и. п. мысовских

ЛЕКЦИИ

ПО МЕТОДАМ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
С.-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

И. П. Мысовских

ЛЕКЦИИ

ПО МЕТОДАМ

ВЫЧИСЛЕНИЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ

Второе издание книги, как и первое, отражает опыт чте-
ния лекций по методам вычислений (часть 1) на математико-
механическом факультете Санкт-Петербургского государствен-
ного университета. Второе издание существенно переработано
и дополнено. В частности, включена новая глава по численным
методам линейной алгебры.

В книге пять глав, и о их содержании можно получить пред-
ставление по оглавлению. Здесь мы укажем на изменения в гла-
вах по сравнению с первым изданием. В главу 1 об алгебра-
ическом интерполировании добавлены способы приближения
функций обобщенными многочленами (наилучшие равномерные
и среднеквадратичные приближения, интерполирование), мно-
гочлены Чебышева и их свойства, быстрое преобразование Фу-
рье( сплайны, результаты о сходимости интерполирования, ин-
терполирование многочленами многих переменных. Параграфы
1, 2, 9-12 являются новыми. Другие параграфы главы 1 перера-
ботаны. В § 4 об интерполировании Эрмита рассмотрены еще
два вида интерполирования: последовательными производны-
ми и Эрмита—Биркгофа. В § 6 дано определение разделенных
разностей, пригодное и в тех случаях, когда среди аргументов
имеются совпадающие.

В главе 2 о вычислении интегралов расширен материал о ква-
дратурных формулах наивысшей алгебраической степени точ-
ности, в том числе и для случая, когда часть узлов задается
заранее, приведен алгоритм построения квадратурных формул
с весом наивысшей тригонометрической степени точности; рас-
смотрены метод Ромберга, вычисление интегралов от быстро
колеблющихся функций, сингулярных интегралов и кратных ин-
тегралов. Новыми являются § 3-5, 14-19.
Глава 3 посвящена, численным методам линейной алгебры. В
§ 5-14 рассмотрены некоторые методы решения линейных алге-
браических систем и вычисления собственных чисел и векторов
матрицы. Среди методов имеются как точные (прямые), так и
итерационные.

Глава 4 о решении нелинейных уравнений и систем отличает-
ся от соответствующей главы первого издания тем, что опущены
параграфы о нахождении начального приближения, о практиче-
ском применении метода Ньютона и о методе Лобачевского ре-
шения алгебраических уравнений. Основное внимание уделено
методам итерации и Ньютона. Теоремы, дающие достаточные
условия сходимости этих методов, доказаны для систем урав-
нений.

Глава 5 о численном решении задачи Коши для обыкновен-
ных дифференциальных уравнений сильно сокращена. Опущены
методы Штермера и методы Коуэлла. Приведено другое дока-
зательство основного свойства метода Рунге—Кутта, характе-
ризующего его точность.

Нумерация формул, теорем, лемм своя в каждом параграфе.
Hpjp ссылке на формулу из данного параграфа указывается но-
мер формулы, ссылка на формулу из другого параграфа этой
главы содержит номер параграфа и номер формулы, ссылка на
формулу из другой главы содержит три числа — номера главы,
параграфа и формулы. Аналогично делаются ссылки на теоре-
мы и леммы.

Автор благодарит В. И. Крылова, В. В. Бобкова, И.К.Лах-
гавета, В. И. Лебедева, П. И. Монастырного, принявших уча-
стие в обсуждении рукописи книги и способствовавших ее улуч-
шению.
ГЛАВА 1

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

§ 1. Способы приближения функций
обобщенными многочленами

Многие методы вычислений основаны на идее замены функ-
ций более простыми и близкими к данным в каком-либо смысле.
В ряде случаев уже при вычислении значения функции f(x) в
точке производится замена функции многочленом ) , ki х—
частичной суммой ряда Тейлора этой функции. Предполага-
ется, что значения /^\0) известны и являются рациональными
числами, а ряд сходится в точке х к функции f(x). Смысл этой
замены состоит в том, что вычисление значения многочлена в
точке сводится к выполнению арифметических операций.

Наибольшее распространение в методах вычислений полу-
чил способ приближения, называемый интерполированием. Ин-
териолированию, в основном алгебраическими многочленами,
посвящена настоящая глава. Однако интерполирование—не
единственный способ приближения функций. Цель настоящего
параграфа — кратко указать на другие способы приближения.

Напомним некоторые понятия функционального анализа, ко-
торыми будем пользоваться в дальнейшем. Множество А’ эле-
ментов любой природы называется метрическим пространст-
вом, если каждой паре элементов и, и из этого множества сопо-
ставлено вещественное число p(u,v), удовлетворяющее услови-
ям:

1)	р(и, и) 0, р(и, v) = 0 тогда и только тогда, когда и = v;

2)	р(и, и) = р(у, и);

3)	р(и, и) р(и, w) + p(w, г) для любого w = X.

Число р(и, и) называется расстоянием между и и и.

Говорят, что последовательность элементов	метри-

ческого пространства X является сходящейся, если существует
такой элемент и* £ X, что р(иь,и*) —+ 0 при k —► оо.
Последовательность { и*элементов А' называется фунда-
ментальной или сходящейся в себе, если р(и1П,и() — 0, когда, т,
I независимо стремятся к бесконечности: для s > 0 найдется
такое N(e), что р(щт, щ) £ при гп,1 /V(e).

Нетрудно видеть, что любая сходящаяся последовательность
является фундаментальной. Обратное неверно. Имеются ме-
трические пространства, в которых не всякая фундаментальная
последовательность является сходящейся. В связи с этим дадим
следующее определение. Метрическое пространство X называ-
ется полным, если любая фундаментальная последовательность
элементов Л' является сходящейся.

Пусть К — поле вещественных или комплексных чисел, т. е.
К — R или К = С. Множество F элементов называется линей-
ным или векторным пространством над числовым полем К,
если в F определены операция сложения: для любой пары эле-
ментов f, g 6 F существует элемент в F, который называется
суммой f и g и обозначается f + g; и операция умножения на
число: для любого f Е F и любого о 6 К имеется элемент в
F, который называется произведением f на число а и обозна-
чается а/, и эти операции удовлетворяют следующим восьми
условиям.

1) (/ + р) + А = / + (р + А) для любых f, g, h. Е F (ассоциатив-
ность сложения).

2)/ + Р — р + / для любых /, g Е F (коммутативность сложе-
ния).

3)	Существует нулевой элемент 9 Е F такой, что f + 9 = f для
любого f Е F.

4)	Для любого элемента f Е F существует элемент — f, такой,
что / + (-/) = 9.

5)	1 • f = f для любого f Е F.

6)	а(/?/) = (а:/?)/ для любого f Е F и любых а, (3 Е К.

7)	(а +/?)/ = af + /3f для любого f € F и любых а, /3 Е К.

8)	а(/ + р) = af + ад для любых f, д € F и любого а Е К.

Условия 1) — 4) означают, что F образует коммутативную
группу относительно операции сложения.

Если К — R (А' = С), то F называется вещественным (ком-
плексным) линейным пространством.

Множество Fo Q F называется линейным подпространством
пространства F. если оно обладает следующими свойствами:

а)	из того, что f Е Fo, д Е Fo, следует f + д Е Fo:

б)	из того, что f Е Fo, a G К', следует af Е Fq.
Мы будем пользоваться понятиями линейной зависимости и
независимости элементов F, понятиями базиса и размерности
F и его подпространств.

Линейной оболочкой множества S элементов из F называется

N

совокупность всех конечных линейных комбинаций £2 aifi> где
г = 1

fi £ S’, о, £ К. Линейную оболочку S будем обозначать spanS.
Нетрудно видеть, что span 5 является подпространством F.

Множество F называется линейным нормированным прост-
ранством, если оно является линейным пространством и ка-
ждому элементу f £ F сопоставлено вещественное число ||/||,
называемое нормой f и удовлетворяющее условиям:

1)	||/||	01 при этом ||/|| = 0 тогда и только тогда, когда / = 0;

2)	||а/|| = |а|  ||/|| для любых а £ К и f £ К (абсолютная
однородность);

3)	||/ + </||	11/Ц + ||<7|| Для любых f, д £ F (неравенство тре-

угольника).

Линейное нормированное пространство F является метриче-
ским пространством, в котором расстояние определяется равен-
ством p(f,g) = II/ — р||. Таким образом, в F определено понятие
сходимости последовательности элементов, которую называют
сходимостью по норме, определено понятие полноты линейно-
го нормированного пространства. Отметим, что конечномерное
линейное нормированное пространство является полным.

Линейное, нормированное и полное пространство называют
банаховым пространством.

Рассмотрим линейные пространства F и С над одним и тем же
полем К. Если каждому элементу f £ F по некоторому закону
сопоставляется единственный элемент Af £ G, то говорят, что
задан оператор А из F в G. Оператор А называется линейным,
если он аддитивен:

Л(/ + g) = Af + Ад для любых f,g€.F

и однороден:

Л(а/) = aAf для любых а £ К, f £ F.

Множество всех линейных операторов из F в G является ли-
нейным пространством, которое обозначается L(F,G).

Если G = К — пространство G совпадает с полем К,— то ли-
нейный оператор из F в К называется линейным функционалом.
l/усть F, G — линейные нормированные пространства и Д—
оператор из F в G. Говорят, что оператор А непрерывен на
элементе /, если из Д. —> f при k —> оо следует ЛД —> Af.
Оператор А называется непрерывным в пространстве F, если
он непрерывен на каждом элементе f 6 F.

Линейный оператор А из F в G, где F, G — линейные нор-
мированные пространства, называется ограниченным, если су-
ществует такая постоянная С > 0, что ||Л/||	011/11 для всех

Наименьшая из постоянных С, удовлетворяющих этому усло-
вию, называется нормой оператора А и обозначается ||Л||. Из
этого определения следует неравенство ||Д/||	||Л|| ||/||.

Нетрудно показать, что

||Л|| = sup ||Л/||.

11/11=1

Справедливо следующая теорема. Для того чтобы линейный
оператор был непрерывным в F, необходимо и достаточно, что-
бы он был ограниченным.

Множество линейных непрерывных операторов из F в G явля-
ется линейным пространством. Если в этом пространстве вве-
дена норма указанным выше способом, то получим линейное
нормированное пространство операторов, которое обозначает-
ся B(F,G). Пространство B(F,G) является подпространством
линейного пространства L(F,G). Если пространство G полное,
то и пространство B(F,G) полное.

Вещественное линейное пространство Н называется простран-
ством со скалярным произведением, если для каждой пары эле-
ментов f,g € Н определено вещественное число (f.g), называе-
мое скалярным произведением и удовлетворяющее следующим
условиям:

1)	(/•/) = (Р> /) Дня любых /, g £ Н\

2)	(af+вд, h) = a(f, h)+0(g, h) для любых f, д, h 6 Н, а, /? 6 R;

3)	(/,/)	0 для любого / £ Н, при этом (/,/) = 0 тогда и

только тогда, когда / = 9.

Из определения скалярного произведения вытекает неравен-
ство Коши— Буняковского |(/, у)|2	(/, f)(g, д'). Скалярное про-

изведение в В порождает норму ||/|| = \/(/, /).

Вещественное линейное пространство со скалярным произве-
дением и полное относительно нормы, порождаемой скалярным
произведением, называется вещественным гильбертовым про-
странством.
Аналогично определяется комплексное гильбертово простран-
ство, при этом скалярное произведение считается комплексным
числом, удовлетворяющим следующим условиям:

1)	(/>#) = Для любых f,g G Н, где черта означает опе-
рацию комплексного сопряжения;

2)	(af+/3g, h) = a(f, h)+/3(g, h) для любых f,g,hE. H, a,/3 £ С;

3)	(/, /)	0 для любого f £ Н, при этом (/, /) = 0 тогда и

только тогда, когда f = 9.

Считаем известным процесс ортогонализации и нормирова-
ния Шмидта линейно независимой системы элементов в линей-
ном пространстве со скалярным произведением.

Приведем примеры линейных нормированных пространств
функций. Множество вещественных непрерывных функций f(x),
заданных на конечном замкнутом отрезке [а, 6], образует линей-
ное над R пространство, в котором сложение функций и умно-
жение их на вещественное число определяется обычным путем.
Норма вводится следующим образом:

||/||с = max |/(г)|.	(1)

Это линейное нормированное пространство обозначается С[а, Ь].
Сходимость по норме в С [а, 5] является равномерной сходимо-
стью. Так как предел равномерно сходящейся последовательно-
сти непрерывных функций является непрерывной функцией, то
пространство С[а, 6] полное.

Вещественная измеримая на отрезке [а, 6] функция /(ij назы-
вается суммируемой со степенью р 1, если

b

|f(x)|рdx < оо.

Интеграл понимается в смысле Лебега. Множество всех таких
функций с обычным определением суммы двух функций и про-
изведения функции на вещественное число образует линейное
вещественное пространство, что следует из неравенства Мин-
ковского для интегралов:

ь	1 1/р

Iffa) + g(x)\pdx >	<
Из неравенства (2) также следует, что в этом пространстве мож-
но ввести норму:

f ,ь	]

||/||р =	\f(x)\»dx\	,	(3)

I J а	I

если равенство двух функций понимать как их совпадение почти
везде. Это линейное нормированное пространство обозначает-
ся Lp[а, 6]. Оно является полным.

Линейное нормированное пространство Lzla, 6] является важ-
ным частным случаем пространства Lp[a, 6]. В L?[a, 6] можно
ввести скалярное произведение. Если /, д 6 Lzta, 6], то

(/.<?)= / f(x)g^x)dx.	(4)

J а

Существование этого интеграла вытекает из неравенства Буня-
ковского |(/, <у)| < Ц/Цо||ff||2. Нетрудно проверить, что все свой-
ства скалярного произведения выполняются, а норма в &],
определяемая равенством (3) при р — 2. порождается скаляр-
ным произведением (4). Сходимость по норме в £2[«.Ч называ-
ется среднеквадратической или сходимостью в среднем. Так как
— полное, то оно является вещественным гильбертовым
пространством.

Перейдем к изложению общего способа приближения функ-
ций.' Пусть F — вещественное линейное нормированное про-
странство вещественных функций /(г), заданных на отрезке
[а, 6]. Будем приближать функции из F функциями также из
F. В качестве приближающих функций будем брать конечные
линейные комбинации функций некоторой последовательности
€ F. Последовательность {^(аг)}^ будем назы-
вать координатной системой или просто системой. Линейную
комбинацию

N

^ak^k(x), ак е R,	(5)

fc=i

будем называть обобщенным многочленом, построенным по пер-
вым N функциям системы. Параметрами приближения явля-
ются коэффициенты	обобщенного многочлена. Они

входят в многочлен линейно, поэтому приближения такого ви-
да называют линейными приближениями.

Приведем требования к системе функций {^(а:)}^,. Первое
требование—простота. Имеется в виду, что над обобщенными
многочленами, построенными по функциям системы, просто вы-
полняются операции дифференцирования и неопределенного ин-
тегрирования, просто вычисляются значения обобщенных мно-
гочленов и их производных в любой точке отрезка [а, 6].

Второе требование — полнота системы	в F. Для

любой функции f € F и произвольного е > 0 существует такой
обобщенный многочлен (5) (существуют N = Af(e) и коэффици-

N
енты ак = ак(е)), что f - ^2 ak<fk £
k = i

Будем также предполагать, что система	линейно

независима.. Это означает, что любая ее конечная подпоследо-
вательность линейно независима.

Важнейшими примерами систем функций являются алгебра-
ическая и тригонометрическая системы. Алгебраическая си-
стема состоит из функций sc/.-(a:) — k — 1,2..., — степеней
,г', так что обобщенным в это.м случае является алгебраический
многочлен степени N — 1: щ + cm.i: + . .. ацх“'1~1. Требование
простоты этой системы выполняется. Производная и неопреде-
ленный интеграл от многочлена являются многочленами. Вы-
числение значения многочлена в точке сводится к конечному
числу арифметических операций.

Выполнение требования полноты алгебраической системы в
пространстве С[а, 6] гарантирует следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Если функция /(ж) непрерывна на
конечном замкнутом отрезке [а, 6], то для любого с > 0 суще-
ствует такой многочлен Р(х), что |/(т) — Р(ш)|	£ при всех

х £ [а, 6].

Действительно, в силу определения (1) нормы в С[п,Ь] теоре-
ма. утверждает, что ||/ — Р||с г.

Линейная независимость алгебраической системы па [я. 6]
следует из основной теоремы алгебры: многочлен степени in
имеет не более т корней.

Тригонометрическая система состоит из функций

1. coskx, s'mkx, А: = 1,2,...,

а обобщенный многочлен, построенный по первым 2п + 1 функ-
циям этой системы, является тригонометрическим многочленом
степени п:
Тригонометрическая система полна в линейном нормирован-
ном пространстве С непрерывных на всей вещественной прямой
2тг-периодических функций, в котором норма определена равен-
ством

Н/Нс =

Итак, в качестве приближающих функций мы условились
брать обобщенные многочлены. Заметим, что множество всех
обобщенных многочленов (5) при фиксированном N есть линей-
ная оболочка <^i,. ..,	, которая является подпространством

пространства F. Пусть задана функция f £ F. Какой из
обобщенных многочленов следует выбрать в качестве прибли-
жения к f? Ответ на этот вопрос дадим для случая любого
линейного нормированного пространства F, элементы которо-
го не обязательно функции.

Пусть в пространстве F имеется конечномерное подпростран-
ство F\ = span{<^i,. ..,	}, где	— линейно независи-

мые элементы F, образующие базис в Fy. Возьмем элемент
/ £ F. В функциональном анализе определяется расстояние d
от f до F# следующим образом:

d= inf II/-<	(6)

В теории приближения число d называют наилучшим прибли-
жением элемента f с помощью элементов подпространства F^
и обозначают EpN(f). Элемент ф £ Fpi, на котором достигает-
ся точная нижняя граница d — ||/— ф||, называется элементом
наилучшего приближения. Элемент ф принимается в качестве
приближения к /. Так как подпространство Тд содержит бес-
конечное множество элементов, то существование элемента наи-
лучшего приближения нуждается в доказательстве.

Теорема 1. Для любого f £ F в F^ существует элемент
наилучшего приближения.

Доказательство. Введем функцию

/1 (ci 1 • • • , O-n) =

N
f

к = 1

от N вещественных переменных aj,..., адг. Определение (6) наи-
лучшего приближения d можно записать в виде

d = inf	... ,aN).

(ai,...,aw)6R-v

(7)
Надо доказать, что функция /1 достигает точной нижней грани-
(о)	(.o') j г ( (о)

цы, т. е. существуют такие числа а) , . .. aN , что а = /Да] , . ..,

Докажем, что функция /1 непрерывна. Имеем

|/i(6i,.. .,6jv) - /i(ai,. . .,адг)| =

N
f

fc = l

N

f ~^<Ык

k = 1

y*/6fc - ak)ipk
k = l

N

52|6fc - afc| • H^fcH <

t=i

N

" "	fc=l

Отсюда вытекает непрерывность j\ в RN. В приведенном дока-
зательстве мы воспользовались свойствами нормы и легко про-
веряемым неравенством 11|/|| — ||р|| | ^ ||/ — <7||-

Если бы точная нижняя граница в (7) рассматривалась на
ограниченном замкнутом множестве в Rw, то из непрерывно-
сти /j на этом множестве по теореме Вейерштрасса вытекало
бы существование точки, в которой достигается точная нижняя
граница. Но в (7) множество совпадает с Дп, и, следовательно,
теорема не применима.

Докажем, что функция /1 вне шара а] + • • • +	<( р2 при

достаточно большом р принимает значения, большие d. Тогда

d = inf /Ця!,..., aN) = inf f} (ai,..., aN).
ItN	a?+-+a= $p2

Так как шар — ограниченное замкнутое множество в Rw, то
можно воспользоваться упомянутой теоремой анализа и теоре-
ма 1 будет доказана.

Рассмотрим еще функцию /2(01, • • •, Ядг) =	а*^||- O,ia

также непрерывна и на единичной сфере г2 = а2 + • • • + a2N = 1
(ограниченном и замкнутом множестве) достигает наименьшего
значения

т = min /2(^1, • • •, o-n)-
Существует точка (а",. .., a*N) на сфере г1 = 1, такая, что

т=	=

N

k = i

Так как функция /2 неотрицательна, то ?л 0. Докажем, что
т > 0. Если т — 0, то было бы а£<рь = 0, что проти-
воречит линейной независимости элементов <£>i,. . -,<Pn, так как
точка (aj,..., a*N) лежит на единичной сфере а*к2 = 1.

Укажем нижнюю границу функции fa, зависящую от расстоя-
ния точки (ai,.. ., адг) до начала координат г = у/^к=1 ак  Име-
ем

Л(а1, •  •, aN) -

N

^2<lk<Pk ~ f
k = i

N
^Гак<.рк
k = l

-11/11 =

Здесь мы воспользовались неравенством /2(ai/r,..., ам/г) т,
вытекающим из того, что точка (ai/r,...,	/г) лежит на еди-

ничной сфере. Таким образом, получили неравенство

/i(ai, . . ., aN) rm - ||/||.	(8)

Потребуем, чтобы правая часть этого неравенства была больше
d: rm — ||/|| > d. Это неравенство будет выполнено, если

r > (rf+ l|/ll)/m = А

и, следовательно, для таких г из (8) получаем /i (ai, • • , aw) > d.
Мы доказали, что fa > d при г > р. Теорема доказана.

Напомним, что множество М элементов линейного нормиро-
ванного пространства F называется выпуклым, если вместе с
любыми двумя элементами оно содержит соединяющий их от-
резок, иначе говоря, если и, v Е М, то tu + (1 — t)v Е М при
любом t, 0 t <С 1.

Для элемента f £ F в подпространстве Fn может существо-
вать не один элемент наилучшего приближения. Обозначим че-
рез Ф множество всех элементов наилучшего приближения из
Fw к элементу /.
Докажем, что множество Ф выпукло. Если Ф состоит из
цюго элемента, то утверждение очевидно. Пусть ^i, -0ч—
1зличные элементы Ф, так что

^II/-V'1|| = ||/-V'2|I= inf II/

огда элемент V’ = 1'Ф1 + (1 —	0 < / < 1, принадлежит F^ и

||/-V-|| = ||/(/-01) + (l-/)(/-V-2)||^

< «II/ - V’i|| + (1 - «)||/ -	= td+ (1 - /)</ = d.

ак как неравенство ||/ — V’|| < d невозможно (/ € Fn не может
1вать лучшее приближение, чем то ||/ — 0|| = d, а это и
шачает, что ф 6 Ф.

Приведем достаточное условие, налагаемое на норму в F, ко-
рое гарантирует единственность элемента наилучшего при-
.ижения.

Определение. Говорят, что линейное нормированное про-
ранство F имеет строго выпуклую сферу, если из ||/|| — ||g|| и
/ д следует ||/ + <у|| < ||/|| + ||<7||•

Геометрически это означает, что если элементы /, д различ-
д и принадлежат одной и той же сфере: ||/|| = ||у|| = р > 0, то
вредина соединяющего их отрезка лежит внутри этой сферы:
'/ + .?)/2|| < Р-

При р > 1 пространство Lp[а, 6] имеет строго выпуклую сфе-
у. Это утверждение* следует из того, что в неравенстве Мин-
эвского (2) знак равенства достигается тог-да и только тог-да,
эгда /(г) = ад(х), а > 0, почти везде на [а, 6].

Прос.трапство Lp[я, 6] при р — 1 обозначают Ь[а,6]. Сфера
lieiM ne является строго выпуклой. Действительно, функции
(ж) = 2(х — а)/(Ь — «), <7(.г) = 1 различны и имеют одинаковые
ормы ||/||l = Ja f(x)dx = b — а. ||у||л = b — а. В то же время в
еравеггстве треугольника для них имеет место знак равенства.
/ + < = II/IIl +||.<7||l.

В пространстве С[а, 6] сфера также не строго выпукла. Здесь
ункции/(т) = (1*-а)/(6-а), <7(х) = 1 различны, ||/||с = ||,?||с’ = 1,
ри этом ||/ + д||с = ||/||с + ||ff||c.

Теорема 2. Если F имеет строго выпуклую сферу, то эле-
мент наилучшего приближения любого элемента f £ F является
динственным.

Доказательство. Пусть фх, ф2— различные элементы
аилучшего приближения к /. Тогда элементы f — Ф1, f — Фг
различны, а их нормы одинаковы: ||/ — -0i|| = ||/ — ф21|- Дока-
жем, что для этих элементов в неравенстве треугольника имеет
место знак равенства. В силу выпуклости множества элемен-
тов наилучшего приближения (i/’i -4-'У’з)/2— элемент наилучшего
приближения и, следовательно,

II/- 01|| =

01 + 02

2

= |||/- 01 + /- 0з||-

Отсюда получаем

II/- 01 +f-^W = II/- 0111 + 11/- 02||.

Это противоречит строгой выпуклости сферы в F.

Пусть пространство F и его подпространство F\ таковы, что
элемент наилучшего приближения любого элемента / Е F явля-
ется единственным. Рассмотрим оператор .-1, который каждо-
му / G F сопоставляет его элемент наилучшего приближения:
Af - ip. Можно доказать, что этот оператор непрерывен в F
и однороден, но. вообще говоря, не аддитивен. Таким образом,
оператор Л не является линейным. Это объясняет трудности,
возникающие при построении элементов наилучшего приближе-
ния.

Продолжим изучение элементов наилучшего приближения в
двух случаях: F = С[л, 6], F = Ь2[л, 6].

Обобщенные многочлены наилучшего приближения в
С[а,6]. Так как сходимость по норме в С[л,6] является равно-
мерной. то элемент наилучшего приближения в С[п, Ь] будем на-
зывать обобщенным многочленом наилучшего равномерного при-
ближения. По теореме 1 такой многочлен существует для лю-
бой функции / G С[а, 6]. Сфера в С [а, 6] не строго выпукла, по-
этому нельзя гарантировать единственность обобщенного мно-
гочлена наилучшего равномерного приближения на основании
теоремы 2. Чтобы имела место единственность, будем налагать
дополнительные условия на функции {<£><•(д)}, — базис подпро-
странства Кдг.

Определение. Конечная система {^(;г)}|У=1 непрерывных на
[а, 6] функций Е С[а, 6]) называется чебышевской, если лю-
бой отличный от тождественного нуля обобщенный многочлен
Х2Г=1 имеет на [«, 6] не более N — 1 корней.

Отсюда следует, что если обобщенный многочлен, построен-
ный по чебышевской системе	, обращается в нуль в
N точках отрезка [а, 6], то он равен нулю на [а, Ь] тождествен-
но. В частности, если система чебышевская, то она линейно
независима.

Система, степеней х: 1,2:,..., xN~1, является чебышевской на
любом отрезке [а, 6], так как многочлен степени не выше N — 1
имеет не более N — 1 корней.

Тригонометрическая система

1, cos&a-, smkx, k — 1,2,... ,п,

является чебышевской на полуинтервале [0, 2тг). .Действитель-
но, можно показать, что тригонометрический многочлен степени
п (он составлен по первым N = 2п+1 функциям тригонометриче-
ской системы) на полуинтервале [0, 2тг) имеет не более 2п — N — 1
корней.

Теорема 3. Для того чтобы система	(фк £ С[а,Ь])

была чебышевской, необходимо и достаточно, чтобы определи-

тель

(9)
был отл ичен от нуля для любых попарно различных точек Х\, . . .,
а,-д' из [а, 6].

Доказательство. Равенство нулю определителя (9), где
Х’1,..., х'дг попарно различны и принадлежат [а, 6], равносильно
тому, что столбцы определителя связаны линейной зависимо-

где среди а],...,адг есть ненулевые. Векторное равенство (10)

равносильно N скалярным равенствам

а1^1(л:;) + ... + aNipN(xj) = 0, j = 1,2,..., N,
означающим, что обобщенный многочлен ai (i1) +.. , + адг 9?д> (.г)
(ненулевой, так как не все равны нулю) имеет /V попар-
но различных корней х\,...,х^ на [а, 6]. Таким образом, ра-
венство нулю определителя (9) равносильно тому, что система
{'pJt(a:)}^_1 — не чебышевская. Теорема доказана.

Приведем без доказательства теорему Хаара о единственно-
сти обобщенного многочлена наилучшего приближения в С[а, 6].

Теорема 4. Для того чтобы для любой функции f Е С[п,Ь]
многочлен наилучшего равномерного приближения из
Fp; — span{9?i,...,	} (<f*- € С'[л.6]. k = 1.2,.. .,7V) был един-

ственным. необходимо и достаточно, чтобы система {уц-(т)}0=1
была чебышевской.

Так как система, степеней х чебышевская на любом отрезке
[а, 6], то получаем следствие теоремы Хаара.

Следствие. Для любой функции f Е С[я. 6] алгебраиче-
ский многочлен наилучшего равномерного приближения явля-
ется единственным.

Приведем также без доказательство теорему Чебышева об
альтернансе.

Теорема 5. Пусть (а-)} £'= i С С[а,Ь]—чебышевская систе-

N

ма. .Для того чтобы обобщенный многочлен ф(х) = £2

>=1
был многочленом наилучшего равномерного приближения функ-
ции f(x). непрерывной на [л, 6] и не принадлежащей
F\ = sp ii{-r'i.... необходимо и достаточно, чтобы на-

шлось N + 1 таких точек

а а;; < х? < • • • < 2\v < я-’лг+1 Ь,	(11)

что:

1)	|/Ы - фЫ1 = II/ - V-'llc, £ = 1,2, • ., N + 1;

2)	знаки чисел f(xk) — Ц'(х/.) чередуются:

sgn(/(.rj- Ф(.г,)) = <4-1Л £=1.2.......Х+1,

где а = 1 ил и ег = — 1.

Точки (11) называют точками чебышевского альтернанса. Те-
орема 5 позволяет выяснить, является ли данный обобщенный
.многочлен многочленом наилучшего равномерного приближе-
ния заданной функции. Приведем два простых примера приме-
нения этой теоремы. В примерах речь идет об алгебраических
многочленах наилучшего приближения. Заметим, что наилуч-
шее равномерное приближение функции /(т) многочленами сте-
пени не выше п принято обозначать Erl(f).

Пример!. Пусть/(г) — непрерывная на [а, 6] функция. Тре-
буется построить алгебраический многочлен нулевой степени,
который является многочленом наилучшего равномерного при-
ближения к Дг). Положим

т = min Д.т) = /(хч), М = max Дл) = f(x2\

[а,6]	[а,Ь]
Многочлен Ро = (m + Л/)/2— требуемый, так как точки а,’]. х2
составляют чебышевский альтернанс. Наилучшее приближение
W) = (М-т)/2 (рис.1).

Рис. 1

Пример 2. Пусть /(т) дважды непрерывно дифференцируе-
мая на [а, 6] функция, причем /"(т) сохраняет знак на всем [а, 6],

Построим многочлен наилучшего равномерного приближе-
ния первой степени к f(x). Через точки (а,/(а)), (6,/(6)) про-
ведем прямую у = /](.г), где li(x)— многочлен первой степени
от х. Найдется единственная точка с на [а, 6], в которой каса-
тельная к кривой у — /(т) параллельна прямой у = /Да.'). Пусть
у = 1?(х) — уравнение этой касательной. Многочлен первой сте-
пени Pi(t) = (/;(т) + /2(т))/2 является многочленом наилучшего
равномерного приближения функции f(x). Это следует из то-
го. что точки а < с < b суть точки чебышевского альтернанса
(рис. 2).

Вопрос о вычислении многочленов наилучшего равномерного
приближения довольно труден. Имеются приближенные мето-
ды вычисления таких многочленов, например метод Ремеза [14].
Обобщенные многочлены наилучшего приближения п
/<'[<1,6]. Сходимость последовательности функций по норме в
L->[a, 6] носит название среднеквадратической, поэтому много-
член наилучшего приближения в Ь2[а,6] называют обобщенным
многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения. Та-
кой многочлен существует для любой функции f £ Z2[a, 6] по те-
ореме 1 и является единственным по теореме 2, так как сфера в
Л2[а, 6] строго выпукла.

Пусть {y'k— ортонормированная относительно скаляр-
ного произведения (4) система функций в Z2[a,6]:

(V’i, Vj) = 6ij, = 1,2,...,

где 6jj —символ Кронекера. Рядом Фурье функции f £ L?[a, 6] по
системе	называется ряд

ОО

/нч(х-).

*•=1

Числа /*. — (f, фь) называются коэффициентами Фурье функ-
ции f.

Теорема 6. Пусть {Фк(х)}ь-1—ортонормированный базис
подпространства F-.r С L2[a, 6]. Для f £ Z/ofa, 6] обобщенным
многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения из
Fn является

N
ф(.т) = ^2
k-У

где fi- — (ф,фк)—коэффициент Фурье функции f по системе
при этом наилучшее приближение дается формулой

N \

11/115-E/q
г=1 /

Считая базис Fn в формулировке теоремы первыми N функ-
циями ортонормированной системы {Фк{^}^=1, можем сказать,
что обобщенным многочленом наилучшего среднеквадратично-
го приближения в Fn для функции f £ L2[<i, 6] является частич-
ная сумма ее ряда Фурье по этой системе.

ЕрАП =
Доказательство. Пусть <р = 52 фк — произвольный об-
k = i

общенный многочлен из F^. Имеем

N \

/- 52°^- / —	=

k=i	j=i /

N	N N

= (/> /) -2^ at (J, Фк) + 52 52 ak “> ’ 'h =
k—i	к = 1 j = 1

NN	N

= ll/ll? - 2£аьА + £ = ||/||5 - £/^+
t=l	k=i	fc=i

N	N

+ 52^ - ^)2 11/H2 - 52-f2 = Ii/-V’ii2-

*=1	k=1

Мы получили

/ N \’/2
n/-<^n/-< = ii/iis - 52 q

X	A- = l /

Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда
cik = fk при k = 1,2,..., N, другими словами, когда <р = ф. Тео-
рема доказана.

Попутно получили неравенство Бесселя 52*=1 fk ||/||?-

Следствие. Пусть f £	61, ф £ F^. Для того чтобы,

многочлен ф был обобщенным многочленом наилучшего средне-
квадратичного приближения к f в F^, необходимо и достаточ-
но. чтобы (f — ф,<р) = 0 для любого м ногочлена ip £ бД. другими
словами, чтобы разность f — 'll.’ была ортогональна подпростран-
ству F[\r.

Доказательство. Пусть -ф\,, Фх — ортонормированпый
Л7

базис Ддг и ф — 52 Ъкфк- Ортогональность f— ф к 6Д равносиль-
t=i

на равенствам

(N	\

/ - 526fc^fc’^ ) = °' J = 1>2> • • •>
fc=l	/

или, что то же самое, равенствам bj — fj = 0, j = 1,2,..., N. Эти
равенства по теореме 6 равносильны тому, что ф — обобщенный
многочлен паилучшего среднеквадратичного приближения функ-
ции f. Следствие доказано.

Нетрудно проверить, что тригонометрическая система орто-
гональна в L-z[o, 2тг]. Нормируя функции системы, получаем ор-
тонормированную систему тригонометрических функций

1	1 , 1  ,

—/=.	—j= COS КХ.. —j= Sill Abt.', k — 1,2,...

\/2-	v7r

И.з теоремы 6 следует, что тригонометрическим многочленом
наилучшего среднеквадратичного приближения степени п функ-
ции f 6 Z,-j[O. 2тг] является частичная сумма первых 2n +1 членов
тригонометрического ряда. Фурье этой функции.

Если базис	подпространства F^ не является орто-

гональным, то для построения обобщенного многочлена наилуч-
шего среднеквадратичного приближения у € Fy для f 6
можно воспользоваться как теоремой 6, так и следствием из
нее. В первом случае дело сводится к ортонормированию бази-
са	11 вычислению коэффициентов Фурье (/, 1/Ч)> k =

1,2...	., .V, функции f по ортонормированной системе {•
Во втором случае разыскиваем ф в виде обобщенного многочле-
.V

на с неопределенными коэффициентами °k-Pk- Лля определе-
<=1

ния коэффициентов сц. по следствию получаем систему линей-
ных алгебраических уравнений

j = 1,2....,ЛГ.
i- = i

Матрица этой системы является матрицей Грама, линейно неза-
висимых функций	и, следовательно, она. неособенна.

Обозначим через Л оператор, который элементу f Е
сопоставляет обобщенный многочлен наилучшего среднеква-
дратичного приближения из Ед>: .4/ = <!'. На основании тео-
ремы 6 имеем

1V

*•=1

Отсюда видно, что оператор Af является линейным. Оператор
А известен как оператор ортогонального проектирования па Fy.

Результаты останутся в силе, если вместо Lofa, 6] взять любое
линейное вещественное пространство со скалярным произведе-
нием, в частности вещественное гильбертово пространство.
Интерполирование обобщенными многочленами. Будем
считать, что У линейное пространство вещественных функ-
ций, заданных на отрезке [а, Ь]. Функцию f £ F будем прибли-
жать обобщенным многочленами — функциями подпространства
/фу = span{y?i, .... у?д'} С F.

Выберем N попарно различных точек ;tj.. . .. .г-д> на. [п,6] и по-
требуем. чтобы разность между приближаемой функцией и об-
общенным многочленом с. неопределенными коэффициентами

лг

Л = 1

была равна нулю в этих точках. Получим систему линей-
ных алгебраических уравнений относительно коэффициентов
я 1, . .., я дг:

=/(.гД j =1,2,...л.	(12)

t=i

Матрица этой системы [</>i (xj),..., (xj)]'Y_] является неосо-
бенной при любом выборе N попарно различных на [а, 6] точек
,1’1,. . ., т'.у. если система, {гр;-(.г)}£*_ 1 является чебышевской, как
это следует из теоремы 3. Система (12) имеет единственное? ре-
шение. Многочлен, коэффициенты которого определяются си-
стемой (12), называется обобщенным интерполяционным много-
членом функции f(x). Он и принимается в качестве приближа-
ющего многочлена к функции /(.г). Попарно различные па [г/. Ь]
точки ад...., г\у называются узлами Интерпол про в ан ия. Указан-
ный способ приближения называется интерполированием. Из
сказанного выше получаем теорему.

Теорема 7. Если система	—чсбы ше.вская на [</. 1>].

то для любой конечной на [о, 6] функции /(.г) и при любом выборе
N узлов интерполирования на [а, Ь] обобщенны й интерполяцион-
ный многочлен существует и является единственным.

В частности, существует и является единственным алгебраи-
ческий интерполяционный многочлен, так как система. {л/'-1} ^'=1
является чебышевской на любом [а, 6].

Укажем представление обобщенного интерполяционного мно-
гочлена с помощью определителей. Обозначим через ф(х.) об-
общенный интерполяционный многочлен из теоремы 7, так что

VO) =

*-=i

(13)

где «1,..., a,v определяются как решение системы (Г2). К урав-
нениям системы (12) присоединим равенство (13):

«1Р1О) + • •  + a/vP/vO) ~ /О) = °>

j = 1/2,,.,,/V,

«1р1(т) + ...+ awp,v(x-) - ф(х) = 0.

Эти /V + 1 равенств будем рассматривать как линейную одно-
родную алгебраическую систему относительно N + 1 неизвест-
ных ai,..., a,v, —1. Так как эта система имеет решение и оно
ненулевое, то ее определитель равен нулю:

01)

РЛ'О)

/О)

Pi(a:jv)

Р1О

/(-г’Л')

РЛ’(•<-')	0(1-)

Представим последний столбец этого определителя в виде

суммы двух столбцов:

Г /01) 1

О

Г/0)1

/Олг)

. Ф(х) .

/(* n)
О

и разложим определитель на сумму двух определителей:

Р1О)	PwO)	0
Pi(-tjv) pi о	Pn(tjv) PwO	0 VO)
Р1О)	pwO)	/О)
Pi(a-'w) • P1O	• Pn(zjv)  PwO	J\xn) 0

Так как первый определитель равен ф(х)Ф^, где
фЛ' = оо).. .<^0)17=1-
то получаем

1

Ф д/



V’(-i') = -

^/v(j--A') /(x/v)

9?w(.r) О

(14)

Это и есть требуемое представление обобщенного интерполя-
ционного многочлена функции /(.г) с помощью определителей.

При условиях теоремы 7 в пространстве F определен опера-
тор А, который каждой функции / € F сопоставляет ее интер-
поляционный многочлен ф(т), построенный по узлам Т],.. ..х.у,
которые считаются фиксированными: Af = ф. С помощью (14)

получаем



Pi(zi)	Vw(i'i)

Pi(xn) р,у(тЛ,)
^l(x)	... pn(x')

откуда видно, что оператор А линейный.

f(xN)
О

§ 2. Многочлены Чебышева

Многочлены Чебышева определяются равенствами

Тп (т) = cos п arccos х, |х’|	1, п = 0,1,2,...	(1)

Из определения ясно, что 7Ь(.т) = 1, Т1(х) = х. Чтобы убедить-
ся в том, что Тп(х') — многочлен при всех п 2, получим рекур-
рентное соотношение, которое связывает три последовательных
многочлена Чебышева. Подставим 0 — arccos .г- в тригонометри-
ческое тождество

cos k0 + cos(£ — 2)0 = 2 cos 0 eos(k — 1)0.

Получим

Tk(x) = 2xTk-i(x)-Tk_2(x), Лг = 2,3,.._	(2)

С помощью этого рекуррентного соотношения последовательно
находим

Т2(х) = 2т2 - 1,

Т3(т) = 4т3 — Зт,

Т4(х) = 8т4 — 8т2 + 1,

Т5(х-) = 16т5 — 20т3 + 5т,

Т6(т) = 32т6 - 48т4 + 18т2 - 1.
Из рекуррентного соотношения получаем, что Т„(х)-~ много-
член степени п, содержащий одночлены хк одинаковой с п чет-
ности. Коэффициент при хп у многочлена Тп(х) равен ‘2П-1:

(3)

Из определения (1) многочлена. Тп(х) следуют равенства

T'n(l) = 1, Г„(-1) = (-1)", 71 = 0,1,2,...,	(4)

а. также неравенства

|Тп(х)|^1, хб [-1,1], п = 0,1,2,...

(5)

Рис. 3

Равенство (1) позволяет указать корни многочлена Тп(х).
Если лц- — корень Тп{х), то аргумент косинуса п arccosx должен
удовлетворять равенству п arccos xj, = тг(2Аг — 1)/2. откуда

хк = cos

(2А- - 1)тт

2п

k — 1,2,... ,п.

(б)

На рис.З указана геометрическая интерпретация корней Тп(х)
(п = 4). На полуокружности (часть окружности х~ + у~ = 1,
расположенная в верхней полуплоскости у 2} 0) берем 2п + 1
равноотстоящих точек, при этом в число точек включаем (1,0),
(—1,0). 'Точки на. окружности пронумеруем натуральными чи-
слами, начиная с (1,0). в порядке, противоположном движению
часовой стрелки. Проекции точек, с четными номерами на ось х
совпадают с корнями (6). Ясно, что все хк лежат внутри ( — 1, 1),
не являются равноотстоящими и при возрастании п сгущаются
к концам интервала. (—1,1).

Найдем точки на [—1,1], в которых Тн(х) достигает максимума
и минимума. Эти точки суть корни производной

, п sin и arccos х
3-w = —TfTTf--

являющейся многочленом степени п — 1. Если х'к — корень Т^(х),
то аргумент синуса п arccos х должен удовлетворять равенству

n arccos х'к = тгА-,	(7)

или

х'к = cos(l’7r/n), k = 1,2,.... п — 1 .

Заметим, что a-'Q = 1, х'п = —1 не являются корнями хотя
числитель sin и arccos х в них обращается в нуль.

Значение многочлена Тп (г) в подозрительных на. экстремум
точках х'к легко найти с помощью (7):

7’„(1'(.) -- cos(?i arccos а,’;.) = cos itk - (— l)fc,
k = 1,2,..., n - 1.

Из неравенств (5) следует, что все подозрительные точки явля-
ются экстремальными. К ним следует добавить концы отрезка
[—1, 1], как это видно из равенств (4). Таким образом, получаем
?! + 1 точек на [— 1. 1]

х'к — cos(A-tt//i), k = 0, 1,..., п,	(8)

в которых T,i(.r) поочередно принимает максимальные и мини-
мальные зна.чения:

T(4) = (-l)fc, k = 0,1,..., п.	(9)

В указанной геометрической интерпретации корней Тп(х) мы
имели 2п + 1 равноотстоящих точек на полуокружности. Проек-
ции точек с нечетными номерами на ось х совпадают с точками
(8) (см. рис.З). Отметим, что корни (6) многочлена Тп(х) и точ-
ки экстремума (8) упорядочены на [—1,1] следующим образом:

1 = Хп < Xfi Хп_{ < ' * • < 1*2 <	Tq — 1.	(10)

Положим

Пп = {яп + а\хп 1-I--------ь an|at-G R}-
Многочлен степени т?, у которого коэффициент при ж" равен
1, будем называть приведенным многочленом. Таким образом,
Пп - множество всех приведенных многочленов степени п с ве-
щественными коэффициентами.

Рассмотрим пространство С[—1,1] и его подпространство
алгебраических многочленов степени не выше п — 1. Для функ-
ции /(.г) = ж'1 £ С[—1,1] существует многочлен £ Fn наи-
лучшего равномерного приближения, и он является единствен-
ным по следствию из теоремы Хаара.. Ясно, что многочлен
РД.г) = .г" —	обладает следующим свойством. Сре-

ди всех многочленов £ Пп он имеет наименьшую норму в
С[-1.1]:

(и)

при этом равенство достигается только при	Много-

член /J,i называется многочленом, наименее уклоняющимся от
нуля. Из теоремы 1.5 получаем следующую теорему.

Теорема 1. у[ля того чтобы многочлен Р‘ £ ИГ1 был наименее
уклоняющимся от нуля многочленом, необходимо и достаточно,
чтобы нашлась такая последовательность ил н + I точек

— 1CG<'-<C + iC1,

‘""° 1^,?(Д)1 = IIР,’, ||с[-1.1].- = 1.2. . ..,// + 1, и числа имеют
чередующиеся .знаки.

Положим Т„(ж) = Т„(.г)/2''-1. Многочлен Тп(х)— приведен-
ный многочлен Чебышева в силу (3).

Теорема 2. Многочлен Тп(х) является многочленом, наиме-
нее уклоняющимся от нуля, при этом 117’п||с[-1,i] = 21-'1.

Доказательство. Проверим, что для Тп(ж) выполнены
условия теоремы 1. Возьмем в качестве точек 11,.... <n+i точки

Д = t’n+i-k’ А: = 1,2,.. ., 7z + 1,	(12)

где .г' — экстремальные точки (8), удовлетворяющие по (10) не-
равенствам

— 1 — Хп <	< •  • < Ж; < ж0 — 1.

Из (5) и (9) следует

\Tn (< + 1_fc)| =	= 21"",

Tn« + 1_J = (_1Г+1-ь21-п, к = 1,2,.. ,,n + 1.
Условия теоремы 1 для Тп(х) выполнены, и теорема, доказана..

Неравенство (И) можно теперь записать в виде

шах |г’„(.г-)|	21""	(13)

- 1 С а1

для любого Рп Е Пп, при этом равенство достигается только
при Рп = Тп.

Доказательство теоремы 2 основано в кошенном счете на тео-
реме Чебышева об альтерпапсе 1.5. Приведем доказательство,
не опирающееся на эту теорему.

Напомним определение кратности корпя функции /(т). име-
ющей достаточное число производных. Пусть 7—натуральное
число. Точка, является г-кратным корие.м функции f(x). если
сама функция и ее. последовательные производные до порядка
г — 1 включительно в этой точке равны пулю, а производная
порядка ? отлична от нуля. Число ?• называется кратностью
корня.

Если точка с - корень непрерывной функции /(г), не имею-
щей первой производной, и при переходе через точку с функ-
ция /(.г) не меняет знака, то естественно считать, что кратность
с как корня f(x) не меньше 2. Действительно, утверждение о
кратности с верно, если /(.г) дифференцируема, так как в этом
случае f'(c) = 0.

Лемма. Пусть Ч < Ч, < •• < Пц-i- Если функция f(x)
непрерывна на [Ч.Ь> + 1] и выполнены неравенства

Z-= 1.2....,n+l,	(bl)

то число корней функции f(x) на отрезке [/1,/„ + 1] с учетом крат-
ностей не менее п.

Доказательство. Пусть i,j—натуральные числа,
1 т: < j я + 1. Число j — i назовем индексной длиной от-
резка. [Z,Для доказательства, леммы достаточно доказать
следующее утверждение: число корней функции f(x) на любом
отрезке не меньше его индексной длины. Доказательство
проведем методом математической индукции по индексной дли-
не отрезка.

Докажем, что утверждение верно для отрезка. [f,-,4+i] ин-
дексной длины 1. Если /(Ч)/(П+1) ф 0, то из (14) следует
f(t»)/(4+i) < 0 и по непрерывности /(ж) имеет корень внутри
(4,4+1). Если /(4)f(tf+i) = 0, то корнем /(а:) является по край-
ней мере один из концов отрезка [Ч, П+i].
Предположим, что утверждение, верно для всех отрезков, ин-
дексная длина которых не превосходит in, где 1 <С т » — 1.
Докажем утверждение для отрезка индексной длины т + 1.
Возьмем такой отрезок [/,./,+ Рассмотрим отрезки [/;, /*],
[/*• Л,+,„ + 1]. где i < k < i + in -*- 1. Индексная длина каждого из
этих отрезков не более in, поэтому число корней по индуктивно-
му предположению па первом отрезке не менее k — /, на втором
отрезке не менее z' + rn + l — k. Так как сумма этих нижних границ
для числа корней равна т + 1 и

4-1 ] — [Л’ • И'] О [Д* Лч +тп +1 ] >

то в случае /(/-.) ф 0 число корней на 1 ,+,„ +1] нс менее т + 1 и
утверждение доказано. Если /(/*•) = 0, то Iвходит в число кор-
ней па первом и на втором отрезках и число корней на. [/;. /,-+п| + j]
может оказаться равным in.

Предположим, что /(/*•) = 0 при всех допустимых значениях
Z- = z + 1.i + in. Это дает in корней па [/;. /,+,„+1]. Если на

этом отрезке имеется корень, отличный от указанных, то утвер-
ждение доказано. Допустим, что других корней на ft+,„+1]
нет. Отсюда в частности, получаем:

1)	Ж)Ж+ш+1) ф О,

2)	все корни f.-i-fc, k = 1.2..... гл, простые (кратность ij+k
равна 1).

При переходе через простой корень функция /(.и) меняет знак,
поэтому /(G) и ( —l)"'/(/,_|_„, + i) имеют одинаковые знаки. Но по
условию (14)

(-1)'Ж) >0. (-1)'+”’ + 7(Жп + 1)>0,

откуда

-Ж)(-1)"7(Ж-+1)>0,

так что знаки /(/,) и ( — 1)'"/(Д+,п+1) противоположны. Это про-
тиворечие доказывает лемму.

Замечание. Лемма остается справедливой, если условия
(14) записать в виде ( —1)7(Д-) 0, k = 1,2,..., п + 1.

Докажем теорему 2 с помощью леммы. Допустим, что имеет-
ся такой многочлен Рп £ П„, что

max |En(i-)| птах |Тп(х)| = 21-п.	(15)

— 1 1 - 1 1

Образуем разность /(т) = Тп(х) — Рп(х), которая является мно-
гочленом степени не выше п — 1. В точках (12) с помощью (15)
находим

(-1)п+1+Ж) - (-l)n+m [?n«+1_J - Fn«+1_fc)] =

= 21-n - (-l)n+1+*P„«+1_fc) £ 0, k = 1,2,. ..,n + 1.

Получили неравенства

(-1)п+1+1'Ж) о, k = 1,2,...,n+ 1,	(16)

при этом [ti,/n + i] = [г’п.х'о] = [—1,1]. Неравенства (16) при п
нечетном совпадают с (14), а при п четном они принимают вид
( —1)*/(<ь)	0- По лемме и замечанию к ней f(x)— многочлен

степени не выше п— 1 —имеет на [—1,1] п корней и, следователь-
но, /(!•) = 0 или Рп(х) = Тп(х).

Из доказанного следует, что если Рп Е Пп. Рп Тп, то (15) не
выполняется:

max |Pn(a:)| > шах |Тп(а:)| = 21—",

а это и означает, что Тл(г) является многочленом, наименее
уклоняющимся от нуля.

Теорема 3. Пусть а — вещественное число, |а| > 1. Сре-
ди всех многочленов Рп(х) степени п, удовлетворяющих усло-
вию Рп(о) = 1, наименьшую норму в С[—1,1] имеет многочлен
Т~(х) - Тп(х)/Тп(.а).

Доказательство. Все корни Тп(х) лежат на ( — 1,1), по-
этому Тп(а) 0. Предположим противное: имеется такой мно-
гочлен Рп(х) степени не выше п, что Pn(a) = 1 и

|Рг1(л-)| < ЦТ,*||С[_ij] = l/TN(a) для всех х Е [-1, 1].

Образуем разность f(x) = Т*(х) — Рт1(т). В точках (8) х'к =
cos(l’7r/n), k = 0, 1,. .., 71, эта разность принимает значения чере-
дующихся знаков. Поэтому многочлен f{x) степени п или ниже
имеет по меньшей мере п корней на ( — 1,1). Так как корнем /(ж)
является еще и точка а [—1,1], то f(x) — нулевой многочлен,
или /3„(т) = Т*(г’)- Это противоречит сделанному предположе-
нию. Теорема доказана.

Нетрудно проверить, что многочлены Чебышева {Тп(х))“_0
образуют ортогональную систему относительно веса 1 /х/1 — .г2
и отрезка [—1, 1]:

1	Г °,	* t Т

/	Tj(x)Tj(x)dx — < тт/2, i =	(17)

7-1 V 1 — X-	.
§ 3. Интерполирование, по значениям функции

В I) 1 мы познакомились с интерполированием обобщенны-
ми многочленами как с одним из способов приближении функ-
ций. Рассмотрим теперь час тный случай интерполирования, ко-
гда. системой координатных функций является система, степеней
. Обобщенный многочлен, построенный по первым
/V = и + 1 функциям этой системы, является алгебраическим
многочленом степени п

Р(х) = Рп(х.) = Яо + ajx- + .. . +

Векторное пространство всех многочленов степени не выше п
будем обозначать Рп.

Предположим, что имеется функция /(.г). заданная на от-
резке [</. 6]. и требуется построить ее интерполяционный мно-
гочлен Р £ Р„. Выберем и + 1 попарно различных точек па
[а, 6]; .Ко. .it.хп—узлов интерполирования и потребуем, что-

бы многочлен Р € Рп в узлах принимал те же значения, что и
функция f:

P(x]) = f(x]). > = 0,1,...,».	(1)

Такой многочлен существует и является единственным по теоре-
ме 1.7, так как система.	— чебышевская на любом отрезке

[я, Ь].

Это утверждение можно получить и непосредственно, если в
(1) многочлен Р(.т) записать с неопределенными коэффициента-
ми:

г/н + Я],Lj + .. . + апх'- -	j = 0, 1,..., n.

Матрица, этой линейной алгебраической системы относитель-
но неизвестных коэффициентов Яо. Hi...я„ является матрицей

Вандермонда

= [1, Xj. . . . ,
определитель которой отличен от нуля, так как узлы попарно
различны. Отсюда и следует существование и единственность
интерполяционного многочлена.

Замечание. Определение интерполяционного многочлена
не обязательно связывать с некоторой функцией. Значения /(л)
можно считать любыми числами. Узлы ,i.y и значения f(xj) мож-
но брать комплексными. Единственное существенное требова-
ние касается узлов и состоит в том, что они попарно различны.
Это требование обеспечивает неравенство нулю определителя
Вандермонда.

Формула (1.14) применительно к рассматриваемому случаю
запишется так:

	1 Я’ Q	Я g f (я о)	
1	1 X!	Х? /(Х])	
Р(х) 				(2)
1 1	det V'n	1 Хп	Х'“ f(xn)	
	1 х	хп 0)	

Мы получили представление интерполяционного многочлена
с помощью определителей.

Укажем представление многочлена Р в форме Лагранжа, ко-
торое во многих случаях оказывается более удобным, чем пред-
ставление (2). Построим многочлен 4(х) = /|.П\х') степени п.
равный единице при х = хц. и равный нулю в остальных узлах:

/t(x/) = 6kj, j = 0, 1, . .., n,	(3)

где 6kj — символ Кронекера. Так как узлы, за исключением хц,
являются корнями многочлена /fc(x'). то

1к(х) = С(х - .т0)  ••(.!• - xt_i)(.r - хц.+1) • •  (т - хп).

Постоянная С определяется из условия lk(;i:k') = 1> и мы получа-
ем

... (х - х-0)  • (а: - 1Ц--1)(ж - x-l+i) • • • (х - хп)

Ч’(^) - /	\	/	\/	\	/	\*	(4)

(я> - Я0)  •  (,Я'А- - 3-Ч--1	- ХЧ- + 1 ) •  • (ЯД. - Хп)

Получим более компактную запись многочлена /;.(х). Введем
обозначение

ц* (х) — иД, _|_ 1 (х') — (х х о) (х х’])'•( х* хп).	(о)

Очевидно, что ш(х') — приведенный многочлен степени п+1, кор-
нями которого являются узлы интерполирования. Имеем

и (а:)

(х - х-о) • •  (х - хк-1)(х - хц.+1) • • • (х - х„) = —-.	(б)

Я Я fa

Перейдем в этом равенстве к пределу при х —» хк и примем во
внимание, что lim lj(x)/(x — хк) = ц/(ац.). Получим

(хк - х0)  • -(хк - хк_г)(хк - xjt+i) •  -(хк - хп) = ш'(хк).	(7)
Заменим числитель и знаменатель дроби в (4) правыми частями
равенств (6) и (7) соответственно:

Многочлен 1/с(я) называется многочленом влияния к-го узла.
Число узлов равно п 4- 1, и, следовательно, имеется п + 1 мно-
гочленов 4(r), к = 0,1,..., н. Многочлены li-(x) называют так-
же фундаментальными многочленам и интерполирования или ла-
гран жевым и коэффиц центами.

Интерполяционный многочлен Р G Р„ функции f(x), удовле-
творяющий условиям (1), легко представить с помощью лагран-
жевых коэффициентов:

п

(9)

1 = 0

Действительно, Р(х) как линейная комбинация с постоянными
коэффициентами многочленов lj(x) степени 71. является много-
членом степени не выше п. или Р Е Рп. Далее, подставляя
х — лц, в равенство (9) и пользуясь соотношением (3), получаем

п

РЫ = Е	) = /Ы к = 0, 1 , . . . , 71.

Многочлен Р удовлетворяет условиям (1). Формула (9) дает
представление интерполяционного многочлена функции f в фор-
ме Лагранжа. Одним из преимуществ этой формы является
то, что значения интерполируемой функции в узлах выделены и
являются множителями при фундаментальных многочленах ин-
терполирования.

Предположим, что интерполируемая функция f сама являет-
ся многочленО1М степени не выше п, т. е. f ЕРп- Тогда в силу
единственности интерполяционного многочлена она совпадает с
ним, и мы получаем

п

3=0

Отсюда следует, что фундаментальные многочлены интерполи-
рования j = 0,1...., п. образуют базис векторного про-
странства Рп .
Положим

Я(/^)= /?n(/,x-) = /(s)-P(s),	(10)

где Р(х)-~ интерполяционный многочлен функции /(.т), постро-
енный по узлам x-о, а* 1,  - -, хп. Функция R(f, х) определена на от-
резке [а, 6], где определена /(ж). Она характеризует точность
приближения функции f(x) интерполяционным многочленом Р
и называется погрешностью или остаточным членом интерпо-
лирования.

Если f ЕРп> то, как мы видели, /(s) = Р(х) и, следовательно,
R(f,x) = 0. Если /(s) на отрезке [а, 6] не совпадает с много-
членом степени не выше п, то R(f,x) обращается в нуль в уз-
лах sq, sj, ..., хп и заведомо отлична от тождественного нуля на
[а, 6]. Докажем теорему о представлении погрешности интерпо-
лирования.

Теорема 1. Пусть функция /(s) имеет конечную производную
/(n+1)(s) на наименьшем отрезке [а, 6], содержащем узлы интер-
полирования xq, si ,..., хп и точку интерполирования у, так что

а = min{so, sj,..., хп, у}, b — max{s0, s15..., хп, у}.

Тогда существует такая точка £ — £.(у), а < £ < Ь, что

= (11)

п

где w(s) = П (х ~~ xjY
3=0

Доказательство. Если у = х^, то равенство (11) спра-
ведливо: левая и правая его части обращаются в нуль. Будем
считать, что у / .гц., к = 0,1,..., п. Введем вспомогательную
функцию

^(ж) = /(s) - Р(х) -

Функция <^(ж) дифференцируема n +1 раз на [а, 6] и имеет на этом
отрезке п + 2 попарно различных корней: у, xq, si,..., sn. На
основании теоремы Ролля можно утверждать, что между любы-
ми двумя соседними корнями функции 9?(s) имеется по крайней
мере один корень производной <р'(х). Так как число отрезков,
образованных п + 2 попарно различными корнями, равно n+1, то
производная ip'(x') имеет внутри (а, 6) по крайней мере п + 1 кор-
ней. По теореме Ролля в применении к <р'(х) вторая производная
4>"(х) имеет по крайней мере п корней внутри (а, Ь). Продолжая
таким же образом, получим, что + имеет внутри (а, 6) по
крайней мере один корень. Обозначим его через а< £ <Ь.

Возьмем производную порядка п + 1 от вспомогательной функ-
ции при этом примем во внимание, что степень многочлена
Р(г) не выше a w^' + 1,(r) = (п + 1)!. Получим

^',+1)W = /" + D(,(;) -	- Р(2/)].

'•ЛУ)

Так как ^>(п+1'(£) = 0, то из этого равенства и следует (11). Те-
орема доказана.

Применим представление погрешности интерполирования (И)
к решению двух задач о выборе узлов интерполирования. Обо-
значим через МС1'” + 1'[а, Ь] класс функций /(.г), у которых на [а, Ь]
имеется непрерывная производная п + 1-го порядка, удовлетво-
ряющая неравенству

|/n + 1\r)| sC М, а:е[«,6].	(12)

Будем считать, что узлы интерполирования .г-0.	, ..., .i:„ и

точка интерполирования у принадлежат отрезку [а, 6]. Тогда
для f G Л7'С'О+1)[а1 ft] справедливо представление погрешности
интерполирования (И), из которого на. основании (12) получаем
неравенство

1Шу)1^ (?WK< ^еЛ/с(,,+1)[(7’6Ь	(13>

Рассмотрим функцию

Она является многочленом степени п + 1, f^n + 1\x) = М и,
следовательно /о 6 МС(п + ^[а, Ь]. Так как интерполяционный
многочлен функции /о совпадает с нулевым многочленом, то

1Шо,у)| = |/о(у)| =

м

(п + 1)!

к(у)|.

(14)

Из этого равенства и неравенства (13) получаем

sup |/?.(/, у)| =

/еЛ/С(" + ‘)[а,6]



(15)
Таким образом, точная верхняя граница погрешности интерпо-
лирования функций класса +	6] в точке у зависит от

узлов интерполирования x-q, x'i, . . .,

Предположим, что на [а, 6] задана таблица значений произ-
вольной функции f Е Л/С,(” +1	, 6] для значений аргументов

ЛьЛ\,...,Х„,

(16)

где гп > п + 1 и точка у не совпадает ни с одной из этих точек.

Поставим задачу, какие из аргументов (16) следует выбрать
в качестве узлов интерполирования ад,гц,.. ., хп, чтобы в за-
данной точке у точная верхняя границы (15)была наименьшей.
Это — задача о минимизации погрешности интерполирования
для класса функций МС("+1'[а, 6] в точке у. Будем ее решать
следующим образом. Возьмем из (16) те точки в качестве узлов
интерполирования, для которых правая часть соотношения (15)
или, что то же самое, величина

lu'(.v)l = 1.У - •г‘о|  |у - 1’11 • - • - *n |

имеет наименьшее значение.

Такой выбор произвести легко. В качестве ад возьмем ту из
точек (16), для которой |у — Л\-1 (k = 1,2,..., in) — расстояние до
точки у—наименьшее. В качестве i’i возьмем ту из оставшихся
т — 1 точек (16), для которой |г/ — Л\,| — расстояние до точки
у—наименьшее, и т. д. Очевидно, что при таком выборе узлов
|ы(у)| имеет наименьшее значение.

Рассмотренная задача о минимизации погрешности интерпо-
лирования в точке возникает тогда, когда приходится иметь де-
ло с функцией, заданной таблично. Предположим теперь, что
f £ МCO+Bfa, 6] задана всюду на [л, 6], например, аналитически.
В этом случае при построении интерполяционного многочлена
имеется полная свобода в выборе узлов на [а, 6]. В качестве
меры погрешности интерполирования /?(/, х), на отрезке [а, 6]
возьмем ||/?(/. )||с(а,б]— норму в пространстве С[а, 6].

Из неравенства (13), которое выполняется для всех у Е [о, 6],
получаем

\W, Ollcta.H 7-^nTll^llcB,^ f е МС("+1’[а, 6].	(17)

I 1 /•
Как видно из (14), в неравенстве (17) достигается знак равенства
при f = fa, поэтому из (17) следует

R{MC<~n+l\a, 6]) = sup ||Я(/, .)||С[а,б] =

/£А/С("+»[а,Ь]	(п+1)!

(18)
Указанная здесь точная верхняя граница зависит только от уз-
лов а?о, х\,.. ,,хп, которые естественно выбрать так, чтобы эта
граница была минимальной. В правой части (18) от узлов за-
висит только множитель ||с[а,б], который представляет собой
норму в С[а, 6] приведенного многочлена степени п + 1. Если
[а, 6] = [—1,1], то по теореме 2.2 минимальную норму в С[— 1,1]
имеет многочлен Т(х)— приведенный многочлен Чебышева.

Корни Tn+i(a;)

(2k + 1)тг , п ,
хк = cos————-, k = 0,1,.. . ,п,
271 + 2.

если их взять в качестве узлов интерполирования, доставляют
наименьшее значение точной верхней границе Я(МС1п+11[—1,1]).
Узлы (19) будем называть оптимальными для класса функций
МС(п + 1)[— 1,1]. Так как ЦТп + хЦс!-!,!] = 2~п, то при выборе опти-
мальных узлов

Л/Г

R(M C(n+11[-1,1]) =  ----—

v	L J' (n+ l)!2n

Чтобы указать оптимальные узлы для класса 1ИС(п + 1)[а, 6] в
случае любого отрезка [а, 6], сделаем линейную замену перемен-
ной

b — а а + b
/ = ——х +

(20)

2

которая переводит отрезок [—1,1] в
чаем искомые оптимальные узлы

отрезок [а, 6]. Из (20) полу-

b — а а + b

tk = ^-хк + ^~, fc = 0,l,...,n,	(21)

где хк определяются равенствами (19).

Найдем величину R(MC(n+v>[a, 6]), которая определяется опти-
мальными узлами (21). Для этого надо найти |[gu||с[а,ь]» где
w(t)— приведенный многочлен степени п. + 1 от t, корнями ко-
п

торого являются узлы (21): [J (/ — tk). С помощью равенств
к = 0

(20) и (21) получаем t - tk — [b - a)(r - x-fc)/2, откуда

"(*) = П(<-^)= (Ь-^} + Tn + 1(r),
fc=o	\ z /

INcta.b] = (6 - a)n + 1/22n+1.

Подставив найденное значение ||w||c[a|t] в (18). получим

Отсюда следует, что для любой функции f 6 MC(r‘+1-'[a, 6] по-
грешность интерполирования по оптимальным узлам (21) удо-
влетворяет неравенству

W.*)l < (п2Г)!2^'

§ 4. Интерполирование Эрмита
и другие виды интерполирования

Пусть имеется т попарно различных чисел

% 1 । $ 2 5 •  • । & т

(1)

среди которых могут быть и комплексные. Будем называть эти
числа узлами интерполирования. Каждому узлу Xj сопоставим
натуральное число rj, называемое кратностью узла Xj. Поло-
жим

Г1 + Г2 + • • • + гт = 71 + 1.	(2)

Предположим, что дана функция f(x), имеющая конечные про-
изводные до порядка

т

q = max гj — 1 С / rj — 1 = n	(3)

7 = 1

в некоторой односвязной области Т> плоскости комплексного
переменного, содержащей узлы (1). Если узлы вещественные,
то достаточно предполагать существование конечных производ-
ных /(.г) порядка q на. некотором отрезке вещественной оси, со-
держащем точки хд , . . ., х1П .

Рассмотрим задачу о построении многочлена, степени не вы-
ше и

Р(х) = Ло + Л1-1- + •  • + Опх",	(4)

удовлетворяющего условиям

j = 1,2,.s - 0, 1,. ,.,rj - 1.	(5)

Условия (5) можно выразить словами: в каждом узле Xj долж-
ны совпадать все последовательные производные многочлена Р
и функции f с нулевого порядка по (7';- — 1)-й включительно.
Под производной нулевого порядка от функции понимается са-
ма функция. Таким образом, число условий в узле Xj равно rj, а
число всех условий (о) равно сумме кратностей узлов, которая
по (2) равна п + 1 — числу коэффициентов многочлена (4).

Задача построения многочлена (4) по условиям (5) называет-
ся интерполирован чем Эрмита или интерполированием с крат-
ными узлами, а требуемый многочлен, существование и един-
ственность которого будут доказаны, называется интерполяци-
онным многочленом Эрмита функции /(.г).

Запишем условия (5) подробнее, заменив Р(z) правой частью
равенства (4):

«о + a\Xj + O'>x~j + ... + anx’j =
fli + a?‘2xj -(-...+ annx" 1 = /’(j'j),

(6)

(7j - 1)! + ... + an (--T—+ 1 = /(’-’-’’(гД,
j = 1,2,..., 777 .

Равенства (6) представляют собой линейную алгебраическую
систему и + 1 уравнений относительно п+ 1 неизвестных коэф-
фициентов многочлена (4). Докажем, что определитель системы
(6) отличен от нуля. Отсюда будет вытекать существование и
единственность интерполяционного многочлена Эрмита.

Докажем сначала, что может существовать только один мно-
гочлен (4). удовлетворяющий условиям (5). Пусть наряду с Р(х)
существует многочлен Q(x) степени не выше п, также удовле-
творяющий условиям (5). Тогда, разность у?(т) = Р(х) — Q(r)—
многочлен степени не выше п — удовлетворяет пулевым услови-
ям (5) в каждом узле:

=	- /,5)(ij) = 0, s = 0, 1, . ... rj - 1,

и, следовательно, Xj является корнем многочлена <^(x) кратно-
сти i'j. Таким образом, многочлен р(х) степени не выше»? имеет,
в силу (2) п-f-l корней с учетом кратностей. Это возможно лишь
в случае <р(х) = Р(х) — Q[x] = 0.

Из единственности интерполяционного многочлена Эрмита
вытекает его существование. В самом деле, многочлен (4), удо-
влетворяющий нулевым условиям (5): pP}(Xj) = 0, существует.
Это многочлен, тождественно равный нулю. По доказанному он
является единственным, а это равносильно тому, что однород-
ная система, соответствующая линейной алгебраической систе-
ме (6), имеет только пулевое решение. Отсюда вытекает, что
определитель системы (6) отличен от нуля и, следовательно,
она. имеет единственное решение при любой правой части.

При постановке задачи интерполирования Эрмита числа
в правых частях условий (5) связаны с некоторой до-
статочное число раз дифференцируемой функцией Да:). Из
приведенного доказательства существования интерполяционно-
го многочлена. Эрмита, следует, что f^(xj) можно считать лю-
быми комплексными числами. Действительно, однозначная раз-
решимость системы (6) имеет место при любом выборе правых
частей	уравнений этой системы.

Отметим два важных частных случая, когда, интерполяцион-
ный многочлен Эрмита легко указать. Первый случай, когда
все узлы xi,...,xm простые, т. е. 74 = - • • = rm = 1, так что
т = п + 1 и условия (5) принимают вид

P(xj) = f^Xj), j = 1,2,..., п + 1.

Интерполяционный многочлен, удовлетворяющий этим услови-
ям, можно представить в форме Лагранжа (3.9):

=	w(i) =	(7)
Второй случай, когда, т = 1, ?*i = п+ 1. Имеется единствен-
ный узел .1’1, и в нем выполняются условия

з = 0,1,..

Нетрудно видеть, что требуемый многочлен Эрмита можно за-
писать в виде

=	(8)

д=0

Многочлен (8) является частичной суммой ряда Тейлора функ-
ции /(г).

Пусть F — линейное пространство функций, допускающих по-
строение интерполяционного многочлена Эрмита. Функции из
F должны быть заданы на множестве, содержащем узлы интер-
полирования ri,..., хт, и должны иметь на этом множестве про-
изводные до порядка q включительно, где q определяется ра-
венством (3). В частности, если узлы вещественны, то по (3)
можно взять F = С(п)[а, 6], где [а, 6] — отрезок, содержащий уз-
Л Ы 2/ j ;  < . , 2? Щ .

Рассмотрим оператор U. который каждой функции f € F со-
поставляет ее интерполяционный многочлен Эрмита Uf = Р £
Рп. Докажем, что этот оператор линейный. Пусть /, д при-
надлежат F и а, в — числа, на которые допускается умноже-
ние функций в F. Рассмотрим функцию а/ + вд £ F. Интер-
поляционные многочлены Эрмита функций f. д мы условились
обозначать соответственно l!f, Ug. Многочлен aUf + ,3Ug име-
ет степень не выше п и удовлетворяет условиям (5), которые
определяются функцией af + Зд. Но тогда, в силу единствен-
ности интерполяционного многочлена Эрмита, он совпадает с
U^f + ЗдУ

F(nf + вд) = aUf + 3Ug.

Это и есть свойство линейности оператора U.

Коэффициент ак. k — 0, 1, . .., п, интерполяционного многочле-
на Эрмита функции f £ F является линейным функционалом в
F. Действительно, если коэффициент ак найти из системы (6) с
помощью формулы Крамера и после этого определитель в чи-
слителе разложить по элементам (А- + 1)-го столбца (который
совпадает с вектором правой части системы (6)), то получим

т Pj — 1

ак = ak(f) =	akjff(s\xj), k = 0,1,..., п, (9)

j = l 5 = 0
где akj> — постоянные, зависящие только от узлов xi,...,xm и
их кратностей. Таким образом, функционал а^.(/) является ли-
нейной комбинацией с постоянными коэффициентами линейных
функционалов f^^Xj). Отсюда и следует утверждение.

Подставим выражения коэффициентов по формуле (9) в
многочлен (4). Получим

т rj “ 1

=	(10)

j = l 5=0

где ljf(x)- -некоторые многочлены степени п или ниже, завися-
щие только от узлов и их кратностей.

Как и в случае интерполирования по значениям функции,
рассмотрим погрешность интерполирования Эрмита R(f,x) =
/(r)-F(i-). Предположим, что /(~) - - аналитическая функция
комплексного переменного г, однозначная и регулярная в не-
которой односвязной области Т>, содержащей точку интерпо-
лирования х и узлы интерполирования xi....,xm внутри себя.
Точку х считаем отличной от x’i,..., хт. Дадим представление
погрешности интерполирования в виде контурного интеграла,
при этом воспользуемся тем, что интерполяционный многочлен
Эрмита Р(х) имеет вид (10):

т rj -1

/?.(/, х) = /(т) -ЕЕ	(и)

j = l 5=0

Проведем замкнутый контур /, целиком лежащий в Т> и охва-
тывающий узлы 1'1, ..., хт и точку х. По формуле Коши имеем

/(*) = Г" f—d:’	= f{z\<+idz- (12)

2ttiJiZ-x	2тп Ji [z - Xj)s+1

В правую часть формулы (И) подставим вместо /(г), Л’Ч2-’;) их
представления интегралами Коши (12). Получим

Д(/, г) = -L [ f(z)R (_х ) dz,	(13)

2тгг Ji \z — х )

где

Я (—-—,	= — -----ЕЕ ------------5 ч,. 1	(14)

\z-x’ J z-x	(--^)л+1

есть погрешность интерполирования Эрмита функции 1/(г — г)
как функции от х.
В правой части формулы (14) стоит рациональная функция
от представленная в виде суммы простых дробей. Введем
обозначение

П(~) = (с

Общий знаменатель дробей в правой части (14) равен (с—л)П(г),

поэтому

(---•<W)’

(15)



где степень числителя как многочлена, от z не выше п + 1, а.
степень знаменателя равна п. + 2.

Покажем, что Q(c,t) не зависит от z. Напишем разложение
/?(1/(с — л), л) в ряд по степеням 1/~, предполагая, что |г| > ]л|,
|~| > 1-0|, j = 1, • • •; in- Имеем

Так как погрешность интерполирования Эрмита является ли-
/ II	\

пейпым оператором и R I 22 •*‘f//~p + 1. ) = 0. то
\г = 0	/

R(^^ = R( Е = Е

'	’	'	\4' = Г1+1	/ V — Т) + 1

Отсюда видно, что /?(1/( ~ — л),.г) — 0 при с — со по меньшей
мере как 1/с"+2. По тогда из (15) вытекает, что степень Q{ztx)
относительно z равна пулю и Q(;,j.-) от z не зависит: Q(z,x) =
QW.

Напомним, что вычетом функции комплексного переменного
в особой точке а (полюс или существенно особая точка) назы-
вается коэффициент при (с — с/)-1 в разложении этой функции
в ряд Лорана. Вычет функции 7?(1/(~ — л), л) в полюсе z = х
равен 1, как это видно и.з формулы (14). Здесь мы пользуемся
тем, что х ац., k = 1, . .., in. Теперь из формулы (15) следует,
что <5(л)/П(л) — 1 и (15) можно записать в виде

Заменим в формуле (13) /?.(1/(г —л), х) правой частью последнего
равенства. Получим

/?(/, л) =

ВД Г f{z) d
2iri J (z - л)П(л)
Это и есть представление погрешности интерполирования Эр-
мита для случая, когда. f(z)— аналитическая функция.

С помощью (16) находим

/Чт) = /(.г) -

ад
2-/

----<1.

-x)Q(z)

(17)

Мы получили представление интерполяционного многочлена
Эрмита в виде интеграла. Коши. Чтобы записать этот много-
член в явном виде, вычислим контурный интеграл в правой ча-
сти (17). При вычислении интеграла будем пользоваться следу-
ющей теоремой из теории функций комплексного переменного.

Если функция регулярна в замкнутой области, за исключением
конечного числа точек из зтой области, являющиеся полюсами
или существенно особыми точками и лежащих внутри области,
то интеграл от. функции по контуру области равен произведе-
нию 2тгг на сумму вычетов в указанных особых точках.

Подынтегральная функция в (17)

-)___

оад

имеет особыми точками полюсы z = т, z — Xj, j — 1,.... т.
Вычет функции (18) в полюсе z — х

/?.о = ад/ад.	(19)

Вычислим вычет функции (18) в полюсе z = Xj. В окрестности
Xj имеют место разложения в степенные ряды

(20)

(21)

(22)

Чтобы найти вычет функции (18)

=	1 ff . 1 (^-^Р

(z — r)Q(z) (г — Xj)r’ z — х П(~)
в полюсе z = Xj, мы должны найти коэффициент при (z—Xj)r’ 1 в
произведении рядов (20) — (22). Требуемый коэффициент равен

гдеЛг^!^9—коэффициент при (j — Tj)''-’ 1 ? в произведении ря-
дов (21) и (22). Ясно, что

7 = 0	г = 0

Из формулы (17) по цитированной выше теореме теории функ-
ций комплексного переменного получаем

Р(.т) = Дх) - 2тг/^^ ^2 Rj-

j=o

Заменяя здесь Rq по формуле. (19) и Rj по формуле (23), полу-
чаем представление многочлена Р(х)— формулу Эрмита:

= Е (7^7 Е Е	(«)

j = l v 3 1 <) = 0	1	r = 0

Представление (24) интерполяционного многочлена Р(х) оста-
ется в силе и в том случае, когда f(x) не является аналитиче-
ской функцией. Более того, (24) дает многочлен, удовлетворяю-
щий условиям (5) при произвольных числах f^^Xj), о которых
заранее не известно, являются ли они производными некоторой
функции.

Легко проверить, что указанные выше частные случаи ин-
терполяционного многочлена Эрмита (7), (8) можно получить
из формулы (24). Рассмотрим еще интерполирование Эрмита с
двукратными узлами:

ri = • • • = тт = 2. 2m — п 4- 1,

т

Q(c) = cv2(z) = ]J(z - хкУ~.

k-i
Чтобы записать многочлен Эрмита, мы должны найти первые
два члена разложении (2'2):

Имеем

Вычисляя последний предел по правилу Лопиталя, находим

Подставим найденные коэффициенты с^\ в формулу (24).
Получим

Пример. Найдем интерполяционный многочлен Эрмита,
удовлетворяющий условиям

Г	F(i-)	F'(z)	Р"И
0  1  3	1  2  3	1  1  -1	-2

Многочлен fi(z) имеет вид fi(z) = z3(z — l)z(z — З)2.
Получим первые три члена разложения (22) для трехкратного
узла т 1 = 0:

-3 _ 1 1 1 1

ад “ (Тададзр " 9(1--~)2 (1 --73)'-' “

= X(1 + 2- + 3-’ + ...) f 1 + -~ +	+ • • • 1 =

У	\ о о	/

Аналогичным путем находим первые два члена разложений (22)
для узлов лд = 1,	= 3:

( Q(.~) = z3(.’ - З)2 = 4^ “ 2(~ “	+  •

“ад- = -3(- - i)2 = 108“3) +   -Ь

Запишем формулу (24):

адоад- 1)-'7-зИр(0)^

+ Ho)J к + ад
и	О

Р"((У) 1 •,
---7---

+ 7(.г - З)2 /Р(1)|[1 - 2(т- - 1)] + F'(l)i(r - 1)1 +

+ 7(.r - I)2 (Р(3)-^-[1 - 2(.г - 3)] + Н3)т^(*- - 3)1 .
1UO	JUo	J

Подставляя заданные значения многочлена и его производных
в узлах, получаем искомый многочлен

) — gU' ~ l)^' — В)" ^1 + -д-2 +

+ адад)+ад>ад,

Остановимся на способе интерполирования последовательны-
ми производными, который в случае равноотстоящих узлов при-
менял Н. Абель, а в общем случае рассмотрел В. Л. Гончаров
[10]. Требуется построить многочлен P(j') степени не выше п,
который удовлетворяет условиям

адад = ад ; = 0,1,...,п..	(26)
Здесь л-j.	— любые комплексные числа.. Числа Xj играют

роль узлов, среди них могут быть одинаковые, числа, мо-
гут, в частности, совпадать со .значениями производных
некоторой дифференцируемой функции.

Нетрудно видеть, что требуемый многочлен Р(х) существует
и является единственным. Действительно, возьмем многочлен
Р(х) в виде (4) с неопределенными коэффициентами и запишем
условия (26) подробнее:

лц + ai^o + ci‘)Xq + •   + аля-'о —
а 1 4- 2а2ж i 4- * • • 4- п лгг 2.4	—	\

2а2 4- • • • + п(п — 1)ап.с2-2 = /(2\

«!«,, = Лп).

Получили линейную алгебраическую систему относительно
неизвестных коэффициентов а0, а],...,а,, с треугольной неосо-
бенной матрицей. Такая система имеет единственное решение,
и наше утверждение о существовании единственности Р(х) уста-
новлено.

Рассмотрим общую задачу алгебраического интерполирова-
ния, известную в литературе как задача интерполированья Эр-
мита  - Биркгофа. Введем прямоугольную матрицу

/ = [гщ, с,'1, . . . , fin];" 1,

имеющую т строк и п 4- 1 столбцов. Ее элементы равны
либо 0, либо 1. при этом	= п 4- Е так что число единиц

среди элементов матрицы I равно числу ее столбцов. Матрицу
I называют матрицей инцидентности.

Положим в = {(/,	= 1}. Множество е состоит из упорядо-

ченных пар целых неотрицательных чисел, которые определяют
индексы ненулевых элементов матрицы I. Пусть

XI < Хо <    < хт	(27)

вещественные числа. Задача Эрмита.— Биркгофа формулиру-
ется следующим образом. Найти многочлен Р(х) степени не
выше д, который удовлетворяет условиям

(г',У)£е.	(28)
Здесь /•J1—заданные числа. Задача (28) определяется матри-
цей I и точками (27) — узлами интерполирования. Заметим,
что требование вещественности узлов в постановке задачи (28)
не является обязательным. Задачу (28) впервые рассмотрел
Г. Биркгоф в 1906 г.

Важным частным случаем задачи (28) является интерполи-
рование Эрмита, когда матрица I обладает следующим свой-
ством:

из Sjj = 1 и 0 j1 < j следует S/j/ = 1	(29)

при всех i —	В z-й строке матрицы / единицы идут

подряд с пулевого столбца по (z-2- — 1)-й, число единиц равно
z'i — кратности узла Х].

Другим частным случаем задачи (28) является задача интер-
полирования последовательными производными. Матрица I в
этом случае имеет в каждом столбце только одну единицу.

Задач. Эрмита -Биркгофа (28) называется уравновешен noil,

Аз1
если соответствующая ей задача с пулевыми значениями д’

Q^(xi) = 0.	(30)

имеет единственное решение в векторном пространстве Рп мно-
гочленов степени не выше п, а именно нулевой многочлен
Q(x) = 0.

Очевидно, задача Эрмита — Биркгофа (28) имеет единствен-
ное решение в Р„ тогда и только тогда, когда она уравновешен-
ная. Как мы знаем, задача интерполирования Эрмита и задача
интерполирования последовательными производными являются
уравновешенными.

Свойство у равновешенности зависит как от матрицы I, так и
от узлов (27). Пусть

'1

0

.1

0 О’

1 0

0 0.

(31)

Задача Эрмита—Биркгофа, определяемая матрицей (31) и уз-
лами ад < х-> < гз, как легко проверить, является уравнове-
шеной тогда и только тогда, когда х? / (гд + гз)/2. Если
х2 = (2Д + £з)/2, то многочлен второй степени (г — гд)(а- — тз)
удовлетворяет условиям (30) и не является пулевым и задача
Эрмита—Биркгофа не уравновешенная.
Если матрица I имеет одну или две строки (?n = 1 или т = 2),
то свойство уравновешенности определяется полностью матри-
цей I. В случае гп = 1 матрица имеет вид	и, следова-

тельно, определяет уравновешенную задачу интерполирования
Эрмита с одним фиксированным узлом кратности n+ 1. В слу-
чае ?п = 2 задача может не быть уравновешенной. Тот факт,
что свойство уравновешенности не зависит от узлов, следует
из того, что любые два узла линейным преобразованием можно
перевести в два фиксированных узла, например 0, 1. Если зада-
ча Эрмита уравновешенна (не уравновешенна) в случае узлов О,
1, то она уравновешенна (не уравновешенна) и в случае любой
другой пары узлов.

Введем обозначения

mj - би +---h £mj,	j = 0,1,.. .,n,

Mj = 77)0 + ГП1 +    + ГП-j , j = 0, 1 , . . . , 77,

—число единиц в (J + 1)-м столбце матрицы I, Mj—число
единиц в первых j + 1 столбцах I.

Л. Пойа доказал в 1931 г., что задача Эрмита— Биркгофа при
77? = 2 является уравновешенной тогда и только тогда, когда
выполнены неравенства

Мо 1, ЛА 2,...,Мп-1 п-	(32)

Следует также иметь в виду, что по определению Мп =77+1.

Теорема 1. Для того чтобы задача Эрмита — Биркгофа (28)
была уравновешенной, необходимо, чтобы выполнялись условия
Пойа (32).

Доказательство, Предположим, что условия (32) не вы-
полнены. Тогда найдется такое ,ч (0 .ч и — 1), что М, < s + 1.
Докажем, что существует ненулевой многочлен Q(i') степени не
выше s, который удовлетворяет условиям (30). Число однород-
ных уравнений (30) при j s. равное Mf, меньше s + 1 — числа
неизвестных коэффициенте!! многочлена Q(x). Такая система
имеет ненулевое решение, которое, определяет требуемый нену-
левой многочлен Q(x). Так как степень Q(x) не выше s, то он
удовлетворяет условиям (30) и при j > s	= 0)- Теорема

доказана.

Задача Эрмита—Биркгофа (а также определяющая ее ма-
трица /) называется квазиэрмитовой, если свойство (29) матри-
цы I выполняется при i = 2,3,..., т — 1.
В этом определении считается, что т Л: 2, при этом па строки
матрицы / с номерами 1, т никаких условий не налагается. В
частности, если матрица / имеет две строки, то она. является
квазиэрмитовой.

Теорема 2. Для того чтобы, квазиэрм итова задача (28) бы-
ла уравновешенной при любом выборе узлов (27), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись условия Пойа (32).

Необходимость условия установлена в теореме 1. Обозначим
через Q(z) многочлен степени не выше п, который удовлетворя-
ет условиям (30):

Q(j\xi) = о, (м’)Ее-	(33)

Для доказательства достаточности требуется убедиться, что
Q(x)— нулевой многочлен.

Положим при s = 0,1.....п

Zs = {i-,|2 i < т - 1, ег5 = 1},

— (*t'i, .т,71) Z5.

Другими словами, Z.,—множество узлов (27) из интервала
(х’1, лт), которые являются корнями многочлена. Q^\x) в силу
условий (33) при j = s.

Свойство задачи Эрмита—Биркгофа быть квазиэрмитовой
равносильно следующему условию:

Zo D Z} D • •  D Zf,.	(34)

Лемма. .Многочлен Q^s\x) (*’ = 0, 1,.... п) обращается в нуль
по крайней мере в Л/.,_] — s различных точках открытого мно-
жества П5. Здесь по определению полагаем Д7_ i = 0.

Доказательство. Проведем его методом индукции по s.
Если s = 0, то Л'/5_1 — s = 0, и утверждение леммы о корнях
Q(i') (число корней не менее нуля) тривиально. Предположим,
что утверждение леммы справедливо при s — р. 0 р п — 1 и
докажем его при s = р + 1.

По предположению индукции Q^p\x) обращается в нуль по
крайней мере в Мр-\ — р- -различных точках множества Qp.
Кроме того, Q(p\.r) имеет inp корней на. [.t-p, .г„,] в силу условий
(3.3) при j = р, не принадлежащих Пр. Таким образом, Q^p\x)
имеет по крайней мере Мр_\ — р + тр — Мр —р корней на. [14, г|п].
На основании условий (32) Мр — р 1. Если здесь имеет место
равенство, то Мр — (р + 1) — 0, и утверждение леммы о корнях
выполняется тривиальным образом.

Пусть теперь Мр — р^‘2. Так как обращается в нуль в
Л/;, —р 2 точках отрезка, [лц. то по теореме Ролля Q(p+1 '(л?)
обращается в нуль по крайней мере в Л/г — р — 1 точках

И, / = 1,2,.... Мр - р - 1.	(35)

Каждая из точек yi лежит между двумя последовательными кор-
нями многочлена Q^tx), а так как среди этих корней содер-
жатся все точки из Zp, то у/ Zp и по (34) у/ £ Zp+\ при
I — 1,2,..., Мр — р — 1. Таким образом, попарно различные точ-
ки (35), число которых равно Мр — (р + 1), являются корнями
Q(p+1\x) и принадлежат Qp+i. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Установим, что много-
член Q(x) нулевой. При доказательстве леммы установлено,
что Q(p\x') имеет по крайней мере Мр —р корней на [а71,тт].
Так как по (32) Мр —р^ 1, р = 0,1,..., то Q^p\x) обращается в
нуль хотя бы в одной точке [.t’i, г,»]. Отсюда, следует, что много-
член Q(x') можно рассматривать как полученный интерполиро-
ванием последовательными производными, при этом значения
производных порядков 0, 1...., 7) равны нулю. Из уравновешен-
ности задачи интерполирования последовательными производ-
ными вытекает, что Q(x) = 0. Теорема доказана.

Теорема 2 содержит сформулированный ранее результат
Пойа об уравновешенности задачи Эрмита—Биркгофа при
771 - 2.

Задача Эрмита.— Биркгофа, определяемая матрицей (31), удо-
влетворяет условиям Пойа (32), по не является уравновешенной
при любом выборе узлов. Это связано с тем, что матрица (31)
не квазиэрмитова.

§ 5. Конечные разности

Пусть /(ж) — вещественная конечная функция, заданная на
всей вещественной прямой и h — положительное число. Конеч-
ной разностью первого порядка функции f(x) называется функция

△/(я) =	+h)~ f(x).
В обозначении функции А/(х) для простоты записи не отмечена
зависимость от h. Конечная разность второго порядка от функ-
ции /(о?) определяется как конечная разность первого порядка
от Af(x):

A2/(z) = A/(a.- + A)-A/W-

Пусть уже определены конечные разности порядка п. Конеч-
ная разность порядка п + 1 определяется равенством

Ап+1/(х) = А’7(^ + Л)-

Можно говорить о конечной разности нулевого порядка, если
условиться считать А°/(л,-) = /(.г).

Конечные разности суть функции от х. Если функция f(x)
задана таблицей с равноотстоящими значениями аргументов
х^ = xo + kh, k = 0,1,..., г, то и для конечных разностей получим
таблицу. Составим таблицу конечных разностей в соответствии
с их определением (здесь и далее для упрощения записи исполь-
зуется обозначение />• = /(л',)):

Х’о	Л	А/о	А-Л
Х’1	/1	АЛ	△-’Л
	h	АЛ	А'2Л
i-з	А	АЛ	
Х'4	А		

А3 /о А4/о

А3 Л

В первой строке таблицы помещены значения последователь-
ных конечных разностей от нулевого до четвертого порядка при
значении аргумента хц. Во второй строке расположены значе-
ния конечных разностей от нулевого до третьего порядка при
значении аргумента Т] и т. д. Ясно, что по т значениям функции
мы можем получить конечные разности до порядка т — 1 вклю-
чительно, при этом число разностей порядка k, 0 k т — 1,
равно т — k. Отметим важное обстоятельство, что составле-
ние таблицы конечных разностей по таблице функции сводится
к простейшим арифметическим действиям — сложению и вычи-
танию.
Таблицу конечных разностей принято записывать иначе:

хо fo

±fo

2-’l	/1	А2/0

Л/i А3/о

h	A2/i Д4/о

АЛ	,	А3/1

Яз	/з	А2 Л

А/з

4-'4	А

Аргументы и значения функции располагают не в каждой
строке, а через одну. Конечная разность первого порядка А/,
записывается в пропущенной строке, расположенной между те-
ми строками, в которых находятся значения функции и /,+1,
из которых разность АД- получена. Конечная разность второ-
го порядка A2ft записывается в строке, которая расположена
между двумя строками, содержащими А/; и A/,-+i, и т.д.

Таким образом, все конечные разности четного порядка на-
ходятся в тех же строках, где расположены аргументы таблицы,
а все разности нечетного порядка — в промежуточных строках.
При такой записи таблицы конечные разности функции при дан-
ном значении аргумента, например А1'/о (k = 0, 1,2, 3,4), рас-
положены в верхней наклонной вниз строке. По этой причине
разности А*/(г-) называют нисходящими.

Пример 1. Построим таблицу конечных разностей функ-
ции sin .г, х = 0 (0, 1) 0,7. Результаты вычислений приведены в
табл. 1 (у разностей не пишутся нули, предшествующие первой
значащей цифре).

Та Плица 1

Г	/А)	Д/Л)	Д2/М	△3/Л)	Д4/Л)
0  0.1	0 0.09983	9983  9884	-99	100	
0,2	0,19867	9685	-199	96	4
0,3	0,29552	9390	-295	- 94	2
0,4	0,38942	9001	-389	91	3
0,5	0.47943	8521	-480	-83	
0,6	0,56464	7958 .	-563		
	0,64422				

Конечные разности для функций, заданных в виде таблицы
с равноотстоящими аргументами, играют роль, подобную той,
которую играют производные для функций с непрерывно изме-
няющимся аргументом. Приводимые ниже свойства конечных
разностей аналогичны соответствующим свойствам производ-
ных.

1.	Операция взятия конечной разности линейна. Если ст, /3 —
постоянные, /. д— конечные на Л функции, то

Д>/(.г) + 0д)х)) = цД'77) + !3±"дИ.	(1)

При п = 1 это равенство справедливо:

A(ci/(i-) + Зд(х)) = af(x + Л) + /Зд(х + Л)-

- (аДх) + /?/(!•)) = оЛДх) + /ЗЬд(х).

Пусть равенство (1) доказано при п = k. Докажем его для п =
k + 1:

±к+\аДх) + 0д(х) =

= А*(о/(.г + Л) + /Зд(х + /»)) - ДЧ«/(х) + Ш =

- иАкДх + h) + 0Akg{x + h) - a^kf(x) - 0Akg[x) =

= аАк + }Дх)+0Ак+1д(х).

Равенство (1) доказано.

2.	Конечная разность порядка и от .многочлена степени п
является постоянной величиной, и. следовательно, все конечные
разности более высокого порядка равны нулю.

Докажем, что конечная разность первого порядка от одно-
члена хк является многочленом степени k — 1. Действительно,

А,/ = (х- + h)k - хк = Clkxk~lh + Ckxk~2lr + ... + hk.

Отсюда ввиду свойства 1 следует, что конечная разность пер-
вого порядка от многочлена степени п является многочленом
степени п — 1. Это утверждение доказывает свойство 2.

Свойство 2 позволяет продолжить таблицу многочлена для
равноотстоящих значений аргумента с помощью сложения и
вычитания. Если степень многочлена равна п, то достаточно
иметь таблицу из п + 1 его значений. Это позволит составить
таблицу конечных разностей многочлена до порядка п включи-
тельно. По свойству 2 конечные разности порядка п постоян-
ны. поэтому мы можем заполнить столбец разностей порядка
7/. После этого можем заполнить столбец конечных разностей
(и — 1)-го порядка, пользуясь формулой

An-7(^+i) = A'-V^J + A"/^-).
Далее заполняем последовательно столбцы конечных разно-
стей порядка, п — 2, 7) — 3 и т.д. и, наконец, столбец разностей
нулевого порядка- значений многочлена.

Практическое значение приема продолжения таблицы состо-
ит в том. что он применим не только к многочленам, но и к функ-
циям, допускающим хорошее приближение многочленами невы-
соких степеней. Это обстоятельство определило ту выдающую-
ся роль, которую играли конечные разности во времена ручных
вычислений. С появлением ЭВМ конечные разности как аппа-
рат вычисления значений функций утратили свое значение. Бо-
лее того, формулы, содержащие конечные разности (например,
формулы, применяемые при численном решении задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений), стали заме-
нять формулами, в которых вместо конечных разностей стоят
значения функций. По мере развития ЭВМ, расширения их воз-
можностей конечные разности находят и будут находить даль-
нейшее применение при вычислениях на ЭВМ.

Конечную разность порядка п можно выразить непосред-
ственно через значения функции. Для разности первого порядка
по определению Д/(.т) = Дх + А) — Дх). Получим выражение
конечной разности второго порядка через значения функции:

Д2Дх) = Д/(х + А) - Д./Д) = Дх + 2Л.) - Дх + Л)-

- [/(х- + А) - Да-)] = Д.т + 2А.) - 2Дх + А) + Дх).

Методом математической индукции можно доказать, что для ко-
нечной разности порядка, и справедливо представление

Дг7(.0 = £(-1)1С*7(-’-' + (»-0/'.).	(2)

к = 0

Если ввести оператор сдвига Е, применение которого к функ-
ции f увеличивает ее аргумент на величину A:	= Да 4-А),

то формулу (2) можно записать следующим образом:

Это символическое равенство следует понимать так. Расклады-
ваем (Е — 1)" по формуле бинома Ньютона и полученный мно-
гочлен от Е умножаем на Дх):

£(-1/с*еп-*дД

k=0
Ч тобы получить отсюда правую часть формулы (2), нужно вос-
пользоваться равенством

Infix') = f(x + mh), 7/i = 0, 1....

Легко проверить также справедливость формулы

/(.г + nh) = f(x) + С* Д/(.т) + С“Д2Л.г) + ... + Д" Л*)> (3)
которая дает представление значения функции в точке x + iih. че-
рез значения последовательных конечных разностей от нулево-
го до //.-го порядка в точке х. Формулу (3) также можно записать
компактно в символическом виде

Дг + 7/Л) = (1 + ДГЛ.г-).

Если табличные значения функции заданы с погрешностью,
которая не превышает £, то погрешность конечной разности пер-
вого порядка в неблагоприятном случае может оказаться рав-
ной 2s. погрешность разности второго порядка—равной 4s, по-
грешность разности 1--Г0 порядка может оказаться равной 2fcs.
К этому результату можно прийти и чисто формально. Зна-
чения функции в таблице f(xj) = f(x;) + с/, i — 0,1,...,7', где
г,—погрешность и |s,| S. По формуле (2) получаем

к

ЛкЦхд = Skf(xi) + Д*г,- = ДА77,') +

;=0

Из этого равенства находим

|дьл.7,л- д*л-ч)| ^Eci- = 'А'

7=0

при этом равенство достигается, если

ё,+д._7 = (-1)7, j = O,l,...,L

Обычно в таблицах функции £ равно половине единицы по-
следнего десятичного знака. При k = 5 получаем, что в Д5/(л:,)
погрешность может оказаться равной 27 — 16 единиц последне-
го знака, т. е. могут оказаться неверными два последних знака
пятой разности.

Предположим теперь, что таблица содержит погрешность
только в одном значении функции. Это может быть ошибка в
значении функции, которая значительно превосходит допусти-
мую погрешность. Влияние этой ошибки па. конечные разности
Таблица

.Г	/(*)	△/(*)	△2/(*)	△’/(*)	д«/Д)
	/<-з	Д/1-з			
*1-2	/<-2	Д/1-2	±2fl--.	^"Jl-3 + -	^fl-1 + t
	/|-1	△ Л-1 + Г	^2fl-2 + 5	△3/<-2 -35	^fi-з - U
XI	fl + е	△/| - е	△2/1-1 -	fl-1 + з?	△ 4 /1-2 + б£
*1+1	fl+l	△/(+1	△2/1 +е	Д’/( -£	Д4/!-1 --15
-’4+1	/1 + 2	△/1 + 2	△2/( + 1		△1/l + e
	/<+з				

можно проследить по табл. 2, где в значении f допущена ошиб-
ка Е.

Из таблицы видно, что ошибка влияет па k + 1 значений ко-
нечной разности порядка к, при этом коэффициентами при с
являются биномиальные коэффициенты СТ1 =	(гп =

11	к т!(к-т)! V

О, 1,... Д’) с чередующимися знаками.

Если функция на рассматриваемом участке таблицы доста-
точно хорошо приближается многочленом невысокой степени,
то по свойству 2 конечные разности некоторого порядка функ-
ции должны быть постоянными с точностью до одной — двух
единиц последнего знака. Это обстоятельство можно использо-
вать для контроля правильности вычисления значений функции.
Приведенная таблица распространения погрешности в конеч-
ных разностях позволяет обнаружить «изолированную» ошиб-
ку и устранить ее.

