b0508cf2c2ce40018371b708d9eee263

Теги: общая механика механика твердых и жидких тел
Похожие
Лекции по теории гироскопов
Курс теоретической механики. Т.2 Динамика
История механики твердого тела
Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация
Текст
                    Л. Г. ЛОЙЦЯНСКИЙ, А. И. ЛУРЬЕ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ТОМ ВТОРОЙ
ДИНАМИКА
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МА1ЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983

22. 21
Л 72
УДК 531
Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики: В 2-х
томах. Т. II. Динамика.—6-е изд., перераб. и доп —М.: Наука, Главная
редакция физико-математической литературы, 1983. — 640 с.
Второй том курса теоретической механики посвящен динамике в объеме
программ высших учебных заведений, а также ряду дополнительных во-
вопросов
Во втором томе, наряду с изложением уравнений динамики материальной
точки, общих теорем динамики, динамики несвободной системы и специальных
задач динамики (колебания, динамика твердого тела), несколько расширяется
предмет курса в сторону сплошных деформируемых сред и, кроме того, при-
приводится изложение элементов релятивистской механики.
Курс предназначен для студентов университетов и втузов, а также аспи-
аспирантов и преподавателей.
Табл. 12, илл. 258.
Лев Герасимович Лойцянский,
Анатолий Исакович Лурье
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Том второй
ДИНАМИКА
Редактор Г. М. Ильичева
Техн. редактор Е. В. Мррозова
Корректор Е. В Сидоркина
ИБ № 12146
Сдано в набор 22,07.82. Подписано к печати 08.07.83. Формат 60X90l/iа.
Бумага тип. №2, Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн.
печ. л. 40. Уч.-изд л. 39.47. Тираж 34 000 экз. Заказ № 299. Цена 1 р. 60 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типограф!я № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
1703020000—П8 ©Издательство «Наука»,
КБ 2i-57-83 Главная редакция
ф
лес» /по\ ячКБ 2i5783 Главная редакция
иоо (Uz)-oo физико-математической
литературы, 1983

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Отдел третий
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Глава XIX. Основные уравнения динамики материальной точки 9
§ 79. Предмет и основные задачи динамики. Пространство и время в
классической механике Ньютона 9
§ 80. Первый закон Ньютона 12
§ 81. Второй закон Ньютона 13
§ 82. Независимость действия сил. Третий закон Ньютона 16
§ 83. Различные формы основного уравнения динамики точки .... 18
§ 84. Две задачи динамики. Простейшие примеры первой задачи ... 20
§ 85. Специальная постановка первой задачи динамики. Определение за-
закона действия силы по заданному классу движений. Задача Бер-
Бертрана 24
§ 86. Законы сил 27
§ 87. Вторая задача динамики материальной точки 31
§ 88. Связь между первой и второй задачами динамики материальной
точки . . 38
Глава XX. Некоторые задачи динамики точки . . . 39
§ 89. Вертикальное движение тяжелой точки в среде с сопротивлением,
пропорциональным квадрату скорости 39
§ 90. Движение снаряда в сопротивляющейся среде 47
§ 91. Движение снаряда по настильной траектории при сопротивлении
среды, пропорциональном квадрату скорости 50
§ 92. Движение точки под действием центральной силы 52
§ 93. Определение времени в эллиптическом движении 56
§ 94. Эллиптическое движение тела, брошенного с Земчи с большой на-
начальной скоростью 58
Глава XXI. Прямолинейные колебания малой амплитуды ... СЗ
§ 95. Свободные незатухающие колебания точки под действием линей-
линейной восстанавливающей силы 63
§ 96 Колебания точки под действием гармонической возмущающей
силы 68
§ 97. Колебания точки под действием периодической возмущающей
силы 7в
§ 98. Влияние силы сопротивления, пропорциональной первой степени
скорости, на свободные колебания точки 81
5 99. Влияние силы сопротивления, пропорциональной первой степени
скорости, на вынужденные колебания точки 8&
§ 100 Свободные колебания точки при наличии кулопова трения ... 98

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Отдел четвертый
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Глава XXII. Теорема об изменении количества движения системы мате-
материальных точек 104
§ 101. Предварительные замечания об общих теоремах динамики ... 104
§ 102. Теорема об изменении количества движения системы материаль-
материальных точек Ю6
§ 103. Динамика точки переменной массы НО
§ 104. Теорема о движении центра масс системы материальных точек . .115
§ 105. Уравнения движения центра масс одноступенчатой ракеты . . .123
§ 106. Теорема импульсов и ее применение в теории удара 131
§ 107. Удар точки о преграду. Коэффициент восстановления 135
§ 108. Прямой удар двух тел 138
§ 109. Косой удар двух тел 141
§110. Применение теоремы количества движения к сплошной среде.
Теорема Эйлера. Дифференциальные уравнения динамики сплош-
сплошной среды. Распространение малых возмущений 143
Глава XXIII. Теорема об изменении момента количеств движения систе-
системы материальных точек .... . . . - . ... 154
§ 111. Теорема об изменении момента количества движения материаль-
материальной точки 154
§ 112. Малые колебания математического маятника 157
§ 113. Теорема об изменении главного момента количеств движения си-
системы материальных точек. Теорема Резаля 159
§ 114. Главный момент количеств движения твердого те^а, вращающе-
вращающегося вокруг неподвижной оси 162
§ 115. Вычисление моментов инерции; моменты инерции относительно
параллельных осей 163
§ 116. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . . 172
§ 117. Малые колебания физического маятника 179
§ 118. Влияние внешних ударов на главный момент количеств движения
системы 181
§ 119. Главный момент количеств движения в неподвижной и в движу-
движущейся системах отсчета 182
§ 120. Теорема об изменении главного момента количеств движения си-
системы относительно центра масс 187
§ 121. Теорема о сохранении главного момента количеств движения . .188
§ 122. Применение теоремы моментов к сплошной среде. Уравнение Эй-
Эйлера теории турбомашин 191
Глава XXIV. Теорема об изменении кинетической энергии 196
§ 123. Работа силы. Мощность 196
§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях 200
§ 125. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кё-
нига 206
¦§ 126. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела 209
§ 127. Теорема об изменении кинетической энергии 212
§ 128. Потенциальная энергия силового поля 218
§ 129. Потенциалы силовых полей 224
§ 130. Закон сохранения механической энергии . 232
§ 131. Механическая энергия при вынужденных колебаниях ..... 234
§ 132. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе. Теорема Карно 237
§ 133. Теорема об изменении кинетической энергии сплошной среды. Тео-
Теоремы Бернулли и Борда — Карно Общее дифференциальное урав-
уравнение кинетической энергии. Диссипация механической энергии . . 245

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава XXV. Динамика плоского движения твердого тела 257
§ 134. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела 257
§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости и криволи-
криволинейной поверхности 262
§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости 268
§ 137. Критическая угловая скорость гибкого вала 272
§ 138. Удар в плоском движении твердого тела 276
Глава XXVI. Тензор инерции твердого тела ... . 281
§ 139. Тензор инерции и его компоненты. Формула для момента инерции
тела относительно произвольной оси 281
§ 140. Главные оси инерции . . 285
§ 141. Кинетическая энергия и главный момент количеств движения . . . 296
Отдел пятый
ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Глава XXVII. Связи. Статика несвободной системы 301
§ 142. Классификация связей 301
§ 143. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы . . . 306
§ 144. Принцип освобождаемости. Идеальные связи 314
§ 145. Принцип возможных перемещений 319
§ 146. Применения принципа возможных перемещений 324
§ 147. Устойчивость равновесия системы. Теорема Лагранжа — Дирихле
Понятие о теоремах Ляпунова 338
Глава XXVIII. Кинетостатика и общее уравнение динамики 345
§ 148. Принцип Даламбера . . 345
§ 149. Метод кинетостатики 347
§ 150. Кинетостатика плоского движения твердого тела 347
§ 151. Реакции оси вращающегося тела 354
§ 152. Реакции оси вращающегося тела при ударе. Центр удара . . . 363
§ 153. Метод кинетостатики в приближенной теории гироскопа .... 367
§ 154. Общее уравнение динамики 376
§ 155. Применение общего уравнения динамики к выводу основных теорем 378
§ 156. Применение общего уравнения динамики в теории удара .... 380
Глава XXIX. Уравнения Лагранжа 385
§ 157. Уравнения Лагранжа первого рода для голономной системы . . 385
§ 158. Движение точки по гладкой поверхности или кривой 387
§ 159. Уравнения Лагранжа второго рода 394
§ 160. Интеграл энергии и циклические интегралы 399
§ 161. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода . . . 403
§ 162. Уравнение движения машины 415
§ 163. Уравнения Лагранжа второго рода с множителями 419
Отдел шестой
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Глава XXX. Динамика относительного движения 421
§ 164. Уравнения динамики относительного движения 421
§ 165. Относительное движение системы материальных точек в равно-
равномерно вращающейся системе отсчета . 428
§ 166. Относительное равновесие точки вблизи поверхности Земли . . 433
§ 167 Влияние вращения Земли на падение тяжелой точки в пустоте . 435
§ 168. Влияние вращения Земли на движение тяжелой точки по горизон-
горизонтальной плоскости . 437
§ 169. Опыты, служащие для доказательства вращения Земли .... 439

б ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XXXI. Основы механики специальной теории относительности . . 443
§ 170. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. По-
Постулаты специальной теории относительное!и Эйнштейна .... 443
§ 171 Преобразование Лоренца. Диаграмма Минковского 448
§ 172. Четырехмерные векторы в пространстве Минковского .... 459
§ 173. Релятивистское обобщение второго закона Ньютона 462
§ 174. Движение заряженной частицы в однородных электрическом и
магнитном полях 469
§ 175. О силовых взаимодействиях в теории относительности. Проблема
инерции и переход к общей теории относительности 472
Глава XXXII. Свободные колебания системы с одной степенью свободы 479
§ 176. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью
свободы 479
§ 177. Движение математического маятника . 493
§ 178. Колебания при нелинейной восстанавливающей силе 504
§ 179. Свободные затухающие колебания системы при силе сопротивле-
сопротивления, пропорциональной первой степени скорости. Диссипативная
функция Релея 509
§ 180. Колебания системы с одной степенью свободы при наличии куло-
нова трения 518
§ 181. Колебания системы с одной степенью свободы при наличии силы
сопротивления, пропорциональной квадрату скорости 520
Глава XXXIII. Вынужденные колебания системы с одной степенью сво-
свободы ..... . 527
§ 182. Общее решение уравнения вынужденных колебаний 527
§ 183. Верхняя граница отклонения при ограниченной силе 536
§ 184. Периодическое решение уравнения вынужденных колебаний . . . 538
Глава XXXIV. Колебания системы с двумя степенями свободы .... 547
§ 185. Дифференциальные уравнения свободных колебаний 547
§ 186. Интегрирование уравнений свободных колебаний 550
§ 187. Главные координаты 560
§ 188 Применение коэффициентов влияния к составлению дифферен-
дифференциальных уравнений свободных колебаний .571
§ 189. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы . . 584
§ 190. Свободные колебания системы с произвольным конечным числом
степеней свободы 591
Глава XXXV. Некоторые задачи динамики твердого тела 596
§ 191. Уравнения Эйлера динамики твердого тела 596
§ 192. Вращение симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки 598
§ 193. Регулярная прецессия симметричного тела 600
§ 194. Уравнения движения гироскопа на подвижном основании , . . 605
§ 195. Гироскопы Фуко . . 617
§ 196 Задача о «спящем волчке» 622
§ 197. Устойчивость вращающегося снаряда 627
§ 198 Гироскопический маятник. Применение уравнений Лагранжа вто-
второго рода в динамике твердого тела 630
Предметный указатель 638

ПРЕДИСЛОВИЕ
При работе над новым изданием второго тома, посвящен-
посвященного динамике, особенно остро ощущалась тяжелая утрата без-
безвременно скончавшегося Анатолия Исааковича Лурье, роль
которого как автора в создании настоящего тома курса была
особенно велика. Положение несколько облегчилось тем, что
еще в 1956 г. им был составлен список замечаний по перера-
переработке текста второго тома и указаны некоторые сокращения, а
незадолго до кончины Анатолия Исааковича представилась воз-
возможность совместного обсуждения перечня и характера предпо-
предполагаемых дополнений и изменений в содержании курса.
В связи с появлением новых задачников по теоретической
механике было решено не только не увеличивать число приме-
примеров, а даже сократить те из них, сложность которых не оправ-
оправдывалась их значением для иллюстрации теоретического мате-
материала. Было также полностью опущено учение о неголономных
связях, представляющее специальный раздел аналитической ме-
механики.
Вместе с тем появились и существенные дополнения, среди
которых следует отметить написанную К. А. Лурье новую (три-
(тридцать первую) главу, содержащую изложение основ специальной
теории относительности. В заново написанных параграфах полу-
получили освещение вопросы полета ракеты простейшей схемы, тео-
теории колебаний систем с произвольным конечным числом степе-
степеней свободы, применения общих теорем динамики систем мате-
материальных точек к сплошным средам (теоремы Эйлера, Бернулли,
Борда), а также к выводу общих дифференциальных уравнений
динамики сплошных сред и выражения мощности внутренних
сил в сплошной среде. Последнее в случае сред с внутренним
трением позволяет глубже судить о важном для механики по-
понятии потерь (диссипации) механической энергии при движении
среды.
Осуществленное в новом издании расширение предмета ме-
механики в сторону модели сплошной среды не может, конечно,
заменить изложение тех же вопросов в специальных курсах тео-
теории упругости и гчдоогазодинамики. Зчесь преследуются совер-
совершенно другие цели. Главная из них—-показать учащемуся

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
широту и мощь охвата теоретической механикой самых различ-
различных движений материальных тел, включая сюда и сплошные
среды (упругие, жидкие и газообразные). С другой стороны, это
дополнение органически связывает курс теоретической механики
с непосредственно следующими за ним в учебных планах втузов
курсами сопротивления материалов и гидравлики (технической
гидродинамики), в которых обычно изложению общих основ ме-
механики сплошных сред не уделяется должного внимания.
Чтобы не требовать от читателя обязательно изучать эти до-
дополнительные вопросы, в первом томе они помещены в конце
отделов статики и кинематики, а во втором томе в конце глав,
содержащих изложение общих теорем динамики. Такая струк-
структура курса сохраняет его традиционное построение, приноров-
приноровленное к действующим программам втузов. То же относится и
к разделу «Специальные задачи динамики», начиная с гл. XXXI
и до конца курса.
Указанные выше дополнения позволяют рекомендовать на-
настоящее издание курса широкому кругу студентов, аспирантов
и инженеров, а также тем читателям, которые будут изучать
теоретическую механику в порядке самообразования.
С глубокой благодарностью обращаюсь я к проф. Г. Ю. Сте-
Степанову, не только взявшему на себя труд рецензирования ру-
рукописи настоящего тома, но и сделавшему по ней много сущест-
существенных критических замечаний, которые мной с признательно-
признательностью приняты во внимание. Многим я обязан доценту кафедры
теоретической механики Ленинградского политехнического ин-
института им. М. И. Калинина И. Л. Лойцянской, принявшей боль-
большое участие в нашей совместной работе над рукописью, а в
дальнейшем и в чтении корректур. Я особенно благодарен
Г. М. Ильичевой за ее большую высококвалифицированную ра-
работу по редактированию рукописи настоящего тома.
Л. Г» Лойцянский

Отдел третий
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Глава XIX
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 79. Предмет и основные задачи динамики.
Пространство и время в классической механике Ньютона
Предметом динамики являются те же модели материальных
тел: материальная точка, система дискретных материальных то-
точек, сплошная материальная среда (в том числе и абсолютно
твердое тело), что и в предыдущих отделах — статике и кине-
кинематике. Однако задачи у них разные.
В статике рассматривались механические силовые взаимо-
взаимодействия материальных тел в равновесных их состояниях. В ки-
кинематике были установлены методы изучения происходящих в
пространстве и во времени механических движений материаль-
материальных тел и их систем, но вне связи с механическими взаимодейст-
взаимодействиями, обусловливающими эти движения. Динамика ставит
целью изучение движения материальных тел в связи с механи-
механическими взаимодействиями между ними. При этом динамика
заимствует у статики законы сложения сил и приведения слож-
сложных их совокупностей к простейшему виду и пользуется приня-
принятыми в кинематике приемами описания движений. Задачей ди-
динамики является установление законов связи действующих сил
с кинематическими характеристиками движений и применение
этих законов к изучению частных видов движений. Лучше всего
это сформулировано самим Ньютоном A642—1726), создателем
классической системы механики. Динамика должна, говорит он,
«по явлениям движения распознать силы природы, а затем по
этим силам изъяснить остальные явления» *). Эта формулировка
точно передает сущность динамики и будет подробно разъяс-
разъяснена в дальнейшем.
Основную роль в динамике играет отсутствовавшая в ста-
статике и кинематике количественная материальная характеристика
*) N е w t о n I. Philosophiae naturalis principia mathematica. — London:
1686. Имеется перевод акад. А. Н. Крылова: Ньютон И. Математические
начала натуральной философии. — Изд. Морской академии. — Петроград,
1916; см. также Собрание трудов акад. А. Н. Крылова. Т, VII. — М. — Л.1
Изд-во АН СССР, 1936.

10 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
тел — их масса, а в случае сплошной среды — плотность рас-
распределения массы в теле, короче именуемая просто плот-
плотностью.
Основные законы классической механики были сформулиро-
сформулированы Ньютоном как законы движения по отношению к некото-
некоторой абсолютно неподвижной системе — «абсолютному простран-
пространству»— или любой другой «инерциальной» или «галилеевой» си-
системе, движущейся по отношению к «абсолютному пространству»
поступательно, прямолинейно и равномерно; за время, в течение
которого движение протекает, Ньютон принимал «абсолютное
время», не зависящее от движения тел и систем отсчета.
Понятия абсолютных пространства и времени относительны.
Лишь в некотором (достаточном для земных применений) при-
приближении можно вводить статистический, имеющий смысл лишь
«в среднем» образ «универсальной абсолютной системы»*), от-
относительно которой предполагаются покоящимися так называе-
называемые неподвижные звезды. При этом следует оговориться, что
представление о такого рода «абсолютной» системе зависит от
числа принятых во внимание «неподвижных» звезд и что, соб-
собственно говоря, нет никаких оснований считать эту систему
строго неподвижной в масштабе Вселенной.
«Абсолютное» время рассматривается как одинаковое во
всех взаимно движущихся системах отсчета, что находится в
противоречии с конечностью скорости света, а также скорости
распространения электромагнитных возмущений и радиосигна-
радиосигналов. Вопрос о связи между отсчетами времени в двух взаимно
движущихся инерциальных системах отсчета в настоящее время
решается просто и наглядно благодаря использованию «радио-
«радиолокационного» метода**). Об этом будет частично идти речь
в гл. XXXI, посвященной основным понятиям специальной тео-
теории относительности. Сейчас, подчеркнем это еще раз, в клас-
классической механике Ньютона используется «абсолютное время»,
единое во всех движущихся друг по отношению к другу систе-
системах отсчета.
В основу своей системы механики Ньютон положил следую-
следующие, приведенные в его «Началах» определения времени и про-
пространства:
«1. Абсолютное, истинное математическое время — само по
себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-
либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется дли-
длительностью.
*) Неванлинна Р. Пространство, время, относительность. — М.: Мир,
1966, с. 136.
**) См., например, Бонд и Г., Гипотезы и мифы физической теории.—
М: Мир, 1972, с. 36—51,

§ 79. ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 11
2. Абсолютное пространство по самой своей сущности безот-
безотносительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда
одинаковым и неподвижным».
Внешняя форма этих определений, несмотря на наличие в
них явных противоречий, вполне соответствует критическому от-
отношению к этим определениям самого Ньютона. «Возможно», го-
говорит Ньютон в своих «Началах», что «не существует такого
равномерного движения, которым время могло бы измеряться с
совершенной точностью», точно так же, как «может оказаться,
что в действительности не существует покоящегося тела, к
которому можно было бы относить места и движения про-
прочих».
А. Эйнштейн A879—1955) подверг глубокой критике пред-
представления Ньютона о пространстве и времени, но вместе с тем
указал на их громадное мировоззренческое значение для того
этапа научного прогресса, активным участником которого был
Ньютон.
В настоящее время ясно понимается, что «...воистину труд-
трудный шаг был в свое время сделан Ньютоном и Галилеем и что
трудности, которые пришлось преодолеть Эйнштейну, были зна-
значительно меньше... Эйнштейн просто вернул нас к Ньютону»,
и далее «...в относительности нет ничего более трудного для по-
понимания, чем осознание ньютоновской относительности: сущест-
существует множество инерциальных наблюдателей, каждый из кото-
которых ничем не лучше и не хуже остальных...» (Г. Бонди, цитиро-
цитированная выше брошюра).
С этой точки зрения стоит привести высказывание самого
Эйнштейна: «Ясные и широкие идеи Ньютона сохраняют свое
значение фундамента, на котором построены наши современные
физические представления».
Как будет выяснено в гл. XXXI, система механики Ньютона
является частным случаем релятивистской механики Эйнштейна,
примененной к движениям в областях, малых по масштабу по
сравнению с масштабами Вселенной, и со скоростями, малыми
по сравнению со скоростью распространения света в пустоте.
Такое приближение совершенно достаточно для земной прак-
практики, включая и современные космические полеты ракетных
аппаратов с их пока еще сравнительно малым удалением от
Земли и малыми по сравнению со скоростью света скоро-
скоростями.
Это позволяет нам посвятить весь настоящий курс, за исклю-
исключением гл. XXXI, в которой излагаются основы специального
принципа относительности, изложению классической динамики
Ньютона и ее применениям к разнообразным механическим дви-
движениям.

12 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 80. Первый закон Ньютона
В основе классической механики Ньютона лежат три уста-
установленные им и сформулированные в «Началах» закона дви-
движения. Подчеркнем, что законы эти предполагают существова-
существование «абсолютного времени» и установлены для движений мате-
материальной точки по отношению к «абсолютно неподвижной» си-
системе координат, а согласно принципу Галилея (см. начало
гл. XXXI) — и по отношению к произвольной инерциальной (га-
лилеевой) системе отсчета.
Первый закон Ньютона — закон инерции — опи-
описывает простейшее из возможных механических движений —
движение материальной точки в отвлеченных условиях полной
ее изолированности от действия других материальных тел. За-
Закон инерции в формулировке Ньютона (перевод А. Н. Крылова)
гласит: «Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномер-
равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку приложен-
приложенные силы не заставят его изменить это состояние».
Термин «тело» здесь означает «материальную точку», не
имеющую размера, но обладающую массой, которая и обуслов-
обусловливает указанное в формулировке движение материальной точ-
точки «по инерции». Как будет показано в следующем параграфе,
масса может быть принята за меру инертности тела.
Заметим (и в дальнейшем это будет оправдано), что движе-
движение изолированного от внешних воздействий тела конечного
размера также может быть названо «движением по инерции», но
уже не будет столь простым, как движение по инерции мате-
материальной точки.
Закон инерции не в столь широкой обобщенной форме, как
это сделал Ньютон, был установлен ранее Галилеем A564—
1642)*) для частного случая движения тела по гладкой гори-
горизонтальной плоскости. Приведем эту формулировку: «Когда тело
движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого
сопротивления, то движение его является равномерным и про-
продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в
пространстве без конца».
Чтобы достойным образом оценить заслугу Галилея в откры-
открытии закона инерции, стоит вспомнить о борьбе против схоласти-
схоластической науки средневековья, которая выпала на его долю. Сле-
Следуя Аристотелю, средневековые ученые утверждали, что материя
косна, естественным ее состоянием является абсолютный покой,
*) Galileo Galilei. Discorsi e demonstrazioni mathematiche, intorno
a due nuoue scienze attenenti alia rneccanica ed i movimenti locali. — Leida:
1638. Имеется перевод: Галилео Галилей. Беседы и математические до-
доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки и относящиеся к ме*
ханике и местному движению. — М. — Л.: ГТТИ, 1934.

§ 81. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 13
а для поддержания движения тела необходимо постоянное внеш-
внешнее воздействие. Велика заслуга Галилея, который ввел в меха-
механику понятие об ускорении и противопоставил прямолинейному
равномерному движению по инерции неравномерное равноуско-
равноускоренное движение точки, свободно падающей в пустоте вблизи
поверхности Земли.
Прав был Лагранж A736—1813), когда, сравнивая дости-
достижения Галилея в области астрономии с созданием основ дина-
динамики, писал *):
«Открытие спутников Юпитера, фаз Венеры, солнечных пя-
пятен и др. потребовало лишь наличия телескопа и известного тру-
трудолюбия, но нужен был необыкновенный гений, чтобы открыть
законы природы в таких явлениях, которые всегда пребывали
перед глазами, но объяснение которых тем не менее всегда
ускользало от изыскания философов».
Открытие Галилеем законов свободного падения тел сыграло
основополагающую роль в деле создания ньютоновской дина-
динамики и, в частности, второго закона Ньютона.
Заслуга Галилея была высоко оценена Ньютоном, который
говорил, что он «далеко видел вперед, так как стоял на плечах
у гигантов».
§ 81. Второй закон Ньютона
Основой ньютоновской механики является «второй закон» —
фундаментальный закон естествознания.
Второй закон Ньютона устанавливает количественную
связь между изменением движения, совершаемого материальной
точкой и приложенной к ней силой. Формулировка второго за-
закона (в переводе А. Н. Крылова) гласит:
«Изменение движения пропорционально приложенной дви-
движущей силе и происходит в направлении линии действия этой
силы».
Под «изменением движения» подразумевается отнесенное к
единице времени изменение вектора скорости точки, т. е. ее
ускорение. Такое понимание термина «изменения движения»
можно найти, например, в классическом, относящемся к 174S г.
«Трактате по динамике» Даламбера, который называет «дви-
«движением» «скорость тела с учетом ее направления», (см. русский
перевод этого трактата в серии «Классики естествознания».
М.—Л.: Гостехиздат, 1950, с. 108, определение). Ньютон под
*) La grange J. L. Mecanique analitique. — Paris: 1788. Имеется пере-
перевод: Лагранж Ж. Аналитическая механика: В 2-х томах. — М. — Л.: Гос-
Гостехиздат, 1950. Приведенная цитата помещена в начале первого отдела раз-
раздела «Динамика» т. I,

14 ГЛ XIX ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
«движением» понимал то, что мы сейчас называем «количеством
движения», т. е. произведение массы на вектор скорости. При
ньютоновском представлении о постоянстве массы во все время
движения обе трактовки совпадают. Возникающее различие
разъясняется в специальном разделе курса «Динамика точки
переменной массы» (см. § 103).
Таким образом второй закон утверждает пропорциональ-
пропорциональность вектора ускорения точки вектору приложенной к ней силы,
что можно записать в виде
Cw = F. A)
Коэффициент пропорциональности С представляет собой ве-
величину, зависящую не от внешних характеристик движения (при-
(приложенной силы и наблюдаемого ускорения), а лишь от собствен-
собственного материального свойства точки—ее вещественности. Это
свойство Ньютон связывает с количеством вещества в точке —
характеристикой точки, не поддающейся ни строгому определе-
определению, ни непосредственному измерению.
Чтобы избежать эту трудность, вводят представление об
инертности, понимая под ней свойство материальной точки при-
приобретать под действием заданной по величине силы тем большее
ускорение, чем меньше характеристика С ее вещественности, и,
наоборот, тем меньшее ускорение, чем больше эта характери-
характеристика.
Сохраняя за константой С приписываемое ей Ньютоном ка-
качественное понятие меры «количества вещества» в теле (мате-
(материальной точке), примем за количественную характеристику ве-
вещественности материальной точки ее меру инертности, назовем
эту меру массой и обозначим ее т. За единицу массы в системе
СИ принимают килограмм (кг) как такую массу, которая под
действием силы в 1 Н приобретает ускорение, равное 1 м/с2.
В качестве более крупной единицы массы принимают тонну (т),
равную 103 кг.
Окончательной формой уравнения A), в котором можно по-
положить С=т, будет основное уравнение динамики
материальной точки
raw = F. B)
Рассмотрим две материальные точки с разными массами т\
и /П2, движущиеся под действием двух сил F\ и F2 с одним и тем
же ускорением w согласно уравнениям
Не нарушая движения, можем мысленно объединить эти две
материальные точки в одну точку массы т. Почленно склады-

§ 81 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 15
вая два предыдущих равенства, получаем
(т{ + m2)w = F{ + F2,
откуда следует закон аддитивности масс
т== т{-\~ т2.
Понятие массы как меры инертности, введенное для мате-
материальной точки, применимо и к поступательно движущемуся
твердому телу: все частицы такого тела (в общем случае обла-
обладающие разными массами) имеют одинаковые ускорения, и по-
поэтому масса тела в силу закона аддитивности масс равна сумме
масс его отдельных частиц.
В некоторых руководствах по механике еще можно иногда
встретиться с двумя отличными от СИ системами единиц: физи-
физической и технической. Первая из них система CGS (сантиметр —
грамм—секунда) отличается от СМ только количественно.
В системе CGS за единицу длины принят сантиметр, равный
10~2 м, за единицу массы — грамм, равный 10~3 кг, а единицей
силы служит дина, определяемая как сила, вызывающая у массы
в 1 г ускорение 1 см/с2. Единица силы в системе СИ Ньютон
равна
1Н = 1 кг • м/с2 = 105 г • см/с2 = 105 дин.
Техническая система единиц отличается от СИ выбором
основных единиц. В технической системе основными единицами
являются сила, длина и время, причем за единицу силы принят
килограмм (силы), за единицу длины — метр, за единицу вре-
времени— секунда. Единица массы в технической системе является
производной и определяется как масса тела, приобретающего
под действием силы в один килограмм ускорение 1 м/с2.
Чтобы установить связь между единицами силы и массы в
различных системах единиц, применим формулу B) к падению
точки в пустоте вблизи земной поверхности. Обозначая силу тя-
тяжести через G, ускорение свободного падения через g, а массу
через т, будем иметь
G = mg. C)
Численная величина ускорения g изменяется в зависимости
от широты пункта земного шара и его высоты над уровнем моря.
Крайние значения g на полюсе и экваторе (на уровне моря)
соответственно равны 9,8311 м/с2 и 9,7810 м/с2. Значения g для
некоторых пунктов Советского Союза даны в табл. 1.
При дальнейшем изложении будем пользоваться общеприня-
общепринятым средним значением
g = 9,81 м/с2,
иногда заменяя его менее точным g-=9,8 м/с2.

16 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Таблица 1
Значения ускорения g свободного падения для некоторых пунктов
Советского Союза
Название города
Тбилиси
Одесса
Киев
g, м/с*
9,8032
9,8074
9,8108
Название города
Москва
Ленинград
Архангельск
9,8152
9,8193
9,8218
Из формулы C) следует, что в физической системе единиц
массе в 1 г соответствует сила тяжести
981 г-см/с2 = 981 дин.
Выражая массу в кг, длину в м, время в с, получаем, что
вес тела массой в 1 кг составляет 9,81 Н или 9,81 • 105 дин.
В дальнейшем используется общепринятая система СИ.
Наряду с понятием о массе как мере инертности -— «инертной
массе» — в механике приходится иметь дело также с «тяготею-
«тяготеющей массой», входящей в формулировку закона всемирного тя-
тяготения. Как показали многочисленные опыты и в первую оче-
очередь опыты самого Ньютона, численные величины инертной и
тяготеющей массы для одного и того же тела равны между
собой. Этот принцип эквивалентности инертной и тяготеющей
масс был в дальнейшем обобщен и на область движений, тре-
требующих для своего рассмотрения применения специальной тео-
теории относительности (см. гл. XXXI).
§ 82. Независимость действия сил. Третий закон Ньютона
Если к материальной точке приложены две или несколько
сил, то ускорение, приобретаемое ею под действием равнодейст-
равнодействующей этих сил, построенной по правилу параллелограмма,
определится как векторная сумма ускорений точки под дейст-
действием каждой слагаемой силы по отдельности. Это заключение
является простым следствием второго закона Ньютона в приня-
принятой векторной формулировке B). При этом используется допу-
допущение, что в динамических условиях, так же как и в статиче-
статических, приложенные к материальной точке силы действуют на
нее независимо друг от друга, т. е. наличие одних сил не вызы-
вызывает изменений в действии других. Это положение составляет
содержание принципа независимости действия сил, позволяю-
позволяющего применять в динамике правило параллелограмма сил и все
те операции над системами сил, которые были установлены в
статике.

§ 82. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 17
Ньютон излагает принцип независимости действия сил сов-
совместно с правилом параллелограмма, тем самым утверждая
векторный характер силы, в первом следствии законов движе-
движения; формулировка Ньютона гласит: «При совместном действии
двух сил тело описывает диагональ параллелограмма в то же
самое время, как стороны параллелограмма при отдельном
действии сил».
В разделе статики было установлено, что действие и проти-
противодействие (сила и реакция) представляют собой две равные по
величине, противоположные по направлению и имеющие общую
линию действия силы. Так же как и в статике, из равенства
взаимодействий по величине и противоположности их по направ-
направлению отнюдь не следует их взаимное уравновешивание, так как
действие и противодействие приложены к различным телам,
Этот общий механический закон имеет место как в статических,
так и в динамических условиях.
Приводим формулировку третьего закона Ньютона:
Действию всегда соответствует равное ему и противополооюно
направленное противодействие, т. е. действия двух тел друг на
друга всегда равны и направлены в противополооюиые стороны.
В то время как первые два закона Ньютона относятся к од-
одной материальной точке, третий закон рассматривает взаимо-
взаимодействие двух материальных точек и является основой динамики
системы материальных точек.
Обозначим массы двух взаимодействующих в случае мгно-
мгновенного дальнодействия материальных точек через Ш\ и т2, век-
векторы их скорости через V\ и v2j а векторы их ускорения через
w\ и w2. Тогда, согласно первому и третьему законам, предпола-
предполагая, что никаких других сил, кроме взаимодействия точек, нет,
получим
m{Wi = — tn2w2, D)
или, интегрируя,
m]vl-\- m2v2 = const. E)
Ньютон определил количество движения материальной точки
как произведение ее массы на скорость. Количество движения
системы точек равно геометрической сумме количеств движения
отдельных точек системы. Согласно E) количество движения си-
системы двух взаимодействующих материальных точек во время
движения сохраняется. Этот закон сохранения количества дви-
движения в своем простейшем виде был известен еще до Ньютона и
применялся для изучения явления удара шаров.
Дифференцирование равенства E) по времени приводит к
равенству D), а из последнего, согласно второму закону, выте-
вытекает третий закон. Ньютон при установлении третьего закона
использовал накопленный к его времени опыт применения

18 ГЛ. XIX ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
закона сохранения количества движения, о чем можно судить по
пояснению, сопровождающему формулировку третьего закона, и
по «Поучению», завершающему изложение основных законов
динамики. Однако Ньютон придает третьему закону самостоя-
самостоятельное значение как общемеханическому закону, а закон сохра-
сохранения количества движения системы точек выводит из него как
следствие. В этом— принципиальное отличие механических воз-
воззрений Ньютона от соответствующих воззрений Декарта, счи-
считавшего «закон сохранения движения» основным физическим
законом.
§ 83. Различные формы основного уравнения
динамики точки
Равенство B), как уже упоминалось, является основным
уравнением динамики материальной точки.
Вспоминая, что
dv d2r
где v — вектор скорости,
Солринасающапоя
17/WCHOGI71b
Рис. 234
г — вектор-радиус точки, можем при-
придать уравнению B) один из следую-
следующих видов:
dv
d2r __
m~dF-~"
F)
От векторной формы этих основ-
основных соотношений можно перейти
к аналитической форме в проекциях
на оси. Наиболее принятой формой
в проекциях на оси декартовой си-
системы координат будет
mx = Fx, my = FtJ, mz = Fz. G)
Большое значение имеют также
естественные уравнения движения.
Эта форма уравнений динамики получается проектированием
основного уравнения B) на оси натурального триэдра (§ 46),
т. е. направления касательной, нормали и бинормали к траекто-
траектории (рис. 234):
mwx = m -? =
= Fni mwb = 0 =
(8)
Из последнего уравнения следует, что сила, так же как и
ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости траектории точ-

§ 83. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ 19
ки. При движении по плоской траектории естественные уравне-
уравнения приводятся к виду
^ ^=Fn. (9)
Проектируя обе части уравнения B) на оси любой криволи-
криволинейной системы координат, получаем уравнение движения точки
в криволинейных координатах
mwq=F4 (/=1, 2, 3), A0)
где wq. — проекция ускорения на ось qi системы криволиней-
криволинейных координат qu <72» Цъ, a Fq. — проекция силы на ту же ось.
Согласно § 48 имеем
_ 1 \_d_ д (v2/2) ___ д (v2/2) 1
«i— Ht [dt dqi dqt У
Если ввести в рассмотрение величину
называемую кинетической энергией материальной точки, то
уравнениям A0) можно придать вид
-Ж^-^7 = ^ (*= 1,2.3). A1)
где положено для краткости
Qt = HtFqv A2)
Уравнения A1) представляют собой уравнения движения ма-
материальной точки в форме Лагранжа. Величины Qi носят наи-
наименование обобщенных сил; подробнее об этом будет сказано
в гл. XXIX.
Так, например, в полярной системе координат, обозначая
индексами г и ср проекции силы на направления радиуса г и пер-
перпендикулярное к нему направление в сторону возрастания по-
полярного угла ф, получаем по A1) (вспомним формулы § 48)
m{r-rtf) = Fr, ^.±{r^)=F^ A3)

20 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В сферической системе координат (R, ф, 0) будем иметь по
формулам того же параграфа
т (R — /?ф2 sin2 8 - /?62) = FRt
^^(^3^9) = ^ A4)
f {ж{R2^ -R2<*2 sin 9 cos e]=F* •
§ 84. Две задачи динамики. Простейшие примеры
первой задачи
Имея основные динамические уравнения в одном из указан-
указанных выше видов, можно поставить и разрешить две задачи.
1. Дано движение материальной точки заданной массы, т. е.
известны координаты точки как функции времени — кинемати-
кинематические уравнения движения; требуется найти силу, действующую
на точку (первая задача динамики).
2. Дана сила, приложенная к материальной точке заданной
массы; требуется найти движение точки, т. е. кинематические
уравнения движения (вторая задача динамики).
Из постановки этих двух основных задач динамики непосред-
непосредственно следует, что из трех переменных, входящих в формулу
B) второго закона (масса, кинематика движения, сила), за-
задаются только две: масса и кинематические уравнения движе-
движения — в первой задаче динамики, масса и сила — во второй. Это
говорит о том, что второй закон Ньютона, выраженный вектор-
векторной формулой B) или аналитически системой G), не является
тождеством (определением понятия силы), а представляет собой
уравнение с неизвестным вектором силы F (первая задача ди-
динамики) или вектор-радиусом r(t) (вторая задача динамики).
Решение первой задачи в приведенной постановке не состав-
составляет труда. Если заданы кинематические уравнения движения,
например, в декартовой системе координат
* = М0, у*=М0, * = /з@ A5)
и масса точки т, то сила, вызывающая это движение, будет, со-
согласно G), иметь проекции
Fx^mx^mffit), Fy = my = mfUt), FB = m2*=mf%(t) A6)
и, таким образом, в любой момент времени может быть найдена
простым дифференцированием по времени равенств A5).
Вторая задача динамики сложнее уже хотя бы потому, что
связана с необходимостью интегрирования основного дифферен-

§ 84. ДВЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 21
циального уравнения B) при заданных силе, массе и начальных
условиях движения.
Поясним это простейшими примерами.
Начнем с первой задачи динамики.
Пример 73. Тело массы т спускается по прямолинейной направляю»
щей, наклоненной к горизонту под углом а, с известным ускорением ад, ре-
регистрируемым специальным прибором — акселерометром. Определить силу Р
торможения.
Рассматривая тело как материальную точку, на которую действуют три
силы — сила тяжести G = mg, сила торможения F и нормальная реакция ЛГ
направляющей, составим уравнения
его движения в проекциях на оси Ох
и Оу, указанные на рис. 235. Будем
иметь
mwx — mg sin a — F,
mwy = О = — mg cos а + N.
Отсюда сразу определяются сила
торможения
F = т (g sin a — w)
и нормальная реакция направляющей
N = mg cos а. Рис. 235.
Если, подобно тому как это делалось в статике, ввести в рассмотрение
коэффициент трения движения /, определив его отношением величины силы,
торможения F к величине нормальной реакции Ny
f — FIN,
то на основании предыдущих формул для определения этого коэффициента
получим равенство
tg a
g cos а
Изменяя уклон направляющей, можно найти такое значение угла а = <р,
при котором тело будет спускаться равномерно, т. е. ускорение w будет рав-
равно нулю. Этот угол ф, определяемый, согласно последней формуле, равен-
равенством
соответствует рассмотренному в статике углу трения (§ 21).
Решение только что рассмотренного примера можно было бы
интерпретировать иначе, а именно, как решение задачи о рае-
новесии тела под действием сил G, F, N и дополнительной силы,
определяемой вектором —mw, где w — ускорение спускающегося
тела. Действительно, уравнения равновесия тела в проекциях,
на оси Ох и Оу при этом имели бы вид
— F — raw + mg sin a = О,
N — mg cos а = О

52 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
и ничем не отличались бы от выписанных ранее уравнений дви-
движения тела.
Вообще, если основное уравнение динамики B) переписать
в тождественной форме
F — mw = Q A7)
и ввести обозначение
S, A8)
то уравнение A7) примет вид
F + S = 0. A9)
Вектор S, равный по величине произведению массы точки
на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную
ускорению, называется силой инерции материальной точки и
считается приложенным к этой точке. Представление о силах
инерции будет расширено в гл. XXX в связи с рассмотрением
динамики относительного движения. Сейчас удовольствуемся
принятым формальным определением силы инерции и заметим,
что в результате такого подхода уравнение динамики B) све-
свелось к уравнению равновесия A9) материальной точки под
действием приложенной силы и силы инерции. Изложенный
прием сведения задачи динамики к задаче статики лежит в ос-
основе метода кинетостатики, который будет в более общем виде
изложен в гл. XXVIII. По своей сути метод этот относится к
первой задаче динамики. Как выяснится из следующих приме-
примеров, данный метод особенно полезен при рассмотрении движений
в естественной форме.
Проекции силы инерции на декартовы и естественные оси
будут соответственно равны
Sx = — mx, Sy = — tny, S2 = — mz B0)
Sx=-mwx, Sn = -miJn, Sh = 0. B1)
Составляющие силы инерции 5t и Sn по направлению естествен-
естественных осей — касательной и главной нормали к траектории — на-
называются естественно касательной и центробежной силами инер-
инерции; эти силы направлены противоположно соответствующим
составляющим ускорения точки и по величине равны m\v\ и
mv2/p.
Пример 74. Определить угол крена самолета при вираже, равный
углу ф (рис. 236) между плоскостью крыльев и горизонтом, если вираж осу-
осуществляется со скоростью v в горизонтальной плоскости; радиус виража а.
Из условия разновесия силы тяжести самолета G =* mg, подъемной силы
L, принятой равной
f

§ 84 ДВЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
23
где Qy — коэффициент подъемной силы, принимаемый пропорциональным углу
атаки, р —массовая плотность воздуха, а — общая площадь несущих поверх-
поверхностей, и центробежной силы
получим
- a sin
plr
Разделив эти два равенства почленно
одно на другое, найдем угол крена
* у2
Ф = arctg —-,
Рис. 236.
а радиус виража определим из первого из предыдущих равенств:
2т
(X = ; -,
рсгСу sin ф
Из этой формулы вытекает, что для совершения виража по возможности
малого радиуса следует увеличивать угол крена и коэффициент подъемной
силы, т. е. вместе с углом крена увеличивать угол
атаки
Аналогичный расчет проводится в следующем
примере.
Пример 75. Велосипедист описывает окруж-
окружность радиуса а, лежащую в горизонтальной пло-
плоскости, с постоянной по величине скоростью v
(рис. 237). Какой угол а должна при этом состав-
составлять плоскость рамы велосипеда с вертикалью?
Будем предполагать силу тяжести G — mg
велосипедиста и велосипеда сосредоточенной в
их общем центре тяжести С, лежащем в плоскости
рамы велосипеда. В этой же точке приложена и
центробежная сила Sn — mv2ja. Будем считать
также, что силы реакции почвы: нормальная N
и боковая сила трения F, приложенные в точке
пересечения линии соприкасания колес с почвой и
плоскости чертежа, приводятся к одной равно-
равнодействующей R. Из условия равновесия тела под
действием трех сил G, Sn и R заключим, что ли-
линия действия силы R должна проходить через
точку С пересечения линий действия первых двух сил. Из силового треуголь-
треугольника, показанного на рис. 237 справа, сразу следует, что
Я„ г»2
Для движения по закруглению велосипедист должен тем больше откло-
отклонять плоскость рамы от вертикальной плоскости, чем больше его скорость
и чем меньше желательный радиус поворота.
Пример 76. Кузов вагона массой т совершает на рессорах гармони-
гармонические вертикальные колебания амплитуды а и периода Т. Определить мак-
максимальное и минимальное давление N кузова на рессоры.

¦24 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Направив ось Ох вертикально вниз, зададим уравнение движения кузова
в виде
х = а sin Ц- L B2)
Началу координат здесь соответствует среднее положение кузова, а крайним
верхнему и нижнему положениям — значения
л; = — а и х = а.
К кузову приложены сила тяжести G = mg и реакция рессор N. Дифферент
диальное уравнение движения кузова будет
mwx = О — N = mg — ./V.
Дважды дифференцируя обе части уравнения движения B2) по времени,
получаем
4л2а . 2nt
™х = ^- Sin
—.
Давление кузова на рессоры будет
= mg A + —^T sin -y~ 1,
— mwx = mg A + —^T sin -y~ 1,
В крайнем верхнем положении
в крайнем нижнем
§ 85. Специальная постановка первой задачи
динамики. Определение закона действия силы
по заданному классу движений.
Задача Бертрана
Первая задача динамики материальной точки окажется не
столь простой, если ее обобщить, потребовав определить общий
закон сил, вызывающих данный класс движений, которые отли-
отличаются друг от друга начальными условиями, т. е. начальным
положением точки и начальной ее скоростью, а следовательно,
и траекториями движения.
Простейшим примером такой специальной постановки первой
задачи динамики может служить следующий одномерный случай,
Материальная точка массы m совершает гармоническое коле-
колебательное движение по оси Ох согласно уравнению
х = a sin (со/ + е), B3)
где, как это было выяснено в кинематике, а — амплитуда коле-
колебания, со — круговая частота колебания, а е — начальная фаза.

§ 85. СПЕЦИАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 25-
Составляя выражение проекции ускорения на ось Ох
wx = ? = — mo2 sin (со/ + е) B4)
и подставляя его в формулу второго закона G), находим
Fx = mx — — та®2 sin (со/ + е). B5)
Это служит решением первой задачи динамики. Перепишем те-
теперь равенство B5) на основании B4) в форме
Fx = — т®2х = — сх (с — тсо2). B6)
В этой форме для гармонических колебаний открывается за-
закон пропорциональности величины силы величине отклонения
точки от центра равновесия (х = 0) и направления ее в сторону
этого центра. Такая сила будет действовать на материальную
точку со стороны упругой нити или пружины, притягивающей
точку к центру (х = 0). Входящий в правую часть B6) коэф-
коэффициент с определяется только упругими свойствами пружины
(об этом будет еще речь впереди) и никак не связан с началь-
начальным положением точки и начальной скоростью движения точки.
Закон B6) является общим и может применяться для решения
разнообразных задач, служащих для предсказания прямолиней-
прямолинейных движений материальной точки под действием упругой силы
притяжения к данному центру.
В несколько более общем случае, когда материальная точка
М описывает в плоскости Оху фигуры Лиссажу (§ 41), согласно
уравнениям колебания этой точки по осям Ох и Оу,
х = а{ sin (со/ + et), y = a2 sin (со/ + е2) B7)
с разными амплитудами аи #2 и начальными фазами еь е2, но
с одинаковой частотой со, повторяя тот же анализ, находим
Fx = mwx = — та{(д2 sin (со/ + г{) = — щсо2л; = — сх,
Fy = mWy = — та2со2 sin (со/ + е2) = — тсо2г/ = — су.
Отсюда можно заключить, что движение материальной точки
по всевозможным фигурам Лиссажу, согласно уравнениям B7),
будут происходить по коническим сечениям независимо от того,
каковы будут значения зависящих от начальных условий движе-
движения амплитуд аи (*2 и начальных фаз еь ег, если сила, действую-
действующая на материальную точку, будет по величине пропорциональ-
пропорциональна расстоянию точки до начала координат и направлена во все
время движения к этому началу. Приложенная к движущейся
точке сила, линия действия которой всегда проходит через одну
и ту же неподвижную точку (в данном случае начало коорди-
координат), называется центральной силой. Итак, можно заключить,
что движения точки по коническим сечениям, параметрически

26 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
заданным уравнениями B7), будут происходить под действием
центральной силы B8) притяжения к началу координат, прямо
пропорциональной по величине расстоянию точки от этого на-
начала.
К такой специальной постановке первой задачи динамики
материальной точки относится задача Ж. Бертрана A832—
1900), сформулированная им в следующих словах: «найти за-
законы центральных сил, зависящих только от положения движу-
щейся точки и вынуждающих ее независимо от начальных усло-
условий описывать конические сечения».
Бертран показал, что этим условиям удовлетворяют цен-
центральные силы притяжения к неподвижной точке Fr = —\хг и
Fr = —\х/г2. Первый случай был только что разобран, а второй
будет рассмотрен на следующем примере, содержащем вывод
закона Ньютона о всемирном тяготении из уравнений Кеплера.
Пример 77. Определить закон притяжения планет к Солнцу, считая
известными законы Кеплера (§ 48).
Согласно первому закону Кеплера A571 — 1630) планеты Солнечной си-
системы движутся по эллипсам, в общем фокусе которых находится Солнце.
Помещая начало координат в центр Солнца
S (рис 238) и обозначая через г радиус-
вектор планеты относительно Солнца, а
через ф полярный угол, отсчитываемый от
радиус-вектора SP планеты в ее наиболее
близком к Солнцу расстоянии (в перигелии),
будем иметь уравнение орбиты планеты
1 + е cos ф '
B9)
Рис. 238.
где р — параметр эллипса, равный отноше-
отношению квадрата меньшей полуоси Ь к длине
большей полуоси а, и е< 1 — эксцентриситет эллипса, равный отношению
фокусного расстояния к длине большей полуоси.
По второму закону Кеплера секториальная скорость планеты (§ 48) по-
постоянна, т. е.
г2ф = С. C0)
Вспоминая уравнения движения в полярных координатах A3), заклю-
заключаем, что искомая сила F притяжения планеты с массой т к Солнцу имеет
проекции
Fr = т (г - гцJ), F<p = O. C1)
Отсюда сразу следует, что на планету действует сила, направленная по ра-
радиус-вектору планеты — центральная сила, а орбита (траектория) — централь-
центральная орбита.
Остается определить величину Fr и сторону, в которую направлена сила
F. Для этого по B9) и C0) вычисляем
С Се .
ре sin ф • ф
Сп
Р
ре sin ф
A -f- e cos фJ г2
Се
С2е cos ф

§ 86 ЗАКОНЫ СИЛ 27
после чего по первой из формул C1) с учетом B9) и B7) находим
откуда заключаем, что планета движется под действием силы притяжения
к Солнцу, прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональ-
пропорциональной квадрату ее расстояния до Солнца.
Обозначая через т период обращения планеты и вспоминая, что пло-
площадь эллипса равна nab, по определению секториальной скорости находим
-~Ст = nab,
так что
С2 4к2а2Ь2 4я2а3
р т2 (Ь2/а)
после чего вместо C2) получим
4я2а3 т
Согласно третьему закону Кеплера отношение а3/х2 одинаково для всех
планет Солнечной системы. Предположив, что масса Солнца М аналогично
массе планеты т входит в формулу для силы притяжения в виде множителя,
примем, что
^-=fM, C4)
где f — коэффициент пропорциональности, который не должен зависеть ни от
массы Солнца, ни от массы притягиваемой к Солнцу планеты, т. е. быть уни-
универсальной константой. Тогда формула C3) запишется в виде
C5)
Таков общий вид формулы закона всемирного тяготения, справедливого
для любых двух тяготеющих масс.
Универсальная постоянная тяготения f, выражающая силу взаимного
притяжения двух масс в 1 г каждая, находящихся друг от друга на рас-
расстоянии 1 м, была определена путем непосредственного измерения (с по-
помощью точных крутильных весов) силы притяжения двух шаров впервые
Кавендишем в 1793 г., позднее более точно Этвешем в 1912 г.; по современ-
современным данным
/ = 6,67. Ю-11 м3/(кг-с2). C6>
§ 86. Законы сил
Установление закона силы может происходить путем непо-
непосредственного обобщения результатов опыта, заключающегося в
определении закона силы по наблюдаемому движению. Приме-
Примером может служить только что приведенный вывод закона все-
всемирного тяготения Ньютона из экспериментально установлен-
установленных Кеплером кинематических законов движения планет (§ 48).

8 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Остановимся подробнее на рассмотрении некоторых наибо-
наиболее важных законов сил.
а) Постоянная по величине и направлению
сила. Таковы: сила тяжести, т. е. сила тяготения при движе-
движении тела в области, малой по протяженности в сравнении с раз-
размерами земного шара, действие на электрон постоянного во
времени и однородного электрического поля, сила кулонова тре-
трения, действующая на тело, движущееся по наклонной плоскости.
Принимая, например, вертикальное направление в данном пунк-
пункте земного шара за ось г, будем иметь закон силы тяжести
Fz = ±G, где G — вес тела, а знак зависит от того, будет ли
ось z направлена вниз или вверх.
б) Сила, зависящая от времени. Примером может
служить сила, втягивающая (выталкивающая) намагниченный
сердечник в катушку, по обмотке которой течет переменный
электрический ток. Если предположить, что длина катушки ве-
велика по сравнению с ее радиусом, а смещения сердечника малы
по сравнению с длиной катушки, то проекция на ось катушки
силы взаимодействия сердечника с ка«
тушкой может быть представлена форму-
формулой
Qx = Anmni = 4nmnl0 sin -~-, C7)
где т — магнитная масса сердечника,
п — число витков проволоки на единицу
~~]/~ длины катушки, Т — период переменного
тока, io—амплитуда величины тока.
в) Сила, зависящая от поло-
положения точки в пространстве
(позиционная сила). Простейшим приме-
примером такого рода силы может служить
натяжение F упругой нити, связывающей
(рис. 239) движущуюся точку М с некоторым центром О, ко-
который можно выбрать так, чтобы при совпадении точек М и О
удлинение нити равнялось нулю. Тогда, согласно закону Гука о
пропорциональности величины упругой силы относительному
удлинению нити, будем иметь
F = — с-Ш^-сг, C8)
где учтено, что сила упругости F направлена вдоль ОМ от точ-
точки М к точке О. Коэффициент пропорциональности с характе-
характеризует упругие свойства нити и численно равен силе, растяги-
растягивающей нить на единицу длины.
Проекции упругой силы на оси координат будут
Fx = — cx, Fy = — cy, F2 = — cz. C9)
Рис. 239.

§ 86 ЗАКОНЫ СИЛ 29
Аналогично можно найти проекции силы тяготения двух
масс или притяжения (отталкивания) двух электрически заря-
заряженных тел. Помещая (рис. 239) в точку О массу т\, а в точку
М массу /л2, будем иметь
P=-.f«i"Lr, D0)
причем в этой векторной формуле учитываются как величина,
так и направление силы, приложенной к точке М\ проекции той
же силы на оси координат равны
F — f
(x2 + y2 + z2) h
F = f mim2 и
F — — f тхтг т.
(x2 + y2 + z2)/2
г) Сила, зависящая от скорости точки. Приме-
Примером силы, зависящей по величине и направлению только от ско-
скорости точки, может служить сила, действующая со стороны
однородного магнитного поля на частицу, несущую электриче-
электрический заряд (лоренцева сила). Если напряжение магнитного поля
обозначить через Я, скорость частицы через v. а электрический
заряд через е, то действующая на движущуюся частицу сила
будет определяться по величине и направлению формулой
F = evXH. D2)
Если для упрощения выражения проекций этой силы на оси ко-
координат принять за ось Ох направление магнитного поля, зада-
задаваемое вектором напряжения Я, то Нх = Н. Ну = 0, Н2 = 0, и
выражения проекций силы F примут вид
D3)
Сила сопротивления среды движущемуся в ней поступатель-
поступательно, прямолинейно и равномерно телу зависит от его скорости.
Если f{v) обозначает численную величину силы сопротивления
среды, то вектор силы сопротивления будет (по условию про-
противоположности его направления направлению вектора скоро-
скорости v) определяться формулой
D = -№v. D4)
а проекции этой силы на оси координат могут быть представ-
представлены так:
Ох = -Ц±х, D. = -l®-t. В2=-Жг. D5)

30 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Если, например, сила сопротивления может быть принята
пропорциональной первой степени скорости, т. е. f(v)=kv, где
к — коэффициент пропорциональности, зависящий от физических
свойств среды и формы тела, то получим
Dx = - kx, Dy= — ky, Dz = - kz\ D6)
такова, в частности, сила сопротивления медленному движению
в очень вязкой жидкости шарика, определяемая формулой Сток-
са ([х — коэффициент вязкости, а — радиус шарика)
D7)
так что в этом случае k = 6п\ха.
д) Сила, зависящая от ускорения. Если шарик ра-
радиуса а движется поступательно и прямолинейно с ускорением
w в идеальной (невязкой) жидкости, то сила сопротивления
жидкости (согласно ее свойству инертности) ускоренному дви-
движению шарика будет равна по величине половине произведения
массы жидкости в объеме шарика на его ускорение и направлена
в сторону, противоположную направлению вектора ускорения.
Эта сила сопротивления D может быть выражена векторной фор-
формулой *)
D = — -| m3pw = — Xw, D8)
где р — плотность жидкости.
Коэффициент X, имеющий размерность массы, носит наимено-
наименование «присоединенной массы» шара. Происхождение этого наи-
наименования связано с тем, что уравнение движения шарика соб-
собственной массы т под действием силы D и другой какой-нибудь
силы Р
mw = P-\-D = P — Xw
может быть переписано в виде
(т + X) w = Р.
Это уравнение допускает следующую трактовку: под действием
силы Р шарик в жидкости движется так, как шарик в пустоте,
но с массой, увеличенной на «присоединенную массу», равную
половине массы жидкости в объеме шарика. Присоединенная
масса оказызает значительное влияние на движение тела в жид-
жидкости только в том случае, когда она имеет тот же порядок ве-
величины, что и собственная масса тела, т. е. когда плотность жид-
жидкости сравнима по величине с плотностью движущегося в ней
тела.
*) См., например, Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—
M.J Наука, 1978, с. 320.

§ 87. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 31
В проекциях на оси координат сила сопротивления, пропор-
пропорциональная ускорению, будет выражаться так:
Dx = — Xx, Dy= — Xy, D2= — Xz. D9)
В дальнейшем нам придется иметь дело по преимуществу
лишь с силами, зависящими от времени, положения точки в про-
пространстве и ее скорости. При этом проекции равнодействующей
силы, приложенной к движущейся точке, будут определяться
как функции времени, координат и проекций скорости, так что
закон силы будет выражаться формулами вида
Fx = Fx(l', *> У у г; х, у, г),
Fy = Fy(t; ху у, г; *, у, г), E0)
Fz = Fz(jt\ х, у, z\ х, у, г)\
в полярной системе координат аналогично
Fr = Fr(t\ г, ф; г, ф),
F4) = Fq)(t; г, ф; г, ср);
соответствующие выражения будем иметь и в других системах
координат.
§ 87. Вторая задача динамики материальной точки
В отличие от первой задачи динамики, решение которой
позволяет найти закон силы по заданным конечным кинемати-
кинематическим уравнениям движения, целью второй задачи динамики
является определение движения по заданному закону действия
сил. Изложение методов решения этой задачи составляет, по
существу, основное содержание всех разделов динамики.
Возвращаясь к основному уравнению динамики точки в де-
декартовых координатах G), перепишем его, согласно E0), в
форме
mx = Fx(t\ х, у у г\ х, у, г),
my = Fy(t\ ху у, z\ х, у, г), E2)
mz = Fz(t; ху у, г; х, уу i).
Совокупность равенств E2) представляет собой систему трех
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
относительно трех неизвестных функций — координат точки
x(tL y(t)> z(t) — и носит наименование основных дифферен-
дифференциальных уравнений движения материальной точки. Для разы-
разыскания неизвестных функций необходимо выполнить интегриро-
интегрирование системы E2).

82 ГЛ. XIX ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Общим интегралом системы дифференциальных уравнений
движения E2) служит система уравнений в конечной форме
ЗД х, У> г\ Си С2, С3, С4, С5, С6) = 0,
W2(/; х, г/, г; С,, С2, С3, С4, С5, С6) = 0, E3)
W, х, г/, г; Сь С2, С3, С4, С5, С6) = 0,
связывающая время, координаты и соответственно числу урав-
уравнений и их порядку шесть произвольных постоянных интегриро-
интегрирования Ci, С2, ..., С6. Уравнения E3) называют вторыми инте-
интегралами уравнений движения E2).
Дифференцируя каждое из уравнений E3) по времени, по-
получаем систему равенств вида
Ф,(/; х, у, г\ х, у, z\ Сь С2, С3, С4, С5, С6) = 0,
Ф2(/; х, у, г\ х, у, г\ Сь С2, С3, С4, С5, С6) = 0, E4)
Ф3(/; х, у, г\ х, у, г\ Си Съ С3, С4, С5, С6) = 0;
их называют первыми интегралами уравнений движения. В ряде
случаев такого рода равенства, связывающие время, координа-
координаты, проекции скорости и в том или другом числе произвольные
постоянные интегрирования, получаются путем непосредствен-
непосредственного однократного интегрирования уравнений E2). Таковы, на-
например, интеграл площадей и интеграл живых сил, с которыми
мы познакомимся в следующем отделе.
Задавая значения координат и проекций скорости в началь-
начальный момент времени t = t0 (начальные условия задачи):
при t = tQ х = х0, у = у0, z = zQy
E5)
х = Хо, У = Уо, z = z0 v '
и подставляя эти начальные значения времени, координат и
проекций скорости в E3) и E4), получаем систему шести урав-
уравнений с шестью неизвестными постоянными С\, С2, ..., С6:
^1 Со; *э, Уо, 2о; сь с2, с3, с4, с5, с6) = о,
Ф1 (^о> хо> Уо> zo'-> ^o» i/o> ^oj C\> C2, C3, C4, C5, Cq) = 0,
пользуясь которыми, выразим Ci, C2, ..., C6 через начальные
координаты и проекции скорости E5). Подставляя эти значе-
значения постоянных в систему E3) и разрешая ее относительно ко-
координат, находим искомые конечные уравнения движения мате-
материальной точки:
x==f\ (^ хо> Уо> 2о*> •?()> Уо> ^о)»
y = f2(t: х0, Уо, z0; Хо, Уо> ^о), E7)
^о, Уо, ^о; х0, Уо, zQ).

§ 87. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 33
Определение решения системы дифференциальных уравнений
движения E2) при заданных начальных значениях координат и
скоростей E5) представляет собой пример так называемой за-
задачи Коши. Эта задача, как доказывается в теории дифферен-
дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях, наклады-
накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет
решение и притом единственное. В теоретической механике мо-
могут ставиться задачи и другого типа — краевые задачи. Так, на-
например, можно задать положения точки, соответствующие двум
различным моментам времени t = to и t = t\\ при этом система
E3) также приведет к шести уравнениям с шестью неизвест-
неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача
может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение
может оказаться не единственным.
Поясним сказанное простыми примерами; более сложные за-
задачи составляют содержание следующих глав. Начнем со случая
прямолинейного движения материальной точки под действием
постоянной по величине и направлению силы.
Пример 78. Тело (рис. 235) спускается под уклон в 5°; считая сопро-
сопротивление трения постоянным и коэффициент трения равным 0,02. определить
скорость тела через 10 с после начала движения и пройденный им к этому
времени путь.
Напишем дифференциальное уравнение движения (см. пример 73) в про-
проекции на ось Ох:
тх = mg sin а — F = mg sin а — fmg cos а.
Ввиду малости угла а = 5° « 0,087 имеем sin а « а, cos а « 1, и, сле-
следовательно,
х = 9,81 @,087 - 0,02) = 0,657 м/с2.
Интегрируя, находим первый интеграл движения
х = 0,657/ + С.
В начальный момент / = 0, х = 0, так что и С = 0. Следовательно, ско-
скорость будет равна
vx = х = 0,657/ м/с.
При / = 10 с найдем vx = 6,57 м/с. Повторное интегрирование определит
абсциссу х движущегося тела; будем иметь второй интеграл
* = 0,3285/2 + СЬ
Совмещая начало координат О с положением тела в начальный момент, т. е.
полагая х = 0 при / = 0, получаем Cj = 0, и уравнение движения тела бу-
будет
* = 0,3285/2 м.
При f » 10 с найдем х « 33 м.
В тех случаях, когда сила задается различными функциями времени на
отдельных участках движения, интегрирование уравнений движения прихо-
приходится производить раздельно по этим участкам, а затем уже, пользуясь
2 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

34 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
произвольными постоянными интегрирования, своими для каждого участка,
сращивать полученные решения между собой на краях участков.
Пример 79. К материальной точке массы т, находящейся в покое, при-
прикладывается в момент времени / = О сила, величина которой меняется по
гармоническому закону
F = Fo cos со/.
Определить движение точки под действием этой силы.
Принимая линию действия силы F за ось Ох и положение покоя точки
за начало координат, проинтегрируем один раз уравнение движения
тх = F = Fo cos со/.
Получим первый интеграл
Fo
тсо
Повторное интегрирование дает второй интеграл
# = L. cos со/ + С/ + Сь
Из первого интеграла следует С = О, так как в начальный момент точка
находилась в покое и х = О при / == 0. Вторую постоянную d определим
из второго интеграла, воспользовавшись условием, что х = 0 при / = 0; бу-
будем иметь
Окончательно находим
С\ = 5
тсо2
*-^з-0-«*»').
Точка совершает гармоническое колебание с амплитудой /V (тсо2) около
центра колебаний с абсциссой х* = /^/(тсо2).
Пример 80. Рассмотреть вертикальное движение материальной точки
под действием земного тяготения, обратно пропорционального квадрату рас-
расстояния точки до центра Земли.
Поместив начало координат О в центр Земли, направим ось Ок по ра-
радиусу Земли, проведенному через данный пункт земной поверхности. Диффе-
Дифференциальное уравнение движения, если пренебречь сопротивлением воздуха и
вращением Земли, будет
тх = — С/х2. E8)
Применим его к поверхности Земли, положив х = R, где R — радиус
Земли в рассматриваемом пункте поверхности, а х = —g; тогда получим
С = mgR\
Уравнение движения при этом перепишется в форме
x*= — gR2lx\ E9)
Для его интегрирования произведем замену
dvx dvx dx dvx
= vx, x
dvx
di
dx dt x dx
Разделяя в уравнении E9) переменные, будем иметь

§ 87. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 35
Введя начальные условия
при t = 0 х = Хо > R, х = vx = ± vOy
проинтегрируем обе части предыдущего уравнения и получим следующий пер-
первый интеграл уравнения движения:
2(?) F0)
Определим максимальное расстояние Я, на которое удалится тело, бро-
брошенное с поверхности Земли с заданной начальной скоростью vQ. Полагая в
F0) vx = 0, Хо = R, х = Я, получаем
Из первой формулы F1) вытекает, что начальная скорость движения,
которую необходимо сообщить телу для того, чтобы оно удалилось на беско-
бесконечность (Я = оо), будет равна
*>„ = Y2ltf • F2)
Полагая в F0) х0 = оо, х = R, v0 = 0, убедимся, что с той же ско-
скоростью достигнет Земли тело, начавшее падение из бесконечно удаленной
точки с нулевой начальной скоростью. Скорость и<х>, определенная формулой
F2), представляет характерную для рассматриваемого движения величину и
называется «скоростью из бесконечности». Как будет показано в следующей
главе, снаряд, выпущенный с поверхности Земли с такой скоростью, не вер-
вернется на Землю независимо от того, под каким углом будет произведен вы-
выстрел. Если принять g = 9,81 м/с2 и /? = 6,4-106 м, то скорость с/оо будет
равна
v^ = V2 • 9,81 • 6400 • 103 = 11 206 м/с « 11,2 км/с.
В настоящее время скорость Uoo = i>2> определенную по формуле F2), на-
называют «второй космической скоростью».
Понятие второй космической скорости, или скорости из бесконечности,
может быть обобщено на случая притяжения к любой планете массы М и
радиуса R. Согласно общему закону тяготения D0) постоянная С, стоящая
в правой час^и E8), равна fmM. Заменяя в равенстве F2)
ё* R mR R '
получим в случае притяжения к телу массы М следующее общее выражение
для второй космической скорости:
Пример 81. Определить движение течки под действием силы, постоян-
постоянной по величине и направлению.
Таким будет, например, движение тяжелой точки вблизи поверхности
Земли, если отвлечься от вращения Земли и сопротивления воздуха, или дви-
движение наэлектризованной частицы в однородном электрическом поле.
20

36 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Пусть на точку М массой т действует постоянная сила F. Дифферен-
Дифференциальное уравнение движения
mr = Ft или г = — F
т
по условию постоянства вектора силы имеет первый интеграл
r= — Ft + C.
т
Замечая, что г равно скорости, найдем, что постоянный вектор С представ-
представляет собой начальную скорость Vo, и получаем
г = — Ft + vo.
т
Интегрируя второй раз, будем иметь второй интеграл
r-ro^^-JF^ + V, F4)
где г0 — начальный вектор-радиус точки М. Это соотношение показывает, что
вектор г —го расположен в плоскости векторов F и v0 и, следовательно, тра-
траектория точки представляет плоскую кривую, расположенную в этой пло-
плоскости.
Примем начальное положение точки за начало координат О(г0 = О,
xQ = yQ = 0), ось Ох направим перпендикулярно к силе F так, чтобы вектор
начальной скорости v0 образовывал с осью Ох острый угол 9о; ось Оу будет
при этом совпадать по направлению с силой F или направлена в противопо-
противоположную сторону, так что
Fx=*0, Fy = ±F, F2 = 0,
Vox = 0o cos 8o, Voy = t>o sm 6o, voz = 0.
Второй интеграл в проекциях на оси будет
р
x = v0tcosQQ, у = ± — t2 + vot sin 60, г = 0. F5)
Это — известное из кинематики (§ 44) параболическое движение. Рас-
Рассматривая, например, движение снаряда в пустоте как движение материаль-
материальной точки массы т = G/g под действием силы тяжести G и направляя ось у
в плоскости стрельбы вертикально вверх (Fy = —G), будем иметь
gt2
х = а0* cos 9о, #= ~- + uo/sin9o. F6)
Траектория этого движения — парабола
y = xtg%- *' F7)
щ cos" e0
— была подробно изучена в кинематике (§ 44); эта парабола симметрична
относительно вертикали, проходящей через ее вершину; угол падения снаряда
равен углу вылета; скорости падения и вылета также равны друг другу.
Напомним формулы максимальной высоты Н снаряда над горизонтом и
горизонтальной дальности L:
lsin% ^sin20
Н , L . F8)

§ 87. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 37
Изменения, вносимые в это движение сопротивлением воздуха и удале*
нием снаряда на большие расстояния от поверхности Земли, будут рассмо-
рассмотрены в следующей глав©.
Движение, соответствующее уравнениям F5), будет совершать и частица,
несущая электрический заряд ±.е в однородном электрическом поле напря-
напряжения Е. В этом случае надо будет положить F = ±еЕ.
Пример 82. Определить траекторию наэлектризованной частицы мас-
массы т и заряда е в однородном магнитном поле напряженности Я, если сила
взаимодействия частицы и поля равна ev X Н> где v — скорость частицы.
Основное уравнение движения имеет вид
т4г==ег>хя- (б9)
Переходя к естественным уравнениям (§ 83), и проектируя на касательную
(т) и нормаль (п) к траектории, получаем
m~ = e(tiXH).t, m^y = e(vXH)-n. G0)
Замечая, что единичный вектор т параллелен v и, следовательно, перпен-
перпендикулярен к вектору vXH, находим
dv
т -— = 0, v = const = t>o,
at
т. е. касательное ускорение равно нулю и скорость частицы постоянна по
величине; полное ускорение сводится к нормальному, а вектор п параллелен
vXH. Тогда из второго уравнения G0) будем иметь
«о
т — = evQH sinq), G1)
где ф — угол между вектором скорости v и вектором напряженности поля Н.
Легко показать, что этот угол также постоянен. Для этого умножим обе ча-
части векторного уравнения движения F9) скалярно на единичный вектор
Н/Н; вследствие постоянства направления Н будем иметь
dvH
т " =0, vH = vQ cos ф = const,
откуда следует, что ф = ф0. Из уравнения G1) при этом получим
mvo
еН sin ф0 "
Мы видим, что траектория имеет постоянный радиус кривизны и обра-
образует постоянный угол с магнитными линиями. Это — винтовая линия на кру-
круговом цилиндре с осью, параллельной магнитным линиям. Радиус цилиндра а
(§ 46) связан с радиусом кривизны соотношением
Ап2а2 . 9
а шаг h винтовой линии равен

38 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 88. Связь между первой и второй задачами
динамики материальной точки
Как видно из только что приведенных простейших примеров,,
при решении второй, основной задачи динамики материальной
точки приходится пользоваться как статическими законами сил
(постоянная сила тяжести, упругая сила, сила тяготения), так
и динамическими законами (сила сопротивления, лоренцева
сила). Эти законы сил устанавливаются в результате решения
частных задач и последующего обобщения этих решений на ши-
широкие классы явлений, моделирующих движения материальных
точек.
Может возникнуть мысль, что такое определение сил из урав-
уравнения динамики и обратная подстановка этих сил в то же урав-
уравнение представит собой порочный круг. Некоторые авторы кур-
курсов теоретической механики вообще не признают значения урав-
уравнения динамики как основного закона естествознания, сохраняя
за ним лишь роль определения силы.
Ошибочность такого взгляда заключается в том, что не учи*
тывается смысл изложенной выше специальной постановки пер-
первой задачи динамики (в частности, задачи Бертрана), опреде-
определяющей не просто силу, а общий закон сил, соответствующий
обширному классу явлений.
Здесь уместно еще и еще раз повторить слова Ньютона, так
поясняющие основную задачу динамики: «по явлениям движения
распознать силы природы, а затем по этим силам изъяснить
остальные явления».
Согласно принципу независимости действия сил можно ре-
решить первую задачу в специальной ее постановке для различных
законов сил, взятых по отдельности, а затем поставить вторую
задачу динамики, т. е. найти движение материальной точки под
действием совокупности законов сил. Таким образом, специаль-
специальная постановка, определяя общие законы сил, позволяет пред-
предсказывать движение материальной точки при разнообразных по
физической сущности силах и начальных условиях движения,,
приводящих к кинематическим характеристикам движений в
конкретных случаях.
Методы решения второй задачи динамики разъясняются на
примерах, помещенных в следующих главах. Решение этих при-
примеров требует интегрирования некоторых простейших дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка, для чего достаточно пер-
первоначального знакомства с дифференциальным и интегральным
исчислениями,

Глава XX
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 89. Вертикальное движение тяжелой точки в среде
с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости
Примем силу сопротивления D равной по величине %v2, где
*к — постоянный коэффициент сопротивления, зависящий только
от физических свойств среды, геометрической формы и разме-
размеров тела, а и — величина скорости. Направим ось Ох (рис. 240)
по вертикали вниз; тогда дифференциальное уравнение движе-
движения будет иметь вид
заменяя G на mg и деля обе части на т, получаем
F
^ g
причем верхний знак относится к случаю движения
точки вниз (нисходящее движение), нижний — к слу-
случаю движения вверх (восходящее движение).
Введем обозначения для постоянных
? = «, fW C)
а?
и сделаем замену переменной рис 240
x = vx. D)
Тогда дифференциальное уравнение движения B) примет вид
т-«(^^ (б)
Рассмотрим отдельно случаи нисходящего и восходящего дви-
движений.
Г. Нисходящее движение. Такого рода движение
возникнет, если проекция на ось Ох начальной скорости будет
положительна (vOx = Vo>O). В этом случае уравнение E) ин-
интегрируется так. Разделим переменные

40 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
и проинтегрируем:
ZC С — Vx | С
где б — постоянная интегрирования.
Отдельному рассмотрению подлежат два случая нисходя-
нисходящего движения:
а) Случай vx<C с. Тогда, согласно F), имеем
ИЛИ
е2 (act+6) _
е2 iact+6)
Вводя гиперболический тангенс, связанный с показательной
функцией формулами
ez-e
перепишем уравнение G) в виде
vx = cth(act + 6). A0)
Для определения постоянной интегрирования б имеем на-
начальное условие vx = ^о при t = 0, так что по A0)
0О = с th6. A1)
Устремив время к бесконечности, согласно (9) и A0), получим
vx->c при /—>оо.
Таким образом, определенная, согласно C), постоянная с,
равная
/^ О2)
имеет смысл предельной скорости, которая установилась бы па
прошествии бесконечно большого времени, если бы точка про-
продолжала падать вертикально под действием постоянной силы
тяжести G в среде с сопротивлением, характеризуемым коэф-
коэффициентом X.
Гиперболический тангенс представляет собой функцию, мо-
монотонно возрастающую от —1 до +1 при возрастании аргу-
аргумента от —оо до +°°- Следовательно, по A0) и A1) заклю-
заключаем, что в рассматриваемом случае скорость точки монотонно
возрастает от начального значения vq < с до величины предель-
предельной скорости v = с*

§ 89. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
41
б) Случай vx > с. Перепишем F) в виде
V х — С
ИЛИ
e
2(act+6)
их ь e2(act+6) _ { *
Используя гиперболический котангенс
1 е2 j^ е-г
~ thz ~" е2 — е
перепишем последнее равенство в форме
vx — ccth{act + 6).
A3)
(H)
e2z+l
e2z-l
A5)
В этом случае постоянная интегрирования б определится из
соотношения
vo = ccth6't A6)
скорость точки будет монотонно убывать от значения v0 > с до
величины предельной скорости v = с.
Пользуясь таблицами гиперболических функций, по форму-
формулам A0) или A5) определим скорость в любой момент времени.
При увеличении аргу-
аргумента гиперболический
тангенс, так же как и
котангенс, быстро стре-
стремится к единице; на-
например, th 3 = 0,995,
cth 3 = 1,005, т. е. толь-
только на 1/2% разнятся от
единицы; таким обра-
образом, скорость падения
стремится к предель-
предельной скорости с, практи-
практически (с ошибкой 1/2%)
достигая ее уже по
дрошествии времени
з-б
и.
с '
1,0
1,5
1,0
0,5
т ==¦
A7)
0,5
1,0 1,5
Рис. 241.
1,0 act+#
На рис. 241 показаны графики скорости в случаях а) и б).
В первом случае скорость асимптотически возрастает от Vq < с
до значения v = с, во втором — убывает от значения Vo > с до
v = с. Если с самого начала придать точке скорость v0 = с, то,
очевидно, эта скорость будет сохраняться во все время дви-
движения. Через точку на оси ординат, отвечающую заданному

42 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
отношению vo/c, проведем прямую, параллельную оси абсцисс, да
пересечения с графиком скорости. Абсцисса точки пересечения
определит значение б, т. е. значение аргумента в правых частях
A1) или A6) при / = О, начиная с которого и следует пользо-
пользоваться графиком скорости (см. штриховые прямые на рис. 241),
Найдем вторые интегралы в случаях а) и б). В случае а)
будем иметь
vx = х = с th {act + 6),
х = с |j th (act + 6) dt + p.
Интеграл в правой части легко вычисляется следующим обра-
образом:
S+ь („м i K\Ai [ sh (act+ 6) i. 1 f dch(ac/ + 6)
tn (act -4- o)at = \ —r-:—, , &4 at = — \ —r-?—, , A4
v ' y J ch (act + 6) ac j ch (ac/ + 6)
1_
ac
гак что
Для определения постоянной интегрирования р примем началь-
начальное условие
при / = 0 х = 0;
тогда
P = — ~lnch6.
Для простоты остановимся на случае 6 = 0, т. е. vо = 0;
тогда ch б = 1, р вж= 0 и
x = ±\nchact. A8)
Из уравнений A0) и A8) легко исключить время и найти
зависимость v от высоты падения h. Из уравнения A8) имеем
ch act = eax =
подставляя это в равенство A0), переписанное в виде
sh act л/ch2 act —\
получим искомую зависимость
Vx = c^/l—e-2ghlc\ A9)

§ 89. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ 43
При малых %, т. е. больших с, разлагая e~^hldl в ряд, будем
иметь
Сопротивляющаяся среда вносит поправку в известную фор-
формулу скорости в пустоте vn = ^2gh — происходит относитель-
относительное уменьшение скорости, равное по величине
Рп — Ух _ 1' gh
В случае б) аналогично получим
л— a111 sh6
2°. Восходящее движение. Сохраняя направление
оси Ох по вертикали вниз и выбор начала координат О в на-
начальном положении движущейся точки, будем иметь при подъ-
подъеме vx <C 0 и Dx = Xx2t так что в уравнении E) следует взять
нижний знак; это приведет к интегрированию дифференциаль-
дифференциального уравнения
*%f- = a(c* + viy B0)
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Г dvx 1 , vx , , б
\ 9 о = — arctg — = at + —,
J с +vx с с с
где б — новая постоянная интегрирования. Из последнего урав-
уравнения сразу следует
vx = ctg(act + 6), B1)
где, согласно начальному условию (vx = —v0 при * = 0), по-
постоянная интегрирования б равна
^-. B2)
Повторное интегрирование B1) дает
U™^ + 6) B3)
причем здесь уже учтено начальное условие х = 0 при t = 0.
Восходящее движение будет продолжаться до тех пор, пока

44 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
скорость не обратится в нуль, т. е. по B1) до момента времени
^^.. B4)
При этом максимальная высота подъема h будет, согласно B3),
равна
2
5) B5)
При малом сопротивлении, т. е. при большом по сравнению
с Vq значении предельной скорости с, будем иметь, разлагая пра-
правую часть B5) в ряд и довольствуясь первыми двумя членами
разложения,
П 2а V с2 2 с4/ 2ас2\ 2с2
Вспоминая принятые в начале параграфа обозначения, получив
формула эта дает относительное уменьшение высоты подъема
из-за сопротивления среды по сравнению с соответствующей вы-
высотой в пустоте йп
-^-=-^г- <27>
Изложенная выше теория падения тел в среде, сила сопро-
сопротивления которой пропорциональна квадрату скорости тела, мо-
может найти применения в расчете движения спускаемых с косми-
космических кораблей аппаратов, а также спасения самих ракет, как
это имеет место, например, в случае сравнительно небольших
метеорологических ракет. Однако на пути непосредственного
применения этой теории стоят многие трудности.
Наименьшая из них заключается в том, что спуск ракеты
тормозится системой последовательно раскрывающихся пара-
парашютов— сначала вспомогательных, служащих для раскрытия
основного парашюта, а затем и куполом раскрывшегося основ-
основного парашюта. Поэтапный расчет влияния этих парашютов не
вызвал бы особо больших затруднений, если бы не было зна-
значительно большей трудности — необходимости учета влияния
переменной плотности воздуха, существенно зависящей от вы-
высоты над поверхностью Земли, причем по законам, значитель-
значительно различающимся между собой на разных этапах спуска в
атмосфере. Так, в нижнем слое атмосферы — тропосфере (Н <
<1Ы03 м) крайние значения плотности отличаются втрое, а
эмпирический закон относительного изменения плотности воздуха

§ 89. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ 45
в тропосфере имеет вид
р0 V 44 300
где р0 = 1,23 кг/м3 — плотность воздуха на уровне моря при
t= 15 °С, а Я — высота над уровнем моря в метрах.
Применение ЭВЦМ делает решение таких задач вполне вы-
выполнимыми.
Полезно на примере спасания метеорологической ракеты
В-2А*), предназначенной для исследования атмосферы на вы-
высотах порядка 200-103 м, проследить за последовательными эта-
этапами спуска и соответствующими этим этапам изменениями ха-
характерных параметров движения ракеты (t — время в с, v — вер-
вертикальная скорость снижения в м/с, Н — высота ракеты над
уровнем моря в м, F— миделевая площадь купола парашюта
в м2).
1) f = o, у = 200 м/с, # = 5ч-4-103 м;
2) выход вспомогательного вытяжного купола (F = 0,52 м2);
3) вытягивание основного вытяжного купола (F = 2 м2);
4) наполнение основного вытяжного купола, отделение вспо-
вспомогательного вытяжного купола, выход парашютной камеры, вы-
выход тормозного купола {F = 5,3 м2) из парашютной камеры, на-
наполнение тормозного купола;
5) отделение основного вытяжного купола от парашютной
камеры: t = 24 с, v = 65,5 м/с, Н = 3 ~ 2-103 м.
6) вытягивание основных куполов из парашютной камеры,
стягивание чехлов и отделение основного вытяжного купола с
чехлами от основных куполов: t = 27 с, v = 68 м/с, Н = 2790 Ч-
-т- 1790 м.
7) наполнение двух основных куполов с площадью F =
«=418X2 = 836 м2, v = 6,7 м/с, Н = 2660 ~ 1660 м.
8) ? = 452 с, v (приземления) = 5,9 м/с, Я = 0.
При малых скоростях силу сопротивления среды можно счи-
считать пропорциональной величине скорости. Именно так обстоит
дело в случае падения тела в вязкой жидкости, которое рас-
рассматривается в приведенном ниже примере.
Пример 83. Стальной шарик радиуса г= 10~3 м падает без началь-
начальной скорости в глицерине. Определить движение шарика при условии, что
сила сопротивления задается формулой D = бяцго; здесь [л — динамический
коэффициент вязкости глицерина, при 18 °С равный 1,07 Па-с; плотность
стали р = 8-Ю3 кг/м3.
Дифференциальное уравнение падения шарика будет (см, тот же
рис. 240)
тх = mg — Sn\irx
*)* См. Королев СП. Исследование верхних слоев атмосферы с по-
помощью ракет дальнего действия. — В сб.: Творческое наследие академика
Сергея Павловича Королева. — М.: Наука, 1980, с. 368.

46 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
или после деления на т
x + Kx=*g, B8)
где
% = —?— == ^ « 600 1/с.
т 4/зШ-3р
Рассматривая уравнение B8) как неоднородное линейное уравнение вто-
второго порядка с постоянными коэффициентами, представим решение как сумму
общего интеграла
Х1=С{+С2е-кг
соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения. Общий интеграл уравнения B8), т. е. второй инте-
интеграл уравнения движения, равен
ния:
-™. B9)
Дифференцируя по времени, находим первый интеграл уравнения движе-
движе= ? — xc2e~Kt. C0)
Начальные условия будут
при * = 0 * = 0, * = 0. C1)
Подставляя эти значения в первый и второй интегралы, получаем
-?- - ХС2 = 0, d + С2 = 0,
откуда
Таким образом, согласно B9), имеем конечное уравнение движения
Y ~ t —- A — Р~^\ ^QO\
Л -г- * л 2 \ 1 с? / V«J^/
и формулу для скорости
х = 0 = уA--<Г^). C3)
Так же как и в случае квадратичного сопротивления, существует пре->
дельная скорость
с = -f-' C4>
к которой с точностью до 1/2% этой скорости точка приближается по про-
прошествии времени

§ 90. СНАРЯД В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ
пройдя при этом, согласно C2), путь
47
C6)
При принятом значении К = 600 1/с, получим
с « 1,6 • 10" м/с, т « 0,01 с, /
«10~4 м.
Как следует из этого расчета, предельная скорость шарика невелика и
достигается за малыл промежуток времени на коротком пути.
§ 90. Движение снаряда в сопротивляющейся среде
Изучением движения снаряда в воздухе занимается внешняя
баллистика. В настоящем параграфе мы рассмотрим основную
задачу внешней баллистики в схематизированной и упрощенной
постановке. Отвлекаясь от влияния формы снаряда и его вра-
вращения, от изменения плот-
плотности воздуха с высотой по-
лета снаряда, от влияния
вращения Земли, скорости
ветра и многих других фак-
факторов, рассматриваемых во
внешней баллистике, примем
снаряд за материальную
точку М массы т, совер-
совершающую движение под дей-
ствием двух сил (рис. 242):
силы тяжести G = mg и
силы сопротивления возду-
воздуха Z), направленной по ка-
касательной к траектории снаряда в сторону, противоположную
движению, и являющейся заданной функцией скорости v; эту
функцию обозначим через mf(v). Естественные уравнения дви-
движения снаряда будут иметь вид
Рис. 242.
-jt^ — tnf (р) —
8, m-~- = mg cos9,
C7)'
где 8 — угол вектора скорости с осью Ох (горизонтом). Замечая,
что бесконечно малый угол dQ представляет собой угол между
касательными в двух смежных точках кривой, т. е. угол смеж-
смежности, найдем
da
v dt
(знак минус взят потому, что 9 убывает с возрастанием дуги
о); при этом уравнения C7) перепишутся в виде
dv
_
dt

48 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Исключая из этих уравнений dt, найдем
dv yf (v) , , fi
что можно переписать также в виде
d (у cos 6) vf(y)
dQ ~ g '
D1)
Предположим, что удалось найти решение уравнения D0),
удовлетворяющее начальным условиям задачи (при 0 = 0О
v — Vo). Пусть это решение, дающее связь между величиной
скорости и углом наклона ее к горизонту, т. е. уравнение го-
годографа скорости в полярных координатах, имеет вид
v = ^(Q). D2)
Из второго уравнения C9) найдем
«<~ -$&. <«,
и, следовательно, поскольку при t = 0 8 = Во,
Далее, в силу D2) и D3) имеем
dx = vxdt = v cosQdt = - j ^2@)rf0, D5)
dy = vydt = vsinQdt = — - ф2 (В) tgQdQ. D6)
Помещая начало координат в начальном положении движу-
движущейся точки (а: = 0, у = 0 при 0 = Эо), находим
е е
$*2<e>d8' ^ = ~7 S^2(e)tgede' D7)
0о Оо
Формулы D4) и D7) решают поставленную задачу в пред-
предположении, что известно решение D2) дифференциального урав-
уравнения D0); это уравнение приводится к квадратурам лишь при
некоторых частных предположениях о виде функции f(v), на-
например, в следующих случаях: f(v)=av, f(v) = bv2, f(v) =
= av + bv2 (Ньютон, Эйлер), f{v) = cvn (И. Бернулли), f(v) =
= а + bvn (Даламбер) и др. Во внешней баллистике уравнение
D0) обычно интегрируют численными методами.

§ 90. СНАРЯД В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ 49
Отметим некоторые общие свойства траектории снаряда, ко-
которые можно установить на основании выведенных уравнений
движения.
1°. Переписав уравнение D1) в виде
dvx dvx dt vf (v) п
d8 dt dd ~~ g ^ U
и замечая, что dQ/dt < 0, находим dux/dt < 0, т. е. горизонталь*
пая составляющая скорости все время убывает. В силу D6) да-
далее имеем
^ ^ (U) D8)
vx v cos 9 cos 6 /
интегрируя это выражение для восходящей ветви траектории по
у от 0 до h (у — h соответствует вершине кривой) и, следова-
следовательно, по 9 от 6о до 0, получим
Если через 9i обозначить угол падения снаряда, то, интегри-
интегрируя D8) по нисходящей ветви, находим
h
J vl 2
второй интеграл больше первого, так как знаменатель подынте-
подынтегрального выражения, согласно только что доказанной зако-
закономерности убывания горизонтальной проекции скорости vx,
меньше, чем в первом интеграле. Итак, tg29i>tg290> т. е.
9i > 9о — угол падения снаряда больше угла вылета.
2°. Умножая первое уравнение C9) на v, получаем равенство
v4jL = — vf(v) — g
или, вспоминая, что
v sin9 = ^ = ^
равенство
Интегрируя, получаем
1 / о

50
ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
В частности, при t = t\, где t\ — момент падения снаряда на
Землю, имеем у = 0, v = u\ (скорость падения) и предыдущее
соотношение дает
т. е. скорость падения снаряда меньше скорости вылета.
3°. Угол 0 с течением времени уменьшается от начального
значения 90, обращаясь в вершине траектории в нуль и прини-
Л
Рис. 243.
мая отрицательные значения на нисходящей ветви. При 0-v
->¦—я/2 из D4) получаем t-^oo. При этом jc, согласно D7),
стремится к величине
во
-Я/2
которая вследствие ограниченности скорости падения снаряда в
сопротивляющейся среде остается конечной. Это показывает, что
траектория снаряда в сопротивляющейся среде имеет вертикаль-
вертикальную асимптоту (рис. 243).
§ 91. Движение снаряда по настильной траектории
при сопротивлении среды, пропорциональном квадрату скорости
В случае сопротивления, пропорционального квадрату ско-
скорости снаряда, примем
D = mf (v) = mbv2. D9)
Уравнение D1) приводится к виду
d (v cos 6) Ъ_ з
с№ g

§ 91. ДВИЖЕНИЕ СНАРЯДА ПО НАСТИЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ 51
или после деления обеих частей на cos3 О
d (у cos 9) Ь db
(у cos 9K g cos3 9
Для стрельбы по хорошо видимым объектам, допускающим
прямую наводку, используют пологую, образующую малые углы
(обычно не более 15°) с горизонтом траекторию, называемую
настильной. В этом случае уравнение E0) допускает простое
приближенное интегрирование. Пользуясь тем, что cos 8 слабо
изменяется (обычно в пределах 0,966-г-1), положим в знамена-
знаменателе в правой части cos38 « cos80cos28 и перепишем уравнение
E0) в виде
d (у cos 9) _ Ь dQ
(у cos 9K g cos 90 cos2 9 '
откуда следует
d$ g cos 90 d (y cos 9)
cos2 9 ~ b (ucos9K •
и, согласно D5),
, __?f*fi (a cos 9J dQ cos 90 d (v cos 9)
ax — g m — g cos2 e = b
После интегрирования получим
cos 9p t ( y0 cos 90
X — u In
у cos 9
ИЛИ
v cos 8 = vQ cos вое""*, E2)
где
Возвращаясь к равенству E1), подставим в него вместо
ucos8 его выражение E2); тогда будем иметь
1 d(e~ty Ь dQ
= cos29 f
что после интегрирования дает
/(e2|-l). E4)
Заменяя tg 9 на dy/dx и интегрируя еще раз, получаем прибли-
приближенное уравнение траектории снаряда
i/ = л: tg 90 — —^- (в2^ — 2| — 1 )• E5)

52
ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Чтобы сравнить траекторию в сопротивляющейся среде с траек-
траекторией в пустоте, разложим е2^ в ряд по степеням ? и после оче-
очевидных сокращений получим
gx2 gbx3
cos2 6
E6)
0
Совокупность первых двух членов, не зависящих от коэффи*
циента сопротивления 6, совпадает с уравнением траектории
снаряда в пустоте, третий член дает поправку, обусловленную
влиянием сопротивления; как видно из уравнения E6), действи-
действительная траектория располагается ниже параболы (рис. 243)*
§ 92. Движение точки под действием центральной силы
Рассмотрим движение точки М массы га, подверженной
действию силы F, линия действия которой во все время движе-
движения проходит через неподвижный центр О; такая сила назы-
называется центральной (§ 85, пример 77). Заметим, что траектория
будет расположена в плоскости П (рис. 244), проходящей через,
начальный вектор-радиус г0 и вектор начальной скорости v0. До-
Доказательство того, что траектория движения под действием цен-
центральной силы является плоской кривой, будет дано ниже.
Мп
Рис. 244.
Рис. 245.
Составим уравнения движения в полярных координатах
(г, ф) в плоскости Я, проведя полярную ось через центр притя-
притяжения О и начальное положение точки Мо (рис. 245); будем
иметь
^А 0. E7>
Начальные условия таковы:
при / = 0 г =
fo = vQ cos а,
v0 sin а.
E8)
Из второго уравнения системы E7) сразу следует первый ин-
интеграл уравнений движения, который запишем в форме
г2ф = 2С; E9>

