Текст
Акад. Ж. АД АМАР
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ПЕРЕВОД С 7-го ИЗДАНИЯ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
проф. Д. И. ПЕРЕПЁЛКИНА
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
С ПРИЛОЖЕНИЕМ СОСТАВЛЕННЫХ
ПРОФ. Д. И. ПЕРЕПЁЛКИНЫМ
РЕШЕНИЙ ВСЕХ ПОМЕЩЁННЫХ В ТЕКСТЕ ЗАДАЧ
Утверждено
Министерством просвещения РСФСР
БИБЛИОТЕКА НМУ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
КОЛЛЕДЖ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА — 1951
Настоящее второе издание второй части книги существенно
отличается от первого в двух отношениях. Прежде всего, из
материала первого издания сохранены лишь разделы, посвящённые
непосредственно стереометрии вместе с её .дополнительными'
главами (инверсия, теорема Эйлера, правильные многогранники и
группы вращений): вопросы проективной и аналлагматической
геометрии, а также синтетической теории конических сечений,
входящие во вторую часть курса Адамара (и имеющиеся в первом
издании второй части), в этом втором издании опущены. В то же
время во втором издании книги помещены полные решения всех
имеющихся в тексте задач.
Таким образом, содержание книги во втором издании прибли-
жено к запросам тех читателей, на которых книга рассчитана,—
студентов высших педагогических учебных заведений и препода-
вателей средней школы.
Исправления и дополнения к первой части книги
(изд. 3-е, 1948).
1) Ссылку на вторую часть книги, имеющуюся на
стр. 267 (сноска 2) первой части, следует относить к первому
изданию второй части (в настоящее издание этот материал
не вошёл).
2) Ссылку на пп. 700 и 914 первого издания второй
части, имеющуюся на стр. 423 первой части, следует заме-
нить ссылкой на п. 508 и на решение упражнения 762 в
настоящем издании второй части.
3) По поводу решения задачи 112 первой части сравнить
сказанное в настоящем издании второй части в решении
упражнения 808 (стр. 700).
Редактор А. А. Борисов
Техн, редактор Н. Н. Махова,
Подписано к печати 12/VI 1951 г. А04086. Бумага 60x92*/xg. Бум. листов 23,75. Печ.
листов 47,5. Зак. тип.1374.Учётно-изд. листов 55,27. Тираж 25 тысяч, экз. Цена без пе-
реплёта 16 р. 60 к. Бумажный переплёт 1 р., коленкоровый 2 р.
Отпечатано во Второй типографии Издательства Академии Наук СССР (Москва,
Шубинский пер., д. КУ) с матриц Первой Образцовой типографии имени А. А. Жда-
нова Главполиграфиздата при Совете Министров СССР, Москва, Валовая^ 28.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие ко 2-му русскому изданию .... ................. 9
Из предисловия автора к 7-му изданию ............................10
КНИГА V. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия.
Глава I. Пересечение прямых и плоскостей.
325. Плоскость. Взаимное расположение прямой и плоскости .... 11
326—329. Элементы, определяющие плоскость........................14
330. Пересечение двух плоскостей ............................—
331—332. Взаимное расположение двух прямых.......................15
333—334. Пересечение трёх плоскостей..............................—
Упражнения 423—428 .................................... 17
Глава II. Параллельные прямые и плоскости.
335—336. Параллельные прямые.....................................18
337. Параллельные прямая и плоскость........................19
338—341. Параллельные плоскости..................................20
34 ’ —343. Углы с соответственно параллельными сторонами равны или по-
полнительны. Угол между двумя произвольными прямыми
в пространстве..................................................22
344—345. Три параллельные плоскости отсекают на произвольных секущих
пропорциональные отрезки........................................23
346. Обзор свойств параллельных прямых и плоскостей.........24
Упражнения 429—440 .................................... 25
Глава III. Прямая и плоскость, перпендикулярные между собой.
347 350. Определение. Геометрическое место точек, равноудалённых от
двух точек. Необходимое и достаточное условие перпендику-
лярности прямой и плоскости.....................................26
351—353. Плоскость, перпендикулярная к данной прямой и проходящая
через данную точку. Прямая, перпендикулярная к данной
плоскости и проходящая через данную точку.......................28
354—355. Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Расстояние точки от
плоскости. Приложение к параллельным плоскостям .... 29
356. Геометрическое место прямых, составляющих равные углы с двумя
данными прямыми ............................................30
Упражнения 441—455 .................................. 31
Глава IV. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости.
357—358. Определение. Линейный угол двугранного угла.............32
359. Направление двугранного угла.............................—
360—362. Сравнение двугранных углов..............................33
363. Перпендикулярные плоскости . . . ' ...........35
4
СОДЕРЖАНИЕ
364—365. Если две плоскости перпендикулярны, то всякий перпендикуляр
к линии их пересечения, лежащий в одной из плоскостей,
является перпендикуляром к другой плоскости......................36
366. Плоскость, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая
через данную прямую...................................37
367—370. Двугранные углы пополнительные, вертикальные и с соответст-
венно параллельными гранями .....................................38
371. Обзор свойств перпендикулярных прямых и плоскостей .... 39
Упражнения 456—464 .......................................... 40
Глава V. Проекция прямой на плоскость. Угол между прямой
и плоскостью. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.
Площадь проекции плоской фигуры.
37'2—373. Проекции. Проекции параллельных прямых..................40
374—375. Теоремы о проекции прямого угла и о трёх перпендикулярах . 41
376—378. Угол между прямой и плоскостью. Линия наибольшего уклона . 42
379. Отношение расстояний точки, лежащей в одной из граней дву-
гранного угла, от другой грани и от ребра....................44
380. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.................—
381. Площадь проекции плоской фигуры .........................45
Упражнения 465—480 ...................................... 47
Глава VI. Первоначальные сведения из сферической геометрии.
382—383. Пересечение шара с прямой и с плоскостью. Большие круги . 48
384. Полюсы круга, лежащего на шаре...........................51
385—386. Угол между двумя большим! кругами........................52
387. Отыскание радиуса твёрдого тела, имеющего форму шара ... 53
Глава VII. Многогранные углы. Сферические многоугольники.
388—389. Определения. Симметричные трёхгранные углы...............55
390. Во всяком многогранном угле любой плоский угол меньше суммы
всех остальных...............................................58
391—392. Сферические многоугольники. Связь с многогранными углами . —
393—394. Объемлющие и объемлемые многогранные углы и сферические
многоугольники. Условия возможности построения трёхгран-
ного Угла по трём плоским углам.......................60
395—396. Пополнительные трёхгранные углы. Полярные сферические тре-
угольники .......................................................63
397—399. Признаки равенства .....................................67
400—402. Равнобедренный трёхгранный угол и сферический треугольник.
Сходство и различие между свойствами трёхгранных углов
или сферических треугольников и свойствами треугольников
на плоскости.....................................................71
403—404. Перпендикулярные и наклонные дуги больших кругов .... 73
405. Сферические координаты...................................75
Упражнения 481-—508 ......................................z6
Задачи (509—530) к пятой книге............................81
КНИГА VI. МНОГОГРАННИКИ.
Глава I. Общие понятия.
406. Определения ............................................84
407. Призма ..................................................85
408. Боковаи поверхность призмы...............................87
409. Параллелепипед ...........................................—
СОДЕРЖАНИЕ 5
Стр.
410__412. Прямой и прямоугольный параллелепипеды..................87
413__416. Пирамида. Сечения пирамиды параллельными плоскостями. Боко-
вая поверхность правильной пирамиды ............................. 88
417. Всякий многогранник можно разложить на пирамиды.........90
Упражнения 531—550 ..................................... 91
Глава II. Объём призмы.
418—419. Определение понятия объёма многогранника.................92
420—422. Объём прямоугольного параллелепипеда ....................93
423. Всякая наклонная призма равновелика прямой призме, основанием
которой служит перпендикулярное сечение, а высотой —
боковое ребро данной призмы ................................ 96
424—425. Объём прямого параллелепипеда и прямой призмы ............—
426—427. Объём произвольного параллелепипеда и произвольной призмы . 98
Упражнения 551—554 ..................................... 99
Глава III. Объём пирамиды.
428. Две треугольные пирамиды, имеющие равновеликие основания и
одну и ту же высоту, равновелики............................106
429. Объём пирамиды...................’.....................102
430. Объём усечённой пирамиды ................................—
431. Объём усечённой призмы ................................105
Упражнения 555—567..................................... 106
Задачи (568—588) к шестой книге ........................107
КНИГА VII. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ.
Глава I. Перемещения.
432—434. Условие равенства двух фигур. Вращение. Транспозиция относи-
тельно прямой.....................................................ПО
435. Поступательные перемещения.............................112
436. Винтовые перемещения...................................113
437—440. Разложение произвольного перемещения на две транспозиции
относительно двух различных прямых. Сложение перемещений.
Две равные фигуры всегда можно совместить, если они имеют
одну соответственно общую точку, с помощью вращения:
в общем случае—с помощью винтового перемещения ... —
Упражнения 589—612 . . ............................... 117
Глава II. Симметрия.
441—443. Определения. Две фигуры, симметричные с третьей относительно
каких-либо точек или плоскостей, равны...........................119
444—445. Всякая плоская фигура равна фигуре ей симметричной. След-
ствия.......................................................... 120
446. Две симметричные фигуры имеют противоположное расположение. 121
447. Два симметричных многогранника равновелики...............—
448. Ось транспозиции, центр и плоскость симметрии данной фигуры. —
Упражнения 613—621..........................................122
Глава III. Гомотетия и подобие.
449—450. Определение. Основная теорема...........................' 12л
451—452. Обратная теорема. Ось подобия трёх фигур; плоскость подобия
четырёх фигур ..............................."...................124
6
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
•:>3—454. Подобные фигуры. Подобные многогранники................126
455. Отношение объёмов подобных многогранников . ...........127
Упражнения 622—629 .................................. 128
Задачи (630—641) к седьмой книге ..........—
КНИГА VIII. КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
Глава I. Общие определения. Цилиндр.
456. Цилиндрические поверхности.............................131
457. Прямые, касательные к поверхности. Случай цилиндрической по-
верхности ................................................... —
458—459. Сечения цилиндрической поверхности. Цилиндры............132
460—461. Конические поверхности. Конусы ................... .133
462. Поверхности вращения .134
463—464. Цилиндр с круговым основанием. Боковая поверхность ... 135
465. Объём цилиндра.........................................137
Упражнения 642—652 .......................................—
Глава И. Конус. Усечённый конус.
466—467. Конус вращения. Боковая поверхность конуса вращения . . . 138
468. Объём крнуса...........................................141
469. Боковая поверхность усечённого конуса вращения...........—
470. Объём усечённого конуса................................14о
Упражнения 653—670 .................................... 14з
Глава III. Шар и его свойства.
471—473. Шар как поверхность вращения............................144
ч74—475. Элементы, определяющие шар..............................146
476—478. Конус и цилиндр, описанные около шара. Касательные плоско-
сти к шару, проходящие через данную прямую...148
J79—481. Пересечение шаров.......................................151
482—483. Степень точки относительно шара. Шары, ортогональные между
собой............................................................152
484—485. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр . 153
486—491. Шары, гомотетичные между собой. Общие касательные пло-
скости ..........................................................155
Упражнения 671—715......................................158
Глава IV. Поверхность и объём шара.
492. Поверхность, образованная вращением отрезка около оси, лежа-
щей с ним в одной плоскости и его не пересекающей . .161
493—496. Поверхность шарового пояса. Поверхность шара............162
497. Объём тела, образованного вращением треугольника около оси,
лежащей в его плоскости, проходящей через его вершину
и его не пересекающей........................................164
498—499. Объём шарового сектора. Объём шара......................167
500—501. Объём шарового кольца. Объём шарового слоя и шарового сег-
мента ...........................................................169
Упражн°ния 716—732 .................................... 171
Задачи (733—747) к восьмой книге........................173
СОДЕРЖАНИЕ
7
Стр.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.
Глава I. Полюсы и полярные плоскости относительно шара.
Инверсия в пространстве. Дополнения к сферической геометрии.
502__504. Полюсы и полярные плоскости относительно шара..........1/6
505. Взаимные поляры.........................................178
506. Взаимно-полярные фигуры...................................—
507—510. Инверсия; её основные свойства..........................180
511—513. Фигура, обратная плоскости или шару. Приложение к тетраэдру. 182
514__517. Фигура, обратная окружности. Антипараллельные сечения на-
клонного конуса...................................................184
518—519. Стереографическая проекция...............................186
520. Шары, пересекающие два данных шара под равными углами . 187
521. Конусы, проходящие через две окружности, лежащие на одном
шаре........................................................ 188
522—524. Задача о касании шаров...................................189
525—526. Приложение инверсии к сферической геометрии .............191
527. Неизменяемость сложного отношения при инверсии..........192
528—530. Инверсия на шаре. Применение к задаче о касании окружностей 193
Упражнения 748—823 .................’................... 195
Глава II. Площади сферических многоугольников.
531—532. Выбор единиц измерения. Площадь двуугольника............204
533. Равновеликость двух симметричных сферических треугольников. 205
534. Площадь сферического треугольника или многоугольника . . . 206
535—536. Теорема Лекселля........................................207
Упражнения 824—835 .................................... 209
Глава III. Теорема Эйлера. Правильные многогранники.
537—538. Предварительные замечания и ограничения.................210
539—540. Области, имеющие одинаковую связность...................211
541. Односвязные области......................................—
542—543. Всякий выпуклый многогранник есть многогранник нулевого рода.
Примеры многогранников ие нулевого рода ............ 212
544. Теорема Эйлера.........................................214
545. Порядок связности многогранной поверхности ............215
546. Правильные многогранные углы.............................—
547—550. Правильные многогранники; общие свойства................218
551. Вращения и симметрии правильных многогранников.........222
552—556. Куб. Правильный тетраэдр................................223
557—558. Сопряжённые правильные многогранники....................229
559. Пример: октаэдр........................................230
560—562. Существование только пяти типов правильных многогранников —
563. Построение правильных многогранников пяти типов .......233
564. Вычисление элементов правильных многогранников.........234
Упражнения 836—863 .................................... 236
ПРИБАВЛЕНИЯ.
Прибавление F. О понятии объёма.
565—570. Объём тетраэдра. Объём пирамиды...............................241
571. Объём многогранника..........................................244
8
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Прибавление G. О понятиях длины, площади и объёма
для любых линий и поверхностей.
572—574. Длина дуги пространственной кривой................245
575—576. Развёртывающиеся поверхности......................250
577—585. Объёмы тел, ограниченных кривыми поверхностями....252
586—591. Площадь кривой поверхности .......................259
Прибавление И. О правильных многогранниках
и группах вращений.
592—593. Группы перемещений................................263
594. Преобразование перемещений........................265
595—609. Конечные группы. Соответствующие правильные многогранники 266
610—611. Фундаментальные области...........................282
Прибавление К. Теорема Коши о выпуклых многогранниках.
612—613. Формулировка теоремы. Предварительные замечания...285
614—615. Леммы I, II, III..................................288
616—618. Доказательство теоремы Коши.......................293
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ.
Составлены Д. И. Перепёлкиным
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
Упражнения..............................................297
Задачи..................................................370
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ.
Упражнения..............................................391
Задачи..................................................416
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ.
Упражнения . ... 434
Задачи ................................................ 476
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
Упражнения..............................................501
Задачи..................................................583
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.
Упражнения..............................................597
Указатель содержания а а д а ч.............................759
ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-му РУССКОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее — второе — издание перевода второй части „Элементарной гео-
метрии* Адамара существенно отличается от первого в двух отношениях.
Прежде всего, из большого и разнообразного материала, содержащегося
во второй части курса Адамара, в настоящее издание включено лишь около-
половины. При этом был отобран материал, непосредственно относящийся
к стереометрии, включая и некоторые „дополнительные* её главы (инверсия,
теорема Эйлера, правильные многогранники и группы вращений). Разделы, не
включённые в настоящее издание, могли бы составить содержание третьей
части книги, также представляющей собой законченное целое и посвящённой
элементарным методам высшей геометрии. Следует отметить, что такого
рода отбор материала, при котором некоторые главы были опущены,
не потребовал почти никаких изменений в оставшейся части текста: она ока-
залась почти совершенно независимой от тех частей книги, которые не вошли
в настоящее издание. Существенные изменения пришлось внести лишь в из-
ложение прибавления G.
Далее в настоящем издании помешены решения всех имеющихся в тексте
задач. Мы полагаем, что весьма многие из помещённых в книге задач нельзя
рассматривать только как темы для упражнений. Они содержат большой и
интересный фактический материал, дополняющий содержание книги. Ряд этих
задач мог бы по своему содержанию войти в „теоретическую* часть книги
при условии увеличения её обьёма. В то же время самостоятельное решение
этих, по большей части трудных, задач потребовало бы от читателя весьма
большого количества времени и значительных усилий. Таковы были те сооб-
ражения, по которым в настоящем издании приводятся решения задач (как это-
было сделано в последнем — 3-м — издании первой части).
Содержание задач перепечатано в основном без изменений. Исправлено
лишь несколько ошибок и опечаток, вкравшихся в русский перевод (№№ 458„
587, 628, 799; нумерация везде даётся по настоящему изданию, где задачи были
перенумерованы заново). Далее в процессе решения задач выявилась необхо-
димость исправить отдельные погрешности или уточнит!, редакцию ряда задач,
данную Адамаром (№№ 482, 486, 495, 502, 503, 521, 523, 545, 589, 590, 595,
596, 605, 606, 620, 630, 651, 662, 664, 667, 697, 709, 710, 725, 734, 736, 749,
758, 768, 785, 786, 788, 789, 800, 812, 822, 824, 851, 863); в задачах 712 и 813
мы позволили себе опустить имевшиеся там указания на путь решения.
В связи с тем, что часть текста была, как указано выше, опущена, пришлось
включить одну задачу (№ 821) из опущенной части текста (часть упражнения
921 первого издания), необходимую для понимания следу ющей за ней задачи.
Была также улучшена редакция некоторых задач. Cai:o собой разумеется,
что автор этих строк принимает на себя ответственность за внесённые
изменения.
Что касается характера помещённых решений, принятой манеры их
изложения и т. д., то мы могли бы повторить здесь сказанное по этим вопро-
сам в предисловии к 3-му изданию первой части, к которому непосредственно-
примыкает настоящее издание второй части.
Чтобы облегчить читателю ориентировку в содержании задач и помочь
в подборе задач иа ту или иную тему, мы поместили в конпе книги небольшой
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
.Указатель содержания задач'. Заметим по этому поводу, что он далеко не
исчерпывает и не может исчерпать всего содержания задач.
В переводе тех разделов курса Адамара, которые вошли в первую часть
и в настоящее издание второй части, приняли участие: Н. Н. Николаев
(книги 1 и II), Ю. О. Гурвиц (книга III, дополнения к третьей книге,
книга V), |А. Н. Д е м м е| (книги IV, VI и VIII), А. Н Перепелкина
(Дополнения ко второй части; прибавления Г, G и И). Наконец, пишущему эти
строки принадлежит перевод книги VII и прибавлений А, В, C,D,E и К, а также
редакция перевода и составление решений всех задач.
В решении задачи 518 составитель воспользовался любезным содействием
проф. А. И. М а р к у ш е в и ч а. Ряд полезных указаний составитель решений
получил также от рецензента доц. С. И. 3 е т е л я. Составитель выражает им
здесь свою искреннюю признательность.
Д. Перепёлки,
Москва, февраль 1950 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К 7-му ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание подверглось значительной переработке.
Я уже давно собирался, следуя указанию покойного Л е г у р г a (Lesgour-
gues), объединить в одно целое теорию многогранных углов и теорию сфери-
ческих многоугольников; в этом отношении я имел очень полезный для меня
пример в работе одного из моих уважаемых коллег, работающего в универси-
тете Буэнос-Айреса. Соответствующее видоизменение было уже ранее осуще-
ствлено в планиметрии, где оно значительно проще. В этом издании то же
самое видоизменение оказалось возможным осуществить и для пространства;
наряду с другими преимуществами оно обладает весьма ценной с педагогиче-
ской точки зрения особенностью: при этом получаются более простые и более
ясные чертежи.
Наряду с рядом исправлений мне пришлось пересмотреть доказательство
теоремы Коши (прибавление L)') о выпуклых многогранниках; по поводу преж-
него доказательства этого предложения мне было сделано существенное заме-
чание Жераром (L. Gerard); пользуясь его любезными указаниями, мне
удалось устранить сделанное им возражение в новом изложении этого доказа-
тельства.
В настоящее время среди преподавателей наблюдается вполне обосно-
ванный отказ от пользования выражением „симметрия относительно прямой*,
не отражающим того существенного различия, которое имеется между этим
видом симметрии и симметрией относительно точки или относительно плоско-
сти. Из различных терминов, предлагаемых взамен этого выражения, я предпочёл
термин „транспозиция' (transposition), и притом из соображений чисто граммати-
ческого порядка: этот термин допускает удобные обороты речи („1е transpose d'un
point", „1а transposee d’une figure'), в то время как другие предложенные на-
звания, насколько они мне известны, этой гибкостью не обладают1 2 * * * *).
Как и в предыдущих изданиях, я обращал внимание на подбор упражне-
ний. Основные улучшения касаются здесь сферической (упр. 485 и 486)8) и
проективной геометрии.
Ж. Адамар.
1) Прибавление К настоящего издания. Прим. ред. перевода.
2) В переводе термин „транспозиция' сохранён за отсутствием более под-
ходящего термина, могущего заменить выражение „симметрия относительно
прямой', хотя он и не обладает в русском языке теми достоинствами, которые
отмечает автор. Прим. ред. перевода.
3) Упражнения 494 и 495 в настоящем издании. Прим. ред. перевода.
КНИГА ПЯТАЯ.
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия.
ГЛАВА 1.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
325. Как мы знаем (Пл., п. 6) ’), плоскостью называется поверх-
ность, обладающая тем свойством, что всякая прямая, соединяю-
щая две её точки, лежит в ней целиком.
Такая поверхность безгранична; однако, чтобы её начертить, изо-
бражают ограниченную часть её, чаще всего часть, ограниченную прямо-
угольником так, как это сделано на чертежах 2 и следующих.
Согласно предыдущему определению, прямая может занимать
относительно плоскости три различных положения:
1) Она может иметь с ней две общие точки и, следовательно,
лежать в ней целиком; в этом случае говорят также, что плоскость
проходит через прямую.
2) Она может иметь с ней одну общую точку; в этом случае
говорят, что прямая пересекает плоскость.
3) Наконец, плоскость и прямая могут не иметь ни одной общей
точки; в этом случае говорят, что они параллельны.
Принимают, что всякая плоскость делит пространство на две
области, расположенные соответственно по обе стороны от этой пло-
скости. Нельзя перейти из одной из этих областей в другую, не
пересекая плоск< с ги. В частности, всякая прямая, которая соединяет
две точки, лежащие по разные стороны от плоскости, пересекает
плоскость.
Обратно, принимают, что всякая прямая, которая пересекает пло-
скость, делится точкой пересеве шя на две полупрямые, расположен-
ные по одну и по другую стороны от плоскости.
Из определения плоскости следует ещё, что
всякая фигура, равная плоскости, есть плоскость.
Обратно, принимают, что какие-либо плоскости могут быть совме-
щены и притом таким образом, что какая-либо данная полупрямая
!) Буквы Пл., поставленные перед ссылкой иа какой-либо пункт, указывают
на первую часть книги — Планиметрию.
(В тех случаях, когда в решениях упражнений и задач приводится ссылка
на определённую страницу или определённый чертёж первой части книги,
имеется в виду третье издание 1948 г. Прим. ред. перевода.)
12
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия
первой плоскости совмещается с какой-либо данной полупрямой второй
(причём их начальные точки также совмещаются).
826. Мы приняли (Пл., п. 6) следующую аксиому:
Аксиома. Через всякие три точки пространства проходит
плоскость.
Мы дополним эту аксиому следующей теоремой:
Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой,
проходит только одна плоскость.
Пусть А, В и С — три точки, не лежащие на одной прямой; пред-
положим, что через эти три точки проходят две плоскости Р и Р' . Я
утверждаю, что плоскости Р и Р' совпадают. Заметим, прежде всего,
что эти две плоскости имеют согласно определению общие прямые
АВ, АС и ВС.
Пусть теперь М—какая-либо точка плоскости Р. Через эту точку
(черт. 1) мы можем провести прямую, которая пересечёт прямую АВ
v / в точке D, а прямую АС в точке Е
Точки D и Е лежат в плоскости Р', сле-
довательно, и вся прямая DE лежит в.
\ плоскости Р', поэтому и точка М лежит
/\ \ в плоскости Р'. Таким образом, любая
/ \ \ точка плоскости Р лежит в плоскости Р';
—---------1______\ С а так как можно тем же путём доказать,.
/ Е \ \ что любая точка плоскости Р' лежит в
\ \ плоскости Р, то теорема доказана.
Аксиому и теорему, приведённые в
Черт. 1. начале этого пункта, объединяют, го-
воря:
три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость.
Прямая АВ и точка С вне её определяют плоскость; действи
тельно, требование, чтобы плоскость проходила через прямую АВ и
точку С, и требование, чтобы плоскость проходила через три точки
А, В и С, сводятся одно к другому.
Точно так же две пересекающиеся прямые АВ и АС определяют
плоскость, а именно ту, которая определяется точками А, В и С; две
параллельные прямые определяют плоскость, так как согласно опре-
делению (Пл., п. 38) существует плоскость, которая содержит обе
прямые, и, с другой стороны, — эта плоскость единственная, так как
она проходит через одну из прямых и через одну из точек другой
прямой (сравнить предыдущий абзац).
В согласии с этим плоскость можно обозначать одной буквой,
тремя буквами, соответствующими трём точкам, не лежащим на одной
прямой, и, наконец, буквами, обозначающими прямую и точку пли
две прямые, лежащие в этой плоскости (пересекающиеся или парал-
лельные).
Примечание. Отсюда видно, что через данную прямую D про-
ходит бесчисленное множество плоскостей; в самом деле, через эту
ГЛАВА I. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
13
прямую и какую-либо точку пространства можно провести одну пло-
скость; через прямую D и точку, не лежащую в первой плоскости,
можно провести вторую и т. д.
327. Примечание. Если фигура, состоящая более чем из
одной точки, обладает тем свойством, что прямая, соединяющая две
её точки, целиком принадлежит этой фигуре, то данная фигура
или будет прямой линией,
или будет плоскостью,
или будет состоять из всех точек пространства.
Действительно, рассматриваемая фигура содержит, по условию, по
крайней мере, две точки А и В и, следовательно, прямую АВ. Если
она содержит только эту прямую, то теорема
доказана.
В противном случае пусть С—какая-либо
точка фигуры, не лежащая на прямой АВ", до-
статочно повторить доказательство теоремы,
приведённой в предыдущем пункте, чтобы убе-
диться, что всякая точка плоскости АВС при-
надлежит данной фигуре. Если фигура не со-
держит никакой другой точки, то теорема дока-
зана. В противном случае пусть/?—какая-либо
точка фигуры, лежащая вне плоскости АВС
(черт. 2). Рассматриваемая фигура содержит любую точку Е, ле-
жащую с точкой D по разные стороны от плоскости АВС: действи-
тельно, прямая DE непременно пересечёт плоскость в некоторой
точке I и, следовательно, целиком принадлежит данной фигуре, так
как она соединяет две точки D и I, принадлежащие данной фигуре.
Но на том же основании фигура содержит любую точку F, лежащую
с точкой Е по разные стороны от плоскости АВС, другими словами,
по ту же сторону от плоскости, где лежит точка D.
Таким образом, фигура содержит все точки пространства.
328. Аксиома, приведённая в планиметрии (Пл., п. 40): через
точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую,
параллельную данной прямой, сохраняет силу и в геометрии про-
странства. Действительно, прямая, проведённая через точку С парал-
лельно прямой АВ, лежит в плоскости АВС, и в этой плоскости можно
применить указанную выше аксиому.
Таким образом мы можем, как и в планиметрии, говорить о той
прямой, которая параллельна данной прямой и проходит через данную
точку, лежащую вне этой прямой.
Точно так же из точки С, лежащей вне прямой АВ, можно
опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один,
так как этот перпендикуляр должен лежать в плоскости АВС, а для
плоскости теорема доказана (Пл., п. 19).
Напротив, через точку, взятую на прямой, можно провести
к этой прямой бесчисленное множество перпендикуляров, а именно
14
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
по одному перпендикуляру в каждой из плоскостей (п. 326, примеча-
ние), проходящих через эту прямую (черт. 3).
Отсюда следует, что две прямые могут быть перпендикулярны
к одной и той же прямой, не будучи параллельными между собой.
329. Плоскость АВС можно рассматривать как образованную прямой.
которая перемещается, проходя постоянно через точ-
ку С и опираясь на прямую АВ.
Действительно, такая прямая остаётся всё врем»
в плоскости АВС, и, с другой стороны, её можно
заставить проходить через любую точку плоскости,
Черт. 3.
за исключением точек, лежащих на прямой, проходя-
щей через точку С и параллельной АВ.
Точно так же прямая ХУ, которая перемещается,
оставаясь параллельной своему первоначальному поло-
жению АС (черт. 4) и пересекая данную прямую АВ,
образует плоскость АВС, или иначе, геометрическое место прямой
линии, которая перемещается, оставаясь параллельной своему
первоначальному положению и опираясь на данную прямую (пред-
полагается, что перемещающаяся прямая в своём первоначальном поло-
жении пересекает данную прямую), есть плоскость.
Действительно, согласно определению геометрического /
места (Пл., п. 33), это предложение выражает следу- /
ющие два факта: 1) прямая ХУ при своём переме- / _________________
щении всё время остаётся в плоскости АВС; 2) через X/ Y
каждую точку этой плоскости проходит прямая ХУ, /
параллельная АС и пересекающая АВ. ~7д-------
330. Теорема. Две различные плоскости, име- '
ющие одну общую точку, имеют бесчисленное мно- Черт. 4.
жество общих точек, образующих прямую линию.
Пусть Р и Q (черт. 5) — две плоскости, которые имеют общую
точку А, и при этом, однако, не совпадают. Плоскость Q делит про-
странство на две области, которые назовём для краткости областью,
лежащей над плоскостью, и областью, лежащей под плоскостью.
Через точку А проведём в плоскости Р про-
S; / извольную прямую МАМ'. Возможно, что эта
/х/ В ~\ / прямая целиком принадлежит плоскости Q;
/ Xj/y'_______в таком случае доказано, что обе плоскости
\ имеют общую прямую.
Если же этого не будет, то точка А де-
Черт. 5. лит, как мы знаеМ1 нашу прямую на две
части, из которых одна расположена над пло-
скостью Q, другая под плоскостью Q. Предположим для определённости,
что точка М расположена над плоскостью Q, точка М' — под ней.
Проведём в плоскости Р вторую прямую NAN', и если она не
лежит в плоскости Q, то предположим, что точка N расположена над
плоскостью Q, а точка N' — под плоскостью Q. Соединим точку М с N'.
ГЛАВА I. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
15
Эта прямая, проходящая через две точки, расположенные по разные
стороны от плоскости Q, необходимо пересечёт эту плоскость в не-
которой точке В, отличной от точки А (так как иначе точки Л1, А и АГ
лежали бы на одной прямой). Данные плоскости имеют две общие
точки А и В и, следовательно, обе содержат целиком прямую АВ.
При этом они не могут иметь общей точки вне прямой АВ, так
как иначе (п. 326) они не были бы различны.
В силу этого две различные плоскости могут либо пересекаться,
и тогда их пересечением будет прямая линия, либо не иметь ни одной
общей точки. В последнем случае говорят, что плоскости параллельны.
Если две плоскости пересекаются, то линия их пересечения делит
каждую из этих плоскостей на две области (полуплоскости), располо-
женные по разные стороны от другой плоскости
331. После того как рассмотрено взаимное расположение прямой
и плоскости (п. 325) и взаимное расположение двух плоскостей (п. 330),
остаётся перечислить возможные случаи взаимного расположения двух
прямых. Если эти прямые не совпадают между собой, то могут,
очевидно, иметь место лишь следующие три случая:
1) прямые пересекаются;
2) прямые параллельны;
3) прямые не лежат в одной плоскости.
Надо заметить, что если две прямые проведены произвольно, то,
вообще говоря, имеет место третий случай. Не пытаясь придать этому
утверждению абсолютно точный смысл (последнее можно осуществить
лишь с помощью соображений, выходящих за пределы элементарной
геометрии), мы убедимся в его справедливости следующим образом;
зададим произвольно одну прямую АВ и какую-либо точку С второй
прямой. Если мы проведём вторую прямую через точку С совершенно
произвольно, то эта прямая не будет, вообще говоря, лежать в пло-
скости АВС, так что обе прямые не будут лежать в одной плоскости.
332. Мы видим, в частности, что для доказательства параллель-
ности двух прямых недостаточно, как это имело место в планиметрии,
доказать, что они не имеют общей точки. Необходимо доказать,
кроме того, что они лежат в одной плоскости.
333. Пересечение трёх плоскостей. Можно сказать, что в пунктах
325 и 330 мы рассматривали вопрос об общих точках прямой и пло-
скости или двух плоскостей. Рассмотрим теперь общие то 'ки трёх
плоскостей Р, Q и R.
Для этого обозначим через Dt линию пересечения плоскостей Q и R,
если эти плоскости пересекаются. Так как общими точками плоскостей
Q и R будут только точки прямой Dit то задача сводится к рас-
смотрению пересечения прямой О, с плоскостью Р.
Можно также, обозначив через D2 линию пересечения плоскостей
R и Р и через D3 линию пересечения плоскостей Р и Q (если эти
плоскости пересекаются), свести задачу к рассмотрению пересечения
прямой £>2 с плоскостью Q или пересечения прямой D3 с плоскостью R.
16
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Воспользуемся первой из трёх перечисленных прямых. Прежде
всего рассмотрим случай, когда:
1) Плоскости Q и R пересекаются (по прямой £),) п прямая Dx
пересекает плоскость Р.
Непосредственно видно, что:
I. При условии 1) три данных плоскости имеют единственную
общую точку S (точку пересечения прямой Г)х с плоскостью Р).
Если два условия, содержащиеся в 1), не выполняются, то могут
иметь место только следующие случаи:
П. Три плоскости не имеют ни одной общей точки, если
2) плоскости Q и R пересекаются по прямой D} и последняя
параллельна плоскости Р-, или если
3) плоскости Q и R параллельны; или если
4) плоскости Q и R совпадают между собой и параллельны пло-
скости Р.
III. Три плоскости имеют общую прямую, если
5) плоскости Q и R пересекаются по прямой Dt и последняя
лежит в плоскости Р; или если
6) плоскости Q и R совпадают между собой и пересекают пло-
скость Р.
IV. Три плоскости совпадают всеми своими точками, если
7) они попарно совпадают между собой.
Перечисленные выше семь предположений полностью исчерпывают
все возможные случаи, так как если прямая Dx существует, то она
может занимать относительно плоскости Р только одно из трёх поло-
жений, указанных в пункте 325 [предположения 1), 2), 5)]; если же
прямая 7), не существует, то плоскости Q и R могут быть параллель-
ными [предположение 3)] или совпадать [предположения 4), 6), 7)].
Следовательно, предложения, обратные предыдущим, также справед-
ливы1). Так, например, если три плоскости не имеют ни одной общей точ-
ки, то необходимо имеет место одно из предположений 2), 3) или 4).
В нашем рассуждении можно было бы заменить прямую Z), и
плоскость Р прямой D2 и плоскостью Q; при этом мы должны были бы
обязательно прийти к тому же самому результату. Следовательно,
если, поступая так, как было указано выше, мы увидели бы, что
имеет место одно из предположений 2) или 3) или 4), то должно иметь
место одно из тех же трёх предположений, если поменять ролями пло-
скости Р п Q и прямые Dx и D2 2).
<) Сравнить аналогичное рассуждение в начале Пл., и. 71. Прим. ред.
перевода.
21 Иначе говоря, если имеет место одно из предположений 2), 3) или 4), то
имеет место и одно из следующих трёх предположений:
2') плоскости Р и R пересекаются по прямой П2, н последняя параллельна
плоскости Q;
3') плоскости Р и R параллельны;
4') плоскости Р и R совпадают между собой и параллельны плоскости Q.
Прим. ред. перевода.
2$07
ГЛАВА I. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
334. Наконец, вместо того чтобы рассматривать пересечение трёх
плоскостей, можно рассмотреть пересечение двух каких-либо из прямых
Dy, D2, (в предположении, что элн две прямые существуют): всякая
общая точка трёх плоскостей, очевидно, есть также общая точка пря-
мых Dt и D2 п обратно.
Следовательно, если две прямые О, и D2 существуют и пересека-
ются, то три плоскости имеют только одну общую точку.
Если эти прямые параллельны, то плоскости не имеют ни одной
общей точки.
Если эти прямые совпадают, то плоскости имеют бесчисленное
множество общих точек.
Обратно, если три плоскости пересекаются в одной точке (случай I),
то эта точка есть общая точка прямых Dy, D2 и D...
Если они не имеют ни одной общей точки (случай II), то прямые
Dy, D2\\ Z)s (если они существуют) попарно параллельны между собой,
так как, например, прямые Dy и D2 (если они существуют) лежат
в одной плоскости, а именно в плоскости R, и не пересекаются.
Если три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек
п если три прямые Dlt D2 и D2 существуют (что может иметь место
только в случае III), то все три прямые совпадают.
УПРАЖНЕНИЯ.
423. Если некоторое число прямых обладает тем свойством, что любые
две из них пересекаются, то или все эти прямые проходят через одну точку
или все они лежат в одной плоскости (доказать).
424. Через данную точку провести прямую, пересекающую две данные
прямые, не лежащие в одной плоскости ’).
Существует бесчисленное множество прямых, пересекающих три данные
прямые, из которых никакие две не лежат в одной плоскости (доказать).
Как изменятся ответы на предыдущие вопросы, если две из данных
прямых лежат в одной плоскости?
425. Если два треугольника АВС и А'В’С, не лежащие в одной плоскости,
обладают тем свойством, что стороны ВС и В'С пересекаются, и то же имеет
место для сторон СА и С А', а также для сторон АВ и А'В', то:
1) три прямые АА', ВВ' и СС проходят через одну точку или попарно
параллельны;
2) три точки пересечения прямых ВС с В'С', СА с С А' и АВ с А'В'
лежат на одной прямой (доказать).
426. Даны плоскость Р и вне её три точки А, В и С (не лежащие
па одной прямой); найти;
1) такую точку, что прямые, соединяющие её с точками А, В и С, пересе-
кают плоскость Р в вершинах треугольника, гомотетичного некоторому дан-
ному треугольнику;
2) такую точку, что прямые, соединяющие её с точками А, В и С, пересе-
кают плоскость в вершинах треугольника, равного некоторому данному тре-
угольнику ’).
427. Даны два треугольника АВС и А'В’С и плоскость Р', найти в этой
плоскости такой треугольник af-p чтобы прямые Да, В), Су проходили через
одну точку и чтобы тем же свойством обладали и прямые А'а, В'$, Су *).
!) См. примечание в конце задач к пятой книге.
2 Элементарная геометрия, ч. II
18
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
428. Обобщить теорему, приведённую в упражнении 8а (Планиметрии),
на случай пространственного многоугольника (т. е. замкнутой ломаной линии,
стороны которой не лежат в одной плоскости) и произвольной точки пространства.
ГЛАВА II.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.
335. Параллельные прямые. Теорема. Если две прямые D} и D2
параллельны, то прямая, проходящая через какую-либо точку ') М
пространства и параллельная прямой Dt, совпадает с прямой, про-
ходящей через ту же точку М и параллельной прямой D2.
Прямые £), и D2 лежат, по условию, в одной плоскости R. Если
точка М также лежит в этой плоскости, то наше предложение до-
казано в планиметрии (Пл., и. 40), так как в данном случае прямые,
параллельные прямой Dlt также параллельны прямой D2.
В противном случае обозначим через Р плоскость, проходящую
через точку М и прямую О2, а через Q—плоскость, проходящую
через точку М и прямую Dx. Эти две плоскости (различные, так
как точка М не лежит в одной плоскости с прямыми Dx и D2)
пересекаются по некоторой прямой Z)g.
Так как прямые Dx и D2 параллельны, то три плоскости Р, Q и R
не имеют ни одной общей точки (п. 334). Следовательно (в силу того
же пункта), прямая £>я совпадает с прямой, проходящей через точку М
и параллельной прямой Dx, а также с прямой, проходящей через точку
М и параллельной прямой D2.
Примечание. Мы видим также, что если две прямые Dx и
параллельны, то линия пересечения двух плоскостей, из которых
одна проходит через прямую Dx, а другая через прямую D2, парал-
лельна прямым Dx и D2.
336. Из предыдущего предложения вытекает, очевидно, следующая
теорема.
Теорема. Две прямые D2 и Ds, параллельные одной и той же
третьей прямой Dx, параллельны (или совпадают).
Действительно, если провести через точку М прямой Ds прямую,
параллельную прямой Dx, то она совпадёт с прямой £>3, проходящей
через точку М. и параллельной прямой D2.
Примечания. 1. То же самое предложение было доказано
в планиметрии (Пл., п. 40); однако ясно (п. 332), что приведённое
там доказательство недостаточно для геометрии пространства.
2. Как и в планиметрии, выражение параллельные прямые часто
заменяют выражением прямые, имеющие одно и то же направле-
ние. Такое выражение оправдывается предыдущей теоремой.
х) Точка М предполагается лежащей вне прямых D} и D2, по крайней
мере в том случае, когда мы не пользуемся сделанным ниже (конец п. 336)
замечанием.
ГЛАВА II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
19
Точно так же, как и в планиметрии, мы приходим к тому, чтобы
рассматривать две совпадающие прямые как частный случай двух па
раллельных прямых; таким образом упрощаются формулировки некоторых
предложений (в том числе, очевидно, и формулировка последней тео-
ремы).
337. Параллельные прямая и плоскость. Теорема. Если плос-
кость Р параллельна прямой D, то любая плоскость, проходящая
через прямую D и пересекающая плоскость Р, пересекает её по
прямой D’, параллельной прямой D (черт. 6).
Действительно, линия пересечения D лежит, по самому своему
определению, с прямой D в одной плоскости, но не пересекает прямой
£), так как последняя не имеет ни одной общей
точки с плоскостью Р. —г---------г—
Плоскость Р, проходящая через прямую D', \ \
параллельную прямой D, параллельна прямой D \q'\ \ \
за исключением того случая, когда она про- \—'—-\
ходит через прямую D. '----------------
Действительно, или плоскость, проходящая Черт 6.
через прямые D и D', совпадает с плоскостью Р,
и тогда прямая D' лежит в плоскости Р, или эти две плоскости пере-
секаются только по прямой О', и тогда прямая О могла бы пересе
кать плоскость Р (черт. 6) не иначе, как в какой-либо точке прямой О';
но это невозможно, так как прямые О и О' параллельны.
Эту вторую теорему можно рассматривать как теорему, обратную
первой. Объединив их, мы видим, что для того чтобы плоскость
была параллельна данной прямой или проходила через данную пря-
мую, необходимо и достаточно, чтобы плоскость проходила по
крайней мере через одну прямую, параллельную этой прямой (это
условие будет необходимым в силу первой теоремы и достаточным
в силу второй).
Отсюда непосредственно вытекает:
Теорема. Если две прямые параллельны, то всякая плоскость
параллельная одной из них или проходящая через неё, параллельна
другой прямой или проходит через неё.
Действительно, плоскость, которая проходит через прямую, парал-
лельную первой прямой, тем самым проходит через прямую, параллель
ную второй прямой.
I I меча н не. Эти предложения принимают более простую форму,
если рассматривать прямые, лежащие в плоскости, как частный случай
прямых, параллельных этой плоскости.
Следствия. I. Если прямая D параллельна плоскости Р и
если через какую-либо точку плоскости Р провести прямую, па-
раллельную прямой D, то проведённая прямая целиком лежит
в плоскости Р.
Действительно, в противном случае она могла бы быть только парал-
лельной плоскости Р; но она имеет с этой плоскостью общую точку.
2*
20
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
II. Если две пересекающиеся плоскости параллельны одной и той
же прямой D, то линия их пересечения параллельна этой прямой.
Действительно, каждая из плоскостей проходит через прямую, па-
раллельную прямой D, и данное предложение вытекает из и. 335
(примечание).
ill. Если дзе прямые параллельны, то всякая плоскость, пересе-
кающая первую, пересекает и вторую.
Действительно, если бы она была параллельна одной из прямых
пли проходила бы через неё, то она была бы параллельна другой
прямой пли проходила бы через неё.
338. Параллельные плоскости. Плоскость, параллельная другой
плоскости, параллельна всем прямым, лежащим в этой плоскости;
действительно, если бы плоскость имела общую точку с одной из этих
прямых, то эта общая точка принадлежала бы обеим плоскостям.
Обратно, если плоскость параллельна всем прямым, лежащим
в другой плоскости (отллчной от первой), то она параллельна этой
плоскости.
Действительно, если обе плоскости имели бы общую точку, то
через эту точку проходили бы прямые, лежащие во второй плоскости
и пересекающие первую.
Более того, можно высказать следующую теорему:
Теорема. Плоскость, параллельная двум пересекающимся пря-
мым, лежащим в другой плоскости, отличной от первой, парал-
лельна последней
Действительно, если бы эти две плоскости пересекались, то их
линия пересечения должна была бы быть параллельной каждой из двух
Черт. 7.
данных прямых, что невозможно.
339. Теорема. Через точку, лежащую вне данной плоскости,
проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом
только одна. Эта плоскость есть геометри-
ческое место прямых, параллельных данной
плоскости и проходящих через данную точку.
1°. Через точку А, лежащую вне плоскости Р
(черт. 7), проходит плоскость, параллельная
плоскости Р. Чтобы её получить, проведём через
точку А прямые АХ и АХ', параллельные пря-
мым D и D', лежащим в плоскости Р и не парал-
лельным между собой. Плоскость АХХ' парал-
лельна плоскости Р (по предыдущей теореме),
плоскость, параллельная плоскости Р и проходящая
совпадает с той, которую мы получили. Действительно,
2°. Всякая
через точку А,
она должна быть параллельна и прямой D и прямой D' и, следовательно
(и. 337), проходит через параллельные им прямые АХ и АХ'.
3°. Предыдущее рассуждение показывает, что плоскость Q, парал-
лельная плоскости Р и проходящая через точку А, содержит любую
прямую, проходящую через точку А и параллельную какой-либо
ГЛАВА II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ 9]
прямой плоскости Р (другими словами, любую прямую, параллельную
плоскости Р и проходящую через точку А).
Обратно, мы знаем, что всякая прямая плоскости Q параллельна
плоскости Р и, следовательно, любая точка Л1 плоскости Q принадле-
жит некоторой прямой (а именно прямой АЛ4), параллельной пло-
скости Р и проходящей через точку А.
Плоскость Q обладает, таким образом, обоими свойствами, харак-
теризующими геометрическое место точек, указанное в формулировке
теоремы.
340. Из необходимого и достаточного условия параллельности
двух плоскостей (и. 338) и из аналогичного условия параллельности
прямой и плоскости (и. 337) вытекают теоремы, аналогичные последней
теореме пункта 337.
1°. Прямая D, параллельная плоскости Р, параллельна также
и всякой плоскости Q, параллельной плоскости Р (если только
она не лежит в плоскости Q). Действительно, эта вторая пло-
скость параллельна прямым, параллельным прямой D и лежащим в
плоскости Р.
2°. Две плоскости Р и Q, параллельные одновременно третьей
плоскости R, параллельны между собой (если только они не сов
падают). Действительно, плоскость Р параллельна всем прямым пло-
скости R, а следовательно, и прямым, им параллельным и лежащим в
плоскости Q.
Эти теоремы вызывают, очевидно, замечание, аналогичное тому,
которое было сделано в пунктах 336 и 337: они упрощаются, если
принять: 1) условие, приведённое в примечании к пункту 337; 2) ана-
логичное условие, состоящее в том, что две совпадающие плоскости
рассматриваются как частный случай двух параллельных плоскостей.
Теорема. Если две плоскости параллельны, то:
1) всякая прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую;
2) всякая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и
другую, причём обе линии пересечения параллельны,
1°. Если две плоскости Р и Q параллельны, то всякая прямая,
которая пересекает плоскость Р, пересечёт
и плоскость Q. Действительно, если бы она
была параллельна плоскости Q (или лежала
в плоскости Q), то она была бы параллельна
плоскости Р или лежала бы в плоскости Р,
что не имеет места.
2°. Всякая плоскость, которая пересекает
плоскость Р (черт. 8), пересекает и пло-
скость Q. Действительно, если бы она была
параллельна плоскости Q (или совпадала с ней), то она была бы па-
раллельна плоскости Р пли совпадала с ней, что не имеет места,
3°. Две прямые А и В, по которым две параллельные плоскости Р
я Q пересекаются с какой-либо третьей плоскостью, параллельны: это
22
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия
прямо следует из первой теоремы пункта 337, применённой к прямой
А, параллельной плоскости Q.
341. В силу теоремы пункта 336 второе предложение пункта 329
может быть сформулировано ещё так: геометрическое место прямой
линии, которая перемещается, опираясь на неподвижную прямую D
и оставаясь параллельной другой неподвижной прямой D', не па-
раллельной первой (однако в данном случае не необходимо, чтобы
прямые D и D' пересекались), есть плоскость.
Очевидно, что черезпрямуюD можно провести плоскость, парал-
лельную прямой D' и только одну (геометрическое место точек,
которое мы только что получили); эта плоскость определяется прямой D
и прямой, параллельной прямой D' и проходящей через одну из точек
прямой D.
Через данную точку пространства можно провести плоскость,
параллельную одновременно прямым D и D', и притом только одну:
эта плоскость определяется прямыми, параллельными прямым D и D' и
проходящими через рассматриваемую точк}.
Через две прямые, не лежащие в одной плоскости, можно про-
вести две плоскости, параллельные между собой, и притом единст-
венным образом. С этой целью следует провести через каждую прямую
плоскость, параллельную другой прямой; полученные таким образом
плоскости будут параллельны между собой, так как каждая из них
параллельна двум пересекающимся прямым другой плоскости.
342. Теорема. Два угла, стороны которых параллельны, равны
или пополнительны.
Очевидно, достаточно (Пл., п. 43) показать, что два угла, стороны
которых параллельны и направлены в одну и ту же
сторону, равны.
Пусть даны два угла ВАС и В' А'С (черт. 9),
стороны которых АВ и А'В' параллельны и напра-
влены в одну и ту же сторону, как и стороны АС
и А'С. Я утверждаю, что эти два угла равны.
Чтобы это доказать, отложим на сторонах этих
углов отрезки АВ = А'В' и ЛС — А'С. Соединим
точки А с А', В с В' и С с С. Четырёхугольник
АВ А’В', две стороны которого равны и параллельны.
будет параллелограмом (Пл., п. 46), так что сторона
АА' равна и параллельна стороне ВВ'.
Так же докажем, что сторона АА' равна и параллельна стороне СС.
Следовательно, стороны ВВ и СС также равны и (п. 336) параллель-
ны, так что ВВ'СС — параллелограм и ВС — В'С. Треугольники
АВС и А'В'С равны, как имеющие по три соответственно равные
стороны, и следовательно, углы А и А' также равны.
343. Угол между двумя произвольными прямыми. Определение.
Углом между двумя полупрямыми D и D', лежащими или не
лежащими в одной плоскости (черт. 10), называется угол, который
ГЛАВА 11. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
23
образуют между собой две полупрямые, проходящие через какую-либо
точку О пространства, параллельные соответственно D и D' и напра-
вленные в ту же сторону.
Для того чтобы это определение имело смысл, необходимо, чтобы
величина рассматриваемого угла не зависела от выбора точки О. Но
в силу только что доказанной теоремы последнее обстоятельство дей-
ствительно имеет место, так как если через две различные точки О и
О' пространства провести полупрямые, параллельные D и D' и на-
правленные в ту же сторону, то получатся два угла, стороны которых
соответственно параллельны и направлены в одну и ту же сторону.
В том случае, когда прямые D и D' пересекаются, определённый
таким образом угол будет, очевидно, совпадать с углом между прямыми
в том смысле, как мы его понимали до сих пор.
Две прямые, лежащие или не лежащие в одной плоскости, назы-
ваются перпендикулярными, если угол между ними, определённый как-
только что было указано,— прямой.
Примечание. Угол между двумя прямыми, очевидно, не изме-
нится, если заменить каждую из них какой-либо из прямых ей парал-
лельных. В частности, если две прямые перпендикулярны, то всякая
прямая, параллельная одной из них, перпендикулярна ко всякой прямой,
параллельной другой из них.
344. Теорема. Отрезки параллельных прямых, заключённые
между двумя параллельными плоскостями или между параллель-
ными прямой и плоскостью, равны.
Пусть отрезки параллельных прямых АВ и А'В' заключены между
параллельными плоскостями Р и Q (черт 11) пли между прямой АА'
Черт. 10.
Черт. 11.
Черт. 12.
и плоскостью Q, параллельной этой прямой (черт. 12). Чтобы доказать,
что эти два отрезка равны, достаточно соединить точку В с В' и при-
нять во внимание, что прямая ВВ’ параллельна прямой АА' (п. 340, 3°
или п. 337); следовательно, отрезки АВ и А'В' равны как противо-
положные стороны параллелограма.
345. Теорема. Три параллельные плоскости отсекают на произ-
вольных секущих пропорциональные отрезки.
Пусть Р, Q и R — три параллельные плоскости (черт. 13). Я ут-
верждаю, что если эти плоскости пересекаются с какой-либо одной
24
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
прямой в точках А, В п С и с какой-либо второй прямой в точках А',
О, АВ АВ'
в и С , то отношение равно отношению .
<г1Сг /1 С<
Если, прежде всего, обе рассматриваемые прямые лежат в одной
плоскости (например прямые D и D' на черт. 13), то справедливость
пропорции вытекает из аналогичной теоремы планиметрии (Пл., п. 113),
так как плоскость DD' пересекает плоскости Р, Q и R по трём па-
раллельным прямым.
Рассмотрим далее прямые Du ГУ' (черт. 13), не лежащие в одной
плоскости. Этот случай приводится к предыдущему путём рассмотре-
ния прямой /)', лежащей в одной плоскости как с прямой D, так и
Черт. 14.
с прямой D" (например прямой, соединяющей
одну из точек прямой D с одной из точек
прямой D”, или прямой, параллельной пря-
мой D" и проходящей через одну из точек
прямой D). Так как отношения
отрезков, отсекаемых на пря-
мых D и D', равны аналогич-
ному отношению на прямой D',
то эти два отношения равны
между собой.
Следствие. Дее парал-
лельные плоскости отсекают
на секущих, выходящих из од-
ной точки, пропорциональные
отрезки.
Это предложение предста-
вляет собой применение дока-
занной теоремы к двум данным плоскостям и к третьей плоскости,
параллельной двум первым и проходящей через данную точку (черт. 14;
сравнить Пл., и. 114).
346. Следует помнить, что в силу доказанных в этой главе теорем.
1°. Через данную точку мочено провести прямую, параллельную
данной прямой, и притом только одну.
2°. Через данную точку можно провести плоскость, параллель-
ную данной плоскости, и притом только' одну. Напротив:
3°. Через данную точку мочено провести бесчисленное множе-
ство прямых, параллельных данной плоскости; это будут прямые,
лежащие в плоскости, параллельной данной птоскостп и проходящей
через данную точку.
4°. Через данную точку можно провести бесчисленное множе-
ство плоскостей, параллельных данной прямой; это будут плоскости,
которые проходят через прямую, параллельную данной прямой и про-
ходящую через данную точку.
Все прямые и все плоскости, параллельные одной из двух данных
параллельных прямых, параллельны и другой; то же самое относится
ГЛАВА II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
25
к двум данным параллельным плоскостям. Если же даны параллельные
прямая D н плоскость Р, то этого уже не будет: плоскость, парал-
лельная прямой D, может занимать произвольное положение относительно
плоскости Р; то же самое будет иметь место для расположения отно-
сительно прямой D другой прямой, параллельной плоскости Р.
УПРАЖНЕНИЯ.
429. Как изменятся заключения у пражпения 423, если известно только, что
две какие-либо из данных прямых лежат в одной и той же плоскости?
430. Провести прямую, параллельную дайной прямой и пересекаюшл ю две
данные прямые’).
431. Теорема, обратная теореме пункта 345. Если на каждой из двух пря-
мых даны по три точки А, В, С и /1', В', С, так что соответствующие от-
резки пропорциональны, то через прямые АА', ВВ' и СС можно провести
три плоскости, параллельные между собой (доказать).
432. Середины сторон пространственного четырёхугольника (у пр. 428) слу-
жат вершинами параллелограма, центр параллелограма есть середина от-
резка, соединяющего середины диагоналей четырёхугольника (доказать). Найти
геометрическое место центров этих параллелограмов, при условии, что три
вершины четырёхугольника остаются неподвижными, а четвёртая вершина
описывает данную плоскость пли данную прямую.
433. Пусть даны две прямые D и ГУ, не лежащие в одной плоскости;
найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении отрезок пря-
мой, соединяющий какую-либо точку М прямой D с какой-либо точкой М'
прямой ГУ.
434. Решить тс же задачу, если точки Л-1 и ЛГ, вместо того чтобы пере-
мещаться произвольным образом по данным прямым, подчинены условию, что
прямая ММ' параллельна некоторой данной плоскости
Вывести отсюда, что прямая, которая перемещается, пересекая две дан-
ные прямые и оставаясь параллельной данной плоскости, пересекает бесчис-
ленное множество других прямых, параллельных одной и той же плоскости.
435. Обратно, если прямая перемешается таким образом, что она пересе-
кает три данные прямые, параллельные одной плоско"ти, то отношение от-
резков, отсекаемых данными прямыми на подвижной прямой, будет постоян-
ным, и перемещающаяся прямая будет всё время параллельна некоторой пло-
скости.
436. Доказать, что если прямая, рассмотренная в двух предыдущих упраж
нениях, удаляется в бесконечность, то опа стремится стать параллельной неко-
торому определённому направлению.
437. Провести прямую, пересекающую три данные прямые так, чтобы от-
резки, отсекаемые на ней этими прямыми, имели данное отношение').
438. Если некоторая прямая пересекает две данные прямые D и £/ и если
отрезки, отсекаемые на ней данными прямыми и данной плоскостью (не парал-
лельной одновременно прямым D и ГУ), имеют постоянное отношение, то эта
прямая остаётся параллельной некоторой плоскости
439. Прямые, которые соединяют две точки, взятые на двух смежных сто-
ронах пространственного четырёхугольника, с точками", делящими соответ-
ственно в тех же отношениях стороны, противоположные первым, пересекаются;
отрезок каждой из этих прямых, заключённый между сторонами четырёх-
угольника, делится другой прямой в том же отношении, как и те стороны,
которых первая прямая не пересекает.
440. Построить отрезок, имеющий заданную длину и параллельный дан-
ной плоскости, концы которого лежали бы на двух данных прямых *).
]) См. примечание в конце задач к пятой книге.
26
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
ГЛАВА III.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ МЕЖДУ СОБОЙ.
347. Определение. Прямая АВ (черт. 15) называется перпен-
дикулярной к плоскости Р, если она перпендикулярна ко всем пря-
g D_____ мым, проходящим через точку её пересечения
с этой плоскостью и лежащим в этой плоскости.
Мы докажем ниже, что можно найти плос-
V~ \ кость, перпендикулярную к данной прямой, и
\'_________С \ прямую, перпендикулярную к данной плоскости.
I Прямая, перпендикулярная к плоскости,
перпендикулярна ко всем прямым, лежащим
Черт. 15. на плоскости.
Больше того, прямая, перпендикулярная
к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, параллельным этой
плоскости.
Например, прямая АВ (черт. 15), перпендикулярная к плоскости Р
в точке А, перпендикулярна ко всякой прямой D, параллельной этой
плоскости. Действительно, через точку А проходит прямая АС, парал-
лельная прямой D и лежащая в плоскости Р; угол ВАС, которым из-
меряется (п. 343) угол между прямыми АВ и D, будет, по опреде-
лению, прямым.
Обратно, если прямая перпендикулярна ко всем прямым, лежащим
в некоторой плоскости, то она не может быть параллельной этой пло-
скости (п. 337); следовательно, она пересекает плоскость и потому
к ней перпендикулярна.
348. Из определения прямой, перпендикулярной к плоскости, не-
посредственно вытекают ещё такие следствия:
1°. Плоскость Р, перпендикулярная к некоторой прямой, пер-
пендикулярна ко всякой прямой, параллельной этой прямой; дей-
ствительно, любая прямая плоскости Р, будучи перпендикулярна
к первой прямой, перпендикулярна и ко второй.
2°. Прямая D, перпендикулярная к плоскости Р, перпендику-
лярна ко всякой плоскости, параллельной этой плоскости; действи-
тельно, любая прямая, лежащая в последней плоскости, параллельна
плоскости Р и потому перпендикулярна к D.
349. Возможность найти взаимно перпендикулярные прямую и пло-
скость вытекает из следующей теоремы:
Теорема. Геометрическое место точек, равно удалённых от двух
точек В и Вх, есть плоскость, перпендикулярная к прямой ВВХ и
проходящая через середину отрезка ВВХ.
Доказательство. Пусть точка А — середина отрезка ВВХ.
Точки искомого геометрического места, лежащие в какой-либо пло-
скости, проходящей через прямую ВВХ (черт. 16), лежат на перпен-
дикуляре к прямой ВВЪ проведённом в этой плоскости через точку А.
ГЛАВА III. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ МЕЖДУ СОБОЙ 97
Следовательно, искомое геометрическое место точек образовано всеми
этими перпендикулярами. Если С и С' — две точки искомого геоме-
трического места (черт. 17), то треугольники ВСС и BtCC равны,
как имеющие по три соответственно равные стороны (ВС = В,С,
ВС' — В^С', сторона СС— общая). Совместим эти треугольники и
обозначим через С" какую-либо точку
прямой СС. Если каждая из точек С
и С остаётся общей вершиной обоих
треугольников и вершина Вг совпадает
с вершиной В, то ВАС" совпадает с
ВС"', следовательно, ВАС" = ВС".
Итак, любая точка С” прямой СС
принадлежит искомому геометрическо-
му месту.
Искомое геометрическое место обла-
дает тем свойством, что любая прямая,
соединяющая две его точки, целиком
принадлежит этому геометрическому месту; искомое геометрическое
место содержит три точки, не лежащие на одной прямой, и, с другой
стороны, в пространстве существуют точки (например В), к нему не
принадлежащие. Отсюда следует (п. 327), что искомое геометрическое
место есть плоскость и эта плоскость, очевидно, перпендикулярна к
прямой ВВ} в точке А.
Примечание. Точки пространства, более близкие к точке В,
чем к точке Blt лежат от найденного геометрического места по
ту же сторону, как и точка В.
Действительно, в какой-либо плоскости, проходящей через ВВХ,
например в плоскости ВВХС, точки, лежащие ближе к точке В, чем
к точке Въ расположены относительно прямой АС в той полуплоско-
сти, которая содержит точку В (Пл., п. 32).
350. Теорзма. Для того, чтобы какая-либо прямая была пер-
пендикулярна к плоскости, достаточно, чтобы она была перпенди-
кулярна к двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходя-
щим через точку пересечения прямой с плоскостью.
Действительно, пусть прямая АВ перпендикулярна к двум пря-
мым АС и АС. Отложим отрезок АВ1 — АВ (черт. 17). Геометри
ческое место точек, равноудалённых от точек В и Blt содержит
прямые АС и АС. Следовательно, оно совпадает с плоскостью САС,
которая будет поэтому (см. предыдущую теорему) перпендикулярна
к АВ.
Следствие Для того, чтобы прямая D была перпендику-
лярна к плоскости Р, достаточно, чтобы она была перпендикулярна
к двум прямым Dt и D2, не параллельным между собой и лежащим
в этой плоскости или ей параллельным.
В самом деле, если провести через какую-либо точку прямой D
прямые, параллельные прямым и D2, то эти две не совпадающие
28
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия
между собой прямые определяют плоскость, параллельную плоскости Р
(п. 339) п перпендикулярную к D.
351. Теорема. Через данную точку О пространства можно про-
вести плоскость, перпендикулярную к прямой D и притом только одну.
Эта плоскость есть геометрическое место прямых, перпендик\’-
лярных к данной прямой и проходящих через данную точку.
Предположим, во-первых, что точка О лежит на прямой D. В этом
случае, если мы отложим на этой прямой от точки О два равных от-
резка ОА и ОБ, то геометрическое место точек, равноудалённых от
точек А и В, будет плоскость, перпендикулярная к прямой АВ в
точке О. Эта плоскость будет геометрическим местом перпендикуля-
ров, проведённых к прямой АВ через точку О; следовательно, эта
плоскость будет единственной плоскостью, пер-
пендикулярной к данной прямой и проходящей
через данную точку.
Предположим, во-вторых, что точка О лежит
вне прямой D (черт. 18); проводим через эту
точку прямую D', параллельную прямой D, п
плоскость Р, перпендикулярную к прямой D'.
Плоскость Р будет искомой плоскостью и при-
том единственной, так как любая плоскость, пер-
пендикулярная к прямой D', перпендикулярна и
к прямой О, и обратно. Кроме того, всякий
перпендикуляр к прямой D, проходящий через
точку О, лежит в этой плоскости Р (как перпендикуляр к прямой О'),
и обратно, всякая пря гая плоскости Р перпендикулярна к прямой D.
Таким образом, наше предложение доказано полностью.
Примечание. В силу того смысла, который мы придали в пункте
343 выражению перпендикулярные прямые, будет уже неправильным
сказать, как мы это делали в пункте 328, что через данную точку,
лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую,
к ней перпендикулярную; напротив, существует бесчисленное множе-
ство таких прямых.
Если же мы будем говорить о перпендикуляре к прямой D, прохо-
дящем через точку О, лежащую вне этой прямой, то речь всегда бу-
дет идти, если не будет оговорено противное, о том перпендикуляре,
который был рассмотрен в пункте 328, т. е. о том перпендикуляре,
который пересекает прямую D. В частности, под расстоянием точки О
от прямой D понимают всегда отрезок этого перпендикуляра, заклю-
чённый между его основанием Н (точкой пересечения с прямой О) и
точкой О. Точка Н называется, как и в планиметрии, ортогональной
проекцией (или проще, проекцией) точки О на прямую D.
352. Теорзма. 1°. Две плоскости, перпендикулярные к одной и
той же прямой, параллельны.
2°. Прямая и плоскость, перпендикулярные к одной и той же
прямой, параллельны.
гл АВА III- ПРЯМАЯ и ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ МЕЖДУ СОБОЙ 29
1°. Две плоскости Р и Q, перпендикулярные к одной и той же
прямой XY, параллельны; действительно, если через какую-либо точку
плоскости Р провести плоскость, параллельную плоскости Q, то эта
плоскость будет также перпендикулярна к прямой XY п потому сов-
падёт с плоскостью Р.
2°. Плоскость Р и прямая В, перпендикулярные к одной и той же
прямой XY, параллельны; действительно, если через какую-либо точку
плоскости Р провести прямую, параллельную прямой Е), то она будет
перпендикулярна к прямой XY и, следовательно, будет лежать в пло-
скости Р.
353. Теорема. Через данную точку О прострпнства можно
провести прямую, перпендикулярную к данной
плоскости Р, и притом только одну.
Проведём в плоскости Р (черт. 19) две пе-
ресекающиеся прямые Dx и D2. Перпендикуляр
к плоскости, проходящий через точку О, должен
быть перпендикулярен как к прямой Оп так и
к прямой Е)2, и, следовательно, будет одновре-
менно лежать в двух плоскостях С?! и Q2, про- Черт. 19.
ходящих через точку О и перпендикулярных
соответственно к этим двум прямым. Обратно, общая прямая этих двух
плоскостей будет перпендикулярна к плоскости Р (п. 350, следствие).
Но плоскости Q] и Q2 пересекают плоскость Р по двум различным
прямым, так как в плоскости Р одна и та же прямая не может быть
одновременно перпендикулярной к двум пересекающимся прямым Dx и
D2. Таким образом, эти плоскости различны; так как они имеют общую
точку, то они пересекаются только по одной прямой, которая и
является искомым перпендикуляром и притом единственным.
Теорема. Две прямые, перпендикулярные к одной и той же
плоскости, параллельны.
Действительно, если провести через точку одной из них прямую,
параллельную другой, то она совпадёт с первой прямой (в силу пре-
дыдущей теоремы).
354. Теорема. Если из точки, лежащей вне плоскости, прове-
сти к этой плоскости перпендикуляр и различные наклонные, то:
1) перпендикуляр короче всякой наклонной;
2) две наклонные, одинаково удалённые от основания перпенди-
куляра, равны;
3) из двух наклонных, не одинаково удалённых от основания пер-
пендикуляра, длиннее та, основание которой дальше отстоит от
основания перпендикуляра.
1°. Из точки О (черт. 20) проведём к плоскости Р перпендику-
ляр ОН и наклонную ОА. Последняя длиннее перпендикуляра ОН,
как наклонная к прямой НА, к которой прямая ОН перпендикулярна.
2°. Наклонные ОА и ОВ, обладающие тем свойством, чтоНА=НВ,
равны в силу равенства треугольников ОНА и ОНВ, углы которых
30
КНИГА ПЯТАЯ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
при точке И равны (как прямые) п заключены между соответственно
равными сторонами.
3°. Если наклонные О А и ОС обладают тем свойством, что НА НС,
то отложим на НС отрезок НВ — НЛ. Наклонная ОВ будет равна
наклонной ОА (2°) и меньше наклонной ОС (Пл., п. 29).
Следствие. Из последней части предыдущей теоремы следует,
что две равные наклонные одинаково удалены от основания перпен-
дикуляра. В связи с 2° это предложение показывает, что геометри-
ческое место точек плоскости, расположенных на постоянном рас-
стоянии от точки О простран-
ства (черт. 20), есть окруж-
ность, центром которой служит
основание Н перпендикуляра, опу-
щенного из точки О на плоскость,
потому что точки плоскости, равно-
удалённые от точки О, равноуда-
лены и от точки Н, и обратно.
355. Расстоянием точки от
плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки
на плоскость (в силу предыдущей теоремы эта длина есть кратчайший
путь от точки до плоскости).
Две параллельные плоскости всюду отстоят одна от другой наод-
ном и том м. е расстоянии. Расстояния АА" и ВВ' двух точек А и В пло-
скости Р от параллельной ей плоскости Р’ (черт. 21) равны как отрезки
параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями.
Точно так же прямая и плоскость, параллельные между собой,
на всём протяжении отстоят друг от друга на одном и том же
расстоянии.
356. Теорема. Геометрическое место прямых,
рез данную точку и составляющих равные углы с
полупрямыми, выходящими из той же точки,
есть плоскость, проходящая через биссектрису
угла, образованного двумя данными полупрямыми,
и через перпендикуляр к плоскости, в которой
лежат эти полупрямые, проведённый через их
общую точку.
Пусть О А и ОВ — две данные полупрямые
(черт. 22); отложим на них равные отрезки ОА — ОВ.
Если прямая ОМ образует с ОА и ОВ равные
проходящих че
двумя данными
углы, то треугольники ОАМ и ОВМ будут равны (как имеющие по
равному углу, заключённому между соответственно равными сторо-
нами), и точка М будет одинаково удалена от точек А и В. Следо-
вательно, она лежит в плоскости Р, перпендикулярной к отрезку АВ
п проходящей через его середину.
Эта плоскость проходит через биссектрису угла АОВ и через пер-
пендикуляр, проведённый через точку О к плоскости ОАВ, так как
ГЛАВА III. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ МЕЖДУ СОБОЙ 31
эти две прямые, очевидно, принадлежат искомому геометрическому
месту.
Примечание. Полупрямая ОЛГ образует с полупрямой ОА угол
меньший или больший, нежели с полупрямой ОВ, смотря по тому,
будет ли точка АГ, лежащая на ней, ближе или дальше от точки А,
нежели от точки В, и, следовательно (п. 349, примечание), смотря по
тому, будет ли эта полупрямая лежать от плоскости Р по ту сторону,
как полупрямая ОА, или по ту сторону, как полупрямая ОВ.
УПРАЖНЕНИЯ.
441. Провести в данной плоскости через данную точку этой плоскости
прямую, перпендикулярную к какой-либо данной прямой >)•
442. Найти геометрическое место точек пространства, равноудалённых от
трёх вершин данного треугольника.
443. Найти геометрическое место точек пространства, одинаково удалён-
ных от двух данных пересекающихся прямых. То же для двух параллельных
прямых.
444. Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную точку
и образующих равные углы с двумя данными прямыми, не лежащими в одной
плоскости.
445. Провести через данную точку прямую, образующую равные углы
с тремя данными прямыми !).
446. Если полупрямая образует равные углы с тремя полупрямыми, лежа-
щими в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости (доказать;.
447. Геометрическое место точек, разность квадратов расстояний которых
до двух данных точек есть величина постоянная, есть плоскость (доказать).
448. Доказать непосредственно (пользуясь методом, аналогичным методу
пункта 349) предыдущее предложение. Вывести отсюда снова теорему пунк-
та 350.
449. Найти геометрическое место точек, лежащих в данной плоскости,
отношение расстояний которых от двух данных точек есть величина посто-
янная.
450. Найти геометрическое место точек, лежащих в данной плоскости,
сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек есть величина
постоянная.
451. Найти геометрическое место точек, лежащих в данной плоскости, из
которых данный отрезок виден под прямым углом.
Рассмотреть случай, когда один из концов отрезка лежит в дайной пло-
скости.
452. Найти отрезок наименьшей или наибольшей длины, одним концом
которого служит данная точка, а другой конец которого лежит на данной
окружности, если точка п окружность расположены в пространстве произволь-
ным образом.
453. Даны две точки А и В, лежащие по одну сторону от плоскости. Найти
на этой плоскости такую точку, чтобы сумма её расстояний от точек А и В
была наименьшей J).
454. Даны две точки А и В, лежащие по разные стороны от плоскости.
Найти на этой плоскости такую точку, чтобы разность её расстояний от точек
А и В была наибольшей ').
455. Даны две прямые D и Ef, не лежащие в одной плоскости; на этих
двух прямых выбраны соответственно точки А и А'; пусть точки М и М' ле-
См. примечание в конце задач к пятой книге.
32
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
жат также одна на прямой D, другая — на прямой D', и притом так, что
AM — А’М'. Доказать, что:
1) если, оставляя на месте точки А и А', изменять общую длину отрезков
/Ш и А'М', то плоскость, перпендикулярная к отрезку ММ' и проходящая
через его середину, будет всё время проходить через одну из двух прямых
G, и О2 (в зависимости от направлений, в которых отложены отрезки AM и А'М');
любая точка каждой из этих прямых равноудалена от двух данных прямых;
2) если в свою очередь изменять произвольно положение точек А и А'
на данных прямых, то каждая из прямых Gi и О2 остаётся параллельной не-
которой плоскости;
3) любая прямая пересекает любую прямую О2;
4) через любую точку, одинаково удалённую от двух данных прямых, про-
ходят одна из прямых Gy и одна из прямых О2.
ГЛАВА IV.
ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ.
357. Определение. Двугранным углом называется фигура,
образованная двумя полуплоскостями, ограниченными общей прямой
Черт. 23.
(черт. 23). Эта прямая называется ребром двугранного утла:
две полуплоскости — его гранима.
Двугранный угол можно обозначать либо двумя бук-
вами, обозначающими его грани, либо буквами, обознача-
ющими его ребро, помещёнными между буквами, соответ-
ствующими его граням, либо просто буквами, обозначаю-
щими его ребро, если его нельзя смешать с другим двугран-
ным углом, имеющим то же самое ребро. Так, двугранный
угол, изображённый на чертеже 23, может быть обозначен
или через PQ, или через / P-XY-Q, или через / XY.
358. Опр ед ел ен не. Линейным углом двугранного угла назы-
вается прямолинейный угол ВАС, образованный перпендикулярами
АВ и АС к ребру, проведёнными в обеих гранях через одну и туже
точку А ребра (черт. 24); другими словами, угол, образованный пе-
ресечением двугранного угла плоскостью, перпендикуляр-
ной к его ребру.
Величина линейного угла, таким, образом опреде-
лённого. зависит только от рассматриваемого двугран-
ного угла, а не от положения на его ребре точки
А — вершины линейного угла, которая была выбрана
нами произвольно. Действительно, предположим, что,
принимая за вершину плоского угла последовательно Черт. 24.
точки А и А' (черт. 24), мы получили линейные углы
ВАС и В'А'С'\ эти углы равны, так как прямые АВ и А'В', перпен-
дикулярные к прямой АА' и лежащие в одной плоскости, параллельны
и направлены в одну и ту же сторону, и то же относится к пря-
мым АС и А’С.
359. Мы видели (Пл., п. 20), что когда дан плоский угол ВАС
(черт. 25), то можно говорить о направлении этого угла, если только
ГЛАВА IV. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ
33
выбрать одну из тех двух областей R и R', на которые данная
плоскость делит пространство, скажем R, и условиться смотреть на
плоскость из точек этой области.
Если через точку А — вершину угла — провести к плоскости пер
пендпкуляр, то выбор области R сводится к выбору некоторого напра-
вления на этом перпендикуляре, а именно того направления (отмечен-
ного стрелкой на чертеже 25), в котором следует двигаться, чтобы
выйдя из данной плоскости, попасть в выбранную область. Вместо
того наблюдателя, о котором мы говорили в планиметрии (Пл., п. 20),
мы могли бы вообразить наблюдателя, расположенного вдоль
перпендикуляра к плоскости таким образом, чтобы выбранное на пер-
пендикуляре направление совпадало с направлением от ног наблюда-
теля к его голове. Если взгляд этого наблюдателя обращён внутрь
данного угла и он видит сторону АВ справа от АС, то данный
\ гол ВАС имеет положительное направление, в противном случае —
отрицательное направление.
В силу того, что было сказано в планиметрии, направление угла
существенным образом зависит от направления, выбранного на перпен-
дикуляре, и меняется на обратное, если изменить
направление на перпендикуляре на обратное. На-
правление угла зависит, конечно, также и от по-
рядка обозначения его сторон.
Пусть теперь дан двугранный угол Рф(черт. 25).
Применим только что сказанное к линейному углу
ВАС этого двугранного угла (считая, что сторона
АВ лежит в грани Р, а сторона АС—в грани Q).
Перпендикуляр к плоскости угла ВАС совпадёт
с ребром двугранного угла; следовательно, мы дол
что на его ребре выбрано некоторое направление, и вообразить наблю-
дателя, расположенного вдоль ребра таким образом, что выбранное на-
правление совпадает с направлением от его ног к голове и что его взор
обращён внутрь двугранного угла. Двугранный угол будет иметь поло-
жительное направление, если этот наблюдатель будет видеть сто-
рону АВ справа от АС. Можно также сказать, что двугранный угол
имеет положительное направление, если наблюдатель будет видеть
грань Р справа от грани Q; отсюда видно, что направление двугран-
ного угла не зависит от того, какой именно из его линейных углов мы
рассматриваем.
Таким образом, мы видим, что данный двугранный угол можно
назвать положительным пли отрицательным только после того, как на
его ребре выбрано определённое направление; если же направление на
ребре не выбрано, то его всегда можно выбрать так, чтобы данный
двугранный угол был положительным.
360. Два двугранных угла называются равными (в согласии с об-
щим определением равных фигур), если один из них можно наложить
на другой таким образом, чтобы они совпали.
Черт. 25.
предположить,
3 Элементарная геометрия, ч. II
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Два двугранных угла называются прилежащими, если они имеют
общее ребро, общую грань и расположены по обе стороны от общей
грани; таковы двугранные углы PQ и QR на чертеже 26. При этом
двугранный угол PR, образованный крайними гранями, называется
суммой двух данных углов; таким образом, чтобы получить сумму
двух двугранных углов, надо расположить эти два угла один рядом
с другим так, чтобы они были прилежащими друг к другу.
Чтобы сравнить два двугранных угла, накладывают один из них
на другой таким образом, чтобы они имели одно и то же ребро и
общую грань Р (черт. 26) и чтобы другие грани Q и R
лежали по одну сторону от грани Р. Двугранный угол PR
будет по определению больше или меньше двугранного
угла PQ в зависимости от того, будут ли грани этих
углов следовать в порядке Р, Q, R или в порядке Р, R, Q.
В том и другом случаях двугранный угол QR, который
надо прибавить к одному из данных углов, чтобы по-
лучить другой, называется разностью данных двугран-
ных углов. Наконец, если плоскость Q совпадает с
Черт. 26. плоскостью R, то данные двугранные углы будут
равны.
Как мы видим, эти определения вполне аналогичны тем, которые
были даны для обыкновенных углов в планиметрии. Однако в данном
случае, законность этих определений a priori не очевидна. В самом
деле, другранный угол PQ можно наложить бесчисленным множеством
способов на двугранный угол PR так, чтобы оба двугранных угла
имели общее ребро и общую грань Р (так как один из двугранных
углов может скользить вдоль их общего ребра таким образом, что оба
угла будут всё время иметь общую грань), и вовсе не очевидно, что
при всех этих способах совмещения грань Q не может занимать раз-
личных положений. Если бы последнее предположение осуществилось,
то грань Q могла бы оказываться расположенной то по одну, то по
другую сторону от грани R, и, следовательно, двугранный угол PQ
был бы в одно и то же время и больше и меньше двугранного угла PR,
в зависимости от способа сравнения углов.
Однако этого никогда не будет, что вытекает из следующей
теоремы;
361. Теорема. Двум равным двугранным углам соответствуют
равные линейные углы; двум неравным двугранным углам соответ-
ствуют неравные линейные углы, и большему двугранному углу
соответствует больший линейный угол.
Двугранному углу, представляющему собой сумму (или разность)
двух данных двугранных углов, соответствует линейный угол, со-
ставляющий сумму (или разность) двух линейных углов, соответ-
ствующих данным двугранным углам.
1 °. Первая часть теоремы очевидна, так как при совмещении обоих
двугранных углов они необходимо будут иметь общий линейный угол.
ГЛАВА IV. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ
35
2°. Если два двугранных угла, наложенные один на другой, как
это было указано выше (например PQ и PR, черт. 26), не равны, так
что грань Q расположена между гранями Р и R, то, пересекая эти
двугранные углы плоскостью, перпендикулярной к их общему ребру,
мы получим в этой плоскости такие два линейных угла АОВ и ДОС,
что сторона ОВ будет лежать между сторонами ОА и ОС, и, следо-
вательно, угол АОВ будет меньше угла АОС.
3°. Если двугранные углы PQ и QR расположить так, чтобы они
были прилежащими, то их суммой будет двугранный угол PR; при
этом их линейные углы АОВ и ВОС, лежащие в одной плоскости,
также будут прилежащими, и их суммой будет угол ДОС, т. е. ли-
нейный угол двугранного угла PR.
Понятно, что все предложения, обратные только что доказанным,
также верны.
Теорема, которую мы доказали, показывает, таким образом, что
понятия большего и меньшего двугранных углов, суммы и разности
двугранных углов, как мы уже говорили, не зависят от того, каким
образом накладывать эти двугранные углы один на другой или распо-
лагать их рядом друг с другом; в самом деле, соответствующие по-
нятия для линейных углов не зависят от взаимного расположения дву-
гранных углов. Поэтому случай, о котором мы говорили в конце пре-
дыдущего пункта, не может иметь места.
Двугранный угол можно наложить на самого себя так, что каждая
из его граней займёт место другой (причём ребро займёт первоначаль-
ное положение, но направление на ребре изменится на обратное).
Для этого, очевидно, достаточно перевернуть линейный угол дву-
гранного угла и наложить его на самого себя (Пл., п. 10).
362. Теорема. Отношение двух двугранных углов равно отно-
шению их линейных углов.
Эта теорема, как мы знаем, непосредственно вытекает из предыду-
щей (сравнить Пл., пп. 17, 113 и 247). Впрочем читатель сможет
сам повторить и для данного случая то общее рассуждение, которым
мы пользовались в планиметрии (Пл., пп. 17 и 113).
Следствие. Если за единицу меры двугранного угла принять
двугранный угол, которому соответствует линейный угол, принятый
за единицу, то любой двугранный угол будет измеряться тем же
числом, как и его линейный угол.
Чтобы в этом убедиться, достаточно выбрать за второй из углов, рас-
сматриваемых в последней теореме, двугранный угол, принятый за единицу.
В согласии с этим заключением, двугранные углы измеряются
в градусах, минутах и секундах, причём число градусов, минут и секунд
двугранного угла равно числу градусов, минут и секунд его линей-
ного угла.
363. Перпендикулярные плоскости. Определения. Плоскость
называется перпендикулярной к другой плоскости, если она образует
с этой плоскостью равные между собой прилежащие двугранные углы.
3*
36
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия
Двугранный угол называется прямым, если одна из его граней
перпендикулярна к другой.
Теорема. Для того чтобы двугранный угол был прямым, не-
обходимо и достаточно, чтобы его линейный угол был прямым.
1°. Пусть дан двугранный угол P-XY-Q (черт. 27); и пусть плос-
кость Р перпендикулярна к плоскости Q; другими словами, двугранный
угол PQ равен прилежащему двугранному углу PQ', образованному
полуплоскостью Р и продолжением полуплоскости Q. Проведём пер
пендикулярно к ребру XY плоскость, которая пусть пересечёт полу-
плоскость Р по прямой О А п плоскость Q по прямой В'ОВ', первая
пз этих прямых перпендикулярна ко вто-
рой, так как она образует с ней два при-
лежащих угла АОВ и АОВ', которые равны
как линейные углы равных двугранных углов.
2°. Обратно, если линейный угол АОВ
(черт. 27) двугранного угла P-XY-Q —
прямой, то продолжение Q' полуплоскости
Q образует второй двугранный угол PQ',
равный двугранному углу PQ, так как
его линейный угол АОВ' прямой, как и
угол АОВ.
С л в д с т в и е. Если некоторая плоскость перпендикулярна к дру-
гой, то и обратно —вторая плоскость перпендикулярна к первой.
364. Теорема. Если две плоскости перпендикулярны, то всякий
перпендикуляр к линии их пересечения, лежащий в одной из плос-
костей, является перпендикуляром к другой плоскости.
Действительно, пусть, как и в предыдущем пункте, P-XY-Q
(черт. 27) — прямой двугранный угол, и пусть прямая АО есть пер-
пендикуляр к прямой XY, лежащий в плоскости Р. Прямую ОА можно
рассматривать как одну из сторон линейного угла двугранного угла PQ\
следовательно, она перпендикулярна ко второй стороне ОВ этого угла.
Так как она, кроме того, перпендикулярна к прямой XY, то она пер-
пендикулярна к плоскости Q.
365. Условие предыдущей теоремы можно рассматривать как со-
стоящее из двух частей, а именно: 1) две плоскости Р и Q взаимно
перпендикулярны, 2) перпендикуляр ОА к линии пересечения лежит
в плоскости Р.
Следовательно, эта теорема имеет две обратные теоремы.
Первая обратная теорема. Плоскость перпендикулярна
к другой плоскости, если она проходит через перпендикуляр к
последней.
Если плоскость Р проходит через прямую ОА, перпендикулярную
к плоскости Q, то она перпендикулярна к плоскости Q, так как ли-
нейный угол АОВ двугранного угла PQ — прямой.
Вторая обратная теорема. Если две плоскости взаимно пер-
пендикулярны и если из какой-либо точки одной из них опустить
ГЛАВА IV. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ плоскости
37
перпендикуляр на другую, то этот перпендикуляр целиком лежит
в первой плоскости.
Пусть плоскости Р и Q взаимно перпендикулярны; тогда перпен-
дикуляр, опущенный на плоскость Q из какой-либо точки А плос-
кости Р, должен совпадать (в силу предыдущего пункта) с перпен-
дикуляром, опущенным из точки А на линию пересечения обеих пло-
скостей.
Следствия. 1. Плоскость перпендикулярна к другой плоско-
сти, если она параллельна перпендикуляру к этой плоскости.
Если плоскость Рпараллельна прямойD, перпендикулярной к плоско-
сти Q, то она проходит через прямую, параллельную прямой D (п. 337),
и перпендикулярна к плоскости Р (по первой обратной теореме).
Плоскость и прямая, перпендикулярные к одной плоскости,
параллельны, так как данная плоскость проходит (по второй обратной
теореме) через прямую, параллельную данной прямой.
II. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны к треть-
ей плоскости, то и линия их пересечения перпендикулярна к треть-
ей плоскости.
Если каждая из плоскостей Q и R (черт. 28) перпендикулярна
к плоскости Р, и точка А —одна из их общих точек, то перпенди-
куляр, опущенный из точки А на плоскость Р, лежит и в плоскости Q.
и в плоскости R (по второй обратной теореме); следовательно, он слу-
жит их линией пересечения.
366. Теорема. Через прямую, не перпендикулярную к плоскости,
проходит плоскость, перпендикулярная к последней, и притом
только одна.
Эта плоскость есть геометрическое место перпендикуляров
к данной плоскости, проходящих через нитки данной прямой.
Пусть прямая АВ не перпен-
дикулярна к плоскости Р, причём
она может или лежать в этой пло
скости, или находиться вне этой
плоскости (черт. 29). Проводим
через точку А к плоскости Р пер-
пендикуляр АХ, который будет,
по условию, отличен от АВ. Пло-
скость ХАВ, определяемая этими
двумя прямыми, перпендикулярна
ратная теорема).
Обратно, всякая плоскость, проведённая через прямую АВ перпен-
дикулярно к плоскости Р, проходит через прямую АХ (пункт 365,
вторая обратная теорема); следовательно, такая плоскость не-
обходимо будет совпадать с плоскостью ХАВ. С другой стороны, она
проходит также через перпендикуляр к плоскости Р, проведённый че-
рез произвольную точку прямой АВ, и обратно, через любую точку
плоскости ХАВ проходит перпендикуляр к плоскости Р, который пе-
к плоскости Р (п. 365, первая об-
38
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия
ресекается с прямой АВ (как лежащей с этой прямой в одной пло-
скости и ей не параллельной); это доказывает последнюю часть
теоремы.
367. Все прямые двугранные углы равны, как имеющие равные
линейные углы.
Двугранный угол называется острым (тупым), если’ он меньше
(больше) прямого двугранного угла; два двугранных угла называются
дополнительными или пополнительными, если их сумма равна соот-
ветственно одному пли двум прямым двугранным углам. Понятно, что
острым, тупым, дополнительным и пополнительным двугранным углам
соответствуют острые, тупые, дополнительные и пополнительные ли-
нейные углы, и обратно (п. 361).
В силу этого полуплоскость, которая пересекает безграничную
плоскость, образует с ней два пополнительных двугранных угла:
обратно, если два прилежащих двугранных угла пополнительные, то
их крайние грани служат продолжением одна другой.
Сумма двугранных углов, лежащих по одну сторону от плоскости
и образованных несколькими полуплоскостями, которые пересекают
эту плоскость по одной и той же прямой, равна
двум прямым; сумма всех двугранных углов, обра-
зованных несколькими полуплоскостями, проходя-
щими через одну прямую, равна четырём прямым.
368. Два двугранных угла PQ и P'Q' (черт. 30)
называются вертикальными, если грани одного из них
служат продолжением граней другого.
Два вертикальных двугранных угла равны, так
как их линейные утлы — углы вертикальные.
Заметим, что два вертикальных двугранных угла
имеют одинаковое направление, если на ребре вы-
брать одно и то же направление и за первую грань второго двугран-
ного угла принять ту его грань, которая служит продолжением пер-
вой грани первого угла. Это вытекает из того, что два вертикальных
угла на плоскости имеют одно и то же направление.
369. Два двугранных угла, плоскости которых соответственно
параллельны, равны или пополнительны, как в этом можно убедиться,
пересекая их плоскостью, перпендикулярной к их рёбрам, причём
образуются их линейные углы, которые будут равны или пополни-
тельны.
Примечание. Мы видим также, что если параллельные грани
направлены в одну и ту же сторону]), то и двугранные углы бу-
Черт. 30-
2) Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, так
что каждая из них делится на две полуплоскости, то о двух получившихся
при этом полуплоскостях говорят, что они направлены в одну и ту же сто-
рону илп в противоположные стороны, смотря по тому, лежат ли они по
одну сторону от секущей плоскости илп нет.
ГЛАВА IV. ДВУГРАННЫЕ углы. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ плоскости
39
дут иметь одно и то же направление (если на обоих рёбрах вы-
брать одно и то же направление).
370. Биссектралъной плоскостью двугранного угла называется
плоскость, проходящая через его ребро и делящая двугранный угол
на две равные части. Ясно, что эту плоскость можно рассматривать
как определённую ребром и биссектрисой линейного угла. Биссектраль-
ные плоскости четырёх двугранных уг/юв, образованных двумя без-
граничными пересекающимися плоскостями, представляют собой
две безграничные плоскости, перпендикулярные между собой.
Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересе-
кающихся плоскостей, состоит из биссектральных плоскостей дву-
гранных углов, образованных этими плоскостями. Дей-
ствительно, если из какой-либо точки М (черт. 31) опу-
стить на плоскости Р и Q перпендикуляры МА и МВ, то
плоскость МАВ перпендикулярна к плоскости Р (как про-
ходящая через перпендикуляр МА) и к плоскости Q (как
проходящая через перпендикуляр МВ); следовательно, эта
плоскость перпендикулярна к линии их пересечения и опре-
деляет линейный угол АОВ двугранного угла PQ. Поэтому
перпендикуляры МА и МВ будут равны или не равны, в
зависимости от того, лежит или не лежит точка М на бис-
сектрисе этого линейного угла, следовательно, в зависимости
принадлежит или не принадлежит точка М биссектральной плоскости
двугранного угла.
371. В силу теорем, доказанных в этой и предыдущей главах:
через данную точку проходит только одна прямая, перпендикуляр-
ная к данной плоскости;
через данную точку проходит только одна плоскость, перпенди-
кулярная к данной прямой; напротив:
через данную точку проходит бесчисленное множество прямых,
перпендикулярных к данной прямой: это будут прямые, лежащие
в плоскости, перпендикулярной к данной прямой и проходящей через
данную точку;
через данную точку проходит бесчисленное множество пло-
скостей, перпендикулярных к данной плоскости: это будут пло-
скости, проходящие через перпендикуляр к данной плоскости, про-
ведённый через данную точку.
Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости,
необходимо параллельны; напротив, две прямые, перпендикулярные
к одной и той же прямой, не обязательно параллельны.
Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямей,
необходимо параллельны; напротив, две плоскости, перпендикулярные
к одной и той же плоскости, не обязательно параллельны.
Мы видим, что эти заключения в точности противоположны ана-
логичным предложениям, сформулированным в п. 346 для параллель-
ных прямых и плоскостей.
Р
Q
О^В
Д
м
Черт. 31.
от того.
40
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ.
456. Даны две пересекающиеся плоскости. Доказать, что существуют две
прямые, обладающие тем свойством, что все плоскости, одинаково наклонён-
ные к двум данным плоскостям, параллельны либо одной, либо другой из этих
двух прямых.
457. Найти геометрическое место середин отрезков, параллельных данному
направлению и заключённых между двумя данными плоскостями.
458. Найтн геометрическое место третьих вершин треугольников, стороны
которых соответственно параллельны трём данным прямым и две вершины
которых остаются в двух данных плоскостях.
459. Решить ту же задачу при условии, что первая вершина остаётся на
данной прямой, а вторая — в данной плоскости.
460. Найти геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что
сумма или разность их расстояний от двух данных плоскостей есть величина
постоянная.
461. Найти геометрическое место концов отрезков, выходящих из данной
точки и обладающих тем свойством, что сумма их проекций на две данные
прямые имеет данное значение.
462. Полупрямая D, проходящая через одну из точек ребра XY двугран-
ного угла и лежащая внутри этого угла, обладает следующим свойством:
если плоскость, перпендикулярная к полупрямой D в некоторой её точке И
пересекает грани двугранного угла соответственно по прямым ОА и ОВ, то
точка Н лежит на биссектрисе угла ЛОВ (точка Н предполагается не лежащей
на ребре XY). Доказать, что прямая D лежит в биссектральной плоскости дву-
гранного угла.
463. Даны двугранный угол и прямая D, которая пересекает его ребро.
Провести через эту прямую плоскость, которая пересекается с гранями дву-
гранного угла по двум прямым так, чтобы прямая D была биссектрисой плоского
угла, получающегося в сечении. Рассмотреть случаи, когда задача неопре-
делена или невозможна.
464. Даны две прямые D и через эти две прямые проводят соответ-
ственно две какие-либо взаимно перпендикулярные плоскости. Найти геометри-
ческое месУо точек, в которых рёбра образующихся при этом прямых дву-
гранных углов пересекаются с данной плоскостью, перпендикулярной к одной
из двух данных прямых.
ГЛАВА V.
ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТЬ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТЬЮ. КРАТЧАЙШЕЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ
ПРЯМЫМИ. ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.
372. Ортогональной проекцией (или просто проекцией} точки на
плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из этой
точки на плоскость. Проекция какой-либо фигуры есть фигура, обра-
зованная проекциями точек первоначальной фигуры.
Проекция прямой линии на плоскость есть прямая линия, за
исключением того случая, когда данная прямая перпендикулярна
к плоскости (в этом случае проекция обращается в точку). Действи-
тельно, мы видели (п. 366), что геометрическое место перпенди-
куляров к данной плоскости, проходящих через точки данной прямой.
ГЛАВА V. ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТЬ
41
есть плоскость. Эта плоскость (называемая проектирующей плоскостью)
пересекает данную плоскость по некоторой прямой (черт. 32). Если
данная прямая параллельна данной плоскости, то она, очевидно, парал-
лельна и своей проекции.
Проекции параллельных прямых на одну и
параллельны как линии пересечения параллельных
тируюших плоскостей, каждая
из которых проходит через две
прямые, параллельные другой
плоскости) с третьей плоско-
стью (черт. 33).
Проекция одной и той же
прямой (черт. 34) (или двух Черт. 32.
параллельных прямых) на две
параллельные плоскости параллельны по той же
Проекции одного и того же отрезка на две
скости равны, как это непосредственно видно из
373. Вообще ортогональные проекции одной и той же фигуры
на две параллельные плоскости суть две равные фигуры.
В самом деле, после того, что было сказано, ясно, что это свой-
любого треугольника (черт. 35): проекции этого
ту же плоскость
плоскостей (проек-
Черт. 33.
самой причине.
параллельные пло-
чертежа 34 ’).
ство имеет место для
Черт. 34.
треугольника на две параллельные плоскости представляют собой
равные треугольники* 2), имеющие (п. 359) одинаковое направление
вращения. Следовательно (Пл., п. 50), то же свойство распро-
страняется и на любую фигуру, как плоскую, так и не плоскую.
374. Теорема о проекции прямого угла. Чтобы прямой угол
проектировался в прямой угол, необходимо и достаточно, чтобы
хотя бы одна из сторон была параллельна плоскости проекций.
9 Это предложение сохраняет силу (см. ниже, п. 377) и для проекций рав-
ных и параллельных отрезков на параллельные плоскости.
2) Это рассуждение пришлось бы видоизменить, если бы проектируемый
треугольник лежал в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекции;
однако предложение осталось бы справедливым.
42
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия
1°. Пусть АОВ — прямой угол (черт. 36), сторона ОВ которого
параллельна плоскости Р, и пусть угол аоЬ есть проекция данного угла
на плоскость Р. Прямая ob, параллельная ОВ, перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым ОА и Оо; следовательно, она перпенди-
кулярна к плоскости ОАоа и, в силу этого, к прямой оа.
2°. Пусть АОВ — прямой угол, который проектируется на пло-
скость Р в прямой угол аоЬ. Прямая ob, перпендикулярная к оа и
к Оо, перпендикулярна к плоскости ОАа и, следовательно, к О А.
Так как прямая ОА перпендикулярна также к ОВ, то она перпенди-
кулярна к плоскости ОВоЬ и, следовательно (п. 365, следствие 1),
параллельна плоскости Р, если только ОВ и ob не параллельны, но
в этом последнем случае ОВ параллельна плоскости Р.
375. Если одна из сторон прямого угла лежит в плоскости проек-
.Z ций, то первую часть предыдущей теоремы
/ можно сформулировать так:
---/-------\ Если из какой-либо точки А пространства
\ опустить перпендикуляр А а на плоскость Р
---------------сз и перпендикуляр АО на прямую ОВ, лежа
Черт. 37. Щую в этой плоскости, то прямая Оа, кото-
рая соединяет основания этих двух перпенди-
куляров, также будет перпендикулярна к ОВ (черт. 37).
Эта теорема известна пол названием теоремы о трёх перпендику-
лярах; она допускает следующие две обратные теоремы:
Первая обратная теорема. Если из какой-либо точки а пло-
скости опустить перпендикуляр аО на какую-либо прямую ОВ,
лежащую в этой плоскости, то прямая, которая соединяет точ-
ку О с какой-либо точкой А перпендикуляра, восставленного
к этой плоскости в точке а, также перпендикулярна к ОВ.
Действительно, прямая ОВ, перпендикулярная к двум пересекаю-
щимся прямым аО и аА, перпендикулярна к плоскости, в которой они
лежат.
Вторая обратная теорема. Если из некоторой точки А,
лежащей вне плоскости Р, опустить перпендикуляр АО на пря-
мую ОВ, лежащую в этой плоскости, и если в плоскости Р про-
вести через точку О перпендикуляр Оа к прямой ОВ, то перпенди-
куляр, опущенный из точки А на прямую Оа, будет перпенди-
кулярен к плоскости Р.
Это следует из теоремы пункта 364, так как плоскость ОАа
перпендикулярна к плоскости Р (как перпендикулярная к прямой ОВ)
376. Угол между прямой и плоскостью. Теорема. Если через
точку пересечения прямой с плоскостью провести в этой плоскости
различные прямые, то та из этих прямых, которая образует
наименьший угол с данной прямой, есть проекция последней на
плоскость.
Пусть ОА— полупрямая, выходящая из точки О плоскости Р
(черт. 38); из точки А опустим перпендикуляр Аа на плоскость Р,
ГЛАВА V. ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТЬ
43
чтобы получить проекцию Оа прямой ОА. Я утверждаю, что угол
(необходимо острый) АОа меньше угла, который прямая ОА образует
с какой-либо другой полупрямой ОЬ плоскости Р.
В этом можно убедиться, выбрав отрезок ОЬ=Оа и соединив
точку А с точкой Ь; тогда отрезок Ab будет больше (п. 354) отрез-
ка Аа; доказываемое предложение вытекает (Пл., п. 28) из рас-
смотрения треугольников АОа и АОЬ, имеющих д
по две соответственно равные стороны и нерав-
ные третьи стороны. --ч
Примечание. Если вращать прямую Ob 10 \
около точки О в плоскости Р, удаляя её от Оа, \ О р
то расстояние ab возрастает, а следовательно,
возрастает также и расстояние АЬ; угол АОЬ Черт. 38.
возрастает, таким образом, до своей наибольшей
величины АОа', соответствующей тому случаю, когда полупрямая ОЬ
совпадает с продолжением полупрямой Оа (черт. 38).
Острый угол АОа, который прямая ОА образует со своей проек-
цией на плоскость Р, называется углом между прямой и плоскостью.
377. Угол, который прямая образует с плоскостью, есть угол
дополнительный к острому углу, образованному этой прямой с пер-
пендикуляром к плоскости. Это видно из прямоугольного треуголь-
ника ОАа (черт. 38), в котором острые углы дополнительные.
Очевидно, что угол прямой с плоскостью не изменится, если
заменить данную прямую прямой ей параллельной, а данную плоскость —
параллельной ей плоскостью.
Проекция отрезка на плоскость равна длине отрезка, умно !сен-
ной на косинус угла, образуемого отрезком с плоскостью проек-
ций. Это следует из основной теоремы о проекциях, доказываемой
в тригонометрии, в силу только что данного определения угла между
прямой и плоскостью.
Отсюда, в частности, следует, что два параллельных отрезка
относятся между собой, как их ортогональные проекции на одну
и ту же плоскость или на две параллельные плоскости.
Заметим, что данное здесь выражение для длины проекции ка-
сается лишь её абсолютной величины; иначе и быть не может, так
как на проекции данной прямой положительное направление не вы-
брано.
378. ЛЙния наибольшего уклона. Теорема. Если две плоскости
пересекаются, то прямая, лежащая в первой плоскости и образую-
щая наибольший из возможных углов со второй плоскостью, пер-
пендикулярна к линии их пересечения.
Пусть плоскости Р и Q пересекаются по прямой XY (черт. 39).
В силу предыдущего пункта наибольший из возможных углов с пло-
скостью (Q образует та из прямых, лежащих в плоскости Р, которая
образует наименьший угол с перпендикуляром АВ к плоскости Q.
Но прямая плоскости Р, образующая наименьший угол с АВ, есть
44
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
проекция АВ' прямой АВ на плоскость Р (п. 377). Эта проекция
перпендикулярна к прямой XV, потому что плоскость, проектирующая
АВ, будучи перпендикулярна к плоскости Q (так как она проходит
через АВ) и к плоскости Р, перпендикулярна и к линии ух пере-
сечения.
Отсюда следует, что наибольший угол есть не что иное, как угол
между двумя плоскостями Р и Q (так называется
линейный угол острого двугранного угла PQ).
Чертёж 39 показывает также, что угол между
двумя плоскостями есть угол дополнительный к
углу, образованному одной из них с перпенди-
куляром к другой.
Если плоскость Q горизонтальна, то прямая АВ'
называется линией наибольшего уклона (или линией
наибольшего ската) плоскости Р.
плоскости Р и Q пересекаются, то отношение
Черт. 39.
379. Если две
расстояния какой-либо точки плоскости Q от плоскости Р к рас-
стоянию той же точки от ребра двугранного угла, образованного
этими двумя плоскостями, а также к проекции этого расстояния
на плоскость Р, есть величина постоянная.
Действительно, пусть М и М'— две точки плоскости Q (черт. 40),
Мт п М'т — их расстояния от плоскости Р, MN и M'N'— их рас-
Черт. 40.
Черт. 41.
стояния от ребра двугранного угла PQ', прямоугольные треугольники
MmN и M'm'N' подобны, как имеющие по равному острому углу.
Так как этот острый угол / MNm = / M'N'm' будет в то же
Мт Мт
время и углом между плоскостями Р и Q, то отношения и ,
которые мы рассматриваем, соответственно равны sin а. и tg а, где
через а обозначен угол, о котором идёт речь.
Геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что
отношение их расстояний от двух данных плоскостей равно дан-
ному числу, есть совокупность двух плоскостей, проходящих через
линию пересечения данных плоскостей (сравнить Пл., и. 157).
380. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Теорема.
Если даны две непараллельные прямые, то существует прямая,
и притом только одна, которая пересекает обе прямые под пря-
мым углом.
ГЛАВА v. ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ НА плоскость
45
Эта прямая называется общим перпендикуляром к двум данным
прямым.
Длина этого общего перпендикуляра есть кратчайшее расстоя-
ние между двумя прямыми.
Пусть АВ и А'В' (черт. 41)—тайные непараллельные прямые.
Через эти прямые можно провести, и притом единственным образом,
две параллельные плоскости Р п Р (п. 341). Любая прямая, перпенди-
кулярная одновременно к АВ и к А'В', перпендикулярна к пло-
скости Р (п. 350, следствие), и обратно, прямая, перпендикулярная
к плоскости Р, будет перпендикулярна как к прямой АВ, так и
к прямой А'В'.
Геометрическое место перпендикуляров к плоскости Р, которые
пересекают прямую АВ, есть плоскость Q, а геометрическое место
перпендикуляров к плоскости Р, которые пересекают прямую А'В',
есть плоскость Q'. Эти две плоскости, обе перпендикулярные к пло-
скости Р, не параллельны и не совпадают (так как не существует
плоскостей, параллельных одновременно прямым АВ и А'В' и в то
же время перпендикулярных к плоскости Р); они пересекаются по
прямой НН', перпендикулярной к плоскости Р; эта прямая и будет
искомой прямой и притом единственной.
Расстояние между прямыми АВ и А'В', отсчитываемое по пря-
мой НН', короче расстояния ММ' между двумя какими-либо другими
точками, лежащими соответственно на прямой АВ и на прямой А'В',
так как оно является кратчайшим расстоянием между параллельными
плоскостями Р и Р', что if требовалось доказать.
Если обе прямые пересекаются, то общий перпендикуляр про-
ходит через точку пересечения, и кратчайшее расстояние равно
нулю.
Наконец, две параллельные прямые имеют бесчисленное множество
общих перпендикуляров, равных между собой.
381. Площадь проекции плоской фигуры. Теорема. Площадь
проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади
проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между двумя
плоскостями.
Обозначим через Р плоскость рассматриваемой фигуры, через Р—
плоскость проекций. Мы докажем приведённую теорему, рассматривая
последовательно несколько случаев.
1°. Проектируемая фигура есть треугольник АВС, одна из сторон
которого ВС параллельна плоскости проекций Р. Так как последнюю
плоскость (п. 373) можно переместить параллельно самой себе, не
изменяя результата проектирования, то можно допустить, что сто-
рона ВС лежит на линии пересечения плоскостей Р и Р' (черт. 42).
Если ВСА'—проекция треугольника ВСА на плоскость Р’ п АН —
высота треугольника ВСА, то А'Н будет (по теореме о трёх перпен-
дикулярах) высотой треугольника ВСА'. Кроме того, угол при вер-
шине Н прямоугольного треугольника АА'Н равен углу между пло-
46
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
скостями Р и Д'; поэтому отношение равно (сравнить п. 379)
косинусу этого угла. Но это же отношение равно отношению пло-
щадей треугольников ВСА’ и ВСА, так как они имеют общее
основание.
2°. Проектируемая фигура есть треугольник АВС, причём ни
одна из его сторон не параллельна плоскости проекций. Если про-
вести через выбранную надлежащим образом вершину А треугольника
АВС (черт. 43) прямую AD, параллельную линии пересечения XY
плоскостей Р и Р', то треугольник разобьётся на два треугольника
ABD и ACD, которые удовлетворяют условию, приведённому в слу-
чае 1°. Так как отношение площади каждого из треугольников к пло-
щади его проекции одно и то же для обоих треугольников ABD и
ACL), то оно будет тем же самым и для всего треугольника, согласно
известной теореме о пропорциях (сравнить Пл., п. 257).
3°. Если речь идёт о каком-либо многоугольнике, то этот много-
угольник можно разбить на треугольники. Рассматриваемое отноше-
ние будет одним и тем же для всех треугольников и, следовательно,
,— ---------------------------- имеет то же самое значение
/ j . 5 / для целого многоугольника.
/ \ \ / 4°. Наконец, теорема при-
/ ( V '\Д / менима к какой-либо фигуре
/ Т.~~~А~с криволинейным контуром,
/ лежащей в плоскости Р, и
/ X « 5 * \ / ./ к её проекции.
L'' S' /у7 Действительно, площадь
-------------------к S данной фигуры (черт. 44)
Черт. 44. есть по определению (Пл.,
п. 260) предел площади s
вписанного многоугольника. Пусть <S' и s' обозначают соответственно
площади проекций на плоскость Д' данной фигуры и вписанного много-
угольника; когда число сторон вписанного многоугольника неограниченно
возрастает таким образом, что длина каждой стороны стремится к
нулю, то и для его проекции будет иметь место то же самое.
ГЛАВА V. ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТЬ
47
Но мы только что видели, что
s' — s- cos а,
где а — угол между двумя плоскостями.
Следовательно, если «• стремится к 5, то s' стремится к пределу S',
равному S- cos а.
УПРАЖНЕНИЯ.
465. Всякая линия, которая проектируется на две пересекающиеся пло-
скости по прямым линиям, есть, вообще говоря, прямая (доказать).
В каком случае это предложение теряет силу?
466. Две прямые, обладающие тем свойством, что их проекции как на
одну, так и на другую из двух пересекающихся плоскостей параллельны,
также параллельны между собой (доказать). Рассмотреть исключение, аналогич-
ное тому, которое имеет место для предыдущего предложения.
467. В данной плоскости провести через данную на ией точку прямую,
образующую с дайной прямой данный угол *).
В дайной плоскости провести через данную на ней точку прямую, обра-
зующую данный угол с другой данной плоскостью1).
468. Через данную прямую провести плоскость, образующую данный угол
с данной плоскостью Д. Рассмотреть условия возможности.
469. Прямая, одинаково наклонённая к двум граням двугранного угла,
пересекает эти грани в двух точках, одинаково удалённых от ребра, и обратно
(доказать).
470. Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную точку
и образующих равные углы с двумя данными плоскостями.
471. Найти геометрическое место точек плоскости, обладающих тем свойст-
вом, что прямые, которые соединяют их с двумя данными точками А и В,
одинаково наклонены к этой плоскости.
472. Если проектировать угол АОВ на плоскость, параллельную его бис-
сектрисе ОС, то проекция есть угол, биссектриса которого параллельна ОС
(доказать).
473. Если проектировать прямой угол иа плоскость, которая пересекает
стороны угла, или иа плоскость, которая пересекает продолжения обеих сторон,
то проекция представляет собой тупой угол; напротив, проекция представляет
собой острый угол, если плоскость проекций пересекает одну из сторон угла
н продолжение другой его стороны (доказать.)
474. Если спроектировать данный угол на плоскость, параллельную одной
из его сторон, то данный угол и угол, полученный в проекции, будут одновре-
менно оба острыми, или оба тупыми (доказать).
475. Основание общего перпендикуляра к прямым D и лежит с той же
стороны от какой-либо точки А1 прямой D, как и та часть этой прямой, которая
образует острый угол с перпендикуляром, опущенным из точки М на пря-
мую ЕУ (доказать).
476. Даны две прямые D и ЕЕ. Расстояние какой-либо точки прямой D от
прямой ЕУ будет тем более, чем дальше эта точка отстоит от основания об-
щего перпендикуляра к обеим прямым (доказать).
477. Геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и
имеющих с данной прямой общий перпендикуляр дайной длины, представляет
собой совокупность двух плоскостей (доказать).
478. Даны: прямая D, которая проектируется на плоскость Р в прямую d,
и некоторая точка О пространства; показать, что на плоскости Р существ} ет
точка О', обладающая тем свойством, что отношение расстояния точки О от
!) См. примечание в конце задач к пятой книге.
48
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
какой-либо точки М прямой D к расстоянию точки О' от проекции т точки М
на плоскость Р имеет постоянную величину.
479. Найти на данной прямой D точку, обладающую тем свойством, что
её расстояния от некоторой другой данной прямой ГУ и от данной точки О
находятся в данном отношении. (Использовать предыдущее упражнение.)1)
480. Каждому плоскому многоугольнику можно поставить в соответствие
такой отрезок, что его проекция на любую прямую в пространстве будет
измеряться тем же числом, как и площадь проекции многоугольника на пло-
скость, перпендикулярную к этой прямой (доказать).
(Искомый отрезок перпендикулярен к плоскости многоугольника; его длина
измеряется тем же числом, как и площадь многоугольника.)
ГЛАВА VI.
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СФЕРИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ.
382. Опре деления. Шаром, или сферой, называется геометри-
ческое место точек пространства, расположенных на данном расстоя-
нии от данной точки, называемой центром
шара (черт. 45).
Отрезок, соединяющий центр шара с
какой-либо его точкой, называется радиу-
сом шара. Отрезок, соединяющий две точ-
ки шара и проходящий, кроме того, через
его центр, называется диаметром. Из опре-
деления следует, что все радиусы равны
и что диаметр равен удвоенному радиусу.
Плоскость, проходящая через центр
шара, называется диаметральной пло-
скостью.
Шар делит пространство на две обла-
сти. одна из них состоит из точек, рас-
стояния которых от центра меньше ради-
уса, и называется внутренней по отношению к шару2); другая — из
точек, расстояния которых от центра больше радиуса, и называется
внешней по отношению к шару. Из одной области нельзя перейти в
другую по непрерывному пути, не пересекая шара.
Из определения шара, в связи с определением окружности (Пл.,
п. 7) следует, очевидно, что сечение шара диаметральной плоскостью
есть окружность с тем же центром и радиусом, как и данный шар;
такая окружность называется большим кругом шара.
Пересечение прямой с шаром. Чтобы изучить пересечение неко-
торой прямой XY с шаром 5 (черт. 46), проведём плоскость через
х) См. примечание в конце задач к пятой книге.
2) В разговорном языке тарой называют также внутреннюю область
сферы это не даёт повода ни к каким недоразумениям.
ГЛАВА VI. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 49
прямую XY и центр О шара. Так как всякая общая точка данной пря-
мой п шара необходимо лежит на большом круге, получающемся в сече-
нии шара с этой плоскостью, то заключения в пункте 58 планиме-
трии позволяют высказать следующие
предложения:
1°. Прямая не пересекает шара,
если её расстояние от центра боль-
ше радиуса.
2°. Если это расстояние меньше
paduvea, то прямая и шар пере-
секаются в двух точках. Хорда,
отсекаемая на этой прямой, тем Черт. 46.
короче, чем больше расстояние пря-
мой от центра; проекция центра шара на хорду совпадает с сере-
диной хорды.
3°. Наконец, в промежуточном случае, когда расстояние от цен-
тра равно радиусу, прямая имеет с шаром только одну общую точку.
В этом случае она называется касательной к шару.
Отсюда видно, что касательная к шару перпендикулярна к ра-
диусу, проходящему через точку касания, и что обратно, всякая
прямая, перпендикулярная к радиусу и проходящая через его конец,
есть касательная.
Из предыдущего вытекает следующая теорема.
Теорема. Геометрическое место касательных к шару в какой-
либо его точке есть плоскость, перпендикулярная к радиусу, прохо-
дящему через эту точку.
Эта плоскость называется касательной плоскостью к шару в рас-
сматриваемой точке.
383. Пересечение шара с плоскостью.
Теорема. Если расстояние плоскости от центра шара больше
радиуса последнего, то плоскость и шар не имеют ни одной общей
точки.
Если расстояние плоскости от центра шара меньше радиуса,
то плоскость и шар пересекаются по окружности, центр которой
есть проекция центра шара на данную плоскость.
Наконец, в промежуточном случае, когда это расстояние равно
радиусу, плоскость имеет с шаром только одну общую точку,
плоскость касается шара (см. предыдущий пункт).
Действительно, если через проекцию С центра О шара на данную
плоскость Р провести ряд прямых (черт. 47), лежащих в этой пло-
скости, то расстояние центра шара от каждой из этих прямых будет
то же, что и расстояние центра шара от данной плоскости. Следо-
вательно, если это расстояние больше радиуса, то ни одна из постро-
енных таким образом прямых не пересекает шара (п. 382).
Если это расстояние равно радиусу, то рассматриваемые прямые бу-
дут касательными к шару.
4 Элементарная геометрия, ч. II
БО
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Если это расстояние меньше радиуса, то все построенные прямые
пересекают шар. Геометрическое место общих точек М есть окружность
с центром в точке С; с этим обстоятельством мы уже встречались
в пункте 354 (следствие).
Следствия. I. Шар радиуса R и плоскость, расположенная
на расстоянии d<^R от его центра, пересекаются по окружности,
радиус г которой определяется по формуле:
r = yR^ — d2.
Это видно из прямоугольного треугольника ОСМ (черт. 48), гипо-
тенуза которого равна R, а катеты равны г и d.
Эта формула оправдывает название „большой круг”, данное выше
сечению шара плоскостью, проходящей через центр, которое имеет
радиус, равный R. Действительно, из неё видно, что все другие се-
чения шара (которые называются его малыми кругами) имеют радиусы
меньшие, чем R.
II. Две окружности, лежащие на одном и том же шаре, пересе-
каются не более чем в двух точках, а именно в тех точках (если
они существуют), где линия пересечения их плоскостей пересекает
шар (п. 382).
Теорема. Через две точки шара проходит большой круг; этот
большой круг будет единственным, за исключением того случая,
когда данные точки — диаметрально противоположные.
Действительно, через две точки А м В, лежащие на шаре, и че-
рез центр О шара проходит плоскость и притом единственная, если
только точки Л и В не лежат с центром шара на одной прямой.
Очевидно, что и, обратно, два больших круга одного и того же
шара пересекаются всегда в двух диаметрально противоположных точках.
Примечания. 1. Свойство, которое мы доказали, указывает на
аналогию, существующую между большими кругами на шаре и пря-
мыми линиями на плоскости. Однако эта аналогия неполная, так как
для диаметрально противоположных точек шара имеет место исклю-
чение.
ГЛАВА VI. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 51
2. Точки А и В делят окружность большого круга, проходящего
через эти точки, на две дуги. Та из двух дуг, которая меньше полу-
окружности, называется меньшей, дугой, другая — большей дугой (это
различие исчезает в том случае, когда точки А и В диаметрально
противоположные). Если говорят, без какого-либо особого указания,
о той дуге большого круга, которая соединяет точки А и В, то всегда
подразумевается, что речь идёт о меньшей дуге.
Меньшая дуга не может пересекать какой-либо большой круг (от-
личный от того, к которому она принадлежит) в двух точках, так как
последние были бы диаметрально противоположными; следовательно,
если концы А п В меньшей дуги лежат в одном и том же из двух
полушарий, на которые большой круг С делит шар, то в том же полу-
шарии лежат и все точки дуги.
384. Диаметр, перпендикулярный к плоскости какого-либо круга
шара, пересекает шар в двух точках, которые называются полюсами
этого круга (черт. 48).
Каждая из этих точек одинаково удалена от всех точек круга.
Если данный круг — большой круг, то расстояние какой-либо из его
точек от его полюса равняется хорде, стягивающей дугу, равную
квадранту ’), что непосредственно видно из чертежа 49.
Обратно, геометрическое место точек шара, расположенных на по-
стоянном расстоянии (меньшем диаметра) от какой-либо его точки,
есть круг, полюсом которого служит эта точка.
Действительно, на каждом из больших полукругов, соединяющих
данную точку А с диаметрально противоположной точкой А', лежит
одна и только одна (в силу Пл., п. 65) точка искомого геометриче-
ского места, и если М — одна из этих точек, то плоскость, прохо-
дящая через точку М и перпендикулярная к прямой АА', пересекает
шар по кругу, который целиком принадлежит (в силу п. 354) иско-
мому геометрическому месту. Это геометрическое место не содержит
никаких других точек N, кроме точек этого круга, так как плоскость,
проходящая через точку N и перпендикулярная к прямой АА', пли
вовсе не пересекала бы шара, или пересекала бы полукруг АМА'
в некоторой точке, отличной от М, что невозможно, как только что
было доказано.
Отсюда следует, что окружность на шаре можно описать, как и
на плоскости, с помощью циркуля, остриё которого помещено в од-
ном из полюсов окружности. При этом, однако, необходимо (особенно
при сравнительно больших растворениях циркуля) пользоваться цир-
кулем с кривыми, а не прямыми ножками (так называемым сфериче-
ским циркулем).
Дуга большого круга, которая соединяет полюс данного круга,
лежащего на шаре, с какой-либо точкой этого круга, имеет одну и
>) Квадрантом называется здесь и в дальнейшем четверть окружности
большого кр\га. Прим. ред. пе ввода.
52
КНИГА ПЯТАЯ- ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
ту же величину, где бы ни была взята точка на круге. Эта величина
называется сферическим радиусом круга. Сферический радиус боль-
шого круга равен квадранту, и обратно, окружность, проведённая
на шаре сферическим радиусом, равным квадранту, есть большой круг.
Любой круг делит шар на две части, называемые сферическими
сегментами, расположенные по обе стороны от круга. Каждый из
этих сегментов содержит один из полюсов и состоит из тех точек,
расстояния которых от этого полюса меньше расстояния этого же
полюса от точек данного круга.
Если речь идёт о малом круге, то меньший из двух сегментов,
сферический радиус которого меньше квадранта, часто называется вну-
тренней областью малого круга. Внутренняя область малого круга п
центр шара расположены, очевидно, по разные стороны от плоскости
малого круга.
385. Угол между двумя большими кругами.
Теорема. Угол (Пл., п. 60а) между двумя большими полукру-
гами, имеющими своими концами концы одного и того же диаметра.
равен углу между теми полуплоскостями, в
которых они лежат. Он измеряется заклю-
чённой между данными полукругами дугой
большого круга, имеющего своими полюсами
концы этих полукругов.
Пусть АМА’ и ANA' (черт. 50) — два боль-
ших полукруга, имеющих своими концами точ-
ки А и А'. Пусть, далее, АХ и AY—каса-
тельные к этим полукругам в точке А. Так как
обе эти касательные перпендикулярны к пря-
мой АА', то они образуют линейный угол дву-
гранного угла M~AA’’N.
плоскость большого круга, полюсами которого
Черт. 50.
С другой стороны,
служат точки А и А', перпендикулярна к прямой АА'. Эта плоскость
пересекает полуплоскости АА'М и AA'N по прямым ОМ и ON, ко-
торые также образуют линейный угол двугранного угла M-AA'-N.
Но этот угол есть в то же время центральный угол, соответствующий
дуге MN большого круга; тем самым доказана вторая часть теоремы.
386. Другое выражение для угла между двумя большими кругами
вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Угол между двумя большими полукругами измеряется
дугой большого круга, соединяющей их полюсы, или дугой ей попол-
нительной.
Пусть, как и выше, АМА' и ANA' (черт. 50) — два больших
полукруга, пересекающих в точках М и N большой круг, плоскость
которого перпендикулярна к прямой АА'. Этот последний большой
круг проходит через полюсы Р, Р' и Q, Q' двух данных больших
кругов, так как диаметры шара РР' и QQ', соответственно перпен-
дикулярные к плоскостям АМА' и ANA', перпендикулярны к прямой
ГЛАВА VI. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 53
Кроме того, диаметры РР' и QQ' соответственно перпендикулярны
к радиусам шара ОМ и CW; следовательно, угол между ними равен
jr.iy MON или углу ему пополнительному.
Примечание. Так как каждый из двух рассматриваемых боль-
ших кругов имеет по два полюса, то дугу большого круга, которая
соединяет полюс одного из них с полюсом другого, можно выбрать
четырьмя различными способами.
Предположим, что полюсы Р и Q (черт. 50) обладают тем свой-
ством, что равные дуги МР и NQ направлены в одну и ту же сто-
рону; тогда дугу PQ можно рассматривать как полученную путём
поворота дуги MN в её плоскости на прямой угол около точки О;
следовательно, она равна дуге MN.
Случай, когда обе дуги, о которых идёт речь, направлены в про-
тивоположные стороны, получается, очевидно, из предыдущего, если
заменить один и только один из полюсов Р и Q полюсом ему диаме-
трально противоположным, например полюс Р противоположным ему
полюсом Р'. Так как центральный угол POQ заменится при этом
углом ему пополнительным, то он будет после такой замены попол-
нительным и для угла MON. Таким образом, дуга большого круга,
которая соединяет оба полюса Р и Q, измеряется углом между
двумя большими полукругами Л7И.4' и ANA' или углом ему по-
полнительным, смотря по тому, будут ли обе дуги большого
круга PQ, заключённые соответственно между каждым из двух
данных полукругов и соответствующим ему полюсом, направлены
в одну и ту же сторону или в противоположные стороны.
387. Теорема. Геометрическое место точек шара, одинаково
удалённых от двух данных его точек, есть большой круг, прохо-
дящий через середину дуги большого круга, соединяющей данные
точки, и перпендикулярный к этой дуге.
Пусть А и В— две данные точки (черт. 51). Плоскость, перпен-
дикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину, прохо-
дит через центр О шара (так как ОА = ОВ) и, следовательно, пере-
секает шар по большому кругу, который и является искомым геоме-
КНИГА ПЯТАЯ- ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
54
трическим местом точек (п. 349). Этот большой круг проходит через
середину дуги большого круга АВ (так как эта точка равноудалена
or точек А и В); кроме того, в силу пункта 385, этот большой
круг перпендикулярен к дуге АВ, так как плоскости, в которых они
лежат, очевидно, перпендикулярны между собой.
Примечание. Рассматриваемое геометрическое место точек
делит шар на два полушария, из которых одно содержит точки, ле-
жащие к точке А ближе, чем к В, а другое — точки, лежащие
к точке В ближе, чем к А (п. 349, примечание).
Задача. Найти радиус твёрдого тела, имеющего форму шара,
с помощью построений, выполняемых на его поверхности и на
плоскости.
Первое решение. Выберем на шаре две произвольные точки АпВ
(черт. 51) и проведём одним и тем же раствором циркуля две ок-
о
4С
Черт.
А’С
ружности, имеющие своими полюсами соответственно эти две точки.
Общая точка М этих двух окружностей !), будучи одинаково удалена
от точек А и В, лежит на рассмотренном выше большом круге. Если
повторить то же самое построение, взяв другие растворы циркуля,
то можно найти ещё две точки N и Р того же большого круга.
Откладывая далее с помощью циркуля отрезки, равные MN, NP и РМ,
можно построить на плоскости треугольник, равный треугольнику MNP;
окружность, описанная около этого треугольника, будет иметь своим
радиусом искомый радиус шара.
Второе решение. Из какой-либо точки С шара как полюса опишем
определённым раствором циркуля окружность, на которой выберем
три точки Al, N и Р. Мы можем, как
это только что было объяснено, опре-
делить радиус этой окружности, по-
строив треугольник, равный треуголь-
нику MNP.
Зная радиус этой окружности и
отрезок СМ (равный первоначальному
раствору циркуля), можно найти ра-
диус шара: действительно, если / —
центр окружности MNP (черт. 52),
то треугольник CIM — прямоуголь-
ный и может быть построен на пло-
скости (так как известны гипотенуза
если затем провести в точке М перпендикуляр к
СМ и катет ЛИ);
прямой СМ до пересечения в точке С с продолжением катета С1, то
отрезок СС будет равен диаметру шара.
Задача. Соединить две данные точки твёрдого тела, имеющего
форму шара, дугой большого круга.
*) Предполагается, что раствор циркуля выбран так, что обе окружности
имеют общие точки. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ углы. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 55
Строим большие круги, имеющие своими полюсами данные точки
(см. предыдущую задачу). Эти два большие круга пересекаются в двух
точках, которые являются полюсами искомого большого круга.
Примечание. В соединении с первым решением предыдущей
задачи, эта задача позволяет построить большой круг, перпендику-
лярный к дуге большого круга, соединяющей две данные точки, и
проходящий через её середину.
ГЛАВА VII.
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
388. Многогранным углом называется фигура, образованная ча-
стями нескольких плоскостей {гранями многогранного угла), которые
проходят через одну точку (вершину многогранного угла) и ограни-
Черт. 53. Черт. 54. Черт. 55.
чены последовательными линиями их пересечения (последние являются
полупрямыми и называются рёбрами многогранного угла); многогран-
ный угол заключает некоторую часть пространства, простирающуюся
в бесконечность (черт. 53).
В многогранном угле можно рассматривать, с одной стороны, углы,
заключённые между последовательными рёбрами и называемые пло-
скими углами, с другой стороны, двугранные углы, образованные
двумя смежными гранями и имеющие своими рёбрами рёбра много-
гранного угла.
Наиболее простыми из многогранных углов являются трёхгранные
углы, имеющие по три грани и три ребра.
Многогранный угол называется выпуклым, если он целиком рас-
положен по одну сторону от неограниченно продолженной плоскости
любой из его граней, как это имеет место для многогранного угла,
рёбра которого проходят через вершины выпуклого многоугольника
(черт. 54); в противном случае он называется вогнутым. Трёхгранный
угол — необходимо выпуклый.
Симметричные трёхгранные углы. Пусть дан какой-либо трёх-
гранный угол SABC (черт. 55); продолжим его рёбра за вершину S,
проведя полупрямые б’Л', SB', SC. Мы образуем, таким образом.
66
КНИГА ПЯТАЯ- ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
новый трёхгранный угол SA'B'C, все элементы которого соответст-
венно равны элементам данного трёхгранного угла; действительно,
плоские углы попарно равны (например / A'SB' = / ASB\ как вер-
тикальные, и двугранные углы также равны (например, двугранный
угол £4 равен двугранному углу 5Л') как вертикальные.
Однако эти два трёхгранных угла не равны, хотя все их элементы
и равны: как мы сейчас докажем, невозможно наложить один из этих
углов на другой так, чтобы они совместились.
Заметим, прежде всего, что если бы в общем случае, когда три
плоских угла трёхгранного угла будут не равны между собой, оказа-
лось возможным совместить эти два трёхгранных угла, то ребро бУГ
обязательно пошло бы по S\4, SB'— по SB и SC—по SC, так как
при этом плоский угол B'SC трёхгранного угла SA'B'C может совпа-
дать только с углом BSC; таким образом, если бы эти два трёхгран-
ных угла совпали, то угол B’SC необходимо совпадал бы с углом
BSC и ребро SA' пошло бы по &4. Впрочем, каковы бы ни были
данные трёхгранные углы, когда мы будем говорить в данном пункте
о совмещении двух трёхгранных углов, мы будем всегда понимать
это выражение в том смысле, как это было указано, т. е. в смысле
совпадения соответственных элементов; невозможность такого рода
совмещения мы сейчас и докажем.
Отметим далее, что каким бы способом не перемещать второй
трёхгранный угол так, чтобы SA' совпало с SA и SC с SC, оконча-
тельное положение этого трёхгранного угла будет всегда одно и то же.
Поэтому мы можем выполнить это совмещение, перемещая плоский
угол A'SC в его плоскости так, чтобы совместить его с углом ASC
(потому что в их общей плоскости эти два угла имеют одинаковое
направление).
Теперь примем за плоскость чертежа плоскость ASC и предполо-
жим для определённости, что ребро SB расположено перед этой
плоскостью; при этом ребро SB' будет расположено за той же пло-
скостью (черт. 55); оно неизбежно останется за этой плоскостью во
время движения, которое мы сообщаем трёхгранному углу SA'B'C,
так как грань A'SC перемещается, не выходя из плоскости чертежа,
и, следовательно, ребро SB' никогда не сможет перейти с одной
стороны плоскости чертежа на другую. Таким образом, невозможно,
чтобы ребро SB' совпало с SB.
389. Если два рассмотренных выше трёхгранных угла не наложимы
о тин на другой, хотя они и имеют соответственно равные элементы,
то это зависит от того, что их расположение не одно и то же.
Следующее определение указывает, что под этим следует подразу-
мевать.
Определение. Расположением трёхгранного угла SABC на-
зывается направление (в смысле п. 359) двугранного угла 5Л при
условии, что за первую грань этого двугранного угла принята грань
SAB и на его ребре выбрано направление от S к А (черт. 55). Таким
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 57
образом, расположение трёхгранного угла SABC называется положи-
тельным, если наблюдатель, который расположен вдоль ребра S.4
ногами к вершине 5 и взор которого обращён внутрь трёхгранного
угла, видит грань SAB справа от грани 5ЛС: расположение трёх-
гранного угла называется отрицательным в противоположном случае.
Из этого определения видно, что расположение трёхгранного угла
зависит от порядка, в котором перечислены его рёбра. Точнее говоря,
расположение трёхгранного угла SABC изменяется, если поменять
местами два ребра. Прежде всего это очевидно, если поменять ме-
стами рёбра SB и SC (так как это сводится к перемене местами двух
граней двугранного угла £4); с другой стороны, например, два рас-
положения SABC и SBAC (полученные одно из другого переменой
мест рёбер и SB) противоположны друг другу. Действительно,
в их общей грани углы ASB и BSA имеют противоположное напра-
вление и, следовательно, два наблюдателя (Пл., п. 20), расположенные
один вдоль 571, другой вдоль SB и смотрящие оба внутрь угла ASB,
будут иметь внутреннюю область трёхгранного угла один справа,
другой слева от себя.
Так как расположения трёхгранных углов SABC и SBAC проти-
воположны, то расположения углов SABC и SBCA одинаковы; таким
образом, расположение трёхгранного угла не изменяется при кру-
говой перестановке рёбер (так называется операция, которая состоит
в замене последовательности б1/!, SB, SC последовательностью SB, SC,
SA, или последовательностью SC, SA, SB).
Понятие о расположении приложимо и к любому многогранному углу.
Многогранный угол SABCDF. называется положительным, если наблюдатель,
который расположен вдоль ХЛ ногами в сторону S и взор которого обращен
внутрь угла, видит грань SAB справа от SAE, и отрицательным в противо-
положном случае. В силу того же рассуждения, которое мы только что про-
вели для трёхграниого угла, расположение многогранного угла SABCBE оди-
наково с расположением углов SBCDEA, SCDEAB, ... и противоположно рас-
положению углов SELtCBA, SDCBAE, ...
Из доказательства, приведённого в предыдущем пункте, ясно, что
расположение трёхгранного угла SA'B'C обратно расположению трёх-
гранного угла SABC, другими словами, двугранные углы 5Д и 571'
имеют противоположное направление, так как когда ребро &4' пошло
по 571 и грань A'S'C совпала с ASC, вторые грани A'SB' и ASB
оказались по разные стороны от плоскости ASC.
В этом можно убедиться и непосредственно. Действительно, чтобы
перейти от двугранного угла 57 к двугранному углу 57Г, необходимо:
1) заменить двугранный угол SA' углом ему вертикальным, что не
изменяет направления (п. 368); 2) заменить направление 571 на ребре
противоположным направлением SA', а мы знаем, что такая замена
изменяет направление двугранного угла.
Таким образом, оба трёхгранных угла имеют противоположные рас-
положения, и неудивительно, что они не могут быть совмещены.
58
КНИГА ПЯТАЯ- ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
В
Черт. 56.
треугольники
Симметричными трёхгранными углами мы будем называть два
грёхгранных угла, аналогичных углам SABC и SA'B'C, и вообще
всякие два трёхгранных угла, имеющих, как углы SABC и SA'B'C,
соответственно равные элементы, но противоположное расположение.
390. Теорема. Во всяком трёхгранном угле любой плоский
угол меньше суммы двух других и больше их разности.
Достаточно доказать лишь вторую часть этого предложения; дей-
ствительно, для трёхгранного угла SABC (черт. 56)
неравенство /_ ASC / ASB 4- / BSC очевидно,
если ^_ASC<^^_ASB, и вытекает из неравенства
/_ASC—/ ASB / BSC в противном случае.
Чтобы доказать эту вторую часть предложения,
в плоскости грани ASC построим / ASB' = / ASB,
так что угол B'SC будет равен разности </_ASC—
— /CASB. Мы должны показать, что / B'SC<C / BSC.
Отложим равные между собой отрезки SB и SB'
и проведём через точки В и В' плоскость, пересекаю-
щую полупрямые и SC (а не их продолжения),
одну в точке А, другую в точке С. Полученные
SAB и SAB' равны, так как они имеют по равному углу
(при вершине S), заключённому между двумя соответственно равными
сторонами (&4—общая, SB = SB'—по построению), откуда следует,
что АВ'=АВ; следовательно, отрезок В'С, равный АС-—АВ, меньше
стороны ВС. В силу этого, из рассмотрения треугольников SBC и
SB'C, у которых две стороны соответственно равны, а третьи не равны,
следует, что j/BSC>^B'SC.
Следствие. Во всяком многогранном угле любой плоский
угол меньше суммы всех остальных.
Доказательство вполне сходно с доказательством аналогичной тео-
ремы планиметрии (Пл., п. 26)' для многогранного угла SABCD
(см. черт. 53) с четырьмя плоскими углами имеем последовательно:
/ ASD < /_ ASB + / BSD<^/_ ASB -f- Z BSC -f- /_ CSD,
и то же самое рассуждение позволяет перейти к многогранному углу
с пятью, шестью и так далее плоскими углами.
391. Сферические многоугольники. Сферическим многоугольни-
ком. называется часть шара, ограниченная дугами больших кругов
(называемыми сторонами многоугольника), меньшими полуокружности,
концами которых служат точки пересечения этих больших кругов,
взятых в последовательном порядке.
Сферический многоугольник называется выпуклым (черт. 57), если
он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью
которых служат его стороны; в противном случае он называется во-
гнутым (черт. 58).
В первом случае (если многоугольник выпуклый) каждый большой
круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит шар на
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 59
два полушария, из которых одно содержит весь многоугольник; общая
область 7? всех таких полушарий, содержащих данный многоугольник,
и будет внутренней областью многоугольника ’).
Меньшая дуга большого круга, которая соединяет точки М и N,
лежащие внутри многоугольника или на его периметре (но не на одной
и той же стороне), целиком лежит в области R (п. 383, примечание 2),
т. е. внутри многоугольника.
Сферические многоугольники классифицируются, как и плоские
многоугольники, по числу их сторон; наиболее простым из них2)
является сферический треугольник.
Примечание. Всякий сферический треугольник есть выпук-
лый многоугольник. Действительно, если бы в треугольнике АВС
дуга большого круга АС не лежала целиком по одну сторону от
большого круга АВ, то она пересекала бы последний в некоторой
точке (отличной от Z), лежащей между А и С, и была бы, следова-
тельно, больше полуокружности, что противоречит определению.
Связь между сфгрическими многоугольниками и многогранными
углами. Каждому сферическому многоугольнику соответствует много-
гранный угол, вершиной которого служит центр шара, а рёбрами —
прямые, соединяющие центр с вершинами многоугольника (черт. 59).