Пример 2. Рассмотрим пример, иллюстрирующий процесс
обнаружения ошибки в таблице. В табл.З приведены конечные
разности многочлена

Р(л) = 70л4 - 140л3 + 90л2 - 20л +1, л = 0(0,02)0, 20.

Если бы значения Р(л) были заданы точно, без погрешностей
округления, то четвертые разности по свойству 2 были бы по-
стоянными. Так как значения Р(л) заданы с пятью десятичными
знаками, то в наиболее невыгодном случае отклонение четвер-
той разности от ее точного значения будет равно 8•10-5. По-
этому четвертые разности в нашем случае не могут отличаться
Г <l Г> л и ц .i 3

.V		ДР(.г)	А2/’(.г)	Д'И-г)	Л-'Р(л)
0 0.02 0.0-1 0.0G 0.08 0.10 0.12 0.1-1 0.16 0.18 0.20	1  0,63-189  0,33522  0,09-167  -0.09281  -0.23300  -0,33149  -0.39327  -0.42356  0.42700  -0.-10800	- 36 511  - 29 967 -2-1 055  -18 748 -14019  -9 849  -6 178  3 029  -344  1 900	6544  5912 5307  4729  4170 3671  3149 2685 22-14	-632  -605  -578  559  —199  464  -441	27  27  19  60  -23  58  23

друг от друга более, чем на 16 единиц пятого знака. Но в та-
блице четвертые разности колеблются значительно сильнее, и
это указывает на. наличие ошибки.

В таблице более всего искажена четвертая разность, распо-
ложенная в строке л = 0,12. Это показывает, что ошибочным,
по-видимому, является значение Р(х) при л = О, Г2. Можно ука-
зать величину ошибки. Обозначим через л значение четвертой
разности. Так как сумма биномиальных коэффициентов с. чере-
дующимися знаками равна нулю, то сумма всех четвертых раз-
ностей (в нашем случае их семь) приближенно удовлетворяет
равенству 191 ~ 7а, откуда л = 27 единицам пятого десятичного
знака. Величина четве.ртой разности в строке л = 0,12 равна
о + 6г. откуда 27 + бг = —23 и г = —8.

Исправленное значение многочлена

Т(0, 12)= -0.33149 + 0.00008 = -0.33141,

что отличается от истинного значения —0.3314048 на половину
единицы пятого десятичного знака. Значения четвертых разно-
стей после исправления таковы: 27. 27, 27, 28,25. 26.31 (в едини-
цах пятого десятичного знака).

Укажем па другое обозначение конечной разности первого
по рядка:

^(л) = /(л)-Дл-Л).

В обозначении Д/(л) = /(л + /|) — /(л) аргументом конечной
разности является аргумент вычитаемого, аргументом конеч-
ной разности V/(t) является аргумент уменьшаемого. Пусть
уже определена конечная разность Vn/(-'c) порядка п 1. То-
гда разность порядка п + 1 определяется равенством

V" + 1/(t) =	- V"/(x - /')•
Разности Vnf(x) называются восходящими.

Таблица восходящих конечных разностей записывается так
же, как таблица нисходящих разностей:

•'-'о /о

V/,

и	/1	v2/2

V/2	V3/3

1-2	/2	V2/3	W4

v/з	,	V3/4

З-'З	/3	V2/4

V/4

X4	/4

Конечные разности с одним и тем же значением аргумента,
например /4, V/4, V2ft, V3/4, V4/4, расположены в наклонной
вверх строке. Это объясняет название «восходящие разности».
Методом индукции легко доказывается равенство

- kh) = Vkf(x).	(4)

Приведем определение так называемых центральных разно-
стей:

6fW = f(x + Л./2) - /(г - А/2),

6n+1f(x) = 6”f(x + Л/2) -	- h/2).

Если функция задана таблично с равноотстоящими аргумента-
ми

Xj - То + jh , j = 0. ±1, ±2,...,

то центральная разность первого порядка <5Д = А + 1/2 — fk-\/2
выражается через значения функции, которых нет в таблице.
Однако центральная разность второго порядка

fk = <5A-f-l/2 - bfk-i/2 — fk- + \ - 2/fc + fk-l

выражается через табличные значения, и это утверждение оста-
ется в силе для центральных разностей любого четного поряд-
ка 62mfk- Отметим, что 6fk + \/2 = A+i - fk выражается через
табличные значения /(г), и это верно по отношению к любой
центральной разности нечетного порядка:

52m+1A+i/2 = *2mA+i -62mfk-
Запись таблицы центральных разностей:

•'•'-2 f—2		
		
£-i f-\	52/-i	
tf-м-		57-1/2
I’o fo	82f0	57o
6fH2		571/2
1 /1	8%	
5/3/2		
*2	/2		
Центральные разности от	одного и	того же аргумента расио-

латаются в соответствующей горизонтальной строке. Напри-
мер. fa, 6~fo, 84fo расположены в той же строке, что и аргумент
то. разности 8fi/o, 82fi/2 — в промежуточной между i'o и .гц стро-
ке.

Центральные и нисходящие разности связаны равенствами

62m+lf(x + Л/2) = Д2т + 1/(1- - 77гЛ),
82mf(x) = Д2т/(г - mh),

(5)

которые легко установить методом индукции.

Центральные разности для функции f(x), заданной таблично,
обозначают также следующим образом:

r2m c2in с z2rn+l c2zn4-l г

fk =6 fk, fk + f/-> = fi Л + 1/2-

Упомянем еще обозначение для среднего арифметического
значения функции:

/7(7 = (/(г + Л/2) + f(x - h/2))/2.

Оно используется, в частности, для обозначения средних ариф-
метических центральных разностей:

М2т+7о = (52m+7i/2 + 52m+7-i/2) /2,
^2m/i/2 = (62m/i+52m/o)/2.

(6)
§ 6. Разделенные разности и представление
интерполяционного многочлена Эрмита
в форме Ньютона

Пусть

Я-’О j X 1 j •  • j	( 1)

вещественные точки, среди которых могут быть совпадающие.
Допустим, что среди них имеется т попарно различных точек

xkl,xk2,...,xkm,	(2)

при этом точка хк, повторяется Tj раз в последовательности (1),
так что ri + г-> + • • • + гт = n + 1.

Предположим, что функция /(.г) имеет конечные производные
до порядка q = max Tj — 1 <С п включительно на некотором отрез-
ке [а, 6], содержащем точки (1). Это условие на /(а:) зависит от
кратностей этих точек. В частности, если среди точек (1) нет
совпадающих, то функцию f(x) достаточно считать конечной на
[а, 6]. Условие выполняется при любом расположении точек (1)
на [а, 6], если f(x) имеет на [а, 6] конечную производную порядка
л, в частности, если f Е С^^[а, 6].

Построим интерполяционный многочлен Эрмита, функции /(г)
по точкам (2) как узлам, при этом узел хк] имеет кратность ту

Р^\хк]) = flf\xkj), j = l,2,...,m, з = 0, 1,..., Tj - 1.

В некоторых случаях многочлен Эрмита Р(х) будем обозначать
более подробно:

Р(.г) = Р„(х) = P(f, хо, Ti,..., хп, х).

Разделенной разностью порядка п функции /(т) от аргументов
(1) называется коэффициент при х'1 интерполяционного много-
члена Эрмита Р(х) функции /(т), определяемого точками (1).

Разделенную разность будем обозначать f(x0, Xi,..., гп). В
ряде случаев оказывается удобным обозначение [aro> a?i,..., xn]f.
Разделенные разности называют также разностными отноше-
ниями.

Укажем явные выражения разделенной разности в простей-
ших случаях. Если точки то, 1’1,..., х„ все совпадают с тц, то
хо имеет кратность n + 1 и, как мы знаем, интерполяционный
многочлен Эрмита функции f(x) имеет вид (4.8)
Коэффициент при .г" этого многочлена, ранен п}(;Го)/и! и. сле-
довательно,

/(ад....,ад) = Д"\.>д)/п!.	(3)

п + 1

В частности, при п = 0 получаем, что разделенная разность
нулевого порядка функции f от аргумента ад равна значению
функции / в точке ад.

При 71 = 1 в ад, г,, .. ., ад, входят две точки ад, ад. Достаточ-
но рассмотреть случаи ад / ;и,. Интерполяционный многочлен
Р(а;) в точках ад и ад принимает те же значения, что и функция
/(а-), и его можно записать в виде

pi И х , /(J-1) —/(-г-41),	,

Д(а-) = Дад) + ----------(.г - ад).

•1'1 — ад

Коэффициент при а-— разделенная разность первого порядка

ft \	/(a-’i) - Да-о)	,

Д *0, а: 1) = --------.	(4)

ад - а;о

Приведем свойства разделенных разностей.

1.	Линейность. Пусть точки (1) фиксированы и принадлежат
[<?, 6]. Обозначим через F вещественное векторное пространство
функций, заданных на [«./)] и допускающих построение много-
члена Эрмита по этим точкам, так что для f g F разделенная
разность /(ад, ад...., ад) определена. В частности, можно взять
F —	Если п. /V - вещественные числа и /, д G F, то

(а/ +	-fb....in) = о Дад, ад,.г,,) + ЗДад. ад..а,,).

Свойство следует из того, что коэффициенты интерполяцион-
ного многочлена. Эрмита являются линейными функционалами
в F.

2.	Симметрия. Разделенная разность порядка п является
симметрической функцией своих п+1 аргументов, иначе говоря,
она не изменяется при любой перестановке аргументов.

Это свойство является очевидным следствием определения
разделенной разности. Интерполяционный многочлен Эрмита
функции однозначно определяется точками ад, xi,...,xn и не
зависит от порядка, в котором эти точки записаны.

3.	Разделенная разность порядка п от многочлена степени п
является постоянной величиной (нс зависит от аргументов ад,
ад,..., хп). а разделенные разности более высокого порядка равны
нулю.
Пусть Да.') — многочлен степени 77. Тогда интерполяционный
многочлен Эрмита для f(x). построенный по любым р+1 узлам,
где р п, совпадает с. /(т) и. следовательно, разделенная раз-
ность порядка, р при р и совпадает с коэффициентом при хр
многочлена, /(г-)- 1'ак как коэффициенты многочлена /(т) при
х1' для р > 77 равны нулю, то разделенные разности порядка, р
от f(x) равны нулю, а разделенная разность порядка п от /(т)
равна коэффициенту при х" этого многочлена.

Получим представление интерполяционного многочлена Эр-
мита в форме Ньютона. Возьмем первые А + 1 из точек (1) ад,
.11,.... ад, где 0 А к, и рассмотрим интерполяционынй мно-
гочлен Эрмита функции f(x)

Pf:(x) = P(J, ХП, Х\ , . . . , Хк,х), fc = 0, 1, . . . , 77.

Получили 77 + 1 многочленов Эрмита функции /(т): /’о(л'),
Р\(х), . . . , Рп(х).

Рассмотрим разность двух последовательных многчленов Эр-
мита Д.+ 1(а.-) — Рк(х). Ома является многочленом степени не вы-
ше k + 1 ив узлах .Ко, Xi,... ,Х1: удовлетворяет нулевым усло-
виям Эрмита. Отсюда следует, что точки то, ад, ..., х.к являют-
ся корнями многочлена Рд. + 1(т) -	при этом некоторые из

корней могут оказаться кратными. Так как степень многочлена
Plc+1 (т) — Рк{х) не. выше А + 1, то других корней он не имеет и,
следовательно, справедливо равенство

А.-ц(-с) - Рк(х) = С(х - t0)(t - хд) •• - (г - хк).

Из этого равенства видно, что постоянная С равна коэффициен-
ту при Д'1"1 многочлена Эрмита Рк + \(х), или, что то же самое,
равна разделенной разности f(x'o, хд , . . ., ад-+1). Таким образом,
окончательно получаем

Л- + 1(.т) - Рк(х) = (л - ,гп )(.;• - .1:))  • (x-xk)f(x(},x\, . . .,Tfc + i). (5)

Очевидно, интерполяционный многочлен Эрмита Р(х) функ-
ции /(.г), построенный по узлам тд, ад, ..., хп, можно предста-
вить в виде

71 — 1

Рп(х) = Р0[х) + £(П+1(г’) - Рк(х)).

к = 0

Заменим в последней формуле разность +	— Pk(x) правой

частью равенства (5) и P(xq)— на /(zu). Получим

п-1

^п(^) = /(я;о) + 52(е-:ео)(1--;в1) • •  (x-xk)f(xQ, зд,..., xfc+1). (6)
Jb=O
Формула (6) дает представление интерполяционного многочле-
на Эрмита в форме Ньютона.

Рассмотрим вопрос о вычислении разделенных разностей.
Воспользуемся представлением (6) интерполяционного много-
члена Эрмита функции Дх) в форме Ньютона, определяемо-
го точками ад, 1'1, ..., хп и теми же точками, записанными в
обратном порядке: хп,.. ., X], ад. Считаем, что среди точек
то,	имеются различные. Пусть для определенности

ад / а-'n- Имеем

P(f, то, .ri, . . ., хп, х) = f(x0) + (а? - ад)/(ад, ац) + . . .

.. . + (х — ад)    (х — гп_2)/(а?о, .гц,..., x„_i)4-

+ (.г - то) •••(х - тп_1)/(то,Т],... ,тп),

  •, т j, т о, а:) — f (т,,) 4- (т т n) f (т,,, хи _ i) 4- ...

 • • Н- (а а „) •  (а хо) f (а,,, ..., а2, а i)4-

4- (х - хп) •••(а - x^f(xn, . . ., Xi, хд).

Эти многочлены совпадают, поэтому коэффициенты при хп-1
у них одинаковы:

/(то,Т1,-..,Тп-1) — (xo4-a’i 4- . . .4-хп_1)/(хц, х i,..., хп) =
= f(x„ , .... ад, ад) - (хд 4- ... 4- ад 4- ац )/(хп,.. ., ад, ад).

Воспользуемся свойством симметрии разделенных разностей и
приведем подобные члены в этом равенстве

(хп х0)/(ад, а],. . ., ад) — У (a* j, х?,..., хп) У (ад, а ],..., хп_;).

Отсюда

г/	\	/(а11, Т2, • .., ад) /(xo,Xi,...,xn—i)	. .

Дх0, X],..., хп) = —--------------------------------.	(7)

Л- п О

Это равенство позволяет последовательно вычислять разде-
ленные разности: разделенная разность порядка п выражается
через разделенные разности порядка п — 1, если х0 / хп. Если
все аргументы Xq, ад,. .., хп одинаковы, то следует пользовать-
ся формулой (3). Формула (7) объясняет название «разделенные
разности».

Ввиду свойства симметрии разделенных разностей роль ар-
гументов ад, ад могут играть любые два аргумента ад,х?, лишь
Таблица 4

X	Разделенные разности порядка				
	0	1	2	3	4
1'0	/(то)				
		/(то, T) )			
			/(TO. X] , X‘2 )		
		/(т'1, 1'2)		/(x’O: ti , r2, x3)	
*2	/(^2)		/(xi,x2,a-3)		/(to, xj,X2,хз, X4)
		/(Т2,Т?)		/(X] , T2, T3, X4)	
^3	/(*з)		f(т2,x3, x4)		
		/(^3.=4)			
	J(=4 )				

бы они были различны:

• • ‘j Еп) —

__ /(^0 , $1.1 •  - j — 1 j ‘Ед + 1;  •  1 Еп) /(*^01 ^1 j   • , Ер — 1) Ер|1, . . . , Еп)

Ер Тд

Если функция /(г) задана таблицей своих значений, при этом
аргументы таблицы попарно различны, то с помощью формулы
(7) можно составить таблицу разделенных разностей подобно
тому, как составляется таблица конечных разностей. Аргумен-
ты и значения функции располагаем через одну строку (табл. 4).
Сначала вычисляем разделенные разности первого порядка

,/	/('г'г + 1) ~ f(xi)  n 1 9 Q

f(Xi, Xi + i - —-----------, I = 0,1,2,3,

Ti + 1 - Xi

расположенные во втором столбце таблицы. Разделенная раз-
ность f(xi, 1’t+i) записывается в строке, расположенной между
теми числами /(я,) и f(xj+i), из которых она получена. Пусть
уже вычислены разделенные разности порядка s — 1, располо-
женные в s-м столбце таблицу, s 2. Тогда разделенная раз-
ность s-ro порядка вычисляется по формуле

г/	_ f(xi + l ,    1 Xi + s ) — f(Xi , .   ,	1)
и записывается в таблице между разделенными разностями, ко-
торые находятся в числителе правой части равенства (8).

Аргументы а.-,-, аГ|+,, разность которых фигурирует в знамена-
теле правой части (8). можно найти следующим образом. Если
передвигаться от места записи разделенной разности
/(г;, . . ., 1’i+s) по наклонной вниз строке, то придем к значению
функции /(г;+5) и тем самым к аргументу Если передви-
гаться от f (х;,.... .fl+s) по наклонной вверх строке, то придем к
аргументу а:,-. Это замечание о нахождении аргументов полез-
но иметь в виду при фактическом вычислении таблицы разде-
ленных разностей, так как в этом случае разделенные разности
записываются в виде десятичных чисел и не содержат явно ин-
формации о том. от каких аргументов они зависят.

Таблицу разделенных разностей можно составить и тогда, ко-
гда среди аргументов таблицы имеются совпадающие. В этом
случае помимо значений функции f понадобятся значение их
производных в повторяющихся аргументах, а именно, если ар-
гумент а.’/ повторяется г ‘2 раз. то нам потребуются значения
производны?;	при j = 0. 1.г — 1.

Если а;,- / .г/+5, то разделенная разность /(т,,.... вычи-
сляется по формуле (8) и тогда, когда среди ее аргументов име-
ются совпадающие. Пусть теперь а’,- = ,т1+5 и, следовательно,
формулой (8) воспользоваться нельзя. Мы можем найти зна-
чение разделенной разности /(а-,-.-Е-н)	110 формуле (3), если

значения ее аргументов одинаковы: х, = ;г, + 1 = •• = а.-,+5 и
известно значение производной	Отсюда вытекает, что

при составлении таблицы разделенных разностей в случае, ко-
гда среди аргументов имеются повторяющиеся, порядок сле-
дования аргументов не может быть произвольным. Аргументы
таблицы должны быть упорядочены так. чтобы повторяющиеся
точки следовали подряд друг за другом.

Пусть аргументами таблицы функции /(г) являются точки
уо, 3/1: • • , Уп , среди которых ?п < п + 1 попарно различных:
Ук,, • • •, Ук„. • причем ykj повторяется г} раз, rj =	1. Тогда

мы можем построить таблицу разделенных разностей функции
/, если упорядочим аргументы следующим образом:

Полученную последовательность аргументов обозначим i’q,
II,..., Указанный способ упорядочения аргументов табли-
цы функции гарантирует выполнение условия, что из равенства
,i'i = следует г,- = ац+1 ••• = r,+s, s 2, что и позволяет
построить таблицу разделенных разностей функции /, пользу-
ясь формулами (8), (3). В частности, точки уо, yi,..-,yn можно
упорядочить так, чтобы новая последовательность была неубы-
вающей.

Таблица 5

1'	Разделенные разности порядка				
	0	1	2	3	4
1’0	7 (1’0)				
		7(i’o,i’o)			
1'0	7(io)		/(1'0,10 , l'o )		
		7(1’0,3’0 )		f (1'0, l'o, 1'0, 1'1 )	
i'o	7(1’0 )		7(10,1’0,1’1)		7(1'0,10,1'0,11,11)
		7(1’0,1'1)		/(l'o , 1'0,11,1'1 )	
1*1	7(1’1)		f(xo , 1] , T] )		
		7(1'1,1'1)			
Г]	7(1’1)				

Приведем пример таблицы разделенных разностей функции
/(.г) с повторяющимися аргументами (табл. 5). Аргументы та-
блицы 1'о, х'1 различны, при этом х0 трехкратный, ац двукрат-
ный. Разделенные разности в таблице, у которых все аргументы
совпадают, вычисляются по формуле (3), например,

I’o, i’o) = /"(i’o)/2.

Таблица разделенных разностей функции f(x) делает воз-
можным вычисление ее интерполяционного многочлена Эрмита
Pn(i’) в форме Ньютона (6). Если ввести обозначения

а,- = /(го, 1’1,.. •, I’;), г = 0,1,..., я,

то многочлен Pn(i’) можно записать в виде

П— 1

Рп(х) = а0 +	- £о)(я - zi) * *	- xi)ai+i-

t = 0
Коэффициенты а,- расположены в верхней наклонной строке та-
блицы разделенных разностей (см. табл. 4).

Укажем схему вычисления значения Рп(т) в точке х = у, от-
личной от узлов 2.'о, 2*1,..., хп. при этом будем считать п = 4.
Представим многочлен при х — у в виде

Ра(у) - {[(«ч(.у - Х'з) + «з)(у - 2'2) + а2]х

х (.V - 1’1) + «1}(у - а-'о) + «о-

Из данного представления видно, что последовательное вычи-
сление чисел 64, 63, 62, 6], 6о, определяемых формулами

64 = 04,	6,-= 6г + 1 (у — 2'j) 4-a,, i = 3,2,1,0,

приводит к искомому значению 6q — Ра(у) и требует не более че-
тырех умножений. Запись результатов вычислений можно про-
изводить следующим образом:

й.4	G3	(Io	G1	Ад

64(1/-а-’з) 63(у-г2) Ь2(у- Xi) 61(у-х0)

64 = а4 63	62	61	60 = Р4(у)

Эта схема вычисления интерполяционного многочлена Эрмита
в форме Ньютона аналогична схеме Горнера (см. гл. 4, § 1).

Пример. Получим интерполяционный многочлен Эрмита
Р(х) = Ра(х), удовлетворяющий условиям

X	Р(т)	Р'(т)	Р"(х)
0  1	2  4	3  3	—4

В табл. 6 приведены результаты вычисления разделенных раз-
ностей многочлена Р(х). С помощью формулы (6) получаем

Р(х) = 2 + 2'3 + аг2(-2) + х31 + 2-3(2- - 1)1.

Коэффициенты многочлена взяты из верхней наклонной строки
табл 6.

Если аргументы Гц, 24,. .., хн таблицы разделенных разно-
стей функции / попарно различны, то ее интерполяционный мно-
гочлен, построенный по узлам 2'(|, Xj,..., 2'п, можно записать как
в форме Ньютона (6), так и в форме Лагранжа (3.9). Так как оба
интерполяционных многочлена функции f построены по одним
и тем же узлам, то они совпадают и различаются лишь формой
записи.

Таблица 6

X	Разделенные разности порядка				
	0	1	2	3	4
0	2	3			
0	2	3	-2	1	
0	2	2	-1	2	1
1	4	3	1		
1	4				

Формула Ньютона обладает преимуществом по сравнению с
формулой Лагранжа в следующем отношении. Если многочлен
Рп(х) уже построен и дает недостаточно хорошее приближение,
то возникает надобность в добавлении нового узла и построении
Рп+1(г). При добавлении нового узла как в формуле Ньютона,
так и в формуле Лагранжа добавляется одно слагаемое, но при
этом в формуле Ньютона прежние слагаемые останутся без из-
менения, а в формуле Лагранжа все слагаемые изменятся.

Установим связь разделенной разности с производной. Если
все аргументы х*0, хi,..., хп разделенной разности порядка п
одинаковы, то связь задается формулой (3). Поэтому в приво-
димой ниже теореме этот случай исключен.

Теорема 1. Пусть среди точек xq, xi,...,xn имеются различ-
ные. Обозначим через [а, 6] наименьший отрезок, содержащий
эти точки, и предположим, что функция /(г') имеет конечную
производную порядка п на этом отрезке. Тогда справедливо ра-
венство

(9)

где £—некоторая точка, удовлетворяющая неравенствам
а < е < Ь.
Доказательство. Введем функцию уф;и) f(x)—Pn(x), где
Рп(х)— интерполяционный многочлен Эрмита функции f(x), по-
строенный по узлам а.'о, .п,. .., хп. Функция имеет конечную
производную порядка п на. [о, 6] и имеет на этом отрезке п + 1
корней хо. хд, . .., хп с учетом кратностей. Заметим, что по опре-
делению [а, 6] его концы а и b являются корнями <^(.г-). Докажем,
что производная р'(х) имеет не менее ?) корней на [а, 6] с учетом
кратностей.

Действительно, пусть т — число попарно различных среди
точек .гд. лд,. . ., хп. Каждый кратный из т корней ^(х) явля-
ется корнем с кратностью, на единицу меньшей, чем его
кратность как корня Если корень ^(л) простой, то он не
является корнем производной ^'(х). Таким образом, ip'tpP) имеет
на т корней меньше, чем $с(.г), за счет понижения кратностей.
Но у ^'(х) появляются по меньшей мере ш — 1 новых корней. Вну-
три каждого отрезка, концами которого являются два соседних
различных корня $?(.с)> теорема Ролля гарантирует существо-
вание по меньшей мере одного корня у ^'(.к). Следовательно
г'(х) имеет в худшем случае на один корень меньше, чем <f(x)
(в лучшем случае у у>'(х) число корней может быть таким же,
как у р(х), или больше). Отметим, что гарантированные л кор-
ней производной р'(х) получаются либо понижением кратности
корня уфт), либо лежат внутри (п. 6).

Таким же путем убеждаемся, что <у"(х) имеет по меньшей ме-
ре п — 1 корней с учетом кратностей и т.д.. у?1"^) имеет по
меньшей мере один корень С Точка £ обязательно лежит вну-
три (п,6). Если бы £ совпадала с а или 6, то она имела бы
происхождение от кратного корпя у-(л-) и ее кратность была бы
равна п + 1. что исключено.

Из определения ?(х) следует, что

,Х! ,...,х „).

Полагая в этом равенстве х - £ и принимая во внимание, что
(г’(п’(€) = 0, получаем равенство (9). Теорема доказана.

Представление погрешности интерполяционного многочлена
Эрмита дает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f(x) имеет конечную производ-
ную /!" + 1,(л’) на наименьшем отрезке [п,6], содержащем узлы xq,
хд ,..., х,, и точку интерполирования у, и пусть Рп(х) = P(f,xo,
хj, . .., хп, х) - - интерполяционны и многочлен Эрмита функции
fix'), построенный no узлам xq, xi,...,xn. Тогда для погреш-
ности интерполирования R.n(f, ж) = /(ж) - Рп(х) в точке у спра-

ведливы представления

R-n(f. у) - f(x0,Xi: ....	(10)

Rn(f,у) -	+ уу ш"+1 (у)>	(11)

где £ —некоторая точка, а < £ < 6 и и/п+1(ж) = П£=о(ж ~ хь)-

Замечание. В формулировке теоремы 2 мы считаем, что
отрезок [а, 6] не сводится к точке, как это следует из неравенства
а < £ < Ь. Это предположение оправданно, так как точку у мы
можем считать отличной, например, от xq. Действительно, если
у = а.’о, то представления (10), (И) очевидно справедливы.

Доказательство. Рассмотрим точки .то, Xj,..., хп, у и ин-
терполяционный многочлен Эрмита Р,г+1(ж) функции f(x), по-
строенный по этим точкам как узлам. В силу (5) имеем

Р,1+1(ж) - Рл(ж) = /(ж0,Ж1... . ,жп,у)шп+1(ж).	(12)

Так как у — узел, то Р„.+](у) = /(у) (функция и ее интерполяци-
онный многочлен Эрмита в любом узле принимают одинаковые
значения). Полагая х — у в равенстве (12). получаем предста-
вление (10).

Так как функция /(ж) имеет конечную производную поряд-
ка п. + 1 на наименьшем отрезке [о, £>], содержащем точки жо,
Ж[,..., ж„, у, то по теореме 1

/(ж0, Ж!,..., ж„, у) =	+	+ 1)!, а < £ < Ь.

Заменяя разделенную разность в (10) правой частью последнего
равенства, получаем представление (11). Теорема доказана.

Представление (11) погрешности эрмитова интерполирова-
ния по форме записи пе отличается от представления (3.11) по-
грешности интерполирования по значениям функции. Если сре-
ди узлов имеются tn попарно различных xj..,,. . ., жц.,,,, при этом
xkj имеет кратность г; , то

п	m

Шп+1(ж) = Ц(ж - Xj) = Ц(ж - хк]У’.

3=0	j=l

Разделенная разность функции от аргументов, среди которых
нет совпадающих, выражается через значения функции в этих
точках по формуле

где w„ + i(j:) = (.г — Х'о)(х- —	— 2-п). Так как точки 1'0)

а.1!...., хп попарно различны, то интерполяционный многочлен
функции f(x), построенный по этим точкам как узлам, можно
записать в форме Лагранжа (3.9):

Разделенная разность порядка п, которая стоит в левой части
равенства (13), равна коэффициенту при хп многочлена Р(х)-
Нетрудно видеть, что этот коэффициент совпадает с правой ча-
стью формулы (13).

Положим х = хп в представлении интерполяцинного много-
члена Эрмита в форме Ньютона (G). Так как Рп(хп) = f(xn), то
получим

п — 1

f(xn) = /(;го) + ^2(т-а.'о)(т-.г1) •  •(х-г7)(т0,а.'1,.. .,1’j + i). (14)
j=0

Эта формула дает представление значения функции в точке хп
через разделенные разности. Формулы (13), (14) являются ана-
логами формул (5.2), (5.3) для конечных разностей.

Теорема 3. Пусть функция f(x) имеет, непрерывную произ-
водную f^n\x) на отрезке [а, 6], содержащем точки Xq, х\,..., хп.
Тогда

где Тп —стандартный симплекс в Rn:

Тп — ( (/1, . .. ,tn) € R"

<$ 1, ti 0, 7=1,2, ...,п
i=i

Следствие. Если f(x) имеет непрерывную производную
на [а, 6], то разделенная разность f(xo, i],..., хп) есть
непрерывная функция своих аргументов на [a,6]n+1 С R”+1.
Теорему 3, как и следующие два утверждения, оставляем без
доказательства. Первое утверждение--это формула для разде-
ленной разности от произведения двух функций:

(f (I)(2-0) 1 > • • • 1	, f (т,-, -Г,-4-1,..., xfL)s(x q, X j,..., xr), (16)

;• = ()

которая аналогична формуле Лейбница для производной.

Второе утверждение касается структуры разделенной разно-
сти от многочлена. Пусть k, п — натуральные числа k п. Раз-
деленная разность порядка k от многочлена степени п является
многочленом степени n — k от аргументов	, Xk разделен-

ной разности.

Если аргументы таблицы функции /(х) являются равноотсто-
ящими:

2-4 = 1’о + kh, k = 0, 1,..., N,
то наряду с таблицей разделенных разностей можно получить
таблицу конечных разностей этой функции. Укажем, как связа-
ны между собой разделенные и конечные разности. Для разно-
стей первого порядка имеем

„ х Ж+1)-Ж) _ АЖ)

Xi +1 Xi	П

7 = 0,1,.... /V — 1.

Из определения разделенной и конечной разностей второго
порядка и из только что полученной формулы следует

f(x{, Хг‘4_] , Х’|4_з) —

А/Ы'
h

2!/i2

1
2h

А/(а-\-4.1)
h

/(г,, ^i4-l)] =

г = 0,1,..., TV — 2.

Нетрудно видеть, что

f(xi>...,Xi+n) = ^M, г = 0,1,... Л-п,	(17)

при любом п N.
(j 7. Интерполирование по равноотстоящим узлам

Рассмотрим представления интерполяционных многочленов
для случая, когда узлы являются равноотстоящими. Формула
Ньютона для интерполирования в начале таблицы дает интер-
поляционный многочлен Р,, (.г) степени не выше п для функции
/(.г). заданной в равноотстоящих точках

= хо + kh, h > 0, k = 0, 1. . ... in. in^n. (1)

Формула предназначена для приближенного вычисления значе-
ний /(;(•) при х, расположенных вблизи .го, .со < х .го + Л./2.
Предполагается, что значения /(тц — i7i). к = 1.2,..., неизвест-
ны. Это означает, что таблица функции /(.г) начинается в точке
.г,;, и это обстоятельство отмечено в названии формулы.

Будем считать, что функция f имеет непрерывную производ-
ную порядка п + 1. при этом +	Л/ для ,т из отрезка

[с/. 6], содержащего точки (1), иначе говоря, f G +	6].

Па основании сказанного в § 3 о минимизации погрешности
интерполирования в точке к интерполированию следует при-
влечь ближайшие к точке ,г узлы: .то, ,Т],...,т,1. Предположе-
ние f Е Л/С^‘+1)[л. 6] будем считать выполненным и в дальней-
шем, когда будем говорить о выборе узлов интерполирования
на основании упомянутого результата из § 3.

Воспользуемся представлением (6.6) интерполяционного мно-
гочлена в форме Ньютона

п-1

?п(х) =/(i!H) + ^2(.T-a:0)(,i:-a.'i) •  (,г-,1Ц.)/(л0, 1ц , . . ., 1>+1). (2)
к=о

Приведем эту формулу к более простому виду. Введем новую
независимую переменную

t = (х - x0)/h.	(3)

Так как х = хд + lit, Xj = iq + hj, то x — Xj = h(t — j), и, следова-
тельно,

(т - xq)(x — 1'i) •  • (x — 2Ц.) = hk + lt(t — 1) • •  (Z — £).	(4)

В случае равноотстоящих аргументов имеется связь между
разделенными и конечными разностями, которая дается форму-
лой (6.17):

с,	Afc+7(*o)

/(х°’	- (1. + 1)!М.+г
С помощью (4) и последнего равенства формулу (2) можем за-
писать и виде

/’„(.СО + Id) = f(zo) + £	(5)

i-=o e + /•

Это и есть требуемая формула. Заметим, что в нее входят
конечные разности, расположенные в верхней наклонной вниз
строке таблицы конечных разностей.

В предположении существования на [.Си,л:„] конечной произ-
водной /^"+1'(т) с помощью формулы (3.11) получаем предста-
вление погрешности интерполирования

МЛ .с) = /И - Р.И = 1>п+'	+	(6)

где £ — некоторая точка из интервала (аго,2!п).

Формула Ньютона для интерполирования в конце таблицы
дает интерполяционный многочлен Рп(х) функции /(х), задан-
ной также в точках (1). Предполагается, что таблица функции
Дх) заканчивается в точке хт и многочлен /?п(а;) предназначен
для приближения значений функции f(x) при значениях аргу-
мента х, расположенных вблизи хт, хгп — h/'l х < хт. В каче-
стве узлов следует взять ближайшие к х точки: хт,.. .,х,п_п.

Интерполяционный многочлен Рп(х), отвечающий указанно-
му выбору узлов, запишем в форме Ньютона (6.6):

п-1

Рп(х) = f(xm) +	А3, ~ 3‘7П ) ' ’'(х ~ xm-k)f (гт! • • • >	(7)

fc=0

Упростим эту формулу. Введем новую независимую пере-
менную /. = (х — xm)/h. Так как х = хт + Id, x,n-j — хт — hj, то
x	— h(t -p j) и

(x - xm) (x - x,n-k) = lik+1t\t +!)•••(/ + /-)	(8)

С помощью равенства

.	Vt+1/(^>)

j(xm,...,xm_k-i) -	+ ^!M.+i,

вытекающего из (6.17), (5.4), и равенства (8) формулу (7) можно
переписать в виде

рп(Хт + ht) = f(xm) + £	-vt+7(^)- (9)

k=o	+ */•
Эта формула и есть формула Ньютона для интерполирования
в конце таблицы. В нее входят восходящие разности, распо-
ложенные в нижней наклонной вверх строке таблицы конечных
разностей.

Погрешность интерполирования функции f(x) многочленом
(9) дается формулой

адщ = '"tl'('+(1„)+i()i+’1>C'.	(‘°)

где £ — некоторая точка, интервала (хт_п, т,„).

Пусть теперь известны значения функции /(т) в точках

ац. = .го + kh, k = —p(l)g,	(И)

где р, q не меньше [(n + 1 )/2j. Здесь и в дальнейшем [nJ —целая
часть числа я. Будем строить интерполяционные многочлены,
предназначенные для приближения функции f(x) вблизи точки
то- Так как точка ,г0 лежит внутри отрезка [т_р, т9] и удалена от
его концов, то говорят об интерполировании внутри таблицы.

Формула Гаусса для интерполирования вперед дает пред-
ставление интерполяционного многочлена Р„(х) функции /(1’),
который предполагается использовать для приближения функ-
ции при значениях х, которые удовлетворяют неравенствам
то < л л.‘о + Л/2. На основании результата из § 3 о мини-
мизации погрешности интерполирования в точке к интерполи-
рованию следует привлечь узлы в следующем порядке:

To, Т1, Т_1, То. Т-2, .1’3, . . . , T(_1y. + 1 [p, + 1)/2j •	(12)

Запишем интерполяционный многочлен функции /(т), отвеча-
ющий этому выбору узлов, в форме Ньютона (6.6):

п-1

Рп(т) = /(т0) + ^2(т - т0)(т - Т1)  • •

к=0

• • • (т - ir(-i)*+i[(fc+i)/2j) f (zo,ti,   • ,T(_1)k+2|_(j,+2)/2j) . (13)
Выразим разделенные разности через конечные по формуле
(6.17):

f(	X	△t + 7(x-L(l. + 2)/2j)

Введем новую независимую переменную t по формуле (3). Тогда

(т — то)(т — .г’1 )(т — т_ 1) • • • (т — Т(_ ijk+i щ.+1 )/9j) =

= hk+4(t - 1)(/ + 1)  • (/ - (-l)*+1|fc + 1)/2J).
С помощью двух последних равенств формулу (13) можно пе-
реписать в виде

Рп(х0 + М) = /(1’о)+

, vф- 1)(/ + п• • • G + (-1)Ч(^ + 1 )/2J) .fc+1 ..	.

+ 2^	Э. , П|------------ Л /(Ж- L(k +1 )/2j )

1=0	И + 'l-	(]4)

Это и есть формула Гаусса для интерполирования вперед.

Приведем погрешность интерполирования функции /(х) мно-
гочленом (14):

«,(/,.) = ffl-l)(' + l)--T« + (-l)T(n+l)/2J) („+1)

v ’ 7	(п + 1)!	k Л

(15)
где £ — точка, удовлетворяющая неравенствам

ха + (-1)п |n/2Jh i0 + (-l)n+1 L(n + 1)/2Jh,

верхние знаки неравенства берутся при п нечетном, нижние —
при п четном.

Формула Гаусса для интерполирования назад применяется,
когда точка интерполирования х удовлетворяет неравенствам
то — /1./2 х < xq. В этом случае узлы следует взять в таком
порядке:

1 0 1 1—11 11 : 1 — 21 12 1 • • • 1 1 (— 1)п [_(п + 1) / 2] •	(15)

Интерполяционный многочлен функции /(1) по узлам (16) мож-
но представить в виде

Гп(1о + Л/) — /(1о)+

Z(t + l)(f - 1)   (/ + (-1)^+1((Аг + 1)/2J)
(*+1)!

(17)

Погрешность этого многочлена дается формулой

Д„(М) = t.^Q)(--i)-Wr>+Wrl((|)|
(п + 1)!

(18)
где точка лежит внутри отрезка, концами которого являются
наименьшее и наибольшее из чисел (16).

Если п — четное, то множества узлов (12) и (16) совпадают и,
следовательно, многочлены (14) и (17) тождественны.
С помощью формул (5.5) заменим в (14) и (17) нисходящие
разности центральными, при этом будем считать, что л = 2т
четное:

РДЗ-'О + ^0 — /о + /71/2 +

/.(/ - 1)

,	- 1)(/ - 2)^4 г ,

+ —31 5 /1/2 +-----------------4!--------6 f" +

ф2-12)---(/.2-(т-1)2)
(2m — 1)!

52,n-7i/2+

/.(t2 — I2) • • • (/2 — (т — 1)2)(/ — т)
(М!

7"/0,

(19)

+ 1) о

Рп{^'0 + /'/) = /о + /7-1/2 4-------------6~fo +

Ф2- 1)А3

~^6

/(Z2 — 1)(/+ 2)
4!

Z(Z2-l2)---(f2-(m.-l)2)
(2m- 1)!

7/0 +

(2т)!

fo-

(20)

t>~fo +

+

+

В случае нечетного п = 2т + 1 в каждой из этих формул сле-
дует добавить слагаемое, содержащее в формуле (19) разность
62m+7i/2. а в формуле (20) — разность /’2,"+1/-1/2-

В формулы Гаусса (19) и (20) входят центральные разности
четного порядка, расположенные в горизонтальной строке .гд,
и разности нечетного порядка, которые в случае формулы (19)
располагаются в промежуточной между ад и ад строке, а в слу-
чае формулы (20) — в промежуточной между a_i и хд строке.

Формула Стирлинга указывает многочлен степени не выше
п, который используют для приближения функции /(1') при х,
удовлетворяющем неравенствам хд — h/2 х ад +/1/2. Много-
член Стирлинга мы получим как полусумму интерполяционных
многочленов Гаусса для интерполирования вперед и назад. За-
пишем эту полусумму для случая п = 2т четного, пользуясь
формулами (19), (20). Как мы видели, в случае четного п. много-
члены (19) и (20) совпадают, поэтому их полусумма также явля-
ется интерполяционным многочленом функции /(г). Получим

p,.(I0 + M) = /, + //l,3+2V-',3 +

z. z	о!	z

+ ^(<2-l)[/-2 + / + 2]54/o + ...

Z(/2-12)-..(^-Qn-1)^)^»-if1/2+52m-i/_1/2 i

"	(2/71-1)!	2	+

+ () \i9^~ - 12)' ’ - (<2 ~	~ 1)2)[< ~m + i + m]6'2mf0.

(2m): 2

Сделаем в этой формуле очевидные преобразования. В ква-
дратных скобках сумма равна 21, что позволяет избавиться от
множителя 2 в знаменателе и присоединить t к имеющемуся мно-
жителю /. Удобно также воспользоваться первым из обозначе-
ний (5.6) средних арифметических

M2f+1/o = | (<52’+1/1/2 + 52я+1/_1/2) -

Окончательно формула Стирлинга запишется в виде

Рп(%о + /?0 = fo + t/aSfo + ху5"/о + ——yj-~73/о+

Z.	и.

^Л+...+^

(2»,1- 1)!

<2(/2-12)---(/2-

М2’п"7о+

(2ш)!

/о- (21)

Погрешность интерполирования многочленом (21) дается фор-
мулами (15) и (18) при п = 2ш.

Чтобы получить формулу Стирлинга для случая нечетного
л = 2?п. + 1, достаточно к многочлену в правой части (21) доба-

вить слагаемое

t{t2 - 12)...(<2 -7П2)	2„,+

(27714-1)!	1

/о-

Этот многочлен совпадает с полусуммой многочленов Гаусса
для интерполирования вперед и назад и, следовательно, его сте-
пень не выше п, но он не является, вообще говоря, интерполя-
ционным многочленом функции /(х). Действительно, в множе-
ствах узлов (12), (16), по которым построены интерполяционные
многочлены Гаусса, совпадают лишь первые 2т + 1 точек. В
этих точках многочлен Стирлинга совпадает с функцией /(.г),
но в точках .I’m+i, -E-m-i такого совпадения может и не быть.

Погрешность многочлена (21) в случае, п = 2т . + 1 равна, по-
лусумме погрешностей (15) и (18).

Формула Бесселя дает многочлен степени не выше п, приме-
няемый для приближения функции /(л) в точке х, которая при-
надлежит интервалу (a,’o,X’i) и находится близко к его середине
.То + h/2 или совпадает с ней.

Запишем формулу Гаусса для интерполирования назад в виде
(20), взяв в качестве а,д точку Х] и считая п = 2т + 1 нечетным
числом:

Pn(xi + hs) — /1 + s^fl/2 +

s(s2 — Г2) • • • (s2 — (т — l)2)(s + т)

(2т)!

52,"/1 +

(2771 + 1)!

(22)

Здесь использована переменная * = (т — Г1)/Л. Перейдем к
переменной t = (х — x^/h, которая связана с s равенством
t = (х — a,‘i + /<)/Л = s + 1, так что s = t — 1. В переменной t
формула (22) запишется в виде

Рп(хо + РР) — /1 + (i — 1)^/1/2 Н-----------^"/1 +

, Z(/-l)(Z-2)f3r	,

+-------||-----о /1/2 + • • •

t(t2 — I2) • • • (<2 - (т - 1)2)(< — т)
(2т)!

62т

t(t2 - I2) • • • (t2 - (т - 1)2)(/ - т.)(/ - т - 1) 2т+1

--------------------(2т~+"Т)!---------------------6

Возьмем полусумму этого многочлена и многочлена Гаусса
для интерполирования вперед в виде (19) и для п — 2т + 1.
Получим

Pn(x0 + ht) = p/1/2 +	- 0 <5/1/2 + у 4

(f-l/2)Z(/-l)f3r
H--------gi-------° /1/2 + • •

t(t2 - l2)    (<2 - (m - 1)2)(Z - m)

(2т)!	'

(/ - 1 /2)<(/2 - l2).. - G2 - (m - 1)2)(/ - m) 2m+1

----------------(2^Tij!-----------------6	/1/2‘ (23)

Здесь использовано обозначение (5.6)

M27i/2 = |(62Vo + 62Vi).

Равенство (23) и есть формула Бесселя при п = 2 m + 1. Мно-
гочлен (23) является интерполяционным многочленом функции
f(x) как полусумма двух интерполяционных многочленов, по-
строенных по одним и тем же узлам. Погрешность интерполи-
рования f(x) многочленом (23) дается формулой (15), в которой
следует положить п = 2т + 1.

Чтобы получить формулу Бесселя при п = 2m, в правой ча-
сти (23) следует отбросить последнее слагаемое. Полученный
многочлен имеет степень не выше п = 2m, но не является, вооб-
ще говоря, интерполяционным многочленом функции /(т).

В формулу Бесселя входят разности нечетного порядка, рас-
положенные в промежуточной между xq и х-[ строке, и полусум-
мы разностей четного порядка, расположенных в строках tqi
Формула упрощается при t = 1/2: исчезают слагаемые, содер-
жащие разности нечетного порядка.

Численные значения коэффициентов интерполяционных фор-
мул, указанных в этом параграфе, имеются в таблицах [21].

§ 8. Обратное интерполирование

и безразностные схемы интерполирования

До сих пор мы занима лись решением следующей задачи: да-
на таблица функции у = /(т); по заданному значению аргумента
х* требуется найти приближенное значение функции f(x*)- За-
дача обратного интерполирования ставится так: дана таблица
функции у = f(x)\ зная значение функции у", найти аргумент ж",
при котором /(г-*) = у*.

Предположим, что на рассматриваемом участке таблицы
функция f строго монотонна и непрерывна и, следовательно,
имеет однозначную обратную функцию х = /~}(у), также стро-
го монотонную и непрерывную. В этом случае обратное, ин-
терполирование сводится к обычному интерполированию для
функции f~l(y). Чтобы найти приближенное значение х", мож-
но воспользоваться формулой Лагранжа или Ньютона (для не-
равноотстоящих узлов).

Пусть функция у = /(.с) не имеет однозначной обратной. По-
строим интерполирующий функцию f(x) многочлен Рп(х). За-
дача об определении х“ сводится к решению уравнения

РпИ = У\	(1)

Рассмотрим подробнее случай, когда таблица функции зада-
на для равноотстоящих значений аргумента

f(x0 + kh) = yk. к = 0, 1, 2,...

Для определенности будем считать, что Дуо > 0 и у* удовле-
творяет неравенству уо < у* < yi, так что искомое х" находится
между Xq и Xq + /1. В таких условиях целесообразно /(ж) заме-
нить интерполяционным многочленом Ньютона (7.5) для интер-
полирования в начале таблицы. Уравнение (1) принимает вид

Уо + С/ Ауо + ... + С(п Д”уо = у •

Здесь использовано обозначение

С? = t(t-l)...(t-k+l)/k\

Разрешим это уравнение относительно t = С/:

t = (У“ - Уо - С~Д2у0 - ... - С('гД’1уо)/Дуо. (2)

Это уравнение имеет вид t — <p(t). Лля его решения применим
метод итерации, который будет рассмотрен в главе 4. Метод
состоит в том, что выбирают начальное приближение к корню
to и вычисляют последовательные приближения

Ч = <р(М- i2 = p(4), 1з = р(/2), • • •

Если первая производная правой части уравнения удовлетворя-
ет неравенству |у/(<)| q < 1 для всех t из некоторой окрестно-
сти to и начальное приближение to близко к корню уравнения, то
последовательность	имеет предел, совпадающий с этим

корнем.

В случае уравнения (2) искомый корень Г = (х‘ - xQ)/h ле-
жит внутри отрезка [0, 1], и в качестве начального приближения
можно взять 4Ц = 0. Предположим, что |Д2уи| |Дуо| и разности
более высоких порядков Д3.7о, Д4уо> • • •, Д"Уо малы по сравнению
с Дуо и Д“Уо- Тогда главный член производной первого порядка
от правой части уравнения (2) равен -(24 - 1)Д2уо/(2Дуо)- Так
как абсолютная величина этого слагаемого на [0, 1] не превос-
ходит 0,5, то есть основания надеяться, что последовательность
где to = 0, будет сходящейся. Если сходимость имеет
место, то искомый корень Г = lim Д. и требуемое значение ар-
гумента равно х* = г0 + М".

Способ обратного интерполирования, основанный на реше-
нии уравнения (1), разумеется, пригоден и в том случае, когда
/(х) имеет однозначную обратную функцию.

Таблица 7

X	у = ех	△1/	Д2у	△Д	
0,65	1,91554	20146			
0,75	2,11700	22 265	2 119	222	
0,85	2,33965	24 606	2 341	247	25
0,95	2, 58571	27 194	2 588	272	25
1,05	2,85765	30 054	2 860		
1,15	3, 15819				

Пример 1. Дана таблица функции у = ех, х = 0, 65(0,1)1,15.
Найти In 2. Ясно, что задача сводится к обратному интерпо-
лированию: найти г, при котором е1 = 2. Составим таблицу
конечных разностей (табл.7). Искомое х находится в начале
таблицы, поэтому пользуемся соответствующей формулой Нью-
тона. Уравнение (2) записывается так:

t = (8446 - 2119С- - 222С? - 25С?)/20 146.

Решение этого уравнения методом итераций дает
t0 = 0,	0,41924,

<2 = 0,43139, <3 = <4 = 0,43148.
Таким образом, Z* = 0,43148 и In 2 = 0,65 + 0,1/* = 0,693148,
что превышает точное значение на единицу шестого десятично-
го знака.

Функция у = е1 монотонно возрастающая, и мы могли бы со-
ставить интерполяционный многочлен для функции х = In у и
вычислить его значение при у = 2.

Рассмотрим безразностные схемы интерполирования. Пусть
в узлах но, £1,..., хп, попарно различных и, вообще говоря, не-
равноотстоящих, заданы значения уо, yi,...,yn- Будем обозна-
чать через Р!-1,...,£к(2) интерполяционный многочлен, построен-
ный по условиям

= У^> j = 1,2,. ,.,k.	(3)

Здесь k — натуральное число, k п + 1, и г'1,г2...г^—неотри-
цательные попарно различные целые числа, не превосходящие
п. Ясно, что в обозначении Pii,...,ik(x) их можно писать в любом
порядке.

Например, Fqi есть линейная функция, график которой про-
ходит через точки (х0,у0), (xi,i/i). Очевидно имеем

1

Xi — Xq

у о г-о %
2/1

Рассмотрим определитель

PW = _L_	.

V ' Х2 - 1'1 Po2(z) ^2 - X

Он является многочленом от х степени не выше двух. Далее,

Р(хт) = Poi(zi) = 2/1, Р(х2) = РогЫ = 2/2,

1

Р(х0) =

Х2 — Х1

Р01Ы

Ро2(яо)

Л] - Х0

®2 - аг0

Х2 — X)

Уо XJ — Xq

Уо Х2 - Х0

= 2/о,

поэтому Р(х) = Poi2(a;)- Значение интерполяционного многочле-
на Ро12(а:) можно вычислить, применяя линейное интерполиро-
вание к Реп (л) и Ро2(х)- Линейное интерполирование можно бы-
ло применить к двум другим возможным парам Pqi(x) и Pi2(a:);
Po2(z) и Pi2(x). Аналогичным образом находим

Ро1з(а:) =

1

хз — aii

Poi(ar) Xi - х
Роз(1) х3 - х

(4)
Значение интерполяционного многочлена Р0123 вычисляется
по формуле

Лн2з(;е) = --------

Гз - х2

Л)12(г)

Ро1з(а1)

х2 — X

Х3 - X

Вообще значение интерполяционного многочлена, построенного
по п+ 1 узлам Xq, . • • •, хп, можно получить линейным интерпо-
лированием по значениям двух интерполяционных многочленов,
построенных по п узлам, взятым из указанных п + 1 узлов. На-
пример,

Pol.,.п (2) = -----------

•^П Яп-1

•Ро1...п-2,п-1(л) Гп_1 — X
Р01.. ,п — 2,п (&*) Хп ’ X

Безразностный метод интерполирования Эйткина состоит в
том, что вычисление значения интерполяционного многочлена,
скажем, Poi234(i;)1 производится путем ряда линейных интерпо-
ляций по схеме, которая указана в табл. 8. Каждое значение в
таблице вычисляется по формуле линейного интерполирования:
определитель делится на разность аргументов.

Таблица.8

1-0	1/0					Го	— X
1'1	2/1	Poi (г)					— X
12	1/2	Р02М	Ро12 (Д			Х2	— X
Х3	1/3	Роз(х-)	РО13 (1‘)	Ро123(1)		Хз	— X
1'4	2/4	Р04 (1-)	Ро14(х)	Ро]24(1)	Poi234 М	Х4	— X

Например, Ро1з(^) вычисляется по формуле (4), элементы
определителя в схеме подчеркнуты. Схема Эйткина удобна тем,
что элементы определителя в схеме расположены в том порядке,
в каком они входят в определитель.

Пример 2. Дана таблица функции у — sin х, х = 0, 4(0, 1)0,8.
Найти sin 0, 57891. Результаты вычислений по схеме Эйткина
приведены в табл. 9.

Совпадение цифр у значений, записанных в предпоследнем
столбце, показывает, что нужно остановить вычисление и поло-
жить sin 0, 57891 = 0, 54711.

Рассмотрим еще один вариант вычисления значения интер-
поляционного многочлена путем линейных интерполирований,
Табл ица 9

i	21 i	sin j;.	Рог	Poi.	Poi2i	г, - 0, 57891
0	0.4	0, 38942				-0,17891
1	0.5	0,47943	0, 55046			-0,07891
2	и. 6	0, 56464	0, 54616	0,54707		0,02109
3	0.7	0,64422	0,54137	0,54687	0,54711	0, 12109
•1	0.8	0,71736	0.53610	0, 54668	0,54711	0,22109

который называется методом Невилля. Схема метода. Невил-
ля приведена в табл. 10. И здесь каждое значение таблицы вы-
числяется по формуле линейного инерполирования. Например,
Р12з(^) вычисляется по формуле

Р12з(х) =

1

а-’з - .Т1

Лг(а:)

Р23И

Xi — X
х3- X

Таблица 10

	уо	1’0 - х*				
1'1	У1	Poi (х)				Г) — X
•1'2	У2	Р12(1~)	Poi2(x)			х'2 — X
2’3	УЗ	Р23(Х)	Р123(Х)	Pol 23(х)		— х
-Ч	У4	Рз<(х)	Р234(х)	Р1234(х)	Ро1234(х)	X 4 X

Числа, из которых составлен определитель, в таблице подчерк-
нуты. На этот раз верхний элемент второго столбца определи-
теля находится в строке, которая определяется аргументом ij.
Чтобы найти эту строку при вычислениях, надо двигаться от
элемента таблицы Р12з(;г;) по наклонной вверх строке. На этом
пути нам встретятся сначала /-^(.г), а затем у^. Значение yi
находится в искомой строке. Аналогичным путем определяем
требуемую строку и в остальных случаях. Например, при вы-
числении Ро1234(.т) двигаемся по наклонной вверх строке через
Ро12з(%), Ри\2(х)< Foi(x) И уо. Значение уо определяет требуемую
строку.
Таблица 11

i	У.	Т|			Р-3,-2,,-1,.	Р< - 4,1 - 3,1 - 2,«-1 ,1	У.-2
0	1,91554	0,65					-0,08446
1	2,11700	0,75	0, 691924				0,11700
2	2,33965	0, 85	0,697461	0,693025			0,33965
3	2,58571	0,95	0, 711964	0,693828	0,693126		0,58571
4	2,85765	1,05	0,734618	0, 697110	0,693310	0.693142	0,85765
5	3,15819	1,15	О,764630	0, 703912	0,694288	0, 693200	1,15819

П ример 3. Решим задачу обратного интерполирования из
примера 1. Найдем значение интерполяционного многочлена
функции х = In у при у = 2. Результаты вычислений способом
Невилля приведены в табл. 11. Значение Pi234s(2) = 0,693200
оказалось менее точным по сравнению с Poi234(2) = 0 , 6 93 1 42 по-
тому, что точка интерполирования у = 2 находится вне наи-
меньшего отрезка [yi,ys], содержащего узлы интерполирования,
по которым построен многочлен Pi0345(1/)•

§ 9. О сходимости интерполирования

С конечным отрезком [л, Ь] свяжем бесконечную треугольную

матрицу

(1)

Все элементы матрицы принадлежат [а, 6], при этом элементы
одной и той же строки попарно различны. Будем называть эту
матрицу треугольной матрицей узлов.

Пусть /(т)— заданная на [а, Ь] конечная функция. Обозначим
через Рп(х) интерполяционный многочлен функции f(x), постро-
енный по узлам, расположенным в (л + 1)-й строке матрицы уз-
лов:

/’п(^‘+1)) = Ж(л+1)), /= 1,2,...,д+1,
п — 0,1,2,...

Получим последовательность интерполяционных многочленов
{Рп(х)}л'=0 функции /(ж). Будем говорить, что матрица X опре-
деляет интерполяционный процесс на [а, 6].

Рассмотрим вопрос о сходимости последовательности
{Рп(ж)}“_0 к функции /(ж) на отрезке [л, 6]. Ответ на этот во-
прос зависит как от матрица А”, так и от функции /(ж). Если
Рп(х) —> /(ж) при л. —> оо для некоторого ж £ [а, Ь], то будем го-
ворить, что интерполяционный процесс для функции f сходится
в точке ж. Если lim Рл(ж) = /(ж) при всех ж £ [а, 6], при этом
п —» ОО

сходимость равномерна на [а, 6], то будем говорить, что интер-
поляционный процесс для функции /(ж) сходится равномерно.

Рассмотрим на плоскости комплексного переменного замкну-
тую область х, которая представляет собой объединение двух
замкнутых кругов с центрами в концах отрезка [а, Ь] и радиу-
сом b — а (рис. 4). Предположим, что функция /(ж), для кото-
рой по матрице А' строится последовательность интерполяци-
онных многочленов, определена не только на [я, 6], но и в неко-
торой области на плоскости комплексного переменного, содер-
жащей х.

Рис. 4

Теорема 1. Если аналитическая функция f(z) регулярна в за-
мкнутой области я, то интерполяционный процесс для функции
/(ж), определяемый любой матрицей узлов А’, сходится равно-
мерно.

Доказательство. Так как /(г) регулярна в замкнутой
области х, то она регулярна в (открытой) области D, содер-
жащей х. Отсюда следует, что найдется такой замкнутый кон-
тур /, ограничивающий область О], что D D D\ Э D\ D х, где
Di = D-, U I. В качестве / можно взять объединение дуг двух
окружностей с центрами в точках а и b и с радиусом Ь — а + е,
где е— достаточно малое положительное число (рис. 4).
Воспользуемся представлением погрешности интерполирова-
ния /?„(/,!•) = /(.г) - Рп(,с) по формуле (4.16):

Rn(f,t)= ~ [ -n+1jZ) /(Z) dz,	(2)

J Wn+i(~) ~ ~ х

I

где г £ и

wn+i(z)

При z g / и х Е [а, 6] имеем

Так как модуль интеграла не превосходит произведения мак-
симума модуля подынтегральной функции на длину контура ин-
тегрирования, то из (2) получаем



(3)

где

и /1 —длина контура I. Из (3) следует утверждение о равномер-
ной на [а, 6] сходимости Р„(х) к f(x). Теорема доказана.

Замечательно, что область регулярности х является наи-
меньшей, обеспечивающей равномерную сходимость интерпо-
лирования при любой матрице узлов X. Это означает, что ка-
кова бы ни была точка а Е х. найдется такая функция f(z), ре-
гулярная в х всюду, кроме точки z — а, и такая матрица узлов
X, что интерполяционный процесс для функции /, определяе-
мый матрицей X, не будет сходиться к f(x) в некоторой точке
х Е [а, 6].Теорема 1 и утверждение о минимальности х принад-
лежит В. И. Крылову [26].

Теорема 1 гарантирует равномерную сходимость интерполя-
ционного процесса, определяемого любой матрицей узлов X,
для функций весьма узкого класса. Рассмотрим более широ-
кий класс функций, а именно пространство С[а, 6] непрерывных
функций. В этом случае сходимость интерполяционного про-
цесса для любой функции f Е С[л,Ь] при произвольной матрице
узлов Д' не может иметь места.. Сходимости для любой непре-
рывной функции не будет, если матрицу Л выбрать так, что-
бы ее элементы не принадлежали некоторому отрезку [с, с/], ко-
торый содержится в [я. 6] и не совпадает с [л,Ь]. Оказывается,
что никакая матрица узлов Д' не может обеспечить равномер-
ную сходимость интерполяционного процесса для любой функ-
ции f Е С[г/,6]. Приведем без доказательства теорему Фабера.

Теорема 2. Какова бы ни была треугольная матрица узлов Д',
найдется такая непрерывная на [ст, Ь] функция f^x), что интер-
поляционный процесс для f(x) не сходится равномерно.

Приведем примеры, которые показывают характер расходи-
мости интерполяционных процессов для непрерывных функций.
С отрезком [—1, 1] свяжем матрицу равноотстоящих узлов До. у
которой строка с номером п + 1 состоит из элементов

4n + 1) =-1+ (А--1)|, А-=1,2....п + 1.

Рассмотрим функцию

г-; = (inax{o,.f))r = |Х0 ’	| р’	(4)

где т—натуральное число. Функция называется усеченной
степей ной функцией. Из определения (4) следует, что т'+ имеет
непрерывные производные до порядка, г — 1 включительно при
т 6 R.. Интерполяционный процесс, определяемый матрицей
Д'о. для функции т'+ расходится во всех точках отрезка [—1,1],
кроме — 1, 0, 1.

Функция 1/(1 + '25т2) имеет производные всех порядков для
вещественных значений х. Интерполяционный процесс, опре-
деляемый матрицей Д'о, для функции 1/(1 + 25яг) сходится на
отрезке [—/З./З], где в « 0,7’26, и расходится во всех остальных
точках отрезку [—1, 1]. Функция из этого примера является ана-
литической функцией, регулярной на плоскости комплексного
переменного всюду, кроме точек ±0,‘2г. Эти точки находятся
близко к отрезку [—1, 1] и принадлежат минимальной области
регулярности х из теоремы 1.

Утверждения о расходимости интерполяционных процессов,
определяемых матрицей Д'о, для функций из примеров оставля-
ем без доказательства.
Пусть функция /(а;) непрерывна, на [л, 6] и £„(/) — ее наилуч-
шее равномерное приближение многочленами степени не выше
п (см. § 1). /[окажем, что En(f) — 0 при в — оо. По теоре-
ме Вейерштрасса существует такая последовательность много-
членов Qnk(x), что ||/ — QnJIc — о при k — оо. Индекс пк в
обозначении многочлена, указывает на то. что его степень рав-
на пк. Из определения наилучшего приближения следует, что
ЕпЛЛ 1И “ <Эп*||с, так что E„k(f) 0 при k — ос'. Так как
£/(?)	£„+!(/), то из /?,,*(/)	0 при к — оо вытекает En(f) — О

при п оо.

Если Р,“(г) - многочлен наилучшего равномерного прибли-
жения функции /(.г). то ||/ — Е*||с — E„(f) и, следовательно,
— /(j') при п — оо равномерно на [л, 6].

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке [л, Ь].
то существует такая треугольная матрица узлов X, что опре-
деляемый ею интерполяционный процесс для функции f(.u) схо-
дится равномерно.

Л о к аз а т е л ь с т в о. Обозначим /-“/(.г) многочлен наилуч-
шего равномерного приближения функции /(т) на [л, 6] (п =
0,1,...). По теореме Чебышева об альтерпаисе, найдутся п + 2
точки а / <1 < - • • < /,1+2 / Ь, такие, что |/(/2) — Е^(/)| =
£/(/) и знаки /(/,) — Р,'(1;) чередуются. Непрерывная функция
/(.г) — Е’(.г) на концах отрезка , Zj + i] принимает значения раз-
ных знаков. По теореме Коши найдется точка i-jn+1) € (Zj,4 + i)>
в которой /(.г) — Р~(л) обращается в нуль:

л;И+,’) = /(*Г+0). j = i,2,...,n + i.

Таким образом, многочлен Р‘(.г) является интерполяцион-
ным многочленом функции /(.г), построенным по узлам х- ,
j =» 1,2,..п + 1. Эти узлы возьмем в качестве элементов
(л + 1)-й строки треугольной матрицы узлов А'. Матрица. А’ —
требуемая, так как последовательность многочленов паилучше-
го равномерного приближения {сходится к /(з:) рав-
номерно на [ст, Ь]. Теорема доказана.

Теорема 3 имеет лишь теоретическое значение, так как зада-
ча отыскания многочлена наилучшего равномерного приближе-
ния непрерывной функции чрезвычайно трудна.

П риведем без доказательства, теорему 4 (Фейера), которая по-
зволяет для любой непрерывной функции указать последова-
тельность интерполяционных многочленов эрмитовского типа,
сходящуюся равномерно к этой функции. Считаем, что отре-
зок [я, 6], на котором функция непрерывна, совпадает с [—1, 1]. С
отрезком [—1, 1] свяжем треугольную матрицу узлов Т, у кото-
рой элементами строки с номером п являются корни многочлена
Чебышева Тп (z)

(Г1)	(2Л-— 1)7Г

х . = cos--------, k = 1.2,. .., п.

к	2п	’

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна на [—1,1]. Обозна-
чим через Н-2п-1 интерполяционный многочлен Эрмита, постро-
енный по двукратным узлам — элементам, п-й строки матрицы
Т:

Я2га-1(4П)) = Л4П)). Н!2п^(х[п~>) = 0,
k = 1,2, ... .71, 71 = 1,2, . . .

Тогда H2n-i(x) -- /(х) при п —г оо равномерно на [—1, 1].

Пусть функция f(x) непрерывна па. [а, 6]. Запишем интерполя-
ционный многочлен функции f(x) в форме Лагранжа, который
определяется узлами строки с номером п. + 1 треугольной ма-
трицы (1):

ад = pn(f,x) = £4n)(a9/(4n+1)).
k = l

Определение. Функция

Ап(х) = £ 4l)WL
t=i

определяемая (п+1)-й строкой матрицы Л', называется функцией
Лебега. Число An = max Хп(л) называется постоянной Лебега.

Получим оценку погрешности интерполирования Rn^fjX) —
f(x) — Pn(f,x) через наилучшее приближение En(f) функции
f 6 С[а,6]. Обозначим через Р‘ многочлен наилучшего рав-
номерного приближения функции f. Имеем

|/W-pn*(z)| + |Pn‘(x)-pn(/,x)|.	(5)

Так как En(J) — ||/ — Р’Нс, то первое слагаемое в правой части
этого неравенства не более En(f). При оценке второго слагае-
мого воспользуемся равенством Р’(х) = Рп(Р",х):
|РП(Р,» - Рп(/,х)| = |РП(Р^ - f,x)\ =

^ £/„(/)An(аг).

В результате из (5) получаем
|Лп(Л®)|^(1 + А„(т))Рп(/).	(6)

Так как при х € [а, 6] справедливо неравенство Ап(я) < Ап, то
отсюда следует

\Rn(f,^\	(1 + АП)Р„(/).

Это неравенство выполняется при всех х € [а, 6], и его правая
часть от х не зависит, поэтому

над-як ^(1 + а„)р„(/).	(7)

С помощью неравенств (G), (7) получаем следующую теорему.

Теорема 5. Если f £ С[а,6] и в некоторой точке х £ [а, 6]
выполнено условие lim Ап(т)Рп(/) = 0, то интерполяционный
п—*оо

процесс, определяемый матрицей X, для функции f сходится в
точке х. Если lim XnEn(f) = 0, то интерполяционный процесс
П—►СО

для f сходится равномерно.

Условия теоремы 5 представляют собой стремление к нулю
произведения двух множителей. Один из них E„(f) зависит
только от функции /, второй определяется матрицей узлов Д'.
Так как E„(f) —> 0 для любой f £ С[а, 6], то из теоремы 2 следу-
ет, что lim А,г = +оо для любой матрицы узлов X.
п —*оо

Приведем теорему Джексона о порядке стремления к нулю
наилучшего приближения En{f) непрерывно дифференцируемой
функции.

Теорема 6. Пусть р -натуральное число. Существует та-
кая положительная постоянная ср, что для любой р раз непре-
рывно дифференцируемой на [а, 6] функц ии f выполняется нера-
венство

Е„(жср^>,

Функция Лебега Ап(®), определяемая матрицей Xq равноот-
стоящих узлов, быстро возрастает во всех точках х £ [—1,1],
кроме —1. О, 1. Это следует из расходимости интерполяционно-
го процесса по равноотстоящим узлам для функции которая
г — 1 раз непрерывно дифференцируема и по теореме 6 ее наилуч-
шее приближение ЬДт'ф) быстро стремится к нулю при г 2.
Оказывается, что постоянная Лебега, определяемая матрицей
узлов Т, которая составлена из корней многочленов Чебышева,
растет медленно.

Теорема 7. Постоянная Лебега	ионного процесса

по корням, многочленов Чебышева удовлетворяет неравенству

А,Л 1 +	111(7). +1),	77	1.	(8)

И.з этой теоремы следует, что интерполяционный процесс,
определяемый матрицей 7’. сходится равномерно для широкого
класса функций. В частности, равномерная сходимость имеет
место для функций тф (?•	2) и 1/(1 + 25tj), как это видно из

теоремы 3.

Теоремы 6 и 7 приведены без доказательства. Доказатель-
ство теоремы 7 имеется в [63]. Доказательство теоремы 6 и дру-
гих результатов этого параграфа можно найти в книгах [11, 42].

§ 10. Тригонометрическое интерполирование
и быстрое преобразование Фурье

Выберем N = 2?) + 1 попарно различных точек на. отрезке
[0,27г)

О л0 < ri < •   <	< 2тг	(1)

Рассмотрим задачу построения тригонометрического многочле-
на степени не выше п
п

Тп(х) = no + У^(пз.- cos kx + bi: sin kx),
k = i

который удовлетворяет условиям

Tn(x}) = fj, J = 0,1,... ,77-1,	(2)

где fj —заданные числа. Как мы увидим, такой многочлен су-
ществует и является единственным. Он называется интерпо-
ляционным тригонометрическим многочленом, построенным по
узлам (1).
Многочлен 7’п(а:) будем разыскивать в виде

ТпИ = £ Q?-,
k — — n

где z = егх. Положим

z,n = eirm, m = 0,1,.. .N - 1.	(3)

Числа zm попарно различны, как это следует из (1).

Условия (2) приводят к линейной алгебраической системе от-
носительно неизвестных коэффициентов с_п, с_п+1,... ,сп:

11

=	; =	(4)

к = — п

Определитель этой системы

|,-п	+ 1 л r. ,ЧЛ'—

rj ’ “J ’' ’' ’ 11 ~i’''' ’ ~j lj-n ~

не равен нулю, так как отличается ненулевым множителем от
определителя Вандермонда, построенного по попарно различ-
ным числам со, zi,.. ., гдг-1 • Существование и единственность
интерполяционного тригонометрического многочлена доказа-
ны.

Найдем коэффициенты интерполяционного многочлена Т„ (а?)
в случае равноотстоящих узлов интерполирования (1):

xm = '2irin/N. т = 0, 1,.. ., N — 1.

В соответствии с (3) имеем zm =	> и если ввести обозна-

чение

w =	,	(5)

то систему (4) можно переписать в виде

И

£Сгп™>т=Л, у = о,1,...л-1.	(б)

ш = —п

Заметим, что w — корень Af-й степени из единицы и w’ = 1 тогда
и только тогда, когда s — целое, кратное N.

Умножим обе части равенства (6) на w~^, где — п	I п, и

просуммируем по j от 0 до N — 1:

п	N-l	N-1

£ ст	I - —п, —п + 1,... ,п.	(7)

т = — п	j=0	j=Q
Имеем

N-l

j = 0

1 - иЛ'(т-')

1 - wm-‘

N,

0,

m = I,
m ф I.

(8)

Здесь мы воспользовались тем, что разность т — 1 не может быть
кратной N, так как — п т, I <С п и, следовательно, w”1-1 / 1. С
помощью (8) из (7) получаем требуемые значения коэффициен-
тов интерполяционного многочлена:

1 N-1

ci =	22	I - —п, -11 + 1, • • •, П. (9)

j=o

Определение. Линейное преобразование

2V-1

i/(j) =	j = 0, 1,.... N - 1,	(10)

ь=о

которое вектору а = (u(0), а( 1),..., a(N — 1))' сопоставляет век-
тор у = (у(0), з/(1),..., y(N — 1))', называется дискретным пре-
образованием Фурье (ЛПФ). Здесь N — натуральное число (не
обязательно нечетное), w определяется равенством (5), штрих —
операция транспонирования, так что а, у — векторы-столбцы.

Заметим, что если обе части равенства (6) умножить на wjn,
то получим

п

fjW^= £2 cmw^m+n\ j = 0,1,..., .V - 1.	(И)

т = — п

Введем новый индекс суммирования k = т + п и новое обо-
значение для коэффициентов ст = ат+п. Тогда равенства (11)
перепишутся в виде

N—1

fjWjn — 22 akii^k, j = 0,1,..., N — 1,
k = 0

и они определяют ЛПФ вектора

1) — (с_п,с_п.щ,...,сп)

в вектор


Введем матрицу преобразования (10)
’111 1
ру _ 1	w	w2

.1	w2N~2

(12)

Среди элементов этой матрицы только N различных, и мы по-
лучаем

	Г1	1	1	1
w =	1	w	W“	. WN~l
	.1	WN~l	WN~2 .	w

Матрица W симметрическая. Преобразование (10) можно запи-
сать в векторной форме у = Wa.

Укажем обратное к (10) преобразование. Умножим обе части
(10) на w~jl (0 N — 1), просуммируем по j от 0 до N — 1 и
воспользуется равенствам (8). Получим

1 N~l

S y^w~3>' / = 0,1,...,Л1-1.	(13)

j=o

Это равенство определяет обратное ЛПФ. Из (13) также видно,
что обратная к W матрица имеет вид

1

IV"1 = —
N

’1 1

1 w"



1

w"1

Рассмотрим способ вычисления ЛПФ (и обратного ЛПФ). ко-
торый известен под названием быстрого преобразования Фуръе
(БПФ). Обычный способ вычисления ЛПФ по формулам (10)
требует выполнения N2 умножений комплексных чисел. Пред-
полагается, что значения и^к вычислены заранее. Если нату-
ральное число N является составным, то число умножений мож-
но уменьшить.

Пусть N = Г1Г2- Тогда индексы j, k в (10) можно единствен-
ным образом представить в виде

j = jir\+jo, jo = 0,1,. ..,7*1 - 1, л =0,1,.,.,г2-1,

(14)

& — Z.‘ 1 C'j Т А.' , k 0 = 0,1, ... 7'0 — 1, & 1 = 0, 1,.. . , 7’j — 1.

Пара чисел (Л Ло) определяет j, пара (A’i,&o) определяет k, и
мы можем обозначать y(j) через y(ji, jo) и a(k) — через a(fci, ko).
Формулу (10) можно переписать в виде

Г2- 1 1'1 -1

yUi, Jo) = Ё Е	(15)

к„ = О к,=0

Так как

wi^ir-2 _ w(jiri+j0)k1r2 _ w3okll--2

то внутренняя сумма по ki в (15) зависит только от jo и ко. По-
ложим

г, -1

ai(jo,M= Е	(16)

к 1 =0

Число значений ai(jo,&o) равно 7V, при этом для вычисления
одного значения по формуле (16) требуется выполнить п умно-
жений, а для вычисления всех значений ai(jo, fco) требуется Nri
умножений.

Если воспользоваться обозначением (16), то формулу (15)
можно записать в виде

1’2 — 1

y(ji Jo) = 52 a\Uo,k0)wjk°.	(17)

ко = 0

Отсюда видно, что для вычисления N значений yfji.jo) требу-
ется выполнить Nr? умножений, так как ni(joJ'o) уже найдены.
Общее число умножений, которые следует выполнить для полу-
чения N значений y(j\, jo), равно Ar(?’i + 7-3).

Предположим, что 7-3 = Г3Г3, так что /V = г^г-^тз, и дока-
жем, что для вычисления у(у) = </(ji,jo) требуется выполнить
yV(ri + г? 4- г3) умножений. Будем отправляться от равенства
(17). Индексы ji, &о, которые фигурируют в (17), в силу (14)
принимают значения от 0 до 7’3 — 1, поэтому их можно предста-
вить единственными образом в виде

Jl=j3r2+j2, J2 = о, 1, . . . , Гз - 1, j3 = 0, 1, . . . , Гз - 1,
^о — кзгз + к?,	= 0,1,..., г3 — 1, &з = 0,1,...,г2 — 1.

Формулу (17) можно переписать в виде

г3-1Г2-1

</0з,>2,jo) = 52 Eai^'3:b,jo)w^--’(^'-,+>»>w^iri+^. (19)
k2=0 k3 = 0
Здесь мы воспользовались равенством

jko — 0'1 П + jo)^O — [0зг2 + j'J )rl + jo] (^3’’3 + k2) =

= jak3N + ^з7'з(72’’1 + jo) + &2(ji’'i + jo),

которое получено с помощью (14). (18).

Введем обозначение для внутренней суммы в (19):

г2-1

<12(^2,72, jo) =	а1(1’з, k2, j0)wt3r3^ri+>°).	(20)

fc3=o

Тогда (19) запишется в виде

гз-1

y(js,j2,jo)= У2 а2(^'2, j2!Jo)wl2(j‘ri+jo).	(21)

А: 2 —О

Для вычисления 01(63, k2, jo) = oi(jo,6o), как мы видели вы-
ше, требуется выполнить Nri умножений. Для вычисления
02(62, J2, jo) по формуле (20) требуется выполнить г2 умноже-
ний, и так как число всех значений a2(k2, j2t jo) равно N, то для
их вычисления требуется Nr2 умножений. Для вычисления N
значений y(j3, j?., jo) по формуле (21) требуется выполнить Nr3
умножений. Таким образом, число всех умножений для вычи-
сления y(j3,j2,jo) = y(ji  jo) = y(j) равно У(п +r2 +r3).

Таким же путем можно убедиться, что если N — г\г2 . .. г,п,
то для выполнения ДПФ требуется Т = N(ri + г2 + •  • + г1Г.)
умножений. Если множители г, равны: z-j — г2 = • • • = тт = г,
то N — rm, m = log,.Л7 и, значит, Т = rA7logr7V. При т = 2,
Л7 = 2'” получаем Т ~ '2N\og2N. В частности, если in — 10, то
21og2N = 20 и число операций умножения Т = 21 ()20 примерно в
50 раз меньше, чем Л72 = 220.

Мы рассмотрели лишь основную идею построения алгорит-
мов быстрого преобразования Фурье. В настоящее время их
существует достаточно много. Большинство алгоритмов БПФ
разработано для случая N = 2т.
§ 11. Сплайны

Английское слово spline означает приспособление, приме-
няемое чертежниками для проведения гладких кривых через
заданные точки. Это тонкая рейка из дерева или другого
материала. В математике под сплайном понимают кусочно-
полиномиальную функцию. Простейший пример сплайна—это
кусочно-линейная функция. Сплайны используются как аппарат
приближения функций.

Пусть на отрезке [я, 6] заданы точки

а = ло < Л] < • • • < лдг = Ъ.	(1)

Это множество точек будем обозначать Д,у и называть разбие-
нием отрезка [а, 6].

Определение. Функция Sn,,fc(i’) называется сплайном степени
т с дефектом к и узлами Д;у, если:

1)	на каждом частичном отрезке [л,-, z, + i] (7 = 0,1,. ..,N — 1)
функция Sm,A-(a:) является многочленом степени не выше т и эта
степень равна т хотя бы на одном из отрезков;

2)	6	6], при этом производная S^k fc+1\az) не

является непрерывной на [я, 6].

В определении сплайна k— натуралы-юе число, удовлетворя-
ющее неравенствам 1 к т + 1. Через С0’1[я,6], где i—целое
неотрицательное число, обозначено, как всегда, линейное про-
странство функций, имеющих на [я, 6] непрерывную производ-
ную порядка г, а при г = —1 —линейное пространство кусочно-
непрерывных функций с точками разрыва первого рода. Опре-
деление сплайна остается в силе, если я — —оо, b = +оо. В этом
случае сплайн определен на всей вещественной оси R.

Множество сплайнов, о которых идет речь в определении, бу-
дем обозначать й’т ЦДд'). Это множество относительно обыч-
ных операций сложения функций и умножения их на веществен-
ное число очевидно образует линейное пространство. Нетрудно
видеть, что пространству 5т./;(Д/у) принадлежат сплайны сте-
пени т 1 т с дефектом к, если mj — к\ т — к.

Важным примером сплайна является усеченная степенная
функция (9.4):

Г хг, х > 0,
= л

+	[ 0, х ' 0.
Эта. функция ?— 1 раз непрерывно дифференцируема, а ее произ-
водная порядка г терпит разрыв в точке 0. Таким образом, х’+ —
сплайн степени г с дефектом 1 и единственным узлом гц = 0.

Рассмотрим также усеченные степенные функции

/ = 1,2,. . ,,N - 1,	(2)

где Xi — точка разбиения A/v • IIри г = т. — k 4- 1, т — к 4- 2,..., т
эти усеченные степенные функции принадлежат б'шДДдг). Ока-
зывается, что одночлены 1, г, аг,..., хт и усеченные степенные
функции (2) при г = гп — к 4- 1, т — к 4- 2,..., т образуют базис
векторного пространства 5тд.(Д/у). Это означает, что такие
функции линейно независимы на [а, 6] и любой сплайн степени
тп с дефектом k и узлами из разбиения Ддг является их линей-
ной комбинацией с постоянными коэффициентами. Оставим это
утверждение без доказательства. Размерность векторного про-
странства Sm^-(A/v) равна in 4- 1 4- k(N — 1) — числу базисных
функций.

Представление сплайна по элементам базиса из усеченных
степенных функций удобно в теоретических исследованиях, но
непригодно для вычислений, которые оказываются неустойчи-
выми по отношению к погрешностям округления.

Рассмотрим сплайны степени 777 — 1 с дефектом 1, которые
образуют базис линейного пространства S,n_i,i(A/v), пригод-
ный для вычислений. Дополним разбиение (1) A/v точками

X — ni + l < «Е—тЦ-2 ’ ’ ’ < % — 1 < Я — Я0,	)

;гЛг — Ь < г'дг+i <    <	.

Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную порядка
/7) на [а, 6]. Тогда имеет место формула Тейлора с остаточным
членом в интегральной форме

/(I) = ’g _ ау + j\x
j = 0	'	>' Ja

Пользуясь обозначением усеченной степенной функции, заме-
ним интеграл с переменным верхним пределом в представлении
остаточного члена на. интеграл по [а, 6]:

Л1) = Д - аУ +	- 1)Г'/(т,(1) л. (4)
Будем считать, что функция /(а?) определена на отрезке, со-
держащем точки разбиения (1) и добавленные точки (3), и дадим
интегральное представление ее разделенной разности порядка
т от аргументов х-2-, ... i’t+>n। где ' = ——П1 + 2,.. ., 7V — 1.
Так как разделенная разность порядка, т от многочлена степени
771 — 1 равна, нулю, то из (4) получаем

f(.Xi , 3^1 4-1 , • • • | Л;'=

= 7—^	(5)

V" Л. ) . J а

Под знаком интеграла ( —	.... Xi+m) означает разде-

ленную разность от (г — <)™-1 как функции от х. Таким образом,
эта разделенная разность является функций от I. Положим

•®rn- 1 (0 ~ Вт_ 1 (xi > ®1 + 1) • • • I ^i’+m ) t) =

= т(- - t)^~\xi,Xi + 1. . . .,Xi+m\	(6)

С помощью представления (6.13) разделенной разности через
значения функции из (6) получаем

= т Ц----------—z = -7/1+ 1,-771 + 2,..., N- 1, (7)

5 = i- +

где ^,п + 1 Д.г) - (х - х,)(х - х, + ]) • • • (1: - х,+,„). При указанных
в (7) значениях i точки х2,. .., Xi+m принадлежат расширенному
множеству точек (1) и (3).

Из определения усеченной степенной функции следует, что
определяемые формулой (7) функции являются сплайнами сте-
пени in — 1 с дефектом 1 и узлами Xi,.. ,,Xi+tn. Сплайны B,m_}(t')
называются В-сплайнами.

В-сплайны обладают следующими свойствами:

{xi, •Ti + m),	(8)

B^-i(0>0, t G (xhx!+m),	(9)

Г Bim_l(t)di=\.	(10)

J — ОО

Докажем (8). При t Х{ имеем (х, — /)’^1-1 - (xs — Z)”'-1, так
что сумма в правой части (7) представляет собой разделенную
разность порядка т от многочлена (х — Z)"1-1 степени т — 1 как
функции от х. Если i Xi+„,., то (,с5 - <)£ 1 - 0 и из (7) следует
Д'(_1(О = о.

Чтобы получить (10), достаточно в (5) положить f = и
принять во внимание, что разделенная разность порядка ?/i от
,гт равна. 1. Неравенство (9) оставляем без доказательства.

Из (8) и (9) следует, что носитель сплайна В,т_-1 (/) конечен, он
совпадает с интервалом (а*г-, i'i+т). Можно доказать, что B‘,l_l (/.)
являются сплайнами степени га — 1 с дефектом 1 и конечным
носителем минимальной длины.

Приведем также без доказательства следующее утверждение.
Сплайны Вгт_i(Z), i = —т + 1, — т + 2,. . ., N — 1, линейно неза-
висимы, и так как их число т + N — 1 совпадает с размерно-
стью пространства	то они образуют базис этого

пространства.

Сплайн

771

отличающийся от В‘ТП_1 постоянным множителем (a;l+m — тг)/т71,
называется нормализованным В-сплайном. Множитель равен
среднему арифметическому длин интервалов (а\,, a\,+i), распо-
ложенных на носителе (г;, т;+т) сплайна Blm_-l(i). Нормализо-
ванные В-сплайны при вычислениях более удобны по сравнению
с 5^-1 (О-

В оставшейся части параграфа будем заниматься кубически-
ми интерполяционными сплайнами. Рассмотрим задачу по-
строения интерполяционного кубического сплайна, приближа-
ющего функцию /(.г), заданную па отрезке [а. 6]. Обозначим
сплайн 5(л) — S-j(f,x). На частичном отрезке [ж,-,лг+1] (/ =
0, 1,. ,., N — 1) S(x) является многочленом не выше третьей сте-
пени, который мы будем обозначать 5;(л). Потребуем, чтобы
многочлен Si(x) удовлетворял условиям

Si(xi) = f(xi), S,(i-l+1) =/(i-,+i),

= miy Si(xi+\) = mi+i, i = 0, 1,..., N - 1.

Здесь числа mi играют роль параметров, подлежащих опреде-
лению.

Из (11) следует, что S(x) G 6]. Другими словами, про-
изводная S'(x) непрерывна на [а, 6] при любом выборе чисел in,,
и 5(х) принимает в узлах те же значения, что и функция /(л).
Многочлен Si(x) является интерполяционным многочленом Эр-
мита, удовлетворяющим условиям (11). Запишем его в форме
Ньютона (6.6):

3,(т) = ai0 + (;с - xi)a,l + (.г- - a.’i)Ja,2 + (г - .г-г)2(х - x,+i)<7i3, (12)
где ciik (1- =: 0, 1,2,3)— разделенная разность порядка k мно-
гочлена 5;(х), построенная по первым k + 1 из точек Х{, Xi,
х, + 1, x,+i. Чтобы указать значения коэффициентов многочле-
на (12), составим таблицу разделенных разностей многочлена
Si(x) (табл. 12).

Таблица 12

X	Разделенные разности многочлена Si (г) порядка			
	0	1	2	3
i-l+l  а-.-Н	/(аз)  /(а.)  /(а-.-ц)  7(а-,+1)	т (  m, + 1	[/(a-.,a-, + i)-  -/(a,',a-i+1 )]/Да-,	[m,+1 - 2/(а-,-,х;+1)+ +mi]/(dr,)2

Из таблицы получаем

Я,О = Si(Xi) =

ац = Si(xi,Xi) = mi,

ai2 = Si(xi,xi, x,-+1) = [f(xi, xx+1) - mJ /Да:,-,

am = Si(xi,xi,xi+i,xi+l) =

= [™i+i - ’2f(xi, a:<+i) + mJ/(Да-,-)2.

Заметим, что многочлен (12) легко разложить по степеням
х — х,, если воспользоваться равенством х — a-,+i — х — Xi — Лх{.
Получим

S,-(x) = а<0 + a,-i(a: - а:,-) + 6i2(-i’ - -"Ч)2 + ai3(x - ж,)3,	(14)
где

l>i2 = Ui2 — A-i'idm = [3/(x,, i',+i) — 2m, — m, + i] /Д.г,'.	(15)

Задание параметров zzz, (7 = 0,1,... ,N) полностью определяет
сплайн, и в этом случае мы получаем его представление с по-
мощью многочленов (14), коэффициенты которых определяются
равенствами (13) и (15).

Рассмотрим два способа определения параметров zn,-. Пер-
вый способ применяется, если у функции f(x) известны значе-
ния ее первой производной во всех точках разбиения Дд>. Это
дает все N + 1 параметров zn.; = f'(xi) (i = 0,1,..., N). Мно-
гочлен Si(x) является интерполяционным многочленом Эрмита
функции Дх), и его представление дается формулой (14), где
коэффициенты определяются равенствами (13), (15), в которых
следует положить zn,- = Д(х,), mi+i = f'(xi+\). Сплайн S(x)
называют эрмитовым кубическим, сплайном. Одним из преиму-
ществ такого сплайна является свойство локальности, которое
состоит в том, что 5(х) на отрезке [х;,х,'+1] полностью опреде-
ляется значениями функции и ее первой производной на концах
этого отрезка. Заметим также, что вторая производная эрмито-
ва кубического сплайна S(x) в узлах сетки Ддг, вообще говоря,
терпит разрыв, так что дефект .S’(x) равен двум.

Второй способ определения параметров ггц основан на требо-
вании, чтобы искомый сплайн имел дефект 1, другими словами,
чтобы вторая производная сплайна S(x) во внутренних точках
разбиения Ддг была непрерывна. Это требование приводит к
равенствам

S,i'_1^i)=S'i'(xi), 7 = 1,2, ...Л-1.	(16)

С помощью (14) равенства (1G) можно записать в виде

6г_ 112 4- Зл,_ 1 зДх,_ 1 =6,2, 7 = 1,2,... ,N - 1,
или, если воспользоваться формулами (13), (15), в виде

[3/(ж*_1, х^ - imi-i - zn,]/Дх,_14-

+ 3 [zn,- - 2Дх\_], х^ + mj_i]/Дх^-1 =

= [3/(x,, Zi+i) - 2zn, - zn,+j] /Дх,, i = 1,2,..., N - 1.
Умножив обе части этого равенства на Дх;_] Дх, и приведя по-
добные члены, найдем

т,_1Дх, + 2т71,(Дх,- + Дх{_1) + m,+i Дх,-1 =

= 3(/(х,-1, х,-)Дх; -Ь/(х;,х,'+1)Дх1'_1), i = 1,2,... Л- 1.
Разделим обе части этого равенства, па. Ат,- + Д,г,_i, при этом
воспользуемся обозначениями

Xi = Ar,7(Aa.'i + Aij-i), р,- = Дт;_ i/( A Xi + Ai,_i),
Xj + /<;’ = 1 •

Получим

Xiirii-i + 2?71г- + piTiii+\ = (Ц, i = 1,2,..., N — 1,	(17)

где

di = 3(/(i'(-i, Xi)Xi + f(x,,xi+i)ni).

Равенства (17) представляют собой линейную алгебра-
ическую систему N — 1 уравнений с. N + 1 неизвестными
//io, т\,... ,т,\’. Этих уравнений недостаточно для определе-
ния всех неизвестных, поэтому к системе (17) присоединяют два
уравнения, которые определяются так называемыми граничны-
ми или краевыми условиями.

Рассмотрим три вида, граничных условий, которым должен
удовлетворять сплайн S(r):

1)	57а) = /'(«), ?'(/>) = /'(*>);

2)	S"(a) = /"(a), <>"(6) = f"(b)-

3)	S’(a) = S(b), S'(a) — S'(bY

Условия 1), 2) применяют, если известны значения соответ-
ствующих производных функции f(x) на концах отрезка, [а, 6].
Условия вида 3) называют периодическими и их выполнения тре-
буют, если функция /(.с) периодическая с периодом b — а.

Граничные условия 1) записываются в виде

^o(j’o) = /'Ос), S'v-jOv) = f'(xN),
или в силу (11)

mQ = р(хо), mN = f'(xN).	(18)

Равенства (18) определяют две неизвестные ztiq, содержа-
щиеся в системе (17), поэтому эту систему можно переписать в
виде

2mi +	= di - Ai f'(xa),

Xjini-i + 2mi + Himi+i = di, i = 2,3,..., N - 2,	(19)

A/v_i77?/v_2 + 2тдг_1 = O-i — PN-\f'(xN).
Матрица, системы (19)

' 2 /zi
А-2	2 р2

A/V-2	2	/JN-2

Лд/-1	2

является трехдиагональной: ненулевые элементы находятся на.
главной диагонали и на. двух побочных диагоналях. Матрица
имеет свойство диагонального преобладания, которое состоит в
том, что модуль диагонального элемента из 7-й строки больше,
чем сумма модулей остальных элементов этой строки при всех
i = 1,2,..., N — 1. Это обеспечивает неособенность матрицы (см.
дальше теорему 3.3.3).

Таким образом, система (19) имеет единственное решение,
и, следовательно, существует единственный кубический сплайн
с дефектом 1, который удовлетворяет граничным условиям 1).
Эффективным методом решения системы (19) является метод
прогонки (см. дальше гл. 3, !j б).

Граничные условия 2) можно представить в виде

№о) = Г(.г-о),	=

Если воспользоваться представлением (14) многочлена 5г(т) и
формулами (13), (15) для его коэффициентов, то из граничных
условий получим два. уравнения

2?по + 7П] = d0, mjy-i + 2mN = dN,

где

с/о = 3/(i,o,.i,i) — A.to/"(.ro)/2,
d,v = 3/(i-/v-i, z>) + Длдг_1/"(а:д')/2.

Добавим эти два уравнения к уравнениям (17). Получим си-
стему N + 1 уравнений с N + 1 неизвестными

2тдо Т Ш1 = do,

Ximi-i+2тщ +	= dj, i — 1,2,..., N - 1,	(20)

+ 2тПДГ = dyv.

Матрица этой системы имеет порядок N+1, она трехдиагональ-
ная и обладает свойством диагонального преобладания. Это га-
рантирует существование единственного кубического сплайна
с дефектом 1, удовлетворяющего граничным условиям 2). Для
решения системы (20) рекомендуется метод прогонки.

Рассмотрим периодические граничные условия 3). Положим
= .ид- + Лтц. Тогда в силу периодичности функции f име-
ем /(.со) =	= /(xj). Естественно потребовать,

чтобы сплайн S(x) был тоже периодическим, и это приводит к
равенствам то - т^, 77Ц = ?7)дг+1. Отсюда следует, что до-
статочно найти неизвестные 1Щ,. .., шц. Для их определения
имеется N — 1 уравнений (17). Еще одно уравнение можно по-
лучить, полагая i = N в (17), так как у точки .Сд' есть соседняя
справа тд'+1. Получим систему N уравнений

27771 + Him-, + Л17ПДГ = di,

Xim^ + 2ni, + /цт, + 1 = d/ i = 2. 3,. .., N — 1,	(21)

РД'7711 + Ад7771дг_ 1 + 2 771ДГ =

Матрица, этой системы порядка N

2	/71	Ai

А 9	2	/7 о

A,v-i 2 fiN-i
.UN	Xn 2 .

имеет свойство диагонального преобладания. Отсюда получа-
ем существование и единственность кубического сплайна с де-
фектом 1, удовлетворяющего граничным условиям 3).

§ 12. Интерполирование многочленами
многих переменных

Вектор а = (ад,..., ап), составляющими которого являют-
ся целые; неотрицательные числа, называется мультииндексом.
Одночлен от переменных ад, г?,. . . хп принято сокращенно запи-
сывать в виде

ха = х^'х^2 •

Степень одночлена ха равна числу |а| = од + а? + ... + ап, назы-
ваемому длиной мультииндекса а.

Многочлен Р(х) степени т от переменных Ху,..., хп имеет вид

т

р(^ = Е Е

к = 0 |а| = &
где с„ — комплексные числа, и суммирование во внутренней сум-
ме ведется по всем мультиипдексам длиной k. Многочлен Pk(x) =
Z2|a|=t са J-‘a называется однородной составляющей степени k мно-
гочлена Р(х).

Число всех одночленов степени не выше т от п переменных
равно числу решений неравенства

ai + а-2 + ... + а„ т	(1)

в неотрицательных целых числах. Каждому такому решению
(ат,.. ., ап) можно сопоставить набор (/?i, р->, • • •, Рп) из п нату-
ральных чисел.

Pl = <i'i + 1,
р2 = *1'1 + <12 + 2, . . . , рп = 0'1 + <12 + • • • + ап +
удовлетворяющих неравенствам

1 р\ < р2 < • • • < рп п + т	(3)

и, следовательно, принадлежащих множеству {1,2,..., п + т].

Обратно, каждому набору чисел (j3y, р->,. .., рп), удовлетво-
ряющих неравенствам (3), отвечает некоторое решение нера-
венства (1). Действительно, если равенства (2) рассматривать
как систему линейных алгебраических уравнений относитель-
но неизвестных ат, ат,. , . ап. то, очевидно, эта система имеет
единственное решение в целых неотрицательных числах, удо-
влетворяющих неравенству (1). Отсюда следует, что число
решений неравенства (1) в целых неотрицательных числах со-
впадает с числом наборов попарно различных натуральных чи-
сел (Pi, р2,     Рп), принадлежащих множеству {1,2,..., n + т},
и равно 1\'[(п,гп) = Сп+,„. Таким образом, число одночленов
степени не выше т от п переменных равно М(п,т).

Пронумеруем одночлены ха натуральными числами и будем
обозначать их <Pj(x), j = 1,2,... Нумерация выполнена так, что
одночлены меньшей степени имеют меньший номер, а одночлены
одной и той же степени нумеруются в любом порядке, например
лексикографическом. В частности, <£>i(a-“) — 1, и если одночле-
ны одной и той же степени нумеруются в лексикографическом
порядке, то

= ®1, Рз(х) - х2,   .,у?п+1(®) = хп,
9?п + 2(2') =	<^п+з(*е) = 2'1а:2, <^п+4(^-’) — ®3) • • •
Среди одночленов

j = 1,2. ...ц,	=	(4)

содержатся все одночлены степени не выше?» от п переменных.

Пусть Q- - такое множество в R", что одночлены (4), рассма-
триваемые как функции от х па П, линейно независимы. Это
условие выполняется, если множество Q имеет внутренние точ-
ки. Докажем, что в Q найдутся такие точки лА1 \ х’(2\ ..., л.’^д\
что определители

D, =	...,	, s = 1,2,..

отличны от нуля.

Доказательство проведем методом математической индукции
по s. При s = 1 утверждение верно, так как D\ = /	= 1 для

любой точ-г-и лА11 6 П, Пусть утверждение верно при s = г — 1,
и докажем его справедливость при s = г. Из предположения
индукции следует, что имеются такие точки л!^*\.. ., х^’~что

Dr-i = l^i(z(j>),....	/ 0.

Рассмотрим определитель

зависящий от х. Утверждаем, что в Q найдется такая точка

что £>г(л4г))	0. Действительно, в противном случае Dr(x) = 0

при всех х 6 Q, что равносильно тому, что одночлены .. .., <рг
линейно зависимы. Чтобы убедиться в этом, достаточно разло-
жить Dr(x) по элементам последней строки. Получим линейную
комбинацию одночленов (г),..., с постоянными коэффи-
циентами, при этом коэффициент при равный Dr-i, по
предположению индукции отличен от нуля.

Матрица

Vm =	,	(5)

L	J j = 1

построенная по точкам л.-(Ч, л/2\ ..., л/д\ называется матрицей
Вандермонда. Из доказанного выше следует
Теорема 1. Если множество Q Q R.n имеет внутренние точ-
ки, то в О. найдутся такие точки х^1\..., х^\ что матрица
Вандермонда (5) неособенная.

Линейное комплексное пространство, элементами которого
являются векторы х = (.г1,...тл) с. комплексными составляю-
щими, будем обозначать через С". Вектор х G С” будем назы-
вать также точкой. Пусть Р{х) —- многочлен степени т от пере-
менных Ад,. . ., хп. Множество точек х G С”, удовлетворяющих
уравнению Р(х) — 0, называется алгебраической гиперповерхно-
стью порядка т. В случае т. = 1 гиперповерхность называ-
ют гиперплоскостью. Гиперповерхность в С1—это множество
корней многочлена Р(х[) степени т от одной переменной Ti, со-
стоящее не более чем из т точек. Гиперплоскость в С1 —точка.
Гиперповерхность в С2 называется алгебраической кривой поряд-
ка т при т у2 и прямой при ш = 1.

Теорема 2. Для того чтобы матрица Вандермонда Vm бы-
ла неособенной, необходимо и достаточно, чтобы определяющие
ее точки х^\х^~\ ..., не лежали на алгебраической гиперпо-
верхности порядка т.

Л о к аз ат е л ь ст в о. Утверждение detl-zm = 0 равносильно
тому, что между столбцами матрица Vm существует линейная
зависимость:

bipi(x^) + b2p2(x^) + ... +	= 0, i = 1.2,.. .,pi,

где не все bi равны нулю. Эти равенства, равносильны утвер-
ждению: точки	. . ., лежат на алгебраической ги-

перповерхности 61 ! (.г) Т Ь2^2(х) + . . . + blttpm и(х) = 0 порядка не
выше т. Теорема доказана.

Условие, налагаемое па точки в теореме 2. в случае п — 1
равносильно тому, что точки .. ., ЛШ Н) попарно различны.
Если п 2, то pt попарно различных точек могут лежать на.
алгебраической гиперповерхности порядка, т. Например, если
при п = 2 три точки лежат на прямой, то определяемая ими
матрица Вандермонда является особенной.