§ 92. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 53
здесь С — постоянная интегрирования, равная, как известно из
кинематики (§ 48), секториальной скорости S, т. е. производной
по времени от площади S, описываемой радиус-вектором. Поль-
Пользуясь начальными условиями, определим величину этой по-
постоянной
S == С = ^ гофо = у rQvQ sin a, F0)
после чего E9) может быть переписано так:
г2ф = royo sin a. F1)
Этот первый интеграл уравнений движения носит наимено-
наименование интеграла площадей.
Выведем дифференциальное уравнение траекторий движения
материальной точки в плоскости под действием центральной
силы. С этой целью исключим время из системы E7), используя
интеграл площадей E9). Имеем
2С dr Л^ d
dq> ^ г2 d(p uyi \ i / (Р\9\
Г
_dr_ . __ __ j4C2_ _^2_ / J\
~~~ dq> ф ~~ r2 dtf \ r ) '
Подставляя полученное значение г в первое равенство E7)
и снова используя E9), получим искомое дифференциальное
уравнение траекторий в форме, указанной Бине,
Зф5 \Т) + Т = ""
Вектор ускорения, а следовательно, по второму закону Нью-
Ньютона и сила всегда направлены в сторону вогнутости траекто-
траектории. В рассматриваемом сейчас движении под действием цен-
центральной силы можно заключить, что в случае притяжения
(Fr < 0) траектория обращена вогнутостью к полюсу (центру
притяжения), а в случае отталкивания (Fr > 0) — выпуклостью
к полюсу (центру отталкивания). Траектория в центральном
движении может иметь точку перегиба только в той точке про-
пространства, где сила обращается в нуль.
Из уравнения Бине сразу при этом вытекает следующий из-
известный из дифференциальной геометрии признак; если выра-
выражение
положительно, то кривая обращена к полюсу вогнутостью, в
противном случае — выпуклостью.
Обратимся теперь к рассмотрению частного случая — движе-
движения точки под действием тяготения к центральному телу, массу
которого то будем считать сосредоточенной в центре О. В этом

54 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
случае будем иметь
F4)
rf.
Уравнение Бине F3) примет вид
d2 ( 1 \ 1 /mo I ,-j-v
Введенная для краткости величина р, имеющая размерность
длины, может быть выражена через начальные данные движе-
движения при помощи выражения F0) и введенного выше [формула
F3) гл. XIX] понятия «скорости из бесконечности» Uoo. Исполь-
Используя указанные формулы, получаем
геометрический смысл величины р будет сейчас выяснен.
Общее решение уравнения F5) складывается из общего ре-
решения однородного уравнения и частного решения неоднород-
неоднородного уравнения; составив характеристическое уравнение, убе-
убедимся, что корнями его будут ±/, так что
1 = d cos ф + С2 sin ф + j. F7)
Это — второй интеграл уравнения F5); первый интеграл полу-
получим дифференцированием:
fC08q>. F8)
Для определения произвольных постоянных С\ и С2 подставим
во второй и первый интегралы начальные условия E8) и найдем
1 —г jl 1 г 1 1
„ L_CL = 1 го _ ctgg
rl Фо r0 гощ r0
Равенство F7) принимает вид
Введем в рассмотрение новые постоянные б и е, положив
i- = 6cose, -^- = —dsine, G0)
/"о Р го
так что
Л— !(х 'У I ctg2" -

§ 92. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
55
Уравнение F9) может быть теперь переписано в виде
y = 6cos(cp — e) + ~;
если ввести новую постоянную е = рб, равную, согласно (€6)
и G1),
то предыдущее равенство приведется к уравнению конического
сечения в каноническом виде
1 + е cos w '
где введен новый угол
w:
—8,
G3)
G4)
носящий наименование истинной аномалии. Как следует из G3),
величины р и е служат основными
параметрами, определяющими фор-
форму конического сечения. Таким об-
образом: а) если начальная скорость
v0 меньше «скорости из бесконечно-
бесконечности» Uoo, то е < 1 и траекторией бу-
будет служить эллипс; б) если vq =
= Уоо, то е = 1 и точка полетит по
параболе; наконец, в) если Vo > ^ос,
то е > 1 и траекторией будет слу-
служить гипербола.
Имея выражение е и р через на-
начальные данные и «скорость из бес-
бесконечности», можем по известным формулам геометрии опреде-
лить полуоси эллипса:
Рис. 246.
а
Sin
— />2
а также и расстояние между фокусами, равное
2с = 2ае — -
VI ~ 4 (У^J [1 - (ор/РроJ! sins a
G5)
G6)
Точка Р (рис. 246) на эллиптической орбите, находящаяся
на наименьшем расстоянии от притягивающего центра О, назы-

56
ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
вается перигелием, наиболее удаленная от центра О точка А •
афелием. При прохождении точки М через перигелий Р
—' min :
в афелии А
w = я, г =
max ~ 1 _
G7)
G8)
§ 93. Определение времени в эллиптическом движении
Обозначим через яз момент прохождения планеты через перигелий. Со*
гласно уравнению F0) имеем (рис. 246)
S-C(t-.%)-lp-(t-T) = \abb G9)
где S — площадь сектора РОМ, отсчитываемая от вектор-радиуса перигелия,
Т — период полного обращения точки, т. е. время, за которое вектор-радиус
опишет площадь эллипса лаЬ. Через ?, равное
обозначен угол, на который повернулся бы за время t — т вектор-радиус
точки, описывающей окружность с постоянной угловой скоростью и периодом
обращения Т. Угол ? называется средней
аномалией.
Вычисление времени сводится к нахо-
нахождению площади сектора РОМ. Для этого
вводят в рассмотрение еще один угол и%
называемый эксцентрической аномалией.
На большой оси эллипса, как на диаметре,
строим окружность L (рис. 247) и про-
продолжаем ординату эллипса в точке М до
пересечения с этой окружностью в точке
Mi. Эксцентрической аномалией и будет
служить угол РО\МХ между вектор-радиу-
вектор-радиусом точки Ali, проведенным из центра эл-
эллипса О и и большой осью эллипса. Эллипс
можно рассматривать как проекцию круга
Рис. 247. L> плоскость которого наклонена к плоско-
плоскости эллипса на угол с косинусом, равным
Ыа\ площадь какой-либо части эллипса равна площади соответственной части
круга, умноженной на Ь/а:
S = пл. РОМ = — пл. POMi = — (пл. РО{МХ — пл. ОХМХО).
а а
Заметив, что
пл.
— а2м, пл. 0{М{0 = — са sin и « — а2е sin u9
получим
S = — • -— аг (и — е sin и) •
:— аЬ (и — е sin u)t

§ 93. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ 57
и соотношение G9) после сокращения на общий множитель xhab приводит
К уравнению Кеплера, связывающему эксцентрическую и среднюю аномалии:
и - е sin и = С — Щ- (t - т). (81)
Выражение истинной аномалии ад через эксцентрическую найдем, рас-
рассматривая отрезок ON, равный
ON = — г cos ад = ОО\ — O\N = с — a cos и = ае — a cos м,
откуда, воспользовавшись уравнением эллипса, получим
Замечая, что
г cos ад + ае = -7—7 h Д? = я cos w.
1 + е cos ад
а а2
будем иметь
cos»- « + «»» {82)
1 + е cos ад
Если выразить косинус через тангенс половинного угла, то это соотноше-
соотношение приведется к виду
п—;
(83)
перед корнем взят знак плюс, так как углы ад/2 и и/2 всегда лежат в одном
и том же квадранте.
Для решения уравнения Кеплера (81) было предложено большое число
методов. Наиболее совершенный из них был дан в 1824 г. астрономом
В. Бесселем A784—1846). Из уравнения Кеплера следует, что разность функ-
функций и — ? представляет собой периодическую функцию от ?, обращающуюся
в нуль в точках Р и Л, т. е. при значениях ?, кратных я. Поэтому ее можно
представить в виде ряда Фурье по синусам кратных углов
оо
и ~ ? я У Ak sin kt>,
ft-i
и дело сведется к вычислению коэффициентов Л л по формулам, определяющим
коэффициенты ряда Фурье:
я
Ak =* — \ (и — 5) sin &? с/?.
"о3
Интегрируя по частям, получаем
я
~1^ 1 K«-Ocos*C]
^ яГ j cos ^^ cos " dti:s=s~jik I J cos ^^ + «) ^« + \ cos (/г? — и) du
0 Lo 0

$8 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
или после замены ? его выражением по уравнению Кеплера (81)
я л
е I
cos [ke sin и — (k + 1) и] du H г- \ cos [ke sin и — (k — 1) u]du.
uk j
о о
Оба интеграла в правой части этого равенства имеют вид
л
— \ cos (* sin м — пи) du.
о
Функция от х и л, представляемая этим интегралом, называется бесселевой
функцией п-го порядка и обозначается /,*(#). Именно таким образом Бес-
Бессель и ввел впервые в рассмотрение функции, впоследствии названные его
именем. Итак,
Ak = -г Uk+i (ke) — /fc-i (ke)] (k = 1, 2, ...).
/с
В теории бесселевых функций доказывается рекуррентное соотношение
/ )_/ ) —— /
х
позволяющее записать выражение коэффициента Ak в форме
2
Решение уравнения Кеплера принимает окончательный вид
(84)
Согласно уравнению Кеплера имеем также
оо
— > -г- Jk {ke) sin ^. (85)
sin и
k=i
Полученные ряды сходятся при любых значениях параметра е, как мень-
меньших, так и равных или больших единицы, что соответствует движениям по
эллиптическим, параболическим и гиперболическим орбитам.
Определив по (84) эксцентрическую аномалию и как функцию средней
аномалии ?, пропорциональной времени, вернемся к соотношению (83) и най-
найдем зависимость от ? истинной аномалии w а затем по уравнению траекто-
траектории G3) и радиус-вектор г.
§ 94. Эллиптическое движение тела, брошенного с Земли
с большой начальной скоростью
Изложенная теория (§ 92), имеющая основное приложение
в небесной механике (движение планет), может быть приме-
применена также к иследованию движения тел, бросаемых с большой
начальной скоростью с поверхности земного шара. В этом слу-

§ 94. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
59
чае «скорость из бесконечности» равна ««,-= -\/2gR . Вместо
угла а между направлением начальной скорости и начальным
радиусом-вектором, т. е. вертикалью данного пункта поверхно-
поверхности Земли, удобнее ввести «угол бросания» К (рис. 248) между
вектором начальной скорости и горизонтальной плоскостью.
Основной формулой, связывающей на-
начальную скорость Vq и эксцентриситет
эллипса е, является равенство G2), ко-
которое может быть переписано в виде
е =
(86)
Будем менять начальную скорость v^
от нуля до максимального ее значения
vQ max = Уоо, при котором, как уже ранее
было выяснено, траектория перестает
быть замкнутой (при Vq = Уоо имеем па-
параболу, при Vq > Уоо — гиперболу). В ин-
интервале 0 ^ vq ^ 1>оо эксцентриситет е
убывает от значения е = 1 до некоторого
минимального значения emin и затем
вновь возрастает до е=1. Минимальное значение emin легко
определяется и оказывается равным
Рис. 248
=sinA, при VQ = —j=r=
(87)
Максимальная скорость vq = v\, которая определяется вто-
вторым равенством (87) и при превышении которой траектория пе-
перестает быть замкнутой, называется «первой космической ско-
скоростью». В земных условиях она равна
vx = д/9>81 -6400. 103 = 7925 м/с « 7,9 км/с.
Если угол бросания X = 0, то при этом ет-ш = 0.
При малых v0 траекториями тела служат эллипсы, близкие
к параболе, что вполне соответствует ранее изученному парабо-
параболическому движению в однородном поле тяжести, которое яв-
является, таким образом, первым приближением к действитель-
действительному движению в поле тяготения. Наиболее удаленный фокус
этих эллипсов находится в центре Земли, ближайший — близ
поверхности Земли. При возрастании начальной скорости vq
эксцентриситет уменьшается, что соответствует удалению бли-
ближайшего фокуса от поверхности Земли вглубь. Если начальный
угол бросания X выбрать равным нулю, то е при vo = ^~gR
станет равным нулю и траектория превратится в окружность;

60 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
тело, брошенное горизонтально с начальной скоростью v0 =
= <\/gR , будет описывать круговую орбиту с постоянной ско-
скоростью vq вокруг Земли, став тем самым ее спутником. Если же
X > 0, то, достигнув своего минимального значения (87), е нач-
начнет вновь возрастать вместе с начальной скоростью, пока не
достигнет значения единицы, эллипс превратится в параболу
и далее при е > 1 — в гиперболу.
Рассмотрим случай эллиптического движения тела несколько
детальнее. Пусть тело М (рис. 248) брошено из точки Мо земной
поверхности с начальной скоростью v0 < ?><х>, образующей с го-
горизонтом угол К. Поверхность Земли показана на рисунке штри-
штриховкой, траектория тела — сплошной линией, остальная часть
эллипса — штриховой линией. Поставим задачу: по данным Vo
и X определить максимальную высоту траектории Н над поверх-
поверхностью Земли, а также горизонтальную дальность, отсчитанную
по дуге круга М0М{ и по хорде М0М{.
Высоту Н определим как разность
' — R=c+a— R = a(l+e) — /?,
равную по G5)
В случае малых скоростей а0Л>оо <С 1. Разлагая радикал (86)
в ряд по степеням малой величины (v0/VooJ и отбрасывая вели-
величины в степенях выше четвертой, получаем
= 1-2 f-^-V cos2 X + 2 f-^-Y cos2 X sin2 X.
Подставляя эту величину е в равенство (88) и используя ма-
малость {vq/VooJ в знаменателе, находим
или, заменяя vlo его выражением

§ 94. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА 61
Первое слагаемое соответствует максимальной высоте подъ-
подъема тела в параболической теории [первая формула F8)
гл. XXIX] движения в однородном поле силы тяжести. Учтя
уменьшение силы притяжения с удалением от центра Земли, мы,
естественно, пришли к увеличению высоты подъема; второе сла-
слагаемое дает соответствующую поправку.
Для определения максимальной дальности по дуге круга
МоМи заметим, что, сравнивая рис. 245, 246 и 248, в принятых
раньше обозначениях будем иметь
и, следовательно, обозначая угол М0ОМ' = со, получим, соглас-
согласно G0),
/ ч ¦ tg X р tg Я
sin со = sin (я — е) = sin г = -те- = -• -р
или по F6)
Отсюда находим
= R . 2cd = 2R arcsin [-("^Y sin 2Я1
При малых Уо/^оо, пользуясь разложением арксинуса в ряд
я отбрасывая члены, содержащие (у0/^ооN, будем иметь
(91)
Вспоминая разложение величины е> заключим, что с той же
точностью
^±p[(^)\q (92)
Сравнивая этот результат с параболической теорией [вторая
формула F8) гл. XIX], убеждаемся, что за счет уменьшения
силы тяжести с высотой горизонтальная дальность несколько
увеличивается.
Заметим, что расстояние МоМи отсчитанное по хорде, будет
равно
(93)
eg

62 ГЛ. XX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
т. е. совпадает с приближенным выражением (91). Как показы-
показывает последнее выражение, кратчайшее расстояние между точ-
точкой вылета и падения тела на Земле только множителехМ 1/е
отличается от известной величины горизонтальной дальности в
параболической теории движения тела в однородном поле тя-
тяжести.
Рассмотренное эллиптическое движение материальной точки
под действием земного тяготения совпадает с движением центра
масс ракеты на пассивном участке ее траектории, где отсут-
отсутствует тяга двигателя, а сопротивлением разреженного воздуха
на больших высотах полета можно пренебречь. В этом случае
начальное положение центра масс ракеты и начальная скорость
этого центра определяются их значениями, соответствующими
концу активного участка полета ракеты и исчезновению сопро-
сопротивления воздуха. Этому вопросу, а также некоторым началь-
начальным представлениям о динамике ракеты будет далее посвящен
специальный параграф (§ 105),

Глава XXI
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 95. Свободные незатухающие колебания точки
под действием линейной восстанавливающей силы
Колебания представляют собой один из наиболее распростра-
распространенных видов движений. Изучение свойств колебательных дви-
движений необходимо для понимания многих физических и меха-
механических явлений, но особенно велика роль теории колебаний
в инженерном деле. Движение машин, транспортных средств,
приборов и механизмов всегда сопровождается колебаниями,
или, как еще говорят, вибрациями. Возрастание интенсивности
колебаний выше допустимой нормы грозит катастрофой; в за-
задачи теории колебаний и ее разнообразных приложений в тех-
технических науках входит указание причин этих опасных явлений,
например резонанса, и мер борьбы с ними. Колебания с успехом
используют и как полезный процесс в вибромашинах: дробил-
дробилках, упрочнителях, обогащающих руду ситах и т. п.
В настоящей главе рассматривается лишь простейший вид
колебательного процесса в механике — прямолинейные колеба-
колебания материальной точки. Более
сложные задачи будут рассмо- о с *!L >~
трены в гл. XXXII—XXXIV. ° г* я
Рассмотрим (рис. 249) пря- Рис. 249.
молинейное движение матери-
материальной точки М массы т под действием силы Р, направленной к
неподвижному центру О и пропорциональной первой степени
расстояния ОМ точки М от центра О:
Р = -сг; A)
здесь с — положительный коэффициент пропорциональности, а
знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону,
противоположную вектору-радиусу г, т. е. к центру О, соответ-
соответствующему равновесному положению точки.
Силу, стремящуюся вернуть точку в положение равновесия,
называют восстанавливающей. Примерами восстанавливающей
силы могут служить силы разнообразной природы. Такова

64 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
реакция растянутой пружины. При колебаниях маятника в верти-
вертикальной плоскости роль восстанавливающей силы, стремящейся
вернуть маятник в равновесное вертикальное положение, играет
составляющая силы веса по направлению касательной к траек-
траектории центра тяжести маятника. При колебаниях жидкости в
U-образной трубке восстанавливающей силой служит вес стол-
столба жидкости, возвышающейся в одной части трубки над уров-
уровнем во второй.
Отклоним точку М из положения равновесия и отпустим без
начальной скорости или с начальной скоростью, направленной
по прямой Ох, проходящей через начальное положение точки
и центр О. Ускоряясь, если скорость направлена в ту же сто-
сторону, что и сила, т. е. к центру О, и замедляясь в противном
случае, точка по инерции будет проходить мимо центра О, со-
совершая около него прямолинейное колебательное движение.
Если кроме восстанавливающей силы других сил, в частности
сопротивлений движению, нет, то такие движения носят наи-
наименование свободных или собственных незатухающих колебаний
точки; восстанавливающую силу, пропорциональную первой сте-
степени отклонения точки от равновесного положения, назовем ли-
линейной восстанавливающей силой, сами колебания — линейными.
Принимая прямую, вдоль которой происходит движение, за
ось Ох и помещая начало координат в центр равновесия О, со-
составим основное дифференциальное уравнение свободных неза-
незатухающих колебаний точки; согласно равенству A) настоящей
главы будем иметь
тх = —сх. B)
Разделив обе части на т и обозначив через k2 отношение
приведем уравнение B) к виду
x + k2x = 0. D)
Это линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами легко решается обычным приемом составления
характеристического уравнения. Замечая, что корни характери-
характеристического уравнения в данном случае будут чисто мнимыми и
равными ±ki, заключаем, что общее решение (второй интеграл)
уравнения движения D) будет
х == Сх cos kt + C2 sin kt. E)
Подставляя начальные условия
при t = 0 x = xQi x = xQ F)

§ 95. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
65
во второй интеграл E) и в первый интеграл
х = — Cxk sin kt + C2k cos kt, G)
получаемый из второго интеграла E) путем дифференцирова-
дифференцирования, находим постоянные интегрирования:
Таким образом, конечное уравнение движения будет
х = х0 cos kt + — sin kt.
Вводя амплитуду а и начальную фазу а, напишем
где
(8)
(9)
(Ю)
sin a==
cos
Итак, рассматриваемое прямолинейное движение точки под
действием линейной восстанавливающей силы представляет со-
собой гармоническое колебательное движение с //Щ//////////Ш/////,
частотой k и периодом Г, равными
-2-. A1)
не зависящими от начальных условий, а зави-
зависящими только от коэффициента пропорцио-
пропорциональности в линейном законе восстанавливаю-
восстанавливающей силы и массы колеблющейся точки. Усло-
Условимся в дальнейшем такую частоту называть
собственной частотой колеблющейся точки j
или частотой свободных колебаний ее. Ампли-
Амплитуда и фаза колебания определяются по фор-
формулам A0) и зависят от начальных условий рИс. 250.
движения.
Свойство независимости частоты или периода колебаний от
начальных условий (свойство изохронности колебаний) связано
с линейностью восстанавливающей силы (оно было открыто Га-
Галилеем). В случае нелинейной восстанавливающей силы свой-
свойство изохронности не имеет места.
Подвесим на пружине (рис. 250) груз М массы т. Положе-
Положение равновесия груза примем за начало координат О оси Ох
3 Л. Г* Лойцянский, А. И. Лурье

66 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
(отнесенной на рисунке для удобства влево от прямой, на ко-
которой происходит колебание). Если АМ\ обозначает длину не-
нерастянутой пружины, то отрезок ОМ\ представляет статическое
удлинение бст пружины под нагрузкой G = nig. По закону Гука
о пропорциональности нагрузки и деформации будем иметь
A2)
где коэффициент с (жесткость пружины) равен отношению на-
нагрузки к статическому удлинению
«-¦?• <»>
или, что то же самое, нагрузке, вызывающей деформацию, рав-
равную единице длины. Отклоним груз из положения равновесия О
до положения Мо и сообщим ему некоторую начальную ско-
скорость. Груз придет в движение около состояния равновесия и
будет совершать свободные (собственные) колебания.
Дифференциальное уравнение движения груза, висящего на
пружине, при выбранном направлении оси будет иметь вид
rnx = mg + Рх,
где Рх представляет собой проекцию на ось Ох реакции пру-
пружины при длине ее AM, соответствующей текущему положению
груза М. Имеем по A3)
Рх = — с (х + бст) == — сх — с6ст = — сх — mg\
таким образом, предыдущее дифференциальное уравнение при-
принимает вид
тх = — сх,
соответствующий общему уравнению B). По формуле C) за-
заключим, что частота и период свободных колебаний груза на
пружине равны
A5)
Число колебаний в секунду определяется как
' — Т — 2л Л/ бст '
Величина / измеряется в герцах (Гц). Число колебаний в ми-
минуту п составляет

§ 95. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ 67
Те же формулы справедливы и для вертикальных колебаний груза, рас-
расположенного на горизонтальной упругой балке или рессоре. При этом, если
/ — пролет балки, / — момент инерции поперечного сечения и Е — модуль
упругости материала, то статический прогиб под действием груза при различ-
различных способах закрепления концов балки и расположения груза вычисляется
по следующим формулам, которые выводятся в курсах сопротивления мате-
материалов:
а) оба конца заделаны, груз находится на середине балки:
бст===>Т92 ~W;
б) оба конца оперты, груз находится на середине балки:
__ 1 G/3
Ост-~48 ТГ]
в) один конец заделан, груз находится на свободном конце:
_ 1 G/3
ст 3 EJ '
Пример 84. Тележка двадцатитонного четырехосного пассажирского
вагона имеет сложную систему рессор. Статический прогиб всего рессорного
устройства равен 0,24 м. Определить число колебаний в минуту такого ва-<
гона на рессорах.
По формуле A6) имеем
30
п = —. « 61 колеб. в мин.,
д/0,240
т. е. пассажирские вагоны имеют плавные колебания с периодом Г, прибли-
приблизительно равным 1 с. Товарные вагоны имеют более жесткие рессоры: у них
бет около 0,03 м, так что
30
173 колеб. в мин.,
а период Т равен 0,35 с, т. е. почти в три раза меньше, чем у пассажирских
вагонов.
Пример 85. При испытании упругой рессоры на удар на ее середину
падает с высоты 1 м груз. Зная, что статический прогиб рессоры под тем же
грузом, сосредоточенным на ее середине, равен 10~3 м, найти уравнение ко-
колебания рессоры с грузом, после того как груз упадет и будет двигаться сов-
совместно с рессорой; массой рессоры пренебрегаем; ось х направлена верти*
кально вниз.
В этом случае начальные условия движения таковы:
при * = 0 х = 0, * = ио = V^gh «4,4 м/с€
Частоту колебаний найдем по формуле A4) i
Частота в герцах / будет равна
3*

68
ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Уравнение движения, согласно (8), будет
х = 4,44 -Ю-2 sin 99/.
По первой из формул A0) амплитуда колебаний равна
«= A/6L +т2г»-«г«4,4- Ю-2
У///////////////А
(ввиду относительной малости бст). Обратим внимание на большую разницу
в данном случае между амплитудой колебаний и статическим прогибом рес-
рессоры. Амплитуда колебаний почти в 45 раз
превосходит статическую деформацию рес-
рессоры.
Пример 86. Определить отношение пе-
периодов колебаний груза, висящего на двух
одинаковых пружинах с жесткостями с\ и
с% при последовательном (рис. 251, а) и парал-
параллельном (рис. 251, б) соединении пру-
пружин.
Если G — вес груза, то в первом случае
статическое удлинение 6i будет равно сумме
статических удлинений первой и второй пружину
а)
Рис. 251.
G G
Ci С2*
во втором случае статическое удлинение 62 равно удлинению каждой из пру-
пружин по отдельности:
2 ci ""¦ с2 f
Где N' и JV" — натяжения пружин при статическом равновесии; очевидно, что
Согласно второй из формул A3) отношение соответствующих периодов коле-
колебаний будет
То V 62 л/с\С*
Т2
В частном случае, когда С\ = с2 = с, находим 7^ = 2Г2.
§ 96. Колебания точки под действием гармонической
возмущающей силы
Предположим, что наряду с восстанавливающей силой на
точку действует еще возмущающая сила, являющаяся заданной
функцией времени. Рассмотрим сначала наиболее простой слу-
случай периодической возмущающей силы F(t), меняющейся по
гармоническому закону:

§ 96. КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ. ГАРМОНИЧЕСКАЯ СИЛА 69
где Я — амплитуда, р — частота, б — начальная фаза возму-
возмущающей силы. Не нарушая общности, будем всегда считать
Я > О, так как в противном случае этого всегда можно до-
добиться изменением фазы б. При наличии возмущающей силы
дифференциальное уравнение движения будет иметь вид
тх + сх = Я sin (pt + б),
или, если разделить обе части на т,
A7)
где, как и раньше, k = л/с/т — частота свободных колебаний,
a h = Н/т.
Общий интеграл дифференциального уравнения A7), как из-
известно, является суммой общего интеграла х\9 соответствующего
однородного уравнения, т. е, уравнения свободных колебаний
D), и какого-либо частного решения х2 уравнения A7)
причем, согласно E),
х{ = С{ cos kt + C2 sin kt.
Частное решение х2 ищем в виде
х2 = a sin (pt + б). A8)
Подстановка х2 в A7) приводит к соотношению
откуда при k Ф р находим
«=Ж^-- A9)
Следовательно, общий интеграл будет
х = Сх cos kt + С2 sin kt + -,2 h 2 sin (pt + б). B0)
R p
Правая часть этого равенства представляет собой результат
¦наложения свободных колебаний на колебания, происходящие с
частотой возмущающей силы и называемые вынужденными ко-
колебаниями. Если k > ру т. е. частота собственных колебаний
больше частоты возмущающей силы, то а > 0 и, согласно A8),
вынужденные колебания имеют ту же фазу, что и возмущающая
сила; если же k <C р, т. е. частота собственных колебаний мень-
меньше частоты возмущающей силы, то а < 0 и из формулы A8)
для вынужденных колебаний получим, согласно формуле A9),
*2 = ~ -ТГГТГ sin (pt + б) = —2—р- sin (pt + б + я).

70 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Таким образом, при k < р вынужденные колебания сдви-
сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на я. Отметим,,
что по формуле A9) амплитуда вынужденных колебаний не за-
зависит от начальных условий движения.
Как будет выяснено в дальнейшем, силы сопротивления, ко-
которые здесь не учитывались, гасят свободные колебания и почти
не изменяют амплитуд вынужденных колебаний, если частота р
возмущающей силы значительно отличается от частоты k сво-
свободных колебаний. Поэтому при указанном условии для опре-
определения движения точки по истечении достаточно большого про-
промежутка времени от начала движения — установившегося ре-
режима движения — можно ограничиться рассмотрением только*
вынужденных колебаний, сохранив в выражении B0) лишь по-
последнее слагаемое.
Для изучения начальных режимов движения или режимов,
переходных к установившемуся движению, необходимо рассма-
рассматривать полностью общее решение B0). Зададимся вновь на*
чальными условиями
ПрИ / = 0 X = XQ> X = Xq = VQx
и подставим их во второй интеграл B0) уравнения движения
A7) и в первый интеграл
х = — kCx sin kt + kC2 cos kt + k2P^ 2 cos (pt + 6),
который получим дифференцированием второго интеграла.
Тогда постоянные интегрирования выразятся через началь*
ные данные так:
и равенство B0) приведется к окончательному виду
х = *<>> + хB) + *C> = х0 cos kt + ig- sin kt —
Pi / r» \ /»
sin 6 cos kt -\-~ cos б sin ft/) + -rs 5" sin
jrinr ( sin 6 cos kt + ?~
Движение, представленное равенством B1), можно рассма*
тривать как результат сложения: 1) свободных колебаний точ-
точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы*
если точку вывести из равновесия,

§ 96. КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ. ГАРМОНИЧЕСКАЯ СИЛА 71
2) вызванных возмущающей силой колебаний с собственной
частотой
д:B) = — ¦ _ 2 ( sin 6 cos kt + -j cos б sin kt\
и, наконец, З) вынужденных колебаний
*C) =ЦгЬрг sin(pt + Ь),
совпадающих по частоте с частотой возмущающей силы.
Если частота возмущающей силы р совпадает по величине с
частотой собственных колебаний &, то возникает явление резо-
резонанса. При резонансе возмущающая сила действует «в такт»
с собственными колебаниями точки, что приводит к особенно
интенсивному раскачиванию точки. При резонансе колебания
нарастают, в чем можно убедиться следующим образом. Устре-
Устремим в равенстве B1) р к k\ при этом совокупность двух послед-
последних колебаний, описываемая выражением
vB) f vC) h I- <sin 6 cos kt + Mb)cos 6 sin kt) + sin W + 6»
р = k представляет собой неопределенность вида 0/0. Рас-
Раскрывая эту неопределенность по известному правилу (заменяя
числитель и знаменатель их производными по р), находим
lxB) I ^CI __ А — ОМ) cos 6 sin kt + t cos (pt + 6) I _
= -~r [cos б sin kt — kt cos (kt + 6)].
Итак, в случае резонанса (р = k) движение точки опреде-
определяется уравнением
х = х0 cos kt + ¦— sin kt + -rip- [cos б sin kt — ?/ cos (kt + 6)],
B2)
содержащим в числе составляющих колебаний характерное для
резонанса слагаемое
в котором время t стоит множителем перед косинусом. Благо-
Благодаря наличию этого множителя абсцисса х точки, переходя от
положительных значений к отрицательным, будет вместе с тем
неограниченно возрастать. Если коэффициент при косинусе в по-
последнем выражении условно принять за амплитуду и отвлечься

72 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
от остальных сравнительно малых членов в B2), то можно ска-
сказать, что колебания при резонансе происходят с возрастающей
пропорционально времени амплитудой. В частном случае 6 = 0,.
хо = 0, jto = 0 график резонансного колебания показан на
рис. 252. При неизбежном наличии сопротивлений (или нелиней-
нелинейности восстанавливающей силы)
вынужденные колебания не увели-
увеличивают безгранично свою амплиту-
ДУ (§ 99).
Явление резонанса, сопровож-
сопровождающееся колебаниями нарастаю-
нарастающей амплитуды, может служить
причиной разрушения конструкции
или создавать в ней опасные напря-
Рис. 252. жения. Поэтому важной задачей яв-
является избежание возможности воз-
возникновения резонанса. Для этого частоты возмущающих сил,
которые мы можем предвидеть в сооружении или машине, долж-
должны быть по возможности далеки от частот собственных коле-
колебаний.
Представим амплитуду вынужденных колебаний A8)
h
как произведение двух сомножителей
Заметим, что первый множитель представляет статическое сме-
смещение точки под действием постоянной силы Я. Действительно,,
согласно C) и A2) имеем
h ___ Н __Н
k2 ~ mk2 ~~ с '
Назовем коэффициентом динамичности величину X, опреде-
определяемую отношением амплитуды вынужденных колебаний А к
тому статическому смещению h/k2, которое имело бы место, если
бы возмущающая сила была постоянной величиной Н. Отноше-
Отношение z = p/k назовем коэффициентом расстройки. Тогда в новых
обозначениях равенство B3) примет вид
^ТпЬп" B4>
Зависимость % от z представлена графически на рис. 253
(см. также два первых столбца табл. 3 § 99). При г = 0 имеем
Я=х1; при г=1, что соответствует резонансу, Я = оо. Надо>

§ 96. КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ. ГАРМОНИЧЕСКАЯ СИЛА
73
О
Рис. 253.
однако, иметь в виду, что в области частот возмущающей силы,
близких к частоте свободных колебаний, нельзя рассматривать
только вынужденные колебания и отбрасывать свободные, так
как при взаимодействии сво-
свободных и вынужденных коле-
колебаний при р = k возникает дви-
движение с возрастающими про-
пропорционально времени откло-
отклонениями; резонанс представля-
представляет явление наложения движе-
движений, а не «вынужденное коле-
колебание с бесконечно большой
амплитудой». Отметим еще,
что Я->0 при z->oo, т. е. при
весьма большой частоте возму-
возмущающей силы вынужденные
колебания весьма малы.
Пример 87. Индикатор. Явление вынужденных колебаний пока-
покажем на примере движения поршня индикатора — прибора, служащего для за-
записи переменных давлений в цилиндрах поршневых двигателей. Устройство
индикатора схематически показано на рис. 254. Цилиндр индикатора / сооб-
сообщается при помощи патрубка 2 с цилиндром двигателя. В цилиндре / ходит
плотно притертый поршень 3, к которому прикреплены штанга 4 и нижний
конец пружины 5, верхний конец которой упирается в крыш-
крышку цилиндра. Движение, получаемое поршнем под дейст-
действием изменяющегося давления р(/), записывается в увеличен-
увеличенном масштабе на барабан, вращающийся с угловой скоро-
скоростью, пропорциональной угловой скорости главного вала ма-
машины.
Положим
t\
где ро — среднее давление, отнесенное к моменту t = 0. Пусть
в положении равновесия пружина под действием веса порш-
поршня и среднего давления р0 изменила свою длину на бСт. Если
с — жесткость пружины, m — масса поршня и а — его пло-
площадь, то
сбст = tng — сгро- ' '2
Направим ось Ох вверх, взяв начало отсчета в положе- '
нии равновесия поршня. Тогда уравнение движения поршня,
абсциссу которого обозначим через ху будет (пренебрегаем массами пружины
и стержней пишущего механизма)
ТУТ
тх = — с(х — бст) — mg + ар0
или, принимая во внимание предыдущее равенство,
(О,
где k = ус/т — частота свободных колебаний поршня индикатора.

74
ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Рассмотрим простейший случай:
рх = a sin (at, p = р0 + a sin tot,
где со — частота колебаний давления в цилиндре.
Уравнение движения будет
... ,0 оа . ,
х + k2x = sin of.
т
Полагая, что ^ = Оиа; = О при t = О, найдем по B1)
а а ( , ю . , Л аа к2 ( . , со .
X = 7 Т \ sin <°^ Г sin ?* 1 =:= Г9 9- I sin ®t Г" S1
m к2 — со2 V /г у с /г2 — со2 V ^
B5>
Перемещения поршня абсолютно точного индикатора должны в каждый
момент определяться по формуле
аа . ,
х = sin cor,
с
что соответствовало бы статической деформации пружины под действием,
силы ар\. Разность между этим значением и полученным выше дает погреш-
погрешность индикатора
sin
погрешность будет мала, если частота свободных колебаний индика*
k весьма велика по сравнению с частотой возмущающей силы о) (про-
(пропорциональной ^тловой ско-
скорости двигателя).
В качестве примера для
случая /?/со = 20 на рис 255
построен график движе-
движения поршня индикатора, со-
согласно уравнению B5), при-
причем масштабный множитель
аа к2
с k2 — со2
принят за единицу длины»
На том же графике штрихо-
штриховой линией показана полу*
волна синусоиды, построен-
построенной по ординатам, пропор-
пропорциональным действительно-
действительному изменению давления
P\(t). Кривые дают нагляд-
наглядное представление о погреш-
погрешности, вносимой свободны-
свободными колебаниями индикатора
в его показания. Благодаря
сопротивлению, которое бу-
будет гасить свободные колебания, отклонения значений х от значений, соответ-
соответствующих кривой давления, будут на самом деле еще меньше.
Рис. 255.

§ 96. КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ. ГАРМОНИЧЕСКАЯ СИЛА
75
Пример 88. Виброграф. В качестве другого примера разберем
-теорию вибрографа, служащего для записи вертикальных колебаний фунда-
фундаментов машин, перекрытий зданий и других сооружений.
Задача о регистрации вертикальных колебаний могла бы быть разрешена
принципиально весьма просто, если бы, жестко соединив с колеблющимся
телом пишущее приспособление, мы могли бы регистрировать колебания на
ленте барабана, не связанного с колеблющимся телом. При записи сотрясении
почвы, вибраций корабля или фундамента больших размеров мы не можем
воспользоваться этим приемом, так как неподвижного предмета, ня котором
можно было бы установить барабан, не
имеется. Приближенно можно решить
задачу записи колебаний так, как это
схематически показано на рис. 256.
Груз М подвешен к пружине, другой
конец которой жестко связан с плат-
платформой П. Очевидно, что чем тяжелее
груз и чем слабее его связь с колеб-
колеблющейся платформой, или, иными слова-
словами, чем мягче пружина, тем менее П7
груз принимает участие в движении и—
платформы, т. е. с тем большим прибли-
приближением пишущее приспособление /С,
жестко связанное с грузом, можно счи-
тать точкой неподвижной относительно Земли. Обратно, при абсолютно жест-
жесткой пружине груз будет воспроизводить то же движение, что и платформа,
т. е. оставаться относительно нее неподвижным, и на барабане, установлен-
установленном на платформе, записи колебаний не будет.
Из этих соображений вытекает основное требование, предъявляемое к
приборам для записи колебаний: частота свободных колебаний такого при-
прибора должна быть весьма малой (большая масса, малая жесткость) по срав-
сравнению с частотой колебаний платформы.
Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на
неподвижную вертикальную ось О? (на рисунке ось опущена). Ьсли через х
обозначить смещение груза относительно платформы, совершающей относи-
относительно неподвижной среды, например Земли, вертикальное гармоническое
колебание
Рис. 256.
то абсолютное смещение груза относительно Земли будет равно g = х +¦
при этом проекция на ось Og абсолютного ускорения груза гюг будет
— pa2 sin
Силами, действующими на груз, являются сила тяжести G = mg (m —
масса груза) и реакция пружины N; направляя ось О? вертикально вниз и
пренебрегая силами сопротивления, получаем
mg + Af|.
Но по предыдущему N^= — с(х + 6СТ) =— ex — mg, где с —жесткость пру-
пружины. Таким образом, из предыдущих равенств находим
тх + сх = тар2 sin pt,
или
х + k2x = ар2 sin pt,
где k = л]с\т — частота свободных колебаний груза на пружине.
Рассмотрим установившийся режим колебаний. Как уже ранее указыва-
указывалось, колебания с частотой свободных колебаний при наличии сопротивлений

76 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
быстро затухают. Обратимся поэтому к вынужденным колебаниям. Согласна
A8) и A9) уравнение этих колебаний имеет вид
Движение это записывается с некоторым изменением масштаба, так что за-
запись на барабане будет характеризоваться уравнением
А
*
1 ~ (k/pJ
где А — масштабный коэффициент. Искажение, вносимое прибором, опреде-
определяется множителем
А
Этот множитель, помимо постоянных прибора (А и k), зависит еще от
частоты возмущающей силы р. Однако влияние последней будет невелико,,
если отношение k/p мало. Например, при k/p = 0,2 найдем
т. е. ошибка, даваемая прибором, не превзойдет 4%. Таким образом, при-
приборы, предназначенные для записи колебательных движений, — вибрографы
и сейсмографы — должны иметь частоту свободных колебаний, весьма малую
по сравнению с частотой регистрируемых ими колебаний] как было показано
перед этим, приборы, измеряющие колеблющиеся усилия (индикаторы, дина-
динамометры), наоборот, характеризуются высокими отношениями частоты соб-
собственных колебаний к частоте изменения измеряемой силы.
§ 97. Колебания точки под действием периодической
возмущающей силы
Если возмущающая сила F(t) является произвольной перио-
периодической функцией времени с периодом т = 2я/р, то при весьма
общих предположениях (выполнении условий Дирихле) функ-
функция F(t) может быть представлена тригонометрическим рядом
вида
F @ = -х Яо + а{ cos pt + «2 cos 2pt + ... + as cos spt + ...
... + &i sin pt + b2 sin 2pt + ... + bs sin spt + ... B8}
(рядом Фурье). Коэффициенты этого ряда определяются фор-
формулами
l^F @ cos spt dt E = 0, 1, 2, ...).
о
x
^ F(t) sin spt dt (s=l, 2, ...)•

§ 97 КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИЛА 77
Если ввести обозначения
то ряд B8) можно представить в виде
сю
F @ = | а0 + ? Hs sin (spt + 6S). B9)
Отдельные члены этого ряда называются гармониками; значе-
значениям s= 1, 2, 3 и т. д. соответствуют гармоники первого, вто-
второго, третьего и т. д. порядков.
Дифференциальное уравнение движения A7) принимает вид
х + &х = hQ + Е hs sin (spt + 68), C0)
s = l
где
и а° и Hs
Частное решение, соответствующее постоянному свободному
члену, представляет постоянное отклонение ho/k2\ оно несущест-
несущественно, и в дальнейшем мы будем предполагать, что Ао = 0.
Общий интеграл уравнения C0) будет
_g2 2
Как и выше, мы получили: 1) свободные колебания, обуслов-
обусловленные наличием начальных отклонений и скоростей:
х'{У> = х0 cos kt + -j?- sin kt,
2) колебания, происходящие вследствие наличия возмущающих
сил, но имеющие собственную частоту:
оо
*B) =. _ ? k2%p2 ( sin 6S cos kt + -?¦ cos Й, sin «) .
s=»l
и З) вынужденные колебания с частотами, кратными р:
оо
*C) = Z inziv sin {spt + 6s)>

78 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Свободные колебания jcA) + x& даже при малом сопротив-
сопротивлении быстро становятся пренебрежимо малыми, так что во
многих случаях можно ограничиться рассмотрением только вы-
вынужденных колебаний хC).
Если частота собственных колебаний равна целому крат-
кратному частоты возмущающей силы k = пр, где п — целое число,
то возникает резонанс я-го порядка.
Члены разложения C1) с номером s^n сохраняют свой
вид, что же касается членов с номером s = n, то они, анало-
аналогично изложенному в предыдущем параграфе, приводят к не-
неопределенности вида 0/0 и после раскрытия неопределенности
дают
- |f t cos (kt + ая) + -^r cos бя sin kt,
так что в случае резонанса п-то порядка будем иметь решение
х = х0 cos kt + ~ sin kt + -— cos 6n sin kt —
oo
- If t cos (kt + 6n) - Y,' k2 %p, (sin 6, cos kt + |-cos6s sin kt) +
l
6.), C3)
где штрих при знаке суммы указывает, что при суммировании
следует опустить член, соответствующий s = п. При достаточно
большом t всеми членами, в которых t входит только под знаком
тригонометрических функций, можно пренебречь, и мы получим
т. е. х возрастает здесь неограниченно вместе с t. В общем слу-
случае периодической силы колебания точки представляют собой
результат наложения колебаний, соответствующих каждой гар-
гармонической составляющей возмущающей силы по отдельности;
резонанс имеет место при k = пр (п = 1, 2, ...), т. е. при равен-
равенстве частоты свободных колебаний целому кратнохму частоты
возмущающей силы.
Если в разложении периодической силы в ряд Фурье отсут-
отсутствует гармоника одного из порядков, то соответствующего ей
резонанса не будет. Пусть, например, F(t) разлагается в ряд,
в котором отсутствуют все четные гармоники; резонанс будет
иметь место при k = р, Зр, 5р и т. д., но не при k = 2р, 4р и т. д.
Вернемся к рассмотренным в примере 88 предыдущего пара-
параграфа колебаниям вибрографа с грузом на пружине. Если пред-

§ 97. КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИЛА 79
положить, что платформа совершает вертикальные колебания:
|п = а{ sin pt + a2 sin 2pt + ...,
то дифференциальное уравнение колебаний груза по отношению
к платформе будет
тх + сх — — т|п = тахр2 sin pt + 4ma2p2 sin 2pt + ...,
или
х + k2x = а^2 sin pt + 4a2p2 sin 2pt + ...
Согласно C0) и C2) уравнение вынужденных колебаний за*
пишется в виде
* = 1 — (ЬЫ\2 Sln P^ 1 — \bN9nW Sin ^P? • • •
Из этого равенства видно, что гармоники высших порядков
записываются на ленту вибрографа с тем меньшим искажением,
чем выше их номер. Если, исходя из высказанного в предыду-
предыдущем параграфе соображения, выбрать отношение k/p настолько
малым, чтобы погрешность записи первой гармоники не выхо-
выходила за заданные тесные пределы, то относительная погреш-
погрешность записи второй гармоники будет в четыре, третьей —в де-
девять и т. д. раз меньше, чем первой.
Не всегда возмущающие силы представляют непрерывные
функции времени. Часто приходится иметь дело с кусочно-не-
кусочно-непрерывными возмущающими силами, задаваемыми различными
непрерывными функциями в следующих друг за другом интер-
интервалах времени. Примером этого может служить постоянная по
величине, но периодически меняющая свое направление возму-
возмущающая сила. Возмущающая сила может представлять также
ряд периодических толчков, сообщаемых движущейся точке.
Пример 89. Определить вынужденные колебания материальной точки
массы т под действием постоянных по величине и направлению периодически
повторяющихся через промежутки времени т импульсов S, если частота соб-
собственных колебаний равна k.
Как известно, импульсом постоянной по величине и направлению силы
называют произведение силы на время ее действия. В данном случае к точке
прикладываются мгновенные толчки (удары), продолжительность действия
которых ничтожна, а сила соответственно настолько велика, что произведе-
произведение величины силы на промежуток времени ее действия, т. е. импульс, ко-
конечно и задается величиной S. Мгновенно приложенный к точке импульс не
успевает за время своего действия вызвать заметное изменение в положении
точки, но приводит к резкому изменению ее количества движения, по вели-
величине и направлению равному приложенному импульсу;
S = тДг;. C4)
Теорема о связи между изменением количества движения точки и при*
ложенным к ней импульсом, выражаемая формулой C4), будет доказана в
следующей главе.

80 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Вынужденные колебания под действием периодических импульсов можно
рассматривать как установившийся в интервале времени (t0, t0 + т) режим
колебаний при наличии восстанавливающей силы —mk2x и с периодически
повторяющимися начальными условиями
при * = г0 л: = л;о, * = *о, C5)
причем, нисколько не нарушая общности, можно считать начальный момент
t0 этого интервала равным нулю.
Согласно условиям задачи мы знаем величину S и период т повторяю-
повторяющихся импульсов, но ничего не можем сказать заранее о том, какова будет
начальная абсцисса х0 и начальная скорость х0 в установившемся режиме ко-
колебаний. Для определения этих величин рассмотрим бесконечно малый интер-
интервал времени (т — 8, т + е), в течение которого точка претерпевает толчок.
Как уже было указано, за этот интервал времени абсцисса точки не успевает
измениться и, следовательно,
х (т + е) == х (т — е):
скорость же изменится, согласно C4), на величину
*(т + 8)-*(т-е)=-~.
Используя периодичность процесса и переходя к пределу при 8 == 0 со
стороны положительных е, перепишем последние два условия в виде
х @) = х (т), *0 @) - х (х) - ~, C6)
где #0@) —скорость в момент, следующий за сообщением импульса, a я(т) —
скорость в момент, предшествующий последующему импульсу.
Решение уравнения колебаний
при начальных условиях C5) будет, по предыдущему, иметь вкд
х = Хо cos kt + —• sin kt. (T7)
Используя условия C6), получим систему двух уравнений для определения
неизвестных Хо и xq:
Хо = Хо cos kx + -~ sin kx,
к
ко + kxo sin kx — Xo cos kx = —,
m
решения которой будут
5 sin kx S sin kx
mk [A — cos kxJ + sin2 kx] 2mk A — cos kx)
2S sin (kx/2) cos (kx/2) 5__ kx_
Amk sin2 (Лт/2) ~ 2mk g 2 '
S(\ — cosfrr) S
m [A — cos kxJ + sin2 kx] "~ 2m '

§ 98. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 81
Таким образом, уравнение C7) принимает окончательный вид
cos *(*--). C8)
2mk sin (Ast/2)
Резонанс имеет место при Ап/2 = пп (п — целое число), т. е. при совпа-
совпадении собственной частоты с целым кратным частоты прикладываемых им-
импульсов. Полученное выражение годно для промежутка 0 ^ t < т; чтобы
найти x(t) в любой момент времени, вследствие периодичности решения сле-
следует повторить график функции x(t)> построенный в интервале @, т), в со-
соответствующем интервале (т, 2т), Bт, Зт) и т. д.
Пример 90. Каков должен быть статический прогиб рессор железно-
железнодорожных вагонов для того, чтобы при скорости v = 16,7 м/с (приблизи-
(приблизительно 60 км/час) и длине / каждого рельса в 12 м вагон не попадал в ре-
резонанс с толчками на стыках?
Период возмущающей силы в данном случае будет
— «0,7 с.
v
Резонанс будет иметь место при
? = ^1, или д/-^- ==-^1 (/г=1,2,3 ),
откуда получим
бст=4-ю-2м.
Во избежание резонанса необходимо подобрать рессоры так, чтобо!
бст> 13-Ю-2 м.
§ 98. Влияние силы сопротивления, пропорциональной
первой степени скорости, на свободные колебания
точки
При наличии силы сопротивления Z), пропорциональной пер-
первой степени скорости, к уравнению свободных колебаний B) в
правой его части добавится еще член
D* = -P*> C9)
где р — коэффициент сопротивления, а знак минус означает, что
сила сопротивления всегда направлена в сторону, противопо-
противоположную движению точки. Дифференциальное уравнение движе-
движения точки будет
тх == — сх — р*, D0)
или после деления обеих частей уравнения на массу точки т
и переноса всех членов в левую часть
-fe2* = 0, D1)

82 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
где, кроме ранее введенного обозначения величины к2 = с[тч
положено
2п = ^. D2)
Обращаясь к интегрированию уравнения D1), составим ха-
характеристическое уравнение
корнями которого будут величины
sU2 = -n± л/п2-к2. D3)
Естественно рассмотреть отдельно следующие три случая
движения.
1. Затухающее колебательное движение (п<Ск)<
Если п < к, то корни характеристического уравнения D3) пред-
представятся так:
s{ = — n + i У/г2 --п2> s2= — n — i У&2 — /г2,
и, следовательно, общий интеграл уравнения D1) будет
x=*e-nt (C{ cos л]к2 — п21 + С2 sin ^k2-n2t). D4)
Составим первую производную по времени
х = e~nt К— пСх + л] к2 - п2 С2) cos У/г2 — п21 +
+ (- У к2 — п2 С{ - пС2) sin Уб2-гс2/], Dб>
и используем для определения постоянных интегрирования на-
начальные условия
при / = 0 х = х0, х = х0.
Подставляя эти значения координаты и проекции скорости в
D4) и D5), находим
так что интеграл D4) уравнения движения D1) принимает вид
х = е"я* (х0 cos л]к2-п2 t + 70 + *0 sin У/г2-~м2А, D6)
или после выделения амплитуды
х = ae-nt sin (У^2 - п21 + а), D7>
где для краткости положено
^o+^inrT?1-. ctg»^^^^^. D8>

§ 98. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
83
Из уравнения движения в конечном виде D7) следует, что х
периодически меняет знак, так что движение точки имеет коле-
колебательный характер. Период колебания равен
„ 2я 2я Го
k<yj\~(n/kJ
D9)
где T0 = 2n/k — период свободных колебаний точки при отсут-
отсутствии сил сопротивления. Если отношение n/k мало, то
и относительное увеличение периода свободных колебаний за
счет сопротивления будет иметь порядок квадрата малого отно-
отношения n/k, т. е. очень мало.
Абсолютные величины аи #2, ... максимальных отклонений
от центра колебаний образуют, как было выяснено уже в кине-
кинематике (§ 43), геометрическую прогрессию со знаменателем
иногда называемым фактором затухания колебаний.
Натуральный логарифм отношения двух последовательных
амплитуд носит наименование логарифмического декремента; он
равен
д = 1пт| = л^ = -7==т. E0)
Сравнивая последнее равенство с D9), найдем выражение
периода колебания через логарифмический декремент
^-=д/1+^1. E1)
Зависимость между ц и Т/То изображена на рис. 257. На-
Например, Т/То = 1,024 при г| = 2, т. е. введение сопротивления,
при котором каждый после- т
дующий размах вдвое мень-
меньше предыдущего, изменяет
период колебания только на
2,4%.
Увеличение периода на
10% будет иметь место при
t] = 4,2; при этом по истече-
истечении, например, двух перио-
периодов отклонение станет в 4,24 = 311 раз меньше первоначального,
т. е. точка практически остановится. Таким образом, небольшое
сопротивление весьма мало изменяет период, но интенсивно га-
гасит свободные колебания. Это позволяет, с одной стороны, при
1%
1,1
—¦ ¦—
— '¦
Рис. 257,

84 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
вычислении периода свободны к колебаний пренебрегать силами
сопротивления, с другой стороны, считать свободные колебания по
истечении достаточно большого промежутка времени от начала
движения при установившемся режиме практически исчезнувши-
исчезнувшими. Первое соображение имеет важное значение, так как расчет
периода свободных колебаний с учетом влияния сопротивления
был бы весьма неопределенной задачей, поскольку почти ни-
никогда заранее ничего нельзя сказать о величине коэффициента
сопротивления р. Второе позволяет в теории вынужденных коле-
колебаний не усложнять рассмотрения вопроса введением членов,
соответствующих свободным колебаниям.
2. Апериодическое движение (n>k). При доста-
достаточно большом сопротивлении, когда п2 — k2 > 0, общий инте-
интеграл уравнения D1) будет
х = e~nt (A ch <\/п2 - k21 + С2 sh д/п2- k2t). E2)
Движение не будет носить колебательный характер (оно на-
называется апериодическим). При большом / имеем [~—знак
асимптотического (при t->oo) равенства]
и, следовательно,
х ~ - <ci+Сз) е~{п ~~
Так как п —- Уп2 —- k2 > 0, то при t-^oo #->0. Вследствие
быстрого убывания показательной функции величина х будет
весьма мала уже при небольших /, и систему можно практически
считать вернувшейся в положение равновесия.
Характер движения зависит от начальных условий. Пусть
при t =0 х = х0, х = х0. Тогда, аналогично предыдущему слу-
случаю, получим
Из последнего уравнения следует, что х обращается в нуль,
т. е. точка достигает максимального отклонения от положения
равновесия в момент времени tm, определяемый из уравнения
1 + k2xo/(nxo) '
причем в этот момент времени значение х будет
E4>

§ 98. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
85
Будем считать х0 > 0. Так как при 0 < z ^ оо функция th z
монотонно возрастает от 0 до 1, то уравнение E4) может иметь
положительный корень tm (и только один) лишь при выполнении
неравенства
0<^Щ;<1. E5)
ю
В дальнейшем различаем три случая.
а) Неравенство E5) соблюдается при х > 0. Тогда хт также
положительно и характер движения можно изобразить графи-
графиком на рис. 258, а: точка сначала
отклоняется до некоторого мак-
максимума хт > Хоу а затем посте- ,
пенно начинает приближаться к
положению равновесия, не дости-
достигая его.
б) Если х < 0 и притом
т. е.
то неравенство E5) также имеет
место; при этом хт < 0 и график
движения имеет характер, пред-
представленный на рис. 258,6: точ-
точка проходит один раз через по-
положение равновесия и, удалив-
удалившись от него в отрицательную сторону на хт, в дальнейшем дви-
движении приближается к положению равновесия,
в) Если КОи притом
т. е.
8)
Рис. 258.
ПХо
то неравенство E5) не имеет места; х монотонно уменьшается,
т. е. точка приближается к положению равновесия, не достигая
его; этот случай движения изображен на рис. 258, в.
Случаи а) и б) соответствуют апериодическому движению
первого рода, случай в)—апериодическому движению второго
рода.
3. Предельное апериодическое движение (п=&).
Общий интеграл уравнения D1) в этом случае будет иметь вид
х —e-rf^ + Cj). E6)

86
ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Очевидно, что х-+0 при ?->оо, т. е. точка постепенно (практи-
(практически весьма быстро) возвращается в положение равновесия*
Примем следующие начальные условия: при t = О х=хо>О,
X = хо. Получим
х = e~nt [*0 + (*0 + пх0) /],
х = e~nt [xQ — az (лг0 + пх0) /];
jc обратится в нуль при
соответствующее значение координаты х будет
Если при этом Хо > 0, то tm > 0, а также хт > 0. Соответ-
Соответствующее движение (первый случай предельного апериодиче-
апериодического движения первого рода) изображено на рис. 258, а. Дру-
Другой случай предельного апериодического движения первого рода
(рис. 258,6) имеем при io < 0, но \хо\> пх0 и,
следовательно, tm > 0, хт < 0. Наконец, при
io < 0 и \хо\<пхо имеем предельное аперио-
апериодическое движение второго рода {tm < 0)
(рис. 258,в).
Пример 91. Гидравлический демпфер.
Разберем движение груза, подвешенного на пружине, при
наличии тормозящего приспособления — демпфера," или
катаракта. Демпфирование может осуществляться различ-
различными механическими, в частности гидравлическими,
электромагнитными (например, вихревыми токами Фуко) и
другими способами. Гидравлический демпфер (рис. 259)
представляет соббй закрытый цилиндр С с поршнем Р,
соединенным жестким стержнем S с телом М. В цилиндр
налита вязкая жидкость; при движении груза и связан-
связанного с ним поршня жидкость перетекает из одной части
цилиндра в другую через перепускные трубки К (которых
может быть несколько) или непосредственно через просвер-
просверленные в поршне отверстия.
Обозначим, как и ранее, через х вертикальное смеще-
смещение тела (груза со стержнем и поршнем) из положения
и
Рис. 259.
равновесия. Поскольку жидкость практически несжимаема, объем ее, прошед-
прошедший сквозь перепускные трубки К за время dt, в течение которого поршень
сместится на расстояние dx, будет равен odx (о — площадь поршня);
следовательно, секундный объемный расход Q через трубки равен
Q-
a dx
¦ GX.
E8)
С другой стороны, секундный объемный расход q через одну трубку или от*
верстие в поршне может быть выражен через разность давлений Др на кон*

§ 98. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 87
цах трубки (или отверстия) и динамический коэффициент вязкости \i жидко-
жидкости по известной формуле Пуазейля *)
E9)
где d — внутренний диаметр трубки (или отверстия), / — ее длина; коэффи-
коэффициент вязкости м- в системе СИ выражается в паскаль-секундах: 1 Па с =
= 1 кг/(м-с). Предполагается, что движение вязкой жидкости в трубке про-
происходит квазистационарно (как бы с постоянной скоростью в каждый мо-
момент времени) и ламинарно. Это предположение справедливо, если длина
трубки или отверстия во много раз превосходит диаметр сечения.
Если z — число перепускных трубок (отверстий), то Q — zq, и, сравни-
сравнивая E9) и E8), получаем
i28gi?L. F0>
Эта же разность давлений будет иметь место между объемами цилиндра,
разделенными поршнем. Силу R, действующую на поршень, определим как
произведение Ар на площадь поршня а. Замечая, что направление этой силы
противоположно направлению движения поршня, находим искомое выраже*
ние проекции силы сопротивления жидкости дзижению поршня в виде
или, вспоминая определение C9) коэффициента сопротивления р,
- F2>
Если через т обозначить массу движущегося тела, включая сюда груз М,
стержень S и поршень Р, то, согласно D2), будем иметь
„ = J_=6iJ^L = ±^rilV; F3)
2/n n md*z mz \ d )
здесь d* — диаметр поршня; в случае наличия отверстий в поршне уменьше-
уменьшением площади поршня за счет этих отверстий пренебрегаем.
Из формулы F3) вытекает, что основное значение для изменения
коэффициента п имеет отношение диаметра поршня к диаметру перепускных
трубок или отверстий. Пользуясь формулой F3), можно рассчитать конструк-
конструкцию демпфера и выбрать жидкость для его заполнения под заданное тормо-
торможение. Пусть, например, число перепускных трубок у демпфера z = 10,
длина каждой из них / = 5 ¦ 10—2 м, отношение d*/d примем равным 10. Из
жидкостей, имеющих сравнительно малую вязкость, выберем толуол с коэффи-
коэффициентом вязкости, приблизительно равным 0,0613-10~2 Па-с при 18°С (вяз-
(вязкость воды при 18 °С равна 0,105-10~2 Па-с).
Подставляя эти числа, получаем
/C> * = 31,3 1/0.
т
*) См., например, Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. —
М.: Наука, 1978, с. 382, формула F3), где а = d/2.

88 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Если, например, т = 10-' кг, бст = Ю~2 м, то k = 31,3 1/с, а п =з
= 0,3651/с; движение будет колебательным. Затухание амплитуд опреде-
определится логарифмическим декрементом E0)
л_ 0,365я
У31,32~0,3652
§ 99. Влияние силы сопротивления, пропорциональной
первой степени скорости, на вынужденные колебания точки
Пренебрегая влиянием сил сопротивления, мы пришли к вы-
выводу, что при резонансе амплитуды вынужденных колебаний
растут пропорционально времени, вследствие чего должно было
бы наступить разрушение системы, как бы ни была мала ампли-
амплитуда попавшей в резонанс гармоники возмущающей силы. Это
противоречие с опытом может быть устранено, если учесть влия-
влияние сил сопротивления; ограничимся рассмотрением сопротивле-
сопротивления, пропорционального первой степени скорости.
Остановимся сначала на случае гармонической возмущаю-
возмущающей силы
Добавляя в левую часть дифференциального уравнения A7)
член 2пх> соответствующий силе сопротивления, пропорциональ-
пропорциональной первой степени скорости, получаем
х + 2пх + k2x = h sin (pt + 6), F4)
где, как и ранее, h = Н/т.
Общее решение этого уравнения представим в виде суммы
общего решения Х\ соответствующего однородного уравнения и
частного решения %2 неоднородного уравнения; Х\ при k > п
представляет свободное затухающее колебание, а при k^.n —
апериодическое движение. Займемся поисками частного реше«
ния Х2\ положим
х2 = D sin {pt + б) + Е cos (pt + 6),
x2 = p[D cos {pt + 6) — E sin {pt + 6I,
x2 = — p2 [D sin (pt + 6) + E cos (pt + 6I.
Подстановка в дифференциальное уравнение F4) дает
(k2D — p2D - 2прЕ) sin (pt + 6) +
+ (k2E — p2E + 2npD) cos (pt + 6) = h sin (pt + 6),
откуда находим два уравнения, определяющих неизвестные D
мЕ:
(k2 — р2) D — 2прЕ = Л, 2npD + (k2 — р2) Е = 0.

§ 99. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 89*
Решив эти уравнения, получим
h (fe2 - р2) 2tiPh
(k2 — р2J + 4п2р2 ' (k2 — р2J + 4я2р2 '
и, следовательно,
, Р2 - Р2) sin (р/ + 6) - 2пр cos (р/ + 6)].
Полагая
2пр
получаем
= a sin (p/ + б — e),
где амплитуда а определяется формулой
a =
"=y J
^ ^
В случае малого сопротивления (k > я) общий интеграл
будет
+ a sin (p/ + б — е),
х = в-л/ (С, cos У/г2 — п2 / + С2 sin <ijk2 — n2
и если при t = 0 х = дго, i = io, то, определив произвольные
постоянные Ci и Сг, найдем
— a<?-nt Г sin (б — e) cos д/&2 — n21 +
ZT? Л + fl sin {t
J
— n2
_ e)e F9)
Первое слагаемое в этом выражении
представляет затухающие свободные колебания, происходящие
вследствие начального отклонения системы от положения рав-
равновесия и сообщения ей начальной скорости. Частота этих коле-
колебаний меньше собственной частоты.

90 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Второе слагаемое
— ae~nt Г sin (б — е) cos <\/k2 — п21 +
— е) + п sin F — е) .
^1L sin
р cos F — е) + п sin F — е) . /то о /1
^1 L sin V* - п l\
представляет затухающие колебания той же частоты, что и сво-
свободные, но возникающие вследствие наличия возмущающей
силы.
Наконец, третье слагаемое
a sin (pt + б -— е)
представляет вынужденные колебания, имеющие частоту возму-
возмущающей силы. Эти колебания происходят с постоянной ампли-
амплитудой, не зависящей от времени, тогда как амплитуды колеба-
колебаний, соответствующих первым двум слагаемым, вследствие на-
наличия показательного множителя e~nt будут более или менее
быстро затухать. Поэтому, ограничиваясь рассмотрением уста-
установившегося режима, т. е. рассматривая движение, установив-
установившееся по истечении достаточно большого промежутка времени
от момента t = 0, к которому отнесено начало движения, мы
можем пренебречь первыми двумя слагаемыми в формуле F9).
Конечно, сказанное относится и к случаю большого сопротив-
сопротивления (п ^ й).
Итак, при установившемся режиме
х = a sin (pt + б — е), G0)
т. е. движение происходит с частотой возмущающей силы и с
некоторым сдвигом относительно силы по фазе.
Займемся исследованием зависимости амплитуды а устано-
установившегося режима от частоты р возмущающей силы. Имеем
hh1
У (/г2 - р2J -f 4д2р2 ~~ k2 VU - (p/kJ] 2 + 4 (n/kJ (p/kJ
Назовем, как и ранее, отношение
а _ 1 __
коэффициентом динамичности (ao — h/k2 — отклонение системы
от положения равновесия под действием постоянной силы Н),
Обозначив отношения
р п
k Z> k V>
получим

§ 99. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 91
Считая v постоянным параметром, построим график зависи-
зависимости Я от z в области z ^ 0.
Максимуму Я соответствует минимум подкоренного выраже-
выражения в знаменателе
Вычисляем производные у по z:
" = — 4+12z2
Находим, что у' = 0 при г — 0 и при z = zm — л/l — 2v2. Если
I _ 2v2 > 0, v < l/V2 « 0,707, т. е. п < 0,707?, то второй ко-
корень действителен; если же л >0,707&, то гт — мнимое число
и у при г > 0 является монотонно возрастающей, а Я — моно-
монотонно убывающей функцией z. Подставляя z2m = 1 — 2v2 в вы-
выражение для у", находим
#" = --4+ 12A -2v2) + 8v2 = 8A -2v2)>0;
так как у" > 0, то z2m = 1 — 2v2 соответствует минимуму у и,
следовательно, максимуму Я. Вычислив этот максимум, получим
<73>
Максимальное значение амплитуды колебаний установив-
установившегося режима получается не при резонансе, а при 2 = zm =
= дЛ—2v2; под резонансом здесь можно понимать как случай
z= 1, т. е. совпадение частот возмущающей силы и свободных
колебаний при отсутствии сопротивления, так и случай z =
= aJ\ —v2, соответствующий совпадению частоты р с частотой
V&2 — n2 = k д/l — ^2 свободных колебаний при наличии сопро-
сопротивления. Следуя установившейся терминологии, сохраним наи-
наименование «резонанс» за первым случаем. Значения коэффи-
коэффициента динамичности X при г=1 nz = <\/1 —v2 соответственно
будут
2v ' V J 2v Vl - 3v2/4 '
конечно, Яг и Я* меньше, чем Ятах; иными словами, при наличии
силы сопротивления имеет место сдвиг максимума амплитуды
в сторону меньшего значения р. Надо, впрочем, отметить, что
при малых сопротивлениях этот сдвиг максимума амплитуды,
равно как и разности Ятах — Яг и Ятах — Я* невелики, как пока*
зано в табл. 2.

92 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНРИНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
Таблица 2
Влияние сопротивления на характерные значения
коэффициента динамичности
V
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
0,50
0,707
0,9975
0,9899
0,9772
0,9695
0,9357
0,9055
0,8246
0,7071
0
^max
10,013
5,025
3,371
2,552
2,065
1,747
1,366
1,155
1,000
10,000
5,000
3,333
2,500
2,000
1,667
1,250
1,000
0,707
к*
10,010
5,019
3,362
2,538
2,049
1,726
1,333
1,102
0,894
Отметим еще, что независимо от значения v Х@) = 1, Х'@) =
= 0 при г = 0; А,(оо) = 0 при г->-оо.
После сказанного нетрудно отдать себе отчет в характере
зависимости Я от z:
а) если v2 > */2, то X монотонно убывает от значения Х@) =
= 1 до К(оо) = 0 (рис. 260).
б) если v2 < 1/2, то А, имеет максимум приг = 2т= -\Л — 2v2,
выраженный тем более резко, чем меньше v. При 0 < z < zm
Рис. 260.
Рис. 261.
(область «малых» частот возмущающей силы) к возрастает от
Я@) = 1 до /*max = l/Bv Vl — v2), а при zm < z < 00 (область
«больших» частот) убывает от Хтах до нуля (рис. 261).
Сдвиг фаз 8 между колебанием при установившемся режиме
и возмущающей силой определяется формулой
. 2пр 2vz
При z = 1 имеем tge = 00, е = я/2, т. е. при резонансе сдвиг
фаз равен я/2; при 2 = 0 и z = 00 также независимо от v

§ 99. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 93
находим е@) = 0, е(оо) = я. Вычислив производную
убеждаемся, что она положительна при любых z и v; е моно-
монотонно возрастает при частотах возмущающей силы, соответ-
соответствующих z <С 1, от нуля до я/2 и при z > 1 —от я/2 до я. При
v = 0 s представляет собой разрывную функцию от z, причем
е = 0 при г< 1 и е = я при z> 1. В табл. 3 даны значения А,
и е при различных v и z.
Таблица 3
Зависимость коэффициента динамичности и сдвига фазы от г и v
2
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,925
0,95
0,975
1,000
1,025
1,05
1,075
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,40
1,50
1,75
2,00
2,50
3,00
4,00
5,00
к
1,00
,01
,04
,10
1,19
1,33
1,56
1,96
2,28
2,78
3,60
5,26
6,95
10,26
20,50
00
19,76
9,76
6,45
4,76
3,11
2,27
1,78
1,45
1,04
0,80
0,49
0,33
0,19
0,125
0,067
0,042
v=
к
,00
,01
,04
ДО
1,19
1,33
1,55
1,94
2,25
2,71
3,44
4,76
5,85
7,33
9,16
10,00
8,73
6,80
5,31
4,22
2,94
2,19
1,74
1,42
1,03
0,80
0,48
0,33
0,19
0,125
0,067
0,042
0,05
е°
0,0
0,6
1,2
1,9
2,8
3,8
5,3
7,8
9,7
12,5
17,0
25,3
32,7
44,1
63,4
90,0
116,5
134,8
145,3
152,3
160,3
164,8
167,4
169,3
171,8
173,2
175,1
176,2
177,2
177,8
178,5
178,9
к
1,00
1,01
1,04
1,10
1,18
1,32
1,54
1,89
2,16
2,53
3,07
3,82
4,27
4,67
4,98
5,00
4,73
4,28
3,77
3,29
2,53
1,99
1,63
1,36
1,00
0,77
0,48
0,33
0,19
0,125
0,067
0,042
,10
е°
0,0
1,3
2,4
3,7
5,4
7,6
10,6
15,4
18,9
23,9
31,4
43,5
52,2
62,7
75,9
90,0
104,0
116,5
125,8
133,7
144,8
151,4
156,0
159,4
163,9
166,5
171,5
172,4
174,5
175,7
177,0
177,6
к
1,00
1,01
1,04
1,10
1,18
1,30
1,50
1,82
2,03
2,31
2,65
3,03
3,20
3,30
3,36
3,33
3,20
3,02
2,80
2,55
2,17
1,76
1,48
1,26
0,96
0,75
0,47
0,33
0,19
0,123
0,066
0,042
)Д5
8°
0,0
1,9
3,6
5,6
8,1
11,3
15,7
22,4
27,2
33,7
42,5
55,0
62,5
71,0
80,5
90,0
99,4
108,3
115,7
122,3
133,0
140,6
146,3
150,5
156,4
160,2
166,7
168,7
171,9
173,5
175,5
176,4
к
1,00
1,01
1,04
1,09
1,17
1,29
1,46
1,72
1,88
2,08
2,28
2,46
2,52
2,55
2,55
2,50
2,42
2,31
2,19
2,05
1,78
1,54
1,33
1,16
0,90
0,72
0,45
0,32
0,19
0,123
0,065
0,042
),20
8°
0,0
2,5
4,7
7,5
10,8
15,0
20,6
28,8
34,4
41,7
50,8
62,2
68,7
75,5
82,9
90,0
97,1
103,9
109,8
115,5
125,4
132,5
138,2
143,0
149,7
154,3
161,3
165,0
169,2
171,5
174,0
175,3
v=0,25
к
1,00
1,01
1,04
1,09
1,16
1,26
1,41
1,62
1,72
1,86
1,98
2,05
2,07
2,06
2,04
2,00
1,94
1,87
1,79
1,70
1,52
1,36
1,19
1,06
0,84
0,69
0,45
0,32
0,18
0,123
0,066
0,042
8°
0,0
2,9
5,9
13,4
18,5
25,2
34,5
40,6
48,0
56,8
67,2
72,7
78,3
84,2
90,0
95,6
101 1
106,2
110,8
119,3
126,3
132,0
136,7
143,8
149,0
157,0
161,6
166,6
169,5
172,3
174,0
На рис. 262 и 263 приведены графики зависимости X и е от z
Для различных v. Табл. 3 и графики показывают, что в случае

94
ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
малых сопротивлений в области, достаточно удаленной от ре-
резонанса, значения К весьма мало зависят от v. Это позволяет
при малом сопротивлении и при г, значительно отличающемся
от 1, не учитывать влияния сопротивления на амплитуды вьь
нужденных колебаний.
1 1 1 I I I I I I I t I » I м 1 1 I м 1 I I I м м I 1 м
0,15 0.5 0,75 1,0 i4l5 15 1,75 1,0 1,15 1,5 г
Рис. 262.
Во многих приложениях (см., в частности, приводимый ниже
пример 92 расчета вибрографа) амплитуда И возмущающей
силы оказывается пропорциональной квадрату частоты р:
Обозначая К/т = Ль получаем для амплитуды колебаний
установившегося режима вместо G1) и G2) выражение
а'

§ 99. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Графики отношения
95
— = Х = %?2 = — г< G4}
hi V(l - z2J + 4v2z2 V '
для различных v в зависимости от z представлены на рис. 264.
Числа, показанные на отдельных кривых, дают отношение двух*
1,5
Рис. 263.
последовательных размахов при свободных колебаниях, т. е. ве-
величину, обозначенную в § 98 через ц и связанную, согласно
E0), с логарифмическим декрементом Д и с v соотношениями
A = lnr! = —?=-. G5)
В общем случае периодической силы F(t) представляем ее
рядом Фурье
оо
F М^Л, Ha&ln{spt + 6J
4=1

ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ

§ 99. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 97
и при установившемся режиме получаем
V A -
X 6s-8s), G6)
где fts = Hs/rtiy а сдвиг фаз es s-й гармоники вынужденного
колебания относительно той же гармоники возмущающей силы
определяется формулой
2szv
Вычисление %s и tges можно производить по приведенным
выше формулам и таблицам.
При равенстве частоты свободных колебаний целому крат-
кратному sp (s = 1, 2, 3, ...) частоты р возмущающей силы имеется
резонанс соответствующего порядка. Амплитуда какой-либо
гармоники вынужденного колебания будет максимальной не при
резонансе, а при k = sp дЛ—2v2, что при малых v, впрочем>
мало отличается от 5р. При большом сопротивлении (v > 0,707)
понятие резонанса теряет смысл, так как все Xs (s= 1, 2, ...)
монотонно убывают при возрастании р.
Пример 92. Виброграф, снабженный затуханием, установлен на плат-
платформе, совершающей периодическое колебательное движение в вертикальном
направлении. Определить, с каким искажением записываются отдельные гар-
гармонические составляющие колебательного движения платформы при условии,
что затухание прибора доведено до границы апериодичности.
Предположим сначала, что платформа колеблется по гармоническому
закону
l
Уравнение движения груза относительно платформы будет
х + 2пх + k2x == ар2 sin pt
(я — вертикальное перемещение груза относительно платформы).
При установившемся режиме по формуле G4) имеем
ар2 sin (pt — e) z2 - , * х
х = r = = —¦ a sin (pt — e).
~ р2J
р2J
На границе апериодичности v = I и, следовательно,
z
2
z
X = 1+Z2 « Sin {pt — 8),
г. е. виброграф записывает амплитуду колебаний платформы с искажением,
z2 1
4 Л. Г4 Лойцянский, А. И. Лурье

98 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
и со сдвигом фазы, определяемым формулой
2z
В случае произвольного периодического движения платформы
со
gn = 2 as sin
при установившемся движении груза и при v = 1 получим
со
1
sin
Искажение амплитуды отдельных гармоник записываемого колебатель-
колебательного движения здесь различно; однако если взять z достаточно большим, на-
например z == 5, то уже для второй гармоники
0,12-Ы
«0,99
и искажением ее амплитуды можно пренебречь. Сдвиг фаз es при больших z
для гармоник высших порядков мало отличается от 180е; например, при
2 = 5 имеем е2 = 180° — 11°, е3 == 180° — 7° и т. д.
Здесь подтверждается указанный выше факт: для записи колебаний фун-
фундаментов, машин, платформ и т. п. при помощи упруго связанного с ними
груза выгодно применение приборов с малой частотой свободных колебаний.
§ 100. Свободные колебания точки при наличии
кулонова трения
Рассмотрим движение тела М (рис. 265), способного пере-
перемещаться по горизонтальной шероховатой плоскости и находя-
находящегося под действием
двух пружин АВ и А\В\.
При движении тела в
горизонтальном направ-
направлении (вдоль оси Ох) к
нему будут приложены,
во-первых, восстанавли-
265- вающая сила F пружин,
проекция которой на ось
Ох равна (—сх), во-вторых, сила трения #, равная по величине
произведению коэффициента трения / на нормальную реакцию
плоскости N; в рассматриваемом случае реакция N равна силе
тяжести тела G = mg. Так как сила R всегда направлена проти-
противоположно скорости (рис. 265), то, вводя для обозначения знака
какой-либо величины а символ sign а k(signcx=+l при а>0

§ 100. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 99
и sign а = —1 при а < 0), можно написать
Rx = — fN sign x = — fmg sign x9
т. e. Rx = —fmg при х>0и^ = fmg при х < 0.
Уравнение движения имеет вид
тх + сх = — fmg sign л:. G8)
При л: = 0 сила трения не должна превосходить предельной
величины силы трения покоя f\N, где f\ — коэффициент трения
покоя (f<f\).
Переходя к интегрированию уравнения движения G8), заме-
заметим, что наличие в правой его части разрывной функции, ме-
меняющей в точке х = 0 свой знак на противоположный, т. е. пре-
претерпевающей конечный скачок на величину 2/G, заставляет вести
интегрирование в пределах каждого размаха отдельно. Кулоново
трение представляет собой пример сопротивления с нелинейным
законом зависимости от скорости движения.
Рассмотрим последовательные этапы колебаний тела М, на-
начиная с момента / = 0, в который х = Хо, а х = 0. Движение
начнется, если реакция пружин, возвращающая тело в положе-
положение равновесия, будет по величине больше силы трения покоя:
Будем предполагать, что это неравенство имеет место, т. е.
что тело достаточно удалено от положения равновесия. Пусть
Хо > 0; движение начнется в сторону отрицательной оси Ох,
signx =—1. Уравнение движения G5) будет при этом иметь
вид
или х + k2x = fg, (80)
х = — k (хо — -|§-) sin kt. (82)
где k2 = cfm. Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий ука-
указанным выше начальным условиям, будет
откуда найдем
Проекция скорости х остается отрицательной, пока si,
т. е. при 0 < t < n/k. В момент t=t\= n/k величина х обра-
обращается в нуль, меняя свой знак; в этот момент времени значе-
значение х будет
х\ = х ih) = — *о + 2 -?2-,
4*

100 ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
и движение не прекратится, если [см. неравенство G9)]
c\xi\>flmg, т. е. г| — Хо + Щ-\>!\™?
или, замечая, что mg/c == g/k2,
g|-^-. 183)
Предположим, что это неравенство выполняется; в таком
случае должно быть х\ = —xq + 2fg/k2 < 0. Действительно, в
противном случае мы имели бы |xi| = xi и, согласно (83),
т.е.
Если заменить здесь Хо величиной, заведомо меньшей ее [см.
G9)], то это неравенство усилится:
что неверно, так как fi > f. Итак, х\ < 0, и движение в момент
U начнется в положительную сторону оси Ох, т. е. при t > t\
в течение некоторого промежутка времени х > 0, signi=+l-
Уравнение движения G8) примет вид
x + k2x = ~fg, (84)
причем начальные условия будут таковы: при t = t\ x=s*b
Как и выше, получим
или, подставляя значения t\ и jci:
*=_i§-_(^L_*0)cos&, (85)
откуда найдем
Bjf) (86)
Так как х\ < 0, то по (83)
хо — k2 ^ k2 ' ° k2 * k2 '
я поскольку /i > /, то тем более х0 — 3fg/k2 > 0. Поэтому при
t\ < t < 2я/й будет х > 0. В момент /2 = 2n/k величина sin kt,
а следовательно, к обращается в нуль. В этот момент
*2-*tt)-*b-Ti?. (87)

§ 100. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 101
Движение не прекратится, если (см. выше)
Если это неравенство выполняется, то, как и выше, можно
доказать, что х2 > 0, а следовательно, скорость х в момент t2
изменит знак и в течение некоторого промежутка времени будем
иметь sign л; =—1. Мы снова возвращаемся к дифференциаль-
дифференциальному уравнению (80) с новыми начальными условиями: при
t = t2 х = х2 > 0, х = 0.
Итак, максимальные по абсолютной величине последователь-
последовательные отклонения от положения равновесия будут
хо> Х\ = — Хо -\ р- , Х2 = Xq ?2" ,
у — y 4- 6fg г —( IVх (У 2nfg}
а соответствующие им моменты остановок тела
/п п о п П
Каждое последующее отклонение по абсолютной величине
на 2fg/k2 меньше предыдущего. Промежуток времени между
моментами двух остановок по одну сторону от положения рав-
равновесия равен
т — / / — 2К
т. е. периоду колебаний при отсутствии силы трения. Итак, сила
трения не влияет на период колебания; последовательные откло-
отклонения уменьшаются в арифметической прогрессии на величину
2{g/k2 за полупериод. При некотором п отклонение хп должно
стать по абсолютной величине меньше f\g/k2 и в соответствую-
соответствующий момент времени tn движение прекратится, так как реакция
пружин окажется меньше, чем сила трения покоя. Поэтому рас-
рассматриваемые колебания являются останавливающимися.
В качестве примера построим график движения (рис. 266)
при следующих условиях:
Т = 2 с, х0 = 4,6 . 10~2 м, f = 0,005, f{ = 0,007.
Получим
fg fgT2 0,005» 98Ь 4 л- 1Л-2 hg n- 1П-2
"F^liF^ 5P «0,5-10 м, ^«0,7-10 м.

102
ГЛ. XXI. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
За полупериод колебания амплитуды уменьшаются на 10~2 м-
Находим
х0 = 4,6 • 1(Г2 м, х{ = (- 4,6 + 1) • КГ2
3,6 • 1(Г2 м,
= 2,6- 10~2 м,
10 =
~2
= (- 4,6 +
= —1,6. 10
Все эти отклонения по абсолютной величине больше 0,7, по-
этому движение будет продолжаться; но в момент времени
f = /4 = 4 с
мы уже получим
хА= D,6 - 4) • 1(Г2 = 0,6 • 10~2 < -§?
и движение прекратится. Назовем «мертвой зоной» заштрихо-
заштрихованную на рис. 266 область шириной 2f\g/k2. Если скорость
Рис. 266.
обращается в нуль во время прохождения «мертвой зоны», то
тело останавливается и движение далее не происходит.
Согласно (81) график движения в промежутке времени
0 <; t <C h представляет собой отрезок косинусоиды амплитуды
4,1 «10~2 м; осью косинусоиды является прямая / — /, парал-
параллельная оси абсцисс и проведенная на расстоянии fg/k2 =
s=0,5«10-2 м от нее; в интервале U < t < t2 имеем отрезок коси-
косинусоиды амплитуды 3,1 -10~2 м, причем осью является прямая
// — //, проведенная снизу от оси абсцисс на том же расстоянии,
и т. д. (рис. 266). В момент времени t = t$ = 4 с вершина соот-
соответствующей косинусоиды окажется внутри «мертвой зоны», и

§ 100. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 103
точка останется в покое, т. е. график движения при / > *4 пред-
представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.
Вершины косинусоид xq, х2у Ха и т. д. должны лежать на
одной прямой; если это свойство можно заметить на заснятой
диаграмме свободных колебаний, то причиной уменьшения раз-
махов является кулоново трение.
В настоящей главе мы имели дело с прямолинейными коле-
колебаниями материальной точки, причем такими, которые описы-
описываются линейными дифференциальными уравнениями. Такие
колебания называют линейными. Они наиболее просты с мате-
математической стороны и поэтому вынесены в начало этого тома.
(В некотором роде исключением является случай прямолиней-
прямолинейных колебаний при наличии кулонова трения, которые следует
отнести к нелинейным колебаниям, описываемым кусочно-линей-
кусочно-линейными уравнениями.) Более сложные случаи колебаний системы
материальных точек и абсолютно твердых тел, как линейных,
так и нелинейных, будут рассмотрены в шестом отделе курса
<гл. XXXII—XXXIV),

Отдел четвертый
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Глава XXII
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ 101. Предварительные замечания об общих теоремах
динамики
Задача об интегрировании дифференциальных уравнений
движения материальной точки, представляющая даже в случае
одной точки некоторые трудности, становится подчас непосиль-
непосильной, когда приходится иметь дело с движением системы мате-
материальных точек. Силы, приложенные к отдельным точкам си*
стемы, могут зависеть от положения и движения остальных
точек системы, так что правые части дифференциальных урав-
уравнений, написанных для каждой точки в отдельности, будут со-
содержать время, координаты и проекции скорости всех точек
системы. В результате вопрос сводится к интегрированию си-
стемы дифференциальных уравнений, что далеко не просто.
Если по существу поставленной задачи необходимо изучить
движение каждой точки системы в отдельности, то полное инте-
интегрирование уравнений движения системы точек, приводящее к
определению координат точек системы в зависимости от вре-
времени, неизбежно. Таковы, например, задачи о движении двух,
трех или нескольких тяготеющих друг к другу тел в небесной
механике. В других случаях оказывается достаточным опреде-
определить изменение некоторых суммарных мер движения системы
в целом (количества движения, момента количества движения,
кинетической энергии) в зависимости от суммарных мер дейст-
действия сил (главный вектор и главный момент приложенных сил,
работа сил, потенциальная энергия).
Такого рода соотношения между изменениями во времени
суммарных мер движения системы материальных точек и сум-
суммарными мерами действия приложенных к точкам совокупности
сил выражают общие теоремы динамики системы материальных
точек, применяемые как для отдельных точек и их систем, так
и для сплошных сред.
Общие теоремы динамики могут быть выведены из диффе-
дифференциальных уравнений движения как в дифференциальной, так
й в конечной (интегральной) формах.

§ 101. ОБ ОБЩИХ ТЕОРЕМАХ ДИНАМИКИ 105
К числу общих теорем динамики относятся: теорема об изме-
изменении количества движения с ее модификациями — теоремой
импульсов и теоремой о движении центра масс, теорема об из-
изменении момента количеств движения, сводящаяся в частном
случае центральных сил к теореме площадей, а также теорема
об изменении кинетической энергии (теорема живых сил), при
консервативности сил (см. ниже) выражающая закон сохране-
сохранения механической энергии.
В основе вывода первых двух общих теорем динамики — ко-
количества движения и момента количества движения — лежит
идея выделения из всех сил, приложенных к системе, внутренних
сил взаимодействия между материальными точками системы.
Внутренние силы в своей совокупности не могут влиять на такие
суммарные меры движения, как главный вектор и главный мо-
момент количеств движения точек системы. Только внешние силы,
действующие на точки системы со стороны внешних тел, не при-
принадлежащих к рассматриваемой системе, могут изменять глав-
главный вектор и главный момент количеств движения системы.
В использовании этого свойства внутренних сил, представляю-
представляющего собой одно из важнейших следствий третьего закона
Ньютона, заключается главное значение двух первых общих
теорем динамики.
Теорема об изменении кинетической энергии устанавливает
связь между изменением основной меры движения системы ма-
материальных точек — кинетической энергии — и мерой действия
сил на протяжении путей движения точек системы — работой
¦сил; для широкого класса сил, носящих наименование консерва-
консервативных, работа может быть выражена как изменение потен-
потенциальной энергии. Таким образом, в круг вопросов механики
вводится понятие энергии. Значение этого понятия состоит в
том, что им определяется единая физическая величина, прояв-
проявляющаяся в различных физических явлениях и, таким образом,
•связывающая их между собой. Понятие энергии объединяет ме-
механику с термодинамикой, с учением об электрических явле-
явлениях и т. п. Преобразование механической энергии в другие
формы энергии и обратное преобразование этих форм в механи-
механическую энергию представляет важную задачу современной
техники.
В отличие от изменения количества движения и момента ко-
количества движения изменение кинетической энергии материаль-
материальной системы зависит от работы как внешних, так и внутренних
сил. Однако и в этом случае выделение класса внутренних сил
оказывается полезным, так как, например, в случае движения
абсолютно твердого тела или системы абсолютно твердых тел
работа внутренних сил равна нулю, а в случае сплошной среды

106 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
она позволяет судить о потерях механической энергии за счет
внутреннего трения.
Применением общих теорем динамики можно удовольство-
удовольствоваться лишь при изучении наиболее простых движений систем
или при рассмотрении лишь какой-либо одной стороны сложных
движений. Исчерпывающие сведения о движении системы может
дать только полное интегрирование дифференциальных уравне-
уравнений ее движения.
§ 102. Теорема об изменении количества движения
системы материальных точек
Положение системы материальных точек Mi (i = 1, 2, ...,n)
будем определять вектор-радиусами rt этих точек относительна
неподвижного начала координат О; скорости и ускорения точек
системы обозначим соответственно через
Vi = Ti И «;? = г>? = Г?.
Тела, не включаемые в рассматриваемую систему, назовем
внешними по отношению к системе. Такое разделение тел на
входящие в систему и не входящие в нее зависит от способа
рассмотрения. Мы можем (и в дальнейшем будем так неодно-
неоднократно поступать) то включать некоторые тела в данную си*
стему, то исключать их из этой системы.
Таким образом, силы, приложенные к данной системе, мьг
разбиваем на две категории: 1) внутренние силы — силы взаи-
взаимодействия материальных точек, входящих в данную систему, и
2) внешние силы — силы взаимодействия системы с телами,,
внешними по отношению к системе. Так, например, если рас-
рассматривать поезд как одну систему, то внутренними силами
будут упругие силы, возникающие в тягах и в буферах, силы
давления груза на пол вагона, силы трения в осях; внешними си-
силами будут реакции рельсов, силы трения между колесами и
рельсами, сопротивление воздуха.
Обозначим равнодействующую всех внешних сил, приложен-
приложенных к точке Mi, через F*, а всех внутренних — через FU тогда
дифференциальные уравнения движения системы материальных
точек могут быть представлены совокупностью основных урав-
уравнений динамики для отдельных точек системы
Рг + Р'1 (/=1,2, ..., п) A)
или в проекциях на оси неподвижной (или инерциальной) де-
декартовой системы координат
= Fix + F'iX, rtiiiji = Fiy + Fiy,
Fu + F'u (i=lt 2, ..., n). ll

§ 102. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТОЧЕК 107
Проекции Fix, Fiyy Fu равнодействующей внешних сил, при-
приложенных к i-й точке, так же как и проекции F'iXi F\y, F\z рав-
равнодействующей внутренних сил, представляют собой заданные
функции времени, координат и проекций скоростей не только
i-й, но и в общем случае всех точек системы. Таким образом,
уравнения B) образуют систему Ъп обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений второго порядка с Ъп неизвестными величи-
величинами хи Уи zi, которые должны быть определены как функции
времени. Начальные условия, необходимые для определения
произвольных постоянных интегрирования, представляют сово-
совокупность начальных условий для каждой точки системы в от-
отдельности. Оставляя пока в стороне вопрос об интегрировании
уравнений B), займемся применением этих уравнений к выводу
первой основной теоремы динамики — теоремы об изменении ко-
количества движения системы.
Вывод теоремы об изменении количества движения системы,
или, как ее кратко называют, теоремы количества движения,
основан на идее исключения внутренних сил из дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения системы материальных точек A).
Пользуясь третьим законом Ньютона о равенстве действия и
противодействия, можно утверждать, что главный вектор вну-
внутренних сил V равен нулю:
V = t F\ = 0. C)
Действительно, для определения главного вектора внутрен-
внутренних сил мы должны сложить все силы взаимодействия между
точками рассматриваемой системы. Но каждому действию, при-
приложенному к одной точке от другой, соответствует равное по ве-
величине и противоположно направленное противодействие, прило-
приложенное ко второй точке от первой. При сложении этих действий
и противодействий в один главный вектор они все попарно
уничтожаются, что и приведет к равенству C).
Просуммируем теперь уравнения A) по всем точкам си-
системы:
? m,w, = E Ft + t П D)
i l i l l
В силу уравнения C) второе слагаемое в правой части этого
равенства обращается в нуль. Векторная сумма
t/i^V E)
представляет собой главный вектор внешних сил. Заметим, что
эту сумму внешних сил, приложенных к различным точкам

108 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
системы, выражаемую одним вектором — главным вектором
внешних сил, — нельзя рассматривать как равнодействующую
внешних сил. В случае системы отдельных материальных точек
движущихся одна относительно другой, само понятие равно-
равнодействующей лишено смысла.
Уравнение D) на основании C) и E) принимает вид
tmi*>i = V. F)
Вспоминая еще, что
dvt
перепишем уравнение F) в форме
V. G)
Вектор <7, равный по величине произведению массы m ма-
материальной точки на вектор скорости v и имеющий направление
скорости, называется количеством движения точки:
q = mv. (8)
Количество движения измеряется в кг-м-с-1.
Главный вектор Q количеств движения точек системы, рав-
равный
п п
Q=Eflr<=E'"<»b (9)
называют количеством движения системы; его проекции на оси
неподвижной декартовой системы координат будут
Из равенств E), G) и (9) следует, что
Это соотношение выражает теорему количества
движения:
Векторная производная по времени от количества движения
системы равна главному вектору внешних сил, приложенных к
системе.

§ 102. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТОЧЕК 109
Равенство нулю главного вектора внутренних сил приводит
к заключению, что внутренние силы не могут влиять на измене-
изменение количества движения системы.
Проектируя векторное равенство A1) на неподвижные оси
декартовой системы координат, получаем систему трех равенств
dOx dQu dQz
ХУ dt У dt г*
у у Jll
dt ХУ dt У dt
Предположим, что внешние силы, приложенные к системе,
таковы, что проекция их главного вектора на одну из осей ко-
координат равна нулю. Тогда, как это сразу следует из равенств
A2), проекция вектора количества движения системы на ту же
ось будет во все время движения сохранять постоянную вели-
величину. Это предложение называют законом сохранения проекции
количества движения системы.
Если главный вектор внешних сил равен нулю, т. е. система
изолирована от воздействий внешних по отношению к ней тел,
то количество движения системы будет сохраняться во времени
как по величине, так и по направлению. В этом заключается за-
закон сохранения количества движения.
Поясним закон сохранения количества движения простым
примером. Рассмотрим систему «орудие — снаряд», причем для
простоты будем пренебрегать массой пороховых газов, обра-
образующихся при выстреле. Пусть тело орудия имеет массу гаОр,
снаряд — массу mCH. Будем предполагать, что конструкция ла-
лафета такова, что ствол расположен горизонтально и откат его
происходит также в горизонтальном направлении. Примем ось
ствола в направлении выстрела за ось Ох\ тогда силы тяжести
не дают проекций на эту ось, точно так же, как и опорные реак-
реакции лафета, если пренебречь трением ствола в направляющих и
реакцией гидротормоза, возникающими при откате орудия. При
этих условиях, применяя закон сохранения количества движе-
движения в проекции на ось Ох и обозначая соответственно через с;ор
и vCH абсолютные величины скоростей орудия и снаряда после
выстрела, будем иметь
— "Wop + mCHuCH = const.
Для определения постоянной заметим, что до выстрела и орудие
и снаряд были в покое, так что
— ^ор^ор + mCHi>CH = 0.
Отсюда следует простое соотношение между скоростью вылета
снаряда и скоростью отката орудия в момент непосредствен-
непосредственно за выстрелом (в дальнейшем скорость отката уменьшается

ПО ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
благодаря трению и действию гидротормоза):
*>сн • ^ор = wOp : mCH,
т. е. обратная пропорциональность этих скоростей массам ору-
орудия и снаряда.
§ 103. Динамика точки переменной массы
Под словом «точка» в дальнейшем, как и выше, понимается
тело, кинематическими элементами вращательного движения
которого при рассмотрении данного вопроса можно пренебречь
по сравнению с кинематическими элементами его поступатель-
поступательного движения. Точка переменной массы — это тело, некоторая
часть массы которого в процессе движения отделяется от него
или, наоборот, к массе которого присоединяются новые массы.
Примерами могут служить ракетный снаряд, отбрасывающий
продукты сгорания топлива, самолет, сбрасывающий бомбовую
нагрузку, привязной аэростат, поднимающий канат, все новые
части которого включаются в движение, плавающая льдина,
масса которой возрастает вследствие намерзания или убывает
вследствие таяния, и многое другое.
Динамика точки переменной массы представляет собой раз-
раздел общей динамики постоянной массы. Следует заметить, что
излагаемый в настоящем параграфе метод расчета реактивных
движений никак не связан с изучаемым в релятивистской меха-
механике изменением массы при движении со скоростями, близкими
к скоростям света (см. гл. XXXI). Являясь лишь своеобразной
интерпретацией классических методов механики постоянной мас-
массы, метод механики переменной массы получил свое развитие
и широкое распространение главным образом благодаря своим
важным применениям к расчету реактивных движений.
Следуя одному из основоположников динамики переменной
массы И. В. Мещерскому*), будем в дальнейшем предполагать,
что «... к системе непрерывно присоединяются частицы беско-
бесконечно малых масс таким образом, что скорости точек системы
изменяются непрерывно, тогда как скорости частиц в момент
их присоединения к системе изменяются на конечные величины».
Рассмотрим в момент времени t две точки: одну массы m(t)>
имеющую абсолютную скорость v, другую массы dm(t) с абсо-
абсолютной скоростью и; в дальнейшем принимается, что масса
*) И. В. Мещерский A859—1935) — профессор механики Ленинградского
политехнического института. Его научная и педагогическая деятельность оста-
оставила глубокий след в развитии теоретической механики и в деле преподава-
преподавания ее в нашей стране. Цитируемое сочинение И. В. Мещерского «Динамика
точки переменной массы», опубликованное и 1897 г., вышло новым изданием
в серии «Классики естествознания». — М.: Гостехиздат, 1949.

§ 103. ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ Ш
m(t) представляет непрерывную дифференцируемую функцию
времени. В момент времени / + dt эти две точки образуют одну
точку массы т + dm (в случае присоединяющейся массы dm>0,
в случае отделяющейся массы dm <C 0), скорость которой равна
v + dv. Применим теорему количества движения к системе, со-
состоящей из этих двух точек. В момент t количество движения
равно
mv + u dm,
а в момент t + dt
Приращение количества движения за время dt будет
mdv + dm (v — а),
и, следовательно, переходя к производной количества движения
системы по времени и обозначая через F равнодействующую
внешних сил, приложенных к точке с конечной массой, получаем
Вектор
н — v = c A4)
представляет собой относительную скорость присоединяющейся
массы.
Вектор
назовем реактивной силой. Уравнение A3) может быть запи-
записано в виде
тчг = р + ф- 06)
Это — основное уравнение динамики точки пере-
переменной массы. Оно выражает, что уравнение движения точки
переменной массы приводится к виду уравнения движения точки
постоянной массы, если к приложенным к точке силам присоеди-
присоединить реактивную силу*).
*) Уравнение это по справедливости приписывается И. В. Мещерскому,
который не только дал строгий его вывод, но и решил с его помощью ряд
интересных задач. Исследования Г. К. Михайлова, изложенные в его доктор-
докторской диссертации (Развитие основ динамики системы переменного сосгава и
теории реактивного движения. — М.: 1977), показали, что аналогичное урав-
уравнение впервые было установлено чешским ученым Г. Букуа A781—1851) б
работах 1812—1814 гг.

112 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Если абсолютная скорость присоединяющейся массы равна
нулю (и = 0), то уравнение A3) преобразуется к виду
Если обращается в нуль относительная скорость с присоеди-
присоединяющейся массы, то Ф = 0 и уравнение A6) принимает обыч-
обычную форму уравнения движения точки постоянной массы
dv
Надо, конечно, иметь в виду, что во всех этих уравнениях т
не является постоянной величиной, а зависит от времени как
явно, так и неявно через посредство величин, определяющих по-
положение или движение точки (координат, скорости). Если, на-
например, т = 1(ху х, t), то
dm dm , dm . _. dm ..
dt ~ dt "^ ~dT X ~t*"W X'
В качестве иллюстрации применения уравнения A6) рас-
рассмотрим поступательное движение ракетного снаряда, причем
отвлечемся от влияния сил
тяжести и сопротивления
воздуха. Обозначим через
тк постоянную массу корпу-
корпуса / (рис. 267), через тТ пе-
Рис 267. ременную массу топлива //
и, наконец, через М =
— —dmT/dt массовый расход газов, проходящих через выхлоп-
выхлопное отверстие сопла ///. Будем предполагать, что скорость исте-
истечения газов постоянна и равна с. Согласно A6) уравнение дви-
движения ракеты будет
( _L \ dv dmT
V к "Т i> (it dt
Проектируя на ось Ох и замечая, что vx = v, cx = —с, находим
( J_ \ dv dmT
откуда, умножая на dt и интегрируя, получаем
т„
где положено, что при / = 0 mT==mJ и v — 0<

§ 103. ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ ИЗ
В конце горения тт = 0; обозначая скорость в этот момент
через vu получим первую формулу Циолковского*)
Пример 93. Составить уравнение движения аэростата, поднимающегося
вертикально вверх и непрерывно сбрасывающего балласт с постоянной отно-
относительной скоростью. При каком законе изменения массы балласта подъем
аэростата будет равномерным?
Действующие на аэростат силы суть: сила тяжести mg, подъемная архи-
архимедова сила Q, равная весу вытесненного объема воздуха, и сила сопротив-
сопротивления, которую примем пропорциональной квадрату скорости. Относитель-
Относительная скорость с сбрасываемого балласта направлена вниз, поэтому ее проек-
проекция на направление восходящей вертикали (оси Oz) равна (—с). По основ-
основному уравнению A6) получаем
Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно г, в ко-
котором m — функция времени (уравнение Риккати), не интегрируется эле-
элементарно. Обратимся к рассмотрению частной задачи об условиях равномер-
равномерного подъема. Пусть z = Vo = const; тогда предыдущее уравнение приведется
к виду
или
cdm dt
Q — kvQ — mg
После интегрирования получим
1п(р-Ц-/ив)-1пС-^-.
Произвольную постоянную С находим по условию: т = т0 при ^ = 0; бу-
будем иметь
m
Обозначим через М постоянную массу снаряжения, а через \л — переменную
массу балласта; предыдущее выражение примет вид
М + ц,С"^ A - в-вЧс) + щ + noje-e'/e. A8)
Предположим, что весь балласт будет сброшен по истечении достаточно боль-
большого промежутка времени, когда практически можно будет считать e~etfG
равным нулю (при t-^oo ji-^O). Получаем соотношение
м
*) К. Э. Циолковский A857—1935)—выдающийся русский изобрета-
изобретатель и исследователь в области реактивного движения. (Вторая формула
Циолковского соответствует вертикальному старту ракеты с учетом действия
постоянной силы тяжести.)

114 ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
выражающее условие равновесия сил веса снаряжения, силы сопротивления
воздуха и подъемной силы аэростата Условие A8) принимает вид
т. е. масса балласта должна уменьшаться по показательному закону.
Пример 94. Вывести закон движения тяжелой цепи, конец которой све-
свешивается с горизонтального стола, тогда как не вступившая еще в движение
часть цепи свернута в клубок у самого края стола. (Эта задача была рас-
рассмотрена английским математиком Кзйли в 1857 г.)
Пусть х обозначает длину свешивающейся и движущейся части цепи;
присоединяющаяся масса — это масса того элемента цепи dx. который всту-
вступает в движение в момент t; его абсолютная скорость в момент присоедине-
присоединения к движущейся части цепи становится равной общей скорости х этой ча-
части, а непосредственно до этого момента была равна нулю
Итак, в данном случае (р — масса единицы длины цепи)
т = рх, и = О, F = pgx, (v — и) —-7Т- = pi2
и уравнение A3) приводится к следующему:
рхх + рх2 = pgxt или хх~ gx — х2. A9)
Легко найти первый интеграл этого уравнения. Имеем
- — J^?.— ^L • — JL_fL_ / -2\ _ \ dz __ -2
х~~ dt ~~ dx X~~ 2 dx {X }~~ 2 dx' z — x>
так что предыдущее уравнение становится линейным уравнением первого
порядка
1 dz .
общий интеграл которого будет
Примем в качестве начальных условий: при / = 0 # = (), х = 0; тогда
из последнего равенства следует, что С = 0. Получим
dx /2 dx , ~
-= Л/ — ? dt
и после вторичного интегрирования найдем
— /~2
2-ух =А -тгё t, или
\ о
Полученное решение не единственно; тем же начальным условиям и диф-
дифференциальному уравнению A9) можно удовлетворить, полагая х s~ 0. В об-
обсуждение этого на первый взгляд парадоксального для задач динамики ре-
результата мы подробнее вдаваться не будем, укажем лишь, что полученный
результат не противоречит сказанному в § 87 об единственности решения за-
задачи типа Коши. Точка t = 0, х = 0 является особой точкой, так как в ней
обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении A9).
В этой точке ускорение неопределенно: нетривиальному решению х = gt2/Q
при / = 0 соответствует, как легко убедиться, ускорение х0 = gjS, в то время
как решение х = 0 дает х'о = 0.

§ 104. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ ТОЧЕК 115
§ 104. Теорема о движении центра масс
системы материальных точек
Рассмотрим систему п материальных точек с вектор-радиу-
вектор-радиусами ti и массами ти Сумму
п
М = ? mt
назовем массой системы точек.
По аналогии с понятием о центре тяжести твердого тела
(§ 26) введем в рассмотрение точку С с вектор-радиусом
или в декартовых координатах
п п
z°=ж Z
п
У
tXi> Ус=ж
/=1 t=l 1=1
и назовем эту точку центром масс системы материальных точек.
Понятие центра масс является более общим, чем понятие
центра тяжести: в отличие от понятия центра тяжести понятие
центра масс не связано с наличием однородного гравитацион-
гравитационного поля.
Взяв производную по времени от обеих частей равенства
420), определяющего вектор-радиус центра масс, получим
п п
Z Щи = Z WiVi = Q = Mr с = Mvc, B2)
i=l ?=1
откуда следует, что количество движения системы материальных
точек равно произведению массы системы на скорость движения
ее центра масс, или, иными словами, количеству движения цен-
тра масс, в котором предположена сосредоточенной вся масса
системы.
Дифференцируя B2) еще раз по времени и вспоминая тео-
теорему количества движения A1), будем иметь
Mwc = M?c = V=tFi. B3)
Уравнение это можно рассматривать как основное уравнение
динамики точки — центра масс С системы, — если в этой точке

116 ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
считать сосредоточенной массу М и к ней приложенной силу
V — главный вектор внешних сил. Отсюда вытекает теорема
о движении центра масс:
Центр масс системы двшюется как точка, в которой сосредо-
сосредоточена вся масса системы и к которой приложен главный вектор
внешних сил, действующих на систему.
Из приведенной формулировки следует, что внутренние силы
не влияют на движение центра масс; только внешние силы мо-
могут изменять его движение. Если система находится в покое, то
внутренними силами нельзя вывести из покоя ее центр масс;
вызванное внутренними силами движение системы будет про-
происходить так, что центр масс останется неподвижным. Точна
так же, если центр масс находился в движении, то внутренними
силами нельзя изменить его движение.
В частном случае абсолютно твердого тела, представляющего-
собой неизменяемую систему материальных точек (и находя-
находящегося в однородном гравитационном поле), центр масс совпа-
совпадает с центром тяжести; предыдущая теорема при этом форму-
формулируется следующим образом: центр тяжести твердого тела
движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса тела и
на него действует главный вектор внешних сил, приложенных
к твердому телу.
Пользуясь этой теоремой, можно трактовать материальную-
точку как центр тяжести твердого тела, схематически представ-
представляемого материальной точкой, безотносительно к тому, дви-
движется ли тело поступательно или вращается. Замена движуще-
движущегося твердого тела материальной точкой допустима во всех
случаях, когда вращательное движение тела не представляет
интереса.
Остановимся на некоторых частных случаях движения си-
системы.
1° Главный вектор внешних сил равен нулю. В этом случае
из уравнения B3) следует, что
т. е. центр масс находится в покое или движется прямолинейно
и равномерно. Будет ли иметь место покой или движение, за-
зависит от начальных условий.
2° Проекция главного вектора внешних сил на некоторое
направление равна нулю.
Пусть Vx = 0; тогда, проектируя основное уравнение B3) на
эту ось, будем иметь
хс = 0,
т. е.

104. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ ТОЧЕК
117
это означает, что проекция центра масс на ось Ох неподвижна
(при vox = 0) или движется равномерно вдоль оси Ох со ско-
скоростью Vox-
Перейдем к описанию некоторых явлений, иллюстрирующих
содержание теоремы движения центра масс.
Рассмотрим движение тепловоза по горизонтальному пути;
внутренние силы не могут привести его в движение, так как
только внешние силы создают изменение движения центра масс.
Этими внешними силами являются: сила тяжести тепловоза, ре-
реакции рельсов, сопротивление воздуха и сопротивление ва-
вагонного состава. Последние два сопротивления тормозят дви-
движение тепловоза, сила тяжести по направлению вертикальна
и по предыдущему не может вызвать горизонтального дви-
движения центра масс тепловоза. Остается рассмотреть реакции
рельс.
Реакции эти можно разложить на направления, перпенди-
перпендикулярное и параллельное рельсам. Первая составляющая вер-
дедамое налесо Ведущее иолесо
Рис. 268.
тикальна и горизонтального
ускорения тепловоза не соз-
создает. Единственной движущей
силой является горизонтальная
составляющая реакции, т. е.
сила трения скольжения меж-
между ведущими колесами и рель-
рельсами. Ведущие колеса сцепля-
сцепляются благодаря силам трения
скольжения с рельсами (рис. 268) и отталкиваются от них впе-
вперед силой ^вед. Главный вектор этих ведущих сил и дает двига-
двигательную силу тепловоза.
' Ведомые колеса, наоборот, лишь тормозят движение. Сна-
Сначала приводятся в движение ведущие колеса и получают двига-
двигательную силу за счет трения их о рельсы. Между колесом и
рельсом развивается трение скольжения, причем, если колесо
скользит по рельсу, как это бывает в первый момент приведения
в ход тепловоза, то двигательная сила будет равна произве-
произведению коэффициента трения скольжения / на ту часть G\ силы
тяжести тепловоза, которая приходится на оси ведущих колес.
Если же ведущие колеса не скользят, а катятся по рельсам, то
можно только утверждать, что равнодействующая ведущих сил
?^вед меньше fG\, так как при отсутствии скольжения сила
трения может иметь любое значение от нуля до максимального
своего значения в момент начала скольжения*).
*) Мы несколько упрощаем задачу, не различая коэффициента кулонов а.
Трения при покое и при движении.

118 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСЛТМЬТ
При условии
fGx > W,
где W — полное сопротивление всего поезда, тепловоз приведет
в движение поезд, в противном случае ведущие колеса будут
буксовать.
Силы трения ведомых колес о рельсы при незаторможенных
и хорошо смазанных осях сводятся к силам трения качения,
главный момент которых можно принять равным &G, где k—•
коэффициент трения качения, G — полный вес поезда с тепло-
тепловозом, уменьшенный на G\ (вес, приходящийся на ведущие оси).
Хотя G обычно в десять и в большее число раз превосходит
Gi, но зато отношение коэффициента k к радиусу колес значи-
значительно меньше, чем /. За счет этой разницы и получается избы-
избыток сил, создающий ускорение при приведении поезда в движе-
движение. Обстоятельства несколько изменяются в сырую погоду,
когда коэффициент f уменьшается; при этом тепловоз часто
буксует. Подсыпая под колеса песок, можно довести коэффи-
коэффициент трения / до больших значений. Желая затормозить поезд,
тормозят вращение колес, заставляют их частично скользить по
рельсам и за счет появляющегося трения скольжения, значи-
значительного при большом весе поездного состава, получают боль-
большую тормозящую силу.
Человек при отсутствии трения не мог бы перемещаться по
горизонтальной гладкой плоскости усилиями собственной муску-
мускулатуры. Только благодаря силам трения подошв о пол возникает
горизонтальная реакция, переносящая центр масс тела в гори-
горизонтальном направлении. Человек, стоящий на абсолютно глад-
гладком горизонтальном полу, может привести себя в движение, бро-
бросая в горизонтальном направлении предметы в сторону, противо-
противоположную желательному направлению движения, и тем самым
создавая реактивную силу. При этом часть массы системы пере-
перемещается, остальная часть массы системы должна переместиться
в противоположном направлении так, чтобы сумма произведений
масс на их абсциссы осталась прежней и центр масс сохранил
свое начальное положение. И наоборот, если бы пол был иде-
идеально гладок, движущийся человек не мог бы остановиться. Но
бросая предметы в сторону своего движения, человек мог бы
затормозиться и при отсутствии трения.
Колебания поршней и других возвратно-поступательно дви-
движущихся масс служат источниками периодических возмущаю-
возмущающих сил, вызывающих вибрации фундамента двигателя внутрен-
внутреннего сгорания. Упругие реакции грунта или балочного настила
вместе с силами тяжести являются единственными внешними си-
силами, приложенными к системе «машина — фундамент». Если
сосредоточить внимание на движении только фундамента со ста-

§ 104. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ ТОЧЕК 119'
ниной и неподвижными частями машины, а возвратно-поступа-
возвратно-поступательно движущиеся массы в машине отнести к числу внешних
тел, то воздействия этих тел на фундамент перейдут из класса
внутренних сил во внешние и станут играть роль возмущающих
сил, вызывающих вынужденные колебания фундамента. Такого
рода вибрации особенно велики в нестационарных двигателях,
например у автомобиля. При работе мотора кузов автомобиля
совершает колебания на рессорах. Взаимное движение поршней
рассчитывается так, чтобы их общий центр масс при этом по
возможности смещался незначительно; этим добиваются умень-
уменьшения вибраций кузова.
В непоршневых двигателях, например электромоторах, ви-
вибрации статора объясняются тем, что при недостаточной цен-
центровке ротора его центр тяжести не совпадает с осью вращения.
Перемещение центра тяжести ротора вызывает вибрации статора
с фундаментом и переменность опорных реакций точно так же,
как и в поршневых двигателях.
Особого внимания заслуживает случай резонанса, когда пе-
период обращения вала машины (будь то поршневой двигатель,,
электромотор или другой тип машины) совпадает с периодом
колебаний упругой системы (стол, кронштейн, фундамент), на
которой машина закреплена. В этих условиях машина, попадая
в такт колебаниям фундамента, может раскачать фундамент до
значительной амплитуды.
Поясним сказанное на ряде примеров.
Пример 95. Электромотор (рис. 259, а), массы статора и ротора ко-
которого соответственно равны М и т, может свободно скользить по неподвиж-
неподвижным горизонтальным направляющим. Ось вращения ротора проходит через*
Пппрп^ 1 ~~шгг к
Фундамент/
о)
б)
Рис. 269.
центр тяжести О\ статора, а центр тяжести О2 ротора (рис. 269, б) располо-
расположен на малом расстоянии г (эксцентриситет ротора) от оси вращения. Пре-
Пренебрегая силами трения между статором и направляющими, определить коле-
колебания статора и реакцию направляющих. Какова будет эта реакция, если
мотор жестко прикреплен к направляющим?

120 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Координаты центра масс С системы, состоящей из статора и ротора,
будут
М + Му\ + ту 2 m
y y
ХС— М + т ' yC~- М + т ~~M + my2f
где Х\ и у\ — 0— координаты центра тяжести О\ статора, а х2, уг— коорди-
координаты центра тяжести О2 ротора (рис. 269,6), причем все координаты берутся
по отношению к системе координат Оху, связанной с неподвижным фунда-
фундаментом.
Внешними силами, приложенными к системе, будут: сила тяжести ста-
статора Р, сила тяжести ротора р и реакция R опоры.
Дифференциальные уравнения движения центра масс при незакреплен-
незакрепленном моторе имеют вид (Р = Mg, p = mg)
(М + т) хс = 0, (М + т) ус = R - Mg - mg.
Если через со обозначить угловую скорость ротора, то координаты центра
масс ротора будут
Х2 = Х\ + Г COS ф ===== ЛГх -\- Г COS (dt,
t/2 = г sin ф = г sin (at;
подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения центра
масс, получаем
Мх\ + тх\ — тг®2 cos (at = 0,
sin Ы == R — Mg — mg.
Из первого уравнения можно найти уравнение движения статора, из вто-
второго _ переменное давление мотора на направляющие. Имеем
х —- __ rco2 cos ^,
М + т
откуда
Хх = ~" М + т г cos Ы + Cl Ь + Сг'
Замечая, что в начальный момент (до запуска мотора) статор был непо-
неподвижен, т. е. что Х\ = 0 при t = 0, находим Сх = 0. Помещая начало коор-
координат О в начальное положение (при (р = 0) центра масс С системы, будем
иметь (индекс 0 характеризует начальный момент движения)
8
2
4-
Окончательное уравнение колебаний статора будет
т ,
х _- _--- г cos 0^
М + т
Это — гармонические колебания с амплитудой
т
а=== М + т
и частотой, равной угловой скорости вращения ротора*

§ 104. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ ТОЧЕК 121
Из второго уравнения находим
При невыполнении этого условия, т. е. при достаточно больших угловых ско-
скоростях, статор придет в вертикальное движение.
Если мотор закреплен в направляющих, то центр статора О\ будет не-
неподвижен и его можно принять за начало координат (х{ = ух = 0). Опор-
Опорная реакция R будет иметь в этом случае две проекции: горизонтальную R*
и вертикальную Ru (рис. 269).
Рис 270
Пример 96. В вертикальном
одноцилиндровом дизеле (рис. 270),
имеющем частоту вращения п = 300 об/мин (с угловой скоростью вала со =
= л/г/30 1/с = 10я 1/с), длина кривошипа г = 10" м, шатуна / = 5-Ю м.
Масса дизеля вместе с фундаментом М = 100 т, масса дизеля без поршня
М\ = 10 т, масса поршня т = 250 кг; массами шатуна и кривошипа прене-
пренебрегаем. Зная, что упругое основание, на котором покоится фундамент, даег
под дизелем осадку 2-10~2 м, определить вынужденные колебания фунда-
фундамента и максимальное и минимальное давления дизеля на фундамент.
Рассмотрим сначала движение центра масс системы, состоящей из фун-
фундамента, станины и поршня. Дифференциальное уравнение движения центра
Из этих уравнений находим реакции
Rx r= пгх2 = — mrco2 cos (at,
Ry == (M + m) g — mrco2 sin со/.
Вертикальная реакция сохранила
прежний вид, а за счет уничтожения
горизонтальных колебаний появилась
горизонтальная реакция. Реакция эта
переменна по величине и направле-
направлению; максимальное ее значение по
абсолютной величине равно

122 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
масс по вертикальной оси составим, принимая за начало координат поюже-
ние центра тяжести фундамента со станиной при неподвижном поршне. При
этом в правой части уравнения силы тяжести и составляющая упругой реак-
реакции, соответствующая статической осадке фундамента, нагруженного дизелем,
взаимно уничтожатся, так что будем иметь
где у\ — ордината центра масс дизеля с фундаментом, с — коэффициент уп-
упругости основания, на котором покоится фундамент, определится из условия
?бст = (М + т) g.
По формуле для координаты центра масс системы двигателя, фундамента
и поршня будем иметь
(М + т) ух + ту2
УС М + т *
где У2 — ордината центра тяжести поршня, равная
у2 = у{ + / f 1 —|- е cos со/ -\—j- cos 2©/ J + const
здесь е = r/l% а выражение справа (вывод его дан в § 40) выписано с точ-
точностью до е2.
Подставляя это значение у2 в формулу для ус, дифференцируя ус два
раза по времени и подставляя результат в дифференциальное уравнение дви-
движения центра масс всей системы, получаем
(М + т) у\ = — су\ + mm2 (cos cot + г cos 2coO
или, деля на коэффициент при уи
ух = — k2y[ + h (cos cat + 8 cos 2со/)>
где
M + m"CT» ""~ М + т'
Вынужденные колебания [формула C2) § 97] будут определяться равен-
равенством
cos ** + k* e4g>* cos 2@<-
Подставив численные данные, получим уравнение движения фундамента
Ух в. (— 0,050 cos 31,4/ — 0,0014 cos 62,80 • 10~2 м.
Фундамент будет совершать малые периодические колебания. Если огра-
ограничиться первым членом, то амплитуда колебаний будет равна 0,5 мм.
Перейдем к определению давления дизеля на фундамент. Для этого
рассмотрим движение системы, состоящей только из дизеля и поршня, а фун-
фундамент будем рассматривать как внешнее тело; тогда реакция N фундамента
будет внешней силой, и мы получим следующее уравнение движения центра
масс С дизеля (с поршнем):
(Afi + m) 0c* - (Mi

§ 105. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС РАКЕТЫ 123
где yCi — известная функция времени, определяемая равенством
у
а N — искомая реакция.
Из последних двух равенств следует
N = (М1 + т) g — Miyi — ту2.
Подставив сюда вместо у2 его значение, а вместо ц\ полученное ране$
выражение, найдем
N = (Мх + т) g + со2 [ Н ffilJ^ + mr] cos <**
Ah (Mi + m)
Л Ah (Mi + m) . "] . .
или, принимая во внимание численные значения,
N = A00,55 + 23,35 cos 31,4/ + 4,36 cos 62,8/) кН.
Отсюда имеем
Мтах = 100,55 + 23,35 + 4,36 = 128,26 кН,
Ю0,55 — 23,35 + 4,36 = 81,56 кН.
Отметим, что в многоцилиндровом двигателе переменная (динамическая)
часть реакции меньше и что задача ее уменьшения называется задачей урав-
уравновешивания динамических нагрузок (см. ниже, § 151).
§ 105. Уравнения движения центра масс
одноступенчатой ракеты
Решение задачи динамики полета ракет представляет значи-
значительные расчетные трудности, связанные с необходимостью ис-
использования в уравнениях движения ракет эмпирических членов,
количественно определяемых при испытаниях ракетных двига-
двигателей (а также по результатам опытов в натурных условиях) и
задаваемых графиками или таблицами. В связи с этим уравне-
уравнения динамики полета ракет приходится интегрировать числен-
численными методами с широким привлечением для этой цели элек-
электронных вычислительных машин (ЭВМ). Обработка результа-
результатов такого рода вычислений позволяет установить некоторые
общие закономерности, использование которых при проектиро-
проектировании ракет оказывается существенным.
В настоящем курсе мы можем лишь вкратце объяснить по-
постановку задач динамики ракет и осветить некоторые выводы из
решений этих задач, полностью опуская вопросы численного ин-
интегрирования основных дифференциальных уравнений движения
ракет.

124
ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
- Траектория
Ограничимся в дальнейшем простейшим случаем одноступен-
одноступенчатой ракеты или — по формулировке С. П. Королева*)—«нор-
Королева*)—«нормальной баллистической схемы».
В общепринятой схеме расчета траектория полета ракеты
разбивается на два основных участка: 1) «активный участок»
движения ракеты под действием реактивной тяги, тяготения и
взаимодействия ракеты с окружающим ее воздухом и 2) «пас-
«пассивный участок» движения ракеты
под действием только тяготения и
взаимодействия с окружающей сре-
средой при выключенном двигателе
(исчерпании ресурсов топлива).
Пассивный участок траектории при
достижении ракетой достаточно
большой высоты и выхода ее из
плотных слоев атмосферы соответ-
соответствует тому свободному от сопро-
сопротивления воздуха участку полета
ракеты, который был уже рассмот-
рассмотрен ранее в §§ 92—94.
Для упрощения расчета прини-
принимаются следующие допущения:
1) на активном участке траекто-
траектории полета (рис. 271) направление
вектора скорости v центра масс С
совпадает с осью ракеты и ка-
касательной к траектории в данной точке. Вдоль этой каса-
касательной направлена сила тяги Р, а в противоположную сто-
сторону сила лобового сопротивления воздуха D движению ракеты
[см. далее формулу B7)]. Вектор ускорения силы тяжести g на
активном участке считается направленным по местной вертикали;
2) в той части пассивного участка траектории (Р = 0), где
еще заметно влияние сопротивления воздуха, коэффициент со-
сопротивления [см. далее формулу B7)] принимается постоянным,
не зависящим от угла атаки ракеты;
3) пренебрегается изменением лобового сопротивления за
счет поворота газовых рулей;
4) не учитывается влияние вращения Земли вокруг ее оси
и движения ее по орбите;
5) секундный расход топлива на активном участке траекто-
траектории полагается неизменным;
*) В изложении настоящего параграфа мы следуем содержанию первой
лекции С. П. Королева, прочитанной им в МВТУ в 1949 г. Лекции эти опубли-
опубликованы недавно в книге: «Творческое наследие академика Сергея Павловича
Королева». — М.: Наука, 1980, с. 208—290.

§ 105. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС РАКЕТЫ 125
6) движение центра масс ракеты считается происходящим в
одной и той же плоскости;
7) не учитывается смещение (за счет сгорания топлива)
центра масс ракеты относительно ее корпуса.
В данной точке земной поверхности выберем неизменное на-
начало координат О (рис. 271). Земные оси координат направим
по местной горизонтали и местной вертикали.
Координаты центра масс ракеты С обозначим через х и у,
угол касательной к траектории с местной осью Ох — через 0.
Уравнения движения центра масс ракеты в проекции на ка-
касательную к траектории на активном участке движения могут
быть записаны в следующем виде (кривизна поверхности Земли
не учитывается):
т -~- = Р — D — mg sin 9;
_?. = я cos 9, -~- = t;sin9.
Тяга в полете Р связана с тягой на Земле Pq формулой
P = Po + Sa(Po-p), B5)
где Sa — площадь выходного сечения сопла, р0 — атмФсферное
давление у поверхности Земли, р — давление на данной высоте.
Тягу на Земле Ро в свою очередь определяют равенством
Pq = Рст F газ,
выражающим разность между стендовой тягой самого двига-
двигателя без газовых рулей Рст и сопротивлением газовых рулей Fraa.
Переменная на активном участке масса ракеты представ-
представляется разностью
т = щ — mt B6)
между начальной ее массой т0 (включающей и начальную мас-
массу топлива) и массовым расходом топлива к моменту t (т обо-
обозначает секундный массовый расход).
Величину силы лобового сопротивления D выражают по при-
принятой в аэродинамике формуле
D = Cx*fs, B7)
учитывающей зависимость этой силы от скорости движения v
ракеты и плотности р воздуха на данной высоте. Величину
коэффициента сопротивления Сх принимают в некотором при-
приближении за постоянную, зависящую от формы корпуса ракеты,
5 — площадь миделя ракеты.

126 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Изменение в полете угла 0 определяется программой полета
ракеты на активном участке ее траектории.
Уравнения движения ракеты на той части пассивного участ-
участка, где нельзя пренебрегать действием на ракету окружающего
воздуха, в указанных земных координатах будут иметь вид
dvx dvu
ax dy
Масса ракеты т здесь уже постоянна, а проекции DXy Dy> gx>
gy определятся формулами
v
где R — радиус Земли.
Последние два равенства выводятся из треугольника О'КС
(рис. 271), если рассмотреть высоту центра масс ракеты над
поверхностью Земли СН = h м и заметить, что
cos (g?Ox) = О'К : (О'Н + HC) = x:(R + h),
cos (fby) = CK : (О'Н + НС) = (R + y):(R + h).
Из того же треугольника можно найти выражение высоты
ракеты над поверхностью Земли h через земные координаты
центра масс ракеты х, у и радиус земли R при х, у <С R:
= CH = О'С - R = ^(R + уJ + х2 - R ~ у
В правых частях первых двух равенств системы B9) можно
выделить влияние высоты полета на плотность воздуха р, пере-
переписав их в форме (индекс 0 означает величину плотности на
поверхности Земли)
где отношение р/ро может определяться из эмпирических дан-
данных или по таблице стандартной атмосферы.
В результате численного интегрирования систем уравнений
движения ракеты на активном участке B4) и на той части пас-
пассивного участка, где должно учитываться влияние силы сопро*

§ 105. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС РАКЕТЫ
127
тивления воздуха движению ракеты, находятся координаты цен-
центра масс ракеты, а также величина и направление скорости,
которые должны быть использованы как начальные условия
движения ракеты в области свободного полета под действием
только силы тяготения. В несколько отвлеченной, более близкой
к задачам небесной механики форме, движение это было опи-
описано в §§ 92—94. Однако для приближения к вопросам дина-
динамики ракет повторим это решение методом, заимствованным из
первой лекции С. П. Королева (см. цитированный выше сбор-
сборник) и не использующим класси-
классическое уравнение Бине [форму-
[формула F3) § 92], а главное, даю-
дающим наглядное представление о
действительных этапах прохож- ,,
дения ракеты по траектории. Са- '
мо собою разумеется, что входить
в детали этого специального
вопроса ракетной динамики в на-
наст эящем общем курсе теорети-
теоретической механики нет возможно-
возможности. Интересующиеся этими де-
деталями могут непосредственно
ознакомиться с лекциями С. П.
Королева. Вместо земных коор-
координат х, у введем полярные ко-
координаты г, ф (рис. 272) и выпи-
выпишем уравнения движения центра
масс ракеты в той же форме E7)
§ 92, что и ранее, но для частного случая земного тяготения,
когда радиальная компонента ускорения, стоящая в правой
части первого уравнения и равная (—g), может быть представ-
представлена как (—goR2/r2), где go — ускорение свободного падения
тел на поверхности Земли.
Будем иметь следующую систему уравнений:
d2r „(dq>y R2
ГЫ) =~ё = -8о—>
г dt V dt )—U#
Второе уравнение дает интеграл площадей (см. далее § 111)
r2-g- = const = C1, C1)
после чего первое уравнение может быть переписано в форме
Рис. 272.

128 ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Вместо использованного ранее приведения к уравнению Бине
[формула F3) § 92] можно пойти другим путем, заметив, что
последнее уравнение имеет интегрирующий множитель 2dr/dt.
Действительно, умножая обе части уравнения C2) на этот мно-
множитель, приходим к уравнению
d (dr\*_ d 2gdR2 d fc\\
dt\dt)~dt r dt\r2)'
или, интегрируя (С2 — новая постоянная интегрирования),
+ C
<33>
Отсюда можно найти dt, равное
dt±
и исключить его из уравнения C3), что приведет к уравнению
. Ci dr „ dr
Г VC2 + 22ft2lr - СУГ* r У- Ci + 28o& + C2r2
Почленное интегрирование обеих частей этого равенства не
составляет труда, причем интеграл, стоящий в правой части, бу-
будет иметь обычный табличный вид и сведется к арксинусу. Вы-
Выбором подходящего начала отсчета углов ф результат интегри-
интегрирования предыдущего равенства можно привести к виду
^ 1/ \§0*\ ) (О.Л\
~~ 1 + У* + С2 [Ct/igoR2)]2 cos ф ' ;
Введем обозначения
е=Д/1+С21—JH C5)
и получим, как и в § 92, уравнение эллипса
Р
1 -+* е cos ф '
если вместо ф ввести угол р (рис. 272)
ф = я — р,
то предыдущее уравнение примет форму
' = 737^- C6)
Условимся обозначать индексом нуль значения величин на
выходе из активного участка, но сохраним все же обозначение

§ 105 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС РАКЕТЫ 129
go Для величины ускорения на поверхности Земли. Выразим
постоянные С\ и С2, входящие в C4), через параметры движе-
движения в начальном положении ракеты на выходе ее из активного
участка.
Введем отличный от предыдущего угол 6 между направле-
направлениями вектора скорости v и координатной оси г. Из рис. 272 сле-
следует, что
*. л dq> v cos В
= v dt • cos 6, или -тг =
-тг = ,
так что постоянная С\ определится как
<-37)
Постоянную С2 найдем из уравнения C3), приняв для всех
входящих в него величин их значения в конце активного участка.
Найдем
с?
а по тому же рисунку на выходе из активного участка
dr = vodt • sin 9o,
так что окончательно
C2 = vl-^f- C8)
Введем безразмерную величину
C9)
связанную с использованным в § 92 отношением
(Voo = <yj2g0R) очевидным равенством
R '
По определению параметра эллипса р и эксцентриситета е
будем иметь
Л2
б Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

130
ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Далее, исходя из уравнения эллипса C6), переписанного в
виде
1 — rov cos2 8о/го
1 — V COS2 I
J е дЛ — B — v)vcos280
выразим cos Po через v так:
cos р0 = -
B —v) vcos260
или, переходя от cos р0 к tg p0,
Введем в рассмотрение угол
и после простых преобразований получим
D2)
Пользуясь выведенными формулами, можно решать вопросы,
относящиеся к расчету свободного полета ракеты в пустоте. Так,
Траектория задаваясь значением параметра v, опре-
определенного по начальным условиям в кон-
конце активного участка, найдем по D2)
угол So, а следовательно, и угол р0, равный
Ээ = *о — ва. D3)
По известному углу р0 определим эл-
эллиптическую дальность полета (рис. 273)
/эл = 2ро#, D4)
а затем и полную дальность L, равную
сумме эллиптической дальности и даль-
дальностей /акт на активном участке и /ИИсх
на нисходящей ветви траектории:
Максимальная высота Ятах подъема ракеты определится ра-
равенством [ гтах = (гKо==о = р/( 1 — е)]
2% -/?. D6)
1 — J
1 — V1 — B —v) vcos90

§ 106. ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ В ТЕОРИИ УДАРА
131
Как показывают расчеты, при полных дальностях, не пре-
превышающих 5 км, суммарная поправка на дальности в активном
/акт И НИСХОДЯЩеМ /„иск
участках траектории бу- '°
дет иметь порядок во0
о
го
так что с достаточным
приближением в этом 60
случае можно считать
L==kl3Jli k= 1,10-М,15.
D7) М
В цитированной пер-
первой лекции С. П. Короле-
Королева приводится сетка кри- 10
вых (рис. 274), позволяю-
позволяющая по заданным v и 9о
определять р0, т. е., со-
согласно D4), эллиптиче-
скую, а по D5) и полную
дальности. По той же сет-
ке можно при заданном v
находить 6о, при котором эллиптическая дальность будет макси-
максимальна. Это возможно лишь при 0о < 45°. Из диаграммы на
рис. 274 можно также при заданном 80 найти значение v (т. е.
у0), при котором дальность будет максимальна.
Диаграмма на рис. 274 может быть использована в ориенти-
ориентировочных расчетах на начальной стадии проектирования ракеты.
§ 106. Теорема импульсов и ее применение в теории удара
Вернемся к основному уравнению A1), выражающему тео-
теорему количества движения, и проинтегрируем обе его части по
времени в пределах (гь/2). Получим
Рис- 274-
U /-1
или
П 12
D8)
t = l U
Векторное приращение количества движения системы точек
за промежуток времени (t\, t2), стоящее в левой части уравне-
уравнения D8), обозначим через AQ.
5*

132
ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
элементарным импульсом силы, а вектор
и
Предполагая в общем случае, что сила F переменна во вре-
времени, назовем бесконечно малый вектор
D9)
E0)
импульсом силы за конечный промежуток времени (t\, t2).
Импульс силы характеризует эффект действия силы в зави-
зависимости от ее величины и времени действия; импульс измеряется
в Н»с. Из определения понятия импульса силы сразу следует,
что импульс векторной суммы сил равен векторной с у maw им-
импульсов слагаемых сил, или, иначе, импульс главного вектора
сил равен главному вектору импульсов сил.
Равенство D8), переписанное в виде
п
У//////////,
А
представляет собой теорему импульсов:
Векторное приращение количества движения системы за не-
некоторый промежуток времени равно главному вектору импуль-
импульсов внешних сил, приложенных к системе.
Как видно из приведенного вывода, на изменение количества
движения системы влияют только импульсы внешних сил, или,
как будем для краткости в
д . У7у дальнейшем говорить, внеш-
Vo Ли ние импульсы; внутренние
импульсы не могут изме-
изменять количество движения
системы.
В частном случае отдель-
отдельной материальной точки
Рис. 275. имеем ту же формулу E1),
но слева будет стоять изме-
изменение количества движения одной этой точки, а справа — им-
импульс равнодействующей всех приложенных к точке сил.
Обратимся к рассмотрению применений теоремы импульсов
лри изучении явления удара.
Если движущаяся материальная точка мгновенно изменяет
свою скорость на конечную величину, то говорят, что она пре-
претерпевает удар.
Пусть, например, материальная точка М при своем движе-
движении встречает преграду в виде неподвижной стенки АА (рис. 275).

§ 106. ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ В ТЕОРИИ УДАРА 133
Ударившись о нее со скоростью v\ в момент t\, точка через не-
небольшой промежуток времени т отразится с другой скоростью
v-2, причем изменение скорости представляется вектором Az> ко-
конечной величины, хотя продолжительность удара х была мала.
На рис. 275, а показан прямой удар точки о преграду. В этом
случае величина Аи равна сумме величин скоростей отражения
v2 (несколько меньшей скорости падения) и падения vu т. е.
| AtF | = tli +V2y
я это — величина того же порядка, что и сами скорости. Точно
так же и в случае косого удара, изображенного на рис. 275,6
величина |Дг>| является конечной.
В качестве другого примера рассмотрим пулю, пробивающую
доску. В первый момент пуля имеет скорость v\ (рис. 276); после
прохождения сквозь доску пуля в значитель-
значительной мере теряет свою скорость, причем вели-
величина изменения скорости будет равна
[Av | = v{ — v2.
I
I
Продолжительность удара — в данном случае
время прохождения пули сквозь доску —
весьма мала; между тем скачок скорости (а
следовательно, и скачок количества движе-
движения) пули конечен.
Явление удара тела о неподвижную пре- Лг}
граду или соударения двух движущихся тел —*•
между собой связано с процессом деформации Рис. 276.
тел вблизи точки их соприкосновения и рас-
распространением волн сжатия внутри этих тел. Этот процесс не мо-
может быть изучен в рамках механики абсолютно твердого тела,
отвлекающейся от действительных физических свойств тела и, в
частности, от деформируемости тел. Предметом изучения тео-
теоретической механики служит лишь сравнение движения точки
или системы точек до удара и после него; при этом явление
удара рассматривается как некоторый скачкообразный процесс,
продолжительность которого бесконечно мала. На самом деле
продолжительность удара представляет собой хотя и очень ма-
малую, но конечную величину, зависящую от многочисленных фи-
физических факторов: упругих характеристик материала соуда-
соударяющихся тел, их формы и размеров, относительной скорости
¦сближения и др. В качестве примера укажем, что продолжи-
продолжительность соударения двух латунных шариков диаметра
26-Ю м при относительной скорости их сближения 74-К)-3 м/с
равна т = 2-10~4 с.
Применим теорему импульсов к точке, испытывающей удар,
причем за интервал времени (/, / + т), в течение которого

134 ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
вычисляется импульс, примем продолжительность удара т. По
D8) будем иметь
AQ = S= J Fdt. E2)
По ранее принятому определению удара вектор AQ (а сле-
следовательно, и импульс S за время удара равнодействующей F
сил, приложенных к точке) конечен. Поскольку интервал инте-
интегрирования т бесконечно мал, это может быть только в том слу-
случае, когда интегрируемый вектор имеет по модулю порядок,
обратный т, т. е. сила F бесконечно велика. Отсюда следует, что
во время удара в точке соприкосновения соударяющихся тел
должны возникать бесконечно большие по величине, но мгно-
мгновенно действующие мгновенные силы% приводящие к конечному
изменению количества движения точки. Конечный импульс мгно-
мгновенной силы за время удара условимся называть кратко ударом.
Так, будем говорить: «к точке приложен удар», .«к- системе точек
приложены внешние удары» и т. п., понимая под этим, что к
точке или системе точек приложены мгновенные силы с конеч-
конечными импульсами за время удара.
На систему материальных точек наряду с мгновенными си-
силами, возникающими только в процессе соударения, действуют
конечные по величине силы, например сила тяжести и др.; им-
импульсы этих сил за бесконечно малое время удара будут беско-
бесконечно малы и при наличии конечных по величине импульсов
мгновенных сил могут быть опущены.
Пусть система точек с главным вектором количеств движе-
движения Q подвергается в момент времени t совокупности ударов
со стороны внешних по отношению к рассматриваемой системе
тел. Применяя к этой системе теорему импульсов E1) и заме-
замечая, что по предыдущему импульсы конечных по величине сил
могут быть опущены, приходим к следующей формулировке
теоремы об изменении количества движения
системы за время удара:
Изменение количества движения системы материальных то-
точек, подвергшейся в некоторый момент времени ударам со сто-
роны внешних тел, равно главному вектору внешних ударов.
Скорости точек системы в результате соударения претерпе-
претерпевают конечные изменения и остаются конечными по величине;
следовательно, за бесконечно малое время удара точки системы
могут получить лишь бесконечно малые перемещения. Таким об-
образом, при использовании принятой схемы явления удара можно
считать, что точки системы остаются неподвижными, а скорости
их претерпевают скачкообразные, конечные по величине изме-
изменения. При рассмотрении движения системы материальных то-

§ 107. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИ УДАРЕ 135
чек, в некоторые моменты времени подвергающейся ударам, мы
каждый раз, зная координаты точек системы в момент удара и
определив проекции скоростей после удара, принимаем эти ко-
координаты и скорости за новые начальные условия и можем изу-
изучать последующее непрерывное движение до следующего удара
и т. д. Таким путем, например, мы уже шли при рассмотрении
задачи о вынужденных колебаниях точки под действием перио-
периодических импульсов (§ 97).
§ 107. Удар точки о преграду. Коэффициент восстановления
Разберем явление удара материальной точки о преграду.
Пусть в некоторый момент времени точка встречается с прегра-
преградой (рис. 277), имея скорость v\t образующую с нормалью к
стенке угол падения а; по проше-
прошествии малого промежутка времени т
точка отскакивает от стенки со ско- N v
ростью г»2, причем угол отражения %
равен р.
Возникает задача: зная направ-
направление и величину скорости падения,
найти величину и направление ско-
скорости отражения, а также вектор
Проведем нормальное сечение к х -
поверхности преграды плоскостью,
содержащей вектор скорости v\, и от-
отметим направления касательной t и Рис. 277.
«ормали п к поверхности преграды
в сечении. Пренебре1ая импульсом силы трения между точкой и
поверхностью преграды за время удара, будем иметь по теореме
импульсов в проекции на касательную и нормаль
mv2t — mvu = St = 0, E3)
mv2n — rnvXn = Sn. E4)
Эти два уравнения содержат три неизвестных величины: u2f,
щп и Sn. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо вве-
ввести дополнительное допущение о физических свойствах ударяю-
ударяющейся точки и преграды. Простейшим допущением, позволяю-
позволяющим определить нормальную составляющую скорости после
Удара, является допущение, высказанное для общего случая
¦соударения двух тел еще Ньютоном: отношение абсолютных ве-
величин проекций относительной скорости тел после удара и до
удара на направление общей нормали к поверхности тел в точке
соприкосновения есть постоянная величина, не зависящая ни от
•относительной скорости, ни от размеров тел, а лишь от их ма-
материала.

136
ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Это отношение называется коэффициентом восстановления и
будет в дальнейшем обозначаться через k. В рассматриваемом
случае удара точки о преграду будем иметь
V2tl
\*хп\
= &, или v2n = — kv{
E5)
V\n
так как по определению k — положительная величина, а
(рис. 277) и v2n имеют разные знаки (vm < 0, v2n > 0).
Коэффициент восстановления k характеризует, насколько
восстанавливается нормальная составляющая скорости после
удара. Удар называется абсолютно упругим, если нормальная
составляющая скорости сближения соударяющихся тел равна по
величине нормальной составляющей скорости удаления их друг
от друга после удара, т. е. k = 1. Если тела после удара не от-
отделяются друг от друга, то удар называется абсолютно неупру-
неупругим и k = 0. Для реальных физических тел
В табл. 4 приведены значения k для некоторых материалов,
которые, как и сама гипотеза Ньютона, представляют собой
весьма грубое приближение к действительным закономерностям
соударения реальных тел. Значения коэффициентов восстанов-
восстановления существенно зависят от относительной скорости соударе-
соударения тел. При малых скоростях эти значения независимо от ма-
материалов тел близки к единице. Приведенные в табл. 4 значения
приближаются к асимптотическим, соответствующим большим
скоростям соударения.
Таблица 4
Коэффициенты восстановления
для некоторых материалов
Соударяющиеся тела
Дерево о резину
Деревянные шары
Стальные шары
Стеклянные шары
k
0,26
