возрастания косинусы углов,
указанных в задаче 13.47.
15.32. Ответьте на вопросы, поставленные в задаче 13.35,
но с помощью косинуса.
15.33. Выясните, что больше: синус или косинус угла
если: а) 0° < <р < 45°; б) 45° < <р < 90°; в) < 90°?
15.34. Пусть и <р2 — два острых угла. Известно, что
cos <р\ < cos >р2- Докажите, что у>] > <р2- Как изменится резуль-
тат, если эти углы будут тупыми? Если один из них острый,
а другой — тупой?
15.35. Верно ли, что с изменением угла в несколько раз
его косинус изменяется во столько же раз?
15.36. Какие следствия можно получить из таких равенств:
a) cos а = cos /3; б) cos а = — cos в) cos а = sin /3?
ЗАДАЧИ К § 16
Вопросы для самоконтроля
а В чем состоит обобщенная теорема Пифагора?
а Можно ли сказать, что теорема Пифагора явля-
ется следствием ОТП? Частным случаем ОТП?
а Какие задачи на решение треугольника стали
возможны благодаря ОТП?
а Можете ли вы сейчас справиться с любой задачей
на решение треугольника?
281
Основные задачи
16.1. Сравнив квадрат большей стороны треугольника с
суммой квадратов двух других его сторон, можно установить
вид треугольника по его углам. Как это сделать?
16.2. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле-
лограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Как из этой
формулы получить выражение для длины медианы треуголь-
ника?
Задачи к пункту 16.1
16.3. Дан треугольник АВС. Запишите ОТП для: а) стороны
а; б) стороны Ь.
16.4. а) Дан треугольник АВС. Запишите формулу для
стороны с согласно ОТП. Выразите из нее а2 + b2, b2, ab.
б) В треугольнике АВС запишите из ОТП выражение для
2 2 2
cos А, Ь + с , а , be, с.
Эту задачу решите перед доказательством ОТП.
16.5. Пусть в треугольнике АВС известны стороны а и Ь,
а также угол С. Составьте план вычисления стороны с. Вы-
числите с, если а = 2, b = 1, АС — 60°.
16.6. Длины всех сторон треугольника умножили на одно
и то же положительное число. Будут ли полученные чи< ла
сторонами некоторого треугольника? Если да, то будет ли он
того же вида (по углам), что и данный треугольник?
16.7. Используя ОТП, докажите: а) в двух треугольниках,
имеющих пару соответственно равных сторон, третья сторона
больше там, где больше угол между соответственно равными
сторонами; б) обратное утверждение к предыдущему пункту;
в) свойство средней линии треугольника; г) больший угол
треугольника лежит против большей его стороны и обратно.
16.8. Докажите, что большая медиана треугольника про-
водится к меньшей его стороне. Проверьте обратное.
282
Задачи к пункту 16.2
16.9. Вычислите неизвестные элементы треугольника АВС,
в котором: а) а = 3, с = 2. L В = 60°; б) b = 3, с = 4,
L А = 135°; в) а = 2, b = 1, L С = 28°; г) а = 4, b = 5, с = 6;
д) а = 4, b = с = 6; е) а = 12, b — 5, с = 13; ж) а = 0,3,
b = 0,4, с = 0,5.
16.10. Две планки длиной 35 см и 42 см скреплены одним
концом. Какой взять угол между ними, чтобы расстояние
между их концами равнялось: а) 24 см; б) 42 см? Может ли
расстояние между ними для какого-нибудь угла равняться
5 см; 80 см?
16.11. а) Кусок проволоки длиной 30 см согнули пополам
так, что расстояние между ее концами стало 12 см. Какой угол
образуют между собой ее части? б) Выясните то же, если про-
волоку согнули в точке, которая отстоит от середины на 2 см.
16.12. а) Кусок проволоки длиной 30 см согнули пополам
так, что угол между ее частями стал равен 45°. Вычислите
расстояние между ее концами, б) Сделайте то же, если про-
волоку согнули в точке, которая делит ес в отношении 2:1.
16.13. Кусок проволоки длиной 30 см согнули так, что
расстояние между ее концами стало 16 см, а угол между ее
частями составляет 40°. В каком месте согнули проволоку?
16.14. а) Проволоку длиной а согнули так, что расстояние
между ее концами равно Ь. Угол между ее частями равен у,
а отношения длин ее частей равно Л. Запишите зависимость
между этими величинами, б) Чему равна величина Ь, если
сгиб сделали посередине, а угол сгиба равен 90°? в) Чему
, 1
равна величина у, если о = —, а точка сгиба к одному из
концов в 2 раза ближе, чем к другому, г) Чему равна величина
у, если точка сгиба на с ближе к одному из концов, чем к
другому?
16.15. Ножки циркуля-измерителя, упираясь концами в от-
резок длиной 1, образуют угол 30°. Какой угол они будут об-
разовывать, упираясь в концы отрезка длиной 2? А длиной 1?
283
16.16. Две стороны треугольника равны 4 и 5. а) Пользуясь
ОТП, запишите выражение для третьей его стороны, б) На
основании ОТП установите, в каких границах лежит третья
его сторона. А как это сделать без ОТП?
16.17. Точка А удалена от прямой а на 1. По прямой а
движется отрезок длиной 2. В каком положении он виден из
А лучше всего? Можете ли вы решить задачу в общем виде
и найти практическое ее истолкование?
16.18. Пусть BD — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника АВС. Z. АВС = 90°, АВ = 1, ВС = 2, BD = 3. а) Установи-
те вид треугольника ACD. б) Вычислите площадь поверхности
тетраэдра ABCD. в) Можете ли вы вычислить его объем?
16.19. Пусть BD — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника ACD. Пусть известны BD, Z. ABD, Z. CBD, Z. АВС. Как
вычислить площадь поверхности и объем тетраэдра ABCD?
Выберите сами числовые данные и получите результат.