Из теорем 1, 2 следует, что если Q С R" имеет внутренние
точки, то существует // =	точек в П, которые не лежат

на алгебраической гиперповерхности порядка т при любом на-
туральном тп. Заметим, что ц точек из Q, где ц < fa, всегда
лежат на алгебраической гиперповерхности порядка т. Таким
образом, если N точек не лежат на алгебраической гиперпо-
верхности порядка т, то N /а.
ИхМеются способы выбора. // точек, которые не лежат на ал-
гебраической гиперповерхности порядка т. Возьмем т + 1 по-
парно различных чисел s0, о],..., sm и рассмотрим в Сп точки

5 а — (sQ1,	, • • • , S<jrn ),

где мультииндекс а = (ад,.. ., а„) принимает все зна.чения, удо-
влетворяющие неравенству |а| = О] + • • • 4- ап т. Множество
указанных точек называется ньютоновской системой точек. В
него, очевидно, входят fi — М(п,т) точек, и , как можно дока-
зать, эти точки не лежат на алгебраической гиперповерхности
порядка 771. На рис. 5 изображена ньютоновская система точек
ДЛЯ 71 — 2, ?п — 3 в RJ.

Рис. 5

Рассмотрим задачу построения интерполяционного много-
члена
д

Р(а;) =

£=1

от 71 переменных степени т. Так как число неизвестных ко-
эффициентов многочлена равно // = М(п,гп), то требуется за-
дать ц условий для их определения. Выберем р. точек х1-^
(j = 1,2,...,//)— узлов интерполирования — и потребуем, что-
бы многочлен Р(х) в этих точках принимал заданные значения:

^2bi<pi(x'^') - j = 1,2,...,//.
1 = 1
Получили линейную алгебраическую систему относительно ко-
эффициентов многочлена Р(г). Матрица этой системы явля-
ется матрицей Вандермонда. (5), определяемой узлами интер-
полирования. На основании теоремы 2 получаем следующую
теорему.

Теорема 3. Для того чтобы существовал единственный ин-
терполяционный многочлен Р(л) степени не выгнет, удовлетво-
ряющий условиям

Р(х^ = Ь, у = \Д,...р,

необходимо и достаточно, чтобы узлы интерполирования а/1),
, х^ не лежали на алгебраической гиперповерхности по-
рядка т.

Обозначим через Li(x), г = 1,2,.. ., р, интерполяционный мно-
гочлен степени не выше т, удовлетворяющий условиям

= 6ij, j = 1,2,...,//,	(6)

где 6ij — символ Кронекера. Существование и единственность
такого многочлена следует из теоремы 3 и предположения о
том, что узлы интерполирования не лежат на алгебраической
гиперповерхности порядка т. Многочлены £г(т), i = 1,2,...,//,
называют фундаментальными многочленами интерполирования.
Многочлен ЛДт) называют также многочленом влияния i-го уз-
ла. Если узлы интерполирования вещественны, то коэффициен-
ты Li{x) также вещественны.

Степень многочлена ЛДл) равна т. Попустим противное:
степень Li(x} меньше?». Обозначим через R.(x) многочлен пер-
вой степени, который равен нулю в точке х- \ Многочлен £,,/?.
имеет степень не выше т и в силу (G) обращается в нуль во всех
узлах интерполирования. Это противоречит тому, что узлы не
лежат на алгебраической гиперповерхности порядка т. Много-
член Li(x) можно записать с помощью определителей.

Для интерполяционного многочлена Р(х), о котором речь
идет в теореме 3, справедливо представление в форме Лагран-
жа:

Р(х) = ^Ц(х)/1.	(7)

г=1

В самом деле, правая часть этого равенства является много-
членом степени не выше т и в силу (6) в точке х&) принимает
значение fj.
§ 13. Численное дифференцирование

Рассмотрим применение интерполирования к задаче прибли-
женного вычисления производных некоторой функции f(x), за-
данной таблицей своих значений с аргументами, которые нс
обязательно являются равноотстоящими. Предполагается, ко-
нечно, что у функции f(x) существуют вычисляемые производ-
ные.

Пусть требуется вычислить производную порядка гп функции
f(x) в точке у. Выберем п + 1 точек лд, i'i,. . ., хп — аргументов
таблицы функции f(x), ближайших к точке у, и построим ин-
терполяционный многочлен Рп(1’) степени не выше п функции
/(г) по этим точкам как узлам. Тогда получаем приближенное
равенство f(x) ~ Рп(х)- Это равенство позволяет найти прибли-
женное значение производной порядка m п от функции f(x) в
точке у:

f"'\y)^ Р^'Чу).	(1)

Требование ??? <С п естественное, так как при т > п производная
гТ\ (х) равна нулю тождественно.

Исследуем погрешность формулы (1). Мы имеем представле-
ние (3.11) для погрешности интерполирования

PM,y) = f(y)-Pn(y) = Y^^^+dy),	(2)

(n + 1)!

где wn + i(j/) = (у — хо)(у — .г-])  • (у — ,г„), в предположении, что
существует конечная производная /(п+1\х’) на [а, 6], при этом
а = min{i’o, гц, . .., хп, у}, b = max{i‘o, -п,.. ., х„, у}.

Очевидно, Лп" (/,</) = f(m\y) — Рп’П\у), и если бы точка £ не
зависела от у, то в результате дифференцирования равенства
(2) мы получили бы выражение

о(т),, х	ЛП + 1>(0 (гп), ,

Д/, У) =	+

Но £ зависит от у, и такая формула, вообще говоря, неверна.
В некоторых случаях она верна, однако с другим значением
Именно, справедливо следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция /(.?) имеет конечную про-
изводную порядка п + 1 на [а, &], где а — inin{a?o, -t'l, •  •, хп, у),
6 = max{i'o, ад,...,	у}. Тогда справедливо представление

Л"т)(/’У) = G€(a’6)’ (3)
если выполняется одно из условий:

1)	У £ где (х = пип{жо, z’i,... ,i-n}, /3 = тах{ж0, a?i,...x-n}:

2)	m ~ 1 и точка у совпадает с одним из узлов у = ац.. При
выполнении условий 1) и 2)	/ 0.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

= f(x) - Р^х) - Кшп+1(х),	(4)

где /<—-произвольная постоянная. Функция уо(х) имеет п +1
корней .г‘о, Ж],. .., хп на [а, /?]. По теореме Ролля производная
имеет п корней внутри (а,/3), ^'(я) имеет n - 1 корней
внутри (а,/3). Продолжая таким образом, получаем, что ^"^(ж)
имеет п — т + 1	1 корней внутри (а, /3).

Многочлен (ж) степени n-m+1 по теореме Ролля имеет
п — т + 1 корней внутри (а, /3). Так как по условию 1) у (а, /3),
то	7^ 0, и постоянную К можно определить так, что

^\у) = f(’"\y) - Р^(у) _ KUW(y) = 0.	(5)

При избранной К производная у/п1,(ж) имеет п — т+2 корней на
[л, &]. По теореме Ролля ^ш+1)(т) имеет п — т + 1 корней внутри
(а,Ь) и т.д., производная 9?(п+1\,г) имеет один корень внутри
(а.Ь). Имеем

0 = ^"+1^1) = /,1+1Ш-А'(п+1)!,

откуда К — /*п+1	)/(n + 1)!. Подставляя это значение К в (5),

получаем представление (3) при условии 1).

Пусть теперь выполнено условие 2). Многочлен иф+1(ж) сте-
пени п имеет п корней по теореме Ролля, не совпадающих с уз-
лами, поэтому Wn+1(a+) ф 0. Постоянную К можно определить
так, что

0 = <p'(xk} = f'(xk) - Р„(хк) - Кш'п+1(хк).	(6)

Таким образом производная <р'(х) имеет п+1 попарно различных
корней на. [а, /3]. По теореме Ролля производная у>(" + 1\а:) в (а, /3)
имеет по крайней мере один корень Так как

о =	= У(тг+1Ч^1) - 7<(/г+ 1)!,

то К = Лп+1ЧС1)/(п + 1)!, G (а,/3) С (а,Ь). Подставим это
значение Л' в формулу (6), получим равенство (3), в котором
т = 1, у = хк. Теорема доказана.
В теореме 1 речь идет о представлении (3) погрешности при-
ближенного равенства (1). Из (3) следует, что приближенное
равенство (1) обращается в точное, если функция /(.г) является
многочленом степени п или ниже, так как /(n+1\z) = 0. Для
многочлена (п + 1)-й степени т'1 + 1 формула. (1) не точна, так как
, у) =	0. В этом случае говорят, что фор-

мула (1) численного дифференцирования имеет алгебраическую
степень точности п.

Приведем приближенные выражения для производных перво-
го и второго порядка от функции f(x) в точке а через ее значения
в равноотстоящих с шагом h > 0 точках а — 2Л, а — h, а, а + Л,
а + 2Л. Простейшие выражения для первой производной

Ла)аж+М),	(7)

h

гм а	(8)

называются соответственно правой и левой разностной произ-
водной. Чтобы получить, например, формулу (7), надо написа.ть
интерполяционный многочлен функции /(.т) по ее значениям в
узлах а и а + h и взять от него производную первого порядка в

точке а.

Другое приближенное значение для первой производной та-
ково:

гм а	(9)

Правая часть этого равенства называется центральной разност-
ной производной и представляет собой значение первой произ-
водной в точке а от интерполяционного многочлена функции
f(x), построенного по узлам a — h, а, а + h. Заметим, что правая
часть равенства (9) равна полусумме, правых частей равенств
(7) и (8).

Укажем еще формулу для первой производной в том случае,
когда функция /(г) слева от точки а не определена:

-3/(а) 4- 4/(а + Л) - /(« 4- 2Л)

2Л

Получим эту формулу. Интерполяционный многочлен функ-
ции f(x), построенный по узлам a, a + h, a + 2h, запишем в форме
Ньютона (7.5) для интерполирования в начале таблицы:

Р2(а + hi) = f(a) + <А/(а) +	^А2/(а).


/'(«) «

Вычислим первую производную по t от обеих частей этого ра-
венств а.:

hP.^a + ht) =

и положим здесь t = 0. Получим

^(а) = ^[2Д/(а)-Д2/(а)],

откуда по формуле (5.2)

^(a) = ^[2(/(a + ft)-/(n))-

- (/(а + 2Л) - 2/(а + ft) + Да))] =

= ^[-3/(a) + 4/(n + ft)-/(a + 2ft)],
что совпадает с правой частью равенства (10).

Аналогичным путем получается приближенная формула для
/'(а) в том случае, когда а — правый конец отрезка, на котором
/(.т) определена:

3/(a)-4f(a-ft) + /(a-2ft)

2 Л

Полезно иметь в виду, что если в (10) заменить ft на —ft, то
придем к фрмуле (11).

Для производной второго порядка дадим только одну форму-

~	+ /l) “ 2/(а) + f(a ~	/19ч

f Ы	----------•	(12)

В числителе правой части стоит конечная разность второго по-
рядка A.~f(a — ft). Формула получается дифференцированием
интерполяционного многочлена функции /(.т), построенного по
узлам а — Л, а, а + Л.

Укажем представления погрешностей приведенных формул.
Погрешность формул для производной первого порядка можно
получить с помощью теоремы 1, так как ее условие 2) выполне-
но. Предполагаем, что /(а:) имеет конечную производную по-
рядка п + 1, равного числу узлов.

На.чнем с формулы (7). Узлами интерполирования являются
а, а + Л, поэтому ы?(х) — (х — л)(а,- — а — ft) и, следовательно,
u>2(a) = —ft. По формуле (3) имеем

z,(а) = „<{1<а+Л. (]3)
h	2
Д(а)-

Аналогичным путем найдем представление погрешности для
формулы (8):

f4 х Да)-Да-A) f"&)h

J (л)--------7-----= —^-----,	(И)

Л	2

Эта формула получается из (13) заменой h на, —h.

Формула (9) построена по узлам a — h, a, a+h, поэтому шз(т) =
(т — а)[(т — а)2 — А2] и шДа) = — А2. С помощью (3) имеем

Да + /,) _ /(я - А) _

21,	6	’	(15)

а — h < £ < а + h.

Погрешность имеет второй порядок малости относительно h, в
то время как оценки (13), (14) имеют первый порядок.

Получим погрешность формулы (10). В этом случае имеем
и3(х) - (л — a)(.i; — а — А)(л — а — 21,), шДа) = 2А2 и по (3) находим

-ЗДа) + 4 Да + А) - f(a + 2А) _ Д"Д)А2

J W	21,	~	3	’	(16)

а < £ < а + 2А.

Представление погрешности формулы (И) запишем, заменив
в выражении (16) h на. —к.

Получить представление погрешности формулы (12) с помо-
щью теоремы 1 невозможно, так как нарушены оба условия:

1) у = а £	2) т — 2. Будем предполагать, что f(x) имеет

непрерывную производную четвертого порядка на [а — А, а + h],
и воспользуемся формулой Тейлора:

Да + Л) = Да) + Д(а)Л+

+	{1е(а,0+ч,

2	о	24

Да - Л) = Да) -/'(а)А+

+ —Л---------6—" + 24------- ’	6 ( _

Сложим почленно эта два равенства:

Да + /,) + f(a - h) = 2Да) + /Да)А2 +	[Дл<>(6) + /ZV)(^)] •
Из последнего равенства получаем

/"(а) _ Л« + А)-2/(Д^(а-А) = _g [/f/v-)(6) +	.

1	(17)

Так как f'-rv\x) непрерывна на [а — А, а 4- Л], то найдется такая
точка. £ £ [а — А, а 4- А], что

[f{fV,^ + f(,v4b)]/-2 = fIV4e)- (is)

Это следует из теоремы Коши, так как левая часть последнего
равенства удовлетворяет неравенствам

+	/2^м,

где т и М — наименьшее и наибольшее значения функции Д/у)(£)
на [а — А, а 4- А] соответственно.

Равенство (17) с помощью (18) можно записать в виде

/(а + А) - 2f(a) + /(« - h) h‘‘r(iv)(n

f ---------------------------= -12Z Ш

£ £ [а - А, а 4- A].	(19)

Из (19) следует, что формула численного дифференцирования
(12) обращается в точное равенство, если f(x)—многочлен сте-
пени не выше третьей, и не является точной, если /(z) = х4.
Это означает, что алгебраическая степень точности формулы
(12) равна трем.

Приближенное вычисление производных по значениям функ-
ции связано с потерей точности. Рассмотрим этот вопрос для
случая вычисления первой производной по формуле (7). При
малом h > 0 приходится иметь дело с вычитанием близких зна-
чений /(а 4- А) — /(а), что приводит к пропаданию первых знача-
щих цифр. Так как значения функции f при вычислениях заданы
с погрешностью, то мы не можем брать h сколь угодно малым.
Выясним, до какого значения целесообразно уменьшать А.

Вместо точных значений /(о), /(а 4- А.) в вычислениях исполь-
зуются их приближенные значения /(а), /(а 4- А), при этом

/(а) =/(а) 4-ео, /(а 4-А) =/(а 4-А) 4-Ei •

Для погрешности приближения, получаемого при вычислениях,
находим представление

/(а 4-А)-/(а)	, .	/(а 4-А) - Да) £у - г0

------ь------= s ------------ft--------ft-

/'(« -
Предположим, что функция f имеет непрерывную производ-
ную второго порядка, при этом

1/"(.г)|

[а,а + Л]

и |£j| Т £. j - 0, 1. Тогда из равенства (19) с помощью формулы
(13) получаем оценку погрешности:

/(о + А) - /(а)

mh 2е

Верхняя граница погрешности <p(h) принимает наименьшее
значение, когда h является корнем производной <p'(h) = т/2 —
2г/Л2, а именно h = ho = ’2у/Ё]т. Наименьшее значение верх-
ней границы погрешности </?(/iq) = 2у/тё. Таким образом, если
погрешность в значениях функции не превышает £ = 10“то
погрешность в значении производной в лучшем случае будет не
более 2л/тгГ 10-5/2. Отсюда следует, что число верных десятич-
ных знаков в значении производной примерно в два раза меньше,
чем в значениях функции.
Г Л А ВЛ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

§ 1.	Интерполяционные квадратурные формулы

Вопрос о вычислении определенного интеграла f(x)dx те-
оретически решен удовлетворительно. Если, например, /(.г) не-
прерывна на отрезке [о, 6], то у нее существует первообразная
F(x) и справедливо равенство

/Ь f(x)dx = F(b) - F(a),

J a

известное как основная формула интегрального исчисления. Прак-
тически воспользоваться этой формулой удается не всегда, так
как фактическое вычисление значений F(x) возможно лишь в
редких случаях, когда первообразная выражается через эле-
ментарные функции. По этой причине большое значение имеют
формулы для приближенного вычисления интегралов, изложе-
нию которых посвящена настоящая глава.

Формулы для приближенного вычисления интегралов имеют
вид

Л'

/ (1)

и называются квадратурными формулам и. Сумма в правой ча-
сти этого равенства называется квадратурной суммой, числа. Xj
называются узлами, а числа Cj — коэффициентами квадратур-
ной формулы. Узлы считаются попарно различными. Обычно
они принадлежат отрезку [а, 6], но это требование не является
обязательным. Значение квадратурной суммы принимается в
качестве приближенного значения интеграла. При вычислении
квадратурной суммы основной труд затрачивается на вычисле-
ние значений подынтегральной функции в узлах. Узлы и ко-
эффициенты для данной квадратурной формулы известны: они
либо легко вычисляются, либо берутся из таблиц.
Приближение интеграла квадратурной суммой представля-
ется естественным, так как квадратурная сумма является обоб-
щением суммы Римана для рассматриваемого интеграла. Для
ряда формул квадратурная сумма совпадает с суммой Римана.
Это имеет место, например, для квадратурной формулы прямо-
угольников

fi^dx к ^2 /(« + U ~

где h. = (b — (dj/N, о € [о, а + Л].

Будем записывать квадратурную формулу в более общем по
сравнению с (1) виде

fb	N

/ Дх)Дх)</х« ^^Дх,).	(2)

Ja	j=i

Подынтегральная функция представляет собой произведение
двух функций Дх) и /(х). Первая из них и'(х) считается фикси-
рованной для данной квадратурной формулы (2) и называется
весовой функцией. Функция Дх) принадлежит достаточно ши-
рокому классу функций, например, непрерывных и таких, что
интеграл в (2) существует. В частности, если Дх) = 1, то по-
лучаем квадратурную формулу вида (1).

Поясним целесообразность рассмотрения квадратурных фор-
мул вида (2) с весовой функцией. Применяемый далее спо-
соб получения квадратурных формул для ДхДх основан на
приближении подынтегральной функции Дх) интерполяцион-
ным многочленом. В некоторых случаях такой способ не мо-
жет привести к удовлетворительному результату, так как Дх)
не допускает хорошего приближения многочленами. Так бу-
дет, например, если интеграл несобственный, при этом отре-
зок [«,6] конечен и функция <р(х) не ограничена на [а, 6]. Есте-
ственно попытаться представить подынтегральную функцию в
виде Дх) = Дх)Дх), где Дх) содержит особенности функции
Дх), а Дх) является достаточно гладкой функцией. Если та-
кое представление возможно, то функцию w(x) следует взять в
качестве весовой, а приближать многочленом следует функцию
Дх), для которой такое приближение является более оправдан-
ным по сравнению с Дх).
Наибольшее распространение получили квадратурные фор-
мулы, основанные па алгебраическом интерполировании. Пред-
положим, что речь идет о вычислении интеграла

f w(x)f(x)dx.	(3)

J а

Отрезок интегрирования может быть и бесконечным. Основ-
ное требование на. весовую функцию состоит в существовании
интегралов

/В- = / w(x)xkdx, £ = 0,1.2,...,	(4)

J а

которые называются моментам и весовой функци и. Это требо-
вание в дальнейшем всегда считается выполненным и вызвано
тем, что функцию /(.т) мы будем приближать алгебраическим
интерполяционным многочленом и после этого интегрировать
произведение w(x) на интерполяционный многочлен. Существо-
вание интеграла от этого произведения обеспечивается суще-
ствованием моментов (4). Предполагаем также, что w(r) 0 0 на
множестве из [о, 6] положительной меры. Функцию f(x) считаем
такой, что интеграл (3) существует.

Возьмем N попарно различных точек гц, гз,..., х^ на отрезке
[а, 6], хотя часть этих точек или все они могут не принадлежать
[о, 6] и даже быть комплексными, если функция f(x) определе-
на в некоторой области плоскости комплексного переменного,
содержащей эти точки. Рассмотрим интерполяционный мно-
гочлен Р{х) функции /(.т), построенный по узлам хц, х'2)..., 1’дг.
Степень Р(х) не выше Л' — 1, и он удовлетворяет условиям

/’(•г,)	Дх,). j~ 1.2..... Л'.

Запишем многочлен Р(х) в форме Лагранжа (1.3.9):

Л'

ВД = £/Дх№),	(5)

j = l

где lj(x) — фундаментальные многочлены интерполирования.

В интеграле (3) функцию f(x) заменим многочленом Р(х). По-
лучим приближенное равенство

pb	rb

I w(x')f(x')dx ~ I wfxjPtx'jdx.
a	J a
Заменим здесь Р(х) правой частью равенства (5) и выполним
интегрирование. Получим приближенное равенство вида (2), в
котором коэффициенты Cj определяются равенствами

Cj - [ w(x)lj(x)dx, j = 1,2,..N.	(6)

J a

Определение 1. Квадратурная формула. (2), где узлы —
заданные попарно различные числа, а коэффициенты опреде-
ляются равенствами (6). называется интерполяц ионной.

Теорема 1. Для того чтобы квадратурная формула (2) с N
попарно различными узлами была интерполяционной, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была точна, когда /(ж) является
любым многочленом степени не выше N — 1 или, что то же
самое, когда f(x) = 1, х, х2, . . ., .гЛ'-1.

Доказательство. Необходимость. Пусть квадратур-
ная формула (2) интерполяционная и f(x)— многочлен степени
не выше .'V — 1. Интерполяционный многочлен, построенный для
f(x) по N узлам квадратурной формулы (2), совпадает с /(х):

Л'
/(Х-) = £/7(г)/(х;).

7 = 1

Умножим обе части этого равенства на и:(х) и проинтегрируем
по [а, 6]. Получим

л	W у 6	'V

/ w(x)f(x)dx =	1^л%(х)е1х  f(xj) = ^Cjftxj),

Ja	j = lJa	j = l

а это и означает, что квадратурная формула точна для fix).
Здесь мы воспользовались равенством (6), которое имеет место,
так как формула (2) интерполяционная.

Достаточность. Квадратурная формула (2) точна для
любого многочлена степени не выше N — 1. В частности, она
должна быть точна для фундаментальных многочленов интерпо-
лирования построенных по узлам квадратурной формулы
(2):

yi	N

/ w(x)lkix)dx = ^Ql^xj) = Ct, k = 1,2,..., N.

Ja ; = 1
Эти равенства и означают, что квадратурная формула (2) ин-
терполяционная. Теорема доказана.

Определение 2. Целое неотрицательное число d называется
алгебраической степенью точности квадратурной формулы (2),
если эта формула точна для всех многочленов степени не выше
d и не точна для rd+1.

Из теоремы 1 вытекает, что алгебраическая степень точности
d интерполяционной квадратурной формулы с N узлами удовле-
творяет неравенству d N — 1.

Теорема 2. При дополнительном ограничении на весовую
функцию

w(z) О, т£[а,6], /<о = f w(x)dx > О	(7)

J а

алгебраическая степень точности d квадратурной формулы (2) с
N узлами удовлетворяет неравенству

d^2N-l.	(8)

Доказательство. По узлам х\,Х2,.. .,хрг квадратурной
формулы (2), среди которых могут быть и комплексные, обра-
зуем многочлены степени N

ш(т) = (х — Xi)  • • (г — тдг), ш(г) = (х — Tj   • (х — xn),
где хк означает комплексно сопряженное с хк число. Очевидно,
многочлен	степени ‘2N при х £ [а, 6] равен |gj(x-)[2 и,

следовательно, положителен на [а, 6] всюду, кроме, может быть.
N точек, где он может равняться нулю.

Для многочлена ш(х)й(х) квадратурная формула (2) не точна,
так как

л	N

/ w(r)|w(a.j|2c/i-> О, y^ CjLo(xj)'Jj(xj) = 0.

“'а ; = 1

Отсюда следует (8). Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее утверждение. Если
квадратурная формула (2) с весом, удовлетворяющим условиям
(7), точна для всех многочленов степени не выше т, то число се
узлов удовлетворяет неравенству N |_m/2J + 1-

Действительно, если N j |_m/2J, то по теореме 2 алгебраиче-
ская степень точности d этой формулы удовлетворяет неравен-
ству d <С 2|_m/2j — 1 j т — 1. Это невозможно, так как d т.
§ 2.	Квадратурные формулы Ньютона — Котеса

Рассматривается интеграл J bf(x)dx с весовой функцией, рав-
а

ной единице. Из требования существования моментов (1.4) ве-
са ш(.т) = 1 вытекает, что отрезок [о, 6] должен быть конечным.
Пусть п — натуральное число. Выберем в качестве узлов рав-
ноотстоящие в шагом hn = (6 — а)/п точки

х^?'1 = а + khn, k = 0, 1, ..., п.	(1)

Концы отрезка а, b являются узлами, число узлов N — п + 1.
Интерполяционная квадратурная формула с узлами (1)

С f{x}dx^^C^f(x^}	(2)

•'а	к=0

называется квадратурной формулой Ньютона—Котеса. Так как
п может принимать значения 1, 2,3,.. ., то получаем последова-
тельность квадратурных формул Ньютона—Котеса.

Квадратурная формула (2) интерполяционная, и ее коэффи-
циенты определяются формулой (1.6):

z-.('i) _ [ Un+i(x)dx	.

k	J а (х-Х^КК

Ja (Т xk >шп + 1 Iх*: )

где

wn+i(a:) = (х - 4П))(Х' ~ Х1П)) • • -(х - 4п))-

В интеграле (3) сделаем замену переменной интегрирования х =
a + hnt. Имеем

х — х[п} = hn(t — k),

Wn+1(r) = /i"+I/(Z-l)(/-2)---(<-71),

<1(4"’) = (4” - 4"’)    (4” - 4-i)(4“’ - 4"+’i)   •
..(4">-ri"’) = 4C(-l)"-‘(n-l:)!

и, следовательно,

r(n) _ M-l)n~* Г <(/-!)(/--2) • (Z-n)Jj
k kl(n-ky.Jo t-k
Полученное значение коэффициента зависит от длины
отрезка hn = (b — а)/п. Положим



(4)

где

O(n) = (-1)П-* Г ф-1)--.(<-п)
к k'.(n — ky.n Jo t — k

Числа Bk ) не зависят от отрезка [а, 6], и их можно протабули-
ровать. Квадратурная формула Ньютона—Котеса принимает
вид

f(x)dx и (6- a^B^f^).	(6)

k=o

Коэффициенты В^ для п = 1,2,..10 впервые вычислил Ко-
тес. Приведем таблицу В^ для п = 1.2,..., 6 (табл. 13).

Таблица 13

п	в'п)	в,(п)	в'п)	в‘п)	в'п)	в'п)	в<п)
1	1/2	1/2					
2	1/6	4/6	1/6				
3	1/8	3/8	3/8	1/8			
4	7/90	32/90	12/90	32/90	7/90		
5	19/288	75/288	50/288	50/288	75/288	19/288	
6	41/840	216/840	27/840	272/840	27/840	216/840	41/840

Для указанных в таблице значений коэффициентов справед-
ливы равенства В^ = В^2к (k = 0,1,..., п). Они выполняются
при любом п. Докажем лемму, из которой это утверждение сле-
дует как частный случай.

Лемма 1. Пусть квадратурная формула

гь	N

I w(x)f(x)dx « ^2 ckf(xk)

°	4 = 1

(7)

удовлетворяет следующим, условиям:
1)	отрезок интегрирования [а, 6] конечен’,

2)	весовая функция w(x) принимает одинаковые значения в
симметричных относительно с = (а + 6)/2— середины отрезка
[а, 6] — точках:

w(a + b — х) = ш(х), х G [а, !>];

3)	узлы симметричны относительно точки с, т. е. если х^ —
узел, то а + b — Xk — тоже узел при k = 1,2,..., N. Если ква-
дратурная формула (7) интерполяционная, то ее коэффициенты,
отвечающие узлам, симметричным относительно точки с, оди-
наковы..

Доказательство. Положим = a + b — Xj, j = 1,2,..., N.
По условию 3) леммы точки х_, являются узлами, при этом уз-
лы x_j и Xj симметричны относительно с. Обозначим соответ-
ствующие им коэффициенты C—j, Cj. Требуется доказать, что
C_; = Q.

Так как формула (7) интерполяционная, то

Сделаем в этом интеграле замену переменной интегрирования
х = a+b—t. По условию 3) леммы множество {ж-j = 1,2,..., TV}
совпадает с множеством всех узлов квадратурной формулы, по-
этому

N	N

шдг(х) = Ц(г -	+ b - t - X-k) -

k = l	k = \

N	N

= n+b - *-*)] = C-1)" № - ^-) =
fc=l	t=l

Мы получили соотношение

(9)

где переменные х, t связаны равенством t = а + b — х.

Продифференцируем обе части равенства (9) по х:

о4м = (-1)"+Х(*).	(ю)

Полученное равенство связывает значения производной ш'п(х) в
симметричных относительно с точках. В частности,
Пользуясь равенствами (9), (11), а также условием 2) леммы,
запишем интеграл (8) в новой переменной интегрирования:

Лемма доказана.

Квадратурная формула Ньютона— Котеса (6) удовлетворяет
условиям леммы, поэтому получаем	к = 0,1,..., п.

Нам понадобится теорема о среднем значении. Приведем ее
формулировку.

Теорема 1. Пусть функции f(x), д(х) интегрируемы на конеч-
ном отрезке [а, 6], при этом:

1)	/(ж) ограничена, т. е. rn /(г) М, £ G [а, 6];

2)	д(х) не меняет знака на [а, 6].

Тогда функция f(x)g(x') интегрируема и

fb	rb

/ f(x)g(x)dx	g(x)dx,

J a	J а

где т sj fi М. Если функция /(х) непрерывна на [а, 6], то най-
дется такая точка г] G [а, Ь], что /2 = /(’?)-

Теорема 2. Алгебраическая степень точности dn квадратур-
ной формулы Ньютона —Котеса (6) дается равенствами

Г п при и нечетном.

d,i = <

( п. + 1 при п четном.

Доказательство. Докажем, что квадратурная формула
(6) точна для многочленов степени не выше dn. Квадратурная
формула (6) как интерполяционная по теореме 1.1 точна для всех
многочленов степени не выше п, так что утверждение при п не-
четном доказано.

Пусть п — четное. Докажем, что для многочлена (а: — c)n+1
степени п + 1 квадратурная формула (6) точна. Действительно,
интеграл по [а, 6] от (а; — c)n + 1 равен нулю. Квадратурная сумма
от него тоже равна нулю, так как в симметричных относитель-
но с узлах он принимает одинаковые по абсолютной величине
и противоположные по знаку значения и так как симметричным
узлам отвечают одинаковые коэффициенты. Из того, что фор-
мула (6) точна для многочленов степени не выше п и точна для
(т — c)n + 1, вытекает, что она точна для всех многочленов степени
не выше п + 1 = dn.

Пусть л четное. Многочлен и-у,+ 1(т) по (9) обладает следу-
ющим свойством: в точках, симметричных относительно с =
(а + 6)/2, он принимает одинаковые по величине и противопо-
ложные по знаку значения (Л7 — п + 1). Отсюда следует

/ wn + i(r)rfa; = 0.

J а

Функция

П(г)= [ у„+1(/)Й,	(12)

J а

которая является многочленом степени п + 2, удовлетворяет
условиям

Q(a) = Q(6) = 0.	(13)

Рассмотрим интегралы

ra+(J + l)7i„

Ij — /	wn+i(x)di’, j = 0,1,..., n — 1.

Ja+jhn

Докажем, что при п 4 справедливы неравенства

|/о| > 1Л1 > • • • > |/„/2-1|.	(14)

В интеграле Ij, где 1 j n/2—1, выполним замену переменной
интегрирования х = у + hn. Получим

ra+jhn п

Л =	JJ(y + hn - x^dy =

,_0

ra+jhn ,i (n)

= /	-------й)—un+i(y)dy.

Ja+(j-l)hn у - x\

Так как Wn+i (у) сохраняет знак на отрезке интегрирования, то
к последнему интегралу можно применить теорему 1 о среднем:

г _ Ъ +hn -х^}	>

Л - --------й)— Л -1 >	(15)

r)j - х\

где

а + (j - l)hn < r]j < а + jhn.

(16)
Множитель в равенстве (15) при всех допустимых значениях
Д 1 С j С — 1, отрицателен, и его абсолютная величина
удовлетворяет неравенству

~ a hn + (п/2 - 1 )Л„ _ п
nhTl - (jij - а) nhn - (п/2 - 1)ЛП ~ п+ 2 <

Здесь использовано второе из неравенств (16) при j = п/2 — 1.

Из (15) получаем |/Д <	Неравенства (14) доказаны.

Так как

sgn Ij = (-1)J,	=	j = 0,1,.. ,,п - 1,

то из (14) получаем

П(х) = [ wn+i(i)(ft > 0, а < х < Ъ.	(17)

J а

Докажем, что квадратурная формула (6) не точна для много-
члена хшп +1 (х) степени п + 2. Так как этот многочлен обраща-
ется в нуль в узлах формулы (6), то достаточно доказать, что
интеграл от него по [а, Ь] отличен от нуля. Выполним интегри-
рование по частям и примем во внимание (13) и (17):

[ xwn+i(x)dx = хП(х) — [ Q(x)dx = — [ Q(x)rfx < 0.

J a	a Jа	J а

Доказали, что dn = п + 1 при п четном.

В случае нечетного п квадратурная формула (6) не точна для
многочлена u-’n+i(х), так как интеграл J wn+i(x)dx отрицателен.
Это следует из того, что функция Q(x), определяемая равен-
ством (Г2) при п нечетном, удовлетворяет неравенству Q(x) < 0
при а < х Ь. На доказательстве этого утверждения остана-
вливаться не будем.

Рассмотрим квадратурные формулы Ньютона—Котеса при
п = 1,2, 3. Квадратурная формула (6) при п = 1

Л(х)(/х«Ц^[/(а.) + Л6)].	(18)

•/ а

Она называется формулой трапеции (рис. 6). Алгебраическая
степень точности равна 1.

Квадратурная формула (6) при п = 2

I" f(x)dx ~ Цр /(а) + 4f + /(6)] .	(19)
Она называется формулой Симпсона. Алгебраическая степень
точности равна 3.

Рис. 6

Квадратурная формула (6) при п = 3

[ f(x)dx ss — [/(а) + 3/ (а + Л3) + 3/(а + 2Л3) + /(6)].

Ja	й

Она называется формулой трех восьмых. Название происходит
от коэффициента 3/8. Алгебраическая степень точности рав-
на 3.

Погрешностью или остаточным членом квадратурной фор-
мулы называется разность между интегралом и квадратурной
суммой. Введем обозначение для погрешности квадратурной
формулы Ньютона—Котеса (6):

Л(П)(Л = f f(x)dx -(b-а)^ B^f(x^).
da	k=0

Для R^n\f) имеются представления в предположении, что
f(x) — достаточное число раз дифференцируемая функция. Эти
представления и способы их получения различны при п четном
и нечетном. Мы не будем рассматривать случай любого п, а
ограничимся двумя простейшими типичными случаями п = 1 и
2.

При п = 1 речь идет о представлении погрешности квадра-
турной формулы трапеции (18). Будем предполагать, что функ-
ция f(x) имеет производную второго порядка /"(х), непрерыв-
ную на [п,6]. Пусть Ру(х) — интерполяционный многочлен функ-
ции f(x), построенный по узлам а, Ь. Для погрешности интер-
полирования по формуле (1.3.11) имеем

f(X)-Pi(x) = ^—^-(x — a)(x — b),	(21)

где £ = £(х) € (а, 6). Проинтегрируем обе части этого равенства
по х от а до Ь:

J' f(x)dx - P^x)dx = | J' f"(£)(x - a)(z - b)dx. (22)
Так как квадратурная формула трапеции точна для Pi (ж):
f\(x)dx = Ц^[Р! (а)+ ?,(/>)] = Ц^/(а) + /(6)],
то левая часть равенства (22) есть погрешность Д^^(/) квадра-
турной формулы трапеции, и равенство (22) можно записать в
виде

= ^l f"(№ - а)(* - b)dx. (23)

Подынтегральная функция в правой части равенства (23)
представляет собой произведение функции /"(£) и многочлена
(х — а)(ж — 6), отрицательного на (я, 6). Из равенства (21) следу-
ет, что функция /"(£) = /"(£(х)) непрерывна как функция от х
на отрезке [а, 6], кроме, может быть, точек а, b и, следовательно,
интегрируема на [а, 6]. Положим

то — niin ///(i')i АД = шах /"(х).
а^х^Ъ	а^х^Ь

К интегралу в (23) можно применить теорему 1 о среднем:

7?U)(/) = ^^(1._(7)(i._i)c/i.	(24)

где ТП2 Р-2 С М2-

Нетрудно проверить, что

Гь	(Ь - а)3

у (г — а)(1’ — b)dx = — -—  .

Так как f"(x) непрерывна и m2 рг С М2, то по теореме Коши
найдется такая точка т] € [а, 6], что /z2 = /"(г?). Теперь равенство
(24) можно записать в виде

Л(1)(/) =[а, 6].	(25)
Это и есть представление погрешности квадратурной формулы
трап ей, и и.

Если п— любое нечетное и функции /(.г) имеет на [а, 6] непре-
рывную производную порядка п+1, то для погрешности квадра-
турной формулы Ньютона — Котеса с n+ 1 узлами справедливо

представление

= J—НГ /	/?€[«, 6],	(26)

-f- J. ) . J а

где wn + i(x)-—приведенный многочлен степени n+ 1, корнями
которого являются узлы (1) квадратурной формулы Ньютона —
Котеса.

Получим представление погрешности квадратурной форму-
лы Симпсона (19). Предполагаем, что функция /(ж) имеет на
[а, 6] непрерывную производную четвертого порядка. Действо-
вать точно таким же путем, как в случае формулы трапеции,
нельзя, так как шз(ж) = (я — a)(r — c)(i — 6) меняет знак на [а, 6], и
мы не можем воспользоваться теоремой 1 о среднем значении.

Обозначим через Рз(а;) интерполяционный многочлен Эрмита
функции f(x), удовлетворяющий условиям

Рз(а) = /(а), Рз(с) = Дс), Р^с) =	Р3(Ь) = f(b).

С помощью формулы (1.6.11) для погрешности интерполирова-
ния Эрмита получим

/(z)-P3(x-)= J	£ = <(z)G(M). (27)

Проинтегрируем обе части этого равенства по х от п до Ь и

примем во внимание, что

P3(x)dx = Ц-^[/(л) +4/(с) + /(6)].

Получим

я(2,(/) = 2^/VV)(0(z

а)(х — с)2(ж — b)dx,

(28)

где	— погрешность квадратурной формулы Симпсона.

К интегралу в правой части (28) можно применить теорему
о среднем значении. Действительно, подынтегральная функ-
ция является произведением \f) на (,т — а)(х — с)2(а; — 6) —
многочлен, отрицательный на (а, 6). Сохранение знака много-
члена. обеспечено тем, что узел с является двукратным. Функ-
ция	= Z(/v)(<(a;))]

как видно из (27), непрерывна как
функция от х на. [а, 6], кроме, может быть, точек а, с, 6 и удо-
влетворяет неравенствам ?п4	М4, где

т4 = min f^'hx), М4 - max fUv\x}.

Таким образом, из (28) получаем

Д(2)(Л = 24 (х’ “ а^х ~ c)2(i' ~ b>)dx' С29)

где т4	М4.

Для вычисления интеграла в правой части (29) сделаем за-
мену переменной интегрирования х — с = t. Получим
[ (х — а)(х — с)2(х — b)dx = [ t2(t2 -a2)dt =

J a	J — a	I□	1^0

Здесь a = (b — a)/2. Из непрерывности f(IV\x) на [a, 6] и нера-
венств т4	М4 по теореме Коши найдется такая точка

7] € [а, 6], что pi4 =	Равенство (29) можно записать в

виде

= (3°)

ZooU

Мы получили требуемое представление погрешности квадра-
турной формулы Симпсона.

Если п— любое четное и функция /(х) имеет непрерывную
производную порядка п + 2 на [а, 6], то для погрешности квадра-
турной формулы (6) имеет место равенство

д (л)(/) = , - \ | / xwn+i(x-)dz, 7/G[a,fc].	(31)

(п + 2)! Ja

Остановимся на вопросе о поведении коэффициентов В^ при
неограниченном возрастании п. Первую таблицу коэффициен-
тов для п = 1,2,..., 10 получил Котес. Оказалось, что
при п = 8 и 10 среди коэффициентов встречаются отрицатель-
ные. В последующем были вычислены коэффициенты и при
п > 10. Оказалось, что при п > 10 среди в['1) имеются как
положительные, так и отрицательные. Р. О. Кузьмин установил
асимптотические формулы для в\”\ из которых вытекает, что
7n =	I Д["' I неограниченно возрастает при п —* оо.Ввиду

равенства	= 1, которое есть следствие того, что ква-

дратурная формула (6) точна, для 1, можно сделать заключение,
что при больших 71 среди коэффициентов имеются и положи-
тельные, и отрицательные. Более того, это утверждение верно
при всех п 10 (см. [26]).

Приведем таблицу значений уп при нескольких первых зна-
чениях ?7, которая дает представление о быстроте возрастания
7п •

п	1 - 7	8	9	10	20	30	40	50
Уп	1	1,45	1	3,06	5,40 • 102	2,12 • 105	1,1010s	6,7О1О10

Рассмотрим квадратурную формулу (7) общего вида, при
этом будем считать, что она точна для f(x) = 1:

Л'

5У Ck = /'о
i = i

(32)

и ро > 0. Поясним, какое значение при вычислении интеграла
по формуле (7) имеет сумма абсолютных величин ее коэффици-
ентов 7 =	|G.|.

При вычислении интеграла по формуле (7) квадратурная сум-
ма вычисляется лишь приближенно. Вместо значения /(i’t) мы
получаем /(j\), так что погрешность вычисления равна с*. =
/(it) — /(.гц ). Предположим, что | <С с при k = 1,2...., N и что
сумма С\./(.г>) вычисляется точно (в частности, не учи-
тываются возможные погрешности округления в значениях Ск).
Тогда погрешность квадратурной суммы не будет превосходить
числа |Ct| = £7. На самом деле эта граница погрешности
является точной верхней границей, так как погрешность может
совпадать с еу. Таким образом, точная верхняя граница по-
грешности вычисления квадратурной суммы пропорциональна
7. Чем больше 7, тем большей может быть погрешность вычи-
сления квадратурной суммы.

Величина у имеет наименьшее значение, когда Ск >0, k =
1,2,..., N. Действительно, по (32)

N

N

N
Здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда Ск од-
ного знака и, следовательно, положительны (р0 > 0). Это обсто-
ятельство объясняет важность для приложений квадратурных
формул с положительными коэффициентами.

У квадратурных формул Ньютона—Котеса при п 10 свой-
ство положительности коэффициентов не имеет места, а сум-
ма абсолютных величин коэффициентов уп быстро возрастает.
Поэтому применение квадратурных формул Ньютона—Котеса
при больших значениях нецелесообразно. Выгоднее добивать-
ся повышения точности путем разбиения отрезка интегрирова-
ния на частичные и применения к интегралам по частичным от-
резкам квадратурной формулы Ньютона—Котеса при неболь-
шом п. Этот путь приводит к так называемым составным ква-
дратурным формулам, которые рассматриваются в следующем
параграфе.

§ 3. Составные квадратурные формулы

Рассмотрим квадратурную формулу

fd	т

/ f(x)dx и ^2 Akf{ak),	(1)

Jc	k=i

где отрезок [с, d] конечен и узлы принадлежат [с, </]. В (1)
и в других квадратурных формулах этого параграфа весовая
функция считается равной единице. Пусть требуется вычислить
6

интеграл J	с помощью квадратурной формулы (1), при

этом отрезок [7, <5] конечен и не совпадает с [с, d], Выполнив
линейную замену переменной интегрирования £ = у + q(x — с),
где q = (<5 - y)/(d - с), получим

/	/ <р(у + q(x - c))qdx.	(2)

Jy	J С

Теперь к интегралу в правой части этого равенства можно при-
менить квадратурную формулу (1):

fd	т

/ 99(7 + q(x - c))qdx и	+ <l(ak ~ с)).	(3)

J'	к=1
Из (2) и (3) следует приближенное равенство

/•6

/	~	(4)

t=i

где

Qk = Akq, = 7 + q(ak - c), к = 1,2,..., m,	(5)

и q = (6 - y)/(d - с). Так как ak G [c, d], то £k 6 [7, 5].

Определение. Квадратурные формулы (1), (4) называются
подобными. если для их коэффициентов и узлов выполнены ра-
венства (5).

Составная квадратурная формула для вычисления интеграла
ь

J f(x)dx но конечному отрезку [а, 6] определяется следующим
а

образом. Отрезок [а, 6] разбивается на » частичных отрезков
равной длины и для вычисления интегралов по частичным от-
резкам применяются квадратурные формул, подобные одной и
той же квадратурной формуле. Составные квадратурные фор-
мулы иногда называют большими или усложненными формула-
ми.

Получим явное представление составной квадратурной фор-
мулы. Пусть п — натуральное. Положим

h = (6 — a)/n, Xi — a + ih, i — 0,1,..., п.	(6)

По свойству аддитивности интеграла

f f(x)dx = £ Г f(x)dx.	(7)

J а	j з 1 r  “1

Лля вычисления интегралов в правой части (7) применим ква-
дратурные формулы, подобные квадратурной формуле

т

/ <p(t)dt = ^Ak<p(ak) +	(8)

t=i

где ak G [0,1] и — погрешность формулы. Считаем, что от-
резком интегрирования является [0,1], что не ограничивает общ-
ности, но упрощает дальнейшие записи. Квадратурную форму-
лу (8) будем называть исходной квадратурной формулой.

В интеграле f*' > f(x)dx, который стоит под знаком суммы в
(7), сделаем замену переменной интегрирования х = Ж;_1 + hi и
для вычисления интеграла

h / /(а?г-_ 1 + ht)dl

Jo

воспользуемся квадратурной формулой (8). Получим квадра-
турную формулу

/ f(x)dx = /1^2	+ hak) + /iSf/И-! + lit)], (9)

J^'-i	k = i

подобную квадратурной формуле (8).

Чтобы получить составную квадратурную формулу, заменим
интегралы в правой части равенства (7) правыми частями ра-
венства (9):

[ f(x)dx =

J а
пт	л

= Е Л Е + hak) +	S[/(ri_1 + ht)]. (10)

7 = 1 Ь = 1	1 = 1

Это и есть составная квадратурная формула для вычисления ин-
теграла fb f(x)dx. Введем обозначение для квадратурной сум-
мы этой формулы:

п т

<?m,n(f) = ^h^Akf(xi-i + hak).	(11)

7 = 1 А* = 1

Тогда квадратурную формулу (10) можно записать в виде

Г /(x)dx = <тт, „(/над),	(12)

J а
где
п

ад)=Л£3[/(а:;_1+Л/)]	(13)

> = 1

есть погрешность составной квадратурной формулы.

Приведем пример построения составной квадратурной фор-
мулы. Возьмем в качестве исходной квадратурную формулу
трапеции (2.18):
Имеем

[ f(x)dx = '^/[ f(x)dx = ^2 /	+ ht)hdt «

~ Yl^lf(Xi-^ +

Приведя подобные члены в последней сумме, получим состав-
ную квадратурную формулу трапеций

[к f(x)dx~ La Ш. + /(а,.1) + ... + Ла..1_1) + Ж]. (14)

Ja	л. L 2	2 J

где X; определяются равенствами (6). Число узлов равно л + 1.

В интеграле J'J 1 f(x)dx мы сделали замену переменной ин-
тегрирования х = х,_] + ht, хотя можно было бы применить
квадратурную формулу трапеций непосредственно к этому ин-
тегралу:

У f(x)dx » ^[/(14-1) + /(х.)].

Выведем составную квадратурную формулу Симпсона. В
правой части равенства (7) к интегралу по [x,-i, I,] применим
формулу Симпсона (2.19):

[ f(x)dx -^2 / f(x)dx «

Ja	Jx,_x

h '	( h \

Ж-l)+ V + -J + f(xi} .

В результате приведения подобных членов в последней сумме
получим

Ja	°

/(а) + 4 ( / (10 + ) +

+f + 2 J +••• + / I £n-i + 2 ) ) +

+ 2(f(xl) + f(x2) + ... + f(xn.^ + f(b)
Если середину частичного отрезка [х,_], х,-] обозначать х{_х, то
узлы составной квадратурной формулы Симпсона можно запи-
сать в виде

хц2 = а + jh/2 = а + j(b - п)/(2п), j = 0,1,..., '2п.	(15)

Составная квадратурная формула Симпсона примет вид

У f(x)dx « L-^[/(a) + 4(/(х1/2) + f(x3/2) + ... + ф{хп_1.У)+

+	+ /(x2) + ... + /(x^)) + f(b)], (16)

где узлы определяются формулой (15). Число узлов равно
2п + 1.Таким путем можно получить и другие составные ква-
дратурные формулы Ньютона—Котеса.

Теорема 1. Алгебраические степени точности исходной ква-
дратурной формулы (8) и составной квадратурной формулы (12)
совпадают.

Доказательство. Пусть d — алгебраическая степень точ-
ности квадратурной формулы (8). Это означает, что 5(у>) = О,
если (p(t) — многочлен степени не выше d и S(/d+1) ф 0. Если
/(х) — многочлен степени не выше d, то /(xt_i + ht)—многочлен
той же степени от t и из (13) следует, что Rn(f) — 0, так что
составная квадратурная формула (12) точна для всех многочле-
нов степени не выше d. Покажем, что 7?n(xd+1) ф 0. Положим в
(13) /(x) = xd+>:

п

/?.n(xd+1) = Л. 52 s [(Xi-! +^)d+1] =
г = 1

= /i^S(/id+4d+1) = nhd+~S(td+') / 0.

>=i

Из теоремы 1 следует, что подобные квадратурные формулы
имеют одинаковые алгебраические степени точности.

Теорема 2. Чтобы имело место предельное соотношение

lim am,n(/) = [ f(x)dx	(17)

п—юо	/„

</ a

для любой интегрируемой no Риману на [а, 6] функц ии f(x), не-
обходимо и достаточно, чтобы исходная квадратурная формула
была точна для 1.
Доказ ат ельство. В квадратурной сумме (11) переставим
порядок суммирований:

m н ,	,	.	х

4 = 1	1 = 1	V	'

Так как 0	<( 1, то внутренняя сумма при фиксированном k

является суМхМой Римана для интеграла. fb f(x)dx. По предпо-
ложению f(x) интегрируема по Риману и, следовательно.

lim	=

Отсюда видно, что предельное соотношение (17) выполняется
тогда и только тогда, когда	= 1, а это равносильно

тому, что исходная квадратурная формула (8) точна для 1.

Приведем теорему о представлении погрешности составной
квадратурной формулы,

Теорема 3. Пусть для погрешности исходной квадратурной
формулы (8) справедливо представление

-(г) =	?/€ [0. 1].	/ 0.	(18)

в предположении, что существует непрерывная производная
<'/')(/) на [0,1]. Если функция /(.г) имеет непрерывную на [«,6]
производную f(r\x). то для погрешности составной квадратур-
ной формулы (12) имеет место представление

c,S-~-ry-	te[a,b].	(19)

TV

Доказательство. Воспользуемся формулой (13) для по-
грешности составной квадратурной формулы (12). В формулу
(13) входят погрешности S(ipi) исходной квадратурной форму-
лы (8), где f(xi-i + ht\ Так как /(г) имеет производную
/(г)(г), то получаем

^Г)(0 =	4- ht)hr.
В силу условия (18) имеем

+ hi)] = c,.hr+ rah), T)i e [0.1].

С помощью этого равенства из формулы (13) находим

п

Rn(f) = crhr+1^f(r)^i-i+ni^-	(20)

i=i

Положим

тг = min f^(x), Mr = max f^M.

*e[M]	re[a,6]

Так как 7?t- G [0, 1], то точки тг-_1 + t/27i (г = 1,2,..., n) принадлежат
[a, b] и следовательно, справедливы неравенства

1 п

тг /1,- = -	/О'•)(£._. +	М,..

п i=i

Из непрерывности /^r\z) на основании теоремы Коши вытека-
ет существование такой точки £ G [а, 6], что pr —	Таким

образом, в равенстве (20) сумму £2’-‘=1 /^Г\г^_1 + ц7г) можно заме-
нить на nf(r)(£), и это приводит к представлению погрешности
(19). Теорема доказана.

Замечание. В представлении погрешности (18) постоянная
с,- отлична от нуля. По узлам квадратурной формулы (8) обра-
зуем многочлен w,„(<) = (t — c/|)(/ — о?)... (t — ат). Для многочле-
на о;,;, (/) степени 2m, который имеет производные всех порядков,
представление(18) справедливо:

= М4(’/)1(г)-

Так как S(w2n) 0, то из этого равенства ясно, что сг / 0 и
/•	2т.

С помощью теоремы 3 получим представления погрешностей
составных квадратурных формул трапеций и Симпсона. На-
чнем с квадратурной формулы трапеций (14). Исходной квадра-
турной формулой является формула трапеции (2.18) для отрез-
ка [0,1], и, следовательно, ее погрешность имеет представление
(2.25) при а = 0, b = 1:

я(1Ч<р) -е [о, 1],

так что в (18) имеем г — 2, с2 = -1/12. В предположении, что
функция /(т) дважды непрерывно дифференцируема на [а, 6], на
основании (19) получаем формулу для погрешности составной
формулы трапеций:

WXf) =	?б[М].	(21)

Перейдем к составной формуле Симпсона (16). Исходная ква-
дратурная формула есть формула Си*мпсона. (2.19) для отрезка
[0,1]. и ее погрешность дается равенством (2 30) при а = 0, b = 1:

Д^(^) = -e^(/v)«h 7? е [о, 1].

ZO6U

В представлении (18) следует взять г = 4, с.( = —1/2880. Если
функция /(j ) имеет на [а, 6] непрерывную производную четвер-
того порядка, то из (19) получаем представление для погрешно-
сти составной квадратурной формулы Симпсона:

= (22)

Обычно в представлении погрешности составной формулы
Симпсона вместо п— числа частичных отрезков длиной h =
(6 — а)/п — фигурирует т = 2п.— число отрезков длиной Л/2.
Формула (22) в этом случае принимает вид

(23)

§ 4. О погрешности квадратурных формул

Рассмотрим квадратурную формулу

/ w(i-)/(t)^~EQ/(t,)	(1)

Ja	j = i

с вещественными коэффициентами и узлами, принадлежащими
отрезку интегрирования [а, 6]. В теореме 1 дается представле-
ние погрешности формулы (1) в форме Пеано.

Теорема 1. Пусть квадратурная формула (1) точна для всех
многочленов степени не выше tn, а функция /(т) имеет произ-
водную	непрерывную на отрезке [а, 6]. Тогда для по-

грешности квадратурной формулы (1)

ад= Г

Ja	j=i

(2)
справедливо представление

= ^7 Ат+1(/)/(т+1\гИЛ	(3)

777 • J а

где

fb	N

£т+1(/)= Я [(•-/)?] = / w(x)(x - t)™dx -^Cj^j-i)™ (4)
Ja	j = i

и (г — /)+ —усеченная степенная функция.

Доказательство. Так как по условию теоремы функция
f(x) имеет непрерывную производную f^m+l\x) на [а, 6], то для
нее справедливо представление по формуле Тейлора (1.11.4) с
заменой т на т. + 1:

/W = Т.

к=0

- а)к + ± [\х - t)”f^+'\t)dt.
к.	т. j„

Здесь (а.’—/)™ —усеченная степенная функция, определяемая ра-
венством (1.9.4).

Погрешность (2) квадратурной формулы является линейным
функционалом. Применим функционал R к левой и правой ча-
стям равенства (5) и воспользуемся его аддитивностью и одно-
родностью:

ад = я Е
\Л-=0

Так как квадратурная формула точна для многочленов степени
не выше т, то первое слагаемое в правой части этого равенства
равно нулю, и мы получаем

Функционал R можем внести под знак интеграла:

ад = Т Г /?.[(• - /)’;i]/(m+14t)dt. (6)

• J а

Операция внесения R. под знак интеграла равносильна переста-
новке порядка интегрирования по t и по х в двойном интеграле
по квадрату а х sj b от функции w(r)(r — /)^y(m+1)(/)j ПРИ
этом функция w(.ir) интегрируема (предполагается существова-
ние моментов w(x)), (z — /)'ф' непрерывна при тп 1,
непрерывна. При тп = 0 функция {х — 1)’+ равна 1 при х > 1 и
равна 0 при х /. Операция перемены порядка, интегрирований
законна. Равенство (6) завершает доказательство теоремы.

Функция £m+i(f), определяемая равенством (4), называется
ядром Пеано. Она непрерывна при т 1 и, вообще говоря,
разрывна при т — 0.

Если + сохраняет знак на отрезке [а, 6], то к интегралу
в (3) можно применить теорему 2.1 о среднем, и мы получим

ЩГ)=-------[а, 6].	(7)

т- Ja

Подставим в равенство (3) /(т) = тт+1. Получим

Я(тт+1) = (т + 1) [ К.т+г(1)<П,

J а

и равенство (7) можно записать в виде

4«+1)(П

R^= \т+[у. У	W

Равенство (8), как и равенство (7), справедливо, если £m+i(i)
сохраняет знак на [л, 6].

Пусть d—алгебраическая степень точности квадратурной
формулы (Г). Так как по условию теоремы 1 формула (1) точна
для многочленов степени не выше т, то т <1 d. Если здесь имеет
место строгое неравенство m < d или, что то же самое, ?п+1 d,
то R(xm+i) — 0 и, значит, fa K.rn + i(t)dt — 0. Отсюда следует, что
не сохраняет знака на [а, 6]. Таким образом, свойство
ядра Пеано ASm+i(Z) сохранять знак на отрезке [с/, 6] может иметь
место только при условии тп = d.

Приведем примеры применения теоремы 1.

Пример 1. Получим представление погрешности квадра-
турной формулы трапеции (2.18). Число т из теоремы 1 удо-
влетворяет неравенствам 0 пг <1 d, и так как алгебраическая
степень точности квадратурной формулы трапеции d = 1, то
0 <1 т 1 и для т возможны значения 0, 1. Возьмем т = 1 и,
следовательно, будем предполагать, что /(г) имеет непрерыв-
ную производную второго порядка на [а, 6].
В соответствии с формулой (4) найдем ядро Пеано:

ЦА(а - /)+ + (6 - /)+] =

1*о	Ь а	1

I (г — t)dx--------------—(6 — t) = -(6 — t)(a — t).

t	£	2

Здесь мы воспользовались определением усеченной степенной
функции. Ядро отрицательно на (а, Ь), поэтому можно при-
менить формулу (8). Имеем

K(1)(z2) = /" x2dx - ^-^(а2 + Ь2) =

Ja	2	6

и, следовательно,

я(1)(/) = -^=^т	[а, 6].

Эта формула совпадает с (2.25).

П р им е р 2. Найдем формулу для погрешности квадратурной
формулы Симпсона (2.19)

Я(2)(Л = I" f(x)dx -	+ 4/(с) + /(b)],

Ja	О

где с = (а + Ь)/2. Алгебраическая степень точности формулы
Симпсона d = 3, поэтому 0 sj in 3. Возьмем т = 3 и предполо-
жим, что /(т) имеет непрерывную на [а, Ь] производную четвер-
того порядка.

Воспользуемся формулой (4):

LjL[(a_y)3 +4(с_/)3++(6_/)3]

В результате вычисления получим

= <

' l[3(i-a)4-2(6-a)(/-a)3],
l[3(6-/)4-2(b-a)(6-t)3],

а i с,
с i С Ь.

Нетрудно проверить, что AS^(i) < 0 на (а,Ь). Проверим это

утверждение для а < t с. Имеем

=

t -

ci + 26\
~3 ) ’
и так как множитель

а + 26	6 — а

t-----------= t — с-----------—

3	6

отрицателен при t с, то £4(6) < 0 при а < t с. Аналогичным
путем убеждаемся, что £4(1) < 0 при с <С t < 6.

Ядро ЛД(/) сохраняет знак на [а, 6], поэтому можно восполь-
зоваться формулой (7). Так как

(ь-05
480

то из (7) получаем

zooU

что совпадает с (2.30).

Приведем теорему об оценке погрешности квадратурной фор-
мулы через наилучшее равномерное приближение функции /(х).

Теорема 2. Если квадратурная формула (1) точна для всех
многочленов степени не выше т и f(x)—непрерывная на [а, 6]
функция, то погрешность (2) удовлетворяет неравенству

N

Ь

|Я(/)1

(9)

где Em(f)—наилучшее равномерное приближение функции /(х)
на [а. 6].

Доказательство. Обозначим через Р*п(х) многочлен наи-
лучшего равномерного приближения функции f(x) на [а, 6]. То-
гда

ЕМ = ||/ - Д'Цад-

13 силу линейности функционала погрешности R(f) и того факта,
что квадратурная формула точна для многочленов степени не
выше т, имеем

ВД = Я(/ - Р’) + RM = R(f - Р’) =

,b	N

= / “’(*)[/(*) - PM]dx~

Ja	j=i
Оценивая абсолютные величины интеграла и квадратурной
суммы в этом равенстве, получаем

|Я(/)| max |/(х) - РД(.-г)| • / |w(z)|dx+

^G[a,b]	Ja

N
+	|/(ij) - P^(^-)| • 5? |Q|.

; = 1

Отсюда следует неравенство (9), так как в силу предположения
Xj Е [а, 6] справедливо неравенство

\f(Xj) - P'm(xj)\ ||/ - Р*т||с[м] = Ет(/).

Теорема доказана.

§ 5. Ортогональные многочлены

Пусть w(t) — весовая функция, имеющая .моменты (1.4) и удо-
влетворяющая условию (1.7):

щ(л) 0, х Е [а, 6], Ро — / w(x)dx > 0.	(1)

«/ а

Рассмотрим векторное пространство Р многочленов с веще-
ственными коэффициентами. Сопоставим многочленам f,gEP
вещественное число:

(/.</)= / w(x)f(x)g(x)dx.	(2)

J а

Нетрудно проверить, что (/, д') есть скалярное произведение.

Из условия (1), налагаемого на весовую функцию w(x'), выте-
кает наиболее важное свойство скалярного произведения:
(/, /)	0, (/, /) — 0 в том и только том случае, если /(л) = 0.

Действительно,

(/,/)= Г w(x)f\x)dx^0.

J а

Это следует из неравенства, w(x) 0 и вещественности много-
члена /(х).

Докажем эквивалентность. Если f(x) = 0, то (/,/) — 0.
Если /(ж)	0, то /(ж) ф 0 всюду на [а, 6] кроме, может быть,
in = deg /(j;) точек, а тогда w(x*)/"(x¥) > 0 па множестве положи-
тельной меры и

(/,/) = [ w(x)f2(x)dx >0.

J a

Возьмем многочлены p,(x) — x’, i = 0,	— 1, и рассмо-

трим определяемую ими матрицу Грама

^п-1 = [('/’ii

где

/ w(x'')xt+3 dx = pi+j .
J a

Подробная запись матрицы Hn-i		такова:
	Ро Р\	/in — 1
Нп-! =	^1 Р2	Рп
	-Рп-1 Рп	Р2п-2-

Так как одночлены xl (г = 0, 1..... n — 1) линейно независимы,
то определитель матрицы Грама Дп-1 = det Hn_i отличен от
нуля. Здесь мы пользуемся следующей теоремой линейной ал-
гебры. Матрица Грама	неособенна тогда и только

тогда, когда элементы ро, pi,   -Pn-i векторного пространства
линейно независимы.

Докажем, что существует приведенный многочлен степени п
Un(z) = (Io + а1А' + • • • + (1п-\ХП 1 + X’",
который ортогонален относительно скалярного произведения
(2) всем многочленам степени не выше п — 1. Запишем, что
ортогонален к 1, .г,...,

± 1 ; jb u.(x)[a0 + aji + . . . + ап_1.г’’1-1 + х,п] • 1 dx = 0,

шп ± х :	ш(.т)[ао + а^х + ... + an~ia:n_1 + хп] • х dx = 0,

шп ± хп 1 : fb	+ а\х + ... + ап_\Хп 1 + хп] • хп 1 dx = 0,

или

//оао + //1Л1 +

/Иао + ^2«1 +

Рп-1а0 + /^па1 +

+/zn_i ап_ i + рп — 0,
+//пЯп-1 + /Л1+1 = 0,

+//2n-2an-l + 1‘2п- 1 — 0.
Получили линейную алгебраическую систему для определе-
ния коэффициентов многочлена шп (.г). Матрицей системы явля-
ется матрица Грама //„_], определитель которой Дп_] отличен
от нуля, поэтому система имеет единственное решение. Утвер-
ждение доказано.

Наряду с приведенным многочленом uin(x) свойством ортого-
нальности ко всем многочленам степени не выше п — 1, очевидно,
обладает также многочлен Cnojrt[x}, где Сп — любая отличная от
нуля постоянная. Этим исчерпывается неоднозначность много-
члена степени п, обладающего свойством ортогональности ко
всем многочленам степени не выше п — 1. Действительно, если
наряду с шп(х) указанное свойство ортогональности имеет мно-
гочлен crn(i) = Спхп + ..., то разность <rn(ar) - Cnwn(i) имеет
степень не выше п — 1 и обладает свойством ортогональности ко
всем многочленам степени не выше п — 1. Таким образом, эта
разность ортогональная сама себе:

/ w(i)[<rn(.T) - СпшДа:)]2^ = 0.

J а

Из данного равенства в силу (1) следует <тп(ж) = Спшп(;е), что и
требовалось доказать.

Многочлен Спшп(х). где Сп — любая отличная от нуля посто-
янная, будем называть ортогональным относительно веса w(.t)
и отрезка [а, 6] многочленом.

Многочлен можно записать в виде определителя:

/'О	/'1	/Ъ,-1	1

Рп Дп+1	P2n—1	%

В самом деле, разлагая определитель по элементам последнего
столбца, убеждаемся, что в правой части равенства (3) стоит
приведенный многочлен степени п. Чтобы проверить свойство
ортогональности к многочленам степени не выше п— 1, умножим
элементы последнего столбца определителя в (3) на w^x'jx1, где
0 j' п — 1, и проинтегрируем по [а, 6]. В результате интегри-
рования получим определитель, у которого последний и (J +1 )-й
столбцы одинаковы, так что этот определитель равен нулю.

Докажем равенство
На основании (3) имеем

В частности из (4) и неравенства До = /.zq > О следует, что
Д„ > 0 при п — 1,2,...

Приведем теорему о корнях ортогональных многочленов.

Теорема 1. Все корни ортогонального многочлена ве-
щественные, простые и лежат внутри (а,Ь).

Доказательство. В сил}' ортогональности к 1 име-
ем	ь

/	= 0.

J а

Из этого равенства следует, что многочлен wn(a;) внутри (а, 6)
имеет точки перемены знака — корни нечетной кратности. Пусть
т—число корней uzn(.i;) нечетной кратности, расположенных
внутри (о, 6). Обозначим их л-'j ,.. ., х'т. Ясно, что т п.

Образуем многочлен = (х — а:,)... (л; — х'т). Произведение
шп(а;)(/(1') есть многочлен, у которого на (я, Ь) все корни четной
кратности, поэтому он сохраняет знак на [а, 6]. Но тогда из (1)
следует

/ w(x)u>rl(x)q(x)dx 0,

J а

другими словами, шп(х) не ортогонален многочлену q(x). Отсю-
да вытекает, что степень многочлена. q(x), равная т, удовлетво-
ряет неравенству т п. Выше мы видели, что т п, поэтому
т = п, и теорема доказана.

Лемма 1. Пусть шп(х)—ортогональный относительно веса
zu(i') и отрезка [—а, а] многочлен. при этом вес — четная функ-
ция. Тогда является четным или нечетным в зависимо-
сти от того, четно п или нет, и его корни симметричны отно-
сительно точки 0.

Доказательство. Многочлен uzn(i) представим в виде
суммы

Шп(х) = Рп(х) + ?п-1(2.’),
где Рп(х'), (7п_](х) содержат степени х одинаковой четности со-
ответственно с 71. и 77 — 1. Так как степень qn_Jx) не выше п — 1,
то

/ w(x)un(x)qn-i(x)dx = 0 =

J — а

= / w(x')pn(x')qn_i(x') + /

J — a	J — а

Многочлен pn(x)qn-i(x) нечетный, поэтому

/ w(x)pn(x)qn_1(x)dx = О
J — а

и. следовательно.

/ w(x)q^_^x)dx - 0.

J — а

Из последнего равенства в силу (1) следует qn_i(x) = 0, так что
д„(а;) = рп(х). Лемма доказана.

Приведем некоторые важные весовые функции и отвечающие
им ортогональные многочлены. Весовая функция Якоби

w(i.) = (l-.r)a(l+.r/	(5)

рассматривается на отрезке [—1. 1], при этом а, (3 — любые ве-
щественные числа, удовлетворяющие условиям а > — 1, [3 >
— 1. Эти неравенства обеспечивают существование интеграла
w(x)dx и тем самым всех моментов веса w(i’). Очевидно, вы-
полнены и условия (1).

Ортогональный относительно веса (5) и отрезка [—1,1] мно-
гочлен Р„а,/3\.г'), удовлетворяющий условию



Г(7) + (У + 1)
п! Г( 1 + а)

(6)

называется многочленом Якоби. Здесь Г(г) есть гамма-функция
Эйлера, определяемая интегралом Эйлера второго рода:

Г(г) = [ е-Ч2~Чг, Кег > 0.

Jo

Отметим некоторые свойства гамма-функции. Нетрудно ви-
деть, что Г(1) = 1, Г(1/2) = у/тг. Функция Г(г) удовлетворяет
функциональному уравнению

Г(г + 1) = гГ(г).

(7)
Из него следует, что

Г(п+1) = п!,	(8)

если п — натуральное число. Из функционального уравнения
(7) получаем также равенство

+ 1)(.~ + 2)+ п) = Г(_- + п + 1 )/Г(.~),	(9)

позволяющее кратко записать левую часть этого равенства.

Теорема 2. Справедливо представление для многочлена Яко-
би

e';5)W = 2^г(1 -	+ г)’/3 rfF [(1  Х')п+О(1 + 2')п+/3] •

(10)

Равенство (10) называется формулой Родрига.

Доказательство. Для сокращения записи будем пользо-
ваться следующими обозначениями:

«.(!•) = (1 - .uHl + г/,	«„(!•) = (1 - х)"+“(1 +

уп(х) = w(z)-14n)(i-).	(

В этих обозначениях формула Родрига принимает вид

= Wr*w-	(12)

Докажем, что уп(х)— многочлен степени не выше п. Вы-
числим производную порядка п от функции г/гг(ш) по формуле
Л ейбница:

»!У(г) =	[(1 -х-)"+оГ [(1 +х)”+"](""к) =

k-o

= 5? C*(-l)fc(n + <т)(п + а - 1).. . (?) + а - k + 1)х
4 = 0

х (1 - х)п+а~к(п + /3)(п + р - 1)... (/3 + k + 1)(1 + х/+к.

Умножая это равенство на w(x)~l, получаем

Уп(х) = ^2Сп(-^)к(п + а)(п + а- 1)' ’' (n + a-k + 1)(1 -х')п~кх
k=o

х (п + /3)(п + /3 - ])• ••(/? + £+ 1)(1 + аУ. (13)
Отсюда следует, что уп(х)— многочлен степени не выше п, так
как каждое слагаемое под знаком суммы является многочленом
степени п.

С помощью формулы (13) нетрудно вычислить значения уп(т)
в точках 1,-1. При а; = 1 отлично от нуля только одно слагаемое
в правой части (13), которое получается при k = п, а при х = —1
отлично от нуля только слагаемое при k = 0. Имеем

ул(1) = (-!)"(” + f‘)(n + а - 1)  • .(1 + а)2п =

_ /рп + а+ 1) „

1	1	Г(1 + с>)	’

Уп(-1) = (П + /-?)(?/ + (3 - 1).. .(1 + /3)2” =

= Г(п + /3+1)
Г(1 + Л) ‘

(14)

(15)

Здесь мы воспользовались равенством (9).

Из (14), в частности, следует, что уп(х) — отличный от тожде-
ственного нуля многочлен. Из (12) и (14) также вытекает, что
многочлен в правой части формулы Родрига (12) удовлетворяет
условию (б).

Нетрудно убедиться, что

и^(1) = ut/l(—1) = 0, k = 0,1________п-1.	(16)

Для этого достаточно вычислить производную и^п\х) по фор-
муле Лейбница. Все слагаемые в этой формуле в точках 1,-1
будут равны нулю.

Пусть q(x)— функция, имеющая непрерывную производную
порядка п на [—1,1]. Рассмотрим интеграл

У w(x)yn[x)q(x)dx = у q(x)u^\x)dx.

Интеграл в правой части равенства будем вычислять интегри-
рованием по частям:

(x)dx = ?(a:)u(n” r)(x)

1

\x)dx.

Внеинтегральный член пропадает в силу равенств (16) при
k = п — 1.
Однократное интегрирование по частям привело к уменьше-
нию порядка производной на единицу у второго множителя и к
появлению знака производной первого порядка у первого мно-
жителя. Продолжая интегрирование по частям, что возможно
ввиду равенств (16), получаем

У w(x)y„(x)q(x)dx = (-1)" У izn(x)</’l\x)dx. (17)

Отсюда следует, что многочлен у„(х) ортогонален всем много-
членам степени не выше п — 1. Действительно, если q(x) — такой
.многочлен, то q(n\x) = 0, и интеграл в правой части (17) равен
нулю.

Итак. мы доказали, что многочлен уп(х) степени не выше п ор-
тогонален ко всем многочленам степени меньше п и отличен от
тождественного нуля. Отсюда следует, что степень Уп(х') равна
п и он является ортогональным многочленом относительно веса
(5) и отрезка [—1,1]. Теорема доказана.

Умножим обе части равенства (17) на (—1 )’1/(2пп!) и примем
во внимание формулу Родрига (12). Получим

У' u(x)p(^>(x)g(x)dx =

= у1 (1 - *)’,+rt)(l + xy^/n\x)dx. (18)

Здесь ш(х) определяется равенствами (11).

Теорема 3. Коэффициенты при х’1, х'1-1 у многочлена Якоби
о пр е деляют с я равенством

ро.ДШ = 1 Г(2в + а+/^+1) [ ,, (а-/?)» ,,_1

" 2пп! Г(п+ а + в + 1) 2п+ а + (3

(19)

Доказательство. При.г'>1 многочлен уп(х), определяе-
мый равенствами (11), можно записать в виде

уп(х) = (-1)п(х - 1)"°(х + 1)^ — [(х - 1)п+а(х + l)"+q . (20)

В самом деле, если вычислить производную порядка п от произ-
ведения в квадратных скобках по формуле Лейбница, то в пра-
вой части (20) получим сумму п + 1 слагаемых, которая совпа-
дает с суммой в правой части (13).
Укажем два первых члена разложения правой части равен-
ства (20) по степеням 1/ж, считая, что х > 1. Имеем

(х- l)-ft(z+l)-^ = х~а~^ (1+(а-Я- + ...\	(21)

\ х /

(х- 1)п+“(а.- + 1)п+/3 = Л + (£_„)!+ ...у

х '	(22)

Возьмем производную порядка п по х от левой и правой части
(22):

^^-1Г+“(г- + 1)^] =

= (2п + а + /3)(2п + а + /3 - 1) • • • (п + а + (3 + l)xn+a,+/J +

+ (/3-а)(2п + а + ^-1)(2п + а + /3-2) • • • (n + a + /?)zn-1+a+/’ + ...

Воспользуемся формулой (9):

dn

5рг[(»-1)"+"(1+1)"+’] =

X

Г(2п-Ю' + /?+1) +а+<?

Г(п + a +/3 + 1)

(/3 — а)(п + а + (3) 1
2n + Q' + (3 х

Умножим это равенство почленно на равенство (21) и обе ча-
сти полученного равенства умножим на (—1)п:

УпМ = (-1)п

Г(2т? + a + /3 + 1) п
Г(п + a + (3 + 1) Х

х 1 + (а - /3) +

(/3 - а)(п + о + /3)

2п + а + /3)

1
- + ...
X

Г(2п + а + /3+ 1) Г „	(а-/3)п

Г(п + о+ (3 + 1) _ 2п + а + /3

С помощью (12) из этого равенства получаем (19). Теорема до-
казана.

Обозначим через Рпа,0\х) приведенный многочлен, отлича-
ющийся от многочлена Якоби постоянным ненулевым множите-
лем. С помощью равенства (19) этот множитель нетрудно ука-
зать, и мы имеем

=

2пп!Г(п + а + /3 + 1)
Г(2п + а + (3 + 1)



(23)
Теорема 4. Справедливо равенство

2а+^1Г(п + а+1)Г(п.+ /?+!)
(2п + а + /?+1)п!Г(п. + а + /3 + 1)

Доказательство.В равенстве (18) положим q(x)=- Р„а ,13\х).
Получим

(25)

где ,1

= у р _ г.)п + а(1 + х^+0(1х.

В правую часть равенства (25) входит производная порядка п
от многочлена Якоби степени п—постоянная, которую легко
найти из равенства(19):

ГР«./зк,,\1(п) _ 1 Г(2п+а +/?+ 1)

1 n J 2" Г(п + « + /? + 1) '

Равенство (25) запишется так:

<«»

В интеграле /п сделаем замену переменной интегрирова-
ния х = '2t — 1. Получим

7О,/3) _ 22n + «+/3 + l f (1 _ ^п + с^п+з^ =
Jo

= 22"+°+/’+1B(n.+ а+1, n+ /?+!),

где В(и, и) — интеграл Эйлера первого рода или бэта-функция,
которая связана с гамма-функцией следующим равенством:

а(„,„) = £И£М

Г(и + о)

Используя это равенство, имеем

^Ч./З) = 22п+а+/з+1 Г(п + Q + 1)Г(П + /3 + 1)/г(2п + а + 0 + 2).

Подставим найденное значение интеграла в (26) и восполь-
зуемся равенством Г(2п + а + /3+2) = (2п + а + /3-|-1)Г(2?1-|-а+/3+1)-
Получим равенство (24). Теорема доказана.
Из формул (23) и (24) выводим также равенство

/•1	г~	12	92п + а+/3 + 1

i^= / w(x)	<>х= /	X

J-1 L	J 2n + a + p + 1

x п!Г(п. + с1- + 1)Г(п + /?+ 1)Г(п.+ о- + /?+ 1)	, .

Г(2?1 + a + 0 + 1)	’ 1 }

которое понадобится в дальнейшем.

Многочлены Якоби в случае а — /? называют улътрасфериче-
скими. Рассмотрим некоторые конкретные ультрасферические
многочлены. Начнем со случая, когда а = /3 = 0 и, следователь-
но, вес (5) w(i’) = 1. Многочлен Якоби в этом случае называ-
ется многочленом Лежандра и обозначается Рп(х). Условие (6)
упрощается:

Рп(1) = 1, Рп(-1) = (-1)”.	(28)

Здесь мы указали также значение Рп(х) при х = —1, которое
получается из (12) и (15). Упрощается формула Родрига (10):

Отметим также значение интеграла по [—1,1] от квадрата мно-
гочлена Лежандра (24):

Г1 ,	2

/ Р^1Х = 2^1-

Как следует из леммы 1, корни многочлена Лежандра сим-
метричны относительно точки 0. Это свойство корней имеет
место для всех ультрасферических многочленов, так как вес в
этом случае (1 — л2)“ является четной функцией.

Приведем несколько первых многочленов Лежандра:

Р0(х) = 1, Р1(.г) = г, Р,(х) = (З.т2 - 1)/2,

Р3(х) = (5х3 - Зх)/2, РД.г) = (35г4 - 30z2 + 3)/8,

Р5(х) = (63г'5 - 70s3 + 15х)/8.

Другой важный частный случай ультрасферических много-
членов, когда а = /3 = —1/2. Вес (5) в этом случае w(i) =
1/л/1 — х-—вес Чебышева. Отсюда следует, что многочлен
Якоби при а = [3 — —1/2 отличается от многочлена Чебыше-
ва Тп(х) (см. § 1.2) постоянным множителем Рп 1^"'	=

спТп(х). Так как коэффициент при хп у многочлена Тп(ж) равен
2" ', ay многочлена Рп ’ X^~\x) определяется равенством
(19) и равен (2т7 — 1 )!/(2пя! • (я — 1)!), то получаем

Остановимся еще на одном случае ультрасферических мно-
гочленов, когда о = в = 1/2 и вес (5) n-(.r) = \/1 — х2. Орто-
гональными относительно этого веса, как мы увидим, являются
многочлены Чебышева второго рода:

U„(x) = ^(„+1)»^	(32)

V 1 — X2

Если продифференцировать многочлен Чебышева первого рода
Tn+i(x) = cos(n 4- 1) arccos х, то получим равенство

Un(x) = Т' + 1(х-)/(п + 1),	(33)

из которого следует, что Уп(х) — многочлен степени п и что ко-
эффициент при хп у этого многочлена равен 2".

Из определения (32) многочлена U„(x) видно, что его корни
таковы:

k7r I т о
х ь = cos--, к = 1,2, . .., п.

п + 1

Вычислим интеграл

I п,т —	1 Х“ Un ( X ) Utn (x)dx.

Воспользуемся определением (32) многочлена Чебышева вто-
рого рода и введем новую переменную интегрирования в =
arccos х:

Г1	dx

In,m = I sin(n + 1) arccos x  sin(?n + 1) arccos £—7 — — —

J-i	V1 — x2

= [ sin(n + 1)0  sin(?7i + l)6d9 = 5пттг/2,
Jo

где <5nm — символ Кронекера. Таким образом, получили

У \/1 - x2Un(x)Um(x)dx = <5nm^, ц,т = 0,1,2,...	(35)

Отсюда следует, что Un(x)-—ортогональный относительно веса
V1 — х2 и отрезка [—1,1] многочлен.
Многочлен Якоби при а = (3 = 1/2 и Un(x) отличаются посто-
янным множителем, который с помощью (19) нетрудно указать:

= 22пп!(„ Ji)!^^)-	(36)

Рассмотрим многочлен Якоби, отвечающий значениям пара-
метров а = —13 = 1/2. Вес (5) в этом случае ^/(1 — ;с)/(1 4- х).
Пусть Qn-1 (х)— любой многочлен степени не выше п — 1. Вви-
ду равенства

/ \/TT~Pn/2'~1/2\x)Qn-i(x)dx =

Л-1 V 1 4- х

= [	// 9(1 - x)P^/2-}/2\x)Qn_i(x)dx

v 1 — ar-

свойство ортогональности многочлена Якоби с весом
У(1 - х)/(1 4- х) к многочлену Qn_i(x) равносильно ортогональ-
ности многочлена (1 — х)РР^~Х^2\х) с весом 1/>/1 — х2 к<2п_1(х).

Отсюда получаем, что разложение (1 —x)Pn1^2|_1^2\a:) по мно-
гочленам Чебышева первого рода содержит только два слагае-
мых:

(1 - х)Р^2'~^2\х) = апТп(х) + а„+1Т„+1(х).

Положим в этом равенстве х = 1 и примем во внимание, что
Tfc(l) = 1. Получим ап 4- ап + ] = 0, и предыдущее равенство
можно записать в виде

(х- lH1/2'-1/2^) = nn(7'n+1(x)-Tn(x)).

Сравнивая коэффициенты при х” + 1 в левой и правой частях по-
следнего, находим

= Ху7и'("-~1Т,1(,>-	(37)

Это равенство позволяет найти корни многочлена РпР2’ Х!2\х).
Полагая х = cos0, находим

Tn+i(x) — Тп(х) = cos(n 4- 1)0 — cos nd = —2sin - • sin —±—0.

Отсюда получаем корни многочлена Якоби при а = —(3 = 1/2:

Xk = cos-----, к = 1,2,..., п.	(38)

2п 4-1
Укажем две весовые функции, связанные с бесконечными от-
резками. Первая из них

w(x) = е~^	(39)

рассматривается на интервале. (—оо, оо) и удовлетворяет всем
условиям, сформулированным в начале параграфа. Существует
ортогональный относительно е~х и (—оо,оо) многочлен. Мож-
но проверить, что таким свойством ортогональности обладает
многочлен

Я„(:с) = (-1)"^^ге-^,	(40)

ахп

который называется многочленом Чебышева—Эрмита.

Вторая весовая функция

w(x) = xse~x, $ > —1,	(41)

связывается с интервалом (0,оо). Она удовлетворяет требуе-
мым условиям, поэтому существует ортогональный относитель-
но веса (41) и интервала (0,оо) многочлен. Можно убедиться,
что указанным свойством ортогональности обладает многочлен
г/'1

L^Xx) = (_1)’'Х-^—(Л-’+'‘е-),	(42)

который называется многочленом Чебышева—Лагерра.

§ 6. Квадратурные формулы гауссова типа

Как следует из теоремы 1.1, при любом выборе попарно раз-
личных точек i-i, . .. , хп интерполяционная квадратурная фор-
мула
Л	"

/ w{x)f(x)dx^^Ckf{xk)	(1)

fc=l

точна для многочленов степени не выше и — 1. Это свойство ква-
дратурной формулы достигается за счет специального выбора
коэффициентов Ск по формуле (1.6). К. Гаусс рассмотрел следу-
ющую задачу в случае конечного отрезка [а, 6] и веса ги(х) — 1:
выбрать узлы X], х?, ... , хп так, чтобы квадратурная форму-
ла (1) была точна для всех многочленов возможно более высо-
кой степени. Так как можно распорядиться выбором п пара-
метров— узлов a:i, Х2,..., х„, то естественно ожидать, что ква-
дратурная формула (1) будет точна для многочленов степени не
выше 2п — 1. К. Гаусс доказал, что такой выбор узлов возможен.
Позднее результат К. Гаусса был обобщен на случай любого
отрезка и неотрицательной весовой функции. Настоящий пара-
граф посвящен изложению этих общих результатов.

Предполагаем, что весовая функция ш(х) имеет моменты (1.4)
и удовлетворяет условиям (5.1):

w(t) 0, х Е [а, 6], р0 = / w^dx > 0.	(2)

Теорема 1. Для того чтобы квадратурная формула (1) была
точна для любого многочлена степени не выше 2л —1, необходимо
и достаточно, чтобы:

1)	узлы Xi, Х2,   , хп формулы (1) являлись корнями ортого-
нального относительно веса w(x) и отрезка [а, 6] многочлена

= (х - 2Г1)(х - х2)•••(х - хп),

2)	формула (1) была интерполяционной.

Доказательство. Необходимость. Пусть квадратур-
ная формул (1) точна для всех многочленов степени не выше
2п — 1. Отсюда в силу теоремы 1.1 вытекает, что она интерполя-
ционная и условие 2) выполнено. Образуем по узлам формулы
(1) многочлен шп(х) = (т - xi)(x - .т2)   • (х - т„) и составим про-
изведение шп (х)д(х), где ?('г) — многочлен степени не выше п — 1.
Степень cjn(x)<7(x) не выше 2л — 1, поэтому для него квадратур-
ная формула (1) точна:

л	п

/ (с(т)а)п(л:)(?(.г)с/л = CkUn(xk)q(xl:') = 0.

•>а	А* = 1

Получили, что ш„(х) — ортогональный относительно веса w(x)
и отрезка [а, 6] многочлен, т. е. выполнено условие 1).

Достаточность. Пусть выполнены условия 1), 2). Надо
доказать, что формула (1) точна для любого многочлена, сте-
пени не выше 2л — 1. Пусть Р(х) такой многочлен. Выполним
деление Р(х) нашп(х):

Р(х) = wn(x)q(x) + г(х).	(3)

Здесь д(х) и г(х)— частное и остаток — многочлены степени не
выше л — 1.

Умножим обе части равенства (3) на w(x) и проинтегрируем
от а до Ь:

[ w(x)P(x)dx = [ w(x)wn(x)g(x)dx + [ w(x)r(x)dx.

J a	J a	J a
Первый интеграл в правой части равен нулю в силу условия
1), а второй интеграл точно равен квадратурной сумме, так как
степень т(х) не выше п — 1 и формула (1) по условию 2) интер-
поляционная. Таким образом, получаем

/ w(x)P(x)dx = У7С^г(хч-),

к=1

но в силу (3) г(хь) = Р(хк), и равенство можно записать в виде

р Ь	п

/ w(x)P(x)dx - У7 СкР(хк),

Ja	к=1

а это и означает, что для Р(х) квадратурная формула (1) точна.
Теорема доказана.

Квадратурная формула, о которой речь идет в теореме, на-
зывается квадратурной формулой гауссова типа. Отметим ее не-
которые свойства.

1.	Узлы квадратурной формулы гауссова типа — корни ор-
тогонального относительно ш(т) и [а, 5] многочлена и, следова-
тельно, принадлежат интервалу (а, Ь). Так как ортогональный
многочлен заданной степени п определяется весом w(x) и отрез-
ком [а, 5] с точностью до ненулевого постоянного множителя, то
квадратурная формула гауссова типа при заданных w(x), [а, 6],

п определяется однозначно.

2.	Алгебраическая степень точности d квадратурной форму-
лы гауссова типа с и узлами равна 2» — 1. Действительно, по
теореме 1 она точна для всех многочленов степени не выше 2п— 1.
так что d 2» — 1, а по теореме 1.2 имеем d <i ’2п — 1. Отсюда
следует d = 2п — 1. Впрочем, неравенство d 2п — 1 следует из
того, что квадратурная формула не точна для многочлена и)2 (т)
степени 2п.

При выполнении условия (2) на вес теорема 1.2 утвержда-
ет, что d — '2п — 1 — наивысшая алгебраическая степень точно-
сти. Отсюда происходит другое название квадратурных фор-
мул гауссова типа •- квадратуры ые формулы наивысшей алгебра-
ической степени точности.

3.	Коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа поло-
жительны. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать, что
квадратурная формула (1) точна для многочлена [шп(т)/(т—ту)]2
степени 2?г — 2. Получим

&	'	/ \  2

w(ar)l^7J =
так как квадратурная сумма содержит только одно ненулевое
слагаемое, отвечающее узлу Xj. Из этого равенства видно, что
Cj > 0, так как интеграл в левой части в силу (2) положите-
лен и [Wn(xj)]- > 0 ввиду того, что корень Xj ортогонального
многочлена шп(ж) является простым.

Утверждение о положительности коэффициентов вытекает
также из следующей теоремы, в которой рассматривается ква-
дратурная формула не обязательно гауссова типа.

Теорема 2. Пусть квадратурная формула (1) с весом w(i’).
удовлетворяющим условию (2), имеет вещественные узлы и ко-
эффициенты и точна для всех многочленов степени не выше т,
где т— целое неотрицательное число. Тогда среди ее коэффици-
ентов не менее [m/2j + 1 положительных.

Доказательство. Так как т 0, то квадратурная фор-
мула (1) точна для f(x) = 1:

57 Ск = /'о = / w(x)dx > 0.

fc=i

Из этого равенства следует, что среди коэффициентов имеют-
ся положительные. Обозначим через v число положительных
коэффициентов и допустим противное: v [m/2j. Без ограни-
чения общности можем считать, что положительными коэффи-
циентами являются С\,..., Си.

Образуем многочлен Ри(%) = (1‘ - i’i)... (х — хи), корнями ко-
торого являются узлы, отвечающие положительным коэффици-
ентам. Многочлен РДл) имеет степень 2и т, и для него ква-
дратурная формула (1) точна:

Л	п

/ w(x)Pj(x)dx = 52 CkPj(xk).

Интеграл в левой части этого равенства положителен, квадра-
турная сумма в правой части неположительна, так как Ск 0
и Р„(хк) > 0 при к 1г + 1. Получили противоречие, которое и
доказывает теорему.

В частности, квадратурная формула гауссова типа точна для
многочлена степени не выше тп = 2п — 1, поэтому она имеет не
менее [(2п — 1 )/2j + 1 = п положительных коэффициентов. Таким
образом, указанная в теореме оценка для числа положительных
коэффициентов точная: она достигается на квадратурных фор-
мулах гауссова типа.
Квадратурная формула гауссова типа, интерполяционная, по-
этому для ее коэффициентов справедливо представление (1.6):

(4)

k = 1,2,..., п.

Укажем другую формулу для коэффициентов Ск, не содержа-
щую операцию интегрирования.

Рассмотрим интеграл

In = w(x)wn(x)------------------------dx,

J а	а- xk

где шп(а;), шп_1(:с) — приведенные ортогональные многочлены
относительно веса ш(т) и отрезка [а, 6] и ац.— корень многочле-
на и>п(х), при этом считаем п 2. Ясно, что интеграл 1п равен
нулю, так как он представляет собой скалярное произведение
tjn(x) на многочлен (п — 2)-й степени. Интеграл 1п представим
как разность интегралов:

1п-	w(x)!^——un_1(x)dx-un_}(xk) w(x) 1 dx. (5)

Ja	xk	Ja a- xk

Первый интеграл в правой части этого равенства в силу ор-
тогональности u<n_](.»•) можно преобразовать следующим обра-
зом:

Здесь использовано обозначение, указанное в (5.4).Второй ин-
теграл в (5) на основании равенства (4) удовлетворяет соотно-
шению

[ w(r) dx = Скш'п(хк).

Ja %

Таким образом, равенство (5) принимает вид

гп_] - ип_1(хку/п(хк')Ск = 0.

Так как

(x)dx > 0,

(7)
то из (6) следует, что шп_](гц-) / 0. Теперь из равенства (6)
получаем требуемое представление для коэффициента, квадра-
турной формулы гауссова типа

где /п_] определяется равенством (7). Нетрудно проверить, что
выражение (8) остается в силе и при п = 1, если условиться
считать шо(т) = 1.

Теорема 3. Пусть отрезок интегрирования [а, 6] конечен.
Если функция /(ж) имеет непрерывную на [а, 6] производную по-
рядка '2п, то существует точка г] € [а, 6], такая, что погреш-
ность квадратурной формулы (1) гауссова типа имеет предста-
вление

ЫГ) =	(9)

(2«)! Ja

Доказательство. Построим интерполяционный много-
член Эрмита Р(х) функции f(x) по условиям

=	j= 1,2,...,Д.	(10)

Здесь узлами интерполирования являются узлы квадратурной
формулы (1), при этом каждый узел является двукратным. Сте-
пень многочлена Р(х) не превосходит 2п — 1. Для погрешности
интерполирования Эрмита справедливо представление (1.6.11):
/(.Г) - Р(т) = ^/2п)(<))	(Ц)

(271)!

где £ = £(т) .зависит от х и лежит внутри наименьшего отрезка,
содержащего х и узлы интерполирования хi,..., хП. Так как
х G [а, 6], то £ G (а, 6).

Умножим обе части равенства (11) на w(x) и проинтегрируем
по х от а до Ь:

pb	fb

/ w(x)f(x)dx — / w(x)P(x)dx =

J a	J a

= тЛт [\(2nH^))^x^x)dx. (12)
(2n)! Ja

Степень многочлена P(x) не более 2n — 1, поэтому второй инте-
грал в левой части этого равенства можно заменить квадратур-
ной суммой XLk=i СкР(хк)- По (10) имеем Р(ац.) = f(xk), поэтому
равенство (12) можно записать в виде

Яп(Л = i w(x)f{x)dx - 57 Ckf(xk) =

1 = 1

= /Дй [ f{2n4t(x))w(x)u;Xx)dx.

(2п)' Ja

К интегралу в правой части применим теорему 2.1 о среднем
значении. Это возможно, так как функция	как это

видно из равенства (11), непрерывна на [а, 6] всюду, кроме, мо-
жет быть, точек si,..., хп, и ограничена: inan SC /^2п\^(®)) 5;
М2п, Где

т->п = min/^2n\a;), Моп = тахЛ2п\х).

[М]	'	[а,»]

Произведение ш(х')ш^х') неотрицательно на [а, 6]. Из теоремы
2.1 получаем

дп(/) = туТт [ w(x)u~(x)dx,
U«)! Ja

где ?лз„ ц М2п. Так как f(2n\x) непрерывна на [л, 6], то по
теореме Коши найдется такая точка г] G [я, 6], что р = /^2n\i?), и
мы получаем представление (9). Теорема доказана.

Докажем теорему о сходимости квадратурных формул гаус-
сова типа. Для простоты записи мы не отмечали зависимость
узлов и коэффициентов от числа узлов п. В теореме 4 и ее дока-
зательстве квадратурную сумму формулы гауссова типа будем
записывать в виде

Ё^"7(4П))-
i=i

Теорема 4. Если отрезок интегрирования [я, 6] конечен и f(x)
непрерывна на нем, то

Пт	= [ ™(x)f(x)dx.	(13)

°° 1 = 1

Доказательство. Положим

Я„(/) = Г w(x)f(x)dx - ЁО(4П))-
Ja 1=1
Предельное соотношение (13), утверждаемое теоремой, равно-
сильно равенству lim Rn(f) = 0. Воспользуемся оценкой (4.9)
П —► со

погрешности квадратурной формулы, точной для многочленов
степени не выше т, через наилучшее приближение Em(f) непре-
рывной на [а, 6] функции f(x). В рассматриваемом нами случае
квадратурной формулы гауссова типа с п узлами т — 2п — 1,
w(t) 0, Су”) > 0 и оценка (4.9) запишется в виде

|йп(/)|



Квадратурная формула гауссова типа точна для /(ж) = 1, по-
этому

= цо = i w(x)dx,
j = i

и запись предыдущего неравенства можно упростить:

\Rn(f}\ <г-2ц0Е2п_^.	(14)

Из непрерывности функции /(х) на отрезке [а, 6] следует, что
E2n-\(f)	0 при п —* оо (см. § 1.9). На основании (14) получаем

lim RnU) = 0. Теорема доказана.

п — оо

Приведем без доказательства теорему Стеклова о сходимо-
сти последовательности квадратурных формул общего вида (не
обязательно гауссова типа):

Г w(x)f(x)dx	п = 1,2,3,...	(15)

Ja	l:-'L

Теорема 5. Пусть отрезок [а, Ь] конечен и ш(х) —интегрируе-
мая на [а, 6] функция. Для того чтобы имело место предельное
соотношение (13) для любой непрерывной на [а,&] функции, необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1)	предельное соотношение (13) имеет место, когда f(x) —
любой многочлен',

2)	имеется такое число К, что

п = 1,2,3,...
fc=i
Условие 2) теоремы 5 выполнено, если квадратурные форму-
лы (15) точны для f(x) = 1 и их коэффициенты положительны.
Действительно, в этом случае

Ё = £ ^Л) = [Ь ri = 1,2, 3,...

Ь=1	k = l	Ja

Если, кроме того, квадратурные формулы (15) интерполяцион-
ные, то выполнено и условие 1) теоремы 5. Таким образом, те-
орема 4 является частным случаем теоремы 5.

Теорема о сходимости квадратурных формул—это еще один
факт, подтверждающий важность свойства положительности
коэффициентов квадратурной формулы (см. также § 2).

§ 7. Частные случаи квадратурных формул гауссова типа

Рассмотрим квадратурные формулы гауссова тина с весовы-
ми функциями, о которых шла речь в § 5. Существование та-
ких формул следует из того, что упомянутые весовые функции
имеют моменты и удовлетворяют условию (6.2): w(x')	0 при

х £ [п, 6] и fio > 0. Начнем с квадратурной формулы гауссова
типа с весом Якоби (5.5):

(i-<(i>-i- ^>-1- (1)
1	t=i

Для простоты записи в обозначении узлов и коэффициентов не
отмечена зависимость от п и от о и /3.

Узлами квадратурной формулы (1) являются корни много-
члена Якоби Р„ ,,3)(т), определяемого формулой Родрига (5.10).
Численные значения узлов можно вычислить, если заданы зна-
чения а, 13.

Представление для коэффициентов квадратурной формулы
(1) получим с помощью (6.8):

Q __	г*п — 1

wn_k(xk)w'n(xk)'

Так как по (5.27)

.(«,/3) = 2зп+^-1)(п_ 1)!Г(п + а)Г(п + /?)Г(п + а + /?)
Zn-1	(2п + а +/? - 1)Г'!(2н + а+/3- 1)

«п-i = [ w(x)'^_^x)dx.	(2)

J а
и по (5.23)

2"->-1)!Г(п +а+ £) („.-

~Г(2п + а +/? — 1)

ш' (х,') = — T^ + c' + 0+V>p(»W\Xk)

’Л к’ Г(2п + « + /?+ 1) п [Хк>’

то из (2) получаем

2^Г(п + а)Г(п + /?)(271. + а + ^)

п !Г(т7 + « + /? + \хк)Р{па^\хк) ’

Приведем еще одну формулу для коэффициентов квадратур-
ной формулы (1):

Ск =	2q+/3+1 Г(п + а + 1)Г(т7. +/3 + I)

п!Г(п + а + (3 + 1)(1 - xl)[P<“’0y(xktf-'

Ее можно получить из формулы (3), если воспользоваться из-
вестным для многочленов Якоби соотношением

(2п. + а-+/?)(1 - х2)^'^) =

= -п[(2?7. + а + /3)х + /3 - о]Р,(а'/3)(ж) + 2(т7 + а)(п +

Полагая в этом равенстве х = хк, получаем

р^(х,) = 2?г + а +^ (1 _ х^р(а.0У(Хк)

п-’ ( к)	2(п.+ п)(77 + /3)( к) п ( к)'

Подстановка, найденного значения P^aJi\xk) в формулу (3) при-
водит к формуле (4).

Для погрешности квадратурной формулы (1) справедливо ра-
венство

W) =

_ 22п+а+/3+1Г(т1 + а + 1)Г(71 + [3 + 1)Г(тг + а + /? + 1)п! (2п)
(2Ti + a- + /?+ 1)Г2(2т1 +а + /3+ 1)(2тг)!	7

’/et-i.i].	(5)

в предположении, что f(x) имеет непрерывную на [—1,1] произ-
водную порядка 2п. Равенство (5) является частным случаем
(6.9), где гп = fb w(z)w2(z)dz надо заменить на. 7n“'^ по формуле
(5-27).
Остановимся на четырех частных случаях квадратурной фор-
мулы (1).

1. а = /3 = 0, w(x) = 1. Квадратурная формула (1) имеет вид

(6)

к=1

и называется формулой Гаусса. Ее узлами являются корни мно-
гочлена Лежандра, определяемого формулой (5.29). По лемме
5.1 узлы симметричны относительно точки 0.

Формулу (4) для коэффициентов в случае а• = (3 = 0 легко
получить непосредственно. Рассмотрим интеграл

С _ [ Рп(х) р! .