Плоские углы АОВ, ВОС, ... этого многогранного угла пред-
ставляют собой центральные углы, соответствующие сторонам АВ,
ВС, ... многоугольника.
!) Всякая точка М, лежащая внутри многоугольника, принадлежит, по
определению многоугольника, всем полушариям, определённым в тексте, и,
следовательно, принадлежит их общей части R. Обратно, точку N, лежащую
в области R, можно соединить с точкой М меньшей дугой большого круга,
которая не может (п. 383, примечание) пересекать ни одной из сторон много-
угольника и, следовательно, не может выйти за пределы многоугольника.
-) Совокупность двух больших полукругов, имеющих своими концами
концы одного диаметра шара, образует фигуру (AMA'NA на черт. 50), кото-
рую можно рассматривать как сферический двуугольник (п. 532). Однако
каждая сторона такого многоугольника равна полуокружности, а не меньше её.
60
КНИГА ПЯТАЯ- ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Линейные углы двугранных углов многогранного угла равны, со-
гласно теореме пункта 385, углам многоугольника.
Обратно, всякий многогранный угол, вершиной которого служит
центр шара, пересекает последний по сферическому многоугольнику;
этот многоугольник связан с данным многогранным углом указанными
выше соотношениями.
392. Отсюда следует, что из каждого свойства, касающегося
плоских углов и двугранных углов многогранного угла, можно вывести
некоторое свойство, касающееся сторон и углов соответствующего
сферического многоугольника, и обратно.
В частности, теорема пункта 390 даёт следующую теорему: любая
сторона сферического многоугольника меньше суммы остальных
g (откуда следует: любая сторона сферического тре-
угольника больше разности двух других сторон).
д Из последней теоремы следует, как и в плани-
д/'метрик (Пл., п. 26), что меньшая дуга большого
круга (п. 383, примечание 2), соединяющая две
Черт. 60. данные точки, короче любой сферической лома-
ной, имеющей с этой дугой общие концы (черт. 60)1).
Поэтому говорят, что эта дуга большого круга измеряет сферическое
расстояние между двумя точками.
Как и для трёхгранных и многогранных углов, можно рассматри-
вать расположение сферического треугольника или вообще многоуголь-
ника. Так называется (после того, как на периметре выбрано опреде-
лённое направление обхода) направление, которое имеет какой-либо
из его углов, если смотреть на него из области внешней по отноше-
нию к шару. Очевидно, что расположение сферического много) голышка
совпадает с расположением соответствующего ему многогранного угла.
Два сферических треугольника называются симметричными, если
они имеют соответственно равные элементы, но отличаются один от
другого своим расположением.
Последнее обстоятельство имеет место, в частности, для двух тре-
угольников, каждые две соответственные вершины которых служат
концами одного диаметра.
393. Мы воспользовались выше доказанными уже свойствами много-
гранного угла, чтобы вывести из них соответствующие свойства
сферического многоугольника. Безразлично, будем ли мы в дальнейшем
доказывать свойства многогранного угла или сферического многоуголь-
ника, так как из каждого предложения, относящегося к одной из
этих двух фигур, непосредственно вытекает соответствующая теорема,
относящаяся к другой из них.
Мы будем, вообще говоря, ограничиваться проведением необходи-
мых рассуждений для шара, так как в этом случае получаются более
’) На чертеже 60, вполне аналогичном чертежу 30 планиметрии, показаны
построения, которые надо выполнить, чтобы доказать эту теорему.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 61
простые чертежи; для читателя не представит никакого труда вооб-
разить себе, пользуясь сказанным в пункте 391, соотвегсгвуюшие
чертежи, относящиеся к многогранным углам. Следовательно, мы будем
в дальнейшем в большинстве случаев идти путём, обратным тому, ко-
торым мы шли в предыдущем пункте, когда мы из свойств много-
гранного угла делали заключение о свойствах сферического много-
угольника.
Мы начнём с применения этого метода к следующему вопросу,
являющемуся прямым обобщением пункта 27 планиметрии.
Теорема.Если некоторый вы-
пуклый многогранный угол распо-
ложен внутри, какого-либо много-
гранного угла, имеющего ту же
вершину (причём оба угла могут
иметь несколько общих рёбер
и iu граней), то сумма плоских
углов объемлемого многогранного
угла меньше суммы плоских
углов объемлющего многогранного
угла.
Теорема. Если некоторый
выпуклый сферический много-
угольник расположен внутри
какого-либо сферического много-
угольника (причём оба много-
угольника могут иметь одну или
несколько общих вершин или сто-
рон, черт. 61, 62), то периметр
объемлемого многоугольника мень-
ше периметра объемлющего мно
гоугольника.
Теорема, помещённая в правом столбце, доказывается совершенно
так же, как соответствующая теорема на плоскости, в чём можно
убедиться из чертежей 61 и 62, где для простоты выбраны те же
обозначения, что и в планиметрии (Пл., п. 27).
Доказательство сохраняет силу и в том случае, если объемлющий
многоугольник заменить совокупностью двух больших полукругов, на-
пример ABF и AEF (черт. 63). Точно также теорема, помещённая
в левом столбце, сохраняет силу, если объемлющий многогранный
угол обращается в совокупность двух полуплоскостей, например
полуплоскостей, в которых лежат грани одного из его двугранных углов.
62
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Пусть дан трёхгранный угол SABC (черт. 64). Построив полупря-
мую SA', служащую продолжением ребра S/1 (т. е. продолжая грани
SAB и SAC до их пересечения по полупрямой 5Л'), мы получим
новый трёхгранный угол SA'BC, в котором
/ BSC < / BSA'+ / A 'SC
ИЛИ BSC ^d—/_ASB - ASC,
откуда и следует, что
/ BSC - /_ A SB Z_ASC<4d.
Этому доказательству соответствует на шаре доказательство, состоя-
щее в сравнении периметра треугольника АВС (черт. 63) с суммой двух
больших полукругов ABF и AGF, которая
необходимо больше этого периметра. С
Черт. 63. Черт. 64. Черт. 65.
Случай многогранного угла, имеющего любое число граней, посте-
пенно сводится к случаю трёхгранного угла; с этой целью продол-
жают две грани многогранного угла, смежные с одной и той же его
гранью, так что число граней уменьшается на единицу. Этот путь
доказательства вполне соответствует цепи тех построений на шаре,
которые изображены на чертеже 63.
Таким образом имеем следующие две теоремы:
Теорема. Сумма плоских
углов выпуклого многогранного
угла меньше четырёх прямых.
Теорема. Периметр выпук-
лого сферического многоугольни-
ка меньше окружности большого
круга.
394. Из предыдущего следует, что, для того чтобы три дуги боль-
шого круга, каждая из которых меньше полуокружности, могли быть
сторонами некоторого сферического треугольника, необходимо, чтобы;
1) каждая из этих дуг была меньше суммы двух других;
2) их сумма была меньше полной окружности.
Мы докажем, что и обратно, три дуги а, Ь, с, удовлетворяющие этим
условиям, служат сторонами некоторого сферического треугольника.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 63
Пусть, для определённости, ВС=а—наибольшая из этих трёх
дуг. Отложим дугу, равную ВС, на каком-либо большом круге (черт. 65).
Геометрическое место точек А, обладающих тем свойством, что сфе-
рическое расстояние ВА равно дуге с, есть окружность G (вообще
говоря, малый круг), имеющая своим полюсом точку В; эта окружность
елнт шар на два сегмента, в одном из которых лежит точка В', две
из её точек т' и т" лежат на большом круге ВС, причём одна из
них т' лежит между точками В и С (пли в крайнем случае совпадает
с точкой С, так как a^zc). Точно так же геометрическое место то-
чек, обладающих тем свойством, что их сферическое расстояние от
точки С равно Ь, есть окружность Н, имеющая своим полюсом точку С;
две из точек этой окружности п' и п" лежат на большом круге ВС,
причём одна из них п' лежит между В и С (или в крайнем случае
совпадает с точкой В). Если обе построенные таким образом окруж-
ности пересекаются (в точке, не лежащей на большом круге ВС), то
точка их пересечения А служит третьей вершиной сферического тре-
угольника, удовлетворяющего поставленным условиям. Мы сейчас уви-
дим, что это всегда будет иметь место, если данные дуги а, Ь, с
удовлетворяют условиям пунктов 392 и 393.
В силу первого из этих условий, при перемещении по меньшей
дуге ВС, из точки В в точку С, мы встретим точку п' ранее точки т'.
В силу второго условия, при перемещении по большей дуге ВС из
точки В в точку С, мы встретим точку т" ранее точки п" (так как
иначе сумма дуг Вт", Сп" и меньшей дуги ВС была бы равна или
больше целой окружности).
Так как точка п' лежит по отношению к окружности G в том же
сферическом сегменте, что и точка В, в то время как точка п", лежит
в другом сегменте, окружность Н, соединяющая между собой точки
п' и п", должна, очевидно, пересекать окружность О.
Следствие Условия пунктов 390 и 393 достаточны для воз-
можности построения трёхгранного угла, имеющего своими плоскими
углами три данных угла.
395. Пополнительные трёх-
гранные углы.
Лемма. Если через какую-
либо точку данной плоскости
провести две полупрямых, из ко-
торых одна перпендикулярна, а
другая наклонна к плоскости, то
угол между этими полупрямыми
будет острым или тупым, смот-
ря по тому, лежат ли они по
одну сторону (черт. 66) или по
разные стороны (черт. 67) от
данной плоскости.
Полярные сферические тре-
угольники.
Лемма I. Меньшая дуга боль-
шого круга, соединяющая какую-
либо точку В шара с одним из
полюсов А данного большого круга,
будет меньше или больше квад-
ранта, смотря по тому, лежат
ли точки А и В по отношению
к данному большому кругу в
одном полушарии (черт. 68) или в
различных полушариях (черт. 69).
64
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Действительно, проекция ОЬ |
данной наклонной полупрямой ОВ
на данную плоскость лежит в од-
ной плоскости с этой полупрямой и
с полупрямой О А, перпендикуляр-
ной к данной плоскости; угол АОВ
Действительно, большой полу-
круг, выходящий из точки А и
проходящий через точку В, и дан-
ный большой круг пересекаются
в точке /, обладающей тем свой-
ством, что дуга А! равна квад-
ранту. При этом дуга А1 будет,
будет меньше угла АОЬ, если О А
и ОВ лежат по одну сторону от ОЬ
и больше того же угла в против-
ном случае (черт. 67).
очевидно, больше или меньше
АВ, смотря по тому, лежат ли
точки А и В по одну сторону
или по разные стороны от точки /.
Черт. 67.
Определение. Пусть дан
трёхгранный угол SABC. Проведём
через вершину 5' полупрямую &4',
перпендикулярную к грани SBC и
лежащую от неё по ту же сторону,
как и ребро ЗД; полупрямую SB',
перпендикулярную к грани SCA по
ту же сторону от неё, как и ребро
SB; полупрямую SC, перпендику-
лярную к грани SAB по ту же сто-
рону от неё, как и ребро SC.
Определение. Пусть дан
сферический треугольник АВС
(черт. 70). Пусть А'— тот из по-
люсов большого круга ВС, кото-
рый лежит (по отношению к этому
большому кругу) в том же полу-
шарии, как и точка А; В' — тот
из полюсов большого круга СА,
который лежит (по отношению
к большому кругу С А) в том же по-
лушарии, как и точка В;С — тот из
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 65
Трёхгранный угол, рёбрами ко-
торого служат построенные таким
образом полупрямые, называется
пополнительным по отношению
к данному трёхгранному углу.
полюсов большого круга АВ, кото-
рый лежит (по отношению к нему)
в том же полушарии, как и точка С.
Сферический треугольник А'В'С
называется полярным по отноше-
нию к треугольнику АВС.
Отсюда видно, что два трёхгранных угла с общей вершиной в цен-
тре шара, из которых один является пополнительным по отноше-
нию к другому, пересекают шар по двум сферическим треуголь-
никам, из которых один является полярным по отношению к другому
(и обратно).
Теорема. Если один из двух
данных трёхгранных углов попол-
нительный по отношению к друг
гому, то и, обратно, второй из
них — пополнительный по отно-
шению к первому.
Теорема. Если один из двух
данных треугольников полярный
по отношению к другому, то и
обратно, второй из них — поляр-
ный по отношению к первому.
В самом деле, пусть АВС—данный сферический треугольник
(черт. 70) и А'В'С — его полярный треугольник. Так как точка С
есть полюс большого круга АВ, то дуга большого круга АС равна
квадранту; то же самое имеет место и для дуги АВ' по аналогичной
причине; отсюда следует, что точка А есть полюс дуги большого
круга В'С (п. 384).
При этом полюс А лежит по отношению к большому кругу В’С
в том же полушарии, как и точка А'. Действительно, это обстоятельство
и условие, что точка А' лежит от большого круга ВС по ту же сто-
рону, что и точка А, выражают в силу леммы I один и тот же факт,
а именно, что сферическое расстояние АА' меньше квадранта.
Лемма II. Пусть даны два больших полукруга АМА' и ANA',
имеющих своими концами концы одного и того же диаметра; если
5 Элементарная геометрия, ч. II
66
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Р—полюс первого из них, расположенный по отношению к нему.
в том же полушарии, как и второй полукруг, и Q — полюс вто-
рого из них, расположенный по отношению к нему в том же по-
лушарии, как и первый полукруг, то дуга большого круга PQ
Черт. 71.
будет пополнительной по отношению к углу ме-
жду данными большими полукругами (черт. 71).
Чтобы доказать это предложение, достаточно
в силу пункта 386 убедиться, что дуги МР и
NQ, где М и N—точки пересечения данных
полукругов с большим кругом, имеющим своим
полюсом точку А, имеют противоположное на-
правление. Но последнее обстоятельство оче-
видно, так как дуга МР имеет, по условию, то
же направление, что и MN, а дуга NQ — то
же направление, что и NM.
Отсюда непосредственно следует:
Теорема. Если два трёхгран-
ных угла пополнительны, то
плоские углы каждого из них
пополнительны по отношению
к двугранным углам другого.
Теорема. Если два сфериче-
ских треугольника полярны один
относительно другого, то каж-
дая из сторон одного пополни-
тельна по отношению к соответ-
ствующему углу другого.
В самом деле, точки В' и С, служащие вершинами второго тре-
угольника и в то же время полюсами сторон первого, расположены
по отношению к этим сторонам так, как это указано в условии пре-
дыдущей леммы.
396. Предыдущая теорема поз-
воляет переходить от свойств
плоских углов трёхгранного угла
к свойствам его двугранных углов,
и обратно. Так, например, тео-
ремы, доказанные в пунктах 390 —
393, приводят к следующим за-
ключениям:
Теорема. Во всяком трёх-
гранном угле:
1) каждый двугранный угол,
увеличенный на два прямых, боль-
ше суммы двух других углов; _
2) сумма трёх двугранных
углов больше двух прямых.
Переход от данного сфериче-
ского треугольника к треуголь-
нику полярному относительно дан-
ного, позволяет, зная свойства
сторон первого треугольника, вы-
водить из них свойства углов
второго. Таким путём получается
следующая теорема:
Теорема. Во всяком сфери-
ческом треугольнике:
1) каждый угол, увеличенный
на два прямых, больше суммы
двух других углов;
2) сумма трёх углов больше
двух прямых и меньше шеста
прямых.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 67
1°. Пусть А, В и С — углы данного сферического треугольника.
Стороны а, Ь, с его полярного треугольника будут равны:
а —2d— А,
b = 2d — B,
c = 2d—C,
и так как мы имеем (п. 392)
a b —с,
то мы будем иметь неравенство:
2d — A<2d— 73 -(- 2d — С,
которое равносильно следующему:
A-\-2d>B-\-C.
2°. Мы имеем также (п. 393)
а -ф- b с <ф 4d,
откуда следует:
2d—>14-2d —B-f-2d—C<4d,
или
A-j-B-j-C^>2d.
Примечание. Сумма А -ф- В -ф- С, очевидно, меньше 6d, так как
каждое из слагаемых меньше 2d.
Обратно, если три двугранных угла А, В, С удовлетворяют предыдущим
условиям, то они могут служить двугранными углами одного и того же трёх-
гранного угла. Действительно, если а, Ь, с — углы пополнительные углам
А, В, С, то неравенства
A + 2d>B + C, B + 2d>C + A, C^-2d>A-\-B,
A + B + C>2d
соответственно равносильны следующим:
а < Ь -|- с, b <i са, с < а -|- 6,
а b -J- с < 4d.
Следовательно, существует трёхгранный угол, имеющий углы а, Ь, с своими
плоскими углами. Пополнительный ему трёхгранный угол и будет искомым.
Точно так же можно построить сферический треугольник, имеющий сво-
ими углами данные углы А, В, С, если только каждый из этих углов, увели-
ченный на два прямых, больше суммы двух других углов, и сумма всех трёх
углов больше двух прямых.
397. Признаки равенства трёх-
гранных углов.
Первый признак равенства.
Два трёхгранных угла равны
или симметричны, если они
имеют по равному плоскому
углу, прилежащему к двум соот-
ветственно равным двугранным
углам.
Признаки равенства сфериче-
ских треугольников.
Первый признак равенства.
На одном шаре или на равных
шарах два сферических треуголь-
ника равны или симметричны,
если они имеют по равной сто-
роне, прилежащей к двум соот-
ветственно равным углам.
68
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Пусть АВС и А'В'С — треугольники, стороны которых ВС и В'С
равны и прилежат к соответственно равным углам: / В— /В',
/ С= /С. Предположим сперва, что эти два треугольника имеют
одинаковое расположение.
Если наложить второй треугольник на первый так, чтобы сторона
В'С пошла по равной ей стороне ВС и вершина В' совпала с В,
а вершина С с С, то сторона А'В' пойдёт по АВ, так как углы В
и В' равны и одинаково направлены; точно так же сторона А'С
пойдёт по АС и оба треугольника полностью совпадут.
Если бы оба треугольника не имели одинакового расположения,
то один из них имел бы то же расположение, как и треугольник,
симметричный другому, и следовательно, был бы равен этому симмет-
ричному треугольнику.
Примечав и е. Предыдущее рассуждение показывает, что два
равных сферических треугольника совпадают, если сторона одного
совпадает с соответственной стороной другого (так что вершины,
которые совпадают, являются соответственными вершинами). Точно
так же два равных трёхгранных угла необходимо совпадают, если,
грань одного совпадает с соответственной гранью другого (предполагая,
что совпадают между собой соответственные рёбра).
Второй признак равенства.
Два трёхгранных угла равны
или симметричны, если они
имеют по равному двугранному
углу, заключённому между двумя
соответственно равными пло-
скими углами.
Второй признак равенства.
Два сферических треугольника
равны или симметричны, если они
имеют по равному углу, заклю-
чённому между двумя соответ-
ственно равными сторонами 'J.
Пусть два треугольника АВС и А' В' С имеют по равному углу
X = X заключённому между двумя соответственно равными сто-
ронами АВ = А'В' и АС = А'С. Предположим сперва, что треуголь-
ники имеют одинаковое расположение; тогда мы можем совместить
равные и одинаково направленные углы А и А'. Прн этом сторона
А'В' пойдёт по АВ и точка В’ совпадёт с точкой В, так как эти
две стороны равны; по той же причине точка С совпадёт с точкой С.
Если бы оба треугольника не имели одинакового расположения,
то они были бы симметричными, а не равными.
Два равных сферических треугольника совпадают, если один из
углов одного совпадает с соответствующим углом другого. Точно так
же два равных трёхгранных угла совпадают, если при совпадении их
вершин один из двугранных углов одного совпадает с соответствую-
щим двугранным углом другого.
!) При этом, как и в первом признаке, предполагается, что рассматривае-
мые треугольники лежат на одном шаре или на равных шарах. То же заме-
чание относится и к третьему и четвёртому признакам. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 69
Третий признак равенства.
Два трёхгранных угла равны
или симметричны, если они
имеют по три соответственно
равных плоских угла.
Третий признак равенства.
Два сферических треугольника
равны или симметричны, если
они имеют по три соответст-
венно равных стороны ’).
Пусть АВС и А'В’С — два треугольника, у которых ВС=В'С,
СД — С'А', АВ —А'В'. Предположим, что эти треугольники имеют
одинаковое расположение. Если мы совме-
стим равные стороны ВС и В'С (так что
точка В' совпадёт с точкой В, а точка
С— с точкой С), то точка А' будет ле-
жать по отношению к большому кругу ВС в
том же полушарии, как и точка А (черт. 72).
Если бы точки А и А' не совпали, то
точки В и С лежали бы (в силу условий
АВ = А’В', АС = А'С) на большом круге,
перпендикулярном к дуге А А' и проходя-
щем через её середину (п. 387), так что
этот большой круг совпадал бы с -ем большим кругом, частью которого
служит сторона ВС. Но большой круг ВС не может проходить через
середину дуги АА', потому что точки А и А' лежат, как мы видели,
по одну сторону от этого большого круга.
И в этом случае оба треугольника были бы симметричными, если
бы они не имели одинакового расположения.
Примечание. Построение, указанное в пункте 394, позволяет
эффективно* 2 *) построить на данном шаре сферический треугольник по
трём сторонам (при условиях возможности, указанных в том же пункте).
Это построение на шаре аналогично второму основному построению
на плоскости (Пл., п. 86). Что касается первого построения (Пл., п. 85),
то мы научились выполнять его на шаре в пункте 387. Мы можем,
таким образом, перенести на геометрию шара (см. ниже, упр. 499)
все построения кн. II, гл. VI (за исключением построений 10, 14 и 16).
Наконец, существует ещё четвёртый признак равенства, который
не имеет себе аналогичного среди признаков равенства плоских тре-
угольников.
Четвёртый признак равенства.
Два трёхгранных угла равны или
симметричны, если они имеют
по три соответственно равных
двугранных угла.
Четвёртый признак равенства.
Два сферических треугольника
равны или симметричны, если они
имеют по три соответственно
равных угла9).
1) См. предыдущую сноску. Прим. ред. перевода.
2) См. примечание в конце задач к пятой книге.
’) См. сноску к стр. 68. Прим. ред. перевода.
70
КНИГА ПЯТАЯ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Действительно, при этих условиях два сферических треугольника,
соответственно полярные по отношению к данным (п. 395), равны или
симметричны между собой на основании третьего признака.
Примечание. В каждом из двух первых признаков можно раз-
личать направление углов, которые предполагаются равными. Это
невозможно в случае третьего признака, но возможно в случае чет-
вёртого.
398. Два трёхгранных угла, рёбра которых соответственно
параллельны и направлены в одну и ту же сторону, равны, так как
они имеют равные элементы и (п. 369, примечание) одно и то же
расположение.
Отсюда, очевидно, следует, что два трёхгранных угла, рё'бра
которых соответственно параллельны, но направлены в противопо-
ложные стороны, симметричны.
399. Теорема. Если два трёх-
гранных угла имеют по нерав-
ному двугранному углу, заклю-
чённому между соответственно
равными плоскими углами, то
третьи плоские углы не равны,
и большему двугранному углу
противолежит больший, плоский
угол.
Теорема. Если два сфериче-
ских треугольника, лежащие на
одном и том же шаре, имеют
по неравному углу, заключённому
между соответственно равными
сторонами, то третьи стороны
не равны, и большему углу про-
тиволежит большая сторона.
Предположим, что треугольники
АВС и А'В'С' имеют одинаковое
причём А'В' =АВ, А'С —АС и / А' / А;
нало-
расположение,
жим второй треугольник на первый так,
чтобы совпали равные стороны А'В' и АВ
(и точка А' совпала бы с точкой А, а точ-
ка В' — с точкой В). Пусть С( — новое
положение точки С. Точка Сг будет нахо-
диться относительно большого круга АВ
в том же полушарии, как и точка С, и
стороны, выходящие из точки А, будут
расположены в таком порядке: АВ, АС},
АС (черт. 73). Большой круг G, перпен-
дикулярный к дуге CCj и проходящий через
её середину /, пройдёт через точку А;
при этом дуга АВ будет лежать по ту же сторону от G, как и АСУ х);
следовательно (п. 387), BCt ВС.
х) Каждая нз дуг АВ и ЛС, лежит целиком в одном из двух полушарий,
на которые большой круг G делит шар (п. 391, примечание).
ГЛ АВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 71
400. Равнобедренный трёх-
гранный угол. Трёхгранный угол
называется равнобедренным, если
два его плоских угла равны.
Всякий трёхгранный угол, на-
ложимый на трёхгранный угол,
ему симметричный, — равнобед-
ренный.
Равнобедренный сферический
треугольник. Сферический тре-
угольник называется равнобедрен-
ным, если две его стороны равны.
Всякий сферический треуголь-
ник, наложимый на треугольник,
ему симметричный, — равнобед-
ренный.
Действительно, мы знаем, что в силу того, что оба треугольника
имеют противоположное расположение, невозможно наложить один тре-
угольник на другой так, чтобы совпадали соответственные вершины,
т. е. вершины, находящиеся первоначально на концах одного диа-
метра; если бы среди сторон треугольника не было равных между со-
бой, то такое наложение было бы невозможно и никаким другим об-
разом.
Обратно, всякий равнобед-
ренный трёхгранный угол нало-
жим на угол, ему симметричный.
Обратно, всякий равнобед-
ренный сферический треугольник
наложйм на треугольник, ему
симметричный.
Если треугольник А'В'С симметричен треугольнику АВС и если
АВ —АС, то два треугольника АВС и А'С'В’, имеющие (при выбран-
ном порядке вершин каждого из них) одно и то же расположение,
равны по второму признаку равенства.
Теорема. В равнобедренном
трёхгранном угле двугранные
углы, противолежащие равным
плоским углам, равны.
Теорема. В равнобедренном
сферическом треугольнике углы,
противолежащие равным сторо-
нам, равны.
Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ —АС) с
симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с углом
В, есть угол С; таким образом оба эти угла равны, и то же самое
имеет место и для углов С и В'.
Обратно, если в трёхгран-
ном угле два двугранных угла
равны, то трёхгранный угол
равнобедренный.
Обратно, всякий сфериче-
ский треугольник, два угла ко-
торого равны, равнобедренный.
Действительно, если АВС—сферический треугольник, в котором
j/_B— / С и треугольник А'В'С — треугольник, ему симметричный,
то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение,
равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ—А'С — АС.
72
КНИГА ПЯТАЯ, плоскость и прямая линия
401. Теорема. Во всяком
трёхгранном угле плоские углы,
лежащие против неравных дву-
гранных углов, не равны, и боль-
шему двугранному углу противо-
лежит больший плоский угол.
Теорема. В сферическом тре-
угольнике неравным углам со-
ответствуют неравные стороны
и большему углу соответствует
бблыиая сторона (черт. 74).
Доказательство то же, что и в планиметрии (Пл., п. 28).
Если в сферическом треугольнике АВС угол В меньше угла С, то
д внутри последнего (черт. 74) можно провести
дугу большого круга CD, образующую со сто-
\ \ роной СВ угол, равный углу В; эта дуга, лежа-
/ \ щая внутри угла С, обязательно пересечёт сто-
/ \ \ рону АВ в некоторой точке D.
/ Таким образом, мы видим, что дуга АС
ВС~~ меньше, чем
Черт. 74. AD-\-DC=AD-^-DB = AB.
Следствие. Эту теорему можно сформулировать ещё так: В сфе-
рическом треугольнике две какие-либо стороны располагаются по
величине в том же порядке, как и углы, им противолежащие.
Следовательно, имеет место ещё такое предложение: двум неравным
сторонам соответствуют неравные углы и большей стороне соот-
ветствует больший угол; точно так же в трёхгранном угле двум
неравным плоским углам противолежат неравные двугранные
углы и большему плоскому углу противолежит больший двугран-
ный угол.
402. Теория трёхгранных углов или сферических треугольников
представляет, как читатель несомненно заметил, большую аналогию
с теорией прямолинейных треугольников. Ряд предложений, как, на-
пример, теорема пункта 390, свойства равнобедренного трёхгранного
угла, три первых признака равенства трёхгранных углов и т. д., оче-
видно, аналогичны ’) основным теоремам, относящимся к треугольникам
на плоскости; при втом двугранные углы заменяют углы, а грани —
стороны прямолинейных треугольников.
Но, с другой стороны, ясно, что сходство между этими двумя тео-
риями только частичное; различие между ними проистекает главным
образом из того, что стороны плоского треугольника, которые являются
’) Некоторое различие вызывается существованием симметричных трёх-
гранных углов; это последнее понятие находит себе аналогию в понятии рав-
ных фигур, имеющих противоположное направление вращения, которые нельзя
совместить, ие выводя их из плоскости. Однако два вертикальных угла на
плоскости имеют одинаковое направление, в то время как два трехгранных
угла, у которых ребра одного служат продолжениями рёбер другого, сим-
метричны,
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОГРАННИКИ
73'
отрезками прямых, заменяются плоскими углами трёхгранного угла или
сторонами сферического треугольника, представляющими собой дуги
окружностей, измеряемые в градусах, минутах и секундах или в градах,
или в радианах.
Так, сумма сторон сферического треугольника меньше окружности
большого круга, в то время как для суммы сторон прямолинейного
треугольника нельзя указать какой-либо границы. Теория подобных
треугольников не имеет аналогии в геометрии на шаре и, следовательно,
в теории трёхгранных углов; если удвоить стороны сферического тре-
угольника, то получившийся новый треугольник не связан с первым
никаким простым соотношением; этот треугольн
ствовать (если сумма сторон станет больше
окружности); во всяком случае, его углы не рав-
ны углам первоначального треугольника, так как
(по четвёртому признаку равенства) два сфериче-
ских треугольника, имеющие соответственно рав-
ные углы, равны или симметричны, и т. д.
403. Теорема. Для того чтобы большой
круг пересекался с каким-либо кругом на шаре
под прямым углом, необходимо и достаточно,
чтобы первый из этих кругов проходил через
полюсы второго.
Пусть I — общая точка двух кругов, прямые
IT н It — касательные к большому и малому кругу
в этой точке, Р и Р' — полюсы малого круга,
О—центр шара (черт. 75).
Условие, указанное в теореме, достаточно.
Действительно, если большой круг проходит че-
рез точки Р и Р', то его плоскость содержит
две прямые, не параллельные между собой и
прямой It, а именно диаметр РР' и радиус 01. Следовательно, эта.
плоскость, а значит, и касательная IT перпендикулярны к It.
То же условие и необходимо. Действительно, если два круга пере-
секаются под прямым углом, то плоскость большого круга содержит
прямые IT и 01, перпендикулярные к It. Следовательно, она перпен-
дикулярна к этой прямой, а потому и к плоскости малого круга, и
содержит в силу этого диаметр РР', перпендикулярный к этой по-
следней плоскости и проходящий через точку О.
Следствие. Через точку, лежащую на шаре, можно прове-
сти большой круг, перпендикулярный к данному кругу этого шара;
этот большой круг будет единственным, если данная точка не яв-
ляется полюсом данного круга.
Большой круг, отвечающий поставленному условию, определяется
данной точкой А и полюсами Р и Р' данного круга.
Заметим, что существуют две дуги большого круга, выходящие
из точки А и перпендикулярные к данному кругу; а именно те дуги,
может и не суще-
$
У
I
I
I
Р'
Черт. 75.
перпендикулярные к
74
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
которые имеют своими концами точки пересечения I и Г данного
круга с большим кругом, существование которого мы только что до-
казали ’).
404. Теорема. Если через какую-либо точку шара провести
две дуги большого круга, перпендикулярные к данному кругу, и раз-
личные дуги больших кругов, наклонные к тому же кругу* 2 * *), пю
одна из перпендикулярных дуг короче, а другая длиннее, чем все
наклонные дуги.
Наклонная дуга будет тем длиннее, чем далее отстоит её
конец от конца меньшей перпендикулярной дуги.
Пусть А—данная точка; Р—тот из полюсов данного круга,
который расположен по ту же сторону от этого круга, как и точка А;
А/ и АГ — обе перпендикулярные дуги большого круга, причём АГ —
та из этих дуг, на которой лежит точка Р; АК,
®АК', АК" — различные наклонные дуги (черт. 76).
1°. Дуга АК больше дуги А , но меньше АГ.
Действительно, если провести дугу РК большого
круга, то из сферического треугольника АРК
имеем:
АКУРК—РА, АК<^РК-f-РА,
в то время как
u РК — РА~ PI ~ РА = AI,
Черт. /6. 1
РК + РА = РГ -]- РА = АГ.
2°. Предположим, что точки К и К' данного большого круга таковы,
что дуги IK и 1К' равны. При этом хорды, стягивающие эти дуги, также
равны, и точка I одинаково удалена от двух точек К и К'. Так как
точка Р обладает тем же свойством, то геометрическое место точек
шара, одинаково удалённых от точек К и К', есть большой круг PI.
Последний проходит через точку А, а потому хорды АК и АК'
равны, и, следовательно, равны соответствующие им дуги больших
кругов.
3°. Пусть теперь какая-либо точка К" на данном круге обладает
тем свойством, что IK" 1К. Мы можем при этом предположить8),
•основываясь на том, что было доказано выше (2°), что обе точки К
и К" лежат по одну сторону от точки I. Проводим дуги больших
кругов РК и РК". Так как точка К лежит внутри угла К"Р1, то
!) Мы рассматриваем здесь исключительно дуги, выходящие из точки А
и имеющие своими концами первые точки пересечения этих дуг с данным
кругом. Если не ввести этого ограничения, то число перпендикулярных дуг
было бы более двух: например, поставленному условию отвечала бы дуга APT
(черт. 75).
2) При этом необходимо принимать во внимание сказанное в предыдущей
«носке.
8) Сравнить Пл., п. 29.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ углы, сферические МНОГОУГОЛЬНИКИ 75
/ KPI / К”РЕ Треугольники АРК и АРК" имеют, таким образом, по
неравному углу (при вершине Л), заключённому между соответственно
равными сторонами, откуда следует, что АК <^АК”. Теорема доказана.
Дуга AI называется сферическим расстоянием точки А от круга
К1К'Г.
Примечание. Предыдущий результат (3°) остаётся справедли-
вым, если точка А совпадает с точкой /, так что (сравнить Пл., и. 64)
точка Г будет на рассматриваемом круге точкой, наиболее удалённой
от точки I.
Случай большого круга. Если данный круг — большой круг, то
кратчайшее сферическое расстояние точки А от этого круга А!
меньше квадранта (или. самое большее, равно квадранту), а наиболь-
шее расстояние АГ больше квадранта (или, самое меньшее, равно
квадранту), так как А1 1Р^АГ и (п. 384) IP равно квадранту.
Следствия. I. В прямоугольном сферическом треугольнике
катет и противолежащий угол будут одновременно острыми, пря-
мыми или тупыми ’). Действительно, можно предположить, что ок-
ружность КК'К" (черт. 76) есть большой круг; с другой стороны, мы
видим, что угол при точке К — острый в треугольнике AKI и тупой
в треугольнике АКГ.
II. Если каждый из катетов меньше квадранта, то тем же свой-
ством обладает и гипотенуза, так как в этом случае КА КР
в силу 3°.
405. Сферические координаты. Подобно тому как положение точки
«а плоскости определяется с помощью двух координат, можно осуще-
ствить то же самое и на сфере (однако в данном случае координаты
будут уже не прямолинейными отрезками, а углами
или, что сводится к тому же, дугами больших
кругов).
Для этого выбирают неподвижный диаметр
РР', концы которого называются полюсами. На
окружности большого круга, имеющего точки Р
и Р' своими полюсами '(черт. 77) и называемого
экватором, выбирают начальную точку А и
положительное направление, совпадающее с на-
правлением, принимаемым за положительное
в тригонометрии (т. е. обратное движение
стрелки часов) для наблюдателя, расположен-
ного вдоль диаметра РР', головой в сторону Р.
При этом условии на экваторе можно отложить
ответствующем направлении любую данную положительную или отри-
цательную дугу I, называемую долготой- вторым концом этой дуги
будет вполне определённая точка т. Через точку т проходит вполне
Черт. 77.
от точки А в со-
1) Так как стороны выражаются в угловых единицах, то смысл этого вы-
ражения ясен. Прим. ред. перевода.
76
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
определённый большой полукруг РР', имеющий своими концами точки
Р и Р и называемый меридианом. Если, далее, дана вторая дуга боль-
шого круга L (положительная или отрицательная, но меньшая квад-
ранта, или ему равная), называемая широтой, то её можно отложить
на меридиане от точки т в сторону точки Р или точки Р’, смотря
по тому, будет ли она положительной или отрицательной. Это по-
строение даёт на поверхности шара вполне определённую точку М.
Обратно, через любую точку шара (отличную от полюсов) про-
ходит вполне определённый меридиан, который пересекает экватор
в определённой точке т; отсюда имеем вполне определённую широту
L и долготу I, определённую, как известно из тригонометрии, с точ-
ностью до кратного 2тг и которую можно, в частности, предположить
меньшей полуокружности или (в радианах) меньшей тт (в послед-
нем случае долгота будет представлять собой сферическое расстоя-
ние Ат).
Полюсы—единственные точки, для которых долгота совершенно
не определена, а абсолютное значение широты равно квадранту.
Эти две координаты, долгота и широта, позволяют определить
положение точки на шаре, а следовательно, и направление произволь-
ной полупрямой, выходящей из его центра. Этот принцип играет
основную роль в астрономии ’).
УПРАЖНЕНИЯ.
481. Доказать первую часть теоремы пункта 390 непосредственно (не поль-
зуясь в качестве промежуточной её второй частью). (Применить рассуждения,
аналогичные тем, которые применены в тексте, замечая, что сумму двух пло-
ских углов можно предположить меньшей двух прямых, так как иначе теорема
очевидна.)
482. Сумма углов, которые полупрямая, выходящая из вершины трёхгран-
ного угла, образует с его рёбрами, больше полусуммы плоских углов трёх-
гранного ребра; если полупрямая взята внутри трёхгранного угла, то та же
сумма меньше суммы плоских углов трёхгранного угла (доказать).
Сумма углов, которые полупрямая, выходящая из вершины п-гранного
угла, образует с его рёбрами, больше полусуммы плоских углов многогран-
ного угла; если данный многогранный угол—выпуклый и полупрямая взята
внутри него, то та же сумма меньше полусуммы плоских углов, умноженной
на п — 1 (доказать).
Сформулировать соответствующие предложения для шара.
483. Сумма углов пространственного многоугольника (упр. 428), имеющего
п сторон, меньше (2л— 4)д! [доказать, пользуясь методом, аналогичным тому,
который был применён в планиметрии (Пл., п. 44а)[.
484. Сумма двугранных углов выпуклого л-гранного угла, или сумма углов
выпуклого сферического n-угольника, больше (2п — 4) d (доказать).
') В астрономии этим принципом приходится пользоваться различным об-
разом в зависимости от выбора прямой РР’, причём слова полюсы, экватор,
меридиан, долгота, широта заменяются в зависимости от обстоятельств сло-
вами зенит и надир, горизонт, вертикальный круг, азимут, высота нли ло-
люср, экватор, часовой круг, прямое восхождение, склонение.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 77
485. Сумма углов, образуемых какой-либо прямой с двумя взаимно перпен-
дикулярными плоскостями, меньше прямого угла, если только прямая не пер-
пендикулярна к линии пересечения обеих плоскостей (доказать).
486. Переменная прямая (проходящая через неподвижную точку) не может
одновременно стремиться к двум различным предельным положениям (доказать)1).
Ести каждая из двух переменных прямых стремится к определённому пре-
дельному положению, то угол между ними стремится к углу между их пре-
дельными положениями (доказать)*).
Если каждая из трёх прямых (проходящих через неподвижную точку) стре-
мится к определённому предельному положению) >), причём прямые всё время
лежат в одной плоскости, то и их предельные положения лежат в одной пло-
скости (доказать).
487. Биссектральные плоскости трёх двугранных углов трёхгранного угла
проходят через одну прямую (доказать).
То же свойство имеет место, если заменить два из двугранных углов
углами им смежными2) (доказать).
Таким образом, получается всего четыре прямых; они представляют
собой геометрическое место точек, равноудалённых от трёх граней трёхгран-
пого угла (доказать).
Сформулировать соответствующие предложения для шара. Существует во-
семь малых кругов, вписанных или вневписанных в данный сферический тре-
угольник, т. е. касающихся его сторон или их продолжений (доказать).
488. Прямые, лежащие в биссектральной плоскости каждого из углов,
смежных2) с двугранными углами трёхгранного угла, проходящие через его
вершину и перпендикулярные к соответствующим рёбрам, лежат в одной
плоскости, одинаково наклонённой к трём граням (доказать).
Найти другие плоскости, одинаково наклонённые к трём граням. Сформу-
лировать соответствующие предложения для шара.
489. 1°. Биссектрисы углов, смежных2) с плоскими углами трёхгранного
угла, лежат в одной плоскости; то же свойство имеет место, если взять бис-
сектрисы двух плоских углов и угла, смежного с третьим плоским углом;
каждая из плоскостей, полученных таким образом, образует равные углы
с тремя рёбрами (доказать).
2°. Плоскости, перпендикулярные к граням трёхгранного угла и проходя-
щие через биссектрисы соответствующих плоских углов, пересекаются по
одной прямой, перпендикулярной к плоскости, рассмотренной в предыдущем
упражнении. (На шаре, таким образом, получаются полюсы круга, описанного
около треугольника.)
Найти геометрическое место точек, одинаково удалённых от трёх рёбер
трёхгранного угла.
490. 1°. Медианы сферического треугольника (т. е. меньшие дуги больших
кругов, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон) пере-
секаются в одной точке (доказать).
(Это предложение совпадает с аналогичным предложением для плоского
треугольника, имеющего с данным треугольником общие вершины.)
Плоскости, проходящие через каждое ребро трёхгранного угла и биссек-
трису противоположного плоского угла, проходят через одну прямую
(доказать).
1) Мы говорим, что прямая £>0, проходящая через неподвижную точку О,
служит предельным положением для проходящей через ту же точку О по-
движной прямой D, если, каков бы ни был заданный (постоянный) угол е, угол
между прямыми Do и D становится, начиная с некоторого момента, и в даль-
нейшем остаётся меньше, чем е (Ср. Пл. п 59). Прим. ред. перевода.
2) Мы называем здесь смежным углом (смежным двугранным углом)
угол (двугранный угол), образованный одной из сторон данного угла (одной из
граней двугранного угла) с продолжением другой стороны (грани).
78
КНИГА ПЯТАЯ- ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
2°. Биссектральные плоскости углов, смежных с двугранными углами трех-
гранного угла, пересекают противоположные грани соответственно по трём
прямым, лежашим в одной плоскости (доказать).
491. 1°. Плоскости, проходящие через каждое ребро трёхграиного угла
перпендикулярно к противоположной грани, проходят через одну прямую
(доказать). (Свести к соответствующей теореме планиметрии, пересекая трех-
гранный угол плоскостью, перпендикулярной к одному из рёбер.)
Высоты сферического треугольника (большие круги, проходящие через
каждую из его вершин перпендикулярно к противоположной стороне) пере-
секаются в одной точке (доказать).
2°. Прямые, лежащие в гранях трёхгранного угла, проходящие через его
вершину и перпендикулярные к противоположным рёбрам, лежат в одной
плоскости (доказать).
3°. Что станет с прямыми и плоскостями, существование которых дока-
зывается в упражнениях 487—491, если перейти от данного трёхгранного угла
к углу, ему пополнительному или от данного сферического треугольника
к треугольнику, полярному по отношению к данному?
492. Проекции Sa, Sb, Sc рёбер SA SB, SC трехгранного угла на проти-
воположные грани служат рёбрами нового трёхгранного угла, двугранные
углы которого имеют своими биссектральными плоскостями плоскости S/la,
SBb, SCc (доказать).
[Воспользоваться упражнением 462 и соответствующим ему упражнением
в планиметрии (Пл., упр. 71).J
493. Два пополнительных трёхгранных угла имеют одинаковое расположе-
ние (доказать).
494. Во всяком равнобедренном трёхгранном угле биссектральная плос-
кость двугранного угла, заключённого между двумя равными гранями, перпен-
дикулярна к третьей грани и делит плоский угол, лежащий в этой грани, на
две равные части (доказать).
Обратно, трёхгранный угол равнобедренный:
1) если биссектральная плоскость одного из двугранных углов перпен-
дикулярна к противоположной грани; 2) если плоскость, проходящая через
одно из рёбер и биссектрису противоположного плоского угла, перпендикуляр-
на к плоскости последнего (доказать).
Из биссектрисы какой-либо грани трёхгранного угла ббльшая из двух дру-
гих граней видна под тупым двугранным углом, меньшая—под острым (доказать).
495. Предложения, рассмотренные в упражнениях 5 (3°), 7, 11 и 12
планиметрии, не верны в сферической геометрии.
Если биссектральная плоскость одного из двугранных углов трёхгранного
угла проходит через биссектрису противолежащего плоского угла, то отсюда
ещё не вытекает с необходимостью, что данный трёхгранный угол равнобед-
ренный (доказать).
Если медиана сферического треугольника равна квадранту, то она одновре-
менно служит биссектрисой того угла, через вершину которого она проходит
(независимо от того, будет ли данный треугольник равнобедренным или нет),
и равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу (доказать).
Если медиана меньше квадранта, то она образует с большей из двух сто-
рон АВ и АС, между которыми она проходит, угол меньший, чем с другой
стороной; она больше (за исключением случая равнобедренного треугольника)
биссектрисы угла ВАС, считаемой от вершины до противоположной стороны 1)
’) Чтобы доказать это последнее утверждение, необходимо убедиться, что
если медиана, делящая пополам сторону ВС, меньше квадранта, то основа-
ние И большей перпендикулярной дуги (п. 404), опущенной из точки А на
большой круг ВС, не может лежать на самой стороне ВС. Для этого надо
принять во внимание, что точки большого круга ВС, отстоящие от точки А на
расстоянии, равном квадранту, совпадают с полюсами большого круга АН.
ГЛАВА VII. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 7S
и меньше полусуммы сторон АВ и АС, которая в свою очередь меньше квад-
ранта; если медиана больше квадранта, то имеют место противоположные не-
равенства (доказать).
(Вторая часть этого предложения сводится к первой путём замены вер-
шины А, из которой выходит медиана, диаметрально противоположной точкой.)
Рассмотреть обратные предложения. Одно из них гласит: если медиана
сферического треугольника является одновременно биссектрисой угла, из вер-
шины которого опа выходит, то или она равна квадранту, или треугольник
равнобедренный.
Сформулировать соответствующие предложения для трёхгранного угла.
В трёхгранном угле SABC проведена биссектриса угла, образованно! о
одним из рёбер SB и SC и продолжением другого. Если угол, образованный
ребром 5Л с этой прямой, не равен прямому, то он отличается от прямого
угла на величину, -заключённую между полусуммой и полуразностью плоских
углов ASB и ASC (доказать). Рассмотреть соответствующую фигуру на
шаре.
496. Гипотенуза прямоугольного сферического треугольника меньше квад-
ранта, если оба катета одновременно меньше или оба больше квадранта, и
больше квадранта, если один из катетов меньше, а другой больше квадранта
(доказать).
Распространяется ли предложение, рассмотренное в планиметрии (упр. 16),
па прямоугольные сферические треугольники?
497. Если в выпуклом сферическом четырёхугольнике противоположные
стороны попарно равны, то диагонали делят друг друга на равные части.
Точка их пересечения служит полюсом большого круга, проходящего через
точки пересечения противоположных сторон (использовать при доказательстве
кн. VII); две смежные вершины и точки, диаметрально противоположные двум
другим вершинам, лежат на одном круге (доказать).
В четырёхугольнике (сферическом ромбе), все четыре стороны которого
равны, диагонали, кроме того, взаимно перпендикулярны (доказать).
Если при попарно равных противоположных сторонах диагонали также
равны, то точка их пересечения и точки пересечения противоположных сторон
являются вершинами треугольника с тремя прямыми углами; при этом все
четыре угла четырёхугольника равны между собой (доказать).
498. Если большой круг перемещается по шару, оставаясь касательным
к данному малому кругу С, то тот из полюсов этого большого круга, который
лежит в том же полушарии, что и круг С, описывает малый круг С', который
называется полярным по отношению к С; зависимость между кругами С и С
взаимная, т. е. круг, полярный по отношению к С, есть данный круг С
(доказать).
499. Решить эффективно (см. ниже, примечание в конце задач к пятой
книге) с помощью построений на шаре и, в случае надобности, на плоскости
следующие задачи:
а) построить точку, диаметрально противоположную данной точке;
Ь) провести большой круг через дв^ данные точки шара;
с) провести круг через три данные точки шара; построить полюсы дан-
ного круга;
d) провести через данную точку большой круг, перпендикулярный к дан-
ному кругу;
е) разделить на две равные части угол между двумя большими кругами;
разделить на две равные части дугу какого-либо круга;
/) через данную точку шара провести большой круг, образующий с каким-
либо данным большим кругом угол, равный данному углу; найти минимум
этого угла.
Построить сферический треугольник:
g) зная две стороны и угол, заключённый между ними;
h) зная две стороны и угол, противолежащий одной из них (исследовать);
•80
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
/) зная одну сторону и два угла J);
/) зная три угла.
k) Построить прямоугольный сферический треугольник, зная гипотенузу
и прилежащий угол или катет.
1} Провести окружность, касающуюся данной окружности в данной точке
и проходящую через другую данную точку.
т) Провести большой круг, касающийся данного круга в данной его
точке.
п) Провести через какую-либо точку шара большой круг, касающийся
данного малого круга (для этого и следующего построения использовать
упражнение 498); исследовать.
о) Провести большой круг, касающийся двух данных малых кругов;
исследовать.
р) Провести круг, пересекающий данный круг под прямым углом и имею-
щий своим полюсом данную точку.
<;) Построить малый круг, касающийся трёх данных больших кругов.
г) Построить круг, касающийся данного круга в данной точке и в то же
время касающийся другого данного круга.
500. Построить большой круг, на котором два данных малых круга отсе-
кают дуги, равные данным дугам,
501. Пусть на твёрдом теле, имеющем форму шара, даны полюсы (п. 405)
и точка А экватора, принятая ва начало долгот. Определить (эффективно) 1)
долготу и широту произвольно данной на шаре точки М. Обратно, построить
точку, имеющую данные долготу и широту.
502. На шаре даны три круга; существует круг и притом в общем слу-
чае только один, который делит каждый из них на две равные части (дока-
зать). Найти плоскость этого круга.
503. Даны два больших круга, касающиеся в точках М и Л' одного и
того же малого круга С; какой-либо третий большой круг, касающийся
в точке Т круга С, образует с двумя данными большими кругами тре-
угольник постоянного периметра, если точка касания Т остаётся на одной
и той же из двух дуг круга С, имеющих своими концами точки М н N
(доказать).
504. Построить (эффективно)1) сферический треугольник, зная одну сто-
рону, прилежащий угол и сумму двух других сторон (заданную в виде дуги
большого круга, равной этой сумме).
505. Построить (эффективно) >) сферический треугольник, зная угол, высоту
(упр. 491) и периметр (использовать у пр. 503; рассмотреть два случая).
506. Найти условия, при которых сферический четырёхугольник будет
описанным около некоторого круга.
507. Через данную на шаре точку, лежащую вне данного малого круга,
проведены к нему два касающихся его больших круга (упр. 499, л). При каком
положении данной точки эти два больших круга образуют наименьший
угол?
508. Большой круг, проходящий через середины М и TV сторон АВ и АС
сферического треугольника, пересекает большой круг ВС в серединах двух
дуг, концами которых служат точка С и точка, диаметрально противоположная
точке В; полюс большого круга MN равноудалён от точек В и С; дуги боль-
ших кругов, которые соединяют его с точками В и С, образуют между собой
угол, равный удвоенному центральному углу, соответствующему дуге боль-
шого круга MN (доказать).
х) Надо заметить, что в случае, если данные углы не прилежат оба к дан-
ной стороне, нельзя рассуждать, как в планиметрии: надо рассмотреть поляр-
ные треугольники (п. 395), как и для последующего построения.
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
81
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ.
509. Провести прямую, пересекающую две данные прямые под данными
углами !)-
510. Пересечь данный четырёхгранный угол плоскостью так, чтобы в се-
чении получился параллелограм. В каком случае этот параллелограм будет
ромбом или прямоугольником?
511. Найти геометрическое место проекций данной точки пространства на
плоскости, проходящие через данную прямую.
512. Найти геометрическое место середин отрезков постоянной длины,
концы которых лежат на двух данных взаимно перпендикулярных прямых, не
лежащих в одной плоскости.
513. Вывести из теоремы, рассмотренной в упражнении 425, аналогичную
теорему планиметрии (Пл., п. 195):
Если два треугольника АВС и А'В'С обладают тем свойством,
что прямые АА', ВВ' и СО проходят через одну точку О, то точки
пересечения сторон ВС и В'С', СА и С А', АВ и А'В' лежат на одной
прямой.
(Обратить внимание на то, что образующуюся таким образом плоскую
фигуру можно рассматривать как проекцию такой же фигуры, как и рас-
смотренная в упражнении 425.)
514. Восемь точек А, В, С, D, А', В1, С и D' (из которых ни первые
четыре, ни вторые четыре не лежат в одной плоскости) обладают тем свой-
ством, что прямые АА', ВВ’, СС и DC проходят через одну точку О. По-
казать, что прямые, по которым пересекаются плоскость BCD с B'C'D', плос-
кость CDA с CD’А', плоскость DAB с D'A'B' и плоскость АВС с А’В'С’,
лежат в одной плоскости.
Вывести отсюда теорему (Пл., п. 195), о которой говорится в предыдущем
упражнении. (Для этого предположить, что прямые ОАА’, ОВВ', ОСС лежат
в одной плоскости.)
515. Произведение отношений, в которых какая-либо плоскость делит сто-
роны пространственного многоугольника, равно единице (доказать). Обратная
теорема верна для четырёхугольника, но не имеет места для многоугольника
с числом сторон большим четырёх (доказать).
516. Даны две полупрямые ОА и ОВ, выходящие из некоторой точки О
данной плоскости и лежащие по одну сторону от этой плоскости. Провести
в данной плоскости прямую, образующую с ОА и ОВ углы, сумма которых
была бы наименьшей.
517. Даны две полупрямые ОА и ОВ, выходящие из некоторой точки О
данной плоскости и лежащие по разные стороны от этой плоскости. Провести
в данной плоскости прямую, образующую с ОА и ОВ углы, разность которых
была бы наибольшей.
518. Через точку О на ребре двугранного угла проведены две полупря-
мые ОА и ОВ, лежащие соответственно в гранях этого двугранного угла и
образующие с его ребром один и тот же данный угол. Показать, что если
этот угол отличен от прямого, то угол АОВ изменяется не пропорционально
двугранному углу.
Будет ли отношение угла АОВ к линейному углу двугранного угла воз-
растать или убывать с увеличением последнего?
519. Разность между углами, образованными какой-либо прямой с двумя
данными плоскостями, меньше угла между этими плоскостями или ему равна
(доказать;.
520. Разность между углами, образованными какой-либо плоскостью с двумя
данными прямыми, меньше угла между этими прямыми или ему равна
(доказать).
г) См. примечание в конце задач к пятой книге.
6 Элементарная геометрия, ч. II
82
КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия
521. Если переменная прямая и переменная плоскость стремятся каждая
к определенному предельному положению, то угол между ними стремится
к углу между предельным положением прямой и предельным положением
плоскости (доказать) •).
522. Даны две плоскости и прямая; провести через данную прямлю
плоскость так, чтобы она образовала с данными плоскостями равнобедренный
трехгранный угол.
(Рассмотреть отдельно два случая: когда равные плоские углы лежат
в данных плоскостях и когда один из равных плоских углов лежит в искомой
плоскости.)
523. Если пересечь трёхгранный угол SABC, имеющий три прямых плос-
ких угла и, следовательно, три прямых двугранных угла, какой-либо плос-
костью, не проходящей через вершину угла, то
1) точка пересечения высот полученного в сеченин треугольника АВС
совпадает с проекцией вершины 5 трёхгранного угла на плоскость сечения;
2) площадь каждого из треугольников SBC, SCA и SAB есть среднее
пропорциональное между площадью его проекции на плоскость АВС и пло-
щадью треугольника АВС',
3) сумма квадратов площадей тех же треугольников равна квадрату
площади треугольника АВС (доказать).
524. Дав треугольник АВС', найти трёхгранный угол, имеющий трн пря-
мых плоских угла, рёбра которого проходили бы через вершины данного
треугольника. При каких условиях задача возможна?
525. Пересечь данный трёхгранный угол, имеющий три прямых плоских
угла, плоскостью так, чтобы в сеченин получился треугольник, равный дан-
ному.
526. Найти трёхгранный угол, имеющий три прямых плоских угла, рёбра
которого проектировались бы на данную плоскость, проходящую через его
вершину, в три данных прямых. При каких условиях задача возможна?
527. Если четыре точки А, В, С и D обладают тем свойством, что прямая АВ
перпендикулярна к СВ, а прямая АС перпендикулярна к BD, то и прямая AD
перпендикулярна к ВС (доказать).
Суммы АВ2 4- CD2, AC2 BD2, AD2 -|- ВС2 равны между собой (доказать).
528. Даны три плоскости, проходящие через одну прямую, и полупрямая,
лежащая в одной из них (но не параллельная общей линии пересечения); суще-
ствует трёхгранный угол, обладающий тем свойством, что каждая из данных
плоскостей проходит через одно из его рёбер и перпендикулярна к противо-
лежащей грани, причём одним из рёбер служит данная полупрямая (доказать).
529. Даны три прямые, лежащие в одной плоскости, и плоскость Р, про-
ходящая через одну из них; существует трёхграпный угол, обладающий тем
свойством, что каждая из данных прямых перпендикулярна к одному из его
рёбер и лежит в противолежащей грани, причём одна нз граней лежит в пло-
скости Р.
(Аналогичные предложения, обратные предложениям, рассмотренным
в упражнениях 487 — 490, приведены в упражнениях 638 — 639.)
530. (Обобщение у пражнения 455.) Даны две прямые D н D', не лежащие
в одной плоскости. Пусть на прямой D выбрана точка А, на прямой D' —
точка А'\ далее на прямых D н D' выбраны соответственно ещё две точки
М и М', обладающие тем свойством, что АМ = А'М'.
Если точки М и М' перемещаются поданным прямым (так, что отрезок AM
остаётся равным отрезку А’М'), то существуют дзе прямые и Н2, обла-
дающие тем свойством, что плоскость, служащая геометрическим местом
точек, разность квадратов расстояний которых от точек М и М' равна данной
!) Понятие предельного положения прямой было определено в сноске на
стр. 77; понятие предельного положения плоскости определяется аналогично.
Прим. ред. перевода.
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
83
величине Л (J (упр. 447), проходит через ту или через другую из этих пря-
мых; все точки прямых Нх и Н2 обладают тем свойством, что разность квад-
ратов расстояний каждой из них от прямых D и D' равна h (доказать). Найти
геометрическое место прямых Нх и Н2 при условии, что изменяется h (при
данных точках А и А’).
Если (при данном Л) точки А и А' перемещаются, то каждая из прямых
и Н2 остаётся параллельной некоторой плоскости; при этом любая прямая Н\
пересекает любую из прямых Н2 (доказать).
Через любую точку пространства, обладающую тем свойством, что раз-
ность квадратов её расстояний от прямых Г) и D' равна А, проходит одна
из прямых Л7Г и одна из прямых Н2 (доказать).
Примечание. Во всех задачах на построение (упр. 424, 426, 427 и т. д.)
предполагается, если нет особых указаний (см. ниже), что мы умеем:
1) провести плоскость через три данные точки;
2) построить линию пересечения двух данных плоскостей и точку пересе-
чения прямой и плоскости;
3) выполнить в произвольно данной в пространстве плоскости все пост-
роения, известные нам из планиметрии.
Это предположение носит чисто условный характер, так как мы не имеем
никакой возможности осуществить практически эти операции. Однако в начер-
тательной геометрии мы имеем такой способ изображения пространственных
фигур на плоскости, при котором только что перечисленные построения могут
быть выполнены с помощью циркуля и линейки.
Те построения, которые должны быть выполнены, не пользуясь указанным
выше предположением, мы называем эффективными.
КНИГА ШЕСТАЯ.
МНОГОГРАННИКИ.
Черт. 78.
ГЛАВА 1.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
406. Определения. Многогранником (черт. 78) называется
тело, ограниченное со всех сторон плоскостями т). Части плоскости,
ограничивающие многогранник, называются его гранями. Каждая грань,
будучи ограничена линиями пересечения с соседними гранями, пред-
ставляет собой многоугольник; стороны этих много-
угольников (например АВ, черт. 78) называются
рёбрами многогранника; очевидно, что каждое ребро
служит общей стороной для двух граней 2). Вер-
шины тех же многоугольников (например А, черт. 78)
называются вершинами многогранника; каждая из
них служит общей вершиной нескольких граней
(самое меньшее трёх) и в то же время вершиной многогранного угла,
образованного этими гранями 2).
Всякая прямая, соединяющая две вершины многогранника, не
лежащие в одной грани, называется диагональю многогранника;
всякая плоскость, проходящая через три вершины, не лежащие в
одной грани, называется диагональной плоскостью.
Многогранник называется выпуклым (черт. 81), если он весь рас-
положен по одну сторону от плоскости любой его грани, продолжен-
ной неограниченно.
Выпуклый многогранник имеет своими гранями выпуклые много-
угольники; действительно, если бы грань F (черт. 79) не лежала
целиком по одну сторону от принадлежащего этой грани ребра АВ, то
9 При этом мы накладываем, однако, одно ограничение, аналогично тому,
как это было сделано в планиметрии (Пл., п. 21): мы считаем многогранниками
только такие тела, граница которых состоит из одного куска, иначе говоря,
не распадается на несколько отдельных частей, совершенно не связанных
межд}' собой.
г) В некоторых особых случаях ребро многогранника может принадлежать
более чем двум граням, а вершина многогранника — служить обшей вершиной
нескольких многогранных углов, образованных гранями многогранника; эти
исключительные случаи, возникающие фактически благодаря тому, что не-
сколько рёбер или вершин совпадают между собой, не могут иметь места
в случае выпуклых многогранников. В дальнейшем они нам нигде не встретятся
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
85
она не лежала бы по одну сторону от грани F', примыкающей к грани F
вдоль ребра АВ.
Точно так же многогранный угол, образованный гранями выпук-
лого многогранника, примыкающими к одной вершине, будет всегда
выпуклым.
Прямая не может пересекать поверхности выпуклого многогран-
ника более чем в двух точках; в противном случае (черт. 80) две край-
Черт. 79.
Черт. 80. Черт. 81.
Черт. 82.
ние точки пересечения не могли бы лежать по одну сторону от грани
многогранника, проходящей через одну из промежуточных точек
пересечения.
Мы классифицировали плоские многоугольники по числу их сторон;
подобная классификация непригодна для многогранников, потому что
в двух многогранниках с одним и тем же числом граней эти грани
могут быть расположены совершенно по раз-
ному: так будет, например, в случае много-
гранников, представленных на чертежах 78,
81 и 82 и имеющих по шесть граней каждый.
407. Призматической поверхностью на-
зывается фигура, образованная частями не-
скольких плоскостей, параллельных одной
прямой [ограниченными теми прямыми, по
которым эти плоскости последовательно пере-
секаются одна с другой *); эти прямые парал-
лельны между собой в силу пункта 337 и
называются рёбрами призматической поверх-
ности (черт. 83)].
Теорема. Сечения призматической по-
верхности плоскостями, параллельными ме-
жду собой (но не параллельными её рёбрам), Черт. 83.
представляют собой равные многоугольники.
Пусть ABCDE и A'B'C'D'E' (черт. 83) —сечения призматической
поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться,
9 При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости
пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую.
86
КНИГА ШЕСТАЯ- МНОГОГРАННИКИ
что эти два многоугольника равны, достаточно показать (Пл., и. 50),
что треугольники АВС и А'В’С равны и имеют одинаковое направ-
ление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD
и A'B'D', АВЕ и А'В'Е'. Но соответственные стороны этих треуголь-
ников параллельны (например АС параллельно А'С) как линии пере-
сечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями;
отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А'С)
как противоположные стороны параллелограма и что углы, образован-
ные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление (п. 342).
Перпендикулярным сечением призматической поверхности назы-
вается сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её
рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные
сечения одной и той же призматической поверхности будут равными
многоугольниками.
Призмой называется многогранник, ограниченный призматической
поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но
не параллельными рёбрам призматической поверхности) (черт. 84).
Грани, лежащие в этих последних плоскостях, называются основа-
ниями призмы; грани, принадлежащие призматической поверхности, —
боковыми гранями', рёбра призматической поверхности — боковыми
рёбрами призмы. В силу предыдущей теоремы, основания призмы —
равные многоугольники. Все боковые грани призмы — параллелограмы;
все боковые рёбра равны между собой.
Очевидно, что если дано основание призмы ABCDE (черт. 84)
и одно из рёбер АА' по величине и по направлению, то можно по-
строить призму, проводя рёбра ВВ', СС,_________ равные и параллель-
ные ребру АА'.
Высотой призмы называется расстояние (п. 355) между плоско-
стями её оснований (НН' на черт. 84).
Призма называется прямой (черт. 85), если её основаниями служат
перпендикулярные сечения призматической поверхности. В этом случае
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
87
высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро; боковые грани
будут прямоугольниками.
Призмы можно классифицировать по числу боковых граней, рав-
ному числу сторон многоугольника, служащего её основанием. Таким
образом, призмы могут быть треугольные, четырёхугольные, пяти-
угольные (черт. 84) и т. д.
408. Теорема. Боковая поверхность призмы равна произведению
бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.
Пусть ABCDEA'B’CD'E' (черт. 86) — данная призма и abcde —
её перпендикулярное сечение, так что отрезки ab, Ьс, ... перпенди-
кулярны к её боковым ребрам. Грань АВА'В' является параллело-
грамом; его площадь равна произведению основания АА' на высоту,
которая совпадает с ab-, площадь грани ВСВ'С равна произведению
основания ВВ' на высоту Ьс и т. д. Следовательно, боковая поверх-
ность (т. е. сумма площадей боковых граней) равна произведению
бокового ребра, иначе говоря, общей длины отрезков АА’, ВВ', ...,
на сумму ab -I- Ьс -L- cd -4- de еа.
409. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой
служат параллелограмы (черт. 81). При этом все грани будут парал-
лелограмами. Каждый параллелепипед можно рассматривать как
призму тремя различными способами, так как за основания можно
принять каждые две противоположные грани (на черт. 87 грани
ABCD и А'В'CD', или АВА'В' и CDCD',
Рассматриваемое тело имеет двенадцать рё-
бер, по четыре равных и параллельных ме-
жду собой.
Теорема. Диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке, совпадающей
с серединой каждой из них.
Параллелепипед ABCDA'B'C'D' (черт. 87)
имеетчетыре диагонали AC',BD', СА',DB'. Мы
должны доказать, что середины двух каких-либо
из них, например АС и BD', совпадают. Это
следует из того, что фигура ABCD', имею-
щая равные и параллельные стороны АВ и С
410. Прямым параллелепипедом называется параллелепипед,
являющийся одновременно и прямой призмой, т. е. параллелепипед,бо-
ковые рёбра которого перпендикулярны к плоскости основания.
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллеле-
пипед, основанием которого служит прямоугольник. При этом все
его грани будут прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед представляет собой прямую
призму, какую бы из его граней мы ни приняли за основание, так
как каждое его ребро перпендикулярно к рёбрам, выходящим с ним
из одной вершины, и будет, следовательно, перпендикулярно и к пло-
скостям граней, определяемых этими рёбрами. 13 противоположность
ИЛИ ZfCZS с и
А В
Черт. 87.
"D', есть параллелограм.
88
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ
этому прямой, но не прямоугольный, параллелепипед можно рас-
сматривать как прямую призму только одним способом.
411. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, из кото-
рых никакие два не параллельны между собой (например трёх рёбер,
выходящих из одной вершины), называются его измерениями. Два
прямоугольных параллелепипеда, имеющих соответственно равные изме-
рения, очевидно, равны между собой.
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измере-
ния которого равны между собой, так что все его грани — квадраты.
Два куба, рёбра которых равны между собой, равны.
Наклонный параллелепипед, у которого все рёбра равны между
собой и углы всех граней равны или пополнитель-
ны, называется ромбоэдром. Все грани ромбоэдра —
равные ромбы. (Форму ромбоэдра имеют некото-
рые кристаллы, имеющие большое значение, на-
пример кристаллы исландского шпата.) В ромбоэдре
можно найти такую вершину (и даже две противо-
положные вершины), что все прилежащие к ней
Че т 88. Углы равны между собой.
412. Теорема. Диагонали прямоугольного па-
раллелепипеда равны между собой. Квадрат ди-
агонали равен сумме квадратов трёх измерений.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'В'СD' (черт. 88) диаго-
нали АС и BD' равны, так как четырёхугольник ABC'D' — прямо-
угольник (прямая АВ перпендикулярна к плоскости ВСВ'С, в кото-
рой лежит ВС).
Кроме того, AC2 = BD'2—AB2-\-AD'2 на основании теоремы
о квадрате гипотенузы. Но на основании той же теоремы АО'2 = АА'2-^-
-j-A'/J'2; отсюда имеем:
А С* == АВ* АА'* 4- A'D’2 = А В2 -f- А А '* -f- AD2.
413. Пирамидой (черт. 82, 89) называется многогранник, все
грани которого, кроме одной, имеют общую вершину (называемую
вершиной пирамиды). Это определение, очевидно, рав- $
несильно следующему: пирамида есть тело, получаю- А
щееся от сечения многогранного угла плоскостью, пере- /7\
секающей все его рёбра. Грань, лежащая в этой секу- / / /
щей плоскости, называется основанием пирамиды; осталь- / / /
ные грани — боковыми гранями-, рёбра, выходящие из н
вершины, называются боковыми рёбрами.
Очевидно, что пирамида вполне определяется своим Черт. 89.
основанием и своей вершиной: все её боковые грани суть
треугольники, у которых вершины совпадают с вершиной пирамиды,
а основаниями служат стороны основания пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из
вершины пирамиды на плоскость основания (SH на черт. 89).
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
89
414. Теорема. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной
основанию, представляет собой многоугольник, подобный основанию.
(Иначе говоря, сечения многогранного угла параллельными плоско-
стями подобны между собой.)
Коэффициент подобия обоих многоугольников равен отношению
расстояний плоскостей соответствующих сечений от вершины (или
отношению отрезков, отсекаемых этими пло-
скостями на каком-либо из рёбер, считая от
вершины).
Пусть пирамида SABCDE (черт. 90) пересе-
чена плоскостью А'В’СD'E', параллельной осно-
ванию; мы предположим для определённости, что
эта плоскость лежит по ту же сторону от вер-
шины, что и основание. Выберем какие-нибудь
три вершины А, В и D основания и соответст-
вующие им вершины А', В' и D' сечения. Сто
роны АВ, BD и DA соответственно параллельны
сходственным сторонам треугольника A'B'D' и
направлены в ту же сторону1); следовательно,
эти два треугольника имеют соответственно
равные углы; поэтому они подобны и имеют
Черт. 90.
одинаковое направление вращения. Их коэффициент подобия равен
(как это видно из подобных треугольников SAB и SA'B') отно-
шению
, которое в свою очередь равно (п. 345, следствие) анало-
SB SC
гичным отношениям
ос оС
Sff
а также и отношению рас-
ХЛ
S/'
стояний точки S от параллельных плоскостей ABCDE и A'B'C'D'E'.
Если мы выберем теперь многоугольник, гомотетичный многоуголь-
нику A'B'C'D'E' (относительно произвольного центра подобия, лежа-
щего в плоскости этого многоугольника), с коэффициентом подобия,
равным т0 этот многоугольник Z1B1CIZ)I£'i будет обладать тем
свойством, что треугольники Д1В1С1, AlBlDJ, ... будут соответственно
равны треугольникам ABC, ABD, ... и иметь то же направление вра-
щения; следовательно, этот многоугольник будет равен многоуголь-
нику ABCDE (Пл., п. 50).
Примечание. Предыдущее рассуждение показывает, что вообще
если данную точку соединить прямыми линиями со всеми точками
данной плоской фигуры и пересечь эти прямые плоскостью, парал-
1) Если бы секущая плоскость A'B'C'D'E' и плоскость основания лежали
по разные стороны от 5, то стороны треугольников ABD и А'В'[У были бы
параллельны и направлены в противоположные стороны: оба треугольника были
бы подобны и имели бы одинаковое направление вращения, так что наши даль-
нейшие заключения сохранили бы силу без всяких изменений.
90
КНИГА ШЕСТАЯ МНОГОГРАННИКИ
лельной плоскости самой фигуры, то получится фигура, подобная
данной
Следствие. Площади основания и сечения, рассмотренного
в предыдущей теореме, относятся между собой как квадраты рас-
стояний соответствующих плоскостей от вершины.
Это следствие представляет собой простое приложение к рассмотри
ваемым многоугольникам известной теоремы планиметрии (Пл., п. 257).
415. Правильной пирамидой (SABCDE на черт. 82) называется пи-
рамида, у которой основанием служит правильный многоугольник, а
высота (SO на черт. 82) падает в центр основания.
Все боковые рёбра правильной пирамиды равны (как наклонные,
равноудалённые от основания перпендикуляра SO); все боковые грани —
равные равнобедренные треугольники (как имеющие по три соответ-
ственно равные стороны). Высота какого-либо из этих треугольников,
опущенная из вершины пирамиды (SH на черт. 82), называется
апофемой правильной пирамиды.
Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна поло-
вине произведения периметра основания на апофему.
В правильной пирамиде SABCDE (черт. 82) площадь треугольника
SAB равна половине произведения апофемы SH на сторону АВ; площадь
треугольника SBC равна половине произведения апофемы на сторону ВС
и т. д. Следовательно, боковая поверхность, т. е. сумма площадей тре-
угольников SAB, SBC, SCD, SDE и SEA, измеряется половиной про-
изведения апофемы на сумму АВ -ф- 5С-ф- CD-ф- DE-ф- ЕА.
416. Пирамиды разделяются по числу боковых граней (или, что то
же, по числу сторон основания) на треугольные, четырёхугольные,
пятиугольные и т. д.
Треугольная пирамида называется тетраэдром (черт. 89).
Все четыре грани тетраэдра (наименьшее число граней, какое мо-
жет иметь многогранник) — треугольники. Всякий тетраэдр мочено
рассматривать как пирамиду четырьмя различными способами, так
как каждую из его граней можно принять за основание.
417. Всякий многогранник можно разложить на пирамиды.
В самом деле:
1°. Если данный многогранник выпуклый, то его можно разложить
на пирамиды, выбирая за их общую вершину одну из вершин много-
гранника, а за их основания — грани, не прилежащие к этой вершине;
илп, иначе, принимая за основания пирамид последовательно все грани
многогранника, а за их общую вершину — некоторую точку внутри
многогранника.
2°. Невыпуклый многогранник может быть разложен на выпуклые
многогранники (каждый из которых разлагается на пирамиды, как было
сказано). Для этого достаточно1) продолжить безгранично плоскости
всех граней; таким образом, всё пространство разделится на части, и
9 Сравнить Пл., п. 148.
ГЛАВА Г. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
01
данный многогранник будет представлять собой совокупность некото-
рого числа частей, каждая из которых будет, очевидно, выпуклым
многогранником.
Так как всякую пирамиду можно, очевидно, разложить на тетраэдры
(для этого достаточно разложить основание на треугольники), то и
всякий многогранник можно разложить на тетраэдры.
УПРАЖНЕНИЯ.
531. Отрезок любой прямой, проходящей через точку пересечения диаго-
налей параллелепипеда, заключённый между его гранями, делится в этой точке
пополам (доказать).
532. Даны три прямые, из которых никакие две не лежат в одной плоскости.
11остроить параллелепипед, рёбрами которого служат отрезки этих трёх прямых1).
533. Найти геометрическое место центров параллелепипедов предыдущей
задачи при условии, что две из данных прямых неподвижны, а третья переме-
щается параллельно самой себе в заданной плоскости.
534. Если все диагонали данного параллелепипеда равны между собой, то
параллелепипед прямоугольный (доказать).
535. Построить куб, зная длину одной из его диагоналей.
536. Пусть А и С — две противоположные вершины параллелепипеда
ABCDA' В'С 1У\ В, D п А' - вершины, смежные с A; D, В' и С — вершины,
смежные с С. Доказать:
1) что диагональ АС проходит через центры тяжести треугольников BDA'
и D'B'C,
2) что этими двумя точками диагональ делится на три равные части,
3) что если параллелепипед обращается в куб, то треугольники BDA' п
LfB'C равносторонние, а прямая АС — перпендикулярна к их плоскости.
537. Куб пересечён плоскостью, перпендикулярной к одной из его диаго-
налей. Исследовать форму сечения, предполагая, что плоскость занимает все-
возможные положения, оставаясь перпендикулярной к диагонали.
Рассмотреть случай, когда плоскость, перпендикулярная к диагонали, про-
ходит через середину последней.
538. Правильным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все рёбра
равны и, следовательно, все грани — равносторонние треугольники.
Показать, что вершины куба можно разбить на две группы так, что вер-
шины каждой группы образуют правильный тетраэдр.
539. Если точка перемещается в плоскости основания правильной пирамиды
и остаётся внутри этого основания, то сумма расстояний этой точки от боковых
граней остаётся постоянной (доказать).
Сумма отрезков, отсекаемых боковыми гранями на перпендикуляре к пло-
скости основания, проходящем через эту точку, также постоянна (доказать).
Как изменятся эти свойства, если рассматриваемая точка, лежащая в пло-
скости основания, будет лежать вне многоугольника, служащего основанием?
540. Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами тяжести про-
тиволежащих граней, пересекаются в одной точке, делящей каждую из них
в отношении 1:3 (доказать).
Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, проходят через
ту же точку-и делятся в ней пополам (доказать).
541. Если три отрезка, не лежащие в одной плоскости, проходят через одну
точку и каждый из них делится в этой точке пополам, то можно найти, и притом
1) В задачах на построение следует, конечно, принимать во внимание при-
мечание, помещённое в конце пятой книги; при решении таких задач следует
пользоваться установленным там соглашением, за исключением тех случаев,
когда требуется эффективное построение.
92
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ
несколькими способами, тетраэдр, серединами рёбер которого будут концы
данных отрезков (доказать).
542. Если через прямую, соединяющую середины противоположных рёбер
тетраэдра, провести плоскость, пересекающую два других противоположных
ребра тетраэдра, то отрезок, соединяющий точки пересечения, делится первой
прямой пополам (доказать).
543. Плоскости, проведённые перпендикулярно к рёбрам тетраэдра через
их середины, пересекаются в одной точке (доказать).
544. Биссектральные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются
в одной точке (доказать).
545. Если через каждое ребро данного тетраэдра провести плоскость, об-
ладающую тем свойством, что двугранный угол, образованный этой плоскостью
и плоскостью, соединяющей то же ребро с данной точкой О пространства,
имеет ту же биссектральную плоскость, что двугранный угол тетраэдра при
данном ребре, то шесть полученных таким образом плоскостей проходят через
одну точку О' или пересекаются по три по четырём параллельным между
собою прямым (доказать).
546. Плоскости, проведённые через середину каждого ребра тетраэдра пер-
пендикулярно к противоположному ребру, пересекаются в одной точке, которая
лежит на одной прямой с точками, рассмотренными в упражнении 540 и в упраж
нении 543 (доказать).
547. В каждом трёхгранном угле тетраэдра проведена прямая, о которой
говорится в упражнении 491,1°. При каких условиях эти четыре прямые проходят
через одну точку? Показать, что в последнем случае четыре высоты тетраэдра
также проходят через одну точку.
(Вершины тетраэдра расположены при этом так, как это было указано
в упражнении 527; такой тетраэдр называется тетраэдром с ортогональными
рёбрами.)
548. Решить аналогичный вопрос для прямой, рассмотренной в упражнении
489, 2°.(Ответ:суммы противоположных рёбер должны быть равны между собой.)
549. Решить тот же вопрос для прямой, рассмотренной в упражнении 490,1°.
550. Даны длины рёбер тетраэдра; построить эффективног) его высоты.
ГЛАВА II.
ОБЪЁМ ПРИЗМЫ.
418. Два многогранника называются смежными, если они имеют
одну или несколько общих граней (или частей граней) и остальные
точки каждого из них расположены вне другого.
Пусть даны два смежных многогранника РнР; если не рассматри-
вать их общих граней, то образуется третий многогранник Р”, который
представляет собой совокупность двух данных и называется их суммой.
419. Определить объёмы многогранников — значит поставить в соот-
ветствие каждому многограннику некоторую величину (называемую объ-
ёмом многогранника), обладающую следующими свойствами:
I. Два равных многогранника имеют один и тот же объём, ка-
ково бы ни было их расположение в пространстве.
II. Многогранник Р“, представляющий собой сумму двух смежных
многогранников Р и Р, имеет объём, равный сумме объёмов много-
гранников Р и Р'.
См. примечание в конце задач к пятой книге.
ГЛАВА II. ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
93
Мы допускаем, что такое соответствие существует ’). При этом ясно,
что, как и для площадей в планиметрии, если такое соответствие воз-
можно, то его можно осуществить бесчисленным множеством способов;
действительно, величину, о которой идёт речь, можно заменить вели-
чиной ей пропорциональной, не нарушая свойств 1 и II. Поэтому мы
будем заниматься главным образом изучением отношений объёмов, или,
иначе говоря, измерением объёмов.
Для этого нужно начать с выбора некоторого многогранника, объём
которого будет принят за единицу: мерой какого-либо объёма будет
его отношение к этой единице объёма.
Мы условился здесь и во всём дальнейшем принимать за единицу
объёма объём куба, ребро которого равно единице длины. Это согла-
шение, так же как и аналогичное соглашение, установленное в плани-
метрии (Пл., п. 244), будет нами неявно предполагаться во всех тео-
ремах, относящихся к объёмам.
Два многогранника, имеющие один и тот же объём (но, вообще
говоря, не равные между собой), называются равновеликими.
Примечание. Из свойства II следует, что многогранник Р',
целиком находящийся внутри другого многогранника Р, имеет объём
меньший, чем многогранник Р.
420. Прямоугольный параллелепипед. Теорема. Объёмы двух
прямоугольных параллелепипедов, имеющих одно и то же основание,
относятся между собой, как их высоты.
В силу тех соображений, на которые мы уже несколько раз ссыла-
лись, достаточно доказать:
1) что два прямоугольных параллелепипеда, имеющие одно и то же
основание и одну и ту же высоту, имеют один и тот же объём; это непо-
средственно следует из свойства I, так как такие параллелепипеды равны;
2) что если три параллелепипеда Р, Р и Р" имеют одно и то же
основание и высота параллелепипеда Р" есть сумма высот параллелепи-
педов Р и Р, то объём параллелепипеда Р" есть сумма объёмов парал-
лелепипедов Р и Р.
Но это вытекает из свойства II, так как, если разложить высоту
параллелепипеда Р' на два отрезка (черт. 91), соответственно равные:
один высоте параллелепипеда Р, а другой высоте параллелепипеда Р,
и через точку деления провести плоскость, параллельную основанию
параллелепипеда Р', то последний будет разложен на два параллеле-
пипеда Рг и P-i', соответственно равных параллелепипедам Р и Р.
Теорема, таким образом, доказана. Впрочем, мы предлагаем читателю
повторить на этом примере доказательство соответствующей обшей
теоремы, как мы это несколько раз делали в планиметрии.
Так как для прямоугольных параллелепипедов безразлично, какую
грань принять за основание, то предыдущую теорему можно высказать
в следующей форме:
!) Доказательство этого положения см. в конце тома (прибавление Г).
94
КНИГА ШЕСТАЯ- МНОГОГРАННИКИ
Объёмы двух прямоугольных параллелепипедов, имеющих по два
соответственно равных измерения, относятся, как их третьи из-
мерения.
421. Теорема. Объёмы двух прямоугольных параллелепипедов
относятся между собой, как произведения их трёх измерений.
Черт. 91.
Мы только что видели, что если два измерения параллелепипеда
остаются постоянными и изменяется только третье измерение, то объел
параллелепипеда будет пропорционален этому третьему измерению.
Доказываемое предложение представляет собой приложение следующей
общей арифметической теоремы: величина, пропорциональная несколь-
ким величинам в отдельности, пропорциональна их произведению.
Однако, имея в виду большое значение, которое имеет доказываемое
предложение, мы повторим применительно к данному случаю те рас-
суждения, которые приводят к доказательству общей теоремы, подобно
тому как мы это делали при рассмотрении площади прямоугольника
Эти рассуждения состоят в следующем. Обозначив через а, Ь, с
измерения первого параллелепипеда Р, через а', Ь', с' измерения вто-
рого параллелепипеда Р', рассмотрим два вспомогательных параллеле-
пипеда Рх и Р2, из которых один имеет своими измерениями а', Ь, с, а
другой а', Ь’, с.
Два параллелепипеда Р и Р1 отличаются только своими первыми
измерениями; следовательно, мы имеем (см. предыдущий пункт):
об.Р __ а
об. Р' д' ’
Точно так же параллелепипед Рг отличается от Р, только тем, что
измерение b заменено через Ь'; поэтому
o6.Pj __Ь
об. Р2 Ь' ‘
Наконец, параллелепипеды Р2 и Р' отличаются только своими
третьими измерениями; следовательно,
об. Р2__с
об. Р' с' ‘
ГЛАВА И. ОБЪЁМ ПРИЗМЫ
95
В предыдущих равенствах левые части представляют отношения
объёмов (отношения объёмов параллелепипедов Р, РА, Р2, Р друг к
другу), а правые части — отношения длин. Но мы знаем (Пл., и. 17),
что значения этих отношений не изменятся, если заменить величины
каждого рода числами, служащими их мерой по отношению к одной и
той же единице. Мы допустим в соответствии с планиметрией (Пл., п. 18),
что выбраны определённая единица объёма и определённая единица
длины и что через об. Р, об. Ри об. Р2, об. Р', а, Ь, с, а’, Ь', с' обоз-
начены не самые объёмы и длины, а соответственно выражающие их
числа. При этом условии, если мы почленно перемножим предыдущие
равенства, получим:
об. Р об. Р] об. Р2 а b с
об. Р] об. Р2 об. Р' а' Ь' с' ’
левую часть, представляющую собой произведение трёх дробей, можно
(об. Р) • (об. Р,) • (об. Р,) _
записать в виде ' . >- J-. . Точно так же можно разделить
(об.Р,)-(об. Р2)-(об.Р')
числитель и знаменатель на (об. Р,)-(об. Р2), и мы получим:
об.Р___ abc
об.Р' а'Ь'с' ’
422. Введём теперь сделанное вначале предположение, что за еди-
ницу объёма принят куб, ребро которого равно единице длины; тогда
предыдущая теорема даст нам выражение для объёма прямоугольного
параллелепипеда.
Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произве-
дению трёх его измерений.
Это предложение имеет смысл только в силу установленного ранее
соглашения (Пл., п. 18); точный смысл его заключается в следующем;
Число, которое измеряет объём прямоугольного параллелепи-
педа, равно произведению чисел, которые измеряют три его из-
мерения.
Это вытекает из предыдущей теоремы, так как, если за второй,
параллелепипед Р принять куб, ребро которого равно единице длины
и объём которого, по условию, принят за единицу объёма, то каждое
из чисел а', Ь', с', об. Р будет равно единице, и предыдущая тео-
рема даёт:
об. Р= abc.
Из самого доказательства очевидно, что справедливость этой тео-
ремы зависит от сформулированного выше условия принимать за еди-
ницу объёма — объём куба, имеющего своим ребром единицу длины.
Итак, если мы желаем, чтобы эта теорема (и все последующие)
имела место, то мы можем выбрать произвольно единицу длины, но
если этот выбор сделан, то тем самым будет выбрана и единица объёма,
так же как и единица площади. Это обстоятельство часто выражают
96
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ
в следующих словах: единица объёма, как и единица площади,— еди-
ницы производные.
423. Зная выражение для объёма прямоугольного параллелепипеда,
мы выведем из него и выражение для объёма прямого параллелепипе-
да, а из последнего — выражение для объёма наклонного параллелепи-
педа. Оба эти вывода основаны на следующей теореме.
Теорема. Всякая наклонная призма равновелика прямой призме,
основанием которой служит перпендикулярное сечение, а высотой —
боковое ребро данной призмы.
Пусть дана наклонная призма ABCDA'B’C'D'
(черт. 92). Продол-
гранника даже равны.
жим все её боковые рёбра в одну и ту же
сторону; пусть для определённости ребро А'А
продолжено за точку А, ребро В'В—за точку В
и т. д., затем проведём два перпендикуляр-
ных сечения a'b'c'd’ и abed так, чтобы они
оба пересекали продолжения рёбер, как по-
казано на чертеже, и чтобы расстояние между
их плоскостями было равно боковому ребру
данной призмы ABCDA'B'C'D'. Мы должны
доказать, что данная призма равновелика при-
мой призме abcda'b'c'd'.
Для этого прибавим к каждой из этих
двух призм один и тот же многогранник, х
именно a’b'c’d'ABCD. Нам достаточно пока-
зать, что два полученные таким образом много-
гранника abcdABCD и a'b'c'd'A'B'C'D' равно-
велики.
Мы сейчас увидим, что эти два много-
В самом деле, наложим второй из этих многогран-
ников на первый так, чтобы их равные основания a'b'c'd' и abed сов-
пали. Ребро а'А', перпендикулярное к плоскости a'b’c'd' в точке а',
пойдёт по перпендикуляру к плоскости abed в точке а и, следовательно,
совпадёт с аА по направлению; оно будет направлено в ту же сторону,
потому что два трёхгранных угла a'A'b'd' и aAbd имеют одно и то же
расположение (так как двугранные углы а’А' и аА имеют одинаковые
направления). Но, с другой стороны, отрезки а'А' и аА равны, как
состоящие из общей части а'А и соответственно равных отрезков аа'
и АА'. Поэтому точка А' совпадёт с точкой А.
Так как те же самые рассуждения приложимы и к остальным вер-
шинам, то оба многогранника совпадают. Многогранники abcdABCD
и a'b'с'd'А'В'СD' равны, и следовательно, две призмы ABCDA'B'C'D'
и abcda'b'c'd' равновелики.
424. Прямой параллелепипед. Теорема. Объём прямого парал-
лелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
Дан прямой параллелепипед ABCDA'B'C'D' (черт. 93); пусть он
будет прямым, если рассматривать как основание грань ABCD, так
ГЛАВА И, ОБЪЁМ ПРИЗМЫ
97
что рёбра АА', ВВ', СС, DD' перпендикулярны к плоскости ABCD,
но он не будет прямоугольным в силу того, что грань ABCD не имеет
прямых углов. Если же, наоборот, мы рассмотрим его как призму,
имеющую своими основаниями грани АВА'В' и CDCD', а боковыми
рёбрами отрезки AD, ВС, A'D', В'С, то тот же параллелепипед будет
наклонной призмой к которой можно приме-
нить предыдущую теорему.
Проведём теперь перпендикулярное сече-
ние; его можно выбрать так, чтобы оно про-
ходило через АА' (так как это ребро пер-
пендикулярно к AD). Это перпендикулярное
сечение А А'НН' будет прямоугольником, так
как ребро А А' перпендикулярно к плоскости
ABCD. Следовательно, прямой параллелепи-
пед, имеющий основанием АА'НН' и высотой
AD, будет прямоугольным параллелепипедом.
Его объём будет, как мы знаем, равен AA'-AH-AD. Так как АН-AD
есть площадь основания ABCD данного параллелепипеда, то его объём
будет измеряться произведением площади этого основания на высоту АА'.
425. Прямая призма. Из объёма прямого параллелепипеда полу-
чается выражение для объёма прямой призмы.
Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади
основания на высоту.
1°. Пусть имеем треугольную призму АВСА'В'С (черт. 94). До-
строим треугольники АВС и А'В'С до параллелограмов ABCD и А'В'C'D'
(где D и D' — вершины, противоположные А и А'); эти параллело-
грамы будут основаниями прямого параллелепипеда
ABCDA'B'CD', состоящего из данной треугольной
призмы и треугольной призмы BCDB'C'D'. Но эта
вторая призма равна данной.
В самом деле, треугольники АВС и DCB равны
и имеют одинаковое направление вращения, как поло-
вины одного и того же параллелограма. Если второй
из этих треугольников переместить в его плоскости
так, чтобы он совпал с первым, перемещая вместе
с ним и призму BCDB'CD', то ребро DD', перпенди-
кулярное в точке D к плоскости основания, пойдёт по АА', потому что
при этом перемещении оно будет всё время оставаться по одну и ту же
сторону от плоскости основания; а так как оно равно АА', то точка D'
совпадёт с точкой А'. Точно так же вершины В' и С совпадут соответ-
ственно с вершинами С и В', и вторая призма совместится с первой.
Так как эти две призмы равны, то объём их суммы, т. е. объём
параллелепипеда, будет в два раза больше объёма каждой из них. Сле-
довательно, объём призмы АВСА'В'С измеряется половиной площади
параллелограма ABCD (и, следовательно, площадью треугольника
АВС}, умноженной на высоту призмы.
а’ С
Черт. 94.
7 Элементарная геометрия, ч. И
98
КНИГА ШЕСТАЯ МНОГОГРАННИКИ
2°. Пусть дана многоугольная призма ABCDEА'В'СD'Е' (черт. 95);
её можно разложить на треугольные призмы, имеющие своими осно-
ваниями треугольники, на которые можно разложить основание ABCDE.
Так как эти призмы имеют одну и ту же высоту, то сумму их объёмов
можно получить, умножая эту высоту на сумму площадей их осно-
ваний, т. е. на площадь всего основания.
Следствие. Объём наклонной призмы равен произведению пло-
щади перпендикулярного сечения на боковое ребро призмы.
Это вытекает из предыдущей теоремы в силу теоремы пункта 423.
Две призмы, имеющие одно и то же перпендикулярное сечение
и одно и то же боковое ребро, равновелики.
426. Произвольный параллелепипед. Теорема. Объём всякого
параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Черт. 96.
Пусть дан параллелепипед ABCDA'В'СD' (черт. 96). Мы покажем,
что его объём равен произведению площади основания ABCD на
соответствующую высоту.
Для этого рассмотрим данное тело как призму, вообще говоря на-
клонную, имеющую своим основанием грань АВА'В', и применим к
ней теорему пункта 423. Эта теорема показывает нам, что если обозна-
чить через MNM'N' перпендикулярное сечение этой призмы, то она будет
равновелика прямому параллелепипеду, имеющему своим основанием па-
раллелограм MNM'N' и высотой отрезок AD-, таким образом её объём
измеряется (по предыдущей теореме) произведением AD на площадь
MNM'N', или произведением AD-MN-HH', где через НН' обозначена
высота параллелограма MNM'N'. Но MN является высотой паралле-
лограма ABCD, так что AD-MN представляет собой площадь основа-
ния данного параллелепипеда.
С другой стороны, отрезок НН' представляет собой высоту того
же параллелепипеда, потому что, будучи проведён в плоскости MNM'N’
перпендикулярно к ребру прямого двугранного угла М' • MN • А, отрезок
НН' будет перпендикулярен и к плоскости ABCD (п. 364).
Таким образом, мы видим, что искомый объём выражается произ-
ведением площади ABCD на НН'- теорема доказана.
ГЛАВА II. ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
9э
427. Произвольная призма. Лемма. Плоскость, проходящая
через два противоположных ребра параллелепипеда, делит его на
две равновеликие треугольные призмы.
Пусть дан параллелепипед ABCDA'B'C'D', который разложен плос-
костью АСА'С на две треугольные призмы АВСА'В'С и ACDA'CD'
(черт. 97).
Если пересечём данный параллелепипед плоскостью, перпендикуляр-
ной к АА', то мы получим перпендикулярные сечения abc и acd обеих
треугольных призм. Эти сечения будут равны, так как abed паралле-
лограм. Но две призмы, имеющие одно и то же перпендикулярное
сечение и одно и то же боковое ребро, равновелики (п. 425, следствие).
Теорема. Объём призмы равен произведению площади её основания
на высоту.
1°. Рассмотрим сначала треугольную призму АВСА'В'С (черт. 98).
Параллелограм ABCD, имеющий три общие верщины с треугольником
АВС, служит основанием параллелепипеда, объём которого в два раза
больше (по предыдущей лемме) объёма данной призмы. Поэтому объём
призмы измеряется произведением её высоты на половину площади
параллелограма ABCD или, что то же, на площадь треугольника АВС.
2°. Если данная призма многоугольная, то разлагаем её на тре-
угольные призмы (черт. 99) и рассуждаем далее, как в пункте 425, 2°.
УПРАЖНЕНИЯ.
551. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади ка-
кой-либо её боковой грани на расстояние этой грани от противоположного
бокового ребра (доказать).
552. На трёх данных параллельных прямых, не лежащих в одной плос-
кости, отложены три равных между собой отрезка АА', ВВ' и СС. Показать,
что объём образованной таким образом призмы зависит только от положения
данных параллельных прямых и от общей длины отрезков АА', ВВ', GC, но
ие зависит от положения этих отрезков на данных прямых.
553. На трёх гранях SBC, SCA, SAB тетраэдра, как на нижш х основаниях,
построены вне тетраэдра три произвольные призмы. Пусть I — точка пересе-
чения их верхних оснований; на четвёртой грани АВС, как на основании, по-
строена призма, боковое ребро которой равно и параллельно SI. Показать, что
объём последней призмы равен сумме объёмов трёх первых.
100
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ
554. Дан прямоугольник ABCD со сторонами а и Ь, лежащий в плоскости
Р, и точка S на расстоянии Л от плоскости Р; рассмотрим пирамиду с верши
ной в точке S и основанием ABCD, пересечём эту пирамиду плоскостью Q
параллельной плоскости Р, и в получившийся в сечении прямоугольник впишеи
четырёхугольник, три стороны которого параллельны диагоналям прямоуголь
ша. Наконец, рассмотрим прямую призму R, у которой одним из оснований
служит этот четырёхугольник, а другое лежит в плоскости Р.
1°. Определить расстояние точки S от плоскости Q так, чтобы сумма
двенадцати рёбер призмы R имела заданную величину 4т. Рассмотреть случай,
когда задача невозможна.
2°. Какая из всех призм R, которые могут быть образованы при заданном
положении плоскости Q, будет иметь наибольший объём? Исследовать изме-
нение этого наибольшего объёма при перемещении плоскости Q.
ГЛАВА III.
ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ.
428. Лемма. Сеченая, проведённые в двух пирамидах, имеющих
равновеликие основания и одну и ту же высоту, параллельно осно-
ванию на одном и том же расстоянии от вершины, равновелики.
Действительно, пусть Н—общая высота обеих пирамид, h — рас-
стояние каждого из сечений от соответствующей вершины; отношение
площади сечения к площади соответствующего основания будет равно
А2
jp, 414, следствие) и, следовательно будет одним и тем же в обеих
площади сечений пропорциональны площадям
пирамидах. Так как
Разделим ребро на некоторое
на три: Sa1=aia2 = a2A.
оснований, то если основания
равновелики, будут равновелики
и сечения.
Теорема. Две треуголь-
ные пирамиды, имеющие рав-
новеликие основания и одну и
ту же высоту, равновелики.
Пусть SABC и S'А'В'С—
две треугольные пирамиды
(черт. 100), у которых основа-
ния АВС и А'В'С равновелики,
а соответствующие высоты име-
ют одну и ту же длину Н;
пусть объёмы этих пирамид бу-
дут равны V и V'.
число равных частей, например
Через точки деления аг и а2 проведём се-
чения а1Ь1с1 и а2Ь2с2, параллельные основанию; плоскости этих се-
чений разделяют высоту на три равные части. Если мы повторим те
же построения и для второй пирамиды — иначе говоря, если мы раз-
делим ребро S'/Г на три равные части и проведём через точки деле-
ния сечения а^ Ь\ С\ и а^Ь^с-г, параллельные основанию A'B'Ct — то,
ГЛАВА III. ОВЪЁМ ПИРАМИДЫ
101
в силу предыдущей леммы, полученные сечения будут равновелики,
соответствующим сечениям первой пирамиды.
Построим две призмы — одну, имеющую основанием треугольник
и одним из боковых рёбер отрезок аха2 (так что второе её
основание будет лежать в плоскости а2Ь2с2, а две её боковые грани —
в плоскостях SAB и .S71C), и другую, имеющую основанием треуголь-
ник а2^2сг и одним из своих боковых рёбер отрезок а2А (так что её
второе основание будет лежать в плоскости АВС, а две её боковые
грани попрежнему в плоскостях SAB и СЛС). Мы обозначим цифрами
7 и 2 построенные таким образом призмы, которые будут лежать
внутри пирамиды SABC и образуют в совокупности некоторое тело,
которое можно назвать вписанным в эту пирамиду.
Если мы проделаем то же и во второй пирамиде, построив призмы
Г и 2', которые имеют основаниями соответственно треугольники
Д1 Ьг ci и а2 Ь2 Со, а боковыми рёбрами — отрезки сц а2 и а^А', то
эти призмы будут соответственно равновелики первым, так как те и
другие призмы имеют равновеликие основания (как мы уже указывали)
и одну и ту же высоту (треть общей высоты Н).
Следовательно, сумма s3 объёмов этих внутренних призм имеет
одну и ту же величину в той и другой пирамиде и будет меньше
объёма каждой из двух пирамид.
Построим далее три выходящие призмы, обозначенные на чертеже
цифрами I, II и III, имеющие основаниями соответственно треуголь-
ники а1й1с1, а2Ь2с2 и АВС, а боковыми рёбрами — отрезки аг8, a2av
Аа*. Эти три призмы образуют в совокупности тело, описанное около
пирамиды SABC, т. е. заключающее в себе всю её целиком и имеющее,
следовательно, больший объём. Если мы проделаем то же и для пи-
рамйды S'А'В'С *), то получим описанное тело, равновеликое первому
по тем же соображениям, как и выше, и общий объём каждого из
этих двух тел 53 будет больше объёма каждой из двух пирамид.
Каждый из объёмов V и V заключается, таким образом, между S3
н Sgt их разность будет меньше, чем С3 — sg.
Но призмы I, II соответственно равновелики* 2) призмам 1, 2, как
имеющие одно и тоже основание а^Ср а2Ь2с2 и одну и ту же высоту
I
•g ; следовательно, разность Ss— s3 равна объёму призмы III, т. е.
(п. |27) пл. ЛВС-у.
Е1ли вместо того, чтобы делить 5Л на три равные части, мы взяли
бы ч1 ело делений равным п, то мы построили бы в каждой пирамиде
п—1 внутренних призм и п выходящих призм; рассуждая, как г
выше,
мы показали бы, что разность между V и V’ будет меньше,
’)
пирамиды.
2)
яы не
Для упрощения чертежа выходящие призмы показаны лишь для нерве,
1егко показать, что призмы I, II соответственно равны призмам 7, 2, но
доказываем равенства призм, так как нам не придётся им пользоваться.
102
КНИГА ШЕСТАЯ- МНОГОГРАННИКИ
чем пл. АВС~, т. е. меньше я-й части объёма призмы с основанием
АВС и высотой Н.
Но эту величину можно сделать сколь угодно малой, выбирая п
достаточно большим. Заключение, к которому мы приходим, может
иметь место лишь при условии, что V и V равны.
Следствие. Предыдущее рассуждение показывает, что объём пи-
рамиды SABC есть общий предел объёмов Sn и sn, когда п неогра-
ниченно возрастает, потому что этот объём отличается от каждой
из величин и на величину меньшую, чем разность между ними,
з эта разность Sn — sn стремится к нулю. I
429. Теоргма. Объём пирамиды равен одной трети произведена^
площади её основания на высоту.
1°. Докажем
сначала эту теорему для треугольной пирамиды
SABC (черт. 101). Для этого мы построим отрезку
BD и СЕ, равные и параллельные AS, так что по-
лучится призма ABCSDE с основанием АВС и
боковым ребром AS. Эта призма имеет то же осно-
вание и ту же высоту, что и данная пирамида. Мы
сейчас увидим, что объём последней составляет
одну треть объёма призмы.
Если мы отсечём от этой призмы данный Те-
траэдр SABC, то останется четырёхугольная пира-
мида SBCDE, вершиной которой служит точка S,
а основанием — параллелограм BCED. Разлагая
диагональю BE па два треугольника, мы разобьём
Черт. 101.
этот параллелограм
четырёхугольную пирамиду на два тетраэдра SBCE и SBDE. Послед-
ние два тетраэдра равновелики между собой, как имеющие равные
основания (две половины параллелограма BCDE) и одну и ту же
высоту (перпендикуляр, опущенный из точки S на плоскость BCt)E).
Но тетраэдр SBDE можно рассматривать как тетраэдр с вершиной
Вис основанием SDE; он, очевидно, равновелик тетраэдру SABC;
их основания АВС и SDE равны, а высота того и другого тетраэдра
равна высоте призмы. I
Таким образом, три тетраэдра, на которые разложена призма,
равновелики; следовательно, объём тетраэдра SABC равен тдной
трети объёма призмы, или одной трети произведения площади осно-
вания АВС на высоту.
2°. Чтобы распространить эту теорему на многоугольную пирамиду,
достаточно разложить последнюю на треугольные пирамиды и говто-
рить рассуждения пункта 425, 2°.
Следствия. Объёмы двух пирамид, имеющих одно и тю же
основание, относятся как их высоты. Объёмы двух пирамид, имею-
щих одну и ту же высоту, относятся как площади их оснований.
430. Получение формулы для объёма пирамиды можно рассматри-
вать как главную цель учения об объёмах многогранников, излагаемого
ГЛАВА III. ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ
103
в этой главе. В самом деле, знание выражения для объёма пирамиды
позволяет находить объёмы всех многогранников (знания выражения
объёма призмы для этой цели недостаточно), потому что для нахож-
дения объёма какого-либо многогранника достаточно разложить его на
/»л
сечение называется
Д'
С
Черт. 103.
Черт. 102.
основание, нижнее
пирамиды.
Покажем два приложения этого метода.
Усечённая пирамида. Определение. Усечённой пирамидой
с параллельными основаниями, или просто усечённой пирамидой,
называется часть пирамиды, заключённая между её основанием и се-
чением, параллельным основанию (черт. 102). Это
вёрхним основанием, а основание
исходной пирамиды — нижним ос-
нованием усечённой пирамиды.
Высотой усечённой пирамиды
называется расстояние между пло-
скостями её оснований.
Теорема. Объём усечённой
пирамиды равен сумме объёмов
•прё\; пирамид, имеющих общую
яысо'пу, равную высоте усечённой
пирамиды, а основаниями соответственно верхнее
основание и среднее пропорциональное между обоими основаниями.
11 Предположим сначала, что речь идёт о треугольной усечённой
пирамиде АВС А' В'С (черт. 103). Плоскостью А'ВС это тело разла-
гаете» на две пирамиды. Одна из них А'АВС имеет своим основанием
основание АВС усечённой пирамиды, а высотой — высоту усечённой
пирамиды; это первая пирамида, упоминаемая в условии теоремы. Дру-
гой пирамидой будет четырёхугольная пирамида А'ВСВ'С, которую
можно в свою очередь разложить диагональной плоскостью А'В'С на
два теграэдра А'В'С'С и А'В’ВС. Пирамида А'В'С'С будет второй
пирамидой, указанной в условии теоремы, потому что её можно рас-
сматривать как имеющую своим основанием треугольник А'В'С, а вер-
шиной^— точку С.
Чт<]бы вычислить объём оставшегося тетраэдра А'В’ВС, сравним
его с Тетраэдром А'АВС, который мы рассматривали первым. Эти
тетраэдры можно рассматривать как имеющие общей вершиной точку С
и основаниями соответственно треугольники А'В'В и АА'В', при этом
оба тетраэдра имеют одну и ту же высоту. Но если принять за осно-
вания треугольников А'В'В и А'АВ соответственно стороны А'В' и АВ,
то эти реугольники будут иметь одну и ту же высоту (равную вы-
соте тргпеции А'В'ВА)-, следовательно, площади этих треугольников,
а значи
, и объёмы обоих тетраэдров относятся, как стороны А'В' и АВ.
Сравшм теперь с тетраэдром А'В'ВС второй из полученных те-
траэдро!
мощью
что об'Ы i
А'В'С’С, рассматривая как их общую вершину точку А'. С по-
ассуждений, вполне аналогичных предыдущим, мы убедимся,
мы этих двух тетраэдров относятся между собой, как пло-
104
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ
щади треугольников В'СС и В'ВС\ так как
имеют одну и ту же высоту (равную высоте
отношение их площадей равно .
ос
В'С'
Но так как отношение равно (п. 414)
А'В'
ношению -гн-» то
АВ '
оба эти треугольника
трапеции В'С'СВ), то
полученному выше от
об. А'В'ВС об. А'В'С С
об. А'АВС об. А'В'ВС ’
Иначе говоря,
порциональное
Черт. 104.
объём третьего тетраэдра А'В'ВС есть среднее про-
между объёмами двух первых. Следовательно, этот
тетраэдр равновелик (см. предыдущий пункт, след-
ствие) пирамиде, имеющей ту же высоту, как и пер-
вые две пирамиды, и площадь основания, равную сред-
нему пропорциональному между площадями оснований,
т. е. третьей пирамиде, о которой говорится в условии
теоремы.
2°. Предположим теперь, что данная усечённая
пирамида многоугольная, и разложим её нижнее осно-
вание на треугольники (черт. 104), площади которых
обозначим соответственно через Вх, В2,_____Плоскости, проходящие
через стороны этих треугольников и через вершину 5 той пирамиды,
из которой получается данная усечённая пирамида, разбивают верхнее
основание на треугольники В\, В^, ..., соответственно подобные пер'
вым, а данную усечённую пирамиду—на треугольные усечённые пирамиды-
Применяя к этим усечённым пирамидам теорему, доказанную/в 1°,
мы видим, что объём данной усечённой пирамиды равен сумме объ-
ёмов пирамид, имеющих своей общей высотой высоту усечённой пира-
миды, а основаниями соответственно:
1) треугольники В2, ...; сумма объёмов этих пирамид равна
объёму пирамиды с той же высотой, имеющей своим основанием ёумму
этих треугольников, т. е. нижнее основание В усечённой пирймиды;
2) треугольники В^, В2, ...; сумма объёмов этих пирамид раш(а объ-
ёму пирамиды с той же высотой, имеющей своим основанием сумм^ этих
треугольников, т. е. верхнее основание В' усечённой пирамиды;
3) треугольники Ьи Ь2, ..., площади которых соответственно, равны
средним пропорциональным между и Bi, В2 и В2,...; сумма объ-
ёмов этих пирамид равна объёму пирамиды, имеющей ту же/высоту
(высоту усечённой пирамиды) и основание, равное Ьг -|- Ь2 -|- . ;.
Остаётся показать, что сумма ___есть среднее пропор-
циональное между В и В'. Это вытекает ’) из того, что гтющади
Въ В2, ... пропорциональны площадям Bi, В2,... (п. 414, следствие).
Ч Если бы Въ Вг,... не были пропорциональны Вг, В'„,..., io сумма
0 + ^2 + ... была бы меньше, чем среднее пропорциональное междм В и В*
ГЛАВА III. ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ
105
В самом деле, каждое из отношений £3=
#1 ( 1
рень из отношения —J- ( потому что можно
Bi V
В] В?
следовательно, так как отношения -у-,.
Bi В1
bl
есть
В\
написать
квадратный ко-
Ь-Л .
B'i fci B'i) ’
между собой,
в\ в2
будут равны и отношения — , ^=,
Ь1
а также и отношения —-
B-i
Следовательно, можно написать:
Ьг
В2
.. равны
Bj__В2___ ___Bi - Вг -|-..._Ьу__Ь2___ ___.
bl — b2 b1 + b2-Jr... В\~~ в'2 ^-1-В'2+...'
Таким образом, есть среднее пропорциональное
между В и В’, что и требовалось доказать.
Среднее пропорциональное между В и В' есть У В ° В'. Если h
есть высота усечённой пирамиды, площади оснований которой равны
В и В', то объём её будет равен:
+ + Увв').
431. Усечённая призма. Определение. Усечённой призмой
называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью
и двумя плоскими гранями (называемыми основаниями усечённой
призмы), плоскости которых (в противоположность тому, что имеет
место в случае призмы) не параллельны между собой.
Теорема. Объём усечённой треугольной призмы равен сумме
объёмов трёх пирамид, имеющих своим общим основанием одно из
основании усечённой призмы, а вершинами —
соответственно три вершины её другого осно-
вания.
Пусть дана усечённая призма ABCDEF
(черт. 105), основаниями которой служат тре-
угольники АВС и DEF, а боковыми рёбрами—
отрезки AD, BE и CF.
Плоскость BCD отсекает от усечённой приз-
мы пирамиду DABC—одну из тех пирамид, о
которых говорится в условии теоремы. Остаётся
четырёхугольная пирамида DBCEF, которая ди-
агональной плоскостью DCE разлагается на два тетраэдра DBCE и DCEF.
Рассмотрим тетраэдр DBCE\ мы не изменим его объёма, если за-
меним его вершину D точкой А‘, действительно, таким образом мы не
изменяем ни его основания ВСЕ, ни его высоты, так как точки А и D,
лежащие на одной прямой, параллельной плоскости основания, равно-
удалены от этой плоскости. Но тетраэдр АВСЕ, который можно
рассматривать как имеющий своим основанием треугольник АВС,
106
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ
а вершиной — точку Е, представляет собой вторую пирамиду, указанную
в условии теоремы.
Мы подвергнем такому же преобразованию и третий тетраэдр DCEF,
который мы заменим тетраэдром ACEF-, при этом его объём не изме-
нится в силу тех же соображений, что и выше. Но если рассматри-
вать тетраэдр ACEF как имеющий своим основанием треугольник ACF
и вершиной точку Е, то очевидно, что эту последнюю можно заме-
нить точкой В, так как прямая BE параллельна плоскости ACF. Та-
ким образом, получается тетраэдр ABCF, который представляет собой
третью пирамиду, о которой говорится в условии теоремы.
Следствие. Объём усечённой треугольной призмы равен про-
изведению площади её перпендикулярного сечения на среднее ариф-
метическое её боковых рёбер.
В самом деле, объём пирамиды DABC (черт. 105) равен одной
трети объёма призмы с основанием АВС и боковым ребром AD-, сле-
довательно, он измеряется одной третью произведения AD на площадь
перпендикулярного сечения abc призматической поверхности. Объёмы
двух других пирамид измеряются точно так же произведениями
BD , FC
-д--пл. апс и —-пл. abc\ следовательно,объём усечённой призмы равен:
ADA-BEСF
----!!------- «пл. abc.
УПРАЖНЕНИЯ.
555. Вывести формулу, выражающую объём треугольной пирамиды непо-
средственно, рассматривая его как предел суммы объёмов вписанных призм
(п. 428, следствие).
(Использовать формулу для суммы квадратов первых п целых чисел.)
556. Найти объём правильного тетраэдра (упр. 538), ребро которого равно а
557. Объёмы двух тетраэдров, имеющих по равному или симметричному
трёхгранному углу, относятся, как произведения рёбер, образующих эти углы
(доказать).
558. Объёмы двух тетраэдров, имеющих общее ребро и равные двугран-
ные углы при этом ребре, относятся, как произведения площадей граней, об-
разующих этот двугранный угол (доказать).
559. Найти такую точку, которая, будучи соединена с вершинами данного
тетраэдра, делила бы его на четыре равновеликих тетраэдра.
560. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На
одной из них выберем отрезок АВ заданной длины; на двух других — соответ-
ственно две произвольные точки С и D.
Показать, что объём образованного таким образом тетраэдра не зависит
нн от положения точек А, С и D, ни от того, на какой именно из трёх дан-
ных параллельных прямых берутся точки А и В, если только отрезок АВ со-
храняет одну и tv же длину.
561. Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, параллельная
противоположной грани. Найти отношение объёма образованного таким обра-
зом нового тетраэдра к объёму данного тетраэдра.
562. Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная
противоположному ребру. Найти отношение объёма образованного таким обра-
зом параллелепипеда к объёму данного тетраэдра.
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
107
563. Объём тетраэдра равен одной шестой произведения кратчайшего рас-
стояния между двумя какими-либо его противоположными рёбрами па площадь
параллелограма, имеюще! о своими сторонами отрезки, соответственно равные
и параллельные этим двум рёбрам (доказать).
564. Пусть на двух данных прямых D и D' отложены соответственно два
отрезка а и а", полученные четыре точки образуют тетраэдр. Объём этого
тетраэдра не изменится, если данные отрезки, не изменяя их длины, переме-
щать по заданным прямым (доказать).
565. Даны два отрезка АВ и CD, рассмотрим прямые L, обладающие тем
свойством, что отношение объёмов двух тетраэдров, имеющих общее ребро
на прямой L, а противоположными рёбрами — соответственно отрезки АВ и CD,
имеет данную величину. Найти геометрическое место прямых L, проходящих
через данную точку пространства.
Рассмотреть случай, когда отрезки АВ и CD лежат в одной плоскости.
Показать, что при этом существуют две определённые прямые такие, что пря-
мая L необходимо пересекает одну из них.
566. Пусть AD — диагональ параллелограма, АВ и АС — две его смежные
стороны. Показать, что объём тетраэдра ADEF, где EF произвольный отрезок,
равен сумме или разности объёмов тетраэдров ABEF и ACEF.
567. " Рёбра пирамиды продолжены за её вершину и эти продолжения пе-
ресечены плоскостью, параллельной её основанию. Найти сумму объёмов обеих
пирамид, зная площади В и В' обоих оснований и расстояние h между их
плоскостями.
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ.
56S. Пересечь тетраэдр плоскостью так, чтобы в сечении получился парал-
лелограм. Существуют три направления, которые может иметь плоскость, удо-
влетворяющая этому требованию (доказать). Для каждого из этих направлений
найти параллелограм, имеющий наибольшую площадь.
Выбрать плоскость так, чтобы в сечении получился ромб. Выразить сто-
рону этого ромба через длины рёбер тетраэдра.
'569. От соединения трёх вершин правильного тетраэдра с серединой вы-
соты, опущенной из четвёртой вершины, получаются три попарно перпенди-
кулярные прямые (доказать).
570. Если сумма двух противоположных рёбер тетраэдра равна сумме двух
других противоположных его рёбер, то имеет место то же соотношение и
для соответствующих двугранных углов (доказать).
571. Если перпендикуляры, опущенные из вершин одного тетраэдра на
грани другого тетраэдра, пересекаются в одной точке, то тем же свойством
обладают" и перпендикуляры, опущенные из вершин второго тетраэдра на
грани первого (доказать).
572. Если тетраэдр имеет ортогональные рёбра (упр. 547), то все рёбра
параллелепипеда, о котором говорится в упражнении 562, равны между собой
(доказать).
573. Если из точки О, лежащей в основании АВС тетраэдра SABC, про-
вести прямые Оа, ОЪ, Ос, параллельные рёбрам SH, SB, SC, до пересечения
их соответственно с гранями SBC, SCA, SAB в точках а, Ь, с, то имеет место
Оа . ОЬ , Ос ,
соотношение ёг = 1 (Доказать).
□Л oG
574. Биссектральная плоскость двугранного угла тетраэдра делит его про-
тивоположное ребро в отношении, равном отношению площадей граней, обра-
зующих этот двугранный угол (доказать).
575. Найти отношения площадей треугольников, иа которые каждая грань
тетраэдра делится биссектральными плоскостями его двугранных углов, обра-
зованных другими гранями.
108
КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ
576. Треугольная пирамида SABC пересечена плоскостью, параллельной ев
основанию АВС. Пусть D, Е, У7 — точки пересечения секущей плоскости с реб-
рами SA SB, SC. Найти;
1) геометрическое место точек пересечения плоскостей AEF, BFD, CDE;
2) геометрическое место точек пересечения плоскостей BCD, САЕ, АВр
при условии, что плоскость сечения перемещается параллельно самой себе.
577. Показать, что всякий многогранник можно разбить на усечённые
призмы, все боковые рёбра которых параллельны какому-либо данному на-
правлению.
578. Пересечь призму плоскостью, параллельной её основаниям, так, чтобы
пирамида, у которой вершина лежит в плоскости верхнего основания призмы,
основание — в плоскости нижнего основания призмы, а боковые рёбра прохо-
дят через вершины сечения, была равновелика данной призме.
579. Доказать, что сумма объёмов пирамид, имеющих своими основаниями
боковые грани призмы, а вершиной — какую-либо точку внутри призмы, по-
стоянна.
Найти отношение суммы объёмов этих пирамид к объёму призмы.
580. Всякая плоскость, проходящая через середины двух противоположных
рёбер тетраэдра, делит его на две равновеликие части (доказать).
581. Шесть рёбер тетраэдра разделены в данных отношениях. Найти от-
ношение объёма выпуклого многогранника (октаэдра), вершинами которого
служат эти точки деления, к объёму тетраэдра.
582. Рассмотрим два равносторонних треугольника АВС и DEF, располо-
женных в параллельных плоскостях так, что точки А, В, С и проекции точек
D, Е, F на плоскость АВС образуют вершины правильного шестиугольника.
Соединим центр каждого треугольника с вершинами другого. Найти форму об-
щей части двух получившихся пирамид. Найти её объём.
583. Через каждую вершину параллелепипеда Р проведена плоскость, па-
раллельная плоскости, проходящей через три смежные с ней вершины. Иссле-
довать образованное таким образом тело S. Построить Р, зная S. Найти отно-
шение объёмов обоих многогранников.
Какими особенностями будет обладать тело S, если Р будет прямоуголь-
ным параллелепипедом; ромбоэдром (п. 411); кубом?
584. В двух противоположных вершинах А, С квадрата ABCD восставлены
перпендикуляры АА' и СС' к его плоскости; на первом из них выбрана
точка А' так, что её расстояние от центра квадрата равно его стороне а = АВ;
па втором — точка С так, что её расстояние от точки А' равно 2а.
1°. Показать, что плоскость A'BD перпендикулярна к А'С.
2°. Выразить через а объёмы тетраэдров A! ABD; C'CBD, СA'BD.
585. Куб с ребром с пересечён плоскостями, каждая из которых проходит
через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины куба; если отнять
8 образованных таким путём пирамид, то получается многогранник Р'. Опре-
делить поверхность и объём этого многогранника; определить также число и
характер его граней, многогранных углов и рёбер.
586. Известно, что некоторая плоскость делит боковые грани треугольной
призмы в данных отношениях. Каким условиям должны удовлетворять эти
отношения, если эта плоскость делит призму иа две усечённые призмы. Найти
отношение объёмов этих двух призм. Построить секущую плоскость.
587. Объём многогранника, ограниченного какими-либо двумя многоуголь-
никами, расположенными в параллельных плоскостях, и треугольниками или
трапециями, вершинами которых служат вершины этих многоугольников 1),
равен:
V= 1 h (/?+ В'+4В "),
г) Многогранник такого вида называется призматоидом. Прим. ред. пе-
ревода.
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ 109
где h — расстояние между плоскостями данных многоугольников, В и В' — их
площади, В” — площадь сечения многогранника плоскостью, параллельной
двум данным плоскостям и находящейся от них на ранных расстояниях (до-
казать).
(Разложить многогранник на пирамиды, имеющие общую вершину в неко-
торой точке сечения В".)
Вывести отсюда объём усечённой пирамиды.
588. Вычислить объём, заключённый между двумя прямоугольниками, сто-
роны которых соответственно параллельны между собой, и четырьмя трапе-
циями, каждая из которых имеет своими основаниями одну из сторон первого
прямоугольника и одну из сторон второго.
Измерения обоих прямоугольников обозначить через а, Ъ\ а', Ь’; расстоя-
ние между их плоскостями — через Л.
КНИГА СЕДЬМАЯ.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ.
ГЛАВА I.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.
432. Теорема. Две фигуры Г и F' равны, если можно найти
три не лежащие на одной прямой точки А, В и С первой фигуры,
удовлетворяющие следующему условию: если М — произвольная
точка фигуры F и А', В', С, ЛГ— точки фигуры F', соответ-
ствующие точкам А, В, С, М, то фигура АВСМ равна фигуре
А'В'СМ'.
В самом деле, предположим, что это условие выполнено, и нало-
жим фигуру F' на F так, чтобы треугольник А'В'С совпал с тре-
угольником АВС (если условия теоремы выполнены, то оба треугольника,
очевидно, равны).
Пусть теперь М и М' — две соответственные точки обеих фигур.
Точка М' не лежит, вообще говоря, в плоскости А'В'С, и прямые
А'В', А'С, А'М' образуют трёхгранный угол, равный, по условию,
трехгранному углу АВСМ. При совмещении треугольника А'В'С
с АВС эти трёхгранные углы совпадут (п. 397, примечание), и А'М'
пойдёт по AM. Так как А'М’= AM, то точка М' совпадёт с М.
То же заключение сохраняет силу и в том случае, когда точка М’
лежит в плоскости А'В'С, в силу известных нам свойств равных фи-
гур на плоскости (Пл., п. 50, примечание 2).
Следовательно, фигуры F и F' совпадают.
Доказательство теоремы показывает также, что две равные фигуры,
V которых три не лежащие на одной прямой точки одной фигуры
совпадают с соответственными точками другой, совпадают между
собой.
Отсюда следует, что два перемещения, при которых три не ле-
жащие на одной прямой точки А, В, С перемещаются одинаковым
образом, тождественны между собой.
433. Вращения. Рассмотрим две равные фигуры, в которых две
точки одной фигуры А ч В совпадают с соответствующими им точ-
ками другой фигуры.
В силу определения прямой линии (Пл., п. 4), прямая АВ зани-
мает одно и то же положение в обеих фигурах, и каждая точка т
одной из двух фигур, лежащая на этой прямой, совпадает с соответ-
ГЛАВА 1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
111
ствующей ей точкой другой фигуры, так как отрезок Ат должен
иметь ту же величину и то же направление, как и отрезок, ему
соответствуют щй.
Таким образом, обе фигуры имеют целую прямую, состоящую
из соответственно общих точек ’).
Рассмотрим сечение одной из данных фигур какой-либо плоскостью,
перпендикулярной к прямой АВ, например плоскостью Р, перпенди-
кулярной к прямой АВ в точке т этой
прямой (черт. 106); это сечение состоит
из точек /И первой фигуры, обладаю-
щих тем свойством, что прямая Мт
перпендикулярна к АВ. Этим точкам
соответствуют во второй фигуре точки,
обладающие тем же свойством (при той
же самой точке т) и, следовательно,
лежащие в той же плоскости Р.
Таким образом, мы имеем в пло-
скости Р две равные фигуры, имеющие
одинаковое направление вращения2),
у которых точка т одной фигуры сов-
падает с соответственной ей точкой дру-
гой фигуры; следовательно, каждая из этих фигур получается из другой
фигуры с помощью вращения около этой точки (Пл., п. 100). Углом пово-
рота будет линейный угол двугранного угла между какой-либо пло-
скостью первой фигуры, проходящей через прямую АВ, и соответствую-
щей ей плоскостью второй фигуры. Следовательно, угол поворота будет
иметь одну и mv же величину во всех плоскостях Р.
Определение. Вращением (поворотом) называется в геометрии
пространства операция, с помощью которой из одной, из двух равных
фигур получается другая, при только что рассмотренных условиях;
иначе говоря, операция, которая состоит в повороте каждой точки фи-
гуры в плоскости, проходящей через эту точку и перпендикулярной
к данной прямой АВ (оси вращения), на данный угол (угол
поворота) около точки пересечения этой плоскости с осью
(черт. 106).
При этом необходимо выбрать на оси вращения определённое на-
правление и указать, будут ли направления рассматриваемых вращений
положительными или отрицательными по отношению к направлению,
выбранному на оси (п. 359).
!) Более подробно та же теорема может быть сформулирована следующим
образом: если какую-либо точку прямой АВ рассматривать как точку пер-
вой фигуры (на что мы всегда имеем право), то она будет совпадать
с соответствующей ей точкой второй фигуры. Прим. ред. перевода.
2) Последнее следует из того, что две прямые одной из фигур, выходящие
из точки т, образуют с осью АВ трёхгранный угол, имеющий то же распо-
ложение, что и соответствующий ему трёхгранный угол другой фигуры.
112
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ- СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ
Если мы имеем возможность произвольно выбирать направление
на оси вращения, то всегда можно выбрать его так, чтобы данное
вращение имело положительное направление.
Обратно, две фигуры, которые получаются одна из другой с по-
мощью вращения, равны.
Действительно, если М и М' — соответственные точки обеих фигур,
т—их проекция на ось АВ (эта проекция будет одной и той же
для обеих точек, по предположению), то первую фигуру можно пе-
реместить так, чтобы прямой угол МтА совпал с равным ему углом
М'тА. Так как при этом перемещении все точки прямой АВ остаются
на месте, то, в силу предыдущего, оно будет вращением, имеющим
своей осью прямую АВ и углом поворота угол МтМ'. Это вращение,
которое, по предположению, преобразует первую фигуру в фигуру,
ей равную, совпадает с данным вращением, так как оно имеет ту же
ось и тот же угол поворота.
434. Транспозиция относитель-
но прямой. Угол поворота может
равняться 180°; при этом каждой
точке М первой фигуры будет соот-
ветствовать точка М', симметрич-
ная с точкой М (Пл., п. 99) относи-
тельно проекции т точки М на ось
(черт. 107).
Поворот на угол 180° около не-
которой прямой называется транспозицией относительно этой прямой.
В этом случае нет надобности указывать направление вращения. Транс-
позиция обладает свойством взаимности: это значит, что если бы най-
денную точку М' мы снова подвергли той же транспозиции, то мы
вернулись бы в исходную точку М.
Из сказанного выше следует, что две фигуры, полученные одна
из другой с помощью транспозиции относительно некоторой прямой,
равны между собой.
435. Поступательные перемещения. Определение. Если че-
рез точки А, В, С, ... некоторой фигуры F провести равные и
параллельные отрезки АА', ВВ', СС, ..., направленные в одну и ту
же сторону, то точки А’, В', С, ... образуют некоторую фигуру F'
(черт. 108); при этом говорят, что фигура F’ получена из F с по-
мощью поступательного перемещения АА' (сравнить Пл., п. 51).
Полученная фигура F' равна фигуре F.
В самом деле, если А и В—две точки фигуры F, то им соот-
ветствуют в фигуре F’ две такие точки А' и В', что отрезок А'В'
равен и параллелен отрезку АВ и направлен в ту же сторону.
Трём точкам А, В и С фигуры F соответствуют в фигуре F1 точки
А', В' и С такие, что треугольник А'В'С равен треугольнику АВС.
В частности, угол В'А'С равен углу ВАС. Плоскость А'В'С' парал-
лельна плоскости АВС.
ГЛАВА I. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
113
Пусть теперь А, В, С и /И— четыре точки фигуры F. Если эти
точки лежат в одной плоскости, то фигура АВСМ равна (ПЛ., п. 50)
фигуре, образованной соответствующими им точками А’, В', С и М'.
Если же точки А, В, С и М не лежат в одной плоскости, то
трёхгранный угол АВСМ равен соответствующему ему трёхгранному
углу А'В'СМ' (п. 398). Если совместить эти два трёхгранных угла,
то в силу того, что отрезки А'В', А'С, А'М’ соответственно равны
АВ, AC, AM, фигуры АВСМ и А'В'С'М' совпадут; отсюда и сле-
дует (п. 432) равенство обеих фигур.
Например, проекции одной и той же фигуры на две параллельные
плоскости (и. 373) получаются одна из другой с помощью посту-
пательного перемещения, перпендикулярного к этим плоскостям и
равного расстоянию между ними.
436. Винтовые перемещения. Винтовым перемещением называется ре-
зультирующее1) перемещение вращения R и поступательного перемещения
t при условии, что последнее параллельно оси вращения.
Порядок, в котором выполняются обе операции, безраз-
личен [что не имело бы места, если бы поступательное
перемещение не было параллельно оси вращения г)]. Иначе
говоря, если М' есть то положение, которое занимает
точка М после поворота R на данный угол около оси D
(черт. 109); —то положение, которое займёт точка АГ,
если выполнить над ней поступательное перемещение Т,
параллельное оси D, то мы получили бы ту же самую точ-
ку zWj, выполняя над точкой М сначала это же поступа-
тельное перемещение Т, переводящее точку М в и
повёртывая затем точку на данный угол около оси D.
В самом деле, если m — общая проекция точек М и М' на ось D, гщ —
проекция точки на ту же ось, то фигура MlmlAl'l, очевидно, получается
из МтМ' с помощью поступательного перемещения /МД Следовательно,
треугольник как и треугольник МтМ', равнобедренный; плоскость
этого треугольника перпендикулярна к оси D, и угол при вершине равен
углу поворота R, что и доказывает справедливость нашего утверждения.
Частными случаями винтового перемещения являются, очевидно, вращение
(когда поступательное перемещение Т равно нулю) и поступательное пере-
мещение (когда вращение R равно нулю).
Примечание. Если дано некоторое винтовое перемещение, то тем
самым дано определённое направление на оси, а именно направление посту-
пательного перемещения. В соответствии с этим винтовое перемещение назы-
вается положительным (правым) или отрицательным (левым), смотря по тому,
имеет ли данное вращение положительное или отрицательное направление
по отношению к направлению поступательного перемещения.
437. Мы видели, что две равные фигуры, имеющие две соответственно
общие точки 3), можно совместить с помощью вращения.
Две равные фигуры, имеющие одну соответственно общую точку,
можно совместить с помощью двух последовательных вращений.
М о
Черт. 109.
х) Относительно значения этого слова см. Пл., п. 103.
2) См. упражнение 635.
3) Т. е. две точки, совпадающие со своими соответственными.
В Элементарная геометрия, ч. II
114
КНИГА СЕДЬМАЯ- ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ- ПОДОБИЕ
В самом деле, пусть А — общая точка, В и В' — две соответственные
точки. При этом АВ —АВ', и следовательно, точку В' можно совместить
с точкой В, вращая вторую фигуру около оси, перпендикулярной к плоскости
ВАВ', на угол, равный углу В'АВ. Так как после этого вращения обе фигуры
будут иметь две соответственно общие точки, то для полного совмещения
обеих фигур достаточно ещё одного вращения.
Две любые равные фигуры можно совместить с помощью поступа-
тельного перемещения, сопровождаемого двумя вращениями.
Действительно, если А и А' какие-либо две соответственные точки, то
поступательное перемещение А'А, выполненное над второй фигурой, совме-
щает точку А' с А, и мы приходим к предыдущему случаю.
Однако эти комбинации поступательных перемещений и вращений можно
Упростить и заменить, одним винтовым перемещением. С этой целью мы будем
поступать так же, как мы поступали в планиметрии (Пл., пп. 102—103), и
начнём с рассмотрения сложения транспозиций.
43$. Две последовательные транспозиции относительно одной и той же
прямой взаимно уничтожаются: в самом деле, мы знаем (п. 434), что если
точка М' получается из точки М с помощью транспозиции около прямой D,
и точка М” получается из точки М с помощью транспозиции относительно
той же прямой, то точка М" совпадает с точкой М.
Теорема. Две последовательные транспозиции относительно различ-
ных осей равносильны:
1) если обе оси параллельны, то — поступательному перемещению по
направлению общего перпендикуляра к обеим осям, по величине равному уд-
военному поступательному перемещению, которое переводит первую ось
во вторую;
2) если обе оси пересекаются, то — вращению около общего перпендику-
ляра к обеим осям с углом поворота, равным удвоенному углу поворота,
переводящего первую прямую во вторую;
3) если обе оси не лежат в одной плоскости, то — винтовому переме-
щению, имеющему своей осью общий перпендикуляр к обеим осям, и по ве-
Черт. ПО.
Черт. 111.
личине равному удвоенному винтовому перемещению, которое переводит
первую ось во вторую.
1°. Пусть Di и О2— параллельные оси обеих транспозиций (черт. ПО),
М — какая-либо точка первой фигуры, т} — её проекция на ось Dx, М' —
точка, полученная из точки М с помощью транспозиции относительно оси 1Д
<тхМ' — Мтх), т2— проекция точки М на ось О2 и М”—точка, полученная
из точки М' с помощью транспозиции относительно осн D2(m2M" — M'm2).
Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к осям и О2,
проходит через прямую ММ (перпендикулярную к прямой Д) и через
прямую ММ” (перпендикулярную к прямой D$. Следовательно, прямая тхт2
есть общий перпендикуляр к прямым 1\ и D2, и точка М", очевидно, полу-
чается из точки М с помощью поступательного перемещения, параллельного
ГЛАВА 1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
115
обшему перпендикуляру Ш|/иг и по величине равного удвоенному этому пер-
пендикуляру (Пл., п. 55).
2°. Пусть обе оси и D2 пересекаются в точке О (черт. Ill); Р —пло-
скость, в которой они лежат, ОХ — перпендикуляр к этой плоскости, проходя
щий через точку О; М,М',М", как и выше,— три точки, из которых две первые
получаются одна из другой с помощью транспозиции относительно оси /д
(причём прямая, соединяющая эти две точки, пересекает прямую Ц в точке т,),
и две последние — с помощью транспозиции относительно осп ©2 (причём
прямая, соединяющая эти две точки, пересекает пря-
мую Ог в точке /и2).
Так как плоскость Р преобразуется сама в себя ___ р
как с помощью транспозиции относительно прямой D\,
так и с помощью транспозиции относительно прямой£>2,
то если мы спроектируем точки Л-1, XV, ХГ на эту "
плоскость в точки Л/, X', N", то точки X и X" будут
получаться из X’ соответственно с помощью транспо-
зиций относительно прямых и Г)2. Следовательно, ------------. _-
точка X” получается из точки X (Пл., п. 102а) с по- О, ' ' -~
мошыо поворота около оси ОХ на угол, равный удво-
енному углу между обеими осями. .
Но отрезки XX! и Х"Х1" равны и параллельны черт. 112.
прямой ОХ и направлены оба в одну и ту же сторону
(а именно в сторону, противоположную X’Xiy, отсюда видно, что то же самое
вращение около оси ОХ, которое совмещает точку W с точкой X", совмещает
и точку XI с точкой X!”
3°. Пусть оси и £>2 не лежат в одной плоскости (черт. 112) и О\О2—
их общий перпендикуляр. Проведём через точку О3 прямую D'v параллельную
1\. Между теми двумя вращениями на угол 180°, которые мы должны сложить,
вставим ещё два вращения на угол 180° около оси это не повлияет на
результат, так как два последних вращения взаимно уничтожаются.
Две транспозиции относительно осей £), и Г)\ дают в результате сложе-
ния поступательное перемещение, параллельное прямой ОХО2 и равное уд-
военному отрезку ОХО2, две транспозиции относительно осей п'х и £>2 — вра-
щение около прямой О\О2 на угол, равный удвоенному углу поворота того
вращения, которое совмещает прямую D'x с прямой D2. Таким образом, тео-
рема доказана.
Обратная теорема. Любое винтовое перемещение можно разложить
на две транспозиции относительно двух различных прямых.
Эти две прямые домены удовлетворять следующим условиям: если
данное винтовое перемещение есть поступательное перемещение, то они
должны быть перпендикулярны к направлению перемещения:
если данное винтовое перемещение есть вращение или винтовое пере-
мещение в собственном смысле слова, то они должны пересекать ось под
прямым углом.
Одну из этих двух прямых можно в остальном выбрать произвольно;
другая прямая тем самым определяется.
Если, например, выбрана произвольно ось первой транспозиции, удовлетво-
ряющая указанным условьям, то вторая ось получится из первой с помощью
пост) нательного перемещения, равного половине данного поступательного
перемещения, и вращения, равного половине данного вращения. Если вторая
ось выбрана указанным образом, то результирующее перемещение обеих
транспозиций будет, в силу предыдущей’ теоремы, совпадать с данным пе-
ремещением.
439. Теорема. Любое число винтовых перемещений имеет своим ре-
зультирующим перемещением одно винтовое перемещение.
8*
116
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ- СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ
Если речь идёт о вращениях около осей, проходящих через одну точку,
то pt зулътирующее перемещение есть также вращение около оси, прохо-
дящей через mv же самую точку.
Если речь идёт о поступательных перемещениях, то результирующее
перемещение также будет поступательным перемещением.
Очевидно, достаточно доказать теорему для случая двух перемещении х):
действительно для сложения трёх перемещений можно сложить два первых,
затем прибавить к результирующему перемещению третье из данных, и т. д.
Итак, пусть даны два винтовых пере-
мещения, имеющие своими осями пря-
мые Aj и Л2 * 2) (черт. 113). Первое из
них можно разложить на две транс-
позиции относительно осей Dt и Z)j, причём вторую прямую можно вы-
брать произвольно среди прямых, пересекающих ось Л, под прямым углом.
Точно так же можно заменить второе перемещение двумя транспозициями
относительно осей О2 и /л,, причём первую ось D2 можно выбрать произ-
вольно среди прямых, пересекающих под прямым углом ось Аг. Сделаем так,
чтобы оси Dj и Г)2 совпали; для этого достаточно совместить каждую из этих
прямых с общим перпендикуляром к прямым At и А2. При этом транспо-
зиции относительно этих осей взаимно уничтожаются и остаются только транс-
позиции относительно Е\ и £)2> которые и дают одно винтовое пере-
мещение.