16.20. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости треуголь-
ника АВС, АВ = ВС, АС = 1, РВ = 1, L АРС = 150°. Вычисли-
те площадь поверхности и объем тетраэдра.
16.21. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости прямоуголь-
ного треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что
Z. АСР = 90°. Сформулируйте и докажите обратное утвержде-
ние.
16.22. В правильном тетраэдре РАВС точка К — середина
АС, точка L — середина РК, точка М — середина РВ и
PQ ± КВ, где Q лежит на КВ. Ребро тетраэдра равно 2. а) Вы-
числите KL, LM, BL, PQ, MQ. б) Докажите, что PQ ± AQ.
в) Какой еще прямой перпендикулярна прямая PQ?
3
16.23. Вычислите неизвестные элементы треугольника АВС,
в котором: а = 0,15, b - 0,62, Z. В = 161°.
16.24. Определите вид треугольника (по углам), если его
стороны равны: а) 5, 6, 7; б) 5, 6, 10; в) 5, 10, 10; г) 30, 40,
50; д) а; а + 1; а + 2; е) одна из его медиан равна средней
линии треугольника, которую она пересекает.
16.25. В треугольнике известны все стороны. Как вычис-
лить: а) хорду от вершины до противоположной стороны;
б) хорду между двумя сторонами; в) биссектрису; г) высоту?
284
16.26. Стороны треугольника равны 4. 5. 6. Вычислите его
наибольшую медиану, наименьшую высоту и среднюю по
величине биссектрису.
16.27. Как вычислить: а) диагонали ромба, если известны
его сторона и острый угол; б) диагональ равнобокой трапеции,
если известны ее основание, боковая сторона и угол между
ними?
16.28. В равнобедренном треугольнике известны длины
всех сторон. Из вершин основания проведены к противопо-
ложным сторонам: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты.
Как найти расстояния между их концами? А как решить эту
задачу для произвольного треугольника?
16.29. Известны три стороны треугольника. Как найти
проекцию одной из них на другую? Приведите пример.
16.30. В круге с радиусом R проведены через одну точку
на окружности две хорды длиной d. Как узнать угол между
ними?
16.31. Два круга с радиусами Bi и /?2 пересекаются по
хорде длины d. Расстояние между их центрами равно а. Пусть
три из этих величин известны. Сможете ли вы найти четвер-
тую?
16.32. Сторона ВС равностороннего треугольника АВС раз-
делена на три равные части. Какая из них видна из точки
А под большим углом?
16.33. У двух треугольников равны по две стороны и все
углы. Равны ли эти треугольники?
16.34. В параллелограмме известны: а) стороны и угол
между ними. Как найти диагонали? б) стороны и угол между
ними. Как найти длину его хорды? в) стороны и одна из
диагоналей. Как найти другую диагональ? г) диагонали и
угол между ними. Как найти его стороны?
16.35. Внутри угла О величиной у? взята точка К. Пусть
KL и КМ — перпендикуляры из нее на стороны угла. Их
длины а и Ь. Найдите ОК и LM.
16.36. В выпуклом четырехугольнике известны две сторо-
ны, диагональ и углы, которые она образует с двумя сторо-
нами. Хватит ли этих данных, чтобы найти остальные эле-
менты четырехугольника?
16.37. Докажите, что в параллелограмме против большего
угла лежит большая сторона. Докажите обратное.
16.38. Выведите формулу Герона, используя ОТП.
285
Задача к пункту 16.3
16.39. Как, не выходя из своей квартиры, найти: а) рас-
стояние до противоположного дома; б) высоту противополож-
ного дома?
ЗАДАЧИ К § 17
Вопросы для самоконтроля
а Какие случаи решения треугольников вы знаете?
а Что такое тангенс угла?
а Чему равен тангенс угла в прямоугольном тре-
угольнике?
а Какие свойства тангенса вам известны?
а Можете ли вы назвать случаи практического при-
менения тангенса?
а Какие тригонометрические функции кроме си-
нуса, косинуса и тангенса вы знаете?
а Что вы можете рассказать об истории тригоно-
метрии?
Основные задачи
17.1. Докажите, что: а) если угол <f> острый, то tg > sin у?;
б) если отличен от 0, 90 и 180°, то tg ctg = 1.
17.2. Докажите, что тангенсы смежных углов отличаются
только знаком, а по модулю равны.
Задачи к пункту 17.2
17.3. Запишите тангенсы углов на рис. 345.
17.4. Вычислите тангенсы углов на рис. 346, г, д.
17.5. Выразите катеты прямоугольных треугольников с
помощью тангенсов на рис. 347.
Г*
17.6. Запишите формулу для тангенса. Выразите из нее
синус. Выразите из нее косинус. Какие следствия вы можете
получить при анализе этой формулы?
286
17.7. Высота забора равна длине его тени. Под каким углом
падают солнечные лучи?
17.8. Как вычислить: а) угол падения солнечных лучей;
б) угол подъема лестницы; в) угол подъема эскалатора метро;
г) среднюю крутизну склона по карте; д) высоту башни?
17.9. АВ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного
треугольника BCD. АВ = 1, а катеты BD и DC равны соответ-
ственно 2 и 3. Вычислите острые углы в гранях тетраэдра,
площадь его поверхности и объем.
17.10. BD — перпендикуляр к плоскости АВС тетраэдра
ABCD, BD = 1, Z. BDA — 30°, Z. BDC = 60°. Вычислите пло-
щадь поверхности и объем тетраэдра.
17.11. РВ перпендикулярно основанию четырехугольной
пирамиды PABCD, основание — квадрат со стороной 1,
Z. РАВ = 45°. Вычислите площадь поверхности и объем этой
пирамиды.
В
17.12. Составьте для тангенсов такую же таблицу, как в
задаче 13.14.
17.13. Вычислите неизвестные элементы прямоугольного
треугольника АВС, в котором угол С прямой и: а) а = 3,2,
b = 4,6; б) а = 0,12, Z. А = 24°; в) а = 570, Z. В = 66°;
г) b = 7,1. Z В = 33°; д) Ь = 0,63, L А = 10°.