— /	Pn(a’)rfj,.	(7)

J — 1 Z'j

Подынтегральная функция представляет собой многочлен сте-
пени 2/7 - 2, поэтому формула Гаусса (6) для нее точна и мы
находим

Sj =СДР'П(Х^.	(8)

Применим к интегралу (7) формулу интегрирования по ча-
стям, взяв

u(l-) = Рп(т)/(1’ - I-;), rfl’(z) = P'n(x)dx.

Получим

Интеграл в правой части равен нулю по свойству ортогонально-
сти Рп(х), а внеинтегральный член легко вычислить, если при-
нять во внимание равенства (5.28):

О _ Р'п^ 1 _ 1	1	_ 2

~	“	1	1	“	1	’

X — Xj __ j 1 — X j	— 1 — Xj 1 — XJ

Сравнивал это выражение для Sj с выражением (8), получаем

1	(1-XJ)[P'(X;)]2’

что совпадает с формулой (4) при а — (3 = 0.
Погрешность формулы Гаусса имеет представление

о2п + 1/ |\4

R-(/)=(2„-+l)i(2„-)!|3^)<’')'	0)
которое получается из (5) при а = (3 = 0.

Значения узлов и коэффициентов квадратурной формулы
Гаусса для п = 1,2,..., 8 приведены в табл. 14.

Таблица. 14

п	Узлы	Коэффициенты
1	0	2
2	± 0,57735 02692	1
3	±0, 77459 66692 0	0,55555 55556  0, 98888 88889
4	±0,8611363116  ±0,3399810436	0,34785 48451  0,6521451549
5	±0,90617 98459 ±0,53846 93101 0	0,23692 68851  0,47862 86705  0, 5688888889
6	±0,93246 95142 ±0,66120 93865 ±0, 23861 91861	0,17132 44924 0,3607615730 0, 46791 39346
7	±0,94910 79123 ±0,7415311856  ±0,40584 51514 0	0,12948 49662 0,2797053915 0,38183 00505 0,41795 91837
8	±0,96028 98565 ±0,79666 64774 ±0, 52553 24099 ±0,18343 46425	0,10122 85363 0,2223810345  0,3137066459  0,3626837834

2.	а = (3 = —1/2, w(i') = 1/>/1 — х2. Квадратурная формула
имеет вид

Г1 1	"

/	(ю)

к=1

Узлы — корни многочлена Чебышева Тп(х) первого рода:

- 1	1	19

= COS -----7Г, К — 1,2,..., п.

2п

Они пронумерованы в порядке убывания.

Коэффициенты можно найти по формуле (3) при а = (3 = — 1/2.
Однако проще воспользоваться формулой (2) непосредственно.
Так как ац,(ж) = Т*(х’)/2*—1 и

«п-1= I . 1 ,Tn2_1(r)24-2nrfx = 23-2П7Г, п^2

J-1 у1 — хг
(см. (1.2.3) и (1.2.17)), то получаем

ск =

(н)

Найдем произведение 7'п_1 (rj..)T/,(rj..). Имеем

Tn-l(14.) = COS(n - 1)^-------“7Г =

2n.

= cos (2fc — 1) — —

= sin(2fc —	’ s'n

2k - 1
2n
2k - 1

2n

,	sin n (2? Iff)

^4-) = nU„.} (xk) = n :	J

<•-1 • 2Z; — 1
sin------------1Г,

2n

откуда Тп-\(хк)Т^(хк) = n. Здесь мы использовали формулу
(5.33), определение многочленов Tn_i(i;) и Un-\{x), тригономе-
трическое тождество cos(n — 3) = cos a cos /? + sin n sin [3, а также
равенство arccos .1.7. — (2k — 1)тг/(2п). Из формулы (11) получаем

Ск = тг/п, k = 1,2,..., 7?.

Это равенство дает правильное значение коэффициента и при
77 — 1.

Квадратурная формула (10) принимает вид

2k - 1 \

COS ------7Г .

2п J

(12)

Она называется квадратурной формулой Мелера, который опу-
бликовал ее в 1864 г. Квадратурная формула (12) замечательна
тем, что имеет одинаковые коэффициенты. Для вычисления ква-
дратурной суммы, если уже вычислены значения /(т) в узлах,
достаточно выполнить только одно умножение (вместо 77 умно-
жений в случае, когда коэффициенты попарно различны).

Погрешность квадратурной формулы Мелера дается равен-
ством

Дп(/)= (277)12^-'^HJ].	(13)

которое можно получить из (6.9), при этом

7П = f -7=L==^(x)dx = 22-2n /" _^=^(x)dx=21-^.

J-l yl — X~	J-l yl — X*
3.	a = /? = 1/2, w(i-) = y/1 — а;2. Узлами квадратурной форму-
лы гауссова типа с весом >/1 — х2 являются корни многочлена
Чебышева {Jn(x) второго рода (5.34):

kir
хк — cos-----, k = 1,2,..., п,

п. + 1

которые пронумерованы в порядке убывания.

Коэффициенты найдем по формуле (2). Так как иц.(ж) =
2~*Т4(а;), то

in_i = 22~2пJ \/\ - x2U2_^x)dx = 2l~2nir.

Здесь мы воспользовались равенством (5.35). С помощью фор-
мулы (2)получаем

Ck = irl(Un^xk)U'n(xk)).

(14)

Вычислим произведение Un^\{xk)U^{xky. Имеем

п t \	 к-к / . ктг

Un-i(xk) = Sinn—— / sill —— =
n + 1 / n + 1

= sin (kir-----—-Л /sin —= — cos kir = (—l)fc-1

\ n + 1) / n + 1	v ’

Пусть x — cos0. Тогда

=

d sin(n + 1)0
dx sin 0

(n 4- 1) cos(n + 1)0 • sin 0 — cos 0 • sin(n + 1)0

sin2 0

1
л/1 — X2

Положим в этом равенстве х = хк = cos(jtir/(n 4- 1)). Получим

^(^•) = ~

(п + 1) cos kir
sin2(&7r/(n + 1))

= (-l)fc !(n + 1)/ fsin

kir \ 2
n + 1 /

и, следовательно,

Un-i(xk)U„(xk) = (n + \)/ fsin

Теперь из равенства (14) находим

/	i	X 2

7Г /	К7Г \	г л п

Ch =-------- sm-------	, к = 1,2,..., п.

П + 1 \	п+1/
Квадратурная формула гауссова типа с весом yl — х2 имеет вид
/1 п / 1 \- / / \

л/1 - x-/(x)rfx « —7 У? ( SI11 —ГГ f c°s—— • (15)

Погрешность квадрат урной формулы (15) дается равенством

*.(/> =	xsl-i.il (1«)

которое следует из (6.9), где

in = J \/1 — x2u<-2(x)dx = 2-2п У \/1 — x2U„(x)dx — 2—~Т1 —17Г.

4. а = — /3 = 1/2, ш(х) = ^/(1 ~ х)/(1 + х). Узлами квадратур-
ной формулы гауссова типа с весом 1 — Л‘)/(1 + х) являются
корни многочлена Якоби Р„^~' '^‘\х), которые определяются
равенствами (5.38):

Xfc = COS ---- , К = 1,2, ... ,71.

"2п + 1

При вычислении коэффициентов по формуле (6.8) нам потре-
буется значение интеграла (6.7). Многочлен Якоби при а =
—(3 = 1/2 по (5.37) отличается от многочлена

К„(х) = [Т,1+1(х)-7;1(х)]/(х-1)	(17)

постоянным ненулевым множителем, поэтому иц. (т) = ’2~kVk(x).
Вычислим интеграл

/1 — X 9/ . .	.T-9J: f I — X . .

П = / \/т—-^.(г)</1’ = 2 - / J—-Vkr(x)dx =

J-1 V 1 т £	J-1 V 1 + х

[' [Тк + 1(х)-Тк(х)Г-	dx

7-1	1-Х	УП="т2'

Сделаем замену переменной интегрирования х = cos#:
n-2fc Г [cos(fc + 1)# - cosW]2

‘ = 2 Z --------2(s~„W2))’---- * =

_ 2~2* [ 2 (sin 2~~~	=

Jo \	2 J

Таким образом,

ik = [ \ Tn~uk(x)dx = 2~2kir-	(18)

V 1тx
С: помощью (6.8) получаем

Q. = 2тг/(И._1(а;1.)^(гч-))-	(19)

При вычислении значений V7i—i(a?fc) и V„(xk) будем пользо-
ваться обозначением вк = 2irk/(2n-\- 1), так что хк = cos9k. Име-
ем

cosnOk - cos(n. - 1)0*.

Vn-i(xk) = ----------„----i-------=

COS0*, — 1

_ 2 sin(2n - 1)0*./2  sin 0*-/2 _ sin[(2n - 1)&7г/(2п + 1)]

2(sin 9k/2)2	sin0*>/2

_ sin(Z:7r — 9k) _ — coskir • sin9к (—l)*-1 sin 9k
sin 9k/2	sin0fc/2	sin^/2

Вычислим производную от многочлена (17):

v4 , \Tn+iW ~ Т'И] (х - 1) - [Tn+1(x) - Tn(x)]
(x — 1)“

и подставим в нее х =	= cos 0^, воспользуемся формулой (5.33)

и выполним тригонометрические преобразования:

\ - Тп+АХк) - К(хк) _ (п + l)t/n(gfc) - TlUn-^Xk) _

л ~Ък	хк - 1	Хк - 1

(п + l)sin(n. + 1)9к — n sin п9к

— sin 9к  2(sin 9к/“2)2

(п + 1) sin(I’7r + 9к/2) — п sin(A:7r — 0*./2) _

-2sin#*- • (sin9к/2.)2

(n + 1) cos kit  sin 9k/2 + n cos kir  sin 9k/2 _ ( —l)fc-1(2n + 1)

—2 sin 9k  (sin 9k/2)2	2sin 9k  sin 9k/2

Мы нашли Vn_i(.r*.)Vn/(a:*:) =	 Подставляя это значение

в (19), получаем

4тг / . 9к\2

Ck = т-----г Sin — I , К = 1,2, ... .71.

2п + 1 \	2 /

Квадратурная формула гауссова типа с весом ^/(1 — ж)(1 + х)
записывается в виде

(20)
Укажем еще представление погрешности этой формулы:

Я"(Л = (2^/(2’,)(?/)’	(21)

которое получается из формул (6.9) и (18).

Приведем квадратурные формулы гауссова типа с весом Че-
бышева— Эрмита (5.39) и Чебышева—Лагерра (5.41). Первая

имеет вид

п

е-*2

(22)

Ее узлами являются корни многочлена. Чебышева — Эрмита
(5.40). Узлы расположены симметрично относительно точки 0.

Укажем без доказательства выражение для коэффициентов
формулы (22):

?n+1

с‘=»'1=1'2.............(23)

и представление для ее погрешности:

€ R	(24)

Вторая квадратурная формула

Г x’e~'f(x)dx « Ckf^k)	(25)

t=i

имеет в качестве узлов корни многочлена Чебышева—Лаггера
(5.42). Коэффициенты формулы (25) даются равенством

и ее погрешность имеет представление

ад) = ~!~w+~1)7(2n)(7,)- 11 е (0’х)-	(27)

На доказательстве равенств (26) и (27) останавливаться не бу-

дем.

§ 8. Квадратурные формулы наивысшей
тригонометрической степени точности

Рассмотрим интерполяционную квадратурную формулу с од-
ним узлом в случае веса, равного 1. Отрезок интегрирования
[c, d] следует считать конечным, чтобы обеспечить существова-
ние моментов весовой функции. Квадратурная формула имеет
вид

2	(1)

где а € [с, d], По теореме 1.1 о необходимом и достаточном
условии интерполяционности квадратурная формула (1) долж-
на быть точна для f = 1 и С\ = d — с. Ее алгебраическая сте-
пень точности не более 2  1 — 1 = 1 (теорема 1.2), и она равна
1, когда (1) — квадратурная формула гауссова типа и, следова-
тельно, а = (с -|- d)/2 — середина отрезка. Так как квадратурная
формула гауссова типа единственна, то при любых значениях
а / (с + d)/2 квадратурная формула (1) имеет алгебраическую
степень точности 0.

Квадратурную формулу (1) будем называть формулой прямо-
угольника, так как ее квадратурная сумма, равна площади пря-
моугольника, у которого основанием является отрезок [с, d], а
высотой —значение функции /(1) при х = а (рис. 7). Отметим
частные случаи квадратурной формулы (1). Если ее узел совпа-
дает с левым концом отрезка: а — с, то (1) называется формулой
левого прямоугольника. Если а = d, то (1) называется формулой
правого прямоугольника. Наконец, если о совпадает с середи-
ной [с, d] : а — (с + d)/2, то (1) называется формулой среднего
прямоугольника.

Получим погрешность квадратурной формулы прямоуголь-
ника в этих частных случаях. В случае квадратурной формулы
левого прямоугольника считаем, что f(x) непрерывно диффе-
ренцируема на [с, d]. По формуле для погрешности интерполи-
рования (1.3.11) имеем

/(i) -/(с) = (z - с)/Ш € = €(x)G(c,d).	(2)
Интегрируем по [с, d] обе части этого равенства:

Rn(f) = j"

К интегралу в правой части можно применить теорему 2.1 о
среднем значении, так как функция f'(£(x)) от х непрерывна на.
(с, d], как видно из (2), и ограничена, а х — с положительна на
(с, d], Получим

R\n = f'Mj\x-c)dx=	me[c,d], (3)

Аналогично для квадратурной формулы правого прямоуголь-
ника имеем

ЯП(Л =	712 е [с, d],

в предположении непрерывности f'(x) на [с, d].

Квадратурная формула среднего прямоугольника является
квадратурной формулой гауссова типа с одним узлом, поэто-
му для представления ее погрешности можно воспользоваться
формулой (6.9). В нашем случае n = 1,	= х — (с + d)/2,

и надо предполагать существование непрерывной производной
/"(х) на [с, d]. Получим

=	из е [с, d],	(4)

Выведем составную квадратурную формулу прямоугольни-
ков для вычисления интеграла fb f(x')dx. где отрезок [а, Ь] —
конечен. Полагаем h — (6 — а)/л, где л— натуральное число,
Xj = а + jh (j = 0, 1,2, ..., л). Имеем

/ f(x)dx = ^2 / f(x)dx.

К интегралам по частичным отрезкам применим квадратурные
формулы, подобные квадратурной формуле (1):

I /(x'jdx « hf(a + (j — 1)Л), а£[а,а + Л].
«/ XJ— I

Окончательно получаем
л	п

/ f(x)dx и ^2/(а + (j - 1)Л), a G [а, а + Л].	(5)

Ja	j = i
По теореме 3.1 алгебраическая степень точности составной ква-
дратурной формулы прямоугольников равна 1 при а = а + Л/2
и равна 0 в остальных случаях.

Квадратурная формула (5) при о = а, а = a-\-h/2, а = a + h на-
зывается квадратурной формулой левых, средних, правых прямо-
угольников соответственно. Получим погрешность квадратур-
ной формулы прямоугольников в этих случаях. Будем пользо-
ваться теоремой 3.3 и указанным в ней представлением (3.19).
Начнем с составной формулы левых прямоугольников. В теоре-
ме 3.3 предполагается, что известно представление погрешно-
сти исходной квадратурной формулы для отрезка [0,1]. Такое
представление получим из выражения (3), полагая с = 0, d = 1:

771 G [0,1].

С помощью (3.19) находим

ТО) =	fiG[a,6];	(6)

Z77

предполагается существование непрерывной f'(x) на [а, Ь].

Аналогичным путем получается формула для погрешности
квадратурной формулы правых прямоугольников:

W) =	(7)

гп

Представление погрешности квадратурной формулы средне-
го прямоугольника (4) для отрезка [0,1] таково:

W) =	773 G[0,l].

На основании формулы (3.19) и в предположении непрерывности
/"(.г) на [а, 6] получаем

=	6е[аЛ	(8)

Линейная комбинация тригонометрических функций с посто-
янными коэффициентами

т

а0 + '^{aic cos kx + bk sin kx)
k=i

называется тригонометрическим многочленом степени т, если
хоть один из коэффициентов ат, Ьт отличен от нуля.
Определение. Будем говорить, что квадратурная формула
имеет тригонометрическую степень точности d, если она точна
для всех тригонометрических многочленов степени не выше d и
найдется такой тригонометрический многочлен степени (7+1,
для которого она не точна.

Докажем теорему о верхней границе для тригонометрической
степени точности.

Теорема 1. Пусть весовая функция w(x) интегрируема на [о, 6]
и удовлетворяет условию

w(z) 0, х G [а, 6],	/(о= [ w(x)dx > 0.	(9)

J а

Если квадратурная формула

f w(x)f(x)dx ^CjfW	(10)

Ja	; = 1

имеет вещественные узлы, то ее тригонометрическая степень
точности не выше п — 1.

Доказательство. Рассмотрим вещественную функцию от
х вида |е!Г — e!r't|2, где i = ч/—Л—мнимая единица, z*,— один из
узлов квадратурной формулы (10). Имеем

_ g:rk |_> _ | cos с j sjn _ (cos (.^ z sjn J.’j. )p =

= (cos x — coszj-)' + (sin x — sin z*.)2 =

= 2(1 — cos zj. • cos x — sin .r*.  sin z),

так что |e!'r —e!Tk |2 — тригонометрический многочлен первой сте-
пени с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим функцию

п
tn^)= Пк‘1-е!ГТ
А- = 1

Она является тригонометрическим многочленом степени п, так
как при перемножении тригонометрических многочленов с ве-
щественными коэффициентами их степени складываются. За-
метим, что требование вещественности коэффициентов важно,
как показывает следующий приме]). Произведение тригономе-
трических многочленов cos х + г sin ж и соях — tsinz, имеющих
первую степень, равно 1 — многочлену нулевой степени.
Для тригонометрического многочлена /п(х) квадратурная
формула (10) не точна, так как Ja w(x)tn(x)dx > 0, а квадратур-
ная сумма Cjtn(xj) равна пулю. Отсюда и следует утвер-
ждение теоремы.

Рассмотрим составную квадратурную формулу прямоуголь-
ников (5) для случая, когда [я, Ь] = [0. 2тг]:

° п >=Д п /

а е о, —

п

(11)

Теорема 2. Составная квадратурная формула прямоугольни-
ков (11) с п узлами тонна для всех тригонометрических много-
членов степени не выше п-1 и, следовательно, имеет наивыс-
шую тригонометрическую степень точности п — 1.

Доказательство. Очевидно, что квадратурная формула
(11) точна для f = 1. Докажем, что она точна для coskx, sin kx
при k = 1,2,... ,п — 1. Для этого достаточно убедиться, что она
точна для

егкх = cos kx + z sin кх, к = 1,2,.. ., п — 1.

Имеем

[ eik*dx =	= 0, it =1,2....

Jo

Квадратурная сумма функции егкх

= — у^егЧ-[а + (;-1)2тг/"] _

П	11

J=1	J = 1

л _ п	9 _	, (i к 2 тг / п) п 1

- = 2 cika 7 -1

7)	2—71	etfc2ir/n _ ]

1 = ’

также равна нулю при к = 1,2,..., п — 1, так как числитель по-
лученной дроби равен нулю при всех натуральных значениях к,
а знаменатель отличен от нуля при к = 1,2,..., н — 1. Теорема
доказана.

Заметим, что квадратурная формула (11) зависит от произ-
вольного параметра, ст. Это естественно, так как квадратурная
формула с п узлами содержит 2п параметров (узлы и коэффи-
циенты), а число тригонометрических функций степени не выше
л —1, для которых формула должна быть точна, равно 2п —1. По-
лучаем систему 2п — 1 уравнений, содержащую 2п. неизвестных
параметров.
Пусть требуется вычислить интеграл

/(/) =

2тт JQ

где весовая функция ш(х) интегрируема по Лебегу на [0, 2тг] и
удовлетворяет условию (9). Рассмотрим задачу построения
квадратурной формулы

п

(12)

J=i

которая точна для тригонометрических многочленов степени не
выше п — 1. По теореме 1 это задача построения квадратурной
формулы наивысшей тригонометрической степени точности. В
случае ш(х) = 1, как мы видели, такая задача имеет решение.

Возьмем последовательность одночленов 1, z, z2,... здесь
z = е'г, х— вещественная переменная и i — мнимая единица.
Применим процесс ортогонализации и нормирования Шмидта
к этой последовательности одночленов относительно скалярно-
го произведения:

(РЛ'О = ЛИ) = Л / 'ПМ-ЛЧ-)^, ~ = е1Х. (13)

Здесь и в дальнейшем черта означает операцию комплексного
сопряжения. Полученную ортонормированную систему много-
членов от z будем обозначать {y?i(-)}^=1 

Имеем

(^•.?.<) = у- / w(x)pr(z\.?f(z)dx = r,s = 1,2,. ..,	(14)

2* Ja

где <5,.,—символ Кронекера. Будем считать, что коэффициент
при zr у многочлена 9?г(-) вещественный и положительный. Это-
го можно добиться умножением на соответствующее комплекс-
ное число, модуль которого равен 1. Указанным условием и
равенствами (14) ортонормированная система {<£>j.(-)}JLj опре-
деляется однозначно.

Положим
п

Sn-x(u,z) = '^2<pj(u)tpj(z).	(15)

7 = 1

При и фиксированном Sn_\(u,z) представляет собой многочлен
степени п — 1 от z. Функция двух переменных 5n_i(u,z) называ-
ется воспроизводящим ядром.
Если g(z)— многочлен степени не выше п — 1, то

— [ w(x)Sn-i(u,z)g(z)dx = д(и), z = е’х.	(16)

27Г Jo

Это свойство воспроизводящего ядра определяет его однознач-
но. Свойство (16), а также дальнейшие утверждения о построе-
нии квадратурной формулы (12) оставляем без доказательства
[40].

Теорема 3. Чтобы квадратурная формула (12) была точна для
всех тригонометрических многочленов степени не выше п — 1,
необходимо и достаточно, чтобы

Sn-x(zr, zt) = br6rf, г, s = 1.2,.... п.	(17)

Здесь числа Zk определяются узлами квадрат урной формулы (12):
Zk — егкк. Если условия (17) выполняются, то коэффициенты
формулы (12) определяются равенствами

С,?1 = б,- - Sn-i(z,.,zr), г=1,2,...,п.	(18)

Предположим, что квадратурная формула (12), о которой
речь идет в этой теореме, существует и известен один из ее
узлов, например Х]. rj = егх'. Тогда из (17) получаем

Sn_j(^1, г,.) = 0, г = 2,3,.. ,,п,

так что остальные узлы z2,. . ., х„ можно найти, решая алгебра-
ическое уравнение (~i.-) = 0 степени п — 1, из которого
находим Zk (к=2,3, .... в), а затем определяем из равенства
•Т = e!1'fc.

Оказывается, что таким путем можно указать все узлы ква-
дратурной формулы (12), точной для всех тригонометрических
многочленов степени не выше п — 1. Это утверждение основано
на следующей теореме о корнях воспроизводящего ярда.

Теорема 4. Если комплексное число z^ таково, что |cj| = 1,
то все корни многочлена Sn-i(zi,z) степени п — 1 (обозна чим
их Z2, -з>   -~п) по модулю равны 1 и среди них нет совпадающих.
Числа z\,Z‘>,    ~п удовлетворяют условию (17).

Теоремы 3 и 4 позволяют описать совокупность всех ква-
дратурных формул (12) наивысшей тригонометрической степе-
ни точности. Любую точку г?] € [0,2тг) берем в качестве уз-
ла квадратурной формулы (12) и полагаем Z[ = etx'. Уравне-
ние Sn-i(zi,c) = 0 определяет п — 1 попарно различных кор-
ней Z2, гз,.. ,zn, расположенных на окружности |г| = 1. Числа
Xk = arg cjt, к ~ 2, 3,. .., n, берем в качестве остальных узлов
квадратурной формулы (12), что возможно, так как по теоре-
ме 4 они удовлетворяют условию (17). Коэффициенты формулы
(Г2) даются равенствами (18). Многозначность квадратурной
формулы (12) определяется параметром Т], который можно вы-
бирать любым образом на [0, 2тг).

Укажем еще, как можно найти воспроизводящее ядро
Sn-i(u,-) без использования ортонормированных многочленов
9?1(г), . . ., ^;[(г). Система одночленов	где z = е'х',

является ортонормирова.нной относительно скалярного произ-
ведения (13) при w(x) = 1:

1 f21T ------

=	«-’("У'Х-Ж z = e,J.	(19)

2л Jo

Введем обозначение коэффициентов Фурье весовой функции w(x)
по этой системе:

7Tj. = — [ w(x)e~lkldx, 7r_t = тг*,, к = 0, 1.2,...	(20)

2л JQ

Имеет место следующее представление воспроизводящего ядра
через коэффициенты Фурье (20):

Q , . 1
5„_1(ы,г) = -------

Ь'п-!

7Го	Л_1	7Г_п + 1	1

7Г]	ТГ Q	ТГ_П_|_2	К-

TTn — 1	Л-П-2	Ло	y-n-1
1	z	— 1	0

(21)

где

Dn-i —

Ло	Л-1	Л-n + l
Л1	Ло	^Г—n4-2
TTn —1	Лп-2	ло

(22)

Остановимся на частном случае w(x) = 1. Здесь ортонорми-
рованная относительно скалярного произведения (19) система
состоит из функций ^t(z) = z1'-1, к = 1,2,... По определению
(15) воспроизводящего ядра имеем

sn-i(u, z) = 57ui 'zi 1
>=!

1 -vnzn

1 — uz
Если и = е2Г1, то корни ,S'n_i(u, z) суть

zk =	^ = 2,3,...,

Значения коэффициентов по (18) таковы:

И

Q1 = Sn-\(-k, -t) = 52	= п, к = 1,2,...,?г.

7 = 1

Получили квадратурную формулу прямоугольников, у кото-
рых узел £i можно выбирать произвольно на [0, 2т7). Кроме того,
доказали, что в случае w(x) = 1 квадратурная формула пря-
моугольников является единственной, обладающей наивысшей
тригонометрической степенью точности.

Пример 1. Построим квадратурную формулу наивысшей
тригонометрической степени точности для вычисления интегра-
ла 1(f) с весом х:

1(f) =

с числом узлов п = 2. Чтобы воспользоваться представлением
(21) воспроизводящего ядра, найдем коэффициенты Фурье (20)
весовой функции и(х) = х. Имеем

1/*~^	i	1 г 2 тг

~к = — / xe~lkxdx — —, k = ±1, ±2,..., ttq — — / xdx = тг.

2тг Ja	к	2тг Jo

С помощью формул (21) и (22) находим

— 1	я	1

S’i(?7.z)=	—--Г	i	тг	й

-	1	1	Z	0

Возьмем в качестве узла жу
образуем многочлен

= тг/2, так что Zi = е17Г/2 = ?, и

1 тг —г 1

1
77—1

(1 - iz).

Корень этого многочлена — —i = ег31Г/2 и, следовательно, х% =
377/2.
Для определения коэффициентов воспользуемся формулой
(18):

Квадратурная формула имеет вид

§ 9. Обобщение квадратурных формул гауссова типа

Рассмотрим задачу построения квадратурных формул вида

£	п	т

w(x)f(x)dx « 52	+ £ Ckf(xk\ (1)

j-l	!• = !

где узлы щ, ..., ап заданы заранее и принадлежат [а, 6], а узлы
ху,...,хт и коэффициенты Л]Лп, Cj,..., Ст требуется по-
добрать так, чтобы квадратурная формула (1) имела возможно
более высокую алгебраическую степень точности. Предполага-
ется, что весовая функция <г(.г) имеет моменты, неотрицательна
на [о, 6] и ро — f w(x)dx > 0.

Такую задачу в случае [а, 6] — [—1, 1] и к’(д.’) = 1 рассмотрел
Э. Кристоффель в 1858 г. и дал ее решение в предположении,
что узлы «1, а2,..., ап находятся вне интервала (—1,1) [61].

Формула (1) имеет п + 77) узлов, поэтому за. счет выбора, ко-
эффициентов Aj, Ск можно добиться, чтобы она была точна для
многочленов степени не выше п + т — 1. В нашем распоряжении
остается выбор т узлов хк, поэтому можно надеяться, что при
надлежащем их выборе формула (1) будет точна для многочле-
нов степени не выше 7). + 2ттт. — 1.

Введем обозначения многочленов

ап(х) = (я - П] )(х - а2)... (х - ап),

шт(ж) - (х - xi)(x - ,т2) ...(х- хт),

у которых корнями являются соответственно фиксированные уз-
лы и узлы хк квадратурной формупы (1).
Теорема 1. Для того чтобы квадратурная формула (1) была
точна для любого многочлена степени не выше п + 2m — 1, необ-
ходимо и достаточно, чтобы ее узлы х^, х?,хт были корнями
многочлена шт(х), ортогонального с весом w(x')crn(x') к любому
многочлену </(ж) степени, меньшей гп:

/ w(x)an(x)um(x)q(x'jdx = 0,	(2)

J а

и чтобы она была интерполяционной.

Доказательство. Необходимость. Пусть формула
(1) точна для многочленов степени не выше n + 2/п — 1. По тео-
реме 1.1 отсюда следует, что она интерполяционная. Далее, сте-
пень многочлена Р{х) — crn(x)w,n(x)q(x) не превышает п + 2т — 1,
если q(x)— многочлен степени не выше т — 1. Поэтому для мно-
гочлена Р(х) формула (1) точна, и мы имеем

/ w(x)<rn(x)^m(x)q(x)dx = О,
J а

так как многочлен Р(х) обращается в нуль в узлах формулы.

Достаточность. Пусть формула (1) интерполяционная и
выполнено равенство (2). Докажем, что эта формула точна, ко-
гда /(я) = Р(х)— многочлен степени не выше п + 2т — 1. Вы-
полним деление многочлена Р{х) на многочлен сгп(х\^т(х). По-
лучим

Р(х) - an(x)wm(x)q(x) + ф),	(3)

где многочлен <ф) имеет степень не выше т — 1 и многочлен г(х')
имеет степень не выше п + т — 1. Умножим обе части равенства
(3) на w(x) и проинтегрируем от а до Ь:

В силу (2) первый интеграл в правой части равен нулю, второй
интеграл можно заменить квадратурной суммой, так как (1) ин-
терполяционная, и мы получим

’ гь	П	гп

/ w(x)P(x)dx =	+ ^Ckr(xk).

‘Ia	j = l	k = l

Отсюда следует, что квадратурная формула (1) точна для Р(х),
так как в силу (3) имеем r(aj') = P(a-j), r(xk) — P(xk). Теорема
доказана.
Теорема остается в силе, когда фиксированные узлы отсут-
ствуют: п = 0, при этом следует считать сго(х*) = 1. В дан-
ном случае теорема 1 переходит в теорему G.1 о квадратурных
формулах гауссова типа. Таким образом, квадратурная форму-
ла (1), в которой узлы и коэффициенты выбираются в соответ-
ствии с теоремой 1, является обобщением квадратурной форму-
лы гауссова типа.

Теорема. 1 сводит вопрос о существовании квадратурной фор-
мулы (1). точной для многочленов степени не выше п + '2т — 1, к
вопросу о том, существует ли ортогональный многочлен степе-
ни гп с весом w(z)an(z) и можно ли его корни взять в качестве
узлов квадратурной формулы.

Предположим, что ортогональный многочлен иДт) с весом
ш(т)яп(.г) существует и его корни Т), ,(д, • • •, т,,, вещественны,
различны, принадлежат [я, 6] и не совпадают ни с одним из фик-
сирован! и 'X узлов Я], Я2,..., яп. В этом случае, как следует из
теоремы 1, формула(1) существует и она точна для любого мно-
гочлена степени не выше п + 2т — 1. Коэффициенты формулы
(1) определяются тем условием, что она интерполяционная:

J = l,2,...,n,	(4)

k = 1,2, . . . , 771.	(5)

Укажем представление погрешности формулы (1) в предполо-
жении, что отрезок [я, 6] конечен и /(х) имеет на нем непрерыв-
ную производную порядка 77 + 2 777. Построим интерполяционный
многочлен Эрмита функции /(т) по условиям

Р(я;) =/(яД j = 1,2,..., 77,

= ДяД Р'(хк) = f'(xk), k ~ 1,2,..., 777.

Так как число условий п + ’2т, то степень Р(х) не выше 77 + 2m — 1.

Воспользуемся формулой (1.6.11) для погрешности интерпо-
лирования Эрмита:

л®) - р^ = 7(У??/(п+2т)(€)’

(77 + 2т)!

где £ = Да;) 6 (я, 6) при х Е [я. 6]. Умножим обе части этого
1

(п + 2т)! Ja

равенства на w(x-) и проинтегрируем от а до Ь:

b	rb

w(x)f(x)dx - I w(x)P(x)dx =

ъ

w(xy)<rn(x)u>^n(x)fin+2m'>^)dx.

Второй интеграл в левой части равен квадратурной сумме мно-
гочлена Р(х), а так как Р(х) и f(x) совпа.дают в узлах формулы
(1), то левая часть последнего равенства представляет собой
погрешность R.,ltm(f) квадратурной формулы (1). Получаем

К-п,т(Л =	/а w(x)ffn(x)u^(x)fn+2Tn\^)dx.

Если w(;r)<7n(;r) сохраняет знак на [а, 6], то с помощью теоре-
мы 2.1 о среднем значении имеем

r(n+2m)/ \ гЬ

Rn,m(f) = -7—	А|- / w(a:)o-n(r)w^(r)dr, т?е[а,6].	(6)

Отсюда следует, что алгебраическая степень точности форму-
лы (1) равна п + 2?п — 1. Действительно, полагая в (6) f(x) =
хп+2т, находим

Rn,m(xn+2m) = [ iv(x)<rn(x)u>2t(x)dx / 0.

J а

А. А. Марков рассмотрел квадратурные формулы вида (1), в
которых: а) берется один фиксированный узел (n = 1), совпада-
ющий с одним из концов отрезка [а, 6],

б) берутся два фиксированных узла (п = 2) — концы отрезка
[а, 6].

Пусть, например, в случае а) щ = а. Тогда <Ti(x) — х — а и,
следовательно, w(i,)<Ti (г)	0 на [а, 6]. В случае б) aj = a, ay = b

и (Го(х) = (х — а)(х — 6). Имеем w(x')<T2(x')	0 при а х Ь. От-

сюда следует, что существуют ортогональные многочлены как с
весом w^o-ilx'), так и с весом ш(х)о’2(а;)- Корни ортогональных
многочленов принадлежат интервалу (а, 6) и, следовательно, не
совпадают с фиксированными узлами. Таким образом, в случа-
ях а), б) квадратурные формулы вида (1) существуют. Будем
называть их квадратурными формулами Маркова.
Квадратурная формула Маркова в случае а) записывается в
виде

[ w(x)f(x)dx » Af(a) + Ckf(xk'),	(7)

Ja	k=i

а в случае б) — в виде

Г w(x)f(x)dx « Af(a) + Bf(b) + £ Ск f(xk). (8)

Ja	k=i

Погрешности квадратурных формул Маркова (7) и (8) на осно-
вании (6) даются соответственно равенствами

/•(2т + 1)/	\ гЪ

Ri,rn(J) - ~(2m+1~)! J w(x^x ~	m^[a,b],	(9)

y(2m + 2)/	\ rb

Rz.mtf) = -75——XVT / «’(а:)(л-а)(1--Ь)<„(л)^, ’?2€[a,6].

(2)71+2)! Ja

Алгебраические степени точности квадратурных формул (7)
и (8) соответственно равны 2т, 2т + 1.

Коэффициенты квадратурных формул (7) и (8) положительны.
У бедимся в этом, например, в случае а). Для многочлена w^(i')
степени 2)77 формула (7) точна:

/ w(x)u^(x)dx - Аш1(а).

J а

Из последнего равенства следует, что А > 0. Многочлен
(1- — a)w;n(x)/(т — Х{)- имеет степень 2т — 1. Для него форму-
ла (7) точна:

“W(£-»)A(5) dl = G(1, _ 0)[„'(li)]2.

Ja (х-Х{)-

Отсюда видно, что Ci > 0, i — 1,2,..., т.

Остановимся более подробно на формулах Маркова с весом
Якоби (5.5), так что в дальнейшем считаем w(x) = (1—х)а,(1+а;)^,
[а, 6] = [—1, 1]. Сначала рассмотрим квадратурную формулу (7),
которая в случае веса Якоби записывается в виде

/1

^(1 - 07)“(1 + x)pf(x)dxa A/(-l) +(11)
Узлы этой формулы	, i'm — корни ортогонального мно-

гочлена ш,п(х) с весом iu(x)(x + 1), и, следовательно,

“М = рР^\Х),	(12)

где Рт"в+}\х) — приведенный многочлен Якоби.

Получим погрешность квадратурной формулы (11). Для это-
го воспользуемся формулой (9) и вычислим входящий в нее ин-
теграл в случае веса Якоби:

) = У ! ^(ar)(o: + l)^(x)dx.

На основании (12). (5.27) получаем

rl	г	, 2

= у1(1-х)“(1 + 2;/+* 1 [д^+1М] dx^

22гп+а+^+2т!Г(т + а + 1)Г(т + /3 + 2)Г(т + а + /3 + 2)

(2т + & + /? + 2)Г2(2т + а + /3 + 2)

Таким образом, погрешность квадратурной формулы (11) дает-
ся равенством

М“Л/) =

22т+а+£+2т!Г(7н + а + 1) Г(?п + (3 + 2)Г(т + а + /3 + 2)

(2m + 1)!(2?и + а + /3 + 2)Г2(2т + а + (3 + 2)

х^(2т + 1)^),	(13)

Рассмотрим три частных случая квадратурной формулы (И).

1. а = /3 = 0, w(x) = 1. Квадратурная формула. (И) принимает
вид

-1	т

/ f(x)dx S5 Л/(-1) + ^Ckfixk).	(14)

t=i

Эта квадратурная формула называется формулой Радо (1880 г.).
Ее узлами по (12) являются корни многочлена Рт0,1\а;). Можно
показать, что

р(0 ,)М_ 2m+1 ((ттг + I)!)2 P,n(r) + P,n+iGr)
т	(27П+ 2)!	х + 1

где Рт(х) и Fm+i(х) — многочлены Лежандра.
Погрешность квадратурной формулы (14) получаем из (13)
при а - 13 = 0:

=	(.5)

2.	а = (3 = —1/2, ш(г) = 1 //1 — х2. Квадратурная формула
(11) записывается в виде

Г1	1	тп

/ —/(г)^я/(-1) + £>Н	(16)

J-1 /1 — х2	к=1

Ее узлами по (12) являются корни многочлена Якоби
Ргп^2'1/2^)- Из формулы Родрига (5.10) следует, что

Р^(-х) = Р^'а\х).	(17)

Корни многочлена Рт^2’-1^'\а-’) по формуле (5.38) равны
соз[2/тг/(2т + 1)] (Z = 1,2,. .., т). На основании (17) можно утвер-
ждать, что узлы Xk квадратурной формулы (16) отличаются от
этих корней знаком и, следовательно,

Xk = cos[(2£ — 1)тг/(2т + 1)], k = 1,2,..., т. (18)

Найдем коэффициенты квадратурной формулы (16). Выполним
замену переменной интегрирования х — cos 9 в интеграле из ле-
вой части (16):

J-^fWdx= [ /((cos0)c/0 = | [ /(cos0)d0.	(19)

J-l v 1 -	Jo	2 J-ir

Пусть f(x)—многочлен степени не выше 2т. Тогда /(cos 9) —
тригонометрический многочлен степени не выше 2т, и мы полу-
чим точное значение интеграла из правой части (19), если для
его вычисления применим квадратурную формулу левых пря-
моугольников с 2т + 1 узлами:

cos 9)d9 =

2тг

2m + 1

(2Jt— 1)7Г
cos--------

2т + 1

2тг

2?n + 1

/(-!) +

4тг

2m + 1

(2* — 1)тг\

2т +1 /

(20)

Здесь мы выделили слагаемое при k — —т и объединили равные
слагаемые при k = I и при k = — I + 1, I = 1,2,..., т.
Сопоставляя равенства (19) и (20), получаем равенство

Г1 f(x)dx тг	2тг	(	(2А: — 1)тг\

которое справедливо, если /(а:) — многочлен степени не выше
2)7). Это означает, что квадратурная формула

f	~	* r( 2тг ^е(	(2*-1)тг\

2m + lM 72m + l£^ 2m + 1 J

(21)
точна для многочленов степени не выше 2m.

Так как узлы квадратурной формулы (21) совпадают с уз-
лами (18) квадратурной формулы (16) и обе эти квадратурные
формулы интерполяционные, то они тождественны.

Представление погрешности квадратурной формулы (21) мож-
но получить, если положить а = /? = —1/2 в (13). Получим

ЯГ2,г'~’;3)(/)=	I6l-l.ll- (22)

3.	а — 1/2, /3 = -1/2, u:(a:) = т/(1 - r)/( 1 + х). Докажем, что
квадратурная формула (11) в этом случае такова:

J_x V 1 + х	m + 1

2тг / . А.-ТГ \2 f ( ктг X

Ч------? sin ---------- J cos------- . (23)

m 4- 1	\ 2m + 2/	\ т + 1 /

Ее узлами по (12) являются корни многочлена Чебышева вто-
рого рода. Рт^’^Хх) = ’2~ти,п(х). Они определяются равен-
ствами (5.34): Хк = cos[kir / (т + 1)], k = 1,2,..., m, и совпадают с
узлами квадратурной формулы (23).

В интеграле в левой части (23) сделаем замену переменной
интегрирования x = cos 9:

[  /* —f(x)dx = [ (1 - cos0)/(cos f))dO —

J-I V 1 + x	Jo

— yf (1 — cos 0)/(cos O'jdO.	(24)

2 /-7Г

Если здесь — многочлен степени не выше 2m, то под зна-
ком последнего интеграла стоит тригонометрический много-
член степени не выше 2m + 1. Чтобы получить точное значение
этого интеграла, вычислим его по формуле левых прямоуголь-
ников с 2т + 2 узлами:

cos 0)f (cos 9}d9

2тг

‘2m + 2 k

1 — cos

kir \	/ kir

------- / cos------------
m + 1 J \ m + 1

2тг	4тг

Z?7T \ 2
2?тг + 2 / J

ктг \

m + 1J

(25)

Здесь мы выделили слагаемое при к = —т — 1, объединили рав-
ные слагаемые, отвечающие симметричным относительно 0 уз-
лам, и приняли во внимание, что слагаемое при к = 0 обраща-
ется в нуль.

Сопоставляя равенства (24) и (25), получаем

/

7Г

т + 1

/(-!) +

2 7г V—/ . ктг \	/	к тг

	 ) sin---	/ cos-----
т + 1-------------------------\ 2т + 2 J \ т + 1

в предположении, что /(т) — многочлен степени не выше 2т.
Этим доказано, что квадратурная формула (23) точна, когда
f(x) — многочлен степени не выше 2/7?, и, следовательно, ква-
дратурная формула (23) — требуемая.

Представление погрешности квадратурной формулы (23) най-
дем, если положим а = 1/2, /? = —1/2 в (13):

СС1/!)(Л =	’6Н,Ц- (26)

Перейдем к квадратурной формуле Маркова (8) с весом Яко-
би:

-1	т

/ ^-xy(}+x)0f(x)dx^Af(--L) + Bf^) + ^Ckf(Tk). (27)
k=i

Узлы х/с этой формулы суть корни многочлена шт(х), ортого-
нального относительно веса w(x)(x2 — 1) и отрезка [—1,1]. Оче-
видно, что

Шт(х) =	(28)
гэ(с*"|" 1 ,/? + 1) / \	v	П /-

где гт (х) — приведенным многочлен Якоби.

Укажем погрешность квадратурной формулы (27). Вычислим
интеграл в представлении погрешности (10):

4°™ } = У i ш(т)(а-'2 - l)Lu^(ar)rfx’.

На. основании (28) и (5.27) получаем

=	(1-i-)“+1(l + ^+1 [р^+1Л+1)(т)] ’ dx =

_ 22т+а+^+3т!Г(?п + а + 2)Г(т 4-/3 4- 2)Г(т + а- + /3 + 3)

(2m + а + (3 + 3)Г2(2т + а 4- /3 + 3)

Погрешность квадратурной формулы (27) дается равенством
=

_ 22т+0,+<3+3?7г!Г(?тг 4- а 4- 2)Г(т + /3 4- 2)Г(т + а 4- /3 + 3)

(2т 4-2)!(2т 4-а 4-/3 4-3)Г2(2т 4-а 4-/3 4-3)

х/2т+2)(т?),	(29)

Рассмотрим два частных случая квадратурной формулы (27).

1. а = /3 = 0, ш(х) = 1. Квадратурная формула (27) принимает
вид

1	тп

f(x)dx « ДГ(-1) 4- В/(1) + V Ckf(xk). (30)

1	t=i

Эта формула называется формулой Лобатпто (1852 г.) Ее узлами
по (28) являются корни многочлена Р^’* 1\х). Нетрудно прове-
рить, что

5(1,1)/ л _ 2n,+2((m + 2)!)2 P„1+2(i-) - Р„.(т)
т	(2m+ 4)!	х2-1

Здесь Р,п(т) и Рт+^х) — многочлены Лежандра.

Многочлен Рт'Х\х) ортогонален относительно отрезка [—1, 1]
и веса х2 — 1, который является четной функцией. По лемме 5.1
корни Рт:1\х) симметричны относительно точки 0. Следова-
тельно, все узлы формулы (30) симметричны относительно 0, и
так как она интерполяционная, то в силу леммы 2.1 симметрич-
ным узлам отвечают одинаковые коэффициенты. В частности,
А = В. Можно показать, что Л — 2/[(т 4- 1)(т 4- 2)].
Погрешность квадратурной формулы (30) получим из (29) при
а = р — 0:

CV) = -

22m(m)!<(m + 2)	(2ffl+2)

[(2m. + 1) !]3(2m + 3)

т? €[-1,1].	(31)

2. a — p = —1/2, w(,t) = l/yl — a12. Докажем, что квадратур-
ная формула (27) имеет вид

/' 7Г^1Я2^[Л“1) + Л1)1+
J-1 V 1 — Х~ £ТП т
тп /	»

7Г	/	лТГ

Н----> f COS --

m + 1	\ тп + 1

к = 1	4

(32)

Ее узлами a.’i, х2,. .., хт по (28) являются корни многочлена
pU/2,1/-)^ — 2~т[/т(х), которые даются равенствами (5.34) и
совпадают с узлами квадратурной формулы (32).

В интеграле из (32) сделаем замену переменной интегрирова-
ния х = cos 9:

/(*)

У1 — X2

dx

Г f (cos 0)d(?=| Г

О	J-TT

/(cos 9)d9.

(33)

Пусть f(x) — многочлен степени не выше ‘2т+1, тогда /(cos (?) —
тригонометрический многочлен степени не выше 2m + 1. Точ-
ное значение интеграла, от /(cos(?) по отрезку [—тг, тг] можно по-
лучить, если применить квадратурную формулу левых прямо-
угольников с 2m + 2 узлами:

cos 9)d9 =



2тг

ni + 1

Аттг \
m + 1 J

(34)

Здесь выделены слагаемые при k = — т — 1 и при k = 0 и объ-
единены равные слагаемые, отвечающие симметричным отно-
сительно 0 узлам.

Сравнение (33) и (34) дает равенство

f 4=^ =	+ Л1)] +

J-i у 1 — 1- 2m + 2

т

-^—У
т + 1 t—*
k = i

&тг
cos------

т + 1
которое справедливо, если f(x)— многочлен степени не выше
2т + 1- Это означает, что квадратурная формула (3’2) точна
для многочленов степени не выше 2m + 1 и является требуемой.

Формулу для погрешности квадратурной формулы (32) по-
лучим непосредственно из представления (10), в котором сле-
дует положить а = -1, b = 1, <и(т)(1: - а)(т - Ь) = --/1 - х2,
шт(х) = ‘2~mUm(x) и принять во внимание (5.35):

7eH.11. <35)

Чтобы подойти еще к одному интересному частному случаю
квадратурных формул вида(1), отметим следующее обстоятель-
ство. При вычислении интегралов с помощью квадратурных
формул число узлов 71 выбирается, как правило, ориентировоч-
но. Предположим, что мы выполнили вычисление интеграла с
п узлами. Чтобы составить представление о том, какова точ-
ность полученного результата, интеграл вычисляют по той же
квадратурной формуле, но с большим числом узлов. Совпадаю-
щие знаки у полученных результатов считают верными знаками
искомого значения интеграла. Конечно, этот прием чисто прак-
тический, и утверждение о правильности совпадающих знаков
может оказаться неверным. Чтобы повысить надежность утвер-
ждения, второе вычисление интеграла следует производить с
числом узлов, значительно превышающим п, например, равным
2ti. По понятно, что в этом случае на вторичное вычисление
интеграла мы затратим в два раза больше вычислительной ра-
боты.

Если узлы квадратурной формулы равноотстоящие, то при
вторичном вычислении можно обойтись примерно тем же коли-
чеством вычислений, которое было затрачено при первоначаль-
ном вычислении интеграла с 71 узлами. Этого можно достичь,
выбирая узлы квадратурной формулы для вторичного вычисле-
ния так, чтобы среди них были п узлов первоначальной форму-
лы. Тем самым значения подынтегральной функции в 71 узлах
вычислять не требуется, так как они уже вычислены.

Например, пусть вычислен интеграл по формуле Симпсона:

f f(x)dx^ 'l [/(0) + 4/f^ 4-/(1) •

Jo	о [	\^/

При повторном вычислении естественно воспользоваться со-
ставной формулой Симпсона с пятью узлами:

/' f(x)clx « 1 [/(0) + 4/Ш + 2/(^+4/(^ + /(1)1 ,
Jo	L	\'V	\^/	\'V

При этом придется вычислить лишь два новых значения подын-
тегральной функции /(1/4), /(3/4).

Квадратурные формулы гауссова типа

Ja	; = 1

таким свойством не обладают. Здесь весовая функция w(x) удо-
влетворяет указанным в начале параграфа условиям, обеспе-
чивающим существование квадратурных формул гауссова ти-
па. Естественно попытаться строить квадратурную формулу
вида (1), у которой в качестве фиксированных узлов берутся
узлы квадратурной формулы гауссова типа и, значит, <тп(т) =
(х — а1)...(х — ап) — ортогональный относительно w(x) и отрезка
[«, Ь] многочлен.

Оказывается, что в этом случае т (число узлов , тд,..., хт)
должно удовлетворять неравенству т n + 1. Действительно,
если т и, то (х)/(х — х+) — хмногочлен степени т — 1 п. — 1.
Так как <гп(х) — ортогональный относительно нфа:) и [а, 6] мно-
гочлен, то он ортогонален многочлену са,„(л)/(л — лц-), и из (5)
получаем С+ = 0, к = 1,2,... ,т. Таким образом, формула (1)
при in 5+ и совпадает с квадратурной формулой гауссова тина.

Возьмем in = n. + 1 —наименьшее значение in, удовлетворяю-
щее неравенству т п+1. Квадратурная формула (1) примет
вид

у. Ь	П	п + 1

/ w(3;)/(i4rfJ.^£.4;/(Oj)-|-£G./(a4.).	(37)

Ja	j = l	A- = l

В последующем будем говорить, что квадратурная формула
(37) уточняет, квадратурную формулу (36) гауссова типа.. От-
метим, что если формулу (37) построить можно, то по теореме 1
ее алгебраическая степень точности не менее 3zz + 1.

В соответствии с теоремой 1 мы должны рассмотреть во-
прос о построении ортогонального многочлена azn + 1 (х) с весом
и(х)<тп(х), где <7п(ш) является приведенным ортогональным мно-
гочленом относительно веса w(x) и отрезка [л, 6], и о располо-
жении корней шп + j(т). Весовая функция ш{х)<гп(х) меняет знак
внутри [а, 6], поэтому невозможно воспользоваться известными
результатами об ортогональных многочленах, которые получе-
ны в предположении, что весовая функция сохраняет знак на
[о, 6].

Чтобы доказать существование многочлена wn+i(i'), запишем
его с неопределенными коэффициентами:

^п + 1(ж) = а-‘п+' + b\x" + b'jxn 1 + . . . + bnx + &n+i.

Условия ортогональности	с весом ti;(x)<7n(x) к одночле-

нам степени не выше л приводят к системе п + 1 уравнений от-
носительно п + 1 неизвестных bj, 6ч,   •,	:

/ и;(г-)<Тп(г)[х,п+1 + byxn + Ь->хп~1 + . .. + bnx + 6п+1]а/'(7а: = О,
J а

k = 0,1,2,... ,п.

Введем обозначение для моментов весовой функции w(x)<xn(x):
[Ь

vk=	w[x)(rn(x)xk dx, k = 0,1,2,...

Так как сгп(х) — ортогональный с весом w(x) многочлен, то мо-
мент L>k — 0 при k = 0,1,..., 7? — 1, и система записывается в
виде

+ biiyn = 0,

^п+2 + Ь}Ь>п+1 + Ь?ип = 0,

"2п + 1 + Ь-[1'2п +	+ • • • + bnVn + i 4- bn + ll'n — 0.

Матрица системы треугольная, ее диагональные элементы
одинаковы и равны н„. при этом

= / w(x)crn(x)xndx = / w(x)cr^x)dx > 0,
J a	J а

так что она неособенная. Система имеет единственное решение,
и, следовательно, требуемый многочлен u>n+i(x) существует и
является единственным.

Вопрос о построении уточняющей квадратурной формулы
(37) рассмотрим для частных случаев веса Якоби.

1. а =	= 0, w(x) = 1. Квадратурная формула гауссова типа

(36) в этом случае есть квадратурная формула Гаусса (7.6):
Ее узлами являются корни многочлена Лежандра Рп(х), опреде-
ляемого формулой (5.29). Многочлен сг„(х') отличается от мно-
гочлена Лежандра постоянным множителем.

Расположение корней + i(а-) при небольших ?t можно выяс-
нить непосредственным вычислением. При п = 1 из (5.29) полу-
чаем Pi (а:) = х и, следовательно, <т1 (а;) = х. Имеем

"А-

0.

2/(<- + 1),

четное,

нечетное.

Система (38) для определения коэффициентов многочлена
и>2(.г*) = л'2 + b\.v + записывается в виде

3= 0, 1 + ^2 = о,
3	о 3

откуда = х2 —3/5. Корни .1'1 = — ^3/5, а.д = \/3/5 многочле-
на иат^а:) отличны от фиксированного узла сц = 0. Уточняющая
квадратурная формула при п = 1 существует. Нетрудно ви-
деть. что она совпадает с квадратурной формулой Гаусса (39)
при п = 3, так как узлы — \/3/5, 0, y/3/5 — - корни многочлена
Лежандра Рз(а-') = (5х3 — 3.г)/2.

При и = 2 из формулы (5.29) получаем Рз(х) = (Зх2 — 1 )/2.
откуда <тз{х} = х2 — 1/3. Вычислим моменты функции сг2(х):

, ,	( 0,	k — нечетное,

7 / .	1 \

i'k =	а-’2 - - хк(1х = <	2	2

Из системы (38) для определения коэффициентов многочлена
и.'з(х) получаем Ь, = b-j = 0, !>? - — и, следовательно,
и-'з(х) = х3 — (6/7)х. Корни .Г] = — \/6/7. .го = 0. ->-’з = \/6/7 мно-
гочлена и'з(х) различны, принадлежат ( — 1, 1) и не совпадают с
фиксированными узлами a i = — 1/х/З, о2 = 1 /х/3- Таким обра-
зом, и в случае п = 2 уточняющую формулу построить можно.

Отметим, что между любыми двумя соседними корнями мно-
гочлена ^з(т) имеется точно один корень многочлена ^(т), т. е.
можно сказать, что корни многочлена 013(2.) разделяются корня-
ми многочлена <т2(х).

Квадратурную формулу, уточняющую квадратурную форму-
лу Гаусса, рассмотрел А. С. Кронрод в 1964 г. В книге [25] по
существу доказана теорема 1 для веса ш(х) — 1 и приведены
узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса и уточня-
ющей ее квадратурной формулы для отрезка [0, 1] при п = 1(1)40
с шестнадцатью значащими цифрами. Узлы уточняющей фор-
мулы вычислялись как корни wn + i(i-), при этом оказалось, что
корни ш„+1(х-) вещественны, лежат внутри (0,1) и разделяются
корнями <т„(а;).

По-видимому, впервые многочлены wn+1(i-) для w(ar) = 1 и
[а.Ь] = [—1,1] рассмотрел 'Г. Стилтьес в 1894 г. в письме к
Ill. Эрмиту. Там же он высказал гипотезу о том, что корни
и.„ + 1(л’) принадлежат (—1.1) и разделяются корнями Рг1(.г). В
1934 г. Г. Сеге [69] доказал гипотезу Стилтьеса для ультрасфе-
рического веса. w(.r) = (1 — х~)а в предположении, что параметр
а удовлетворяет неравенствам —1/2 < а 3/2.

Далее мы приводим уточняющие квадратурные формулы для
формул гауссова типа, которые отвечают частным случаям веса
Якоби и рассмотрены в § 7.

2.	а = (3 = —1/2, ir(.i:) = 1 /У1 — х2. Квадратурной формулой
гауссова типа, с таким весом является формула Мелера (7.12):

Ее узлы — корни многочлена Чебышева Тп(х), поэтому узлы
уточняющей квадратурной формулы по теореме 1 •—корни мно-
гочлена ы,1 + 1(.г), ортогонального с весом (x)//l — х2. Полу-
чим разложение многочленашп+1 (т) по многочленам Чебышева:

Ып + 1 (;и) — яц + aiT) (л:) + ... + an_iTn_i(a:) + anTn(z) + 2 nTn+i (i‘).

(40)

При нахождении коэффициентов этого разложения нам пона-
добится следующее предложение. Пусть р, q, г — натуральные
числа. Тогда для интеграла

ДРЛ,’-)=/ л 1 .Tp^T^x'jTr^dx	(41)

J-l yl - л-

справедливы равенства

' тг/4,если выполняется одно из равенств

7(p,g,r) = <

0

р = q + г, q = p + r, r = p + q,
в остальных случаях.

(42)

Для доказательства (42) сделаем в интеграле (41) замену пе-
ременной интегрирования х = cos# и воспользуемся тригономе-
трической формулой для произведения косинусов:

Г

I(p.q,r) = / cospd cos qd cos r0dd =

Jo

= 7 / [cos(p - q - r)0 + cos(p - q + r)0+

4 Jo

+ cos(p + q — r)0 + cos(p + q + r')0]d0.

Из этого равенства и следует (42).

Условие ортогональности к единице многочлена (40) с весом
Т„ (л)/>/1 — х-2 дает ап = 0. Условие ортогональности многочле-
на (40) к 7) (г) приводит к равенству

ап_1 [	1 =Tn(x)Tn_i(x)T\(x)dx+

J-i VI - х-

+ 2-" [ /A_T„(.r)T„+1(.r)T1(x)rf.r = 0,
J-i VI — х~

которое при я 2 на основании формулы (42) запишется в виде
<7„_ 1 тг/4 + 2-п7г/4 = 0. и. следовательно, o„._i = — 2-'1. Условия
ортогональности многочлена (40) к многочленам Т?(х). Т3(л),....
Т,i(z) приводят последовательно к равенствам ап-2 = 0, лп-з =
0, .... Яо = 0. Таким образом, равенство (40) принимает вид

^п-п(^) = 2“'’(Т„ + |(.г) - T„_i(.r)).	(43)

Оно справедливо при п Js 2.

Из тригонометрического тождества

cos(n + 1)0 — cos(?) — 1 )0 = — 2 sin п0  sin 0,

полагая в нем 0 = arccos х, получаем

Tn+iW -Tn-jGr) = 2(т2 - 1)[/п_1(л).	(44)

Равенство (43) можно записать в виде

wn + 1(z) = 2_"+1(х3 — l)L7n_ г (х).

Корни этого многочлена — дополнительные узлы уточняющей
квадратурной формул. Все узлы уточняющей формулы суть
корни многочлена (х2 — l)Tn(x)Un_1(x). Так как

г / \гг / \ _ 1 sin 271 arccos х _ 1,,	( х

7n(a;)f/n-i(®) — 2	yj—^2	—
то узлами уточняющей, квадратурной формулы являются —1,1
и корни многочлена Чебышева второго рода Uin-itz')-

Такие узлы имеет квадратурная формула Маркова (32) при
тп = 2n —1, и, следовательно, уточняющая квадратурная формула
для формулы Мелера при п 2 такова:

2n—1	,	, v

k = \	'	'

Ее алгебраическая степень точности равна 4п— 1. Погрешность
данной квадратурной формулы дается равенством (35), в кото-
ром надо положить т = 2п — 1.

В случае п = 1 нетрудно получить шэ(т) — х2 — 3/4. Отсюда
следует, что уточняющей квадратурную формулу Мелера при
п = 1 является формула Мелера с тремя узлами:

у) +ло) + /1

Замечание. Если бы мы при уточнении квадратурной фор-
мулы Мелера взяли 2п дополнительных узлов (вместо n+ 1), то
получили бы в качестве уточняющей формулу Мелера с Зп уз-
лами.

3.	а = (3 = 1/2, ш(т) = а/1 — х2. Квадратурной формулой
гауссова типа с таким весом является формула (7.15):

/ о г/ ч	е (	А

\/\. — х-пх)ах к-----) sin--------- f cos------- . (46)

.1 k n + 1 \ n+lJ \ n+}J

Ее узлами являются корни многочлена Чебышева Un(x). По
теореме 1 узлами уточняющей формулы являются корни орто-
гонального многочлена шп+1 (т) с весом

/1 _ 2JT ( \ _ Л _ ~2 ^п + 2(ж) ~ 7n(J) _

V 1	%- ^Л1(*г) — V 1	о 1 \	—

2(i-- 1)

= -|-7^=(Тп+2(а;)-Тп(т)).

2 у/1 —

Здесь мы воспользовались равенством (44).

Разлагая многочлен шп+1(ж) по многочленам Чебышева пер-
вого рода, получаем шп+1(т) = 2-n7’n+i(a:). Все узлы уточняю-
щей формулы являются корнями многочлена

ТТ .	, .	1 sin 2(п + 1) arccos х 1

Un(x)Tn+l(x) = ----- ------------= 2^п+1(^)-
Таким образом, уточняющая формула сама является квадра-
турной формулой гауссова типа с весом \/1 — х- и с числом уз-
лов 2п + 1. Ее мы получим, если в квадратурной формуле (46)
заменим п на 2п + 1. Погрешность уточняющей квадратурной
формулы дается равенством (7.16), в котором следует заменить
71 на 2п + 1.	______________

4. а = —/3 = 1/2, «’(т) = ^/(1 — щ)/( 1 + ;г). Квадратурной фор-
мулой гауссова типа с таким весом является формула (7.20):

Г /1 - л	4тг A ( . к-тг V ( h \

/	\ -----Г(.г)ах & ----- > sin -------- j cos --------- .

Jу 1 + -с	2?/ + 1	\ 2n + 1 /	\	2?? + 1 /

(47)

Ее узлами являются корни многочлена (i.l /), так что
,_п7;,+1(.г)--Л,(.г)
) — •- .

X — 1

По тее-н-ме 1 узлами уточняющей квадратурной формулы
должны быть корни ортогонального многочлена Агг + 1(х) с весом

/1 - .т Тг1 + 1 (а;) - Тп А	1

Разложим шп + 1(2-) по многочленам Чебышева первого рода и
определим коэффициенты из условия ортогональности ui,l+i(.r)
к T,(i'). j = 0,1,..., л, с весом [Tn + i (х) — Тп (х)]/vl — х2. Получим
(х) = 2-n[Tn+i(j;) + Тп(а;)].

Все узлы уточняющей квадратурной формулы являются кор-
нями многочлена

7)7+1 (J) ~ Т^х) _
х - 1

ьтв(2тг 4- 1) arccos х • sin arccosх

=-------------------г------------= 1Т,п(х)(х + 1).

X — 1

Как мы знаем, такие узлы имеет квадратурная формула Марко-
ва с одним фиксированным узлом —1 и с 2?1 дополнительными
узлами. Таким образом, уточняющая квадратурную формулу
(47) совпадает с квадратурной формулой (23), в которой следу-
ет положить ?77 = 2ti:

2 тг v—> ( .	& тг \ . / ктх \ Л,

+ 7----- z Sln--------- / I cos-------- • (48)

2п + 1	\	4п. + 2 J \ 2п + 1)
Погрешность этой квадратурной формулы дается равенством
(26), в котором надо взять т = 2п.

§ 10. Квадратурные формулы чебышевского типа

Квадратурную формулу с равными коэффициентами

Г w(x)f{x)dx^Cn^f^k)	(1)

k = l

и точную для многочленов степени не выше п назовем квадра-
турной формулой чебышевского типа. Примером такой форму-
лы является квадратурная фомрула Мелера (7.12), в которой
ti’(r) = 1/\/1 — т2 и [а, 6] = [—1,1].

Немногим более ста лет функция 1 /v^l — г2 была единствен-
ной весовой функцией, для которой квадратурная формула че-
бышевского типа существует при любом натуральном п. В
1966 I'. Дж. Ульман [70] указал весовую функцию на [—1,1]:

1	1 + ах	1	1

\/1 — ж2 1 + 2az + а2 ’	2	2 ’

для которой при указанных значениях а также существует ква-
дратурная формула чебышевского типа при любом натураль-
ном п, при этом ее узлы принадлежат [—1,1].

Как всегда, предполагаем, что существуют моменты функции
<г(г), и кроме того, считаем

А'о = [ w(x)dx ф 0.	(2)

J а

В квадратурную сумму формулы (1) входит п + 1 параметров:
п узлов и общее значение коэффициентов Сп. Будем находить
их из того условия, что квадратурная формула (1) должна быть
точной, когда /(г) = хт, т = 0, 1,..., п. Полагая /(z) = 1 в (1),
получаем пСп = pig, откуда Сп = ро/п. Из предположения (2)
вытекает, что Сп 0.

Для определения узлов получим следующую систему нели-
нейных уравнений, если запишем, что формула (1) точна, когда
f(x) = хт, т = 1,2,.. ,,п:

ТП

^х™ = ^, т=1,2,...,п.	(3)
Вместо того чтобы находить неизвестные 14, ж21.. ., хп, решая
систему (3), будем разыскивать многочлен

= (ж —	— .г-2) • • • (ж — жп) - хп + ail'"-1

КОрНЯМИ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ Ж1, Х2, ...,хп.

Очевидно, имеем

При |ж| > k = 1,2,..., п, справедливы разложения

111	1	хк	xl

-----— — 1	~Г ~	।~ —з + • • • ’
X — Хк X 1 — Хк/Х	X	х~	х°

поэтому (5) можно записать так:

Шп(ж)	п Si	S2

nv ' = - -I—-4—- 4- ...

шп(х)	X	X~	X3

Здесь использовано обозначение

^=1,2,3,...
t=i

Умножая обе части равенства (6) на шп(ж), получаем

пхп~1 + (n - l)aix"-2 + ... + an_] =

, „ Г> — 1	\ ( Я S\ S2

= (ж +а] х 4- ... + ап) I —|—- 4—- 4- • •.

\ X х~ XJ

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой
и правой частях последнего равенства. Получим соотношения
Ньютона:

Si 4- ai = О,
$2 + aiSi 4” 2a2 = О,
S3 4* 01>?2 4- CI2S1 4” Заз = 0,	(8)

Sn 4- aiSn-i 4- a2S„_2 4--1- nan = 0.

Если воспользоваться обозначением (7), то систему (3) можно
записать так:

Sm =	m = 1,2,..., n,

(9)
и, следовательно, величины Si,..., Sn, которые входят в соот-
ношения Ньютона, можно считать известными. Равенства (8)
представляют собой линейную алгебраическую систему урав-
нений относительно неизвестных щ , а-2,. .., ап — коэффициентов
многочлена шп(х), определяемого равенством (4). Эта система
с треугольной неособенной матрицей легко решается, и вопрос
о возможности построения квадратурной формулы (1) сводится
к исследованию корней многочлена <дп(а:).

Таблица 15

п	Узлы	п	Узлы
1	0	6	±0,86624 68181 ±0, 42251 86538
2	±0,57735 02691		±0, 26663 54015
3	±0,70710 67812	7	±0,8838617008
	0		±0,52965 67753  ±0,32391 18105
4	±0,79465 44723 ±0,18759 24741		0
		9	±0,91158 93077
5	±0,83249 74870		±0,60101 86554
	±0,3745414096		±0,5287617831
	0		±0,16790 61842
			0

Рассмотрим частный случай, когда ш(т) = 1 и [а, 6] = [—1,1].
В силу (9) Sm = пцт/p.Q = 0 при т = 1,3, 5,..., так как рт = О
при указанных т. Из системы (8) получаем ai = аз —  =
d2s+i = 0, где s = |_(n — 1)/2J. Это означает, что многочлен
wn(a-’) является четным при четном п и нечетным при нечетном
п. Отсюда следует, что вещественные корни Сх>п(ж) расположены
симметрично относительно точки 0.

Квадратурная формула имеет вид

Г1	9 п

/	(Ю)

'-1	П к-1

Если узлы этой формулы вещественны, то она точна для всех
нечетных многочленов. В частности, при п четном квадратур-
ная формула (10) точна для многочленов степени не выше п + 1.

Впервые узлы квадратурной формулы (10) при п = 1(1)7 вы-
числил П. Л. Чебышев. Узлы оказались вещественными, раз-
личными и принадлежащими отрезку [—1,1]. Впоследствии бы-
ло обранаружено, что при п = 8 среди корней многочлена(я)
имеются комплексные. При п = 9 корни снова оказались ве-
щественными. С.Н. Бернштейн доказал, что при п 10 среди
корней ы„(х) всегда имются комплексные, так что при п 10
квадратурная формула Чебышева (10) с. вещественными узла-
ми не существует. Доказательство этого факта можно найти в
[26].

Численные значения узлов квадратурной формулы (10) при-
ведены в табл.15.

§ 11. Числа и многочлены Бернулли

Приведем необходимые для дальнейшего изложения сведения
о числах и многочленах Бернулли. Начнем с определения чисел
Бернулли. Рассмотрим функцию комплексного переменного t

g(‘) =	т

Особыми точками функции (1) являются отличные от нуля кор-
ни знаменателя е( — 1:

t = 2kiri, k = ±1, ±2,...

Точка t = 0 не является особой точкой G(/), и мы можем на-
писать разложение в ряд Маклорена:

М R

=	га

р = 0

сходящееся в круге |<| < 2тг. Числа Вр, р = 0,1,2,..., называ-
ются числами Бернулли. Функция G(t) называется производящей
функцией чисел Бернулли.

В соотношение (1), записанное в виде G(t)(e( — 1) = /, вместо
G(t) подставим правую часть (2) и вместо е‘ — разложение в ряд
Маклорена. Получим тождество

(„	В, Вэ ,	\ ( t I- t'3	\

Д+ -/+-Г + ...Д-+-+- + ...Д Л

справедливое при |i| < 2тг. Приравнивая коэффициенты при оди-
наковых степенях t в левой и правой частях, получаем

В - 1	—4- B1	j-	j- j- Вк~1 - П	ВЛ

°	’	Ar! +	(t - 1)!1!	+	(А: — 2)!2! + '' ’ + !!(!’— 1)! °’

где k = 2, 3,4,...
Рекуррентное соотношение (3) позволяет последовательно
определять числа Вк. Из (3) видно, что Вк ---рациональные чи-
сла. Запишем несколько первых чисел Бернулли:

Ви = 1, 5г = —1/2, В2=1/6, В3 = О, В4 = -1/30,
В5 = 0, Вв = 1/42, В7 = 0, Вб = -1/30, В9 = 0,
В10 = 5/66, Вц=0, Bi, =-691/2730, Bi3 = 0,
514=7/6, 515 = 0, 516 =—3617/510,
517 = 0, 518 = 43867/798.

Соотношение (3) можно записать в форме, удобной для запо-
минания. Именно, умножим обе части (3) на и к обеим частям
полученного равенства прибавим Вк:

Вк = Bq + C^Bi + С^Вэ + • • • +	1 Bk-i + Bj,.

Это равенство можно представить в символическом виде:
Вк = (Ц-В)*, fc = 2,3,4,...

При возведении двучлена 1 + В в степень k вместо BJ следует
писать Bj.

Докажем, что числа Бернулли с нечетными индексами, за ис-
ключением Bi = —1/2, равны нулю. Выполним очевидные пре-
образования:

,	— t	—tei	<-Н

G(-/) -	= ~-T = г + G(z)’

Подставим вместо G(1) разложение, в ряд (2). Получим
= ' + £>
р=0	р=0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях I, имеем

Во = Во, -Bi = l + B!, (-1УВ„ = В„, р = 2,3,4,...

Из этих соотношений вытекает, что В„ = 0 при у — 3,5,7,...

Отметим формулу

В?к =

22к~1^2к	2-^ т2к ’

т = 1

(5)
из которой видно, что при возрастании k модули чисел Бернул-
ли быстро возрастают. Формула (5) дает знак числа Бернулли:

sgnB2fc =(-1)А-*.	(6)

В конце параграфа формула (5) будет доказана.

Перейдем к рассмотрению многочленов Бернулли. Функция
комплексного переменного t

H(x.t) = ext^— = extG(t)	(7)

ег — 1

при любом комплексном значении параметра х регулярна, в кру-
ге |/| < 2тг, поэтому внутри круга имеет место разложение

=	(8)

1/ = 0

Коэффициенты этого разложения суть функции от х. Как мы
увидим, В^х) представляет собой многочлен степени и. Мно-
гочлены В^х), v = 0, 1,2, ..., называются многочленам и Бернул-
ли. Функция (7) называется производящей функций многочленов
Бернулли.

Подставим теперь в (7) вместо G(Z), H(x,t), exi их разложения
в ряды по степеням t в окрестности t = 0. Получим равенство

.	В}(х)	В2(х)

Во(х) -|---—t -|-——t~ + ... =

f Bi B->	\ f, xt x2t2 \

= (^o + TTZ +	+	l41+l!+^r + "J’

справедливое в круге |t| < 2тг для любого х. Приравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях
последнего равенства, получаем

Bk(x') _ Вохк Bixk~1	Bk-ix Bk

k'. ~ k\ + l!(fc — 1)! + + (Jt- 1)!1! + fc! ’

или

Вк(х) = Вцхк + C).Bixk 1 + CkB2xk " + ...+ Bk. (9)

Последнее равенство можно записать в символическом виде:

Вк(х) = (г + В)к, k = 0,1,2,...,	(10)

при этом, как и выше, вместо BJ следует писать число Бернулли
В,.
Соотношение (10) позволяет находить многочлены Вк(х). За-
пишем несколько первых многочленов Бернулли:

Во(ж) = 1,

Bi(i-) = х - 1/2,

В2(г:) = х2 — х + 1/6,

В3(х) = х3 - (3/2)х-2 + (1/2)х,

Bi(x) = х4 — 2т3 + х2 — 1 /30,

В5(х) = х5 - (5/2)х4 + (5/3>® - (1/6>,

В6(х) = х6 - Зт5 + (5/2)х4 - (1/2)г2 + 1/42.

Из (10) также видно, что

Вк(0) = Вк, к = 0,1,2,...	(11)

Продифференцируем по х обе части разложения (8). Полу-
чим

Так как левая часть этого равенства равна tH(x, t), то в силу
(8)

/f ^ = £^Иг.
v = 0	'	i/ = 0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, нахо-
дим

В'к(х) = kBk_x(x), к= 1,2,3,...	(12)

Это равенство напоминает правило дифференцирования функ-
ции xk. Очевидно, (12) можно записать в интегральной форме:

Вк(х) — Вк + к [ Bk_i(t)dt.	(13)

Jo

Докажем равенство

Вк(1 — х) = (—1)к Вк(х), £ = 0,1,2,...	(14)

Выполнив простые преобразования
z _ -xt /е<	_ x(-t) -i

e*-l е‘-1	е-‘-Г
увидим, что Н(1 ~x,t) = H(x,—t). Заменим в этом соотношении
функцию Н ее разложением в ряд (8). Получим равенство

~ вд1ад(1,	~ ад

2—!	2^	Р1	1

|/ = 0	v=Q

из которого и следует (14).

Равенство (14) показывает, что значения В^(т) в точках, сим-
метрично расположенных относительно точки х = 1/2, одина-
ковы, если к— четное, и одинаковы по абсолютной величине и
имеют разные знаки, если к — нечетное.

Рассмотрим многочлены, отличающиеся от многочленов Бер-
нулли постоянными слагаемыми:

yv(x) — В„(х) - BVl z/= 0,1,2,...,	(15)

и изучим расположение корней у„(х) на отрезке [0,1]. Из фор-
мулы (11) следует, что .г = 0 является корнем yv(x) при любом
(/ = 0.1,2,...

Из равенства(14) находим

1/Д1) = ВД1)-ВР = (-1)"В„ -в,,

так что при 1/ четном у„(1) = 0. При ц нечетном все чи-
сла Бернулли равны нулю, кроме Bi = —1/2, и, следователь-
но, у„(1) = 0 при р нечетных, отличных от единицы. Таким
образом, х = 1 является корнем всех многочленов у^х), за
исключением yi(x) = х. Многочлен Узт + Д-с) = Вз„| + 1(г) при
т = 1,2,3,... имеет корень х = \/‘1, что вытекает из равенства
(14): В2,„+1(1/2) = -В2„>+1(1/2). Докажем, что i/o^+i (•*') на ин-
тервале (0,1) не имеет других корней.

 Допустим противное: будем считать, что у->т +1 (т) при неко-
тором фиксированном in > 1 имеет на (0,1) корни а и /1, причем
0 < а- < ,3 < 1. Так как 0, 1 также являются корнями У2т+1(-т), то
по теореме Ролля Уот + 1(х) имеет по крайней мере три различ-
ных корня и y'2,n+i(x) — по крайней мере два различных корня
внутри (0, 1). Но в силу (12)

= B'!m+l(x) = (2m + 1)2?п В2ш_1 (,т) =

= (2m + l)2ini/2m-i(x),

и мы доказали, что если y->m+i(x) имеет внутри (0, 1) два раз-
личных корня, то у2т-1(1’) обладает тем же свойством. Следо-
вательно, и уз(х') имеет внутри (0, 1) два различных корня. Но
Уз(х)— многочлен третьей степени, корни которого суть 0, 1/2,
1. Утверждение доказано.

Докажем, что 2/2pi(a:) (ni = 1 ,.2, 3,...) не имеет корней внутри
(О, 1). Очевидно, можем считать, что т 2. Если бы многочлен
у2т(х) имел корень внутри (0, 1), по теореме Ролля производная
У2т(-г') имела, бы два. различных корня внутри (0, 1), что невоз-
можно ввиду равенства

У2т(х) ~ В’2т(х) = 2mB2m-i(2;j = 2ту2т_ 1 (а,-),
так как уот-1 (х>) имеет единственный корень х = 1/2 на (0, 1).
Найдем значение В2т(х} при х = 1/2. Имеем

et/2_L_= e42t + t-t _	</2 i

e'-l (eV2 + 1)(е*/2 _ i) ег/2 _ ! et _ у

Отсюда следует равенство

Я(1/2,<) = 2G(//2)-<?(/).

Заменим функции Н и G разложениями (8) и (2):

£

12=0

адм, = 2

VI

Приравнивая коэффициенты при tm в левой и правой частях,
получаем

Bm(l/2) = -Вт (1 - 1/2т-1) ,

т= 0,1,2,...

(16)

Выше мы установили, что у2к(х} сохраняет знак внутри (0, 1).
Равенство (16) позволяет указать этот знак. В самом деле,

</-л.(1/2) = В2к( 1/2) - В2, = -В2/(2 - 1/22*-1),

поэтому У2Л;(1/2) имеет знак, противоположный знаку В2к, или в
силу (6)

sgny2t( 1/2) = (-!)*.	(17)

Введем периодические функции В„(х) с периодом 1, совпа-
дающие с В„(х) при 0 х < 1. Очевидно, что Bq = 1 есть
постоянная функция. Функция В^х) кусочно-линейна, разрыв-
на в целочисленных точках и имеет в них скачок, равный минус
единице. Функция В2(х) непрерывна всюду, В2(х) имеет непре-
рывную производную первого порядка. Из (12) вытекает

в;'(х) = 1/в;_1(а;), и = 2,3,4,'...,.	'	(18)
так что В'(х) при и 2 имеет непрерывные производные до
порядка и — 2 включительно.

Г рафики функций у = В*(х), у= ЛВ^х), у — 4В^(х) приведены
на рис. 8—10.

Рис. 9

Укажем разложения в тригонометрические ряды Фурье для
функций В‘(х):

д!")	~	.

В*(я) =	---h (ат^ созЧтгтх + sin 2тгтх) ,	(19)

771 — 1

где

= 2 I В*(х) cos 2irmxdx = 2 I В„(х) cos27rmxdx}
Jo	Jo

= 2 / B^(x) sin 2'Trmxdx = 2 / B„ (x) sin 2'n‘mxdx.
Jo	Jo
По известным теоремам о разложении функций в тригономе-
трические ряды Фурье равенства (19) справедливы при всех х
для всех функций В*(х), кроме В*(х). Для В”(а:) равенство (19)
не имеет места при х = 0 (и во всех целочисленных точках), ибо
в этих точках сумма, ряда [BJJ+O) + В, (—0)] /2 = 0.

Вычислим коэффициенты Фурье и . Можем считать,
что р 1. Имеем

а(',} = 2 [ Bv(x)dx= ^—Bv+1(x)f =0, v = 1,2,3,...
Jo	и + 1	Io

Остальные коэффициенты Фурье вычислим для случая, когда
и = 2k, k = 1,2,... Интегрируя по частям, получаем

= 2 / Вод-(ж) cos 2тг mxdx =

Jo

sin2on;c I1 /1sin2Trmr

= 2—-------B2k(x)\ —2 / —--------2kB2k-i(x)dx.

2тгт	Io Jo 2тгпг

Внеинтегральный член обращается в нуль, интеграл вычи-
сляем интегрированием по частям:

2к cos 2irmx

тгт 2тгт

В2к-

2 к

тгт

cos 2тгтх , ,	„. „	. . ,

—--------(2к - 1)В2^._2(^)^-

2тГ7Л

Если k > 1, то внеинтегральный член обращается в нуль, и мы
получаем

(2к) =	2А:(2& - 1) (2к-2)

ит	Ufn

(2ТГ??7)“

(20)

Если k = 1, то интеграл обращается в нуль и = 1/(тгт)2.
Теперь из (20) находим

а(2*) _ / 1а-12^(2^___1)--^ (2) _ (_!)*-! 2j(2fc)!

т	>	(27гт)2^-П т 1	’	(2т)»'

Из соотношения (14) вытекает, что

B2fc(l — a:) sin 2тгт(1 — х) = — B2k(x)sin2irmx

(21)

и, следовательно,

bW = о, т=1,2,...

(22)
Подставляя коэффициенты (21) и (22) в (19), получаем

(23)

т = 1

В случае нечетного = 2k — 1, k = 1,2. .. ., таким же путем
найдем

( —1)*(2Л* - 1)! siii27r?nT

~	22.-2^-l	2_> ,„2*-!

>n = l

Если в (23) подставить х = 0, то получим формулу (5).

§ 12. Представление функции

при помощи многочленов Бернулли

Пусть /(х') на отрезке [а, 6] имеет непрерывные производные
до порядка, г/ 1 включительно. Тогда при 0 х 1 имеет
место формула

л,)= ['т* + ±

Jo	к=1	К"

-.1/ (1)

"• Jo

которая дает представление f(x) через многочлены Бернулли.
Докажем эту формулу, выполняя преобразование выражения

РЛХ) =

В1(х -

(2)

При доказательстве будем считать, что х находится внутри ин-
тервала (0, 1). Справедливость формулы (1) в замкнутом отрез-
ке [0,1] будет вытекать из того, что левая и правая части (1)
суть непрерывные функции от х при 0 х 1.

Предположим, что г/ 2, и выполним интегрирование по ча-
стям в правой части равенства (2):

1	,	. ii

р„(х)=	ДДх-^-Б^)

р!	1о

А Г

IS* Jq	0,1

На основании формулы (11.18) имеем (и У} 2)

at


и в силу определения В’(х')

В“ЛХ “ 1) = ВДж) = В„(х),

поэтому результат интегрирования по частям можно записать
следующим образом:

рЛх) =	1}(1) -	В„(х) + р.-К.г).	(3)

Если //— 1 > 1, то к р„-1(х) можно применить формулу (3).
Далее, применим (3) к рр_2(т), если и — 2 > 1,ит.д. В результате
получим

=	-----{—Вк(х) + рх{х). (4)

1- = 2

При преобразовании

Р1(х)= [ в;(х - t)f'(t)dt

Jo

следует принять во внимание, что Bj'(t) разрывна в целочислен-
ных точках. Разобьем интеграл в представлении pi(r) на сумму
двух интегралов:

Л = [ B^fx — t)f'(t)dt, 12= [ Bi(x-t)f'(t)dt,
JO	.Jx

так что

Pi (х} = h + Л-

Будем вычислять Ц интегрированием по частям:

Л = / B^x-t)f'(t)dt =

Jo

|ф — 0	Гх ({

= В[(х —	- f(t)-[BUx-t)dt. (6)

Io Jo dt

Очевидно имеем

^B*(x - t) = -1 при 0 t < х,
B’(+0) = -l/2, B*(r) = Bi(o:),
и из(6) получаем

Л =-1/(х)-/(0)В1(х)+ Г f(t)dt.

Jq

(7)
Аналогичным образом находим

/2 = ~/W + Al)SiW + jG(^-	(8)

Подставим в (5) вместо Ц, /2 правые части (7) и (8). Получим

Р^г) = -ЛО + [/(1) - ЛО)]/?^) + f f(B)dt. (9)
Jo

Сопоставляя (2), (4) и (9), получаем формулу (1). При и — 1
формула (1) обращается в формулу (9).

При v 5; 2 формулу (1) можно записать в виде

ЛО = / f^dt + £	----^В^х)-

J°	k=i

[ f^\t)[B;(x-t)-Bt(x)]dt, (io)
v'- Jo

если заменить слагаемое, отвечающее к = р, интегралом

Л^-1)(1) ^-0(0)^ _) =	f Л")(/)Л.

v'.	Jo

Предположим теперь, что функция ЛО задана на отрезке
[о, а + /г], где h > 0, и и 2 раз непрерывно дифференцируе-
ма на нем. Запишем формулу (10) для этого случая. Введем
новую независимую переменную х = а + /)£, 0 ^ £ ^ 1. К
функции ЯО = f(a +	" Раз непрерывно дифференцируемой

при 0 ^ £ ^ 1, применим формулу (10). Получим

Я	_ Я*-’)(0)

ОО = / <p(r)dr + ^2-----------------Bk(O~

к=1	К-

-А /\(р)(О[ВЛ£-т)-ВД£)Нг. (11)

V- Jq

В этой формуле вернемся к прежним обозначениям независи-
мой переменной и функции, при этом примем во внимание соот-
ношения

Я^(£) = hk f(kXa + h£) = hkf^k\x),
<р(т) = f(a + /it) = f(t), t = a + hr, di = hdr.
Получим

Запишем последнюю формулу в виде

/1/(1) - h[f(a + h) - /(a)]Bi

kl-----------------Вк

+	/")(а + ьт)\в; - г') - в; (4^)1 dr- (12)

1/1 Jo	\ п J \ п J \

Эта формула дает значение интеграла J^+h f(t)dt через значе-
ние функции f в точке х и через значения f и ее производных до
порядка и — 2 на концах отрезка [а, а + /г]. Последнее слагаемое
формулы (12) имеет смысл остаточного члена. В него входит
производная порядка v функции /.

Если в формуле (12) мы удерживаем лишь одно слагаемое
правой части, то получаем приближенное равенство

(13)

которое представляет собой квадратурную формулу прямоуголь-
ника (8.1). Формула. (13) обращается в точное равенство, если
/(<) является постоянной.

Запишем формулу (12) для и = 2:

= hf(x) - Л[/(а + /г) - /(a)]Bj h' j +

+ |j- f f"(a + hr) Bj - T-) - B2	dT' (14)

Jq	Lx*1 /	\ n /.

Если в правой части этой формулы сохранить лишь два слага-
емых, то получим приближенное равенство. Оно будет точным,
когда /(/)—любой многочлен нерпой степени. гак как и этим
случае /"(/) = 0 и остаточный член формулы (II) обращаете:! и
нуль. Если бы мы удержали в формуле (12) три первых слагае-
мых, то получили бы приближенное равенство, обращающееся
в точное, когда /(/) — многочлен второй степени, и т. д.

§ 13.	Формула Эйлера—Маклорена

Положим в формуле (12.12) х = а, при атом примем во вни-
мание равенство Ва,-(0) = Вь, периодичность функции В’(т) и ее
непрерывность при р 2:

в;(-т) = в;(1-г) = вд1-т). o^r^i.

Получим

f(t)dt=^[f(a)+f(a + h)]-



+	/”	+ hr)[B^ - т) - B„]dr. (1)

v  Jo

Первое слагаемое в правой части этой формулы представля-
ет собой квадратурную сумму формулы трапеции (2.18). Следу-
ющие слагаемые, как и в случае формулы (12.12), имеют смысл
поправок. Таким образом формула (1) уточняет формулу тра-
пеции.

Формула Эйлера—Маклорена, к установлению которой мы
переходим, предназначена для уточнения составной формулы
трапеций.

Рассмотрим интеграл fb f(x)dx. Положим h = (6 — а)/п и
разобьем [а, 6] на п частичных отрезков [л + jh, а + (j + l)/i],
j = 0,1,.. ., п — 1. К интегралу от f(x) по частичному отрезку
применим формулу (1):
уа + О'тШ	fl

I	f(r)dx = -[/(a +jli.) + /(a + (J + 1 )h]~

a+jh	2

''_J /•’" /.j

- E	+>/’)]+

m = 2	j

+	[ f<v4a + jh + Ьт)[В„( 1 - r) - B„]dr. (2)

Jn

Введем обозначение

ад)=„ ^+£Ла+гЛ)+ж

(3)

и просуммируем обе части формулы (2) по j от 0 до п — 1. По-
лучим

гЪ	& 1 1 т р

/ f(x)dx = тп(Л - £ —- Г-;)Н+

Ja	т'

ki'+t г1 m	"-1

Ч-----— / [йр(1 - г) - В„] У2/р)(а + j'A + Аг)с/г. (4)

и- Jo	j=O

Эта формула, называется формулой Эйлера—Маклорена. Обыч-
но в ней берут четное р — ik. Тогда множитель ВД1 — г) — Bv
под знаком интеграла в правой части (4) в силу (11.14) можно
записать так:

В2Ц1 - г) - В2к = В2к(т) - В2к = P2A-(t-).

Он сохраняет знак при 0 т 1. Если еще учесть, что Вт = О
при т — 3.5,..., то формулу (4) можно записать следующим
образом:

уб

/ f(x)dx =

= Tn(f) - £	- fW-'Ча)] + Л2*.(Л, (5)

где

[\в2к(г) - В2к] £ ркЧа + jh + hr)dr (6)

Jo	j=o

есть остаточный член.
Формулу Эйлера—Маклорена (5) применяют как для вычи-
сления интеграла f(x)dx, так и для вычисления суммы

> , f(a + Jh) = hTn(f) +--2----'

j=o

Мы рассматриваем формулу (5) как средство приближенного
вычисления интегралов.

Если в правой части формулы (5) формально перейти к пре-
делу при k оо, то получим ряд

Он сходится лишь для весьма узкого класса функций f(x). Как
правило, он расходится, и его члены быстро возрастают. Отсю-
да следует, что остаточный член (6) формулы (5) при возраста-
нии к быстро возрастает. При вычислениях к следует выбирать
так, чтобы остаточный член R2k(f) имел возможно меньшую ве-
личину. Обычно это бывает при небольших значениях к.

Укажем две теоремы об остаточном члене формулы Эйлера—
Маклорена.

Теорема 1. Если f(x) имеет непрерывную производную поряд-
ка 2к на [а, 6], то для остаточного члена (6) формулы (5) спра-
ведливо представление

h2k

=	(7)

\ZK)-

где а г/ Ь.

Доказательство. Обозначим

m = min/^2fc\z), М = тлк f<'2k\x).
[а,Ь]	[а,6]

Предположим, что к — четное. Тогда по формуле (11.17) имеем
yikfR) = В2к(т) — В2к > 0 при 0 < г < 1, и мы получаем

^+iB2k(f)= [ [B2k(r) - B2k]^f(2k\a +jh +hr)dr
Jo	j=o

nM [ [B2fc(r) ~ B2k]dr = —nMB2k.

Jo
Аналогично находим

(2*)!

—птВ2к.

Таким образом, имеем

(2&)1

-nmB2k	—пМВ2к.

Разделим все члены этих неравенств на — пВ2к > 0:
т р = м-

Так как функция f(2k\x) непрерывна на [а, 6], то найдется такая
точка гр а Т] 6, что Р = ф^2к\т]). Этим доказано равенство
(7) в случае четного k. При доказательстве (7) для нечетного
к надо принять во внимание, что у2к(т) < 0 при 0 < г < 1 и
В2к > 0.

Отметим, что (7) при к = 1 переходит в представление оста-
точного члена (3.21) составной формулы трапеций.

Теорема 2. Если функция ф(2к+2\х) непрерывна на [а, Ь] и при
всех х € [а, 6] имеют место неравенства

fW(x) 0, f(2k+2\x)	0	(8)

(или f(2k\x)	0, /(2t+2)(a:)	0), то остаточный член R2k(f)

формулы (5) имеет знак числа

h2k D

(9)
\ZK)-

и абсолютная величина R2k(f) не превосходит абсолютной вели-
чины числа (9).

Доказательство. Очевидно имеем

R2k(f) - R2k+2(f) =	- f^-'Ka)].	(10)

В силу предположений (8) и свойстваsgny2i,('r) = (—I)*7. 0 < г <
1, знаки R2k(f) тл R2k+2(f) противоположны. Это вытекает из
формулы (6). Но тогда из равенства (10) следует утверждение
теоремы.

Укажем представление остаточного члена составной квадра-
турной формулы прямоугольников (8.5) для частного случая,
когда Да-) -периодическая с периодом b — а функция, имею-
щая непрерывную производную порядка '2k на всей веществен-
ной оси. Пусть ц Е [п,п + А], /3 — а + b — а. Ввиду (6 — п)-
периодичности функции /(т) интеграл от нее по отрезку [а, 6]
равен интегралу по [<а,/?]. К интегралу от /(а:) по отрезку [п.З]
применим формулу Эйлера — Маклорена (о), при этом примем
во внимание Ь — a-периодичность производных функции /(.г). По-
лучим

, Ж)
г 2

+ R-’ktfY

Заменим здесь интеграл по [о, /?] на интеграл по [о, 6] и заме-
ним/(а )/2 +/(/3)/2 на /(а). Получим

Г f(x)dt - Л £ Да + jh) = /?2Д/).

Ja	7=0

Это равенство означает, что погрешность составной квадра-
турной формулы прямоугольников (8.5) совпадает с остаточным
членом формулы Эйлера—Маклорена и, следовательно, для по-
грешности формулы прямоугольников справедливо представле-
ние (7).

§ 14. Квадратурная формула Грегори

При вычислении интеграла по формуле Эйлера—Маклорена
приходится находить производные подынтегральной функции
на концах отрезка интегрирования. Если подынтегральная функ-
ция задана аналитически, то можно указать аналитические вы-
ражения производных и вычислить их значения на концах отрез-
ка [о, 6]. Если подынтегральная функция задана таблично или
задана аналитически, но выражения ее производных неудобны
для вычислений, то указанный способ неприменим.

Нам известны значения подынтегральной функции в точ-
ках ij = a+jh, j — 0,1,... ,ii. Построим интерполяционный мно-
гочлен функции Д.т) в форме Ньютона, для интерполирования в
начале таблицы (1.7.5) по узлам л.’о, j'i,..., ;г,п. т п:

P(x0 + ht) = Дх-()) + ]ГЖ_'д’Д^)	(1)
и в форме Ньютона для интерполирования в конце таблицы
(1.7.9) по узлам х„, ,г„_ i,...,xn_,„:

Q(xn + hl) = f(xn) + £ ^2v7(x-n).

(2)

Здесь использовано обозначение <fi(t) = t(t + 1) • • • (Z + i — 1).

Вычислим производные многочленов (1), (2) no t и поло-
жим t = 0. Получим приближенные значения для производных
функции f(x) в точках а и Ь:

1=5

-| ?П ( 5 ) / л \

/5)(.Гп) « <2(5)7п) = 77 Е ^T^V7(zn),5 = 1,2,...,™.

1г /.!

Так как в формулу Эйлера — Маклорена входят производные
нечетных порядков, то приходится действовать по-разному в за-
висимости от четности in. Если m четное, то с помощью формул
(3) можно получить производные до порядка тп включительно.
Но in четное, поэтому можно использовать приближения к про-
изводным нечетного порядка до in — 1 включительно. Так как
в формуле Эйлера—Маклорена присутствуют производные до
порядка 2k — 3, то должно выполняться равенство 2k — 3 = m — 1,
откуда k = (m + 2)/2. Таким образом, в случае тп четного мы
берем формулу (13.5) при k = (in + 2)/2 и заменяем в ней произ-
водные функции f(x) в точках a, h по формулам (3). Остаточный
член /?2t(/) отбрасываем.

Если m нечетное, то с помощью формул (3) можно указать
производные нечетного порядка до in включительно. Из равен-
ства 2k — 3 = in находим k = (ni + 3)/2. Производные от /(.с) в
точках <1, Ь заменяются по формулам (3) и отбрасывается оста-
точный член R-,h(f).

Формулировку этих случаев можно объединить. Возьмем
формулу Эйлера—Маклорена (13.5) при k = [_(?n + 3)/2j, заме-
ним в ней производные порядка 1,3,..., 2k — 3 по формулам (3) и
отбросим остаточный член. Получим приближенное равенство

[ f(x)dxfsTn(f)—

J а

m . L(> + 1)/2J

-ЛЕт! Е ^P-1)(0)(V7(^n) + (—1)* △7(хо)).

Эту квадратурную формулу запишем в виде
гЪ	т

«=1

где

1 L0+’)/2J

а’ = •? Е (2j)T^2j 1)(0)’ » =	(5)

Формула (4) называется квадратурной формулой Грегори. При-
ведем несколько первых значений ог-: от = 1/12, о о = 1/24.
аз = 19/720, а4 = 3/160, о5 = 863/60480, о6 = 275/24192.

Из способа получения формулы Грегори следует, что она
обращается в точное равенство, когда /(ж) является многочле-
ном степени не выше т. Действительно, в этом случае интер-
поляционные многочлены (1) и (2) совпадают соответственно с
/(io + ht) и f(xn + ht), и равенства (3) для производных ока-
зываются точными, при этом остаточный член формулы (13.5)
обращается в нуль, так как в него входит производная порядка
2|_(m + 3)/2j от многочлена степени гп.

Число узлов квадратурной формулы (4) равно n + 1, и по
доказанному она точна для всех многочленов степени не выше
п, если т = п. По теореме 1.1 формула (4) интерполяционная,
а так как ее узлы такие же, как в формуле Ньютона—Котеса,
то квадратурная формула Грегори (4) при т — п совпадает с
формулой Ньютона—Котеса.

Докажем, что наряду с (5) для о, справедливо представление

ai=	i =1,2,3,...,	(6)

где ^»+1 (<) = t(t — 1)  • • (< — г). К интегралу i/1+i(/)(ft применим
формулу Эйлера—Маклорена (13.5) при п = 1, k = [(г -|-3)/2j,
h = 1. В этом случае Т1(ч/1+1) = 0 и в остаточный член входит
производная порядка 2[(t’+3)/2j от 0i+i(/) — многочлена степени
i + 1, так что /?2A:(V’i+i) = 0- Получим

,1	LG+1)/2J д г

tW(t)dt = - £	2^ ^-1)(1)_^-1)(0)1	(7)

7 0	j = 1 \£J)- L	J

Докажем, что

^Й(1)-^1(0) = (-l),+sG + r)^S)(0). 5 = 0,1,2,..., (8)

где = t(t + 1) • • • (t + i — 1). Очевидно, что

+ 1) - 0i+i(/) = (i + l)V't(i)-

Возьмем производную no t порядка s от левой и правой части
этого равенства и в полученном равенстве положим t = 0:

<\(1) -<\(0) = 0 + 1НЙ0).	(9)

Но 0,(1) = (—1	(—/), поэтому

= (_1Г+Ч(’)Н).

Полагая здесь t = 0, находим

0^(0) = (-i)’'+->Ro).

Из последнего равенства и равенства (9) получаем (8).

С помощью равенства (8) при s = 2j — 1 равенство (7) можно
представить в виде

1	L(<+D/2J о

0i+1(/)^ = (-1)41 + 1) £ ^^"^(О).

Сопоставив это равенство с (5), получим (6). Из (6) видно, что

а, > 0, i = 1,2,...

Для сокращения записи введем обозначение квадратурной
суммы формулы (4):

sm(f) = тп(П - л £a,(v7(^n) + (-ip д7Ы).

Теорема 1. Алгебраическая степень точности dm квадратур-
ной формулы Грегори (4) дается равенствами

( т, т — нечетное,
т~ [т+1, т — четное.
Локазательстно. Если ш = п. то формула (4) совпада-
ет с квадратурной фор.мулой Ньютона— Котеса, и утверждение
теоремы следует из теоремы 2.2. Поэтому при доказательстве
можем считать, что т < п. Пусть т нечетное. Так как квадра-
турная формула (4) точна для многочленов степени не выше in,
то доста точно доказа ть, что опа не точна, для многочлена /’(.г)
степени in + 1.

Квадратурная формула (4), в которой т заменено на. in + 1,
точи;; для /9(r):

/ P(x)dx = S,„+i(P).	(10)

J a

Так как разность квадратурных сумм

S,n+1(P)-Sm(P) =

= -hiym+l [V”’ + 1 Р(хп) + A”' + I Р(х0)] = -2а„1+1/1Д”1+1 Р(х0)

о тлична, от нуля, то из равенства (10) следует, что квадратурная
формула (4) не точна для многочлена Р(х) и </„, = т.

Пусть т четное. Сначала рассмотрим случай т = п— 1. Если
Р(х} -многочлен степени п, то

[ P{x)dx = S„(P).

J а

Так как

5„( Е) - 5п_!(Р) = -/ю„(Т',Г(т„) - Д"Р(.г())) = О,

то формула Грегори (4) при т = п. — 1 также точна для Р(х)
и тем самым точна для всех многочленов степени не выше п.
Но тогда она совпадает с квадратурной формулой Ньютона—
Котеса. и по теореме 2.2 ее алгебраическая степень точности
равна п = т + 1.