0,50
0,56
0,94
Для определения величины коэффициента восстановления
можно использовать следующий простой опыт. С высоты h\ над
гвризонтальной массивной плитой из испытуемого материала,
представляющей преграду, опустим без начальной скорости ша-
шарик из другого или того же самого материала и заметим высоту
Л2, которой достигнет шарик, отскочив от плиты. Если пре-

§ 107. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИ УДАРЕ 137
небречь сопротивлением воздуха, то скорости падения и отра-
отражения шарика определяются равенствами
dx = ^2gh{ , v2 =
и, следовательно, коэффициент восстановления определится от-
отношением
Согласно E4) и E5) найдем нормальную составляющую им-
импульса
B) +k); E7)
знак минус при v\n < 0 указывает, что Sn > 0.
Коэффициенту восстановления можно придать динамическое
истолкование. Разобьем продолжительность удара на два интер-
интервала: ti — от момента первого соприкосновения до максималь-
максимального сближения тел при деформации их поверхностей и т2 — от
момента максимального сближения до отделения тел друг от
друга; при этом недеформированное состояние полностью или
частично восстанавливается.
В интервале ti нормальная составляющая количества дви-
движения mv\n уменьшается до нуля, что соответствует нормальной
составляющей импульса
во втором интервале имеем
l+%2
Отношение нормальных составляющих импульсов второго и
первого этапов удара равно коэффициенту восстановления
Из равенства E3) следует, что при отсутствии мгновенного
трения касательные составляющие скорости точки до уда-ра и
после него равны между собой:
vu = v2t. E9)
Найдем связь между углом падения точки а и углом отраже-
отражения р. Замечая, что
^ ^. F0)

138 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
из E5) и E9) получим
В частном случае абсолютно упругого удара (& = 1) будем
иметь
'62>
т. е. угол падения равен углу отражения.
§ 108. Прямой удар двух тел
Прямым ударом двух тел называется такой удар, при кото-
котором точка соприкосновения тел лежит на прямой, соединяющей
их центры тяжести, а скорости
центров тяжести направлены
вдоль этой прямой.
•~5" Обозначим вектор скорости
центра тяжести С/ тела / (рис.
278) через а, массу — через ту
Рис. 278. а для тела // — соответственно
v и М.
Для того чтобы удар был возможен, необходимо прежде
всего, чтобы до удара относительная скорость центра тяжести
одного из тел, например первого по отношению ко второму, была
направлена к центру тяжести второго, причем
и\х > vlxt F3)
в противном случае тела не будут сталкиваться; условие F3)
будет выполняться, если первое тело нагоняет второе (и\х > 0,
Vu > 0) и если тела движутся навстречу друг другу (и\х > 0,
flu<0). Направляя соответственно ось Ох, можно считать
ии > 0.
Для определения абсолютных скоростей w2*, v2x после удара,
а также импульсов мгновенных сил, развивающихся при ударе,
применим теорему импульсов. Внешних ударов нет, поэтому ко-
количество движения системы до удара и после удара — одно и
то же; таким образом, проектируя векторы количеств движения
на ось Ох, получим
ти{х + Mv{x= mu2x + Mv2x. F4)
В этом уравнении два неизвестных: и2х и V2x\ задача оста-
останется неопределенной, если не задаться дополнительно характе-
характером удара, т. е. коэффициентом восстановления, определяемым
как частное от деления относительной скорости отражения на

§ 108. ПРЯМОЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ 139
относительную скорость падения, т. е.
здесь знаки выбраны так, чтобы k было положительно. Из урав-
уравнений F4) и F5) находим
_ (mkM)uxx + M
м+т
V2x— М + т
Для определения вектора удара S применим теорему импуль-
импульсов только к первому телу; тогда внутренний удар в системе
станет внешним ударом по отношению к первому телу и мы по-
получим
Sx=m(u2x — u{x),
откуда по F6)
^f F7)
Рассмотрим частные случаи.
а) Абсолютно упругий удар (&= 1). В этом случае
формулы F6) и F7) дают
(т — М) и\х + 2Mvlx
М + т
2ти\х + (М — tn)vix
и2х— М +
S* = — 2 M + m (Щх — Vlx).
Если, кроме того, массы тел равны, то
т. е. тела при ударе как бы обмениваются скоростями и коли-
количествами движения. Таким путем происходит перенос количеств
движений в идеальных газах при столкновении молекул. Если
второе тело было неподвижно, а первое ударилось о него, то
второе тело придет в то движение, которое было у первого, а
первое останется на его месте неподвижным.
б) Абсолютно неупругий удар F = 0). Уравнения
F6) принимают вид
г» — и —
v2x — и2х -
т. е. после удара скорости тел становятся одинаковыми; тела
после удара двигаются совместно. Если одно тело до удара

140 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
было неподвижно (t>u = 0), то после удара устанавливается
скорость
Импульс силы при ударе равен
о тМ
М + т
т. е. вдвое меньше, чем при абсолютно упругом ударе.
Рассмотренный в § 107 удар точки о преграду можно полу-
получить из формул F6), если положить vu = 0, М = оо. Деля чис-
числитель и знаменатель на М и переходя к пределу, когда А1-^оо,.
получаем
в полном соответствии с изложенным выше.
Выражения F6) скоростей после удара можно привести к
более наглядной форме, если ввести в рассмотрение скорость
движения центра масс системы соударяющихся тел. Если все
удары внутренние, т. е. возникают между телами, входящими
в систему, то центр масс системы сохраняет свою скорость —
обозначим ее через с — неизменной по величине и направлению.
Это позволяет интерпретировать соударение двух тел как сово-
совокупность отдельных их ударов о движущуюся со скоростью с
преграду. По формуле F6) предыдущего параграфа, принимая
во внимание, что в данном случае следует говорить об относи-
относительных скоростях тел по отношению к преграде, движущейся со
скоростью с, и что роль нормали играет ось Оху получим для
первого и второго тела
Щх — сх = - k (щх — сх), v2x — cx = -k (v{x - cx), G0)
откуда следует
Щх = cx + k(cx — щх), v2x = cx + k(cx — v[x). G1)
По определению скорости центра масс входящая сюда вели-
величина сх выражается через скорости тел до удара или после нега
по формулам
ти\х + Mv\x mu2x + Mv2x G0X
С* т + М т + М ' ""'
Введенное понятие скорости центра масс позволяет дать ди-
динамическое истолкование коэффициенту восстановления. Рас-
Рассмотрим первый этап удара от момента начального соприкосно-
соприкосновения поверхностей тел до наибольшей деформации их, когда
относительная скорость тел станет равной нулю, а общая их ско-

§ 109 КОСОЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ
141
рость — равной с. Применяя теорему импульсов к этому пер-
первому этапу удара, получим
Аналогично, для второго этапа удара, очевидно, получим
Составляя отношение S2x : Su, используя формулы G2) и срав-
сравнивая результат с кинематическим определением коэффициента
восстановления, получаем
S2X __ сх — и2х __ (mu2x + Mv2x)l(m + Щ — и2х ___ У2Х ~ и2х _ ^
S\x U\x — cx it\x — {mu\x -f- Mvix)/{tn -f- M) u\x — v\x
Таким образом, коэффициент восстановления при прямом
ударе двух тел с динамической точки зрения можно трактовать
как отношение импульсов мгновенных сил, возникающих между
телами на втором и первом этапах удара.
§ 109. Косой удар двух тел
Если абсолютные скорости центров масс тел до удара не на-
направлены вдоль прямой, соединяющей эти центры, то удар на-
называют косым. Обозначим вновь через и я v векторы скоростей
центров масс тел / и // (рис. 279)
и через с — скорость центра масс
системы; индексом п будем отме-
отмечать проекции векторов на общую
нормаль п к поверхностям тел в
точке их соприкосновения при уда-
ударе. Тогда, используя указанный в
конце предыдущего параграфа при-
прием рассмотрения скорости центра
масс как скорости движения пре-
преграды, о которую ударяется каж-
каждое из рассматриваемых тел, получим,
коэффициента восстановления C1),
Щп = сп + k (сп — "ln)> V2n = С
где
Рис. 279.
согласно определению
cn — vln)$
G3)
а индексы 1 и 2, как и ранее, относятся к движению до удара
и после него.
Рассматривая изменение проекции количества движения*)
одного из тел, например первого, на направление нормали и
*) При косом ударе возникает вращение тел, что требует применения
теоремы моментов при ударе (см. далее § 118).

142
ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
используя формулы E4), G3) и G4), получим выражение про-
проекции на нормаль импульса мгновенной силы, развивающейся
при ударе
Sn = т {и2п — uln) = m[cn + k (сп — и1п) — и1п] =
= т A + k) (сп - и1п) = - -?^ (l + k) (u[n - и1я), G5)
причем условием осуществимости удара является положитель-
положительность величины, стоящей в последней скобке.
Если отвлечься от разницы между составляющими скоростей
в плоскости соприкосновения тел до удара и после него, т. е.
предположить отсутствие импульса мгновенного трения, то фор-
формулы G3), G0) и G1) дают искомое решение задачи об опреде-
определении скоростей центров тяжести тел
после удара и импульса мгновенной
силы при ударе.
Для частного случая, когда векто-
векторы скоростей центров тяжести тел до
л удара лежат в одной плоскости, мож-
можно привести простое графическое по-
построение скоростей после удара, пред-
предложенное Максвеллом в 1860 г. По за-
заданным их и v\ построим вектор с, для
чего соединяем концы векторов и\ и V[
на диаграмме (рис. 280) и на получен-
полученном отрезке откладываем, согласно
G0), точку, делящую отрезок обратно
пропорционально массам тел. Далее, из конца вектора v\ опу-
опускаем перпендикуляр на касательную t в точке соприкасания
тел и, продолжив его, отложим отрезок, который относился бы
к длине перпендикуляра, как k:\\ конец отрезка определит ко-
конец вектора v2, проведенного из общего полюса скоростей О.
Проведя затем через концы векторов v2 и с прямую до пересече-
пересечения с перпендикуляром, опущенным из конца вектора и\ на ту
же ось t, получаем в точке пересечения конец вектора и2у начало
которого также находится в полюсе диаграммы.
Правильность построения следует из того, что, во-первых,
проекции им и Uot равны между собой, точно так же Vu = v2t,
так что условия сохранения касательных составляющих скоро-
скоростей при ударе выполнены; во-вторых, проекции на ось п вектор-
векторных разностей и2 — сие — щ, а также v2 — с и с — v\, относятся
между собой, как k:l, что соответствует уравнениям G3).
Указанное построение упрощается, если удар абсолютно
упруг. В этом случае k = 1 и концы векторов и2 и v2 получаются
зеркальным отображением концов векторов щ и V\ относительно
оси t, проведенной через конец вектора с (рис. 281),

110 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
143
На рис.282 дано построение диаграмм Максвелла для случая,
когда одно тело, например тело // (см. рис. 279), до удара не-
неподвижно и удар абсолютно упругий. Диаграмма а) относится
к случаю неравных масс, диаграмма б) — к случаю равных масс.
Не будем сопровождать настоящую простейшую теорию со-
соударений поступательно перемещающихся абсолютно твердых
Ю
Рис. 281.
Рис. 282.
тел, рассматриваемых как материальные точки, численными при-
примерами. Они обычно рассматриваются в общем курсе физики.
Более сложные задачи, связанные с ударом вращающихся тел,
приведены в следующей главе. В дальнейшем будут рассмотрены
и задачи с учетом изменения кинетической энергии при ударах.
§ 110. Применение теоремы количества движения
к сплошной среде. Теорема Эйлера.
Дифференциальные уравнения динамики
сплошной среды. Распространение малых возмущений
Рассмотрим некоторую сплошную среду, например жидкость.
Выделим в ней «жидкий» *) объем т, ограниченный поверхно-
поверхностью а, и будем следить за движением этого объема.
Внешние силы, действующие на объем х и поверхность о
со стороны остальной жидкости, а также и других внешних тел,
можно разбить на две группы.
1. Силы массовые или объемные, т. е. такие, которые дейст-
действуют на все частицы объема т как внутренние, так и находя-
находящиеся на поверхности объема; таковы, например, силы тяжести
частиц.
2. Силы поверхностные, действующие только на частицы,
лежащие на внешней поверхности объема, как, например, силы
давления на поверхность а со стороны окружающей жидкости
*) То есть состоящий из частиц жидкости.

144
ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
или твердых стенок, между которыми движение происходит.
К этой же группе сил относятся и силы трения выделенного
объема об окружающую его жидкость или твердые стенки.
Обозначим главный вектор внешних объемных сил через V06,
а внешних поверхностных сил через УПов-
Если количество движения жидкого объема в данный момент
равно Q, то по теореме количества движения имеем
~~cjj~== об ~^~ *^пов- G6)
Предположим, что жидкость течет по трубе переменного се-
сечения (рис. 283). Рассмотрим объем т жидкости между какими-
нибудь двумя плоскими сечениями трубы о\ и G2, перпендику-
перпендикулярными к стенкам трубы (если сечения
трубы малы, то с известным приближе-
приближением это всегда возможно), причем, от-
отвлекаясь от разницы скоростей в данном
сечении вблизи стенок и на оси трубы
(такой приближенный подход принят в
гидравлике), обозначим через V\ скорость
жидкости в сечении а\ и через v2 — ско-
скорость жидкости в сечении а2. Скорости
v\ и v2 можно представить себе как не-
некоторые средние скорости в сечениях а{
и а2. Обозначим через р плотность среды,
т. е. массу единицы объема в данной
точке среды; плотность в сечении о{ бу-
будет рь а в сечении а2 будет р2.
Произведение priori определит массу жидкости, протекаю-
протекающую в единицу времени сквозь сечение о\. По закону сохране-
сохранения массы эта же масса будет протекать и через сечение ог2, та<к
что
= p2t;2cj2.
Рис. 283.
Массу жидкости, протекающую в единицу времени через лю-
любое сечение трубы, обозначим через М:
М = р1у1а1 = р2Щ<*2 G7)
и будем называть секундной массой или массовым расходом в
единицу времени.
Вычислим теперь изменение dQ количества движения выде-
выделенного объема т за время dt. Для этого заметим, что за время
dt частицы объема т сместятся по трубе (на рис. 283 показано
штриховыми линиями) и изменят свои скорости в связи с пере-
переходом в другие сечения. Если движение установившееся, т. е.
средняя скорость в данном сечении трубы не зависит от вре-

§ ПО ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
145
мени, то за время dt в объеме между сечениями о\ и а2 оста-
останутся частицы прежнего объема т, и новое количество движения
в этой части объема будет то же, что и раньше. Таким образом,
изменение количества движения произойдет только за счет по-
потери количества движения в объеме между сечениями о[у о[ и
прибавления количества движения в объеме между сечениями
а2, о'2. Определив количество движения в бесконечно малом
объеме как произведение массы на вектор скорости, получим
dQ = p2v2o2 dt v2 — Pi^i^i dt V\
или по G7)
dQ = M (v2 — V[) dt.
Отсюда следует, что секундное изменение dQ/dt количества
движения в выделенном объеме будет равно
dt v z l/ v 7
т. е. разности секундных количеств движения, переносимых че-
через сечения трубы, ограничивающие выделенный объем.
Рис. 284.
Рис. 285.
Подставляя полученное значение изменения количества дви-
движения в уравнение G6), получим
Mv{ - Mv2 + Vo6 + VU0B = 0. G9)
Отсюда следует теорема Эйлера A707—1783):
Глазные векторы объемных и поверхностных сил вместе с
векторами секундных количеств движения жидкости, протекаю-
протекающих через два каких-нибудь сечения трубы и направленных
внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоуголь-
многоугольник, г. е. геометрическая сумма их равна нулю (рис. 284).
Пример 97. Определить величину горизонтальной составляющей R
силы динамического (дополнительного к гидростатическому) давления воды
на колено трубы (рис. 285) диаметром d = 0,3 м, если скорость движения

146
П XXII. TEOPFMA О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
воды по трубе равна и — 2 м/с. Плотность воды принята равной р =
«= 1000 кг/м3.
Замечая, что по закону равенства действия и прстиводействия искомая
сила равна по величине соответствующей составляющей давления стенхи
трубы на жидкость, по теореме Эйлера получим
п д» nd2 2 nd2
R = Mv = pv —-— v = pv2 —-—
4 4
Подставляя числовые данные, находим
R = 283 Н.
Пример 98. Определить давление R струи, вытекающей со скоростью vx
из трубы сечения о на безграничную стенку, плоскость которой перпендику-
перпендикулярна к напрзплп чю струи (рис. 286) или образует с нею угол а (рис. 287).
Применяя теорему Эйлера в про-
проекции на ось х (ось струи), получаем
при а = я/2
R = Mv{ = p^jcr;
эта формула была впервые дана Да-
Даниилом Бернулли A700—1782) в 1736 г.
Рис. 286.
Простота этого решения обусловлена тем, что стенка предполагается
безграничной. В случае удара струи о пластинку конечной ширины явление
усложнилось бы за счет необходимости учета обтекания ее концов. Выведен-
Выведенная формула Бернулли приближенно верна, если считать ширину пластинки
значительно превосходящей ширину струи.
В том же допущении можно рассмотреть и косой удар струи
о стенку, образующую с направлением струи угол а (рис. 287).
В этом случае будем иметь векторы секундных количеств
движения Mvp (— М9г>2), (— Mr2vf2) и давление стенки на струю
/?, которое, пренебрегая трением жидкости о стенку, будем счи-
считать перпендикулярным стенке.
Проектируя сумму вышеуказанных векторов на направление
нормали к стенке, находим величину реакции
R = Mv{ sin a = agv'j sin а;
при а = я/2 вернемся к предыдущей формуле Бернулли. Поло-
Положение точки приложения реакции R можно было бы уточнить,
применяя теорему моментов; для нас это сейчас не существенно.

§ ПО. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 147
Проектируя ту же векторную сумму на направление стенки,
можно определить секундные количества движения M2v2 и M2v't
вдоль стенки. По теореме Эйлера будем иметь
Mvx cos a + M'2v'2 — M2v2 = О,
а из условия сохранения массового расхода всей струи найдем
М2+М'2 = М.
В грубом приближении можно принять
т. е. считать, что различие между массовыми расходами М2 и М'г
определяется лишь разницей в сечениях растекающихся струй.
Тогда из предыдущих равенств будет следовать
М2 — М2 == М cos а, ЛЬ + М2 = М,
откуда найдем
1 л 1 ж 1 ~\~ cos а .* oCt ят/ 1/г1 — cos ct ,. . a a
Af2 = M —^ = M cos2 T, M2 = Af ^ = M sin2 it .
Пользуясь теоремой об изменении количества движения,
можно вывести и общее уравнение динамики сплошной среды —
гак называемое «уравнение в напряжениях». Уравнение это
служит обобщением аналогичного уравнения статики сплошной
среды, которое было выведено в § 38. Приводимый далее вывод
«уравнения в напряжениях» предполагает знакомство читателя
с содержанием этого параграфа.
Выделим в движущейся сплошной среде произвольный объем
т, ограниченный поверхностью о. Обозначим через бт бесконеч-
бесконечно малую часть объема т и будем называть ее элементом объ-
объема т; аналогично под ба будем понимать элемент поверхности а.
В § 29 было пояснено, что в сплошной среде вместо обычных
объемных и поверхностных сил вводятся плотности их распре-
распределения соответственно в объемах и на поверхностях: F — для
объемных и рп — для поверхностных сил; в последнем случае рп
представляет собой напряжение, приложенное к внешней сто-
стороне элементарной площадки ба, единичный вектор нормали к
которой обозначен через п.
Главный вектор количества движения сплошной среды Q,
равный векторной сумме элементарных количеств движения
v8m = pv6x(p — плотность распределения массы в объеме т),
будет определяться вычисленным по объему т интегралом
(80)

148 ГЛ. XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Теорема об изменении со временем количества движения сре-
среды в объеме т запишется так:
4L = $
A)
\рп6в. (81)
Производная по времени, стоящая слева, понимается как ин-
индивидуальная (субстанциональная) производная (см. § 76), т. е.
производная, которая следует за всеми изменениями со време-
временем— локальными и конвективными (§ 76) — некоторой величи-
величины, в данном случае главного вектора количества движения
среды в движущемся вместе со средой объеме т. Эту производ-
производную можно вычислить по общим правилам дифференцирования
интеграла
= l
(т) (т) (т)
Но в силу общего закона сохранения массы рбт движущегося
элементарного объема бт и только что поясненного смысла сим-
символа d/dt будет
~-(Р6т) = 0. (83)
Таким образом, по (82) имеем
(t)
Согласно известным равенствам Коши (§ 30), представлен-
представленным в тензорной форме (§ 36), и формулам Гаусса — Остро-
Остроградского (§ 37) найдем значение последнего члена в равен-
равенстве (81) в форме интеграла по объему
J jj j (85)
(о) (о) (т)
где Р — тензор напряжений (§ 36), а символ Div представляет
операцию пространственного дифференцирования в поле тензора
Р, с которой уже нам приходилось иметь дело при выводе урав-
уравнений статики сплошной среды.
Подставляя в равенство (81) выражение (84) для члена в
левой части и выражение (85) для второго члена в правой части
и собирая все члены под знак общего интеграла по объему, по-
получаем
(t)

§ ПО. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 149
Пользуясь произволом в выборе объема т — обычным приемом,
использованным ранее в § 38, — убедимся в равенстве нулю вы-
выражения, стоящего в круглых скобках под знаком интеграла, и
придем к уравнению
р —- = pjp -}- Div Р, (86)
которое и представляет собой искомое уравнение динамики
сплошной среды «в напряжениях». Перепишем его в аналитиче-
аналитической форме, взяв проекции левой и правой частей равенства
(86) на оси прямоугольной декартовой системы координат.
Вспоминая выражения проекций ускорения в эйлеровых пере-
переменных (§ 76) и проекций вектора DivP (§ 38), получаем
dvx dvx dvx dvx \
дрХх дрох dpzx
dvz dvz dvz
n . dpxz дру2 дргг
К уравнениям (87) нужно присоединить еще одно, также
динамическое, уравнение, которое легко выводится из уравнения
сохранения (83) элементарной массы 6т = р бт. Продифферен-
Продифференцировав обе части уравнения (83), получаем
В конце § 78 было показано, что скорость объемного рас-
расширения элемента объема бт при движении среды равна
— Fт) = сНуибт,
где divv — дивергенция вектора скорости v — символ скалярной
пространственной производной (§ 75) в векторном поле век-
вектора v. Используя последнее равенство, перепишем предыдущее
в виде

150 ГЛ XXII. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
или, в силу произвольности выбора элемента объема бт,
^L + pdivi> = 0. (88)
Это уравнение можно было бы записать в развернутом
(вспомним § 75) виде
-~- + v • grad р + р div v = 0
и, пользуясь известной формулой векторного анализа
v • grad р + р div v = div (pt>),
легко выводимой из символического равенства
переписать так:
^ 0, 189)
или, выразив оператор div в прямоугольных декартовых коор-
координатах, так:
аР | d(pvx) { d(pvy) t д(руг) _п
'dt' + ~JT~+ ду + дг — °-
Уравнение (88) или другие виды того же уравнения ((89), (90))
носят традиционное наименование уравнения «сплошности» или
«неразрывности», хотя выражают, собственно говоря, закон со-
сохранения массы.
Уравнения (87) и (90) не образуют замкнутой системы урав-
уравнений для определения тринадцати неизвестных: р, vx, vy, vz,
рхх, pyXj Pzx, pXy, pyy, pZy, Pxzy pyz, Pzz. Для замыкания этой систе-
мы уравнений необходимо применять те или иные допущения
о математических моделях среды: идеально упругая среда, под-
подчиняющаяся линейному закону Гука, идеальная жидкость, ли-
лишенная внутреннего трения, вязкая жидкость, движение которой
описывается законом Ньютона, и т. д. Так, например, если при-
принять модель идеальной жидкости как жидкости, в которой нет
внутреннего трения, то все касательные составляющие тензора
напряжений будут равны нулю
Рху = Рух = Руг = Pzy = Pzx = Pxz = 0>
а тогда, как это будет следовать (ср. § 38) из равенств Коши,
все нормальные составляющие тензора напряжений будут равны
между собой и можно положить
Руу — Рг*= — Р>

$ 110 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 151
где р— скалярная величина, выражающая гидродинамическое
давление или просто давление. Согласно принятой модели иде-
идеальной жидкости, совокупность уравнений (87) и (90) перейдет
в следующую замкнутую систему уравнений:
dvx , v dv^ dvjc_ , dvx_ _ F __ 1 dp
dvy dvy dvy dvy _ 1 dp
~W + v* ~JT + vy If + v* ~дГ —t у ~ 7 ~Щ *
dvz . dvz , dy2 i ^y2 p I dp
dp a(P^x) д(рг^) <5(piJ) _
"аГ"» дх ' ду ' дг ~ '
р = р(р);
здесь зависимость плотности от давления задается последним
уравнением этой системы, представляющим собой уравнение
баротропности движения (если р = const, то жидкость несжи-
несжимаема; если ppk = const, где k — показатель адиабаты, то про-
происходит адиабатическое движение).
Возвращаясь к векторной форме уравнений, имеем
0, 02)
Р = Р (р)
Это — уравнения Эйлера динамики идеальной
жидкости.
Можно заметить, что при равновесии (v = 0, др/dt — 0)
уравнения (91) перейдут в ранее выведенные (§ 38) уравне-
уравнения Эйлера статики идеально текучей среды.
Применим уравнения Эйлера (91) к представляющей прин-
принципиальный интерес задаче одномерного распространения малых
возмущений в неподвижном газе.
Пусть в безграничной вдоль оси Ох цилиндрической трубе
покоится (ио = 0) газ с параметрами ро, ро- Зададим в газе ма-
малые возмущения этих параметров: давления //, плотности р', ско-
скорости и', так что
Р = Ро + р\ Р = Ро + Р/> vx = u = u'.
Подставим эти значения в уравнения (91), предварительно за-
заметив, что при допущении о баротропности последующего дви-
движения (заключающейся в зависимости плотности р только от
давления р, но не от температуры) будет
? (^ E2
дх dp дх ~ \ dp Jo дх

152 ГЛ ХХИ. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
причем, как обычно, в газах с повышением давления возрастает
и плотность (dp/dp > 0), что позволяет положить
-4 <94>
Пренебрегая малыми величинами второго порядка и опуская
объемную силу, приходим к линейной системе уравнений
ди' _ 2 ф' да' _ др'
р0 dt ~~~~а*~дГ' 9о~дГ~~~~дГ'
которую, исключая р', можно привести к одному уравнению
#-.Н?-0. (95)
Уравнение (95) (как легко проверить непосредственным диф-
дифференцированием) имеет общий интеграл Даламбера
u' = f{(x + aj') + f2(x-aj), (96)
где f\ и \% — произвольные функции.
Введем преобразование
x + aot = lu je — а0/ == g2, (97)
обладающее простым кинематическим смыслом: ось Oigi дви-
движется в отрицательном направлении оси Ох со скоростью —а0,
а ось О2Ъ — в положительном направлении оси Ох со скоростью
а0. Тогда решение (96), переписанное в виде
u' = fl{h) + f2(h), (98)
будет означать сумму двух фиксированных в плоскостях (и'у gi)
и (и\ ?2) произвольно заданных кривых (шаблонов), движу-
движущихся со скоростями ао вдоль отрицательного и соответственно
положительного направлений оси Ох.
Каждое из этих двух движений, взятое по отдельности, ха-
характеризует движение простой волны, а совокупность их (98)
или, что то же самое, (96) — наложение двух движущихся на-
навстречу друг другу волн с равными по абсолютной величине
скоростями ао каждая*). Контуры этих волн определяются ви-
видом функций МЫ и /г(Ы; в частности, волны могут быть си-
синусоидальными, описывающими колебательный процесс возму-
возмущений скорости, плотности или давления в газе. К таким про-
процессам относится распространение звука в газе с характерной
для него последовательностью повышений и понижений давле-
давления в данной точке. В связи с этим принято скорость распро-
распространения малых возмущений в среде коротко называть ско-
скоростью звука. Процессами распространения звуковых волн за-
*) Уравнение (95) и совершенно аналогичные по форме уравнения для
р' и р' называются волновыми уравнениями.

§ 110. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 153
нимается акустика. Для нас сейчас важен сам факт конечности
скорости распространения малых возмущений в среде или ско-
скорости распространения в ней звука.
Формула (94) показывает, что скорость звука зависит от
вида уравнения состояния среды р = р(р). Так, например, за-
замечая, что скорость звука велика по сравнению со скоростью
отвода тепла, образованного сжатием газа при прохождении
звуковой волны через данную точку, считают процесс сжатия
газа адиабатическим и используют известную из курса физики
формулу
p/pfe = const.
Если, кроме того, газ является совершенным, т. е. удовлетво-
удовлетворяет уравнению Клапейрона
dp —ь р — ьрй
w~ т~ *
где R — газовая постоянная, а 0 — абсолютная температура, со-
согласно (94), получим формулу Лапласа — Пуассона
(индекс «О» при а опущен).
Таким образом, адиабатическая скорость звука в совершен-
совершенном газе пропорциональна корню квадратному из абсолютной
температуры газа.
Замечая, что величину dp/dp можно принять за характери-
характеристику сжимаемости среды — роста плотности с давлением, — за-
заключим, что чем больше сопротивляемость среды сжатию, тем
больше скорость распространения звука в ней. Приведем округ-
округленные значения скорости распространения звука в разных сре-
средах: в воздухе — 340 м/с, в воде—1500 м/с, в твердом теле —
5000 м/с (вопрос о распространении малых возмущений в твер-
твердых телах представляет особые трудности, так как требует рас-
рассмотрения уравнений динамики упругого тела с характерными
для него двумя скоростями распространения возмущений).
Очень малые скорости распространения звука наблюдаются в
легко сжимаемых жидких пенах.
Предположение о несжимаемости среды, в частности жидко-
жидкости в гидродинамике и гидравлике, оправдываемое большой ско-
скоростью распространения звука в ограниченной области течения
при сравнительно малых скоростях движения среды, приводит
к бесконечной скорости распространения звука
т)
" 'p=const
что может рассматриваться как допустимое в этих условиях
приближение.

Глава XXIII
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ 111. Теорема об изменении момента количества
движения материальной точки
Напомним (§ 11), что момент силы F относительно точки
был определен как вектор (точнее псевдовектор), по величине
и направлению равный векторному произведению вектор-ра-
вектор-радиуса г точки М приложения силы и вектора силы F (за начало
вектор-радиуса принят центр мо-
момента О (рис. 288):
mo(F) = rXF. A)
Так же, как момент силы, может
быть определен момент вектора ко-
количества движения q = mv матери-
материальной точки. Моментом количества
движения будет вектор ft, вели-
величина и направление которого опре-
определяются векторным произведением
гид:
к — г дд — га mv. yz)
Проекции вектора момента количества движения на оси ко-
координат будут
kx — tn(yvz — zvy), ky = m(zvx — xvz)y kz = m(xvy — yvx), C)
где х, у, z — проекции вектор-радиуса г, т. е. координаты дви-
движущейся точки, a vx = ху vy — у, vz — z — проекции вектора
скорости v этой точки.
Вспомним, что проекция на некоторую ось вектора момента
силы относительно точки, взятой на оси, представляет собой
момент силы относительно этой оси (§ 11); аналогично вели-
величины kXi kyy кг являются моментами количества движения точки
относительно осей х, у, z.

§ 111. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 155
Дифференцируя выражение B) момента количества движе-
движения по времени, получаем
— — — Уо + гУ-^-' (А)
dt — dt * ? + r * dt • W
но первое слагаемое правой части равно нулю, так как сомножи-
сомножители параллельны:
XqvXmvO
Далее на основании теоремы об изменении количества дви-
движения материальной точки
iSL — f
dt ~~r>
где F— равнодействующая сил, приложенных к точке. Итак,
по D)
-^ = rXF = mo(F). E)
Соотношение E) представляет собой теорему об изме-
изменении момента количества движения матери-
материальной точки относительно центра:
Векторная производная по времени от момента количества
движения материальной точки относительно центра равна мо-
моменту равнодействующей приложенных к точке сил относитель-
относительно того же центра.
Проектируя E) на неподвижные оси координат, получаем
dkx dku dk2
-^ = mx(F), -4Jr = my(F)9 ~ir = mAF) F)
и приходим к теореме об изменении моментов коли-
количества движения относительно осей:
Производная по времени от момента количества движения
материальной точки относительно неподвижной оси равна мо-
моменту равнодействующей сил, приложенных к точке, относи-
относительно этой оси.
Теорема об изменении момента количества движения в при-
приложении к одной материальной точке представляет собой про-
простое следствие основного закона Ньютона. Это следствие оказы-
оказывается полезным при решении некоторых задач динамики; ха-
характер этих задач подсказывается формой уравнений E) и F).
1°. Если сила F все время остается в одной плоскости с не-
некоторой прямой, например с осью Ох, т. е. пересекает эту ось

156 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
или ей параллельна, то момент силы относительно этой оси ра-
равен нулю, и уравнение F) дает
dk — п-
— и,
dt
интегрируя, находим
kx = т (yv2 •— zvy) = const.
Применение теоремы об изменении момента количества дви-
движения относительно оси позволило получить зависимость между
проекциями скорости и координатами движущейся точки, т. е.
один из первых интегралов уравнений динамики [его называют
(вспомним формулы E9) и F0) § 92) интегралом площадей в
проекции на плоскость yz\ происхождение названия станет по-
понятным из следующего пункта].
2°. Случай центральной силы. Напомним, что цен-
центральной называется сила, линия действия которой во все время
движения проходит через один и тот же неподвижный центр.
Обозначая через Fr проекцию силы F на направление вектор-
радиуса г = ОМ движущейся точки М и замечая, что г/г пред-
представляет собой единичный вектор направления г, мы можем на-
написать выражение силы в виде
F = yFn G)
причем Fr положительно в случае силы отталкивания и отрица-
отрицательно для силы притяжения к центру О.
Возвращаясь к теореме о моменте количества движения, в
случае центральной силы получаем
и, следовательно, вектор момента количества движения сохра-
сохраняет постоянное направление и имеет постоянную величину. Та-
Таким образом, векторы г и v все время остаются в неподвижной
плоскости, перпендикулярной к fe, т. е. траектория движущейся
точки представляет собой плоскую кривую. Это уже было ис-
использовано в § 92.
Заметим далее, что
k^rXtnv^mrX-^f, (8)
но векторное произведение xl2^Xdr по величине равно площади
dS = x/2t\dr\sin(r, dr) = l/2r2dy (рис. 289), описываемой век-
вектор-радиусом г за промежуток времени dt, и, следовательно,

§ 112. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 157
dS/dt есть секториальная скорость (§ 48) рассматриваемой точ-
точки. Таким образом,
4f ^ ^ C
откуда следует, что
S = Ct + S0, A0)
т. е. в движении под действием центральной силы площадь, опи*
сываемая вектор-радиусом, изменяется пропорционально вре-
времени. Это — закон площадей, включающий как частный случай
второй закон Кеплера движения планет.
Рис. 289.
Проектируя соотношение (8) на оси координат, получаем
интегралы площадей
kx = m (yv2 — zvy) = Clf ky = m {zvx — xvz) = C2,
k2 = m (xvy — yvx) = C3,
выражающие постоянство секториальной скорости проекции дви-
движущейся точки соответственно на плоскости yzy zx, xy\ послед-
последние равенства дают, таким образом, три первых интеграла
уравнения движения точки под действием центральной силы.
При действии на точку силы, пересекающей в течение всего вре-
времени движения одну из осей координат, имеет место один пер-
первый интеграл, выражающий сохранение секториальной скорости
проекции точки на плоскость, перпендикулярную к этой оси.
§ 112. Малые колебания математического маятника
Применим теорему об изменении момента количества движе-
движения к составлению уравнения движения материальной точки,
принужденной двигаться в поле силы тяжести по окружности,
расположенной в вертикальной плоскости. Такое движение осу-
осуществляет математический маятник, т. е. тяжелый груз (рас-
(рассматриваемый как материальная точка М), подвешенный при

158
ГЛ. ХХТП. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
помощи нерастяжимой и невесомой нити к неподвижной точке
и движущийся в вертикальной плоскости (рис. 290).
На груз действуют сила тяжести G и реакция нити N. Вектор
количества движения q по величине равен произведению массы
т груза на его скорость /|ф | и имеет направление скорости; при
*щ возрастании угла ф, т. е. при движении
<??- *¦ °т оси Ох к оси Оу, когда ф > 0,
если же движение происходит в обрат-
обратную сторону, то ф < 0, и величина век-
вектора q будет
q = — m/ф.
В том и другом случаях момент количе-
количества движения груза относительно пер-
пендикулярной к плоскости чертежа оси
Ozy равный произведению величины век-
вектора q на его расстояние I до оси Oz> взятому с соответствую-
соответствующим знаком, будет
(И)
Рис 290
Момент силы тяжести относительно оси Ог равен
пг2 = — Gy = — Gl sin ф = — mgl sin ф.
Момент натяжения нити N равен нулю; применение теоремы мо-
моментов позволяет исключить эту неизвестную силу из уравнения
движения. Согласно F) будем иметь
т/2ф = — mgl sin ф,
или
у sin ф =
A2)
В начальный момент маятнику дается отклонение от поло-
положения равновесия и сообщается начальная скорость, что соот-
соответствует следующим начальным условиям:
при / = 0 Ф = Фо, Ф = Фо-
Рассмотрим малые колебания маятника; в этом случае в
уравнении A2) можно (с точностью до малых величин порядка
ср3) заменить sin ф на ф. Тогда придем к уравнению
ТФ = 0,
A3)

§ 113. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 159
решение которого при указанных начальных условиях будет
[§ 95, формула (8)]
qp = cp0cos aJj t + aJ~ (posin д/f /. A4)
Период малых колебаний маятника выражается формулой
из которой следует независимость периода малых колебаний ма-
математического маятника от начальных условий: малые колеба-
колебания маятника изохронны. Этот факт был экспериментально уста-
установлен еще Галилеем в 1583 г., хотя формулы, определяющей
период колебаний, Галилей не дал.
Более полно задача о движении маятника будет рассмотрена
далее в § 177.
§ ИЗ. Теорема об изменении главного момента количеств
движения системы материальных точек. Теорема Резаля
Наиболее интересные приложения теоремы об изменении мо-
момента количества движения связаны с ее обобщением на случай
системы материальных точек.
Пусть Мь М?, ... Мп — точки, входящие в рассматриваемую
систему. Через F,- обозначим равнодействующую внешних сил,
приложенных в точке М,-; равнодействующая F\ внутренних сил,
приложенных в этой точке, определяется векторной суммой
в которой Fit, представляет воздействие на точку М* со сто-
стороны точки М/г, также включенной в систему; звездочка при
знаке суммы указывает, что слагаемое, для которого k = iy при
суммировании исключается. По закону равенства действия и
противодействия имеем
F'ik = -FU A=1, 2, ..., п\ fe=l, 2, ..., п\ 1ФК).
Согласно теореме Вариньона (§11) главный момент совокупно-
совокупности сходящихся сил относительно произвольной точки О равен
моменту равнодействующей силы относительно той же точки;
применяя эту теорему к точке М/, получаем выражение момента
внутренних сил, приложенных к этой точке,
г*
mo (F'i) = ?" то {F'ik)'
fe=l

160 ГЛ XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Составим теперь геометрическую сумму моментов всех внутрен-
внутренних сил
п п п
Слагаемые этой двойной суммы будем рассматривать попарно:
tnQ(F'ik} и mo(F'ki). Эти моменты представляют собой векторы,
равные по величине и противоположные по направлению, т. е.
дающие равную нулю векторную сумму; сказанное следует из
того, что силы F'ik и F'ki равны по величине и направлены в
противоположные стороны по прямой, соединяющей точки Mi и
Mk. Итак, векторная сумма моментов всех внутренних сил равна
нулю:
п
Em (F'\ = 0 A6)
Теорема об изменении момента количества движения в при-
применении к точке М^ согласно уравнению E), записывается в
виде
dk.
Просуммировав эти уравнения по всем точкам системы и учи-
учитывая соотношение A6), получим
A7)
Главным моментом количеств движения системы относи-
относительно центра (или кинетическим моментом) называется вектор-
векторная сумма моментов количеств движения всех входящих в си-
систему материальных точек относительно того же центра. Обо-
Обозначая главный момент количеств движения через К, т. е., по-
полагая
п п
K = ?iki=Y4riXmivh A8)
по A7) получаем
dt m ' ^1у/
где
Zo(i)triXFi B0)

§ ИЗ. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 161
обозначает главный момент внешних сил, приложенных к си-
системе (§ 13); при К = 0 возвращаемся к известному условию
равновесия в статике — главный момент приложенных сил ра-
равен нулю.
Формула A9) выражает теорему об изменении глав-
главного момента количеств движения системы ма-
материальных точек, или, короче, теорему моментов:
Векторная производная по времени от главного момента ко-
количества движения системы равна взятому относительно того же
центра главному моменту внешних сил, приложенных к системе.
Проектируя уравнение A9) на неподвижные оси, получаем
т. е. производная по времени от главного момента количеств
движения системы относительно некоторой оси неизменного на-
направления равна главному моменту внешних сил относительно
этой оси.
Если внешние силы лежат в одной плоскости, например, с
осью Ох, то
при этом
Кх = const B2)
и имеет место теорема сохранения главного момен-
момента количеств движения системы относительно
ос и:
Главный момент количеств движения системы относительно
оси сохраняет постоянное значение, если главный момент внеш-
внешних сил относительно этой оси равен нулю.
При обращении в нуль главного момента внешних сил отно-
относительно некоторой точки главный момент количеств движения
системы К относительно этой точки будет иметь постоянную
величину и неизменное направление.
Теореме об изменении главного момента количеств движе-
движения можно придать геометрическую форму, если заметить, что
производная вектора по времени представляет собой скорость
конца этого вектора на его годографе; в частности, вектор
*~? B3)
представляет собой скорость конца вектора К, если началом
вектора является неподвижный центр моментов О. Теорема об
изменении главного момента количеств движения, таким обра-
образом, дает
K = ri°\ B4)
6 Л, Г. Лойцянский, А, И, Лурье

162
ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
т. с. скорость конца вектора главного момента количеств дви-
движения системы материальных точек относительно некоторого
центра равна главному моменту относительно того же центра
внешних сил, приложенных к системе. Теорема об изменении
момента количеств движения в этой геометрической форме носит
наименование теоремы Резаля A828—1896). Отметим, что ве-
величина К, как следует из B4), имеет размерность момента силы
(Н-м), так как изображает скорость конца отрезка, представ-
представляющего вектор К, т. е. величину, измеряемую в Н-м-с.
§ 114. Главный момент количеств движения твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Ог (рис. 291) и вычислим главный момент количеств движения
твердого тела относительно этой
оси.
Момент количества движения мате-
материальной точки массы mi относительно
оси Ог будет
А
вспоминая, что Vi = co/i*, где й = ф — уг-
угловая скорость, получим
k.z = ©m Af = шт. (*| + yf). B5)
Рис. 291. Главный момент количеств движения
относительно оси будет, согласно A8),
равен алгебраической сумме этих выражений для всех точек
системы
Е Х>. B6)
Величина
Е
Х
/, = t ЩЩ = t
, (xj + у*),
B7)
т. е. сумма произведений масс частиц тела на квадраты их рас-
расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела
относительно этой оси. Момент инерции зависит только от фор-
формы тела и расположения масс в нем, но не зависит от состояния
движения тела.
Момент инерции тела имеет размерность массы, умноженной
на квадрат длины (кг-м2), так что отношение
JJM,

§ 115. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ 163
где М — масса тела, имеет размерность квадрата длины. Обо-
Обозначим его через р2:
P2 = lb ^ = Mp2. B8)
Величина р называется радиусом инерции тела относительно
оси Oz.
Возвращаясь к формуле B6), получаем
K2 = JZ&, B9)
т. е. главный момент количеств движения твердого тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно этой оси ра-
равен произведению момента инерции тела относительно той же
оси на взятую со знаком плюс или минус угловую скорость вра-
вращения тела.
Моменты количества движения твердого тела относительно
осей х и у, перпендикулярных к неподвижной оси вращения г,
в общем случае не равны нулю. Поэтому было бы ошибкой счи-
считать, что вектор главного момента количеств движения К твер-
твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, направлен
по этой оси.
Формулы, служащие для вычисления проекций главного мо-
момента количеств движения К твердого тела, вращающегося во-
вокруг неподвижной точки, приводятся далее в § 141. Из них, в
частности, сразу же (при со* = а>у — 0) следуют выражения
проекций Кх и Ку вектора К для случая вращения вокруг не-
неподвижной оси Oz.
§ 115. Вычисление моментов инерции; моменты инерции
относительно параллельных осей
Вычисление моментов инерции однородных тел правильной
геометрической формы производится с помощью методов инте-
интегрального исчисления. В случае тел, не имеющих правильной
формы, моменты инерции определяются или экспериментально,
или приближенно путем вычислений, для чего данное тело раз-
разбивают на несколько тел, имеющих правильную геометрическую
форму. О способах экспериментального определения моментов
инерции будет сказано ниже.
По определению момента инерции имеем
При непрерывном распределении масс следует заменить mi на
dm, hi — на расстояние А рассматриваемого элемента массы dm
6*

164 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
до оси, относительно которой берется момент инерции. Сумма
заменяется интегралом, распространенным по всей массе М тела
/2= ^ h2dm. C0)
(Af)
Обозначая плотность через б*), элемент объема через dx, будем
иметь
dm = 6 dx, J2 = Jj A26 dx.
В случае однородного тела имеем б = М/х = const; следова-
следовательно,
/7
1
>|
dh
!
C1)
(т)
Рассмотрим некоторые частные
M'~WM// случаи.
Рис. 292. а) Момент инерции одно-
однородного тонкого стержня
постоянного сечения относительно оси, перпендикулярной к
стержню и проходящей через его конец. Согласно формуле
C1) имеем (рис. 292)
^hdx j\hdIi Ml\ C2)
(т)
так как в рассматриваемом случае dx = a dh, х = а/, где а —
площадь поперечного сечения стержня; интегрирование по объ-
объему заменяется интегрированием по длине. По B8) радиус инер-
инерции стержня будет
М
б) Момент инерции однородного кругового
цилиндра относительно его оси. За элемент объема примем
цилиндрический слой, образуемый двумя коаксиальными ци-
цилиндрами радиусов h и h-\-dh (рис. 293). Получим
dx = H . 2nh dh,
R
2nMH f f3 ,, tiMHR*
Ufl = "
2т
б
*) Это обозначение принято потому, что общепринятое обозначение плот-
плотности р здесь уже использовано для столь же общепринятого обозначения
радиуса инерции.

§ 115 ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
С другой стороны,
следовательно,
165
C3)
где # —радиус цилиндра.
Момент инерции полого цилиндра с внешним радиусом R и
внутренним /?о найдем как разность моментов инерции сплош-
сплошных цилиндров этих же радиусов:
.1R2 -
Итак, момент инерции полого цилиндра равен
где М — масса полого цилиндра.
C4)
Рис. 294.
в) Моменты инерции однородного тела вра-
вращения. Примем ось вращения за ось Oz и будем пользоваться
цилиндрическими координатами г, г, <р. Сечение тела плоскостью
меридиана, т. е. плоскостью, проходящей через ось вращения,
ограничено кривой С (рис. 294); пусть уравнение этой кривой на
участке NiNfN2
а на участке

166 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Момент инерции тела относительно оси Oz равен (М — масса
тела, т — объем его)
Ш) (t)
в цилиндрических координатах элемент объема dx равен
dx — rdr dq> dz.
Получаем
2Я 22 Гп 2,
/2 = б\ dq>\ dz \ r3dr = 6-~\ {[Ы*)]4-~ [f 1 (z)]4} ^-
%j \j %j <& j
0 21 Г' 2,
Если известна масса тела Л4, то, замечая, что 6 = М/х и
ГЛ 22
tej rdr = n J {[/2 (^)]2 — [f! (-г)]2} rfa,
(t) б Zx Г' 2,
получаем
22
\ {\Н (г)]2 - IU (г)]2} dz
C5>
Для вычисления моментов инерции относительно осей Ох и
Оу, перпендикулярных к оси вращения, заметим, что для тела
вращения
J J J
Ш) (М) (М)
так как расположения масс относительно осей Ох и Оу не отли-
отличаются друг от друга. Получаем
\ J J
(Af) (Af) (Af)
Остается вычислить интеграл
\ I z*{[f2(z)]2-[fx(z)]2}dz.

§ 115. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Подставляя вместо б ее значение, находим
167
{[/2 (*)]2 - [fi (г)]*} dz
2l
{lh(z)]2-[fi{z)]4dz
C6)
г\
Для тела вращения момент инерции 1г относительно оси вра-
вращения называют аксиальным моментом инерции, а момент инер-
инерции относительно оси, перпендикулярной к оси вращения и про-
проходящей через центр тяжести тела, — экваториальным моментом
инерции.
Применим формулу C5) к случаю ко-
конуса. Имеем (рис. 295)
Z\ = О, z2 = К
а вычисление по формуле C5) дает
'dz
Рис. 295.
Располагая оси Ох и Оу в плоскости основания конуса, по C6)
также найдем
h
Ч
r\(\-zlhfdz
Рассмотрим еще случай шара
^(рис. 296). Применение формулы C5) рИс. 296.
привело бы к излишне сложному вычис-
вычислению; поэтому воспользуемся следующим приемом. Вследствие
симметрии имеем
z2dmf
Ш)
Ш)

168 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
и, следовательно,
\ x2 + y2)dm = \ (y2 + z2)dm = $ (z2 + х2)dm = |/0,
ДО) ДО) Ш)
где /о — полярный момент инерции
/0= J (A;2 + ^ + 22)rfm= J r2dm.
ДО) ДО)
За dm можно принять элементарную массу, заключенную между
двумя концентрическими сферами радиуса г и r + dr:
dm = — 4яг2 dr = -^g- т2 dry
где Л1 — масса, R — радиус шара. Получаем
я
о
Для полого шара получаем аналогично
где /?о — внутренний,, а /? — внешний радиус.
Момент инерции однородного цилиндра или призмы произ-
произвольного поперечного сечения относительно оси Ог, параллель-
параллельной образующим цилиндра (призмы) и перпендикулярной к его
основаниям, не зависит от высоты цилиндра ft. Действительно,
в этом случае выражение элемента массы dm имеет вид
dm = — dx dy dz = -=т- dz dx dy,
T oft
где S — площадь поперечного сечения. Поэтому
(S)
Величина
(S)
не зависящая от z, представляет собой полярный момент инер-
инерции площади поперечного сечения цилиндра (призмы), причем
полюсом является точка пересечения оси Oz с плоскостью

§ 115. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Моменты инерции однородных тел
169
Таблица 5
Форма тела
Схемати-
Схематическое
изображение
Момент
инерции /
Радиус инерции р
Стержень весьма ма-
малого поперечного се-
сечения
Ml2
3
V§"
. 0,577/
Круглая пластинка
весьма малой толщи-
толщины
Mr2
0,5 г
Прямоугольный парал-
параллелепипед (относи-
(относительно оси симмет-
симметрии)
Ь '
м
12
2 л/3 ~~
— 0,289 л/а2 + Ь2
Полый шар со стенкой
весьма малой тол-
шины
VF
г = 0,81бг
Круглый диск и круго-
круговой цилиндр (отно-
(относительно оси)
Mr2
2
Л/2
0,707г
Круговой цилиндр (от-
(относительно попереч-
поперечной оси)
~
V
I2 + Зг2
12
Шар
0,632 г

170 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Продолжение-
Форма тела
Тор
Схемати-
Схематическое
изображение
Момент
инерции /
Радиус инерции р
0,5 д/4Я2 + Зг2
сечения. Эта величина имеет размерность четвертой степени
длины. Итак,
h
C7)
где р5 — полярный радиус инерции сечения. Величина А не вхо-
входит в выражение C7), что и доказывает сказанное.
Например, в случае прямоугольного параллелепипеда со сто-
сторонами а, Ь, А момент инерции относительно оси г, проходящей
через центр основания параллельно
ребру А, равен по C7)
а/2
ЬП
= -W \ dx
-а/2
-Ы2
М
12
Рис. 297.
У В табл. 5 приведены моменты инер-
инерции некоторых тел. Более подробные
таблицы можно найти в справочных
изданиях.
Докажем теорему о моментах инерции относительно парал-
параллельных осей (теорему Гюйгенса — Штейнер а):
Момент инерции тела относительно некоторой оси равен мо-
моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей че-
через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела
на квадрат расстояния между осями.
Введем две системы осей: Охуг и Cx'y'z', причем вторая си-
система имеет начало в центре масс С тела, а оси ее параллельны
соответствующим осям первой системы. Через а, Ь, с обозначим

§ 115. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ 171
координаты центра инерции С в системе осей Oxyz; тогда
(рис. 297)
будет расстоянием между осями Oz и Cz'. Координаты точки Mi
в рассматриваемых системах осей связаны соотношениями
*t = К + a, Vt = y\ + b, z. = zj + с.
По определению момента инерции имеем
1г = ? mt {x) + yj) - ? mt [(< + af + {y\ + 6J] -
= IJ mt {x? + у?) -г («2 + b2) ? mt + la ? mrf + 2b ? m.y't.
Остается заметить, что
n n
Z mtx\ = Mx'c =0, Ys тьу\ == My'c = 0,
так как началом системы осей Cx'y'z* является центр масс тела.
Обозначив далее
? mt = М, ? т, {х? + у?) - /2„
где М — масса тела, Jzf — его момент инерции относительно оси
Cz', придем к требуемому соотношению
C8)
Очевидным следствием доказанной теоремы является то, что
момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс
тела, меньше момента инерции относительно любой другой па-
параллельной осн.
В качестве примера найдем момент инерции однородного
прямоугольного параллелепипеда относительно его ребра. Имеем
в этом случае
12 4
и по формуле C8) получим
Более подробные сведения о моментах инерции будут при-*
ведены в гл. XXVI.

172
ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
§ 116. Уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси
Приложенные к телу заданные внешние силы обозначим че-
через F\, F2, ..., Fn (рис. 298). Кроме этих сил, к числу внешних
принадлежат также реакции Ni и N2 закрепленных точек О{ и
О2; моменты этих реакций относительно
оси вращения равны нулю. Поэтому в пра-
правую часть уравнения моментов количеств
движения относительно оси Ог войдут толь-
только моменты заданных сил Fi. Подставив
в последнее из уравнений B1) вместо Кг
выражение B9), получим (в = со— угловое
ускорение тела)
ф = mz = S тг (Ft).
C9)
Мы получили дифференциальное урав-
Рис. 298. нение вращения твердого тела вокруг не-
неподвижной оси. Оно представляет полную
аналогию с дифференциальным уравнением прямолинейного
движения точки
тх =
ix-
D0)
Из сопоставления этих уравнений видно, что момент инерции
в уравнении C9) вращательного движения твердого тела играет
ту же роль, что масса в уравнении D0) прямолинейного движе-
движения материальной точки. Таким образом, момент инерции ха-
характеризует инертность тела при вращательном движении. Вы-
Выводы и предложения, относящиеся к прямолинейному движению
точки (и поступательному прямолинейному движению тела)
могут быть перенесены на случай твердого тела, вращающегося
вокруг оси, если заменить:
слово абсцисса словами угол поворота,
« скорость « угловая скорость,
« ускорение « угловое ускорение,
« масса « момент инерции,
« сила « момент силы.
Эта аналогия представляет собой частный случай так назы-
называемых обобщенных координат, скоростей, ускорений и др. (см»
далее § 142).

§ 116. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 173
Допустим теперь, что
из C9) находим со = const. Иными словами, вращение тела с
постоянной угловой скоростью (по инерции) имеет место в том
случае, когда главный момент относительно оси вращения всех
сил, приложенных к телу, равен нулю. Так, при равномерном
вращении вала машины моменты движущих сил и сил сопротив-
сопротивления равны по величине. Если первый момент превосходит по
величине второй, то угловая скорость машины возрастает; обрат-
обратное имеет место, когда момент движущих сил меньше момента
сил сопротивления, и машина замедляет ход. Вращение с по-
постоянным угловым ускорением возможно, если вращающий мо-
момент
тг=?тг(Рд D1)
t=i
имеет постоянное значение.
Имея в виду указанную аналогию между движением твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и прямолинейным
движением материальной точки, не будем останавливаться на
примерах, относящихся к первой задаче динамики и покажем
несколько примеров решения второй задачи динамики, относя-
относящейся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси.
Будем искать закон вращения твердого тела при действии за-
заданного вращающего момента и начнем с простейшей задачи
определения времени Та, по истечении которого твердое тело, на-
находящееся в состоянии покоя, приобретает под действием по-
постоянного вращающего момента т^ заданную угловую ско-
скорость со0.
Из дифференциального уравнения вращения
сразу же получаем
и, следовательно,
Т —
п
Примем ©о за угловую скорость вращения тела в некотором
режиме и назовем ее номинальной угловой скоростью; Та будет

174 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
временем разгона *) до номинальной угловой скорости при дей-
действии постоянного вращающего момента m(z0). В общем случае
действия на тело какого угодно вращающего момента тг диф-
дифференциальное уравнение вращения
тг
бывает удобно выразить в безразмерных величинах. Для этого
вводят в рассмотрение относительную угловую скорость
¦-¦
представляющую собой отклонение угловой скорости от номи-
номинального значения, выраженное в долях последнего; обозначим
буквой |л относительное значение вращающего момента:
<**>
Дифференциальное уравнение вращения примет вид
Г«* = |*, D5)
где время разгона Та вычислено для принятых значений номи-
номинальной угловой скорости шо и вращающего момента т^\
Пример 99. Маховое колесо приводится во вращение электромотором
постоянного тока, зависимость вращающего момента которого от угловой
скорости дается соотношением
М
—•О-¦?¦)•
где Мо — вращающий момент при 65 = 0, g>i—угловая скорость холостого
хода (при © = ©i вращающий момент М = 0 и электромотор не совершает
полезной работы). Принимая момент трения в подшипниках Мтг известным,
найти закон изменения угловой скорости колеса.
Главный момент всех сил относительно оси вращения маховика будет
тг = Mo (l — -Jr- J — Мтр = MQ — MTp — MQ ---.
За номинальное значение ©0 угловой скорости примем значение E, обращаю-
обращающее выражение пгг в нуль, т. е.
_ Мо — Мтр
Тогда по D3) будем иметь
mz - (Af о - Мтр) A - -~-} == - (Мо - Мтр) ф.
*) Термин, принятый в теории регулирования машин.

§ 116. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 175
Полагая
mf=*MQ-MTr
получаем по D4)
ц = — -ф>
и уравнение вращения в безразмерной форме D5) принимает вид
Гаф = -ф. D6)
Его решение будет
Начальное значение угловой скорости © примем равным нулю, тогда по
D3) ф = —1 при t = 0, и мы получаем
причем время разгона определяется по D2) и будет равно
т — 7^о — г ®>
40)
Время разгоне Та в рассматриваемой задаче представляет промежуток
времени, по истечении которого
-ф = 1 © = ш0 A — е~1) = О,632о5о.
Угловая скорость тела по истечении времени Та станет приблизительно рав-
равной 63% от ее номинального значения.
При t -> оо имеем i|) -> 0, т. е. угловая скорость приближается к номи-
номинальному значению ©0, определенному выше.
Пример 100. Разгон электрического двигателя по-
постоянного тока. Вращающий момент электрического двигателя по-
постоянного тока представляется формулой
где /я — величина тока в якоре двигателя, Ф — магнитный поток, См — по-
постоянная величина. Обозначая через Мтр момент сопротивления на валу
якоря и через Jz его момент инерции относительно оси вращения, можем
написать уравнение вращения якоря в форме
/гй = М-Мтр = СЛ1Ф«я-Мтр. D7)
К зажимам двигателя подведено напряжение е\ уравнение электриче-
электрической цепи якоря может быть записано в форме
е ^ L* ЧГ + *я/я + СеФ5>' D8)
выражающей, что внешнее напряжение е затрачивается на преодоление
электродвижущей силы самоиндукции LadiH/dt, омических потерь
R*i* и обратной электродвижущей силы СеФю. Чере* LH, Rn, Св обозначены
соответственно самоиндукция, омическое сопротивление цепи якоря и по-
постоянный коэффициент пропорциональности в выражении обратной электро-
электродвижущей силы. В дальнейшем будем считать, что магнитный поток Ф и
внешняя электродвижущая сила е сохраняют постоянные значения.

176 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим сначала установившийся режим работы двигателя, в кото-
котором угловая скорость и величина тока в цепи якоря имеют постоянные зна-
значения ©0 и /д и приведенные выше уравнения принимают вид
СМФ/°Я - Мтр - 0, е- Ля/2 + СеФ% D9)
Введем в рассмотрение безразмерные величины [ср. D3)]
Тогда, заметив, что
перепишем уравнения D7) и D8) в виде
Свободные члены (не содержащие ф, | и их производные) сокращаются на
основании уравнений D9), с помощью которых был определен установивший-
установившийся режим. Получаем однородную систему двух линейных дифференциальных
уравнений первого порядка
*<Л* - СМФ1% Ljli + Rjll + СеФ&^ = 0. E0)
Исключим из этих уравнений ?, для чего продифференцируем первое
уравнение по времени и подставим в него значение g из второго уравнения;
тогда получим
Заменив в этом соотношении ? его значением из первого уравнения D1),
будем иметь
Введем теперь обозначения
т
при которых уравнение E1) примет вид
Ф + -|г- + ~т%г- « 0 E3)
Постоянные Га и Гя имеют размерность времени. Чтобы выяснить их
смысл, предположим, что двигатель заторможен, т. е. со0 = 0. Из второго
уравнения E0) получим
и сравнение с уравнением D6) позволяет заключить, что Тя является по-
постоянной времени («временем разгона») электрической цепи якоря.

116. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
177
Примем, что можно пренебречь индуктивностью L% цепи якоря; тогда
7Я = 0, и уравнение E3) будет
т. е. Та представляет собой время разгона электродвигателя при пренебре-
пренебрежении индуктивностью электрической цепи якоря.
Интегрирование уравнения вида E3) рассмотрено в § 98, характер дви-
движения существенно зависит от соотношений между постоянными времени Та
и Гя. Остановимся на предположении, что
Та > 4ГЯ.
Тогда общее решение будет иметь вид
ф — e'nt (fix ch У — k2 t + C2 sh <y/n2 — & /),
E4)
где
1
T*
k2--
i
Угловая скорость якоря будет изменяться апериодически. Если же соблю-
соблюдается неравенство противоположного знака
Та < 4ГЯ,
то угловая скорость изменяется по закону затухающих колебаний. В том и в
другом случае при ?-*оо имеем М>->0 и \|)->0, т. е. по первому уравнению
E0) и определению величин \|) и g
~ ~и- я "я* у
Таким образом, установившийся режим теоретически
наступает по истечении большого промежутка времени
от начала движения, каковы бы ни были начальные
условия. Практически состояние электродвигателя будет
уже мало отличаться от установившегося по истечении
конечного промежутка времени, тем меньшего, чем
меньше Тя-
Пример 101. Определение момента
инерции по способу крутильных коле-
колебаний Испытуемое тело подвешивается в центре масс
С на проволоке к неподвижной точке О (рис. 299).
Проволока закручивается на некоторый угол, после
чего тело предоставляется самому себе, Предполагая,
что тело будет совершать крутильные колебания вокруг
оси ОА проволоки, составить дифференциальное урав-
уравнение вращения гела.
Момент силы тяжести относительно оси вращения
равен нулю, так как эта ось вертикальна. Моментом
сил сопротивления воздуха, а также сил сопротивления, возникающих в ма-
материале проволоки при колебаниях пренебрегаем Не учитываем также массы
проволоки. Момент упругих сил проволоки, пропорциональный углу ее за-
закручивания, принимается равным — гф, причем коэффициент пропорциональ-
пропорциональности с зависит от размеров проволоки и упругих свойств ее материала.
Обозначая через / момент инерции тела относительно оси О А, получаем
дифференциальное уравнение гармонических колебаний
/фея — сф, E5\

178 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
и выражение периода колебаний будет
Для определения постоянной с находят период крутильных колебаний То на
той же проволоке эталонного тела с известным моментом инерции /0 относи-
относительно оси О А. Имеем
Таким образом,
Пример 102. Колебания магнитной стрелки в одно-
однородном магнитном поле. Поместим в однородное магнитное поле
элементарный магнитный диполь, т е. воображаемый магнит, магнитные
массы которого +т и —m сосредоточены в его концах, отстоящих друг о г
друга на расстояние / (рис. 300); пусть ось маг-
магнита составляет угол <р с направлением магнит-
магнитного поля. Если обозначить через Н напряжен-
напряженность поля, т. е. силу, действующую на единицу
положительной магнитной массы, помещенной в
магнитное поле, то к концам элементарного маг-
магнита будут приложены равные и противоположна
направленные силы тН и —тН. Эти силы обра-
образуют пару, момент которой по величине равен
mlH sin ф = МН sin ср.
Произведение ml = М называется магнитным
моментом диполя. Приведенная формула имеет
место и для всякого физического магнита, если
под М понимать магнитный момент этого магнита,
т. е. сумму моментов элементарных магнитных
диполей, на которые можно мысленно разложить
физический магнит.
Допустим теперь, что магнит, помещенный в магнитное поле Земли, мо-
может вращаться вокруг вертикальной оси Ог, проходящей через центр тяже-
тяжести магнита. Сила Н будет в зтом случае горизонтальной составляющей маг-
магнитного поля Земли, ее направление определит магнитный меридиан в данном
месте, и угол ф будет отсчитываться теперь от плоскости эгого меридиана.
Обозначим через Iг момент инерции магнита относительно оси вращения.
Дифференциальное уравнение вращения магнита будет
/гф = — МН sin ф;
оно отличается от уравнения колебаний математического маятника A2)
только заменой постоянной gll на МН/Jg, Поэтому период малых колебаний
магнита определится формулой A5):
Рис. 300.
МН
Момент инерции h не может быть с достаточной точностью определен
путем вычисления вследствие неоднородностей материала магнита. Поэтому
/* находят опытным путем. Для этого определяют сначала период Т\ малых

§ 117. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
179
колебаний магнита, а затем, присоединив к магниту эталонное тело правил >-
ной геометрической формы с известным моментом инерции /^ относительна
оси вращения, находят новый период колебаний Г2. Имеем в первом и в го-
ром случаях
{~~ МН '
МН
откуда
— 1 •
§ 117. Малые колебания физического маятника
Физический маятник представляет собой тяжелое твердое
тело произвольной формы, имеющее неподвижную горизонталь-
горизонтальную ось вращения; эта ось называется осью подвеса маятника.
Пусть плоскость чертежа (рис 301) представляет верти-
вертикальную плоскость, перпендикулярную к оси подвеса и прохо-
проходящую через центр тяжести С тела. Рас-
Расстояние ОС центра тяжести от оси под-
подвеса обозначим через s, угол между ОС
и вертикалью Ох — через ср. Радиус инер-
инерции тела относительно оси, параллель-
параллельной оси подвеса и проходящей через
центр масс С, обозначим через р; тогда
момент инерции относительно оси под-
подвеса, согласно C8), будет
Если пренебречь силами сопротивле-
сопротивления воздуха и моментом трения в оси, то
внешними силами, приложенными к телу,
будут реакция оси и сила тяжести G. Но
момент реакции относительно оси под- Рис. 301.
веса равен нулю, момент же силы тя-
тяжести равен — Gssiri9. Дифференциальное уравнение враще-
вращения тела принимает вид
-_ gs
ф Р2 + *
sin
В уравнение колебаний математического маятника вместо
gs/(p2 + s2) входило g/l. Поэтому длина / эквивалентного по
периоду математического маятника («приведенная длина физи-
физического маятника») будет
E6)

180 ГЛ. ХХШ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Период малых колебаний определяется формулой
E7)
Вдоль ОС отложим от оси подвеса отрезок ОО\ = /. Прямая,
проходящая через конец О\ этого отрезка параллельно оси под-
подвеса, называется осью качаний физического маятника.
Отметим свойство взаимности этих двух осей. Для вывода
его перепишем уравнение E6) в виде
Обозначая корни этого квадратного уравнения через s и s', бу-
будем иметь
s + s' = /, ss' = p2. E8)
Величины 5 и s' входят в эти соотношения симметрично. По-
Поэтому данную длину I эквивалентного математического маят-
маятника, или, что то же, данный период колебаний Т можно полу-
получить, поместив ось подвеса на расстоянии 5 или на расстоянии
s' от центра тяжести тела; в первом случае ось качаний будет
находиться на расстоянии s' = I — s, а во втором — на расстоя-
расстоянии s — l — s' от центра тяжести. Иными словами, ось качаний
станет во втором случае осью подвеса, а ось подвеса — осью
качаний. Это свойство физического маятника используется в
оборотном маятнике, служащем для определения ускорения
силы тяжести g. Построение отрезка s' по известным s и р по-
показано на рис. 301.
Теория физического маятника является исторически первой
разрешенной задачей динамики системы. Интерес к этой задаче
возник в связи с вопросом об усовершенствовании часов. Созда-
Создание теории физического маятника на заре развития динамики
принадлежит Гюйгенсу A629—1695).
По экспериментально определенному периоду малых коле-
колебаний физического маятника можно вычислить его момент инер-
инерции относительно оси подвеса; этим пользуются при экспери-
экспериментальном определении моментов инерции тел. Зная расстоя-
расстояние от оси подвеса до центра тяжести тела, найдем момент
инерции Jz тела относительно оси, параллельной оси подвеса
и проходящей через центр тяжести С. Вычисление проводится
по формуле E7), из которой по известным Т и s находим р2, а
потом JZQ:
Т2

§ 118. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ УДАРОВ 181
§ 118. Влияние внешних ударов
на главный момент количеств движения системы
Пусть на систему материальных точек начинают в момент
времени to действовать мгновенные силы, прекращающие свое
действие в момент to + т = ty где т — весьма малый промежуток
времени. Результатом действия мгновенных сил будет, как из-
известно, резкое изменение скоростей точек системы, а следова-
следовательно, и ее главного момента количеств движения.
В течение короткого промежутка времени т действия мгно-
мгновенных сил следует пренебречь действием всех прочих сил,
кроме мгновенных; поэтому, записывая равенства A9) и B0)
для этого промежутка времени, будем под внешними силами
Ft подразумевать только мгновенные силы, а под mo(Fi) =
— riXFi — моменты этих сил.
Из уравнения A9) получаем
или, интегрируя в пределах от /0 до t,
i-1
где К и Ко — значения главного момента количеств движения
в моменты t и to. Вспоминая, что за время действия мгновенных
сил можно пренебречь перемещениями точек системы, иными
словами, что вектор-радиусы r-t можно при интегрировании счи-
считать постоянными, получаем
i t
to U
t
где St — \ Ftdt — импульс мгновенной силы F,-. Таким обра-
и
зом, будем иметь
К - Ко = ? ft X St = Z то(8г), F0)
i=i i=i
т. е. векторное приращение главного момента количеств движе-
движения системы за время удара равно векторной сумме моментов
импульсов всех внешних мгновенных сил (ударов).
Если, в частности, речь идет о вращении твердого тела во-
вокруг неподвижной оси, то, проектируя уравнение F0) на ось

182
ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
вращения (ось Ог), получаем
— so)=
Z
F1)
где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения Ог,
ш и ©о — угловые скорости его в моменты t и to; в правой части
уравнения стоит сумма моментов импульсов внешних мгновен-
мгновенных сил относительно оси Oz\ отметим, что к числу таких сил
принадлежат и мгновенные силы реакций в подшипниках, появ-
появляющиеся вследствие действия мгновенных сил; в уравнение
F1) импульсы этих реак-
реакций не входят, так как их
моменты относительно оси
вращения равны нулю.
Пример 103. Два шкива
вращаются в одной плоскости во-
вокруг своих осей с угловыми скоро-
скоростями ©ю и ©го (рис. 302). Опре-
Определить угловые скорости 6, и ©2
после того, как на шкивы будет
накинут ремень. Радиусы шкивов
равны соответственно R\ и R2; их
моменты инерции J\ и /г. Сколь-
Скольжением ремня пренебрегаем.
Применяя формулу F0) к вращению первого шкива, имеем
Л ((Si — ©ю) =SR\,
где S — импульс мгновенной силы натяжения ремня (помимо этого импульса,
к шкиву приложен импульс мгновенной реакции оси; его момент относительно
оси вращения равен нулю). Для второго шкива получим
/2 (©2 — ©20) = — SR2,
и так как скольжение ремня отсутствует, то
Таким образом,
откуда находятся ©i и ©2.
§ 119. Главный момент количеств движения в неподвижной
и в движущейся системах отсчета
©2 ©1 Л#2в>10
В выражение главного момента количеств движения
п
К — ? г, X
F2)
входят величины, определяющие абсолютное движение точек
-системы, т. е. вектор-радиусы rt и скорости Vi относительно не-

§ 119. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ В ДВИЖУЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА 18&
подвижной (или любой инерциальной) системы отсчета Oxyz,
по отношению к началу О которой вычислен вектор К.
Введем наряду с абсолютной системой Oxyz движущуюся
систему Orx'y'z'\ вектор-радиус начала О' этой системы относи-
относительно начала О неподвижной системы обозначим через г0,
скорость точки О' — через v0 = f0; угловую скорость системы
O'x'y'z* обозначим через <о*.
Пусть г\ — вектор-радиус некоторой точки Мг по отноше-
отношению к О'. Тогда
т^г, + г\ F3)-
и после подстановки в F2) выражение К разобьется на два
слагаемых:
К = г0 X Е тЛ + S т\ X mtvr F4)
В первом члене вектор г0, одинаковый для всех слагаемых, стоя-
стоящих под знаком суммы, вынесен за знак этой суммы. Вспоминая
определение главного вектора количеств движения
F5)
/»i
( vc — скорость центра масс, M=J^ шг — масса системы ),
получаем
К = г0Х<? + |>;Хт^. F6)
По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость v-L
точки Mi определяется соотношением
г,. = V(r) + v(e) = V(r) + Vq + ©• х г'р F7)
где v{p — относительная скорость этой точки, т. е. ее скорость
в подвижной системе Oxfy'z\ a v^ — переносная скорость, т. е.
скорость точки системы O'x'y'z' с вектор-радиусом п. Как ука-
указано в формуле F7), переносная скорость складывается из двух
слагаемых: скорости v0 начала О' подвижной системы и враща-
вращательной скорости (о* X rj. Остается подставить выражение ско-
скорости F7) во второе слагаемое правой части F6).
Рассмотрим частный случай, когда начало О' подвижной
системы осей помещено в центр масс рассматриваемой системы

181 ГЛ. ХХТП. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
материальных точек, а подвижная система движется поступа-
поступательно, т. е. а>* = 0. Тогда
и подстановка в F6) дает
п / п \
К = гс X Q + Z г\ X m.v^ + ( Z ^r; X vc. F9)
В рассматриваемом случае последнее слагаемое в правой
части этого равенства будет равно нулю. Это следует из опре-
определения центра масс. В самом деле, согласно этому определе-
определению и соотношению F3) имеем
п п п
Мгс — Z miri = X mt (r0 + r't) = r,M
так что
n
S mLr\ = M (rc - r0) == Mr'c, G0)
S
где г'с — вектор-радиус центра масс относительно начала по-
подвижной системы О'х'у'г'. Но, по предположению, гс ===== г0, т. е,
гс = § и, следовательно,
Введем еще обозначение
G1)
Этот вектор представляет собой главный момент количеств
движения системы материальных точек в их относительном дви-
движении в подвижной системе Ofx'y'z\ вычисленный относитель-
относительно начала О' этой системы. По F9) получаем
K', G2)
т. е. главный момент количеств движения системы материальных
точек относительно некоторого неподвижного центра равен век-
векторной сумме момента относительно этого центра главного век-
вектора количеств движения системы, помещенного в центр масс9
и главного момента относительно центра масс количеств движе-
движения материальных точек в их относительном движении в си-
системе, поступательно движущейся вместе с центром масс.
Вернемся теперь к общему случаю. Подставив выражение
F7) для скорости vi во второе слагаемое правой части

$ 119. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ В ДВИЖУЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
соотношения F6), получим по G0) и G1)
Е г\ X т^ = t Л X mtvf + (t mtr\) X v0 +
+ L mtr\ X («>* X r'\ = K' + r'cXMv,+ ^ m/, X (©* X <).
Итак, при произвольно движущейся системе O'x'y'z' получаем
K = r0XQ + K' + r'cXMv0+t mtr\ X (©* X r^). G3)
Если, в частности, система материальных точек представ-
представляет собой твердое тело, имеющее угловую скорость о>, а си-
система осей O'x'y'z' неизменно связана с этим телом, т. е.
<о* = о>, G4)
то по отношению к этой системе осей твердое тело неподвижно,
т. е. вектор К' = 0. Формула G2) примет вид
Л\ Т у\ V ""I"" f y\ NlVft "Т" Т. ttl-T • /\ \ (& у\ Т • |. ('О/
Если при этом начало подвижной системы помещено в центр
масс твердого тела, то второе слагаемое в G5) исчезает (r'Q = 0)
и мы получаем
К = гс X Q + t my X (© X г;). G6)
Известно (§ 64), что движение твердого тела в общем случае
можно рассматривать как результат сложения поступательного
движения его вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг
этого полюса. Формула G6) показывает, что если за полюс
принят центр масс тела, то можно разбить вектор К на два сла-
слагаемых, соответствующих этим двум движениям. Итак, главный
момент количеств движения твердого тела относительно непо-
неподвижного центра равен векторной сумме момента относительно
этого центра главного вектора количеств двиоюения тела, поме-
помещенного в его центр масс, и главного момента относительно
центра масс количеств движения тела в его вращении вокруг
центра масс.
Пример 104. Определить главный момент количеств движения относи-
относительно неподвижной оси Oz системы, изображенной на рис. 303, состоящей из
двух тел: из рамки /, вращающейся вокруг оси Oz с угловой скоростью &е и
несущей подшипники оси Cz\ и из тела //, вращающегося вокруг оси Czf с
угловой скоростью сог относительно рамки. Центр тяжести тела // располо-
расположен на оси Cz'. Расстояние между осями Oz и Cz' равно с.

186
ГЛ. ХХШ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Имеем
где К^ — момент количеств движения относительно оси Oz рамки /, а
К^ — момент относительно той же оси количеств движения тела //. По фор-
формуле B9) имеем (/i — момент инерции рамки /
относительно оси Oz)
Для вычисления^2* применим формулу G6);
первое ее слагаемое дает
так как Мгс(Ье представляет величину вектора
количества движения тела //, равную произведе-
произведению его массы М2 на величину скорости ше цен-
центра масс [формула B6) § 102]. Проекция на
ось Oz второго слагаемого в формуле G6) в рас-
рассматриваемом примере будет равна
где /2 — момент инерции тела // относительно оси
Рис. 303. Cz'- Получаем
Kz — ih + М2с2) (Ье + /2 (<ов + <5Г). G7)
Пример 105. В эпициклическом механизме (рис. 304) подвижное ко-
колесо // радиуса г2 катится без скольжения по неподвижному колесу / ра-
радиуса Г\. Колесо // приводится в движение
кривошипом ///, вращающимся с угловой ско-
скоростью из вокруг неподвижной оси О\. Соста-
Составить выражение момента количеств движения
Кг системы относительно неподвижной оси Ох
вращения кривошипа.
Имеем
где момент количеств движения кривошипа
Рис. 304.
а /3 — момент инерции кривошипа относитель-
относительно его оси вращения, проходящей через точку
О\. Момент относительно той же оси количества движения колеса // по G6)
будет
причем /2 — момент инерции колеса // относительно оси, проходящей через
точку О2, т2 — его масса, й2 г— абсолютная угловая скорость колеса. Она оп*
ределяется из соотношения
г2),

§ 120. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС 187
выражающего равенство линейных скоростей точки О2) если рассматривать
ее как принадлежащую одновременно колесу // и кривошипу IIL
Получаем
Кг - [/3 + h Г'*Г2 + пь (Гг + г2J] из.
§ 120. Теорема об изменении главного момента количеств
движения системы относительно центра масс
В левой части выражения теоремы моментов
^ = "*@) G8)
заменим главный момент количеств движения К его выраже-
выражением G2), а в правой части выразим главный момент т<°>
внешних сил относительно неподвижного центра О через глав-
главный момент этой системы сил т(С) относительно центра масс С,
Для этого используем соотношение, доказанное в статике (§ 17):
m(O) = m(C) + rcXV\ G9)
где V — главный вектор системы сил.
Получаем
^ f (80)
Теперь заметим, что
и воспользуемся выражением F5) главного вектора количеств
движения Q, причем учтем, что re = Vc. Получим
Далее, по теореме об изменении количества движения (§ 102)
имеем
Q = V.
Таким образом,
|(rcXQ) = rcXV,
и соотношение (80) дает
окончательно

Г8 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Итак, производная по времени от главного момента коли-
количеств движения системы материальных точек относительно
центра масс в их относительном движении в системе отсчета,
движущейся поступательно вместе с центром масс, равна глав-
главному моменту внешних сил относительно центра масс.
Таким образом, теорема об изменении главного момента ко-
количеств движения сохраняет формулировку в относительном
движении по отношению к центру масс, причем количества дви-
движения точек системы и их моменты вычисляются в системе осей,
движущейся поступательно вместе с центром масс.
В том случае, когда движущаяся система материальных то-
точек представляет собой твердое тело, можно в левой части G8)
заменить К его выражением G6). Тогда, повторив проведенное
выше рассуждение, снова придем к уравнению (81), если под
К' будем понимать второе слагаемое в G6), т. е. вектор
К' —Zm,rJx(©XrO, (82)
равный главному моменту количеств движения твердого тела
относительно его центра масс.
§ 121. Теорема о сохранении главного момента
количеств движения
При равенстве нулю главного момента внешних сил относи-
относительно некоторой неподвижной точки (т<0) = 0) главный мо-
момент количеств движения К относительно этой точки должен
оставаться постоянным, т. е. сохранять неизменные величину и
направление. То же самое на основании теоремы предшествую-
предшествующего параграфа может быть повторено в случае обращения в
нуль главного момента внешних сил относительно центра масс
системы (т<с) = 0). Тогда неизменные величину и направление
будет сохранять главный момент К' количеств движения си-
системы относительно центра масс в системе отсчета, движущейся
поступательно вместе с центром масс.
Если момент внешних сил относительно неподвижной точки
О (или центра масс С) не равен нулю, но обращается в нуль его
проекция на ось неизменного направления Ог (или Сг), то не-
неизменной при движении будет проекция главного момента Кг
(или Кг) на эту ось.
Солнечная система, т. е. Солнце, планеты и их спутники,
представляет собой пример изолированной системы: силы взаим-
взаимного притяжения между телами, входящими в систему, явля-
являются внутренними силами, внешние же силы, если пренебречь
действием неподвижных звезд, отсутствуют. Возьмем звездную
координатную систему, т. е. направим оси координат к трем

§ 121. ТЕОРЕМА О СОХРАНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТА 189
«неподвижным» звездам. Главный момент количеств движения
К Солнечной системы относительно ее центра масс должен
оставаться постоянным по величине и сохранять неизменное
направление в звездной системе координат. Направление век-
вектора К определяет перпендикулярную к нему плоскость, назы-
называемую неизменяемой плоскостью планетной системы. Сущест-
Существование этой плоскости было установлено Лапласом A749—
1827).
Ранее уже было указано на невозможность перемещения че-
человека по абсолютно гладкому полу. Возникает вопрос, может
ли стоящий на абсолютно гладком полу человек повернуться
вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести.
Внешними силами, приложенными к человеку, являются
сила его тяжести и реакция пола. Обе эти силы вертикальны,
и их моменты относительно вертикальной оси Сг равны нулю;
по предположению, отсутствует и трение. Итак,
откуда следует, что
Постоянная равна нулю, так как сначала человек неподви*
жен. Предположим теперь, что человек начнет вращать над
головой руку с угловой скоростью 0ь описывая ею круги в го-
горизонтальной плоскости. Если обозначить через J\ момент инер-
инерции руки относительно оси Сг, то момент количества движения
относительно этой оси будет /l&r, тело человека начнет вра-
вращаться в противоположную сторону так, чтобы момент коли-
количества движения тела компенсировал момент количества дви-
движения руки. Обозначим через /г момент инерции тела человека
относительно оси Сг, через (Ь2 — его угловую скорость. Получим
откуда найдем
Чтобы ускорить вращение тела, нужно или увеличить сЬи или
же увеличить )ь для чего человек должен взять в руку какой-
либо предмет, например длинный стержень или вращающееся
колесо. Для иллюстрации сказанного служит опыт Жуковского.
Круглая площадка может поворачиваться вокруг вертикальной
оси, причем влияние трения сведено к минимуму; человек, стоя-
стоящий на площадке и имеющий в руке вращающееся колесо или
просто вращающий руку, будет поворачиваться вместе с пло-
площадкой в сторону, противоположную вращению колеса.

190
ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Способность кошки, падающей с большой высоты лапками
вверх, переворачиваться в воздухе во время падения и стано-
становиться на землю также может быть объяснена с точки зрения
теоремы сохранения момента количеств движения. Внешняя
сила — сила тяжести — не создает момента относительно центра
тяжести. Быстро вращая хвостом, кошка поворачивает свое тело
в противоположную сторону: момент количеств движения в отно-
относительном движении по отношению к центру тяжести остается
при этом равным нулю, как и в начале падения.
Акробат, совершающий сальто, отталкиваясь от земли, сооб-
сообщает своему телу угловую скорость вокруг горизонтальной оси,
проходящей через центр тяжести его тела. Так как внешняя
сила —сила тяжести — приложена в центре тяжести, момент ко-
количеств движения относительно этой оси сохранит постоянное
значение. Акробат может изменить свою угловую скорость, под-
поджимая ноги и руки и уменьшая тем самым момент инерции
своего тела относительно горизонтальной оси, проходящей через
центр тяжести; угловая скорость
при этом увеличивается, так как
произведение ее на момент инер-
инерции должно оставаться постоян-
постоянным.
Cfc
_, о ^
О
„ с ^
В1
Рис. 305.
Пример 106. Рамка АВА\ВХ мо-
может вращаться вокруг проходящей через
ее центр тяжести вертикальной оси Oz;
в рамке симметрично относительно оси
Ог укреплены вертикальные оси двух
одинаковых дисков массы т (рис. 305).
Момент инерции рамки относительна
оси Ог равен /ь момент инерции каж-
каждого диска относительно собственной
оси равен /2. Сначала система находится
в покое, а затем диски начинают вра-
вращаться в одну сторону с одинаковыми
угловыми скоростями (Ьг относительно
рамки. Чтобы осуществить это, не вводя внешних по отношению к системе
сил, в рамке имеется (не показанный на рисунке) часовой механизм, отпу-
отпускающий в некоторый момент первоначально напряженную пружину. Опре-
Определить угловую скорость рамки.
При вычислении главного момента количеств движения системы относи-
относительно оси Ог используем результат § 119. Удваивая в формуле G7) сла-
слагаемые, определяющие главный момент количеств движения тела (//), по-
получаем
Кг = Л&в + 2/2 (©б + ©г) + 2тс2&е.
Заметив теперь, что главный момент количеств движения системы относи-
относительно оси Ог должен оставаться постоянным и равным нулю, получим
2/2Eг
®«-~" 2/, + Л + 2mc2 #
Знак минус указывает, что рамка вращается в сторону, противоположную
вращению дисков.

§ 122. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МОМЕНТОВ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
191
§ 122. Применение теоремы моментов к сплошной среде.
Уравнение Эйлера теории турбомашин
В качестве примера применения теоремы моментов к сплош-
сплошной среде приведем вывод известного уравнения Эйлера теории
турбомашин, выражающего вращающий момент, сообщаемый
рабочему колесу турбины протекающей сквозь него жидкостью.
В дальнейшем будем предполагать, что колесо вращается с по-
постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной оси.
Применим теорему моментов к совокупности частиц жидко-
жидкости, заполняющей в момент времени t один из каналов между
лопастями турбин. Имеем
dKz
dt
•mz,
где triz — главный момент относительно оси турбины (верти-
(вертикальной оси Oz) внешних сил, приложенных к рассматривае-
рассматриваемому объему жидкости. Этими
внешними силами являются си-
сила тяжести жидкости и реак-
реакции на нее стенок канала. Но
момент силы тяжести относи-
относительно оси Oz равен нулю, и,
следовательно, mz является
моментом реакции стенок; по-
последний же равен по величине
и противоположен по знаку
искомому вращающему мо-
моменту га *,отнесенному к одно-
одному каналу колеса; получаем
ml
• — mz = —
dt
Рис. 306.
Остается вычислить dKz. Жидкость, заполняющая в момент
t канал abed (рис. 306) к моменту t + dt получит некоторое пе-
перемещение, причем частицы, находившиеся в сечении ab> зай-
займут положение а\Ь\\ частицы, занимавшие положение ed, ока-
окажутся в e\d\.
Обозначим через М секундный массовый расход, т. е. массу
жидкости, протекающую через канал в единицу времени.
В момент времени t главный момент количеств движения
частиц жидкости в канале относительно вертикальной оси (пер-
(перпендикулярной к плоскости чертежа) можно представить со-
состоящим из двух слагаемых:
а) главного момента количеств движения Кг жидкости в
объеме аЬаф\\

392 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
б) главного момента количеств движения в объеме a\b\ed.
Если обозначить через С\ абсолютную скорость жидкости
(относительно Земли, а не относительно вращающегося канала)
при входе в колесо, то при обозначениях, указанных на рис. 304,
получим
K'z = M dt r x
В момент времени / + dt главный момент количеств движе-
движения жидкости, занимающей теперь объем a\b\e\du будет сла-
слагаться из:
а) главного момента количеств движения К2 частиц жид-
жидкости в объеме ede\d\\
К" — Mdt r2c2 cos a2,
причем с2 — абсолютная скорость жидкости в выходном сечении
канала;
б) главного момента количеств движения жидкости в объеме
a\b\ed.
Считая угловую скорость турбины постоянной и движение
установившимся, мы должны принять, что скорости и, следова-
следовательно, моменты количеств движения жидкости в объеме a\b\ed
одинаковы для двух рассматриваемых моментов времени t и
/ + dt. Поэтому приращение dKz момента количеств движения
за промежуток времени dt будет обусловлено только разностью
моментов количества движения объемов ede\d\ и аЬафи По-
Получаем
dKz = К"х — К'г = М dt (r2c2 cos a2 — rxcx cos a});
отсюда находим искомый вращающий момент
1 IS
га* = jf- = M (r{c{ cos a, — r2c2 cos a2). (83)
Вращающий момент оказывается не зависящим от формы ка-
канала и обусловливается значениями величин и направлений
абсолютных скоростей жидкости во входном и выходном сече-
сечениях. Формула (83) дает выражение момента, вращающего тур-
турбину, если под м подразумевать секундный массовый расход
жидкости через все каналы колеса турбины.
Аналогично тому, как это было сделано в конце предыдущей
главы (в конце § ПО), применим теорему об изменении мо-
момента количеств движения системы к произвольному объему т,
ограниченному поверхностью а. Замечая, что момент количе-
количества движения элемента объема бх относительно некоторого
центра О будет равен г X v Ьт = г X р*> 6т, где г, по предыду-

§ 122. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МОМЕНТОВ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 193
щему, вектор-радиус элемента объема 6т, будем иметь выраже-
выражение главного момента количеств движения в виде суммы (ин-
(интеграла)
*= \(rXpvNx. (84)
(т)
Сохраняя обозначения F и рп для плотностей распределения
внешних объемных сил по объему т, а поверхностных сил (на-
(напряжений) по поверхности, будем иметь векторное представле-
представление теоремы об изменении момента количества движения в
движущемся объеме т:
^lt \ $ $
(т) (х) (а)
^lt \ <г Хрг;)бт = $ г XpF6r + $ г Хр„6а. (85)
( () ()
Интеграл, стоящий в левой части этого равенства, в разверну-
развернутом виде может быть записан так:
$ 4f X Р^бт + $
(т) (t)
Заметим, что второй интеграл в правой части здесь равен
нулю, так как dr/dt = v, a v X v = 0. Третий интеграл также
равен нулю в силу равенства d(p6x)/dt = 0, выражающего за-
закон сохранения массы 6т = рбт.
Таким образом, получим
$$(^) (86)
(г) (т)
Сложнее обстоит дело с преобразованием интеграла по поверх-
поверхности \ г X рп 6<? в интеграл по объему. Используя равенство
(а)
Коши (§ 30), будем иметь в проекциях на оси координат а еди-
единичными векторами *, /, k
\ (г X Рп)хЬ° = 5 (г X лР)* 6а - J [у(цР)ж - г (иР),] да,
() ()
\ 5 J
(а) (а) (а)
7 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

194 ГЛ. XXIII. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
или, вспоминая определение произведения вектора на тензор
«слева» (§ 33),
(о)
==z\[y (nxPxz + ПуРуг + ^гРгг) — z (ПхРху + ПуРуу + ^гРгу)] бог =
(а)
= J [^х (УРхг — ^Рх^) + Лу (УРуг — Zpyy) + Пг (ургг — Zpzy)] до.
(а)
Применяя в правой части формулу Гаусса — Остроградского
преобразования интеграла по поверхности в интеграл по объему
(§ 37), перепишем предыдущее равенство в форме
)
()
откуда, замечая, что ду/ду = dz/dz = 1, а ду/dz = dz/ду = О,
получаем
<0)
дрхг . дру2 dpZz\ (дРху друу дргу
м
дх
(х)
Напомним формулы проекций Div P на оси координат:
дх 1 ду 1 дг '
Тогда предыдущее равенство приведется к виду
J (г X Р„),вог = J [(г X Div Р)л + pyz - pzy] бт
(а) (т)
и аналогично в проекциях на другие оси:
(г X рп)у бог = \ [(г X Div Р)у + Pzx — Pxz\ fa>
(a) (i)
\ (г X Pn)z 5<т = 5 [(г X Div Р)г + рху - рух] бт.
(<j) (t)

§ 122. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МОМЕНТОВ К СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 19$
Умножая обе части этих трех равенств соответственно на
единичные векторы осей координат i, /, k и почленно складывая
результаты, находим
(а)
= \ (г X Div Р) 6т + J [(р99 - pzy) г + (р2Х - pxz) / +
(т) <т)
+ (р*„-р,,*)*]вт. (87>
Вернемся к основному уравнению (85). Подставляя в него
выражения (86) и (87) интегралов, стоящих в левой части и на
последнем месте в правой части, получаем
= \ [(Руг - Pzy) i + (Pzx ~ Pxz) 1 + (Pxy — Pyx
A
Величина, стоящая в круглых скобках в левой части, обращается
в нуль в силу уравнения динамики «в напряжениях» [уравнение
(86) гл. XXII], так что левая часть предыдущего равенства рав-
равна нулю. В силу произвольности выбора объема т предыдущее
равенство приведется к векторному равенству
(Pyz — Pzy) i + (Pzx — Pxz) J + (Pxy — Pyx) k = 0
или к равенствам в проекциях
Pyz = Pzy> Pzx — Pxz> Рху~Рух> (88)
в которых нетрудно узнать уже знакомые нам по § 31 выраже-
выражения теоремы о взаимности касательных напряжений или усло-
условия симметричности тензора напряжений, справедливые как в
статике, так и в динамике сплошной среды при отсутствии, ко-
конечно, распределенных объемных пар, о чем уже упоминалось
в§ 31.
Итак, теорема об изменении момента количества движения
системы дала три дополнительных равенства (88). Это приводит
к уменьшению числа неизвестных в уравнениях динамики
«в напряжениях» на три, что все же сохраняет его незамкну-
незамкнутость, о которой шла речь в конце предыдущей главы.
7*

Глава XXIV
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
§ 123. Работа силы. Мощность
Для характеристики действия силы на материальную точку
на протяжении некоторого пути вводится мера этого действия,
называемая работой силы.
Работа W силы F, имеющей постоянные величину и направ-
направление, на прямолинейном перемещении и определяется как про-
f изведение величины F силы на величину и
г перемещения и на косинус угла а между
ними, т. е. (рис. 307)
W = Fu cos a. A)
х , Если сила перпендикулярна к перемеще-
" 2Г нию, то а = я/2, cos a = 0 и работа равна
Рис. 307. нулю; если сила направлена по перемещению,
то а = 0, cos a = 1 и работа равна произведе-
произведению величины силы на величину перемещения, и, наконец, если
сила направлена против движения, то cos а = —1, работа равна
произведению величины силы на величину перемещения, но про-
произведение уже берется со знаком минус. Таким образом, в опре-
определении работы учитывается зависимость эффекта действия
силы от направления ее по отношению к перемещению. По
определению A) работа равна скалярному произведению век-
торов силы и перемещения:
W = F-u. B)
Измеряется работа в джоулях (Дж), равных 1 Н-м.
Отметим некоторые свойства, непосредственно следующие из
определения работы как скалярного произведения силы и пе-
перемещения.
а) Работа постоянной по величине и направлению силы F,
имеющей проекции Fx, Fy, Fz на оси Oxyz, на перемещении и
с проекциями их, иу, иг на те же оси равна

§ 123. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ 197
б) Работа равнодействующей нескольких сил, приложенных
к движущейся точке, равна сумме работ слагаемых сил на
общем для них перемещении точки приложения сил. Если к
точке, совершающей перемещение иу приложены силы Fu F2t
Fz, ... с равнодействующей /?, то работа равнодействующей
равна
в) Работа силы на совокупности последовательных переме-
перемещений равна работе силы на результирующем перемещении.
Доказательство аналогично предыду-
предыдущему.
Данное выше определение работы
обобщим на случай силы, переменной
по величине и направлению, и криво-
криволинейного пути. Характер этого обоб-
обобщения основан на общих приемах ана-
анализа бесконечно малых.
Сначала введем в рассмотрение по-
понятие элементарной работы. Будем оп-
определять положение точки М на кри-
кривой М\М2 (рис. 308) дугой s, отсчиты- Рис. 308,
ваемой от точки Afi. Вектор-радиус
г точки М будет вектор-функцией r(s) от s, и элементарное
перемещение по бесконечно малой дуге ds определится беско-
бесконечно малым вектором
Работа силы F на этом элементарном перемещении, или эле-
элементарная работа 8W, определится выражением
61Г = F • dr = F ds cos a = Fx dx + Fy dy + F2 dz. C)
Работу силы на конечном пути М\М2 найдем как сумму
элементарных работ на отдельных бесконечно малых путях, т. е.
как интеграл
WU2= jj F-dr= jj Fcosads. D)
Mi Mi
Индексы при W показывают, что работа вычисляется на
пути от положения М\ до положения М2. Интегрирование в вы-
выражении D) производится по величинам, отнесенным к беско-
бесконечно малым дугам кривой М\М2. Интеграл D) называется
криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги кривой от точки

198 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Mi до точки М2. Он определяет циркуляцию вектора F по дуге
М\М2. Такие интегралы часто встречаются в различных вопросах
механики, гидродинамики и электродинамики. Работа силы на
криволинейном пути равна циркуляции силы по этому пути.
Заменив дугу М\М2 замкнутым контуром С, в котором точки
М\ и М2 совпадают, получим работу силы F на замкнутом кон-
контуре С. Она определяется контурным интегралом
.dr, E)
носящим название циркуляции вектора F по замкнутому кон-
ТУРУ С (в частности, циркуляции силы по замкнутому контуру).
Этот интеграл, вообще говоря, отличен от нуля. Случай равен-
равенства нулю циркуляции силы по замкнутому контуру рассматри-
рассматривается далее.
Покажем, что вычисление работы по формуле E) может
быть сведено к вычислению простого определенного интеграла.
Для этого предположим, что движение точки задано уравне-
уравнением
* = М0, У = Ы0, * = МО. F)
и, кроме того, задан закон изменения силы в зависимости от
изменения времени, координат и скорости:
FX = FX((; х, у, z\ х, у, z),
Fy = F2(t; x, у, z; i, у, z), G)
Fz = F3(t; x, у, z; x, у, z).
Тогда, написав выражение D) элементарной работы силы через
проекции силы и перемещения на оси координат
W = Fxdx + Fydy + Fzdz (8)
и подставив всюду вместо х, у, z и х, у, г их выражения через
время t, получим
=Fx[t; мо, МО. МО; fi@. /5@. ft
или, вынося dt за скобку,
где Ф@ — известная функция времени, равная

§ 123. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ' 199
Чтобы найти работу на пути М\М2, надо просуммировать
значения 8W\ таким образом, будем иметь
^1.2 =
М
где t\ и U — моменты, соответствующие прохождению движу-
движущейся точкой положений М\ и М2. Задача свелась к вычисле-
вычислению определенного интеграла по аргументу t.
Обозначение элементарной работы через 8W объясняется
тем, что символ dW мог бы привести к неправильному пред-
представлению об элементарной работе как дифференциале от не-
некоторой функции W. Если бы движение происходило по пря-
прямой, например по оси Ох, и сила являлась функцией одного
только х, то элементарная работа
действительно представляла бы дифференциал от величины
В общем же случае выражение
6W = Fxdx + Fydy + F2dz
не представляет собой полного дифференциала и символ б сле-
следует понимать только как символ бесконечно малой величины,
а отнюдь не дифференциала.
В дальнейшем будет выяснено наличие частных классов
сил, элементарная работа которых является полным дифферен-
дифференциалом некоторой функции от координат точки.
Желая охарактеризовать работу с точки зрения времени, в
течение которого она производится, вводят понятие мощности
как отношения произведенной работы к протекшему времени
или как работы, отнесенной к единице времени. Обозначая мощ-
мощность через N, можем написать
N = 4r = F'4f=F ' ^ = FxVx + Fyvy + F2vz. (9)
Мощность равна скалярному произведению векторов силы и
скорости.
За единицу мощности принят ватт (джоуль в секунду),
1 Вт = 1 Дж/с.

200
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В случае движения системы точек работу и мощность опре-
определяют как сумму работ или мощностей сил, приложенных к
отдельным точкам системы, т. е. по формулам
A0)
Ь2 = Х \
*1Щ
= ? (Fixvix + Fiyviy + Fizvi2).
§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях
а) Работа силы тяжести материальной точки
и сил тяжести системы материальных точек.
Вычислим работу силы тяжести G отдельной материальной точ-
точки. Пусть точка М (рис. 309) массы т переместилась по неко-
некоторой траектории L из точки М\ в точ-
точку М2. Элементарная работа на пере-
перемещение dr будет равна
6W=-G-dr = Gxdx + Gydy + Gz dz,
н0 ПРИ выбранном направлении осей
так что элементарная работа имеет
вид полного дифференциала:
A1)
Рис. 309.
Полная работа силы тяжести на конечном участке траекто-
траектории М\М2 будет равна
\
Замечая, что разность ординат z\ — z2 определяет разность
высот начального и конечного положений точки над горизон-
горизонтальной плоскостью хОу (причем эта разность положительна,
если точка опускается вниз), можем высказать положение:
Работа силы тяжести материальной точки равна произведе-
произведению силы тяжести на разность высот начального и конечного
положений точки, причем работа положительна, если конечное
положение ниже начального, и отрицательна — в противном
случае. В частности, если точка вернется вновь на ту же высоту
над горизонтом, то работа силы тяжести будет равна нулю.
Важно заметить, что работа силы тяжести не зависит от
формы траектории, по которой точка перешла из начального

§ 124. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ 201
положения в конечное; работа определяется весом и начальным
и конечным положениями точки. Это свойство силы тяжести
оказывается характерным и для широкого класса других сил,
которые в дальнейшем получат наименование потенциальных
или консервативных; отметим, что элементарная работа силы
тяжести выражается полным дифференциалом некоторой функ-
функции координат, и именно поэтому работа на конечном участке
оказалась не зависящей от формы траектории.
В случае системы материальных точек работу силы тяжести
следует определить как сумму работ сил тяжести отдельных
точек, составляющих систему, т. е.
^г,2 = L Gt (zi{ — zi2) = I Zj GtZi I — I iLr GtZi
-l
Здесь индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному
положениям системы. Вспоминая определение центра тяжести
(§ 26)
где Zc — ордината центра тяжести, a G = Mg (M — общая
масса системы), находим
п
WU2 = G (zcl — 2С2) = Mg(zCi — zC2), M = ? mt. A2)
*«i
Учитывая, что в данном случае центр тяжести совпадает с цен-
центром масс, мы приходим к следующему выводу: работа сил тя-
тяжести на конечном участке пути при любом движении системы
равна произведению суммарной силы тяжести системы на раз-
разность высот начального и конечного положений центра масс
системы, причем работа отрицательна при поднятии центра
масс и положительна при опускании его. При вычислении ра-
работы силы тяжести любую систему материальных точек, как бы
ни было сложно ее движение, можно рассматривать как мате-
материальную точку, которая находится в центре масс, в которой
сосредоточена вся масса системы и к которой приложена сила
тяжести всей системы. Это положение еще раз подчеркивает
значение понятия центра масс в динамике.
б) Работа сил, приложенных к абсолютно
твердому телу. Пусть силы Fb F2> ..., Fn приложены к
твердому телу в точках Ми М2, ..., Мп. Выбирая произвольную
точку тела О за полюс и обозначая вектор-радиус i-й точки тела
через OMt = rrv получаем

202 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
т. е. перемещение drt точки Мц равно геометрической сумме пе-
перемещения полюса drQ и перемещения поворота бХг* вокруг
полюса (в — бесконечно малый вектор поворота). Элементар-
Элементарная работа силы F, будет
bWt = Ft. drt = Ft • dr0 + Ft • FX r\).
Второе слагаемое, согласно свойству скалярно-векторного
произведения, может быть записано в виде
обозначим через dtp бесконечно малый угол поворота тела во-
вокруг его мгновенной оси, т. е. величину вектора поворота. Тогда
получим
в • т0 (Fi) = т0 (F^ cos (m0, в) dq>.
Но согласно известной теореме статики проекция момента силы
относительно точки на какую-либо ось, проходящую через точ-
точку, равна моменту силы относительно этой оси; поэтому преды-
предыдущее выражение представляет произведение бесконечно ма-
малого угла поворота dy на момент силы F,- относительно оси L,
параллельной мгновенной оси и проходящей через полюс О.
Находим
bWt = Ft • dr0 + т0 (Ft) ¦ в = Ft • dr0 + mL (Ft) rfcp. A3)
Элементарная работа всех сил будет
f>W = (t Ft) • dr0 + [ Z m0 (F,)] • О =
= (t f) • dr0 + [t mL (F()\ dy.
n
Обозначая через V = Z Ft главный вектор совокупности
сил, через m@) — ее главный момент относительно полюса О и
через тпь — главный момент относительно оси L, получим
6W = V • drQ + m«» • в = V • dr0 + mLdy. A4)
В частном случае поступательного движения твердого тела
61$7=V-tfr, A5)
где dr — элементарное перемещение, одинаковое для всех то-
точек тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть
это будет ось Oz), выбирая за полюс точку, лежащую на оси
вращения, получим dr0 = 0 и, следовательно,
mAd<Q. A6)

§ 124. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ 203
В случае плоского движения твердого тела имеем
6W = V-drQ + m2dq>, A7)
где тг — главный момент совокупности сил относительно оси
Oz, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей че-
через полюс О.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки век-
вектор в бесконечно малого поворота определяется, как следует
из § 61, следующей формулой:
где fe, л, kf — единичные векторы соответственно неподвижной
оси Oz, линии узлов ON и подвижной оси Oz\ a dty, rf'O1, dqp —
дифференциалы углов прецессии, нутации и чистого вращения.
Получаем
6W = т<°> • в = т2 dty + tnN d$ + mz dcp,
где
mz = m«» kt mN = m<°> • n, mz> = m<°> • V A8)
представляют собой главные моменты совокупности сил отно-
относительно трех указанных (не взаимно ортогональных!) осей.
В общем случае движения твердого тела получаем
= V • dr0 + mz d^ + mNdft + mz> dqp. A9)
Работа сил, приложенных к твердому телу, выражается че-
через главный вектор и главный момент этих сил. Работа вну-
внутренних сил взаимодействия частиц твердого тела равна нулю,
так как главный вектор и главный момент этих сил равны нулю.
в) Работа упругой силы. Остановимся сначала на
случае прямолинейного движения, т. е. будем рассматривать
схему упругой пружины (§ 95), коэффициент жесткости кото-
которой обозначим через с. Вычислим, какую работу произведут
упругие силы при растяжении конца пружины на длину / из
натурального (нерастянутого) состояния.
Вспоминая, что при удлинении пружины на х проекция силы
упругости на ось х равна —сх, получаем
и, следовательно, полная работа силы упругости при переходе
конечной точки пружины из положения М\ с абсциссой х\ в по-
положение М2 с абсциссой х2 определится интегрированием:
М2 х2
М Xi

204
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Работа силы упругости пружины при переходе конца ее из
натурального положения (х=0) до некоторого отклонения /
будет равна
WrOtl-—^——ip/f B0)
где через Р обозначена нагрузка, соответствующая удлинению /.
Работа упругой силы при переходе точки, к которой прило-
приложена сила упругости, из положения, соответствующего недефор-
мированному состоянию, в данное деформированное оказалась
пропорциональной квадрату перемещения. Работу Wo,\ можно
также выразить как произведение перемещения на силу, равную
среднему арифметическому сил упругости до деформации и в
конечный момент деформации.
Рис. 310.
Упругие постоянные материала и геометрические размеры
деформируемого тела (пружины) входят в формулу B0) через
коэффициент жесткости с. Последний может быть определен
как отношение силы Р, приложенной к пружине, к производи-
производимому ею статическому удлинению /ст:
р
/ст "
Рассмотрим теперь работу силы упругости при движении
точки по любой кривой. Предположим, что к точке, выведенной
из положения О, соответствующего отсутствию деформации, при-
приложена сила упругости, направленная к центру О и пропорцио-
пропорциональная удалению точки от этого центра (рис. 310). Такая сила
будет действовать, например, на массу Му закрепленную на
отклоненном от положения равновесия свободном конце упру-
упругого стержня (рис. 311), другой конец которого заделан, при

§ 124. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ 205
условии, что моменты инерции поперечного сечения стержня
относительно любой оси, расположенной в плоскости этого се-
сечения, равны друг другу. (Таково, например, круглое сечение.)
Тогда проекции силы упругой реакции изогнутого стержня на
две взаимно перпендикулярные оси х, у, лежащие в плоскости
поперечного сечения стержня, будут пропорциональны смеще-
смещениям х, у конца оси стержня:
Fx = — ex, Fy = — су,
причем постоянная с, одинаковая по условию для любых на-
направлений, определится по формуле
3EJ
с — -
/3
где / — длина стержня, / — момент инерции поперечного се-
сечения относительно оси, лежащей в этом сечении, Е — модуль
нормальной упругости.
Обозначая вектор-радиус точки М через г и коэффициент
упругости через с, будем иметь
F = — cr. B1)
Элементарная работа силы F равна
Подобно силе веса элементарная работа силы упругости пред-
представляется полным дифференциалом, а следовательно, работа
упругости на конечном участке М\М2 легко вычисляется и ока-
оказывается равной
Результат получается аналогичный случаю прямолинейного
движения: работа силы упругости при отклонении из недефор-
жированного состояния пропорциональна квадрату отклонения
от этого состояния.
Как и в случае силы тяжести, работа силы упругости зависит
не от траектории, а только от начального и конечного положе-
положений точки. Если начальное и конечное положения точки нахо-
находятся на одном и том же расстоянии от центра, то работа на
соответствующем перемещении равна нулю. При удалении от
центра работа упругой силы отрицательна, при приближении к
центру — положительна.
Аналогичным путем определяется работа упругих сил при
кручении. Если сечение упругого вала (проволоки, нити) закру-

206 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
чено на угол ср по отношению к недеформированному сечению,
то образующийся в этом сечении момент упругих сил относи-
относительно оси вала пропорционален углу кручения, т. е.
где коэффициент k зависит от упругих свойств тела, геометри-
геометрических размеров сечения и его положения, причем знак минус
показывает, что момент всегда создает вращение, противопо-
противоположное закручиванию (упругие силы стремятся восстановить
равновесие). Элементарную работу момента кручения найдем
по формуле A6):
и, следовательно, полная работа при кручении от начального
угла ф1 до конечного угла ф2 будет
Ф2
Ф1
что аналогично выражению B2).
§ 125. Кинетическая энергия системы материальных точек.
Теорема Кёнига
Мера движения материальной точки, называемая кинетиче-
кинетической энергией, определяется формулой
T = ^mv\ B3)
в которой через m и v обозначены соответственно масса и вели-
величина скорости рассматриваемой точки. Очень часто кинетиче-
кинетическую энергию называют живой силой (лучше избегать этого тер-
термина, так как речь идет не о силе, а об энергии).
Кинетической энергией системы материальных точек назы-
называется сумма кинетических энергий всех входящих в систему
точек
Кинетическая энергия, согласно этому определению, явля-
является существенно положительной величиной, обращающейся в
нуль лишь в том случае, когда скорости всех входящих в си-
систему точек обращаются в нуль, т. е. в случае покоя системы.
Так как квадрат величины вектора может быть представлен
как скалярное произведение вектора на самого себя, то формулы

§ 126. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ТОЧЕК 207
B3) и B4) могут быть переписаны в виде
T = Lmv.v B5)
в случае одной материальной точки и
п
г=у ?«,»,•», B6>
в случае системы материальных точек.
Как это следует из определения B3), за единицу кинетиче-
кинетической энергии следует принять
1кг-м2/с2=1 (кг*м/с2)-м = 1 Н-м=1 Дж,
т. е. ту же единицу, что и для работы.
При вычислении кинетической энергии оказывается полез-
полезным прием разложения движения системы на поступательное
движение ее вместе с центром масс и относительное движение
вокруг центра масс. Докажем следующую теорему:
Кинетическая энергия системы материальных точек равна
сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно со-
сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью
центра масс, и кинетической энергии системы в ее относитель-
относительном движении по отношению к поступательно движущейся си-
системе отсчета с началом в центре масс:
T = ±Mvl + T'. B7)
Эта теорема была установлена голландским математиком
С. Кёнигом A712—1757).
В формуле B7) через М обозначена масса всей системы,,
через Vc — скорость ее центра масс; кинетическая энергия си-
системы в ее относительном движении равна
h(v{PT> B8)
где v{p — величина скорости массы т* по отношению к систе-
системе, поступательно движущейся с центром масс.
Отбросим сначала предположение, что начало О поступа-
поступательно движущейся системы Ox'y'z' взято в центре масс дви-
движущейся системы материальных точек.
Абсолютную скорость vi точки системы представим как гео-
геометрическую сумму ее относительной скорости v{p в системе
Ox'y'z' и переносной скорости v^\ т. е. скорости точки системы,
через которую в рассматриваемый момент проходит точка Мгг

208 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
при поступательном движении системы скорости всех ее точек
одинаковы; поэтому, обозначая через v0 скорость начала О
этой системы, имеем
vf = v0 B9)
и далее
Vi==v(r) + VQ. C0)
Подстановка этого выражения в B6) дает
п
Т = Т Z mi«' + vo) • К> + vo) =
i-l
т t mi w+i wo - *p+т
п
Теперь, заметив, что YJ mi = Mf вынося за знаки сумм множи-
тели, не зависящие от /, и воспользовавшись обозначением B8),
получим
п
Ггр/ | м \ 1 ... _1г\ I 1
Преобразуем выражение суммы, стоящей во втором слагае-
слагаемом в правой части этой формулы. Для этого вспомним, что по
формуле B0) § 104
? ту. = м(гс — г0). C2)
С другой стороны, при поступательном движении системы
Ox'y'z'
чЛг) L' /'QQ^
Поэтому, продифференцировав выражение C2) по времени и
заметив что
f"c== ^с> '"о=== ^о»
где vc — скорость центра масс, a v0 — скорость начала системы
отсчета, получим
t
= M(vc- v0) = Mv<r\ C4)
где v{?\ согласно C0), представляет собой скорость центра масс
по отношению к движущейся системе Ox'y'z'. Подстановка в

§ 126. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 2С9
C1) приводит теперь к соотношению
Т _ Г + MvQ • vg> + -j- Afog. C5)
Это представление выражения кинетической энергии в ряде
случаев может оказаться полезным, но чаще всего -следует
предпочтительнее принять за начало отсчета подвижной системы
осей центр масс движущейся системы; тогда
и из C5) получаем теорему в вышеприведенной формулировке
B7):
Отметим, что в C5) через V обозначена кинетическая энер-
энергия системы в ее движении относительно поступательно дви-
движущейся системы Ox'y'z' с началом в точке О, а в B7) — такая
же величина, но при условии, что началом системы отсчета яв-
является центр масс.
§ 126. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела
Ограничимся рассмотрением простейших случаев движения
твердого тела. В случае поступательного движения твердого
тела, обозначая через v скорость, одинаковую для всех точек
тела, согласно формуле B4) находим
?тЕЯ||-"тл|* C6)
-1 *~1
где М — масса тела.
В случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz, обо-
обозначая угловую скорость через со и расстояние элементарной
массы mi от оси вращения — через hu имеем
Vi = (oh(9
и формула B4) дает
п
т = т Z
1-Х
где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения.
В случае плоского движения твердого тела относительным
движением по отношению к поступательно движущимся осям
является вращение тела с его угловой скоростью ю. Поэтому,
поместив начало поступательно движущейся системы в центр

210 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
масс тела С, можем применить для вычисления величины Г',
входящей в выражение B7), только что полученную формулу
C7):
где Лр> — момент инерции тела относительно оси, перпендику-
перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр масс.
Применив B7), найдем
Эту формулу можно преобразовать к виду, более удобному
для некоторых приложений. Напомним, что
_ vc
®— PC*
где PC — расстояние между мгновенным центром скоростей Р
и центром масс С; заменив Л,с) на Mp2Ci найдем
где рс — радиус инерции относительно оси, перпендикулярной к
плоскости движения и проходящей через центр масс.
Величина
[(%J] D0)
не зависящая от скоростей точек тела, называется массой, при-
приведенной к центру масс; воображаемая масса \ic, движущаяся
со скоростью центра масс, имела бы ту же кинетическую энер-
энергию, что и тело в рассматриваемом плоском движении. Так как
мгновенный центр меняет в процессе движения свое положение,
совпадая с различными точками фигуры, то отрезок PC изме-
изменяет свою длину, зависящую от положения фигуры, т. е. \хс не
является постоянной величиной.
В некоторых случаях за начало поступательна движущейся
системы осей принимают не центр масс, а какую-либо другую
точку тела О, совершающего плоское движение. Тогда по C5)
будем иметь
Т = 1ук»©2 +1 Mvl + Mv0 • t?>, D1)
где /^0)— момент инерции тела относительно оси, перпенди-
перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через точку О.

§ 126. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
211
Вектор v%} представляет вращательную скорость центра
масс С, когда за полюс фигуры, совершающей плоское движе-
движение, принята точка О (рис. 312). Поэтому
«о • ^ = V (« X Г'ос) = ю • (г'ос X v0).
где ггос —- вектор-радиус точки С по отношению к полюсу О.
Предположим (рис. 312,а), что вектор v0 отклонен от век-
вектора г'ос на угол а (меньший я) в сторону вращения фигуры
(или — во втором случае —
в сторону, противополож-
противоположную этому вращению:
рис. 312,6). Тогда вектор
гос X ^о> Равный по величи-
величине r'0CvQsin а = ОС • v0 sin а,
будет иметь направление
вектора <о (противополож-
(противоположное вектору <о во втором
случае). Итак,
tr0 - t>g> = dh ОС • cousin a, D2)
причем верхний или нижний
знак нужно выбирать в со-
соответствии со сказанным
выше. Замечая, что со = Vo/OP, где ОР — отрезок, соединяю-
соединяющий полюс О с мгновенным центром скоростей Р, получаем
по D1)
^[(^J^] D3)
Рис. 312.
где ро — радиус инерции тела относительно оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через полюс О. Ве-
Величину
[ (J gj
= М [l + (-^J ± 2 -gj- sin a]
D4)
можно назвать массой, приведенной к полюсу О.
При аналитическом рассмотрении плоского движения поло-
положение фигуры, как известно, задается координатами д:о, уо по-
полюса О и углом поворота ф. Тогда
Vox = *0> Щу = Уо> б = Ф-
Обозначая, далее, через х'с> у'с координаты центра масс в
системе осей Ох'у\ связанных с плоской фигурой и имеющих
начало в ее полюсе О, получаем

212 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
и далее
vо • v$ = ф (- vOx ус + vOy,x'c);
здесь vOx, и vQy, — проекции на указанные оси скорости полю-
полюса, равные (§ 55)
V0x> = V0x C0S Ф + % Sin Ф. V = ~~ V0x Sin Ф + % C0S Ф«
Выражение кинетической энергии Т записывается, согласно D1),
в виде
Т - у /<°>ф2 + ~ М (jc20 + yl) - Мф (о^ - Vc)- D6)
Оно значительно упростится, если полюс О поместить в центре
масс; тогда лг? = у? = О, и мы получаем
T = ±J<*V + jM(#c + tl). D6)
Вычисление кинетической энергии твердого тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижного центра, а также в общем случае
движения твердого тела будет дано ниже, после того как мы
разовьем более подробно учение о моментах инерции.
§ 127. Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии, или, как еще
иногда ее называют, теорема живых сил, связывает изменение
кинетической энергии системы точек с работой сил, вызываю-
вызывающих это изменение.
Для вывода этой теоремы сначала в случае одной матери-
материальной точки умножим обе части основного дифференциального
уравнения динамики точки
скалярно на элементарное перемещение точки dr. Получим
m-^.dr = F'dr. D8)
Замечая, что dr = v dt, находим
в правой части равенства D8) стоит выражение элементарной
работы Ш; следовательно,
^l D9)

§ 127. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
или, вспоминая определение кинетической энергии,
dT = 6W. E0)
Это соотношение представляет собой теорему об изме-
изменении кинетической энергии материальной точ-
точки в дифференциальной
форме:
Приращение кинетической
энергии материальной точки на
элементарном перемещении
равно элементарной работе
приложенных к точке сил на
этом перемещении.
Интегрируя уравнение D9)
между пределами, соответст-
соответствующими начальному М\ и ко-
конечному Мг положениям дви- Рис. 313.
жушейся точки, и обозначая
соответственно через v\ и v2 скорости точки в этих положениях
(рис. 313), получаем
м2
ИЛИ
Aft
Т2 — TX = WU2, E1)
причем через W\,2 обозначена работа сил, действовавших на
точку на перемещении М\М2.
Уравнение E1) представляет собой теорему об изме-
изменении кинетической энергии в интегральной
форме:
Приращение кинетической энергии материальной точки на
конечном перемещении равно сумме работ сил, действовавших
на точку на этом перемещении.
Для ряда приложений имеет значение другая формулировка
доказанной теоремы:
Производная по времени от кинетической энергии матери-
материальной точки равна мощности действующих на точку сил:
*L = F.V = N. E2)
Для доказательства умножим обе части уравнения D7) ска-
лярно на вектор скорости v, Получим

214 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
замечая, что
dv jj_ mv2 dJ_
лриходим к E2).
Теорема об изменении кинетической энергии материальной
точки легко обобщается на случай системы материальных то-
точек. Для этого предположим, что уравнение D9) составлено для
каждой точки Mi системы
2 1
Суммируя эти уравнения по всем точкам, включенным в си-
систему, и вспоминая, что кинетическая энергия системы есть
сумма кинетических энергий всех ее точек
получаем
п 2
ZttllVs
-т1=
Здесь Ys bWt представляет собой сумму элементарных ра-
работ сил, действовавших на рассматриваемом элементарном пе-
перемещении на каждую точку системы. На данную точку дейст-
действуют внешние по отношению к системе силы — воздействия на
нее со стороны тел, не принадлежащих к системе, и внутренние
силы— воздействия на ту же точку со стороны точек, принад-
п
лежащих к этой системе. Поэтому величина 2 $Wt может быть
представлена как сумма двух слагаемых: элементарной работы
внешних сил — обозначим ее через 8W — и элементарной работы
&W внутренних сил. Итак, получаем теорему об изме-
изменении кинетической энергии системы в диффе-
дифференциальной форме:
dT = 6W + 6W\ E3)
т. е. приращение кинетической энергии системы материальных
точек на элементарном перемещении равно сумме элементарных
работ внешних и внутренних сил, действовавших на систему на
этом перемещении.
Интегрируя между пределами, соответствующими двум поло-
положениям системы — начальному 1 и конечному 2, — и обозначая

§ 127. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 215»
через Т\ и Тъ кинетические энергии в этих положениях, получим
теорему об изменении кинетической энергии
системы (теорему живых сил) в интегральной
форме:
B) B)
Т2 - Тх = \ bW + \ W* = Wx9 2 + W'x.2, E4)
(i) (i)
т. е. приращение кинетической энергии системы на конечном пе-
перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, дейст-
действовавших на этом перемещении.
Теорема об изменении кинетической энергии в форме E2)
также может быть обобщена на случай системы материальных
точек. Получаем
т. е. производная по времени от кинетической энергии системы
материальных точек равна мощности внешних и внутренних силу
приложенных к системе.
Пример 107. Определить кинетическую энергию снаряда при вылете
из дула орудия, принимая следующие данные*): масса снаряда М = 360 кг,
полукалибр R = 0,152 м, радиус инерции снаряда относительно оси враще-
вращения рс = 0,735 R, угловая скорость снаряда вокруг оси (начальная) с50 =
= 552 1/с, скорость центра масс (в начальный момент) vo = 800 м/с.
По формуле B7) имеем
Т = 1 Mv2Q + 4- MpjU2, = -^(8002 + 0,7352 • 0,1522 . 5522) = 1,16- 108 Дж.
Кинетическая энергия вращательного движения в этом случае составляег
лишь 0,6% от энергии поступательного движения.
Полученный результат дает представление об огромной разрушительной
работе, которую даже неразрывающийся снаряд может произвести при ударе
о препятствие. Товарный поезд в составе 50 груженых вагонов (скорость
принимаем 24 км/час, масса груженого вагона 25 т) при двух тепловозах
(считаем кинетическую энергию тепловоза равной удесятеренной энергии од-
одного вагона) имеет запас кинетической энергии, равный только 38% энергии
снаряда. Это объясняется громадной скоростью снаряда, в два с лишним
раза большей скорости звука в воздухе; кинетическая же энергия пропорцио-
пропорциональна квадрату скорости.
Пример 108. Груз массы А] опускается на канате с постоянной ско-
скоростью Vq. Определить растяжение каната при мгновенной остановке его верх-
верхнего конца, пренебрегая массой каната (рис 314).
Рассмотрим два положения: начальное — в момент остановки верхнего
конца каната — и конечное — в момент остановки груза. В начальном
*) См. Крылов А. Н. О вращательном движении продолговатого сна-
снаряда во время полета. — Собрание трудов. Т. IV. — М. — Л.: Изд-во АН
СССР, 1936, с. 200.

-216 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
положении кинетическая энергия системы, если пренебречь массой каната, равна
а в конечном положении кинетическая энергия Т2 = 0.
При равномерном движении груза со скоростью v0 канат растянут грузом
на некоторую длину fCT (статическая деформация), определяемую соотноше-
соотношением
После остановки верхнего конца каната груз продолжает двигаться рас-
растягивая канат. Обозначим через у смещение груза, отсчитываемое от его по-
положения в момент остановки верхнего конца каната, и через
[д дополнительную деформацию каната к моменту остановки
груза (динамическую часть общей деформации каната). Тогда
работа приложенной к грузу упругой реакции каната будет
равна
fa
гд
-с)
0
О
Работа силы тяжести G на рассматриваемом участке равна
Gf д = М gfx = cfCTf д.
Применяя теорему об изменении кинетической энергии,
находим
Рис. 314. - ri = мё!ж - cfcx/д - y с'д — ~"с ~ТЩ
Подставляя начальное значение кинетической энергии, получаем
g
В канате возникнет дополнительное (к первоначальному статическому) на-
напряжение, которое по известной формуле сопротивления материалов состав-
составляет
Etn Ь
Замечая, что жесткость каната с равна
EF
I *
получаем
VEM
Здесь / — длина свешивающейся части каната в момент остановки верхнего
конца его, Е — модуль Юнга материала, F — площадь поперечного сечения ка-
каната. Из полученной формулы следует, что опасной является внезапная за-

§ 127. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
21?
держка верхнего конца каната при малом /, т. е. в начальный период движе-
движения груза; вместе с тем при малом / масса каната будет невелика, и можна
довольствоваться полученным приближенным результатом.
Пример 109. Копер представляет собой физический маятник (рис. 315),
состоящий из однородного стержня массы т, на конце которого закреплена
тяжелая отливка массы М\ длина стержня от оси вращения до центра тяже-
тяжести отливки равна / Отливка падает с пренебрежимо малой начальной ско-
скоростью из вертикального верхнего положения. Прене-
Пренебрегая размерами отливки, определить угловую ско-
скорость копра в момент прохождения через нижнее поло-
положение равновесия и усилие в стержне в этот момент
времени
Для определения угловой скорости со стержня в мо-
момент прохождения через нижнее положение равновесия
применим теорему об изменении кинетической энергии.
Имеем
Тх = 0, T2=ljz(o\
где момент инерции Jz системы относительно оси вра-
вращения слагается из момента инерции стержня llsmF и
момента инерции отливки, равного Ml2. Работа силы
тяжести стержня и отливки равна
Находим
g
m + ЗМ Г
m
Рис. 315.
Максимальное натяжение S будет иметь место в сечении стержня, при-
примыкающем к оси вращения. По теореме о движении центра масс С системы
(M + m)wr—TFt;
проектируя это уравнение на главную нормаль к траектории в момент прохо-
прохождения системой нижнего равновесного положения, получаем
Отсюда имеем
или (после подстановки приведенных выше выражений для го2 и he)
, лл , 3(т + 2МJ-
¦]-
Пример 110. Цепь шахтного подъемника (рис. 316) приводится в дви-
движение воротом, находящимся на одном валу с электромотором. Определить
мощность электромотора N, принимая следующие данные: подъем груза ве-
весом Gi начинается с ускорением w\ достигнув значения vmax, скорость груза-
далее остается постоянной. Диаметр ворота 2гь диаметры блоков 2г2, 2г3>

1218
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
момент инерции ворота Уь моменты инерции блоков 1ч и /з, вес поднимаемой
вагонетки с грузом Gh вес опускающейся вагонетки G2, вес единицы длины
цепи q, общая длина цепи /. Моменты инерции
2^ даны относительно осей вращения соответ-
Н »1 ствующих тел.
/" ч! Теорема об изменении кинетической энер-
энергии, написанная в форме E5), дает
где второе слагаемое в правой части пред-
представляет мощность сил тяжести. При этом пред-
предполагается, что центр тяжести цепи сохраняет
при ее движении неизменное положение, так
что работа силы тяжести цепи равна нулю.
Подставляя значение
{Gi + G2 + ql , /i , А , /3 \
: I , 1 _-j --J 1
V 2g 2r] 2rz2 2r\)
и замечая, что v = ш, получаем
Рис. 316.
+
4+41
г^ #• I
Г2 Г3 /
— G2 I v.
В период установившегося движения с постоянной скоростью v = vmax имеем
w = О, Л^ = (Gi — G2) ymax.
§ 128. Потенциальная энергия силового поля
Среди сил разнообразной природы, с которыми приходится
иметь дело в механике, особое место занимает класс сил, ве-
величина и направление которых зависят только от положения
точки пространства, в которой находится рассматриваемая ма-
материальная точка, или от взаимного расположения взаимодейст-
взаимодействующих точек.
Примером может служить сила тяготения двух точечных
масс, обратно пропорциональная квадрату расстояния между
этими массами и, следовательно, зависящая от их взаимного
расположения. Точно так же сила, действующая на электрически
заряженную частицу в электростатическом поле, зависит лишь
от положения частицы в этом поле и также принадлежит к рас-
рассматриваемому классу сил. В качестве еще одного примера
можно привести упругие силы.
Если точка или система точек движется в пространстве под
действием сил, однозначно определяемых положением тех то-
точек пространства, в которых в данный момент находятся точка
или система, то говорят, что точка или система движутся в си-
силовом полр.

§ 128. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИЛОВОГО ПОЛЯ 219
Силовое поле может быть как одинаковым в разные моменты
времени, так и изменяться с течением времени. В первом случае
поле называется стационарным, во втором — нестационарным.
Так, например, силовое электростатическое поле вокруг заря-
заряженного тела будет стационарным, если заряд тела постоянен
во времени, и нестационарным в противоположном случае.
В дальнейшем будут рассматриваться лишь стационарные си~
ловые поля.
Класс сил, зависящих от положения, принципиально отли-
отличается от сил, зависящих от скорости, каковы силы сопротивле-
сопротивления среды движению в ней тела или сила, с которой магнитное-
поле действует на движущийся электрический заряд.
Это различие выражается в том, что проекции силы F, с ко-
которой силовое поле действует на движущуюся в нем материаль-
материальную точку, являются наперед заданными функциями координат:
Fx = Fx (х, у, z), Fy = Fy (х, у, г), Fz = Fz (х, у, г) E6>
независимо от того, какое движение совершает материальная
точка в этом поле.
Через точку поля М проведем вектор силы F, с которой поле
действует в этом месте на данную материальную точку. Возь-
мем на направлении этого вектора
смежную точку М', через нее прове-
проведем соответствующую ей силу F'
и т. д. (рис. 317); получим ломаную
ММ'М" ..., которая в пределе при
неограниченном сближении смеж-
смежных точек М, М', М", ... превра-
превращается в кривую, называемую сило-
силовой линией поля. Согласно этому
определению сила, действующая в
силовом поле на точку, направлена
по касательной к силовой линии,
проходящей через данное положе-
положение движущейся точки.
Через каждую точку поля Рис- 317>
можно провести единственную
силовую линию*), и поле можно считать заполненным сило-
силовыми линиями. По силовой линии будет двигаться в первый
момент точка, если ее отпустить без начальной скорости.
Пусть в заданном равенствами E6) силовом поле движется
материальная точка М. При переходе точки из положения Мо
*) Исключения представляют особые точки силового поли. Через особую
точку или совсем не проходят силовые линии, или проходит не единственная,
линия.

220 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
б положение М совершается, по предыдущему, работа
м м
WQtl= \ F.dr= \ (Fxdx + Fydy+F2dz). E7)
Мо Мо
Криволинейный интеграл, стоящий справа, в общем случае
силового поля зависит от формы траектории, по которой точка
переходит из положения Мо в положение М. Но уже в § 124
было отмечено существование сил (сила тяжести, упругая сила),
работа которых не зависит от траектории точки, а определяется
только координатами ее конечного и начального положений.
Докажем общую теорему:
Необходимым и достаточным условием того, чтобы работа
силы F не зависела от формы траектории материальной точки
в силовом поле, а определялась только конечным и начальным
положениями точки в этом поле, является существование одно-
однозначной функции координат, частные производные которой по
х, у, z равны проекциям силы F на соответствующие оси коор-
координат.
Обозначим эту функцию через —TL(x, у, z).
Таким образом, указанные условия имеют вид
F — --^- F— -— F — --^- т\
Как известно из § 75 т. I, эта система равенств эквивалентна
одному векторному равенству
F = —gradIL E9)
Функция Н(х, у, z) называется потенциалом или (происхожде-
(происхождение второго термина станет ясным в дальнейшем) потенциаль-
потенциальной энергией силового поля, а само силовое поле при этом —
потенциальным.
Предполагается, как указано, что функция U(x, у, z) опре-
определена единственным образом в любой точке рассматриваемой
области изменения переменных х, у, г, т. е. однозначна. Так,
например, из рассмотрения исключается выражающая полярный
угол точки функция ф = arctg(y/A:), принимающая в любой
точке, отличной от точки х = 0, у = 0, в которой она не опре-
определена, бесчисленное множество значений, отличающихся целым
кратным 2я.
Достаточность условий E8) доказывается тем, что при
соблюдении их выражение E7) работы №0,i принимает вид
Ai М
Мо Мо

§ 128. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИЛОВОГО ПОЛЯ 221
где <Ш — полный дифференциал потенциальной энергии. Обо-
Обозначая через х, yt z координаты точки М и через х0, уо, ?о —
координаты точки Мо и замечая, что интеграл от полного диф-
дифференциала функции равен разности значений ее при значе-
значениях переменных, соответствующих верхнему и нижнему пре-
пределам, получаем
Wo,! = П fa, Уо, го) - П (х, у, z). F0)
Таким образом, работа действительно оказалась зависящей не
от траектории перехода точки из положения Мо в положение М,
а только от координат, определяющих эти положения. Фиксируя
начальное положение Мо, можно сказать, что работа является
в рассматриваемом случае функцией координат х, yf г конеч-
конечного положения точки.
Следствием предположения об однозначности потенциальной
энергии является обращение в нуль работы при совпадении на-
начальной и конечной точек пути интегрирования. Работа в по-
потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна
нулю. Этот признак может быть принят за определение потен-
потенциального силового поля. Можно сказать также, что циркуля-
циркуляция вектора силы по замкнутому контуру в потенциальном поле
равна нулю.
Для доказательства необходимости следует предположить,
что
м
Мо
и доказать справедливость равенств E8).
Зафиксировав положение МОу рассмотрим работу Wo, v на
пути М0ММ', где М' — точка, бесконечно близкая к М и имею-
имеющая координаты (x-\-dx, y-\-dy} z-\-dz). По F0) будем иметь
М'
Мо
= — n(x + dx,y + dy,z + dz) + n(xQy у0, z0).
Разность работ Wot\—Wo,i представляет собой элементарную
работу на пути ММ':
- П (х + dx, у + dy, г + dz) + П {х, у, z)

222 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Но величина справа с точностью до малых высших порядков
равна полному дифференциалу —dll:
F2)
или
Дифференциалы dx, dy, dz независимы друг от друга; мож-
можно, например, взять dy = О, dz = 0, dx ф 0, что соответствует
смещению конца пути интегрирования в интеграле F0) на бес-
бесконечно малый отрезок, параллельный оси х. Тогда из преды*
дущего равенства получим
отсюда, поскольку dx=?0y получаем первое из равенств E8)»
Аналогично приходим к двум остальным равенствам, что и до-
доказывает теорему.
Из соотношения F0) следует, что работа силы в потенци-
потенциальном силовом поле при перемещении точки из некоторого на-
начального положения @) в конечное A) равна уменьшению
(падению) потенциальной энергии между этими двумя поло-
положениями точки.
В выражение работы потенциальная энергия входит как раз-
разность ее значений в двух точках. Поэтому потенциальную энер-
энергию можно определять с точностью до некоторой аддитивной
постоянной, значение которой совершенно произвольно. Распо-
Распоряжаясь этим, выберем значение потенциальной энергии в на-
начальном положении точки @) равным нулю, т. е. примем
Тогда, переписывая F0) в виде
П(х, у, z) = -№0>1 = Гь 0, F3)
заключим, что потенциальная энергия в данной точке равна ра-
работе, которую совершили бы силы поля при перемещении точки
из данного положения в начальное.
Элементарная работа потенциальной силы по F1) равна
взятому со знаком минус полному дифференциалу функции П.
Поэтому, если вычисление элементарной работы приводит к вы-
выражению, являющемуся полным дифференциалом, то сила бу-
будет потенциальной.

§ 128. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИЛОВОГО ПОЛЯ 223
Вспоминая введенную в § 75 т. I операцию вихря rota, мо-
можем на основе известного тождества
rot grad ф 2ss О
записать условие потенциальности силового поля в форме
rot/7 = О,
или в проекциях на оси координат
dz ду дх dz ' ду дх '
Рассмотрим однопараметрическое семейство поверхностей
П (х, у, г) = const = С. F5)
На каждой из таких поверхностей, соответствующей некоторому
фиксированному значению параметра С, потенциальная энергия
сохраняет одно и то же значение С. Такая поверхность назы-
называется поверхностью уровня потенциальной энергии или изопо-
тенциальной поверхностью.
Возьмем какую-нибудь точку Mi с координатами х\, у\, Z\
и проведем через нее изопотенциальную поверхность. Уравне-
Уравнение такой поверхности будет, очевидно,
Щх,у,г) = П(х19у1,г1). F6)
Через каждую точку силового поля можно провести поверх-
поверхность уровня потенциальной энергии, так что все поле будет
заполнено поверхностями уровня. Из соотношения F0) теперь
следует, что работа в потенциальном силовом поле не зависит
не только от траектории, но также и от точного указания на-
начального и конечного положений точки; для определения работы
достаточно задать поверхности уровня, на которых точка нахо-
находилась в начальный и конечный момент движения. Выбирая
вновь значение потенциальной энергии на начальной изопотен-
циальной поверхности равным нулю, заключим, что потенциаль-
потенциальная энергия в данной точке поля равна работе сил при переводе
движущейся точки с данной поверхности уровня на некоторую
условно «нулевую» поверхность уровня. Таким образом, прихо-
приходим к заключению, что потенциальная энергия характеризует
возможность силового поля совершать работу.
Вспоминая § 75 т. I, где вектор градиента скалярной функ-
функции по направлению определен перпендикуляром (нормалью)
к поверхности уровня скалярной функции, отложенным в сто-
сторону возрастания скалярной функции, а по величине — произ-
производной скалярной функции по положительному направлению
нормали («внешней» нормали), и принимая во внимание
определяющее силу равенство E9), можем заключить, что

224 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
в потенциальном силовом поле сила направлена по нормали к
изопотенциальной поверхности в сторону убывания потенциаль-
потенциальной энергии и по величине равна абсолютному значению произ-
производной потенциальной энергии по нормали к изопотенциальной
поверхности.
В случае системы материальных точек потенциальной энер-
энергией называется функция координат (хи yi, zt) точек системы