Если оба данные перемещения представляют собой вращения около осей
Hj и А2, пересекающихся в некоторой точке О, то через ту же точку будет
проходить прямая Dv а также D2 и Г>2. Следовательно, результирующее пе-
ремещение будет вращением около оси, проходящей через точку О.
Если данные перемещения представляют собой поступательные переме-
щения, то прямые Dh Dx, D2 будут параллельны между собой, и результи-
рующее перемещение также будет поступательным перемещением.
Впрочем, последнее обстоятельство очевидно a priori', при этом пепосред
ственно видно, что результирующее перемещение есть диагональ параллело-
грама, сторонами которого служат оба составляющие поступательные пере-
мещения (черт. 114).
440. Из только что доказанной теоремы в соединении с замечаниями,
сделанными в пункте 437, вытекает непосредственно следующее предложение,
которое мы имели в виду доказать.
J) Сравнить Пл., п. 103.
2) Если одно из данных перемещений, например первое, есть поступа-
тельное перемещение, то в последующем рассуждении за ось Аг следует
принять произвольную прямую, параллельную этому поступательному пере-
мещению.
ГЛАВА I. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
117
Теорема. Две равные фигуры всегда можно совместить между собой:
если обе фигуры имеют соответственно общую точку, то с помощью
одного вращения, в общем случае — с помощью одного винтового переме-
щения.
УПРАЖНЕНИЯ.
589. Неизменяемая фигура S повёртывается около неподвижной оси Г)
на произвольный угол; после этого некоторая часть S' фигуры S повёрты-
вается около оси О', связанной с фигурой S (в то время как оставшаяся
часть фигуры S остаётся на месте), также на произвольный угол.
Выбрать оба угла поворота так, чтобы данная прямая D’ фигуры S стала
параллельной данной прямой пространства. При каких условиях задача
имеет решение для произвольно заданной прямой Z)fl?
590. Неизменяемая фигура S повёртывается около неподвижной оси D на
произвольный угол; после этого некоторая часть S' фигуры S повёртывается
около оси D', связанной с фигурой S; наконец, некоторая часть S" фигуры S'
повёртывается около оси £)", связанной с фигурой S', причём в двух послед
них вращениях углы поворота также произвольны.
Выбрать три угла поворота так, чтобы все прямые линии фигуры S
стали параллельными соответствующим прямым данной фигуры S^J, равной
фигуре S". При каких условиях задача будет иметь решение при произволь-
ном расположении в пространстве фигуры Sq?
591. Найти вращение, преобразующее две данные точки соответственно
в две другие данные точки (предполагая, конечно, что расстояние между пер-
выми двумя точками равно расстоянию между двумя последними).
В каких случаях эта задача будет неопределённой?
592. Построить ось вращения, которое преобразует две данные пересе-
кающиеся полупрямые ОА и ОВ в две полупрямые О А' и ОВ', проходящие
через точку пересечения двух первых (причём, угол А'ОВ' равен углу АОВ).
593. Допуская, что две равные фигуры F и F', имеющие соответственно
общую точку, получаются одна из другой с помощью вращения, вывести от-
сюда, что две любые равные фигуры получаются одна из другой с помощью
винтового перемещения.
[Показать, что существуют прямые линии фигуры F, параллельные со-
ответствующим им прямым фигуры F'. Пусть Р — плоскость фигуры F, пер-
пендикулярная к этим прямым, Р'— плоскость, ей соответствующая; f — та
часть фигуры F, которая лежит в плоскости Р, f — соответствующая ей
часть фигуры F1. Применить теорему планиметрии (Пл., п. 102) к фигуре 7
и к проекции фигуры f на плоскость P.J
594. Найти все перемещения, при которых данная прямая остаётся на
месте.
595. Существует бесчисленное множество вращений, преобразующих одну
из двух данных прямых D и D' в другую. Оси этих вращений совпадают
с теми прямыми, которые в упражнении 455 были обозначены через Gj и G2.
Средн этих вращений имеется, вообще говоря, две транспозиции.
596. Ось А любого винтового перемещения, которое преобразует одну
из данных прямых D и О' в другую, вообще говоря, параллельна оси одного
из вращений, рассмотренных в предыдущем упражнении (доказать). Найти
то исключение, которое допускает это предложение.
Найти геометрическое место тех осей А, которые имеют данное направ-
ление, и притом: 1) непосредственно, 2) пользуясь сложением пеоемешечив
и результатами двух предыдущих упражнений. Для этого доказать, что су-
ществуют две такие прямые, что ось А всё время пересекает под прямым
углом ту или другую из этих прямых (смотря по тому, будет ли эта ось па
раллельна прямой Gi или прямой G2).
118
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ- СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ
597. Найти геометрическое место осей винтовых перемещений, если дано
направление этих осей и две точки, соответствующие одна другой в этих
перемещениях.
598. Построить ось винтового перемещения, зная одну из её точек, вели-
чину поступательного перемещения и две точки, соответствующие одна дру-
гой в этом перемещении.
599. Произвольное перемещение можно в общем случае разложить на два
вращения, одно из которых имеет своей осью данную прямую (доказать).
Найти те исключения, которые допускает данная теорема.
600. Данное винтовое перемещение складывается с произвольным посту-
пательным перемещением Т, параллельным данной прямой. Найти геометри-
ческое место осей новых перемещений, которые получатся, если изменять
величину поступательного перемещения Г. Показать, что в общем случае одно
и только одно из этих новых перемещений будет вращением.
601. Данное вращение складывается с вращением около данной оси, пе-
ресекающей ось первого вращения. Найти геометрическое место осей резуль-
тирующего вращения, которые будут получаться, если изменять величину
угла поворота второго вращения.
602. Дано некоторое вращение, а также ось второго вращения, пересе-
кающая ось первого. Выбрать угол поворота второго вращения таким обра-
зом, чтобы результирующее перемещение было транспозицией (или в более
общем случае, чтобы результирующее вращение имело данный угол по-
ворота).
603. Дано винтовое перемещение и ось второго перемещения. Выбрать
это второе перемещение так, чтобы результирующее перемещение было
транспозицией.
604. Два вращения (с отличными от нуля углами поворота), оси которых
не лежат в одной плоскости, не могут иметь своим результирующим переме-
щением вращения (доказать).
605. Если винтовое перемещение не сводится ни к вращению, ни к по-
ступательному перемещению и имеет угол поворота, отличный от 180°, то не
существует ни одной плоскости, которая оставалась бы на месте при этом
перемещении.
606. Через данную точку провести две прямые, обладающие тем свой-
ством, что данное перемещение преобразует одну из этих прямых в другую.
607. Дано некоторое перемещение; найти две соответственных прямых, ле-
жащих в данной плоскости.
608. Построить многогранный угол, зная биссектрисы его плоских углов.
Может ли эта задача быть неопределённой?
Даны все биссектрисы, кроме биссектрис двух соседних плоских углов;
найти геометрическое место этих двух биссектрис при условии, что задача
становится неопределённой.
609. Пользуясь сложением вращений, найти геометрическое место точек,
получающихся из данной точки с помощью транспозиций относительно пря-
мых, проходящих через данную точку и лежащих в данной плоскости.
610. Разложить данное вращение R на два вращения S и S', имеющих
равные углы поворота, зная, что осью вращения S служит данная прямая,
пересекающая ось вращения R. Найти геометрическое место осей вращения
S' при условии, что ось вращения S описывает плоскость.
611. Разложить данное винтовое перемещение иа два винтовых переме-
щения S и S', составленных из равных поступательных перемещений и рав-
ных вращений, при условии, что оба новые винтовые перемещения — правые
или оба — левые, и осью перемещения S служит данная прямая.
612. Найти два таких винтовых перемещения, имеющих своими осями
две данные прямые, чтобы результирующее перемещение имело своей осью
третью данную прямую.
ГЛАВА И. СИММЕТРИЯ
119
ГЛАВА II.
9
СИММЕТРИЯ.
441. Определения. Две точки М и М' называются (как и
в планиметрии) симметричными относительно точки О (или отно-
сительно центра симметрии О) (черт. 115), если точка О есть се-
редина отрезка ММ'.
Две точки М и М’ называются симметричными относительно
плоскости Р1) (черт. 116), если
перпендикулярен к этой плоскости
н делится ею пополам.
Фигурой, симметричной сдан-
ной фигурой F относительно точ-
ки или относительно плоскости,
называется фигура, состоящая из
точек, симметричных с каждой точ-
кой фигуры F.
442. Центр симметрии; прямые,
проходящие через центр симмет-
рии, и только эти прямые; плоскости, проходящие
метрии, и только эти плоскости,— совпадают с точкой,
плоскостями, им симметричными относительно точки. Действительно,
прямая, совпадающая с прямой, ей симметричной, должна проходить
через две симметричные точки и, следовательно, через центр симмет-
рии; то же относится к плоскостям, совпадающим с плоскостями, им
отрезок, соединяющий эти точки,
м О м'
Черт. 11^
через центр сим-
прямыми и
симметричными.
Точки, лежащие в плоскости симметрии, и только эти точки; прямые,
лежащие в плоскости симметрии и к ней перпенд шулярные; плоскость
симметрии и плоскости, к ней перпендикулярные, созпадают с точками,
прямыми и плоскостями, им симметричными относительно плоскости.
443. Теорзма. Две (фигуры, симметричные с одной и той же
Черг. 117.
третьей (фигурой относительно двух раз-
личных центров симметрии, равны между
собой.
В самом деле, если точки ТИ, и М2 сим-
метричны с точкой М относительно двух цент-
ров Ог и О2 (черт. 117), то отрезок MtM2
равен удвоенному отрезку OjO2 и ему парал-
лелен (Пл., п. 55). Следовательно, две фи-
гуры, симметричные с одной и той же третьей фигурой соответ-
ственно относительно точек Ог и О2, получаются одна из другой
с помощью поступательного перемещения, параллельного O1O2 и
вдвое большего, чем О{О2.
!) Называемой плоскостью симметрии. Прим. ред. перевода.
120
КНИГА СЕДЬМАЯ- ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ
Теорема. Две фигуры, симметричные с одной и той же третьей
фигурой, одна — относительно пшчки, другая — относительно пло-
скости, равны между собой.
В силу предыдущей теоремы достаточно доказать эту теорему для
некоторого определённого положения центра симметрии; тем самым
теорема будет доказана для всякого положения центра симметрии.
Мы можем, следовательно, предположить, что центр симметрии О
лежит в плоскости симметрии Р. Мы покажем, что при этом условии
фигуры, симметричные с данной фигурой F, одна относительно
точки О, другая — относительно плоскости Р, получаются одна
из другой с помощью транспозиции около некоторой прямой;
Черт. 118.
этой прямой служит перпендикуляр ОХ к плоско-
сти Р, проходящий через точку О.
В самом деле, пусть М—произвольная точка
фигуры F (черт. 118); Мг — точка, ей симметрич-
ная относительно точки О; Л12— точка, ей сим-
метричная относительно плоскости Р, так что от-
резок ЖЛ12 перпендикулярен к плоскости Р, и его
середина т лежит в этой плоскости. Прямая ОХ,
параллельная ЛМ42 и проходящая через середину
отрезка пересекает третью сторону
треугольника MMpVl2 в середине этой стороны.
С другой стороны, прямая MtM2 параллельна прямой От (соеди-
няющей середины отрезков ЛШг и ММ2), и потому перпендикулярна
к ОХ. Следовательно, точки /И, и Л12 получаются одна из другой
с помощью транспозиции относительно прямой ОХ.
Следствие. Две (фигуры, симметричные с одной и той же
третьей (фигурой F относительно двух различных плоскостей,
равны между собой, так как они обе равны фигуре, симметричной
с F относительно какой-либо точки пространства.
Впрочем, можно доказать и непосредственно (упр. 613), что эти
две фигуры получаются одна из другой с помощью надлежащим об-
разом выбранного вращения или поступательного перемещения.
444. Теорема. Плоская фигура равна фигуре, ей симметрич-
ной относительно произвольной точки или плоскости.
Теорема становится очевидной, если плоскость симметрии совпа-
дает с плоскостью данной фигуры, так как в этом случае данная
фигура совпадает с фигурой, ей симметричной. Следовательно, тео-
рема верна вообще в силу сказанного в предыдущем пункте.
В частности: фигура, симметричная с плоскостью, есть пло-
скость; фигура, симметричная с прямой линией, есть прямая ли-
ния; сфигура, симметричная с отрезком, есть отрезок, равный дан-
ному отрезку; два угла, симметричных между собой, равны;
фигура, симметричная с окружностью, есть окружность, и т. д.
445. Следствия. I. Если данные прямая и плоскость пер-
пендикулярны между собой, то и прямая и плоскость, им симмет-
ГЛАВА II. СИММЕТРИЯ
121
ричные, также перпендикулярны между собой', это вытекает из
определения прямой, перпендикулярной к плоскости, так как угол,
симметричный с прямым углом, также прямой.
II. Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой
и плоскостью, им симметричными; это вытекает из определения
угла между прямой и плоскостью и из предыдущего следствия. Точно
так же:
Ш. Два двугранных угла, симметричных друг другу, равны.
446. Теорема. Два двугранных угла, симметричных друг другу
относительно точки или относительно плоскости, имеют противо-
положные направления (если направления, выбранные на рёбрах,
соответствуют друг другу).
В самом деле, если плоскостью симметрии служит одна из граней
(черт. 119), то рёбра обоих углов совпадают (причём сов-
падают и выбранные на рёбрах направления), в то время
как грани обоих углов, отличные от общей грани, располо-
жены по обе стороны от последней.
Следствие. Соответствующие друг другу трёх-
гранные углы двух симметричных фигур имеют противо-
положное расположение.
Впрочем, с этим обстоятельством мы уже встречались в
пункте 389; действительно, если принять за центр сим- Черт. 119.
метрни вершину одного из двух трёхгранных углов, то мы
снова придём к построению симметричных трёхгранных углов, указан-
ному в пункте 388.
Следовательно, рассмотренные там симметричные трёхгранные
углы будут симметричными и в том смысле, в каком мы сейчас упо-
требляем этот термин.
В силу предыдущего, в то время .как две фигуры, полученные
одна из другой с помощью транспозигщи, наложимы друг на друга,
две фигуры, симметричные относительно точки или относительно пло-
скости, имея соответственно равные рёбра, плоские и двугранные углы,
тем не менее не наложимы, вообще говоря, друг на друга, так как
они имеют противоположное расположение.
447. Теорема. Два симметричных многогранника равновелики.
Рассмотрим отдельно два случая.
1°. Случай двух пирамид. Основания обеих пирамид равны (п.
444), их высоты симметричны между собой (п. 445, следствие I) и,
следовательно, также равны; пирамиды равновелики.
2°. Общий случай. Разложим один из данных многогранников на
пирамиды. Второй многогранник можно разложить на пирамиды, со
ответственно симметричные тем пирамидам, на которые разложен пер-
вый. Так как соответственные пирамиды будут равновелики, то тем
же свойством обладают и составленные из них многогранники.
448. Говорят, что некоторая фигура имеет своей осью транспо-
лиции (или проще осью) прямую D, если эта фигура совпадает с той
122
КНИГА седьмая, перемещения, симметрия, подобие
фигурой, которая получается из неё с помощью транспозиции отно-
сительно прямой D.
Точно так же говорят, что некоторая фигура обладает плоско-
стью симметрии или центром симметрии, если эта фигура совпа-
дает с фигурой, ей симметричной относительно этой плоскости или
относительно этого центра.
Фигура F, имеющая плоскость симметрии Р или центр симметрии
С ’), наложима на фигуру F', ей симметричную относительно какой-
либо точки С' пли относительно какой-либо плоскости Р', так как
фигуры F и F' можно рассматривать как симметричные с одной и
той же фигурой (а именно с самой фигурой F), с одной стороны,
относительно плоскости Р или точки С, с другой стороны,— относи-
тельно плоскости Р' или точки С.
Однако следует обратить особое внимание на то, что при совме-
щении фигур F и F’ совмещаются между собой, вообще говоря, не
точки, соответствующие друг другу (т. е. не точки, симметричные
относительно Р' или относительно С'). Это имеет, например, место
в случае равнобедренного трёхгранного угла (и. 400); и действительно,
равнобедренный трёхгранный угол обладает плоскостью симметрии
(упр. 494).
УПРАЖНЕНИЯ.
613. Две фигуры симметричны с одной и той же третьей относительно
двух различных плоскостей. Найти перемещение, совмещающее одну из этих
фигур с другой.
(Рассмотреть отдельно два случая: когда данные плоскости пересекаются
и когда они параллельны.)
614. Решить тот же вопрос для двух фигур, симметричных с одной и
той же третьей, одна — относительно плоскости, другая — относительно точки,
не лежащей в этой плоскости.
615. Может ли ограниченная со всех сторон фигура обладать двумя цент-
рами симметрии?
616. Любая плоскость, проходящая через точку пересечения диагоналей
параллелепипеда, делит его на две равновеликие части (доказать).
617. Косая симметрия. Пусть М — произвольная точка и М' — точка,
обладающая тем свойством, что отрезок ММ' параллелен данной прямой Е>
и делится пополам данной плоскостью Р (пересекающей прямую £)); в этом
случае говорят, что точка М' получается из точки М с помощью косой сим-
метрии.
Доказать, что:
1) фиг\ра, косо-симметричная прямой линии, есть прямая линия;
2) фигура, косо-симметричная плоскости, есть плоскость;
3) два многогранника, косо-симметричных между собой, равновелики (для
доказательства можно использовать результаты упражнения 577).
618. Доказать те же свойства при условии, что точка М', соответствую-
щая точке М, определяется из условия, что отрезок ММ’ параллелен данной
плоскости Р и делится пополам данной прямой D (пересекающей плоскость Р).
(Для этого надо доказать, что рассматриваемое преобразование можно
свести к двум косым симметриям того типа, который был рассмотрен в пре-
!) Это заключение, очевидно, неприложимо к тому случаю, когда фи-
гура F имеет не плоскость или центр симметрии, а ось транспозиции.
ГЛАВА III. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
123
дыдушем упражнении, или иначе — к одной косой симметрии и к симметрии
относительно точки.)
619. Применить результаты предыдущего упражнения к решению упраж-
нения 580,
620. Если некоторая фигура F равна фигуре, симметричной с другой
фигурой F' относительно некоторой плоскости, то обе фигуры F и F' можно
совместить между собой:
1) либо с помощью поступательного перемещения, которому предшест-
вует или за которым следует симметрия относительно некоторой плоскости,
параллельной направлению поступательного перемещения;
2) либо с помощью одного вращения, которому предшествует или за ко-
торым следует симметрия относительно плоскости, перпендикулярной к оси
вращения, или относительно точки, лежащей на этой оси.
621. Вписать в данный выпуклый многогранный угол такой многогранный
угол, чтобы сумма его плоских углов была наименьшей; рассмотреть отдельно
случай трёхгранного угла.
ГЛАВА III.
ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.
449. Определение. Пусть выбрана точка О, называемая
центром подобия, и число k, называемое коэффициентом подобия;
точкой, гомотетичной какой-либо точке М по отношению к О, на-
зывается, как н в планиметрии, точка М', которая получится, если
соединить точку О с точкой М прямой линией и отложить на этот
прямой отрезок ОМ', определяемый следующим соотношением:
ОМ' ,
OM=k-
Для окончательного определения гомотетии необходимо указать,
должен ли отрезок ОМ' быть направлен в ту же сторону, что и ОМ
(прямая гомотетия), или в противоположную (обратная гомотетия).
Симметрия относительно точки представляет собой, как мы уже
указывали (Пл., п. 140, примечание 2), частный случай обратной го-
мотетии, которому соответствует коэффициент подобия, равный 1.
450. Теорема, которую мы уже рассматривали в планиметрии (Пл.,
п. 141), а именно: »
Теорема. В двух гомотетичных фигурах отрезок, соединяю-
щий две какие-либо точки одной из фигур, и отрезок, соединяющий
соответственные им точки другой фигуры, всегда параллельны
между собой, и их отношение равно коэффициенту подобия; они
направлены в одну и ту же сторону или в противоположные сто-
роны, смотря по тому, будет ли гомотетия прямой или обратной,
сохраняет силу вместе с её доказательством и в геометрии пространства.
То же самое имеет место и для её следствий.
Следствия. I. Фигура, гомотетичная прямой линии, есть
прямая линия, параллельная данной.
Отсюда с помощью сказанного в пункте 339 вытекает, что:
124
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ- ПОДОБИЕ
II. Фигура, гомотетичная плоскости, есть плоскость, параллель-
ная данной.
Точно так же сохраняют силу и другие следствия той же теоремы
III. Два угла, гомотетичные друг другу, разни.
Фигура, гомотетичная треугольнику, есть треугольник, подоб-
ный данному.
Отсюда с помощью только что доказанного следствия II и теоремы,
рассмотренной в пункте 414, вытекает, что:
IV. Фигура, гомотетичная плоскому многоугольнику, есть пло-
ский многоугольник, подобный данному. Вообще, фигура, гомотетич-
ная плоской фигуре, есть плоская фигура, подобная данной').
V. Фигура, гомотетичная окружности, есть окружность-, центры
обеих окружностей гомотетичны между собой, и отношение ради-
усов равно коэффициенту подобия.
Наконец, из следствий I и II вытекает, что:
VI. Если прямая и плоскость перпендикулярны между собой,
то и гомотетичные им прямая и плоскость также перпендику-
лярны между собой.
И с помощью пунктов 369 и 398:
VII. В дзух гомотетичных фигурах: соответственные двугранные
углы равны; соответственные многогранные углы равны в случае пря-
мой гомотетии и симметричны в случае обратной гомотетии.
451. Теорема, обратная предыдущей теореме, а именно:
Обратная теорема. Пусть даны две фигуры; если сущест-
вуют две такие точки О и О', что отрезок, соединяющий точку О
с какой-либо точкой первой фигуры, и отрезок, соединяющий точ-
ку О' с соответственной точкой второй фигуры, всегда парал-
лельны и имеют данное отношение k (причём оба отрезка всегда
направлены либо в одну и ту же сторону, либо в противополож-
ные стороны), то эти две фигуры гомотетичны, тоже сохра-
няет силу и доказывается так же, как и в планиметрии, если
условиться рассматривать две равные фигуры, которые получа-
ются одна из другой с помощью поступательного перемещения, как
предельный случай двух гомотетичных фигур.
Отсюда вытекаем, как и в планиметрии (Пл., п. 144), дальнейшая
теорема.
Теорема. Две фигуры, гомотетичные третьей, гомотетичны
между собой; коэффициент подобия этих двух фигур равен част-
ному от деления коэффициентов подобия каждой из данных фигур
относительно третьей фигуры; гомотетия будет прямой или об-
!) Может показаться, что это предложение есть просто определение по-
добных фигур (Пл., п. 146). Однако это не так: в самом деле, подобные фигу-
ры — это такие фигуры, одна из которых равна фигуре, гомотетичной другой
фигуре относительно некоторой точки, лежащей в плоскости этой фи
гуры (единственный вид гомотетии, рассматриваемый в планиметрии); в рас-
сматриваемом сейчас предложении последнее условие вовсе не предполагается.
ГЛАВА Ill ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
125
атной, смотря по тому, будут ли данные гомотетии обе одного
и того же типа (т. е. обе прямые или обе обратные) или разных
типов (одна — прямая, другая — обратная). Три центра подобия ле-
жат на одной прямой (называемой осью подобия).
Доказательство последней части теоремы: три центра подобия
лежат 'на одной прямой — может быть упрощено, если рассматри-
вается гомотетия в пространстве.
В самом деле, пусть О — одна из точек первой фигуры (черт. 120),
О' л О" — соответствующие ей точки второй и третьей фигур, М
некоторая точка первой фигуры,
не лежащая в плоскости ОО'О", /
/И' и М'— точки, ей соответ- /
ствующие. Центр подобия двух /
первых фигур есть точка пере- -С—-—' ' \ s' ~
сечения прямых 00' и Л4Л1', -----________
центр подобия первой и третьей '
фигур — точка пересечения пря-
мых 00" и ЛТЛТ", центр подо- Черт. 120.
бия второй и третьей фигур—-
точка пересечения прямых 0'0" и А/'ЛГ. Следовательно, эти три точки,
очевидно, лежат на одной прямой, а именно на линии пересечения
плоскостей 00'0" и ММ'М".
Примечание. Если две данные гомотетии одного типа и
имеют один и тот же коэффициент подобия, то две фигуры,
гомотетичные третьей, получаются одна из другой с помощью
поступательного перемещения. Это и есть тот предельный случай, о
котором мы только что упоминали.
Обратно, если две фигуры F и F' гомотетичны, то любая фигура,
которая получается из F с помощью поступательного перемещения,
также гомотетична фигуре F'.
452. Теорема. Если четыре фигуры попарно гомотетичны
между собой, то шесть центров подобия лежат в одной плоскости
(называемой плоскостью подобия) и образуют полный четырёхсто
ронник, сторонами которого служат оси подобия данных фигур,
взятых по три.
Обозначим через Fj, F2, Fs и Fi данные фигуры, через <SI2, 513
и т. д — центры подобия фигур Рх и F2, Ft и Fs и т. д. Точки
SI2, 513, 523 лежат на одной прямой — оси подобия фигур Flt F2, F8.
Кроме того, точка <$12 лежит с точками <$14 и S24 на другой прямой —
оси подобия фигур FH F2, F4. Плоскость, проходящая через эти две
прямые [такая плоскость всегда существует *)> так как обе прямые
имеют общую точку], проходит и через остальные оси подобия—ось
х) Эта плоскость может оказаться и не единственной; последнее обстоя-
тельство будет иметь место в том случае, когда обе определяющие её оси
подобия совпадают; при этом центры подобия S12, S13,... все лежат на одной
прямой.
126
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ
подобия фигур Fs, F4 (так как она проходит через две точки
*$13 и этой осн) п ось подобия фигур F2, F3, F4 (так как она про-
ходит через две точки S32 и >$24 этой осп); следовательно, она про-
ходит через шесть центров подобия, расположенных, как указано
в условии теоремы.
453. Определение. Две фигуры называются подобными, если
одна из них равна фигуре, ирялго-гомотетичной другой. В случае
двух плоских фигур это определение согласуется (п. 450, следствие IV)
с определением подобных фигур, данным в планиметрии.
Из рассмотренных в пункте 450 следствий вытекает также:
Теорема. Соответственные грани двух подобных многогранни-
ков подобны и имеют все один и тот же коэффициент подобия;
соответственные многогранные углы равны.
Докажем обратную теорему.
Обратная теорема. Если каждая грань одного многогранника
подобна одной из граней другого а коэффициент подобия каждой
пары граней имеет одну и ту же величину; если, далее, каждый
многогранный угол первого многогранника равен одному из много-
гранных углов второго, причём соответственные элементы обоих
многогранников располагаются в одном и том же порядке1), то
многогранники подобны.
Докажем сначала, что если каждая грань одного многогранника
многогранника, и каждый много-
гранный угол первого многогранника
равен одному из многогранных углов
второго, причём соответственные
элементы располагаются в одном
и том же порядке, то оба много-
гранника равны.
С этой целью наложим один из
многогранников на другой таким об-
разом, чтобы одна из граней первого
многогранника, например грань F,
। А, В, С, D, Е (черт. 121), совпала
с соответствующей (и, следовательно, равной) ей гранью Е' (имеющей
вершины А', В', С, D', Е') другого.
При этом многогранные углы при вершинах А и А' совпадут
между собой как две ранные фигуры, имеющие (в силу совпадения
граней Е и F') три соответственно общие точки, не лежащие на одной
прямой; так как это рассуждение можно повторить для любой вер-
равна одной из граней второго
Черт. 121.
имеющая своими вершинами
!) Это значит, что соответственные элементы обоих многогранников рас-
положены таким образом, что двум граням одного многогранника, имеющим
общее ребро, соответствуют во втором две подобные им грани, также имею-
щие общее ребро; что граням первого многогранника, образующим много-
гранный угол, соответствуют грани второго многогранника, также образую-
щие многогранный угол, и т. д.
ГЛАВА III. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
127
пшны грани F, то любая грань F, первого многогранника, смежная
с F, совпадает с гранью, ей соответствующей.
Но аналогичное рассуждение можно повторить, исходя из грани
и доказать, что то же самое имеет место и для любой грани F,,
смежной с Fp продолжая таким образом, можно, очевидно, доказать
последовательно совпадение всех граней обоих многогранников. Следо-
вательно, многогранники равны.
Пусть теперь даны два многогранника Р и Р', у которых, как
этого требуют условия теоремы, соответственные грани подобны и
имеют один и тот же коэффициент подобия k, а соответственные
многогранные углы равны, причём соответственные элементы распола-
гаются в одном и том же порядке; рассмотрим многогранник Рг, прямо-
гомотетичный многограннику Р, с тем же коэффициентом подобия k. Все
грани и все многогранные углы последнего многогранника равны соот-
ветственным граням и многогранным углам многогранника Р'; следова-
тельно, многогранник Рг равен Р', и многогранники Р и Р' подобны.
454. Теорема. Два подобных многогранника можно разложить
на соответственно подобные пирамиды, расположенные в обоих
многогранниках в одном и том же порядке.
Для этого достаточно, расположив оба многогранника так, чтобы
они были гомотетичны, разложить один из них на пирамиды (п. 417), а
другой — на пирамиды, гомотетичные тем, на которые разложен первый.
При этом можно доказать, пользуясь методом, аналогичным тому,
которым мы пользовались в планиметрии (Пл., п. 149) и в предыду-
щем пункте, что и обратно, два многогранника, состоящие из соот-
ветственно подобных пирамид, расположенных в одном а том же
порядке, подобны.
455. Теорема. Отношение объёмов двух подобных многогран-
ников равно кубу коэффициента подобия.
Как и выше (п. 447), рассмотрим отдельно два случая:
1°. Случай двух пирамид. Пусть В и Н—площадь основания и
высота первой пирамиды, В' и Н' — площадь основания и высота второй
пирамиды, k — коэффициент подобия; мы будем иметь (Пл., п. 257)
B' = k2B, H' = kH-
и отношение объёмов пирамид будет равно.
V В*И'
О
~вн
о
В1
в
Н’ ьз
H=k‘
2°. Общий случай. Разложим оба многогранника на подобные
пирамиды, расположенные в одном и том же порядке. Так как отно-
шение объёмов любых двух соответственных пирамид равно k2, то той
же величине будет равно и отношение сумм объёмов этих пирамид ’).
!) Сравнить Пл., п. 257.
128
КНИГА СЕДЬМАЯ- ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ
УПРАЖНЕНИЯ.
622. Если точки двух данных фигур соответствуют друг другу таким
образом, что прямая, соединяющая любые две точки одной фигуры, парал-
лельна прямой, соединяющей соответственные точки другой фигуры, то обе
фигуры гомотетичны (доказать).
623. Если точки двух данных фигур соответствуют друг другу таким
образом, что углы ВАС и В'А'С, образованные тремя любыми точками А, В и С
одной фигуры и соответствующими им точками А', В' и С другой фигуры,
равны между собой, то либо обе данные фигуры подобны, либо каждая из
них подобна фигуре, симметричной с другой фигурой (доказать).
624. Две подобные (но не равные) фигуры можно совместить с помощью
одного вращения, сопровождаемого прямой гомотетией относительно точки,
лежащей на оси вращения (доказать).
Сформулировать и доказать аналогичное предложение для двух фигур,
из которых одна подобна фигуре, симметричной с другой.
625. Две фигуры, ограниченные со всех сторон, могут быть гомотетичны
между собой не более чем двумя различными способами (доказать).
626. Найти геометрическое место центров подобия, если известно, что
точки, соответствующие трём данным точкам, лежат в трёх данных плоскостях.
627. Найти геометрическое место центров подобия, если дан коэффициент
подобия и известно, что прямая, соответствующая данной прямой D, пересе-
кает другую данную прямую Z7.
628. Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную точку
и обладающих тем свойством, что отрезки этих прямых, заключённые между
двумя данными плоскостями, делятся в этой точке в данном отношении.
Решить тот же вопрос, при условии, что отрезки, отсекаемые на искомых
прямых тремя данными плоскостями, проходящими через одну прямую, имеют
данные отношения друг к другу.
629. Доказать, что можно бесчисленным множеством способов найти два
таких многогранника Р и Q, у которых отношение объёмов равнялось бы отно-
шению поверхностей. Найти многогранник Q, зная многогранник Р и некото-
рый многогранник, подобный Q.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ.
630. Два тетраэдра равны или симметричны:
1) если они имеют по равному ребру и по равному двугранному углу
при этих рёбрах, заключённому между двумя соответственно равными гранями;
2) если они имеют по равному или симметричному трёхгранному углу,
образованному соответственно равными рёбрами;
3) если они имеют по равной грани, прилежащей к трём соответственно
равным двугранным углам;
4) если они имеют по равному ребру, прилежащему к соответственно
равным или соответственно симметричным трёхгранным углам.
5) если они имеют по шести соответственно равных рёбер (доказать).
При этом каждый раз предполагается, что равные или симметричные эле-
менты располагаются в обоих тетраэдрах в одном и том же порядке.
631. Вывести из признаков равенства тетраэдров, рассмотренных в преды-
дущем упражнении, соответствующие признаки подобия.
632. Даны прямая D и две точки А и В. Найти на прямой D такую
точку М, чтобы сумма MA-j-MB была наименьшей, и такую точку N, чтобы
разность ЛИ — NB была наибольшей.
633. Найти на данной прямой такую точку, чтобы сумма её расстояний
от двух данных параллельных прямых была наименьшей.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
129
634. Как изменятся формулировки предложений, рассмотренных в упраж
нениях 617 и 618, если отрезок ММ' делится плоскостью Р (упр. 617) или
прямой D (упр. 618) не пополам, а в произвольном данном отношении?
635. Вращение и поступательное перемещение, не параллельное оси вра
щения, дают при сложении винтовое перемещение, ось которого параллельна
оси вращения (доказать). Если изменять порядок слагаемых перемещений, то
получатся два перемещения оси которых симметричны относительно пло-
скости проходящей через ось вращения и через общий перпендикуляр к оси
вращения и к какой-либо прямой, параллельной поступательному перемеще-
нию (доказать).
636. В более общем случае, складывая два данных перемещения сначала
в одном порядке, затем в обратном порядке, мы получаем два перемещения,
оси которых получаются одна из другой с помощью транспозиции относи-
тельно общего перпендику ляра к осям данных перемещений (причём величина
угла поворота и величина поступательного перемещения будут в обоих слу-
чаях одни и те же) (доказать).
637. Порядок, в котором складываются два данных перемещения, не
влияет на результат (в этом случае данные перемещения называются пере-
становочными) только в следующих случаях:
1) когда оба перемещения представляют собой поступательные перемещения;
2) когда оба перемещения имеют одну и ту же ось;
3) когда оба перемещения представляют собой транспозиции относительно
осей, пересекающихся под прямым углом (доказать).
638. Даны три плоскости Р, Q и R, проходящие через одну прямую D,
и в первой из этих плоскостей прямая ХА пересекающая прямую D в точке X.
1°. В общем случае существует трёхгранный угол, у которого прямая ХЛ
служит одним из рёбер, а плоскости P,Q и А' — биссектральными плоскостями
его двугранных углов или углов, им смежных (упр. 487) (доказать); исследо-
вать, будет ли иметь место то или другое из этих обстоятельств; если при непо-
движных плоскостях P,Q, R и точке X прямая ХЛ перемещается, то противо-
лежащая ей грань всё время проходит через одну и ту же прямую (доказать).
2°. В общем случае существует трёхгранпый угол, обладающий тем свой-
ством, что плоскости Р, Q и R соответственно перпендикулярны к его гра-
ням и проходят через биссектрисы его плоских углов или углов, им смежных,
причём одной из этих биссектрис служит прямая ХЛ (доказать); исследовать
аналогично задаче 1°; найти геометрическое место рёбер этого трёхгранного
угла при условии, что плоскости Р, Q и R и точка X неподвижны, а прямая
ХЛ перемещается.
3°. Найти трёхгранный угол, обладающий тем свойством, что плоскости
Р, Q и /? проходят соответственно через его рёбра и через биссектрисы про-
тивоположных плоских углов или углов, им смежных, причем одной из этих
биссектрис служит прямая ХЛ.
639. Даны три прямые Sa, Sb и Sc, проходящие через одну точку н ле-
жащие в одной плоскости, и плоскость Р, проходящая через прямую Sa.
1°. В общем случае существует трёхгранный угол, для которого прямые
Sa, Sb и Sc служат прямыми, рассмотренными в упражнении 489,1°, причём
одна из граней лежит в плоскости Р (доказать); найти геометрическое место
рёбер этого трёхгранного утла при условии, что плоскость Р вращается
около прямой Sa.
2°. В общем случае существует трёхгранный угол, для которого прямые
Sa, Sb и Sc служат прямыми, рассмотренными в хпражненип 488, причём
одна из упоминаемых там биссектральпых плоскостей совпадает с Р (доказат ь);
3°. Найти трёхгранный угол, для которого прямые Sa, Sb и Sc служат
прямыми, рассмотренными в упражнении 490, 2°, причём одна из упоминае-
мых там биссектральных плоскостей совпадает с Р.
640. (Обобщение первой части предыдущего упражнения.) Построить
многогранный угол, зная биссектрисы углов, смежных с его плоскими углами.
9 Элементарная геометрия, ч. [I
130
КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ
Задача в обшем случае возможна для чётного числа граней. В противопо-
ложность этому для нечётного числа граней задача невозможна или неопре-
делённа. Найти в последнем случае геометрическое место, описываемое
одним из рёбер искомого многогранного угла.
Даны все биссектрисы, кроме одной; найти геометрическое место, описы-
ваемое этой последней биссектрисой, при условии, что задача возможна.
641. Даны три плоскости Р, Q, R, проходящие через одну прямую D, и
в одной из них прямая S71, пересекающая прямую D в точке S. Найти трёх-
гранный угол, обладающий тем свойством, что плоскости Р, Q, R проходят
соответственно через его рёбра и через биссектрисы противоположных пло-
ских углов, причём одним из его рёбер служит прямая (воспользоваться
упражнением 609).
КНИГА ВОСЬМАЯ.
КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
ГЛАВА I.
ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЦИЛИНДР.
456. Среди поверхностей, отличных от плоскости, наиболее про-
стыми являются поверхности цилиндрические, конические и поверх-
ности вращения.
Цилиндрической поверхностью (черт. 122) или просто цилиндром
называется поверхность, образованная прямой линией, называемой
образующей, которая перемещается, оставаясь параллельной заданной
прямой.
Цилиндрическая поверхность будет, очевидно, определена, если
2) по одной точке каждой
будет дано: 1) направление её образующих;
из образующих. Эти точки выбирают, во-
обще говоря, таким образом, чтобы при
непрерывном перемещении образующей
они образовывали непрерывную линию С
(черт. 122), называемую направляющей.
Очевидно, что любую линию, лежащую
на поверхности и пересекающую все её
образующие, можно рассматривать как на-
правляющую. Часто бывает выгодно за
направляющую принимать плоскую кривую.
Плоскость есть цилиндрическая по-
верхность, которая получается, если за
направляющую принять прямую линию
(п. 341).
457. Определение. Прямая называет-
ся касательной к поверхности в точке А,
если она касается в точке А некоторой линии,
Черт. 122. Черт. 123.
лежащей на поверхности.
Теорема. Все касательные, которые можно провести к цилин-
дрической поверхности в какой-либо её точке, лежат в одной
плоскости.
Эта плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру
в данной точке.
Касательная плоскость к цилиндру в какой-либо его точке про-
ходит через его образующую, на которой лежит данная точка, и
будет одной и той же во всех точках этой образующей.
9*
132
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Пусть А — данная точка (черт. 123); G—образующая, проходя-
щая через эту точку; С — кривая, лежащая на поверхности, прохо-
дящая через точку А и имеющая своей касательной прямую АТ,
отличную1) от G; С’ — другая кривая, также лежащая на поверхности,
проходящая через точку А и имеющая своей касательной некоторую
прямую АТ. Пусть теперь М'— точка кривой С, близкая к точке .4;
М—точка, в которой образующая G', проходящая через точку /И',
пересекает кривую С2); прямые AM и AM' лежат с прямой G в од-
ной плоскости (а именно в плоскости, проходящей через образующие
G и G'). Следовательно, предельные положения этих прямых также
лежат в одной плоскости3) с прямой G; иначе говоря, все прямые,
аналогичные прямой АТ, лежат в одной плоскости GAT. Эта плоскость
проходит через прямую G и будет одной и той же во всех точках
прямой G [как предельное положение3) плоскости GG'].
458. Цилиндрическую поверхность ложно рассматривать как
геометрическое место тех кривых, которые получатся, если под-
вергнуть её направляющую всевозможным поступательным переме-
щениям, параллельным её образующим. Действительно, при этих
перемещениях каждая точка направляющей перемещается, очевидно,
по соответствующей образующей и описывает эту образующую целиком.
Сечения цилиндрической поверхности плоскостями, параллель-
ными между собой (но не параллельными образующим) (черт. 124),
равны, потому что они получаются одно из другого с помощью посту-
пательного перемещения (п. 344).
В частности, сечения плоскостями, перпендикулярными к образую-
щим, называются перпендикулярными сечениями цилиндра. Очевидно,
что все перпендикулярные сечения одного и того же цилиндра равны
между собой.
В случае, когда секущая плоскость параллельна образующим,
сечение, очевидно, состоит из одной или нескольких образующих.
459. Цилиндром в более узком смысле слова называется тело, ко-
торое получается, если пересечь цилиндрическую поверхность двумя
параллельными плоскостями (черт. 125), и следовательно, ограничен-
ное частью цилиндрической поверхности и двумя частями плоскостей,
!) Мы не рассматриваем случай, когда через точку А не проходит ни
одной кривой с касательной, отличной от G- Этот случай, который теорети-
чески не является невозможным, не встречается у тех цилиндров, с которыми
обычно приходится иметь дело.
2) Можно доказать, что такая точка необходимо существует, если каса- .
тельная АТ отлична от G-
Мы принимаем здесь без доказательства (сравнить Пл., п. 104, сноска)
следующие предложения: если три прямые перемещаются, проходя всё время
через одну точку и оставаясь в одной плоскости, то их предельные положения
(если таковые существуют) также лежат в одной плоскости; если некоторая
плоскость и лежащая в ней прямая стремятся каждая к определённому пре-
дельному положению, то прямая, служащая предельным положением данной
прямой, лежит в плоскости, которая служит предельным положением данной
плоскости. Впрочем, эти предложения легко доказать (упр. 486).
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦИЛИНДР
133
представляющими собой равные фигуры (называемые основаниями
цилиндра).
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его
оснований.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендику-
лярны к плоскостям оснований, иначе говоря, если его основания
являются перпендикулярными сечениями.
460. Конической поверхностью (черт. 126), или, проще, конусом,
называется поверхность, образованная прямой линией (называемой
Черт. 124.
Черт. 125.
Черт. 126.
образующей'}, которая перемещается, проходя постоянно через непод-
вижную точку (называемую вершиной конуса).
Коническая поверхность будет, очевидно, определена, если будут
даны: 1) вершина, 2) по одной точке каждой из образующих. Эти
точки выбирают, вообще говоря, так, что они образуют непрерывную
линию С (черт. 126), называемую направляющей (или основанием)
конуса. Любую линию, лежащую на конической поверхности и пере-
секающую все образующие, можно рассматривать как направляющую.
Плоскость есть коническая поверхность, которая получается,
если за направляющую принять прямую линию (п. 329).
Теорема. Все касательные, которые можно провести к кони-
ческой поверхности в какой-либо её точке, отличной от вершины,
лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной
плоскостью к конусу в данной точке.
Касательная плоскость к конусу проходит через образующую,
на которой лежит точка касания, и будет одной и той же во
всех точках этой образующей.
Доказательство то же, что и для цилиндра (п. 457).
Коническую поверхность можно рассматривать как геометри-
ческое место тех кривых, которые получатся, если подвергнуть её
направляющую всем гомотетиям, имеющим своим центром вершину
конуса.
134
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Если направляющая замкнутая, то линии, ей прямо-гомотетичные,
образуют одну часть, или полость, конуса в то время как линии, ей
обратно-гомотетичные, образуют вторую полость конуса. Эти две
полости отделяются одна от другой вершиной конуса (черт. 126).
Сечения конуса параллельными плоскостями подобны между собой
(п. 414, примечание).
Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину, состоит,
очевидно, из одной или нескольких образующих.
461. Конусом в более узком смысле слова называется тело, кото-
если одну из полостей конической поверхности пере-
рое получается,
сечь плоскостью, не параллельной ни
одной из образующих, иначе говоря,
тело, ограниченное частью плоско-
сти (называемой основанием конуса)
и частью конической поверхности
(черт. 127).
Высотой конуса называется рас-
стояние его вершины от плоскости
основания.
Усечённым конусом (черт. 128)
называется тело, которое получается, если пересечь конус плоскостью,
параллельной основанию, иначе говоря, тело, ограниченное частью
конической поверхности и двумя частями плоскостей, представляющими
собой подобные фигуры (называемые основаниями). Высотой усечён-
ного конуса называется расстояние между плоскостями его оснований.
462. Поверхностью вращения называется поверхность, образован-
ная линией С, которая вращается около некоторой осн, причём угол
поворота принимает последовательно все возможные значения.
При этих условиях любая точка М линии С будет, как мы знаем,
перемещаться в плоскости, проходящей через эту точку и перпенди-
кулярной к оси вращения, и опишет в этой плоскости окружность
с центром на оси вращения. Эта окружность называется параллелью
поверхности.
Так как через каждую точку поверхности вращения проходит
одна из её параллелей, то поверхность вращения можно рассмат-
ривать как геометрическое место окружностей (вообще говоря,
переменного радиуса), центры которых лежат на одной прямой
и плоскости которых перпендикулярны к этой прямой.
Для окончательного определения поверхности на эти окружности
надо наложить требование, чтобы они пересекали данную линию С.
Коль скоро ось вращения дана, достаточно задать одну точку какой-
либо параллели для полного её определения. Отсюда видно, что
линия С может быть заменена любой другой кривой, лежащей на
поверхности и пересекающей все её параллели.
Чаще всего выбирают за линию С сечение поверхности какой-либо
плоскостью, проходящей через ось вращения. Это сечение ММ'
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЦИЛИНДР
135
(черт. 129), называемое меридианом поверхности, имеет, очевидно,
ось поверхности своей осью транспозиции, так как на нём лежат
диаметрально противоположные точки каждой параллели. Следовательно,
можно ограничиться рассмотрением только
одной половины этого сечения, например ча-
сти, расположенной по одну сторону от оси.
Поверхность вращения имеет бесчислен-
ное множество меридианов, которые можно
получить из одного из них путём вращения
его около оси поверхности. Через каждую
точку поверхности, очевидно, проходит один
из меридианов.
Поверхность вращения обладает бесчи-
сленным множеством плоскостей симмет-
рии: она симметрична относительно любой
плоскости, проходящей через её ось, так как
каждая её параллель обладает этим свойством
в силу пункта 442 и соответствующего пункта в планиметрии (Пл., п. 61).
Можно показать, что в произвольной точке поверхности вращения суще-
ствует, в общем случае, касательная плоскость, иначе говоря, что все каса-
тельные, которые можно провести к различным кривым, лежащим на поверх-
ности и проходящим через эту точку, лежат в одной плоскости. Эта плоскость
должна, в силу сказанного выше, совпадать с плоскостью, ей симметричной
относительно плоскости меридиана, проходящего через заданную точку, и,
следовательно, должна быть перпендикулярна к последней.
Черт. 130.
463. Наиболее простыми из цилиндрических поверхностей после
плоскости будут цилиндрические поверхности, имеющие своими на-
правляющими окружности.
Среди последних рассматривают в частности те, которые имеют
окружность своим перпендикулярным сечением; эти поверхности пред-
ставляют собой цилиндрические поверхности вращения', действительно,
такая поверхность получается от вращения прямой D
около параллельной ей оси А, потому что при этом
движении прямая D остаётся постоянно параллель-
ной А, в то время как каждая её точка описывает в
плоскости, перпендикулярной к оси А, окружность;
и обратно, всякий цилиндр, у которого перпендикуляр-
ное сечение есть окружность, можно получить таким
способом, принимая за ось А прямую, параллельную
образующим и проходящую через центр окружности.
Пересекая цилиндрическую поверхность вращения
двумя плоскостями, перпендикулярными к образую-
щим, мы получаем прямой цилиндр с круговым основанием, или ци-
линдр вращения (черт. 130), который можно ещё рассматривать как
тело, полученное от вращения прямоугольника АА'D'D (черт. 130)
около одной из его сторон.
136
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Цилиндр вращения будет, очевидно, определён, если будут таны
окружность его основания и высота (и будет указано, в какую сто-
рону от плоскости основания она направлена). Два цилиндра враще-
ния, имеющие один и тот же радиус основания и одну и ту же
высоту, равны между собой.
464. Боковая поверхность цилиндра. Пусть дан цилиндр; впишем
в кривую, служащую одним из его оснований, какой-либо многоуголь-
ник; этот многоугольник будет основанием призмы ABCDEA'В'С D'Е'
Черт. 131. Черт. 132.
(черт. 131), имеющей своими
рёбрами образующие цилиндра
и вторым основанием — много-
угольник, вписанный во второе
основание цилиндра; такая приз-
ма называется вписанной в ци-
линдр.
Боковая поверхность ци-
линдра есть, по определению,
предел, к которому стремится
боковая поверхность вписанной
призмы, когда число сторон её
основания неограниченно воз-
растает так, что длина каждой
стороны стремится к нулю.
Для случая прямого цилиндра с круговым основанием мы докажем
существование этого предела и найдём его величину.
Теорема. Боковая поверхность прямого цилиндра с круговым осно-
ванием равна произведению длины окружности его основания навысоту.
Действительно, боковая поверхность вписанной призмы (черт. 132)
равна (п. 408) периметру перпендикулярного сечения (которое в дан-
ном случае совпадает с основанием), умноженному на боковое ребро.
Если теперь неограниченно увеличивать число сторон основания
так, чтобы длина каждой из них стремилась к нулю, то периметр
основания будет, как мы доказали (Пл., пп. 176—177), стремиться
к пределу, представляющему собой длину окружности основания
цилиндра; в то же время боковое ребро призмы остаётся постоянно
равным высоте цилиндра. Теорема доказана1).
Следствие. Пусть R — радиус основания цилиндра, h — его вы-
сота Боковая поверхность цилиндра равна ‘ZrcRh, потому что окруж-
ность основания имеет длину 2тт/?.
’) То же рассуждение применимо к любому цилиндру при условии, что к его
перпендикулярному сечению приложимо определение длины кривой (Пл., п. 179,
сноска); иначе говоря, при условии, что периметр многоугольника, вписанного
в его перпендикулярное сечение, стремится к определённому пределу, когда
число его сторон неограниченно возрастает так, что длина каждой из них
стремится к нулю (черт 131). Результат, к которому мы приходим, будет,
очевидно, следующий; боковая поверхность всякого цилиндра равна длине
его перпендикулярного сечения, умноженной на образующую.
ГЛАВА I. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЦИЛИНДР
137
Для получения полной поверхности цилиндра надо, конечно, приба-
вить к боковой поверхности площади обоих оснований. Полная по-
верхность цилиндра равна 2тт/?Л —{—2тг/?2 = 2тг/? (/z —J—/?>.
465. Объём цилиндра. Объём цилиндра есть, по определению,
предел, к которому стремится объём вписанной призмы, когда число
сторон её основания неограниченно возрастает так, что длина каждой
стороны стремится к нулю.
Для случая цилиндра с круговым основанием, прямого или наклон-
ного, мы докажем существование этого предела и найдём его величину.
Теорема. Объём цилиндра с круговым основанием равен пло-
щади основания, умноженной на высоту.
Действительно, объём вписанной призмы равен произведению пло-
щади её основания на высоту призмы; последняя будет в то же время
и высотой цилиндра, тогда как площадь основания призмы имеет своим
пределом площадь основания цилиндра ’).
Следствие. Пусть, как и выше, R — радиус основания цилиндра,
h—его высота. Объём цилиндра равен TrRzh.
Примечание. Мы определили боковую поверхность и объём
цилиндра как пределы боковой поверхности и объёма вписанной призмы.
Мы пришли бы, очевидно, к тем же самым пределам, рассматривая
боковую поверхность и объём описанной призмы (так называется
призма, у которой основаниями служат многоугольники, описанные
около оснований цилиндра, а боковые рёбра равны и параллельны
образующим цилиндра).
УПРАЖНЕНИЯ.
642. Прямая, имеющая с цилиндрической поверхностью с круговым осно-
ванием более двух общих точек, есть образующая поверхности (доказать).
643. Найти геометрическое место середин хорд, отсекаемых цилиндриче-
ской поверхностью с круговым основанием на прямых, проходящих через
данную точку.
644. Через данную точку пространства провести касательную плоскость
к данному цилиндру вращения.
645. Найти геометрическое место центров подобия при условии, что
коэффициент подобия имеет данную величину (отличную от единицы) и пря-
мая, соответствующая данной прямой, пересекает данную окружность.
646. Найти геометрическое место точек пространства, обладающих тем
свойством, что их проекции на стороны данного треугольника лежат на од-
ной прямой.
647. Показать, что единственными поверхностями вращения, которые одно-
временно являются и цилиндрами, будут цилиндры Вращения, определён-
ные в пункте 463.
648. Подсчитать размеры .титра, служащего для измерения сыпучих тел,
и литра, служащего для измерения жидкостей, зная, что оба они имеют ци-
’) То же рассуждение применимо, очевидно, к цилиндр} с любым осно-
ванием при условии, что определение площади замкнутой кривой (Пл., п. 260,
сноска) приложимо к основанию данного цилиндра. При этом условии мы по-
лучим следующую теорему: объём произвольного цилиндра равен произведе-
нию площади его основания на высоту.
138
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
линдрпческую форму, причём высота первого равна диаметру основания, вы-
сота второго — удвоенному диаметру основания.
649. Найти отношение объёмов, образованных вращением данного прямо-
угольника последовательно около двух его смежных сторон.
650. Даны окружность и два её взаимно перпендикулярных диаметра;
найти такой прямоугольник, у которого смежные стороны были бы направ-
лены по данным
вращении этого
Черт. 133.
диаметрам, а вершина лежала бы на окружности, чтобы при
прямоугольника около одной из его сторон образовался
цилиндр, имеющий данную полную поверхность. Найти
максимум этой полной поверхности.
651. Дан прямой цилиндр с круговым основанием. Вы-
числить часть его боковой поверхности, заключённую между
основанием, плоскостью Р, не перпендикулярной к основа-
нию и проходящей через один из диаметров основания, и
двумя какими-либо образующими (черт. 133). Показать, что
эта часть поверхности квадрируема, т. е. что можно, поль-
зуясь только циркулем и линейкой, построить равновеликий
ей прямоугольник (предполагается, что на окружности осно-
вания цилиндра даны основания обеих образующих, а также
даны длина одной из них до точки пересечения с плоско-
стью Р и направление диаметра, по которому пересекаются
обе плоскости).
(Применить метод, аналогичный применённому в пункте 464, заменяя сна-
чала цилиндрическую поверхность поверхностью вписанной призмы.)
652. Пересекая цилиндрическую поверхность с круговым основанием двумя
плоскостями, не параллельными между собой (но ие пересекающимися внутри
цилиндра), мы получим некоторое тело (которое можно назвать усечённым
цилиндром). Показать, что боковая поверхность и объём этого тела будут
соответственно равны боковой поверхности и объёму цилиндра, который огра-
ничен той же цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями, параллель-
ными основанию данного цилиндра и проходящими через точки, в которых
прямая, проведённая через центр его основания параллельно образующим ци-
линдра, пересекает плоскости обоих сечений.
ГЛАВА II.
КОНУС. УСЕЧЁННЫЙ КОНУС.
466. Особое место среди всех конусов занимают конусы, имеющие
своим основанием круг (конусы с круговым основанием).
В частности, конус, у которого основанием служит круг, а вер-
шина лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем
через центр этого круга, называется прямым конусом с круговым
основанием или конусом вращения.
В самом деле, если рассматривать такой конус (черт. 134) как
неограниченную коническую поверхность, то он представляет собой
поверхность вращения, которая имеет меридианом прямую линию,
пересекающую ось; если же рассматривать его как ограниченное тело,
то это будет тело, образованное вращением прямоугольного треуголь-
ника около одного из его катетов.
Прямой конус будет, очевидно, определён, если будут даны его
основание и высота, а также будет указано, в какую сторону от осно-
ГЛАВА II. КОНУС. УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
139
вания его высота направлена. Два прямых конуса, имеющие один и
тот же радиус основания и одну и ту же высоту, равны между собой.
Все образующие прямого конуса с круговым основанием равны
между собой, так что в этом случае можно говорить о длине обра-
зующей. Углом при вершине конуса называется угол между двумя об-
разующими, лежащими в одной плоскости с его осью; этот угол, оче-
видно, в два раза больше угла
между осью конуса и одной из
образующих.
Усечённый конус вращения
можно, очевидно, получить путём
вращения прямоугольной трапеции
АВЬа (черт. 135) около стороны,
перпендикулярной к её основаниям.
ПримЕчаниЕ. Если обра-
зующая перпендикулярна к оси,
коническая поверхность выро-
ждается в плоскость.
467. Боковая поверхность ко-
Черт. 134. Черт. 135.
нуса вращения. Если в основание какого-либо конуса вписать произволь-
ный многоугольник, то пирамида, имеющая своим основанием этот много-
угольник, а вершиной — вершину конуса, называется вписанной в конус.
Боковой поверхностью конуса называется предел, к которому стре-
мится боковая поверхность вписанной пирамиды, когда число сторон
S
Черт. 136.
её основания неограниченно возрастает так, что
длина каждой из сторон стремится к нулю.
Для случая конуса вращения мы докажем суще-
ствование этого предела и найдём его величину.
Теорема. Боковая поверхность прямого ко-
нуса равна половине произведения длины, окруж-
ности основания на длину образующей.
В данный конус с вершиной 5(черт. 136) впишем
пирамиду SABCDE. Боковая поверхность этой пира-
миды есть сумма площадей треугольников SAB,
SBC, SCD, ..., другими словами, сумма половин
произведений, получающихся от умножения каж-
дого из оснований АВ, ВС, CD, ... на соответствующую высоту.
Следовательно, боковая поверхность пирамиды равна полусумме
ЛДДС4-..., умноженной на некоторую величину а, заключённую
между наибольшей и наименьшей из высот’).
1) Это вытекает из следующей арифметической теоремы: если даны не-
сколько дробей.
а а' а"
Т’ ь" ь”
140
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Если число сторон основания неограниченно возрастает, и притом
так, что длина каждой из них стремится к нулю, то сумма АВ ВС
стремится к длине окружности основания Что касается высот, то если
мы рассмотрим, например, высоту SH треугольника SAB (черт. 136),
которая проходит через середину Н стороны АВ, то из треугольника
SAH мы видим, что эта высота заключается между 5Л и S.4 — АН,
АВ
т. е. между Л Л и 5Л-----, Следовательно, высота SH стремится
к &4, если АВ стремится к нулю; и когда наибольшая из сторон ЛВ,
ВС, ... стремится к нулю, наибольшая и наименьшая из рассмотренных
выше высот стремятся к образующей конуса. Следовательно, то же
самое имеет место для величины а, и теорема доказана ’).
Следствие. Обозначим теперь образующую конуса через а,
и пусть R будет радиусом его основания. Боковая поверхность ко-
нуса равна * • 2тт/? - а = itRa.
Полная поверхность конуса получится от прибавления к боковой
5 поверхности площади его основания, что даёт
А тт/?а —тт/?2 = тт/? (а-{-/?).
//ft. Примечание Если бы вместо вписанных
/ / VX в конус пирамид мы рассматривали описанные
/! I \\\ пирамиды (т. е. пирамиды, имеющие своими
/' / 1 V\ основаниями многоугольники, описанные около
/' L \ \'\ основания конуса, а вершиной — вершину кону-
^'//'''1 V уд , са)> т0 мы могл” бы установить, что боковые
*4. / \ поверхности таких пирамид стремятся к тому же
пределу, что и боковые поверхности вписанных
G пирамид.
Черт. 137. В самом деле, предыдущее рассуждение мож-
но повторить при этих новых условиях с тем
видоизменением, что в описанной пирамиде SA'B'C'&... (черт. 137)
высоты всех треугольников SA'B', SB'С,... постоянно равны образующей
то дробь
а —|— а* —а" ...
числитель которой есть сумма числителей и знаменатель которой есть
сумма знаменателей, заключается между наименьшей и наибольшей из
данных дробей, если только зти дроби не все равны между собой: в пос-
леднем случае рассматриваемая дробь равна данным дробям (см., напри-
мер, Т а н и е р и, Курс арифметики, п. 188, стр. 263, М. 1913; или Крыжанов-
гкий, Элементы теории неравенств, стр. 93, М.—Л. 1936).
') В противоположность тому, что мы выше видели для цилиндра, и тому,
что мы увидим далее для объёма конуса, доказательство, относящееся к по-
верхности конуса вращения, не распространяется на конусы более общего
вида. Для других типов конусов (в частности, для наклонного конуса с круго-
вым основанием) можно доказать существование предела, ио нельзя дать эле-
ментарного выражения для этого предела, по крайней мере в общем случае.
ГЛАВА II. КОНУС УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
141
конуса, так как они проходят (п. 375) через точки касания сторон
д'В', В'С',... с окружностью основания.
468. Объём конуса. Объёмом какого-либо конуса называется пре-
дел, к которому стремится объём вписанной пирамиды, когда число
сторон основания неограниченно возрастает так, что длина каждой из
этих сторон стремится к нулю.
Для случая конуса с круговым основанием мы докажем существо-
вание этого предела и найдём его величину.
Теорема. Объём конуса с круговым основанием равен одной
трети произведения площади основания на высоту.
Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы об объёме пира-
миды, если принять во внимание, что площадь многоугольника, кото-
рый служит основанием пирамиды, стремится, по определению, к пло-
щади круга, который служит основанием конуса, когда число сторон
многоугольника неограниченно возрастает с соблюдением указанного
выше условия ]).
Следствие. Пусть R — радиус основания конуса, h — высота;
объём конуса равен -= тт/?2/?.
О
Примечание. Очевидно, что к тому же результату можно
прийти, заменяя вписанные пирамиды описанными.
469. Боковая поверхность усечённого конуса вращения. Если
в конус, частью которого служит данный усечённый конус, вписать
пирамиду, то плоскость верхнего основания усечённого конуса отсе-
кает от этой пирамиды усечённую пирамиду, которая называется впи-
санной в усечённый конус.
Боковой поверхностью усечённого конуса называется предел, к ко-
торому стремится боковая поверхность вписанной усечённой пирамиды,
когда число сторон многоугольников, служащих её основаниями, не-
ограниченно возрастает так, что длина каждой из этих сторон стре-
мится к нулю.
Это определение, очевидно, равносильно следующему: боковая по-
верхность усечённого конуса есть разность боковых поверхностей двух
конусов, представляющих собой части той же конической поверхности,
что и усечённый конус, и имеющих своими основаниями соответст-
венно оба основания усечённого конуса.
Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса вращения
равна полусумме длин окружностей обоих оснований, умноженной
на длину образующей.
Пусть дан усечённый конус АВВ'А' (черт 138), образующей ко
торого служит отрезок АА' и который представляет собой часть ко-
нуса SAB с вершиной в точке 5. Боковая поверхность этого усечённого
1) То же самое рассуждение и заключение теоремы распространяются,
очевидно, на всякий конус, лишь бы только к его основанию было приложимо
определение понятия площади.
142
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
конуса есть разность боковых поверхностей конуса SAB и конуса SA'B'
имеющегосвоим основанием меньшее основание данного усечённогоконуса.
Через точку А проведём к перпендикуляр АЬ, равный длине
окружности основания АВ, и соединим точки 5 и Ь. Если через точку А'
провести прямую А'Ь', параллельную
АЬ, до пересечения в точке Ь' с пря-
мой Sb, то отрезок А'Ь’ будет равен
длине окружности второго основа-
ния А'В'. Действительно, с одной
стороны, отношение длин окружно-
стей обоих оснований А'В' и АВ, т. е.
S4'
отношение их радиусов, равно
А’Ь'
пли ----- а с другой стороны, длина
АЬ
окружности АВ равна АЬ.
Поэтому боковая поверхность ко-
нуса SAB равна (п. 467) площади треугольника SAb, а боковая поверх-
ность конуса SA'B' — площади треугольника SA'b'. Следовательно,
боковая поверхность данного усечённого конуса равна площади прямо-
угольной трапеции АА'Ь'Ь, которая имеет выражение, указанное в фор-
мулировке теоремы.
Следствия. I. Если R и R' — радиусы оснований усечённого
конуса, а—.его образующая, то боковая поверхность равна п (R R') а.
П. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению
образующей на длину окружности, полученной в сечении этого усе-
чённого конуса плоскостью, параллельной основаниям и равноот-
стоящей от обоих оснований.
Действительно, эта плоскость проходит через середину Л" отрезка А А'
(черт. 138); длина окружности, получаемой в сечении (в силу рас-
суждения, вполне аналогичного тому, которое мы только что провели),
равна отрезку А"Ь", параллельному АЬ и ограниченному прямой Sb.
Произведение длины этой окружности на А А' равно (Пл., п. 252а)
площади трапеции АА'Ь’Ь.
Примечание. Цилиндр и конус можно рассматривать как пре-
дельные случаи усечённого конуса: первый соответствует предположе-
нию, что трапеция, образующая усечённый конус, обращается в пря-
моугольник (её основания становятся равными между собой), второй —
предположению, что та же трапеция обращается в треугольник (ра-
диус одного из оснований обращается в нуль).
Предыдущие следствия сохраняют силу и дают: для R' = R—-
боковую поверхность цилиндра (п. 464), для R' = 0 —боковую по-
верхность конуса (п. 467).
470. Объём усечённого конуса. Объём чсечённого конуса есть
предел, к которому стремится объём вписанной усечённой пирамиды,
когда длины сторон её оснований стремятся к нулю. Этот объём бу-
ГЛАВА II. КОНУС. УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
143
дет, очевидно, равен разности объёмов тех же двух конусов, которые
были рассмотрены в предыдущем пункте в связи с боковой поверх-
ностью усечённого конуса.
Теорема. Объём усечённого конуса равен сумме объёмов трёх
конусов, имеющих общей высотой высоту усечённого конуса, а осно-
ваниями— соответственно два основания усечённого конуса и сред-
нее пропорциональное между этими двумя основаниями.
Действительно, объём вписанной усечённой пирамиды равен, в силу
теоремы пункта 430, сумме объёмов трёх пирамид, которые стремятся
соответственно к объёмам трёх конусов, о которых говорится в теореме.
Следствие. Если А? и R' — радиусы оснований, h — высота, то
объём усечённого конуса равен nA (R2 R'2 -L- RR').
В самом деле, площади оснований усечённого конуса измеряются
величинами ттД’2 и тг/?'2, поэтому среднее пропорциональное между
ними будет ]r-nR2--nR'2~-nRR'.
УПРАЖНЕНИЯ.
653. Если коническая поверхность с круговым основанием имеет с неко-
торой прямой более двух общих точек, то эта прямая есть образующая по-
верхности (доказать).
654. Показать, что единственными поверхностями вращения, являющимися
одновременно и конусами, будут конусы вращения, определённые в пункте 466.
655. Через данную точку провести касательную плоскость к данному ко-
нусу с круговым основанием.
656. Если конус вращения касается обеих граней двугранного угла, то
1) образующие, вдоль которых происходит касание, составляют с ребром
двугранного угла равные углы;
2) плоскость, проходящая через ось конуса и ребро двугранного угла,
образует равные углы с его гранями, а также с плоскостями, проходящими
через ось конуса и через образующие, вдоль которых происходит касание
(доказать).
657. Найти геометрическое место осей конусов вращения, касающихся
двух данных плоскостей.
658. Найти геометрическое место осей конусов вращения, которые прохо-
дят через две данные пересекающиеся прямые.
659. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых
от данной точки и от данной плоскости, проходящей через эту точку, по-
стоянно.
660. Доказать, что произвольный конус с круговым основанием (т. е,
вообще говоря, не конус вращения) обладает плоскостью симметрии и что
коническая поверхность, частью которой является этот конус, имеет ось транс-
позиции (п. 448).
661. Провести коническую поверхность вращения через три данные пря-
мые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости. Сколько
решений имеет задача?
Показать, что любые два конуса вращения, проходящие через три данные
прямые, имеют четвёртую общую прямую (которая в частном случае может
совпадать с одной из данных прямых). Построить эту четвёртую прямую.
662. Условие, при котором выпуклый четырёхгранный угол может быть
вписан в конге вращения, заключается в том, чтобы сумма двух его противопо-
ложных двугранных углов равнялась сумме двух других его противополож-
144
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
ных двугранных углов, а если это условие не выполнено, то в том, чтобы то
же условие выполнялось для одного из выпуклых четырёхгранных углов, ко-
торые получатся, если заменить одно или несколько рёбер данного угла их
продолжениями (доказать).
663. При каком условии четырёхгранный угол может быть вписан в два
конуса вращения? в три конуса вращения?
В последнем случае осн трёх конусов образуют трёхгранный угол с тремя
прямыми плоскими углами (доказать). ,
664. Найти конус (или цилиндр) вращения, касающийся трёх данных
плоскостей. Сколько решений имеет задача?
Любые два конуса, касающиеся трёх данных плоскостей, имеют, вообще
говоря, четвёртую общую касательную плоскость (доказать).
Построить эту плоскость.
665. Каким условиям должны удовлетворять плоские углы четырёхгран-
ного угла, чтобы этот угол мог быть описан около конуса вращения? При
каких условиях этот угол может быть описан около более чем одного конуса
вращения? Сравнить найденное решение с решением упражнения 506.
666. Среди образующих одной полости конуса вращения найти ту, кото-
рая образует наибольший или наименьший угол с данной полупрямой?
667. Угол при вершине конуса вращения больше, чем угол между двумя
образующими, не лежащими в одной плоскости с его осью (доказать)/
668. Конус с круговым основанием пересечён плоскостью, параллельной
плоскости его основания и расположенной с ней по разные стороны от вер-
шины, так что секущая плоскость образует со второй полостью данной кони-
ческой поверхности конус, гомотетичный данному. Вычислить объём тела
(усечённого конуса второго рода), образованного совокупностью двух кону-
сов, зная радиусы обеих окружностей и расстояние между их плоскостями.
669. В данный конус вращения вписать цилиндр с заданной боковой по-
верхностью. Найти максимум этой поверхности.
670. Даны два равных конуса вращения SAB и S’A’B’, расположенных
так, что плоскости окружностей АВ и А’В', служащих их основаниями, па-
раллельны, а вершина каждого из них лежит в плоскости основания другого.
Эти два конуса пересечены плоскостью Р, параллельной плоскостям основа-
ний и расположенной между ними. Плоскость Р пересекает первый конус по
кругу CD и второй конус — по кругу C’D. Обозначая через г, I, h соответ-
ственно радиус основания, образующую и высоту каждого конуса, через х —
расстояние вершины S от точки пересечения плоскости Р с образующей
и через у — расстояние вершины S от плоскости Р:
1) выбрать х так, чтобы отношение суммы боковых поверхностей усечён-
ных конусов ABCD и A'B’C'D к боковой поверхности конуса SAB равнялась
бы данному числу л; исследовать задачу;
2) выбрать у так, чтобы отношение суммы объёмов усечённых конусов
ABCD и A'B’C’D к объёму конуса SAB равнялось бы данному числу р.; ис-
следовать задачу.
ГЛАВА 111.
ШАР И ЕГО СВОЙСТВА.
471. Шар как поверхность вращения.
Теорема. Поверхность, образованная вращением полуокружно-
сти около её диаметра, есть шар.
Обратно, всякий шар можно рассматривать как поверхность,
образованную таким путём, причём осью служит какой-либо из
его диаметров.
ГЛАВА III. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
145
1°. Пусть полуокружность с центром О (черт. 139) вращается
около своего диаметра АВ. Расстояние ОМ какой-либо точки полу-
окружности от центра О не изменяется при этом перемещении, так что
точка М всё время остаётся на некотором шаре <$, имеющем тот же
центр и тот же радиус, как и данная полу-
окружность.
Обратно, каждая точка М' полученного
таким путём шара обладает тем свойством,
что расстояние ОМ' равно О А. Следова-
тельно, эта точка лежит на некоторой окруж-
ности, а именно на линии пересечения шара
с плоскостью АМ'В, и эта окружность пред-
ставляет собой одно из тех положений, кото-
рое данная окружность занимает при её вра-
щении около данной оси.
2°. Пусть АВ — какой-либо диаметр дан-
ного шара О. Проведём через АВ плос-
кость; она пересечёт шар по окружности с центром О.
Шар, образованный вращением одной из половин этой окружности
около оси АВ, очевидно, совпадает с данным шаром.
Примечания. 1. Очевидно, что шар можно рассматривать
как поверхность вращения, принимая за ось любой из его диаметров.
Следовательно (п. 462), все диаметральные плоскости шара слу-
жат его плоскостями симметрии.
2. В частности, окружность, по которой шар пересекается с какой-
либо плоскостью Р (п. 383), будет одной из параллелей поверхности,
если принять за ось вращения диаметр, перпендикулярный к Р.
472. Из теоремы, доказанной в предыдущем пункте, вытекает:
Следствие I. Геометрическое место точек пространства,
из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, есть
шар, имеющий своим диаметром отрезок АВ.
В противоположность этому геометрическое место точек, из кото-
рых отрезок АВ виден под данным углом, отличным от прямого (по-
верхность, образованная вращением дуги окружности около хорды,
отличной от диаметра), не будет шаром.
В свою очередь из этого следствия вытекает:
С л е дет вне II. Геометрическое место точек пространства, для
Которых отношение их расстояний от двух данных точек А и В рав-
но данному числу k, есть шар (за исключением того случая, когда дан-
ное отношение равно 1; в последнем случае шар обращается в плоскость).
Действительно, обращаясь к доказательству, данному в планимет-
рии (Пл., п. 116), мы убедимся, что точки искомого геометрического
места обладают тем свойством, что из каждой из них некоторый от-
резок CD виден под прямым углом.
473. Теорема, высказанная в пункте 462 без доказательства для
любой поверхности вращения’
10
Элементарная геометрия, ч. II
146
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Геометрическое место касательных, которые можно провести
в данной точке А поверхности к кривым, ле жощим на поверхности
и проходящим через эту точку, есть плоскость —
легко может быть доказана для частного случая шара ’).
Пусть через данную точку А шара проведена какая-либо кривая (С),
касательную АТ (черт. 140). Мы до-
кажем, что эта касательная АТ перпен-
дикулярна к радиусу ОА.
Касательная АТ представляет собой
предельное положение секущей АВ, ког-
да точка В приближается к точке А.
Проекция М центра шара на прямую
АВ есть середина хорды АВ. Следова-
тельно, эта точка также стремится при
данных условиях к точке А, откуда с не-
обходимостью вытекает искомое предло-
жение. Как мы видим, прямая АТ есть
касательная к шару в смысле пункта 382.
Обратно, всякая прямая АТ, перпен-
имеющая, по предположению,
дикулярная к радиусу
шара и проходящая через его конец, будет
касательной по крайней мере к одной кривой, лежащей на шаре, а
именно к большому кругу, лежащему в плоскости О АТ.
Следовательно, как в смысле пункта 382, так и в рассматриваемом
сейчас смысле, имеет место
Теорема. Геометрическое место касательных, которые можно
провести к шару в какой-либо из его точек, есть плоскость, пер-
пендикулярная к радиусу, проходящему через эту точку (черт. 140).
Следовательно, эта плоскость и должна быть названа касательной
плоскостью к шару.
Доказанная теорема, очевидно, аналогична той теореме, которая
была нами уже доказана для цилиндров (п. 457) и для конусов (п. 460).
Однако мы должны отметить одно существенное различие: каса-
тельная плоскость к шару, очевидно, имеет только одну точку каса-
ния. Наоборот, цилиндр и конус представляют ту особенность, что
они имеют одну и ту же касательную плоскость в бесчисленном
множестве точек (а именно во всех точках одной и той же обра-
зующей).
При этом первый случай (тот, который имеет место для шара)
будет общим случаем, если рассматривать произвольную поверхность.
Второй случай надо рассматривать как исключительный.
474. Теорема. Шар, проходящий через три точки некоторой
окружности, проходит через всю эту окружность.
!) В случае произвольной поверхности вращения могут существовать та-
кие точки, в которых поверхность не имеет касательной плоскости (например,
в вершине конуса вращения); как видно из приводимого доказательства, шар
таких точек не" имеет. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА III. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
147
Действительно, плоскость данной окружности пересекает шар по
окружности, необходимо совпадающей с данной окружностью (Пл., п. 57).
Теорема. Геометрическое место центров шаров, проходящих
через данную окружность, есть прямая (называемая осью окружности),
перпендикулярная к плоскости этой окружности и проходящая
через её центр.
Действительно, из пункта 383 и из того, что только что было ска-
зано, следует, что центры всех шаров, проходящих через данную
окружность, лежат на прямой, о которой говорится в теореме, и что,
обратно, шар, имеющий своим центром какую-либо точку этой прямой
и проходящий через одну из точек данной окружности, проходит через
эту окружность.
475. Теорема. Две окружности, не лежащие в одной плоскости,
но имеющие две общие точки, определяют шар
Пусть даны две окружности С и
С (черт. 141), лежащие соответствен-
но в плоскостях Р и Р' и имеющие две
общие точки А и В. Центр всякого
шара, проходящего через окружность
С, лежит на перпендикуляре СХ, вос-
ставленном к плоскости Р в центре
этой окружности, и обратно, всякий
шар, проходящий через точку А, центр
которого лежит на этой прямой, про-
ходит через окружность С. В част-
ности, отсюда и из пункта 349 сле-
дует, что прямая СХ лежит в плоскости, перпендикулярной к отрезку АВ
и проходящей через -его середину.
Точно так же центр всякого шара, проходящего через окруж-
ность С, лежит на перпендикуляре С’Х', восставленном к плоскости Р'
в центре этой окружности, и обратно, всякий шар, проходящий через
точку А, центр которого лежит на этой прямой, проходит через окруж-
ность С'. В частности, прямая СХ' лежит в плоскости, перпендику-
лярной к отрезку АВ и проходящей через его середину.
Прямые СХ и СX' лежат в одной плоскости; они не параллельны
и не совпадают (так как иначе плоскости Р и Р', соответственно пер-
пендикулярные к этим прямым, также были бы параллельны или сов-
падали бы, что противоречит условию). Следовательно, эти прямые
пересекаются в одной точке О.
Шар с центром О и радиусом ОА, и только этот шар, отвечает
условию теоремы.
Примечания. 1. Точно так же можно доказать, что две окруж-
ности, касающиеся друг друга, но не лежащие в одной плоскости
(черт. 142), определяют шар.
Для этого в предыдущем доказательстве плоскость, перпендику-
лярную к отрезку АВ и проходящую через его середину, надо заме-
10
148
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
нить плоскостью, перпендикулярной к общей касательной и проходя-
щей через точку касания.
2. Если две данные окружности лежат в одной плоскости, то эта
плоскость заменяет искомый шар. Плоскость есть предельный случай
шара, потобно тому как прямая есть пре-
дельный случай окружности (Пл., п. 90,
примечание).
Теорема. Окружность и точка, не
лежащая в её плоскости, определяют
шар.
Четыре точки, не лежащие в одной
плоскости, определяют шар.
1°. Требование, наложенное на иско-
мый шар,— проходить через данную ок-
ружность и через данную точку, не ле-
жащую в её плоскости,— можно заменить
чтобы шар проходил через две окружности,
требованием,
две общие точки; одной пз этих двух окружностей служит
так же требование, наложенное на
четыре данные точки А, В, С и
чтобы шар
окружность
искомый шар,— про-
D,— можно заменить
проходил через две
АВС и окруж-
не может иметь ни
Черт. 143.
(п. 474)
имеющие
данная окружность, другой — окружность, которую можно провести
через две точки данной окружности и через данную точку.
2°. Точно
ходить через
требованием,
окружности:
ность ABD.
Следствие. Шар
двух центров, ни, следовательно, двух неравных
радиусов.
476. Конус и цилиндр, описанные около
шара.
Теорема. Геометрическое место касатель-
ных, которые можно провести к шару из внеш-
ней точки, есть конус вращения.
Все эти касательные равны между собой.
Геометрическое место их точек касания
есть малый круг шара.
Касательные плоскости к конусу, пред-
ставляющему собой искомое геометрическое
место, служат в то же время и касатель-
ными плоскостями к шару и являются единственными касатель-
ными плоскостями к шару, которые можно провести через данную
точку.
Пусть О — центр данного шара (черт. 143), S—данная точка,
Т — точка касания проходящей через точку S касательной к одному
из больших кругов, плоскости которых проходят через прямую OS.
Если мы заставим прямую ST вращаться около оси OS, то она будет
ГЛАВА III. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
149
оставаться касательной к шару, потому что шар есть поверхность вра-
щения, имеющая своей осью прямую OS.
Полученные таким образом касательные (а именно последователь-
ные положения вращающейся прямой ST), которые, очевидно, удовлет-
воряют условию теоремы, являются единственными касательными к шару,
которые можно провести через точку S: действительно, каждая из
касательных, проходящих через точку S, касается, в силу сказанного
в пункте 473, большого круга, лежащего в плоскости, проходящей
через её точку касания и через точки О и 5.
В каждой из точек, с которой точка Т совпадает при своём пере-
мещении, конус и шар имеют общую касательную плоскость, а именно
плоскость, которая определяется прямой ST и касательной Tt к окруж-
ности, представляющей собой геометрическое место точек Т.
Таким образом, получается семейство касательных плоскостей к
шару, проходящих через точку S; с другой стороны, эти плоскости
будут единственными касательными плоскостями к шару, проходящими
через точку S, потому что если касательная плоскость к шару в неко-
торой точке Т проходит через точку S, то прямая ST есть касательная.
Примечание. Конус, о котором идёт речь, называется описан-
ным около шара, а шар — вписанным в конус.
Обратно, вдоль какого-либо малого круга шара можно описать
около этого шара конус; вершиной конуса служит точка, в которой
касательная плоскость в какой-либо точке этого
малого круга пересекает диаметр шара, перпен-
дикулярный к плоскости данного круга.
Теорема. Геометрическое место касатель-
ных к шару, параллельных данной прямой,
есть цилиндр вращения. Касательные плоско-
сти к этому цилиндру служат в то же время
и касательными плоскостями к шару и явля-
ются единственными касательными плоско-
стями к шару, параллельными данной прямой.
Геометрическое место их точек касания
Черт. 144.
есть большой круг, плоскость которого перпен-
дикулярна к данной прямой.
Пусть ОХ (черт. 144) — прямая, параллель-
ная данной прямой и проходящая через центр
шара, и TY—парал-
лельная этой прямой, касательная к одному из больших кругов, плоско-
сти которых проходят через ОХ. Как и выше, можно заставить эту
прямую TY вращаться около оси ОХ, причём она будет оставаться
касательной к шару. При этом условии прямая TY опишет цилиндр вра-
щения, а точка Т — большой круг, так как радиус ОТ, перпендику-
лярный к касательной, опишет при этом плоскость, проходящую через
точку О и перпендикулярную к данной прямой.
Как и выше, можно показать, ч'то единственными касательными
к шару, параллельными прямой ОХ, будут образующие того цилиндра,
150
КНИГА ВОСЬМАЯ- КРУГЛЫЕ ТЕЛА
о котором мы говорили, и что этот цилиндр описан около шара, т. е.
касается ’) его во всех точках круга, который описывает точка Т.
Обратно, вдоль любого большого круга можно описать около
шара цилиндр, а именно цилиндр, имеющий своим перпендикулярным
сечением данный большой круг.
477. Через прямую, целиком ле чсащую вне шара, можно про-
вести к этому шару две касательные плоскости.
Пусть D — данная прямая (черт 145), С—окружность, вдоль
которой конус, описанный около
шара и имеющий своей вершиной
точку Р, лежащую на этой прямой,
касается шара. Плоскость окруж-
ности С пересекает прямую D в
точке /, лежащей вне окружности С
(потому что точка / лежит вне
шара): через точку I можно про-
вести к окружности С две каса-
тельные IT и IT’. Касательная
плоскость к шару в точке Т сов-
падает (в силу предыдущего пункта)
с плоскостью TIP.
Обратно, всякая касательная
плоскость к шару, проходящая че-
рез точку Р, должна (в силу пре-
быть касательной к тому конусу, о котором идёт
плоскость проходит также и через /, то она сов-
тех двух плоскостей, которые мы получили.
дыдущего пункта)
речь. Если же эта
падает с одной из
К данному шару можно провести две касательные плоскости,
параллельные данной плоскости.
Их точками касания будут концы диаметра, перпендикулярного
к данной плоскости.
478. Теорема пункта 403 есть частный случай следующей:
Теорема. Для того чтобы две. окружности, лежащие на шаре, пере-
секались под прямым углом, необходимо и достаточно, чтобы плоскость
одной из них проходила через вершину описанного конуса (или была парал-
лельна оси описанного цилиндра), касающегося шара вдоль другой окруж-
ности.
Если одна из данных окружностей есть большой круг, то это предложе-
ние вытекает из доказательства теоремы пункта 403 (черт. 75), потому что
в этом случае касательная IT к большому кругу IPP' проходит (п. 476) через
вершину описанного конуса, касающегося шара вдоль данного малого крута.
Но всякий круг, который пересекает данный малый круг под прямым
углом в точке I, должен касаться прямой IT, потому что IT есть единствен-
ная касательная к шару в точке /, перпендикулярная к It. Поэтому плоскость
ьтого круга должна проходить через точку S.
J) По аналогии с определением, данным в планиметрии, говорят, что две
поверхности касаются друг друга в одной из их общих точек, если они имеют
в этой точке общую касательную плоскость.
ГЛАВА III. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
151
Обратно, всякий круг, проходящий через точку /, плоскость которого
проходит через точку S, касается прямой IГ, и, следовательно, то же самое
условие оказывается и достаточным.
479. Пересечение двух шаров.
Теорема. Если два различных шара имеют общую точку, не
лежащую на линии центров, то они пересекаются по окружности,
плоскость которой перпендикулярна к линии центров и центр кото-
рой лежит на этой линии.
Действительно, пусть О и О' — два шара, имеющие общую точку А,
не лежащую на линии центров 00’. При вращении около прямой 00'
точка А описывает окружность, принадлежащую обоим шарам. В силу
пункта 475, данные шары не могут иметь других общих точек, кроме
точек, лежащих на этой окружности.
480. Взаимное расположение двух шаров зависит от того, будет
ли расстояние между их центрами 00' больше, равно или меньше,
с одной стороны, суммы радиусов R-\-R' и, с другой стороны, их
разности R — R'. Эта зависимость выражается следующей теоремой:
Теорема. Два шара:
1) лежат один вне другого (черт. 146), если расстояние между
их центрами больше суммы их радиусов;
2) касаются друг друга внешним образом (черт. 147), если рас-
стояние между их центрами равно сумме их радиусов;
3) пересекаются по окружности (черт. 148), если расстояние
между их центрами заключается между суммой радиусов и их
разностью;
4) касаются друг друга внутренним образом (черт. 149), если
расстояние между их центрами равно разности радиусов;
5) лежат один внутри другого (черт. 150), если расстояние
между их центрами меньше разности радиусов.
Доказательство буквально то же, что и в планиметрии (Пл., п. 66),
за исключением третьего случая; здесь достаточно заметить, что в
пересечении двух данных шаров с какой-либо плоскостью, проходящей
через линию центров, получаются два больших круга, пересекающихся
152
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
между собой; таким образом, оба шара имеют общую точку, не лежа-
щую на линии центров, и мы приходим к случаю, рассмотренному
в предыдущем пункте.
481. Пересечение трёх шаров. Если три шара имеют общую
точку, не лежащую в плоскости центров, то они имеют и вторую
общую точку, симметричную с первой относительно этой плоскости,
потому что плоскость центров служит общей плоскостью симметрии
трёх шаров.
В силу этого три шара могут:
1) либо не иметь ни одной общей точки;
2) либо иметь только одну общую точку, лежащую в плоскости
центров (при этом три касательные плоскости в этой точке проходят
через одну прямую, перпендикулярную к плоскости центров);
3) либо иметь две общие точки;
4) либо иметь три общие точки и, следовательно, иметь общую
окружность.
482. Степень точки относительно шара.
Теорема. Если через данную точку пространства провести к
шару несколько секущих, то произведение отрезков каждой секу-
щей, считая от данной точки соответственно до двух точек пере-
сечения с шаром, будет одним и тем же для всех секущих.
Пусть А— данная точка (черт. 151), АВВ' и АСС— две какие-
либо секущие. Плоскость, проходящая через эти две прямые, пересе-
кает шар по окружности, откуда имеем:
АВ-АВ'= АС-АС'.
Следовательно, произведение, о котором говорится в теореме, зави-
сит только от данного шара и от положения данной точки А.
Это произведение, взятое со знаком -j- > если точка лежит вне шара,
и со знаком —, если точка лежит внутри шара, называется степенью
точки относительно шара.
Предыдущее рассуждение показывает, что если через данную точку
провести несколько плоскостей, пересекающих данный шар по
окружностям, то данная точка будет иметь относительно всех этих
ГЛАВА III. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
153
окружностей, одну и ту же степень, равную степени этой точки
относительно шара.
Рассмотрим в частности плоскость, проходящую через данную точку
и пересекающую шар по большому кругу; мы видим непосредственно
(черт. 152), что, как и для окружности в планиметрии, степень точки
относительно шара представляется выражением d* 2— R2, где R—
радиус шара, d—расстояние данной точки от его центра1).
В том случае, когда точка лежит вне шара, её степень равна квад-
рату касательной.
483. Углом между двумя поверхностями в их общей точке назы-
вается двугранный угол, образованный их касательными плоскостями в
этой точке.
В силу этого определения угол между двумя шарами равен углу
между радиусами, проведёнными в их общую точку, или углу ему по-
полнительному. Если два шара ортогональны2), то эти два радиуса
взаимно перпендикулярны.
Если два шара ортогональны, то квадрат радиуса каждого из
них равен степени центра этого шара относительно другого шара2).
Действительно, радиус первого шара, проходящий через одну из общих
точек обоих шаров, касается второго шара (черт. 153). Обратно, если
квадрат радиуса одного шара равен степени его центра относитель-
но другого шара, то эти два шара пересекаются под прямым углом.
484. Радикальная плоскость двух шаров.
Теорема. Геометрическое место точек, имеющих одну и ту же
степень относительно двух шаров, есть плоскость, перпендикулярная
к их линии центров.
Эта плоскость называется радикальной плоскостью двух рассма-
триваемых шаров.
Доказательство. Какая-либо плоскость Р, проходящая через
линию центров двух данных шаров, пересекает их по двум большим
1) Сравнить Пл., п. 134.
2) Т. е. пересекаются под прямым углом. Прим. ред. перевода.
3) Сравнить Пл., п. 135.
154
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
кругам С и С (черт. 154). Сечение искомого геометрического места
плоскостью Р есть радикальная ось этих двух больших кругов.
Если плоскость Р вращается около линии центров, то эта ради-
кальная ось описывает плоскость, которая и представляет собой иско-
мое геометрическое место.
Если два шара пересекаются по окружности с, то радикальной пло-
скостью будет плоскость этой окружности, потому что степень всякой
точки этой плоскости, как относительно одного шара, так и относи-
тельно другого, равна её степени относительно окружности с. Предыду-
щее рассуждение показывает, что точки этой плоскости будут един-
ственными точками, имеющими одну и ту же степень относительно обоих
шаров; впрочем, это можно доказать и непосредственно (ср. Пл.,
п. 137).
Радикальная плоскость, или по крайней мере часть этой плоскости,
лежащая вне обоих шаров (в том случае, когда оба шара пересекаются),
есть геометрическое место центров шаров, ортогональных одновременно
к обоим данным шарам J).
Если данные шары концентричны, то их радикальная плоскость лежит
в бесконечности 2).
485. Теорема. Радикальные плоскости трёх шаров, взятых по-
парно, проходят через одну прямую (кроме того случая, когда три
центра лежат на одной прямой и три радикальные плоскости па-
раллельны или совпадают между собой).
Действительно, если 5, S', S" — три данных шара, центры которых
«е лежат на одной прямой, то радикальная плоскость шаров S и 5'
пересекает радикальную плоскость шаров S и S" по некоторой прямой,
которая представляет собой геометрическое место точек, имеющих
одну и ту же степень относительно всех трёх шаров, и, следовательно,
лежит в радикальной плоскости шаров 5' и S".
Прямая, существование которой мы только что доказали, назы-
вается радикальной осью трёх шаров. Она совпадает с перпендику-
ляром к плоскости центров этих шаров, проходящим через радикаль-
J) Сравнить Пл., п. 138.
£) Сравнить Пл., п. 136, примечание 2.
ГЛАВА III. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
155
ный центр трёх больших кругов, по которым эта плоскость пересекает
данные шары.
Радикальная ось (или по крайней мере часть радикальной оси, ле-
жащая вне трёх шаров) есть геометрическое место центров шаров,
которые пересекают ортогонально три данных шара.
Если центры трёх шаров лежат на одной прямой, то все три ра-
дикальные плоскости перпендикулярны к этой прямой.
Если радикальная плоскость шаров 5 и S' совпадает с радикальной
плоскостью шаров S и S", то она будет также радикальной плоско-
стью шаров S' и S', потому что все точки этой плоскости будут
иметь одну и ту же степень относительно всех трёх шаров.
Теорема. Шесть радикальных плоскостей четырёх шаров, взя-
тых попарно (или четыре радикальные оси четырёх шаров, взятых
по три), пересекаются в одной точке (называемой радикальным
центром четырёх шаров), кроме того случая, когда центры четырёх
шаров лежат в одной плоскости и все радикальные плоскости па-
раллельны одной и той же прямой.
Действительно, если три радикальные плоскости шаров Л» и S',
S и S", S и S'" пересекаются в одной точке /, то эта точка имеет
одну и ту же степень относительно всех четырёх шаров S, S', S", S'"
и, следовательно, лежит и в остальных радикальных плоскостях.
Точка / (если она лежит вне данных шаров) служит центром шара,
пересекающего ортогонально все четыре данных шара.
486. Шары, гомотетичные меж ту собой. Фигура, гомотетичная
шару, есть также шар, причём отношение их радиусов равно коэф-
фициенту подобия, и центры обоих шаров соответствуют друг другу.
Действительно, если О — центр данного шара, О'—точка, гомо-
тетичная точке О, М—какая-либо точка данного шара и М’ — точка,
ей соответственная, то отношение отрезка О'М' к отрезку ОМ равно
коэффициенту подобия (п. 450); следовательно, отрезок О'М' имеет
постоянную длину, что и доказывает теорему.
487. Обратно, два произвольных шара гомотетичны между собой
и притом двумя различными способами1); в одном случае гомоте-
тия будет прямой, в другом — обратной.
Действительно, пусть О и О' — центры обоих шаров, ОМ и О'М' —
два параллельных радиуса, направленных в одну и ту же сторону и
в остальном совершенно произвольных (так что точка М может быть
любой точкой первого шара); отрезки ОМ и О'М' удовлетворяют усло-
виям обратной теоремы пункта 451.
То же заключение сохраняет силу, если радиусы ОМ и О'М' парал-
лельны, но направлены в противоположные стороны; таким образом,
теорема доказана.
J) Существенно, однако, заметить, что два равных шара можно рассмат-
ривать как прямо-гомотетичные, только с помощью того обобщения этого
понятия, которое было дано в пункте 451.
156
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Та же самая теорема вытекает и из того, что большие круги, по-
лучаемые в пересечении данных шаров с какой-либо плоскостью, про-
ходящей через линию центров, гомотетичны между собой, причём
центр и коэффициент подобия не зависят от выбора секущей плоскости.
Примечание. Два шара не могут быть гомотетичными более
чем двумя способами. Действительно, в силу сказанного в предыду-
щем пункте, во всякой гомотетии, преобразующей один из данных
шаров в другой, центры шаров соответствуют друг другу и коэффи-
циент подобия равен отношению радиусов. Но существуют только
две точки, делящие отрезок, имеющий своими концами центры данных
шаров, в отношении, равном отношению радиусов').
Центры двух гомотетий, существование которых мы только что до-
казали, называются, как и в планиметрии, внешним центром подобия
и внутренним центром подобия обоих шаров.
488. Свойством, которым обладают два шара, — быть гомотетич-
ными двумя различными способами — обладают и все фигуры, имею-
щие центр симметрии.
В самом деле, пусть F—какая-либо фигура, Fr— фигура, ей сим-
метричная относительно точки О. Всякая фигура F', гомотетичная фи-
гуре F, будет (п. 451) гомотетична и фигуре причём новый центр
гомотетии будет в общем случае отличен от первоначального, и обе
гомотетии будут разных типов (одна — прямая, дру-
₽ гая — обратная).
/ М Если теперь фигура F имеет точку О центром
/ / ’симметрии, то она совпадаете/^; следовательно, она
/0 ^0 будет гомотетична фигуре F’~ двумя различными спо-
' собами.
/ Точки М и Alj (черт. 155), гомотетичные одной и
той же точке М' фигуры F', всегда симметричны друт
‘ с другом относительно точки О. Чтобы выбрать одну
Черт. 155. из двух гомотетий, надо указать, которая из этих двух
точек считается соответствующей точке М'.
489. Три шара имеют четыре оси подобия, как три окружности
в планиметрии.
В самом деле, этими четырьмя осями подобия будут оси подобия
больших кругов, лежащих в плоскости центров данных шаров.
Четыре шара имеют восемь плоскостей подобия (п. 452). Дейст-
вительно, выбрав точку М первого шара О и проведя диаметры
MMi, M”Mi, M"'Mi остальных трёх шаров О', О", О'", параллельные
радиусу О/И, можно выбрать среди концов каждого из этих диамет-
ров точку, которая будет соответствовать точке М в рассматриваемой
гомотетии. После того как три точки, соответствующие точке М, та-
ким образом выбраны, мы получим вполне определённую плоскость
подобия. Но этот выбор трёх точек можно осуществить восемью раз-'
!) См. также упражнение 625.
ГЛАВА III. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
157
личными способами; в самом деле, сначала можно выбрать одну из
точек 7И' или A/J и одну из точек М' или М[, что можно сделать
четырьмя различными способами, и каждой из полученных комбинаций
соответствует ещё две возможности, а именно можно выбрать либо
точку М'", либо Afj.
Каждая из осей подобия трёх первых шаров, соответствующая
выбору, с одной стороны, одной из двух точек М' и /Wj и, с другой
стороны,—одной из двух точек М" и лежит в двух плоскостях
подобия, каждый из центров подобия — в четырёх плоскостях по-
добия.
490, Общие касательные плоскости к двум шарам. Всякая об-
щая касательная плоскость к devM шарам проходит через один из
центров подобия: через внешний центр подобия, если эта общая ка-
сательная плоскость внешняя (т. е. если оба шара лежат по одну
сторону от этой плоско-
сти), и через внутренний ---------------------------------------7
центр подобия, если эта _________,--5/
касательная плоскость вну- // ; \----------------------/
тренняя (т. е. если оба / \°/
шара лежат по разные сто- I о " / -
роны от этой плоскости). \ J
Это следует из того, что
радиусы ОА и ОА'(черт. 156), ч J56.
проведённые в точки каса- 1
ния, параллельны между со-
бой, так как они оба перпендикулярны к общей касательной плоскости.
Обратно, всякая плоскость, касательная к одному из шаров и про-
ходящая через один из центров подобия, касается и другого шара,
так как оба шара гомотетичны между собой относительно этого центра
подобия.
v Следовательно, общими касательными плоскостями к двум шарам
будут касательные плоскости к тому или другому из двух конусов,
описанных около одного из данных шаров и имеющих своей вершиной
центры подобия обоих шаров, если эти конусы существуют.
Если С и С — большие круги, по которым данные два шара пере-
секаются с какой-либо плоскостью, проходящей через линию центров,
то из сказанного в пункте 476 непосредственно вытекает, что каждый
из этих двух конусов имеет своим меридианом общую касательную к
окружностям С и С', проходящую через соответствующий центр подо-
бия. Следовательно, если оба шара лежат один вне другого, то суще-
ствуют оба конуса, если оба шара пересекаются, то один из них, и
если оба шара лежат один внутри другого, то ни одного.
491. Общие касательные плоскости к трём шарам. Всякая об-
щая касательная плоскость к трём шарам проходит через одну из
их осей подобия: действительно, она должна (в силу предыдущего
158
КНИГА ВОСЬМАЯ- КРУГЛЫЕ ТЕЛА
пункта) проходить через один из центров подобия первого и второго
шаров и через один из центров подобия первого и третьего шаров.
Обратно, всякая плоскость, касательная к одному из трёх шаров и
проходящая через одну из их осей подобия, касается и двух других
шаров.
В силу этого каждой из осей подобия трёх шаров, если только
она не имеет общих точек с этими шарами, соответствуют две общие
касательные плоскости, проходящие через эту ось. Если ни одна из
четырёх осей подобия не пересекает данных шаров, то существует
восемь общих касательных плоскостей. Если это условие не выполнено,
то число касательных плоскостей уменьшается на две или более еди-
ниц; может не существовать и ни одной общей касательной плоскости
(например, если два из данных шаров лежат один внутри другого).
УПРАЖНЕНИЯ.
671. Поверхность, обладающая тем свойством, что окружность, проходя-
щая через любые три её точки, целиком лежит на этой поверхности, есть шар
или плоскость (доказать).
672. Если некоторое число окружностей обладает тем свойством, что лю-
бые две из них пересекаются в двух точках, то:
1) либо все эти окружности проходят через две общие точки;
2) либо они лежат на одном шаре или на одной плоскости (доказать).
673. Какая поверхность образуется при вращении окружности около оси,
которая проектируется на плоскость этой окружности в один из диаметров?
674. Найти геометрическое место проекций данной точки пространства на
плоскости, проходящие через другую данную точку.
675. Найти геометрическое место центров сечений шара плоскостями, про-
ходящими через данную точку или через данную прямую.
676. Найти геометрическое место окружностей, вдоль которых конусы
с вершиной в данной точке касаются шаров, имеющих данный центр и пере-
менный радиус.
677. Найти геометрическое место точек, из которых можно провести к дан-
ному шару три касательные, образующие трёхгранный угол с тремя прямыми
плоскими углами.
678. Найти геометрическое место точек, из которых можно провести к дан-
ному шару три касательные плоскости, образующие трёхгранный угол с тремя
прямыми плоскими углами.
679. Геометрическое место точек, расстояния которых от трёх данных
точек пропорциональны трём данным числам (если такие точки существуют),
есть окружность, ортогональная ко всем шарам, проходящим через три данные
точки (доказать).
680. Найти геометрическое место таких точек, чтобы конусы, описанные
около двух данных шаров и имеющие эти точки своими вершинами, были
равны между собой. Решить ту же задачу для случая трёх данных шаров.
681. Найти геометрическое место таких точек, чтобы сумма квадратов их
расстояний от двух данных точек, умноженных соответственно на данные
коэффициенты, была бы постоянной.
682. Найти геометрическое место точек, степени которых относительно
двух данных шаров пропорциональны двум данным числам.
683. Решить ту же задачу для случая, когда даны три шара и три числа.
684. Найти геометрическое место концов отрезка, равного и параллельного
данному отрезку, зная, что концы искомого отрезка лежат на двух данных
шарах.
ГЛАВА Ш. ШАР И ЕГО СВОЙСТВА
159
685. Найти треугольник, который получается из данного треугольника
с помощью поступательного перемещения, зная, что вершины искомого тре-
угольника лежат соответственно на трёх данных шарах.
686. Произвольно данная плоскость пересекает шары, проходящие через
данную окружность, по окружностям, имеющим одну и ту же радикальную
ось (доказать).
687. Найти шар, зная одну из окружностей, через которые он проходит,
и касательную плоскость в одной из точек этой окружности.
688. Найти шар, проходящий через данную окружность и касающийся
данной плоскости или данного шара.
689. Через данную окружность провести шар, ортогональный к данному
шару.
690. Найти шар с центром на данной прямой, касающийся другой данной
прямой и проходящий через данную точку.
691. Найти шар с центром на данной прямой, касающийся другой данной
прямой и данной плоскости.
692. Найти шар, проходящий через данную окружность и касающийся
другой данной окружности. Исследовать задачу.
693. Рассматривается совокупность шаров, проходящих через данную ок-
ружность С. Найти геометрическое место окружностей, вдоль которых описан-
ные конусы с вершиной в данной точке, лежащей в плоскости окружности С,
касаются этих шаров. Найти геометрическое место точек прикосновения ка-
сательных плоскостей к этим шарам, проходящих через данную прямую, ле-
жащую в плоскости окружности С. Найти геометрическое место линий пере-
сечения касательных плоскостей к каждому из этих шаров в двух данных
точках окружности С.
694. Что можно сказать о шарах, проходящих через две данные точки А
и В и касающихся данной прямой, пересекающей продолжение отрезка АВ?
695. Рассматривается совокупность шаров, проходящих через две данные
точки и касающихся данной плоскости или данного шара. Найти геометриче-
ское место точек касания.
696. Найти шар, проходящий через две данные точки и касающийся двух
данных плоскостей.
697. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся двух дан-
ных скрещивающихся прямых, при условии, что центры этих шаров лежат
в плоскости, параллельной этим прямым и находящейся от них на равных рас-
стояниях.
698. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся трёх данных
плоскостей.
(Четыре прямые, за исключением того случая, когда две из данных пло-
скостей параллельны.)
Сколько существует конусов или цилиндров вращения, касающихся трёх
данных плоскостей?
699. Существует, в общем случае, восемь шаров, касающихся сторон про-
странственного четырёхугольника (доказать). Однако если сумма двух сторон
четырёхугольника равна сумме двух других его сторон, то существует бес-
численное множество шаров, касающихся четырёх сторон четырёхугольника
(доказать). Найти при этом условии геометрическое место центров шаров.
Какой из этих шаров имеет наименьший радиус?
Вывести отсюда решение упражнения 570.
700. Найти условия, при которых существует шар, касающийся всех шести
рёбер тетраэдра.
701. Найти шар, вписанный или вневписанный в данный тетраэдр.
Выразить радиус вписанного или вневписанного шара тетраэдра через
объём тетраэдра и площади его граней.
Исследовать, пользуясь полученными выражениями, число решений задачи.
Плоскости граней тетраэдра, продолженные неограниченно, делят пространство
160
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
на пятнадцать областей; центры искомых шаров могут лежать только в восьми
из этих областей (принять во внимание лемму 1 пункта 586). Это число пони-
жается на одну или несколько единиц в некоторых исключительных случаях.
702. Рассматривается совокупность шаров, касающихся данной плоскости
в данной точке; найти геометрическое место точек прикосновения касательных
плоскостей к этим шарам, параллельных данной плоскости.
703. Найти шар, пересекающий две данные окружности под прямым
углом'). Рассмотреть случай, когда задача невозможна или неопределённа.
704. Плоскости всех окружностей, пересекающих каждую из двух данных
окружностей в двух точках, проходят через одну и ту же точку (доказать).
(В каком случае это предложение допускает исключение?)
705. Найти окружность, которая делит каждую из двух данных окружно-
стей на две равные части.
706. Найти окружность, которая делится каждой из двух данных окруж-
ностей на две равные части.'При каком условии задача возможна?
707. Найти окружность, касающуюся двух данных окружностей.
Рассмотреть случаи, когда эта задача или задачи, предложенные в двух
предыдущих упражнениях, неопределённы.
708. Найти геометрическое место центров шаров, пересекающихся с двумя
данными шарами так, что обе линии пересечения служат большими кругами
на данных шарах; большими кругами на искомом шаре; одна из линий пере-
сечения служит большим кругом на данном шаре, а другая — большим кругом
на искомом шаре.
Рассмотреть аналогичные задачи (их будет четыре) для случая, когда
даны три шара.
709. Если два неконцентрических шара не имеют общих точек, то суще-
ствуют две точки (называемые предельными точками), обладающие тем свой-
ством, что если каждую из них рассматривать как шар (с радиусом, равным нулю),
то они имеют с двумя данными шарами общую радикальную плоскость (доказать).
Любой шар, ортогональный к двум данным шарам, проходит через их
предельные точки (доказать).
710. Если три шара, центры которых не лежат на одной прямой, не имеют
ни одной общей точки, то ортогональные к ним шары проходят через одну
и ту же окружность. Эта окружность есть геометрическое место точек, обла-
дающих тем свойством, что если рассматривать их как шары (с радиусом,
равным нулю), то они имеют с тремя данными шарами общую радикальную ось.
711. Шар, ортогональный к четырём данным шарам (если он существует),
есть геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что если рас-
сматривать их как шары (с радиусом, равным нулю), то они имеют с четырьмя
данными шарами общий радикальный центр (доказать).
712. Даны две окружности; найти геометрическое место предельных точек
двух шаров 8j и S2, каждый из которых проходит через одну из этих ок-
ружностей.
Получается шар, рассмотренный в упражнении 703; однако надо ещё убе-
диться, что каждая точка этого шара принадлежит искомому геометрическому
месту, строя шары 8\ и S2, соответствующие этой точке.
Что будет в тех случаях, когда задача, предложенная в упражнении 703,
не имеет решений или становится неопределённой?
713. Трёхгранный угол с тремя прямыми плоскими углами вращается
около своей вершины так, что рёбра его всё время пересекают данный шар.
Показать:
1) что сумма квадратов хорд, отсекаемых шаром на трёх рёбрах, остаётся
постоянной;
1) Шар и окружность пересекаются (по определению) под прямым хглом,
если касательная к окружности в точке пересечения перпендикулярна к каса-
тельной плоскости к шару в той же точке.
ГЛАВА IV. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ШАРА
161
2) что тем же свойством обладает сумма квадратов шести отрезков от
вершины до точек пересечения рёбер с шаром;
3) что сумма площадей тех кругов, по которым шар пересекается с тремя
гранями трёхгранного угла, также остаётся постоянной.
714. Если при тех же условиях (упр. 713) провести плоскость через три
из рассмотренных точек пересечения, то проекция вершины трёхграниого
угла на эту плоскость описывает при вращении трёхгранного угла шар (до-
казать).
(См. упр. 523, 1° и Пл., упр. 70.)
Если вершина трёхгранного угла лежит на шаре, то все плоскости, о ко-
торых идёт речь, проходят через одну и ту же точку; эта точка есть центр
тяжести треугольника, имеющего своими вершинами три точки пересечения
рёбер трёхгранного угла с шаром (доказать).
715. Три шара можно выбрать так, чтобы существовали все восемь их
общих касательных плоскостей (п. 491) (доказать).
(Для этого достаточно, приняв за центры три точки, не лежащие на одной
прямой, выбрать радиусы шаров достаточно малыми.)
ГЛАВА IV.
ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ШАРА.
492. Теорема. Поверхность, образованная вращением отрезка
около оси, лежащей, с ним в одной плоскости, но его не пересекаючсей.
X Q b ¥
Черт. 158.
В
Д
X ¥.
Черт. 159.
Д В
измеряется проекцией отрезка на ось, умноженной на длину окруж-
ности, центр которой лежит на оси и которая касается данного
отрезка в его середине 1).
Поверхность, образованная вращением отрезка АВ ( черт. 160)
около оси XY, лежащей с ним в одной плоскости, но его не пересе-
кающей, представляет собой в общем случае поверхноэть, усечённого
конуса, радиусами оснований которого служат перпендикуляры Аа и
ВЬ, опущенные из точек А и В на ось вращения.
Как исключение, этот усечённый конус обращается в конус, если
один из концов отрезка лежит на оси (черт. 157), или в цилиндр,
если отрезок параллелен оси (черт. 158)2).
Пусть Н—середина отрезка АВ, Hh — перпендикуляр, опущенный
из этой точки на ось. Боковая поверхность усечённого конуса изме-
1) Полученное таким образом выражение теряет смысл, если данный от-
резок перпендикулярен к оси вращения (черт. 159). В дальнейшем этот случай
встречаться не будет.
2) В случае, исключённом из рассмотрения в предыдущей сноске, когда
данный отрезок перпендикулярен к оси, мы получили бы кольцо или круг.
11 Элементарная геометрия, ч. II
162
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
ряется (п. 469) произведением 2тг-AB-Hh', то же самое выражение
сохраняет силу и в том случае, когда усечённый конус обращается
либо в конус, либо в цилиндр (п. 469, примечание).
Проводим через точку Н прямую, перпендикулярную к АВ до
пересечения с осью в точке О и через точку А — прямую AM, па-
раллельную оси до пересечения в точке М с прямой ВЬ (черт. 160).
Черт. 160. Черт. 161. Черт. 162. Черт. 163.
Отрезок AM равен ab, т. е. проекции отрезка АВ на ось. С другой
стороны, треугольники АВМ и HhO, подобные между собой в силу
перпендикулярности их сторон, дают:
АВ_AM.
ОН~ Hh ’
эту пропорцию можно переписать в виде равенства:
AB-Hh = OH-AM.
Следовательно,
пов. АВ = 2тт• АВ• Hh — 2п - ОН AM = 2п• ОН-ab.
493. Поверхность шарового пояса. Определение. Шаровым
поясом называется часть поверхности шара, заключённая между двумя
параллельными плоскостями (черт. 161). Окружности, лежащие в этих
плоскостях и, следовательно, ограничивающие пояс, называются его
основаниями. Расстояние между плоскостями оснований называется
высотой пояса.
Каждая из двух частей, на которые поверхность шара делится
пересекающей её плоскостью, называется сферическим сегментом').
Сферический сегмент можно, очевидно, рассматривать как пояс, у ко-
торого одна из плоскостей оснований касается шара.
Шаровой'пояс (или сферический сегмент) можно также определить
как поверхность, образованную вращением дуги АВ окружности (черт.
162, 163) около диаметра, не имеющего с этой дугой общих точек
(в случае пояса) или имеющего с ней общий конец (в случае сегмента).
Высотой пояса или сегмента будет при этом проекция дуги АВ на ось.
!) Сравнить пункт 384. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА IV. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ШАРА
163
494. Для определения поверхности шарового пояса мы заменим
сначала дугу АВ вписанной в неё ломаной линией (ACDEB на чер-
теже 164). Поверхностью пояса будет, по определению, предел, к ко-
торому стремится поверхность, образованная вращением этой ломаной
около данной оси, когда число её звеньев неограниченно возрастает
так, что длина каждого из звеньев стремится к нулю.
Существование этого предела и его выражение вытекают из сле-
дующих двух теорем
Теорема. Поверхность, образованная вращением ломаной, линии,
вписанной в окружность, около диаметра, не пересекающего этой
ломаной, равна проекции ломаной, линии
на данный диаметр, умноженной на дли-
ну окружности, радиус которой заклю-
чается между наименьшим и наиболь-
шим из расстояний центра окружности
от звеньев этой ломаной.
Пустьломаная линия АСОЕВ(черт. 164),
вписанная в окружность с центром О, вра-
щается около диаметра XY, не пересекаю-
щего этой ломаной (причём один или оба
конца ломаной могут лежать на оси А'У). Пусть я, с, d, е, b — проек-
ции вершин ломаной на ось XY. Так как все прямые, перпендикуляр-
ные к звеньям ломаной и проходящие через их середины Н, К, L, М,
проходят через точку О, то из теоремы пункта 492 вытекают следую-
щие равенства *):
пов. AC —2n-ас-ОН,
пов. CD — 2u-cd-OK,
пов. DE=2Tt’de-OL,
пов. £B — 2n-eb-OM.
Следовательно, поверхность, образованная ломаной ACDEB, изме-
ряется следующим выражением:
2п• (ас• ОН - cd ОК -]- de OL -|- eb• ОМ).
Но на основании известной арифметической теоремы* 2) выражение,
стоящее в скобках, равно произведению суммы ас-|-cd-|-de-(-eb, т. е.
ab, на некоторую величину, заключённую между наименьшей и наи-
большей из величин ОН, OK, OL, ОМ, что и доказывает теорему.
Следствие. Если ломаная линия правильная, то каждое из рас
стояний ОН, OK, OL и ОМ равно апофеме этой ломаной.
Поэтому поверхность, образованная вращением правильной лома-
ной линии около оси, лежащей в её плоскости, проходящей через
*) Исключительный случай, указанный в пункте 492, сноска 1, не может
в данном случае иметь места, так ка. хорда окружности не может быть пер-
пендикулярна к не пересекающему её диаметру.
2) См. пункт 467, сноска.
11*
164
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
её центр и не пересекающей данной ломаной, равна проекции этой
ломаной на ось, умноженной на длину вписанной окружности.
4Э5. Теорема. Поверхность, образованная вращением дуги окруж-
ности около диаметра, её не пересекающего, равна проекции
дуги на этоп диаметр, умноженной на длину всей окружности.
Иначе говоря, поверхность шарового пояса равна произведению его
высоты на длину окружности большого Kpvza.
Действительно, пусть АВ—дуга с центром в точке О, вращаю-
щаяся около диаметра XY\ ab— проекция дуги АВ на XY. Если
вписать в дугу АВ ломаную линию ACDEB, то при вращении этой
ломаной около XY образуется поверхность, равная произведению
2п-аЬ на некоторую величину, заключённую между наибольшим и
наименьшим из расстояний центра от звеньев ломаной линии.
Если теперь неограниченно увеличивать число звеньев ломаной
так, чтобы длина каждого из них стремилась к нулю, то каждое из
расстояний, о которых только что шла речь, стремится к радиусу
ОА — R окружности. Следовательно, поверхность, образованная вра-
щением ломаной линии, имеет предел, не зависящий от закона, не-
которому возрастает число её звеньев (лишь бы только длина каж-
дого звена стремилась к нулю), и этот предел равен:
2тг/? • ab.
Примечание. Предыдущее доказательство и заключение тео-
ремы сохраняют силу и в случае сферического сегмента.
Следствие. Из предыдущей теоремы следует, что поверхности
двух поясов одного и того же шара пропорциональны их высотам.
4Э6. Поверхность шара.
Теовема. Поверхность шара радиуса R равна 4r,R2.
Действительно, рассуждение, проведённое в предыдущем пункте,
применимо и к тому случаю, когда дуга АВ обращается в полуокруж-
ность. При этом проекция ab будет диаметром шара 2R, а пояс
обращается в шар. Следовательно, поверхность шара измеряется про-
изведением:
2uR 2R = 4r,R2.
Следствие. Поверхность шара равна учетверенной площади
большого круга.
Примечание. Из полученного выражения видно, что поверх-
ности двух шаров пропорциональны квадратам их paduveoe.
4J7. Теорема. Объём, образованный вращением треугольника
около оси, лежащей в его плоскости, проходящей через одну из его
вершин и его не пересекающей, измеряется произведением поверх-
ности, которую описывает сторона треугольника, противоположная
вершине, ле жащей на оси, на одну треть соответствующей высоты.
Разберём три случая:
1°. Одна из сторон треугольника лежит на оси.
ГЛАВА IV. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ШАРА
165
Пусть сторона АВ треугольника АВС лежит на оси XY (черт.
165, 166). Проведём через вершину С перпендикуляр Сс к этой осп.
Прямоугольные треугольники АСс и ВСс образуют при вращении
около оси XY два конуса, имеющих общим основанием круг ради-
уса Сс, а высотами отрезки
ответственно ~^-п-Сс2-Ас и
тг • Сс2 Вс. Объём, образо-
ванный вращением треуголь-
ника АВС, будет равен сумме
или разности объёмов этих ко-
нусов, смотря потому, будет
ли точка с лежать на отре-
зке АВ (черт. 165) пли на его
продолжении, например за точкой В (черт. 166);
будем иметь:
об. АВС=к-Сс2 Ас -4—y -п-Сс2-Вс — ^ т>Сс2 (Лс4-2?с)
О о о J
Ас и Вс. Их объёмы
будут равны со-
следователыю, мы
в первом случае, и
об. АВС=^-тг-Сс2- Ас-i тг-Сс2-Вс=^-п-Сс2 (Ас — Вс)
ООО
во втором.
Но так как мы имеем в первом случае
АВ = АсВс,
а во втором
АВ = Ас— Вс,
то в том и в другом случае получим:
об. ABC = -,-rt-Cc2-AB.
О
С другой стороны, если АН есть высота треугольника, опущенная
из вершины А, то
Сс-АВ = ВС-АН,
потому что каждое из этих произведений представляет собой удвоен-
ную площадь треугольника Al С. Следовательно, можно написать
об. = у п-Сс-ВС-АН,
откуда
об. АВС = ±АН-пов. ВС,
О
так как сторона ВС описывает поверхность конуса, равную (п. 467)
тг-ВС-Сс.
166
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
2°. Сторона, противоположная вершине, лежащей на оси, па-
раллельна этой оси.
Пусть вершина А треугольника АВС лежит на оси ХУ (черт.
167, 168), в то время как сторона ВС параллельна этой оси. Про-
ведём опять высоту АН и спроектируем точки В и С на ось в
точки b и с. При вращении полученной фигуры около оси прямо-
угольник ВЬАН образует цилиндр, а треугольник АВЬ —конус; так
как оба эти тела имеют общее основание (круг радиуса ЬВ) и общую
высоту (АЬ), то объём конуса равен одной трети объёма цилиндра;
разность их объёмов, т. е. объём, образованный вращением треуголь-
2
ника АВИ, равен объёма цилиндра, образованного вращением
о
прямоугольника АЬВН.
Точно так же объём, образованный вращением треугольника АСН, ра-
2
вен — объёма цилиндра, образованного вращением прямоугольника АсСН.
О
Следовательно, объём, образованный вращением треугольника АВС
и представляющий собой сумму (черт. 167) или разность (черт. 168)
объёмов, образованных вращением двух только что рассмотренных
треугольников, равен -у объема цилиндра, образованного вращением
прямоугольника ВЬсС, так как объём этого цилиндра равен сумме
или разности объёмов двух цилиндров, -которые мы рассматривали
выше. Иначе говоря:
2 2 1
об. АВС=^- - об. ВЬсС^=^-п-ВЬ2-ВС=Х-АН-2-и.ВЬ-ВС^
О о О
=4-ДАЛ пов. ВС.
О
3°. Общий случай.
Пусть вершина А треугольника АВС лежит на оси ХУ, и сторона
ВС не параллельна этой оси (черт. 169). Пусть далее D—точка пе-
ресечения продолжения стороны ВС с осью XV. Тогда обозначая,
как и прежде, через АН высоту треугольника, выходящую из вер-
шины А, имеем (в силу 1°):
об. ДВО = пов. ВО-—АН,
О
об. АСО= поя. CD--,,-АН,
О
ГЛАВА IV. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ШАРА
167
откуда, вычитая, получим:
об. АВС = пов. ВС • -4- АН.
О
498. Объём шарового сектора.
Определение. Шаровым сектором называется тело, образо-
ванное вращением кругового сектора около не пересекающего его
диаметра. При этом вращении дуга, служащая основанием кругового
сектора, описывает шаровой пояс, который называется основанием
шарового сектора.
Для определения объёма шарового сектора мы заменим круговой
сектор вписанным в него многоугольным сектором. Объёмом шаро-
вого сектора будет, по определению, предел, к которому стремится
объём, образованный вращением этого многоугольного сектора, когда
число звеньев ломаной линии, служащей его основанием, неограни-
ченно возрастает так, что длина каждого звена стремится к нулю.
Следующие теоремы доказывают существование этого предела и
дают для него выражение, не зависящее от закона, по которому
К О Y
Черт. 170.
строятся вписанные ломаные.
Теорема. Объём, образованный вращением многоугольного сек-
тора (Пл., п. 253а) около оси, лежащей в его плоскости, проходя-
щей через его центр и его не пересекаю’цей, равен одной трети
произведения поверхности, образованной вращением ломаной линии,
служащей основанием сектора, на некоторую величину, заклю-
чённую между наибольшим и наимень-
шим из расстояний центра от звеньев
этой ломаной.
Пусть многоугольный сектор OACDEB
(черт. 170) вращается около оси XY, про-
ходящей через его центр О, лежащей в
его плоскости и его не пересекающей. Вы-
ражение для объёма, образованного вра-
щением каждого из треугольников О АС,
OCD, ODE и ОЕВ, можно получить, пользуясь предыдущей теоремой.
Обозначая через ОН, OK, OL и ОМ расстояния центра от звеньев АС,
CD, DE и ЕВ, будем иметь:
об. О АС=4- ОН- пов. АС,
О
об. OCD = ^-ОК- пов. CD,
О
об. ODE — 4- OL • пов. DE,
О
об. ОЕВ=-|- ОМ • пов. ЕВ.-
Складывая эти равенства и снова применяя ту арифметическую
теорему, которой мы уже пользовались в пункте 494, мы видим, что
168
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
объём, образованный вращением сектора, равен одной трети сум-
мы пов. /С-|-пов. С£)-|-пов. пов. ЕВ, т. е. одной трети
пов ACDEB, умноженной на некоторую величину, заключённую между
наибольшей и наименьшей из величин ОН, OK, OL и ОМ.
Следствие. Если многоугольный сектор правильный, то каж-
дый из отрезков ОН, OK, OL и ОМ равен апофеме правильной
ломаной линии ACDEB.
• Следовательно, объём, образованный вращением правильного много-
угольного сектора около оси, лежащей в его плоскости, проходя-
щей через его центр и его не пересекающей, равен произведению по-
верхности, образованной вращением ломаной линии, служащей его
основанием, на одну треть апофемы.
Теорзма. Объём шарового сектора равен поверхности пояса,
служащего его основанием, умноженной на одну треть радиуса.
Действительно, если неограниченно увеличивать число звеньев
ломаной, вписанной в дугу АВ (черт. 170), образующую при своём
вращении пояс, служащий основанием сектора,— и притом так, чтобы
длина каждого из звеньев стремилась к нулю,— то поверхность, об-
разованная вращением этой вписанной ломаной, стремится к поверх-
ности пояса, а каждое из расстояний ОН, ОК, . (черт. 170) центра
от звеньев ломаной — к радиусу. Следовательно, объём, образованный
вращением многоугольного сектора, стремится к пределу, о котором
говорится в теореме.
След ствие. Если R — радиус шара, h — высота пояса, служа-
2
щегб основанием сектора, то объём сектора равен у nR2h.
В самом деле, это выражение есть произведение 17? на поверх-
О
ность пояса, вычисленную нами в пункте 495.
4.19. Объём шара. Теорема. Объём шара радиуса R равен
у п/?3.
Действительно, рассуждения, которыми мы пользовались в преды-
дущем доказательстве, приложимы и к телу, образованному вращением
полукруга около его диаметра, т. е. к шару. При этом надо только
в выражении, полученном в предыдущем пункте (следствие), заменить
h через 2R, что и приводит к указанному в теореме выражению.
Следствие. Объём шара диаметра D равен yTtD3.
4
Чтобы в этом убедиться, достаточно в выражении -q-ттТ?3 заме-
О
г. D
нить R через -у.
Примечание. Из полученных выражений видно, что объёмы
двух шаров пропорциональны кубам их радиусов (или кубам их
диаметров).
ГЛАВА IV, ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ШАРА
169
500. Объём шарового кольца. Шаровым кольцом называется
тело, образованное вращением кругового сегмента (Пл., п. 263) около
диаметра, его не пересекающего.
Объём, образованный вращением кругового сегмента около диа-
метра, его не пересекающего (объём шарового кольца), равен одной
шестой объёма цилиндра, радиусом основания которого
служит хорда этого сегмента, а высотой — проекция
этой хорды на ось вращения.
Пусть круговой сегмент, заключённый между дугой АВ
окружности О и её хордой (черт. 171), вращается около
оси XY, проходящей через точку О. Пусть далее ab —
проекция АВ на ось вращения. При вращении около
оси XY круговой сектор О АВ образует объём, который
2
измеряется (п. 498) произведением тт-ОА2-аЬ.
О
Y
С другой стороны, прямолинейный треугольник ОАВ Черт. 171.
образует при вращении около оси XY тело, объём кото-
рого равен (п. 497) ^-ОН- пов. АВ (где через ОН обозначено рас
О
стояние центра от хорды АВ), т. е. (п. 492):
1 2
~ОН-2и-аЬ-ОН ~n-OH2-ab.
<5 О
Разность этих двух объёмов представляет собой, очевидно, объём
шарового кольца, который будет, таким образом, равен:
9 •> 2
4 п. О А2 • ab — 4 п-ОН2 • ab = ~ тг-ab - (ОА2 — ОН2).
ООО
Но из треугольника ОАН имеем:
ОА2 — ОН2=АН2=\ АВ2-,
4
следовательно,
2 1 1
об. кольца АВ — -^-н-аЬ-т АВ2 — тт- АВ2-аЬ,
3 4 6
501. Объём шарового слоя и шарового сегмента. Шаровым
слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллель-
ными плоскостями ’); в общем это будет тело, ограниченное шаровым
поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны между собой
(черт. 172); эти круги называются основаниями шарового слоя. Как
частный случай шарового слоя можно рассматривать шаровой сегмент,
т. е. тело, ограниченное кругом (называемым основанием шарового
) При этом слово „шар“ употреблено здесь в смысле, указанном в сноске
к пункту 382, т. е. в смысле внутренней области сферы. Прим. ред. перевода
170
КНИГА ВОСЬМАЯ- КРУГЛЫЕ ТЕЛА
сегмента) и сферическим сегментом (черт. 173)’)• Чтобы иметь воз-
можность применить приводимые ниже рассуждения и к шаровому
сегменту, надо принять за плоскость его второго основания касатель-
ную плоскость к шару, параллельную плоскости основания сегмента.
Высотой шарового слоя (или шарового сегмента) называется рас-
стояние между плоскостями обоих оснований.
Объём шарового слоя (или шарового сегмента} равен полусумме
объёмов двух цилиндров, имеющих своей общей, высотой высоту слоя
Черт. 173.
Черт. 174.
(сегмента) и основаниями соответственно оба основания2), сложен-
ной с обоёмом шара, имеющего своим диаметром высоту слоя
(сегмента).
Пусть шаровой слой образован вращением криволинейной трапеции
аАВЬ (черт. 174) около оси ab и, следовательно, ограничен, с одной
стороны, двумя кругами, имеющими своими радиусами соответственно
отрезки аА и ЬВ, с другой стороны,— шаровым поясом, образованным
дугой АВ. Объём рассматриваемого тела равен, очевидно, сумме
объёмов усечённого конуса, образованного вращением прямолинейной
трапеции аАВЬ, и шарового кольца АВ.
Объём усечённого конуса равен:
~n-ab-{Aa -|~ ВЬ -|- Аа-ВЬ);
объём кольца равен:
4-ТТ-О&- АВ2.
О
]) В русском языке слово сегмент обычно употребляется в применении
к шар}' безразлично, как для обозначения части поверхности, ограниченной
малым кругом, так и для обозначения тела, ограниченного этой частью поверх-
ности и плоскостью малого круга, в то время как во французском языке этим
двум понятиям соответствуют различные термины (caloite spherique, segment
spherique а ине base). Желая сохранить это различие и в русском переводе,
мы употребляем в очном случае вьц ажение сферический сегмент, в другом
случае — шаровой сегмент. Прим. ред. перевода.
2) В случае сегмента радиус основания одного нз этих цилиндров, а сле-
довательно, и его объём обращаются в нуль. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА IV. ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМ ШАРА
171
Следовательно, сумма обоих объёмов равна:
-Ln-ab- (АВ1 2 4- 2 А?2-|- 2ВЬ + 2 А а • ВЬ).
Но АВ2 можно выразить через Аа, ВЬ и ab; действительно, если
через точку А провести прямую АН, параллельную оси до пересече-
ния в точке Н с прямой ВЬ, то из прямоугольного треугольника АВН
будем иметь:
АВ2 = АН2 ± НВ2;
и так как, с другой стороны !),
АН—ab, ВН=ВЬ—НЬ = ВЬ - Аа,
то мы получим.
___2
АВ2 = ab + (ВЬ — Аа)2.
Следовательно, объём слоя равен:
1 ____2 __2 ___2
А-я-аЬ-[аЬ Аа)2-^-2Аа -±-2ВЬ -\-2Аа-ВЬ] =
« __2 ___2 __1 ___2 ___2
— ^п-аЬ-(аЬ 4- Аа — 2Аа-ВЬ-\-ВЬ 4~2Ла 4- 2ВЬ 4- 2Аа ВЬ).
«ли, после приведения подобных членов:
1 ____3 I ___2 __2
-g-п- ab -\--^--a-ab-(Aa 4~ ВЬ);
это выражение действительно представляет собой сумму объёмов шара
и двух половин цилиндров, о которых говорится в теореме.
УПРАЖНЕНИЯ.
716. Разделить поверхность шара па данное число равновеликих частей
плоскостями, проходящими через данную прямую, лежащую вне шара.
717. Показать, что данный шар отсекает от любого шара, проходящего
через его центр и его пересекающего, сферический сегмент, имеющий одну и
ту же поверхность.
718. Около шара описан цилиндр. Показать, что поверхность шарового
пояса, заключённого между двумя плоскостями, перпендикулярными к оси
цилиндра, равна части поверхности цилиндра, заключённой между теми же
плоскостями.
719. Около шара описан цилиндр; к тому же шару проведена касательная
плоскость Р, перпендикулярная к оси цилиндра, и перпендикулярное сечение
цилиндра, лежащее в этой плоскости, принято за основание конуса, вершина
которого лежит в центре шара. Показать;
1) Мы предполагаем для определённости, что ВЬ больше, чем Аа, иначе
говоря, мы обозначаем через В тот конец дуги, который более удалён от оси.
172
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
1) что если пересечь все три тела одной и той же плоскостью, параллель-
ной плоскости Р, то площадь сечения цилиндра равна сумме площадей тех
кругов, по которым эта плоскость пересекает соответственно конус и шар;
2) что если пересечь все три тела двумя плоскостями, параллельными
плоскости Р, то объём части цилиндра, заключённой между этими плоскостями,
равен сумме объёмов частей конуса и шара, заключённых между теми же
плоскостями.
720. Показать, что объёмы цилиндра, конуса, усечённого конуса и шарового
слоя удовлетворяют соотношению:
V=^{B-]-B'-[-4B"),
где через Л, В В', В" обозначены, как и в упражнении 587, высота тела, площади
обоих оснований (в случае конуса площадь верхнего основания равна нулю)
и площадь сечения тела плоскостью, параллельной основаниям и находящейся
от них на равных расстояниях.
721. Два малых круга, полярных один относительно другого (упр. 498),
обладают тем свойством, что если принять за единицу длины длину окружности
большого круга, а за единицу площади — поверхность полушария, то число, выра-
жающее длину окружности одного из них, равно единице, уменьшенной на
число, выражающее поверхность сферического сегмента, заключённого внутри
другого (доказать).
722. Для всех многогранников, описанных около одного и того же шара,
отношение объёма к поверхности имеет одну и ту же величину' (доказать).
723. Предложение, рассмотренное в предыдущем упражнении, сохраняет
силу также для цилиндра, конуса или усеченного конуса, описанных около
шара (цилиндр, конус или усечённый конус называются описанными около
шара, если: 1) соответствующая цилиндрическая или коническая поверхность
описана около этого шара, 2) плоскости оснований касаются того же шара];
и вообще — для любого тела, ограниченного частями описанных цилиндриче-
ских или конических поверхностей и касательными плоскостями (доказать).
724. Найти отношение объёмов, образованных вращением параллелограма
последовательно около двух его смежных сторон.
725. Вычислить стороны треугольника, зная радиусы шаров, объёмы ко-
торых соответственно равны объёмам, образованным вращением треугольника
последовательно около каждой из его сторон.
726. Вычислить радиус сечения шара, зная, что радиус шара равен R
и что площадь этого сечения равна разности поверхностей тех сферических
сегментов, на которые шар делится этим кругом.
Найти высоту описанного конуса, касающегося шара вдоль этого круга.
727. Найти на данном шаре такой сферический сегмент, чтобы отношение
его поверхности к площади круга, служащего его основанием, имело данную
величину.
728. Пересечь данный шар плоскостью так, чтобы отношение объёма
одного из полученных шаровых сегментов к объёму шарового сектора, имею-
щего своим основанием соответствующий сферический сегмент, имело данную
величину.
729. За основание конуса принят крут, лежащий на данном шаре, а за его
вершину—один из полюсов этого круга. Выбрать этот круг так, чтобы отно-
шение объёма этого конуса к объёму того из шаровых сегментов, имеющих
своим основанием тот же крут, внутри которого лежит данный конус, имело
даннх ю величину.
Найти предел, к которому стремится отношение объёма конуса к объёму
шарового сегмента, когда их общая высота стремится к нулю.
730. Построить шаровой слой, принадлежащий данному шару, зная его
объём (т. е. радиус шара, равновеликого искомому слою) и поверхность пояса,
его ограничивающего (т. е. радиус крута, равновеликого этой поверхности).
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
173
Найти шаровой слой, принадлежащий данному шару и имеющий наиболь-
ший объём при данной поверхности шарового пояса, ограничивающего этот
слой.
731. Построить на данном шаре три круга, попарно касающихся друг
друга, так, чтобы плоскости этих кругов были параллельны одной прямой
и чтобы два из этих кругов были равны между собой н делили на четыре
равновеликие части поверхность одного из сферических сегментов, определяе-
мых третьим кругом.
732. Пусть А— точка касания двух окружностей О н О', касающихся
друг друга внешним образом; Т и Т — точки касания их внешней общей
касательной. Показать:
1) что объём шарового кольца, которое ограничено боковой поверхностью
усечённого конуса, образованного вращением отрезка ТТ (около линии
центров), и поверхностью шара, проходящей через окружности обоих основа-
ний этого усечённого конуса, вдвое более объёма той части усечённого конуса,
которая лежит вне шаров S и S', образованных вращением данных окруж-
ностей;
2) что эта часть объёма усечённого конуса равна сумме объёмов тех
шаровых колец, которые конические поверхности, образованные вращением
хорд АТ и АТ', отсекают соответственно от шаров S и S'.
Выразить все эти объёмы через радиусы данных окружностей.
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ.
733. Если радикальный центр четырёх шаров лежит внутри этих шаров,
то он служит центром некоторого шара, пересекающегося с данными шарами
по большим кругам этого шара (доказать).
734. Даны две пересекающиеся прямые и точка, лежащая в плоскости этих
прямых. Найти геометрическое место образующих, вдоль которых касательные
плоскости, проходящие через данную точку, касаются конусов вращения,
проходящих через данные прямые.
(Сводится к упражнению 693 путём рассмотрения шаров, вписанных в рас-
сматриваемые конусы.)
Рассматривается совокупность малых кругов, проходящих через две дан-
ные точки А и В шара; через точку С, лежащую на большом круге АВ, про-
ведены большие круги, касательные к этим малым кругам. Найти геометриче-
ское место точек касания Т. Показать, что
„г, CACB-R
с 16-----------,
d
где R— радиус данного шара, d— расстояние хорды АВ от центра.
735. Две данные взаимно перпендикулярные прямые, не лежащие водной
плоскости, пересечены рядом плоскостей, параллельных данной плоскости.
Показать, что все шары, построенные на отрезках, имеющих своими концами
точки пересечения каждой из этих плоскостей с данными прямыми, как на
диаметрах, проходят через одну и ту же окружность.
736. На двух данных прямых D и U откладывают от данных на них
..... А'М’
точек А и А' два отрезка AM и AM, отношение которых равно дан-
ному числу k(k Ф 1), и рассматривают шар (п 472), представляющий собой
РМ'
геометрическое место точек Р, для которых — k (случай А=1 рассмот-
рен в упражнении 455).
Показать, что если точки М и М' перемещаются соответственно по обеим
А'М'
прямым (так что отношение ,-у остаётся равным я), то все шары, получен
174
КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
ные, как только что было указано, принадлежат к одному из следующих двух
семейств (смотря по тому, в какую сторону отложены отрезки AM и Л'ЛГ);
к семейству шаров, проходящих через одну и ту же окружность С\ •), или
к семейству шаров, проходящих через одну и ту же окружность С2.
Направления плоскостей, в которых лежат окружности С| и С3, не зависят от
выбора точек А и Л', если прямые D и РУ и отношение k даны; если k изме-
няется, то эти плоскости остаются параллельными некоторой прямой (доказать).
Всякая точка, лежащая на одной из окружностей С\ или С2, обладает тем
свойством, что отношение её расстояний от данных прямых равно k. Обратно,
через любую точку пространства, отношение расстояний которой от прямых
D и 1У равно k, проходит одна из окружностей Cf и одна из окружностей Сг
(доказать).
737. Даны два шара и точка Р, геометрическое место прямых, проходящих
через точку Р и обладающих тем свойством, что отрезки каждой из этих
прямых, имеющие своими концами точки пересечения этой прямой с данными
шарами, делятся точкой Р в данном отношении, есть конус с круговым осно-
ванием (доказать).
Этот конус может обращаться в плоскость. Найти геометрическое место
точек Р, для которых это имеет место.