Осталось рассмотреть случай in п — 2. Если Р(.т) —
многочлен степени не выше т -4- 2 п, то для пего справедливо
равенство

J P(x)dx = S,n+-,{P).	(11)

Образуем разность квадратурных сумм

Sm+-,(P) - S,n(P) = -ham+i [Vm + 1E(.T,t) - Дж + 1Е(т0)] -

- ham+2 [V’"+2P(xn) + Д”‘+2Р(х-0)] . (12)
Гак как степень многочлена /'’(.г) не выше ?п4-2. то справедливы
coo гношения

V”’+IZ’(u:„) - △,',+ 1Р(.г11) = An,+1P(xn_m_1)- ±т+1Р(хо) =

= 1\т+-Р(х,	+ Д”‘+2 Р(.ги_,п_3) +  + Л'''+2Г(.с(,) =

= (П - >П - 1 )Д"'+- P(.-rn), Ът+2Р(хп) = Д"‘+2Е(.г0)

и (12) принимает вид

S;„+2(P) - S'm(P) = ~h [а,„ + 1 (п - т - 1) + 2а„1+2] Д'"+2/Д.1д).

(13)

Если степень Р(х) не выше гп. + 1, то Дт+2Р(хо) = 0 и из (13)
следует, что Sm+z(P) — Sm(P). Но тогда из (И) вытекает, что
формула (4) точна для многочленов степени не выше гп + 1.

Докажем, что формула (4) не точна для многочлена Е(з;) сте-
пени 7Н -I- 2. Для этого достаточно доказать, что множитель
ат+1(п — ?п — 1) + 2a„l+9 в правой части равенства (13) отличен
от нуля. Имеем

(77 - 1)1 - 1 )ci ,„+ ] + 2а-,п+2

(™ + 3)! /0

1)-..

•••(/ — 777 — 1 )[2(/ — 7/7 — 2) — (11 — 777 — 1) ( ТП + 3)]<Д. (14)

Так как п — тп 2. то

2(1 — 777 — 2) — (п — in — 1)(?» + 3)

2(1 — 7?; — 2) — (т + 3) = ‘21 — З/п — 7 < О

при t £ [0, 1]. Все множители под знаком интеграла в (14). кроме
I, отрицательны на (0,1) и их число 777 + 2 — четное, поэтому
интеграл положителен. Теорема доказана.

Приведем запись квадратурной формулы Грегори в безраз-
ностной форме для первых трех значений тп. При пт = 1 и п 3
имеем

[ f(x)dx&------- ~(f(x0} + f(.cn))+

Ja	n L12

1 3

+j^(/Gri) + /(+

Здесь и далее считаем, что f(xi) — 0- При п = 2 и in = 1

b — а
‘2

х

’ R	14	5

75/^0) + рт/(®1) +

1 L	I Z	1
При т = 2, п 5 формула Г регори принимает вид

[ f(x)dxK-—- ^(/(®о) + f(xn)) +	+/(хп-1))+

Ja	п [24	24

23	т—\

+ ^(/(z2) + /(a^-2)) +•
2=3

При т — 2 и п = 4 получаем

[ь г/ ч , b - а Г 9 ,, .	28	.

у f(x)dx и ——f(x0)+—f(x1)+

22ч 28	.	9 „

+ 24/(Ж2)+24/(а;з)+24/(:С4) '

При т = 2 и п = 3 формула (4) совпадает с квадратурной фор-
мулой 3/8, а при т=2ип=2— с формулой Симпсона.

При т = 3, п 7 квадратурная формула Грегори такова:

f(x)dx к L-- Ц1(/(2;0) + /(а;п))+

+ S/Ы + Л^п-1)) + ||j(/U-2) + Я*п-2)) +
/	I £AJ

739	?~4

+7^(/(хз) + /(х-„_з)) +.

§ 15. Метод Ромберга

Рассмотрим способ уточнения приближенного значения, ко-
торый называют также способом экстраполяции по Ричардсо-
ну. Пусть вычисляется приближенно некоторая величина I, при
атом способ вычисления зависит от параметра h > 0 и дает при-
ближенное значение

IvT(h).

(1)

Допустим, что мы имеем дополнительные сведения о поведении
разности I — T(h) как функции от h:

I-T(h) = dhr,	(2)
где i-натуральное число, d — постоянная, зависящая от вычи-

сляемой величины, от метода вычисления и слабо от h.

Например, при вычислении интеграла

(3)

по составной квадратурной формуле трапеций (3.14) в качестве
приближения к I берется квадратурная сумма

Т(Л) = h



(-1)

где h = (Ь — а)/п,	= а + ih. В предположении, что f(x) дважды

непрерывно дифференцируема на [а, 6], по (3.21) справедливо ра-
венство

I -T(h) = -b-^f"^h\ £е[а,б].	(5)

Это равенство имеет вид (2), при этом г = 2, d = — (6— а)/"(£)/12.

Так как постоянная d неизвестна, то равенство (2) не позволя-
ет уточнить приближенное значение T(h). В способе Ричардсо-
на предлагается найти еще одно приближенное значение T(2/i)
и снова воспользоваться равенством (2):

I-T(2h) = di(2h)r.

Получили два равенства

I= dhr, I T(;2h) = d{2rhr,	(6)

в которых неизвестными являются I, d, d\.

Будем считать, что d = d\. Тогда равенства (6) можно рас-
сматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными
I, d. Вычитая первое равенство из второго, получаем

T(/i) - T(2/i) = dh.r(2r - 1).

Отсюда находим dhr и подставляем в первое из равенств (6).
Получаем

/ = Т(Ч + ^™.

Z 1

На самом деле это равенство приближенное, так как, вообще
говоря, d dy. Способ экстраполяции по Ричардсону состоит
н том, что вместо приближенного равенства (1) используете л
повое1 приближенное равенство:

~ '2rT(h) — T(2h)

Продолжим рассмотрение задачи вычислении интеграла (3)
с помощью составной квадратурной формулы трапеций. Будсьм
предполагать, что /(.г) имеет непрерывны!? на [я. 6] производные
требуемого порядка. Нам понадобится квадратурная сумма (4)
при и — 4:

TW = ~j~ у + /1 + h + ./з + у

(8)

Зд. • !> использовано обозначение Д. = /(« + kh). Запишем еще
квадратурную сумму составной квадратурной формулы трапе-
ций. в которой расстояние между двумя соседними узлами рав-
но 2 li = (b — л)/2:

6 — с\ Г Л)	Г.-,

T(2h) = — у+ Ь + у 	(9)

Как мы видели, для составной квадратурной формулы тра-
пеций справедливо равенство (2) при г = 2. Чтобы получить
уточнение по Ричардсону, мы должны найти значение правой
части равенства (7) при г = 2:

(' этой целью умножим обе. части равенств (8) и (9) на 4/3 и
— 1/3 соответственно и сложим почленно:

4T(/i) — T(2/i) _ 6 - а

--- —g------ — ~Р2 ии + Ы 1 + *42 + ЫЗ + J4J •

Мы получили квадратурную сумму для вычисления интеграла
(3), которая совпадает с. квадратурной суммой составной фор-
мулы Симпсона (3.16). Положим S(A) = |4T(/i) — Т(2Л)]/3, и,
следовательно,

—|2~	+ 2/г + 4/з + /4] •	(19)

Заметим, что уточненная квадратурная формула I х S(h) имеет
алгебраическую степень точности 3 — на две единицы больше,
Ч'*М а .и 1 со | > а и ч иска л степень точности квадратурной формулы
/«//'(/О-

С: помощью формулы (3.23) при тп — 4 получаем

/ - Wo =	ML

1 о U

так что справедливо представление вида (2). в котором г = 4.
Снова можно воспользоваться способом уточнения по Ричард-
сону. (Запишем квадратурную сумму

5(2/<) = —-— [/о + 4/2 + Ли	(11)

и образуем в соответствии с (7) линейную комбинацию

165(/i) - 5(2/1)

15

Умножим равенства. (10), (11) па 16/15 и —1/15 соответственно
и сложим почленно. Получим

С(/>) =	[7/о + 32/1 4- Г2Д> + 32/з + 7/4].

Это квадратурная сумма, формулы Ньютона—Котеса с пятью
узлами.

Дальнейшее уточнение по Ричардсону невозможно, так как
квадратурная сумма С(2//) должна содержать пять узлов, в то
время как при п — 4 равноотстоящих с шагом 2/|. — (b — a)/2 точек
на. [<7,6] только три. 11 родолжение уточнения было бы возможно,
если п = 8 или п = tj. где j — натуральное число, j > 2. Дей-
ствительно. с помощью равенства (2.31) можно показать, что

I - C(h) = y/i6.

При г = 6 из формулы (7) получаем квадратурную сумму
64С.//1) — C\'2h )j /63, которая определяет новую квадратурную
оор.мулу. Алгебраическая степень точности этой формулы рав-
на 7. Мы не будем доказывать, что уточнение по Ричардсо-
ну возможно продолжить, если четное п достаточно большое и
если функция /(х) имеет производные требуемого порядка.

Дадим описание схемы вычисления интеграла (3) методом
Ромберга. Введем обозначение для квадратурной суммы (4) при
п = 2к:

Ты = (Ь- а)2-‘

^+Зё‘л4‘’)+®

2=1

, fc = 0,1,2,..., (12)
Таблица 16

Too				
Т10	Toi			
?20	Т11	То2		
Тт-2,а	Тт-3,1	Тт —4,2	•	То,„,-2	
Т,п-1,0	Тт —2,1	Тгп-3,2	Т],т-2	ТЬ.тп—1
Т’тО	Тт-1,1	Tn—2,2 	Т2,„,-2	Т1,т-1 Тот

где = а + j(b — а)'2 к. Вычисления в методе Ромберга сво-
дятся к составлению табл.16.

В первом столбце таблицы стоят квадратурные суммы (Г2)
составной формулы трапеций. Числа второго столбца Ты по-
лучаются из чисел первого столбца по формуле

= (47’,+ 1.0-Т,0)/3, k = Q, 1,2,. ..,777-1.

Как мы видели, Ты представляет собой квадратурную сумму
составной формулы Симпсона с узлами + = a+j(b — а)2-1’-1.
j = 0,1,..., 2fc+1.

Числа Tki из (/+1)-го столбца получаются из чисел /-го столб-
ца по формуле

22/7fc+i,/_i - Л (-j

Тк1 = ----z22)— t, к = 0,1... .,1п - /•	(13)

Tki является квадратурной суммой, в которой узлами являются
точки a:jfc+= а + j(b — л)2_А'_,! j = 0,1,..., ‘2к+!. Можно пока-
зать, что соответствующая квадратурная формула I ~ T^i име-
ет алгебраическую степень точности 2/ + 1 и ее коэффициенты
положительны.

В качестве приближения к интегралу / берется 7цт — един-
ственный элемент столбца с номером тп + 1. Ориентировочное
представление о точности приближения TrJm можно получить,
если сравнить Тот и TiiTn-i- При описании вычислительной схе-
мы метода Ромберга предполагается, что функция f(x) имеет
непрерывную производную порядка 2m.

При составлении таблицы чисел Ты основная часть вычисли-
тельного труда затрачивается на вычисление элементов перво-
го столбца Tko- Квадратурную сумму Tto при к 1 представим
в виде

„	(к) (fc-i)

Так как i',/ = £5	, то получаем

Тк0 =	+ (6 - а)2~к £ f (х^) .

5 = 1

Таким образом, вычисление Тко сводится к вычислению значе-
ний функции f в узлах с нечетными номерами

х^ = а + (2.S - 1)(6 - а.у2~к, s = 1,2,..., 2*“1,

и к использованию ранее найденного значения

Элементы второго и следующих за ним столбцов определя-
ются формулами (13). Вычисления по этим формулам почти
столь же просты, как вычисление конечных разностей.

Другой подход к построению вычислительной схемы мето-
да Ромберга дает формула Эйлера -Маклорена (13.5), которую
мы запишем при k = m -I- 1:

m

I =	+	+ /?2m+2(/i),	(14)

J=i

где I — интеграл (3), Т(Л)— квадратурная сумма составной ква-
дратурной формулы трапеций (4),

=	j = 1,2,...,ш, (15)

(<?)! L J

52m+2

/?2m+2(/i) =	т) G [a, 6]. (16)

+ 2)'.

Для упрощения записи мы не отмечаем зависимость величин
I, T(h), a.j, /?2;п+2(Л) от /• Считаем, что функция f имеет непре-
рывную производную порядка 2m + 2 на [а, 6]. Представление
(16) для Я2т+2(Л) имеет место в силу теоремы 13.1.

Формула Эйлера—Маклорена позволяет уточнить прибли-
женное значение T(h') интеграла I, при этом погрешность уточ-
ненного приближения по (16) имеет порядок h2m+2. Однако вы-
числение чисел cij по формуле (15) во многих случаях оказыва-
ется практически невозможным. Об этом уже шла речь в § 14
перед получением формулы Грегори. Рассмотрим следующий
способ уточнения приближенного значения Т'(Л), который осно-
ван на формуле (14), но не требует вычисления чисел (15).

Положим

hk = (6 - а)/пк, к = 0. 1,. ... т,

где по < п\ • • • < пт—натуральные числа. Предположим, что
вычислены значения T(hk) при к = 0, 1, . .., 7?7. Запишем формулу
(14) при Л = hk:

I ~ T(hk) + '^/ajh2kj + T?2m+2(M.	= 0,l,...,m.	(17)

1 = 1

Пусть числа ск удовлетворяют условию

ГП

Ecfc = 1-	(с

к = 0

Умножим обе части равенства (17) на ск и просуммируем по к
от 0 до т. Получим

т	т	т	т

I = Y,ckT(hk) +	+ ^ckR2m+2(hk).	(19)

t=0	j=l k=0	k-0

Потребуем, чтобы

У7 ckh2k =0, j - 1,2,..., m.
k = 0

Эти m равенств и равенство (18) составляют линейную алге-
браическую систему относительно неизвестных чисел ск:

c0h20j + c}h2j --h cmh% = 6j0, j = 0, 1,..., m, (20)

где 6jo — символ Кронекера. Матрица этой системы

К'1?'.....'С.

неособенная, как матрица Вандермонда, определяемая числами
/Zg> /!?>• •> С-

Обозначим через Zjt(x), к = 0,1,..., т, фундаментальный
многочлен интерполирования (1.3.8), построенный по узлам
h20, h?m, так что

/t(/l?) = C, j = о, 1, . . .,771,	(21)
6kj— символ Кронекера. Многочлен /fc(x) степени т запишем
подробно:

lk(%) = bko + bkix +    + Ькт%т. k — 0,1,...,m. (22)

Умножим j-e уравнение системы (20) на bkj и просуммируем
по j от 0 до т. Получим

гм	т	т

с0 ^2 "Ь С1	+ ' ' ' + СМ1 У7 bkj Ь.^ = bkOt

j=O	j=O	j=0

или в силу (22)

colk (Aq) + cJt (/ij) + • • • + Cmlk (А^,) = Ik (0) •

На основании (21) из этого равенства получаем

Ск = (0), k = 0,1,..., т.

Таким образом, равенство (19) принимает вид
т	т

I = £/rW(Afc) + E/fc(0)rt2m+2(Afc),	(23)

к=0	к=О

и для интеграла I находим новое приближенное значение:
т

I*^lk(0)T(hk).	(24)

к=О

Второе слагаемое в (23) нам неизвестно, и его можно рассма-
тривать как погрешность приближенного равенства (24).

Правая часть равенства (24) представляет собой значение в
точке х — 0 интерполяционного многочлена Р(х) в форме Ла-
гранжа удовлетворяющего в узлах условиям

Р(А;) =T(/i5), s = 0,l,...,m.

Для вычисления значения многочлена Р(г) при х = 0 вос-
пользуемся безразностной схемой интерполирования Иевилля
(см. § 8 гл. 1), которая приведена в табл. 17. Здесь Poi2...m равно
значению интерполяционного многочлена Р(0).

Таблица, 17

P(j T(h.o')	/1?

hf	Рог	Щ

Ц T(h2) Р12	Р012

L T(hтп)	Ртп — 1,7П	Рт-2,т~1,т	•••	Pl2...m ^01.,,HI
В случае

hf = (6 — а)2 ’, s = O,l,..., тп,

табл. 17 совпадает с табл. 16 в методе. Ромберга. Столбец
табл. 17, содержащий элементы Т(Л5) = 7<о, совпадает с пер-
вым столбцом табл. 16. Элемент Р,-|+1 следующего столбца в
табл. 17 вычисляется по формуле

, _	1 Ж)

!'!+1-A4i-A7 Ж+1)

=

^7+1

А7+1То — h'lTi+\io _ 471+1,0 — 71-0
^+1-Л,?	" з

и совпадает с элементом Тц второго столбца табл.16. Таким
же путем можно убедиться, что и остальные столбцы табл. 17
в методе Невилля совпадают с соответствующими столбцами
табл. 16 в методе Ромберга.

Пример 1. Вычислим интеграл

= 0,693147180

методом Ромберга. Подынтегральная функция х 1 имеет про-
изводные всех порядков на отрезке [1,2].

Таблица 18

i	Ti0	Г.-,,!	Т|_2,2	Т-з,з	Т-4,4
0	0,75				
1	0,708333333	0,694444444			
2	0,697023809	0,693253967	0,693174603		
3	0,694121850	0, 693154532	0,693147901	0,693147479	
4	0,693391202	0,693147652	0, 693147193	0,693147182	0,693147181

Результаты вычислений приведены в табл. 18. Мы получили
I л; Тол = 0,693147181. Значение Теи отличается от значения
Т13 = 0,693147182 последней цифрой, поэтому есть основание
полагать, что первые восемь десятичных знаков верны. Так оно
и есть на самом деле.
Производные подынтегральной функции х вычисляются
просто, поэтому можно воспользоваться формулой Эйлера—
Маклорена (14) для уточнения значения:

Т(Ь) = Т40 = 0,693391202, Л =1/16.

Использование одного и двух поправочных слагаемых дает со-
ответственно значения

I « Т40 + ахК- = 0,693147061,

I « T40 + ai/i2 + a2/i4 = 0,693147180.

Здесь Qi = —1/16, а2 = 1/128 вычислены по формуле (15).

§ 16.	Вычисление интегралов
от быстро колеблющихся функций

Рассмотрим важные примеры интегралов от быстро коле-
блющихся функций:

ъ	ь

У /(т) cos kx dx, У f(x) sin kx dx,	(1)

d	a

где k — достаточно большое положительное число. Эти инте-
гралы в случае [а, 6] = [0, 2тг] и к целого неотрицательного пред-
ставляют собой коэффициенты разложения функции /(т) в три-
гонометрический ряд Фурье.

Вещественная функция называется быстро колеблющейся,
если она имеет большое число максимумов и минимумов. Вычи-
сление интегралов от таких функций связано с большими труд-
ностями, которые вызываются тем, что быстро колеблющуюся
функцию невозможно приблизить многочленом невысокой сте-
пени. Если подынтегральная функция представляет собой про-
изведение двух функций f(x}tp(x), где /(а:)— гладкая, а <р(х)—
быстро колеблющаяся, то естественно воспользоваться интер-
поляционной квадратурной формулой с весовой функций <р(х).

Рассмотрим квадратурные формулы Филона [60] для вычисле-
ния интегралов (1), которые основаны на идее выделения в вес
быстро колеблющегося множителя. Для определенности будем
говорить о первом из интегралов (1). Отрезок [а, 6], который мы
считаем конечным, разобьем на 2п частичных отрезков одина-
ковой длины точками

xs — a + sh, h = (b — а)/(2п), s = 0,1,..., 2п.	(2)

Имеем

ъ	п-1

/ /(х) cos kx dx =	/ f(x) cos kx dx.	(3)

a	>=° 4

Для вычисления интеграла по отрезку [aioj, i2;+2] построим
интерполяционную квадратурную формулу с весом cos kx и с
тремя узлами — концами отрезка и его серединой:

х2]+2

J f(x) cos kx dx xt

x 2j

~ 2^2},of (^2j) + -^2},1 f(x2j + 1) 4” -^2j,2f{x2j + 2)>

j = 0,1,.. .,n- 1. (4)

Коэффициент Л2;,« отвечает узлу a:2j+i, i = 0,1,2. Интеграл
под знаком суммы в (3) заменим квадратурной суммой формулы
(4). Получим

ъ

j Дх) cos kx dx ss ^оо/(я) + ^2n-2,2/(^) +
а

+ У?(^2),2 + A2j + 2,o)f(x2j+2) + A2j,lf(x2j + 1)- (5)
j = 0	j = 0

He будем приводить вычисление коэффициентов интерполя-
ционной квадратурной формулы (4), а ограничимся тем, что вы-
пишем коэффициенты формулы (5):

Лоо = h [(/3/2) cos ka — a sin Ага],

Лгп-2 2 = h [(/3/2) cos kb + a sin kb],
'	(6)

A?j t2 + AoJ + 2,0 = h/3 COS kxoj+2, j = 0,1,..., n - 2,

^2j,i = ^7 cos kxzj + i, j = 0,1,..., n — 1.

Здесь использованы обозначения

a = (02 + 0sin 9 cos 0 — 2 sin2 0) /93,

(3 = (20(1 + cos2 0) — 4 sin 0 COS 0) /03,	(7)

7 = 4(sin 0 — 0 cos 0)/03, 0 = kh.
С помощью (6), (7) квадратурную формулу (5) запишем в том
виде, в каком она обычно приводится:

Ь

/ f(x) cos kx dx h — af(a) sin ka + af(b) sin kb+

a

, „(f {a) cos ka + f(b) cos kb ,	\

+	------------2------------h	, f\XV+‘i) Cos kx2j+2) +

j=0

n-1

+ 7 5? /(^j + i) cos kx2j + l
j=0

(8)

где h, xs определены равенствами (2), о, /?, у—равенствами (7).

Коэффициенты (6) квадратурной формулы (5). отвечающие
узлам х0 = а и х2п = 6, представляют собой сумму двух слагае-
мых: одно из них содержит множитель /?, другое — множитель а.
Слагаемые, содержащие множитель в, в формуле (8) отнесены
к той части квадратурной суммы, которая содержит значения
функции /(х) в узлах с четными индексами.

Аналогичным путем получим квадратурную формулу для вы-
числения второго из интегралов (1):

ъ

f(x) sin kx dx йз h af(a) cos ka + af^b) cos kb+

a

, / f (a) sin ka + f(b) sin kb v—'	.	\

+	—-------------------- + / - Я^2;+2)	kx2j+2) +

3=0

n — 1

+ у	/(^2j+1) sin kx2j+1

J=o

(9)

Здесь параметры Л, xs, a, /3, у те же, что и в (8).

Пусть к, г — натуральные числа. Если b — а = г2тг и /(л) —
периодическая с периодом b — а функция, то первые два слагае-
мых в формулах (8) и (9) взаимно уничтожаются.

При вычислении интегралов по формулам (8) и (9) выбор па-
раметра Л. находится в распоряжении вычислителя. Ясно, что
чем больше k, тем меньшим следует выбирать h (например, мож-
но требовать выполнения неравенства 9 = kh < 1).

Преобразуем сумму

Sn = ы0 - г>1 + v2 - ... + (—l)nun.	(10)
Последнее слагаемое в правой части (10) переставим на первое
место:

Sn = (-l)nUn 4- г>0 — V1 4- v2 — . - - 4- (-l)“-1Dn_i

и полученное равенство сложим почленно с равенством (10).
Имеем

2Sn = V0 + (-l)’lVn - (t>l - Do) + (D2 - 1’1) - • • • + (—l)n(l'n - Dn-1).

Воспользуемся обозначением конечных разностей и запишем
это равенство в виде

S,

Vo + (-l)"un	1 с

-----2-------2 s-1

(11)

где

S’n-i = Ado — A^i + Af2 —	+ (—1)" 'Avn_i. (12)

Сумма в правой части (12) имеет такой же вид, как сумма
(10), поэтому ее можно преобразовать с помощью (И):

Sn-l

Av0 + (-l)n-1Aun 1	1

2	2 ’

(13)

Здесь

Sn-2 = А2«0 - A2D1 + A2D2 - .  • + (-l)n 2A2Dn-2-	(14)

Заменим Sn-i в (11) правой частью равенства (13). Получим

где Sn-2 определяется равенством (14) и имеет вид (10), так что
можем продолжить преобразования. После р п преобразова-
ний найдем

Sn = 2-4 - 2-2Av0 + 2"3АЧ - ... + (-1)Р-12-рА?-Ч +

+ (-1)"(2-Ч + 2_2Avn_1 + 2-3A2vn_2 + ... + 2"pAp-1vn_p+i)+

+ 2"p(-l)p(Apuo - Apn + Дри2 - ... + (-1)п-рДр^_р). (15)

ь

Предположим, что интеграл f /(x'fdx, где f(x) является бы-
а

стро колеблющейся функций, удалось представить в виде сум-
мы (10). Например, пусть f(x) имеет п корней Xi внутри (а, 6):

Xо — О < .Ej < 2.2 < 2?з < ' ' '	2?п <6 — 2?^^.}.
Положим

Vi — ( — 1)г у f(x)dx, i = 0,1,..., п.

Тогда

Ь

У f(x)dx = Sn,	(16)

а

где Sn определяется равенством (10). Считаем, что f(x) сохра-
няет знак на отрезке [ш,-, х,!-+ J и имеет разные знаки на соседних
отрезках, при этом т, / 0, i = 0,1,..., п.

Метод Лонгмана [65] приближенного вычисления интеграла
(16) основан на равенстве (15). Если значения т, таковы, что
разностями порядка р в равенстве (15) можно пренебречь, то
получим приближенное равенство

р-i	Р-1

/	+	(17)

Ja i=o	j=o

которое и используется в методе Лонгмана для приближенного
вычисления интеграла. Для вычисления правой части равен-
ства (17) достаточно знать р первых значений Vj, т. е. значения
т0, г>1,.. ., Vp-i, и р последних значений тп, i’n-i,.. ., Tn_p+i.

В ряде случаев для вычисления интегралов от колеблющих-
ся функций можно воспользоваться интегрированием по частям.
Ограничимся рассмотрением интегралов (1), записанных в ком-
ъ

плексной форме f f(x)e'kx dx. Функция /(г) считается веще-
а

ственной и т раз непрерывно дифференцируемой на [а, 6].

Интегрируя т раз по частям, получаем

Ь	,

У f(x)eikldx = £	+

Если k — достаточно большое число, то множитель перед ин-
тегралом в правой части равенства будет мал и вычисление
этого интеграла можно выполнить с меньшей точностью, чем
вычисление исходного интеграла.
§ 17. Вычисление несобственных интегралов

Большинство квадратурных формул с весом 1

(1)

а	^' = 1

рассмотренных в настоящей главе, основано на замене подынте-
гральной функции F(x) алгебраическим многочленом или в слу-
чае составных квадратурных формул — сплайном. Такая ква-
дратурная формула может привести к результату высокой точ-
ности, если функция F(x) имеет непрерывную на [а, 6] производ-
ную достаточно большого порядка.

Если интеграл в (1) несобственный и, следовательно, F(x) не
ограничена на [а, 6], то вычисление интеграла по формуле (1) вы-
полнить нельзя, если хотя бы один ее узел совпадает с особой
точкой F(x). Но даже если узлы не совпадают с особыми точка-
ми F(x), результат вычисления будет плохим, так как хорошее
приближение неограниченной функции многочленом невозмож-
но. Более того, результат будет плохим, если F[x) непрерывна
на [а, 6], но ее производная невысокого порядка не ограничена.

Для вычисления несобственных интегралов применяется ме-
тод мультипликативного выделения особенности. Он состоит в
том, что подынтегральная функция разлагается в произведение
двух функций:

F(x) = w(x)J\x)	(2)

Функция ш(х) содержит все особые точки F(x) или ее произ-
водных невысокого порядка, a f(x) имеет непрерывную произ-
водную достаточно высокого порядка. Для вычисления инте-
грала от функции (2) применяется интерполяционная квадра-
турная формула с весом и>(х). Такие квадратурные формулы
рассматривались в настоящей главе. Например, квадратурная
формула гауссова типа (7.1) с весом Якоби

w(x) = (1 — х)“(1 + х)0.	[а, 6] = [—1,1],

а > —1, (3 > —1.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования так-
же относятся к несобственным. Для определенности будем го-
ОО

ворить об интеграле вида f F(x)dx. Интерполяционные ква-
а
дратурные формулы для его вычисления обязательно долж-
ны иметь вес w(i'), удовлетворяющий условию lirnr__TC w(a;)=0.
Стремление к нулю должно быть достаточно быстрым для то-
го. чтобы обеспечить существование моментов — интегралов
f w(x)xs dx, s = 0,1,2,... Квадратурные формулы гауссова ти-
а

па. с весом Чебышева—Эрмита (7.22) и с весом Чебышева—
Лагерра (7.25) являются примерами интерполяционных квадра-
турных формул для вычисления несобственных интегралов с
бесконечными пределами интегрирования.

Рассмотрим еще квадратурную формулу прямоугольников
для вычисления несобственного интеграла по (—оо,оо):

7

/ f(x)dx&h £ /(jft), /1 > 0.	(3)

-оо	i=-~

Пусть /(;) = f(x + iy) является функцией комплексного перемен-
ного z, регулярной в полосе |у| <т и удовлетворяющей условию
\f(z)\ <i С|а:|-2 при X —+ оо, где С > 0 — постоянная. Тогда для
погрешности R(f) квадратурной формулы (3) справедливо не-
равенство

ОО

И/)1 ^a/h _ ] / № + '<Т)1 + 1Лз; - «О') |)da-.
— ОО

Из этой оценки видно, что при уменьшении h погрешность убы-
вает по показательному закону [47].

Для вычисления несобственных интегралов применяется так-
же метод аддитивного выделения особенности [17]. Рассмотрим
этот метод для случая интеграла

ь

/ = j\x-x1)af(x)dx,	(4)

а

где отрезок [а, 6] конечен, ац € [а, Ь], f(x^) / 0, а — не целое чи-
сло, удовлетворяющее неравенству а > —1. Функция /(л) пред-
полагается достаточное число раз непрерывно дифференцируе-
мой на отрезке [а, 6]. При а < 0 интеграл (4) несобственный,
а при а > 0 производная подынтегральной функции порядка
[а] + 1 не ограничена.
Функцию /(i) представим в виде f(x) = fi-_/x) + R(x), где

k-i

fk-iH =

j=o



есть разложение функции f(x) по формуле Тейлора в окрестно-
сти точки 11, содержащее степени х — i'j до k — 1 включительно.
Интеграл (4) можно представить в виде I = Ц + /о, где

ь	ь

h = x1)afk^i(x)dx,I2 = j(x -	- Л-iW] dx.

а	а

Интеграл Ц вычисляется точно. Подынтегральная функ-
ция в интеграле 12 имеет непрерывные производные до порядка
[oj + k, поэтому вычисление 12 можно выполнить с помощью
квадратурной формулы.

Пример 1. Вычислить интеграл

1

I = У \/1 - х2 dx =	= 0, 785398.

о

Функцию у/1 — х2, которая имеет неограниченную первую про-
изводную при 1 = 1. представим в виде т/1 — xf(x), где
f(x) — т/1 + я имеет на [0, 1] производные всех порядков. В раз-
ложении f(x) по формуле Тейлора в окрестности 11 = 1 возьмем
два слагаемых, так что

/1(а:) = 72+(У2/4)(г:-1).

Интеграл /1=	\/1 — i/i(a:)(/i вычисляется точно: /1=17-^2/30 =

0,801388. Интеграл 12 =	у/1 — х [v/1 + х — fi (я)] dx вычисляем

по формуле Симпсона (2.19). Получим 12 = —0,016093, откуда
/ = /1 + 12 = 0,785295, что отличается от точного значения на
единицу четвертого десятичного знака. Заметим, что приме-
нение формулы Симпсона непосредственно к интегралу I дает
I % 0,744.
§ 18. Квадратурные формулы для вычисления
сингулярных интегралов

Пусть функция /(г) задана на конечном отрезке [а, 6], не огра-
ничена в окрестности точки с, « < с < Ь, и интегрируема на
каждом из отрезков [а, с — е], [с + е',6] для сколь угодно малых
положительных чисел £ и г'. Если существует предел

lim
е—о
с' —О

(1)

когда Е, с' стремятся к нулю независимо друг от друга (остава-
ясь положительными), то этот предел называют несобственным
интегралом от функций /(.г) по отрезку [а, 6].

Может случиться, что предел (1) не существует при незави-
симом стремлении е, е1 к нулю, но он существует, если г, е' при
стремлении к нулю связаны равенством £ = е'. В этом случае
предел (1) называется главным значением интеграла по Коши и
обозначается как обычный интеграл:

(2)

Название «главное значение» (но-французски valeur principal)
также ввел О. Коти. Иногда интеграл в смысле главного зна-
чения обозначают

-ъ	ь

У f(x)dx, -j-ffx'jdx.
а	а

В русской математической литературе интеграл в смысле
главного значения по Коши принято называть сингулярным ин-
тегралом.

Рассмотрим пример сингулярного интеграла, когда функция
/(i) = 1/(л — с), где а < с < 6. Она интегрируема на [а, с — е] и
[с + е', 6] при сколь угодно малых положительных £, £', при этом

dx

х — с

, b — с , £

- In-----------1- In — .

с - а £
Из этого равенства видно, что предел (1) для этой функции при
независимом стремлении г и е' к нулю не существует, так как
е/с' не имеет предела. При 5 = г' предел существует, и мы
получаем значение сингулярного интеграла

ь

Пусть функция f(x) на [а, Ь] удовлетворяет условию Липшица
с показателем а. Это означает, что существуют такие постоян-
ные М > 0 и а, 0 < а 1, что для любых х, у из [а, 6] выполняется
неравенство

I/W - Л</)| Л/|т - < .	(4)

Тогда сингулярный интеграл

I(f)=[^-dx	(5)

J х - с
а

существует при всех с из интервала (а, 6).

Приведем доказательство этого утверждения. Интеграл (5)
представим в виде суммы двух интегралов:

ад jK^dx + nc}[^

J	X - с	J х - с

а	а

Первый интеграл не является сингулярным и существует, так
как в силу условия (4) подынтегральная функция удовлетворяет

неравенству

- /(с)

X — с

М\х-с\а~} .

Второй интеграл сингулярный и существует на основании (3).

Для сингулярных интегралов имеют место свойства обычных
интегралов. В частности, в приведенном доказательстве было
использовано свойство аддитивности и однородности интегра-
ла.

Рассмотрим вопрос о построении квадратурных формул для
вычисления сингулярного интеграла

ь

= [ w(z) dx,	(6)

J х - с
а
где с £	Этот интеграл отличается от (5) тем. что по-

дынтегральная функция содержит множителем весовую функ-
цию w(a:), которая предполагается неотрицательной на [а, 6] и
такой, что существуют ее моменты

ь

[ik = У w(x)xk dx, k = 0,1,2,...,
а

при этом ро > 0- Предполагаем также, что сингулярный инте-

грал

X — с

существует при любом с 6 (а, Ь).

Выберем на [а, Ь] попарно различные точки ац, ам,..., хп, от-
личные от с, и обозначим через Р(а:) интерполяционный мно-
гочлен функции f(x), построенный по этим точкам как узлам.
Запишем Р(х) в форме Лагранжа:

РИ = Е

а=1

wn(*)

(а; - Xj)u>'n(xj)



где шп(х) = (х - a?i)(a: - т2) ... (а; - хп).

В интеграле (6) функцию f(x) заменим интерполяционным
многочленом Р(х). Получим приближенное равенство

п

(7)

7=1
где

С,= Д.	J = 1,2....(8)

J (•£ "ЭХ2- с)ип(х11
а

Здесь интеграл понимается как сингулярный.

Преобразуем интеграл в (8), разложив дробь 1/ [(a:—Xj)(x — с)]
на простейшие:

1 _ 1 1__________________1_

(х — Xj )(х — с) Xj — с [а: — Xj х — с

Формулу (8) для коэффициентов можно записать в виде

Cj=(Aj-Bj)/(xj-c), j = l,2,...,n,	(9)
где

ь

f ш(х)шп(х)

J (х - Х;)о<(х,)
а

b

f ы(х)ып(х) _
J (а-’-фп^)

а

(10)

(11)

Интеграл в (10) является обычным, он существует как инте-
грал от произведения веса на многочлен степени п — 1 и явля-
ется коэффициентом интерполяционной квадратурной формул с
узлами хц,. .., хп для вычисления интеграла

ь

/(/) = У и.(1-)/(хЖ	(12)

а

Интеграл в (11) сингулярный. Запишем его в виде

Первое слагаемое в правой части этого равенства является
обычным интегралом, второе — сингулярным. Оба они суще-
ствуют в силу предположений о весовой функции ic(x).

Квадратурная формула (7), у которой узлы попарно различ-
ны. отличны от с и принадлежат [я. 6]. а коэффициенты опреде-
ляются с помощью (8), называется интерполяционной.

Для того чтобы квадратурная формула (7) с п попарно раз-
личными узлами, отличными от с. была интерполяционной, не-
обходимо и достаточно, чтобы она была точна, когда, /(х)—
любой многочлен степени не выше п. — 1.

Доказательство этого утверждения не приводим. Оно такое
же. как доказательство теоремы 1.1. Таким образом, интерпо-
ляционная квадратурная формул (7) точна, когда f(x) — любой
многочлен степени не выше п — 1.

Пусть теперь один из узлов хц , хо, ..., хл совпадает с с, на-
пример Xi = с. Тогда коэффициенты квадратурной формулы (7)
определяются равенствами (8) при j — 2, 3,..., п и

С. = Д “Фи >

j (x-xi)-w;(xj)
а
Квадратурная формула (7) и и этом случае точна для любого
многочлена степени не выше и — 1.

П редположим теперь, что и.>„(х-) — ортогональный относитель-
но w(j:) и [п.5] многочлен, так что его корни — узлы квадра-
турной формулы гауссова типа для вычисления интеграла (12).
Пусть, как и ранее, корни о.',,(.г) отличны от с, другими словами,
wn(c) 0. Построим интерполяционную квадратурную форму-
лу для вычисления интеграла (6), у которой узлами являются
с, 11,.. Квадратурная формула имеет вид

п

7(/,с) «	х0 = с.	(13)

2=0

Положим Q(a:) = (2; — с)а?г[(т). Имеем f2'(x) = шп(г) + ш'п(х)(х — с),
так что

= (xj -с)ш^(г-у), j = 1,2,

Q'(.ro) = wn(c). При j ф 0 по формуле (8) получаем
ь	ь

/и;(а.,)О(т) dx	1	7 w(x)wn(x)dx

(х - х,)(х - c)Q'(Ty) ~ Xj - с J (х* - Xj)u'n(xj) ’
а	а

j = 1,2,..., п.

При j = 0 также с помощью (8) находим

Ь	ь

/ w(t)Q(t) dx	Г w(x)wn(x) dx

(x - x0)(x - c)Q'(x’q) J (x - c)wn(c)
a	a

Таким образом, коэффициенты формулы (13) даются равенства-
ми

D„ = "[	(14)

у (г - c)w„(c)
а

, = 1>2...п (15)

Xj-cJ (х - Xj)w'n{Xj)

а

Докажем, что алгебраическая степень точности квадратур-
ной формулы (13) равна 2п. Возьмем многочлен Р(х) степени не
выше 271 и докажем, что дл я него формула (13) точна. Выполним
деление Р(л) на (л — с)а;„(л). Получим

Р(г-) = (л - с)шп(л)д(л) + г(л),	(16)

где частное д(х) имеет степень не выше п — 1. а остаток г(г) — не
выше п. Имеем

ь

ь

-----dx.

х — с

а

Здесь первый интеграл равен нулю по свойству ортогонально-
сти шп(х), а второй вычисляется точно с помощью квадратурной
формулы (13), так как степень ?’(л) не выше п. и мы получаем

/(Л.с) = £^г(.ф)= >^'ЛР(ф).
7=11	j=()

Замена 7'(.i’j) на /J(.rj) законна в силу равенства (16). Доказали,
что формула (13) точна, когда /(л) = /’(л).

Для многочлена (л —с)а?‘(л) степени 2?i + 1 квадратурная фор-
мула (13) не точна, так как f И'(л)и;р1(г)с1л > 0, а квадратурная
сумма равна нулю.

Рассмотрим случай, когда cj„(c) = 0, другими словами, ко-
гда с совпадает с одним из корней ортогонального многочле-
на uin(a?). Пусть, например, с = .rj. В этом случае есте-
ственно функцию /(л) заменить ее интерполяционным многочле-
ном Эрмита Н„(х) степени не выше и. построенным по узлам
л’1, л’2, ... лп, при этом узел Л] двукратный, a jj. j = 2,3,.. .. н,
простые. Считаем, разумеется, что функция /(.с) имеет конеч-
ную производную /'(a?i).

С помощью формулы (1.4.24) получаем

Ял(.г) =

п

Лх'1)+

цп(а-~)(д-- - Ji)
(л — Xj )w„ (Xj )(Xj — Л’1)

/to).

Заменяя /(л) на Нп(х) в интеграле (6), получаем квадратур-
ную формулу

(17)

п
где

ь

Г' л г< [ I \	-^n^)dx

G = А, Gi = / w(i-)---------	- -7 Л1,

J (r-i’J-w^ar!) 2w^(ari)

Gj = Aj , j = 2,3,...,n.

Xj — X}

Здесь Aj, j = l,2,...,n, определяются формулой (10), в кото-
рой шп(х) следует считать ортогональным относительно w(x)
и [а, 6] многочленом, и, следовательно, zlj —коэффициенты ква-
дратурной формулы гауссова типа для вычисления интеграла
(Г2). Заметим, что коэффициенты Gj, j — 2,3,...,п, отвечаю-
щие простым узлам, совпадают в коэффициентами квадратур-
ной формулы (13).

Нетрудно проверить, что алгебраическая степень точности
квадратурной формулы (17) равна 2я

Пусть <дп(л) — приведенный ортогональный относительно w(.t)
и [а, 6] многочлен степени п. Рассмотрим функцию

ь

„ = 123.....

J х-у
а

которая при сделанных предположениях о весе w(x’) определена
для всех у 6 (а, 6). Если хк —корень шп(г), то шп(х)/(х — ац.) —
многочлен степени п — 1, и интеграл

ь

[ щ(т)шп(т)

<7„(1Ц.) = /--------dx

J х- хк
а

можно вычислить точно с помощью квадратурной формулы
гауссова типа с п. узлами и с весом w(z). Получим

qn(rk) = Акш'п(хк),	(20)

где Ак > 0. Так как корни хк многочлена шп(х) простые, то
и'Лхк) ф 0 и знаки си'п(хк), /с = 1,2,..., я, чередуются. Отсюда
и из (20) следует, что между любыми соседними корнями шп(х)
имеется по крайней мере один корень функции qn(x). Из (20)
также ясно, что если gn(c) = 0, то шл(с) ф 0.

Обозначение (19) позволяет кратко записать коэффициенты
(14), (15) квадратурной формулы (13):

Do = gn(c)/w„(c), Dj =Aj/(xj~ с),

Ai = qn(xj)/U'n(xj')! j=l,2,...,n.
Если = 0, то w„(c) ф 0 и, следовательно, квадратурная фор-
мула вида (13) существует, при этом по формуле (21) получаем
Do = 0. Квадратурная формула (13) принимает вид

1=1

Xj — с

(22)

где Aj определяются равенствами (21) и представляют собой
коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа для вы-
числения интеграла (12). Внешне квадратурная формула (22)
выглядит как квадратурная формула гауссова типа для вычи-
сления интеграла (6) с весом к'(х') от функции /(х,)/(х> — с). Алге-
браическая степень точности квадратурной формулы (22) равна
2л.

Пример 1. Вычислим интеграл

1

I = У — dx = 2,1145 0175...

-1

Будем считать, что весовая функция равна 1. Воспользуемся
формулой (13) при п = 2. Приведенный многочлен Лежандра
wo(^) — х3 — 1/3. Имеем с = 0, хц = —1/УЗ, х’2 = 1/УЗ, Dq = 0,
Di = — УЗ. Dt = УЗ и. следовательно,

I к -У3е"1/л/5 + У3е1/У3 = 2,112976.

При п = 3 формула (13) неприменима, так как узел хц = 0 ква-
дратурной формулы Гаусса совпадает с с = 0. Воспользуем-
ся формулой (17). Нам понадобится приведенный многочлен
Лежандра шз(х) = х>3 — Зх/5. Его корнями являются х\ = 0,
—Хо = Х3 = у/'Л/Ь. Им отвечают коэффициенты квадратурной
формулы Гаусса 8/9, 5/9, 5/9 соответственно. С помощью фор-
мул (18) получаем

G = 8/9, Gi = 0, G2 =-(5/9)4/573, G3 = (5/9)4/573

и, значит,

I % (8/9)е° - (5/9)4/573e"V/3/5 + (5/9)4/5/36v/3D = 2,114491.

Применение формулы (13) при п = 4 дает I яг 2,1145 0172.
§ 19. Вычисление кратных интегралов

Пусть требуется вычислить интеграл

/(/) = У w(x)f(x)dx,
я

где областью интегрирования является множество Q С R”,
имеющее внутренние точки, х = (ху, х2,.. , хп) G Q, dx =
dx!,dx2-. -dxn, w(x) — весовая функция. Приближенное равен-
ство

(л

J = 1

называется кубатурной формулой при п^2и квадратурной при
п = 1. Сумма в правой части (1) называется кубатурной сум-
мой, точки х^^ = (х^\ ..Хпназываются узлами, а числа Cj —
коэффициентами кубатурной формулы. Обычно узлы принад-
лежат Q, но это требование не является обязательным. Более
того, узлы могут быть комплексными, если функция f(x) опре-
делена не только в Q, но и в некотором множестве из Сп, содер-
жащем узлы.

Рассмотрим способ построения кубатурных формул, осно-
ванный на интерполировании. Так как функция f(x) будет
заменена интерполяционным многочленом, то необходимо по-
требовать, чтобы существовал интеграл от произведения w(x)
на многочлен. Чтобы удовлетворить этому требованию, бу-
дем предполагать, что существуют моменты весовой функции —
интегралы

р,-= у w(x)<pi(x') dx, i =1,2,...,

Я

где ‘pi(x) — одночлены от п переменных. Здесь и далее пользу-
емся обозначениями и понятиями из § 1.12. Считаем также, что
w{x) — вещественная функция, заданная на П.

Выберем р — М(п,гп) точек х^\ j = 1,2,...,р, не лежащих
на алгебраической гиперповерхности порядка т и принадлежа-
щих Q. Существование таких точек гарантирует теорема 1.12.1.
Возьмем точки х^ в качестве узлов интерполирования и по-
строим интерполяционный многочлен Р(х) степени не выше т
функции f(x). Многочлен Р(х) удовлетворяет условиям

P(x^) = f(x^), j = 1,2,..., р..
Он существует и является единственным на основании теоремы
1.12.3 и имеет представление (1.12.7):

Р(х) = ^Е{(х)/(х^).
»=1

Подставим в интеграл /(/) вместо f(x) интерполяционный мно-
гочлен Р(х). Получим приближенное равенство вида (1):

г=1

(2)

в котором число узлов N равно и коэффициенты даются ра-
венствами

Ci =	i = 1,2,.. ,,д

(3)

Определение. Кубатурная формула (1), у которой: 1) число
узлов N = /а; 2) узлы не лежат на алгебраической гиперповерх-
ности порядка т; 3) коэффициенты определяются равенствами
(3), называется интерполяционной кубатурной формулой.

Теорема 1. Если точки х^. i = 1,2,...,р, не лежат на ал-
гебраической гиперповерхности порядка т, то существует един-
ственная интерполяционная кубатурная формула, узлами кото-
рой являются эти точки.

Интерполяционная кубатурная формула однозначно опреде-
ляется заданием узлов, так как ее коэффициенты определяют-
ся единственным образом с помощью равенств (3). Из веще-
ственности узлов интерполяционной кубатурной формулы выте-
кает вещественность ее коэффициентов, так как фундаменталь-
ный многочлен интерполирования, построенный по веществен-
ным узлам, является вещественным.

Нетрудно видеть, что интерполяционная кубатурная форму-
ла обращается в точное равенство, когда f(x) является много-
членом степени не выше in. Действительно, в этом случае f(x)
совпадает со своим интерполяционным многочленом, и, следо-
вательно, равенство (2) является точным. В случае л = 1 верно
обратное утверждение: если квадратурная формула с ц = m+ 1
узлами точна для всех многочленов степени не выше ?п, то она
интерполяционная (см. теорему 1.1).
При п 2 обратное утверждение неверно. Рассмотрим куба-
турную формулу для квадрата:

1 1 * *	е

У У ZU-1, X2)dx1dx2 ~ |	(4)

-1 -1	'->=!

где ti, i = 1,2,.. ., 6. — узлы квадратурной формулы Чебышева
(10.10) с равными коэффициентами. Кубатурная формула (4)
точна, для одночленов	где 0 оц 7, i = 1,2, в частно-

сти, для всех одночленов не выше седьмой степени и тем самым
для всех многочленов от з?1, х2 степени не выше седьмой. Число
узлов формулы (4) равно 36 = Л/(2, 7), но они лежат на алгебра-
ической кривой шестого порядка Пт=1 (^1 — *»)• Таким образом,
кубатурная формула (4) точна для всех многочленов не выше
седьмой степени и не является интерполяционной.

Получим интерполяционную кубатурную формулу для тре-
угольника

То = {(х 1, х 2) G R." | х j	0, х о 7; 0, ti + t'2^1}

и веса ш^ХХ'Хт) = 1, точную для всех многочленов степени не
выше 2. Так как п = 2, in = 2, то число узлов р = 711(2, 2) = 6.
Выберем в качестве узлов вершины треугольника и середины
его сторон. Выбранные узлы образуют ньютоновскую систему
точек, порождаемую числами 0, 1/2,1, и не лежат на алгебраи-
ческой кривой второго порядка. В результате вычислений по-
лучим, что коэффициенты, отвечающие вершинам треугольни-
ка. равны нулю, а отвечающие серединам сторон — одинаковы
и равны 1/6. Кубатурная формула имеет вид

УУ . x2)dxidx2

Т-.

1

6

 (5)

Получили интерполяционную кубатурную формулу, точную
для многочленов не выше второй степени, но число ее узлов
N = 3 < 6. Если бы мы не знали, каким способом получена фор-
мула (5), то вопрос, о том, является ли она интерполяционной,
нуждался бы в дополнительном исследовании. В связи с этим

полезна следующая теорема.

Теорема 2. Пусть кубатурная формула (1) точна для всех
многочленов степени не вышет и число ее узлов удовлетворяет
неравенству N si /j = М(п,т). Для того чтобы (1) была интер-
поляционной. необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

L	J j = 1

построенной по узлам формулы (1), был равен N.

Доказательство теоремы 2 не приводим.

Сделаем дополнительное предположение о весовой функции
ш(т) О при х € С, /м = У и’(х') dx > 0.	(6)

П

Теорема 3. Если весовая функция w(t) удовлетворяет, усло-
виям (6) и кубатурная формула (1) точна для всех многочленов
степени не выше in, то при т 2 ее узлы не. лежат на алгебраи-
ческой гиперповерхности порядка k. где k = [_?n/2J —целая часть
т/2, и число узлов при всех т 0 удовлетворяет неравенству

(7)

Доказательство. Если 0 si т < 2, то k = 0 и неравенство
(7) принимает вид N 1. Это неравенство очевидно, так как
кубатурная формула имеет хотя бы один узел. Предположим,
что т 2, и докажем, что узлы кубатурной формулы не лежат
на алгебраической гиперповерхности порядка к. Допустим про-
тивное: имеется многочлен Р(х) степени k =	такой,

что Р(х^^ — 0, j — 1,2,.. .. Лг. Образуем многочлен Р(х)Р(х).
где Р(Д)— многочлен, полученный из Р(х) заменой коэффициен-
тов комплексно сопряженными числами. Так как степень много-
члена Р(х)Р{х) равна 2k $ т, то для него кубатурная формула
(1) точна:

-Г	-	N	-

1(РР) = / w(r)P(r)P(r)d.r =	=-- 0.

n	J = 1

Но это равенство невозможно, так как интеграл положителен.
Действительно, в силу (6) первый множитель w(x) положителен
в П на множестве положительной меры, а второй множитель
Р(х)Р(х~) = |P(a:)|2 положителен почти всюду в Q.

Из того, что узлы формулы (1) не лежат на алгебраиче-
ской гиперповерхности порядка k, следует неравенство (7) (см.
§ 1-12).
Нижняя граница х для числа узлов, указанная в теореме 3,
называется простейшей нижней границей. Она достигается при
п = 1 для квадратурных формул гауссова типа. В случае в = 2.
т = 2 нижняя граница х = М('2,1) = 3. Такое число узлов имеет
кубатурная формула (5).

Большим достоинством кубатурной формулы является свой-
ство положительности ее коэффициентов. Значение этого свой-
ства в случае квадратурных формул отмечалось в [j 2 и б. При-
ведем без доказательства теорему о существовании интерполя-
ционной кубатурной формулы с положительными коэффициен-
тами.

Теорема 4 (В. Чакалов). Если Q —замкнутое множество и
w(x) удовлетворяет условиям (6), то существует, интерполя-
ционная кубатурная формула (1), точная для всех многочленов
степени не выше гп. N у, с узлами, принадлежащими Q. и с
п оложительными коэффи ц центами.

Вопрос о фактическом построении кубатурной формулы из
теоремы 4 остается открытым.

Теорема 5. Если кубатурная формула (1), где ш(х) удовлетво-
ряет условиям (6), имеет вещественные узлы и коэффициенты и
точна для всех многочленов степени не выше гп, то среди ее ко-
эффициентов не менее х = М(п, k), k = |_m/2J, положительны.!-.

Доказательств', этой теоремы аналогично доказательству i е-
оремы 3.

В случае простейших областей интегрирования в (куб,
симплекс, шар) уже давно применяются методы построения ку-
батурных формул. известные как метод повторного примене-
ния квадратурных формил и метод неопределенных параметров.
Остановимся кратко на этих методах. Для упрощения записи
будем считать п — 2 и переменные т,, х2 будем обозначать .г, у.

Рассмотрим метод повторного применении квадратурных
формул для квадрата, треугольника и круга и единичной ве-
совой функции. Начнем с квадрата АЗ = [— 1Д]2. Вычисление
интеграла по К2 приводится к вычислению двух простых инте-
гралов
Для вычисления интеграла по каждой переменной применим од-
ну и ту же квадратурную формулу, например формулу Гаусса
(7.6): "

Г	т

/ f(x)dx

-1	> = 1

Получим кубатурную формулу

которая имеет т~ узлов и обращается в точное равенство, когда
f{x.y) = xr у1 (0 57 г, s 57 2т — 1). В частности, кубатурная
формула точна для всех многочленов степени не выше 2т — 1.

Отметим еще, что кубатурная фор^мула (4) получена методом
повторного применения квадратурных формул Чебышева.

В случае треугольника То имеем

1	1-т

ЛЛ = УУ f(x,y)dxdy = у dx У f(x,y)dy.

Т2	0	0

Во внутреннем интеграле сделаем замену переменной интегри-
рования у = (1 — x)t:

1 1

/(/) = У(1 — x)dx У /(i, (1 — x'jTjdt.

о	о

Интегрирование по t выполним приближенно по квадратурной
формуле Гаусса для отрезка [0, 1]:

т

>=i

Получим

x)f(x, (1 — x)tj) dx.

Для вычисления интеграла по х применим квадратурную фор-
мулу гауссова типа с весом 1 — х
Это приводит к кубатурной формуле

т

пп * 52 одл*и1-*«%•),

Щ = 1

которая имеет т~ узлов и точна, когда f(x,y) является много-
членом степени не выше 2т — 1.

Метод повторного применения квадратурных формул приме-
ним к случаю круга Во с центром в (0,0) и радиусом 1. В ин-
теграле по Во перейдем к полярным координатам х = г cosip,
у = г sin р:

1 2тг

УУ f(x,y)dxdy = У г dr У f(r cos р, т sin p)dp. (8)
в2	о о

Для вычисления интеграла по г применим квадратурную фор-
мулу с узлами Tj и коэффициентами Aj, j = 1, 2,..., m. Получим

1	m	2тг

У г dr У f(r cos р, г sin p)dp х ^2 AjTj j f(rj cos р, гj sin p)dp.

0 D	J = 1	0

(9)

Постоянные i-j, Aj выберем так, чтобы приближенное равен-
ство (9) было точным, когда f(x,y) является многочленом воз-
можно более высокой степени. Подставим f — хаут в (9). Если
хотя бы одно из чисел а, т нечетно, то равенство (9) выпол-
няется точно: обе его части обращаются в нуль. Поэтому до-
статочно потребовать, чтобы равенство (9) было точным, когда
f = x2syit. Это требование приводит к равенствам

1 v = о,1,2,...,2m- 1,	(10)

3 1 2v + 2

;=i

где введено обозначение v = з +t. Так как число неизвестных
параметров ту, Aj равно 2m, то при указанном выборе значений
р равенства (10) представляют собой систему 2m уравнений от-
носительно 2m неизвестных.
Система (10) имеет единственное решение. Действительно,
если ввести новые неизвестные tj = rj, Bj — ’2AjTj, то система
(10) примет вид

т 1

Bjt'"' = ---, р = 0, 1,2,..., '2т - 1.

3 3 р + Г

7=1

Эта система определяет узлы tj и коэффициенты Bj квадратур-
ной формулы Гаусса для отрезка [0,1] и единичного веса. Таким
образом,

’7 = \Л7> Aj = Bj/('2^), j= 1,2,...,тп.	(11)

При указанном выборе параметров приближенное равен-
ство (9) выполняется точно для всех многочленов степени не
выше 4т — 1.

2 тг

В правую часть (9) входит интеграл J f(rj cos <р, rj sin <^) dip.
о

Применим к вычислению этого интеграла составную квадра-
турную формулу левых прямоугольников с 4тт». узлами:

~г	О 4m-1 z	.	. X

/	,	2/Г V—к / kir	kir \

/ /('> cos<^,rj sinp)d<p as — У f 77 cos —, 7-, sin — . (12

J	4m \ 2m 2m /

D	k=°	4

Если f(x,y) — алгебраический многочлен степени не выше
4?7i — 1, го подынтегральная функция в (12) является тригоно-
метрическим многочленом степени не выше 4m — 1 и для него
квадратурная формула (12) точна.

Сопоставляя равенства (8), (9) и (12), получаем кубатурную
формулу

г /•	т	4»п — 1	/	.	» к

/ /	.	. 7Г	/	К7Г	к 7Г \	.

У У f(x< y)dx	Airi > , / ( ri cos 2^ 'ri sin 2тп/ (13)

%,	r*=o

которая имеет 4тп2 узлов и точна для всех многочленов степени
не выше 4т — 1.

Кубатурные формулы, получаемые методом повторного при-
менения квадратурных формул, имеют тот недостаток, что с по-
вышением кратности п интеграла число узлов возрастает как
тп , где тп — число узлов используемой квадратурной формулы.
По этой причине такие кубатурные формулы находят широкое
применение лишь при небольших п (п = 2, 3,4, 5).
Сущность метода неопределенных параметров поясним при-
мером построения кубатурной формулы для квадрата К2. точ-
ной для многочленов не выше пятой степени. В интерполяцион-
ной кубатурной формуле свойство точности достигается за счет
выбора коэффициентов, число которых совпадает с числом од-
ночленов не выше пятой степени, равным М(2, 5) = 21. В методе
неопределенных параметров неизвестными являются не только
коэффициенты, но и узлы. Узлы зависят от неизвестных пара-
метров, однако в их выборе нет полной свободы: расположение
узлов согласуется с симметрией области интегрирования, при
этом симметричным узлам сопоставляются одинаковые коэффи-
циенты.

Обозначим через N число узлов искомой кубатурной фор-
мулы. С каждым узлом связано три неизвестных параметра —
две координаты узла, и коэффициент, поэтому общее число неиз-
вестных параметров равно 3N. Эти неизвестные должны быть
определены требованием, что формула точна для всех одночле-
нов степени не выше пятой. Это дает 21 уравнение. Естественно
считать, что число уравнений совпадает с числом неизвестных:
3;V = 21, откуда получаем N = 7. Это ориентировочное число
узлов получено в предположении, что в выборе узлов полная
свобода. По этой причине будем строить кубатурную форму-
лу, содержащую 8 узлов, расположение которых просто согла-
совать с симметрией квадрата.

Узлы разобьем на две группы по четыре узла в каждой. В
первую группу отнесем точки пересечения окружности х' + у- =
а~ с осями координат, а во вторую — точки пересечения окруж-
ности х2 + у2 = 262 с диагоналями квадрата Л'2- Узлам каждой
группы сопоставляются одинаковые коэффициенты, равные А в
случае первой группы и В — в случае второй. Кубатурная фор-
мула запишется в виде

Уy)dx dy к A [f(a, 0) + /(0, о)+

+f(-a, 0) + /(0, -а)] + В £ Л±Ь, ±6).
1

Кубатурная формула точна для всех одночленов хгу', у ко-
торых хотя бы одно из чисел г, s нечетно, при любых значениях
параметров а, Ь, А, В. Чтобы кубатурная формула была точна
для всех одночленов степени не выше пятой, достаточно потре-
бовать. чтобы она. была, точна, когда f — 1, х2, у2, .г4, х2у2, у4.
Это приведет к системе уравнений

/=1: 4/ + 4В = 4,
f = х2,у2 : 2.4а2 + 4В62 = 4/3,
f = х4,у4 : 2Аа4 + 4В1>4 = 4/5,
f = х2у2 : 4ВЬ4 = 4/9.

Из двух последних уравнений находим 2.4а4 = 16/45. С помо-
щью этого равенства и последнего уравнения системы исклю-
чаем .4 и В из первых двух уравнений системы. Получим два
уравнения

8	1 _	4	1 _

45а4	9Ь4	:	15а2	362

Введем новые неизвестные и = 1 /а2, v = 1/62 и запишем уравне-
ния в виде

(8/45)н2 + (1/9)7- = 1,	(4/15)7/ + (l/3)t; = 1.

Эта система двух уравнений имеет два решения

(ui. 1’1) = (15/7,9/7), (172,7-2) = (0.3).

Второе решение отпадает. Первое приводит к следующим зна-
чениям параметров: а = 1^/7/15. b = \/7/3, .4 = 40/49. В = 9/49.
Получили кубатурную формулу, точную для многочленов сте-
пени не выше пятой и с числом узлов 8, которое значительно
меньше, чем 21--число узлов в определении интерполяционной
кубатурной формулы. Это достигнуто за счет того, что в число
неизвестных включены параметры, определяющие узлы, и тем
самым линейная относительно коэффициентов система заменена
системой нелинейной относительно этих параметров.

Рассмотрим ортогональные многочлены области Q с весом
'с(.т), неотрицательным в Q. Предположим, что существуют мо-
менты , у->..., при этом //! >0. Нетрудно проверить, что

(¥’,</’) = У w(x)<p(x)il'(x)dx	(14)

п

есть скалярное произведение в векторном пространстве мно-
гочленов с комплексными коэффициентами, -ф(х) — многочлен,
коэффициенты которого комплексно сопряжены коэффициентам
многочлена t]>(x).
Возьмем многочлен степени к + 1

Щ.+1(;г) + У^а,у?,-(д;).	(15)

i=i

где Hfc+i(x) — заданный однородный многочлен степени к + 1,
aj — неопределенные коэффициенты, х = М(п,к). Потребуем,
чтобы многочлен (15) был ортогонален к одночленам

Pi(z),•••,?*(*)	(16)

в смысле скалярного произведения (14). Получим линейную ал-
гебраическую систему относительно неизвестных коэффициен-
тов а,:

^а;(^,^) =-(П,+1.^), j = l,2,...,x.	(17)

i = i

Матрица системы является матрицей Грама одночленов (16).
Так как Q имеет внутренние точки, то одночлены (16) линейно
независимы па О. матрица Грама неособенная и система (17)
имеет единственное решение.

Многочлен (15), коэффициенты которого при одночленах сте-
пени не выше к определены из системы (17). называется ортого-
нальным многочль ном степени к + 1 области Q с весом w(x'). Из
определения ясно, что ортогональный многочлен степени к + 1
однозначно определяется его однородной составляющей степе-
ни A’+i. Очевидно, что ортогональные многочлены степени A--I-1
образуют векторпоо. пространство, которое будем обозначать
01 + ;.'

Ортогональные многочлены вида

7 = 1

(18)

где а — мультииндекс, удовлетворяющий условию |а| = к + 1,
называются основными ортогональными многочленами степени
к + 1 области Q с весом w{x). Число основных ортогональных
многочленов степени к + 1 равно Л/(п — 1, к + 1).

Любой ортогональный многочлен Р(х) степени к + 1
есть линейная комбинация с постоянными коэффициента-
ми основных ортогональных многочленов той же степени.
Если однородная составляющая степени к + 1 многочлена
P(.v) имеет вид E|q|=*.-+i М'“, 'г0

Р(.т)= £2

|а|=*- + 1

В самом деле, многочлены в левой и правой частях этого равен-
ства ортогональны и имеют совпадающие однородные составля-
ющие степени £ + 1. Таким образом,

О*.+ 1 = span{ /’о(х)||п | = А- + 1}.

Приведем два свойства ортогональных многочленов.

1.	Если коэффициенты однородной составляющей старшей
степени ортогонального многочлена вещественны, то и осталь-
ные его коэффициенты вещественны.

Свойство следует из вида системы (17): ее матрица и вектор
правой части вещественны.

2.	Ортогональный многочлен Р{х) с вещественными коэффи-
циентами меняет знак в О, при этом множество тех точек из Q, в
которых Р(т) > 0, и множество точек Q, где Р(х) < 0, оба имеют
положительную меру.

Свойство 2 следует из равенства / (.г) Р(х) dx = 0, которое
я

выражает ортогональность Р(х) к 1.

Предположим, что ортогональный многочлен Р разлагается
на множители Р = UV. где U. V'- - многочлены степеней г, s
соответственно, г 1, $	1. Тогда (J является ортогональным

многочленом области О с весом <с|И|2. Действительно, так как
FV— ортогональный многочлен степени ?-+.s. то он ортогонален
к l'Qr_i:

w(x)L' V’ V' Qr_! dr — 0,

я

где Qr-1 — любой многочлен степени не выше г — 1. Это равен-
ство и доказывает утверждение. Из доказанного следует, что
свойства 1, 2 имеют место для множителей ортогональных мно-
гочленов.

К последовательности одночленов {ipi(а:)}?2j применим про-
цесс ортогонализации и нормирования Шмидта относительно
скалярного произведения (14). Полученную ортонормирован-
ную систему будем обозначать {/'}(я)}^1, так что

(Fi,Fj) = У w^Fi^Fj^xjdx = 6{j, i, j = 1,2,...
я
Многочлены Fi(x) вещественны и определены с точностью до
знака. Будем считать, что коэффициент при js,(г) у многочлена
Fi(x) положителен. Заметим, что многочлены ортонормирован-
пой системы степени k + 1 принадлежат Ot-i-i и образуют базис
этого пространства при любом целом неотрицательном к.

Рассмотрим частичную сумму ряда Фурье функции f(x) по
системе {р,-(г)}	:

М(п,г)

ЭД = Е ЛСД,	(19)

7=1

содержащую все многочлены ортонормированной системы, сте-
пень которых не превосходит г, где ?---натуральное число и

fj = f w(u)f(u)Fj(u) du. Подставляя это значение fj в (19), no-
ri

лучаем интегральное представление частичной суммы

Sr(x) = У w(u)ICr(u, x)f(u) du,	(20)

n

где

Л/(п,г)

/Сг(а,г)= Е	(21)

7 = 1

Функция (21) зависит от 2п переменных и называется воспро-
изводящим ядром. Если /(а:) — многочлен степени не выше г, то
Sr (г) = f(x), и из (20) получаем

/(аг) = У u/(w)£r(«, x)f(u) du.	(22)

л

Ядро К.,\и,х~) воспроизводит многочлен степени не выше г, по-
этому его и называют воспроизводящим ядром.

Общий корень всех ортогональных многочленов степени к + 1
будем называть корнем пространства Оь-щ. Пусть а — корень
пространства Ojt+i, тогда все многочлены степени к + 1 орто-
нормированной системы {Fj (х)j обращаются в нуль в точке
а и, следовательно,

Мм) = /Ck+i(a,x).	(23)

Лемма 1. Если £(т) —многочлен первой степени такой, что
L(a) = 0, то многочлен

Цх)1Ск(а,х)

(24)
ортогонален ко всем многочленам rntrncnu не вы/ие. k — 1. IJ
частности, если а—корень Ok+i, то многочлен (24) является
ортогональным многочленом степени k + 1-

Доказательство. Пусть Q(x) — многочлен степени не вы-
ше k — 1. Убедимся, что интеграл

I = J iu(x)/Ck(ci.x)L(x)Q(x)dx
п

равен нулю. Так как степень многочлена LQ не выше k, то по
(22) получаем I = L(a)Q(a) = 0. Первое утверждение леммы
доказано.

Пусть а — корень O*-+i- Тогда справедливо равенство (23) и,
следовательно, многочлен (24) совпадает с L(.r)A\.+i (1'), кото-
рый по первому утверждению леммы ортогонален ко всем мно-
гочленам степени не выше k. Убедимся, что многочлен (24) име-
ет степень k + 1. Так как этот многочлен ортогонален ко всем
многочленам степени не выше k, то достаточно доказать, что он
отличен от тождественного нуля. Пусть а точка, координаты
которой комплексно сопряжены координатам а. Тогда

АС(а, л) =	|У,(а)|2 > 0,

г=г

так как Fi(a) = l/pi— отличная от нуля постоянная. Лемма,
доказана.

Общий корень некоторого множества многочленов называет-
ся простым корнем, если в этом множестве найдутся п много-
членов, матрица Якоби которых в точке а является неособенной.

Теорема 6. Корень пространства Ok+i ортогональных мно-
гочленов степени k + 1 является вещественным, простым, при-
надлежит внутренности выпуклой оболочки области П и не
является корнем пространства 0^.

Доказательство. Пусть а = (aj, а2,..., ап) — корень про-
странства Ог. + 1. По лемме 1 многочлен

(а:; — аг)Кд (а, х), i = 1,2, . .., п,	(25)

является ортогональным многочленом степени +1. Его множи-
тель X, —ai имеет коэффициент 1 при старшем члене zy, поэтому
по свойству 1 ортогональных многочленов число а; веществен-

но.
Так как матрица Якоби многочленов (25) в точке а — диаго-
нальная, при этом диагональные элементы одинаковы и равны

(<т, а) > 0, то общий корень а всех ортогональных многочленов
степени к + 1 является простым.

Если а не принадлежит внутренности Q; выпуклой оболоч-
ки П, то найдется гиперплоскость L(i’) = 0, проходящая через
а и такая, что Qj находится по одну сторону от этой гипер-
плоскости. Это означает, что Л(л:)сохраняет знак при х € Qi и,
следовательно, при х G Q. Но это невозможно, так как по лем-
ме 1 многочлен L(x) является вещественным множителем орто-
гонального многочлена и он должен менять знак в Q.

Точка а не является корнем Ok. так как степень многочлена
L(x)tCk(a, по лемме 1 равна к + 1. Теорема доказана.

Если а и b—различные корни О*+1, то

^F,(a)E(b)=0.	(26)

:=1

Пусть у корней а и b различны, например, первые координаты:
П] ^61- Многочлен (zi — aj )Лд (а. т) по лемме 1 является ортого-
на льным многочленом степени /.’ + 1, и, следовательно, b является
его корнем: (i>i — щ )АД.(а, (>) = 0. Отсюда следует ASfc(a, 6) — 0,
что равносильно (26).

Предположим, что i = 1,2,..., р— корни Ofc+i- Тогда ма-
трица

[JF1(^(i))> F2(x^), ..., FxCr^)]^	(27)

вещественная, первый ее столбец состоит из ненулевых элемен-
тов 1/д/рТ и по (26) строки ортогональны. Отсюда следует, что
строки линейно независимы и, значит, р х.

Лемма 2. Если пространство Ok+\ имеет х попарно различ-
ных корней

х^,...,х^\	(28)

то эти корни не лежат на алгебраической гиперповерхности по-
рядка k.

Доказательство. Допустим противное: существует нену-
левой многочлен Р(х) степени не выше k, который обращается
в нуль в точках (28). Так как справедливо разложение
где не все 6, равны нулю, то, подставляя в него точки (28), полу-
чаем, что столбцы матрицы (27) (при г = х) линейно зависимы.

Корни пространства Oj. + i ортогональных многочленов от
п 2 переменных являются точным аналогом корней ортого-
нальных многочленов от одной переменной, как это видно из
теоремы 6. Существенное различие состоит в том, что верхняя
граница х для числа корней при п — 1 достигается и равна. Z:+ 1.
а при п 2 она достигается лишь при 4=0 и равна 1.

При k 1 и п 2 пространство + i в случае обычных обла-
стей Q и весовых функций д'(т) либо не имеет корней, либо их
число гораздо меньше х. Это легко объяснить. Корни суть
решения нелинейной алгебраической системы из М (?) — 1, k + 1)
уравнений с п неизвестными, а так как

М(п - 1Д-+ 1) М(п - 1,2) = zi(zz + 1)/2 > п

при п^2и О1. то эта система, как правило, не имеет реше-
ний. Вместе с тем доказано, что для заданного натурального k
существуют такие область П и неотрицательный вес w(x), что
определяемое ими пространство O*. + i имеет х корней.

Теорема 7. Для того чтобы существовала кубатурная форму-
ла. точная для многочленов степени не вы me 2k+1 и имеющая
х узлов, необходимо и достаточно, чтобы ее узлами были корни
пространства Oj+i.

Локазательстно. Необходимость. Пусть существует
кубатурная формула (1), которая точна для многочленов сте-
пени не выше 2k -Ь 1, и число ее. узлов Аг = х. По теореме 3
узлы не лежат на алгебраической гиперповерхности порядка k
(k 1), и, следовательно, существуют фундаментальные мно-
гочлены интерполирования Li(x). i = 1,2,..., х, построенные по
узлам.

Если Р G Ok+' , то многочлен PL, имеет степень 2k + 1 и для
него кубатурная формула точна:

I(PLi) =	= CiP(x^) = О,

j = i

откуда Р(х^) = 0. Таким образом — корень C\-+i, i —
1,2,..., х. Здесь мы воспользовались тем, что все коэффициен-
ты кубатурной формулы отличны от нуля, так как число узлов
не может быть меньше х.
Достаточность. Пусть точки (28) попарно различны и
являются корнями 0^ + 1. По лемме 2 они не лежат на алгебраи-
ческой гиперповерхности порядка k, поэтому на основании те-
оремы 1 их можно взять в качестве узлов кубатурной формулы
(1), где N = х, точной для многочленов степени не выше к.

Докажем, что кубатурная формула (1) точна для многочленов
степени не выше 2k + 1. Пусть Р(х)— такой многочлен. Можно
доказать, что для него справедливо представление

Р(х) = У Аа(х)Ра(х) + Q(x),	(29)

I «I =*-'+1

где Ра(х)— основной ортогональный многочлен (18) степени
k + 1, Аа(г)— такой многочлен, что degXQPQ degP <С 2k + 1,
откуда deg/a k, Q(x)— многочлен степени не выше k.

Убедимся, что кубатурная формула (1) точна для многочле-
нов в правой части равенства (29) и тем самым точна для Р(г).
Для слагаемых под знаком суммы она точна, так как интеграл
и кубатурная сумма от АаРа равны нулю в силу Ра € 0*+1, а
для Q(x) точна, так как degQ(a.’) k. Достаточность доказана.

Кубатурную формулу, о которой речь идет в теореме 7, бу-
дем называть кубатурной формулой гауссова типа (п 2). Осно-
ванием для такого названия служит то, что при п = 1 формула
из теоремы 7 является квадратурной формулой гауссова типа, а
при п 2 она имеет следующие свойства, вполне аналогичные
свойствам квадратурной формулы гауссова типа.

1.	Узлы кубатурной формулы гауссова типа — корни Оц- + 1.
По теореме б они являются вещественными, простыми и лежат
внутри выпуклой оболочки Q. При заданных к, Q, ы(х) куба-
турная формула гауссова типа единственна, так как корни Ok+1
определяются однозначно.

2.	Алгебраическая степень точности кубатурной формулы
гауссова типа равна 2k + 1. Действительно, по теореме 7 фор-
мула точна для всех многочленов степени не выше 2k + 1 и, как
нетрудно видеть, не точна для многочлена Р”(;г), где Ра(х)—
основной ортогональный многочлен степени к + 1.

3.	Коэффициенты кубатурной формулы гауссова типа поло-
жительны на основании теоремы 5, так как узлы и коэффициенты
вещественны и число узлов равно х.

Приведем другое доказательство положительности коэффи-
циентов кубатурной формулы гауссова типа, основанное на сле-
дующей лемме.
Лемма 3. Пусть кубатурная формула точна для всех мно-
гочленов степени не выше 2k и число ее узлов равно х. Если
а—узел кубатурной формулы, то остальные ее узлы лежат на
алгебраической гиперповерхности K.k(a, х) = 0 порядка k.

Доказательство. Обозначим через Q(x) многочлен сте-
пени k, который обращается в нуль во всех узлах кубатурной
формулы, отличных от а. По свойству воспроизводимости ядра

<2(х) = У w(u)K-k(x, u)Q(u) du.
n

Интеграл можно вычислить с помощью кубатурной формулы,
так как K.k(x, u)Q(u) — многочлен от и степени 2k. Получим
= CQ(a)lCk(x, а). Здесь С—коэффициент кубатурной фор-
мулы, отвечающий узлу а, и он отличен от нуля, так как число
узлов х совпадает с нижней границей. Так как узлы не лежат
на алгебраической гиперповерхности порядка k, то Q(a) ф 0.
Лемма доказана.

Вычислим интеграл f w(x)^k(a, х) dx, .который по свойству
п

воспроизводимости ядра равен 1, с помощью кубатурной фор-
мулы из леммы 3. Получим 1 = САД-(а,а), откуда имеем
С = 1/ЕГ=1^(а)- Кубатурная формула гауссова типа точ-
на для многочленов степени не выше 2k + 1, и число ее узлов
равно х, поэтому указанная формула справедлива для ее коэф-
фициентов:

Q =	1,2,...,х.

: = 1

Так как узлы вещественны, то из этой формулы следует
положительность коэффициентов. При п = 1 получаем пред-
ставление для коэффициентов квадратурной формулы гауссова
типа.

Основное требование на кубатурную формулу, которое обес-
печивает выполнение перечисленных свойств, состоит в том,
что она точна для многочленов степени не выше 2k + 1 при чи-
сле узлов х, равном простейшей нижней границе. Наименьшее
число узлов кубатурной формулы, точной для многочленов сте-
пени не выше т, для обычных областей и весов, как правило,
больше простейшей нижней границы х = М{п,Е), k = |_m/2j,
другими словами, эта нижняя граница не достигается. Напри-
мер, наименьшее число узлов кубатурной формулы для квадра-
та и веса 1, точной для многочленов не выше седьмой степени,
равно 12, что на две единицы превышает простейшую нижнюю
границу х = М(2, 3) = 10.

Оказывается, что кубатурная формула, точная для многочле-
нов степени не выше 24.--I- 1, с наименьшим числом узлов N, удо-
влетворяющим неравенству N > х, вообще говоря, не обладает
свойствами кубатурной формулы гауссова типа. Например, в
случае квадрата /<2 и веса 1 кубатурная формула, точная для
многочленов степени не выше седьмой с 12 узлами, не единствен-
на. Среди семейства кубатурных формул имеются такие, у ко-
торых часть узлов находится вне /<2, ио есть и такая, у которой
узлы принадлежат ЛЧ и коэффициенты положительны. Извест-
ны примеры кубатурных формул с наименьшим числом узлов, у
которых среди коэффициентов имеются отрицательные.

Так как для обычных областей и весов кубатурная форму-
ла гауссова типа при к 1 не существует, то естественно рас-
смотреть вопрос о построении кубатурных формул, у которых
узлами являются общие корни п ортогональных многочленов
степени к + 1. Приведем без доказательства следующую теоре-
му.

Теорема 8. Если п многочленов из Оk+i имеют (к+ \)п общих
корней, конечных и попарно различных, то существует кубатур-
ная формула, для которой эти корни являются узлами и которая
точна для многочленов степени не выше 2k + 1.

Заметим, что в случае куба, симплекса и шара в Rn при
единичном весе в качестве таких ортогональных многочленов
можно взять основные ортогональные многочлены	У

которых мультииндекс а принимает значения (к + 1,0....0),

(0, к + 1, . .., 0),. .., (0, 0,.. ., к + 1). Общие корни этих многочле-
нов попарно различны, вещественны, конечны, и их число равно
(!’ + 1)п, но некоторые из них могут не принадлежать Q.
ГЛАВА 3

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Векторные нормы

Основными вычислительными задачами линейной алгебры
являются: 1) решение линейной алгебраической системы (и свя-
занные с ней задачи обращения матрицы и вычисления опреде-
лителя); 2) вычисление собственных чисел и векторов матрицы.
К задачам линейной алгебры приводят многие приближенные
методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
математической физики, задачи линейного программирования.

В отличие от других вычислительных задач, задачи линей-
ной алгебры на первый взгляд представляются простыми. Од-
нако эта простота обманчива. Например, задача решения ли-
нейной алгебраической системы с квадратной неособенной ма-
трицей теоретически решается полностью правилом Крамера.
В то же время практическое применение этого правила к систе-
мам высокого порядка нецелесообразно или даже невозможно,
так как требует выполнения чрезмерно большого числа ариф-
метических действий. Важное значение также имеет тот факт,
что при вычислениях арифметические операции выполняются с
округлениями, которые оказывают сильное влияние на оконча-
тельный результат.

Осознанию трудностей решения задач линейной алгебры спо-
собствовало появление быстродействующих ЭВМ, которые по-
зволили решать задачи линейной алгебры сравнительно боль-
шого объема. Это вызвало бурное развитие вычислительных
методов линейной алгебры, которые в настоящее время можно
считать наиболее разработанным разделом методов вычисле-
ний [6-8, 15, 33, 50-53]. В этой главе рассматриваются лишь не-
которые методы решения основных задач линейной алгебры. В
первых трех параграфах излагается вспомогательный матери-
ал. В частности, в настоящем параграфе речь идет о векторных
нормах.
Вектор х размерности п определяется как упорядоченная со-
вокупность п комплексных чисел:

Числа л,'!, Х‘>,. . • хп называются компонентами или составляю-
щими вектора х. Вектор-столбец будем записывать как вектор-
строку со знаком транспонирования: х = (xj,х2,..хп\.

В множестве векторов вводятся операция сложения векторов

+ 2/= (г-i + У1,х2 + У2,---,хп+упУ

и операция умножения на число а £ С

ах = (azi, ах2,..., ахп)'•

Множество векторов с указанными операциями образует линей-
ное комплексное пространство размерности п, которое обозна-
чается С” и называется арифметическим пространством.

Вектору х = (z‘i, х2, . . ., хп)' £ С’1 сопоставим вещественное
число

/ п	\ 1/р

ll<= EN4 ,	(1)

v=i	/

где р 1. Ниже мы убедимся, что ||z||p является нормой.
Эта норма называется нормой Гелъдера с показателем р или р-
н орм о й.

Первые два свойства нормы очевидны. Третье свойство сле-
дует из неравенства Минковского

которое в обозначении (1) записывается в виде

11® +у11р IMIp + 11у11р-

Отметим важные частные случаи нормы Гельдера. Прир= 1:

п

Iklli = 521^1.

j=i

(2)
норма называется октаэдрической, так как шар ||ar||i	1 единич-

ного радиуса, и с центром в начале координат, определяемый
этой нормой в евклидовом пространстве R", называется окта-
эдром. Прир = 2:

(3)

норма называется сферической или евклидовой. Шар ЦхЦч 1
является шаром в Rn, ограниченным единичной сферой. При

р = оо:

1М1~

max

1 п

(4)

норма называется кубической, так как шар ЦхЦоо 0 в R" совпа-
дает с кубом. Основанием для обозначения значком оо является
предельное соотношение

1 /р

— max

1

Используются также следующие обозначения римскими ци-
фрами для норм (2)—(4):

IHIi = IMU 1М|и = 1И11, 1И|ш = 1ИЬ.

Далее будем всегда использовать обозначения (2)— (4).

Линейное пространство векторов х G С”, в котором введена
норма ||т||р. обозначают через I?, 1 р оо. Э го обозначе-
ние сохраняется и в случае, когда пространство векторов явля-
ется вещественным. Будем говорить, что последовательность
векторов	сходится к вектору I* при k оо, и писать

= 1.*> если имеет место сходимость соответствую-
щих компонент:

lim = х*, i = 1,2,. .., п.

Это определение только по форме отличается от определения
сходимости последовательности элементов в линейном норми-
рованном пространстве (см. § 1.1): lim^^ — х*|| = 0. Как
мы увидим, в С'1 эти определения эквивалентны.

Теорема 1. Любая векторная норма ||л:|| есть непрерывная
функция от х.
Доказательство. Пусть liirw.-_.oo х^ = х*. Надо дока-
зать, что 1 imjt—ос ||z(fc)|| = ||х'|). Предположим сначала, что х” —
нулевой вектор: х~ = 9 = (0, 0,..., 0)'. В этом случае

lim х^ — 9,	(5)

и надо доказать, что Ппц:_оо ||z^’j|| — 0.

Очевидно имеем

х^ = х\к)е^ + л^е(2) + ... + х(Ь)е^	(6)

где = (6ji, <5j2, • • •,6jn)', Sjk — символ Кронекера. Из (6) с
помощью неравенства треугольника для п слагаемых и свойст-
ва 2) нормы получаем

Правая часть этого неравенства стремится к нулю при k —> оо,
так как х—► 0, i = 1, 2,..., п, в силу (5). Отсюда следует, что
||;с(О|| _+ о при k — оо.

Пусть теперь х* — любой вектор. Тогда limt_oo(x^^ — х*) = 9
и по доказанному ||х^^ — х*|| —► 0 при k —» оо. Из неравенства

|||xW||-|K|||^||x^-x'||

следует, что Цх^’^Ц —||х*|| при k —► оо. Теорема доказана.

Теорема 2. Сходимость последовательности векторов
к вектору х' равносильна предельному соотношению
Нгщ.—сс ||х^^ — т’|| = 0, т. е. х^ —> х* при k оо тогда и только
тогда, когда

||х(*‘) - х*|| — 0, 1-^оо.	(7)

Доказательство. Для векторной нормы (2) это очевидно,
так как

||х^-х‘||1 = |Iw_1.'| + ... + |4t)-z;l|.

Необходимость условия (7) вытекает из непрерывности вектор-
ной нормы. Докажем его достаточность. Введем обозначение

П = (х £ Сп|||х||1 = 1}.

Множество векторов Q ограничено и замкнуто, и так как функ-
ция ||х|| непрерывна в Cn D П, то она достигает наименьшего и
наибольшего значения на П:

а = min ||х||, /? = max ||х||.
Здесь а > 0. так как все векторы х € Q отличны от 0.

Таким образом получаем неравенства
а ||г||	/3 для х € Q.

Если вектор у / 0 — любой, то y/||y||i € О и, следовательно,
или

o-llz/lli ОЖЖ11-	(8)

При соблюдении неравенств (8) говорят, что векторная норма
|| • || эквивалентна норме || • Цр

Положим в первом из неравенств (8) у = х^'1 — х~. Получим

-ГЦ, (1/аО|кС*>- ^*||.

По условию норма в правой части этого неравенства стремится
к нулю при k —»• оо, а тогда и ||i’(fe) — ^’Ц; —» 0, что равносиль-
но предельному соотношению	х“ при k оо. Теорема

доказана.

Выполняется признак Коши. Для существования предела по-
следовательности	i векторов в линейном нормированном

пространстве Сп необходимо и достаточно, чтобы для любо-
го £ > 0 нашелся такой номер jV(s), что ||аА1') —	£ при

k,l Лг(г). Это следует из того, что конечномерное линейное
нормированное пространство является полным.

§ 2. Нормы матриц

Обозначим через МП(С) множество квадратных матриц по-

рядка п, элементами которых являются комплексные числа:		
	Oil 012	Oln '	
А = [^]?,j=l =	021	022	O2n	, aij G С.
	- Яп1 *^n2	*^пп -	

Если ввести операцию сложения матриц

Л + В = [а,-, + bij]'-j = 1,

и операцию умножения на комплексное число
а А = [аа0 ]?>=1,
то множество М„(С) становится линейным комплексным про-
странством. Формально это пространство является частным
случаем арифметического пространства, так как матрицу .4
можно рассматривать как вектор с п' составляющими, записан-
ными специальным образом.

В линейном пространстве Мп(С) можно ввести норму Гель-
дера с показателем р:

/	\ 1/р

/ п	\

Np(A) =	£ |а0|Н	,	р^1.

V'/ = 1	/

В случае матриц нормы Гельдера менее важны, чем в случае
векторов. Выделим один частный случай, который получим при
р — 2. Значок р = 2 у знака нормы N писать не будем:

/У(Л) =

(1)

Норма N(A) называется нормой Фробениуса или евклидовой нор-
мой. Иногда ее обозначают

Матрица. А G Л-/П(С) определяет линейный оператор Ах из С’1
в С". Пусть в Сп задана векторная норма || • ||.

Определение 1. Операторной нормой матрицы, порожден-
ной векторной нормой ЦгЦ, называется число

1И|| = max ||Лж||,	(2)

1Н1 = 1

совпадающее с нормой линейного оператора Ах.

Норма ||zU’|| — непрерывная функция от х как норма линейной
вектор-функции, а множество таких векторов х, что ||ж|| = 1.
ограничено и замкнуто, поэтому в (2) пишем max вместо sup.

Докажем корректность определения 1. Проверим выполнение
свойств нормы. Неравенство ||Л||	0 очевидно. Если А = О —

нулевая матрица, то ||Лг|| = 0 для любого х Е Сп и, следо-
вательно, ||Л|| = 0. Если А / О, то найдется такой вектор
Д0) g сп, ||i-(°)|| = 1, что / 0. Но тогда ||Лг(°)|| > 0 и,
значит, ||Л|| > 0. Первое свойство нормы проверено.

Проверим второе свойство. Если a Е С, то

||огЛ|| = max ||аЛд?|| = |а| max ||Ле|| = |а| • ||Л ||.

||х|| = 1	!Ы| = 1
Докажем неравенство треугольника:

||Л + ВЦ = max ||(Д + B)r|| max (||Аг|| + ||Ва:||)

ИЛ1’Н + j™™ ИМ = IHII + ini-

Корректность определения доказана.

Операторную норму называют также нормой матрицы, под-
чиненной заданной векторной норме.

Докажем основное неравенство, связывающее операторную
норму матрицы и породившую ее векторную норму:

||.4х||^|Н||.И, .г€С".	(3)

Для вектора х, у которого ||r|| = 1, это неравенство следует
из определения (2). Пусть х / 0 ---любой вектор. Тогда вектор
т/Цх-Ц имеет единичную норму и. следовательно,

|]Л(х-/||х|0||	||.4||.

Если умножить обе части этого неравенства на ЦхЦ > 0, то по-
лучим (3). При х = в неравенство (3) очевидно.

Определение 2. Говорят, что матричная норма || • ||_ согла-
сована с векторной || • ||, если выполняется неравенство

||Лх|| ЦД1МИ1	(4)

для любых х G Сп, А € Л/П(С).

Неравенство (3) показывает, что операторная норма матрицы
согласована с породившей ее векторной нормой. Однако этим
не исчерпывается множество согласованных матричных норм.
Например, норма Фробениуса ;V(rl) согласована со сферической
векторной нормой:

М; = Ё ЁЁКРЕМ2 = №(Л)||<
i=1 j — 1	i— 1 j = 1	j = l

Здесь использовано неравенство Коши—Буняковского для сум-
мы.

Из неравенства (4) видно, что операторная норма матрицы,
порожденная некоторой векторной нормой, является минималь-
ной среди всех матричных норм, согласованных с этой вектор-
ной нормой.
Получим представления для операторных норм матрицы, по-
рожденных основными векторными нормами (.1.2)—(1.4). Опе-
раторную норму матрицы А, порожденную векторной нормой
будем обозначать ||Л||Р и называть р-нормой.

Для операторной матричной нормы, порожденной векторной
нормой ||^||оо, справедливо представление

И

(5)

Если А — О—нулевая матрица, то это равенство справедли-
во. Действительно, в этом случае в (5) имеем сг = 0 и в силу
(2) ||-4||оо — 0. Поэтому при доказательстве равенства (5) можем
считать, что Л — ненулевая матрица.

Пусть х— любой вектор, удовлетворяющий условию ЦхЦоо^!.
Имеем

ЦЛагЦоо = шах
2

П

УЗ a'ixJ

т = 1

a max | = аЦгЦоо = <т.

Получили неравенство ЦЛтЦоо <( а для любого вектора х, тако-
го, что ЦтЦоо = 1. Отсюда в силу (2) следует

1И||оэ с.

(6)

Обозначим через г номер такой строки матрицы А, что

п	п

а = max УЗ 1а0’1 = УЗ 1’

;=!	j=1

Из элементов г-й строки матрицы А образуем вектор

х(0) = (sgn arl,sgna,.2,...,sgnarn)',

где

Г a/|a|, а / 0,
Sgna=\0, a = 0,
a— комплексно сопряженное с а число. Ясно, что asgna = |а|.
Так как А / О, то ее строка с номером г ненулевая и, следова-
тельно, ||;с(0)||оо — 1-
Имеем

Итак, у вектора Ла;(0\ где Цг’^Цоо = 1, одна из составляющих
равна ст, поэтому	ст. Отсюда следует по (2), что

IHlIcc f- Сопоставляя это неравенство с (6), получаем (5).

Доказательство равенства

п

||Л||1 = т = шах ^2 lnul	(7)

i = l

проводится аналогично. Можем считать, что .4 / О. Возьмем
вектор х, ||x’||i = 1, и выполним следующие оценки:

Получили неравенство ||Дх||1	т при условии ||.t||i = 1, откуда

следует, что ЦЛЦ! т.

Пусть 1---номер такого столбца матрицы А. что

т = шах 2^ |а0-| = ) У |а,г|.

1	:=1	г=1

Положим

а;(0) = (0,..., 0,1, 0,..., 0)'.

Г

Ясно, что ||;c(0)||i = 1. Имеем

||^(0)||1 = ||(а1Г)а2г>...)апг)'||1 = т,

так что ||Л||1 т. Отсюда и из неравенства ||/||i С т следует,
что ||Л||1 = т. Равенство (7) доказано.
Определение 3. Сисктраяьным радиусом матрицы А назы-
вается число

р(А) = max [Ai[,

1 ^2

где А,- — собственные числа матрицы А.

Будем пользоваться обозначением скалярного произведения
векторов х и у из Сп:

п
(Л-У) = ^З^У/-
2 = 1

где черта означает операцию комплексного сопряжения. Отме-
тим свойства скалярного произведения:

(ai' + /?y,z) = a(a-,c)+/?(y,z),	(.г, ау + /3г) = а(х, у) + 0(х,,z), (8)

вытекающие из его определения.

Напомним также, что сопряженная к Л матрица обозначается
Л*: Л* = Л . Здесь Л — комплексно сопряженная к Л матрица:
Л = [a,j]"_j, штрих — операция транспонирования. При дока-
зательстве представления для операторной нормы ЦЛЦо понадо-
бится следующая теорема.

Теорема 1. Пусть А — самосопряженная матрица: А = А*.
Тогда

max |(Лд?, х)| = р(у4).	(9)

НГ1Н=1

Доказательство. Пусть А], Ао,..., Ап — собственные чи-
сла матрицы Л и Д..., а/п ’ — соответствующие им соб-
ственные векторы

Ах^ = А;1'(!\ z = 1,2,..., 71.

Кратное собственное число (кратный корень характеристиче-
ского многочлена <1еЦЛ — АД)) повторяется в последовательно-
сти А], А-j ..., Ап столько раз, какова его кратность.

Будем пользоваться следующим результатом. Если матри-
ца самосопряженная, то ее собственные числа вещественны, а
систему собственных векторов можно считать ортонормирован-
ной:

= 6ij, i, j = 1,2,..., п,	(10)

где 6ij —символ Кронекера.
Возь.мем вектор х и разложим его по ортонормированной си-
стеме собственных векторов матрицы Л:

х = 52	(11)

1 = 1

Имеем

(п	п	\

г — 1	7—1	/

п	п

= 52	= 52 Ы2-

i,J = l	1 = 1

Здесь мы воспользовались свойствами (8) скалярного произве-
дения и равенством (10). Получили равенство

1И|5 = £м2.	(12)

г=1

Разложение (11) умножим слева на матрицу И:

Ах = 52	= 52 <*iAi-r(‘\

i = 1	г = 1

С помощью этого разложения и разложения (11) имеем

И

(Аг, аг) = £Ы2А;.	(13)

г — 1

Отсюда, пользуясь определением спектрального радиуса. р(А)
и равенством (12), находим |(Аа;,а:)| max, |А,|  lQ'd2 =
p(A)||a:||9 и, следовательно.

max |(Az, г)| p(A).	(14)

||r||2=i

Пусть i--такое число, что р(А) = |АГ|. Тогда в силу (10) для

собственного вектора справедливы равенства

|(Аа;(г),а;(г)| = |(АГ/’Л21(Г))| = |А,.| = р(А).

Таким образом, в неравенстве (14) имеет место знак равенства,
что и доказывает теорему.
Для операторной нормы матрицы ||Л||2 справедливо предста-
вление

||Л||2 = Vp(AA-).	(15)

Докажем это. Матрица С = А’А самосопряженная:

С* = (Л’Л)’ = А* А = С.

Тогда

PII2 = max = max (Ах, Ах) = max (Л* Ах, х) = р(А~ Л).

IIII|2 = 1	||®||2 = 1	||^||2 = 1

Здесь мы воспользовались теоремой 1 и легко проверяемым ра-
венством (х,Ау) = (А*х,у). Представление (15) доказано.

Если матрица Л самосопряженная, то

Л*Л = Л2 и р(Л“Л) = р(Л2) = р2(Л).

Равенство (15) запишется в виде

||Л||2 = р(Л).	(16)

Отметим еще равенство р(А* Л) = р(ЛЛ*), которое вытекает
из следующего утверждения. Характеристические многочлены
матриц АВ и ВА совпадают для любых А, В 6 Мп(С). Дока-
жем это утверждение в частном случае, когда хотя бы одна из
матриц А, В неособенная. Пусть, например, det Л / 0. Тогда
матрицы АВ и ВА = Л-1 АВА подобны и, следовательно, имеют
одинаковые характеристические многочлены.

Определение 4. Матричная норма ||  || называется мульти-
пликативной, если

1|лв|| ||лц • цац, А,вемп(с). (17)

Операторная матричная норма мультипликативна. Действи-
тельно,

||ЛВ|| = max ||ЛВг|| max ||Л|| • ||В^П = ||Л|| • ||В||.
1И1=1	IMI=i

Здесь использовано определение (2) операторной нормы и не-
равенство (3).

Норма Фробениуса мультипликативна. В самом деле, приме-
нение неравенства Коши—Буняковского дает

№(ЛВ)=£
ij = l

a-ikbkj
k = l

i,j=lfc = l	i = l
Теорема 2. Спектра./)ьный радиус матрицы нс больше любой
мультипликативной нормы этой матрицы: р(А) ||Л||.

Доказательство. Пусть А*. — собственное число и х^ —
собственный вектор матрицы А, так что Ax(k> = AfcX*-fc\ / 0.
Образуем матрицу

V/1 0	0
[а?’ 0	0

у которой первый столбец совпадает с вектором х^к\ а осталь-
ные элементы — нули. Ясно, что ЛА’ = Ац.Х. Запишем, что нор-
мы матриц в левой и правой частях этого равенства совпадают.

и воспользуемся мультипликативностью нормы:

|Afc| . ||Л'|| = ||ЛЛ'|| ||Л|| • ЦА'||.

Матрица Л' ненулевая, поэтому ||Л'|| > 0, и мы получаем |А*.|
||Д||. Так как А;. — любое собственное число матрицы Л, то из
последнего неравенства вытекает р(А) ||Л||. Теорема доказа-
на.

Теорема 2 и свойство мультипликативности операторной нор-
мы и нормы Фробениуса, приводят к следующим оценкам для
спектрального радиуса матрицы:

Л>(Л) ||Л||Р, р(З)^ЛЧЛ).	(18)

Значение операторной нормы матрицы ЦЯЦг = \Хр(Л’Л), ко-
торое дается формулой (15), трудно вычислить, поэтому укажем
оценки для нее. Воспользуемся первым из неравенств (18) при
р = оо для оценки спектрального радиуса матрицы Л‘Л:

р(.4‘Д) ||Л-Я||оо 1И1Ы|Л||оо = IHhPIU

Здесь использовано свойство мультипликативности (17) опера-
торной нормы || • ||то и легко проверяемое с помощью (5) и (7)
равенство ЦЛ’Цос = |И1Ь- Таким образом, получаем

l№ WlkMII-4||co = v^,	(19)

где а и т определяются равенствами (5) и (7). Если для оценки
р(Л* Л) воспользоваться первым из неравенств (18) при р = 1, то
придем снова к оценке (19).

Оценим р(Л* Л) с помощью второго неравенства (18), при этом
воспользуемся мультипликативностью нормы Фробениуса и ра-
венством Л^Л*) = Л^(Л). Получим

р(Л*Л) <: А1(Л*Л) <: ЛГ(Л*)2У(Л) = №(Л),
откуда вытекает вторая оценка, для ||Л||2:

||Л||2^(Л).

(20)

Это неравенство вытекает также из того, что норма Фробениуса
согласована со сферической векторной нормой.

Приведем без доказательства оценку для ||Л||р при любом
Р Z 1:

||Л||р	(21)

При р = 1,оо это неравенство обращается в равенство, как это
следует из (5) и (7), а при р = 2 оно совпадает с (19).

§ 3. Сходимость матричной
геометрической прогрессии

Линейное пространство матриц Мп(С) является специальным
случаем арифметического пространства, поэтому сходимость
последовательности матриц {Ль}^, к матрице А можно опре-
делить как сходимость п2 числовых последовательностей:

lim — ciij, i, j : 1,2,..., п.

Аг—-оо

Из теоремы 1.2 следует, что сходимость в смысле этого опреде-
ления равносильна предельному соотношению

^liin^ ||Ль - Л|| = 0.

Отметим некоторые факты, относящиеся к пределам последо-
вательностей матриц, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Предел суммы равен сумме пределов:

lim (Ль + Bk) = lim Ак + lim Вк.
к—-сс>	к—*оо	к —* оо

Постоянную матрицу можно выносить за знак предела. Напри-
мер, если G, Н — постоянные матрицы и lim*,™,*, Ак = Л, то

lim GAkH = G( lim Ak)H = GAH.
к —* оо	к —- оо

Сходимость матричного ряда определяется как сходимость
последовательности его частичных сумм. Приведем достаточ-
ное условие сходимости степенного матричного ряда 52ь=0 аь Ак.
В предположении, что матричная норма || || мультипликативна,
можно оценить норму общего члена этого ряда:

||ам*|| Ы-р||*. k = о, 1,2,...

Если числовой ряд |а*| • ||A||fc сходится, то сходится и ма-
тричный ряд 222= q dk-^k • Это утверждение нетрудно получить
с помощью признака Коши, применяя его к последовательности
частичных сумм Sm = z22=o акАк матричного ряда. Будем гово-
рить, что числовой ряд £“=0 |сц.| •||Л||А: мажорирует матричный
ряд E“=oa^fc-

Лемма 1. Если матричный ряд геометрической прогрессии
52^-q Вк сходится и его сумма равна S, то матрица Е — В не-
особенная и S = (Е - В)-1.