Щ#1, Уъ z\> Х2> У2> Z2> •••» Хп-> Упу Zn)>
частные производные которой по координатам точки, взятьш
со знаком минус, равны соответствующим проекциям силы, дей-
действующей на эту точку:
F F F
При этом выражение элементарной работы будет
i=\
n
v^ / <5П дТ1 дЛ \
L-i I dx. * dy. dz. *)" * ^ ^
t=l ч l l is
Интегрируя это выражение элементарной работы при пере-
перемещении точек системы из некоторого положения 1 в положе-
положение 2, получаем
П71,2 = П1~П2. F9)
Работа потенциальных сил при переходе системы из одного
положения в другое определяется уменьшением (падением) по-
потенциальной энергии от значения в начальном положении си-
системы до значения в конечном ее положении.
§ 129. Потенциалы силовых полей
Рассмотрим некоторые простейшие силовые поля.
1. Потенциальная энергия поля силы тяже-
тяжести. Выбирая систему координат так, чтобы горизонтальная
плоскость на заданном произвольно уровне была плоскостью
хОу, а ось Oz была направлена вертикально вверх, будем иметь
в случае одной точки веса G (и массы т)
&W = — dU = — G dz = — mg dz, G0)
откуда
" " G1)

§ 129. ПОТЕНЦИАЛЫ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ 225
Постоянную интегрирования можно, как было указано, выбрать
совершенно произвольно, например опустить.
Потенциальную энергию системы тяжелых точек Mi с ве-
весами G i (массами mi) и ординатами zi определим интегрирова-
интегрированием равенства
6W = - <Ш = t (- Gt dzt) = Z (-
откуда
n n
П = Ь GiZt = Gzc=X, migZi = MgzCi G2)
где zc — ордината центра масс системы, G — сумма весов от-
отдельных точек системы (М — сумма масс этих точек).
Работу силы тяжести при переходе системы из положения 1
в положение 2 найдем по формуле F9):
W1 2 = П, - П2 = G (zCi - zCi) = Mg (zCi - zC2). G3)
Работа силы тяжести не зависит от траекторий точек системы;
поле тяжести — потенциальное поле. Поверхностями уровня бу-
будут, очевидно, являться горизонтальные плоскости, силовыми
линиями — вертикали.
2. Потенциальная энергия упруго деформи-
деформированного тела. В случае растянутой пружины, удлине-
удлинение которой из натурального (недеформированного) состояния
равно х, определяя потенциальную энергию как работу, совер-
совершаемую упругими силами при возвращении пружины в неде-
формированное состояние, будем иметь
о о
х ах — ^ сх • V'^7
В этом случае потенциальная энергия упруго деформированного
тела пропорциональна квадрату величины, характеризующей
перемещение из натурального состояния. Точно так же потен-
потенциальная энергия скрученного стержня определяется формулой
П = у?ф2, G5)
где k — жесткость при кручении, ср — угол кручения между
крайними сечениями стержня.
Рассмотрим точечную массу, закрепленную в точке некото-
некоторой упругой конструкции, которая может состоять из пружин,
стержней, плит и т. п. Предположим, что начало координат по-
помещено в этой точке при натуральном состоянии конструкций.
При малом отклонении массы из начала координат в точку
8 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

226 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
с координатами х, у, z возникнет упругая реакция, проекции
которой на оси координат, согласно закону Гука, будут линей-
линейными функциями координат:
Fx = — (апх + а12у + al3z), Fy = — (a2lx + a22y + a23z\
Fz = — {<h\X + аыУ + d33z). G6)
Коэффициенты ац зависят от размеров элементов конструкции,
упругих постоянных их материалов и выбора направлений осей
взятой системы координат. Они обладают важным свойством
взаимности
в12 = Я21| 023 = 032, 031=013, G7)
являющимся следствием потенциальности упругих сил. Действи-
Действительно, для потенциальных сил имеют место соотношения F4),
первое из которых в нашем случае дает
dFx dF
= —fl21, т. е. а12 = аи-
_-= —ai2=_i
Аналогично получаются остальные равенства G7).
Чтобы найти выражение потенциальной энергии, проинте-
проинтегрируем ее полный дифференциал:
dU = — (Fx dz + Fydy + Fz dz) = (anx + ai2y + al3z) dx +
+ @2i* + 022# + 023^) dy + (a3lx + a32y + a33z) dz
и получим
П = у (апх2 + 2al2xy + 2al3xz + а22у2 + 2a23yz + a33z2). G8)
Таким образом, потенциальная энергия упругой конструкции,
подчиняющейся закону Гука, является однородной квадратич-
квадратичной формой координат точки, отсчитываемых от положения ее
при недеформированном состоянии конструкции.
Принятое выше физическое допущение, что упругие силы
потенциальны, является выражением свойства идеально упру-
упругого тела накоплять при постепенном нагружении потенциаль-
потенциальную энергию и возвращать ее без потерь, когда тело вернется
в исходное натуральное состояние при постепенном разгру-
жении.
Как пример рассмотрим стержень, нижний конец которого
заделан (рис. 311). При сообщении верхнему концу малого пе-
перемещения | в направлении одной из главных осей инерции
поперечного сечения*) возникает упругая реакция, направлен-
*) Понятие о главных осях инерции сечения предполагается известным
из курса сопротивления материалов (см. также § 140). В случае однород-
однородного стержня с симметричным относительно двух взаимно перпендикулярных
осей сечением эти оси будут главными осями инерции.

§ 129. ПОТЕНЦИАЛЫ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ 227
ная противоположно смещению и пропорциональная ему по ве-
величине; такое же явление будет иметь место, если сообщить
концу стержня малое перемещение г\ в направлении второй глав-
главной оси. Таким образом, на точечную массу, закрепленную в
конце стержня, при смещении ее в положение с координа-
координатами |, ц в плоскости, перпендикулярной к оси стержня в не-
деформированном состоянии, будет действовать упругая сила F,
проекции которой равны
Fi^-cfc /ч^-ад. G9)
Коэффициенты С\ и с2 определяются формулами
*,~^. с2 = ^, (80)
где /л и 1% — моменты инерции сечения относительно соответ-
соответствующих главных осей, I — длина стержня, Е — модуль Юнга.
В общем случае, когда /^ ф /л, упругая сила F не является
центральной.
Потенциальная энергия изогнутого стержня равна
n = j(Cll2 + c2rf). (81)
Если оси координат х и у не совпадают с главными осями
инерции, то по формулам преобразования координат имеем
? = A;cosa — у sin а, ц — х sin a + у cos a, (82)
где а — угол оси х с главной осью |. Выражение потенциаль-
потенциальной энергии принимает в соответствии с общей формулой G8)
вид
П = у (an*2 + 2al2xy + a22*2), (83)
где
аи = сх cos2a+ c2sin2a, a22=:cl sin2a + c2cos2a,
al2 = (c2 — cx) sin a cos a.
Проекции упругой силы на оси х и у поэтому будут [ср. G6) и
Fx = — (апх + апу)у Fy = — (al2x + а22у). (84)
3. Потенциальная энергия системы тяготею-
тяготеющих масс. Рассмотрим массу т, находящуюся в точке М с
вектор-радиусом г в поле притяжения, создаваемом системой п
масс ти находящихся в точках Mi с вектор-радиусами п
8*

228 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
(рис. 318). На массу т действует совокупность сил
Fi=fmmi^ri_r з (/=1, 2, ..., n)y (85)
где / — постоянная тяготения.
Элементарная работа этих сил при перемещении dr массы т
равна
т (r( -rydr __ ^ ^ _ (г - г,) • (dr - drt)
А
Приравнивая это выражение элементарному уменьшению —dR
потенциальной энергии поля, находим
Ft м п
П = -^ЕТ737Т- (87)
Каждое слагаемое этой суммы пред-
представляет собой потенциальную энер-
энергию тяготения, создаваемого точкой
массы mi в точке М; но таково же вы-
Рис. 318. ражение потенциальной энергии тяго-
тяготения, создаваемого массой т в точ-
точке Mi. По этим соображениям выражение
П,/=*-/ [г^;/|=-/^> (88)
где
I г-ж — #-/1 == г-// == V(** — */J + (У1 — ^//J + (zt — 2/J» (89)
можно назвать взаимной потенциальной энергией системы двух
притягивающихся масс mi и т/. Взаимная потенциальная энер-
энергия системы п точечных масс ть тг, ..., mrt поэтому будет
(90)
Множитель !/г нужен потому, что, раскрывая двойную сумму,

§ 129. ПОТЕНЦИАЛЫ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ
229
мы каждое слагаемое берем дважды (например, задавая i= 1,
/ = 2 и /•= 1, * = 2).
Пример 111. Упругий подвес состоит из стержней О{М0у О2М0, .,.
..., ОпМ0, соединенных в вершине Мо и прикрепленных с помощью сфериче-
сферических шарниров Оь О2, ..., On к неподвижной опоре (рис. 319). В начальном
/
(р
состоянии стержни не напряжены и имеют длины l\, /2, •••, 1п* Требуется
составить выражение потенциальной энергии системы, предполагая, что вер-
вершина Мо получила малое перемещение.
Рис. 320.
При деформации k-й стержень OkM0 (рис. 320) приобретет удлинение
f^ = MqM^ и, совершив малый поворот вокруг центра шарнира Ok, займет
положение OkM. Потенциальная энергия этого стержня по G4) равна
П =-Uf2 с -= EFk
В треугольнике М0ММ'к угол MQM'kM можно (с ошибкой второго по-
порядка малости относительно угла поворота стержня OkM0) считать прямым;
при этом отрезок Мом'к будет проекцией отрезка М0М. Обозначая через х, у, z
проекции перемещения М0М на оси неподвижной системы координат с на-
началом в точке Мо и через а.%, Р*, \k косинусы углов стержня ОмМ0 с теми же
осяг/.и, получаем
Выралсение потенциальной энергии примет вид
п п
п=
и в соответствии с формулой G8) потенциальная энергия оказывается
квадратичной формой координат xt у z точки М, коэффициенты которой

230
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
вычисляются по формулам
п
«22
k=\
й23
«33
CkV%
Пример 112. Найдем приближенное значение потенциальной энергии
поля тяготения, создаваемого системой притягивающих масс ть щ2, ..., т„,
в точке поля М, расположенной на весьма большом расстоянии от этих масс
Крис. 321).
Надо рассмотреть выражение (87) при условии, что отношения
г ./г (/=1, 2, ..., п)
значительно меньше единицы. При таком
Ш) условии в разложении выражения
1 1
~ 2rri C0S Qi
Рис. 321.
в ряд по степеням этого отнешения можно
ограничиться небольшим числом членов. Так, сохранив только члены первой
и второй степени, получим *)
г, 1 г? 3 г?
и далее найдем
п
—г- / ttlsf t COS 6; -—
Можно представить это выражение в более простой форме, заметив, что
п
?
= 1
где М — сумма масс притягивающих тел; далее имеем
п п п
*) Коэффициент при r^jr11^1 в этом разложении представляет собой из
вестный полином Лежандра Pn(cos6*).

§ 129. ПОТЕНЦИАЛЫ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ 231
Эта сумма будет равна нулю, если за начало отсчета векторов п принять
центр масс С системы притягивающих масс ти т2, ¦.., tnn. Наконец,
п п
~~  Z т'г* + Т Z m< (r* cos e*J в
п п п п
*г^ ~ 4 Zm^ (r^sin e^J=Zm^2 ~ IZm^'-
Согласно формуле B7) § 114
представляет собой момент инерции притягивающих масс относительно пря-
прямой СМ, проходящей через центр масс и притягиваемую точку. Точно так же
можно назвать полярным моментом инерции притягивающих масс относи-
относительно центра масс С.
С указанной выше степенью точности получаем
II = -f —-f—Lc__cmL+ ...
Этот результат остается справедливым и при непрерывном распределе-
распределении притягивающих масс, т. е. при рассмотрении притяжения, создаваемого
сплошным телом. Следует лишь при вычислении величин М, /с, Jcm заменить
суммы соответствующими интегралами по объему тела.
В простейшем случае притяжения точки сплошной однородной сферой
вследствие симметрии имеем
Z2 — V 2 — V 2 — -L
mixi ^ m$i Ij mizi — з JO
откуда следует, что
'CAf "" 3 С*
и в выражении потенциальной энергии исчезнут слагаемые, обратно пропор-
пропорциональные кубу расстояния г. Можно доказать, что в этом случае исчезнут
также все последующие члены. Выражение потенциальной энергии примет вид
fmM
т.е. сфера массы М притягивает внешнюю точку так же, как материальная
точка той же массы, помещенная в центре сферы.

232 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
§ 130. Закон сохранения механической энергии
Если все (внутренние и внешние) силы, под действием ко-
которых происходит движение системы, являются потенциальными,
то. согласно равенствам E4) и F9), теорема об изменении ки-
кинетической энергии может быть записана в виде
Т2-Т{ =11^111. (91)
Равенство (91) показывает, что приращение кинетической
энергии на некотором участке пути системы в потенциальном
силовом поле равно уменьшению потенциальной энергии на том
же участке.
Если в числе сил, действующих на систему, наряду с потен-
потенциальными силами имеются и непотенциальные, то вместо (91)
будем иметь
T2-Ti = ni-n2 + Wi92 + wU, (92)
где W\t 2 и W\, 2— работа непотенциальных внешних и внутрен-
внутренних сил. В дифференциальной форме можно написать
dT = - dU + 6W + &W'. (93)
Возвращаясь к движению в потенциальном поле сил, пере-
перепишем равенство (91) в форме
Тг + П^Тг + П*. (94)
При движении в потенциальном силовом поле сумма кинети-
кинетической и потенциальной энергий системы сохраняет постоянную
величину.
Сумму кинетической и потенциальной энергий системы на-
назовем полной механической энергией системы и обозначим бук-
буквой ?, так что
Я = Г + П. (95)
При этом (94) переписывается так:
Е{ = Е2
или вообще
Е = const, (96)
что приводит к закону сохранения механической
энергии:
Если система движется под действием только потенциальных
сил, то полная механическая энергия ее во время движения со-
сохраняет свою величину.
Значение постоянной в равенстве (96) определяется зада-
заданием координат и скоростей в каком-нибудь промежуточном
состоянии системы, в частности в начале движения. Помещая

§ 130. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 233
систему при начале движения в определенное положение в по-
потенциальном силовом поле и сообщая начальные скорости точ-
точкам системы, тем самым сообщают системе некоторую началь-
начальную механическую энергию; во все остальное время движения
в заданном поле система сохранит сообщенную ей энергию.
Так, например, подвешивая к пружине груз и давая грузу
начальный толчок, тем самым сообщают системе начальную
потенциальную энергию, определяемую начальной деформацией
пружины, и начальную кинетическую энергию, зависящую от
приданной грузу скорости. Груз придет в колебание, причем в
крайних положениях его кинетическая энергия будет равна
нулю, а в среднем положении будет иметь максимальное зна-
значение. Так как полная механическая энергия постоянна, то там,
где кинетическая энергия равна нулю, имеется максимум по-
потенциальной энергии, а там, где кинетическая энергия макси-
максимальна, потенциальная энергия будет минимальной.
Важно отметить, что на основании закона сохранения энер-
энергии можно заранее указать связь между координатами любого
промежуточного положения груза и его скоростью, если известна
начальная энергия. Это—отличительная особенность движения
в потенциальном силовом поле.
С математической точки зрения закон сохранения энергии
дает один из первых интегралов уравнений движения, так как
уравнение, представляющее закон сохранения энергии, содер-
содержит только координаты и скорости, т. е. первые производные
от координат по времени, и не содержит ускорений (вторых про-
производных от координат по времени); поэтому иногда выражение
закона сохранения энергии называют интегралом энергии или
интегралом живых сил.
Наблюдая действительно происходящие движения, можно
заметить, что полная механическая энергия не остается постоян-
постоянной. С одной стороны, часть энергии движения уходит на пре-
преодоление всевозможных вредных сопротивлений, так что с те-
течением времени полная энергия системы уменьшается; с другой
стороны, для поддержания движения или для его ускорения не-
необходимо создать приток энергии, уходящей частично на ком-
компенсацию потерь энергии на преодоление вредных сопротивле-
сопротивлений, частично на увеличение кинетической энергии системы.
Таким образом, никогда не приходится наблюдать движения в
потенциальных силовых полях, удовлетворяющие закону сохра-
сохранения механической энергии в чистом виде, а всегда наблю-
наблюдается наложение друг на друга нескольких сложных процес-
процессов, среди которых процесс движения в потенциальном поле
играет более или менее значительную роль.
Этот дополнительный приток и расход энергии не всегда про-
проявляется в виде механической энергии. В большинстве случаев

234 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
приходится иметь дело с превращением механической энер-
энергии в различные другие виды: энергия уходит в виде тепла,
звука, света и электричества; обратный приток энергии может
происходить также в виде тепла, электричества и других видов
энергии, превращаемых в механическую энергию. Поэтому в
наиболее общей форме уравнение, выражающее теорему об из-
изменении кинетической энергии, может быть написано в виде
dT = — dU + W - 6W". (97)
Здесь dT— приращение кинетической энергии системы, —<Ш —
уменьшение потенциальной энергии, т. е. элементарная работа
потенциальных сил, §W — элементарная работа непотенциаль-
непотенциальных сил, совершенная за счет притекшей энергии, и, наконец,
—8W" — потеря энергии на преодоление вредных сопротивлений.
Переходя к конечному перемещению, будем иметь
B) B)
Е2 - Ех = jj 6W — jj bW" = Е' - ?", (98)
(i) (i)
т. е. приращение механической энергии на некотором перемеще-
перемещении равно разности притекшей и рассеявшейся энергии. Весьма
существенна возможность измерять приходящую и уходящую
энергию, в каких бы видах она не проявлялась, в механических
единицах.
§ 131. Механическая энергия при вынужденных колебаниях
В установившемся режиме вынужденных колебаний при на-
наличии силы сопротивления (§ 99) приращение механической
энергии за один период изменения возмущающей силы должно
равняться нулю, так как в противном случае движение не
могло бы быть установившимся. Поэтому из (98) следует, что
?' = ?", (99)
т. е. работа Е' возмущающей силы за один период ее измене-
изменения т = 2я/р равна абсолютному значению работы силы сопро-
сопротивления Dx = —р# за тот же промежуток времени. Эту работу
легко вычислить, зная движение точки в установившемся ре-
режиме. В случае синусоидальной возмущающей силы F =
= Н sin(p/ + S), воспользовавшись формулой G0) §99, по-
получим
х
Е" = Е' =
- \ pi dx = pa2/?2 \ cos2 (pi + б - e) dt = \ ра2р2т.
о о

§ 131. ЭНЕРГИЯ ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
235
Средняя мощность Л/, подв;;димая для преодоления силы сопро-
сопротивления, поэтому будет
N = -^- = ±№p\ A00)
При резонансе (p = k)t использовав зависимость между ам-
амплитудой колебаний а и амплитудой возмущающей силы
n = JL% — н = н — н
и k2 r 2mk2v 2mkn k$ y
получающуюся из соотношений § 99, найдем
В общем случае периодической возмущающей силы по фор-
формуле G0) § 99 можем написать:
х =
s=l
cos (spt + 6S — 6S),
dx = Yj <*Pao cos (<*Р*
и подстановка в выражение Е" дает
X
оо оо
cos
— es) cos (apt + 6a-~ ea) dt =
S = l 0=1
так как
f
cos {spt + 6S — e5) cos
— ea) dt =
т при <т = 5,
ПрИ 0 =7^= S.
Поэтому
где Ns — l/2${spJ As на основании формулы A00) представляет
собой среднюю мощность, соответствующую s-й гармонике ча-
частоты sps

236
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Уравнения (97) и (98) являются основными в расчетах дви-
движения систем с потерей и притоком энергии. Представляя со-
собой обобщение закона сохранения механической энергии на слу-
случай любых видов энергии, эти уравнения расширяют круг
рассмотрения явлений за пределы, которые ставятся другими
теоремами механики.
Потенциальные силы, для которых справедлив закон сохра-
сохранения энергии, называются иначе консервативными*) силами,
все остальные — неконсервативными. Входящие в число некон-
неконсервативных сил силы вредных сопротивлений, при наличии ко-
которых энергия системы рассеивается или диссипируется, назы-
называют диссипативными силами. С точки зрения механики дисси-
диссипация механической энергии есть потеря энергии, уход ее из
поля механического использования. В действительности энер-
энергия, конечно, не исчезает, а превращается в другие виды (теп-
(тепловую, электрическую и др.).
Пример 113. В опыте Зоммерфельда, иллюстрирующем поглощение
энергии двигателя колеблющимся фундаментом, неуравновешенный мотор
установлен на столе (рис. 322), ножки которого прикреплены к полу. При
n=750_i об/мин
-100
ЪО
го
10
500
цоо
ъоо
zoo
100
0,1 0,1 0,5 0,4 0,5
Рис. 322.
0,6 А
310 об/мин верхняя доска стола начинает совершать горизонтальные колеба-
колебания с амплитудой 5 мм, причем число оборотов мотора остается неизменным
до тех пор, пока мощность не повышается с 11 до 23 Вт. Определим по этим
данным коэффициент сопротивления р.
Угловая скорость 310 об/мин как раз соответствует частоте свободных
горизонтальных колебаний системы; мощность, расходуемая на колебания
при резонансе, равна 12 Вт. В тот момент, когда она повышается до 23 Вт,
число оборотов резко увеличивается и колебания стола сразу уменьшаются,
так как при изменившемся числе оборотов резонанс уже не имеет места. При
750 об/мин снова наступает резонанс с вертикальными колебаниями сгола и
число оборотов мотора остается постоянным, несмотря на увеличение подво-
*) При наличии этих сил сохраняется (консервируется) механическая
энергия, откуда и происходит название этого класса сил.

§ 132. ПОТЕРЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ УДАРЕ 237
димой мощности (см. на рис. 322 графики изменения угловой скорости и по-
потребляемой мощности в зависимости от величины тока).
Коэффициент сопротивления р может быть определен по формуле
#г = ~Ра202,
откуда при заданных численных значениях Nr = 12 Вт, а — 5-10~3 м, со =
= 310 зт/30, получим
р«912 кг/с.
§ 132. Потеря кинетической энергии
при неупругом ударе. Теорема Карно
Вернемся к случаю прямого центрального удара двух по-
поступательно движущихся тел, рассмотренному в § 108. По тео-
теореме импульсов имеем
т (и2х — ulx) = Sx, M (v2x — vlx) = — SX9 A03)
где и2х, v2x, u\Xy V\x — проекции скорости первого и второго тел
соответственно после удара и до удара на ось х> т. е. на на-
направление линии удара. К этим соотношениям присоединим
уравнение, определяющее коэффициент восстановления при
ударе k, которое по F5) § 108 можно записать в виде
Щ.х + kulx = v2x + kvlx. A04)
Величины, стоящие в каждой из частей этого равенства, во-
вообще говоря, отличны от нуля. Допустив противное, т. е. что
и2х ~ — kulx, V2x = ~ kvix,
мы пришли бы из этих соотношений и теоремы количества дви-
движения
тиХх + Mvlx = ти2х + Mv2x A05)
после сокращения на общий множитель \ -\- k к заключению, что
т. е. что количество движения тел до удара равно нулю. Но это
в общем случае не соответствует условию задачи. Итак,
и2х
kulx == v2x + kvlx=?0. A06)
Умножим обе части первого соотношения A03) на отличный
от нуля множитель и2х + ku\x, а второго — на равный ему мно-
множитель v2x-\-kvix\ после сложения результатов, пользуясь A04),
получим
т (и2х - ulx) {u2x + kulx) + M {v2x - vlx) (v2x + kvu) = 0. A07)

238 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Таким образом, возможны два способа исключения импуль-
импульсов из уравнений A03); первый, когда эти уравнения просто
складываются, приводит к теореме сохранения количества дви-
движения A05); второй —к соотношению A07), которое после
алгебраических преобразований дает выражение, определяю-
определяющее потерю кинетической энергии при ударе. Отметим, что соот-
соотношение A07), в противоположность теореме сохранения коли-
количества движения, содержит коэффициент восстановления при
ударе и, следовательно, зависит от предположения о физиче-
физических свойствах соударяющихся тел.
Для преобразования выражения A07) напишем тождества
(U2x ~ Ulx) U2x = \ (Utx ~ U\x) + Y (Ulx ~ U2xf>
k (U2x - »lx) Ulx = ^k (Ulx - U\x) -\k (Ulx ~ U2xf-
Складывая их, находим
(u2x-ulx)(u2x+kulx) =4A + k) {u\x-u\x) + 1 (l-k)(ulx-u2xf,
и уравнение A07) принимает вид
1 A + k) [ти\х + Mv\x - (ти\х + Mv\x)\ +
+1 A - k) [m (ulx - u2xf + M (t>u - v2xf] = 0.
Выражения
± \ , A08)
представляют кинетические энергии системы до удара и после
него, а выражение
Т=\т(и1х - и2хУ + \М(vlx - v2xf A09)
можно назвать кинетической энергией, соответствующей поте-
потерянным скоростям. Итак, соотношение A07) приводится к виду
Тх-Т2 = ^~Г, (ПО)
т. е. кинетическая энергия, теряемая при ударе, равна
A—k)/{\-\-k)—доле кинетической энергии, соответствующей
потерянным скоростям. Результат, полученный здесь для част-
частного случая центрального удара двух тел, выражает общую
теорему Карно*) о потере энергии при ударе.
*) Л. Карно A753—1823)—выдающийся математик и военный министр
эпохи Французской буржуазной революции 1789—1794 гг.

§ 132. ПОТЕРЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ УДАРЕ 239
При абсолютно упругом ударе k = 1 и
ТХ = Т29 A11>
т. е. абсолютно упругий удар не сопровождается потерей энер-
энергии; другой крайний случай имеет место при абсолютно неупру-
неупругом ударе, когда k = 0 и потеря энергии (переход механической
энергии в другие формы) будет максимальной:
ТХ — Т2 = Г. A12)
Соотношение A10) является следствием равенств A04) и
A05). В соединении с одним из этих равенств оно может слу-
служить для определения скоростей тел и2х, v2x после удара. Для
этого придется решать систему, состоящую из одного линейного
уравнения и одного квадратного, а по исключении одного из
неизвестных — квадратное уравнение. Из двух решений этого
уравнения одно соответствует обращению б нуль величин A06),
на которые производилось умножение в ходе вывода. Это ре-
решение следует отбросить. Конечно, определить скорости после
удара можно непосредственно из двух линейных уравнений
A04), A05), и для этой цели соотношение, выражающее тео-
теорему Карно при прямом центральном ударе двух тел, не дает
ничего нового. Оно имеет, однако, существенное значение, так
как выражает в отчетливой форме энергетическое соотношение
при ударе тел.
В частном случае неупругого удара, когда и^х = v2x, тео-
теорема Карно дает наиболее простой способ для определения об-
общей скорости тел после удара. При составлении выражения
кинетических энергий устраняется возможность сделать ошиб-
ошибку в знаке, которая не исключена при использовании теоремы
количества движения.
Чтобы выразить потерю энергии через заданные начальные
скорости тел, заметим, что, как легко вывести из уравнений
A04) и A05),
Щх — Щх = m + M (vlx - ulx),
V2x — Vix = rn + м ( )
Кинетическая энергия, соответствующая потерянным скоростям,
поэтому будет
ГтМ A + kJ / Ч9
и, следовательно,
^^ A15)

240 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В частном случае, когда одно из тел до удара неподвижно,
т, в. V\x = 0, будем иметь
Т —Т —1A—fcg) mM и\
Пользуясь этими формулами, определим в качестве при-
примера коэффициент полезного действия молота массы т, уда-
ударяющего по наковальне массы М. В этом случае полезной яв-
является потерянная кинетическая энергия Т\—Г2, затрачиваемая
на деформацию отковываемого куска; энергия Г2, сохраняю-
сохраняющаяся после удара и определяемая скоростями, которые будут
после удара иметь молот и наковальня, является бесполезной.
Коэффициент полезного действия молота поэтому равен
_ Тх - Г2 = М A - k2)
' Т\ m + М *
т. е. для получения высокого коэффициента полезного действия
масса молота должна быть малой по сравнению с массой нако-
наковальни. К противоположному выводу придем, рассматривая
случай копра с бойком массы т, забивающего сваю массы М.
Теперь под коэффициентом полезного действия следует понимать
отношение
_ Т2 _ m + k2M
так как полезным является запас механической энергии, кото-
который остается в системе, не переходя в иные формы энергии.
Потерянная энергия Т\ — Г2, идущая преимущественно на де-
деформацию сваи, должна быть по возможности уменьшена. Вес
бойка должен быть велик по сравнению с весом сваи. В первом
случае коэффициент полезного действия увеличивается при не-
неупругом ударе, во втором — при упругом.
Удовольствуемся пока настоящей, простейшей трактовкой
теоремы Карно для случая прямого удара двух тел. Теорема
эта на самом деле имеет гораздо более общее значение в ди-
динамике систем материальных точек и твердых тел. К этому во-
вопросу мы еще вернемся при описании применений общего урав-
уравнения динамики несвободной системы (§ 156).
Соотношения, выведенные выше, относятся к прямому цен-
центральному удару двух поступательно движущихся тел. Они
могут быть распространены на случай соударения двух тел,
вращающихся вокруг неподвижных осей, при условии, что ли-
линейные скорости точек соударяющихся тел направлены по одной
Прямой, являющейся нормалью к поверхностям; по которым

§ 132. ПОТЕРЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ УДАРЕ
241
происходит соприкасание (рис. 323). Сказанное следует из ана-
аналогии, существующей между уравнением прямолинейного дви-
движения материальной точки и уравнением вращения твердого
тела вокруг неподвижной
оси (§ 116)
Приведем вывод, не основы-
основывающийся на указанной аналогии.
Для этого составим уравнения мо-
моментов количеств движения при
ударе для пепвого и второго тела
(§ И7)
Рис.323.
— <*>2Э) == — Г2 X $.
Здесь /i, /2 — моменты инерции
тел относительно их осей враще-
вращения, ©ю, ©го — их угловые скорости до удара, ©ь ю2 — угловые скорости после
удара. Через S обозначен импульс, прикладываемый к первому телу со сто-
стороны второго при ударе; тогда на второе тело будет действовать импульс
противоположного направления — S; гх и Гг — вектор-радиусы общей точки
тел, в которой прикладывается удар, причем начала этих вектор-радиусов
расположены на осях вращения соответствующих тел.
Умножая обе части первого равенства A17) скалярно на ©i + ?©ю, вто-
второго — на ©2 + &g>2o и складывая результаты, получаем
Jl (©1 — ©ю) ' (©I + &©ю) + h (<*>2 """ ®20) * (©2 + &©2о) =
= (©! + ?©10) « (Г! X S) - (©2 + fc©2o) • (Г2 X S).
Применив правило преобразования скалярного произведения вектора на
векторное произведение двух векторов, преобразуем правую часть к виду
[(©1 + &©ю) X Ы • S — [(©2 + ?©2о) X **2] • S =
где vu v2, ^10, Що — линейные скорости после удара и до удара точек первого
и второго тела, вступающих в соприкасание при ударе. Относительные ско-
скорости Vi—г>2 и V\o —1'20 направлены, согласно условию, по общей нормали
к поверхности соприкасания. Поэтому, по определению коэффициента вос-
восстановления, имеем подобно A04)
k (V10 —
=== 0
(U9)
и по A18) получаем
/l (©1 —
(©1 + &©ю) + h (©2 — G>20) • (G>2
«0.
Полагая ©i==c5ieb co2 = «2^2, где еь е2 — единичные векторы, направленные
по осям вращения, можем также написать
/l (Щ — СЭ10) («1 + fcfiio) + /2 (©2 — ®20) («2 + ^©20) =» 0. A20)
Дальнейшее преобразование не отличается от проведенного выше. Прихо-
Приходим к соотношению A12), в котором теперь
A21)

242
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
— кинетические энергии системы до удара и
1
JL [J{ (щ - йюJ + h (©2 - Ю20J]
2
A22)
— кинетическая энергия, соответствующая потерянным скоростям.
Пример 114. Груз массы М падает с высоты h на платформу массы т,
опирающуюся на пружины с общей жесткостью с. Пренебрегая массой пру-
пружин и считая удар абсолютно неупругим, опреде-
определить максимальное перемещение fA платформы
при ударе (рис. 324).
Кинетическая энергия системы после удара
определяется по последней формуле A16); полу-
получим
М
В момент времени, когда платформа с гру-
грузом на ней в результате действия удара дости-
достигнет максимального отклонения /д от начального
положения, кинетическая энергия системы станет
равной нулю, а изменение потенциальной энергии
к этому моменту станет равным
причем слагаемое в квадратных скобках пред-
Рис. 324. ставляет собой приращение потенциальной энергии
пружин, а второе слагаемое — уменьшение потен-
потенциальной энергии силы тяжести груза и платформы; через f0 обозначено стати-
статическое сжатие пружин под действием тяжести платформы (в течение акта
удара платформа не сместилась!). Применив закон сохранения механической
энергии, получим
Пусть /ст обозначает статическое сжатие пружин под действием общей силы
тяжести груза и платформы; тогда
(M + m)g mg
с =
/ст /о '
и соотношение A23) принимает вид
М
т. е. /о = /с
т
М + т
Mgh
т
m)g
Таким образом, максимальное перемещение /д определяется как больший
корень квадратного уравнения
м у
равный
<124)

§ 132. ПОТЕРЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ УДАРЕ
243
В частности, при h = О, т. е. при мгновенном (динамическом) присоеди-
присоединении массы груза М, получим
а в случае платформы пренебрежимо малой массы {т = 0)
^д = 2/ст, A26)
т. е. перемещение верхнего конца пружины пренебрежимо малого веса при
мгновенном присоединении массы М вдвое больше статического перемещения
при присоединении постепенно нарастающей от нуля до М массы.
Пример 115. Мишень представляет собой однородную призму массы М
с квадратным основанием (сторона равна а) и высотой Ъ\ в центр С боко-
боковой грани, противолежащей ребру АВ, ударяет пуля массы т со скоростью
v0 (рис. 325). Считая удар неупругим, определить с какой угловой ско-
скоростью 0 начнет вращаться мишень во-
вокруг ребра АВ после удара.
В данном случае
причем
•— момент инерции мишени относитель-
относительно ребра АВ; скорость v пули после
удара равна скорости точки мишени,
в которую попадает пуля, т.е.
Л/
а2+ ^
со.
Рис. 325.
Кинетическая энергия, соответствующая потерянным скоростям мишени,
равна
так как до удара мишень находилась в покое; для пули имеем
к=~ [(«о, - *,?+«я --5- [(«о -1 ь.у +
Соотношение A12), выражающее теорему Карно, дает
mvl
\ M(a2
М (а2 + Ь2)
m
(°°"~ Т
откуда находим
со =
4М (а2 + Ь2) + ш A2а2 + ЗЬ2) *

244 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
К этому же результату можно прийти, выразив неизменность главного
момента количеств движения системы при ударе, в частности неизменность
его проекции на ось х:
Имеем
где величина в квадратных скобках представляет собой момент инерции от-
относительно оси х массы мишени вместе с точечной массой пули. Итак,
Ь Г М . 9 , . 2Ч , / 2 , Ъ2 \1
откуда получаем приведенное выше значение оз.
Считая, что после удара мишень и пуля движутся вместе, определим,
при какой начальной скорости пули произойдет опрокидывание мишени. Для
этого заметим, что кинетическая энергия системы после удара определяется
равенством
2 [A2а2 + 362)m + 4 (a2+b2) M]'
Опрокидывание мишени может иметь место при условии, что центр тяже-
тяжести системы пройдет через вертикальную плоскость, проведенную через ось
вращения. По теореме об изменении кинетической энергии имеем
Т" — 7" = W,
где Т" — кинетическая энергия в момент прохождения центра тяжести системы
через указанную вертикальную плоскость, Т — начальное значение кинетиче-
кинетической энергии, ранее обозначенное через Т2, и W — работа сил тяжести.
Центр тяжести мишени и пули находится на расстояниях
а М + 2т Ь
ц 2 М + т ' ц~~ 2
от граней призмы, проходящих через ребро ЛВ. Поэтому в момент прохож-
прохождения через указанную плоскость центр тяжести поднимается на высоту
и работа W будет равна
Теорема об изменении кинетической энергии дает теперь
Т"
• — 4 —
2 [A2а2 + 362) m + 4 (а2 + Ъ2) М)

133. ТЕОРЕМА ДЛЯ СЛОКЛЮЙ СРЕДЫ
245
Отсюда находим
AM (а2 + Ь2) + т A2а2 + 3ft2)
(М+т)Х
§ 133. Теорема об изменении кинетической
энергии сплошной среды. Теоремы Бернулли
и Борда — Карно. Общее дифференциальное уравнение
кинетической энергии.
Диссипация механической энергии
Проведем в установившемся потоке (т. е. таком, что поле
скоростей в нем не зависит от времени — стационарно) одно-
однородной идеальной несжимаемой жидкости бесконечно тонкую
трубку тока (рис. 326). Если жидкость однородна и несжи-
несжимаема, то плотность ее одинакова во
всем потоке. Идеальная жидкость пред-
представляется такой моделью сплошной
среды, в которой при ее движении пол-
полностью отсутствуют касательные на-
напряжения (внутреннее трение). Выде-
Выделим в трубке в данный момент време-
времени t объем, заключенный между дву-
двумя ортогональными к боковой поверх-
поверхности трубки сечениями 0i и 02-
В смежный момент t + dt выделенный
объем жидкости сместится вдоль труб-
трубки тока и займет положение, ограни-
ограниченное сечениями 0^ и о'т
В установившемся движении новый
объем будет отличаться от преды-
предыдущего только тем, что к верхней части трубки присоеди-
присоединится элементарный объем, заключенный между сечениями
02 и 0g, а от нижней вычтется такой же объем между сече-
сечениями 0 и 0j. Изменение кинетической энергии в рассматривае-
рассматриваемом объеме трубки сведется к разности
Mdt-^ — Mdt~, A27)
где М — секундный массовый расход жидкости, одинаковый для
всех сечений* трубки тока, а произведение М dt — масса жидко-
жидкости, протекающая через любое сечение трубки за время dt.
Замечая, что перемещения частиц в сечениях 0i и 02 бу-
будут соответственно равны v\dt и v^dt, составим выражение
Рис. 326.

246 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
элементарной работы приложенных к сечениям о\ и о2 сил даз«
ления, равных по величине р\О\ и Р2<*2> в виде
v{dt —
или, замечая, что по определению секундного массового расхода
М = po\Vi = pa2v2 (р — постоянная плотность), в виде
Pl~P2 Mdt. A28)
Работа сил давления, приложенных к боковой поверхности
трубки тока, очевидно, равна нулю, так как перемещения жид-
жидкости вдоль боковой поверхности трубки тока перпендикулярны
к силам давления.
Работу сил тяжести получим как уменьшение потенциала
при перемещении выделенного объема жидкости из начального
положения в конечное. При расчете этого уменьшения потен-
потенциала примем во внимание, что потенциал общей части началь-
начального и конечного объемов при этом выпадает и работа сил
тяжести будет равна
Mdt'g(zl-z2). A29)
Приравнивая, согласно теореме об изменении кинетической
энергии, выражение A27) сумме выражений A28) и A29), а
затем сокращая обе части полученного равенства на Mdt, по-
получаем
.?+.?+«*,-4+т+«*- Aзо)
Выражение
называют трехчленом Бернулли. Этот трехчлен можно тракто-
трактовать как отнесенную к единице массы полную механическую
энергию жидкости в данной точке. Действительно, первое и
третье слагаемые в левой части A31) представляют собой отне-
отнесенные к единице массы соответственно кинетическую энергию
и потенциальную энергию сил тяжести. Второе слагаемое пред-
представляет собой потенциал объемной силы —(l/p)gradp, выра-
выражающей в уравнении Эйлера (§ 38) объемное действие поверх-
поверхностных сил давления. Отсюда следует, что слагаемое р/р в
уравнении A31) является потенциалом этой объемной силы,
так как
— A/р) grad р = — grad (р/р).
Таким образом, трехчлен Бернулли В действительно явля-
является суммой кинетической и потенциальной энергий тяжести и
объемного действия сил давления, т, е. отнесенной к единице

§ 133. ТЕОРЕМА ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 247
массы полной механической энергией жидкости в данной точке
потока.
Согласно равенству A30) полная механическая энергия В
сохраняет свою величину вдоль трубки тока или — что то же
самое в случае стационарного поля скоростей — вдоль траекто-
траектории. Равенство
В =^г-+ — +gz = const (вдоль линии тока) A32)
z р
выражает закон сохранения полной механической энергии еди-
единицы массы идеальной однородной несжимаемой жидкости
вдоль трубки тока, а следовательно, и вдоль линии тока. В этом
заключается простейшая формулировка классической тео-
теоремы Бернулли.
Следует еще отметить, что равенство A32) служит первым
интегралом уравнений Эйлера [уравнения (91) гл. XXII при
F = g (тяжелая жидкость!)], вследствие чего равенство A32)
можно еще именовать интегралом Бернулли.
Разделив обе части равенства A32) на ускорение свободного
падения g, преобразуем это равенство к виду
— = # = -|—Ь —+ 2 = const (вдоль линии тока), A33)
где у = pg — удельный вес жидкости.
Все члены равенства A33), как легко убедиться, имеют раз-
размерность длины и им в технической гидромеханике (гидрав-
(гидравлике), по аналогии с последним слагаемым г, приписывают
термин «высоты». Так, слагаемое v2/2g принято называть ско-
скоростной высотой, р/у — пьезометрической высотой, z — нивели-
нивелировочной высотой или, просто, высотой, а сумму этих высот Н —
гидравлической или полной высотой.
В частном случае движения жидкости параллельно горизон-
горизонтальной плоскости потенциальная энергия сил тяжести сохра-
сохраняется и может быть введена в константу. Уравнение Бернулли
A32) тогда перепишется в форме
Р + ~ir = const = р0, A34)
где р0— давление в покоящейся жидкости (v = 0).
В этом случае отдельные слагаемые равенства A34) назы-
называют напорами, а именно: р — пьезометрическим напором,
ри2/2 — динамическим или скоростным напором, р0 — полным
напором.
О применениях теоремы Бернулли подробно говорится в кур-
курсах технической гидромеханики; здесь мы отметим лишь роль
этой теоремы в объяснении некоторых широко распространен-
ных явлений.

248
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Рис. 327.
Рассмотрим однородный горизонтальный воздушный поток,
набегающий на крыло самолета, наклоненное к потоку под не-
некоторым углом (углом атаки). Верхняя поверхность крыла при
этом является выпуклой, и при ее обтекании линии тока сбли-
сближаются, трубки тока утоньшаются, а это при сохранении рас-
расхода воздуха вдоль трубок тока вызывает увеличение скоростей
потока вблизи верхней по-
поверхности крыла по сравне-
сравнению с потоком вблизи ниж-
нижней поверхности, где трубки
тока, наоборот, расширяют-
расширяются, а поток подтормаживает-
подтормаживается (рис. 327).
Согласно теореме Бернул-
ли, выраженной в этом слу-
случае в форме A34), местное
увеличение скорости на
верхней поверхности крыла
приводит к уменьшению
давления, или, что то же самое, к увеличению разрежения в по-
потоке по сравнению с давлением вдалеке от крыла. На нижней
поверхности сохранятся положительные разности давлений. За
счет этой разницы давлений возникает подъемная сила крыла Р
(рис. 327). Аналогичная подъемная сила образуется и на ло-
лопатках рабочих колес турбин и насосов. Сумма моментов этих
сил относительно оси вращения колеса определяет вращающий
момент, приложенный к рабочему колесу турбины или насоса.
Определение величины и направления подъемной силы сво-
сводится к нахождению главного вектора сил давления, в случае
обтекания замкнутого контура идеальной жидкостью перпенди-
перпендикулярных к поверхности контура, что можно сделать с помощью
теоремы количества движения (теорема Эйлера, § ПО) и кине-
кинетической энергии (теорема Бернулли).
Не приводя здесь соответствующего вывода, отошлем инте-
интересующихся к § 49 (с. 231—234) книги: Лойцянский Л. Г.
Механика жидкости и газа. — 4-е изд. М.: Наука, 1973. Из этого
вывода следует, что величина главного вектора сил давления,
а вместе с тем и подъемной силы Р определяется формулой Жу-
Жуковского
где Г — циркуляция скорости потока V по контуру профиля С,
определяемая контурным интегралом
Г = § V • 6г,
с

§ 133. ТЕОРЕМА ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 249
аналогичным контурному интегралу E), который представлял
работу силы по замкнутому контуру как циркуляцию вектора
силы по этому контуру; Voo — скорость набегающего на контур
потока, р — плотность жидкости. Если условно назвать «на-
«направлением циркуляции» направление такого обхода контура
при интегрировании, чтобы циркуляция оказалась положитель-
положительной, то по Жуковскому вектор подъемной силы Р направлен
по вектору скорости набегающего потока Foo, повернутому на
90° в сторону, противоположную направлению циркуляции.
При плавном стекании жидкости с задней кромки крылового
профиля, как это показано на рис. 327, циркуляция Г опреде-
определяется формулой
Г = const • Vja, sin a,
где а — хорда крылового профиля, а — «теоретический» угол
атаки между хордой профиля и вектором Voo, причем направле-
направление хорды (направление нулевой циркуляции) выбирается так,
чтобы Г = 0 при а = 0, а постоянный множитель зависит от
формы крылового профиля.
В принятых в аэродинамике обозначениях величина подъем-
подъемной силы, согласно только что приведенным формулам, может
быть выражена так:
Ry = су -у- а,
где су — коэффициент подъемной силы, в случае идеальной не-
несжимаемой жидкости зависящий от угла атаки и формы кры-
крылового профиля. Для тонкого профиля зависимость су от а
близка к линейной (су « 2яа) и по уклону несколько превы-
превышает опытную. За деталями отсылаем к с. 229 и др. цитирован-
цитированного выше курса.
Из условия перпендикулярности главного вектора сил дав-
давления к вектору скорости набегающего потока следует, что в
случае плоского потока идеальной жидкости составляющая
главного вектора по направлению вектора скорости набегаю-
набегающего потока — сила сопротивления движению крылового про-
профиля — независимо от его формы равна нулю. Это утверждение
представляет собой частный случай более общего парадокса
Даламбера.
При сужении канала рабочего колеса средние скорости в его
сечениях возрастают, что, согласно теореме Бернулли, вызывает
появление разрежений в местах сужения. На этом явлении осно-
основано применение трубки Вентури A746—1822), представляю-
представляющей собой сначала сужающийся, а затем расширяющийся ка-
канал. Такая трубка служит для отсасывания жидкости или воз-
воздуха через ниппель, соединенный с узким сечением канала. Так,

250
ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
например, если такую трубку повесить на кран водопровода, а
к ниппелю присоединить камеру, заполненную воздухом, то, пу-
пустив воду, получим водоструйный насос, откачивающий воздух
из камеры. Такой прибор может использоваться как форвакуум-
ный насос, создающий в камере сравнительно слабое разре-
разрежение.
Теорему Бернулли совместно с теоремой Эйлера, изложен-
изложенной в § 110, можно применить для вывода теоремы Борда
A733—1792)—Карно о потере механической энер-
энергии потока жидкости при внезапном его расши-
расширении (рис. 328). Теорема эта служит аналогом теоремы Кар-
2
Рис. 328.
но (§ 132) и утверждает, что потеря полной механической энер-
энергии потока идеальной жидкости при внезапном его расширении
равна кинетической энергии, соответствующей «потерянным»
скоростям.
Под отнесенной к единице объема полной механической энер-
энергией потока будем, согласно A34), понимать величину
Потерей отнесенной к единице объема полной механической
энергии на участке внезапного расширения потока является
разность
Pol Р02 — Pi И о Р2
A35)
где индексы 1 и 2 относятся к сечениям потока / — / и 2 — 2,
показанным на рис. 328 штриховыми линиями.
Докажем, что эта отнесенная к единице объема потеря
равна кинетической энергии, соответствующей потерянным

§ 133. ТЕОРЕМА ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 251
скоростям, т. е. величине
-|(и, —t>2J. A36)
Применим теорему Эйлера (§ ПО) к объему, ограниченному
сечениями 1 — 1 и 2 — 2. Обозначая через О\ площадь сечения
потока до его расширения, а через о2— после расширения, на-
находим
Pi°2 + Pyiai -~ Р2°2""" Ру2а2= 0- A37)
В этом равенстве первое слагаемое соответствует предполо-
предположению о том, что во всем сечении / — / давление практически
постоянно.
Во втором слагаемом использовано сечение аь так как
только через него переносится количество движения.
Замечая, что из условия постоянства массового расхода при
р = const следует, что
заменим второе слагаемое в равенстве A37) равной ему вели-
величиной pv\V2O2. Будем иметь, сокращая обе части полученного
равенства на сгг,
Подставив значение р\— р2 в правую часть выражения
A35), придем к искомому результату:
= f (о? - v* + 2*2 - 2vxv2) =±(v* + vl- 2vxv2) = | (vx - v2)\
A38)
доказывающему справедливость теоремы Борда — Карно.
Так же как в конце двух предыдущих глав были показаны
применения теорем об изменениях количества движения и мо-
момента количества движения систем к выводу основных диффе-
дифференциальных уравнений механики сплошных сред, так и в конце
настоящей главы применим с этой целью теорему об изменении
кинетической энергии системы.
Снова рассмотрим произвольный объем т движущейся среды,
ограниченный поверхностью а, обозначим через 6т и 6а эле-
элементы объема т и соответственно поверхности а. Кинетическая
энергия элементарного объема 6т будет равна Угбт-и2 или
V26 а кинетическая энергия всего объема т определится

252 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
как сумма этих элементарных кинетических энергий, т. е. как
интеграл
(т)
Теорема об изменении во времени кинетической энергии дви-
движущегося объема т приведет к равенству
dT _ с
dt ~ d
f f
\ Рп • v да + \ 7VRH бт, A39)
J J v
О X
где интегралы в правой части представляют суммарные мощ-
мощности внешних объемных и поверхностных сил, а также, в отли-
отличие от теорем количества и момента количества движения, сум-
суммарную мощность внутренних сил, причем AfBH — мощность вну-
внутренних сил, отнесенная к единице объема среды, или, что то же
самое, объемная плотность распределения мощности внутрен-
внутренних сил по среде. Как и в предыдущих двух главах, приведем
интеграл по поверхности к интегралу по объему, но прежде
всего преобразуем выражение для мощности с учетом закона
сохранения элементарной массы 8пг = р бт
d С pv2 я С d ( v2 \ А .
XX X
Несколько сложнее обстоит дело с интегралом по поверх-
поверхности, равным, согласно формуле Коши [формула C) гл. IX],
A41)
Записав выражение подынтегральной величины в правой части
в проекциях на оси координат, получим, по определению опе-
операции умножения вектора на тензор слева,
(пР) • v = (nP)xvx + (пР)у vy + (nP)z vz =
= (Пхрхх + Пурух + Пгргх) Vx + (Пхрху + ПуРуу + Пгргу) Vy +
+ (nxpxz + Пуруг + tlzpzz) Vz =
= Пх (pxxVx + PxyVy + PxzVz) + Пу (pyxVx + pyyVy + pyzVz) +
+ Пг (pzxVx + PzyVy + PzzV2) =
— nx (Pv)x + ny (Pv)y + nz (Pv)z = n . (Pv).

$ 133. ТЕОРЕМА ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 253
Тогда с учетом A41) интеграл по поверхности в правой части
A39) по формуле Гаусса — Остроградского (§ 37) преобра-
преобразуется в интеграл по объему:
рп . v ба = J п • (Pv) ба = J div (Pv) 6т. A42)
Принимая во внимание A40) и A42), перепишем A39)
виде
}ЧГ ("Г") ~~ 9F ' v ~ div ^ "-'-^вн] St = 0,
т
откуда в силу произвольности выбора объема т получим иско-
искомое уравнение изменения кинетической энергии в дифференци-
дифференциальной форме
Р-5Г (тО =р/?1 * * + div(Pv) + ^вн- A43)
Чтобы выяснить зависимость плотности распределения мощ-
мощности внутренних сил Л^Вн от характера движения, умножим
скалярно на вектор скорости v обе части уравнения динамики
«в напряжениях» (86) гл. XXII и полученное уравнение
почленно вычтем из обеих частей уравнения A43). Тогда найдем
#вн = v ¦ Div P - div (Pv). A45)
Полученное выражение NBH можно преобразовать к более про-
простому виду. Чтобы избежать длинных выкладок, перейдем к
числовой индексации и, раскрывая векторные и тензорные сим-
символы (см. гл. VIII), получим (суммирование по /, / = 1, 2, 3)
дрц д дрц дрц dvt
dvf
Раскладывая дифференциальный тензор dvj/dxi на симметрич-
симметричную Sij и антисимметричную Л/ части (§§ 34, 78), будем иметь
Л^вн = — PijSu — РцАц-
Вспоминая, что Ац = —Л//, а рц — р;/, убедимся, что второе
слагаемое в правой части тождественно равно нулю. Итак,
A46)

254 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Сумму попарно взятых компонент двух тензоров («свертку»
по обеим индексам) примем за определение скалярного произ-
произведения двух тензоров и перепишем равенство A46) оконча-
окончательно так:
NBU = -P-S. A47)
Обратим внимание на некоторое сходство структуры выра-
выражения A47) с мощностью силы F [равенство (9)], приложен-
приложенной к точке, движущейся со скоростью v. В последнем случае
мощность равна скалярному произведению F-v вектора силы на
вектор скорости, в случае же сплошной среды плотность мощ-
мощности внутренних сил равна также скалярному произведению
тензора напряжений на тензор скоростей деформаций (§ 78).
В абсолютно твердом теле деформации отсутствуют, тензор
скоростей деформаций равен нулю, равна нулю и отнесенная к
единице объема мощность внутренних сил. Об этом было уже
упомянуто ранее.
В случае движения идеальной жидкости, в которой можно
положить Р = —рЕ (р — давление, Е — тензорная единица),
мощность внутренних сил (касательных напряжений нет) будет
определяться формулой
Вспоминая, что ?,7 = 0, если i Ф /, и 1, если i = /, найдем
(суммирование по i от 1 до 3)
#BH=pSn=pdivt>. A48)
Если жидкость, кроме того, несжимаема (diva = 0), то плот-
плотность распределения в ней мощности внутренних сил равна
нулю так же, как и в абсолютно твердом теле.
Разделив обе части последнего равенства на р, т. е. перейдя
к мощности Л^вн, отнесенной к единице массы (удельной мощ-
мощности), получим
JVBH = ^-divz;. A49)
Вспомним уравнение неразрывности в форме (88) гл. XXII,
согласно которому
I dp
—.
р dt
Тогда выражению удельной мощности A49) можно придать
вид
лт* — Р dp _ d (\
JVp^

§ 133. ТЕОРЕМА ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 255
Величина, обратная плотности р, носит наименование удель*
кого объема V= 1/р. Предыдущая формула может быть запи-
записана так:
AT* dV
N p
а элементарная работа внутренних сил за время dt [см. (9)] —
так:
ftTmdt = 6W' = pdV. A50)
Эта формула используется в термодинамике. Вспомнив, что
S dt = S представляет собой тензор деформаций (§ 78), элемен-
элементарную работу внутренних сил можно записать также в следую-
следующем виде:
NU dt = 6W' = — P-S. A51)
Формулы A46), A47); A51) имеют важное значение в тео-
теории упругости, гидродинамике и других разделах механики
сплошных сред. В теории упругости тензор напряжений Р заме-
заменяется линейной функцией тензора деформаций [обобщенный
закон Гука A635—1703)], в гидродинамике вязкой жидкости—¦
также линейной функцией тензора скоростей деформаций (обоб-
(обобщенный закон Ньютона). Покажем это на простом примере вяз-
кой несжимаемой жидкости.
Обобщенный закон Ньютона имеет следующий вид*):
P = 2\xS-pE, A52)
где [х — динамический коэффициент вязкости, а Е — тензорная
единица.
Подставив это выражение тензора напряжений Р в равен-
равенство A47), получим (по условию несжимаемости divt> = 0)
NBK = — 2[iS2 - р div v = - 2[iS2; A53)
здесь применено краткое обозначение S2 для S-S, равного (сум-
(суммирование по обеим индексам t, / от 1 до 3)
В отличие от теории упругости, где при использовании вы-
выражения Р по обобщенному закону Гука формула A51) дает
элементарную работу упругих взаимодействий в теле и, следо-
следовательно, приводит к выражению потенциальной энергии упру-
упругого взаимодействия, которая в процессе деформирование
*) См. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — 5-е изд. M.j
Наука, 1978, с. 354, 355.

256 ГЛ. XXIV. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
обратима, мощность внутренних сил вязкости (трения) в жидко-
жидкости необратима*).Механическая энергия, затраченная на прео-
преодоление сил вязкости, переходит в тепловую, т. е. диссипируется
в жидкости. Диссипированная мощность Nmc определяется как
iVBH с противоположным знаком. Она выражает отнесенную к
единице объема и времени потерю механической энергии, пре-
превращающуюся в тепло и другие виды энергии. Об этих потерях
в настоящей главе уже упоминалось. Судя по выражению S2
A54), представляющем собой сумму квадратов, потери исче-
исчезают только при квазитвердом движении несжимаемой вязкой
жидкости, когда деформации, а следовательно, и скорости де-
деформаций полностью отсутствуют.
Вернемся в заключение к уравнению A44), причем предпо-
предположим, что: 1) жидкость идеальна, т. е. отсутствуют касатель-
касательные напряжения (вязкости), 2) жидкость несжимаема, и плот-
плотность ее всюду одна и та же (р = const), 3) объемные силы
имеют потенциал, т. е. F = —gradll, причем, в частности, в слу-
случае сил тяжести П = gz (ось z вертикальна и направлена
вверх), 4) движение стационарно, т. е.
0 ( Р*2 V
dt \ 2 )
= 0.
Кроме того, по п. 1)
Р = — рЕ, Div Р = — grad p.
Уравнение A44) в этих предположениях принимает вид
v • grad (-^~) = — Р*> • grad П — v • grad p,
или, если собрать все члены под общий оператор grad и заме-
заменить П на gz, вид
(^ +p)=0.
Вводя символ d/ds для дифференцирования вдоль линии
тока, вспоминая определение производной по направлению как
скалярного произведения градиента на единичный вектор
(в данном случае v/v) этого направления и сокращая обе части
равенства на pvg (у = pg — удельный вес), получаем
И" vliF ~^"z ^" ~) = const (ВД°ЛЬ линии тока),
откуда следует выведенная ранее другим путем формула Бер-
нулли A33).
*) См. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.-^Б-е изд. М.;
Наука, 1978, с. 427, 428.

yr
Глава XXV
ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 134. Дифференциальные уравнения
плоского движения твердого тела
Кинематика плоского движения абсолютно твердого тела
была изложена в гл. XIV. Динамике этого сравнительно про-
простого случая движения твердого тела посвящается настоящая
глава.
Предположим, что масса рассматриваемого твердого тела
распределена симметрично относительно плоскости Оху, что все
внешние силы F\, F2, ..., Fnj при-
приложенные к телу, действуют в этой
плоскости и что начальные скорости
точек тела ей параллельны. При
этих условиях тело будет совер-
совершать плоское движение, и д^я изу-
изучения его достаточно рассмотреть
движение плоской фигуры, получаю-
получающейся в сечении тела плоскостью
Оху (рис. 329). В последующем,
если не оговорено противное, пред-
предполагается, что начало координат
системы осей х'у у', связанных с телом, помещено в центре
масс С тела.
Движение плоской фигуры определяется уравнениями дви-
движения полюса
*с = Ы0> Ус = /2 @>
и уравнением вращения фигуры вокруг полюса
о
Рис. 329,
Задачей динамики плоского движения твердого тела явля-
является нахождение этих уравнений по заданным силам (вторая
задача динамики) или определение сил в заданном движении
(первая задача). Очень часто встречаются также смешанные
задачи, когда между величинами, определяющими положение
9 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

258 ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
тела, имеются наперед известные соотношения, а действующие
силы частью известны, частью должны быть определены по ходу
решения задачи.
Теорема о движении центра масс дает соотношение
= V, A)
где М — масса тела, we — ускорение его центра масс, V — глав-
главный вектор внешних сил, действующих на тело:
п
¦Z<
B)
Векторное равенство A) можно проектировать на те или
иные оси. Проектируя его на оси неизменного направления х9 у,
получаем два уравнения
Vyj C)
в которых Хс и ус обозначают координаты центра масс.
При проектировании векторного равенства A) на оси х', у',
связанные с телом, следует воспользоваться леммой § 68 о
дифференцировании вектора по времени
dVr, dfvn
dt dt
Первое слагаемое в правой части этого соотношения представ-
представляет собой вектор, проекции которого на оси х', уг равны произ-
производным по времени от проекций vCx* и vCy> вектора vc на эти
оси; заметив также, что юх' = ау = 0, оз2 = с5 = ф, получим
VCy> + <bVCx>.
Уравнения движения центра масс принимают вид
М (vCx' — ®Vcy') = VX', M (vCy< + 5>vCx>) = Vy>. D)
Эта форма уравнений движения центра масс используется в
динамике самолета.
Часто применяют также проектирование на касательную
(т) и главную нормаль (п) плоской траектории центра масс
(рис. 330):
2
= Vxy M y- = ±MvcQ = Vn. E)
Здесь р — радиус кривизны траектории центра масс, 9—-угол
между вектором скорости v ¦= vx и неизменным направлением
оси Ох; при 0 > 0 берется знак плюс, при 0 <С 0 — знак минус.
В первом случае угол 0 возрастает с течением времени, а во вто-
втором— убывает. При составлении уравнения движения неиз-

§ 134. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 259
вестно, как с ростом времени будет изменяться Э; но это не мо-
может представить затруднения, так как предположение, что 0,
например, возрастает (рис. 330, а), определяет направление
единичного вектора п главной нормали (в сторону вогнутости
траектории); при обратном предположении придется изменить
знак в левой части второго уравнения E), но при этом изме-
изменится на противоположное предполагаемое направление п
(рис. 330, б) и, следовательно, знак Vn в правой части того же
уравнения.
У
44
D
x
Рис. 330.
S)
Дифференциальное уравнение вращения составим, применив
теорему об изменении момента количеств движения относи-
относительно центра масс (§ 120). В случае плоского движения твер-
твердого тела относительным движением по отношению к центру
масс является вращение тела с его угловой скоростью со вокруг
оси z, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей
через центр масс С. Поэтому вектор К' в выражении (81) § 120
определяется равенством
Г = /?Ч F)
где Л,С) — момент инерции относительно указанной оси. К этому
соотношению можно прийти, воспользовавшись формулой (82)
§ 120; действительно, при плоском движении
и, следовательно,
К' = Z m.rl()
Получаем по формуле (81) § 120
t
mtrf
причем
G)
(8)

260
ГЛ. XXV ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
представляет собой главный момент внешних сил относительно
центра масс. Проектируя векторное равенство G) на ось г, по-
получаем дифференциальное уравнение вращения плоской фигуры
?
(9)
где х'.> у\ — координаты точки приложения силы Ft в системе
осей Сх'у'.
Могут представиться случаи, когда при составлении уравнения враще-
вращения предпочтительно принять за полюс не центр масс С, а какую-либо другую
точку О тела. При обозначениях рис. 331 получим
что выражает известную теорему статики о переносе центра момента. Заме-
Заменив V согласно равенству A) и вспомнив формулу распределения ускорений
в плоском движении (§ 58), можем написать также
m
@)
- Mrc X [w0 - coVc + ю X rc]
Рис. 331.
и подстановка в равенство G) дает
= mi0) - Mrc X
Замечая, что
ГсХг'с = 0, Гс
получаем
m(C) = m@) -
C X rc -
- Mrc X (© X r'c)
X rc) = &/c2t
Остается заметить, что по теореме о моментах инерции относительно парал-
параллельных осей
и, следовательно,
Мгс
т
@\
A0)
Уравнение A0) упрощается, если за полюс О выбрать точки плоской
фигуры, в данный момент времени совпадающие с мгновенными центрами
скоростей Р или ускорений Q (см. §§ 56 и 58). Обозначим через vP скорость
леремещения мгновенного центра Р по плоскости фигуры. Тогда vP = drP/dt.
В силу формулы A80 § 56 имеем

§ 134. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 261
откуда
dt
¦&¦ [и2 (е X vo) +
- (• X v0) •!¦
Из условия параллельности е и w следует, что е/ё = со/ со, так что по-
последний член в квадратной скобке справа преобразуется к виду
~(шX г>0)^(©-(») =
Получим
Выберем за полюс О ту точку Р фигуры, которая в данный момент вре-
времени совпадает с мгновенным центром скоростей Р (рис. 332); тогда vo = О,
Wo = wP и предыдущее равенство примет вид
откуда, векторно умножая обе части на ш и замечая, что &-wP = 0, полу-
получаем ускорение точки фигуры, в данный мо-
момент времени совпадающей с Р, Лоддижнав
центроида
wp = vpX*. (И)
При таком выборе полюса уравнение
A0) перейдет в следующее:
4Р)© + Мг'РС X (»Р X ш)
или в иной форме
A2)
A3)
v Нвподдижная
центроида
Рис. 332.
В частном случае, когда центр масс лежит на общей нормали к центроидам
в точке Р,
PC VP — и (И)
и уравнение A3) имеет вид
¦nv
A5)
Если за полюс О принять мгновенный центр ускорений Q, то в соотношении
A0) будем иметь w0 = wQ = 0, поэтому
jz (я —т . A6)
Таким образом, уравнение вращения G) сохраняет свой вид при переносе
полюса из центра масс в мгновенный центр ускорений.

262
ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Два уравнения движения центра масс и уравнение враще-
вращения, взятые в одном из указанных выше видов, представляют
полную систему дифференциальных уравнений плоского движе-
движения твердого тела. При действии потенциальных сил следует
использовать соотношение, даваемое теоремой об изменении
кинетической энергии и представляющее собой один из первых
интегралов указанной системы дифференциальных уравнений.
§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости
и криволинейной поверхности
Сначала рассмотрим сравнительно простую задачу. Одно-
Однородный круговой цилиндр, ось которого горизонтальна, скаты-
скатывается по неподвижной плоскости, наклонной к горизонту
(рис. 333). Пренебрегая моментом сил трения качения, опреде-
определим движение цилиндра:
а) при отсутствии сколь-
скольжения и б) при наличии
скольжения. Коэффици-
Коэффициент трения скольжения f
считаем известным. Внеш-
Внешними силами, приложен-
приложенными к цилиндру, явля-
являются: сила тяжести G =
¦= mg, нормальная реак-
Рис. 333. ция плоскости N и сила
трения F\.
В случае качения без скольжения точка Р соприкасания ци-
цилиндра и плоскости есть мгновенный центр скоростей. Обозна-
Обозначая угловую скорость цилиндра через со, а его радиус через а,
получаем
vx = x = a8> = aq)i A7)
где vx = х — скорость центра тяжести цилиндра (t^ = 0).
Располагая неподвижные оси Ох и Оу, как указано на
рис. 333, будем иметь
# = — а = const, y = y = Oi х = аф,
Vх = mg sin a — F{, Vy = mg cos а — N, m^C) = Fxa;
дифференциальные уравнения плоского движения C) и (9)
примут вид
maif = mg sin а — F{, 0 = mgcosa — N, /BС)ф = /71а. A8)
Второе уравнение определяет нормальную реакцию; первое
и третье служат для определения углового ускорения ф и силы

§ 135. КАЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
трения F\. Решая эти уравнения, получаем
Fx = mg
°
2 2
а +рс
а ===
ускорение центра тяжести цилиндра равно (wy = 0)
а2
wx = х = aqp = — g- g sin а = vg sin а,
где
Р2с
«2 *
263
A9)
B0)
B1)
B2)
Все сказанное относится в равной мере и к тем случаям,
когда катящееся тело является не цилиндром, а шаром или
колесом; в последнем случае будем считать массу колеса со-
сосредоточенной на его ободе (обруч). Коэффициенты jli и v имеют
в этих случаях значения, приведенные в табл. 6.
Таблица в
Коэффициенты в выражениях силы трения и ускорения
центра тяжести тела, скатывающегося по наклонной плоскости
Форма
тела
Шар
Цилиндр
Обруч
Р2
о2
2
5
1
2
1
2
у « 0,29
1^0,33
1 = 0,50
а2
7,о,71
f-0,67
1
ао ¦¦ arctg —
f = 0,05
10°
8°30'
b°4Q'
f - 0,10
„ж
16°40'
,,ж
f= 0,15
27°30'
24°10'
Определим путь, пройденный центром тяжести цилиндра.
Так как ускорение wx постоянно, то, считая начальную ско-
скорость равной нулю, получаем
x = ^ = Ugt> sin а.
B3)

264 ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
За то же время t тело (любой формы), скользя по абсолютна
гладкой плоскости, прошло бы путь
x* = -?gt2 sin а.
Таблица показывает, что шар проходит при чистом качении 71 %
этого пути; цилиндр, двигаясь немного медленнее, сделает 67%,
наконец, всего медленнее станет двигаться обруч — его путь
составляет только 50% от х*.
Рассматриваемый случай чистого качения может иметь ме-
место при условии, что сила трения при качении F\ не превосходит
по величине силы трения скольжения 7*2. Последняя же, со-
согласно закону Кулона, определяется формулой
p2z=fN = /G cos a = fmg cos а,
и вышеуказанное условие принимает вид
\iG sina<]/Gcosa,
откуда получаем
Mga<f, B4)
т. е. качение не будет сопровождаться скольжением, если угол
а не превосходит некоторой величины ао, определяемой этим
неравенством. Значения ао при различных / даны в приведенной
выше табл. 6.
Если a > a0, то качение сопровождается скольжением и
трение тела о плоскость будет трением скольжения, определяе-
определяемым законом Кулона. Уравнения движения при этом будут
тх = mg sin a — F2, тр2су = F2a;
подставив сюда значение F2, получим
x — g (sin a — /cos a), qp = -~-fcosa, B5)
9c
откуда x и ф можно определить интегрированием.
Разность
о* = х — аф
есть скорость скольжения точки соприкосновения Р цилиндра
с плоскостью. Имеем
sin a — /cosa — /-%-cosa>\==gcosa(tga—tga0).
При а > а0 величина в скобках положительна и скорость сколь-
скольжения будет возрастать по мере опускания тела по плоскости.

§ 135. КАЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
265
Рассмотрим теперь задачу о качении тяжелого цилиндра по
шероховатой наклонной плоскости, учитывая момент сил тре-
трения качения. В последнее уравнение A8) — уравнение враще-
вращения— теперь следует внести слагаемое, выражающее момент
трения качения, равный произведению нормального давления
N цилиндра на плоскость на коэффициент k трения качения,
имеющий размерность длины. В дальнейшем полагаем k = fa,
где а — радиус цилиндра; тогда f будет безразмерным коэффи-
коэффициентом трения качения. Уравнения A8) после исключения N
примут вид
таф = mg sin a — F{, тр^ф = (Ft — f'mg cos a) a,
и вместо соотношений B0), B1) получим
Fx = mg (\x sin a + f'v cos a), x = vg (sin a — f cos a).
Неравенство B4), выражающее условие отсутствия скольже-
скольжения, перейдет в следующее:
\х sina + f'vcosa < f соза, или tga<-L-~—== х _; .
В рассматриваемом движении проекция ускорения центра тя-
тяжести цилиндра на ось х должна быть положительной (^>0);
поэтому
f<tga,
и для осуществимости ска-
скатывания по наклонной пло-
плоскости без скольжения тя-
тяжелого цилиндра при учете
момента сопротивления ка-
качению должны выполняться
неравенства
Рис. 334.
Рассмотрим более общую за-
задачу (рис. 334). Однородный кру-
круговой цилиндр с горизонтальной
осью скатывается без скольжения по криволинейному цилиндрическому
желобу PqP\\ кривая Р0Р\ задана, т. е. известны, например, ее координаты
х, у как функции дуги Р0Р = s; угол ty касательной к кривой с осью х при
этом определится из соотношений
cos ib =—7-,
Y ds '
ds
B6)
Отметим также, что
ds

266 ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
где 1/р —кривизна кривой (ф уменьшается с ростом s). Радиус цилиндра
СР'О в начальный момент движения был расположен вдоль С0Р0, где Ро —
точка, являющаяся началом отсчета дуги s. Так как скольжение отсутствует,
то s = P'0P. Угол q> прямой Ср'о с неизменным направлением вертикал»
можно принять за угол поворота цилиндра. Поэтому
Внешними силами, действующими на цилиндр, являются сила тяжести G, ка-
касательная (трение при качении) F\ и нормальная N составляющие реакции.
Можно сразу исключить неизвестные силы F{ и N, составив уравнение вра-
вращения в форме A5), что возможно, так как нормаль в точке Р к центрои-
центроидам проходит через центр тяжести цилиндра. Замечая, что по B7)
~ s . dyb s (А а\ ± s (* а\ . s2 dp /oov
со = m = \- -Х-s = — I 1 ), © = — 1 \-\ г-» ——-, B9)
Y a ds а \ р) а \ р J p2 ds
получаем, согласно A5),
г- а2) Г— A — —^ + -V -т~\ = m§a sin Ф- C0>
' L ci \ р / р ds J
? m (
Как уже указывалось, угол ф можно считать известной функцией дуги s.
Кинетическая энергия цилиндра по C9) § 126 и B9) имет выражение
f) CD
а потенциальная энергия определяется равенством
П = mgyc = mg (a cos -ф + у), C2)
Работа реакций F\ и N равна нулю, так как с точностью до малых вто-
второго порядка перемещение точки их приложения в каждый момент времени
обращается в нуль. Принимая, что цилиндр начал движение из состояния
покоя, по закону сохранения механической энергии получаем
i-m (р2> + a2) -J- (l - ~J + mg (a cos г|> + у) - mgy°c. C3)
Это соотношение представляет собой первый интеграл уравнения C0), что
можно проверить, определяя s из C3) дифференцированием и учитывая
B6) и B7).
Реакции F\ и N находим из уравнений движения центра тяжести в фор-
форме EJ
mv% a2 / а\2 s2
— = т — ф2 = т[\ - jj — = N - mgxos ф, C4)
откуда после исключения s и § с помощью C0) и C3) получим
sin ф, ^V « w^r ^1 + 2v ~^ cos ф + 2v ^C ~" У° j, C5)

§ 135. КАЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
267
где сохранены обозначения B2). Условие отсутствия скольжения принимает
вид
Fi < fN, т. е. \i tg <ф < f
— I + 2V
Ус-Ус
р cosi|)
C6)
Если, в частности, желоб представляет собой поверхность кругового ци-
цилиндра радиуса R, то, согласно рис. 335, имеем s = /?(t|H — i|>), и уравнение
C0) приводится к виду уравнения .
движения математического маят* ^^^SJx^q
ника ^гу^^чл
- g" sin
C7)
имеющего длину
R-a
Пример 116. Центр тяже-
тяжести кругового цилиндра радиуса
а, катящегося без скольжения по
внутренней поверхности непо-
неподвижного цилиндра радиуса R,
расположен на расстоянии ОС = е
от оси цилиндра (рис. 336). Со-
Составим уравнение движения ци-
цилиндра.
Повторив рассуждение, при-
приведенное выше, получим
Ф = Ф1 —
Рис. 335.
Рис. 336.
где ф — угол поворота цилиндра. Соотношение A4) теперь не имеет места,
и уравнение движения надо записать в форме A3), причем
aR • ' ъ„ . "°
Vp = Rty = ^— ф, rpc -Vp = — vp' PC sin a = —
z.
sin
Заметив также, что
4Р) = т (р| + PC2) = т (р2с + а2 + е* - 2ае cos <p,),
m^p) = — (а sin if + e sin ф) mg,
получим
(p^> + a2 + e2 — 2ae cos ф^ ф + —^— ф2 sin ф1 = — g (a sin ф + e sin ф),
причем ф1 и ф связаны с ф соотношениями
a R

268
ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
При весьма малых отклонениях от положения равновесия уравнение дви-
движения принимает вид
и период весьма малых колебаний будет
R-a
\
§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости
Рассмотрим плоское движение самолета, прл котором траектория era
центра масс расположена в некоторой фиксированной вертикальной плоско-
плоскости, служащей плоскостью материальной симметрии самолета. Силами, дей-
действующими на самолет, являются сила тяги винта Р, направленная по оси
винта и составляющая с хордой крыла постоянный угол ф, сила тяжести G
и аэродинамические си-
Линия X. лы. Совокупность послед-
хордыирыли^ / \ _ них может быть приве.
дена к главному вектору,
приложенному в центре
масс С самолета, и паре
с моментом Мг относи-
относительно оси Сг, перпен-
перпендикулярной к плоскости
рисунка и проходящей
через центр масс. Состав-
Составляющая главного векто-
вектора по направлению, про-
противоположному скорости
v центра масс, представ-
представляет собой силу сопро-
сопротивления D, а перпенди-
перпендикулярная к ней состав-
составляющая — подъемную
силу L (рис. 337).
Назовем углом ата-
атаки а острый угол между
хордой крыла и векто-
вектором скорости центра масс
самолета v, отсчитывае-
отсчитываемый от вектора скорости против часовой стрелки для наблюдателя, смот-
смотрящего на плоскость рисунка. Угол между горизонтальной осью х и векто-
вектором скорости v — угол подъема траектории центра масс — обозначим че-
через 6. Тогда ф = 6 + а определит угол между осью х и неизменным направле-
направлением в движущемся теле; ф называется углом тангажа. Дифференциальные
уравнения движения самолета составим, пользуясь E) и F); это — уравне-
уравнения движения центра масс в естественной форме
Рис. 337.
— v = Р cos (а — ф) — D — G sin 9,
— об = Р sin (а — \|>) + L — G cos в
C8)

§ 136. ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 269
и уравнение вращения
/BС)Ф = 4С) (9 + а) = М2. C9)
Силы D и L и момент М2 определятся известными аэродинамическими
соотношениями:
1 1 1
D = ir pcxSv2, L = -~-pcySv2, Mz = — pcmzSbv2, D9)
в которых S — площадь несущих поверхностей, b — длина хорды крыла, р —
плотность водуха. Коэффициент сопротивления сх и коэффициент подъемной
силы су являются функциями угла атаки а, а коэффицент момента стг зави-
ситеще от угла установки руля высоты, угловой скорости самолета ф = d +
+ 0 и отдельно от ct. Зная еще закон изменения силы тяги, которая при за-
заданном режиме работы двигателя зависит от скорости, мы, проинтегрировав
уравнения движения самолета, могли бы найти о, 9, а как функции времени,
после чего координаты центра масс были бы выражены с помощью соотно-
соотношений
хс = \ v cos 9 dt, yc=*[v sin Q dt. D1)
Однако интегрирование системы уравнений C8), C9) представляет значи-
значительные трудности.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением фугоидных колебаний само-
самолета, представляющих собой малые колебательные движения, накладываю-
накладывающиеся на режим поступательного равномерного прямолинейного горизонталь-
горизонтального полета и возникающие при нарушении этого режима но какой-либо при-
причине. Через Vo обозначим величину скорости в установившемся режиме, через
а0 — постоянное значение угла атаки; угол 9 при горизонтальном полете ра-
$ен нулю Уравнения движения C8), C9) превращаются в уравнения равно-
равновесия:
Р cos (а0 — г|)) = Z)o, P sin (do — i|)) + Lo — G = 9, M2 = 9. D2)
Из двух первых уравнений находятся значения vo и ао при данных условиях
работы двигателя, а последнее определит соответствующий угол установки
руля.
Предположим теперь, что вследствие какого-либо возмущения, например
попадания самолета в поток воздуха или изменения тяги двигателя, произо-
произошло малое нарушение рассматриваемого равновесного режима. В последую-
последующем движении самолета скорость уже не имеет прежнего значения vo, а ста-
становится переменной и равной
v = v0 + v\ D3)
причем v' — малая по сравнению с Vo величина. Угол подъема также будет
отличен от нуля, но мал настолько, что можно считать sin 9 = 9, cos 9 = 1.
Должно измениться также и значение угла атаки а При изменении угла
атаки возникает стабилизирующий момент, стремящийся уменьшить это из-
изменение, и если этот момент достаточно велик (самолет обладает, как гово-
говорят, значительной статической устойчивостью), а момент инерции Г2 доста-
.точно мал, то угол атаки а практически сохранит в возмущенном движении
то же значение, что и в исходном невозмущенном; его малые изменения мо-
могут быть скорректированы с помощью соответствующих движений руля вы-
высоты.
Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного дви-
движения. Для упрощения мы предположим, что угол а — г|) настолько мал, что

270 ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
можно принять cos (а — 'Ф) = 1 и пренебречь слагаемым, содержащим
sin (а — ф), во втором уравнении C8). Уравнения C8) и уравнения равнове-
равновесия D2) примут вид
-± Cx9s (vo + v'J
D4)
1
m (vQ + t»')8 = - pcyS (oo + v'J — mg,
0 = Po - ~ CjfiSvl 0 = -- pcySv20 - mg. D5)
Вследствие предположения о неизменности угла атаки коэффициенты сх
и су в уравнениях движения имеют те же значения, что и в уравнениях
равновесия. Уравнения моментов C9) выписывать не надо, поскольку было
принято, что оно выполняется и в возмущенном движении. Почленно вычи-
вычитая уравнения D5) из D4), отбрасывая произведения малых величин и' и 9,
а также (vrJ, получаем
ту = Р — Ро — cxpSvQv' — G0, mv0Q = pcySvov'. D6)
Разность Р — Ро можно представить в виде
Р - Ро =- Р (оо + «О - Р (vo) « (-^-H *'. D7)
причем постоянная (dP/dvH> определяющая быстроту изменения силы тяги
при изменении скорости установившегося режима, отрицательна, так как
сила тяги при данном режиме работы двигателя уменьшается с ростом ско-
скорости. Замечая еще, что по второму уравнению равновесия pc^S
приходим к уравнениям возмущенного движения самолета
D8)
mg cy " -
Исключив из них величину 0, получим одно дифференциальное уравнение
второго порядка вида
jj' -j- 2ш) Ч—^~ v = 0, D9)
где
р0 / дР ч
причем п > 0. Общее решение этого уравнения имеет вид (§ 98)
Величина, стоящая в квадратных скобках под знаком радикала, всегда мала,
U квадратом ее по сравнению с единицей можно пренебречь. Получаем
х)г sss Ce~n* sin
) — e~nt ( Ci sin -t*i t + C2 cos 8 ^ П. F2)
\ »o Vq /

§ 136. ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 271
Таким образом, скорость изменяется по закону затухающих колебаний с пе-
периодом
2= <53>
Интересно отметить, что длина эквивалентного математического маятника
составляет h = vl/Bg), т. е. равна высоте, на которую поднялась бы мате-
материальная точка, брошенная вертикально вверх со скоростью v0. Период ко-
колебаний, совершаемых самолетом при возмущении прямолинейного горизон-
горизонтального полета, велик; это — длиннопериодические, или фугоидные, колеба*
ния. Если бы мы учли изменяемость угла атаки, то получили бы наложение
на эти длиннопериодические колебания другой группы колебаний — коротко-
периодических.
Коэффициент при g/vo в выражении п E0) обычно является малой вели-
величиной (порядка 0,1). Поэтому длиннопериодические колебания затухают мед-
медленно, например, для сх = 0,027, су = 0,4 и v0 = 124 м/с при Р = 0 (в ре-
режиме планирования) имеем*): т = 56 с, /г = 5,35-10~3 1/с. Время, в тече-
течение которого амплитуда колебаний уменьшится вдвое, будет равно
При учете изменения угла атаки было получено для длиннопериодических ко-
колебаний t = 65,7 с при времени уменьшения амплитуды вдвое, равном t2 =
= 113,5 с; на них налагаются быстро затухающие короткопериодические ко-
колебания с периодом 4 с; амплитуда их уменьшается вдвое за 0,5 с. Таким об-
образом, предположение о постоянстве угла атаки приводит по крайней мере к
качественно верному представлению о движении, хотя и не позволяет учесть
быстрозатухающих и сравнительно высокочастотных колебаний.
Имея выражение скорости E2), из первого уравнения D8) найдем угол
подъема 0. Произвольные постоянные Ci и С2 определяются по начальным
условиям. Примем, например, что самолет, двигавшийся равномерно по го-
горизонтальной прямой со скоростью v0 относительно Земли, попадает во
встречный горизонтальный равномерный поток воздуха, имеющий скорость
W; уравнения движения D8) остаются справедливыми в системе отсчета,
движущейся вместе с потоком, причем скорость самолета в этой системе в
момент встречи с потоком, принимаемый за начальный, будет v0 + W. По-
Поэтому начальные условия по D3) будут
при * = 0 i/ = \F, 6 = 0. E4)
С помощью первого уравнения D8), которое при введенном обозначении E0)
может быть представлено в виде
9 = - -L (*'+ 2/IO'), E5)
о
второе начальное условие дает
v0 = — 2nW.
Постоянные С\ и Сг в решении E2) будут
*) Данные взяты из книги: Остославский И. В., Калачев Г. С,
Продольная устойчивость и управляемость самолета. — M.i Оборонгиз, 1951.

272 ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Таким образом, скорость самолета относительно Земли и угол подъема опре-
определятся выражениями
»<(cos JL^, _ J^sin JlVL Л
v0
VEx E7)
хс =
б б
Проинтегрировав, найдем
v0 v0
причем в выражении 9 множитель [l + n2vl/Bg9)] заменен единицей. Урав-
Уравнения движения центра масс самолета в конечной форме получим из соотно-
соотношений [см. D1)]
^vdt, ус = v ij 9 dt. E8)
о о
-nt sm{g^2t/v0)
У =—ElLl I — e-nt
0 g L V i>o ^V2 v0
Заменив t в выражении ус его приближенным значением xc/v0, получим
уравнение траектории центра масс самолета
\ \~е С/ °(cos ^=- + ^rsin т=-|
L V /*V2 gV2 Лл/2 /J
yf Wt\\
° L
E9)
F0)
/J
где h = i>o/Bg), sin e « е = «fo/(g V2) и, как выше, множитель
заменен единицей.
При значениях
V2
F1)
(т. е. через каждый полупериод) самолет попадает на уровень с высотой
wvo/g над первоначальным и с рсстом / асимптотически приближается к это-
этому среднему уровню, опускаясь ниже него и поднимаясь над ним.
§ 137. Критическая угловая скорость гибкого вала
Рассмотрим вращающийся вертикальный вал кругового поперечного се-
сечения (рис. 338). При изгибе вала касательная в средней точке оси вала бу-
будет параллельна неизогнутой оси вала; при этом плоскость диска, насажен-
насаженного на вал в среднем сечении перпендикулярно к его оси, не будет перека-
перекашиваться, если вал изогнется.

§ 137. КРИТИЧЕСКАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ГИБКОГО ВАЛА
273
Пусть точка С — центр тяжести диска. Через М обозначим точку пере-
пересечения оси изогнутого вала с плоскостью диска; е = МС представляет собой
эксцентриситет диска. Наконец, О есть точка пересечения плоскости диска
с прямой, соединяющей центры подшип-
ников вала; прогиб вала в его середине
равен ОМ.
Внешней силой, приложенной к ди-
диску, является реакция F изогнутого
вала; эта сила имеет направление от М
Рис. 339.
к О (рис. 339) и, если, как принято в дальнейшем, масса вала пренебрежимо
мала по сравнению с массой диска, по величине пропорциональна прогибу
ОМ:
~~^ F2)
1 М'
Коэффициент пропорциональности с зависит от упругих свойств и размеров
вала, а также от способа закрепления его концов.
Дифференциальные уравнения движения центра тяжести диска будут
тхс
где т — масса диска.
Замечая, что
или
. F = гг
'М'
— е sin
хм = хс — е cos ф,
приведем уравнения F3) к виду
xQ + k2xQ == ek2 cos ф, ус + k2yc = ek2 sin ф,
где
k2-.
с
т
F3)
F4)
F5)
F6)
F7)
Величина k представляет собой частоту свободных колебаний диска.
Остается составить дифференциальное уравнение вращения диска. Обо-
Обозначая через р радиус инерции диска относительно оси Cz, проходящей че-
через центр тяжести, получим
F3)

274 ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Предполагается, что вращающий момент уравновешивается моментом сил со-
сопротивления. Момент mjjp (F) представляет собой проекцию на ось Сг век-
вектора момента силы m(c>(F) относительно точки С; замечая, что
т(О (F) = - е X F = е X сгм = е X с (гс - е) = се X гс,
получаем
тBС) CF) = се (f/c cos Ф — хс sin ф). F9)
Уравнение вращения принимает вид
cos ф _ х^ sjn ф^ ^70)
Точное интегрирование полученной системы уравнений F6) и G0) пред-
представляет значительные трудности. Решение может быть упрощено, так как в
дисках паровых турбин эксцентриситет е и отклонения хс и ус не превы-
превышают нескольких тысячных долей радиуса инерции р; поэтому отношение
ф/&2 имеет порядок не выше 10~5. Такой же порядок будет иметь и отноше-
отношение ф/со2, поскольку нас будут интересовать угловые скорости диска, имею-
имеющие тот же порядок, что и k. Поэтому, если угловое ускорение сохраняло бы
даже постоянную величину ф/оз2 в продолжение всего времени оборота диска,
то возникающее при этом относительное изменение угловой скорости До/со
имело бы порядок 2я-10~5. Это дает основание пренебречь в уравнении G0)
правой частью. Тогда получим
Р2Ф = 0, G1)
откуда следует, что
ф = со* + фо> G2)
где со — угловая скорость диска; константу ф0 примем равной нулю.
Уравнения движения центра тяжести в этом приближении принимают
вид
хс + k2xc = k2e cos со*, yc + k2yQ = k2e sin со*. G3)
Общее решение этих уравнений состоит из слагаемого, соответствующего
свободным колебаниям:
х\ = с\ cos (kt + ai), y\ = с2 cos (kt + а2), G4)
и слагаемого, представляющего вынужденные колебания:
k2e k2e
х* e k2*-®2 C0S ш/> У2 в k2 -co2 Sin Ы- G5)
Резонанс имеет место при
со = соКр = k = а/ — . G6)
Значение со, соответствующее резонансу, называется критической угловой
скоростью. Критическая угловая скорость равна частоте свободных колеба-
колебаний диска. Переходя от критической угловой скорости к частоте вращения
в оборотах в минуту, получаем
пкр = —р=г об/мин, G7)
Vfcx
где статический прогиб вала /ст должен быть выражен в сантиметрах.

§ 137. КРИТИЧЕСКАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ГИБКОГО ВАЛА
275
Наличие сил сопротивления должно способствовать быстрому исчезнове-
исчезновению свободных колебаний. При установившемся ходе турбины с угловой ско-
скоростью, значительно отличающейся от критической, эти колебания никакого
значения иметь не будут. Пренебрегая ими, получим хс = х2, ус = #2, и так
как cat = ф, то
k2e k2e
Х C0S Ф У ' Ф G8)
C0S Ф>
ИЛИ
k2
Но в таком случае
! — со2
ck2
е.
G9)
А;2-со2
я уравнение G0) в точности удовлетворяется. Это показывает, что только
при наличии значительных свободных колебаний можно ожидать изменения
угловой скорости диска и что точность рассмотренного приближенного реше-
решения тем выше, чем с большим основанием можно пренебречь свободными ко-
колебаниями. Получаем
со*
СО*
'м
'м*
\ k2 - СО2
• е.
(80)
Векторы гм =* ОМ и гс = ОС (рис. 340) имеют, таким образом, оди-
одинаковое направление, т. е. три точки О, М, С лежат на одной прямой; эта
прямая вращается с угловой скоро-
скоростью со вокруг точки О, т.е. центр
тяжести диска, а также точка М
описывают окружность.
Если со < сокр, то г с > гм; точки
О, С, М расположены так, как ука-
указано на рис. 340, а; если же со>сокр,
то г с < гм и эти точки располага-
располагаются, как указано на рис. 340, б.
Центр тяжести диска приближается
К точке О; если к тому же со>соКр V2,
то гс <С еу т. е. при достаточно боль-
больших угловых скоростях диск, наса-
насаженный на гибкий вал, автоматиче-
автоматически центрируется; центр тяжести диска приближается к геометрической оси
вращения вала. Пусть, например, со = 5сокр = 5&; получим
е 1_
- 1 """ 24 е'
Рис. 340.
т. е. погрешность в центровке диска уменьшается в 24 раза.
Явление самоцентрирования быстро вращающегося диска на гибком валу
было замечено Л авалем A845—1913). Изложенное выше объяснение этого
Явления было дано А. Фепплем в 1895 г. вскоре после открытия Л аваля,
ГН. Е. Жуковский A847—1921) в работе «Об упругой оси турбины Лаваля
Ш об осях с качающимися подшипниками» A899) ¦) распространил теорию
Феппля на задачу о критической скорости вала (центрифуги, веретена
н т. п.), снабженного упругими подшипниками.
1949.
*) Жуковский Н. Е. Собрание сочинений. Т. I. — М.: Гостехиздат,

276
ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 138. Удар в плоском движении твердого тела
Если к твердому телу, совершающему плоское движение, в
некоторый момент времени прикладываются такие мгновенные
силы, что в результате действия их движение остается плоским,
то для определения скорости центра тяжести и угловой скорости
тела после удара имеем два уравнения, выражающих теорему
импульсов (§ 106):
E
пг (vy — vay) = Jj S
Jj
ly,
и уравнение изменения момента количества движения в отно-
относительном движении вокруг центра тяжести при ударе (§§ 118
и 120)
(82)
/f (б-ЙО)=Е
Здесь Si, S2, ..., Sn — импульсы внешних мгновенных сил, v
и со — скорость центра тяжести С и угловая скорость тела после
удара, v0 и шо — те же величины до удара. К уравнениям (81) и
(82) должны быть добавлены ус-
условия, определяющие характер
удара.
Рассмотрим случай удара пло-
плоской фигуры о неподвижную пре-
преграду (рис. 341). Внешней мгновен-
мгновенной силой является реакция прегра-
преграды, приложенная в точке О, в кото-
которой соприкасаются поверхности пре-
преграды ММ и ударяющего тела в мо-
момент удара. Импульс этой реакции
обозначим через S и, выбрав на-
начало координат в точке О, направим'
ось у по нормали к ММ внутрь тела, а ось х — по касательной
к этой поверхности. Координаты центра тяжести в этой си-
системе осей обозначим Хс, ус, а его вектор-радиус гс. Скорость
точки О до удара обозначим через Vo, а после удара — через-
V; по известным формулам кинематики имеем
Vo = v0 — ©о X гс, V = v — <о X г с,
причем знак минус объясняется тем, что вектор-радиус СО ра-
равен —Гс. Проектируя эти уравнения на оси х, у, получаем
(83)
Рис. 341.

§ 138. УДАР В ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 277
Нормальные к преграде составляющие скорости точки О до
удара и после него связаны соотношением
Vy + kVQy = 09 (84)
где k — коэффициент восстановления.
Уравнения (81) и (82) запишем в форме
1 <85>
Заменяя в выражениях Vx и Vy проекции скорости центра тя-
тяжести и угловую скорость этими значениями, получим
yx=vox + ^[(9l + yl)sx-XcyrSy],
, (86)
и соотношение (84) приведется к виду
- mpl (I + k) VOy = - xcycSx + (p| + 4) Sy. (87)
Четыре уравнения (85) и (87) содержат пять неизвестных: vx,
vyy со, Sx, Sy. Недостающее уравнение получим, приняв то или
иное предположение о характере поверхности преграды.
Ограничимся рассмотрением двух предельных случаев.
а) Поверхность преграды абсолютно гладка;
тогда
Sx = 0
и мы находим
Vx = VOx, Vy = VOy 2 2 l/0|/, @ = 0O H 2 , Kqz/-
Pc "г *c Pc + -vc
В этих формулах величину VOy надо заменить ее значением (83).
б) Поверхность преграды абсолютно шеро-
шероховата, т. е. не допускает скольжения по ней ударяющего
тела; тогда
vx = o,
или, согласно (86),
= (Рс + Ус) S* ~ хсУС8у (89)

278 ГЛ. XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Из двух уравнений (87) и (89) находим неизвестные Sx и Sy:
т
где
Р2о = РЬ + х2с + У2с- (91)
Очевидно, что р0 представляет собой радиус инерции тела
относительно оси г, проходящей через точку соприкасания тел.
Теперь, согласно уравнениям (85), получаем
vx = vOx - -^ [(р* + 4) VOx + A + k) xcycVOy],
vy = Щу - -jr [хСУсУОх + О + *) (P2C + У%) VQy], (92)
& = So + 4- [A + А) Д?с^ - Ус^о J.
Po
Здесь VOa: и Fot/ можно заменить их значениями (83); ограни-
ограничимся написанием формул, относящихся к случаю неупругого
удара (k = 0); они легко приводятся к виду
и дают решение задачи об определении движения плоской
фигуры после того, как одна ее точка О была мгновенно оста-
остановлена; фигура станет, очевидно, вращаться вокруг точки О,
причем угловая скорость S
h >x находится из последнего урав-
J нения (93). (См. также конец
=НЙ § 156.)
/Г7У J" Пример 117. Однородный бру-
^ сок длины АВ = / (рис. 342), па-
рис оно дающий поступательно, встречает не-
неподвижное препятствие О, отстоящее
на расстояния h и /2 от А и В. Ско-
Скорость бруска до удара равна vQ. Определить скорость центра тяжести бруска
и его угловую скорость после удара. Коэффициент восстановления равен k
В данном случае v
fOijg = 0, VQy = Uq,
1 1
G>0 = 0 И *С = — ~
По (83) и (92) получаем

§ 138. УДАР В ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
279*
где по (91)
При
C/4)/ находим
¦ - у C -
/о ль\По> fi___(i + ?)_L.
При абсолютно неупругом ударе получаем vy = — C/7) vOi а при абсолютно
упругом vy = A/7) vQ\ в последнем случае скорость центра тяжести меняет
свое направление на противоположное.
Пример 118. При падении полого шара ра-
радиуса а на землю скорость центра равна по вели-
величине vo и направлена под углом а к вертика-
вертикали (рис. 343). Определить движение шара
после удара о землю, если в момент падения шар
имел угловую скорость со0 вокруг оси, перпенди-
перпендикулярной к вертикальной плоскости, содержащей
скорость Vo.
Будем предполагать, что скольжение по по-
поверхности земли отсутствует. В рассматриваемом
примере имеем
9 2 2
хс = 0, у с = а, р? = "з а ,
Vox = Vo sin а, voy = — v0 cos а. Рис> 343<
Выражения проекций скорости центра шара и его угловой скорости после*
удара по (92) и (83) будут
vx = -=- (Svo sin a — 2аE0)>
о
= kv0 cos а, й = —
Угол отражения шара от земли определится из соотношения
При условии
шар отразится по направлению падения. При абсолютно упругом ударе
Ik = 1) это будет иметь место, если
4t>0 .
оо0 ss sin a.
а
Теннисный мяч, которому сообщена такая угловая скорость, отразится
по направлению падения, имея скорость центра тяжести, равную по величине-
скорости падения vQ, и угловую скорость
vx Vo sin a 1 ~
У/У/,
Пример 119. Платформа АВ массы
m опирается в точках А и В на рессоры о
одинаковой жесткости с. Центр тяжести С
платформы находится в середине отрезка
АВ; радиус инерции платформы относи-
относительно оси, проходящей через С перпенди-
перпендикулярно к рисунку, равен рс; АВ = 2/. Под
действием импульса S точка А приобрела скорость v0. Определить последую-
последующие колебания платформы, считая ее отклонения от положения равновесия.
весьма малыми и пренебрегая силами сопротивления (рис. 344).
Рис. 344.

280 ГЛ XXV. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Сначала определим скорость vy центра тяжести платформы и угловую
скорость & после удара. Это даст начальные условия для последующего дви-
движения платформы. Имеем
/5,
причем ось О у направлена вертикально вниз, а со считается положительной
при вращении против часовой стрелки. Далее имеем
VQ = Vy + CD/.
Из этих уравнений находим
При движении, возникающем после удара, силами, действующими на
платформу, будут сила тяжести G = mg и реакция рессор. Пусть ус — пере-
перемещение центра тяжести, ф — угол поворота платформы. Обозначая стати-
статическое укорочение рессор через /ст и замечая, что полные осадки рессор 3
и А при малых колебаниях платформы в произвольный момент движения со-
соответственно равны
получаем уравнение движения центра тяжести
Замечая, что 2cfCx = mg, приведем это уравнение к виду
Ус + Ь\у&~ °»
где
или
где
k\ = 2с/т.
Составим
Остается
теперь уравнение
вращения платформы
?ф = cl (fB — fA),
ф + ^ф = о,
2с/2 I2 ^
р2ст р2с
найти решение этих уравнений при нач;
при t — 0
1
ф — 0, ф 2 2
Р2С+/2
(/^ = v = 2 , ,2 V
рс-+-/
Получим
У с'
V-:

Глава XXVI
ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 139. Тензор инерции и его компоненты.
Формула для момента инерции тела
относительно произвольной оси
В предыдущей главе при рассмотрении динамики плоского
движения абсолютно твердого тела, при котором ось враще-
вращения тела сохраняет перпендикулярное к плоскости движения
направление, можно было довольствоваться простейшим поня-
понятием момента инерции тела относительно данной оси или оси,
ей параллельной, как мер инертности тела в его вращении
вокруг оси.
В специальных задачах динамики твердого тела (теория
гироскопов и др.), о которых будет идти речь далее, необхо-
необходимо изложить учение об инертности абсолютно твердого тела
в его вращении около неподвижного
центра и в более общих случаях, вклю-
включающих такое вращение как состав-
составляющую.
В § 119 была указана общая форму-
формула F2) главного момента количеств дви-
движения системы материальных точек.
В случае сплошного твердого тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной точки
(центра вращения), эта формула заме-
заменяется интегральным выражением
К= \rX(<*Xr)dmt
(М)
A)
Рис. 345.
где г (рис. 345) вектор-радиус точки N тела, со — вектор угловой
скорости вращения тела вокруг неподвижного центра О, dm —
элементарная масса тела в точке Л/"; интеграл берется по всей
массе М тела.
Раскрывая тройное произведение по известному правилу
г X (<*> X г) = со (г • г) — г (ю • г) = г2ю — (со . г) г

282 гл. xxvi. тензор инерции твердого тела
и замечая, что со одинаково по всему объему твердого тела,
приведем равенство A) к виду
^ B)
(М) Ш)
Проектируя обе части этого равенства на оси координат и
собирая в каждом из полученных трех равенств члены при со*,
щ и со*, получаем
Кх = Jxx®x ~ Ixy®y — *хг<*г>
Ку = — Jyx<*x + Jyy% - 19г<йг> C)
Кг= — hx<*x - hy®y + hz®z>
где введены обозначения
\ \ dm, /г2= J
Ш) (М) (М) д
JXy = Jyx= \xydm, Jyz = Jzy= ^yzdm, JXZ=JZX= \xzdm.
(М) (М) (М)
Совокупность равенств C) выражает вектор К как линей-
линейную вектор-функцию от со с коэффициентами, представленными
таблицей (матрицей)
*хх* * ху, * x
1 E)
/ *хх* * ху, * xz \
( — Jxy* Jyy> —Jyz 1 •
>> — Jxz* — Jyz> Jzz /
Поскольку векторы К и о) представляют собой объективные
физические величины: главный вектор момента количеств дви-
движения твердого тела в его вращательном движении вокруг не-
неподвижного центра О и вектор угловой скорости со [точнее го-
говоря, К и со являются псевдовекторами (см. § 34 и указанные
там примеры псевдовекторов)], совокупность коэффициентов
при со*, cor/, со* в системе равенств C), представленная матрицей
E), образует физический (объективный) тензор второго ранга,
который мы обозначим буквой / и назовем тензором инерции
тела в данной его точке.
По определению операции умножения вектора на тензор
слева или справа (в данном случае это безразлично, так как
тензор инерции, очевидно, симметричен) системе равенств C)
можно придать (см. § 33) тензорную форму
/С = /ю. F)
Замечая, что суммы у2-{-г2, х2-\- г2, х2 4- У2 представляют
собой квадраты расстояний точки N соответственно от осей Ох,

§ 139. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ И ЕГО КОМПОНЕНТЫ 28Э
Оу, Oz, заключим, что диагональные компоненты матрицы E) —
их для сокращения записи принято обозначать через Jx, Jy, h —
представляют собой моменты инерции тела относительно осей
Ох, Оу и Oz, Недиагональные компоненты матрицы E), взятые
с положительными знаками, называют центробежными момен-
моментами инерции или произведениями инерции в соответствующих
плоскостях.
Подчеркнем, что моменты инерции /*, Л/, Jz, так же как и
произведения инерции Jxy, Jyz, hz> зависят от выбора в теле
осей координат, но совокупность этих величин в целом пред-
представляет не зависящую от этого выбора единую физическую
величину — тензор инерции J.
Сравнивая формулу F) с выражением вектора количества
движения для поступательно движущегося тела или материаль-
материальной точки q = mv, видим, что подобно массе т, характеризую-
характеризующей инертность тела в его поступательном движении, тензор
инерции / выражает инертность абсолютно твердого тела при
его вращении вокруг некоторого центра. В этом заключается
физическое значение тензора инерции. Тензор инерции имеет
различные значения в разных точках твердого тела; он является
функцией точки, т. е. образует в твердом теле тензорное поле.
Связь между тензорами инерции в разных точках твердого тела
будет установлена далее.
При изложении основ тензорной алгебры (§ 33) было выяс-
выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов
в выражении линейной связи между двумя физическими век-
векторами не является единственным. Возможно и другое опреде-
определение тензора как совокупности величин, преобразующихся при
переходе от одной прямоугольной системы координат к другой
по формулам преобразования произведений проекций двух век-
векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой [л: = хи
у = х2, z = Хз, причем в следующих формулах предполагается
суммирование по дважды повторяющимся в одночленах «не-
«немым» (§ 33) индексам г и 5, а знак ± принят в соответствии
с матрицей E), где плюс относится к случаю р = q, а минус —
к случаю р Ф q] будем иметь
(/?=1,2,3; 9=1,2,3),
где ± У — компоненты тензора инерции в «новой» системе
координат Ox[x'2x'v a ±Jpg — B «старой» системе Ох\Х2Хз. Ве-
Величины атп (т = 1, 2, 3; п = 1, 2, 3) представляют собой ко-
косинусы углов между осями Ох'т и Охп согласно следующей

284 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
таблице (§ 32):
*1
1
*2
/
ч
Xi
«и
«21
«31
Х2
«12
«22
«32
*3
«13
«23
«33
(8)
Формулы G) можно непосредственно использовать для со-
составления выражения момента инерции h тела относительно
произвольной прямой LL (рис. 345), проведенной через точку О
в теле. Для этого достаточно представить себе прямую LL как
ось «новой» системы координат, например как ось Ох[. Тогда
из первой формулы G) при р = q = 1 будет следовать (сумми-
(суммировать по г и s)
или, если записать эту двойную сумму в развернутом виде,
JL = aUJl + ai272 + «Уз — 2а11а12/12 - 2а12а13/23 ~ 2ана1зЛз- (9)
Если обозначить косинусы углов прямой LL с осями системы
координат 0*1X2X3 через а, р, у и вернуться к буквенной индек-
индексации, то формула (9) примет вид
h = /*«2 + '# + hy2 - 2/*„аР - 2/^pv - 2/2да. A0)
При помощи этой формулы момент инерции тела относи-
относительно оси, произвольно проведенной через некоторую точку
тела, выражается через моменты инерции относительно трех
пересекающихся в этой точке взаимно перпендикулярных осей
и соответствующие этим осям центробежные моменты инерции.
Выражение A0) представляет собой однородную квадратич-
квадратичную функцию — квадратичную форму — от направляющих коси-
косинусов оси, относительно которой определяется момент инерции,
в выбранной в данной точке оси системе осей координат. Шесть
инерционных характеристик тела в рассматриваемой точке: три
момента инерции относительно осей координат и три центро-
центробежных момента — образуют коэффициенты этой квадратичной
формы.

$ 140. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ
285
§ 140. Главные оси инерции
В § 35 было показано, что симметричный тензор второго
ранга в каждой точке пространства обладает тремя взаимно
перпендикулярными главными осями. Если принять эти оси за
оси координат, то недиагональные компоненты будут равны
нулю, а три отличные от нуля диагональные компоненты обра-
образуют систему главных значений тензора. В рассматриваемом
случае тензора инерции главные оси тензора инерции именуются
главными осями инерции, а главные
значения тензора инерции — главными
моментами инерции.
Приведем здесь применительно к
тензору инерции другое доказатель-
доказательство существования главных осей инер-
инерции, основанное на геометрическом
представлении тензора инерции.
Итак, докажем, что в любой точке
твердого тела существуют три взаимно
перпендикулярные главные оси инер-
инерции.
Для доказательства используем
следующую геометрическую интерпре-
интерпретацию формулы A0): вдоль оси OL
<рис. 346) отложим отрезок ON=l/^/lL. Координаты конца
этого отрезка в системе осей Охуг будут
х = ON cos (OL, x) = -—=¦,
V7L
Рис. 346.
у = CW cos (ОТ, {/)==—|=r,
z = ON cos (OL, z) = —JL=-,
откуда
Подставляя эти выражения в A0) и сокращая общий мно-
мнотель Jl, получаем
житель
Поверхность второго порядка, представляемая этим уравне-
уравнением, дает геометрическое место концов отрезков ON при все-
всевозможных направлениях оси OL. Вектор-радиус, проведенный
из начала координат к любой точке поверхности A1), по вели-
величине обратно пропорционален квадратному корню из момента

286 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
инерции относительно оси, имеющей направление этого вектор-
радиуса. Поскольку момент инерции относительно любой оси
есть величина существенно положительная и не обращающаяся
в нуль, поверхность A1) не имеет бесконечно удаленных точек
и, следовательно, представляет собой эллипсоид. Этот эллип-
эллипсоид называется эллипсоидом инерции тела в рассматриваемой
точке О (рис. 346).
Изображение тензора инерции в форме эллипсоида не яв-
является чем-то специфическим для тензора инерции. Аналогич-
Аналогичные интерпретации возможны и для всех других симметричных
тензоров второго ранга. Так, тензору напряжений (§ 36) можно
было бы сопоставить эллипсоид напряжений, тензору деформа-
деформаций (§ 78) эллипсоид деформаций, тензору скоростей деформа-
деформаций — эллипсоид скоростей деформаций (§ 78). Происхождение
названия «сферический тензор» для тензора, обладающего изо-
изотропией, т. е. такого, что все его диагональные компоненты в
данной точке равны между собой (единичный тензор, тензор
напряжений в идеально текучей жидкости), связано с тем, что
в геометрической интерпретации такому тензору соответствует
сфера.
Уравнение эллипсоида A0) можно привести к более просто-
простому (так называемому каноническому) виду, если оси координат
направить по осям эллипсоида. В новых осях координат Ox'y'z'
вместо A1) получим
х'2 у'2 z'2
где а, Ь, с — полуоси эллипсоида. Если обозначить через J\, /2>
/з моменты инерции относительно осей Ox', Oy', Oz', то по по-
построению эллипсоида инерции
1 и_ 1 _ 1
а— rF3"» ^— /т^* с —
и подстановка дает
Сравнивая полученное уравнение с уравнением A1), видим,
что все центробежные моменты инерции в системе осей Ox'y'z'
обратились в нуль. Этим доказывается существование в каждой
точке твердого тела трех взаимно перпендикулярных главных
осей инерции; они совпадают по направлению с осями эллип-
эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции /ь /2, /3
представляют собой главные моменты инерции.
Метод определения направлений главных осей и величин
главных значений любого симметричного тензора второго ранга
был уже описан ранее (§ 35), причем метод этот носил чисто

§ 140. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ 287
аналитический характер, не связанный с образом эллипсоида,
геометрически изображающего рассматриваемый тензор.
Приведем другую постановку того же вопроса, исходящую
из геометрической интерпретации тензора инерции. Направле-
Направлениям главных осей инерции соответствуют оси симметрии эл-
эллипсоида инерции, а следовательно, экстремальные значения
моментов инерции. Поэтому дело сводится к нахождению зна-
значений а, р, v, связанных соотношением
Y2-l=0 A2)
и сообщающих экстремальное значение однородной квадратич-
квадратичной форме (9)
F (а, р, у) = / = /*<*2 + /# + JZ42 - 21ху<ф - 2/,J»y - 2J2Xya.
Эта задача на условный экстремум сводится к задаче о нахож-
нахождении безусловного экстремума функции
Ф (a, p, v) = F (а, р, у) - Я/ (а, р, Y), A3)
где X — пока неопределенный множитель. Для решения послед-
последней задачи приравниваем нулю частные производные Ф по а, р,
у; получаем
дФ _ dF_ ___ . _df_ __ п j№_ _ dF df _ п
^a ~ ^a Л да ~U' ар ар Л д$ ~U>
ау """ ^Y ду ~~~ U'
Чтобы выяснить значение множителя Я, умножим каждое из
этих уравнений соответственно на а, р, у и сложим результаты;
учитывая A2), получаем
dF . dF Q . OF o.
Левая часть по теореме Эйлера об однородных функциях рав-
равна 2F — 2/. Таким образом, для значений а, р, у, удовлетво-
удовлетворяющих уравнениям A4), т. е. сообщающих экстремум функции
.F(a, p, y), имеем
т. е. множитель X равен искомому экстремальному значению
момента инерции.
В развернутом виде уравнения A4) записываются так:
Gя-Л)о-/явр-/„у = 0,
/e,Y=o, A5)

288 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Эта однородная система линейных относительно а, р, 7 урав-
уравнений может иметь отличные от нуля решения только в том
случае, когда ее определитель равен нулю. Для определения К
будем иметь таким образом, уравнение
: — ^ — J ХУ — ^ZX
J ху 3 у — ^ Jyz
1 1 1 51
Jzx —J yz J z A
= 0. A6)
Раскрывая определитель, получаем полином третьей сте-
степени относительно Я. В § 35 было доказано, что все три его
корня вещественны. Предположим, что они различны, и обозна-
обозначим их, как выше, через /ь /г, /з — это и будут искомые глав-
главные моменты инерции.
Обозначим через а/, р*, уь косинусы углов с осями координат
Ох, Оу, Ог той главной оси, которой соответствует момент инер-
инерции /,- (индекс i может быть равен 1, 2 или 3). Для определения
Uh Pi» Vt получаем уравнения
(Jx - /,) а, - JXJfit - Jzxyt = 0,
- 1ХуЧ + (Jy - Jt) P,- - 1угъ = 0, A7)
- /*Л - Jv?i + if г - h) Ъ = 0,
«? + P? + V?=l. A8)
Из трех уравнений A7) одно является следствием двух дру-
других, так как It определено так, чтобы определитель A6) систе-
системы уравнений A5) обращался в нуль. Поэтому для определе-
определения трех неизвестных имеем три уравнения: уравнение A8) и
два из уравнений A7).
Таким образом, путем решения кубического уравнения A6)
можно определить три главных момента инерции и для каж-
каждого из них найти направление соответствующей оси. Проверим,
что эти направления взаимно перпендикулярны. Для этого при-
примем в системе A7) i == 1 и, умножив каждое из уравнений со-
соответственно на о&2, Рг, 72» сложим результаты; получим
/ла2 + /^Рз + /2Y1Y2 — Jxy (Pi<*2 + p2<*i) — Jyz (Y1P2 + Y2P1) ~
— hx (Yi<*2 + Y2«i) = h (ai«2 + P1P2 + Y1Y2).
Если проделать то же самое с системой уравнений A7) для
i = 2, умножив каждое уравнение соответственно на оц, Рь 7ь
то слева получим то же самое выражение (это очевидно вслед-
вследствие симметрии его относительно индексов 1 и 2); справа же
будет стоять
h (<*2<*i + P2P1 + Y2Y1).
Итак, получается
+ PiP2 + УхЪ) = 0,

§ 140. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ 289
и поскольку по условию J\ и J2 различны, то
«1^2 + Р1Р2 + YlY2 = 0,
что и доказывает перпендикулярность первой и второй осей.
Если /i = /2, то это заключение отпадает; в этом случае
эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения
вокруг третьей главной оси и любая прямая в плоскости, пер-
перпендикулярной к этой оси и проходящей через точку О, может
быть принята за главную ось инерции. Наконец, при /1=/2==/3.
эллипсоид инерции вырождается в сферу и любая прямая, про-
проходящая через рассматриваемую точку, является главной осью
инерции.
Эллипсоид инерции с центром в центре масс тела называют
центральным эллипсоидом инерции, его оси — главными цен-
центральными осями инерции, а моменты инерции относительно
этих осей — главными центральными моментами инерции. Обо-
Обозначим их через
j\c\ jf\ j[c\
Пользуясь теоремой § 115 о моментах инерции относительно
параллельных осей, легко выразить момент инерции относи-
относительно произвольной оси через главные центральные моменты
инерции. Согласно упомянутой
теореме, момент инерции относи-
тельно произвольной оси ОА\
(рис. 347), направление которой
характеризуется косинусами a, pv
у углов, составляемых ею с глав-
главными центральными осями инер-
инерции Cxyz, будет
где /(С) — момент инерции отно- рис 347.
сительно оси С А, параллельной
ОА\ и проходящей через центр масс тела, d — расстояние между
осями, М — масса тела. Но по формуле A0)
+ zPy2. A9)
так как центробежные моменты относительно главных осей рав-
равны нулю; следовательно,
/ = Md2 + J[CV + 7<2С)р2 + ДСУ • B0)
Предположим, что в точке О твердого тела определены на-
направления главных осей Oxyz. Если перейти из точки О в дру-
другую точку Му лежащую на оси Oz на расстоянии ОМ = а, то
ось z уже не останется главной осью инерции в точке AL
10 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

290 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В самом деле, построим в точке М систему осей Mx'y'z', парал-
параллельных главным осям в точке О (рис. 348); тогда координаты
какой-либо точки тела в системе осей Mx'y'z' будут равны
х' = х, у' — У, z' = z — a,
где х, г/, z — координаты этой точки тела в системе Oxyz. Цен-
Центробежные моменты инерции Jy'Z' и JZ'xf будут
' ^ \ У'г' dm = \ у (z — a) dm = \ yz dm — а \ у dm,
(М) (М) (М) (М)
' = \ z'x' dm = \ (ж — а) х dm = \ zx dm — а \х dm.
(М) (М) (М) (М)
Но Oz есть главная ось инерции в точке О, т. е.
^ = Jzx = 0, ^yzdm = Jy2 = 0;
(М) (М)
с другой стороны,
xdm = Mxc, \ ydm = Myc,
(M) (M)
где Xc, yc — координаты центра масс, М — масса тела. Поэтому
из равенств B1) получаем
Jy,z, = — Маус, Jz,x, = — MaxQy B2)
т. е. главная ось инерции Oz в точке О уже не является тако-
таковой в точке М. Это будет иметь место только в том случае,
г когда хс = ус = 0, т. е. когда ось Oz
fZ n проходит через центр масс тела. Глаз-
Глазная центральная ось инерции является
главной осью инерции во всех своих точ-
"р ках.
Направления главных осей инерции
тела часто можно определить из сообра-
соображений симметрии.
у Пусть, например, тело имеет ось ма-
материальной симметрии; примем ее за ось
z\ на этой оси лежит центр масс тела.
Легко доказать, что ось z будет главной
Рис. 348. центральной осью инерции. В самом
деле, поскольку ось z является осью
материальной симметрии, для всякой точки М с координатами
(х, t/, z) можно будет н^йти симметрично расположенную относи-
относительно оси z точку М* с координатами (— xf — у, г), причем

§ 140. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ 291
массы dm, сосредоточенные в точках М и М\ в силу предполо-
предположений симметрии равны. Таким образом, в интеграле
1уг =
(М)
каждому слагаемому yzdm будет соответствовать равное по
величине и противоположное по знаку слагаемое (—yz dm);
следовательно,
и аналогично
т. е. ось z является главной центральной осью инерции тела.
Если тело имеет плоскость материальной симметрии Я, то
любая прямая, перпендикулярная к этой плоскости, будет глав-
главной осью инерции в точке О пересечения ее с плоскостью Я.
Действительно, если принять эту прямую за ось z и О за на-
начало координат, то для любой точки М с координатами х, у, z
можно найти точку М' с теми же координатами х, у и с третьей
координатой (—г); массы, сосредоточенные в точках М и М',
равны, так как по предположению Я— плоскость материальной
симметрии. Таким образом, интегралы
(M)
(М) (М)
и в этом случае обращаются в нуль, т. е. Oz является главной
осью инерции в точке О.
Рассмотрим также однородное тело вращения с осью сим-
симметрии z. Так как ось z — ось симметрии, то она является глав-
главной центральной осью; две любые взаимно перпендикулярные
прямые, перпендикулярные к оси z и пересекающие ее, могут
быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси
вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая
плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью сим-
симметрии; значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая,
т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции
в любой точке оси z является эллипсоидом вращения. Момент
инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции на-
называется аксиальным; моменты инерции относительно осей, пер-
перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называ-
называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты
равны между собой, так как равны соответствующие полуоси
эллипсоида инерции.
10*

292
ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Пусть У3 обозначает аксиальный, a JX = J2— экваториаль-
экваториальные моменты инерции однородного тела вращения с осью сим-
симметрии Oz\. Выразим через них моменты инерции и центробеж-
центробежные моменты в системе осей Oxyz, получающейся при повороте
системы главных осей инерции Ox\y\Z\ на угол ft вокруг глав-
главной оси Оу\ (рис. 349).
По формуле A0) находим
]х = J{ cos2 ft + /3 sin2 ft, Jy » /,, /2 — /j sin2 ft + /3 cos2 ft.
Для определения центробежного момента Jzx заметим, что по
формулам преобразования координат бу-
будет
х == х{ cos ft — zx sin ft, у = уь
z = xx sin ft + 21 cos ft,
и получим
J2X= ^zxdm =
(M)
= \ (xx sin 9 + Zi cos 9) (xx cos 9—zx sin 9) =
(M)
= sin 9 cos 9 \ (x\ — zf\ dm +
(Af)
+ (cos2 9 — sin2 9) \x{zxdm.
(M)
Ряс. 349.
Последний интеграл равен нулю, так как оси z\ и х\ являются
главными; далее
*?-*?) dm
и, следовательно,
(М)
(М)
B3)
Центробежные моменты Jxy и Jyz обращаются в нуль, так
как ось Оу (или Оу\) является главной осью.
Пример 120. При каком отношении радиуса г прямого кругового одно-
однородного цилиндра к его высоте h центральный эллипсоид инерции обратится
в сферу? Тот же вопрос — для прямого кругового конуса.
В случае однородного кругового цилиндра момент инерции относительно
оси вращения определяется формулой

§ 140. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ
293
моменты инерции относительно двух других главных центральных осей будут
(см. табл. 5)
Условие равенства моментов инерции j[ * и /Sj дает
В случае прямого кругового конуса имеем
/О — JL
/<с> — /(С> — Mr2 -4- — Mh2
Центральный эллипсоид инерции будет сферой при условии
г
Т
Пример 121. Тело состоит из двух одинаковых однородных круговых
цилиндров с параллельными осями, вделанных в тонкую доску; серединная
плоскость доски параллельна основаниям цилиндров и делит высоту цилинд-
цилиндров на равные части (рис. 350). Масса каждого цилиндра равна М9 высота
Рис. 350.
2Я, радиус R, расстояние между осями цилиндров равно 26. Определить, пре-
пренебрегая массой доски, главные центральные моменты инерции тела, а так-
также его моменты инерции относительно системы осей Oxyz, параллельных
главным центральным осям и имеющим начало в точке О, расположенной на
главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости, проходящей через
оси цилиндров. Найти такое положение точки О, чтобы Jx = /у = 2/2.
Система главных центральных осей Сх\ухг\ показана на рис. 350. Приме-
Применив теорему о моментах инерции относительно параллельных осей, найдем

294 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
выражения главных центральных моментов инерции
Оси системы Oxyz (причем ОС = а) также представляют собой главные
оси в точке О. Это следует из того, что ось Сх является главной централь*
ной осью, а ось Oz перпендикулярна в точке О к плоскости симметрии тела.
Снова применив упомянутую теорему, получим
]х = if, Jy = /<,с> + 2Ма2, Jz = /f + 2М а2.
Подчинив теперь выбор размеров а и Ь требованиям
получим уравнения
1 Я2 + -j R2 + Ь2 = ~ R2 + б2 + а2 = -| Я2 + ~Rz + 2а2,
из которых найдем
Я2 - -jRK
Положительность величин а2 и Ь2 следует из очевидного условия
b>R.
Приняв указанные значения а2 и б2, найдем
Эллипсоид инерции тела в точке О представляет^ собой эллипсоид вра-
вращения вокруг оси Oz с отношением полуосей 1:1: V2; центр тяжести этого
тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (в точке х =
= —а, у = 0). Если в точке О поместить острие, предоставив телу возмож-
возможность вращаться вокруг этого острия, то придем к реализации классического
интегрируемого случая вращения твердого тела под действием силы тяжести,
открытого С. В. Ковалевской A850—1891) *).
Пример 122. Колесо ветряной мельницы состоит из п одинаковых ло-
лопастей, расположенных по кругу на одинаковых угловых расстояниях друг
от друга. Масса лопасти равна т и считается равномерно распределенной по
*) Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около не-
неподвижной точки A889). — В кн.: Ковалевская С. В. Научные работы.—»
М.$ Изд-во АН СССР, 1948, с. 153—220.

§ 140. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ 295
радиусу колеса г и сосредоточенной в его средней плоскости. Убедиться, что
при п > 2 центральный эллипсоид инерции колеса обращается в эллипсоид
вращения (ось вращения перпендикулярна к плоскости колеса). Чему равно
отношение осей эллипсоида? Во что вырождается эллипсоид инерции при
п = 2?
Расположим оси х и у в средней плоскости колеса и обозначим через осо
угол одной из лопастей с осью х. В таком случае другие лопасти будут со-
составлять с этой осью углы
2я , 4я . 2 (л — 1) я
—, «0 + —, ..., ао+ п
Находим
/i-i
—
Л-1 Г Л-1
2 I
, 2nk \ I
n )\
Г л-1 -l
, 2nk \ mr2 I V*1 / 2я& \ I
n ) 61 Z-i V° я / г
¦* fe=o -¦
J2 = fx^rJy=z —g ft.
Ho
^ cos 2 (^ao + 251^ e ^ e2/a0 ^
fe=0 fe=0
суммируя эти геометрические прогрессии, получаем
яри /г > 2 знаменатели слагаемых дробей отличны от нуля, а числители
равны нулю; поэтому
гг-1
глс О г* -4— ————- I П In —— Ч Д 1
V ТЬ J
Итак,
1 , Mr2
'* — '0— 2 г""" 6 f
где M = mn — масса всех лопастей. Эллипсоид инерции — эллипсоид враще-
вращения. Отношение осей эллипсоида равно л/2.
При п = 2, направив ось х вдоль общей оси лопастей, получим
3
эллипсоид инерции вырождается в круговой цилиндр.

296 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 141. Кинетическая энергия и главный момент
количеств движения
Для вычисления кинетической энергии твердого тела в об-
общем случае его движения представим скорость Vi любой точки
тела как геометрическую сумму скоростей полюса О и враща-
вращательной скорости:
г>. = г>0 + соХг;. B4)
Если за полюс принять центр тяжести С тела, то vo = vc и па
формуле B7) § 125 выражение кинетической энергии может
быть представлено в виде суммы двух слагаемых:
T = ±Mvl + T\ B5)
причем первое слагаемое представляет кинетическую энергию
массы М тела, мысленно сосредоточенной в центре тяжести и
движущейся со скоростью последнего, а второе Т' — кинетиче-
кинетическую энергию вращательного движения с угловой скоростью о
вокруг мгновенной оси, проведенной через центр тяжести. По-
Повторив в точности вывод формулы C7) § 126, найдем
Г = |-/(C)od2, B6)
где /(С) — момент инерции тела относительно мгновенной оси.
При движении тела мгновенная ось перемещается в теле и /<c>
меняется с течением времени. Желая перейти к постоянным во
времени характеристикам инертности тела, свяжем с телом си-
систему координат Cxyz, обозначим через а, C, у косинусы углов
мгновенной оси с этими осями и выразим момент инерции /(С>
через моменты инерции и центробежные моменты инерции по
формуле A0)
/(С) = /,а2 + // + J2y2 - 2Jxya$ - 2Jy?y - 21яхуа.
Подставляя это выражение в предыдущую формулу и заме-
замечая, что
соа = ®х, сор = ю^, (оу = ®z>
получаем
27" = 'X + /,«> + /X ~ 2/^Л - 2/Лсо2 - 2/„даЛ. B7)
Если, в частности, за оси координат Cxyz принять главные
центральные оси инерции тела, то Jxy = Jyz = Jzy = 0 и вы-
выражение B7) упрощается; будем иметь
2Г = /<с>со2 + /<f>©2 + 4<V, B8)
где /(!С), 4С), 4С) — главные центральные моменты инерции.

§ 141. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ 297
Формула B7) дает также выражение полной кинетической
энергии Т твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки О, если под /*, ..., JZx подразумевать моменты инерции
и центробежные моменты в системе осей Oxyz, связанных с те-
телом и имеющих начало в точке О. Если, в частности, за оси
Oxyz принять главные оси инерции в точке О, то придем к выра-
выражению B3), в котором J\, /2, h (индексы С нужно опустить) —
главные моменты инерции в точке О.
Возвращаясь к общему случаю движения твердого тела, по
{25) и B8) находим
Выразим проекции угловых скоростей в формуле кинетиче-
кинетической энергии через производные эйлеровых углов (§ 61). Огра-
Ограничимся случаем, когда тело, имеющее неподвижную точку О,
представляет собой тело вращения вокруг оси Ог; кинетиче-
кинетическая энергия Т дается формулой
Так же выразится кинетическая энергия Т' во вращательном
движении вокруг центра тяжести; в этом случае
Ji — Ji > з з •
Пользуясь выражениями проекции угловой скорости на оси,
связанные с телом, через производные эйлеровых углов
®х = <ф sin 8 sin ф + Э cos ф,
сйу = <ф sin 0 cos ф — Э sin ф,
co2 = if» cos 6 + ф
получаем
Т = у [/i (tj>2 sin2 8 + ё2) + /3 (ф +1|> cos 8J]. C1)
Если в общем случае движения твердого тела выбрать за по-
полюс произвольную точку тела О, то для вычисления кинетиче-
кинетической энергии тела следует использовать выражение C5) § 125,
в котором v0 — скорость полюса О, a vQ — скорость центра
тяжести тела по отношению к системе отсчета, движущейся
поступательно вместе с полюсом, т. е. в рассматриваемом случае

298 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
где ш — угловая скорость тела, г'с — вектор-радиус центра тя-
тяжести по отношению к полюсу О. Замечая, что
^•^г) = ^о-(<дХг/с) = г^(г;0Хо>),
получаем
Т = \ Mvl + М [хс (v0ycoz - v0z<oy) + ус (vOz<*x - иоА) +
+ *сЫ<»у-Ооу<»х)] + Т', C2)
где хс, ус> Zc — координаты центра тяжести С в системе осей
Oxyz, связанных с телом, со*, щ, со2 и vOx, i%, vOz — проекции на
эти оси соответственно векторов со и v0; V вычисляется по
формуле B7) или же B8), если оси Oxyz — главные оси в точке
О [причем в B8) надо опустить индексы С].
Для вычисления главного момента количеств движения твер-
твердого тела относительно неподвижного центра следует обра-
обратиться к одному из выражений G6) или G5) § 119. Остановимся
сначала на формуле G6) как более простой; получим
Z
C3)
где вектор К' уже был определен ранее в § 139 формулами B)
и C). В формулах C) § 139 моменты инерции и центробежные
моменты вычисляются относительно осей, связанных с твердым
телом и имеющих начало в неподвижной точке. В частности,
при вращении вокруг неподвижной оси Oz имеем со* = со# = 0 и
Kx = -<Ixz«>z, Ky = -Jyz<*z, Кг = 1г(йг. C4)
Если за оси координат принять главные центральные оси
инерции, то
К=ЛСЧ> К = 4C)CV К=4СЧ- C5)
В случае твердого тела, имеющего неподвижную точку О, имеем
/С2 = /з«2. C6)
Здесь Oxyz — главные оси инерции тела в точке О; Кх, Ку, Кг —
проекции на эти оси главного момента количеств движения тела
относительно неподвижной точки.
Не представит труда составить по G5) § 119 формулы, даю-
дающие проекции главного момента количеств движения твердого
тела относительно неподвижного центра, выбрав за полюс про-
произвольную точку О. Получим
Кх = М (rOyvCz — rQzvCy) + М (ycvQz - zcvOy) +
+ h<*x - hy<»y - hz®z C7)

§ 141. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ
299
и два аналогичных выражения для проекций на оси Оу, Oz.
Здесь год:, гОу, rOz, vOx, vOy, vOz — проекции на оси Oxyzy связанные
с телом и имеющие начало в полюсе О, векторов г0 (вектор-ра-
(вектор-радиуса полюса О относительно центра момента) и г^о (скорости
полюса); через Vex, vcy, vcz обозначены проекции на те же оси
вектора скорости центра тяжести тела С, а через Хс, ус, Zc —
координаты центра тяжести в этих осях; наконец, в трех по-
последних слагаемых моменты инерции и центробежные моменты
должны быть вычислены в указанной системе осей, связанных
с телом; со*, %, со2— проекции вектора угловой скорости со на
эти оси.
Пример 123. Бегун представляет собой тяжелое тело вращения, вра-
вращающееся с угловой скоростью (о0 вокруг своей оси, которая в свою озередь
вращается от привода с заданной угловой скоростью со* (рис. 351). Соста-
Составить выражение кинетической энергии бегуна; радиус инерции бегуна отно-
относительно оси ОС равен р, масса бегуна М, углы а и О, указанные на рисунке,
известны; ОС = с.
Кинетическая энергия поступательного движения бегуна равна
М
М
Переходя к составлению выражения кинетической энергии вращатель-
вращательного движения бегуна, примем ось вращения ОС за ось Cz, а перпендикуляр
к ней в плоскости векторов йо и ©* — за ось Су; ось Сх направим перпенди-
перпендикулярно к этой плоскости. Начало системы осей Схуг помещено в центре
тяжести бегуна С. Так как бегун представляет собой тело вращения, то оси
системы Схуг будут главными центральными осями инерции. Мгновенная уг-
угловая скорость бегуна ш определится как сумма угловых скоростей ©0 и
<о*. Имеем
<о* = 0, (ду == со* sin Ф, со2 == соо + со* cos Ф,

300 ГЛ. XXVI. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
и формула B8) дает
2Т' - 4С> (со0 + ©• cos ОJ + //V2 sin2 Ъ.
Считая, что мгновенная ось проходит через среднюю точку Р бегуна, из
треугольника угловых скоростей находим
sin a
и, следовательно,
©о + со* cos Ф == ©* sin # ctg a.
Замечая, что
получаем

Отдел пятый
ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Глава XXVU
СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
§ 142. Классификация связей
Положение системы п материальных точек определяется со-
совокупностью Ъп декартовых координат: х\, Уи %и Х2, Уч, z%
..., Хп, Уп, Zn этих точек. Положение твердого тела задается
тремя координатами хо, */о> ?о одной из его точек, принятой за
полюс, и тремя эйлеровыми углами ф, ср и 6 (§ 64). Если си-
система состоит из нескольких твердых тел, то для определения
положения такой системы в пространстве достаточно задать ко-
координаты полюсов и значения эйлеровых углов для каждого
из тел.
Для определения положения точки в пространстве пользу-
пользуются также криволинейными координатами (§ 47); положение
твердых тел можно задавать не только эйлеровыми углами, но
и другими параметрами, играющими аналогичную роль. Таким
образом, для определения положения материальной системы в
пространстве применяют самые разнообразные приемы. Любая
совокупность параметров, достаточная для определения поло-
положения системы в пространстве, называется обобщенными коор-
координатами системы. При этом не предрешается вопрос о том,
все ли координаты необходимы для указанной цели, нельзя ли
определить положение системы при помощи только части этих
параметров или вообще меньшего числа параметров.
Так, например, положение системы п материальных точек,
абсолютно жестко связанных между собой, может быть задано
при помощи Ъп декартовых координат (xi, yi, z{)\ с другой сто-
стороны, поскольку точки системы образуют абсолютно твердое
тело, для этой цели могут служить шесть параметров: три коор-
координаты полюса (лго, г/о, г0) и три эйлеровых угла (ф, ф, 0). При
этом две совокупности координат связаны следующими соотно-
соотношениями:
Xi = Xi(xOy yOi г0; *Ф, Ф, 9), #/ —Ы*о> Уо> Zq*> Ф, Ф> 6),
zt = zt (xQ9 y0> z0; Ф, ф, 8) (/=1,2,.,., п). A)

302 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Вообще, если положение движущейся системы п материаль-
материальных точек Mi с прямоугольными координатами (*/, уи zt) в лю-
любой момент времени может быть задано при помощи какой-ни-
какой-нибудь совокупности обобщенных координат (q\, q2i ..., qr), то
между первой и второй совокупностями должны существовать
соотношения вида
Xt = xt{t; qu q2t ..., qr), yt = yt(t\ qu q2, ..., qr)>
zi = zi(t; qu q2, ..., qr) (*=1, 2, ..., n), B)
в общем случае явно содержащие время.
Если материальная система не свободна, то ее обобщенные
координаты <7ь q2y ..., qr, так же как и их производные по вре-
времени— обобщенные скорости qu <?2> ..., qr, — подчиняются огра-
ограничительным условиям, которые мы называем связями. Анали-
Аналитически связи выражаются равенствами, заключающими время,
координаты и их производные, иногда сопровождаемые знаками
неравенств; последние указывают на возможность прекращения
действия связей. Остановимся на случае связей, выражаемых
равенствами.
Связи, выражаемые аналитически уравнениями вида
Фа#; <7ь Ъ> • •, Чп Яь Й2у •••> Qr) = 0, C)
носят общее наименование кинематических; обобщенные скоро-
скорости в соотношение C), как правило, входят линейно.
Если время не входит явно в уравнения связей, то такие
связи называют стационарными, в противном случае — неста-
нестационарными.
Кинематические связи, уравнения которых не содержат обоб-
обобщенных скоростей или путем интегрирования могут быть к та-
такому виду приведены, называют голономными или интегрируе-
интегрируемыми, в противном случае — неголономными или неинтегрируе-
мыми.
Голономные связи накладывают ограничения только на ко-
координаты точек системы, т. е. на ее положение в пространстве.
Вместе с тем, будучи продифференцированы по времени, урав-
уравнения голономных связей представляют ограничения, наклады-
накладываемые на скорости точек системы. В противоположность этому
неголономные связи ограничивают и координаты, и скорости
точек системы, так как уравнения связей не могут быть проинте-
проинтегрированы и, следовательно, не существует конечных соотноше-
соотношений между координатами, соответствующих неголономным
связям.
Примером голономной нестационарной связи может служить
математический маятник переменной длины. Тяжелая точка М
привешена на нити, верхний конец которой проходит через от*

§ 142. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ
303
верстие О, причем нить может укорачиваться по заданному за-
закону так, что длина нити I будет известной функцией времени
l(t). Уравнение связи, налагающее ограничение на координаты
х и у точки в вертикальной плоскости, будет
или в полярной системе координат
г =
Если нить не изменяет свою длину (/ = const), то мы придем
к стационарной голономной связи
X2 -j- у* е- р9 или /• = /,
соответствующей движению несвободной точки по вертикальной
окружности (математический маятник постоянной длины).
Физический маятник (§ 117) представляет собой твердое
тело, подчиненное голономным связям, выражающим условия
вращения тела вокруг неподвижной оси. Уравнения голономных
стационарных связей в этом случае можно представить в виде
следующих условий, на-
налагаемых на обобщенные У
координаты твердого
тела:
Вращение тела опреде-
определяется изменением одно-
одного угла ф — угла чистого Рис. 352.
вращения.
В качестве примера голономной несвободной системы, со-
состоящей из нескольких тел, рассмотрим плоское движение че-
тырехзвенного механизма О\М\М2О2 (рис. 352). Если для зада-
заданий положений движущихся его звеньев О\Ми МХМ2 и О2М2
пользоваться координатами точек М\ и М2, то уравнения связей
будут (размеры звеньев указаны на рисунке)
а-2 4- Ф = г2 (а х ^2 4- и2 = г2 (х г \2 4- (и и \2 /2 (А\
Эти уравнения связывают между собой четыре обобщенные ко-
координаты системы: хи уи *2, У2- Если принять за координаты
системы три угла ф, 8 и ф, образованных стержнями с осью Ох,
то соответствующие этим координатам уравнения связей полу-
получим, рассматривая вектор О{О2 как замыкающую сторону век-
векторного многоугольника О\М\М2О2. Проектируя на оси, находим
r{ cos ф + / cos 9 — r2 cos я|) = а,
rx sin ф + / sin 9 — r2 sin г|з = 0;
E)

304
ГЛ. XXVII. СВЯЗИ СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
при том и другом выборе координат число независимых коор-
координат будет равно единице.
Гладкая горизонтальная плоскость Я, по которой катится
идеально отполированный шар (рис. 353), дает также пример
голономной связи. Положение шара в пространстве ограничено
условием сохранения расстоя-
расстояния его центра С от плоскости
равным радиусу шара а. При
этом центр его может переме-
перемещаться только в плоскости, па-
параллельной Ну а вектор скоро-
скорости центра шара должен ле-
лежать в этой плоскости. В ос-
остальном положения и переме-
Рис. 353. щения шара произвольны: шар
может скользить по плоскости
или катиться по ней с любым скольжением; единственным голо-
номным условием будет служить равенство
zc = a. F)
Если плоскость абсолютно шероховата, то возникает допол-
дополнительная связь — условие отсутствия скольжения, заключаю-
заключающееся в том, что скорость точки М шара, которая в данный мо-
момент соприкасается с плоскостью (вектор-радиус этой точки
относительно центра шара обозначаем через г), равна нулю.
Это условие может быть записано в виде равенства
Здесь vc — скорость центра шара, со—угловая скорость шара,
имеющая проекции на неподвижные оси (§ 61):
®х = Ф sin -ф sin 0+9 cos if,
(йу = — ф cos -ф sin 8 + 6 sin if»,
(o2 = ф cos 9 + ij>,
а вектор r = CM имеет проекции на неподвижные оси @, 0, —а),
так что предыдущее векторное условие эквивалентно следую-
следующим трем:
хс + а (ф cos лр sin 8 — 9 sin я|?) = 0,
Ус + а (Ф sin i|) sin 9 + 9 cos i|?) = 0, G)
Первые два дифференциальных уравнения неинтегрируемы и
дают пример неголономных связей. Последнее из равенств G)
интегрируется и вновь приводит к голономному условию F).

§ 142. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ 305
Аналогичный пример неголономной системы дает катящийся
по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости диск, пло-
плоскость которого может произвольно наклоняться к горизонту.
Движение такого диска было изучено в кинематике (§ 65). Не-
голономная связь в этом случае выражается неинтегрируемым
векторным уравнением или соответственно его проекциями на
оси координат.
Заметим, что в условиях
плоского движения того же
диска (рис. 354) по шерохова-
шероховатой плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к плоскости рисунка, урав-
нения связей
хс — аф = 0, ус = 0
будут интегрируемыми, т. е. голономными. Интегрирование пер-
первого из них приведет к условию отсутствия скольжения Хс = #Ф,
второго — к ранее уже рассмотренному голономному условию
Ус = а.
В дальнейшем будут рассматриваться только голономные
связи. Учение о неголономных связях и движении систем, под-
подчиненных такого рода связям, рассматриваются в специальных
курсах аналитической механики.
Как уже упоминалось, связи могут задаваться равенствами,
соединенными с неравенствами. Так, например, несвободное дви-
движение тяжелой точки по сфере (сферический маятник) радиуса
/ можно осуществить при помощи нерастяжимой нити. Такая
нить не позволит движущейся точке удалиться от центра сферы
на расстояние, большее /, но нить может «ослабнуть» и тогда
точка станет свободна (это может произойти в верхней поло-
половине сферы при достаточно малой скорости точки). Желая под-
подчеркнуть, что при некоторых условиях связь теряет свое назна-
назначение— ограничивать положение системы, — такую связь назы-
называют неудерживающей. Аналитически неудерживающие связи
представляют в форме равенств, соединенных с неравенствами,
показывающими, в какую именно сторону может двигаться
освободившаяся от связей система. В только что рассмотренном
случае тяжелой точки на нерастяжимой нити неудерживающая
связь должна быть представлена так:
Знак неравенства показывает, что точка может сойти со сферы
внутрь ее. Если бы тяжелая точка (шарик) двигалась по внеш-
внешней части сферического купола, то связь также была бы неудер-
неудерживающей и аналитически представлялась в виде

306 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
в этом случае неравенство говорит о возможности схода точки
со сферы во внешнюю по отношению к ней часть пространства.
Неудерживающие связи могут прекращать свое действие в
одном направлении и сохранять в другом, как это имеет место
в только что указанном примере; поэтому их иногда называют
односторонними связями в отличие от двусторонних (удержи-
(удерживающих) связей.
§ 143. Возможные перемещения системы.
Число степеней свободы
Рассмотрим бесконечно малые перемещения точек системы,
совместимые со связями, наложенными на систему. В число
этих перемещений системы входят, в частности, действительные
перемещения точек системы, осуществляемые за данный беско-
бесконечно малый промежуток времени точками несвободной системы
в их действительном движении под действием приложенных сил.
Если связи не стационарны, то бесконечно малые перемеще-
перемещения точек системы можно представить себе разложенными на
два слагаемых: 1) совместимые со связями бесконечно малые
перемещения, которые имели бы место, если бы связи на мгно-
мгновение перестали изменяться (например, перемещаться в про-
пространстве, деформироваться), и 2) перемещения, обусловленные
изменением самих связей.
Для дальнейшего имеют основное значение лишь первые
слагаемые. Мы назовем их возможными перемещениями системы
и определим как бесконечно малые перемещения точек систе-
системы, совместимые со связями, зафиксированными в данный мо-
момент*).
Выделение класса возможных перемещений из общего поня-
понятия совместимых со связями бесконечно малых перемещений
системы существенно, конечно, лишь в случае наличия неста-
нестационарных связей. В случае стационарных связей возможные
перемещения определяются как бесконечно малые перемещения
точек системы, совместимые со связями.
Возможные перемещения представляют собой некоторый
геометрический образ, не связанный ни с движением, совершае-
совершаемым системой, ни с изменением самих связей. Это — совокуп-
совокупность бесконечно малых векторов, зависящая только от струк*
туры на мгновение «затвердевших» связей.
Возможные перемещения должны удовлетворять дифферен-
дифференциальным соотношениям, представляемым уравнениями связей
*) В некоторых курсах теоретической механики для рассматриваемой ча-
части бесконечно малых перемещений системы принят термин «виртуальные пе*
ремещения», а под «возможными перемещениями» понимают общие совмести*
мые со связями бесконечно малые перемещения.

§ 143. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ 307
или выводимым из них в предположении, что время является не
основным аргументом, а лишь параметром, фиксируемым в дан-
данном состоянии связей.
Чтобы вывести аналитические условия, которым подчиня-
подчиняются возможные перемещения, рассмотрим два различных вида
бесконечно малых приращений функций f(t\ х, у, г, ...) от аргу-
аргументов /, х, у, z> ...
Определяя бесконечно малое приращение функции / вслед-
вследствие бесконечно малого приращения аргументов t, x, у, г, най-
найдем выражение полного дифференциала функции
Наряду с полным дифференциалом рассмотрим другой вид
бесконечно малого приращения функции, вычисляемый в пред-
предположении, что аргумент t является фиксированным параме-
параметром, а х, у, г, ... представляют изменяющиеся независимо от
аргумента t величины. Такого рода бесконечно малое изменение
функции назовем вариацией и обозначим символом б/. Согласно
принятому определению будем иметь следующую формулу ва-
вариации функции:
v=w6x+w6y+i*62+ (9)
Условимся в дальнейшем обозначать бесконечно малые пе-
перемещения точек системы символом dti, а их проекции соответ-
соответственно dxt, dyu dzt\ в обобщенных координатах эти перемеще-
перемещения будем определять совокупностью величин dqu dq2, ..., dqr.
Согласно только что приведенному определению вариаций
возможным перемещениям естественно приписать символ Ъги
а их проекциям — символы бх*, 8yti бг*. В обобщенных коорди-
координатах возможные перемещения определяются совокупностью ва-