738. Геометрическое место рёбер прямых двугранных углов, грани кото-
рых проходят соответственно через две данные пересекающиеся прямые, есть
конус с круговым основанием (упр. 464) (доказать).
739. Геометрическое место точек, для которых отношение их расстояний
от двух данных пересекающихся прямых имеет постоянную величину, есть
наклонный конус с круговым основанием (упр. 736) (доказать).
740. Геометрическое место биссектрис углов, у которых одной стороной
служит данная прямая, а другая описывает данную плоскость (проходя по-
стоянно через точку пересечения этой плоскости с первой стороной угла),
есть конус (в общем случае наклонный) с круговым основанием (доказать).
741. Найти геометрическое место вершин четырёхгранного угла, грани
которого проходят соответственно через стороны данного плоского четыр?х-
угольника, зная, что этот четырёхгранный угол можно пересечь по прямо-
угольнику (упр. 510).
Решить ту же задачу, зная, что четырёхгранный угол можно пересечь не
по прямоугольнику, а по ромбу.
Решить ту же задачу, зная, что четырёхгранный угол можно пересечь по
квадрату; найти геометрическое место центров квадратов, получаемых в сече-
нии (наклонный конус с круговым основанием).
742. Дай усечённый конус, у которого высота есть среднее пропорцио-
нальное между диаметрами оснований; доказать, что в него можно вписать
шар (упр. 723; Пл., упр. 135).
Показать, что боковая поверхность такого усечённого конуса равна пло-
щади круга, имеющего своим радиусом образующую усечённого конуса.
Построить радиусы оснований, зная высоту и образующую.
743. Построить три шара, проходящих соответственно через три вершины
данного треугольника, касающихся плоскости треугольника в этих вершинах
и попарно касающихся между собой. Вычислить радиусы шаров, зная стороны
треугольника.
744. На небесной сфере рассмотрим точки М, обладающие тем свойством,
что их прямое восхождение и склонение равны между собой.
1°. Найти геометрическое место проекций точек М на плоскость экватора.
2°. Найти геометрическое место прямых AM, где А — точка на экваторе,
от которой отсчитываются прямые восхождения.
745. Даны три точки А, В и С, лежащие на одной прямой (точка Влежит
между А и С); на отрезке ВС, как на диаметре, построена полуокружность,
J) Это легко сделать с помощью упражнения 735.
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
175
и к ней из точки А проведена касательная АО; пусть одна из точек М дуги BD
соединена прямыми с точками А и С. Требуется выбрать точку М так, чтобы
объём, образованный вращением треугольника МАС около прямой АС, нетился
в данном отношении 1г сферическим сегментом, образованным вращением
дуги МВ около той же прямой.
Выразить пределы, в которых может изменяться k, через отношение
ОА
h=^rfi, где О — середина отрезка
ив
ВС.
746. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а; пусть М — некоторая
точка, лежащая в плоскости этого квадрата.
1°. Вычислить сумму S объёмов, образованных вращением треугольников
МАВ, МВС, MCD и МОА. первого — около стороны АВ, второго — около ВС,
третьего — около СО и четвёртого — около DA.
2°. Доказать, что сумма 5 зависит только от величин а и d, где через d
обозначено расстояние точки М от центра квадрата; найти геометрическое
место точек М, для которых сумма объёмов S равна объёму
конуса, имеющего высоту а и данный радиус основа-
ния г.
3°. Найти на этом геометрическом месте те положе-
ния точки М, для которых отношение объёмов, образо-
ванных вращением треугольника МАВ последовательно
около МА и МВ, было бы равно данному числу т.
747. Пусть сторона ОВ трапеции О АЛ-1 В перпендику-
лярна к основаниям ОА и ВМ. Предположим, что вер-
шины О и А заданы, а вершина В перемещается по дан-
ной прямой OY, перпендикулярной к ОА (черт. 175).
Вся фигура вращается около прямой OY.
1°. Найти в плоскости AOY геометрическое место
вершин М и точек пересечения Р диагоналей трапеции
ОМ и АВ, в предположении, что объёмы, образованные
вращением треугольников ОАВ и АВМ, равны между
2°. Пусть ODMC—полуокружность, касающаяся в точке О прямой ОА
и проходящая через точку М. Найти в плоскости AOY геометрическое место
точек М, предполагая, что объёмы, образованные вращением треугольника
ОАВ и фигуры ODMA (ограниченной отрезками ОА и AM и дугой окруж-
ности ODM), равны между собой.
3°. Найти точку М, зная, что объёмы, образованные вращением треуголь
ников ОАВ и АВМ и фигуры О ОМ А, равны между собой.
ДОПОЛНЕНИЯ КО второй части.
глава I.
ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА.
ИНВЕРСИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДОПОЛНЕНИЯ К СФЕРИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ.
502. Полюсы и полярные плоскости относительно шара.
Теорема. Геометрическое место точек, гармонически сопряжён-
ных с данной точкой относительно точек пересечения данного шара
с секущими, выходящими из этой точки, есть плоскость.
Действительно, если Р—одна из точек искомого геометрического
места, а—-данная точка, то можно доказать, так же как и в плани-
метрии (Пл., п. 204), что середина отрезка аР лежит в радикальной
плоскости точки а и данного шара и что, следовательно, точка Р
лежит в плоскости, гомотетичной радикальной плоскости относительно
точки а.
Геометрическое место точек, о котором идёт речь, можно также
рассматривать как образованное вращением около проходящего через
точку а диаметра шара поляры этой точки относительно одного из
больших кругов, плоскость которого проходит через точку а.
Это геометрическое место называется полярной плоскостью точки
а относительно шара1)-
При этом имеют место следующие предложения, представляющие
собой непосредственные следствия того, что было сказано в планиметрии.
Полярная плоскость точки а относительно шара с центром
в точке О и радиусом, равным R, перпендикулярна к прямой Оа
и проходит через некоторую точку а' этой прямой, лежащую
с точкой а по одну сторону от точки О; положение точки а'
определяется равенством:
Oa-Oa' = R2. (1)
Эта плоскость пересекает или не пересекает шар, смотря по
тому, лежит ли полюс вне шара или внутри шара. В первом слу-
чае полярная плоскость точки а совпадает с плоскостью окруж-
ности, вдоль которой описанный конус с вершиной в точке а касается
шара. ,
Если точка а лежит на шаре, пю её полярная плоскость сов-
падает с касательной плоскостью в этой точке.
*) А точка а — полюсом этой плоскости. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ II ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА
177
Обратно, всякая плоскость имеет относительно данного шара
свой полюс; однако в том случае, когда данная плоскость проходит
через центр шара, её полюс лежит в бесконечности в направлении,
перпендикулярном к этой п юскости.
503. Очевидно, что если провести через точку а секущую пло-
скость, то поляра точки а относительно окружности сечения лежит
в полярной плоскости той же
точки относительно шара.
Если провести через точку а
две произвольные секущие и со-
единить попарно точки пересече-
ния этих прямых с шаром (черт.
176), то полученные прямые пере
еекаются в двух точках Н и К,
лежащих в полярной плоскости
точки а, так как (Пл., п. 211)
точки Н и К лежат на поляре
точки а относительно окружности,
лежащей н плоскости аНК.
504. Теорема. Если точка
а лежит в полярной плоскости
точки Ь, то и точка b лежит в полярной плоскости точки а.
Действительно, если провести через точки а и b плоскость, пере-
секающую данный шар, то поляра точки а относительно окружности
сечения пройдёт через точку Ь, и следовательно, поляра точки Ь
пройдёт через точку а.
'> о же самое предложение можно также доказать п непосред-
ственно. Действительно, если прямая ab пересекает шар, то предло-
жение очевидно (Пл , и. 205, примечание) Если прямая ab не пере-
секает шара, то полярная плоскость каждой из точек а п Ь есть
плоскость основания описанного конуса, имеющего вершину в этой
точке. Но мы знаем (и. 478), что для того, чтобы плоскость какой-
нибудь окружности, лежащей на шаре, проходила через вершину
конуса, описанного вдоль некоторой другой окружности, необходимо
н достаточно, чтобы обе окружности пересекались под прямым углом.
Это условие не измени гея, если поменять ролями две окружности,
а следовательно, и полюсы а и Ь ’).
Две точки, обладающие тем свойством, что полярная плоскость
одной из них проходит через другую, называются сопряжёнными
относительно шара. Две плоскости называются сопряжёнными отно-
сительно шара, если одна из них проходит через полюс другой. Из
сказанного выше следует, что если обе плоскости пересекают шар,
!) Если прямая ab касается шара, то для того чтобы точки а и Ь были
сопряжёнными, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере одна из них
совпадала с точкой касания.
12 Элементарная геометрия, ч. II
178
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
то для их сопряжённости необходимо и достаточно, чтобы окружности,
по которым эти плоскости пересекают шар, пересекались между собой
под прямым углом.
505. Взаимные поляры. Из предыдущего непосредственно выте-
кает, что если точка описывает прямую, то её полярная плоскость
вращается около некоторой другой прямой, и обратно, если плос-
кость вращается около первой прямой, то её полюс описывает
вторую прямую.
Действительно, если мы возьмём на первой прямой D две точки а
и b и обозначим через Dy линию пересечения их полярных плоскостей,
то любая точка а' прямой Dy будет сопряжена с точками а и Ь. Сле-
довательно, полярная плоскость точки а’ будет проходить через пря-
мую D,
точками
прямую
менно с
Две
О и Д
проходящая
и таким образом точка а’ будет сопряжена и с остальными
прямой D. Обратно, каждая плоскость, проходящая через
D, будет иметь своим полюсом точку, сопряжённую одновре-
точкамп а н Ь и, следовательно, лежащую на прямой Dy.
прямые, получающиеся одна из другой так же, как и прямые
, т. е. обладающие тем свойством, что каждая плоскость,
через
какую-либо одну из них, имеет своим полюсом
одну из точек другой прямой, называются вза-
имными полярами относительно шара.
Если прямая D дана, то её взаимная поляра
определяется двумя условиями, а именно требо-
ванием, чтобы она была перпендикулярна к ди-
аметральной плоскости, проходящей через пря-
мую D, п в то же время проходила через полюс
прямой D относительно большого круга, лежа-
щего в этой плоскости (черт. 177). Иначе говоря:
две взаимные поляры перпендикулярны друг к
другу; их общий перпендикуляр аа' проходит
через центр шара и пересекает обе прямые в
точках а и а', связанных между собой равенством (1).
В общем случае взаимная поляра прямой D есть геометрическое
место полюсов прямой D относительно окружностей, плоскости
которых проходят через эту прямую.
Если прямая D касается шара, то мы видим, что её взаимная по-
ляра Dy есть прямая, касающаяся шара в той же точке и перпендику-
лярная к прямой D.
За исключением этого частного случая одна из двух взаимных
поляр всегда проходит вне шара, другая его пересекает, так как
расстояния центра шара от этих прямых удовлетворяют условию (1).
Та из двух прямых, которая пересекает шар, проходит через точки
прикосновения касательных плоскостей, проходящих через другую
прямую.
506. Предыдущие рассуждения позволяют перейти (сравнить Пл.,
п. 206) от каждой фигуры F, состоящей из точек, прямых и плоско-
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА
179
стей, к некоторой фигуре F', которая называется взаимно-полярной
данной фигуре относительно данного шара и получается, если поста-
вить в соответствие каждой точке фигуры F её полярную плоскость,
каждой плоскости фигуры F — её полюс и каждой прямой фигуры F —
её взаимную поляру.
При этом точкам фигуры F, лежащим в одной плоскости, будут
соответствовать плоскости фигуры F', проходящие через одну
точку, и обратно *);
точкам фигуры F, лежащим на одной прямой, соответ-
ствуют плоскости фигуры F', проходящие через одну прямую, и
обратно:
прямым линиям фигуры F, лежащим в одной плоскости или
проходящим через одну точку, соответствуют прямые линии фи-
гуры F', проходящие через одну точку или лежащие в одной
плоскости
Две прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются (на
конечном расстоянии или в бесконечности); отсюда видно, что если
две прямые лежат в одной плоскости, то то же имеет место и
для их взаимных поляр.
Относительно направлений плоскостей и прямых, входящих в со-
став двух взаимно полярных фигур (сравнить Пл., п. 209), можно
высказать следующие предложения:
угол между двумя плоскостями равен углу между двумя пря-
мыми, соединяющими их полюсы с центром направляющего шара,
или углу ему пополнительному, так как каждая из этих прямых
перпендикулярна к соответствующей плоскости;
точно так же угол между двумя прямыми равен углу между
двумя диаметральными плоскостями, проходящими через их взаим-
ные поляры, или углу ему пополнительному.
Сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой,
равно сложному отношению их полярных плоскостей, соответственно
перпендикулярных к прямым, соединяющим центр шара с соответ-
ствующими полюсами; эта теорема позволяет (сравнить Пл., п. 210)
рассмотреть преобразование отношения двух отрезков, лежащих на
одной прямой и имеющих общий конец* 2).
Сложное отношение четырёх прямых, лежащих в одной плоскости
и проходящих через одну точку, равно сложному отношению их
взаимных поляр, так как последние перпендикулярны к диаметральным
плоскостям, проходящим через данные прямые
9 В частности, все бесконечно удалённые точки должны рассматри-
ваться как лежащие в одной плоскости, имеющей своим полюсом центр
шара.
2) При этом отношение двух отрезков и d3d4, лежащих на одной
прямой и не имеющих общих концов, равно произведению двух отношений,
составленных каждое из отрезков, имеющих общий конец.
12
180
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
507. Инверсия. Точкой, обратной точке /И огносшельно полюса О,
называется, -как п в иланимеiрии, та точка ЛГ прямой (ХИ, для ко-
торой по величине в по знаку справедливо равенство:
ОЛ4-ОЛ4'= k; (2)
число k называется степенью инверсии.
Основные свойства инверсии остаются темп же, как и в планимет-
рии, пли непосредственно из них следуют; поэтому достаточно их
только сформулировать.
Две фигуры, обратные одной и той же фигуре относительно
одного и того же по носа, гомотетичны относительно этой точки.
Если степень инверсии k положительна, то данную инверсию
можно определить, пользуясь шаром инверсии, т. е. шаром, у кото-
рого центр совпадает с полюсом инверсии и радиус равен | й.
Всякий шар, проходящий через две взаимно обратные точки, пере-
секает под прямым углом шар инверсии в силу пункта 483; следо-
вательно, всякая окружность, проходящая через две взаимно обрат-
ные точки, также пересекает под прямым углом шар инверсии. Дей-
ствительно, эта окружность необходимо пересекает шар инверсии, так
как из двух взаимно обратных точек одна лежит внутри, а другая —
вне шара инверсии; касательная плоскость к шару инверсии в точке
пересечения перпендикулярна к касательной плоскости к любому шару,
проходящему через данную окружность и, следовательно, перпенди-
кулярна к касательной к окружности.
Обратно, если две точки /И и Л4' обладают тем свойством, что
всякий шар (пли, что сводится к тому же, всякая окружность),
проходящий через эти точки, пересекает шар инверсии под прямым
углом, то эти две точки взаимно обратны; действительно, пря-
мая ММ', как общая радикальная ось всех шаров, проходящих через
точки Л1 н М', должна пройти через точку О, имеющую одну и ту
же степень относительно всех этих шаров, причём мы будем иметь
соотношение (2).
Симметрия относительно плоскости есть предельный случай
инверсии.
508. Добыв две точки и точки, им обратные, лежат на одной
окружности.
Обра тно, если точки двух фигур (не все точки которых лежат
на одном и том же круге) соответствуют друг другу таким
образом, что любые две точки лежат на одной окружности с
точками им соответственными, то эти две фигуры взаимно
обратны.
Действительно, выберем две определённые точки А и В одной
фигуры, и пусть А' и В' — точки им соответственные (черт. 178).
Эти четыре точки лежат по условию на одной окружности, откуда
прежде всего следует, что прямые АА' и ВВ' лежат в одной пло-
ГЛАВА I ПОЛЮСЫ И ПОПАРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАГА
181
скости. Обозначая точку пересечения этих прямых через О ’), будем
иметь:
ОА-ОА' = ОВ-ОВ'.
точка пересечения окруж-
Пусть теперь М — какая-нибудь точка пространства: тогда соответ-
ственной ей точкой будет, по условию, вторая
ностей МАА' и МВВ'\ но обе эти
окружности проходят через точку М',
лежащую на прямой ОМ п удовле-
творяющую условию: ОМ-ОМ' =
= ОА-ОА’ = OB-OB'.
509. Расстояние между точка-
ми А' и В’, обратными точкам
.4 и В, связано с расстоянием АВ и
радиусами-векторами ОА и ОВ сле-
дующим соотношением:
ь
АВ =АВ'
Примечав и е. Две точки, вз гимно обратные относительно
шара инверсии S, делят (в силу Пл., п. 189) гармонически тот
диаметр шара S, на котором они лежат.
Геометрическое место точек М. отношение расстоянии которых
от двух данных точек А и А' постоянно, есть шар (п. 472, след-
ствие II), относительно которого точки А и А' взаимно обратны
в силу аналогичного свойства, имеющего место на плоскости. Что отно-
МЛ'
шейпе для точек такого шара постоянно, вытекает также из
только что написанной формулы (так как если за точку В принять
почку М, лежащую на этом шаре, то опа совпадёт с точкой В').
510. Теореме планиметрии (Пл., п. 219) соответствует следующая:
Теорема. Касательные к двум взаимно обратным кривым
в соответственных точках симметричны между собой относительно
п юскости, перпендикулярной к отрезку, соединяющему точки ка-
сания, и проходящей через его середину.
Действительно, пусть А и А' — две соответственные точки двух
взаимно обратных кривых С и С', М и М' — две взаимно обратные
почки, взятые соответственно на тех же кривых достаточно близко
к первым. По условию, если точка /И неограниченно приближается
к точке А по кривой С, то прямая AM стремится к некоторому пре-
тельному положению АТ (Пл., черт. 198). Следовательно, и касатель-
ная .4.Y к окружности АМА'М', которая образует с прямой AM угол,
стремящийся к нулю (сравнить Пл , п. 219), сама стремится к тому
же предельному положению АТ. Поэтому и касательная А'А' в точке А'
1) Если точка О лежит в бесконечное!и, то то же самое рассуждение по-
казывает, что обе фигуры симметричны относительно некоторой плоскости.
182
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
к той же окружности, симметричная с прямой АХ относительно пло-
скости Р, перпендикулярной к отрезку АА’ и проходящей через его
середину, стремится к некоторому предельному положению А’Т’, сим-
метричному с прямой АТ относительно той же плоскости. В силу
этого прямая А'Т будет предельным положением и для прямой Л'ЛГ,
так как угол А'М'Х' стремится к нулю.
Следствия. Угол между двумя пересекающимися кривыми
равен углу между обратными им кривыми.
Если какая-либо поверхность имеет в одной из своих точек
касательную плоскость, то обратная ей поверхность также имеет
в соответственной точке касательную плоскость, симметричную
с первой относительно плоскости, перпендикулярной к отрезку,
соединяющему точки касания, и проходящей через его середину.
Это вытекает из предыдущей теоремы и из определения касательной
плоскости.
Следовательно, дзе поверхности образуют в каждой точке линии
их пересечения угол, равный углу между обратными им поверхно-
стями в соответствесной точке.
Примечание. Предыдущая теорема относится к касательным
к кривым С и С' при условии, что эти касательные рассматриваются
как целые прямые. Но можно также выбрать на кривой С определён-
ное направление (выбирая на кривой С' направление, ему соответ-
ствующее), т. е. условиться, что точка AI кривой С стремится к А,
оставаясь всё время с определённой стороны от А. Таким образом мы
получим, очевидно, две соответственные полупрямые, касательные —
одна к С, другая к С' (а именно предельные положения полупря-
мых AM и А'М').
Если степень инверсии k положительна, то эти полупрямые будут
расположены по одну сторону от радиуса-вектора ОАА'“, если степень
инверсии k отрицательна, то — по разные стороны от него. В первом
и только в первом случае эти полупрямые будут симметричны друг
с другом относительно плоскости Р.
Следствие. Трёхгранный угол, рёбрами которого служат полу-
прямые, касательные к трём кривым, пересекающимся в одной точке,
симметричен с аналогичным трёхгранным углом, образованным каса-
тельными к обратным им кривым, в случае положительной степени
инверсии. В случае отрицательной степени инверсии получается трёх-
гранный угол, равный данному. Действительно, инверсия имеющая
степень — k, получается (в силу п. 507) из инверсии, имеющей сте-
пень, равную -J-Jfe, с помощью симметрии относительно полюса инвер-
сии О. Таким образом, если расположение рассматриваемого трёхгран-
ного угла изменяется при инверсии /, то оно будет оставаться неизменным
(п. 446) при инверсии
511. Фигура, обратная плоскости, есть шар, проходящий через
полюс инверсии (за исключением того случая, когда данная плоскость
проходит через полюс инверсии и, следовательно, сама себе обратна).
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 183
В самом деле, обозначим через D перпендикуляр, опущенный из по-
люса на данную плоскость; фигуру, обратную данной плоскости,
можно получить путём вращения около прямой О окружности, обратной
(Пл., п. 220) той прямой, по которой данная плоскость пересекается
с какой-либо плоскостью, проходящей через прямую D. Данная пло-
скость параллельна той касательной плоскости к полученному шару,
которая имеет точкой касания полюс
шара равен степени инверсии, делённой
на расстояние полюса от данной плос-
кости.
Фигура, обратная шару, проходящему
через полюс инверсии, есть плоскость.
512. Приложение. Вычислить радиус шара,
описанного около тетраэдра, зная длины ше-
сти его рёбер.
Пусть даны шесть рёбер а = ВС, Ь = СА,
с = АВ, a = DA, $~DB и y = DC тетраэдра
ABCD (черт. 179).
Рассмотрим точки А', В’, С, обратные точ-
кам А, В, С, принимая за полюс инверсии точ-
ку D и выбирая произвольно степень инвер-
сии k. Шар, описанный около тетраэдра, будет
при этих условиях фигурой, обратной плоско-
сти А'В'С; его диаметр 2R будет равен где через DH обозначено рас-
стояние полюса от этой плоскости.
Но DH есть высота тетраэдра A'B'C'D; следовательно, объём этого тетра-
эдра равен одной трети произведения DH на площадь треугольника А'В'С.
С другой стороны, данный тетраэдр и тетраэдр DA’B'C' можно рассматри-
вать как имеющие своими основаниями соответственно грани DAB и DA'B';
при этом их высотами будут отрезки СР и СР' (черт. 179); следовательно,
отношение объёмов этих тетраэдров равно отношению площадей их оснований,
т. е. (Пл., п.
DC’
видно, дд •
иметь:
инверсии; диаметр этого
DA'-DB'
256) > умноженному на отношение их высот, равное, оче-
Если обозначить через V объём данного тетраэдра, то мы 6} дем
DH-пл. А'В'С DA'-DB'-DC
DA-DB-DC ‘
31/
(3)
Но отрезки, входящие в правую часть этого равенства, соответственно равны:
k kb
DA — a,DB = $, DC = y, DA’ = —, DB'=, DC —. С др) гой стороны,
D,„, k ВС k a k-aa k-b$ k-ry,
мы имеем: В'С - = -=— — —Г—, С А' - -Д- А'В' — - . , эти ра-
DB DC agy еру afy
венства показывают, что треугольник А'В'С подобен треугольник!, стороны
которого соответственно измеряются произведениями a«, bfi, су, причём коэф-
k
фициент подобия равен . Обозначая через площадь этого последнего
треугольника, будем иметь:
kb
пл. А'В'С =
184
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
Если в равенстве (3) заменить DH через и остальные входящие в него
величины (кроме V)— полученными для них выражениями, то после всех пре-
образований получим 6V7? = S.
Таким образом, произведение радиуса описанного шара на объём тетра-
эдра равно одной шестой площади треугольника, стороны которого изме-
ряются соответственно произведениями противоположных рёбер тетра-
эдра. \
Это соотношение сводит вычисление искомого радиуса к вычислению
объёма V тетраэдра по его шести рёбрам'), так как плошадь X была нами
вычислена в планиметрии (Пл., п. 251).
513. Фигура, обратная шару, не проходящему через полюс инвер-
сии, есть также шар, причём оба шара имеют полюс инверсии
своим центром подобия (Пл., п. 221).
Обратно, два шара можно двумя (и только двумя) различными
способами рассматривать как взаимно обратные фигуры.
Взаимно обратные точки двух шаров называются также анпшгомо-
логическими.
Две пары антигомологических точек гежат на одной окруж-
ности.
Две антигомологические хорды пересекаются в радикальной пло-
скости.
Кроме того, две антигомологические хорды пересекают полярные
плоскости центра подобия относительно соответствующих шаров
в двух точках, которые соответствуют друг другу, если оба шара
рассматривать как гомотетичные фигуры (Пл., п. 224).
Плоскость и шар также можно рассматривать двумя различ-
ными способами, как взаимно обратные фигуры; полюсами инверсии
Служат концы диаметра шара, перпендикулярного к данной плоскости.
В случае двух плоскостей обе инверсии вырождаются в симметрии
(Пл., п. 226).
514. Фигура, обратная окружности. Окружность и ги прямая
имеют своей обратной фигурой-.
прямую, если данная окружность или прямая проходит через
полюс инверсии;
окружность в противном случае.
Действительно, прямая пли окружность есть линия пересечения
двух плоскостей или двух шаров
Если окружность имеет своей обратной фигурой прямую, то
последняя параллельна касательной к окружности в полюсе инверсии.
Две взаимно обратные окружности лежат на одном шаре или
в одной плоскости.
Действительно, пусть А и В —д$е точки первой окружности
(черт. 180); А’ и В’ — соответственные им точки второй. Четыре
точки А, В, А’ и В’ лежат на одной ^окружности, которая вместе
') По поводу этой последней задачи см. первое издание настоящей книги,
п. 641. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 185
с первой рассматриваемой окружностью определяет некоторый шар
(п. 473). Этот шар совнатает с шаром, ему обратным, так как сте-
пень 0.4-ОА' полюса инверсии относительно этого шара равна сте-
пени инверсии (Пл., п. 221); следовательно, проходя через первую
окружность, этот шар проходит и через окружность, ей обратную.
515. Аналлагматическими свойствами фигуры ____________
называются те её свойства, которые не изменяются, С
если подвергнуть эту фигуру произвольной инверсии.
Таковы, в силу предыдущего, угол между двумя пере [у
секающимися окружностями, между окружностью и \\ )
шаром, между двумя шарами и т. д. \\д
Примечание. В учении об аналлагматическпх \ j
свойствах надо условиться считать, что имеется только Q
одна бесконечно удалённая точка, так как в случае \
произвольной инверсии имеется одна и только одна \
точка — полюс инверсии, которой соответствует точ- \
ка, лежащая в бесконечности. Прямая есть окруж- \
кость, проходящая через бесконечно удалённую точку; \
плоскость есть шар, проходящий через бесконечно х
удалённую точку.
Напротив, в проективной геометрии мы считаем, что ^еРг‘ ’•
существует некоторая прямая, если рассматривается геомет-
рия плоскости, и некоторая плоскость, если рассматривается геометрия про-
странства, все точки которых лежат в бесконечности1). Такое разногласие во-
все не должно казаться неожиданным, так как дело идёт только об известном
условии: не следует удивляться тому, что условия, вводимые для упрощения
формулировок и, в частности, для отыскания общих формулировок, охватыва-
ющих как элементы, находящиеся на конечном расстоянии, так и элементы,
находящиеся в бесконечности, могут быть различны в зависимости от категорий
изу чаемых свойств.
516. Антипараллельные сечения наклонного конуса.Если принять
во внимание, что две взаимно обратные окружности лежат на одном конусе,
вершиной которого служит полюс инверсии (так как каждый радиус-
вектор, пересекающий одну из двух окружностей, пересекает и дру-
гую), то сказанное выше приводит нас к следующей теореме:
Теорема. Наклонный конус с круговым основанием имеет ряд
круговых сечений, не параллельных этому основанию.
Окружность, обратная окружности основания относительно вершины
конуса при любой степени инверсии, даёт такое сечение.
Полученные таким образом новые круговые сечения называются
антипараллельными по отношению к сечениям, параллельным основа-
нию. Плоскость каждого из них обратна шару \ проходящему через
вершину 5 конуса и через окружность основания, и, следовательно,
параллельна касательной плоскости II к шару S в точке 5.
]) См., например, первое издание настоящей книги, и. 649 и у пр. 897.
Прим. ред. перевода.
186
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
Если данный конус прямой, то оба ряда сечений совпадают; анти-
параллельные сечения в то же время параллельны основанию. Но если
данный конус наклонный, то этого никогда не будет: иначе пло-
скость II была бы параллельна плоскости, в которой лежит окруж-
ность основания, и точка S была бы полюсом этой окружности, что
возможно только в том случае, если мы имеем конус вращения.
Плоскость аптипараллельного сечения конуса перпендикулярна к плоско-
сти Р, проходящей через вершину конуса и через центр окружности основа-
ния и перпендикулярной к плоскости основания (в самом деле, плоскость Р
есть плоскость симметрии конуса). При этом
плоскость Р пересекает конус по двум обра-
зующим и SB (черт. 181), и след плоскости
g/ искомого сечения на плоскости Р должен быть
/ / антипараллелен (Пл., п. 217) следу плоскости
/ X. /" ;~-^z основания относительно сторон угла ASB.
I /xSj I С л е д с т в и я. I. Кроме плоскости сим-
\ / I / метрии Р конус имеет ещё две плоскости
\ _ I / симметрии Р' и Р", перпендикулярные к пер-
~у' вой и проходящие соответственно через бис-
сектрисы SX и SY углов между образующими
8Д и SB, лежащими в плоскости Р.
Черт. 181. Действительно, если АВ — диаметр окру ж
ности основания конуса С, лежащий в плоско-
сти Р, то отрезок АВ симметричен относительно плоскости Р' некоторому от-
резку А'В', концы которого лежат соответственно на прямых SB и 5Л и на-
правление которого антипараллельно отрезку АВ относительно сторон угла
ASB (Пл., п 217). Одним из антипараллельных сечений конуса будет окруж-
ность, имеющая своим диаметром отрезок А'В' и лежащая в плоскости, перпен-
дикулярной к плоскости Р, т. е. окружность, симметричная с окружностью С
относительно плоскости Р’.
II. Отсюда следу ет (п. 443), что прямые SX и SY и перпендикуляр к пло-
скости Р, проходящий через вершину S конуса, будут осями транспозиции
конической поверхности, так как точка S есть, очевидно, её центр симметрии.
517. Любое параллельное и любое антипараллельное сечения ко-
нуса лежат на одном шаре, так как они взаимно обратны.
Обратно, конус, имеющий основанием окружность, лежащую на
каком-либо шаре, пересекает этот шар по второй окружности,
обратной первой, относительно вершины конуса.'
Следствие. Конус с круговым основанием не может иметь
других круговых сечений кроме сечений, параллельных и антипа-
раллельных основанию. Действительно, если существует некоторое
круговое сечение С, не параллельное основанию, то можно предполр-
жить (заменив, в случае надобности, плоскость окружности С плоско-
стью ей параллельной), что линия пересечения плоскости окружности С
и плоскости основания пересекает конус (черт. 182). В таком случае
две окружности, пересекающиеся в двух точках и, следовательно,
лежащие на одном шаре, должны быть взаимно обратны.
518. Стереографическая проекция. Стереографической проекцией
называется проекция шара на плоскость его большого круга, при усло-
вии, что центром проекции служит один из полюсов этого большого круга.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 187
Из предыдущего следует, что выбранная таким образом плоскость
проекции обратна данному шару, если полюс инверсии совпадает
с центром проекции и степень инверсии выбрана надлежащим обра-
зом: взаимно обратными точками будут точки, лежащие на одной
прямой с центром проекций (черт. 183). Следовательно, стереографи-
ческая проекция есть частный случай инверсии. Отсюда вытекают
чва основных свойства такого рода проекции:
Стереографическая проекция не изменяет величины углов.
Стереографическая проекция окружности, лежащей на данном
шаре, есть окружность.
519. Найдём центр окружности с, служащей проекцией окружно-
сти С, лежащей на шаре (черт. 184). Для этого заметим, что этот центр
есть точка пересечения прямых, пересекающих окружность с под пря-
мым углом. Прямые картинной плоскости служат проекциями окруж-
ностей, проходящих через центр проекций V, и если эти прямые
ортогональны к с, то это значит, что соответствующие ок^жности
ортогональны к окружности С. Следовательно, их плоскости проходят
через вершину 1 конуса, описанного около данного шара вдоль окруж-
ности С, а окружности сами проходят через ту точку шара, которая
лежит на прямой VI. Следовательно, центром окружности с будет та
точка, в которой эта прямая пересекает картинную плоскость.
То же самое построение даёт центры антипараллельных сечений
наклонного конуса; действительно, такое сечение есть, очевидно, сте-
реографическая проекция окружности основания, если рассматривать
эту окружность как лежащую на том шаре, который мы обозначали
через У в пункте 516.
520. Если два шара взаимно обратны, то всякий шар, проходя-
щий через две антигомологические точки, сам себе обратен; следова-
тельно, он пересекает два данных шара под равными углами (Пл.,
п. 227).
Обратно, всякий шар 2, пересекающий два данных шара S и S'
под равными углами, пересекает их по двум окружностям (в част-
ности, всякий шар, касающийся шаров S и S' касается их в двух
188
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
точках), соответствующим друг другу в одной. из двух инверсий
преобразующих шар S в S'.
Действительно, пересечём данную фигуру плоскостью, проходящей
через центры трёх шаров; мы получим в сечении три больших круга,
образующих друг с другом те же углы, как и ланные шары '). Сле-
довательно, третий из этих больших кругов совпадает с тем кругом,
в который он преобразуется с помощью одной из двух инверсий, пре-
образующих (Пл., п. 227, черт. 201) два первых больших круга один
в другой, т. е. в одной из двух инверсий, преобразующих два дан-
ных шара один в другой.
Если шар 1' касается шаров S и S', то точки касания взаимно
обратны. Если шар S пересекает шары S и S', то две окружности
пересечения взаимно обратны.
Если инверсия, о которой идёт речь, имеет положительную степень
и, следовательно, обладает шаром инверсии, то последний пересекает А
под прямым углом.
521. Отсюда можно вывести следующую теорему, обратную тео-
реме, доказанной в пункте 517.
Теорема. Через две какие-либо окружности, лежащие на одном
шаре, можно провести два конуса (или цилиндра).
Действительно, проведём два шара, пересекающие данный шар
под прямым углом н проходящие соответственно через две данные
окружности; эти окруж-
ности соответствуют друг
другу (сравнить Пл., п.
227а) как в одной, так
и в другой инверсии, ’пре-
образующих один в дру-
гой два построенных шара.
Примечания. Вер-
шины Н и К обоих ко-
нусов лежат в плоскости,
проход ящейчерез оси двух
окружностей, так как эта
плоскость есть общая пло-
скость симметрии обеих
окружностей.
Точки Н и К сопряжены друг с другом относительно шара.
Прямая НК есть взаимная поляра линии пересечения А плоскостей
обеих окружностей. В этом можно убедиться, пересекая шар какой-
нибудь плоскостью, проходящей через прямую НК'. из Пл., п. 211
следует (черт. 185), что полюс прямой НК относительно окруж-
*) Плоскость центров пересекает все три шара под прямым углом; следо-
вательно, опа пересекает двугранный угол, образованный касательными пло-
скостями в общей точке каждой пары шаров, цо линейному углу этого дву-
гранного угла.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 189
носи! сечения есть точка а, в которой эта плоскость пересекает
прямую А.
522. Задача о касании шаров. Оба решения задачи о касании окруж-
ностей, данные нами в планиметрии, могут быть без всяких затруд-
нений применены и к задаче о касании шаров, которая формулируется
так:
Найти шар, касательный к четырём данным шарам.
Первое решение Начнём с рассмотрения следующих задач:
Провести через данную окружность шар, касательный к данному
шару.
Проводим через данную окружность какой-нибудь шар, пересекаю-
щий данный шар; затем через линию пересечения плоскостей, в ко-
торых лежат окружность сечения и данная окружность, проводим
касательную плоскость к данному шару; точка касания этой плоскости
будет также точкой касания искомого шара в силу теоремы пункта 485.
Провести через данную точку шар, касательный к трём данным
шарам')'
Пусть А, В и С — три данных шара; найдём точку соответствую-
щую данной точке в одной из двух инверсий, преобразующих А
в В а также точку, - соответствующую данной точке в одной из двух
инверсий, преобразующих А в С. Эти три точки определят окруж-
ность, лежащую на искомом шаре.
Можно также найти шары, обратные трём данным шарам, приняв
данную точку за полюс инверсии (сравнить Пл., п. 230). Таким об-
разом, задача сводится к построению общей касательной плоскости
к трём шарам.
Задача нахождения шара, касательного к четырём данным ша-
рам, может быть сведена к предыдущей задаче, если ввести в рас-
смотрение (Пл., п. 231) шар, концентричный искомому шару и про-
ходящий через центр одного из данных шаров.
Второе решение (решение Же р гон на). Мы рассмотрим это ре-
шение в том виде, какой мы ему придали в прибавлении С (Пл., пп.
309—312а) планиметрии; в этой форме решение было дано Поп с еле
(Poncelet) и впоследствии вновь найдено Фуше (Fouche).
Рассмотрим шары \ пересекающие четыре данных шара А, В, С
и О иод равными углами. Каждый из этих шаров сам себе соответ-
ствует в одной из инверсий, преобразующих Л в В, в одной из ин-
версий, преобразующих А в С, и в одной из инверсий, преобразую-
щих А в D. Отсюда следует (Пл., п. 309), что шары S образуют
восемь семейств, причём шары каждого семейства имеют общей ради-
кальной плоскостью одну из восьми плоскостей подобия (и. 489) дан-
ных шаров. Следовательно, мы должны построить один из шаров У
рассматриваемою семейства (он будет определён какой-нибудь точкой
!) Задача провести через две точки шар, касательный к двум данным
шарам, очевидно, решается подобным же методом.
190
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
*
шара А и тремя точками, ей антпгомологическими), после чего задача
сводится к следующей:
Найти шар, имеющий с данным шаром S данную радикальную
плоскость и касательный к данному шару А; эта задача ничем не
отличается от задачи, рассмотренной в Пл., п. 311, в чём можно
убедиться, если пересечь фигуру плоскостью, проходящей через центры
данных шаров и перпендикулярной к радикальной плоскости.
Пользуясь решением задачи, приведённым в пункте 311, мы видим,
что надо найти радикальную плоскость шаров S и А, которая пере-
сечёт плоскость подобия по прямой (не зависящей от выбора
шара S среди шаров данного семейства); точкой прикосновения а ис-
комого шара к шару А будет точка прикосновения к шару касатель-
ной плоскости, проходящей через прямую а$.
Задача может иметь шестнадцать решений, а именно по два для
каждого семейства шаров S.
Если шар, ортогональный к четырём данным шарам, существует и
не обращается в плоскость, то его можно принять за шар S. Центр
этого шара, который является радикальным центром / данных шаров,
будет в этом случае вершиной конуса, описанного около А вдоль
окружности, по которой шар S пересекает шар А; отсюда следует,
что прямая, соединяющая две искомые точки касания а и а', как
взаимная поляра прямой а^, должна пройти через /. Можно также
убедиться и непосредственно ’) (Пл., п. 232), что хорда аа' должна
пройти через точку /, так как искомые шары будут попарно взаимно
обратны относительно сГгой точки. Мы приходим, таким образом,
к следующему построению, совершенно аналогичному тому, которое
было дано в планиметрии (Пл., п. 232):
Находим радикальный центр I а одну из плоскостей подобия
данных шаров. Соединяем радикальный центр с полюсами плоскости
подобия относительно четырёх шаров. Прямые, полученные такам
образом, пересекут соответственные шары в искомых точках ка-
сания.
523. Вернёмся к тому случаю, когда шар S будет произвольным шаром
соответствующего семейства. Этот шар можно определить с помощью следую-
щего построения, также принадлежащего П о н с е л е:
Пусть а — какая-нибудь точка шара А (через которую мы хотим провести
шар S); найдём точку Ь, соответствующую а в инверсии, преобразующей шар А
в шар В, точку с, соответствующую b в инверсии, преобразующей шар В
в шар С, и точку а’, соответствующую е в инверсии, преобразую-
щей шар С в шар А. Все эти точки будут, как и первоначальная точка а,
лежать на шаре S. То же самое будет иметь место и для точки а", получен-
ной подобным же способом, но с заменой шара С шаром D. Следовательно,
х) Эта последняя часть рассуждения является необходимой, так как рас-
суждение, основанное на существовании шара, ортогонального к четырём
данным шарам, теряет силу в том случае, когда этот шар не существует, т. е.
если точка 1 есть внутренняя точка каждого из данных шаров.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 191
окр\ юность aa'a” ) есть линия пересечения шаров S и А, а плоскость aa'a”
определит прямую а₽ как линию её пересечения с плоскостью подобия.
624. Теорема. Геометрическое место точек касания шаров,
касательных к трём данным шарам, с каждым из данных шаров
состоит из окружностей.
Действительно, если в предыдущем построении шар D не дан, то
шары 2 какого-либо определённого семейства будут иметь общую
радикальную ось, а именно одну из осей подобия шаров А, В и С
(так как каждый из центров подобия, лежащих на этой осп, будет
иметь одинаковую степень относительно всех шаров 2). Следовательно,
радикальная плоскость каждого шара 2 и шара А будет пересекать
эту ось подобия в некоторой определённой точке, и точка касания а
опишет на шаре А окружность, вдоль которой описанный конус
с вершиной в этой точке пересечения будет касаться шара А.
525. Приложение инверсии к сферической геометрии. Так как шар
можно преобразовать при помощи инверсии (стереографической проекции)
в плоскость, то мы можем применить к сферическим фигурам свойства пло-
ских фигур, не изменяющиеся при инверсии.
Мы знаем, например, что в плоскости каждая окружность, пересекаю-
щая под прямым углом две данные окружности, пересекает под прямым
углом и бесчисленное множество других окружно-
стей, а именно все окружности, которые имеют с
данными окружностями общую радикальную ось.
Следовательно, это свойство будет также
иметь место и на шаре.
Если две данные окружности пересекаются, то
окружности, принадлежащие к тому же пучку, что и
данные, т. е. имеющие, в соответствии с только что
рассмотренным свойством, с двумя данными окруж-
ностями одни и те же общие ортогональные окруж-
ности, проходят через их точки пересечения. Если
данные окружности касаются друг друга, то окруж-
ности, принадлежащие к тому же пучку, что и дан-
ные, касаются данных окружностей в их общей точке.
Следовательно, в обоих случаях плоскости окруж-
ностей, принадлежащих к одному пучку, проходят
через одну прямую.
Легко видеть, что так будет и во всех случаях.
Действительно, каково бы ни было расположение пер-
воначальных окружностей, обозначим через D линию
пересечения их плоскостей (черт. 186). Всякая окруж-
ность С, ортогональная к двум данным, будет линией прикосновения описан-
ного конуса, имеющего своей вершиной одну из точек прямой D (п. 478), и
обратно, окружность, вдоль которой описанный конус с вершиной в какой-либо
!) В общем случае точки а, а’, а" отличны друг от друга; действительно,
если пересечь шары А, В, С плоскостью Р, проходящей через их ось подобия
п точку а, то точки а, Ъ, с и сё все лежат в этой плоскости и антигомоло-
гнчны друг другу относительно трёх окружностей сечения; поэтому равные
углы при точках а и а', образованные окружностью abca' с окружностью,по
которой шар А пересекает плоскость Р, будут иметь противоположные на-
правления (как получающиеся друг из друга с помощью трёх инверсий), что и
доказывает, что точки а и а' в общем случае различны.
192
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
точке прямой D касается шара, ортогональна к данным окружностям; более
того, опа ортогональна к любой окружности, плоскость которой проходит
через прямую D, что мы и собирались доказать.
В то же время мы видим, что плоскости окружностей, ортогональных
к окружностям данного пучка, пересекаются по одной прямой £>,, а именно
по взаимной поляре прямой D. Одним словом, плоскости, проходящие через
две взаи мные поляры, определяют на шаре два ортогональных пучка окруж-
ностей.
Так как из двух взаимных поляр одна всегда лежит вне шара, а другая
его пересекает, то один из двух ортогональных пучков окружностей со-
стоит из окружностей, имеющих две общие точки, другой — из окружно-
стей, не имеющих общих точек, за исключением предельного случая, когда
каждый из двух пучков состоит из окружностей, касающихся друг друга.
В пучке, состоящем из окружностей, не имеющих общих точек, есть две
окружности, обратившиеся в точки, а именно в точки прикосновения каса-
тельных плоскостей, проходящих через ту из взаимных поляр, которая б\дет
внешней по отношению к шару.
Среди окружностей каждого пучка имеется большой круг, и в общем
случае только один, а именно большой круг, плоскость которого проходит
через общую прямую D тех плоскостей, в которых лежат окружности пучка
(черт. 186). Этот большой круг есть геометрическое место полюсов окруж-
ностей ортогонального пучка (и. 403) и называется радикальным большим
кругом данных окружностей.
526. Радикальные большие круги трёх окружностей, взятых попарно,
имеют общий диаметр, проходящий через точку пересечения тех плоскостей,
в которых лежат данные окружности.
Если эта точка будет внешней относительно шара, то концы общего диа-
метра трёх радикальных больших кругов будут полюсами окружности, орто-
гональной к трём данным.
527. Теорема. Сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной
окружности, не изменяется при инверсии.
Действительно, если соединить четыре рассматриваемые точки А, В, С, D
с одной и той же точкой Р окружности, на которой они лежат, а также сое-
динить точки А', В’, С, 1У, им обратные, с точкой Р’, обратной Р, то соот-
ветственные лучи двух полученных таким образом пучков РА и Р'А', РВ и
Р'В' и т. д., будучи антигомологическими хордами некоторого шара S, про-
ходящего через первую окружность, и обратного ему шара S', пересекутся
попарно (п. 513) в четырёх точках, лежащих на одной прямой, а именно на
линии пересечения плоскости одной из окружностей’) с радикальной плоскостью
шаров S и S'.
Это доказательство остаётся в силе и для того случая, когда обе окруж-
ности лежат в одной плоскости, если только ни одна из них не обращается
в прямую линию; оно применимо в силу сказанного в Пл., п. 224, примечание,
и в том слу чае, когда обе окру жности совпадают. Если же одна из окружно-
стей, скажем ABCD, обращается в прямую, а другая проходит через полюс
инверсии, то заключение становится очевидным, так как оба сложных отноше-
ния, о которых идёт речь, будут равны одному и тому же сложному отно-
шению, а именно сложному отношению четвёрки прямых О-ABCD (черт. 187).
Если, наконец, все данные точки лежат на одной прямой с точкой О, то
заключение теоремы вытекает из равенства ОА-ОА'— h и трёх равенств, ему
1) По крайней мере одна из этих линий пересечения будет, очевидно,
всегда определена, если только обе окружности не лежат в одной плоскости:
опа совпадает при этом с линией пересечения их плоскостей. В противном
случае, прямая, о которой идёт речь, будет радикальной осью двух окружно-
стей в силу Пт., п. 224.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 193
аналогичных, с помощью алгебраических преобразований (СА = ОА — ОС=
==А'с'--о^оё и т’ д-)-
Эта теорема позволяет перенести на шар некоторые теоремы, формули-
рованные для плоскости.
Например: если даны две ортогональные окружности, то всякая окруж-
ность, ортогональная к одной из них, делится гармонически данными ок-
ружностями. Действительно, если
мы произведём инверсию, приняв
за полюс одну из точек третьей
окружности, то мы придём к из-
вестной теореме планиметрии:
если две окружности ортогональ-
ны, то всякий диаметр одной
из них делится ими гармонически.
Точно так же, если данная
окружность пересекается с ка-
кой-либо окружностью С, прохо-
дящей через две данные точки,
то точка, гармонически сопря-
жённая с одной из данных точек
относительно точек пересече-
ния, описывает при изменении
окружности С окружность, про-
ходящую через другую данную
Черт. 187.
точку, как это можно вывести из определения поляры (Пл., п. 204) при по-
мощи инверсии с полюсом в одной из данных точек; и т. д.
528. Инверсия на шаре. Взаимно обратными сферическими фигурами
называются две фигуры, стереографические проекции которых представляют
собой две взаимно обратные плоские фи-
гуры.
Можно было бы думать, что это опре-
деление зависит от выбора центра стерео-
графической проекции. Однако теорема
пункта 508 показывает, что это не так: дей-
ствительно, она позволяет формулировать
следующим образом определение взаимно
обратных сферических фигур:
Взаимно обратными сферическими
Фигурами называются две фигуры, точки
которых соответствуют друг другу
так, что две любые точки лежат на
одной окружности с точками, им соот-
Черт 188.
ветствующими.
Действительно, совершенно ясно, что если две сферические фигуры удо-
влетворяют этому условию, то и их стереографические проекции также ему
удовлетворяют и, следовательно, будут взаимно обратными, и обратно.
Более того, эта форма определения показывает, что если две фигуры вза-
имно обратны на шаре, то они же будут взаимно обратны (или симме-
тричны) друг другу и в пространстве. Действительно, повторяя доказатель-
ство пункта 508, можно убедиться, что оно применимо и к настоящему слу-
чаю. Следовательно, отсюда можно заключить, что две взаимно обратные
точки на шаре лежат на одной прямой с некоторой определённой точкой
пространства (черт. 188).
Если эта точка лежит вне шара, то существуют точки, совпадающие со
своими соответственными, и их геометрическое место есть окружность ин-
версии (черт. 188); при этом окружностью инверсии будет линия прикоснове-
13 Элементарная геометрия, ч. II
194
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
ния описанного конуса с вершиной в этой точке: действительно, две взаимно
обратные точки совпадают в том и только в том случае, если прямая, их
соединяющая, обращается в касательную к шару. В этом случае всякая
окружность, проходящая через две взаимно обратные точки, ортогональна
окружности инверсии.
Примечание. Все большие круги, каждый из которых соединяет
между собой две соответственные точки, проходят через две общие точки.
529. Рассмотрим в качестве приложения две какие-нибудь окружности,
лежащие на одном шаре: эти окружности будут иметь своими стереографи-
ческими проекциями две окружности на плоскости, взаимно обратные двумя
различными способами.
Следовательно, любые две окружности, лежащие на одном шаре, можно
рассматривать двумя различными способами как взаимно обратные (или
симметричные).
Предыдущее рассуждение не зависит от теорем пунктов 520—521; сле-
довательно, оно приводит к новому доказательству теоремы пункта 521: через
две какие-нибудь окружности, лежащие на одном шаре, можно провести
два конуса.
Кроме того, отсюда легко можно вывести и теорему пункта 520: в самом
деле, если шар S пересекает два шара S и S' под равными углами по окруж-
ностям С и С, то существуют две инверсии, преобразующие окружность С
в С'; каждая из этих инверсий преобразует шар S в некоторый шар S/, про-
ходящий через С и пересекающий шар S под тем же углом, как и S, т. е.
с точностью до направления под тем же углом, как и S'; в одной из этих
инверсий равные углы, образованные шарами S' и Sf с S, будут иметь оди-
наковое направление *), так что шар S/ совпадает с S'.
530. Всякая окружность, пересекающая две данные окружности, лежа-
щие на одном шаре, под равными углами, сама себе соответствует в од-
ной из двух инверсий, преобразующих данные окружности одну в другую:
и обратно.
Плоскость этой окружности проходит через вершину того или дру-
гого из конусов, проходящих через две данные окружности.
Эта теорема является непосредственным следствием соответствующей тео-
ремы планиметрии; впрочем, её можно доказать гем же путём, каким была
доказана последняя.
Окружности, пересекающие три данные окружности А, В и С, лежа-
щие на одном шаре, под равными углами, образуют четыре пучка:
плоскость каждой из этих окружностей проходит через одну из четырёх
прямых, которые получаются, если соединить вершину одного из конусов,
проходяших через окружности А и В, с вершиной одного из конусов, про-
ходящих через окружности А и С.
Эги прямые должны также проходить, в силу подобного же рассуждения,
через вершины двух конусов, проходящих через окружности В и С, откуда
следует, что вершины шести конусов будут вершинами некоторого полного
четырёхсторонника.
Решение задачи о касании окружностей на шАре непосредственно выте-
кает из сказанного выше; окружность, касательная к окружностям А, В и С,
необходимо принадлежит к одному из пучков, о которых мы говорили; таким
образом, задача сводится к тому, чтобы найти в данном пучке окружность,
касательную к данной окружности. Точку прикосновения искомой окружно-
1) В этом можно убедиться, пересекая данные шары какой-либо плоскостью,
проходящей через полюсы обеих инверсий. В сечении получится фигура,
рассмотренная в планиметрии (Пл., п. 227, черт. 201), где было показано, что
окружности, по которым плоскость пересекает шары S' и Sf, для одной из
двух инверсий совпадают между собой.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА ]95
сти к окружности А можно определить с помощью окружности, ортогональ-
ной одновременно и к окружностям пучка, и к окружности А (сравнить Пл.,
п. 311).
УПРАЖНЕНИЯ.
748. Отношение расстояний двух точек от центра шара равно отношению
расстояний каждой из этих точек от полярной плоскости другой точки (дока-
зать).
749. Геометрическое место центров шаров, которые пересекаются с гра-
нями данного трёхгранного угла по трём попарно ортогональным окружно-
стям (если такие шары существуют), есть прямая, рассмотренная в упраж-
нении 491, 1° (доказать).
750. Окружности, описанные около двух граней тетраэдра, пересекаются
под тем же углом, как и окружности, описанные около двух других его граней
(доказать).
751. Построим точки, обратные трём вершинам тетраэдра, приняв за по-
люс инверсии четвёртую вершину. Показать что углы полученного треуголь-
ника будут один и те же, какую бы вершину мы ни выбрали за полюс ин-
версии.
Показать, что форма этого треугольника не изменится, если заменить
четыре вершины тетраэдра точками, соответствующими им в одной и той же
произвольной инверсии.
752. Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную
точку, на каждой из которых две данные плоскости отсекают (считая от этой
точки) два отрезка, имеющих постоянное произведение.
753. Геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и
обладающих тем свойством, что произведение проекций двух данных отрез-
ков на какую-либо из этих прямых имеет постоянное значение, есть конус
с круговым основанием (доказать).
754. Найти геометрическое место осей винтовых перемещений при усло-
вии, что эти оси проходят через данную точку О и что каждое из рассмат-
риваемых перемещений переводит данную точку А пространства в другую
данную точку А' (сводится к предыдущему упражнению).
755. Найти геометрическое место точек, обратных данной точке относи-
тельно шаров, имеющих общую радикальную плоскость или общую радикаль-
ную ось.
756. Два шара, касающиеся друг друга, касаются каждый двух данных
шаров S и S'. Найти геометрическое место точек, в которых они касаются
друг друга (сравнить Пл., упр. 266).
Решить ту же задачу, если даны три шара S, S' и S’.
757. Даны два шара и точка А; найти такую инверсию, чтобы точка,
соответствующая точке А, была центром подобия тех шаров, в которые пре-
образуются данные шары.
758. Все шары, пересекающие под постоянными углами а и а' два дан-
ных шара S и S', образуют два семейства таких, что какой-либо шар S",
имеющий с шарами S и S' общую радиальную плоскость и пересекающий
некоторый шар одного из двух семейств, пересекает все шары этого семей-
ства под постоянным углом а" (доказать). Показать, что угол а" можно опре-
делить из условия, что шар, все касательные плоскости к которому пересе-
кают шар S под углом а, имеет общий центр подобия с шаром, все касатель-
ные плоскости к которому пересекают шар S' под углом а', и с шаром,
все касательные плоскости к которому пересекают шар S" под углом а".
Рассмотреть аналогичное предложение, если даны три шара вместо двух.
759. Найти шар, пересекающий пять данных шаров под равными углами;
шар. пересекающий четыре данные шара под данными углами (сравнить Пл.,
упр. 403); шар, имеющий с четырьмя данными шарами общие касательные
данной длины.
13*
196
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
760. Решить для шаров задачи, аналогичные задачам, рассмотренным
в упражнениях 237, 241 (1°, 2°), 242, 245, 246, 247 и 248 (планиметрия).
761. Решить задачу, аналогичную задаче Пл., упр. 401, заменяя три дан-
ные окружности четырьмя шарами.
762. Две фигуры, полученные одна из другой при помощи инверсии S,
подвергаются одной и той же инверсии Т. Показать, что две новые фигуры,
полученные таким образом, будут также взаимно обратны (воспользоваться
п. 508). Найти новый полюс инверсии в случае, если степень инверсии S по-
ложительна (сравнить Пл., упр. 250).
763. Некоторая фигура F подвергается двум последовательным инверсиям
(сравнить Пл., упр. 251); таким образом, получается фигура У7". Показать:
1) что существует либо инверсия, преобразующая У7 и У7" в две гомоте-
тичные фигуры, либо инверсия, преобразующая У7 и У7" в две равные фигуры;
2) что существует бесчисленное множество пар инверсий, преобразующих
как и две данные инверсии, фигуру У7 в У7"; в частности, можно предположить,
что одна из двух инверсий обращается в симметрию, если только фигуры У7
и У7" не будут подобными между собой.
Если оба шара инверсии пересекаются между собой, то операция, пре-
образующая фигуру F в У7’, может быть названа аналлагматическим вра-
щением около окружности, по которой пересекаются шары инверсии.
764. Фигура У7 подвергается некоторому числу последовательных инверсий.
Показать, что при этом получается фигура, равная либо одной из фигур,
обратных фигуре У7, либо фигуре, симметричной с одной из этих обратных
фигур, и что полученною фигуру можно получить из фигуры Р'с помощью одной
инверсии, сопровождаемой одной, двумя, тремя или четырьмя симметриями
(исключение имеет место в том же случае, что и в предыдущем упражнении).
765. Решить для двух шаров вопрос, предложенный в Пл., упр. 396.
766. Пусть шар S' и точка М' соответствуют шару S и точке М в инвер-
сии с полюсом О и степенью инверсии ц; если обозначить через р степень
точки М относительно шара S и через р' — степень точки ЛГ относительно
шара S', то будем иметь:
р' _ н2
р ~ Р-ОМ2'
где Р обозначает степень точки О относительно шара S (доказать).
(Если прямая ОММ' пересекает оба шара, то выразить степени точек,
пользуясь точками пересечения шара с этой прямой. В противном случае
применить результаты предыдущего упражнения к шару S и к бесконечно
малому шару с центром в М.)
Приведённой степенью точки М относительно шара S называется частное
от деления степени р на диаметр 2У? шара. Показать, что отношение приве-
дённой степени точки М' относительно шара S' к приведённой степени точки
М относительно шара S не зависит от этих шаров, а зависит исключительно
от данной инверсии (т. е. от точки О и от степени инверсии ц) и от поло-
жения точки М.
Во что обратится приведённая степень точки относительно шара, если
шар заменить плоскостью Р? (Найти предел приведённой степени, предпола-
гая, что радиус шара неограниченно возрастает и что шар остаётся касатель-
ным к плоскости Р в одной и той же точке.)
767. Найти те инверсии, в которых внутренняя область данного шара S пре-
образуется во внутреннюю область того шара S', в который преобразуется шар S.
768. Существует бесчисленное множество окружностей, пересекающих
под прямым углом данный шар ) и пересекающих данную окружность в двух
') Углом между окружностью и шаром называется угол между каса-
тельной к окружности и касательной плоскостью к шару в какой-либо из их
общих точек. Прим. ред. перевода.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА
197
точках также под прямым углом. Показать, что сложное отношение четырёх
точек пересечения будет одним и тем же дли каждой из этих окружностей.
769. Произвольные окружность и шар могут быть преобразованы (с по-
мощью одной и той же инверсии) либо в прямую и плоскость, либо в окруж-
ность и в плоскость, параллельную плоскости этой окружности (доказать).
770. Даны две фигуры, состоящие каждая из шара и окружности. Если
шар и окружность, входящие в состав каждой фигуры, пересекаются, то,
для того чтобы можно было преобразовать с помощью инверсии одну из
данных фигур в фигуру, равную второй, необходимо и достаточно, чтобы
угол между шаром и окружностью был одним и тем же в обеих фигурах;
как бы ни были расположены шар и окружность, необходимо и достаточно,
чтобы сложное отношение, о котором говорится в упражнении 768, было
одним и тем же в обеих фигурах (доказать).
771. Найти геометрическое место полюсов инверсий, преобразующих два
или три данных шара в равные шары.
772. Найти геометрическое место полюсов инверсий, преобразующих две
данные окружности, лежащие на одном и том же шаре, в две равные окруж-
ности.
773. Даны шар и лежащая на нём окружность’, найти геометрическое
место полюсов таких инверсий, что шар, в который преобразуется данный
шар, имеет своим большим кругом ту окружность, в которую преобразуется
данная окружность, а также таких инверсий, что конус вращения, имеющий
своим основанием преобразованную окружность, а вершиной — центр преоб-
разованного шара, имеет данный угол при вершине.
Найти геометрическое место вершин конусов, имеющих своим основанием
данную окружность, лежащую на данном шаре, и пересекающих этот шар
по второй окружности данного радиуса.
774. Найти геометрическое место полюсов инверсий, преобразующих две
данные точки данного шара в две диаметрально противоположные точки пре-
образованного шара.
775. Найти геометрическое место полюсов инверсий, которые преобра-
зуют данную окружность и данную точку, лежащие на данном шаре, в, ок-
ружность и один из её полюсов, лежащие па преобразованном шаре.
776. Даны две окружности, лежащие на одном и том же шаре; найти гео-
метрическое место полюсов инверсий, при которых данные окружности пре-
образуются в окружности, лежащие в параллельных плоскостях.
777. При каком условии один из конусов, которые проходят через две
данные окружности, лежащие на одном шаре, обращается в цилиндр? При
каком условии обращаются в цилиндр оба эти конуса?
778. Некоторая сферическая фигура преобразована с помощью двух по-
следовательных (сферических) инверсий. Найти такую стереографическую
проекцию, при которой данная и преобразованная фигуры проектируются
в две подобные или в две равные фигуры.
779. Даны две взаимно обратные сферические фигуры; найти геометричес-
кое место центров стереографических проекций, при которых эти две фигуры
проектируются в две плоские фигуры, симметричные относительно некоторой
прямой.
780. Некоторый шар проектируется стереографически на плоскость. Найти
в пространстве геометрическое место точек, служащих полюсами таких инвер-
сий, что две сферические фигуры, взаимно обратные относительно какой-либо
из этих точек, дают в проекции две плоские фигуры, симметричные относи-
тельно некоторой прямой.
781. Найти при тех же условиях геометрическое место точек, служащих
полюсами таких инверсий, что две сферические фигуры, взаимно обратные
относительно какой-либо из этих точек, дают в проекции две плоские фигуры,
взаимно обратные относительно данного полюса (степень инверсии может
меняться).
198
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
783. Преобразовать при помощи инверсии следующую теорему: все каса-
тельные к шару, проходящие через одну и ту же точку, образуют равные
углы с диаметром, проходящим через рассматриваемую точку.
783. Доказать и преобразовать при помощи инверсии следующую теорему:
любая общая касательная к двум шарам делится пополам радикальной плоскостью.
784. Рассмотрим совокупность шаров, касающихся (одинаковым образом)
двух данных пересекающихся шаров; через две точки касания каждого из
этих шаров и через данную точку А, лежащую па линии пересечения данных
шаров, проведём окружность. Показать, что все эти окружности касаются
друг друга.
785. Пусть три шара пересекаются попарно по трём окружностям С, С'
и С”. Существует бесчисленное множество шаров S, каждый из которых
касается трёх окружностей С, С и С" (доказать). Эти шары S можно рас-
пределить, вообще говоря, в четыре семейства, обладающих следующим
свойством: существуют три шара, касающихся всех шаров одного и того же
семейства (доказать). Указать то исключение, которое допускает последнее
предложение.
Если три окружности С, С и С имеют одну или две общие точки и через
одн} из этих общих точек и через три точки прикосновения каждого шара
одного семейства и трём окружностям провести шар X, то все эти шары S
будут касаться друг друга (доказать).
786. Преобразовать при помощи инверсии предложения, относящиеся
к трёхгранным углам, приведённые в упражнениях 487—492.
Придать предложениям, вытекающим из упражнений 488 и 489, такую
форму, чтобы они сохранили смысл и остались в силе и в том случае, если
шары, в которые преобразуются грани трёхгранных углов, заменить шарами,
попарно пересекающимися, но не проходящими через одну и ту же точку;
а предложениям, вытекающим из упражнений 487, 490, 2° и 491, 1°, придать
такую форму, чтобы они сохранили смысл и остались в силе даже и в том
случае, если шары, о которых идёт речь, заменить шарами, не пересекающими
друг друга.
Доказать с помощью предложения, приведённого в упражнении 771, одно
из предложений, соответствующих предложению упражнения 487.
787. Даны две стереографические проекции F' и F" сферической фигуры F
на две различные диаметральные плоскости. Показать, что если совместить
плоскость первой из двух проекций F' с плоскостью другой проекции F",
вращая её (в надлежащем направлении) около диаметра, общего этим двум
плоскостям, то фигура F' в её новом положении будет обратна фигуре F".
Где будет лежать полюс инверсии?
788. Даны шар и на нём два малых круга; большой круг, соединяющий
две какие-нибудь точки первого малого круга, и большой круг, соединяю-
щий соответственно антигомологические точки второго малого круга, т. е.
точки, соответствующие первым двум точкам в одной из двух инверсий, преобра-
зующих первый малый круг во второй, пересекаются на радикальном боль-
шом круге (доказать).
789. Распространить на сферическую геометрию упражнения 260 — 262
планиметрии.
Показать, что геометрическое место (п. 527) точек, гармонически сопря-
жённых с точкой В относительно концов дуг, отсекаемых данной окружностью
на окружностях, проходящих через точки А и В, будет совпадать с дугой
окружности APQ, аналогичной окружности, о которой говорится в Пл., упр.
262, и что точно так же геометрическое место точек, гармонически сопря-
жённых с точкой А относительно концов тех же дуг, будет аналогичной
дугой окружности BPQ.
Показать, что эти две окружности пересекаются под углом, равным углу
между окружностями, касательными к данной окружности и проходящими че-
рез точки А и В.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА
199
В сл\ чае совпадения точек А и В окружность APQ пересекает данную
окружность под прямым углом.
790. Преобразовать при помощи стереографической проекции теорему
Пл., п. 211. Вывести из неё способ построения окружностей, касательных
к данной окружности, лежащей на шаре, и проходящих через две данные
точки.
791. Преобразовать точно так же (сравнить п. 527) следующие теоремы:
Две параллельные прямые отсекают на двух прямых, проходящих через
одну точку, пропорциональные отрезки. Две параллельные прямые делятся
на пропорциональные части прямыми, проходящими через одну точку.
792. Даны па шаре или на плоскости две точки А, В и окружность; про-
вести через точки А и В втормо окружность так, чтобы сложное отношение
точек А, В и точек пересечения искомой окружности с данной имело данную
величину; чтобы это сложное отношение имело наибольшую или наименьшую
величину.
793. Если провести через две данные точки А и В, лежащие на данном
шаре, всевозможные окружности, пересекающие данную окружность С в
AP-AQ
некоторых точках Р и Q, то отношение постоянно (доказать). Если
точка А и окружность С даны, то найти геометрическое место точек В, для
которых это отношение имеет данную величину.
794. Преобразовать при помощи инверсии (в пространстве) следующую
теорему: если рд — какая-либо хорда окружности, & — угол, который она
образует с окружностью, то величина имеет одно и то же значение
для всех хорд.
(Из полученного таким образом результата вытекает, в частности, пред-
ложение, рассмотренное в предыдущем упражнении.)
795. (Теорема, обратная одной из теорем пункта 527.) Если окружность С,
лежащая на одном шаре, делится гармонически двумя окружностями А и В,
то через точки пересечения окружностей А и С проходит окружность, орто-
гональная к окружностям В и С (доказать).
796. Если шесть точек А, В, С, а, Ь, г, лежащих на одном шаре, обладают
тем свойством, что окружности Abc, Вса, Cab проходят через одну точку,
то и окружности аВС, ЬСА п сЛВ также проходят через одну точку (доказать).
(Сводится к Пл., задача 344.)
797. Сложное отношение четырёх точек, в которых две данные пересе-
кающиеся окружности пересекают третью окружность, ортогональную к ним
обеим, не зависит пи от положения этой третьей окружности, ни от положе-
ния двух данных окружностей, при условии, что угол между ними остаётся
постоянным (доказать). (Сравнить Пл., упр. 396.)
^Если обозначить через а угол между двумя данными окружностями, то
д
сложное отношение, о котором идёт речь, равно — tg2-jp
Обобщить это предложение па случай двух шаров или шара и окруж-
ности.
798. Какое предложение получается с помощью стереографической проек-
ции из Пл., упр. 65?
799. Даны на шаре три окружности, попарно пересекающиеся в точках А
и А', В и В’, С н С. Показать, пользуясь предыдущим упражнением, что если
провести через точки б' и С' какую-нибудь окружность Г, пересекающую окруж-
ность АСА’С в точке Q, и окружность АВА'В' в точке /?,, то окружности
АВ'(В и А'С'РЛ пересекут окружность ВСВ'С в двух новых точках Р' и Р",
обладающих тем свойством, что окружности A'Q\Ri и А'Р1 Р будут иметь
200
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
в точке А' одну и ту же общую касательную, какова бы ни была окруж-
ность Г (доказать).
Провести через точки В', С; С, А'; А', В' три такие окружности B'C'QR,
C'A'RP, A'B'PQ, чтобы общая точка Р двух последних из них лежала на
окру жности ВСВ'С, общая точка Q первой и третьей из них — на окружности
СаС'А’, общая точка R двух первых из них — на окружности АВА:В' (сво-
дится к отысканию окружности Г прн условии, что точка Р' совпадает с Р").
Окружность B'C'RQ образует равные углы с окружностями В'С'ВС и
В'С'А (доказать).
Окружности АА'Р, BB'Q и CCR имеют общую радикальную ось (доказать)
(Для доказательства можно, например, выполнить стереографическую про
екцпю, принимая за центр проекций точку А'.)
800. Решить на шаре упражнения 256, 402 и 403 планиметрии.
801. Если задача, поставленная в упражнении 705, неопределённа, го
различные положения искомой окружности лежат на одном шаре. Найти гео-
метрическое место вершин конусов, описанных около полученного шара и
касающихся его по этим окружностям.
Решить те же вопросы для упражнения 706.
802. Дана плоскость Р и лежащая в ней окружность с, предположим, что
шар, имеющий окружность с своим большим кругом, проектируется стереогра-
фически на плоскость Р (центром проекции служит один из концов диаметра,
перпендикулярного к Р). Каким условиям должна при этих предположениях
удовлетворять какая-либо окружность, лежащая в плоскости Р, для того чтобы
она была проекцией большого круга шара?
Каким условиям должны удовлетворять две точки для того чтобы они
были проекциями двух диаметрально противоположных точек?
803. При тех же данных, что и в предыдущем упражнении, выполнить в
стереографической проекции 1) следующие построения:
1°. Провести большой круг через две данные точки.
2°. Найти сферическое расстояние между двумя данными точками.
3°. Построить окружность, имеющую полюсом данную точку и проходящую
через другую данную точку; имеющую полюс в данной точке и сферический
радиус, равный данной дуге окружности с.
4°. Построить большой круг, представляющий собой геометрическое место
точек, равноудалённых от двух данных точек.
Выполнить также в стереографической проекции построения, указанные
в упражнении 499.
804. На твёрдом теле, имеющем форму шара, даны точка V и точка А
большого круга С, имеющего точку V своим полюсом; кроме того, в некоторой
плоскости дана окружность с, радиус которой равен радиусу шара, и точка а,
лежащая на этой окружности. Рассмотрим плоскую фигуру, равную стереогра-
фической проекции шара из точки V, как из центра, причём окружность с
соответствует большому кругу С, точка а — точке А и данное направление на
окружности с — положительному направлению на окружности С (при взгляде на
эту окружность из точки V). Построить на шаре (с помощью построений на
плоскости и на шаре) точку М, соответствующую точке т данной плоскости,
и обратно.
805. Найти эффективно (при помощи построений на плоскости и на шаре)
две инверсии, которые преобразовывают одну в другую две данные окружно-
сти, лежащие на шаре, рассматриваемом как твёрдое тело; определить две пары
I) Провести в стереографической проекции через две данные точки боль-
шой круг, значит: даны стереографические проекции двух точек и окруж-
ность, расположенная в плоскости проекций: построить стереографическую
проекцию большого круга, проходящего через эти две точки. Аналогичный
смысл имеют и следующие задачи. Все эти задачи должны быть решены эф-
фективно при помощи построений на плоскости.
ГЛАВА I. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 201
соответственных точек в каждой инверсии, окружности инверсии, если они
существуют, и точки, в которых данный шар пересекается с прямой, соединяю-
щей вершины двух конусов, которые можно провести через обе окружности.
Выполнить последнее построение также в стереографической проекции.
806. Даны три окружности, лежащие на одном шаре; построить эффективно
(при помощи построений на плоскости и на шаре) окружность, о которой идёт
речь в упражнении 502.
807. Выполнить то же построение в стереографической проекции.
808. Решить на шаре упражнение 112 планиметрии (найти геометрическое
место точек касания двух окружностей, касательных друг к другу, каждая из
которых касаетси данной окружности в данной на ней точке).
809. Два шара, касающиеся каждый данной плоскости в данной точке, ка-
саются друг друга. Найти геометрическое место точек касания (сводится к пре-
дыдущему; искомая точка лежит на некотором шаре).
810. Рассматриваются шары, касающиеся данной прямой в данной точке,
и в то же время касательные к данному шару.
Найти геометрическое место точек касания.
811. Две окружности, касающиеся каждая данной прямой пространства в
данной точке, касаются друг друга. Найти геометрическое место точек касания.
812. Если некоторая прямая пересекает взаимную поляру другой прямой
относительно данного шара или ей параллельна, то и обратно, вторая пря-
мая пересекает взаимную поляру первой прямой или ей параллельна (доказать,
пользуясь и. 506).
Если две прямые, обладающие этим свойством, пересекаются между собой
и не имеют общих точек с данным шаром, то эти прямые можно рассматри-
вать как две такие прямые АВ и АС, что описанные конусы с вершинами
в точках А, В и С касаются шара вдоль трёх окружностей, первая из которых
делится гармонически двумя другими (доказать).
813. Если точка а перемещается по шару А, то точка а', рассматриваемая
в пункте 523, описывает на том же шаре фигуру, обратную той, которую
описывает точка а.
814. Если две окружности С к С обладают тем свойством, что через С
можно провести шар, пересекающий С' под прямым углом (или плоскость,
обладающую тем же свойством), то и обратно, через С' можно провести шар,
пересекающий С под прямым углом (или плоскость, обладающую тем же свой-
ством) (доказать).
Рассмотреть случай, когда через одну из окружностей можно провести
бесчисленное множество окружностей, пересекающих другую под прямым
углом.
Показать, что в этом случае всякий пространственный четырёхугольник,
две противоположные вершины которого лежат на окружности С, а две дру-
гие — на окружности С, обладает тем свойством, что произведение одной
пары его противоположных сторон равно произведению сторон другой пары
815. Единственными шарами, которые преобразу ютси сами в себя с по-
мощью аналлагматической транспозиции относительно данной окружности
с., т. е. (сравнить упр. 763) с помощью совокупности двух инверсий относи-
тельно шаров, пересекающихся под прямым углом по окружности с, являются
шары:
1) проходящие через окружность с;
2) пересекающие окружность с под прямым углом (доказать).
(Для доказательства преобразовать окружность с в прямую линию.)
816. Определить (тем же методом) окружности, которые преобразуются
сами в себя с помощью аналлагматической транспозиции относительно данной
окружности с. Это будут:
1) сама окружность с;
2) те окружности, которые (упр. 814) пересекают под прямым углом вся-
кий шар, проходящий через окружность с;
202
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
3) те окружности, которые пересекают окружность с в двух точках под
прямым углом.
817. Каждой точке Р пространства соответствует некоторая точка /*, об-
ладающая тем свойством, что через точки Р и Р' проходит бесчисленное мно-
жество окружностей, пересекающих данную окружность С в двух точках под
прямым углом. Точка Р' получается из точки Р с помощью аналлагматической
транспозиции относительно окружности С (доказать).
818. Найти окружность, касающуюся данной окружности и пересекающую
другую данную окружность в двух точках под прямым углом.
819. Два конуса вращения, описанные около одного и того же шара, пере
секаются по двум плоским кривым (доказать).
(Рассматриваемое предложение может быть выведено из пункта 521 мето-
дом взаимных поляр.)
820. Доказать ту же теорему при помощи пункта 530 (рассмотреть окруж
пости оснований описанных около шара конусов, вершины которых находятся
в точках искомых кривых пересечения).
821. Мнимые точки. Аналогично тому, как можно задать две точки на
плоскости в обычном смысле, или, как мы будем говорить, две действительные
точки, задавай две окружности или окружность и прямую, пересекающиеся
в этих двух точках, так можно условиться, что пара мнимых сопряжённых
точек определяется двумя окружностями или окружностью и прямой, не имею-
щими общих точек в обычном смысле •), с оговоркой, что любые две другие
•окружности С, имеющие с двумя данными общую радикальную ось, опреде-
ляют ту же самую пару точек. В частности, всегда можно заменить две окруж-
ности прямой линией (их радикальной осью) и точкой, не лежащей на этой
прямой (одной из их предельных точек).
Говорят также (условно), что все окружности С проходят через две мни-
мые точки, о которых идёт речь, а радикальную ось D этих окружностей на-
зывают прямой, соединяющей две мнимые сопряжённые точки. Далее, сере-
диной отрезка, имеющего своими концами мнимые точки, называется точка
пересечения прямой D с линией центров окружностей С; произведением рас-
стояний какой-нибудь точки прямой D от двух мнимых точек—степень этой
точки относительно каждой из окружностей С (эти определения, очевидно,
справедливы в случае действительных точек пересечения). Точно так же го-
ворят, что две действительные точки а и b прямой D образуют с двумя мни-
мыми сопряжёнными точками -гармоническую четвёрку, если они сопряжены
относительно какой-либо одной, а следовательно * 2), и относительно всех окруж-
ностей С.
Все свойства, которые выражаются с помощью равенств и были доказаны
для случая действительных точек, остаются также справедливыми и для мни-
мых сопряженных точек, если они сохраняют смысл в этих новых условиях.
Проверить, например, следующие:
1°. Разность между произведением расстояний некоторой точки т прямой
от двух точек а и а’ этой прямой и квадратом расстояния той же точки от
середины отрезка ая' не зависит от положения точки т (безразлично, будут
ли точки а и а' действительными или мнимыми сопряжёнными; только знаки
этой разности будут различными в том и другом случае).
2°. Произведение расстояний середины отрезка, имеющего своими кон-
цами две мнимые сопряжённые точки, от каких-либо двух действительных
!) Если задать координаты центра и радиус окружности, то абсциссы
(или ординаты) точек, в которых эта окружность пересекает прямую, опреде-
ляется уравнением второй степени, кеторое будет иметь мнимые корни, если
прямая расположена вне окружности.
2) в силу заключительного предложения решения Пл., упр. 237. Прим. ред.
перевода.
ГЛАВА 1. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ШАРА 203
точек а и Ь, образующих с первыми гармоническую четвёрку, есть величина
постоянная.
3°. Произведение расстояний середины отрезка ab, где а и b те же точки,
что и в 2°, от двух мнимых точек равно I ту 1 .
822. Мнимая окружность. Условимся говорить (сравнить упр. 821), что
мнимая окружность определяется двумя шарами (или шаром и плоскостью),
не имеющими действительных точек пересечения с той оговоркой, что два
данных шара можно, не изменяя данной окружности, заменить любыми двумя
шарами S, имеющими с двумя данными шарами общую радикальную плоскость Р.
Эта плоскость называется плоскостью окружности, а точка, в которой она
пересекает линию центров шаров S, называется центром окружности. Эта
оговорка позволяет, в частности, определить мнимую окружность при помощи
плоскости Р и точки $, а именно одной из предельных точек семейства ша-
ров S, или при помощи двух точек (двух предельных точек). Говорят, что каж-
дый из шаров S проходит через мнимую окружность.
Точками пересечения мнимой окружности, лежащей в плоскости Р, с ка-
кой-либо прямой D, лежащей в той же плоскости, называются мнимые сопря-
жённые точки (упр. 821) прямой D, определяемые окружностями С, по кото-
рым произвольная плоскость Q, проходящая через прямую D и отличная от Р,
пересекает шары S.
Степенью точки т, лежащей в плоскости Р, относительно мнимой окруж-
ности называется степень этой точки относительно одного из шаров S, дру-
гими словами, ms-. Радикальной осью двух окружностей (действительных или
мнимых), лежащих в одной плоскости, называется геометрическое место точек,
имеющих одну и ту же степень относительно этих окружностей. Действитель-
ная окружность плоскости Р называется ортогональной к мнимой окружности,
если она является большим кругом шара, ортогонального к шарам S. Окруж-
ность, лежащая на одном из шаров S, называется ортогональной к мнимой
окружности, если через неё проходит шар, ортогональный ко всем шарам S. При
этом шар, ортогональный ко всем шарам S, называется ортогональным к мнимой
окружности. Полярой точки т, лежащей в плоскости Р, относительно мнимой
окружности называется прямая, гомотетичная радикальной оси точки т и мни-
мой окружности, причём центром подобия служит точка т, и коэффициент
подобия равен 2. Некоторая точка b называется сопряжённой с данной
точкой а относительно мнимой окружности, если поляра данной точки
а проходит через эту точку Ь. Две точки плоскости Р называются взаимно
обратными относительно мнимой окружности, если всякая окружность, про-
ходящая через эти две точки, пересекает мнимую окружность под прямым
углом.
Окружностью, обратной мнимой окружности относительно данного по-
люса при данной степени инверсии, называется мнимая окружность, которая
получится, если заменить inapbiS шарами, им обратными, при том же полюсе
и той же степени инверсии.
При этих условиях предлагается распространить на мнимые окружности
некоторые из свойств действительных окружностей, как, например, следующие:
1°. Разность между степенью какой-либо точки плоскости относительно
мнимой окружности и квадратом расстояния той же точки от центра окруж
иости есть величина постоянная.
2°. Если точка b сопряжена с точкой а относительно мнимой окружности,
то и точка а сопряжена с точкой Ь относительно той же окружности.
!) Необходимо, однако, добавить, что существуют более общие категории
мнимых окружностей, которые мы здесь не рассматриваем и по отношению
к которым те окружности, которые мы определили в тексте, являются только
частным случаем.
204
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
Две точки а и Ь, сопряжённые относительно мнимой окружности, гармо-
нически сопряжены относительно двух мнимых сопряжённых точек (упр. 821),
в которых эта окружность пересекает прямую аЬ.
3°. Две точки, взаимно обратные относительно мнимой окружности, полу-
чаются одна из другой при помощи инверсии, полюсом которой служит центр
этой окружности.
4°. Радикальные оси трёх окружностей, взятых попарно, пересекаются
в одной точке или параллельны.
5°. Все окружности, лежащие в одной плоскости и ортогональные к двум
данным окружностям, имеют две общие точки (предельные точки).
6°. Две ортогональные окружности, лежащие на одном шаре (или в одной
плоскости), преобразуются при помощи инверсии в две ортогональные окруж-
ности ').
7°. Если две окружности, лежащие на одном шаре, ортогональны, то их
плоскости сопряжены относительно этого шара* 2).
8°. Всякая окружность, лежащая на данном шаре и пересекающая под
прямым углом две данные окружности, пересекает под прямым углом бесчи-
сленное множество некоторых других окружностей.
823. Мнимая окружность определена при помощи плоскости Р, в которой
она лежит, и точки s, лежащей вне этой плоскости (рассматриваемой как шар
нулевого радиу са). Показать, что для того чтобы две точки а и b плоскости Р
были сопряжены друг с другом, необходимо и достаточно, чтобы прямые sa
и sb были взаимно перпендикулярны.
Поляра точки а относительно мнимой окружности есть линия пересечения
плоскости Р с плоскостью, перпендикулярной к прямой sa и проходящей
через точку 5 (доказать).
ГЛАВА II.
ПЛОЩАДИ СФЕРИЧЕСКИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
531. В настоящей главе мы предположим, что за единицу измере-
ния углов принят радиан, а за единицу площади — площадь квадрата,
имеющего своей стороной радиус шара.
При этом поверхность шара будет равна (п. 496) 4т.
Если радиус шара или единица длины не выбраны специальным образом,
то это предположение не согласуется с общим условием, сформулированным
в планиметрии (Пл., п. 244) (о котором мы упоминали в п. 419).
Следовательно, для того чтобы вернуться к тому случаю, когда единицы
выбраны в соответствии с общим условием, необходимо применить известные
правила перехода от одних единиц к другим (сравнить упр. 825).
532. Выбрав единицы измерения, начнём с вычисления площади
сферического двуугольника.
Сферическим двуугольником называется часть шара, заключённая
между двумя большими полукругами, имеющими общие концы: другими
!) Это утверждение можно распространить на две окружности, из кото-
рых одна действительна, а другая мнима; две ортогональные окружности не
могут быть мнимыми одновременно.
(Последнее утверждение обозначает только то, что понятие ортогональ-
ности для двух мнимых окружностей не определяется. Прим. ред. перевода.)
2) См. предыдущую сноску.
ГЛАВА II. ПЛОЩАДИ СФЕРИЧЕСКИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
205
словами, часть шара, вырезанная двугранным углом, ребром которого
служит диаметр шара.
Угол между этими двумя большими полукругами, другими сло-
вами, величина двугранного угла, называется углом двуугольника
(черт. 189).
При этих условиях имеет место следующая теорема:
Теорема. Площади двух двуугольников, представляющих собой
части одного и того же шара, относятся как их углы.
Эта теорема доказывается тем же способом, как и аналогичные
теоремы, встречавшиеся раньше: п. 420 н Пл., п. 17, п. 113 и т. д.
Заметим, что:
1°. Два двуугольника, имеющие одинаковые углы, равны между
собой, так как они совпадут, если совместить соответствующие им
двугранные углы.
2°. Площадь двуугольника С, угол которого равен сумме углов
двуугольников А и В, равна сумме площадей двуугольников А и В.
Это будет очевидным (черт. 189), если рас-
положить оба двуугольника так, чтобы они z'
были прилежащими друг к другу1), что мы / / Л \
имеем право сделать в силу 1°. / I 1 \
Из двух предыдущих замечаний выте- I |
кает, как мы знаем, справедливость той у I II
теоремы, которую мы имели в виду дока- \ \ / / /
зать. х. \ //У
Следствие. Площадь двуугольника
измеряется удвоенной величиной его Черт. 189.
угла (в выбранной нами системе единиц).
Действительно, двуугольник, имеющий прямой угол, очевидно,
составляет четверть шара; следовательно, его площадь равна тг, в то
Т.
время как его угол равен — .
Так как отношение величины площади к величине угла равно двум
для рассматриваемого двуугольника, то оно будет равно двум (в силу
предыдущей теоремы) и для любого другого двуугольника.
533. Чтобы вывести отсюда выражение для площади какого-либо
сферического треугольника, докажем сначала следующую лемму:
Лемма. Два сферических треугольника, симметричных друг
другу, равновелики.
1°. Случай равнобедренных треугольников. Два
симметричных равнобедренных сферических треугольника в то же
время равны (п. 400), а следовательно, и равновелики.
2°. Общий случай. Дан сферический треугольник АВС и
симметричный ему треугольник А'В'С. Пусть О — один из полюсов
') Прилежащими двуугольниками мы называем двуугольники, которые
определяются двумя прилежащими двугранными углами.
206
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
окружности, описанной около треугольника АВС', предположим для
определённости, что эта точка лежит внутри треугольника (черт. 190).
Данный треугольник разлагается на три равнобедренных треугольника
ОВС, ОСА и ОАВ. При этом треугольник А'В'С будет, очевидно,
суммой трёх равнобедренных треугольников, соответственно равных
этим трём треугольникам, и, следовательно, теорема доказана.
Если бы точка О не лежала внутри треугольника, если, например,
она была бы расположена1), как указано на чертеже 191, то площадь
треугольника АВС равнялась бы сумме площадей равнобедренных
треугольников ОВС и ОСА за вычетом площади равнобедренного
треугольника ОАВ, а площадь треугольника AiB'C' также равнялась
бы сумме площадей двух равнобедренных треугольников за вычетом
площади третьего, причём эти три треугольника были бы соответствен-
но равны трём первым, откуда следует прежнее заключение.
534. Теорема. Площадь сферического треугольника измеряется
избытком суммы его углов над тс.
Пусть АВС — рассматриваемый сферический треугольник; А',В',С
(черт. 192) — точки, диаметрально противоположные точкам А,В,С.
Двуугольник, угол которого равен углу А данного треугольника,
состоит из треугольников АВС и ВСА'\ следовательно,
пл. двууг. ,4 = пл. ЛВС-}-пл. ВСА'.
Точно так же
пл. двууг. В=пл. ЛВС-}-пл. АСВ',
пл. двууг. С—пл. ЛВС-}-пл. АВС.
') Всегда можно предположить, что мы имеем одно из двух расположений,
изображённых на чертежах 190 и 191; другими словами, что точка О лежит,
относительно по крайней мере двух сторон треугольника, в том же полушарии,
что и треугольник; в противном случае достаточно заменить полюс О полюсом
ему противоположным. Но такой выбор вовсе не обязателен, рассуждения,
приведённые в тексте, очевидно, сохраняют силу, каково бы ни было распо-
ложение полюса относительно треугольника.
ГЛАВА I!. ПЛОШАЛИ СФЕРИЧЕСКИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
207
Но в последнем равенстве треугольник АВС можно заменить
равновеликим ему треугольником А'В’С (по предыдущей лемме).
Складывая эти три равенства и замечая, что сумма площадей тре-
угольников АВС, ВСА', САВ' и А'В'С даёт площадь одного из
полушарий, определяемых большим кругом АВ, и, следовательно,
равна 2тг, получим:
пл. двууг. Л-{-пл. двууг. В -J-пл. двууг. С=2 пл. ЛВС-{-2п
или, так как (п. 532 следствие)
пл. двууг. Л = 2 /Л, пл. двууг. В = 2 </_В, пл. двууг. С—2 / С,
то
пл. АВС /А —|— /В —{— /С— тг.
Д
Черт. 194.
Следствие. Плошадь сферического многоугольника, имеющего п
сторон, равна избытку суммы его углов над (п — 2)-, как в этом
можно убедиться (сравнить Пл., п. 44а),
разбивая данный многоугольник диаго-
налями на треугольники (черт. 193).
Сферическим избытком сфериче-
ского многоугольника называется раз-
ность между суммой его углов и
(л — 2) тт, так что площадь сфери-
ческого многоугольника измеряет- т
ся (в системе единиц, выбранной в 1
этой главе) его сферическим избытком.
535. Теорема. Геометрическое место третьих вершин сфери-
ческих треугольников, у каждого из которых две вершины совпа-
дают соответственно с двумя данными точками и разность между
углом при третьей вершине и суммой углов при данных вершинах
имеет заданную величину, состоит из двух дуг, принадлежащих
различным окружностям.
Пусть В и С — две данные вершины, А — третья вершина; мы
предполагаем, что дана величина ^/В-{- XС—/ф_А. Пусть далее О
(черт. 194) один из полюсов окружности, описанной около треуголь-
ника: покажем, что точка О неподвижна.
Чтобы дать вполне общее доказательство, будем рассматривать
величины углов как поло кительные или как отрицательные, смотря
по тому, будут ли углы иметь положительное или отрицательное на-
правление.
Так как треугольник ОВС равнобедренный, то дуги больших
кругов ОВ и ОС образуют со стороной ВС углы, равные по абсо-
лютной величине, но имеющие противоположные знаки. Пусть а—пер-
вый из этих углов; следовательно,
а = /СВО = — £ВСО\
20b
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
л)сть точно так же
Р = /ДСО = —/СЛО,
Ч = '/ВАО = — /АВО.
Если расположение треугольника таково, что угол ВАС положи-
телен ’), то будем иметь с точностью до целых окружностей:
Z^ = H-7.
Z5=y4-«>
ZC = a + ^,
и, следовательно,
ZB + ZC-Z^ = 2a,
или иначе:
Z^+Zc-Z», д
2
{причём последнее равенство имеет место с точностью до целых полу-
окружностей); это равенство даёт величину а и, следовательно, позво-
ляет определить положение точки О. Давая а два значения, отличаю-
щихся одно от другого на полуокружность, будем иметь для этой
точки два диаметрально противоположных положения, которые будут
определять два полюса одной и той же окружности.
Наоборот, если мы сделаем относительно расположения треуголь-
ника предположение, противоположное тому, которое мы сделали выше,
то мы получим другую окружность; то же самое будет в том случае,
если мы изменим знак разности Е_Ву-^/_С— /_А.
536. Теорема Лекселля (Lexell). Если даны площадь сфери-
ческого треугольника и две его вершины, то геометрическое место
третьих вершин состоит из двух малых кругов, проходящих
через точки, диаметрально противоположные двум данным вер-
шинам* 2).
Пусть (черт. 192) А и В — данные вершины, С—третья верши-
на, А' и В' — точки, диаметрально противоположные точкам А и В.
Сумма </_А 4- /_ВZC углов треугольника АВС известна; но
углы СА'В' и СВ'А' треугольника А'В'С соответственно равны ^/САВ'
и </СВА', т. е. углам, пополнительным углам А и В. Таким обра-
зом сумма Z^ + Z^ + Z^ может быть записана в виде Х_С~\~
9 В силу этого условия угол А (существенно положительный) равен (по
абсолютной величине и по знаку) углу ВАС; в противном случае мы имели
бы /Л = — /_ВАС= — (₽ + т), £В = — £СВА = — (Т 4- а), /С = —/АСВ=
—— (а Р).
2) Точнее говоря, из двух дуг малых кругов, имеющих своими концами
точки, диаметрально противоположные двум данным вершинам. Прим. ред.
перевода.
ГЛАВА II. ПЛОЩАДИ СФЕРИЧЕСКИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
209
-L 2п — /_СА'В'— ^/СВ'А’. Следовательно, известна величина
/СД'В' /СВ'А'— ^/_С и геометрическое место точек С состоит
из двух малых кругов1), проходящих через точки А' и В'.
УПРАЖНЕНИЯ.
824. Распространить понятие полярною сферического треугольника на
выпуклые сферические многоугольники.
Если единица измерения углов и единица измерения площадей выбраны,
как указано выше (п. 531), а за единицу длины принят радиус шара, то
площадь выпуклого сферического многоугольника измеряется разностью между
2- и периметром многоугольника, полярного по отношению к данному (доказать).
825. Найти (в квадратных метрах) площадь сферического треугольника,
углы которого равны 90°, 60° и 45°, если этот треугольник лежит па шаре,
радиус которого равен 10 м.
826. Вывести теорему Лекселля из упражнения 503.
827. Даны три точки А, В и С, лежащие на одном шаре; найти геометри-
ческое место таких точек М, что сферические треугольники МАВ и МАС
равновелики. Предполагается, что эти два треугольника имеют одинаковое
ра сположени е.
828. Разделить треугольник на 2д равновеликих частей, проводя большие
круги через вершину А или через'какую-нибудь точку, лежащую на одной
из сторон.
В первом случае, если принять точку, диаметрально противоположную
данной точке А, за центр стереографической проекции, то проекция стороны,
противолежащей А, разделится па равные части проекциями вершин искомых
треугольников.
829. Найти внутри сферического треугольника такую точку, чтобы боль-
шие круги, соединяющие её с вершинами треугольника, делили площадь
треугольника на три части, две из которых были бы равновелики, а третья
равнялась удвоенной площади каждой из двух первых.
830. Найти на данной окружности такую точку, чтобы дуги больших
кругов, соединяющих её с двумя данными точками той же окружности, обра-
зовали между собой данный угол.
831. Построить сферический треугольник, зная сторону" или угол, высоту
и площадь.
832. Найти максимум или минимум площади сферического треугольника,
в котором известна сторона или угол и соответствующая высота.
833. Построить равнобедренный сферический треугольник по дайной сто-
роне и площади.
Построить равнобедренный сферический треугольник по данной стороне
при условии, чтобы он имел наибольшую возможную площадь.
834. Показать, что проходящие через вершины сферического треугольника
АВС дуги больших кругов, каждая из которых делит пополам площадь тре-
угольника, совпадают с дугами АР, BQ и СВ, рассматриваемыми в упражне-
нии 799 (если данными окружностями будут стороны треу гольника).
835. Вычислить площадь части шара, ограниченной произвольными окруж-
ностями.
(Сначала надо вычислить площадь общей части сферического двууголь-
ника и сферического сегмента, имеющего своими полюсами вершины дву-
угольника. Отсюда можно получить выражение для части шара, заключён-
ной между дутой большого круга и дугой малого круга, имеющей с ней
общие концы. Далее надо рассуждать так же, как и в планиметрии (Пл., п. 263).]
!) Точнее говоря, из двух дуг малых кругов. Прим. ред. перевода.
14 Элементарная геометрия, ч. П
210
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
ГЛАВА III.
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.
537. Мы будем рассматривать в этой главе исключительно такие
многогранники, которые удовлетворяют условиям, указанным в сно-
сках ') и 2) к пункту 406, а именно:
ограничивающая нх поверхность состоит из одного куска;
нп одно из рёбер не служит общим ребром более чем двух граней
и ни одна из вершин не является общей вершиной нескольких мно-
гогранных углов, образованных гранями многогранника.
Кроме того, каждая грань должна быть ограничена одним контуром,
как это было указано в планиметрии (Пл., п. 21). Это условие не вы-
текает из тех, которые даны выше. Например, если рассматривать за-
штрихованную на чертеже 195 плоскую фигуру как основание призмы,
то эта призма будет многогранником, удовлетворяющим первым двум
условиям и не удовлетворяющим третьему.
Черт. 195.
Черт. 197.
Мы предположим также, что ни одна вершина не будет общим
концом более чем двух рёбер, лежащих в одной грани. Например,
грань не может иметь форму многоугольника, изображённого на чер-
теже 196.
538. Если мы отнимем одну или несколько граней многогранника,
то оставшаяся поверхность, которую мы также будем предполагать
состоящей из одного куска, уже не будет замкнутой; она будет иметь
(кроме рёбер, каждое из которых принадлежит двум граням) свобод-
ные рёбра, т. е. такие, которые будут принадлежать только одной
грани. Эти последние образуют контур или Край рассматриваемой
открытой многогранной поверхности.
Соединим между собой две точки, принадлежащие краю открытой
поверхности (многогранной или нет — безразлично), некоторой линией,
расположенной на поверхности и не пересекающей самоё себя ни в од-
ной точке. Если мы разрежем поверхность по указанной линии, то мы
будем говорить, что на поверхности проведён разрез (section). Если,
например, имеем многогранную поверхность и рассмотрим линию, обра-
зованную рёбрами многогранника, то понятно, что после того как мы
проведём разрез, две грани (Л и F', черт. 197), разделённые ребром,
принадлежащим разрезу, не следует рассматривать как прилежащие
ГЛАВА Ш. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ 21 1
друг к другу; ребро, о котором идёт речь (АВ, черт. 197), должно
рассматриваться в дальнейшем как входящее в состав края поверхности
и притом дважды, а именно как сторона грани F и как стороне
грани F'.
539. Говорят, что две поверхности .4 и А’ имеют одинаковую
связность, если между их точками можно установить такое соответ-
ствие, при котором край одной поверхности переходит в край другой
поверхности и которое удовлетворяет следующим условиям 1) каждой
точке поверхности А соответствует одна и только одна точка поверх-
ности А', и обратно; 2) произвольной фигуре (линии или области)
поверхности А, состоящей из одного куска ’), соответствует на поверх-
ности А' некоторая фигура, также состоящая из одного куска, и обратно.
В частности, это имеет .место в том случае, если одна поверхность
получается из другой путём непрерывной деформации, при которой
никогда не происходит ни разрывов, ин склеивания разъединённых
ранее частей* 2).
Если некоторая поверхность А имеет своей проекцией часть пло-
скости А', ограниченную со всех сторон (так что ни одна из точек
поверхности А не проектируется в бесконечно удалённую точку), к
если каждый проектирующий луч имеет только одну общую точку с
поверхностью А, то поверхности А и А' имеют одинаковую связность
конечно, этого может и не быть, если проектирующие лучи будут
иметь более одной общей точки с поверхностью А.
Напротив, произвольный треугольник и поверхность, представлен-
ная на чертеже 195, заведомо не будут иметь одинаковой связности
так как иначе соответствовали бы друг другу края обеих поверхностей,
в то время как один из этих краёв состоит из одного куска, а дру-
гой — нет.
540. Рассмотрим две поверхности А и А', имеющие одинаковую
связность; если провести на поверхности А разрез $, который разби-
вает (morcele) поверхность, т. е. делит её на две отдельные части
и ,42, то разрез s', соответствующий на поверхности А' раз-
резу s, также разделит поверхность А’ на две отдельные части
Л,' и А2' (а именно на части, соответствующие частям .4, и .42).
541. Назовём односвязной областью всякую часть плоскости, кон-
тур которой состоит из одного куска [и притом такую, чтобы не при-
мыкающие друг к другу части её контура не имели общих точек3)],
') Под фигу рой, состоящей из одного куска (d’un seul tenant), понимается
фигура, не распадающаяся на несколько не связанных между собой частей
[сравнить п. 406, сноска ')]. Прим. ред. перевода.
2) Доказано, что, и обратно, две поверхности, имеющие одинаковую свш-
ность, всегда можно рассматривать как полученные одна из другой такого
рода деформацией.
!) Например, исключаются такие поверхности, как указанная на чертеже
196, в которой не примыкающие друг к другу части контура DFF и GEA
имеют общую точку Е\ это, очевидно, ограничение такого же порядка, как и
указанные в m нкте 537.
14
212
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
а также всякую поверхность, имеющую одинаковую связность с та-
кой частью плоскости1).
Плоская односвязная область А (черт. 1981 делится любым раз-
резом на две плоские области А1 и А2, каждая из которых также
односвязна. Следовательно (п. 540), всякая односвязная поверхность
разбивается2) любым разрезом на две также
односвязные части.
542. Если удалить одну грань F выпуклого
многогранника Р, то полученная поверхность .4
будет односвязной.
Черт. 198. Действительно, пусть О — точка, расположен-
ная с многогранником Р по разные стороны от
плоскости, в которой лежит грань F, но по одну сторону с много-
гранником от плоскостей остальных его граней (что непременно бу-
дет иметь место, если точка О взята достаточно близко к грани F).
Соединим точку О прямыми линиями со
всеми точками поверхности .4 (черт. 199).
Каждая такая прямая пересечёт плоскость
грани F в одной точке, лежащей внутри
этой грани, или на её периметре, и всякая
точка М', внутренняя по отношению к
грани Дили лежащая на её периметре,
будет получаться таким путём из единст-
венной 3) точки М поверхности А. Между
точками грани F и точками поверхно-
сти А установлено взаимно однозначное
соответствие, удовлетворяющее, очевид-
но, сформулированным выше условиям
(п. 539). Теорема доказана.
543. Если многогранник обладает тем свойством, что, отняв от
него одну грань4), мы получим односвязную поверхность, то он назы-
!) Все части плоскости, контур которых удовлетворяет указанным усло-
виям имеют одинаковую связность (упр. 836); однако доказательство этого
обстоятельства не является необходимым для наших целей.
2) В противоположность этому, плоская область с несколькими конту-
рами, т. е. область, край которой распадается на несколько отдельных частей
(например многоугольная область на черт. 195), допускает разрезы, которые
не разбивают её на отдельные части (АВ, черт. 195).
3) Так как точка О и точка М поверхности А лежат по разные стороны
от плоскости грани F, то прямая, их соединяющая, пересекает плоскость
грани F в некоторой точке ЛТ, лежащей между точками О и М; при этом
точка М' будет принадлежать самой грани F (а не её продолжению), так
как она лежит по ту сторону, что и точки О и М щ, следовательно, по ту же
сторону, что и многогранник) от плоскости каждой грани многогранника,
отличной от F. Наконец, обратно, если взять в грани F некоторую точку ЛГ,
то продолжение отрезка ОЛУ за точку ЛГ проходит внутри многогранника и,
следовательно, должно из него выйти, а потому пересечёт его поверхность. Точка
пересечения будет единственной, так как многогранник/3 — выпуклый (и. 406).
4) Мы предполагаем, что многогранник удовлетворяет условиям, указан-
ным в пункте 537.
ГЛАВА HI. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
213
вается многогранником нулевого рода. Следовательно, выпуклый мно-
гогранник необходимо будет многогранником
свойство принадлежит также многим типам
невыпуклых многогранников (например приз-
мам, в основании которых лежат невыпуклые
многоугольники), но не всем невыпуклым
многогранникам.
Возьмём, например, три призматические по-
верхности Р, Р' и Р" с горизонтальными рёбрами
(ио не имеющие пи одной горизонтальной боковой
грани), получающиеся одна из другой путём по-
4 ,
ворота па — а около вертикальном оси, лежа-
щей вне данных призм. Рассматривая части по-
верхностей этих призм, ограниченные их взаим-
ными пересечениями, мы получим некоторое
тело S, ортогональные проекции которого даны
на чертеже 200, а общий вид—на чертеже 201.
Если отнять от этого тела одну грань, напри-
мер abed, a’b'e’d’ (черт. 200), т. е. ABED (черт.
201), то останется некоторая многогранная по-
верхность, которая не будет одиосвязной, так как
например разрез АСВ (черт. 201) или любой раз-
нулевого рода. Это
рез, представляющий собой сечение поверхности полуплоскостью, прохо-
дящей через ось вращения и пересекающей её край, не разбивает поверх-
ности; тем • же свойством обладает
Всякий многогранник, имею-
щий кольцеобразную форму, сход-
нею с формой тела S, будет обла-
дать подобным же свойством.
Наконец, если приложить к
многограннику S многогранник,
симметричный ему относительно
одной из его наиболее удалённых
ог оси граней, то получим тело S
и разрез AGD (черт. 201).
Черт. 201.
Черт. 202.
(черт. 202 и 203), на поверхности которого можно одновременно провеет»
(отняв предварительно одну грань) четыре разреза, не разбивающих по-
верхности.
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
544. Теорема Эйлера. Во всяком многограннике нулевого / ода
(и, следовательно, во всяком выпуклом многограннике) сумма числа
граней и числа вершин на две единицы больше числа рёбер.
Если отнять от какого-либо многогранника одну грань, то полу-
пится открытая многогранная поверхность, которая будет иметь то же
рёбер, как н первоначальный много-
гранник, но на единицу меньше граней.
Следовательно, остаётся только до-
казать, что если односвязная незамк-
нутая многогранная поверхность имеет F
граней, S вершин и А рёбер, то
Г4-5=ЛН-1.
число вершин и то же число
О
А
Черт. 203.
Теорема очевидна для случая, когда
F=l, так как в этом случае поверх-
ность обращается в плоский многоуголь-
ник, для которого всегда S = А. Пред-
положим теперь, что теорема доказана
для всех многогранных поверхностей, число граней которых меньше
Г. докажем в таком случае её справедливость для поверхности, число
граней которой равняется F.
С этой целью соединим две вершины, принадлежащие краю по-
верхности ломаной, которая отлична от края поверхности, образована
ребрами этой поверхности и не пересекает себя ни в одной точке ’),
ч разрежем поверхность по этой ломаной. Поверхность разобьётся при
атом (в силу сказанного в предыдущем пункте) на две олносвязные
части; пусть одна из них имеет Fx граней, Sj вершин и Д, рёбер; а
другая F2 граней, S2 вершин и А2 рёбер. Числа F1 и F2 будут меньше
чясла F, и мы имеем право написать:
^1 “Г >^1 — Н- 1 > I
Fг Ч~ ^2 = ^2 “Ь 1 I
(4)
Но если число рёбер разреза равняется А и, следовательно, число
ого вершин равняется то будем иметь:
д, 4-д2=д4-х, s1-j-s2=s-j-X4-1,
*а:< как, если сосчитать число рёбер или вершин каждой из двух
частей и результаты сложить, то каждое ребро или вершина, не ири-
!) В существовании такой ломаной можно убедиться, рассматривая i рань Р,
лэилежащую к краю поверхности (черт. 204). Как грань, прилежащая к краю
поверхности, Р имеет свободные рёбра. Она имеет и внутренние рёбра
(иначе поверхность состояла бы только из одной грани, а для этого случая
теорема только что доказана). Следовательно, контур этой грани будет
состоять из свободных частей и из частей, внутренних по отношению к
поверхности. Какая-либо одна из этих внутренних частей (например часть
АВС, черт. 204) н даёт ломаную, удовлетворяющую поставленным условиям.
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
215
надлежащие разрезу, будут входить в эту сумму один раз, а каждое
ребро или вершина, принадлежащие разрезу, — два раза.
Так как, кроме того, F1-\- F2 = F, то, складывая два уравнения
(4), будем иметь:
=л4-л4-2,
т. е. соотношение, равносильное тому, которое надо было получить.
545. Пусть S— незамкнутая многогранная поверхность, не являющаяся
односвязной J); проведём на этой поверхности разрез (для простоты предполо-
жим, что этот разрез состоит из рёбер поверхности), не разбивающий поверх-
ности. Если последняя не обратится при этом в односвязную поверхность,
то проведём на ней новый разрез; при этом каждый из концов второго раз-
реза может принадлежать или краю данной поверхности, или вновь образо-
вавшемуся краю (т. е. первоначально проведённому разрезу), мы предположим
также, что второй разрез состоит из рёбер и что он не раз-
бивает поверхности. Продолжая подобным же образом, допу-
стим, что после п последовательно проведённых разрезов
поверхность станет односвязной, но не будет разбита на ча-
сти. Тогда число /?—[—! (которое может, если только не будет
доказано противное, зависеть от способа проведения разре-
зов) называется порядком связности исходной поверхности.
Докажем, что если F, S и А обозначают числа граней, вер-
шин и рёбер поверхности то
А+5 = Л4-1— п. (5)
Действительно, пусть л обозначает число сторон первого
разреза. После того как этот разрез будет проведён, каждая
из его сторон должна считаться два раза как ребро поверхности
относится и к вершинам, через которые проведён разрез, откуд
как и в предыдущем случае, число А увеличится на л единиц,
на л—|—1. Следовательно, число A-j-S — А увеличится на одну единицу. То же
обстоятельство будет иметь место при каждом следующем разрезе, так что
число A-|-S— А увеличится в общем на п единиц. Но в конце концов оно
будет равно 1, так как мы получим поверхность, состоящую из одного куска,
и притом односвязную. Следовательно, это число A-J-S— А было первоначаль-
но равно 1 — п.
Примеры. Отнимая одну грань от многогранника S (п. 543), мы полу-
чим трёхсвязную поверхность (л = 2), которая будет иметь 8 граней, 18 рё-
бер и 9 вершин.
Поступая точно так же с многогранником S, рассмотренным в том же
пункте, будем иметь поверхность, для которой п — 4, А= 15, А = 32 и 5' = 14.
Очевидно, что теорема Эйлера не приложима к таким многогранникам,
как S и Б.
Следствие. Число п (в противоположность тому, что могло бы пока-
заться с первого взгляда) не зависит от способа проведения разрезов, так
как оно входит в равенство (5), в котором числа F, S и А зависят только от
данной поверхности.
546. Правильные многогранные углы. Правильным многогран-
ным углом называется выпуклый многогранный угол2) S- ABCDE
!) Как и выше, подразумевается, что много! ранник подчиняется ограни-
чениям, указанным в пункте 537.
3) Существ\ют звездчатые правильные многогранные углы, аналогичные
звездчатым правильным многоугольникам.
216
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
(черт. 205), все плоские углы которого равны и все двугранные углы
которого равны.
Правильным сферическим многоугольником называется выпуклый
сферический многоугольник, все стороны которого равны и все углы
которого равны. Очевидно (п. 391), что каждому правильному многогран-
ному углу, вершина которого лежит в центре шара, соответствует на по-
верхности последнего правильный сферический многоугольник, и обратно.
В правильном многогранном угле S-ABCDE трёхгранные углы
S-ABC, S-BCD, S-CDE,________равны, как имеющие по равному дву-
самого себя, причём
гранному углу, заключённому между соответ-
ственно равными плоскими углами, и имеют
одинаковое расположение (и. 389).
Существует такое вращение, которое пе-
реводит ребро 6'Л в ребро SB и ребро SB в
ребро SC (так как /ASВ— /BSC). Трёх-
гранный угол .S’- АВС займёт при этом поло-
жение трёхгранного угла S-BCD (п. 397,
первый признак, примечание); следовательно,
ребро SC пойдёт по ребру SD. Точно так же
SD пойдёт по SE и т. д. Следовательно, су-
ществует такое вращение, которое прео-
бразует правильный многогранный угол в
каждая грань занимает место следующей
за ней. Вообще, существует вращение, преобразующее правильный
многогранный угол в самого себя так, что каждая грань зани-
мает место грани, отделённой от неё р—1 гранями, достаточно,
очевидно, повторить р раз предыдущее вращение.
Угол первого вращения измеряется, очевидно, одной д-й частью
окружности, где п равно числу граней многогранного угла, так как
многогранный угол, совершив полный оборот, займёт первоначальное
положение, если повторить п раз вращение, о котором идёт речь.
Такое вращение (которое, будучи повторено п раз, даёт полный
оборот) называется вращением п-го порядка1).
Если некоторая фигура преобразуется сама в себя при определён-
ной вращении 2, 3,... порядка, то говорят, что она имеет ось этого
вращения соответственно осью второго порядка (илп двойной осью),
ос!>ю третьего порядка (или тройной осью) и т. д.
Если р есть делитель числа п, то, повторив р раз вращение «-го
порядка, мы получим другое вращение, угол которого будет измеряться
„ , „ , п
о той п и частью окружности, где п —целое число, равное — .
!) Мы будем иногда называть вращением порядка п также вращение, ко-
торое, будучи проведено п раз, даёт несколько полных оборотов. Однако
следует заметить, что если это число полных оборотов не будет взаимно
простым с п, то порядок вращения будет меньше п, в чём можно убедиться,
рассуждая, как в планиметрии (Пл., п. 164).
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
217
Следовательно, ось я-го порядка некоторой фигуры будет одно-
временно и осью я'-го порядка той же фигуры, где п' обозначает
один из делителей числа п.
Оси второго порядка (и, следовательно, в силу предыдущего заме-
чания все осп чётного порядка) будут осями транспозиции в том
смысле, как это указано в пункте 448 (это свойство не имеет места
для осей нечётного порядка).
Ось я-го порядка многогранного угла образует, очевидно, равные
углы со всеми его рёбрами: она служит осью конуса вращения, опи-
санного около многогранного угла.
Следовательно, правильный сферический многоугольник можно
вписать в окружность, которая, очевидно, делится его вершинами
на равные части х), а именно в параллельный круг, описанный одной
из вершин многоугольника при его вращении около оси SX. Другими
словами, если на рёбрах правильного многогранного угла S-ABCDE
отложить равные отрезки SA = SB = SC = SD=SE, то концы этих
отрезков будут вершинами правильного много-
угольника, плоскость которого перпендикулярна к
прямой SX, а центр о лежит на SX; таким
образом, мы получим правильную пирамиду.
Отрезок So, очевидно, расположен внутри
многогранного угла; если продолжить его за точ-
ку о, то его продолжение пересечёт шар с цен-
тром в точке 5’ и радиусом, равным S/4, в неко-
торой точке О (черт. 206), лежащей внутри сфе-
рического многоугольника ABCDE', эту точку мы
назовём полюсом данного многоугольника. Действи-
Черт. 206.
тельно, это будет один из полюсов окружности, описанной около мно-
гоугольника, а именно тот полюс, который находится внутри ок-
ружности (так как угол Лб'о — острый).
Обратно, многогранный угол при вершине правильной пирамиды
допускает некоторые вращения, т. е. существуют такие вращения,
которые его преобразуют в самого себя, а именно те вращения, ко-
торые преобразуют в себя самого основание данной пирамиды (Пл.,
п. 162, примечание). С другой стороны, если многогранный угол до-
пускает вращение, при котором каждая его грань занимает место сле-
дующей за ней, то его можно рассматривать как угол при вершине
правильной пирамиды, и такой угол будет правильным, так как каж-
дая его грань будет равна следующей за ней грани и каждый его
двугранный угол будет равен следующему за ним двугранному углу * 2).
Наконец, так как каждый правильный многоугольник имеет оси
симметрии, лежащие в его плоскости, то каждая правильная пирамида
!) Можно также доказать, что в правильный сферический многоугольник
можно вписать окружность.
2) Многогранный угол при вершине правильной пирамиды всегда будет
выпуклым, так как плоскость пересекает его по выпуклому многоугольнику
218
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
имеет плоскости симметрии, проходящие через ось So тех вращений,
которые мы только что рассматривали.
547. Правильные многогранники. Правильным многогранником
называется выпуклый многогранник1), все грани которого — правиль-
ные и равные между собой многоугольники и все многогранные углы
которого правильны и равны между собой (это последнее условие,
очевидно, может быть заменено условием, что все двугранные утлы
многогранника равны между собой).
Мы имели пример правильного многогранника: это куб (п. 411),
который удовлетворяет всем только что перечисленным условиям.
548. Очевидно, что два правильных многогранника, обладающих
тем свойством, что одна из граней первого многогранника (а сле-
довательно, п каждая его грань) равна одной из граней второго, и
один из многогранных углов первого равен одному из многогранных
углов второго, равны между собой.
Если, кроме того, одна из граней f первого многогранника сов-
падает с гранью f второго и ес ги оба многогранника рас положены
по одну сторону от этой общей грани (или, иначе, если один из
многогранных углов первого совпадает с многогранным углом вто-
рого), то многогранники совпадаю:п.
Действительно, это следует из рассуждений пункта 453: как и
в указанном пункте, можно убедиться, что грань первого много-
гранника, смежная с гранью /, совпадает с одной из граней /{ вто-
рого; повторяя это рассуждение, мы последовательно докажем, что то
же самое будет иметь место для всех граней.
Следовательно, имеет также место такая теорема:
Теорема. Правильный многогранник допускает (в смысле, ука-
занном в п. 546) всякое перемещение, при котором одна из граней f
данного многогранника переходит в грань f того же многогран-
ника2) и внутренняя область многогранника располагается после
перемещения с той же стороны от грани/', с которой она распола-
галась до перемещения.
Действительно, первоначальное положение многогранника и его
новое положение после перемещения будут удовлетворять указанным
выше условиям.
Среди перемещений, о которых идёт речь в формулировке тео-
ремы, очевидно, можно найти одно перемещение, которое переводит
какую-либо данную грань / в какую-либо данную грань /’ и какое-
либо данное ребро АВ грани f в какое-либо данное ребро А'В' грани
/'. (Однако при этом нельзя выбрать произвольно ту из двух точек А
и В, которая должна совпадать с Г.)
!) См. далее п. 560, сноска.
2) Грань f может совпадать с /: при этом рассматриваемое перемещение
принадлежит к числу тех перемещений (Пл., и. 162, примечание), которые
преобразуют грань f в самое себя.
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
219
Точнее говоря, многогранник допускает одно и только одно пе-
ремещение, которое переводит ребро АВ в ребро А'В' таким обра-
зом, что точка ,4 совпадает с точкой А' и точка В с точкой В', а
также одно и только одно перемещение, которое переводит ребро АВ
в ребро /4 В' таким образом, что точка .4 совпатает с точкой В', а
точка В с точкой А'.
В самом деле, если ребро АВ совмещается с ребром А'В', то
грани / п прилежащие к ребру АВ, должны совмещаться с гра-
нями /' и f\, прилежащими к ребру А В . С твмещенпе этих граней
может происходить двумя различными способами (так как грань /
может совпадать либо с либо с /Д, и способ, которым будет про-
исходить совмещение, определяется темп направлениями, которые по-
лучат двугранные углы при рассматриваемых рёбрах (и. 359), когда
на этих рёбрах будут выбраны определённые направления, которые
должны соответствовать друг другу. Если грань f совпадёт с гра-
нью f пли f\, ребро АВ — с ребром А'В' п двугранные утлы вдоль
этих рёбер также совпадут между собой, то, в силу сказанного выше,
многогранник преобразуется сам в себя.
Отсюда следует, что число перемещений, допускаемых правиль-
ным многогранником, равняется удвоенному числу его рёбер.
Однако при этом подсчёте предполагается, что в число переме-
щений, о которых идёт речь, входит и то перемещение, которое по-
лучится, если за точку А' принять точку А п за точку В' — точку В,
т. е. перемещение, которое называется тождественным перемеще-
нием и при котором положение каждой точки данной фигуры не из-
меняется.
Обратная теорема. Если выпуклый многогранник допускает
перемещение, с помощью которого можно преобразовать любую
данную грань f в произвольно выбранную его грань f и любое дан-
ное ребро АВ грани f в произвольно выбранное ребро А'В' грани f,
то этот многогранник правильный.
Действительно, все его рёбра равны, все его плоские углы равны
и все его двугранные углы равны.
549. Теорема. 1°. Около всякого правильного многогранника
можно описать шар.
2°. Многогранные углы, общей вершиной которых служит центр
этого шара, а плоскими сечениями ~ грани данного многогранника,
делят поверхность шара на равные между собой нрави 1ьные сфе-
ра lecKtte многоугольники.
3°. Во всякий правильный многогранник можно вписать шар\
центр этого шара совпадает с центром описанного шара.
1°. Рассмотрим две грани многогранника f и (черт. 207), при-
лежащие друг к другу по ребру АВ', окружности С и С\, описанные
около этих граней, имеют две общие точки А и В и, следовательно,
лежат на одном и том же шаре 5, центром которого служит точка
пересечения осей этих окружное гей.
220
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
Грань f, а следовательно, и весь многогранник, допускает враще-
ние, имеющее осью прямую CS (черт. 207), которое переводит ребро
АВ в некоторое другое ребро грани /, а следовательно, и грань
Л — в некоторую другую грань /{, прилежащую к грани /. Это
вращение не изменяет положения щара S, так как ось CS является
диаметром этого шара; следовательно, шар А описан также и около
грани Аналогично можно доказать, что шар 5 описан также около
всякой грани многогранника, примыкающей к fx или к f[, и т. д.;
таким образом, наше предложение до-
8^—> казано.
! 5>С 2°. Пирамиды, имеющие своей об-
fi *'_I l,ie*i вершиной точку 5, а основаниями
/1 грани многогранника, будут правпль-
\1 \ ’’ / ными (так как точка А лежит на оси
\ окружности, описанной около каждой
\ грани многогранника) и равными (так
\ как они совпадают одни с другими
S при различных упомянутых выше пере-
мещениях); то же самое будет иметь
Черт 207
F -vi. место и для многогранных углов при
их вершинах. Кроме того, любая по-
лупрямая, выходящая из точки S1), будет лежать внутри одного
и только одного из этих многогранных углов. Следовательно, по-
следние делят поверхность шара на правильные и равные много-
угольники, причём каждая точка поверхности шара2) будет находить-
ся внутри одного и только одного многоугольника.
3°. Все правильные пирамиды, о которых идёт речь, имеют одну и
ту же высоту, которая служит радиусом шара, касающеюся каждой
грани в её центре.
550. Обратная теорема. Если поверхность шара разделена
на равные между собой правильные сферические многоугольники,
то вершины этих многоугольников служат вершинами правильного
многогранника.
Действительно, вершины любого из сферических многоугольников
F, о которых идёт речь, служат вершинами некоторого плоского пра
вчльного многоугольника /; пирамида р, имеющая своим основанием
многоугольник f и вершиной центр А шара, будет также правильной.
Все пирамиды, аналогичные р, будут равны между собой. Кроме того,
все они будут внешними по отношению друг к другу (так как их
многогранные углы при вершине 5 не имеют общих частей). Сово-
купность таких пирамид образует многогранник Р, гранями которого
!) И не пересекающая ни одного из рёбер многогранника. Прим. ред.
периода.
-') Не лежащая на стороне какого-либо из полученных многоугольников.
Прим. ред. перевода.
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
221
будут многоугольники f (боковые грани пирамид р не будут принад-
лежать к числу граней многогранника, так как каждая из них слу-
жит общей гранью двух прилежащих пирамид).
Все грани этого многогранника будут правильными и равными
между собой многоугольниками, и все его двугранные углы будут
равны между собой (так как каждый из них равен удвоенному дву-
гранному углу при основании пирамиды р). Остаётся доказать, что
многогранник будет выпуклым.
Чтобы это доказать, обозначим через В полюс сферического мно-
гоугольника F, через В',... — полюсы остальных аналогичных много-
угольников. Я утверждаю, что любая точка, лежащая на поверх-
ности шара, будет расположена б ли-
же к полюсу того многоугольника, д 1
внутри которого она лежит, чем к \
полюсам остальных многоугольников.
Пусть М—рассматриваемая точка, ' | <g
F— сферический многоугольник с по- В I
люсом В (черт. 208), не содержащий W
внутри себя точки А1. Возьмём внутри z
многоугольника F какую-либо точку N Черт. 208.
и соединим точки Л/1 и N дугой боль-
шого круга, меньшей полуокружности. Так как точки Л1 и N не при-
надлежат одному' и тому же многоугольнику, то эта дута должна пе-
ресечь стороны одного пли нескольких многоугольников, например
(черт. 208) сторону ЛИ,, отделяющую многоугольник F от много-
угольника F' с полюсом В', сторону отделяющую многоуголь-
ник F' от многоугольника F" с полюсом В", и т. д.
Дуга большого крута ААг, очевидно, перпендикулярна к дуге ВВ'
в её середине. Но точка NI расположена с той же стороны от боль-
шого круга ААг, как и точка В'. Таким образом, она будет (п. 387,
примечание) лежать ближе к В', чем к В.
Аналогично можно доказать, что она будет ближе к В", чем к В',
и что окончательно самым близким к этой точке полюсом будет
полюс того многоугольника, который содержит внутри себя точку' Л'1.
Это рассуждение приложимо, очевидно, и в том случае, когда
точка Л’1 не лежит внутри многоугольника, а является, например, его
вершиной, но с одной оговоркой: точка М будет принадлежать в этом
случае нескольким многоугольникам и будет одинаково удалена от
полюсов всех этих многоугольников, но она всё же будет расположена
ближе к этим полюсам, чем ко всем остальным.
Следовательно, полюс будет также лежать ближе к вершинам
соответствующего многоугольника, чем к вершинам, не принадле-
жащим к этому многоугольнику. [Действительно, если В — полюс
многоугольника F, Л'1— одна из его вершин, Л'1'— вершина, не при-
надлежащая многоугольнику F, но принадлежащая многоугольнику F’
с полюсом В’, то расстояние Л4’В больше расстояния Л'1’В', которое
222
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
равно Д1В (черт. 209).] Но это последнее заключение влечёт за собой
выпуклость рассматриваемого многогранника; действительно, оно дока-
зывает, что все вершины, не принадлежащие грани /, будут располо-
жены с той же стороны от этой грани,
------------------------ как и центр шара (п. 384).
1 ] 551. Вращения и симметрии пра-
g \ У о , вильного многогранника. Все перемеще-
® ния, которые допускает правильный мно-
n гогранник, будут вращениями, так как
Черт. 209. 0Н|1’ очевидно, оставляют неподвижным
центр описанного шара.
Эти вращения могут быть трёх различных видов:
1) вращения, которые допускает какая-либо определённая грань;
2) вращения, которые допускает многогранный угол при какой-
либо определённой вершине;
3) транспозиции относительно прямых, соединяющих центр с сере-
динами рёбер.
Все эти три вида вращений преобразуют многогранник сам в себя
в силу пункта 548. Обратно, всякое вращение, которое допускает
данный многогранник, принадлежит к одной из этих категорий. Дей-
ствительно, точка /, в которой ось вращения пересекает поверхность
тела, будет лежать пли внутри грани, которая должна оставаться на
месте (так как в противном случае она преобразовывалась бы в
другую грань, и эта новая грань имела бы с данной гранью общую
точку /, что невозможно), или в вершине, которая будет оставаться
на месте при вращении, или на ребре, допускающем это вращение
и, следовательно, перпендикулярном к оси вращения.
Всякий правильный многогранник Р имеет также плоскости сим-
метрии; он совпадает с многогранником, симметричным ему:
1) относительно каждой плоскости, перпендикулярной к ребру и
проходящей через его середину;
2) относительно биссектральной плоскости двугранного угла при
каждом его ребре.
Действительно, все грани и все двугранные углы такого симмет-
ричного многогранника Р' будут равны граням и двугранным углам
многогранника Р; так как Р и Р' имеют, кроме того, одну общую
грань и расположены оба по одну сторону от этой грани, то много-
гранник Р' должен совпадать с многогранником Р.
Можно и другим способом доказать существование плоскостей
симметрии в том случае, когда многогранник имеет центр симметрии,
который должен, очевидно, совпадать с центром описанного шара S'),
т. е. когда многогранник Р совпадает с симметричным ему относи-
') В противном случае описанный шар преобразовывался бы с помощью
рассматриваемой симметрии в некоторый другой шар, и этот новый шар
также был бы описан около многогранника, что невозможно.
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ 993
тельно точки S многогранником Р'. Действительно, мы знаем, что
многогранник Р имеет оси второго порядка и что все оси чётного по-
рядка также можно рассматривать как оси второго порядка; но мно-
гогранник Р, который получается из многогранника Р" с помощью
транспозиции относительно оси А второго порядка, будет (п. 443) симмет-
ричен с многогранником Р относительно некоторой плоскости (а именно
относительно плоскости, проходящей через точку >5 и перпендикуляр-
ной к осп Д). Обратно (при том же условии, что S центр симметрии),
таким путём можно получить все плоскости симметрии данного многогран-
ника; действительно, плоскость симметрии необходимо должна прохо-
дить через S1), и, следовательно, достаточно повторить в обратном
порядке рассуждение, которое мы провели, чтобы убедиться, что пер-
пендикуляр к этой плоскости, проходящий через точку S, должен быть
либо осью второго порядка, либо осью, которую можно рассматривать
как ось второго порядка, т. е. осью чётного порядка.
Кроме того, можно также убедиться, что каждая плоскость сим-
метрии принадлежит к одной из двух только что перечисленных ка-
тегорий. Действительно (аналогично тому, что мы имели в случае
вращений), симметрия относительно плоскости, имеющей с одним из
рёбер многогранника (а не с его продолжением) общие точки, отлич- •
ные от вершин, должна преобразовывать это ребро само в себя, а
это может случиться только в том случае, если плоскость, о которой
идёт речь, или проходит через это ребро, или к нему перпендикулярна.
552. Пример. Вращения и симметрии куба. Куб имеет 12 рёбер
и потому допускает 24 вращения (или
тождественного перемещения) С другой
стороны, мы знаем, что этими вращения-
ми могут быть лишь следующие вра-
щения;
1°. Вращения, допускаемые опре-
делённой гранью. Каждая из граней,
например грань abed (черт. 210), до-
пускает вращение четвёртого порядка,
так как она представляет собой квадрат;
таким образом, имеем три оси чет-
вёртого порядка, аналогичные оси АА'
(черт. 210), так как куб имеет шесть
граней, а две противоположные грани
только 23, если не считать
имеют, очевидно, одну и ту же ось.
Каждое из соответствующих этой оси вращений можно повторить три
ра :а, прежде чем оно даст тождественное перемещение, так что мы
имеем в общей сложности 9 таких вращений.
2°. Вращения, допускаемые определённым многогранным углом.
Так как эти углы будут в данном случае трёхгранными, то вращения.
См. предыдущую сноску.
224
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
о которых идёт речь, будут вращениями третьего порядка. При этом
куб имеет четыре осп третьего порядка (так как он имеет 8 вершин);
этими осями служат его диагонали (например аа', черт. 210). Вра-
щение около каждой из них можно повторить два раза, прежде чем
оно даст тождественное перемещение, так что имеем в общей слож-
ности 8 таких вращений.
3°. Транспозиции относительно прямых, аналогичных аа'
(черт. 210), соединяющих середины противоположных рёбер; 12 рёбер
дают, таким образом, 6 осей второго порядка.
В силу сказанного выше (п. 551), этими перемещениями исчерпы-
ваются все перемещения, которые допускает куб. Из данного выше
перечня этих вращений видно, что они все отличаются друг от друга
либо своими осями, либо углом поворота, либо направлением; следо-
вательно, a priori ясно, что их число должно равняться 23, что и
имеет место в действительности (23 = 94-8 4-6).
Куб имеет, как всякий параллелепипед, центр симметрии. По-
этому он имеет шесть плоскостей симметрии, перпендикулярных к осям
второго порядка, и три плоскости симметрии, перпендикулярных к осям
четвёртого порядка; других плоскостей симметрии он иметь не может.
Итак, перечень элементов симметрии куба может быть выражен
следующими символами.
Центр симметрии S; 3 оси четвёртого порядка, 4 оси треть-
его порядка и 6 осей второго порядка: ЗЛ4, 4Л', бЛ'^; 9 плоско-
стей симметрии'. Зп, fin".
Заметим, что плоскости тт и плоскости п" следует обозначать раз-
личными символами, так как все плоскости тт эквивалентны (homo-
logues) друг другу (т. е. их можно преобразовать одну в другую
с помощью тех перемещений, которые допускает
/ \ куб); все плоскости л" также эквивалентны; но
/ \ плоскости п не эквивалентны плоскостям л”.
/ \ Эти плоскости симметрии или перпендикулярны
/ \ к рёбрам, или через них проходят. Первый случай
/ \ имеет место для плоскостей, перпендикулярных к
------------осям четвёртого порядка (каждая из этих плоско-
S' стей равноудалена от двух параллельных граней);
второй случай — для плоскостей, перпендпкуляр-
Черг. 211. ных к осям второго порядка (каждая из этих пло-
скостей является диагональной плоскостью куба).
553. Правильный тетраэдр. Тетраэдр, рёбра которого равны
между собой, другими словами, треугольная пирамида, в основании
которой лежит равносторонний треугольник и все боковые рёбра ко-
торой равны сторонам основания, представляет собой также правиль-
ный многогранник, а именно правильный тетраэдр (черт. 211): его
гранями служат равносторонние треугольники, равные между собой, и
его трёхгранные углы, у которых плоские углы имеют по 60°, пра-
вильны и равны между собой.
ГЛАВА 111. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ 225
Следовательно, чтобы получить правильный тетраэдр, необходимо
провести через центр равностороннего треугольника перпендикуляр к
плоскости этого треугольника; далее, следует выбрать на этом перпен-
дикуляре такую точку, чтобы её расстояние от вершин треугольника
равнялось стороне этого треугольника, что возможно, так как эта сто-
рона больше расстояния от каждой из вершин треугольника до осно-
вания перпендикуляра.
Кроме того, существование правильного тетраэдра можно доказать,
рассмотрев способ, при помощи которого его можно получить из куба.
554. Во всякий куб можно вписать два правильных тетраэдра
Т и Г.
Чтобы их получить, достаточно соединить между собой диаго-
нально противоположные вершины каждой грани. Вершины а, с, Ь',
d' (черт. 210) будут, таким образом, соединены между собой и об-
разуют первый тетраэдр Т (черт. 212), который будет правильным,
потому что все его рёбра равны; вершины а', с’, b, d образуют вто-
рой тетраэдр Т'.
При этом не существует, в чём очень легко убедиться, другого
способа распределения вершин куба между двумя правильными тет-
раэдрами.
Тетраэдры Т и Т симметричны друг с другом относительно центра
куба.
Обратно, исходя из всякого правильного тетраэдра Т, можно
единственным образом построить такой куб, чтобы все вершины
тетраэдра принадлежали к числу вершин куба; остальными вер-
шинами куба будут вершины тетраэдра Т, симметричного с тет-
раэдром Т относительно центра описанного шара.
Вращения и симметрии, которые допускает тетраэдр Т, можно
определить тем же методом, которым мы пользовались выше.
Любая из этих симметрий, очевидно, не изменяет положения тет-
раэдра 7”, который получается из тетраэдра Т только что указанным
1Б Элементарная геометрия, ч. П
226
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ
способом. Так как соотношение между тетраэдрами Т и Т', очевидно,
взаимно, то оба тетраэдра допускают одни и те же симметрии.
Эти симметрии не изменяют также, очевидно, положения куба
имеющего своими вершинами вершины тетраэдров Т и Т.
Следовательно, всякая симметрия тетраэдра Т будет также и сим-
метрией куба; но обратное предложение не имеет места.
Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.
Он имеет три оси второго порядка и четыре оси третьего по-
рядка, которые, как и выше, обозначим ЗД2> 4Л3'.
(Оси второго порядка тетраэдра будут совпадать с осями четвёр-
того порядка куба.)
Оси третьего порядка совпадают с высотами тетраэдра; каждая из
осей второго порядка служит общим перпендикуляром к двум проти-
воположным рёбрам тетраэдра.
Наконец, тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии тг", которые можно
построить, проводя через каждое ребро тетраэдра плоскость, перпен-
дикулярную к противоположному ребру.
Следовательно, симметрии куба делятся на две категории: те шесть
симметрий, о которых мы только что упомянули, не меняют ни поло-
жения тетраэдра Т, ни положения тетраэдра Г; те симметрии, кото-
рые не принадлежат к этой категории, очевидно, перемещают между
собой тетраэдры Т н Т'. Как мы уже отмечали, последнее имеет место
для симметрии относительно центра 5.
555. Предположим, что составлен перечень всех перемещений, кото-
рые допускает данный многогранник, как это было сделано нами для
куба и тетраэдра.
Если произвести последовательно в определённом порядке два из
этих перемещений1), то получится некоторое результирующее пере-
мещение, которое также не будет изменять положения данного много-
гранника и, следовательно, будет принадлежать к числу перемещений,
нходящих в тот же перечень2).
Пользуясь терминологией, введённой в прибавлении А (Пл., п. 291),
можно ещё сказать, что совокупность этих перемещений образует
группу.
Чтобы найти это результирующее перемещение, достаточно найти
новое положение А' и В' двух точек А и В, не лежащих на одной
прямой с точкой S; действительно, если принять во внимание и точку 5,
которая остаётся неподвижной, то мы получим новые положения трёх
точек, не лежащих на одной прямой, а этого достаточно (п. 4'32) для
того, чтобы определить перемещение.
Можно также воспользоваться теорией сложения вращений. Это
сравнительно просто сделать в том случае, когда оба данных пере-
Второе перемещение может при этом не отличаться от первого; то1да
первое перемещение будет совершено два раза подряд.
2) Это предполагает, что в перечень, о котором идёт речь, входит и тожде-
ственное перемещение.
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
227
мешения представляют собой транспозиции. Пусть Sa и — осп
этих транспозиций. Ось результирующего вращения R будет перпен-
дикулярна к плоскости соответствующий угол поворота имеет
такую величину, что вращение R переводит прямую Sa в прямую Sy,
образующую с Sa угол, равный удвоенному углу aSfi.
Вращение R, определённое таким образом, будет принадлежать к
числу вращений, которые допускает данный многогранник.
Если, в частности, а и [J — середины двух рёбер, то тем же свойством
будут обладать точка у и те точки, которые будут получаться из
точки у, если выполнить один или несколько раз вращение R.
Все эти точки будут, очевидно, вершинами правильного многоуголь-
ника с центром в точке S.
Так как дуга окружности с центром в 5, имеющая точки а и у
своими концами, делится в точке пополам, то существует, очевидно,
также правильный многоугольник с вершинами в точках a, (i и у.
Допустим, что речь, идёт о кубе и что точки а и р— середины
двух смежных рёбер bd' и Ьс (черт. 210), принадлежащих одной и
той же грани. В этом случае ось вращения R не может быть ни осью
второго порядка, ни осью четвёртого порядка (плоскость $оф, очевидно,
не будет ни плоскостью тт, ни плоскостью тг"). Следовательно, это
будет ось третьего порядка. Из чертежа легко убедиться, что эта
ось есть диагональ аа', проходящая через вершину грани bed', про-
тивоположную вершине Ь.
Кроме того, мы видим, что вращение R составляетполного обо-
О
рота, а следовательно, вращение, переводящее точку а в точку 8, состав-
1
ляет -g- полного оборота; таким образом, точки а, р и у будут вер-
шинами правильного шестиугольника, который представляет собой
сечение куба плоскостью, перпендикулярной к оси третьего порядка аа'
(черт. 210).
556. Перемещения, которые допускает тетраэдр Т, также обра-
зуют группу. Эта группа g, согласно тому, что мы уже видели, будет
подгруппой группы тех перемещений, которые допускает куб, т. е.
будет целиком содержаться в последней.
Она обладает по отношению к группе Q куба одним замечатель-
ным свойством !).
Переместим тетраэдр Т таким образом, чтобы он занял некоторое
новое положение Т1. Вращения, которые допускает тетраэдр Т, преоб-
разуются при этом перемещении в новые вращения, т. е. каждому
!) Группа куба имеет несколько подгрупп, отличных от группы g.
Например, одна из транспозиций Аг" образует вместе с тождественным
перемещением группу (так как, складывая транспозицию Л2" с той же самой
транспозицией, т. е. повторяя её два раза, мы получим тождественное переме-
щение), и эта группа будет подгруппой группы G.