Доказательство. По определению суммы ряда

S= lim У Вк = Е + lim Вк =
т—*сю	т—*оо

к = 0	к=1

т— 1

= Е + В lim V B' = E + BS.

т—*со

1=0

Получили равенство S = E + BS, которое можно записать в виде
(Е — B)S — Е. Из этого равенства следует, что матрица Е — В
неособенная и, значит, S = (Е — В)-1. Лемма доказана.

Теорема 1. Для того чтобы сходился матричный ряд геоме-
трической прогрессии

ОО

ЕА	(1)

к=0

необходимо и достаточно, чтобы р(Д) < 1. При выполнении
условия теоремы матрица Е — А неособенная и

ОО

^Ак = (Е-А)-'.	(2)

k=0

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд (1)
сходится. Обозначим через Хт собственное число матрицы
А и через х(т)— соответствующий ему собственный вектор:
Ах^ =	Очевидно	= А^а/"1), откуда, получаем

ОО	оо

^Акх™ = х^^Хкт.
к = 0	k=0
Так как ряд в левой части этого равенства по условию сходит-
ся, то сходится и ряд в правой части. Но для сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы |Am| < 1. Мы доказа-
ли. что любое собственное число матрицы А по модулю мень-
ше 1 и, следовательно, р(Л) < 1. Необходимость доказана.

Достаточность. Если ||Л||оо < 1, то ряд (1) сходится,
так как мажорируется геометрической прогрессией. Будем счи-
тать, что ЦЛЦоо -S 1, и рассмотрим матричный ряд

ОО

(з)

Jt = O

где р-— комплексное число. Этот ряд сходится при условии

Ы IMIloo < 1.	(4)

Действительно, ряд (3) мажорируется числовым рядом

ImI^IHIIooi который сходится на основании (4). В силу
условия ||Д||ГО	1 открытый круг |/1| < 1/ЦЛЦос 1 на плоско-

сти комплексного переменного /1, определяемый неравенством
(4), содержится внутри замкнутого круга |^|	1.

Обозначим сумму ряда (3) через S. По лемме 1 матрица
Е — рА неособенная и S = (Е —	, или

СО

= (Е-/1Л)-1.	(5)

k = 0

Это равенство имеет место при условии (4).

Выясним структуру матрицы (Е — рА)~1. С этой целью вспо-
мним определение присоединенной (или союзной) для U = [u,j]
матрицы. Обозначим через U,j алгебраическое дополнение эле-
мента. Uij матрицы U. Матрица. V = называется присоеди-
ненной для U матрицей. Справедливо равенство UV = det U  Е,
из которого видно, что если det U ф 0, то

U~1 = V/ det U.	(6)

В случае U = Е — рА присоединенная матрица V\p) имеет
своими элементами многочлены от р степени не выше п — 1, и
равенство (6) записывается в виде

(Е-/М)-1 = V(/z)/det(£-/M)	(7)

в предположении det(E — рА) 0. Это предположение, в частно-
сти, выполняется, если р удовлетворяет условию (4). Равенство
(7) дает требуемую структуру матрицы (Е — рА)~1.
Заменим правую часть равенства (5) с помощью (7). Получим
равенство

У'икАк - —(8)

& А ~ Aet(E-pA)’	(8)

которое имеет место при условии (4). Сходимость матрично-
го ряда в левой части равенства (8) равносильна сходимости
п2 числовых рядов, составленных на. элементов матриц, кото-
рые являются членами этого матричного ряда. Таким образом,
справедливы равенства

=	...(9)

Здесь символ означает элемент и!; матрицы U. В левой
части последнего равенства стоит числовой степенной ряд, а в
правой части — дробно рациональная функция от ц.

По условию теоремы р(А) < 1, и, следовательно, модули всех
собственных чисел А меньше единицы. Отсюда следует, что в
круге |/i|	1 на плоскости // комплексного переменного знамена-

тель дроби в правой части (9) отличен от нуля. Действительно,

det(£? - рА) = (-l)V' det (Л - (l//i)£) / О,

так как 1/р не может быть собственным числом А при |/z| SC 1.
Таким образом, правая часть (9) является функцией комплекс-
ного переменного р, регулярной в замкнутом круге |р|	1. Ряд

по степеням р в левой части (9) совпадает с этой функцией в
круге |//| < 1/ЦДЦоо и, следовательно, является ее рядом Тейло-
ра. Из регулярности функции в круге |р|	1 следует, что ее

ряд Тейлора сходится в этом круге, в частности он сходится
при р = 1:

ОО

М = 1,2,...,н.

k = 0

Сходимость этих п2 рядов равносильна сходимости ряда (1).
Достаточность доказана.

При выполнении условия теоремы р(Д) < 1 ряд (1) сходится,
а тогда по лемме 1 матрица Е — А неособенная и имеет место
равенство (2). Теорема доказана.

Рассмотрим степенной матричный ряд общего вида

ОО

(Ю)
и соответствующий ему числовой ряд

12а^к-

fc=o

(И)

Обозначим через г радиус сходимости степенного ряда (И).
Приведем без доказательства теорему о сходимости ряда (10).

Теорема 2. Степенной матричный ряд (10) сходится, если
спектральный радиус матрицы А удовлетворяет неравенству
р(А) < г, и расходится, если р(А) > г.

Теорема 2 дает лишь достаточное условие сходимости ряда
(10). Простота формулировки теоремы 1 связана с тем. что ра-
диус сходимости ряда геометрической прогрессии равен 1. при
этом во всех точках окружности |с| = 1 этот ряд расходится .

Необходимое и достаточное условие р(Л) < 1 теоремы 1 труд-
но проверяемо. Приведем простое достаточное условие.

Следствие 1. Если матричная норма \\-\\ мультипликатив-
на, то для сходимости ряда (1) достаточно выполнение условия
||-4|| < 1. в частности достаточно выполнение одного из условий

1И||М<1, ||<<1, N(A)<1.

Доказательство следует из теоремы 2.2, так как по этой тео-
реме р(.4)	Ц--4Ц < 1 и, значит, выполнено условие теоремы 1.

Следствие'!. Пусть ||Д|| < 1, где матричная норма мульти-
пликативна и удовлетворяет условию ||F|| = 1. Тогда матрица
Е — .4 неособенная и

||(Е-Л)-1К1/(1-||Д||).	(12)

Доказатель ство. Для нормы частичной суммы ряда (1)
справедлива оценка.

m	т	т	1 _ II Д|Г

« ||Е|| + £||Л‘|| « 1 +	= --U

fc=o	t=i	t=i

В полученном неравенстве

1-И1т+1

1-1И1

к

перейдем к пределу при т —> оо, что возможно в силу непрерыв-
ности нормы. Получим (12). Следствие доказано.
Приведем замечание об условии ||£|| = 1. Операторная норма
матрицы ему удовлетворяет:

IIEII = max IIEarll = max 1Ы| = 1.

Норма Фробениуса этому условию не удовлетворяет, так как
N(E) — у/п. > 1 при 7i 2 и, следовательно, она. не операторная.

Приведем две теоремы, не связанные со сходимостью матрич-
ной геометрической прогрессии. Первая — о неособенности ма-
трицы с диагональным преобладанием, вторая—о расположе-
нии собственных чисел матрицы на плоскости комплексного пе-
ременного.

Теорема 3. Если матрица А имеет диагональное преоблада-
ние:

п

KI > ^2 М- г = Ь2,...,т7.,	(13)

то она неособенная.

Доказательство. Допустим противное: det Л = 0. Тогда
однородная система Л.г' — 0 имеет ненулевое решение, которое
мы обозначим т*, £$,. .., г* . Пусть ?-номер наибольшей по мо-

дулю компоненты решения:

КК IK’ j = 1,2,..., 77.

Так как решение ненулевое, то |z*| > 0. Результат подстановки
решения в уравнение системы с номером г запишем в виде

п

<аГГхГ —	5 \ arjXj.

j = 1 ,i

Из этого равенства получаем

к-кк 52 Ki • к кк 52 кь

>=1

а так как |т*| > 0, то

п

larr |	5 > larj I 

Это неравенство противоречит свойству диагонального преоб-
ладания (13). Теорема доказана.
Теорема 4 (о кругах Гершгорина) . Все собственные числа
матрицы А принадлежат объединению кругов

|а» - А| 22 г'= 1.2,  • .,п,	(14)

на плоскости комплексного переменного А.

Доказательство. Пусть А^ — собственное число матрицы
А. Тогда det(^4 — Aj,E) = 0 и, следовательно, у матрицы А — А*-Е
нет диагонального преобладания. Это означает, что выполня-
ется неравенство

п
|a»- At|^ ^2 Ia’j1
3 =1,7

хотя бы при одном значении i или, что то же самое, Aj. принад-
лежит хотя бы одному из кругов (14). Теорема доказана.

§ 4.	Обусловленность задачи решения
линейной алгебраической системы

Вычислительная задача состоит в том, что по некоторому
множеству заданных чисел — параметров — требуется найти не-
которое другое множество чисел — ответов. Например, в за-
даче вычисления матрицы, обратной к матрице А, параметра-
ми являются элементы матрицы А, а ответами — элементы
матрицы Л-1. При фактических вычислениях мы, как прави-
ло, получаем приближенные значения ответов. Это связано с
тем, что вычисления ведутся с ограниченным числом десятич-
ных (двоичных) знаков или значащих цифр, при этом арифмети-
ческие операции выполняются лишь приближенно, допускаются
погрешности округления.

Для ряда задач линейной алгебры показано [7], что влияние
погрешностей округления при вычислениях равносильно допол-
нительному внесению погрешностей в исходные параметры. По-
этому важное значение приобретает вопрос о том. какое; влия-
ние на ответы оказывает малое изменение исходных параметров
задачи.

Вычислительные задачи, в которых малым изменениям па-
раметров отвечают большие изменения в ответах, называются
плохо обусловленными. Плохо обусловленные задачи весьма не-
удовлетворительны при вычислениях. Чтобы получить ответ
с требуемой точностью, мы должны проводить вычисления с
огромным числом знаков.

Рассмотрим задачу решения линейной алгебраической систе-
мы

Аж = b,	(1)

где А— квадратная неособенная матрица, 6 — заданный вектор,
х— искомый вектор. Исходными параметрами этой задачи
являются элементы матрицы ,4 и составляющие Ь, вектора
Ь. Ответами являются составляющие вектора решения системы
(1), который будем обозначать х* = (ж}, жА,.. ., ж*).

Исследуем вопрос обусловленности задачи решения системы
(1). С этой целью рассмотрим систему уравнений

(А 4-ДА)(ж* 4-Дг) = 6 4-Д6,	(2)

которая получена из системы (1) изменением исходных пара-
метров: матрица А заменена на ,4 4- ДА, вектор 6 — на b 4- Д6.
Изменение исходных параметров приведет к изменению реше-
ния ж’ системы (1). Измененное решение обозначим х" 4- Дж.
Вектор Д6 и матрицу ДА можно рассматривать как погрешно-
сти вектора 6 и матрицы А, а Дж — как погрешность решения ж*,
которая вызывается погрешностями ДЬ и ДА.

Нашей ближайшей целью является оценка нормы вектора Дж
через норму вектора. ДЬ и .матричную норму ДА. Будем считать
матричную норму операторной, порожденной применяемой век-
торной нормой. Нормы ||Д6||, ||ДА||, ||Дж|| будем называть абсо-
лютными погрешностями Ь, А, ж* соответственно.

Систему (2) запишем в виде

Аж* 4- ДАж* 4- (А 4- ДА)Дж = Ь 4- Д6.

Так как ж’ — решение системы (1), то Аж* = Ь, и мы получаем

(А + ДА)Дж = Д6-ДАж*.	(3)

Это линейная алгебраическая система с неизвестным вектором
Дж и матрицей А 4- ДА.

Матрицу системы (3) представим в виде

А + ДА = А(Е 4-А-1 ДА).	(4)

По следствию 3.2 можем утверждать, что матрица Е 4- А-1ДА
обратима, если

||А-1ДА|| < 1,

(5)
и справедлива оценка (3.12):

||(£7 4- Л~1ДЛ)“1 ]| <: 1/(1 - НЛ-'ДЛП).	(6)

Потребуем от матрицы ДЛ выполнения условия

1|л-1|| • ||ДЛ|| < 1,	(7)

из которого в силу мультипликативности операторной нормы
вытекает условие (5):

р-1ДлНр-1|Ы|ДЛ||<1.

Эти неравенства позволяют неравенство (6) заменить таким:

||(Е + Л-'ДА)-1!! <: 1/(1 - ЦЛ-Ч1 • ||ДЛ||).	(8)

Таким образом, при условии (7) матрица (4) имеет обратную:

(Л+ ДЛ)“‘ = (Е + Л-’ДЛ)-1/-1,

и норма обратной матрицы на основании (8) удовлетворяет не-
равенству

||(Л + ДЛ)-Ч|^|Н-1||/(1-||Л-1||.||ДЛ||).	(9)

Решение системы (3) можно представить в виде

Дх = (Л + ДЛ)-1(Д6 - ДЛх’).

Отсюда с помощью (9) и неравенства(2.3), связывающего опера-
торную матричную норму и породившую ее векторную норму,
получаем

IIДз-П <: [IIЛ-11|/(I - ||Л-1II • IIдлID] (||Д6|| + ||ДЛ|| • ц.т*II). (10)

Это неравенство позволяет по абсолютным погрешностям ||Д6||
и ||ДЛ|| оценить абсолютную погрешность решения ||Д1'||.

Получим оценку относительной погрешности ||Дл||/||.г'*|| ре-
шения системы (1) через относительные погрешности вектора
правой части ||ДЬ||/||6|| и матрицы ||ДЛ||/||Л||. При этом счита-
ем, что b / 0 и, следовательно, х* / в. Разделим обе части (10)
на ||х*||:

11М/Н*’Н

[||л-1 ц/(1 - пл-1 [|  HMD] (IIM/IIЛ + 1|ал||). (и)
Из равенства Ах” = b получаем неравенство ||6||	||А|| • ||1’*||,

или 1/||х-|| <: ||А||/||Ь||. С помощью этого неравенства, из (И)
имеем

IIMI/IHI [cond А/(1 - cond А|I△ А11/||А||)] х

х (||Д6||/||6|| + ||ДА||/||А||), (12)
где

cond А = ||А-1|| • ||А||.	(13)

Число cond Л называется числом обусловленности матрицы А.

Неравенство (12) имеет место при условии (7) и позволя-
ет оценивать относительную погрешность решения через отно-
сительные погрешности исходных параметров. В этой оценке
существенную роль играет число обусловленности (13). Чем
больше это число, тем оценка хуже. Задача решения системы
(1) плохо (хорошо) обусловлена, если число обусловленности
cond Л велико (мало).

Отметим некоторые свойства числа обусловленности. Пре-
жде всего оно зависит от избранной матричной нормы.

В случае любой операторной нормы матрицы cond .4	1.

Действительно, из тождества Д = А.4-1 получаем

1 = ||Д|| = И4-'||^ ||А||  ||Д-‘|| = cond А.

Имеет место свойство инвариантности числа обусловленно-
сти относительно операции умножения матрицы на число а / 0:

cond .4 = cond(oA).

Это утверждение очевидным образом следует из определения
(13).

Если матрица U — унитарная: UU” = U’U = Е. то ее чи-
сло обусловленности, определяемое 2-пормой матрицы, равно 1.
Действительно,

||t/||2 = V^(Z747) = V<^) = 1,
Г-1||2 = ||^||2 = У^Ч7) = 1.

Пусть G и Н — неособенные матрицы. Из определения числа
обусловленности (13) получаем

cond GAH cond G cond Н cond А.	(14)

Вместе с тем

cond А = cond(G-1GAHH-1)

cond G-1 cond H~l cond GAH = cond G cond H cond GAH
и, следовательно,

cond А cond (7 cond II cond GAH.	(15)

Если cond G = cond H — 1, то из (14) и (15) получаем
cond GAH = cond A

Отсюда следует, что если G и Н унитарные и число обусло-
вленности определяется 2-нормой, то cond ОЛЯ = cond .4. От
умножения матрицы на унитарные матрицы слева и справа ее
число обусловленности, определяемое 2-нормой, не изменяется.

Укажем число обусловленности матрицы, которое определя-
ется 2-нормой матрицы. На основании (2.15) имеем

||Л||2 = ^рИ‘А), р-' ||2 = vUd-’p-1)-) = >W4.

(16)
Здесь мы воспользовались равенством (А ')* = (Л’)-1, ко-
торое можно получить из равенства АА-1 = Е, если к обе-
им частям этого равенства применить операцию сопряжения
* : (А-1)* А* = Е.

Матрица А‘А самосопряженная, поэтому ее собственные чи-
сла вещественны, Так как матрица А неособенная, то А*А —
положительно определенная матрица:

(А*А.т,а:) = (А.с, Ат) = ЦАкЦт > О

при х 9. Отсюда следует, что собственные числа матрицы
А* А положительны. Обозначим их при этом будем считать,
что они пронумерованы в порядке невозрастания:

si	> 0.	(17)

Так как собственные числа матрицы (А‘А)-1 равны !/£,-, то

р(А’А) = £1, р[(А’А)-Ч = 1/<п,

и из (16) получаем

cond А = ||Л||2||А-1||2 =	(18)

где £1 и — наибольшее и наименьшее собственные числа ма-
трицы А* А.

В частности, если матрица А самосопряженная: А = А*, то
А* А — А2, £, = А?, i — 1, 2,..., п, где А; — собственные числа А,
пронумерованные в порядке невозрастающих абсолютных вели-
чин:

|А1||^||а2||^--^|ап|,
как это следует из (17). Таким образом, если ,4 — самосопря-
женная матрица, то из (18) получаем

cond А = |Ai|/|A„|,	(19)

где А] и Ап — соответственно наибольшее и наименьшее по аб-
солютной величине собственные значения матрицы Д.

Пример [53]. Линейная алгебраическая система

Дх = 6,	(20)

где
. _ Г 1	0,991	. _ 1,99'

А ~ [fl,99 0, 98 ’	[1,97] ’

имеет решение х* = (1,1)'. Изменим в системе (20) исходные
параметры, взяв ДЬ = 10~4(—0, 97, 1,06)' и Д.4 = 0. Получим
систему

Д (х 4 Д2) — b Т ДЬ,

из которой находим изменение решения Дх = (2,0000, —2,0203)'.

Матрица А системы (20) симметрическая, поэтому естествен
по воспользоваться 2-нормой для определения числа, обусло-
вленности с помощью формулы (19). Собственные числа ма-
трицы Л таковы: Ai = 1,98005, А2 = 0,0000505; по формуле (19)
получаем condX = 39200. Неравенство (12) записывается в виде

||Дх||о/||1;-||,^ 39200||ДЬ||2/||6||ц.	(21)

Возникает вопрос: не является ли эта оценка завышенной?
Может быть, в действительности

||Дх.||2/||Г||2 = с||ДЬ||2/||Ь||2,

(22)

где постоянная с значительно меньше числа обусловленности
39 200?

Относительные изменения векторов х' и Ь легко указать:

||Даг||2/||х--[|2 = 2, ||Д6||2/||6||2 = 10-4/2,

и из равенства (22) получаем с = 40 000. Это показывает, что по-
стоянная с близка к числу обусловленности и неравенство (21)
близко к точному. Мы получили значение с, которое превос-
ходит число обусловленности. Это объясняется тем, что при
вычислении относительных изменений х’ и b приближенно по-
лагали Дх ~ (2, —2)', b = (2, 2)', ДЬ « 10“4(-1,1)'.
§ 5.	Метод Гаусса решения
линейных алгебраических систем

Рассмотрим задачу решения линейной алгебраической систе-
мы Ах — Ь, где Л — заданная неособенная матрица порядка п,
b— заданный вектор, х- искомый вектор. Матрицу А и вектор
b здесь и в дальнейшем считаем вещественными. Методы ре-
шения линейных алгебраических систем делятся на две группы:
точные и итерационные.

Метод принадлежит группе точных методов, если он дает
точное решение системы в результате выполнения конечного
числа арифметических операций в предположении, что ариф-
метические операции выполняются точно, без округления. Чи-
сло N арифметических операций, необходимых для получения
решения данным точным методом, зависит от этого метода и
от матрицы системы. Для N можно указать верхнюю границу,
зависящую от п — порядка матрицы системы (и от рассматри-
ваемого метода).

Метод, принадлежащий группе итерационных, теоретически
дает решение системы как предел последовательности векто-
ров — последовательных приближений, вычисляемых некоторым
единообразным процессом. Так как при фактических вычисле-
ниях мы можем найти лишь конечное число последовательных
приближений, то итерационный метод, как правило, приводит
к приближенному решению системы. Число арифметических
операций, необходимых для нахождения решения, определяется
быстротой сходимости последовательных приближений к точ-
ному решению и требуемой точностью искомого приближенного
решения.

В настоящем параграфе излагается важнейший из группы
точных методов — метод исключения Гаусса. Метод имеет мно-
го различных вычислительных схем. Рассмотрим сначала так
называемую схему единственного деления.

Линейную алгебраическую систему запишем в развернутом
виде:

а11	+ а122;2+ -- + а1п2;п —	,

а21х1 + а22х2 + • • • + а2пхп = Ь2.	(1)

ап1Х1 + ап2х2 +--1- аппхп = Ьп.

Матрицу системы считаем неособенной, а ее элементы а,у и со-
ставляющие bi вектора правой части—вещественными.
Предположим, что коэффициент яц ф 0. Разделим па. пего
коэффициенты и правую часть первого уравнении системы (1).
Получим

1'1 + С12.г‘2 + .. . + cinxn = d\,	(2)

где

cv = aij/ац, j = 2,3,.. ,,v, tli=b}/au.
Коэффициент оц будем называть ведущим элементом первого
шага метода исключения.

Исключим неизвестную зц из всех уравнений системы (1), на-
чиная со второго, с помощью уравнения (2), а именно: из /-го
уравнения вычтем уравнение (2), умноженное на Иц. Преобра-
зованные уравнения запишем в виде

(ДУ.Г2 + а33.1’з + ... + «з'/с,, = V

4г»! + »Й’»Э + •  • +	= 41).	(3)

где

а-)5 = СЧ ~ апсЧ <	- ац(1}, i,j =2,3,...,?;.

Таким образом, в результате первого шага исключения мы
получили линейную алгебраическую систему специального ви-
да: неизвестная i’i входит только в первое уравнение (2) с ко-
эффициентом 1, остальные уравнения (3) можно рассматривать
как линейную алгебраическую систему п — 1 уравнений с т? — 1
неизвестными х->, 1’з, • • •, хп-

Далее, с системой уравнений (3) поступаем так же, как с си-
стемой (1): предполагаем, что ведущий элемент а,!? второго ша-
га исключения отличен от нуля, и делим на него первое урав-
нение системы (3). Получим

1’2 + С231’3 + . . . + С2пхп — <Д,	(4)

где

c2j =	Iа>22 , j ~ 3,4,..., n, d-> =

Исключим неизвестную .r2 из всех уравнений системы (3),
кроме первого, с помощью уравнения (4). Это приведет нас к
системе

(2)	(2)	(2)	,(2)

а33 Х'3 + а34 х4 + • • • + «Зп хп = Ь3 ,
а^Яз + 4^4 + • • • + -г’п = ь(42\

^пЗ ^3 + ^п4 ^4 Т • • . + Опп&п — *п j
где

=	М-М.........»

В результате второго шага исключения система (3) приводится
к уравнению (4), содержащему все неизвестные х2,...,хп, и к
системе (5) п — 2 уравнений с неизвестными хз,..., хп.

Ясно, что мы можем продолжить исключение неизвестных,
если предположить, что ведущий элемент m-го шага а^т1) О
при т = 3, 4 ..., п. На (п— 1)-м шаге исключения имеем дело с
системой двух уравнений:

(п-2)	(п-2)	,(п-2)

ап-1,п-1а;п-1 + ап_1п1’п — 6n_j ,
a(n“2k- , +a(n-2)a: - 6(п-2)
“n.n-l^n-l I un,n •‘-n — un

Первое уравнение этой системы в предположении a^7j2^_j ф О
приводится к уравнению вида

хп — 1 + Сп-1 ,пхп = dn-\-	(7)

С помощью этого уравнения исключаем неизвестную zn-i из
второго уравнения системы (6) и получаем

(8)

Шаг исключения с номером п состоит из единственной опе-
рации: деления уравнения (8) на ведущий элемент	0.

что приводит к равенству

х п — dn.	(9)

Запишем первые уравнения каждого шага. Получим систему

1'1 + С|2 + С13Х3 + . • • + с1пхп = d\,

х2 + С231’3 + . . . + С2пХп = d2,
........................................ (10)

ХП — 1 4" ^п—1,пхп — dn^\j
хп — dn

с треугольной матрицей, которая эквивалентна системе (1).

Систему (10) легко решить. Последнее ее уравнение дает
значение хп. Из предпоследнего уравнения системы находим
zn_i = dn_i - cn-i,nxn- Пусть уже определены значения хп,
хп-1,   , Xk+1- Из к-го уравнения системы имеем

xk = dk - Ck:k + lxk + \ - Ck,k + 2xk + 2 - ... - Cknxn- (11)
Часть вычислений, связанная с приведением системы (1) к
системе (10) с треугольной матрицей, называется прямым хо-
дом, а нахождение решения системы (10) по формулам (11) —
обратным ходом схемы единственного деления.

Запись результатов вычислений по схеме единственного де-
ления, выполняемых вручную, представлена в табл. 19. В таб-
лице рассмотрен случай системы четырех уравнений. Для со-
ставляющих векторов правых частей систем использованы обо-
значения

al5 = bi, = b<f\ с15 = d{.

Кроме того, в таблицу входит шестой столбец, который служит
для контроля вычислений.

Таблица. 19

Я11	012	013	014	015	016
021	^22	023	G24	025	026
031	032	Озз	034	035	Озб
041	042	«43	044	045	046
1	Q Q Q О л ' w 'tc >_»	^O^TcO^CO^CO  —'	СЧ _г СО >—X Т  и е Q Q	° е q о	С15  4'2	со —✓тг 1 ° о о о
	1	С23  а(2) п43	С24  4^	С25  4Г	С26 Озб}
		1	с34 а(3) а44	С35  а45	Сзе а(3) а46
			1	Х1	Уа
		1		Хз	Уз
	1			Х2	У2
1				XI	У1

Если в системе (1) ввести новые неизвестные yj = Xj -|-1, то для
определения у} получим систему с той же матрицей, но с дру-
гим вектором правой части, у которого i-я составляющая равна
+	= i aij- В первых четырех строчках таблицы числа шесто-

го столбца получены сложением всех предшествующих чисел
той же строки. При заполнении пятой и всех следующих строк
над числами шестого столбца выполняются те же действия, что
и над остальными числами данной строки. Например, пятая
строка получается делением всех чисел первой строки на ац.
Но тогда должно выполняться равенство

1 + С12 + С13 + С14 + C15 = C16,	(12)

если деление выполнено без округлений. При фактических вы-
числениях левая часть равенства (12) может отличаться от пра-
вой его части за счет погрешностей округления.

Контроль состоит в том, что в строке таблицы с номером г5
суммируются числа, расположенные в первых пяти столбцах, и
сумма сравнивается с числом из шестого столбца. Расхождения
между сравниваемыми числами должно находиться в пределах
погрешностей округления. Большое расхождение указывает на
то, что в вычислениях допущена грубая ошибка.

Укажем верхнюю границу для числа умножений и делений,
которые необходимо выполнить при решении системы по схеме
единственного деления (операции, связанные с контролем вы-
числений, не учитываются). Приведение первого уравнения си-
стемы (1) к виду (2) требует п делений. Исключение Xi из од-
ного уравнения требует п умножений, а исключение Х] из п — 1
уравнений требует п(п — 1) умножений. Общее число операций
деления и умножения, необходимых для исключения неизвест-
2
нои Xi, равно п .

Теперь ясно, что для приведения системы (1) к треугольному
виду (10) требуется выполнить

п2 + (n - I)2 +-h I2 = п(п + 1)(2п + 1)/6

делений и умножений. Для выполнения обратного хода следует
выполнить

1+2-1----1- (п - 1) = п(п - 1)/2

умножений. Общее число умножений и делений п3/3 + гг — п/3.
На самом деле это — верхняя граница. Действительно, уже при
получении уравнения (2) может потребоваться меньше чем п де-
лений, если среди чисел 6i, a17, j = 2, 3,..., п, имеются нулевые.

Схема единственного деления имеет существенный недоста-
ток. Если ведущий элемент некоторого шага равен нулю, то
схему применять нельзя, хотя система может иметь единствен-
ное решение. Кроме того, если ведущий элемент близок к нулю,
то это может привести к значительной потере точности.

По этой причине схему единственного деления целесообразно
изменить. На первом шаге исключения в качестве ведущего эле-
мента выбирается наибольший по модулю элемент (ц; матрицы
системы (1). Пусть это элемент Щ1;1. Уравнение с номером
делится на а,171, и далее с помощью этого уравнения исключает-
ся неизвестная х^ из остальных уравнений. В результате пер-
вого шага исключения мы приходим к линейной алгебраической
системе п— 1 уравнений относительно неизвестных , ..., I’jj-i.

-	К ’	(1)

+ i,..., хп. элементы матрицы этой системы обозначим а- - .
где i ф г’1, j ji- В качестве ведущего элемента второго шага
выбираем максимальный по модулю элемент а,-р и т. д. В этом
случае говорят, что производится выбор ведущего элемента по
всей матрице. Указанная схема называется схемой главного эле-
мента.

Недостатком схемы главного элемента является то, что поиск
наибольшего по абсолютной величине элемента требует боль-
ших затрат машинного времени. Другой способ изменения схе-
мы единственного деления состоит в том, что в качестве ведуще-
го элемента первого шага выбирается наибольший по модулю
элемент первой строки матрицы .4. На втором шаге в качестве
ведущего элемента, выбирается наибольший по модулю элемент
первой строки матрицы системы, получаемой в результате пер-
вого шага исключения и т.д. Здесь производится выбор ве-
дущего элемента по строке. Третий способ изменения схемы
единственного деления сводится к выбору ведущего элемента
по столбцу.

Пусть х‘ —точное решение системы уравнений .41’ = b, 1,(1^ —
ее приближенное решение, найденное методом исключения или
каким-либо другим методом. Обозначим через i^2^ поправку:
х’ = 1’П) -р Так как Л(а^*^ + л/2') = 6, то поправка 1,(2)
удовлетворяет системе уравнений

= b —	(13)

Правая часть этой системы представляет собой невязку
И1) =	— 5 системы Ах — b на. приближенном решении а/!),

взятую со знаком минус.

Если бы мы имели возможность точно вычислить правую
часть системы (13) и найти точное решение х^ этой системы,
то сумма + х1-2) была бы точным решением системы Ат = Ь.
На самом деле мы получим лишь уточнение приближенного ре-
шения. При этом крайне важно, чтобы вычисление невязки И1)
выполнялось с более высокой точностью по сравнению с опера-
циями, которые выполняются при решении системы (13).

Схему единственного деления и ее модификации можно при-
менить к задаче вычисления определителей. Пусть требуется
вычислить определитель

011	Я]2

G1 и

а22

^п2

Gnn

Предположим, что элементен ф 0. Вынесем ац за знак опреде-
лителя, предварительно разделив на него первую строку. По-
лучим

1	С12	С1п

Л21 л22	а2п

△ = ац

Яп 1 апо апп

Здесь и далее пользуемся обозначениями, которые применя-
лись при описании схемы единственного деления. Из г-й строки
последнего определителя (г 2) вычтем первую, умноженную

на ац.

1 е 12	а 1 п

0

Если а!,!? ф 0, то с полученным определителем п — l-ro порядка
поступаем таким же путем. Продолжая вычисления, находим

А = апа^? .. . а^п-1).

Если окажется, что элемент а^.	= 0 или близок к нулю,

то можно изменить порядок строк и столбцов так, чтобы в ле-
вом верхнем углу оказался ненулевой элемент. Наилучший в
смысле надежности результат получим, если на каждом шаге в
левый верхний угол будем переводить наибольший по абсолют-
ной величине элемент матрицы, определитель которой вычисля-

ется.
Формулы Крамера для решения системы Ах — b имеют вид

!{ = △,/△, г = 1,2,..., п,	(14)

где △ = det А, — определитель матрицы, которая получается
из матрицы А заменой г-го столбца, вектором Ь. Применение
формул (14) требует вычисления 71 + 1 определителей порядка п.

Сравнение схемы единственного деления для решения си-
стемы и для вычисления определителя показывает, что объ-
ем вычислений для решения системы незначительно превышает
объем вычислений одного определителя. Отсюда следует, что
пользоваться формулами Крамера для численного решения си-
стемы нецелесообразно.

Упомянем о применении метода исключения Гаусса к задаче
обращения матрицы. Пусть Л — неособенная матрица. Обозна-
чим через X искомую обратную к А матрицу. Из определения
обратной матрицы вытекает, что ЛА' = Е, где Е—единичная
матрица. Это равенство можно рассматривать как п линейных
алгебраических систем

Ах^ = е^\ j = 1,2,..., п.	(15)

где х^— j-й столбец матрицы Л',	i, 8j?,..., 6jn\, 8ij—

символ Кронекера.

Решение систем (15), например по схеме единственного деле-
ния, следует выполнять, одновременно записывая столбцы ма-
трицы А, п векторов и контрольный столбец. В результа-
те вычисления получим таблицу, состоящую из строк обратной
матрицы, расположенных в обратном порядке.

Остановимся на уточнении элементов обратной матрицы.
Пусть получено каким-либо способом приближенное значение
Ло матрицы, обратной к неособенной матрице А. Образуем ма-
трицу Ло = Е — АХо- Вычисление матрицы /?о полезно для кон-
троля точности приближенного равенства Ло ~ Л-1. Предполо-
жим, что ||Л0||	9 < 1, где матричная норма мультипликативна.

Рассмотрим последовательность матриц

Хк = Xk-i(2E — AXk-i), 1 = 1,2......	(16)

и докажем, что limjt-юо Хк = Л-1. Эта последовательность явля-
ется обобщением числовой последовательности

1к — 1к —1(2	Ь — 1 ), k — 1)2,...,
которая возникает при применении метода Ньютона для реше-
ния уравнения 1/Z — а = 0, а ф 0, при этом to—приближение к
1/а.

Положим

Rk = E-AXk, к = 0,1,2,...	(17)

Имеем

Rk = E-AXk = E-AXk^l(2E-AXk_l) =

— Е — AXk_i(E + Rk-i) = Rfc_i - AXk-iRt-i -

= R2k_1=R4k_2 = --. = Rlk.

Здесь мы воспользовались равенствами (16) и (17).

Получили

E-AXk = R2\

или, если умножить обе части этого равенства слева на А-1,
А-1 -Хк = A~lR2Qk.

Отсюда следует неравенство

ЦЛ-1 - хк\\ < пл-1!! • цяГп <: НА-1!,/, о < ? < 1,

которое показывает, что сходимость Хк к А-1 будет очень бы-
строй, если q — малое число.

При вычислениях Хк формулу (16) целесообразно применять
в виде

X,- = Xk_l + Xk_l(E- AXfc-!), к = 1,2,...

Здесь второе слагаемое играет роль малой поправки к первому.

§ 6.	Метод прогонки

Метод прогонки применяется для решения систем линейных
алгебраических уравнений вида

akxk-i + bkxk + Cfeifc+i = dk, fc=l,2,...,n,	(1)

где ai = 0, сп = 0.	Матрица этой				системы имеет вид		
	Г*1	Cl	0	0	0	° 1	
	а2	b2	С?	0	... 0	0	
	0	Яз	Ьз	сз	... 0	0	
	. 0	0	0	0		Ьп.	
и называется трехдиагоналъной, так как ее элементы, отличные
от нуля, могут находиться только на главной диагонали и на
двух побочных диагоналях. Метод прогонки является частным
случаем метода исключения Гаусса, сохраняющим на каждом
шаге трехдиагональный вид системы. Метод относится к числу
точных.

Опишем метод прогонки. Первое уравнение системы разре-
шим относительно xj:

Л — Ai 4- В\, .4) = — cj/Ь\,	= г/| /6].	(2)

Подставим во второе уравнение системы (1) вместо .гц правую
часть этого равенства. Получим уравнение, связывающее х-> и
а.’з, которое разрешим относительно х->.

Пусть мы уже выразили из k — 1-го уравнения системы хк_у
через хк:

Xk-i = Ak-\xk 4- £?{_].

Подставим правую часть этого равенства вместо хк-1 в к-е
уравнение системы (1). Получим

(Ак_как 4- Ьк)хк 4- скхк + 1 = dk- Bk-iak,

откуда

а-Ч = Л*..1ч-+1 + Вк,	(3)

где

-4i = -ck/Dk, Вк — (dk - Bk_iak)/L>k. Dk = Ak_\ak + bk. (-1)

Конечно, предполагается, что Dk ф 0. 'Гак как сц = 0, то форму-
ла (2) получается как частный случай формулы (3) при к = 1.

В сил)' с„ = 0 из (4) получаем, что .4,, = 0. а тогда из (3)
следует x,L = Вп. Далее, из (3) при k = и — 1 можем найти .гп-1.
затем при к — п — 2 - найти .r;1_2 и т. д.

Процесс последовательного вычисления чисел Dk, .4j,, Вк при
k = 1,2. .... п. называется прямой прогонкой. Коэффициенты Л/-.
Вк называются прогоночными коэффициентами, и они должны
сохраняться в памяти машины. Процесс вычисления неизвест-
ных хк по формулам (3) при k = п, и — 1,. .., 1 называется обрат-
ной прогонкой.

Подсчитаем число арифметических операций, выполняемых
при применении метода прогонки. На каждом шаге прямой про-
гонки приходится выполнять два. умножения, два деления, одно
сложение и одно вычитание — всего шесть операций. На каждом
шаге обратной прогонки выполняется две арифметические опе-
рации— одно умножение и одно сложение. Общее число ариф-
метических операций, необходимых для решения системы (1),
не превышает 8п. Первый шаг прямой прогонки требует двух
делений, а. первый шаг обратной прогонки не требует никаких
арифметических операций, поэтому, в частности, сказано, что
общее число операций не более 8п.

При описании метода прогонки предполагалось, что число
Dk, определяемое последним из равенств (4), отлично от нуля.
Докажем, что это условие выполняется, если матрица системы
(1) имеет свойство диагонального преобладания

|bfc 1 > HI + Ы- к = h 2,..., п,	(5)

которое обеспечивает неособенность матрицы системы (см. те-
орему 3.3).

Методом математической индукции докажем, что |Дг| < 1 и
Dk ф 0 при k = 1,2,. .., п. Из неравенства (5) при k = 1 следует,
что |6]| > |ci| 0 и, значит,

б! =	0, |Д11 = |с1/61|<1.

Утверждение при k = 1 доказано. Пусть оно верно при k = т — 1,
2 SC т п, и докажем его при k — т. Имеем

I Dm | |-^m—“И | | Ьт |	| Нп | У |спг | 

Из неравенства > |с,п| следует, что Dm / Ои

|Лт| = |cm|/|Dm| < 1,

что и требовалось доказать.

Полученное при доказательстве неравенство |Л*.| < ] оказы-
вается полезным при исследовании устойчивости метода, про-
гонки. В частности, если .значение ац-i-i вычислено с некоторой
погрешностью 5, то при вычислении Хк по формуле (3) эта по-
грешность войдет с коэффициентом Ак, модуль которого мень-
ше 1.

§ 7. Метод квадратного корня

Метод квадратного корня или метод Холецкого применяется
для решения линейной алгебраической системы

Ах = Ь

(1)
с симметрической и положительно определенной матрицей. В
основе метода лежит следующая теорема.

Теорема 1. Если А —симметрическая и положительно опре-
деленная матрица, то существует, нижняя треугольная матри-
ца

	S11	0	0	0 1
	«21	$22	0	0
s =	S31	$32	•S33	0
	. $n 1	$n2	$n3	Snn _

с вещественными элементами и такая, что

А = SS'.

(2)

Матрица S определяется однозначно, если вц > 0 при i — 1,
2,..., п.

Доказательство. Рассмотрим матрицы Ar = J = 1,
г = 1,2,..., п. Необходимое и достаточное условие положитель-
ной определенности А = Ап состоит в том, что det Аг > 0 при
г = 1,2, ..., п. Отсюда следует, что все матрицы АГ положитель-
но определенные. Докажем, что равенство (2) имеет место для
всех Аг:

Ar=SrS'r, г = 1,2,..., п,	(3)

при этом Sr =	_ 1.

Доказательство (3) проведем методом математической индук-
ции по г. При г = 1 имеем Ai = [оц]. Так как оц = det А] > О,
то Sy — [б'ц] определяется однозначно, если взять = у/а.\ i.
Пусть уже доказано, что (3) справедливо при г = т— 1	1, при

этом матрица Sm-\ вещественная, имеет положительные диаго-
нальные элементы и определена однозначно. Докажем, что (3)
имеет место при г = т.

Матрицу Ат и искомую матрицу Sm представим в блочном

виде:

1Де Т ) — (oim > а2т > •   1	1,т) >	— (Sml, ^т2, • • • i ^m,m—1) •

Запишем равенство (3) при г = т:

1	a(m)‘
a(m)'	amm

Sm-i

s(m)>

$тт

	s<m)'	(4)
0'	$ mm	

О
Из него получаем

А„_! =	= a™, S<m)'s;n_] = а(тЛ

„(т)' (т) ,	2	_

о о -Г о1пт — и-тт-

(5)

Первое равенство (5) выполняется по предположению индук-
ции. Третье равенство является следствием второго (получает-
ся операцией транспонирования). Так как матрица Sm-i неосо-
бенная (ее диагональные элементы положительны), то из вто-
рого равенства однозначно определяется вещественный вектор
s(m). Приравнивая определители матриц в левой и правой ча-
стях равенства (4), находим

det Дт — (det Sm_i)"s^m.

Отсюда видно, что s^im > 0 и четвертое равенство (5) одно-
значно определяет положительное число smrn. Таким образом,
матрица Sm вещественная, имеет положительные диагональные
элементы и определена однозначно. Теорема доказана.

Основную часть вычислений в методе квадратного корня ре-
шения линейной алгебраической системы (1) составляет нахо-
ждение матрицы S в разложении (2). Приведенное доказатель-
ство разложения (2) дает способ вычисления матрицы S.

Сначала вычисляем 5ц =	11—единственный ненулевой

элемент первой строки матрицы S. Далее последовательно при

собой подробную запись второго равен-

которая представляет
ства. (5), и вычисляем

с помощью четвертого равенства (5).

Решение системы (6) и вычисление smm по формуле (7) да-
ют элементы m-й строки матрицы S. Такой способ вычисления
элементов матрицы S называется схемой окаймления. Имеются
и другие схемы вычисления S.
Решение линейной алгебраической системы (б) с нижней тре-
угольной неособенной матрицей выполняется следующим обра-
зом. Из первого уравнения системы получаем .ч,П] = а17п/*11 •
Пусть уже вычислены smi,. . ., smj_i. Из уравнения с номером
j находим

Sjnj — I &j rn	Sj к $mk I / •*»;' jj — 2, 3, . ..,7H 1 .

\	1=1	/ /

При вычислении элементов smm no формуле (7) приходится из-
влекать квадратный корень. Это объясняет название метода.

После того как матрица. S получена, систему (1) можно за-
писать в виде SS'x = b. Решение приводится к решению двух
линейных алгебраических систем

Sy = b, S'x - у

с треугольными матрицами. Решением этих систем завершает-
ся метод квадратного корня. Метод квадратного корня облада-
ет численной устойчивостью.

Метод квадратного корня можно применять в случае, если
матрица системы (1) симметрическая и удовлетворяет услови-
ям det Л,- ф 0, г = 1,2,..., п. При данных условиях разложение
(2) существует, но матрица ,5' не является вещественной, если
zl — не положительно определенная матрица. Это следует из
того, что матрица SS1 положительно определенная, если ,5' ве-
щественная и неособенная матрица. Невещественность S про-
является в том, что некоторые *’/г- оказываются отрицательными
и соответствующие столбцы матрицы будут состоять из чисто
мнимых элементов. Это не вносит дополнительных трудностей,
так как действия с чисто мнимыми числами столь же просты,
как с вещественными.

§ 8. Метод итерации

Обычная запись линейной алгебраической системы такова:

Ах = b,	(1)

где матрица А неособенная. Для применения метода итерации
система (1) должна быть приведена к виду

х — Вх 4- с.	(2)
Такое приведение можно выполнить следующим путем. Пусть
Н - неособенная матрица. Tor-да система

х — х — Н{Ах — Ь)	(3)

имеет вид (2) и эквивалентна системе (1).

Вместе с тем всякая система (2), эквивалентная системе (1),
записывается в виде (3). Действительно, для совпадения (2) и
(3) необходимо и достаточно, чтобы В = Е — НА и с = НЬ.
Таким образом, в качестве матрицы Н в (3) следует взять II =
(Е — Д).4-1. Матрица Н неособенная, так как Е — В неособенная
как матрица системы (2), эквивалентной системе (1).

Итак, считаем, что линейная алгебраическая система имеет
вид (2). Метод итерации для ее решения состоит в следующем.
Пусть Д0'— вектор начального приближения к решению систе-
мы (2). Образуем последовательность векторов

T(t+1) = Вх(к} + с, I-= 0, 1,2,...	(4)

Если эта. последовательность сходится: Ппц,_00	= т*, то ее

предел х’ является решением системы (2). Для доказательства
этого утверждения достаточно перейти к пределу в равенстве
(4) при k — оо, и мы будем иметь х" = Вх‘ + с.

При нахождении решения х* методом итерации получают
лишь конечное число последовательных приближений {Д^^-о
и в качестве приближения к решению берут

Если последовательность {Д^)^о, определяемая методом
итерации (4), сходится, то говорят, что метод итерации для
системы (2) и начального приближения сходится. Метод
итерации сходится не для всякой системы (2). Приведем тео-
рему. которая дает условие сходимости метода итерации для
системы (2).

Теорема 1. Пусть матрица Е - В неособенная. Чтобы ме-
тод итерации для системы (2) сходился при любом начальном
приближении х^°\ необходимо и достаточно, чтобы р(В) < 1.

Доказательство. Необходимость. Пусть lim =
k—>OQ

х* для любого Д°\ Тогда х* — решение системы (2), единствен-
ное в силу неособенности матрицы Е — В. Имеем

XVA _ х* = Bx^-V + с - (Вх* + с) =	- а;*) =

= В2(Д*"2) -х') = --- = Вк(Е°> - Д).
И.з полученного равенства следует, что

Вк(х^0^ — a;”) —+ 0 при k —+ сю	(5)

для любого вектора начального приближения

Пусть А, —собственное число матрицы В и у^— отвечаю-
щий ему собственный вектор. Возьмем	4- х*. Тогда с

помощью (5) получим

Вку^ = Хку^ —0, k-^ оо.

Так как у^ 0 как собственный вектор, то Aj 0 при k —+ оо
и, следовательно, |А.,| < 1. В силу того, что А5 — любое соб-
ственное число матрицы В, имеем р(В) < 1. Необходимость
доказана.

Достаточность. Выразим приближение с номером k че-
рез начальное приближение а/0-1. Имеем

Д1' = BxW + с, а?(2) = Вх^ + с = B(Bxw + с) + с =

= B2.r(u) + (£+ В)с.

Нетрудно видеть, что

= Вкхт + (Е + В + ...+ Вк~^с.	(6)

Правая часть равенства (6) имеет предел при k оо. Дей-
ствительно, Е 4- В 4- • • • 4- Вк~1 — частичная сумма ряда матрич-
ной геометрической прогрессии, который по теореме 3.1 сходит-
ся в силу р(В) < 1, поэтому второе слагаемое в правой части
(6) имеет предел (£? — В)-1с. Первое слагаемое Вкх^ —+ 0 при
k оо, так как Вк —+ О как общий член сходящегося матричного
ряда. Отсюда следует, что Ппц-_0О а/О = (Е — В)~} с. Достаточ-
ность установлена.

Следствие. Достаточным условием сходимости метода
итерации для системы (2) при любом начальном приближении
а?0) является выполнение неравенства ||В|| < 1, где матричная
норма мультипликативна.

Доказательство. Так как матричная норма мультипли-
кативна, то по теореме 2.2 справедливо неравенство р(В) sj
||В|| < 1. Это означает, что выполнено условие теоремы 1 и
метод итерации для системы (2) при любом сходится.

При условии ||В|| < 1, где матричная норма является опера-
торной, можно оценить норму погрешности k-ro приближения
метода итерации ||аА^ — х*||. Из равенства (6) почленно вычтем
равенство

оо

х- = ^В’с.

3=0

Получим

ОО
= Вкх^-^ Bj с.
j=k

Из этого равенства следует оценка

lkW - х"|| 1|5||‘|1*(0)|| + IIВ|Г1Н|/(1 - ||В||).	(7)

Отметим два достоинства метода итерации. Простота реали-
зации на ЭВМ: вычисление каждого приближения выполняется
по одной и той же схеме. Из теоремы 1 следует свойство самоис-
правляемости метода. Если некоторое приближение х(’) найде-
но неправильно, то можно продолжать вычисления и получить
хорошее приближение к решению, если все дальнейшие прибли-
жения вычисляются правильно. Действительно, х^'1 можно счи-
тать новым начальным приближением.

При фактических вычислениях вопрос о сходимости метода
итерации осложняется тем, что из-за погрешностей округления
мы получаем вместо последовательности	другую по-
следовательность	Интересный пример, когда спект-

ральный радиус матрицы системы (2) удовлетворяет условию
теоремы 1 в усиленном виде р(В) 1/2 и в то же время после-
довательность	расходится, приведен в книге [3].

Значение теоремы 1 о сходимости метода итерации состоит
прежде всего в том, что она. позволяет разумно приводить ли-
нейную алгебраическую систему к виду (2). Пусть матрица А
системы (1) близка к единичной: Ах Е. Тогда приведенная си-
стема (3), если взять Н = Е. запишется в виде х = х — (Лх — Ь),
или

х = (Е-А)х + Ь.	(8)

Эта система имеет вид (2). По следствию метод итерации для
нее будет сходиться, если

||Е-Л||<1,	(9)

где матричная норма мультипликативна. Данное условие точно
формулирует упомянутое выше требование «близости матрицы
А к единичной».
Предположим теперь, что для матрицы Л системы (1) извест-
но приближение // к ее обратной, так что матрица. НА близка
к единичной: НА ss Е. Умножим слева, на матрицу Н обе части
системы (1). Получим линейную алгебраическую систему

И Ах = НЪ.	(10)

у которой матрица близка к единичной. Поэтому к этой системе
можно применить указанный выше способ приведения. Система
(8) запишется в виде

х = (Е — Н А)х + НЬ.	(И)

Матрица Н должна быть такой, чтобы для некоторой мульти-
пликативной матричной нормы выполнялось неравенство

\\Е-НА\\< 1.	(12)

Покажем, что если матрица. Л имеет свойство диагонального
преобладания

п

IM > 22	7 =1 *2’ •   ’(13)

2 = 1.2#'

то нетрудно указать матрицу Н и воспользоваться этим спосо-
бом приведения. Введем диагональную матрицу

’ац	0	0

jj _	0	(299	0

. 0	0	апп.

у которой на главной диагонали стоят диагональные элементы

матрицы Л.				
Таким образом,	А	= D + C,	(14)	
где	Г 0	«12	^1п	
С =	«21	0	«2п	(15)
	- 1	«п2	•	0 .	

Ввиду свойства диагонального преобладания матрица D неосо-
бенная. В качестве Н возьмем обратную к D матрицу

1/ац 0	0 ’

0	1/«22	0

D-1 =

0

0

1/аПп-
Матрица в правой части системы (11) в силу (14) примет вид
Е — НА = Е- D~\D + C) = —D~XC,

где С определяется равенством (15), и система (11) запишется
так:

х = -LT'Cx +	(16)

Имеем

£»~1С =

О
а21 / а22

оц/оп
О

а1п/яц
а2п/022

/ О-пп ^п2/апп

О

и в силу (2.5)

п

П^-^Пс»

max

Y
3 = ^,3^

Отсюда на основании (13) получаем неравенство ||Z?—1С||Оо < 1,
которое обеспечивает сходимость метода итерации для систе-
мы (16).

Рассмотрим еще случай, когда матрица А системы (1) явля-
ется самосопряженной А = А" и положительно определенной.
Собственные числа матрицы А лежат на полуинтервале (0, д],
где д = ||Л|| и матричная норма мультипликативна, например
это ||А||р, р = 1,оо. Образуем матрицу (2/(д + е))Л, где е —
малое положительное число. Собственные числа этой матрицы
2А,/(д-|-г')лежат на интервале (0,2), а собственные числа матри-
цы Е — (2/(д + £?))Л — на (—1, 1). Приведем систему (1) к виду

х = [Е - (2/(д + £))Л]х + (2/(д + е))Ь.

Так как собственные числа матрицы Е — (2/(д + е))Л по абсо-
лютной величине меньше единицы, то метод итерации для по-
лученной системы по теореме 1 будет сходиться при любом на-
чальном приближении.

§ 9. Метод Зейделя

Метод Зейделя — это итерационный метод решения линейной
алгебраической системы. Как и в случае метода итерации, си-
стема должна иметь вид
Пусть	a>,°\  • •, 2-41°^ — начальное приближение к р

шению системы (1). Покажем, как находить первое приближе-
ние а/1) = (zаД1\ . .,1‘п^ в методе Зейделя.

Первая координата а,-]1) первого приближения вычисляется
так же, как в методе итерации:

+	(2)

7 = 1

При вычислении второй координаты используется только
что найденная координата:

12	— ^21*^1 ~г / у ^2j j “г С2 •

ГТ	(’) U) (О

Пусть уже вычислены координаты , х\ ,..., первого
приближения при т 2. Тогда т-я координата определя-
ется формулой

т — 1	п

415 = ^2 bmix<j1} + У? + cm, rn = 2, 3,..., п. (3)
j = 1	j = m

Таким образом, координаты первого приближения по коорди-
натам начального приближения определяются равенствами (2)
и(3).

Таким же путем координаты приближения а-^+1^ получаются
из координат приближения Ак'>:

т— 1	п

жт + 1)= 5?	+	+ ст, т = 1,2,. .., п. (4)

j=l	j=m

Матрицу В представим в виде

В = В1 + В2,	(5)

где

 0	0	0	О'  &21	о	• • •	о	о  В\=	Ь31	£>32	...	0	0	, В2=	Ьи	£>12	£>1п’  0	^22	^2п  о о"	Ьзп • (6)
^п2	•••	^п,п—1	0.		. 0 0 ... ьпп_
Теперь п числовых равенств (4) можно представить в виде од-
ного векторного равенства

_ sia;a-+i) + в,,х(к) + с

Перенесем первое слагаемое в правой части этого равенства
в левую часть. Получим

(Е —	= В2х^ + с.	(7)

Так как определитель матрицы Е — В\ равен единице, то
Е — В} —неособенная матрица. Умножив обе части равенства
(7) на матрицу (Е — Bi)-1 слева, найдем

Д.Н-+1) = (Е _ Bi)-iB2x^ + (Е -

Из этого равенства видно, что метод Зейделя для системы
(1) совпадает с методом итерации для системы

х = (E-Bi)-1B2I: + (E-B1)-1c.

Матрица этой системы

Е - (Е - Bi)"1 В2 = (Е- ВхГ^Е- В)

неособенная, если неособенной является матрица Е — В систе-
мы (1).

На основании теоремы 8.1 получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть матрица Е — В системы (1) неособен-
ная. Чтобы .метод Зейделя для системы (1) сходился при любом
начальном приближении необходимо и достаточно, чтобы
р((Е — Bi)-1B2) < 1, или, что то же самое, чтобы все корни
уравнения

det(B2 + ABj - АЕ) = О	(8)

были по модулю меньше единицы.

Здесь мы воспользовались также тем, что характеристиче-
ский определитель матрицы (Е — Bi)-1 В2 совпадает с det(B2 +
ABj - АЕ).

Приведем достаточное условие сходимости метода Зейделя.

Теорема 2. Если ЦВЦад < 1 или ||B||i < 1, то метод Зейделя
для системы (1) сходится при любом начальном приближении
х^.

Доказательство. Пусть
Докажем, что все корни уравнения (8) по модулю меньше еди-
ницы. Для этого достаточно доказать, что матрица

4-	— АЕ —	Ьц — А 621А 631А	612  6,, - А ь32а	613  6?3  633 — А	61п  62П Ьзп	(10)
	-	1А	6„2а	6пзА	Ьпп ~ А _	

при |А|	1 имеет диагональное преобладание и, следовательно,

ее определитель отличен от нуля.

Так как |А|	1, то сумма модулей недиагональных элементов

г-й строки матрицы (10) удовлетворяет неравенству

|А|(|6г1| + |Ь»21 + ' ' ‘	+ |^г,; + 1| + |^г,г + 2| + ' ' ' +	| С

В силу условия (9)

(п	\

£Ы-1М <И(1ЧМ) = И-|А|-Ы^

2=1	/

с |А| - Ы с \bti - Л|.

Таким образом, получили неравенства

|A|(|6ii1 + ‘ ‘ '+ I) + ,г +11 + ‘ ‘ ’+ |6fn | < |6ц ~ А|, i = 1,2,.. . , П,
выражающие свойство диагонального преобладания матрицы
(Ю).

Так как матрица Е — В неособенная, как это следует из усло-
вия (9), то по теореме 1 метод Зейделя для системы (1) сходится
при любом а;101. Случай условия < 1 рассматривается ана-
логично. Теорема доказана.

Описание вычислительной схемы метода Зейделя может на-
вести на мысль, что он имеет более широкую область сходи-
мости по сравнению с методом итерации и обладает более бы-
строй сходимостью. На самом деле это не так. Метод Зейделя
может расходиться, когда метод итерации сходится. Области
сходимости методов различны. Примеры, подтверждающие это
утверждение, можно найти в [51].
§ 10. Метод наискорейшего спуска

Рассмотрим вещественную функцию F(x) = F(xi,x2, .. ,.хп),
определенную в Rn. Предполагаем, что функция Р(ть х2,.. .,хп)
имеет непрерывные частные производные. Пусть у — произ-
вольный вектор единичной длины: ЦуЩ = (у,у) = 1 и а —
вещественное число. Производная функции F(z) по направле-
нию у обозначается dF(x)/dy и определяется следующим обра-
зом:

dF(x)
ду

= lim
а—>0

f(x + gy) - F(x)
а

д	J

Очевидно, имеем

0F(x) d п/	J

Оу da	|а=о

dF(x)
дх\

dF(x)
дхп

Уп = (z,y),

У1 +  +

где

dF(x) dF(x) dF(x)\'
дху ’ дх2 ' ' ’ dxn J

(1)

есть вектор, называемый градиентом функции F(x). Итак, для
производной функции F(x) по направлению у получили формулу

ду ’’

(2)

где z -градиент функции F(x), определяемый равенством (1).
По неравенству Буняковского

-||-ф^(-~,у)^||г||2.

Отсюда и и.з (2) видно, что при у — c/||r||-j производная по на-
правлению dF(x)/dy = ||~||2 имеет наибольшее значение, а при
у — —2/Ц2Ц2—наименьшее: dF(x}/dy = — Ц2Ц2. Таким образом,
направление градиента в точке х есть направление наибольшей
скорости роста функции F(x) в этой точке, а противоположное
направление есть направление наибольшей скорости убывания
F(i-).

Пусть А — вещественная симметрическая матрица и b — ве-
щественный вектор. Рассмотрим функционал в Rn

Я(х) = (Лт, х) — 2(6, х)

(3)
и найдем его градиент. Имеем

Н(х + ау) = (Л(х + ау), х- + ау) - 2(Ь, х + ау) =

= (Ла:, х) + 2а(Лх, у) + а2{Ау, у) — 2(6, х) — 2а(6, у) =

= Н{х) + 2а(Лх - 6, у) + а2{Ау, у).

Здесь использовано равенство {Ау, х) — {Ах, у), которое являет-
ся следствием вещественности и симметричности матрицы А.

Полученное равенство

Н{х + ау) = Н{х) + 2а(Лх - 6, у) + а2{Ау, у)	(4)

называется формулой сложения. Из него имеем

[Н{х + ау) - Н{х)]/а = 2{Ах - Ь,у) + а{Ау, у)

и, следовательно,

ЭН{х)	.X

—----= 2{Ах - Ь,у).

оу

Отсюда вытекает, что градиент функционала Н{х) равен
2(Аг - 6).

Рассмотрим линейную алгебраическую систему

Л л = 6,	(5)

где Л — симметрическая и положительно определенная веще-
ственная матрица, 6 — вещественный вектор. С этой системой
свяжем функционал (3).

Теорема 1. Решение х‘ системы (5) доставляет наименьшее
значение функционалу (3). Наоборот, вектор х, доставляющий
функционалу (3) наименьшее значение, совпадает с х*.

Доказательство. В формуле сложения (4) положим х =
х* и а — 1:

Н{х’ + у) = Н{х*) + {Ау, у) Н{х*).

В силу положительной определенности матрицы Л равенство в
этом неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда у = 0.
Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть х доставляет наименьшее значение функционалу Н{х).
Докажем, что х = х*. Функция Н{х + ау) как функция от а при
любом фиксированном у принимает наименьшее значение при
а = 0. С помощью (4) эту функцию можно записать в виде

Н{х + ау) = Н{х) + 2а{Ах - Ь,у) + а2{Ау, у).
Ее производная при а = 0 обращается в пуль: 2(А£ — Ь,у) = 0.
Отсюда при у = Ах — b получаем

(Ах - Ь, Ах - Ь) = ||Л£ - 6||| = 0

и, следовательно, £ — х*. Теорема доказана.

Дадим описание метода наискорейшего спуска для решения
системы (5) в предположении, что А—-симметрическая и поло-
жительно определенная вещественная матрица, b — веществен-
ный вежтор. Пусть — начальное приближение к решению
системы (5). Градиент функционала Н(х) в точке имеет на-
правление = Ах^А — Ь. В направлении —г^ функционал Н(х)
в точке а;(0) наиболее быстро убывает. От точки rS°> будем дви-
гаться в этом направлении по прямой jX0) —аг(°) до тех пор. пока
на этой прямой Н(х) не достигнет наименьшего значения.

По формуле сложения (4) имеем

Н(хт - аг(0)) = Н(х^) - 2а(Ах<М _ 6,г(0)) + а2(Лг(0\/°)).

Функционал Н(х) на рассматриваемой прямой как функция от а
является квадратным трехчленом, у которого коэффициент при
гл2 равен 7^°^) и, следовательно, положителен. Действи-
тельно, матрица /1 положительно определенная, и мы считаем,
что начальное приближение аД0) не совпадает с решением систе-
мы (5):	= АаА0) — b / 0. Значение а = а0, при котором этот

квадратный трехчлен достигает минимума, совпадает с корнем
его производной —2(г^°\ г^) + 2а(Аг^\ г1-0)), и мы получаем

а0 = (А°\г^)/(Аг^,г^).

Точка = д4°) _ n-Qj-C0) принимается за новое приближение к
решению системы (5).

Аналогичным путем определяются дальнейшие приближения

- Qtr(t), k = 0,1,2,...,	(6)

где

rW = Ах^ - b, ak = (r(-k\r(-k'>)/(Ar(k\r^).	(7)

Как мы увидим, при сделанных предположениях о матрице А
последовательность	сходится к решению системы (5).

Метод наискорейшего спуска является нелинейным в отличие
от метода итерации и метода Зейделя. Из формул (6), (7) вид-
но, что приближение выражается через приближение х^
нелинейно.
Дадим геометрическую интерпретацию метода наискорейше-
го спуска. Уравнение Л(т) = 7/(т(и)) определяет эллипсоид
в R’1, как это следует из положительной определенности ква-
дратичной формы	В точках эллипсоида функционал

Н(х) имеет одно и то же значение, равное /7(т(и'). Эллипсо-
ид принадлежит семейству эллипсоидов Щх) = с, зависящему
от произвольной постоянной с. Центром каждого эллипсоида
семейства является х" -- решение системы (5) или, что то же са-
мое, точка, в которой функционал Я(т) имеет наименьшее значе-
ние. Это утверждение следует из легко проверяемого равенства
Я (2т* — 1-) = Н(1-) = с, где точка х лежит на эллипсоиде семей-
ства и 2х* — х — центрально-симметричная ей относительно х'
точка.

Рис. 11

Направление градиента функционала Н(.к) в точке	совпа-

дает с направлением внешней нормали к эллипсоиду Н(х) =
в этой точке. Точка г(1) — первое приближение в ме-
тоде наискорейшего спуска—лежит на внутренней нормали в
точке а/0) к эллипсоиду и является точкой касания к одному из
эллипсоидов семейства. На рис. И изображен случай я = 2.
Видно, что а^1), х^~\ .. . приближаются к центру семейства
эллипсоидов.

Геометрически ясно, что векторы градиента в точках х^°\ а-О
ортогональны. Это легко проверить и аналитически. Действи-
тельно,

— Ь =	— b —	— а0.4г(0),

(>), 7.(0)] = р)_й0Дг(0))Г(0)] =	=0
в силу определения ад- Разумеется, векторы г^к\ г^к + 1^ ортого-
нальны при любом к = 0,1,2,...

Докажем теорему о сходимости и об оценке погрешности ме-
тода наискорейшего спуска.

Теорема 2. Если матрица А симметрическая и положи-
тельно определенная, то последовательные приближения мето-
да наискорейшего спуска	для системы (5) сходятся к ее

решению, при этом имеет место оценка

||*(тп) - Г||2 < (||г(°)||2/Л„) [(Ai - An)/(Ai + An)]m ,
т = 1,2,...,

где Ai —наибольшее и А„ - - наименьшее собственные числа .ма-
трицы А и	— Ь.

Доказательство. Введем вспомогательную матрицу
В = Е + еА. Собственными числами матрицы В являются
//;• = 1 + еА,. Подберем Е так, чтобы наибольшее по абсолют-
ной величине собственное число матрицы В было минимально.
Нетрудно видеть, что в качестве € нужно взять угловой коэффи-
циент прямой на плоскости (A, pt), проходящей через точки (0, 1)
и ((А] + Ап)/2, 0) (рис. 12). Имеем е = -2/(Ai + Ап), и наибольшее
по абсолютной величине собственное число матрицы В равно

/2] = 1 — 2An/(Ai + An) = (Ai — An)/(Ai + Ап). (9)

Пусть и — любой вектор и

и — оца/1) + а2х^2^ +------h <апа:^п^

(Ю)
— его разложение по ортонормированной системе собственных
векторов матрицы .4. Воспользуемся равенствами (2.Г2) и (2.13):

п	п

(“,“) = 52kji2. (aU1U) = ei^i4, (п)

;=1	j=l

Так как А— положительно определенная матрица, А] и А„— ее
наибольшее и наименьшее собственные числа соответственно,
то из (И) получаем

An(u,u) (Лд,д) Ai(tz,tt).	(12)

Докажем, что если векторы и, и связаны равенством v = Ви,
то справедливо неравенство

(Лг, г) ^(Лд, к),	(13)

где /zi—наибольшее по абсолютной величине собственное чи-
сло матрицы В, определяемое равенством (9).

По определению вектора и

(Лу,г) = (АВи, Ви) = (АВ2и, и).

Будем считать, что для вектора и справедливо разложение (10).
Так как матрица АВ2 симметрическая и ее собственными числа-
ми являются А,(1 +еА)2, то в силу второго равенства (11) имеем

(Л и, v) = (АВ2 и. и) =

= 52	+<Л)2 /1 52 Iq)|2a> = Ml (Ли,«).

;=1	j=l

Неравенство(13) доказано.

Введем векторы

_ x*t Z; = 0,1,2,...

Для них справедливо соотношение

+ _ и(к) _ akAuUA	(14)

Чтобы получить его, достаточно вычесть х* из обеих частей
равенства(6) и принять во внимание, что

= Ах^ - Ь = А(х^ - г*) = Аи^.	(15)

Далее в силу (7) получаем

ак = (Аи^к\ Аи(-к'>)/(А2и^\ Аи^).	(16)
Из (14) и (16) следует, что векторы «W являются последо-
вательными приближениями метода наискорейшего спуска для
решения однородной системы Au = 0. Приближение дает
наименьшее значение функционалу H(u) = (Au, и) на множестве
векторов вида uW + аЛи^^, где а — вещественное число.

К вектору ы<*) применим матрицу В. Получим некоторый век-
тор

= Buw = и(к^ +еАи(к\	(17)

На основании (13) имеем

(Лг/^.г/^) < р.'((Аи<'к>,	(18)

Но вектор по (17) является вектором вида и^ + аЛд^'^, по-
этому Н(у(к)) не меньше, чем Н(и^к+^у.

(Au('k+l\u<'k+1'>) < (Av^'V^).

Сопоставляя последнее неравенство с неравенством (18), полу-
чаем

(Аи^к + 1\и^)	^(Аи^.и^,

откуда

(Аи^т\и^ ^т(Аи^,и^.	(19)

Так как по (12)

(и^т\и^) <: (Аи^т\и^)/Ап,

то с помощью (19) получаем

(u(m), ц(т’) < (Ли<°\ «(°))^т/Лп.	(20)

Укажем для	верхнюю границу, в которую не вхо-

дит искомое решение х*. На основании выражения (15) имеем
(Л г/°)) = (j4°\ Л-1И°)). Так как Л-1—симметрическая и
положительно определенная матрица, при этом ее наибольшее
собственное число равно 1 /Ап, то из (12) получаем

(Лц(°Ы°)) = (Л-М°),г(°)) < |H°)||i/An.

Правая часть этого неравенства не зависит от х*. Заменяя
(Лг/°\ и^) в (20) найденной верхней границей, получаем нера-
венство

(и<т\и™) ||r(O)||2^m/A2,
равносильное (8). Теорема доказана.
Выше мы предполагали, что матрица А симметрическая и
положительно определенная. Рассмотрим общий случай, когда
матрица системы (5) — неособенная матрица, с вещественными
элементами. Умножим обе части системы (5) слева на матрицу
А'. Получим систему

А'Ах = А'Ь	(21)

с симметрической и положительно определенной матрицей А'А.
Последовательные приближения метода наискорейшего спус-
ка для системы (21) определяются формулами

=	(22)

где

П- = А’Ах^ - A'b, ак = (7~<fc’, 7~tfr^)/(X\47~(fcl,(23)

Если воспользоваться обозначением невязки системы (5):
/И') =	— у то формулы (23) можно записать в виде

,-(!) = A>r(k)t &к = (;-(М f^)/(Ar(k\ Аг^).	(24)

Эти формулы дают возможность вести вычисления для системы
(5) без приведения ее к виду (21), при этом каждый шаг вычи-
сления по формулам (24) требует дополнительного труда для
нахождения вектора А'Ак\

§ 11. Метод А. Н. Крылова вычисления
собственных чисел и векторов матрицы

Собственные числа матрицы .4 являются корнями характери-
стического многочлена

det(A-AE) = (-1)>(А) =

= (-1)"[Ап-р1А'1-1-Р2А"-2-----р„]. (1)

Определитель порядка т, составленный из элементов матрицы
А, которые стоят на пересечении строк с номерами z'i < z2 <
• • • < im и столбцов с номерами ji < j? < • • • < jm, называется
минором порядка т матрицы А и обозначается
Вели номера, строк и столонов совпадают: й = ji, i.2=j\>. .... /„>= j,„ .
то минор называется главны.^.

Известно, что коэффициенты характеристического многочле-
на (1) даются формулами

Р,„ =(-1)"-1 £ Л f ’ V т = 1,2,...,я, (2)
,	\'1, '2,   • ,1	v ’

где суммирование ведется по всем наборам (й , г2,..., i„,) из на-
туральных чисел, таких, что 1 й < А < • • • < im п. Та-
ким образом, р,п с точностью до знака совпадают с суммой всех
главных миноров порядка in, число которых равно С"1. Част-
ные случаи формулы (2)

Pi = trzl = ац +--1- о„„, pn = (-1)'1-1 det-X

легко проверяются.

Методы вычисления собственных чисел и векторов матриц
делятся на две группы: прямые и итерационные. Прямые ме-
тоды основаны па вычислении коэффициентов характеристиче-
ского многочлена и позволяют найти эти коэффициенты точно,
если арифметические операции над элементами матрицы выпол-
няются точно, без округлений. Собственные числа вычисляют-
ся как корни характеристического многочлена. Как правило,
для собственных чисел можно найти лишь приближенные значе-
ния. После этого вычисляются собственные векторы. Собствен-
ный вектор т(А’>; отвечающий собственному числу А^, находится
как ненулевое решение однородной системы (А — ХкЕ)х — 0.

Вычисление коэффициентов характеристического многочле-
на с помощью формул (2) можно рассматривать как прямой
метод, однако этот метод непригоден из-за большой трудо-
емкости. Как пример прямого метода обладающего приемле-
мой трудоемкостью, рассмотрим в настоящем параграфе метод
А. И. Крылова..

Итерационные методы вычисления собственных чисел (век-
торов) позволяют строить некоторые числовые (векторные) по-
следовательности, пределы которых равны собственным числам
(векторам). Так как фактически мы можем вычислить лишь ко-
нечное число членов последовательности, то с помощью ите-
рационных методов всегда получают приближенные значения
собственных чисел и векторов.

Малые погрешности в коэффициентах характеристического
многочлена могут привести к большим погрешностям корней,
особенно при больших значениях п. Это является существен-
ным недостатком прямых методов. Прямые методы типа метода.
А. Н. Крылова, в которых коэффициенты характеристического
многочлена вычисляются как решение некоторой линейной ал-
гебраической системы порядка 71, при больших п неустойчивы,
так как алгебраическая система, плохо обусловлена. В связи
с этим прямые методы применяют в случае матриц невысоко-
го порядка. Итерационные методы надежнее прямых методов,
так как они менее чувствительны к погрешностям округления,
однако они более трудоемки по сравнению с прямыми.

Прежде чем перейти к методу А. Н. Крылова, напомним не-
которые сведения из алгебры. Приведенный многочлен /(А) =
А"' + О]А"1-1 + • • • + ат называется аннулирующим многочленом
матрицы А, если f(A) = О. Множество таких многочленов
для любой матрицы А не пустое. В самом деле, если ¥?(А) —
приведенный характеристический многочлен матрицы А, то по
теореме Кели—Гамильтона <^(А) = О и, следовательно, ^(А)
является аннулирующим многочленом матрицы А. Если /(А)
является аннулирующим многочленом матрицы А, то и крат-
ный ему многочлен обладает тем же свойством.

Л[инимальным многочленом матрицы А называется много-
член 0(A) наименьшей степени, аннулирующий матрицу А. От-
метим свойства многочлена 0(A).

1.	Пусть для многочлена./(А) выполнено равенство /(А) = О.
Тогда /(А) кратен 0(A).

Действительно, выполняя деление /(А) на 0(A), получаем

/(А) = 0(А)</(А) + г(А),

где степень ?‘(А) меньше степени 0(A). Из последнего равенства
видно, что 7’(А) = О. Отсюда следует ?’(А) = 0 в силу того, что
0(A) — минимальный многочлен матрицы А.

2.	Корни минимального многочлена матрицы А являются соб-
ственными числами А.

Это следует из свойства 1.

3.	Минимальный многочлен матрицы является единственным.

Действительно, если 0(A), т/т(А) — два минимальных много-
члена матрицы А, то их разность 0(A) — 01 (А) является много-
членом степени, меньшей, чем степень 0(A), и аннулирует ма-
трицу А. Это возможно лишь в случае 0(A) — 01(A) = 0.

Пусть у — некоторый ненулевой вектор из Сп. Рассмотрим
множество таких приведенных многочленов </(А), что д(А)у — 6.
Этому множеству заведомо принадлежат аннулирующие матри-
цу А многочлены, но могут принадлежать и многочлены д(Х),
для которых у(Л) / О. Минимальный аннулирующий вектор у
многочлен матрицы Л определяется как приведенный многочлен
у(А) наименьшей степени, удовлетворяющий условию р(А)у = 0.
Многочлен р(Х) обладает следующими свойствами, аналогич-
ными свойствам минимального многочлена матрицы.

1.	Если многочлен д(Х) таков, что gfA^y = 0, то он кратен
многочлену р(Х).

2.	Корни многочленар(А) суть собственные числа матрицы А.

Действительно, по свойству 1 характеристический многочлен
кратен р(Х). В отличие от минимального многочлена 1р(Х) ма-
трицы Л. множество корней р(А) может быть собственной ча-
стью множества попарно различных собственных чисел матри-
цы А.

3.	Минимальный аннулирующий вектор у многочлен матрицы
Л является единственным.

Перейдем к методу А. И. Крылова вычисления собственных
чисел матрицы Л. Возьмем вектор у^А^О и образуем векторы

У<°\	= Лу(0\ у^ = Ау<1\... ,у^ = Ау<п-^ (3)

Пусть среди векторов у(°\ у(1',..., у^п~^ имеется in линейно не-
зависимых. Ясно, что 1 т п, и вектор у^'А выражается
линейно через первые гп векторов:

у{т} =д1^т-1’+92У(,"-2) + ... + дту(0).	(4)

Так как при вычислении векторов (3) мы не знаем, сколько из
них линейно независимых, то рассмотрим равенство (4) при

У(п) = ?1у("-П + ?1у("-2’ + . . . + ?пу(°).	(5)

Это векторное равенство равносильно п числовым равенствам
(n—1) .	(п — 2)	(0)	(п)

Я\У\	+ <?2У]	+--- +	9пУ1	—	У\	>

(n —1)	(п —2) ,	,	(0)	(п)

91Уо	+ Я1У\	+    +	qny2	=	У2	.	(6)

(п-1)' ,’ ” ’ '(п-2) ',.. ” " (0).’(п)

Ч(Уп	А-д2Уп	+ • • • +	ЯпУп	—	Уп	I

которые можно рассматривать как линейную алгебраическую
систему с неизвестными qi, q2,..., qn • Определитель системы (6)
отличен от нуля тогда и только тогда, когда, векторы у1"-11,
уп~~\ у^ линейно независимы, другими словами, когда
гп = п. В этом и только в этом случае система (G) имеет един-
ственное решение.

Чтобы узнать, имеет ли место равенство tn = п, систему (6)
решают методом исключения Гаусса. Если оказывается, что
можно осуществить все п шагов прямого хода метода Гаусса,
то Д / 0 и, следовательно, т = п. Выполняя обратный ход ме-
тода Гаусса, находят коэффициенты f/i, q->,  ., qn линейной ком-
бинации (5). Покажем, что они совпадают с коэффициентами
характеристического многочлена (1):	= р,-, i = 1,2,... ,п.

Действительно, по теореме Кели-- Гамильтона

Л" =р1.4"-1 +Р2ЯП-2 + -- + рпЕ.

Умножим обе части этого равенства на у^ справа и восполь-
зуемся равенствами

y^ = Akyw, k = 1,2,...,»,	(7)

вытекающими из (3). Получим

УМ = р1у(-П+р2у(п-->)+	+рпу(9)

Сравнивая это равенство с (5) и принимая во внимание ли-
нейную независимость	..., находим qi = р,,

i = 1,2,..., п.

Предположим теперь, что при решении системы уравнений
(6) удается выполнить только т шагов прямого хода метода
Гаусса, где т < п. Это свидетельствует о том, что линейно
независимы первые гп из векторов (3) и для у1'"1^ справедливо
представление (4). Векторное равенство (4) равносильно п чи-
словым равенствам

(т-1)	(т-2)	(0)	(т)

71У1	+ ?2У1	+..-+?myi	= У1 ,

..(т-1)	—I I „	_ „("‘I

(т-1)	(т-2)	(0	(т)

Ч1Уп + Я2Уп + • • • + qmyn = Уп ,
которые можно рассматривать как линейную алгебраическую
систему я уравнений с т < п неизвестными ?i, 92, • • •, 9m- Эта
система имеет единственное решение, которое можно найти ме-
тодом исключения Гаусса, и мы получим коэффициенты линей-
ной комбинации в правой части (4).
Если воспользоваться равенствами (7), то векторное равен-
ство (4) можно записать в виде

(Ат -q.Am-1 - ,.. — qmE) у^=0,

или р(А)?/0) = 0, где р(А) = Am - q}Xm~l - ... - qm. Нетрудно
видеть, что р(А) является минимальным аннулирующим вектор
1/0) многочленом матрицы А. В самом деле, если бы нашел-
ся многочлен д(Х) степени / < т, удовлетворяющий условию
д(А)у(°) = 0, то это условие означало бы линейную зависимость
векторов у^\ у(1~2\ .... что противоречит линейной незави-
симости у(т~2\ .... у^.

Таким образом, в случае т < п мы получаем многочлен р(А),
который является делителем характеристического многочлена
матрицы .4. Решая уравнение р(А) = 0, находим только часть
собственных чисел матрицы А.

Пусть уже найдено собственное число А,- как корень <р(Х) или
р(А). Покажем, что принадлежащий А,- собственный вектор
можно найти, не прибегая к решению системы (Л — Х{Е)х = в.
Для определенности будем считать, что А,—корень многочлена
р(А) степени??? < тг. Выполним деление многочленар(А) на А —А,-:

р(А) = (A-Ai)(Am"1 +пА—2 + ... + rm_i).

Подставим в это равенство А = А и умножим полученное ма-
тричное равенство на вектор у(°) справа. Получим

0 = р(А)у^ = (A-XtE) (A"1"1 + Mm-2 + ... + rm_i£) у^.

С помощью (7) отсюда находим

(А-А^)(^т-1)+пу(”,-2) + ... + гт_1г/(°)) =0.	(8)

Вектор

дДО _ уС™-') +	+ ... + rm_iy(0)	(9)

ненулевой, так как векторы у(т~1), у^т~2\ . . ., у^ линейно неза-
висимы.

Равенство (8) записывается в виде

(А-Х,Е)х^ = 0,

так что вектор х^1\ определяемый равенством (9), является соб-
ственным вектором матрицы А, отвечающим А,.

Для получения вектора с помощью (9) необходимо иметь
векторы у(°\ г/1),...,?/"1-1), которые были вычислены ранее, и
коэффициенты частного от деления многочлена на А — А,-.
Коэффициенты 74, гэ,. .., гт_i удобно вычислять по схеме Гор-
нера (см. § 4.1).

Если собственное число Аг получено как корень характери-
стического многочлена ^(А), то т = п, и в предыдущем рассу-
ждении р(А) следует заменить на <р(А). Собственный вектор аА’1
определяется по формуле (9), в которой надо положить т = и.
Числа г;, гт,..., гп получаются в результате деления многочле-
на р(А) на А — А,.

§ 12. Степенной метод вычисления наибольшего
по модулю собственного числа

Степенной метод относится к группе итерационных. Он ре-
шает частичную проблему собственных значений, а именно, по-
зволяет найти наибольшее по модулю собственное число матри-
цы и принадлежащий ему собственный вектор. Будем предпо-
лагать, что матрица А вещественная и имеет полную систему
собственных векторов. Это предположение выполняется, если
матрица А симметрическая, а также если А имеет п попарно
различных собственных чисел.

Собственные числа матрицы А и соответствующие им соб-
ственные векторы обозначим Ai, А2,..., Ап; аА1 \ аА2),.. ., аАп). Счи-
таем, что собственные числа пронумерованы в порядке невозра-
стающих модулей:

IAJ £ |А-,| |А3| £ •  £ |АП|.	(1)

Кратное собственное число нумеруется столько раз, какова его
кратность.

Рассмотрим сначала случай, когда

|А,|>|А2|.	(2)

Отсюда и из вещественности матрицы А следует, что Ai —
вещественное число. Если Ai комплексное, то Ai тоже собствен-
ное число и тогда |Aj| = |Ai| = |А2|- Здесь и далее черта означа-
ет операцию комплексного сопряжения. Ясно также, что А] —
простое собственное число.

В степенном методе строится последовательность векторов
у^ = Ay^-V, k = 1,2,3,...,
где у^—произвольный ненулевой вещественный вектор. В ме-
тоде А. Н. Крылова фигурируют векторы которые вычисля-
ются таким же путем, однако там число векторов (вместе с у^)
равно 71-1-1. Здесь же число векторов у(к) не фиксировано, оно
может быть большим и зависит от быстроты сходимости итера-
ционного метода.

Так как система собственных векторов матрицы А полна, то
вектор можно разложить по этой системе:

yW = ада/1) -р а2а/2) + ... + апа/’1).	(3)

Будем предполагать, что o-i ф 0. Выполнения этого условия
можно добиться надлежащим выбором вектора Умножим
равенство (3) на матрицу Ак слева и примем во внимание соот-
ношения

Аку(0> = у<к\ Акх(-^ = Хкх^\ j = 1,2,..., тг.

Получим

у^ = одА^а/1) + ог2 А* я/2) + ... + апА^г(п) =

= Хк [а^1) + а2(А2/А1)М2) + ... + «„(An/Aj)^] . (4)

В силу неравенств (1) и (2) дроби (Аг/Ai )fc, i = 2, 3,..., п, стре-
мятся к нулю при к —+ оо, так что вектор в квадратных скобках
в (4) при к — т достаточно большом будет близок к ода/1), и мы
получим

j/m) » А^а/1).	(5)

Приближенное равенство (5) тем более выполняется при к =
771-J-1, и, следовательно,

« A(1m+1)aii-(1) = Ai (А^ода/1)} « А1У(т),
откуда

y(m+1) « А1У<т\	(6)

Это приближенное равенство означает, что векторы у^ и
почти пропорциональны, при этом коэффициентом пропорцио-
нальности является Aj. Отсюда вытекает способ вычисления
собственного числа Ai как отношения компонент с номером s
векторов j/m+1) и j/m):

Ai «У(",+1)/!/(’п).

(7)
Отношения можно вычислять для нескольких значений s, таких,
что 0. Совпадение требуемого числа знаков у отношений
может служить признаком для прекращения итераций.

С помощью равенства у(тп+1^ = Ау^ запишем (6) в виде
Ау^ « Aiy(m\ Из этого приближенного равенства, которое
тем точнее, чем больше т, следует, что при достаточно боль-
шом т вектор у^т) можно взять в качестве приближения к соб-
ственному вектору а^1)

Из (5) вытекает, что при |AJ > 1 компоненты вектора у(т^ бы-
стро растут с возрастанием т, а при |Ai| < 1 быстро убывают.
Чтобы устранить это нежелательное при вычислениях на ЭВМ
явление, векторы у^ нормируют, например делят на ||?/fc)||co, и
получают новую последовательность = у^/1\у(к^||со. При
вычислении Ai находят отношения компонент векторов и
iSkX Это замечание следует иметь в виду и в разбираемых да-
лее случаях применения степенного метода.

Существенное значение для применения степенного метода
имеет условие (2). Оно может не выполняться. Рассмотрим три
важных случая, в которых нарушается условие (2), но степенной
метод применять можно.

Первый случай, когда Aj —вещественное r-кратное собствен-
ное число, так что Aj = А2 = • • • = Аг, г А> 2, и выполнено нера-
венство

|Ai|>|Ar+1|.	(8)

Формула (4) записывается в виде

у^ = Ак + ... + ага/’ ’+

+ar+1(Ar+1/A1)':^r+1U... + an(An/A1)ta.An)] . (9)

Предположим, что среди постоянных а1,- -,аг есть ненуле-
вые. Этого можно достичь соответствующим выбором у^°\ То-
гда и =	4- • • • + агх^г) — собственный вектор, отвечающий

собственному числу Ар Из равенства (9) на основании нера-
венств (1), (8) следует, что при достаточно большом т соб-
ственное число А] можно вычислять по формуле (7), а вектор
у(к) можно взять в качестве приближения к собственно1иу векто-
ру и. Если мы имели дело только с одним начальным вектором
то этого недостаточно, чтобы узнать, является собственное
число кратным или не является.
Рассмотрим второй случай, когда наибольшее по модулю
собственное число Ai вещественно, Ат = —Ai и выполнено не-
равенство

|А1|>|А3|.	(10)

Формула (4) записывается по-разному в зависимости от того,
является k четным или нечетным:

у(2,'> = \2'	4- т2х^ + »з (А3/Аг)2Z х(3) + ...

• • • + ап (An/A,)2'	= А2,+ 1 р1’ -

+^з (Аз/А1)2'+1 х™ + ... + ап (An/A1)2,+1	. (11)

Если от ф 0, ат — 0, то по формуле (7) получаем Aj, если
О] = 0, 0'2 0, то —А]. В первом случае будет прибли-
жением к г!1!, во втором — приближением к г^2\ В обоих слу-
чаях получим одно собственное число и принадлежащий ему
собственный вектор. Если использован только один вектор ,
то этот случай невозможно отличить от первых двух.

Будем теперь считать, что постоянные сц и а2 отличны от ну-
ля. Как видно из (И), в этом случае y(2V> при достаточно боль-
шом I будет близок к вектору а^^Ч-аг^2), а у12,+ Б —к вектору
а^х^ — a2xt2>. Формула (7) для определения Ai непригодна. Но
если использовать два последовательных вектора одинаковой
четности, например j/2,\ у(2,~2\ то можно найти А2 по формуле

уР'-^о.

Нетрудно видеть, что

^) + А1^-1)=2о1А^(1) +

4- О'зАз 1 (Аз 4- А1)ж^3^ 4- • • • 4- otnX^ ’(Ап 4- Ai)z^n\

^)_Л1^-1) = 2а2(-А1)^2) +

4- а3Аз ’(Аз - Ai)iA3) + ... 4-ОпАп ’(An — Aj)zAn).

В силу неравенств (1) и (10) главными слагаемыми в этих ра-
венствах являются ‘2aiAjzl'l и 2a2(—Ai)fcz^2-’ соответственно, и,
следовательно, в качестве приближения к вектору можно
взять у^ 4- ^1У^к~г\ а. к вектору — вектор у<к^ — Aij/t-1\ где
Aj надо заменить найденным его приближенным значением.
Обратимся к третьему случаю, когда Л) —комплексное, так
что А3 = Aj, и выполнено неравенство

|А1|>|Аз|.	(12)

Из равенства

= А,ал1)	(13)

и вещественности матрицы Л следует, что собственный вектор
дД1) — комплексный. Переходя в равенстве (13) к комплексно со-
пряженным величинам, получим = AqxI1!. Таким образом,
можем считать, что собственный вектор, отвечающий Ат, опре-
деляется равенством а.'*-2! =

Равенство (4) записывается в виде

У^ = оцА^1) + адА^1’ + азА^(3) + ... + апХкпх^\ (14)

Из вещественности у^ следует, что а? = аТ Это утвержде-
ние очевидно, если п = 2 и, значит, в правой части (14) имеется
только два слагаемых. Отметим также, что при п — 2 выполнено
условие о-i ф 0, так как 6. В случае п > 2 предполагаем
ai ф 0. Тогда в силу неравенств (1), (12) первые два слагае-
мых в правой части (14) являются главными, откуда и вытекает
0'2 = оц-

Векторное равенство (14) равносильно числовым равенствам
у^ = о^А* + ор^А;- + аз43>А$ + ...

... + а„4п)А£, s=l,2.....п. (15)

Будем считать, что здесь s выбрано так, что 0. Положим
Ai — re"f,	= PfGlSs.

Тогда (15) можно записать в виде

у^'1 = 2psrk cos^kip + 6S) + а3хА3)Аз +    + o„x-ln)A*.	(16)

Отсюда видно, что компоненты вектора у^к) в рассматривае-
мом случае будут вести себя крайне неправильно, в частности,
будут иметь место беспорядочные изменения знака компонент.
Это связано с присутствием в главном члене равенства (16) ко-
синуса от аргумента, изменяющегося вместе с k. Такое поведе-
ние компонент вектора у(к) обычно и свидетельствует о том, что
матрица А имеет наибольшее по модулю комплексное собствен-
ное число.
Рассмотрим определитель

/(m) _

(m)	(m+1)

у;	y>

Jm+2) 1

У s	y$

(17)

где тп выбрано так, что в равенстве (16) при k = т первое слага-
емое в правой части является главным и, следовательно, спра-
ведливы приближенные равенства

у^ ~ ‘2р5гк cos(Z.’9? + О,), k = т, т -(- 1, т + 2, ?п + 3.	(18)

Используя эти равенства, найдем приближенное значение
определителя (17):

у(т) и 4p2r2m + 2	cos	2)	_

- cos2 ((m +1)9? + 0,)] = -4p2r2m+2 sin2 p.

Здесь sin 97	0, так как ImA, 0. Аналогичным путем получим

/(-+!) « -4p3r2m+4 sin2 p.

Из двух последних равенств находим

г2 « 7(m+1)/7(ml	(19)

— приближенное значение квадрата модуля собственного числа
Ai.

Чтобы получить приближенное значение cosр, рассмотрим
(т+3) . •) (т+1)	-

величину у} + г~у$ , приближенное значение которой мо-
жем найти, так как г~ уже известно. Вместе с тем в силу (18)
имеем

у(т+3) + г2у(-+1) ~

» 2р,г'п+3 [cos((?7i. + 3)97 + 6S) + cos((m + l)cs + #,)] =

= 2psrm+32 cos((m + 2)9? + 9S) cos p Rs 2ry(m+2l cos p

и, следовательно,

cos P » (y.(m+3) +r2ylm+1)) / (•2rj/('n+2)) .

(20)

Таким образом, получили приближенное значение для соб-
ственного числа

А] яа г (cos р + i sin р),
где г и р определяются формулами (19) и (20) соответственно.
Найдем приближения к собственным векторам аЛ), z^2^ =
Из (14) при k = т, т + 1 получим приближенные равенства

+	У{т+1) « aiA'1n+1^14aiT1"+I5<I).

Умножим обе части первого равенства на Ai и вычтем из вто-
рого:

У(ш+1) _Д1г/(-) «^'/‘(Ai - AOarl*).

Отсюда видно, что вектор у1"1-1"1' — А] у(т) можно принять за. при-
ближение к и, значит, комплексно сопряженный к нему век-
тор у(’п+П _ Ajy(’n) —за приближение к л.^2-1 = л4'\

Предположим, что матрица А симметрическая и выполнено,
например, неравенство (2). Тогда приближение к Ai следует
находить не по формуле (7), а как отношение скалярных произ-
ведений:

Ai ~	(21)

Можем считать, что собственные векторы матрицы А ортонор-
мированы. С помощью разложения (4) при /г = т получаем

\г—i	j’=1	у

= a2A2m+a;A2m + ... + «2A2m,

(y(m),y(m~I}) = »?A2m-1 +^А2—1 + ...+ а2д2”‘-1.

В предположении ат 0 при т достаточно большом справед-
ливы приближенные равенства

(у(ш) • У(",}) ~ а? А2т ,	(т/”1’, у^т~1 >) % n'Ml”1"1,

из которых и следует (21). Заметим, что приближенное равен-
ство (21) является более точным по сравнению с (7), так как (21)
имеет место с точностью до малых величин порядка (Ao/Ai)2"1,
а (7) — с точностью до величин порядка

Степенной метод послужил основой метода обратных итера-
ций, который является эффективным средством приближенного
вычисления изолированного собственного числа матрицы А и
принадлежащего ему собственного вектора. Ладим описание
метода обратных итераций.

Пусть известно приближение /< к собственному числу А., ма-
трицы А и приближение и к соответствующему собственному
вектору х^\ Считаем, что р не совпадает ни с одним собствен-
ным числом матрицы А: р A;, i = 1,2,..., п, и, следовательно,
существует обратная матрица В = (Д-рД)-1. Нетрудно видеть,
что собственными числами и собственными векторами матрицы
В являются 1 /(А, — р), х^г\ i — 1,2,..., п, где — собственный
вектор матрицы А, отвечающий собственнохму числу А;.

Предположим, что (X находится ближе к А,, чем к любому
другому собственному числу Л:

|А., -ц\< |А,- - ц\, i s.

Тогда

1/|АЛ -р| > 1/|А; — р|, i / s.

Преобладание собственного числа 1/(А, — ц) матрицы В над
остальными ее собственными числами будет тем значительнее,
чем ближе р к Аа.

В этих условиях к матрице В естественно применить степен-
ной метод для разыскания собственного числа 1/(Аа — /х), взяв
в качестве начального вектора = и — приближение к соб-
ственному вектору х^’Х Вектор цП) = Bt№ можно найти как
решение линейной алгебраической системы (Л — fxE)^1'1 — ц(°\
Дальнейшие приближения определяются из линейных алгебра-
ических систем

= k = 0,1,2,...

Обозначим через и приближение к 1/(А, — р), которое получе-
но степенным методом как отношение компонент векторов
и и(т'). Новое приближение к As определяется из приближенно-
го равенства v « 1/(А_, ~ Р-) и> значит, ~ Ц + 1/^- Вектор
u(m+1) можно взять в качестве нового приближения к собствен-
ному вектору

§ 13	Метод Якоби

Метод Якоби решения полной проблемы собственных значе-
ний рассмотрим для случая вещественной симметрической ма-
трицы А. Известно, что существует ортогональная матрица (7,
такая, что

U'AU = Л,

(1)
где Л — диагональная матрица:

Умножим обе части равенства (1) на U слева и воспользуемся
тем, что для ортогональной матрицы UU' — Е. Получим

AU = UA.

(2)

Отсюда видно, что ?-й столбец г/’) матрицы U является соб-
ственным вектором матрицы А, отвечающим собственному чи-
слу А; — диагональному элементу из г-й строки матрицы Л:

Аг/2-1 = Агц^\ г = 1,2,..., п.

Ясно, что матрица U равенством (1) не определяется одно-
значно. Можно изменить нумерацию собственных чисел на диа-
гонали, можно изменить знак вектора Если у матрицы А
есть кратное собственное число, то в соответствующем соб-
ственном подпространстве можно по разному выбирать орто-
нормированный базис, что приводит к многозначности выбора
столбцов матрицы U.

Решение полной проблемы собственных значений для веще-
ственной симметрической матрицы А сводится к разысканию
ортогональной матрицы U, которая приводит матрицу А к диа-
гональному виду. В методе Якоби такая ортогональная матри-
ца ищется в виде произведения матриц вращения:

T = TtJ(p) =

Г1	1

1
cos р	— sin р

1

1
sin р	cos p

1
У матрицы Т на диагонали стоят единицы всюду, кроме i-й и
j-й строк, i < j. В i-й и j-й строках диагональные элементы
одинаковы: 1ц = tjj = cos 97; lij = — sin tji - sin 92, осталь-
ные элементы T равны нулю, число р считаем вещественным.
Матрица Т осуществляет в пространстве R" поворот на угол р
плоскости, натянутой на i-й и j-й координатные векторы. Ма-
трица Т ортогональна.

Докажем две леммы, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Лемма 1. Норма Фробениуса вещественной матрицы А не
изменяется при умножении ее на ортогональные матрицы.

Доказательство. Пусть В = UAV, где [/, V — ортого-
нальные матрицы. Очевидно, что №(В) = tr(B'B), поэтому

№(В) = It(V'A'U'UAV) = tr(y'A\4V') = 1г(Л' А) = N2(A).

Здесь мы воспользовались тем, что следы подобных матриц Л'Л
и V'A'AV одинаковы. Это следует из того, что характеристи-
ческие многочлены подобных матриц совпадают. Лемма дока-
зана.

Лемма 2. Пусть

д _ ац (iij

Clj i Cl j J

есть вещественная симметрическая матрица и

Т __ cos <р — sin <р
~ sin 9? cos 9?	’

где ip — вещественное число. Тогда число р можно выбрать так.
что матрица В = Т'АТ будет диагональной.

Доказательство. Так как любая ортогональная матрица
второго порядка имеет вид Т, то утверждение леммы о суще-
ствовании требуемого числа р следует из общего факта: суще-
ствует ортогональная матрица Т, которая приводит А к диаго-
нальному виду. При доказательстве леммы будет указано тре-
буемое значение р.

Так как матрица В симметрическая, то достаточно найти b{j
и указать 97, при котором bij = 0. Имеем

bij = (l/2)(ajj - ац) sin 297 + atj cos 297 = 0.

Если ajj — ац / 0, то получаем

tg29? = 2а^/(ац - ajj),
при этом — тг/2 < 2<£> < тг/2. Если а-ц — ац = 0, то a,j cos Тр = 0, и
так как aij ф 0, то 2 93 = тг/2. Лемма доказана.

Рассмотрим матрицу

В = ТАТ,

(4)

где матрица Т определена равенством (3). Так как Т—ортого-
нальная матрица, то матрица В подобна матрице А. Матрица
В отличается от А только г-й и j-й строками и столбцами с теми
же номерами. На диагонали у матрицы Д изменятся только два
элемента. Элементы

ПЦ G-ij
aji a-jj

преобразуются так, как если бы мы имели матрицу второго по-
рядка А и воздействовали на нее матрицей

f =

cos 9? — sin tp
sin p cos p

Матрица T определяется тремя па раметрами i, j, p. Выберем
наибольший по абсолютной величине недиагональный элемент
ajj матрицы А (г < J). Индексы г, j, определяющие матрицу Т,
берем совпадающими с индексами этого элемента. Параметр р
выбираем так, чтобы элемент bij матрицы В обратился в нуль.
Это возможно по лемме 2. Теперь матрица Т полностью опре-
делена.

По лемме 1 о неизменности нормы Фробениуса имеем

a'ii + аП+'2a'ij = tfi+bjj-	(5)

Остальные диагональные элементы матрицы В совпадают с со-
ответствующими элементами матрицы А\ bTr = arr, г i, г ф j.
Таким образом, сумма квадратов диагональных элементов ма-
трицы В увеличилась на 2а?-. Выбор элемента aij позволяет
утверждать, что это увеличение не меньше, чем увеличение при
любых других значениях г, j.

Пусть С — любая матрица порядка п. Будем пользоваться
обозначением

и(С) = £ ы2.
На основании леммы 1 и равенства (5) получим

п

ИВ) = £ь2( = л<2(в)_£б2г =
f/t	Г=1

= N4A) - fearr +	~ 2ао>

\г= 1	/

ИЛИ

w(B) = сДЛ)-2а2..	(6)

'Гак как a,j—наибольший по абсолютной величине недиаго-
нальный элемент матрицы А, то

^(А) = Z2 “ n)a?j

и, следовательно,
ajj ш(А)/(п2 — ri'), п 2.

В силу последнего неравенства из (6) находим

ш(В) <; ш(Л) - 2и(Л)/(п2 - п) = ш(Л)(1 - 2/(п2 - п)).

Мы получили неравенство

ш(В) дш(Л), q = 1 - 2/(n2 - n),	(7)

где 0 Sj q < 1 при 71	2.

Положим Ло = Л, Л] = В, Tq = Т. В этих обозначениях
равенство (4) запишется в виде Л1 = ТцЛоТЬ, а неравенство (7)
в видеш(А1) quj(/1o). К матрице А\ применим преобразование
(4) с матрицей Ti вида (3): Лэ = T[AiT\. Пусть уже выполнены
k преобразований

лг = лг_г = 1,2,...дл	(8)

при этом преобразование матрицы Л,._j с помощью матрицы
Т,._] таково, что максимальный по абсолютной величине недиа-
гональный элемент матрицы Лг-1 переходит в нулевой элемент
матрицы Лг, г = 1,2, ... Д’.