вариаций этих координат Sq\, 6*72, ..., 6gv.
Составляя соответственно дифференциалы или вариации от
обеих частей уравнений связей, получаем аналитические выра-
выражения ограничений, налагаемых связями на бесконечно малые
перемещения точек несвободной системы. Рассмотрим ограни-
ограничения, налагаемые на общие бесконечно малые перемещения
системы голономными связями.
Если положение системы п точек Mi задается их декарто-
декартовыми координатами хи у и zi, а голономные связи — совокуп-
совокупностью 5 соотношений
Фа С; xi9 у ь ги ..., хп, уп, zn) = 0 (а=1, 2, ..., s), A0)

308 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
то Зп проекций перемещений (dxi, dyu dzi) должны подчиняться
ограничениям в виде дифференциальных равенств
(а=1, 2, ..., 5),
полученных в результате составления полного дифференциала
от обеих частей равенств A0).
Возможные перемещения (бх/, 6*//, 6zi) будут удовлетворять
совокупности соотношений
составленных вычислением вариации от обеих частей уравнений
связей A0).
Если голономные связи стационарны, т. е. время / не входит
явно в уравнение A0), то соотношения A1) примут вид
Сравнивая A3) с A2), убедимся, что действительно, как уже
ранее указывалось, в случае стационарных голономных связей
возможные перемещения ничем не отличаются от общей сово-
совокупности бесконечно малых перемещений системы, совмести-
совместимых со связями.
Так, например, в рассмотренном ранее случае математиче-
математического маятника постоянной длины / возможные перемещения,
так же как и общие, будут удовлетворять одному и тому же
соотношению
х6х + уду = 0, A4)
выражающему, что бесконечно малые перемещения тяжелой
точки должны быть перпендикулярны к направлению нити, т. е.
направлены по касательной к вертикальной окружности. Иное
будет иметь место в случае математического маятника перемен-
переменной длины /(/). Общие бесконечно малые перемещения будут
в этом случае удовлетворять дифференциальному равенству
xdx + ydy = ldl = lidty A5)
выражающему условие нерастяжимости нити: проекция пере-
перемещения за время dt тяжелой точки М на направление нити
равна бесконечно малому увеличению (уменьшению) длины

§ 143. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ 309*
нити за то же время вследствие заданного ее движения сквозь
отверстие в точке О. Что касается возможных перемещений, то
они будут удовлетворять тому же соотношению A4), что и в
случае постоянной длины.
Предположим, что точка М с вектор-радиусом г и коорди-
координатами х, у, г вынуждена двигаться по поверхности, которая
может заданным образом перемещаться и деформироваться.
Уравнение соответствующей голономной нестационарной связи
зададим в форме
ф(/*, у,г) = о. A6)
Возможные перемещения точки бг с проекциями бх, 8у, 8z
должны удовлетворять условию
Согласно определению градиента от скалярной функции Ф
как вектора gradd) с проекциями дф/дх, дф/ду, дф/dz можно
переписать последнее равенство в форме
grad(?-6r = 0.
Вспоминая, что grad Ф представляет собой вектор, направ-
направленный по внешней нормали п к поверхности уровня A6), пе-
перепишем равенство A8) в виде
л-бг = 0, A9)
показывающем, что при движении точки по поверхности A6)
возможные перемещения представляют собой бесконечно малые
векторы, лежащие в касательной плоскости к поверхности в
фиксированном ее состоянии в рассматриваемый момент вре-
времени.
Согласно условию A7) из трех проекций возможных пере-
перемещений б#, бу, бг произвольными являются лишь две.
Общие бесконечно малые перемещения точки М должны, по
предыдущему, удовлетворять условию
^dt + grad Ф • dr = -^ dt +1 grad Ф |п • dr = 0, B0)
или
dT = (dOldt) dt = (дФ/dt) dt .
| grad Ф | <у/(дФ/дхJ + (дФ/дуJ + (дФ/dzJ
К тому же равенству B0) мы пришли бы, дифференцируя
выражение A6) по времени в предположении, что точка М при-
принадлежит поверхности. Поэтому соотношение B1) выражает,
что в случае как угодно движущейся и деформирующейся

310 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
поверхности проекция бесконечно малого перемещения точки на
внешнюю нормаль к поверхности равна проекции на то же
направление перемещения точки поверхности, в которой нахо-
находилась до перемещения движущаяся точка.
Рассмотрим бесконечно малые перемещения точки, вынуж-
вынужденной двигаться по кривой, в общем случае заданным образом
движущейся и деформирующейся. Составим уравнения связей,
определив кривую как пересечение двух поверхностей
Oi (/; х, у, г) = 0, Ф2 (/; *, у, г) = 0. B2)
Возможные перемещения должны в этом случае удовлетворять
системе двух равенств
» а дФ* а п
или, в векторных обозначениях,
grad Oj. бг = 0, grad Ф2 • бг = 0. B4)
Вспоминая, что векторы gradcDi и gradO2 направлены по нор-
нормалям tt\ и п2 к поверхностям B2), перепишем B4) в виде
П{. бг = 0, щ • бг = 0. B5)
Полученные соотношения выражают условия перпендику-
перпендикулярности вектора возможного перемещения и нормалей к по-
поверхностям B2). Это означает, что возможные перемещения
точки, вынужденной во время движения оставаться на заданным
образом движущейся и деформирующейся кривой, направлены
по касательной к кривой в данном ее мгновенном состоянии.
Из B4) следует, что направление вектора бг совпадает с на-
направлением векторного произведения grad CDiX grad Ф2 и, сле-
следовательно,
бг == X grad Ф! X grad Ф2; B6)
Здесь X — произвольный бесконечно малый скалярный множи-
множитель, который можно представить как
* бет
I grad Ф{ X grad Ф21 '
где 8a— вариация дуги кривой.
Общие перемещения dr будут удовлетворять равенствам
-^~-dt + grad Ф! • dr = 0, ^- dt + gradФ2. dr = 0. B7)

§ 143. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
311
Рассмотрим еще систему двух точек М\ и М2 (рис. 355),
соединенных жестким стержнем длины г\2. Одна из точек, на-
например М\, может иметь совершенно произвольное бесконечно
малое перемещение, направленное как угодно в пространстве.
Вторая может при этом иметь только такое перемещение, проек-
проекция которого на направление стержня равна проекции переме-
перемещения первой точки на то же направление (§ 55). Аналитически
в общем случае пространственного движения это условие мо-
может быть получено дифференци-
дифференцированием уравнения стационар- dhzf\ s
ной связи ' л
и имеет вид
(х2 — хх) (dx2 — dxx) +
+ (jfe — У\) №/2 — dyx) +
+ (z2-zl)(dz2-dzl) =
или
Рис. 355.
где г\2 — вектор, направленный по стержню и равный по вели-
величине длине стержня. Последнее уравнение выражает равенство
проекций перемещений концов стержня на его направление.
Если положение материальной системы задается г обобщен-
обобщенными координатами q\, q2, ..., qr, подчиненными s голономным
связям
Фа('; Яи Яъ .-•> Яг) = 0 (а=1, 2, ..., 5), B8)
то обобщенные бесконечно малые перемещения dqj будут удов-
удовлетворять условиям
dt
а обобщенные возможные перемещения б^/ — условиям
дФа
дд,
= 0 (а=1, 2,
s).
B9)
C0)
Равенства B9) получены дифференцированием уравнений
связей B8), а равенства C0)—варьированием тех же урав-
уравнений.
Чем больше число условий, налагаемых связями на беско-
бесконечно малые перемещения системы, тем меньше произвола
остается в определении возможных перемещений. Это обстоя-

312 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
тельство характеризуют числом степеней свободы системы, ко-
которое определяется как число независимых, допускающих выбор
по произволу вариаций координат системы.
Только в случае систем, подчиненных голономным связям,
число степеней свободы совпадает с числом независимых обоб-
обобщенных координат. Так, например, если система, состоящая из
п точек, подчинена s голономным связям, то число степеней сво-
свободы такой системы, согласно A2), будет совпадать с числом
независимых координат
k = 3n-s. C1)
Точка, вынужденная двигаться по заданной поверхности, будет
по A7) иметь две степени свободы; точка, движущаяся по за-
заданной пространственной кривой, будет, как это следует из B3),
иметь одну степень свободы и т. д. Система, состоящая из двух
точек (я = 2), связанных жестким стержнем (s=l), имеет
k = 3-2 — 1 = 5 степеней свободы.
В тех случаях, когда положение системы определяется г
обобщенными координатами q\ (/= 1, 2, ..., г), не являющи-
являющимися, вообще говоря, независимыми, а подчиненными s голоном-
голономным связям, число степеней свободы системы будет, согласно
C1), равно
k = r — 5,
т. е. опять равно числу независимых обобщенных координат си-
системы. Так, свободное твердое тело (г = 6, s = 0) имеет шесть
степеней свободы, тело, вращающееся вокруг неподвижного
центра, — три степени свободы; тело, совершающее плоское дви-
движение, — также три степени свободы.
Машины и станки дают примеры весьма сложных несвобод-
несвободных систем с голономными связями. Число степеней свободы
таких систем обычно не превышает единицы. Действительно,
конструкция машины такова, что ее положение и движение
однозначно определяются по-
положением и вращением основ-
основного ведущего вала. Угол по-
поворота этого вала может быть
принят за единственную обоб-
обобщенную координату.
Пример 124. Плоская система
четырех стержней (рис. 356) АЕУ
EBf DC и CF, шарнирно соединен-
соединенных между собой так, что фигура
DCFE представляет собой параллелограмм, перемещается в своей плоскости.
Доказать, что: 1) если точки Л, В, С в какой-нибудь положении системы ле-
лежат на одной прямой, то при любом другом положении они останутся на
одной прямой; 2) если длины отрезков AD и DE находятся между собой

§ 143. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ 313
в отношении т: п, то возможное перемещение точки С выражается через
возможные перемещения точек А я В следующим образом:
с
п-\- т
Замечая, что
составим векторное произведение
—> —> —> —> —> —> —> —>. —> —>
АС X С В = AD X CF + AD X FB + DC X CF + DC X ^Я.
Из условия параллельности векторов AD и CF, DC и FB следует, что пер-
первое и последнее векторные произведения в правой части этого равенства об-
обращаются в нуль, так что
ACXCB^^XPB + DCXCF^ADXFB — CFXDC* C2}
Пусть в каком-нибудь положении системы точки Л, Б, С лежали на од-
одной прямой; тогда из подобия треугольников можно заключить, что
причем это соотношение сохранится при любой конфигурации системы. При-
Принимая во внимание, что AD\\CF и FB\\DC,~получаем
AD-2-CF, FB = ^-DC.
п т
Подставляя эти выражения в C2), убедимся, что в любом положении си-
системы
_*-*,„,„ ч _* _* ^ ^
а это доказывает, что точки Л, В и С расположены на одной прямой. При вы-
выполнении условия C3) имеем
АС = — СВ
п *
или, вводя вектор-радиусы Га, гв> гс точек Л, В, С относительно какой-ни-
какой-нибудь неподвижной точки О,
Г —Г =: — / _ \
Отсюда следует, что
п + m
Если принять п = /п, то возможное перемещение точки С
6ГF
будет равно среднему векторному возможных перемещений точек Л и В.

314 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Система обладает четырьмя степенями свободы, причем за независимые
обобщенные координаты можно было бы принять, например, координаты то-
точек А и В или координаты одной из этих точек и два угла: угол, образован-
образованный стержнем АЕ с каким-нибудь неподвижным направлением, и угол между
стержнями DC и АЕ.
Закрепляя точку Л, получим механизм с двумя степенями свободы —
пантограф, служащий для увеличения или уменьшения географических карт,
планов и т. п. Приведенные выше рассуждения показывают, что если точка С
опишет какую-нибудь фигуру, то карандаш, помещенный в точку Ву вычертит
подобную ей фигуру в масштабе АВ : АС = АЕ : AD = (ш + п) : т.
§ 144. Принцип освобождаемости. Идеальные связи
Ограничивая свободу движения системы, связи действуют
на точки системы посредством сил, называемых реакциями
связей.
Чтобы не смешивать реакции связей с остальными силами,
приложенными к точкам несвободной системы, условно назовем
эти последние силы задаваемыми*) или активными. Можно
сказать, что задаваемыми силами являются те из сил, прило-
приложенных к системе, которые сохраняются, если связи мгновенно
"исчезнут, или, как иногда говорят, «ослабнут».
Прикладывая к точкам Mi системы с массами т*, наряду с
равнодействующей F* задаваемых сил, равнодействующую реак-
реакций связей Ri, составим уравнения движения системы точек:
m^. = f. + #.. C4)
Уравнения эти показывают, что с динамической точки зрения
несвободную систему можно рассматривать как свободную, дви-
движущуюся под действием задаваемых сил и реакций связей.
Использование этого положения, именуемого принципом осво-
освобождаемости, оказывает большие услуги при изучении равно-
равновесия и движения несвободной системы. Напомним, что в ста-
статике твердого тела мы уже пользовались этим принципом, за-
заменяя опоры их реакциями и составляя уравнения равновесия
твердого тела под действием задаваемых сил и опорных реакций
так, как будто тело свободно. В предыдущих главах настоящего
тома мы также часто имели дело с реакциями опор, но, не фик-
фиксируя на этом особого внимания, рассматривали реакции как
любые другие приложенные силы.
В свете учения о связях смысл принципа освобождаемости
становится более ясным. Применяя принцип освобождаемости,
мы мысленно отбрасываем связи, заменяя их действие динами-
динамически эквивалентным действием реакций связей. При этом число
*) В некоторых случаях «задаваемые» силы могут играть роль «иско-
«искомых», так что термин «задаваемые силы» условен.

§ 144. ПРИНЦИП ОСВОБОЖДАЕМОСТИ. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ 31$
степеней свободы системы увеличивается и многообразие воз-
возможных перемещений расширяется. Поясним это на следующем
простом примере. Тяжелая балка, лежащая на двух опорах
(считаем связь удерживающей), не имеет свободы перемещения.
Отбрасывая одну из опор и прикладывая к балке соответствую-
соответствующую опорную реакцию, мы этим не нарушаем равновесия балки,
но балка получает свободу перемещения — вращения вокруг
оставшейся опоры — и может уже рассматриваться как система
с одной степенью свободы.
Принцип освобождаемости позволяет переводить реакции
связей в класс задаваемых сил, что в ряде случаев может ока-
оказаться полезным.
Известно, что чем более совершенно отполирована поверх-
поверхность, по которой происходит движение тела, тем меньше каса-
касательная составляющая реакции, т. е. сила трения.
В случае идеально гладкой поверхности реакция целиком
сводится к силе, нормальной к поверхности. Таким образом,
если связью служит поверхность без трения, то реакция связи
нормальна к связи. В этом случае элементарная работа реак-
реакции на любом возможном перемещении точки равна нулю, так
как сила направлена перпендикулярно к перемещению. Под-
Подчеркнем, что по определению возможных перемещений только
что сказанное верно как в случае стационарных, так и неста-
нестационарных связей. Само собой разумеется, что элементарная
работа реакций на той части бесконечно малого перемещения,
которая соответствует собственному перемещению связи, может
быть в общем случае и не равна нулю. Точно так же в случае
движения по идеальной абсолютно гладкой кривой реакция
будет нормальна к кривой и работа реакции на возможном пе-
перемещении будет равна нулю. Если же поверхности или кривые
не идеально гладки, то работа реакций не будет равна нулю.
Аналогичное заключение относится к твердому телу, скользя-
скользящему по плоскости. Если поверхности соприкасающихся тел
идеально отполированы, реакция будет направлена по общей
нормали к ним; при этом работа реакции на с^юбом возможном
перемещении будет равна нулю.
Если абсолютно твердое тело катится по другому абсолютно
твердому телу и поверхности их шероховаты, причем качение
не сопровождается ни скольжением, ни деформацией катящихся
поверхностей (трение качения отсутствует), то хотя тела и ше-
шероховаты и сила трения не равна нулю, все же работа реакции
на любом возможном перемещении будет равна нулю, так как
реакция приложена в той точке тела, которая лежит в данный
момент на мгновенной оси, а перемещение этой точки есть
бесконечно малая более высокого порядка, чем перемещения
других точек тела. В этом случае можно с точностью до малых

ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
величин высшего порядка принять работу реакций на любом
возможном перемещении равной нулю.
В действительности не существует ни абсолютно гладких, ни
абсолютно твердых тел, так что работа реакций на любом
возможном перемещении отлична от нуля, но, с другой стороны,
во многих практических случаях (хорошо отполированные и
смазанные поверхности, колеса из хорошо закаленной стали
и т. п.) работа сил трения оказывается настолько малой по
сравнению с работой других приложенных сил, что в первом
приближении можно пренебречь работой сил трения и говорить
о «практически» гладких поверхностях.
Если точки М\ и М2 (рис. 355) связаны жестким стержнем,
то возможные перемещения 8г\ и Ьг2 точек приложения реакций
iVj и N2 не равны нулю и не перпендикулярны к направлению
реакций, как это имело место в ранее рассмотренных случаях;
при этом работы отдельных реакций на возможных перемеще-
перемещениях точек приложения не равны нулю, но сумма работ этих
реакций на любом возможном перемещении стержня все же
равна нулю, так как реакции одинаковы по величине, но про-
противоположны по направлению, а проекции возможных переме-
перемещений на направление стержня равны между собой (§ 55). Это
соображение позволяет считать равной нулю сумму работ сил
взаимодействия точек в абсолютно твердом теле, так как точки
его можно представить себе связанными недеформируемыми
стержнями.
Перечисленные случаи равенства нулю суммы работ реак-
реакций связей не единственны. Степень совершенства конструкции
машины характеризуется малостью потерь мощности, затрачи-
затрачиваемой на преодоление вредных сопротивлений (трения частей
машины, внутренней вязкости металла и материала, проявляю-
проявляющейся при деформации деталей, и т. д.), по сравнению с мощ-
мощностью основного двигателя, приводящего машину в движение.
Эти потери обусловлены работой реакции связей, определяю-
определяющих конструкцию машины, и при расчете машины в первом
приближении могут быть опущены.
Тот факт, что на практике постоянно приходилось встре-
встречаться со связями, сумма работ которых на любом возможном
перемещении системы может быть в допустимом приближении
принята равной нулю, привел к установлению важной механи-
механической абстракции идеальных связей.
Идеальными связями называют такие связи, сумма элемен-
элементарных работ реакций которых на любом возможном перемеще-
перемещении системы равна нулю.
Обозначим через Л^ равнодействующую реакций идеальных
связей, приложенных к точке Mi системы, и через бг/ вектор воз-
возможного перемещения этой точки. Тогда условие идеальности

§ 144. ПРИНЦИП ОСВОБОЖДАЕМОСТИ. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ 317
связей будет, по предыдущему, заключаться в равенстве нулю
элементарной работы 6W* реакций связей на возможном пере-
перемещении системы
6ЯГ=?лГг6г, = 0, C5)
или, в проекциях на оси декартовых координат,
6Г* = t (Nix 6xt + Niy byt + Niz bzt) = 0. C6)
Пусть положение несвободной системы, подчиненной как
голономным, так и неголономным связям, определяется при по-
помощи г обобщенных координат qu Яг, .. ¦, <7о в общем случае
зависящих друг от друга, согласно s уравнениям голономных
связей B8). Тогда, составляя по B) вариации хи yit zu
г г г -
6^=Zir6^ б^=Еж^ ^=Zw6^ C7)
подставляя эти выражения проекций возможных перемещений
в C6) и меняя порядок суммирования, получаем
^ж+^ж+^1:I^=0- C8)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, обозначим через QJ
и назовем обобщенной реакцией. При этом условие идеальности
связей примет вид
Zq;4- = 0, C9)
где
Предположим, что при выборе обобщенных координат все
голономные связи были учтаны, так что координаты qi, 92, ...
..., qr независимы, и что неголономные связи отсутствуют.
Тогда обобщенные возможные перемещения 6<7ь 6^2, ..., 8qr
будут также независимы и, следовательно, произвольны, а число
их будет равно числу степеней свободы (г = k).
Из равенства C9) при произвольности величин 8q/ выте-
вытекает, что
Q; = 0 (/=1, 2, ..., k). D1)

318 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Следовательно, если несвободная система подчинена идеальным
голономным связям, то все обобщенные реакции, соответствую-
соответствующие независимым возможным перемещениям системы, равны
нулю.
Предположим теперь, что мы имеем дело с общим случаем,
когда при выборе обобщенных координат были удовлетворены
только некоторые голономные связи. При этом обобщенные ко-
координаты qu 92, ..., qr (r > k) зависимы, а обобщенные пере-
перемещения 6<7/ удовлетворяют системе условий C0). Умножив
каждое из условий C0) на некоторый пока неопределенный
множитель (—%а) и сложив результаты с равенствами C9), по-
получим
/ а=1
Подчиним пока еще неопределенные множители Ха, число
которых равно s, условиям обращения в нуль выражений в ка-
каких-нибудь 5 круглых скобках в уравнении D2). После этого
левая часть уравнения D1) будет включать k = r — 5 слагае-
слагаемых, каждое из которых состоит из двух множителей: 1) выра-
выражения в круглой скобке и 2) величины 6<7/, входящей в число
оставшихся k = г — s произвольных возможных перемещений
(k — число степеней свободы). Но сумма произведений некото-
некоторых выражений на произвольные величины может быть равна
нулю только в том случае, когда все эти выражения по отдель-
отдельности равны нулю. Таким образом, приходим к заключению, что
оставшиеся k = г — s выражений в круглых скобках в равенстве
D2) также равны нулю.
Итак, условия идеальности связей в рассматриваемом общем
случае приводят к системе г соотношений
^1 (/-1.2,..., г). D3)
а=1 ^
Полученные равенства выражают обобщенные реакции через
множители %а, называемые множителями связей. Каждый из
множителей Ха характеризует реакцию соответствующей ему по
номеру голономной связи из числа не использованных при уста-
установлении обобщенных координат.
С другой стороны, обобщенные реакции Q) как коэффи-
коэффициенты при 6<7/ в формуле C8) элементарной работы 61F* реак-
реакции связей выражаются через эти реакции. Таким образом, ра-
равенства D3) могут служить для определения зависимости между
реакциями связей и множителями связей (см. следующий па-
параграф).

§ 145. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 319
Описанный выше процесс перехода от равенств C9) и C0)
к равенству D2) с последующим выводом системы уравнений
D3) представляет собой пример применения общего метода
неопределенных множителей. Метод этот, предложенный Ла-
гранжем в его «Аналитической механике», получил широкое рас-
распространение в математическом анализе и механике.
§ 145. Принцип возможных перемещений
В статике твердого тела (отдел первый) были выведены
уравнения равновесия твердого тела, заключающиеся в равен-
равенстве нулю сумм проекций приложенных к телу сил на оси коор-
координат и сумм моментов этих сил относительно тех же осей,
При решении задач статики реакции связей не выделялись из
общего числа приложенных к телу сил, что соответствовало
применению принципа освобождаемости.
Для изучения условий равновесия сложных несвободных си-
систем, состоящих из большого числа тел, подчиненных голоном-
ным связям, изложенный в статике твердого тела метод стано-
становится непригодным. Статика несвободных систем основывается
на принципе возможных перемещений, использующем, как по-
показывает само наименование принципа, представления о воз-
возможных перемещениях системы. В этом заключается отличие
излагаемого в настоящем отделе метода от методов статики
твердого тела, имевших, по существу, чисто геометрический
характер.
Принцип возможных перемещений формулиру-
формулируется так:
Необходимое и достаточное условие равновесия системы,
подчиненной стационарным идеальным связям, заключается в
равенстве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на
любом возможном перемещении системы из рассматриваемого
положения равновесия.
Обозначим через Ft равнодействующую задаваемых сил, при-
приложенных к какой-нибудь точке Mi системы, через brt — воз-
возможное перемещение этой точки и через 8W — сумму элемен-
элементарных работ задаваемых сил на возможном перемещении си-
системы. Тогда аналитическое выражение принципа возможных
перемещений будет иметь одну из следующих трех форм:
= LFfbri = O, D4)
п
= .? (Flx Ьх{ + Fiy byi + Flz bzt) = 0, D5)
П
- Yj Ft 6si cos ai = 0; D6)

320 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИ6ТЕМЫ
в последнем равенстве 8sf- — длина перемещения бг*, щ — угол
между силой Ft и перемещением 8г*.
Чтобы доказать необходимость принципа, предположим, что
несвободная система, подчиненная нестационарным связям, на-
находится в положении равновесия. Тогда каждая ее точка нахо-
находится в равновесии и по принципу освобождаемости равнодейст-
равнодействующая заданных сил Ft и реакций связи iV/, приложенная к
какой-либо точке Mi, должна быть равна нулю. Равна нулю
будет и работа этой равнодействующей, так что
ИЛИ
но вторая сумма равна нулю по условию идеальности связей;
следовательно, необходимость принципа доказана.
Для доказательства достаточности принципа, т. е. существо-
существования равновесия при выполнении условия D4), рассуждение
ведется от обратного. Предположим, что условие D4) выпол-
выполнено, а система в рассматриваемом положении все же не нахо-
находится в равновесии. Тогда система (если в начальный момент
считать ее покоящейся) под действием задаваемых сил и реак-
реакций связи придет в движение и за малый промежуток времени
совершит некоторое действительное перемещение, в случае ста-
стационарных связей входящее в число возможных. Так как пере-
перемещения отдельных точек системы из состояния покоя будут
направлены по равнодействующей сил Ft и iV/, то при этом будет
совершена положительная работа
? (F, + Nt) • Ьп > 0.
Разбивая на две суммы, получаем
но вторая сумма по условию идеальности связей равна нулю,
следовательно,
п
что противоречит принятому предположению D4). Таким обра-
образом, доказана достаточность принципа.

§ 145. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 321
Если задаваемые^ силы Ft консервативны, т. е. существует
потенциальная энергия U = U(xi, yu Z\> ..., хп, уп, zn), то по
§ 128
п
Pi' brt = У (Fix 6Xi + Fty by, + Fiz te4) =
при этом выражение принципа возможных перемещений D3)
приведется к равенству
6П = 0, D7)
выражающему необходимое условие экстремальности потенци-
потенциальной энергии в положении равновесия системы. Следова-
Следовательно, из принципа возможных перемещений вытекает, что
необходимые и достаточные условия равновесия несвободной
системы с идеальными связями под действием консервативных
задаваемых сил совпадают с необходимым (но не достаточным)
условием экстремума потенциальной энергии.
Составим выражение принципа возможных перемещений в
обобщенных координатах q\, q2, ..., gv, число которых, вообще
говоря, больше числа k степеней свободы системы. Подставляя
в D5) значения бх/, бу*-, бг/, учитывая равенство C7) и меняя
порядок суммирования, получаем
0, D8)
где Q/ представляет собой выражение
v-л / дх, ду. dz, \ у-\ дг,
Qi = Z ('"I*; + F'y т^+F^) = Z F< • тф
называемое обобщенной силой.
При вычислении обобщенных сил Q/ не рекомендуется поль-
пользоваться формулой D9); проще непосредственно составить эле-
элементарную работу 8W задаваемых сил на возможном пере-
перемещении системы, выражая ее через вариации обобщенных
координат 6*7/. Коэффициенты при соответствующих б^/ в полу-
полученном выражении элементарной работы 8W и будут, согласно
D8), обобщенными силами Q/.
Если задаваемые силы консервативны, то, рассматривая по-
потенциальную энергию П как сложную функцию обобщенных
И Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

322 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
координат <//, по D9) получаем
»п dxt аи а^ dn^md
(/=1, 2, ..., г).
Выразив предварительно потенциальную энергию в обобщенных
координатах, дифференцированием по координатам найдем
обобщенные силы, соответствующие этим координатам.
Этим же путем найдем и обобщенные реакции Q/, составляя
выражение элементарной работы 8W* реакций связей на воз-
возможном перемещении и пользуясь тем, что, согласно C9), коэф-
коэффициенты при вариациях б^/ обобщенных координат в выраже-
выражении SW* равны обобщенным реакциям Q/.
Если обобщенные координаты выбраны независимыми, т. е.
все уравнения голономных связей удовлетворены, то обобщен-
обобщенные возможные перемещения 6q} в числе &, равном числу сте-
степеней свободы, будут произвольны. Тогда из равенства D8)
следует, что все коэффициенты Q/ при произвольных величинах
6*7/ должны по отдельности быть равны нулю:
Qy = 0 (/=1, 2, ..., k). E1)
Итак, необходимое и достаточное условие равновесия несво-
несвободной системы с голономными идеальными связями заключа-
заключается в равенстве нулю всех соответствующих независимым обоб-
обобщенным координатам обобщенных сил в рассматриваемом по-
положении равновесия системы.
Полагая в этом случае, что потенциальная энергия П зада-
задаваемых сил также выражена в независимых обобщенных коор-
координатах, будем иметь по E0) и E1) условия равновесия си-
системы в виде
|^ = 0 (/=1,2, ...,*). E2)
Эти равенства, так же как и D7), выражают необходимые усло-
условия экстремума потенциальной энергии в положении равновесия
системы.
Обратимся, наконец, к общему случаю обобщенных коорди-
координат qu Цъ ..., Яг (/*>?), вариации которых подчинены усло-
условиям C0). Применим, как и в предыдущем параграфе, метод
множителей к совокупности уравнений D8) и C0). Умножим
каждое из равенств C0) на ).а, после чего сложим все эти ра-
равенства с D8). Меняя порядок суммирования, получаем
<53>

§ 145. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 323
Используя произвол в выборе s множителей ка, подчиним
их условиям обращения в нуль каких-нибудь выражений в 5
круглых скобках из общего числ^ г входящих в левую часть
E3) скобок. Тогда выражения в оставшихся k = г — 5 скобках
также должны обратиться в нуль, как коэффициенты при про-
произвольных k вариациях б^/ (k — число степеней свободы) в рав-
равной нулю сумме произведений этих коэффициентов на 6#/. Итак,
все выражения, стоящие в круглых скобках в левой части E3),
равны нулю, и мы приходим к следующим общим условиям
равновесия несвободной системы, подчиненной голономным свя-
связям:
s
Е«4^ = 0 (/=1,2,...,/-). ¦ E4)
Здесь по предыдущему обобщенные силы Q/, так же как Фа,
являются заданными функциями обобщенных координат q\>
q2, ..., qr> Замечая, что 6W + SW7* = 0 и поэтому, согласно C9)
и D8), Q/ = — Q/ (/=1, 2, ..., г), убеждаемся в тождествен*
ности уравнений D3) и E4), а следовательно, и в тождествен-
тождественности величин к\, ..., ks с множителями связей, введенными в
предыдущем параграфе. Система уравнений E4) должна слу-
служить для нахождения координат q°v q\, ..., q°r в равновесных
положениях несвободной системы и множителей А,а (а=1,
2, ..., s), определяющих обобщенные реакции. Имеем г урав-
уравнений cr + s неизвестными:
Присоединяя к E4) уравнения связей B9), которые в рассма-
рассматриваемом случае равновесия должны быть стационарны, будем
иметь наряду с E4) еще следующую систему уравнений отно-
относительно <7°, q% . . ., q°r:
Фа« Я% ..., <7°г) = 0 (а=1, 2, ..., s). E5)
В этом случае E4) и E5) представляют собой систему г + s
уравнений с r + s неизвестными: q\y q\y ..., q°r lv Я2, ..., Xs.
Исключив из s уравнений
Z(^7H = 0 </=l, 2,..., s) E6)
11*

324 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
s неизвестных множителей М, ta, ...» Я*, подставим их значе-
значения в остающиеся г уравнений:
из этих г уравнений можно найти г неизвестных координат
q°{9 q\, ..., q% определяющих равновесное положение системы.
Если задаваемые силы консервативны, то, согласно E0),
условия равновесия системы E4) будут
-±-(-П+^КФа) = 0 (/=1,2 г) E7)
и совпадут с необходимыми условиями экстремума функции ко-
координат
Задача об определении экстремума этой функции эквива-
эквивалентна задаче нахождения относительного экстремума функции
—П при наличии добавочных условий
Фа(<7ь Чъ •••» Чк) = О (а=1, 2, ..., s),
представляющих собой уравнения голономных стационарных
связей.
§ 146. Применения принципа возможных перемещений
Пользуясь принципом возможных перемещений, выведем
условия равновесия свободного твердого тела под действием
произвольной заданной совокупности сил.
Заметим прежде всего, что по известной формуле кинема-
кинематики бесконечно малое перемещение бг,- произвольной точки Mi
твердого тела с вектор-радиусом г\ относительно выбранного в
теле полюса О' с вектор-радиусом г0 будет определяться выра-
выражением
где в — соответствующий вектор бесконечно малого поворота
тела.
Пусть в точках Mi с вектор-радиусами rt приложены зада-
задаваемые силы Fi\ тогда по принципу возможных перемещений

§ 146. ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 325
будем иметь условие равновесия
или по предыдущему равенству
Пользуясь одинаковостью векторов бг0 и в для всех точек
тела и известным свойством скалярно-векторного произведе-
произведения, перепишем последнее равенство в виде
В силу произвольности векторов бг0 и в для свободного твер-
твердого тела получим
= 0. E8)
ОТ ' f-1 "
Это — уже известные нам из статики условия равенства нулю
главного вектора и главного момента приложенных сил.
При выводе предполагалось, что твердое тело свободно, т. е.
не подчинено связям. Используя принцип освобождаемости
(§ 144), обобщим условия E8) и на случай несвободного твер-
твердого тела. Для этого достаточно, отбросив связи, принять тело
за свободное, но включить в N
число задаваемых сил реакции \1 f г
связей (реакции опор). | N ffi I
Приведенный только что
вывод условий равновесия
твердого тела E8) отличает-
отличается от изложенного в первом
отделе геометрического выво-
вывода Пуансо использованием Рис- 357.
кинематического представле-
представления о перемещениях твердого тела и динамического понятия ра-
работы сил. Подчеркнем особенности этих двух различных под-
подходов на простом примере определения реакций балки, лежащей
на двух опорах (рис. 357).
Применяя принцип освобождаемости, отбросим правую
опору, приложив к балке соответствующую реакцию N2; тогд^
балка приобретет одну степень свободы —вращение около
оставшейся опоры Оь Обозначая возможные перемещения то-
точек приложения сил Pi и Р2 через ei и е2, а перемещение точки

326 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
приложения реакции N2 через е и применяя принцип возмож-
возможных перемещений, будем иметь
Обозначая через бф угол бесконечно малого поворота балки
вокруг опоры Oi и замечая, что возможные перемещения бу-
будут равны (/ — расстояние между опорами, 1\ и 12— соответ-
соответственно расстояния от опоры О\ до точек приложения сил Pi
и Р2)
8 = I бф, 8i = l\ бф, 82 = /2 бф,
подставим эти значения перемещений в предыдущее равенство
и после сокращения обеих частей на бф получим
Аналогичным путем, отбрасывая левую опору, составим урав-
уравнение для определения реакции N\. В полученных таким обра-
образом равенствах нетрудно узнать уравнения моментов относи-
относительно центров О\ и О2. В статике эти уравнения были выве-
выведены на основании теоремы Вариньона, не заключающей в
себе кинематического понятия поворота тела.
Представим себе машину в виде следующей упрощенной
схемы. К некоторому ее звену, которое назовем «приемником»,
приложена сила Р или вращающий момент М от двигателя;
таковы, например, поршень в цилиндре паровой машины,
основной вал станка, приводимый в движение электромото-
электромотором, рукоятка ручного пресса и т. п. К «рабочему инструмен-
инструменту» машины — резцу, сверлу, и т. п. — приложена сила Q или
момент Ми «полезного сопротивления», производящие полез-
полезную работу*). Между приемником и рабочим инструментом
располагается кинематическая цепь звеньев, служащих для
передачи рабочему инструменту энергии, сообщаемой прием-
приемнику. Эта цепь звеньев образует «передаточный- механизм».
В передаточном механизме действуют реакции связей, работа
которых на возможном перемещении машины сводится главным
образом к сравнительно малым потерям на вредные сопротив-
сопротивления; элементарная работа прочих задаваемых сил (например,
силы тяжести) в передаточном механизме или мала по срав-
сравнению с соответствующими работами двигательной силы и по-
полезного сопротивления, или может быть легко учтена.
Остановимся сначала на применении принципа возможных
перемещений к «идеальным» машинам, т. е. таким, в которых
работой вредных сопротивлений и задаваемых сил в передаточ-
передаточном механизме можно пренебречь.
*) Индекс и соответствует французскому слову «utile» — «полезный».

§ 146. ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 327
Обозначим через Р и Q двигательную силу и полезное со-
сопротивление, а через бр и 6<7— возможные перемещения точек
их приложения. Элементарные работы этих сил на возможных
перемещениях будут соответственно обозначаться так*):
6fl7m = P.6p, 6Wu = Q-6q. E9)
Если машина идеальна, т. е. можно пренебречь элементарной
работой вредных сопротивлений и элементарной работой зада-
задаваемых сил в передаточном механизме, то, согласно принципу
возможных перемещений, уравнение равновесия машины в дан-
данном положении будет
bW m + dWu = P-6p + Q-6q = 0. F0)
Пусть Р' > 0 представляет собой проекцию двигательной
силы Р на направление перемещения бр, a Q' — абсолютное
значение проекции полезного сопротивления Q на направление
&q\ тогда будем иметь
6Wm = P'6p, Wu=-Q'6q, F1)
причем знак минус во втором равенстве показывает, что полез-
полезное сопротивление Q всегда направлено в сторону, противопо-
противоположную возможному перемещению точки ее приложения или,
во всяком случае, образует с ним тупой угол. Уравнение равно-
равновесия F0) приводится к виду
или, после отнесения обеих его частей к некоторому промежутку
времени б^, к виду
Р>_
Q'
Согласно этому равенству приложенные к машине двига-
двигательная сила и полезное сопротивление (точнее, проекции на
направления перемещения точек их приложения) обратно про-
пропорциональны возможным скоростям точек приложения сил.
В этом заключается известное «золотое правило механики»,
сформулированное впервые Галилеем в словах: «что выигры-
выигрывается в '<силе, теряется в скорости».
Известно, что простейшие машины (рычаг, наклонная пло-
плоскость, домкрат, винтовой пресс и др.) позволяют малой двига-
двигательной силой преодолеть большое полезное сопротивление.
атот выигрыш в силе получается за счет потери в скорости или
в перемещении.
Чтобы учесть значение элементарной рабрты вредных со-
сопротивлений, которую обозначим через —8Wf (знак минус ука-
*) Индекс m соответствует французскому слову «moteur» — «движущий».

328
ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
зывает, что она всегда отрицательна)*), отнесем вредные со-
сопротивления к задаваемым силам и снова применим к машине
принцип возможных перемещений. Уравнение равновесия ма-
машины будет
W6W6W = Q. F3)
Отношение полезной работы bWu к затраченной bWm назы-
называют коэффициентом полезного действия т), так что
Л = -щт- - F4)
Из уравнения F3) можно заключить, что
F5)
Из этого равенства следует, что машины должны иметь
коэффициент полезного действия, меньший единицы (меньше
100%), причем чем меньше отноше-
отношение элементарной работы вредных
сопротивлений к элементарной рабо-
работе двигательной силы, тем машина
ближе к идеальной.
Приведенные формулы выражают
соотношение элементарных работ дви-
двигательной силы, полезного и вредно-
вредного сопротивлений в предположении,
что машина находится в равнове-
равновесии.
Разберем пример расчета равнове-
равновесия простейшей машины — винтового
пресса, схематически изображенного
на рис. 358. К рукоятке пресса прило-
приложена двигательная пара с моментом
М = Ph (h — плечо пары), а к пере-
перемещающейся платформе — реакция Q сжимаемого прессом тела,
играющая в данном случае роль полезного сопротивления.
Предположим сначала, что пресс — идеальная машина. Тогда,
согласно F0), напишем уравнение работ
М 6ф — Q Ьг = 0,
где бф — бесконечно малый угол поворота винта, &z-=rigaby —
соответствующее этому повороту бесконечно малое расстояние,.
на которое опустится платформа, причем г — средний радиус
винтовой нарезки, а а — угол наклона нарезки. Подставляя в
*) Индекс f соответствует французскому слову «frottement» — «трение».

§ 146. ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
329
предыдущее равенство значение 6г и сокращая обе части на бф,
получаем
MPh Qt F6)
Из этого равенства видно, что благодаря малым значениям от-
отношения r/h и угла а можно, прикладывая небольшие силы Р,
получать значительные сжимающие усилия Q. Вместе с тем
равенство F6) подтверждает «золотое правило», так как отно-
отношение riga/h равно отношению шага винта к удвоенной длине
окружности, описываемой концом рукоятки. Следовательно, для
получения значительного выигрыша в величине отношения сил
Q/P надо брать либо меньший шаг, что приведет к необходи-
необходимости большего числа поворотов рукоятки, либо большую длину
окружности, описываемую руками, т. е. увеличивать путь точек
приложения двигательных сил.
Чтобы учесть влияние вредных сопротивлений — в данном
случае трения в винтовой нарезке (трением в направляющих
пазах можно пренебречь), введем дополнительно возможное пе-
перемещение 8s винта по нарезке. Предполагая нарезку прямо-
прямоугольной, как это обычно делают в
ходовых винтах, и считая, что при ра-
работе пресса винт прижимается своей
верхней плоскостью к нарезке, будем
иметь расположение сил, указанное
«а рис. 359. Уравнение работ примет
вид
М 6ф — Q 8z — ? F 8s = 0,
где знак суммы показывает, что ра-
работу сил трения F — fN следует рас-
распространить на всю площадь соприкосновения винта с нарезкой.
Для нахождения X N проще всего использовать условие
равенства нулю суммы проекций приложенных сил на верти-
вертикальную ось:
Q — Z N cos a + ? fN sin а = 0;
отсюда найдем
^ Q
cos а — / sin а '
я, следовательно, получим
М бф =
fQ
cos а — / sin а
Соотношения между возможными перемещениями видны из
треугольника перемещений, построенного на рис. 359:
гбф
Ьг = г бф tg a, 6s:
cos а

330 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получаем
ал п sin а + / cos а
или, если еще ввести угол трения г|) = arctg f,
+ t|)). F8)
Сравнивая эту формулу с полученным ранее соотношением
для идеального винта F6), мы видим, что при малых а боль-
большого выигрыша в моменте не получается. Интересно отметить,,
что при a = я/2 — -ф, чтобы привести пресс в движение, к ру-
рукоятке необходимо приложить бесконечный момент: под дейст-
действием приложенного момента винт будет все сильнее прижи-
прижиматься к нарезке, но с места не сдвинется.
Коэффициент полезного действия определяется по формуле
F4)
_ Q6z _ Qrtga _ tga
ц ~ Жбф" ~ M ~ tg (a + *) "
По своему назначению винтовой пресс должен быть само-
самотормозящимся. Это значит, что, каково бы ни было полезное
сопротивление Q при снятии с рукоятки крутящей пары (М=0),
пресс не должен раскручиваться. Переходя к рассмотрению вы-
выполнимости этого условия, применим равенство F8) в предпо-
предположении, что направление вращения винта изменилось на про-
противоположное, что потребует изменения знака угла трения ф
в формуле F8). Будем иметь предельное условие самотормо-
самоторможения винта:
tg(a —1|)) = 0, т. е. a = i|).
Очевидно, что при любом a < я|? винт будет самотормозя-
самотормозящимся. Такого рода самотормозящиеся винтовые прессы долж-
должны иметь сравнительно низкие коэффициенты полезного дейст-
действия. В самом деле, из условия a < "ф, согласно F9), найдем
и, следовательно, во всяком случае, ц < г/2. Таково общее
свойство машин с самоторможением.
Пример 125. На рис. 360 показана схема конструкции рычажного
пресса. Предполагая, что тяга ВС горизонтальна, определить отношение сжи-
сжимающей тело силы S к приложенной нормально к рукоятке в точке А силе
Р в зависимости от углов a, G и ф, если отношение О\А к О\В равно п. Раз-
Размеры указаны на рисунке.
Уравнение принципа возможных перемещений дает
Р 6а — 5 6d = 0;

§ 146. ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
331
задача сводится к определению зависимости между перемещениями ha и 6d.
Для этого вспомним, что проекции возможных перемещений концов жесткого
стержня на направление самого стержня должны быть равны между собой.
Таким образом, 6d и 6с связаны ра-
равенством
6с cos (90° — 9 — я|)) = 6d cos я|э,
или 6с sin @ + г|?) = 6d cos ty.
При помощи той же теоремы свяжем
Ъс и 6Ь:
6с cos 9 = 6b cos a,
я, кроме того, заметим, что
оа = _. ^ 00 = п оо.
0\В
Сравнивая эти соотношения с пре-
предыдущим, находим
ы- - cose
cos a
cos 9
cos г|)
-6d.
Рис. 360.
cos а sin (9 + i|))
Определив отношение перемещений 6а и 6d, получим по уравнению работ
нужное отношение усилий:
1
5 __ 6а cos 9 cos "ф п
Р ~~ 6d ~ П cos a sin (9 + -ф) e cos а tg 9 + tg
G0)
Очевидно, что выигрыш в усилии S будет тем больше, чем меньше углы 9 и
л|э. При желании последнюю формулу можно выразить с помощью одного угла
(механизм имеет, очевидно, одну степень свободы), если воспользоваться
очевидными соотношениями (гх = 0\В)
sin г|э = -у sin 9, n sin a + r sin 9 = ВС — 00\ = const.
Проиллюстрируем на этом примере метод множителей. Примем за обоб-
обобщенные координаты а, 0 и г|), а предыдущие два равенства — за уравнения
связей:
>! = / sin i[) — г sin 9 = 0, Ф2 = п sin a + г sin 9 = const
G1)
Составим выражение элементарной работы задаваемых сил Р и 5 на воз-
возможном перемещении пресса:
bW = Р • OiA 6а - S 6d = Рпп 6а - S6 (г cos 9 + / cos ф) =
= пРп 6а + Sr sin 9 69 + SI sin ip 6-ф.
Обозначим обобщенные силы такими же индексами, что и координаты, к ко-
которым они относятся. Тогда, вспоминая, что обобщенные силы равны коэф-
коэффициентам при соответствующих вариациях координат в выражении элемен-
элементарной работы, получим
Qa = nPru Qe
sin 9,
SI sin ф.

332 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Условия равновесия E4) в настоящем случае будут иметь вид
00,
qg + ^ -^- + Яз-^г- = Sr sin 6 - Xircos 6 + Ur cos G = 0, G2)
u\j аи
w ™ s/ sin * + *"; cos
Первое и третье из этих равенств дают
Я. Stg*. X,. -^; G3>
подставив во второе равенство эти значения, а также выражения для QOr
dd>i/d9 и дФ2/д9, снова получим соотношение G0). Усилия в стержнях мо-
могут быть легко выражены через множители связей Х\ и Яг. Составим выраже-
выражения обобщенных реакций Qa, Q0, Q^, соответствующих выбранным обобщен-
обобщенным координатам. Для этого по тому же правилу, что и для обобщенных за-
задаваемых сил, вычислим элементарную работу 6W* реакций на возможном
перемещении системы:
6\F* = — Nbc &b cos a + Nbc 6c cos 9 — Ncd 6c sin (i|? + 9) + Ncd 6d cos a|) =
= — NbCr\ cos a 6a — Nbcr cos 9 60 + Ncd sin (\|) + 9) r 69 +
+ NC(fi (r cos 9 + / cos \|)) • cos i|? =
e — Nbcr\ cos a 6a + (—• Nbcr cos 0 + Ncdr cos 9 sin -ф) 60 — Ncdl sin -ф cos -ф 6a|?,
Коэффициенты при 6a, 60 и бф в этом выражении определят искомые обоб-
обобщенные реакции:
Q* » — Л^Ьсг cos 9 + ЛГ^^г cos G sin -ф, G4)
Сопоставление G4) и G2) с D3) и E4) дает
%2Г\ cos a а» — Nbcfi cos a,
— %\r cos 0 + Я-2Г cos 9 = — Nbcr cos 9 + Ncdr cos 9 sin г|),
Я1/ cos a|? = — Л^с^/ sin -ф cos ф.
Из первого и третьего равенств следует
? iVcrf = -i^ = 7|?; G5)
второе равенство выполняется тождественно. Конечно, в этом простом при-
примере реакции можно было определить, рассматривая равновесие узлов В, С
и D.

§ 146 ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
333
Пример 126. Статика кардановой передачи (шарнир Гу-
ка~ Кардана). Устройство кардановой передачи известно из курса кинема-
кинематики (§ 71, пример 72) и схематически показано на рис. 361. Определим зави-
зависимость между моментами Mi на ведущем
валу О{О и М2— на ведомом валу, а также
моменты реакций в шарнирах, соединяю-
соединяющих крестовину АА'ВВ' с вилками О\ААГ и
О^ВВ', и в подшипниках О\ и О2 ведущего и
ведомого валов.
Для установления зависимости между Mi
и Мг применим уравнение принципа возмож-
возможных перемещений
Mi 6ф — М2 бф = О,
G6)
где бф и бг|) — бесконечно малые повороты ве-
ведущего и ведомого валов. Отношение б\|) : бф
представляет собой так называемое переда-
передаточное число, зависимость которого от угла ф
поворота ведущего вала была установлена
в примере 72. Применяя выведенную там
Рис. 361.
формулу, будем иметь
cosa
1 — sin2 a cos2
• бф =
cos a
cos2 a + sin2 a sin2
и, следовательно, по G6)
М2 ==
/ . sin2 а . , \
I cos а Н sin2 ф I.
V cos а т)
G7)
G8)
Для уравновешивания постоянного момента полезного сопротивления
Мг = const необходимо к ведущему валу прикладывать различные для по-
последовательных положений механизма моменты Мь колеблющиеся между
значениями
.. М2 я Зя
M== при Ф = Т'—
Mi min = М2 cos a при ф = 0, л,
так что коэффициент неравномерности момента М] будет равен
Mi тах — Mi m!n
Sin2 СЬ
M2
Чем меньше угол a между валами, тем меньше коэффициент неравномерно-
неравномерности. Первая часть задачи решена; обратимся к расчету реакций.
Обозначим через М± момент сил реакций подшипника ведущего вала, че-
через Мо — момент сил реакций ведомого вала и через М* и (—М*)—мо-
(—М*)—моменты сил реакций в шарнирах, соединяющих крестовину с вилками. По-
Поскольку крестовина находится в равновесии под действием этих двух момен-
моментов, то они отличаются только знаками
Применим метод множителей. Механизм имеет одну степень свободы:
следовательно, между обобщенными координатами ф и ур существует соот-
соотношение. В дифференциальном виде оно представлено уравнением G7); что-
чтобы получить его в конечной форме, надо проинтегрировать это уравнение, что
Даст
tg ф = cos й tg я|>;
G9>

334
ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
при этом начала отсчетов углов ф и \f> выбраны так, чтобы они одновремен-
одновременно обращались в нуль.
Имея в виду дальнейшее, дадим непосрздстЕэнный геометрический вы-
вывод этого соотношения, для чего обратимся к рис. 362. Вертикальная и на-
наклонная окружности единичного радиуса представляют собой траектории
концов перекладин крестовины, полудлины ко-
которых примем равными единице. Начальное
положение крестовины зададим единичными
векторами ао и ЬОу причем будем считать век-
вектор по расположенным в плоскости пересече-
пересечения валов О\О и OOz', отметим еще вспомога-
вспомогательный единичный вектор сОу расположенный
в плоскости наклонной окружности по отно-
отношению к Ьо так же, как расположен в плоско-
плоскости вертикальной окружности вектор Ьо по от-
отношению к «о-
Если ведущий вал повернется на угол
АоОАи равный (р, то ведомый вал повернется
на угол ВоОВи равный 'Ф; при этом век-
векторы ао и Ьо перейдут в новые положения
ai и Ъ\.
Разложив текущие значения векторов п\
и Ь\ по направлениям ао> &о и Со, будем иметь
sin
Рис. 362.
а\ = ао cos ф +
Ь\ = Ьо cos ф + со sin
(80)
но
и перемножив эти выражения скалярно, найдем ,
fli • Ь\ = ао • Ьо cos ф cos ф + ао • со cos ф sin ф +
+ Ьо • Ьо sin ф cos ф + Ьо • Со sin ф sin ф;
ai*6i=0, ао * Ьо = 0, ао • Со = — cos а,
&о * Ьо = 1, Ьо * Со = О,
так что
— cos ф sin ф cos a + sin ф cos ф = О,
откуда непосредственно вытекает G9). Итак, имеем уравнение связи
ф = tg ф — cos a tg ф = 0, (81)
Из уравнения G6) определяем обобщенные силы
и тогда условия равновесия будут
дФ
1 дф
дФ
- М2 +
Исключив ^, получим
COS2 ф
% cos a
cos2 -ф
f cos2 ф
1 cos a cos2 ф
(82)
(83)

§ 146. ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 335
Соотношение это, если исключить \|) при помощи G9), совпадает с G8). Мно-
Множитель Я равен
Я = — Mi cos2 ф. (84)
Составим условие идеальности связей. Обозначим через и и v единичные
векторы направлений осей валов; тогда условие равенства нулю суммы зл>
ментарных работ реакций связей будет
61*7* = А[* ¦ и бф + М* • и бф — М* • v 6ф + JHJ • v б-ф = 0. (85)
Но моменты пар реакций идеальных подшипников перпендикулярны к их осям,
т. е.
М\ • и = О, М*2 • v = 0.
Из (85) при этом следует, что
и по D3) и (84)
М* • и = Я -г— = г— = — Мь (86)
Последнее соотношение показывает, что в настоящем случае множитель Я
пропорционален составляющей момента М* реакций шарниров по оси веду-
ведущего вала. Сам же момент М*, так же как и моменты реакций подшипников
М* и М*2, остается пока неопределенным.
Замечая, что по условию идеальности связей момент М* перпендикулярен
осям шарнирных соединений крестовины с вилками, представим его в виде
M* = M*aiXbl9 (87)
так как вектор й\ X Ь\ имеет единичную длину. Подставляя в (86), находим
величину момента М* как отношение
т =
(ахХЬх)-и cos 9'
где 6 — угол между текущим положением плоскости крестовины А\ОВХ и пло*
скостью вертикального круга Л0ОВ0. Согласно (80) имеем
cos 0 = («1 X bi) • и ~ cos ф cos ф + sin ф sin ф cos a,
или по G9)
cos 8 = cos ф cos -ф A + tg ф tg ф cos а) = cos ф cos ф A + tg2 ф) = ——. (89)
Подставляя это значение cos 0 в (88), получаем
cos г|э
Возвращаясь к (87), в котором а\ и Ьх можно-заменить их выражениями (80)g
а М* — выражением (90), находим
М* = — Mi (и cos2 ф + v sin ф cos ф tg ф — и X v cos2 ф tg -ф),
или по G9)
М* = — Мг (и cos2 ф -Ь v — — и X v sin ф cos ф tg a J. (91)

336 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
При ф = 0, я, ... имеем М* = — Мхи = —Ми т. е. момент реакций равен
по величине и противоположен по направлению задаваемому моменту NL\\ при
ф = л/2, Зл/2, ..., согласно (83), момент пары реакций, приложенной к вилке
ведомого вала, будет равен — М* = (MJcos a)v = M2v, т. е. одинаков по
величине и противоположен по направлению моменту полезного сопротивле-
сопротивления —M2v.
Чтобы вычислить моменты м\ и М*2 реакций подшипников ведущего и ве-
ведомого валов, составим уравнения равновесия вилок
м {+ м* + м\ = о, м2 - м* + м 2 = о
и найдем
М\ = — М1 — М* = — М{ sin ф (и sin ф — v -2HL5L + и X v cos ф tg a J. (92)
Далее имеем
(м2-М{
cos a
+ Мхи X v sin ф cos ф tg а,
или по (91)
М*2 = — Mi cos ф (и cos ф —• v cos а cos ф — и X v sin ф tg а). (93)
Согласно полученным формулам момент Aft обращается в нуль при ф =
= 0, л, ..., а момент М2 — при ф = зх/2, Зя/2, ...
Таким образом, все моменты реакций определены как по величине, так и
по направлению. Легко проверить, что условия ортогональности моментов
М\ М\, М\ соответствующим осям ОЛ{ и ОВи О{О и ОО2 выполняются.
§ 147. Устойчивость равновесия системы. Теорема
Лагранжа —Дирихле. Понятие о теоремах Ляпунова
Определение понятия устойчивости равновесия связано
с рассмотрением тех движений, которые система станет совер-
совершать, будучи выведена из положения равновесия путем сообще-
сообщения ее точкам весьма малых начальных отклонений от положе-
положения равновесия и весьма малых начальных скоростей. Если
после нарушения равновесия система в своем последующем дви-
движении будет весьма мало отклоняться от исследуемого равно-
равновесного положения, то такое положение равновесия назызаетсл
устойчивым.
Будем определять положение системы при помощи незави-
независимых обобщенных координат q\, q2y ..., фг, число которых
равно числу степеней свободы системы.
Условимся вести отсчет обобщенных координат от рассмат-
рассматриваемого положения равновесия, т. е. считать, что этому поло-
положению соответствуют значения обобщенных координат q\, q2, ...
..., qk, равные нулю. Начальные значения обобщенных коорди-
координат п скоростей (в момент t = 0) обозначим соответственно че-

§ 147. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ 337
рез <7/, Я)> а их текущие значения (т. е. значения в любой
момент времени t) — через q\ и сц (/= 1, 2, ..., k). Согласно
данному выше определению исследуемое положение равновесия
устойчиво, если при наперед выбранных положительных доста-
достаточно малых б и 8i можно указать такие зависящие от е и ei
положительные числа г| и т]ь что при
все текущие значения координат q\ и обобщенных скоростей q\
при любом tf как бы велико оно ни было, останутся меньшими
по абсолютной величине, чем е и ег.
Например, нижнее вертикальное положение математического
маятника устойчиво, так как, произвольно задав угол отклоне-
отклонения маятника от вертикали ф = е и угловую скорость ф = вь
мы сможем указать такие не равные одновременно нулю и за-
зависящие от е и ei границы значений для начального угла откло-
отклонения фо и начальной скорости фо, что в последующем движении
маятника |ср| и |ф| при любом t не превзойдут величин 8 и 8i«
Наоборот, вертикальное верхнее положение маятника не-
неустойчиво.
Лагранж установил следующее достаточное условие
устойчивости равновесия голономной системы
с идеальными связями в консервативном сило-
силовом поле:
Если в некотором положении системы, подчиненной идеаль-
идеальным голономным связям и находящейся под действием консер-
консервативных сил, потенциальная энергия имеет минимум, то это
положение равновесия устойчиво.
Точное доказательство этой теоремы дал Лежен Дирихле
A805—1859).
Напомним, что в положении равновесия потенциальная энер-
энергия П удовлетворяет необходимым условиям экстремальности
(§ 145)
|5- = 0 (/=1, 2, ..., k). (94)
Согласно теореме Лагранжа — Дирихле, если этот экстремум
представляет минимум, то положение равновесия устойчиво-
Так, в нижнем вертикальном положении математического маят-
маятника потенциальная энергия имеет минимум по сравнению с ее
значениями в любых других положениях маятника; это положен
ние соответствует устойчивому равновесию маятника.
Не нарушая общности доказательства теоремы, можно, во-пер-
во-первых, как условлено выше, считать все координаты в положении

338 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
равновесия равными нулю; во-вторых, можно принять потен-
потенциальную энергию в положении равновесия также равной нулю,
подбирая соответствующим образом произвольную аддитивную
постоянную, с точностью до которой определяется потенциаль-
потенциальная энергия. Если в положении системы, определяемом значе-
значениями координат @, 0, ..., 0), потенциальная энергия прини-
принимает минимальное свое значение, равное нулю, то по определе-
определению минимума можно вблизи положения равновесия указать
такую область значений координат
I <7/ К е>
что внутри и на границах этой области значения потенциальной
энергии будут положительны; это — так называемая область
минимума функции.
Зафиксируем одну из координат, например q\, на границе
области минимума, положив
<7i = ± в,
а остальным координатам предоставим возможность изменяться
как угодно внутри области минимума или даже достигать гра-
границ ее. Наименьшее значение потенциальной энергии при этом
обозначим через А\. Это число А\ обязательно положительно.
Точно так же зафиксируем вторую координату на границе
области минимума и предоставим другим координатам (в том
числе и первой) изменяться внутри области минимума или
достигать границ ее; соответствующее минимальное значение
потенциальной энергии обозначим через А2 (также положитель-
положительное число). Поступив так же со всеми k обобщенными коорди-
координатами, получим ряд положительных чисел
наименьшее из которых обозначим через А. При таком выборе
числа А условие
П < А (95)
будет обозначать, что ни одна из координат не достигла границ
области минимума, т. е. система находится вблизи равновесного
положения внутри заранее указанных границ.
Выведем систему из исследуемого положения равновесия.
Пусть По — начальное значение потенциальной энергии; по за-
заданному е можно так определить т](е), чтобы при всех |<7°|<
<т](е) имело место неравенство
По < Л, (96)

§ 147. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ 339
для чего, согласно сказанному выше, достаточно выбрать на-
начальное положение системы лежащим внутри области минимума
функции П.
Если система подчинена идеальным стационарным связям, то
в действительном ее движении работа реакций связей равна
нулю. Следовательно, к такого рода движениям применим закон
сохранения механической энергии
и, значит, по условию существенной положительности кинетиче-
кинетической энергии
П < Го + По.
Если По < Л, то всегда можно так подобрать начальные
скорости, чтобы и По + То было меньше Л; для этого достаточно
положить Го меньшим разности А — По, которая по условию
(96) больше нуля. Следовательно, начальные скорости точек
системы можно определить так, чтобы во все время движения
выполнялось условие
П<Л,
а это на основании (95) означает, что система останется в огра-
ограниченной области, произвольно выбранной нами вблизи поло-
положения равновесия, т. е. что исследуемое положение является
положением устойчивого равновесия.
Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об
устойчивости равновесия системы в том ее положении, где по-
потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, по
не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие
неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении
системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для
весьма обширного класса случаев, практически вполне исчер-
исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ля-
Ляпунова A857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может
быть здесь дано; удовольствуемся их формулировкой*).
Заметим сначала, что вблизи положения равновесия системы
(qx = 0, q2 = О, ..., qu = 0) потенциальная энергия П(<7ь #2,
..., qu) может быть разложена в степенной ряд, сходимость
которого в области достаточно малых q\ обеспечена. Принимая
во внимание, что в точке @, 0, ..., 0) потенциальная энергия
принята равной нулю и что по условию экстремума равны нулю
*) См. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.—
М. — Л.: Гостехиздат, 1950; Чет а ев Н. Г. Устойчивость движения. — 3-е
изд. М.: Наука, 1965; Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости дви-
движения. — М.: Наука, 1971.

340 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
все ее первые производные в этой точке, будем иметь следую-
следующее разложение потенциальной энергии:
Л... (97)
Однородный многочлен второй степени (квадратичная фор-
форма) будет знакоопреде ленным, если он сохраняет постоянный
знак при вещественных значениях аргументов, обращаясь в нуль
только при обращении в нуль всех аргументов. Если же этот
многочлен, сохраняя знак, может обращаться в нуль при значе-
значениях аргументов, не равных одновременно нулю, то он назы-
называется знакопостоянным. Так, квадратичная форма
fi(x, */)-*2 + </2
является знакоопрелеленной, тогда как форма
М*. У) = х2
будет положительной знакопостоянной, так как она обращается
в нуль на прямой у = —х, а не только в начале координат.
Известно, что если члены второго порядка, входящие в раз-
разложение (97), образуют знакоопределенную положительную
квадратичную форму, то функция П при достаточно малых зна-
значениях аргументов остается положительной, т. е. имеет в начале
координат минимум. Если же эта квадратичная форма знако-
знакопостоянна и положительна, то суждение о наличии или отсут-
отсутствии минимума П не может быть получено из рассмотрения
членов второго порядка и требует привлечения членов высших
порядков.
Точно так же функция П будет иметь в начале координат
максимум, если члены второго порядка в ее разложении (97)
образуют знакоопределенную отрицательную форму. Если же
эти члены образуют знакопостоянную отрицательную форму, то
суждение о наличии максимума не может быть высказано без
привлечения к рассмотрению членов высших порядков.
В том случае, когда квадратичная форма в разложении (97)
может принимать как положительные, так и отрицательные зна-
значения (является знакопеременной), функция П не имеет в на-
начале координат ни максимума, ни минимума.
Приводим формулировку теорем Ляпунова.

§ 147. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ 341
Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво,
если отсутствие минимума потенциальной энергии узнается по
членам второго порядка в разложении потенциальной энергии
*без необходимости рассматривать члены высших порядков.
Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво,
если потенциальная энергия имеет максимум и наличие этого
максимума может быть установлено из рассмотрения члена з-
наименее высокого порядка, которые действительно имеются
в разложении потенциальной энергии в степенной ряд.
Рассмотрим теперь частный случай, когда на систему точек
Mi (/= 1, 2, ..., п) действуют постоянные по величине и оди-
одинаковые по направлению силы Fi с отличным от нуля главным
вектором; тогда принимая общее направление этих сил за ось
Oz, будем иметь следующее выражение потенциальной энергии:
где Zc — координата центра параллельных сил fY
На основании принципа возможных перемещений, выражен-
выраженного в форме D7), убедимся, что необходимое и достаточное
условие равновесия такого рода системы совпадает с необходи-
необходимым условием экстремальности координаты Zc\ действительно,
гс = 0, или 6zc = 0.
В частности, если за силы F/ принять силы тяжести, пропор-
пропорциональные массам точек, то последнее условие приведется
к необходимому условию экстремальности высоты центра масс
системы над горизонтальной плоскостью.
Теорема Лагранжа — Дирихле приводит в этом случае к сле-
следующему положению: если центр масс системы тяжелых точек
занимает наинизшее из возможных смежных положений, то это
положение равновесия системы будет устойчивым. Торричелли
A608—1647) в исследованиях по статике твердых и жидких
тел считал этот принцип основным и самоочевидным. Лагранж
в «Аналитической механике» использовал принцип Торричелли
для доказательства принципа возможных перемещений. Не
останавливаясь на подробном изложении этого классического
доказательства, приведем следующее простое рассуждение. За-
Заменим приложенные к системе силы натяжениями переброшен-
переброшенных через «идеальные» блоки нитей, к концам которых приве-
привешены грузы, соответственно равные по величине приложенным
к системам силам. Рассматривая полученную таким образом
новую систему как эквивалентную предыдущей и принимая:

342
ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
принцип Торричелли, составим условие равновесия системы
в виде (рис. 363)
2
Если /•*== ОЬМЬ — вектор-радиус точки Mi относительно не-
неподвижной оси Oi блока, размеры которого пренебрежимо
малы, а бг/— возможное переме-
Oi щение точки Mi системы, то
= 6st cos {Fh 6rt) = 6st cos ah
где 6si = |6rt|, 8n = 6\ri\. При
^ этом предыдущее уравнение при-
|~„Т__1 нимает вид
п
Рис. 363. ? Fi b$i cos at = О,
тождественный с уравнением принципа возможных перемеще-
перемещений D6).
Приведенное доказательство отличается от классического
доказательства Лагранжа тем, что в последнем вместо блоков
используется система полиспастов, вследствие
чего вопрос сводится к рассмотрению равно-
равновесия лишь одного груза.
Пример 127. Груз М веса G подвешен на стерж-
стержне ОМ, свободно проходящем сквозь вращающийся во-
вокруг оси О цилиндр и шарнирно соединенном в точке
А с коромыслом ЛО\, вращающимся около неподвиж-
неподвижного центра Oj (размеры указаны на рисунке). Исследо-
Исследовать устойчивость вертикального положения равно-
равновесия маятника (рис. 364).
Составим выражение потенциальной энергии систе-
системы, пренебрегая весом стержней по сравнению с весом
груза М:
Рис. 364.
где ордината ус центра тяжести груза равна
ип = h — г cos ф + /cos i|?,
причем углы ф и \|) (система имеет одну степень свободы) связаны соотно-
соотношением
sin (ф + Ф) sin t|)
r

§ 147. УСТОЙЧИВОСТЬ" РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ
343
Предполагая исследовать устойчивость системы вблизи положения, опре-
определяемого углами ф = 0, ^=0, можно считать углы ер и i|) малыми и принять
2 , 'Ф2
cos ф^ ] —- ™о *" «« 1 j_«
sin ф « ф, sin
тогда будем иметь
и, следовательно,
¦-?-•
cosi|j« 1 —-у-;
Л —г
Потенциальная энергия будет при ф :
rl
—- 1 > 0,
т. е.
0 иметь минимум, если
л/Tl > h — r.
{h - г)*
При этом условии исследуемое положение равновесия устойчиво. Наоборот,,
при
У7/ < h — г
оно будет неустойчивым (по первой теореме Ляпунова). Чтобы решить воп-
вопрос об устойчивости равновесия при *Jrl < h — г необходимо иметь разло-
разложение потенциальной энергии в ряд с точ-
точностью до членов по крайней мере по-
порядка ф4 (вследствие симметрии механиз-
механизма относительно вертикальной оси нечет-
нечетные степени ф в этом разложении отсут-
отсутствуют).
Пример 128. Цилиндр / (рис. 365)
радиуса а соприкасается с внутренней по-
поверхностью неподвижного цилиндра // ра-
радиуса R и находится под действием силы
тяжести G и постоянной по величине и на-
направлению силы Р, передаваемой ему при
помощи вертикального штифта ///, сколь-
скользящего в направляющих вдоль вертикаль-
вертикального диаметра цилиндра //. Исследовать
устойчивость наинизшего положения цилинд-
цилиндра /, пренебрегая силами трения между
штифтом и поверхностью этого цилиндра.
Обозначив через zc и Za координаты точек С я Л приложения сил G и Р*
к цилиндру, составим выражение потенциальной энергии
Рис. 365.
Согласно рис. 365 имеем (О — след оси цилиндра //)
zc = OB == ОС cos Ф = (/? — a) cos г|),
zA = OB — ЛВ = (R — а) cos -ф — а cos (\|з + Я).
Между углами г|э и Я существует соотношение
sin (г|5 + Л) = ^~~а sin i|),
которое легко получить, рассматривая треугольник ОАС.

344 ГЛ. XXVII. СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
Используя малость углов tp и А, в положении цилиндра, смежном с ис-
исследуемым наинизшим его положением, получаем
гс = R - а - j (R - а) **,
R - 2а - 1 (/? - а) ф» + ^ « (¦ + А,J
Опуская несущественную постоянную, получим следующее выражение потен*
циальной энергии:
1(^2)*. (98)
Отсюда следует, что:
1) если R ^ 2а, то исследуемое положение равновесия устойчиво при лю-
любом соотношении сил Р и G; в частности, при /? = 2а сила Р не будет фигу-
фигурировать в выражении потенциальной энергии (98), что и естественно, так как
в этом случае точка А будет совпадать с неподвижной точкой О;
2) если R > 2а и
то равновесие устойчиво;
3) если R > 2а, не
Р /?-2а
то, согласно первой теореме Ляпунова, равновесие неустойчиво;
4) в случае
Р R - 2а
G а
требуется рассмотреть знак членов четвертого порядка малости в выражении
потенциальной энергии.

Глава XXVIII
КИНЕТОСТАТИКА И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
§ 148. Принцип Даламбера
В истории механики принцип Даламбера получал различные
трактовки. Начнем с той его формулировки, которая наиболее
близка в приведенной в классическом «Трактате по динамике»
Даламбера, вышедшем в свет в издании Парижской академии
в 1743 г.*).
Дополняя динамику свободных тел Ньютона, Даламбер
A717—1783) рассматривает несвободные тела как окруженные
действующими на них другими телами. Определяя «движение»
тела как «скорость тела с учетом ее направления», т. е. как
вектор скорости материальной точки, Даламбер отличает «пере-
«передаваемое» телу движение от действительно «воспринимаехмого»
телом движения и поясняет, что из-за действия на данное тело
окружающих его тел часть движения, определяемая разностью
между передаваемым и воспринимаемым, не может быть вос-
воспринята телом и является «потерянной».
Совокупность «потерянных движений», взятая отдельно и со-
сообщенная несвободному телу или системе тел, как «невоспрп-
нимаемая», не может изменить состояния их движения. Эти
простые соображения приводят к следующей исторически пер-
первой формулировке принципа Даламбера:
Если несвободной системе тел сообщить только потерянные
движения, то эти движения взаимно уничтожатся, а тела со-
сохранят состояние покоя.
В приведенном только что рассуждении Даламбера исполь-
используется характерный для той эпохи образ мгновенной передачи
точкам системы конечных скоростей, т. е. перенос движения
с помощью ударов.
Рассматривая непрерывную передачу точкам системы бес-
бесконечно малых скоростей и отнеся их к бесконечно малым про-
промежуткам времени, перейдем к формулировке принципа, исполь-
использующей понятие ускорения.
*) Даламбер Ж- Динамика. — М. — Л.: Гостехиздат, 1950.

346 ГЛ. XXVIII КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Обозначим через w\ передаваемые точкам Mi системы уско-
ускорения, а через wt действительно воспринимаемые ускорения.
Тогда геометрические разности
Wi — Wi A)
определят «потерянные ускорения», а величины
Pi = rrit kwt = mi (wi — Wi), B)
равные произведению масс га/ точек Mt на потерянные ускоре-
ускорения, могут быть названы «потерянными силами». Принцип Да-
ламбера при этом получает следующую формулировку:
Потерянные силы, будучи приложены к точкам несвободной
системы, не нарушают ее равновесия.
Принцип Даламбера сводит, таким образом, динамику не-
несвободной системы к задача статики о равновесии несвободной
системы под действием совокупности потерянных сил.
В приведенных выше формулировках принцип Даламбера
является самостоятельным принципом динамики несвободных
систем, не зависящим ни от появившегося значительно позднее
понятия связи, ни от принципа освобождаемости.
Выражение потерянной силы B) можно несколько видоиз-
видоизменить, если, применяя второй закон Ньютона, справедливый
для свободной точки, определить произведение
как равнодействующую задаваемых сил, т. е. по предыдущему
сил, которые продолжали бы действовать на систему по исчез-
исчезновении связей. Потерянные силы B) могут быть теперь пред-
представлены в виде
Pi = Fi-miwi. C)
Другую трактовку потерянных сил можно получить, если,
пользуясь принципом освобождаемости, ввести в рассмотрение
равнодействующую /?/ реакций связей и написать уравнение
движения несвободной точки М массы га/ в форме
тогда, сравнивая с C), будем иметь
Pi = - Ъ D)
Это равенство выражает, что потерянные силы, будучи прило-
приложены сами по себе к точкам системы, уравновешиваются реак-
реакциями связей, или, как еще иногда говорят, уравновешиваются
на связях.
В следующем параграфе приводится еще одна трактовка по-
потерянных сил, основанная на использовании понятия сил инвр-

$ 150. КИНЕТОСТАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 347
ции. Такая трактовка приближает принцип Даламбера к изве-
известному принципу Германа — Эйлера. В этой своей форме прин-
принцип Даламбера становится основой технических применений
динамики несвободных систем, объединяемых под общим наи-
наименованием «кинетостатика».
§ 149. Метод кинетостатики
Введем в рассмотрение силы инерции точек системы Si, опре-
определяя их, как это уже делалось в § 84, равенствами
St = — ntiWi. E)
Тогда, согласно D), потерянная сила представится геомег*
рической суммой задаваемой силы и силы инерции
P^Fi + St. F)
Ранее приведенная формулировка принципа Далам-
Даламбера может быть теперь заменена следующей: если к точкам
несвободной системы наряду с задаваемыми силами приложить
силы инерции, то совокупность этих сил уравновешивается реак-
реакциями связей.
Применение принципа Даламбера в только что указанной
формулировке служит основанием сведения задачи динамики
к задаче статики с последующим использованием принципа воз-
можных перемещений (см. далее § 154). С простейшим случаем
применения приема сведения задачи динамики к задаче статики
мы уже имели дело в § 84, рассматривая движение отдельной
материальной точки. Физическое разъяснение такого приема для
указанного простейшего случая будет дано в гл. XXX, посвя«
щенной динамике относительного движения. В общем случае
несвободной системы материальных точек прием сведения задач
динамики к задачам статики оправдывается приведенной выше
формулировкой принципа Даламбера.
Только что указанная трактовка принципа Даламбера легла
в основу кинетостатики — отрасли технической механики, ста<
вящей целью применение методов статики к решению динами*
ческих задач теории машин и механизмов. Эти методы зароди*
лись в начале XIX века и получили свое завершение в начале
XX века.
§ 150. Кинетостатика плоского движения твердого тела
Остановимся на основной для кинетостатики плоских меха<
низмов задаче о плоском движении твердого тела, уже рассмот
ренной ранее (§ 134) другим способом. Пусть твердое тело со
вершает плоское движение параллельно плоскости, являющейся

348 ГЛ. XXVril. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
плоскостью симметрии тела. Обозначим через F\9 F2t ..., Fn за-
задаваемые силы, приложенные к телу и действующие в указан-
указанной плоскости симметрии. Обозначим через V главный "вектор
этих сил, через т@) — их главный момент относительно неко-
некоторого полюса О:
у-%х*ь ™@)=tm0(Fi), G)
а через S и т^ — главный вектор сил инерции и главный мо-
момент сил инерции относительно того же полюса:
S = ES( = -E'"iwi, m<°> = J>0(S,), (8)
где N — число частиц, на которое мысленно подразделено тело.
В соответствии со сказанным выше уравнения движения тела
можно написать в форме уравнений статики для плоской си-
системы сил, добавив к приложенным силам силы инерции; по-
поэтому получим
у + 5 = 0, m(O) + mf = 0. (9)
Остается составить выражения для S и т{?К По определе-
определению центра масс имеем (§ 104)
S == — ? rtiiWt = — Mwc, A0)
?
где wc — ускорение центра масс тела. Это выражение главного
вектора сил инерции является общим для любых систем мате-
материальных точек, а не относящимся только к случаю плоского
движения твердого тела. В последнем же случае (§ 58) имеем
wc--«>VQC + eXr'QC, A1)
где r'QC — вектор-радиус центра масс относительно мгновенного
центра ускорений Q. В соответствии с этим можно разложить
силу инерции A0) на две:
A2)
где SW — центробежная, a S(B) — вращательная сила инерции:
--MeXr'QC. A3)
Переходим к вычислению главного момента сил инерции
0). За полюс О примем пока произвольную точку тела в его

§ 150. КИНЕТОСТАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 349
плоскости симметрии. Имеем
где г\ — вектор-радиус точки тела относительно полюса О.
Воспользовавшись соотношениями
г\Хг\ = 0, т\ X (е X r\) = erf - т\ {т\ • е) = erf,
причем последнее имеет место, так как т\ J_ e, получим
m0 (Sf) - - т\ X mt («,0 + в X г[ - <&г\) = wQX mtr\ - em/?.
После суммирования в соответствии со второй формулой (8)
найдем, вспомнив определение центра масс и момента инерции,
где т'с — вектор-радиус центра масс относительно полюса О%
Jo — момент инерции относительно оси, перпендикулярной
к плоскости движения и проходя-
проходящей через О.
Рассмотрим два частных случая.
Примем за полюс О центр масс С
тела. Тогда г'с=Ъ и, согласно
A5), будет
= —/се.
A6)
Силы инерции приводятся к глав-
главному вектору S, определяемому в рис> збб.
соответствии с A3), и паре с
мохментом гп(р (рис. 366). Уравнения (9) принимают вид
V-Mwc = 0t m<c> — /ce = 0. , A7)
Примем теперь за полюс О мгновенный центр ускорения Q.
Тогда wQ = 0; далее, по известной теореме о моментах инерции
относительно параллельных осей (§ 115)
где рс — радиус инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс перпендикулярно к плоскости движения,
a d=r'QC — расстояние от мгновенного центра ускорений дб
центра масс. Из A5) находим
m(Q) =
(р2с + d2) г.
A8)

360
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Плоская система сил инерции S/, таким образом, приведена
к силе S и паре с моментом т($>; эту систему сил можно свести
та:кже к одной равнодействующей S*, равной S по величине
и направлению к расположенной надлежащим образом. Отло-
Отложим вдоль прямой, соединяющей точки Q и С, отрезок QL
длины
I = -
A9)
Пусть г^ь — вектор-радиус конца L (рис. 367) этого отрезка
относительно точки Q; тогда
rQL rQC d
d2
B0)
Если представить себе физический маятник, имеющий Q
осью подвеса, то точка L будет осью качаний этого маятника
(§ 117). Нетрудно видеть, что
/- линия действия равнодействую-
равнодействующей S* сил инерции должна про-
проходить через точку L. Действи-
Действительно,
Рис. 367. так как первое слагаемое (мо-
(момент центробежной силы инер-
инерции) обращается в нуль, поскольку rfQLsXr'QC = b. Остается вы-
вычислить второе слагаемое. По A3) и B0) найдем
Второе слагаемое в скобках равно нулю (скалярное произведе-
произведение взаимно перпендикулярных векторов); замечая еще, что
/2=d2t получаем по A8)
r'qL X S<B> = - Af (p2c + d2) г = mf\ B1)
Таким образом, главный момент т{р относительно точки Q
плоской системы сил инерции Si равен моменту относительно
той же точки главного вектора этих сил S, если за линию дей-
действия последнего принять прямую, проходящую через точку L
параллельно S, Это и доказывает, что S* по величине, направ-

§ 150. КИНЕТОСТАТИКА ПЛОСКОГО ДВЮЙЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 351
лению и линии действия совпадает с равнодействующей сил
инерции твердого тела, совершающего плоское движение
(рис. 366).
Обозначим через R* равнодействующую плоской системы
приложенных сил F\, F2, . • •, Fn. Теперь можно получить урав-
уравнения движения, потребовав, чтобы две силы /?* и S* были
равны по величине, противоположны по направлению и прило-
приложены вдоль одной прямой, проходящей через ось качания во-
рбражаемого физического маятника, осью подвеса которого
является мгновенный центр ускорений.
В частном случае твердого тела, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси, перпендикулярной к плоскости симметрии тела,
все выводы остаются справедливыми; за мгновенный центр
ускорений в этом случае надо принять точку пересечения оси
вращения с указанной плоскостью. Если в еще более частном
Случае ось вращения проходит через центр масс тела (послед-
(последний обязательно лежит в плоскости симметрии тела), то по
A3) и A5) _ т,о)__/е
т. е. совокупность сил инерции в этом случае приводится к паре
с моментом т{р, равным по величине /се и направленным
в сторону, противоположную вектору углового ускорения е.
Пример 129. Рассмотреть движение системы, состоящей из барабана
веса G (массы М) и радиуса R и груза веса Gi (масса Mi),
ревке, намотанной на барабан (рис. 368); массой веревки
пренебрегаем. Определить движение такой системы и на-
натяжение веревки, пренебрегая силой трения в оси барабана
и считая барабан однородным сплошным цилиндром.
Обозначим угловое ускорение барабана через ё, считая
I положительным, если барабан вращается ускоренно в на-
направлении, обратном часовой стрелке. Вводя в рассмотре-
рассмотрение силу инерции груза, равную S — MiRe, и вспоминая,
что по B2) силы инерции барабана статически эквива-
эквивалентны паре т^ =» Jo&, составляем уравнение моментов
относительно оси вращения:
висящего на ве-
MLgR - SR — m(s0)
Вспоминая, что /0
0, или M{gR — M{R2e — /ое
MR2/2, получаем
2М,
= 0.B3^
Желая найти натяжение веревки, применим принцип освобождаемости:
рассечем веревку и приложим к грузу натяжение веревки N как задаваемую
силу; тогда, написав уравнение равновесия груза под действием силы тяже-
тяжести Gh натяжения N и силы инерции S, найдем
Gx -AT— 5 = 0,
J

352
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Пример 130. Центр тяжести С физического маятника (рис. 369) веса G
и массы М находится на расстоянии s от оси подвеса О. Радиус инерции от-
относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяже-
тяжести, равен рс. Определить реакции оси.
Равнодействующая сил инерции приложена в центре качаний L маятника;
ее можно разложить на центробежную и вращательную составляющие, рав-
равные
S(B) = Mscp.
Остается рассмотреть задачу статики, т. е написать три уравнения равновесия
для плоской системы сил S<B), 5<ц), G, J, N, где G — сила тяжести, N, T — со-
составляющие реакции оси О, направления которых, принимаемые за положи-
положительные, указаны на рис. 369. Получаем
Т + Mg sin ф + Msip --
— N + Mg cos ф + Мф2:
Ms
I ф 4* Mgs sin
Из последнего уравнения найдем
B4)
-- 0. B5)
B6)
или после интегрирования
Рис. 369.
Ф2 ~ Фо=
2gs
..- (cos ф — cos ф0), B7)
Pc+S
где фо, фо -— начальные значения угловой скорости и угла отклонения маят-
маятника; это соотношение можно получить также, применив теорему об измене-
изменении кинетической энергии.
Получаем
sin
3s2
Р2С
- COS ф
2s*
+Pc
2" COS фо
Msq>20.
Пусть,* в частности, маятник представляет собой тонкий однородный стер^
жень длины /; тогда s = 1/2, р2с = 12/\2 и, следовательно,
Ф = - -^- sin ф,
Ф2 — Фо:
-— (COS ф — COS ф0).
Значения составляющих реакций оси будут
1 ...
Г = - -j Mg sin
N = —¦?- + ^ cos ф - - cosфo
J Mg.

§ 150. КИНЕТОСТАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
353
Пример 131. Тонкий однородный стержень О А веса G, массы М и дли-
длины / совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной
оси, проходящей через конец стержня О. Определить продольное усилие N,
поперечное усилие Т и изгибающий момент в любом сечении х стержня
(рис. 370).
Рассмотрим часть стержня В А длиной / — х\ вес этой части равен G(l —
-—х)/1, ее центр тяжести С расположен на расстоянии ОС = A-\-х)/2 от оси
вращения, радиус инерции ее относительно оси, параллельной оси вращения и
проходящей через С, находится из соот-
соотношения Рс = (/ — xJ/l2, положение
оси качаний воображаемого физическо-
физического маятника (вращающегося вокруг
точки О) определяется отрезком
„ __Р2с _1 У-*J
ОС
6 1 + х
На часть стержня ВА действуют сле-
следующие силы: сила тяжести [(/—x)/l]G,
приложенная в центре тяжести С этой
части, силы N, Т и пара с моментом т,
представляющие действие на ВА верх-
верхней части стержня — они и являются
искомыми продольной и поперечной си-
силами и изгибающим моментом в сече-
сечении В; направления их, принимаемые
за положительные, изображены на
рис. 370 справа. Применяя метод кине-
кинетостатики, присоединим к указанным
силам силы инерции рассматриваемой
части стержня; они могут быть заменены одной равнодействующей S, про-
проходящей через точку L; сила S может быть разложена на центробежную со-
составляющую S(u), равную по величине
Рис. 370.
и вращательную составляющую 5<в>, равную
Остается написать уравнения статики для части стержня. Из уравнений
проекций на оси х и у найдем
— / т 2/
а из уравнения моментов относительно точки В получим
т = —
2/
-*J . М(/2-.
- sin ф —
21
I
6
1 L „. - I л*
•л т 2
12 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

354 ГЛ XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Вместо фиф подставим их значения, приведенные в решении предыдущего
примера. Получим
т —
-x)(i- гх)
4/2
sincp,
~ х)
10+4^
М (I2 - X2) .2
2i Фо»
и далее
m •¦
Mgx (I - хJ
4/2
sin фо.
При х — I находим Т = О, N = О, что и должно быть, так как конец
стержня А не нагружен; при х = 0 получаем значения Т и N, найденные в
предыдущем примере. Изгибающий момент m обращается в нуль при х = 0 и
х = /; он достигает максимума, равного (Gll27)smy при х = 1/3. Нетрудно
проверить, что Т = —dm/dx, как это должно быть на основании известной
теоремы, доказываемой в курсах сопротивления материалов.
§ 151. Реакции оси вращающегося тела
Переходя к отдельным задачам динамики твердого тела,
остановимся на вопросе об определении реакций в двух точках
закрепления оси вращающегося твер-
твердого тела.
Примем ось вращения (рис. 371) за
ось O\z, поместив начало системы
осей O\xyz, связанных с телом, в за-
закрепленной точке О\ (подпятник); в
точке О2 на расстоянии О\О2 = h по-
помещен подшипник оси вращения.
Применим метод кинетостатики;
мысленно освободив тело от опорных
закреплений О\ и О2 и введя в рас-
рассмотрение искомые реакции АП и N1,
потребуем, чтобы главный вектор этих
реакций, всех задаваемых сил F\y
F2, • •., Fn и сил инерции, а также их
главный момент относительно некото-
некоторой точки были равны нулю.
Главный вектор сил инерции по формуле A0) равен (М —
масса тела)
S = - Mwc = -M(eXrc + «>X vc), B8)
где о — вектор угловой скорости тела, е — вектор углового уско-
ускорения, Vc = со X г с — скорость центра масс, гс — его вектор-
радиус.
Вычислим главный момент L сил инерции относительно
точки О и сила инерции элементарной массы dm в точке с
Рис. 371.

§ 151. РЕАКЦИИ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА 355
вектор-радиусом г равна
а ее момент относительно точки О\ будет
dL = rXdS = -[rX(*Xr) + rX(<*Xv)]dm.
Имеем
rX(eXr) = er2-r(e.r),
г X (<*> X v) = со (г • v) — v (г • со) = —- v (г • <о),
так как скалярное произведение r-v двух взаимно перпендику-
перпендикулярных векторов равно нулю; следовательно,
L = ^ dL = — г jj r2 dm + jj r (e • r)dm+ ^v((u-r)dm. B9)
(М) (М) (М) (М)
Найдем проекции момента L на оси О\Х, О\у, O\z, т. е. глав-
главные моменты сил инерции относительно этих осей. Проекции
векторов, входящих в выражение B9), равны
г: (х, у, г),
со: @, 0, о),
в: @, 0, ё),
v: (— ш/, &х, 0).
Получаем
Ьх = г \ xz dm — со2 \
(Af) (M)
\ yz dm + (о2 К xz dm,
М
(М) (М)
(М) (М) (М)
или по формулам D) гл. XXVI
1-х = 1гхЪ — 1уг<&> Ly = Jy? + Izx<&, Lz = -J2e. C0)
Каждую из реакций N\ и Щ представим в виде суммы двух
слагаемых:
определив Л^ст) и N{2cr) как статические части реакций, т. е. те
реакции опор, которые возникли бы, если бы тело оставалось
под действием задаваемых сил в покое; слагаемые N\ и N%
12*

356 ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
представляют собой добавки к опорным реакциям — динамиче-
динамические реакции, возникающие вследствие вращения тела.
Статические реакции N{fT) и NBCT) могли бы быть найдены
из уравнений статики
t Fix + N[<? + М?> - 0, t Fiy + Щ? + №$> = О,
CD
Z mx (Ft) - hN2f = 0, ? my (F{) + hWf? = 0.
Последнего уравнения — уравнения моментов относительно оси
вращения — мы не написали; реакции в него не входят, и само
это уравнение как уравнение статики не имеет места, так как
п
вращающий момент 2 fwz(Fj), вообще говоря, отличен от нуля.
Составим уравнения кинетостатики, содержащие динамиче-
динамические добавки к реакциям; они имеют вид:
п
4- N{CT) 4- N 4- N 4-S=0
jL^iy \y n~iV2t/ ^IXly^iy/2y T°|/ —U>
n
S Flz + fl?> + N^ + Nlz + N2Z - 0,
C2)
S mx (Ft) - h№$ - hN2y + Lx = 0,
t
Здесь учтено, что Sz = 0. В полученной системе в силу уравне-
уравнений C1) можно отбросить по три первых члена в первых трех
уравнениях и по два первых члена — в четвертом и пятом; для
определения динамических добавок к опорным реакциям полу-
получаем три уравнения проекций сил
Nix + N2x + Sx = 0, N{y + N2y + Sy = 0, Nl2 + N22==Q C3)
и два уравнения моментов
-hN2y + Lx = 09 fiN2x + Ly = 0* C4)

§ 151. РЕАКЦИИ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА 367
Третье уравнение моментов
п п
y_j tnz(Fi) -f- L2 = 0, или /28 =* У. tnz(F() C5)
*-i ЯП
представляет собой уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси; реакции в него не входят.
По B8) имеем
Sx = — MwCx == М (а>2хс + ёУс)>
Sy = — MwCy = М ((о2ус — ёхс),
и два первых уравнения C3) принимают вид
Из уравнений C4), учитывая C0), находим
ДГ === _ ^ ==: _ (J о
что в связи с C7) дает
, 1 /г ~
Nly = MwCy - т A2Хг — Jyz®2).
(89)
Продольные составляющие N\z и Л/гг динамических реакций
связаны одним соотношением — третьим уравнением C2); как
и в статике, задача их нахождения не является определенной.
Если трение в подшипнике пренебрежимо мало, то Л/"^т) = N2z —
= 0 и Nlg = Q, а ^т) находится из третьего уравнения C2).
В дальнейшем примем, что N\z = N2Z = 0, т. е. что силы N\ и N2
действуют в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.
Из C3) и C4) или C8) и C9) следует, что динамические
реакции обращаются в нуль, если
Sx = Sy = 0, Lx = Ly = 0,
Это приводит к двум системам однородных уравнений
= 0, J2Xl — JyZ^2 =* 0,
= 0, 4Х + 7у2г = 0
с общим определителем, отличным от нуля:
со4 + е2 Ф 0,

858
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
так что единственным решением будет
Итак, если ось вращения является главной центральной
осью инерции тела, то реакции подшипников этой оси при вра-
вращении тела не отличаются от статических реакций. В этом слу-
случае говорят, что вращающееся тело уравновешено, а ось вра-
вращения называют свободной осью.
Предположим, что тело не уравновешено и будем различать
три случая:
1. Пусть центр тяжести лежит на оси вращения, но ось вра-
вращения не является главной осью. Из уравнений C7) следует
тогда, что
JV, = - N2; D1)
дополнительное динамическое воздействие вращающегося тела
на ось вращения приводится к паре сил; величина момента
этой пары определится по формуле
L = AJV, = h
D2)
а его проекции на оси О\х и О\у найдутся из уравнений C8).
В этом случае говорят, что тело статически уравновешено, но
Рис. 372.
Рис. 373.
динамически не уравновешено; динамическая неуравновешен
ность не может быть обнаружена путем статических испытаний*
Примером может служить однородный диск (рис. 372), вращаю-
вращающийся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр диска,
но не перпендикулярной к средней плоскости диска (см. далее
пример 134).
2. Рассмотрим теперь случай, когда центр тяжести не лежит
на оси вращения, но тело имеет плоскость П материальной
симметрии (рис. 373), перпендикулярную к оси вращения;

§ 151. РЕАКЦИИ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА 359
в этой плоскости, которую примем теперь за плоскость Охуу бу-
будет находиться центр тяжести С тела.
Ось вращения будет главной осью в точке О, т. е. Jzx =
= Jyz = 0 и уравнения моментов C4) примут вид (а == ООь
b = ОО2)
- N2yb + Nlya = 0, N2xb - Nlxa = О,
т. е.
bN2 = aN{. D3)
Динамические реакции представляют собой параллельные
силы, кинетостатически уравновешивающиеся с главным векто-
вектором сил инерции S, который в этом случае можно считать при-
приложенным в центре тяжести тела. Такая неуравновешенность
называется статической; ее можно обнаружить и устранить,
установив путем статического испытания, что центр тяжести не
лежит на оси вращения (см. ниже пример 132).
3. В общем случае силы N\ и N2 должны быть определены
по формулам C8) и C9); динамические реакции приводятся
к силе и к паре, которые кинетостатически уравновешивают
главный вектор и главный момент силы инерции.
При больших угловых скоростях наличие даже малой не-
неуравновешенности вызывает значительные перегрузки подтип-
никое вращающегося тела. В общем случае неуравновешенность
можно устранить путем присоединения или удаления двух то-
точечных масс в произвольно выбранных плоскостях, перпендику-
перпендикулярных к оси вращения. Выбор величин т\ и т2 этих масс,
а также их координат {х\,у\) и (х2, у2) в плоскостях z = i\
и соответственно z = z2 производится по уравнениям
Мхс + т{х{ + т2х2 = О, JZX + mlxlzl + m2x2z2 = 0,
D4)
My с + гп\У\ + т2У2 = 0, Jyz + mxyxzx + m2y2z2 = 0,
выражающим, что после присоединения масс ось вращения
должна стать главной центральной осью инерции. Получаем
yz
J'.« — Myrz9
]гх ~ MxCZl .„ .. Jum~ МУсг1
Обнаружение и устранение неуравновешенности производится
на специальных стендах, описываемых в литературе по уравно-
уравновешиванию вращающихся масс.
Пример 132. Центр тяжести маховика массы М находится на расстоя-
расстоянии е от оси вращения; маховик вращается с постоянной угловой скоростью
со; расстояния его плоскости симметрии от подшипников Oi и Ог составляют
соответственно а и Ь. Определить реакции подшипников (рис. 374).

360
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
К статическим реакциям силы тяжести маховика (ось вращения предпо-
предполагаем горизонтальной), имеющим постоянное направление (вертикально
вверх), присоединяются динамические реакции; плоскость, проходящую через
центр тяжести перпендикулярно к оси вращения, будем считать плоскостью
материальной симметрии маховика. При-
Приложим в центре тяжести центробежную
силу инерции
5 = — Mwc = М®2е,
где е—вектор-радиус центра тяжести от-
относительно точки пересечения оси и пло-
плоскости симметрии маховика. Задача оп-
определения добавочных динамических ре-
реакций сводится к задаче статики; найдем
Рис. 374.
a + b
a + b
Неуравновешенность в рассматриваемом случае является статической;
чтобы обнаружить ее, концы оси маховика укладывают на два хорошо вы-
выверенных горизонтальных параллельных бруска. Если центр тяжести лежит
на оси вращения, то маховик будет находиться в равновесии в любом поло-
положении, в противном случае он покатится, пока центр тяжести не займет наи-
наинизшего положения.
Рассмотрим два численных примера.
а) Масса маховика М = 3-Ю3 кг, е = ЫО м, п = 300 об/мин, а = 6,
Статические реакции будут равны
= JVBCT) -¦
= 14,72 кН.
Добавочные динамические реакции будут
N2
4"Ме<*2 « 1 >47 кН-
2
По сравнению со статическими динамические реакции в этом примере неве-
невелики; это объясняется малым эксцентриситетом е и сравнительно малым чис-
числом оборотов. Последний фактор имеет преобладающее значение, так как ре-
реакции пропорциональны квадрату числа оборотов. Это иллюстрируется сле-
следующим примером.
б) Масса диска М = 20 кг, п = 12 000 об/мин, е= Ы0~4 м. Получим
-- 98,1 Н,
N{ = N2
1,57 кН,
т. е. динамические реакции превосходят статические в 16 раз.
Пример 133. Тонкая пластинка F (рис. 375) массы М вращается с по-
постоянной угловой скоростью о) вокруг оси, расположенной в плоскости пла-
пластинки. При заданных координатах Хс и ус центра тяжести С определить ве-
величину равнодействующей центробежных сил инерции и линию ее действия,
а также положение добавочной массы величины ш, присоединение которой к
пластинке устраняет динамические реакции подшипников.
Направим ось Оу по оси вращения, а перпендикулярную к ней ось Ох —
в плоскости пластинки. Центробежные силы инерции элементарных масс пла-
пластинки представляют собой плоскую систему сил, параллельных оси Ох, про-

§ 151. РЕАКЦИИ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
361
екция равнодействующей которых на эту ось равна
Sx = ©2 [ [ х dm = Mq2jcc
(F
(F)
Чтобы найти ординату г/о линии действия равнодействующей, вспомним, что
момент равнодействующей относительно начала координат (или, что то же,
сси О г) равен сумме моментов элементарных
б
центробежных сил:
~ yoSx = — ©2 U xy dm = —
(Л
откуда следует, что
D5)
Рис. 375.
Добавочную массу надо поместить в точке
с координатами (хо, уо)> причем
тхо + Мхс = О, D6)
а уо определено по D5). Действительно, тогда
главный вектор центробежных сил будет равен
нулю, так как центр масс системы (пластинка с
присоединенной массой) расположен на оси вра-
вращения; главный момент центробежных сил при
этом также будет равен нулю. При другом расположении добавочной массы,
удовлетворяющем условию D6), центр масс системы находился бы на оси
вращения, но последняя не была бы главной
осью инерции, и центробежные силы привелись
бы к паре, момент которой L определяется
соотношением
с = MxQ (y{ - #о)со2,
где у\ — ордината присоединенной точечной
массы.
Например, при вращении однородной пла-
пластинки, имеющей форму прямоугольного тре-
треугольника с катетами а и Ь, вокруг вертикаль-
вертикальной оси, совпадающей со вторым катетом
{рис. 376), имеем
Ъ A-х/а)
"ху
- —г- \ х dx
—
Рис. 376.
и по D5) получаем у0 — 6/4.
и Динамические реакции в точках закрепления оси вращения создаются си-
силой, равной по величине Л1со2а/3, линия действия которой проходит на высоте
у0 = 6/4. Для определения реакций служат уравнения моментов относительно
точек О2 и О,
, *L = о, - N2xb - j Mco2a • j = О,

362
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
откуда
Nlx = - 4"
#2* = --77Г
Пример 134. Ось симметрии Czx (рис. 377) тела вращения составляет
с осью вращения Cz угол 9; центр тяжести С тела расположен на оси вра-
вращения; центральные экваториальный и аксиальный моменты инерции равны
соответственно /3 и J2. Тело вращается с по-
постоянной угловой скоростью со. Определить
реакции точек закрепления О\ и О2 оси (рас-
(расстояние О\О2 — h).
Ось Сх системы осей Cxyz, вращающихся
с телом, направим перпендикулярно к пло-
плоскости Czz\\ на рис. 377 эта плоскость совпа-
совпадает с плоскостью рисунка. Оси Cx\yxZ\—глав-
Cx\yxZ\—главные центральные, причем Сх и Сх\ совпадают
по направлению. Поэтому центробежный мо-
момент Jzx = 0. Центробежный момент Jyz ра-
равен [ср формулу B3) § 140]
Jyz ¦
-j (/2 - /3) sin 29.
По C7), C8) и C9) получим, предпола-
предполагая, что вращение происходит с постоянной
угловой скоростью со:
\т \т J 2 J 3 о пл
Если тело представляет собой круговой цилиндр радиуса R и высоты /, то
и, следовательно,
Мц, = .
Так, в случае тонкого диска (/ » 0) получаем (рис. 372)
1 Mr2
1
- Nly = N2y = ~
со2 sin 29.
Для стержня (г « 0) направления реакций изменяются:
JVi* JV», —^- еа« sin 26.
Динамические реакции обращаются в нуль при /==г V3 ; тогда централь*
ный эллипсоид инерции вырождается в сферу (пример 120 § 140) и любая ось
вращения, проходящая через центр тяжести, будет свободной осью.

§ 152. РЕАКЦИИ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА ПРИ УДАРЕ
363
§ 152. Реакции оси вращающегося тела при ударе.
Центр удара
Исследование действия удара на твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной оси, которому был посвящен § 118, следует
дополнить рассмотрением мгновенных импульсных реакций то-
точек закрепления оси, а также выяснением
условий, при которых приложение удара
не создает таких реакций.
В некоторой точке М твердого тела
(рис. 378), вращающегося вокруг непо-
неподвижной оси, приложена мгновенная сила,
импульс которой равен S. Приложение
этой силы вызывает появление мгновенных
реакций в точках О\ и О2 закрепления
оси; определим импульсы S\ и S2 этих ре- w
акций.
Примем ось вращения за ось Oz, а пло-
плоскость, содержащую точку М и перпенди- Рис 378
кулярную к оси вращения, за плоскость
Оху, причем ось Ох проведем через точку М (рис. 378); коор-
координаты этой точки будут
хм = ОМ = s, ум = О, zM = 0.
Применим теорему импульсов (§ 106) и моментов импульсов
относительно точки О (§ 118):
-Qo = M(vc- vQC) =
-Ко = т0 (S) + т0
т0 (S2).
D7)
D8)
В рассматриваемом случае
®* = ю* = 0, ©z =
далее, по формулам C4) § 141
Проектируя D7) и D8) на оси, получим (а = ООи Ъ = ОО2)
- Myс (& — с50) = Sx
Мхс (й - ©о) = Sy
Slx + S2x,
Sly + S2y9
D9)

864
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Jz (© — So) = sSy.
E0)
Последнее уравнение определяет приращение угловой скорости
при ударе (§ 118), после чего из прочих уравнений находятся
поперечные импульсивные реакции Si*, Si*,, S2*, S2y и сумма
продольных импульсивных реакций Su + S22.
Поставим теперь вопрос о нахождении тех условий, при ко-
которых ось вращающегося тела не испытывает удара, т. е.
обращаются в нуль. Уравнения D9) и E0) при этом примут вид
(а) — My с (© — й0) = SX9 (г) —<>J2X (© — ©о) = 0,
(б) Мхс (й — ©0) = Sy, (д) — Jyz (ю — ©0) = 0,
(в) 0 = Sz, (е) 1г (© — ©0) =
Искомые условия можно поэтому сформулировать так:
согласно (в) удар должен быть направлен перпендикулярно
к оси вращения;
согласно (г) и (д) Jzx ^ Jyz ¦ 0, т. е. ось вращения Oz
должна быть главной осью инерции в точке ее пересечения
с плоскостью Оху;
согласно (а) и (б) имеем xcSx + ycSy = 0; это показывает,
что вектор S и вектор-радиус гс центра тяжести должны быть
взаимно перпендикулярны, т. е. удар дол-
должен быть направлен перпендикулярно к
плоскости, проведенной через ось враще-
вращения и центр тяжести;
из (б) и (е) находим, наконец,
ти-р1
E1)
Эта формула определяет положение точки
приложения удара.
Указанные условия упрощаются, если
тело имеет перпендикулярную к оси враще-
Рис. 379. ния плоскость материальной симметрии Я.
Ось вращения будет в этом случае главной
осью инерции в точке пересечения ее О с плоскостью П\ центр
тяжести С тела также лежит в плоскости П. Мгновенные реак-
реакции оси обратятся в нуль при соблюдении следующих условий
(рис, 379):

§ 152. РЕАКЦИИ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА ПРИ УДАРЕ
365
1) импульс S должен лежать в плоскости П и быть перпен-
перпендикулярным к ОС\
2) расстояние линии действия импульса до оси вращения
определяется формулой
E2)
— ом=-?—
— ^« ос .
где р — радиус инерции тела относительно оси вращения; иными
словами, точка приложения импульса должна совпадать с осью
качаний, соответствующей оси вращения тела (§ 117).
Точка М, отвечающая вышеприведенным условиям, назы-
называется центром удара.
Замечая, что
р2 = р? + ОС2, ОМ = ОС + СМУ
можно преобразовать формулу E2) и получить
ОС
E3)
где рс — радиус инерции относительно оси, проходящей через
центр тяжести тела параллельно оси вращения. На рис. о79
дано графическое построение центра удара,
основанное на формуле E3). Условие E1)
должно соблюдаться, например, в ручном
молотке, чтобы ось вращения молотка (ки-
(кистевое сочленение) не испытывала удара.
При работе молотком мы инстинктивно на-
находим на рукоятке то положение оси вра-
вращения, при котором рука не испытывает
удара.
В случае тонкой пластинки, вращаю-
вращающейся вокруг оси О\О2, лежащей в плоско-
плоскости пластинки (рис. 380), удар должен быть
перпендикулярен к плоскости пластинки
(в которой расположен центр ее тяжести)
и приложен в определенной точке М —
центре удара. Условие (е) в этом случае удовлетворяется авто-
автоматически, так как для любой массы гщ координата yt = 0
и, следовательно, Jyz = 0. Надо потребовать, чтобы Jzx также
обращалось в нуль. В системе осей Q\x'zr имеем (рис. 380)
*1 ~ *i *0» Xi — Xi
и, следовательно, приходим к условию
Рис. 380.
Z
.Z

366
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Таким образом, находим
E4)
По формуле E1) получаем также следующее выражение для
расстояния центра удара от оси вращения:
Мхг
E5)
В случае однородной пластинки координаты центра удара будут
\[ хг' dF [[ х2 dF
Zo=—х f s = —FT""""' E6)
лсг хс
где F — площадь пластинки и dF — элемент площади.
Сравнение полученного выражения для го с формулой D5)
показывает, что центр удара пластинки может быть найден как
точка пересечения двух прямых: прямой, параллель-
параллельной оси вращения и проходящей через ось кача-
качаний физического маятника, для которого ось враще-
вращения служит осью подвеса, и пер-
перпендикулярной к ней прямой, яв-
являющейся линией действия рав-
равнодействующей центробежных
сил инерции при вращении пла-
пластинки вокруг указанной оси.
Пример 135. Маятник ударной
машины состоит из стального диска ра-
радиуса г=Ы0 м, толщины 6 =
= 5-10~2 м и стального круглого стерл -
ня диаметра d = 2-10~2 м, длины
/ = 9-10—J м. Найти, на каком расстоя-
расстоянии s от оси вращения нужно поместить разбиваемый машиной брусок, чтобы
ось вращения не испытывала удара (рис. 381).
Имеем
ql/2 + Q(l + r)
и
га
J
L
м
и
!оз
И z
Рис. 381.
Рис.382.
ОС
q+Q
, ?/2/3 + Q (I + гJ + Qr2/2
P q + Q
где q и Q — веса стержня и диска; обозначая через у вес единицы объема
сталИ| находим
1Ч2/12 + гЧ [(/ + гJ + г2/2]
/2d2/8 + r2b A + г)
• 0,925 м.

§ 153. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ В ТЕОРИИ ГИРОСКОПА
367
Пример 136. Определить центр удара прямоугольной мишени* для
стрельбы (рис. 382).
Здесь вследствие симметрии z0 = 0; по формуле E6) находим
h
(F)
x2dF
xcF
I \x2dx
о
(/г/2) Ih
§ 153. Метод кинетостатики
в приближенной теории гироскопа
Гироскопом называют тело вращения, обладающее динами-
динамической симметрией относительно некоторой оси и совершающее
вращательное движение вокруг некоторой точки этой оси*).
Рассмотрим движение гироскопа вокруг неподвижной точки О
на его оси и обозначим через соо вектор угловой скорости гиро-
гироскопа в его собственном вращении вокруг оси симметрии, а че-
через ш — вектор угловой скорости вращения гироскопа вокруг
мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку О. Тогда
векторная разность
со* = о — ю0 E7)
определит, очевидно, вектор угловой скорости вращения оси
гироскопа в ее вращении вокруг неподвижной
оси, проходящей через ту же неподвижную
точку.
Приближенная теория движения гироскопа
может применяться в тех случаях, когда вели-
величина векторной разности со* мала по сравнению \
с величиной угловой скорости со0 собственного
вращения гироскопа; это значит, что движение
гироскопа мало отклоняется от основного его
вращения вокруг оси, совпадающей с осью ма-
материальной симметрии гироскопа.
Найдем выражение главного момента коли-
количеств движения гироскопа К, соответствующее
принятой приближенной схеме его движения.
Предположим сначала, что гироскоп вращается вокруг непо-
неподвижной оси Oz (рис. 383), так что вектор угловой скорости
собственного вращения <о0 совпадает с вектором (о угловой ско-
скорости движения гироскопа. Тогда со* = <% = 0, и, согласно фор-
формулам C6) § 141,
/С = /з<*>, E8)
*) Термин «гироскоп», означающий «указатель вращения», введен фран*
Цузским физиком Л. Фуко A819—1878).

368
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Рис. 384.
где /з —момент инерции гироскопа относительно его оси мате-
материальной симметрии.
Предположим теперь, что ось материальной симметрии гиро-
гироскопа, имеющего весьма большую угловую скорость собствен-
собственного вращения а>о, в свою очередь вращается вокруг неподвиж-
неподвижной оси с угловой скоростью о*, малой по величине по сравне-
сравнению с coo. Вектор о)* называется угловой скоростью прецессии.
Мгновенная ось вращения гироскопа, на-
направленная по вектору угловой скорости
ft>o (рис. 384), уже не будет совпадать с
осью материальной симметрии гироско-
гироскопа, а окажется несколько отклоненной от
нее, причем отклонение это будет тем
меньше, чем меньше по величине относи-
относительная разность о) */о)о = (о> — о>о) /о>о
векторов о) и о)о- Вектор главного момен-
момента количеств движения К гироскопа уже
не будет направлен по оси материальной
симметрии гироскопа и не будет равен
/Зо)о. Однако рассматриваемая сейчас
приближенная теория движения гиро-
гироскопа пренебрегает этой разницей, а также изменением вели-
величины шо — угловой скорости собственного вращения гироскопа
за исследуемый интервал времени. Таким образом, основное
допущение приближенной теории движения гироскопа заклю-
заключается в том, что при постоянной по величине угловой скорости
«о собственного вращения гироскопа, значительно превышаю-
превышающей угловую скорость со* вращения его оси, главный момент
количеств движения гироскопа К можно рассматривать как
вектор
К = /з<о0, E9)
сохраняющий во время движения постоянную величину и совпа-
совпадающий по направлению с движущейся осью материальной
симметрии гироскопа.
Движение оси материальной симметрии гироскопа можег
быть определено движением той ее точки, которая в принятом
приближении совпадает с концом вектора К. Скорость и этой
точки по основной формуле распределения скоростей в твердом
теле, вращающемся вокруг неподвижного центра, будет равна
ц = (й*Х/С. F0)
С другой стороны, по теореме Резаля (см. § 113) эта скорость
равна главному моменту т@) внешних сил, приложенных к ги-
гироскопу, относительно неподвижного центра О, т. е.
F1)

§ 153. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ В ТЕОРИИ ГИРОСКОПА 369
Сравнивая между собой F0) и F1) и принимая во внимание
равенство E9), получаем
J3<d*X<*o = mi°K F2)
Применяя метод кинетостатики, придадим этому уравнению
движения гироскопа форму уравнения его равновесия под дей-
действием двух моментов
L + m@) = o, F3)
из которых первый
1 = /з«оХ< F4)
представляющий собой главный момент сил инерции гироскопа,
носит наименование гироскопического момента. Величина гиро-
гироскопического момента равна
L = /Зсо0со* sin 0, F5)
где 0 — угол между векторами <&0 и со*, направленными соот-
соответственно по оси материальной симметрии гироскопа и непо-
неподвижной оси, вокруг которой вращается ось гироскопа.
Как видно из формулы F4), гироскопический момент на-
направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей векторы <х>о
и со*, причем так, что соответствую-
соответствующая ему пара сил стремится совме-
совместить вектор угловой скорости собст- А
венного вращения с вектором угловой \
скорости прецессии (правило Фуко). 0
Остановимся на примерах примене-
применения приближенной теории движения
гироскопа. Приведем колесо (рис. 385)
в быстрое вращение вокруг оси О\О2 Рис- 385-
и, взяв ось в руки в точках О\ и О2, по-
повернем ее в направлении, указанном на рисунке круговой стрел-
стрелкой, так, чтобы точка О осталась неподвижной. Казалось бы, что
для этого к оси в точках Ох и О2 нужно приложить усилия, на-
направления которых на рисунке указаны штриховыми линиями.
Однако это не так. Действительно, конец вектора К при ука-
указанном повороте колеса приобретает скорость, направленную
в плоскости рисунка перпендикулярно к оси О\О2 вниз, и со-
согласно F1) так же будет расположен вектор т<0) момента
внешних сил, которые нужно приложить к колесу. Усилия рук
F\ и F2 должны быть перпендикулярны к плоскости рисунка;
желая повернуть ось вращающегося колеса, нужно приложить
к ней усилия, перпендикулярные к плоскости перемещения. Рас-
Рассматриваемый эффект появляется при всяком изменении на-
направления оси быстро вращающегося тела. Давления на

370
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
подшипники, равные по величине и направленные противопо-
противоположно реакциям подшипников, образуют пару, момент которой
равен гироскопическому моменту.
Современное судно несет большое число вращающихся тел;
это — маховики двигателей, гребные винты с их валами, роторы
динамомашин, гребные колеса колесных пароходов и т. д. Оси
вращения располагаются или по продольной, или по поперечной
оси корпуса судна, или вертикально. При своем движении судно
может совершать колебания вокруг продольной оси (боковая
качка) или поперечной оси (килевая
качка) и может поворачиваться при
маневрах вокруг вертикали. Все эти
движения связаны с поворотами осей
вращающихся тел, установленных на
судне, и сопровождаются гироскопи-
гироскопическими явлениями.
Возьмем правую систему осей ко-
координат Oxyzy направив их соответ-
соответственно по поперечной оси, по про-
продольной оси судна от кормы к носу и
вертикально вверх (рис. 386). Если, например, ось вращения
тела расположена вдоль судна и происходит килевая качка, то
в формуле F4) нужно положить
Рис. 386.
и для гироскопического момента L получится выражение (i\, i2,
is — единичные векторы осей координат Oxyz)
L = /3co0(o*i2 X h = — Мз&о&*>
т. е. в рассматриваемом случае этот момент направлен верти-
вертикально вверх или вниз сообразно тому, будет ли боб* < 0 или
ш0б*>0; величина гироскопического момента равна /зОосо*.
В качестве примера подсчитаем гироскопический момент от
турбины, ось которой расположена параллельно продольной
оси корпуса судна, при наличии килевой качки амплитуды Ро
и периода Т. Считая, что угол поворота корпуса (дифферент) р
изменяется по гармоническому закону, имеем
откуда
W fj rp V-V/O rp
и максимальное значение гироскопического момента будет

§ 153. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ В ТЕОРИИ ГИРОСКОПА 371
Если расстояние между подшипниками равно /, то максималь-
максимальные усилия N\max и Л/^тах, передаваемые им (равные и направ-
направленные противоположно), определяются по формуле
' 1 max — iV2 max
Пусть масса ротора турбины М = 2500 кг, его радиус инерции
р = 0,9 м, о)о=1200 об/мин, /=1,9 м, ро = 6° = я/ЗО, Т =
= 6 с; тогда
1200я 1 л _ и
^lmax = iV2max:=30-6- 1,9-30
Влиянием гироскопических моментов от вращающихся час-
частей на движение самого судна вследствие значительной устой-
устойчивости последнего и громадного по сравнению с вращающи-
вращающимися частями веса можно пренебречь.
Иначе обстоит дело при движении самолета. Вес вращаю-
вращающихся частей составляет здесь заметную долю веса конструк-
конструкции. Поворот оси мотора самолета в какой-либо плоскости
вызывает в перпендикулярной плоскости гироскопическую пару
сил, передающуюся через подшипники корпусу самолета. Если
ось направлена вдоль корпуса, то при поворотах в горизонталь-
горизонтальной плоскости (виражах) эта пара будет создавать колебания
угла тангажа, поднимая и опуская самолет. В конструкциях,
снабженных двумя винтами, вращающимися в противоположные
стороны, гироскопические моменты, передаваемые корпусу само-
самолета, уравновешиваются; эти конструкции допускают более рез-
резкие виражи, не проявляя тенденций к колебаниям угла тангажа.
Приближенная теория гироскопических явлений позволяет
дать элементарное объяснение движению тяжелого гироскопа
(волчка). Сообщим (рис. 387) симметричному однородному телу
вращения быстрое вращение вокруг его оси. Допустим, что эта
ось, будучи в исследуемом положении вертикальна, может вра-
вращаться вокруг неподвижной точки О. Если бы гироскоп не
вращался, то имелось бы неустойчивое положение равновесия.
Быстрое вращение сообщает гироскопу свойство устойчивости.
В самом деле, дадим оси толчок в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к плоскости рисунка, приложив к ней в течение весьма
малого промежутка времени силу F. Следствием этого, если
оставаться в рамках элементарной теории, будет перемещение
оси материальной симметрии тела (т. е. вектора К) на некото-
некоторый угол в направлении момента т<0) силы F относительно
неподвижной точки О, т. е. в направлении, перпендикулярном
к F (новое положение оси указано на рис. 387 штриховой
линией).

372
ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
С прекращением действия силы F исчезнет и ее момент т{0\
и вектор К (а следовательно, и ось гироскопа) дальше откло-
отклоняться не будет. Ряд толчков, сообщаемых быстро вращающе-
вращающемуся гироскопу, отклоняет его ось в перпендикулярном к толч-
толчкам направлении.
Рис. 387.
Рис. 388.
Учтем теперь действие момента силы тяжести относительно
точки опоры (рис. 388). Наличие этого момента вызывает пере-
перемещение конца вектора К, т. е. оси гироскопа, в горизонтальном
направлении, перпендикулярном к плоскости, содержащей силу
тяжести и ось гироскопа; угол G остается при принятых допу-
допущениях постоянным, и ось описывает коническую поверхность,
вращаясь с угловой скоростью со* вокруг вертикали, проходящей
через точку опоры О. Величина этой угловой скорости найдется
по формуле F5). Имеем
то — Gl sin 6 = /Зсо0(о* sin 9,
где / = ОС. Итак,
(О = ¦
С/
= const.
F6)
Такое движение гироскопа называется регулярной прецес-
прецессией.
При более строгом рассмотрении оказывается, что на опи-
описанное движение оси гироскопа будут накладываться периоди-
периодические изменения малой амплитуды и высокой частоты угла О
и угловой скорости со* — так называемые нутационные ко-
колебания.
Рассмотрим уравновешенный гироскоп с тремя степенями
свободы. В таком гироскопе неподвижной точкой является центр
тяжести, так что внешние силы, действующие на гироскоп, —
сила тяжести и реакция закрепленной точки — уравновеши-

§ 153. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ В ТЕОРИИ ГИРОСКОПА
37$
ваются. Чтобы закрепить ротор G гироскопа в центре тяжести,
применяется карданов подвес (рис. 389). Ось АА\ ротора
укреплена во внутреннем кольце — в раме АВА\В\, которая
может вращаться вокруг оси ВВ\. Наружное кольцо подвеса —
рама BCB\D, которая несет подшипники внутреннего кольца
АВА\В\, в свою очередь может вращаться вокруг оси CD, пер-
перпендикулярной к оси вращения ВВ{ вну-
внутреннего кольца. Три оси ААи ВВ\ и CD пере-
пересекаются в центре тяжести ротора. Ротору
сообщается большая угловая скорость. Пред-
Предположим, что трение в подшипниках и сопро-
сопротивление воздуха сведены к минимуму и ими
можно пренебречь; пренебрегаем также мас-
массой колец по сравнению с массой ротора. При
этих условиях момент внешних сил т@) отно-
относительно центра тяжести ротора равен нулю
и, следовательно, его главный момент коли-
количеств движения К относительно центра тяже-
тяжести имеет постоянное направление и постоян-
постоянную величину; так как (по основной пред-
предпосылке приближенной теории) вектор К сов-
совпадает с осью вращения АА\, то последняя
будет сохранять неизменное направление в
пространстве. Наблюдатель, находящийся на
Земле и меняющий вследствие вращения Зем-
Земли свою ориентировку по отношению к не-
неподвижным звездам, должен заметить перемещение оси гиро-
гироскопа, направленной на неподвижную звезду, по отношению к
Земле. Этот принцип был применен для доказательства враще-
вращения Земли в опытах Фуко A852).
Это же свойство быстро вращающегося тела, закрепленного
в центре тяжести и имеющего три степени свободы, сохранять
неизменным направление своей оси, используется в некоторых
технических применениях гироскопа.
В торпеде гироскоп (прибор Обри) предназначается для
обеспечения устойчивости траектории. Ось гироскопа распола-
располагается параллельно продольной оси торпеды; когда торпеда на-
находится в канале и пускается в цель, ось гироскопа освобож-
освобождается, а маховику сообщается большая угловая скорость. При
всяком отклонении торпеды в горизонтальной плоскости от пря-
прямолинейной траектории (ход по глубине не регулируется прибо-
прибором Обри) кольца карданова подвеса приходят в движение,
так как ось гироскопа своего направления не изменяет; эта
движение передается рулям, управляющим ходом торпеды. При-
Прибор Обри должен быть собран весьма точно. Если точка
пересечения осей подвеса не совпадает в точности с центром
Рис. 389.

374 ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
тяжести маховика, то создающийся момент силы тяжести
вызывает прецессионное движение оси с угловой скоростью
со* =
При т@) = 0,98-10~6 Нм, ооо = 80я 1/с, массе гироскопа
0,75 кг и радиусе инерции его 4-10~2 м, получим
со* = 0,000326 1/с.
Считая продолжительность хода торпеды равной 60 с, получим
угол отклонения гироскопа @,000326-60-180°/я) « 1,12°; эта
ошибка при принятом значении mS0) довольно велика.
В приборе Обри гироскоп применяется как стабилизатор не-
непрямого действия. Иными словами, свойство оси гироскопа
используется для передачи движения устройствам, осуществляю-
осуществляющим стабилизацию. В дру-
других случаях эта стабилиза-
стабилизация выполняется непосред-
непосредственно самим гироскопом.
Сюда относится, например,
применение гироскопа для
уменьшения качки корабля
и гироскопические одно-
однорельсовые вагоны различ-
различных систем.
Схема гироскопического
успокоителя качки Шлика
Рис. 390. представлена на рис. 390.
Маховику гироскопа сооб-
сообщается весьма большая угловая скорость со0 вокруг его оси Ог,
имеющей в среднем положении вертикальное направление.
Рама, несущая подшипники В и В\ оси гироскопа, сама может
вращаться вокруг поперечной оси Ох корпуса корабля. Центр
тяжести системы находится на оси Ог ниже центра тяжести
маховика, для чего рама снабжается противовесом.
Пусть под действием волн корабль кренится, поворачиваясь
вокруг продольной оси Оу на угол ф в положительном направ-
направлении. Конец оси гироскопа получит при этом некоторое пере-
перемещение в поперечной плоскости судна; согласно F4) к раме,
несущей подшипники В я В\ оси гироскопа, будет вследствие
©того приложен гироскопический момент
L\ =
X **2<P = —
F7)
который вызовет поворот рамы вокруг поперечной оси Ох на
«екоторый угол ^ с угловой скоростью —iity; вместе с тем конец

§ 153. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ В ТЕОРИИ ГИРОСКОПА 375
оси гироскопа получит новое перемещение в продольной плоско-
плоскости Oyz, что в свою очередь вызовет появление гироскопического
момента
L2 = J3i3(i>Q X (— *ii) = — /з^М^э F8)
передаваемого через подшипники рамы Т и Т\ корпусу судна.
Этот момент, противодействуя моменту, вызвавшему крен судна,
способствует уменьшению крена. Энергия волн, раскачивающих
судно, преобразуется успокоителем в энергию колебаний рамы
гироскопа; чтобы эти колебания заключались в небольших пре-
пределах, необходимо гасить их, для чего ставится ленточный тор-
тормоз F или гидравлический гаситель.
В современной системе гироскопического успокоителя дви-
движение оси гироскопа вызывается внешним источником энергии.
Маховик гироскопа, установленный так же, как и маховик успо-
успокоителя Шлика, приводится во вращение электромотором; дру-
другой электромотор сообщает оси маховика прецессионное движе-
движение в продольной плоскости судна. Это движение регулируется
чувствительным малым контрольным гироскопом, регистри-
регистрирующим наклон судна при качке; контрольный гироскоп замы-
замыкает в надлежащую сторону ток через реле, обеспечивающее
такое движение мотора, при котором создается момент, проти-
противодействующий моменту волн, вызывающих качку.
Рис. 391.
На рис. 391 представлена модель гироскопического однорель-
однорельсового вагона. Свойство гироскопа сообщать вагону устойчи-
устойчивость объясняется так же, как и в случае успокоителя Шлика;
при наклоне вагона в какую-либо сторону вокруг продольной
оси рама гироскопа повернется вокруг поперечной оси, что со-
сопровождается появлением гироскопического момента, стремя-
стремящегося выправить вагон — снова установить его в вертикальное
положение. В противоположность гироскопу Шлика центр тя-
тяжести рамы и маховика должен в рассматриваемом случае на-
находиться над осью вращения рамы (добавочный груз сверху) >
т. е. система гироскопа и рамы сама по себе неустойчива, как
и вагон.

576 ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Отметим еще, что если вагон наклоняется, то можно способ-
способствовать его выпрямлению, сообщая раме гироскопа легкие
толчки в направлении отклонения вагона. Объяснение этих яв-
явлений можно дать, основываясь на рассмотрении колебаний
системы.
Более детальное рассмотрение движений некоторых гироско-
гироскопов, основанное на интегрировании уравнений динамики твер-
твердого тела и уравнений Лагранжа второго рода, проводится
в гл. XXXV. Рекомендуем также монографию: Ишлин-
с к и й А. Ю. Механика специальных гироскопических систем. —
Киев: Изд-во АН УССР, 1952.
§ 154. Общее уравнение динамики
Вытекающее из принципа Даламбера условие равновесия
несвободной системы под действием «потерянных сил» Лагранж
выразил в аналитической форме, использовав для этой цели
принцип возможных перемещений.
Рассмотрим несвободную систему с идеальными связями.
Обозначая, как и ранее, массы точек Mt системы через т*, рав-
равнодействующую задаваемых сил, приложенных к точке М;, —
через Ft, действительное ускорение точки Mi— через Wi и воз-
возможное перемещение — через бг/, будем иметь условие равнове-
равновесия системы под действием потерянных сил Pi в форме общего
уравнения статики [формула D4) § 145]
п
6г, = 0, F9)
или, вспоминая выражение C) потерянной силы Р/,
п
? (Ft — mtWi) • Ьгt = 0. G0)
i
Это основное, как мы далее увидим, для всей динамики не-
несвободной системы соотношение получило наименование общего
уравнения динамики.
Выражая входящее в левую часть равенства G0) скалярное
произведение через проекции сомножителей на оси декартовой
системы координат, получим общее уравнение динамики в форме
л
Е [(.Fix — Щх{) bxi + {Fty — mtgt) byt +
+ (Fiz-miziNzi] = 0, G1)

§ 154. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
877
предложенной впервые в 1788 г. Лагранжем в его «Аналитиче-
«Аналитической механике».
Только что выведенные уравнения справедливы и для связей
с трением. В этом случае следует формально включить силы
трения в число задаваемых сил.
Пример 137. Через блок О с центром в начале координат (рис. 392)
перекинут шнур длины /ь на одном конце которого подвешено тело Мх мас-
массы ть а на другом — блок М2 массы т2; через блок М2 перекинут шнур дли-
длины /г, на концах которого подвешены грузы М3 и М4 масс т% и т4. Исследо-
Исследовать движение системы, считая размеры блоков пренебрежимо малыми и свя-
связи идеальными.
Обозначим ординаты груза М\, блока М2, грузов М$ и М4 соответственна
через у и У 2, Уз, Уь а их ускорения — через уи У 2, Уз, У а. Присоединив к зада-
задаваемым силам тяжести G\ = m\gy G% = m-ig, G$ = m^g,
G4 = m4g силы инерции Sh S2, S3, S4 с проекциями
•—miSu —я*2*/2> —тгУз, —rn4y4 на ось Oyt сможем рассмат-
рассматривать данную систему блоков и грузов как несвободную
систему, находящуюся в равновесии. Условие равновесия
напишем в форме уравнения принципа возможных переме-
перемещений
(m{g —
+ (m2g — ГП2У2) Ьу2 +
уА = 0. G2)
Мы составили общее уравнение динамики для данного
случая. Возможные перемещения 6(/ь §у% Ьуъ, 6#4 подчи-
подчинены двум условиям
&У\ + б#2 = 0, дуз + 6#4 — 26у2 = 0,
которые легко получить, варьируя очевидные уравнения
связей
Рис. 392.
Система имеет две степени свободы. Выразим два каких-нибудь возможных
перемещения, например Ьу\ и 6#з> через независимые §у2 и Ьу$
подставим в G2), соберем члены с независимыми перемещениями 6y2i by4, и
приравняем коэффициенты при них нулю; тогда будем иметь
ftl\i)\ — ^2$2 — 2/Лз//3 === ?М\§ — fM2§ *""" 2Шз?,
т$Уз — ^4^4=== ftizg — fti^g»
К этим двум уравнениям с четырьмя неизвестными уи $2, $ъ н у4 присоединим
еще два уравнения:
Ух + h = О,
Уг + $4 — 2*/2 = О,
получаемые двукратным дифференцированием уравнений связей.

378 ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Из этой системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными находим
.. .. (тз — т*J + (гпг + rn\) (mi — т2 — гпъ — т4)
У2 2т4 (т4 — т3) — Bт4 + т\ + w2) {гпъ + w4)
(т3 — rtijJ + (т3 + пг4) (mt — т2 — т^—- т4) "I
4 2т4 (т4 — т3) — Bт4 + mi + тг) (т3 + т4) J
Подберем массы тел так, чтобы при ускоренном движении грузов Мг и М4
блок М2 и груз Mi оставались неподвижными. Для этого, согласно первому
равенству G3), должно выполняться равенство
(т3 — т4J + (т3 + т4) (т\ — т2 — т% — т4) == О
и, кроме того, из второго равенства G3) следует, что тъ Ф т4, так как в
противном случае система в целом будет в равновесии, что противоречит при-
принятому условию ускоренного движения грузов М$ и М4.
Не составляет труда и найти реакции. Это можно сделать как методом
сечения шнуров, так и методом множителей (см. пример 138 § 157).
§ 155. Применение общего уравнения динамики
к выводу основных теорем
Предположим, что связи, наложенные на систему, допускают
одинаковое для всех точек системы перемещение в направлении
некоторой оси, которую примем за ось Ох. Тогда элементарное
перемещение
6х; = 6#о, 6г/? == 0, 6z; = 0 G4)
будет одним из возможных, и общее уравнение динамики G1)
примет вид
п
1р. yyi •Х •) иХп — 0
или, после сокращения на общий множитель бхо,
п п
2^ fUiXi = 2^ Fix* G5)
Левая часть этого уравнения представляет собой производную
по времени от проекции на ось Ох количества движения си-
системы; поэтому уравнение G5) записывается в виде
Итак, если связи допускают одинаковое для всех точек си-
системы перемещение в направлении некоторой оси, то производ-
производная по времени от проекции количества движения на эту ось

§ 155. ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫВОДУ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 379
равна проекции на нее главного вектора V всех задаваемых
сил. В приведенной ранее в § 102 формулировке теоремы коли-
количества движения не упоминалось о характере связей и говори-
говорилось о внешних силах. Применяя принцип освобождаемое™,
т. е. присоединяя к числу задаваемых сил соответствующие ре-
реакции в направлении оси Ох, можно допустить, что перемещение
G4) принадлежит к числу возможных. С другой стороны, глав-
главный вектор внутренних сил равен нулю. Поэтому можно счи-
считать, что Vx в правой части G6) представляет собой проекцию
на ось Ох главного вектора V внешних сил (включая реакции
связей).
Предположим теперь, что связи допускают поворот вокруг
некоторой оси на угол бер, одинаковый для всех точек системы.
Принимая эту ось за ось Oz, заключаем, что перемещение
бд:? = — г/,-6ф, 6yi=xi6% 62,== 0 G7)
принадлежит к числу возможных, и общее уравнение динамики
G1) по сокращении на бф дает
п п
Z Щ {x^i — ytXi) = Z (XiFiy — ytFix). G8)
В левой части стоит производная по времени от проекции глав-
главного момента количеств движения системы на ось Oz
а в правой — главный момент т{20) всех задаваемых сил отно-
относительно той же оси. Получаем
Щ-- = т<°>. G9)
dt z х '
Итак, если связи допускают одинаковый для всех точек си-
системы поворот вокруг некоторой оси, то производная по времени
от проекции на эту ось главного момента количеств движения
системы равна главному моменту относительно нее всех зада-
задаваемых сил. Нетрудно убедиться, что и здесь можно вернуться
к формулировке теоремы моментов, данной в § 113.
Переходим к выводу теоремы об изменении кинетической
энергии (теоремы живых сил). Предположим, что связи не за-
зависят от времени (стационарны); тогда действительные переме-
перемещения точек системы
dxi = xidt> dyi — i/idt, dzi = zidt (80)
принадлежат к совокупности возможных перемещений. Под-
Подставив в общее уравнение динамики G1) вместо 6х/, бу/, §zt

380 ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
соответственно dxit dyit dzit получим
п п
S Y dxt + Fiy dyt + Fizdzt).
S Щ {ii + ШУг ii) Yj
Правая часть этого соотношения представляет собой элементар-
элементарную работу задаваемых сил 8W. В левой части стоит дифферен-
дифференциал кинетической энергии системы
i1 *1
Итак,
dT = 6W, (81)
т. е. дифференциал кинетической энергии системы, подчиненной
стационарным идеальным связям, равен элементарной работе
всех задаваемых сил. Конечно, теорему можно представить
также в интегральной форме:
B) B)
J dT = J 6W, или Т2-Тх = Wu 2. (82)
A) (О
Заметим, что здесь приходится — и это лежит в существе
дела — наложить ограничение на характер связей (стационар-
(стационарность), но автоматическое исключение работы реакций связей,
которые предполагаются идеальными, и введение в рассмотре-
рассмотрение работы только задаваемых, а не внешних и внутренних сил
в ряде случаев облегчает применение теоремы к частным
задачам.
§ 156. Применение общего уравнения динамики
в теории удара
Предположим, что в данный момент времени t среди зада-
задаваемых сил имеются мгновенные силы, импульсы которых за
время удара (t, t -\-x) обозначим, как и ранее, через Si. В ре-
результате происшедших ударов количества движений точек
rtijV^ получат конечные изменения т. Дг^ =2 mi (v{p — гК1*),
а вектор-радиусы rit по известному свойству явления удара,
сохраняются неизменными. По определению возможных пере-
перемещений векторы 6ri определяют допускаемые существующими
во время удара связями бесконечно малые перемещения точек
системы в фиксированный' момент времени. Отсюда следует, что
если за время удара не возникает новых связей, то при интегри-
интегрировании в этом промежутке времени векторы возможных пере-
перемещений бг/ могут считаться постоянными.

§ 156. ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ УДАРА 381
При действии на точки системы мгновенных сил возникнут
и мгновенные реакции связей. Предположим, что связи, идеаль-
идеальные до удара, останутся идеальными во время удара и после
него, т. е. что мгновенное увеличение реакций не разрушает свя-
связей и не лишает их свойства идеальности.
Используя сказанное, проинтегрируем обе части общего
уравнения динамики G1) во времени за промежуток удара
(t, t + т) и получим общее уравнение теории удара
Е (S, - m, t±vt) ¦ 6rt = ? [(Six - щ bv
+ (Siy - mt kviy) byt + (Si2 - mt &vi2) 6zt] = 0. (83)
Поступая так же, как и в предыдущем параграфе, убедимся,
что в этом общем уравнении содержатся соответствующие част-
частным предположениям о характере возможных перемещений тео-
теоремы импульсов и моментов при ударе, уже рассмотренные
в §§ 106 и 118.
Обратимся к использованию общего уравнения теории удара
для вывода теоремы *Карно в форме, более общей, чем указан-
указанная в § 132 для удара двух тел.
Предположим, что, помимо существующих идеальных свя-
связей, в некоторый момент времени t внезапно возникают и со-
сохраняются в дальнейшем новые идеальные связи, так что дви-
движущаяся непрерывно система в этот момент подвергается
ударному воздействию реакций вновь возникших связей. Назо-
Назовем потерянными скоростями геометрические разности скоростей
до удара и после него, т. е. взятые с обратным знаком векторы
Avr9 соответственно назовем потерянной кинетической энергией
системы разность кинетических энергий системы до удара
и после него, т. е. величину
_ -^-V-. (84)
Введем еще понятие кинетической энергии потерянных ско-
скоростей, определив ее выражением
представляющим собой результат подстановки в выражение ки-
кинетической энергии потерянных скоростей взамен действи-
действительных.
Докажем следующую теорему Карно:

382 ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Если внезапно возникшие идеальные связи сохраняются
в дальнейшем вместе с ранее существовавшими идеальными
связями, то потерянная в результате возникновения новых сея-
зей кинетическая энергия системы равна кинетической энергии
потерянных скоростей.
Имея в виду применить для доказательства этой теоремы
общее уравнение теории удара (83), поясним, что в данном
случае следует понимать под возможными перемещениями 6г*.
Пусть до возникновения новых связей возможные перемещения
были равны 6г(Я, а затем при новых связях стали равными
6rf\ В соответствии с принципом освобождаемости происходя-
происходящее явление можно трактовать двояко. Во-первых, можно счи-
считать, что новых связей не возникало, а в некоторый момент
времени при наличии старых связей к системе были прило-
приложены новые задаваемые мгновенные силы — реакции новых
связей. Тогда в уравнении (83) следует положить 6г. = бг(/);
при этом в силу идеальности новых связей никаких дополни-
дополнительных слагаемых в уравнении (83) не появится. Очевидно,
можно было, и наоборот, считать одновременно существовав-
существовавшими и старые и новые связи, но до момента действительного
возникновения новых связей к задаваемым силам присоединить
взятые с обратным знаком реакции этих новых связей. Это
также не дает дополнительных слагаемых в уравнении (83), но
под возможными перемещениями системы уже придется пони-
понимать векторы 6г. = 6г(.2). Итак, под возможными перемещениями
6гг в общем уравнении теории удара (83) при наличии внезапно
возникающих идеальных связей можно понимать как возмож-
возможные перемещения, допускаемые старыми связями, так и воз-
возможные перемещения, соответствующие новым связям.
Для доказательства теоремы Карно заметим, что задаваемых
ударов в момент появления новых связей нет, так что, полагая
6rt = 6rf\ перепишем уравнение (83) в виде
,-, ¦ - . =0- (86)
Выбор в качестве возможных перемещений векторов drf\ соот-
соответствующих последующему движению системы, ограниченному
как старыми, так и вновь возникшими и сохраняющими свое
действие связями, позволяет заменить эти возможные переме-
перемещения входящими в их совокупность действительными переме-
перемещениями drfi^vf^dt. Тогда, сокращая на dt, вместо (86) бу-
будем иметь
2>==0. (87)

§ 156. ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ УДАРА 383
Используя тождество
tf >=1 (if>+lf>)+1 (if> - »</)),
согласно (87) получаем
Вспоминая введенное ранее определение «потерянной» кине-
кинетической энергии (84) и кинетической энергии «потерянных»
скоростей (85), видим, что равенство (88) доказывает теорему
Карно.
Случай исчезновения связей можно рассмотреть аналогично
предыдущему. В этом случае примем в уравнении (83)
6г. = 6г(/); тогда вместо (86) будем иметь
п
X mi kvt • 6r? = 0- (89)
Полагая 6r(.l) = dr{P = v\{) dt, находим
.^p-v^-v^^O. (90)
Используя теперь тождество
как и выше, получаем
1 W2)J - т Е mi Wu)8 - т Z
Таким образом, кинетическая энергия, приобретенная при
исчезновении связей, равна «кинетической энергии приобретен-
приобретенных скоростей», как естественно в данном случае именовать
правую часть равенства (91).
В качестве примера рассмотрим случай наложения на дви-
движение плоской фигуры новой связи, заключающейся в том, что
одну из точек фигуры внезапно останавливают.
Обозначая через Vex и Vcy проекции скоростей центра масс
фигуры и через ом — ее угловую скорость до удара, найдем вы-
выражение кинетической энергии фигуры до удара
M(v* + vl + *<ul). (92)
После удара фигура будет вращаться с угловой скоростью со2
вокруг остановленной точки О и кинетическая энергия будет

884 ГЛ. XXVIII. КИНЕТОСТАТИКА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
равна
1
(93)
Взяв начало системы координат в центре масс и обозначая че-
через х и у координаты какой-либо точки М фигуры в этой си-
системе, будем иметь следующие выражения проекций на оси
скорости точки до удара:
и после удара:
где хс, ус — координаты центра масс в системе параллельных
осей, имеющих начало в точке О. Квадрат потерянной скорости
точки равен
дар - ^)J + дар _ ^у _ V2cx + ^ +
+ (ffi2 - &ху (я* + у') + «1 D + У2С) +
+ 2 F2 — ©0 (yvCx — хоСу) — 2®2 (xcVcy — Ус^сх) +
+ 262 (с52 — ^i) (^c + УУс)-
При вычислении кинетической энергии Г*, соответствующей по-
потерянным скоростям,
(Af)
следует пользоваться соотношениями
5 (*2 + #2)dm = Mp?, ^ * dm= ^dm = 0, J dm = M,
(Af) (M) M (M)
а также равенством
P2o = Pc + 4 + #c>
выражающим теорему о моментах инерции относительно парал-
параллельных осей. Получим
Г = -IМ [v*cx + v%
Составив соотношение
выражающее теорему Карно, придем к формуле для угловой
скорости ю2 фигуры после удара
©2 = jr (xcvcy -
полученной иным путем в § 138.

Глава XXIX
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 157. Уравнения Лагранжа первого рода
для голономной системы
Методы статики несвободной системы, изложенные з
гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как
использование уравнения принципа возможных перемещений —
общего уравнения статики — привело к различным формам
уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщен-
обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из
общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы
дифференциальных уравнений движения несвободной системы.
Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа,
так как были впервые опубликованы в «Аналитической меха-
механике» Лагранжа.
Рассмотрим систему п материальных точек Mi массами т?,
подчиненную s голономным связям вида
ФаС; х{, ух, ги ..., хп, yni zn) = 0 A)
(а=1, 2, ..., s).
Составляя вариации, найдем s уравнений, связывающих Зя воз-
возможных перемещений 6xi, Syt и 8zr.
(а=1, 2, ..., s).
В соответствии с этими уравнениями независимых возможных
перемещений будет Зп — 5 = k, где k — число степеней свободы
системы.
Умножая каждое из уравнений B) на произвольный пока
множитель %а, складывая их между собой и с общим уравне-
уравнением динамики G1) предыдущей главы, перегруппировывая
13 Л, Г. Лойцянский, А. И. Лурье

386 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
слагаемые, получаем
а=»1
= 0. C)
Следуя далее обычным для метода неопределенных множи-
множителей (§ 144) рассуждениям, подчиним s множителей Ка усло-
условию обращения в нуль выражений в каких-нибудь s круглых
скобках в предыдущем уравнении. Тогда оставшаяся сумма
будет состоять из Ъп— s скобок, умножаемых на Ъп— s произ-