17.14. Заполните пустые места в таблицах 2 и 3, используя
тангенс.
17.15. Вычислите тангенсы углов треугольника, рассмот-
ренных в задаче 13.23, и найдите сами углы.
17.16. Как вычислить сторону АС треугольника АВС, если
известны высота BD и: а) углы, которые она образует со
сторонами треугольника; б) углы треугольника?
17.17. Докажите, что произведение тангенсов острых углов
прямоугольного треугольника равно 1.
17.18. Используя тангенс, докажите, что квадрат высоты,
проведенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, ра-
вен произведению проекций катетов на гипотенузу.
17.19. Как вычислить углы четырехугольника, если он:
а) ромб, в котором известны стороны и диагональ; б) равно-
бокая трапеция, в которой известны все стороны?
17.20. Как вычислить угол: а) между диагональю прямо-
угольника и его стороной, если стороны известны; б) между
287
диагоналями прямоугольника, стороны которого известны;
в) ромба, стороны которого известны; г) равнобокой трапеции,
если известны ее основания и площадь?
17.21. Как вычислить сторону прямоугольника, если изве-
стны: а) другая его сторона и угол между ней и диагональю;
б) другая его сторона и угол между диагоналями?
17.22. Как вычислить диагональ ромба, если известны дру-
гая его диагональ и угол ромба?
Задачи к пункту 17.3
Г
2
17.23. Постройте угол, тангенс которого равен: а)
б) -0,5; в) 4.
17.24. Чем ближе вы подходите к вертикальному предмету,
тем под большим углом его видите. Объясните это.
17.25. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости, a PQ —
прямая на ней. Из какой точки прямой PQ этот перпендикуляр
будет виден лучше всего?
17.26. а) Вы приближаетесь к уличному фонарю по прямой.
Что будет происходить с вашей тенью? б) А что будет проис-
ходить с нею, если вы пойдете по прямой мимо фонаря?
17.27. Два уличных фонаря освещают вертикальный пред-
мет. Что нужно знать, чтобы установить, от какого из них
тень будет длиннее?
17.28. Что происходит с вашей тенью на земле в первой
половине солнечного дня? А во второй?
17.29. Даны: солнечный день и два человека. Будет ли
более высокий из них иметь более длинную тень?
17.30. Треугольник АВС находится в вертикальной плоско-
сти. Когда тень от него в солнечный день будет наибольшей?
17.31. Расположите в порядке возрастания тангенсы углов:
а) 30, 50, 40°; б) 70, 80, 100°; в) 60, 110, 120°; г) 130, 140,
160°.
17.32. Верны ли такие утверждения: а) если углы не равны,
то и тангенсы их не равны; б) если тангенсы углов не равны,
то и сами углы не равны?
288
Задачи к пункту 17.4
17.33. Запишите котангенсы, секансы и косекансы углов,
указанных на рис. 345. Выразите с их помощью отрезки на
этом рисунке.
17.34. Как вычислить котангенсы, секансы и косекансы
углов, отмеченных на рис. 346. г, д?
17.35. Вычислите котангенсы углов 30, 45, 60°.
Г
17.36. Докажите, что: a) tg2y> + 1 = sec^y1; б) ctg2y> + 1 =
= cosec2y>.
17.37. Выберите любую тригонометрическую функцию. За-
тем выберите еще одну. Выразите первую из них только через
вторую.
В
17.38. При каких значениях углов: a) tg у? = ctg <р;
б) tg у> > ctg у,; в) tg <р < ctg у>?
17.39. Что происходит с тангенсом угла при возрастании
его синуса? А при возрастании косинуса? Ответьте на анало-
гичные вопросы для котангенса. Выберите любую пару три-
гонометрических функций и составьте сами аналогичные за-
дачи.
ЗАДАЧИ К § 18
Вопросы для самоконтроля
л. Какие фигуры называются подобными?
а Какие треугольники называются подобными?
а Что такое коэффициент подобия?
а Верно ли, что: а) равные треугольники подоб-
ны? б) Подобные треугольники равны?
а Какие свойства подобных треугольников вы
знаете?
а Какие свойства подобных треугольников напо-
минают вам о свойствах равных треугольников?
а Какие признаки подобных треугольников мо-
жете перечислить?
10 5ак. 106
289
а Какие признаки подобных треугольников со-
ответствуют признакам равных треугольников?
а Какие признаки подобия прямоугольных тре-
угольников вам известны?
а Какие практические задачи можно решить, ис-
пользуя подобие треугольников?
Основные задачи
18.1. Докажите, что подобны: а) равносторонние треуголь-
ники; б) прямоугольные равнобедренные треугольники.
18.2. Докажите, что отношение периметров подобных тре-
угольников равно коэффициенту подобия.
18.3. Из точки О выходят три луча: а, Ъ. с. На луче а
находятся точки А и Ai, на луче b — точки В иВр на луче
с — точки С и Сь При этом AiBi || АВ, B\Ci || ВС, CiAi || СА.
а) Докажите, что треугольники AjBiCi и АВС подобны, б)
Докажите то же, если точки Ai, Bi, Ci взять на продолжениях
лучей а, Ь, с. в) Будет ли верно это утверждение для лучей,
расположенных в пространстве?
Задачи к пункту 18.2
18.4. Стороны треугольника равны 3, 4, 6. Чему равны
длины сторон подобного ему треугольника, если коэффициент
подобия равен: а) 2; б) ^? В каждом случае вычислите периметр
и площадь подобного треугольника.
18.5. Стороны треугольника равны 4, 5, 6. Одна из сторон
подобного ему треугольника равна 1. Чему равны другие его
стороны? Вычислите наибольший периметр и наибольшую
площадь для подобного треугольника.
18.6. Два угла треугольника равны 40 и 50°. Чему равны
углы треугольника, подобного данному? Что еще о подобном
треугольнике вы сможете сказать?
18.7. Пусть треугольник AiBiCi подобен треугольнику АВС.