На основании (7) получаем неравенства

и(Лг) qu(Ar-i), г=1,2,...Д,

из которых следует

1ДЛД (/^^(Ло).
Так как 0 г/ < 1 (я 2), то w(A*-) — 0 при ! —> оо и, сле-
довательно. матрица .4jt при k достаточно большом близка, к
диагональной.

Как видно из (8), матрица .4*. получена подобным преобразо-
ванием из матрицы .4 с помощью матрицы К = ToT’i .. .Tk-i-

Ак = U'AU.	(9)

Матрица U является ортогональной как произведение ортого-
нальных матриц.

Итак, матрица А* при k достаточно большом близка к диаго-
нальной и получена подобным преобразованием (9) с помощью
ортогональной матрицы U. Отсюда следует, что диагональные
элементы матрицы Ajt можно взять в качестве приближений к
собственным числам матрицы „4, а столбцы матрицы К - - в каче-
стве приближений к соответствующим собственным векторам .4.

Метод Якоби является итерационным и, как мы видели, все-
гда сходится. Хотя метод и не является самоисправляющимся.
по он устойчив к влиянию погрешностей округления.

Реализация метода Якоби на ЭВМ связана с большой затра-
той машинного времени, так как для определения матрицы Т,-
требуется находить максимальный по абсолютной величине не-
диагональный элемент матрицы .4,.. По этой причине в практике
вычислений применяются модификации метода Якоби.

Одна модификация называется i( uk.i ическим процессом и со-
стоит в следующем. Выполняется нумерация наддиагональных
элементов матрицы. Например, элементы нумеруются по стро-
кам слева направо сначала в первой строке, затем во второй
и т. д. Аннулирование элементов матрицы происходит по ци-
клам. В каждом цикле производится аннулирование всех над-
диагональных элементов в порядке их нумерации, Ясно, что бы-
строта сходимости циклического процесса значительно меньше
быстроты сходимости метода Якоби.

Этот недостаток ;можно ослабить. Выбирается стремящаяся
к нулю убывающая последовательность положительных чисел
ai > ат > Оз >  • • । называемых барьерами. При выполнении
циклического процесса аннулируются те из наддиагональных
элементов, которые не меньше aj. После того как все наддиа-
гональные элементы окажутся меньше од, барьер он заменяется
на о-о, и процесс продолжается.

Циклический процесс с барьерами при удачном выборе чи-
сел ак требует меньшего машинного времени, чем метод Яко-
би. Однако удачный выбор барьеров — трудная задача. Если
барьер взят большим, то выбор элементов, которые не меньше
этого барьера, потребует много машинного времени: надо про-
смотреть почти все наддиагопальные элементы. Если барьер
очень мал, то много времени будет потрачено на аннулирова-
ние малых элементов.

Другая модификация метода Якоби такова. Пусть вычисле-
ны суммы квадратов недиагональных элементов каждой строки
матрицы Ло = А-.

0rO} ='£2arj, Г=1.2, ...,П.

Обозначим через г о номер строки, которой отвечает максималь-
ное из числеВ строке с номером tq выберем максимальный
по абсолютной величине недиагональный элемент aroSo (tq / so)
и назовем его оптимальным. В качестве матрицы Tq возьмем
матрицу вращения (3), у которой i = го, j = Sq, ip = tpOl и поло-
жим /11 = TqAoTo- Число р0 выбрано так, что элемент матрицы
Aj с индексами (?'о, «о) равен нулю.

Обозначим через /З^У* сумму квадратов недиагональных эле-
ментов ?'-й строки матрицы Ai. Можно доказать, что (3^ = /Зг^
при г 7’0, г ф s0, поэтому достаточно вычислить
чтобы найти оптимальный элемент матрицы А]. По индек-
сам (n,sj) оптимального элемента определяем матрицу Т\ =
и находим Ат = T[AiT\ и т. д.

Указанный процесс с использованием оптимального элемента
близок к методу Якоби. Заметим, что для нахождения опти-
мального элемента матрицы At достаточно вычислить числа

I - r^-i, a>-i, найти максимальное из / = 1,2,...,п,
и найти максимальный по абсолютной величине недиагональ-
ный элемент строки с номером т>. Нахождение оптимального
элемента требует просмотра. 2п — 1 чисел.
§ 14.	Чебышевские итерационные методы решения
линейных алгебраических систем

Рассмотрим линейную алгебраическую систему

Ах = b,	(1)

где матрица Л симметрическая и положительно определенная.
В конце § 8 было показано, что систему (1) можно привести к
виду

х = х — а(.41’ — 6),
пригодному для применения метода итерации, при этом число а
было выбрано так, что все собственные числа матрицы Е—а А по
абсолютной величине меньше единицы. При таком а метод ите-
рации сходится при любом начальном приближении Это
означает, что сходится последовательность векторов, опреде-
ленных соотношениями

1-В-+1) -	- 6), k = 0,1.2,...

В настоящем параграфе рассматривается обобщение этого
итерационного метода, которое состоит в том, что параметр о
меняется и зависит от номера приближения:

+ D = XW _ ак+^Ах(к) _ Ьу к =о.1,2,....	(2)

Пусть N — натуральное число. Будем считать, что итерацион-
ный процесс или заканчивается после вычисления x^N\ или про-
должается с циклически повторяющимися параметрами: при
k N полагаем а*+1 — Q‘k0+i< где — наименьшее целое неотри-
цательное число, удовлетворяющее сравнению ko = £(mod;V).
Нашей целью является задача оптимального в некотором смы-
сле выбора параметров ад,..., о д'.

Пусть х*— решение системы (1). Введем обозначение

с(>) =	_ Х.(Л, j — 0,1,2....	(3)

Вектор представляет собой погрешность приближения х^\
определяемого методо.м (2).

Вычтем из очевидного равенства

х~ = х~ — а^. + 1(Лг* — 6)

равенство (2) почленно, при этом воспользуемся обозначением

(3). Получим

e(*+i) = (Е - ак+1А^к\ £ = 0,1,2,...
Из этих равенств находим

лг

£W = П(Я-аМ>(0).	(4)

*=1

Введем многочлен степени W

N

PNW = nU-M-	(5)

i=l

Тогда равенство (4) можно записать в виде

= PN(A)^.	(6)

При вычислении приближений по формулам (2) параметры aj
используются в порядке их нумерации: при вычислении +
используется а*+1, k = 0,1,..., IV — 1. Мы получим то же значе-
ние x^N\ если возьмем параметры оц, а?,..., а к при вычислении
приближений в любом другом порядке, так как многочлен РП(Л)
не изменяется при любой перестановке множителей Е — с^Л.
Это следует из формулы (6), которая показывает, что погреш-
ность приближения а следовательно, и х^ определяется
многочленом Рдг(Л). Конечно, предполагается, что приближе-
ния вычисляются точно, без округлений.

Из равенства (6) получаем оценку погрешности приближения

Здесь использовано неравенство (2.3). Неравенство (7) показы-
вает, что чем меньше матричная норма ||Руу(Л)||2, тем меньше
норма погрешности Этот факт лежит в основе выбора, па-
раметров ац, од, • • •, O'N- Будем их выбирать так, чтобы матрич-
ная норма ||Руу(Л)||2 была наименьшей.

Так как матрица А симметрическая и положительно опре-
деленная, то можно считать, что известен отрезок [т,М], где
О < т < М, которому принадлежат все ее собственные числа.
Если известны наибольшее Ai и наименьшее Ап собственные чи-
сла матрицы Л, то можно взять т = An, М = Ар

Матрица Руу(Л) является симметрической, и ее собственными
числами являются	i = 1,2,..., п, где А; — собственные

числа матрицы Л. В силу (2.16) можем утверждать, что

||Рлг(Л)||2= max |PN(i)|.	(8)
Многочлен Рм(1), определяемый равенством (5), удовлетво-
ряет условию Рдг(О) = 1. Так как неизвестны значения А....Ал,

а известен лишь отрезок [тп, М], на котором они лежат, будем
минимизировать вместо правой части (8) большую величину

max |PN(/)|.	(9)

<Е[т,Л1 ]

Нетрудно видеть, что многочлен P^(t), который удовлетво-
ряет условию Р^(0) = 1 и доставляет наименьшее значение ве-
личине (9), существует и его легко найти. Действительно, по
теореме 1.2.3 многочлен Т^(г) = Т^(:)/Т^(а), где а > 1 (счита-
ем а > 0), доставляет наименьшее значение величине

max |Qn(-)|

среди всех многочленов Qn(z) степени N, удовлетворяющих
условию Qn(o) — 1.

Чтобы получить многочлен Pfj(t), сделаем линейную замену
переменной

z = (А/ + тп — 2i)/(M — тп),
которая переводит точки М и m соответственно в точки — 1 и 1.
Точка 0 перейдет в точку

а = (М + тп)/(М — гп) > 1,	(10)

а многочлен T^(z) перейдет в требуемый многочлен

P^t) = TN(M^m~‘2t} /т^а).	(И)

\ М — тп )

Отсюда видно, что корни £г- многочлена P^(t) просто связаны
с корнями многочлена Чебышева (1.2.6):

М + тп — 2ti 21 — 1
---------- = cos--7Г,

М -m	2N ’

i=1,2,...,N.

Так как параметры метода (2) связаны с корнями многочлена.
(5) равенствами а,- = I//,-, то искомые оптимальные параметры

таковы:

<y.i — 2 М + тп — (М — m) cos

2г - 1

г = 1,2,..., IV. (12)

2N J ’

При N = 1 получаем от = 2/(М+тп). Итерационный процесс с
циклически повторяющимся параметром от представляет собой
обычный метод итерации:

Л+1) =

9	\	2

77-----И ^ + —------------6, £ = 0,1,2,...	(13)

М + тп J М + m ’	v '
Этот метод оптимален в отношении выбора параметра ар

Из (8) получаем

Нрлг( Л)Нг	.max |Р^(/)| = —

ге[т,л/]	-Ln{o.)

Мы использовали равенство (11) и то, что max |Тп(г)| = 1.

Далее из неравенства (7) находим оценку погрешности прибли-
жения х^:

При любом другом выборе многочлена Р^(Р) эта оценка будет
хуже.

Для метода (13) оценка (14) принимает вид

Здесь мы воспользовались равенством (10) и тем, что ТЦа) = а.
Так как

||£<'+,)||1«^;||£0>||!' i = 0'1'2....

ТО

ii£<‘)«!4w^)*i|e<")|l!'

Докажем равенство

Tn(t) = |[(z+ V^2 - 1)N + (X -	- 1)N] .	(15)

В силу формулы Муавра

cos N9 = - [(cos в + i sin (P)N + (cos f) — i sin 0)N] .

Если положить в этом равенстве 9 = arccos х и принять во вни-
мание, что

cos# = х, sin# = у/1 — ж2,

то получим

Тп(х) - | [(г + г\/1 - x2)n + (х - iy/l - ®2)7Vj .

Из этого равенства следует (15).
Выясним быстроту убывания множителя 1/7\г(а) в неравен-
стве (14). С помощью (10) простыми вычислениями находим

(16)

(17)

не из-

Введем обозначение

1 — у/т/М
1 + у/ т/М

Тогда на основании предыдущего равенства получим

а + \/а2 — 1 = 1 /т, а — у/а2 — 1 = т.

Пользуясь этими равенствами и (15), находим

1	2	_ 2tn

T)v(a) (a + у/a2 — l)w + (a — y/a2 — 1)N	1 + r2N

где т определяется равенством (16).

Ранее мы видели, что теоретически приближение

менится, если оптимальные параметры (Г2) использовать в лю-
бом порядке: а у х, cvy3,...,	, где (Ji,	, Ул') — любая пере-

становка чисел (1,2,..., Лг). При действительных вычислениях,
которые ведутся с округлениями, зависит от порядка, в
котором берутся параметры. Более того, оказывается, что по-
рядок параметров существенно влияет на устойчивость вычи-
слений.

Дело в том, что матрица Е — ajk+lA, которая осуществляет пе-
реход от приближения a.4fc) к приближению x(fc+1\ будет иметь
большую норму, если отношение An/Aj мало (матрица А пло-
хо обусловлена) и мал номер Д- + 1 параметра по сравнению с
N. Это обстоятельство может привести к большой норме при-
ближения + и погрешности е^'+1\ Если возрастание нормы
происходит для нескольких соседних итераций, то это приво-
дят иногда к столь значительному ее увеличению, что возмож-
на аварийная остановка ЭВМ. В частности, порядок выбора
параметров, отвечающий перестановке (1,2,..., N), оказывает-
ся плохим.

Приведем без доказательства рекуррентный способ построе-
ния перестановки оптимальных параметров в случае N = '2т, ко-
торая приводит к устойчивым вычислениям. Пусть уже указа-
на перестановка для N = 2т-1 и она имеет вид (Ji, J2, •  , j2™-i).
Тогда для N = 2m перестановка строится следующим образом:

(я । 2m + 1 — Ji, J2: 2"1 + 1 — я, • • • • Я”*-1 > 2m + 1 — Я™-1 )•

Например, если при т = 1 взять перестановку (1.2), то последо-
вательно получим

т = 2 (1,4,2,3),
т = 3 (1,8,4,5,2,7,3,6).

При указанном способе упорядочения параметров матрицы
Е — ctjkA с большой нормой будут равномерно распределены
среди матриц, уменьшающих норму погрешности.

При написании этого параграфа использовано Добавление II
к книге [45], написанное В. И. Лебедевым, и книга [36].
ГЛАВА 4

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

§ 1.	Вычисление значений многочлена

и его производных

В этой главе излагаются следующие методы решения нели-
нейных численных уравнений: итерации, Ньютона, хорд, секу-
щих, параболического интерполирования и выделения множите-
лей. Методы итерации и Ньютона рассмотрены как для одного
уравнения, так и для системы уравнения. Все перечисленные
методы позволяют уточнить уже имеющееся приближение к ре-
шению системы или к корню уравнения.

Настоящий параграф носит вспомогательный характер. За-
дача, о которой идет речь в его названии, часто встречается в
методах вычислений, в частности, при решении алгебраических
уравнений. Пусть имеется многочлен

Рп (#) — Одх" + Я, X 1 + . . . + а.п,	(1)

коэффициенты которого я0,	,.. ., а„ суть вещественные числа.

Требуется вычислить значение этого многочлена при х = tq.
Рассмотрим сначала случай, когда — вещественное число.
Выполним деление многочлена на х — хд- Получим

cigxn + а^хп 1 + ... + ап =

—	1 + sj хп " + ... +	) (х — а.’о) + sn. (2)

Ясно, что sn = Рп(хо) и> следовательно, для вычисления Рп(хд)
достаточно вычислить sn.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой
и правой частях соотношения (2):

яо — «о>

Я1 = б’; — воХ’о,

Я?1 — &п Sn— 1Г0.
Разрешая эти равенства, относительно so,si,...sn, получаем

SQ = До ,

S1 = а1 + ®()Жо ,

sn — О-п + Sn-lEg.

Эти равенства позволяют последовательно определять числа
so, si,..., sn, которые представляют собой коэффициенты част-
ного

Рп-1(я) = sot”-1 + sir”-2 + ... + Sn_]

от деления Рп(х) на ж — х0. Приведенная схема вычисления
Рп(хо') обычно называется схемой Горнера.

Равенство (2) можно использовать для контроля правильно-
сти вычисления. Действительно, полагая в нем х = 1, получаем

ОО + Я] + • •  й-п = (во + S1 + • • • + Sn-i) (1 — Жд) + sn.

Чтобы проверить, выполнено ли это равенство, нужно най-
ти суммы коэффициентов многочленов Рп(х) и Pn-i(x), равные
Рп(1) и Рп-1(1), и вычислить величину Р„(1) - Рп-г(1)(1 - ж0).
При правильном вычислении должно иметь место равенство
Рп(1)-Рп_1(1)(1-ж0) = «„.

При вычислении Рп(ж0) с помощью соотношений (3) требует-
ся выполнить п умножений. Если вычислять Р„(жд) обычным
путем, то требуется выполнить 2п — 1 умножений: п — 1 умно-
жений при вычислении степеней ж£,..., ж£ и п умножений при
вычислении произведений адЖд, ЩЖд-1,..., ап_1Жо-

Остановимся на вопросе вычисления значений производных
многочлена Рп(ж) при ж = жо вещественном. Соотношение (2)
запишем в виде

1^п('Е) — Рп — 1(«е)(*Е *Ео) “1" S'ti 

Разделим многочлен Р„_](ж) на ж — тд. Получим

Р„-1(ж) = Рп_2(ж)(ж - Жо) + sj"l ,

где

Д„_2(ж) = 5^жп-2 +	+ ... + s(nl2.

Ясно, что числа sj" определяются по числам Sj с помощью ре-
куррентного соотношения

sj" = Sj + sj"Eo, j = 0,l,...,n- 1, s(_"=0.
Продолжая таким образом. получаем многочлены

Pn(z),Pn_1W,...,F0(aO,P-1(z) = 0	(4)

и треугольную таблицу чисел

	ао  «0  s(1) 5о  S(2) so	ai  si  sj2) ..	Gn-2 ^n — 2 S(1) *n-2 s(2) sn-2	an—l  Sn — 1  S(1)  fl — 1	Gn  Sn
	ч(п-!)  s0  S(n) so	sj"-1)			
Обозначив					

= sj sj = sj°\ j = 0,1,.. .,n,

(5)

можем утверждать, что числа (k + 2)-й строки sj определяют-
ся по числам (к + 1)-й строки sji-1) с помощью рекурретных
соотношений

(О _

*0 — *0	>

.(*) _ „(*-1). .(*)..

Sj — bj	“Г Oq 1Q}

(*)	(*—1) , (*)	I П 1

s„ = s', ,. + s„ .aio, k = 0,1,..., n.
n — К	n — К 1 П — К — 1 u ’	’’	5

При k = 0 эти соотношения совпадают с (3).

Многочлены (4) связаны соотношениями

РДх-) = Pj-i(x)(x - r0) + sj"-j), j = п, п - 1,..., 1,0,	(7)

из которых получаем равенство

Рп(х) = Sn + S^fx - Xq) 4- S^222(x - Го)2 +  • 

... + sj”-1^ - r0)n_1 + s(0")(r _ ro)n- (8)

На основании равенства. (8) в силу единственности разложения
в ряд Тейлора находим

^n(2!o)=Sn, Рп(г0) = 5^21,

P^xQ)/2l = s^2,...,P^Xx0)/nl = s^.
Таким образом, чтобы вычислить значения производных мно-
гочлена Рп(х) при х = 1'о, мы должны составить таблицу чисел
(5) при помощи рекуррентных соотношений (6). Искомые значе-
ния производных определяются равенствами (9). Равенства (7)
можно использовать для контроля правильности вычислений.
Полагая в них х = 1, получаем контрольные равенства

P;(l)-P>_1(l)(l-Z'0) = Sy,-j), j = n, 71 - 1, . . 1,0.

•2	(°) (U	(")

Значения sn , j,. .., Sq , с помощью которых определяют-
ся производные .многочлена (1), можно вычислить как разделен-
ные разности этого многочлена. Для простоты записи считаем
п = 4. Многочлен (1) можно рассматривать как интерполяцион-
ный многочлен Эрмита, записанный в форме Ньютона:

4	4

Р4(1’) =	Р4(бУ^О)а-’г,

i=o	i = 0

i+i

так как /^!\0)/г! = /^(б”^-, О') по (1.6.3).

В таблице разделенных разностей многочлена Р4(2.‘), содер-
жащей пятикратный аргумент 0, известна наклонная строка

> + 1

Р4(О) = ал-i, 1 = 0,1,2, 3,4,

расположенная над жирной ступенчатой линией (табл. 20). Про-
должим таблицу, взяв в качестве ее аргументов пятикратно точ-
ку 1’0-

Сначала заполняем наклонную строку, содержащую разде-
ленные разности

i

Р4(.Го, 0,..., 0) = i'4-t, г = 0,1,2,3,4.

Так как разделенная разность четвертого порядка постоянна,
то Sq = «о, и остальные разделенные разности определяются
последовательно с помощью (1.6.7):

(sj - aj) /х0 = Sj-i, j = 1,2, 3,4.

Эти формулы совпадают с (3) при п = 4.
Таблица 20

Г	Разделенные разности порядка				
	0	1	2	3	1
0					“0
				41	
0			“2		*‘0 = Uo
		из		«1	
0	“4		S2		4') = 40
		«3		4”	
го	«4		4’)		’4' = “0
		4”			
го			3(2)		(3)  ••>0	= “0
				43i	
Го					(Т)  з0_ = «о

Таким же путем заполняем строку, содержащую разделенные
разности

Р4 ^.го, а'о, 0,..., 0^ = Sg-i> >' — 0,1,2, 3,

и убеждаемся, что разделенные разности Sgjf вычисляются по
формулам (6) при k = 1 и п = 4. Нетрудно проверить, что разде-
ленные разности следующих строк определяются по формулам
(6) при k = 2, 3,4 и п = 4.

Наклонная вниз строка в табл. 19, содержащая «4, Sg*\

.S]3\ Sq4\ позволяет записать многочлен ^(х) в форме Ньютона:

Р4(л;) = s4 + Sg1^1 ~ ^о) + s^\x - а?о)2 +

+	- х-0)3 + Sg4)(x - ^о)4,

что совпадает с (8) при п = 4.

Перейдем к описанию схемы вычисления значения многочле-
на (1) и его первой производной при х = хо, когда
х-Q — комплексное число: хд = «о + wq. Квадратный трехчлен
х~ + рх + <7, где р — —2u0, q = vg + pg. имеет своими корнями ,г-0 и
i’o = -uu — Wq.

Разделим многочлен Рп(х] на x'2 + px + q. Получим соотноше-
ние

аохп + а^хп 1 + ... + ап =

= (boxn~2 + bixn~3 + ... + 6n_2)(a:2 + рх + q)+

+ 6n_ 1 (.с + р) + 6n. (10)

Остаток от деления—линейная функция — записан в специ-
альной форме для того, чтобы получить единообразные рекур-
рентные соотношения для определения чисел bj.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в со-
отношении (10):

do — bo,

“i = bi + pb0,

a2 = 62 + pbi + qbo,

dn = bn + pbn~i + qbn_2.

Разрешим эти равенства относительно bo,bi,... ,bn. Получим
рекуррентные соотношения

Ьо = яо>

61 = ai — р60,

62 = a2 - p6i - qbo,	(11)

bn —• dn pbn — i qbn-i,

при помощи которых последовательно определяются числа 6»,
bi, .. •, bn.

Из соотношения (10) видно, что

Рп(*^о) — bn_ 1 (ж0 -|- р) 4- Ьп — Bi + iB2 —

= bn - u06n-i + ivobn-i. (12)

Наряду с Pn(xo) получаем коэффициенты частного

Qn-2(x) = boxn “ + bixn 3 + • • •-|-6n-2	(1>5)

от деления Pn(a;) на x2 + рх + q.
Соотношение (10) запишем в виде

Рп(х) = Q„_2(t)(t2 + рх + q) + 6„_1(ж + р) + Ьп

и продифференцируем обе его части по х:

P't(x) =	+pi' + q) + Qn-?(x)(2x + р) + 6n_j.

Положим в последнем равенстве х — Xq. Получим

Р„(х0) = <5n_2(.ro)/2i’o + 6„-1.	(14)

Чтобы воспользоваться этим равенством для вычисления про-
изводной Р^(а?о), вычислим значение Qn-:>(xo) многочлена (13).
С этой целью выполним деление Q„_2(t) на х2 +рх + q. Получим

Q„-‘2(x) = Я„_4(т)(т2 +рх + <?) + с„_3(т + р) + сп_2,	(15)

где

/?.п_4(а-') = Сот” 4 + cj.Tn 5 + . . . + сп_4.

Отсюда находим рекуррентные соотношения для определения
(?о, <?1,..., сп_о:

со = Ьо,

С1 = 61 - рсо,

с2 = 62 - рс\ - qc0.

Сп —2 — 6п —2 РСП_3 QCn—4.

При х = а?о из (15) получим

Qn-zfxo) = С] + iC-> = сп-2 - »ос„-3 4- iv0cn-3. (16)

Подставим найденное значение Qn-2(a-’o) в (14):

P/^tq) = Di + iD-> = —2voC2 + 6n_[ -|- i2voC{. (17)

Соотношения (10) и (15) можно использовать для контроля
правильности вычислений.

Укажем еще схему для вычисления значений многочлена (1) и
всех его производных при х = тд = tig + гс0. Положим х — u-piv,
где и и v — вещественные числа. Запишем разложение Рп(х) в
ряд Тейлора в окрестности и по степеням iv:

Рп(и + iv) = Рп(и) + ivP^u) - (v2/2))P"(u)~

- z(v3/3!)P"'(U) + (v4/4!)pyv)(u) + ... + in(vn/n\)P^u).
Отделяя вещественную и мнимую ча.сти. получаем

+ iv) = XQu,v) + iY(u, и),	(18)

где

Л'(и, v) = Рп(и) -

— +^~и-....

Y'(u, а) =

1!

л;"(«)„з. tf ’w «

-3!“ " +'_5!~’

(19)

V —

Если п четное, то A(up,ti)— многочлен степени п, a Y^uo- v) —
многочлен степени п — 1 относительно и. Если п нечетное, то
А(ир,и)— многочлен степени п — 1, а У(и0, и)— многочлен сте-
пени 11 относительно v. Коэффициенты многочленов A'(izp, и) и
У(гр, и) легко найти,. Достаточно составить таблиц}' чисел (5)
по коэффициентам многочлена. Рп(т) и вещественному числу п0.

После того как мы нашли коэффициенты многочленов А(ир, г)
и y(uo,v), можно вычислить значения этих многочленов и их
производных по v при и — t’p:

Ar( u0, i’o)

1 <ДУ(ир, Up)

1! dv

У(и0, Гр)

1 <9У (u0, ер)

1! dv

1 32A'(u0, tip)

2!	Oi'2

i a2 у (tip, up)

2!	du-

составляя для A'(wn, г) и У(ир,и) таблицы чисел (5).

Дифференцированием по v левой и правой частей равенства
(18) находим

Рп(.г0) = А'(»0, tip) + ?'У(ио, пр),

(20)

aA'(un,vo) । ay(uo,vo) |

dv + ’ dv J

a2A'(uc,,у,,) ,  a2K(uo,vo)
dv2 I •	2

Таким образом, вычисление многочлена и всех его производ-
ных при комплексном значении аргумента сводится к вычисле-
нию значений трех многочленов и их производных при веще-
ственных значениях аргументов по схеме (5).

Пусть
п

= (21)
j=i
где Tj (а;)— многочлен Чебышева. Такой вид имеет, например,
частичная сумма разложения функции в ряд по многочленам
Чебышева. Рассмотрим схему Кленшоу [56] для вычисления зна-
чения S(x), основанную на специальном представлении коэффи-
циентов ак суммы (21). Это представление учитывает структу-
ру рекуррентного соотношения (1.2.2):

Тк(х) = 2хТк-\(х) — Л._2(.г), k = 2,3,...	(22)

Определим последовательно числа Ьк рекуррентным соотно-
шением

bj - ‘2xbj + i + bj+-j = aj, j = н, ii — 1,..., 1,0.	(23)

при этом b„+1 = bn+2 — 0. Тогда

S(i') = (b0 — b2)/2.	(24)

Докажем это. Заменим коэффициент aj в (21) левой частью
равенства (23). Получим

п

•Ь'(-г) = у + £(&J -	+ bj+2)Tj(x} =

п	п+1	п+2

= у + £ bjTj(x) - 2х £ bjTj.^x) + £ Ь;Т}_2(.г).
; = 1	j=2	j = 3

Из первой суммы выделим слагаемое при j = 1, к третьей
сумме присоединим слагаемое Ь2То(х) = Ъ->. а также примем во
внимание, что bn + i = bn+2 = 0. Получим

п	п	п

'(•г) = у + b1T1 + Y'bjTj - 2x'£bjTj_i T^bjTj^ - b2 =
j=2	j = 2	j = 2

п

= ——Ь bix — Ь2 +	] bj (Tj — 2.r7j_i + Ij-?) = ——h b]X' — l>2-

j=-

Здесь мы воспользовались рекуррентным соотношением (22). С
помощью (23) при j = 0 получим

S(x) = (bo - 2x6i + b2)/2 + bix - b2 = (b0 - b2)/2,

и (24) доказано.

Таким образом, вычисление значения S(x) сводится к нахо-
ждению чисел bn, bn_i,..., Ьо с помощью рекуррентного соотно-
шения (23) и использованию формулы (24), при этом требуется
выполнить n + 3 умножений (а именно 2х, 2(ао/2), (Ьо - 62)(л)>
2xbj при j = 1,2,..., п) и 2п сложений и вычитаний.

Известно следующее обобщение схемы Кленшоу. Пусть тре-
буется вычислить значение

п

= ^ajpjtx),	(25)

2=0

где Pj(x’)— функции, связанные рекуррентным соотношением
Pfc(x') + Ofc_i(x')pi--i(a-,)+A--i(r)Pi:-2(-1;) =	1'= 1,2,..., я, (26)

р_1(х) = 0. Рекуррентным соотношениям этого вида удовле-
творяют, например, ортогональные многочлены (в этом случае
степень pj(а:) равна j), функции Бесселя.

Если числа bj определены рекуррентным соотношением

bj +aj(x)bj + 1 + /3j + }[x)bj+-, = aj, j = я,я - 1,..., 1,0,	(27)

6„+1 = bn+-> = 0, то справедливо равенство

S(x) = bopo(x).	(28)

Доказательство проводится так же, как в случае схемы Клен-
шоу. В (25) вместо aj подставим левую часть равенства (27),
воспользуемся соотношением (26) и равенствами bn+i = bn+2=O,
p_i(x’) = 0. Получим

Л

£(*) =	+Qj(a;)bj+1 +ft + i(a;)6j+2)Pj(a;) =

7=0
n	n+1	n+2

= ^2bjPAx) + ^fij-Ax)bjPj-i(x) + ^(b-i(x)biPj-Ax) =
j=0	j=l	3=2

n

= 6opo(x) + 536j(Pj(.i’) + aj-i(x)pj-i(x) + ^_i(x)Pj_2(i:)) =

2 = 1

= bopo(i')-

Равенство (28) доказано.

Если заранее вычислены аДх), /3j(x), то для вычисления S(x)
требуется выполнить 2п умножений и 2п — 1 сложений и вычи-
таний.

Пусть Дп-1—вещественное векторное пространство много-
членов степени не выше тг — 1 и ро(ж), Pi(z), • • • >Рп-1(я) не‘
который его базис. Рассмотрим операцию Р = Mnii, кото-
рая сопоставляет вектору и = (ui,U2,.   ,ип)' 6 Rn многочлен
Р(х) = ^2"=1 u,pi-1(.<)• Эта операция из R." в Pn-\ линейна. Опа
имеет обратную, так как многочлену Р(.с) = 0 отвечает един-
ственный вектор и = 6 = (0, . .., 0)' в силу линейной независимо-
сти po(j'), ЫД  •

Пространства R.n и P„-i нормируем. Для и g R." поло-
жим ||u|| =	= niax |i/i|. Многочлен Р G Р„-\ будем рас-

сматривать как функцию на конечном отрезке [«,6] и положим
||Р|| = ||Р||с = П1ах |Р(х)|. Это дает возможность определить
нормы операций, Мп, М~1:

||М.||= sup ]|Mnu||, ||Л/п-1|| = sup |КГ1рН-
1141=1	црц = 1

Рассмотрим вопрос об обусловленности задачи вычисления
значения многочлена Р(т) при .г £ [л. 6]. Какое влияние на зна-
чение многочлена Р(х) окажут малые изменения в векторе ко-
эффициентов? Пусть

Р(х') =	е [а,ь].	(29)

: = 1

Замена вектора и на вектор и + Au, где Au = (Aui,..., Au„),
приводит к изменению многочлена

ДР(г) = ^2 Аиг-рг_1(т) = МпЛ.и.
1 = 1

Очевидно имеем

||АР|| <: ЦИ.11 • ||Ди||.	(30)

Так как и = М~1Р, то ||и|| HA'AT'II ' Ill’ll и> следовательно,
1/1И1 ачл/н-	(31)

Конечно, предполагаем и 0. Почленно перемножая неравен-
ства (30) и (31), находим

||ДР||/||Р|| cond(A//n)||Au||/||u||,	(32)

где

cond(Mn) = ||М„|| • ||Л/-Ч|.	(33)

Число cond(Mn) называется числом обусловленности опера-
ции Мп. Неравенство (32) позволяет по известному относитель-
ному изменению вектора коэффициентов многочлена
указать верхнюю границу для относительного изменения мно-
гочлена. Нетрудно проверить, что наряду с (32) справедливо
также неравенство

||Au||/||u|| cond(M„)||AP||/||P||.

Найдем число обусловленности (33) или его верхнюю грани-
цу для конкретных базисов р0(х-), р] (и),..., p,l_J(x). Рассмотрим
сначала, степенной базис pt(a?) = хк, k = 0, 1,..., п — 1. Найдем
норму операции Мп. Имеем

||Л/п|| = sup ||Mnu|| = sup max

||u|| = l	IMI = la^b

sup max max |аЛ '| =

ft	П. "1

max V \rk~11 —	— ° ~ 1

J LL	— / Ut — -----------,

a<r<b 1	'	£—1	a - 1

P = 1	t=l

где a — max{|a|, |Ь|) и (an — l)/(a — 1) = n при a = 1. Если,
например, a = |Ь|, то для вектора и® = (1, sgn b,..., sgn b"-1)',
||u(°)|| = 1, справедливо равенство Мпг№ = (an — l)/(a-— 1), так
что ||Mn|| = (an - l)/(a - 1).

Задача нахождения нормы оператора М~у труднее. Коэффи-
циенты многочлена (29) в случае степенного базиса таковы:

ик = Р^~1\0)/(к- 1)!, fc= 1,2,... ,тг.

и, следовательно,

М~'Р = (Р(0), Р'(0)/1!,..., Р(п-1\0)/(я - 1)!)'.

Отсюда получаем

|р^Но)1
sup	S,JP n max -----=

||P|| = 1	||P|| = 1 OS^n-l A.!

|P(O(0)|
= max sup ---------—--.

||p|| = 1	fc!

Задача свелась к нахождению норм линейных функционалов
P(*\0)/I’!, k = 0,1,..., п - 1, в линейном нормированном про-
странстве Рп-1- В случае симметричного отрезка [а, 6] = [—<т, а]
справедливо равенство

||МП"’|| = max{||tzTn_1(j,/Q.)||, ||итп_2(т/а)||} ,
где ир(т) — вектор коэффициентов многочлена Р g Pn-i и
Тп_1(а?/а), Тп-2{х/а) — многочлены Чебышева. Это утвержде-
ние оставляем без доказательства.

Таким образом, в случае степенного базиса для симметрич-
ного отрезка [—а, а] число обусловленности (33) найдено. Мож-
но показать, что cond(AYn) при п —> оо растет по показатель-
ному закону, а именно, как (1 + \/1 + о2)п при а 1 и как
[(1 + \/1 + а2)/а]П при а < 1 [62].

Предположим, что базис пространства Рп-\ состоит из ор-
тогональных относительно веса ш(г) 0 и отрезка [а, Ь] много-
членов. Для числа обусловленности в этом случае справедлива
оценка

cond(A/n) max^ max £ |рДг-)|,	(34)

v	j=o

где
fb	pb

ро = / w(x)dx, hi: = / w(x)pl[x)dx.
J a	J a

Докажем это утверждение. Имеем

||М„|| = sup
ll«ll=l

n

^UfcPfc-l
fc=l

sup max

||u|| = 1

^2 «fcPl-i(x)

Jt = 1

(35)

Чтобы найти коэффициенты многочлена Р(х) в представлении
(29), умножим обе его части на w(a?)pt_i(r) и проинтегрируем
от а до Ь. Получим

1 [ь

Uk = т---- / w(x)P^x)pk-i(x)dx, k = 1,2,..., n.

П-k-l Ja

По неравенству Буняковского находим

Ы = 7^—

(х) Р (х) y/w(x)p k -1 (X) d
Мы получили

НМ-^Н^ max

откуда

НМ-1!^ max	(36)

O^fc^n-1 у rik

Отсюда и из неравенства (35) следует (34).

В случае многочленов ЧебышеваPk(x) = Tk(x) и [а, 6] = [—1,1]
неравенство (34) на основании (1.2.5) и (1.2.17) дает cond(Mn)
\/2п. Если рь(х) = Рл-(г), где Р^.(т)— многочлен Лежандра, и
М = [-1,1], то cond(Mn) п\/2п — 1. Здесь использовано ра-
венство (2.5.30) и неравенство |Р^.(т)|	1 при х £ [—1,1]. Та-

ким образом, базис из ортогональных многочленов существенно
лучше степенного базиса.

Пусть pk-i(x) = /*(ж), где /j,(t)— фундаментальный много-
член интерполирования (1.3.8), построенный по узлам яц, х%, ...,
хп — попарно различным точкам из [а, 6]. В силу формулы (1.3.9)
Uk = Р(хк), так что (29) принимает вид

п

Р(:С) =

k=l

(37)

Здесь, в отличие от предыдущих случаев, степени базисных
многочленов Pk-i(x) одинаковы и равны п — 1.

Имеем

||Mn|| = sup
Н«П=1

п

^ик1к(х)

^П—1 )

где

п

An_i = max V|/*(i)|

к=1

есть постоянная Лебега. Если точка то € [а,Ь] такова, что

п

Ап-1 = 52 1/*(1о)1>

*=1
то для вектора t/°) = (sgn l\(i0),... ,sgn /п(г'о)Уi = 1, имеем
||A/nu(0)|| = A„_i и, значит, ||Mn|| = An_i.

Так как

11ЧГ1!! = sup ||Л1“1Р|| = max |Р(хч)| < 1
||P|| = 1	W"

и равенство достигается для Р(х) — 1, то ||A7“'|| = 1. Мы полу-
чили cond(A7n) = A„_i.

Если [а, 6] = [—1,1] и узлами х^. k = 1,2,. .., п, являются корни
многочлена Чебышева Тп (х), то по (1.9.8)

cond(Mn) 1 + (2/тг) Inn, п 2.

Известно [12], что для любого базиса в Рп-1 справедливо нера-
венство cond(Mn) С Inn, где С — положительная постоянная.
Поэтому выбор в качестве узлов х^ в представлении (37) корней
многочлена Чебышева Тп(х) обеспечивает наиболее медленный
порядок роста числа обусловленности cond(A7n) при п —» оо.

§ 2. Метод итерации

Метод итерации является универсальным: его можно приме-
нять для решения обширного класса функциональных уравне-
ний как линейных, так и нелинейных. В частности, его можно
применять к решению уравнения с числовой неизвестной, к ре-
шению систем 71 уравнений с п неизвестными. Мы ограничимся
этими уравнениями, хотя метод итерации находит применение
при решении интегральных и дифференциальных уравнений.

Рассмотрим метод итерации для решения уравнения /(т) = О,
где /(i)— заданная функция и .г — числовая неизвестная. Тре-
буется найти корень уравнения, т. е. такое число х*-— вещест-
венное или комплексное, что f(x*) = 0. Для применения метода
итерации необходимо уравнение f(x) — 0 преобразовать в экви-
валентное уравнение вида

я = р(г)-	U)

Такое преобразование можно выполнить многими способами,
например, так:

х = х + C(i)/(i),
где C(i) /0.В дальнейшем считаем, что уравнение имеет вид
(1).
Пусть xq — начальное приближение к корню уравнения (1).
Определим последовательность чисел {х,п}~_0 равенствами

а-4+i = <р(хк), к = 0,1,2,...	(2)

Если последовательность {х,п}“_0 имсет предел х* и функция
9?(х) непрерывна в точке .г-', то х‘ —корень уравнения (1). Что-
бы убедиться в этом, достаточно перейти к пределу в равенстве
(2) при k —> ос. При вычислениях в качестве приближения к
корню берут хт при достаточно большом т, при котором хт
приближает х* с требуемой точностью.

Сразу же заметим, что последовательность {хт}~_0 Далеко
не всегда сходится. Далее указаны достаточные условия, обес-
печивающие сходимость последовательности {тт}-

Дадим геометрическую интерпретацию метода итерации для
уравнения (1) в вещественном случае.: функция ip(x) является
вещественной (при вещественных значениях х принимает веще-
ственные значения), и разыскивается вещественный корень.

Рис. 13

На рис. 13 изображены графики функций у = х и у = <р(х). Аб-
сцисса точки их пересечения х*— искомый корень, .гд— началь-
ное приближение. Чтобы определить Х] —первое приближение
к корню, проведем через xq прямую, параллельную оси у, до
пересечения с кривой у = ^>(х). Точку пересечения обозначим
через М. Из точки М проводим прямую, параллельную оси
х, до пересечения с прямой у = х в точке N. Очевидно, что
абсцисса точки N совпадает с X].

Проведем нестрогое исследование сходимости метода итера-
ции для уравнения (1) также в вещественном случае. Будем
предполагать, что уравнение (1) имеет вещественный корень х*,
а функция имеет непрерывные производные до второго по-
рядка включительно в некоторой окрестности корня х*. Поло-
жим ек = it — т*, & = 0,1,2,... Пользуясь этим обозначением,
запишем равенство (2) в виде х* + cjt + i — <р(х* +£*). Функцию
ip(x* +ejt) в этом равенстве представим по формуле Тейлора в
окрестности точки х‘:

х' +ek+i =	+ р'(хг)£к + (1/2)^"(С04>

где £к лежит внутри отрезка, концами которого являются точки
х", х" +Q. Так как х~ = ф(х*), предыдущее равенство упроща-
ется:

е>+1 = 9?/(-г*)£> +		(3)

Предположим, что ^'(г') ф 0. Если гк достаточно мало, то
вторым слагаемым в правой части равенства (3) можно прене-
бречь, и мы получим

et+1 = р'(х*)ек.	(4)

Это равенство не является точным, и поэтому проводимое ис-
следование сходимости названо нестрогим. Из равенства (4)
видно, что ет —> 0 при т —> оо или, что то же самое, хт —> х'
при т —» оо, если |^>'(а:*)| < 1. Так как £>+i —	то

быстрота стремления ek+i к нулю при I —» оо определяется бы-
стротой стремления к нулю [^'(т*)]'.

Заметим, что на рис. 13, где дана геометрическая интерпрета-
ция метода итерации для уравнения (1), требование	< 1

выполняется в точке х* и ее окрестности. Это требование явля-
ется существенным для сходимости последовательности мето-
да итерации, что иллюстрируется на рис. 14, где р'(х*) > 1 в
окрестности х*. Последовательные приближения 270, ii, До....
не сходятся к корню х~ (удаляются от х‘), и это утверждение
верно, если iq выбирать сколь угодно близко к х*.

Из равенства. (4) легко усмотреть, какую роль играет знак
числа уЦх*). Если i^'(x’) > 0, то и q+i имеют одинаковые
знаки, так что последовательность монотонно стремится к
х* (в случае ее сходимости). Если < 0 , то Е*, и £> + i имеют
разные знаки, так что х^ и ач-+1 находятся по разные стороны от
корня г’, и последовательность {хт} является колеблющейся.
На рис. 13 график функции 93(1) таков, что производная <р'(х) > О
в точке х~ и ее окрестности. На рис. 15 реализован случай, когда
<р1(х“') < 0 в окрестности корня х", при этом последовательные
приближения хт с соседними номерами находятся по разные
стороны от I*.

Пусть теперь р'(х*) = 0. В этом случае равенство (3) запи-
шется в виде

Et+1 = (l/2)^"(ft)e|.

Из него видно, что если —малая величина, то имеет
второй порядок малости и, следовательно, последовательность
{rm} сходится быстрее, чем в случае ф 0- Такая быстро-
та сходимости последовательности {хт} называется квадрат и-
ческой.

Обратимся к методу итерации для систем уравнений. Систе-
ма уравнений с п неизвестными ii, 121 • • •, in имеет вид

= о, i = 1,2,..., 71,	(5)

где fi(xi ,х-2, ..., Х’п) — заданные функции, которые являются, во-
обще говоря, комплексными. Требуется найти такой вектор
х* = (ij, Хо,.  •, х* У, что /,(х*, .г,, • • •,	= 0, г - 1,2,. .., 77, при
этом составляющие х^ — вещественные или комплексные числа.
Вектор х* называется решением системы (о).

Для применения метода итерации систему (5) следует пре-
образовать в эквивалентную систему вида

Xi = <р,(х1,х2,... ,хп), i — 1, '2, . .., п.	(6)

Это можно осуществить бесконечным числом способов, напри-

мер так:

Х[ = Xi + Сг(Г] , 1'2, . . • , xn)fi(xi , 1’2, . . ., гп ), i — 1,2,..., n,
где C'Jz-i, x2,. .. ,xn) 0 при всех значениях аргументов или для
всех (х'1, х*2,.... гп) из некоторой окрестности искомого решения.

Предположим, что начальное приближение а,^°)=(2г^ .. ., х„°^)
к решению системы (6) известно. Метод итерации для реше-
ния системы (6) состоит в следующем. По вектору начального
приближения строим вектор л:11) = (а.’,1 \	..., соста-

вляющие которого определяются равенствами

„(1) _ „/Д°) „(о) (о)х

»!• j	у']' ।	О ) ’ ‘ • I	• “ ’  ' • ) ' ’ '

\	1	г*	I k "1	/ ( А’ ) ( А) )	( А' ) \

Аналогично по Ar-му приближению .г J =	}...ух1г )

определяется (А-+ 1)-е приближение

Воспользуемся векторными обозначениями, чтобы упростить
запись. Через х будем обозначать вектор (л*1. z21. . .. х,,)'. со-
ставляющие которого х,— комплексные числа, так что х £ С".
Функцию от п переменных Х\, x2l. . ., хп, например ^г(.гi,.. .,
обозначим <р,(х). Введем еще обозначение вектор-функций

/(т) = (Ji(x'),f2(x'):...,fn(x}y,	<р(х) =

В этих обозначениях системы (5), (6) и равенства (7), опре-
деляющие последовательные приближения записываются
соответственно в виде

/(*) = 0,	(8)

а: = ^(i),	(9)

a;(fc+1) =	k	=	0,1,2,...	(10)
Как и в случае, одного уравнения, если последовательность
векторов {1^'",}т=о имеет предел .г', а вектор-функция ^(аг) не-
прерывна в точке 1‘", то х*— решение системы (9). Для дока-
зательства этого утверждения достаточно перейти к пределу в
равенстве (10) при k — оо.

Целью дальнейшего является установление достаточных усло-
вий сходимости последовательности	метода итерации

как в случае одного уравнения, так и системы. Эти условия
будут получены из теоремы о сходимости метода итерации для
операторного уравнения в метрическом пространстве.

Пусть X—-полное метрическое пространство. Рассмотрим
уравнение

г = 9?(г),	(11)

где <р(х)— операция, сопоставляющая элементу х € А' элемент
у = ^(т) € X. Рассмотрим метод итерации для решения уравне-
ния (11). Пусть г*0) — начальное приближение к искомому реше-
нию уравнения (И). Последовательность элементов {х‘т)}0
определяется равенствами

а;Ц-+1) = pfx^), fc = 0,l,2,...	(12)

Приведем теорему, которая дает достаточные условия, обес-
печивающие сходимость последовательности	к реше-

нию уравнения (11).

Теорема 1. Пусть для уравнения (11), рассматриваемого в
полном метрическом пространстве X, и начального приближе-
ния г*0' к его решению выполнены следующие условия.

1.	Операция уНх) определена в шаре

S = {х Е Х\р(х,х^) ^6}, <5 > 0,

и удовлетворяет условию Липшица:

0 < q < 1,	(13)

для любых и, v Е S.

2.	Выполнено неравенство

у = р(ж(0\ 9?(/0)))	(1 - q)6.	(14)

Тогда последовательность метода итерации	опре-

деляемая равенствами (12), принадлежит $ и является сходя-
щейся, ее предел limxl,rni = х* Е S является решением уравнения
(11), единственным в шаре Sf и имеет место оценки погрешно-
сти тп-го приближения:

р(х(т\х*)	-l—q”1, m = 0,l,2,...	(15)

1 - q

Доказательство. Установим неравенства

p^k\x{k+l'>') fZ qqk, к —0,1,2,...	(16)

Воспользуемся методом математической индукции. На основа-
нии (14) получаем р(х^°\ х^) = г), так что неравенство (16) при
Z: — 0 обращается в равенство. Предположим, что неравенства
(16) выполняются при к = 0,1,..., TV — 1, и докажем, что (16)
имеет место при k = N 1.

Из предположения индукции следует, что x^r'1 € S при г —
0,1,..., N. Действительно, по неравенству треугольника

р(х^°\	р(т|'0\ т^1)) + р(х^\ т^2)) + ... + р(т^г-1\ т^).

При оценке каждого слагаемого в правой части этого неравен-
ства мы можем воспользоваться неравенствами (16), которые
по предположению индукции справедливы, так как 1 г 7V.
Получим

р(т(0), з:(г)) < т) + qq -I-Ь = т)~—— < С 6.

1 - q 1 - q

Здесь мы воспользовались неравенством (14). Таким образом,
р(т^°\ т^г^) < <5, г = 0,1,..., 7V,

а это и означает, что лежит внутри S.

Докажем неравенство (16) при к = N. Имеем

р(х^,х^) = р(ф^-^Мх^У) < qp(x<N~l\xW).

Здесь мы воспользовались определением последовательности
(12) и условием Липшица (13). Применение условия Липши-
ца законно, так как x^N-1\ x(N) по доказанному принадлежат S.
По предположению индукции неравенство (16) при к = N — 1
имеет место, так что полученное выше неравенство можно про-
должить:

p(x^N\ r^1)) q^qN~1 = iqqN

Неравенство (16) при к = N доказано. Из справедливости (16)
при всех к — 0,1,2,... вытекает, что все х^ лежат внутри S.
Пусть 7n, I натуральные числа и т < I. На основании (16)
получаем

р(х<-т\ Х^) < р(х<-т\	+ p(x<m+I), ^+2)) + ...

ilqm +T)qm+1 + .. . + rjq1-1 <

<^m(i + <? + ?2 + ...) =

1 - Ч
или

р(х^\х^^^(1т.	(17)

Так как 0 < q < 1, то отсюда следует, что последовательность
{2.'Н’)}£То фундаментальная. В силу полноты пространства Д'
она имеет предел х*. Последовательность {х^} принадлежит
S, а тогда, и ее предел х* в силу замкнутости S также принад-
лежит S. Переходя к пределу в равенстве (12) при k оо, убе-
ждаемся, что х" — решение уравнения (И). При этом пользуем-
ся непрерывностью операции 9?(.г) в 5, вытекающей из условия
(13).

Докажем единственность х* в шаре 5'. Предположим, что х —
некоторое решение уравнения (И): х = (р(х), принадлежащее S,
и докажем, что х = х*. В силу условия Липшица (13) имеем

p(.i,.r’) = р(^(х),у?(х’)) qp(x, х"),

что возможно лишь при х = х* ввиду условия 0 < q < 1.

Чтобы установить неравенство (15), дающее оценку погреш-
ности х^т\ достаточно в неравенстве(17) перейти к пределу при
I —>• оо. Теорема доказана.

Операция <^(х), удовлетворяющая условию Липшица (13), на-
зывается сжимающей, так как расстояние между образами эле-
ментов и v при преобразовании 9?(х) уменьшается. Решение х”
уравнения (11), очевидно, является неподвижной точкой опера-
ции <р(х) Поэтому приведенную теорему в функциональном ана-
лизе называют принципом сжимающих отображений или прин-
ципом неподвижной точки. Надо отметить, что в функциональ-
ном анализе теорема формулируется проще по сравнению с те-
оремой 1, а именно в ней на <р(х) налагается только одно усло-
вие Липшица (13), однако требуется, чтобы это условие выпол-
нялось во всем пространстве X. Теорема 1 более удобна для
приложений. Возьмем, например, случай одного вещественного
уравнения с числовой неизвестной. В качестве метрического
пространства Л' мы не можем взять отрезок, па. котором опре-
делена функция ^(.г). если уравнение имеет на этом отрезке не-
сколько корней. В таком пространстве Л' правая часть 9?(а.-)
уравнения не может быть сжимающей операцией. Таким путем
мы приходим к необходимости рассматривать условие Липши-
ца в некоторой окрестности начального приближения, которая
при выполнении условий теоремы 1 является и окрестностью
корня. В теореме. 1 по существу доказано, что шар S пред-
ставляет собой метрическое пространство, в котором операция
^(л-) является сжимающей.

Условие 1 теоремы 1 есть требование па уравнение в окрест-
ности начального приближения. Это требование существенное.
Условие Липшица является обобщением условия, налагаемого
на первую производную ^'(.г) в случае вещественного уравне-
ния. Если на. некотором отрезке функция y>(.r) удовлетворяет
условию Липшица с постоянной q и является дифференцируе-
мой. то |^'(т)|	? на этом отрезке. Как мы видели при нестро-

гом исследовании сходимости метода итерации для веществен-
ного уравнения, требование па производную |у/(,г.-)| q < 1 в
некоторой окрестности корня является существенным.

Условие 2 теоремы 1—требование па начальное приближе-
ние: расстояние р(т^°\ ^(а:10))) от левой части уравнения до пра-
вой части на начальном приближении должно быть достаточно
малым. Это означает, что - достаточно хорошее прибли-
жение к решению уравнения.

Применим теорему 1 к случаю одного числового уравнения
х = у(х). Пусть правая часть уравнения ^(л) есть функция ком-
плексного переменного и среди корней уравнения могут быть
комплексные. В качестве метрического пространства .V возь-
мем множество С комплексных чисел (плоскость комплексного
переменного), в котором расстояние между точками х и у опре-
деляется как модуль комплексного числа х — у: р(х, у) = |т — у|.
Это метрическое пространство полное. Шар S в рассматрива-
емом пространстве

S = {i £ С| |х- ж0|	<5}, S>0,	(18)

представляет собой замкнутый круг на плоскости комплексного
переменного с центром в 1ц и радиусом <5.

Предположим, что функция <р(х) дифференцируема как функ-
ция комплексного переменного в круге (18) и выполняется пера-
венство

<7 = ‘™х l^'WI < 1-	(19)

Тогда для <р(х) в круге (18) выполняется условие Липшица с
постоянной q, определяемой равенством (19). Действительно,
если и и и принадлежат кругу S, то

^(д)-^(к) = [ р’(х)с1.щ	(20)

J V

где интеграл берется по прямолинейному отрезку, соединяю-
щему точки г и и. Пользуясь тем, что модуль интеграла не
превышает произведения максимума модуля подынтегральной
функции на. длину пути интегрирования, получаем

|<Х«) - p(f)| max |/(.т)| • |ч/. - и| </|u - v|.

Г t VU

Таким образом, условие Липшица (13) из теоремы 1 можно за-
менить условием (19).

Если уравнение .1; = ^>(.т) вещественное и нас интересуют
только вещественные его корни, то в качестве метрического про-
странства естественно взять множество вещественных чисел R.
(вещественная прямая), в котором расстояние между точками х
и у определяется как в комплексном случае: р(т,у) = |т — у|. Это
пространство полное. Шар

S = {г 6 R||.t - .то| Л}, 6 > 0,	(21)

представляет собой замкнутый отрезок длиной 2<5, середина ко-
торого совпадает с .го.

Предположим, что функция ^(т) имеет непрерывную произ-
водную 9?'(.т) на. отрезке (21). удовлетворяющую неравенству
(19). Тогда для функции ^(.с) на. отрезке. (21) выполняется усло-
вие Липшица с постоянной </ из неравенства (19). В самом деле,
если и и ('--точки отрезка (21), то при сделанном предположе-
нии справедливо равенство (20), из которого и следует выпол-
нение условия Липшица, для функции 9?(-1')-

Теорема 2. Пусть для скалярного уравнения х = <^(т) и на-
чального приближения z'o Е С (т0 £ R) выполнены следующие
условия.

1.	Функция ip(x) в круге (18) дифференцируема как функция ком-
плексного переменного (на отрезке (21) имеет непрерывную про-
изводную), и выполняется неравенство
где S- 'круг (18) (S — отрезок (21)).

2.	|i-o - ^(i’o)|	(1 - <№

Тогда последовательность метода итерации {x'it}£L0, опреде-
ляемая равенствами (2), содержится в круге (18) (в отрезке
(21)). является сходящейся, ее предел х* является корнем урав-
нения (1), единственным в круге (18) (на отрезке (21)/ и имеет
место оценка погрешности

I,.	-.."I	I1’0 ~ Л- к _ n j 9

хх	q , k — 0,1,2,...

1 - <1

Рассмотрим систему нелинейных уравнений (6). Функции
^г(.К1. .1’2.   •• хп) и искомое решение считаем вещественными.
Вещественность функции означает, что она при вещественных
значениях аргументов принимает вещественные значения. Си-
стему будем записывать в векторном виде (9) х = $с>(1'), где
х = (х j, то. . . •, хп У — вектор-столбец и

^(аг) = (<pi(x),p-,(x), .. .,9?„(х))'	(22)

— вектор-функция.

В качестве метрического пространства Л' возьмем веществен-
ное линейное нормированное пространство , в котором рас-
стояние между векторами х и у определяется равенством

р(х, у) = ||z - у\|= шах |а\ - у, |.

Пространство полное. Шар в нем с центром в =
(л.-,0'. а-!>°\ . .., и радиусом Л > 0

5'= {т G R'4 ||т -	<=<5}	(23)

представляет собой куб с центром в а’^ и с длиной ребра 26.

IIредположим, что функции х?,..., хп), i = 1,2,..., п, —
правые части системы (6) — в кубе (23) имеют непрерывные
частные производные первого порядка, другими словами, век-
тор-функция (22) в кубе (23) непрерывно дифференцируема. В
случае одного вещественного уравнения мы установили, что
если <р(х) — непрерывно дифференцируемая функция, то в каче-
стве постоянной q для условия Липшица можно взять максимум
модуля производной на отрезке (21). Покажем, что и в случае
системы (9) в пространстве постоянную q можно определить
аналогичным путем.
Пусть и и v — фиксированные точки из куба S, определяемого
соотношением (23). Положим

at(Z) = <Pk(v + *(« - i’))> 0 С t < 1, , к = 1, 2,... ,п.

Так как куб S — выпуклое множество, то точка v + Z(u — и) =
tu + (1 — Qv, 0 С t С 1, — аргумент функции <рк—принадлежит
S. Отсюда следует, что функция ak(t) на отрезке [0,1] имеет
непрерывную производную

(24)

> = 1	3

Имеем	j

<Ыи) ~ <Pk(v) = ajt(l) - at(0) = I a'k(t)dt.

Jo

Подставляя под знак интеграла вместо a'k(t) правую часть ра-
венства (24), получаем

, ч , ч f1 A д<рк(у +t(u - d))
^(и)-^(^)=/ X-------------fa.------(Uj-Vjjdt,

Jo	Охз	(25)

к = 1,2,..., п.

Нетрудно видеть, что п скалярных равенств (25) можно запи-
сать в виде одного векторного равенства

<р(и) — <р(у) = / <р(у + t(u — u))(tz — v)dt.	(26)

Jo

Здесь использовано обозначение ^'{х) матрицы Якоби вектор-
функции (22)
д<рк(х) д<рк(х) д<рк(х)
дх\ ’ дх? ’	’ дхп

<Р (х) =

Пусть теперь ^(t) = (i/>i (<), ^г(*)>  • •, V’nW)'— интегрируемая
по отрезку [а, Ь] вектор-функция. Докажем неравенство

(28)

Имеем

f |V’i(£)|«ft с f max |V>i(/)|<ft = f |Н(С||со^-
a	J а	г	a
Мы доказали, что абсолютная величина i-й составляющей век-
тора под знаком нормы в левой части неравенства (28) не пре-
восходит правой части этого неравенства при i = 1,2,..., п. От-
сюда и следует (28).

Теперь из равенства (26) с помощью неравенства (28) полу-
чаем

||<^(и) - 9?(v)||oo

Здесь мы воспользовались также основным неравенством, свя-
зывающим операторную норму матрицы с породившей ее век-
торной нормой. Таким образом, получили неравенство

Mu) - ^(v)||oo С max ||<^/(i)||0O||u - г-Поо,

где и, v — любые точки из куба S. В качестве постоянной q из
условия Липшица можно взять

q = max ||93/(х-)||со.

Здесь ||/(а:)||«,— операторная норма матрицы Якоби, опреде-
ляемой равенством (27):

Umi-

п

dxj

(29)

Теорема 3. Пусть для вещественной системы уравнений (9)
х = ^>(х) и начального приближения 6 Rn выполнены следу-
ющие условия.

1.	Вектор-функция (22) <р(х) = (y>i(i), ^>2(i),..., ^„(i:))' имеет
непрерывные частные производные первого порядка и

q - max 11^(1)1100 < 1,
x$S

(30)
где S—куб (23) и ||¥?/(^)||оо определяется равенством (29).

2.	||а:(0) - ilp(a:^)||oo (1 - д)6.

Тогда в кубе S система (9) имеет единственное решение
х* — С1* 1 х2’ • • • > Jn)> к которому сходятся последовательные при-
ближения метода итерации	и справедлива оценка по-

грешности

Н^-х’Ноо - ^(0))Нсо	= 0,1,2,...

1 - q

Отметим частный случай, когда система (6) линейная:

х = Вх + с,	(31)

В — квадратная матрица порядка п, с — заданный вектор. Здесь
<р'(х) — В, так что условие (30) записывается в виде

9=||В||М<1.	(32)

Это условие не зависит от х, и если оно выполняется, то во
всем рассматриваемом нами метрическом пространстве. Сле-
довательно, 6 > 0 в определении куба (23) можно считать сколь
угодно большим, и условие 2 теоремы 3 выполняется автома-
тически. Получили известный результат: метод итерации для
линейной алгебраической системы (31) сходится при любом на-
чальном приближении, если выполнено условие (32) (см. след-
ствие из теоремы 3.8.1).

Из теоремы 3 следует, что при приведении системы нелиней-
ных уравнений вида (8) к виду (9), пригодному для примене-
ния метода итерации, матрица Якоби вектор-функции (22) <р(х)
должна быть малой, а именно, должно выполняться условие
(30). Будем считать, что вектор-функция /(я) = (fi(x'),..., fn(x'))1
имеет непрерывные частные производные первого порядка в не-
которой окрестности начального приближения;^0) и ее матрица
Якоби /'(х) является неособенной на начальном приближении.

Приведем систему (8) к виду

J: = ^(x) = x-[/'(xW)]-I/W-	(33)

Матрица Якоби вектор-функции в правой части системы (33)

^(z) = e-[/'(^(0))]-7'W

обращается в нулевую матрицу при х = х^°). Это обеспечивает
выполнение условия (30) при некотором б > 0.
§ 3. Метод Ньютона

Метод Ньютона решения нелинейных уравнений является
частным случаем метода итерации и почти столь же универ-
сален, как метод итерации. Его основное достоинство состо-
ит в том, что при сравнительно несложной схеме вычисления
он обладает очень быстрой сходимостью. Мы рассмотрим ме-
тод Ньютона для случая систем нелинейных уравнений, хотя
он применим к широкому классу нелинейных функциональных
уравнений.

Начнем с описания метода Ньютона для одного скалярного
уравнения. Пусть дано уравнение

/(х)=0	(1)

и начальное приближение .г о к его корню. Будем предполагать,
что в некоторой окрестности .г о на плоскости комплексного пе-
ременного функция f(x) дифференцируема и f'(x)	0. Обозна-

чим эту окрестность через S. Если функция f(x) вещественная
и речь идет о нахождении вещественного корня, то естественно
и го считать вещественным, и достаточно требовать существо-
вание f'(x) ф 0 в некоторой окрестности S начального прибли-
жения на вещественной оси. Предполагаем также, что в S
уравнение (1) имеет корень х*\ f(x*) = 0. Так как х” Е S, то
/'(**)# о.

Уравнение (1) приведем к виду, пригодному для применения
метода итерации:

X =	= х + Q(x)f(x),	(2)

где <2(г) — подлежащая определению функция, отличная от ну-
ля в S. При нестрогом исследовании сходимости метода ите-
рации для уравнения х = <р(х) мы видели, что если <р1(х*') = 0,
то это приводит к убыстрению сходимости последовательности
метода итерации.

Используем этот результат применительно к уравнению (2),
корнем которого является х*. Имеем

</(*) = 1 + Q'(x)f(x) + Q(x')fl(x).

Так как /(я*) = 0, то
Мы заинтересованы в том, чтобы указанное значение производ-
ной <р'(х*) было равно нулю. Этому условию трудно удовлетво-
рить, так как неизвестно значение х". Поэтому потребуем, что-
бы 1 + Q(x)/'(x) = 0 при всех х g S, и тогда оно будет выполнено,
в частности, и при х = х~. Это требование дает Q(x) = —1//'(х),
и уравнение (2) записывается в виде

х = х - f(x')/f'(x).	(3)

Метод Ньютона для уравнения (1) и начального приближе-
ния xq представляет собой метод итерации для уравнения (3) и
начального приближения Xq:

xk+l = хк - f(xk)/f'(xk), к = 0,1,2,...	(4)

Способ получения расчетных формул (4) метода Ньютона
гарантирует квадратическую быстроту сходимости последова-
тельности {zjtJ-fcLo метода Ньютона к корню х* уравнения (1).
При этом мы считаем xq достаточно близким к корню х*, а сам
корень простым: f(x*) ф 0. Первое предположение делалось
при нестрогом исследовании метода итерации, а предположе-
ние о простоте корня х* вытекает из требования /'(х)	0 при

х Е S.

Имеется более простой путь получения расчетных формул
(4). Заменим уравнение (1) в окрестности S приближенно урав-
нением

/(яо) + f'(x0)(x - х0) = 0,	(5)

левая часть которого есть линейная часть разложения функции
/(х) в ряд Тейлора в окрестности xq, или, что то же самое, ин-
терполяционный многочлен Эрмита функции Дх), построенный
по двукратному узлу xq. Так как Д(хо) ф 0, то левая часть
уравнения (5) является многочленом первой степени, и корень
Xj этого уравнения легко найти:

X] = х0 - /(х0)///(х0).

Он и принимается за первое приближение в методе Ньютона.
Аналогично определяются следующие приближения:

□7*4-1 = Хк - f(xk)/f’(xk), к = 1,2,...

Мы получили расчетные формулы, которые совпадают с (4).

В некоторых случаях целесообразно применять модифициро-
ванный метода Ньютона, в котором последовательные прибли-
жения {u/t} определяются формулами

Ufc+i = ик - /(ut)//'(x0), к = 0,1,2,.. ,,и0 = х0.	(6)
Вычисления по этим формулам проще, чем по формулам (4),
так как не требуется вычислять значение производной f'(x) на
каждом шаге. Вместе с тем модифицированный метод сходится
значительно медленнее, чем основной метод Ньютона.

Ладим геометрическую интерпретацию метода Ньютона для
того случая, когда функция /(ж), то и искомый корень веще-
ственны. Геометрически на одном шаге метода Ньютона график
кривой у = /(т) заменяется графиком прямой

У = f(xk) + f(xk)(x - Хк),
которая является касательной к этой кривой в точке х = хк.
Поэтому метод Ньютона называют также методом касатель-
ных. Приближение zt+i есть точка пересечения касательной к
кривой у = /(.т) в точке хк с осью х (рис. 16).

точка пересечения прямой

У - f(uk) + f'(xQ)(x - ик)

с осью х. Эта прямая проходит через точку (uj..,/(ut)) и имеет
угловой коэффициент /'(то) и, следовательно, совпадает с ка-
сательной к кривой у = /(т) лишь на первом шаге — при k = О
(рис. 17).

Рассмотрим метод Ньютона для систем уравнений. Пусть
имеется система п уравнений с п неизвестными

fi(xi,x2,...,xn) = 0, 1=1.2,...,п,	(7)

и начальное приближение = (х^°\	. .., т^) к ее реше-

нию. Здесь и в последующем будем предполагать функции
(9)

fi(x\, r2, ..., i'n) вещественными и имеющими непрерывные част-
ные производные первого порядка в некоторой окрестности на-
чального приближения которое мы также считаем веще-
ственным.

Заменим г-е уравнение системы (7) линейным уравнением

Л(^(о)) +	- 40)) = °' г = 1,2,...,п.	(8)

j = i	i

Его левая часть представляет собой совокупность линейных
членов разложения функции многих переменных /i(^i, т2, • • •, хп)
в ряд Тейлора в окрестности начального приближения
Вместо нелинейной системы (7) получили линейную алгебра-
ическую систему (8). Матрица системы (8) является матрицей
Якоби левых частей системы (7):

'dfi(x) dfj(x')	dfj(x)'

дх\ ' дх2 дхп

при х = Если эта матрица неособенная, то система (8) име-
ет единственное решение которое и принимается за первое
приближение в методе Ньютона.

Перейдем к векторным обозначениям. Обозначим через f(x)
вектор-функцию, составленную из левых частей системы (7):

ZU) = (/1(^)>	...,

Тогда систему (7) можно записать в векторной форме

/(т) = 0.	(10)

По предположению f(x) — вещественная вектор-функция, имею-
щая непрерывные частные производные первого порядка в не-
которой окрестности Матрица Якоби /'(г) совпадает с ма-
трицей (9). Линейную алгебраическую систему (8) можно запи-
сать в векторном виде:

/(х^) + Г(х^)(х-х^) = 6.	(11)

По форме записи эта система не. отличается от уравнения (5), из
которого определяется первое приближение Tj метода Ньютона
в случае одного уравнения.

Считаем матрицу f'(x°) системы (И) неособенной, поэтому
ее решение можно указать в виде

а;!1) =	— [//(т(0))]-1/(т(0)).
Аналогичным путем для определения приближения с по-
мощью х^ получим линейную алгебраическую систему

f(x^) +f'(xw)^k+1'>-х^) = 9, k = 0,1,2,...,	(12)

из которой находим

a;(*+i) = a;(l)_[/'(a;(*))]-i/(i.(t)), к = 0,1,2,...,	(13)

при этом считаем матрицы /'(а:^) неособенными.

Формулы (13) показывают, что метод Ньютона для системы
уравнений (10) можно рассматривать как метод итерации, кото-
рый соответствует приведению этой системы к виду

X = х - [/'(х)]-1^),

пригодному для применения метода итерации.

Заметим, что для фактического вычисления нецелесо-
образно пользоваться формулой (13), применение которой тре-
бует вычисления обратной матрицы. Выгоднее находить
решая линейную алгебраическую систему (12).

Модифицированный метод Ньютона для решения системы
(10) состоит в построении последовательности векторов
Вектор	+ Ч находится как решение ли-

нейной алгебраической системы

/(u(fc)) +/'(/°))(ull+1) - u(fcl) = k = 0,1,2,...	(14)

Матрица этой системы при любом к = 0, 1,2,... одна и та же:
в то время как матрица /'(х^1’)) системы (12) зависит от
х(к\ Таким образом, модифицированный метод Ньютона для
систем уравнений менее трудоемок по сравнению с обычным
методом Ньютона. Как и в случае одного уравнения, быстрота
сходимости последовательности приближений модифицирован-
ного метода Ньютона оказывается более медленной.

§ 4. Теоремы о сходимости метода Ньютона

Докажем теоремы о сходимости метода Ньютона для реше-
ния системы уравнений

/(*) = 0,

(1)
записанной в векторной форме. Здесь f(x) = (/1 (х),..., /n(x))'
вещественная вектор-функция, дважды непрерывно дифференци-
руемая в некоторой окрестности начального приближения
к решению системы (1). При доказательстве понадобятся две
леммы.

Лемма 1. Пусть вектор-функция /(я) = (/1(1),..., fn(x)Y два-
жды непрерывно дифференцируема в кубе

S = {дг е R"||k -	5], 6 > О,

(2)

и выполнено неравенство

п

d2fk(x)
dxidxj

/С при всех х Е S.

Тогда для любых и, v Е S справедливы неравенства

||/(u) - /(г) -	- ,)||то < (1/2)/С||и -

im-№iioo^/ci|U-v||ro

(3)

(4)

(5)

Здесь f'(x) —матрица Якоби вектор-функции /(х).

Доказательство. Начнем с доказательства неравенства
(4). Введем функцию одной вещественной переменной/:

Qk(t) = fk (v + t(u — и)),	k = 1,2,..., n.

Так как куб S — выпуклое множество, то аргумент и + t(u — v)
принадлежит S и, следовательно, функция дважды непре-
рывно дифференцируема. Нетрудно получить выражения для
первой и второй производной от

Пользуясь условием (3), можно получить оценку абсолютной
величины а'Д/):

i,J = l

d2fk(v+t(u - и))
dxidxj

n

IIй _ ‘b’lllo max У'
11	1100 l<t<n

»J=1

d2A(^ + *(u~ u))
дх^дх^

£\\u- yllL
Таким образом,

14(01	!•= l,2,...,n.	(6)

Из определения ajt(i) и из выражения для производной по-
лучаем

«40 - «40) - 4(0) = J44 - Л-4) - £	< (7)

z' ОХ,

! = 1

В правой части этого равенства стоит k-л составляющая век-
тора, который фигурирует под знаком нормы в левой части не-
равенства (4). Для доказательства неравенства (4) достаточно
установить, что правая часть равенства (7) по абсолютной ве-
личине не превосходит (l/2)/C||u — 411о •

По формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме имеем

«ПП - МО) - 4(0) =	4(i)(i -t)dt.

Jo

Отсюда, пользуясь неравенством (6), получаем

IMD - «40) - 4(0)1 < [' 14(01(1 - t)dt

Jo

Неравенство (4) доказано.

Перейдем к доказательству неравенства (5). Рассмотрим
функцию вещественной переменной t

п _ dfk(v + t(u-v))	„	. •	19

afci(t) = ------------, (J sC t 1, к} г = 1f 2,..., п.

иХ{

Так как и и v G S, то v + t(u — v) € S и, значит, функция ajbi(Z)
имеет непрерывную производную первого порядка:

/ /м d2fk(v + t(u- а))

<8)

j=l	J
Воспользуемся выражением (3.2.5) для операторной матрич-
ной нормы со значком оо:

Iirw-//Wlloo = max£

“ UXi

dfkM
dxi

"	" yl

= max^2 lQii(l) “ »fci(0)| = max / a'ki(t)dt
k i=i	k i=i Jo

Здесь использована формула (8) для производной и условие (3).
Неравенство (5) и тем самым лемма доказаны.

Рассмотрим квадратный трехчлен

</(/) = (l/2)/ii2	4- 1,

где параметр h удовлетворяет неравенствам 0 < h 1/2. Дис-
криминант g(t) равен 1 — 2/i	0, и, следовательно, g(t) имеет два

вещественных корня

, _ 1 - л/1 - 2А _ 1 + Vх! - 2/г

h .	’	h ’

если h < 1/2. При h = 1/2 квадратный трехчлен </(/) = (Z/2 — I)2
имеет двукратный корень /’ = /** = 2.

Рис. 18

К квадратному уравнению g(t) — 0 применим метод Ньютона,
взяв в качестве начального приближения to — 0. Последова-
тельные приближения метода Ньютона обозначим {//.• }^_п. Не-
трудно видеть, что

<1 = 1 < t2 < t3 < ••• < tk < ••• < i*.
На рис. 18 изображен случай, когда h < 1/2. Последователь-
ность {tk}^_0 монотонно возрастает и ограничена числом Г, по-
этому она имеет предел. Ясно, что этот предел совпадает с /*.
Аналогичные утверждения справедливы для последовательно-
сти {rt}jL0 приближений модифицированного метода Ньютона
для уравнения </(/) = 0, которая начинается с то = 0. Сформу-
лируем полученные результаты в виде леммы.

Лемма 2. Последовательности	и {n}£L0 приближе-

нии основного и модифицированного метода Ньютона для урав-
нения g(t) — 0 (0 < h 1 /2) и начального приближения to = tq = 0
сходятся к корню t* = (1 — vl—2h)/h этого уравнения, монотон-
но возрастая: tk f t*, J t*.

В дальнейшем будем пользоваться обозначениями, которые
введены в леммах 1 и 2.

Теорема 1. Пусть для системы (1) f(x) = 0. где f(x) —
дважды непрерывно дифференцируемая в S вектор-функция, и
для начального приближения к ее решению выполнены сле-
дующие условия.

1. Матрица Якоби неособенная и ||№<0)))-,к « в.

3.	Выполнено неравенство (3)

п

max >

d2fk(x)
dxi dxj

Sj К. при всех х € S,

где S — куб (2) в Rn, определяемый неравенством ||г — ^°)||оо б.

4.	Постоянные В, г/, К, подчинены условию h = BlCrj sj 1/2.
Есл и

6	t*r),	(9)

где t* —наименьший корень квадратного трехчлена g(t) из лем-
мы 2, то система f(x) = в имеет решение в кубе S, к нему
сходятся последовательные приближения	метода Нью-

тона. определяемые системой (3.12)

/(^*0) +	- xw) = е,

при этом имеет место оценка погрешности

||ZW - х'Ноо < Г)(П - tk),

(10)

где tk — приближение по методу Ньютона для уравнения g(t) = 0
и начального приближения to = 0.
Доказательство. Установим неравенство

112.(4+1) _	_tk), к = 0,1,2,...	(И)

Из условия 2 теоремы и равенств to = 0, Zi = 1 получаем
||i(1) - Г(0)||оо < Т) = T}(tX - t0),
так что (11) при к = 0 доказано.

Допустим, что (11) выполнено при к = 0,1,..., N - 1, N 1, и
докажем это неравенство при k = N. Из предположения индук-
ции следует, что х^ G S при г — 1,2,..., 7V. Действительно,

||*(Г) - *'(0)||оо С - ^-^Ноо + • • • +	- Z(0)||« С

5; Л [((г — (г-1) + • • • + (<1 — (о)] = 7]ir < T]t* 6.

Мы воспользовались неравенством (11) при к = 1,2,..., N — 1,
неравенством tr < /* и условием (9). Попутно получили нера-
венство

||i(r) - ^(0)||оо S? 7]tr, г = 1,2,..., TV.	(12)

При доказательстве неравенства (11) при к — N воспользу-
емся равенством

aXN+i) _ XW = _	(rW)]"’ f(xW)

(см. (3.13)) и вытекающим из него неравенством

11^+0 _	||[/'(i.W)]-i||0C||/(i^))||0O.	(13)

Оценим нормы векторную и матричную в правой части этого
неравенства.

Начнем с оценки ||/(а;^^)||0О. Из определения приближения
х^ по методу Ньютона (см. (3.12) при k = N — 1) имеем
f(x^) = f(x^) - f(x^~^) -	- x^~^).

Так как по доказанному x^N\ G S, то к правой части этого
равенства можно применить неравенство (4):

<14>

Кроме того, здесь использовано неравенство (11) при к = N — 1.
Для квадратного трехчлена g(t) справедливо равенство

g(tN) = g(tN) - g(tN-i) - g'(tN-i)(,tN - <n-i) = ^h(tN ~
с помощью которого неравенство (14) можно записать в виде

Так как по условию 4 теоремы h = BICr), то получаем
||/(х^))||го ^1-	(15)

При оценке Ц[/'(г^1)]-1 ]]оо воспользуемся равенством

Г(Х^) = Г(х^)(Е + С),	(16)

где

С = [/'(^0))]"1[/'(^))-Г(х(0))].	(17)

Докажем, что матрица Е 4- С имеет обратную. Для этого по
следствию 3.3.2 достаточно доказать, что ЦСЦоо < 1.

По мультипликативности операторной нормы матрицы из ра-
венства (17) получаем

ЦСЦоо < ||[/VO))]-11Ы1Лх’(Л,)) - 7'(*(0))11~ •

Первый множитель в правой части этого неравенства по усло-
вию 1 теоремы не превосходит В, а второй можно оценить с
помощью неравенства (5), что возможно, так как G S,

ЦСЦоо < 5/СЦ1-(ЛГ)-г(0)Цоэ.

Воспользуемся еще неравенством (12) при г = N:

ЦСЦоо В£т)1м = ht.дг < hE = 1 — у/1 — 2/i	1.

Окончательно ЦСЦоо 5; Лу < 1, и по следствию 3.3.2 для Е + С
существует обратная матрица и справедливо неравенство

IKS + Cr'Iloo^T-V •	(18)

1 —

Из равенства (16) получаем

[/'(^))]“1-(£ + с)-1[/'(Л))]“11

откуда по мультипликативности операторной матричной нормы
и с помощью неравенства (18) и условия 1 теоремы находим

l|[/'(»(N))r'll« « Лг =	<19)

1 — htr.i д (tjy)
Заменим в неравенстве (13) нормы в правой части их верхними
границами с помощью (15) и (19);

<7 (tN)

Неравенство (11) установлено при k = N. и, следовательно, оно
справедливо при k = 0, 1,2,...

Отсюда вытекает, что неравенство (12) выполняется при всех
г = 1,2,..., так что все последовательные приближения х^ при-
надлежат S.

Из (11) с помощью неравенства треугольника получаем
||х.(*+0 _	^tk+l _ /,),	(20)

где / — любое натуральное число. Из этого неравенства, сле-
дует, что последовательность	фундаментальная, и так

как пространство /“ — полное, то существует 1йпа/*0 = %*.

Переходя к пределу в неравенстве (15) при N —» оо, убежда-
емся, что f(x*) = 6, или, что то же самое, х* — решение системы
(1). Оценка погрешности (10) получается переходом к пределу
при I —» оо в неравенстве (20). Теорема доказана.

Приведем теорему о единственности решения системы (1).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Если
h < 1/2, то решение х* системы (1) единственно в кубе S, опре-
деляемом (2), при дополнительном условии

Если h = 1/2. то решение х* единственно в S при условии

6 — t’rj = ГЭ/ = 2?/.	(22)

Доказательство. Пусть Л < 1/2. У равнение g(t) = 0 име-
ет два корня t* < t**. По условию (21) теоремы б < так что
существует такое число q, что

6=qt'*7J, 0 < g < 1-	(23)

Предположим, что в кубе S имеется некоторое решение х систе-
мы (1): ||i — т^Цоо 5; б. Это неравенство по (23) можно записать
в виде

||т(0) - £||оо <

(24)
Для доказательства единственности убедимся, что х совпа-
дает с г". С этой целью докажем неравенство

||^(fc)-i||oo	А-= 0,1,2,...	(25)

Применим метод математической индукции. При к = 0 неравен-
ство (25) имеет место, так как совпадает с неравенством (24).
Предположим, что (25) выполнено при к — 0,1,...,?/ — 1, и до-
кажем его справедливость при к = N, N 1.

Справедливо тождество

.7,-(ЛГ) - -X =

=	’))]-1 [/(*) - Я^-^) - f'^N^)(x - Л"-1))].

Отсюда по основному неравенству (3.2.3), связывающему опе-
раторную норму матрицы с породившей ее векторной нормой,
получаем

11^ - i’lloo < ||[/'(^(JV-1))]-1HooX

х ||/(£•) - /(^-')) - Г^'-^х - гО'-ДПоо. (26)

Для первого множителя в правой части этого неравенства
при доказательстве теоремы 1 получена верхняя граница (19):

||[/,(^-1))]-1||оо	-У	(27)

д (in-i )

Второй множитель можно оценить с помощью неравенства (4):

||/(т) - /(т^-1)) - Г(^"1))(£ -	1>)||то <

^||f- r(7V-1)||;L.

Это неравенство можно продолжить, пользуясь неравенством
(25) при к = N — 1:

||/(i) - /(t^-D) - /'(x-<JV-1))(£ - r^-^Hoo <

(28)

Из неравенства (26) с помощью (27) и (28) получаем

||xW-i||oo Ц|(С-	(29)
Выполним преобразование праной части этого неравенства (без

множителя q- у):

-1

—-—--(t	-tN_i)- =

<7 (i/V-i) 2

= —гг,---г[.'7(<**) _	- tN~i)] =

Теперь неравенство (29) запишется в виде
lk,(jV) - «Ноо 92JV(e* - tN)r),
что совпадает с (25) при к = N. Неравенство (25) доказано.

Так как q1 —» 0 при к —► 0, то из (25) следует, что х^ — х при
к —» оо, и в силу единственности предела последовательности
х = х*.

Пусть теперь Л. = 1/2. Уравнение g(t) = 0 имеет двукратный
корень Г = Г* = 2. По условию (22) теоремы 6 = так что в
(23) следует считать q = 1. Неравенство (25) запишется в виде
||x'W - ill» (Г’-Ш ^ = 0,1,2,...

Так как tk —> t* = /**, то из этого неравенства снова получаем,
что _> х = х* при к —оо. Теорема доказана.

Нетрудно проверить, что уравнение </(/) = 0 и начальное при-
ближение to = 0 к его корню удовлетворяют условиям теоремы 1
со следующими значениями параметров: В = 1, К, = h, т; = 1,
при этом 0 < h у 1/2, и число 6 > 0, определяющее S: |t| А,
должно удовлетворять неравенству 5 t* = (1 — у/1 — ‘2h)/h.
Требование (21) запишется в виде b < Гж, так что в слу-
чае Л < 1/2 параметр б удовлетворяет двойному неравенству
Г д' < Требование 6 < Г’ является необходимым, так как
при <5 уравнение g(t) — 0 на отрезке |i|	<5 имеет два корня.

В этом смысле теорема 2 является точной.

Докажем теорему о сходимости модифицированного метода
Ньютона для системы (1).

Теорема 3. Пусть для системы (1) /(г) = 9 и начального
приближения а/0) выполнены условия теоремы 1. Тогда после-
довательные приближения	определяемые

системой (3.14)

+ /'(х.(0))() - 7М>) = 0, к = 0,1,2,...,
сходятся к решению я* системы (1) и имеет место оценка по-
грешности

||и^-Г||то < //(Г -п),	(30)

где t* —наименьший корень уравнения g(t) = 0 и Tk —приближе-
ние модифицированного метода Ньютона для уравнения g(t) = 0
и начального приближения то = 0.

Доказательство. Установим неравенство

||.uU-+1)_ t2(^||TO	+ i -п), k = 0,1,2,...	(31)

При I; = 0 оно было получено при доказательстве теоремы 1,
так как гА1) = и Т] — ti.

Предположим, что неравенство (31) выполнено при k = 0,1,. ..
N — 1, и докажем, что оно верно при k = N, N 1. Из предполо-
жения индукции, как и при доказательстве теоремы 1, получаем
неравенство

1)тг, г = 1,2,..., N,	(32)

из которого следует, что £ S при г = 1,2,...,/V, так как
Т)ТГ < r)t” б.

В силу системы (3.14), определяющей последовательные при-
ближения модифицированного метода Ньютона, имеем

U(N + D _ „(*) =

= - [Г(^(0)Г‘[/(«(N)) - /(«(N-1)) - /'(a-,(0))(“('V) - u(N-1))] •

Чтобы воспользоваться неравенствами из леммы 1, преобразу-
ем вектор в квадратных скобках: прибавим и вычтем вектор
Получим

U(N+1) _	= -[/V0))]“ WN)) - /(и^-П)-

-/'(^-^(uW-v^-1))]-

- [/'(z(0))]“1 [/'(u(N~1}) - /'(i-(0))](«W -

Так как \	£ S, то с помощью неравенств (4) и (5)

находим

||^ + 1) - U^Hoo	- U(JV-1)||^ +

+ B/СЦд^-1) - ^0)||oo||uW - tz(7V-^Поо- (33)

При установлении этого неравенства использовано также усло-
вие 1 теоремы 1. Нормы — и^-1^||оо, ||д^“в
правой части неравенства (33) можно оценить с помощью нера-
венства. (31) при к = N - 1 и неравенства. (32) при г = ,V - 1:



^Л(тлг-ту_1) -(ту - Ту.] ) + T\V-1 Г] =

= TjtTN - lN-^Г).

Последовательные приближения я- определяются равенства-
ми

h ,,
П-+1 = 1 + -т£, k = 0, 1,2,..

поэтом}' т.у+1 —	= (А/2)(тд, — Тдг_1) и последнее неравенство

можно записать в виде

(ту+1 - тмУг),

что совпадает с неравенством (31) при k = N. Неравенство (31)
доказано.

Из (31) получаем

||wH+0_ IZU-)||TC (Тк+1 _ Тк>^ k,1 = 0,1,2,...	(34)

Отсюда следует, как при доказательстве теоремы 1, что суще-
ствует Hindoo ul1'! = j:“. Вектор т* является решением системы
/(.г) = 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти к пре-
делу в равенстве (3.14) при k — оо.Оценка погрешности (30)
получается предельным переходом в равенстве (34) при I оо.
Теорема доказана.

Оценка погрешности (30) является точной в том смысле, что
для уравнения (/(/) = 0 она. достигается.

Для того чтобы воспользоваться оценкой погрешности (10),
необходимо знать величину t* — tk- В табл. 21 даны значения
Г — tk для А = 0,05(0.05)0,5 и к = 0(1)5.

Из таблицы видно, что значения Г — t/. быстро убывают с
возрастанием к. Выясним характер быстроты стремленияI* —tk
к нулю при к —>• оо. Начнем с доказательства неравенства

tk =^2-21-fc, к = 0,1,2,...	(35)

Оно обращается в равенство при к = 0,1. Пусть оно верно при
к = 0, 1,..., N, N 1 и докажем его при к = N 4- 1. Имеем

,	_ .	£(Ы _ 1 - (h/2)f^	1 - А2Гу

N+1 N g'(tN) l-htN 1 - htN

= l+htN 1 + |(2-21-n) = 2-2-n.
Таблица 21

h	k		
	0	1	2
0,05	1,026	0,263- 10-1	0,183- IO-4
0,10	1,056	0, 557 • 10“'	0, 173- IO-3
0, 15	1,089	0,889- 10-1	0,698- 10-3
0,20	1,127	0, 127	0, 202 • 10-2
0, 25	1, 172	0, 172	0,491 • 10“2
0,30	1,225	0, 225	0, 109 • IO-1
0,35	1,292	0, 292	0,230- IO-1
0,40	1,382	0,382	0,486- 10-1
0,45	1,519	0, 519	0, 110
0, 50	2	1	0, 5

h.	k		
	3	4	5
0,05	0,877- 10“1	0, 203 • 10-23	
0,10	1,666- IO-6	0, 155 • 10-16	
0,15	0, 436 • 10“7	0, 171 • 10-15	
0,20	0, 525 • 10-6	0,356- IO-13	
0,25	0,425 • IO-5	0,319- IO-11	0,180- IO-23
0,30	0, 278 - 10-4	0,184 • 10-9	0.802 • IO-20
0,35	0,166- IO-3	0,885  10-6	0,250- IO-16
0,40	0,101 • 10-2	0,459- IO-6	0,942- IO-13
0,45	0,749- IO-2	0,395  IO-4	0, 111 • IO-8
0,50	0,25	0,125	0,625-Ю-1

Здесь мы воспользовались неравенством (35) при k = N, а также
тем, что 0 < h 1/2 и, следовательно, h~ /г/2.

Воспользуемся равенством

---Г;---, 771 = 1,2,...,	(36)

1 — Мтп-1
которое очевидным образом следует из тождества

с - im = -7Г.-1- Jg(C) - р(«т-1) - s'(im-l)(<’ - im-1)].

9 \^m— 1)

Первый множитель в правой части равенства (36) в силу усло-
вия 0 < h 1/2 и неравенства (35) можно оценить сверху:

1	<	1	=2т-1

" 1 — (1/2)(2 — 22-m)
т = 1,2,...

1 - У1 - 2h

1 + s/l- 2h

1 при h = 1/2.

(37)

(38)

поэтому из (36) получаем неравенство
t‘-tm <: 2m~2h(t* -^-О2,
Введем обозначение

2
q - Г - <1 = ---.	- 1 =

1 + х/1 - 2/г

Ясно, что 0 < q < 1 при 0</г<1/2ид =

Из (37) при т = 2 получаем t* — i2 С hq2. С помощью этого
неравенства из (37) при т = 3 находим

t* -t3^2hh2q4 = ^2hf~}q2\

Продолжая таким же образом, получаем

Г ^21-т(2Л.)2’п_,-](/2""1.	(39)

Здесь 2/i < 1 и q < 1 при 0 < h < 1/2, так что разность t* — tm
быстро стремится к нулю: погрешность при переходе от при-
ближения tm к tm+i, грубо говоря, возводится в квадрат, имеет
место квадратическая сходимость.

Оценка (39) при h = 1/2 запишется в виде Г — tm 21-т. Не-
трудно видеть, что здесь на самом деле имеет место равенство
при т = 0,1,2,...

Так как to = 0 и Г <: 2, то из (37) при т = 1 имеем
q = t* — /j 2h.

С помощью этого неравенства из (39) находим более простое
неравенство

t* < 2’-"1(2Л)2'"-1.	(40)

Докажем, что I* — тт стремится к нулю при т —► оо со ско-
ростью геометрической прогрессии, если h < 1/2. Нетрудно
видеть, что тт = 1 + (/i/2)T^_t, t* = 1 + (h/2)l* . Почленным
вычитанием первого равенства из второго получаем

е-Тт = (/г/2)(Г-тД_1).

Так как тт_\ < t*, то отсюда следует неравенство

t* - тт С /1Г(/* - rm_i).	(41)

При h < 1/2 величина 9 = ht* = 1 - з/1 - 2/г меньше 1, и из (41),
полагая т — 2, 3,..., получаем

Г -rm <Z 9m~l(t* -й), т = 2,3,...	(42)
Приведем теорему о принципе мажорант, который был поло-
жен в основу доказательства георем о сходимости метода Нью-
тона. Пусть речь идет об уравнении

т =	(43)

где <^(х) — операция из А' в А', А' — полное метрическое про-
странство. Рассмотрим метод итерации для этого уравнения:

a.4t+1) = ^(?*)), к = 0, 1,2,...	(44)

Пусть имеется такое вещественное уравнение

t = tf'(t),	(45)

что последовательность метода итерации

Z;.+1= ^’(i*..), Л- = 0,1,2,..., to = О,
монотонно возрастая, стремится к конечному пределу: t* | Г,
к — сю. Считаем, что функция 0(t) непрерывна на [О, t*] и, сле-
довательно, t* —корень уравнения (45).

Теорема 4. Пусть операция <р(х) в уравнении (43) определена
и непрерывна в шаре

S = {л G А'|р(т, Т'°1)	6 > 0,	(46)

где X—полное метрическое пространство. Если для последо-
вательности	определяемой равенствами (11). выпол-

нены неравенства

р(х^к + }\х^) <?/(t, + 1 -tj, к = 0,1,2,...,	(47)

где г]—положительная постоянная, удовлетворяющая условию

т/t" <t <5,	(48)

то последовательность	принадлежит шару (46), име-

ет предел х*, который является решением уравнения (43), и име-
ет место оценка погрешности

pfx^, х~)	T](t'— tk), 4’= 0,1,2,...	(49)

Доказательство. С помощью неравенств (47), (48) и
tk < t* находим

р(х^к\ i40)) <t р(х^к\ х^к~^) + ... + р(х^\ г*-0))

<	- tk-1) + . . . + (ti - to)] = T]tk < T)t* < t>,
откуда р(х^к\х^0'1') < 6 и, следовательно, xSk) g S.

Аналогичным путем с помощью (47) получаем

р(х^к\ х^) <Z 7)1/4 -/,|.	(50)

Отсюда, следует, что последовательность	Фундамен-

тальная и в силу полноты Л” опа имеет предел х". Так как
a/*’’-* g 5, то limjt^co х(к^ = х* G S. Тот факт, что х* — решение
уравнения (43), подтверждается переходом к пределу при k оо
в равенстве (44). Наконец, оценка погрешности (49) получается
предельным переходом при I —-» оо в неравенстве (50). Теорема
доказана.

У равнение (45) при выполнении условий теоремы 4 называет-
ся мажорантным для уравнения (43).

Теорему 4 можно использовать для доказательства теоре-
мы 2.1 о сходимости метода итерации для уравнения х = <р(х) в
полном метрическом пространстве X. В качестве мажорантно-
го уравнения следует взять

t = qt + 1, 0 < q < 1,

где q — постоянная в условии Липшица (2.13). Действитель-
но, последовательные приближения метода итерации для этого
уравнения, которые начинаются с to = 0, таковы:

/jt = l+ ?-|-... + </*: 1, i = 1,2,...

Корень мажорантного уравнения/* = 1/(1— </), и ясно, что /4. J /*.

Неравенство (48) t* Т) = ?;/(! — q) <5 выполнено по условию
(2.14) теоремы 2.1. Нсравенства(47) записываются в виде

р(^+1\г-^) < /)(/4+1 - h) = щк, k = 0,1,2,...

Они вытекают из условий теоремы 2.1, и их установление явля-
ется центральной частью доказательства этой теоремы. Таким
образом, выполнены все условия теоремы 4. Отсюда получаем
утверждение теоремы 4, совпадающее с утверждением теоре-
мы 2.1.

Таким же путем убедимся, что с помощью теоремы 4 можно
получить теорему 1 о сходимости метода Ньютона для систе-
мы уравнений (1). Метод Ньютона следует рассматривать как
метод итерации для уравнения

х = <р(х) = х - [/'(а;)]-1 /(i)
в вещественном полном метрическом пространстве I™ с рассто-
янием р(х, у) — ||х- — .у||оо. Мажорантное уравнение таково;

t = v(Z) = t - g(t)/g'(t), g(t) = (1/2)Л/2 - I + 1.

Метод итерации для него при /о = 0 совпадает с методом Ньюто-
на для квадратного уравнения g(t) = 0, и, как мы видели, Ц- Г /*.

§ 5. Метод хорд и его обобщение

Метод хорд применяется для вычисления вещественных кор-
ней уравнения

/(^) = 0,	(1)

где функция /(х) предполагается вещественной и непрерывной.
Пусть известен такой отрезок [xq, Xi], что выполнено условие
/(x0)/(xi) < 0. Тогда внутри [xq, a-’i] содержится корень урав-
нения (1). Будем предполагать, что он единственный на [xq, xj.
Единственность будет иметь место, если функция /(х) строго
монотонна на [xo,xj, в частности если она дифференцируема и
/'(х) > 0 (или /'(х) < 0) в [l’o, Xi].

Возьмем интерполяционный многочлен функции f(x), постро-
енный по узлам го, Xi, в форме Ньютона (1.6.6):

Р(х) = /(xj + (х - Х1)/(х'о,Х1).

Здесь /(xq, xi) = [/(xj — /(x0)]/(xi —xq) — разделенная разность
первого порядка функции /(х). Многочлен первой степени Р(х)
приближает функцию /(х) на [xq, xj. Его корень легко вычисля-
ется:

х2 = Х1 - /(xj)//(x0,Xi)

(2)
и принимается за новое приближение к корню уравнения (1).

Если /(хз) ф 0; то одно из произведений /(хо)/(х2), /(z'j
отрицательно. Пусть, например, /(i’i)/(x2) < 0 (рис. 19). На
отрезке [1’2, Xi] имеется корень уравнения (1). Строим, как выше,
интерполяционный многочлен функции /(х) по узлам 1’2, i’i и
находим его корень

Х’з = Х’2 - /(1’2)//(1‘1, л2)

и т. д. Последовательные приближения 1’2, хд,... сходятся к кор-
ню уравнения (1).

Дадим описание другого варианта метода хорд, который из-
вестен как метод секущих. Приближение х2 находится по фор-
муле (2), как в обычном методе хорд. При нахождении Хз (и
дальнейших приближений) не выясняется вопрос о том, на ка-
ком из отрезков [i-о, 1’2], [1’2, i’i] находится корень. Интерполяци-
онный многочлен строится по приближениям х}, х2 как по узлам,
и, следовательно, хз = л:2 — /(i’2)//(zi, хд). Приближение
строится по двум последним приближениям 1\. и хд-Е

z-4+i = 14. -/(х*..)//(х*_1Хк), k= 1,2,3,...	(3)

Метод секущих можно рассматривать как некоторое упро-
щение метода Ньютона. Если в расчетной формуле метода
Ньютона (3.4) производную заменить разделенной разностью:
f'lxk) » f(xk, 14—1). k = 1,2,..., то получим формулу (3).

Рассмотрим обобщение метода секущих, известное как метод
квадратичного интерполирования или метод Мюллера. Для его
применения к уравнению (1) требуется три начальных прибли-
жения i’o, zi, 1’2 к корню этого уравнения. Интерполяционный
многочлен функции /(.г), построенный по узлам х2, X], Хо, возь-
мем в форме Ньютона (1.6.6):

Р(х) = /(1’2) + (х -- Х2)/(Х2,Х1) + (X - 1д)(х - Xi)/(.T2,1’1,1’п).

Если точки (л-;,/(i’i)), i = 0, 1,2, не лежат на одной прямой, то
степень многочлена Р(.г) равна, двум. Найдем его корпи. Поло-
жим р = х — 1’2. Тогда многочлен можно записать в виде

Р(1’) = /(1’2) + р/(1’1,1’з) + р(р + 1’2 - 1’1)/(1’(),1’1, Х2)

ИЛИ

Р(1’) = р2/(х0,1’1,1’2) + р[/(Х1,Х2) + (1’2 - Х1)/(хо,Х1,1’2)] + /(х2).

Обозначим через р3 наименьший по модулю корень этого ква-
дратного трехчлена. Новое приближение к корню уравнения
(1) определяется равенством ад = Aj + p-j. Корень рз может
оказаться комплексным даже в случае, когда ад, ад, ао и /(а)
вещественны. В связи с этим заметим, что разделенные раз-
ности от комплексных аргументов определены и их вычисление
выполняется так же, как в вещественном случае.

По приближениям ад, ад, л.д как узлам строим интерполяци-
онный многочлен функции /(a), находим его корни и в качестве
приближения ад берем ближайший к ад из этих корней. Затем в
качестве узлов используются а,), ад, ад и т. д. Получаем после-
довательные приближения ад, ад, . .., хт.

Метод квадратичного интерполирования применяется к ре-
шению алгебраических уравнений, когда /(а)— многочлен, сре-
ди коэффициентов которого могут быть комплексные, числа.
Практика вычислений показала, что в этом случае метод всегда
сходится, и его можно использовать для получения всех корней
алгебраического уравнения. Конечно, метод позволяет нахо-
дить и комплексные корни многочлена.

6. Методы выделения множителей

Методы выделения множителей применяются к разысканию
корней алгебраического уравнения

Р(х) =: а^хп + а\хп 1 + • • • + ап = 0.	(1)

Они позволяют находить многочлен степени тп, 1 in < л, кото-
рый является делителем многочлена Р(х). Рассмотрим частный
случай тп = 2, когда, разыскивается делитель второй степени.
Будем предполагать, что во, сц, . . ,,ап —вещественные числа.