произвольных вариаций координат. Поскольку эта сумма должна
быть равна нулю при любых значениях вариаций, и выраже-
выражения, стоящие в остальных Ъп— s скобках, должны обращаться
в нуль. Таким образом, выражения, стоящие в Ъп круглых скоб-
скобках в уравнении C), равны нулю, что приводит к системе Ъп
уравнений
дФа
— F Л. V Ji дФ*
— Fix + L Л'-ЩГ'
дУ1 >
а=1
s
=^+Е^^. w
а=1
Яа^" («= 1, 2, ..., П),
которые вместе с 5 уравнениями связей A) образуют систему
Зп + s уравнений с Зп + s неизвестными: Ъп координатами к-,
tji, Zi и 5 множителями связей %а.
Уравнения эти носят наименование уравнений Лагранжа пер-
первого рода или уравнений с множителями в декартовых коор-
координатах.
Сравнивая правые части уравнений D) с уравнениями дви-
движения точек несвободной системы, составленных непосред-
непосредственно по второму закону Ньютона и «принципу освобождае-
мости»
i = Fu + NiZ9 E)

§ 158. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 387
МЫ ВИДИМ, ЧТО
s s
Nix-lJ х*-^г> Niy~L Я«^7"*
<х=1 a=l *
F)
a=l '
Таким образом, решив систему уравнений D) и A), мы
определим не только движение точек механической системы, но
по формулам F) и реакции связей.
Обычный путь решения уравнений Лагранжа первого рода
заключается в том, что сначала из s уравнений, произвольно
выбранных среди Ъп уравнений D), определяют s множителей
связей Ка. Подставляя эти значения Ха в остальные Зп — 5 урав-
уравнений D) и объединяя их с уравнениями связей A), получают
систему Зп уравнений, из которых находят Ъп координат как
функции от времени; после этого определяют Ха, а затем по
F)—реакции связей NiXy Nty> NiZ.
Пример 138. С помощью метода неопределенных множителей опреде-
определить натяжения шнуров в примере 137 § 154.
Уравнения связей перепишем в виде
ф1 e fi + г/2 — U = О, Ф2 = уз + У а — 2г/2 — h = 0.
По числу уравнений связей вводим два множителя %\ и К2. Уравнения Ла-
гранжа первого рода D) приводятся к следующим четырем уравнениям:
Xi2X2y
Я2, т4у4 == m4g + Я2.
Исключая множители ^i и Яг, вновь получим уравнения примера 137 пре-
предыдущей главы. Воспользовавшись, таким образом, полученными значениями
вторых производных от координат по времени, определим из G) Х{ и Я2, а за-
затем по F) и искомые реакции, которые в настоящем случае представляют не
что иное, как натяжения шнуров, и равны
Niy — X\> N2y = ki—2Я2, Nsy = Я2, М4у = Я2.
§ 158. Движение точки по гладкой поверхности или кривой
Уравнения Лагранжа первого рода могут быть применены
для изучения движения точки по поверхности или кривой. Если
поверхность, в общем случае как угодно движущаяся и дефор-
деформирующаяся, задана уравнением
Ф(*;*, у9г) = 0, (8)
то уравнения Лагранжа первого рода D) примут вид
13*

388 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
или в векторной форме
mr = F + Я grad<?. A0)
Сравнивая с уравнением, соответствующим принципу освобож-
даемости,
мы видим, что
N = Xgrad<&. A1)
Абсолютная величина множителя связи в этом случае равна
| grad Ф | ^(dto/dxJ + (дФ/дуJ + (дФ/dzJ '
Чтобы определить знак множителя связи, напомним, что
вектор grad Ф имеет направление так называемой внешней нор-
нормали к поверхности ф = 0, т. е. направлен в ту область про-
пространства, где Ф > 0. Обозначая через п единичный вектор
внешней нормали, будем иметь
При этом, согласно A1), можно написать
Подчеркнем, что направление внешней нормали зависит ог
вида выбора уравнения поверхности, так как, меняя знак левой
части уравнения (8), мы тем самым изменим направление внеш-
внешней нормали на противоположное.
Аналогично, в случае движения по кривой, которую можно
представить как пересечение двух поверхностей
Ф1 (/; х, у, г) = 0, Ф2 (/; *, у, z) = 0, A4)
будем, согласно D), иметь уравнения Лагранжа первого рода
с двумя множителями %\ и%2.
"й-^ + Ь +
или в векторной форме
mr^F + Xi grad Ф1 + Я2 grad Ф2. A6)

§ 158. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 389
Сравнивая это уравнение с уравнением
где N — реакция кривой, по которой движется точка, аЛ^иЛГ2 —•
соответственно реакции поверхностей A4), пересечением кото-
которых кривая может быть представлена, заключаем, что
N{ = k{greid<$>l9 N2 = Я2 grad Ф2, A7)
II 1 Nl II I ^2
'Л1| — В grad Ф! |f |Л2|~ igrad Ф21 *
Желая учесть знаки Х\ и А,2, будем по предыдущему иметь
Л1 ~ | grad Ф, Г Л* ~ | grad Ф21 '
где п\ и л2 — внешние нормали к поверхностям A4), положи-
положительное направление которых зависит от выбора вида этих
уравнений.
Таким образом, при движении точки по идеальным поверх-
поверхностям или кривым множители связей представляют собой ве-
величины, пропорциональные реакциям связей.
Пример 139. Математический маятник. Как уже известно из
•§112, под математическим маятником понимают тяжелую точку, движущуюся
по вертикальной окружности (например, точку, под-
подвешенную на нити). Для того чтобы внешняя нор-
нормаль совпала с главной нормалью, выберем уравне-
уравнение связи (/ —г радиус окружности) в виде
фв/2_х2_02во; A8)
в этом случае внутренней (в геометрическом смы-
смысле) части круга соответствует Ф > 0. Уравнения //.
Лагранжа первого рода будут
пгх = — 2Хх, ту = mg — 2ky, A9
причем ось Оу направлена по вертикали вниз Рис. 393.
(рис. 393).
Исключение Я можно провести двояким образом. Умножим обе части вто*
рого равенства на х, а первого — на у и вычтем из второго первое; будем
иметь
ху ~ уХ = gx,
«ли
-jp (ху - ух) = gx. B0)
В этом соотношении нетрудно узнать уравнение моментов отнееителыю
оси Ог, перпендикулярной к плоскости чертежа. Полагая
х = — / sin ф, у = / cos ф,
ху~ух = I2 (sin2 ф + cos2 ф) ф = /2ф,
9

390 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
получаем вместо B0) известное уже дифференциальное уравнение движения-
математического маятника (§ 112)
q)+-^sin(p = 0, B1)
интегрирование которого для случая малых углов было проведено ранее; слу-
случай конечных по величине углов будет разобран далее (§ 177).
Умножим обе части первого из уравнений A9) на х, второго — на у а
сложим; тогда будем иметь
т (хх + уу) = mgy — 2Х (хх + уу),
Второе слагаемое в правой части равно нулю по A8); интегрируя, получаем
соотношение
тх? mvl
представляющее собой интеграл энергии, причем v0 и уо — начальные значе-
значения скорости и ординаты. Интеграл энергии имеет место, так как задаваемая
сила (сила тяжести) консервативна, а связь идеальна и стационарна. Если бы
маятник имел переменную длину, изменяющуюся по заданному закону / =
= l(t) (§ 142), то выражение
являлось бы неинтегрируемой комбинацией и интеграл B2) отсутствовал бы.
Найдем множитель X и реакцию связи. Для этого проще всего умножить
первое равенство A9) на х, второе — на у и сложить; это приведет к равен-
равенству
т (хх + уу) == mgy — 2Х (х2 + у2),
или
т -^г ( *2 \у2 ) - т (х2 + Я = mgy - 2% (х* + у\
т. е. по A8)
2/2Я = mgy + mv2. B3>
Отсюда с учетом A3) и A8) определим проекцию реакции на главную нор*
маль
Воспользовавшись соотношением B2), перепишем последнее равенства
так:
2
Пользуясь равенством B5), можно установить величину начальной ско-
скорости, при которой, какова бы ни была начальная ордината уо, точка не сой*

§ 158. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
391
дет с окружности, т. е. нить не ослабнет. Для этого, замечая, что Nn будет
иметь минимум при у = —/, потребуем, чтобы это минимальное значение Nn
оставалось положительным при любом значении у0:
т. е. чтобы
Замечая, что максимальное значение у0 равно /, окончательно получим иско-
искомое неравенство
v0 > л/Sgl. B6)
Пример 140. Составить и исследовать уравнение движения тяжелой
точки (рис. 394) по поверхности сферы (сферический маятник).
Уравнение сферы зададим в виде (/ — радиус сферы)
ф = /2 _ Х2 __ у2 _ Z2 в 0 B7)
Уравнения Лагранжа первого рода будут (ось Oz направим по вертикали
х = — 2Хх, ту — —
mz = mg — 2Xz.
B8)
Для исключения К поступим по предыдущему: умножим обе части пер-
первого равенства на х, второго на у, третьего на г и сложим их между собой;
будем иметь
dt
или, в соответствии с B7), после интегри-
интегрирования
2 2
mv ти0
— mgz = —- mgzo. B9)
Это выражение представляет собой инте-
интеграл энергии.
Умножая второе равенство B8) на х, первое — на у и вычитая из вто-
второго первое, получим
ху — ух = 0, или ху — ух = const.
Это — интеграл площадей в плоскости хОу, имеющий место, так как ни сила
тяжести, ни реакция не создают момента относительно оси Oz. Введем цилин-
цилиндрические координаты (г, ср, г), выбрав их так, как показано на рис. 394.
Тогда х = г cos ср, у = г sin ср, и интеграл площадей приведется к виду
г2ф =
: const.
C0)
Вместе с интегралом энергии B9), который можно переписать в цилин-
цилиндрических координатах в форме
г2 + г2ф2 + z2 — 2gz = const,
C1)

392
ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
и уравнением связи B7), записанным в виде
C2)
имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями времени г,
Ф, z. Интегрирование этой системы уравнений определит движение точки на
сфере (§ 161).
Обратимся к определению множителя связи и реакции. Умножая обе ча-
части первого равенства B8) на ху второго — на у и третьего — на г, получаем
т
/ х2 + у2 + z2
dt2 \ 2
или, используя B7),
Л - т (х2
+ г2) = mgz - 2Х (х2 + у2 + г2),
2Я/2 = mgz + mv2.
По A3) и B7) определим проекцию реакции на нормаль
z , mv2
C3)
n=*k\ grad Ф
или, согласно B9),
2X1:
mot
C4)
Условие, налагаемое на v0, — чтобы точка при любом значении z0 не со-
сошла со связи, — сохраняет вид B6).
В только что рассмотренных примерах определить реакции можно было
и без применения уравнений Лагранжа первого рода, непосредственно состав-
составляя условия равновесия движущейся точки под действием силы тяжести, ре-
реакции и центробежной силы инерции. Метод
множителей Лагранжа оказывает существен-
существенную пользу в тех случаях, когда поверхность
или кривая не обладают теми простыми гео-
геометрическими свойствами, как сфера или
окружность; покажем это на следующем при-
примере.
Пример 141. Тяжелая точка массы т
совершает движение по эллипсу, плоскость ко-
которого наклонена к горизонту под углом а
(рис. 395); проекцией эллипса на горизонталь-
горизонтальную поверхность служит окружность радиу-
радиуса г0. Составить уравнения движения и опре-
определить реакцию связи, считая ее идеальной.
Представим себе эллипс как пересечение
поверхности кругового цилиндра, радиус ко-
которого равен Го, а образующая параллельна вертикальной оси, с плоскостью,
наклоненной к горизонту под углом а (цилиндр и плоскость не показаны
на рисунке, чтобы не усложнять его). Уравнения связи будут
Рис. 395.
где
1 — иг = 0. Фо
= tga.
: Z — kX = О,
Составим уравнения Лагранжа первого рода D):
C5)
C6)

§ 158. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 393
Для определения движения можно воспользоваться, как и в предыдущих
примерах, интегралом энергии, который можно получить и непосредственно, и
путем сложения уравнений C6), соответственно умноженных на х, у и г. Про-
Проводя вычисление последним путем, полезно проследить, как при помощи урав-
уравнений связей C5) можно исключить из уравнения движения множители Ki и
Я2. Будем иметь
— mgz - С,
где С — постоянная, определяемая из начальных условий. Этого уравнения
совместно с двумя уравнениями связей C5) достаточно для определения дви-
движения точки по эллипсу. Пользуясь очевидными соотношениями
х = го cos ф, у = Го sin ф, г = kx = kro cos ф, C7)
сведем задачу к исследованию приводящегося к квадратуре уравнения
A + k2 sin2 ф) ф2 « С + -^S. Cos ф. C8)
Перейдем к нахождению множителей связей К\ и Я2 и реакции. Умножим
уравнения C6) соответственно на х, у, z и сложим; тогда получим
т (хх + у у) + mzz = —2%х (х2 + у2) — к%гх + %2z + mgz,
или
т *2%у2 -т(х2 + у2) + mzz = - 2%х (х2 + у2) + K2(z- kx) + mgz.
т —-
Отсюда, согласно уравнениям связей C5), будем иметь
2r\x{ + (mz -mg)z=*m {x2 + у2),
или в силу последнего из уравнений C6)
2rlKx +zX2 = m (х2 + у2) = апг^Ф2. C9)
Вычтем еще из последнего уравнения C6) первое, умноженное на k\ тогда,
согласно второму из уравнений связей C5), получим
т (z — kx) = 0 = mg + Х2 + 2kXxx + &2Я2,
или
2kxk{ + A + k2) X2 « - mg. D0)
Из двух уравнений C9) и D0) найдем
m{\+k2)rltf+gz
'"[(l+*2Mte]' 2~
после чего реакции эллипса определятся по формулам

394 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
или после подстановки выражений D1)
g {krl — xz) — xr2oq>2
X~~m (\+k2)r20-kxz
= — ту — ^- , D3)
(\+k2)r20-kxz
N - mr2 8
iv — — mr-r
n -r rr ——————.
0(l+A2)rjj-**z
В силу соотношений C7) эти выражения можно представить как функции
от фи ф:
kg sin2 ф — гоф2 cos ф
N~m
Пользуясь C8), можно в последних равенствах выразить ф2 через угол фг
который в данном случае играет роль независимой обобщенной координаты.
При k = 0 эллипс превращается в горизонтальную окружность, по которой,
согласно C8), точка будет двигаться с постоянной скоростью. Такое движе-
движение совершает конический маятник. Реакция окружности в этом случае, со-
согласно D4), будет определяться равенствами
Мх = — тгоф2 cos ф, Ny = — тгоф2 sin ф, N2 = — mg,
смысл которых очевиден. При k -+¦ оо проекции реакции стремятся к нулю;
связь в этом случае представляет собой совокупность двух вертикальных пря*
мых, совпадающих с траекториями свободной тяжелой точки, брошенной вер*
тикально.
§ 159. Уравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой диф-
дифференциальные уравнения движения несвободной системы, со*
ставленные в обобщенных координатах. Наибольшее распро-
распространение получили уравнения в независимых обобщенных ко-
координатах, — их обычно называют уравнениями Лагранжа
второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как
уравнениями Лагранжа первого рода пользуются сравнительно
редко.
Рассмотрим систему с k степенями свободы, подчиненную
идеальным голономным связям. Положение системы в простран-
пространстве будем определять k независимыми обобщенными коорди-
координатами qu ..., 4k- Вектор-радиус г,- любой точки системы может
быть, как это следует из § 142, выражен через обобщенные ко-

§ 159. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 395
•ординаты (и время, если связи нестационарны) по формулам
ri = ri(t; qu q2, ..., qk) A=1, 2, ..., n), D5)
а возможные перемещения определятся как вариации вектор-
радиусов
причем, согласно принятому условию о независимости обобщен-
обобщенных координат, все вариации 8qj (/= 1, 2, ..., k) представляют
собой произвольные бесконечно малые величины.
Составим выражения векторов скоростей точек системы:
%* <«>
Производные обобщенных координат по времени, т. е. вели-
величины ф, как уже упоминалось в § 142, называются обобщенными
скоростями. Формулы D7) показывают, что скорость vt любой
точки линейно выражается через обобщенные скорости, так как
по D5) dti/dt и dri/dqi зависят только от обобщенных коорди-
координат и времени, но не от обобщенных скоростей. Поэтому, обо-
обозначая через а произвольный индекс, изменяющийся от 1 до &,
будем иметь
dqa dqa dqa '
Докажем еще, что
dvt drt d drt
Для этого продифференцируем обе части D7) по qa и получим
drt d2ri у» d1ri
dqa dqa dt Lj dqa dqf ^i'
С другой стороны, составим непосредственно
dt \ dqa J dt dqa ^ La
dqj dqa ч*%
Сравнивая последние два равенства, убеждаемся в справедли-
справедливости соотношения D9).

396 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Обратимся к общему уравнению динамики G0) § 154 и пе*
репишем его в виде
2 б'* = 0-
Первая сумма уже была выражена через обобщенные коор-
координаты [см. формулу D9) § 145]; она равна
Е^^Е
где Q/ — обобщенная сила.
Что касается второй суммы в уравнении E0), то, пользуясь
D6) и меняя порядок суммирования, ее можно преобразовать
так:
(
у /-l\W
E2)
скалярное произведение под знаком суммы преобразуется к виду
dri d ( dri\ d drt
или по формулам D8) и D9)
drt d f dvt \ dvt
= \т*)т*>
d д f mtv]\ д f
1t~d$J\T~) 'д^У
Подставляя последнее выражение в правую часть равенства
F2) и замечая, что сумма
?^ = Т E3>
определяет кинетическую энергию системы, получаем
к
Уравнение F0) теперь перепишется так:

§ 159. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 307
Последнее равенство может выполняться при произвольных
б?/ только в том случае, когда все выражения в круглых скоб-
скобках равны нулю. Таким образом, мы приходим к уравнениям
Лагранжа второго рода, составленным в независимых обобщен-
обобщенных координатах для системы с голономными связями:
ъг-щ-щ-*1 tf-1-*.-.*). <55)
Уравнения E5) представляют собой систему k (по числу сте-
степеней свободы) обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с k независимыми обобщенными координатами,
являющимися искомыми функциями времени.
При составлении уравнений Лагранжа второго рода E5)
приходится прежде всего разыскивать выражение кинетической
энергии через обобщенные скорости и координаты (и, кроме
того, через время, если связи нестационарны).
Докажем, что кинетическая энергия является квадратичной
функцией обобщенных скоростей.
Для этого заметим, что, согласно D7),
.. — „. Vi — df ^ ^« ^ df dg 4f T^j^ dq dq
и полная кинетическая энергия будет равна
л ..2
^p- = T0 + Tl + T2, E6)
где Го — функция нулевой степени относительно обобщенных
скоростей ц\\
.^l.-^L, E7)
T\ — линейная функция обобщенных скоростей
k
^1 = Е^Л E8)
где

398 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
и, наконец, Т% — функция второй степени от обобщенных ско-
скоростей:
k k
/=1 а=1
причем
Из определения функций Л/а следует, что Л/а = Ла/ (/= 1,
2, ...,&; а = 1, 2, ...,?), т. е. эти величины симметричны.
Итак, выражение кинетической энергии в обобщенных коор-
координатах будет
k
T = T0(t; qu .... qk)+YBt(t; qu ..., qk)q,+
/-1 a=l
Если все связи стационарны, то rt не зависят явно от вре-
времени; тогда, очевидно,
и выражение кинетической энергии сводится к однородной функ-
функции второй степени обобщенных скоростей (квадратичной фор-
форме), коэффициенты которой зависят только от обобщенных ко-
координат:
k k
Об определении величин Q/ уже говорилось в § 145; напо-
напомним, что они определяются как коэффициенты при соответ-
соответствующих по индексу вариациях обобщенных координат q\ в вы-
выражении суммы элементарных работ задаваемых сил на сово-
совокупности возможных перемещений системы
Если задаваемые силы консервативны, то, согласно формуле
E0) § 145,
Ъ—Щ (/«1.2,.... ft),

§ 160. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 399
и уравнения E5) будут иметь вид
или, поскольку потенциальная энергия П не зависит от обоб-
обобщенных скоростей,
d д (Т - П) д (Г - П) = Q
dt dqj dqj
Введем в рассмотрение функцию Лагранжа, или кинетический
потенциал
L(t\ qb <72, ..., qk\ qb q2, ..., qk) = T — П. F5)
Тогда предыдущие уравнения примут вид
ЧТЩ-^;-0 «—1, 2 А). F6)
§ 160. Интеграл энергии и циклические интегралы
Предположим, что время не входит явно в выражение кине-
кинетического потенциала L. Это безусловно будет иметь место, если
связи стационарны; однако L может явно не содержать /ив тех
случаях, когда связи зависят от времени, что будет показано
ниже на примерах.
Составим полную производную кинетического потенциала по
времени, рассматривая его как сложную функцию, зависящую
от времени через обобщенные координаты и скорости:
dt jLj\dqj4i
q
Пользуясь уравнениями Лагранжа в форме F6), произведем
замену
dL __ d dL
d<7/ " dt dqj *
тогда будем иметь
k k
*L — V (• A. dL _i_ •• dL \ — d V dL •
dt ~ L\qi dt д^ ^Ц1~Щ)~Чг1и~ЩЦ1
или, перенеся все члены в одну сторону,

400 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Отсюда следует наличие первого интеграла уравнений Ла-
Лагранжа
k
Y.4r-4i — L = h, F8)
называемого интегралом энергии. Это наименование объясняется
тем, что в случае стационарных связей равенство F8) выражает
не что иное, как закон сохранения механической энергии. Дей-
Действительно, в этом случае кинетическая энергия представляет,
согласно F3), однородную квадратичную форму обобщенных
скоростей, и по известной теореме Эйлера об однородных функ-
функциях будем иметь
k k
так что F8) преобразуется к виду
2Т - L = 2Т — (Т — П) = А,
или
Г + П = А, G0)
что и выражает закон сохранения механической энергии. Вхо-
Входящая сюда постоянная интегрирования h представляет полную
механическую энергию системы, равную сумме начальных зна-
значений кинетической и потенциальной энергий.
Первый интеграл уравнений движения F8) имеет место при
достаточно широких предположениях относительно свойств за-
задаваемых сил (консервативность) и характера связей (стацио-
(стационарность) или, несколько более общо, относительно вида функ-
функции Лагранжа L (независимость ее от времени). Обратимся
теперь к рассмотрению других первых интегралов, существова-
существование которых требует более сильных ограничений, накладывае-
накладываемых на выражение кинетического потенциала.
Условимся называть циклическими такие обобщенные коор-
координаты системы, которые не входят явно в выражение функции
Лагранжа. Так, например, если тяжелая точка массы m дви-
движется в пространстве, то в случае отсутствия сопротивления
среды кинетическая энергия и функция Лагранжа точки в де-
декартовых прямоугольных координатах (ось Ог направлена по
вертикали вверх) будут таковы:

§ 160. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 401
Координаты х и у являются циклическими. Точно так же, если
материальная точка массы т движется в плоскости под дей-
действием центральной силы, направленной к началу координат,
как к центру, и являющейся функцией только расстояния г точки
от центра, то, пользуясь полярными координатами, будем имегь
Угловая координата ф при этом будет циклической.
Предположим, что среди k обобщенных координат оказалось
некоторое число v < k циклических координат
Яь Яь •••» Яу>
тогда по определению циклических координат
|^ = 0 (/=1, 2,..., v) G1)
и из уравнений Лагранжа F6) сразу следует, что
Цщ) = ° У' 2 v),
откуда получаем
iL = C/ = const (/=1, 2, .... v). G2)
Эти равенства, связывающие обобщенные скорости, коорди-
координаты, время и постоянные интегрирования, являются первыми
интегралами уравнений Лагранжа и называются циклическими
интегралами.
Производные от функции L по обобщенным скоростям qjf
или, что все равно, от кинетической энергии Т по тем же пере-
переменным, называют обобщенными импульсами и обозначают так:
Величинам /?/ можно дать следующую интерпретацию. Пусть
в момент времени t к точкам системы прикладываются некото-
некоторые задаваемые удары, т. е. мгновенные силы Fit время дей-
действия которых т настолько мало, что изменением положения
точек системы за это время можно пренебречь. Интегрируд
в интервале времени (/, t^-т) левые и правые части уравнений

402 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
E5), получаем
t+x t+x
(¦§?-) —("f^") "" J l^dt = J Qidt> <74)
t t
Интеграл в левой части равенства G4) имеет порядок т, так как
подынтегральные величины dT/dqj во время удара претерпевают
лишь конечные изменения. Интеграл в правой части этого ра-
равенства можно по формуле D9) § 145 переписать в виде
t+x t+x „
t t t = l *
причем по предыдущему величины dri/dqi за время удара изме-
изменяются ничтожно и могут быть приняты при интегрировании за
постоянные; поэтому будем иметь
t+x п
$1>-Ж' G5)
где векторы
t+x
S,= \ Ftdt
t
представляют собой импульсы за время удара мгновенных сил,
приложенных к точкам системы, называемые обобщенными им-
импульсами мгновенных сил.
Система уравнений G4) приводится к виду
t+x
Qj dt, G6)
или, пользуясь обозначениями G3),
t+x
t
Из последней формулы следует, что обобщенный импульс pf
в данный момент равен обобщенному импульсу мгновенных
сил, который надо сообщить покоящейся системе, чтобы она
мгновенно приобрела то движение, которое она на самом деле
совершает в этот момент. Этим можно объяснить применение
термина «обобщенный импульс» для величин р/, определенных
равенствами G3).

§ 161. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
403
В декартовой системе координат обобщенные импульсы
равны
__ дТ _ д ш(х2 + у2 + г2) __ .
Рх ~ дх ~ дх 2 ~ тХ>
G8)
РУ = ту, рг = mz,
т. е. представляют собой проекции количества движения.
В полярной системе координат импульс рф, соответствующий
угловой координате, равен
dL дТ
G9)
т. е. равен моменту количества движения точки.
Пользуясь понятием импульса, можно выразить G2) короче
так:
р, = С, (/=1, 2, ..., v). (80)
Отсюда следует, что циклические импульсы сохраняют постоян-
постоянную величину. В полярных координатах это соответствует из-
известной теореме сохранеьшя момента количества движения при
равенстве нулю момента приложенной силы, а в декартовых —
теореме сохранения проекции количества движения при равен-
равенстве нулю проекции главного вектора внешних сил на соответ-
соответствующую ось.
§ 161. Примеры применения уравнений Лагранжа
второго рода
Пример 142. Циклоидальный маятник. Тяжелая точка массы
m движется по циклоиде с вертикальной осью (рис. 396). Найти движение
точки.
Если начало координат взять в точке О, то
уравнения циклоиды будут Bа — диаметр произ-
производящего круга)
х = а (9 — sin G), у = а A — cos 0).
За независимую обобщенную координату при- Рис. 396.
мем длину дуги о от вершины С циклоиды до
движущейся точки. Зависимость угла 0 от о легко найти, написав
Ч
i
Csl
о
\
\
J *
V
а = \ do = \
dy2
2а sin
«= — Аа cos -| + const.
Помещая начало координат и отсчета дуг в точку С (рис. 396), будем
иметь
' = — а(\ + cos0):
¦ 2а cos2 4 ==
8а*

404 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Кинетическая энергия равна
*'
потенциальная энергия
'—«ю'-г-л
й уравнение Лагранжа записывается в виде
Это — уравнение гармонических колебаний с периодом
а/—
V 8
Циклоидальный маятник (маятник Гюйгенса) обладает свойством изо-
изохронности, т. е. период колебаний его не зависит от начальных условий дви-
движения. В этом его отличие от математического
маятника, у которого изохронность имеет ме-
место только при малых углах отклонения. Ма-
Маятник Гюйгенса может быть осуществлен, ес-
если нить, на которой висит грузик, заставить
при колебаниях навиваться на шаблон, имею-
имеющий форму циклоиды (рис. 397). Тогда, как
известно, грузик будет двигаться по эвольвен-
эвольвенте циклоиды, т. е. по такой же, но сдвинутой
циклоиде. Циклоидальный маятник движется
синхронно с математическим маятником дли-
длины 4а, совершающим малые колебания.
Пример 143. Сферический маятник. Тяжелая точка массы пг
движется по поверхности гладкой сферы радиуса /. Исследовать характер дви-
движения при различных начальных условиях, считая связь удерживающей.
Кинетическая энергия точки в сферических координатах (рис. 394) равна
[ср. равенство B4) § 48 при г = / = const]
Рис. 397.
г = —
sin2 e + /2е2);
потенциальная энергия
П я» — mgz = — mgl cos 9.
Координата ср является циклической; соответствующий ей первый инте-
интеграл уравнения движения будет
Cb или ф sin2 6 = С.
Составим еще один первый интеграл — интеграл энергии
Т + П = const,
который может быть записан в виде
ё2 + ф2 sin2 6 — Ц- cos в — 2/г.

§ 161. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 405
После исключения ф получим
Произведя замену
/ cos 6 = г,
получим
/2^2 = 2 (/2 - z2) (hi2 -f gz) - С2/4 = F (z),
откуда
го
где z0 определяется начальным значением угла В. Очевидно, что
Интеграл в выражении для / эллиптический, так как под знаком радикала1
стоит полином третьей степени. Обращая интеграл, можно найти z как функ-
функцию от времени. Определив z или 6, найдем <р, исключив dt из равенства
dq> С С12
dt sin2 6 /2 — z2
и предыдущего равенства, записанного в виде
Idz
dt
Л/F (z) '
Получим
. . cz» dz
Яф =
P-z2 ^F(z)
откуда следует, что
С/3 dz
±
С С/3
*0
Покажем, как, не вычисляя интеграла, можно судить качественно о харак-
характере движения сферического маятника.
Для этого заметим прежде всего, что функция F(z) имеет в интервале
(—оо, -f-°°) три действительных корня а, р и у, так как
F (- оо) = (- 2gz* + .. ,J== _„> = + оо,
/?(-/) = — С2/4 < О,
F (го) > О,
/?(+/)«- С2/4 < О,
Следовательно, корни располагаются так, как показано на рис. 398. Дви-
Движение может происходить только в области, где /г(г)>0> т. е. в области

406
ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
между корнями 2= р и 2 = а*). Эти значения г определяют на сфере две
параллельные окружности, между которыми может происходить движение.
Параллельные окружности
6i = arccos (р//) и 92 = arccos (a/0
с радиусами
Я = V/2 — Р2 и г = л/l2 — а2
называются предельными окружностями. Из уравнения
F(z)k „(dz^
Рис. 398.
следует, что на этих окружностях
2 становится наибольшим и наи-
наименьшим.
Среднее по высоте положе-
положение точки всегда находится ниже
центра сферы, т. е.
а+р>0.
Для доказательства этого утверждения сравним коэффициенты при г в тож-
тождестве
F (г) = - 2gz* - 2hl2z2 + 2/2g2 + 2hik - С2/4 = - 2g (z — a) B - P) (z - y);
тогда получим
откуда
Но у < 0, а I2 + ap > 0 (так как |а| < /, |Р| < /); следовательно, a +
Итак, 2 колеблется между значениями р и а.
Что касается ф, то из условия
С12
dt"~~ l2 — z2
следует, что ф изменяется монотонно.
При сравнительно малых начальных отклонениях
от нижнего положения равновесия и малых началь-
начальных скоростях точка будет описывать на нижней
полусфере траекторию, горизонтальная проекция ко-
которой напоминает эллипс, с той разницей, что траек-
траектория не замыкается, а образует петли (рис. 399).
Явление это протекает так, как будто точка движется по эллипсу, большая
ось которого поворачивается, причем направление поворота этой оси совпа-
совпадает с направлением обращения точки по эллипсу. Как показывает подроб-
подробное исследование**), за время полного обращения точки по эллипсу ось эл-
Рис. 399.
*) Интервал (—оо, у) исключается, как не удовлетворяющий очевид-
очевидному условию \z\ ^ I.
**) См. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. — 6-е
изд. — М.: Гостехиздат, 1954, с. 266—273.

§ 161. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
407
липса повернется на угол, пропорциональный площади описываемого проек-
проекцией точки эллипса.
Если вектор начальной скорости лежит в плоскости, проходящей через на-
начальное положение точки и равновесное положение нити, то сферический маят-
маятник вырождается в математический и ф будет равно нулю.
Отметим еще один частный случай. Подберем параметры так, чтобы урав-
уравнение F(z) = 0 имело кратный корень z0 = а = р. Тогда предельные окруж-
окружности сливаются и точка будет двигаться по окружности
; = Zn, ИЛИ
9 =
= arccos
I '
Такое движение сферического маятника возможно, если
F Bо) = 2 (/2 - г*) {hi2 + gz0) - С?
0,
F' Bо) = - 4z0 (hi2 + gz0) + 2g (I2 - z2) = 0,
т. е. если
Следовательно, в этом случае
dt
откуда время т полного обращения маятника по окружности z = z0 будет
равно *
Zq
g
т. е. периоду малых колебаний математического ма-
маятника, имеющего длину, равную расстоянию от
центра до плоскости обращения.
Маятник, совершающий такое круговое движе-
движение, называется коническим маятником (рис. 400). /
Если тяжелый шарик, подвешенный на нити, откло- \
нить от вертикали на угол 9 = 90 и сообщить ему
скорость г>о, перпендикулярную к плоскости, прове-
проведенной через вертикаль и нить, равную
= I sin 9(
a/— =si
V *0
sin 90
Рис. 400.
то при отсутствии сил сопротивления шарик будет вращаться с этой постоян*
ной скоростью по окружности радиуса г0 = / sin 90.
К тому же результату можно было бы прийти из кинетостатического рас*
чета, написав, что проекции силы тяжести и центробежной силы на направле-
направление, перпендикулярное к нити (в плоскости, проходящей через ось Oz и нить),
равны между собой.
Пример 144. Исследовать движение тяжелой частицы массы m по кони*
ческой поверхности (рис. 401).

408
ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Пусть координаты частицы будут г, ф и г\ полный угол раствора конуса
2а. Кинетическая энергия равна [ср. формулу B1) § 48 т, I, заменив в ней р
на г]
Замечая, что
z = г ctg a,
перепишем это выражение в виде
2 V sin2 a +
2Ф2).
Потенциальная энергия равна
П = mgz = rngfr ctg a.
Циклический интеграл и интеграл энергии могут быть написаны в форме
г2ф = С, г2 + г2ф2 sin2 а -f gr sin 2а = 2Л,
причем первое из этих равенств представляет собой, очевидно, интеграл пло-
площадей в проекции на горизонтальную плоскость. Ис-
Исключая отсюда ф. получаем
г2 -f С2 sin2 а • -~ + gr sin 2а = 2/г,
или
rV2 = — g sin 2а • г3 + 2/гг2 — С2 sin2 а = F (г).
В дальнейшем исследовании примем, что частица
поступает на поверхность, имея начальную скорость v0,
У направленную по касательной к окружности радиуса
го, т. е.
рис 40[ при t = t0 г = го, г = 0, гф = 0ф = 0о.
Отсюда находим значения постоянных С и h:
С = ЯоПь
С2 sin2 a t ro^sin2a vlsin2 а § г^ sin 2a
подстановка которых в выражение F(r) дает
u2tga
F(r)=g(r0
~ г) (г2 -
Корнями трехчлена, заключенного во вторую скобку, будут служить величины
ио^а /<>otg2a ^о^« jftga / / 8grQ ^
r 2 = do. Л / 5 1 ssss I 1 ± /Л / 1 "T о I»

§ 161. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 409
и функция F(r) может быть представлена в виде
F (r) = g (г0 — г) (г — гх) (г — г2) sin 2a.
Оба корня гх и г2 вещественны, причем г2 < 0; следовательно, движение
может происходить в интервалах:
1) Го < Г < Г\ ИЛИ 2) ГХ <Г < Г0,
так как только в этих интервалах функция F(r) положительна.
В первом интервале г возрастает от г0 до гх согласно уравне-
нию
f rdr
¦t.
Время т, необходимое для прихода в верхнюю точ-
точку, измеряется величиной
f-— i . . y -—"*—-^л/ *
Закон изменения <р определяется интегралом
г
ф = 0оГо 1 j
J r^F (г) Рис. 402.
Траектория вьется конической кривой между двумя предельными окружно-
окружностями (рис. 402):
Г = Го, Г = Г\ (Г\ > Го).
Во втором случае имеет место, очевидно, то же самое, только
Г\ < Го,
т. е. предельная окружность г = гх находится ниже начальной окружности
Исследуем, когда будет происходить первое движение и когда второе.
Для этого выясним, при каких ограничениях, наложенных на начальную ско-
скорость и0, будут иметь место первое или второе неравенство. Легко видеть, что
при г\ > г0
а при г\ < г0
В предельном случае
обе окружности сливаются в одну и частица будет двигаться по окружности
СО СКОрОСТЬЮ Vq.

410
ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Легко объяснить это, пользуясь соображениями кинетостатики. Если за-
задать достаточно большую начальную скорость
|>
gr°
то (рис. 403) проекция центробежной силы на образующую конуса будет
больше проекции силы тяжести:
S sin a =
го
- sin а > mg cos а
и частица будет подниматься по конической поверхности, причем вследствие
увеличения расстояния ее до оси конуса величина ф, связанная с г уравне-
уравнением
г2ф = С,
будет уменьшаться; вместе с тем будет уменьшаться и окружная скорость, а
следовательно, и центробежная сила. Когда частица коснется верхней предель-
предельной окружности, проекции станут равны, частица будет иметь скорость, парал-
параллельную горизонтальной плоскости, и затем начнет опускаться вниз. На этом
Рис. 403.
пути скорость вновь будет возрастать до тех пор, пока частица не коснется
нижней предельной окружности и т. д. Случай г0 > гх приводит к тем же
самым рассуждениям, только в обратном порядке. Ясно, что и другие началь-
начальные условия, в частности условие v0r ф 0, ничего нового не дают. Действи-
Действительно, при этом частица, выйдя под углом к горизонтальной плоскости, кос-
коснется некоторой предельной окружности, положение которой зависит от
абсолютного значения скорости вылета частицы, и уже затем начнется опи-
описанный ранее процесс.
Частица дойдет до вершины конуса только в том случае, если пустить ее
по образующей конуса, если же скорость частицы имеет начальную горизон-
горизонтальную составляющую, то при приближении частицы к вершине конуса ско-
скорость, согласно интегралу площадей, должна настолько возрасти, что частица
вновь начнет подниматься вверх и будет колебаться между предельными ок-
окружностями. Конечно, весь этот процесс имеет место только при отсутствии
трения; силы трения сделают процесс затухающим, скорость вследствие рас-
рассеяния энергии уменьшится и частица в конце концов окажется в вершине
конуса.
Пример 145. Эллиптический маятник. Исследовать движение
системы двух тел (рис. 404) из которых одно М\ массы тх скользит без тре-
трения по горизонтальной плоскости, а второе Мг массы т2 соединено с ним не-
невесомым стержнем длины / и совершает колебания в вертикальной плоскости.

§ 161. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 411
Обозначая координаты тел, рассматриваемых как материальные точки,
соответственно через Хи У\ и лгг, Уг, видим, что между ними и углом ф стерж-
стержня с вертикалью существуют соотношения
х2 = Xi — / sin ф, у2 = / cos ф.
Система имеет две степени свободы; за независимые обобщенные координаты
примем х\ и ф.
Кинетические энергии отдельных тел легко вычисляются:
— 2/^ф cos ф + /2ф2 sin2 ф) = ^—- (л:2 — 2/хгф cos ф + /2ф2).
Полная кинетическая энергия равна
Т = Тх + Т2 = 1 (тх + щ) х\ + ^- (/ф2 - 2*!<р cos ф).
Потенциальная энергия определяется по формуле
П = — ГП2§У2 = — ГП2§1 COS ф.
Функция Лагранжа будет равна
L = — (т{ + т2) х\ + -^у- (/ф2 — 2x{q> cos ф) + m2gl cos ф.
Координата JCi является циклической; Соответствующий ей интеграл бу«
дет
д. = (mi + m2) *i — т2/ф cos ф = const = Cr.
ox i
Это уравнение легко интегрируется; получаем
(mi + m2) X\ — m2/ sin ф = Cxt + C2,
откуда при надлежащем выборе начальных условий следует, что
т2/
х sin фф
mi + tf*2 Y
Это соотношение имеет простой физический смысл: вследствие отсутствия
горизонтальных сил центр масс С системы тел движется по вертикали, кото*
рую можно выбрать за ось Оу.
Составим уравнение Лагранжа для координаты ф. Имеем
0L ,,,. . ч dL ,/. . . .ч
_- = щ21 (/ф — х{ cos ф), -г— = т2/ (^1ф sin ф — ^ sm ф)
' С7ф Сф
и, следовательно,
т2/ —7Т (/ф — х\ cos ф) — т2/ (х\Ср — g) sin ф = 0.
Это уравнение заменой х\ ранее приведенным его выражением через ф, а
также заменой
sin ф « ф, cos ф « 1,

412 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
справедливой при достаточно малых <р, приводится к следующему виду:
«ли после сокращений
тх
¦f Ф-0.
Это — уравнение гармонических колебаний с периодом
г~2яд/-
тх
Если т{ > т2, то перемещения груза М\ будут очень малы, и период прибли-
приближается к периоду колебаний обычного маятника
Нт т = 5
Эллиптический маятник интересен тем, что подбором отношений масс гру-
грузов можно менять период колебаний, не меняя длины маятника; чем меньше
ти тем меньше период колебаний.
Происхождение названия «эллип-
«эллиптический маятник» объясняется
тем, что при движении точки Mi
по оси х, а точки С по оси у
центр груза М2 будет двигаться
по эллипсу (§ 41).
Пример 146. На рис. 405
показано устройство изотомеогра-
фа*). Вдоль балки, подвешенной
к потолку на двух проволоках,
могут ^ перемещаться два груза,
каждый из которых имеет мас-
массу т. Балке сообщается началь-
начальна 40S ная Угловая скорость соо вокруг
вертикальной оси в тот момент,
когда грузы находятся на одина-
одинаковых расстояниях а от оси вращения; затем ее предоставляют самой себе
Определить движение грузов по балке и вращение балки.
Если через / обозначить момент инерции балки относительно оси враще-
вращения, через г—расстояние груза от оси и через ф —угол поворота балки, то
будем иметь (силы тяжести при движении в горизонтальной плоскости не со-
совершают работы; сопротивлением проволок закручиванию пренебрегаем):
L = Т « — /ш2 4- 2 • 4- m (Й -I- г*ф2) = 1 (/ + 2mr2) ф* + mf\
= Г-^/ф2-
2 .1
вид
Угол ф является циклической координатой; циклический интеграл имеет
dL
или
•) Назначение прибора разъясняется в § 169.

§ 161. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 413
Составляем интеграл энергии
T = j(J + 2mr2) ф2 + тг2 = А.
Подставив сюда значение ф, найдем следующую форму интеграла энергии:
ml+ Л
Зададим начальные условия:
при f = 0 r~at г = 0,
Согласно циклическому интегралу будем иметь
С = (/ + 2та2) ©о,
затем из интеграла энергии следует, что
2(/ + 2/п«*) J g 2та«).
ри этом приводится к виду
(dr_\2 J&_ (
\dt ) ~~ 2т W
Интеграл энергии при этом приводится к виду
dr\2
)
(J + 2та2) *2 (г2 - а2) (/ + 2та2) а>2 г2 - а2
/ + 2mr2 2m г2 -f //Bm) *
Для упрощения дальнейшего интегрирования сделаем предположение о
малости величины
h
Я ~~ 2та2 *
Тогда, приведя последнее уравнение к виду
rdr
__ a2
заменим радикалы, содержащие k2, их разложениями в степенные ряды. Бу-
Будем иметь
rdr
Vr2 ~ a2
Замечая, что г > а, в первом приближении отбросим члены с k2 и полу-
чим
\ —й = ащ at,
J Vr2_a2
откуда

.41-4 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Подставляя это значение г в циклический интеграл, находим
С (/ + 2та2) шо A + k2) со0
Ф
/ + 2та2 A + со2/2) / + 2та2 + 2maW0t2 1 + k2 + со2/2 '
откуда в указанном приближении получаем
©о
СО==ф = — .
1 + со2/2
Таков приближенный закон убывания угловой скорости балки со време*
нем. Угол ф при этом определяется простой квадратурой
t
(Oodt , ,
- = arctg coo^.
При росте / до бесконечности ф стремится к я/2. Такую систему со сво-
бодными грузами нельзя привести толчком во вращательное движение. Грузы
разойдутся до отказа, балка при этом повернется на угол, меньший я/2, и
только потом, если грузам не давать возможности дальнейшего движения,
балка будет продолжать вращаться.
Рассмотрим теперь эту же задачу, но в предположении, что балка вра-
вращается с заданной постоянной угловой скоростью со (от постороннего при-
привода).
Выражение кинетического потенциала системы грузов имеет в этом случае
вид^
L = Т = -i-. 2m (r2 + г2ф2) = m (г2 + г2со2).
Кинетическая энергия уже не является однородной квадратичной формой
обобщенных скоростей, так как в ее выражение входит слагаемое Го, не со-
содержащее обобщенной скорости г. Это объясняется тем, что связи в данном
случае нестационарны; действительно, выражения декартовых координат мас-
массы m в неподвижной системе осей имеют вид
х = г cos со?, г/ == г sin cat, z = const,
где (at — угол поворота балки вокруг оси z.
Поскольку выражение L не содержит времени, интеграл энергии может
быть написан в форме F8)
г 4т- ~ L = 2mr2 — mf2 — mr2®2 = mf2 — mr2co2 = h.
or
При указанных выше начальных условиях получим
г2 = со2 (г2 - а2).
Решение этого уравнения, удовлетворяющее упомянутым условиям, как
нетрудно проверить, имеет вид
г = 1 а (е** + е~<»г) = a ch ©f.
Не обратив внимания на то, что связи нестационарны, мы получили бы
интеграл энергии Т = const в ошибочной форме, отличающийся знаком сла-
слагаемого mr2co2 от вышеприведенного правильного его выражения.

§ 162. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ 415
§ 162. Уравнение движения машины
Как уже упоминалось, машиной называют совокупность твер-
твердых тел (звеньев), соединенных между собой так, что положе-
положение и движение любого звена вполне определяются положением
и движением одного звена, называемого ведущим. При этом
предполагается, что положение ведущего звена в каждый мо-
момент времени может быть определено заданием одного пара-
параметра; таким образом, машина является системой с одной сте-
степенью свободы. Примерами машин по этому определению могуг
служить многочисленные плоские механизмы (кривошипный,
двухкривошипный и др.)> представляющие собой соединения аб-
абсолютно твердых тел (шатуны, ведомые кривошипы, ползуны
и пр.), приводимых в движение ведущим звеном; положение по-
последнего задается одной величиной, например углом поворота ср.
Наоборот, механизм дифференциала (§71) не является маши-
машиной в принятом здесь смысле, так как вследствие наличия
сателлитов угловая скорость ведущего вала в этом случае еще
не определяет угловой скорости ведомого вала.
Составим общее уравнение движения машины, пользуясь для
этого методом уравнений Лагранжа второго рода.
При составлении выражения кинетической энергии предпо-
предположим, что в качестве ведущего взято звено, вращающееся во-
вокруг некоторой неподвижной оси (ведущий кривошип).
Обозначим через ф угол поворота ведущего кривошипа и че-
через со = ф его угловую скорость. Тогда кинетическая энергия
ведущего звена будет
где /о — момент инерции его относительно оси вращения.
Через (dk обозначим угловую скорость й-го звена и через
v^ — скорость его центра масс. Согласно приведенному опре-
определению машины эти величины для каждого положения веду-
ведущего звена могут быть выражены через угловую скорость по-
последнего. Иными словами, отношения
можно рассматривать как известные векторные функции угла ср.
Кинетическая энергия fe-го звена может быть определена по
формуле
k> + Э М?* = Y I/Kir)" + m* Dг

416 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
в которой /с* — момент инерции &-го звена относительно оси,
параллельной оси вращения и проходящей через его центр масс,
a mk — масса этого звена.
Кинетическая энергия машины, состоящей из ведущего звена
и еще п звеньев, равна сумме кинетических энергий звеньев:
Величина, стоящая в скобках, называется моментом инерции
машины, приведенным к оси вращения ведущего звена', обозна-
обозначая эту величину через в(ф), имеем
г—|е(ф)фг~{в(<рК, (81)
(82)
Функция в(ф) находится из чисто геометрических сообра-
соображений и может быть или определена графическим построением,
или выражена в аналитической форме. Последнее представле-
представление в большинстве случаев приводит к громоздким выражениям.
Переходя к вычислению обобщенной силы, вычислим элемен-
элементарную работу &W задаваемых сил на возможном перемещение
машины. Пусть F/fe) обозначает задаваемую силу, приложенную
к точке Mtk) — некоторой i-й точке /г-го звена машины, — причем
1=1, 2, ..., nk. Вектор скорости v\k)> может по предыдущему
считаться выраженным через ©, причем отношение v\k)f& яв-
является вектор-функцией угла ср.
Составляем выражение 6W как двойную сумму
= [ S Z
в которой элементарный промежуток времени 6? может быть
заменен отношением
Таким образом, будем иметь
fe=0
Выражение, стоящее в квадратных скобках, будучи множи-
множителем при вариации независимой обобщенной координаты ср,

§ 162. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ 417
представляет собой искомую обобщенную силу Q, равную
Полученное выражение обобщенной силы имеет размерность
момента силы и носит наименование вращающего момента, при-
приведенного к оси вращения ведущего звена.
Кроме задаваемых сил, на машину действуют многочислен-
многочисленные другие силы; таковы внутренние силы взаимодействия-
между точками одного и того же звена, силы взаимодействия
между отдельными звеньями в сочленениях и, наконец, внешние
силы реакций неподвижных опор на соприкасающиеся с ними
звенья машины. Все указанные силы принадлежат к числу
реакций связей, и их элементарная работа на любом возможном
перемещении равна нулю. Эта работа равняется нулю и при на-
наличии трения в сочленениях звеньев, если относительное движе-
движение этих звеньев представляет качение, не сопровождающееся
скольжением, так как при этом отсутствуют относительные пе-
перемещения в точке соприкасания звеньев (трением качения пре-
пренебрегаем).
В машинах могут иметься упругие звенья, изменение разме-
размеров которых определяется из чисто геометрических соображе-
соображений; такой случай мы имеем, например, при присоединении
к ползуну кривошипного механизма пружины пренебрежимо
малой массы, если другой конец пружины закреплен в непо-
неподвижной точке. Реакция этой пружины должна быть отнесена
к числу задаваемых сил, так как закон изменения ее в зависи-
зависимости от положения ведущего звена известен. Наоборот, учет
деформируемости шатуна кривошипного механизма, скручива-
скручивания валов и т. п. выходит за рамки поставленной задачи, так
как, согласно принятому выше определению, механизм с дефор-
деформируемыми звеньями не является машиной — положение и дви-
движение такого механизма уже не определяется заданием одного
параметра.
Рассмотрим сначала «идеальную» машину, представляющую
собой систему с «идеальными» связями. В этом случае можно
пренебречь вредными сопротивлениями и разбить все задавае-
задаваемые силы на два класса: 1) движущие силы, элементарная ра-
работа которых на действительном перемещении машины будет
положительна, так что соответствующая обобщенная сила QA)
при бф > 0 будет тоже положительной, и 2) силы полезного
сопротивления, которым соответствует отрицательная обобщен-
обобщенная сила, обозначаемая далее через —QB).
14 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

418 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
При принятых обозначениях уравнение Лагранжа второго
рода
* f^L — il-^Q (84)
at дф <?Ф
может быть, согласно (81), приведено к виду
4t [0 (ф) Ф1 -10' (ф) Ф2=Q(l) ~ QB)>
или
в (ф) & + 1 6' (ф) со2 = Q<» - Q<2>. (85)
Таково общее уравнение движения идеальной машины (идеаль-
(идеального механизма с одной степенью свободы).
Учитывая элементарную работу вредных сопротивлений на
возможном перемещении машины как взятое с отрицательным
знаком произведение соответствующей обобщенной силы QC)
на считающуюся положительной вариацию бср угла поворота
ведущего звена, получим общее уравнение движения реальной
машины (реального механизма)
© (ф) S + \ в' (Ф) со2 = Q<1> - Q<2> - Q<3>. (86)
Вычисление обобщенной силы QC) вредных сопротивлений
требует в каждом частном случае длительного расчета, связан-
связанного с необходимостью предварительного нахождения реакций
неподвижных опор и в подвижных сочленениях. Это может быть
достигнуто путем составления уравнений движения каждого
звена по отдельности с использованием определяемых зако-
законами трения соотношений между нормальными и касательными
составляющими искомых реакций. Необходимость применения
законов трения снижает достоверность результатов подобных
расчетов. Поэтому часто элементарную работу вредных сопро-
сопротивлений (или соответствующую им обобщенную силу) оцени-
оценивают суммарно как некоторую долю соответствующей элемен-
элементарной работы (или обобщенной силы, соответствующей дви-
движущим силам). При линейных силах вредных сопротивлений
учет их влияния можно осуществить, введя диссипативную
функцию Релея (см. ниже § 179).
Пример 147. В изображенном на рис. 406 механизме круглая кулач-
кулачковая шайба / радиуса а, вращающаяся вокруг неподвижной оси, проходя-
проходящей через точку О на окружности шайбы, сообщает поступательное движе-
движение линейке //, неизменно соединенной со стержнем ///, прижимаемым к шай-
шайбе пружиной IV; направление стержня проходит через точку О. Составить
уравнение движения механизма, предполагая, что пружина жесткости с не на*
пряжена в момент, когда линейка проходит через ось вращения шайбы, и что

«>¦
§ 163. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА С МНОЖИТЕЛЯМИ 419
реакция сжатой пружины пропорциональна ее укорочению. Пренебрегая силой
тяжести и силами трения, считаем известным вращающий момент Мо, прило-
приложенный к шайбе.
Положение шайбы определим углом ф, составленным диаметром, проходя-
проходящим через ось вращения, с отрицательным направлением оси у; тогда © = ф
Скорость у линейки // и стержня /// равна проекции на ось у скорости точки#
Л шайбы, в которой в данный момент проис-
происходит соприкасание с линейкой:
г/ = со • ЛВ = аф sin ф. -4. ?
Поэтому кинетическая энергия механизма
(если пренебречь массой пружины) будет
равна —
Т = -— G0 + ma2 sin2 ф) ф2,
где /0 — момент инерции шайбы относительно
оси вращения и т — масса поступательно дви-
движущихся частей; массой пружины пренебре-
пренебрегаем.
Потенциальная энергия сжатой пружины
определяется равенством
П = — с (ОВJ = —- са2 A — cos фJ.
Приведенный к оси О вращающий момент на-
находим из соотношения
Q = Mq — = Mo — са2 A — cos ф) sin ф.
Таким образом, дифференциальное уравнение движения механизма (85) в
рассматриваемом случае принимает вид
(/о + та2 sin2 ф) ф + ша2ф2 sin ф cos ф = М0 — са2 A — cos ф) sin ф.
ж
§ 163. Уравнения Лагранжа второго рода с множителями
Обратимся теперь к случаю уравнений Лагранжа второго
рода с обобщенными координатами q\y q<i, ..., qr {r>k), под-
подчиненными совокупности идеальных голономных связей вида
Фа(/;<7Ь q2> ..., qr) = 0 (а=1, 2, ..., s). (87)
Как было показано в гл. XXVII, возможные перемещения
bqi в этом случае подчинены 5 уравнениям [формула C0)
§ ИЗ]
7/ = 0 (а=1, 2, ..., 5).
(88)
Таким образом, среди г вариаций 6<// независимыми и произ-
произвольными будут лишь k — r — s. Следуя тому же пути, что
14*

420 ГЛ. XXIX. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
в § 157, запишем общее уравнение динамики G0) § 154 в виде
уравнения E4) § 159:
Здесь, в отличие от уравнения E4) § 159, число г, стоящее
в верхнем пределе суммирования, определяет число зависимых
обобщенных координат и превышает число степеней свободы k
на число s связей. Вариации обобщенных координат 8q}- не
произвольны, а подчинены системе s уравнений (88), так что из
равенства (89) нельзя уже, как ранее, заключить о равенстве
нулю выражений, стоящих в скобках.
Применим метод неопределенных множителей (§ 144). Умно-
Умножим обе части уравнений (88) на произвольные множители Ха
и сложим эти результаты почленно с уравнением (89); тогда
лолучим
Используя произвол в выборе s множителей Яа, подчиним
их условию обращения в нуль выражений в каких-нибудь s
скобках в равенстве (90). Оставшееся при этом в левой части
равенства (90) выражение будет содержать k = r — 5 скобок;
выражения, заключенные в них, явятся коэффициентами при
k — г — s произвольных вариациях б^/. Из условия равенства
нулю выражений, стоящих в этих k = г — s скобках, получается
система г уравнений Лагранжа второго рода с множителями
d дТ дТ _п , у» дФа (. 1 А ,
1 ' а=1 1
которая совместно с s равенствами (87) служит для определе-
определения г + 5 неизвестных величин: q\y #2, ..., qr\ ^1, ^2, ..., %s.
Уравнения Лагранжа второго рода с множителями приме-
применяются главным образом для исследования движений систем
с неголономными связями, а также в тех случаях сложных го-
лономных связей, когда выявление некоторых обобщенных ко-
координат оказывается затруднительным. Подробное изложение
теории уравнений Лагранжа, в том числе и уравнений с мно-
множителями, относится к специальному курсу аналитической ме-
механики*).
*) См. монографию Лурье А. И., Аналитическая механика. — М.: Физ*
матгиз, 1961, гл. 7, с. 282—367.

Отдел шестой
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Глава XXX
ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 164. Уравнения динамики относительного движения точки
Если система O'x'y'z' представляет собой абсолютную [не-
[неподвижную или инерциально движущуюся галилееву (см. ниже)]
систему координат в том смысле, как об этом говорилось во
вводной части настоящего тома (§ 79), то в этой системе дви-
движение материальной точки, согласно второму закону Ньютона,
будет определяться уравнением
mwa = F, A)
где wa — ускорение точки по отношению к абсолютной системе
координат Ofx'y'z\ иначе говоря, абсолютное ускорение, a F —
равнодействующая сил, приложенных к этой точке в ее абсо-
абсолютном движении по отношению к системе O'x'y'z'.
Пусть со, е и Wo — соответственно векторы угловой скорости,
углового ускорения и ускорения начала О (полюса) относитель-
относительной системы координат Oxyz, рассматриваемой как твердое
тело, движущееся произвольным образом по отношению к аб-
абсолютной системе координат O'x'y'z'\ Тогда, согласно изложен-
ному в § 69 гл. XVII,
™а = ™r + We + Wcy B)
где wr — относительное, we — переносное, wc — кориолисово
ускорения.
Как известно из кинематики (§ 69),
we = wQ + в X г + со X (© X г),
Подставляя эти значения в уравнение A), перепишем его
в форме
mwr — F —- mwe — mwc; D)

422 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
вводя обозначения (§ 84) для сил инерции,
Se == — mwet Sc = — mwc, E>
и опуская индекс г у элементов относительного движения, при-
приведем равенство D) к виду
mw = F + Se + Sc. F)
Векторы Se и Sc соответственно называются: Se — переносной
силой инерции и Sc — кориолисовой или поворотной силой инер-
инерции. Формула F) приводит к выводу: дифференциальные урав-
уравнения динамики относительно неинерциальной системы коорди-
координат составляются так же, как и в абсолютной системе, только
к приложенным силам добавляются силы инерции — переносная
и кориолисова.
Если относительная система координат Oxyz движется по
отношению к абсолютной системе O'x'y'z' поступательно, пря-
прямолинейно и равномерно, то она представляет собой инерциаль-
ную или галилееву систему, и уравнение движения в ней не
должно ничем отличаться от уравнения движения в абсолют-
абсолютной системе; действительно, в этом случае Se = Sc = О, так что
уравнение F) совпадаете A).
Можно представить себе бесчисленное множество таких си-
систем координат, движущихся по отношению к абсолютной си-
системе и друг по отношению к другу поступательно, равномерно
и прямолинейно. Все они являются инерциальными (галилее-
выми), и по отношению к любой из них уравнение A) будет
оставаться неизменным. Ни одной из этих систем нельзя отдать
предпочтение с точки зрения изучения механических движений.
К этому вопросу мы вернемся в следующей главе, посвященной
изложению специальной теории относительности.
Силы инерции — переносная и кориолисова — для наблюда-
наблюдателя, связанного с неинерциальной системой, представляются
вполне реальными; они вместе с остальными приложенными
силами влияют на изменение движения по отношению к этой
неинерциальной системе. Отметим некоторые особые их свой-
свойства. Вспоминая перечисленные в § 86 законы сил, заметим, что
силы инерции, пропорциональные по самому их определению
массам движущихся в неинерциальных системах отсчета точек,
в некотором роде аналогичны силам тяготения. Как показы-
показывается в общей теории относительности, эта аналогия имеет
глубокий физический смысл. Второй особенностью сил инерции
является видимое отсутствие тех материальных тел, которые,
согласно третьему закону Ньютона, могли бы рассматриваться
как источники возникновения сил инерции. Это обстоятельства

§ 164. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 423
вызывает представление о «фиктивности» сил инерции*), что
не оправдано, так как третий закон Ньютона сформулирован
только для абсолютной или инерциальных систем отсчета и спра-
справедливость его в неинерциальной системе отсчета нуждается
в подтверждении, попытки которого сейчас имеются. Происхож-
Происхождение (источники) сил инерции видят во взаимодействии движу-
движущегося в неинерциальной системе тела с удаленными галакти-
галактиками и заполняющим мировое пространство галактическим
газом. Это взаимодействие уравновешивается в инерциальных
системах, но обнаруживается в неинерциальных **).
Третьим свойством сил инерции является зависимость их от
неинерциального движения системы отсчета, в которой они
определены. Как уже указывалось, в инерциальных (галилес-
вых) системах силы инерции отсутствуют, и это обусловливает
невозможность каким-либо механическим путем обнаружить от-
отличие одной галилеевой системы от другой. Все галилеевы си-
системы с механической точки зрения эквивалентны. Таков прин-
принцип относительности классической механики, носящий имя Га-
Галилея. Подробнее этот вопрос будет обсуждаться в следующей
главе.
Пользуясь формулами C), выразим силы инерции в явном
виде:
Se = — mw0 — me X г — mo X (© X г),
В случае плоского движения относительной системы вектор
<о перпендикулярен к г и
Se = — mw0 — me X г + mco2r;
при равномерном вращении (е = 0) относительной системы во-
вокруг неподвижной или равномерно и поступательно движущейся
по отношению к абсолютной системе оси (wq = 0) получим
это — центробежная сила.
Кориолисова сила не будет входить в формулы относитель-
относительного движения, если относительная система движется поступа-
поступательно (со = 0) или если в силу характера связей точка вынуж-
вынуждена двигаться параллельно оси вращения (о)Х^ = 0).
Из уравнения относительного движения легко получить урав-
уравнения относительного равновесия. Для этого достаточно в фор-
*)Ишлинский А. Ю. Механика относительного движения и силы
инерции. — М.: Наука, 1981, с. 5—9 и особенно с. 41.
**) См. по этому поводу следующие брошюры: Сиама Д. Физические
принципы общей теории относительности. — М.: Мир, 1971, гл. 2 и 3; Бон-
ди Г. Гипотезы и мифы физической теории, — М.: Мир, 1972, с. 67.

424 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
муле F) положить w — О и v = 0; тогда Sc = 0 и уравнение
относительного равновесия будет
Все, что сейчас говорилось по отношению к точке, может
быть перенесено на случай любой системы точек. Прикладывая
силы инерции, мы можем свести рассмотрение движения в отно-
относительной системе координат к тем же уравнениям, что и в аб-
абсолютной.
При выполнении некоторых добавочных условий вопрос
упрощается; например, теорему об изменении момента количе-
количества движения по отношению к центру масс в относительной
системе, движущейся поступательно и имеющей начало в центре
масс системы, можно применять, не принимая в расчет сил
инерции. Это объясняется тем, что ускорения в переносном по-
поступательном движении всех точек системы одинаковы и, сле-
следовательно, главный момент переносных сил инерции
- ? {г\ X mtwe) = - (t
>*>е
равен нулю, так как центр масс принят за начало координат
относительной системы. Главный момент кориолисовых сил
инерции также равен нулю, так как они, как уже указывалось,,
при поступательном движении относительной системы равны
нулю.
Наряду с изложенным методом большое практическое значе-
значение при составлении уравнений относительного движения имеет
также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых
в динамике относительного движения совершенно естественна.
Поскольку движение относительной системы по отношению
к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или
обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены
как функции от относительных координат и времени. Принимая
последние за независимые обобщенные координаты системы, со-
составим уравнения Лагранжа; решая их, найдем относительные
координаты как функции от времени, т. е. уравнения относи-
относительного движения.
Пример 148. Найти условие относительного равновесия тяжелой точки
на гладкой кривой заданной формы, вращающейся равномерно вокруг верти-
вертикальной оси с угловой скоростью со. Каков должен быть вид кривой для того,
чтобы в любом положении на кривой точка была в относительном равнове-
равновесии (рис. 407)?
Решение задачи сводится к применению метода кинетостатики. Точка М
массы т находится в относительном равновесии под действием силы тяже-
тяжести G, центробежной силы
Se = mco2r, (9)

§ 164. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
425
где г = AM, и реакции кривой N, которая направлена по нормали МБ к кри-
кривой. Написав условие равновесия в проекции на касательную, получим
mg cos a — Se sin а = О,
или после подстановки значения Se
co2r tg a =» g.
Отрезок
г tg а == АВ
представляет собой поднормаль кривой г = f (г), на которой находится точка
М, и условие равновесия дается равенством
Заменяя
dr
(Ю)
перепишем условие относительного равно-
равновесия в виде
„ dr g
dz
со*
(И)
Подставив в это уравнение г = f(z), полу-
получим значение ординаты z0, в которой при
данном со будет иметь место равновесие.
Для решения второго вопроса проин-
проинтегрируем уравнение A1) и найдем урав-
уравнение параболы
'2 = -Й-*. 02)
Рис. 407.
О'
Ут
о
параметр которой (начало координат помещено в точке пересечения кривой
с осью z) равен g/co2. При вращении этой параболы с угловой скоростью ш,
соответствующей величине параметра
параболы, тяжелый шарик будет в
любой ее точке находиться в состоя-
состоянии безразличного относительного
равновесия. Как известно, свободная
поверхность жидкости в сосуде,
приведенном во вращательное дви-
движение, принимает форму параболои-
параболоида вращения с соответствующим па-
параметром.
Пример 149. Точка подвеса О
математического маятника (рис. 408)
движется произвольно в вертикаль-
вертикальной плоскости. Составить уравнение
движения маятника относительно си-
системы координат, движущейся по-
поступательно вместе с точкой подвеса.
Под схему настоящей задачи подходит, например, маятник, помещенный
в вагоне поезда, в лифте и т. п. при прямолинейном (вообще говоря, ускорен-
ускоренном) их движении.
Рассмотрим маятник на платформе, поступательно движущейся по лк>
¦бому закону. Свяжем с платформой систему координат Оху и зададим ^
м

426 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
пательное движение платформы уравнениями движения начала О по отноше*
нию к неподвижной системе О'х'у' *)
Ч = Ч @. 0о = 0о @.
Дифференциальные уравнения относительного движения маятника можно
получить как методом уравнений Лагранжа, так и методом сил инерции. По-
Покажем для сравнения и тот и другой методы.
а) Метод уравнений Лагранжа. Примем за обобщенную ко-
координату угол ф отклонения маятника от оси Оу. Абсолютные координаты
точки М равны
х = *о + х = х'о — / sin ф, / == #о + 0 = Уо + / cos ф. A3>
Пользуясь этими выражениями, составляем выражение кинетической энергии;
для этого находим
х = jc0 — /ф cos ф, у = у0 — /ф sin ф
и затем получаем
Г = у m[х'о2 + iff + /V ~ 2/ (*оcos <р + у[ sin <р) ф]. A4>
Потенциальная энергия будет равна
П = — mgy = — mgl cos ф. A5)
Имеем
_ = ml [/ф - (л:о cos Ф + Ро sin ф)]»
-^- = ml (x'Q sin Ф — l/o cos ф) ф,
и уравнение Лагранжа после очевидных сокращений приведется к виду
ф + j- sin ф — у D cos ф + #о sin ф) = 0. A6)
б) Метод сил инерции. В этом случае следует к точке М допол*
нительно приложить силу инерции переносного движения, в данном случае
поступательного движения относительной системы, равную
Проекции этой силы инерции будут
— mxQt — myfQ.
Составив уравнение моментов относительно точки О, получаем уравнение
т -j[ (ху~ ух) = mgx — т (ху'о — ух0).
Заменяя здесь х и у их выражениями через ф, снова получаем дифферен*
циальное уравнение A6).
Остановимся на частных случаях применения уравнения A6).
Если маятник находится в лифте, движущемся с постоянным ускорением
^о < g, направленным вниз (ускоренное движение вниз или замедленное
*) Штрихи означают, что #0, у0 — абсолютные координаты.

§ 164. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 427
вверх), то, воспользовавшись дифференциальным уравнением A6), получим
уравнение движения маятника в виде
ф+ 8~~lW° sinqp-O. A7)
Период малых колебаний будет равен (ад0 < S)
A8)
* —• 2тС /\ / —————— •
V g — ™о
Особым является случай, когда w0 = g. При х0 = 0, у0 = wQ = g из урав-
уравнения A6) будет следовать
ф = 0, ф^С^ + Са, A9)
так что точка М будет либо совершать равномерное движение по вертикаль-
вертикальной окружности (ф = Ci), либо сохранит произвольное положение (ф == Сг)
на этой окружности. Такое явление можно было бы наблюдать и в абсолютно
неподвижной или инерциальной (галилеевой) системе координат при отсут-
отсутствии силы тяжести, иными словами, в условиях невесомости.
Разобранный пример с лифтом, движущимся с ускорением
ге>о, равным ускорению g свободного падения тел вблизи поверх-
поверхности Земли, представляет собой простейший пример осу-
осуществления невесомости. Аналогичное явление невесомости об-
обнаруживается в кабине самолета, совершающего свободное
поступательное движение под действием силы тяжести при вы-
выключенных двигателях и в столь разреженных слоях атмосферы,
что можно пренебречь сопротивлением и подъемной силой, воз-
возникающими при взаимодействии самолета с окружающей его
воздушной средой (или в обычной атмосфере при специальном
управлении самолетом). Невесомость испытывают также космо-
космонавты при поступательном движении ракеты на пассивном
участке ее траектории (§ 105) при пренебрежимо малом сопро-
сопротивлении воздуха.
С некоторой поправкой на неоднородность поля тяготения,
малой в сравнительно ограниченных областях наблюдения яв-
явления невесомости (кабина самолета или ракеты), можно счи-
считать, что действия полей сил инерции и тяготения в данной
области наблюдения уравновешиваются. Неинерциальную си-
систему отсчета, движущуюся поступательно с общим для всех ее
точек ускорением, равным ускорению данной движущейся точки
по отношению к абсолютной, а также галилеевым системам от-
отсчета, называют «сопутствующей» системой отсчета. В сопут-
сопутствующей системе материальная точка находится в состоянии
безразличного равновесия. В частном случае движения в поле
тяготения в сопутствующей системе, связанной с кабиной само-
самолета или космического корабля, наблюдается состояние неве-
невесомости.

428 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
С только что изложенной точки зрения введение в § 84 сил
инерции, уравновешивающихся с обычными приложенными си-
силами, оправдывается возможностью рассмотрения движения как
равновесия в «сопутствующей» системе отсчета.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру относительного движения ма-
математического маятника в поступательно перемещающейся с заданным уско-
ускорением системе координат, определим равновесное направление нити маят-
маятника, подвешенного в вагоне, двужущемся по прямолинейному горизонталь-
горизонтальному пути с постоянным ускорением (замедлением) w0, а также период
малых колебаний маятника около равновесного положения.
Равновесное положение определится углом
tg фо = Wofg, B0)
знак которого совпадает со знаком w0.
Заменяя в дифференциальном уравнении A6), в настоящем случае запи-
записанном в виде
ф + -у- sin ф — -—- cos ф = 0,
угол ф суммой равновесного угла фо и малого отклонения г|з от равновесного
направления, вследствие малости угла if получим
sin ф =s sin (фо + ф) = sin ф0 cos i|) + cos фо sin \|з ж sin ф0 + i|) cos ф0,
cos ф = cos (фо + ф) = cos фо cos г)) — sin фо sin i|? « cos фо — ф sin фо.
Предыдущее дифференциальное уравнение перейдет в такое:
- g cos фо + wo sin фо g sin ф0 — w0 cos ф0 _ Q
или по B0)
B1)
/ sin фо
Период малых колебаний будет равен
I 7
B2)
§ 165. Относительное движение системы материальных точек
в равномерно вращающейся системе отсчета
Разберем частную, но весьма распространенную на практике
задачу динамики относительного движения несвободной системы
материальных точек в равномерно вращающейся вокруг непо-
неподвижной оси системе координат. Примем неподвижную ось вра-
вращения за ось Oz и обозначим через со постоянную угловую ско-
скорость вращения системы координат.
Будем считать связи идеальными и голономными, причем
примем, что в относительной системе координат они, кроме того,
стационарны. К такому типу задач относятся разнообразные
случаи движения точки и системы точек по недеформирующимся

§ 165 РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА 429
гладким кривым или поверхностям, совершающим равномерное
вращение вокруг неподвижной оси. Относительные цилиндри-
цилиндрические координаты г/, ср,- и zi точек Mt (i = 1, 2, ..., п) системы
могут быть выражены как функции от обобщенных координат
q} (/=1,2, ..., k)y которые будем предполагать независимыми,
так что общее их число k равно числу степеней свободы системы
по отношению к вращающейся системе координат; в соответ-
ствии со сделанным допущением о стационарности связей в от-
относительной системе функции, связывающие цилиндрические
и обобщенные координаты, не будут содержать явно время.
Желая использовать в рассматриваемом случае метод урав-
уравнений Лагранжа второго рода, составим выражение кинетиче-
кинетической энергии в абсолютном движении:
Первое слагаемое То является функцией только обобщенных
координат; ни времени, ни обобщенных скоростей оно не содер-
содержит. Представим его в виде
Го = (о2Я, B4)
где для краткости введена функция обобщенных координат
Vr B5)
Если во втором слагаемом, обозначенном через Ти сделать
замену
k
/=i ^
то оно может быть записано в виде линейной функции обобщен-
обобщенных скоростей
п к
Т1 = со У, mir\^l = со У, В} {qv ..., qk) qr B7).
Наконец, последнее слагаемое

430 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
является однородной квадратичной функцией обобщенных ско-
скоростей
к к
B9)
Это выражение соответствует кинетической энергии системы то-
точек в ее движении по отношению к вращающейся системе коор-
координат. Из выражения B3) видно, что Т2 = ?V=o-
Обозначим через Q/ (/ = 1, 2, ..., k) обобщенные силы, со-
составленные обычным образом как коэффициенты при вариациях
обобщенных координат в выражении суммы элементарных ра-
работ задаваемых сил на возможных перемещениях системы при
мгновенно остановленных в абсолютном движении связях:
Уравнения Лагранжа второго рода в абсолютном движении
будут
Щ-ТХГГ®1 С-1.2,...,*). C0)
Подставив сюда выражение кинетической энергии B3), получим
d дТо dTQ\.(d дТх d
(/=1, 2, ..., к).
Обращаясь к первому слагаемому в левой части, видим, что,
согласно B4),
О1 о г\ О л. о 2 Q ^1 /ОО\
Во втором слагаемом в силу B7) будет
к
d дТ{ dBf y^ ^/
¦зг-э^-e-dTefflZ-s57^ C3>
кроме того, предварительно заменив в B7) индекс суммирова-
суммирования j на 5, получим
Вследствие этого выражение во второй круглой скобке в левой
части уравнения C1) примет вид
d дТх дТл чгл (dBi dBs\ ^-^

§ 165. РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА 431
Величины
носят наименование гироскопических коэффициентов, а отдель-
отдельные слагаемые (oy}Sqs — гироскопических членов уравнений дви-
движения. Происхождение этих наименований объясняется нали-
наличием такого рода членов в уравнениях движения гироскопа
(см. далее § 194). Будучи пропорциональными произведению
угловой скорости вращения относительной системы на обобщен-
обобщенную скорость, они выражают действие кориолисовых сил.
Согласно C1), C2), C5) и C6) уравнения Лагранжа при-
примут вид
f<*2# + Q/ C7)
(/=1, 2, ..., k).
Совокупность слагаемых
~" = Kf C8)
назовем обобщенной кориолисовой силой. Заметим, что элемен-
элементарная работа сил /С/ на действительном перемещении системы
равна нулю; действительно,
2 Kf dqf = v>dt • ? Z ysrfsqj = 0, C9)
так как каждому слагаемому этой суммы ysjqsqj соответствует
равное по величине и, согласно C6), противоположное по знаку
слагаемое yjsq}qs. Вторые слагаемые в правых частях уравне-
уравнений C7)
02 ML = _ <L (_ co2tf) = -* f -1 у mr*<A D0)
dq, dq N ' dq. I 2 JLu * * I v^u/
1 * * \ ы\ J
можно рассматривать как взятые с обратными знаками произ-
производные по обобщенным координатам от потенциальной энергии
центробежных сил
Пц = - о*Н - - 1 ? т/у = - То, D1)

432 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
которую можно было вычислить и непосредственно, составив
сумму элементарных работ центробежных сил
D2)
Предположив дополнительно, что задаваемые силы консер-
консервативны, придадим дифференциальным уравнениям движения
по отношению к вращающейся системе окончательный вид
, ft). D3)
_=K (/=1 2 ft
Поскольку функция Лагранжа, согласно D1) равная
1 = Г-П = Г2 + Г1 + Г0-П = Г2 + Г1-П-Пц, D4)
не зависит явно от времени, можно составить интеграл энергии
в форме F8) § 160. Получим
Замечая, что по теореме об однородных функциях
Z. дТ2 _ т у дТ{ _ т
/-1 l /=i J
лриходим к соотношению
Г2 + П + ПЦ = Л, D6)
выражающему закон сохранения энергии в относи-
относительном движении в равномерно вращающейся
вокруг неподвижной оси системе координат:
Сумма кинетической энергии системы материальных точек
s ее движении по отношению к равномерно вращающейся си-
системе координат, потенциальной энергии и потенциальной энер-
энергии центробежных сил инерции сохраняет постоянное значение.
В соотношение D6) не вошла часть Т\ кинетической энергии,
линейная относительно обобщенных скоростей; это объясняется
тем, что соответствующие добавочные члены в уравнениях дви-
движения системы C7) можно трактовать как действие кориолисо-
вых сил, не совершающих работы на действительном перемеще-
перемещении точек системы.
Пример 150. Маятник (рис. 409) представляет собой стержень длины /,
масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой тяжелой отливки,
расположенной на нижнем конце стержня. Горизонтальная ось подвеса маят-

§ 166 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ ВБЛИЗИ ЗЕМЛИ
433
ника равномерно вращается с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси,
совпадающей с равновесным положением оси стержня. Составить уравнение
относительного движения маятника; найти условие существования его малых
колебаний и период этих колебаний.
Система в относительном движении имеет одну сте-
степень свободы, обеспечиваемую изменением угла 9.
В даном случае имеем (т — масса отливки)
Т2 = -^ /292, П = — mgz = — mgl cos 9,
Пц = - 4- г2со2 =.--?- ю2/2 sin2 9.
По D6) найдем
-у- /2 (в2 - 2-|- COS 9 ~ СО2 Sill2 9)
h.
D7)
Дифференцируя по времени, получаем искомое уравне-
уравнение относительного движения маятника
9 + -у sin 9 — ~ со2 sin 29 =
= 0.
D8)
Это уравнение нелинейно; остановимся на случае малых колебаний. Полагая
приближенно sin 9 « 0 и sin 29 « 29, приходим к линейному уравнению
9 + f ? со2) 9 = 9.
D9)
Если со2 < g/l, то маятник будет совершать во вращающейся плоскости
малые колебания периода
- со2
вокруг положения устойчивого равновесия (9=9), При со2 > g/l это поло-
положение равновесия неустойчиво. Исследование знака четвертой производной по-
потенциальной энергии показывает, что при со2 = g/l положение равновесия
также будет устойчивым.
§ 166. Относительное равновесие точки
вблизи поверхности Земли
Найдем условия относительного равновесия груза на нити
(отвеса), принимая во внимание вращение Земли. Притяжение F
(рис. 410) груза Землей искажается действием центробежной
силы Se, так что вес тела, равный натяжению нити ДО, не будет
равен F; кроме того, направление отвеса DM не совпадает
с направлением радиуса МО Земли в данном пункте. Обозна-
Обозначим геоцентрическую широту, т. е. угол радиуса Земли с пло-
плоскостью земного экватора через Я, а географическую широту,
т. е. угол отвесной линии с той же плоскостью, через ф; тогда'
из условия равновесия, проектируя силы на кажущуюся

434
ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
горизонталь НН, получаем
Se sin ф = F sin (ф — Я).
Заменим здесь Se и F по формулам
Se = mto2R cos Я, F = mg0,
где m — масса груза, R— средний радиус Земли, g0— ускоре-
ускорение, вызываемое притяжением Земли; это ускорение не следует
смешивать с кажущимся ускорени-
ускорением g-, т. е. ускорением g0, искажен-
искаженным центробежной силой. После за-
замены получим
sin (ф — Я) = —— sin ф cos Я.
Замечая, что угловая скорость
Земли со « 13700 1/с, радиус Зем-
R « 6 350 000 м и ускорение
t 9,82 м/с2, получаем
ли
со2/?
go
1
290 '
так что разность ф — Я очень мала
и можно приближенно написать
Рис. 410.
Ф —
максимальное значение этой разности при Я = 45° будет
тах(ф —Я)«-^-,
что соответствует приблизительно 11х.
Проектируя силы на направление отвеса DM, найдем
N = mg = F cos (ф —- Я) •— Se cos ф,
или, полагая cos Я » созф (вследствие малости угла ф — Я),
mg = mgQ — mco2/? cos2 ф.
Отсюда легко найти относительную разность между go и g:
go go
Максимальное значение это отношение имеет на экваторе
max
go
290 *

§ 167. ПАДЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ В ПУСТОТЕ
Кажущийся вес на экваторе будет
435
Если бы Земля вращалась примерно в 17 раз быстрее, то
тела на экваторе не имели бы веса. Центробежная сила урав-
уравновесила бы силу тяжести; область вблизи экватора в этом слу-
случае была бы областью невесомости (§ 164).
§ 167. Влияние вращения Земли
на падение тяжелой точки в пустоте
Выберем следующие оси координат (рис. 411): ось О'г на-
направим по отвесу (кажущаяся вертикаль) вниз, ось О'х—
в плоскости меридиана к северу, ось О'у— по параллели к вос-
востоку.
Включим центробежную силу в кажущуюся силу веса G =
= mg\ тогда для составления уравнений движения придется
учесть только кориолисову силу. Урав-
Уравнение движения в векторной форме
будет
mw = mg — 2m<o X v, E0)
откуда, проектируя на оси О'х, О'у и
O'z, будем иметь
тх = — 2т (<uyv2 — (ozvy),
ту = — 2т {(x>2vx — (*xv2),
mz = mg — 2m (®xvy — a>yvx).
" 1 7
ю
Рис. 411
0т
"
у
1.
\
1
Но, как легко видеть на рисунке (при использовании правой си-
системы координат вектор со направлен к северу),
ах = со cos ф, <х>у = 0, со2 == — со sin <p,
где ф — географическая широта места. Кроме того,
и уравнения движения после сокращения на т приведутся
к виду
х = — 2ан/ sin ф,
у = 2со (х sin ф + z cos ф), E1)
2 = g — 2ан/ cos ф.
Будем интегрировать эту систему путем разложения в ряды по
степеням малой безразмерной величины со/. Если принять,

436 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
например, высоту падения h равной 180 м, то время падения
/ *» ^2h/g « 6 с и со/ < 0,0005. Пусть начальные условия 6\uvt
при / = 0 jt = */ = z = O, x = y = z = Q.
Положим
х = a2a>2t2 + а3о>3/3 + •••>
...» E2)
и подставим эти значения в приведенную выше систему диффе-
дифференциальных уравнений. Сравнивая коэффициенты при одина-
одинаковых степенях t в левых и правых частях уравнений, получаем
систему равенств для определения постоянных:
2а2«>2 = 0, 6а3со3 = — 2со sin ф • 262со2,
262со2 = 0, 6&3со3 = 2со (sin ф • 2а2со2 + cos ф • 2с2со2),
2с2со2 = g, б?3со3 = — 2со cos ф • 262со2;
отсюда находим
20J E3)
а3 = 0, bz = -gjjj- cos ф, cs = 0.
Возвращаясь к рядам E2) и довольствуясь членами с со3^
в разложениях, получим
Полученное решение показывает, что вследствие вращения
Земли падающее тело получает отклонение к востоку (у > 0).
При падении тела с высоты h отклонение его к востоку будет
равно
А 1 / 2Л у/2
В табл. 7 сравниваются отклонения к востоку, вычисленные
по этой формуле и наблюдавшиеся в опытах. Из таблицы сле-
следует, что разница между вычисленным и наблюдавшимся откло-
отклонением в большинстве случаев довольно значительна.
Ввзяв следующие члены в приведенных выше рядах, мы на-
нашли бы поправки к полученным формулам и, в частности, от-
отклонение к югу. Такие поправки очень малы, а неучтенные
факторы, как-то: изменение силы тяжести с высотой, изменение
широты места и притяжение точки Луной, могут дать эффект

§ 168. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
437
Таблица 7
Сравнение вычисленных и опытных значений отклонений тел
Наблюдатель
Гуглиемини,1791
Бенценберг, 1802
Бенценберг, 1804
Рейх, 1831
Холл, 1902
Фламмарион, 1903
Хаген, 1912
к востоку
Место опытов
Болонья
Гамбург
Шлеебуш
Фрейбург
Кембридж (США)
Париж
Рим
при падении
СЗ
t-
Q
Си
1
40°30'
53°33'
5Г25'
50°53'
42°22'
48°50/
41°54'
«3
о о
ч н
о 3
si
16
31
29
106
948
144
66
з
та,
о
о
Я
CQ
78,3
76,34
85,1
158,5
23,0
68,0
22,96
Отклонение Д,м«10—-3
вычис-
лен-
ленное
11,3
8,7
10,4
27,5
1,77
8,1
0,899
наблюдав-
наблюдавшееся
19±2,5
9,0±3,6
П,5±2,9
28,3±4,0
1,5±0,05
6,3
0,899±0,027
того же порядка, что и указанные поправки. Этим, по-видимому,
объясняется отрицательный результат опытов по определению
отклонения к югу.
§ 168. Влияние вращения Земли на движение тяжелой точки
по горизонтальной плоскости
Учитывая влияние центробежной силы на величину и на-
направление силы тяжести, проведем горизонтальную плоскость
перпендикулярно к отвесу. Будем иметь следующее уравнение
движения тяжелой точки по этой плоскости:
т -?- = — 2/жо X v + mg + N,
E4)
где W — нормальная реакция плоскости. Так как векторы wXt>,
mg и iV перпендикулярны к v, скалярным умножением обеих
частей на вектор v получим
или
Из этого равенства следует, что скорость движения постоянна
по величине:
Для определения вида траектории спроектируем уравнения
движения на главную нормаль к траектории, т. е. составим

438
ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
второе естественное уравнение движения. Обозначая через п
единичный вектор главной нормали, получаем
mwn = mw • п = — 2тп • (о X *0>
так как скалярные произведения взаимно перпендикулярных
векторов л, g и я, N обращаются в нуль. Имеем далее
2
где р — радиус кривизны траектории, т — единичный вектор ка-
касательной к траектории, который условимся направлять в ту
же сторону, что и v, 6 — тХя — единичный вектор бинормали.
Получаем
В левой части этого соотношения стоит существенно положи-
положительная величина, поэтому в северном полушарии вектор Ъ дол-
должен быть направлен по отвесу вниз, т. е.
по положительному направлению оси z
(рис. 411), и уравнение E5) примет
форму
-^ = 2оэ sin <р.
E6)
Таким образом, траекторией является
окружность радиуса
р =
20 sin ф
E7)
Наблюдатель, который в северном полу-
полушарии стоит на горизонтальной плоско-
Рис. 412. сти и смотрит по направлению движе-
движения, увидит центр кривизны этой окруж-
окружности справа (рис. 412). Действительно, оси т, /г, 6 образуют
правую систему, так что, направляя ось Ъ сверху вниз и смотря
вдоль т, мы увидим п направленным вправо.
В южном полушарии в соответствии с условием E5) вектор
бинормали должен быть направлен по отвесу вверх, и, следо-
следовательно, если смотреть вдоль вектора скорости г>0 или т, то
вектор п будет направлен влево. Это означает, что траектория
отклоняется от направления движения влево.
Радиус окружности, как следует из E7), очень велик. По-
Поэтому, считая постоянной широту места ф, следует ограничиться
рассмотрением небольшой дуги этой окружности.

§ 169. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ
439
Обозначая через б отклонение, соответствующее пройденной
точкой дуге s, будем иметь следующую зависимость между 5
и 5:
или вследствие малости угла s/p
Подставляя сюда значение р, получаем
cos2 sin ф
—.
Vq
б
Например, артиллерийский снаряд, вылетевший со скоростью
v0 = 500 м/с на широте ф = 60°, даст отклонение 6= 12,6 X
X 10~8s2, так что на расстоянии 5 = 104 м будет б = 12,6 м. Это
отклонение получено в предположении горизонтального полета
снаряда и сохранении им неизменной скорости, равной началь-
начальной скорости.
§ 169. Опыты, служащие для доказательства вращения
Земли
Для доказательства вращения Земли вокруг оси были проведены много*
численные опыты. Основной идеей большинства из них было сделать эффект
вращения Земли длительным, накопляющимся, чтобы добиться большей на-
наглядности в наблюдениях и точности в измерениях. Остановимся на двух наи-
наиболее известных опытах: 1) с использова-
использованием специального прибора — изотомеогра-
фа и 2) опытах Фуко с маятником, нося-
носящим и поныне его имя.
Об устройстве изотомеографа уже упо-
упоминалось в § 161 (пример 146). Покажем,
как этот прибор может служить для до-
доказательства вращения Земли. Пусть в
некоторый момент грузы (рис. 413), общую
массу которых обозначим через т, нахо-
находятся на расстоянии а от оси и балка не-
неподвижна по отношению к Земле. Момент
количества движения системы, состоящей
из балки и грузов, по отношению к оси
прибора в абсолютной (солнечной) коор-
координатной системе будет равен
(та2 + У) со sin ф, Рис. 413.
где / — момент инерции балки относительно оси вращения, со — угловая ско*
рость вращения Земли, ф — широта места, со sin ф — составляющая угловой
скорости Земли по оси подвеса балки.
Если теперь внутренними силами заставить грузы разойтись до крайнего
положения, характеризуемого расстоянием Ь, то вследствие увеличения

440 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
момента инерции и сохранения момента количества движения угловая ско-
скорость системы по отношению к Солнечной системе координат уменьшится и
мы заметим вращение ранее неподвижной балки по отношению к Земле с
угловой скоростью соь определяемой равенством
(та2 + /) со sin <р = (mb2 + J) (со sin ф — сел).
Относительная угловая скорость, приобретенная прибором, равна
т (Ь2 — а2)
причем вращение будет происходить в горизонтальной плоскости в направле-
направлении СВЮЗ. Если, наоборот, вначале грузы поместить на наибольшем расстоя-
расстоянии Ь, а затем уже внутренними силами перевести в положение а, то угловая
скорость увеличится и мы заметим дополнительную угловую скорость со2, оп-
определяемую равенством
(mb2 + «О <о sin ф = (та2 + J) (со sin ф + g>2),
т. е.
т (Ь2 — а2)
Ш2== т8Ц|Ф
причем направление относительного вращения уже будет СЗЮВ. Очевидно,
что второй опыт можно сделать более наглядным, так как в знаменателе о>2
стоит выражение меньшее, чем в знаменателе а>ь И в том и в другом слу-
случаях приобретенные прибором угловые скорости относительного вращения
имеют порядок угловой скорости вращения Земли, т. е. очень малы. При поль-
пользовании прибором можно, однако, наблюдать не угловые скорости, а углы
отклонения балки от первоначального ее расположения, представляющие со-
собой вполне заметные величины.
Широкую известность приобрел опыт Фуко A819—1868), проведенный им
в Пантеоне (Париж) в 1851 г. для доказательства вращения Земли. Фуко
произвел свой знаменитый опыт с маятником длиной в 67 м. Это позволило
сделать эффект отклонения плоскости качания маятника общедоступным для
наблюдения. После Фуко его опыт был неоднократно повторен и усовершен-
усовершенствован
Точку подвеса маятника поместим в начале осей координат, связанных с
Землей и расположенных аналогично тому, как это показано на,рис. 411;
длину нити обозначим через /. Поскольку реакция N направлена вдоль нити,
имеем
х ,, __ у^ N N ==_JLhr
i i
Nx = - 4- ¦
Ограничимся рассмотрением лишь малых движений, т. е. будем считать х
и у, а также их производные по времени малыми величинами первого порядка,
квадратами и произведениями которых можно пренебречь. Тогда
/ -
и, следовательно, Nz = —Л/"; положим также г = г = 0.
Уравнение движения груза в тех же предположениях, что и в § 167, бу-
,дет иметь векторную форму E4). Переходя к проекциям на оси, получаем
х и
тЯ = — 2тщ sin ф — N -г-, ту = 2пках sin ф — N -у-,
1 1 E8)
0 = mg — 2тщ cos ф — N.

« 169. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ 441
Из последнего уравнения находим
t mg, E9)
и подстановка в два первых уравнения дает систему уравнений
х 4~ 2©!*/ -j—7- х = 0, у — 2(д\Х Н—г- у === 0, F0)
где для краткости принято coi ===== со sin ср. Интегрирование этих уравнений уп-
рощается, если применить следующий прием: умножить второе уравнение на
1 = ^—1 и сложить с первым; тогда, обозначая ? = х + iy, получим одно»
уравнение для определения ?:
Соответствующее этому линейному дифференциальному уравнению с постоян-
постоянными коэффициентами характеристическое уравнение
&2 __ 2coi/? + -~- = 0
имеет корни
Заметим, что g// > со^; действительно, период колебаний маятника Фуко
(/ = 67 м) составляет примерно 16,4 с, тогда как 2л/а>1«1,32 суток (дляср»
« 49° — широты Парижа). Поэтому можно принять
> *» = CD,/ - / /\J-Sf
Общий интеграл уравнения F1) поэтому будет
Множитель е®1 в этом выражении является весьма медленно изменяю-
изменяющейся функцией времени — ее период, как указано выше, весьма велик по
сравнению с периодом колебаний даже столь длинного маятника, как маят-
маятник Фуко. Разделяя в ?i вещественную и мнимую части, убеждаемся, что
траектория точки, движущейся по закону ?i@> представляет собой эллипс
(результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических коле-
колебаний одинаковой частоты л/g/t ). Наличие при ?i множителя е®1** указы-
указывает, что этот эллипс весьма медленно вращается с угловой скоростью coj =
= со sin ср. Это вращение в северном полушарии происходит по часовой
стрелке, а в южном — против часовой стрелки; его не следует смешивать с
тем вращением оси эллипса, которое имеет место при движении сферического
маятника в отсутствие вращения Земли. Как уже было указано в § 161 (при-
(пример 143), последнее вращение происходит всегда в ту же сторону, что и дви-
движение точки по эллипсу, а угловая скорость его зависит от начальных усло-
условий движения. Заметим, что принятое при составлении системы уравнений
E8) приближение недостаточно для обнаружения этого вращения оси эл-
эллипса. Действительно, при со = 0 последнее из уравнений E8) дает

442 ГЛ. XXX. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
после чего первые два приводятся к двум раздельным уравнениям гармониче-
гармонических колебаний с одинаковой частотой:
Траекторией такого движения служит неподвижный эллипс. Таким образом,
допущенное при выводе уравнений E8) отбрасывание малых величин второго
порядка приводит к потере в интеграле существенных для описания явления
членов первого порядка малости — любопытный факт, обнаруженный и объ-
объясненный А. Н. Крыловым в уже цитированном месте его «Лекций о прибли-
приближенных вычислениях» (§ 161).
При экспериментальном наблюдении качания маятника Фуко стараются
воспроизводить такие начальные условия, которые соответствовали бы отсут-
отсутствию вращения оси эллипса при со = 0, т. е. условиям математического маят-
маятника. С этой целью груз оттягивают нитью и в начале движения пережигают
ее. Однако и при этом, участвуя во вращения Земли, груз в абсолютном дви-
движении получает некоторую начальную окружную скорость, так что в чистом
виде явление вращения оси эллипса по отношению к Земле, представляющее
следствие только вращения Земли, воспроизвести не удается.

Глава XXXI
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ *)
§ 170. Принцип относительности Галилея.
Преобразования Галилея. Постулаты специальной
теории относительности Эйнштейна
Как уже указывалось в предыдущей главе (§ 164), в основе
классической механики Ньютона лежит принцип относительно-
относительности Галилея, утверждающий одинаковое протекание всех дина-
динамических явлений в любых инерциальных (галилеевых) систе-
системах. Все такие системы, согласно этому принципу, равноправны.
Иными словами, второй закон Ньютона, выражаемый ра-
равенством
F, A)
одинаково справедлив в любой инерциальной системе. Рассмот-
Рассмотрим это обстоятельство более подробно применительно к отдель-
отдельным элементам формулы A). Масса т — материальная кон-
константа точки (тела), — естественно, не зависит от выбора той
или иной инерциальной или неинерциальной системы отсчета.
Время определялось Ньютоном как абсолютное, одинаковое
в любых, в том числе и в инерциальных системах отсчета. Век-
Вектор F равнодействующей сил, приложенных к движущейся
точке, определяется, по Ньютону, взаимодействием этой точки
с окружающими ее телами и, следовательно, зависит от их вза-
взаимных расстояний и относительных скоростей.
Так обстоит дело в любой инерциальной системе. С другой
стороны, в § 164 было показано, что в неинерциальных системах
дополнительно возникают силы особого рода, так называемые
силы инерции; появление этих сил является признаком неинер-
циальности системы отсчета. Силы инерции непосредственно
зависят от движения неинерциальной системы относительно
*) Настоящая глава написана КА- Лурье. При этом, кроме классической
статьи Эйнштейна (см. стр. 446), использованы следующие источники: Б о м Д.
Специальная теория относительности.— М.: Мир, 1967; Голдстейн Г. Клас-
Классическая механика. — М.: Гостехиздат, 1957; Угаров В. А. Специальная
теория относительности. — М.: Наука, 1977.

444 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
инерциальной, в которой эти силы отсутствуют. Так, по явлениям
отклонения падающих на поверхности Земли тел к востоку
и югу (см. предыдущую главу), как и по другим явлениям того
же рода (например, вращению плоскости колебаний маятника
Фуко), можно судить о неинерциальности системы координат,
связанной с вращающейся Землей.
Остановимся несколько детальнее на условиях независимо-
независимости вектора ускорения материальной точки от выбора инер-
циальных систем, по отношению к которым этот вектор рас-
рассматривается.
Пусть Oxyz и O'x'y'z' — две системы координат, движущиеся
поступательно, прямолинейно и равномерно друг по отношению
к другу с постоянной скоростью v. Вектор-радиусы точки М по
отношению к этим двум системам обозначим соответственно че-
через r(t) и rf{t) (штрих — индекс второй системы; производная
по времени t обозначается далее точкой над буквой). По ука-
указанному в предыдущей главе закону сложения скоростей,—
а в данном случае за абсолютную скорость можно принять
r'(t), за относительную r(t)y а за переносную vy — будем иметь
rf(t) = r(t) + vf B)
откуда, взяв еще одну производную по общему для левой и пра-
правой частей аргумента t, получим {v = const) упоминавшийся
выше закон равенства ускорения в двух любых инерциальных
системах:
?(t) = г @, C)
а проинтегрировав B) по t, найдем
(произвольная постоянная С характеризует начальное взаимное
расположение систем координат). Используя условие абсолют-
абсолютности времени, перепишем это равенство в виде
r'(t') = r(t) + vt + C, f=*t, D)
где t' — время в системе со штрихом, совпадающее с t.
Равенства D), представляющие собой преобразования коор-
координат и времени при переходе от одной инерциальной системы
к другой, носят наименование преобразований Галилея. Мы
видели, что эти преобразования не изменяют левой части равен-
равенства A); составляя равенства D) один раз для одной точки,
другой — для какой-то второй точки и вычитая почленно эти
два равенства одно из другого, убедимся, что вектор-радиус
второй точки относительно первой остается неизменным в любой
инерциальной системе. Дифференцируя этот результат, получим,

§ 170. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 445
что неизменной остается и относительная скорость этих двух
точек. Вспоминая теперь, что силы F в механике Ньютона за-
зависят только от относительных положений и относительных ско-
скоростей материальных точек (тел), найдем, что в результате
преобразования Галилея не изменяется и правая часть A). Та-
Таким образом, это преобразование оставляет уравнение A)
инвариантным, т. е. сохраняющим свой вид в любой из возмож-
возможных инерциальных систем отсчета. Иначе говоря, движение
материальной точки (тела) в двух произвольных инерциальных
системах происходит по одинаковым законам: в одной — в пере-
переменных (г, t)y в другой — в переменных (г', f), причем, по Нью-
Ньютону, f = t, a г' связан с г преобразованием Галилея.
Параметр v в преобразовании Галилея — скорость взаимного
относительного движения систем отсчета — может принимать
любое сколь угодно большое значение. Это обстоятельство тесно
связано с гипотезой об абсолютном характере пространства
и времени. Допуская существование сигналов, распространяю-
распространяющихся с бесконечной скоростью, мы обеспечиваем возможность
введения абсолютного времени, одного и того же для всех инер-
инерциальных систем. Действительно, имея в своем распоряжении
одни-единственные часы, расположенные в некоторой точке про-
пространства, можно по этим часам регистрировать события, про-
происходящие в других точках, посылая из этих точек сигналы, ко-
которые, распространяясь с бесконечной скоростью, мгновенно
достигнут часов.
Предположение о бесконечно большой скорости распростра-
распространения в механике Ньютона относится не только к сигналам,
с помощью которых происходит регистрация событий во вре-
времени, но и к передаче силовых взаимодействий между телами:
эти взаимодействия считаются происходящими мгновенно, бея
запаздываний. В соответствии с этим силы в механике Ньютона
зависят от расстояний между точками (телами) и от их отно-
относительных скоростей, причем вектор-радиусы взаимодействую-
взаимодействующих тел берутся в один и тот же момент времени.
Опыт, однако, не подтверждает существования бесконечных
скоростей движения каких-либо физических объектов. Наиболь-
Наибольшая из всех скоростей — скорость света в вакууме с — имеет
порядок 300 000 км/с. С этой скоростью распространяются
электромагнитные волны. Естественно возникает вопрос: спра-
справедлив ли для электромагнитных волн принцип относительности
Галилея? Верна ли, в частности, для таких волн формула B)
сложения скоростей, иными словами, зависит ли скорость элек-
электромагнитных волн от скорости движения источника?
Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Точнейшие
эксперименты (Майкельсон и Морли, 1881 г.; Кеннеди и Торн-
дайк, 1932 г. и многие другие гораздо более точные опыты)•

446 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
показали, что: 1) скорость света в вакууме в данной инерциаль-
юй системе одинакова во всех ее точках и не зависит от направле-
направления; 2) во всех инерциальных системах эта скорость имеет одно
и то же значение с. Таким образом, принцип относительности
Галилея не оправдывается для электромагнитных явлений. Та-
Такое положение нетерпимо, так как противоречит естественному
представлению о единстве законов, описывающих все физиче-
физические явления. В самом деле, трудно согласиться с тем, что
между законами механики и электродинамики существует прин-
принципиальное различие постольку, поскольку речь идет о возмож-
возможности обнаружить поступательное, равномерное и прямолиней-
прямолинейное движение системы отсчета. Гораздо более удовлетворитель-
удовлетворительным было бы положение, когда все законы физики были бы
в этом отношении одинаковы. Но общим для этих законов яв-
является как раз невозможность обнаружить такое движение:
в механике об этом свидетельствует принцип относительности
Галилея, а в электродинамике — эксперименты Майкельсона
и др. Различие заключается в том, что уравнения динамики
Ньютона сохраняют свой вид при преобразовании Галилея,
а уравнения электродинамики (уравнения Максвелла) этим
свойством не обладают. Возникает вопрос о том, существуют ли
преобразования координат и времени, оставляющие инвариант-
инвариантными уравнения Максвелла. Если такие преобразования суще-
существуют, то почему мы должны положить в основу теории пре-
преобразования Галилея, а не эти новые преобразования? Быть
может, с такой точки зрения окажется возможным получить удов-
удовлетворительное описание как электромагнитных, так и механи-
механических явлений?
Если сохранить принятое ранее определение инерциальных
систем, то придется как-то видоизменить само уравнение Нью-
Ньютона A), сделав его инвариантным по отношению к новым пре-
преобразованиям координат. Основная идея состоит в том, чтобы
сохранить принцип относительности — независимость всех физи-
физических (а не только механических) явлений от поступательного,
равномерного и прямолинейного движения инерциальной си-
системы отсчета; это может быть достигнуто лишь путем отказа
от преобразований Галилея и перехода к новым преобразова-
преобразованиям пространства и времени, влекущим за собой видоизмене-
видоизменение основных уравнений механики.
Именно такая идея была выдвинута и реализована А. Эйн-
Эйнштейном в его знаменитой работе 1905 г.*). Осуществление
*) Einstein A. Zur Elektrodynamik der bewegter Korper. — Annalen d.
Phys., 1905, Bd. 17. Имеется перевод: Эйнштейн А. К электродинамике
движущихся тел. — В кн.: Принцип относительности/Сборник работ классиков
релятивизма. — М.: ОНТИ, 1935, с. 133; см. также Эйнштейн А. Собрание
научных трудов. — М.: Наука, 1965, т. I, с. 7.

§ 170. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 447
этой идеи привело к совершенно новым по сравнению с привыч-
привычными ньютоновскими представлениям о свойствах пространства
и времени. Открытие Эйнштейна показало, в частности, что про-
пространство и время нельзя рассматривать отдельно как незави-
независимые друг от друга формы существования материи. Эти две
формы должны быть объединены в некоторый пространственно-
временной континуум. Представление о таком континууме от-
открыло путь к далеко идущим обобщениям естественнонаучного
и философского характера.
Исследование Эйнштейна основано на двух постулатах, на-
названных его именем.
1) Поступательное, равномерное и прямолинейное движение
инерциальной системы отсчета не изменяет формы всех законов
физики, в том числе и законов механики.
2) Скорость света {распространения электромагнитных волн)
в вакууме не зависит от места и направления и остается одной
и той же во всех инерциальных системах отсчета.
Обратим внимание на то, что, говоря здесь об инерциальных
системах отсчета, мы принимаем определение их как таких си-
систем, в которых уравнения механики записываются без сил
инерции. На этот раз, однако, речь идет уже о новых, модифи-
модифицированных по сравнению с ньютоновскими, уравнениях ме-
механики.
Выше говорилось, что ньютоновская механика основана на
предположении о возможности существования сколь угодно бы-
быстрых сигналов. Это предположение, однако, не нашло под-
подтверждения на опыте. С другой стороны, то обстоятельство, что
самым быстрым из известных в физике процессов является рас-
распространение света, дало основание для другого предположе-
предположения, сделанного Эйнштейном и состоящего в том, что скорость
света вообще является предельной скоростью распространения
сигналов. Подобная гипотеза означает, конечно, что величина
предельной скорости не зависит от выбора инерциальной сп-
стемы отсчета, в противном случае можно было бы обнаружить
равномерное и прямолинейное движение такой системы вопреки
принципу относительности.
Наконец, следует еще раз оговориться, что в этой главе мы
будем иметь дело с системами отсчета, движущимися друг от-
относительно друга поступательно, равномерно и прямолинейно.
Соответствующий круг вопросов составляет содержание спе-
специальной теории относительности Эйнштейна. Это название под-
подчеркивает частный, ограниченный характер теории; ограничен-
ограниченный постольку, поскольку полностью остается в стороне вопрос
о силах инерции. Проблема сил инерции получила решение в
общей теории относительности, построенной также Эйнштейном

448 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
и установившей фундаментальный постулат об эквивалентно-
эквивалентности сил инерции и сил тяготения — так называемый «принцип
эквивалентности» Эйнштейна.
§ 171. Преобразование Лоренца. Диаграмма Минковского
Преобразование координат и времени, оставляющее инвари-
инвариантными уравнения электродинамики, было открыто Г. А. Ло-
Лоренцем A853—1928) в 1892 г., т. е. за 13 лет до появления
работы Эйнштейна. Приведем простой вывод этого преобра-
преобразования.
Согласно постулатам Эйнштейна, уравнения электродина-
электродинамики, а следовательно, и их решения должны сохранить свой
вид в системе отсчета (х', у\ z\ t'), движущейся относительно
исходной системы (х, у, z, t) поступательно, равномерно и пря-
прямолинейно. Обратим внимание на то, что, говоря о поступатель-
поступательном, равномерном и прямолинейном относительном движении
систем отсчета, мы необходимо должны предположить, что
f ф t, т. е. что время не является абсолютным. В самом деле,
предположив противное, придем к преобразованиям Галилея,
т. е. к формуле B) сложения скоростей, что противоречит вто-
второму постулату Эйнштейна о постоянстве скорости света.
Переходя непосредственно к выводу преобразования Ло-
Лоренца, предположим, что в начале координат О исходной си-
системы расположен точечный источник света, испускающий сфе-
сферические волны. Фронт такой волны описывается уравнением
сферы
x2 + y2 + z2 = c2t2, E)
расширяющейся со скоростью света с. Согласно сказанному
выше этот фронт должен описываться таким же точно уравне-
уравнением и в другой инерциальной системе отсчета, начало О' ко-
которой совпадает с О в момент f = 0; а именно:
x'2 + y'2 + z'2 = cY2. F)
Отсюда следует, что искомое преобразование должно удовле-
удовлетворять условию инвариантности
х2 + у2 + г2 - c2t2 = х'2 + у'2 + z'2 - сГ2, G)
поскольку ни одна из рассматриваемых систем не имеет ника-
никакого преимущества перед другой. Кроме того, преобразование
должно быть линейным, так как в противном случае была бы
нарушена однородность пространства и времени: их свойства
зависели бы от выбора начала отсчета. Считая, что в момент
t = f = 0 начала отсчета О и О' совпадают, находим, что /,
у', z\ f представляют собой линейные однородные функции ар-

§ 171. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА. ДИАГРАММА МИНКОВСКОГО 449
гументов х9 у, z, t. Переходя к цифровой индексации осей
и вводя обозначения
и аналогичные символы для системы O'x'y'z't', запишем ра-
равенство G) в виде
4 4
или, подразумевая суммирование по повторяющимся индексам,
x'ix'i==z xixi> Ф)
а искомые преобразования представим так:
*'i = aikxk (' = 1,2,3,4). A0)
Совокупность величин (хЛ и {х'Л (которые будем в дальнейшем
называть «координатами», не выделяя специально простран-
пространственных и временной составляющих) удобно трактовать как
декартовы компоненты некоторого вектора R соответственно по
осям (хЛ и {х'Х в четырехмерном евклидовом пространстве-вре-
пространстве-времени Минковского. Равенства (9) и A0) показывают, что пре-
преобразование A0) (ср. с § 32 т. I) оставляет неизменной абсо-
абсолютную величину упомянутого вектора /?, т. е. представляет со-
собой не что иное, как ортогональное преобразование координат —
вращение в пространстве Минковского. Отличие этого вращения
от обычного заключается в том, что, поскольку координата л*
чисто мнимая, коэффициенты aik и a\k в соотношениях A0) не
все вещественны. Именно, коэффициенты аИ, а'И и a4i, a'4i (/=
= 1,2,3) должны быть чисто мнимыми, а остальные а;& — ве-
вещественными.
Нас не будет интересовать случай, когда вращение в четы-
четырехмерном пространстве-времени происходит вокруг оси х4 (т. е.
когда это вращение чисто пространственное), так как такое вра-
вращение оставляет неизменной координату х±(х\ =*4) и связывает
между собой чисто пространственные координаты х{9 х2, х3 и
х[у #2> хг> не вв°Дя относительного движения систем коорди-
координат. Желая геометрически изучить преобразование, связанное
с таким движением, рассмотрим частный двумерный случай пре-
преобразования A0), соответствующий неизменным координатам
х'{ = х{ х'2 = хт Такое преобразование называется чисто лорен-
цевым. Координаты х'3 и х\ в чисто лоренцевом преобразовании
не должны зависеть от х\ и х2 в силу однородности плоскости
15 Л. Г. Лойдянский, А. И. Лурье

450 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(х\,х2). Итак,
Это преобразование, будучи частным случаем A0), также яв-
является вращением, на этот раз в плоскости (хз, х*). Введем
«угол поворота» ср; тогда последние две формулы примут из-
известный вид
Х3 === Х3 C0S Ф "Ь ХА Sm Ф»
^4 = — х3 sin ф + х4 cos ф.
Чтобы выяснить смысл параметра <р, свяжем преобразование
A1) с относительным движением систем координат О'х[х'2х'гх[
и 0^1X2X3X4. Первая из них пусть движется со скоростью v =
= const вдоль оси х3 относительно второй; это относится и к на-
началу О' первой системы, имеющему в этой системе координату
Xg = 0. Что касается координат начала О' во второй системе,
то они связаны уравнением равномерного движения
*3 = ?*4. A2)
Подставляя теперь координаты точки О' в обеих системах в пер-
первое уравнение A1), получаем
«Угол поворота», таким образом, оказался мнимым; это согла-
согласуется со сделанными выше замечаниями о коэффициентах рас-
рассматриваемых преобразований.
Формулы преобразования A1) принимают теперь вид
A4)
или, в переменных x'v /', х3, /,
v /, х3,
М-^Ь)- A5>
Обратное преобразование определяется формулами

§ 171. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА. ДИАГРАММА МИНКОВСКОГО
45!
Переход от A5) к A6) осуществляется заменой переменных
(*з» О на переменные (х3, t) с одновременным изменением зна-
знака v (и р = v/c) на обратный.
Когда параметр р стремится к нулю, формулы A5) и A6)
переходят в обычное преобразЪвание Галилея. Этим объясняется
тот факт, что преобразования Галилея сохраняют практическое
значение в тех многочисленных случаях, когда скорость v мала
по сравнению со скоростью света с.
Формулы A5) примечательны прежде всего тем, что вводят
новое время t'9 течение которого зависит от скорости v относи-
относительного движения систем координат. Разнообразные следствия
этих формул проще всего получить с помощью их графической
итерпретации, данной Г. Минковским A864 —1909). Введем
вместо V и t переменные размерности длины %' = cf и т = ct
и будем в дальнейшем писать х (xf) вместо х3 (л:^). Согласно
A5) оси х' и %' займут положения, отмеченные на рис. 414
{диаграмме Минковского). «Поворот» на мнимый угол сбли-
сближает эти оси при возрастании параметра р, превращая перво-
первоначально прямоугольную систему координат в косоугольную.
Отметим также, что масштабы косоугольных координат х' и %'
отличаются от масштабов прямоугольных координат хит,
15*

452 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Чтобы убедиться в этом, сопоставим каждой точке плоскости
(х, т) величину s, определяемую формулой
и назовем s «пространственно-временным интервалом»; согласно
G) этот интервал сохраняет свое значение в системе коорди-
координат О'х'х' независимо от скорости v ее относительного движе-
движения (это же легко проверяется непосредственно с помощью
формул A5)).
С помощью понятия интервала вводится новое (по сравне-
сравнению с обычным евклидовым) понятие расстояния между двумя
точками плоскости (х, т) (или (*', т')). Именно, квадрат рас-
расстояния между точками (х\, ti)
.^И и (х2, тг) определяется как
Рис. 415.
и аналогично для плоскости
(х'у т7). Плоскость с определен-
определенным таким образом расстояни-
расстоянием между точками называется
псевдоевклидовой. Геометриче-
Геометрическим местом точек псевдо-
псевдоевклидовой плоскости, равно-
равноудаленных от начала коорди-
координат, будут две гиперболы s2=
= const (рис. 415); если
const > 0, то гиперболы пере-
пересекаются с осью х\ если
const < 0, то гиперболы пере-
пересекаются с осью т. Обе пары гипербол имеют своими асимпто-
асимптотами биссектрисы координатных углов.
Рассмотрим пару гипербол s2 = 1 и пару s2 — —1 (рис.415).
Гиперболы первой пары пересекают ось х в точках #=±1,
т = 0, а гиперболы второй — ось т в точках х = 0, т = ±1. Обе
пары гипербол отсекают, таким образом, единичные отрезки
вдоль осей координат (это согласуется с тем, что квадрат псев-
псевдоевклидова расстояния s между началом координат и любой
точкой гипербол равен ±1).
Мы видели, что интервал является инвариантом преобразо-
преобразования Лоренца, поэтому указанные гиперболы представляются
теми же уравнениями и в косоугольных координатах (л/, т'), а
именно х'2 — т'2 = 1 и х'2 — %'2 = —1; эти гиперболы отсекают
и на осях хг и %' косоугольных координат единичные отрезки
хг = ±1 и %' = ±1.
Не следует забывать, однако, что здесь речь идет о псевдо-
псевдоевклидовой единичной длине; именно эту длину мы будем иметь

§ 171. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА. ДИАГРАММА МИНКОВСКОГО 453
в виду при измерении длин и промежутков времени в различ-
различных системах отсчета. Непосредственное сравнение единичных
в смысле псевдоевклидова расстояния отрезков вдоль осей раз-
различных систем (например, отрезков О'А' и ОА на рис. 416)
показывает, что евклидова (обычная) длина этих отрезков раз-
различна; можно убедиться в том, что отношение евклидовых длин
отрезков ОА' и ОА (т. е. отно- т
шение масштабов косоуголь-
косоугольных и прямоугольных коорди-
нат) равно УA + 02)/A - р2).
Это различие в масштабах не
должно, однако, служить
источником недоразумений,
так как измерение длин и про-
межутков времени в каждой
системе координат будет про-
производиться в единицах длины o,i
и времени, соответствующих
именно этой системе.
Вернемся теперь к введенному выше понятию интервала.
Как было указано, величина s2 не меняется при переходе от
системы Охх к системе OW; в частности, при этом переходе
остается неизменным и знак s2. Поэтому возникает естественная
классификация точек плоскости (х, т): те из них, для которых
интервал является вещественным (s2>0), называются про-
пространственно-подобными, а те точки, для которых интервал яв-
является чисто мнимым или равным нулю (s2^0), называются
временно-подобными. Эти два типа точек разделяются пря-
прямыми
Рис. 416.
х2 — т2 =
т. е. х —
A8)
представляющими собой, очевидно, траектории светового луча.
На диаграмме Минковского (рис. 414) изображена первая из
прямых A8) — диагональ первого квадранта; пространственно-
подобные точки в этом квадранте лежат между диагональю
и осью х, а временно-подобные точки — на диагонали и между
диагональю и осью т.
Для каждой пространственно-подобной точки D существует
система координат О'я'т', для которой интервал s представляет
собой чисто пространственное расстояние: s = х. Сходным об-
образом, для всякой временно-подобной точки В существует си-
система O'xV, для которой s будет чисто временным расстоянием:
s = ±т. Для доказательства достаточно выбрать параметр ($
так, чтобы ось х' (либо %') на рис. 414 прошла через заданную
лространственно-подобную (либо временно-подобную) точку.

454 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим какие-либо события, происходящие в точках О
и D. В исходной системе Охх первое из них происходит раньше
второго; можно, однако, указать такую систему О'х'ч!', в кото-
которой оба события будут одновременны (точки О и D лежат на
оси х\ см. рис. 414), а также систему координат, в которой
событие в D произойдет раньше, чем в О (если точка D будет
лежать ниже оси х'). Все это связано, конечно, с пространствен-
пространственно-подобным характером точки D.
Рассмотрим теперь временно-подобную точку В. Для нее
дело обстоит иначе: если событие в точке О происходит раньше,*
чем событие в точке В в одной системе координат (х, х), то она
предшествует тому же событию в точке В в любой другой си-
системе (х', %'). Этот результат имеет принципиальное значение:
он выражает, в частности, то обстоятельство, что временное рас-
расположение события-причины и события-следствия не зависит от
того, в какой системе координат регистрируются эти события.
Пусть теперь какая-нибудь точка В движется равномерно со
скоростью v вдоль оси х\ тогда для этой точки х = (v/c)r
и s2 = х2 — х2 = [(v2/c2)—1]т2. Соответствующая точка на диа-
диаграмме Минковского имеет координаты [{v/c)x, х] и временно-
подобна, если v ^ с. Пространственно-подобной части диаграм-
диаграммы не может соответствовать никакое движение точки, так как
это противоречило бы принципу предельности скорости света.
Независимо от того, движется частица в пространстве иля
покоится, ее положение на диаграмме Минковского характери-
характеризуется некоторой кривой, называемой мировой линией частицы.
Так, частица, находящаяся в покое в начале координат исходной
системы Охх, имеет своей мировой линией ось х = 0; частица,,
равномерно движущаяся из начала координат системы Охх со
скоростью v, имеет мировой линией прямую, образующую
с осью т угол arctg{v/c); световой луч, исходящий из начала
координат, имеет мировыми линиями прямые A8) и т. д. Как
следует из предыдущего, мировые линии частиц, совершающих
произвольное (не обязательно равномерное и прямолинейное)
движение, полностью состоят из временно-подобных точек, так
как мгновенная скорость этих частиц не может превышать с.
Пусть скорость v точки В постоянна и меньше с (рис. 414).
Связанный с ней наблюдатель В находится в покое относительна
системы О'х'х'\ события, которые происходят в различных точ-
точках D\(x = xu t = ti) и D2{x = x2?=X\, t = t2 = ti) исходной
системы Охх и являются в этой системе одновременными (х2 =
= Ti), уже не будут одновременными для наблюдателя В. Со-
Согласно второй формуле A5) между ними пройдет промежуток
времени

§ 171. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА. ДИАГРАММА МИНКОВСКОГО 455
На рис. 414 этот промежуток времени получается, если про-
провести через точки D\ и Z>2 прямые, параллельные оси х'у до пе-
пересечения с осью х' в точках х' = х[ и %'— х2.
Пусть в исходной системе Охх покоится твердый стержень
О А, расположенный вдоль оси х. В момент т = 0 наблюдатель,
покоящийся в этой системе, измеряет длину стержня и находит,
что эта длина равна х2 — X\ = L Нас интересует, какой будет
длина стержня, измеренная наблюдателем, связанным с систе-
системой координат О'х'х\ движущейся относительно исходной. Этот
наблюдатель будет определять координаты концов стержня
х2 и х\ в один и тот же момент своего времени т', скажем, при
т' = 0, но в разные моменты времени т (именно, координата
левого конца х[ будет определяться в момент х = 0, а правого
jc'2— в момент х = Т2, рис. 416). Первая формула A6) показы-
показывает, что результатом этого измерения будет
*?-*[ = (х2 - хх) ^/T^W = / л/ь1?- B0)
Иными словами, длина стержня х'2 — х[у измеренная наблю-
наблюдателем в единицах движущейся системы, уменьшается в
дЛ — Р2 раз по сравнению с длиной того же стержня, измерен-
измеренной наблюдателем в единицах системы Охх, в которой стержень
? наблюдатель покоятся.
Формула B0) выражает эффект «сокращения» длин, обна-
обнаруженный еще до Эйнштейна Г. А. Лоренцем и Дж. Фитцдже-
Фитцджеральдом A851—1901), хотя эти авторы вкладывали в него со-
совсем иное содержание, нежели Эйнштейн. Именно, согласно
Эйнштейну, «вопрос о том, реально лоренцево сокращение или
нет, не имеет смысла. Сокращение не является реальным, по-
поскольку оно не существует для наблюдателя, движущегося с те-
телом; однако оно реально, так как оно может быть принци-
принципиально доказано физическими средствами для наблюдателя, не
движущегося вместе с телом». Чтобы проиллюстрировать лорен-
лоренцево сокращение на диаграмме Минковского, отметим на пло-
плоскости Охх (рис. 416) положение стержня ОА в момент т = 0.
Мировыми линиями его концов в системе Охх будут прямые
х = 0 и х= U параллельные оси т. Точки О' и А" пересечения
этих линий с осью х' движущейся системы будут характеризо-
характеризовать положения концов стержня, одновременные в системе
О'х'х', а расстояние О'А" между этими точками, измеренное
в единицах длины системы О'х'х' у будет равно длине стержня
х'2 — х\ в О'х'х'. Если провести на той же плоскости гиперболу
я2 = х2 — т2 = х'2 — х'2 = 12у то расстояние О'А' между началом
координат и точкой А' пересечения гиперболы с осью х' бу-
будет равно длине стержня, покоящегося в системе О'х'х', т. е.

456 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
/ единицам длины в этой системе. Из рисунка видно, что О'А" =
Таким образом, понятие длины движущегося стержня при-
приобретает смысл только тогда, когда указано, в какой инерциаль-
ной системе измеряется эта длина. Значение длины стержня
(точнее, число единиц длины в стержне) максимально в той си-
системе координат, в которой стержень покоится; во всех осталь-
остальных системах это значение меньше. В этом нет ничего парадок-
парадоксального, так как «уменьшение» длины происходит вследствие
того, что меняется способ ее измерения. Конечно, не может быть
и речи о каком-то изменении физического состояния стержня:
оно одно и то же во всех инерциальных системах.
Рассмотрим теперь часы, находящиеся в покое в точке к
исходной системы Охх. Согласно второй формуле A5), если по
этим часам в исходной систе-
системе пройдет промежуток време-
времени Т2 — ть то по другим в точ-
точности таким же часам, движу-
движущимся вместе с наблюдателем
В, пройдет промежуток вре-
времени
_/ _/ Т2 — Ti
Рис. 417.
больший исходного в V
раз. На рис. 417 ВВ' изобра-
изображает мировую линию движу-
движущихся часов, а также наблю-
наблюдателя В; отрезок О'В' имеет в
системе О'х'х' движущегося
наблюдателя длину %'2 — %'v a
отрезок О'В" в той же системе имеет длину т.2 — ть равную
длине отрезка ОВ в исходной системе Охх. Как видно из ри-
рисунка, О'В" = т2 — х{ < О'В' = х'2 — %[.
Для наблюдателя В, измеряющего время в своих единицах,
часы исходной системы отстают. Но исходная система и система
О'х'%' совершенно равноправны; поэтому те же самые эффекты
будут зафиксированы наблюдателем, связанным с исходной си-
системой и сравнивающим показания своих измерений длин
и промежутков времени с результатами наблюдателя В. Это
непосредственно следует из формул A5) и A6), имеющих
взаимный характер.
Мы приходим к заключению, кажущемуся парадоксальным.
В самом деле, предположим, что в одной точке расположены
одинаково идущие часы А я В. Часы В начинают двигаться

§ 171. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА. ДИАГРАММА МИНКОВСКОГО 457
с постоянной скоростью прямолинейно сначала от Л, а затем
назад к Л; часы Л при этом остаются в покое. Согласно ска-
сказанному часы В отстанут от Л. Но с равным основанием можно
сказать, что часы Л отстанут от В, так как движение часов от-
относительное.
В этом рассуждении можно заменить часы братьями-близне-
братьями-близнецами: мы придем тогда к выводу, что, например, в первом экс-
эксперименте близнец В постареет меньше, чем близнец Л, а во
втором — наоборот («парадокс близнецов»).
В действительности оба эксперимента существенно разли-
различаются. В первом из них на часы В действует сила, заставляю-
заставляющая их изменять свою скорость, а на часы Л сила не действует.
Во втором эксперименте положение обратное: часы В свободны
от воздействия силы, а часы Л это воздействие испытывают.
Физические условия, в которых находятся различные часы,
в обоих экспериментах различны и приводят к разным след-
следствиям в отношении показаний часов. Специальная теория отно-
относительности, имеющая дело с прямолинейным и равномерным
движением, не дает объяснения действия ускорения на ход ча-
часов — это объяснение может быть дано лишь в рамках общей
теории относительности. Выводы, к которым приводит преобра-
преобразование Лоренца, находят ясное объяснение в постулатах Эйн-
Эйнштейна. Физически все основано на том, что скорость света не
бесконечна, а измерение длин и синхронизация часов в движу-
движущихся относительно друг друга системах в принципе могут про-
производиться только с помощью световых сигналов.
Вернемся к диаграмме Минковского (рис. 414) и дадим еще
один вывод формулы B1), выражающей эффект замедления
хода движущихся часов. Пусть наблюдатель В, движущийся со
скоростью и<с в системе Охху и наблюдатель Л, покоящийся
в той же системе, находятся в начальный момент в одной и той
же точке О (х = х1 = 0) пространства, где они синхронизируют
свои часы, поставив их так, что т = %' = 0. Покоящийся в ис-
исходной системе Охх наблюдатель Л в момент х = 6о по своим
часам (точка No) посылает световой сигнал, который прини-
принимается наблюдателем В в момент, когда его часы показывают
время хг = 8i = ибо (точка N\). Траекторией светового луча
служит прямая NoNu параллельная диагонали ОС. Сразу же
по получении сигнала наблюдатель В посылает ответный сигнал
(с траекторией N\N2 — прямой, перпендикулярной к диагонали
ОС), который принимается покоящимся наблюдателем в мо-
момент, когда его собственные часы показывают т = 02 = kQ\
(точка N2). Совпадение коэффициентов пропорциональности в
двух последних равенствах выражает как раз принцип относи-
относительности, т. е. совпадение законов распространения света во
всех инерциальных системах отсчета. Итак, 92 = &9i fe20

458 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Теперь легко найти k. Имеем (см. рис. 414)
е2 - е0 = (k2 -1) е0 = on2 - on0,
SNt = SN0 = i- (ON2 - ON0) = 1 (^ - 1) e0 = (OS) p =
= (on0 + sn0) p = (e0 + -^-бо) p = j(k2 +1) pe0,
откуда
к = л/Щ- B2)
Покоящийся наблюдатель будет считать, что событие в точке
Ni (приход сигнала из No в N\) происходит одновременно с со-
событием в точке S, т. е. в момент
+ N0S = -^P-% B3)
по часам покоящегося наблюдателя.
Для наблюдателя В, как мы уже знаем, событие в точке N\
произошло в момент т' = 9i = АЭо, а отношение промежутков
времени тит7 оказывается равным
3- = Т7г=§Г- B4>
Этот результат вполне согласуется с формулой B1), если
учесть, что наблюдатель В покоится в системе О'х'х' и его время
%' соответствует времени т в B1).
Рассмотрим теперь две системы, из которых первая движется
относительно исходной со скоростью V\, а вторая движется отно-
относительно первой со скоростью V2. Применим формулы A5)
дважды, связывая сначала координату и время в первой си-
системе с координатой и временем в исходной системе, а затем
координату и время во второй системе со значениями этих пере-
переменных в первой системе. Исключая из полученных формул ко-
координату и время в первой системе, получим связь между этими
переменными во второй и исходной системах. Эта связь будет
также иметь вид формул A5), где роль v выполняет выражение
или, вводя параметр р,
' " 1 I ft ft *
Таким образом, скорость и3 второй системы относительна
исходной оказывается равной не v\ + v<i, а более сложному

§ 172. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 459
выражению B5). Это выражение известно под названием эйн-
эйнштейновской формулы сложения скоростей. Ясно, что при
^ь V2 <С с выражение B5) практически не отличается от гали-
леевского v\ + v<i\ с другой стороны, если хотя бы одна из ско-
скоростей v\ или v2 равна с, то v$ = с, что соответствует постулату
о предельности скорости света с.
В заключение этого параграфа приведем вывод формул пре-
преобразования Лоренца для случая, когда относительное движе-
движение совершается со скоростью v, произвольно ориентированной
относительно исходных осей координат. Ясно, что эти формулы
не отличаются ничем существенным от полученных ранее, так
как физическое значение имеет лишь направление относитель-
относительного движения систем координат.
Вектор-радиус г в исходной системе можно разложить на
два слагаемых, из которых одно параллельно, а другое перпен-
перпендикулярно к v\
При этом, очевидно, преобразование Лоренца совершается лишь
над частью г„; находим
— vt), r'=ri9 t' = , (/ !!—);
искомые формулы получатся, если исключить отсюда гй и гх
с помощью соотношений
' II v v2 ' -L ' v v2 v2
§ 172. Четырехмерные векторы в пространстве Минковского
Поскольку преобразование Лоренца A5) линейно по коор-
координатам, оно имеет место и для приращений координат. Для
этих приращений сохраняется и равенство (9), выражающее
инвариантность интервала As, где
5-с2 (ДО2,
а также сохраняются и все следствия [см. A9) — B1)] из пре-
преобразований A5), A6).
Удобно ввести величину Да = i As; тогда
(ДаJ = с2 (ДО2 - (Дл:)? - (АуJ - (AzJ.
Величины сД^, Ах, Ay, Az преобразуются как компоненты
вектора в четырехмерном пространстве-времени. Если (ДаJ^0,
то в соответствии с § 171 этот вектор будем называть временно-
подобным, в противном случае — пространственно-подобным,

460 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Как мы знаем, для временно-подобного вектора существует та-
такая система координат O'x'y'z't\ в которой пространственные
составляющие равны нулю, и мы имеем
. B6)
Поскольку Да — инвариант, этим же свойством обладает и ДГ;
промежуток At\ согласно B1), является наименьшим возмож-
возможным среди промежутков времени между двумя событиями, из-
измеряемых в различных системах отсчета. Если Аху Ду, Az — при-
приращения координат движущейся точки и если эти приращения
бесконечно малы так же, как и промежуток А/, то B6) можно
записать в виде
Здесь dt'— бесконечно малое приращение времени, измерен-
измеренного в сопутствующей точке системе координат, т. е. в системе,
в которой точка в данный момент покоится. Промежуток вре-
времени df (по определению инвариантный) называется проме-
промежутком собственного времени точки. Введем для собственного
времени обозначение 8; тогда
do L (dxY + (dy? +
—*= v1 w
M49'+(&)'+(*
где
представляет собой квадрат скорости точки в исходной системе,
а параметр р характеризует сопутствующую систему координат.
Значение собственного времени для последующих рассужде-
рассуждений связано с его инвариантным характером. Обычная скорость
г>, представляющая собой трехмерный вектор с составляющими
(хх = х, х2 = {/, Хг = г)
dx\ dx% dxs
dt ' ЦТ' ЧГ'
не определяется аналогичными формулами после преобразова-
преобразования Лоренца. Этим свойством обладает четырехмерный вектор
скорости V, который в пространстве Минковского {х\, хч, хъ, х4}
задается составляющими
{dx\ dx2 dxz dxA \
db ' dB ' db ' rf6 Г

§ 172. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО 461
Первые три из них, согласно B7), равны
7f=F^T (/==1'2'3)>
а четвертая определяется [см. (8)] как-.
1 d (Ш) ic
Vl — p2 dt ~ Vl — P2 '
Величина вектора V представляет собой инвариант
откуда следует, что V — временно-подобный вектор; при преоб*
разовании Лоренца этот вектор, разумеется, испытывает враще-
вращение в пространстве Минковского.
С помощью вектора V можно построить и четырехмерный
вектор ускорения W, определив его как
или в составляющих
dV. d2xf
w l dQ dW
Можно проверить, что
dt v. v. (v • v)
= 1>2>3)' B8)
где vi = dxi/dt = xt (точка сверху обозначает дифференциро-
дифференцирование по времени t, измеряемому в исходной системе). Далее,
* dt Vl - Р2 dQ
__??_ J_ l _ :r l «a J_ у* /9q\
~~ 2 ^^ 1 ~ p2 A — p2J PP "~ с A — p2J ' lZ^;
Если движение равномерно (u = 0), то W = 0. В системе
отсчета, где точка покоится, величины Wi (i=l, 2, 3) равны
соответственно th, т. е. обычному ускорению, a W* = 0. При
этом | W|2 = |г>|2 ;> 0, т. е. вектор ускорения, в отличие от ско-
скорости, пространственно-подобен.
Необходимость введения четырехмерных векторов скорости,
ускорения и других (см. ниже § 173) связана с тем, что в

462 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
теории относительности мы имеем дело с пространством Мин-
ковского вместо «абсолютного пространства» Ньютона, харак-
характерного для дорелятивистской физики. Различие заключается
в том, что классические трехмерные векторы подчиняются изве-
известному закону преобразования при обычных вращениях в трех-
трехмерном пространстве, а четырехмерные векторы теории отно-
относительности подчиняются такому же закону преобразования, как
и составляющие (х\, X2, х$, х4) вектора-радиуса R в четырехмер-
четырехмерном пространстве Минковского, т. е. закону, порождаемому
вращением в этом пространстве, или, что то же самое, преоб-
преобразованием Лоренца.
Четырехмерные векторы должны входить в формулировки
физических законов, если мы хотим, чтобы эти законы остава-
оставались инвариантными относительно преобразования Лоренца.
В следующем параграфе будет показано, как эта идея реали-
реализуется при релятивистском обобщении основного уравнения ди-
динамики материальной точки.
§ 173. Релятивистское обобщение второго закона Ньютона
Нам предстоит теперь решить поставленную в начале главы
задачу обобщений основного уравнения динамики материальной
точки, т. е. приведения его к форме, инвариантной относительно
преобразования Лоренца. Очевидно, что при р~>0 искомые
уравнения должны превращаться в обычные уравнения, выра-
выражающие второй закон Ньютона:
^P-F, (/-1.2,3). C0)
Трехмерный вектор q с составляющими
есть классический (ньютоновский) импульс (количество движе-
движения) частицы. В ньютоновской механике масса т является
скаляром—инвариантной величиной, не меняющейся ни при пре-
преобразовании Галилея, ни при вращениях трехмерного простран-
пространства. Трехмерный вектор скорости v преобразуется по извест-
известным законам как при преобразовании Галилея, так и при вра-
вращениях трехмерного пространства. Но преобразование Лоренца,
по отношению к которому мы требуем инвариантности законов
динамики, содержит оба указанных преобразования в предель-
предельном случае р ->¦ 0; при р Ф 0 оно является обобщением обоих
преобразований в четырехмерном пространстве Минковского.
Поэтому при релятивистском обобщении естественно сохранить

§ 173. ОБОБЩЕНИЕ ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА 463
инвариантный характер массы*), а в качестве скорости взять
введенный в предыдущем параграфе четырехмерный вектор V
с составляющими
( dx\ dx2 dxz dxA \
\e"f dd * dQ • rfe г
Ньютоновский импульс q = mv заменится теперь реляти-
релятивистским четырехмерным вектором Q — mV, который назовем
вектором энергии-импульса. Вводя еще дифференцирование по
собственному времени Э вместо времени t в данной исходной
системе, придем к выражению
dQt _ d
обобщающему левую часть C0); это выражение представляем
собой r'-ю составляющую четырехмерного вектора
Правая часть C0) должна также допускать обобщение
в виде некоторого четырехмерного вектора; обозначим этот век-
вектор через & и назовем его силой Минковского. В результате
искомое обобщающее уравнение будет иметь вид
*. C2>
Величины C1) легко вычисляются с помощью формул B8},.
B9), поскольку масса m — инвариант. Имеем
d (mV4) _ ic
_ ic ji_ f m \
~ Vb17^ dt \ VF=~p2 )'
Интересующее нас векторное уравнение в проекциях на про-
пространственные оси х\, Х2У Xz будет иметь вид
Ti л/Т~^2 {i==l' 2' 3)> C4)
*) В ряде руководств по специальной теории относительности инвариант-
инвариантную массу m называют «массой покоя», в отличие от «релятивистской массы»
т/У 1 — Р2, зависящей от скорости. Введение «релятивистской массы» — чисто
формальный акт, не имеющий какого-либо физического обоснования. Поэтому
^лы не будем пользоваться указанной терминологией и сохраним термин «мас-
«масса» для инвариантной величины т.

464 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
а в проекции на ось х4 приведет к равенству
ic d m
/ь=Т2
Рассмотрим уравнение C4) и сравним его с C0). Если по-
потребовать, чтобы подобно классическому случаю компоненты
силы Fi (i= I, 2, 3) определялись как производные по времени
от величин
Qt= .Ti_ (/=1,2,3), C6)
переходящих при р->0 в составляющие обычного вектора ко-
количества движения, то следует положить
У,= VT^_ (/=1,2,3). C7)
Чтобы найти составляющую вГ4у скалярно умножим обе
части векторного равенства C2) на V. Будем иметь (т —
= const)
Но| V\2 — —с2 = const, следовательно, ^- V = 0, откуда следует
что
^C8)
С
и равенство C5) принимает вид
= F-v. C9)
Определим теперь энергию <§ условием, чтобы ее производ-
производная по времени равнялась мощности силы F (это определение
совпадает с классическим):
Сравнивая это равенство с C9), видим, что следует положить
тс1
+ const. D0)
Если константу в правой части выбрать равной нулю и срав-
сравнить C9) с C5), то окажется, что величину iS/с можно счи-
считать четвертой составляющей релятивистского четырехмерного
вектора энергии-импульса Q = mV. Его первые три составляю-

§ 173. ОБОБЩЕНИЕ ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА 465
щие задаются формулами C6), а
itnc
Q
Условие const = 0 в формуле D0) весьма существенно, так как
лишь благодаря ему выражение i<%/с становится четвертой со-
составляющей релятивистского вектора Q. В самом деле, пусть
const = С Ф 0, и пусть
^ ^ ^ D2)
a Qu Q2, Q3 по-прежнему задаются формулами C6). Рассмотрим
преобразование Лоренца вектора Q, связанное с переходом
к инерциальной системе О'х\х'2х'ъх'А> движущейся со скоростью
и = be относительно исходной системы в направлении оси х$.
Будем иметь
Qi = Qu Q2 = Q2,
D3)
Если подставить выражения C6) и D2) в третье соотношение
D3), то получится равенство
тоъ 1 / mv3 mu Си \
D4)
В нерелятивистском пределе, когда из-*0, ^3->0, а->-0,
должно соблюдаться галилеево правило сложения скоростей,
а именно
Соотношение D4), со своей стороны, приводит к равенству
где символом 0{vf, v\, и2) обозначена величина, имеющая по
рядок малости V3, ?>|, и2; отсюда следует, что С = 0.
Итак, уравнение C2), являющееся обобщением второго за
кона Ньютона, принимает следующий окончательный вид:
dQ _ d (mV) _ ~
Ж — dQ ~^>
где сила Минковского &? задается составляющими

466 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Будучи четырехмерным вектором в пространстве Минков-
ского, сила & должна, разумеется, преобразовываться по фор-
формулам Лоренца D3). Из этих формул видно, в частности, что
если на частицу в одной инерциальной системе не действует
сила (У = 0), то это же верно и в любой другой инерциальной
системе.
Соотношения D3) указывают, какими свойствами должны
обладать силы F в релятивистской механике. Эти силы должны
быть такими, чтобы составленные по ним в соответствии с C7),
C8) силы Минковского 3? преобразовывались как четырехмер-
четырехмерные векторы в пространстве Минковского. Последнее условие
удовлетворяется для электромагнитных сил, действующих на
заряженную частицу; требование теории состоит в том, чтобы
это условие соблюдалось для всех сил вообще. Таким образом,
оно является руководящим принципом для построения любой
физической теории, описывающей силовые взаимодействия.
Мы вернемся к этому вопросу позднее, а сейчас обсудим
некоторые следствия релятивистской формулы
3f = _^ D7)
У1 р2 v '
для энергии движущейся частицы. Если р <С 1, то
Таким образом, с точностью до членов порядка р4 величина <S
отличается постоянной тс2 от обычного ньютоновского выраже-
выражения mv2/2 для кинетической энергии частицы. В частности, для
покоящейся частицы
#=:<Г0 = тс2. D8)
Этот результат является новым по сравнению с ньютоновской
механикой, где полная энергия частицы определяется с точ-
точностью до произвольной постоянной. Никаких оснований для
выбора какого-либо определенного значения этой постоянной
в рамках ньютоновской механики нет, и ее просто полагают
равной нулю, так что покоящаяся классическая частица обла-
обладает и нулевой полной энергией. В релятивистской механике
полная энергия частицы задается выражением D7), лишенным
каких-либо произвольных элементов (вспомним, что константа
в формуле D0) оказалась равной нулю вследствие того, что
iSjc — четвертая составляющая вектора Q); поэтому, в частно-
частности, покоящаяся частица обладает энергией
&0 = тс\ D9)
которую естественно назвать энергией покоя. Кинетическую
энергию Т релятивистской частицы определим как разность

§ 173. ОБОБЩЕНИЕ ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА 467
между полной энергией и энергией покоя, т. е. как
E0)
при C-^0 кинетическая энергия отличается слагаемыми по-
порядка р4 от ньютоновского выражения mv2/2.
Формула D9) показывает, что энергия покоя, заключенная
в теле, пропорциональна массе этого тела. Масса определяет
количество внутренней энергии, содержащейся в теле, и всякое
изменение внутренней энергии должно сопровождаться измене-
изменением массы:
= (Am) с2. E1)
Запас внутренней энергии колоссален; согласно формуле D9)
внутренняя энергия 1 г вещества является величиной порядка
1021 эрг = 1014 Дж. Весьма примечательно, что формула D9)
определяет количество внутренней энергии безотносительно к ее
происхождению: мы можем ничего не знать о том, какую форму
имеет эта энергия. Обнаружение колоссальных запасов энергии,
содержащихся внутри любого тела, стало возможным в конеч-
конечном счете благодаря введенным Эйнштейном новым представле-
представлениям о пространстве и времени. Только одни эти новые пред-
представления привели к величайшему открытию, выражающемуся
формулой D9).
Нужно подчеркнуть, что полная энергия <§ частицы, опре-
определяемая формулой D7), является относительной величиной:
она различна в различных системах отсчета, поскольку вели-
величина iff/с представляет собой составляющую Q^ вектора энер-