а) Укажите соответственные (сходственные) стороны этих тре-
угольников. б) Запишите все пропорции, составленные из
сторон этих треугольников, среди которых есть сторона АВ.
290
18.8. Каким по виду будет треугольник, подобный данному,
если данный треугольник: а) прямоугольный; б) остроуголь-
ный; в) тупоугольный; г) равнобедренный?
18.9. Имеются три треугольника. Второй из них подобен
первому с коэффициентом подобия 2. Третий из них подобен
второму с коэффициентом подобия 3. а) Докажите, что третий
из них подобен первому, б) Каков коэффициент этого подобия?
в) Обобщите полученный результат.
18.10. а) Прямая, проведенная через вершину В треуголь-
ника АВС, разбила его на два подобных треугольника: ABD
и CBD. Какие углы в этих треугольниках равны? б) Прямая,
проведенная через вершину В треугольника АВС, отсекла от
него треугольник ABD, подобный данному. Какие в этих тре-
угольниках углы равны?
Задачи к пункту 18.3
18.11. Найдите подобные треугольники на рис 354.
18.12. Найдите величину отрезка х на рис. 355.
18.13. Нарисуйте треугольник АВС. а) На лучах АВ и АС
постройте точки Bi и Сд такие, что A]Bi = 2АВ, А Су = 2АС.
а) Докажите, что треугольник АВ] С] подобен треугольнику
АВС. б) Объясните, почему треугольник АВС подобен тре-
угольнику ABiCi- С каким коэффициентом подобия? в) Как
Рис. 354
А
в)
291
Рис. 355
из данного треугольника можно получить другой треугольник,
подобный данному? г) Докажите, что будут подобны все тре-
угольники, полученные этим же способом.
18.14. Нарисуйте треугольник, а в нем все средние линии.
Сколько треугольников, подобных данному, на этом рисунке?
Какую часть площади данного треугольника составляет пло-
щадь треугольника, ограниченного средними линиями?
18.15. Два угла одного треугольника равны 70 и 80°. Два
угла другого треугольника равны 30 и 80°. Подобны ли эти
треугольники?
18.16. Постройте треугольник АВС, в котором АС = 3,
АВ = 4. На стороне АС отложите точку К такую, что АК = 2.
Теперь на стороне АВ отложите такую точку М, чтобы тре-
угольник АКМ был подобен треугольнику АВС. Придумайте
гами похожую задачу.
18.17. Нарисуйте треугольник, а) Нарисуйте любую прямую
и постройте треугольник, подобный данному, у которого одна
из сторон лежит на этой прямой, б) Нарисуйте любой отрезок.
Сможете ли вы построить треугольник, подобный данному,
стороной которого является данный отрезок?
292
Рис. ЗГ>6
18.18. Нарисуйте треугольник. Отметьте точку на одной
из его сторон. Проведите через нее прямую, отсекающую от
данного треугольника подобный ему треугольник. Сколько
таких прямых вы провели?
18.19. Бумажный треугольник есть у вас и вашего соседа.
Подобны ли эти треугольники?
18.20. Плечи рычага равны 1м и 3 м. С его помощью
требуется поднять груз, укрепленный в конце, на 2 м над
землей. На какой высоте над землей следует укрепить опору
рычага?
18.21. В треугольнике АВС провели к его сторонам высоты
АК и CL. Проведите KL. Найдите на полученном рисунке
подобные треугольники.
18.22. В равнобедренном треугольнике АВС с вершиной В
на луче СВ находится точка D такая, что AD =АС. Найдите
на полученном рисунке подобные треугольники.
18.23. Перпендикулярно стороне АВ треугольника АВС че-
рез вершину А провели прямую, через В провели прямую,
293
перпендикулярную ВС, через С провели прямую, перпенди-
кулярную СА. Найдите на рисунке подобные треугольники.
18.24. В прямоугольном треугольнике с острым углом 60°
провели биссектрису этого угла. Найдите на полученном ри-
сунке подобные треугольники.
18.25. Сравните площадь S и неизвестную площадь х на
рис. 356.
18.26. В треугольнике проведена медиана к одной из сто-
рон. Докажите, что каждая хорда треугольника, параллельная
этой стороне, делится данной медианой пополам. Постарайтесь
обобщить это утверждение.
18.27. Из точки А на стороне треугольника проведены
перпендикуляры к двум другим его сторонам. Основания этих
перпендикуляров В к С соединены отрезком. Может ли тре-
угольник АВС быть подобен данному треугольнику?
18.28. Как разделить площадь данного треугольника на
три равные части двумя параллельными отрезками?
294
18.29. Сформулируйте и докажите признаки подобия рав-
нобедренных треугольников.
Задачи к пункту 18.4
18.30. Укажите подобные треугольники на рис. 357.
18.31. Найдите неизвестный отрезок на рис. 358.
18.32. Подобны ли два чертежных треугольника?
18.33. Сравните площадь S и неизвестную площадь х на
рис. 359.
18.34. Внутри угла АОВ провели луч с вершиной в точке О.
По нему от вершины движется точка X. Докажите, что от-
ношение расстояний от нее до сторон угла постоянно. Про-
верьте обратное.
18.35. Через внутреннюю точку отрезка АВ проходит пе-
ременная прямая х. Докажите, что отношение расстояний до
этой прямой от точек А и В остается постоянным.
18.36. Один конец отрезка лежит на данной прямой, а
другой удален от нее на расстояние d. Чему равно расстояние
до прямой от середины отрезка? От точки, делящей его в
отношении 2 : 3? От точки, делящей его в отношении р : ql
Обобщите полученный результат.
295
Задачи к пункту 18.5
18.37. Предложите способ нахождения неизвестных вели-
чин, используя подобие: а) высоты дерева; б) расстояния между
двумя объектами на местности; в) ширины реки.
18.38. Как, используя подобие, продолжить отрезок на
местности за появившееся препятствие?