Однако эта подгруппа не будет инвариантной подгруппой в том смысле,
как это указано в тексте; действительно, если выполнить над кубом различные
16*
228
ПОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
вращению порядка п около оси А, допускаемому тетраэдром Т, будет
соответствовать вращение, допускаемое тетраэдром Т,; это последнее
вращение имеет тот же порядок п, п его осью будет прямая AJ( пред-
ставляющая собой новое положение осн А
Если теперь перемещение, о котором идёт речь, принадлежит к
группе G, то тетраэдр Т преобразуется, как мы знаем, или в самого
себя, или в тетраэдр Т'.
Следовательно, вращения группы g преобразуются или во враще-
ния, допускаемые тетраэдром Т, или во вращения, допускаемые тет-
раэдром Т'.
Но вращения, не изменяющие положения тетраэдра Т', совпадают
с вращениями, которые не изменяют положения тетраэдра Т
Следовательно, все вращения группы g переходят во вращения
той же группы g', другими словами, группа g не изменяется, если
данную фигуру подвергнуть какому-нибудь преобразованию группы G.
Это свойство можно выразить, сказав, что g есть инвариантная
подгруппа группы G, в согласии со следующим общим определением.
Пусть G и g—две группы, из которых вторая содержится впер-
вой; говорят, что группа g есть инвариантная подгруппа группы G,
если она не изменяется при преобразовании её (в указанном выше
смысле) произвольной операцией группы G.
Если назвать сопряжёнными подгруппами группы G две подгруппы,
которые могут быть преобразованы (в указанном выше смысле) одна
в другую с помощью некоторой операции группы G '), то можно ещё
сказать, что g есть инвариантная подгруппа группы G, если она со-
пряжена относительно группы G только самой себе.
Аналогичные рассуждения будут применимы и в том случае, если
вместо того, чтобы ограничиться рассмотрением только вращений, мы
будем рассматривать и симметрии как относительно точки, так и от-
носительно плоскостей.
Из того, что правильный тетраэдр допускает группу, можно тем же
способом, как и для шестиугольного сечения куба, вывести, что плос-
кость, параллельная двум противоположным рёбрам правильного тет-
раэдра и находящаяся от этих рёбер на одинаковом расстоянии, пе-
ресекает тетраэдр по квадрату, вершинами которого служат середины
остальных четырёх его рёбер.
допускаемые им перемещения, то транспозиция, о которой идёт речь, будет
преобразовываться в какую-либо аналогичную ей транспозицию.
1 2
Точно так же вращения на -х- полного оборота и на - полного оборота
о о
около оси третьего порядка образуют вместе с тождественным перемещением
группу. Но по той же причине эта группа не будет инвариантной подгруппой
группы G (упр. 856 и 858)
]) Определение сопряжённых подгрупп добавлено при переводе: в ори-
гинале употребляется тот же термин, как и для обозначения эквивалентных
фигур в планиметрии (Пл. п. 293) и эквивалентных плоскостей симметрии
в пункте 552 (figures, plans, sous-groupes homologues). Прим. ред. перевода.
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
229
557 Сопряжённые правильные многогранники.
Теорема. Каждому правильному многограннику соответствует
другой правильный многогранник, который имеет столько вершин,
сколько данный имеет граней, и обратно, причём число рёбер у
того и у другого многогранника одинаково.
Число рёбер каждого многогранного угла одного из многогран-
ников равно числу сторон каждой грани другого.
Соотношение между обоими многогранниками взаимно.
Этот новый правильный многогранник называется сопряжённым
данному.
Пусть Р— правильный многогранник; F, F', F", ... — сфери-
ческие многоугольники, на которые вершины многогранника Р позво-
ляют разделить описанный шар (черт. 213); А, А’, А", ... — вершины,
В — полюс многоугольника F. Дуги больших
кругов В А, ВА', В А", . .. разбивают многоуголь-
ник F на равнобедренные сферические треуголь-
ники; если в каждом из этих треугольников,
например в ВАА', провести дугу большого кру-
га ВС (черт. 213), перпендикулярную к стороне
многоугольника и проходящую через середину
этой стороны (п. 387), то мы получим два пря-
моугольных сферических треугольника, сим-
метричных друг другу. Сделаем то же самое со
всеми данными сфе-
рическими многоугольниками и соединим вместе прямоугольные тре-
угольники с общей вершиной в точке А.
Так как эти многоугольники будут иметь попарно общий катет
(например АС, черт, 213), то сферический многоугольник G, получен-
ный таким образом, будет иметь своими вершинами полюсы В, В', .
многоугольников F, F', ... с общей вершиной в точке А.
Многоугольник G правильный, так как точки В, В’ ... лежат на
одном круге, имеющем своим полюсом точку А, и делят этот круг
на равные части. При этом все аналогичные многоугольники, построен-
ные при других вершинах многогранника Р, буаул, очевидно, равны
многоугольнику G.
Следовательно (п. 550) точки В, В', В”, .. ., будут вершинами
некоторого правильного многогранника Р'.
При этом полюсы многоугольников G будут вершинами многоуголь-
ников F, и обратно; таким образом, соотношения, указанные в фор-
мулировке теоремы, становятся очевидными.
558. Центр Ь каждой грани данного многогранника Р лежит на
радиусе SB, идущем из центра шара в полюс соответствующего сфе-
рического многоугольника, причём расстояние от центра 5 шара до
центра b грани будет величиной постоянной.
Следовательно, точки b будут вершинами многогранника Р/, го-
мотетичного многограннику Р' относительно центра S.
230
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
Точка Ь есть полюс одной из граней многогранника Р относительно впи
санного в него шара. Следовательно, многогранник Р/ есть фигура, взаимно-
полярная многограннику Р относительно этого шара; грани многогранника Р}'
лежат в полярных плоскостях вершин многогранника Р (п. 504); рёбра мно-
гогранника Р/ являются взаимными полярами рёбер многогранника Р (п. 505).
Середины соответствующих друг другу рёбер лежат на одной
прямой с центром (так как середины соответствующих дуг на шаре
совпадают; черт. 213).
Из того обстоятельства, что многогранник, сопряжённый правиль-
ному многограннику Р, вполне определён (по величине и по положе-
нию), если задан многогранник Р, следует, что два сопряжённых
многогранника допускают одни и те же вращения: действительно,
всякий раз как многогранник Р будет после некоторого вращения
совпадать с самим собой, то же будет иметь место и для многогран-
ника, ему сопряжённого.
659. Пример. Октаэдр. Многогранник, сопряжённый кубу, назы-
вается правильным октаэдром', его можно определить как многогран-
ник, вершины которого лежат в цент-
рах граней куба (черт. 214); иначе го-
воря, его можно получить, если отло-
жить на рёбрах трёхгранного угла с
тремя прямыми углами от его вершины
шесть равных отрезков ОА, ОА', ОВ,
ОВ', ОС, ОС (черт. 214) и соеди-
нить попарно концы этих отрезков.
Гранями октаэдра служат восемь
равносторонних треугольников; поэтому
октаэдр можно, очевидно, рассматри-
вать как тело, получающееся из двух
правильных четырёхугольных пирамид,
выбранных соответствующим образом в
сложенных своими основаниями.
Октаэдр допускает, в силу того, что было сказано выше (п. 558),
те же вращения и симметрии, как и куб. Отсюда (или иначе, из тех
соотношений, которые имеют место между рёбрами куба и рёбрами
октаэдра) ясно, что сечение октаэдра плоскостью, которая пере-
секает куб по правильному шестиугольнику, имеет также форму пра-
вильного шестиугольника. Плоскость, о которой идёт речь, про-
ходит через центр и параллельна двум противоположным граням ок-
таэдра.
Правильный октаэдр представляет собой ту форму, которую обычно
имеют кристаллы квасцов.
Точно так же и куб представляет собой ту форму, в которой
кристаллизуются некоторые вещества, например поваренная соль.
560. В планиметрии мы видели, что существует бесчисленное мно-
жество видов правильных многоугольников.
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
231
Относительно многогранников дело обстоит иначе; действительно,
мы имеем следующую теорему:
Теорема. Существует только пять видов правильных много-
гранников.
При этом мы относим к одному виду те многогранники, у кото-
рых многогранные углы имеют одно и тоже число рёбер, а грани —
одно и то же число сторон.
Мы увидим, что два правильных многогранника одного и того же
вида подобны ’).
Доказательство. Пусть т — число сторон каждой грани пра-
вильного многогранника; п — число рёбер каждого многогранного
угла.
Если принять прямой угол за единицу, то каждый угол какой-либо
4
грани выразится (Пл., п. 163, примечание) числом 2—— ; но сумма п
плоских углов, примыкающих к одной вершине, должна быть меиыпе
четырёх прямых; следовательно, каждый из них должен быть мень-
4
ше - .
п
Отсюда имеем:
4 4
2-- <-,
т п
или
i + <6>
причём равенство исключено.
Это неравенство и даёт искомое решение. Действительно, каждое
из чисел т и п больше или равно 3, но оба они не могут быть
больше 3; так как для т Э® 4 и п 4, имеем---------I--< тг •
т 1 п 2
Следовательно, по крайней мере одно из чисел тип равно 3.
Допустим, что это будет т: в равенстве (6) можно переставить
числа т и и, так как оно симметрично относительно этих двух чисел
При этом будем иметь:
3 п 2 ’
откуда л<Д5.
Следовательно, п может иметь только значения 3, 4 и 5.
Симметрия неравенства (6) относительно чисел т и п не должна
нас удивлять; в самом деле, каждое из этих чисел становится на
!) Существуют звездчатые правильные многогранники, аналогичные звезд-
чатым правильным многоугольникам. Всякий звездчатый правильный многогран-
ник имеет своими вершинами вершины правильного многогранника в собственном
смысле. Следовательно, число видов звездчатых правильных многогранников
также конечно.
232
ПОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
место другого, если от некоторого многогранника перейти к много-
граннику, ему сопряжённому.
Каждый раз, как т и и бутут различны, мы будем иметь пару
сопряжённых решений; всего-навсего получим следующие пять реше-
ний.
1 °. т — п — 3
2°, 3°. т, п = 3, 4;
4°, 5°. т, п=3, 5.
561. Теорема Эйлера позволяет не только получить неравенство (6),
но и найти выражение для разности обеих его частей.
Действительно, пусть, как в ранее, F, S н А обозначают числа
граней, вершин и рёбер многогранника.
Каждая грань имеет т рёбер; всего рёбер будет mF; но каждое
ребро считается при этом два раза, так как оно принадлежит двум
граням.
Следовательно, имеем:
mF—2A; (7)
точно так же (ребро соединяет две вершины)
nS = 2А. (7')
11остаточно определить из этих двух формул величины F и 5 и
подставить их в формулу:
F-\~S = A-{-2,
чтобы получить-
Мы видим, что как только будут известны числа т и я. будет из-
вестно в силу последней формулы, и значение А, после чего формулы
(7) и (7‘) дадут значения F и
Таким образом, получим-
1°. При т = п — 3: А = б, F — S = 4.
2°, 3°. При т,п = 3,4. А = 12, F, 5=8, 6.
4°, 5°. При т, п = 3,5: Д = 30, F, 5=20, 12.
Рассуждение, которое мы только что провели, вовсе не предпола-
гает равенства углов пли сторон.
Оно даёт доказательство следующего более общего предложения:
существует только пять видов многогранников, все грани которых
имеют одинаковое число сторон, и все многогранные углы— одина-
ковое число рёбер.
Следует отметить, что неравенство (6) может быть также получено
из сферического треуготьника ЛВС (черт. 213), в котором угол при
2
вершине С равен d, угол при вершине А равен - d (так как вокруг
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
233
точки А расположено 2п равных углов сумма которых раин i 4<7), а угол при
В равен достаточно написать, что сумма этих углов больше 2d.
562. Наконец, легко убедиться, что, как мы уже указывали, два
правильных многогранника Р и Q одного вида подобны.
Прежде всего это обстоятельство несомненно имеет место, если
число п равно 3; действительно, при этом трёхгранные углы много-
гранников Р и Q будут равны между собой (так как их плоские углы
равны между собой), и следовательно, эти два многогранника удовле-
творяют условиям пункта 453.
Но всякий правильный многогранник Р, для которого число п не
равно 3, будет (в силу таблицы, которую мы только что составили)
сопряжён правильному многогран-
нику Р', для которого н=3;
точно так же Q будет сопряжён
правильному многограннику Q'toto
же вида, что и Р'. Подобие мно-
гогранников Р' и Q' было дока-
зано предыдущими рассуждения-
ми, а из него следует подобие
многогранников Р и Q.
563. Найденные выше пять
решений неравенства (6) действи-
тельно соответствуют пяти пра-
вильным многогранникам; покажем,
как можно образовать каждый из
этих многогранников.
Мы уже знаем три из них.
1°. Правильный тетраэдр (и. 553)
(т = п=3, F=S = 4, Х = 6).
2°. Куб (т = 4, л = 3, Р=6,
5=8, Л=12).
3°. Многогранник сопряжённый
кубу,—октаэдр (и. 559) (/я = 3,
9
Черт. 215.
/2 = 4, Р=8, 5=6, Л=12).
Далее следует:
4°. Додекаэдр (т = 5, п — 3, F= 12, 5=20, А =30). В силу того,
что числа 3 и 5 удовлетворяют неравенству (6), можно построить
трёхгранный угол a-bcd (черт. 215), каждый из плоских углов кото-
рого равен углу правильного пятиугольника, и расположить в его гра-
нях три правильных пятиугольника, обозначенных на чертеже цифрами
/, 2, 3 и имеющих своими сторонами первый — рёбра ас и ad, вто-
рой — рёбра ad и аЬ, третий — рёбра ab и ас. Если выполнить пово-
рот на угол, равный одной пятой части окружности, около оси пяти-
угольника /, т. е. около прямой ОХ, проходящей через его центр и
перпендикулярной к его плоскости, то сторона da займёт положение
234
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
стороны ас, а следовательно (в силу равенства двугранных углов при
рёбрах ad и ас), пятиугольник 2 займёт положение равного ему пяти-
угольника 3 {ab перейдёт в сторону се пятиугольника 3). Отсюда,
очевидно, следует, что, повторяя это вращение, мы получим последо-
вательно ещё три пятиугольника (которые мы обозначим цифрами 4,
5, 6); каждый из них прилежит к пятиугольнику /, а также к пяти-
угольникам, ему предшествующему и за ним следующему (последний
из них прилежит к пятиугольнику 2).
Точно так же вращение около оси пятиугольника 2 преобразует
пятиугольник 6 в пятиугольники / и 3; то же вращение, выполнен-
ное несколько раз подряд, даёт много-
угольники 7 (прилежащий к 2 и 3) и 8
(прилежащий к 7 и 2).
Если теперь мы выполним вращение
около первоначальной осп ОХ, которое пе-
реводит пятиугольник 3 в пятиугольник
2 и пятиугольник 2 в пятиугольник 6, то
грань 7 преобразуется в правильный пя-
тиугольник, прилежащий к пятиугольни-
кам 2 и би совпадающий, очевидно, с
8; то же самое вращение, выполненное
ещё три раза, даст три пятиугольника 9.
10 и 11, прилежащие каждый к двум из
граней 2, 3, 4, 5 и 6 и прилежащие друг
к другу (так как пятиугольники 7 в
8 обладают этим свойством).
Наконец, так как свободные вершины граней 7, 8, 9, 10 и 11
(например f и g, черт. 215) получаются одна из другой с помощью
того вращения, о котором идёт речь, то они образуют правильный
плоский пятиугольник, который и будет двенадцатой гранью много-
гранника ’).
5°. Икосаэдр {т = 3, n = 5, F=20, 8=12, /1 = 30). Правиль-
ный икосаэдр легко может быть получен из предыдущего многогран-
ника как многогранник ему сопряжённый. Он изображён на черте-
же 216.
564. Вычисление элементов правильного многогранника. Обо-
значим через г радиус вписанного шара, через/? — радиус описанного
шара и через р—радиус окружности, описанной около грани.
Отношения этих трёх отрезков друг к другу имеют для двух
сопряжённых многогранников одни и те же значения.
Действительно, пусть А (черт. 217) — вершина первого многогран-
ника Р, b — центр одной из граней, которой принадлежит эта вер-
!) Мы допускаем, что построенные таким образом грани не пересекаются
между собой и ограничивают некоторый выпуклый многогранник. Вполне стро-
гое доказательство читатель найдёт в прибавлении 11, где мы подходим к рас-
смотрению этого вопроса иным путём. .
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
235
щина, 5—центр описанного шара. Сопряжённый многогранник Р'
можно рассматривать как имеющий вершину в некоторой точке В'
прямой Sb; при этом центром одной из граней, в которой лежит вер-
шина В', будет проекция а точки В' на прямую SA Величинами г,
и р будут соответственно: для первого многогранника — длины
резков Sb, SA и ЬА; для второго — длины отрезков
Sa', SB' и а’В'. Доказываемое предложение вытекает
из подобия прямоугольных треугольников SAb и
Sa'В'.
Обозначим теперь через т число сторон каждой
грани многогранника Р; через п — соответствующее
число
через А и лежащего в грани многогранника Р, име-
ющей
соответствующего ребра (проходящего через точ-
ку В' и расположенного в грани с центром а') мно-
гогранника Р', так что точки с и с' лежат на од-
ном радиусе, перпендикулярном к Ас и к В'с'
(черт. 217); кроме того, Ьс' перпендикулярно к Sb,
а а’с' перпендикулярно к S'a'.
Обозначим через ст и ат соответственно сторону
и апофему правильного многоугольника, имеющего т
санного в окружность, радиус которой равен 1; будем иметь:
для Р'; через с — середину ребра, проходящего
своим центром точку Ь; через с'-—середину
от-
Черт. 217.
сторон и впи-
Ас — ЬА-~, Ьс — ЬА-ат; (8)
В'с' = В'а' — , а'с' =~ В'а' • ап. (8')
Но из подобия прямоугольных треугольников Sbc и SB'c', с одной
стороны, и прямоугольных треугольников 5.4с и Sa’c', с другой, сле-
дует:
Ьс Sb Ас SA
В'с' Sc' ’ а'с' Sc' ’
заменяя здесь отрезки Ьс, В’С, Ас и а’с' их значениями (8), (8') и
деля почленно получившиеся равенства, чтобы исключить Sc', будем
иметь:
(Шт)
ХЛ
R ’
Так как, кроме того, R2 равняется г2-|-р2, то можно написать:
г R _________________ _______________
атап ст.2«. l/~(Cm\~ I сп\г _2 „2 ’
2 2 J ~ т П
236
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙЧАСТИ
причём выражение, стоящее иод радикалом в последнем знаменателе ’),
Вели известны отношения величин г, R и р, то рёбра многогран-
ника можно, очевидно, вычислить из равенств (8) и (8').
Выражая все величины через /?, получим следующую таблицу:
Тетраэдр.
= = ат = аг/ = ± (Пл., п. 167);
R 21 п * 2 Кб „
г=1-; р=-д—/?; ребро
Куб. Октаэдр.
ст=1 2, сп=Уз-, ая=У (Пл., п. 166);
Г 2
R Г 2 1 РСт —--(куб),
Г;='ГТ: р== у iR’ рёбра 1 1/3
( РСП = R (октаэдр).
Додекаэдр. Икосаэдр.
К10 — 2 |z5
in 9*
ги=Г3; ат= |/54-—. ап=Д (Пл.,п. 170);
УПРАЖНЕНИЯ
836. Все выпуклые плоские многоугольники имеют одинаковую связ-
ность (доказать).
Надо сначала доказать это свойство для треугольников (пользуясь парал-
лельным проектированием и подобием); далее, пользуясь полученным резхль-
') Условие, при котором это выражение положительно, выражается пера
венетом (6) в силу соотношений: «„. = cos - ; cm = 2sin —.
* |>1
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
237
татом, надо показать, что, не изменяя связности, можно перейти от произ-
вольного многоугольника к многоугольнику, имеющему одной стороной меньше
(сравнить Пл., п. 265).
|Кроме Toi о, эта теорема будет верна и для вогнутых многоугольников *).]
837. Порядок связности какой либо части поверхности многогранника и
число контуров, образующих её край, либо оба чётные, либо оба нечётные
(доказать).
(Пример. Поверхность, изображённая на чертеже 195, имеет два края и
порядок связности, равный двум.)
Принять во внимание, что всякий разрез увеличивает или уменьшает на
единицу число контуров, образующих край.
В частности, если отнять одну из граней многогранника, удовлетворяю-
щего условиям пункта 537, уо получится многогранная поверхность, порядок
связности которой будет нечётным числом.
838. Для всякого многогранника имеют место равенства:
2А = ЗР3 -J- 4F4 -J- 5F5 4-... = 3S3 + 4S4 + 5S5 +.. .,
где через А обозначено число рёбер многогранника, через F3, F4, Fb,... —
число треугольных, четырёхугольных, пятиугольных, ... граней, а через Ss,
S4, S5,...—число трёхграиных, четырёхгранных, пятигранных,...углов (срав
нить и. 561).
839. Для всякого многогранника нулевого рода имеют место неравенства
(обозначения и. 544).
6F— 12^2Л^ЗГ>Л Д-6,
6S — 12 S& 2/1^35 3s: X 4-6.
(При решении этого и следующих упражнений использовать упражне-
ние 838.)
840. Многогранник нулевого рода имеет по крайней мере одну треуголь-
ную грань или по крайней мере один трёхграниый угол (доказать).
Сумма числа треугольных граней и числа трёхгранных углов больше или
равна восьми (доказать).
841. Не может случиться, чтобы каждая грань многогранника нулевого
рода имела более пяти сторон; точно так же не может случиться, чтобы каж-
дый его многогранный угол имел более пяти граней (доказать).
842. Не существует многогранника нулевого рода, имеющего ровно семь
рёбер (доказать).
843. Много! ранник нулевого рода имеет ровно пять граней. Какие зна
чения могут иметь число его вершин и число его рёбер.
844. Многогранник нулевого рода, не имеющий ни одной треугольной и
ни одной четырёхугольной грани, имеет по крайней мере двенадцать пяти-
польных граней и двадцать трёхгранных углов (доказать). Рассмотреть ана-
логичное предложение для многогранника, не имеющего ни одно! о трёхгран-
ного и пи одного четырёхгранного угла.
Многогранник нулевого рода, не имеющий ни четырёхугольных, ни пяти-
угольных граней, имеет по крайней мере четыре треугольные грани (доказать).
845. Сумма углов всех граней многогранника нулевого рода равна удво-
енной сумме углов выпуклого плоского многоугольника, имеющего то же
число вершин (доказать).
846. Если точка а лежит с центром направляющего шара S по одну сто-
рону от некоторой плоскости F, то полюс плоскости Р будет лежать с цент-
ром этого шара S по одну сторону от полярной плоскости точки а (доказать).
Вывести отсюда, что фигурой, взаимно-полярной выпуклому многогран-
нику относительно шара, центр которого лежит внутри многогранника, будет
4 Если исключить из рассмотрения многоугольники, аналогичные изобра-
жённому на чертеже 196. Прим. ред. перевода.
238
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ
также выпуклый многогранник, вершинами которого будут полюсы граней
данного многогранника, гранями — полярные плоскости вершин данного мно-
гогранника, рёбрами — взаимные поляры рёбер данного многогранника.
Точки, расположенные внутри нового многогранника, соответствуют пло-
скостям, расположенным целиком вне данного многогранника, и обратно (до-
казать).
847. Показать, что теорему Эйлера для выпуклых многогранников можно
вывести из теоремы о площади сферического многоугольника (спроектировать
на поверхность шара, центр которого лежит внутри многогранника).
Что мы получим в случае правильного многогранника, если выразим пло-
щадь сферического треугольника АВС (черт. 213) через его углы?
848. Если точка перемещается внутри правильного многогранника, то
сумма её расстояний от граней остаётся постоянной (доказать).
849. Продолжая четыре надлежащим образом выбранные грани правиль-
ного октаэдра, можно получить правильный тетраэдр; пользуясь гранями пра-
вильного октаэдра, можно образовать, таким образом, два тетраэдра (дока-
зать).
850. Существует пять кубов, вершинами которых служат вершины дан-
ного правильного додекаэдра; каждое ребро такого куба служит диагональю
одной из граней додекаэдра; каждая вершина додекаэдра принадлежит двум
из пяти кубов, о которых идёт речь (доказать).
851. Обратно, если дан куб, то отметим на каждом его ребре направле-
ние от вершины, принадлежащей первому правильному тетраэдру, вписанному
в куб, к вершине, принадлежащей второму такому тетраэдру; далее, проводим
через это ребро плоскость, расположенную вне куба и образующую
определённый острый угол а с той гранью куба, которая расположена
слева от рассматриваемого ребра, если смотреть по выбранному на ребре
направлению.
Двенадцать построенных таким образом плоскостей образуют двенадцать
граней многогранника, называемого пентагон-додекаэдром (или пентагональ-
ным додекаэдром) ').
Что будет, если а = 45° (соответствующий многогранник называется ром-
бододекаэдром или ромбическим додекаэдром)?
Показать, что для некоторого значения а пентагоп-додекаэдр будет пра-
вильным додекаэдром.
Если соединить вершину правильного додекаэдра, не принадлежащую дан-
ному кубу, с центром ближайшей грани куба й с ближайшей вершиной этой
грани, то эти две прямые образуют с гранью куба: первая угол в 45°, вто-
рая угол в 30° (доказать).
Пользуясь этими двумя замечаниями, построить проекцию правильного
додекаэдра на плоскость, параллельную одной из граней вписанного куба.
852. Продолжая надлежащим образом выбранные грани правильного ико-
саэдра, можно образовать пять правильных октаэдров (доказать).
Обратно, если дан правильный октаэдр, то выберем на каждом его ребре
такое направление, чтобы грань, принадлежащая одному из двух тетраэдров,
образованных гранями октаэдра (упр. 849), оказалась расположенной слева от
этого ребра; далее разделим это ребро в определённом отношении так, чтобы
больший отрезок предшествовал меньшему, если двигаться по ребру в выб-
ранном направлении. Показать, что для некоторой величины этого отношения
точки деления будут вершинами правильного икосаэдра. Найти эту вели-
чину.
853. Вращения, которые допускает пентагон-додекаэдр (упр. 851) в том
случае, когда ои не будет правильным, совпадают с вращениями, которые
допускает тетраэдр, вписанный в данный куб (доказать)
*) Пентагон-додекаэдр представляет собой ту форму, в которой обычно
встречаются некоторые минералы (например пирит).
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
239
В противоположность этому, симметрии относительно центра и относи-
тельно плоскости, которые допускает пеитагон-додекаэдр, совпадают с темп
симметриями куба, которые не принадлежат вписанному тетраэдру!).
854. Вычислить для каждого вида правильных многогранников радиус
шара, касающегося всех его рёбер.
855. Вычислить объёмы всех правильных многогранников, вписанных
в шар, радиус которого равен /?.
ОбъёмьГдвух сопряжённых правильных многогранников, вписанных в один
и тот же шар, относятся как радиусы шаров, из которых один касается всех
рёбер первого многогранника, а второй — всех рёбер второго (доказать).
856. Вращения второго порядка тетраэдра образуют (вместе с тождествен-
ным перемещением) группу, которая будет инвариантной подгруппой (п. 556)
группы вращений тетраэдра (доказать).
Эта подгруппа будет также инвариантной подгруппой группы вращений
куба (доказать).
857. При вращениях второго порядка, допускаемых тетраэдром, происхо-
дят те же перестановки вершин тетраэдра, которые не изменяют величины
сложного отношения четырёх точек, лежащих на одной прямой (доказать).
858. Комбинируя надлежащим образом вращения второго порядка, допуска-
емые кубом, можно получить все перемещения, которые допускает этот много-
гранник (доказать).
Той же цели можно достичь, исходя только из вращений четвёртого
порядка, но нельзя достичь, исходя из вращений третьего порядка (дока-
зать).
Группа тетраэдра и группа, рассматриваемая в упражнении 856, пред-
ставляют собой единственные инвариантные подгруппы группы куба; вторая
из этих групп есть единственная инвариантная подгруппа группы тетраэдра
(доказать).
859. Всю группу додекаэдра можно получить, исходя только из вращений
второго порядка или только из вращений третьего порядка, или только из
вращений пятого порядка (доказать).
(В двух последних случаях достаточно получить вращения второго поряд-
ка, комбинируя вращения третьего порядка или вращения пятого порядка.)
Вывести отсюда, что группа додекаэдра не имеет ни одной инвариантной
подгруппы 1 2).
860. Наиболее общий параллелепипед, имеющий ось симметрии третьего
порядка, есть ромбоэдр (п. 411) (доказать).
Ромбоэдр можно пересечь плоскостью по правильному шестиугольнику
(доказать).
861. Вывести из соображений пункта 555 новый способ вычисления эле-
ментов правильных многогранников.
(Принять за точки а и f середины двух смежных рёбер одной грани.)
Сравнить результаты, к которым приводит применение этого способа
к данному многограннику и ему сопряжённому.
Показать, что если X обозначает число сторон правильного многоуголь-
ника, который имеет своими соседними вершинами точки а и р и центром —
центр шара, описанного около многогранника, т и я — числа, рассматривае-
1) Мы оставляем в стороне случай, когда пентагональный додекаэдр бу-
дет правильным, так как при этом появляются добавочные симметрии.
2) В силу соображений, о которых мы не имеем возможности дать здесь
никакого представления и которые вытекают из работ Галуа, это пред-
ложение и вообще понятие инвариантной подгруппы играют основную роль
в алгебре. Пользуясь этой теорией и исходя из существования пяти кубов,
указанных в упражнении 850, можно доказать невозможность решения в ради-
калах общего уравнения пятой степени.
240
ДОПОЛНЕНИЯ 1<о ВТОРОЙ ЧАСТИ
мые в тексте (it. 560), то будем иметь:
В случае додекаэдра и икосаэдра полу чим, таким образом, соотношения,
указанные в Пл., упр. 181 и 182; в случае куба и октаэдра получим аналогич-
ные соотношения для правильного шестиугольника, квадрата и равносторон-
него треугольника.
Наконец, будем иметь:
R г _ р
ет птОп 1 '
2 ‘ 2 2 х
и рёбра обоих многогранников будут равны соответственно:
2/?сх 2/?с>
----- и ---- .
г-п ст
8G2. Двугранный угол V, образованный соседними гранями правильного
многогранника, имеющего m-угольные грани и п-гранные углы, вычисляется
по формуле:
~2Ст
угол V равен острому углу прямоугольного треугольника, стороны которого
равны а„, — сх (см. предыду щее упражнение) и ст (доказать).
863. Дан правильный много| ранник Р; рассмотрим одно из его рёбер а;
построим призматическую поверхность, у которой рёбра параллельны а,
перпендикулярное сечение есть равносторонний треугольник с центром на
ребре а и одна из плоскостей симметрии проходит через центр много! ран-
ника. Поступим точно так же со всеми остальными рёбрами, выбирая все
призматические поверхности равными между собой и располагая их одина-
ковым образом (т. е. если одна из построенных призм обращена к центру
многогранника своим ребром, то и остальные призмы должны быть обращены
к центру также своими рёбрами.) Рассмотрим части построенных поверхностей,
заключённых между линиями их пересечения с поверхностями, построенными
около соседних рёбер, и предположим, что поверхности (ограниченные таким
образом), построенные около несмежных рёбер, не имеют общих точек.
Обозначим через Q многогранник, образованный совокупностью указанных
призм (|рани данного многогранника Р мы не рассматриваем).
Пользу ясь обобщённой теоремой Эйлера (п. 545), найти (обозначая через Р
последовательно каждый из пяти различных правильных многогранников) по-
рядок связности поверхности, которая получится, если отнять одну из граней
многогранника Q.
ПРИБАВЛЕНИЯ.
ПРИБАВЛЕНИЕ Е.
О ПОНЯТИИ ОБЪЁМА.
565. Мы допускали выше (книга VI), что каждому многограннику
можно поставить в соответствие некоторое число (называемое объёмом),
обладающее следующими свойствами:
I. Два равных многогранника имеют один и тот же объём,
как бы эти многогранники ни были расположены в пространстве.
II. Многогранник Р", представ-
ляющий собой сумму двух приле-
жащих многогранников Р и Р',
имеет своим объёмом сумму объё-
мов многогранников Р и Р.
Мы покажем, что такого рода
соответствие можно осуществить в
действительности. Метод, которым
мы это установим, будет вполне ана-
логичен методу, принятому нами в
планиметрии (прибавление D), что из-
бавит нас от необходимости подробно
Черт. 218.
развивать ряд положений, которые были изложены в указанном разделе.
Теорема. Во всяком тетраэдре произведение площади одной
из граней на соответствующую высоту имеет одно и то же зна-
чение, независимо от выбора грани.
Рассмотрим грани BCD и ACD тетраэдра ABCD (черт. 218), которым
соответствуют высоты Аа и ВЬ. Площади треугольников BCD и ACD,
имеющих общее основание CD, относятся как их высоты ВВ' и АА'.
Достаточно показать, что отношение этих высот равно обратной ве-
Аа
личине отношения , т. е. что имеет место пропорция
АА' _ВВ'
Аа ВЬ
Но эта пропорция вытекает из подобия треугольников АаА'
и ВЬВ', имеющих по прямому углу соответственно при верши-
нах а и Ь и по острому углу, равному либо линейному углу дву-
гранного угла A-CD-В, либо углу ему пополнительному.
16 Элементарная геометрия, ч. II
242
ПРИБАВЛЕНИЕ F
Следовательно, мы имеем равенство:
пл. BCD^ВЬ
пл. ACD Аа
или
Ла-пл. BCD = Bb-un. ACD,
что и требовалось доказать.
Общая величина предыдущих произведений, умноженная на неко-
торое постоянное число k, которое мы выберем позднее, называется
объёмом тетраэдра. Этот объём равен нулю в том и только в том
случае, когда четыре точки А, В, С к D лежат в одной плоскости.
566. Докажем теперь теорему, которая соответствует теореме, до-
казанной ранее в пункте 315 планиметрии. Но для того чтобы не
приходилось рассматривать отдельно большого числа различных рас-
положений элементов фигуры, мы будем рассматривать объём как ве-
личину, имеющую знак, согласно следующему условию:
Мы будем обозначать через (ABCD) объём тетраэдра ABCD, взя-
тый со знаком -|- или —, смотря по тому, будет ли этот тетраэдр
иметь прямое или обратное расположение, т. е. смотря по тому,
будет ли трёхгранный угол A-BCD иметь положительное пли отри-
цательное расположение. Знак выражения (ABCD) зависит, очевидно,
от порядка, в котором мы перечисляем четыре точки А, В, С и D;
нетрудно видеть, что это выражение меняет знак при перестановке
двух из этих точек1).
567. Выражение (ABCD) меняет знак, если точки А, В и С со-
храняют своё прежнее положение, а точка D переходит с одной сто-
роны плоскости АВС на другую, так как двугранный угол C-AB-D
меняет при этом своё направление. По той же причине знак этого
выражения меняется и в том случае, когда любая из четырёх точек,
например А, переходит с одной стороны плоскости, в которой лежат
остальные три точки, на другую, так как выражение (ABCD) равно
по абсолютной величине и противоположно по знаку выражению (DBCA).
Если точка А остаётся на месте, так же как и плоскость BCD,
то знак выражения (ABCD) зависит (Пл., п. 20) от направления враще-
ния треугольника BCD, лежащего в этой плоскости.
568. Теорема. Если А, В, С, D и Е—пять каких-либо точек
пространства, то всегда имеет место равенство:
(EBCD) -|- (AECD) -|- (ABED) (АВСЕ) = (ABCD). (9)
!) Это очевидно (п. 389), если точка А не принадлежит к числу перестав-
ляемых вершин; с другой стороны, если поменять местами точку А, напри-
мер, с точкой С, то двугранный угол B-AC-D изменит своё направление (так
как грани двугранного угла и их порядок останутся теми же, что и были, а
направление, выбранное на ребре, изменится на обратное); но направление
этого двугранного угла определяет расположение трёхгранного угла A-BCD.
О ПОНЯТИИ ОБЪЁМА
243
1°. Рассмотрим сначала частный случай, когда точка Е лежит
в плоскости АВС (черт. 219). В этом случае объём тетраэдра ЕАВС
равен нулю, и предыдущее уравнение может быть записано в виде ’):
(EBCD) 4- (ECAD) + (EABD) = (ABCD).
Но четыре тетраэдра EBCD, ECAD, EABD и ABCD имеют общую
высоту, проходящую через точку D. Следовательно, их объёмы про-
порциональны площадям их оснований, и выражения (EBCD), (ECAD),
(EABD), (ABCD) будут про-
порциональны площадям тех
же оснований, взятым со
знаком -{“ пли — в зави-
симости от их направления
вращения (так как направ-
ления вращения этих тре- g
угольников соответствуют в
силу пункта 567 расположе-
ниям перечисленных тетра-
эдров). Но мы знаем, что
Черт. 219. Черт. 220.
при этих условиях площадь основания АВС равна алгебраической
сумме площадей оснований ЕВС, ЕСА и ЕАВ (Пл., п. 315).
2°. Перейдём теперь к общему случаю. Пусть /—точка пересе-
чения прямой DE с плоскостью АВС (черт. 220); тогда будем иметь
(в силу 1°):
(IBCD) 4- (А/CD) (IBID) = (ABCD). (10)
Но так как точка Е лежит в плоскостях ADI, BD1 и CDI, а точка 1—
в плоскости АВС, то будем иметь:
(IBCD) = (EBCD) 4- (IECD) 4- (/BED) 4- (IBCE),
(AlCD) = (EICD) 4- (AECD) (AIED) + (AICE),
(ABID) — (EBID) + (AEID) -f- (ABED) 4~ (ABIE),
0 = (ABCI) = (EBCI) 4- (AECI) -f- (ACEI) 4- (ABCE).
Складывая почленно эти четыре равенства и принимая во внима-
ние (10), получим искомое равенство:
(ABCD) — (EBCD) 4- (AECD) (ABED) 4- (ABCE).
[Все остальные члены попарно сократятся, как получающиеся один
из другого перестановкой букв / и Е; например (IECD) и (EICD).]
569. Следствие. Если условиться называть (сравнить Пл., п. 315)
каждый из тетраэдров EBCD, AECD, ABED, ABCE положительным
или отрицательным в зависимости от того, лежит ли он с тетраэд-
’) Выражение (ECAD), например, равно выражению (AECD), так как оба
они (п. 566) равны по абсолютной величине и противоположны по знаку выра-
жению (EACD).
16*
244
ПРИБАВЛЕНИЕ F
ром ABCD по одну сторону от их общего основания или нет, то
объём тетраэдра ABCD будет равен разности между суммой обь’ёмов
положительных тетраэдров и суммой объёмов отрицательных тетраэдров.
Действительно, предположим, что в уравнении (9) точки А, В,
С, D взяты в таком порядке, что тетраэдр ABCD имеет прямое рас-
положение. Каждое из выражений (EBCD),... будет положительным
или отрицательным смотря по тому, будет ли соответствующий ему
тетраэдр иметь то же расположение, что и тетраэдр ABCD, или нет,
т. е. смотря по тому, будет ли этот тетраэдр положителен пли от-
рицателен.
Заметим, что если обозначить через (АВС) площадь треугольни-
ка АВС, взятую со знаком -|- или —, смотря по направлению враще-
ния этого треугольника, то из теоремы Пл., п. 316 следует, что для
четырёх точек, лежащих в одной плоскости, имеет место соотношение:
(ОВС)-\-(ОСА)А-(ОАВ)^(ЛВС), (11)
аналогичное только что доказанной теореме.
570. Назовём объёмом произвольной пирамиды произведение пло-
щади её основания на высоту и на постоянное k. Этот объём равен,
очевидно, сумме объёмов тетраэдров, полученных при любом разбие-
нии основания на треугольники.
571. Теорема. Пусть даны: многогранник, разложенный каким-
либо способом на некоторое число тетраэдров, и какая-либо точ-
ка О пространства, которую мы соединим со всеми вершинами
многогранника. Если каждую из пирамид, имеющую своим основа-
нием одну из граней многогранника и общей вершиной точку О,
рассматривать как положительную или как отрицательную, смотря
по тому, лежит ли она по одну сторону с многогранником от
общего основания или нет, то разность S между суммой объёмов
положительных пирамид и суммой объёмов отрицательных пира-
мид (пли первая из этих сумм, если отрицательных пирамид не будет)
равняется сумме 2 объёмов тетраэдров, на которые разложен
многогранник.
Следствие. Величина S не зависит от выбора точки О, а
величина J — от способа разбиения многогранника на тетраэдры.
Доказательство этой теоремы полностью воспроизводит то дока-
зательство, которое было дано в планиметрии (Пл., п. 316).
Определённая таким образом величина называется объёмом много-
гранника; она обладает обоими указанными выше основными свой-
ствами (сравнить Пл., п. 317).
Определённые этим путём объёмы совпадают с теми, которые мы
1
рассматривали в шестой книге, если принять k — —; такозо то зна-
О
чение, которое должна имезь эта постоянная для того, чтобы куб,
ребро которого равно единице, имел бы объём, равный единице.
Рассуждения, проведённые в шестой книге, показывают, что существует
О ПОНЯТИЯХ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
245
единственное определение объёма, удовлетворяющее последнему усло-
вию, а также тем условиям, которые были наложены в начале этого
прибавления.
Многогранник невозможно разложить на такие многогранники,
которые, будучи расположены иначе, образовывали бы многогран-
ник, лежащий внутри данного многогранника. Это предложение
вытекает из только что проведённых рассуждений, но не вытекает
из сказанного в шестой книге.
ПРИБАВЛЕНИЕ G.
О ПОНЯТИЯХ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА ДЛЯ ЛЮБЫХ ЛИНИЙ
И ПОВЕРХНОСТЕЙ.
572. Длина дуги пространственной кривой. Дана дуга АВ про-
странственной кривой (С). Спроектируем её ортогонально на какую-
либо плоскость; получим дугу ab (черт. 221) некоторой кривой (с).
Предположим, что определение длины дуги плоской кривой (данное
в сноске 1 Пл., стр. 167) приложимо к кривой (д); другими словами,
предположим, что возможно измерить длину произвольной дуги кри-
вой (с). Если перечисленные в указанной сноске предположения вы-
полнены, то отношение длины дуги кривой (с) к соответствующей ей
хорде стремится к единице, когда дуга стремится к нулю; больше
того, если 1 -I- а — число, превышающее единицу на сколь угодно
малое число, то можно ') найти такое число е, что для каждой дуги,
составляющей часть дуги ab и имеющей хорду, меньшую е, это от-
ношение будет меньше 1 а.
1) Действительно, длина дуги pq, представляющей собой часть дуги ab
(кривая аЬ предполагается выпуклой на протяжении этой дуги), меньше суммы
отрезков касательных в точках р и q, считая от точек касания до точки их
пересечения; предположения, сделанные в цитированной выше сноске [Пл.,
стр. 167, сноска 1], состоят как раз в допущении, что отношение этой суммы
к х( рте pq становится меньше 1 всякий раз, как длина хорды дуги pq
будет меньше некоторой, надлежащим образом выбранной, величины е.
246
ПРИБАВЛЕНИЕ G
Выберем теперь одну из образующих аЛ проектирующего цилиндра,
пересекающую кривую (с) в точке а. Выберем, кроме того, в некото-
рой плоскости произвольный луч Gj/TZj. Поставим в соответствие каж-
дой точке т кривой (с) на поверхности цилиндра такую точку mt
луча чтобы длина дуги ат кривой (с) равнялась длине отрезка агтА.
Далее поставим в соответствие каждой точке М образующей тМ ци-
линдра [в частности, точке М кривой (С)] точку Mj плоскости, рас-
положенную на прямой mjAlj, перпендикулярной к лучу a1mJ в точке т,,
так, чтобы отрезок тМ на поверхности цилиндра был равен по вети-
f чине и знаку отрезку на плоскости (предполагает-
/V ся< что на образующих цилиндра и на прямых, лежащих
' в данной плоскости и перпендикулярных к прямой а^и,,
выбраны положительные направления).
Если на поверхности цилиндра дана фигура F,’ то
её развёрткой называется плоская фигура Fx, образо-
ванная точками Mj, которые соответствуют, как было
т, п' П‘ только что указано, всем точкам М фигуры F.
Развёрткой дуги АВ кривой (С) будет некоторая ду-
Черт. 222. ra кривой на плоскости, развёрткой её проекции
ab — прямолинейный отрезок агЬ}, равный длине дуги ab.
Предположим, что определение длины дуги плоской кривой прило-
жимо также к развёртке кривой (С), и пусть I — длина дуги А^В^.
Я утверждаю, что при этих условиях периметр ломаной, вписан-
ной в дугу АВ и алеющей своими концами точки А и В, стремится
к I, если число звеньев этой ломаной линии неограниченно возра-
стает так, что длина каждого звена стремится к нулю.
Действительно, пусть М и N — аве последовательные вершины этой
ломаной, т и п—их проекции на плоскость кривой (с); /И,, т},
— точки, соответствующие точкам М, N, т, п в развёртке цилиндра.
Мы будем иметь т1МА=тМ и nlN}=nN; но тп— хорда дуги кри-
вой (с) — короче отрезка (равного длине этой дуги).
Наложим трапецию mMnN на трапецию mAMyn}N{ так, чтобы сто-
рона совпала со стороной гщМ1, а сторона тп пошла по направ-
лению стороны тргр, пусть эта трапеция займёт положение mxMxn'N'
(черт. 222). Мы будем очевидно, иметь MN = MXN' но отно-
М,М M,N, . тщ, (
шсние , ' 1 будет меньше отношения -----; т. е. отношения
MXN MN туг
——1 . Действительно, ‘ '— 1 или — -— меньше, чем отноше-
тп } M\N M^N
NN' пт’ mm, ,
вне ,которое в свою очередь меньше, чем —!—у, т. е. —j—I.
M±N' н т{п пцп'
Но мы видели, что отношение ! можно сделать меньше 1-1—ст,
тп 1
каково бы ни было положительное число а, и что для этого доста-
точно взять длину хорды тп меньше некоторой определённой вели-
чины е. Следовательно, если мы выберем теперь каждое из звеньев MN
ломаной линии (и a fortiori каждую хорду тп) так, чтобы его длина
О ПОНЯТИЯХ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМ А
247
была меньше е, то каждое из отношений будет меньше, чем
1-J - а; в силу той арифметической теоремы, на которую мы много раз
ссылались, то же будет иметь место и для отношения длины ломаной
линии Хр . . .Вг — суммы длин всех хорд M}NA—к длине ис-
ходной ломаной линии А.. . MN... В, которая является суммой длин
всех хорд, аналогичных МП.
Другими словами (так как а может быть взято сколь угодно малым),
A,... M,/V, ...Bi
отношение —д---—g- стремится к 1, если длина каждого из звеньев
ломаной линии A... MN... В стремится к нулю.
Но предыдущий член этого отношения, по предположению, стре-
мится к Z; следовательно, тем же свойством обладает и последующий
член, что и требовалось доказать.
В частности, отсюда следует, что величина /, которая получится,
если спроектировать кривую (С) на какую-либо другую плоскость и
повторить при этом условии те же операции, не может иметь значения,
отличного от найденного выше.
Величина I, представляющая собой предел, к которому стремится
длина вписанной в дугу АВ ломаной, при условии, что длины всех
её звеньев стремятся к нулю, называется длиной dvzu кривой АВ. Из
предыдущего следует, что если развернуть цилиндр на плоскость,
то всякая линия, лежащая на его поверхности, имеет ту же длину,
как и её развёртка.
Прямая линия в пространстве является кратчайшим расстоя-
нием между точками А и В, так как всякая другая линия будет
либо ломаной, т. е. более длинной, чем прямая, либо кривой, длина
которой есть предел длины ломаной линии ’).
Отношение длины дуги пространственной кривой к соответствую-
щей ей хорде стремится к единице, если дуга стремится к нулю, так
как дуга MN кривой АВ (черт. 221) равна дуге MyNx кривой XjB/,
дуга ЛйДА
отношение —------‘ стремится к единице и, как мы видели, то же
хорда MyNy г
, хорда MiM
самое будет иметь место для отношения —-------гу-.
- хорда MN
Пусть опять дана произвольная кривая MN, лежащая на поверх-
ности цилиндра (черт. 223) и имеющая своей развёрткой кривую /WpVj
(черт. 224). Пусть далее буквы т, п, тг и п, имеют те же значения,
что и выше, I— точка, в которой прямая МП пересекает плоскость
кривой (с), и /j — точка, в которой прямая М^Пу пересекает пря-
мую арп,.
>) Длина дуги кривой линии не может быть равна длине прямолинейного
отрезка, так как если С — точка, лежащая вне прямой, но расположенная на
кривой, то длина кривой будет по крайней мере равна АС ф- ВС, а эта сумма
больше отрезка АВ.
248
ПРИБАВЛЕНИЕ G
Из подобия треугольников 1Мт и NMH, где Н—проекция точки N
на прямую Мт, вытекает, что
ml HN __ тп
тМ ТГМ ТШ'
точно так же из подобия треугольников 1хМхтх и NXMXHX, где Нх—
проекция точки Nx на прямую Мхтх, вытекает, что
тх1х /У, ТУ, тгп,
тхМх НХМХ НХМХ'
Деля почленно одно равенство на другое, получим (принимая во вни-
мание, что тМ=тхМх, НМ=НХМХ):
ml ___ тп
тх/х тхпх '
Но тхпх является не чем иным, как дугой тп кривой (с). Следова-
тельно, отношение отрезка тхпх к отрезку тп стремится к единице,
когда точка N неограниченно приближается к точке М (а точка п—
к точке т).
Если кривая MXNX имеет в точке Мх касательную, то точка /,
стремится к точке Тх пересечения этой касательной с прямой ахтх и
отрезок тх1х стремится к тхТх. Поэтому отрезок т/ также стремится
к тхТх, и если кривая тп имеет касательную тТ в точке т, то пря-
мая М/ стремится к предельному положению, которое получится, если
отложить на касательной к кривой тп в точке т отрезок тТ—тхТх и
соединить точки I и Т прямой линией. Это предельное положение
является, таким образом, касательной к кривой MN.
Угол ТМт между этой последней касательной и образующей Мт
равен углу Т,Мхтх, так как, поскольку Мт — Мхтх и тТ—тхТх,
прямоугольные треугольники МтТ и МхтхТх равны.
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема. Угол между кривой, лежащей на поверхности ци-
линдра, и образую ней, проходящей через одну из её точек, равен
углу между развёртками обеих линий в соответствующей точке.
Следствие. Угол между двумя кривыми, лежащими на по-
верхности цилиндра, равен углу между их развёртками.
О ПОНЯТИЯХ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
249
Действительно, угол между двумя кривыми, лежащими на поверх-
ности цилиндра, равен сумме или разности углов между каждой из
данных кривых и образующей, проходящей через их общую точку (так
как касательные к обеим кривым лежат в одной плоскости с этой обра-
зующей; черт. 225), и следовательно, равен сумме пли разности углов,
которые их развёртки образуют с прямой тМ, соответствующей этой
образующей.
Черт. 225.
573. Кратчайшее расстояние между двумя точками на шаре.
Применим сказанное выше к линии АВ, лежащей на поверхности шара.
Впишем в эту линию ломаную A...MN...B-, далее, заменим каждое
звено этой ломаной дугой большого круга, имеющей с этим звеном
общие концы. Мы получим, таким образом, линию, состоящую из дуг
больших кругов, примыкающих одна к другой, или сферическую ло-
маную.
Если длина каждого звена прямолинейной ломаной линии стремится
к нулю, то отношение длины дуги большого круга к соответствующей
ей хорде стремится к единице, и то же самое можно сказать об отно-
шении длины сферической ломаной к длине прямолинейной ломаной,
откуда следует, что длины этих двух ломаных имеют общий предел.
Таким образом, длина сферической кривой есть предел, к которому
стремится длина вписанной сферической ломаной, при условии, что
длина каждого звена этой ломаной стремится к нулю.
Дуга большого круга, соединяющая точки А и В, короче всякой
сферической ломаной линии, соединяющей точки А и В. Следовательно,
она короче всякой кривой, лежащей на шаре н имеющей своими концами
точки А и В; дуга большого круга есть кратчайшее расстояние
между двумя точками на шаре.
574. Рассмотрим какую-либо коническую поверхность пли часть
конической поверхности, заключённую между двумя образующими ОА
и ОВ (черт. 226). Произвольный шар, описанный из вершины О конуса,
как из центра, пересечёт этот конус по некоторой сферической кри-
вой АВ. Опишем в какой-нибудь плоскости из некоторой точки О, как
из центра окружность, радиус которой равен радиусу шара, и, выбрав
на этой окружности произвольную точку А1г поставим в соответствие
каждой точке М сферической кривой такую точку Мг окружности,
чтобы длина дуги АЛД окружности равнялась длине дуги AM сфе-
250
ПРИБАВЛЕНИЕ О
рической кривой. Далее поставим в соответствие каждой точке Р ко-
нической поверхности точку Р,, отстоящую от точки на расстоянии,
равном ОР, и лежащую на полупрямой OjAIj, проходящей через ту
точку Л'1г окружности, которая соответствует (в указанном выше смысле)
точке М, в которой образующая ОР пересекает шар.
Фигура, образованная точками Ръ называется развёрткой кониче-
ской поверхности. Читатель легко докажет, пользуясь методом, анало-
гичным тому, который мы применяли для цилиндра: 1) что каждая
линия, проведённая на поверхности конуса, имеет ту же длину,
что и её развёртка; 2) что две линии пересекаются под тем же
углом, что и их развёртки.
Черт. 22Ь.
575. Поверхность называется развёртывающейся, если между её
точками и точками плоскости можно установить такое соответствие,
при котором длины соответствующих друг другу линий были бы оди-
наковы. Это имеет место для цилиндра и конуса. Существует бесчис-
ленное множество других развёртывающихся поверхностей. Но было
бы ошибочно думать, что это свойство принадлежит любой поверхно-
сти; наоборот, оно, вообще говоря, не имеет места для случайно взятой
поверхности. Например, оно не имеет места для шара.
В этом можно убедиться из рассмотрения углов между кривыми,
лежащими на развёртывающейся поверхности.
Пусть 5—такая поверхность; АХ и AY (черт. 227) — две пере-
секающиеся кривые, лежащие на поверхности 5, которым соответствуют,
если развернуть эту поверхность на плоскость (что мы предполагаем
возможным), две кривые -djA'i и AjY\. Пересечём кривые АХ и AY
третьей кривой ВС, развёрткой которой будет кривая В^, и предпо-
о понятиях ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
251
ложны, что точки В и С неограниченна приближаются к точке Л.
При этих условиях направления прямых АВ, АС и А{Ва, XjCj стре-
мятся соответственно к направлениям касательных к кривым АХ, AY
и AtXt, -^jKj в точках А и А]. Кроме того, отношение каждой пз
дуг АВ, АС и AjBj, AtCt к соответствующей ей хорде стремится
к единице.
Мы не можем распространить это заключение на дуги ВС и В{С^.
так как кривые ВС и В1С1 меняют своё положение. Но можно дока-
зать с помощью некоторых простых ограничений, наложенных на по-
верхность S, что кривые ВС и ВгСА могут быть выбраны таким обра-
зом, чтобы отношение каждой из дуг ВС и В}С\ к соответствующей
. АВ
ей хорде стремилось к 1, и кроме того, отношение стремилось к
некоторому пределу.
Во всяком случае, такой выбор заведомо возможен, если поверх-
ность S есть шар достаточно принять за ВС дугу большого круга •).
Но дуги АВ и A,Bj имеют по предположению одну и ту же длину;
то же самое имеет место для дуг АС и а также ВС и В^С^
Следовательно, отношение хорды АВ к хорде Л(В1 стремится к еди-
нице так же как и отношение каждой из хорд АС и ВС к соответ-
ствующей ей хорде.
Следовательно, если построить на данном отрезке ab, как на осно-
вании, треугольник abc, подобный треугольнику АВС, и треугольник
abct, подобный треугольнику AtBjCi, то точка с будет стремиться к не-
. АС ВС
которому предельному положению (так как отношения и имеют
пределы), и точка ct будет стремиться к тому же предельному положе-
( ас AC АВ be X
нию так как — = : ттг стремится к единице так же как и — .
\ aci AtCj AjBj г Ь^)
Следовательно, / Ьас = / ВАС стремится к тому же пределу, каки
X toe, = / BiAjCj; другими словами, угол между кривыми AtXT и
Л1У1 равняется углу между кривыми АХ и AY. Таким образом, угол
между любыми двумя кривыми, лежащими на поверхности S, будет
равен (как мы это видели в случае конуса и цилиндра) углу между
их развёртками.
576. Предположим теперь, что поверхность 5 есть шар. Тогда ли-
ния, по которой измеряется кратчайшее расстояние между двумя точ-
ками на шаре, будет изображаться линией, дающей кратчайшее рас-
стояние между двумя точками на плоскости: другими словами, большие
круги на шаре должны изображаться прямыми на плоскости, а сфери-
ческие треугольники—прямолинейными треугольниками. Но это невоз-
можно, так как сумма углов прямолинейного треугольника равна двум
прямым, а сумма углов сферического треугольника всегда больше двух
прямых.
’) В следующем пункте мы увидим, что при этих условиях В1С1 будет
прямолинейным отрезком.
252
ПРИБАВЛЕНИЕ О
Следовательно, ни шар, ни сколь угодно малая часть шара (та к
как на ней всегда можно начертить сферический треугольник) не может
быть развёрнута на плоскостьJ).
577. Объёмы тел, ограниченных кривыми поверхностями. Пусть
S— часть пространства, ограниченная произвольными поверхностями.
Предположим, что часть пространства обладает тем свойством, что
можно найти два бесконечных ряда многогранников P]t Р2, ..., Рп...',
Qi, Q2, ..., Qn, ...* 2), удовлетворяющих следующим условиям:
1) при любом значении п ни одна из точек многогранника3) Рп
не является внешней по отношению к области S (все или часть вершин
пли рёбер, или даже граней многогранника Рп могут лежать на по-
верхности, ограничивающей область S);
2) при любом значении п ни одна из точек области <$ не является
внешней по отношению к многограннику Qn (некотврая часть поверх-
ности, ограничивающей 5, может принадлежать поверхности много-
гранника Q„);
3) разность Qn — Рп объёмов двух многогранников с одним и тем
же индексом стремится к нулю, если этот индекс неограниченно воз-
Си
растает; или иначе, отношение стремится при том же условии к
единице.
Я утверждаю, что в этом случае объёмы Рп и Qn стремятся
к одному и тому же общему пределу К
Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что каж-
дый из многогранников Рп первого ряда лежит внутри каждого много-
гранника Qn второго ряда и что, следовательно, объём всякого много-
гранника второго ряда больше объёма любого многогранника первого
ряда.
Теперь предположим сначала, что среди многогранников Рп суще-
ствует один многогранник Ра, объём которого будет больше объёмов
всех следующих за ним многогранников (или по крайней мере равен
какому-либо из них).
Тогда, если п будет больше а, то величина Ра будет заключаться
между Qn и Рп, а так как разность Qn— Рп стремится к нулю, или
’) Точно так же два шара различных радиусов не наложимы один на другой,
т. е. между точками некоторой части поверхности одного шара и точка-
ми некоторой части поверхности другого шара невозможно установить такое
соответствие, чтобы соответствующие друг другу линии имели одну и ту
же длину.
2) В дальнейшем через Рп и Qn обозначаются как самые многогран-
ники, так и их объёмы, что не даёт повода ни к каким недоразумениям. Прим,
ред. перевода.
3) Мы не предполагаем, что граница многогранника Рп состоит обязательно
из одного куска: за Рп можно принять и совокупность нескольких, не прплежа-
ших друг к другу многогранников, лишь бы только эти многогранники удо-
влетворяли указанным в тексте условиям. Этим замечанием нам придётся
воспользоваться ниже (п. 579).
О ПОНЯТИЯХ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
253
отношение стремится к единице, то очевидно, что Qn и Рп стре-
мятся к общему пределу Р,.
Предположим, во-вторых, что ни одна из величин Рп не больше
всех следующих за ней: другими словами, если мы возьмём какую-
нибудь из них, например Ра, то среди следующих за Р, величин
найдётся величина Рр, большая, чем Ра; далее, за Р^ найдётся вели-
чина Р, большая, чем Рр, и так до бесконечности.
Так как величины Ра, Рр, Р ... возрастают, оставаясь в то же
время меньше некоторой определённой величины (а именно любой из
величин Q„), то они стремятся к определённому пределу V1); к тому
же пределу V стремятся и величины Qa, Qp, Qr______(так как разности
Q,t— Ра, Qp— Рр, QT — Р ... имеют пределом нуль, пли отношения
, ... имеют пределом единицу).
Величина V больше или равна каждой из величин Рп (так как она
является пределом последовательности Qa, Qp, каждый из членов
которой больше Рп), и меньше или равна каждой из величин Qn (как
предел последовательности Ра, Рр, Р^,...,). Следовательно, величина
V является общим пределом величин Рп и Qn, так как она всё время
заключена между двумя величинами, разность которых стремится к
нулю, пли отношение которых стремится к единице.
Более тоТо, если каким угодно способом образовать две другие
последовательности многогранников Рп', Qn’, удовлетворяющих (по-
добно Рп и Qn) указанным ранее условиям относительно той же
части пространства S. то общий предел объёмов многогранников
Pt‘ и Qn' будет иметь ту же величину V, как общий предел
объёмов многогранников Рп и Qn.
Это предложение не отличается от предыдущего. Действительно,
можно образовать последовательность, содержащую поочерёдно много-
гранники Рп и многогранники Р’п, а также последовательность, со-
стоящую из многогранников Qn и Qn'; эти две смешанные последо-
вательности будут удовлетворять тем же условиям, как и две первые,
и, следовательно, будут иметь общий предел, что может произойти
только в том случае, если пределы величин Рп и Рп', а также пре-
делы величин Qn п Qp' совпадают.
Величина V, предел объёмов Рп и Qn, не зависит (как только
что было показано) от способа выбора последних (лишь бы только
одни из них содержали внутри себя S, а другие были бы заключе-
ны внутри S и разность между теми и другими стремилась бы к
нулю, пли их отношение стремилось бы к единице) и называется
объёмом части пространства S. Очевидно, что понятие объёма, уста-
новленное таким образом, будет обладать свойствами, указанными
в книге шестой (п. 419), а именно две равные части пространства
1) Автор предполагает известными теоремы о пределах, указанные в сноске
к Пл., стр. 165. Прим. ред. перевода.
254
ПРИБАВЛЕНИЕ G
имеют один и тот же объём, и часть пространства, образованная со-
единением в одну двух смежных частей пространства, имеет объём,
равный сумме объёмов этих двух частей х).
578. Остаётся выяснить можно ли найти многогранники Рп и Qn,
удовлетворяющие указанным условиям, если дана некоторая часть
пространства S.
Предположим, что внутри области 5 можно найти такую точку
О, что отрезок, соединяющий её с произвольной точкой поверхно-
сти, ограничивающей область S, не имеет других общих точек с
этой поверхностью. Пусть S' — фигура, гомотетичная S относительно
центра О, с коэффицентом подобия, равным 1 — е, где е—положи-
тельное число, меньшее единицы; S"— фигура, гомотетичная S отно-
сительно того же центра О с коэффициентом подобия, равным 1—|—е;
очевидно, что первое и второе нз трёх тел S', S и S" лежит внутри
следующего за ним. Пусть R—многогранник, лежащий внутри S", но
заключающий внутри тебя S'. Многогранник Р, гомотетичный много-
граннику R относительно центра О, с коэффициентом подобия равным
утГТе ’ будет лежать внутри S (так как R лежит внутри S"); много-
гранник Q, гомотетичный многограннику R относительно точки О, с
коэффициентом подобия, равным , будет заключать
себя (так Как R заключает внутри себя S'). Кроме того
(\_________________________________________________Е\ з
объёмов многогранников Р и Q, равное (п. 455) _|_Е 1
к единице, если е стремится к нулю.
Отсюда следует, что если выбрать ряд значений е, стремящихся
к нулю, и если для каждого из этих значений построить многогран-
ник R и, следовательно, многогранники Р и Q, то мы получим два
ряда многогранников, удовлетворяющих всем поставленным условиям.
579. Если форма области S такова, что предыдущие рассуждения
к ней неприменимы, то, вообще говоря, её можно разбить на две
или больше частей, к каждой из которых они применимы. При этом
за каждый из многогранников Р можно принять совокупность много-
гранников Р, соответствующих всем частям области S* 2), а за каждый
из многогранников Q совокупность многогранников Q, соответствую-
щих тем же частям.
580. Пусть d—наименьшее расстояние от поверхности, ограничи-
вающей область S, до поверхностей, ограничивающих области S'
и S", т. е. такая величина, что расстояние каждой точки первой
поверхности от каждой точки как второй, так и третьей поверхно-
стей больше пли равно d.
Впишем в поверхность, ограничивающую область S, такой много-
гранник, чтобы точка О лежала внутри него и чтобы попереч-
!) Относительно последнего свойства см. далее, пункт 579.
2) См. сноску 3 к стр. 252.
5 внутри
отношение
стремится
о понятиях ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
255
ник ’) каждой его грани был меньше d. Поверхность этого многогранника
не будет, очевидно, иметь ни одной общей точки ни с поверхностью,
ограничивающей S", ни с поверхностью, ограничивающей S’; ни одна
из точек этой поверхности не будет также внутренней точкой обла-
сти S'. Следовательно, этот многогранник будет лежать внутри S"
и будет заключать внутри себя S'; его можно принять за многогран-
ник R, указанный в предыдущем пункте. Если построить такие мно-
гогранники для ряда неограниченно убывающих значений е, то их
объёмы будут стремиться к V.
Так как е стремится к нулю вместе с d, то если вписать в по-
верхность. ограничивающую область S, такой многогранник (содер-
жащий внутри себя некоторую определённую точку, лежащую
внутри S), поперечник каждой грани которого стремится к нулю,
то объём этого многогранника будет стремиться к объёму обла-
сти S.
Непосредственно очевидно, что это заключение можно распро-
странить и на тот случай, когда нельзя непосредственно применить
рассуждения, приведённые в пункте 578, т. е. когда область S необ-
ходимо разбить#на несколько частей, как это было указано в пункте
579.
Если речь идёт о шаре, то за точку О можно принять его центр;
каждое из тел S' и S" будет при этом шаром, концентрическим
с данным шаром. Расстоянием d будет разность радиусов шаров S
и S', а за многогранник R можно принять вписанный многогранник,
поперечник каждой грани которого не превышает этой разности* 2).
. 581. В случае конуса или цилиндра предыдущее определение
согласуется с определениями, которые мы дали в книге VIII. Если
взять, например, цилиндр, то очевидно, что вписанные в него и опи-
санные около него призмы будут как раз такими многогранниками
Рп и Qn, которые мы ввели в пункте 578.
Кроме того, вписанную призму, длины сторон основания которой
стремятся к нулю, можно рассматривать как вписанный многогранник,
в котором поперечник каждой грани стремится к нулю. Для этого
достаточно разделить каждое боковое ребро призмы на некоторое
число равных частей, причём это число должно неограниченно увели-
чиваться одновременно с неограниченным увеличением числа сторон
') Под поперечником (автор пользуется трудно переводимым выражением
la plus grande dimension) многоугольника здесь и в дальнейшем понимается
наибольшее из расстояний между двумя точками, каждая из которых лежит
внутри многоугольника или на его периметре. Прим. ред. перевода.
2) Поверхность шара можно, например, разделить на части меридианами
и параллелями (черт. 228), которым соответствовали бы значения долгот и
широт, отличающиеся друг от друга на такую величину X, чтобы длина дуги
большого круга, соответствующей центральному углу А, была меньше d.
Точки пересечения этих меридианов и параллелей будут вершинами вписан-
ного многогранника, все грани которого, представляющие собой трапеции
или треугольники, будут иметь стороны, меньшие, чем d.
256
ПРИБАВЛЕНИЕ О
основания (черт. 229). Точки деления лежат, как и вершины призмы,
на поверхности цилиндра, и, следовательно, образующиеся при этом
маленькие прямоугольники (черт. 229) можно рассматривать как грани
вписанного многогранника; некоторые из этих граней будут лежать
в одной плоскости; однако это ничего не меняет в наших рассуждениях.
Аналогичные соображения приложимы, очевидно, и к конусу.
Черт. 228.
Черт. 229.
582. Рассмотрим также объём V тела, образованного вращением
многоугольника около оси, расположенной в его плоскости и его не
пересекающей.
Рассмотрим р положений этого многоугольника. Пусть, например,
ABCD и A'B'C'D' (черт. 230)—-два последовательных среди них.
Многоугольники ABCD и A'B'C'D' симметричны друг другу относи-
тельно биссектральной плоскости двугран-
ного угла, образованного их плоскостями.
Следовательно, существует усечённая приз-
ма, основаниями которой служат рассма-
триваемые многоугольники и рёбра кото-
рой перпендикулярны к этой плоскости
симметрии. Рассмотрим многогранник, пред-
ставляющий собой совокупность всех та-
ких усечённых призм, имеющих каждая
своими основаниями два последователь-
ных положения данного многоугольника.
Если мы будем неограниченно увеличивать число р рассматриваемых
положений многоугольника так, что каждый из двугранных углов,
образованных плоскостями двух последовательных положений много-
угольника, будет стремиться к нулю, то объём многогранника, о кото-
ром идёт речь, будет стремиться к V; в этом можно убедиться с по-
мощью рассуждений, совершенно аналогичных приведённым в преды-
дущем пункте.
Это замечание позволяет очень легко доказать несколько предло-
жений, имеющих большое значение. Предположим, например, что
о понятиях ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
257
рассматриваемый многоугольник есть треугольник АВС, вершина ко-
торого А лежит на оси вращения; тогда усечённые призмы обратятся
в пирамиды, аналогичные АВСВ'С (черт. 231).
Объём каждой из этих пирамид измеряется одной третью произ-
ведения площади её основания ВСВ'С на высоту АН. Таким обра-
зом, сумма этих объёмов будет измеряться одной третью произве-
дения суммы площадей их оснований на некоторую величину, заклю-
чённую между наименьшей и наибольшей из их
высот. Но если неограниченно увеличивать число р
последовательных положений треугольника, то сум-
ма площадей трапеций ВСВ'С будет стремиться
к поверхности, образованной стороной ВС при её
вращении около оси; что же касается длины вы-
соты АН, то она будет стремиться к длине высо-
ты Ah треугольника АВС, так как длина отрез-
ка hH, представляющего собой расстояние точки Н
от прямой ВС, будет стремиться к нулю.
Таким образом, мы непосредственно получаем
теорему, доказанную в пункте 497: объём тела,
образованного путём вращения треугольника
Черт. 231.
около оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его вер-
шину и его не пересекающей, равен произведению поверхности.
образованной вращением противолежащей стороны, на треть соот-
ветствующей ей высоты.
583. Вернёмся к случаю вращения произвольного многоугольника;
предыдущее замечание даёт нам также (по крайней мере для случая
многоугольника) теорему Гюльдешг.
Теорема. Объём тела, образованного плоской фигурой при её
вращении около оси, лежащей в её плоскости и её не пересекаю-
щей. равен произведению площади этой фигуры на длину окруж-
ности, описанной её центром тяжести.
Действительно, пусть G—центр тяжести1) многоугольника ABCD
и G' — центр тяжести того же многоугольника в следующем рас-
сматриваемом его положении A'B'C’D' (черт. 230).
Объём усечённой призмы ABCDA'B'C'D' равен (как можно дока
зать •) произведению площади её перпендикулярного сечения на рас-
стояние GG'.
Но перпендикулярное сечение есть сечение этой призмы биссек-
тральной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями её
оснований; поэтому его площадь стремится к площади многоуголь-
ника ABCD, а сумма длин отрезков, аналогичных GG', стремится к
длине окружности, описанной точкой G. Следовательно, теорема
доказана.
') См., например, первое издание настоящей книги, п. 633—635. Прим,
редактора перевода.
17 Элементарная геометрия, ч. II
258
ПРИБАВЛЕНИЕ О
584. Мы определили объём V какого-либо тела тем свойством, что
объёмы двух многогранников Рп и Qn, первый из которых лежит
внутри данного тела, а второй содержит его внутри себя, стремятся
к V, если разность этих объёмов стремится к нулю. Однако после
того как дано определение величины V, становится очевидным, что
если какие-либо два тела удовлетворяют условиям, наложенным на
Р и Qn* то их объёмы имеют V Своим пределом, независимо от
того, будут ли эти два тела многогранниками или нет. Действи-
тельно, объём одного из них будет всё время меньше V, объём
другого — больше V.
Пусть, например, какая-либо криволинейная плоская фигура А
вращается около оси, лежащей в её плоскости и не пересекающей её
контура. Впишем в эту фигуру и опишем около неё многоугольники,
площади которых будут иметь общим пределом площадь фигуры А.
При вращении около данной оси одни из этих многоугольников обра-
зуют тела, вписанные в тело V, образованное вращением фигуры А
около этой оси, другие — тела, описанные около того же тела V,
причём разность между объёмами вписанных и описанных тел стре-
мится к нулю ’). Следовательно, объёмы тех и других тел будут
иметь своим пределом объём тела V.
Отсюда видно, что определения объёмов шарового сектора и
шара, данные нами в пунктах 498 и 499, согласуются с настоящим
определением.
Мы видим также, что теорема Гюльдена, доказанная в предыдущем
пункте для многоугольников, будет справедлива и для любых криволиней-
ных фигур, если допустить, что центр тяжести рассматриваемой криво-
линейной плоской фигуры является предельным положением, к которому
стремится центр тяжести вписанного многоугольника, длины всех
сторон которого стремятся к нулю. Действительно, при этом условии
обе части равенства, выражающего рассматриваемую теорему, являются
пределами аналогичных величин, в которых криволинейные площади
заменены вписанными многоугольниками.
585. Рассмотрим далее какое-либо тело и пересечём его параллельными
плоскостями так, чтобы расстояние между каждыми двумя соседними
плоскостями не превышало некоторой величины h.
Обозначим через s часть этого тела, заключённую между двумя
последовательными секущими плоскостями: через С — объём цилиндра,
основания которого лежат в указанных плоскостях и который заключён
внутри $; через С — объём цилиндра, основания которого ле-
жат в тех же плоскостях и который заключает внутри себя s
(если сечения тела рассматриваемыми двумя плоскостями таковы, что
1) Действительно, эта разность равняется произведению площади коль
цеобразной фугуры, заключённой между одним из вписанных и одним из
описанных многоугольников, которая, очевидно, стремится к нулю, не 2л и
на расстояние от оси до центра тяжести этой площади, которое не может
возрастать неограниченно, как это можно было бы доказать.
О ПОНЯТИЯХ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
259
выполнено для всего тела, то тело можно разложить
частей, каждая из которых удовлетворяет этому
как тело будет разбито на части рядом параллельных
объёма каждого
С, а следова-
1 и 1 — ct. Число
только h доста-
проекция одного из них на плоскость другою заключает внутри себя
другое, то за С и С можно принять прямые цилиндры, имеющие
основаниями эти два сечения)').
Для тех тел, которые обычно приходится рассматривать, вели-
С
чину h можно выбрать настолько малой, что отношение будет за-
ключено между единицей и числом 1 — а, сколь угодно близким
к единице, каково бы ни было положение секущих плоскостей,
лишь бы только расстояние между ними не превышало h* 2) (или если
это условие не
на несколько
условию).
После того
плоскостей так, что расстояние между двумя соседними плоскостями
ие превышает h, построим для каждой из этих частей цилиндры
С и С' и обозначим через Р тело, образованное совокупностью ци-
линдров С, и через Q — тело, образованное совокупностью цилин-
дров С. В силу только что сказанного отношение
цилиндра С к объёму соответствующего цилиндра
Р л
тельно, и отношение будет заключено между
а может быть выбрано сколь угодно малым, если
точно мало; поэтому объёмы Р и Q одновременно стремятся к объёму
Р
данного тела, когда п стремится к нулю, так как отношение — стре-
м
мится к единице, в то время как Р всё время остаётся меньше
объёма данного тела, a Q остаётся больше объёма данного тела.
586. Площадь кривой поверхности. Определение плошади части
кривой поверхности представляет значительно больше трудностей, чем
предыдущие определения. Действительно, рассмотрим некоторую мно-
гогранную поверхность, вписанную в данную кривую поверхность,
и предположим только,
ник каждой из граней этой многогранной поверхности неограни-
ченно уменьшается; если не присоединить к этому предположению
других надлежащим образом выбранных предположений относительно
закона, по которому должна изменяться многогранная поверхность,
то отсюда не следует ещё с необходимостью, что величина этой
многогранной поверхности будет стремиться к определённому пре-
делу; может даже случиться, что эта величина будет неограниченно
возрастать.
Мы ограничимся определением величины замкнутой выпуклой по-
верхности.
как мы это делали раньше, что попереч-
!) В дальнейшем автор обозначает через С и С' не только цилиндры, п
которых идёт речь, но и их объёмы, и то же самое относится к обозначениям
Р и Q. Прим. ред. перевода.
2) И лежащие в этих плоскостях основания цилиндров С и С' были вы-
браны надлежащим образом. Прим. ред. перевода.
17*
260
ПРИБАВЛЕНИЕ G
С этой целью предварительно докажем следующие две леммы:
Лемма 1. Площадь одной грани любого многогранника меньше
суммы площадей остальных его граней.
Действительно, спроектируем все эти остальные грани на плоскость
данной грани. Очевидно, что совокупность этих проекций покроет всю
данную грань (может также случиться, что она выйдет за границы
данной грани или покроет несколько раз всю эту грань или отдель-
ные её части). Но площадь каждой грани (п. 381) больше или равна
площади её проекции.
Лемма II. Поверхность выпуклого многогранника меньше по-
верхности любого объемлющего его многогранника.
Обозначим через S поверхность данного выпуклого многогранника
и через S'— поверхность объемлющего его многогранника, который
может иметь одну или несколько общих граней ') с данным много-
гранником (только бы никакая его часть не лежала внутри первого
многогранника). Обозначим через п число граней многогранника S, не
принадлежащих S'. Если л=1, то теорема доказана, так как пло-
щадь единственной грани многогранника S, не принадлежащей S',
меньше суммы площадей тех граней многогранника S', не принадле-
жащих S, которые образуют с этой гранью некоторый многогранник.
Если п больше 1, то продолжим плоскость Р одной из граней
многогранника S, не принадлежащих S'; таким образом, мы разделим
поверхность многогранника S' на две части, из которых одна — на-
зовём её Sj' — расположена от плоскости Р по ту же сторону, что
и многогранник S, а другая «S2—по Другую сторону от этой пло-
скости. Заменяя S2 частью плоскости Р, ограниченной тем же кон-
туром, что и S2, мы уменьшим поверхность S2 (по предыдущей
лемме). Таким образом, мы получим новый многогранник, объемлю-
щий многогранник S и имеющий ещё одну новую общую с ним
грань.
Очевидно, что, продолжая это построение, мы придём к случаю,
когда ге=1. Следовательно, наше предложение доказано.
Примечание. Аналогичное предложение имеет место (и дока
зывается тем же путём) для выпуклой незамкнутой многогранной
поверхности и для объемлющей её многогранной поверхности, огра-
ниченной тем же контуром.
587. Пусть имеем теперь замкнутую выпуклую поверхность S.
Будем снова рассматривать многогранники Рп и Qn, одни из кото-
рых будут лежать внутри поверхности S, а другие будут заключать
внутри себя поверхность S. Но на этот раз мы наложим на эти
многогранники требование, чтобы они были выпуклыми. Тогда, в
силу леммы II, поверхность каждого многогранника Рп будет меньше
поверхности любого многогранника Qn. Следовательно, если предпо-
’) Грань многогранника S рассматривается как общая грань обоих мно-
гогранников, если она лежит в плоскости одной из 1 раней многогранника 5.'
О ПОНЯТИЯХ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
261
дожить, что разность между поверхностями многогранников Рп и
стремится к нулю (или отношение их поверхностей стремится к 1),
то эти поверхности будут иметь общий предел, не зависящий от
выбора многогранников Рп п лишь бы они удовлетворяли всем
перечисленным выше условиям. В этом отношении ничего не при-
дётся изменять в тех рассуждениях, которыми мы пользовались в
пункте 577.
При этом многогранники Рп и Qn можно получить тем же путём,
который был указан в пункте 578, принимая, однако, за R выпуклый
многогранник. В частности, мы убедимся, совершенно так же, как
в пункте 580, что площадь замкнутой выпуклой поверхности пред-
ставляет собой предел, к которому стремится величина поверх-
ности выпуклого вписанного многогранника,
когда поперечник каждой его грани стремится
к нулю.
588. Когда речь идёт о длине дуги пло-
ской кривой, данную дугу, если она невыпук-
ла, можно разложить на несколько выпук-
лых дуг. Необходимо отметить, что такого рода
соображения неприменимы в данном случае. Су-
ществуют такие поверхности, и притом даже
среди очень простых поверхностей, никакая
часть которых, как бы мала она ни была, не
является выпуклой; нельзя сказать, в какую
сторону такая поверхность обращена своей вы-
пуклой стороной в какой-либо из её точек.
Это имеет, например, место в случае поверх-
ности вращения, общий вид которой изображён
И
Черт. 232.
на чертеже 232 ’).
589. В случае цилиндра, конуса и усечённого конуса предыдущее опре-
деление согласуется с определениями, которые были даны в книге VIII.
действительно, можно вычислить полную поверхность каждого из этих
тел как предел полной поверхности вписанных призм, пирамид и усечён-
ных пирамид (сравнить и. 581), а так как площади оснований этих
многогранников стремятся к площадям оснований соответствующих круг
лых тел, то то же самое будет иметь место и для их боковых по-
верхностей
l) Т. е. в случае так называемой koco'i поверхности вращения (сравнить
vnp. 1031 в первом издании настоящей книги).
Пусть М — какая-либо точка этой поверхности; касательная плоскость в
точке Л! пересекает поверхность по двум образующим ML) и MDy (сравнить
спражнение 1276а в первом издании книги); эти образующие делят поверх-
ность на четыре части, из которых две, противоположные друг другу (и со-
держащие меридиан НН, черт. 232), расположены с внешней стороны от
касательной плоскости, а две другие (содержащие параллель СС) — с внут-
ренней стороны от неё.
(Косая поверхность вращения носит также название однополостного ги-
перболоида вращения Прим. ред. перевода.)
ЯР
ПРИБАВЛЕНИЕ О
К поверхности, образованной вращением ломаной линии около оси,
лежащей с ней в одной плоскости и её не пересекающей, можно приме-
нить те рассуждения, которые мы применяли в п. 582 к объёму тела,
образованного вращением многоугольника; пользуясь вместо предло-
женной там теоремы, аналогичным предложением, относящимся к бо-
ковой поверхности усечённой призмы ’), мы получим (ио крайней мере
для случая вращения ломаной линии) вторую теорему Гюльдена:
Теорема. Поверхность тела, образованного вращением некото-
рой линии около оси, лежащей с ней в одной плоскости и её не
пересекающей, равняется произведению длины этой линии на длину
окружности, описанной её центром тяжести.
Эта теорема также может быть обобщена на случай вращения кри-
вой линии путём предельного перехода: предыдущие рассуждения
позволяют осуществить это обобщение при помощи метода, аналогич-
ного тому, которым мы пользовались в пункте 584, для того случая,
когда вращающаяся кривая выпукла и обращена своей вогнутостью к осп.
590. Мы можем далее дать определение поверхности шарового
пояса, так как мы можем чать определение полной поверхности шаро-
вого слоя; н это определение согласуется (сравнить и. 584) с опре-
делением, данным в пункте 494.
Заметим, что эти определения дают возможность непосредственно
доказать теоремы об объёме шара и его частей.
В самом деле, рассмотрим выпуклый многогранник, вписанный
в шар* 2): этот многогранник можно разложить на пирамиды, основа-
ниями которых будут служить грани многогранника, а общей верши-
ной—центр шара. Объём многогранника равен одной трети суммы
площадей оснований всех пирамид, т. е. одной трети поверхности много-
гранника, умноженной на некоторую величину, заключённую между
наибольшей и наименьшей из высот. Но высота каждой пирамиды
имеет своим пределом радиус шара, так как многогранник, а следо-
вательно (в силу того, что он выпуклый), и плоскость каждой из его
граней будут расположены (п. 580) вне произвольного шара, концен-
трического данному и имеющего меньший радиус3). Что же касается
поверхности многогранника, то она стремится к поверхности шара.
Таким образом, получаем теорему, что объём шара равен произведе-
нию его поверхности на треть радиуса. Очевидно, то же рассужде-
ние применимо и к шаровому сектору.
) Боковая поверхность усечённой призмы равна произведению периметра
перпендикулярного сечения на отрезок, отсекаемый основаниями призмы иа
прямой, параллельной его рёбрам и проходящей через центр тяжести этого
периметра (см. первое издание настоящей книги, упр. 871).
2) Причём центр шара лежит внутри этого многогранника Прим. ред.
перевода.
8) Другими словами, каков бы ни был шар S, концентрический данному
шару и имеющий меньший радиус, рассматриваемый многогранник и плоско-
сти всех его граней будут лежать вие шара S, если поперечники всех гра-
ней выбрать достаточно малыми. Прим. ред. перевода.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
263
591. Если некоторая поверхность 5 может быть развёрнута на
плоскость, то можно доказать, что площадь всякой фигуры, лежащей
на поверхности S’, равна площади её развёртки *).
Обратная теорема, конечно, неверна: мы хотим этим сказать, что
если между точками некоторой поверхности и точками плоскости уста-
новлено такое соответствие, при котором соответственные фигуры имеют
равные площади, то отсюда ещё не следует, что поверхность 5 — раз-
вёртывающаяся 1 2).
ПРИБАВЛЕНИЕ Н.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ.
592. Мы уже доказали в пункте 548, что всякий правильный мно-
гогранник допускает некоторое число перемещений, т. е. что при
этих перемещениях правильный многогранник совпадает с самим собой,
причём вершины переходят одни в другие.
Обозначим через R и S два перемещения, при которых рассмат-
риваемый многогранник сохраняет своё положение, пли, вообще, при
которых не изменяет своего положения какая-либо фигура F. Очевидно,
что фигура F не изменяет также своего положения, если выполнить
одно за другим перемещения R и 5, другими словами, если выпол-
нить перемещение RS — произведение (Пл., п. 291) перемещений R и 5.
Следовательно, пользуясь определением, данным в пункте 291,
можно сказать, что совокупность всех перемещений, не изменяющих
положения фигуры F, образует группу, так как произведения3) лю-
бых двух из них R и S’, т. е. RS и SR, принадлежат к той же со-
вокупности.
Может случиться, что перемещение S не отличается от переме-
щения R\ произведение RR обозначается через R2; точно так же произ-
ведения трёх, четырёх,... одинаковых сомножителей обозначаются
соответственно через R3, R4,... и называются последовательными
степенями R.
Если R — винтовое перемещение, состоящее из вращения на угол а
и поступательного перемещения t в направлении оси вращения, то Rm (т—
целое положительное число) будет, как легко убедиться, переме-
щением, имеющим ту же ось и состоящим из вращения на угол та
и поступательного перемещения mt.
Следует отметить, что к числу операций, принадлежащих к данной
группе, мы относим и ту операцию, при которой каждая точка остаётся
1) Сравнить упр. 822 в первом издании настоящей книги.
2) Например, в упражнении 1316 первого издании настоящей книги при-
ведено обладающее указанным свойством соответствие между шаром, т. е.
неразвёртывающейся поверхностью, и цилиндром, т. е. поверхностью, которая
может быть развёрнута на плоскость.
') Напомним, что два произведения RS и SR, вообще говоря, не тожде-
ственны между собой (см. Пл., стр. 259, сноска 2 и упр. 637).
264
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
на месте; эта операция называется тождественной операцией и иногда
обозначается цифрой 1. Нетрудно видеть, что заключение, к которому
мы пришли (а именно, что если R и S принадлежат к группе, то
то же самое .имеет место и для их произведения), существенно пред-
полагает только что указанное соглашение относительно тождественной
операции.
Действительно, пусть R обозначает какое-нибудь перемещение,
в результате которого некоторая точка Л1 пространства занимает новое
положение Л4'; обозначим через R' обратное перемещение, т. е. та-
кое, которое переводит точку М' в точку М (если R есть винтовое
перемещение, состоящее из поступательного перемещения, имеющего
величину t, и из вращения на угол а, то обратное перемещение будет
иметь ту же ось, что и R, и будет состоять из поступательного пере-
мещения и из вращения, имеющих те же величины t и а, но проти-
воположное направление). Если перемещение R не изменяет положения
фигуры F, то то же самое можно сказать и о перемещении R’, и, сле-
довательно, если мы хотим сказать, как мы это сделали выше, что пере-
мещения, которые допускает фигура F, образуют группу, то к числу
таких перемещений необходимо отнести и произведения RR' и R’R,
Но каждое из этих произведений даёт, в силу определения переме-
щения R', тождественную операцию (каждая из двух операций R и R',
будучи применена к фигуре, которая получается из данной фигуры
с помощью другой из них, возвращает эту фигуру в её первоначаль-
ное положение).
Операция, обратная операции R, обозначается символом R-*, а её
последовательные степени — через R—2, R-8,... Легко убедиться, что
операция R-* обратна операции R* и что операция, обратная операции
RS (где через 5 обозначена какая-либо другая операция), есть S~lR~l.
593. Как мы уже отметили, если группа перемещений, которые
допускает какая-либо фигура F, содержит перемещение R, то она
содержит также и обратное перемещение R~r.
То же свойство принадлежит большинству групп, которые рассмат-
риваются в приложениях этого понятия к различным отделам матема-
тики !). В частности, показано, что оно имеет место для всех групп,
состоящих из конечного числа преобразований; впрочем, для тех групп,
с которыми мы будем иметь дело, мы далее докажем это свойство (п. 596).
Все группы G, обладающие рассматриваемым свойством, обладают
и следующим вытекающим из него свойством; если какая-либо фи-
гура F' эквивалентна2) некоторой фигуре F (относительно группы G),
то и обратно, фигура F эквивалентна фигуре F'; действительно,
если обозначить через R ту операцию этой группы, которая преобра-
’) В настоящее время название группы сохраняют только за такими со-
вокупностями операций, в которые наряд) с каждой их операцией R входит
и обратная ей операция R-г, так что это свойство становится составной частью
определения понятия группы. Прим. ред. перевода.
2) Относительно значения этого термина см. Пл., п. 293.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
265
зует фигуру F в фигуру F', то обратная ей операция R' преобразу-
ет фигуру F' в фигуру F.
594. Рассмотрим ещё одно следствие из того же свойства.
Пусть некоторое перемещение R ’), состоящее из посту пательного-
перемещения, параллельного оси А и имеющего величину t, и из вра-
щения на угол а. около той же оси (/ или а могут быть равны нулю),
переводит какую-либо фигуру f в фигуру f (черт. 233); •$—некото-
рое другое перемещение, имеющее ось В. Применим к фигуре, состоя-
щей из оси А, фигуры f и фигуры /', перемещение S: фигура f пе-
рейдёт в фигуру/], фигура/' — в/',* ось А —в ось А}. Отсюда видно,.
Черт. 233.
что перемещение Rr, имеющее своей осью прямую А{ и те же вели-
чины t и а, что и перемещение R, переводит фигуру /] (полученную
из / с помощью перемещения S) в фигуру f\ (полученную из /' с по-
мощью перемещения S).
Это новое перемещение Rj называется перемещением, преобразо-
ванным из перемещения R при помощи перемещения S. Два пере-
мещения R и одно из которых преобразовано из другого при
помощи некоторого третьего перемещения, называются подобными
(semblables). Мы видим, что два подобных перемещения имеют одну
и ту же величину поступательного перемещения, один и тот же угол
поворота и являются либо оба правыми, либо оба левыми перемеще-
ниями (и. 436, примечание). Эти условия будут в то же время и до-
статочными, так как если два перемещения R и удовлетворяют
этим условиям, то всякое перемещение, которое преобразует ось одного-
из них в ось другого (причём направление поступательного перемеще-
ния вдоль первой оси совпадает с направлением поступательного пере-
мещения вдоль второй оси), преобразует и перемещение R в пере-
мещение /?].
•) Наши рассуждения относятся к перемещениям; однако понятие подоб-
ных операций в теории групп применяется для любых операций.
266
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
Допустим теперь, что перемещения R и S, которые мы только
что рассматривав, принадлежат к одной и той же группе О, которая
содержит также (в силу указанного в предыдущем пункте свойства)
перемещения R~1 и S-’. В этом случае фигуры / и f\ будут эквива-
лентны друг другу относительно группы G; то же самое можно ска-
зать и о фигурах f и а так как фигуры f и f также эквива-
лентны одна другой, то то же самое будет иметь место (Пл., п. 293)
и для фигур /] и следовательно, перемещение /?,, которое перево-
дит фигуру /] в фигуру f' также принадлежит к группе G.
Таким образом, если два перемещения R и S принадлежат
к группе G, то к той же группе будет принадлежать и переме-
щение Rj, преобразованное из перемещения R при помощи переме-
щения S. Перемещения R и RA называются при этом сопряжёнными
между собой относительно группы G.
Для того чтобы два перемещения были сопряжёнными, недоста-
точно, очевидно, чтобы они были подобными; необходимо ещё, чтобы
среди преобразований, которые преобразуют одно из них в другое,
существовало по крайней мере одно, которое входило бы в данную
группу.
595. Если фигура F является правильным многогранником, то число
допускаемых ею перемещений конечно. Поставим 'себе задачей найти
все группы, состоящие из конечного числа перемещений. Число N этих
перемещений (считая, конечно, и тождественное перемещение) назы-
вается порядком группы.
После того как мы найдём группы, о которых идёт речь, мы по-
смотрим, не соответствуют ли им правильные многогранники. При этом
мы будем опираться на теорему пункта 550, но не будем пользоваться
результатами, полученными в пунктах 551—563. Этим путём мы
снова получим известные уже нам результаты, относящиеся к тетра-
эдру, кубу и октаэдру, и докажем соответствующие предложения
для додекаэдра и икосаэдра, так как данное в пункте 563 доказа-
тельство не может считаться законченным (п. 563, сноска).
Но польза, которую приносят эти исследования, не ограничивается
только пременением их к изучению правильных многогранников. Дей-
ствительно, с одной стороны, группы, которые мы ищем, играют суще-
ственную роль в вопросе о решении уравнений; с другой стороны, не-
которые свойства, которые мы докажем (как, например, свойства фун-
даментальной области, п. 610), обобщаются на аналогичные группы
(называемые фуксовыми группами), которые встречаются в неевкли-
довой геометрии и состоят, вообще говоря, из бесконечного числа опера-
ций; открытие и исследование этих групп являются одним из первых
и из наиболее замечательных результатов А. Пуанкаре1).
9 Фуксовы группы встречаются в нескольких проблемах высшей мате-
матики, имеющих большое значение.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
267
Пусть G — одна из искомых групп. Если она содержит перемеще-
ние R, то она также будет содержать и все последовательные степени
/?*, R3, • Необходимо прежде всего, чтобы этих степеней было
конечное число.
Отсюда следует, что перемещение R не может быть поступа-
тельным перемещением: в самом деле, если обозначить через t вели-
чину этого перемещения, то его последовательные степени будут
также поступательными перемещениями, величины которых будут
соответственно равны 2/, 3/,.. .; эти поступательные перемещения
необходимо будут все различны межту собой и их будет бесчислен-
ное множество.
Точно так же перемещение R не может быть винтовым пере-
мещением: действительно, если обозначить через t поступательное
перемещение, входящее в перемещение R, то перемещения R2, R3,.. .
будут содержать поступательные перемещения 2/, . и, следова-
тельно, будут все различны.
Таким образом, группа G должна состоять исключительно из
вращений.
596. Пусть R — вращение, принадлежащее к группе G; а-—его
кгол поворота. Этот угол определён только с точностью до целых
окружностей, и, следовательно, мы можем предполагать, что по абсо-
лютной величине он меньше полной окружности (илп даже, выбрав
надлежащим образом его направление, он меньше полуокружности).
Группа будет также содержать все целые положительные степени
вращения R (мы ограничиваемся только последними, не предполагая
заранее, что отрицательные степени R принадлежат к рассматриваемой
группе), имеющие ту же самую ось и углы поворота, равные 2а, За,. . .
Мы можем предположить, что среди всех вращений (число которых
по условию конечно), принадлежащих к группе и имеющих общую ось,
выбрано такое вращение R, которое имеет наименьший угол поворота.
В этом случае а будет измеряться ~ окружности, где п — целое
число. В противном случае угол, измеряющийся целой окружностью,
заключался бы между двумя последовательными кратными угла а; раз-
ности а' и а" между углом, измеряющимся целой окружностью, и этими
двумя кратными были бы отличны от нуля и по абсолютной величине
меньше а; углы а' и а" были бы углами поворота около той же оси,
что противоречит условию.
В дальнейшем мы условимся принимать за единицу углов угол,
измеряющийся целой окружностью; при этом условии наименьший угол
1
поворота около рассматриваемой осп будет измеряться числом - .
Число п называется, как и в пункте 546, порядком вращения: оно
равно 2 в случае транспозиции.
Отсюда вытекает также (чего мы до сих пор не предполагали),
что перемещение R~l, обратное R, принадлежит к группе G: лей-
268
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
ствительно, вращение RT1 будет тождественно вращению Rn~имею-
щему угол поворота, равный (п—1) а; последнее необходимо принад-
лежит к группе в силу того, что оно представляет собой положи-
тельную степень вращения R.
Очевидно, то же самое будет иметь место и для всех отрицатель-
ных степеней R (вращений на угол —ра}.
Отсюда следует, что всякое вращение, принадлежащее к данной
группе и имеющее ту же ось, что и R, будет степенью последнего',
в противном случае аналогично тому, что мы только что видели, соот-.
ветствующпй этому вращению угол поворота, который мы обозначим
через fj, будет заключаться между двумя последовательными кратными
ра и (р 1)а угла а, а тогда вращение, которому соответствует угол
поворота, равный ji—ра, и которое, как мы теперь знаем, также при-
надлежит к группе, будет иметь угол поворота меньший а.
Таким образом, все вращения рассматриваемой группы G, имею-
щие общую ось, будут степенями одного ил них и именно того,
которому соответствует угол поворота, содержащим я целое число
раз в полной окружности. При этом все вращения, обратные этим
вращениям, будут также принадлежать к группе. Это то свойство,
которое было указано в пункте 593 (и на которое мы не опирались
во всех предшествовавших рассуждениях).
597. Пусть R и S— два вращения, принадлежащие к рассматри-
ваемой группе.
Их оси лежат в одной плоскости', действительно, противополож-
ное предположение несовместимо с результатом, который мы получили
в пункте 595, в силу предложения, рассмотренного в упражнении 604.
Кроме того, эти оси (если они различны} не могут быть парал-
лельными. В самом деле, если бы вращения R я S около параллель-
ных осей имели равные между собой, но имеющие противоположные
направления углы поворота, то перемещение RS было бы поступатель-
ным перемещением, величина которого не равна пулю (сравнить Пл.,
упр. 94). Если же вращения R и S около параллельных осей имели бы
неравные углы поворота или равные и одинаково направленные углы
поворота, то операции RS и SR были бы вращениями на один и тот же
угол около различных осей, так что операция RS(SR}~’, т. е.
RSR~’S"1, была бы поступательным перемещением, имеющим отлич
ную от нуля величину.
Следовательно, оси обоих вращений (если эти осп различны) не
обходимо пересекаются в некоторой точке О.
598. Группа G содержит, кроме того, вращение Т, ось которого
проходит через точку О и не лежит в плоскости, проходящей через
оси двух первых вращений.
Действительно, если оба перемещения R и S будут транспозициями,
то этим вращением Т будет (и. 438) произведение RS; в противном
случае, если, например, R не будет транспозицией то ось перемеще-
ния, преобразованного из перемещения S при помощи перемещения R,
7
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ 269
будет, очевидно, лежать вне плоскости, в которой лежат осп пере-
мещений 7? и •$.
Отсюда вытекает, что ось всякого вращения U, принадлежащего
к данной группе, должна проходить через точку О, так как она должна
(в силу сказанного в предыдущем пункте) пересекать осп враще-
ний R, S и Т.
599. Таким образом, мы приходим к следующему заключению:
Все перемещения, принадлежащие к рассматриваемой группе,
представляют собой вращения, оси которых проходят через oduv
точку.
Примем точку О, в которой пересекаются все оси, за центр шара У;
для изучения вращений, принадлежащих к группе G, достаточно,
очевидно, подвергнуть этим вращениям точки, лежащие на шаре
Каждая ось вращения пересекает шар - в двух точках; эти точки
будут единственными точками, не изменяющими своего положения на
шаре при данном вращении; для краткости назовём их полюсами
вращения.
Каждый полюс вращения будет принадлежать, вообще говоря,
нескольким вращениям данной группы. Угол поворота, соответствую-
щий наименьшему’) из этих вращений R, содержится целое число
раз в угле, измеряемом целой окружностью; в самом деле, если бы
т f е т \
этот угол измерялся числом ~ (где дробь — несократима I, то группа
будет, как мы знаем, содержать вращение, имеющее ту же ось и
угол поворота, равный—; последний будет меньше первого, если т
больше 1; следовательно, т = 1.
При этом все остальные вращения, принадлежащие к группе и
имеющие те же полюсы, что и вращение R, будут степенями R.
Действительно, если бы угол а, соответствующий одному из них,
р р+ 1
измерялся числом, заключающимся между — и ——, то, умножая это
вращение на вращение R~p, мы получили бы, очевидно, вращение
с той же осью, угол которого был бы меньше т. е. меньше угла,
соответствующего вращению R (что противоречит сделанному пред-
положению). Мы будем называть число п порядком рассматриваемого
полюса вращения.
Очевидно, что полюс л-го порядка принадлежит п—1 вращениям,
не считая тождественного.
600. Если N обозначает порядок группы, то любая точка Р,
лежащая на шаре, имеет N эквивалентных ей точек, которые полу-
чатся, если выполнить над Р последовательно все перемещения группы
(включая и тождественное). Если точка Р не является полюсом
Т. е. том}' вращению, которое имеет наименьший угол поворота, не
считая, конечно, тождественного перемещения.
270
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
чек, дающих N
вращения, то все эти эквивалентные ей точки различны между собой,
так как, если две или несколько из них совпадут с точкой Р', то
точка Р' будет полюсом некоторого вращения R', а точка Р—полю-
сом вращения R, сопряжённого вращению R’ (п. 594).
Напротив, если точка Р есть общий полюс я-го порядка враще-
ния R (с углом поворота и его степеней R2, ..., Rn~\ то она
совпадает с я-—1 эквивалентными ей точками. Пусть далее Р' —
одна из точек^ эквивалентных Р, отличная от точки Р и получающаяся
из неё при помощи перемещения S, принадлежащего к данной группе.
Тогда п из точек, эквивалентных точке Р, будут совпадать с точ-
кой Р'\ а именно это будут точки, которые получатся из точки Р
при помощи вращений S, Р5, R2S, ..., Rn~'S. При этом не суще-
ствует других точек, эквивалентных Р и совпадающих с точкой Р',
так как если бы такие точки нашлись, то точка Р' была бы полюсом
вращения порядка п', где число п' было бы больше п. Но в таком
случае и точка Р была бы также, в силу сказанного в пункте 594,
полюсом вращения порядка и', а не порядка и.
Таким образом, число точек, эквивалентных точке Р и совпадаю-
щих с точкой Р', в точности равно п; а так как точка Р' была взята
произвольно среди точек, эквивалентных точке Р, то можно сказать,
что все N точек, эквивалентных точке Р, будут по п совпадать
между собой. Следовательно, мы видим, что число N делится нацело
г, W
на число п и что точка Р имеет — различных эквивалентных точек
(считая в том числе и точку Р).
601. Только что полученный результат даёт нам возможность
вывести основное соотношение между порядком N группы и поряд-
ками различных полюсов вращения.
Действительно, пусть F\ — первый полюс вращения порядка
N '
мы видели, что эта точка имеет — различных эквивалентных ей то-
чек. Но, с другой стороны, Р, есть общий полюс щ — 1 вращений
(не считая тождественного перемещения); каждая из точек, эквива-
лентных точке Р1; будет (п. 600) общим полюсом /г, — 1 вращений,
сопряжённых с первыми nt—1 вращениями; мы будем иметь всего
— (^ — 1) — N ( 1----) вращений. Если предположить теперь, что
П| \ и1/
существует полюс Р,, не эквивалентный полюсу Рх и имеющий поря-
Л К
док ’) п2, то эта точка будет иметь — различных эквивалентных то-
п2
1-----) вращений. Третий полюс Р3, отличный от
л2/
Pj и Рг и от эквивалентных им точек (если такой существует), будет
’) Может случиться (см. выше, п. 594), что число п2 будет равно числу пь
в то время как точки Р2 и Pj ие будут эквивалентными.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ 27!
иметь — эквивалентных ему точек, дающих Ац 1 — --) вращений,
и т. Д- Окончательно будем иметь следующее выражение, дающее
полное число вращений:
В это число не вошло тождественное перемещение; но каждое из
/V—1 остальных перемещений рассматриваемой группы входит два
раза (и притом только два раза), по одному разу для каждого из
двух полюсов, которые оно имеет; отсюда получается соотношение,
которое мы имели в виду доказать:
дф И+лф_1) + ...+лф_1) = 2(д/_1);
деля на N, будем иметь:
+ ,,2>
Это уравнение мы должны разрешить в целых положительных
(больших единицы) числах пъ п2, ..., пр и N.
Так как числа п}, п2, .... пр самое меньшее равны 2, то каждая
из скобок левой части больше или равна ; следовательно, число у
этих скобок меньше (но не равно) 4, так как правая часть этого
равенства меньше 2 (равенство исключается)
С другой стороны, правая часть больше или равна 1 (равенство
будет иметь место только для 2), в -то время как каждая из
скобок левой части меньше 1; отсюда следует, что р не может быть
равно 1.
602. Если р равно 2, то равенство (12) обращается в следующее:
1 1 —
nj п2 N '
в этом случае мы будем иметь только одно допустимое решение
tz1 = /z2 = 7V. Действительно, в противном случае одно из чисел пг
или л2 необходимо было бы больше N, что невозможно, так как N
должно быть кратным каждого из чисел и п2.
Равенства nl = п2 = N показывают, что имеются только два раз-
/Л/ N , \
личных полюса вращения —=— = 1 и, следовательно, только
\ И] п2 /
одна ось вращения; вращения около этой оси представляют собой,
как мы знаем, степени одного из них. Очевидно, что все эти враще-
ния образуют группу; такую группу вращений допускает (п. 546)
какой-либо правильный многогранный угол.
603. Рассмотрим теперь случай, когда р = 3. В этом случае по
крайней мере одно из чисел пх, п2 или ла равно 2, так как если бы
было л, > 3, и2^3, «З^>3, то каждая скобка в левой части урав.
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
нения (12) была бы больше пли равна у; их сумма была бы больше
пли равна 2, что невозможно. Примем и3 = 2; уравнение (12) обра-
щается в следующее:
<13
Можно непосредственно убедиться, что это уравнение совпадает
с уравнением (6') пункта 561, если заменить пх, п2 и N соответ-
ственно через т, п и 2А.
Однако в данном случае одно из искомых чисел, например пх,
может быть равно 2; при этом другое число п2 может принимать
произвольные значения; число N будет равно [как это видно из урав-
нения (13)] 2и2. В этом случае будем иметь два полюса и, следова-
тельно, только одну ось zz2-ro порядка; все остальные вращения, оси
которых отличны от этой оси, будут транспозициями; легко убедиться,
что оси последних должны быть перпендикулярны к первой оси и
образовать между собой равные углы.
Каждая из полученных таким образом групп носит название группы
диэдра ’); такую группу вращений допускает любой плоский пра-
вильный многоугольник или фигура, образованная правильным много-
гранным углом и углом, ему симметричным, который получится при
продолжении за вершину рёбер данного угла.
Отметим случай, когда п2 в свою очередь равно 2. При этом
группа будет состоять из трёх транспозиций, оси которых образуют
трёхгранный угол с тремя прямыми углами.
Если мы исключим теперь случай, когда одно из чисел пх или п2
равно 2, то будут применимы рассуждения пункта 560: одно из
чисел и1 или п2, например необходимо будет равно 3, а п2 —
одному из чисел 3, 4, 5. Соответствующие значения N будут 12,
24 и 60.
604. Докажем теперь, что каждой полученной таким образом ком-
бинации соответствуют, как мы уже указывали, известные способы
деления поверхности шара на равные правильные сферические много-
угольники и, следовательно (п. 550), некоторые правильные много-
гранники, откуда в частности следует существование додекаэдра и
икосаэдра.
Для этого построим сферический треугольник (черт. 234), углы
которого (соответственно при вершинах А, В, С) измеряются одной
J) Если разделить большой круг, лежащий на шаре, на п равных частей,
то п дуг, полученных таким образом, можно рассматривать, с известной точки
зрения, как стороны (составляющие продолжение одна другой) правильного
сферического многоугольника, занимающего целое полушарие; таким образом,
шар разделится на два таких многоугольника. Соответствующий многогранник
(диэдр) будет иметь две совпадающие грани, подобно тому как это имело
место для правильного многоугольника с двумя сторонами (Пл., п. 182, сноска).
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
273
и -й, одной л2-й и одной Hg-й частью полуокружности. Построение
этого треугольника возможно, так как его углы удовлетворяют усло-
виям, указанным в пункте 396. Угол при вершине С будет прямым,
так как л3 = 2; два других угла будут острыми, и, следовательно,
каждая сторона будет меньше квадранта (п. 404).
Рассмотрим треугольник АСВ2 (черт. 234), симметричный с по-
строенным треугольником относительно стороны АС (т. е. относительно
плоскости большого круга АС). Этот новый треугольник образует
вместе с первым равнобедренный сферический треугольник, в кото-
ром угол при вершине А равен — (если принять
измеряющийся целой окружностью). Очевидно,
что вокруг точки А можно расположить пх
(т. е. 3) таких равнобедренных треугольников
АВВ2, АВ2Вх и АВхВ. Все эти треугольники
будут целиком лежать один вне другого (так
как они будут лежать в различных сфериче-
ских двуугольниках с общей вершиной Л) и
покроют полностью, не налагаясь друг на дру-
га, всю часть шара, окружающую точку А.
Совокупность этих пх равнобедренных треуголь-
за единицу угол,
ников (или, что сводится к тому же, совокупность 2/Zj прямоугольных
треугольников) образует при этом выпуклый многоугольник: иначе го-
воря, стороны сферического треугольника АВ2ВХ, который не имеет с
дугой ВСВ2 ни одной общей точки, кроме В2, не могут также пересе-
каться с остальной частью большого круга В2В. Это вытекает (так как
АС меньше квадранта) из того, что расстояние каждой точки
остальной части этого большого круга от точки А будет (п. 404)
больше, чем АВ, в то время как противоположное имеет место (тот же
пункт) для всякой точки стороны В2ВХ и, a fortiori, для каждой
точки, лежащей внутри рассматриваемого сферического треугольника.
Таким образом, будем иметь правильный сферический многоугольник
(п. 546) с центром в точке А, который налагается сам на себя при
вращении R пх-го порядка, имеющем полюс в точке А, а также при
2/z, симметриях относительно плоскостей, в которых лежат выходящие
из точки А стороны прямоугольных треугольников, т. е. при тех сим-
метриях, с помощью которых можно, очевидно, получить один из
другого 2л1 последовательных прямоугольных треугольников.
Аналогично получим около точки В правильный многоугольник
с п2 сторонами, который налагается сам на себя при вращении S
/z2-ro порядка с полюсом в точке В, а также при 2я2 симметриях
относительно выходящих из точки В сторон тех 2и2 прямоугольных
треугольников, из которых состоит этот правильный многоугольник.
Наконец, около точки С будут сгруппированы четыре прямоуголь-
ных треугольника, также равных или симметричных, причём приле-
жащие друг к другу треугольники будут опять симметричны относи-
IB Элементарная геометрия, я. II
274
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
тельно их общей стороны, а противоположные будут получаться один
из другого при помощи транспозиции Т с полюсом в точке С.
Построим теперь цепь прямоугольных треугольников так, чтобы
каждый новый треугольник прилежал к предыдущему и был симметри-
чен ему относительно их общей стороны.
Я утверждаю, что каким бы способом мы ни повторяли это по-
строение и как бы далеко мы его ни продолжали, никогда не сможет
случиться, чтобы два из этих треугольников частично заходили
друг на друга; они могут:
либо целиком совпадать;
либо прилежать друг к другу вдоль общей стороны, как это было
объяснено, будучи симметричными относительно этой стороны;
либо иметь только одну общую вершину.
Но не может случиться, чтобы они имели общие внутренние точки
и не совпадали целиком, или чтобы вершина одного из них была
расположена на стороне другого и не совпадала с вершиной, лежащей
на этой стороне; для краткости мы будем говорить, что построенная
цепь треугольников не может „замкнуться неправильно".
Мы уже убедились, что это имеет место для треугольников,
построенных около общей вершины1). Прежде всего покажем, что
то же будет иметь место и для треугольников, построенных около двух
смежных вершин, т. е. для двух треугольников, имеющих с одним
и тем же треугольником, например АВС (черт. 234), один — общую2 *)
вершину А, а другой — общую вершину В. Для этого достаточно
заметить, что совокупность треугольников, расположенных при вер-
шине А, образует выпуклый многоугольник; поэтому все они будут
лежать в одном полушарии относительно каждого из больших кругов
BBj и ВВ2 (черт. 234) и, следовательно, все будут лежать в одном
и том же двуугольнике8) с вершиной В, заключённом между этими
двумя большими кругами (или, точнее, между двумя большими полу-
кругами, выходящими из точки В, на которых лежат соответственно
точки В1 и В2). Но все треугольники, построенные около точки В,
лежат, как мы знаем, вне этого двуугольника или, самое большее,
прилежат к нему4 * * *), за исключением двух из них (одним из которых
!) Говоря о треугольниках, построенных около одной из вершин А или В,
мы имеем здесь в виду треугольники, построенные один за другим около
этой точки, а не те треугольники, с которыми мы можем вернуться в эту
точку после более или менее длинной цепи промежуточных треугольников,
не имеющих рассматриваемую точку своей вершиной.
2) Здесь можно сделать то же замечание, как и в первом случае (преды-
дущая сноска).
®) Если речь идёт о треугольниках, имеющих соответственно с треугольни-
ком АВС общие вершины А (или В) и С, то двуугольник заменяется полушарием,
определяемым большим кругом ВСВ2 и содержащим внутри себя точку А.
<) Треугольник с вершиной в точке В, прилежащий к двуугольнику по
стороне ЁС, будет, кроме того, симметричен с треугольником АВС относи-
тельно ВВ2, и то же самое будет иметь место для треугольника, при лежащего
к двуугольнику по стороне ВВ^.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
275
является треугольник ВАС), которые лежат целиком внутри этого
двуугольника и для которых наше предложение уже доказано, так
как они имеют общую вершину в точке А.
Перейдём теперь к общему случаю. Может ли случиться, что
после того, как будет построено некоторое число треугольников Ть
Т2, - Т, не перекрывающих друг друга, найдётся такой треуголь-
ник Т", прилежащий к треугольнику Т' по некоторой стороне с, кото-
рый будет находить на один или несколько из этих треугольников?
Заметим прежде всего, что сторона с не может быть внутренней
стороной фигуры R, образованной перечисленными треугольниками,
так как иначе треугольник, симметричный с треугольником Т' отно-
сительно этой стороны, был бы одним из треугольников, о которых
идёт речь; а эти треугольники, по предположению, не находят один
Черт. 235.
на другой. Сторона с необходимо должна принадлежать контуру фи-
гуры R, и мы должны спросить себя, может ли сферический много-
угольник, образованный сторонами с1,с2> •••, ср треугольников Т,
замкнуться неправильно (черт. 235), так, что крайние стороны с,
и ср будут пересекаться в точке s, пли по крайней мере иметь общую
точку s, не совпадая между собой на всём своём протяжении (причём
точка $ будет концом стороны но не будет концом стороны с ,
или наоборот). При этом мы можем, очевидно, ограничиться, не на-
рушая общности рассуждения, предположением, что неправильное
замыкание будет неизбежно, т. е. что неправильное замыкание будет
необходимо иметь место, какую бы из сторон построенного много-
угольника мы не приняли за основание нового треугольника, так как
в противном случае, прежде чем перейти к треугольнику Т", мы
построили бы сначала все те треугольники, которые могут быть полу-
чены без неправильного замыкания.
Из предыдущего следует, что неправильное замыкание невозможно
для того случая, когда р равно 2 или 3.
В противном случае (если р^>3) обозначим через S область,
ограниченную дугами сг, сг, .... ср и лежащую вне треугольников,
18*
276
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
построенных до сих пор. Построим новый треугольник Тъ за осно-
вание которого примем сторону ср_2, отделённую от ср одной стороной.
В силу сделанного предположения треугольник Та необходима
должен перекрываться с ранее построенными треугольниками, т. е.
хотя бы одна из его сторон, отличных от с 2, должна пересекать
неправильно одну из сторон с2, ..., ср нашей сферической лома-
ной (иначе треугольник Ть который по крайней мере частично лежит
в области S, целиком лежал бы в этой области и не перекрывался бы
ни с одним из построенных треугольников). Этой стороной не может
быть ии с ъ ни ср, так как два треугольника Т" и Т\ построены
около соседних вершин. Следовательно, вводя треугольник Tj, мы
получим новый сферический многоугольник, замыкающийся неправильно
и имеющий по крайней мере на одну сторону меньше, чем предыду-
щий, так как при этом во всяком случае отпадают три стороны
ср—1> ср1)’ а добавляются вновь самое большее две стороны
(принадлежащие новому треугольнику). Продолжая то же построение,
мы будем постепенно понижать число р, пока оно не сделается рав-
ным 2 пли 3, что приведёт к противоречию.
Следовательно, сделанное нами предположение не может иметь
места: рассматриваемая совокупность треугольников не может замы-
каться неправильно.
С другой стороны, несомненно можно достичь того, чтобы эта
сеть треугольников целиком покрыла шар. Действительно, область R,
покрытая построенными уже треугольниками и не совпадающая с по-
верхностью шара, будет ограничена одним или несколькими много-
угольными сферическими контурами. Любую сторону одного из этих
контуров можно принять за основание некоторого нового треуголь-
ника, который, согласно предыдущему, будет целиком лежать вне
области R. Но общее число различных треугольников не может пре-
вышать числа Q — частного2) от деления поверхности шара на пло-
щадь треугольника АВС. Следовательно, после того как будет по-
строено Q различных треугольников, поверхность шара будет покрыта
ими целиком.
При этом каждый из треугольников будет иметь вершину, анало-
гичную вершине А (вершину, угол при которой равен
i; все тре-
угольники с общей вершиной, аналогичной А, образуют, как мы уже
!) В случае, изображённом на чертеже 235, число сторон уменьшается
ещё от того, что отпадают две стороны (Cj и с2) с другого конца ломаной.
2) Точное значение величины Q (очевидно, равное 2N) в данный момент
нас не интересует; оно нам понадобится далее (п. 611).
3) Различие между вершинами Л и В не вытекало бы из сказанного в
тексте, если бы л2 равнялось пь т. е. 3. Мы не будем подробно разбирать этот
случай, который приводит к тетраэдру, считая, что о нём достаточно сказано
в пункте 553.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
277
видели, правильный многоугольник с сторонами. Итак, поверхность
шара будет заполнена без пробелов и перекрытий такими правильными
многоугольниками; в силу пункта 550, этого достаточно для сущест-
вования правильного многогранника, имеющего своими вершинами
вершины этих многоугольников.
Мы получим второй правильный многогранник, сопряжённый с
первым, если сгруппируем треугольники вокруг их вершин В (вершин,
1А .
углы при которых равны —), вместо того чтобы группировать их
л2/
вокруг вершин А.
Существование этих правильных многогранников влечёт за собой,
как мы уже знаем, существование группы вращений, и, таким образом,
поставленная нами задача отыскания всех групп, состоящих каждая
из конечного числа перемещений, разрешена полностью.
605. Можно ли прийти к тому же результату, строя непосред-
ственно группу и выводя из существования группы возможность де-
ления шара на правильные многоугольники, т. е. следуя пути, обрат-
ному тому, которому мы только что следовали.
Мы увидим, что это действительно возможно Искомая группа
должна содержать, как мы знаем, вращения /ц-го порядка, вращения
л2-го порядка и транспозиции. Вернёмся к треугольнику АВС (черт. 234)
и рассмотрим вращение R, имеющее точку А полюсом и угол пово-
рота —, вращение S, имеющее точку В полюсом и угол поворота
ni
—, и транспозицию Т с полюсом в точке С; покажем, что, комбини-
руя всеми возможными способами эти три перемещения и перемеще-
ния, нм обратные, взятые в любом числе и в любой последователь
ности, мы получим лишь конечное число различных перемещений.
Доказательство основывается на двух соотношениях между опера-
циями R, S и Т, которые мы сейчас выведем.
Предполагая на этот раз, что и,=3, заметим, что точка В будет
одинаково удалена от точек Вг и В2 и что угол между двумя дугами
больших кругов BBi и ВВ2 будет равен 1; следовательно, точка В2
пг
преобразуется в точку В1 вращением S.
Но если мы произведём последовательно перемещения R^1 и Т,
то точка В сохранит своё положение (так как перемещение R~1 пере-
ведёт её в точку В2, а преобразование Т переведёт точку В2 в точку В),
а точка В3 перейдёт в точку В2. Таким образом, три точки (В, Ву
и центр шара), не лежащие на одной прямой, перемещаются одина-
ковым образом, как при перемещении S, так и при перемещении
R~}T, и, следовательно (п. 432), мы будем иметь:
R~'T=S, (It)
чю можно написать иначе:
S-^^R^TR, (15)
278
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
так как в силу того что Т есть транспозиция, имеет место равенство
Т~1 = Т.
606. Если выполнять несколько раз подряд вращение S, то точке
Вг будет соответствовать п2 различных точек (причём «2-я преобра-
зованная точка совпадает с самой точкой Вг); обозначим эти точка
при и2 — 3 через Blt В2, В3 (черт. 236); при пг = 4 — через Въ В2,
В8, (черт. 237); при л2 = 5— через Blt В2, Bs, Bit В6 (черт. 238).
При этом все сферические треугольники ВВХВ2, ВВ2В3, ... будут
равносторонними и равными между собой.
Рассмотрение этих треугольников позволит нам изучить переме-
щение:
U—R~lTRT.
Если произвести последовательно перемещения R~’, Т, R, Т,
лсходя из точки В или из точки Blt то мы придём в точку Bs в
первом случае и в точку В2 — во втором1). Всякое вращение около
оси, проходящей через центр шара, преобразующее точку В в точку
Bt и точку Вг в точку В2, будет, следов тельно (в силу сказанного
з пункте 432), тождественно перемещению U.
Но если и2 — 3, то середина Сг (черт. 236) дуги большого круга
ВВ3 есть полюс транспозиции, которая переводит точку В в точку Вл.
При этом равносторонний треугольник переходит также в рав-
носторонний треугольник, имеющий дугу BBS своей стороной, но рас-
положенный с точкой Вг в различных полушариях относительно
большого круга ВВ3, третья вершина этого треугольника, предста-
члитощая собой новое положение точки Bv, должна совпадать с точкой В2.
J) Например, точка В переходит при перемещении Д'-1 в точку Л‘2, кого-
оая переходит при перемещении Т в точку В', далее, точка В переходит при
"еремещении R в точку Вь а последняя переходит при перемещении Т в точку В2
(тек как Т перемешает треугольники BB2Bi и ВВ2В2 один на место другого).
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
279
Следовательно, U есть транспозиция, имеющая своим полюсом
точку Сг
Если л2 = 4, то равносторонний сферический треугольник ВВЙВ±
(черт. 237), получающийся из треугольника ВВ}В2 двукратным при-
менением к нему преобразования S, допускает вращение, угол кото-
рого измеряется окружности, преобразованное из R при помощи
преобразования S2; полюсом этого вращения, который мы обозначим
через А2 (черт. 237), будет точка,
получающаяся из точки А. Это вра-
щение переводит точку В в точку
Вй; в то же время, так как точка Вк
переходит в точку В< и точка В4
в точку В, точка Въ симметричная
с точкой В,, относительно плоско-
сти большого круга BBit переходит
в точку, симметричную с точкой В4
относительно плоскости большого
круга ВВЙ, т. е. в точку Вг. Следо-
вательно, это вращение третьего по-
рядка совпадает с перемещением U.
Наконец, если п2 — 5, то враще-
1
ние, угол которого измеряется у
Черт. 238.
окружности и полюс которого находится в точке В4 (черт. 238), пе-
реводит точку В в точку Bt (так как сферический треугольник ВВЙВ4 —
равносторонний и имее^ угол, равный 4) ; это вращение переводит
О j 11
также точку Въ в точку В и, следовательно, точку В, в точку Bt,
так как одна из них симметрична с точкой Bi относительно плоскости
большого круга ВВЪ, а другая симметрична с точкой В4 относительно
плоскости большого круга BBt.
Следовательно, это вращение пятого порядка совпадает с U.
607. Рассмотрим теперь всевозможные произведения сомножителей
R, S и Т, взятых в любом числе и в любом порядке. В каждом из
этих произведений можно, очевидно, заменить несколько рядом сто-
ят,их сомножителей их произведением; но, как мы уже упоминали,
нельзя, вообще говоря, изменять порядок сомножителей. При этих
условиях кажется, что полученных таким образом произведений будет
бесконечное множество; мы докажем, что этого не будет и что число
полученных произведений будет конечно. Тем самым наше доказа-
тельство будет закончено, так как рассматриваемые произведения об-
разуют, в силу самого способа их получения, группу.
Для доказательства мы заменим прежде всего сомножитель 5 че-
рез R~AT в силу соотношения (14). Символы, которые мы будем рас-
сматривать, будут состоять, таким образом, из множителей R и Т.
280
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
Всякий раз, как будут встречаться две буквы Т подряд, мы можем
их отбросить, так как 72=1. Точно так же Rs — 1; и мы не только
никогда не будем оставлять подряд больше двух букв R, но даже
и в том случае, когда будем иметь две последовательные буквы R,
будем заменять их произведение R2 через R~J. При этих условиях
каждое перемещение, о котором идёт речь, будет изображаться сим-
волом, составленным из букв Т, чередующихся с буквами R и R~\
Но одно и то же перемещение может быть изображено несколь-
кими символами, имеющими предыдущую форму: мы предположим
(что мы имеем полное право сделать), что среди этих равносильных
между собой символов выбраны наиболее короткие. Тогда мы составим
таблицу, образованную из всех символов указанной формы, причём
ни один из них уже не может быть заменён равносильным ему сим-
волом, но более коротким; докажем, что число символов, входящих
в эту таблицу, конечно.
608. Прежде всего последовательность R~XT не может повторяться
в каком-либо символе более двух раз подряд при п2 — 5 или п2 = 4
и более одного раза при п2 — 3. Действительно1), вращение R~}T=S
есть вращение пятого порядка, и, следовательно, символ 53 —
= R~ITR^1TR~1T можно заменить более коротким2) символом
S~2 = TRTR.
Точно так же символ R (чередующийся с Т) не может встречаться
более двух раз3) подряд, так как последовательность 5“s= TRTRTR
можно заменить через S2 = R~*TR~ХТ.
Более того, последовательность R~гТ может повторяться два раза
подряд только в начале или в конце символа; действительно4), если
') Это рассуждение относится к случаю л2 = 5; аналогично при п2 = 4
символ R~^TR~^TR~1T=SS можно заменить через S~l=TR, а при л2 = 3
символ R~'lTR~1T = S2 через S-1= TR. Прим. ред. перевода.
2) Упрощённый таким образом символ допускает, вообще говоря, дальней-
шее упрощение, так как первая буква Т в последовательности TRTR будет
стоять в упрощённом символе непосредственно за буквой Т, что даёт возмож-
ность отбросить обе эти операции Т. То же самое относится к последнему R
(сравнить ниже).
*) Это рассуждение относится к случаю п2 = 5; аналогично, при п2 = 4
последовательность TRTRTR = S~S можно заменить через S = R~lT. В случае
п2 = 3 последовательность TRTR~S~2 можно заменить через S — R~lT, так
что буква R не может встречаться (чередуясь с Т) более одного раза подряд.
Прим. ред. перевода.
4) Это рассуждение также относится к случаю л2 = 5; в случае л2 = 4
в последовательности
... TR~1TR~lTR...
мы заменили бы аналогично R~1TR~1T^S2 через S~2 = TRTRh получили бы:
... TTRTRR...,
т. е. более короткий символ
...RTR-1...
Прим. ред. перевода.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
281
бы эта последовательность встречалась два раза подряд в середине
символа, то ей предшествовала бы буква Т, а за ней следовала бы
буква R [или в виде исключения ’) Т?-*]; таким образом мы имели бы •
последовательность:
... TR-'TR-'TR ...
Но если здесь заменить R lTR гТ=82 через S-3 = TRTRTR,
то получится:
... TTRTRTRR....
т. е. (в силу 7’2=1, /?3=1)
... RTRTR-'
а этот символ короче первоначального.
Точно так же последовательность TR не может встречаться два
раза подряд иначе как на концах символа.
Следовательно, мы видим, что буквы R и R~l (отделённые друг
от друга буквой 7} всё время правильно чередуются между собой,
за исключением начала и конца символа; иначе говоря, порядок букв
в символе таков:
... RTR-'TRTR-'TRTR-'T...
Но произведение R~XTRT есть перемещение, которое мы обозна-
чили через U; как мы уже указывали, это перемещение имеет конеч-
ный порядок (равный 5 для «2 = 5, 3 для л2 = 4 и 2 для п2 — 3).
Таким образом, наше предложение доказано: рассматриваемый сим-
вол содержит самое большее произведение U, написанное один или
два раза подряд2); перед этим произведением, а также после него,
могут стоять буквы R или R~’, число которых самое большее равно
2 (разделённые буквой 7); очевидно, что число таких символов будет
конечным (принимая во внимание различные упрощения, которые мы
указывали, легко убедиться, что это число равно 60 при п2 — 5, 24
при л3 = 4 и 12 при w2 = 3).
609. Показав таким образом, что каждой комбинации целых чисел,
полученной в пункте 603, соответстзует конечная группа, мы должны
ещё показать, что ей соответствует только одна группа, если не счи-
тать различными две подобные друг другу группы (т. е. две группы,
каждую из которых можно получить из другой из них, преобразуя
!) Последнее предположение невозможно, если У?-1 не является последней
буквой символа, так как в противном случае за ней следовала бы буква Т,
и мы получили бы три раза подряд последовательность А?'1/1.
2) Если бы произведение U встречалось три раза подряд, то его можно
было бы (как мы это делали для S3) заменить через £/~2 = TR~lTRTR~1TR,
т. е. через более короткий символ.
(Это относится к случаю пг = 5; аналогично, в случае «2 = 4, можно за-
менить 77® более коротким символом U~i. В случае п2 = 3 имеем C’cl.
Прим. ред. перевода.)
282
ПРИБАВЛЕНИЕ//
все вращения, входящие в последнюю, при помощи одного и того же
перемещения). Но это не очевидно: действительно, мы знаем, что
каждая из искомых групп должна содержать вращения R, S и Т.
порядок которых соответственно равен п2 и я3 = 2, но мы не знаем,
существуют ли среди полюсов этих вращений такие три полюса,
которые были бы расположены в вершинах треугольника, аналогичного
изображённому на чертеже 234 ’).
Кроме того, остаётся ещё показать, что каждой из рассматри-
ваемых групп соответствует деление поверхности шара на равные
правильные многоугольники.
610. Оба эти результата можно получить, пользуясь понятием
фундаментальной (или приведённой} области, играющим в рассмат-
риваемой теории очень важную роль.
Рассмотрим точку А, лежащую на шаре, и назовём областью D
этой точки ту часть поверхности шара, каждая точка которой распо-
ложена ближе к точке А, чем к любой из точек, эквивалентных точке А.
Очевидно, что все точки этой области лежат в том же полушарии,
как и точка А, относительно каждого из больших кругов, перпенди-
кулярных к дугам АА-,, АА2, ... и проходящих через пх середины;
следовательно, область точки А представляет собой выпуклый
сферический многоугольник; сторонами этого многоугольника служат
дуги, представляющие собой части всех этих больших кругов или
некоторых из них.
Точки Aj, А2, ..., эквивалентные точке А, будут в свою очередь
иметь соответствующие им области £>,, D2, ... Все эти области
являются внешними одна по отношению к другой и покрывают
е своей совокупности всю поверхность шара: действительно, любая
точка Р поверхности шара принадлежит к одной и только к одной
из этих областей, а именно к области, которая соответствует той
из точек, эквивалентных точке А, которая расположена всего ближеа)
к точке Р.
Предположим сначала, что точка А не является полюсом вращения,
так что все точки Аг, А2, ... различны между собой и число их
равно порядку N группы.
Все области D, Dlt D2, ... равны между; собой: каждая из них
получается из области D при помощи одного и только одного пере-
мещения данной группы. Например, область D, получается из облас-
ти D при помощи того перемещения, которое переводит точку .4 в
точку Лр действительно, если Р—одна из точек области D, то соот-
ветствующая ей точка Р, находится от точки А, на расстоянии Аф\
(равном расстоянию АР}, меньшем, чем расстояние точки Рп напри-
!) Тот же вопрос возникает и при пользовании методом пункта 604.
2) Если таких точек, эквивалентных точке А и наиболее близких к точке
Р, окажется несколько, то точка Р будет, очевидно, точкой, лежащей на гра-
нице двух или нескольких смежных областей.
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
283
мер, от точки А2 (это расстояние равняется расстоянию точки Р от
той точки А', эквивалентной точке А, которая переходит в точку А2}.
Таким образом, каждая из областей D, D2, . -. соответствует
вполне определённому перемещению группы.
Всякой, точке Ро поверхности шара соответствует некоторая
точка области D, и притом, вообще говоря ’), единственная, так
как точка Ро лежит в одной из областей, эквивалентных области D.
фундаментальной областью группы G, или приведённой областью
по отношению к группе G, называется всякая область, которая, ана-
логично области D, обладает тем свойством, что она содержит одну
и только одну точку, эквивалентную каждой данной точке шара.
Площадь приведённой области равняется, очевидно, поверхности
шара, делённой на число N вращений, содержащихся в группе.
611. Предположим теперь, что А есть полюс вращения порядка
rt, или п2 1 2). Тогда точек Аъ Аг, ... будет меньше, чем N, и об-
ласти D, Da, D2, ... уже не будут приведёнными областями3). Но
они будут, как и выше, равными между собой, внешними одна по отно-
шению к другой, и будут покрывать всю поверхность шара (в этом
отношении все проведённые только что рассуждения сохраняют силу).
Докажем, что каждая из этих областей (например D) будет правиль-
ным сферическим многоугольником.
Если А есть полюс «,-го порядка, то в его области D лежит в точ-
ности л, точек, эквивалентных какой-либо точке (отличной от точки А,
от точки, ей диаметрально противоположной, и от точек, им экви-
валентных). В частности, область содержит nt полюсов второго порядка.
Пусть точка С есть один из них; точку, в которую преобразуется
точка А при помощи соответствующей полюсу С транспозиции, можно
получить, откладывая на продолжении дуги АС большого круга рав-
ную ей дугу CAt. Таким образом, многоугольник D будет, в силу
сказанного выше, целиком лежать в одном полушарии по отношению
к большому кругу, проходящему через точку С и перпендикулярному
к АС, а именно в том полушарии, которое содержит точку А. Сле-
довательно, на этом большом круге будет лежать одна из сторон мно-
гоугольника D, если только многоугольник не будет целиком (за
1) Исключение будет иметь место в том случае, когда точка Ро будет
точкой, лежащей на границе двух или нескольких смежных областей.
г) Читатель легко сам рассмотрит случай полюса А второго порядка, не
представляющий, впрочем, особого интереса.
3) Впрочем, пользуясь областью D, легко построить приведённую область D.
Для этого достаточно выполнить дальнейшее приведение области D по отно-
шению к вращению R, т. е. принять за область О' такую часть области О,
которая вместе с — 1 областями, получающимися из неё с помощью вра-
щения R и его степеней, покрывают область О один и только один раз.
Областью £У будет, например, общая часть области О и сферического дву-
угольника с углом —, имеющего своей вершиной точку А. Если эта общая
"т
часть области D и двуугольника ограничена дугами АВ и АВг (черт. 234), то
мы получим в качестве приведённой области равнобедренный треугольник АВВ2-
284
ПРИБАВЛЕНИЕ Н
исключением точки С) лежать вне этого круга; последнее имеет место
в том и только в том случае, когда точка С есть вершина много-
угольника.
Точно так же в области D лежит п} полюсов и2-го порядка. Пусть В
есть один из них; если выполнить соответствующее ему вращение S и
обратное последнему вращение *, то мы получим две точки Л, и Аг,
эквивалентные точке А, и область D будет целиком лежать по одну
сторону от каждой из дуг больших кругов, перпендикулярных к ду-
гам AAj и АА2 и проходящих через их середины, т. е. по одну сто-
рону от дуг больших кругов, делящих пополам углы АВАГ и АВА2.
Следовательно, одна из вершин многоугольника D должна совпадать
с точкой В и угол при этой вершине должен быть равен или
1
меньше —.
п.
Применим теперь к выпуклому сферическому многоугольнику
пункт 534, следствие; это следствие, касающееся площади сферического
многоугольника, можно, очевидно, сформулировать следующим образом.
сумма внешних углов выпуклого сферического многоугольника мень-
ше 4d, причём разность (выраженная в прямых углах) численно
равняется площади многоугольника, если за единицу площади при-
нять площадь треугольника, имеющего три прямых угла.
В данном случае мы принимаем за единицу угол, измеряющийся
целой окружностью, так что сумма внешних углов будет меньше еди-
ницы. При этом условии мы должны выбрать и единицу площади
в четыре раза больше, т. е. принять за единицу поверхность полу-
шария. Тогда площадь области D будет выражаться числом -, так
как она в ил раз больше площади приведённой области.
Но многоугольник имеет по крайней мере пг внешних углов (с вер-
шинами в полюсах я2-го порядка); каждый из них будет больше или
равен -----—. Таким образом, будем иметь:
2 По
причём равенство имеет место только в том случае, если многоуголь-
ник не имеет других углов, кроме тех, о которых мы только что упо-
. 1 1
ыинали, и каждый из внешних углов в точности равен -тг— —.
z п2
Но то же соотношение может быть записано иначе:
щ I л2 = 2 г /V ’
из формулы (13) следует, что здесь будет иметь место равенство.
Следовательно, многоугольник D имеет в точности пх углов (при
точках, аналогичных точке В), каждый из которых равен сле-
довательно, имеет в точности пЛ сторон; этими сторонами служат
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ И ГРУППАХ ВРАЩЕНИЙ
285
дуги больших кругов, проходящих через пл полюсов, аналогичных
полюсу С (т. е. через полюсы второго порядка, наиболее близкие
к точке Л); эти дуги перпендикулярны к соответствующим дугам АС.
Следовательно, многоугольник D есть правильный сферический,
многоугольник, так как этот многоугольник выпуклый и все его сто-
роны могут быть получены одна из другой повторным применением
вращения R.
Так как поверхность шара покрывается, как мы знаем, без про-
« N
белов и перекрытий — правильными многоугольниками, равными мно-
ni
гоугольнику D, то второе предложение, указанное в пункте 609,
доказано.
Первое предложение также доказано, так как мы доказали, что два
последовательных полюса вращения В н С, расположенных на пери-
метре многоугольника D, образуют вместе с А сферический треугольник,
углы которого соответственно равны;
/А = ~, /В=~, =
г— 2л, ’ 2л2 ’ •'—• 4
Две задачи, которые мы решили выше, а именно;
1) построение группы путём деления всей данной области на экви-
валентные области с помощью фундаментального многоугольника;
2) обратная задача—-построение фундаментального многоугольника
с помощью данной группы —
встречаются и при изучении фуксовых групп, о которых мы упоминали
в пункте 595; эти задачи решаются теми же методами, которыми мы
пользовались в пункте 604 и в пунктах 609—610 (однако при этом
возникают новые трудности вследствие того, что приходится иметь
дело с бесчисленным множеством операций).
ПРИБАВЛЕНИЕ К.
ТЕОРЕМА КОШИ О ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКАХ.
612. Теорема, утверждающая, что два треугольника равны, если
три стороны одного соответственно равны трём сторонам другого, оче-
видно, не распространяется на многоугольники, имеющие более трёх
сторон.
В противоположность этому в пространстве имеет место следую-
щая теорема;
Два выпуклых многогранника, имеющие соответственно равные
грани, расположенные в одном и том же порядке (п. 453, сноска),
либо равны, либо симметричны.