энергии-импульса Q. В противоположность этому энергия покоя
ffo = mc2— инвариантная величина, связанная с массой тела.
Инвариантный характер массы обнаруживается при вычисле-
вычислении другой инвариантной величины — квадрата вектора Q:
ч — 1 — р2 ^г — тс, \оа)
где q = mv — ньютоновский импульс (количество движения)
частицы.
Составляющие вектора Q преобразуются по формулам D3).
В системе отсчета, где частица покоится, Q\ = Q2 = Q3 = 0,
a Q4 = iff о/с = imc. Если перейти к новой системе, движу-
движущейся относительно частицы со скоростью v вдоль оси х3, то,
согласно D3), будем иметь (Р = v/c)

468 гл. xxxi. основы специальной теории относительности
Частица — носитель внутренней энергии 8$, отвечающей массе
/л, — движется в новой системе со скоростью —v\ ее энергия
в этой системе равна 8 — 8j<\/l —- Р2 (см. D7)). Энергия час-
частицы в движущейся системе возрастает до бесконечности, когда
v-+c (Р~>1). Двигаться со скоростью света могут только та-
такие частицы, для которых энергия покоя (или масса) равна
нулю. Таковы световые кванты (фотоны), для которых, согласно
E2) и C6), энергия 8 связана с ньютоновским импульсом q
соотношением
8 jJd=r,
Vi — Р2
справедливым в любой системе отсчета. Для частиц с ненулевой
массой достижение скорости света потребовало бы бесконечно
большой затраты энергии.
Отметим еще, что для свободной частицы (F = 0) вектор
энергии-импульса Q не зависит от времени t в данной инер-
циальной системе; с переходом к другой системе составляющие
этого вектора меняются согласно формулам Лоренца D3) >
оставаясь, однако, постоянными в новой системе; квадрат век-
вектора Q при этом сохраняет свое значение —т2с2 во всех инер-
циальных системах.
Этот вывод тривиальным образом переносится на систему
невзаимодействующих частиц, для которых сохраняется глав-
главный вектор энергии-импульса Q= Yj Qt- Как для одной час-
частицы, так и для системы невзаимодействующих частиц суще-
существенно, что сохранение пространственных компонент Qi, Q2, О*
вектора Q влечет за собой сохранение временной компоненты Q4
этого вектора. Иными словами, сохранение релятивистского ко-
количества движения (Qi, Q2, Q3) означает сохранение и (реляти-
(релятивистской) полной энергии 8. Если бы это было не так, то при
переходе по формулам D3) к новой системе отсчета получились
бы изменяющиеся во времени составляющие Q[, Qo, Qj.
Этот результат иллюстрирует еще одно отличие от ньюто-
ньютоновской динамики, где сохранение количества движения и
сохранение кинетической энергии представляли собой независи-
независимые утверждения. В частности, при определенных взаимодей-
взаимодействиях тел, движущихся с нерелятивистскими скоростями, со-
сохраняется количество движения, а кинетическая энергия не со-
сохраняется, превращаясь частично в тепло. Так, например, ведут
себя тела при неупругом ударе. Тем не менее релятивистская
сумма

§ 174. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ 469
выражающая в этом случае полную энергию, должна сохра-
сохраняться, откуда следует, что увеличивается масса системы, при-
причем это увеличение (практически, конечно, весьма малое) про-
пропорционально количеству выделившегося тепла. В этом при-
примере часть кинетической энергии тел перешла в энергию покоя,
связанную с массой. Хорошо известны случаи обратных превра-
превращений, имеющих место при делении атомных ядер. Полная
энергия и количество движения при этом сохраняются, но масса
покоя уменьшается, а кинетическая энергия продуктов деления
вследствие этого значительно увеличивается. Следует добавить,
однако, что энергия покоя практически не реализовывалась
вплоть до осуществления деления ядер, и это давало основание
говорить наряду с законом сохранения энергии и о законе со-
сохранения массы.
В релятивистской динамике оба закона соединяются в один,
а именно, закон сохранения полной энергии <§. Объяснение осо-
особой «связанности» энергии покоя лежит в области квантовых
явлений, в частности в дискретном характере процессов, имею-
имеющих место при превращениях элементарных частиц. Релятивист-
Релятивистская динамика устанавливает лишь универсальную закономер-
закономерность, свойственную всем таким процессам, а именно, закон со-
сохранения полной энергии.
§ 174. Движение заряженной частицы
в однородных электрическом и магнитном полях
Силы, которые действуют на заряженные частицы в электро-
электромагнитном поле, определяются теорией Максвелла. Согласно
этой теории электромагнитное поле характеризуется вектором
напряженности электрического поля Е(ЕХ, Еу, Ez) и вектором
напряженности магнитного поля Н(НХ, Нуу Hz). По этим векто-
векторам в пространстве Минковского строится антисимметричный
тензор второго ранга G, который задается следующей матрицей:
0
-сНг
сНу
iEx
сНг
0
-сНх
iEy
-сНу
сИх
0
1Ег
— iEx
— iEy
-iEz
0
Компоненты G преобразуются как компоненты тензора в про-
пространстве Минковского; отсюда вытекают и правила преобразо-
преобразования величин EXf ..., Hz.
Кроме того, теория Максвелла вводит в рассмотрение четы-
четырехмерный вектор плотности тока s:
E4)

470 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
где ро — плотность заряда (заряд единицы объема) в сопут-
сопутствующей этому объему системе отсчета, а V — четырехмерная
скорость.
Вектор плотности силы, действующей со стороны электро-
электромагнитного поля на единицу объема, содержащего заряды, по
определению равен
f=4Ge' E5)
или, в составляющих,
fi = jGiksk. E6)
Выражение E5) представляет собой силу Минковского, дей-
действующую на единицу заряженного объема в электромагнит-
электромагнитном поле.
Предположим, что частица с зарядом е движется в однород-
однородном магнитном поле, созданном находящимися на бесконечности
источниками; в системе отсчета, в которой эти источники по-
покоятся, будем иметь
? = 0, Я = #й, Я = const, | k |=1. E7)
Отличны от нуля только компоненты Gi2 = сН и G21 = —сН
тензора G; для составляющих силы f получаем
Релятивистские уравнения движения имеют вид
d д _ м ч/ « d$_ _ п
E8)
E9)
где q = mv — трехмерный нерелятивистский вектор количества
движения частицы, а & = тс2/л/\—р2 — ее полная энергия.
Поскольку
q __ &
a <g = const в силу второго уравнения системы E9), первое
уравнение этой системы можно переписать в виде
отличающемся от ньютоновского лишь значением параметра о,
которое в классическом случае равно

§ 174. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ 47*
Решение для ньютоновского случая дано в примере 82 (§ 87);
движение частицы происходит по винтовой линии. Параметр ш,
равный угловой частоте вращения частицы вокруг оси винтовой
линии, называется циклотронной частотой. Как видно из F1),
циклотронная частота в релятивистском случае меньше, чем
в ньютоновском.
Рассмотрим теперь движение той же частицы в однородном
электрическом поле Е = Eiy Е = const, создающемся в про-
пространстве между двумя заряженными проводящими пластинами^
перпендикулярными к оси х (конденсатор). В системе коорди-
координат, в которой эти пластины покоятся, отличны от нуля состав-
составляющие Gh = —Ш, G4i = iE тензора G; для вектора f получаем
Релятивистские уравнения движения принимают вид
— , q =eEiy q = mv, F2>
dt <\/\-$2 ч ' v r
eEvx, 8 ?—. F3>
dt x VI-P2
Введем обозначение
F4)
и примем следующие начальные условия:
при / = 0 рх = 0, Ру — Ро* F5>
Интегрируя F2) с учетом F5), получаем
рх = eEt, py = /V
Пользуясь формулой E2), находим энергию &\
+ т2с2 = л/m2^4 + Р20с2 + {cEtf =
Теперь, учитывая, что
получаем
dx_ рхс2 c2eEt
х~ dt ~ & ~
х dt
v —
У
dt & V(^0J + (cEt)

472 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Интегрируя при начальных условиях х@) = {/@)= 0, находим
u==zl2L arsb ceEt
или, исключая /,
Траектория частицы в плоскости (ху у) оказалась цепной ли-
линией. В предельном случае малых скоростей и<с (ср. пример
81 § 87) траектория переходит в параболу [ро ~ mv^ fe° « тс2,
значения t (а значит, и х) должны считаться достаточно ма-
малыми, так что cha = 1 + a2/2], и мы имеем
_ ff° е2Е2у2 = тс2е2Е2у2 _ еЕ 2
еЕ 2с2р% ~ еЕ • 2m2i^c2 """ 2mv\ У '
§ 175. О силовых взаимодействиях в теории относительности.
Проблема инерции и переход к общей теории относительности
В § 173 было указано, что для корректной релятивистской
формулировки законов силовых взаимодействий необходимо,
чтобы силы Минковского (F, составленные по правилам C7),
C8), преобразовывались как четырехмерные векторы в про-
пространстве Минковского. Несоблюдение этого требования при-
привело бы к нарушению принципа относительности. Выясним, как
выполняется это требование, например, в теории упругости.
Упругое тело, как известно, может быть моделировано сово-
совокупностью отдельных материальных точек, соединенных друг с
другом пружинами. Предположим, что массы и пружины в не-
некоторой системе отсчета находятся в равновесии. Если перейти
к другой системе, движущейся относительно исходной поступа-
поступательно, равномерно и прямолинейно, то, согласно принципу от-
относительности, равновесие должно сохраниться. Для того чтобы
понять, как при этом меняется сила, с которой пружины дейст-
действуют на массы, предположим, что эти массы заряжены. Закон
взаимодействия зарядов удовлетворяет высказанному выше тре-
требованию: сила такого взаимодействия — четырехмерный вектор.
Но, поскольку равновесие системы заряженных масс и пружин
сохранилось, такому же требованию удовлетворяет и сила на-
натяжения пружин: она изменяется с переходом к новой системе
отсчета так же, как и сила взаимодействия зарядов. Ясно, с
другой стороны, что это поведение пружин не зависит от того,
заряжены массы или нет, поэтому полученный результат харак-
характеризует трансформационные свойства упругих сил как таковых.

§ 175. ПЕРЕХОД К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 47$
Эти свойства, разумеется, находят отражение в соответствую-
соответствующих обобщенных уравнениях теории упругости. Особенностью
релятивистской формулировки этих уравнений является отсут-
отсутствие понятия абсолютно твердого тела. Действительно, в таком
теле упругие волны распространялись бы с бесконечно большой
скоростью, а это противоречит принципу предельности скорости
света.
Как видим, не все понятия классической механики допускают
релятивистские аналоги. Новый взгляд на природу простран-
пространства и времени позволяет дать более точное толкование поня-
понятиям, казавшимся очевидными с позиций классической ме-
механики.
В этом отношении особенно примечательной является трак-
трактовка Эйнштейном одного из основных понятий ньютоновской
динамики, именно, понятия о силах инерции.
В начале этой главы, говоря об инерциальных системах от-
отсчета, мы определили их как такие системы, в которых отсут-
отсутствуют силы инерции, а допускаются лишь силы, обусловленные
взаимодействием тел и передающие свое действие со скоростями,
не превышающими с. Согласно принципу относительности Эйн-
Эйнштейна все законы физики сохраняют свой вид в различных
инерциальных системах отсчета, или, что то же самое, остаются
инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца.
Силы инерции обладают тем особым свойством, что они при-
придают телам ускорение, не зависящее от их массы. Кроме тогог
эти силы можно совершенно исключить из уравнений путем
перехода к новой, соответствующим образом подобранной си-
системе отсчета, которая, таким образом, становится инерци-
альной.
Из этого рассуждения ясно виден «привилегированный» ха-
характер инерциальных систем отсчета. В этих системах дейст-
действуют только силы, обусловленные взаимодействием тел.
Принцип относительности утверждает, что инерциальные си-
системы неразличимы, и поэтому теряет смысл представление
Ньютона об абсолютном пространстве и абсолютном времени.
Тем не менее существование сил инерции как будто оставляет
место для такого представления. В самом деле, равномерное
вращение приводит к появлению поля центробежных сил' и свя-
связанных с ними ускорений, причем единственной причиной этого
приходится считать абсолютность пространства.
Такое объяснение происхождения центробежных сил нельзя
считать удовлетворительным, и еще задолго до Эйнштейна
Дж. Беркли A685—1753) и Э. Махом A838—1916) была вы-
выдвинута идея о том, что причиной центробежных сил являются
массы, распределенные во Вселенной. Если принять эту точку
зрения, то и силы инерции становятся силами взаимодействия,

-474 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
но взаимодействия особого рода, при котором нет зависимости
ускорения от массы тел.
Со времен Галилея известно, однако, что именно этим свой-
свойством отличается поле тяготения, в котором все массы приобре-
приобретают одинаковые ускорения. Масса в поле тяготения является
количественной характеристикой силы, с которой тело притяги-
притягивается к другим телам («тяжелая» масса). С другой стороны,
при движении тела под действием других сил, отличных от сил
тяготения, масса является количественной характеристикой
инертности тел, т. е. их способности замедлять процесс измене-
изменения собственной скорости («инертная» масса). Понятия инерт-
инертной и тяжелой масс, казалось бы, не имеют между собой ничего
общего, поскольку первое из них относится к движению в лю-
любых полях, а второе — только в гравитационных полях. Тем
более примечательными оказались эксперименты Р. Этвеша
A848—1919), показавшего (с достаточно большой точностью),
что обе массы пропорциональны друг другу, и, следовательно,
выбором единиц их можно сделать просто равными. Этот ре-
результат, первоначально казавшийся случайным, Эйнштейн вос-
воспринял как фундаментальный физический принцип, давший воз-
возможность сделать вывод о локальной эквивалентности полей
сил инерции и тяготения и тем самым установить принцип экви-
эквивалентности инертной и тяжелой масс*). Следующее простое
рассуждение, принадлежащее Эйнштейну, иллюстрирует эту
мысль. Предположим, что в кабине лифта свободно падает твер-
твердое тело. Если кабина лифта покоится относительно Земли, то
тело будет двигаться в локально однородном поле тяжести с
постоянным ускорением g. Пусть теперь одновременно с телом
свободно падает и кабина лифта. При одинаковых начальных
условиях для кабины и тела последнее будет находиться в покое
относительно кабины. В ускоренной (неинерциальной) системе
отсчета, связанной с кабиной, на тело наряду с силой тяжести
будет действовать равная и противоположная ей по направле-
направлению сила инерции, и под действием этих двух сил тело будет
находиться в равновесии («невесомость»).
Приведенное рассуждение показывает, что движение уско-
ускоряемой системы отсчета невозможно обнаружить при помощи
опытов внутри этой системы, поскольку такие опыты будут про-
происходить при отсутствии влияния сил инерции, уравновешивае-
уравновешиваемых силами тяготения; другими словами, система отсчета будет
вести себя как инерциальная, и в ней будут справедливы вы-
выводы специальной теории относительности.
Следует подчеркнуть, что высказанное заключение носит
локальный характер: уравновесить поле тяготения полем сил
*) В настоящее время этот принцип проверен с точностью до Ю-12,

§ 175. ПЕРЕХОД К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 475-
инерции можно только в небольших областях пространственно-
временного континуума; в больших областях это, вообще го-
говоря, невозможно.
Итак, приходим к локальному принципу эквивалентность^
утверждающему, что поле тяготения в малой области простран-
пространственно-временного континуума эквивалентно полю сил инер-
инерции, возникающему при движении с ускорением. Эти два поля
нельзя различить никаким физическим опытом, проводимым в
указанной малой области.
Рассмотрим локально инерциальную систему отсчета, со-
сопутствующую движущейся системе (свободно падающей кабине
лифта) в упомянутой малой области пространственно-времен-
пространственно-временного континуума. Будучи инерциальной, эта система характери-
характеризуется следующим выражением для квадрата пространственно-
временного интервала [см. A7)]:
или более общим образом в координатах (8):
ds2 = dx'idx'r F6)
Мы записываем выражение для квадрата бесконечно малого
интервала, имея в виду, что локальный принцип эквивалентно-
эквивалентности справедлив в бесконечно малом.
Перейдем теперь от локально инерциальной системы к ис-
исходной (для примера с лифтом это система, связанная с Зем-
Землей). Это равносильно переходу от координат (х\) к новым ко-
координатам (xi) по формулам
х\ = х\ (хх, х2, xv хА) (/ = 1, 2, 3, 4). F7)
Квадрат интервала ds2 при таком преобразовании опреде-
определится формулой
ds2 = grs dxr dxSi F8)
где r f
дх{ дхг
3 частном случае псевдоевклидова пространства величина
?rs = 8rSy где 6rs — символ Кронекера (см. гл. VIII).
Величины grs преобразуются как компоненты тензора, по-
поскольку (dxr) — вектор, a ds2 — инвариант.
Тензор (grs) — так называемый метрический тензор — харак-
характеризует внутренние геометрические свойства пространства. По-
Поясним эту мысль, воспользовавшись следующей аналогией. Рас-
Рассмотрим две бесконечно близкие точки, расположенные: 1) на
плоскости, 2) на поверхности кругового цилиндра и 3) на

476 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
поверхности сферы. Расстояние ds между этими точками будет
определяться равенствами
ds2 = dx2 + dy2 (плоскость), G0)
ds2 = р2 dcp2 + dz2 (цилиндр радиуса р), G1)
ds2 = r2 dQ2 + r2 sin29 tfq>2 (сфера радиуса г). G2)
Сравним между собой формулы G0), G1) и затем формулы
G0) и G2). В первом случае G1) сводится по виду к G0), по-
поскольку можно ввести новую координату а = рф сразу на всей
поверхности цилиндра, после чего различие между G1) и G0)
будет только в обозначениях. Поскольку метрический тензор
определяет длины кривых на поверхности и углы, которые эти
кривые составляют между собой, мы говорим, что плоскость и
поверхность кругового цилиндра обладают одинаковой внутрен-
внутренней геометрией. Совпадение внутренних геометрий проявляется
в том, что кусок цилиндрической поверхности можно «разо-
«разогнуть» в кусок плоскости без изменения расстояний между точ-
точками и углов между направлениями.
Сравнение G0) и G2) приводит к совершенно другим вы-
выводам. Как показывается в дифференциальной геометрии, не
существует такого преобразования координат, которое привело
бы G2) к G0) на всей поверхности сферы. Внутренняя геоме-
геометрия сферы отличается от внутренней геометрии плоскости; в
частности, кусок сферической поверхности нельзя «разгладить»,
превратив его в кусок плоскости. Это можно сделать только
локально, в малой окрестности некоторой заданной точки сферы,
заменяя малую площадку на сфере малым участком касатель-
касательной плоскости.
Вернемся теперь к формуле F8) и предположим, что вели-
величины grs = gsr являются произвольными функциями координат
(xi). Спрашивается, можно ли найти такое преобразование ко-
координат F7), чтобы выражение для ds2 приняло вид F6) сразу
во всем пространстве? Ответ на этот вопрос в общем случае
отрицателен. Требуемое преобразование существует не для лю-
любых тензоров (grs) у а лишь для тех из них, для которых обра-
обращается в нуль некоторый вспомогательный тензор, называемый
тензором кривизны. Этот тензор, в частности, равен нулю для
цилиндрической поверхности G1) и отличен от нуля для поверх-
поверхности сферы G2). В общем случае возможно только локальное
преобразование F8) к виду F6).
Внутренняя геометрия, определяемая формулой F8) для
квадрата линейного элемента, носит наименование римановой
геометрии [по имени немецкого математика Б. Римана A826—

§ 175. ПЕРЕХОД К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 477
1866)]. Отвечающая формуле F6) евклидова (или псевдоевкли-
псевдоевклидова, поскольку ха — чисто мнимая координата) геометрия пред-
представляет собой, таким образом, частный случай римановой гео-
геометрии.
Возвращаясь к вопросу о системах отсчета, можем сказать,
что инерциальные системы характеризуются (псевдо) евклидо-
евклидовой геометрией F6).
Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом перехо-
переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта)
системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте
тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести; при
этом в новых координатах квадрат интервала ds2 представля-
представляется в форме F8). Основополагающая идея Эйнштейна заклю-
заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора
{grs) от 6rs объясняется полем тяготения, которое, таким обра-
образом, делает геометрию пространственно-временного континуума
римановой геометрией. Если при этом тензор (grs) таков, что
вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в
протяженной области пространственно-временного континуума,
то в этой области существуют такие координаты (л;?), в которых
квадрат интервала допускает представление F6). В исходной
системе координат (xi) составляющие тензора (grs) характе-
характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем
сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не
обращается в нуль в протяженной области пространственно-
временного континуума, — в этом случае составляющие тензора
(grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распреде-
распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле
тяготения нельзя «устранить» во всей области никаким преоб-
преобразованием координат, которого в этом случае попросту не су-
существует. В этом заключается фундаментальное отличие истин-
истинных полей тяготения от полей сил инерции: эти поля эквива-
эквивалентны только локально («в малом»), но отнюдь не глобально
(«в большом»).
Эйнштейну принадлежат фундаментальные уравнения, свя-
связывающие геометрические свойства пространственно-временного
континуума с распределением вещества в этом континууме.
Отметим, что, говоря о веществе, Эйнштейн имеет в виду все
виды энергии (массы), как это следует из выводов специальной
теории относительности. Таким образом, пространственно-вре-
пространственно-временной континуум, включающий поля тяготения (истинные или
«устранимые»), уже не является евклидовым, а характеризуется
внутренней кривизной. В частности, траектория свободной ма-
материальной частицы в этом поле отличается от прямой: она
представляет собой так называемую геодезическую, определяе-
определяемую в конечном счете тензором (grs).

478 ГЛ. XXXI. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В заключение отметим, что идея о связи между силовыми по-
полями и внутренней геометрией пространства была высказана
задолго до Эйнштейна Риманом в его знаменитой диссертации
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии»*): «Вопрос о
том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом,
тесно связан с вопросом о внутренней причине метрических
отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также отно-
относится к области учения о пространстве и при рассмотрении его
следует принять во внимание... замечание о том, что в случае
дискретного многообразия принцип метрических отношений со-
содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как
в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то
в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что
создает идею пространства, образует дискретное многообразие,
или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических
отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на
это реальное.
Решение этих вопросов можно надеяться найти лишь в том
случае, если, исходя из ныне существующей и проверенной опы-
опытом концепции, основа которой положена Ньютоном, станем по-
постепенно ее совершенствовать, руководствуясь фактами, которые
ею объяснены быть не могут... . Здесь мы стоим на пороге об-
области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать
его не дает нам повода сегодняшний день».
Эти пророческие слова были сказаны Риманом в 1854 году.
¦) Риман Б. Сочинения. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948, с. 291.

Глава XXXII
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 176. Свободные незатухающие колебания системы
с одной степенью свободы
Прямолинейные колебательные движения материальной
точки под действием линейной восстанавливающей силы, силы
сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, и
постоянной силы трения были рассмотрены в гл. XXI. Получен-
Полученные там результаты обобщаются в настоящей главе на случай
системы материальных точек, подчиненной стационарным свя-
связям и имеющей одну степень свободы. Вместе с тем дается
представление о колебаниях, развивающихся под действием
нелинейных восстанавливающих сил и силы сопротивления, про-
пропорциональной квадрату скорости. Содержание этой и двух
следующих глав курса можно рассматривать как введение в
теорию колебаний, представляющую собой одну из наиболее
важных областей приложений теоретической механики к вопро-
вопросам техники.
Рассмотрим систему материальных точек с одной степенью
свободы, подчиненную стационарным связям и находящуюся под
действием задаваемых консервативных сил. Обозначим через q
текущую обобщенную координату и предположим, что положе-
положение системы, соответствующее нулевому значению координаты
q = 0, представляет собой положение устойчивого ее равнове-
равновесия (§ 147).
Кинетическая энергия системы по предыдущему может быть
представлена в виде
T = ±A{q)q\ A)
а потенциальная энергия будет
П = П(<7). B)
Поставим себе целью изучить характер движения систе-
системы в области малых значений обобщенной координаты q и

480 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
обобщенной скорости q, т. е. вблизи положения устойчивого рав-
равновесия системы. С этой целью произведем разложение функций
A(q) и U(q) в ряды Тейлора вблизи точки q — 0 п получим
Отбрасывая несущественную постоянную в выражении потен-
потенциальной энергии, можем положить П@)=0; кроме того, как
уже было показано ранее, в положении равновесия системы
равна нулю обобщенная сила, а следовательно, и первая произ-
производная от потенциальной энергии
Вторая производная от потенциальной энергии в положении
устойчивого равновесия удовлетворяет условию
П"@)>0,
где знак равенства относится к тому случаю, когда о наличии
минимума потенциальной энергии приходится заключать по
производным высших порядков. Примем
П"@) = с>0. D)
На основании теоремы Лагранжа значения q и q при дви-
движении системы в области минимума потенциальной энергии не
выходят из заранее назначенных сколь угодно тесных границ
(| q | <С е, | q | < ei), если их начальные значения qo и q0 выбраны
надлежащим образом (|#о|<'П, |?o|<fli)- Поэтому правиль-
правильную, по крайней мере качественно, картину движения при лю-
любом t можно получить, сохраняя в разложениях потенциальной
и кинетической энергий лишь члены наинизшего порядка отно-
относительно q и q. По второму из равенств C) получим
n = \cq\ E)
Подставляя в выражение A) разложение A(q) согласно C),
находим
T = ±A@)q2 + ±[A'@)q+ ...\q\
или в принятом приближении
T = jaq29 F)
где по условию положительности кинетической энергии всегда
будет
Л@) а>0. G)

§ 176. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 481
Имея выражения E) и F) для потенциальной и кинетической
энергий, составим уравнения движения системы в форме Ла-
гранжа
d дТ дТ _ дП л
dt dq dq dq •
в нашем случае
дТ d дТ .. дТ л дП
и уравнение движения будет
aq + cq = 0. (8)
Сравнивая его с уравнением прямолинейных свободных колеба-
колебаний точки под действием упругой восстанавливающей силы
пгх + сх = 0,
видим, что коэффициент а при обобщенном ускорении q играет
ту же роль, что и масса га точки, т. е. характеризует инерцион-
инерционность системы, а коэффициент с аналогичен коэффициенту упру-
упругости. В связи с этим величины а и с в уравнении (8) принято
именовать соответственно инерционным и квазиупругим коэф-
коэффициентами.
Введя обозначение
7Г = *2. (9)
получим
ij + k2q = 0. A0)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид (§ 96)
q = Asin(kt + a), A1)
где амплитуда А и начальная фаза а определяются по началь-
начальным условиям. Пусть при / = 0 q = q0, q = q0; тогда
^=-V<7o2 + if. tga—^. A2)
Из формул E), F) и A2) видно, что амплитуда колебаний А
пропорциональна корню квадратному из полной энергии Е =
= Т + П системы.
Движение представляет гармоническое колебание частоты k
и периода т
Это — свободные или собственные колебания системы.
16 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

482
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
= const
Частота (и период) свободных колебаний системы не зави-
зависит ни от начальных условий движения (изохронность малых
колебаний), ни от природы обобщенной координаты; они пред-
представляют собой основные константы системы, определяемые
структурой выражений кинетической и потенциальной энергий,
т. е. инерционными свойствами материальной системы и харак-
характером консервативного силового поля, в котором происходит
колебательное движение систе-
мы.
Качественное изучение общей
картины движения системы об-
облегчается введением в рассмо-
рассмотрение так называемой фазовой
плоскости (qy q), в которой стро-
строятся кривые — фазовые траекто-
траектории, выражающие графически
зависимость между обобщен-
обобщенной координатой q и обобщенной
скоростью q системы для всего
многообразия интегральных кри-
кривых.
Так, в только что рассмотренном случае свободных колеба-
колебаний системы вокруг положения ее устойчивого равновесия фа-
фазовые траектории можно получить путем исключения времени t
из уравнений
q = A sin {kt + a), q = kA cos {kt + a),
Рис. 418.
что приведет к семейству кривых
_ll J- 9 1
A2 k2A2
A4)
К тому же результату, очевидно, придем, написав уравнение
семейства уровней полной механической энергии Е системы
Е = Т + П = j (aq2 + cq2) = const.
В рассматриваемом случае консервативной системы фазовые
траектории, естественно, совпадают с кривыми уровней энергии.
Фазовые траектории (рис. 418) образуют семейство подобных
между собой эллипсов, отличающихся друг от друга только мас-
масштабом, зависящим, согласно A2), от начальных условий дви-
движений или, точнее, от полной энергии системы. Для всех эллип-
эллипсов отношение длин полуосей одно и то же — оно равно частоте
k собственных колебаний системы.
Покою системы в положении ее устойчивого равновесия со-
соответствует начало координат фазовой плоскости (# = 0, </ = 0).

§ 176 СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 483
При уменьшении полной энергии, а это для данной системы, со-
согласно A2), может иметь место только при уменьшении началь-
начальных значений q$ и qOy фазовые траектории стягиваются к началу
координат, которое в этом случае называется центром.
Каждому движению системы при заданных начальных усло-
условиях соответствует движение изображающей точки в фазовой
плоскости по фазовой траектории — эллипсу — в указанном на
рис. 418 направлении.
Если, как в нашем случае, по оси абсцисс отложена обоб-
обобщенная координата, а по оси ординат — обобщенная скорость,
то в верхней полуплоскости (q > 0) координата q возрастает
и изображающая точка движется слева направо. В нижней по-
полуплоскости (q <C 0) движение изображающей точки происходит
справа налево.
Вид семейства фазовых траекторий будет совершенно иным,
если равновесие системы неустойчиво. Рассмотрим общий инте-
интеграл уравнения (8) при условии с < 0, соответствующем не-
неустойчивости равновесия системы в положении q = 0. Введя в
этом случае обозначение
— с/а = к2,
перепишем уравнение (8) в виде
^ — x2qr = 0. A5)
Общий интеграл этого уравнения выражается через показа-
показательные или гиперболические функции:
^shKt, A6)
а обобщенная скорость будет равна
A7)
Как видно из равенств A6) и A7), в отличие от движения
системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщен-
обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t
могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда ста-
становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней
в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приве-
приведение уравнения движения к виду A5). Ввиду этого оговоримся,
что для этого случая (с < 0) все последующее рассуждение
относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локаль-
локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого
равновесия системы.
16*

484
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Исключая из уравнений A6) и A7) время t или непосред-
непосредственно применяя закон сохранения энергии, находим уравне-
уравнение семейства фазовых траекторий
K2q2-q2 = *2Ql-ql A8)
которое и в этом случае будет совпадать с уравнением семей-
семейства уровней полной механической энергии.
Если начальные значения обобщенных координаты и ско-
скорости (#0, qo) удовлетворяют условию
то уравнение A8) при заданном х, зависящем только от свойств
системы и интенсивности силового поля, представляет семей-
семейство подобных гипербол
(рис. 419), отличающихся
друг от друга масштабом
Vl*24ro~flo|e Все гиперболы
имеют одни и те же асимп-
асимптоты, уравнения которых
щ + q = 0, %q — q = 0. A9)
Если начальные значе-
значения <7о и с/о связаны равен-
ством
Рис. 419.
-^=o, B0)
т. е. изображающая точка на фазовой диаграмме расположится
на одной из асимптот, то последующему движению системы
будет сопоставляться движение изображающей точки по соот-
соответствующей асимптоте. Заметим, что в последнем случае вре-
время, потребное для того, чтобы система, будучи выведена из
положения равновесия ((/=0), вновь возвратилась в него, бу-
будет бесконечно велико, каковы бы ни были начальные q§ и <7о>
связанные равенством B0). Действительно, выбирая для опре-
определенности <7о > 0, cjo < 0 и полагая q0 = —х^0, будем иметь
по первому из уравнений A9)
откуда
B1)
B2)
Я*
следовательно, при q-*-0 время *-»-оо.

§ 176. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
485
Начало координат О, соответствующее покою системы в точ-
точке неустойчивого равновесия, представляет собой седлообраз-
седлообразную точку, или седло.
Рассмотрим несколько примеров собственных колебаний си-
систем с одной степенью свободы вокруг положения устойчивого
равновесия.
Пример 151. Бифилярный подвес. Две нити AM и А\Мц
(рис. 420) одинаковой длины / закреплены в неподвижных точках Л и Ль рас-
расположенных на горизонтальной оси Ох, причем ААХ = 2а. Нижние концы ни-
нитей прикреплены, как указано на рис. 420, к подвесу ММи на котором лежит
тело S с массой m и моментом инерции / относительно вертикальной оси Oz.
Поворотом вокруг этой оси система выводится из положения равновесия. Оп-
Определить период собственных колебаний тела S, пренебрегая массами нитей
и подвеса.
А
М
Г
2
1
t
а
\
7
1
Mi
—>-
0)
Рис. 420.
Рис. 421.
Обратимся к схематическому рис. 421. При отклонении из положения рав-
равновесия стержень ММи поворачиваясь вокруг вертикальной оси Oz, припод-
приподнимается и остается параллельным горизонтальной плоскости Оху. За обоб-
обобщенную координату примем угол поворота стержня ф. По теореме Кёнига
(§ 125) имеем
где / — момент инерции тела 5 относительно оси Oz, vc — скорость его цен-
центра тяжести, совпадающая со скоростью точки С стержня.
Так как центр тяжести С движется по оси Oz, то vc = zc. Заметив, что
гс = ОС = РМ' = / cos а, выразим угол а через обобщенную координату <р«
Из А ЛОР имеем
sin"f"s
Ф
•¦ 2а sin -~
и, следовательно,
a4 sin2
I2 - 4a2 sin2 (ф/2)

ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
486
откуда
Для потенциальной энергии имеем выражение
П = mg • СС' = mg (/ — / cos a) = mgl И — а/ 1 — 4-^- sin2 -^- J.
Это выражение надо разложить в ряд. Ограничившись второй степенью малой
величины ф, получим
'~~~2 ф2, с===П"@) =
Согласно приведенному выше выражению кинетической энергии и по A)
(ф) = / + т
a4 sin2 (
I2 — 4а2 sin2 (ф/2) '
По A3) находим период малых колебаний
А @) = У.
= 2я
mga2
где р = <\/J/m — радиус инерции тела 5 относительно оси Oz. Существенным
преимуществом бифилярного подвеса по сравнению с обычным маятником яв-
является почти полная независимость периода коле-
колебаний от величины первоначального отклонения
даже в случае сравнительно больших отклонений.
При надлежащем выборе параметров l/а и р//
и при ф ^ 60° можно добиться того, чтобы пе-
период колебаний бифиляра отличался от значения
2я(р/а) V//g не более чем на 0,2%; для обыч-
обычного физического маятника при таких углах от-
отклонения изменение периода достигает 6,8%.
Пример 152. На рис. 422 показана схема
вибрографа, служащего для записи колебаний
фундаментов, частей машин и пр. Маятник ОС
удерживается в положении равновесия под уг-
углом а к вертикали с помощью спиральной пру-
пружины. Заданы: жесткость пружины с, момент
инерции / маятника относительно оси вращения
О, его вес G и расстояние ОС = s центра тяже-
тяжести С от оси вращения О. Найти частоту свобод-
свободных колебаний маятника, пренебрегая массой пружины. Прямая NNy перпен-
перпендикулярная к ОС, параллельна направлению измеряемых колебаний.
Потенциальная энергия системы при отклонении маятника на угол ф от
положения равновесия слагается из потенциальной энергии силы тяжести:
IIi = Gs [cos a — cos (ф + а)] = Gs [(I — cos ф) cos а + sin а sin ф] л?
-г- ф^ cos а •
Ф sin а J
и потенциальной энергии деформации пружины Пг. Для вычисления П2 обо-
обозначим через а0 угол, на который надо закрутить пружину из ее натурального
состояния, чтобы нижний конец ее оказался на вертикали Оу\ при этом к пру-

§ 176 СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 487
жине придется приложить мОхмент са0; если же маятник отклонен от верти-
вертикали на угол 05 + ф, то момент реакции пружины будет — с(ао — а — ф); от-
отсюда следует, что
П2 = -г- с (а0 — а — фJ = -о- с (а0 —- аJ — с (а0 — а) ф + — сф2.
Z Z L
Первое (постоянное) слагаемое можно отбросить; получим
П = IIi + П2 = Gs (-г- ф2 cos а + ф sin а ) -— с (а0 — а) ф + — сф2.
V, 2 / 2,
Но из условия равнрвесия следует, что Gs sin a = c(cto — а), поэтому слагае-
слагаемые, содержащие первую степень ф, взаимно уничтожаются. Получаем
П = — (Gs cos a + с) ф2.
Далее имеем
= у Ф ,
и уравнение движения будет
/ф + (Gs cos a + с) ф = 0.
Отсюда найдем частоту свободных колебаний вибрографа
Gs cos a + с
VGs cos
7
При измерении горизонтальных колебаний точки подвеса О маятник в по-
положении равновесия вертикален (а = 0) и
k=.,Gs + c
Для измерения вертикальных колебаний маятник устанавливается гори-
горизонтально, т. е. а = я/2 и
6= А/4.
Пример 153. На рис. 423 представлена схема вертикального сейсмо-
сейсмографа. Рамка ОАВ, на которой закреплена тяжелая отливка М, может вра-
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, и удерживает-
удерживается в положении равновесия, в котором стержень ОЛ горизонтален, пружиной
DB; один конец пружины закреплен в неподвижной точке Д другой — присо-
присоединен к рамке в некоторой точке В. Пренебрегая массой пружины и, считая,
что центр тяжести рамки и груза М находится в точке С (ОС = /), найти ча-
частоту свободных колебаний прибора.
Направим неподвижную ось Ох' горизонтально вдоль стержня ОЛ, а не-
неподвижную ось Оу', перпендикулярную к оси Ох', вертикально вниз; введем
также подвижную систему осей координат Оху, связанных с рамкой; в поло-
положении равновесия оси обеих систем совпадают. Пусть а и Ь — координаты
точки крепления В пружины в системе Оху (очевидно, что в положении равно-
равновесия также и хв = а, ув = b). Координаты точки D в системе Ох'ц' будут
*?> = я> Vd === ~~ ^ст + ^ (Рис- 423), где LCT — длина пружины в положении
равновесия. За обобщенную координату примем угол 0 поворота рамки во-
вокруг оси О.

488
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Выразим координаты (х\ у') любой точки колеблющегося тела через ее
координаты (х, у) в подвижной системе:
х' == х cos 6 — у sin 9, у' = х sin 9 + у cos 9.
В частности, для точки В\ имеем
хВх = a cos 9 — Ъ sin 9, уВх = a sin 9 + Ь cos 9.
Теперь не составит труда найти выражение для длины пружины в отклонен»
ном положении системы:
L~DB{ = у(%i - xDf + (yBi - yDf =
= Y[a (cos 9 — 1) — b sin 9]2 + [a sin 9 + b (cos 9 — 1) + LCT]2 =
= aJl2ct + 2LCT [a sin 9 - b A - cos 9)] + 2 (a2 + 62) A - cos 9).
Вспомним выражение потенциальной энергии IIi растянутой пружины:
П! = ~ (L - L0J = ~ [(L - LCT) + ^ст - Lo)]2,
где ^о — длина пружины в ненапряженном состоянии, с — ее жесткость. Но
У//
Рис. 423.
в положении равновесия момент начального напряжения Fo пружины уравно-
уравновешивается моментом силы тяжести относительно оси вращения
Foa = G/,
где О — сила тяжести, а / — расстояние центра тяжести системы до оси вра-
вращения. Замечая еще, что FQ = c(LCT — L0)y получаем
Г
j (L -
Г
(L - LCT) + ~ (LCT - L0J,
причем последний член как величину постоянную можно отбросить. Так как
требуется знать выражение потенциальной энергии с точностью до величин по*

§ 176. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 489
рядка 92, то с этой степенью точности нужно определить L — LCT. Имеем, раз-
разлагая в ряд
l-lct»ае- ь(Z:CJ""b) е2, (L-lctJ
Подстановка дает
П, = -1 [са2в* + 2G/9 - -^- а,* - 6) в2].
Потенциальная энергия силы тяжести равна
П2 == — Gyc = — Gl sin 9 » — G/e.
Складывая IIi и П2, находим полную потенциальную энергию
Положение равновесия будет устойчивым, если
П" @) = са2 - Fob (l - -^-) > 0.
В дальнейшем предполагаем, что это неравенство соблюдается. Через / обо-
обозначим момент инерции колеблющегося тела относительно оси О. Кинетиче-
Кинетическая энергия его будет
Частоту собственных колебаний найдем по формуле
При 6 = 0
ь * > ca2-Fob(l^b/LCT)
«= Л/ j
¦л/—
и соответствующий период колебаний уменьшается. Приборы, предназначен-
предназначенные для записи колебательного движения, должны иметь достаточно малую
частоту собственных колебаний (§ 96, конец примера 88); поэтому становится
понятным, почему крепление пружины произведено не непосредственно к
стержню, а отнесено вниз, в точку В. Наибольший эффект при заданном Fo в
смысле увеличения периода колебаний достигается при b = LCT/2, т. е. в по-
положении равновесия середина пружины должна находиться на высоте оси
вращения. В этом случае период свободных колебаний будет
Пример 154. Металлический стержень (рис. 424), оканчивающийся дву«
мя острияии А и В, входящими в неподвижные гнезда, при помощи рамы RR

490
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
соединен с тяжелой массой М (маятник горизонтального сейсмографа). Ось
вращения прибора составляет угол i с вертикалью. Если отвести массу из ее
положения равновесия, соответствующего наиболее низкому положению цен-
центра тяжести С, и в дальнейшем предоставить ее самой себе, то она начнет со-
совершать колебания в плоскости Р, перпендикулярной к оси вращения ЛВ и
образующей угол i с горизонтальной плоскостью. Определить период этих ко-
колебаний.
Опустим из центра тяжести С массы М перпендикуляр на ось вращения;
основание этого перпендикуляра (точку О) примем за начало координат. Вер-
Вертикальную плоскость, проходящую через ось вращения Oz0, примем за непо-
неподвижную плоскость y'z''. В положении равновесия в этой же плоскости рас-
располагаются оси Оу0 и Oz0 подвижной системы, связанной с массой М. Ось
Рис. 424.
Рис. 425.
Ох' неподвижной системы проведем перпендикулярно к плоскости y'z'; при
равновесии подвижная ось их0, очевидно, совпадает с Ох'. При отклонении
от положения равновесия оси х0, у0, повернувшись вокруг оси Oz0, займут
положение лс, у. Угол поворота вокруг оси OzQ обозначим через <р и примем
его за обобщенную координату. Взаимное расположение осей указано на
рис. 425. Через / обозначим момент инерции системы относительно оси Oz0;
кинетическая энергия системы будет
Несколько сложнее составляется выражение для потенциальной энергии П
силы тяжести. Имеем
П = Mg {гс - г'Со),
где гс и zCy — координаты центра тяжести С колеблющейся массы в откло-
отклоненном положении и положении равновесия. Обозначая СО через /, имеем
l cos С2'» Уо)
lcos(z't у).
cos (у
— ' sin

§ 176 СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 491
Для определения этого косинуса воспользуемся основной формулой сфе-
сферической тригонометрии (§ 59). Применяя эту формулу к сферическому тре-
треугольнику (x'yz'), находим
cos (z\ у) = cos (z\ x') cos (х\ у) + sin (z't x') sin (x\ у) cos a,
где а — угол между плоскостями z'x' и хоуо. Имеем
<;?V) = |. (х^у) = j - Ф, а = ~ + /.
и предыдущая формула дает
cos B', г/) = sin I у — ф J cos ( y + м = — cos ф sin /, zc = — / sin / cos Ф,
следовательно,
П = Mgl sin / (I — cos ф) == Mgl sin / j"l — (I — -^ + •••)]« "J
Период свободных колебаний будет
т ^
I J
V Mgl sin i"
При i — я/2 получим формулу периода колебаний физического маятника; при
i = о равновесие безразличное и будет иметь место при любых значениях ф.
Ввиду наличия в знаменателе множителя sin i период колебания при ма-
малых углах i становится большим. Введем обозначение
где р — радиус инерции массы относительно оси вращения, L — приведенная
длина соответствующего физического маятника (§ 117). Пусть L= 1 м; най-
найдем, при каком угле I период колебания сейсмографа равняется 10 с. Имеем
т = 2я
откуда
sin / = -~^=- « 0,04, / « 2° 15'.
gT2
Простой физический маятник при том же периоде должен иметь приведенную
длину
4я2
М.
Пример 155. Ромб, образованный четырьмя шарнирно соединенными од-
однородными стержнями длины а и массы т, лежит на гладкой горизонтальной
плоскости. Противоположные вершины ромба соединены упругими нитями,
длины которых в нерастянутом состоянии таковы, что острый угол ромба ра-
равен 2ао. Определить движение ромба после того, как одна из нитей слегка
натягивается и затем отпускается; площади сечений и модули нормальной уп-
упругости обеих нитей одинаковы и соответственно равны F и Е.

492
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Пусть ABCD (рис. 426) представляет собой текущее положение ромба,
06—-угол, образованный стороной ВС с осью Ох. По теореме Кёнига (§ 125)
кинетическая энергия каждого из стержней будет
так как скорость центра тяжести каждого стержня равна (а/2) а Отсюда пол-
полная кинетическая энергия системы равна
г==_2 2.2
3 та а .
Коэффициент жесткости с каждой из
нитей найдем как отношение произведения
EF к нерастянутой их длине; будем иметь
для нити АС
EF
а для нити BD —
с2-
2а cos ceo'
EF
2а sin ceo *
Потенциальную энергию упругих нитей найдем, согласно § 129, как полу-
полупроизведение коэффициента жесткости на квадрат деформации; получим
1Ь
-г- С\ • 4а2 (cos а — cos аоJ, если натянута нить АС (а < а0),
— сг • 4а2 (sin а — sin аоJ, если натянута нить BD (а > а0).
По условию малости отклонений стержней от положения ромба, при ко*
тором нити не растянуты, имеем, обозначив
следующие приближенные формулы:
cos а — cos а0 « ф sin ао,
sin а — sin ао « — Ф cos а0.
Это приводит к приближенному выражению
потенциальной энергии
aEF sin2 а0
cosa0
aEF cos2 a0
sin ао
при
Ф2 при ф < О,
показывающему, что движение будет пред-
Рис. 427. ставлять собой малые колебания вокруг поло-
положения устойчивого равновесия, соответствую-
соответствующего значению ф = 0, т. е. а = ао. Особенностью настоящего примера слу-
служит то, что потенциальная энергия задается отличающимися друг от друга
функциями при положительных и отрицательных значениях угла ф. На
рис. 427 построен график функции П(ф), составленный из двух парабол с
различными параметрами. Соответственно этому и фазовые траектории будут
состоять из двух полуэллипсов с различными отношениями полуосей. Час-

§ 177. ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 493
тоты колебаний будут согласно A3) определяться формулами
33F sin2 ар
2macosa0
если натянута нить АС, и
/
3EF cos2 <xo
2ma sin a0 *
если натянута нить BD. Следовательно, по A4), и отношения полуосей будут
различны. Общий вид фазовых траекторий показан на том же рис. 427.
§ 177. Движение математического маятника
Постановка задачи, вывод уравнения движения и рассмо-
рассмотрение случая малых колебаний математического маятника
были даны уже ранее в § 112. В § 117 было доказано, что во-
вопрос о движении физического маятника сводится к задаче о
математическом маятнике эквивалентной длины.
Сохранив обозначения § 112, составим выражение полной
механической энергии маятника:
Е = 1 -|-Яф2 + 0/A — cos ф). B3)
Обозначив через ф0 и фо начальные значения угла отклонения
маятника и угловой скорости, из закона сохранения полной ме-
механической энергии получим
•9 -2 I 2&
т/. ___ rr\? I _ °
B4)
К этому соотношению можно было бы прийти также, интегри-
интегрируя уравнение движения маятника
Ф = — -j- sin ф. B5)
При обозначении
* = l^+sin2-f. B6)
основное соотношение B4) принимает вид
B7)
Обратимся к построению траекторий на фазовой плоскости
(ф, ф); величина Я, постоянная для данной фазовой траектории,
является в этом случае параметром, определяющим семейство
траекторий. Надо различать два случая:
О <Л < 1 и Я>1.

494
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
В первом случае можно определить такое вещественное зна-
значение а, что
| (?) B8)
и соотношение B7) приведется к виду
f) B9)
откуда следует, что |<р|^а и что ф обращается в нуль каж-
каждый раз, когда ф достлгает значений ±а. Движение будет иметь
колебательный характер.
Во втором случае ф не обращается в нуль, qp изменяется мо-
монотонно, т. е. маятник совершает круговращение.
Предельным (лимитационным) является случай
=1, т. е. фо =
C0)
отделяющий друг от друга два качественно различных рода
движений. Соответствующая этому случаю фазовая траекто-
Рис. 428.
рия носит наименование сепаратрисы. Начнем с построения се-
сепаратрисы (на рис. 428 она показана жирной линией). По B7)
при К = 1 уравнение сепаратрисы будет
os-|. C1)
Это — две косинусоиды, пересекающиеся друг с другом на оси
Ф в особых точках типа седлообразных точек, имеющих абсциссы
Ф = ± я, ± Зя, ± 5я, ...

§ 177. ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 495
Им соответствуют неустойчивые состояния равновесия, когда
масса маятника расположена на вертикали над осью вращения
и потенциальная энергия достигает максимума.
В областях /о, /ь 1-х и т. д. между волнами косинусоид се-
сепаратрисы расположены замкнутые фазовые траектории, соот-
соответствующие периодическим колебательным движениям. Эти
траектории, определяемые уравнением B9), пересекают ось ф
в точках с абсциссами
Ф = ± а, ± Bя ± а), ...
и имеют максимумы и минимумы, равные ± 2 <\fgfl sin (a/2) в
точках
Ф = 0, ±2я, ...
При весьма малых а, заменяя в B9) синусы углами, полу-
получим в области /о семейство фазовых траекторий — эллипсов
Ф2 ¦ Ф2 _ 1
i~ 1
соответствующие малым колебаниям маятника. Такие же эл-
эллипсы получим в остальных областях /_ь 1\ и т. д.
Замкнутые фазовые траектории окружают особые точки фа-
фазовой плоскости типа центра
Ф = 0, ±2я, .. ,
расположенные на оси абсцисс. Эти точки соответствуют поло-
положению устойчивого равновесия маятника, в котором потенци-
потенциальная энергия имеет минимум.
Область фазовой плоскости //, расположенная выше и ниже
сепаратрисы, соответствует круговращению маятника. Фазовые
траектории в ней определяются уравнением B7) при % > 1.
Максимумы | ф|, равные 2 V(g//) Я, расположены над центрами
а минимумы | ф | = 2 ^/(g/l)(X—1)—над седлообразными точ-
точками. При К^> 1, что, согласно B1), будет иметь место при до-
достаточно большой начальной угловой скорости фо, отличие мак-
максимумов от минимумов будет незначительно; фазовые траекто-
траектории будут приближаться к прямым линиям, параллельным оси
абсцисс, что соответствует равномерному вращению маятника
по кругу со столь большой угловой скоростью, что влияние
силы тяжести оказывается пренебрежимо малым.
Общая картина расположения фазовых траекторий пред-
представлена на рис. 428. На том же рисунке показана кривая пере-
переменной части потенциальной энергии П(ф). В полном согласии
с ранее изложенными соображениями центрам, где положение
равновесия устойчиво, соответствуют минимумы потенциальной

496 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
энергии, седлообразным же точкам, где равновесие неустойчи-
неустойчиво, — максимумы.
Натяжение N нити (или усилие в стержне) маятника опреде-
определяется из уравнения
iL/q^-GcostP + W, C2)
выражающего, что сумма проекций сил, действующих на маят-
маятник, на главную нормаль траектории равна произведению массы
на нормальное ускорение. Заменив ф2 его значением по B4),
найдем
~2). C3)
Из C2) следует, что N обращается в нуль при
А C4)
При изображении этого соотношения на фазовой плоскости ф,
ф получится ряд замкнутых ветвей, образованных кривыми (по-
(показанными штриховыми линиями на рис. 428)
ф = ± д/f У ~ cos ф,
расположенными над теми отрезками оси абсцисс, где cos ф < О,
т. е.
Зя л я Зя
..., 2П<(Р<-~2"> ~2 <У<~~2~* •••
Для точек, лежащих внутри этих кривых, натяжение N < О,
а вне их N > 0. Поэтому в случае маятника на нити те фазо-
фазовые траектории, которые пересекают кривые Af = O и входят
внутрь их, фактически не осуществляются: маятник сойдет с
окружности в момент, соответствующий пересечению изобра-
изображающей точкой ветви кривой N = 0. Таким образом, осущест-
осуществляются те колебательные движения маятника на нити, которым
соответствуют значения |ос|<я/2, и те круговращения, для ко-
которых
превосходит максимальную ординату кривой N = 0, т. е. для
которых
2 д/f V^=rT> д/f или Я>|.
В частности, не осуществляется лимитационное движение А,= 1.
Если начальные условия таковы, что это движение начнется, то

§ 177. ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 497
в момент, соответствующий пересечению сепаратрисы C1) с
кривой C4), т. е. при
— jcos(p = 4-j-cos2-|-, или
нить ослабнет и точка сойдет с окружности. Это же получим
при % = 1 из равенства C3).
Рассмотрим такой пример: массе маятника, отклоненной от
положения равновесия на угол фо = 75°, сообщена начальная
угловая скорость фо = —4 1/с; длина нити / = 1 м. Определим
характер движения маятника. В рассматриваемом случае по
B6)
Я, = sin2 37° 30' + -jr^p ~ 0,778 < 1
и может иметь место колебательное движение. Но из соотноше-
соотношения B8) следует, что а « 124° > 90° и должен произойти срыв
точки с окружности. Движение изображающей точки происхо-
происходит по нижней стороне замкнутой фазовой траектории, прохо-
проходящей через точку ф0 = 75° и ф0 = —4 1/с, до пересечения этой
кривой с ветвью кривой N = 0, расположенной слева от оси ф.
Срыв происходит в точке с абсциссой, определяемой из урав-
уравнения
= 4(я — sin2—), т.е. ф~ — 112°.
Период колебаний маятника т найдем, производя интегрирв-
вание по замкнутой фазовой траектории:
где ф! и ф2— значения угловой скорости на верхней и соответ-
соответственно нижней частях фазовой траектории; а определяет мак-
максимальное отклонение маятника от положения устойчивого рав-
равновесия [амплитуду колебания, задаваемую, согласно B8) и
?26), по начальным данным]. Подставив значение фь получим
т = 2д~ , и* . C5)
\/ _ \ ^--«^ (а/2) - sin2 (ф/2) V '
Для вычисления интеграла вводим новую переменную интегри-
интегрирования Ф:
sin -| = sin j sin ф, C6)

498
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
принимающую значения 0 и я/2, когда ср равно нулю и соответ-
соответственно а. Тогда
__ 2 sin (g/2) cos *
cos (ф/2)
2 sin (a/2) cos
cos (ф/2) VI — sin2 (а/2) sin2
Замечая еще, что
sin j cos ф = /у' sin2 -|- — sin2 -| ,
придем к выражению
__я/2
О
Интеграл
— sin2 (a/2) sin2
я/2
$
VI — k2 sin2i|)
|). C7)
C8)
называется полным эллиптическим интегралом первого рода, а
величина k — его модулем @ < k < 1). Численное значение /С
по заданному модулю находится по таблицам эллиптических ин-
интегралов (см. также табл. 8).
Таблица 8
Полный эллиптический интеграл первого рода
а,
град
0
5
10
20
40
Ъ in a
k—sin-?-
0,0000
0,0436
0,0872
0,1736
0,3420
Я/2
*-$
0
VI - &2 sin2 "ф
1,5708
1,5715
1,5738
1,5828
1,6200
а,
град
60
90
120
150
180
Ь in a
k—sin —
0,5000
0,7071
0,8660
0,9659
1,0000
К
я/2
-J
0
VI - &2 sin2\|)
1,6258
1,8541
2,1565
2,7681
оо
Приближенное выражение периода колебаний для сравни-
сравнительно малых значений амплитуды а получим, разлагая подын-
подынтегральное выражение в C7) в ряд:
l - sin2 j sin2
= 1 + 1 sin2 | sin2 H> + ... =

§ 177. ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
499
Таблица 9
Приближенные значения поправки
колебаний маятника
а, град
5
10
20
1,0005
1,0019
1,0076
а, град
40
60
90
к периоду
1 +1б"
1,0304
1,0684
1,1539
Ограничившись только выписанными членами, найдем
C9)
Пренебрегая слагаемым а2/16 по сравнению с единицей, придем
к известной уже формуле периода fa-
малых колебаний
7,4
D0)
В этом приближении колебания
маятника изохронны, т. е. их период
не зависит от амплитуды. В табл. 9
даны значения множителя \-\-<х2/\§.
При а < 20° ошибка, которую мы
делаем, считая колебания изохрон-
изохронными, не превосходит
1,5828— 1,5708
7,1
7,0
6,8
1,5708
0,8%.
На рис. 429 даны графики значений
периода т в зависимости от а, вы-
вычисленные по формуле D0) (кри-
(кривая /), формуле C9) (кривая 2), и
формуле C7) (кривая 3).
6,0
/
1
If
f
/
¦ 1»f
50 60
Рис. 429.
ВО а°
Связь между углом и временем представляется интегралом
/ ^ ___.
ф,
D1)
где to — момент прохождения маятником среднего положения
ф = 0. В случае колебаний маятника это представление при-
пригодно, пока ф ^ а. При переходе изображающей точки на

600 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
нижнюю часть фазовой траектории ф уменьшается от а до —а
и время должно быть выражено формулой
З ф, + J ф, L J ф, J ф,
0 Ф 0 0
ф
ИЛИ
сравнение с D1) показывает, что моменты прохождения поло*
жений ф и —ф отличаются на полупериод.
На следующем этапе движения угол ф возрастает от значе-
значения —а; поэтому
Сделав в первом интеграле замену переменной интегрирования
Ф на —ф, получим
(?. D3)
Угол ф принимает прежнее значение по истечении периода ко-
колебаний. Вообще один и тот же угол ф соответствует значениям
/, отличающимся на целое число периодов, а углам ф противо-
противоположного знака соответствуют значения t, отличающиеся не-
нечетным числом полупериодов. Время не однозначно выражается
через угол, но угол представляет собой однозначную периодиче-
периодическую функцию времени, меняющую свой знак через каждый
полупериод. Поэтому представление угла в зависимости от вре-
времени проще и нагляднее представления времени в зависимости
от угла. Это легко обнаруживается уже в простейшей задаче о
малых колебаниях маятника; первое представление дается си-
синусом
Ф = a sin д/у С ~~ 'о)»
тогда как для второго требуется ввести в рассмотрение много-
многозначную функцию арксинус
— arcsin —

§ 177. ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 501
Итак, задача сводится к обращению интеграла: нужно вы-
выразить его верхний предел ср как функцию от t —10, т. е. от ве-
величины самого интеграла. В случае маятника эта задача ре-
решается с помощью эллиптических функций.
Сделаем в D1) замену переменных C6); тогда получим
Для упрощения записи введем обозначение
Ф
dty л / i \ Гл "U2 * 2 Г (л ?\
Функция и называется эллиптическим интегралом первого рода\
имеются подробные таблицы Лежандра A752—1833), дающиеп
значения и при 0 ^ г|) ^ я/2 и 0<4<1. При г|) = л/2 прихо-
приходим к полному эллиптическому интегралу первого рода К =
= и(л/2). Функция а(г|з) непрерывна при всех значениях if; ее
производная
du 1
всегда положительна, вследствие чего и монотонно возрастает.
Отсюда следует, что i|) также является однозначной непрерыв-
непрерывной функцией от и. Для этой функции, введенной Якоби A804—
1851) и названной амплитудой от и, принято обозначение
ф = ат(и, k) 'D6)
или, короче,
я|)== ахи и.
Очевидно, что
?-»?вД(Ю. D7)
Основными эллиптическими функциями Якоби являются
sin -ф = sin (am и), cos г|э = cos (am и)у Д (ф) = A (am и).
Для них приняты следующие обозначения:
sin (amи) = snм, cos (amи) = спи, A(ama) = dna. D8)
Эти функции рассматриваются при фиксированном значении мо-
модуля k, что в случае необходимости и указывается в обозначе-
обозначении:
sn(H, k), en (ut k), &n(u, k).

50 2
Функции Якоби по опре-
определению удовлетворяют
соотношениям
sn2 и + сп2 и = 1,
l. D9)
Легко находятся произ-
У водные функций Якоби:
^ d sn и d sin ф
Ш. Ни
= cos ф -j11- = сп и an м
и т. д. Таким образом, по-
получаем
den и
du
d dn и
du
— sn u dn и, E0)
= — fe2 sn м сп и.
Функция snMHcna — пе-
периодические с периодом
4 К. Это следует из того,
что при изменении г|) на
2я аргумент а изменяет-
изменяется на 4К. При изменении
г|) на я этот аргумент из-
изменяется на 2/С, вследст-
вследствие чего sn и и сп и меня-
меняют свой знак через полу-
полупериод. Функция dn и
имеет период 2/С.
В табл. 10 приведены
значения эллиптических
функций Якоби для аргу-
аргументов 0, /С, 2/С, 3/С и 4/С.
На рис. 430 построены
графики sn и, сп и, dn и
для нескольких значений
k2. При &2, не близких к
1, графики snu и спи ма-
мало отличаются от графи-
графиков синуса и косинуса.
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ

§ 177. ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 50$
Возвращаясь к задаче о колебаниях маятника и сравнивая
D4) и D5), находим
я|) = am "у-j" V ~~^' sin * = sn Л/ f~ ^ ""
и, следовательно, по C6)
sin -f- = sin -j sin ф = & sn д/^ (/ - /0), E1)
причем модулем эллиптической функции служит величина k =
= sin (a/2). По D9) получаем далее
cos-f = dn^/-f(*-/0). E2)
Из E1) и E2) находим также
sin ф = 2k sn aJ^- (t - /0) dn д/-^- (/ — /0). E3)
По E0) — E2) получаем выражение угловой скорости враще-
вращения маятника
ф = 2k д/f en ^/-f (/ - g. E4)
В случае круговращения маятника, заменив (pj в D1) его
значением B7)
получим
ф/2
[
ф
J aJ\ — k2 sin2 6 *
- k2 sin2 (ф/2) J aJx—W sin2 6 * E5)
где
0<k=-jr<L E6>
Примем в выражении B6) cp0 = 0. Тогда получим
Ф/2
~- Фо (t — /0) = \ I , k = -7— Л/~9 E7)
и, следовательно,
1 . ^ ,„ E8)

504 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Таким образом, тригонометрические функции половины угла
отклонения маятника выражаются эллиптическими функциями
sn и сп аргумента A/2)<ро(/ — /o)L т. е. угла поворота при по-
постоянной угловой скорости, равной половине угловой скорости,
которую имеет маятник при прохождении нижнего положения
<р = 0:
sin-? = вп[^фо ('-«]. COS-J--сп[4-фо(/-«]. E9)
Из E8) и D7) получаем выражение угловой скорости маят-
маятника
[ ] F0)
Из приведенной выше табл. 10 следует, что ф колеблется между
значениями
(Ф)тах = Фо И (ф)ш1п = фо Л /1 — ~^f . F1)
poV *~w
Наконец, период круговращения маятника, соответствующий
изменению угла ф на 2я, равен
При малых значениях kt т. е. при
Фо > 2 д/|, F3)
приближенно имеем
и выражение периода круговращения будет
F4)
§ 178. Колебания при нелинейной восстанавливающей силе
Рассмотренный в предыдущем параграфе пример маятника показывает,
какие математические трудности возникают при точной постановке задачи о
нелинейных колебаниях. Вместе с тем необходимость в решении задач та-
такого рода, выдвинутых вначале астрономией и механикой, а затем главным
образом радиотехникой, настолько возросла, что потребовала созданий при-
приближенных методов2 доступных для практических вычислений.

§ 178 НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 505
Изложим один из таких методов, предложенный А. Линдстедтом *) и тео-
теоретически обоснованный А. М. Ляпуновым в 1892 г.**).
Ограничимся случаем, когда кинетическая энергия системы точно выра-
выражается формулой
где а — постоянный и, конечно, положительный коэффициент. Потенциальна»
энергия представляется степенным разложением вида
где, что существенно, коэффициент с отличен от нуля; поскольку движение
происходит около положения минимума потенциальной энергии, которому на
основании теоремы Лагранжа (§ 147) соответствует устойчивое равновесие,
нужно считать, что с > 0.
Уравнение движения принимает вид
aq = — cq — 3cxq2 — \c2qz — • • •,
или
aq + cq A + yxq + y2q2 +...) = 0, F5)
где
Yi = 3^4 Y2==i?L, ... F6)
Выберем начальные условия:
при / = 0 q — qu <7 = 0 F7)
и поставим себе целью представить решение уравнения F5) в виде ряда
? @ ~ *1*1 (О+<7?*2 <« + ..., F8>
расположенного по степеням малого (но конечного) начального отклонения qly
принимаемого за параметр; член с q\ в нулевой степени, естественно, опущен,
так как
q(t)=O при 4i=0 и q@) = 0.
В теории дифференциальных уравнений доказывается сходимость рядов,
расположенных по степеням параметров, определяемых начальными условиями.
Сходимость эта, вообще говоря, не является равномерной относительно неза-
независимой переменной (в механике — времени), т. е. радиус сходимости степен-
степенного ряда убывает с ростом интервала, в котором рассматривается измене-
изменение независимого переменного. Если известно заранее, что искомое решение
является периодическим и тем самым интервал изменения независимой пере*
менной фиксируется величиной периода, то, согласно сказанному, всегда мо*
жет быть указано такое достаточно малое значение параметра, чтобы ряд,
представляющий решение, был равномерно сходящимся относительно незави-
независимой переменной.
*) Линдстедт А. К вопросу об интегрировании дифференциальных
уравнений теории возмущений. — Мемуары С.-Петербургской Академии наук,
1883, т. XXXI, № 4.
**) Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М. —•
Л.: Гостехиздат, 1950, § 35.

506 ГЛ XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Используя периодичность решения F8), будем иметь
q(t + %)=* q[X{ (t + r)+ <7i*2 (' + т) + • • • =
= q (t) = qxxx (t) + q\x2 (t) + ...t F9)
где t — период колебания. Приравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
степенях параметра q\ в общих разложениях, можно на первый взгляд заклю-
заключить о периодичности функций Xi(t). Однако такое приравнивание было бы
ошибочным, так как в силу нелинейности уравнения F5) период Т в свою оче-
очередь зависит от q\. Функции xt(t) на самом деле могут содержать время t
сомножителем вне знака тригонометрических функций, в чем легко убедиться,
подставляя разложение F8) в уравнение F5), приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях qx и интегрируя полученные таким образом уравнения.
Это приводит к появлению в решении F8) выражений — их называют веко-
вековыми членами, — неограниченно возрастающих со временем. Использование та-
таких разложений для вычисления периодического решения недопустимо. Для
избежания вековых членов применим следующий прием.
Произведем преобразование времени tк новой переменной 0 и потребуем,
чтобы, в отличие от периода т, новый период т* не зависел от параметра q\ и,
в частности, был равен 2я. Положим для этого
0, G0)
где м- — неопределенная пока функция параметра qu которая должна быть
выбрана из условия, чтобы период т* равнялся 2зх. Тогда, повторяя в новой
переменной 0 рассуждение, аналогичное ранее приведенному относительно ра-
равенства F9), убедимся, что в новой переменной 0 функции ^@) в разложении
должны быть периодическими функциями с периодом 2я; функция 5о@) то-
тождественно равна нулю по той же причине, что и xo(t) в равенстве F8).
Для определения функции M-(^i) представим ее также в виде разложения
по степеням параметра q\\
где \ц — неопределенные постоянные, а \х0 = 0, так как jji -> 0 при q{ ->- 0, пре-
преобразование же G0) соответствует переходу от зависящего от q\ периода т
к периоду т* = 2л.
Подставим разложения G1) и G2) в преобразованное к новой перемен-
переменной 0 уравнение F5)
(l+^)-g- + ? = -(Y,?2 + Y2<73+...) G3)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях qx. Получим следую-
следующую систему дифференциальных уравнений, в которых штрихами обозначены
производные по новой переменной 0:
G4)
2Yilila - V261.
?4 - - 1»збГ - Ы" ~ " l ? tf

§ 178 НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 507
Примем следующие соответствующие F7) начальные условия для функ-
функций ?г.
6,@)«1, ЫО) = о, Ез@) — о, ...,
[ 'о, ёз(о) = о,... G5)
Из первого уравнения системы G4) сразу вытекает
^ = со8б; G6)
тогда второе уравнение той же системы приведется к виду
12 + 62= V\ CDs6 - Yi cos2 6 = \х{ cosG - -^- -^- cos 29.
Это — уравнение того же типа, что и уравнение вынужденных колебаний, при-
причем наличие в правой части члена \ii cos 0 с частотой, равной частоте соб-
собственных колебаний, приведет, как это было показано в § 96, к появлению в
общем решении выражений, содержащих время 0 множителем при тригономе-
тригонометрической функции. Как уже ранее было указано, функция g2F) является пе-
периодической функцией с периодом 2л; следовательно, множитель ц{ должен
быть равным нулю. Воспользовавшись этим, проинтегрируем последнее урав-
уравнение и получим периодическое выражение для g2:
?2 = — -jr Yi C — 2 cos е — cos 20)- G7)
Третье уравнение системы G4) может быть после простых преобразований
представлено в виде
_ | Y2 cos 26 - A y2 + 4 Y^ cos 38.
Здесь по условию периодичности функции ?з@) следует положить равным
нулю выражение в скобках, стоящее в правой части множителем при cos 0»
Отсюда найдем значение неопределенной константы \х2:
е о
(*2==--6-Yi+TY2- G8)
Решение уравнения, определяющего ?з, после этого будет
1 Yi cos 20 + (-L y? + з^- Y2) cos 30. G9)
Аналогично определяются g4 и следующие функции It.
Подставив полученные значения gb g2, |з, ... в ряд G1) и перегруппи-
перегруппировав члены, получим решение поставленной задачи в виде тригонометриче*
ского разложения
Xcos2e+ ("^ Vi + ^- Y2) ^f cos36 + ..., (80)

608 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
причем по предыдущему аргумент 9 связан с основным аргументом t соотно-
шением
(81)
Период колебаний в переменно! 8 был принят равным 2я; следовательно,
если вернуться к переменной \ то, согласно (81), период будет равен
-1/2
lMI^-^O^-]- (82)
В качестве примера применения метода Линдстедта снова рассмотрим
математический маятник.
Заменив в уравнении движения
ф + у- sin ф = 0
синус его разложением в ряд, получим
В этом случае
a-I, c-f, Y.=
так что по (82) выражение периода будет
что совпадает с соответствующим приближеним C9) точного решения (§ 177).
Уравнение колебаний маятника найдем по (80):
( , 1 зЛ 2я* 1
Ф = ^Фо + 92" фо) C0S ~ "" Т92"
Г"'
Полученное уравнение отличается от простейшего уравнения гармонических
колебаний
Vt'
ф = ф0 COS /W -у t
на величину третьего порядка малости относительно
2nt Gnt
кроме того, еще значительно уменьшающуюся благодаря наличию множителя
1/192 « 0,005.

§ 179. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 509
§ 179. Свободные затухающие колебания системы
при силе сопротивления, пропорциональной первой степени
скорости, Диссипативная функция Релея
Предположим, что на отдельные точки Mi (i = 1, 2, .,., п)
системы действуют силы сопротивления Ft, пропорциональные
по величине первой степени скорости vi точки и направленные
в сторону, противоположную движению, так что
(83)
где р* — положительный коэффициент пропорциональности.
Обобщенная сила сопротивления будет равна
где суммирование распространено по точкам системы, на кото-
которые действуют силы сопротивления. Как было показано при вы-
выводе уравнений Лагранжа второго рода (§ 159),
drt drt
так что
где введена в рассмотрение так называемая диссипативная
функция Релея*), или функция рассеяния
^. (85)
Предполагая, что связи системы стационарны, имеем
и, следовательно,
1 п
"щ~ — Qfw/f » (86)
где
*) Понятие диссипативной функции введено Релеем A842—1919) в его
классическом труде «Теория звука» [Theory of Sound, 1878; имеется пере-
перевод: С т р е т т Дж. В. (Р э л е й), Теория звука. — М. — Л.: Гостехиздат. т. L
1940; т. II, 1944; 2-е изд. — М. — Л.: Гостехиздат, 1955].

510 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Вспоминая, что все C* положительны, заключим о положи-
положительности функции $(q), а следовательно, по (86) и о положи-
положительности диссипативной функции Ф.
Диссипативная функция Ф имеет простой физический смысл.
Докажем, что удвоенная величина диссипативной функции рав-
равна уменьшению в единицу времени той полной механической
энергии, которой о&ладала бы система при отсутствии сил со-
сопротивления.
Для доказательства составим уравнение движения системы.
К правой части уравнения Лагранжа добавим член, выражаю-
выражающий влияние сопротивления; согласно (84) получим
dt dq dq ~ dq dq '
Умножим обе части (87) на q и заметим, что из равенств
и теоремы Эйлера об однородных функциях следует, что
и что, кроме того, по определению производной от сложной
функции
У dq * У dq dt ' 4 dq dt '
Тогда получим
JL(T + п) = 4г = — 2Ф> (88)
dt ^ ' at v '
что и доказывает теорему.
Только что доказанная теорема отражает существенное
свойство движения системы. Чтобы пояснить это свойство, вве-
введем новые фазовые координаты х = q и у = q/k*) и предста-
представим движение на фазовой плоскости х, у. Системе кривых
Е = lj2aq2 + 72е?2 === const = h
на плоскости q, q будет соответствовать система окружностей
(поскольку с/а = к2)
Е = l/2ak2y2 + 72«2 = 1/2с {х2 + y2) = h
*) Поскольку k — частота, измеряемая в 1/с, координаты х и у имеют
одинаковую размерность, что существенно для дальнейшего изложения. Заме-
Заметим* что здесь выбор фазовых координат несколько отличается от принятого
ранее (§ 176).

§ 179 СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
511
на плоскости х, у (рис. 431). Эти окружности имеют центр в
начале координат и стягиваются к нему при уменьшении ft.
Рассматривая движение изображающей точки М(х, у) на
фазовой плоскости, заметим, что окружности Е = ft уже не бу-
будут траекториями изображающей точки, так как Е — полная ме-
механическая энергия системы при отсутствии сил сопротивления;
эта энергия не сохраняет постоянного
значения при движении системы, на
которую действуют силы сопротивле-
сопротивления. Обозначив через п единичный
вектор внешней нормали окружности
Е — ft, а через а и |3 — углы вектора п
с осями координат х и у, имеем
1 дЕ _a==J_i?
D ду '
Величины dx/dt = х = Vx и dy/dt = Рис. 431.
= у = Vy, очевидно, представляют со-
собой проекции вектора скорости V изображающейточки М на
оси х и у\ поэтому
где Vn — проекция скорости точки М на направление п, и соот-
соотношение (88) принимает вид
То обстоятельство, что Vn оказалось отрицательным (напоми-
(напоминаем, что Ф положительно), указывает, что траектории изобра-
изображающей точки пересекают окружности Е = h (они касаются
этих окружностей при у = 0, т. е. на оси х) извне внутрь, пе-
переходя от окружностей, которым соответствуют большие зна-
значения ft, к окружностям, для которых ft меньше; поэтому при
/->оо мы должны иметь ?->0*). Но величина
при а > О, О 0 может стремиться к нулю только при ^-^0,
*7-^0. Следовательно, система при t-^oo стремится к равновес-
*) Не будем останавливаться на доказательстве того, что изображающая
точка не может достигнуть начала координат за конечный промежуток вре-
времени.

512 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
ному положению. Движение в этом случае называется асимпто-
асимптотически устойчивым.
Рассматривая в дальнейшем малые колебания, можно счи-
считать коэффициент р в выражении диссипативной функции по-
постоянным; конечно, при этом Р > 0 в силу положительности
функции Ф. Полагая, как и ранее,
вместо (87) получаем уравнение
aq + M + cq — 09 (89)
которое делением обеих частей на инерционный коэффициент а
может быть приведено к виду
q + 2nq + k2q = 0; (90)
здесь приняты обозначения
Уравнение (90) совпадает с разобранным ранее (§ 98) урав-
уравнением D1), выражающим влияние сопротивления, пропорцио-
пропорционального первой степени скорости, на свободные прямолиней-
прямолинейные колебания материальной точки.
В дополнение к произведенному ранее исследованию рас-
рассмотрим фазовые траектории, соответствующие колебательному
(п < k) и апериодическому (п > k) движениям системы.
В первом случае (п < k) имеем
q = Ae~nt sin {<yjk2 — n21 + a), (92)
q = Ae~nt [- n sin (V^2 - n21 + a) +
+ V^2 — я2 cos (V^2 ~~ n21 + a)]-
Для составления уравнения семейства фазовых траекторий
удобно ввести новые переменные х и у, связанные с q и q ли-
линейными соотношениями
и принять х и у за прямоугольные декартовы координаты на
фазовой плоскости (х, у). В этой плоскости введем еще поляр-
полярные координаты р и ф, отсчитывая ф от оси у к оси х. Получим
х
= г sin ф = Ae~nt sin (л/k2 — п21 + a)»
у = г cos ф = Ae~nt cos {л/k2 — n2t + а).

§ 179. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
513
Исключая отсюда время /, найдем уравнение семейства фазо-
фазовых траекторий в полярных координатах
r^Ce-WV*5^, (94)
причем параметром семейства служит одна величина
С =* Аеш]^кг'п\
выражающаяся через две постоянные интегрирования А и а.
Согласно (94) фазовыми траекториями служат подобные от-
относительно начала координат логарифмические спирали
Поверхности
уровня
енеръцц
'Фазовая
'траектория
Фазовая
траектория
Рис. 432.
(рис. 432). Изображающая точка при любых начальных уело-
ниях неограниченно приближается к началу координат (г->0
при ф-^оо); фазовые траектории закручиваются вокруг начала
координат, которое в этом случае играет роль устойчивого фо-
фокуса. На рис. 432 приведены поверхности уровня механической
энергии
= уa [(k2 + n2)x2 + (k2 — n2)y2 — 2n <yjk2—n2xy] = h.
Это — эллипсы, полуоси которых наклонены под углом а к осям
координат, причем
В соответствии с только что доказанной теоремой фазовые
траектории пересекают линии уровня энергии извне внутрь.
17 Л, Г. ЛоЯцянский, A. W, Лурье

514 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Во втором случае (п > k) будем иметь
(95)
Перейдем к новым координатам х, у, линейно связанным со
старыми q, q соотношениями
q = -
Тогда легко заметить, что
ху = С'е~2
где С и С" — новые постоянные, и, исключая из этой системы
равенств время t, получить
у = Сх («-V3^P)/(/i+V3r^S|)# (96)
Показатель степени, очевидно, всегда положителен и меньше
единицы. Фазовыми траекториями служат отрезки кривых типа
парабол (рис. 433), касающиеся в на-
начале координат оси Оу (dy/dx —> оо
при x->0). Фазовые кривые пересе-
пересекают кривые уровней энергии (эллип-
(эллипсы) Е = h извне внутрь, сходясь в
начале координат, которое в этом слу-
случае играет роль устойчивого узла.
Аналогичными по типу будут фазовые
траектории и в случае предельного
апериодического движения (п = k).
Фазовая
траектория
Устойчивый
узел
Пример 156. На рис. 434 представлена
электрическая схема гальванометра. Между
Рис. 433. полюсами N и S постоянного магнита подве-
подвешена в точке О на тонкой проволоке катушка
малой толщины I с весьма большим числом витков тонкой изолированной
проволоки. При отсутствии тока в катушке плоскость витков параллельна
напряжению магнитного поля Н. Если F — площадь одного витка,
п — число витков и i— величина тока, то катушка эквивалентна магнит-
магнитному диполю, т. е. магниту, в концах которого находятся магнитные массы
±т, где
Fni
т— / .
Рассмотрим движение катушки, принимая во внимание, что при измене-
изменении числа N магнитных силовых линий, пересекающих контур тока, возни-
возникает (по закону Ленца) обратная электродвижущая сила Е\ = —dN/dt. Если

§ 179. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
515
пренебречь самоиндукцией катушки, то величина тока будет равна г = (Е +
+ Ех)l(R-\- р), где Е — постоянная внешняя электродвижущая сила, р — со-
сопротивление катушки, R — сопротивление внешней цепи; жесткость прово-
проволоки на кручение, равная моменту, который должен быть приложен к концу
проволоки, чтобы создать единичный угол закручивания, равна с. При реше-
решении задачи следует иметь в виду что
(рис. 435, a) J /
N = FnH sin Ф, | /
I Р/
а момент пары магнитных сил, выводя- .. J-ly
щих катушку из положения равновесия, ^^
равен mHl cos ф (рис. 435,6).
Ч
Рис. 434.
Рис. 435.
Дифференциальное уравнение вращения катушки может быть написано в
виде
s — сф + mHl cos ф.
Подставляя вместо т его значение
Fni Fn
т =—j— = —т-
EnF
nF
dN
dt
и замечая, что
получаем
—T7- = nFHy cos ф,
FnH
Ограничиваясь рассмотрением малых колебаний, положим cos ф =» 1 и
введем обозначения
Получим
ф + 2еф +
17*

516
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Общее решение этого уравнения равно сумме его частного решения и об-
общего решения однородного уравнения. Частное решение фо при Е = const будет
.г ш FnH E д FnH E —^
где С — постоянная прибора; заметим, что фо — показание, пропорциональное
измеряемой величине тока, которое дал бы гальванометр при равновесии.
Общее решение при малом сопротивлении (е < k) будет
ф = фо + e~Bt (A sin У*2 - е21 + В cos л/k2 - е2 t).
Пусть ф = ф = 0 при t «в 0; тогда
, _
fk2 — 82 t + COS У&2 ~ <
т. е. движение катушки представляет собой затухающий колебательный про*
цесс, приводящий (теоретически через бесконечно большое время) стрелку
гальванометра к равновесному значению угла поворота ф = фо.
Пример 157. Маятник Жуковского — Фруда. Подвес маят*
ника (рис. 436, а) осуществлен при помощи подшипника, цапфа А которого
соединена со стержнем маятника, а шип может вращаться от внешнего при-
привода. Зная закон зависимости момента трения М в подшипнике от угловой
скорости со относительного вращения
шипа и цапфы, определить движения
маятника вблизи положения равнове-
равновесия; сопротивление окружающей среды
принимается пропорциональным первой
степени угловой скорости маятника.
Рис. 437.
Предположим, что характеристика связи момента трения М с относитель*
ной угловой скоростью ю между шипом и цапфой имеет вид спадающей кри-
кривой (рис. 437), так что М^со) < 0. Если со = 0О представляет собой угло-
угловую скорость шипа, соответствующую равновесному положению маятника,
имеющему место при угле отклонения от вертикали а (рис. 436,6), то
Gl sin а — М (шо), (97)
где G — сила тяжести, а / — расстояние от оси О подшипника до центра тя-
тяжести С маятника.
Обозначим через ф угол отклонения маятника от равновесного положения
и удовольствуемся рассмотрением малых ф и ф, Дифференциальное уравне?
ние движения маятника будет
/ф«'~ Gl sin (а+ ф) + Л1(с0а — ф) - рф, (98)

§ 179. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 61/
причем / обозначает момент инерции маятника относительно оси подвеса О,
ф — коэффициент сопротивления среды. Разложим характеристику трения в
ряд по степеням ф и ограничимся первыми двумя членами разложения; тогда
•получим
М (©о — Ф) = М (g>o) — М' (соо) ф.
Используем еще условие малости угла ф, согласно которому
sin (а + ф) « sin a + ф cos а.
Дифференциальное уравнение движения маятника при этом, если использо-
использовать условие равновесия (97), примет вид
ф + 2лф + 62ф я 0, (99)
где
2П = М' *Юо) + Р k2 — Gl cos a
При наличии спадающей характеристики трения в подшипнике ЛГ(соо) <
;<С 0 возможны, следовательно, два существенно отличных по характеру слу-
яая малых движений маятника.
1°. п > 0, р >—М^соо); положение равновесия устойчиво, движение
маятника будет затухающим (ф-*0) или апериодическим в зависимости от
того, будет ли k > п или k < п. Этот случай был рассмотрен в настоящем
параграфе. Начало координат на фазовой плоскости представляет собой ус-
устойчивый фокус или устойчивый узел.
2°. п < 0, р<—М'((д0); положение равновесия неустойчиво, маятник уда-
удаляется от положения равновесия, совершая растущие по амплитуде колебания
ф
evt
cos
! — v2*) (v = — /i>0)
«ли удаляется от положения равновесия апериодически
Легко убедиться в том, что фазовые траектории сохраняют ту же форму, что
и в случае 1°, но направление движения изображающей точки изменяется на
Ук
п
о)
Рис. 438.
противоположное (рис. 438). Начало координат фазовой плоскости в этих слу-
случаях будет являться неустойчивым фокусом или неустойчивым узлом.
Приведенное решение справедливо только в предположении, что угол ф от*
клонения маятника от равновесного его положения мал, так что две послед-
последние фазовые диаграммы имеют лишь локальный смысл в области, близкой
к началу координат. Дальнейший ход фазовых траекторий уже не может быть

518 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
определен таким анализом, а требует рассмотрения решений дифференциаль*-
ного уравнения движения маятника в виде (98).
Учет влияния членов высших степеней в разложении момента в уравне-
уравнении (98) привел бы к заключению, что размахи колебаний маятника в дей*
ствительности не растут неограниченно. Движение стремится к некоторому пе-
периодическому режиму, параметры которого не зависят от начальных условий.
Соответствующая этому режиму фазовая траектория представляет замкнутую»
кривую (рис. 438, а), называемую устойчивым предельным циклом.
§ 180. Колебания системы с одной степенью свободы
при наличии кулонова трения
Обобщая рассмотренное в § 100 прямолинейное колебатель-
ное движение материальной точки при действии на нее постоян-
постоянной по величине силы кулонова трения на случай колебания
любой системы с одной степенью свободы, будем иметь уравне-
уравнение движения в форме
aq + cq=*Q> A00)
или
q + k2q = % = Q*9 A01)
причем Q* постоянно по абсолютной величине, но меняет свой
знак согласно формулам
Q- —|<Г1 при «7>0,
Q* = |Q*| при <7<0.
Не будем повторять в подробностях решения уравнения
A01), так как оно ничем по существу не отличается от рассмо-
рассмотренного в § 100, и обратимся к анализу движения изображаю»
щей точки в фазовой плоскости.
Примем за основные фазовые переменные х = q и у = q/k.
Тогда для первого полупериода колебания будем аналогично
формулам (81) и (82) § 100 иметь
A03>
Исключая время, находим уравнение фазовой траектории
<I04>
Как следует из A04) и второго уравнения системы A03), фа-
фазовой траекторией является полуокружность радиуса (хо—
*~\Q*\/k2) с центром в точке О\ {\Q*\/k29 0), расположенная

§ 180. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ КУЛОНОВА ТРЕНИЯ 519
«иже оси абсцисс (рис. 439). Для второго полупериода, со-
согласно (85) и (86) § 100, находим
~ х°) с °s Ы'
так что фазовой траекторией будет верхняя часть окружности
A06)
Границы мертдо и зоны
радиуса \xo — 3\Q*\/k2\ с центром О2 (— |Q*|/&2, 0). Построе-
Построение полуокружнестей с центрами в точках О\ либо Ог и радиу-
радиусами, каждый раз уменьшающимися на 2|Q*|/?2, продолжа-
продолжается до тех пор, йока точка
пересечения полуокружно-
полуокружности с осью х не окажется
внутри мертвой зоны, что
<5удет соответствовать оста-
остановке системы.
На том же рис. 439
штриховыми кривыми нане-
нанесены линии уровня энергии
1 = Л, A07)
представляющие собой се-
семейство окружностей с цен-
центром в начале координат. Рис. 439.
¦Фазовые траектории пересе-
пересекают эти окружности извне внутрь, в чем легко убедиться, по-
повторив рассуждение, аналогичное ранее проведенному (§ 179)
в случае силы сопротивления, пропорциональной первой степени
скорости. Составим выражение
причем, согласно A07),
где R — радиус соответствующей окружности, служащей линией
уровня энергии. Таким образом, с одной стороны, имеем
A08)

520 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
а с другой стороны, непосредственным дифференцированием по-
лучаем равенство
или, используя дифференциальное уравнение движения G8$
§ 100, которое можно переписать в виде системы уравнений
еще такое равенство:
Ж=~с11ГУв12пУ- <109>
Сравнивая последнее равенство с A08), заключаем, что
т. е. действительно, фазовые траектории пересекают линии уров-
уровня энергии извне внутрь.
§ 181. Колебания системы с одной степенью свободы
при наличии силы сопротивления, пропорциональной
квадрату скорости
Обобщенную силу, соответствующую сопротивлению, про-
пропорциональному квадрату скорости, зададим в виде
Q= — Y<72signtf, (ПО)
где у — постоянный коэффициент сопротивления, а множитель
sign q поставлен для того, чтобы показать противоположность
знаков сопротивления и обобщенной скорости.
Дифференциальное уравнение движения системы с одной
степенью свободы при наличии квазиупругой восстанавливаю-
восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной квадрату
скорости, будет
aq + cq = — yq2 sign q. A11)
Введем обозначения
2 a ' * ~ a*
тогда уравнение A11) примет вид

§ 181. КОЛЕБАНИЯ С КВАДРАТИЧНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ 521
Зададим начальные условия:
при / = 0 q = qo>O, qo = O
и рассмотрим первый интервал движения от момента t = О, при
котором система занимает первое крайнее положение (q = qQ)f
до того момента, когда она придет во второе крайнее положе-
положение (<7 = <7i). При таком движении обобщенная сила сопротив-
сопротивления будет положительна и signq = —1.
Уравнение
Я — уР<72 + ?2?=0 A14)
можно проинтегрировать подстановкой
при этом
1 dz
и уравнение A14) приводится к виду
CLQ
Решение этого уравнения будет
k2
Из начальных условий следует
О = C\e$Q* + 2-р- (р<7о + 1)
откуда, исключая постоянную Сь получаем
^ (П5)
или, если разделить переменные,
причем знак минус взят потому, что в рассматриваемом про-
промежутке q < 0, т. е. dq и dt имеют противоположные знаки.
Интеграл от выражения, стоящего в левой части последнего
равенства, не выражается в элементарных функциях. Пользуясь
A15), можно указать простой графический метод нахождения
последовательных амплитуд колебания системы.

522 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Замечая, что q = 0 при q = qu no A15) получаем
или
В следующем интервале движение будет происходить слева
направо от q = q\ до q = q2. Уравнение движения в этом интер-
интервале будет отличаться от предыдущего только знаком при р,.
так что получим
в следующем интервале вновь будем иметь
~^ (<7з<0, q2 > 0)
и т. д.
Введем обозначения
и прологарифмируем обе части равенства A16) и аналогичные
последующие; тогда найдем
In A + х{) — Х\ = In A + xQ) — х0,
In A - x2) + x2 = In A - x{) + xu A17)
In A + x3) — хг = In A + x2) — x2
и т. д. Эта последовательность равенств определяет по задан-
заданному хо величину хи затем по х\ величину х2 и т. д.; получен-
полученные трансцендентные уравнения можно решать графически.
Вычертим кривую, соответствую-
соответствующую функции
Кривая имеет асимптоту х = —1,
касается оси абсцисс в начале коор-
координат и уходит в бесконечность под
углом 45° при х->оо.
Система A17) представляется в
виде
Рис. 440. ' v 2/ ' к 1"
f (Хз) = / (Х2) и Т. Д.
Рис. 440 показывает, как по этой раз навсегда вычерченной кри-
кривой можно находить последовательные амплитуды. Отметим,,
что, каково бы ни было начальное значение q§, численная вели-
величина следующей безразмерной амплитуды |^i| будет всегда

§ 181. КОЛЕБАНИЯ С КВАДРАТИЧНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
523
меньше единицы, т. е.
р'
Это непосредственно видно из приведенного выше построения.
Для малых амплитуд можно указать выражение величины последующей
амплитуды через предыдущую в виде степенного ряда *). Обозначим через
т| = \xk\ k-ю амплитуду, следующую за некоторой (k—1)-й амплитудой
J = |**_i|. Тогда, согласно A16) и последующим равенствам, всегда будет
(П8)
При малых g и т] будем иметь, разлагая е"^ и еч в ряды
Представляя ц в виде степенного ряда
>с неопределенными коэффициентами ch с2, ..., подставим это разложение в
предыдущее равенство и сравним коэффициенты при одинаковых степенях ?.
Тогда получим
: 5L ?2 Л- —ё3 ^
3 s 9 & 135
JL.
(П9)
В табл. 11 приведены значения затухания амплитуд ц для некоторых как
больших, так и малых ?.
Таблица И
Затухание последовательных амплитуд
при квадратичном сопротивлении
1
00
10
8
6
5
4
1 3
2
1
1
0,9998
0,9989
0,9936
0,9849
0,9651
0,9207
0,8214
0,5936
I
0,5936
0,4240
0,3301
0,2704
0,2290
0,1986
0,1753
0,1570
0,1420
ц
0,4240
0,3301
t),2704
0,2290
0,1986
0,1753
0,1570
0,1420
0,1298
0,1298
0,1194
0,1106
0,1030
0,0964
0,0906
0,0854
0,0808
0,0767
0,1194
0,1106
0,1030
0,0964
0,0906
0,0854
0,0808
0,0767
0,0730
283.
*) Булгаков Б. В. Колебания. — М. — Л.: Гостехиздат, 1954, с. 280—

524
ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Продолжительность т. полуколебания определится интегрированием урав
нения A15). В новых обозначениях будем иметь
I
1
1 Г dx
A20>
В табл. 12 указаны продолжительности полуколебаний, рассчитанные для
некоторых начальных амплитуд.
Таблица 12
Продолжительность полуколебаний при квадратичном сопротивлении
1
со
1000
200
80
40
20
10
1
1
1
1
1
1
1
kx
со
49,77
22,12
12,84
9,21
6,70
5,026
1
5
2
1
0,594
0,424
0,330
0
•Л
0,985
0,821
0,594
0,424
0,330
0,270
0
kx
3,998
3,383
3,222
3,175
3,160
3,153
3,142 = п
Последняя строка табл. 12 показывает, что при малых g полупериод %
стремится к величине n/k, соответствующей свободным незатухающим колеба-
колебаниям. Это и естественно, так как при малых q сопротивление, пропорциональ*
ное квадрату q, становится незаметным.
Определим форму фазовых траекторий. Положим
* = Р<7, у = -?— д. A21)
k V2
Тогда, согласно A15), уравнение фазовой траектории при дви-
движении в интервале хо ^ х ^ х\, где у < 0, будет
у = — aJ\ -f- х — A + jc0) ex~x\ A22)
а при движении в интервале х\ ^ х ^ х2, где у > О,
у = д/1 — х — A — ^i)e-^-^>. A23)
В последующих интервалах уравнения будут чередоваться.
Построение кривых, соответствующих уравнениям A22) и
A23), не составляет труда. На рис. 441 показан вид двух фазо-
фазовых траекторий, отвечающих начальным условиям хо = 1 и
#0 = 2. Отрезки, отсекаемые данной фазовой траекторией на
оси Ох, определяют последовательные отклонения системы и
могут быть взяты из таблицы или вычислены интерполирова-
интерполированием. При этих абсциссах величины dy/dx становятся бесконеч-

§ 181. КОЛЕБАНИЯ С КВАДРАТИЧНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
525
ными, что отвечает ортогональности в этих точках фазовых тра-
траекторий оси Ох. Дифференцирование правых частей A22) и
A23) показывает, что максимумы и минимумы фазовых траек-
траекторий при любых начальных условиях располагаются на пара-
параболах у = V— х и у —
= —<у/х9 показанных на
рис. 441 штриховыми ли-
линиями.
Как бы ни было вели-
велико начальное значение Хо, %\
фазовые траектории не А
могут перейти влево от
указанной на рисунке
прямой х = —1.
В тех случаях, когда
составление уравнений
фазовых траекторий в ко-
конечном виде затрудни-
затруднительно, применяют графи-
графическое их построение непосредственно по дифференциальному
уравнению движения. Изложим способ Льенара*), применимый
для уравнения вида
=0, A24)
Рис. 441.
к которому относятся как колебания при наличии сопротивле-
сопротивления, пропорционального первой и второй степени скорости, так
и колебания в случае куло-
нова трения.
Полагая в уравнении
A24) х = у, получаем диф-
дифференциальное уравнение
первого порядка
j
dx
A25)
Рис. 442.
интегральными кривыми ко-
торого будут являться фазо-
фазовые траектории в плоскости (х, у). Льенар предложил следую-
следующий простой графический прием построения фазовых траекторий,
определяемых уравнением A25). Нанесем (рис. 442) в фазовой
плоскости (х,у) кривую х= —<р(#). Выбрав произвольную точку
М, проведем через нее прямую, параллельную оси Ох, до пере-
пересечения с этой кривой в точке А и затем через точку А прямую,
*) Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических
системах. — М.; ИЛ, 1952, с. 39—42.

626 ГЛ. XXXII. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
параллельную оси Оу до пересечения с осью Ох в точке В. Пря-
Прямая, проходящая через выбранную точку М в точку В, будет
иметь направление нормали интегральной кривой уравнения
A25) в точке М. Действительно, как об этом можно судить по
уравнению A25) и непосредственно по рисунку,
Таким образом, указанным выше способом легко в каждой
точке М фазовой плоскости построить малый отрезок, направ-
направленный по касательной к фазовой траектории. Переместившись
вдоль этого отрезка в смежную точку, повторим еще раз то же
построение, найдем новую нормаль и новое направление каса-
касательной. Беря отрезки касательной достаточно малыми, по-
построим ломаную линию, мало отличающуюся от искомой фазо-
фазовой траектории.
В частном случае колебаний при наличии кулонова трения,
полагая, как и ранее,
получим уравнение фазовых траекторий
dy = ±\Q* W + х
dx у
В этом случае роль вспомогательной кривой в методе Льенара
играет совокупность полупрямых
Q*\/k2 при */<0,
__1?№2 при у>Оу
параллельных оси Оу и проведенных через точку Ох (рис. 439)
вниз и через точку О2 вверх. Если пренебречь разницей между
трением движения и трением покоя, тс указанные полупрямые
расположатся по штриховым линиям, обозначающим границы
мертвой зоны. Построение Льенара показывает, что в этом слу-
случае точка В совпадает с О\ при у <С 0 к О2 при у >> 0, а фазовы-
фазовыми траекториями являются полуокружности, указанные на
рис. 439.

Глава XXXIII
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 182. Общее решение уравнения вынужденных колебаний
Вынужденные колебания возникают при действии возмущаю-
щих сил, являющихся заданными функциями времени, на си-
систему, способную совершать малые движения около положения
устойчивого равновесия.
Будем предполагать, что возмущающая обобщенная сила Q
является заданной функцией времени.
При предположении о малости отклонений от положения рав-
равновесия выражения кинетической энергии, потенциальной энер-
энергии и диссипативной функции имеют вид
где а, с, р — положительные постоянные.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
d дТ дТ <Ш аФ
dt dq dq dq dq
при этих условиях будет линейным неоднородным уравнением
с постоянными коэффициентами
A)
При введенных ранее обозначениях
Т = *2> Т = 2« B)
оно примет вид
ij + 2nq + k2q = ±.Q(t). C)
В предположении, что Q является синусоидальной функцией
времени или, в более общем случае, периодической функцией,
представимой рядом Фурье, при отсутствии сопротивления
(я« 0) уравнение C) было рассмотрено в §§ 96 и 97, а при

528 ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
наличии сопротивления — в § 99. Покажем решение в форме
определенного интеграла, имеющее то преимущество, что при
его составлении зависимость возмущающей силы от времени в
явной форме не задается.
1. Случай отсутствия сопротивления (n = 0).
Дифференциальное уравнение C) вынужденных колебаний при-
примет вид
ч ч а ч\ /•
Применим метод вариации произвольных постоянных; общее ре-
решение однородного уравнения
q -j- к q = и (о)
запишем в виде
q = Cx cos kt + С2 sin kt, F)
где С\ и С2— произвольные постоянные. В этом же виде будем
искать решение неоднородного уравнения D), принимая теперь,
что С\ и С2 являются функциями времени; выбор этих функций
подчинен двум условиям: во-первых, выражение q должно при
переменных С\ и С2 сохранять тот же вид, что и при постоянных
значениях этих величин, и, во-вторых, решение F) должно удов-
удовлетворять неоднородному уравнению D). Первое из этих усло-
условий приводит к соотношению
С{ cos kt + C2 sin kt = 0, G)
при выполнении которого q принимает вид
q = — k (C{ sin kt — С2 cos kt). (8)
Продифференцировав это выражение, получим
q = — k2 (C{ cos kt + С2 sin kt) — k (Сг sin kt — C2 cos kt),
или no F)
q + k2q = — k (Cx sin kt — C2 cos kt).
Таким образом, уравнение D) будет удовлетворено, если при-
принять
— k (Cx sin */ — С2 cos kt) = ±-Q(t). (9)
Из двух уравнений G) и (9) получаем
intf. C2 = ±Q(t) cos kt, (Ю)

§ 182. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 529
откуда следует, что
\ 01)
о
где D\ и ?>2 — произвольные постоянные. Из F) и (8) находим
где <7о и qo — начальные значения обобщенной координаты q и
обобщенной скорости q. Подставив полученные выражения С\
и С2 в F), придем к искомому решению:
q = q0 cos kt + -~- sin kt +
+ ~ sin kt \ Q (|) cos kl dl - cos kt J Q {%) sin kl d% . A2)
Множители, не зависящие от переменной интегрирования, мож-
можно внести под знак интеграла; поэтому найденное решение запи-
записывается также в виде
t
A3)
Если сила Q(t) начинает действовать на первоначально по-
покоившуюся систему, то qo = 0 к cjo = 0, и выражение q прини-
принимает вид
t
A4)
Таково решение дифференциального уравнения вынужденных
колебаний D), обращающееся в нуль вместе со своей первой
производной в начальный момент времени t = 0. Оно дает вы-
выражение колебаний, вызванных действием силы Q{t). Слагае-
Слагаемое
q* = qQ coskt + \ sin kt A5)
выражений общего решения A3) представляет свободные ко-
б, создаваемые вследствие сообщения системе, находив-

530 ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
шейся в равновесии, начального отклонения и начальной ско-
скорости.
Выражение производной по времени t от определенного ин-
интеграла A4) состоит из двух слагаемых: первое представляет
собой производную этого интеграла по верхнему пределу t и
равно значению подынтегральной функции при значении пере-
переменной интегрирования |, равном t, второе получается при диф-
дифференцировании по t, входящему как параметр под знак инте-
интеграла:
t
ИЛИ
t
4 = ±-\qA) cos k(t-t)d%. (i&>
0
Применив еще раз указанное правило дифференцирования,
получим
или по A4)
Таким образом, осуществлена непосредственная проверка того,
что решение A4) удовлетворяет дифференциальному уравнению
вынужденных колебаний. Из A4) и A6) сразу видно также,
что решение A4) вместе с производной обращается в нуль в на-
начальный момент времени.
Решение A4) в форме определенного интеграла можно было
получить, не прибегая к методу вариации произвольных по-
постоянных, а применив следующий наглядный способ рассужде-
рассуждения. Под действием импульса величины 5=1, прилагаемого в
момент / = 0, покоящаяся система приобретает начальную ско-
скорость qo = S/a = I/a и не получает начального отклонения.
Поэтому ее последующее движение при t > 0 будет опреде-
определяться выражением
1 = b(t)=ij;smktf A7)
получаемым по A5) или непосредственным интегрированием
уравнения E) свободных колебаний при указанных начальных
условиях. Функция ty\(t) называется реакцией системы на едиг

§ 182. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 531
ничный импульс. Если последний прикладывается не в момент
t = О, а при * = ?, то в выражении A7) надо заменить t на
(t-l):
О при / < 6,
^ sin k{t — l) при t > I.
Действие силы Q(t) в промежутке времени @, t) можно
представить как последовательное наложение импульсов беско-
бесконечно малой величины Q(Qdl\ каждый такой импульс вызывает
движение, определяемое выражением Q(l)ty\(t — ?)d?; поэтому
значение q в момент t представляет результат наложения дви-
движений, создаваемых отдельными импульсами, т. е. дается опре-
определенным интегралом:
A8)
Мы снова пришли к ранее полученному решению дифферен-
дифференциального уравнения вынужденных колебаний, обращающемуся
в нуль вместе со своей первой производной при t = 0. Сделав
замену переменной интегрирования t — | = |ь получим также
t t
= J Ч>, (I,) Q(t- h) dh = ± \ Q (t -1) sin k% dg. A9)
0 0
Рассмотрим, в частности, движение g(t) = ^o(t)t вызывае-
вызываемое действием силы Q, прилагаемой к покоящейся системе в мо-
момент t = 0 и сохраняющей при t > 0 постоянное значение Q= 1.
По A9) находим
B0)
Функция ypo(t) называется реакцией системы на единичное
возмущение или переходной проводимостью. Реакция на единич-
единичный импульс представляет собой производную от переходной
проводимости. Интегрируя A9) по частям, получаем представ-
представление движения через переходную проводимость
t t
Ч @ = \ Q{t -6)*oF)rf?-Q(O)*o(/)+ $ to(DQ' (t-l)dl. B1)

532 ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Полагая Q@)=0, замечая, что ak2 — с, и заменяя
его значением, находим
B2)
Первый член представляет отклонение из положения равнове-
равновесия, которое получила бы система, если бы приложенная на-
нагрузка действовала статически; действительно, отбрасывая в
уравнении движения D) слагаемое q, находим
B3)
второе слагаемое
t
B4)
представляет поправку, которую нужно прибавить к статиче-
статическому отклонению, чтобы получить решение рассматриваемой
динамической задачи. При малом Q'(t)9 т. е. при медленно ме-
меняющейся возмущающей силе, эта поправка будет мала.
Можно получить количественную оценку величины ц. Пусть
Q(t) возрастает монотонно в промежутке времени @, t\)t имея
при t = t\ максимум, а при / > t\ убывает; тогда производная
Q'{t) будет при 0 < t < t\ положительна. Предположим далее,
что в указанном промежутке Q'{t) имеет один максимум и это
максимальное значение равно Q'{tm)< Можно показать, что в
таком случае
[iriKljQ'tfJ, B5)
где т — период свободных колебаний; на доказательстве этой
формулы, принадлежащей А. Н. Крылову, останавливаться не
будем*).
Произведение (\/2)%Q'(tm) представляет собой максималь-
максимальное возможное приращение возмущающей силы за промежуток
времени, равный полупериоду свободных колебаний; обозначая
это произведение через (AQ)max, придадим формуле А. Н. Кры-
Крылова такую выразительную форму:
I Ч |< - (AQ)max. B6)
с
*) См. Крылов А. Н. О некоюрых дифференциальных уравнениях
тематической физики. — М. — Л.; Изд-во АН СССР, 1950, с. 29—30,

§ 182. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 533-
2. Вынужденные колебания при наличии со-
сопротивления. Для составления интеграла уравнения C)
при произвольной правой части Q(t) найдем, следуя методу, из-
изложенному выше, решение соответствующего однородного урав-
уравнения
0 B7)
при следующих начальных условиях:
при / = 0 <7 = 0, <7 = — •
Это решение определяет реакцию ty\(t) рассматриваемой си-
системы на единичный импульс. Ограничившись случаем малого
сопротивления (п < k) и введя для краткости обозначение k\ =
/ найдем
¦ l @=^8111*!/. B8)
Таким образом, решение #@ дифференциального уравнения
C), обращающееся вместе со своей первой производной q при
t = 0 в нуль, будет иметь вид
t t
q (/) = \ Q (I) +1 (/ - I) dl = JL J e-n u-wq {l) sin kl {t _ Q db B9)
о 1 о
Его производная, составляемая по указанному ранее правилу,
будет
t
_L- J e <*> [*, cos As, (/ -1) - n sin A, (/ -1)] Q (|) d|, C0)
0
или
t
±\ C1)
Нетрудно, вычислив вторую производную, непосредственно про-
проверить, что B9) действительно является решением уравнения
C). Чтобы получить общее решение этого уравнения, надо на-
наложить на движение B9), обусловленное действием силы Q(/),~
затухающие свободные колебания q*(t), возникающие вслед-
вследствие сообщения системе начального отклонения q0 и начальной
скорости cjo'
q* = e~nt (<?0 cos kxt + nq* + ^° sin kxt). C2>

534 ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Общее решение дифференциального уравнения C) будет иметь
вид
q = e-nt (до cosk{t + JH*+Jl sin kxt) +
-^'-^ sin k^t-Ddl. C3)
Переходная проводимость tyo(t), т. е. движение, вызываемое
единичной силой, прикладываемой к покоящейся системе, как и
выше, определяется по формуле B0)
о о
Подставив значение iMg) по B8), найдем
cos *i/ + л sin *i0] . C4)
Решение B9) с помощью этой функции переходной проводимо-
проводимости может быть записано в форме B1).
3. Вынужденные колебания при действии си-
синусоидальной силы Q(t)= H sin pt. Здесь этот простей-
простейший случай рассматривается как пример применения получен-
полученных общих формул. Ограничимся случаем отсутствия сопротив-
сопротивления. Интеграл A4) принимает вид
q ^ ~Ж ] sin р^ sin k V ~ ^ d^ =
(t t V
sin kt \ sin pi cos kl dl — cos kt \ sin pi sin Щ dl 1 •
о о ^
Имеем при р Ф k
t
\ sin pi cos &g dl =
— sin (P ~ k) l sin ^ + k)
— 2(o_k) — 2( + k)

§ 182. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 5?5>
тогда как при р = k
г
\ sin k\ cos k\ d\ = -gj- sin2 kt,
t
t
J sin2 kld% = — -^- sin kt cos kt
о
Подстановка в A4) при p Ф k дает
Я = - -wby (т sin kt ~ sin P*);
при р = k находим
q = -J- (sin Л/ — A/ cos «)•
Приводим примеры, иллюстрирующие теорию вынужденных
колебаний, изложенную в §§ 96 и 97 для случая прямолиней-
прямолинейного движения материальной точки. При рассмотрении этих при-
примеров используются общие теоремы динамики и уравнения Ла-
гранжа второго рода. Поэтому они не могли быть помещены
в указанных параграфах.
Пример 158. Виброграф установлен для записи колебаний фундамента
двигателя, происходящих с амплитудой а и частотой р в направлении NN
(рис. 422). Определить вынужденные колебания маятника вибрографа в пред-
предположении, что колебания фундамента являются гармоническими.
Равновесное положение маятника вибрографа устанавливается перпенди-
перпендикулярно к NN. Уравнение движения маятника получим, подставив в правую
часть уравнения свободных колебаний (пример 152 § 176) момент переносной
силы инерции:
/ф + (Qs cos а + с) Ф = wes.
Так как движение фундамента происходит по закону
| = a sin pt,
то
we = I = — аР2 sin PU
и мы получаем
Qs
^ф + (Qs cos a + с) ф = -^— ap2 sin pt.
о
Вынужденные колебания маятника будут
если перо помещено на расстоянии / от оси вращения маятника, то его пере-
перемещение составляет
. - si a sin pt A 1
«Р -V Л' 1 - 6

536
ГЛ. ХХХШ. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
где А — масштабный коэффициент, р — радиус инерции маятника относи*
тельно оси вращения, Ах = (sl/p2)A. Отношение k/p берется весьма малым
(§ 96); амплитуда колебаний фундамента находится поэтому из взятой по
виброграмме амплитуды путем деления последней на множитель Ль Сину-
Синусоида на виброграмме (колебание маятника) сдвинута по фазе на 180° отно-
относительно колебаний платформы, так как частота возмущающей силы превы-
превышает частоту свободных колебаний маятника.
§ 183. Верхняя граница отклонения при ограниченной силе
Во многих вопросах заранее нельзя предсказать закона из-
изменения во времени возмущающей силы, которая может ока-
оказаться приложенной к системе, способной совершать колебания
около положения равновесия, а можно лишь оценить макси-
максимальную величину силы. Важное значение в этих случаях при-
приобретает знание величины, которой не превзойдет при наруше-
нарушении равновесия координата системы. Эту величину можно опре-
определить, оценивая по модулю интеграл B9), в котором следует
принять
C7)
где Qo — максимальное значение силы, а относительно функции
f (t) известно лишь, что
. C8)
Выражение B9) принимает вид
t
q (() = -§- J f (I) e-" <*-« sin ft, (t -1) d%
-1) e-* sin
откуда следует, что
t
Но условию \f(t — i)|< 1; поэтому

§ 183. ОТКЛОНЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕННОЙ СИЛЕ 537
Пусть t = тт/2 + t', где % = 2%jkx и 0 < f < т/2; тогда
при si < t < 2s*X % | sin *!| |== sin /?ig E = 0,1, ...),
при -^г^-т </< E+ 1)т |sin *i6l=- sin 4,6E = 0, 1, ...)
и, следовательно,
t t/2
5
mt/2
J e-«Ssin
(т-1)т/2
mt/2+t'
Дальнейшие вычисления дают
st/2
( 2}Л
sin
тот/2+t'
(-l)w J e-^si
/2
Km ~ p
(s+l)%/2
St/2
), 1,2, ...,
~n// (n sin'?/ + kx
где
Находим
%me~nt
- -^- %me~nt' (n sin Jfe^' + Jfe, cos *,O
Ji
sin k]f + Л] cos ?

538 ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
и, следовательно,
\Ч (t) I < <7ст [l+\zfm+l - lme~nV (cos k/ + ^ sin k/)\, C9)
где qCT = Q0/c (c = ak2)— статическое отклонение под дей-
действием силы, равной по величине максимальному значению дей-
действующей силы. При установившемся режиме (/гс->оо) полу-
получаем
\Ч (О I < fcTjizf- = ?ст cth ^. D0)
При весьма малом сопротивлении ? « 1 —ят/2 =1 —яу,
где v = n/k\9 и выражение, стоящее в правой части неравенства
D0), равно
!i««0,64^?L;
Я V ' V э
при синусоидальной возмущающей силе модуль максимального
отклонения, вычисленный с той же степенью точности относи-
относительно v, как указывалось в § 99, равен 0,5^ct/v (в области ре-
резонанса).
В случае отсутствия сопротивления п = 0 и в правой части
неравенства C9) надо совершить предельный переход
Hm 1 + ^ f = 2m+ 1,
что дает следующую оценку:
к@К<7стBет+1-соз«'). D1)
Подставив значение
получим также
Я @ < 2?ст [| (f -/) + sin2 ^f\. D2)
§ 184. Периодическое решение уравнения
вынужденных колебаний
Решение G6) § 99 в форме бесконечного ряда, относящееся
к случаю произвольной периодической силы, не всегда удобно,
так как ряд Фурье для возмущающей силы Q(t) может схо-
сходиться медленно. Например, если функция Q(t) имеет разрывы
первого рода, то коэффициенты ее ряда Фурье аП1 Ьп убывают
не быстрее чем п~1\ при наличии разрывов первого рода у про-
производной Q(t) сходимость ряда будет порядка гг2. Хотя сходи-

§ 184. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ 539
мость ряда для q(t) в том и другом случаях соответственно
будет порядка п~г и п~4*), исследование решения можно часто
упростить, представив его в замкнутой форме.
Пусть обобщенная сила Q(t) будет периодической функцией
периода т:
T). D3)
Поставим задачу об определении вынужденных колебаний,,
т. е. нахождении имеющего тот же период решения дифферен-
дифференциального уравнения C). Это решение должно удовлетворять
условиям
q(T), D4)
где <7о и q0— значения обобщенной координаты и обобщенной
скорости в некоторый момент, принимаемый за начало отсчета
времени t. Обратно, решение, удовлетворяющее условиям D4),
будет периодическим с периодом т, так как дифференциальное
уравнение движения C) не меняет вида при замене t на t + тг
а начальные условия, согласно D4), также одинаковы для мо-
моментов t = О и t = т. Частный случай этой задачи — нахожде-
нахождение периодического режима движения под действием периоди-
периодически прикладываемых импульсов — рассмотрен в § 97 (при-
(пример 89).
По C3) имеем
<7o cos kxt H—2—г—— sin kxt) +
[t
s\nkxt^Q{Qenbcoskxldl —
о
с 1
— cos kxt \ Q (|) e"Z sin k& dl , D5)
о J
e~nt (— q0 sin kxt + ^" \ nqa cos &!/) +
-^- cos kxt \ Q (I) en* cos kxl dl + sin kxt [ Q A) e<* sin kfc dl .
L 0 0 J
0
q (t) + nq (t)
*) Это следует из таких соображений: в первом случае функция Q(t) и,
следовательно, q(t) разрывны, тогда как q и q непрерывны, так как коорди-
координата всегда изменяется непрерывно и жестких ударов, по предположению,
нет, т. е. скорости также непрерывны; ряд же Фурье для непрерывной со своей
первой производной функции q(t) имеет коэффициенты, убывающие как
п~3; если же q, q, Q(/), т. е. и q(t) непрерывны, то сходимость будет порядка
не ниже чем п~\

$40 ГЛ. ХХХШ. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Подставив значение t = т и обозначив для краткости
j ) S, D6)
о о
запишем условия D4) периодичности решения так:
~ (е** - cos k{x) - Л±+Н±. sin k{X = * (с sin k{x-S cos k{%)9
D7)
q0 sin Jfe^ + -4o + ^° (е™ - cos AitJ—^jj- (C cos ft^+S sin ^)
Из этой системы уравнений находим
_ 1 еп% (С sin кхх - S cos kxx) + S
Я* ~ akx 1 - 2*™ cos Jfe,T + e2rtt '
^o + n<7o t gat (g cos fetT + ^ sin kix) — ^
Подстановка в D5) дает искомое периодическое решение
~ akx \
С [епх sin kx (t + т) — sin kxt] — S [enx cos k{ (t + т) — cos M
. D9)
Полученное выражение определяет движение в интервале вре-
времени @, х). Но, поскольку оно представляет собой периодиче*
скую функцию периода т, достаточно его знать только на протя-
протяжении этого периода; имея график q{t) для 0 ^ t ^ т, можно
повторить его в соседних интервалах (т, 2т), Bт, Зт) и т. д.
Для нахождения периодического решения дифференциаль-
дифференциального уравнения C), имеющего период возмущающей силы Q(t)t
можно было бы, как указывалось в § 97, разложить Q(t) в три-
тригонометрический ряд и получить решение q(t) также в форме
тригонометрического ряда. Просуммировав этот ряд для интер-
интервала времени @, т), мы пришли бы к решению D9). Способ по-
построения периодического решения, излагаемый здесь, позволил
избежать как нахождения разложения Q(t), так и суммирования
ряда для q(i).
Рассмотрим, в частности, случай периодической силы, изме-
изменяющей знак через полупериод т/2:
QCO —Q('+4*)- E0)

§ 184. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ 541
и будем искать решение дифференциального уравнения вынуж-
вынужденных колебаний, также меняющее знак по истечении полу-
полупериода; условия D4) перепишем в виде
<7о--?(!). *o--*(y). E1)
Подставив в этом случае в D5) значение t = т/2, получим
вместо D7) систему уравнений
cos *?) + &+&L sin ^L =
= - JL (C, sin 41 - Sl cos 4е") • E2)
- ?0 sin ^ + 4^L (e«x/2 + cos AL) _
—-зг(с'«»¦?¦+5i •«»¦?•).
где
Т/2 т/2
C, = J Q (I) ^ cos kxl dS, S, = J Q (g) ^ sin ЛЛ dl. E3)
Из E2) получим значения q0 и 4о + л<7о и после подстановки
в D5) искомое периодическое решение для интервала времени
(О,т/2):
еп%12 cos ki (t + т/2) + cos kxt
{s
akx \ l 1 + 2enx/2cos
enx/2 sin
1 1 + 2enxl2 cos
Решение E4) должно быть продолжено нечетным образом в ин-
интервал времени (т/2, т)
*Т (бб)
и далее, как указано выше, определено по условию периодич-
периодичности в интервалах (т, 2т), Bт, Зт) и т. д.
Полученные выражения значительно упрощаются, если пе-
период возмущающей силы т оказывается равным периоду сво-
свободных колебаний х\ = 2п/к\. Так, в случае силы, меняющей

542 ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
знак через полупериод, по E4) получим
Я (t) = ~- [- j^j (Sx cos kJ-Cx sin kxt) +
\ E6)
где, как и выше, ? = e~nXlf2.
Выражения q{t) значительно упрощаются и в случае отсуг*
ствия сопротивления. Так, полагая в D9) /г = 0, получаем
1 - 2ak sin (*г/2) [С «»* (' + ?) + * si" fe(^ + 1)] +
E7)
причем и в выражениях С и S надо принять п = 0. Если же сила
через полупериод меняет знак, то по F5) придем к выражению
' cos А (/ +1) - С, sin k (t +1
E8)
Наличие в знаменателе выражения E7) множителя sin(&t/2),
обращающегося в нуль при k% = 2я5 (s — целое число), указы-
указывает на возможность резонанса при равенстве частоты свобод-
свободных колебаний целому кратному частоты возмущающей силы.
Знаменатель выражения E8) обращается в нуль при kx =
= Bs+ 1Jя, т. е. при равенстве частоты свободных колебаний
нечетному кратному частоты возмущающей силы; это объяс*
няется тем, что в разложении в тригонометрический ряд функ-
функции, меняющей знак через полупериод, гармоники четного по-
порядка отсутствуют.
Пример 159. Рассмотреть колебания системы, вызванные действием воз*
мущающей силы, меняющейся по закону выпрямленной синусоиды
Q (t) =: Qo | sin at | E9)
и имеющие период этой силы. Частота свободных колебаний системы равна А.
Сопротивлением пренебрегаем.

§ 184. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
543
График изменения силы дан на рис. 443; ее частота равна 2со. Вычисляем
величины S и С:
Qo
sin ®l sin
0
я/со
По E7) получим
где
coQo
02 _ k
Sin
&Я .Л k2 sin cof "I
g ©" C0S J "~ co2-Aj2 J'
Qo Qo
Резонанс имеет место при &я/Bсо), равном целому кратному я, т. е. при
со = /г/2, &/4, &/6 и т. д. (частота свободных колебаний k равна целому крат-
кратному частоты 2со возмущающей силы). При © = k выражение для q имеет
неопределенный вид. Раскрыв неопреде-
неопределенность, найдем
= jqcT [sin kt + (--¦ — Atf J
Рис. 443.
(J cos fcf
Наличие множителя &? вне знака три-
тригонометрической функции не служит при-
признаком резонанса, так как полученное
выражение имеет место лишь при /=^л;/@,
т. е. множитель Ы не превосходит я.
График q при со = k построен на рис. 444. Вычисления произведены для
интервала @, я/со), и построенный график продолжен по свойству периодич-
периодичности функции q(t) в соседние илтервалы.
т
0,75
0,5
0,15
яг
Рис. 444.
гп
В случае к = 3,5со для 0
49
t ^ я/со получим
sin
Рис. 445.
г, . п\~\
,5о?)^ —— JJ.
*ltr
По этому уравнению построен на рис. 445 график q(t). Максимальная орди-
ордината (при со? = я/2) равна
6" V + 7/ ?31

544 ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
Отметим, что q(t) и его производная являются непрерывными функция-
функциями /.
Пример 160. Математическому маятнику массы т и длиной / в мо-
моменты прохождения им равновесного положения сообщаются импульсы оди-
одинаковой величины /, направленные каждый раз в сторону движения маятника
(схема часов со спусковым механизмом). Определить движение маятника в
установившемся режиме.
Рассмотрим сначала задачу о нахождении установившегося движения
маятника под действием периодически сообщаемых с периодом т импульсов,
причем за каждый период сообщается два импульса противоположного на-
направления: один в начале периода, другой — по истечении полупериода. Речь
идет, таким образом, о нахождении периодического решения дифференциала
ного уравнения
Здесь Q(t)—периодическая (с периодом т) функция времени, представляю*
щая момент внешней силы относительно оси подвеса. В случае импульса еле*
дует принять
' Ъ при 0</<А/,
при At <t < т/2
и в результатах вычисления по формулам E3) и E4) сделать предельный
переход
lim
Получаем
и подстановка
(Г)
t
^ enlQ (I) sin
0
в выражение E4)
Ie~nt s\nkxt +
= //,
bi(t-
при 0
Si sin
-i
<
) d\ = // sin
/ < т/2 дает
(t - т/2)
Г F0)
mlkx \+2l{kxl2) + l\ '
При / = 0, т. е. в момент сообщения импульса, направленного в сторону воз-
возрастания ф, получим
Ч Щ1Ь sin
mlkx I + 2Ci cos (Л,т/2) + С?
Выражение ф(т/2), соответствующее моменту сообщения импульса противо-
противоположного направления, как следует из F0), будет иметь противоположный
знак. Если импульсы сообщаются в момент прохождения маятником положе-
положения равновесия, то фо = 0 и &it/2 = я, т. е. частота импульсов должна рав-
равняться частоте свободных колебаний маятника; это и осуществляется в схеме
часов, если механизм спуска срабатывает каждый раз при прохождении сред-
среднего положения. При такой частоте импульсов выражения ф и ф принимают
вид
Ie~nt sin kxx . Ie'nt [cos kxi - (n/ki) sin kxt] ,лоч
•-ф ww^T m

• § 184. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ 545
откуда следует, что в момент t = +0, следующий за сообщением импульса,
направленного в сторону возрастания угла <р, значение угловой скорости бу-
будет
W=?r F3)
Значение ф в момент t = т/2 — 0, предшествующий сообщению очередного им*
пульса противоположного направления, найдем, подставив в F2) значение / =
«= т/2:
&)—ШтЫ- {64)
Сообщение указанного очередного импульса изменяет угловую скорость на ве«
личину —//(т/); получаем
что и должно быть: значения ф и ф в моменты, следующие за сообщением
двух последовательных импульсов, имеют одинаковые численные значения и
противоположные знаки. Поэтому, продолжив решение F2) в интервал (т/2г
т) нечетным образом, действительно придем к искомому периодическому ре-
решению, представляющему установившееся движение маятника.
Максимальное отклонение маятника от положения равновесия имеет ме-
место в момент времени
где значение арктангенса берется в первой четверти, а также в моменты, от*
личающиеся от tm на целое число полупериодов т/2. Соответствующие значе-
значения ф будут
_ 1е~П m sin arctg (kiln)
фтах kxml(\-t) '
откуда, замечая, что при указанном определении арктангенса
. ki ki
sin arctg —- e=a -—
n к
получим
-Е)' {65)
Полученное решение соответствует периодическому, а отнюдь не затухаю*
щему движению, как это могло бы показаться по внешнему виду формул
F2), так как эти формулы пригодны для нахождения движения только при
О < / < т/2; зная последнее, можно, как было указано выше, найти ф при
любом значении t.
Решение F2) является некоторым частным решением, удовлетворяющим
определенным начальным условиям, а именно тем, которые были указаны вы-
выше. При других начальных условиях мы получили бы решение, неограниченно
приближающееся после каждого размаха маятника к установившемуся ре-
режиму. Таким образом, всякий как угодно начинающийся процесс движения
в рассматриваемой системе (схеме часов со спусковым механизмом) приво-
приводится к периодическому режиму. Подобные устанавливающиеся периодические
движения, которые могут возникнуть при наличии внешнего источника энергии,
18 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

546
ГЛ. XXXIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
называются автоколебательными движениями. Внешняя сила (импульсы)
здесь отнюдь не является заданной функцией времени, так как импульсы со-
сообщаются не через определенные промежутки времени, а при прохождении
движущимся телом определенного положения (ф = 0); эти «силы» следует
считать поэтому функциями положения: при всяком ф ф 0 они отсутствуют и
действуют только при ф = 0.
На фазовой плоскости (ф, ф) рассматриваемому установившемуся перио-
периодическому движению соответствует замкнутая траектория (предельный цикл)
Л10Л11Л11М0, представленная на рис. 446.
Она состоит из участков спиралей
МЬМ{, MiMj и отрезков оси ординат М{МХ
и M0Mj. Уравнение спирали MqM^ полу-
получим, исключив время из соотношений F2)
способом, указанным в § 177. Ордината
точки Mi по F3) и F4) равна произведе-
произведению ординаты точки Мо на множитель
? <С 1. Движению по участку MoMi соот-
соответствуют интервалы времени @, т/2 —0),
(т -\- 0, Зт/2 — 0) и т. д. Участок спирали
м[М^ расположен симметрично участку
M0Mi относительно начала координат; дви-
движение по М{М0 происходит в течение ин-
интервалов времени (т/2 + 0, т — 0), (Зт/2+0,
2т —0) и т. д. Переходам изображающей
точки по отрезку оси ординат М'до0 соот-
соответствуют разрывы угловой скорости на
величину //(т/), вызванные сообщением импульсов в моменты 0, т, 2т и т. д.;
импульсам противоположного знака, прикладываемым в моменты т/2, Зт/2
и т. д., отвечает мгновенный переход изображающей точки по отрезку М{м\.
Если сообщить покоящемуся маятнику скорость и начальное отклонение,
соответствующие точке, расположенной на замкнутой фазовой траектории, то
при действии импульсов, прикладываемых при прохождении положения ф=0,
сразу же возникает описанное автоколебательное движение. При всяких дру-
других начальных условиях фазовая траектория асимптотически приближается
к построенной замкнутой траектории, навиваясь на нее изнутри или извне; эта
незамкнутая траектория состоит из бесчисленного множества отрезков спира-
спиралей, претерпевающих разрывы непрерывности (указанных выше величины и
знака) при пересечении с осью ординат.
Рис. 446.

Глава XXXIV
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 185. Дифференциальные уравнения свободных колебаний
Рассмотрим консервативную динамическую систему, подчи-
подчиненную стационарным голономным связям и имеющую две сте-
степени свободы; независимые обобщенные координаты системы
обозначим через q\ и </2-
Поскольку связи стационарны, кинетическая энергия си-
системы является однородной квадратичной формой обобщенных
скоростей (§ 159):
± A)
Коэффициенты Aik являются функциями от координат q\> q2. Не
нарушая общности, можно принять, что обобщенные координаты
отсчитываются от того положения равновесия, около которого
происходит рассматриваемое движение, т. е. в этом положении
равновесия q\ = 0 и q2 = 0. Так как в дальнейшем рассматри-
рассматриваются только весьма малые движения, то в разложении коэф-
коэффициентов Aik(q\,q2) в ряд по степеням qu #2 можно ограничи-
ограничиваться только постоянным слагаемым:
Aik (<7ь q2) = Aik @, 0) + {^\ qx + (^-\ q2 + ... ~ Aik @,0),
где /, k=l, 2. Положим для упрощения записи Aik{0,0) =
с= Qih = ®ki, получим
Обозначая через U(qi,q2) потенциальную энергию системы
и разлагая выражение ее в ряд Тейлора, находим
18*

548 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Потенциальную энергию системы в положении равновесия
можно без ущерба для общности считать равной нулю: П @, 0) =
= 0. Кроме того,
так как значениям обобщенных координат, равным нулю, соот-
соответствует положение равновесия, а в последнем обобщенные
силы
обращаются в нуль. Для упрощения записи обозначим далее
/ д2П \ ( д2П \
I "ГГ I =а=С1Ь IT " I =^12 = ^21»
и примем, что эти коэффициенты не обращаются все в нуль;
пренебрегая в разложении C) слагаемыми выше второго по-
порядка, получаем
C^^ + 2c?? + Wl) D)
Постоянные aik и cik называются соответственно инерцион-
инерционными и квазиупругими коэффициентами. Напомним, что функ-
функция, обращающаяся в нуль только в том случае, когда все не-
независимые переменные равны нулю, и сохраняющая знак при
любых вещественных значениях переменных, заключенных в не-
некоторой области, называется знакоопределенной. Кинетическая
энергия представляет пример знакоопределенной положительной
однородной квадратичной формы обобщенных скоростей. Точно
так же в области минимума, которому, согласно теореме Ла-
гранжа (§ 147), соответствует положение устойчивого равнове-
равновесия, потенциальная энергия представляет знакоопределенную
положительную функцию обобщенных координат; в случае ма-
малых движений она аппроксимируется квадратичной формой D).
Составим уравнения малых колебаний системы около поло-
положения устойчивого равновесия. Так как коэффициенты а*& по-
постоянны, то
1^ = 0, (/=1,2).
Далее имеем
d дТ ..... d ОТ
гж==а11'71+а12'/2' -dnfc^

§ 185. УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 549
причем, как было указано,
a{2 — a2U Ci2==c2{. E)
Дифференциальные уравнения движения принимают вид
cnq{ + cl2q2 = 0,
^2\й\ + c22q2 — 0.
Помимо условий E), коэффициенты уравнений F) должны
удовлетворять еще некоторым неравенствам, вытекающим из
свойства положительной знакоопределенности квадратичных
форм B) и D). Чтобы найти эти неравенства, заметим, что
квадратичную форму двух переменных
можно (предполагая f22 Ф 0) представить в виде
f ~ "fa [(^12*1 "Ь h2X2f + {f\J 22 ~" /?2) Х
откуда следует, что / будет определенной формой того же знака,
что и /22, при условии положительности дискриминанта формы
5" !12 -лл,-ри>о. (?)
Г21 /22 П ll U Ч '
Если же D <С 0, то / изменит знак, обратившись в нуль при
/12*1 + /22*2 = ± Х\ V~~ D- Наконец, при D = 0 форма будет
знакопостоянной положительной, но не знакоопределенной: она
обратится в нуль при f\2x\ + /22*2 = 0, а не только при равных
одновременно нулю х\ и х2. Итак, f будет формой положитель-
положительной знакоопределенной, если выполняются условия
Из условий (8) следует, что для положительной знакоопре-
знакоопределенной формы также
fn>0. (9)
Коэффициенты aik в выражении кинетической энергии должны
удовлетворять поэтому соотношениям
аи>0, л22>0, aufl22 — а?2 > °- 0°)
Предполагая еще, что рассматриваемые малые движения со-
совершаются в области минимума потенциальной энергии, т. е.
около положения устойчивого равновесия, имеем также
11 ^ » 22 ^ у 11 22 — 12 "^ ^ '

550 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 186. Интегрирование уравнений
свободных колебаний
Будем искать частное решение уравнений F) в виде
qx = Ах sin (kt + a), q2 = А2 sin (kt + а), A2)
т. е. примем, что координаты q\ и q2 совершают гармонические
колебания одинаковой частоты k и одинаковой или прямо про-
противоположной (если знаки Ах и А2 различны) фазы, отличаю-
отличающиеся друг от друга только амплитудами. Подставляя A2)
в F) и отбрасывая одинаковый для всех членов множитель
sin(/^-+a), получаем
Ах (схх — k2axx) + А2 (с12 — k2al2) = 0,
Ах {с2Х — k2a2X) + А2 (с22 — к2а22) = 0.
Эта система двух линейных однородных уравнений имее?г
крооде тривиального решения Ах = 0, Л2 = 0, другие решения,
если отношения А\: Л2, вычисленные из первого и второго урав-
уравнений A3), равны друг другу, т. е. если
отсюда следует
A (k2) = (cu - k2an) (с22 - k2a22) - (с12 - k2ai2f = О A5>
или
(«п«22 - в?а) *4 - («пс22 + а22сп - 2а1яе1я) /?2 +
+ (^22-^2) = 0. A6>
Условие A5) можно было бы получить и иначе, а именно по-
потребовав, чтобы 1>ри существовании отличных от нуля решений
Системы A3) определитель из ее коэффициентов обратился в
нуль:
д(&2)= Сп~~ и9ап С{2~~ и0п12 =0.
х С2\ — №аъ\ С22 — А^Ягг |
При выполнении условия A5) одно из уравнений A3) яв-
является следствием другого, т. е. каждое из этих уравнений мо-
может служить для определения отношения Ах: Л2, тогда как одно
из неизвестных А\ или А2 остается неопределенным.
Уравнение A5), определяющее возможные частоты к, носит
название характеристического или частотного уравнения. Обо-
Обозначим корни этого уравнения в порядке их возрастания через
k\ и kl(k\<kf). Важно убедиться, что эти корни положитель-
положительны. Если бы оба корня (или один из них) оказались отрица-
отрицательными, или комплексными, то k\ и k2 (или один из них) были

§ 186. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 551
¦бы мнимыми или комплексными. Соответствующее решение
A2), содержащее гиперболические функции времени, при до-
достаточно большом t, вообще говоря, возрастало бы неограни-
неограниченно, что противоречит предположению об устойчивости со-
состояния равновесия, около которого рассматриваются малые
колебания. Обратно, принимая, что движение происходит в об-
области минимума потенциальной энергии, нетрудно показать, что
k\ и k\ положительны.
Имеем *)
последнее условие является следствием того, что при достаточно
большом k2 знак A(k2) определяется знаком коэффициента
(ana22~ai2) ПРИ ^4> который, согласно A0), положителен.
Пусть С\\/а\\ < с22/а22, причем по A0) и A1) эти величины
положительны. Переписав соотношения A7) в виде таблицы
ft2
Д(*2)
+
0
+
аи
—
а22
—
СО
+
убеждаемся, что уравнение A5) имеет два положительных
корня k\ и k\, лежащих в интервалах
О < k\"^——, —^-^^2<+оо. A8)
Взяв один из корней, например k\9 найдем из A4) соответ-
соответствующее значение отношения А\: Л г:
и2^ с __ ^2Д
A9)
^22
сп — k\axx
где верхние индексы A) и B) соответствуют номерам корней.
Можно поэтому принять
B > = -
B0)
*) Случай ^11^22 — ^12 = 0» когда один из корней обращается в нуль, и
случай кратных корней, когда Д(си/ац) и Л(с22/а22) одновременно равны нулю,
будут рассмотрены ниже.

552 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
где С\ — произвольная постоянная. Конечно, вместо B0) можно
было бы написать
Л'/' = — С[ (ci2 - /eiai2), A2l)=* C[ (cn — -
Обозначая через ai фазу, соответствующую частоте k\, на осно-
основании формул A2) получаем
Я[1) = С1 (С22 — *1«22) Sin (klf + ai)>
92i) = — С, (с21 - k\a2l) sin (Л/ + a,), B1*
т. е.
B2>
Эти формулы определяют первое главное колебание. Если
система совершает первое главное колебание, то обе координаты
ее колеблются по гармоническому закону, имея одинаковые час-
частоты и одинаковые или, прямо противоположные фазы, т. е. од-
одновременно приходя в положение равновесия, одновременно до-
достигая максимальных отклонений от него и г. д.; амплитуды
колебаний той и другой координаты находятся при этом в опре-
определенном отношении pi, не зависящем от начальных условий.
Корню kt (частоте ?г) соответствует второе главное колеба-
колебание системы, определяемое формулами
qf - - С, (с12 - k\an) sin (V + <*2),
qf = С2 (с„ - kpn) sin (V + «2), B3)
причем отношение амплитуд колебаний той и другой коорди-
координаты будет
Л(!2) с12 - k\al2 с22 — k\a22 а
ЛB) 72 72 Н2
А2> cn-k2an c2l-k2a2X
и, следовательно,
^2)==М22). B5)
Формулы B1) и B3) определяют две системы частных реше-
решений дифференциальных уравнений F), содержащие каждая по
две произвольные постоянные (С\, а\ и Сг, о&г). В силу линей-
линейности этих уравнений их общее решение, содержащее четыре
произвольные постоянные, получим, складывая частные ре-
решения:
С, (с^ - k\a22) sin (fy + а,) - С2 (с12 - А|а12) sin (k2t + а2),
— С\ (С21 — k\a2\) Sln {klf + ttl) + C2 (Cll — ЩРп) Sin

§ 186. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 553
Произвольные постоянные должны быть определены из на-
начальных условий: при t = О задаются значения обобщенных
координат и скоростей
<7l=<7lO> ?2 = ?20, tfl^lO, ^2 = ^20- B7)
Из общего решения B6) следует, что каждая из координат
совершает колебательное движение, которое является резуль-
результатом наложения главных колебаний различных частот k\ и кг-
Так как k\ и k2> вообще говоря, несоизмеримы, движение это
не будет периодическим. Введение главных колебаний допускает
возможность представления движения системы в виде суммы
простых гармонических движений — главных колебаний.
Если бы коэффициенты а\2 и с\2 были равны нулю, то си*
стема совместных дифференциальных уравнений F) распалась
бы на два независимых уравнения:
au<7i + Cn<7i = O, a22q2 + c22q2 == 0. B8)
Поэтому а 12 и си иногда называют коэффициентами связи
между избранными координатами q\ и q2\ выражения
F {29)
представляют частоты свободных колебаний координат q\ и q2
при отсутствии связи между последними; они называются пар-
парциальными частотами. Согласно A8) первое главное колебание
происходит с частотой меньшей, чем меньшая из парциальных
частот, а второе — с частотой большей, чем большая парциаль-
парциальная. Числа pi и рг, связывающие координаты q\ и q2 при глав-
главных колебаниях системы, называются коэффициентами форм
этих колебаний.
Определим траектории точек системы. Пусть г = r(q\, q2)~*
вектор-радиус какой-либо точки. В разложении его в ряд Тей-
Тейлора в случае весьма малых колебаний можно ограничиться
членами первого порядка:
'-•»-(?•).¦-+(¦?¦).*• C0)
где г0 соответствует положению равновесия. При произвольных
qx и q2 уравнение C0) представляет плоскость, проходящую
через точку с вектор-радиусом г0 (положение равновесия) пер-
перпендикулярно к вектору no = (dr/dqi)oyi(dr/dq2)o. Отсюда сле-
следует, что в случае весьма малых движений траектории точек
системы, имеющей две степени свободы, представляют собой
плоские кривые.

554 ГЛ. XXXIV КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Заменяя qx и q2 суммой главных колебаний, получаем, со-
согласно B6),
?) +
где Di и D2 — другие обозначения для произвольных постоянных
интегрирования. Траектории точек системы представляют пло-
плоские кривые Лиссажу (§ 41). В том частном случае, когда си-
система совершает одно из главных колебаний, точки ее описы-
описывают весьма малые участки прямолинейных траекторий. Если^
например, D2 = О, то система совершает первое главное коле*
бание. Уравнения траектории в проекциях на оси будут
х — Хр у — г/о = z — Zq
C2>
Остается еще рассмотреть два случая, исключенных в только
что приведенном общем исследовании.
1. Характеристическое уравнение имеет рав-
равны е к о р н и. Это будет иметь место при условиях
т. е. при выполнении равенств
-?!*-«-?!*-:=.??. C3)
«11 «12 С22
Обозначая через k2 общее значение этих отношений, получаем
и уравнения движения можно представить в виде
flu (<7i + *2<7i) + flw (§2 + k2q2) = 0,
«2i (?i + k2qx) + a22 (§2 + k2q2) = 0.
Так как определитель aua22 — a\2^09 то из этих уравнений
находим
^O + ^ = 0, C4>
и, следовательно,
qx шж Ах sin {kt + ty), q2 — A2 sin (kt + a^). (Щ

§ 186. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 555
Обеим координатам соответствуют гармонические колебания
одинаковой частоты
k =
Амплитуды и фазы колебаний каждой из координат опреде-
определяются по начальным условиям независимо друг от друга.
Подставляя C5) в уравнение C0), получаем
sin (kt + a{) + Л2 (-%-) sin(&/ + a2), C6)
что можно также представить в виде
г — r0 = A sin kt + / cos kt, C7)
где h и I — постоянные векторы. Проектируя на оси хну, рас-
расположенные в плоскости траектории, получаем
х —- лг0 = hx sin kt + /* cos kt, у — yo = hy sin kt + ly cos kt, C8)
откуда следует, что траекториями точек системы в этом случае
являются эллипсы (§ 41).
2. Один из корней характеристического урав-
уравнения равен нулю. Это будет по A6) иметь место при
условии
Q Q С2 =0,
Выражение потенциальной энергии может быть в таком слу-
случае приведено к виду
т. е. потенциальная энергия представляет не знакоопределенную,
а знакопостоянную функцию обобщенных координат. Равнове-
Равновесие, в области которого рассматривается движение, в этом слу-
случае нельзя считать устойчивым.
Введем новую обобщенную координату
Я\ =
Вследствие линейности и однородности этого преобразования
кинетическая энергия остается однородной квадратичной
функцией обобщенных скоростей qx и q2:
|^ ^ П = }^ C9)
причем коэффициенты aik выражаются через ащ и с^; уравне-
уравнения движения будут (отбрасываем теперь для упрощения записи

Б56 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
черточки над буквами)
апЧ\ + апй2 + ?1 = 0,
Исключив $2, получим
или
<7i + &2<7i = O, 62 = 22-г. D1)
а11а22 — а12
причем А2, согласно A0), положительно. Из D1) находим
ql=Asin{kt + a). D2)
Интегрируя второе уравнение D0), находим теперь
<72 = - -g- <7i + Cxt + С2 = --^Л sin (« + a) + C{t + C2. D3)
Рассматриваемый случай имеет место, если выражение по-
потенциальной энергии не содержит координаты q2. Положение
равновесия в этом случае определяется значением координаты
т т #1 = 0, тогда как q2 может иметь
^1— А А Л—Н в этом положении любое значе-
„\^^)С^Са.А,Л..., у ние — в отношении q2 равновесие
^^ является безразличным.
*~xt *~®i Примером может служить си-
Рис. 447. стема двух грузов масс т\ и т2у
связанных упругой пружиной
жесткости с и способных скользить по гладкой горизонтальной
плоскости (рис. 447). Потенциальная энергия системы состав-
ляет
где х\ и х% — абсциссы грузов, отсчитываемые от некоторого
равновесного положения их, в котором пружина имеет свою на-
натуральную длину. Это равновесие является безразличным, так
как оно не нарушается при любом смещении грузов, при кото-
котором разность х\ — х2 равна нулю.
Введем обобщенные координаты:
Ях-хх-хъ q2-
(здесь #2 — абсцисса центра масс грузов). Имеем

§ 186 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИИ 557
и выражение кинетической энергии принимает вид
Уравнение движения будут
откуда в соответствии с D2) и D3) получаем
т. е. движение представляет собой гармоническое колебание, при
котором грузы сближаются и удаляются друг от друга и на ко-
которое может накладываться
равномерное и прямолинейное
движение центра масс систе- ^р|^ с ^Ri^r
МЫ. Ц7Х \
Аналогичный пример — си-
система двух дисков, насажен-
насаженных на способный скручивать-
скручиваться невесомый упругий вал, по- Рис. 448.
мешенный в гладкие подшип-
подшипники (рис, 448). Разность cpi — ф2 углов поворота вала в сече
ниях, в которых расположены диски, колеблется по гармониче
скому закону с частотой
где /i и /г — моменты инерции дисков относительно оси валя,
а с — жесткость вала на кручение. На это колебание дисков мо-
может накладываться их равномерное вращение, при котором мо-
момент количеств движения системы относительно оси вала сохра-
сохраняет неизменную величину.
Пример 161. Определить частоты и формы свободных вертикальных ко-
колебаний двух грузов масс тх и т2, подвешенных на пружинах с жесткостями
С\ и с2. Схема системы представлена на рис. 449, а; массой пружин пренебре-
пренебрегаем.
За обобщенные координаты примем абсолютные вертикальные смещения
грузов Х\ и Х2 из положения равновесия. Кинетическая энергия системы имеет
выражение
Потенциальная энергия равна сумме потенциальной энергии силы тяжести
IIi и потенциальной энергии сил упругости Пи Имеем

558
ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Переходя к вычислению Пи, обозначим через /^ и ff* удлинения пружин в
положении равновесия, а через fi и f2 — их удлинения в произвольный момент
движения. Очевидно, что
и, следовательно,
Пи - T ("if? + «
»--?- (m, + щ)g, fg = -?¦
\ f«,
- Xif]
0 +
Два последних постоянных члена, представляющих п©тенциальную энергию
сил упругости в положении равновесия, могут быть отброшены. Находим
П = 1
с2 (х2 - ^!J] +
но по определению /^ и f(c2jl линейные члены сокращаются, и мы получаем
П
С2Х22 -
Дифференциальные уравнения движения системы будут