18.39. В одной из книг дается такой способ нахождения
расстояния от вас до человека, идущего перпендикулярно лучу
вашего зрения: «Закройте левый глаз, вытяните руку вперед
и отогните большой палец. Уловив момент, когда палец при-
кроет фигуру идущего вдали человека, закройте правый глаз,
а левый откройте и сосчитайте, сколько шагов сделает человек
до того момента, когда палец вновь прикроет фигуру. Увеличив
полученное число в 10 раз, вы узнаете расстояние от него в
шагах». На чем основан такой прием?
ЗАДАЧИ К § 19
Вопросы для самоконтроля
л. Какие замечательные точки в треугольнике вы
знаете?
а Какие замечательные точки в тетраэдре вам
известны?
а Как найти центр окружности, описанной около
треугольника?
а Как найти центр окружности, вписанной в тре-
угольник?
а Как найти центр тяжести (центр масс) тре-
угольника?
а Каким свойством обладают высоты треуголь-
ника?
Основные задачи
19.1. Пусть S — площадь треугольника, р — его полупери-
метр, г — радиус его вписанной окружности. Докажите, что
S = рг.
19.2. а) Найдите множество точек, равноудаленных от двух
пересекающихся прямых, б) Найдите множество точек, рав-
ноудаленных от трех попарно пересекающихся прямых.
296
Задачи к пункту 19.1
19.3. В равнобедренном треугольнике АВС основание
АС = 4. Постройте окружность, описанную около этого треу-
гольника, если А В равен: а) 30°; б) 90°; в) 150°. Какое
предположение вы можете сделать о положении центра опи-
санной окружности по отношению к треугольнику? Проверьте
его для других значений углов. Как доказать ваше предпо-
ложение?
19.4. Сможете ли вы восстановить равнобедренный тре-
угольник, если от него остались на рисунке центр описанной
окружности и: а) боковая сторона; б) основание? Придумайте
сами подобные задачи.
19.5. Можете ли вы одними только сгибаниями бумажного
треугольника получить центр его описанной окружности?
19.6. Нарисуйте четырехугольник, а) Проверьте, есть ли
такая точка, которая равноудалена от его вершин, б) Если
такая точка есть, то обязательно ти она лежит в этом четы-
рехугольнике? Может ли она лежать на его стороне? в) При-
ведите пример такого четырехугольника, для которого такая
точка нашлась. Может ли такой четырехугольник быть не-
выпуклым? г) Можете ли вы быстро нарисовать такой четы-
рехугольник, для которого такая точка есть, и такой, для
которого такой точки нет?
19.7. а) Вычислите сторону равностороннего треугольника,
вписанного в окружность радиусом 1. б) Вычислите радиус
окружности, описанной около равностороннего треугольника
со стороной 1. в) Установите зависимость между стороной
равностороннего треугольника, равной а, и радиусом R его
описанной окружности.
19.8. Дан равнобедренный треугольник. Вычислите радиус
описанной около него окружности, если его основание равно 2,
а боковая сторона равна 3. Решите задачу и в общем случае.
Составьте сами подобную задачу.
19.9. В окружность с радиусом 2 вписан равнобедренный
треугольник с высотой 1. Вычислите его стороны. Решите
задачу и в общем случае. Составьте задачу самостоятельно.
297
19.26. Пусть все стороны треугольника известны. В каких
границах находится сумма его медиан?
19.27. Пусть ABCD — параллелограмм. Его хорда ВВу делит
пополам сторону AD, его хорда DD\ делит пополам сторону
ВС. а) Докажите, что эти хорды делят диагональ АС на равные
части, б) Теперь проведите хорды из вершин В и D в середины
двух других сторон параллелограмма. Что вы заметили? Как
это доказать?
19.28. Постройте треугольник по: а) двум сторонам и ме-
диане к третьей стороне; б) стороне и двум медианам к другим
сторонам; в) трем медианам.
19.29. Может ли точка пересечения медиан треугольника
совпадать с точкой пересечения его: а) серединных перпенди-
куляров; б) биссектрис?
Задачи к пункту 19.4
19.30. Может ли точка пересечения высот треугольника
находиться: а) вне треугольника; б) на границе треугольника?
19.31. Восстановите равнобедренный треугольник по точке
пересечения его высот и: а) основанию; б) боковой стороне.
19.32. Можете ли вы одними только сгибаниями бумажного
треугольника найти точку пересечения его высот?
3
19.33. Может ли точка пересечения высот треугольника
совпадать с точкой пересечения его: а) серединных перпенди-
куляров; б) биссектрис; в) медиан?
19.34. В остроугольном треугольнике провели три высоты
и их точки, лежащие на сторонах треугольника, соединили
отрезками между собой. Какими свойствами обладает полу-
ченный треугольник?
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................3
Введение............................................ . .5
Глава 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ВЕКТОРЫ ...............................8
§ 1. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ........................ . . ... 10
1.1. Признаки параллельности прямых....................... 10
1.2. Трапеция и параллелограмм. Признаки параллелограмма . . 12
1.3. Доказательства признаков параллелограмма..............13
1.4. Построение параллельных отрезков и прямых .... 14
1.5. Признак и построение прямоугольника . . . ... 14
1.6. Ромб и квадрат .......................................16
§ 2. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ....................................17
2.1. Единственность прямой, параллельной данной ...........17
2.2. Доказательство утверждения о единственности
параллельной........................... . ........... 18
2.3. Пятый постулат Евклида и равносильные ему утверждения . 19
2.4. Свойства параллельных прямых, пересеченных третьей
прямой ..... 22
2.5. Свойства параллелограмма ...................... . .23
2.6. Доказательства свойств параллелограмма ...... 24
2.7. Характерные свойства фигур и определения . . 24
2.8. Еще один признак параллелограмма . . .............26
2.9. Полоса между параллельными прямыми . .............26
2.10. Направление и сонаправленность ....... .27
2.11. Признаки сонаправленности .... . . 30
§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ .... ... 31
3.1. Определение параллельных фигур в пространстве . . . . 31
3.2. Вертикали и горизонтали. Перпендикулярность
и параллельность в пространстве........................... 32
3.3. Признаки параллельности в пространстве ... 35
3.4. Свойства параллельности в пространстве............... 36
3.5. Параллельность на плоскости и параллельность
в пространстве .......................................... 38
3.6. Призмы и усеченные пирамиды...........................40
§ 4. ВЕКТОРЫ .................................................. 44
4.1. Понятие вектора...................................... 44
4.2. Равенство векторов и угол между векторами.............46
4.3. Вопросы, вопросы, вопросы... о векторах ......... ... 48
4.4. Сложение векторов и его свойства .....................49
4.5. Вычитание векторов. Взаимно противоположные векторы . . 53
4.6. Умножение вектора на число.......................... 54
4.7. Вопросы, вопросы, вопросы... о сложении и умножении
векторов................................ .... ........ 55
4.8. Векторный метод.......................................55
301
19.26. Пусть все стероны треугольника известны. В каких
границах находится сумма его медиан?