Теорема не приложима к невыпуклым многогранникам. Рассмотрим,
например, многогранник, обладающий тем свойством, что некоторая
286
ПРИБАВЛЕНИЕ К
часть Т его поверхности ограничена плоским контуром 1). Заменяя эту
часть Т фигурой, ей симметричной относительно плоскости контура,
о котором идёт речь (не изменяя остальной части поверхности), мы
получим многогранник, отличный от первоначального, хотя он имеет
своими гранями многоугольники, равные граням первоначального мно-
гогранника,
613. Доказательство рассматриваемой теоремы, идея которого при
надлежит Коши2), основано на трёх леммах.
Первые две из этих лемм касаются выпуклых многогранных углов
или, что то же, выпуклых сферических многоугольников.
Начнём со следующих очень простых замечаний.
I. Пусть дан вогнутый многоугольник, т. е. такой, в котором про-
должение одной стороны АВ проходит через внутреннюю область
многоугольника. При этом будет существовать ещё по крайней мере
одна сторона, обладающая тем же свойством, причём такой сто-
роной будет необходимо одна из сторон, примыкающих к АВ. В самом
деле, пусть М — точка, лежащая на продолжении стороны АВ и рас-
положенная внутри многоугольника (или на его периметре). По крайней
мере одна из дуг большого круга МА и МВ, представляющих собой
продолжение дуги АВ, будет меньше полуокружности (так как их сумма
меньше полной окружности); если это имеет место, например, для
дуги МВ, то точки А и М лежат по разные стороны от той стороны
многоугольника, которая имеет со стороной АВ общий конец В
В частности, вогнутый четырёхугольник имеет всегда две смежные
стороны, продолжения которых проходят через его внутреннюю область.
II. Меньшая дуга большого круга, соединяющая две точки А и L
периметра выпуклого многоугольника Р (например диагональ, т. е.
дуга, соединяющая две несмежные вершины) и, следовательно, лежа-
щая (в силу п. 391) внутри многоугольника, делит его на два мно-
гоугольника р и ръ которые оба также будут выпуклыми. В самом
деле, единственной стороной, продолжение которой могло бы прохо-
дить через внутреннюю область многоугольника р или ри является
сторона AL, а это невозможно в силу предыдущего замечания.
III. Обратно, если два выпуклых многоугольника р и прилежат
друг к другу вдоль стороны AL, причём сумма углов обоих много-
угольников при каждой из вершин А и L. в отдельности меньше 2d
(черт. 239), то оба многоугольника образуют, при их соединении,
также выпуклый многоугольник Р.
Пусть АВ и LK — стороны многоугольника р, смежные с АЦ
каждый из трёх больших кругов AL, АВ, LK определяет на шаре
9 Этот случай имеет место в правильном икосаэдре, если принять за /
совокупность граней, имеющих общую вершину (черт. 216, стр. 234). При
этом Т будет, очевидно, боковой поверхностью правильной пирамиды и будет
ограничена линией пересечения с плоскостью основания этой пирамиды.
2) Коши дал неточную формулировку леммы III. Строгое доказательство
было дано Лебегом.
ТЕОРЕМА КОШИ
287
некоторое полушарие, в котором целиком лежит многоугольник р-, сле-
довательно, эти три большие круга ограничивают некоторый сфери-
ческий треугольник Т (общую область этих трёх полушарий), в котором
тоже целиком лежит многоугольник р. Точно так же многоугольник ру
лежит внутри некоторого сферического треугольника t, у которого
одной из сторон служит дуга AL, а две другие стороны представ-
ляют собой дуги АВУ и LK-t (стороны многоугольника прилежа-
щие к AL), продолженные до точки их пере-
сечения. При этом треугольник t лежит
внутри того треугольника, который получился
бы, если бы мы изменили направление одной
из сторон АВХ или LK\ так, чтобы один из
углов А или L увеличился. Следовательно,
он лежит и внутри того треугольника, ко-
торый получился бы, если увеличить оба эти
угла А и L; в частности, в силу предполо-
жений, сделанных относительно величин углов
при точках А и L, треугольник t лежит
внутри треугольника Т', у которого одной из
сторон является дуга AL, а двумя другими
сторонами — продолжение сторон треугольни-
ка Т соответственно за точки А и L (срав-
нить п. 534), так что совокупность треуголь-
ников Т и Т' образует двуугольник Ф.
При этих условиях, если продолжить ка-
кую-либо сторону многоугольника р,то полу-
ченный большой круг не может, по предположе-
Черт. 239.
нию, пересекать никакой другой стороны многоугольника р‘, чтобы
выйти из треугольника Т, этот большой круг должен пересечь в точ-
ках m и п две стороны двуугольника. Следовательно, этот большой
круг не может проходить через. внутреннюю область треуголь-
ника Т': действительно, чтобы попасть внутрь треугольника Т', этот
большой круг должен был бы вторично пересечь стороны двууголь-
ника; последнее могло бы произойти только в точках, диаметрально
противоположных точкам m и п, а эти две точки лежат за пределами
двуугольника. Следовательно, такого рода большой круг не может про-
ходить через внутреннюю область многоугольника рА.
По той же причине большой круг, дугой которого служит какая-
либо сторона многоугольника р,, не может проходить через внутрен-
нюю область треугольника Т, что и доказывает наше предложение.
IV. Предельным случаем выпуклого многоугольника будет, очевидно,
такой многоугольник, у которого две стороны (или несколько сторон)
составляют продолжение одна другой и один из углов (или несколько
углов) равен 2rf.
Замечания, сделанные выше под рубриками II и III, сохраняют силу
и в этих предельных случаях.
288
ПРИБАВЛЕНИЕ К
614. Рассмотрим теперь следующие леммы.
Лемма I. Если в сферическом многоугольнике все стороны,
кроме одной, сохраняют постоянную длину и углы, не прилежащие
к этой последней стороне, все возрастают или все убывают (за
исключением быть может некоторых из них, которые остаются
постоянными), но так, что многоугольник остаётся выпуклым, то
последняя сторона возрастает, если углы возрастают, и убывает,
если углы убывают.
При доказательстве мы будем различать три случая.
Первый случай. Изменяется только один из углов, не при-
лежащих к той стороне, которая изменяется.
Пусть ABCDEF—сферический многоугольник (черт. 240), отно-
Черт. 240.
В самом деле,
сительно которого мы предполагаем:
1) что стороны АВ, ВС, CD, DE, EF со-
храняют постоянную величину;
2) что, например, углы при вершинах В, С,
Е также сохраняют постоянную величину и что в
противоположность этому угол при вершине D мо-
жет изменяться;
3) что многоугольник остаётся выпуклым.
Я утверждаю, что сторона AF возрастает или
убывает одновременно с возрастанием или убыва-
нием угла D.
проведём меньшие') (и, следовательно, лежащие
внутри многоугольника) дуги больших кругов AD и DF.
Так как стороны АВ, ВС, CD и углы при вершинах В и С сохра-
няют, по условию, постоянную величину, то выпуклый сферический
многоугольник ABCD при этом не изменяется (действительно, задание
перечисленных сторон и углов достаточно для построения этого мно-
гоугольника). Отсюда следует, что дуга AD большого круга и угол
между большими кругами CD и DA сохраняют постоянную вели-
чину.
По вполне аналогичной причине сохраняют постоянную величину
дуга большого круга DF и угол, который эта дуга образует с DE.
Мы приходим, таким образом, к заключению, что переменный угол
при D в данном сферическом многоугольнике возрастает или убывает
одновременно с углом при D в сферическом треугольнике ADF, так
как первый из этих углов получается из второго путём прибавления
двух слагаемых, сохраняющих постоянную величину.
Но из теоремы пункта 399 следует, что если стороны AD и DF
сферического треугольника ADF сохраняют постоянную величину, то
сторона AF возрастает или убывает одновременно с углом при D.
Мы видим, что при рассматриваемых условиях многоугольник
ABCDEF оказалось возможным заменить треугольником ADF, иначе
!) В смысле пункта 383. Прим. ред. перевода.
ТЕОРЕМА КОШИ
289
говоря, отбросить те вершины многоугольника, углы при которых со-
храняют постоянную величину.
Второй случай. Изменяются только два угла.
Поступая как и выше, мы придём к случаю двух четырёхуголь-
ников ABCD и A'B'C'D', в которых, по предложению, А'В' = АВ\
В'С— ВС', CD' = CD; X В' X В; ^_С Х> /_С, причём оба че-
тырёхугольника выпуклые. Я утверждаю, что A'D' AD.
Для доказательства будем вращать сторону CD около её конца С
так, чтобы угол при вершине С возрастал. Поскольку при таком вра-
щении четырёхугольник остаётся выпуклым, мы имеем рассмотренный
выше первый случай, так как угол
при вершине В не изменяется.
а) Пусть С£)о — дуга большого ---Х\' \
круга, равная дуге CD и образу- —~—С \ \
ющая с ВС угол BCD^ =\\
Если четырёхугольник ABCD^ вы-
пуклый, то к нему можно приме- —------------------
нить доказанное уже положение,
и сторона AD^ будет больше AD. Черт. 241.
Далее сравнение получившегося
выпуклого четырёхугольника ABCD^ с A'B'C'D' показывает, что ADQ
будет меньше A'D', так как угол BCD0 равен углу С, а угол В меньше
угла В'.
Но это рассуждение может оказаться неприменимым, как это видно
из чертежа 241, если ранее, чем мы достигнем желаемого положения
стороны CD, а именно в тот момент, когда точка D займёт некото-
рое положение Dx, четырёхугольник перестанет быть выпуклым, т. е.
уже не будет расположен целиком в одном и том же полушарии по
отношению к одной из своих сторон. Такой стороной не может быть
ни сторона ВС (так как точка D остаётся при своём перемещении в
одном и том же полушарии относительно большого круга ВС), ни сто-
рона С£>] (так как дан порядок, в котором дуги СВ, СА, CD, CDX
располагаются при точке С). Поэтому такой стороной будет сторона
В А или ADX и, следовательно, обе эти стороны (п. 613, I), так что
продолжение стороны ВА (очевидно, за точку А) будет пересекать
C£)j. Вращая сторону CD, мы остановимся как раз перед тем, как
четырёхугольник перестанет быть выпуклым, т. е. (п. 613, IV) в тот
момент, когда точка D займёт (черт. 241) положение Dx на продолже-
нии стороны ВА\ при этом для точки Dx будут иметь место соотно-
шения !):
CDX — CD=C'D', Z_BCDx<^X.C'- (I6)
]) При этом может случиться, что подвижная точка D, пересекающая в 1\
продолжение стороны ВА, пересекает его при дальнейшем движении ещё раз
и возвращается в исходное полушарие ранее, чем она достигнет положения
Но в этом случае четырёхугольник АВСО0 выпуклый, и нам ничего не
пришлось бы изменять в нашем первом рассуждении.
10 Элементарная геометрия ч. II
290
ПРИБАВЛЕ НИЕ К
Ь) Пусть теперь CD2— дуга большого круга, равная CD и обра-
зующая с дугой СВ какой-либо угол *), удовлетворяющий условию:
2/BCD1<z/5CD2<^C'. (17)
Дуга большого крута BD2 будет больше BDV откуда следует
прежде всего, что она будет больше дуги ВА; следовательно, на дуге
BD2 можно отложить от точки В дугу ВА2 = ВА = В'А'; кроме того,
мы будем иметь:
A2D2 > ADX > AD. . (18)
Если существует некоторый угол BCD2, удовлетворяющий нера-
венствам (17), такой, что соответствующий ему угол CBD2 равен углу В',
то мы построим, таким образом, четырёхугольник A2BCD2, стоящий
на грани выпуклости* 2), у которого ^_В— /_В'\ X С Х С'. При
этом будем иметь:
BD2^B'D'<^В'А'Л-A'D'-, (19)
вычитая по равной величине ВАг = В'А', получим:
A'D' > A2D2 > AD.
с) Если равенство X СВА2 = ^/В' не выполняется ни для одного
угла, удовлетворяющего неравенствам (17), то мы примем за точку D2
точку Do\ мы придём к заключениям, вполне аналогичным предыду-
щим, с тем только различием, что на этот раз угол С будет равен
углу при С, а угол В будет меньше угла В'.
В случаях Ь) и с) построенные четырёхугольники стоят на грани
выпуклости. Впрочем, каждый из них можно заменить (в чём, однако,
нет необходимости) выпуклым четырёхугольником в собственном смысле
слова, в случае Ь) увеличивая или уменьшая на весьма малую вели-
чину угол при С и не изменяя положения 1очки Д2, в случае с) уве-
личивая на весьма малую величину угол при В и не изменяя положе-
ния точки £)2- При этом те из неравенств (18) и (19), в которых не
встречается знак равенства, не будут нарушены, если эти изменения
углов будут достаточно малыми.
Общий случай. Число п углов, увеличивающихся при пере-
ходе от первого многоугольника Р ко второму многоугольнику Р\
произвольно, но больше двух.
Пусть АВ... LM и А'В'...L'M—две выпуклые сферические ло-
маные; предположим, что соответственные стороны обеих ломаных равны,
в то время как каждый из п углов второй ломаной больше соответст-
вующего угта первой ломаной; предположим, далее, что, проводя за-
мыкающие дуги AM и А'М', мы получим два выпуклых многоуголь-
1) Мы можем предположить (см. предыдущую сноску), что имеют место
неравенства: / D2BC > / Г\ВС > / DBC.
2) Под „четырёхугольником, стоящим на грани выпуклости (un quadrangle
й la limite de convexite)", здесь понимается четырёхугольник, у которого две
стороны составляют продолжение одна другой (п. 613, IV). Прим. ред. пере-
вода.
ТЕОРЕМА КОШИ
291
ника Р и Р“ Так как лемма доказана для п—l и для п = 2, то мы
можем предположить, что лемма верна для всех значений п, меньших
рассматриваемого.
Как и выше, мы можем также предположить, не нарушая общности,
что две крайние стороны АВ и ML примыкают к вершинам В и L,
в которых / В X В', / £ X X Проведём диагональную дугу BL
(черт. 242); эта дуга разлагает многоугольник Р на две части, одна
из которых (будем условно называть её расположенной „над" дугой
BL) представляет собой выпуклый четырёхугольник ABLM, в то время
как вторая расположена „под" дугой BL. В силу неравенства
^В<^^/_В', угол ABL будет меньше,
чем а = /_В' — X £ДС (черт. 242)
и точно так же угол MLB меньше, чем
p=ZX~Z^-
Поступая, как было описано вы-
ше — во втором случае, мы можем,
увеличив углы при вершинах В и L
и не изменяя длин сторон АВ и LM,
заменить четырёхугольник ABLM
другим выпуклым (или стоящим на
грани выпуклости) четырёхугольником
Q, так, чтобы углы этого четырёх-
угольника при вершинах В и L были
меньше соответственно углов аир или им равны, причём по крайней
мере для одного из этих двух углов будет иметь место равенство. При
этом сторона AjMj нового четырёхугольника будет больше, чем AM.
Четырёхугольник Q1 вместе с частью многоугольника Р, расположенной
под дугой BL, образует многоугольник Р". Многоугольник Р"— выпук-
лый (п. 613, 111) и удовлетворяет вместе с многоугольником Р’ усло-
виям доказываемой леммы, причём неравных углов будет самое боль
шее п— 1, так как в данном случае будет иметь место по крайней
мере одно из двух равенств: /_В— /_В' и /_L — /_L'. Так как
при этих условиях доказываемая лемма, по предположению, верна,
то мы имеем:
А'М' > AjMj > AM.
Лемма Л. Пусть многогранный угол, оставаясь выпуклым, де-
формируется так, что все его плоские углы сохраняют свою ве-
личину. Рассматривая два различных положения этого угла, поме-
тим знаком - рёбра тех двугранных углов, которые увеличились при
переходе от первого положения ко второму, и знаком—рёбра тех
двугранных углов, которые при этом уменьшились.
При обходе вокруг многогранного угла в том или ином направ-
лении мы будем иметь по меньшей мере четыре перемены знака.
Прежде всего, перемены знака должны иметься; иначе говоря, не
может случить я, чтобы все двугранные углы увеличились или вес
19*
292
ПРИБАВЛЕНИЕ К
уменьшились. В самом деле, если бы это случилось, то, в силу по-
стоянства всех плоских углов, кроме одного, этот последний плоский
угол должен был бы, как мы только что видели, измениться, что про-
тиворечит условию.
Число перемен знака должно быть чётным, так как, обойдя во-
круг многогранного угла, мы должны вернуться к исходному ребру с
тем же самым знаком.
Число перемен знака не может равняться двум. Иначе говоря,
вершины сферического многоугольника ABCDEF, соответствующего
данному многогранному углу, нельзя разбить на две группы, напри-
мер АВС и DEF, таким образом, чтобы вершины, входящие в одну
из этих групп, будучи последовательными вершинами многоугольника,
не имели никакого знака ’) или имели бы знак -ф- > а вершины, вхо-
дящие в другую группу, не имели бы никакого знака или имели
знак—.
В самом деле, предположим, что это имеет место, и соединим одну
из вершин С и D, между которыми имеет место одна перемена знака,
с одной из вершин А или F, между которыми имеет место другая
перемена знака, дугой большого круга (например DA)* 2).
Мы непосредственно приходим к противоречию, так как по лемме 1
дуга AD должна была увеличиться как сторона многоугольника ABCD
и в то же время уменьшиться как сторона многоугольника DEF.
Следовательно, число перемен знака должно равняться по крайней
мере четырём.
615. Третья лемма представляет собой обобщение теоремы пункта
544.
Пусть дан многогранник нулевого рода (например выпуклый); пред-
ставим себе, что мы исключили из рассмотрения некоторое число рё-
бер этого многогранника, выбранных совершенно произвольно. Исклю-
чим из рассмотрения также все вершины, которые не являются концами
оставшихся рёбер. Оставшиеся рёбра делят поверхность многогранника
на некоторое число областей, состоящих каждая из одной или несколь-
ких граней: мы будем считать принадлежащими к одной области все
грани, обладающие тем свойством, что из одной из них можно перейти
в другую, не пересекая ни одного из оставшихся рёбер, и принадле-
жащими к различным областям две грани, между которыми такой пе-
реход невозможен.
Определённые таким образом области не подчиняются, конечно,
тем ограничениям, которые были наложены на грани многогранника.
Эти области могут иметь форму, аналогичную той, которая изображена
на чертежах 195 или 196 (стр. 210).
1) Вершина многоугольника не имеет никакого знака, если угол при этой
вершине остался без изменения.
2) Это рассуждение применимо без изменений и в том случае, когда одна
из двух групп состоит только из одной вершины.
ТЕОРЕМА КОШИ
293
Оставшееся ребро может, впрочем, и не быть границей между
двумя областями (но крайней мере, если особо не будет оговорено
противное); это имеет, в частности, место для всякого ребра, один
из концов которого является свободным, т. е. не служит концом ни-
какого другого из оставшихся рёбер.
При этих новых условиях теорема Эйлера допускает следующее
обобщение:
Лемма III. Если F' есть число областей, А' — число остав-
шихся ребер, S'— число оставшихся вершин, то мы будем иметь
F -]-5'^Л' + 2. (20)
(Пример. Если исключить четыре параллельных ребра куба, то
мы получим три области; число оставшихся рёбер, а также оставшихся
вершин будет равно 8: F' 5'= 11 = А' -I- 3.)
Для доказательства предположим, что мы восстанавливаем одно за
другим исключённые рёбра с соблюдением следующего условия: мы
присоединяем к оставшимся или ранее восстановленным рёбрам только
такие рёбра, которые имеют общий конец с одним из оставшихся или
ранее восстановленных рёбер. Это ограничение не помешает нам,
очевидно, восстановить совокупность всех рёбер многогранника, так
как все его рёбра связаны одно с другим.
Когда мы присоединяем одно из исключённых рёбер, число А' уве-
личивается на единицу. Так как это ребро имеет (в силу только что
установленного соглашения) самое большее одну свободную вершину,
то S' увеличивается самое большее на единицу.
Что касается F', то это число либо остаётся без изменения, либо
увеличивается на единицу; однако последнее обстоятельстго имеет
место только в том случае, когда присоединяемое ребро не имеет сво-
бодного конца, а в этом случае S' не изменяется.
Итак, сумма F' увеличивается самое большее на единицу.
Следовательно, величина F -(- 5' — А' остаётся постоянной или
убывает.
Но так как окончательное значение этой величины равно 2, то до
присоединения отброшенных рёбер она должна иметь значение, рав-
ное 2 или большее 2, что и доказывает соотношение (20).
616. Сделаем ещё следующее замечание, которым приходится поль-
зоваться в различных приложениях теоремы Эйлера J).
Если обозначить через F3 число треугольных граней многогран-
ника, через Fi — число четырёхугольных граней и т. д., то имеет
место равенство:
24 = 3F8--f-4^ + 5F6 + ...
В самом деле, величина, стоящая в правой части, получится, есля
подсчитать число рёбер, лежащих в каждой грани, и составить сумму
1) Сравнить по этому поводу упражнения 838—845. Прим. ред. перевода.
294
ПРИБАВЛЕНИЕ Л
полученных таким образом чисел. Но каждое ребро многогранника
будет при этом сосчитано в точности два раза, так как оно принад
лежит двум граням.
617. Совершенно аналогичное соотношение имеет место и при ус-
ловиях, рассматриваемых в пункте 615, между числом А' оставшихся
рёбер, числом Fg треугольных областей (т. е. областей, контур каж-
дой из которых состоит из трёх рёбер), числом F' четырёхугольных
областей, и т. д.
Однако в данном случае необходимо установить особое соглашение
относительно каждого из тех рёбер, которое не служит границей между
двумя различными областями;
а) либо потому, что оно имеет (как было указано в п. 615) один
(или даже два) свободный конец; впрочем, эти случаи нам в дальней-
шем не встретятся;
Л) либо потому, что, хотя его концы и примыкают к двум остав-
шимся рёбрам, две грани, прилежащие к данному ребру, можно сое-
динить между собой другим путём.
Такое ребро следует рассматривать как часть контура области
к которой это ребро принадлежит. В самом деле, обходя контур этой
области, мы должны придерживаться следующих правил:
Предположим, что мы описали ребро ab, которое служит стороной
одной из граней /, входящей в состав области идя по направле-
нию от а к Ь. Будем теперь огибать многогранный угол при вершине Ь,
начиная с ребра ab и проходя прежде всего грань /, до тех пор,
пока мы не встретим одно из оставшихся рёбер Ьс (таким образом, все
грани многогранного угла, заключённые между аЬ и Ьс, входят в состав
области /?j). Ребро Ьс и будет ребром контура области следующим
за ребром ab', далее (если ребро Ьс не служит границей двух обла-
стей), огибая многогранный угол при вершине с, мы должны будем
начинать как раз с той грани, по которой мы пришли к ребру Ьс,
огибая многогранный угол при вершине Ь.
Будем продолжать этот процесс и далее и остановимся не тогда,
когда мы придём в пройденную уже вершину, а только тогда, когда
при дальнейшем продолжении пути нам пришлось бы описывать вто-
рично пройденное уже (оставшееся) ребро, и притом в том же направ-
лении, что и в первый раз.
Если имеются другие (оставшиеся) рёбра, принадлежащие к кон
туру области то мы поступим, как только что было сказано, на-
чиная с одного из таких рёбер. И т. д.
Поступая таким образом, мы будем считать всякое (оставшееся)
ребро, не являющееся границей между двумя различными областями,
как входящее дважды в состав контура той области, к которой оно
прилежит: при обходе контура это ребро проходится два раза в про-
тивоположных направлениях [оба раза подряд — в случае, указанном
выше под рубрикой а), и не подряд — в случае, указанном выше под
рубрикой &)].
ТЕОРЕМА КОШИ
295
При этом условии имеет место равенство:
так как каждое из оставшихся рёбер сосчитано в правой части этого
равенства в точности два раза.
Умножая обе части очевидного равенства
F' = /?з + F't + Fi +
на два и вычитая из предыдущего соотношения, мы получим равенство:
2 (/'-F) = F'4-2F; + 3F' + ...+(p — 2)f;+„. (21)
618. Теперь мы можем доказать теорему Коши.
Пусть Р и Р' — два выпуклых многогранника, грани которых со-
ответственно равны и расположены в обоих многогранниках в одном
и том же порядке.
Всё дело в том, чтобы доказать, что их двугранные углы соответ-
ственно равны; если это будет доказано, то мы покажем, как в пункте
453, что данные многогранники равны, если их соответственные дву-
гранные углы имеют одно и то же направление [при условии, что
направления, выбранные на рёбрах обоих многогранников, соответствуют
друг другу1)], и симметричны — в противном случае2).
Предположим теперь, что не все соответственные двугранные углы
друг другу равны; как и выше, отметим знаком рёбра тех двугран-
ных углов многогранника Р', которые больше соответствующих им
двугранных углов многогранника Р, и знаком — рёбра тех двугран-
ных углов многогранника Р', которые меньше соответственных им
двугранных углов многогранника Р. Отбросим все рёбра многогран-
ника Р', не получившие ни того, ни другого знака, придерживаясь
в отношении вершин и областей установленных выше соглашений.
Подсчитаем число перемен знака между соседними рёбрами. Пусть
N—число таких перемен для всего многогранника; в силу леммы II
будем иметь:
(22)
где S', как и выше, число оставшихся вершин.
Но число N перемен знака можно подсчитать ещё другим спосо-
бом: в самом деле, перемены знака, о которых идёт речь, будут иметь
место между двумя соседними рёбрами, принадлежащими к контуру
*) Это значит, что если, определяя направление двугранного угла при
ребре АВ первого многогранника, мы выберем на этом ребре направление
от А к В, то, определяя направление двугранного угла при соответствующем
ребре А’В' второго многогранника, мы должны выбрать на этом ребре направ-
ление от вершины А', соответствующей А, к вершине В', соответствующей В
Прим. ред. перевода.
2) Легко видеть, что если мы убедимся, что два двугранных угла при од-
ной паре соответственных рёбер многогранников Р и Р' будут иметь одина-
ковое направление, то то же самое будет иметь место (в силу выпуклости
обоих многогранников) и для других рёбер.
296
ПРИБАВЛЕНИЕ Л
одной и той же области1), и мы получим все перемены знака (и каж
дую только один раз), подсчитывая число перемен вдоль всех кон-
туров.
Треугольная область может дать самое большее две перемены знака;
четырёхугольная область может дать четыре перемены знака; пятиуголь-
н я область может дать также самое большее четыре перемены знака
(так как это число должно быть чётным); шестиугольная или семиуголь-
ная область — шесть перемен; и т. д. Следовательно, мы будем иметь.-
N < 2F' 4- 4F! 4- 4F' 4- 6F’ 4- 6F' -I- ...;
коэффициент при F'p равен р или р—1, смотря по тому, является
ли р чётным или нечётным.
Но правая часть этого неравенства, очевидно, меньше (или в край-
нем случае равна) удвоенной правой части равенства (21). Следова-
тельно,
,V<4 (Л'~ F').
В силу леммы III, разность А' — F* меньше или равна S'— 2; та-
ким образом, окончательно имеем:
N<4S' —8. (23)
Но это неравенство противоречит неравенству (22).
Следовательно, наше предположение невозможно, и теорема дока-
вана.
') При этом предполагается, что контур описывается так, как эю было
указано в пункте 617.
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ И ЗАДАЧ.
КНИГА ПЯТАЯ.
ПЛОСКОСТЬ и прямая линия.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I (стр. 17).
423. Пусть не все данные прямые лежат в одной плоскости. В та-
ком случае выберем из них три прямые а, b и с, не лежащие в одной
плоскости. Так как прямая с пересекает обе другие прямые и не лежит
в плоскости этих прямых, то она проходит через точку их пересечения.
Каждая следующая прямая I пересекает все три прямые a, b и с.
Если бы она не проходила через их общую точку, то прямые а, b я с
лежали бы в одной плоскости (п. 329). Следовательно, прямая I про-
ходит через общую точку прямых а, b я с. Итак, если все данные
прямые не лежат в одной плоскости, то они все проходят через одну
точку.
424. Прямая, проходящая через данную точку А и пересекающая
данную прямую Ь, лежит в плоскости проходящей через точку А
н прямую Ь; эту плоскость можно построить *). Аналогично искомая
прямая лежит в плоскости у, проходящей через точку А и другую
данную прямую с. Линия пересечения плоскостей р и у (эти плоскости
не могут быть параллельны, так как имеют общую точку А, и не мо-
гут совпадать, так как данные прямые по условию не лежат в одной
плоскости) и будет искомой прямой, если таковая вообще существует;
не исключена, однако, возможность, что линия пересечения окажется
параллельной прямой b или прямой с* 2), и тогда решения не суще-
ствует.
Если данные прямые b н с лежат в одной плоскости, то указанное
построение сохраняет силу, если точка А не лежит в этой плоскости
(при этом решение очевидно, если данные прямые пересекаются; задача
не имеет решения, если данные прямые параллельны, так как прямая,
пересекающая две параллельные прямые, лежит с ними в одной пло-
1) Согласно примечанию в конце задач к пятой книге, мы можем провести
плоскость через три данные точки. Проводя плоскость через точку А и две
точки прямой Ь, мы получим плоскость р.
2) Если бы линия пересечения оказалась параллельной как прямой Ь, так
л прямой с, то прямые b и с были бы параллельны друг другу и потому ле-
жали бы в одной плоскости (п. 336).
298
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
скости). Если же точка А лежит с данными прямыми в одной пло-
скости, то задача неопределённая.
Пусть теперь а, b и с — три данные прямые, из которых никакие
две не лежат в одной плоскости. Повторяя предыдущее построение
для каждой точки А прямой а, мы получим бесчисленное множество
прямых, пересекающих прямые а, b и с (можно доказать, что суще-
ствует не более одной точки прямой а, для которой построенная
прямая окажется параллельной прямой Ь, и не более одной точки
прямой а, для которой построенная прямая окажется параллельной
прямой с; ср. ниже, упр. 430).
Если бы две из данных прямых, скажем, b и с, пересекались и
прямая а не лежала в их плоскости, то условию задачи—пересекать
все три данные прямые — удовлетворяют прямые, соединяющие точку
пересечения прямых b и с с различными точками прямой а, а также
прямые, лежащие в плоскости прямых b и с и проходящие через
точку пересечения этой плоскости с прямой а (последние прямые су-
ществуют лишь при условии, что прямая а пересекает плоскость пря-
мых b и с).
Если две из данных прямых b и с параллельны и прямая а пересекает
плоскость, в которой они лежат, то искомые прямые лежат в плоскости
прямых b и с и проходят через точку её пересечения с прямой а.
Если прямые & и с параллельны и прямая а параллельна плоскости,
в которой они лежат, то прямых, пересекающих три данные прямые,
не существует вовсе.
Решение очевидно, если три данные прямые лежат в одной пло-
скости или проходят через одну точку (или то и другое одновременно).
425. 1) Так как прямые ВС и В'С по условию пересекаются,
то точки В, С, В' и С лежат в одной плоскости, и то же имеет
место для точек С, А, С, А' и А, В, А', В1. Так как три перечислен-
ные плоскости попарно пересекаются по прямым АА', ВВ' и СС, то
либо все три плоскости проходят через одну точку, через которую
проходят и эти три прямые, либо три плоскости не имеют общей
точки, и три прямые параллельны.
2) Три точки попарного пересечения сторон лежат на линии пе-
ресечения плоскостей АВС и А'В'С.
426. 1) Пусть прямые, соединяющие точку М с точками А, В и С,
пересекают плоскость Р в вершинах треугольника А'В’С', гомотетич-
ного данному треугольнику А0В0С0. Сторона В'С искомого треуголь-
ника параллельна В0С0 (в силу гомотетичности обоих треугольников);
кроме того, она лежит в одной плоскости с прямой ВС и потому
проходит через точку пересечения прямой ВС с плоскостью Р (если
эти прямая и плоскость пересекаются). Этими данными прямая В'С
вполне определяется.
Итак, через точки пересечения сторон данного треугольника АВС
с плоскостью Р проводим прямые, соответственно параллельные сто-
ронам треугольника Л050С0. Эти прямые определяют треугольник
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА I
299
А'В'С. Так как стороны треугольников АВС и А'В’С попарно пе-
ресекаются, то прямые АА', ВВ' и СС либо пересекаются в искомой
точке М, либо параллельны (упр. 425,1°). В последнем случае задача
не имеет решений.
Если прямая ВС параллельна плоскости Р, то задача имеет бес-
численное множество решений (если ВС параллельна В0С0; ср. п. 337)
или вовсе не имеет решений (если ВС не параллельна В0С0).
2) Пусть теперь прямые, соединяющие точку М с точками А, В и С,
пересекают плоскость Р в вершинах треугольника А'В'С, равного
тайному треугольнику Л0В0С0 и имеющего с ним одинаковое направ-
ление вращения. Как и выше, стороны В'С, С А' и А'В' искомого
треугольника проходят через точки D, Е и F пересечения прямых
ВС, СА и АВ с плоскостью Р, и задача сводится к следующей пла-
ниметрической задаче: через три
данные точки D, Е и F, лежа-
щие на одной прямой, провести
прямые, образующие треуголь-
ник, равный данному треуголь-
нику и имеющий с ним одина-
ковое направление вращения. Вер-
шина В' искомого треугольника
принадлежит окружности — гео-
метрическому месту точек, из
которых отрезок DF виден под
углом, равным углу Во треугольника
Черт. 243.
А0В0С0 и имеющему с ним
одинаковое направление вращения, или углу, ему пополнительному.
Точно так же вершина С принадлежит другой окружности —
геометрическому месту точек, из которых отрезок DE виден под
углом, равным углу Со и имеющему с ним одинаковое направление
вращения, или углу, ему пополнительному. Остаётся теперь провести
через общую точку D двух построенных окружностей такую
секущую, чтобы отрезок В'С, заключённый между вторыми точ-
ками пересечения её с этими окружностями, равнялся данному
отрезку В0С0 (черт. 243). Опустив из центров Oj и О2 обеих ок-
ружностей перпендикуляры ОАВ" и О2С" на искомую секущую и про-
ведя отрезок О/< параллельно искомой секущей, мы видим, что можно
построить прямоугольный треугольник О1О2К по гипотенузе OtO2 и
катету ОгК=В''С" = ~ В'С = -к- В0С0. Искомая секущая параллельна
о2к.
Построение упрощается, если одна из сторон треугольника АВС,
скажем ВС, параллельна плоскости Р. При этом сторона В'С будет
также параллельна ВС (п. 337), и мы приходим к такой планимет-
рической задаче: построить треугольник А'В'С, равный данному
треугольнику, зная, что прямая В'С параллельна данной прямой,
а прямые А'С и А'В' проходят соответственно через точки Е и F.
300
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Задача решается непосредственно, так как направление прямых А'С
и А'В' легко определяется.
Аналогично определяется треугольник А'В'С, равный треугольнику
AqBqCq, но имеющий с ним противоположные направления вращения.
427. Так как прямые В$ и Су пересекаются, то прямая fsy проходит
через точку пересечения прямой ВС с плоскостью Р; аналогично
убеждаемся, что та же прямая проходит через точку пересечения пря-
мой В'С с плоскостью Р. Эти две точки определяют положение пря-
мой Ру, и так же определяется положение прямых уя и
Если прямая ВС параллельна плоскости Р, то прямая ру проходит
через точку пересечения прямой В'С с плоскостью Р и параллельна ВС.
428. Теорема обобщается следующим образом: если соединить
произвольную точку пространства со всеми вершинами произвольного
многоугольника (плоского или пространственного), то сумма полу-
ченных отрезков будет больше иолупериметра. Доказательство, дан-
ное в решении упражнения 8а планиметрии, дословно переносится и
на настоящий случай.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П (стр. 25)
429. Если любые две из данных прямых лежат в одной плоскости,
то все прямые могут прежде всего быть параллельными между собой
или лежать в одной плоскости.
Если ни то, ни другое не имеет места, то среди данных прямых
можно выбрать две пересекающиеся прямые а и b и третью прямую с,
не лежащую с ними в одной плоскости. Прямые а, b и с лежат по
две в трёх плоскостях, и эти три плоскости проходят через точку
пересечения прямых а и Ь, а следовательно, и прямая с проходит
через ту же точку. Итак, три прямые а, b и с не лежат в одной
плоскости, но проходят через одну точку. Каждая следующая прямая d
лежит с каждой из прямых а, b и с в одной плоскости. Все эти пло-
скости проходят через точку пересечения прямых а, Ь и с, а значит
и линия их пересечения, т. е. прямая d, проходит через ту же точку.
Окончательно можно сказать, что если некоторое число прямых
обладает тем свойством, что любые две из них лежат в одной пло-
скости, то возможны следующие три случая: 1) все прямые проходят
через одну точку; 2) все прямые параллельны друг другу; 3) все
прямые лежат в одной плоскости. Конечно, условия 1) и 3) или 2) и
3) могут выполняться и одновременно.
430. Пусть требуется провести прямую а, параллельную данной
прямой I и пересекающую две данные прямые b и с.
Так как искомая прямая пересекает прямую b и параллельна I,
то она лежит в плоскости проходящей через прямую b и парал-
лельной прямой I (или содержащей эту прямую); аналогично, искомая
прямая лежит в плоскости у, проходящей через прямую с и парал-
лельной прямой I (или содержащей эту прямую).
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА II
301
Если плоскости р и у пересекаются, то линия их пересечения и
будет, очевидно, искомой прямой а (если, конечно, эта линия пере-
сечения не совпадает с /). Если же плоскости [J и у параллельны, то
задача не имеет решений.
431. Если прямые АВС и А'В'С лежат в одной плоскости, то
прямые АА’, ВВ' и СС параллельны. Если через прямую АА' про-
вести какую-либо плоскость а (отличную от плоскости АВА'), то пло-
Черт. 244.
скости, параллельные плоскости а. и проходя-
щие одна через точку В, другая через точку С, А
будут проходить соответственно через ВВ' и СС
(п. 339).
Если прямые АВС и А'В’С не лежат в
одной плоскости, то прямые А А' и ВВ' также
не лежат в одной плоскости, и через них
можно провести пару параллельных плоскостей.
Плоскость, проходящая через точку С параллель-
но этим двум плоскостям, пересекает прямую
А 'В' в точке С", для которой АВ: АС = А’В’: А 'С
(п. 345). Но по условию, АВ'. АС ~ А'В': А'С.
Следовательно, точка С" совпадает с С, и по-
следняя плоскость проходит через СС.
432. Пусть М, N, Р, Q и К, L — соответственно
АВ, ВС, CD, DA и диагоналей AC, BD пространственного четырёх-
угольника ABCD (черт. 244). Отрезок MN, соединяющий середины
двух сторон треугольника АВС, параллелен АС и равен у АС. По
той же причине отрезок PQ параллелен АС и равен ^~АС. Четырёх-
середины сторон
угольник MNPQ есть параллелограм (ср. Пл., решение упр. 36).
Отрезки МР и 7VQ делятся в точке пересечения О пополам, как
диагонали параллелограма MNPQ. Отрезок KN (не показанный на
чертеже), соединяющий середины двух сторон треугольника АВС,
параллелен АВ и равен АВ~, аналогично, отрезок LQ (также не пока-
занный на чертеже) параллелен АВ и равен ^-АВ. Следовательно, KNLQ
есть параллелограм, и отрезок KL проходит через середину О отрезка
NQ как диагональ нового параллелограма и делится в ней пополам.
Если точки А, В и С неподвижны, а точка D описывает данную
плоскость, то середина L отрезка BD описывает также плоскость
(в силу упр. 431). Следовательно, и середина О отрезка KL описы-
вает плоскость.
Точно так же если точка D описывает прямую d, то середина L
отрезка BD описывает в плоскости, проходящей через точку В и пря-
мую d, прямую /, гомотетичную d относительно центра подобия В, а
середина О отрезка KL — прямую, гомотетичную I относительно центра
подобия К-
302
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
433. Пусть А и М— две точки прямой D; А' и М'— две точки
прямой О'; Л" и М"— точки, делящие (обе внутренним образом или
обе внешним образом) отрезки АА' и ММ’ в данном отношении
(черт. 245). В силу упражнения 431, точки А" и Л1" лежат в плоскости,
параллельной как прямой О, так и прямой О'. Если точки М и М'
перемещаются произвольным образом соответственно по прямым О и О',
то точка М" перемещается в плоскости о, проходящей через точку А"
и параллельной прямым О и О'. Обратно, через всякую точку М"
плоскости S можно провести (упр. 424) прямую, пересекающую как
прямую О так и прямую О'. В силу п. 345, для точек пересечения
М и ЛГ будет иметь место соотношение АА': АА" — ММ' :MA1".
Итак, геометрическое место точек /И" есть плоскость о.
434. Пусть А, В и М—три точки прямой О; А', В' и М'— три
точки прямой О' такие, что прямые АА’, ВВ’ и ММ' параллельны
данной плоскости Р; А", В" и М"—точки, делящие отрезки АА’,
ВВ' и ММ' в данном отношении (все три— внутренним образом или
все три — внешним образом) (черт. 246). В силу упражнения 433,
точки В" и М" лежат в плоскости й, проходящей через точку А" и
параллельной прямым D и D'.
Проведём через прямую D' плоскость, параллельную прямой D, и
обозначим через By и Му точки её пересечения с прямыми, проходя-
щими через точки В и М и параллельными прямой АА'. Пусть далее
By и М'[— точки пересечения прямых ВВу и ММ{ с плоскостью §.
Плоскость ВВ'В'у параллельна плоскости Р, так как прямые ВВ’ и ВВХ
параллельны этой плоскости. Отсюда следует, что прямые В'В'^М'М’^,
В"В"Х и Л1"7И'' параллельны между собой. В силу параллельности этих
прямых имеем: В"В": В'В\ = ВВ'[: ВВ\ и М"М”: М'М\ = ММ'[: ММ[,
Но ВВ'[—ММ'[ и ВВ\=ММ{, так что В" В":В'В\ — М"М'’:М'М\.
Отсюда М"Л1'':В"В^ = М'М’:В'В^ = А'А^:А'В'1 — А”Л/Г':А”В''. Из
равенства Л1"М":В"В''= А"М'':А"В" и параллельности прямых М"М”у
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА II
30S
и В"В'Х вытекает, что треугольники А"М"М" и А"В"В'^ подобны и, сле-
довательно, что точки А", В" и М" лежат на одной прямой. При пе-
ремещении точек М и М’ по прямым D и D' точка М" описывает
прямую А'В".
Изменяя величину отношения АА':АА", мы получим бесчисленное
множество прямых, аналогичных А"В", которые пересекает прямая ММ'
при своём перемещении.
435. Пусть D,D',D" — данные прямые; А, А', А"; В, В', В" и
М,М',М"— точки их пересечения с тремя секущими А А', ВВ' и ММ'
(черт. 246). Так как прямые D, D' и D" параллельны одной плоскости,
то через прямые D' и D" можно провести плоскости, параллельные
прямой D и в то же время параллельные друг другу. Пусть В\ ,В\,
7Й' и М'^ — точки пересечения этих плоскостей с прямыми, проходя-
щими через точки В и М и параллельными АА’. Так как прямая В" В"
параллельна В'В'Х и прямая М"М"Х параллельна М'M'v то ВВ''.ВВ'' =
= ВВ\: ВВ\ — А А' :АА" и ММ': ММ" = ММ[: ММ'[ — А А: АА". Итак,
А А’: А А' = ВВ': ВВ" = ММ': ММ" =... .
Проведём теперь через точку М прямую, пересекающую прямую D'
и параллельную плоскости ВВ'уВ'г В силу упражнения 434, эта пря-
мая пересечёт плоскость А'ВВ’^ в некоторой точке прямой £/' и потому
будет совпадать с прямой ММ' (через точку М проходит единственная
прямая, пересекающая обе прямые D’ и D"). Таким образом, прямая
ММ' остаётся при перемещении точки М параллельной плоскости ВВ’В'Х .
436. Пусть точка М удаляется по прямой D в бесконечность по
направлению АВ (обозначения те же, что и в решениях упр. 434 и
435; черт. 246). При этом сторона ММ'г = АА' треугольника ММ'ЛГи
уголММ'М' того же треугольника сохраняют постоянную величину, а сто-
/ В'В'
рона M'jM' неограниченно возрастает (так как М^М'— А'М^-^^-, =
В'хВ'\
=АМ' I. Отсюда следует, что угол ММ Mj стремится к нулю,
1/
и прямая ММ' стремится стать параллельной прямой В^В'.
То же будет иметь место, если точка М будет удаляться в беско-
нечность в направлении, противоположном АВ.
437. Пусть D,D' и D" — три данные прямые. Геометрическое ме-
сто точек, делящих в данном отношении отрезки, которые имеют
своими концами точки прямых D и D', есть плоскость S (упр. 433).
Искомая прямая проходит, очевидно, через точку пересечения прямой
О" с плоскостью д и пересекает прямые D и D'. Положение искомой
прямой определяется, как указано в решении упражнения 424.
438. Если отрезки, отсекаемые на подвижной прямой прямыми Г)
и D' и данной плоскостью а, сохраняют постоянное отношение, то
304
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДА Ч
точки пересечения подвижной прямой с плоскостью а лежат (упр. 433)
в определённой плоскости S, параллельной прямым D и D' и потому
отличной от а. Таким образом, подвижная прямая пересекает три дан-
ные прямые (D, D', линия пересечения плоскостей 8 и а), параллель-
ные одной плоскости, и потому сама остаётся параллельной некото-
рой другой плоскости (упр. 435).
439. Пусть ABCD (черт. 247)—данный пространственный четы-
рёхугольник, и К, L, М и N — точки, взятые на его сторонах так, что
КА-.КВ — LD-.LC (I)
и
MB’.MC=NA‘.ND. (2)
Через точки А и С проводим прямые AD' и CD', соответственно
параллельные ВС и ВА, а
через точки L и N— прямые LL' и NN',
параллельные DD'. Наконец, через точ-
ку пересечения Р' прямых KL' и М№
проводим прямую Р'Р, параллельную
D'D. Эта прямая пересекает в некоторой
точке Р отрезок KL, так как она лежит
в плоскости KLL' и в некоторой точке
Р (не показанной на чертеже) — отре-
зок MN, так как она лежит в плоско
сти MNN'. Если мы докажем, что
точка Р совпадает с Р, то тем самым
будет доказано, что прямые KL и MN
пересекаются.
В силу параллельности* прямых
N'N и D'D имеем N'A'.N'D' =
(2) ЛГA'.N'D' — МВ'МС. Таким обра-
= NA:ND и в силу условия
зом, равные отрезки AD' и ВС делятся прямой MN' в одном и том
же отношении. Следовательно, AN' = BM, так что прямая MN' па-
раллельна сторонам АВ и CD' параллелограма ABCD'. Таким же об-
разом покажем, что прямая KL' параллельна двум другим сторонам
того же параллелограма.
Из подобия треугольников КР'Р и KL'L, а также CL'L и CD'D
находим, что Р'Р— L' L'L — D'D-^^, откуда Р'Р=D'D X
CL’ КР' —
^'СТУКК' Таким же образом из подобия треугольников Л\Р’Р и
MN'N, а также AN'N и AD'D найдём Р'Р— D'D • Выра-
жения, найденные для отрезков Р'Р и Р'Р, показывают, что точки Р
и Р совпадают, так как CL'—MP', CD'—MN', KP'—AN' и KL' = AD'.
Далее имеем очевидные соотношения PK'.PL=^РК'.Р'L' — МВ-.МС
и PM-.PN = РM’.P'N', так что отрезки KL и ЛШ делятся в тех же
отношениях, что и стороны четырёхугольника.
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА Ш
305
и построить точки её пере-
Черт. 248.
440. Пусть D и £)'— данные прямые (черт. 248), А А'— искомый
отрезок, Р — данная плоскость, В и С — точки пересечения прямых
О и D' с плоскостью Р.
Проведём через искомую точку А' прямую, параллельную D, и
обозначим через В' точку её пересечения с плоскостью Р. Плоскость,
проходящая через параллельные прямые АВ и А’В', пересечёт пло-
скость Р по прямой ВВ', параллельной АА'; следовательно, ВВ' = АА'.
Чтобы определить положение точки В' на плоскости Р, достаточно
определить в этой плоскости прямую
сечения с окружностью с центром в
точке В и радиусом, имеющим дан-
ную длину. Прямую В'С можно, оче-
видно, построить, проведя прямую
К/С, параллельную D, не через точ-
ку А', а через любую точку К пря-
мой D'.
Итак, мы приходим к следующему
построению. Через любую точку /\
прямой D’ проводим прямую КК',
параллельную прямой D. Далее соеди-
няем прямой линией точку С с той
точкой К', где прямая пересе-
кает плоскость Р. Точка пересече-
ния этой прямой с окружностью,
имеющей своим центром точку В и
радиусом — данный отрезок, и будет точкой В'. Проведя через неё
прямую, параллельную D, мы и получим точку А’ — один из концов
искомого отрезка. Проведя через точку А' прямую, параллельную
ВВ', получим точку А.
Задача имеет два решения, если окружность, которой мы пользо-
вались, имеет с прямой СК' две точки пересечения, одно — если она
её касается, и ни одного—если они не имеют общих точек.
Мы предполагали неявно, что обе данные прямые пересекают пло-
скость Р и не лежат в одной плоскости. В других случаях задача
решается проще и может становиться неопределённой.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III (стр. 3]).
441. Проводим через данную точку плоскость Р, перпендикуляр-
ную к данной прямой. Линия пересечения этой плоскости с данной
плоскостью и будет искомой прямой, так как всякая прямая плоскости
Р перпендикулярна к данной прямой.
442. Так как геометрическое место точек, равноудалённых от то-
чек А к В, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку АВ и прохо-
дящая через его середину, а геометрическое место точек, равноудалён-
ных от точек В к С, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку ВС
20
Элементарная геометрия, ч. II
306
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
место точек /и, равноудаленных от
Черт. 249.
и проходящая через его середину, то искомое геометрическое место
есть линия пересечения этих двух плоскостей.
443. Первое решение. Пусть требуется найти геометрическое
двух данных прямых D и D', пе-
ресекающихся в некоторой точке
О и потому лежащих в одной пло-
скости Р.
Если расстояния MN и MN'
некоторой точки М от прямых D и
£)' (черт. 249) равны между со-
бой, то, соединяя точку М с точ
кой О, получим два равных пря-
моугольных треугольника M0N и
M0N', из которых видно, что
углы MON и M0N' должны быть
равны. Обратно, если / /ИО V = / M0N', то и MN = MN'. Таким
образом задача сводится к отысканию геометрического места пря-
мых ОМ, образующих с прямыми D и D’ равные углы.
Этот вопрос рассмотрен в п. 356. Из сказанного там следует, что
геометрическое место точек /И есть совокупность двух плоскостей,
проходящих через перпенди-
куляр к плоскости Ръ точке О
п соответственно через две бис-
сектрисы углов, образованных
прямыми D и £)'.
Проведённое рассуждение
не применимо, если прямые D
и D' параллельны. В этом слу-
чае проведём через точку М
прямую, параллельную прямым
Du D' (черт. 250), и пересе-
чём все три прямые в точках
Мъ и TVi перпендикуляр-
ной к ним плоскостью Q. Из прямоугольников AWNaM1 и AWWjAf,
находим, что и — MxN'r Потому точка М, лежит в плоскости
Q на перпендикуляре, восставленном к отрезку в его середи-
не. Отсюда следует, что геометрическое место точек *М есть в этом
случае плоскость, которая получится, если через все точки этого пер-
пендикуляра провести прямые, параллельные прямым D и D'.
Второе решение. Геометрическое место точек, равноудалён-
ных от двух пересекающихся прямых D и D', можно также найти,
опираясь на теорему о трёх перпендикулярах (п. 375). Если наклон-
ные MN и M'N’ (черт. 249) равны и ММ0 — перпендикуляр из точки
М на плоскость Р, в которой лежа г прямые D и D', то и проекции
AfoiV и /И0Л/' наклонных также равны. Так как прямые MV и MN'
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА III
307
перпендикулярны соответственно к тем же прямым D и D’, то и их
проекции M0N и 7Vf0/V' перпендикулярны к этим прямым. Следова
тельно, проекция Мо точки М лежит на одной из биссектрис углов
образованных прямыми D и D'. Нетрудно видеть, что и обратно, если
проекция Л10 точки Л1 лежит на одной из этих биссектрис, то рассто
яния MN и MN’ равны. Отсюда и следует, что геометрическое место
точек М есть совокупность тех двух плоскостей, о которых говори-
лось в конце первого решения.
В том случае, когда прямые D и D' параллельны (черт. 250),
проекция Мо точки М на плоскость Р, будучи равноудалена от пря
мых D и D', лежит на прямой, параллельной этим двум прямым и
делящей пополам расстояние между ними. Отсюда следует, что гео-
метрическим местом точек М будет в этом случае плоскость, прохо-
дящая через эту последнюю прямую и через перпендикуляр, восстав-
ленный к плоскости Р в какой-либо точке этой прямой.
Примечание. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух
прямых, не лежащих в одной плоскости, рассмотрено в упражнении 455.
444. Чтобы найти геометрическое место прямых, проходящих через
данную точку О и образующих равные углы с двумя данными пря-
мыми D и О', не лежащими в одной плоскости, проведём через О
прямые d и d', соответственно параллельные прямым О и О'. Искомые
прямые образуют равные углы и с прямыми d и d' в силу определе-
ния угла между двумя произвольными прямыми в пространстве.
Из теоремы п. 356 следует, что искомое геометрическое место,
есть совокупность двух плоскостей, которые проходят через перпен
дикуляр в точке О к плоскости, определяемой прямыми d и d', и
соответственно через биссектрисы углов, образованных этими прямыми.
445. Пусть через точку О требуется провести прямую, образую
щую равные углы с тремя данными прямыми D, D’ и D", произвольно
расположенными в пространстве.
Геометрическое место прямых, проходящих через точку О и обра-
зующих равные углы с прямыми D и D', есть совокупность двух
плоскостей Р' и Q' (упр. 444). Аналогично, геометрическое место
прямых, проходящих через ту же точку и образующих равные углы
с прямыми D и D", есть совокупность двух плоскостей Р' и Q".
Поэтому искомой прямой будет линия пересечения одной из плоско-
стей Р' или Q' с одной из плоскостей Р" или Q". Задача имеет в
общем случае четыре решения и становится неопределённой, если
среди данных прямых есть параллельные.
446. Если некоторая полупрямая ОХ образует равные углы с по-
лупрямыми ОА, ОВ и ОС, лежащими в одной плоскости Р, то эта
полупрямая лежит с одной стороны в плоскости, проходящей через
перпендикуляр к плоскости Р и через биссектрису угла АОВ, с дру-
гой стороны — в плоскости, проходящей через тот же перпендикуляр
и через биссектрису угла ВОС. Так как прямая' лежит в двух различных
20*
308
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
плоскостях, проходящих через перпендикуляр к плоскости в точке О,
то она совпадает с этим перпендикуляром.
447. Пусть даны две точки В и Вг, и требуется найти геометри-
ческое место точек С, для которых ВС2 — ВХС2 = const.
Проведём через прямую ВВ} какую-либо плоскость. Геометрическое
место тех из точек С, которые лежат в этой плоскости, есть прямая,
перпендикулярная к ВВ1 и проходящая через ту (единственную)
точку А прямой BBt, для которой АВ2 — AB\ — k (Пл., п. 128а,
следствие). Следовательно, геометрическое место точек С есть плос-
кость, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой ВВХ.
448. Докажем предложение, сформулированное в упражнении 447,
независимо от свойств прямой, перпендикулярной к плоскости.
Пусть опять даны две точки В и Въ и требуется найти геомет-
рическое место точек С, для которых ВС2 — BlC2 = k = const.
Как и в решении упражнения 447, убеждаемся, что искомое гео-
метрическое место образовано прямыми, перпендикулярными к прямой
ВВ1 и пересекающими её в одной и той же точке А, н надо показать,
что эти прямые образуют плоскость. Если С и С' — две любые точки
искомого геометрического места, и С” — какая-либо точка прямой СС,
то мы имеем по абсолютной величине и знаку (в силу решения Пл.
упр. 218);
вс1 сс 4- вс2-сс+вс"2 сс 4- сс • с с - с с=о,
В{С C'C’-f- В^С'-СС 4- ВХС2-СС 4- СС-СС-СС — о,
о ткуда
(вс—вг с2) • с с 4- (всл—в, с'2) • С" с 4- (всл—вг сл) сс=о.
Так как точки С и С принадлежат по предположению искомому гео-
метрическому месту, то ВС2— B1C2 = BCi—B1C2 = k; кроме того,
мы имеем тождественно С С, СС = С С — —СС, так что предыдущее
эавенство принимает вид: ВС"2 — B1C"2 = k. Итак, искомое геометри-
ческое место обладает тем свойством, что любая прямая, соединяющая
две его точки, целиком принадлежит этому геометрическому месту.
Отсюда вытекает (п. 327), что геометрическое место точек С либо
является прямой линией, либо является плоскостью, либо состоит из
всех точек пространства. Но искомое геометрическое место точек со-
держит три точки, не лежащие на одной прямой; с другой стороны,
в пространстве существуют точки, к нему не принадлежащие. Следо-
вательно, искомое геометрическое место есть плоскость. Таким обра-
зом, предложение, сформулированное в упражнении 447, доказано.
Из самого хода доказательства вытекает, что геометрическое место
прямых, перпендикулярных к данной прямой и пересекающих её в
некоторой точке, есть плоскость. Отсюда уже без труда вытекает ос-
новная теорема о прямой, перпендикулярной к двум прям лм, лежащим
в плоскости и проходящим через точку её пересечения с данной пря-
мой (ср. п. 350).
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА III
309
449. Пусть требуется найти геометрическое место точек, лежащих
в данной плоскости Р, отношение расстояний которых от двух дан-
ных в пространстве точек А и В равняется отношению двух данных
отрезков т и п.
Если некоторая точка М пространства удовлетворяет соотношению
МА:МВ — т’.п, (1>
то к плоскости, проходящей через прямую АВ и точку М, можно
применить теорему (Пл., п. 116) о геометрическом месте точек пло-
скости, расстояния которых от двух данных точек этой плоскости
находятся в данном отношении. Из этой теоремы следует, что если
через С и D обозначить точки, делящие отрезок АВ внутренним и
внешним образом в данном отношении тлп, и через О — середину
отрезка CD, то точка М будет лежать на окружности, имеющей CD
своим диаметром. Поэтому для каждой из точек М, удовлетворяющих
условию (1), будем иметь:
ОМ = ОС. (2)
Обратно, если для некоторой точки М выполнено последнее равенство
(2), то эта точка М будет удовлетворять и условию (1). Но геомет-
рическое место точек Л1 плоскости Р, удовлетворяющих условию (2),
есть окружность, если отрезок ОС более расстояния точки О от пло-
скости Р, обращается в точку, если ОС равно этому расстоянию, и
не существует, если ОС меньше того же расстояния.
450. Пусть требуется найти геометрическое место точек М, лежа-
щих в плоскости Р и удовлетворяющих условию
" МА2 4- Л1В2 — k = const, (1)
где А и В — данные точки.
Если М — какая-либо точка пространства и D—середина отрез-
ка АВ, то к треугольнику Л1АВ и его медиане MD мол.но применить
теорему (Пл., п. 128) о квадрате медианы. Таким образом, получим:
МА2-j-MB2 = 2.MD2АВ2. (2)
Поэтому всякая точка пространства, для которой имеет место равен-
ство (1), удовлетворяет условию:
AID2 k2 — 1 АВ2. (3)
Обратно, для всякой точки пространства, для которой выполняется
равенство (3), в силу соотношения (2) выполняется и условие (1).
В силу п. 354, геометрическое место точек М плоскости Ру удов-
летворяющих условию (3), есть окружность или, в частности, точка
(если такие точки существуют).
310
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Итак, искомое геометрическое место есть окружность, если
62 ЛВ2, и отрезок г = y/-^k2 — АВ2 больше расстояния
точки D — середины отрезка АВ — от плоскости Р. Оно обращается
в точку, если при Л2^> — АВ2 отрезок г равняется расстоянию точ-
ки D от плоскости Р или если при k2 =^- АВ2 точка D лежит в
плоскости Р. В остальных случаях геометрическое место не сущест-
вует.
451. Если отрезок АВ виден из точки М под прямым углом, то
середина О отрезка АВ равноудалена от точек А, В и М, так что
ОМ = ~2 АВ. Отсюда следует, в силу п. 354, что геометрическое
место точек М, лежащих в плоскости Р, есть окружность или в част-
ности точка (если в плоскости Р вообще существуют точки, обладаю-
щие искомым свойством).
Если конец В отрезка АВ лежит в плоскости Р, то диаметром
окружности будет отрезок, соединяющий точку В с проекцией точки А
на плоскость Р.
452. Пусть А—данная точка, и С — данная окружность. Для
случая, когда точка А лежит в плоскости окружности, точками, наи-
более близкой к Л и наиболее удалённой от А из всех точек, лежа-
щих на окружности, служат основания нормалей к окружности, про-
водящих через точку А (Пл., п. 64). Если точка А не лежит в пло-
скости окружности С и Л0 — проекция точки А на эту плоскость, то
концами искомых отрезков будут точка А и точки окружности, наи-
более удалённая и наименее удалённая от точки Ло. Это вытекает из
теорем о длине наклонных, проведённых к плоскости из одной точ-
ки (п. 354).
453. Задача решается аналогично соответствующей задаче на плос-
кости (Пл., упр. 13). Опустим из одной из данных точек, скажем В,
перпендикуляр ВВ0 на данную плоскость и отложим на продолжении
отрезка ВВ0 за точку Во равный ему отрезок В0В'. Так как для любой
точки М данной плоскости имеем МВ —МВ' (в силу перпендикуляр-
ности прямых МВ0 и ВВ' и равенства ВВ0=В0В'), то всегда
АМ-\- МВ = АМА~ МВ'. Но сумма АЛ1-1-МВ' будет наименьшей,
если точка М будет лежать на самом отрезке АВ'. Отсюда следует,
что искомой точкой будет точка пересечения прямой АВ' с данной
плоскостью.
454. Задача решается аналогично соответствующей задаче на плос-
кости (Пл., упр. 15). Опустим из одной из данных точек, скажем В,
перпендикуляр ВВ0 на данную плоскость и отложим на продолжении
отрезка ВВ0 за точку Во равный ему отрезок В0В'. Как и в реше-
нии упражнения 453, будем иметь МВ —МВ' и AM— МВ =
— AM— МВ' для любой точки М данной плоскости. Но разность
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА III
311
AM— МВ' будет иметь наибольшее значение (а именно АВ'), если
точка М будет лежать на самой прямой АВ'. Отсюда следует, что
искомой точкой будет точка пересечения прямой АВ' с данной плос-
костью.
Задача не имеет решения, если точки А и В равноудалены от этой
плоскости, но не лежат на одном перпендикуляре к последней.
455. Пусть на каждой из прямых D и D' выбрано определённое
направление, которое мы будем называть положительным.
1) Отложим на прямых D и D' два произвольных равных отрезка
ДВ = А'В' (черт. 251), оба в положительных направлениях ”ти оба
в отрицательных, и построим пло-
скости, перпендикулярные соответ-
ственно к отрезкам АЛ' и ВВ’ и про-
ходящие через их середины. Эти две
плоскости пересекутся по некоторой
прямой Gv так как иначе отрезки АА'
и ВВ' были бы параллельны и пря-
мые D и D' лежали бы в одной пло-
скости.
Любая точка Р прямой Gr удов-
летворяет, в силу определения по-
следней, условиям РА = РА' и РВ — РВ'. Так как, кроме того,
АВ —А'В', то треугольники РАВ и РА'В' равны. Если теперь отло-
жить на прямых D и D' два каких-либо равных отрезка AM — А'М',
оба в положительных направлениях »ли оба в отрицательных, то легко
вывести, что и треугольники РАМ и РА' М' будут равны, откуда
следует, что и РМ=РМ'. Таким образом, любая точка Р прямой
лежит в плоскости, перпендикулярной к отрезку ММ' и проходящей
через его середину. Иначе говоря, все плоскости, получаемые таким
построением, будут проходить через прямую G1.
Мы получим вторую прямую С2, аналогичную Gv откладывая какой-
либо один из равных отрезков AM и А'М' в положительном направ-
лении, другой — в отрицательном.
Каждая точка Р прямой Gx равноудалена от прямых D и D', так
как высоты Рр и Рр' равных треугольников РАВ и РА’В' равны, и
то же имеет место для всех точек прямой G2.
2) Пусть Р — одна из точек прямой G1, построенной в 1); р к р' —
проекции точки Р на прямые D и £)'; Q — другая точка прямой Ор
q в q' — её проекции на прямые D и О'. В силу равенства треуголь-
ников РАВ и РА’В', имеем Ар = А'р', и аналогично Aq — A'q', откуда
pq=p'q'.
Длины отрезков PQ и pq определяют угол между прямыми и О.
Действительно, если через прямую Qq провести плоскость, перпенди-
кулярную к прямой О,и из точки Р опустить на неё перпендикуляр Pq0,
то pq—Pq^ (черт. 252), и угол между прямыми G1 и D определится
как острый угол QPq0 прямоугольного треугольника PQq0. Применяя
312
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
те же рассуждения к прямым Gl и D', заключаем, что прямая Ох
образует равные углы с положительными направлениями прямых D и D’,
так как pq—p'q'.
Проведём теперь через произвольную точку О пространства
(черт. 253) лучи d и d', направления которых совпадают с положи-
тельными направлениями прямых D и D', и прямую gx, параллельную Gt.
Прямая gt образует равные углы с лучами d и d' и потому лежит
(п. 356) в плоскости ух, проходящей через биссектрису угла dOd' и
Аналогично покажем, что любая прямая О2 параллельна другой
плоскости у2, перпендикулярной как к плоскости ух, так и к плос-
кости dOd'. При этом один из лучей d и d' заменится его продолже-
нием за точку О.
Так как плоскости ух и у2 определены независимо от выбора
точек А и А', то все прямые Gx параллельны плоскости ух, а все
прямые G2 параллельны у2.
Примечание. При этом прямая Gj (и прямая G2) не может быть пер-
пендикулярной одновременно к прямым D и U, так как она перпендикулярна
к отрезку АА', как прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярной к этому
отрезку. Отсюда следует, что ни одна из прямых G] не параллельна ни одной
из прямых G2, так как иначе обе они были бы параллельны линии пересече-
ния плоскостей у] и у2 и потому перпендикулярны одновременно к пря-
мым D и ЕУ.
Если не рассматривать линии пересечений g0 плоскостей ух и у2,
то для всякой прямой gr плоскости ух найдётся параллельная ей пря-
мая Gx. Чтобы получить такую прямую, пересечём прямые D и D’
плоскостью, перпендикулярной к прямой glt и примем точки пересе-
чения за точки А и А'. Действительно, прямая Ох, соответствующая
такому выбору точек А и А', должна быть перпендикулярна к АА’ и
параллельна плоскости ух, откуда и следует, что она должна быть
параллельна прямой gt.
3) Пусть некоторая прямая Gx определяется в смысле, указанном
в тексте задачи, точками А и А' (черт. 254) прямых D и D’, от ко-
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА IV
31»
торых откладываются равные отрезки, оба в положительном или об»
в отрицательном направлении. Пусть далее некоторая прямая О2 опре-
деляется таким же образом точками В и В", от которых отклады-
ваются равные отрезки — один в положительном направлении, другой —
в отрицательном. Прямая О2, очевидно, не изменится, если заменить-
точки В и В" точками А и А", где А — та же точка, что и выц ,
а точка Л" определяется тем, что отрезок ВА равен отрезку В"А’,
но один из них имеет положительное, другой —отрицательное на-
правление. Итак, прямая опреде- , „
ляется точками А и А', прямая G2 — д'
точками А и АС. В" —'Р
Рассмотрим теперь середину А'о
отрезка А'А" и отложим на прямой
D от точки А отрезок АА0, равный -----—
по величине А'А'О так, чтобы они оба ---
имели положительное или оба отри- ч 254
цательное направление. Плоскость,
перпендикулярная к отрезку А0А^ и проходящая через его сере-
дину, проходит через прямую Gv так как АА0~ А'А'О и оба от-
резка имеют положительные или оба отрицательные направления; та
же плоскость проходит и через прямую О2, так как отрезки АА0 и
А"А'О равны по величине, но один из них имеет положительное, дру-
гой— отрицательное направление. Таким образом, прямые и Gt
лежат в одной плоскости. Так как по доказанному выше они не па-
раллельны между собой, то они пересекаются.
4) Пусть Р—некоторая точка пространства, равноудалённая от
прямых D и D'. Чтобы получить прямые и О2, проходящие через
эту точку, достаточно выбрать надлежащим образом точки А и А'.
Проще всего принять за точки А и А' основания перпендикуляров,
опущенных из точки Р на прямые D и D'. Действительно, повторяя
те рассуждения, которыми мы пользовались в рубрике 1), мы легко
убедимся, что точка Р будет лежать как на прямой Glt так и на пря-
мой О2, соответствующих выбранным точкам А и А'.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV (стр. 40).
456. Первое решение. Пусть некоторая плоскость 5 (черт. 255)'
образует с гранями Р и Q данного двугранного угла равные двугранные
углы. Опустим из произвольной точки X ребра двугранного угла перпен-
дикуляр ХН на плоскость S и перпендикуляры ХА и ХВ на линии пере-
сечения плоскости S с плоскостями Р и Q. Прямые НА и НВ также
будут (по теореме о трёх перпендикулярах) перпендикулярны к тем же
линиям пересечения. Следовательно, углы ХАН и ХВН будут равны
как линейные углы равных по условию двугранных углов, а потому
будут равны и прямоугольные треугольники ХАН и ХВН.
-314
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Линия пересечения плоскостей Р и S, будучи перпендикулярна к АХ
и к АН, будет перпендикулярна и к плоскости ХАН\ поэтому и сама
плоскость Р будет перпендикулярна к плоскости ХАН. Следовательно,
если из точки Н опустить перпендикуляр НМ на прямую ХА, то он
будет и перпендикуляром к плоскости Р. По той же причине перпен-
дикуляр HN из точки Н на прямую ХВ будет перпендикулярен и
к плоскости Q. Но отрезки НМ и HN равны как высоты равных
прямоугольных треугольников ХАН и ХВН. Таким образом, точка Н
равноудалена от граней двугранного угла и, следовательно, лежит
в одной из его биссектральных плоскостей (п. 370). Эта биссектраль-
Черт. 255.
ная плоскость будет проходить через перпендикуляр ХН к плос-
кости <5 и потому будет сама перпендикулярна к 5. Плоскость 5,
будучи перпендикулярна к одной из двух биссектральных плоскостей
углов, образованных плоскостями Р и Q, будет параллельна перпенди-
куляру к этой плоскости.
Итак, плоскость 5, образующая с плоскостями Р и Q равные углы,
параллельна перпендикуляру к той или другой из биссектральных
плоскостей двугранных углов, образованных плоскостями Р и Q.
Второе решение. Задача решается проще, если воспользо-
ваться одним из предложений, приведённых далее в п. 378, а именно
следующим: угол ле 'кду двуля плоскостялн есть угол, дополнитель-
ный к углу, об раза панно лу одной из них с перпендикулярол к
другой.
Если плоскость 5 образует с пересекающимися плоскостями Р и Q
(черт. 255) равные двугранные углы, то и перпендикуляр ХН к плос-
кости S, проведённый через одну из точек X линии их пересечения,
образует с плоскостями Р и Q, в силу только что сказанного, равные
углы НХМ и HXN. Из равенства прямоугольных треугольников НХМ и
HXN находим, что HM=HN, и доказательство заканчивается, как
в первом решении.
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА IV
315
Примечание. Имея в виду дальнейшие приложения, отметим такое
следствие из доказанного предложения:
Если некоторая плоскость, пересекающая две данные пересекающиеся
плоскости под равными углами, пересекает и линию их пересечения, то
она пересекает одну из биссектральных плоскостей углов, образованных
данными плоскостями, по прямой, перпендикулярной к линии их пересече-
ния.
457. Пусть /0В0 —один из отрезков, параллельных данному на-
правлению, заключённых между двумя данными плоскостями Р и Q
(черт. 256); 7И0 — его середина; R— плоскость, проходящая через
точку 7И0 и через линию пересечения данных плоскостей (случай,
Черт. 256.
точка, лежащая вне
когда данные плоскости параллельны, рассмотрен
ниже).
Если АВ — какой-либо другой отрезок,
параллельный А0В0, н М — точка его пересе-
чения с плоскостью R, то AM — МВ. Действи-
тельно, если плоскость АВАаВ0 пересекает ли-
нию пересечения плоскостей Р и Q в некоторой
точке С, то мы получаем в этой плоскости три
выходящие из одной точки С прямые С/о,
С/Ио и СВ0, пересечённые двумя параллельны-
ми секущими А0В0 и АВ. В таком случае бу-
дем иметь (Пл., п. 121): МА:МВ = МА0:МВ0=
= 1. Если же плоскость АВА0В0 парал-
лельна ребру двугранного угла, то мы полу-
чим в этой плоскости три параллельные прямые
ДД0, ММ0 и ВВ0, пересечённые двумя парал-
лельными секущими /J0B0 и АВ, так что опять
МА: МВ = Мо Ао: М0В0 = 1.
Отсюда следует, что искомым геометриче-
ским местом будет плоскость R (так как ни одна
этой плоскости, не обладает, как легко видеть, требуемым свойством).
Если бы данные плоскости Р и Q были параллельны, то в силу
теоремы о пропорциональности отрезков, отсекаемых тремя параллель-
ными плоскостями на произвольных секущих (п. 345), геометрическим
местом точек М была бы плоскость, параллельная данным плоскостям Р
и Q и находящаяся от них на равных расстояниях.
458. Пусть требуется найти геометрическое место вершин С
треугольников, две вершины которых А и В перемещаются в данных
плоскостях Р и Q и стороны которых соответственно параллельны
сторонам данного треугольника abc (черт. 257).
Обозначим через Ло, Во и Со вершины какого-либо треугольника,
обладающего требуемыми свойствами (для построения такого треуголь-
ника проводим произвольную прямую, параллельную ab, и через
точки /0 и Во её пересечения с плоскостями Р и Q проводим прямые,
соответственно параллельные прямым ас и Ьс\. Через точку Со и линию
пересечения плоскостей Р и Q (случай параллельных плоскостей рас-
316
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
смотрен ниже) проводим плоскость R. Покажем, что любая точка с
плоскости R служит вершиной одного из рассматриваемых треугольников.
В самом деле, пусть точка С не лежит в плоскости Л0В0С0 и
прямая С0С пересекает линию пересечения плоскостей Р и Q в не-
которой ” "
точке К. Проводим через точку С прямые, параллельные С0Л
Черт. 257.
~ о
и С0В0, и обозначим через А и В
точки их пересечения с плоскостя-
ми Р и Q. Прямые А0А и В0В ле-
жат соответственно в плоскостях
/<Л0С0 п КВйСй и потому проходят че-
рез точку К. Поэтому прямые АВ и
Л0В0 лежат в одной плоскости, а
именно в плоскости А^В^К. Кроме
того, плоскости А0В0С0 и АВС па-
раллельны, так как прямая СА па-
раллельна С0Л0, и прямая СВ па-
раллельна С0В0. Следовательно, пря-
мые АВ и ЛПВО параллельны как ли-
нии пересечения двух параллельных
плоскостей с третьей плоскостью, и
треугольник АВС обладает всеми
требуемыми свойствами.
Пусть теперь точка С не лежит
в плоскости Л0В0С0, но прямая СС0
параллельна линии пересечения плоскостей Р и Q и потому парал-
лельна каждой из этих плоскостей. Проведя через точку С прямые
СА и СВ, параллельные С0Л0 и С0В0, мы получим в плоскостях Р
и Q две параллельные прямые А0А и В0В и докажем, как и выше,
что и сторона АВ будет параллельна Л0В0.
Наконец, если точка С' плоскости R лежит в самой плоскости
Л0В0С0, то мы докажем, что и она будет вершиной одного из рас-
сматриваемых треугольников. Доказательство проводится так же, как
это было сделано для точки С, не лежащей в плоскости Л0В0С0.
Только за треугольник Л0В0С0 принимается один из рассмотренных
треугольников АВС, у которых вершина С не лежит в плоскости
А0ВпС0. Итак, всякая точка плоскости R служит вершиной С одного
из рассматриваемых треугольников.*
Ни одна точка С, не лежащая в плоскости R, не будет верши-
ной С какого-либо из рассматриваемых треугольников. Действительно,
если через такую точку С провести прямые, параллельные Со/о и
сов0, то можно получить треугольник САВ (черт. 257), у которого
стороны параллельны данным прямым, и, скажем, вершина В лежит
в плоскости Q; но вершина А будет заведомо лежать вне плоскости Р.
Итак, геометрическим местом вершин С является плоскость, про-
ходящая через линию пересечения плоскостей Р и Q (и проведённая
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА IV
317
через вершину Со какого-либо одного из треугольников, обладающих
требуемыми свойствами).
Если данные плоскости Р и Q параллельны, то таким же путём,
как и выше, докажем, что геометрическое место точек С есть плос-
кость, параллельная плоскостям Р и Q (и проведённая через верши-
ну Со одного из треугольников, удовлетворяющих поставленным усло-
виям).
459. Первое решение. Пусть требуется решить ту же
задачу, что и в упражнении 458 (и в тех же обозначениях), но при
условии, что вершина А должна лежать на некоторой прямой D.
Проведём через прямую D две плоскости Р и Р'. Если точка А
перемещается по плоскости Р, то при соблюдении остальных условий
задачи точка С описывает (в силу решения упр. 458) некоторую
плоскость /?, а если точка А перемещается по плоскости Р', то не-
которую другую плоскость R'. Следовательно, при перемещении
точки А по прямой D точка С описывает прямую линию—линию
пересечения плоскостей R и R'.
Второе решение. Если через все точки прямой D провести
прямые, параллельные стороне ab данного треугольника, то эти пря-
мые будут лежать в одной плоскости 5' и потому будут пересекать
данную плоскость Q в точках одной прямой D', которая и бглет
геометрическим местом вершин В.
Прямые, проходящие через точки
прямой D и параллельные «с, обра-
зуют плоскость Т, а прямые, про-
ходящие через точки прямой D' и
параллельные Ьс, — плоскость U.
Линия пересечения плоскостей Т и
U и будет искомым геометрическим
местом вершин С.
460. Пусть Р и Q — данные пло-
скости, D и D'—линии их пере-
сечения с некоторой плоскостью R,
перпендикулярной одновременно как Черт. 258.
к Р, так и к Q (черт. 258).
Если — какая-либо точка пространства, МА и МВ — её рас-
стояния от плоскостей Ри Q, m — её проекция на плоскость R,
та и mb — расстояния точки т от прямых D и D', то оба четырёх-
угольника МАат и МВЬт—прямоугольники. Отсюда МА = та,
МВ = тЬ и МА МВ —та -\-tnb. Таким образом, поставленная
задача сведена к аналогичной задаче, в плоскости R для точки т
и прямых D и D'.
Приведённые рассуждения сохраняют силу и для того случая,
когда плоскости Р и Q параллельны.
Найдя геометрическое место точек т (как указано в решении
Пл., упр. 31), мы получим геометрическое место точек М, проводя
318
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
через каждую точку найденного геометрического места прямую, пер
пендпкулярную к плоскости R.
Так как геометрическое место точек т состоит из прямых линий,
то геометрическое место точек М состоит из плоскостей, перпенди-
кулярных к плоскости R.
461. Пусть требуется найти геометрическое место точек Л1, для
которых сумма взятых с надлежащими знаками проекций отрезков ОМ,
где О — данная точка, на две данные направленные прямые D' и D"
имеет данное значение.
Так как проекция отрезка на какую-либо прямую не изменяется
при перемещении этой прямой параллельно самой себе, то можно
предположить, что данные прямые D' и D" обе проходят через
точку О. Обозначим при этим
условии через т' и т" про-
екции точки М на данные пря-
мые (черт. 259).
Черт. 260.
Черт. 259
Опустим из какой-либо точки М пространства перпендикуляр ЛМ10
на плоскость Р, определяемую прямыми D' и D". При этом и проек-
ции Л40м' и 2Йот" наклонных Мт' и Мт" будут перпендикулярны
соответственно к прямым D' и D" (черт. 259 и 260). Таким образом,
проекции отрезка ОМ на прямые D' и D" будут совпадать с проек-
циями на те же прямые отре ка ОМй. Отсюда следует, что для ре-
шения поставленной задачи достаточно решить её для точек плос-
кости Р.
Но геометрическое место точек Л!о плоскости Р, для которых
сумма проекций От' -j- От" отрезков ОМ0 на прямые D’ и D"
сохраняет постоянную величину h, есть прямая D, перпендику-
лярная к биссектрисе угла между положительными направле-
ниями прямых D' и D" (черт. 260). Действительно, при перемещении
точки Мо по такой прямой, скажем, из положения Л!о в положение Nt,
одна из проекций От' и От" увеличивается, а другая уменьшается
на одну и ту же величину, так как мы имеем по абсолютной вели-
чине и знаку т'п' = — т"п". В то же время сумма От' -L- От",
очевидно, изменяется при замене точки Мо какой-либо точкой М, не
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА IV
31»
лежащей на прямой D. (Для построения прямой D достаточно отло-
жить на каждой из прямых D' и D" от точки О данную постоянную
величину h и соединить между собой полученные точки.)
Так как геометрическое место точек Мо — проекций точек М на
плоскость Р—есть прямая линия D, то геометрическое место самих
точек М есть плоскость, проходящая через прямую D и перпендику-
лярная к плоскости Р.
462. Если из точки Н (черт. 255 на стр. 314) опустить перпен-
дикуляры НА и НВ на прямые ОА и ОВ, то отрезки НА и НВ
будут равны, так как ОН есть по условию биссектриса угла АОВ.
Из равенства отрезков НА и НВ следует равенство прямоугольных
треугольников ХАН и ХВН, где X — точка пересечения прямой D
с ребром двугранного угла.
Рассуждая теперь так же, как при решении упражнения 456, мы
докажем, что точка Н равноудалена от двух граней двугранного
угла и потому лежит в его биссектральной плоскости. Поэтому и
прямая D лежит в биссектральной плоскости.
Примечание. Легко доказать и обратно, что всякая прямая, лежащая
в биссектральной плоскости двугранного угла и не перпендикулярная к его
ребру, обладает этим свойством.
261) через какую-
। прямую. Если А
463. Проведём в искомой плоскости R (черт,
либо точку Н прямой D перпендикулярную к н<
и В — точки пересечения этой последней пря-
мой с гранями угла, то очевидно, что НА = НВ.
Таким образом, для построения искомой пло-
скости мы должны найти такой перпендику-
лярный к прямой D отрезок АВ, заключённый
между гранями угла, который имел бы точку
Н своей серединой.
Чтобы получить этот отрезок, проводим че-
рез точку Н плоскость, перпендикулярную к
прямой D; в ней должен лежать искомый отре-
зок. Если эта плоскость пересечёт ребро дву-
гранного угла, т. е. если прямая D не перпен-
дикулярна к ребру двугранного угла, то она Черт. 261.
пересечёт грани двугранного угла по двум пе-
ресекающимся прямым, и мы приходим к следующей планиметриче-
ской задаче: через данную точку Н провести прямую так, чтобы отре-
зок её, заключённый между двумя данными пересекающимися прямыми,
делился в точке Н пополам (ср. Пл., упр. 165). Эта задача всегда
возможна и имеет одно решение.
Если же плоскость, перпендикулярная к прямой D, окажется па-
раллельной ребру двугранного угла, т. е. если прямая D будет пер-
пендикулярна к ребру двугранного угла, то в сечении получатся две
параллельные прямые, и мы приходим к следующей планиметрической
.320
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
задаче: через данную точку Н, лежащую между двумя параллельными
прямыми, провести прямую так, чтобы отрезок её, ограниченный
параллельными прямыми, делился в точке Н пополам.
Эта последняя задача имеет бесчисленное множество решений,
если точка Н равноудалена от двух параллельных прямых, и вовсе
•не имеет решений, если точка Н этим свойством не обладает. В пер-
вом случае прямая D будет лежать в биссектральной плоскости дву-
гранного угла.
Итак, задача имеет одно решение, если прямая D не перпенди-
кулярна к ребру двугранного угла. Если же прямая D перпендику-
лярна к ребру двугранного угла,
то задача имеет бесчисленное мно-
жество решений при условии, что
прямая D лежит в биссектральной
плоскости, и вовсе не имеет реше-
ний, когда прямая D в этой плос-
кости не лежит.
464. Пусть прямые D и D' пе-
ресекают данную плоскость Q, пер-
пендикулярную к прямой D, в точ-
ках А и А’, а прямая, по которой
пересекаются две взаимно перпен-
дикулярные плоскости Р и Р', про-
ходящие через эти прямые, пе-
ресекает плоскость Q в точке В
(черт 262). Так как плоскости Р и Р перпендикулярны, то прямая
ВХ, лежащая в плоскости Р и перпендикулярная к линии пересече-
ния обеих плоскостей, перпендикулярна к плоскости Р'; следователь-
но, эта прямая ВХ перпендикулярна и к прямой А'В. Кроме того, и
прямая D перпендикулярна к А'В. Отсюда вытекает, что прямая А'В
перпендикулярна к плоскости Р, а следовательно, и к прямой АВ.
Угол АВА' прямой, и геометрическое место точек В есть окруж-
ность, построенная на отрезке АА' как на диаметре (нетрудно убе-
диться, что всякая точка этой окружности принадлежит к искомому
геометрическому месту).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V (стр. 47).
9
465. Всякая линия, которая проектируется на некоторую плос-
кость Р по прямой линии D, лежит в плоскости Q, проходящей
через D и перпендикулярной к Р. Точно так же всякая линия, которая
проектируется на некоторую другую плоскость Р' по прямой линии D,
лежит в плоскости Q', проходящей через D' и перпендикулярной к Р.
Следовательно, линия, которая проектируется на плоскости Р и Р’
в прямые D и £)', лежит как в плоскости Q, так и в плоскости Q’,
и потому совпадает, вообще говоря, с прямой их пересечения.
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА V
321
Это предложение теряет силу, если плоскость Q' совпадает с Q,
т. е. если проектируемая линия лежит в плоскости, перпендикуляр-
ной одновременно к плоскостям Р и Р' и потом}' перпендикулярной
к линии их пересечения.
466. Если две прямые линии в пространстве проектируются как
на плоскость Р так и на плоскость Р' в две параллельные пря-
мые, то через эти две прямые можно, очевидно, провести две пары
параллельных плоскостей. Действительно, плоскости, проектирующие
две данные прямые на плоскость Р в две параллельные прямые, па-
раллельны между собой, и то же имеет место для плоскостей,
проектирующих данные прямые на плоскость Р'.
Так как через две данные прямые проходят две пары параллель-
ных плоскостей, то данные прямые параллельны, так как через две
прямые, не лежащие в одной плоскости, проходит (и. 341) единствен-
ная пара параллельных плоскостей, а через две пересекающиеся пря-
мые вовсе нельзя провести параллельных плоскостей.
Исключение будет иметь место в том случае, когда плоскости,
проектирующие данные прямые на плоскость Р, совпадают с плос-
костями, проектирующими их на плоскость Р'. Это будет тогда, когда
данные прямые лежат в плоскостях, перпендикулярных к линии пере-
сечения обеих данных плоскостей Р и Р'.
467. Если данная прямая параллельна данной плоскости то дос-
таточно в этой плоскости провести через данную точку прямую, па-
раллельную данной прямой, а затем провести через ту же точку
прямую, образующую с построенной прямой данный угол а.
Если данная прямая D пересекает данную плоскость в некоторой
точке О, то достаточно уметь построить в данной плоскости пря-
мую, образующую с прямой D угол а и проходящую через точку
пересечения О прямой D с данной плоскостью. Действительно, для
остальных точек плоскости задача будет после этого разрешена путём
проведения параллельной.
21 Элементарная геометрия, ч. II
322
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Чтобы построить искомую прямую, проходящую через точку О,
опустим из произвольной точки А прямой D (черт. 263) перпенди-
куляр Аа на данную плоскость. Если мы теперь опустим из той же
точки А перпендикуляр АЬ на искомую прямую ОЬ, то мы получим
прямую ab, также перпендикулярную к ОЬ. Поэтому для определения
положения точки Ь можно поступить так. Построить на отрезке Оа,
как на диаметое, окружность. Далее построить произвольный прямо-
угольный треугольник О0А0Ь0
с гипотенузой О0/0, равной
ОА, и острым углом Д0О0£0,
равным а. Описывая в данной
плоскости окружность с цент-
ром О и радиусом, равным О/0,
мы и получим в пересечении с
построенной ранее окружно-
стью точку Ь.
Задача будет иметь два ре-
шения в случае О0Ь0 Оа,
т. е. при a Z>,/_ АОа (ср. Пл.,
п. 35), одно решение в случае
О0Ьй — Оа, т. е.приа— /АОа,
и не будет иметь решений в слу-
чае O/ifs 'Z Оа, т. е. при
а /_ АОа. Итак, задача бу-
дет иметь два решения, одно решение или не будет иметь решений
в зависимости от того, будет ли данный угол соответственно больше
угла между данной прямой и данной плоскостью, равен ему или
меньше его.
Пусть теперь через точку А плоскости Р (черт. 264) требуется
провести прямую АЬ, образующую с плоскостью Q данный угол а.
Опустим из точки А перпендикуляр Аа на плоскость Q. В силу
определения угла между прямой и плоскостью, угол АЬа будет ра-
вен а. Поэтому можно определить точку Ь с помощью следующего
построения. Строим прямоугольный треугольник АоаоЬо с катетом Досо>
равным Аа, и острым углом AQboao, равным а, и из точки а как из
центра описываем в плоскости Q окружность радиусом, равным а0Ь0.
Точка пересечения этой окружности с линией пересечения плоскос-
тей Р и Q и будет искомой точкой Ь. •
Чтобы представить условие возможности задачи в наиболее прос-
той форме, опустим из точки А перпендикуляр АО на линию пере-
сечения обеих плоскостей и получим таким образом линейный угол АОа
двугранного угла между плоскостями. Задача будет иметь два реше-
ния в случае а0Ьи аО, т. е. при а </ /_ АОа, одно решение в слу-
чае iZ(/>0 = aO, т. е. при g — / АОа, и не будет иметь решений
в случае а/^/аО, т. е. при а /_ АОа. Итак, задача будет иметь
два решения, одно решение или не будет иметь решений в зависи-
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА V
323
мости от того, будет ли данный угол соответственно меньше угла
между данными плоскостями, равен этому углу или больше его.
468. Пусть через данную прямую D (черт. 265), пересекающую
данную плоскость Р в некоторой точке О, требуется провести плос-
кость, пересекающую данную под углом а.
Из произвольной точки А прямой D опускаем перпендикуляры Аа
и АЬ на плоскость Р и на линию пересечения О’? плоскости Р с ис-
комой плоскостью. При этом и прямая ab будет перпендикулярна
к О.'?, так что / .16g — а. Задача будет решена, если будет опре-
делено положение точки Ь.
Так как угол ОЬа прямой, то точка b лежит на окружности,
имеющей отрезок Оа своим диаметром и расположенной в плоскости Р.
Отрезок ab равен катету aQh0 прямоугольного треугольника Доао%,
в котором Аоао = Аа и / АаЬпап = д. Этими данными положение
точки b в плоскости Р определяется.
Задача будет иметь два решения в случае ah<^aO, т. е. при
а>^_АОа, одно решение в случае ab = aO, т. е. при д = / АОа,
и не будет иметь решений в случае ab~^>aO, т. е. при a / АОа.
Итак, задача будет иметь два решения, одно решение или не будет
иметь решений в зависимости от того, будет ли данный угол соот-
ветственно больше угла между данной прямой и данной плоскостью,
равен ему или меньше его.
Мы предполагали, что прямая D пересекает плоскость Р. Если
прямая D параллельна плоскости Р, то задача решается проще. А имен-
но, через произвольную точку А прямой D проводим плоскость Q,
перпендикулярную к прямой D. В плоскости Q строим прямую, про-
ходящую через А и наклонённую под углом а к линии пересечения
плоскостей Р и Q. Построенная прямая и прямая D определяют ис-
комую плоскость. В этом случае задача всегда возможна и имеет
два решения.
469. Пусть А и В — точки, лежащие соответственно в гранях Р
и Q двугранного угла (черт. 266), АС и BD — перпендикуляры из
21
324
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ И ЗАДАЧ
этих точек соответственно на грани Q и Р, АЕ и BF—перпендику-
ляры из точек А и В на ребро двугранного угла. В силу теоремы о трёх
перпендикулярах, прямые СЕ и DF также будут перпендикулярны к реб-
ру. Углы АЕС и BFD равны как линейные углы двугранного угла
между плоскостями Р и Q. Если прямая АВ образует равные углы
с плоскостями Р и Q, то / BAD=АВС. Следовательно, прямо-
угольные треугольники АВС и BAD равны, как имеющие общ\ ю ги-
потенузу и соответственно равные углы. Отсюда следует, что AC BD.
Прямоугольные треугольники АСЕ и BDF также равны, так как они
имеют по равному катету и равные углы. Поэтому и AE=BF.
Обратно, если AE—BF, то треугольники АСЕ и BDF равны,
откуда АС=^ВГ). Далее, треугольники АВС и BAD, имеющие общую
гипотенузу и по равному катету, равны, откуда / АВС=/ ВАР.
470. Пусть прямая D пересекает в точке О ребро двугранного
угла и образует равные углы с его гранями. Если из произвольной
точки М прямой D опустить перпендикуляры МА и МВ на грани, то
прямоугольные треугольники ОМА и ОМВ будут равны в силу равен-
ства углов МО А и МОВ. Следовательно, МА = МВ и точка М
лежит в бпссектральной плоскости двугранного угла. По тем же сооб-
ражениям и обратно, любая прямая D, проходящая через точку О и
лежащая в одной из биссектральных плоскостей углов, образованных
данными плоскостями, образует с данными плоскостями равные углы.
Итак, геометрическое место прямых, проходящих через одну из
точек О линии пересечения данных плоскостей и образующих с ними
равные углы, есть совокупность двух биссектральных плоскостей.
Отсюда следует, что геометрическое местд прямых, проходящих
через произвольно данную точку пространства и образующих равные
углы с двумя данными плоскостями, есть пара плоскостей, параллельных
биссектральным плоскостям углов, образованных данными плоскостями.
471. Пусть требуется найти геометрическое место точек М пло-
скости Р (черт. 267), обладающих тем свойством, что углы, которые
образуют с этой плоскостью прямые МА и МВ, равны между собой.
Опустим из точек А и В перпендикуляры Аа и ВЬ на данную
п’лоскость. Из равенства углов АМа и В Mb следует подобие тре-
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА V
325
угольников АМа и BMb, а следовательно, и пропорциональность их
сторон Mat Mb — Аа-.ВЬ. Обратно из этой пропорции вытекает подо-
бие треугольников и равенство углов АМа и ВМЬ. Таким образом,
искомым геометрическим местом точек М будет окружность — геомет-
рическое место точек плоскости Р, расстояния которых от точек а и b
находятся в данном отношении (Пл., и. 116).
472. Пусть на сторонах угла АОВ отложены равные отрезки
ОА—0В, и С — точка пересечения биссектрисы угла АОВ с пря-
мой АВ (черт. 268). Пусть далее О', А', В’ и С — проекции то-
чек О. 4, В и С на плоскость Р, параллельную ОС. Так как тре-
угольник ЛОВ равнобедренный, то угол ОСА прямой, и ЛС=СВ
Прямой угол ОСА, сторона ОС которого параллельна плоскости проек-
ций, проектируется на плоскость Р также в прямой угол О'С А'
(п. 374). Кроме того, из равенства отрезков АС и СВ вытекает и
равенство отрезков А'С и С'В' в силу параллельности прямых АА',
СС и ВВ'. Прямоугольные треугольники О'С А' и О'СВ' будут равны,
как имеющие соответственно равные катеты. Отсюда и следует, что
прямая О'С есть биссектриса угла А'О'В'.
473. Пусть прямой угол ВАС, стороны которого пересекают пло-
скость Р в точках В и С (черт. 269), проектируется на эту плоскость
в угол В А'С. При этом ВС2 — АВ2 -|- АС2; В А’ В А и СА' С А.
Отсюда ВС2~^> А'В2-^- А'С2, так что угол ВА’С тупой (Пл., п. 126,
следствие). При тех же условиях проекция угла DAE, где AD и
АЕ— продолжения сторон АВ и АС угла за вершину А, будет также
тупым углом, а проекции каждого из углов ВАЕ и CAD—острыми
углами.
474. Пусть некоторые углы—острый угол АОВ, прямой угол АОС
и тупой угол AOD,— лежащие в одной плоскости, проектируются на
плоскость, параллельную их общей стороне ОА, соответственно
в углы aob, аос и aod (черт. 270).
Так как прямой угол АОС проектируется при указанном условии
также в прямой угол аос и прямая ob лежит, очевидно, внутри
угла аос, то и угол aob— проекция острого угла АОВ — будет также
326
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
острым. Аналогично угол aod — проекция тупого угла AOD — будет
тупым.
475. Пусть НН' — общий перпендикуляр к прямым D и D' (черт. 271),
MN—перпендикуляр из произвольной точки М прямой D на пря-
мую D', d—прямая, проходящая через точку Н' и параллельная D,
Мт — перпендикуляр из точки М на прямую d. Требуется доказать,
что угол HMN между выходящим из точки М лучом МН, на кото-
ром лежит точка Н, и перпендикуляром MN— острый.
1 ак как прямая MN перпендикулярна к D', то и её проекция mN
на плоскость прямых D' и d перпендикулярна к О’. Угол HMN про-
ектируется на плоскость, парал-
лельную его стороне НМ, в острый
угол прямоугольного треугольника
H'tnN, и потому сам будет острым
Черт. 270.
в силу теоремы, обратной по отношению к рассмотренной в упражне-
нии 474. (Эта обратная теорема будет верна, так как в прямой тео-
реме рассмотрены все три возможных предположения относительно
проектируемого угла; ср. Пл., п. 71.)
476. Сохраним обозначения решения упражнения 470 (черт. 271).
При удалении точки М по прямой D от точки Н в прямоугольном
треугольнике MmN катет Мт не изменяет своей величины. Другой
катет mN возрастает, так как в прямоугольном треугольнике H'mN
углы не изменяются, а гипотенуза Н'т (равная НМ) возрастает.
Из того факта, что один катет Мт треугольника MmN не из-
меняется, а другой катет mN возрастает, следует (по теореме о срав-
нительной длине двух наклонных; п. 354), что и гипотенуза MN воз-
растает.
477. Если некоторая прямая D, проходящая через данную точку М,
имеет с данной прямой D' общий перпендикуляр НН' данной длины
(черт. 271), то прямая D лежит в плоскости Р, параллельной пря-
мой D' и отстоящей от неё на расстоянии НН'. Обратно, всякая пря-
мая, лежащая в этой плоскости и проходящая через точку М,
удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, задача сводится к еле-
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА V
327
дующей, через точку /И провести плоскость, параллельную пря-
мой D' и отстоящую от неё на данном расстоянии.
Для решения последней задачи проводим через М плоскость, пер-
пендикулярную к прямой D' (черт. 272), и в ней перпендикуляр MN
из точки М на D'. В этой плоскости строим прямоугольный тре-
угольник MKN, имеющий отрезок MN своей гипотенузой, и отре-
зок NK, равный данному расстоянию, своим катетом. Плоскость, про-
холящая через другой катет и параллельная прямой D', очевидно,
удовлетворяет поставленным условиям. Задача имеет чва решения, если
данная длина общего перпен-
дикуляра меньше
MN.
478. Опустим из точки О перпендикуляр ОН на прямую D
(черт. 273), отложим на прямой D отрезок НК, равный ОН, спроек-
тируем его на плоскость Р в отрезок hk и, наконец, отложим в этой
плоскости на перпендикуляре к прямой d в точке /г в ту и другую
сторону отрезки hO' и hO", равные hk (отрезок hO" не показан на
чертеже). Для любой точки М прямой О и её проекции т на пло-
скость Р будем иметь соотношение ОН:ОМ=^НК'.НМ— h.k'.hin=*
= O’h:hm. Следовательно, треугольники ОНМ и O'hm подобны,
откуда ОМ:О' т = OH:O'h. Но последнее отношение не зависит от
положения точки М на прямой D. Точка О", очевидно, обладает тем
же свойством.
479. Пусть на прямой D (черт. 274) требуется найти такую
точку .44, что отношение её расстояний от другой данной прямой £)'
и от данной точки О равно отношению двух данных отрезков p:q.
Спроектируем прямую D и точку М на плоскость Р, перпендику-
лярную к прямой D' в некоторой её точке п, и обозначим их проек-
ции соответственно через d и т. Далее определим (пользуясь упраж-
нением 478) в плоскости Р такую точку О', чтобы имело место
равенство:
ОМ:О'т = ОН :O'h, (1)
где Н и h — основания перпендикуляров из точек О и О' соответ-
ственно на прямые D и d.
328
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если N—основание перпендикуляра из точки М на прямую О',
то мы имеем по условию:
MN: ОЛ1 =p:q.
Кроме того, имеем, очевидно:
MN = mn.
Из равенств (1), (2) и (3) получаем:
тп: тО' — (р ОН): (q ОН).
(2)
(3)
(4)
Обратно, из равенства (4) с помощью (1) и (3) получаем равенство (2).
Итак, задача сведена к отысканию на прямой d точки т, удовле-
творяющей соотношению (4). Но геометрическое место точек т пло-
Черт. 274.
ми Р и Q (по определению — острый
скости Р, удовлетворяющих
условию (4) ,где и и О' —
известные точки плоскости
Р, а правая часть имеет по-
стоянное значение, есть
окружность (Пл., и. 116)’).
Пересечение этой окружно-
сти с прямой d и даёт иско-
мую точку т. Точку М
мы получим, проводя через
точку т в проектирующей
плоскости прямую, перпенди-
кулярную к d. Наибольшее
число решений — два.
480. Заметим предвари-
тельно, что угол между ка-
кими-либо двумя плоскостя-
или прямой; см. п. 378)
равен острому или прямому углу между прямыми р и q, перпен-
дикулярными соответственно к плоскостям Р и Q. Действительно,
каждый из этих углов дополняет до 90° угол между прямой р и
плоскостью Q (ср. п. 378 и п. 377).
Пусть теперь в плоскости Р расположен некоторый многоуголь-
ник, площадь которого равна 5 кв. ед. Поставим ему в соответствие
отрезок прямой р длиной в S ед. Если обозначить через а (острый)
угол между плоскостью Р и произвольной плоскостью Q, то площадь
проекции данного многоугольника на плоскость Q будет равна (п. 381)
.S’-cos а и длина проекции выбранного отрезка на перпендикуляр q
к плоскости Q также будет равна 5-cos a.
1) Для построения окружности — геометрического места точек т — отно-
шение (р - ОН) .(q-0'h') необходимо заменить отношением двух отрезков. С этой
целью определим отрезок д' из условия OH:O'h — q:q'\ будем иметь;
(p-OH)-.(q-O’h)= pq:qq' = р.д'.
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
329'
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII (стр. 76).
481. Пусть SABC (черт. 275) — данный трёхгранный угол. Если
сумма двух плоских углов, скажем / ASB -|- / ASC, больше двух
прямых углов, то эта сумма заведомо больше угла BSC, так как
последний меньше двух прямых.
Если же сумма / ASB Ц- / ASC меньше двух прямых, то по-
строим в плоскости ASC угол / ASB' = X ASB, так, чтобы угол B'SC.
равнялся сумме / ASB / ASC. $
Мы должны доказать, что / BSC<^
<ZZ_B'SC. / /W
Отложим равные между собой от- g >// у
резки SB = SB' и проведём через \ \
точки В и В' плоскость, пересекаю- \
щую полупрямые УД п SC (а не / 6
их продолжения за точку в точ \
ках А и С. Получившиеся тре- \
угольники SAB и SAB' равны, так Черт 275.
как они имеют по равному углу
(при вершине S), заключённому между соответственно равными сторо-
нами (УД— общая, SB = SB'), откуда следует, что АВ' = АВ. Сле-
довательно, отрезок В'С = В А 4 АС больше стороны ВС. Из рассмо-
трения треугольников SBC и SB'C, у которых две стороны одного-
(SB и SC) соответственно равны двум сторонам другого (SB' и SC),
а третьи стороны неравны (B'C^BC), следует, что X B'SC^-
">/_BSC.
482. Для любой полупрямой SM, выходящей из вершины У трёх-
граиного угла SABC, имеем (п. 390): X MSB 4- XMSC^ / BSC;
^.MSC+^MSASz ^CSA; /_MSA^ MSB^ ASB, причём три
знака равенства одновременно невозможны, так как полупрямая не
может лежать одновременно в плоскостях всех трёх граней BSC, CSA
и ASB. Отсюда
//ИУД ^MSB + ^MSCy^'/BSCA^CSA-^X. [SB)-
Для всякой полупрямой SM, выходящей из вершины трёхгранного
угла и лежащей внутри него, имеем (п. 393); / MSB - / MSC<^
< X ASB 4 X CSA;/_MSC 4 /_MSA<^/_BSC 4 X ASB; Z_ MSA 4
4 X MSB <C / CSA 4 / BSC. Складывая и деля на два, получим:
£MSA ^MSB-{-^MSC<^^BSC-\-/_CSA-\-^ASB.
(Ср. Пл., решение упр. 8.)
Переходим к случаю многогранного угла. Для любой полупря-
мой SM, выходящей из вершины л-гранного угла SABC.. .KL, имеем:
/iMSAA-^MSB^Z. asb’> ^MSB-^Z-MSC^^BSC; ...;
X MSX4 Z MSL 5» Z ^SL’ Z MSL + Z ^УД > X LSA• Складывая
330
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
и деля на два, получим как и выше.
/ MSA // MSB 4- . . . -I - / MSL >
+ • • /LSA).
(Ср. Пл., решение упр. 8а).
Если данный многогранный угол SABC. . .KL выпуклый, то для
всякой прямой SM, выходящей из вершины и лежащей внутри него,
имеем (п. 393): / MSA -|- / MSB < / BSC -|- / CSD . .Z
//KLA, /MSB//MSC//CSD/ . . . / /KL А//LAB-, . .
/MSL//MSA//ASB//BSC/ ... //KSL. Мы имеем
п неравенств, причём каждый из плоских углов ASB, BSC, . . .
и LSA не входит в правую часть в точности одного из них. Следо-
вательно, складывая и деля на два, получим:
/ MSA //MSB + •.. - Z MSL <
<Т'^--(Z^ + Z^ + + Z^).
Соответствующие предложения для шара формулируются следую-
щим образом:
Если соединить точку, взятую на шаре, с тремя вершинами
сферического треугольника, то сумма полученных дуг (меньших
полуокружности) больше полупериметра треугольника; если точка
взята внутри треугольника, то та же сумма меньше его пери-
метра.
Если соединить точку, взятую на шаре, со всеми вершинами
данного сферического п-угольника, то сумма полученных дуг
(меньших полуокружности) больше полупериметра многоугольника;
если данный многоугольник'выпуклый и точка взята внутри него,
чао та же сумма меньше полупериметра, умноженного на п — 1.
483. Пусть дан пространственный многоугольник, например шести-
угольник ABCDEF (черт. 276). Так как в любом трёхгранном или
многогранном угле всякий плоский угол меньше суммы остальных, то
проведя диагонали AC, AD и АЕ, будем иметь / FAB / F АЕ4-
//EAD + /°АС 4- /CAB; /BCD /ВСА //ACD;
/ CDE gg / СР А 4- / ADE", / DEF sg / DE А 4~ / AEF (знаки
равенства соответствуют тому случаю, когда среди треугольников
ABC, ACD, АРЕ и AEF имеются два или более лежащих в одной
птоскости). Из этих неравенств путём сложения легко получим, что
/FAB 4- Z АВС 4- /BCD 4- /CDE 4- /DEF + /ЕЕА/
< (Z С АВ 4. / АВС + / ВСА) 4- (Z DAC // ACD / / CD А)
+(Z^D + /ADE 4- /DEA)/(/FAE//AEF4- /EFA)/2d• 4,
так как если данный многоугольник пространственный (а не пло-
ский), то по крайней мере в одном из предыдущих соотношений
имеется знак неравенства.
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
331
Те же рассуждения применимы и к многоугольнику с произволь
ным числом сторон п. При этом вместо четырёх треугольников будем
иметь их п 2.
484. Пусть дан выпуклый многогранный угол, например пяти-
гранный угол SABCD^. (черт. 277). Диагональные плоскости ASC и
Черт. 27b.
Черт. 277.
ASD, проходящие через ребро 5.4, разбивают его на три трёхгран
ных угла SABC, SACD и SADE. Так как сумму двугранных углов
данного пятигранного угла можно получить путём сложения всех дву-
гранных углов этих трёх трёхгранных углов и так как сумма всех
двугранных углов трёхгранного угла больше двух прямых, то сумма
двугранных углов данного многогранного угла
больше чем 2т/-3.
Те же рассуждения применимы и к вы-
пуклому многогранному углу с любым числом
граней п. При этом вместо трёх трёхгранных
углов будем иметь их п—2.
В случае выпуклого сферического много
угольника можно соединить все его вершины
с центром шара и применить только что до-
казанное предложение или же непосредствен-
но разбить данный многоугольник на тре-
угольники с помощью диагоналей, выходящих
из одной вершины.
485. Достаточно, очевидно, рассмотреть Черт. 278.
случай, когда данная прямая D пересекает в
некоторой точке О линию пересечения двух данных плоскостей (черт. 278).
Из произвольной точки М прямой D опускаем перпендикуляры МА,
МВ и МР на данные плоскости и на линию их пересечения. Прямо-
угольные треугольники ОМА и РМА имеют общий катет МА. В то
же время гипотенуза ОМ первого треугольника больше гипотенузы МР
второго, если только прямая D не перпендикулярна к линии пересе-
чения обеих плоскостей. Отсюда вытекает (по теореме, обратной при-
ведённой в Пл., п. 35), что ^/_МОА / МРА.
332
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Итак, угол МОА, который прямая D образует с первой из данных
плоскостей, меньше угла МРА. По аналогичным соображениям и
угол МОВ между второй чайной плоскостью и прямой D меньше
угла МРВ. Отсюда и следует, что /МОА / MOB / AQB. но
угол АОВ — прямой.
486. Пусть подвижная прямая D имеет два различных предель-
ных положения О0 и Do . Выберем угол е так, чтобы выполнялось
условие е Z (Do, Do), и рассмотрим тот момент, начиная с кото-
рого /_(D, Do)</~ и Z(D, Dq)<C4 При этом будем иметь
Z (О, О0) + Z (D, Ьо) < е < Z (Do, Do)-
Но прямые D, Do и Do образуют трёхгранный угол (или лежат
в одной плоскости и проходят через одну точку) и потому
.Z (D, Dn) -[- Z (D. Р») Z (Dn. Do). Полученное противоречие и до-
казывает, что прямая не может иметь двух предельных положений.
Пусть далее прямые D и Е, проходящие через одну точку, имеют
своими предельными положениями прямые Ро и Е . Эти четыре прямые
образуют четырёхгранный угол, в котором / (D, Е)^ /_ (D, Do) -|-
+Z(D0, Do) + Z(£-Fo): Z(D0, D0)<Z(^- D„} +ZP. D) + Z(^> Do).
Отсюда следует, что — /(D, Do) —Z(D, Do) C /JD, E) — Z (Pq. Do)«S
<Z(°- Do) +Z(D, Do) или иначе: 1^/(0, E) — /(Do, Eo) |< Z(D, Do)-|-
-|- Z (D, Do). Но в силу определения предельного положейия, начиная
с некоторого момента, будут иметь место неравенства: Z (Р. Ро)<^-|-
и ,7 (Е, Ео) . При этом в силу предыдущего неравенства будем,
начиная с того же момента, иметь и | Z (D, D)— Z (Dn. D0)|<^s. Это
я показывает, что угол между прямыми D и Е стремится к углу
между Ро и f0.
Предположим, наконец, что три переменные прямые D, Е и F,
имеющие соответственно предельные положения Ро, Е(1 и Fo, остаются
при своём перемещении в одной плоскости. При этом один из углов
между этими двумя прямыми будет равен сумме двух других, скажем,
.z (Р, D)-f-Z(D, F}= Z (P. F). Как только что было доказано,
каждый из углов Z (£), Е), / (Е, F) и Z (D, F) имеет своим преде-
лом соответствующий угол: Z (Do, Do), Z(Do> Do) и Z(D0, Do). При
этом предел суммы будет, как известно, равен сумме пределов, так
что Z (Рп, Рп) 4~ Z (Dn. Dn) — Z (Рп. Рп)- Последнее равенство и по-
казывает, что прямые Ро, Ео и Fo лежат в одной плоскости, так как
иначе оня образовали бы трёхгранный угол, и мы имели бы
Z_ (Do, Do) -|- Z (Ео, Fo) Z (Do, F0).
487. Всякая точка, лежащая в биссектральной плоскости одного
из двугранных углов трёхгранного угла SABC (черт. 279), скажем
двугранного угла при ребре S/4, равноудалена от двух его гра-
ней SAB и SAC (п. 370). В силу этого любая точка прямой D, по
которой пересекаются две такие биссектральные плоскости, равноуда-
КНИГА ПЯТАЯ ГЛАВА VII
333
лена от всех трёх граней, и потому лежит и в биссектральной пло-
кости третьего угла. (Сравнить доказательство теоремы о пересече-
нии трёх биссектрис треугольника в одной точке; Пл., п. 54.)
Если заменить биссектральные плоскости двух из двугранных углов
трёхгранного угла, скажем при рёбрах SB и SC, биссектральными
плоскостями углов, с ними смежных, то дело сведётся к рассмотре-
нию трёх биссектральных плоскостей двугранных углов того трёх-
SB и SC данного п про-
Z?
гранного угла, который образован рёбрами
должением SA' ребра S.4 за верши-
ну S. Таким образом получим пря-
мую D], аналогичную D.
Всего можно получить таким путём
четыре прямые D, Dx, D2 и D3. Дей-
ствительно, можно рассматривать пере-
сечение каждой из двух биссектральных
плоскостей, проходящих через SB с
любой из двух биссектральных плоско-
стей, проходящих через SC. Точки
каждой из этих четырёх прямых рав-
ноудалены от всех трёх плоскостей /
BSC, CSA и ASB. '
Обратно, любая точка, равноуда-
лённая от всех трёх плоскостей, лежит
на одной из этих четырёх прямых, так
в одной из биссектральных плоскостей,
7)'
Черт. 279.
как она должна лежать
проходящих через SB, и
в одной из биссектральных плоскостей, проходящих через SC. Следо-
вательно, совокупность четырёх найденных прямых есть геометриче-
ское место точек, равноудалённых от трёх плоскостей.
Рассматривая пересечение рёбер и граней данного трёхгранного
угла с произвольным шаром с центром в вершине трёхгранного угла
(или, если угодно, соединяя вершины произвольного сферического тре-
угольника с центром шара), получим следующие предложения
1) Биссектрисы трёх углов сферического треугольника проходят
через одну точку, и их продолжения за вершины треугольника —
также через одну точку (точки пересечения прямой D с поверхностью
шара).
2) Биссектрисы одного из углов сферического треугольника и двух
углов, соответственно смежных с двумя другими его углами, проходят
через две диаметрально противоположные точки (точки пересечения
одной из прямых Dx, D2 и Ds с поверхностью шара).
Таким образом, на шаре получается в общей сложности восемь
точек.
Далее имеют место следующие предложения. Если точки некото-
рой прямой равноудалены от плоскостей граней трёхгранного угла, то
эта прямая образует с плоскостями граней равные углы, и обратно.
Действительно, опуская из некоторой точки данной прямой перпенди-
р
334 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
куляры на все три плоскости, получим равные прямоугольные тре-
угольники (они имеют общую гипотенузу и по равному катету или по
равному острому углу). Отсюда следует, что каждая из найденных
выше четырёх прямых D, Dv D2 и Ds образует равные углы с тремя
плоскостями граней трёхгранного угла и что других прямых, обладаю-
щих этим свойством, не существует. Точки пересечения этих четырёх
прямых с поверхностью шара будут поэтому равноудалены от трёх
больших кругов, по которым плоскости граней пересекаются с шаром
(сферическим расстоянием точки на шаре от большого круга назы-
вается меньшая дуга большого круга, выходящая из данной точки и
перпендикулярная к данному большому кругу; ср. п. 404). Приняв
одну из точек пересечения какой-либо из прямых D, Du D2 и Ds
с шаром за полюс малого круга, а сферическое расстояние этой точки
от каждого из трёх больших кругов — за его сферический радиус,
получим малый круг, вписанный или вневписанный в данный сфериче-
ский треугольник, т. е. касающийся его сторон или их продолжений.
Таким образом, получим 8 малых кругов.
Примечание. Говорят, что большой круг и малый круг, лежащие на
одном шаре, касаются друг друга, если они имеют общую касательную в их
общей точке (ср. Пл., и. 69). Этой общей касательной может быть только
линия пересечения плоскости большого круга с плоскостью малого круга.
Поэтому приведённое только что определение сводится к следующему: боль-
шой круг и малый круг, лежащие на одном шаре, касаются друг друга, если
они имеют только одну общую точку. Из теорем о сравнительной длине пер-
пендикулярных и наклонных дуг (п. 404) следует, что большой круг, касаю-
щийся малого круга, перпендикулярен к сферическому радиусу последнего,
проходящему через точку касания (ср. Пл., п. 58).
488. Бпссектральная плоскость двугранного угла, смежного с дву-
I ранным углом при ребре З'Л трёхгранного угла SABC, перпендику-
лярна к биссектральной плоскости „самого двугранного угла при
ребре S/ Поэтому и прямая, лежащая в биссектральной плоскости
этого смежного угла и перпендикулярная к ребру 6’Д, перпендику-
лярна и к биссектральной плоскости двугранного угла при ребре’ -S'Л
(п. 364), а следовательно, и к прямой D, рассмотренной в упражне-
нии 487.
Таким образом, все три прямые, о которых идёт речь в тексте
задачи, проходят через вершину S трёхгранного угла и перпендику-
лярны к прямой D. Следовательно, они лежат в одной плоскости Р.
Угол между двумя плоскостями дополняет до прямого угла угол,
образованный одной из них с перпендикуляром к другой (п. 378).
В данном случае угол между плоскостью одной из граней, скажем BSC, и
плоскостью Р дополняет до прямого угла угол между плоскостью BSC
и прямой D. Так как прямая/) образует с тремя гранями трёхгран-
ного угла равные углы, то и плоскость Р одинаково наклонена
к трём граням.
Если вообще какая-либо плоскость образует с плоскостями граней
трёхгранного угла равные углы, то и прямая, к ней перпендикуляр-
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛ АВА VII
S3
ная, образует с этими плоскостями равные углы. Поэтому чтобы найти
остальные плоскости, проходящие через вершину трёхгранного угла
и одинаково наклонённые к трём граням, достаточно заменить пря-
мую D одной из трёх других прямых, рассмотренных в решении
упражнения 487. Это приводит к следующему построению: в биссект-
ральной плоскости угла, смежного с одним из двугранных углов трёх-
гранного угла, и в биссектральных плоскостях двух других его дву-
гранных углов проводим через вершину прямые линии, перпендику-
лярные к соответствующим рёбрам; эти три прямые будут лежать
в одной плоскости, одинаково наклонённой к трём граням.
В общей сложности получается четыре плоскости Р, Ръ Р2 и Ps,
проходящие через вершину и обладающие последним свойством.
Соответствующие предложения для шара читаются так:
1) Шесть точек, лежащих на биссектрисах внешних углов сфери-
ческого треугольника на расстоянии, равном квадранту, от соответ-
ствующей вершины, лежат на одном большом круге, одинаково на-
клонённом к сторонам треугольника.
2) Две точки, лежащие на биссектрисе внешнего угла при одной
из вершин сферического треугольника, и четыре точки, лежащие на
биссектрисах внутренних углов при двух других вершинах, на рассто-
янии, равном квадранту, от соответствующей вершины, лежат на одном
большом круге, одинаково наклонённом к сторонам . треугольника.
В общей сложности получается четыре больших круга, обладаю-
щих последним свойством. Полюсами этих больших кругов служат те
восемь точек, о которых говорится в упражнении 487.
До сих пор мы рассматривали плоскости, образующие равные углы
с плоскостями граней трёхгранного угла и проходящие через его вер-
шину, а также соответствующие большие круги на шаре. Откажемся
теперь от требования, чтобы рассматриваемая плоскость проходила
через вершину трёхгранного угла.
Так как всякая плоскость, образующая с плоскостями граней трёх-
гранного угла равные углы, параллельна плоскости, проходящей через
вершину трёхгранного угла и обладающей тем же свойством, то мы
можем, очевидно, сформулировать следующее общее предложение:
Всякая плоскость, одинаково наклонённая к трём плоскостям
граней трёхгранного угла, пересекает некоторые три не проходя-
щие через одну прямую биссектральные плоскости двугранных уг-
лов, образованных этими плоскостями, по трём прямым, перпен-
дикулярным к соответствующим рёбрам.
489. 1°. В решении упражнения 456 было показано, что всякая
плоскость, одинаково наклонённая к двум граням двугранного угла,
параллельна перпендикуляру к биссектральной плоскости данного дву-
гранного угла или перпендикуляру к биссектральной плоскости угла,
с ним смежного.
Отсюда непосредственно следует, что плоскости, одинаково на-
клонённые к обеим граням двугранного угла и пересекающие его ребро-
336
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
в данной точке S, проходят через биссектрису SM линейного угла ASB
данного двугранного угла или через биссектрису SN угла, смежного
с этим линейным углом (черт. 280 и 281).
Далее отсюда следует, что плоскости, одинаково наклонённые
к двум пересекающимся прямым SK uSL и проходящие через точку
их пересечения S, проходят через биссектрису SN угла KSL или
через биссектрису SM угла, с ним смежного, и обратно. Для до-
казательства достаточно провести через точку 5 плоскости Р и Q,
соответственно перпендикулярные к SK и SL. При этом всякая пло-
скость, одинаково наклонённая к этим двум плоскостям, будет оди-
наково наклонена и к прямым SK и SL, и обратно. Действительно,
угол произвольной плоскости с плоскостью Р (или Q) дополняет до
.прямого угла (п. 378) угол той же плоскости с прямой SK (или SL).
Пользуясь сделанными замечаниями, нетрудно доказать предло-
женную теорему. Плоскость II, проходящая через биссектрису угла,
смежного с углом BSC трёхгранного угла SABC, одинаково наклонена
к рёбрам SB и SC. Если эта плоскость II проходит и через биссект-
рису угла, смежного с углом CSX, то она одинаково наклонена и
к рёбрам SC и 5'Х. Следовательно, плоскость II образует равные
углы и с рёбрами S.4 и SB и потому проходит через биссектрису
угла ASB или угла, с ним смежного. Но плоскость II пересекает,
очевидно, лишь продолжения граней BSC и CSA (а не самые грани)
и поэтому не может пересечь самую грань ASB и пересекает только
её продолжение. Таким образом, плоскость II проходит не через бис-
сектрису угла ASB, а через биссектрису угла, с ним смежного. Тем
самым доказано, что биссектрисы углов, смежных с плоскими угла-
ми трёхгранного угла, лежат в одной плоскости II, одинаково
наклонённой к трём рёбрам.
Чтобы получить аналогичное предложение для биссектрис двух
плоских углов ASB и XSC и биссектрисы угла, смежного с третьим
углом BSC, достаточно применить только что доказанную теорему
к трёхгранному углу SA'BC, имеющему своими рёбрами рёбра SB и
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
337
SC данного трёхгранного угла и продолжение <$Л' его ребра S.4 за
вершину S.
Таким путём получим кроме плоскости П ещё три плоскости Щ,
П, и П8, каждая из которых образует равные углы с тремя рёбрами.
Легко видеть, что не существует других плоскостей, проходящих
через вершину 5 и обладающих тем же свойством.
Примечание. Имея в виду дальнейшие приложения, приведём сле-
дующее почти очевидное обобщение рассматриваемого предложения:
Всякая плоскость, образующая равные углы с рёбрами трёхгранного
мгла, пересекает плоскость каждой его грани по прямой, образующей
с рёбрами, лежащими в этой плоскости, равные углы.
Вытекает из того, что всякая плоскость, образующая равные углы с рё-
брами, параллельна одной из плоскостей II, Пь II, и П8.
2°. Всякая прямая, которая выходит из вершины S трёхгранного
угла SABC и лежит в плоскости, перпендикулярной к его грани BSC
и проходящей через биссектрису угла BSC, образует равные углы
с рёбрами SB и SC, и обратно (п. 356). Поэтому линия пересечения А
двух таких плоскостей образует равные углы со всеми тремя рёбрами
6’Z, SB и SC и потому лежит и в третьей плоскости, определяемой
аналогичным образом. Таким образом, три плоскости, о которых
идёт речь, проходят через одну прямую А.
Плоскость, проходящая через биссектрису угла BSC и перпенди-
кулярная к плоскости BSC, будет, очевидно, перпендикулярна и
к биссектрисе угла, смежного с углом BSC, а потому и к плоскости П,
проходящей через эту биссектрису. Прямая А, как линия пересе-
чения плоскостей, перпендикулярных к П, будет перпендику-
лярна к П
В пересечении трёхгранного угла и прямой А с произвольным ша-
ром с центром S получается сферический треугольник АВС и точки
О и О’. Так как прямая Д образует равные углы с рёбрами SZ, SB
и SC, то дуги О А, ОВ и ОС равны. Это и показывает, что точка О
(а также точка О’, ей диаметрально противоположная) есть полюс
круга, описанного около треугольника АВС.
Далее, так как прямая А образует равные углы с прямыми 5/4,
SB и SC, то, опустив из произвольной точки этой прямой перпенди-
куляры на эти три прямые, получим три равных прямоугольных тре-
угольника. Из рассмотрения этих треугольников вытекает, что про-
извольная точка прямой А равноудалена от трёх рёбер трёхгран-
ного угла.
Можно получить ещё три прямые Дъ Д2 и Д3, обладающие тем
же свойством, заменяя в том построении, которое определяет прямую А,
одно из рёбер, скажем его продолжением за вершину S. При
этом биссектрисы плоских углов ASB и ASC заменяются биссектри-
сами углов, с ними смежных. Из решения упражнения 443 вытекает,
что четыре прямые Д, Дъ Д2 и Д8 представляют собой геометрическое
место точек, равноудалённых от трёх рёбер.
22
Элементарная геометрия, ч. II
338
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
490. 1°. Пусть АВС—данный сферический треугольник; AD, BE
и CF—его медианы (черт. 282), S—центр шара.
Так как прямая SD делит дугу ВС пополам, то она делит и хор-
ду ВС в точке Do пополам, так что DqB — D^C. Точно так же пря-
мые SE и SF проходят через середины Ео и Ей хорд АС и АВ.
Прямые AD0, ВЕ0 и CF0 проходят, как медианы прямолинейного треуголь-
Черт. 282.
ника АВС, через одну точку. Следовательно, плоскости ASD(I, BSE0 и
CSF0 проходят через одну прямую 8, а лежащие в этих плоскостях дуги
AD, BE и CF. — через одну точку G.
Плоскости, проходящие через каждое
ребро трёхгранного угла SABC и через бис-
. сектрисы противоле-
жащих плоских углов,
совпадают с нашими
плоскостями ASDa,
BSE0 и CSF0, и про-
ходят, как следует из
предыдущего, через
одну прямую 8.
2°. Пусть SABC
(черт. 283) — данный
трёхгранный угол, Sa—
Черт. 283.
линия пересечения пло-
скости BSC и биссектральной плоскости угла, смежного с двугранным
углом при ребре S/ (прямая Sa на чертеже не показана), и анало-
гичное значение имеют прямые Sb и Sc .
Рассмотрим трёхгранный угол SA'B'Cj пополнительный (п. 395) по
отношению к данному (ребро £4' на чертеже не показано), и биссек-
трису SD' его плоского угла B'SC. В силу свойств пополнительного
трёхгранного угла, прямая SD' лежит в биссектральной плоскости
двугранного угла при ребре S/ данного трёхгранного угла и перпен-
дикулярна к этому ребру. Следовательно, SD' есть перпендикуляр к
биссектральной плоскости ASa двугранного угла, смежного с углом
при ребре SA Кроме того, прямая S/4', по определению, перпенди-
кулярна к плоскости BSC. Так как прямые SD' и SA' перпенди-
кулярны соответственно к плоскостям ASa и BSC, то проходящая
через них плоскость A'SD’ перпендикулярна к обеим этим плоско-
стям, а следовательно, и к линии их пересечения Sa. Итак, прямая
Sa перпендикулярна к плоскости A'SD', проходящей через ребро SA'
пополнительного трёхгранного угла SA'B'C и через биссектрису
SD' его плоского угла B'SC. По тем же соображениям прямые Sb
и Sc перпендикулярны соответственно к двум другим аналогичным
плоскостям B'SE' и CSF'.
Так как плоскости A’SD’, B'SE1 и C'SF' проходят в силу 1° че-
рез одну прямую 8', то прямые Sa, Sb и Sc лежат в одной плоско-
сти тг, перпендикулярной к прямой 8'.
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
339
При м е ч а и и е. Свойство трехгранного угла, рассмотренное в 1°, со-
храняет силу, если рассматривать биссектрису одного из плоских углов и
биссектрисы углов, смежных с двумя другими его плоскими углами, а рас-
смотренное в 2° — если рассматривать биссектральную плоскость угла, смеж-
ного с одним из двугранных углов, и биссектральные плоскости двух других
двугранных углов.
Для доказательства достаточно рассмотреть трёхгранный угол, который
получается из данного путём замены одного из рёбер его продолжением за
вершину (ср. решения упр. 487 и упр. 489, 1°).
491. 1 . Пусть рёбра SB и SC данного трёхгранного угла SABC пе-
ресекают в точках В и С плоскость,
в какой-либо его точке А (черт. 284).
Плоскость Р, проходящая через
ребро <8’Л и перпендикулярная к гра-
ни BSC, будет перпендикулярна к
плоскости АВС (так как она прохо-
дит через перпендикуляр S.4 к этой
плоскости). Так как она перпенди-
кулярна, по предположению, и к
плоскости BSC, то она будет пер-
пендикулярна и к прямой ВС. Сле-
довательно, плоскость Р пересечёт
плоскость АВС по прямой, перпен-
дикулярной к ВС, т. е. по высоте
Аа треугольника АВС.
Плоскость, проходящая через SB
и перпендикулярная к грани С5/4,
будет пересекать плоскость АВС,
также перпендикулярную к ASC,
по прямой ВЬ, которая будет перпен-
дикулярна к плоскости CSA, а значит
перпендикулярную к ребру 671
S
Черт. 284.
и к прямой СА. По той же при-
чине плоскость, проходящая через ребро SC и перпендикулярная к
грани ASB, пересекает плоскость АВС по прямой Сс, перпендикуляр-
ной к АВ.
Итак, плоскости, о которых идёт речь, пересекают плоскость тре-
угольника АВС по его высотам. Так как высоты треугольника про-
ходят через одну точку Н, то три плоскости пересекаются по одной
прямой d, проходящей через точки S и Н.
До сих пор мы предполагали, что рёбра SB и SC данного трёх-
гранного угла пересекали плоскость, перпендикулярную к ребру &4,
в точках В и С, т. е. что плоские углы ASB и ASC отличны от
прямого. В том случае, когда один из этих плоских углов прямой,
а два других плоских угла данного трёхгранного угла отличны от
прямого, можно повторить предыдущие рассуждения, заменив плоскость,
перпендикулярную к ребру 6/, плоскостью, перпендикулярной к дру-
гому ребру, а именно к общей стороне двух плоских углов, отлич-
ных от прямого. Если данный трёхгранный угол имеет два прямых
22*
340
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
плоских угла, то рассматриваемая теорема теряет интерес (хотя фор-
мально и сохраняет смысл); если данный трёхгранный угол имеет три
прямых угла, то теорема вообще теряет смысл. Поэтому рассматри-
ваемое свойство трёхгранного угла можно считать доказанным во всех
случаях.
Мы получим соответствующее предложение для сферического тре-
угольника, соединяя его вершины с центром шара и применяя к по-
лученному трёхгранному углу только что доказанное предложение.
2°. Прямая, лежащая в плоскости BSC, проходящая через точку S
и перпендикулярная к £4, будет перпендикулярна и к проекции Sa
прямой на плоскость BSC. Будучи перпендикулярна к 6’Д и к Sa,
она будет перпендикулярна к плоскости ASa, а следовательно, и
к прямой d. Таким образом, три прямые, о которых идёт речь, пер-
пендикулярны к прямой d и потому лежат в плоскости р, проходя-
щей через S и перпендикулярной к d.
Примечание. Из сказанного без труда вытекает следующая теорема,
которой мы в дальнейшем воспользуемся: если некоторая плоскость пере-
секает две грани трёхгранного угла по прямым, соответственно перпен-
дикулярным к противоположным рёбра», то она пересекает и третью
грань по прямой, перпендикулярной к противопол жному ребру.
Действительно, такая плоскость будет параллельна плоскости р.
3°. Пусть SABC — данный трёхгранный угол. Построим для него
прямые D, Dx, D, и Ds (упр. 487), плоскости Р, Ръ Р2 и Р3 (упр. 488),
плоскости П, II,, U2 и П8 (упр. 489, 1°), прямые А, А], А2 и А3
(упр. 489, 2°), прямую 8 (упр. 490, 1°), плоскость п (упр. 490, 2°),
прямую d (упр. 491, 1°) и плоскость р (упр. 491, 2°).
Обозначим через SA'B'C трёхгранный угол, пополнительный по
отношению к данному (п. 395), и через D, Di, ... , d', р' — соот-
ветствующие этому трёхгранному углу прямые и плоскости, анало-
гичные перечисленным выше.
Прямая D одинаково наклонена к граням BSC, CSA и ASB дан-
ного трёхгранного угла. Угол прямой D с полупрямой <$УГ (или SB' или
SC) дополняет до прямого угла угол прямой D с плоскостью BSC (пли
CSA, или ASB). Отсюда следует, что прямая D равнонаклонена к по-
лупрямым SA',SB’ и SC и потому совпадает с прямой А' для угла
SA'B’C’.
Если заменить трёхгранный угол SABC углом SA^BC, где 6’/] —
продолжение ребра за вершину S, то пополнительный угол заме-
нится углом SAiB'C, где SAJ — продолжение ребра S/Г за верши-
ну S. Повторяя для углов SAtBC и SAiB'C только что проведённое
рассуждение, убедимся, что прямая Dt совпадает с А/. Итак, прямые
D, Dlt*D2 и Ь3 совпадают с прямыми Д', Д/, Д2' и Д8'. Поэтому п
плоскости Р, Ръ Р2 и Р3, перпендикулярные соответственно к D,
D2 и Ds, совпадают с плоскостями 1Г, П/, П2' и П3', перпендику-
лярными соответственно к Д', Д/, Д2' и А3'.
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
341
Так как не только угол SA’B'C является пополнительным по от-
ношению к SABC, но и угол SABC—пополнительным по отношению
к SA'B'C (п. 395), то отсюда следует ещё, что прямые Д, дъ Д2
и А3 и плоскости II, П], П2 и Ils совпадают соответственно с пря-
мыми D', Dx', D2' и £)8' и с плоскостями Р, Рг’, Р2' и Р3'.
Далее из сказанного в решении упражнения 490, 2° вытекает,
что плоскость п перпендикулярна к прямой д', а плоскость п' — к
прямой о.
Рассмотрим, наконец, плоскость ASa (см. выше, 1°; черт. 284),
проходящую через ребро 571 и перпендикулярную к плоскости грани
BSC трёхгранного угла SABC. Так как эта плоскость проходит через
прямую SA, то она будет перпендикулярна к плоскости грани B'SC
пополнительного трёхгранного угла SA'B'C, а так как она перпенди-
кулярна к плоскости BSC, то проходит через его ребро SA'. Итак,
плоскость 45’а проходит через ребро 67Г и перпендикулярна к плос-
кости грани B'SC трёхгранного угла SA'B'C. Аналогичными свой-
ствами обладают и плоскости BSb и CSc. Отсюда следует, что пря-
мая d для трёхгранного угла SABC (см. выше, 1°) совпадает с ана-
логичной прямой d' для пополнительного трёхгранного угла SA'B’C',
а плоскость р для трёхгранного угла SABC (см. выше, 2°), перпенди-
кулярная к прямой d,— с соответствующей плоскостью р' для попол-
нительного трёхгранного угла SA'B'C.
492. Пересечём, как и при решении упражнения 491,1°, данный
трёхгранщяй угол SABC плоскостью, перпендикулярной к ребру SA
(черт. 284). Проекция ребра 5Л на плоскость BSC совпадает, оче-
видно, с той прямой, которая была там обозначена через Sa; точно
так же проекции рёбер SB и SC на противолежащие грани будут
совпадать с прямыми Sb и Sc. При этом прямые Аа, ВЬ и Сс будут
опять высотами треугольника АВС, а следовательно (пл., упр. 71),—
биссектрисами треугольника abc.
Рассмотрим теперь двугранный угол при ребре Sa трёхгранного
угла Sabc и применим к нему результаты упражнения 462. Прямая 5'7
пересекает его ребро в точке 5. Плоскость АВС, перпендикулярная
к прямой 571, пересекает его грани по прямым ab и ас так, что пря-
мая аА есть биссектриса угла Ьас (или угла, с ним смежного). В
силу упражнения 462, плоскость ASa есть одна из биссектральных
плоскостей углов, образованных плоскостями aSb и aSc, т. е. гранями
трёхгранного угла Sabc. То же имеет, очевидно, место и для плоско-
стей BSb и CSc.
493. Из рассмотрения чертежа 283 (стр. 338) видно, что для на-
блюдателя, расположенного в точке А, оба плоских угла BSC и B'SC
будут иметь одинаковое направление (на чертеже оба угла направле-
ны по часовой стрелке). Так как точка А' лежит, по определение
пополнительного трёхгранного угла, по ту же сторону от плоскости
B'SC, что и точка А, то угол B'SC' будет иметь одно и то же на-
правление для наблюдателей, находящихся в точках А и А'. Таким
342
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
образом, угол BSC будет иметь для наблюдателя, находящегося в то-
чке А, то же направление, что и угол B'SC для наблюдателя, на-
ходящегося в точке А'.
Это и показывает (сравнить п. 389), что пополнительные трёх-
гранные углы SABC и SA'В'С имеют одинаковое расположение.
494. Пусть CSD (черт. 285) — биссектральная плоскость двугран-
ного угла при ребре SC равнобедренного трёхгранного угла SABC,
в котором плоские углы ASC и BSC равны.
Два трёхгранных угла SACD и SBCD
будут симметричны (по второму признаку,
п. 397), так как плоский угол CSD у них
общий, плоские углы ASC и BSC равны, и
двугранные углы при ребре SC также равны.
Отсюда следует, что и дву> ранные углы при
ребре SD будут равны, так что плоскость
CSD будет перпендикулярна к плоскости ASB,
и что плоские углы ASD и BSD будут равны,
так что прямая SD будет делить угол ASB
пополам.
Обратно, если биссектральная плоскость CSD некоторого трёх-
гранного утла SABC перпендикулярна к грани ASB, то трёхгранные
углы SACD и SBCD будут симметричны (и. 397, первый признак),
так как они имеют общий плоский угол CSD и прилежащие к нему
двугранные углы при рёбрах SC и SD в обоих этих трёхгранных
углах будут равны. Отсюда следует, что / ASC — / BSC, так что
трёхгранный угол SABC равнобедренный.
Далее, если плоскость CSD, проходящая через ребро SC некото-
рого трёхгранного угла SABC и через биссектрису SD его плоского
угла ASB, перпендикулярна к плоскости последнего, то трёхгранные
углы SACD и SBCD будут симметричны (п. 397, второй признак),
так как они имеют общий плоский угол CSD, равные плоские углы
ASD и BSD и равные двугранные углы при ребре SD. Отсюда сле-
дует, что равны и их плоские углы ASC и BSC, так что трёхгран-
иый угол SABC равнобедренный.
Пусть, наконец, SD — биссектриса плоского утла ASB произволь-
ного трёхграниого угла SABC, в котором
/_А8С> </_BSC.
(П
Сравним два трёхгранных угла SACD и SBCD. Эти два трёхгранных
угла имеют по два соответственно равных плоских угла, примыкаю-
щих к ребру SD (угол CSD-—общий,/ ASD—/ BSD). Если бы
мы предположили, что и двугранные углы при ребре SD равны, то
оба эти трёхгранных угла были бы равны, и угол ASC равнялся бы
углу BSC, что противоречит условию (1).
Если предположить, что двугранный угол при ребре SD в трёх-
гранном угле SACD меньше двугранного утла при том же ребре
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА VII
343
в угле SBCD, то мы имели бы / ASC < / BSC (по теореме п. 399),
что опять противоречит (1). Поэтому остаётся единственное предпо-
ложение, а именно, что двугранный угол при ребре SD в трёхгран-
ном угле SACD больше двугранного угла при том же ребре в трёх-
гранном угле SBCD. Иначе говоря, больший плоский угол ASC виден
из биссектрисы SP угла ASB под тупым двугранным углом, а мень-
ший плоский угол BSC — под острым.