/иЛ + <?!*! + ^2 (xi — х2) = 0, m2i2 + с2 (х2 — a:i) = 0.
Эти уравнения можно было бы также составить, записав закон движения
каждого груза с учетом того, что при отклонении грузов из положения равно*
1-е глдднов 1-е главное
шеШие ноле&янив
Рис. 449.
весия на них действуют реакции пружин, пропорциональные их удлинениям
из этого положения (на первый груз действуют реакции обеих пружин). Силы
тяжести не входят в уравнения движения, так как Х\ и х2 отсчитываются от
положения равновесия, в котором начальные натяжения пружин уравновеши-
уравновешивают веса грузов.

186. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
659
Сравнивая с общими уравнениями F), получаем
ац=/Пь 012 = 0, «22 = ^2,
с\\ = ^1 + С2, С\г = — С2у С22 = С2,
и характеристическое уравнение A5) будет
д (/г2) = (Cl + с2 — k2m{) {с2 — k2m2) — с\ = 0.
Раскрывая скобки и вводя обозначения
с\ + Сч = М2 ^?2_ j
приведем характеристическое уравнение к виду
Ct
¦ rt^ = 0;
п\ и «2 представляют собой парциальные частоты; это частоты свободных
колебаний первого и второго грузов при неподвижных соответственно втором,
и первом грузах.
Введя обозначение
находим квадраты частот главных коле-
колебаний:
IV
*?=|
Пусть п\ < п2; при отсутствии связи,
т. е. при к = 0, получаем &i = /гь ^2 = «2J
при 0 < к < 1, согласно A8), имеем
?i < ^ь &2 > ^г; при х == 1 будет ki = О,
Если же пч < «ь то при к = 0 &1=
= «Г. при 0 < ус < 1 #1 < п2, &г >
0, ^2 = д//г2 + /г|
}
//
/ У
/ /
•———¦
¦ ——
/\
\ \
''А
/
-А
~\
Ч
\%о
\0,8
W
№
п о
Г
\о
,2
0,4
0,6
0,8
^0_
1 1
Рис. 450.
при х = 1 kx д
На рис. 4€0 приведено семейство кривых, служащих для определения ча-
частот k\ и k2\ по оси абсцисс отложен квадрат отношения парциальных частот
->-(%)'¦
а по оси ординат
сплошные линии дают низшую частоту ku штриховые — высшую частоту k2;
отдельные кривые семейства соответствуют различным значениям и.

560 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Пусть, например,
п2 = 1,5 и « = 0,4.
Из графиков находим
kl !|
т. е.
По формулам A9) и B4) определяем коэффициенты форм главных колеба-
колебаний:
1 — -^1/^1
из рис. 450 сразу следует, что
Pi>0, р2<0.
Согласно формуле B2) знаки Х\ и х2 в первом главном колебании одина*
ковы, т. е. грузы движутся в одну сторону; во втором главном колебании по
формуле B5) знаки различны, т. е. грузы движутся в противоположные сто-
стороны.
Диаграмма, изображающая перемещения при главных колебаниях, дана
на рис. 449, б и в; во втором главном колебании (рис. 449, в) (высшей ча-
частоты) на второй пружине имеется узловая точка С, остающаяся неподвиж-
неподвижной при колебаниях грузов.
§ 187. Главные координаты
Выше указывалось, что при обращении в нуль коэффициен-
коэффициентов а\2 и с 12 при произведениях переменных в выражениях B)
и D) кинетической и потенциальной энергии система дифферен-
дифференциальных уравнений F) распадается на два независимых урав-
уравнения B8). Поэтому возникает задача: найти такое линейное
однородное преобразование переменных q\ и q<i к новым пере-
переменным 9i и 0*2
Ч\ = Pl©l + Р292> 42 = <*101 + «202, D4)
чтобы указанные выражения кинетической и потенциальной
энергии в результате этого преобразования одновременно при-
приводились к виду
T=j(ai&x + aM), U*=j(ciB2i + c&)9 D5)
в котором произведения переменных отсутствуют. Если такие
координаты будут найдены, то уравнения движения для коорди-
координат 0i и 02 примут вид
0101 + cfi{ = 0, а2в2 + с2в2 = 0, D6)
и решение задачи о колебаниях системы с двумя степенями сво-
свободы упростится.

§ 187. ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ 561
Искомое преобразование D4) однородно, так как в положе-
положении равновесия и старые (<7ь ?г) и новые @ь 0г) обобщенные
координаты должны обращаться в нуль. Не нарушая общности,
можно принять ai = аг = 1. Действительно, обозначим afi{=z
= 8i и О292 = 92; очевидно, что если в выражениях Т и П через
0i и 02 отсутствуют произведения этих переменных, то они не
появятся и при переходе к координатам 0i и 02. Итак, вместо
D4) рассмотрим преобразование
D7)
Вопрос сводится к определению коэффициентов Pi и рг. Под-
Подстановка в B) дает
т = т МРА+ФУ + 2«12 (РА+РА) (ё,+e2)+a22 (в1+ё2J]=
a22) e? + 2 [aup,p2 + a12 (p, + P2) + a
22]
и аналогично
П {(cp2
p2)
Чтобы эти выражения приняли вид D5), остается подчинить
Pi и Рг условиям
+ «12 (Pi + Рг) + «22 = О,
Коэффициенты at и ci в выражениях D5) при этом будут (i —
= 1,2) _
Они положительны, так как а? можно рассматривать как ре-
результат замены qx и q2 в выражении удвоенной кинетической
энергии соответственно на Р/ и 1:
точно так же, полагая ^i === р/, 92 = 1 в выражении П(9ь 9г)>
можно написать
Но Т и П по условию положительны при любых вещественных
значениях аргументов, вещественность же чисел р, будет ниже
доказана-

562 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Возвращаясь к системе уравнений D8), предположим, что ее
определитель отличен от нуля:
ацС12 — спап Ф О, E0)
и определим сумму и произведение коэффициентов Pi и р2:
о I о gllg22 —
аис12-сиа12 '
Теперь Pi и Рг можно найти как корни квадратного уравнения
эти корни вещественны, так как дискриминант уравнения E2)
D = {спа22 — с22апJ — 4 (аас12 — спа12) {с22ап — с12а22) E3)
тот же, что и уравнения A6), определяющего квадраты частот
главных колебаний. После того как pi и Рг определены, по фор-
формулам D9) находятся at и Си Из уравнений движения D6) да-
далее получим
Q{ = С! sin (k{t + а{), 62 =« С2 sin {k2t + a2)y E4)
где С,- и at (i = 1, 2) — произвольные постоянные, а частоты ki
и &2 определяются из формул
P + 2a12pj + аи
2 E5)
Ь ая «с
2 «2 allP2 + 2^12^2 + ^22
Величины ^1 и k2 представляют собой частоты главных коле-
колебаний системы, которые выше были определены из характери-
характеристического уравнения A5). Это следует из того, что физические
постоянные системы, в данном случае частоты ее главных коле-
колебаний, не могут зависеть от выбора координат, при помощи ко-
которых описывается движение; можно это проверить также непо-
непосредственным вычислением*).
Каждая из координат 6i и 82, называемых главными коор-
координатами, совершает колебание по гармоническому закону
с частотой соответствующего главного колебания. Колебание
каждой из главных координат происходит независимо от коле-
колебания другой координаты; это следует из того, что задание
начального значения координаты 8i и соответствующей обоб-
обобщенной скорости 8i определяет константы С\ и он в выражении
*) В курсе высшей алгебры доказывается, что корни характеристичен
ского уравнения не изменяются при любом линейном однородном преобразо*
вании переменных qx и q*

§ 187. ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ 563
этой координаты и не влияет на значение 02, и наоборот. До-
Допустим, что при / = О 02 = 0 и 02 = 0; тогда 02 = 0 во все
время движения. Обращаясь к формулам D7), получаем
Я\ = РА = PA sin (&,/ + ах)9 q2 = 0! == Сх sin (kxt + ax)t E6)
иными словами, при изменении первой главной координаты
система совершает первое главное колебание (§ 186). Точно
так же, если 0i == 0, то имеет место второе главное колебание.
Ч\ = Р262 = PA sin (k2t + а2), q2 =* 02 = С2 sin (k2t + а2). E7)
Обращаясь к формулам B2) и B5), видим, что определен-
определенные здесь коэффициенты Pi и р2 не только по обозначению, но
и по их механическому значению совпадают с коэффициентами
форм главных колебаний. Отсюда следует, чт© для определения
главных координат можно применить другой путь: сначала ре-
решить характеристическое уравнение A5), а затем определить
коэффициенты форм по формулам A9) и B4). Любая задача
о колебаниях системы с двумя степенями свободы может быть
разрешена или по методу § 186, или путем введения главных
координат, как это сделано в настоящем параграфе.
Чтобы дополнить исследование, необходимо рассмотреть еще
случай равенства нулю определителя системы D8):
Если при этом также и
! — ^22012 = 0, т.е. %* — ^ = X,
то второе уравнение D8) по сокращении всех коэффициентов на
общий множитель % приводится к первому уравнению этой
системы; поэтому последняя будет иметь бесчисленное множе-
множество решений; но в таком случае, согласно E3), дискриминант
D = 0, т. е. уравнение частот имеет равные корни (§ 186), и по-
понятие главных координат теряет смысл.
Остается рассмотреть случай
011^12 — С\ 1#12 = 0» #22^12 — С22а\2 Ф 0. E8)
Если вместо D7) при введении главных координат исходить из
формул
<7i = в, + 02, q2 = а А + «202, E9)
то для определения <xia2, a\-fa2 получим систему, аналогич-
аналогичную D8)
011 + («1 + «2) 01* + а22а{а2 = 0,

564
ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
откуда при условиях E8) находим ,она2 = 0, т. е., например,
а2 = О, 92 = aiOi, и одна из координат является главной.
В большинстве приложений бывает затруднительно заранее
указать, какие параметры являются главными координатами
системы. За обобщенные координаты принимаются те или иные
величины, определяющие положение системы; чтобы перейти от
них к главным координатам, надо проделать вычисления, ука-
указанные в настоящем параграфе или в § 186. Введение главных
координат, не упрощая вычислений, имеет, однако, важное тео-
теоретическое значение.
Имеются простые случаи, когда главные координаты можно легко обна-
обнаружить. Такова схема, представленная на рис. 451. Два груза одинаковой
массы т присоединены к неподвиж-
неподвижным стенкам пружинами одинаковой
жесткости с и соединены между со-
собой пружиной жесткости С\.
Определим положение грузов ко-
координатами Xi и х2, отсчитываемыми
Рае. 451.
от положения равновесия, в кото*
ром пружины будем считать нена-
ненапряженными. При Х\ = х2 средняя
пружина сохраняет свою натуральную длину, и грузы колеблются, оставаясь
на неизменном расстоянии; это колебание происходит с частотой
и /~%с~
ki в Л/тг-'
определяемой жесткостью только крайних пружин.
Пусть теперь Х\ = —х%\ при таком движении грузов средняя точка сред*
ней пружины остается неподвижной, и каждый груз колеблется как масса
между двумя пружинами с жесткостями с и 2с\ с частотой
Введем координаты
01 "в Т^1 "*" Х^9 02 в ?^' ~~ ***'
Если сообщить грузам одинаковые начальные отклонения от положения рав-
равновесия (я10 = #20) и одинаковые начальные скорости (хю = х2о), то х{ и х%
останутся равными в процессе движения, так как средняя пружина не будет
напряжена; тогда 02 = 0 и изменяется только координата 0г, точно так же при
начальных условиях дг10 = —лг10 и х\0 = —xi0 будем иметь X\(f) = —x2{t)fT. e.
01 = 0 и изменяется только координата 02. Таким образом, координаты 0i и
02 изменяются независимо и являются поэтому главными. Нетрудно проверить,
что выражения кинетической и потенциальной энергии в этих координатах
не содержат произведений переменных. Действительно,
П -1
Т [2с61

§ 187. ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ
565
Из этих выражений по D5) и E5) снова приходим к вышеприведенным выра-
выражениям частот главных колебаний.
Другим примером может служить система двух одинаковых маятников,
соединенных упругой пружиной (рис. 452). Главными координатами, как и в
предшествующем примере, являются полусумма и полуразность углов ф« и <р2
отклонения маятников от вертикали.
Понятию о главных координатах можно дать геометрическое
истолкование. Для этого заметим, что одна квадратичная форма
всегда может быть при надлежащем линейном преобразовании
приведена,, и не единственным образом, к виду, в котором не
содержится произведение переменных, причем
для этого не требуется решения никаких урав-
нений. Рассматривая, в частности, знакоопре-
деленную положительную форму, можно напи-
написать
2/12*1*2
\
I- Ull/22 —/12M2J-
Поэтому в новых переменных
X = ~j=(fnXi-\-f\2X2), У = ~7/J===/\/f 11/22 — /12^2 Рис.452.
выражение формы представится в виде суммы квадратов
В дальнейшем можно предположить, что обобщенные коор-
координаты системы уже выбраны так, что выражение кинетической
энергии Т приведено к сумме квадратов;
тогда имеем %
F0)
?г
Рис. 453.
причем квазиупругие коэффициенты
удовлетворяют неравенствам A1), выра-
выражающим условие устойчивости положе-
положения равновесия. Тогда семейство кривых
в плоскости <7Ь q2
П(<7Ь?2) = const F1)
будет семейством эллипсов с центром в начале координат
(рис. 453) и с одинаковыми направлениями осей. Выбрав эти
оси за направления осей координат бит), приведем уравнение
семейства эллипсов к канонической форме:
= const, или ! + ?=!.

566 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Преобразование переменных, осуществляющее поворот осей
q\ \1 + гЛ ?2 P рЬ
или F2)
+ Р2?2,
где at = рг = cos a, Pi =» —<*2 = sin а, не изменяет выражения
суммы квадратов переменных. Поэтому кинетическая энергия
в переменных ?, ц сохранит свой вид
у F3)
и выражение потенциальной энергии будет
F4)
Координаты 6, т], отсчитываемые вдоль осей семейства эллип-
эллипсов F1), являются, таким образом, главными; k\ и къ представ-
представляют собой частоты главных колебаний. Определение коэффи-
коэффициентов линейного преобразования F2) и квадратов частот про-
проводится с помощью того же процесса вычисления, который был
применен при определении главных осей эллипсоида инерции
в § 140. Частоты представляют собой корни уравнения
г — л /г.
п\ —
-ni!-0f F5)
аналогичного уравнению A6) § 140, после чего определение
коэффициентов сведется к решению двух систем уравнений
[ср. A7), A8) §140]:
—0,
— 0, F6)
где /= 1, 2, причем второе уравнение по F5) будет следствием
первого.
Движение системы с двумя степенями свободы можно по
F0) интерпретировать как движение точки единичной массы
в плоскости <7ь ?2. Из соотношений F4) следует, что в этой пло-
плоскости имеются два взаимно перпендикулярных направления,
таких, что при отклонении точки из положения равновесия по
одному из них возникает восстанавливающая сила, имеющая
направление, прямо противоположное отклонению. В этих на-
направлениях производится отсчет главных координат и по ним
же происходят главные колебания заменяющей систему точки.

187. ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ
567
Пример 162. Груз М массы т закреплен на свободном конце консоль-
консольной балки, поперечное сечение которой имеет форму неравнобокого уголка
Крис. 454). Пренебрегая массой балки, определить свободные колебания груза,
считая известными жесткости С\ и с2 пои изгибе балки в плоскостях, проходя*
щих через главные оси инерции поперечного сечения.
М
уШ
Рис. 454.
Как указывалось в § 129, потенциальную энергию изогнутой балки можно
представить в следующем виде [см. формулу (81) § 129]:
П —д-
+
приняв за оси g и п главные центральные оси инерции поперечного сечения
балки. Кинетическая энергия балки представляется выражением
Координаты ? и ц являются главными, и частоты главных колебаний равны
Определим, например, движение массы в предположении, что ей сообщает-
сообщается начальное отклонение от положения равновесия в вертикальном направле-
направлении и не сообщается скорости:
Имеем
при t = О х » хо, х
I = С, sin (kit + ер,), т
0, ^«0, у ¦» 0,
= С2 sin (k2t + q>2),
где Ci и ср* — четыре произвольных постоянных (f « 1, 2), которые надле-
надлежит определить. По формулам преобразования координат имеем
х = | cos а — r\ sin а, у «* | sin а + ц cos а,
где а — угол главной оси ? с осью х\ по начальным условиям легко находим
Сх в xq cos а, Сг« — х0 sin а, ф1 «=* ф2 = -г-я;
выражения х я у могут быть преобразованы к виду
х = -?Х0 [cos kit + cos k2t + cos 2a (cos k{t — cos k2t)]t
у s —^o sin 2a (cos kxt — cos k2t).

568
ГЛ XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Пример 163. Материальная точка массы гп, на которую действует по-
постоянная по величине и направлению сила F, удерживается в положении рав-
равновесия Мо несколькими (п) упругими пружинами OiM0 (рис. 455), противо-
противоположные концы которых, закрепленные в точках Oi \i: = 1, 2, ..., п), мо-
могут свободно поворачиваться вокруг этих точек. Оси пружин и линия действия
силы F расположены в одной
плоскости, в которой принужде-
принуждена оставаться также и точка М.
Определим, пренебрегая массой
пружин, свободные колебания
точки, возникающие при наруше-
нарушении равновесия.
Расположим начало коорди-
координат системы осей Моху в положе-
положении равновесия точки и обозна-
обозначим через /^ длину пружины
при равновесии, через d —•
ее жесткость, через щ и bi — ко-
координаты __точки Oi\ тогда длина
4т == Д/а? + &? и отношения
„ ^ о l
'ст *.т
равны косинусам углов оси i-й пружины при равновесии с осями координат.
При отклонении точки в положение М с координатами (х, у) длина i-й пру-
пружины /<*> определится равенством
V-
id)
/(О2
В дальнейшем, как и в примере 153 § 176, понадобится знание выражения
/(О с точностью до величин второй степени относительно предполагаемых ма-
малыми отклонении х,%у от положения равновесия. Разлагая в ряд радикал и
пренебрегая степенями л:, у выше второй, получаем
/ 1 \ t • V 1
+ УР- - (xat + #РЛ21 F7)
Обозначим через /^ длину i-й пружины в натуральном состоянии, через
— Iq}—
ее удлинение в положении равновесия; тогда выражение потен*
циальной энергии i-й пружины примет вид
Постоянное слагаемое в выражении потенциальной энергии можно отбро»
сить; произведение
fiS

§ 187. ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ 569
представляет натяжение i-й пружины в состоянии равновесия. По F7) полу-
получим теперь, сохраняя слагаемые второй степени относительно х, у:
П. = ^ (да, + ^J - St (щ + y»t) + ^5[<*2 + *2> ~ (xai + У№
2 м
и потенциальная энергия пружин будет иметь выражение
п п п
\~ч Y""* 1
^= — X } SiQ,i — y / S$i +-Х-(СцХ2+ 2С]2ХУ + С22У2),
где
"ст
F8)
П
причем использовано соотношение а| + Р? = 1. Потенциальная энергия по*
стоянной силы F, т е. работа, совершаемая этой силой при переходе точки иа
положения (х, у) в положение равновесия @, 0), равна
Пи = -Fxx - Fyy.
Линейные члены
: ( ?
?
входящие в выражение потенциальной энергии системы П = Ш + Пи, сокра-
сокращаются, так как должны выполняться уравнения
+ Fx = 0, 2 Sfii + Fy = 0, F9>
выражающие условия равновесия точки в положении Af0. Получаем
П = у (сц*2 + 2с12д:^ + С22У2), G0}
причем квазиупругие коэффициенты си имеют приведенные выше значения
F8).
Заметим, что величина Si будет отрицательной при А/ < 0, т. е. если i-я
пружина в состоянии равновесия сжата. Поэтому неравенства A1) могут а
рассматриваемом случае и не выполняться, т. е. равновесие не будет устой-
устойчивым. В дальнейшем предполагается, что оно устойчиво, т. е. что неравенства
(}1) имеют место. Тогда кривые второго порядка F1) будут семейством эл-
эллипсов, и, поскольку выражение кинетической энергии точки
имеет форму F0) (наличие множителя т не меняет сущности дела), оси се-
семейства эллипсов определяют направления, соответствующие главным

570
ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
координатам. Частоты главных колебаний должны быть определены по фор*
мулам F5), в которых п\у п\, nV2 следует заменить выражениями
Рассмотрим частный случай одинаковых пружин жесткости с, концы ко-
которых Oi закреплены в вершинах правильного я-угольника, вписанного в ок-
окружность радиуса а (рис. 456), длины
пружин в натуральном состоянии равны 1$.
Сила F отсутствует, и в положении равно-
равновесия точка находится в центре окружно-
окружности, что будет проверено ниже.
Косинусы углов а*, р* оси &-й пружи-
пружины с осями координат х, у (ось х направо
лена по оси первой пружины) в этом при*
мере определяются формулами
а/г— cos (k — I)
sin(*-l)<p №
1.2. ...,я).
Рис. 456.
где ф в 2я/л. Статические удлинения Д*
всех пружин одинаковы и равны а — /0;
при этом натяжения пружин равны S ==
(/Ь
Уравнения равновесия F9) удовлетворяются, так как
п
Skdk =5 У cos (k — 1) ф = О,
?
?
?
что следует из соотношения
= 0.
По формулам F8) найдем значения коэффициентов
п п
С22 — С ^] Sin2 (^ - 1) ф + -— ? COS2 (k - 1) ф,
/з-1 fe-1
n
= fc J V sin (/г— I) ф cos (Л— 1)ф.

§ 188. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ 571
Подставив значение S, приведем эти выражения к следующему виду:
Вычисление подобных сумм проводилось в примере 122 (§ 140). Полу-
Получаем»: при п ф 2
2а ~ /0 л
с,, = с%2 ¦ ел —^— , с1а «* О,
и выражение потенциальной энергии принимает вид
п = y сп —2Г^ (л: + у) •
Кривые П = const представля^от собой окружности, и декартовы коор»
динаты, отсчитываемые по ?.вум нроизвольным взаимно перпендикулярным на-
направлениям, будут главными координатами. Положение равновесия будет ус-
устойчивым при /о < 2а (если предотвращена возможность перемещения по на*
правлению, периендикуля'ржшу к плоскости ху) и станет неустойчивым при
Iq >• 2а, т. е. при предварительном поджатии пружин на величину, ббльшую
половины их первоначальной длины.
Частоты колебаний равны
а/
сп Bа -
2ат
При п *** 2, корда масса расположена между двумя предварительно напря-
напряженными пружинами, имеем
2с,
свободных колебаний вдоль оси пружин и по перпендикулярному к
ней направлению равны
* /2с(а~/0)
Л/ wm- .
V am
Положение равновесия устойчиво при предварительном растяжении пружиня
неустойчиво, если они предварительно сжаты.
§ 188. Применение коэффициентов влияния к составлению
дифференциальных уравнений свободных колебаний
Чтобы составить дифференциальные уравнения свободных
колебаний в форме уравнений «Даграшр рторого рода (§ 185),
нужно выразить потенциальную эн^ргйк) через обобщенные ко*

572 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
ординаты. В ряде задач, чаще всего при рассмотрении колеба-
колебаний систем, в которых действуют упругие силы, это может
вызвать затруднения. Более простым оказывается прием непо-
непосредственного составления уравнений движения методами кине-
кинетостатики, основанный на использовании вместо квазиупругих
коэффициентов другой системы величин, называемых коэффи-
коэффициентами влияния. Потенциальная энергия при этом выражается
через обобщенные силы.
Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют как
потенциальные силы, так и другие заданные силы F\, F2i ..., Fn.
Ограничиваясь случаем системы с двумя степенями свободы со
стационарными связями, будем определять ее положение неза-
независимыми обобщенными координатами q\ и q2\ отсчет этих ко-
координат производится от состояния устойчивого равновесия,
в котором система находилась бы при действии только потен-
потенциальных сил. Потенциальная энергия П(<7ь <7г) в этом поло-
положении имеет минимум, равный нулю, а при вызванном дей-
действием сил Fs малом отклонении от него в новое положение
равновесия выражается знакоопределенной положительной
квадратичной формой вида D).
Элементарная работа всех сил, действующих на систему,
при любом возможном перемещении ее из состояния равновесия
по принципу возможных перемещений должна быть равной
нулю. Это приводит к соотношению
п
Замечая, что
и приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях
dqi и hq2i получаем два уравнения
где Q\ и Q*2 — обобщенные силы для системы сил Fu F2f ..., Fnr
уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при от-
отклонении системы из того положения равновесия {q\ = 0, q2 =
= 0), в котором она находилась под действием только этих по-
последних сил.
Заменим в уравнениях G2) производные потенциальной
энергии их выражениями согласно D). Тогда придем к двум
уравнениям, определяющим значения координат qi n q2 в поло-

§ 188. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ 573
жении равновесия, имеющем место при учете всех действующих
на систему сил:
Cll<7l + C12?2 = Q!>
C2\^l + C22Cl2Z=iQv
Причем С\2 = С21#
Эта система уравнений имеет решение, так как ее опреде-
определитель
lj t-11^22 ^12»
являющийся дискриминантом знакоопределенной формы D),
по A1) отличен от нуля. Решение имеет вид
где
G5)
Коэффициенты а^, называемые коэффициентами влияния,
можно во многих случаях определить из простых статических
соображений, не используя формул G5), предполагающих зна-
знание выражения потенциальной энергии. Полагаем в G4)
Q* = 0 и Q*=l; тогда найдем
«И-^ «21=?^ G6)
т. е. аи и о&21 представляют собой значения координат q\ и Цг
в положении равновесия системы при приложении к ней еди-
единичной обобщенной силы, отнесенной к первой координате.
Точно так же, приняв Q* = 0 и О*2= 1, получим
«12 = ^> «22 = ^- G7)
Равенство
а21 = а12, G8)
следующее из G5), выражает свойство взаимности коэффициен-
коэффициентов влияния: значение, сообщаемое координате q2 в положении
равновесия под действием единичной обобщенной силы, отне-
отнесенной к координате qu равно значению, которое принимает
координата q\ под действием единичной обобщенной силы, от-
отнесенной к координате ^2-
Обозначим через IT(Q*,Q*) значение потенциальной знер*
гии П(^1,^2), выраженное через обобщенные силы. Очевидно,
его можно получить, подставив в D) значения координат q\
и q2 согласно G4). Эту подстановку можно непосредственно

574 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
осуществить, но для определения частных производных
дП* дП*
которые нас будут интересовать, этого не требуется. Действи-
Действительно, потенциальная энергия зависит от обобщенных сил че-
через координаты q\ и q<i\ поэтому
дЛ* дП. dffi . ail ддг
dQ\ ~ §qx dQ* + dq2 !fi*
откуда, воспользовавшись G2) и G4), получим
Щ—ОЬг + ЧГАь. G9)
и аналогично
-g- = Q;a12 + Q>22. (80)
По G8) и G4) нриходим к соотношениям
выражающим теорему Кастильяно:
Производная потенциальной энергии, выраженной через об-
обобщенные силы Q* и QI, по обобщенной силе равна значению
соответствующей обобщенной координаты в положении равно-
равновесия.
По G9) и (80), учитывая G8), находим также
п (<К. QI) = т («nQ*2 + 2a^QK + «22Q2 *)• (82)
Поэтому коэффициенты влияния могут быть найдены также пэ
выражению потенциальной энергии через обобщенные силы; по-
последнее выражение во многих случаях составить проще, чем
в форме D) через обобщенные координаты. Из (82) и положи-
положительной знакоопределенности потенциальной энергии следую!1
неравенства
au>0, «22>0, a1Ia22-a22 = -^>0. (83)
Дифференциальные уравнения малых свободных колебаний
консервативной системы около положения устойчивого равно-
равновесия можно составить теперь, применяя метод кинетостатики.
Для этого следует силы Fs заменить силами инерции (Fs ==
= —mvs); выражения обобщенных сил Q] по G2) при этом

§ 188. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ
575
примут вид
Преобразование сумм, стоящих в правых частях этих равенств,
производилось в § 159 при выводе уравнений Лагранжа второго
рода; повторив этот вывод, получим
drs
dt
dT
dqt'
Использовав выражение B) кинетической энергии системы,
совершающей малые колебания около положения равновесия,
придем к выражениям
QI — - (Ml + М2)> QI — -
которые надо подставить в G4); получим дифференциальные
уравнения
= - «1
- «
12
ai2<72) — «2
(84)
К этим же уравнениям можно было бы прийти, разрешив
уравнения F) относительно координат q\ и q% и учтя выраже-
выражения G5) коэффициентов влияния а** через квазиупругие коэф*
фициенты cik. Обратно, разрешив уравнения (84) относительно
выражений, стоящих в скобках, мы пришли бы к дифференци*
альным уравнениям свободных колебаний в форме F).
Рис. 457.
В качестве примера определим частоты и формы главных
колебаний системы двух масс, закрепленных на упругом валу,
не учитывая массы вала (рис. 457).
Обозначим через f\ и /г перемещения точек оси вала в мес-
местах закрепления масс. Кинетическая энергия системы равна

576 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Для определения коэффициентов влияния мысленно приклады-
прикладываем в точке закрепления первой массы единичную силу в на-
направлении положительного отсчета координаты fx; при такой
нагрузке ординаты упругой линии вала в точках расположения
масс равны соответственно аи и а2г, аналогично находятся ко-
коэффициенты ai2 = о&21 и а22. Вычисление производится спосо-
способами, рассматриваемыми в теории изгиба балок. Далее предпо-
предполагается, что коэффициенты влияния известны.
Дифференциальные уравнения свободных колебаний будут
иметь вид
f 1 = — anmif 1 — o*Yim2]v /2 = — a>2itn\f\ — a22fn2f2. (85)
К уравнениям этого вида придем во всех тех случаях, когда вы-
выражение кинетической энергии не содержит произведений обоб-
обобщенных скоростей.
Более сложно было бы составление дифференциальных урав-
уравнений движения в форме F), требующей знания квазиупругих
коэффициентов с,-*. Действительно, из выражений G3)
Ql ~ ^11' 1 • С12'2> У2==: C\2i\ • ^22/2
следует, что
СП == f UU h
т. е. для вычисления величин Сц и Сп следовало бы, вообразив,
что в сечении 2 имеется промежуточная опора, не допускающая
смещения оси стержня в этом сечении, определить значение
силы Си, которая, будучи приложена в сечении 1, создает в HeiM
прогиб оси стержня, равный единице; реакция опоры определила
бы коэффициент с\ъ
Для решения дифференциальных уравнений (85) полагаем,
как ив§ 186,
U = А\ sin (kt + a), f2 = A2 sin {kt + a).
Подстановка в дифференциальные уравнения приводит к двум
однородным линейным уравнениям для определения А\ и Л2; обо-
обозначая
получаем
Л, (т2 — mian) — A2m2ai2 = 0, — Л1т1а21 + А2 (г2 — т2а22) = 0.
Из этих уравнений находим
о_ j^] _ ГП2О42 т2 —
Р Л2 т2 —
и для определения х2 приходим к уравнению
/ (г2) = т4 — т2 (m1an + m2a22) + m{m2 (aua22 — a22) = 0.

§ 188. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ 577
Учитывая, что
f @) = тхщ (аиа22 — aj2) > 0,
/ (m1a11) = / (m2a22) = — т{т2а\2 < 0,
/(оо) = + оо,
заключаем, что больший корень т^, соответствующий первому
главному колебанию более низкой частоты, будет больше, чем
большая из величин /man, m2O&22, а меньший корень х\ (второе
главное колебание)—меньше, чем меньшая из этих величин. За-
Заметим, что
2 1 1
П
пцап
2__
П2~
т2а22
представляют собой квадраты парциальных частот колебаний.
Это — частоты свободных колебаний соответственно первой
массы при отсутствии второй и второй массы при отсутствии
первой.
Выражения коэффициентов формы имеют вид
(86)
i 111 л, i i x
Первый из них имеет знак а\2, а второй — знак, противополож-
противоположный знаку о&12. Если в частном случае обе массы расположены
2-я форма
V/
1-я форма
между опорами двухспорного вала, то an > 0, так как при при-
приложении силы в точке внутри пролета статическая упругая ли-
линия вала не изменяет знака. В этом случае в первом главном
колебании обе массы движутся в одну сторону, а во втором
главном колебании — в противоположные стороны. Поэтому
если осуществляется второе главное колебание, то на оса
вала имеется неподвижная точка — узел, формы колебании
(рис. 458, а). В случае трехопорного вала и расположения масс
19 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

578
ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
в различных пролетах оцг < 0 и в первом главном колебании
массы движутся в противоположные стороны, а во втором —
в одну сторону. И в этом случае узловая точка появляется при
главном колебании более высокой частоты (рис. 458,6).
Пример 164. Диск массы т насажен на упругий невесомый вал, при-
причем центр тяжести диска находится на осевой линии вала в точке О, распо-
аоженной на расстояниях а и & от опор вала (рис. 459, а). Определить сво-
свободные колебания диска, учитывая его повороты при изгибе вала. Момент
инерции диска относительно оси, рас-
расположенной в плоскости диска, ра-
равен тр2, а коэффициент жесткости
поперечного сечения вала при изги-
изгибе EJ.
За обобщенные координаты, опре-
IPQ*Mq деляющие положение диска, примем
я+& прогиб f оси вала в точке О и
угол ф, составляемый касательной к
упругой линии в этой точке с осью х.
Кинетическая энергия диска равна
Рис. 459.
Г = 4-/П1
р2ф2).
Для определения коэффициентов влияния составим выражение потенциаль-
потенциальной энергии через обобщенные силы; в рассматриваемом случае это будут
сила P = Qf и изгибающий момент ЛТ0 = (Зф, приложенные в точке О. Через
них выражается изгибающий момент М в любом сечении вала; потенциальная
энергия далее вычисляется по известной из сопротивления материалов фор-
формуле
п*=т
где интегрирование распространяется по всей длине вала. В рассматриваемом
случае имеем (рис. 459, б)
^=^-х @<х<а),
а + Ь
Ра + М0
а + Ь 1
где Х\ = а + b — х. Дальнейшее вычисление дает
МЧх+
;--|а&(а-&)ЛМ0],
- 2Ш(а +
и сравнение с (82) позволяет составить выражения коэффициентов влияния
1 аЧ2 аЬ(а — Ь)
aff"~ 3 a a
3 EJ (a + b) '
3?/ (a + b) '
1 a2 — ab + b2
аФФ ~~ 3
аФФ ~~ 3 EJ (а + Ь) '

§ 188. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ
579
В остальном ход решения задачи не отличается от изложенного в приве-
приведенном выше примере. Для определения частот главных колебаний kx и k2
служит уравнение
в котором
Ш (а + Ь)
ma2b2k2 '
Пример 165. Платформа массы т опирается на две рессоры с жест-
костями с{ и с2; центр тяжести платформы расположен на расстояниях а и Ь
от осей рессор А и В. Момент
инерции платформы относительно
оси, проходящей через центр тя-
тяжести перпендикулярно к плоско-
сти рисунка, равен тр2. Опреде-
Определить частоты свободных колеба-
колебаний платформы, не учитывая на-
начального сжатия рессор и их мас-
массы (рис. 460, а).
За обобщенные координаты
примем вертикальное перемеще-
перемещение f центра тяжести платформы
и ее угол поворота ф вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости ри-
рисунка. Кинетическая энергия плат-
платформы при этом выборе коорди-
координат будет иметь выражение
Для определения коэффициен-
коэффициентов влияния а;/ и ocf(p приложим
в центре тяжести единичную вер-
вертикальную силу, направив ее в
сторону возрастания координа-
координаты f (рис. 460,6).
Усилия, передаваемые рессорам Л и ?, при этом будут соответственно
равны b/(a-\-b) и а/(а + Ь) и длины их уменьшатся соответственно на
b/[ci(a + b)] и а/[с2(а + Ь)]. Перемещение центра тяжести и угол поворота
платформы при этом будут
b2c2 + a2g,
aff жя _ _ / _ i—ГТ7~» Ctft
Рис. 460.
— Ьс2
схс2 (а + ЬJ
схс2 (а + ЬJ *
Остается определить коэффициент афф. Для этого прикладываем мысленно
к платформе единичный момент в сторону возрастания угла ср (рис. 460, в).
На рессоры передадутся усилия величины \/(а + Ь), направленные в проти-
противоположные стороны; при этом левая опора поднимается на V[ci(a + Ь)]х а
правая опустится на 1/[с2(а + &)] и угол поворота платформы будет
„ __ Cj + С2
Для проверки находим еще перемещение центра тяжести, вызванное при-
приложением единичного момента:
1 асх — Ьс2
ci (a + b) Clc2 (a + ,
19*

580
ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Дифференциальные уравнения свободных колебаний по структуре не от-
отличаются от (85). Для определения величин, пропорциональных периодам
главных колебаний при сх = с2 = сг = с получаем уравнение
где
с (а +
т (а* +
Коэффициенты форм находятся из соотношений
(а-6)р2 а (а - Ь) р'
'?
причем
Можно, не нарушая общности, считать, что а > Ъ\ тогда Pi > 0 (первое
главное колебание, соответствующее большему корню z^j и р2 < 0 (второе
главное колебание, соответствующее меньшему корню z2). Знаки /A) и <рA)
одинаковы-—движение платформы в первом главном колебании можно опи-
описать как вращение вокруг неподвижной оси Оь расположенной слева от цен-
центра тяжести платформы на расстоянии fr. Отложив же вправо от центра тя-
тяжести отрезок —Рг, найдем ось вращения О2 во втором главном колебании
(рис. 461).
7/
1-в
fit
глад нов колебание
С
¦ :
а >
главное нолвд~ан
и
ие
^
Рис 461.
Составление коэффициентов влияния значительно упрощается, но не-
несколько усложняется форма выражения кинетической энергии, если за обоб-
обобщенные координаты принять перемещения f\ и f2 точек платформы, соприка-
соприкасающихся с рессорами. Ранее введенные координаты легко выразить через
эти величины
' a+b ' ^ а+^#

§ 188. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ
581
Поэтому кинетическая энергия определится выражением
Т = Т (a+bf
+ а№ + Р2 it г - Ш -
Приложим мысленно к правой опоре единичную силу; платформа опустится
на 1/с2, вращаясь вокруг левой опоры; аналогичное рассуждение применимо
к левой опоре; поэтому имеем
1 _Л _ 1
Нетрудно проверить, что уравнение, определяющее периоды главных коле-
колебаний, может быть приведено к указанному выше виду.
Пример 166. Пластинка массы т закреплена на свободном конце А ба-
балочки (плоской пружинки), другой конец которой заделан (рис. 462). Центр
тяжести пластинки расположен на продолжении оси балочки на расстоянии d
Рис. 462.
ют точки Л; радиус инерции пластинки относительно оси, проходящей через
центр ее тяжести перпендикулярно к плоскости рисунка, равен р. Пренебре-
Пренебрегая массой балочки и принимая, что одна из главных осей инерции ее попе-
поперечного сечения расположена в плоскости рисунка, определить свободные ко-
колебания пластинки в этой плоскости. Длина балочки равна /, коэффициент
жесткости на изгиб EJ.
За обобщенные координаты примем прогиб f балочки в точке А и угол
поворота пластинки ср, равный углу, составляемому касательной к упругой ли-
линии балочки в той же точке с осью х. Скорость центра тяжести пластинки
сбудет равна /+(pd и выражение кинетической энергии примет вид
I
Коэффициентами влияния являются: <Xff — прогиб балочки в точке А под
действием единичной силы в этой точке, афф— угол поворота упругой линии
в точке А от действия прикладываемого в ней единичного момента, otfq> =
*= a qf — прогиб в точке А от действия этого момента, равный углу поворота
в ней упругой линии, создаваемой единичной силой. Обобщенные силы, соот-
соответствующие координатам f и ср, обозначим через Qf = P И Q = /Ио

582
ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
|рис. 463). Изгибающий момент в любом сечении балочки при действии этой
системы сил равен М = Рхх + Мо, где Х\ отсчитывается от точки А по оси
балочки. Потенциальная энергия П* изогнутой балочки определяется по при-
приведенной (пример 164) формуле
По (82) получаем
/3
/
EJ '
и дифференциальные уравнения свободных колебаний по (84) будут
ф=~
ж
р2ф]-
Полученная форма уравнений сложнее, чем в предыдущих примерах, что объ»
ясняется наличием в выражении кинетической энергии слагаемого с произве*
Рис. 463.
дением переменных. После подстановки в дифференциальные уравнения коле-
баний выражений
f == Ах sin (kt + а), ф = А2 sin (kt + a)
получим два уравнения, связывающие А\ и Л2. Введем в рассмотрение вели*
чину г, пропорциональную искомым периодам колебаний:
где k0 — частота колебаний, которую мы определили бы, рассматривая пла-
пластинку как точечную массу, закрепленную на конце балочки.
Приходим к системе уравнений
2 Л , ЗА! . , ( d , 3 d2
-A + JJ44+
Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение, служа*
Шле для нахождения периодов главных колебаний; оно приводится к виду

§ 188. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ
583
Коэффициенты форм главных колебаний pi и Рг найдем, определив отно-
отношения А{ :AZ для каждого из корней z\ и z\ этого уравнения. Имеем
4"
d/Z+[3(rf2 + p2)/B/2)] z\-(UlBl) + Z{SWm
= / й r ,/ Ai — ТТГТТ7Г. ' {t — \t2)m
3/2 + Mjl
Отметим теперь, что
^поэтому корни z\ и z\ уравнения периодов лежат в интервалах @,1 4
4-3^/B/)) и A 4 3^/B/), оо); для большего корня z\% в интервалах @, 1 4-
вому главному колебанию низшей частоты, коэффициент формы pi > 0, а
для меньшего (во втором главном колебании) р2 < 0. О характере движения
при главных колебаниях и об осуществлении главных колебаний можно по-
повторить сказанное в примере 165, причем точки Pi и Р2 на рис. 462 служат
мгновенными центрами вращения пластинки при первом и соответственно вто-
втором главном колебании ее.
Пример 167. Составить дифференциальные уравнения свободных коле-
колебаний груза, поддерживаемого кронштейном из двух стержней О\М а» / и
Ю2М с шарнирно закрепленными в неподвижной стене концами О\ и О2 и
шарнирно соединенными в точке М под углом а. Масса груза равна т, мас-
массой стержней пренебрегаем (рис. 464).
Рис. 464.
Усилия, возникающие в стержнях О\М и О2М при приложении в точке М
вертикальной силы Fu равны соответственно F{ ctg а и —Fi/sin а; при прило-
приложении горизонтальной силы F2 в этой точке в стержне О\М возникает усилие
F2\ при одновременном действии сил Fx и F2 усилия в стержнях будут
S2 = —
Замечая, что жесткости стержней на растяжение равны соответственно
T
где Е — модуль нормальной упругости материала стержней, a Q — площадь
их поперечного сечения, составим выражение потенциальной энергии

откуда по (82) находим
_ / 1 + cos3 а / / ctga
Оп ~" EQ cos а sin2 а ' а*2 "" Ей ' а12~" EQ
Кинетическая энергия груза равна
где х и у — вертикальное и горизонтальное смещения груза из положения
равновесия. Дифференциальные уравнения движения (85) будут иметь вид
ml ( 1 + cos3 a „
ml
Для составления дифференциальных уравнений можно было бы также
использовать решение, приведенное в примере 163 (§ 187). В формулах F8)
указанного примера имеем
ai=0, Pi—!; a2 = sina, P2 = — cos a.
Замечая, что Si =*= 0, так как усилиями в стержнях при равновесии мы прене-
брегли получаем
EQ . „ Ей .. . . ч EQ 9
Си =—у—cos a sin2 a, c22 = —т-A + cos3a), Ci2==s j— cos2 a sin a,
и дифференциальные уравнения движения в форме F) будут
Ей . . 2 2 . .
х -= т— (х cos a sin2 a — у cos^ a sin a),
g -_. — [__ x C0S2 ex sin ct —f- A -+- cos3 a) y].
Их можно было бы получить, решив предыдущие уравнения относительно-
ускорений х, у.
§ 189. Вынужденные колебания системы
с двумя степенями свободы
Обозначим через Q\(t) и (Зг(О обобщенные возмущающие
силы; тогда дифференциальные уравнения движения системы,
кинетическая и потенциальная энергии которой выражаются
формулами B) и D), будут иметь вид
cuq{ + cl2q2 = Q{ (/),
c22q2 = Q2 (t).
584 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
кронштейна в виде

§ 189. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 585
Общее решение этой системы дифференциальных уравнений
является суммой общего решения соответствующей системы
однородных уравнений, т. е. системы F), и частного решения
системы (87). Первое решение найдено выше, остается опреде-
определить частное решение.
В наиболее простом случае, когда возмущающие силы яв-
являются синусоидальными функциями времени одинаковой час-
частоты и фазы
Qx = Я! sin (pt + б), Q2 = tf2 sin (pt + б), (88)
вынужденные колебания, т. е. частное решение системы (87)
можно искать в виде синусоидальных функций той же частоты
и фазы
qx = B{ sin (pt + б), q2 = B2 sin (pt + б). (89)
Подставив (89) в систему уравнений (87), после сокращения на
общий множитель sm(pt + 8) получим два уравнения для опре-
определения неизвестных амплитуд В\ и В2
(сп — р2ап) Вх + (с{2 — р2а{2) В2 = Ни
(с2Х — р2а21) Вх + (с22 — р2а22) В2 = Н2.
Предполагая, что определитель этой системы
Д (р2) = (с и — р2аи) (с22 — р2а22) — (с12 — р2а{2J (91)
отличен от нуля, находим
(92)
1
82 = "д17Г ^"" Я1 ^21
Заметим, что правая часть выражения (91) имеет ту же
форму, что и уравнение A5), определяющее частоты главных
колебаний. Поэтому знаменатель в формулах (92) обращается
в нуль при р = k\ или р = k2. Совпадение частоты возмущаю-
возмущающей силы с одной из частот свободных колебаний, как станет
ясно ниже, сопровождается при отсутствии сил сопротивления
неограниченным возрастанием амплитуд колебаний с течением
времени — явлением резонанса. Отметим, что при р = ki (/—
= 1,2) определитель системы уравнений (90) обращается
в нуль, т. е. система не имеет решений относительно В\ и В2.
Поэтому частное решение системы дифференциальных уравне-
уравнений (87) в условиях резонанса следует искать в форме, отлич-
отличной от (89).

586 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Из (92) находим отношение амплитуд В\ и ?2:
#1 __ Я] (С22—P2fl22> — Я2 (gl2—Р2Д12> _ ^! (С22 ~
В2 Я2 (сп - р2аи) - Я! (с12 - р\2) Я2 (<?п - р2ап)/(с12~ р\2) -Я, "
Это отношение при р = ?,• сохраняет конечное значение; по A9)
и B4) оно оказывается равным
?2 Я2/р/ + я1
т. е. формы вынужденных колебаний системы при резонансе
совпадают с соответствующими формами свободных колебаний.
Рассмотрение вынужденных колебаний системы с двумя сте-
степенями свободы значительно упрощается при переходе к глав*
ным координатам. По определению обобщенных сил элементар*
ная работа возмущающих сил на возможном перемещении си*
стемы может быть представлена в виде
Но по D7)
следовательно,
Q2) 69, + (Q,fc + Q2) 682.
Поэтому обобщенные силы, соответствующие главным коорди*
натам, будут
+ Q2 (94>
и дифференциальные уравнения движения системы в главных
координатах, согласно D6) и E5), будут иметь вид
«2
(95)
Задача сводится к интегрированию двух не зависящих друг
от друга дифференциальных уравнений, отнесенных к главным
координатам. Здесь ограничимся напоминанием основного ре-
результата: явление резонанса имеет место при совпадении одной
из частот главных колебаний k\ или k2 с частотой одной из гар-
гармонических составляющих возмущающей силы:
kt = sp (/=1,2; s=l, 2, 3, ...), (96)
где р — частота возмущающей силы. При s = 1, 2 и т. д. имеем
резонанс первого, второго и т. д. порядков. Амплитуды вынуж-
вынужденных колебаний при резонансе возрастают пропорционально
времени (в решении дифференциальных уравнений t является
множителем при тригонометрической функции времени).

§ 189. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
687
Решения дифференциальных уравнений (95) можно пред-
представить также в форме A3) § 182:
6@> 1 г
.=ef cos kf + -?- sin V + "hjst j № A «> +
+ Q2 Шsin kt (t -1) dl (/=1,2). (97)
По формулам D7) вернемся теперь к исходным неизвестным
щх и q2. Тогда получим общее решение системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений (87)
= 0i + 02, (98)
содержащее четыре произвольные постоянные
<$0) и 9i0) (i = 1,2), которые должны быть опре-
определены по начальным значениям обобщенных
координат qf] и обобщенных скоростей ^i0).
Пример 168. Динамический гаситель ко-
колебаний (рис. 465). Груз массы mi, присоединенный к
Неподвижному основанию в помощью пружины с жест-
жесткостью си находится под действием синусоидальной возмущающей рили
Q = Н sin pt. К этому грузу присоединен второй груз массы т2. Жеоткббт*!
пружины, соединяющей грузы между собой, равна с2. Покажем, что при над»
лежащем подборе величин т2 и с2 вынужденные колебания первого груз|.
обусловленные действием на него возмущающей силы, могут быть уничтожен ^
Дифференциальные уравнения движения системы имеют вид
Рио. 463.
+ (с{ + с2)
т2х2 —
с2х2 = Я sin pt,
= 0.
По формулам (92) находим
i
Я (с2 — р2т2) sin pt, x2 -
где
~ 4
Если подобрать с2 и т2 так, чтобы
т. е. чтобы парциальная частота п2 второго груза (при неподвижном первом)
$ыла равн'а частоте возмущаюп|ей силы, то окажется, что
: О, Х2 =
Амплитуда вынужденных колебаний первого груза оказывается равной
нулю. Этот результат можно объяснить так: подставим в первое дифферей*

588 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
циальное уравнение движения вместо х2 его значение; получим
т\Х\ + (с\ + с2) Xi + c2 — sin pt = H sin pt,
c2
где
( + ) 0
иными словами, в любой момент реакция второго груза уравновешивает при*
ложенную к первому грузу возмущающую силу. Не следует думать, что ука-
указанным способом можно успокоить колебания большой массы гп\ при помощи»
массы т2, произвольно малой, если надлежащим образом подобрать жест-
жесткость с2; действительно, при малой массе т2 и данной частоте р амплитуда
колебаний массы т2, равная Я/(т2р2), может оказаться очень большой.
Использование гасителя имеет смысл, если при его отсутствии имеет ме*
сто резонанс колебаний груза массы ть т. е. если
При условии
у mi ~~ \ m2
характеристическое уравнение рассматриваемой системы с двумя степенями
свободы будет иметь вид
Частоты главных колебаний, определяемые корнями этого уравнения, равны*
и при малых значениях отношения гп2/т\ будут мало отличаться друг от друга
й от расчетного значения р = п2 — частоты возмущающей силы. Отсюда сле-
следует, что применение гасителя допустимо лишь при строго фиксированной ча-
частоте возмущающей силы, так как при малом изменении этой частоты не ис-
исключен случай резонанса с одним из главных колебаний системы, т. е. совпа-
совпадение частоты р с одной из частот k{ и k2.
Пример 169*). Турбогенератор установлен на плите, поддерживаемой
шестью стойками (рис. 466); 5 — центр тяжести ротора, D — точка пересече-
пересечения оси вала со средней плоскостью ротора (рис. 466, a), L — точка пересе-
пересечения с этой плоскостью прямой, соединяющей центры подшипников вала.
Масса плиты и установленных на ней невращающихся частей двигателя равна
М (массой стоек пренебрегаем), жесткость стоек при изгибе равна С, масса
*) Хотя в этом примере речь идет о системе с четырьмя степенями сво-
свободы, он здесь уместен, так как задача фактически сводится к решению си-
системы двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго*
порядка.

§ 189. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
589
ротора т, жесткость вала при изгибе с, прогиб LD вала в его середине равен
/, эксцентриситет DS, с которым ротор насажен на вал, равен е. Вследствие
упругости стоек плита не остается неподвижной, а совершает малые колеба-
колебания. Пренебрегая сжимаемостью стоек и рассматривая только горизонталь-
горизонтальные олебания в направлении, перпендикулярном к оси двигателя, изучить,
как эти колебания влияют на изменение критического числа оборотов вала.
Рис. 466.
За параметры, характеризующие положение системы (обобщенные коор-
координаты), примем перемещение xQ = OL плиты при колебаниях, координаты
х и у центра тяжести ротора и угол ср поворота ротора. Кинетическая энер-
энергия системы будет
Потенциальные энергии изогнутых стоек и вала равны соответственно
Выразим прогиб f через обобщенные координаты. Согласно рис. 466, б полу-
получаем
р = LD2 = LN2 + ND2 = (х — хо — е cos срJ + (у — е sin q>J
и, следовательно,
П = -^
у с [(* ~" *о — е cos
~ е sin ФJ]-
Уравнения движения будут
Мхо + (С + с) Хо — сх = — се cos ф,
тх + сх — cjto = се cos ф,
Щ + су = се sin ф,
/ф + се [{х — х0 — е cos ф) sin ф — (у — е sin ф) cos ф] = 0.
При составлении последнего уравнения предполагалось, что момент, вращаю-
вращающий ротор, равен моменту сил сопротивления. Имеем
(х — #о — е cos ф) sin ф — (у — е sin ф) cos ф = LN sin ф — ND cos ф =
= / (sin ф cos ф —• cos ф sin ф) = / sin (ф — if),

590 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
я последнее уравнение движения принимает вид
/ф + cef sin (ф — -ф) « 0.
Так как произведение ef весьма мало, то можно принять
/ф « 0, ф = р = const
Получаем
Мх0 + (С + с) х0 — сх = — се cos pt,
тх + сх — схо = се cos р?,
Последнее уравнение не зависит от двух прочих, т. е. у является главной
координатой. Частное решение этого уравнения, соответствующее вынужден-
вынужденным колебаниям частоты р будет
причем д/с/т = ркр является критической угловой скоростью вала при не-
неподвижном фундаменте. Горизонтальные колебания фундамента не влияют на
критическое число оборотов вала по отношению к вертикальным колебаниям
ротора.
Переходим к рассмотрению двух первых уравнений. Сравнение с общими
уравнениями (87) и равенствами (88) дает
аи =*= М, Я12 — Я21—0, а22== fn,
Сц = С + С, ?12 = С21= — С, С22 = 0,
Я1 = -#2 = ~ се,
и по формулам (91) и (92) находим
А (р2) = (С - р2М) (с - р2т) - стр2
се (С — Мр2) ,
Резонанс, при котором устанавливаются интенсивные горизонтальные ко-
л^§ания системы, имеет место, когда угловая скорость будет равна одной из
частот свободных колебаний системы, т. е. одному из корней уравнения
А(р2) = 0.
Обозначим эти корни через р\ и р2. Для графического определения их на
рис. 467 найдены точки пересечения параболы f\ (р2) = (С — р2М) (с — р2т)
и прямой faiP2) = стр2. Абсциссы этих точек пересечения будут искомыми
корнями. Из рисунка находим Pi <С Ркр •< Р2, т. е. одна из новых критиче-
критических скоростей всегда меньше критической угловой скорости Pkp = VcM
при неподвижном фундаменте, а другая больше ее. На том же рисунке по-
построены графики коэффициентов а и Ъ в выражениях хну.
Находим: а = е при р = 0, а > 0 при 0<p<pi и а~> ±оо при р->
""*"?l3: °' а < ° ПРИ Pl<P< VC/M иа = 0прир = <\fcfW\ далее, а > 0 при
<\JCjM < р < р2 и а->±°о при p->P2HF0, наконец, а<0 при р > р2 и
я ->• 0 при р ->• оо. По этим данным строим график выражения а; аналогично
строится график b в зависимости от р2.

§ 190. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
591
Центр тяжести ротора описывает эллипс, уравнение которого получится
исключением времени из выражений х и у:
х2 , у2 .
При p->pi(a->oo, Ь сохраняет конечное значение) устанавливаются ин-
интенсивные горизонтальные колебания ротора; при р-*-ркр (р, конечно, Ь-^оо)
Рис. 467.
имеют место интенсивные вертикальные колебания; наконец, при р-^-рч снова
устанавливается режим сильных горизонтальных колебаний. Вместо одной
критической угловой скорости ркР при неподвижном фундаменте, в случае
фундамента, способного вибрировать, получаются три критические угловые
скорости — прежняя ркр и две новые: р\ и р2, из которых одна меньше, а дру«
гая больше, чем рКр.
§ 190. Свободные колебания системы
с произвольным конечным числом степеней свободы
Рассмотрение малых колебаний системы с тремя и, вообще,
п степенями свободы состоит в непосредственном обобщении
того, что было изложено в § 186 для случая двух степеней сво-
свободы, но при наличии больших вычислительных трудностей.
Ограничимся случаем стационарного движения системы, т. е.
таким, в котором уравнения связей не содержат времени.
Обозначим через qi (i= I, 2, ..., п) значения обобщенных
координат системы, отсчитываемых от положения устойчивого
ее равновесия, около которого происходят малые движения
системы.

592 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Условимся в настоящем параграфе о кратком обозначении
сумм одночленов, которое было пояснено в гл. VIII при изло-
изложении элементов тензорной алгебры.
Кинетическая и потенциальная энергии, а также диссипатив-
ная функция Релея представляются однородными квадратич-
квадратичными функциями
та№ niw ф
где, напоминаем, опущены знаки суммирования по дважды по-
повторяющимся в одночлене индексам (/=1, 2, ..., п\ /=1,
2, ..., /г). Далее мы удовольствуемся случаем Ф = 0, Ьг/ = 0.
Постоянные величины ац и сц будем называть, как и ранее,
соответственно инерционными и квазиупругими коэффициен-
коэффициентами.
Дифференциальные уравнения малых колебаний системы
с п степенями свободы в развернутом виде запишутся так:
• • • + ctXnqn + cnqx + cl2q2 + ... + clnqn == 0,
... + a2nqn + c2i?i + ^22^2 + • • • + С2Л = 0,
dnx'qi + a*2<72 + • • • + а>ппЧп + сп&\ + cn2q2 + ... + cnnqn = 0,
или в краткой форме
= Q (/=1,2, ..., я). A01)
Следуя методу, описанному в § 186, будем искать решения
системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
второго порядка A00) в виде
qt = At sin (kt + a) (i ===== 1, 2, ..., n). A02)
Подставляя в A00), получаем алгебраическую систему урав-
уравнений относительно неизвестных коэффициентов At (i = 1, 2, ...
...,л)
(cii-tfatuA^O (/=1,2 n). A03)
Как известно, такая линейная однородная система алгебраи-
алгебраических уравнений может иметь решение, отличное от тривиаль-
тривиального Aj = 0 (/== 1, 2, ..., п)у только тогда, когда ее опреде-
определитель
A(k2) = \\си-к%11| (/==1,2, ..., п\ /==1,2, ..., п) A04)
равен нулю.
Таким образом, приходим к характеристическому (частот-
(частотному) уравнению
= 0, A05)

§ 190. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 593
где левая часть представляет собой многочлен п-и степени от-
относительно k2.
Считая частоты определенными и различными по величине,
расположим их в порядке возрастания так:
k\,k\,...,k\. A06)
Найдем из характеристического уравнения A05), например,
корень Щ и подставим его в систему уравнений A03). Так как
определитель А(^) равен нулю, то в системе A03) будет толь-
только п—1 независимых уравнений. Опуская последнее уравнение
в системе A03), лолучаем укороченную линейную систему алге-
алгебраических уравнений относительно отношений коэффициентов
А{Р/А{п\ которую выпишем в развернутом виде:
(С2\ "" k\
"TUT + (С22 " fe?a22) ~Г(ТГ + • • •
(Ю7)
+ ( kK) i ( кЫ
л'1»
где верхний индекс A) означает, что k2 всюду заменено на k\~
Решения этого уравнения, согласно общему правилу решения
линейных алгебраических систем, представятся дробями, где
знаменателем служит минор &n(k2) основного частотного опре-
определителя A04), соответствующий вычеркиванию последней
строки и последнего столбца:
M*?) = K/--*ft/I (U=l, 2, ..., /i-l), A08)
а числителем — определитель, получающийся из A04) заменой
вычеркнутых строки и столбца свободными членами, стоящими

594 ГЛ. XXXIV. КОЛЕБАНИЯ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
в правой части системы A07), так что
X
"~ \с\п ~~^1а1л)>
2, п-\ ~~ k\a2, п-\
Cn_it 2 ~ k\an-\t 2> • • >
A09)
Если первый столбец определителя поставить на последнее
место, изменив одновременно все знаки этого столбиа на про-
противоположные, то получится
^""aWT ( }
где Aj (fe^) — минор элемента первого столбца и последнеГ?
строки исходного определителя A04).
Аналогично будем иметь
Эти равенства можно переписать в виде пропорций
л(п) лA) М Л\)
Л1 Л2 лп-1 лп р
Ах (k2{) А2 (k\) '" hn_{ (k2{) ~ Дд (kf) ~ U
так что
Л(/> = CiA/(^i), /=1, 2, ..., /г, A12)
где, подчеркнем, А/ является минором элемента последней
строки с номером /.
Таким образом, вспоминая A02), получаем систему частных
решений системы дифференциальных уравнений A00)
тШ + аЛ (/=1, 2, ..., п). A13)
Совокупность равенств A13) характеризует первое главное
колебание системы. Это означает, что если система с п степе-
степенями свободы совершает первое главное колебание, то все об-
обобщенные координаты ее колеблются с одной и той же час-
частотой k\f причем в одинаковых фазах o&i и с амплитудами
Ay (?i)/An (&?)» зависящими только от структуры системы, т. е,
от инерционных и квазиупругих коэффициентов и номера (час*
тоты) главного колебания, но не от начальных условий, опре-
определяющих постоянные С\ и оц (изохронность малых колебаний),

§ 190. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 595
Аналогичным образом строятся и другие решения, соответ-
соответствующие второму, третьему и т. д. главным колебаниям:
qf = С?} (ftf) sin (k.t + a.) (/,/=1,2,..., п). A14)
Общее решение, описывающее малые колебания системы
с п степенями свободы относительно положения ее устойчивого
равновесия, будет определяться суммой (суперпозицией) част-
частных решений A13):
Qf = I qf = Е СД (Щ) sin {kst + as) (/=1,2 n). A15)
Постоянные интегрирования Cs и <xs должны определяться
путем подстановки в равенство A15) и в равенство, получаемое
из него дифференцированием по времени t, начальных условий
при /-=0 qf = qop ^ = ^0).
В настоящем изложении опущены многие детали, в частно-
частности не доказана положительность корней характеристического
уравнения, не разобран случай кратных корней этого уравне-
уравнения и т. д.
Оставлен в стороне и вопрос о введении в решение главных
координат, т. е. таких координат 0/, в которых кинетическая
и потенциальная энергии представляются суммами квадратов
При переходе к главным координатам система A00) из п
дифференциальных уравнений распадается на п независимых
уравнений
ё = о, *=i,..., п,
имеющих решения
Qi=Ci sin
а полное решение исходной системы представляется суммой
этих отдельных решений.
Удовольствуемся этими краткими сведениями об общем слу-
случае свободных малых колебаний системы с п степенями сво-
свободы. Более детальное изложение вопроса, а также обобщения
на случай вынужденных колебаний системы и влияния на ее
колебания сопротивлений можно найти в специальных курсах
теории колебаний, а также $ третьем томе нашей книги «Тео-
«Теоретическая механика» (ГТТИ, 1934) или в книге: Гант-
махер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — 2-е изд.—
Мл Наука, 1966, гл. VL

Глава XXXV
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 191. Уравнения Эйлера динамики твердого тела
Для составления дифференциальных уравнений вращения
твердого тела, имеющего неподвижную точку, применим тео-
теорему об изменении момента количеств движения относительно
этой точки
1ЙГ«Я1(О). О)
Здесь mS0) — главный момент внешних сил, а К — главный мо-
момент количеств движения твердого тела относительно неподвиж-
неподвижной точки О. Выражение вектора К было приведено выша-
[см. формулы B) и C) § 139, а также C6) § 141].
Пусть система осей Oxyz неизменно связана с твердым те-
телом, т. е. имеет ту же угловую скорость w, что и тело. При диф-
дифференцировании вектора К воспользуемся известным соотноше-
соотношением (§ 68)
связывающим абсолютную и относительную производные сек*
тора. Спроектировав B) на оси координат Ох, Оу »* Ог, получим
Приняв за оси координат главные оси инерции тела в точ-
точке О и воспользовавшись формулами C6) § 141, найдем
&x + (h ~ J2) %®г = т-х>
6у + (J{ — /3) со/о^ = myt
®z + (h — h) ®x<*y = mz>

§ 191. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 597
где /ь /2, Уз — главные моменты инерции, а тх, т^ /лг— глав-
главные моменты внешних сил относительно осей Ox, Оу, Oz.
Уравнения D) называются динамическими уравнениями
Эйлера.
Движение твердого тела в общем случае можно определить,
зная движение его центра масс и вращение относительно центра
масс. Для составления дифференциальных уравнений движения
следует применить теоремы о движении центра масс
= V, E)
где V — главный вектор внешних сил, приложенных к телу,
a We — ускорение центра масс С, и теорему об изменении глав-
главного момента количества движения по отношению к центру
масс (§ 120)
Введем две системы координат: неподвижную O^rfe и си-
систему осей Cxyz, связанных с телом и имеющих начало в центре
масс. Проектируя E) на неподвижные оси координат О?т]?, по-
получаем
l j *c. F)
Если же пользоваться системой осей Cxyz, то, замечая, что
по§ 68
dvn d'vr
получаем
М \Г1иГ + ®*vc* ~ ^сг) = Ry> G)
где vex, vCy, vcz — проекции скорости центра масс на эти оси.
Для определения вращательного движения надо составить
уравнение моментов по отношению к центру масс. Получим
уравнения Эйлера D), в которых оси Oxyz будут в этом случае
главными центральными осями инерции, a J\, У2, Уз — главными
центральными моментами инерции.
Пример 170. Доказать, что вращение тяжелого твердого тела, центр
тяжести которого неподвижен, будет устойчивым, если первоначально непо-
неподвижному телу сообщить вращение вокруг наибольшей или наименьшей оси
эллипсоида инерции, и неустойчивым, если вращение сообщается вокруг сред-
средней оси эллипсоида инерции.

698 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Главный момент внешних сил, т. е. силы тяжести и реакции неподвиж-
неподвижной точки, в рассматриваемом случае равен нулю, и уравнения Эйлера D)
дают
ЛЬ (/з — h) (Oy<oz *= 0,
+ (Л — h) ®z®x = О,
(h — J\) ®х<йу = О,
где /ь /2, /3 — главные центральные моменты инерции. Этим уравнениям
можно удовлетворить, полагая со* = ыу = 0, о)г = соо = const. Будет ли та-
такой режим движения устойчивым? Иными словами, если дать оси небольшой
толчок в сторону, т. е. сообщить телу весьма малые угловые скорости щ* и
сооу, то останется ли движение вращением вокруг оси Cz с весьма малыми ко-
колебаниями оси или характер его коренным образом изменится? Чтобы отве-
ответить на это, примем, что имеет место первое предположение, т. е. что оь и
<ду остаются весьма малыми по сравнению с сог, и найдем, при каких условиях
такое предположение может оказаться верным.
Пренебрегая в третьем уравнении Эйлера произведением малых величин
(дх(ду, получим coz = со0 = const, т. е. в этом приближении сог сохранит свое
значение. Первое и второе уравнения дают
<ЬХ Н ^7—~ ©о®у = 0» &у Л Ц—~
J /2
откуда получаем
(Ьх + ctoojc = 0, (by + а®у = 0, (8)
причем
„ (/а-Ж/а-Л)' 2
а== 7 0
Если а < 0, что может иметь место, если разности /з — h и h — /1 имеют
противоположные знаки, т. е. ось Cz является средней осью эллипсоида инер-
инерции, то решения уравнений (8) выражаются через показательные функции,
и при достаточно большом t угловые скорости (ах и (оу могут сделаться сколь
угодно большими. В этом случае вращение вокруг оси Cz неустойчиво.
Можно доказать, что оно будет устойчивым при условии а > 0, т. е. если
начальное вращение задано вокруг оси наибольшего или наименьшего момента
инерции. В этом случае уравнения (8) решаются в тригонометрических функ-
функциях, т. е. решения остаются ограниченными при любом t. До появления ра-
работы А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движений» A892) при-
принимали, что это служит доказательством наличия устойчивости; однако вопрос
этот не столь прост*).
§ 192. Вращение симметричного твердого тела
вокруг неподвижной точки
Уравнения Эйлера упрощаются в случае гироскопа (§ 153),
т. е. твердого т$ла; имеющего ось материальной симметрии и
вращающегося вокруг неподвижной точки, расположенной на
этой оси. Будем обозначать через ^(и/а) экваториальный,
*) См. Ляпунов А. М. Избранные труды. — Ж.\ Изд-во АН СССР, 1948,
с. 453. Строгое доказательство дано Н. Г. Четаевым; см. Ч в т а е в Н. Г\
Устойчивость движения. — 2-е изд. — M.i Гостехиздат, 1955, с. 36, 37,

§ 192. ВРАЩЕНИЕ СИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
59$
через /з — аксиальный момент инерции гироскопа в точке О.
Единичный вектор оси материальной симметрии гироскопа
(оси Oz) обозначим через е (рис. 468).
В этом параграфе и в следующих за ним предполагается,
что главный момент внешних сил относительно оси гироскопа
равен нулю, т. е. что главный момент этих сил относительно-
точки О перпендикулярен к указанной
оси:
m = m(O) . е = 0.
(9)
При этом условии и при J\ = /2 из
третьего уравнения Эйлера D) сле-
следует, что сЬ2 = 0, т. е.
со, = со • е = const.
A0)
Обозначим через ©i составляю-
составляющую вектора угловой скорости ш гиро-
гироскопа в экваториальной плоскости
Оху («поперечную» составляющую со);
тогда
со = щ + (x>ze. (И)
Рис. 468.
Выражение главного момента количеств движения гироскопа
относительно точки О можно представить в виде
К = Л K*i + со^2)
где *ь *2 — единичные векторы двух взаимно перпендикулярных
осей Ох, Оу в экваториальной плоскости; при этом
и, следовательно, будем иметь
Наряду с системой осей Oxyz, неизменно связанной с телом,
введем систему Ox'y'z, вращающуюся с угловой скоростью
(д/ = <о1 + ге. A3)
При г = (Oz имеем о/ = ю, т. е. система Ox'y'z также является
связанной с телом; если же гфюг, то система отсчета Ox'y'z в
своем вращении или отстает от вращения тела или опережает
его, причем плоскость Ох'у' все время совпадает с экваториаль-
экваториальной плоскостью тела.
Выражение производной по времени любого вектора а, поль-
пользуясь системой Ox'y'z, можно, согласно § 68, записать в виде
da
if
d'a
A4)

600 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
причем первое слагаемое определяет вектор, проекции которого
на оси системы Ox'y'z равны производным от соответствующих
проекций вектора а на эти оси, т. е. вычисляются так, как в
случае осей неизменного направления; вращение системы от-
отсчета учитывается вторым слагаемым в правой части равен-
равенства A4).
Применив формулу A4) к вектору К, определяемому по
A2), найдем
поскольку
предыдущее выражение приводится к виду
^ A5)
Применив теорему об изменении момента количеств движения,
получим векторное уравнение вращения гироскопа вокруг точки
на его оси симметрии
4 »х е ™ т@)-
При г = со*, спроектировав это уравнение на взаимно пер-
перпендикулярные оси, лежащие в экваториальной плоскости, снова
получим два первых уравнения Эйлера D). Однако применение
системы осей Ox'y'z, не связанных с телом (г^=(ог), позволяет
во многих случаях, распоряжаясь выбором величины г, упро-
упростить составление уравнений. Напомним, что уравнение A6)
имеет место лишь при условии (9), что видно и из формы этого
уравнения.
§ 193. Регулярная прецессия симметричного тела
В § 153 было дано приближенное выражение главного мо-
момента внешних сил, которые должны быть приложены к гиро-
гироскопу, имеющему угловую скорость собственного вращения g>o,
чтобы сообщить ему угловую скорость прецессии о>*. При этом
предполагалось, что вектор угловой скорости собственного вра-
вращения имеет постоянную величину, значительно превосходящую
величину вектора угловой скорости прецессии. Последний мож-
можно было считать переменным как по величине, так и по направ-
направлению. В этом параграфе рассматривается тот же вопрос об
определении момента внешних сил, которые должны быть при-
приложены к гироскопу, но в предположении, что его движение

§ 193. РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА ^01
представляет собой регулярную прецессию (§ 63), т. е. что век-
вектор угловой скорости собственного вращения имеет постоянную
величину, вектор угловой скорости прецессии — постоянную ве-
величину и постоянное направление, а угол нутации сохраняет
постоянное значение. В этом смысле постановка задачи явля-
является менее общей, чем в приближенной тео-
теории, однако при рассмотрении ее, являю-
являющемся вполне строгим, не делается никаких
предположений об относительной величине
угловых скоростей (оо и со*, что было су-
существенной предпосылкой приближенной
теории.
Обозначим через е и k (рис. 469) еди-
единичные векторы, имеющие направления век-
векторов собственной угловой скорости оо и
угловой скорости прецессии со*; тогда
<а* = (о*й, A7)
причем k — единичный вектор неизменного Рис. 469.
направления, а единичный вектор е вра-
вращается с угловой скоростью со*; поэтому скорость его конца,,
или его производная по времени, будет
Угловая скорость тела, совершающего регулярную прецес-
прецессию, по теореме сложения угловых скоростей вокруг пересекаю-
пересекающихся осей (§71) равна
<о = со0+ <*>*; A9)
ее проекция на ось собственного вращения, т. е.
со • е = со0 + <*>* • е = соо + о* cos 8 = со2, B0)
по условию постоянна. Поэтому можно применить уравнение
A6). Поперечная составляющая wi угловой скорости тела будет
<dj = со — со2е = (*>* — eco* cos 0; B1)
она, как легко видеть, равна составляющей угловой скорости
прецессии в плоскости, перпендикулярной к оси собственного
вращения. Направив ось Oz по оси собственного вращения вдоль
вектора <оо, примем за оси Ох' и Оуг правой системы Ox'y'z про-
проекцию оси прецессии на указанную плоскость и перпендикуляр
к ней. Система осей Ox'y'z вращается с угловой скоростью

¦602 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
прецессии, не участвуя в собственном вращении тела; поэтому в
уравнении A6)
со' = <о*. B2)
Сравнение B1) и A3) дает
г = со* cos Э. B3)
Первое слагаемое в A6) обращается в нуль, так как вектор со*,
имеющий постоянную величину, сохраняет неизменное направ-
направление по отношению к осям Ox'y'z. Получаем по A6)
— h®* cos 9) ©i X ^ = \h (ю0 + ю*cos 0) — Л®* cos 6] o* X e =
или по A7)
m(O) e /3 (*• X co0) A + AziZi i? cos e) . B4)
По F3) § 153 гироскопический момент L, т. е. момент от-
относительно точки О сил инерции гироскопа, совершающего ре-
регулярную прецессию, равен вектору т@> по величине и противо-
противоположен ему по направлению. Таким образом,
+ ^^-?со2е). B5)
Вектор L направлен перпендикулярно к плоскости векторов <оо
и со* в сторону единичного вектора п (по оси Оу*), определяе-
определяемого равенством
Х* _ <*>оХ<*>*
X <*>* I "" соосо* sin 9 •
Действие пары сил, соответствующей гироскопическому мо-
моменту, может быть определено по правилу Фуко (§ 153). Ве-
Величина гироскопического момента дается выражением
L = /зс»осо* sin Э A + /3^7l~cos б) . B7)
К выражению гироскопического момента можно прийти непо-
непосредственно, вычисляя главный момент сил инерции Si =
= —rtiiWi точек тела относительно неподвижной точки.
Формула гироскопического момента упрощается, если оси
прецессии и собственного вращения взаимно перпендикулярны,
т. е.
а— п
Тогда гироскопический момент определится формулой
Х< B8)

§ 193. РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА 60S
и по величине будет равен
L = /3(o0co*. B9)
Формула B8) гироскопического момента применяется в при-
приближенной теории гироскопических явлений и при 6 ф я/2, так
как, если угловая скорость собственного вращения значительно
превосходит по величине угловую скорость прецессии, то второе
слагаемое в B5) пренебрежимо мало, и, отбрасывая его, при-
приходим к формуле B8).
В качестве примера определим при заданном значении угло-
угловой скорости соо собственного вращения и заданном значении
угла 9 отклонения оси гироскопа от вертикали значение угловой
скорости со*, при которой имеет место регулярная прецессия
(рис. 388) тяжелого гироскопа.
Применим формулу B7), имея в виду, что в рассматривае-
рассматриваемом случае m@) = G/sin0, где G — вес гироскопа, / — расстоя-
расстояние от точки опоры до центра тяжести гироскопа. По сокраще-
сокращении на общий множитель sin 6 получим
GI = /Зсо*(о0 + (/з - А) со*2 cos 9, C0)
откуда при заданных соо и G находим два значения угловой ско-
скорости прецессии о*:
* - /3«>о ± лЛХ + т (h - h) cos В
®= 2 (/,-Л) cos в *
Регулярная прецессия возможна, если
У§ю§ + 4GI G3 - Jx) cos 9 > 0. C2)
Если угловая скорость собственного вращения велика, то в раз*
ложении в ряд
+
можно ограничиться написанными слагаемыми. Взяв верхний
знак перед радикалом, получим известную из приближенной
теории формулу F6) § 153
Взяв нижний знак, получим
^ C4)
Угловая скорость <*>* соответствует меОленнощ угловая ckq«
рость ©* — быстрой прецессии*

^604 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Пример 171. Определим в примере 123 § 141 давление бегуна на дно
бегунной чаши (рис. 351).
Внешними силами, приложенными к бегуну, являются сила тяжести G,
нормальная реакция N, сила трения, перпендикулярная к плоскости рисунка,
и реакция неподвижной точки О. Две последние силы не дают моментов от-
относительно оси Ох, так как сила трения ей параллельна, а реакция неподвиж-
неподвижной точки ее пересекает. Таким образом, момент т<°\ определяемый форму-
формулой B4), должен равняться сумме моментов сил G и N. Имеем
сЫ — cG sin Ф — /Зсо*соо sin О A + — /з 7 ^ cos *) I C5>
ч ©о 'з /
подставляя вместо соо его значение, получаем
с sin a V 1% sin (Ф — a)
Здесь /i — экваториальный момент инерции бегуна относительно оси, проходя-
проходящей через неподвижную точку О. По теореме о моментах инерции относи*
тельно параллельных осей
где /\с> — центральный экваториальный момент инерции относительно оси,
проходящей через центр тяжести С бегуна. С достаточной точностью можно
принять
АС) __ 1 t 2- о2
где р — радиус инерции бегуна относительно его оси материальной симме-
симметрии. Окончательно находим
!"^«)Г (|4)^^П C6)
Г1 + (|-4)^^
gc sin a L \ 2 p2 / sin (^ — a)
Пример 172. Условие наилучшего использования ветра в ветряном дви-
двигателе заключается в том, чтобы горизонтальная ось вращения двигателя бы-
была параллельна направлению ветра. Так как последнее изменяется, то двига-
двигатель снабжается приспособлением, автоматически поворачивающим его ось
вокруг вертикали и устанавливающим ее по направлению ветра; подшипни-
подшипникам оси двигателя будут передаваться при этом добавочные гироскопические
реакции, которые требуется определить*).
Свяжем с двигателем систему осей Oxyz, направив ось Ог по оси вра-
вращения колеса, а оси Ох и Оу — в средней плоскости лопастей. Так как лопа-
лопасти располагаются всегда на равных угловых расстояниях, тю при двух и бо-
более лопастях Jx = Jy (см. пример 122); с другой стороны, угол 9 между гори-
горизонтальной осью собственного вращения и вертикальной осью прецессии равен
я/2. Поэтому при двух и более лопастях формула B9) для гироскопического
момента решает задачу. Не останавливаясь на этом, разберем случай двух-
двухлопастного двигателя.
При указанном на рис. 470 направлении осей (ось Ог, перпендикулярная
к плоскости рисунка, не показана; ось прецессии Oz' проведена через центр
*) Сабинин Г. X. Гироскопический эффект ветряных двигателей. -
Труды ЦАГИ. вып. 22t 1926.

§ 194 ГИРОСКОП НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ 605
тяжести), считая массу лопасти распределенной вдоль радиуса, имеем
Перпендикуляр к оси собственного вращения и оси прецессии определяет
направление линии узлов ON. Отсчитывая от нее угол ф и обозначая через ф
и ф угловые скорости собственного вращения и прецессии, которые считаем
постоянными, получаем
sin ф, (иу = ij> cos ф,
(иу = ij> cos ф, оJ
Из уравнений Эйлера D) получаем
ф.
тх = г/ф'ф cos ф
= — — /ф2 cos 2ф.
Раскладывая момент
z' и (Ж находим
тх по направлениям
ф.
К подшипникам оси приложены усилия, мо-
моменты которых равны по величине полученным и Рис. 470.
противоположны им по знаку. Так как ф обычно
мало по сравнению с ф, моментом тг можно пренебречь. Момент ты относи-
относительно горизонтальной оси в случае двухлопастного ветряного двигателя
будет пульсировать с частотой, равной удвоенной угловой скорости двига-
двигателя, от нуля в горизонтальном положении лопасти до максимума в верти-
вертикальном положении:
(т#)пих-2/Ф*'
В случае многолопастного двигателя по B9) имеем
т
'N'
§ 194. Уравнения движения гироскопа
на подвижном основании
Предполагается, что центр масс гироскопа расположен в
точке пересечения трех осей карданова подвеса (рис. 389), т. е.
осей вращения наружного и внутреннего колец и оси вращения
ротора. Применяя теорему об изменении главного момента ко-
количеств движения по отношению к центру масс гироскопа, сле-
следует, отвлекаясь от поступательного движения основания, учесть
вращение последнего.
Вектор угловой скорости вращения основания по отношению
к галилеевой системе осей обозначим через Q; одновременно й
служит угловой скоростью системы осей Cx\y\Zu неизменно сое-
соединенных с основанием; ось Сг\ этой системы (рис. 471) будем
считать направленной по оси вращения наружного кольца
карданова подвеса. Вторую систему осей Схуг, связанную

606
ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
с подвижными осями подвеса, определим следующим образом:
ось Сх направлена по оси внутреннего кольца; ее положение опре-
определяется углом г|), отсчитываемым от оси Сх\ вокруг оси Cz\\
ось Cz направлена по оси вращения ротора; ее направление за-
задается углом 9, отсчитываемым вокруг оси Сх. Наконец, ось
Су перпендикулярна к плоскости Czx и направлена так, что
оси Cxyz образуют правую систе-
систему; очевидно, что ось Су рас-
Рис. 471.
Рис. 472.
положена в плоскости Cz\z и составляет угол (я/2— 6) с осью
Cz\. Поворот ротора вокруг оси Cz задается углом ср. Углы -ф,
6, ф представляют собой три эйлеровых угла — углы прецессии,
нутации и чистого вращения, а ось вращения внутреннего коль-
кольца Сх — линию узлов. На рис. 472 плоскость внутреннего кольца
Czx изображена в положении, перпендикулярном к оси враще-
вращения Cz\ наружного кольца, так что 9 = я/2; ось Су в этом по-
положении располагается вдоль оси Cz\. Оси Схх и Су и связанные
с основанием, не показаны.
В дальнейшем через п, п', е обозначим единичные векторы
осей Сх, Су, Cz. Единичный вектор направления, составляющего
прямой уг,ол с линией узлов Сх и расположенного в плоскости
Сх\у\ под углом \|э + я/2 к оси Схи будем обозначать пи а еди-
единичный вектор оси наружного кольца Cz\ — через k (рис. 471);
тогда
k = е cos 9 + ri sin 9. C7)
Угловая скорость со' системы осей Cxyz относительно гали-
леевой системы определяется соотношением
ф в. C8)

§ 194 ГИРОСКОП НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ qqj
Угловая скорость ротора © отличается от ©' слагаемым еф,
представляющим собственное вращение ротора
<о = ю' + еф. C9)
Будем пренебрегать трением в подшипниках оси ротора;
тогда проекция момента внешних сил т(С) на ось вращения ро-
ротора будет равна нулю и уравнение вращения ротора можно
составить в форме A6). Вычислим величины, входящие в это
выражение; имеем по A3) и A0)
г = ю' . е = Q • е + \j)fe • е = Q2 + 'ф cos 9, сог = <о • е = г + ф. D0)
Поперечная (перпендикулярная к оси вращения ротора) состав-
составляющая ©1 угловой скорости а/ (или со), как нетрудно видеть,
равна (рис. 471)
coj = (Qx + в) п + (Qy + ф sin 6) п\ D1)
Поэтому, замечая, что
получаем
— (Q* + в) я' + (Qy + \j) sin 9) л.
Наконец,
/Зсо2 - /хг = /Зф + (/3 - Л) г = /Зф + (/8 - Л) (Q* + ф cos 6). D2)
Можно написать также
/3©2 — hr = (/3 — /0 ©г + 1{ф. D3)
После подстановки в A6) и выделения коэффициентов при еди-
единичных векторах п и п' придем к следующим двум дифферен-
дифференциальным уравнениям движения гироскопа в кардановом под-
подвесе на подвижном основании:
+ [/3Ф + (h - Л) (Q* + ¦ cos 6)] (Q, + ф sin 9) = mf,
+ itsine)- D4)
- [/зФ + (/8 - Л) (Qz + ¦ cos 9)] (9 + Qx) = mf\
Здесь т^С), mj,C) —главные моменты внешних сил относительно
оси вращения внутреннего кольца и относительно перпендику-
перпендикулярного к этой оси, а также оси вращения гироскопа направле-
направления. В полученные уравнения входят проекции угловой скорости
вращения основания на оси системы Cxyz. Они могут быть

608
ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
выражены через проекции этого вектора на оси, связанные с
основанием. Для этого заметим, что (рис. 471)
= (Q*, cos
и что
Qyi sin\|)) n + (— QXl sin ^ + Q^ cos а|э) щ +
+ Q2l cos Qe + Q2l sin Qn'
щ = л'cos 9 — e sin 8;
выделив множители при я, п\ е, получим
Qx = Qjc, cos я|) + Qyi sin i|?,
Q^ == (— QXi sin i|) + Qyi cos i|)) cos 9 + &zx sin 8, D5)
Q2 = — (— QXl sin i|) + Q^t cos -ф) sin 9 + QZx cos 9.
На дифференциальных уравнениях движения гироскопа в
кардановом подвесе на подвижном основании базируется теория
применений гироскопа как указателя направления и измерителя
угловой скорости (гиротахометра) и углового ускорения (гиро-
тахоакселеромётра).
Рис. 473.
Гиротахометр. Если закрепить наружное кольцо отно-
относительно основания и совместить его ось вращения Cz\
(рис. 473) с осью вращения основания, то я|з = 0 и по D5)
Йя = 0, 0^ = 0 sin 9, Q2 = Qcos9, D6)
где Q — изменяемая угловая скорость основания (Q = feQ). По
первому уравнению D4) имеем
/хв + [/Зф + (/з - Л) & cos 9] Q sin 9 = m{?\

§ 194. ГИРОСКОП НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ 609
Начальное направление оси гироскопа возьмем перпендикуляр-
перпендикулярным к вектору Q и будем считать, что ось гироскопа мало от-
отклоняется от этого положения, т. е. 6 = зт/2 + б, где б — малая
величина; тогда sin 0 = cos б» 1 и, полагая |ф|>?2, получаем
Чтобы осуществить измерительный прибор, присоединим к
внутреннему кольцу пружину жесткости с, другой конец кото-
которой закреплен в корпусе прибора (рис. 473), так что момент
упругой реакции пружины относительно оси вращения внутрен-
внутреннего кольца оказывается пропорциональным отклонению этого
кольца от начального положения. Для гашения колебаний при-
прибора внутреннее кольцо соединено также с поршнем катаракта
(§ 98, пример 91), цилиндр которого закреплен в корпусе при-
прибора. При этих условиях
и дифференциальное уравнение вращения внутреннего кольца
будет иметь вид
б + 2nd + ?26 = — lf-Q, D7)
где 2n = p//i и k = л/c/Ji — частота свободных колебаний при-
прибора. Известно (§ 96), что если эта частота достаточно велика,
то прибор будет следить за измеряемой величиной статически,
т. е. можно с достаточной точностью, не учитывая колебаний
прибора, принять
т.е. U —
Гиротахоакселерометр. Если допустить возможность
вращения наружного кольца относительно основания, соединив
его с основанием упруго (рис. 474), то придем к схеме прибора,
с помощью которого угловую скорость основания можно изме-
измерить по углу поворота внутреннего кольца, а его угловое уско-
ускорение — по углу поворота наружного кольца. Как выше, счи-
считаем ось вращения наружного кольца направленной по оси
вращения основания. Тогда при весьма большой угловой ско-
скорости собственного вращения гироскопа дифференциальные
уравнения D4) после подстановки значений QXi Qy и Qz no D6)
примут вид
/i 4f К* + U) sin 8] - /Зф9 = mf.
20 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

610
ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Как выше, положим 9 = я/2 + б, гДе б мало, т. е. примем, что
начальное положение (б = 0) оси гироскопа перпендикулярно
к оси вращения основания. Примем также
т\
(С) — _
т. е. предположим, что прибор снабжен двумя пружинами: пер-
первая пружина жесткости с\ присоединена концами к внутрен-
внутреннему и наружному кольцам подвеса, а вторая — жесткости с2 —
Рис. 474.
к наружному кольцу и корпусу прибора, неизменно соединен-
соединенному с основанием. Момент т{?] относительно оси вращения
наружного кольца может быть заменен двумя моментами
(С)
Действие момента тг эквивалентно паре сил, передаваемой
наружному кольцу через подшипники внутреннего кольца; эта
пара уравновешивается парой сил реакций в подшипниках меж-
между наружным кольцом и корпусом прибора. Наличие момента
m{z] не влияет на уравнения движения ротора гироскопа; по-
последние при замене sin 6 на 1, т. е. при пренебрежении членами
лорядка б2, принимают вид
Лб + /зфф + cfi = - /3фЙ, /rt> - /Зф6 + с2$ = - /Д D8)
Чтобы прибор следил за измеряемыми величинами, углы по-
поворота внутреннего и наружного колец карданова подвеса б и
я|) в каждый момент времени должны быть пропорциональны

§ 194. ГИРОСКОП НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ 611
значениям в этот момент угловой скорости и углового ускоре-
ускорения основания Q и Q. Решение системы уравнений D8) должно
дать указание, какие требования следует наложить на выбор
определяемых конструкцией прибора постоянных
U2 Cl U2 С* 1
чтобы обеспечивалось соблюдение указанных условий.
Величины k\ и k2 представляют собой частоты свободных
колебаний внутреннего и наружного колец при невращающемся
роторе. Наличие вращающегося ротора обусловливает появле-
появление в дифференциальных уравнениях D8) гироскопических чле-
членов (§ 165).
В уравнении для координаты 6 этим членом является про-
произведение гироскопического коэффициента 712 = /зф и обобщен-
обобщенной скорости яр, в уравнение же для координаты г|э входит
произведение обобщенной скорости б на гироскопический коэф-
коэффициент 721 = —Yi2 = —/зф той же величины, но противопо-
противоположного знака.
Ограничимся рассмотрением случая вращения платформы по
гармоническому закону с частотой р:
Q = Qo sin pt, Q = pQ0 cos pt.
Дифференциальные уравнения D8) принимают вид
6 + Я-ф + k\b = — XQ0 sin pt, чф — Я6 + kh = — P®o cos pt. E0)
Их интегрирование проводится способами, которые применя-
применялись в §§ 186 и 189 при рассмотрении свободных й вынужден-
вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы.
Общее решение системы дифференциальных уравнений E0)
является суммой общего решения однородной системы
К + Щ + $Ьо = 0, ф0 - Яб0 + kl% = 0, E1)
представляющего колебания, имеющие частоты свободных ко-
колебаний, и частного решения системы E0).
Частное решение бо, "фо однородной системы E1) можно
искать в виде гармонических колебаний одинаковой частоты,
отличающихся по фазе на я/2:
60 = A sin (ot + a), % = B cos {at + a), E2)
Подстановка в E1) приводит к двум уравнениям
{k\ - а2) А - ХоВ = 0, - ХоА + (k2 - а2) В = 0, E3)
из которых находим
Р~~ А ~ Хо ~~^|^2- E4)
20*

612 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для определения а2 получаем характеристическое уравнение
D (а) = (*? - a2) (kl - а2) - К2о2 «= «т4 - (Х2 + k\ + kl) а2 + k\k% =
= (о2-в2) (о2-at) E5)
(здесь о2\ и at — корни этого уравнения). Каждому из этих
корней соответствует частное решение системы уравнений E1):
6<1) = C1sin((T^ + a1),
¦g> = Dx cos (axt + ax) - ^C{ cos (^ + at), E6)
6f = C2 sin (a2/ + a2), *») - P2C2 cos (a2t + a2),
где множители pi и р2 определяются по E4) при замене а на
0i и соответственно на ог2-
fcf — a| Xcrj k\ — o\ Xa2
Сумма частных решений E6)
б0 = d sin (ai + Щ) + C2 sin (a2/ + a2),
a,) ( )
содержит четыре произвольных постоянных С\, С2, ai, a2 и по-
поэтому представляет собой общее решение однородной системы
E1).
Частное решение неоднородной системы дифференциальных
уравнений E0) ищем в виде гармонических колебаний ча-
частоты р
6i = A sin pty tyi = W cos pt. E9)
Подстановка в E0) приводит к двум линейным уравнениям,
определяющим амплитуды 4и?:
(Щ - р2) А - XpW = - Яйо, - ЯрА + (Щ - р2) У = - pQ0. F0)
Определитель этой системы, согласно обозначению E5), равен
O(p) = (p2-orf)(p2-a|), F1)
и решения ее будут
д*1 *—?&(*?+tf-j*). F2)

§ 194. ГИРОСКОП НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ 613
Теперь составляем по E8) и F2) общее решение системы
уравнений E0):
б = С, sin (oxt + а{) + С2 sin (a2t + а2) - -щ^- k\ sin pt,
¦ф = C,p, cos (ст,/ + а,) + C2p2 cos (a2t + a2) - F3)
Произвольные постоянные определим по начальным условиям
при / = 0 6 = 0, 6 = 0, ф = 0, -ф = 0, F4)
выражающим, что в момент начала измерения прибор нахо-
находится в покое. Из первого и четвертого условий получаем
С! sin си + С2 sin a2 = 0, MA sin <*i + рг^Ог sin a2 = °> F5)
откуда следует, что sin o&i =¦ 0, sin a2 = 0. Второе и третье усло-
условия F4) дают два уравнения
РА + PA-^j-(*? + *»-/*). F6)
решив которые с учетом формул E7), найдем С\ и С2. Подста-
Подставив эти значения в F3), получим искомое решение
F7)
*?(*? +X»-p^) (a?-^) C°8ff2
Корни характеристического уравнения E5) таковы:
Угловая скорость собственного вращения ротора всегда весьма
велика, к2 ~^> k\-\- k\ и тем более /V2 ^> 2k\k,2. Разлагая в ряд
выражение, содержащее радикал, получаем приближенно
9ОО ktkc, ktkn CiCn
о\ А,2 (/Зч>J
F8)

614 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Наличие одной весьма большой частоты свободных колеба-
колебаний и другой, сравнительно малой, является характерным при-
признаком гироскопических приборов. Частоту р измеряемых коле-
колебаний будем считать малой по сравнению с низшей частотой
02*) свободных колебаний:
<L <б9>
При этих условиях выражение D(p) можно представить в виде
D (р) « а\о\ A - \х2) = k\k\ A - \х2) « k\k\ G0)
и приближенное значение угла поворота внутреннего кольца бу-
будет
6 ~ f sin pt f- -^-f- sin axt + ~ \x sin a2t. G1)
Второе слагаемое представляет колебание весьма высокой ча-
частоты и чрезвычайно малой амплитуды. Его можно отбросить.
Заметим далее, что выражение
XQo . j /зф г\ • j. *
5~ sin /7/ = — il0 Sin p/ = Ост
к\ СХ
представляет то отклонение, которое получило бы внутреннее
кольцо, если бы прибор следил за измеряемыми величинами
статически, т. е. имело бы место равновесие колец относительно
платформы; действительно, при 6 = 0, 6 = 0 и ф = 0 из E0)
получаем
б = 6СТ = - ^- sin pt = - ^-Qo sin pt. G2)
k\ cx
Обозначая через 6JJJ? амплитуду бст, приведем G1) к виду
6 ^ — бсОт (sin Р* — Р sin a2f). G3)
Искажение, вносимое прибором, определяется наложением на
слагаемое, пропорциональное измеряемой угловой скорости,
колебаний малой амплитуды, имеющих высокую по сравнению
с измеряемой частоту о2- Точность измерения углового ускорения
по углу отклонения наружного кольца оказывается худшей. Дей-
*) В приборах, применяемых в автопилотировании, o*i ^ 3000 1/с, а2 «
« 50 1/с. См. Граммель Р. Гироскоп. Его теория и применения. В 2-х то-
томах. Т. II. — М: ИЛ, 1952, с. 224.

§ 194. ГИРОСКОП НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ 615
ствительно, обратившись ко второму выражению F7), найдем
по G0)
{kp +х)~рп ~~4" G4)
Второе слагаемое в выражении F7) для г|э представляет высо-
высокочастотное колебание частоты в\ с весьма малой амплитудой;
им можно пренебречь. Остается оценить амплитуду третьего
слагаемого; имеем
k\o\
Получаем
я|з « — -2-^- (cos pt — cos o2t), G5)
т. е. на отклонение наружного кольца, пропорциональное изме-
измеряемому угловому ускорению, накладываются колебания той же
амплитуды, имеющие частоту свободных колебаний аг. По-
Поэтому прибор может служить для измерения углового ускоре-
ускорения при введении демпфера, способствующего быстрому зату-
затуханию свободных колебаний.
Простые выражения G3) и G5) углов б и ф получены из
точных формул F7) путем пренебрежения высокочастотными
колебаниями малых амплитуд и упрощений, которые были сде-
сделаны в предположении, что собственная угловая скорость ро-
ротора весьма велика по сравнению с частотами свободных коле-
колебаний колец подвеса при невращающемся роторе. Но на этом
же предположении основывалась приближенная теория гиро-
гироскопа (§ 153). Поэтому следует ожидать, что, исходя из этой
теории, можно непосредственно прийти к упрощенным диффе-
дифференциальным уравнениям для углов б и г|), минуя громоздкий
путь составления точных уравнений D8), нахождения их реше-
решений и последующего упрощения этих решений.
Считая вектор момента количества движения К направлен-
направленным по оси ротора и равным по величине /Зф, из рис. 474 сразу
видим, что конец этого вектора, вследствие вращения вокруг
осей внутреннего и наружного колец карданова подвеса с угло-
угловыми скоростями 0 = 6 и (ф + ?!)> получает скорость я, проек-
проекции которой на оси Сх и Cz\ при пренебрежении малыми вто-
второго порядка будут равны

616 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Приравняв эти проекции моментам внешних сил относи-
относительно соответствующих осей, придем к уравнениям
/зФ (¦ + О) = — с А - /зФ* =
которые можно было бы получить, отбросив в D8) слагаемые,
зависящие от угловых ускорений.
В решение этой системы двух дифференциальных уравнений
первого порядка войдут две произвольные постоянные; поэтому
при упрощенной постановке задачи можно задать только два
начальных условия; примем, что
при / = 0 6 = 0, ф = 0. G7)
Тогда из самих дифференциальных уравнений G6) получим
при / = 0 6 = 0, ij) = — Q@). G8)
Исключим из системы G6) переменную tf>; для этого продиффе-
продифференцируем по времени второе уравнение, после чего заменим -ф
его значением из первого уравнения. Придем к уравнению
Как выше, примем, что угловая скорость платформы изменяется
по синусоидальному закону, т. е. что Й = Qo sin pt. Угол пово-
поворота внутреннего кольца будет приближенно пропорционален
измеряемой угловой скорости, т. е. это кольцо будет следить
за измеряемой величиной статически, если частота свободных
колебаний прибора значительно превосходит частоту изменения
угловой скорости (§ 96); это приводит к уже ранее указанному
условию F9)
или ? = |*<1; (80)
выражение бст, получаемое по G9), также имеет ранее установ-
установленный вид G2). Остается отметить, что решение дифферен-
дифференциального уравнения G9) при начальных условиях G7) и G8)
имеет вид [ср. § 96]
/3ф ог2 - Р
6<о)
= — -fzr^r (sin pt — \i sin a2t). (81)
Пренебрегая величиной \i2 по сравнению с единицей, снова по-
получаем G3).
Как видно из второго уравнения G6), угол поворота наруж-
наружного кольца пропорционален угловой скорости внутреннего коль-

1QR ГИРОСКОПЫ ФУКО
617
ца. На этом и основывается идея применения наружного кольца
как измерителя углового ускорения основания, так как угол
поворота внутреннего кольца измеряет угловую скорость. Но
последнее измерение сопровождается ошибкой, возникающей
от наложения на движение внутреннего кольца его свободных
колебаний. Эта малая ошибка резко возрастает при дифферен-
дифференцировании. Действительно, по G6), (80; и G3) получаем
¦ (cos pt — со» <г<Д (82)
A
т. е. снова выражение G5), в котором, как указывалось выше,
ошибка измерения имеет порядок измеряемой величины угло-
углового ускорения. Сказанное объясняет также необходимость га-
гашения свободных колебаний колец карданова подвеса.
§ 195. Гироскопы Фуко
В опытах Фуко подвижным основанием является Земля; ось
вращения наружного кольца Cz\ (рис. 475) направим по верти-
Рис. 476.
кали места, ось Сх\ — в плоскости горизонта на север, ось
Су\ — в этой же плоскости на запад. Тогда
Q^ = QcosA,, Q^ = 0, QZl = QsinA,, (83)
где Q — угловая скорость Земли, к — северная широта места.
Ось вращения внутреннего кольца расположена в плоскости го-
горизонта.
В гироскопе Фуко первого рода внутреннее кольцо закреп-
закреплено в плоскости горизонта, так что 8 — я/2 (рис. 476); в этой

618
ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
же плоскости должна оставаться ось вращения ротора Сг, при-
причем в тот момент, когда эта ось располагается в плоскости ме-
меридиана, угол я|) равен 90°, а ось Сх перпендикулярна к плоско-
плоскости меридиана и направлена на запад. Обозначая через % угол
Рис. 477.
отклонения оси гироскопа Cz от плоскости меридиана, отсчи-
отсчитываемый с востока на запад, получаем ф = я/2 + %. Располо-
Расположение осей показано на рис. 477. По D5) имеем
Qx = — QcosA, sinx, Q|/ = Qsin^, Qz = Q cos A, cos %. (84)
Ось Су совпадает с осью вращения наружного кольца; пре-
пренебрегая трением, имеем поэтому т(С) = 0; и наоборот,
т^ Ф 0, так как к внутреннему кольцу должен быть прило-
приложен некоторый момент реакций относительно оси Сх, чтобы
предотвратить вращение кольца вокруг этой оси. Величина
этого момента (здесь и далее массами колец пренебрегаем)
определяется по первому уравнению D4):
> = — JX%Q cos Я cos % + G3ф + (/3 ~" Л)Q cos Л cos x] X
Второе уравнение D4) приводит к соотношению
hi + 1УзФ + (h — Л)й c°s A, cos х] й cos Я sin % = 0. (85)
При ф»?2 уравнение движения упрощается и принимает вид
Ji% + /Зфй cos A, sin х = 0. (86)
Пусть ф > 0, т. е. вращение ротора происходит против ча-
часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего с его северного
конца, так же как вращение Земли, наблюдаемое с Северного
полюса. Уравнение (86) в этом случае соответствует маятнику,

§ 195 ГИРОСКОПЫ ФУКО
619
для которого х = 0 является положением устойчивого равнове-
равновесия; ось ротора, будучи выведена из плоскости меридиана,
начнет совершать, подобно маятнику, колебания около сред-
среднего положения в этой плоскости. Период этих колебаний, счи-
считая их малыми, найдем по формуле
т = 2я
\ cos X '
(87)
При ф < 0 положение % = О оси ротора соответствует поло-
положению неустойчивого равновесия маятника; будучи помещена
в это положение, ось ротора должна подобно маятнику опро-
опрокинуться в положение % = я, в котором конец вектора е на-
направлен на юг, а конец вектора собственной угловой скорости
еф—снова на север.
Рис. 478.
Рис. 479.
В гироскопе Фуко второго рода (рис. 478) наружное кольцо
закреплено, а ось вращения Сх внутреннего кольца направлена
на запад перпендикулярно к плоскости меридиана; при этом
угол г|) = я/2. Ось вращения ротора, располагаясь в плоскости
меридиана, может вращаться в ней вокруг оси внутреннего
кольца. Расположение осей показано на рис. 479. По D5) по-
получаем
Qx = О, пу = — Q (cos X cos 9 — sin X sin 9) = — Q cos (X + 0),
Момент внешних сил относительно оси вращения внутреннего
кольца, если пренебречь трением, будет равен нулю, и по

620 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
первому уравнению D4) находим
Л§ ~ [/8ф + (h ~ Л) Q sin (Я + 0)] Q cos (k + Q) = 0. (89)
Введем в рассмотрение угол б = X + 6 — я/2. При 6 = 0
имеем 9 = я/2— Я, т. е. ось гироскопа располагается парал-
параллельно оси Земли; поэтому б определяет отклонение оси гиро-
гироскопа от земной оси, причем б > 0 при 0 > я/2 — X, т. е. при
отклонении оси гироскопа к северу. Находим
J{'6 + [73ф + (У3 ~ /i) Q cos 6] Q sin б = 0, (90)
что при ф > Q приводит к уравнению типа уравнения колеба-
колебаний маятника
/1б + /зфЙ8тб = 0. (91)
Период колебаний не зависит от широты места и в случае ма-
малых колебаний равен
VS- (92)
В положении относительного равновесия (при 6 = 0) ось ги-
гироскопа составляет с плоскостью горизонта угол, равный ши-
широте места.
Теория гироскопов Фуко первого и второго рода указывает
на принципиальную возможность, не прибегая к астрономиче-
астрономическим наблюдениям, во-первых, установить плоскость меридиана
и, во-вторых, географическую широту места. Величина /фЙ,
пропорциональная моменту пары, вызывающей поворот оси ги-
гироскопа, весьма мала вследствие малости угловой скорости
Земли. Например, для маховика массой 2 кг с радиусом инер-
инерции 8-10 м при ф = бООя 1/с, имеем
.. ~ 2 • 64 . 600л • 2я t -- , п-з tj
/(РЙ = 24Т602 ~ 1'75' 10 Н ' М'
При моменте такой величины сила трения в подшипниках
и силы сопротивления воздуха могут исказить явление. Источ-
Источником других ошибок является несовпадение точки пересечения
осей Сг, Сх и Cz\ с центром тяжести ротора. Появляющийся
вследствие этого момент силы тяжести может быть величиной
того же порядка, что и отклоняющий момент /3фЙ. Фуко, поль-
пользуясь своим гироскопом, мог только качественно установить
факт вращения Земли и направление этого вращения, но не
определил величины угловой скорости; для определения плоско-
плоскости меридиана и широты места гироскопы Фуко практически
непригодны. Попытки построения гироскопического компаса,
основанные на устранении указанных конструктивных несовер-
несовершенств, не привели к положительным результатам, и в перво-

§ 195. ГИРОСКОПЫ ФУКО g21
начальную идею гироскопа Фуко первого рода потребовалось
внести существенно новые принципы. Изложение теории гиро-
гироскопического компаса дается в специальных трудах по теории
гироскопа *).
В заключение рассмотрим случай, когда свобода вращения
обоих колец карданова подвеса ничем не ограничивается (сво-
(свободный гироскоп). Правые части дифференциальных уравнений
A6) то^да обращаются в нуль. Воспользовавшись соотношением
D3), можно эти уравнения переписать в виде
«U + ( 37 ' <°г + Ф) Щу = О,
Введем в рассмотрение комплексную величину
(94)
тогда, умножив второе уравнение (93) на i и сложив его с пер-
первым, придем к линейному дифференциальному уравнению пер-
первого порядка
Уз 7 Л со + ф)?/ = 0 (95)
общее решение которого легко находится:
^ = (уоеЧФ+[('з-Л)/'1]"гН. (96)
Таким образом, вектор поперечной угловой скорости юь соот-
соответствующий комплексному числу С/, совершает, сохраняя свою
величину, колебание около своего начального значения <о^;
частота v этого колебания равна
^Ф + ЛуГ10- (97)
При большой угловой скорости собственного вращения
| ф | > | со2 — ф |
*) К у Д р е в и ч Б. И Теория и практика гироскопического компаса. —
Л.: 1929; Крылов А Н., К р у т к о в Ю. А. Общая теория гироскопов
и некоторых технических их применений. — Л.: Изд-во АН СССР, 1932;
Крылов А. Н. О теории гирокомпаса Аншютца. — Собрание трудов.
Т. И. —М. — Л.: Изд-во АН СССР, 1943, с. 127—173; Николаи Е. Л.
Теория гироскопов. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948; Граммель Р. Гироскоп.
Его теория и применения. Т. II. — М.: ИЛ, 1952, Булгаков Б. В.
Прикладная теория гироскопов. — 2-е изд — М.: Гостехиздат, 1955; Маг-
Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. — М.: Мир, 1974; Меркин Д. Р.
Гироскопические системы. — М.: Наука, 1979.

622
ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
можно приближенно принять
ф.
При малом начальном возмущении ы\0) и при достаточно боль-
большой угловой скорости собственного вращения ось гироскопа
должна в среднем сохранять начальное направление неизмен-
неизменным в пространстве, совершая около этого направления мелкие
высокочастотные дрожания (см. § 153).
§ 196. Задача о «спящем волчке»
Рассмотрим задачу о движении симметричного тела враще-
вращения (гироскопа, волчка), опирающегося острием в неподвижной
точке. Известно, что если сообщить волчку достаточно большую
угловую скорость вокруг оси материальной симметрии, распо-
расположенной вертикально, то эта ось будет сохранять вертикаль-
вертикальное положение и в том случае, когда центр тяжести волчка на-
находится выше точки опоры («волчок спит»). Если сообщить
вращающемуся волчку небольшой толчок, то ось начнет совер-
совершать малые колебания около вертикали.
Казалось бы естественным при составлении уравнений дви-
движения за независимые обобщенные координаты принять три
обычно выбираемых эйлеровых
угла: угол нутации 6 — между
осью волчка и вертикалью, угол
прецессии -ф — между линией уз-
узлов (перпендикуляром к плоско-
плоскости, содержащей вертикаль и ось
волчка) и некоторым фиксиро-
фиксированным направлением в гори-
горизонтальной плоскости, и, нако-
наконец, угол чистого вращения ср.
При этом выборе углов угол 9
при малых отклонениях оси от
вертикали остается малым, но
того же нельзя сказать про угол
г|), который может расти неогра-
неограниченно. А. Н. Крылов указал
в теории корабля другой способ выбора эйлеровых углов (§ 59),
определяющих положение оси, свободный от указанного недо-
недостатка; при этом выборе углы, определяющие положение, на-
например мачты на корабле, остаются малыми при малых коле-
колебаниях корабля.
Пусть O^rfe (рис. 480) будет системой осей неизменного на-
направления с началом в точке опоры гироскопа, причем ось Og
Рис. 480.

§ 196 ЗАДАЧА О «СПЯЩЕМ ВОЛЧКЕ» g23
направлена вертикально вверх. Чтобы ориентировать в этой си-
системе осей направление оси гироскопа Oz, спроектируем ее на
плоскость Otfe. Угол между осью Oz и плоскостью O?g, т. е.
между Oz и ее проекцией Оа на эту плоскость, обозначим через
Р, а угол лежду направлением Оа и осью О? — через а. Оба
угла аиC остаются малыми при малых отклонениях оси Oz от
вертикали О?. Третьим углом, определяющим положение гиро-
гироскопа, является угол чистого вращения ф вокруг оси Oz. Отсчет
угла а производится от оси О? к направлению Оа вокруг пря-
прямой, перпендикулярной к плоскости этого угла, т. е. вокруг оси
Оц. Плоскость, в которой расположен угол C, по построению
перпендикулярна к плоскости ?О|, т. е. содержит ось Оц. По-
Поэтому перпендикуляр к плоскости угла р перпендикулярен, во-
первых, к прямой Оа, во-вторых, к оси Оц, т. е. расположен в
плоскости ?О| под углом а к оси О| (и углом я/2 + а — к оси
О?). Ось Охг направим по этому перпендикуляру, угол р отсчи-
отсчитываем от Оа к Oz, поэтому поворот на угол р, наблюдаемый
с конца оси Ох', происходит по часовой стрелке и соответствую-
соответствующая проекция угловой скорости гироскопа на эту ось равна
—р. Рассмотрим еще направление Оу'', перпендикулярное к пло-
плоскости Ozxr и такое, что система Ox'y'z является правой; оно
расположено в плоскости т]О;г, перпендикулярной к оси Ох', и,
будучи перпендикулярно к Oz, составляет угол р с осью От].
В плоскости Ох'у' расположены оси Ох и Оу (не показан-
показанные на рис. 480) системы осей Oxyz, связанной с вращающимся
гироскопом; система же осей Ox'y'z является подвижной в про-
пространстве и в теле гироскопа, так как она не участвует в соб-
собственном вращении последнего. Проекция г угловой скорости
системы Oxryfz на ось Oz, как видно из рис. 480, равна
г = a sin P, (98)
тогда как проекция на эту ось угловой скорости гироскопа (си-
(системы осей Oxyz) будет
шг == ф + d sin p. (99)
Поперечные составляющие векторов <о к ©'— угловых скоростей
систем Oxyz и Ox'y'z — равны друг Другу; они определяются
вектором (Oi, проекции которого на оси Ох' и Оу' даются выра-
выражениями
Ю1х/==—¦ р, coi^ = acosp. A00)
Заметим теперь, что внешние силы — сила тяжести G и реак-
реакция опоры О — не создают момента относительно оси гироскопа:
m<°>«e = 0 (е— единичный вектор оси Oz), Поэтому (ог =
а» const, и для составления уравнений движения гироскопа
может быть применено векторное уравнение A6). Остается

624 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
вычислить главный момент внешних сил т@), т. е. момент силы
тяжести G относительно неподвижной точки О:
т<°> = 1е X G = - IGe X К
где k — единичный вектор вертикали (рис. 480), а / — расстоя-
расстояние центра тяжести С от точки опоры. Обозначим через п и п'
единичные векторы осей Ох' и Оу'. Тогда можно написать
k = — п sin а — п! cos а sin р + е cos а cos р. A01)
Замечая, что
еХ« = л', еХл/ = -я, е X е = 0»
получаем
т{0) = IG (п' sin а — п cos а sin p),
т. е.
т(О) = _ /Q cos а sin ^ m(O) ^ iq sin а# (юг)
Остается спроектировать A6) на оси Ох' и Оу'. Имеем
(о{ X е = (— яр + n'd cos P) X в = и'р + л« cos p
и по A6) получаем
— /iP + (h^z — JA sin P) a cos p = — ZG cos a sin P,
d • A03)
J{ -?j (a cos P) + (/3co2 — /ха sin p) p = IG sin a.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая малых
отклонений оси волчка от вертикали и сохраним в уравнениях
движения только члены, линейные относительно малых углов
а и р и их производных по времени. Придем к системе урав-
уравнений
ЛР - /з©г« = /GP, /ia + /Зсогр = /Ga. A04)
Эти уравнения имеют типичную гироскопическую структуру. Как
и в уравнения D8) движения гиротахоакселерометра, в урав-
уравнение, содержащее а (уравнение для координаты а), входит
произведение обобщенной скорости р и проекции /3aJ главного
момента количеств движения на ось гироскопа; в уравнение для
координаты р также входит гироскопический член — произве-
произведение множителя /3(о2 на обобщенную скорость, соответствую-
соответствующую другой координате а, но взятое с противоположным зна-
знаком. Гироскопическую структуру имеют уравнения E1) § 167 от-
относительно движения тяжелой точки на вращающейся Земле, в
которых роль гироскопических членов выполняют слагаемые,
происходящие от кориолисовой силы инерции. Таковы же урав-
уравнения F0) § 169 колебаний маятника Ф}ко.

§ 196 ЗАДАЧА О «СПЯЩЕМ ВОЛЧКЕ» б25
Одинаковость коэффициентов при искомых функциях и их
вторых производных в первом и втором уравнениях A04) позво-
позволяет упростить решение, применив прием, уже использованный
ранее при рассмотрении свободного гироскопа в кардановом под-
подвесе (§ 195) и теории маятника Фуко (§ 169). Вводим комплекс-
комплексную величину
при малых аир представляющую в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к оси гироскопа, комплексную координату конца единич-
единичного вектора е — вершины гироскопа. Тогда, умножив первое
уравнение A04) на i и сложив его со вторым, получим вместо
системы двух дифференциальных уравнений одно уравнение
y-;xy-?2y = o, A05)
где
Частное решение уравнения A05) ищем в виде
у = Се1 {qt+6),
где С и б — вещественные постоянные. Для определения q полу-
получаем уравнение
<72-Л<7 + ?2 = 0, A07)
корни которого равны
<71=-5(Я + Уя2-4А:2), ?2 = 1(л_у?Г=^). (Ю8)
Они вещественны при условии
X2>4k2 или /|<о| > 4/G/i, A09)
т. е. при достаточно большой угловой скорости собственного
вращения гироскопа. Если же имеет место неравенство проти-
противоположного знака, то уравнение A07) будет иметь комплекс-
комплексные сопряженные корни вида
<7i = y(*, + 2/|i), %в-^(я,-2^), Li=ly4F^?. A10)
В первом случае общее решение дифференциального уравнения
A05) имеет вид
у ==
а во втором
у =

626 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Отделив вещественные и мнимые части, получим соответственно
а = С, cos (qlt + 61) + C2 cos (q2t + б2),
p = С, sin fa,f + б,) + C2 sin Ш + 62) ( U
в первом случае и
а = С,е-»* cos (-^ + б,) + С^' cos (-у- + б2) ,
E1/ \ / 7 t \ > '
во втором случае.
Таким образом, при соблюдении условия A09) общее ре-
решение A11) уравнений A04) выражается через тригонометри-
тригонометрические функции времени, т. е. остается ограниченным при лю-
любом t; если же указанное неравенство не соблюдается, то в вы-
выражение общего решения A12) этих уравнений войдут члены,
неограниченно возрастающие с ростом t. Поэтому неравенство
A09) является необходимым условием устойчивости «спящего
волчка». Было бы гораздо труднее доказать, что оно является
также достаточным.
Выше предполагалось, что волчок может свободно повора-
поворачиваться вокруг точки опоры О. Если же волчок вставлен своим
острием в прямолинейный паз, так что ось волчка должна оста-
оставаться в вертикальной плоскости, проходящей через этот паз,
то устойчивость вертикального положения оси, когда центр тя-
тяжести расположен над опорой, не может быть достигнута, сколь
бы ни была велика угловая скорость собственного вращения.
Действительно, пусть паз расположен по оси О|, так что ось
волчка принуждена находиться в плоскости О??; тогда |3 = 0
и из второго уравнения A04) получаем
Jla = lGsma. A13)
Угловая скорость собственного вращения не вошла в это урав-
уравнение; она войдет в первое уравнение A04), в правую часть
которого следует внести добавочное слагаемое, выражающее
момент реакции паза, который из этого уравнения и опреде-
определится.
Уравнение (ИЗ) соответствует случаю физического маят-
маятника, для которого положение равновесия а ¦* 0 неустойчиво,
так как потенциальная энергия в нем имеет максимум. Таким
образом, уничтожение одной степени свободы делает €спящий
волчок» неустойчивым.

197. УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СНАРЯДА
627
§ 197. Устойчивость вращающегося снаряда
В качестве приложения теории «спящего волчка» рассмо-
рассмотрим задачу об устойчивости вращающегося продолговатого
снаряда. В задаче внешней баллистики, основные положения
которой изложены в §§ 90 и 91, снаряд рассматривался как ма-
материальная точка, находящаяся под действием силы тяжести
G = mg и лобового сопротивления Д направленного противо-
противоположно скорости этой точки. Отбрасывая прочие составляю-
составляющие аэродинамических сил, имеющие второстепенное значение
даже в том случае, когда снаряд рассматривается как твердое
тело, мы и теперь ограничимся рассмотрением только двух ука-
указанных сил.
Существенным является то, что точкой приложения силы D
в продолговатом снаряде служит не центр тяжести С (рис. 481),
а центр сопротивления К — точка на оси, расположенная в не-
оперенном снаряде ближе к головной части, чем центр тяже-
тяжести. Вследствие этого, если направления оси снаряда и скоро-
скорости центра тяжести не совпадают, то возникает момент силы
сопротивления D относительно центра тяжести, стремящийся
увеличить это несовпадение. Поэтому, чтобы предотвратить
опрокидывание вокруг центра тяжести, снаряду должно быть
сообщено при вылете достаточно быстрое вращение вокруг его
оси. Движение вращающегося снаряда является наложением
на движение его центра тяжести колебаний оси, подобных коле-
колебаниям «спящего волчка».
Введем в рассмотрение натуральный триэдр траектории цен-
центра тяжести (рис. 481), образуемый единичными векторами ка-
касательной т, главной нормали N и бинормали 6. Траекторией
центра тяжести снаряда является плоская кривая, вследствие

628 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
чего вектор Ь сохраняет неизменное направление; натуральный
триэдр будет вращаться вокруг оси Ъ с угловой скоростью
Q = -X&> (П4)
где х — угол вектора т с горизонтальной осью СХ.
Определим положение оси снаряда, задаваемое единичным
вектором е, теми же углами а и р по отношению к натуральному
триэдру т, ДО, 6, какими в неподвижной системе осей О^ц опре-
определялось в § 196 положение оси волчка, причем оси О?, О?, Оц
заменяются соответственно на т, N, Ь. Угловая скорость снаряда
(да представится при этом геометрической суммой его угловой
скорости (Or по отношению к натуральному триэдру и перенос-
переносной угловой скорости <о*, равной угловой скорости Q послед-
последнего:
По предыдущему имеем
G>r = — Рп + «Ь + фе,
так как роль оси Ог\ переходит к бинормали. По A14) получаем
<оа = — ря + (а — х) Ъ + фе.
Из этого выражения следует, что для составления левых частей
уравнений вращения снаряда относительно его центра тяжести
достаточно в уравнениях движения волчка заменить & на & — %.
Что касается правых частей, то роль силы тяжести, направлен-
направленной противоположно оси Og, в уравнениях движения волчка пе-
переходит к силе сопротивления воздуха, направленной противо-
противоположно скорости центра тяжести, т. е. противоположно век-
вектору т, причем расстояние / от точки опоры до центра тяжести
волчка заменяется расстоянием СК — h между центром тяже-
тяжести и центром сопротивления снаряда. Поэтому момент силы
сопротивления D относительно центра тяжести снаряда выра-
выражается, как в случае волчка, формулой
heXD = — hDe Xi — hD (n' sin a — п cos а sin P).
По (ЮЗ) приходим к следующим уравнениям вращения:
/iJ3 — [/3©г — Jx (а — %) sin р] (а — у) cos р = hD cos а sin p,
* "ЗГИ* - *)cos Й + \h<»z - /i (А -1) sin р] р = h D sin а, 015>
причем
<ог = Ф + (а — %) sin P = const

§ 197. УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СНАРЯДА 529
При малых значениях углов аир аналогично A04) будем
иметь систему линейных дифференциальных уравнений
Сила сопротивления D является известной функцией скоро-
скорости v центра тяжести снаряда, D = mf(v)\ величины v и % опре-
определяются интегрированием уравнений движения центра тяже-
тяжести— основных уравнений внешней баллистики (§ 90)
(П7)
не зависящих от уравнений вращения. В уравнениях A15) эти
величины рассматриваются как заданные функции времени.
В случае настильной стрельбы траектория центра тяжести
будет пологой и |xl< а; скорость центра тяжести v также яв-
является медленно изменяющейся функцией времени. Пренебре-
Пренебрегая х по сравнению с d и считая D постоянным, возвращаемся
к уравнениям «спящего волчка» A04). Поэтому для настильной
стрельбы движение оси снаряда относительно касательной к
траектории центра тяжести по крайней мере качественно не
отличается от движения оси «спящего волчка> вокруг верти-
вертикали. В частности, условие устойчивости снаряда запишется в
виде A09)
Jl<*i>4hDJi. A18)
Это неравенство определяет нижнюю границу значения угловой
скорости снаряда. Не нужно думать, что снаряду следует при-
придавать по возможности большую угловую скорость. Действи-
Действительно, чем больше будет последняя, тем менее «послушным»
будет снаряд; при бесконечно большой угловой скорости соб-
собственного вращения снаряда его ось под действием момента
сил сопротивления конечной величины оставалась бы парал-
параллельной своему первоначальному направлению, т. е. не следила
бы за направлением скорости центра тяжести снаряда. Требо-
Требование, чтобы угол между осью снаряда и направлением скоро-
скорости оставался в наперед заданных границах, приводит к уста-
установлению верхней границы величины сог. Установление этой
границы требует знания углов аир как функций времени, что
сводится к задаче интегрирования системы линейных дифферен-
дифференциальных уравнений A16) с переменными коэффициентами,
рассматриваемой в специальных работах*).
*) Крылов А. Н. О некоторых приемах приближенного интегрирова-
интегрирования уравнения вращательного движения продолговатого снаряда. — Собрание
трудов. Т. IV. — М. — Л.: Изд-во АН СССР, 1937, с. 303—334; Оку-
н е в Б. Н. Вращательное движение артиллерийского снаряда.— М. — Л.1
Гостехиздат, 1943.

630
ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 198. Гироскопический маятник. Применение уравнений
Лагранжа второго рода в динамике твердого тела
Составление уравнений движения одного твердого тела, на-
например ротора гироскопа, основывалось на применении тео-
теоремы об изменении момента количества движения. В случае
системы твердых тел использовать этот метод было бы труд-
труднее, так как потребовалось бы ввести в рассмотрение взаимные
реакции тел, а затем исключить эти реакции. В таких более
сложных задачах быстрее и проще ведет к цели метод уравне-
уравнений Лагранжа второго
рода, который непосред-
непосредственно дает уравнения
движения, содержащие
только задаваемые силы,
причем число уравнений
равно числу степеней сво-
свободы.
В качестве примера
составим дифференци-
дифференциальные уравнения движе-
движения гироскопического ма-
маятника. Со стержнем ма-
маятника (рис. 482), имею-
имеющего ось подвеса, прохо-
проходящую через точку О, не-
неизменно соединена обой-
обойма, которую можно рас-
рассматривать как наружное
кольцо гироскопа в кар-
дановом подвесе; обойма
несет подшипники внутреннего кольца, снабженного противове-
противовесом М; во внутреннем кольце вращается ротор гироскопа.
Точка О движется по горизонтальной прямой, перпендикулярной
к оси подвеса маятника, с заданной скоростью Vo(t).
Положение стержня маятника (оси Oz\) определим углом
его поворота % (рис. 483), отсчитываемым от вертикали. В рас-
рассмотрение вводится далее система осей Cxyz с началом в точке
пересечения С осей вращения внутреннего кольца (ось Сх), ро-
ротора (ось Cz) и оси стержня Oz\. Ось Су направлена перпенди-
перпендикулярно к плоскости Czx в такую сторону, что система Cxyz
является правой; угол поворота внутреннего кольца вокруг оси
Сх обозначаем через 6, а угол поворота ротора вокруг его оси
Cz — через ф; оси Су и Cz составляют углы с перпендикуляром
к плоскости движения стержня маятника, соответственно рав-
равные 0 и я/2 — 0. Углы %, 9, ф являются независимыми обобщен-
Рис. 482.
Рис. 483.

§ 198. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 63f
ными координатами системы. Для составления уравнений дви-
движения системы в форме уравнений Лагранжа второго рода най-
найдем по отдельности выражения кинетической и потенциальной
энергий ротора, внутреннего кольца, противовеса М и стержня
с обоймой.
Проекции угловой скорости ротора на оси системы Cxyz
определяются выражениями
Введем систему осей OgY]?, движущуюся поступательно со
скоростью Vo(/). Ось О? этой системы имеет направление век-
вектора Vo, ось Оц направлена вдоль оси подвеса и ось О? — по
вертикали вниз. Проекции абсолютной скорости центра тяже-
тяжести С ротора на оси системы О1ц1 равны
где / = ОС — расстояние центра тяжести ротора от оси подвеса.
Обозначая через Q\ вес ротора, через J\ и /3 его эквато-
экваториальный и аксиальный моменты инерции, можем представить
выражение удвоенной кинетической энергии ротора в виде
или
2Тх = ^ (VI + Ptf + 2VQlx cos x) +
+ h (ё2 + x2 cos26) + /3 (x sin e + фJ. (i 19>
Потенциальная энергия силы тяжести ротора равна
A20)
Экваториальные моменты инерции внутреннего кольца относи-
относительно осей Cz и Сх обозначим через Л2, а аксиальный момент
инерции относительно оси Су — через В2. Проекции угловой
скорости на оси Сх и Су — те же, что у ротора, а проекция на
ось Cz равна xsin9, так как кольцо не участвует в собственном
вращении ротора. Получаем
2T2=^-(VI + /2х2 + 2V0l% cos x) + А2 (ё2 + *2 sin2 б) + В2% cos2 6,
A21)
П2 = - Q2?i = - Q2/ cos x, A22)
где Q2 — вес внутреннего кольца.
Координаты противовеса в системе О?т)? равны
1з = У + а cos е) sin X, % = а sin 6, ?3 = (I + a cos 6) cos %f

632 ГЛ. XXXV НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
где а = МС. Проекцию скорости противовеса на оси этой си-
системы определим дифференцированием выражений координат:
я36 = Vo + (I + a cos 9) % cos х — ав sin 9 sin х>
у3<п = аЭ cos 9,
t>3? = — (/ + a cos 6) х sin х — а® sin 9 cos x-
Обозначив через Q3 вес противовеса, получим
— 2V0aQ sin 9 sin x]> A23)
Пз = - Q3?3 = - Q3 (/ + л cos 9) cos x. A24)
Центр тяжести С\ стержня маятника с обоймой расположен
на оси стержня на расстоянии ОСХ = 1Х от оси подвеса. Момент
инерции их относительно оси, проходящей через С\ параллельно
оси подвеса, обозначим через В4, вес — через Q*. Получим
2Г4 Bd + (vl + 1\г + 2F0/ix cos x), A25)
П4 = - Q4?4 = ~ Q4/1 cos х- A26)
Таким образом, выражения удвоенной кинетической энергии
и потенциальной энергии системы имеют вид
А2 sin29 + B2 cos29 + B4]f + (/, + А2 + &- а2) О2
+ /3 (х sin 0 + ФJ + 2 [^i±^2- / + Я±- (I + а cos 8) +
nx, A27)
П = - [(Q, + Q2) / + Q3 а + а cos 9) + Q4Z,1 cos X> A28)
где G — общий вес системы.
Координата ф является циклической, и соответствующий ей
интеграл определяется соотношением
¦!?• =/э (Ф + X sin e) — /8«>« —const. A29)
В уравнениях движения
jLiL_iZL = n = — — JLJUL —J?L = o — да

148. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
в дальнейшем будут сохранены линейные члены относительно
ОС, 9 и их производных. Поэтому в выражениях Т и П достаточно
учесть члены не выше второго порядка относительно этих ве-
величин. Получим
27 « ? Vt + Jox + /хё2 + /з (ф2 + 2фх9) + ~ Vox,
S о
П = — GL cos % + Q3a(l — cos 9) cos x~ A30)
где
A31)
GL = Q1/ + Q2/ + Q3(/ + a) + i
Эти величины имеют наглядное механическое значение. Пред-
Предположим, что ось гироскопа находится в среднем положении,
т. е. направлена вдоль оси стержня @ = 0). Тогда /0 будет мо-
моментом инерции системы относительно оси подвеса, а L — рас-
расстоянием ее центра тяжести от этой оси; ]х представляет собой:
момент инерции ротора и внутреннего кольца с противовесом
относительно оси Сх.
Уравнения движения теперь легко составить; получим
A32>
Озав = о,
причем ф « со2 можно считать постоянной. Введя обозначения
/зф л /зФ л GL ,2 Q3a -2
Jo
придем к системе уравнений
X + ^i9 + feix = — k\ —, 9 ~Я2х + ^29==0. A34)
2 9
Механический смысл величин k\ и ki легко установить, по-
полагая, что ротор не вращается, т. е. ф = 0 и Х\ = Х2 = 0. Тогда
соответствующая однородная система распадется на два неза-
независимых уравнения
которые определяют: первое — малые колебания маятника во-
вокруг его оси подвеса, а второе — малые колебания внутреннего*

<634 ГЛ. XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
кольца с противовесом и ротором вокруг оси Сх\ k\ и &2 явля-
являются частотами этих колебаний.
Общее решение системы линейных дифференциальных урав-
уравнений A34) складывается из общего решения однородной си-
системы
Xo + ^eb + *iXo = O, 9о-Я2хо + ?2во = О A35)
и частного решения, соответствующего правой части первого
уравнения A34). Решение системы A35) для каждой из коор-
координат %о и 0о ищется, как уже указывалось в § 194, в виде гар-
гармонических колебаний одинаковой частоты, отличающихся по
фазе на я/2:
Хо = С\ sin (at + а), 80 = С2 cos (at + а).
Подстановка в A35) после сокращения на общий множитель
sin(ot -\- а) и соответственно cos (at + а) приводит к двум ли-
линейным однородным алгебраическим уравнениям, содержащим
неизвестные Сь С2, а2:
(fei — а2) С\ — Х{аС2 = 0, — %2аСх + (kl — а2) С2 = 0. A36)
Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к
уравнению, определяющему квадрат неизвестной частоты
D (а) = (k2 — or2) {k\ — а2) - XiX2a2 =
= а4 — (A,iA,2 + k\ + kt) a2 + k]k\ = (a2 — a2) (a2 - at) = 0. A37)
Через а2 и а\ обозначены корни этого уравнения:
Значения величин Pi и р2, определяющих отношения Сг: С%9
соответствующие этим корням, находятся по A36):
Возвращаясь к неоднородной системе, рассмотрим случай
движения оси подвеса с постоянным ускорением; тогда Vo =
= const и частное решение системы A34) можно взять в виде
%=-~, 9 = 0. A39)

§ 198. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 635'
Общее решение системы A34), содержащее четыре произ-
произвольные постоянные, таким образом, представляется в виде
в = p^i) cos (pxt + a{) + P2Cf> cos (a2/ + a2).
Произвольные постоянные C[l\ Cf\ ap a2 определяются по на-
начальным условиям. Если предположить, что угловая скорость
ротора столь велика, что отношениями величин k\ и k2 к К\ или
%2 можно пренебречь по сравнению с единицей, то получаю-
получающиеся из исследования решений A40) результаты совпадут с
теми, к которым можно непосредственно прийти, решая диффе-
дифференциальные уравнения, составляемые с помощью приближен-
приближенной теории гироскопа. Эти уравнения имеют вид
/Зфё + GL% = -GL^t - Ш + Q&& = 0. A41)
Они получаются также при пренебрежении в уравнениях A32)
членами, содержащими % и 8. Примем начальные условия
при / = 0 х = 0, 9 = 0. A42)
Из второго дифференциального уравнения следует, что тогда
при * = 0 х = 0. A43)
Исключив из дифференциальных уравнений A41) переменную
8, придем к уравнению
~> A44)
где
Общее решение уравнения A44) при условиях A42) и A43)
и в предположении, что ось подвеса маятника движется с по-
постоянным ускорением, имеет вид
3C = --^(l-cos<#). A46)
По второму уравнению A41) находим теперь угол поворота
внутреннего кольца маятника
Частота <т2 обратно пропорциональна угловой скорости ф
и, следовательно, весьма мала; поэтому при сообщении плат-

€36 ГЛ XXXV. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
форме постоянного ускорения стержень гироскопического маят-
маятника медленно переходит от вертикального положения равнове-
равновесия в новое положение, составляющее с вертикалью угол —V0/g;
вокруг этого положения в дальнейшем он совершает низкоча-
низкочастотные колебания с амплитудой |^о|/?; эти колебания сопро-
сопровождаются высокочастотными колебаниями весьма малой ам-
амплитуды, которые можно было бы получить, рассматривая
решения более точных уравнений A34). Одновременно будут
происходить колебания внутреннего кольца с гироскопом во-
вокруг оси вращения этого кольца той же низкой частоты о'2 и
значительной амплитуды, на которые также налагаются высоко-
высокочастотные колебания малой амплитуды.
При выводе уравнений движения A32) предполагалось, что
в начальном положении маятника стержень расположен верти-
вертикально ниже оси подвеса, а противовес — на вертикали ниже оси
вращения внутреннего кольца. Но если сделать обратное пред-
предположение, т. е. принять за начальное такое положение, когда
и стержень и противовес расположены выше указанных осей, то
в ходе вывода уравнений изменятся знаки выражений потен-
потенциальной энергии; при тех же обозначениях A33) придем вме-
вместо A34) к дифференциальным уравнениям
x + *ie-*ix = o, e-a,2x-ftie = o (Н8)
(ограничиваемся рассмотрением случая 1/0 = 0). В характери-
характеристическом уравнении A37) также придется заменить k\ и kl
на — k\ и — k% так что оно примет вид
4 (Ы k\ kl)o2 + k\k\
D (а) = от4 - (Ы2 - k\ - kl)o2 + k\k\ = 0, A49)
и при достаточно большой угловой скорости собственного вра-
2 9 9 9
щения 'ротора, т. е. при Я1Я2 > k\ + &2 оба корня его <п и о%
останутся положительными, т. е. о\ и а2 — вещественными. Ре-
Решения системы A48), определяющие свободные колебания маят-
маятника, по-прежнему будут выражаться, подобно A40), через
тригонометрические функции, остающиеся ограниченными при
любом значении времени t. Это обстоятельство свидетельствует
о том, что положение, в котором стержень и противовес распо-
расположены по вертикали выше соответствующих осей вращения,
при достаточно большой угловой скорости ротора гироскопа
устойчиво сохраняется в течение сколь угодно большого про-
промежутка времени. Впрочем, как уже указывалось (см. пример
170 § 191), строгого доказательства наличия устойчивости в
этом рассуждении не содержится.
При расположении стержня маятника по вертикали над
осью подвеса, а противовеса — на вертикали ниже оси враще-
вращения внутреннего кольца, т. е. при сохранении знаков в первом

198. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 637
уравнении A48) и замене во втором уравнении — k\ на kl, сво-
свободный член характеристического уравнения A49) станет отри-
отрицательным и один из корней (пусть oi) будет отрицательным
независимо от величины угловой скорости собственного враще-
вращения ротора гироскопа. Тогда о~2 будет чисто мнимым, и соответ-
соответствующее частное решение системы выразится через тригоно-
тригонометрические функции мнимого аргумента, т. е. гиперболические
функции, неограниченно возрастающие с ростом /. Описанное
положение будет неустойчивым, как и положение, в котором
стержень расположен по вертикали ниже оси подвеса, а проти-
противовес— на вертикали выше оси вращения внутреннего кольца.
Сказанное является примером ^применения общей теоремы
теории гироскопических явлений; эта теорема, принадлежащая
В. Томсону (Кельвину; 1824—1907), гласит, что в гироскопиче-
гироскопически стабилизуемой системе число неустойчивых координат
должно быть четно. При нечетном числе неустойчивых коорди-
координат гироскопическая стабилизация невозможна. Другой пример
применения теоремы Томсона мы имели в задаче о «спящем
волчке» (§ 196).
В примере успокоителя Шлика (§ 153) корабль, испыты-
испытывающий боковую качку, может рассматриваться как маятник
(стержень с обоймой) с осью подвеса в метацентре, расположен-
расположенном над центром тяжести корабля, и противовес рамы гироскопа
должен располагаться ниже ее оси вращения. В гироскопиче-
гироскопическом однорельсовом вагоне (§ 153) роль маятника играет ва-
вагон, а роль оси подвеса — рельс, на который вагон опирается;
противовес рамы гироскопа располагается сверху. Применение
в этих случаях уравнений движения вида A41), основанных на
приближенной теории, вместо более строгих уравнений A32)
может привести к значительной погрешности, так как величины
%\ и %2 даже при очень большом значении угловой скорости ф
не будут столь велики по сравнению с k\ и &2, как в случае гиро-
гироскопического ^маятника, вследствие большой величины момен-
моментов инерции /о и Jx по сравнению с /з*).
Вопросы теории устойчивости движений в настоящем курсе
затрагивались лишь вскользь при рассмотрении отдельных при-
примеров. В настоящее время общая теория устойчивости полу-
получила широкое развитие, и ей посвящена обширная литература.
Укажем на следующее учебное пособие, обладающее значитель-
значительной полнотой: Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости
движения. — М.: Наука, 1971.
*) Ссылки на дополнительную литературу см. на с. 621.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аномалия истинная 55
— средняя 56
— эксцентрическая 56
Афелий 56
Баллистика внешняя 47
Бернулли теорема 247
Бертрана задача 26
Бине уравнение 53
Борда — Карно теорема 250
Вагон однорельсовый гироскопический 375,
637
Вал гибкий 272 и д
Ватт (Вт) 199
Вектор главный внешних сил 107
количеств движения 108
Виброграф 75—76, 78—79, 97, 486, 535
Волчок «спящий» 632 и д., 637
Вращение твердого тела вокруг непо-
неподвижной точки 596 и д.
Время абсолютное 10, 443, 445
— разгона машины 174
Высота гидравлическая (полная) 247
— нивелировочная 247
— пьезометрическая 247
— скоростная 247
Галилея преобразования 444
— принцип 423, 443
Гаситель колебаний динамический 587
Герц (Гц) 66
Гироскоп 367, 600
— на подвижном основании 605 и д.
— свободный 621
— уравновешенный с тремя степенями
свободы 372
Гиротахоакселерометр 609
Гиротахометр 608
Грамм массы 15
Гука — Кардана шарнир 333
Гюйгенса — Штейнера теорема 170
Давление струи на стену 146
Даламбера парадокс 249
«-- принцип 345
Движение апериодическое 84, 85
предельное 85
— баротропное 151
•— относительное 421 и д.
— параболическое 36
— тяжелой частицы по конической по-
поверхности 407 и д.
— центра масс 116
— эллиптическое тела, брошенного с Зем-
Земли 58
Действие и противодействие 17
Декремент логарифмический 83
Демпфер гидравлический (катаракт) 86,
611
Джоуль 196
Дина 15
Динамометр 76
Длина приведенная физического маятни-
маятника 179
Единиц система СИ 14, 15
техническая 15
физическая (CGS) 15
Жуковского опыт 189
Жуковского — Фруда маятник 516
Задача динамики вторая 20, 31 и д.
первая 20 и д.
Закон аддитивности масс 15
— всемирного тяготения, вывод из зако-
законов Кеплера 23
•— Ньютона второй 13
• , обобщение релятивистское 462,
465
первый (закон инерции) 12
третий 17
— сил общий 24 и д.
— сохранения количества движения 109
механической энергии 105, 232, 400
Зона «мертвая» 102
Идеальной жидкости модель 151
Изотомеограф 412, 439
Изохронность колебаний 65, 159, 404, 482
Импульс 132
— внешний 132
— внутренний 132
— обобщенный 401
мгновенной силы 402
Импульсы периодические 79, 544
Индикатор 73, 76
Инертность 14
Интеграл живых сил 32, 233
— (закон) площадей 32, 53, 156, 157
— циклический 401
— энергии 233, 400
Интегралы уравнений движения 32, 233
Карно теорема 238, 381
Кастильяно теорема 574
Кеплера законы 26, 27
— уравнение 57
Кёнига теорема 207
Килограмм массы 14
— силы 15
Кинетостатика 347
Колебания вынужденные 69, 71, 77, 90
системы с двумя степенями свобо-
свободы 584 и д.
одной степенью свободы 527 и д.
— главные 552, 594
— затухающие 82, 89, 509
— линейные 64, 103
— магнитной стрелки 178
— нутационные 372
— останавливающиеся 101
— самолета длиннопериодические 271
короткопериодические 271
— свободные (собственные) 64, 479, 547
при наличии кулонова трения 98, 518
системы с двумя ступенями свободы
547 и д.
. произвольным числом степеней
свободы 591 и д.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
639
Количество движения 17, 108
Компас гироскопический 621
Континуум пространственно-временной 447
Координаты глазные 562, 595
— обобщенные 301
циклические 400
Коэффициент восстановления 136, 141
— гироскопический 431, 611
— динамичности 72, 90, 92—93
— инерционный 481, 548, 592
— квазиупругий 481, 548, 592
— полезного действия 240, 328
— расстройки 72
Коэффициенты влияния 572
— связи 553
— форм главных колебаний 553
Круговращение маятника 494, 504
Лагранжа уравнения второго рода 19, 394,
397 и д , 630 и д
с множителями 419
— — первого рода 386 и д.
— функция (кинетический потенциал) 399
Лагранжа — Дирихле теорема 337, 339
Лапласа — Пуассона формула 153
Линдстедта метод 505
Линия мировая частицы 454
— силовая 219
Лоренца преобразование 448—449
Льенара способ построения фазовых
траекторий 525
Ляпунова теоремы 341
Максвелла диаграмма 142, 143
Масса 14, 115
— инертная 16. 474
— переменная ПО и д.
~-, приведенная к полюсу 209
—, центру масс 210
— присоединенная 30
— тяготеющая 16, 474
Маятник гироскопический 630
— конический 394, 407
— математический 157, 389, 407, 425, 493,
508, 544
— оборотный 180
— переменной длины 302, 308
— сферический 391, 404
— физический 179
— циклоидальный (маятник Гюйгенса) 403
— эллиптический 410
Мещерского уравнение 111
Минковского диаграмма 451
— пространство-время 449
— сила 463
Множители связей 318, 389
Момент вращающий приведенный 417
— гироскопический 369, 602
— инерции 162, 172, 281
аксиальный 167, 291
главный 285, 286
центральный 289
,экспериментальное определение 177
полярный 168
приведенный 416
тела вращения 165
центробежный (произведение инер-
инерции) 283
¦ экваториальный 167, 291
— количеств движения главный (кинети-
(кинетический момент) 160
гироскопа 368
_ твердого тела 298
— количества движения 154
Моменты инерции однородных тел 169-170
Мощность 199
— сил внутренних 254
Напор динамический (скоростной) 247
— полный 247
— пьезометрический 247
Неразличимость инерционных систем 473
Неуравновешенность динамическая 358
— статическая 359
Ньютон (Н) 15
Обри прибор 373
Окружность предельная 409
Орбита центральная 26
Ось вращения свободная 358
— инерции главная 285, 286
центральная 289
— качаний 180
«Парадокс близнецов» 457
Перемещения виртуальные 306
— возможные 306
Перигелий 26, 56
Плоскость неизменяемая планетной си-
системы 189
— фазовая 482
Подвес бифилярный 485
Поле силовое 219
потенциальное 220
Полета ракеты дальность полная 130
эллиптическая 130
Постоянная тяготения универсальная 27
Потенциал 220
Правило золотое механики 327
Пресс винтовой 328
— рычажный 330
Прецессия 368
— регулярная 372, 600
быстрая 603
медленная 603
Принцип возможных перемещений 319, 326
— независимости действия сил 16
— освобождаемости 314
— эквивалентности инертной и тяготею-
тяготеющей масс 16, 474
Проводимость переходная 531
Пространство абсолютное 10, 445
Процесс адиабатический 153
Работа сил внутренних 105, 203, 214
, приложенных к твердому телу 201
— силы 196
в потенциальном поле 222
реакции связи 315, 316
тяжести 200
упругой 203
элементарная 197
Равновесие безразличное 556
— неустойчивое 337, 339, 483, 496
— устойчивое 336, 482, 495
Радиус инерции 163
полярный 170
Разгон электрического двигателя 175
Ракета 123 и д.
— метеорологическая 44
• , этапы спуска 45
Распространение звука 152
Расход массовый 144, 191, 245
Реакция обобщенная 317
— оси вращающегося тела 354
динамическая 356
— _- ПрИ ударе 363
— статическая 355
— связи 314
— системы на единичное возмущение 531
единичный импульс 530
Резаля теорема 162
Резонанс 71. 81, 91, 542, 585
Релея функция диссипативная 509

«40
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Связи 302
— голономная 302, 305
— идеальная 316
— кинематическая 302
— неголономная 302
— нестационарная 302
— неудерживающая (односторонняя) 305
— стационарная 302
— удерживающая (двухсторонняя) 306
Сейсмограф 76
— вертикальный 487
— горизонтальный 490
Сила внешняя 106
— внутренняя 106
-— восстанавливающая 61
линейная 64
нелинейная 504
— диссипативная 236
~-, зависящая от времени 28
—, положения (позиционная) 28
—, — — скорости 29
—, — — ускорения 30
— задаваемая (активная) 314
— инерции 22, 422
— — касательная 22
кориолисова 422
обобщенная 431
— — переносная 422
• центробежная 22, 423
— консервативная 105, 236
— мгновенная 134
— неконсервативная 236
— обобщенная 19, 321
— полезного сопротивления 326
— постоянная 28. 35
— потерянная 346
— реактивная 111
— центральная 25, 52, 156
Система координат абсолютная 10, 421
— — относительная 421
Скорости вектор четырехмерный 460
Скорость из бесконечности 35
— космическая вторая 35
• первая 59
— обобщенная 302. 395
— потерянная 238, 250, 381
— угловая номинальная 173
Стабилизатор непрямого действия 374
Тензор инерции 281 и д
Теорема импульсов 105, 132
— — при ударе 132
¦— о движении центра масс 116
• сохранении главного момента коли-
количеств движения 161, 188
— об изменении кинетической энергии
(теорема живых сил) 105, 213, 379
— количества движения (теорема
количества движения) 105, 107—108,
134, 378
_. момента количеств движения
(теорема моментов) 105, 155, 161, 187,
188. 379
Теоремы динамики общие 104 и д., 378
Том сон а теорема 637
Точки временно-подобные 453
— пространственно-подобные 453
Траектории ракеты участок активный 124
пассивный 124
— фазовые 482
Трение 98, 117-118, 262, 377, 518
•~ качения 118
Удар 132
— абсолютно неупругий 136
— ~ упругий 136
— косой 132, 141
— при плоском движении твердого тела
— прямой 132, 138, 237
сравнение вращения твердого тела во-
вокруг неподвижной оси 172
— неразрывности 150
— общее движения машины 418
динамики 376
теории удара 381
— основное динамики материальной точ-
ки 14, 18
точки переменной массы 111
— характеристическое (частотное) 550
Уравнения движения естественные 18
материальной точки основные 31
Ускорение 14
— абсолютное 422
— кориолисово 422
*— переносное 422
— потерянное 346
— свободного падения 15
Ускорения вектор четырехмерный 461
Устойчивость вращающегося снаряда 627
— равновесия 337
— «спящею» волчка 626
Устойчивый предельный цикл 518
Фактор затухания колебаний 83
Фуко гироскоп второго рода 619
первого рода 617
— опыты 439, 440 617
— правило 370
Центр масс системы 115
— сопротивления снаряда 627
— удара 365
Циолковского формула 113
Частота парциальная 553
— свободных колебаний (собственная) 65,
69, 481, 551, 553
Число степеней свободы системы 312
Член вековой 506
— гироскопический 431, 611
Широта географическая 433
— геоцентрическая 433
Шлика успокоитель качки
ский 374. 637
гироскопиче-
Эйлера теорема 145, 248
— уравнение теории турбомашин 192
— уравнения динамики идеальной жид-
жидкости 151
динамические 596—597
Эйнштейна постулаты 447
Эллипсоид инерции 286
Энергии-импульса вектор четырехмерный
463-465
Энергия кинетическая 19, 105, 206, 398, 432
твердого тела 209, 296—297
— механическая полная 232, 400
— покоя 466
— потенциальная 220, 322, 399, 432
поля силы тяжести 224
системы тяготеющих масс 227
упруго деформированного тела 225
центробежных сил инерции 431
Эффект «сокращения длин» 455