19.27. Пусть ABCD — параллелограмм. Его хорда ВВ\ делит
пополам сторону AD, его хорда DDi делит пополам сторону
ВС. а) Докажите, что эти хорды делят диагональ АС на равные
части, б) Теперь проведите хорды из вершин В и Л в середины
двух других сторон параллелограмма. Что вы заметили? Как
это доказать?
19.28. Постройте треугольник по: а) двум сторонам и ме-
диане к третьей стороне; б) стороне и двум медианам к другим
сторонам; в) трем медианам.
19.29. Может ли точка пересечения медиан треугольника
совпадать с точкой пересечения его: а) серединных перпенди-
куляров; б) биссектрис?
Задачи к пункту 19.4
19.30. Может ли точка пересечения высот треугольника
находиться: а) вне треугольника; б) на границе треугольника?
19.31. Восстановите равнобедренный треугольник по точке
пересечения его высот и: а) основанию; б) боковой стороне.
19.32. Можете ли вы одними только сгибаниями бумажного
треугольника найти точку пересечения его высот?
В
19.33. Может ли точка пересечения высот треугольника
совпадать с точкой пересечения его: а) серединных перпенди-
куляров; б) биссектрис; в) медиан?
19.34. В остроугольном треугольнике провели три высоты
и их точки, лежащие на сторонах треугольника, соединили
отрезками между собой. Какими свойствами обладает полу-
ченный треугольник?
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................3
Введение ... .5
Глава 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ВЕКТОРЫ ...............................8
§ 1. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ .... ...... 10
1.1. Признаки параллельности прямых........................10
1.2. Трапеция и параллелограмм. Признаки параллелограмма . 12
1.3. Доказательства признаков параллелограмма .............13
1.4. Построение параллельных отрезков и прямых . . . .14
1.5. Признак и построение прямоугольника . . . .... 14
1.6. Ромб и квадрат ................................... 16
§ 2. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ................................... 17
2.1. Единственность прямой, параллельной данной . . ... 17
2.2. Доказательство утверждения о единственности
параллельной............................... ... . 18
2.3. Пятый постулат Евклида и равносильные ему утверждения . 19
2.4. Свойства параллельных прямых, пересеченных третьей
прямой ......... . . 22
2.5. Свойства параллелограмма . . ............. 23
2.6. Доказательства свойств параллелограмма . ..........24
2.7. Характерные свойства фигур и определения........ . 24
2.8. Еще один признак параллелограмма . . .............. 26
2.9. Полоса между параллельными прямыми . . . . 26
2.10. Направление и сонаправленность ..................27
2.11. Признаки сонаправленности . . . ... 30
§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ............................. 31
3.1. Определение параллельных фигур в пространстве ... 31
3.2. Вертикали и горизонтали. Перпендикулярность
и параллельность в пространстве ......................... 32
3.3. Признаки параллельности в пространстве .... 35
3.4. Свойства параллельности в пространстве........... . 36
3.5. Параллельность на плоскости и параллельность
в пространстве ................................... ..... 38
3.6. Призмы и усеченные пирамиды...................... 40
§ 4. ВЕКТОРЫ .............................................. 44
4.1. Понятие вектора.................................. 44
4.2. Равенство векторов и угол между векторами........ 46
4.3. Вопросы, вопросы, вопросы... о векторах ..............48
4.4. Сложение векторов и его свойства .....................49
4.5. Вычитание векторов. Взаимно противоположные векторы . 53
4.6. Умножение вектора на число..................... . 54
4.7. Вопросы, вопросы, вопросы... о сложении и умножении
векторов.............................................. 55
4.8. Векторный метод.......................................55
301
§ 5. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И РАВЕНСТВО ОТРЕЗКОВ....................57
5.1. Параллельность отрезков и средние линии ..........57
5.2. Теорема Фалеса ...................................59
5.3. Теорема о средней линии треугольника...............60
5.4. Теорема о средней линии трапеции...................61
5.5. Деление отрезка на равные части..............62
5.6. Воспользуемся векторами...........................63
ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ГЛАВЫ 1.................................64
Глава 2. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР . 65
§ 6. КАК ИЗМЕРЯЮТ ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА ...................67
§ 7. КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ........................68
7.1. Площадь прямоугольного треугольника...............68
7.2. Площадь произвольного треугольника................68
7.3. Теорема о биссектрисе угла треугольника...........70
§ 8. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ФИГУРЫ................................. 71
8.1. Определение .многоугольной фигуры.................71
8.2. Площади многоугольных фигур.......................73
8.3. Площадь параллелограмма и трапеции ...............73
8.4. Так что же такое площадь многоугольной фигуры?....74
8.5. Вопросы, вопросы, вопросы... о величинах .........76
§ 9. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНЫХ
ФИГУР . 76
9.1. Немного истории ..................................77
9.2. Теорема о равносоставленности равновеликих
многоугольников .......................................78
§ 10. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННЫХ ТЕЛ ..............................82
10.1. Олъсм прямоугольного параллелепипеда ............82
10.2. Объем прямой призмы .............................83
10.3. Объем любой призмы (и в частности, любого
параллелепипеда).......................................84