495. Выберем в биссектральной плоскости R двугранного угла,
образованного плоскостями Р и Q (черт. 286), прямую SP, перпенди-
кулярную к его ребру 5Л, и проведём через
неё произвольную плоскость. Обозначим через
SB и SC полупрямые, по которым эта плоскость
пересекает грани двугранного угла. В силу
сказанного в решении упражнения 463, прямая
SP будет биссектрисой плоского угла BSC. Та-
ким образом, можно получить неравнобедренный
трёхгранный угол, в котором бнссектральная
плоскость ASP двугранного угла при ребре &4
проходит через биссектрису SD плоского угла
BSC.
Пересекая трёхгранный угол SABC поверх-
ностью шара с центром <$, мы получим нерав-
нобедренный сферический треугольник АВС,
в котором биссектриса SD совпадает с медианой.
Тем самым показано, что предложение, рассмот-
ренное в упражнении 5,3° планиметрии, не
имеет места в сферической геометрии.
Пусть теперь медиана АР сферического
треугольника АВС (черт. 287) равна квадранту.
Отложим на продолжении дуги АР за точку Р
дугу DE, равную AD. Треугольники ABD и ECD будут равны (п. 397,
второй признак), так как / ADB— / EPC', ВР = СР и АР=ЕР.
Отсюда
/_вар=^сер
СЕ=АВ.
(1)
(2)
Так как дуга ADE равна половине большого круга, то точка Е
диаметрально противоположна точке А и точки А, С и Е лежат на
одном большом круге, так что / СЕР = /САР. Из сравнения этого
равенства с равенством (1) вытекает, что / ВАР= / САР, так что
АР есть биссектриса угла ВАС. Далее, в силу (2), имеем АВ-\-АС—
=ЕС-\-АС=АСЕ—АРЕ=2АР. Итак, если медиана сферического
треугольника равна квадранту, то она одновременно служит бис-
сектрисой того угла, через вершину которого она проходит, и
равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу.
344
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Пусть далее медиана АР сферического треугольника АВС (черт. 288)
меньше квадранта. Отложим опять на продолжении дуги АР за
точку Р дугу РЕ, равную АР, Как и выше, треугольники ABD и
ECD будут равны, и мы попрежнему будем иметь равенства (1) и (2).
В этом случае дуга ADE — 2АЕ будет меньше половины окружности
большого круга, и потому точка Р будет лежать на стороне АЕ
сферического треугольника АСЕ. Если в данном треугольнике АВ>АС,
то в треугольнике АСЕ будем иметь (в силу равенства СЕ — АВ}
СЕ~^>АС. Отсюда (по теореме п. 401) следует, что / САР/ СЕР,
так что в силу равенства (1) / CAP'S” / ВАР.
Итак, если медиана треугольника меньше квадранта,
д то она образует с большей из двух
сторон, между которыми она про-
ходит, угол меньшии, чем с другой
стороной.
Далее в этом случае мы имеем
ЛО£ = 2ДО<ЛС 4- СЕ = АВ Ц-
-f-ЛС, так что если медиана тре-
угольника меньше квадранта, то
она меньше полусуммы сторон,
между которыми она проходит.
Пусть, как и выше, медиана АР
сферического треугольника АВС
(черт. 289) меньше квадранта и
пусть для определённости сторона АВ больше АС. В таком случае
точка А отлична от полюсов большого круга ВС, и через неё прохо-
дит (п. 403) единственный большой круг IAH, перпендикулярный к
ВС. Обозначим через I и Н основания мейьшей и большей перпен-
дикулярных дуг AI и АН, опущенных из точки А на большой круг
ВС (ср. п. 404). Пусть далее К и L середины дуг, на которые точ-
ки 1 и Н делят большой круг ВС, так что каждая из дуг IK — KH —
= HL — LI равна квандранту. При этом точки К и L будут, оче-
видно, полюсами большого круга IAH, и дуги AK=AL также будут
равны квадранту.
Так как медиана АР по предположению меньше квадранта, то по
теореме о сравнительной длине перпендикулярных и наклонных дуг
(п. 404) точка Р лежит (черт. 289 и 290) между точкой I и одной
из точек К и L, скажем К (точка Р не может совпадать с /, так
как в последнем случае треугольник АВС был бы равнобедренным;
ср. упр. 494,2°). Далее, так как сторона ВС заведомо меньше поло-
вины большого круга, то дуга РВ меньше квадранта. В то же время
дуга РКН более квадранта, и потому точка Н не лежит на дуге ВС.
Так как / ВАР <С / САР, как было доказано выше, то биссектриса
AM треугольника АВС проходит внутри угла РАС, и точки Н,В,
Р,М и С следуют на большом круге ВС в перечисленном здесь по-
рядке. При этом точка С может лежать между точками В и /, как
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
345
на чертежах 289 и 290, или же точка /—между точками В и С, как на
чертеже 291. В последнем случае, в силу АВ^>АС, будем иметь и
откуда / В Al ~^> / СА1, так что точка М лежит между В
и /. Итак, в обоих случаях точки Н,В,Р,М и 1 следуют на большом
круге ВС в том именно порядке, как они здесь перечислены. Следо*
нательно, мы имеем (в силу теоремы о длине наклонных дуг, п. 404)
Л£>^> AM. Итак, если медиана AD меньше квадранта, то она
больше биссектрисы AM угла ВАС.
Пусть в том же предположении, что медиана АР меньше квадранта,
Во — точка, диаметрально противоположная т<
лежит между / и К и дуга РВ меньше
квадранта, то точка В лежит на дуге IKH,
а точка Во — на дуге ILH.
Пусть точка / лежит между точками С
и Во (черт. 289 и 290). Так как точка Р
лежит между точками 1 и К и, кроме того,
BD = DC, то дуга CI меньше дуги ВН и,
значит, меньше дуги Во1, равной ВН. Точки
С и Во могут лежать и по одну сторону от
точки I. Так как дуга ВС меньше полуокружности, то при этом точ-
ка С будет лежать между 1 и Во, и мы опять будем иметь CI<^BJ.
Так как CI <^Вй1, то и АС АВ0, и потому АВ -|- АС АВ АВй.
Так как сумма дуг АВАВ0 равна полуокружности большого круга,
то отсюда следует, что если медиана треугольника меньше квадранта,
то полусумма сторон, между которыми она проходит, также
меньше квадранта.
Рассмотрим теперь случай, когда медиана АР больше квадранта
(черт. 292). Продолжим стороны АВ и АС и медиану АР треуголь-
ника до их пересечения в точке Ао, диаметрально противоположной
точке А. Медиана А0О треугольника А0ВС будет меньше квадранта. Если
теперь АВ^> АС, то А0С^>А0В, и по доказанному / СА„Р<^ / ВА(1Р,
т. е. / САР<С / ВАР. Итак, если медианабольше квадранта, то она
346
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
образует с большей из двух сторон, между которыми она прохо-
дит, угол больший, чем с другой стороной.
Далее мы имеем в этом случае по доказанному: 2Л0О<^ Л0В-|- А0С,
н в силу очевидного равенства 2ЛО-|-2Д07)=(Л0В-{-740С)-{-(ДВ-|-
-]- АС); отсюда следует, что 2Д£>^> AB-j-AC. Если AM— биссек-
триса угла ВАС, то А0М будет биссектрисой угла ВА0С, и из дока-
занного неравенства A0D^> А0М вытекает, что AD<^AM. Наконец,
так как у (АйВ -|- А0С) меньше квадранта, то -^-(AB-j-AC) больше
квадранта. Итак, если медиана больше квадранта, то имеют место
д неравенства, противоположные приведённым выше
-^<71 для случая медианы, меньшей квадранта.
/у f Итак, медиана сферического треугольника может
/ / / составлять с большей из двух сторон, между которыми
/ / / она проходит, угол как меньший того, который она
II I образует с другой из них, так и равный ему или
I I больший его. Таким образом, предложение, рассмот-
I I I ренное в упражнении 7 планиметрии, не имеет
_\ места в сферической геометрии;
& \ \ \ Так как медиана сферического треугольника может
\\ \ быть как меньше полусуммы сторон, между которыми
она проходит, так и равна этой полусумме или
° больше неё, то первое утверждение предложения.
Черт. 292. рассмотренного в упражнении 11 планиметрии,
не имеет места в сферической геометрии. Заме-
тим, что второе утверждение той же теоремы вместе с его доказа-
тельством, приведённым в первой части книги, сохраняет силу и в
сферической геометрии.
Так как можно без труда построить такой сферический треуголь-
ник, в котором каждая медиана больше квадранта, то и второе
утверждение предложения, рассмотренного в упражнении 12 плани-
метрии, не имеет места в сферической геометрии. В самом деле,
в таком треугольнике каждая медиана больше полусуммы сторон,
между которыми она проходит, так что сумма медиан больше пери-
метра. Первое утверждение той же теоремы вместе с его доказатель-
ством, приведённым в первой части книги, сохраняет силу и в сфе-
рической геометрии.
Отметим ещё, что медиана сферического треугольника всегда
больше полуразности тех сторон, между которыми она проведена.
Действительно, пусть медиана AD сферического треугольника АВС
меньше квадранта, и АВ~у> АС. Отложив на продолжении медианы
дугу DE, равную АЕ (черт. 288), будем иметь АЕ~у>ЕС—АС, т. е.
АЕ^>АВ— АС, откуда АО^>-^ (АВ — АС). Если медиана равна квад-
ранту или больше него, то предложение очевидно. Этим замечанием
нам придётся воспользоваться ниже.
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
347
Так как в каждом из трёх рассмотренных случаев мы имеем п.>
одному условию — медиана соответственно а) равна квадранту,
Ь) меньше квадранта н с) больше квадранта — и по нескольку за-
ключений (первое заключение касается соотношения между медианой
и биссектрисой, второе — углов между медианой и прилежащими
сторонами, третье — соотношения между медианой и полусуммой
сторон, наконец, четвёртое—соотношения между полусуммой сторон
и квадрантом), то мы будем иметь целый ряд обратных теорем в за-
висимости от того, какой из трёх случаев а), Ь) или с) мы имеем в виду и
какое из заключений прямой теоремы мы примем за условие обратной
теоремы (ср., например, п. 375 или Пл., п. 46).
Переходя к формулировкам теорем, обратных доказанным выше,
мы будем объединять вместе обратные теоремы, аналогичные по
своему содержанию. Таким образом, получается следующий перечень
обратных теорем:
1) Если биссектриса сферического треугольника равна квадранту,
то она одновременно служит и медианой того же треугольника.
В самом деле, пусть биссектриса AD сферического треугольника АВС
(см. черт. 287) равна квадранту. Отложим опять на продолжении
дуги AD за точку D дугу DE, равную AD. Так как дуга ADE равна
полуокружности большого круга, то точки А, С и Е лежат на одном
большом круге, и потому / СЕР= / САР—/ ВАР. Сферические
треугольники АВР и СЕР будут равны (по первому признаку равен-
ства, п. 397), так как AD—ED', / АРВ= / EDC', / ВАР—/СЕР.
Отсюда ВР— СР, т. е. АР есть медиана треугольника АВС.
2) Если медиана сферического треугольника является одновре-
менно и биссектрисой того угла, из вершины которого она
выходит, то или медиана равна квадранту, или треугольник
равнобедренный.
3) Если медиана сферического треугольника образует с большей
из двух сторон, между которыми она проходит, угол меньший
(больший), чем с другой стороной, то медиана меньше (больше)
квадранта.
4) Если медиана сферического треугольника больше (меньше)
биссектрисы, выходящей с ней из одной вершины, то медиана
меньше (больше) квадранта.
5) Если медиана сферического треугольника равна полусумме
сторон (меньше, больше полусуммы сторон), между которыми она
проходит, то медиана равна квадранту (меньше, больше квадранта)
6) Если полусумма двух сторон сферического треугольника равна
квадранту (меньше, больше квадранта), то медиана, выходящая
из об цего конца, также равна квадранту (меньше, больше квад-
ранта).
Так как в трёх прямых теоремах заключения охватывают все
имеющиеся здесь возможности, то эти обратные теоремы 2) — 6)
легко доказываются от противного (ср. Пл., п. 71).
348
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Приведём доказательство одной из теорем, приведённых под руб-
рикой 3). Пусть в некотором треугольнике медиана больше биссек-
трисы. Если бы медиана была равна квадранту или больше его, то
на основании прямых теорем медиана была бы равна биссектрисе или
меньше её, что противоречит условию. Следовательно, медиана
меньше квадранта.
Аналогично доказываются остальные обратные теоремы.
В случае трёхгранного угла предложения, соответствующие дока-
занным выше прямым теоремам, читаются так: ,
Если биссектриса одного из плоских углов трёхгранного угла
перпендикулярна к противолежащему ребру, то она лежит в бис-
сектральной плоскости двугранного угла при этом ребре (незави-
симо от того, будет ли трёхгранный угол равнобедренным или нет);
сумма двух других плоских углов трёхгранного угла равна двум
прямым.
Если биссектриса одного из плоских углов трёхгранного угла
образует с противолежащим ребром SA острый (тупой) угол, то
плоскость, проходящая через эту биссектрису и ребро SA, образует
с плоскостью большего из двух других плоских углов двугранный
угол, меньший (больший), чем с плоскостью меньшего из этих двух
углов: угол между этой биссектрисой и ребром SA будет больше
(меньше) того плоского угла, который образуется в пересечении
данного трёхгранного угла с биссектральной плоскостью двугран-
ного угла при ребре SA (за исключением случая равнобедренного,
трёхгранного угла), и меньше (больше) полусуммы двух других
плоских углов; сумма этих двух последних плоских углов будет
меньше (больше) двух прямых.
Далее, угол между биссектрисой одного из плоских углов трёх-
гранного угла и противолежащим ребром будет всегда больше по-
луразности двух других плоских углов.
Из теорем, относящихся к трёхгранному углу и соответствующих
приведённым выше обратным теоремам, сформулируем в качестве при-
мера одну, а именно ту, которая аналогична теореме 5).
Если сумма двух плоских углов трёхгранного угла равна двум
прямым (меньше, больше двух прямых), то биссектриса третьего
плоского угла образует с противолежащим ребром прямой (ост-
рый, тупой) угол.
Пусть теперь в трёхгранном угле SABC (черт. 293) плоский
угол ASB больше угла ЛАС. Проведём биссектрису SX угла B'SC,
где SB' — продолжение ребра SB. При этом в трёхгранном угле SAB'C
имеем / ASC - / ASB' / AS В -ф- X ASB’ = 180°. Следовательно,
в силу только что сформулированной теоремы угол ASX острый.
В таком случае по доказанному выше имеем: / ASX (/ Л АВ'-|-
-j- Z ASC) = (180° — X ASB -ф- X ЛАС) и ASX"> (/_ ASB' —
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
349
— / ZSCj = 4-(18O° — ^/ASB — Z_ ASC). Отсюда 1 (</ASB —
— 21/ISC) < 90° — /_ ASX<Z ’ (/I ASB -J- /_ Л5С). Если бы вместо
биссектрисы СХ угла B'SC мы взяли её продолжение SX', то мы
имели бы / ASX’— 90° = 90°—- / ASX, так что угол ASX и
угол ASX' удовлетворяют поставленному в тексте условию.
Предположив, что / ASB / Л5С, мы исключили случай равен-
ства двух плоских углов ASB и 1SC. Но если / ASB — , ASC, то
/ AS В' - / ASC— 180°, и по доказанному выше /_ASA 90°.
Обратно, если / ASX — 90°, то / ASB—/ ASC. Этот случай не
представляет в данном случае интереса.
Итак, мы доказали следующее предложение: если угол между
одним из рёбер трёхгранного угла и биссектрисой угла, смежного
с противоположным плоским углом, острый или тупой, то он
отличается от прямого угла на величину, заключённую между
полусуммой и полуразностыо двух других плоских углов.
Пересечём, наконец, трёхграниый угол SABC поверхностью шара
с центром S. Биссектриса SX плоского угла B'SC определяет на про-
должении стороны ВС треугольника точку X, расстояние DX которой
от середины D стороны ВС равняется квадранту (так как биссект-
рисы SD п SX углов BSC и B'SC взаимно перпендикулярны). Назо-
вём теперь для краткости внешней медианой, сферического треуголь-
ника (по аналогии с внешней биссектрисой) дугу, соединяющую его
вершину с одной из точек, лежащих на продолжении противолежа-
щей стороны и отстоящих от середины этой стороны на расстояние,
равное квадранту (внешние медианы АХ и АХ сферического треу-
гольника АВС будут, очевидно, медианами в обычном смысле слова
треугольников АВ'С и АВС, где В' и С'—точки, диаметрально про-
тивоположные соответственно точкам В и С). В таком случае каждая
из дуг АХ и АХ' будет внешней медианой треугольника АВС. При
этом доказанное тоаько что предложение можно сформулировать так;
350 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если внешняя медиана сферического треугольника не равна
квадранту, то она отличается от квадранта на величину. заклю-
чённую между полусуммой и полу разностью тех сторон, из об-
щего конца которых эта внешняя медиана выходит.
Примечание. Предложение, рассмотренное в упр. 17 планиметрии,
сохраняет силу и в сферической геометрии (вопреки утверждению автора; ср.
первое издание настоящей книги, стр 79, текст упр. 486).
В самом деле, если медиана AD сферического треугольника АВС равна
квадранту, то сумма углов при вершинах В к С равна двум прямым (так как
на черт. 287 имеем: ^_АВС-У/_ АСВ= £ЕСВА-^АСВ—ЧФг, если медиана АП
сферического треугольника АВС меньше квадранта, то сумма углов при вер-
шинах В и С меньше двух прямых (так как на черт. 288 имеем: £АВС4-
4- / АСВ— £ ЕСВУ АС В < Idy, наконец, если медиана AD сферического
треугольника АВС больше квадранта, то сумма углов при вершинах В и б'
больше двух прямых (так как на черт. 292 имеем: / АВС4- / АСВ=М—
— (Z_AnBC+/_AnCB}'>‘2d).
Отсюда следует, что если оба угла при вершинах В и С острые, то
мед чана сферического треугольника меньше квадранта. Следовательно, она
обрадует с большей стороной треугольника угол, меньший чем с другой
стороной, и т. д. ,
496. Пусть угол АСВ сферического треугольника ЛВС (черт. 294)
прямой, п каждый из катетов АС и ВС меньше квадранта. Отложим
на большом круге СВ в сторону точки В
дугу СК, равную квадранту. Точка К бу-
/ дет одним из полюсов большого круга АС,
I --------К и потому дуга АК также будет равна
q квадранту.
В При этом АС будет меньшей перпен-
Черт 294 дикулярной дугой, опущенной из точки 4
на большой круг СВ, и так как точка В
лежит ближе к С, чем точка К, то АВ АК- Таким образом, ги-
потенуза треугольника меньше квадранта.
Если бы катет АС был меньше квадранта, а катет ВС—больше
квадранта, то при тех же условиях точка К лежала бы ближе к С,
чем точка В, и мы имели бы .4В Л/С Таким образом, гипотенуза
была бы больше квадранта.
Наконец, если оба катета АС и ВС больше квадранта, то мы
продолжим дуги СА и СВ за точки А и В до их вторичного пере-
сечения в точке С', диаметрально противоположной точке С. Гипоте-
нуза АВ треугольника АВС будет и гипотенузой треугольника АВС,
в котором каждый из катетов меньше квадранта. Следовательно,
в этом случае гипотенуза АВ меньше квадранта.
Тем самым доказано, что предложение, рассмотренное в упраж-
нении 16 планиметрии, не имеет места в сферической геометрии:
треугольники АВС и АВС имеют общую гипотенузу, хотя каждый
катет первого треугольника больше соответствующего катета второго.
497 Пусть в выпуклом сферическом четырёхугольнике ABCD
(черт. 295) противоположные стороны попарно равны: AB = CD‘
КНИГА ПЯТАЯ- ГЛАВА VII
351
BQ—AD. Сферические треугольники АВС и CDA равны (по трём
сторонам), и то же имеет место для треугольников ABD и CDB. Сле-
довательно, противоположные углы данного четырёхугольника попарно
равны; кроме того, равны между собой углы АСВ и CAD, а также
CBD и ADB. Если О — точка пересечения диагоналей четырёхуголь-
ника, то сферические треугольники ОВС и ODA равны (они имеют
пару равных сторон ВС и AD и соответственно равные углы, приле-
жащие к этим сторонам). Из равенства этих треугольников имеем
0B=OD и ОС = 0/1, так что диаго-
нали четырёхугольника делятся в точке
пересечения пополам.
Обозначим через S центр шара, на
котором лежит данный четырёхугольник,
и через Р и Р — точки пересечения боль-
ших кругов ВС и AD. При повороте ша-
ра около прямой SO на 180° (ср. п 434)
точка А совмещается с С, точка В — с D,
точка С—с А и точка/?—с В. Отсюда
следует, что большой круг ВС совмещает-
ся с большим кругом AD, а большой круг
AD—с большим кругом ВС, так что
точка Р совмещается с Р, а точка Р —
с точкой Р. Так как прямая РР' не изменяет своего положения в
пространстве при повороте на 180° около прямой SO, то она пере-
секает прямую SO под прямым углом, и каждая из дуг ОР и ОР
равна квадранту. Теми же свойствами будут обладать и точки пе-
ресечения Q и Q' больших кругов АВ и CD. Следовательно, точ-
ка О есть полюс большого круга PQPQ', на котором лежат
точки пересечения противоположных сторон.
Примечание. Тот же результат можно получить и не пользуясь по-
нятием вращения, если применить результаты упражнения 495.
Сферические треугольники РАВ и P'CD равны (так как они имеютпару
равных сторон АВ и СЬ и соответственно равные углы, прилежащие к этим
сторонам), откуда АР=СР’. Следовательно, АРЦ-СР = СР' 4- СР = 180°.
Медиана ОР сферического треугольника РАС, в котором сумма двух сторон
равна 130°, равняется квадранту на основании одной из обратных теорем,
приведённых в решении упражнения 495.
Пусть теперь С и D' — точки шара, диаметрально противопо-
ложные вершинам С и D данного четырёхугольника. Середина К
дуги АС большого круга отстоит от середины О дуги АС того же
большого круга на расстоянии, равном квадранту, и потому точка К
лежит на большом круге PQPQ'. Так как последний большой круг,
кроме того, перпендикулярен к большому кругу АС (большой крут АС
проходит через полюс О большого круга PQPQ’; ср. п. 403), то
всякая точка большого круга PQP'Q' равноудалена от точек А и С
(п. 387). По аналогичным соображениям всякая точка того же боль-
352
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
АВС и BAD,
того круга PQP'Q' равноудалена также и от точек В и D'. Отсюда
вытекает, что точка большого круга PQPQ', равноудалённая от то-
чек А и В (такую точку можно найти, пользуясь п. 387), будет
равноудалена от всех четырёх точек А, В, С и D'. Следовательно
(п. 384), две соседние вершины А и В данного четырёхугольника и
точки С и D', диаметрально противоположные двум другим его
вершинам С и D, лежат на одном круге. То же, очевидно, будет
иметь место и для любых двух других соседних вершин.
Если в четырехугольнике ABCD все четыре стороны равны
(AB = BC — CD=DA), то треугольники АВО и СВО равны (по трём
сторонам), откуда / АОВ— / СОВ, так
что диагонали АС и BD взаимно пер-
пендикулярны.
Пусть теперь в четырёхугольнике ABCD
(черт. 296) при равенстве противополож-
ных сторон (AB = CD- ВС —DA) равны
и диагонали (AC = BD). Треугольники
АВС и BAD будут симметричны (по ра-
венству трёх сторон), и потому углы АВС
и BAD будут равны. Как было доказано
выше, противоположные углы четырёх-
угольника попарно равны; следовательно,
в данном случае все четыре угла четы-
рёхугольника равны. В силу равенства
будут равны и углы РВА и РАВ. Треугольник
углов
РАВ будет равнобедренным, а именно РА=РВ. В силу равенства
диагоналей, равны их половины ОА и ОВ. Треугольники АОР и
ВОР симметричны (по трём сторонам), и потому / АОР= / ВОР.
Таким образом, дуга ОР делит угол АОВ пополам; аналогично ду-
га OQ делит угол ВОС пополам. Следовательно, угол POQ прямой.
Так как каждая из дуг ОР и OQ равна квадранту, то все три угла
треугольника OPQ прямые.
П р и м е ч а н и е. Пусть, обратно, в некотором выпуклом сферическом
четырёхугольнике ABCD (черт. 296) все четыре угла равны. Сохраняя преж-
ние обозначения, рассмотрим сферические треугольники РАВ и P'CD. Каждый
из них будет равнобедренным (по равенству двух углов), и оба они будут
равны между собой (по равенству трёх углов), откуда РА = РВ=Р'С — Р'В
и, следовательно, BC = AD. Таким же образом докажем, что AB=CD. Нако-
нец, диагонали АС и BD будут равны, так как сферические треугольники РАС
и PBD будут симметричны (по двум сторонам и заключённому углу). При этом
диагонали будут делить друг друга на равные части в силу сказанного выше.
Итак, если в выпуклом сферическом четырёхугольнике все четыре
угла равны, то его противоположные стороны попарно равны, диагонали
равны между собой, и делятся в точке пересечения пополам.
498. Пусть С—данный малый круг шара (черт. 297) и Р—тот
из его полюсов, который лежит во внутренней области (п. 384).
Большой круг шара, касающийся круга С в некоторой точке М, пер-
КНИГА ПЯТАЯ.ГЛАВА VII
353
пендикулярен к сферическому радиусу P/И круга С, проведённому
в точку Р (ср. примечание к решению упр. 487). Поэтому тот из
полюсов М' большого круга, касательного к данному в точке /И,
который расположен в одном полушарии с кругом С, лежит на боль-
шом круге МР, по ту же сторону от точки М, что и точка Р, на
расстоянии ММ', равном квадранту, от
точки М и М' лежат на одном большом
круге с точкой Р, по разные стороны от
р и на расстоянии, равном квадранту, одна
от другой.
Если точка М описывает данный
круг С, то точка М' также описывает
малый круг С, имеющий точку Р своим
полюсом, так как дуга РМ' не изменяет
при этом своей величины.
Круг, полярный по отношению к С,
будет совпадать с кругом С, так как оба
точки М. Иначе говоря,
полярного по отно-
круга имеют общий полюс Р, и радиус круга,
шению к С, совпадает с радиусом круга С.
499. Приступая к решению задач на построение на поверхности
шара, предположим, что радиус данного шара уже определён путём
построений на шаре и на плоскости, как указано в п. 387. При
таком предположении имеется, в ‘ частности, возможность построить
на шаре большой круг с полюсом в данной точке. Для этого рассто-
яние между остриями ножек сферического циркуля должно 6i ть взято
равным диагонали квадрата, сторона которого равна радиусу шара.
Построение а. Чтобы построить точку, диаметрально противо-
положную данной точке, проводим большой круг с полюсом в дан-
ной точке. Далее строим ещё два больших круга с полюсами в про-
извольных точках проведённого большого круга.Эти два новых больших
круга пересекутся в данной точке и ещё в некоторой другой точке,
которая и будет диаметрально противоположна данной.
Построение Ь. Строим большие круги, имеющие своими по-
люсами две данные точки. Точки пересечения построенных больших
кругов и будут полюсами искомого большого круга.
Построение с Строим два равных пересекающихся круга
с полюсами в двух из данных точек А и В. Через точки их пересе-
чения проводим большой круг (построение Ь). Он будет геометриче-
ским местом точек шара, равноудалённых от точек А и В (и. 387).
Таким же образом строим геометрическое место точек, равноудалён-
ных от точки В и от третьей данной точки С. Точки пересечения
обоих построенных больших кругов и будут полюсами круга АВС.
Чтобы построить полюсы данного круга, применяем это построе-
ние к трём его произвольным точкам А, В и С.
Построение d. Пусть данная точка А не лежит на данном
большом круге. Строим произвольный круг с полюсом в данной
23 Элементарная геометрия, ч. II
354
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
точке А, пересекающий данный большой круг в некоторых точках М
и /V. Вторая точка пересечения А' двух кругов, проходящих через
точку А и имеющих своим полюсом соответственно точку М и точку Д7,
лежит на искомом большом круге. Большой круг, проходящий через
точки А и А', и будет искомым. Если точка А лежит на данном боль
шом круге, то построение требует видоизменения (предоставляем его
читателю).
Построение е. Описываем произвольный круг с полюсом
в вершине А данного угла; пусть этот круг пересекает стороны угла
в точках М и N. Вторая точка пересечения А’ двух кругов, прохо-
дящих через точку А и имеющих своими полюсами — один точку /И,
другой — точку N, лежит на искомом большом круге. Остаётся
только через точки А и А' провести большой круг.
Чтобы разделить пополам данную дугу АВ, строим два произволь-
ных пересекающихся круга, имеющих своим полюсом — один точку А,
другой — точку В. Большой круг, проходящий через точки пересече-
ния построенных кругов, и разделит дугу АВ пополам.
Построение /. Решим предварительно следующую задачу.
Построить прямоугольный сферический тречголышк по его острому
углу и противолежащему катету. При этом катет, противолежащий
острому углу, должен быть меньше
квадранта (п. 404).
Пусть XAY—данный острый угол
(черт. 298). Задача построения искомого
треугольника сводится, очевидно, к по-
строению на полуокружности АХА’
(где А’ — точка, диаметрально проти-
воположная точке И) такой точки В,
чтобы перпендикуляр ВС, опущенный на
неё на большой круг AY, был равен
данной дуге. Геометрическое место то-
чек сферы, расстояние которых от боль-
шого круга AY равно данной дуге,
состоит из двух малых кругов, имею-
щих с большим кругом AY общие полюсы; из этих двух малых кру-
гов в данном случае достаточно рассмотреть один. Полюс этого
малого круга совпадает с полюсом Р большого круга AY; его сфе-
рический радиус дополняет данный катет до квадранта. Этот малый круг
можно построить (на чертеже малый круг KBL). Искомой вершиной
треугольника будет одна из двух точек пересечения В и построен-
ного малого круга с большим кругом АХ. Задача можеть иметь два
решения (треугольники АВС и АВф^ на чертеже).
Чтобы задача имела решения, два только что названных круга —.
большой круг АХ и малый круг KBL — должны иметь общую точку.
Для этого в свою очередь требуется, чтобы наибольшее расстоя-
ние XY от точки полуокружности АХА' до большого круга AY было
КНИГА ПЯТАЯ ГЛАВА VII
355
больше или по крайней мере равно данному катету. Это наибольшее
расстояние XY получится, если построить большой круг, имеющий
точку А своим полюсом. Но дуга XY большого круга измеряет дан-
ный острый угол XAY.
Итак, поставленная задача — построить прямоугольный треугольник
по острому углу и противолежащему катету, имеет два решения, если
катет меньше угла, одно решение, если катет равен углу, и не имеет
решения, если катет больше угла *). В том случае, когда имеется
одно решение, получается треугольник AXY с двумя прямыми углами.
Каждая из сторон АХ и AY равна квадранту.
П ри м е ч а н и е: Из решения поставленной задачи вытекает такая тео
рема: если катет одного прямоугольного сферического треугольника равен
катету другого и если угол первого треугольника, противолежащий этому
катету, равен соответствующему углу второго треугольника, то вторые
катеты этих треугольников либо равны (и тогда треугольники равны или
симметричны), либо дополняют друг друга до 180°.
Переходим теперь к решению поставленной задачи — провести
через данную точку Во дугу большого круга Л0В0, образующую
с данным большим кругом С0М0 угол, рав- _______
ный данному углу (черт. 299). Достаточно
рассмотреть случай, когда данный угол / \
острый. / б0 \
Пусть В0С0— меньшая перпендику- / ,——\
лярная дуга, опущенная из точки Во на Y 1 XI
большой круг С0Л10. Задача сводится к по- k// I >1
строению прямоугольного треугольника, у \ -------------------/
которого одним из катетов служит дуга X Со °/
В0С0 и острый угол при вершине Ао pa- X. /
вен данному углу. Для решения этой
задачи строим по способу, разобранному
выше, где-либо на шаре треугольник АВС, еРт- 2®9-
равный (или симметричный) искомому, и
откладываем на большом круге С0Л10 дугу С0А0, равную катету АС.
Наибольшее число решений — четыре, так как катет АС может
иметь два значения (ЛС и ACJt на черт. 298) и точка Ао может ле-
жать по ту и другую сторону от точки Со.
Из сказанного выше следует, что наименьшим значением угла А,
для которого задача возможна, будет значение, равное дуге В0С0.
При этом задача имеет два решения, и каждая из дуг Л0С0 будет
равна квадранту.
Переходя к решению задач на построение сферических треугольников
отметим, что основная задача этого типа — построить сферический треуголь-
ник по трём сторонам — решается совершенно так же, как аналогичная за-
дача на плоскости; условия возможности задачи состоят в том, чтобы 1) каж-
1) Так как катеты выражаются в угловых единицах, то смысл этих выра-
жений ясен.
23*
356
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
дая сторона была меньше суммы двух других сторон и 2) сумма всех трёх
сторон была меньше полной окрчжности (п. 394).
При указании числа решений в задачах на построение сферических
треугольников (построения g—k) мы всегда будем считать два сим-
метричных треугольника за одно решение.
Построение g. Строим угол, равный данному углу (это по-
строение выполняется, как на плоскости), и на его сторонах отклады-
ваем данные стороны.
Условия возможности состоят в том, чтобы каждая из данных
сторон была меньше полуокружности, а данный уюл меньше 180°.
Построение h. Пусть в искомом сферическом треугольнике АВС
даны угол А и стороны а и Ь, проти-
волежащие соответственно углам А и В.
Построив угол XAY, равный углу А
(черт. 300), отложим на одной из его
сторон A Y дугу АС, равную Ь. Точ-
ка С, таким образом, определена. Точ-
ка В должна лежать на малом или, в
частности, на большом круге, имеющем
точку С своим полюсом и дугу а своим
сферическим радиусом. Пересечение
этого круга со второй стороной АХ
угла А и даст искомую вершину В, положение которой окончательно
определяет треугольник.
При исследовании задачи мы исключим из рассмотрения случай,
когда угол А прямой. Этот более простой случай будет рассмотрен
особо (ср. далее — построение k).
Обозначим через h и h' длины перпендикуляров СН и СН', опу-
щенных из точки С на большой крут АХ, который служит второй
стороной угла А. Обозначения выберем так, чтобы было (слу-
чаи = 90° приводит к А = 90°); при этом по теореме
о сравнительной длине перпендикулярных и наклонных дут (п. 404)
будем необходимо иметь h<^b<^h' и h <^180° — b<^h'. В зависи-
мости от величины другой данной стороны а придётся рассмотреть
последовательно следующие возможные здесь случаи (ср. схему, при-
ведённую на черт. 301): 1) a<^h или а^>А'; 2) a — h или а — 1г';
3) h<^a<^b и с<^180° — b или же b<^a<^h' и 180° — Ь<^а;
4) а — b или а — 180° — Ь; 5) Ь<^ а 180° — b или 180° — b а <^Ь.
1) Если a<^h или a^>h', то задача не имеет решений, так
как в этом случае малый круг с полюсом С и сферическим радиу-
сом а не пересекает большего крута АХ. Это вытекает из свойств
перпендикулярных и наклонных дуг (и. 404).
2) Если a — h, то задача имеет одно решение при А <^90°,
и не имеет решений при А ^>90°; аналогично, если a = h', то за-
дача имеет одно решение при А 90° и не имеет решений
при А 90°.
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
357
В самом деле, при а = 1г или a — h' малый круг с полюсом С и
сферическим радиусом а, о котором шла речь, касается большого круга
АХ в одной точке. Эта точка будет лежать на полуокружности АХА'
при условии, что дуга а= h будет меньше квадранта и в то же время
угол А будет острым, а также при условии, что дуга a = h' будет
больше квадранта и в то же время угол А будет тупым. Это следует
из того, что в прямоугольном треугольнике АВС катет ВС и угол А
должны быть одновременно острыми или тупыми (п. 404).
Черт. 301.
3) Если h<C^a<^b и а <^180°— Ь, то задача имеет два реше-
ния при А <^90° и не имеет решений при А ^>90°; напротив,
если b<^a<^h' и 180° — b <^а, то задача имеет де,а решения
при А >90° и не имеет решений при А <^90°.
Пусть h.<^a<^b и а <480°— Ь. Если угол А острый, то при
перемещении некоторой точки М по полуокружности АХА' от точки А
до точки А' дуга СМ, имеющая своими концами точку С и перемен-
ную точку М, сначала убывает от значения b до h, а затем возра-
стает от h до 180° — Ь. Поэтому обе точки, в которых малый круг
с полюсом С и сферическим радиусом а пересекает большой круг АХ.
будут лежать на дуге АХА', и задача имеет два решения. Если
же угол А тупой, то дуга СМ возрастает от b до h' и затем убы-
вает от ti до 180° — Ь; ни одна из точек пересечения не лежит
на дуге АХА', и затача не имеет решений.
Противоположные результаты получим, очевидно, при b<^a<^h'
и 180° — Ь<а.
4) Если а = Ь или а =180° — Ь, то зада <а имеет одно решение,
если одновременно А 90° и а << 90° или одновременно А 90° и
а 90°, и не имеет решений в остальных случаях.
Пусть а = £><^90°, и А <^90°. Так как при перемещении
точки М по полуокружности АХА' дуга СМ убывает от значения Ь = а
до значения h, а затем возрастает от значения h до значения 180°—
— b~^>b, то одна из точек пересечения, о которых идёт речь, сов-
падает с А, а другая лежит на полуокружности АХА', так что задача
имеет одно решение. Аналогично исследуются и остальные предполо-
жения.
5) Если Ь а <480° b или 180° — b <^а <^Ь, то задача
всегда имеет одно решение.
358
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Так как при перемещении точки М по полуокружности АХА'
от точки А до точки А' дуга СМ при остром угле А сначала убы-
вает от значения b до h, а затем возрастает от h до 180° — Ь, а при
тупом угле А сначала возрастает от значения b до А', а затем убы-
вает от h' до 180° — Ь, то из двух точек пересечения, о которых
идёт речь, только одна лежит на дуге АХА'.
Построение I. При решении этой задачи приходится различать
два существенно различных случая.
Если даны сторона и два угла, прилежащие к этой стороне,
то строим дугу, равную данной стороне, и при концах этой дуги
по одну сторону от неё строим углы, соответственно равные данным
углам. Точка пересечения вторых сторон этих углов определяет
третью вершину. Условие возможности состоит в том, что данная
сторона и каждый из данных углов меньше 180°.
Пусть теперь в искомом сферическом треугольнике АВС даны
сторона ВС—а, противолежащий угол А и один из прилежащих
углов В. В треугольнике А'В'С, полярном по отношению к искомому,
будут известны угол А’ = 180° — а и две стороны а' = 180° — А и
А'=180°— В. Треугольник А'В'С можно построить по этим данным
(построение Л). Построив полюсы сторон треугольника А'В'С, полу-
чим искомый треугольник. Так как задача построения треуголь
ника А'В'С может в различных случаях иметь два решения, одно
решение или вовсе не иметь решений, то то же имеет место и для
данной задачи.
Построение J. Пусть даны углы А,В и С искомого сфериче-
ского треугольника АВС. В треугольнике А'В'С, полярном по отноше-
нию к искомому, будут известны сто-
роны а' = 180°— А и т. д. Треугольник
/ \ _ А'В'С' можно построить по трём сторонам.
К/ ' 1 , Построив полюсы сторон треугольника
^£-1--------А'В'С, получим искомый треугольник.
L Условия возможности состоят в том, что
( / [ ) каждый из данных углов, увеличенный на
________180°, был больше суммы двух других
Д X углов и чтобы сумма всех трёх углов была
Черт. 302. боЛЬ'ие 180° <"• 396>- п
Построение А. Пусть в искомом
сферическом треугольнике АВС, имеющем
при вершине А прямой угол, даны гипотенуза ВС=а и один из
прилежащих углов, а именно угол В. Мы будем предполагать, что угол
В отличен от прямого.
Построив угол XBY, равный углу В (черт. 302), отложим на
одной из его сторон BY дугу ВС=а. Через конец С этой дуги
проводим большой круг АСА', перпендикулярный к другой стороне
ВХ построенного угла. Пусть А и Д' — точки пересечения этого
большого круга с большим кругом ВХ. Обозначения выбираем так,
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
359
чтобы было АС < А'С (при АС = А'С угол В будет прямым). Если
угол В острый, то искомым треугольником будет треугольник АВС,
а если угол В тупой, то треугольник А'ВС, так как катет и про-
тиволежащий острый угол одновременно оба острые или оба тупые
(п. 404). Таким образом, если угол В отличен от прямого, то задача
имеет одно решение. Если же угол В, как и угол А, прямой, то
задача не имеет решения, если дуга а отлична от квадранта, и ста-
новится неопределённой, если дуга а равна квадранту.
Примечание. Из решения поставленной задачи вытекает такая
теорема: если гипотенуза одного прямоугольного сферического треуголь-
ника равна гипотенузе другого и один из углов первого треугольника,
отличный от прямого, равен одному из углов второго, то треугольники
равны или симметричны.
Пусть теперь в искомом сферическом треугольнике АВС, имеющем
при вершине А прямой угол, даны гипотенуза ВС=а и один из
катетов АС=Ь.
Построив прямой угол с вершиной А, отложим на одной из его
сторон дугу АС, равную Ъ (черт. 302). Точка В должна лежать на
малом или, в частности, на большом круге, имеющем точку С своим
полюсом и дугу а своим сферическим радиусом. Пересечение этого
круга со второй стороной прямого угла и даст искомую вершину В,
положение которой окончательно определяет треугольник. Задача бу-
дет иметь решение во всех случаях, когда круг с полюсом С и сфе-
рическим радиусом а будет пересекать вторую сторону прямого угла,
и притом единственное. Действительно, обе точки пересечения дают
два симметрических треугольника. Следовательно, задача имеет одно
решение, если £><^а<^180°— b или 180° — b<^a<^J), и не имеет
решений в других случаях.
Примечание. Из решения поставленной задачи вытекает такая
теорема: если гипотенуза я один из катетов одного прямоугольного сферичес-
кого треугольника соответственно равны гипотенузе и одному из кате-
тов другого, то треугольники равны или симметричны.
Прежде чем приступить к выполнению дальнейших построений,
сделаем несколько замечаний.
Говорят, что большой круг касается малого крута, если оба круга
имеют общую касательную в их общей точке, т. е. если они имеют
только одну общую точку; большой круг, касающийся малого крута,
перпендикулярен к сферическому радиусу последнего, проходящему
через точку касания (ср. примечание к решению упр. 487).
Аналогично говорят, что два малых круга касаются друг друга,
если они имеют общую касательную, а следовательно, и общий каса-
тельный большой круг, в их общей точке. Если два малых круга
касаются друг друга, то они имеют единственную общую точку,
и обратно; эта единственная общая точка лежит на одном боль-
шом круге с полюсами малых кругов. Доказательства этих утверж-
360
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
дений аналогичны соответствующим доказательствам на плоскости
(ср. Пл., нп. 68—69).
Построение /. Пусть требуется провести окру юность (т. е.
большой или малый круг), касающуюся дачной окру юности в дан-
ной точке А и проходящую через другую данную точку В, не
лежащую на данной окружности.
В силу только что сделанных замечаний полюсы искомой окруж-
ности лежат на большом круге, проходящем через точку А и через
полюс данной окружности. Кроме того, полюсы искомой окружности
лежат на большом круге, проходящем через середину дуги АВ и к ней
перпендикулярном (п. 387). 05а эти больших круга можно построить.
Два построенных больших круга будут пересекаться в двух диа-
метрально противоположных точках, которые служат полюсами един-
ственной окружности, проходящей через точку А. Эта окружность и
будет искомой.
Построение т. Проводим через данную точку большой круг,
перпендикулярный к тому большому кругу, который проходит через
данную точку и через полюсы данной окружности (ср. замечания,
сделанные выше, перед построением /).
Построение п. Пусть требуется провести через точку А боль-
шой круг, касающийся данного малого круга С.
Один из полюсов искомого большою круга лежит на малом
круге С, полярном по отношению к С (упр. 498). Кроме того, по-
люсы искомого большого круга отстоят от точки А на расстоянии,
равном квадранту, так как искомый большой крут через точку А про-
ходит. Иначе говоря, один из полюсов искомого большого круга
лежит на большом круге А', имеющем точку А своим полюсом. Итак,
один из полюсов искомого круга определяется как точка пересечения
окружностей А' и С.
Задача имеет два решения в тех случаях, когда окружности А' и
С' пересекаются в двух точках, одно решение, когда эти окружности
касаются, и ни одного, когда они не имеют общих точек. Чтобы
окружности А' и С пересекались в двух точках М и М', должен
существовать сферический треугольник МРА, где Р—полюс малого
крута С, лежащий внутри последнего; стороны этого треугольника дол-
жны быть равны данной дуге РА, дуге /1714—90° и дуге РЛ4 = 9О°— г,
где г—сферический радиус круга С (меньший квадранта). Для
существования такого треугольника должны выполняться условия (ср.
п. 394): 90° — (90° — г) <Л4 <90°(90° — г) и РЛ4-90°-ф-
—|—(90° — г) <360°. Так как последнее из этих неравенств выпол-
няется само собой, то остаётся условие
г<Л4<180° — г.
Это последнее условие имеет простой геометрический смысл: оно по-
казывает, что данная точка А должна лежать внутри шарового пояса
ограниченного данным малым крутом С и малым кругом, ему диамет-
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VII
361
сально противоположным. Окружности А' и С касаются друг друга,
если РА = 90° — (90° — г) = г или РА = 90° (90° — г) = 180° — г.
Итак, через точку А можно провести два больших круга, каса-
тельных к данному малому кругу, если точка А принадлежит
шаровому поясу, ограниченному этим малым кругом и малым
кругом, ему диаметрально противоположным; можно провести
один касательный большой круг, если точка А лежит на данном
малом круге или на малом круге, ему диаметрально противопо-
ложном', и нельзя провести ни одного касательного большого круга,
если точка А лежит внутри дачного малого круга или внутри
малого круга, ему диаметрально противоположного.
Примечание. Если Р, как и выше, полюс данного малого круга,
AM и AN — касательные к нему дуги больших кругов, выходящие из точки
А, то прямоугольные сферические треугольники ЛАИ и APN симметричны,
так как они имеют общую гипотенузу АР и равные катеты РМ— РА (ср.
построение k, второе примечание). Отсюда следует, что дуги ЛЛ1 и AN, ка-
сательные к данному малому кругу, между собой равны.
Построение о. Пусть треб}ется построить большие круги,
касающиеся двух данных малых кругов Сх и С2 с полюсами в точ-
ках Рх и Р2 и радиусами гх и г2 (г, г2); мы будем предполагать,
что полюсы Рх и Р2 лежат внутри соответствующих малых кругов и что
радиусы г, и г2 оба меньше квадранта.
Большой круг, касающийся двух данных малых кругов, может
быть внешним {внутренним}, т. е. таким, что оба малых круга лежат
по отношению к нему в одном полушарии (соответственно — в раз-
личных полушариях).
Геометрическое место полюсов больших кругов, касающихся дан
ного малого круга Сх, состоит из малого круга Сх, полярного по
отношению к Сх (упр. 498), и из малого круга Сх, диаметрально
противоположного кругу Ст. Таким же образом геометрическое место
полюсов больших кругов, касающихся малого круга С2, состоит из
малого круга С2, полярного по отношению к С2, и из малого круга
С2, диаметрально противоположного кругу С2. Чтобы большой круг
касался как малого круга Сх, так и малого круга С2, необходимо
и достаточно, чтобы тот из его полюсов, который лежит на круге Сд,
лежал и на одном из кругов С2 или С2 (при этом второй полюс того
же большого круга будет лежать на круге Сх и в то же время соответ-
ственно на круге С2 или С2). Итак, одним из полюсов искомого боль-
шого круга будет точка пересечения (или касания} малого круга
Сх с одним из двух малых кругов С2 и С2.
При этом точка пересечения М кругов С'х и С'п отстоит от каж-
дой из точек Рх и Р2 на расстоянии, меньшем квадранта (а именно-
на 90°—г, от точки Рх и на 90° — г2 от точки Р2; ср. упр. 498).
362
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Поэтому точки Pt и Р2, а следовательно, и данные малые круги лежат
по одну сторону от большого круга с полюсом М (ср. п. 395). Ана-
логично покажем, что данные малые круги лежат по разные стороны
от большого круга с полюсом в точке пересечения Af кругов С' и С".
Иначе говоря, точка пересечения кругов и С'2 (с' и С9') есть по-
нос внешнего (внутреннего) общего касательного большого круга.
Рассуждая, как при исследовании построения п, покажем, что малые
круги С' и О, будут иметь общие точки при условии, что (90°—г2)—
(90°—/•]) sC Р^Рг (90° — г1)-|-(90о — г2), т. е. при условии, что
г, — sC РХР2, 180° — (г, г2). (1)
Аналогично, малые круги С'г и С" будут иметь общие точки при усло-
вии, что (90° — г2) — (90 — rj sg 180° — Р]Р2 sC (90 — гх) (90° —
— г2), т. е. при условии, что
п + 180° — (''i — г2>- (2)
Итак, два малых круга имеют внешние общие касательные круги,
если выполнено условие (1); при этом мы будем иметь два таких
круга, если в условии (1) в обоих случаях стоит знак неравенства,
и один такой круг, если в условии (1) один из знаков неравенства
заменяется знаком равенства; для внутренних общих касательных
кругов ту же роль играет условие (2).
Построение р. Пусть требуется построить круг, имеющий
данную точку А своим полюсом и пересекающий данный малый
круг под прямым углом.
В этом случае оба круга — данный и искомый—должны иметь
взаимно перпендикулярные касательные в точке пересечения М, а
потому сферический радиус AM искомого круга должен касаться дан-
ного малого круга в точке М. Отсюда вытекает такое построение. Через
данную точку А проводим один из больших кругов, касающихся дан-
ного малого круга. Дуга ~АМ этого большого круга от точки А до
точки касания М будет сферическим радиусом искомого круга. Задача
имеет решение и притом единственное, если точка А принадлежит
шаровому поясу, ограниченному данным малым кругом и малым кру-
гом, ему диаметрально противоположным (ср. выше, построение п).
Мы предполагали, что дан малый круг. Если же дан большой
круг, то задача, очевидно, будет неопределённой, если данная точка
А лежит на этом большом круге, и не будет иметь решений, если
данная точка на этом большом круге не лежит.
Построение q. Решение непосредственно вытекает из сказан-
ного в решении упражнения 487. Полюсы искомых кругов представ-
ляют собой точки пересечения тех больших кругов, которые делят
пополам углы, образованные данными большими кругами. Эти боль-
шие круги можно построить (построение е). Найдя полюс какого-либо
из искомых кругов, опускаем из него перпендикуляр на один из дан-
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА VH
363
них кругов (построение «/), чтобы определить сферический радиус
искомого круга.
Задача имеет восемь решений, если три данных больших круга
не проходят через одну точку, и не имеет решений, если они про-
ходят через одну точку.
Построение г. Пусть требуется построить круг, касающийся
в данной точке А данного круга с полюсом Рх и в то же время
касающийся другого данного круга с полюсом Рг.
Полюс Р искомого круга должен лежать на большом круге РХА
(черт. 303). Если отложить на этом большом
лежащем направлении дугу АА!, равную
сферическому радиусу крута Р2, то мы бу-
дем иметь РА' — РРг. Отсюда вытекает
такое построение.
На большом круге РгА откладываем от
точки А в обе стороны дуги АА' = АА",
равные сферическому радиусу круга Р2.
Точки пересечения двух больших кругов,
проходящих соответственно через середи-
ны дуг А'Рг и Л"Р2 и к ним перпенди-
кулярных, с большим кругом Р\А, будут
полюсами искомых кругов.
Задача имеет, вообще говоря, два ре-
круге от точки А в над-
шення. Однако если круг Рг касается
круга Р2, то только одно (другое решение обращается в самый круг Р1);
если же точка А есть общая точка двух кругов, то задача вовсе
не имеет решений или же становится неопределённой.
Б00. Решается аналогично задаче 114 планиметрии. Большие круги,
на которых данный малый круг отсекает равные хорды, равноудалены
от его полюса. Доказывается это предложение так же, как соответ-
ствующая теорема планиметрии (Пл., п. 66). Отсюда следует, что
большие круги, на которых первый из данных малых кругов отсекает
Дуги, равные первой из данных дуг, касаются одного и того же ма-
лого круга, имеющего с данным общий полюс. То же справедливо и для
второго данного малого круга. Задача сводится к построению больших кру-
гов, касающихся этих двух новых малых кругов (упр. 499, построение о).
501. Пусть Р и Р' — данные полюсы, А—данная точка экватора,
принятая за начало долгот (черт. 77 на стр. 75). Проводя на шаре
с помощью сферического циркуля круг с полюсом Р и сферическим
радиусом РА, получим экватор. Далее, проведя большие круги (т. е.
круги сферического радиуса РА) с полюсами в точках Р и А, опре-
делим полюсы меридиана РМР', проходящего через точку М. Зная
эти полюсы, можно, очевидно, построить самый меридиан и точку т,
в которой он пересекает экватор.
Переходим теперь к построениям на вспомогательной плоскости.
Кратчайшее расстояние в пространстве между точками А и Р (кото-
Э64
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
рое можно „взять в циркуль", помещая острия его ножек в этих точках)
равно стороне квадрата, вписанного в окружность, равную окружности
большого круга шара. Перенеся это расстояние с помощью циркуля
на вспомогательную плоскость, можем принять его за сторону квад-
рата, а построив этот квадрат и описав около него окружность с
центром О0, мы получим окружность, равную большому кругу шара
(черт. 304). Из произвольной точки Ло
этой окружности, как из центра, опи-
сываем дугу радиусом, равным крат-
чайшему расстоянию между точками А
и т; пусть т0— точка её пересечения
с построенной окружностью. Централь-
ный угол А0О0т0 на плоскости опреде-
ляет долготу точки 7И. Аналогично, опи-
сывая из точки т0, как из центра, дугу
радиусом, равным кратчайшему расстоя-
нию между точками т и М. построим
центральный угол mQO0M0, опреде-
ляющий шпроту точки М.
Аналогично решается обратная за-
дача. Строим на вспомогательной пло-
скости окружность, равную большому кругу данного шара, и в ней
углы А0О0т0 и т0О0М0, соответственно равные данной долготе и дан-
ной широте. Далее строим на шаре экватор и на нём точку т („пере-
нося на шар“ расстояние А0/и0), затем меридиан РтР и, наконец,
точку М („перенося на шар“ расстояние /ппЛ40).
502. Пусть дана некоторая окружность С (черт. 305). Если ка-
кая-либо окружность С делит эту окружность в точках пересечения А и
В на две равные части, то плоскость окружности С' проходит через
центр окружности С, так как она проходит через её диаметр АВ.
Отсюда следует, что плоскость искомого круга должна проходить
через центры трёх данных кругов. Эти центры не будут в общем
случае лежать на одной прямой и потому вполне определяют плос-
кость искомого круга, а значит и самый крут.
Легко видеть, что определённый таким образом круг действитель-
но делит каждый из трёх данных на две равные части (если он не
совпадает ни с одним из них). Если центры данных кругов лежат
на одной прямой, зыача допускает бесчисленное множество решений.
503. Пусть два больших крута, пересекающиеся в точках Р и
касаются малого круга С в точках М и N (черт. 306), и некоторый
третий большой крут пересекает два первых в точках Q и R и каса-
ется малого крута С в точке Т, лежащей на дуге MXN (ближайшей
к точке Р).
Так как дуги РМ и PN равны, и то же имеет место для дуг
QM и QT, а также для дут PV и RT (ср. решение упр. 499, по-
строение п, примечание), то для периметра сферического треуголь-
КНИГА ПЯТАЯ ГЛАВА VII
365
ника PQR имеем PQ -\-PR-\- QR = PQ + PR+- (QT J-1R} =
__(PQ -L Q/И) 4- (PR Ч- RW — PM -J- PN — 2 PM независимо от по-
ложения точки касания Т на луге MXN.
Если точка прикосновения 7\ подвижного большого круга лежит
на дуге малого круга С, отличной от MY.V, то аналогично найдём
PjQ, -I—Ц- QjRt =2PjM. Но дуга PtM вообще не равна РМ.
504. Решается аналогично упражнению 83 планиметрии. Пусть
АВС—искомый сферический тре-
угольник, в котором даны сто-
рона ВС, угол В и сумма двух
других сторон АВ-^-АС.
Черт. 308.
Черт. 307.
Отложим на продолжении стороны АВ за вершину А дугу AD,
равную АС (черт. 307). Фигуру CBAD, образованную дугами ВС,
BAD и CD, можно построить, так как известны дуги ВС и BAD
и угол В между ними. (Обратим внимание на то, что эта фигура
не будет обязательно треугольником; если АВ -ф- АС180°, то эта
фигура будет „дополнять" сферический треугольник BCD, заштри-
хованный на чертеже 307, до полушария; если АВ -О АС= 180°, то дуги
ВС и СО составят одну полуокружность; только при АВ ф- АС 180°
фигура CBAD будет треугольником.)
Для построения точки А проводим через середину дуги CD пер-
пендикулярный к ней большой круг, так как AC=AD (упр. 49’),
построение е).
366
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
505. Пусть PQR—искомый сферический треугольник, в котором
известны угол Р, одна из высот и периметр.
Обозначим через Р} точку, диаметрально противоположную точке Р
(черт. 306), и через Т, М и N— точки касания вневписанного кру-
га С со стороной QR и с продолжениями сторон PQ и RP. В силу
сказанного в решении упражнения 503, каждая из дуг PM = PN
равна полупериметру треугольника. Поданному углу Р можно построить
полуокружности РМР} и PVP,, образующие между собой этот угол,
затем точку М, откладывая дугу AM, равную полупериметру. Нако-
нец, можно построить круг MNT'. чтобы найти его полюс, достаточно
разделить угол Р пополам и через точку М провести большой круг,
перпендикулярный к РМ.
При дальнейшем построении стороны QR приходится различать
два случая: 1) дана высота hp, выходящая из вершины Р; 2) дана
одна из высот, выходящих из вершин Q и R, например высота hq,
выходящая из вершины Q.
1) Пусть дана высота Лр, выходящая из вершины Р. Большой
круг QR касается круга с полюсом Р и сферическим радиусом hp,
а также построенного уже малого круга MNT. Кроме того, эти два
круга лежат по отношению к большому кругу QR в различных по-
лушариях. Таким образом, большой круг QR будет внутренним общим
касательным большим кругом к этим двум кругам. Задача сводится
к упражнению 499, построение о.
2) Пусть дана высота hq, выходящая из вершины Q, Чтобы опре-
делить положение вершины Q на полуокружности РМРЪ строим
на том же шаре прямоугольный сферический треугольник P’Q'H'
по углу Р', равному данному углу Р, и противолежащему катету
Q'H' = hq (решение упр. 499, построение /). Далее на дуге РМР}
откладываем от точки Р дугу PQ, равную P'Q'. Полученная точка Q
и будет искомой вершиной треугольника (если, конечно, она лежит
на дуге РМ). Описывая из точки Q как из полюса малый круг, < сфе-
рический радиус которого равен QM, можно определить точку Т
Точки Q и Т определяют положение стороны QR. Этим и закапчи-
вается построение.
506. Предположим, что выпуклый сферический четырёхугольник
ABCD (черт. 308) может быть описан около малого круга, располо-
женного внутри данного четырёхугольника. Обозначим через M,N,P
и Q точки касания этого малого круга соответственно со сторонами
АВ, ВС, CD к DA четырёхугольника. Будем иметь AQ= AM; ВМ — BN;
CN—CP и DP—DQ, так как дуги двух больших кругов, касающихся
одного и того же малого круга, считая от точек касания до одной из точек
их пересечения, равны (ср. решение упр. 499, построение п, примечание).
Отсюда AB-\-CD=AM-A-MB-\-CP4-PD=AQ-\-NBArCNAr
-ф- QD = ВСAD (ср. Пл., решение упр. 87). Таким образом, если
выпуклый сферический четырёхугольник может быть описан около
малого круга, расположенного внутри четырёхугольника, то сумма
КНИГА ПЯТАЯ. ГЛАВА V11
367
двух противоположных сторон последнего равна сумме двух дру-
гих его противоположных сторон.
Обратно, пусть в выпуклом сферическом четырёхугольнике ABCD
(черт. 309) суммы противоположных сторон равны, т. е. AB-^-CD —
—ВС-}- AD. Предположим, что обозначения выбраны так, что АВ ВС
и следовательно, в силу последнего равенства, CDAD', такой выбор
обозначений невозможен только при AB = BC—CD=DA, и этот
случай мы пока исключим из рассмотрения. Отложим на стороне ВС
от точки В дугу BE, равную АВ (это возможно, так как АВ ВС),
а на стороне CD от точки D дугу DF, равную DA (это возможно, так как
CD^>DA). В силу равенств АВCD= о
=lBC-]-AD; BE—АВ', DF=AD будем
иметь СЕ=^ВС—ВЕ=.ВС— AB^=CD— /'''
— AD—CD— DF—CF. Биссектрисы углов Е/''""
при вершинах В, С и О данного четырёхуголь- s' /
ника (не показанные на чертеже) будут в то [ ___Z
же время биссектрисами углов соответственно F
при вершинах равнобедренных треугольни- Черт. 309
ков ABE, ECF и FDA. Эти биссектрисы
поэтому (упр. 494) соответственно перпендикулярны к сторонам АЕ,
EF и FA треугольника AEF и проходят через их середины. Следова-
тельно, эти три биссектрисы проходят (упр. 489,2°) через одну точ-
ку. Эта точка будет равноудалена, как легко видеть, от всех сторон
четырёхугольника и потому будет центром вписанного малого круга.
Мы исключили выше случай, когда в данном четырёхугольнике
ABCD все четыре стороны равны между собой. Но в этом случае
диагонали АС и BD будут совпадать с биссектрисами углов четырёх-
угольника (так как треугольники АВС и CDA, а также BCD и DAB
между собой равны). Следовательно, точка их пересечения будет
центром вписанного малого круга.
Итак, необходимое и достаточное условие, при котором выпук-
лый сферический четырёхугольник может быть описан около малого
круга, расположенного внутри четырёхугольника, состоит в том, что
сумма двух противоположных сторон четырёхугольника равна сумме
двух других его противоположных сторон1).
Мы могли бы теперь рассмотреть последовательно различные типы
невыпуклых описанных сферических четырёхугольников и, в соответ-
ствии с этим вписанные малые круги, касающиеся как самих сторон
четырёхугольника, так и их продолжений (ср. Пл., решение упр. 87).
Мы охватим одновременно все возможные здесь случаи с помощью
следующего рассуждения.
Пусть четыре данных больших круга — стороны сферического
четырёхугольника (вместе с их продолжениями) — касаются одного и
>) Приведённое здесь доказательство полностью сохраняет силу и для
плоского четырёхугольника.
368
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
того же малого круга соответственно в точках М, N, Р и Q. Рассмот-
рим дугу АВ первого большого круга (черт. 308), содержащую точку
касания М и имеющую своими концами две точки пересечения А и В
этого большого круга с двумя другими из данных больших кругов,
ближайшие к точке касания М. Эта дуга АВ вместе с аналогич-
ными дугами остальных данных больших кругов образует, очевидно,
выпуклый описанный четырёхугольник, к которому применимы преды-
дущие рассуждения. Отсюда вытекает такое предложение:
Необходимое и достаточное условие, при котором сферический
четырёхугольник (выпуклый или невыпуклый) может быть описан
около малого круга, состоит в том, что хотя бы в одном из
выпуклых сферических четырёхугольников, образованных дугами
тех же больших кругов, что и данный четырёхугольник, сумма
двух противоположных сторон была равна сумме двух других его
противоположных сторон.
Примечания. 1°. Последнее доказанное предложение не имеет себе
аналогичного в геометрии на плоскости.
Так, например, если данный вогнутый плоский четырёхугольник ABCD
описан около окружности, расположенной вне четырёхугольника (черт. 310),
то выпуклый четырёхугольник A'BC'D, образованный теми же четырьмя
прямыми, что и данный, не
удовлетворяет, вообще го-
воря, условию А'ВCD—
ВС -J- A’D.
В этом заключается существенное различие между свойствами плоских
и сферических описанных четырёхугольников.
2°. Существуют три типа невыпуклых сферических четырёхугольников,
а именно:
а) вогнутый с одним входящим углом, т. е. углом, ббльшим 180° (черт. 311);
Ь) вогнутый с двумя противоположными входящими углами (черт. 312);
с) несобственный, с двумя пересекающимися сторонами (черт. 313).
Первый и третий из этих трёх типов вполне аналогичны соответствующим
двум типам плоских невыпуклых четырёхугольников. Сферические четырёх-
угольники второго типа не имеют себе аналогичных на плоскости; такой четы-
рёхугольник можно, например, получить, рассматривая два треугольника ABD и
CBD (черт. 312), расположенные по разные стороны от их общей стороны
BD, в каждом из которых углы при вершинах В и D тупые.
Рассматривая последовательно все возможные здесь случаи (подобно тому,
как это было сделано в решении Пл., упр. 87), можно доказать следующее
предложение:
КНИГА ПЯТАЯ ГЛАВА VII
369
Необходимое и «остаточное. условие, при котором сферический ч.еты-
ехугольник (выпуклый или невыпуклый) может быть описан около малого
vza состоит в том, что сумма каких-либо двух сторон (противополож-
ных или соседних) равна сумме двух других его сторон.
Заметим, что в несобственном сферическом четырёхугольнике (черт. 313)
равными межд’.' собой могут быть только суммы соседних сторон, в четырёх-
Черт. 312.
Черт. 313.
3°. По поводу некоторых дальнейших свойств описанных сферических
четырёхугольников см. ниже, решение упражнения 665.
507. Касательные дуги AM u AN больших кругов, проведённые
из данной точки А к малому кругу с полюсом О, образуют два сим-
метричных прямоугольных сферических треугольника АОМ и AON
с общей гипотенузой АО (ср. решение упр. 499, построение и, при-
мечание). Угол AL4/V будет наименьшим, если угол ОАМ одного из
этих треугольников будет наименьшим.
Но из решения упражнения 499, построение /, следует, что наи-
меньший угол прямоугольного треугольника ОАМ с данным катетом
ОМ (равным сферическому радиусу данного малого круга) равен этому
катетуJ) и получается в том случае, когда стороны AM и АО тре-
угольника обе равны квадранту.
Итак, наименьший угол между двумя большими кругами, касаю-
щимися данного малого круга и проходящими через данную точку,
получается в том случае, когда расстояние этой точки от полоса
малого круга равно квадранту.
508. Пусть L vi L’ — точки пересечения больших кругов ВС и
MN (черт. 314); AAt, ВВ, и CCt —дуги большого круга (меньшие),
перпендикулярные к большому кругу MN. Прямоугольные сферичес-
кие треугольники А/И/Ц н BMBt равны, так как они имеют равные
гипотенузы и по равному углу, прилежащему к гипотенузе (ср. ре-
шение упр. 499, построение k, примечание). Отсюда следует, что
АА1 = ВВ1. Аналогично из равенства треугольников AAMi и CNC,
вытекает равенство дуг ААг и СС1. Итак, имеем AAi=BB1~CCi.
*) См. сноску на стр. 355
24 Элементарная геометрия, ч. 11
370
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Прямоугольные сферические треугольники В1.ВХ и CL'C1 симмет-
ричны, так как они имеют по равному катету (ВВ1 = СС1) и по рав-
ному углу, противолежащему этим
не могут дополнять друг друга до
4-С1Г<180° (ср. решение упр.
Черт. 314
равным катетам, а вторые катеты
180° в силу неравенства ВгЬ-^-
499, построение /, примечание).
Отсюда следует, что BL = CL’.
Так как дуги BL и CL’ равны, то точки пересечения L и L' боль-
шого круга MN с большим кругом ВС служат серединами соот-
ветственно двух дуг, имеющих своими концами точку С и точку
В', диаметрально противоположную точке В, а именно дуг CLB' и
CL'B' (черт. 315).
Полюс Р большого круга MN есть точка пересечения больших
кругов ВВ, и СС], перпендикулярных к MN. Так как дуги ВВ{ и СС}
равны, то равны и дуги РВ и PC, дополняющие дуги BBt и СС] до
квадранта. Другими словами, полюс Р большого круга MN равноуда-
лён от точек В и С.
Дуги РВ и PC образуют между собой угол ВРС, измеряемый ду-
гой BiC] большого круга MN. Так как Л4АУ = МВг (в силу равенства
треугольников /ЛМ] и BA1B{) и аналогично ЛМ1 = Л7С]) то дуга
В]С] вдвое более дуги MN. Поэтому и угол ВРС вдвое более цент-
рального угла, соответствующего дуге MN.
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ (стр. 80).
509. Пусть требуется провести прямую D (черт. 316), пересекаю-
щую две данные прямые D' и D" под соответственно данными углами
а и [3; не нарушая общности, можем считать углы аир острыми.
Проведём через произвольную точку 5 пространства прямые SA и SB,
соответственно параллельные D" и О', и прямую SC, параллельную
искомой прямой. Если мы сумеем по данным прямым SA и SB построить
прямую SC, образующую с ними острые углы, соответственно равные
р и а, то задача сведётся к рассмотренной в упражнении 430 про-
вести прямую О, параллельную построенной прямой SC и пересекаю-
щую прямые О' и О". Итак, всё сводится к построению прямой SC,
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
371
образующей с двумя данными прямыми Л'Л и SB данные углы, иначе
говоря, к следующему: построить трёхгранный угол по трём его
плоским углам, из которых два — острые углы а и ft, а третий
может равняться любому из углов между прямыми SA и SB.
пересечения с лу-
и sb. Наконец, на
откладываем отре-
равный sbB. При
Для решения последней задачи достаточно, очевидно, построить
один из двугранных углов искомого трёхгранного угла SABC. С этой
целью проводим через произвольную точку Со рёбра SC в гранях
SAC и SBC прямые А0Сй и ВвС0, перпендикулярные к SC. Строим
теперь в произвольной плоскости углы bsc = a, csa = fl; asb' = у
(черт. 317). Далее, через
такую точку с0 луча sc,
что SCB = sc0 (т. е. факти-
чески через произвольную
точку луча sc, так как отре-
зок SC0 произволен), прово-
дим прямую, перпендикуляр-
ную к sc; пусть а0 и Ьв—
точки её
чами sa
луче sb'
зок sb'o,
этом будем иметь, очевидно,
Ьосо — ВбС0, соав = СВАВ,
авЬв = АвВв. Построив те-
перь треугольник а1Ь1с1 по
трём сторонам Ь1с1 = Ьвсв, сга, = свав и а^ = авЬв, мы получим тре-
угольник, равный АвВвСв, откуда видно, что угол Ь^с^ будет равен
линейному углу при ребре SC. Зная два плоских угла а. —/ BSC и
fi = / CSA трёхгранного угла SABC и его двугранный угол при
ребре SC, нетрудно построить какой-либо трёхгранный угол, рав-
ный SABC, ‘а затем и самый трёхгранный угол SABC, имеющий
своими рёбрами данные прямые 5Л и SB. После того как трёхгран-
ный угол SABC построен, прямая D строится, как было указано выше.
Число решений задачи зависит от существования трёхгранных углов,
у которых два плоских угла равны а и а третий — тому или дру-
24
372
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
гому из двух углов, образуемых прямыми £4 и SB. Наибольшее воз-
можное число решений — четыре. Действительно, при заданных на-
правлениях рёбер SA и SB искомого трёхгран юго угла SABC (черт. 316)
ребро SC может занимать, очев гдно, два положения в пространстве,
так как двугранный угол при ребре .8 А можно построить по ту и по
другую сторону от плоскости AS В. Мы можем далее получить ещё
два положения ребра SC, принимая за рёбра трёхгранного угла луч
SA и продолжение SB' ребра SB за вершину S.
Примечание. Задача построения трёхгран,юго угла по трём его
плоским углам была выше решена только в предположении, что два из дан-
ных плоских углов — острые.
Если средн данных плоских углов имеется два тупых, например BSC и
CSA, то можно построить трёхгранный угол SABC, где SC — продолжение
ребра SC за вершину S, так как углы BSC и CSA оба острые. Если среди
данных плоских углов нет двух острых и нет двух тупых, но имеется один
острый угол, например BSC, и один тупой угол, например CSA (а третий
угол прямой), то можно построить трёхграиный угол SA'BC, где SA'— про-
должение ребра SA за вершину S, так как углы BSC и SCA' оба острые.
Наконец, если среди данных плоских углов имеется два прямых, например
BSC и CSA, то задача сводится к построению перпендикуляра к плоскости Л8.'<
Таким образом, задача построения трёхгранного угла по трём плоским
углам разрешена во всех случаях.
510. Пусть SABCD — данный четырёхгранный угол, ABCD — се-
чение его плоскостью,
Так как прямые АВ
имеющее форму параллелограма (черт. 318).
и CD параллельны, то линия пересечения S.V1
параллельна прямым АВ и CD (п. 335, при
плоскостей SAB и SCD
мечание). По аналогичной причине линия
пересечения SN плоскостей SAD и SBC
параллельна прямым ВС и DA. Итак, се-
кущая плоскость ABCD должна быть па-
раллельна плоскости SMN, определяемой
линиями пересечения двух пар противопо-
ложных граней четырёхгранного угла. Это
условие, очевидно, и достаточно, чтобы
сечение было параллелограмом.
Параллелограм будет ромбом, если ди-
агональные плоскости SAC и SBD будут
пересекать секущую плоскость, а следова-
тельно, и плоскость SMN по взаимно пер-
пендикулярным прямым.
Параллелограм ABCD будет прямо-
угольником, если линии пересечения SA1
и SN противоположных граней будут взаимно перпендикулярны.
511. Пусть требуется найти геометрическое место оснований М
перпендикуляров, опущенных из данной точки А на плоскости, про-
ходящие через даннную прямую D (черт. 319).
Так как прямая .4/И перпендикулярна к плоскости Q, проходящей
через прямую D, то она перпендикулярна и к прямой D. Поэтому
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
373
геометрическое место прямых АЛ1 есть плоскость Р, проходящая че-
рез точку А п перпендикулярная к прямой D (п. 351). Если АВ —
перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую D, то угол АМВ
прямой, и потому точка М лежит на окружности, лежащей в плос-
кости Р и имеющей АВ своим диаметром.
Эта окружность и будет, очевидно, геометрическим местом точек М.
512. Пусть D и О -данные прямые (черт. 320), НН' — их общий
перпендикуляр, АА' — один из рассматриваемых отрезков и М — его
Так как по условию прямая D перпендикулярна к НН' и к D', то она
перпендикулярна и к НА'. Поэтому отрезок НМ, как медиана прямо
угольного треугольника АА'Н, равен половине его гипотенузы АА'.
Кроме того, точка М лежит в плоскости, параллельной прямым L>
и D' и отстоящей от них на равных расстояниях (в силу решения
упр. 433). Итак, речь идёт о геометрическом месте точек, лежащих
в данной плоскости и равноудалённых от данной точки, не лежаще.
в этой плоскости. Это геометрическое место есть окружность (п. 354).
Геометрическое место существует, если длина отрезка AM больше
половины отрезка НН', т. е. если заданная длина отрезка АА' больше,
чем НН’, обращается в точку, если АА' = НН'. и не существует,
если АА' меньше НН'.
513. Пусть даны два треугольника АВС и abc (черт. 321), ле-
жащие в одной плоскости Р и обладающие тем свойством, что прямые
Аа, ВЬ и Сс проходят через одну точку О. Выберем в пространстве
какую-либо точку О’, имеющую точку О своей проекцией. Пусть далее
А', В' и С — точки, лежащие соответственно на прямых О'А, О'В и
О'С и имеющие своими проекциями на данную плоскость точки а, b
и с (иначе говоря, А' есть точка пересечения прямой О'А с перпен-
дикуляром, восставленным в точке а к плоскости Р, и т. д.).
Соответственные стороны треугольников АВС и А'В'С, а именно
ВС и В'С, С А и С А', АВ и А'В' лежат попарно в одной нлоскост л;
374
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ограничимся общим случаем, когда никакие две соответственные сто-
роны не параллельны. В силу упражнения 425,2°, точка пересечения I
сторон ВС и В'С, точка пересечения т сторон СА и С А' и точка
пересечения п сторон АВ и А'В' лежат на одной прямой. Так как
прямые В'С', С А' и А'В' проходят соответственно через точки I, т и
п плоскости Р, то и их проекции Ьс, с а и аЬ на плоскость Р проходят
через те же точки. Итак, точки пересечения I, т и п соответственных
сторон треугольников АВС и abc лежат на одной прямой.
Не будем останавливаться подробно на тех частных случаях, когда какие-
либо соответственные стороны треугольников АВС и А'В'С' параллельны. Ока-
зывается, что при этом одна из сторон треугольника АВС будет параллельна
соответствующей стороне треугольника abc, а точки пересечения других двух
пар соответственных сторон лежат на прямой, параллельной первым двум
стооонам, или же каждая сторона треугольника АВС параллельна соответст-
вующей ей стороне треугольника abc.
514. При решении поставленной задачи мы исключаем из рассмот-
рения в соответствии с условием случай, когда какая-либо из плоскостей
BCD, CDA, DAB и АВС параллельна соответствующей ей из числа
плоскостей В'CD', CD'A', D'A'B1 и А'В'С, и в первую очередь
рассмотрим общий случай, когда никакие две соответственные плос-
кости не совпадают. Наряду с этим общим случаем мы рассмотрим и
предположение, что одна из первых четырёх плоскостей, для определён-
ности АВС, совпадает с соответствующей плоскостью А'В'С'. Те ого-
ворки и видоизменения, которых могут потребовать общие формули-
ровки в этом исключительном случае, мы будем указывать каждый
раз в скобках.
Обозначим через а, b и с линии пересечения плоскостей BCD с
B'C'D', CDA с CD'А' и DAB с D'A'B', через d— линию пересечения
плоскостей АВС и А'В'С (в том случае, когда эти плоскости пере-
секаются).
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
375
Предположим сначала, что ни одна из прямых АВ, AC, AD, ВС, BD и
CD не параллельна соответствующей ей из числа прямых А'В',
д’С и CD'. Так как прямые АВ и А'В1 лежат, в силу условия
задачи, в одной плоскости, но не параллельны, то Они пересекаются
в некоторой точке, которую мы обозначим через Р]2. Аналогично
обозначим точку пересечения прямых АС и А'С через Р\3,.. -, точку
пересечения прямых CD и CD' через Рм. Точки P2S, P2i и Р84
лежат на линии пересечения а плоскостей BCD и В'С D', так как
в этих точках пересекаются соответственно прямые ВС и В'С,
BD и B'D', CD и CD'. Точно так же точки Р13, Р14 и Р84 лежат на
прямой Ь, а точки Р12, Рц и P2i на прямой с. Итак, все три прямые
а, Ь и с лежат в плоскости Р14 P2i Psi. В той же плоскости будут
лежать и точки Р12, Р18 и Р23, а следовательно, и проходящая через
них линия пересечения d плоскостей АВС и А'В'С (в том случае,
когда эти плоскости различны; если же плоскость АВС совпадает
с А'В'С, то точки Р12, Р18 и Р2е будут лежать в плоскости АВС на
одной прямой).
Это рассуждение не потребует существенных видоизменений, если
ни одна из прямых AD, BD и CD не параллельна соответствующей
ей из числа прямых A'D', B'D’ и CD’, а среди трёх пар прямых ВС
и В'С, СА и С'А', АВ и А'В’ есть пары параллельных. При этом
некоторые из точек Р12, Р18 и Р28 не существуют.
Пусть теперь одна из трёх прямых AD, BD и CD, например CD,
параллельна соответствующей ей прямой CD'. В таком случае точка
Р84 не существует, но точки Р18 и Р14 прямой b существуют, так как
иначе плоскости ACD и A'C'D' были бы параллельны; по той же
причине существуют и точки Р23 и P2i прямой а. Линия пересечения
а плоскостей BCD и B'C'D', а также линия пересечения b плоскостей
ACD и A'C'D' будут обе параллельны прямым CD и C'D', а потому
будут параллельны друг другу. Две параллельные прямые а и b и
прямая с, пересекающая их соответственно в точках Р24 и Р]4, лежат
опять в одной плоскости. В той же плоскости будут лежать и точки
Р28 и Р18, а следовательно, и проходящая через них прямая d (если
плоскости АВС и AtB'C различны).
Итак, четыре прямые, о которых говорится в условии теоремы,
лежат в одной плоскости.
Пусть теперь два треугольника АВС и А'В'С, лежащие в одной
плоскости, обладают тем свойством, что прямые АА', ВВ' и СС про-
ходят через одну точку О.
Выберем произвольную точку D, не лежащую в плоскости АВС,
и на прямой OD такую точку D', что ни одна из плоскостей BCD,
CDA и DAB не параллельна соответствующей ей из числа плоскостей
B'CD’, CD'А' и D'A'B'. В таком случае к восьми точкам А, В, С,
D, А’, В', С и D' приложимы рассуждения, проведённые выше в пред-
положении, что плоскости АВС и А'В'С совпадают. Как было дока-
зано выше, в этом предположении точки пересечения Р23, PJ3 и Р1г
376
РЕШЕНИЯ УПРАИ НЕНИЙ И ЗАДАЧ
соответственно сторон ВС и В'С', СА и С А', АВ и А'В' (в предпо-
ложении, что все три точки существуют) лежат в плоскости АВС на
одной прямой. Тем самым доказана теорема (Пл., п. 195), о которой
говорится в тексте задачи 513.
515. Пусть некоторая плоскость пересекает стороны (или продол-
жения сторон) данного пространственного многоугольника, для опре-
делённости стороны АВ, ВС, CD, DE, EF и FA шестиугольника
ABCDEF соответственно в точках К, L, М, N, Р и Q. Обозначим
точки пересечения с той же плоскостью диагоналей AC, AD и АЕ
многоугольника соответственно через U, V и 1F (если эти три точки
существуют).
Точки К, L и U, лежащие соответственно на сторонах АВ, ВС и
СА треугольника АВС, лежат на одной прямой, а именно на линии
пересечения плоскости треугольника с плоскостью Р. Следовательно
,п КА LB UC .
(Пл., п. 192), имеет место зависимость , = 1
л a L(- ил
; это равенство.
как п все последующие, имеет место по величине и знаку, если рассмат-
ривать отношения направленных отрезков. Применяя ту же теорему к каж-
дому из треугольников ACD, ADE и AEF, получим ещё три аналогичных
UА МС VD . VA ND WE . WA РЕ QF , ,л
равенства цс‘MD'VA~X’VD~ NE~ WA 1и WF ' PF ’ qA ЬИз
четырёх последних равенств путём почленного перемножения получим
после очевидных сокращений искомое соотношение:
ЮА LB МС ND РЕ QF _
КВ ‘ LC ‘ MD ‘ NE ' PF ‘ QA “ 1
АС оказалась параллельной плоскости Р, то
бы параллельны АС и первые два из четырёх
пользовались выше, пришлось бы заменить
MD' VA~‘" ^оогношенпе (’) сохраняет
Доказательство очевидным образом распространяется на случай
любого числа сторон.
Если бы диагональ
прямые KL и MV были
равенств, которыми мы
КА LB
следующими. 1;
силу. Аналогичные видоизменения пришлось бы сделать, если диаго-
наль AD была бы параллельна плоскости Р, и т. д.
Докажем обратную теорему для случая четырёхугольника ABCD.
Пусть на его сторонах АВ, ВС, CD и DA (или их продолжениях)
выбраны такие точки К, L, М и N, что
КА LB МС ND_______.
• kb'lc'md'na
Если через N' обозначить точку пересечения плоскости KLM со сто-
роной DA, то мы будем иметь, в силу прямой теоремы:
КА LB МС N'D_,
КВ' LC ' MD' N’A *'
ND N'D
Из двух последних равенств мы получаем ^ = 7^4 > так чт0 точка N
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
377
совпадает с N. Таким образом, для случая четырёхугольника обратная
теорема доказана.
Покажем, что обратная теорема не верна для многоугольника
с числом сторон, большим четырёх, например для шестиугольника.
В самом деле, выберем на сторонах АВ, ВС, CD и DE четыре точки
К, L, М и N, заведомо не лежащие в одной плоскости; тем не ме-
нее точки Р и Q можно, очевидно, выбрать на сторонах EF и FA
так, чтобы соотношение (1) выполнялось. Аналогичные соображения
применимы при всяком числе сторон, большем четырёх.
516. Опустим из какой-либо точки В полупрямой ОВ перпендику-
ляр ВН на данную плоскость (черт. 322) и отложим на его продол-
жении за точку Н отрезок НВ', равный ВН. Любая полупрямая OD,
Х7
лежащая в данной плоскости, образует с полупрямыми ОВ и ОВ’
равные углы BOD и B"OD, так как прямая ОН есть биссектриса угла
ВОВ' и плоскость ВОВ' перпендикулярна к данной плоскости (ср. п. 356).
В силу этого для любой полупрямой OD, лежащей в данной плоскости,
будем иметь / A OD / DOB = / AOD / DOB' / А ОВ'\
знак неравенства будет иметь место по теореме о сумме двух плоских
углов трёхгранного угла (п. 390), если полупрямая OD не лежит
в плоскости ВОВ', знак равенства, если она лежит в этой плоскости.
Отсюда следует, что сумма / AOD -|- / DOB будет иметь наимень-
шее значение (а именно, равное углу АОВ'), если полупрямая OD
совпадает с линией пересечения ОС плоскости АОВ' и данной плос-
кости (ср. Пл., упр. 13, а также упр. 453).
Примечание. Если OD—какой-либо луч данной плоскост, отличный
от луча ОС, для которого сумма плоских углов / АОС -|- / СОВ имеет ми
нимум, то в данной плоскости можно найти луч OD', сколь угодно близкий
к OD, для которого имеет место неравенство / AOD' -|- /_Г)'ОВ< /_AOD-\~
-| / DOB. В самом деле, достаточно выбрать луч OD' внутри трёхгранного
угла OAB'D, чтобы имело место (ср. п. 393) неравенство / AOD / D'OB’ <
< / AOD-)~ / DOB', по существу совпадающее с предыдущим.
517. Опустим из какой-либо точки В полупрямой ОВ перпендику-
ляр ВН на данную плоскость (черт. 323) и отложим на его продол-
жении за точку Н отрезок НВ', равный ВН. Любая полупрямая OD,
378
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И З АДАЧ
лежащая в данной плоскости, образует с полупрямыми ОВ и ОВ'
равные углы (ср. решение задачи 516). В силу этого для любой по-
лупрямой OD, лежащей в данной плоскости, будем иметь \/^AOD—
— / BOD | = | / AOD—/ В'OD | sg / АОВ'; знак неравенства бу-
дет иметь место (п. 390), если полупрямая OD не лежит в плоскости
ВОВ', знак равенства, если она лежит в этой плоскости. Отсюда сле-
тует, что разность | / AOD—/ ВОР [ имеет наибольшее значение
(а именно, равное углу ВОВ'), если полупрямая OD совпадает с ли-
нией пересечения плоскости ВОВ' и данной плоскости (ср. Пл., упр. 15,
а также упр. 454).
518. Проведём через ребро данного двугранного угла полупло-
скость, не лежащую внутри последнего, и пусть АХВ, ВХС и АХС
(черт. 324) — линейные углы трёх получившихся двугранных углов.
Через произвольную точку О ребра,
отличную от X, проводим в гранях
двугранных углов полупрямые, обра-
зующие с лучом ОХ равные острые
углы, и обозначим через А,В и С
точки их пересечения со сторонами
линейных углов. Будем иметь ХА-=
= ХВ = ХС и ОА = ОВ — ОС.
В силу равенств ХА = ХВ=ХС
точки А, В к С заведомо не лежат
на одной прямой, и потому полупря-
мые ХА, ХВ и ХС не лежат в одной
плоскости. Из трёхгранного угла
ОАВС находим X АОС/ АОВ
Черт. 324. -j- X ВОС. Последнее неравенство
показывает, что угол АОВ изменяется
не пропорционально углу АХВ, так как в случае пропорциональности
из равенства / АХВ -|- / ВХС = / АХС следовало бы и / АОВ -|-
-\-/_ВОС=/_ Л°С (ср. Пл., п. 17).
Чтобы решить вопрос о том, будет ли отношение угла АОВ к ли-
нейному углу АХВ (черт. 324) возрастать или убывать с возраста-
нием последнего, придётся воспользоваться основными формулами три-
гонометрии и свойствами производной
Положим х = X АХВ; у — у X АОВ; а— X ХОА = / ХОВ.
Если, как и раньше, ХА= ХВ и ОА = ОВ, то, как легко видеть,
Л . АВ . АВ ХА
будем иметь: sinx = ^ .; siny = ^x-v; cosa=_—, откуда
sinj = cos a-sinx.
(1)
Из равенства (1) найдём у' • cos>= cos a- cos x. Исключая из этого
равенства и из равенства (1) cos а, найдём: _y'-ctg v = ctgx. Диффе-
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
379
V -
ренцируя дробь — и пользуясь последним равенством, будем иметь:
( у\' _ху' —y__xctgx—yctgy ,2)
X , х2 x2ctg_y
В силу известного свойства производной, вопрос о возрастании и
убывании отношения -j угла АОВ к углу АХВ сводится к вопросу
о знаке правой части последнего равенства. По смыслу задачи, естест-
венно рассматривать только случай, когда угол АХВ меньше развёр-
нутого, т. е. когда угол х, а следовательно, и угол у оба острые.
При этом ctgy^> 0, и вопрос сводится к исследованию знака разности:
xctgx — jctgj/.
Знак этой разности можно определить из следующих соображений.
Как видно из равенства
, .. , х 1 sin 2х — 2х
(xctgx) ^ctgx-д^-з • sin2--
производная от функции xctgx отрицательна (так как sin2x<^2x),
и эта функция убывает с возрастанием х. Но в силу (1), имеем
у<^х, и потому
х ctg х — v ctgу 0.
Итак, производная от — отрицательна, а следовательно, отноше-
ние ~ угла АОВ к линейному углу АХВ двугранного угла убывает
с возрастанием последнего.
519. Обозначим через аир углы, которая данная прямая обра-
зует с данными плоскостями Р и Q (по определению — острые или
прямые; п. 376), через — угол между теми же плоскостями (по оп-
ределению— острый или прямой; п. 378).
Так как углы, о которых идёт речь, не изменяются при замене
данной прямой другой прямой, ей параллельной, то мы можем для
определённости предположить, что данная прямая пересекает линию
пересечения данных плоскостей Р и Q в некоторой точке S. Пусть
SA— один из лучей дайной прямой. Обозначим через SB и SC лучи,
выходящие из точки 5, перпендикулярные соответственно к плоскостям
Р и Q и образующие с лучом S4 углы, не превосходящие прямого.
Будем иметь (п. 377): X /15В = 90°— а; ASC—900— р.
Если угол BSC между перпендикулярами SB и SC к плоскостям
Р и Q острый или прямой, то он равен углу между этими плоско-
стями (см. замечание, сделанное в начале решения упр. 480). Таким
образом, в этом случае X В5С=Ф, и неравенство | X ASB—-
^^BSC даёт |(90° — а) — (90° — P)|^f или |а — р | Если же
угол BSC тупой, то мы имеем ^BSC—180° — <р, и неравенство
^ASBA-^ASC^Z_BSC даёт: (90° — а) + (90° — ₽)> 180° — <р,
380
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
откуда Следовательно, опять а—В I sS®, так как всегда
|а—?Ха+?.
520. Заметим, что угол между какой-либо прямой D и какой-либо
плоскостью Р' равен углу между плоскостью Р, перпендикулярной
к D, и прямой D' перпендикулярной к Р'. Действительно, как тот,
так и другой угол дополняют до 90° острый или прямой угол между
прямыми D и D’ (п. 377).
Пусть теперь даны плоскость Р и две прямые D\ и D2. Углы
между плоскостью Р и каждой из прямых Dx и D2 равны, в силу
только что сделанного замечания, углам, которые прямая D, перпен-
дикулярная к плоскости Р, образует с каждой из плоскостей Р, в Р2,
перпендикулярных соответственно к прямым Dx и О2. Кроме того,
угол между плоскостями Рх и Р2 равен, в силу замечания, сделанного
в начале решения упражнения 480, острому или прямому углу между
прямыми D] и D2.
В силу предложения, приведённого в задаче 519, разность между
углами, которые прямая D образует с плоскостями Рх и Р2, меньше
угла между этими двумя плоскостями или ему равна. Заменяя здесь
углы между прямой D и плоскостями Рх и Р2 соответственно равными
им углами между данной плоскостью Р и данными прямыми Dr и £),,
а угол между плоскостями Рх и Р2—-равным ему острым или прямым
углом между данными прямыми Dx и D2, мы и получим доказываемое
предложение.
521. Пусть подвижная прямая D имеет своим предельным поло-
жением прямую О0, а подвижная плоскость Р—своим предельным
положением плоскость Ро.
Выберем произвольный угол е и рассмотрим тот момент, начиная
с которого
Z(O, р0)<|; Z(o,o0)<y. (i)
При этом будем иметь (задача 519):
IZ(o.o) -Z^oXXZPXXv- (2)
а также (задача 520):
I Z X О) - Z Яо) X Z (D, Do) < |.
(3)
Далее имеет место тождество Z (Р> В)— Z (Op, В0)=[^/(Р, D) —
— X (Ро, О)] + [Z ро- В) — / (Pn, Df,)(, откуда, по известному свой-
ству абсолютной величины:
|Z(P, ZX ос)|<
^|Z(P,£)—^(Ро, о)| + |/(р0, о)—zx о0)|. (4)
Таким образом, при любом е, если выполнены условия (1), то вы-
полнены и условия (2) и (3); поэтому на основании (4) выполняется
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
381
и условие
/(Лл А)|<е-
АВС (так как она
п ро-
же соображениям
тем
Тем самым теорема доказана.
522. Еслч равные плоские углы лежат в данных плоскостях, то
плоскость третьей грани перпендикулярна (упр. 494) к биссектральной
плоскости одного и.' твугранных углов, образованных данными пло-
скостями. Отсюда следует, что для решения задачи достаточно про-
вести через данную прямую плоскости, перпендикулярные соответст-
венно к дв\м бпссектральным плоскостям углов, образованных данными
плоскостями. Напб.элыпее число решений — два.
Если же равные плоские углы должны лежать в одной из данных
плоскостей — назовём её первой—и в искомой плоскости, то эти две
плоскости образуют со второй данной плоскостью равные углы. Отсюда
следует, что для решения задачи достаточно провести через данную
прямую плоскость, которая со второй данной плоскостью образует
двугранный угол, равный углу между данными плоскостями (упр. 468ц
Аналогично можно построить равнобедренный трёхгранный угол,
у которого равные плоские углы лежат во второй из данных плоско-
стей и в искомой плоскости.
523. 1) Пусть Н—проекция точки 5 на плоскость АВС (черт. 325).
Плоскость SAH перпендикулярна к плоскости
ходит через перпендикуляр SH к
этой плоскости) и к плоскости SBC
(так как она проходит через перпен-
дикуляр А4 к этой плоскости). Пло-
скость SAH, перпендикулярная к
двум плоскостям АВС .и BSC, пер-
пендикулярна и к линии их пере-
сечения ВС. Следовательно, и пря-
мые АА' и SA', по которым пло-
скость SAH пересекает плоскости
АВС и BSC, перпендикулярны к пря-
мой ВС. Иначе говоря, прямая АА'
есть высота треугольника АВС, а
прямая 5/1'—высота треугольника
SBC.
Таким ооразом, точка Н лежит
на высоте АА' треугольника АВС. По
лежит и на двух других высотах ВВ' и СС того же треугольника
АВС и потому совпадает с точкой пересечения его высот.
2) Так как прямая SH есть высота прямоугольного треугольника
AA'S, то мы имеем SA'2 = АА' • НА'. Так как прямые АА’ и 5/Г
по доказанному перпендикулярны к ВС, то пл. SBC —- — BC-SA';
пл. АВС=~ ВС- АА'; пл. НВС-—^ ВС-НА’, и из предыдущего
она
382
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
соотношения путём почленного умножения на -^-‘ВС2 получаем:
(пл. ВВС)2 = пл. ЛВС-пл. А/ВС.
Таким образом, площадь треугольника SBC есть среднее пропорцио-
нальное между площадью его проекции НВС на плоскость ЛВС и
площадью треугольника ЛВС.
Таким же путём выводятся и два других аналогичных соотно-
шения.
3) Складывая последнее выведенное равенство почленно с двумя
другими аналогичными равенствами, найдём, что
(пл. SBC}2 -j- (пл. ВСЛ)2-|-(пл. SAB}2 =
= пл. ЛВС-(пл. A/ВС-]-пл. НСА 4-пл. НАВ).
Так как SH есть высота прямоугольного треугольника SAA', то
точка Н лежит на самом отрезке АА' (а не на его продолжении) и,
следовательно, внутри треугольника ЛВС. Поэтому пл. НВС -J-
-|-пл. НСА-\-пл. НАВ= пл. ЛВС, и предыдущее соотношение прини-
мает вид:
(пл. ВВС)2-)-(пл. ВСЛ)2-I-(пл. ВЛВ)2 = (пл. ЛВС)2.
Примечание. Так как точка Н лежит внутри треугольника АВС, то
этот треугольник остроугольный. Итак, если пересечь трёхгранный угол,
имеющий три прямых плоских угла. и, следовательно, три прямых дву-
гранных угла, какой-либо плоскостью, не проходящей через его вершину,
то полученный в сечении треугольник будет остроугольным.
524. Предположим, что вершина В искомого трёхгранного угла
не лежит в плоскости данного треугольника. Из сказанного в реше-
нии задачи 523 следует, что точка В лежит на перпендикуляре НХ
к плоскости треугольника ЛВС, проходящем через точку пересече-
ния Н его высот (черт. 325). Кроме того, высота АА' данного тре-
угольника должна быть видна из точки В под прямым углом. Поэтому
точка В должна лежать на окружности, имеющей отрезок АА' своим
диаметром и расположенной в плоскости, перпендикулярной к пло-
скости ЛВС.
Чтобы задача имела решение, точка Н должна лежать на самом
отрезке АА' (а не на его продолжении) и треугольник АВС должен
быть остроугольным. При этом условии прямая НХ пересечёт окруж-
ность, о которой идёт речь, в двух точках, и любую из них можно
принять за точку В. Можно доказать, что если точка В выбрана та-
ким образом, то углы BSC, CSA и ЛВВ прямые.
Примечание. Предположение, что точка В лежит в плоскости тре-
угольника, приводит к следующему не представляющему интереса решению:
данный треугольник прямоугольный; вершина трёхгранного угла совпадает
с вершиной прямого угла данного треугольника, а два из рёбер трёхгранного
угла — с катетами треугольника (ср. треугольник SAB и трёхгранный угол
SABC на черт. 325).
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
383
525. Пусть данный трёхгранный угол SKLM с тремя прямыми
плоскими углами требуется пересечь плоскостью так, чтобы в сечении
получился треугольник АВС, равный данному треугольнику abc.
Совместим мысленно основание АВС тетраэдра SABC с треуголь-
ником abc. Вершина 5 займёт при этом такое положение s, что трёх-
гранный угол sabc будет иметь три прямых плоских угла. Отсюда
вытекает такое решение задачи:
Построим точку $ так, чтобы трёхгранный угол sabc имел три
прямых плоских угла (задача 524). Далее отложим на рёбрах данного
трёхгранного угла от его вершины три отрезка 5/, SB и SC, соот-
ветственно равных sa, sb и sc. Плоскость АВС и будет, очевидно,
искомой.
Задача имеет решения в том и только в том случае, когда дан-
ный треугольник abc остроугольный (ср. решение задачи 524). В этом
случае наибольшее число решений, а именно шесть, получится, если
среди отрезков sa, sb и sc нет равных, так как каждый из отрезков
&4, SB и SC можно откладывать на любом из рёбер SK, SL и SM
данного трёхгранного угла. Поэтому задача имеет шесть решений,
если данный треугольник остроугольный и не имеет равных сторон
(из равенства двух сторон следовало бы и равенство двух из отрез-
ков sa, sb и sc), три решения, если данный треугольник остроуголь-
ный равнобедренный, одно решение, если данный треугольник равно-
сторонний, и не имеет решений, если данный треугольник прямоугольный
или тупоугольный.
526. Пусть рёбра некоторого трёхгранного угла SABC с тремя
прямыми плоскими углами проектируются на данную плоскость в три
данные прямые НА, НВ и НС (черт. 325 и 326). Обозначим через
А, В и С точки пересечения рёбер трёхгранного угла с данной пло-
скостью. В силу сказанного в решении задачи 523, треугольник АВС
должен быть остроугольным, и прямые НА, НВ и НС должны быть
его высотами.
Если теперь НА, НВ и НС — высоты остроугольного треуголь-
ника АВС, то каждый из трёх углов ВНС, СНА и АНВ тупой.
Действительно, угол ВНС есть внешний угол прямоугольного треуголь-
ника НВС, где СС — высота треугольника, и т. д. Таким образом,
если три прямые, проходящие через одну точку Н, служат высотами
остроугольного треугольника, то на этих прямых можно выбрать та-
кие направления НА, НВ и НС, что все три угла ВНС, СНА и АНВ
тупые. Иначе можно сказать, что в случае остроугольного треуголь-
ника каждая из трёх высот проходит внутри тупых углов, обра-
зованных двумя другими:^ продолжение На' луча НА лежит внутри
тупого угла ВНС, и т. д. Последнее условие заведомо не выполняется
в случае тупоугольного треугольника; на чертеже 327 высота НА
проходит внутри острого угла ВНС. Не выполняется оно и в случае
прямоугольного треугольника, так как две высоты последнего взаимно
перпендикулярны.
384
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Таким образом, приходим к следующему результату: необходимое
и достаточное условие, при котором три данные прямые, лежащие
в одной плоскости и проходящие через одну точку, служат про-
екциями рёбер трёхгранного угла с тремя прямыми углами, состоит
в том, что каждая из трёх прямых лежит внутри тупых углов,
образованных двум я другими.
Необходимость этого условия уже доказана. Докажем его доста-
точность. Три данные прямые служат заведомо высотами некоторого
треугольника (Пл., решение упр. 38,1°). В силу сказанного выше,
этот треугольник не может быть ни тупоугольным, ни прямоугольным
и потому будет остроугольным. Поэтому существует (см. решение за-
дачи 524) трёхгранный угол с тремя прямыми плоскими углами, рёбра
которого проектируются в высоты этого треугольника.
527. Предположим для определённости, что ни одна из прямых
DA, DB и DC не перпендикулярна к плоскости АВС. Пусть DH —
перпендикуляр, опущенный из точки D на плоскость АВС (черт. 328).
Так как прямая АВ перпендикулярна, по условию, к наклонной CD,
то прямая АВ перпендикулярна и к её проекции СИ. Точно так же,
так как прямая АС перпендикулярна, по условию, к наклонной BD,
то прямая АС перпендикулярна и к её проекции ВН. Следовательно,
точка Н есть точка пересечения высот треугольника АВС, и потому
прямая ВС перпендикулярна к АН. Так как прямая ВС перпендику-
лярна к проекции АН наклонной AD, то прямая ВС перпендикулярна
и к прямой AD.
Перпендикулярность прямых ВС и AD мы доказали только в пред-
положении, что ни одна из прямых AD, BD и CD не перпендикулярна
к плоскости АВС. Рассмотрим теперь случаи, когда одна из трёх ука
занных прямых перпендикулярна к этой плоскости.
Если прямая AD перпендикулярна к плоскости АВС, то она пер-
пендикулярна и к прямой ВС.
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
385
Пусть теперь прямая BD перпендикулярна к плоскости АВС. Так
как прямая АВ перпендикулярна, по условию, к наклонной CD, то
она перпендикулярна и к её проекции ВС. Далее, так как прямая ВС
перпендикулярна к проекции АВ наклонной AD, то прямая ВС пер-
пендикулярна и к самой наклонной.
Аналогично доказывается перпендикулярность прямых ВС и AD
в том случае, когда прямая CD перпендикулярна
Таким образом, перпендикулярность прямых ВС
и AD доказана во всех случаях.
Предположим теперь только, что прямая АВ
перпендикулярна к CD (а о перпендикулярности
других пар прямых никаких предположений де-
лать не будем). При этом прямая АВ будет пер-
пендикулярна и к плоскости CDH, где Н — проек-
ция точки D на плоскость АВС. Так как пло-
скость, проходящая через точку С и перпендику-
лярная к прямой АВ, есть геометрическое место
точек, для которых разность квадратов их расстоя-
ний от точек А и В равна АС2— ВС2 (упр. 447),
то мы имеем АС2 — ВС2 = AD2 — BD2 или АС2 -|-
+BD2 = BC2-\-AD2.
Если теперь ие только прямая АВ перпенди-
кулярна к CD, но и прямая АС перпендикулярна
к плоскости АВС.
к BD, то кроме последнего равенства будем иметь ещё равенство
АВ2 -|- CD2 = BC2 AD2. Таким образом, будем иметь:
ВС2 4- AD2 = АС2 4- BD2 = -4В2 4- CD2.
528. Пусть даны три плоскости Р,Qu R, проходящие через одну
прямую d, и в одной из них, а именно в плоскости Р, полупрямая SA,
пересекающая прямую d в точке S (ср. черт. 284 на стр. 339).
Через прямую SA проводим плоскость, перпендикулярную к пло-
скости R, и обозначим через SB линию её пересечения с плоскостью Q.
Точно также через прямую SA проводим плоскость, перпендикуляр-
ную к плоскости Q и обозначим через SC линию её пересечения
с плоскостью R.
Трёхгранный угол SABC — искомый. В самом деле, его рёбра 671,
SB и SC лежат соответственно в плоскостях Р, Q и R. Плоскость Q,
проходящая через ребро SB, перпендикулярна, по построению, к грани
671С, а плоскость R, проходящая через ребро SC,— к грани SAB.
Следовательно, плоскость, проходящая через ребро 671 и через линию
пересечения d плоскостей Q и R, т. е. плоскость Р, будет перпен-
дикулярна, в силу упражнения 491,1°, к грани BSC (ср. решение
Пл., упр. 38,1°).
Задача имеет, вообще говоря, единственное решение в том смысле,
что прямая SB — единственная и прямая SC — также единственная;
однако, выбирая на прямой SB одну из двух полупрямых SB и SB',
25 Элементарная геометрия, ч. II
386
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ II ЗАДАЧ
а на прямой SC —одну из двух полупрямых SC или SC', получим
четыре трёхгранных угла SABC, SAB'C, SABC п SAB'C', удовле-
творяющих условиям задачи. Исключение представляет тот случай,
когда прямая S/1 перпендикулярна к одной из плоскостей Q или р
В этом случае задача имеет бесчисленное множество решений. Дей-
ствительно, если, например, прямая А4 перпендикулярна к плоскости Q
(черт. 329), то за плоскость SAC можно принять любую плоскость,
проходящую через прямую S4 и отличную от построенной ранее
плоскости SAB.
529. Пусть даны три прямые р, q и г, лежащие в одной пло-
скости, и проходящая через одну из них, а именно через р, пло-
скость Р. Предположим дчя определённости, что эти прямые образуют
треугольник (черт. 330)
В плоскости Р проводим через точку пересечения В прямых р и г
прямую ВВ', перпендикулярную к прямой q, а через точку пересече
ния С прямых р и q — прямую СС, перпендикулярную к прямой г
Если S — точка пересечения этих прямых и А—точка пересечения
прямых q и г, то трёхгранный угол SABC—искомый.
В самом деле, одна из его граней, а именно BSC, совпадает с дан-
ной плоскостью Р, вторая его грань CSA проходит через прямую q,
третья грань ASB — через прямую г. Далее прямые q и г соответ-
ственно перпендикулярны по построению к рёбрам SB и SC. Слэдо
вательно, линия пересечения плоскости, в которой лежат прямые q
и г, с гранью BSC, т. е. прямая р, будет перпендикулярна (в силу
примечания к решению упр. 491,2°) к ребру SA
Построение лишь несущественно видоизменяется, если все три
данные прямые проходят через одну точку О. В этом случае проводим
через точку О в плоскости Р прямые ОВ и ОС, соответственно пер
пендикулярные к прямым q и г; далее проводим вторую грань трёх
гранного угла через прямые q и ОС, а третью грань — через прямые
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
387
г и ОВ; через ОА обозначаем линию пересечения двух последних
граней.
Если прямые р, q и г образуют треугольник (проходят через
одну точку), то задача имеет, вообще юворя, единственное решение
в том смысле, что плоскости граней занимают вполне определённые
положения в пространстве: однако эти плоскости образуют восемь
трёхгранных углов. Исключение представляют те случаи, когда прямые
ВВ' и СС (прямые ОВ и ОС) параллельны, а также, когда одна
из прямых q пли г перпендикулярна к плоскости Р. Во всех этих
случаях плоскость Р, как легко видеть, перпендикулярна к пло-
скости прямых р, q и г. Если при этом ни одна из прямых q и г
не перпендикулярна к плоскости Р, го задача не имеет решений, так
как прямые ВВ' и СС параллельны (прямые ОВ и ОС совпадают)
Если же при этом одна из прямых q и г, например прямая q, пер
пендикулярна к плоскости Р, то задача становится неопределённой;
в самом деле, за прямую ВВ' можно принять любую прямую, про-
хотящую через точку В, лежащую в плоскости Р и не параллельную
построенной предварительно прямой СС (за прямую ОВ можно при-
нять любую прямую, проходящую через точку О, лежащую в пло-
скости Р и не совпадающую с построенной предварительной при
мой ОС).
До сих пор мы рассматривали те случаи, когда данные прямые
р, q и г образуют треугольник пли проходят через одну точку. Так
как задача, очевидно, не имеет решений, если все три данные прямые
параллельны между собой, то остаётся рассмотреть только тот случай,
когда две из данных прямых, например q и г, параллельны друг
другу, а третья прямая р пересекает пх соответственно в точках С
и В. В этом случае задача также, вообще говоря, не имеет решений,
гак как прямые ВВ' и СС, построенные, как было указано выше,
будут парал дельны друг другу. Исключение будет иметь место только,
если прямые q и г перпендикулярны к прямой р, а плоскость Р пер-
пендикулярна к плоскости прямых р, q и г, иначе говоря, если пря-
мые q и г обе перпендикулярны к плоскости Р. В этом случае задача
становится неопределённой, так как за прямые ВВ’ и СС можно
принять любые две пересе хающиеся прямые, проходящие через точки
В и С и лежащие в плоскости Р.
530. Пусть, как и при решении упражнения 455, на каждой из
прямых D и D' выбрано определенное направление, которое мы будем
называть положительным.
Отложим на прямых D и D' два произвольных равных отрезка
= (черт. 251 на стр. 311), оба в положительных направле-
ниях или оба—в отрицательных. Построим далее плоскости, пред
ставляющие собой геометрические места точек Р, удовлетворяющих
соответственно условиям РЛ2- PA'2~h и РВ2— PB'2 = h. Эти две
плоскости перпендикулярны соответственно к прямым АА' и ВВ' и по
тому пересекаются по некоторой прямой Нл. так как иначе отрезки
25*
388
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
1Д и ВВ' были бы параллельны, и прямые D и D' лежали бы в одной
плоскости.
Любая точка Р прямой Нх удовлетворяет, по самому её определе-
нию, условиям РА2— РА'2 = РВ2—PB'2 = h. Если теперь отложить
на прямых D и D' два равных отрезка АМ = АМ', оба в положитель-
ных направлениях или оба в отрицательных, то для любой точки Р
прямой //] будем иметь, как мы сейчас докажем, равенства РМ2 —
— РМ'2^=РА2— PA,2 = h. Действительно, мы имеем по величине и
по знаку (см. решение Пл., упр. 218):
РМ2 • АВ — РА2 • ВМ Ц- РВ2 МА + Л В ВМ МА = О
и
РМ'2-А'В' -В'М' ~\-РВ'2-М'А' ~[-А’В’-В’М’-М'А' = 0,
откуда, в силу равенств АВ = А'В', AM = А’М’, ВМ—В'М', полу-
чаем: (РМ2 — РМ'2) • АВ + (РА2 — РА'2) • ВМ4- (P2^ — РВ'2) МА=0.
Так как РА2 — РА'2 = РВ2 — PB'2=h и ВМ -|- МА = — АВ, то из
предыдущего равенства вытекает, что РМ2 — РМ'2 = h. Это значит,
что плоскость, служащая геометрическим местом точек, разность
квадратов расстояний которых от точек М и М' равна данной
величине h, проходит через прямую Нг.
Мы получим вторую прямую Нг, аналогичную Нъ откладывая
один из равных отрезков AM и А'М! в положительном направлении,
другой — в отрицательном.
Переходим к рассмотрению свойств прямых Нх.
Обозначим через р и р' проекции точки Р на прямые D и D'.
В треугольниках РАВ и РА'В' будем иметь по величине и знаку
(ср. Пл., п. 126): РВ2 = РА2АВ2 — 2 АВ-Ар и РВ'2 = РА2-\-
-|-Л'Д'2—2 А'Б'- А'р', откуда, в силу равенств РВ2 — РВ'2 —
— РА2— РА'2 и АВ —А'В', получаем Ар = А'р'. Далее Рр2—
—РА2— Ар2 и Рр'2—РА'2—А'р'2, откуда Рр2 — Рр'2—РА2— РА'2='п.
Итак, разность квадратов расстояний любой из точек прямой
от прямых D и D' равна h.
Найдём теперь геометрическое место прямых Нг при условии, что
гички А и А' остаются на месте, а постоянная h изменяется; мы можем
сохранить при этом без изменения и точки В и В'. При этом мы будем
иметь для любой точки Р каждой из прямых равенство:
РА2 — РА'2 = РВ2 — РВ'\ (1)
Обратно, если для некоторой точки Р выполняется равенство (1),
то точка Р принадлежит одной из прямых Вр, соответствующее зна-
чение постоянной h равно обшей величине левой и правой частей
равенства (1). Это равенство можно представить в виде
РА2-МРВ'2 = РА'2+рв2. (2)
Обозначим теперь через К и L середины отрезков АВ’ и А'В. По
ЗАДАЧИ К ПЯТОЙ КНИГЕ
389
теореме о медиане треугольника (Пл., п. 128) будем иметь:
РА2 + РВ'2 = 2РК2 + у АВ'1-, РА’2 Ц- РВ2 = 2PL2 Д-1 А'В2, (3)
откуда, в силу (2), получим:
РК2 — PL2=^(A’& — АВ'2). (4)
Обратно, из равенства (4) с помощью (3) легко получается (2), а сле-
довательно, и (1). Равенство (4) показывает, что геометрическое
место точек Р, т. е. геометрическое место прямых Нъ есть пло-
скость, перпендикулярная к прямой KL и проходящая через ту
точку этой прямой, которая удовлетворяет условию (4).
Более того, если точки А и А' остаются на месте, а постоянная h
изменяется, то прямая Н{ перемещается при этом в только что най-
денной плоскости параллельно самой себе. В самом деле, при этом
перемещается параллельно самой себе плоскость, представляющая собой
геометрическое место точек Р, удовлетворяющая условию РА2—PA’2—h.
Точно так же перемещаются параллельно самой себе (при неподвиж-
ных точках В и В’) и аналогичная плоскость, соответствующая усло-
вию РВ2 — РВ’" = h. Следовательно, и линия перемещения обеих
плоскостей перемещается параллельно самой себе.
Итак, при данных точках А и А' и переменном h прямая пере-
мещается параллельно самой себе; при /г = 0 прямая Н}, очевидно,
совпадает с рассмотренной в упражнении 455 прямой G,, соответ-
ствующей тем же точкам А и А'. Отсюда следует, что всякая прямая
/7] параллельна прямой Gj, соответствующей тем же точкам А и А'.
Так как все прямыя G}, соответствующие различным точкам А и А',
параллельны одной и той же плоскости у, (см. решение упр. 455),
то и все прямые Ht, которые получаются при переменных точках
А и А' (и постоянном h') будут параллельны одной плоскости,
а именно плоскости уР
Таким же путём доказываются и аналогичные свойства прямых Н2.
Докажем далее, что (при данном й) каждая прямая пересекает
каждую прямую Н2. Как и при доказательстве соответствующего свой-
ства прямых G, н G2 в решении упражнения 455, можно считать,
что прямая Нх определяется точками А и А’ прямых D и D', а прямая
Н2— точками А и А" тех же прямых, и ввести рассмотренные там
точки Ао и А'о- При этом плоскость, представляющая собой геометри-
ческое место точек Р, удовлетворяющих условию РАо— PA^ = h,
проходит через прямую так как ААо = А'Ао и оба отрезка имеют
положительное направление или оба — отрицательное; та же плоскость
проходит и через прямую Н2, так как отрезки АА0 и А"А'О равны по
величине, но один из них имеет положительное направление, а другой —
отрицательное. Таким образом, прямые Нг и Н2 лежат в одной пло-
скости. Так как каждая из прямых Нх и Нг по доказанному выше
параллельна соответственно одной из прямых G, и одной из прямых G2,
390
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
и никакие две прямые О, и G2 не параллельны между собой (см. ре-
шение упр. 455), то прямые и Н2 пересекаются.
Если, наконец, некоторая точка Р пространства обладает гем свой-
ством, что разность квадратов её расстояний от прямых Г) и D'
равна h, то мы можем принять за точки А и А' основания перпен-
дикуляров, опущенных из точки Р на эти прямые. Повторяя же рас-
суждения, которыми мы пользовались в начале решения, мы легко
убедимся, что точка Р будет лежать как на прямой Нъ так и на пря-
мой Н2, соответствующих выбранным таким образом точкам А и Л'.
Итак, через всякую то»ку Р, удовлетворяющую указанному в тексте
задачи условию, проходит одна из прямых и одна из прямых Нг.
К Н И 1 А ШЕСТАЯ.
МНОГОГРА нники.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ / (стр. 9Г|.
Черт. 331.
данных прямых можно провести пару
три пары параллельных плоскостей и
. Так. напоимео. если данными
531. Пусть ABCDA'B'C D' (черт. 331) — данный параллелепипед,
q — точка пересечения его диагоналей, ММ— данный отрезок, про-
ходящий через О. Мы должны показать, что ОМ=ОМ
Предположим для определённости, чго точки М и М лежат
н гранях ABCD и A’B'C'D' параллелепипеда. Прямая ММ’ лежит с каж-
дой из диагоналей параллелепи-
педа, например с BD', в одной
плоскости, так как она пере-
секает эту диагональ в точ-
ке О. Треугольники ОВМ и
OD'M' равны; действительно,
ОВ = OD'-,/_ ВОМ= /_D'OM
и /_ОВМ=/_ OD'M', так-
как прямые ВМ и D'М па-
раллельны как линии пересе-
чения плоскости ВМО с двумя
параллельными гранями. Из ра-
венства треугольников ОВМ и
OD'M' и вытекает равенство
отрезков ОМ и О'М'.
532. Через каждые две из
параллельных плоскостей. Эти
ограничивают искомый паралле.
прямыми будут прямые АВ, СС и A'D' (черт. 331), то искомым па-
раллелепипедом будет параллелепипед ABCDA'B'C'D'.
533. Пусть даны две неподвижные прямые АВ и СС (упр. 532
и черт. 331), а третья прямая A'D' перемещается параллельно самой
себе, оставаясь в некоторой плоскости.
Так как прямые АВ и СС неподвижны, то не изменяется и по-
ложение плоскостей, в которых лежат грани АВВ'А' и CDD'C.
Следовательно, центр О параллелепипеда остаётся в плоскости EFF'E',
равноудалённой от этих двух параллельных плоскостей.
Далее при перемещении ребра A'D' параллельно самому себе оста-
ются на месте плоскости, в которых лежат грани ABCD и ВВ'СС.
Следовательно, остаётся на месте и ребро ВС, а также его сере-
дина— точка F.
Так как ребро A'D', перемещаясь параллельно самом} себе, опи-
сывает плоскость, то его середина Е' описывает в неподвижной пло-
скости EFF'E' прямую линию. Поэтому и точка О—середина отрезка
FE' — описывает прямую, гомотетичную относительно центра подобия
F той прямой, которую описывает точка Е’.
392
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
534. Если диагонали АС и А'С (черт. 331) равны, то параллело-
грам АССА’ — прямоугольник, и боковые рёбра АА' и СС перпен-
дикулярны к прямой А'С. Если диагонали BD' и B'D равны, то
параллелограм BDD'B' — прямоугольник, и боковые рёбра ВВ’ и DD'
перпендикулярны к прямой B'D'. Следовательно, и боковые рёбра
АА' и СС' перпендикулярны к прямой B'D'.
Боковое ребро АА’, будучи перпендикулярно к прямым А!С и
B'D', перпендикулярно и к плоскости A'B'C’D'
Черт. 333.
Если AC — A'C=BD' — B’D, то таким образом докажем, что
каждое ребро параллелепипеда перпендикулярно к соответствующей
грани. А это и значит, что параллелепипед прямоугольный.
535. Приняв за катеты прямоугольного треугольника сторону и
диагональ произвольного квадрата, получим треугольник, подобный
треугольнику АА'С (черт. 332). Зная длину диагонали АС, строим
на этом отрезке как на гипотенузе прямоугольный треугольник, по-
добный только что построенному. Его меньший катет и будет ребром
искомого куба.
536. 1) Очевидно, что диагональное сечение АСС А' параллеле-
пипеда ABCDA'B'CD' (черт. 333) проходит через медиану А'Л1
треугольника A'BD. Следовательно, точка пересечения Р диагонали
АС с плоскостью A'BD лежит на этой медиане.
По той же причине точка Р лежит и на других медианах того
же треугольника (достаточно рассмотреть диагональное сечение AB'C'D
или ABCD'), а точка Q, в которой диагональ АС пересекает пло-
скость B'CD', — на медианах треугольника B'CD'.
2) Так как прямые А'М и М'С (черт. 333 и 334) параллельны,
то мы имеем AP—PQ, в силу АМ = МС, и PQ — QC, в силу
А'М' — М'С', откуда АР— PQ = QC.
3) Если параллелепипед ABCDA'B'C'D' куб, то треугольники
A'fyD и B'CD' (черт. 333) равносторонние, так как их сторонами
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА I
393
служат диагонали граней куба. При этом РА’ — РВ = РР, треуголь-
ники АРА', АРВ и APD равны по трём сторонам, и потому / АРА' —
— /_ АРВ = / АРР. Прямая АР перпендикулярна к плоскости А'ВР
в силу упражнения 446.
537. Одним из сечений куба плоскостями, перпендикулярными
к диагонали АС (черт. 335), является равносторонний треугольник
А'ВР (см. решение упр. 536, рубрика 3). Плоскости, параллельные
плоскости А'ВР и проходящие между вершиной А и этой плоско-
стью, пересекают куб по равносторон-
ним треугольникам EFG, которые мож-
но рассматривать как сечения пирами
ды АА'ВР плоскостями, параллельными
основанию А'ВР.
Черт. 334.
Черт. 335.
Плоскости, перпендикулярные к диагонали АС' и проходящие между
плоскостью В’СР' и вершиной С, пересекают куб также по равно-
сторонним треугольникам RST.
Плоскость, перпендикулярная к АС и проходящая через середину
диагонали, равноудалена от плоскостей А’ВР и В’СР'. Поэтому в этой
плоскости будут лежать (на основании п. 345) точки К, L, М, N,
Р и Q — середины рёбер ВС, СР, РР', Р'А', А'В' и В'В. Стороны
шестиугольника KLMNPQ все равны: каждая из них равна половине
диагонали грани куба. Его вершины равноудалены от центра куба,
и потому сечение представляет собой правильный шестиугольник.
Плоскости, перпендикулярные к прямой АС' и проходящие между
плоскостями А'ВР и KLMNPQ или между плоскостями KLMNPQ и
В’СР', пересекают куб по шестиугольникам К'L'М'N'Р'Q'. Стороны
последних соответственно параллельны сторонам шестиугольника
KLMNPQ (так что все их углы содержат по 120°) и равны между
собой через одну: К’L'= M'N'— P'Q' и L'M' — N'P' = Q'K' (в силу
равенства трёх треугольников CK'L', P'M'N' и B'P'Q', а также трёх
треугольников PL'M', A’N'P' и BQ'K').
538. Доказательство этого утверждения приведено в тексте (см.
п. 554 и чертёж 212 на стр. 225).
539. Пусть SABCPEF—данная правильная пирамида (черт. 336);
Н— некоторая точка её основания; НК, HL, НМ, ...— расстояния
394
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
точки Н от плоскостей боковых граней; НКй, HL0, НМ0, ...—рас-
стояния той же точки от сторон основания; НК', HL’, НМ', ...
(черт. 337) — отрезки, отсекаемые плоскостями боковых граней на
перпендикуляре к плоскости основания, восставленном в точке Н.
Так как / НКдК / HLnL = / НМйМ =. .., то треугольники
НК^К, HLqL, НМоМ, ... подобны, и НК'.НКд — HL:HLG
= НМ‘.НМ0=... . Заменяя все отрезки, входящие в соотношение
(Пл., упр. 2981
77А(| -ф- HLn НМй -ф- HNg НРд HQg = const, (11
пропорциональными им отрезками НК, HL,______и HQ, получим (так
как коэффициент пропорциональности не зависит от выбора точки Н]
НК-\- HL -ф- НМ -ф- НН -ф- НР-\- HQ = const.
Далее, в силу равенства тех же углов, будут подобны и тре-
угольники НК0К’, HLgL\ НМ0М’, ... , откуда НК' ~.НК0 = HL' -.HL0 =
= ...=- const. Заменяя теперь отрезки, входящие в (1), пропорцио-
нальными им отрезками НК', HL', . мы и получим НК'-ф-HL'-ф- .
-ф- HQ' = const.
Если точка, лежащая в плоскости основания, будет внешней по
отношению к основанию, то сумму расстоянии или отрезков придётся
вменить их алгебраической суммой.
540. Пусть G' и G" центры тяжести граней BCD и АВС тетра-
эдра ABCD (черт. 338). Прямые DG' и АО~ — медианы этих гра-
ней — обе проходят через середину М ребра ВС. Отсюда следует,
что прямые AG' и AG" лежат в плоскости 4DM и пересекаются в не-
которой точке G.
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА I
393
Так как ио свойству центра тяжести треугольника МО": /ИД =
~MG':MD= 1:3, то отрезок G'G" (черт. 339) параллелен AD и
равен -g- AD. Поэтому треугольники GG’G" и GAD подобны, и G'G-.GA—
= G"G:GD=G’G”:AD=\:3. Итак, отрезки G'A и G"D делятся
в точке пересечения G в отношении 1:3.
Таким же образом докажем, что и отрезки, соединяющие вер-
шины В и С с центрами тяжести граней ACD и ABD, пересекают
отрезок DG" и делят его также в
отношении 1:3, и потому проходят
через ту же точку G.
D
Черт. 338.
‘lepi. 339.
Если N— середина ребра AD, то точка G лежит в плоскости
BCN, так как она лежит на прямой, соединяющей вершину В с цент-
ром тяжести грани ACD. Следовательно, точка G лежит на линии
пересечения MN плоскостей ADM и BCN. Так же доказывается, что
и отрезки, соединяющие середины двух других пар противополож-
ных рёбер, проходят через G.
Рассматривая теперь треугольник AMN и секущую DG", будем
/п НТО GM DN О"А .
иметь (Пл., п. 192). ' дд" ‘ Ь где отрезки рассматриваются
как направленные; так как DN:DA —1:2; G"A:G"M=—2:1, то
GM: 'N —— 1, так что точка G есть середина отрезка MN.
541. Пусть даны отрезки LL’, ММ' и NN', соединяющие сере-
дины противоположных рёбер АВ и CD, АС и BD, AD и ВС иско-
мого тетраэдра (черт. 340). Если через ребро АВ провести плоскость
AC'BD', параллельную противоположному ребру CD и т. д., то по-
лучим шесть плоскостей, образующих параллелепипед AC'BD'B'DA'C.
Вершины искомого тетраэдра принадлежат к числу вершин паралле-
лепипеда, а концы данных отрезков служат центрами его граней.
Так как грани AC'BD' и B'DA'C параллелепипеда параллельны
плоскости MNM'N' и т. д., то мы приходим к следующему построе-
нию. Через концы L и L' первого из данных отрезков проводим пло-
скости, параллельные двум другим отрезкам. Повторяем аналогичное
построение для второго и третьего отрезков. Восемь вершин полу-
396
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ценного параллелепипеда определяют два тетраэдра ABCD и A'B'C'D',
которые оба удовлетворяют условию задачи. Эти два тетраэдра изо-
бражены на чертеже 341.
542. Пусть плоскость KLMN (черт. 342), проходящая через се-
редины К и L рёбер АВ и CD тетраэдра ABCD, пересекает в точках
М и N его рёбра ВС и AD.
Построим на ребре DA точку N' (не показанную на чертеже)
так, чтобы имела место
AD, BD и CD тетраэдра
точки D и от каждой из
удалена от точек А, В
пропорциональность отрезков ВМ-.МС=
= AN':N'D. Прямая ДА” будет, в силу
результатов упражнения 439, пересекать
прямую KL, и точка N' будет лежать в
плоскости KLM. Следовательно, точка N'
совпадает с N, и к четырём точкам К, L,
М и N можно применить результаты, при-
ведённые в том же упражнении. Прямая
KL делит отрезок MN в том же отноше-
нии, в каком она делит рёбра АВ n CD,
т. е. пополам.
543. Точка пересечения О плоскостей,
проведённых перпендикулярно к рёбрам
ABCD через их середины, равноудалена от
точек А, В и С. Так как точка О равно-
и С, то она лежит также и в плоскостях,
проведённых перпендикулярно к остальным рёбрам ВС, СА и АВ те-
траэдра через их середины.
544. Пусть 1 — точка пересечения биссектральных плоскостей
двугранных углов при рёбрах ВС, СА и АВ тетраэдра ABCD. Так
как точка 1 лежит в биссектральной плоскости двугранного угла при
ребре ВС, то она равноудалена от его граней АВС и BCD. По ана-
логичной причине точка I равноудалена от всех четырёх граней тет-
раэдра. Будучи равноудалена от граней ABD и ACD, точка I лежит
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА Г
397
в биссектральной плоскости двугранного угла при ребре AD, и то
we имеет место для углов при рёбрах BD и CD.
545. Начнём со следующих предварительных замечаний.
Если через ребро CD произвольного двугранного угла A-CD-В
проведены две плоскости {СО} и {СО}' так, что биссектральная
плоскость одного из образованных ими двугранных углов совпадает
с биссектральной плоскостью данного двугранного угла то рас-
стояния от граней двугранного угла любых двух точек О и О ,
лежащих соответственно на этих плоскостях, обратно пропор-
циональны друг другу.
В самом деле, обозначим через OP, OQ и 07И (черт. 343) пер-
пендикуляры, опущенные из точки О на плоскости BCD и ACD и на
поямую СО (черт. 343), и через О'Р', O'Q'
и О'М’ — перпендикуляры из точки О' на
те же плоскости и на ту же прямую. Так
как плоскость OCD, т. е. плоскость {СО},
образует с гранью BCD угол, равный
углу между плоскостью O'CD, т. е. пло-
скостью {СО}', и гранью BCD, то углы
ОМР и O'M'Q' равны и треугольники
ОЛЮ и O'M'Q' подобны, откуда OP’.O'Q'—
= ОМ’.О'М'. Аналогично, из подобных
(реугольнпков OMQ и О'М’Р' найдём,
что OQ'.O'Р' — ОМ:О'М'. Следователь-
но, OP-.O'Q’ = OQ:O'P' или OP:OQ =
— O'Q': О'Р' (ср. аналогичные построения
н рассуждения в решении Пл., зад. 197).
Как и в решении задачи 197 плани-
метрии, имеет место следующее обратное
предложение: если расстояния точек О и О' от граней двугранного
угла А CD-В обратно пропорциональны друг другу и плоскости OCD
и O'CD проходят обе внутри или обе вне двугранного угла, то
биссектральная плоскость одного из образованных ими двугранных
углов совпадает с биссектральной плоскостью данного двугранного
угла* 2).
Рассмотрим далее трёхгранный угол. В этом случае имеет место
следующее предложение: если через каждое из рёбер DA, DB и
DC данного трёхгранного угла DABC провести плоскость, облада-
ющую тем свойством, что двугранный угол, образованный этой
плоскостью и плоскостью, соединяющей то же ребро с данной
{почкой О пространства, имеет ту же биссектральную плоскость,
что двугранный угол при данном ребре, то три полученных таким
образом плоскости проходят через одну прямую.
!) Иначе говоря, обе рассматриваемые плоскости симметричны относи-
тельно биссектральной плоскости данного дву! ранного угла (кн. VII, п. 44 (J.
2) См. предыдущую сноску.
398
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Обозначим три вновь построенные плоскости соответственно че-
рез {AD}', {ZJD}' и {CD}'. Любая точка О' плоскости {BD}' удо-
влетворяет, в силу сказанного выше, условию О/?: ОР— О'Р': O'R',
а любая точка плоскости {CD}' — условию OP’. OQ— O'Q': О'Р', где
через OP, OQ, OR и О'Р', O'Q', O'R’ обозначены расстояния то-
чек О и О' соответственно от граней DBC. DC А и DAB трёхгран-
иого угла. Из двух последних равенств получаем для любой точки О'
линии пересечения плоскостей {BD}' и {CD}' пропорцию OQ:OR —
= O'R': O'Q'. В силу сформулированного выше обратного предложе-
ния всякая точка О' линии пересечения плоскостей {BD}' и {CD}'
лежит и в плоскости {AD}', г. е. три плоскости {AD}', {BD}' и
{CD}' проходят через одну прямую’, действительно, плоскости OAD
и O'AD проходят, как можно показать, обе внутри или обе вне дву-
гранного угла при ребре CD.
В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим
образом. Предположим сначала, что точка О лежит внутри данного тр‘:хгран
ного угла DABC или внутри трёхгранного угла, ему симметричного (в смы-
сле п. 388). В таком случае плоскость OAD проходит внутри двугранного
угла при ребре AD. Далее, плоскость OBD, а следовательно, и плоскость
!В£)|' проходят внутри двугранного угла при ребре BD; плоскости OCD и
\CD\' проходят внутри двугранного угла при ребре CD. Таким образом,
плоскости и ’CD}' обе проходят внутри двугранных углов при рёб-
рах BD и CD', следовательно, линия их пересечения проходит внутри трёх-
гранного угла DABC. Отсюда вытекает, что и плоскость O'AD проходит
внутри двугранного Угла при ребре AD. Аналогично можно было бы рас-
смотреть и остальные случаи, когда точка О лежит внутри тр3хгранного
угла DA'BC, где DA' — продолжение ребра DA, или внутри трёхгранного
угла, ему симметричного, и т. д.
Можно было бы, однако, избежать рассмотрения всех этих отдельных
случаев и придать всему доказательств' большую общность, если считать
расстояние ОР произвольной точки О от плоскости BCD положительным или
отрицательным в зависимости от того, лежат ли точка О и ребро DA по одну
сторону или по разные стороны от плоскости DBC, и принять аналогичные
условия для расстояний точки О от двух других плоскостей граней трёх-
трапного угла (ср. Пл., решение упр. 301, примечание). При этом все приве-
дённые выше равенства будут иметь место по величине и по знаку.
Переходим к решению поставленной задачи. В силу только что
рассмотренного свойства трёхгранного угла, шесть плоскостей {DC}',
{СА}', {AZ?}', {AD}', {BD}' и {CD}', проведённых через рёбра ВС,
СА, ... и CD тетраэдра ABCD, как указано в тексте задачи, про-
ходят по три через четыре прямые. В самом деле, плоскости {АВ}',
{СА}' и {AD}' проходят через одну прямую АА0; аналогично полу-
чаются ещё три прямые ВВ0, СС0 и DD0. Все четыре прямые АА0,
ВВ0, СС0 и DD0 не лежат, очевидно, в одной плоскости. Следова-
тельно (упр. 429), эти четыре прямые проходят через одну точку или
параллельны между собой. В первом случае шесть плоскостей {СС}',
...и {CD}' проходят через одну точку, во втором — пересекаются
по три по четырём параллельным прямым.
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА 1
39<1
546. Пусть ABCD — данный тетраэдр, L n L' — середины его
рёбер 15 и CD, G и О—точки, рассмотренные соответственно
в упражнениях 540 и 543. Отрезок LL' делится в точке G пополам
(упр. 540). Плоскость, проходящая через точку L и перпендикуляр-
ная к ребру АВ тетраэдра, проходит через точку О (упр. 543). От-
сюда легко вывести, что параллельная ей плоскость,
рез точку L' и также перпендикулярная
OG в такой точке О', что OG = GO'
(черт. 344).
По тем же соображениям через точ-
ку О' проходят п остальные плоско
сти, каждая из которых проходит че-
рез середину одного из рёбер тетраэд-
ра и перпендикулярна к ребру, ему
противоположному.
547. Будем называть для краткости
прямой d трёхгранного угла линию
пересечения трёх плоскостей, каждая
из которых проходит через одно из
его рёбер и перпендикулярна к про-
тивоположной грани (упр. 491, 1°).
проходящая че-
к 4/>, пересекает прямую
Обозначим через AAi и ВВ' прямые d трёхгранных углов \BCD
и BCD А тетраэдра AB2D. Пусть эти прямые АА' и ВВ' пересека-
ются в некоторой точке Н. При этом плоскость АВН будет перпен-
дикулярна к грани ACD, так как прямая АН лежит по построению
в плоскости, проходящей через ребро АВ и перпендикулярной к грани
ACD. Плоскость АВН будет перпендикулярна по аналогичной при-
чине и к грани ВСА, а следовательно, и к ребру CD Так как пло-
скость АВН перпендикулярна к ребру CD. то и лежащее в ней
ребро АВ перпендикулярно к CD
Обратно, пусть в некотором тэграэдре ребро АВ перпендикулярно
к CD. В таком случае через ребро АВ проходит, как легко видеть,
плоскость Р, перпендикулярная к ребру CD и к граням ACD и BCD.
Прямые АА' и ВВ', о которых говорится выше, лежат в этой пло-
скости Р', в то же время они, очевидно, не параллельны друг ipvry
и потому пересекаются в некоторой точке Н.
Тот факт, что прямые АА' и ВВ', о которых идёт речь, не могут быть
параллельными лруг другу, можно доказать так.
Прямые А / и ВВ лежат в плоскостях САА' и СВВ', которые обе пер-
пендикулярны к плоскости ABD. Если бы прямые АА' и ВВ' были парал-
лельны", то отсюда следовало бы, что они обе перпендикулярны к плоскости
АВР. По аналогичной причине они были бы при этом и перпендикулярны к пло
скости АВС, что невозможно.
Если теперь в некотором тетраэдре четыре прямые d его трёх-
гранных углов проходят черэз одну точку, то приведённые выше
рассуждения применимы к любым двум вершинам тетраэдра. Каждые
400
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны, и
«го вершины расположены, как указано в задаче 527. Обратно, если
каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендику-
лярны, то в силу сказанного выше четыре прямые, о которых идёт
речь, попарно пересекаются. Так как эти прямые не лежат все че-
тыре в одной плоскости, то они проходят через одну точку Н (упр.
423).
При этом плоскость АВН будет, как мы уже указывали выше,
перпендикулярна к грани BCD, и то же будет иметь место для каж-
дой из плоскостей АСН и ADH. Следовательно, прямая АН будет
высотой тетраэдра; высотами будут также и прямые ВН, СН и DH.
Итак, высоты тетраэдра с ортогональными рёбрами совпадают с темп
четырьмя прямыми, о которых идёт речь, и потому проходят через
одну точку.
Примечание. Пользуясь сказанным в решении задачи 527, непосред-
ственно получим следующие предложения:
Если прямые d двух трёхгранных углов тетраэдра, имеющих своими
вершинами концы данного его ребра, пересекаются, то суммы квадратов
тех двух пар противоположных рёбер тетраэдра, в которые не входит
данное ребро, равны между собой, и обратно.
Так, если пересекаются прямые d трёх-
гранных углов при вершинах А и В тетраэд-
ра, то ребро АВ перпендикулярно к CD, и по-
тому АС* 4- BIA = ВСг -|- АСУ.
Если четыре прямые d трёхгранных
углов тетраэдра проходят через одну точку,
то суммы квадратов трёх пар противопо-
ложных рёбер тетраэдра равны между со-
бой, и обратно.
См. ещё примечание к решению упраж-
g нения 549.
548. Будем называть для краткости
прямой Д трёхгранного угла линию пе-
ресечения трёх плоскостей, каждая из
которых проходит через биссектрису одно-
Черт. 345. го из его плоских углов и перпендику-
лярна к плоскости этого угла (упр. 489, 2°);
прямая Д образует равные углы с рёбрами трёхгранного угла.