Одним из методов выделения множителей является метод
предпоследнего остатка, предложенный Лин III ин г е. Пусть
А”' + рох + г/о — начальное приближение к одному из делителей
второй степени многочлена Р(х). Выполним деление Р(а) на
а ' + pqx + </0. Так как этот квадратный трехчлен не являет-
ся точным делителем, то в результате деления получим оста-
ток — некоторую линейную функцию. Однако мы не будем про-
изводить деление до конца, а остановимся на предпоследнем
остатке, который будет, вообще говоря, квадратным трехчле-
ном па2 + Ьх + с. Разделим коэффициенты этого квадратного
трехчлена на а, предполагая, что а / 0. Получим приведенный
предпоследний остаток х~ + pi х + qi.
Таким же путем no /J(x) и х2 -J-p,х + с/, строится приведенный
предпоследний остаток х2 + р2х + q-> и т.д. Если существуют
пределы

lim рк = р“, lim qk = г/',	(2)

К —* оо	k — оо

то квадратный трехчлен х2 + р’х + q*, как мы увидим, является
делителем многочлена P(;t).

Покажем, как вычислять коэффициенты предпоследнего остат-
ка. Воспользуемся соотношением (см. (1.10))

+ Я1Х’1 '+•• + ап —

= (6(0°V-'2 + б^’р-3 + • • • + ^°22)(z2 +рох- + <Zo) +

+ bn-lfa + Pu) + ^1O)-

Видно, что предпоследний остаток от деления Р(х) на .cJ +
q0 равен

+ 1ий + Iff,)* + + rfl, + rfl,

или. в силу последнего из рекуррентных соотношений (1.11), ра-
вен

,((>)	2 . / ДО) , ,(0) \	,

+ (Р()6П._9 +

Таким образом, коэффициенты приведенного предпоследнего
остатка pj, q-, определяются формулами

। /ДО)	,,(0)

Pl = РО +	<71 = пп/1>„_2.

Предполагается, что 6^2 2 / О' Числа определяются после-
довательно рекуррентными соотношениями (1-11):

6j0) = а}-	- qob\n\,, j = 0, 1,2,. .., n, 6_)=6_2- ().

Точно так же по коэффициентам рк, qk определяются числа М* \
j = 0, 1,..., н. и находятся коэффициенты

М + 1 = Рк + ^1/^ 7А + ! = ап/Ь^2.	(3)

Вычисления ведем до тех пор, пока с требуемой точностью не
будут выполнены равенстварко = pko+i, qk„ = qko+]  Из квадрат-
ного уравнения +ркях + qko — 0 получим два корня уравнения
(П-

Лля построения начального приближения х2 + pn.r + qn к уто-
лителю многочлена Р(.т) надо знать начальные приближения к
двум корням многочлена Р(г).
К методам выделения множителей можно прийти следующим
путем. Остаток от деления многочлена Р(х) на х.~ + px + q пред-
ставляет собой линейную функцию

l>n-ix + brt + pbn-i,	(4)

где bj определяются рекуррентными соотношениями (1.11):

bj = cij — pbj_i — qbj_2, J' = 0,1,..., и, l>-i = b-у = 0.	(5)

Величины bj суть непрерывные дифференцируемые функции пе-
ременных р, q — многочлены от р и q.

Лля того чтобы квадратный трехчлен х2 +рх + q был делите-
лем многочлена Р(х), необходимо и достаточно, чтобы линей-
ная функция (4) была равна нулю тождественно или, что то же
самое, чтобы

6„+р6п_1=О, 6п-1 = 0.	(6)

Таким образом, вопрос о нахождении делителя второй степени
многочлена Р(а?) равносилен вопросу об определении решения
(р',д*) системы (6). Эта система равносильна системе

Ьп = 0, 6П_! = 0.	(7)

Методы выделения множителей представляют собой различ-
ные варианты метода итерации для решения системы (6) или (7).
Например, метод предпоследнего остатка есть метод итерации
для решения системы (6), которая приведена к виду

Р = р + 6п-1/6п-2: q ~ <] + (Ьп +р6п-1)/6п-2-

В самом деле, последовательные приближения метода итера-
ции для этой системы вычисляются по формулам

P*+i = Рк + &L-,<22, <Д+1 = Як + № + Pkb^/b^. (8)
Здесь индекс k у величины b^ означает, что функция bj вы-
числена для значений р — рк, q — qk. Другими словам, Ь^
определяется соотношениями (5) при р = рк, q = qk- Очевидно,
что соотношения (8) совпадают с соотношениями (3), откуда, и
вытекает утверждение о том, что метод предпоследнего остатка
является методом итерации для системы (6).

Указанная интерпретация метода предпоследнего остатка под-
тверждает сделанное ранее предположение: если выполнены со-
отношения (2), то х2 -|- р*х + q* является делителем многочлена
Р(ж). Переход к пределу при /с —т ос в равенствах (8) показыва-
ет, что р*, q* удовлетворяют системе (6).

Недостатком метода предпоследнего остатка является то об-
стоятельство, что даже в случае, когда начальное приближение
как угодно близко к делителю многочлена, он может расходить-
ся. Такого недостатка лишен метод, который мы получим, при-
меняя для решения системы (7) метод Ньютона.

Найдем частные производные первого порядка по р, q от
функций bj. С этой целью продифференцируем обе части со-
отношения (5) по р и по q. Получим

dbj	dbj-i dbj_2

др 3~1 Р др q др '

j = 0,6-i = b_-> = 0.

Определим числа. Cj при помощи рекуррентных соотношений
Cj = bj — pCj^i — </С;-2, j = 0, 1,..., n, c_i = C_2 — 0.	(10)

Числа Cj получаются из чисел bj таким же путем, каким числа
bj получаются из чисел aj.

Записывал соотношения (9) в виде

и сравнивая их с (10), заключаем, что

dbj	dbj	• л 1	л

—i =	= —Cj — 2> J = 0, 1, . . . ,71, С_1=С_2=0.

др	dq

(11)

Будем теперь применять к решению системы (7) метод Нью-
тона. Матрица Якоби левых частей системы в силу (11), такова:

С =

дЬ„

<*Р
аЬп-i
др

аъп
dq
9b„-i
dq

Сп —1	Сп —2

Сп —2 Сп-3

(12)

Линейная алгебраическая система в методе Ньютона, для опре-

деления (Apt, △</*), где

Др* = Рк+1 ~ Рк, A</t = qk+\ - qk,
имеет вид

 и -
(*
п —

А/ч-
А?*.

(*•)

Я,
71 — 1

(13)

Здесь (3*2 •, j = 1.2,3, определяются рекуррентными соотноше-
ниями (10), в которых следует положить р = р^, q = <д.. Числа
b\i \ определяются соотношениями (5) также при р = pk,
<1 = <7 к 

Полученный метод выделения множителей сводится к после-
довательному нахождению решений систем (13). Зная началь-
ное приближение (ро, ?о) к коэффициентам делителя многочлена
/’(.г), находим cj°\ составляем систему (13) при к = 0, нахо-
дим ее решение (Др0, A<?q) и тем самым получаем (pi, <?]). Таким
же путем по (pi. <71) составляем систему (13) при к = 1 и опреде-
ляем (/'j. <72) и т. д. Если начальное приближение (ро,7о) доста-
точно. близко к коэффициентам делителя многочлена Р(т) и ма-
трица Якоби (12) в некоторой окрестности (ро,7о) неособенная,
то этот метод выделения множителей сходится. Утверждение
следует из теоремы 4.1 о сходимости метода Ньютона.
ГЛАВА

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИА ЛЬНЫХ УРА ВНЕНИЙ

§ 1. Введение

Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка п

У(п) =f(x,y,y',...ly^'>).	(1)

Известно, что решение этого уравнения не определяется одно-
значно. Общее решение зависит, вообще говоря, от п произ-
вольных постоянных. Численные методы применяются к нахо-
ждению частных решений уравнения (1). Чтобы получить част-
ное решение, мы должны подчинить искомое решение некоторым
п дополнительным условиям.

Большое значение имеют два рода задач, связанных с опре-
делением частных решений уравнения (1): задачи Коши, или
задачи с начальными данными, и граничные задачи. Задача
Коши формулируется следующим образом: найти решение у(х)
дифференциального уравнения (1), которое при х = ад удовле-
творяет условиям

у(хо) = Уо, У (-со) =	= ’Уо"”4'	С2)

где уо, т/g»• • • 1 Уо — заданные числа. Характерным для задачи
Коши является то, что условия (2) задаются в одной точке ад.

В случае граничных задач условия задаются не в одной, а
в нескольких точках. Например, в случае дифференциального
уравнения второго порядка у" — J(x, у, у') можно рассматривать
такую двухточечную граничную задачу: найти решение у(аг)
дифференциального уравнения на отрезке [ад, X], где Л' > ад,
которое удовлетворяет условиям

у(аг0) = А, у(Х) = В,

где А и В —заданные числа.
Важнейшим является вопрос о существовании и единственно-
сти решения задачи Коши и граничной задачи. В случае гра-
ничной задачи этот вопрос значительно сложнее, чем для за-
дачи Коши. Проблема отыскания приближенного решения гра-
ничной задачи также оказывается более трудной по сравнению
с задачей Коши. В данной главе будем заниматься численны-
ми методами решения задачи Коши и не будем касаться вопро-
са о решении граничных задач. Отметим только, что имеются
методы, позволяющие нахождение решения граничной задачи
привести к отысканию решений ряда задач Коши для рассма-
триваемого дифференциального уравнения.

Численные методы решения задачи Коши в случае одного
уравнения вида (1) будем рассматривать для п = 1:

у' = Л*-У), У(-<'о) = Уо-	(3)

Имеются в виду метод Рунге—Кутта и методы Адамса. Ука-
занные методы применимы также к задаче Коши для системы

обыкновенных дифференциальных уравнений

y'i = fit*, У1.Уп), У/(-'-о) = Уг-0), i= 1,2,... ,п.	(4)

Систему дифференциальных уравнений такого вида называют
нормальной.

Введем обозначение вектора (/((|) — (у\°\ . . ., у^)' и вектор-
функций у = (yi,..	f(*.у) = (fi(j:,y)-.-.;fn(x,y))', где

fi(x.y) =	, Уп). Тогда задачу Коши (4) можно запи-

сать в векторной форме

dy/di- = f(x, у), у(л-о) = у<(”.	(5)

Решением задачи (5) является вектор-функция y(r) = (yi(-c),. ..,

уг1(.г))', которая в записи системы дифференциальных у равнений
фигурирует без указания аргумента т. Всюду в дальнейшем
задач)' Коши (4) для нормальной системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений будем записывать в векторной фор-
ме (5).

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) порядка
п с условиями (2) равносильна задаче Коши для нормальной
системы дифференциальных уравнений

у' = У1, y'i = У2, - • -,Уп--2 = Уп-1, Уп-1 = /(а-,,у,У1,...,уп-1)

с начальными условиями

У&о) = Уо, У1(М = Уо,  • - ,Уп-1(£о) = Уо"-1)-
Так как методы Рунге—Кутта и Адамса применимы к решению
задачи Коши для нормальной системы дифференциальных урав-
нений, то их можно использовать для решения задачи Коши для
дифференциального уравнения порядка п.

Приведем формулировки двух теорем из теории обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, которые дают достаточные
условия существования решения задачи Коши (5).

Теорема 1 (Пикар). Предположим, что в параллелепипеде

S = {(х-, у) е Rn+1 |k - *о| а, ||у - у(°)||то b}

вектор-функция f(x,y) непрерывна как функция совокупности
п +1 переменных, удовлетворяет условию Липшица по у:

НЖ y(D) - f(x, у<2-1 )||ос	L||у<1) - у(2)||то, L > О,

и

max ||f(i-,y)||ОО 'С м.

(*,y)es

Тогда задача Коши (5) имеет единственное решение у(а;) на от-
резке — а?о| с> где с = min{a, Ъ/М}, при этом график решения
располагается в параллелепипеде S.

Теорема 2 (Коши). Пусть а и Ь—положительные конечные
числа и вектор-функция f(x,y) разлагается в ряд

ОО k

№,у) = Е Е Е - х0)к-\у - у(°>Г,	(6)

Аг = О т = 0 |or|=г

сходящийся при всех (щ^у), принадлежащих множеству

Т = {(ж, у) 6 Сп+1 ||а: - х0| а, ||у - У(0)Цоо b} .

В (6) а — (ai,...,an)—мультииндекс, qk-i,a — вектор, сумми-
рование во внутренней сумме ведется по всем мультииндексам
а длиной i и

(у - УтУ = (У1 -	• • .(Уп -

Тогда задача Коши (5) имеет единственное решение, представи-
мое рядом Тейлора

у(х) = 2_^—ii—(7)

1 = 0
который сходится внутри круга |ж — а?о| < р, где

л	\ ~ь \\

р = я 1 - ехр -—	>

\	Цп + 1)Л7а J )

и постоянная М определяется неравенством

max. ]|/(х, уЭНоо М.

(*,у)ет

В коэффициенты ряда (7) входят производные решения зада-
чи (5) у^(хо). Их можно найти последовательным дифферен-
цированием системы (5). Коэффициенты ряда (7) можно нахо-
дить также методом неопределенных параметров. Таким путем
можно получить частичную сумму ряда (7) и принять ее за при-
ближенное решение задачи (5). Этот способ решения задачи (5)
называется методом разложения решения в ряд Тейлора.

§ 2. Метод Рунге—Кутта

Имеется несколько вариантов метода Рунге—Кутта, облада-
ющих порядком точности k, k = 1,2, 3,4,5, и более. Мы рас-
сматриваем наиболее известный метод Рунге—Кутта четверто-
го порядка точности. Начнем с задачи Коши для дифференци-
ального уравнения первого порядка

=	У(хо) = Уо-	(1)

Предполагаем, что решение у(х) этой задачи существует на не-
котором отрезке [1'о,А'], где А' > xq. Метод Рунге—Кутта по-
зволяет по дифференциальному уравнению и начальному усло-
вию вычислить приближенное значение решения у(х) в точке
Xi = Xq + h < X, h > 0.

Делается это так. Последовательно вычисляются числа k\,
^2, &з, ^4 по формулам

= hf(x0, Уо),

^2 — hf(xo + Л/2, j/o + ^i/2),

&з = hf(x0 + h/2, у0 + к2/2),
k4 = hf(x0 + h, уо + к3).

Величина

У1 — Уо + (1 /6)(&i + 2к2 + 2&з + £4)	(3)

принимается за приближенное значение y(xi).
Так как равенство y(xi) ~ j/i приближенное, то точка (ari.t/i),
вообще говоря, не лежит на интегральной кривой. Несмотря на
это следующий шаг в методе Руге—Кутта выполняется точно
так же, как первый. Чтобы найти приближение уг к решению
у(х) в точке 1’2 = a.'i + h < X, находим числа

fc} =

= hf(x} + Л/2, 1/1 + fcJ/2),

£3 = hf(xi + /i/2, 2/1 + ^2/2):

= hf(xt + h, 2/1 + k\)

и полагаем

У'2 = У1 + (1/6)(Л:| + 2^2 + 2&з + k\)

и т. д. Заметим, что аргументы а?о, ^1, х2>  •  не обязательно
брать равноотстоящими.

Приближенное равенство

3/(^0 + Л) ~ Уо +	+ 2^2 + 2&з 4- £4)	(4)

является обобщением квадратурной формулы Симпсона в сле-
дующем отношении. Имеем равенство

rxo + h	rXo + h

у(х0 + Л) = Уо + / y'(x)dx = уо + / f(x,y(x\)dx.

•/Го	•'То

Если f(x,y) = /(а:) не зависит от у, то можем вычислить инте-
грал в правой части последнего равенства по формуле Симпсо-
на. Получим

у(хо + /i) ~ уо + (/i/6)(/(a.’o) + 4/(i‘o + Л/2) + /(а?о + Л)),	(5)

что совпадает с (4).

Предположим, что /(а:) разлагается в окрестности точки а?о
в ряд Тейлора. Разложим левую и правую части приближен-
ного равенства (5) в ряд Тейлора по степеням h в окрестности
h = 0. Нетрудно видеть, что коэффициент при hk разложения
в левой части совпадает с коэффициентом при hk в разложении
правой части при k = 0,1,2, 3,4. Это утверждение вытекает из
того, что приближенное равенство (5) обращается в равенство
точное, если f(x) — многочлен третьей степени (для такой f(x)
формула Симпсона точна). Оказывается, что и в общем случае,
когда правая часть дифференциального уравнения (1) зависит
от у, имеет место аналогичное утверждение.
Теорема 1. Пусть правая часть дифференциального уравнения
(1) разлагается в ряд в окрестности (а?о,уо)-

оо к

f(z,y) = ^2^2qk-j,j(x - x0)k-J(y- уоу,	(6)

k=0j=0

сходящийся при всех комплексных значениях х, у удовлетворяю-
щих неравенствам |а; — ж о | Sj а, \у — уо| Ь, где а > О, Ь > 0.

Тогда в разложениях левой и правой частей приближенного
равенства (4) в ряды Тейлора по степеням К в окрестности h = 0
коэффициенты при hm одинаковы при т = 0,1, 2, 3,4.

Доказательство. Сначала докажем теорему для част-
ного случая, когда начальные условия в задаче (1) нулевые:
-со = 0, уо = 0 и имеет место равенство

/(0,0) = 0.	(7)

Так как у(0) = 0 и г/(0) = /(0,0) — 0, то разложение решения
задачи (1) в ряд Тейлора имеет вид

у(х) = а2х2 + а3х3 + а4х4 + ...	(8)

Запишем первые слагаемые разложения (6):

/(я, У) = <7ioz + ЯО1У + ?2oz2 + qnxy + q30x3 + ...	(9)

В силу (7) имеем goo = 0. Отметим, что приведенных в (9) слага-
емых достаточно, чтобы получить коэффициенты разложений, о
которых идет речь в теореме.

Найдем сначала коэффициенты разложения левой части при-
ближенного равенства (4), другими словами, коэффициенты раз-
ложения (8). При этом будем писать х вместо h. В дифферен-
циальное уравнение(1)

У1 = qiox + qoiy + ?2оа:2 + 71iху + g30a:3 + ...

подставим правую часть разложения (8):

2а2х + За3я2 + 4а4х3 + • • • = q10x + 7oi(a2:r2 + а3х3 + ...)+

+ ?2oz2 + qnx(a2x2 + а3х3 + ...) 4- g30a:3 + ...

Приравняем коэффициенты при х, х2, х3 в левой и правой частях
этого равенства. Получим

202 = 710, За3 = 7о1Я2 + 7го, 4а4 = 7oia3 + 7ца2 + 7зо>
откуда

а2 = 9ю/2,

аз = (<7oi?io + 2<?2о)/6,	(10)

а4 — (9oi9io + 2goi?2o + 3</1 о<711 + 6дзо)/24.

Найдем теперь коэффициенты разложения приближенного ре-
шения задачи (1), где ад = у0 = 0 и f(x,y) определяется равен-
ством (9). Считаем h = х. В соответствии с (2) укажем разло-
жения

k\ = xf(Q, 0) = 0,	= а:/(а:/2,0), кз = xf(x/2, кз/2), к^ = xf(x, кз)

по степеням х. При этом пользуемся разложением (9) для f(x, у).
Последовательно находим

- ^j.2 , £20 з , £зо 4

“ 2	+ 4	+ 8

Г х goi Г <710 2 , 920 з ,	1 , 920 2 ,

-IV102 +у	+---]+'4-а; +

+тЧ^ + -]+Т‘’+-} =
910 2 , 901910 + 920 з , 901920 + 911910 + 9зо 4 ,
= ~ТХ +-4--1 +----8---х +

к4 = х {дт.ох + go 1 к3 + д2о^2 + дпхк3 + д30а:3 + ...} =

= х < д10х + Joi

9ю о , 9о19ю + 920 з ,

Т* +-------4---* +

+920^2 + 911^ [^2~х2 + • • •] + 9зо$3 + ...}-

2 , 9о19ю + 2дго 3 , (9о19ю + 901920 .

= 9102? Ч-----------------------------------1-

911910 ,	\	4 ,

—2-----1" 9зо 1 х +...

Составляя линейную комбинацию (2кз + 2кз + к4)/6 найденных
разложений, убеждаемся, что ее коэффициенты при х2, а:3, х4
совпадают с соответствующими коэффициентами (10). Найдем,
например, коэффициент при а;3:

1 л. о?011?10 + ?2° , goigiо +	_ 2<72q + goiдю

6 V 4 +	4	+	2	) ~	6

Он совпадает с коэффициентом а3 из (10).

Теорема доказана в случае нулевых начальных условий и вы-
полнения равенства (7). Предположим теперь, что эти условия
для задачи (1) не выполняются. Введем новую независимую
переменную t = х — а?о и новую неизвестную функцию

и(*) = Л* + М ~ Уо -/(i’o, уо)*-	(11)

В новых переменных задача (1) запишется в виде

и' = y(*,tz), и(0) = 0,	(12)

где

g(t,u) = f(t + х0, u + y0+ /(1’о, Уо)*)- /(1о,Уо)-	(13)

Из (13) видно, что задача (12) удовлетворяет также условию (7)
у(0,0) = 0.

Найдем приближенное решение uj задачи (12) по методу
Рунге—Кутта при t = h:

ui = (*i + 2/э + 2*з + /<)/6,
где

*1 = Ьд(О,О) = 0, /2 = hg(h/2,0), l3 = hg(h/2,l2/2), Ц = hg[h,l3;-

Последовательно находим 12, 1з, Ц с помощью формулы (13).
Имеем

/2 = Лу(Л/2,0) =

= h[f(x0 + Л/2, уо + f(x0, уо)л/2) - /(in, уо)] =

= hf(xo + Л/2, уо + Zjj/2) — fci — к2 — /ц

(здесь и далее пользуемся обозначениями к{ из (2), которые при-
меняются при описании метода Рунге—Кутта для задачи (1)),

*з = Лу(Л/2,/2/2) =

= h[f(x0 + h/2, уо + /(io, yo)*i/2 + *2/2) - /(i0, Уо)] =

= hf(xo -|- h/2, y0 + кi/2 + (Jc2 — &i)/2) — fci = k3 — k^,
l4 = hg(h,l3) =

= h[f(x0 + h, yo + f(x0, y0)h + /3) - f(x0,2/0)] =

= hf(xo + h, yo + ki + k3 — ki) — k\ = k^ — k\.

Таким образом, получаем

/, = ki — ki, i = 1,2, 3,4.

Отсюда с помощью равенства (3) находим

Ui = (1 /6)(/i + 2/2 + 2/з + /4) =

— (l/6)(^i + 2*2 + 2Агз + kt) —	= i/i — уо — ft/(i0, !/о),

или

ЗА = Ui + Уо + hf(x0, i/o).	(14)

По доказанному первые пять членов разложения решения
u(/i) задачи (12) по степеням h в окрестности h = 0 совпада-
ют с первыми пятью членами разложения приближенного реше-
ния Ui. Но тогда тем же свойством будут обладать разложения
функций

u(h) + уо + hf(x0,3/0), wi + Уо + hf{x0,2/0),	(15)

отличающиеся от u(/i) и щ одним и тем же слагаемым—ли-
нейной функций от h. Так как первая функция (15) в силу (11)
совпадает с решением 2/(^0 + Л) задачи Коши (1), а вторая в
силу (14) совпадает с приближенным решением 2/1 задачи (1) по
методу Рунге—Кутта, то теорема доказана полностью.

Ранее уже отмечалось, что если /(г, у) не зависит от у и явля-
ется многочленом от х степени не выше трех, (это равносильно
тому, что решение у(х) является многочленом не выше четвер-
той степени), то метод Рунге—Кутта при любом h дает точное
значение решения у(х). В общем случае, когда f(x,y) зависит
от у и решение у(х) является многочленом степени не выше че-
твертой, не совпадающим с многочленом первой степени, это
обстоятельство не имеет места.

Действительно, задача Коши

у = 2х2//(1 + £2), 2/(0) = 1

имеет решение у — 1 + х2 —многочлен второй степени. Прибли-
женное решение, найденное методом Рунге—Кутта с шагом h,
имеет вид

ЗА = 1 + h2 + h6/4 + ...
и не совпадает с решением 1 + /г2. В то же время коэффици-
енты первых пяти членов разложений у\ и y(h) совпадают, как
гарантировано тоеремой 1.

Если решением задачи (1) является линейная функция, то она
имеет вид у = уо + (х — xo)f(xo, уо) и определяет прямую I. Не-
трудно видеть, что точка (жо + Л/2, уо + /(l’o, yo)h/2) лежит на /
и, следовательно,

^2 = hf(x0 + h/2, уо + kr/2) = hf(x0,y0) = Дц.

Таким же путем получаем ко = к3 = к^, так что yi = yo+hf(xo, уо)
совпадает с у(х0 + /г) — значением точного решения задачи (1).

Перейдем к методу Рунге—Кутта решения задачи Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка (1.4), записанной в векторной форме (1.5):

dy/dx = f(x,y"), у(х0) = у(0).	(16)

Вычисление приближенного значения вектор-функции у(х) —
решения этой задачи — в точке х\ = xq + h проводится, как и в
случае задачи (1). Находим последовательно четыре вектора
fc(1) = hf(x0, у(0)),
fc(2) = hf(x0 + h/2,y^ + Д’)/2),
к^ = hf(x0 + h/2,y^ + k^/2),	(17

к^ = hf(x0 + /i,y(0) + ^(3)).

Вектор

у(1) = ут + (1/б)(А:<1) + 2к™ + 2Д3> + к^)	(18)

принимается за приближение к значению решения y(i’i)- Далее
по Xi и вектору у^') таким же путем находим вектор у^ ~ 2/(^2),
где Х2 = Xi -|- h и т. д.

Предположим, что вектор-функция f(x, у) из задачи Коши (16)
разлагается в ряд (1.6) в окрестности точки хо, у\ , . .  ,Уп 

оо к

f(x,y) = ^2^2 ^2 4k-i,a(x - х0)к~'(у - Ут)а, (19)
I' = 0 г — 0 | а | = г

сходящийся для всех (е, у) G Cn+1, удовлетворяющих неравен-
ствам |ж — а?о| ч, Цу — l/^Hoo 6, где а > О, b > 0. Тогда в
разложениях левой и правой частей приближенного равенства
y(io + h) ~ j/1) в ряды по степеням h в окрестности h = 0 коэф-
фициенты при hm одинаковы при т = 0,1,2, 3,4.

Доказательство проводится так же, как и в случае задачи
(1). Не будем проводить его полностью. Отметим только, что
сначала рассматривается случай, когда начальные условия в
(16) нулевые:

жо = О, у(0) = 0,0= (0,...,0)'

и /(0,0) = 0. Ряд (19) записывается в виде

f(x, у) = q^x + 57 4о,аУа + 42,вх2 + 57 qi,axya + Яз,вх3 + ...

|а| = 1	|о-| = 1

Указанных членов ряда достаточно, чтобы получить требуемые
коэффициенты векторного ряда

у(х) = а?х2 + аз£3 + сцх4 + ...

решения задачи (16). Эти коэффициенты таковы:

а2 -	аз - ,42,е + g / , 4o,aqiie,

|»| = 1

1 1 а

<24 = ^43,е +	, ?о,а?2,в +

|а| = 1

+ 8 57	+ 24 57 57 4o,a4o,04i,g-

|or| = l	|а| = 1|/3| = 1

Можно показать, что первые пять членов разложения прибли-
женного решения (18) по степеням h = х такие же, как найден-
ные члены разложения решения у(х). Общий случай задачи (16)
приводится к рассмотренному заменой переменной t = х — г о и
переходом к новой неизвестной вектор-функции и(<) по формуле
(11), в которой уо следует заменить на у(°)

Основное достоинство метода Рунге—Кутта по сравнению с
излагаемыми далее разностными методами состоит в том, что
при его применении не требуется построение так называемого
начала таблицы. Другое преимущество метода, состоит в том,
что в ходе вычисления можно менять величину шага Л, не про-
изводя при этом дополнительных вычислений.

Недостатком метода Рунге—Кутта является то, что он бо-
лее трудоемок по сравнению с разностными методами, так как
на каждом шаге приходится вычислять четыре значения правой
части f(x,y) дифференциального уравнения. Как мы увидим, в
случае разностных методов на каждом шаге требуется вычи-
слять одно значение f(x, у) (экстраполяционный метод Адамса)
или самое большее два-три значения (интерполяционный метод
Адамса).

Выбор шага h > 0 определяется той точностью, с которой мы
предполагаем получить приближенное решение задачи Коши.
Предположим, что возможно найти первые пять членов разло-
жения решения в ряд Тейлора в окрестности 1'0

у(^’) = 52у ~ х^к +
к = 0

и оценить остаточный член ряда после пятого члена при х =
xq + h. Если шаг h такой, что |7?.(1’о + Л)| Е, где £— требуемая
точность приближенного решения, то можно утверждать, что
первые пять членов разложения у	дают приближе-

ние к значению точного решения у(хц + h) с требуемой точно-
стью. Это дает основание полагать, что метод Рунге—Кутта
с шагом h по крайней мере в начале вычисления будет давать
приближенные значения с требуемой точностью.

Разумеется, условие |Л(1'о + /г)| ^ £ будет выполнено при до-
статочно малом h. Однако шаг h не должен быть чрезмерно
малым, так как это потребует выполнения большого числа ша-
гов.

Если построить разложение у(х) в ряд трудно или невозмож-
но оценить остаточный член ряда, то шаг h выбирают экспе-
риментально. Сначала выбирают некоторое значение h = Iiq
и вычисляют методом Рунге--Кутта приближение к у(хо + /го);
затем берут h = /го/2, находят приближение к у(хо + /го/2) и
у(хц + /го). Таким образом, для у(хо + /го) получаем два прибли-
женных значения, вычисленных по методу Рунге—Кутта. Если
эти значения различаются не более чем на £, где £ — требуемая
точность, другими словами, у них совпадает требуемое число
знаков, то можно в качестве шага взять ho. Не исключено, что в
этом случае можно взять больший шаг, например 2/го- Если два
приближенных значения для у(х0 4- /?0) различаются более чем
на £, то берем /г = /го/4 и вычисляем приближения к у(хо + /го/4)
и у(хо + /го/2). В нашем распоряжении снова два приближен-
ных значения для у(хо + /го/2). Если эти значения имеют совпа-
дающие знаки, которые обеспечивают требуемую точность, то
выбираем в качестве шага Л-о/2. Если этого не происходит, то
продолжаем уменьшение шага. Если f(x, у) удовлетворяет усло-
виям теоремы 1 (разложимость f(x,y) в ряд по степеням х — Хо.
У — Уо), то требуемое совпадение знаков у двух приближенных
значений у(хо + ho/‘2m), вычисленных по методу Рунге—Кутта,
произойдет, и в качестве h можно взять ho/2m. Конечно, этот
прием чисто практический, и мы не можем утверждать, что если
знаки совпадают, то они верны.

Пример. Найти численное решение задачи Коши

у' = 0, 25у2 + ж2, у(0) = -1	(20)

на отрезке [0, 1] методом Рунге—Кутта с пятью верными деся-
тичными знаками.

Убедимся в существовании решения задачи (20) на отрезке
[0, 1]. Теорема Пикара 1.1 позволяет утверждать, что эта задача
имеет решение на отрезке [а;| ^0,7. В самом деле, возьмем в
теореме 1.1 значения а = 0,7, b = 1,2. В прямоугольнике |е|	0,7,

|уТ 1|	1,2 функция f(x,y) — 0, 25у2 + х2 имеет наибольшее

значение М = 0, 25(1 +6)2+а2 = 1,7. Так как b/M = 1,2/1,7 > 0,7,
то с = 0, 7. Отметим, что при ином выборе параметров а и b мы
не получим существенного увеличения с.

Можно показать, что последовательные приближения, опре-
деляемые в доказательстве теоремы Пикара,

Ут+1(т) = -1+ [ [0, 25y^(t) + t2]dt, m = 0,1,2, ....

Jo

при x 0 принадлежат прямоугольнику 0 х 1,2, — 1 у 0.
Отсюда уже не. трудно сделать вывод о существовании решения
задачи (20) на отрезке [0; 1,2].

Чтобы решить вопрос о выборе шага интегрирования, вос-
пользуемся методом разложения решения задачи Коши (20) в
ряд Тейлора:

Дифференцированием уравнения (20) получаем
у" - 0, Ьуу' + 2х, у" = 0, 5(у'2 + уу") + 2,
y(IV) = l,5yV + 0,5?//",
~ 1,5у"2 + 2у у'" + 0,5yj/(1V).
X	У	1/)	(/i/2)/(a-,y)	(l/6)(fci + 2k2 + 2fc3 +
0	-1	0,025	0,01250	
0,05	-0,98750	0,024629	0,01231	
0,05	-0,98769	0,024638		
0,1	-0, 97536	0,024783		0,02472
0,1	-0,97528	0,024779	0,01239	
0, 15	-0, 96289	0,025429	0,01271	
0,15	-0, 96257	0,025413		
0,2	-0,94987	0,026557		0,02550
0,2	-0,94978	0,026553	0,01328	
0,25	-0,93650	0,028176  0,028138	0,01409	
0,25	-0,93569			
0,3	-0,92164	0,030236		0,02824
0,3	-0,92154	0,030231	0,01512	
0,35	-0,90642	0,032790	0,01640	
0,35	-0,90514	0,032732		
0,4	-0,88881	0,035749		0,03284
0.4	-0,88870	0,035745	0,01787	
0,45	-0,87083	0,039209	0, 01960	
0,45	-0,86910	0,039134		
0, 5	-0,84957	0,043044		0,03925
0,5	-0,84945	0, 043039	0,02152	
0,55	-0,82793	0, 047386	0,02369	
0,55	-0,82576	0,047297		
0,6	-0,80215	0,052086		0,04742
0,6	-0,80203	0,052082	0,02604	
0.65	-0,77599	0,057304	0,02865	
0, 65	-0,74483	0,062869		
0,7	-0,74483	0,062869		0,05733
0.7	-0, 74470	0,062865	0,03143	
0,75	-0,71327	0, 068969	0, 03448	
0, 75	-0,71022	0,068861		
0,8	-0,67584	0,075419		0, 06899
0,8	-0,67571	0,075415	0,03771	
0,85	-0,63800	0,082426	0,04121	
0,85	-0,63450	0,082315		
0,9	-0,59339	0,089803		0,08245
0,9	-0, 59326	0,089800	0,04490	
0,95	-0, 54836	0,097767	0, 04888	
0,95	-0,54438	0,097659		
1	-0,49560	0,106140		0, 09780
1	-0,49546			
Последовательно из дифференциального уравнения (20) и
этих соотношений при х = 0 находим

2/'(0) = 1/4, у"(0) = -1/8, у' "(0) = 67/32,
j/IV)(0) = -35/32, y(V)(0) = 207/128,

что позволяет написать первые шесть членов ряда:

у(х) = -1 + (1/4)2; - (1/16)т2 + (67/192)ж3—

— (35/768)ж4 + (69/5120)ж5 — ... (21)

Первые пять членов ряда дают значение решения при х = 0, 1 с
пятью верными десятичными знаками:

2/(0,1) ~ -1 + 0, 025 - 0, 000625 + 0, 000349 - 0, 000005 = 0, 975281

Это дает основание взять в качестве шага интегрирования
h = 0,1. В силу теоремы 1 можно надеяться, что метод Рунге—
Кутта, по крайней мере в начале вычисления, будет давать зна-
чения, верные с пятью десятичными знаками. Результаты вы-
числения приведены в табл. 22.

§ 3. Экстраполяционный метод Адамса

Основную идею экстраполяционного метода Адамса решения
задачи Коши изложим для случая одного дифференциального
уравнения первого порядка

У = f(x,y),	у(ха)=у0.	(1)

Метод позволяет найти приближенное решение этой задачи на
конечном отрезке [i-q, X], где X > xq.

Предполагается, что решение у(х) задачи (1) на [то, А'] суще-
ствует. Считаем также, что в некоторой области D на плоско-
сти (е, у), содержащей график решения у = у(х) на [жо, А'], функ-
ция f(x, у) непрерывна как функция совокупности переменных х,
у и имеет непрерывные частные производные до требуемого по-
рядка I 0 включительно. Из этого предположения вытекает,
что решение у(х) на отрезке [жо,Х] имеет непрерывную произ-
водную порядка / +1.

Пусть h > 0 и

Xj = x0+jh, j = 0,1,2,..., N,

(2)
суть равноотстоящие точки, расположенные на отрезке [а.'о,Л'],
при этом .tq + Nh А' < то + (N + 1 )/г. Число h будем называть
шагом интегрирования.

Предположим, что известны приближенные значения реше-
ния у(х] в точках то, t’i ,..., ац., k < N, которые будем обозначать

Уо > У1, • •  , Ук,

(3)

так что

у(аг, ) « j = 1,2,..., к.

Значение уо задано, и оно совпдает с ?/(то). Если k 1, то
У1,.... yk должны быть вычислены, например, методом Рунге-
Кутта или методом разложения решения в ряд Тейлора. Числа
(3) дают приближенное решение за.дачи в виде таблицы

X	1'0	*1		АД-
У	Уо			Ук

Их называют начальными значениями или началом таблицы.

Экстраполяционный метод Адамса позволяет продолжить на-
чало таблицы: вычислить приближенные значения решения за-
дачи (1) в точках (2) при j £ + 1. Эти приближенные значения,
как и значения из начала таблицы, будем обозначать через yj,
j = t+1, k+‘2, ..., N. Допустим, что уже вычислены уо, у\, ..., ут,
где гп к, т < N. При вычислении j/m+i будем исходить из ра-
венства

ZJ",n + l

y'{x}dx,	(4)

m

которое вытекает из основной формулы интегрального исчисле-
ния

Получим интерполяционную квадратурную формулу для вы-
числения интеграла в правой части равенства(4), взяв в каче-
стве узлов k + 1 точек хт, xm_i,.. ., xm~i:. Квадратурная фор-
мула имеет вид

<p(x)dx =	+ Rmk(<p),

m	j=o

где коэффициенты в силу (2.1.6) определяются равенством

(5)

w(x)dx

(х - хт^)ш'(хт_^)'

к

= IP® -

.1 = 0

(6)
R-mk^)— погрешность квадратурной формулы.

В интеграле (6) сделаем замену переменной интегрирования
х = хт + ht. Получим

ш(л) = hk+1t(t +	+ £),

w'(a-’m-j) = hk(-iyj\(k - j)!, x - xm_j = h(t + J),

откуда	Bkj = hbkj,	(7)
где  ь	(~1)J  к3 jV-J)!.	Jo	t+j

Числа bkj не зависят от m и h. Приведем их таблицу при
к = 0,1,2,3:

k	при разных j			
	0	1	2	3
0  1  2  3	1 3/2 23/12 55/24	-1/2  -4/3  -59/24	5/12 37/24	-3/8

Из формулы (8) видно, что числа bkj при четном j положитель-

ны и при нечетном j отрицательны. В частности,

Ьк0 > 0, * = 0,1,2,...

(9)

Нетрудно доказать, что алгебраическая степень точности
квадратурной формулы (5) равна к.

К интегралу в (4) применим квадратурную формулу (5), при
этом воспользуемся равенством (7) для коэффициентов. Полу-
чим

к

у(хт + 1} = У(Хт ) 4“ h ' ЬkjУ (xm_j ) + Rmk(y ) •	(10)

j = 0

Здесь Rmki.y') — погрешность квадратурной формулы (5) для
функции у'(хУ Она равна интегралу от погрешности г(х) =
у'(х') — Ртк(х), которая возникает при замене у'(х) ее интерпо-
ляционным многочленом Ртк(х). построенным по узлам квадра-
турной формулы (5).
В силу (1.3.11) справедливо представление

где £ = £(х) Е (xm-k,xm+i), так как точка интерполирования х
принадлежит [хт, Zrn+i]- Отсюда следует, что

Rmk(y') = (Щ)! A y[k+2^Mz)dx.

Так как узлы квадратурной формулы лежат вне интервала
(хт, i’m+1 ), то ш(ж) сохраняет знак на этом отрезке. Предпола-
гая т/к+2\х) непрерывной функцией на [zq.A’], можем восполь-
зоваться теоремой 2.2.1 о среднем значении. Получим

fx'n+'

Rmk(y1') = /Г, Т'Г / u(x)dx,
(А. + Л-га

или. если выполнить замену переменной интегрирования 1' =
+ fit ,

Ктк(у') = --,.	 -- / Rj + 1) •   G + k)dt, 7/ Е [i’rn-i-, a:m + )]-

(/• + 1)! Jo

(И)
Предположение о непрерывности (/t+2\;r) имеет место, если
f(x,y) в области D имеет непрерывные частные производные
до порядка I = k + 1 включительно.

Формула (10) дает точное значение для y(xm+i), но она непри-
годна для вычислений, так как в нее входят неизвестные т/(1-т),
y'(xm_j) и погрешность квадратурной формулы Rmk(y')- Заме-
ним в (10) неизвестные у(хт), y'(xm_j) их приближенными зна-
чениями:

У(.Хт ) ~ Ут 1 У (Xm—j ) = f(xm_j ,y{xm^j)) X f(xm^j , ym-j )>
j = 0,1,... ,k,
и отбросим погрешность Rmhiy')- Получим приближенное ра-
венство

к

y(xm + i ) ~ ут + h ' bkj f (®т -j > Ут—j )•

Правую часть этого равенства принимаем за ym+i:

к

Ут-j-l — Ут "Ь h	bkj ffXrn^j , ym_j ).	(12)

j = 0
')'п। и есть р:ц-ч<‘:-ц<чи г|л,।му.нп -гетра но л анионного Mt-тида А дам
<а. Полага и в Ш’й ш — /.• : ю ,.д-.: шл я я в 11 j .• а в у к масть извес i ны<
значения уц. у\. . . . у/., iiaxuj.iiM у>._, . 11 слага я в (1 2) in - к- + I и
подставляя .у,....,///, и у;+? ir п uiihoc значение Uk+} в правую
часть, получаем Ук+2 и т. л.

ЕСЛИ реПВЧПь- у( .1:) Задачи (1) ЯВЛЯеТСЯ МНОГОЧЛЕНОМ степени
не выше A. -I-1, то из форму ль! (11) нолуча-; - К„-.к(у') = 0 и форму-
ла (10) совпадает с расч< : ной формулой (12). Чаким образом,
если решение у(х) - многочлен степени не выше k 4- 1. то экстра-
поляционный метод Адамса даст точное значение решения. При
aiом предполагается, что у(а^) — yj, j = 1.2, .... k, и вычисления
по формуле (12) выполняются точно, без округлений. В частно-
сти, точно вычисляются значения /(т,,, у.,). s = U, 1...., А' — ].

Наименьший отрезок	содержащий узлы квадра-

турной формулы (5). не содержит отрезка. [j:m. .r,n + i], по которо-
му выполняется интегрирование. Использование интерполяци-
онного многочлена пне наименьшего отрезка, содержащего узлы
интерполирования, обычно называют вкетрапо.-i арован нем. с)(о
объясняет добавление слова экстраполяционный в название ме-
тода. Этот мето,! называют также явным методом Адамса.

Экстраполяционный метод Адамса определяе тся заданием А-,
где к- - целое неотрицательно!! число. Таким образом, получа-
ем последовательность методов .Адамса. В частности, при к- — О
расчетная формула (12) принимает вид

//m-Н — Ут + Ь f(.-I* in , Ут) 	(1’>)

Применение этой формулы не требует построения начала та-
блицы. Метод численного решения задачи Коши, определяемый
формулой (13). известен как метод Эйлера. При k = 1 формула
(12) такова:

Ут + 1 — Ут Т h ^2"^^ г‘т ’ ^r>l	2 ^‘т — 1, Ут — 1 •

Квадратурная формула (5) получена интегрированием интер-
поляционного многочлена в форме Лагранжа. Возьмем теперь
интерполяционный многочлен функции <р(х) в форме Ньютона
(1.7.9) для интерполирования в конце таблицы:

Д(г) = р,м„. + Ы) = Ё 1У+ч-ф+)-чг)у(,.

./!
Здесь и в дальнейшем считаем

t(t 4- 1)...(/ + j - 1) = 1 при j = 0.	(14)

Значение интеграла от Pk(x) по [г-т, im+i] будет совпадать с
квадратурной суммой формулы (5), и мы получим другую фор-
му записи интерполяционной квадратурной формулы:

гХтп + 1	ГХт+1

/ <p(x)dx » / Pk(x)dx —

''З'ГП	''З'ГП

j = 0v'Im

Так как х — xm + ht, то имеем

/ <p(x)dx RS h^a^^Xm),	(15)

^Xrn	j=.O

где

aj = 1 [ t(t + 1)...(/ + j - l)dt, / = 0,1,2,...	(16)

Э- Jo

Числа aj не зависят от к. Приведем первые семь из них:
а0 = 1, аг = 1/2, а2 = 5/12, а3 - 3/8, а4 = 251/720, а5 = 95/288,
а6 = 19087/60480.

Квадратурная формула (15) представляет собой другую за-
пись формулы (5), и, следовательно, квадратурные формулы (5)
и (15) имеют одинаковые погрешности. Таким образом, из (15)
и (5) находим

fXm+1

/ ip(x)dx = h^aj'^tplxm') + Rmk(<f>).	(17)

^х™	j=0

Применим последнюю формулу к интегралу в правой части ра-
венства (4):

k

y(,xm+i) = у(хт) + h'^aj'73y'(xm') + Rmk(,y')-

j=o

Пользуясь приближенными равенствами

у(хт) RS ут, ^:>y'(xm)^V3 f(xm,ym\

j = 0,1,..., k,
и отбрасывая погрешность Rmk(,y')> получаем расчетную фор-
мулу экстраполяционного метода Адамса в разностной форме:

к

Ут+1 ~ Ут к	f{^m i Ут ) •	(1®)

j = 0

Эта формула по сравнению с (12) имеет то преимущество, что
ее коэффициенты aj не зависят от к. При вычислениях по фор-
муле (18) требуется составлять таблицу конечных разностей.
Поясним схему вычисления, считая к = 4. Для сокращения за-
писи введем обозначение ту = hf(xj,yj), j = 0,1,2,... Запишем
расчетную формулу (18) в этом обозначении при к = 4:

л	I»-,	5 _->	З_3	251—4

&Ут = Пт+	+ Т V Лт +	(19)

Z	12	о	IZU

Таблица 23

X	У	Ду	Л = hf(x,y)	7л	72Л	^Зл^4л
XQ	УО		ЛО			
				7л1		
	У1		Л1		^2Л2	
				^Л2		V343
	У2		772		^2лз	^4Л4
				^Лз		^3Л4
^3	УЗ		773		^2Л4	
				^Л4		
	У4		774			
		△1/4				
^5						

Запись результатов при ручных вычислениях выполняется,
как указано в табл. 23, где приведена таблица конечных разно-
стей величин ту = hf(xj,yj), j — 0,1,2,3,4, которые можно вы-
числить, так как начало таблицы известно. Положим т = 4 в
формуле (19):

153	251

△j/4 = T]4 +	+ Z^V4!)4.	(20)

Z	1Z	о	iZU

Конечные разности, входящие в правую часть этой формулы,
расположены в нижней наклонной вверх строке таблицы конеч-
ных разностей, что позволяет найти Д1/4 и, следовательно, у$.
1Ь. най денному //-, находим //$ = lift .it,. (/-,) и добавляем новую
наклонную вверх строку в таблице конечных разностей. Нола-
i ан в ( 1S)) in = 5. находим Ду.-, и т. д.

Произведем сравнение расчетных формул (12) и (1К). В на-
стоящее время первой из них' отдается предпочтение при вычи
. jb-пиях па ЭВМ. так как она нс требует составления таблицы
конечных разностей. При ручных вычислениях' разностная фор-
мула (ks) более удобна. Мы уже упоминали, что ее коэффици-
енты не зависят от к. Слагаемые в формуле (18) убывают, они
вы/в-ляют последовательные главные части из значения при-
ближенного решения. Составление таблицы конечных разпо-
1 о позволяет следить за поведением старшей разности V1';/,.
которая при правильном выборе шага должна оставаться пос то-
янной в пределах нескольких единиц последнего удерживаемо-
го знака. Ио поведению старшей разности можно осуществлять
контроль правильности вычислений, принимать решение о воз-
\Ю1 в ом в ходе вычисления изменении шага ипте| рирования.

-тц траполяциопный М'-тод .Адамса поч ти без изменений перо
лоси тся па случай задачи Коши для нормальной системы обык-
ы ш вьых дифференциальных уравнений ( 1.5). записанной в век-
торной (Норме. Считаем, что решении э той задачи--вектор
!е. ш чия у(л) = (.7; (.!•). №(.')..</„(•' и' - существует Па оТрс 'Ш.

,.т, . Ар где Д' > ат>.

Предположим, что шичтпы приближенные значения реше-
ния ,у(т) в точках j-ц. Tj,.k < .V, которые будем обозначат ь

у1"1. у11 \	, у(к1 и называть	таблицы. Для построены:

начала 'таблицы можно использовать метод Рунге—Кутта или
?.в ;од разложения решения в ряд 'Гейлора.

Таким же путем, как в случав задачи (1). получим рас-‘т i
аые формулы экстра пол НЦИОННО1 о метода Адамса. Формулу pl j
н квадратурную формулу (5) следует понимать кат: векторные
равенства. Расчетная формула (12) запишется в виде

к

у ш + 1) = y(rn, +	/"-•’)).	Д1:

;= 0

Здесь через </•'1 обозначен вектор,, который дает приближе-
ние к вектору решения у(т5). При 5 = (). 1...эти векторы
(бразуют начало таблицы. Векторы у^к + 1>,..., ylv) вычисляю г
ся последовательно с помошью формулы (21). При ш = А и;
этой формулы находим	при т = k -+ 1 находим у'к ''J: и
т. д. В результате вычисления получим п таблиц функций: г-я
таблица состоит из чисел , s = 0,1,..., N, которые являются
приближениями к значениям функции yt(x) в точках (2).

Расчетная формула экстраполяционного метода Адамса для
задачи (1.5) в разностной форме выглядит так же, как формула
(18):

к

yCm+i) = у(т) +	(22)

J=O

Применение этой формулы требует составления п таблиц
конечных разностей: i-я таблица составляется по значениям

5 = 0,1,2,...,А-1.

Пример. Найдем численное решение задачи Коши (2.20)
на отрезке [0, 1] экстраполяционным методом Адамса с пятью
верными десятичными знаками.

Выберем в качестве шага интегрирования h = 0,1. Осно-
ванием для этого является то обстоятельство, что для полу-
чения значений решения у(±0,1), у(±0, 2) с пятью верными де-
сятичными знаками достаточно в разложении (2.21) взять за-
писанные члены ряда. Таким образом, с указанной точностью
функцию у(т) на отрезке [—0,2, 0,2] можно приблизить много-
членом пятой степени. То же можно сказать и о приближе-
нии функции 0,1у'(х). Так как частичная сумма ряда Тейло-
ра функции j/(a?), вообще говоря, не является многочленом наи-
лучшего равномерного приближения к этой функции, то функ-
цию 0,1 у'(х), вероятно, можно приблизить многочленом четвер-
той степени. Но тогда четвертая разность в таблице значений
гд- = 0,1/(а;;, у,) ~ 0,1у'(т,) будет постоянной в пределах пяти
десятичных знаков.

Возьмем к = 4, другими словами, будем считать, что на-
чало таблицы (3) состоит из пяти значений, и, следователь-
но, мы предполагаем проводить вычисления по формуле (19).
Это согласуется также с тем, что формула (19) дает точный ре-
зультат, если решение у(х) является многочленом пятой степе-
ни. В качестве начальных значений естественно взять y(j  0, 1),
j = —2, —1,0,1,2, вычисленные с помозью разложения (2.21). Ре-
зультаты вычислений приведены в табл. 24.
Таблица 24

X	У	△у		V77	V2T)	V3 7)	V47?
-0,2	-1,05537		0,031845	-4529			
-0,1	-1,02598		0, 027316	-2316	2213	-118	
0	-1		0,025000	-221	2095	-101	17
0,1	-0,97528		0,024779	1773	1994	-88	13
0,2	-0,94978	0,02824	0,026552	3679	1906	-71	17
0,3	-0,92154	0,03284	0,030231	5514	1835	-55	16
0,4	-0,88870	0,03925	0, 035745	7294	1780	-31	24
0,5	-0.84945	0, 04741	0, 043039	9043	1749	-9	22
0,6	-0,80204	0, 05733	0,052082	10783	1740	27	36
0,7	-0,74471	0, 06899	0,062865	12550	1767	67	40
0,8	-0,67572	0,08245	0,075415	14384	1834	120	53
0,9	-0,59327	0,09779	0, 089799	16338	1954		
1	-0,49548		0,106137				

§ 4. Интерполяционный метод Адамса

Интерполяционный метод Адамса рассмотрим для задачи
Коши в случае одного уравнения

у'= f(x,y), у(х0) = у0-	(1)

В предположении, что решение у(х) этой задачи существует на
[хо, А"], где X > го, будем находить его приближенные значения
yj та y(xj) в точках (3.2). Как и в § 3, считаем, что известно на-
чало таблицы (3.3) — значения j/o,3/1, • • -^Уь- Интерполяционный
метод Адамса позволяет продолжить начало таблицы: вычи-
слить yj при j k + 1.

Пусть вычислены значения Уо,У1,    ,ут, где т k, т < 7V.
Вычисление ут+\ основано на равенстве (3.4)

^'m + l

7/(xm+i) = у(.тт) + У y(x)dx.	(2)

® in

Получим интерполяционную квадратурную формулу для вычи-
сления интеграла в правой части (2), при этом в качестве узлов
возьмем точки £m+i, хт,..., хт_к-

Квадратурная формула имеет вид

Я m +1	j.

[ <p(x)dx = ^2	+ Rrmk(<p),	(3)

где

R*mk(ip>)— погрешность квадратурной формулы. В число узлов
формулы (3) входят узлы формулы (3.5) и еще один узел xm+i —
правый конец отрезка [гт, гт+1].

В интеграле (4) сделаем замену переменной интегрирования
х = хт + ht. Получим

ш(х} = hk+2(t - 1)ф + 1) ...(< + к),
w'(xm4) =	+	+ l)!(fc - j)!,

Ь’	—• h(t + J),

так что интеграл (4) можно записать в виде

B'kj = hbkj,	(5)

где

.. _	(~1)> + 1	[ (/-W + l) (< + *:) ,.

kj U+mk-j)\J t+j

о

Формулы (3), (5), (6) имеют смысл и при к = — 1, если условиться
считать t(t +1)... (t + к) = 1 при к = —1. Квадратурная формула
(3) в этом случае имеет единственный узел £т+1-

Числа bkj не зависят от т и h, их таблица, при к — —1,0, 1,2
такова:
к	bkj при разных j			
	-1	0	1	2
-1 0  1  2	1 1/2 5/12 3/8	1/2 2/3 19/24	-1/12  -5/24	1/24

Из формулы (6) при j = — 1 получаем

1

&£,-1 = (к + 1)! У	+ k'ldt - ak + i > О,

о

к = -1,0,1,2,...,

где at + i определяется равенством (3.16). Далее, при j 0 ко-
эффициенты Ь*к^ положительны, когда.) четное, и отрицательны,
когда j нечетное. В частности,

Ь*ко>0, £ = 0,1,2,...	(8)

Квадратурная формула (3) имеет к + 2 узла, и как интерполя-
ционная она точна для всех многочленов степени не выше к + 1.
Для многочлена £ +2-й степени <д(х), определяемого равенством
(4), она не точна, так как ш(х) < 0 на интервале (хт, i„, + i) и, зна-
чит, интеграл от него отрицателен, а квадратурная сумма рав-
на нулю. Алгебраическая степень точности формулы (3) равна
£+ 1.

К интегралу в (2) применим квадратурную формулу (3). По-
лучим

k

y(xm+i) = у(хт) + h	+ Л^(у').	(9)

j = -i

Здесь мы воспользовались равенством (5) для коэффициентов.
Слагаемое Р'^пк(у1) представляет собой погрешность квадратур-
ной формулы (3) для функции у’(х). Она равна интегралу от по-
грешности г(г) = у’(х) — Pmk(z), которая возникает при интерпо-
лировании функции у'(х) многочленом Pmkfx'), построенным по
узлам квадратурной формулы.
С помощью формулы (1.3.11) для погрешности интерполиро-
вания и теоремы 2.2.1 о среднем значении нетрудно получить
представление

= ~+а + 21|(??) Л “	+ П •••(« + ^) dt,

"г *•). J	(1UJ

О

%т — к -С Л "С ^m + l’

Конечно, предполагается, что решение у(х} имеет непрерывную
производную у(к+3\х} на всем отрезке [хо, А"]. Отметим также,
что в (10) следует считать £т_д. = хт при к = — 1.

Чтобы сделать формулу (9) пригодной для вычислений, за-
меним у(хт), y'(xm_j) приближенными значениями:

У^т ) Ут 1 У (xm—j ) ~ f(.xm—j > Ут—j ) >
j =-1,0,1,2,...J,
и отбросим погрешность Я^Ду')- Получим
k

Ут + l — Ут + к ' b^j f(xm_j , Ут-j )•	(11)

J = -l

Эта формула не дает явного выражения для Ут+ъ так как
Ут+i входит в слагаемое правой части, отвечающее; = —1. Та-
ким образом, (11) представляет собой уравнение относительно
Ут+1- Обычно это уравнение решают методом итерации. Метод
численного решения задачи Коши (1), определяемый формулой
(11), называется интерполяционным методом Адамса. Отрезок
интегрирования [im,im+i] в квадратурной формуле (3) содер-
жится в наименьшем отрезке im+i], которому принадле-
жат узлы интерполирования. Это объясняет присутствие слова
интерполяционный в названии метода.

Формулу (И) как уравнение относительно ут+1 запишем в
виде

2/m+l —	_ 1/(хт^-1, Ут+1)4" F(ym — k > * • • , Ут} •

На основании теоремы 4.2.2 метод итерации для этого уравне-
ния сходится, если шаг h выбран достаточно малым и начальное
с	(0)	с

приближение взято достаточно близким к его корню ym+i.
При этом предполагаем, что f(x, у) имеет частную производную
<df(x,y)/dy, непрерывную в некоторой полосе

хо < х- X, -р у(х) - у р, р > 0,
содержащей у(х) и yj при j = 1,2,..., N. При вычислении ym+i
по формуле (11) в качестве начального приближения часто
берут соответствующее значение, полученное экстраполяцион-
ным методом Адамса по формуле (3.12).

Нетрудно видеть, что интерполяционный метод Адамса, опре-
деляемый формулой (11), дает точное значение решения, если
решение у(х) является многочленом степени не выше А'+2. Пред-
полагается, что yj = y(xj), j ~ 1,2,..., k, и вычисления по фор-
муле (11) выполняются точно, в частности точно решается урав-
нение (11) относительно неизвестной j/m+i-

Сравним экстраполяционный и интерполяционный методы
Адамса. При этом следует сравнивать расчетную формулу
(3.12) с формулой

Ут + 1 = Ут + h	, Ь)._ j j f (хт_ j , Ут-j )	(12)

;=-1

которая получается из (И) заменой k на k— 1, так как при полу-
чении этих формул использованы квадратурные формулы, име-
ющие одинаковое число узлов k + 1 и одинаковые алгебраиче-
ские степени точности k.

Узлами квадратурной формулы (3.5) являются точки

^ш-1+11  • •	(13)

а узлами формулы (3), если в ней заменить k на к — 1, — точки

%т — А.’ + 11'^m — fc + 2> • • • , ®т+1 •	( 14 !

Интерполяционная квадратурная формула для вычисления ин-
теграла по отрезку [гт, zm+i] с узлами (14), вообще говоря, точ-
нее квадратурной формулы с узлами (13). В этом смысле интер-
поляционный метод Адамса точнее экстраполяционного.

Наиболее точный в указанном смысле метод численного ин-
тегрирования мы получим, если для вычисления интеграла в (2)
применим интерполяционную квадратурную формулу с узла-
ми Tm-jt, ^m-jt+1) • • •, im-H+i > которые расположены симметрич-
но относительно середины отрезка интегрирования [тт,гт+1].
Расчетная формула будет содержать к + 1 неизвестных j/,n + i,
Ут+2>    ,Ут+к+1- Соответствующий метод численного решения
задачи Коши называется методом типа Коуэлла. Такого рода
методы применялись в период до появления ЭВМ.
Интерполяционынй метод Адамса определяется заданием к,
где к = — 1,0,1,2,... В частности, при к = — 1 расчетная форму-
ла (11) принимает вид

З/m + l “ Ут 4" ^•/(^'m + l > 2/т + 1)'

Эта формула определяет неявный метод Эйлера. При нахожде-
нии j/m+i методом итерации в качестве начального приближения
к j/m+i используется значение у^+1, которое находится с помо-
щью формулы (3.13) метода Эйлера. При к = 0 из формулы (11)
получаем

Ут + 1 —' Ут 4“	(/(®m+l i 2/m + l) 4" f(xm] Ут)) •

Квадратурную формулу (3) запишем в разностной форме.
Интерполяционный многочлен подынтегральной функции уз(х),
построенный по узлам жт_^,	..., хт, xm+i, запишем в

форме Ньютона для интерполирования в конце таблицы:

Л-ц(я) = Л-+1(а-’т+1 4- ht) =	+	+ 7—— V^(Xm+l).

3=0	J'

Здесь мы пользуемся соглашением (3.14): t(t 4-1) • • • (t 4- j — 1) — 1
при j — 0.

В интеграле



который совпадает с квадратурной суммой формулы (3), сдела-
ем замену переменной интегрирования х = 1т+1 + ht. Получим

I flt+iW
® т

fc + 1

dx = h^a^^^Xm+i),
з=о

где коэффициенты

о

a*j = jj- j t(t + 1).. .(t + j - 1) dt, j = 0,1,2,...

-i

(15)

не зависят от к.
Таким образом, разностная форма квадратурной формулы (3)
такова:

fc+i

/ tp{x)dx = /i^a;VJsp(a:m+i) + R*mk(<p).	(16)

Л >=°

Запишем несколько первых чисел aj: ag = 1, a, = —1/2, а? =
-1/12,	= -1/24, а*4 = -19/720, a£ = -3/160, а*6 = -863/60480.

Интеграл в (2) заменим правой частью формулы (16). Полу-
чим

fc+i

у(а:т+1) = у(хт) + h	а] VJj/(a:m+i) + Я^у').

j=o

Неизвестные величины у(хт) и VJ2/'(a:m+i) в правой части этого
равенства заменим их приближенными значениями ут и
VJ /(тт + 1, Ут + 1 ) и отбросим погрешность R^nk(y>'). Это приводит
нас к расчетной формуле интерполяционного метода Адамса в
разностной форме:

fc+i

Ут+1 = Ут +	/(хт + 1,Ут + \)-	(17)

5—0

Мы уже отмечали, что интерполяционный метод Адамса в не-
котором смысле точнее экстраполяционного. Это обстоятель-
ство проявляется в том, что коэффициенты а* формулы (17) с
ростом j убывают по абсолютной величине быстрее, чем aj —
коэффициенты расчетной формулы (3.18) экстраполяционного
метода Адамса.

Сравним погрешности расчетных формул (3.12) и (12) экс-
траполяционного и интерполяционного методов Адамса, полу-
ченных с помощью квадратурных формул с одинаковым чи-
слом узлов k 4- 1. Для экстраполяционного метода Адамса по-
грешность дается формулой (3.11), для интерполяционного —
формулой (10), в которой k следует заменить на k — 1. Эти по-
грешности в силу (3.16) и (15) соответственно равны
ajt+i/iA+2j/^+2l(77), ak + 1hk+2y^k+2\T]i), где т), тц —некоторые точки
из im+i] при k / —1. Так как |а£ + 1| < ajt+i, то абсолют-
ная величина погрешности интерполяционного метода Адамса,
вообще говоря, меньше абсолютной величины погрешности экс-
траполяционного метода Адамса.
Численное решение задачи Коши интерполяционным мето-
дом Адамса по формуле (17) выполняется следующим образом.
По значениям уо, yi,. .., уь+i составляется такая же таблица,
как в случае экстраполяционного метода Адамса. Мы счита-
ем, что помимо начальных значений Уо,У1,    >Ук> необходимых
для выведения формулы (17), известно еще одно значение j/t-t-i
(табл. 25), где к = 3 и использовано обозначение rjj = hf(xj,yj).

Таблица 25

X	У	△v	V = hf(x,y)	V??			
XQ	УО		Vo	V?;i			
	У1		m	Vr)2	Ч2П2		
	У2		12	V7J3	^213	V3?)4	
хз	Уз		13	V?)4	V2?)4		
	У4	△ V4					
^5							

Запишем формулу (17) при к = 3 в виде

△1/m = TJm-l-l — ТVTJm-l-l — ТТV 7}т + 1 —ТТ^ 7?т + 1 —ТТТ^ Г)т + 1  (18)
Л	Х^1	i хи

Положим здесь т = 4:

А	1 т—г	1 _Q	1 — Q	19 —И	/1Л\

△3/4 =Г]5~ 7^5 ~	~ TjV3J?5 ~ TT^V4Т]5.	(19)

X	IX	Хт	I

В правую'часть этой формулы входят разности

7]5, V775, V2^, V3^, VV	(20)

которые неизвестны и должны располагаться в следующей на-
клонной вверх строке таблицы разностей. Чтобы воспользо-
ваться формулой (19), мы должны знать начальные приближе-
ния к разностям (20).

Первый способ получения этих начальных приближений та-
кой же, как при вычислениях по формуле (П). Именно, Ду4 вы-
числяем по формуле экстраполяционного метода Адамса (3.20)
и тем самым находим начальное приближение к у$ и к разностям
(20). Теперь по формуле (19) можем найти первое приближение
к j/з и к разностям (20). По первому приближению для разно-
стей (20) с помощью формулы (19) находим второе приближе-
ние к 2/5• Итерации продолжаются до тех пор, пока не совпадут
два последовательных приближения к у$. Обычно достаточно
одной-двух итераций.

Второй способ получения начальных приближений к разно-
стям (20) состоит в том, что указывается начальное приближе-
ние к разности четвертого (старшего) порядка V4t/5, а именно
V4^o) = V4t/4. Такой образ действий основан на том, что при
правильном выборе шага h в пределах нескольких единиц по-
следней значащей цифры V4z/s ~ V4^. Зная начальное при-
ближение V4t/5°\ находим начальные приближения ко всем раз-
ностям (20), по ним с помощью формулы (19) находим первое
-	(О

приближение 2/5 и т. д.

Интерполяционный метод Адамса, как и экстраполяционный,
можно применять к решению задачи Коши (1.5) для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Расчетные фор-
мулы (11) и (17) в этом случае остаются почти без изменений.
Например, формула (И) запишется в виде

к

у(т+1)=1/М+Л £ Ь^/(хтЧ,у<т-(21)
j=-i

Здесь — вектор, приближение к Вектору y(xj), где у(х)—
решение задачи Коши (1.5), f(xm_j, у(т~^)— значение вектор-
функций правой части системы (1.5).

Расчетная формула (21) представляет собой уравнение от-
носительно неизвестного вектора 2/^т+О. Уравнение решается
методом итерации, при этом начальное приближение к 2/^т+О
определяется экстраполяционным методом Адамса по формуле
(3.21).

Пример. Задача Коши

у' = 0, 25j/2 + х2, 2/(0) - -1

была решена численно экстраполяционным методом Адамса в
§ 3 (см. табл. 24). Уточним это численное решение по формуле
(18) интерполяционного метода Адамса. Результаты вычисле-
ния приведены в табл. 26.
Таблица. 26

X	У	△г	П = hf(x,y)	V77	V2?;	V37)	V4T)
-о, 2	-1,05537		0,031845	-4529			
-0,1	-1,02598		0,027316	-2316	2213	-118	
0	-1		0,025000	-221	2095	-101	17
0,1	-0,97528		0,024779	1773	1994	-88	13
0,2	-0,94978	0,02824	0,026552	3679	1906	-71	17
0,3	-0,92154	0,03284	0,030231	5514	1835	-55	16
0,4	-0,88870	0,03925	О, 035745	7294	1780	-32	23
0, 5	-0,84945	0,04742	0,043039	9042	1748	— 7	25
0,6	-0,80203	0,05733	0,052081	10783	1741	27	34
0,7	-0,74470	0,06899	0,062864	12551	1768	65	38
0,8	-0,67571	0,08245	0,075415	14384	1833	121	56
0,9	-0,59326	0,09780	0,089799	16338	1954		
1	-0,49546		0,106137				

Значения уз, 1/4, уь найденные по формуле (18), совпадают
с соответствующими значениями, найденными экстраполяцион-
ным методом Адамса. У всех следующих значений происходит
изменение в пятом десятичном знаке. Например,

△у5 = 0, 052082 - (1/2)0, 009043 - (1/12)0, 001749—

- (1/24)(—0,000031) - (19/720)0, 000024 = 0,04742.

Во всех случаях первое приближение оказывается оконча-
тельным, другими словами, оно совпадает со вторым прибли-
жением.

Численное решение, полученное интерполяционным методом
Адамса, совпадает с решением, найденным в § 2 методом Рунге—
Кутта.
§ 5. Об оценке погрешности метода Адамса

Рассмотрим вопрос об оценке погрешности, возникающей при
численном решении задачи Коши для одного дифференциально-
го уравнения

У' = f(x,y), у(х0) = Уо	(1)

экстраполяционным и интерполяционным методами Адамса.

Пусть речь идет о численном решении этой задачи на конеч-
ном отрезке [то,Х], где X > xq, при этом предполагается, что
решение у(х) на [то,Х] существует. Считаем, что в некоторой
замкнутой области D, выпуклой по у и содержащей криволиней-
ную полосу Dp, определяемую неравенствами

то х С X, -р С у(х) - у С р, р > 0,	(2)

функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные про-
изводные до порядка г + 1 включительно, где г 0.

Как всегда, обозначаем

Xj=xo+jh, j = 0,1,2N,
где

io + Nh. X < то + (А + 1)Л.	(3)

Расчетные формулы экстраполяционного метода Адамса
(3.12) и интерполяционного метода Адамса (4.11) будем запи-
сывать с помощью одной формулы:

к

1/m + l = Ут 4" Л	Pj f(xm—j >ym-j)-	(4)

j = -l

Здесь = 0, (3j = bkj j = 0,1,..., к, в случае экстраполяци-
онного метода Адамса и Pj = 6^- j = — 1,0,1,..., к, в случае
интерполяционного метода Адамса. Для упрощения записи не
отмечена зависимость коэффициентов от к. В силу (3.9), (4.7),
(4.8) имеем

/3-1	0, Ро > 0.	(5)

Метод Адамса можно рассматривать как метод построения
решения ут разностного уравнения (4) порядка к + 1, принима-
ющего при т = 0,1,..., к заданные значения

Уо,У1,---Ук-

(6)
Именно, полагая в (4) тп = к и подставляя известные значения
(6), находим yk+i- Если = 0, то Ук+i вычисляется непосред-
ственно; если 0-1 > 0, то j/jt+i следует вычислять как корень
уравнения вида

yk + i = h/3_if(xk+i,yk+i) + F(y0,yi,. ..,yk).

Аналогично, полагая в (4) m = к 4- 1 и подставляя известные
значения у\,..., ук и уже найденное ук+i, находим Ук+2 и т. д.
Через ym, т = k + 1, к + 2,..., N, обозначаем точное решение
разностного уравнения (4).

При фактических вычислениях по указанной схеме счет ве-
дется с округлениями, поэтому вместо точных значений
Ук+i, • • •, Ум мы получаем приближенные значения ук+i, •  ., ум-
Начальные значения (6) будем обозначать также через у}:

Уз -Уз, j = 0,l,...,fc.	(7)

Предполагаем, что

(xj^eD, j = 0,l,...,A.	(8)

Таким образом, ут не удовлетворяет точно разностному урав-
нению (4), и мы имеем

к

Z/m-f-l = Ут + h (3j	, Ут—j) + Гт .	(9)

j = -l

Величину Гт будем называть погрешностью округления.

На основании (3.10) и (4.9) справедливо равенство

k

Z/(^m + l ) — 3/(*^m ) к ) pj f (zm—j, y(zrrL^j)) 4- Rm,	(10)

j=-l

где Rm — остаточный член или погрешность метода Адамса (4).
Для Rm в случае экстраполяционного метода Адамса было ука-
зано представление (3.11), в случае интерполяционного метода
Адамса—(4.10). Запишем эти представления одной формулой:

Rm = a/ir+2i/Cr+2)«),	£ С Jm+i,	(И)

где г = к 4- sgn^0 и хт_к = хт в случае k = — 1. Коэффици-
ент а в случае экстраполяционного метода Адамса равен a^+i,
где ajt+i определяется формулой (3.16), и в случае интерполя-
ционного метода Адамса а = aJ+2, где а£+2 дается формулой
(4.15).
Равенства (10) и (11) показывают, что _у(тт), вообще гово-
ря, не удовлетворяет уравнению (4); у(хт) удовлетворяет урав-
нению (4), если у(х)— многочлен степени не выше г 4- 1. Так
как г 0, то уравнению (4) всегда удовлетворяет у(хгп), где
у(х) = х — ха- В этом случае f(x, у(х}) = у^х) — 1, y(a:m) = mh и
уравнение (4) запишется в виде

(т + 1)А = mh + h /3j ,

или

к

Е ft - 1.	(12)

J=-l

Обозначим через £т погрешность ут как приближения к зна-
чению решения у(хт) задачи (1):

Ет = У(Хт) - Ут, ГП = 0,1, . . . , N.	(13)

Вычтем равенство (9) почленно из равенства (10) и примем во
внимание обозначение (13). Получим разностное уравнение

к

'-m-Н —	+ h У (3j [/(^т—j , y(xm_j )) —

J = -l

~ f(xm-j i Ут—j )] + Rm “Гт, (14)

которому удовлетворяет погрешность £т.

Отметим, что eq,О,••,ввиду (7) представляют собой по-
грешности начальных значений (6). Верхняя граница абсолют-
ных величин этих погрешностей обычно известна. Обозначим
ее через е:

> = 0,1,..., 1’.	(15)

Будем предполагать также, что известны верхние границы
для абсолютной величины погрешности метода

|Ят| R	(16)

и для абсолютной величины погрешности округления

|Гт| Г	(17)

при т = к, к + 1,..., N — 1.
Верхнюю границу для |7?т| можно указать, если воспользо-
ваться представлением (11):

|Ят| |a|/ir+2 max |у(г+2)(а:)| .	(18)

Отметим, что определение верхней границы для max |z/’ +2)(z)|,
не сильно превышающей этот максимум, представляет значи-
тельные трудности. Соблюдения неравенства (17) можно до-
биться, если вести вычисления с достаточной точностью.

Наша задача состоит в том, чтобы указать оценку для |егп|
при т = k + 1, k + 2,..., N. В силу выпуклости по у области
D и условия (8), можем воспользоваться формулой конечных
приращений

/(г,-,^)) - f(xi,yi) =
ду

Точка (аг:>&) принадлежит области D.

Пользуясь этим равенством, запишем уравнение (14) в виде

(1 к Q ^f(xm+l ! €m+l) \	_

\	ОУ J

= em + h\\Pj д^х^Лт~йе	(19)

дУ

Обозначим через К постоянную, удовлетворяющую неравен-
ству

\df(x,y)/dy\	(20)

при (я, у) из области D. Если /З-i > 0, будем считать h столь
малым, что выполнено неравенство

/1/3_1Л'<1.	(21)

Из (19) с помощью (20), (21) получаем

(1 —	) |cm + i | С

к

|em| + hK^ Ш • km-jl + |Ят| + |Гт|. (22)
з=о

Рассмотрим уравнение в конечных разностях

к

(1 — /i/3-i Л) Em+i = Ет + hl\ \(3j |Em_j + 7? + Г. (23)
j=o
Если

I < Em< |Em — 11 Em_	— к | Tr.-t i

то из неравенства (22) получаем

k

(1 — /г/3_i lx ) |бт + 11 C Em + h lx \(3j \Em..j + R + Г.

i=o

Здесь мы воспользовались еще неравенствами (16) и (17). За-
меним правую часть последнего неравенства левой частью ра-
венства (23). Получим

(1 -М-1А’)|г„.+11 (1 - Л/?-1/<) £7„г+1,

или в силу (21) |em+i I Ет+1.

Таким образом, если Ет— решение разностного уравнения
(23). удовлетворяющее неравенствам

|гт|^£т, ш = 0,1,..., к,	(24)

то эти неравенства будут справедливы также и при т = к + 1,
£ + 2,..., АГ.

Перейдем к построению решения разностного уравнения (23),
удовлетворяющего неравенствам (24). Так как по (15) имеем

| f при j' = 0,1,..., к, то достаточно построить решение Ет
уравнения (23), удовлетворяющее неравенствам

£ Ет, т = 0,1,.... к.	(25)

Уравнение (23) неоднородное с правой частью, равной посто-
янной R + Г. Будем разыскивать частное решение этого уравне-
ния, равное постоянной А. Подставляя Ет = 4в (23), получаем

/ = -(/? + Г)/(/1А'<т),	(26)

где

к

(27)
j=-i

Отметим, что на основании (12) имеем <т 1.

Так как А < 0, то найденное частное решение не удовлетво-
ряет условиям (25). Найдем решение однородного уравнения

к

- hp-гК} Ет+1 = Ет + ЬК^\^\ЕтЧ. (28)

;=0
пиниям для ihjro Xci|iiiK'ii‘pMC'i ическог* уравнение:

A-

и(Д = (I - Л/У_, А 1 -(1 + ЛД/\)? -/iK ^2 |,^|г*'"= 0. (2!))

> = i

Имеем

k

x(i) = — hi\ 52 i^ji=	< о

j--i

и х(+>с) — +эо, поэтому уравнение (29) имеет вещественный
корень ci > 1. Отметим, что при выполнении (21) других поло-
жительных корней уравнение (29) не. имеет. Частным решением
однородного уравнения (28) является Е,п = с”1. 'Гак как посто-
янная /1, определяемая равенством (26), удовлетворяет неодно-
родному уравнению, то

Ет = Bz\n -(/? + Г)/(ЛКД)	(30)

удовлетворяет уравнению (23) при любой постоянной В.

Подберем постоянную В таким образом, чтобы решение (3(1)
удовлетворяло неравенствам (25). Достаточно потребовать,
чтобы Ео — ^то приводит к следующему значению для В:

В = -: + (R + Г)/(ЛКД),	(3!

и решение (30) «апи<-ына.ется в виде’

Е„, = г.-'/1 + (-"’” - !)(/?+ Г)/(Л7х',г).	:32;

'Гак как -; > 1. данное решение удовлетворяет условиям (25).
и. следовательно, неравенство

|-...i -м'” + (-'/’ - !)(/?+ Г)/( 1> КД)	-33>

выполнено при всех т = I . 1: + 2, . . . . N. Последнее Нора
вепство и представляет собой ту оценку, которую мы хотели
получить.

Корень С] характеристического уравнения (29) является функ-
цией от Л: = С| (/)). Полагая в (29) Л = 0. получаем ;i(D) I.
Вычислим производную по Л. от левой части (29):

/J-iKzk+' + (1 - /)/?_! К')(£ + 1)?/-

- г^К:к - (1 + /ДпК)))•.?-Е'~

!г	Т-1

- K52l^!^'"J-/'K'52i.^|(A:-j)?-J--':' - 0.

.) = (	7=1
Положим здесь h = 0 и примем во внимание, что г^О) = 1. По-
лучим

к

-/7-1 К + (k + l)zJ(O) - /?0/< - kz'x (0) - К £ \0> | = 0,

>=1

или -J(0) = Ка. Таким образом, разложение zx по степеням h
имеет вид

zi = 1 + К ah + . , .	(34)

Отсюда следует, что правая часть неравенства (33) возраста-
ет с ростом т по показательному закону. В самом деле,
z\n = (1 + Kah + .. ,)(^-^о)/л ~ ехр{Ка(хт _ 1о)}_

Оценка (33) оказывается, как правило, сильно завышенной. Это
объясняется тем, что она пригодна для широкого класса задач
(1). Отметим, что оценка (33) является апостериорной, так как
мы предполагаем, что (г^у,) G D.

Покажем, что при достаточно малых h, 0 < h ho, и т —
0,1,..., N выполнено неравенство

-Т < с,	(35)

где постоянная С зависит от задачи (1) и метода (4) и не зависит
от h. На основании (3) и (34) имеем

< z{X~Xo),h = (1 + Kah + ...^x-Xo)/h.

Так как последний член этой цепочки неравенств при Л —> 0
стремится к ехр{А'<т(Х — но)}, то неравенство (35) установлено.
Из неравенства (33) с помощью (35) получаем

max |cm| < сС + ^~*^(С - 1)	(36)

hl\a

при всех 0 < h ho-
Будем считать, что

е = ahp, Г = a/ip+1,

где а и р — некоторые положительные постоянные. Из неравен-
ства (18) следует, что в качестве R можно взять

R = yhr+2, у > 0.

Подставляя эти значения г, Г, R в (36), получаем

max |£т| < Cahp + —(ahp + yhr+l) .

Ka
Так как р > 0, г О, то правая часть этого неравенства стре-
мится к нулю, когда h —> 0. Отсюда следует равномерная схо-
димость при /г —> 0 численного решения ут к у(х) на отрезке
[х0, А']:

lim max |cmI = 0	(37)

Л—OO^m^JV

при любых погрешностях ео, £i , • • •, £k начальных значений и при
любых погрешностям округления Гт, удовлетворяющих нера-
венствам

|ej| <С ahp, j = 0,1,..k,
|Гт| $ ahp+1, т = k, k + 1,..., N — 1.

Область D содержит полосу Dp, определяемую неравенства-
ми (2), поэтому при всех достаточно малых h точки (хт,ут)
принадлежат области D.

Предположим теперь, что правая часть дифференциального
уравнения (1) в области D имеет отрицательную производную
по у и выполнены неравенства

9 ~df(x,y)/dy К,	(38)

где q и К— положительные постоянные. В этом случае для |гт |
можно указать более точную оценку, чем оценка (33).

Запишем равенство (19) в виде

(л и a 9f(xm + i	+	_ (л , L а df(xm,^m')\

1 - Л/J-i------------ Em+i =1 + /гро-----3----- Ет +

\	оу J \	ду J

+ h Ъ & дЯХт~ду }	- Гт. (39)

Предположим, что
h/30q < 1.	(40)

В силу (38) и (40) из (39) получаем неравенство

(1 + /г^_19)|г,п+11	(1 — /*/?о9)|£т|+

к

+ hl\ |/3j | • |£m-j | + | Дт| + |Гт | • (41)

J = 1

Считаем, как выше, что (хт, ут) £ D при т = 0, 1,2,..., N.
Рассмотрим разнос riioi' у равнение

! I + ЛлУ_ 1 </) А.j. 1 --

а-

= (1 — h Jan)Е,„ + hJ\ 5 ~	|j + II + 1 . (42)

7 = 1

Нетрудно проверить, пользуясь неравенством (41). что если
Ет— решение этого разностного уравнения, удовлетворяющее
неравенствам (24) |:,,,| Ет, т — 0. 1.2,.. ., к. то неравенство
|-г„; |	Е,„ будет выполняться и при in — k + 1 Д' + 2,..., N. В

силу (15) достаточно найти решение Ет уравнения (42). удовле-
творяющее неравенствам

- Ет, т = 0. 1,...Д.	(43)

Частное решение уравнения (42), равное постоянной .4, есть

А = (/?+Г)/(/Д),	(44)

‘ 'АЙ ;

6 = ч(в^ + в0)- А'52 I'M	Д5)

7 = 1

Будем предполагать, что

6 > 0.	(16)

Рассмотрим характеристическое уравнение для разностного
уравнения (42):

к

х(-) = (1 + hl3_iq)zk + ' - (1 - М,?)?- - ЛА' 52 |^|?-> = 0. (47)
7 = 1

При условии (40) это уравнение имеет единственный положи-
тельный корень. Обозначим его гр Так как

х(0) = -ЛА’|^.| < 0, х(1) = Л<5 > 0,

то

0 < 21 < 1.	(48)

Нетрудно указать первые два члена разложения гт по степе-
ням Л:

Zj = 1 - 611. + .,.

Таким образом,

Ет — А + Bz™,

(49)
где А определено формулой (44) и В — произвольная постоян-
ная, является решением разностного уравнения (42). Постоян-
ную В выберем так, чтобы было выполнено условие (43). Здесь
следует различать два случая: е < А и е > А.

В случае г < А будет выполнено неравенство

Ы^А	(50)

при всех т = 0,1,..., N. Но эту оценку .можно уточнить, выби-
рая в качестве В такое отрицательное число, что

eEZA + Bz"1, m = 0,1,..., А.'.	(51)

Очевидно, что если взять В = е — А, то на основании (48) нера-
венства (51) будут выполнены и, следовательно,

|rm| sj А + (е — A)z™,

или в силу (44)

Ы $	+ (1 - сГ)(^+ Г)/(И, 771-0,1,...,^	(52)

Это и есть требуемая оценка для случая е < А.

Пусть теперь е > А. Чтобы были выполнены неравенства
(51), достаточно определить В из равенства е = А + Bzk. Полу-
чим В = (е — A)z^k. Таким образом,

Ы A + (s- A)z™~k,

и оценка для случая е > А имеет вид

Ы Ez™~k + (1 - ?”-‘)(Я+ Г)/(Л5), т = 0,1,...Л. (53)

При е = А неравенства (52) и (53) переходят в неравенство (50).

Отметим частный случай k — 0, когда формула (4) имеет вид

Ут + \ — Ут + t43-lf(xin + l , Ут+1 ) + h/3of(xm, ут).

В этом случае величина 6, определяемая равенством (45), упро-
щается: 6 = ?(/?_] +^о), и условие (46) 6 > 0 в силу (5) выполнено.
Легко видеть, что при k = 0

zi = (1 - h/3aq)/(l + h/3-iq}.

Если учесть, что Ео = у(1’о) ~ Уо — 0 и, следовательно, можно
положить Е = 0, то оценку (52) можно записать так:

i£ I <	д+г	(54)

1 ml l1	\l + h^iqJ hq((3-\ + 0О\	1 }
В частности, при (3_\ — 0, (За — 1 эта оценка представляет собой
оценку погрешности метода Эйлера.

Правые части неравенств (52) и (53) не превосходят величины
г + (/?-+ Г)/(/н5). Если шаг h выбрать так, что (Я + Г)/(Л<5) <С р,
то (жт,уш) G Dp С D и оценками (52) и (53) можно пользоваться
как априорными.

Рассмотрим метод численного решения задачи Коши(1), опре-
деляемый формулой

k	k

Ут + 1 — 'У } Qj + iym-j + h 'У } Pj f(xm-j , Ут-j)-	(55)

j=0	j=-l

Коэффициенты aj и (3j предполагаются вещественными. Фор-
мула (55) содержит в себе как частный случай формулу (4) ме-
тода Адамса (ai = 1, а? = ад • • • = ах.-+1 = 0).

Имеются и другие методы численного интегрирования зада-
чи (1), определяемые формулами вида (55). Например,

Ут + 1 = Ут — 1 + 77 [/(Хщ + 1 > Ут+1 ) +
и

+ 4/(г>т,1/,„) + /(Хт-1,Ут-1)]- (56)

Эту формулу можно получить, если в равенстве

y(l’m+l) = y(Xm-l) + У y'(x)dx

Z m — 1

интеграл заменить квадратурной суммой формулы Симпсона.
Отметим еще метод, определяемый формулой

Ут + 1 — —4ут + 5ут- 1 +

+/1[4/(г-т,1/т) +2/(1’т-1,Ут-1)]- (57)

Эту формулу можно вывести следующим образом. Представим
функцию j/(ar) ее интерполяционным многочленом Эрмита Рз(х),
построенным по значениям у(х) и у'(х') в узлах xm-i и хт:

у(х) - -Рз(х) + ^j(x - Xm-l)2(x - Xm)2y(/V)(0-	(58)

Многочлен Р3(х) записывается по формуле (1.4.25) и оста-
точный член интерполирования — по (1.6.11). Если положить
г- = x-,n+i в (58), то найдем

;у(1',п+1) = -4y(sm) + 5j/(i',n_i) + /г[4у'(а;т)+
h4

+ 2y'(xm_i)] + уУ'/И)(€), zm_i < £ < г-т+1. (59)

Заменяя здесь y(aj-) на yj, y'(xj) на /(®j,yj) и отбрасывая оста-
точный член, получаем формулу (57).

Пусть y(z)—-решение задачи (1). Величину /?т, определяе-
мую равенством

к

y(i'm+i) = ^2a> + iy(a;m_J+

7=0

к

+ 0jf(,xm-j,y(xm_j)) + Rm, (60)

J=-l

будем называть погрешностью метода (55). Предполагаем, что
для Rm имеет место представление

Rm = ahr+2i/r+2'>^), rm_jt < Zj $ rm+i,	(61)

где 7—неотрицательное целое число, а — постоянная. Считаем,
что f(x, у) имеет непрерывные частные производные до порядка
г + 1 включительно.

Нетрудно проверить, пользуясь представлением погрешно-
сти формулы Симпсона (2.2.30), что в случае метода (56) имеем
г = 3 и а = —1/90. Из формулы (59) видно, что для метода (57)
имеем г = 2ия=1/6.

Из формул (60) и (61) следует, что y(i-m) удовлетворяет раз-
ностному уравнению (55), если у(х)— любой многочлен степени
? + 1. Так как г 0, то разностному уравнению (55) удовле-
творяют у(хт) = 1 и у(хт) = mh. Это приводит к следующим
ограничениям на коэффициенты aj и Ду:

к	к	к

^2аз+1 = 1> 7П+ 1 =	j) + Pj- (62)

j — 0	j = 0	J ——i

Введем многочлен

Л(г) = ?+1 -ахгк-------akz - ак+1.	(63)
Первое равенство (62) означает, что единица является корнем
многочлена Л(г), второе равенство (62) можно записать в виде

к
л'(1)= Е&.

; = -1

Будем обозначать через ут, т = 0,1,..., А, приближен-
ное решение разностного уравнения (55). Начальные значения
ут = ут, т = 0,1,..., k, предполагаются заданными. Дальней-
шие значения ук+i, Ук+2,  • - ,Ук вычисляются последовательно с
помощью (55). Ввиду того, что вычисления ведутся с округле-
ниями, ут не удовлетворяет точно разностному уравнению (55),
и мы имеем

к	к

Ут+1 —	Q j +1 Ут — j 4“^	] ftj f(xm—j iVm-j] 4“ Гт, (64)

>=0	j=-l

где Гт —погрешность округления.

Погрешность ет = у(х,т) — Ут удовлетворяет разностному
уравнению

к	к

£m + l =	] Qj + l^m-j 4“ h "У	, У(хт-]У)~

j=0	j=-l

— f(xm—j । Ут—;)] + Rm ~ Гт- (65)

Пусть выполнены неравенства

|sm| <С ahp, т = 0,1,2,..., k,

|Гт| < ahp+l, т = fc,fe + l,...,N - 1,	(66)

где а > 0 и р > 0. Из (61) получаем

|/?m| <yhr+2,	7>0.	(67)

В случае метода Адамса (4) неравенства (66) и (67) обеспечива-
ют равномерную сходимость при h —► 0 численного решения ут
к у(х) на [го,Х]. Для общего метода (55) это утверждение без
дополнительных предположений не имеет места.

Нетрудно указать условия, необходимые для того, чтобы вы-
полнялось предельное соотношение

lim max 1бт1 = 0

Л—OO^m^N

(68)
при соблюдении неравенств (66) и (67) . Данное предельное со-
отношение должно иметь место, в частности, для задачи Коши
у' = 0, у(го) = Уо- В силу (61) имеем Rm = 0. Вычисление
f(x,y) = 0 производится без округлений, так что Гт = 0. Урав-
нение (65) запишется так:

k

£m + l —	, Otj + lE-m—j •

J=0

Решения этого разностного уравнения должны быть ограни-
ченными при любых начальных значениях Ео>^1.•••>£*, когда
тп —> оо. Как известно из теории уравнений в конечных раз-
ностях, для этого необходимо и достаточно, чтобы все корни
характеристического уравнения A(z) = 0, где A(z) определяет-
ся формулой (63), были расположены в единичном круге |z|	1

плоскости комплексного переменного z, при этом корни на еди-
ничной окружности |z| = 1 должны быть простыми. Если корни
уравнения A(z) = 0 обладают указанными свойствами, то метод
численного интегрирования (55) называется устойчивым.

Метод Адамса (4) устойчив, так как многочлен (63) A(z) =
zk+1 — zk имеет простой корень 1 и ^-кратный корень 0. Метод
(56) также устойчив, так как в этом случае A(z) = z2 — 1 имеет
два простых корня: 1 и —1. Метод (57) неустойчив, так как
квадратный трехчлен A(z) = z2 + 4z — 5 имеет корни 1, —5.

Оказывается, что устойчивость метода (55) является и доста-
точным условием для того, чтобы при выполнении неравенств
(66) и (67) имело место соотношение (68).

Доказательство этого утверждения приводить не будем. Его
можно найти в [58].

Вопрос об оценке погрешности методов типа Адамса числен-
ного решения задачи Коши для системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений рассмотрен в работе [37].
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	А л б е р г Дж., Н и л ь с о н Э., У о л ш Дж. Теория сплайнов и ее прило-
жения.— М.: Мир, 1972.

2.	Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.

3.	Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные ме-
тоды.— М.: Наука, 1987.

5.	Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2 т. — М.:
Наука, 1966. Т. 1.

6.	Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорит-
мы.— М.: Наука, 1966.

7.	Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.:
Наука, 1977.

8.	Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.:
Наука, 1984.

9.	Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука, 1987.

10.	Ганчаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функ-
ций.— М.: ГИТТЛ, 1954.

11.	Даугавет U.K. Введение в теорию приближений функций. — Л.:
Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

12.	ДаугаветИ.К. Об оценке норм полинома//Методы вычислений.—
Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1968. Вып. 5. С.3-10.

13.	Де Бор. Практическое руководство по сплайнам.—М.: Радио и
связь, 1985.

14.	Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. — М.:
Наука, 1972.

15.	Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных
систем уравнений. — М.: Мир, 1984.

16.	Завьялов Ю.С., Квасов Б.Н., Мирошниченко В.Л. Методы
сплайн-функций.—М.: Наука, 1980.

17.	Канторович Л.В. О приближенном вычислении некоторых типов
определенных интегралов и других применениях метода выделения
особенностей // Мат. сб. 1934. T.41,Xs2. С. 235-245.

18.	К ан т о р о в и ч Л. В. Некотоыре дальнейшие применения метода Нью-
тона для функциональных уравнений // Вести. Ленингр. ун-та. 1957.
№7. С. 68-103.

19.	Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.:
Наука, 1977.
20.	Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего
анализа. — Л.; М.: ГИТТЛ, 1949.

21.	Кармзина Л.Н., Курочкина Л.В. Таблицы интерполяционных
коэффициентов. — М.’. Изд-во АН СССР, 1956.

22.	Ко л л ат ц Л. Функциональный анализ и вычислительная математи-
ка.— М.: Мир, 1969.

23.	Корнейчук А. А. Квадратурные формулы для сингулярных инте-
гралов // Численные методы решения дифференциальных уравнений и
интегральных уравнений и квадратурные формулы. — М.: Наука, 1964.
С. 64-74.

24.	Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближения. — М.:
Фиэматгиз, 1959.

25.	КронродА.С. Узлыивеса квадратурных формул. — М.: Наука, 1964.

26.	Крылов В.И. Приближенные вычисление интегралов. — М.: Наука,
1967.

27.	Крылов В. И. Математический анализ. Ускорение сходимости.—
Минск: Наука и техника, 1988.

28.	Крылов В.И., Бобков В.В., Монастыри ый П.И. Вычислитель-
ные методы высшей математики. В 2 т. — Минск: Вышэйш. шк., 1972.
Т.1.

29.	Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислитель-
ные методы высшей математики. В 2 т. — Минск: Вышэйш. шк., 1975.
Т.2.

30.	Крылов В.И., Бобков В.В. МонастырныйП.И. Начала теории
вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. — Минск:
Наука и техника, 1982.

31.	Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала те-
ории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирова-
ние.— Минск: Наука и техника, 1983.

32.	Крылов В.И.,Бобков В.В., МонастырныйП.И. Начала теории
вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные за-
дачи и улучшение сходимости. — Минск: Наука и техника, 1984.

33.	Крылов В.И., Бобков В.В., М онастырный П.И. Начала теории
вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравне-
ния.— Минск. Наука и техника, 1985.

34.	Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала тео-
рии вычислительных методов. Уравнения в частных производных.—
Минск: Наука и техника, 1986.

35.	К р ы л о в В. И., Ш у л ь г и н а Л. Т. Справочная книга по численному
интегрированию. — М.: Наука, 1966.

36.	Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная матема-
тика.— М.: ВИНИТИ, 1994.

37.	Л о з и н с ки й С. М. Оценка погрешности численного интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений I// Иэв. вузов. Матема-
тика. 1958. Т. 5 (6). С. 52-90.

38.	Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука,
1980.

39.	МысовскихИ.П. Один частный случай квадратурных формул, со-
держащих наперед заданные узлы// Изв. АН БССР. Сер. фиэ.-техн.
наук. 1964. Т.4. С. 125-127.

40.	Мысовских И.П. Квадратурные формулы наивысшей тригономе-
трической степени точности// Вычисл. математика и мат. физика.
1985. Т.25,№8. С. 1246-1252.

41.	Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. — М.:
Н аука, 1981.

42.	Натансон И.П. Конструктивная теория функций. — М.; Л.: ГИТТЛ,
1949.

43.	Никольский С.М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1974.

44.	Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений.—М.:
ИЛ, 1963.

45.	Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов
Чебышева. — М.: Наука, 1983.

46.	Самарский А.А., Г улин А.В. Численные методы. — М.: Наука,
1989.

47.	Самокиш Б. А. Замечание о вычислении определенных интегра-
лов//Методы вычислений.— Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1963. Вып.2.
С. 45-49.

48.	Сеге Г. Ортогональные многочлены. — М. Физматгиз, 1962.

49.	Стечкин С.Б., СубботинЮ.Н. Сплайныв вычислительной мате-
матике. М.: Наука, 1976.

50.	Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значе-
ний.— М.: Наука, 1970.

51.	Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной
алгебры. — М.: Физматгиз, 1960.

52.	Фаддеев Д. К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной
алгебры // Зап. науч, семинаров Ленингр. отд. МИ АН СССР. 1975.
Т. 54. С. 3-228.

53.	Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных ал-
гебраических уравнений. — М.: Мир, 1969.

54.	Хаусхолдер А.С. Основы численного анализа. — М.: ИЛ, 1956.

55.	BauerF.L., RutishauserH., StiefelE. New aspects in numerical quad-
rature // Proceedings of Symposium in Applied Mathematics. 1963. Vol. 15.
P. 199-218.

56.	Clenshaw C.W. A note on the summation of Chebyshev series // Math.
Tables Aids Comput. 1955. Vol. 9. P.118-120.

57.	Cooley J.M., Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of
complex Fourier series // Math. Comput. 1965. Vol. 19. N 90. P. 297-301.

58.	Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of
ordinary differential equations// Math. Scandinavica. 1956. Vol. 4, N 1. P. 33-
53.

59.	Davis P. J., Rabinowitz P. Methods of numerical integration. N. Y.: Acad.
Press, 1975.

60.	Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc.
Roy. Soc. Edinburgh. 1928-1929. Vol. 49. P. 38-47.

61.	Gautschi W. A survey of Gauss — Christoffel quadrature formulae//
E. B. Christoffel / Eds. P. L. Butzer, F. Feher. — Basel: Birkhauser, 1981. P. 72-
147.
62.	Gants chi W. Questions of numerical condition related to polynomials //
Studies in Numerical Analysis / Ed. G. H. Golub. — The Mathematical Assotia-
tion of America, 1984. P. 140-177.

63.	Giinttner R. Evaluation of Lebesgue constants // SIAM J. Numer. Anal.
1980. Vol. 17, N 4. P. 512-520.

64.	Lin-Shihnge. A method for finding roots of algebraic equations // J. Math,
and Physics. 1943. Vol. 22. P. 60-77.

65.	Longman J.M. A method for the numerical evaluation of finite integrals of
oscillatory functions // Math. Comput. 1960. Vol. 14, N 69. P. 53-59.

66.	Sanden H.V. Eine Bemerkung zur numerisch-tabellarischen Integration
gewohnlicher Differentialgleichungen nach Runge — Kutta // ZAMM. 1963.
Vol. 43, N 12. P. 561.

67.	Schoenbergl.J. On Hermite — Birkhoff interpolation / / J. Math. Anal, and
Appl. 1966. V.16, N 3. P. 538-543.

68.	Stroud A.H., Secrest D.H. Gaussian quadrature formulas. — New Jersey:
Prentice-Hall, 1966.

69.	Szego G. Uber gewisse orthogonale Polynome, die zu einer oszillierenden
Belegungsfunktion gehoren // Math. Ann. 1934. Vol. 110, N 4. P. 501-513.

70.	Ullman J. L. A class of weight functions for which Tschebycheff quadrature is
possible // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 72. P. 1073-1075.
/. Р. Мysovskikh

LECTURES ON NUMERICAL METHODS

Textbook

St. Petersburg, 1998.

The author: Ivan Petrovich Mysovskikh, D. Sc. (Phys. & Math.), is
professor of St. Petersburg State University, chairman, the member of the American
Mathematical Society, the visiting professor of Jilin University (China). He is
autor of the books «Numerical methods (Chinese), National Education Publishing,
Peking, 1962, and «Interpolatory cubature formulae» (Russian), Nauka, Moscow,
1981.

The most important results of his investigations are related to the solution
of nonlinear functional equations (Newton — Kantorovich method), to the error
etimate the method of quadrature (cubarute) for the solution of integral equations,
to the calculation of multiple integrals by using interpolatory cubature formulae.

The book: It is the second edition of the book, which was published in 1962,
Fizmatgiz, Moscow. The first edition was translated in English by L.B.Rall and
edited by Wolters—Nordhoff Publishing, Groningen. 1969, in Nordhoff series of
inonografs and textbooks on pure and applied mathematics.

Ihe present second edition differs essential from the first one.

The book consists of five chapters.

Chapter 1.	Algebraic interpolation.

Chapter 2.	Calculation of integrals.

Chapter 3.	Numerical methods of linear algebra.

Chapter 4.	Nonlinear equations and systems.

Chapter 5.	The Cauchy problem for ordinary differential aquations.

The chapter 3 was absent in the first edition. Author insert the significant
changes in remaining chapters. The chapter 1 contains following new material:
the methods of the approximation of functions by the generalized polynomials
(the best uniform and mean square approximations, interpolation), the Chebyshey
polynomials, Hermite-Birkhoff interpolation, fast Fourier transform, splines, the
results on the convergence of interpolation, the interpolation by polynomials of
several variables. The new material of the chapter 2: algorithm for constructing
quadrature formula with weight. — function of the highest trigonometric degree of
accuracy, Romberg’s method, calculation of multiple integrals. In the chapter 4,
the theorems on the convergence of Newton’s method and method of iterations are
proved for the systems of equations. The chapter 5 is reduced: the methods of
Cowell and Stormer are omitted.

The book reflects the experriments of the lecturing on numerical methods (part I)
in Leningrad university.

Readership: Students of the departments methematics and applied mathema-
tics of the universities and presons connected with practical computation, who desire
to imporove their theoretical background.