10.4. Доказательство теоремы об объеме призмы..........85
10.5. Объем тетраэдра .................................87
10.6. Многогранные тела и их объемы ...................88
ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ГЛАВЫ 2.................................88
Глава 3. ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА.........................89
§11. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА .............................. ....... 90
11.1. Формулировка теоремы Пифагора....................90
11.2. Доказательство теоремы Пифагора..................92
11.3. Значение теоремы Пифагора........................93
11.4. Квадратный корень . 93
11.5. Признак прямоугольного треугольника..............94
§12. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА ...........................95
12.1. Первые примеры применения .......................95
302
12.2. Длины диагоналей прямоугольника и прямоугольного
параллелепипеда . . ......... 96
12.3. Наклонные и проекции. Расстояния от точки до прямой
и до плоскости . 98
12.4. Теорема о трех перпендикулярах . 99
12.5. Теорема Пифагора для проекций отрезка 101
12.6. Вычисление высоты треугольника . . . . .102
12.7. Формула Гёрона ...............103
§ 13. СИНУС .........................................104
13.1. Отношение отрезков . .104
13.2. Определение синуса угла . 104
13.3. Отношение перпендикуляра к наклонной .107
13.4. Синус величины угла . . 108
13.5. Синусы острых углов прямоугольного треугольника . 109
13.6. Свойства синуса и его график .110
§ 14. ПРИМЕНЕНИЕ СИНУСА........................... . .112
14.1. О важнейших понятиях курса геометрии и их применении 112
14.2. Решение прямоугольных треугольников с помощью синуса 112
14.3. Вычисление площади треугольника .113
14.4. Теорема синусов . . . . .114
14.5. Решение треугольников с помощью теоремы синусов . 114
14.6. Пропорциональность отрезков на сторонах угла,
отсеченных параллельными прямыми 116
14.7. Вспомним векторы .... .117
14.8. Параллельное проектирование . 118
14.9. Практические приложения теоремы синусов 120
§ 15. КОСИНУС . . .122
15.1. Определение косинуса ... 122
15.2. Основное тригонометрическое тождество 124
15.3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника . . 125
15.4. Свойства косинуса и его график ........127
§ 16. ПРИМЕНЕНИЕ КОСИНУСА ..................................... 128
16.1. Обобщенная теорема Пифагора (ОТП) 128
16.2. Решение треугольников с помощью ОТП 130
16.3. Практическое применение ОТП . . . . 130
§ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . . . 131
17.1. Решение прямоугольных треугольников.................131
17.2. Тангенс угла . . . .133
17.3. Свойства тангенса и его график . ........ .134
17.4. Котангенс, секанс, косеканс ...................... .135
17.5. Из истории тригонометрии.......... .... 135
§ 18. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ .136
18.1. Общее понятие о подобных фигурах . . ..............136
18.2. Определение и свойства подобных треугольников ......137
18.3. Признаки подобия треугольников .....................139
303
18.4. Признаки подобия прямоугольных треугольников ... 140
18.5. Применение подобия к графическому решению задач 141
§ 19. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА........................142
19.1. Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника . . . 142
19.2. Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника . . 143
19.3. Точка пересечения медиан — центр масс треугольника . 145
19.4. Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр) .... 146
19.5. Вспомним векторы.................................146
19.6. Замечательные точки тетраэдра ...................148
§ 20. ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ ...............................149
20.1. Теорема Чевы ....................................149
20.2. Следствия теоремы Чевы ..........................151
20.3. Обобщенная теорема Чевы.................. ....... 153
20.4. Теорема Менелая ................................ 154
ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ГЛАВЫ 3 И КУРСА VIII КЛАССА ... 157
ЗАДАЧИ ................................158
Учебное издание
Александров Александр Данилович
Вернер Алексей Леонидович
Рыжик Валерий Идельевич
ГЕОМЕТРИЯ
Экспериментальное учебное пособие
для учащихся VIII класса средних учебных заведений
Зав. редакционно-издательским отделом Г. О. Лазарева
Редактор О. И. Проценко
Художник Ю Д. Федичкин
Художественный редактор В И. Пономаренко
Технический редактор И. В Пронина
Корректоры Р. И. Андреева. Н П Новикова. О. А. Рогачева
Оригинал-макет сверстан в Компьютерном центре МИРОСа
Лицензия ЛР № 064792 от 16 октября 1996 г.
Изд. N" Ф30(03) Подписано в печать 21.03.97. Формат 60х90'/1б- Бумага офсетная.
Гарнитура "Школьная”. Печать офсетная. Усл. печ. л. 19. Тираж 10 000 экз. Заказ №106
Московский институт развития образовательных систем
109004, Москва. Нижняя Ралишевская ул., д. 10
Издательство ООО “Оракул”. 190068, Санкт-Петербург, пр. Стачек, 72
Отпечатано с оригинала-макета в типографии № 1 ВО “Наука” РАН
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, л. 12
Заявки на приобретение пособий принимаются по тел.: (812) 183-80-57, ;
по адресу: Санкт-Петербург, пр. Стачек, 72, 3 этаж, комн. 115
Ц. I : . X ; ‘ 1 1 ? : PT
. _ ,—га ♦—_L—Fra—t—*—L.-.-r. ra <— —L | 1 4 .........4-. ataaaah. 1 Г' '
1 ; т f ra . p
! . । ,
j . .
" x t..:;... . ,.i ; ... J.... ....j..
I a 1 .Г ’ . . fl
4. . :!.. —ф—E _ 4 . • t • j • V L
._L ,.,j... ,,.p.I....,.,..г...,t,..,I..tt..,.।. f 4 I I 1 a t . al.at. ^4 >1 a . ГП a- " -.U l^T-a . a _ fc-
I I I I 1 r Jr
. -- t . .1 Ll-t *
; -u t. ui. . ; ....I 1 it
' - . —-L. L-— —— •- —<— —- - - r< » t- ' тгф -Л— га a--г—| -р- —
.. 4- ' ; - - Р
1~ [ | 1. [_ Г L *11 4 Г
. :ixi ....
_ ..„а-.-. а...}.; U. , _ . .
1 - ‘
ra ra*.. ... ~rara .., ra—l_’ - -L.—t—L. г. ,.|_ ।— —। — Г- -{- 1 т г 1 f.i?
1J— .p Г . .-Л 1 - га - :
i a f * 4 -4- . . —а- t . . . a-а- .
. .. a.l.a L. ± 1 .Та ..I .1. 4 .Т Ua L t. , 1 .
f - J . до? .
' i . i . ,1 ; ra.. : - u_. . Г - лга: L \ . г Нт-
Г" 1 "1 " “T*: - - Жг:-
а--.... ..... ЕД
—t— ...t.;. -E— _ .—r- : ;:i: -1 — ....L —, -а ? г»Л I НН -Л ' J
f*. 1. U. . . - — . . . . . < . ....... .... .... .... а а а—— * а- . . а а а а а — - -
Ш rat-, - га; rat • -• t-4 * »- •’ *-*- • * - —а— а- .. а , . . . а а а . а а а а . —. _
ql C ill. j। . '"41. । . ........ n. > । ""VРТГ ’*’тга* - • - * г***4?:
:: titd* t ; J . . L*. л ralti it t ?*t ♦’ tra t” itra;h . । it?’ । гаri"’ra.:’’ tni t— .rattrai НД
-r -a - a- . -a. «-a-a. ^-a . a. •-»-*-*- ^a. a-L _ --L . . 4- , .
all. >£>.>. 1 1 1 I Il 1 I I .1 1 I . 1 . . . » > . a . | 1 a . 1 | . a--4 Ej.—-
1 - - -- a.. __ -a a- U, . . _ _• : [... E::
- * iZra -ZL—L • • ra _ra~.4—. —I—ZZ.ZraHLi . ..iZFnrara. BLi t .*•••: { Fra
1 | S 4 з ! ’ . • • ; .. ’ • . • . iE .~ra 4 . E; 1 — —--г —-д: ...тр... —- grp-
j’ffLtrTT; ; t;..r... It)-i - , 4, rt , L L.
..|.-a- a a , a a . a . a ... a j a a . . a . № j if I
lira : - - ra .. . . . .:. tl: .n..t. .. .... Д j
I - • . 3
11 111Л : 11 in 1 1 11.: 1 ra Г’ 1 1 ri 1 in?
1:;; " **T :. *♦ : e t Er.
. rara+i-* i4e t-ra. - ra-t -,ra ra- ,Trara -f t t -a a a a a a -4-4«- -a- • » *-t . a ^,1 » Hr * T
,, ; .t ‘ н * Г -i-r I?;♦ ;:i “ . i ; L f га ’ I ’. ti! ♦ Ц ra’’t i ': ’1F , I .* Ц; F i
. i.tt I I * l : ti ill .if i Pf.l-I* ill. Li. 1 j.tttr:>i.4.,ira t tПП—U txt
. . , a; ;T, X • raT, । 1' , 111 T t I , ' I Г ,, , iTt
?• tt+tft- t^t7- 1 -rat-tn . • -it**- f h t r rt t • - Hr»
. ! 1 ' 11! ! 1 ' 1 !i 1 1 . ' ' ' ' ; 1 ttt ’ '
• EWrararaii
4 1 l . . I- 4 < . ЦШ .. _. X--4-.-. и -Eo-i,— bl.
It il! ,. .. : -I: ti 1 1 1 ’ . . E: ?' . . • - - - j - | ....1- 4. '
EEE ,E!1EE' 1 • ‘-dilL-L.’ 1Л ‘4Ue 1 p 1_ ; '»• >
ti . 1 rax T i Г Л u u
... . ц и . ; it : it ; I. . ra
I * • ‘ • • • - .. . . L t . . lla
.ra,. _ _ ‘ Г;, ?_ 4 :, 7, - _1-
_ * *r ‘ t I' t'. • " 1 . it., IS
a a - I ♦ I ‘ SSS i . ;** i" 4 i1 г*Л
„ j. , . * , д. 7Г , d ,,, - X. • . t f a a * з a a . J - -* a . a
* ’* . .4- -.4-. f-. f - a - -
ПП liH w ill! lira T4; , til'iftra : t TH|.ra: = .! ill: :ЦТ? -;L’.’'l ‘ ГГ
1 . I at J t 1 I | 1.1*. 1 ^И1
... -..jt .t.i fl 1“ Il .... T..I ..... _.^ .ill ..1. .!
1 I’ll 1 !! 1'11 1*1? 11! 1 a!.' 1! 11 111! .1111' 1 111 » f ' i»• —
: Bit r?ii tilt I .: ill in : i: и : :it;t* t t , . . tl
.1 :;ti .1 llf! t:i; ::‘t r i : .( ..! |:lt f!|! tiff В t И * ‘E Ч11 f-1 4- Et rtt i ; : ' i fa, i * i гi f . ‘! t , ra , ! ' ° T p • •• , t f F-
•••-*• •••--*• 4- , lip 4_ 4. _ ra^--~ *t r *ra—t- —r4— -fra^-
. **.••-, a . а X й
‘. t; . . . . i : • ». . . t . ♦ " i * l • . • • a a a ... 4 |
.. •.!. .•” пн ; r!. 11
. t:.. -trr .... ——t~~ ~~ +trrтг- ...f 7t
• i : . I.t. .. 1: :it * a ' “ * f ’ t t " *
‘ tn?* i tr^* т •• * . ’
*****+-* *-j-t*"’1' t** . "П± ' ';'
- . 1 . . .. .. I . . . . . . ... a
... 1 . . . . . J I ...... a a ... . . a a. «. la. a..,. - j - - !.. a •