Пусть прямые Д трёхгранных углов тетраэдра проходят все че-
тыре через одну точку О (черт. 345); опустим из точки О перпен-
дикуляры OK, OL, ОЛ4, ON, 01 и OJ на рёбра АВ, ВС, CD, DA,
АС и BD тетраэдра. Так как прямая АО образует равные углы
с рёбрами АВ, АС и AD, то треугольники AOK, АО! и AON равны
и, следовательно, отрезки АК, А! и AN также равны. Обозначая
общую величину этих отрезков через а, будем иметь АК = А!~
— AN —а. Аналогично найдём; BL — BJ = BK = b\ СМ = С1 =
= CL=c-, DN — DJ = DM = d. Отсюда AD-[-ВС — ANDN
-j- BL -|- CL — a -f- b -]- c d. Таким же образом получим BD-\- AC =
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА I 401
₽ аCDАВ — a-j-b-j-с-j-d; откуда
AD-^-BC = BD^-CA = CD )-АВ (1)
Итак, мы доказали следующее предложение:
Если четыре прямые Д трёхгранных углов тетраэдра проходят
через одну точку, то суммы трёх пар противоположных рёбер
тетраэдра равны между собой.
Пусть теперь известно только, что прямые Д двух трёхгранных углов
тетраэдра пересекаются. В этом случае можно доказать несколько более об-
щее предложение:
Если прямые Д двух трёхгранных углов тетраэдра, имеющих своими
вершинами концы данного его ребра, пересекаются, то суммы тех двух пар
противоположных рёбер тетраэдра, в которые не входит данное ребро,
равны между собой.
Так, если пересекаются прямые Д трёхгранных углов при вершинах Ли С
тетраэдра, то сумма противоположных рёбер АВ и CD равна сумме противо-
положных рёбер ВС и DA (ребро АС сюда не вошло!).
Обозначим через О точку пересечения прямых А трёхгранных углов ABCD
и BCDA, через /— основание перпендикуляра, опушенного из точки О на
ребро СА, через Н и F— основания перпендикуляров, опущенных из той же
точки на грани АВС и CDA.
Точка Н лежит, как это следует из определения прямых АО и СО, на
биссектрисах АН и СН треугольника АВС и потому совпадает с центром
вписанной в него окружности. В силу перпендикулярности отрезков HI и FI
к ребру АС, точка Z будет общей точкой касания с прямой АС окружностей,
вписанных в треугольники АВС и CDA. Но отрезок стороны АС треугольника
АВС от вершины А до точки касания вписанной окружности равен (Пл., упр. 90а)
у(ЛЙ АС—ВС), а в треугольнике CDA аналогичный отрезок стороны АС равен
у (АС 4- DA — CD). Отсюда ~ (АВ + АС — ВС)—(AC-f-DA—CD)
или АВCD= ВС-f-DA.
Предположим теперь обратно, что рёбра тетраэдра ABCD удовлет-
воряют одному из равенств (1), а именно
AB-\-CD—BC-\-DA. (2)
Докажем, что в этом случае прямые Д трёхгранных углов при верши-
нах А и С тетраэдра пересекаются и то же имеет место для прямых
Д трёхгранных углов при вершинах В и D (заметим, что именно рёбра
АС и BD не входят в данное равенство).
В самом деле, из равенства (2) следует, что АВ-^АС—ВС —
= AC^-DA — CD. Но ~ (АВ-)- АС—ВС) есть (Пл., упр. 90а) от-
резок стороны АС треугольника АВС от вершины А до точки каса-
ния / вписанной окружности, a -i- (AC-\-DA — CD) есть аналогич-
ный отрезок стороны АС треугольника CDA. Следовательно, окруж-
ности, вписанные в грани АВС и CDA тетраэдра, касаются ребра АС
26 Элементарная геометрия, ч. 11
402
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
в одной и той же точке I. Центры Н и F этих окружностей лежат в пло-
скости, проходящей через точку I и перпендикулярной к ребру АС.
Перпендикуляры к граням АВС и CDA соответственно в точках Н и
F пересекаются поэтому в некоторой точке О. Плоскость О АН перпен-
дикулярна к грани АВС и проходит через биссектрису АН угла САВ,
а плоскость OAF перпендикулярна к грани CDA и проходит через
биссектрису AF угла CAD, так что АО есть прямая А трёхгранного
угла при вершине А. Таким же образом ВО есть прямая Д трёхгран
ного угла при вершине В и О есть точка пересечения обеих прямых А.
Таким же путём докажем, что при соблюдении того же условия
(2) прямые Л двух других трёхгранных углов тетраэдра также пере-
секаются в некоторой точке; достаточно заметить, что условие (2) не
изменится, если поменять местами точки А и В и в то же время
точки С и D.
Итак, мы доказали следующее предложение:
Если суммы двух пар противоположных рёбер тетраэдра равны
между собой, то прямые Д трёхгранных углов тетраэдра, имею-
щих своими вершинами концы каждого из рёбер третьей пары,
пересекаются.
Если мы предположим теперь, что суммы трёх пар противополож-
ных рёбер тетраэдра равны между собой, то отсюда следует, что
любые две из четырёх прямых Д трёхгранного угла тетраэдра пере-
секаются. Так как эти четыре прямые не лежат в одной плоскости,
то они проходят через одну точку (упр. 423). Мы пришли к следующему
окончательному результату;
Если суммы трёх пар противопо-
ложных рёбер тетраэдра равны между
собой, то четыре прямые А трёхгран
ных углов тетраэдра проходят через
одну точку.
Примечания. 1. Наряду с прямы
ми А трёхгранных углов тетраэдра можно
рассматривать (ср. прямые А,, А2 и Л3в ре-
шении упр. 489,2°) прямые А его „внеш-
них* трёхгранных углов, т. е. трёхгранных
углов, образованных каждый двумя рёбрами
тетраэдра и продолжением третьего ребра
(например, трёхгранный угол ABCD\ на черт. 346). При этом имеет место
следующее предложение;
Если четыре прямые А, а именно прямая А трёлгранного угла DABC
тетраэдра и три прямые А трёхгранных углов ABCDb BCAD2 и CABDS,
где ADl, BD2 и CD2—продолжения соответственно рёбер DA, DB и DC за
вершины А, В и С (черт. 346), про 'о Ыт через одну точку, то разности
противоположных рёбер тетраэдра равны:
AD-BC=BD—CA = CD- АВ,
и обратно.
Доказательство этого предложения настолько близко к приведённому выше,
что нет надобности на нём останавливаться.
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА I
403
2. Относительно аналогичных свойств „прямых d’ и „прямых 8“ тетраэдра
см. решения упражнений 547 и 549, в частности примечание к решению упраж-
нения 549. Относительно дальнейших свойств рассмотренных в настоящем
упражнении тетраэдров частного вида см. ниже задачу 570 и упражнение 700.
549. Будем называть для краткости прямой & трёхгранного угла
линию пересечения трёх плоскостей, проходящих через каждое ребро
трёхгранного угла и через биссектрису противоположного плоского
угла (упр. 490,1°).
Пусть прямые S трёхгранных углов ABCD и BCDA тетраэдра ABCD
проходят через одну точку О. Обозначим точку пересечения плоско-
сти АВО с ребром CD тетраэдра через X. При этом прямые АХ и
ВХ будут, по определению прямых о, биссектрисами треугольников
CDA и BCD. Отсюда следует, что CX-.XD— AC: AD = ВС". BD, и
потому AD-BC=BD-AC. Легко видеть, что и обратно, из послед-
него равенства следует, что прямые S трёхгранных углов при верши-
нах А и В пересекаются. Таким образом, доказано следующее пред-
ложение:
Если прямые о двух трёхгранных углов тетраэдра, имеющих
своими вершинами концы данного его ребра, пересекаются, то про-
изведения тех двух пар противоположных рёбер тетраэдра, в ко-
торые не входит данное ребро, равны между собой, и обратно.
Пусть теперь прямые S трёхгранных углов тетраэдра проходят все
четыре через одну точку. Приведённые выше рассуждения применимы
к любым двум вершинам тетраэдра, откуда следует, что в этом слу-
чае произведения трёх пар противоположных рёбер тетраэдра равны
между собой:
AD-ВС = BD-СА = CD-АВ.
Обратно, если эти условия выполнены, то прямые 8 трёхгранных уг-
лов тетраэдра попарно пересекаются, как это следует из сказанного
выше. Так как четыре прямые й не лежат в одной плоскости, то они
проходят через одну точку (упр. 423).
Итак, если четыре прямые 8 трёхгранных углов тетраэдра про-
ходят через одну точку, то произведения трёх пар противополож-
ных рёбер тетраэдра равны между собой, и обратно.
Примечание. Отметим здесь ту аналогию в свойствах „прямых </",
„прямых Д“ и „прямых 3“, которая выявилась в решениях упражнений 547—549.
Имеют место следующие предложения:
Если прямые d (или прямые А, или прямые () двух трёхгранных углов
тетраэдра, имеющих своими вершинами концы данного ребра, пересека-
ются, то суммы квадратов (соответственно — суммы или произведения)
тех двух пар противоположных рёбер тетраэдра, в которые не входит
данное ребро, равны между собой, и обратно.
Если четыре прямые d (или прямые у, или прямые 8) трёхгранных
углов тетраэдра проходят через одну точку, то суммы квадратов (соот-
ветственно — суммы или произведения) трёх пар противоположных рёбер
равны между собой, и обратно.
26*
404
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
550. Пусть Л0В0С0С>0 (черт. 347) — тетраэдр, длины рёбер кото-
рого В0С0 = а; CQA0 — b; А0В0 = с; D0A0 = а'; D0B0 — b' и £>0С0=с<
известны. Обозначим через О0//0 высоту -тетраэдра и через ОйК() и
£)0£0—высоты граней ОпВ$С0 и О0Д0В0. При этом прямые Н0К0 и 7/0/,0
будут перпендикуляры соответственно к В0С0 и к AojBo.
Зная длины рёбер тетраэдра, мы можем построить на плоскости
„развёртку* тетраэдра, т. е. построить треугольники BCD', CAD", ABD'"
и АВС, соответственно равные граням BfiC{tD{}, C^A^D^, A0B0D0 и A0S0C0
тетраэдра и расположенные, как указано на чертеже 348 (стороны тре-
угольника BCD' равны а, Ь' и с', и т. д.). Если провести через две
из трёх точек D', Df и D'"
щим сторонам треугольника
D'K, перпендикулярную к
ВС, и через точку О'" —
прямую О'"L, перпендику-
лярную к АВ, и обозначить
через Н точку пересечения
построенных прямых, то мы
прямые,
АВС,
D'"
перпендикулярные к соответствую-
например, через точку D' прямую
D
Черт. 347.
и
Черт. 348
будем, очевидно, иметь D'K—D0K^', D'"L = D^L(' KH=KgHq, LH=
= L$Hq. Построив теперь на той же плоскости прямоугольный тре-
угольник, у которого гипотенуза равна D'K, а один из катетов ра-
вен КН, мы и получим эффективно высоту АйНй тетраэдра: она будет
равна второму катету построенного треугольника.
Итак, всё построение одной высоты сводится к построению треуголь
ников BCD, ABD"' и АВС (в построении четвёртого треугольника
нет необходимости), к проведению прямых D'K и D"'L, перпендикуляр-
ных соответственно к ВС и к АВ, и к построению прямоугольного тре-
угольника по гипотенузе и катету, как указано выше.
Аналогично строятся и остальные высоты.
Примечание. При решении этой задачи мы предполагаем, что суще-
ствует тетраэдр AqB^CqDq, рёбра B£q, СоАо, АоВо, Ц1-40, DqB0 и DoCo которого
КНИГА ШЕСТАЯ- ГЛАВА II
405
оавны соответственно данным отрезкам а,Ь,с,а',Ь' и с'. Мы не останавли-
ваемся здесь на выяснении тех условий, которым должны удовлетворять дан-
ные отрезки для того, чтобы такой тетраэдр существовал.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II (стр. 99).
551. Так как объём треугольной призмы АВСА'В'С (черт. 349)
равен произведению площади перпендикулярного сечения АйВйСй на
боковое ребро СС (п. 425), то мы имеем
об. АВСА'В'С = пл. А0В0Сй-СС' = ~ A^H0-ВйСй-СС =
= Л0/70-пл. ВВС С,
где АцН0 — высота треугольника А0В0С0. Но отрезок А0Н0, перпенди-
кулярный к прямой В0С0 и лежащий в плоскости Л0В0С0, перпендику-
лярной к плоскости ВВ'С'С,
будет перпендикулярен и к
плоскости ВВ'С'С (п. 364).
Таким образом, объём дан-
ной призмы действительно
равен половине произведения
площади грани ВВ'С'С на
расстояние А0Н0 этой грани
от ребра АА'.
552. Объём треугольной
призмы равен произведению
площади её перпендикулярного сечения на боковое ребро (п. 425). Но
так как при условиях, указанных в тексте задачи, площадь перпенди-
кулярного сечения не зависит от положения отрезков АА', ВВ' и СС
на данных параллельных прямых, то и объём призмы не зависит от
положения этих отрезков на данных пря-
мых.
553. Так как объём призмы не изме-
няется, если одно из её оснований пере-
мещать параллельно самому себе (иначе
говоря, перемещать поступательно в смыс-
ле, установленном в Пл., п. 51) в его пло-
скости, то призмы, построенные на гранях
SBC, SCA и SAB тетраэдра, можно заме-
нить равновеликими им призмами, построен-
ными на тех же гранях и имеющими отре-
зок SJ своим общим боковым ребром (ср.
аналогичное рассуждение в решении Пл.,
упр. 311). Таким образом, получим призмы SBCIMN, SCAINL и
SABILM (черт. 350). Эти три призмы образуют вместе с тетраэдром
SABC семигранник, ограниченный четырьмя треугольниками ЛВС, IMN,
INL, ILM и тремя параллелограмами BCNM, CALN и АВ ML. Тот
406
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
же многогранник можно рассматривать как состоящий из призмы
ABCLMN и тетраэдра ILMN. Отсюда следует, что
об. SBCIMN-\-об. SCAINL-]-об. SABILM-\o6. SABC=
= об. ABCLMN-]-об. ILMN.
Но тетраэдры SABC и ILMN равны, так как рёбра ВС, СА, АВ, SA, SB
и SC первого соответственно параллельны и равны рёбрам MN, NL
LM, IL, IM и IN второго; следовательно, равны и их объёмы. Пре-
дыдущее равенство и приводит к искомому результату
об. SBCIMN+ об. SCAINL-]- об. SABILM= об. ABCLMN.
554. Пусть в сечении пирамиды SABCD плоскостью Q получается
прямоугольник A'B'C'D' (черт. 351 и 352), и в этот прямоугольник
вписан четырёхугольник E'F'G'H', у которого
сторона EF' параллельна А'С, а стороны Н'Е'
и F'G' параллельны B'D'. В таком случае не-
трудно доказать, что и сторона G'H' будет па-
раллельна А'С.
1°. Обозначим расстояние верши
ны S от плоскости Q через х. В та
ком случае стороны прямоугольника
A'B'C'D' будут равны (п. 414)
D
Черт. 351.
Д’
D‘
Е'
G'
В'
Черт. 352.
и , а его диагональ будет равна ]/а2 -)- Ь2. Так как E'F' =
— G'H' — A'M и F'G' — Е'Н' — МС, где М — точка пересечения пря
мых, проходящих через точки F' и G' параллельно сторонам прямо-
угольника, то периметр четырёхугольника E'F'G'H' равен 2.4'С =
— — у а2 -Ь2. Отсюда следует, что сумма двенадцати рёбер призмы R
равна Vа2 -|- Ь2 4 (h — х). Приравнивая это выражение данной ве-
личине 4/и и разрешая полученное уравнение относительно х, найдём:
у__ h(m-h)
Уа'г -|- b- — h
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА И
407
Чтобы задача была возможна, найденное значение х должно удовле-
творять, очевидно, условиям 0<^х<^А.
Если р^а2 — Л^>0, т0 этн условия сводятся к т — Л^>0 и
_— Ц у (J, —|— (7 ftj K.J Ad ft fft у Lt | (7 f UL71 и у Lt | tz
_/г 0, то те же условия сводятся к т — /г <4 0 и т — а2 Ьг— h\
откуда ]/a2 <^m<^h. Таким образом, чтобы сумма двенадцати
рёбер призмы R могла равняться 4т, данная величина т должна
быть заключена между высотой h пирамиды SABCD и диагональю
её основания, равной ]/й2 Ь2 .
2°. Чтобы призма R, соответствующая некоторому определённому
положению плоскости Q, имела наибольший объём, площадь четырёх-
угольника E'F'G'H', вписанного в данный пря-
моугольник, должна иметь наибольшее воз-
можное значение. Но из чертежа 352 видно,
что разность между площадью прямоугольни-
ка A'B'C'D' и площадью параллелограма
E'F'G'H' будет, вообще говоря, больше пло-
щади последнего, так что площадь паралле-
лограма будет меньше половины площади
прямоугольника. Действительно, эту разность
можно представить в виде пл. А'Н'Е'А-
— пл.КН'Е' -|-пл. LE'F' ил. ME’G’ пл. NG'H' (обозначения K,L,M
и N понятны из чертежа); но площади последних четырёх треугольников,
вообще говоря, с избытком покрывают площадь параллелограма E'F'G'H'
(треугольники „перекрываются**). Исключение представляет только тот
случай, когда точки Е',F1,G' и Н' совпадают соответственно с серединами
Ей, Fo, Go и Но сторон прямоугольника (черт. 353): в этом последнем
случае площадь параллелограма равна половине площади прямо-
угольника.
Итак, из всех призм R, которые могут быть построены при
заданном положении плоскости Q, наибольший объём имеет та,
основанием которой служит ромб.
К тому же результату можно прийти н другим путём, менее наглядным.
Так как все вписанные параллелограмы E'F'G'H' имеют одни и те же углы,
то их площади относятся, как произведения соседних сторон (ср. Пл., п. 256),
следовательно, площадь параллелограма E'F'G'H' будет наибольшей, если
произведение E'F'-F'G’ будет наибольшим. При этом сумма сторон E'F' /-'G'
сохраняет постоянное значение E'F'-\-F'G'= А'М-\-М.С'=А'С'. Так как
произведение двух отрезков, сумма которых постоянна, будет наибольшим,
то мы и приходим к тому же результату,
если эти отрезки равны (пл., п. 155),
что и выше.
Из сказанного вытекает, что
жается при заданном положении
напбольший объём призмы R выра-
плоскости Q следующим образом
у пл. A’B'C'D' ЕЕ'==^~x2(h—x).
408
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Чтобы изучить изменение этого объёма при изменении х в про-
межутке 0 <^х<^й, мы должны изучить при тех же условиях изме-
нение функции
у — х2 (h — х}.
С этой целью воспользуемся свойствами производной. Мы имеем
\? = 2hx— Зх2=х(2й— Зх). Отсюда видно, что производная у' по-
' 2 2
ложительна при h, обращается в нуль при x = -^h и
о О
2
отрицательна при -х- h х h. Поэтому наибольший объём, кото
о
рый призма R может иметь при заданном расстоянии х вершины S
2
от плоскости Q, возрастает с увеличением х от нуля до h, дости-
О
гает максимального возможного значения при х = -^п и убывает
2
при дальнейшем увеличении х от -^h до h.
о
То обстоятельство, что объём, о котором идёт речь, достигает наиболь-
2
шего возможного значения при x=—h, можно доказать н не пользуясь по-
нятием производной, если применить следующую теорему:
Произведение трёх положительных сомножителей, сумма которых
постоянна, имеет наибольшее возможное значение, когда все три сомно-
жителя равны между собой >).
В данном случае имеем: y = x2(h— х) и
1 х х
хх 1
Так как —(А — x) = h постоянно, то -^-у, а следовательно, и у до-
, х 2 ,
стнгают наибольшего значения при -g- = A — х, т. е. при х—~^ Л-
УПРАЖНЕННЯ К ГЛАВЕ III (стр. 106).
555. Разделим ребро 5/1 данной пирамиды SABC (черт. 354) на
п равных частей SAr = А1А2 — ... и через точки деления Аь А2, . ..
проведём сечения А2В2С2, ..параллельные основанию. Пло-
щади этих сечений будут (в силу п. 414) соответственно равны
I2 22
S, -^S, ... , где 5 = пл. АВС. Проведя через точки Въ Си Bt,
С2, .. . прямые Bibi, C]Clt B2b2, С2с2, ..., параллельные 5Л, получим
(как и в п. 428) ряд призм AIB1ClAQblc1, А2В2С2АЙЬгс2,... , высота каж-
’) Доказательства этой теоремы приведены, например, в книгах Зетеля
«Задачи на максимум и минимум* (стр. 65) и Натансона «Простейшие задачи
на максимум и минимум” (стр. 24).
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА III
409
дой из которых равна — • Н, где Н—высота данной пирамиды. Для сум-
мы объёмов этих призм получается следующее выражение:
^-^•^4J12 + 22+ - - • +(«- !)21-
решение. Если
1)2 = 1Л(И_ 1)(2л — 1).
О
неограниченном возрастании п,
Но, как известно, 1
Следовательно, sn = -S-H-n(n — 1) (2я — 1) =
X ^2 — у) . Переходя к пределу при
мы и получим обычное выраже-
ние у -SH для объёма пирамиды.
556. Первое
ребро правильного тетраэдра равно
а, то площадь его основания равна
(Пл., решение упр. 287) -^-аг]/3 .
Высота правильного тетраэдра про-
ходит через центр основания (п.415)
Поэтому высота тетраэдра служит
катетом прямоугольного треугольника,
у которого гипотенуза равна боковому
ребру а, а другой катет — радиусу д
окружности, описанной около осно-
вания, т. е. (Пл., п. 167) ~= . Сле-
довательно, высота тетраэдра равна |/^
1 ..г- ,/"2 1 „,/о
1 V 3 ~12а ^2-
8,
Ь В
С
В
Черт. 354.
2 а*
С---^~а
2
у, а его
1 1 г-
объём равен у ' у а2 у 3-а
s
Второе решение. Если через каждое ребро правильного тетраэдра
провести плоскость, параллельную противоположному ребру, то эти шесть
плоскостей образуют куб (ср. п. 554 и черт, 212 на стр. 225). Ребро этого
куба равно —,где а — ребро данного тетраэдра, а объём куба равен — Y2.
У 2 4
Но объём тетраэдра равен (в силу решения упр. 562) одной трети об ьёма куба.
Отсюда для объёма правильного тетраэдра получается то же выражение
Д- д8У 2, что и выше.
557. Два тетраэдра, имеющих по равному трёхгранному углу,
можно расположить так, чтобы эти два трёхгранных угла совпали,
как в тетраэдрах ABCD и А'В'С Dm чертеже 355. При этом высоты
АН и А'Н' обоих тетраэдров будут относиться, как их боковые
рёбра DA и D'A', так что AH'. А'Н' =DA:DA'. Площади оснований
будут относиться (Пл., п. 256), как произведения сторон, заключаю-
410
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
щих общий угол, а именно пл. DBC. пл. DB'C = (DB-DC):(DB'-DC).
Отсюда
об. ABCD:o6. A'B'C'D=(rm. DBC-ДН):(пл. DB'C-A'H') =
= (DA - DB DC) :(DA'-DB'-DC).
Если два тетраэдра имеют по симметричному, а не по равному
трёхгранному углу, то эти два тетраэдра можно расположить так,
чтобы два симметричных трёхгранных угла были симметричными отно-
сительно общей вершины (в смысле п. 388), как в тетраэдрах ABCD
и A'B"C'D на чертеже 355. При этом можно повторить рассуждения,
приведённые выше.
558. Два тетраэдра,
имеющих по равному ребру и равные дву-
рёбрах, можно расположить так, чтобы их
гранные углы при этих
равные рёбра и плоскости прилежащих
к ним граней совпали, как в тетраэд-
рах ABCD и A'BCD' на чертеже 356.
При этом для отношения высот АН и
А'И' получим следующее выражение
АН:А'Н' = АК : А'К' = пл. АВС :
: пл. А'ВС, где К и К' —основания пер-
пендикуляров, опущенных из точек А и
А' на общее ребро ВС. Следовательно,
об. ABCD :об. A'BCD' =
— (ил. BCD-АН):(ил. BCD'-A'H') =
= (пл.BCD-пл. ABC):
:(пл. BCD' -пл. ABC).
559. Пусть некоторая точка G, будучи соединена с вершинами
тетраэдра ABCD, делит его на четыре равновеликих тетраэдра GBCD,
GCDA, GDAB и GABC. Обозначим через М точку пересечения плоскости
GCD с ребром АВ. Мы имеем, очевидно, об. G/CD: об. MACD =
— пл. GCD: пл. MCD и об. GBCD:об. MBCD = пл. GCD: пл. MCD.
В силу равенства объёмов тетраэдров GACD и GBCD отсюда
следует, что об. MACD=o6. MBCD. Но два тетраэдра MACD и
MBCD имеют общее основание MCD; поэтому их объёмы относятся,
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА III
411
как расстояния точек А и В от плоскости MCD, т. е. как отрезки МА
и МВ. Следовательно, мы имеем МА = МВ. Так как эти рассужде-
ния приложимы к любому ребру тетраэдра, то точка Q должна сов-
падать с точкой, рассмотренной в упражнении 540.
Остаётся доказать, что точка G, рассмотренная в решении упраж-
нения 540, действительно обладает требуемым свойством. Если пря-
мая DG пересекает грань АВС в точке G' (черт. 357), то мы имеем
GG':£>О'= 1:4, откуда следует, что об. GABC—-^ -об. ABCD, и
го же имеет место для каждого из тетраэдров GBCD, GCDA и GDAB.
Таким образом, рассмотренная в решении упражнения 540 точка О,
будучи соединена с вершинами тетраэдра, действительно делит его
на четыре равновеликих тетраэдра.
D
Черт. 357. Черт. 358.
560. Объём тетраэдра ABCD (черт. 358) не изменяется при пере-
мещении отрезка АВ (без изменения его длины) и вершин С и D
соответственно по трём данным параллельным прямым, так как при
этом не изменяется ни площадь грани АВС, ни длина высоты, про-
ведённой через вершину D.
По той же причине объём не изменится, если отложить ребро,
равное АВ, на той из данных прямых, где первоначально лежала вер-
шина С, а вершину С выбрать на той из данных прямых, где перво-
начально лежало ребро АВ.
Аналогично, объём тетраэдра не изменится, если ребро, равное АВ,
отложить на той прямой, где первоначально лежала вершина D, а
вершину D выбрать иа той прямой, где первоначально лежало ребро АВ,
так как при этом не изменится площадь грани ABD и высота тетраэдра,
проведённая через вершину С.
561. Пусть плоскости, проведённые через вершины данного тетра-
эдра ABCD параллельно его противолежащим граням, образуют те-
траэдр A'B'C'D' (черт. 359). Плоскость АВС пересекает три грани
нового тетраэдра по сторонам треугольника А"В"С", соответственно
параллельным сторонам треугольника АВС: действительно, пло-
скость АВС пересекает плоскости BCD и В'CD' по параллельным пря-
мым ВС и В'С' и т. д.
412
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Д
Р'
Черт. 359.
Б62. Через ребро АВ данного
Отсюда следует, что точка С есть середина отрезка А'В". Далее
прямые А"В" и Д'В' параллельны, как линии пересечения паоаллель-
ных плоскостей АВС и А’В'С с плоскостью A'B'D'. Так как СЛ"=С5'
и отрезок А'В' параллелен А” В", то прямая D'C делит отрезок А'В'
в точке М' пополам. Таким образом, вершина С тетраэдра ABCD
лежит на медиане D М грани
A'B'D' тетраэдра A'B'CD'. По-
вторяя эти рассуждения для дру-
гих вершин и граней, убедимся,
что каждая вершина тетраэдра
ABCD есть центр тяжести одной
из граней тетраэдра A'B'C'D'.
Поэтому имеем D'М' :D'C =
= D'B' :D'B"—3:2 и, следова-
тельно (п. 414)
пл. А’В’С: пл. А"В"С =*
= (D'B':D'B")2 = $:4.
Так как, очевидно, пл. А”В" С:
:пл. АВС—4:1,то пл. А’В'С =
= 9-пл. АВС. Высоты тетраэдров
A'B'CD' и ABCD, проведённые из
вершин D' и D, относятся, как
D'B' :D'B”,t. е. как 3:1. Отсюда
следует, что объём тетраэдра
A'CC'D' в 27 раз превосходит
объём тетраэдра ABCD.
тетраэдра ABCD проводим пло-
скость AC'BD', параллельную ребру CD, и т. д. (черт. 340 на стр. 396).
Таким образом, получим параллелепипед AC'BD'В'DA'С. Объём дан-
ного тетраэдра ABCD получится, если из объёма этого параллелепи-
педа вычесть объёмы четырёх пирамид A'BCD, AB'CD, ABCD и
ABCD'. Но объём каждой из этих пирамид равен одной шестой
объёма параллелепипеда, так как площадь основания любой пирамиды
равна половине площади основания параллелепипеда, а её высота —
высоте параллелепипеда. Следовательно, на долю четырёх пирамид,
вместе взятых, приходится две трети объёма параллелепипеда, а на
долю данного тетраэдра — одна треть. Итак, объём параллелепипеда
втрое превосходит объём данного тетраэдра.
563. Как было показано в решении упражнения 562, объём дан-
ного тетраэдра ABCD равен одной трети объёма параллелепипеда
AC'BD'B'DA'C (черт. 340 на стр. 396). Но высота этого паралле-
лепипеда, т. е. расстояние между параллельными плоскостями AC'BD'
и B'DA'C, равна кратчайшему расстоянию между рёбрами АВ и CD
тетраэдра ABCD. Далее, площадь основания AC'BD' параллелепипеда
равна половине площади параллелограма KLMN (черт. 360), сто-
КНИГА ШЕСТАЯ. ГЛАВА III
413
роны KL и LM которого соответственно параллельны и равны рёбрам
АВ и CD тетраэдра. Отсюда и получается указанное в условии выра-
жение для объёма тетраэдра.
564. Первое решение. При перемещении ребра АВ тетра-
эдра ABCD (черт. 358 на стр. 411) по прямой, на которой оно лежит,
не изменяется (при неподвижном ребре CD) ни площадь грани АВС,
ни соответствующая высота, т. е. расстояние от точки D до плоско-
сти АВС. Следовательно, не изменяется и объём тетраэдра. По тем же
соображениям объём тетраэдра не изменяется и при перемещении
ребра CD по прямой, на которой оно лежит (при неподвижном ребре АВ).
Отсюда следует, что объём тетраэдра не изменяется и при переме
щении обоих рёбер АВ и CD по прямым, на которых они лежат.
Второе решение. Доказываемое предложение непосредственно
вытекает из выражения для объёма тетраэдра, приведённого в упраж-
нении 563.
565. Пусть ОР—одна из прямых L, проходящих через данную
точку О пространства (черт. 361). Прежде всего заметим, что отно-
шение объёмов тетраэдров, о которых идёт речь, не зависит от вы-
бора их общего ребра на прямой L. В самом деле, объёмы обоих
тетраэдров не изменяются при перемещении общего ребра вдоль пря-
мой L без изменения его величины (упр. 564); поэтому за один из
концов этого ребра можно принять данную точку О. Далее, отноше-
ние объёмов тетраэдров О АВР и OCDP не зависит от выбора вто-
рого конца Р общего ребра на прямой L. Действительно, обозначим
через Р' какую-либо точку прямой L, отличную от О и от Р, через
PH, РК, Р'Н' и Р'К' — высоты тетраэдров О АВР, OCDP, О АВР' и
OCDP'. Тетраэдры О АВР и О АВР' имеют общее основание ОАВ,
тетраэдры OCDP и OCDP' — общее основание OCD. Высоты этих
тетраэдров удовлетворяют условию PH'.Р'Н' = ОР'.ОР'РК'.Р'К1.
Отсюда и следует, что об. ОАВР:об. OCDP=об. ОАВР':об. OCDP1.
414
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Так как об. ОАВРгоб. OCDP—(пл. ОАВ’РН):(пл. OCD • РК)
то PH: РК = (об. О АВР : об. OCDP) (пл. OCD : пл. ОАВ) = const’
Таким образом, геометрическое место точек Р, т. е. прямых L,
проходящих через точку О, есть в то же время геометрическое место
точек, отношение расстояний которых от двух данных плоскостей ОАВ
и OCD имеет постоянное значение. Этим геометрическим местом
будет, как легко видеть, пара плоскостей, проходящих через линию
пересечения двух данных (ср. Пл., п. 157).
Пусть теперь отрезки АВ и CD лежат в одной плоскости; в этом случае
мы сможем не только разрешить вопрос о геометрическом месте прямых L,
проходящих через данную точку пространства (данное выше решение этого
вопроса остаётся в силе), но и выяснить расположение всех прямых L в про-
странстве.
Предположим, что отрезки АВ и CD лежат в одной плоскости
(черт. 362). Так как объёмы тетраэдров О АВР и OCDP, как и выше,
не изменяются при переме-
щении отрезка ОР вдоль
прямой L, то за точку О
можно принять точку пере-
сечения рассматриваемой пря-
мой L с плоскостью, в кото-
рой лежат отрезки АВ и CD.
При этом оба тетраэдра бу-
дут иметь общую высоту —
перпендикуляр из точки Р
на эту плоскость. Следова-
тельно, отношение объёмов
обоих тетраэдров будет рав-
но отношению площадей
треугольников ОАВ и OCD,
т. е.
об. ОАВР:об. OCDP=
пл. ОАВ:пл. OCD — (AB-OH):(CD-OK), где ОН и ОК—перпен-
дикуляры, опущенные из точки О на прямые АВ и CD. Отсюда
ОН : ОК = (об. О АВР: об. OCDP) (CD: АВ) = const. (1)
Поэтому геометрическое место точек О есть в то же время геоме-
трическое место точек плоскости, отношение расстояний которых о г
прямых АВ и CD имеет данную величину. Этим геометрическим ме-
стом будет (Пл., п. 157) пара прямых Д и Д', проходящих через
точку пересечения S прямых АВ и CD или им параллельных (и одна
прямая Д. если отрезки АВ и CD параллельны и отношение ОН : ОК равно
единице). Таким образом, рассматриваемая прямая L должна пересе-
кать одну из этих двух прямых. Легко видеть, что и обратно, если
некоторая прямая L пересекает одну из прямых Д или Д', то отно-
КНИГА ШЕСТАЯ- ГЛАВА III
415
шение объёмов тетраэдров, о которых идёт речь, имеет данную ве-
личину.
Рассматривая случай отрезков АВ и CD, лежащих в одной пло-
скости, мы предполагали до сих пор, что рассматриваемая прямая L
пересекает эту плоскость в некоторой точке О. Если же рассматри-
ваемая прямая L параллельна той же плоскости и прямые АВ и CD
пересекаются в некоторой точке 5, то построим отрезок ST, равный
и параллельный общему ребру ОР тетраэдров ОАВР и OCDP. Далее
построим на прямых АВ и CD отрезки SM и SN, соответственно
равные АВ и CD. Так как кратчайшие расстояния между прямой ОР
и каждой из прямых АВ и CD равны между собой (они оба равны
расстоянию от прямой ОР до плоскости ABCD), то отношение объё-
мов тетраэдров ОАВР и OCDP будет равно (в силу упр. 563) отно-
шению площадей двух параллелограмов, из которых первый имеет
своими сторонами отрезки SM и ST, а другой — отрезки SN и ST.
Обозначая через TU и TV высоты этих двух параллелограмов, будем
иметь: об. ОАВР-. об. OCDP=(SM-TU): (S/V- TV) = (АВ-TU)-.(CD- TV),
откуда 777:7V = (об. ОАВР-. об. OCDP)-(CD:АВ) = const. Сравнение
этого равенства с равенством (1) показывает, что отрезок ST лежит
на одной из прямых Д и Д', рассмотренных выше.
Итак, если прямые АВ и CD пересекаются, то прямыми L 6v-
дут все прямые, пересекающие хотя, бы одну из двух определённых
прямых Д и Д', а так же все прямые, параллельные одной из них.
Прямые Д и Д' лежат с данными прямыми АВ и CD в одной плоско-
сти и проходят через точку их пересечения.
Аналогично можно рассмотреть и последний случай, когда прямые
АВ и CD параллельны и прямая L параллельна плоскости, в которой
они лежат.
566. Если прямая ЕР пересекает плоскость ABCD, то общее
ребро ЕР тетраэдров ABEF, ACEF и ADEF можно перенести (упр. 564),
не изменяя объёмов этих тетраэдров, вдоль прямой, на которой
оно лежит, так чтобы вершина Е лежала в плоскости ABCD. При
этом все три тетраэдра будут иметь своей общей высотой расстояние
от точки F до плоскости ABCD. Площадь основания EAD тетраэдра
ADEF будет равна сумме или разности площадей оснований ЕАВ и
ЕАС двух других тетраэдров в силу упражнения 296, 2° планимет-
рии. Поэтому та же зависимость будет иметь место и между их
объёмами.
Если теперь общее ребро EF трёх тетраэдров параллельно пло-
скости ABCD, то построим в последней отрезки АА', ВВ', СС и
DD' (черт. 363), каждый из которых параллелен и равен отрезку EF.
Объёмы трёх тетраэдров будут равны (упр. 563) одной шестой про-
изведений расстояния от прямой EF до плоскости ABCD соответ-
ственно на площади параллелограма АВВ' А', параллелограма АССА'
или BDD'B' и параллелограма ADD'А'. Но так как параллелограмы
ABB'A', BDD'B' и ADD’А’ имеют равные основания АА' — ВВ' и
416
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
высота последнего равна сумме или разности высот двух первых, то
та же зависимость имеет место и между площадями трёх параллело-
грамов, а следовательно, и между объёмами тетраэдров ABEF, АСЕР
и ADEF. Таким образом, рассматриваемое предложение имеет место
во всех случаях.
567. Пусть требуется вычислить сумму объёмов двух пирамид
SABC и SA'B'C (черт. 364), у которых площади оснований АВС и
А'В'С' равны соответственно В и В',
а расстояние между плоскостями осно-
ваний равно h. Обозначив через х и
у высоты пирамид SABC и SA'B'C,
будем иметь x-\-y = h и (в силу п.
414; ср. сноску на стр. 89) х:_у=1 В'.
hVTi
у В'.Отсюда находим: х=- •
Черт. 364.
Черт. 363.
у — у-g- > так что °®- В АВС-|-об. SA'B'C — -^-(Вх -|-В’у) =*
= у Л-(В + В' — УВВ’).
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ (стр. 107).
568. Пусть сечение тетраэдра ABCD некоторой плоскостью, не
пересекающей (для определённости) рёбер ВС и AD, есть параллело-
грам KLMN (черт. 365). Так как прямые KL и MN параллельны, то
проходящие через них плоскости граней BCD и АВС пересекаются
по прямой ВС, которая будет параллельна (п. 335) прямым KL и MN.
Отсюда следует, что плоскость KLMN параллельна прямой ВС. Ана-
логично из параллельности прямых LM и NK вытекает, что пло-
скость KLMN параллельна прямой AD. Обратно, если некоторая
плоскость, параллельная двум противоположным рёбрам тетраэдра, на-
пример ВС и AD, пересекает его остальные рёбра, то в сечении
получается параллелограм.
Итак, всякая плоскость, пересекающая тэтраэдр по параллело-
граму, параллельна каким-либо двум его противоположным рёбрам.
ЗАДАЧИ К П'ЕСТОЙ КНИГЕ
417
Так как тэтраэдр имеет три пары противоположных рёбер, то суще-
ствует три направления, которые может иметь плоскость, пересе-
кающая тетраэдр по параллелограму.
При перемещении секущей плоскости параллельно самой себе углы
параллелограма KLMN не изменяются. Отсюда следует, что площади
параллелограма KLMN и аналогичного параллелограма K'L'M'N' от-
носятся, как произведения смежных сторон KL-LM ч K’L'-L'M'.
Поэтому площадь параллелограма будет
наибольшей при условии, что произведение
y = KL-LM (1)
будет наибольшим. Но из подобия двух
пар треугольников, а именно DKL, DBC
и CLM, CDA имеем:
KL-.BC—DL’.CD-, LM-.AD=CL-.CD, (2)
откуда Черт. 365.
KL . LM_DL-\-CL
ВС' AD~ CD '
Представив теперь выражение (1) в виде
y = BC-AD^
LM
AD
(4)
и замечая, что отрезки ВС и AD не изменяются при перемещении
секущей плоскости, мы можем применить к двум последним сомножи-
телям правой части равенства (4) следующую теорему: произведение
двух положительных сомножителей, имеющих постоянную сумму, имеет
наибольшее значение, если оба сомножителя равны между собой (ср
Пл., п. 155, построение 7). Отсюда следует, что площадь паралле-
лограма KLMN будет наибольшей при условии, что KL’.BC— LM’.AD,
или, в силу (3), что KL = ~ ВС и LM=-^ AD. Итак, площадь
параллелограма KLMN будет наибольшей, если секущая плоскость
проведена через середины рёбер (К — середина ребра BD, L — середина
ребра CD, и т. д.).
Чтобы параллелограм KLMN был ромбом, т. е. чтобы имело место
равенство KL = LM, необходимо и достаточно в силу (2), чтобы было
CL-.DL — BC-.AD. Итак, чтобы параллелограм KLMN был ромбом,
надо резделшпь ребро CD в отношении BC'.AD, считая от точки С
(и в том же отношении разделить рёбра СА, BD и ВА, считая от
первого конца каждого ребра). Длина стороны ромба найдётся из
уравнения (3), которая при KL = LM даёт
BC-AD
KL — BC-\-AD‘
П Элементарная геометрия, ч. II
418
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
569. Пусть О — середина высоты DH правильного тетраэдра ABCD
(черт. 366), ребро которого равно а. Так к^к и
DH — a ]/ (упр. 556, первое решение), то OH=^-DH—Z7~,
То Z | 6
откуда О А — ОВ = ОС = АН2 ОН2 = . Отсюда непосред-
ственно следует, что ОА2-\ОВ2—а2 = АВ2, так что угол АОВ пря-
мой. По той же причине будут прямыми и
углы ВОС и СОА.
570. Пусть рёбра данного тетраэдра
удовлетворяют условию
АВ-\- CD=BC-\-DA. (1)
Покажем прежде всего, что при этом усло-
вии существует точка, равноудалённая от
всех сторон пространственного четырёхуголь-
ника ABCD и от прямой АС.
Обозначим через Н центр окружности,
вписанной в треугольник АВС, и через /, К
и L — точки её касания со сторонами СА, АВ и
ВС треугольника (черт. 345 на стр. 400). При этом будем иметь
(Пл., упр. 90а): "2А1 = СААВ—ВС. Заменяя здесь на основании
(1) разность АВ—ВС равной ей разностью DA — CD, получим
<2Al — AC-\-DA — CD. Это равенство показывает, что точка / есть
в то же время точка касания со стороной СА окружности, вписанной
в треугольник CDA (опять в силу Пл., упр. 90а) Обозначим через М
и /V точки -касания этой окружности со сторонами CD и DA тре-
угольника, через F—её центр. Так как прямые IF и IH обе пер-
пендикулярны к ребру СА, то перпендикуляры, восставленные к пло-
скостям CD А и АВС соответственно в точках F и Н, пересекаются
в некоторой точке О. Из равенств HI = HK — HL и Fl — FM = FN
получаем O1=OK—OL~OM=ON.
Обозначая теперь через Е и G основания перпендикуляров, опу-
щенных из точки О на грани BCD и DAB, будем иметь четыре пары
равных прямоугольных Tpeyi ельников (треугольники каждой пары
имеют равные гипотенузы и общий кагет) ОКН и OLH, OLE и ОМЕ,
OMF и ONF, ONG и OKG. Из равенства этих треугольников имеем
равенство углов:
/_НКО = /_НЬО, ^ELO = /_ЕМО\ Z_FMO = /_FNO-, (Г).
t/_GNO = Z_GKO. ''
Точка О лежит, очевидно, внутри тетраэдра, по крайней мере,
если обозначения выбрать так, чтобы двугранный угол при ребре АС
был меньше двугранною угла при ребре BD. В таком случае линей-
ный угол GKH двугранного угла при ребре АВ тетраэдра будет ра-
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
419
вен сумме углов GKO и НКО, и т. д. Сумма двугранных углов при
рёбрах АВ и CD тетр.аэдра измеряется суммой их линейных углов,
равной 2 GKH + Z EMF = ZG/<O + Z + Z EM° + Z FM0-
аналогично сумма двугранных углов при рёбрах ВС и DA измеряется
суммой Z HLE + Z FNG = Z HLO + Z EI-° + Z FNO + Z GNO-
Но обе последние суммы равны в силу равенств (2), откуда и выте-
кает доказываемое предложение.
Примечание. Точка О, которой мы пользовались в доказательстве,
есть, как легко видеть (ср. решение упр. 443), общая точка четырёх плоско-
стей, а именно плоскости Р, проходящей через биссектрису угла DAB и пер-
пендикулярной к его плоскости, а также трёх аналогичных плоскостей Q, R
и S, соответствующих углам ABC, BCD и CDA. Докажем, что если выполнено
условие (1), то плоскости Р, Q. R и S не только имеют общую точку, но
и проходят через одну прямую.
Точки К, L, М и N сторон пространственного четырёхугольника ABCD
удовлетворяют условиям BK = BL, CL = CM, I M = DN и AN—AR. Поэтому
точки К, L, М и N лежат в одной плоскости в силу обратной теоремы, рас-
смотренной в задаче 515. Но плоскость Р перпендикулярна к отрезку NR
(вытекает из того, что А\'=АК) и, следовательно, перпендикулярна к пло-
скости RLMN Плоскости О, R и S также перпендикулярны по аналогичным
причинам к плоскости RLMN. Так как плоскости Р, Q, R и S имеют общую
точку О и перпендикулярны к плоскости RLMN, то они проходят через одну
прямую.
571. Пусть ABCD и А’В'CD' — два данных тетраэдра. Если пер-
пендикуляры, опушенные из вершин А к В первого тетраэдра со-
ответственно на грани B'C'D' и CD'А' второго, пересекаются в не-
которой точке О, то они лежат в одной плоскости. Эта плоскость АВО
перпендикулярна к плоскости B'C'D', так как она проходит через
перпендикуляр А О к этой плоскости, и к плоскости CD'А'—по
аналогичной причине. Следовательно, плоскость АВО будет перпен-
дикулярна и к линии пересечения CD' обеих плоскостей, а потому
и прямая АВ будет перпендикулярна к CD'. Отсюда вытекает, что
если перпендикуляры, опущенные из всех вершин тетраэдра ABCD
на соответствующие грани второго тетраэдра A'B'C'D', пересе-
каются в одной то'ке, то рёбра ВС, СА, АВ, AD, BD и CD пер-
вого тэтраэдра соответственно перпендикулярны к рёбрам A'D'.
B’D’, CD', В'С, С А' и А'В' второго.
Так как ребро A'D' второго тетраэдра перпендикулярно к ребру ВС
первого, то через A'D' можно провести плоскость, перпендикулярную
к прямой ВС\ в этой плоскости лежат перпендикуляры, опущенные
из вершин А' и D' второго тетраэдра соответственно на грани BCD
и АВС первого. Так как эти два перпендикуляра не могут быть па-
раллельными, то они пересекаются в некоторой точке. Таким же
образом вообще докажем, что любые два перпендикуляра, опущенные
из вершин второго тетраэдра на грани первого, пересекаются. Так
как эти четыре перпен тикуляра не лежат в одной плоскости, то мы
и получаем доказываемое предложение (с помощью упр. 423): пер-
27*
420
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
пендикуляры, опущенные из вершин второго тетраэдра на грани
первого, проходят через одну точку.
Б72. Если рёбра АВ и CD тетраэдра ABCD взаимно перпендику-
лярны, то грань АС ВС параллелепипеда ACBD'В'DA'С (черт. 340
на стр. 396) будет ромбом, так как её диагонали АВ и CD' взаимно
S перпендикулярны.
А Если теперь тетраэдр ABCD имеет орто-
j\ тональные рёбра (в смысле упр. 547), то все
/ 1/=о\ грани параллелепипеда ACBD'B'DA'C бу-
/ / \ дут ромбами, и потому все его рёбра будут
/ /\ равны между собой.
/ \ 573. Если за общее основание двух те-
о траэдров SABC и SOBC (черт. 367) при-
Д ~ С нять грань SBC, то их высоты и, следова-
Черт. 367. тельно, их объёмы будут относиться, как
к Оа, т. е. Oa:SA = o6. SOBC:o6. SABC.
Из этого равенства вместе с двумя другими, ему аналогичными,
мы и получаем искомое равенство.
Оа ОЬ , Ос _ об. SOBC-I- об. SOCA -j-об. SO АВ
SA'SB'SC~~ об. SABC Ь
574. Первое решение. Пусть ADE (черт. 368)—биссек-
тральная плоскость двугранного угла при ребре AD тетраэдра ABCD.
Если принять за основания тетраэдров ABDE и ACDE соответственно
грани ABD и ACD, то оба тетраэдра будут иметь равные высоты,
так как точка Е биссектральной плоскости равноудалена от плоско-
стей ABD и ACD. Следовательно,
об. ABDE-. об. ACDE= пл. ЛВС: пл. ACD. (1)
Если же за общее основание тех же тетраэдров принять грань
ADE, то их высоты будут, очевидно, относиться, как ЕВ к ЕС, и
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
421
ПеГОМУ
об. ABDE-.об. ACDE=EB:EC. (2)
Из равенств (I) и (2) вытекает искомое соотношение:
ЕВ:ЕС—пл. ABD:nn.ACD.
Второе решение- Пусть ADE (черт. 369) — опять биссек-
тральная плоскость двугранного угла при ребре AD тетраэдра ABCD:
А Во, Со и Ео — проекции соответственно точек А (и D), В, Си Е
на какую-либо плоскость Р, перпендикулярную к ребру AD. Так как
угол ВйА^Сй есть линейный угол двугранного угла при ребре AD
тетраэдра, то АйЕй есть биссектриса треугольника Л0В0С0. Принимая
это во внимание, будем иметь:
ЕВ:ЕС^= Е0В0: EqCq = А0В0: Л0С0. (3)
Отрезки AqB0 и И0С0, перпендикулярные к АА0, равны соответ-
ственно высотам треугольников ABD и ACD, проведённым через
вершины В и С. В силу этого
Л050:Л0С0 = пл. ABDznn.ACD. (4)
Из равенств (3) и (4) вытекает доказываемое соотношение.
575. Пусть ADE-—биссектральная плоскость двугранного угла при
ребре AD тетраэдра ABCD (черт. 368), BDF и CDG — бпссектраль
ные плоскости его двугранных углов при рёбрах BD и CD. Эти три
биссектральные плоскости проходят через одну прямую DO (упр. 487).
Мы доказали выше равенство
ЕВ: ЕС — пл. ABD:пл. ACD
(см. решение упр. 574). Кроме того, имеет место пропорция
ЕВ: ЕС = пл. АВО: пл. АСО', (1)
действительно, если за общее основание треугольников АВО и АСО
принять сторону АО, то их высоты будут относиться, как ЕВ к ЕС
Из двух написанных равенств имеем:
пл. АВО: пл. А СО=пл. ABD: пл. A CD.
Таким же образом докажем, что
пл.7?СО:пл ВАО —пл.BCD:nn.BAD.
Обозначая площади треугольников BCD, CDA и DAB соответственно
через <Sj, S2 и Ss, можем переписать полученные равенства в виде
пл.ВСО: пл.САО:пл.АВО = :S2: Ss. (2)
Мы имеем далее- пл. ОВЕ:пл. ОСЕ— ЕВ:ЕС или, на основании (Г);
пл. ОВЕ'.пл. OCE=Ss:S2. (3)
422
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Таким же образом
Равенства (2)—(5)
инков ОВЕ, ОСЕ,
положить
получим два других аналогичных равенства:
пл. OCF:nn. OAF=Sl:Ss;
пл. ОАО:пл. OBG — Sz'.St. (5)
и позволяют найти отношения площадей треуголь-
— . Действительно, равенства (3)—(5) позволяют
пл. ОВЕ — aS3; пл. ОСЕ — aS2\
пл. OCF=$Sp, пл. O4F=^S3;
пл. ОАО = пл. О ВО — yS1;
где а, р и у— множители пропорциональности. Отсюда: пл. ОВС^=
— пл. 05£-|-пл. ОСЕ =a{S2-\-S2), и аналогично: пл. ОСА —
— пл. ОАВ — у (S, -f-S2). Подставляя эти значения в ра-
венство (2), получим:
ct(S2 + 53):P(S3 + SI):y(S1+S2) = 51:52:S3,
откуда
g— Р5' • я— Psg • у— ?s3
S, + S, ’ Р S3+S, ’ I”
и окончательно:
пл. ОВЕ:пл. ОСЕ: пл. OCF:
s2+s3 s24-s3 Sj-i-Sj
576. Пусть M— точка пересечения прямых BF и СЕ (черт. 370).
Л—точка пересечения прямых ВС и S/И. Воспользуемся следующим
свойством трапеции: прямая, соединяющая точку пересечения непа-
раллельных сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей,
делит параллельные стороны трапеции пополам. Это свойство тра-
пеции легко вытекает из упражнения 129 планиметрии. В самом деле,
пусть S — точка пересечения непараллельных сторон BE и CF трапе-
ции BCFE (черт. 371), М — точка пересечения её диагоналей BF и
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
4'23
СЕ, К и Е — точки пересечения прямой SM с основаниями ВС и EF
трапеции. Если прямая, проходящая через точку М и параллельная
основаниям трапеции, пересекает непараллельные стороны в точках Р
и Q то мы имеем MP—MQ и, следовательно (Пл. п. 121), КВ-.КС-
==LE:LF=MP:MQ=1, откуда КВ = КС-, LE=LF.
1) Линия пересечения плоскостей BFD и CDE, т. е. прямая DM,
лежит, в силу сказанного, в плоскости, проходящей через ребро 6И
и через середину К ребра ВС. В той же плоскости поэтому лежит и
точка пересечения трёх плоскостей AEF, BFD и CDE. По аналогич-
ной причине та же точка пересечения должна лежать и в плоскости,
проходящей через ребро SB и через середину ребра СА, а также в
плоскости, прохотящей через ребро SC и через середину ребра АВ
(ср. упр. 540). Так как точка пересечения трёх плоскостей AEF, BFD
и CDE всегда лежит внутри данной пирамиды,то отсюда следует, что
искомое геометрическое место есть отрезок, имекгции своими
концами точку S и центр тяжести треугольника АВС (легко ви-
деть, что всякая точка этого отрезка принадлежит рассматриваемому
геометрическому месту).
2) Так как плоскости САЕ и ABF пересекаются по прямой" AM,
также лежащей в плоскости SAK, то те же самые рассуждения при-
ложимы и к точкам пересечения плоскостей BCD, САЕ и ABF, и
геометрическим местом точек пересечения этих трёх плоскостей будет
тот же отрезок, что и в первом случае.
577. Проведём через каждое ребро данного многогранника (кроме
рёбер, параллельных данной прямой, если данный многогранник такие
рёбра имеет) плоскость, параллельную данной прямой D или, точнее
говоря, ту часть этой плоскости, которая получится, если провести
прямые, параллельные данной прямой, через все точки рассматривае-
мого ребра. Эти части плоскостей образуют, очевидно, конечное число
призматических поверхностей (в смысле, указанном в п. 407).
Рассмотрим ту часть Р внутренней области данного многогранника,
которая расположена внутри какой-либо одной из этих многогранных
поверхностей. Эта часть Р сама будет многогранником, ограниченным
гранями рассматриваемой призматической поверхности, а также гра
нями или частями граней первоначально данного многогранника. Так
как плоскости, параллельные прямой D, проведены через все рёбра
данного многогранника, то все рёбра нового многогранника Р лежат
в гранях призматической поверхности (исключаются случаи, сходные
с изображённым на чертеже 372, когда какая-либо призматическая
поверхность „замыкается" с одного конца двумя или более гранями),
и многогранник Р есть усечённая призма.
Таким образом, данный многогранник будет разложен на конечное
число усечённых призм, аналогичных Р.
Примечания. 1. Если данный многогранник невыпуклый, то внутри
рассматриваемой призматической поверхности может лежать и более одной
} сечённой призмы, входящей в состав данного многогранника (черт. 373).
424
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
2. Аналогичное разбиение плоского многоугольника иа трапеции (некото-
рые из которых могут обращаться в треугольники) получается, если провести
через каждую вершину данного многоугольника прямые, параллельные данной
прямой. Мы пользовались таким разбиением, например, при решении упраж-
нения 321 планиметрии.
Черт. 374.
578. Пусть данная призма, например треугольная призма АВСА'ВС
(черт. 374; число сторон основания не играет никакой роли в даль-
нейшем изложении), пересечена плоскостью А"В"С", параллельной её
основаниям. Соединяя произвольную
точку S' верхнего основания прямыми
с точками А", В" и С, получим пира-
миду 8'АйВйСй.
Пусть прямая, проведённая через
точку 5” параллельно боковым рёбрам
призмы, пересекает плоскость нижнего
основания в точке 5. В таком случае
точки Ло, Во и Со лежат соответствен-
но на прямых &4, SB и SC. Далее,
соответственные стороны треугольни-
ков АВС и А0В0С0 параллельны, так
как обе прямые ВС и В0С0 параллельны
В"С", и то же имеет место для двух
других пар соответственных сторон.
Следовательно, треугольники АВС и
АаВйС0 гомотетичны относительно цент-
ра подобия S.
Так как призма АВСА'В’С и пи-
рамида 5'АцВ0Сй, имеющие общую
высоту, должны быть, по условию задачи, равновелики между
собой, то должно иметь место равенство пл. Л0Д0С0 = 3-пл. АВС,
откуда для коэффициента подобия треугольников АВС и Л0В0Св на-
ходим 5Л0:5/1 = ]/лЗ.
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
425
Из подобия двух треугольников S'А' А" и находим, что
д'Д'-А'А = Л’Л":5'5= Л'5':5Д0 = = 1:|ЛЗ. Равенство
д’ А"-А'А — 1: ]/3 вполне определяет положение точки А" на ребре
АА', т, е. определяет положение секущей плоскости А'В"С".
579. Пусть О — произвольная точка, лежащая внутри данной
призмы, например внутри четырёхугольной призмы ABCDA’B’C’D’
(черт. 375; число сторон основания не играет
никакой роли в дальнейшем изложении). Обо-
значим через О' точку пересечения с плоско-
стью верхнего основания A'B'C'D’ прямой,
проведённой через точку О параллельно боко-
вым рёбрам призмы. При этом пирамиды ОАВВ'А'
и О' АВВ'А' (последняя не показана на чер-
теже) равновелики, так как они имеют общее
основание АВВ'А' и равные высоты; по той же
причине будут равновелики пирамиды ОВСС'В'
и О'ВСС'В’ и т. д.
Обозначив теперь через h высоту данной
призмы, будем иметь:
Черт. 375.
об. ОАВВ'А’об. ОВСС'В' + об. OCDD'C об. ODAA'D' =
= об. О’АВВ’А’-}-... -[-об. О’DAA'D' —об. ABCDA'B’C'D' —
1 2
об. О'ABCD—h-пл. ABCD—-h-пл. ABCD = ^-h-nn. ABCD =
О о
= 4-об. ABCDA'B’C'D'.
О
Таким образом, сумма объёмов пирамид, о которых говорится в условии
задачи, постоянна и равна двум третям объёма данной призмы.
580. Пусть секущая плоскость EFGH (черт. 376) проходит, для
определённости, через середины Е и F рёбер АВ и CD тетраэдра
ABCD, так что
ЕА = ЕВ; FC—FD, (1)
и пересекает в точках G и Н его рёбра BD и СА.
Многогранник ADEGFH состоит из четырёхугольной пирамиды
DEGFH и тетраэдра ADEH, многогранник BCEGFH—из четырёх-
угольной пирамиды CEGFH и тетраэдра BCEG. Четырёхугольные пи-
рамиды DEGFH и CEGFH имеют общее основание EGFH-, их высоты
также равны в силу равенства отрезков FD и FC. Следовательно, эти
пирамиды равновелики. Чтобы доказать, что плоскость EGFH делит
объём тетраэдра пополам, достаточно доказать равновеликость тетра-
эдров ADEH и BCEG. Это можно осуществить следующим образом.
В силу упражнения 557 имеем:
об. ADEH-.об. ABCD=(AE-AH-AD):(AB-AC-AD) = AH:2AC
426
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
и аналогично:
Следовательно:
об. BCEG-.об. ABCD — BG-.^BD.
об. ADEH-.об. BCEG— (АН BD):(AC-BG). (2)
Применяя теперь к пространственному четырёхугольнику ABDC и се-
кущей плоскости EGFH предложение, рассмотренное в задаче 515,
ЕА GB FD НС , п к ...
имеем: = “ СИЛУ Условий (1) отсюда получается,
что GB:GD = НА:НС или BG:BD = АН: АС, и потому об. ADEH=
= об. BCEG на основании (2). Теорема доказана.
Черт. 376. Черт. 377.
581. Пусть на рёбрах ВС, СА, АВ, DA, DB и DC тетраэдра
DBCD (черт. 377) выбраны точки К, L, Л'1, N, Р и Q, для которых
АК:ВС=а; CL:CA = fa АМ:АВ=у; DN:DA = ~k; DP:DB = p. и
DQ:DC=v, где а, [5, у, 1, р. и v — положительные числа, каждое из
которых меньше единицы. Требуется выразить отношение объёма V
октаэдра KLA1NPQ к объёму V тетраэдра ABCD.
Объём VJ октаэдра можно представить в виде разности V'=Vr—
— об. ALMN—об. ВКМР—об. CKLQ—об. DNPQ. Положим теперь для
сокращения а' = 1 — а — СК: СВ и аналогично = 1 — [1, у' = 1 — у,
К = 1 —), р' = 1 —р и v' = 1 —v. Мы имеем (упр. 557): об. ALMN =
=У5 ‘ Л?' Л5 ‘ 'v> об. ВКМР= ау'р' • V; об. CKLQ =
= 1?2,v'-lZ; об. DNPQ — Xpv • V, откуда окончательно:
V' = V(1 —у^Т — ау'р' — paV — Хр>).
582. Пусть треугольники АВС и DEF (черт. 378) расположены,
как указано в условии: точки .4, В, С и проекции D', Е' и F' точек
D, Е и F на плоскость АВС образуют правильный шестиугольник
AD'BE'CF'. Рассмотрим две правильные пирамиды ОАВС и PDEF,
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
427
где О и Р—центры треугольников DEF и АВС. Ребро ОА первой
пИрамиды пересекает грань PFD второй в точке а, лежащей на апо-
феме РК этой грани. Аналогично рёбра ОВ и ОС первой пирамиды
пересекают соответственно грани PDE и PEF второй в точках b и с,
а рёбра PD, РЕ и PF второй — соответственно грани ОАВ, ОВС и
ОСА первой в точках d, е и /. Общая часть обеих пирамид ограни-
чена шестью плоскостями — боковыми гранями обеих пирамид. Так
как эти шесть плоскостей попарно параллельны (плоскость ОАВ па-
раллельна PEF, так как прямая АВ параллельна прямой EF, а прямая
F
D' В
Черт. 378.
ОА — прямой РЕ, и т. д.), то общая часть обеих пирамид есть па-
раллелепипед OadbcfPe. Рассматривая сечение обеих пирамид пло-
скостью АОР, будем иметь два подобных треугольника ОКа и АРа.
Отсюда Оа-.Аа= ОК:АР. Но отрезок ОК, очевидно, равен половине
АР, так как расстояние от центра равностороннего треугольника до
его стороны вдвое менее расстояния от центра до его вершины. Таким
образом, имеем: Оа: Аа = 1:2, откуда Оа = ОЬ — Ос — Pd = Ре =-
— PJ— О А. Кроме того, X аОЬ = X ЬОс = X сОа, как углы при
вершине правильной пирамиды. Следовательно, об Пая часть обеих
пирамид есть ромбоэдр (п. 411), т. е. параллелепипед, ограниченный
шестью равными ромбами.
Объём этого ромбоэдра можно определить следующим образом.
Объём пирамиды Oabc, отсекаемой от ромбоэдра плоскостью abc, про-
ходящей через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины, ра-
вен одной шестой объёма ромбоэдра (ср. решение уир. 562). С дру-
гой стороны, объём пирамиды Oabc равен (ср. упр. 557) объёма
428
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
пирамиды О АВС в силу равенств Оа:ОА = Ob'.OB=OczOC = 1:3.
Отсюда следует, что объём ромбоэдра равен = у объёма каждой
из пирамид О АВС и PDEF.
583. Пусть ABCDA'В'СО' (черт. 379) — данный параллелепипед р.
Проведём через его центр О три прямые, параллельные его рёбрам.
Плоскость, проходящая через вершину В' и параллельная плоскости
А'ВС, пересечёт эти три прямые в некоторых точках, которые мы
обозначим через L, М и N. Плоскость LMN пересечёт плоскость
N
грани A'B'C'D' параллелепипе-
да Р по прямой FB'G, парал-
лельной А'С и притом так, что
FB' = B'G (ср. черт. 380). Так
как прямая FG будет параллель-
на LM и отрезок FG делит
ся в точке В' пополам, то пря
Черт. 379.
Черт. 380.
мая NB' — медиана треугольника LMN. По аналогичным сообра-
жениям точка В' лежит и на двух других медианах треугольника LMN
и потому совпадает с его центром тяжести. Если обозначить через К
точку пересечения прямой ON с гранью A'B'C'D', то отсюда легко
вывести, что ОЛ1:Л'О = ЛГЛ1:Л'С=3:2. Так как КО = А'В' (ср.
черт. 380), то О/И —ф А'В'\ аналогично ОТ. = 4" В'С\ ON =-^- ВВ'.
£ л л
Итак, плоскость LMN и, следовательно, каждая ив семи анало-
гичных ей плоскостей, отсекает на каждой из прямых OL, ОМ и ON
(считая от точки О) отрезок, в полтора раза больший параллельного
последней ребра параллелепипеда Р.
Отсюда следует, что многогранник S, о котором идёт речь, имеет
шесть вершин, а именно точки L, М и N и три такие точки L', М' и N'
прямых 01., ОМ и ON, для которых OL—OL'', ОМ—ОМ'; ON — ON'.
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
429
Он ограничен восемью треугольниками LMN, LM'N и т. д. и пред-
ставляет собой октаэдр.
Из сказанного следует также, что для построения параллелепипеда Р
достаточно принять за его вершины центры тяжести граней октаэдра 5.
Переходим к определению объёма многогранника S. По теореме
о площадях сечений пирамиды (п. 414, следствие) имеем: пл. LML'М'=
— пл. EFGH- = у ‘ пл. EFGH=~ - пл. A’B'C'D'. Далее, так
3
как по доказанному O.V — ВВ', то высота пирамиды NLML'M'
в полтора раза более высоты параллелепипеда Р. Следовательно,
O6.NLML'M'=^ • у - об. ABCDA'B’C'D' = ~ - об. ABCDA'B’C'D',
и потому объём октаэдра 5 в четыре с половиной раза превосходит
объём параллелепипеда Р.
Если параллелепипед Р будет прямоугольным, то параллелограм
EFGH будет ромбом (черт. 380); следовательно, и LML'М' будет
ромбом, так что LM — ML’ = L'М' — М'L. Аналогично, LN — NL' —
— L'N' — N'L, и MN =NM' = M’N' — N'М. Отсюда следует, что
в этом случае все грани октаэдра S будут равны между собой (по трём
сторонам).
Пусть теперь Р будет ромбоэдром. Если равные плоские углы его
граней сходятся, для определённости, в его вершине В', то диагонали
А'С', СВ и ВА' его граней будут равны между собой. Отсюда сле-
дует, что и отрезки LM, NL и MN будут равны между собой (так
3 3
как LM — ~^ FG = -^- А'С и т. д.), так что грань LMN многогран-
ника S будет равносторонним треугольником. По той же причине рав-
носторонним треугольником будет и грань L'M'N'. Далее в этом слу-
чае будут гавны между собой и ряд других диагоналей граней парал-
лелепипеда Р, а именно В'D' = В1 А = В'С — DB — DC — DA', откуда
LM'= M'N—NL'= L'M=MN’ — N’L (так как LM'=^EF=
3
— — B'D' и т. д.). Итак, если Р—ромбоэдр, то две грани октаэдра S
представляют собой равносторонние треугольники, остальные шесть —
равнобедренные.
Наконец, если параллелепипед Р будет кубом, то он будет одно-
временно и прямоугольным параллелепипедом и ромбоэдром. Все грани
октаэдра S представляют собой равносторонние треугольники („правиль-
ный" октаэдр, см. п. 559).
584. Пусть О — центр квадрата ABCD (черт. 381). Так как по
условию ОА’ — АВ = а и, кроме того, ОА = ^=, то
АА’--= у а2 — ^-
430
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Далее по условию А'С — 2а и, кроме того, А'С2 = AC2-j- (СС— АА')3,
откуда (СС—АА’)2 = 4а2—2а2 = 2а2 и СС — АА' = а|/2, так что
СС = А А ’ + а] 2 = + nV2 = а]/2.
1 °. Мы имеем ОС'2 = ОС2 + СС'2 = 1 а2 + а2 = 5а2. Таким
Черт. 381.
образом, ОА' — а; ОС’=аУ5; А'С —2а. Эти равенства показывают,
что ОА'2А'С'2 — ОС2, так что прямые О А' и А'С взаимно пер-
пендикулярны. Кроме того, прямая BD пер-
пендикулярна к плоскости АССА' и потому
перпендикулярна и к прямой А'С. Прямая
А'С, перпендикулярная к ОД' и к BD, пер-
пендикулярна и к плоскости A'BD.
2°. Легко найти, что об. A’ABD=
1 л пг> л 1 1 , а а3
—-к- пл. ABD-AA — а2- —- =—;
3 32 |/ 2 б/2
далее^ об. С'ВСО—у - пл. BCD- СС =
=4 4 «24 aV2= и об. C'A'BD=
4 2 2 21 2
= ~-пл. A'BD-А’С = 1 - BD О А' А'С' =
о о
1 о «^2
— .--ау 2-а-2а = —^—.
о о
из восьми пирамид, о которых идёт речь, на-
пример пирамиды SABE (черт. 382), равен, очевидно, ^--^-а2-^-а—
о о 2
= 48 а3. Следовательно, объём многогранника Р' равен а3 — 8--^а3 =
5 ч
= — а.
6
Многогранник Р', называемый кубооктаэдром, имеет 14 граней,
а именно шесть квадратов, аналогичных ABCD, и восемь равносто-
ронних треугольников, аналогичных АВЕ. Кубооктаэдр Р' имеет 12 рав-
ных четырёхгранных углов (по числу рёбер куба) и 24 равных ребра
(лежащих по четыре в шести гранях куба); каждое из ребер равно .
Следовательно, поверхность кубооктаэдра Р' равна (ср. Пл., упр. 28")
585. Объём каждой
6'Ш2 + 84-(^)2-1/3-а2 (3+J/3).
586. Пусть секущая плоскость пересекает в точках D, Е и F бо-
ковые рёбра АА', ВВ' и СС треугольной призмы АВСА'В'С (черт. 383).
Предположим, что отношения, в которых секущая плоскость делит
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
431
три боковые грани, заданы величинами пл. BCFE-.nn. ВСС'В' =
X; пл. CADF : пл. САА'С — у; пл. ABED : пл. АВВ'А' = V. Выбрав
надлежащим образом обозначения вершин призмы, можно предпола-
гать, что
=С1. (1)
Введём теперь следующие обозначения: Ж):А4' = а; ВЕгВВ' =
CF-.CC = \. При этом будем иметь; 1 = пл. BCFE:пл. ВСС'В'=
~ (BE-j-CF):BB’=l (р-ВЯ + у-СС'):ВВ'=4 (₽+у), и ана-
логично: у = у (у —f—a), v = (а Р). Разрешая эти три уравнения
относительно а, р и у, получим:
a = y-]-v — X; fj = >-(-).— у; У = Х-|-у.— v. (2)
Так как каждое из отношений a, [J и у должно заключаться между
нулём и единицей, то значения к, у и v должны удовлетворять ус-
ловиям:
О -С у -1- v — ksg 1; 0=^v—|—к — [i<l; 0^к-|- у — (3)
Итак, отношения у и v, введённые выше, необходимо удовлетворяют
условиям (3). Эти неравенства вместе с тем и достаточны для сущест-
вования секущей плоскости, которой соответствуют данные значения
X, у, V. Действительно, если условия (3) выполнены, то значения a, [J
и у, определяемые равенствами (2), заключены между нулём и едини-
цей и вполне определяют положения точек D, Е и F на рёбрах призмы.
Если обозначения чисел X, у. и v выбраны в согласии с (1), то
неравенства (3) можно заменить следующими двумя:
У-—|— v —). 1,
О ). у — v;
(3')
так как все остальные неравенства (3) вытекают из (1) и (3').
432
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Мы имеем далее:
об. ABCDEF-об. АВСА'В'С'=~ (AD-\-BE -f- CF) : ЛЛ' =
—"з Р Y) —у (^+h+v)«
откуда
об. ABCDEF-.об. A'B’C’DEF=
= об. ABCDEF-. (об. АВСА'В'С — об. ABCDEF) =
= Н- и Н- v): (3—— ц—v).
Если значения 1, g и v даны для определённости в виде отноше-
. /' т' п'
нии некоторых отрезков А=-^, g = — и v = —, то эти отношения
„ 1 I т п .
всегда можно представить в виде А = -, ц = — и v = —, где /, т,
г> тА-п—I
п и р — известные отрезки. В силу равенств (2), имеем а = —;.
Это равенство позволяет построить точку D на ребре АА', а два дру-
гих аналогичных равенства — точку Е на ребре ВВ' и точку F на
ребре СС. Тем самым будет построена и секущая плоскость DEF.
587. Пусть О—некоторая точка среднего сечения данного мно-
гогранника (черт. 384). Соединив её со всеми вершинами многогран-
ника, получим
с вершиной О, основаниями которых
служат соответственно грани
ABODE и KLMAJ многогранника
(дальнейшие рассуждения не за-
висят от числа сторон основа-
ний), и ряд треугольных пирамид
вершиной в той же точке О,
две пирамиды
М
n'
Черт. 384.
Черт. 385.
которых лежат в
ОКАВ); если боковая грань — четырёхугольник, то ей соот-
две такие пирамиды (например, грани BCLK соответствуют
ОВСК и OCLK илн же пирамиды OBCL и OBKL).
боковых гранях данного многогранника
огнованпя
(например
ветствуют
пирамиды
Объёмы пирамид, имеющих своими основаниями верхнее основа-
ние и нижнее основание многогранника, равны соответственно -i- hB
6
ЗАДАЧИ К ШЕСТОЙ КНИГЕ
433
И
_L АВ'. Объём какой-либо из боковых пирамид, например объем
пирамиды ОКАВ, можно найти следующим образом: так как пл. КАВ =
= 4-пл. KPQ, то об. О/С4В = 4 • об. OKPQ = 4-~ h-пл. OPQ. Сло-
жение объёмов всех боковых пирамид даёт поэтому 4-~ h-B". От-
сюда и получается общая формула:
У=1/г-(В4-В' -|-4Я')
(1)
для объёма данного многогранника.
Частным случаем многогранников рассматриваемого вида является
усечённая пирамида. Если обозначить через х расстояние от плос-
кости её верхнего основания до общей точки пересечения всех про-
долженных боковых рёбер, то будем иметь (в силу и. 414, следст-
вие):
х: ( х + i Л\ (х + h) = VB': ]/~Ё': VВ
\ - /
пли
(Г^+Кв7) -V& = (2х + Л): (х +4) =2,
откуда 4В" — (У B4~V В')2. Подставляя в правую часть формулы (1)
вместо 4В" это значение, мы и получим обычное выражение:
к=1й(в+в' 4- ]/вв')
о
для объёма усечённой пирамиды.
588. Первое решение. Объём данного многогранника можно
найти по формуле, приведённой в упражнении 587. В данном слу-
чае имеем В = аА; B'—a’b'', 4В"—(а-\-а')(Ь-[-Ь'), откуда для
объёма получается выражение -g- h (2ah-\-ab' -J-a'A-}- 2a'A').
Второе решение. Объём данного многогранника
KLMNK' L' M'N' можно найти как сумму объёмов двух усечённых
призм KLK'NMN' и К'LL'N’ММ' (черт. 385). Площади их перпен-
дикулярных сечений равны соответственно -^~ah и ^a'h; длины бо-
ковых рёбер первой призмы равны Ь, опять А и А'; длины боковых
рёбер второй призмы равны А', опять А' и А. Отсюда, на основа-
нии п. 431, следствие, имеем следующее выражение искомого объёма
-g- ah (2А -(- А') g- a'h (А -|- 2А') — -g- h (2ab 4- ab' -f- а'А 4- 2а'Ь').
28 Элементарная геометрия, ч. II
КНИГА СЕДЬМАЯ.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, СИММЕТРИЯ, ПОДОБИЕ.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1 (стр. 117).
589. Так как в задаче речь идёт только о направлениях прямых
линий, то мы можем, не нарушая общности, предполагать, что пря-
мые D,D' и D" проходят через одну точку О.
Обозначим через а угол между прямыми D и D', не превосходя-
щий прямого угла, через а' — угол между прямыми D' и D", также
не превосходящий прямого угла. Как бы ни были выбраны оба угла
поворота около осей D и О', один из углов fi между прямыми D и D"
будет удовлетворять условиям:
|а—а'. (1)
Если острый угол между прямыми D и Do будет меньше, чем
— а'|, а тупой угол между теми же прямыми больше аЦ-а', то
прямая D" ни при каких углах поворота не может стать параллель-
ной Do.
Пусть теперь хотя бы один из углов ° между прямыми D и Dd
(или они оба) будет удовлетворять неравенствам (1). В таком случае
проводим через точку О прямую Dq, параллельную Do, и обозначим
через О0 такую прямую, чтобы один из трёхгранных углов, обра-
зованных прямыми D, Do и Do, имел плоские углы, равные а, а.' и [>,
причём а был бы углом между рёбрами D и Do, а' — углом между
рёбрами Do и Do, 0 — углом между рёбрами Do и Do. При этом
прямая Do существует в силу условий а d, a’ и неравенств
(1), так как достаточные условия существования трёхгранного
угла с данными плоскими углами (п. 394) здесь выполнены.
Угол первого поворота около оси D придётся теперь выбрать
так, чтобы прямая D' после первого поворота совпала с пря-
мой Do- Такой выбор, очевидно, возможен, так как прямая D обра-
зует и с прямой D' и с прямой Do угол, равный а. Угол второго
поворота около оси D' в её новом положении, т. е. около оси Dq, при-
дётся далее выбрать так, чтобы прямая D" после второго поворота
совпала с прямой DJJ. Такой выбор, очевидно, возможен, так как
прямая D’o образует, как с прямой D" (в её положении после первого
поворота), так и с прямой D", угол, равный а'. Итак, прямая D"
после обоих поворотов будет совпадать с DJJ и потому будет парал-
лельна Do.
Задача имеет решение при произвольно данной прямой Do, если
неравенства (1) фактически не налагают никаких ограничений на
угол р между прямыми D и Do, т. е. если a.— a.'=d. Итак, ось D'
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА 1
435
должна быть перпендикулярна к оси D, а прямая D" — к оси D' для
того, чтобы с помощью двух последовательных поворотов около осей
[) и D' прямую D" можно было сделать параллельной произвольной
прямой О0.
590. Так как в задаче речь идёт только о направлениях прямых
линий, то мы можем, не нарушая общности, предполагать, что пря-
мые D, С п ГУ проходят через одну точку.
Обозначим через а угол между прямыми D и D', не превосходя-
щий прямого угла, и через а' — угол между прямыми D' и D", так-
же не превосходящий прямого угла. Пусть далее £>0— та прямая,
которая в данной фигуре So соответствует прямой ГУ как прямой
фигуры S".
Из решения упражнения 589 вытекают следующие результаты:
если острый угол между прямыми D и Do меньше |а — а'|, а тупой
угол между теми же прямыми больше, чем то ни при каких
углах поворота около осей D и D' прямая ГУ фигуры S" не может
стать параллельной прямой Во фигуры So; если же один из углов
между прямыми D и Do (пли они оба) удовлетворяет условиям
]а —(1)
то углы поворота около осей D и D' можно выбрать так, чтобы
прямая ГУ' фигуры S" стала параллельной прямой £)0 фигуры Sq.
Выбрав углы поворота около осей D и D', как только что было
указано, мы можем, очевидно, выбрать угол третьего поворота около
оси ГТ (в её новом положении) так, чтобы некоторая прямая L" фи-
гуры S", отличная от D”, стала параллельна соответствующей ей
прямой Lo фигуры Sq. Действительно, так как фигура S" равна фи-
гуре So, то угол между прямыми ГУ и IT равен углу между пря-
мыми Do и Lo.
Итак, после трёх надлежащим образом выбранных поворотов две
прямые ГУ и L” фигуры S" будут параллельны соответствующим
им прямым О0 и Ао фигуры Sq. При этом, очевидно, и все прямые
фигуры S" будут параллельны соответствующим им прямым фигу-
ры Sq, равной фигуре S".
Задача имеет решение при произвольном расположении фигуры So
в пространстве, если условия (1) не налагают фактически никаких
ограничений на направление прямой £)0, т. е. если а = а' = d.
591. Пусть требуется найти вращение, преобразующее две данные
точки A it В соответственно в две другие данные точки А' и ГУ
(причём АВ = А'В'). Рассмотрим сначала общий случай, когда точка Л
отлична от А’, точка В — от ГУ и прямые АА' и ВВ'не параллельны
между собой.
Докажем, что в этом случае существует вращение, преобразую-
щее точку А в точку А' и точку В—в точку В'. Для этого про-
28*
436
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАМ
точки А и С соответственно в точки А
1
Черт. 386.
водим через прямую АА' плоскость, параллельную прямой ВВ', и
опускаем из точек В и В' перпендикуляры ВС и В'С' на эту плос-
кость (черт. 386). При этом будем иметь равенства ВС —В'С (так
как прямая ВВ' параллельна построенной плоскости) и АС —А'С
(в силу равенства прямоугольных треугольников АВС и А'В'С). От-
резки АА' и СС' не будут параллельными между собой, так как
иначе и отрезки АА' и ВВ' были бы параллельными. В плоскости
АА'СС находим центр О вращения (Пл., п. 102), преобразующего
и С. Вращение около пря-
мой, проходящей через точ-
ку О и перпендикулярной
к плоскости АА'СС, кото-
рое преобразует точку А в
точку А’, и будет искомым.
Действительно, это враще-
ние преобразует, в силу вы-
бора точки О, и точку С в
точку С, а следовательно,
и точку В в точку В'. (Эти
построения упрощаются, если
прямые АА' и ВВ' лежа г
в одной плоскости: точка С
совпадает с точкой В, и точ-
ка С—сточкой В'.)
Итак, если точка А от-
лична от точки А', точка
В — от то 'ки В' и прямые
АА' и В В' не параллельны между собой (причём АВ = А'В'), то су-
ществует вращение, преобразующее точку А в точку А' и точку
В — в точку В'.
Чтобы доказать единственность этого вращения и в то же время
чтобы более простым путём построить его ось D, будем рассуждать
следующим образом. Так как точки А и А' лежат в плоскости, пер-
пендикулярной к искомой оси и на равных расстояниях от этой оси,
то все точки искомой оси D равноудалены от точек А и А'. Следова-
тельно, ось D должна лежать в плоскости Р, перпендикулярной к от-
резку АА' и проходящей через его середину. По тем же
соображениям ось D должна лежать и в плоскости Q, перпендикуляр-
ной к отрезку ВВ' ц проходящей через его середину. Так как пря-
мые АА' и ВВ’ по предположению не параллельны, то плоскости Р
и Q имеют вполне определённую линию пересечения, и осью искомого
вращения, которую легко таким образом построить, может быть только
эта линия пересечения; угол поворота определяется требованием, чтобы
искомое вращение переводило точку А в точку А'.
Переходим теперь к тому случаю, когда отрезки АА' и ВВ' парал-
лельны (и АВ — А'В'). Здесь возможны следующие три предположения:
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
437
1) Равные отрезки АВ и А'В' не параллельны (черт. 387 и 388).
В этом случае плоскости Р и Q, о которых говорилось выше, совпадают.
Вращение, которое преобразует точку А в точку Д' и точку В в
точку Z?, оставляет на месте точку пересечения О прямых АВ и А'В'
(так как ОА — ОА' и ОВ — ОВ'). Следовательно, ось искомого враще-
ния должна проходить через точку О и лежать в плоскости Р (совпа-
дающей с Q). Обратно, всякая прямая, удовлетворяющая этим двум
условиям, будет осью одного из искомых вращений (так как она
равнонаклонена к прямым
ОА и ОА'). Таким образом,
в этом случае задача будет
неопределённой.
Сюда же можно, очевид-
но, отнести и исключённый
выше из рассмотрения слу-
чай, когда точка А совпа-
дает с точкой А' или точ-
ка В — с точкой В'.
2) Равные отрезки АВ и
А'В' также параллельны меж-
ду собою, и углы паралле-
лограма АА'В'В отличны от прямого. В этом случае плоскости Р в
Q, о которых говорилось выше, параллельны между собой, и за-
дача не имеет решений.
3) Равные отрезки АВ и А'В' опять параллельны между собою,
но параллелограм АА'В'В—прямоугольник. В этом случае плоскости
Р и Q, о которых говорилось выше, совпадают. Ось любого враще-
ния, преобразующего точку А в точку А' и точку В—в точку В',
должна быть параллельна прямым АВ и А'В'. Действительно, если
10-—общее основание перпендикуляров, опущенных из точек А и
Д' на ось искомого вращения, и Во — общее основание перпенди-
куляров, опущенных из точек В и В’ на ту же ось, то АА0 = А'АОг
ВВ0 = В'В0, </АА0А’— ^/ВВ0В'. Так как, кроме того, АА' = ВВ',
то равнобедренные треугольники А0АА' и В^ВВ' равны, откуда
4Д0 = ВВ0 = A'A0 = B'Bq. Отсюда и вытекает, что прямая Д0В0
параллельна прямым АВ и А’В'. Итак, ось искомого вращения долж-
на лежать в плоскости Р (совпадающей с Q) и быть параллельной
прямым АВ и А'В'. Обратно, всякая прямая, удовлетворяющая этиле
двум условиям, будет, очевидно, осью одного из искомых вращений.
Таким образом, задача в этом случае будет неопределённой.
592. Так как ось искомого вращения должна образовать равные
углы с полупрямыми О А и ОА’, то она должна лежать в плоскости Рг
проходящей через биссектрису угла АОА' и перпендикулярной к плос-
кости этого угла. По аналогичной причине ось искомого вращения
должна лежать и в плоскости Q, проходящей через биссектрису уг-
ла ВОВ' и перпедикулярной к плоскости этого угла.
438
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если плоскости Р и Q пересекаются по некоторой прямой ОМ,
то эта прямая и будет, как мы сейчас покажем, осью искомого вра
щения. Действительно, трёхгранные углы ОМАВ и ОМА'В' будут при
этом равны или симметричны (по равенству трёх плоских углов).
Следовательно, будут равны и двугранные углы А-ОМ-В и А'-ОМ-В'.
Кроме того, эти двугранные углы одинаково направлены; в самом
деле, если бы они имели противоположные направления, то двугран-
ные углы А-ОМ-А' и В-ОМ-В' имели бы общую биссектральную
плоскость, и эта общая биссектральная плоскость совпадала бы как с
плоскостью Р, так и с плоскостью Q (в силу
равенств / МОА = /МОА'", / МОВ =
— / МО В'), так что плоскости Р и Q сов-
падали бы между собой.
Так как двугранные углы А-ОМ-В и
Д' • ОМ• В' равны и одинаково направлены, то и
двугранные углы А-ОМ-А и В-ОМ-В'
равны и одинаково направлены. При этом, и
силу сказанного выше, X МОА= / МОА':
/ МО В— / МО В', и потому вращение
около оси ОМ на угол, равный / А-ОМ-А
и совпадающий с ним по направлению, дей-
ствительно совмещает луч О А с лучом О А'
и луч ОВ с лучом ОВ’.
До сих пор мы предполагали, что пло-
скости Р и Q пересекаются по некоторой
прямой ОМ. Пусть теперь плоскости Р и Q совпадают между со-
бой. При этом ось ОМ искомого вращения должна попрежнему
лежать в плоскости Р (совпадающей с Q). Покажем, что в этом
случае плоскость Р проходит через линию пересечения плоскостей
ОАВ и ОАВ'. Обозначим через ОК и OL биссектрисы плоских уг-
лов АОА' н ВОВ', которые обе лежат в плоскости Р (черт. 389).
Трёхгранные углы OBKL и OB'KL симметричны между собой
(ZKOL — общий, /_BOL=^B'OL, £K-OL-B==/_K-OL-B'==d),
откуда /КОВ = / КОВ' и ^/_Ь-ОК-В = ^/_Ь-ОК-В . Далее трёх-
гранные углы ОКАВ и ОКАВ' также симметричны между собой
(Z КОВ=£КОВ'-, КОА==/. КО А; £ А • OK-B=d—£ L - ОК-В=
= d L ОКВ' = Д' - ОКБ'), откуда К • О А • В=/_ К- О А В'.
Если обозначить теперь через ОМ линию пересечения плоско-
сти Р с плоскостью ОАВ и через ОМ'—линию пересечения
той же плоскости Р с плоскостью ОАВ' (не показанную на чер-
теже), то мы будем иметь два симметричных трёхгранных угла ОКАМ
и ОКА'М'{2.КОА = ^КОА'\ 2.A-OK-M=/_A'-OK-M=d-,
К- ОА - М= 180° —/2 К- ОА • В = 180° — £ К- ОА В' =
= /_К-ОА-М’), откуда и Z МОА М'ОА.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА 1
439
Равенство / КОМ = / КОМ' и показывает, что прямая ОМ' совпа-
дает с ОМ, так что линия пересечения плоскостей ОАВ и ОА'В'
лежит в плоскости Р.
Равенство / МОА — / М'ОА', т. е. / МО А = / МЮА, и вы-
текающее из него (в силу условия / АОВ= / А'ОВ') равенство
/ МОВ— / МО В' показывают, что поворот около оси ОМ на угол,
равный углу А-ОМ-А' и совпадающий с ним по направлению, сов-
мещает луч О А с лучом О А' и луч ОВ — с лучом ОВ'.
Итак, если плоскости Р и Q, о которых говорилось выше, сов-
падают между собой, то осью искомого вращения служит линия
пересечения плоскостей ОАВ и ОА'В'.
Других прямых в плоскости Р, отличных от ОМ, которые могли
бы служить осью искомого вращения, в этом последнем случае не
существует. Действительно, для прямой ON, лежащей в плоскости Р
и отличной от ОМ, углы A -ON -А' и В-ON-В' не могут быть равны
по величине и совпадать по направлению.
593. Пусть А — некоторая точка фигуры Д; А' — соответствую-
щая ей точка фигуры F'; F"— та фигура, которая получается из F
с помощью поступательного перемещения Т, преобразующего точку А
е точку А’. Так как точка А’ фигуры F", очевидно, совпадает с со-
ответствующей ей точкой фигуры F', то фигура F' получается, по
предположению, из F” с помощью вращения около некоторой оси D.
Прямым фигуры F, параллельным прямой D, соответствуют в фи-
гуре F" прямые, также параллельные прямой D (так как F* полу-
чается из F с помощью поступательного перемещения), а этим
последним прямым соответствуют в фигуре F' опять прямые, парал-
лельные оси вращения D- Итак, прямые фигуры F, параллельные
прямой D, параллельны соответствующим им прямым фигуры F’.
Пусть теперь Р—некоторая плоскость фигуры F, перпендикуляр-
ная к прямой D. Соответствующая ей плоскость Р' фигуры F' также
перпендикулярна к прямой D и потому параллельна плоскости Р.
Обозначив через f ту часть фигуры F, которая лежит в плоскости Р,
а через f—ту часть фигуры F', которая лежит в плоскости Р',
спроектируем фигуру f на плоскость Р в некоторую новую фигуру/0.
Фигуры f и /0 будут равны, так как плоскости Р и Р', в которых
нежат эти фигуры, параллельны между собой. Следовательно, фи-
гуры f и /0 также равны, так как фигуры f и f равны.
Фигуры f и /0 не только равны, но имеют одинаковое направле-
ние вращения. Действительно, фигура f и фигура получаемая из
неё с помощью поступательного перемещения Т, о котором говорилось
1ыше, имеют одинаковое направление вращения. Фигуры /' и f также
имеют одинаковое направление вращения, так как первая из них
преобразуется во вторую с помощью вращения около прямой D.
Наконец, и фигуры f и /0 имеют одинаковое направление вращения.
Отсюда и следует, что фигуры f и /0 имеют одинаковое направле-
ние вращения.
440
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Две равные фигуры f и /0, лежащие в одной плоскости Р, полу-
чаются одна из другой в общем случае с помощью вращения около
некоторой точки О этой плоскости (Пл., п. 102) или, что сводится
к тому же с помощью вращения около оси Do, проходящей через
точку О и перпендикулярной к плоскости Р. Фигуры /0 и /' получа-
ются одна из другой с помощью ортогонального проектирования,
т. е. с помощью поступательного перемещения по направлению пря-
мой Do. Таким образом, фигура f получается из фигуры f с по-
мощью винтового перемещения с осью £>0.
Так как перемещение фигуры в пространстве вполне определяется
перемещением трёх её точек, не лежащих иа одной прямой (ср. п. 432),
то то же винтовое перемещение, которое преобразует фигуру f в f,
преобразует и данную фигуру F в фигуру F'.
Мы предполагали выше, что фигура /0 получается из f с помощью
вращения. Если бы фигура f0 получалась из f с помощью поступа-
тельного перемещения, то и фигура f получалась бы из f с помощью
поступательного перемещения, так как фигура f всегда получается
из /0 с помощью поступательного перемещения, а результирующее
перемещение двух поступательных перемещений есть также поступа-
тельное перемещение. Следовательно, и фигура F' получается из F
при этом с помощью поступательного перемещения, представляющего
собой частный случай винтового перемещения.
594. При поступательном перемещении остаются на месте только
прямые, параллельные направлению перемещения. При вращении на
угол, отличный от 180°, а также при винтовом перемещении, отличном
от поступательного перемещения и от вращения, остаётся на месте
только ось вращения или винтового перемещения. Наконец, при
транспозиции (повороте около оси на угол 180°) кроме самой оси
остаются на месте все прямые, пересекающие ось под прямым углом.
Отсюда непосредственно следует, что перемещениями, оставляю-
щими на месте данную прямую, будут все винтовые перемещения,
имеющие данную прямую своей осью, в том числе все вращения
около данной прямой и все поступательные перемещения по направле-
нию данной прямой, и, кроме того, все транспозиции относительно
прямых, пересекающих данную прямую под прямым углом.
595. В решении упражнения 591 было показано, что существует,
вообще говоря, единственное вращение, которое преобразует две
данные точки Л и В в любые две данные точки А' и В', удовлетво-
ряющие условию АВ = А'В'. Таких вращений не существует только,
если равные отрезки АВ и А'В' параллельны между собой и направлены
в одну сторону и углы параллелограма АА'В'В отличны от прямого.
В некоторых других случаях существует бесчисленное множество та-
ких вращений.
Выберем теперь на двух данных прямых D и D' по точке А и А'.
Отложим затем на первой прямой произвольный отрезок АВ и на
второй прямой (в ту или другую сторону) от точки А' отрезок А'В'г
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
44 J
равный АВ. Вращение, преобразующее точку А в точку Д' и точку В в
точку В', и будет одним из искомых вращений. Этих вращений будет
бесчисленное множество, так как, оставляя на месте точку А и изме-
няя положение точки А',. мы будем получать заведомо различные
вращения (в том случае, когда прямые D и D' параллельны и от-
резки АВ и А'В' откладываются в одном и том же направлении,
точку А' нельзя выбирать произвольно, так как отрезок АА' должен
быть перпендикулярен к прямым D и D'; однако и в этом случае
существует бесчисленное множество искомых вращений; ср. решение
упр. 591).
Оси этих вращений совпадают с теми прямыми, которые в уп-
ражнении 455 были обозначены через О] и О2. Действительно, те и
другие прямые определяются совершенно одинаково. Каждая такая
прямая есть линия пересечения плоскости, перпендикулярной к от-
резку АА' и проходящей через его середину, с аналогичной плос-
костью, построенной для отрезка ВВ' (ср. решение упр. 455 и
решение упр. 591).
Транспозиции, преобразующие две данные прямые D и D' одну
в другую, легко найти непосредственно на основании следующих
соображений. Общий перпендикуляр к прямой D и к осп А искомой
транспозиции будет в то же время и общим перпендикуляром к пря-
мой D' и к оси А транспозиции. Кратчайшие расстояния от оси А
транспозиции до прямых D и D' равны. Иначе говоря, ось А иско-
мой транспозиции пересекает под прямым углом общий перпендику-
ляр к прямым D и D' в его середине. Кроме того, прямые D и D'
образуют с осью А равные углы.
Отсюда вытекает такое построение осей искомых транспозиций.
Через середину общего перпендикуляра к данным прямым D и D' про-
водим прямые, им параллельные; биссектрисы Д1 и Д2 углов, образо-
ванных этими последними прямыми, и будут осями двух искомых
транспозиций. Если некоторое направление на каждой из двух пря-
мых D и D' принять за положительное, то транспозиция относительно
одной из этих прямых, скажем относительно Дъ преобразует положи-
тельное направление на прямой D в положительное направление на
прямой О', а транспозиция относительно второй прямой Д2 — поло-
жительное направление на прямой О в отрицательное направление на
прямой О'.
Если данные прямые пересекаются, то осями обеих транспозиций
будут биссектрисы образованных ими углов. Наконец, если данные
прямые О и О' параллельны, то всё сказанное может быть применено
(с небольшими видоизменениями) для каждого из их общих перпен-
дикуляров. Осями транспозиций, которые преобразуют две параллель-
ные прямые О и О' друг в друга, будут прямая О0, лежащая с пря-
мыми О и О' в одной плоскости и равноудалённая от этих прямых,
а также все прямые, пересекающие прямую Do и перпендикулярные
к плоскости, в которой лежат прямые D и D'.
442
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Примечание. Из приведённого решения поставленного вопроса вы-
текает следующее уточнение формулировки задачи:
Существует бесчисленное множество вращений, преобразующих дан-
ную прямую D в другую данную прямую С/ так, что заданное на прямой D
направление преобразуется в наперёд заданное направление на прямой D.
Среди этих вращений имеется, вообще говоря, одна транспозиция.
Вытекает из того, что отрезок А'В', о котором говорится в решении,
можно откладывать па прямой D от точки А' как в ту, так и в другую сторону.
596. Пусть, для определённости, на каждой из данных прямых
D и D' выбрано некоторое направление, которое мы будем называть
положительным.
Предположим, что винтовое перемещение, имеющее своей осью
некоторую прямую Аг (или А2), преобразует данную прямую D в дру-
гую данную прямую D' так, что положительное направление прямой D
преобразуется в положительное (или соответственно — в отрицатель-
ное) направление прямой D'. Так как ось /Ij (или А2) остаётся при
этом перемещении на месте (и сохраняет своё направление), то угол
между положительным направлением прямой D и любым направлением
оси И, (или Л2) равен углу между положительным (или соответственно
отрицательным) направлением прямой D' и тем же самым направлением
осп ,4j (пли Аг).
Итак, ось А, образует равные углы с положительными направле-
ниями прямых D и D', а ось А,— равные углы с положительным
направлением прямой D и отрицательным направлением прямой D’.
Если эти равные углы, отличны от прямого, то ось Zj параллельна
(ср. решение упр. 455, примечание) одной из прямых G(, а ось А2 —
одной из прямых О2, о которых говорится в упражнении 455. В силу
сказанного в решении упражнения 595, ось рассматриваемого винто-
вого перемещения параллельна оси одного из рассматриваемых там
вращений.
Но ось А рассматриваемого винтового перемещения может состав-
лять с обеими данными прямыми D и D' и прямые углы. Действи-
тельно, за ось А можно принять, например, общий перпендикуляр
к этим прямым. В то же время в случае непересекающпхся и непа-
раллельных прямых D и D' никакое вращение около оси, перпенди-
кулярной к обеим прямым, не может совместить одну из данных
прямых с другой, так как обе данные прямые остаются при таких
вращениях в двух определённых плоскостях, перпендикулярных к осп
вращения.
Итак, ось одного из винтовых перемещений, преобразующих пря-
мую D в прямую D', не параллельна ни одной из осей тех вращений,
о которых говорится в упражнении 595, если она перпендикулярна
к обеим данным прямым, а эти прямые не лежат в одной плоскости.
Переходим к отысканию геометрического места тех осей А рас-
сматриваемых винтовых перемещений, которые имеют данное направление.
1) Найдём непосредственно геометрическое место тех осей А,,
которые параллельны данной прямой Oj (аналогичные соображения при-
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
443
менимы и к осям, параллельным одной из прямых G3). Пусть ось At
пересекает некоторую плоскость Р, перпендикулярную к этой оси,
в точке О. Обозначим через d и d проекции прямых D и D' на
плоскость Р и выберем за положительные направления на прямых d
и d проекции положительных направлений на прямых D и D'. Общие
перпендикуляры к оси А, и к каждой из данных прямых D и D'
равны между собой. На плоскость Р эти два перпендикуляра проек-
тируются в натуральную величину и притом в прямые, перпендику-
лярные соответственно к прямым d и d' (так как прямой угол проек-
тируется на плоскость, параллельную одной из его сторон, также
в прямой угол; ср. п. 374). Из сказанного следует, что точка О
равно удалена от прямых d и d и потому лежит на одной из бис-
сектрис й углов, образованных этими прямыми. Так как винтовое пе-
ремещение с осью А: совмещает положительное направление прямой D
с положительным же направлением прямой ГУ. то поворот на надле-
жащий угол В ПЛОСКОСТИ Р ОКОЛО (j
точки О совмещает положительное ''Х.
направление прямой d с положитель- /X.
ным направлением прямой d, и по- <5
тому биссектриса й делит пополам 0\/ .хх.
угол между положительным направ- V/ X.
лением на одной из прямых d и d х.
и отрицательным направлением на
другой (черт. 390). Обратно, из Черт 390
того обстоятельства, что поворот на
надлежащий угол около любой точки О прямой й совмещает пря
мую d с прямой d так, что положительное направление на прямой d
совпадает с положительным направлением на прямой d, вытекает су-
ществование определённого винтового перемещения, имеющего своей
осью перпендикуляр к плоскости Р в точке О и совмещающего пря-
ную D с прямой D'.
Итак, геометрическое место тех осей рассматриваемых винтовых
перемещений, которые имеют данное направление, а именно парал-
лельны одной из прямых G], есть плоскость, проходящая через прямую
3 и параллельная данной прямой Gj. Аналогичное свойство имеет место
и для осей, параллельных одной из прямых О2.
Это рассуждение нуждается в некотором видоизменении, если
ищется геометрическое место тех осей, которые параллельны общему
перпендикуляру к обеим прямым. Действительно, общий перпендику-
ляр к обеим прямым образует как равные углы с положительными
направлениями прямых D и D' (аналогично прямым GJ, так и равные
углы с положительным направлением на одной из них и с отрица-
тельным направлением на другой. С помощью винтового перемещения,
имеющего своей осью общ! й перпендикуляр к двум данным прямым,
можно, очевидно, совместить положительное направление на прямой D
как с положительным направлением на прямой D', так как и с от-
444
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
рицательным. Останавливаясь на одном из этих двух предположений
и повторяя предыдущее рассуждение, мы получим в качестве геомет-
рического места осей рассматриваемых винтовых перемещений плос-
кость.
Таким образом, геометрическое место тех осей рассматриваемых вин-
товых перемещений, которые параллельны общему перпендикуляру
к двум данным прямым, есть пара плоскостей: осп, лежащие в одной
из двух плоскостей, принадлежат тем винтовым перемещениям, кото-
рые преобразуют положительное направление на первой прямой в
положительное направление на второй; другая плоскость содержит
оси тех винтовых перемещений, которые преобразуют положительное
направление на первой прямой в отрицательное направление на второй.
2) К тем же результатам можно прийти и пользуясь расположе-
нием винтового перемещения на две транспозиции.
Пусть Л]—опять ось одного из винтовых перемещений, которые
преобразуют прямую D в D' и положительное направление на прямой D
в положительное направление на прямой D'. Разложим это винтовое
перемещение на две транспозиции, приняв за ось первой транспозиции
общий перпендикуляр к прямым D и Л,; ось второй транспозиции
тем самым определится (п. 438).
Транспозиция относительно первой из этих осей, пересекающих
фямую D под прямым углом, преобразует эту прямую в самое себя
(упр. 594), причём положительное направление переходит в отрица-
тельное. Следовательно, вторая транспозиция преобразует прямую D
в прямую D' так, что положительное направление на прямой D пере-
ходит в отрицательное направление на прямой D'. Из решения уп-
ражнения 595 вытекает, что осью второй транспозиции будет та прямая,
которая была там обозначена через Д,. Но ось Л] рассматриваемого
винтового перемещения пересекает оси обоих транспозиций, в том
числе и прямую Д2 под прямым углом. Обратно, если какая-либо
прямая Лг пересекает под прямым углом прямую Д2, то существует
винтовое перемещение с осью Лп преобразующее прямую D в пря-
мую D' и положительное направление на прямой D—в положитель-
ное же направление на прямой D'. Это винтовое перемещение будет
результирующим перемещением двух транспозиций — относительно
общего перпендикуляра к прямым D и Aj и относительно прямой Д?.
Итак, оси всех винтовых перемещений, преобразующих прямую D
в прямую D' так, что положительное направление на прямой D пере-
ходит в положительное направление на прямой D', пересекают пря*
мую Д2 под прямым углом. Аналогично, оси тех винтовых перемеще-
ний, при которых положительное направление прямой D переходит
в отрицательное направление прямой D', пересекают под прямым уг-
лом прямую А] (упр. 595).
Отсюда непосредственно вытекают приведённые выше результаты,
относящиеся к тем из рассматриваемых осей, которые имеют данное
направление.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
445
597. Пусть данной точке А соответствует в любом из рассмат
рнваемых перемещений другая данная точка А'. Обозначим через Р
какую-либо плоскость, перпендикулярную к направлению осей рас-
сматриваемых винтовых перемещений, и через Ло и Вй— проекции
точек А и В на плоскость Р. Если О — точка пересечения какой-
либо из рассматриваемых осей с плоскостью Р, то мы должны иметь
ОА0 = ОВй.
Из последнего равенства следует, что геометрическим местом то-
чек О плоскости Р служит прямая, перпендикулярная к отрезку А0В0
и проходящая через его середину, а геометрическим местом рассмат-
риваемых осей — плоскость, перпендикулярная к отрезку А0В0 и про-
ходящая через его середину.
598. Пусть требуется построить ось винтового перемещения, зная
одну из её точек О, величину t поступательного перемещения и две
точки А и А', соответствующие одна другой в этом перемещении.
Обозначим через Ло проекцию точки А' на плоскость, проходящую
через точку А и перпендикулярную к искомой осн. Отрезок /, рав-
ный АА0, можно построить как катет прямоугольного треугольника
с гипотенузой АА' и катетом A’A0 = t.
Точка Ло принадлежит геометрическому месту точек, отстоящих
от точки А на расстоянии I и от точки А' — на расстоянии t. Это
геометрическое место есть, очевидно, окружность С с центром на
прямой АА', лежащая в некоторой плоскости Р, перпендикулярной
к АА'. Как плоскость Р, так и окружность С легко построить.
С этой целью строим в произвольной плоскости, проходящей через
прямую АА', прямоугольный треугольник, имеющий отрезок АА'
своей гипотенузой и отрезки I и t — катетами (катет t прилежит
к вершине Л'); через вершину прямого угла этого треугольника
проводим плоскость Р, перпендикулярную к прямой АА', и т. д.
Далее точка Ло лежит от точки О на расстоянии, равном ОА, так
как точки А и До лежат в плоскости, перпендикулярной к искомой
оси и на равных от неё расстояниях. Следовательно, точка Лн при-
надлежит окружности С — геометрическому месту точек плоскости Р,
отстоящих от точки О на расстоянии, равном ОА (ср. п. 354) ’). Это
геометрическое место также нетрудно построить.
Если геометрические места С и С' существуют (а это будет иметь
место, если отрезок / меньше отрезка АА' и расстояние ОА больше
расстояния от точки О до плоскости Р), то задача имеет два реше-
ния при условии, что окружности С и С пересекаются в двух точках,
и одно решение при условии, что они касаются друг друга. Задача
имеет также одно решение, если окружность С обращается в точку
>) Пользуясь понятием шара, можно, очевидно, сказать, что искомая
точка Ао определяется как точка пересечения трёх шаров, а именно шара
радиуса I с центром А, шара радиуса t с центром А' и шара радиуса ОА с
центром О.
446
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
(расстояние ОА равно расстоянию точки О от плоскости Р) и эта точка
лежит на окружности С. В других случаях задача не имеет решений.
Мы предполагали, что величина i поступательного перемещения
отлична от нуля; если f = 0, то винтовое перемещение обращается
во вращение При этом задача не имеет решений при ОА=£ОА' г
имеет бесчисленное множество решений при ОА=ОА'; в последнем
случае осью вращения будет любая прямая, проходящая через точ-
ку О и перпендикулярная к отрезку АА'.
599. Предположим, что данное перемещение требуется разложить
на два вращения, из которых первое имеет своей осью данную пря-
мую АВ. Обозначим через Л и В какие-либо две точки этой прямой,
через С— какую-либо точку, не лежащую на этой прямой, и через
А', В’ и С — точки, соответствующие точкам А, В и С в данном
перемещении.
Так как точки А и В лежат на осн первого из искомых враще-
ний, то они остаются при этом первом вращении на месте. Следова-
тельно, второе вращение преобразует точки А и В в точки А' и В'.
Этим свойством второе вращение в общем случае вполне определяется
(ср. решение упр. 591). Обозначим далее через Со ту точку, которая
преобразуется в точку С’ найденным нами вторым вращением. Так
как треугольники АВС и А'В’С между собой равны и то же имеет
место для треугольников А'В'С0 и А'В'С, то и треугольник АВС
ранен треугольнику АВС0. Поэтому существует вращение около
оси АВ, преобразующее точку С в точку Со. Это вращение и должно
быть первым из искомых вращений.
Легко проверить, что результирующее перемещение обоих найден-
ных вращений действительно совпадает с данным; в самом деле, пер-
вое вращение преобразует точки А, В и С в точки А, В в Со, второе —
точки А, Ви Со в точки А’, В' и С. Результирующее перемещение
преобразует точки А, В п С в то>-ки А', В’ и С. Так как то же
имеет место и для данного первоначально перемещения, то оба пере-
мещения совпадают (ср. п. 432).
Теорема будет допускать исключение, если не существует враще-
ния, которое преобразует точки Л и В в точки А' и В' (это обстоя-
тельство не зависит от случайного выбора тех или иных точек А и В
на данной оси первого вращения), т. е. если четырёхугольник АВ В' А' —
параллелограм с углом, отличным от прямого (ср. решение упр. 591).
В этом случае данное перемещение нельзя разложить на два враще-
ния, первое из которых имеет своей осью данную прямую.
Если данное перемещение поступательное, то это исключение будет
иметь место при условии, что данная ось не перпендикулярна к на-
правлению перемещения. Если данное перемещение есть вращение, то
теорема верна без исключений. Наконец, если данное перемещение
есть винтовое перемещение, отличное от поступательного и от враще-
ния, то теорема не имеет места для прямых АВ, параллельных вин-
товой оси.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
447
В некоторых случаях требуемое разложение можно выполнить бес-
численным множеством способов. Это будет в том случае, когда суще-
ствует бесчисленное множество вращений, преобразующих точку А
в точку А' и точку В — в точку В' (ср. решение упр. 591).
600. Данное винтовое перемещение, ось которого мы обозначим
через D, можно разложить (п. 438) на две транспозиции относительно,
осей ©; и ©2, пересекающих ось D под прямым углом. При этом одну
из двух осей ©, и ©2, скажем D2, можно в остальном выбрать про-
извольно. Аналогично, всякое поступательное перемещение Т, парал-
лельное данной прямой D', можно разложить на две транспозиции
относительно осей D\ и ©2, параллельных между собой и перпенди-
кулярных к прямой ©', причём одну из осей Dj и ©2, скажем ©ъ также
можно в остальном выбрать произвольно.
Выберем теперь ось ©2 так, чтобы она не только пересекала пря-
мую © под прямым углом, но и была перпендикулярна к прямой ©',
и примем эту же прямую ©2 и за ось D^. Транспозиции относительно
совпадающих прямых ©2 и ©i дают тождество, и результирующее
перемещение данного винтового перемещения и поступательного пере-
мещения Т будет равносильно двум последовательно выполненным
транспозициям относительно осей ©( и ©2. Обе эти прямые будут
перпендикулярны к прямой ©—первая в силу сказанного выше, вто-
рая как прямая, параллельная прямой ©2, перпендикулярной к ©. Так
как ось результирующего перемещения двух транспозиций относи-
тельно осей ©1 и ©2 есть общий перпендикуляр к этим двум прямым,
то эта ось всегда будет параллельна прямой ©.
При изменении величины поступательного перемещения Т пря-
мая ©! будет оставаться на месте. Следовательно, геометрическим
местом осей результирующих перемещений будет плоскость, проходя-
щая через прямые © и ©i (она получится, если через все точки пря-
мой ©j провести прямые, параллельные оси D).
Результирующее перемещение будет вращением, если оси Г)} и ©2 бу-
дут пересекаться. Так как при изменении величины переноса Т ось ©(
остаётся на месте, а прямая ©2 перемещается параллельно самой себе
в плоскости Р, проходящей через прямую Г)} (совпадающую с ©2) и
параллельную прямой ©', то пересечение прямых Dr и ©2 имеет место,
вообще говоря, только в одном случае, а именно если прямая ©2 про-
ходит через точку пересечения прямой ©] с плоскостью Р. Таким
образом, среди результирующих перемещений будет, вообще говоря,
одно вращение.
Предыдущие рассуждения теряют силу, если прямая ©' парал-
лельна ©. Но в этом случае ось результирующего перемещения сов-
падает с © независимо от величины поступательного перемещения Т.
601. Пусть данное вращение около оси © складывается с враще-
нием около данной оси ©', пересекающей ось © в точке О. Разло-
448
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
жим первое вращение на две транспозиции относительно осей D
и D2, проходящих через точку О, второе—на две транспозиции около
осей £>i и £)2, также проходящих через точку О. При этом как за
ось £>2, так и за ось D\ примем перпендикуляр к прямым D и £)'
в точке О. При этом транспозиции относительно совпадающих осей
D2 и Di дают тождество, а транспозиции относительно осей £),
и Ог дают результирующее вращение около новой оси Dn, перпен-
дикулярной к этим двум осям и проходящей через точку О.
При изменении угла поворота второго вращения прямая Dy оста-
ётся на месте, а прямая D? описывает плоскость, перпендикулярную
к прямой D'. Прямая £>0 описывает при этом плоскость, перпендику-
лярную к прямой £>i (и потому проходящую через прямую D). Эта
плоскость и будет искомым геометрическим местом.
602. Обозначим ось данного вращения через D, ось второго вра-
щения — через £>', точку их пересечения — через О. Разложим каждое из
двух вращений на две транспозиции таким же образом, как это было
сделано в решении упражнения 601.
Чтобы результирующее перемещение двух данных вращений, т. е.
результирующее перемещение двух транспозиций относительно осей
£\ и £>2. было транспозицией, оси Dt и £>2 должны пересекаться
в точке О под прямым углом. Так как ось О2 должна быть, кроме
того, перпендикулярна к оси £>', то положение оси £>2 вполне опре-
деляется. Оси Di (совпадающая с общим перпендикуляром к прямым
D и £>') и £>2 определяют угол поворота второго вращения.
В более общем случае, когда угол поворота результирующего вра-
щения должен иметь заданную величину, ось £)2 должна удовле-
творять следующим условиям: она должна лежать в плоскости, пер-
пендикулярной к прямой £>' в точке О, проходить через эту точку О
и образовать с прямой угол, равный половине данного угла пово-
рота. Построение такой прямой приведено в решении упражнения 467.
Оси £>i и D? определяют угол поворота второго вращения.
603. Обозначим ось данного винтового перемещения через £> и
данную ось второго перемещения — через D'. Разложим данное вин-
товое перемещение на две транспозиции относительно осей Dr и ©2,
принимая за ось £>2 общий перпендикуляр к прямым £> и £>'. Второе
перемещение можно при этом получить как результирующее переме-
щение транспозиции относительно оси £>2 и транспозиции относи-
тельно некоторой новой оси D8, пересекающей £>' под прямым углом.
Результирующее перемещение обоих рассматриваемых перемещений
будет при этом равносильно двум последовательным транспозициям
относительно осей D, и О3.
Чтобы результирующее перемещение было транспозицией, осп
£>! и £>3 должны пересекаться под прямым углом. Иначе говоря, за
ось £>3 надо принять общий перпендикуляр к прямым £>2 и £)'.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА 1
449
Положение прямых О2 и Ds вполне определяет второе перемеще-
ние.
604. Пусть D и О'— оси двух данных вращений, не лежащие
в одной плоскости, М и N—точки пересечения этих прямых с их
общим перпендикуляром. Разложим первое вращение на две транспо-
зиции— относительно некоторой оси Ог, проходящей через точку 7W,
и относительно оси MN, а второе—на две транспозиции относи-
тельно оси MN и относительно некоторой оси £)2, проходящей через
точку N. При этом оси Ох и О2 будут перпендикулярны соответст-
венно к прямым О и D'. Ни одна из этих двух прямых не будет совпа-
дать с MN, так как оба угла поворота отличны от нуля. Прямые Ог
и D2 не лежат в одной плоскости, так как иначе оси О и О' были
бы параллельны.
Результирующее перемещение двух данных вращений будет в то
же время и результирующим перемещений двух транспозиций относи-
тельно осей Dr и D2; оно не может быть вращением, так как оси
обеих транспозиций не лежат в одной плоскости.
605. При поступательном перемещении Т остаются на месте только
те плоскости, которые параллельны направлению этого перемещения;
остальные плоскости преобразуются в плоскости, им параллельные.
При вращении R с углом поворота, отличным от нуля и от 180°,
остаются на месте только плоскости, перпендикулярные к оси; осталь-
ные плоскости преобразуются в плоскости, им не параллельные.
Разложим теперь данное винтовое перемещение на поступательное
перемещение Т по направлению его оси и на вращение R около этой
оси. Величина перемещения Т будет, по предположению, отлична от
нуля, а угол поворота вращения R отличен от нуля и 180°.
Плоскость Р, перпендикулярная к оси винтового перемещения,
преобразуется перемещением Т в некоторую новую плоскость Р', также
перпендикулярную к оси, а эта последняя плоскость Р' остаётся на
месте при вращении R. Плоскость Q, не перпендикулярная к оси вин-
тового перемещения, преобразуется перемещением Т либо в самоё
себя, либо в плоскость Q', параллельную первоначальной; вращение R
преобразует далее плоскость Q или Q' в новую плоскость, уже не
параллельную Q. Отсюда и следует, что ни одна плоскость не оста-
ётся на месте при рассматриваемом винтовом перемещении.
Примечание. Если угол поворота винтового перемещения равен 180°’
то остаются на месте все плоскости, проходящие через его ось.
606. Пусть через точку М требуется провести две прямые D и D
так, чтобы данное перемещение преобразовало прямую D в О'.
Так как точка М лежит на прямой О, то точка Л1', соответствую-
щая точке М в данном перемещении, лежит на прямой О'. Поэтому
прямая О' есть прямая ММ'; прямая О тем самым определяется.
Если точка М' совпадает с М, то задача становится неопределённой:
за прямую D можно принять любую прямую, проходящую через точку М.
29 Элементарная геометрия, ч. II
450
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
607. Пусть в данной плоскости Р требуется найти две прямые
D и D' так, чтобы данное перемещение преобразовало прямую D
в [У.
Так как прямая D лежит в плоскости Р, то прямая D' лежит в той
плоскости Р', которая соответствует плоскости Р в данном перемеще-
нии. Поэтому прямая D' есть линия пересечения плоскостей Р и Р';
прямая D тем самым определяется.
Если плоскость Р' параллельна плоскости Р, то задача не имеет
решений. Если плоскость Р' совпадает с Р, то задача становится ,
неопределённой: за прямую D можно принять любую прямую, лежа-
щую в плоскости Р.
608. Пусть требуется построить, например, пятигранный угол
SABCDE, зная, что биссектрисами его плоских углов ASB, BSC,
CSD, DSE и ESA служат соответственно данные прямые Sa, Sb, Sc,
Sd и Se (приводимое нами решение не зависит от числа граней иско-
мого многогранного угла).
Транспозиция относительно данной прямой Sa преобразует ребро
искомого многогранного угла в его ребро SB; транспозиция относи-
тельно второй данной прямой Sb преобразует ребро SB в ребро SC,
и т. д. Отсюда следует, что, подвергнув полупрямую 5Д последова-
тельно пяти транспозициям относительно осей Sa, Sb, Sc, Sd и Se,
мы должны получить из неё ту же самую полупрямую S/l. Другими
словами, полупрямая S/1 должна оставаться на месте при выполнении
того вращения, которое является результирующим для этих пяти
транспозиций (выполненных в той последовательности, в какой они
перечислены). Последнее обстоятельство будет иметь место в том и
только в том случае, если полупрямая 5Д принадлежит оси этого
результирующего перемещения. Эту ось можно построить, пользуясь
сказанным в п. 438—439.
В общем случае задача будет иметь два решения, так как за
ребро £Д можно принять любую из тех двух полупрямых, на кото-
рые точка S делит ось результирующего вращения.
Задача будет неопределённой, если результирующее вращение
будет иметь угол поворота, равный нулю, т. е. обратится в тождество.
Однако и в этом последнем случае одно из рёбер искомого много-
гранного утла, например ребро АЛ, нельзя выбрать вполне произволь-
но: его следует выбрать так, чтобы лучи SB, SC, SD и SA, полу-
чающиеся из S/Ч с помощью последовательных транспозиций относи-
тельно осей Sa, Sb, Sc и Sd, образовали пятигранный угол (все
пять лучей должны быть различными, никакие два из них не должны
составлять продолжение один другого и т. д.).
Примером случая неопределённости может служить такая задача: построить
трёхгранный угол, зная, что биссектрисами его плоских углов служат три
данные попарно перпендикулярные, прямые: в результате последовательного
выполнения трёх транспозиций относительно трёх данных прямых получается
тождество.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
451
Пусть теперь даны биссектрисы Sa, Sb и Sc трёх плоских углов
ASB, BSC и CSD пятигранного угла SABCDE и биссектрисы Sd и Se
его плоских углов DSE и ESA выбраны так, что задача построения
пятигранного угла становится неопределённой. При этом в результате
выполнения сначала трёх последовательных транспозиций относительно
осей Sa, Sb и Sc, а затем ещё двух транспозиций относительно осей Sd
п Se должно получаться вращение с углом поворота, равным нулю.
Для этого, очевидно, результирующее вращение первых трёх тран-
спозиций и результирующее вращение двух последних должны иметь
общую ось D и равные, но противоположно направленные углы пово-
рота. Но для того чтобы результирующее вращение двух транспози-
ций относительно прямых Sd и Se имело своей осью данную прямую
Е), обе прямые Sd и Se должны быть перпендикулярны к прямой D.
Отсюда следует, что если даны биссектрисы всех плоских углов иско-
мого многогранного угла, кроме биссектрис двух его соседних плоских
углов, и задача должна быть неопределённой, то геометрическое место
двух последних биссектрис есть плоскость, проходящая через точку
S и перпендикулярная к осп результирующего вращения транспози-
ций относительно всех данных биссектрис (выполненных в надлежа-
щем порядке).
609. Пусть требуется найти геометрическое место точек М', ко-
торые получаются из данной точки с помощью транспозиций отно-
сительно прямых, проходящих через
данную точку О и лежащих в дан-
ной плоскости Р (черт. 391). Обозна-
чим через Af0 проекцию точки на
плоскость Р и отложим на продолже-
нии отрезка ММ0 за точку 7И0 рав-
ный ему отрезок МВМ".
Так как двукратное выполнение
транспозиции относительно какой-
либо прямой даёт тождество, то
транспозицию относительно любой
прямой ОА, лежащей в плоскости Р,
можно рассматривать как резуль-
тирующее перемещение трёх тран-
спозиций соответственно около осп
ОЛ10, опять около оси ОЛ10 и около
оси ОА. Первая из этих трёх тран-
спозиций преобразует точку М в М". Вторая и третья транспо-
зиции, выполненные последовательно, имеют своим результирующим
перемещением вращение около перпендикуляра D к плоскости Р в
точке О. Угол поворота равен удвоенному углу Л1ВОА и потому мо-
жет принимать любое значение при вращении прямой ОА около точки
О в плоскости Р. Таким образом, точки М' получаются из точки Л1"
путём поворотов на любые углы около оси D.
29*
452
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Следовательно, искомое геометрическое место есть окружность с
центром на прямой D, лежащая в плоскости, перпендикулярной к
этой прямой, и проходящая через точку М'.
610. Обозначим через (/?), (5) и (S') соответственно оси двух
данных вращений R и S и искомого вращения S'. Точка пересечения
О осей (/?) и (S) остаётся на месте как при вращении R, так и при
вращении S. Следовательно, она будет оставаться на месте и при
вращении S', так что и ось (S') будет проходить через точку пересе-
чения О осей (R) и (S).
Пусть теперь вращение S разложено на две транспозиции относи-
тельно осей D и О0, перпендикулярных к прямой (S) и проходящих
через точку О, причём за ось £>0 принята прямая, перпендикулярная
как к оси (S), так и к оси (S'). Пусть далее второе вращение S'
также разложено на две транспозиции—относительно той же прямой
£>0 и относительно некоторой прямой D’, которая также пройдёт через
точку О и будет перпендикулярна к (S'). При этом данное вращение
R будет результирующим двух транспозиций относительно осей D
и О', п потому ось (R) будет перпендикулярна к обеим осям О и О'.
Итак, прямая О перпендикулярна к (R) и (S), прямая О' — к (R) и
(S'), прямая О0 — к (S) и (S').
Так как углы поворота вращений S и S' по условию равны, то
угол между прямой О0 и прямой О равен углу между прямой О0 и
О'. Следовательно, прямые О, О' и О0 (точнее говоря, надлежащим
образом выбранные полупрямые этих прямых) образуют равнобедрен-
ный трёхгранный угол.
Так как каждая из прямых (R), (S) и (S') перпендикулярна к
двум из прямых О, О' п О0, то надлежащим образом выбранные по-
лупрямые прямых (R), (S) и (S') образуют трёхгранный угол, попол-
нительный к только что названному и потому также равнобедренный.
Отсюда следует, что прямые (S) и (S') образуют с (R) равные углы.
Далее, угол между прямыми D и D' равен половине угла поворота
вращения R и совпадает с ним по направлению. Иначе говоря, пово-
рот около оси (R) на угол, равный половине угла поворота враще-
ния R и совпадающий с ним по направлению, совмещает прямую D
с прямой ГУ; следовательно, тот же поворот совмещает и перпенди-
кулярную к прямой D плоскость Р, в которой лежат прямые (R) и
(S), с перпендикулярной к прямой D' плоскостью Р', в которой
лежат прямые (R) и (S'). Итак, плоскость Р’, в которой лежат
оси (R) и (S'), получается из плоскости Р, проходящей через
оси (R) и (S), путём поворота около оси (R) на угол, равный
половине угла поворота вращения R и имеющий с ним одинаковое
направление.
Пользуясь только что сказанным, мы получаем вполне определён-
ную плоскость Р', проходящую через ось (R) и содержащую иско-
мую ось второго вращения, а в этой плоскости две прямые (S') и
(S"), наклонённые к оси (R) под тем же углом, что и ось (S). Не-
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
453
трудно доказать, что обе эти прямые могут играть роль искомой оси
второго вращения. Для этого достаточно построить ось D, перпенди-
кулярную к (/?) и к (5), ось D', перпендикулярную к (R) и к (S') или
к (S"), и ось Do, перпендикулярную к (S) и (S') или же к (S) и (S");
за первое вращение надо принять результирующее вращение транспо-
зиций относительно осей D и Do, за второе—результирующее вра-
щение транспозиций относительно осей Do и D', и т. д.
Способ построения искомой осп (S') или (S") второго вращения
можно представить в несколько иной форме. Можно сказать, что дан-
ному вращению R соответствуют два угла поворота, дополняющих
друг друга до 360° и имеющих противоположное направление. По-
вернув ось (S) около осп (/?) на угол, равный половине каждого из
этих двух углов и имеющий с ним одинаковое направление, мы и
получим оба возможных положения (S') и (S") оси второго вращения.
Отсюда вытекает, что если ось (S) описывает некоторую плоскость,
то п осп (S') и (S") описывают каждая плоскость.
611. Разложим сначала данное винтовое перемещение на какие-
либо два винтовых перемещения. S и S', первое из которых S имеет
своей осью данную прямую (S). С этой целью обозначим через D
общий перпендикуляр к прямой (S) и к оси данного перемещения
(пли один из общих перпендикуляров к обеим прямым, если они
параллельны). Данное винтовое перемещение представится при этом
(п. 438, обратная теорема) как результирующее перемещение транспо-
зиции относительно прямой D и транспозиции относительно некоторой
второй прямой £)". Первое из искомых перемещений представится при
этом, очевидно, как результирующее перемещение двух транспози-
ций— относительно прямой D и относительно любой прямой D',
пересекающей (S) под прямым углом; второе перемещение S' будет
результирующим перемещением двух транспозиций — относительно
прямой D' и относительно прямой D”.
Потребуем теперь ещё, чтобы углы поворота обоих перемещений
были равны между собой. При этом прямую D' уже нельзя будет
выбирать произвольно среди прямых, пересекающих (S) под прямым
углом: прямая D' должна образовать равные углы с прямыми D и D".
В силу сказанного в решении упражнения 444 всякая прямая, обра-
зующая равные углы с прямыми D и D", в том числе и прямая D',
о которой идёт речь, должна быть параллельна одной из двух взаимно
перпендикулярных плоскостей Р и Р, которые легко построить, зная
прямые D и D" (мы исключаем из рассмотрения частный случай, когда
прямые D и D" параллельны, п данное винтовое перемещение обра-
щается в поступательное перемещение). Так как прямая D' должна,
кроме того, быть перпендикулярна к прямой (S), то она должна быть
параллельна одной из тех двух прямых, по которым какая-либо плос-
кость, перпендикулярная к прямой (S), пересекает плоскости Р и Р .
Отсюда вытекает следующее предложение. Чтобы перемещения 3
и S' имели равные углы, а осью перемещения S служила данная
451
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
прямая (S), прямая D', о которой говорилось выше, должна пере-
секать прямую (S) под прямым углом и лежать в одной из двух
плоскостей Q и Q, проходящих через эту прямую.
Ограничимся рассмотрением того случая, когда прямая D' лежит
в плоскости Q; для другого случая, когда прямая D' лежит в плос-
кости Q, можно повторить те же рассуждения. Сохраняя все по-
ставленные условия, потребуем ещё, чтобы поступательные пере-
мещения, соответствующие перемещениям S и S', были разны
между собой. При этом прямую D', лежащую в плоскости Q, при-
дётся (п. 438) выбрать так, чтобы кратчайшее расстояние между
прямыми D и £У равнялось кратчайшему расстоянию между прямыми
£>' и D".
Осуществить этот выбор можно с помощью следующих соображе-
ний. Пусть D* (черт. 392) — проекция прямой D на плоскость Q. Так
как прямые D и D' обе перпендикулярны к (S), то прямые D* и D'
параллельны между собой. Кратчайшее расстояние ММ' между скре-
щивающимися прямыми D и D' есть в то же время расстояние
MM' = NN'=... между параллельными прямыми D* и D'. Если
N'N"— кратчайшее расстояние между прямыми D' и D" и N— осно-
вание перпендикуляра, опущенного из точки N' на прямую D*, то мы
должны иметь равенство NN' — N'N". Рассмотрим теперь в плос-
кости Q какие-либо две прямые О, и D2, перпендикулярные к (5).
Пусть TVjTVi—кратчайшее расстояние между прямыми и D" и
N,—основание перпендикуляра, опущенного из точки A’i на прямую
О*. Аналогичное значение для прямой D2 пусть имеют отрезок
N2 АА и точка ЛА. Общие перпендикуляры N'N", N1N1 и N2NJ2 к
прямой D" и к каждой из параллельных прямых D', Г)г и D2 парал-
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА I
455
лельны между собой и потому лежат в одной плоскости; следо-
вательно, точки N', Nj и N? лежат на одной прямой. Отложим
на лучах /VW1 и от точек и N2 отрезки Nj Lt и NzL2,
соответственно равные i\\N\ и N2S/2. Применяя к трапециям
A'l’/ViiVzM ” ЪЦЬЛЦ теорему, приведённую в упражнении 130 гео-
метрии на плоскости (m:n = N'Ni; N'N2) и пользуясь равенствами
/VpVi = NiL}, N2N2=N2^2 и /V'/V" =/VW, легко доказать, что точка
Л/ лежит на прямой /]/.2.
Отсюда и вытекает способ построения искомой прямой О'. Строим
в плоскости Q две какие-либо прямые О, и О2, перпендикулярные к
(5), и далее, как было указано выше, отрезки /V//V/' и N2'N2 и
точки и L2. Через точку пересечения N прямых О* и LXL2 про-
водим прямую, параллельную (S). Прямая, проходящая через точку
пересечения N' этой прямой с прямой /V/M' и перпендикулярная к
(5), и будет искомой прямой О'.
Таким же образом в плоскости Q построим аналогичную пря-
мую О'.
Чтобы удовлетворить теперь всем условиям поставленной задачи,
остаётся выбрать ту из прямых (или те из прямых) D' и D', для
которых соответствующие перемещения S и S' будут оба правыми
или оба левыми.
612. Пусть О,, О2 и О3 — три данные прямые; О23, О31 и О13 —
общие перпендикуляры к этим прямым, взятым попарно, а именно
О23—-общий перпендикуляр к прямым О2 и О3 и т. д. (мы ограни-
чиваемся общим случаем, когда никакие две из данных прямых не
параллельны между собой).
Предположим, что первое из искомых перемещений, имеющее
своей осью прямую Ot, разложено на две транспозиции так, что осью
второй из них служит прямая О12; при этом осью первой транспози-
ции будет некоторая прямая D, пересекающая Dj под прямым углом.
Аналогично, пусть второе искомое перемещение, имеющее своей осью
прямую D?, разложено на две транспозиции, первая из которых
имеет своей осью прямую О12; осью второй будет некоторая прямая
D', пересекающая D, под прямым углом.
При этом результирующее перемещение двух искомых перемеще-
ний будет в то же время и результирующим перемещением двух
транспозиций относительно осей D и D' (так как две последователь-
ные транспозиции относительно прямой /?12 дают тождество). Поэтому
осью результирующего перемещения будет общий перпендикуляр к
прямым D и D'. Но по условию осью результирующего перемещения
должна быть прямая Ds. Следовательно, прямая D пересекает пот
прямым углом не только прямую (как было указано выше), но и
прямую Ds и потому совпадает с О31. Аналогично, прямая D' совпа-
дает с £)23.
456
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Итак, первое из искомых перемещений есть результирующее пе-
ремещение транспозиций относительно прямых О31 и D12 (выполнен-
ных в этом именно порядке), второе — результирующее перемещение
двух транспозиций относительно прямых Z)12 и О23.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II (стр. 122).
613. Пусть две фигуры F' и F" симметричны с одной и той же
третьей фигурой F соответственно относительно плоскостей Р и Р.
Обозначим через М произвольную точку фигуры F, через М и М" —
соответствующие ей точки фигур F' и F".
Если плоскости Р и Р" пересекаются (черт. 393), то точки М,ЛР
и М" не лежат на одной прямой и определяют плоскость Q, перпен-
М — произвольная точка
дикулярную к линии пересечения D
плоскостей Р и Р". В плоскости Q
точки М и М симметричны отно-
сительно линии её пересечения D' с
плоскостью Р', а точки Л4 и М”—
относительно линии её пересечения О"
с плоскостью Р'. Отсюда следует, что
точка /И" получается из точки М пу-
тём поворота в плоскости Q около точ-
ки её пересечения О с прямой D на
угол, равный удвоенному углу между
прямыми D' и D" и имеющий с ним оди-
наковое направление. Иначе говоря,
точка М" получается из точки М путём
поворота (в пространстве) около прямой
D на угол, равный удвоенному углу
между плоскостями Р и Р’ и имеющий
с ним одинаковое направление. Так как
ся из F' путём того же поворота.
фигуры F', то и вся фигура F" получает-
Итак, две фигуры, симметричные с одной и той же третьей
относительно двух пересекающихся плоскостей, получаются одна
из другой с помощью вращения; осью вращения служит линия пере-
сечения обеих плоскостей, а угол поворота равен удвоенному углу
между обеими плоскостями и имеет с ним одинаковое направление.
Если плоскости Р и Р" параллельны, то точки М,М и М" ле-
жат на одной прямой, перпендикулярной к этим плоскостям. Обозна-
чив через пГ и /д" точки пересечения прямой ММ' с обеими плоскостями,
будем иметь: М'М— Мт -(- т'М = 2т'М-, ММ" ----- Мт" -|- т"М" =
— 2Мт", откуда М' М" = М' М ММ" = 2 (m'M-j-Мт")=2т'т" (что-
бы эти равенства были верны во всех случаях, надо выбрать на
данной прямой положительное направление и рассматривать отрезки
по величине и знаку). Так как М'— произвольная точка фигуры F'
КНИГА СЕДЬМАЯ- ГЛАВА II
4о7
и длина отрезка m'iri’ (расстояние между плоскостями Р' и Р") не
зависит от выбора точки М', то мы приходим к следующему выводу:
Две фигуры, симметричные с одной и той же третьей отно-
сительно двух 'параллельных плоскостей, получаются одна из
другой с помощью поступательного перемещения; направление по-
ступательного перемещения перпендикулярно к обеим плоскостям и
совпадает с направлением от первой плоскости ко второй, а его вели-
чина равна удвоенному расстоянию между обеими плоскостями.
Примечания. 1°. Результаты, полученные в решении настоящего
упражнения, можно, очевидно, сформулировать в виде следующих предложе-
ний (ср. Пл., п. 102 а):
а) Две последовательные симметрии относительно пересекающихся
плоскостей равносильны повороту около линии их
равный удвоенному углу между первой и второй
плоскостями и имеющий с ним одинаковое направ-
ление.
Ь) Две последовательные симметрии относи-
тельно параллельных плоскостей равносильны по-
ступательному перемещению вдоль прямой, пер-
пендикулярной к данным плоскостям; направление
поступательного перемещения совпадает с направ-
лением от первой плоскости ко второй, а его вели-
чина равна удвоенному расстоянию между обеими
плоскостями.
Отсюда вытекают также без труда и следующие
предложения (ср. опять Пл., п. 102 а):
с) Всякое поступательное перемещение можно
заменить двумя последовательными симметриями
относительно двух плоскостей, перпендикуляр-
ных к направлению перемещения, причём одну
из этих плоскостей можно выбрать произвольно.
пересечения на угол.
Черт. 394.
d) Всякое вращение можно заменить двумя последовательными сим-
метриями относительно двух плоскостей, проходящих через ось вращения,
причём одну из этих плоскостей можно выбрать произвольно.
е) Если четыре плоскости Р, Q, Р' и Q’ проходят через одну прямую и
угол между плоскостью Р и плоскостью Q равен углу между плоскостью
Р' и плоскостью Q' и имеет с ним одинаковое направление, то две после-
довательные симметрии относительно плоскостей Р и Q равносильны, двум
последовательным симметриям относительно плоскостей Р' и Q'.
2°. Из этих предложений вытекает следующий способ построения оси
и угла поворота результирующего вращения двух данных вращений около
пересекающихся осей, отличный от приведённого в п. 439 (ср. Пл., решение
упр. 93).
Пусть D' (черт. 394) — ось первого вращения, и U' — ось второго. Раз-
ложим первое из этих вращений на две симметрии относительно плоскостей
Р' и Р, причём за вторую из этих плоскостей примем плоскость прямых D'
и D'. Угол между плоскостью Р' и плоскостью Р будет равен половине угла
поворота первого вращения и будет иметь с ним одинаковое направление.
Аналогично разложим второе данное вращение на две симметрии относитель-
но той же плоскости Р, что и выше, и относительно некоторой плоскости
Р"; угол между плоскостями Р и Р" определяется, как только что было
указано.
Последовательность двух данных вращений около осей D' и D равно-
сильна двум последовательным симметриям относительно плоскостей Р' и Р"
458
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
{так как двукратное выполнение симметрии относительно плоскости Р даёт
тождество). Отсюда следует, что осью искомого результирующего вращения
будет линия пересечения D плоскостей Р' и Р", а соответствующий угол
поворота бтдет равен удвоенному углу между плоскостью /-*' и плоскостью
Р" и будет иметь с ним одинаковое направление.
3°. Любое чётное число последовательных симметрий относительно плос-
костей, проходящих через одну и ту же точку, равносильно одному враще-
нию, ось и угол поворота которого можно найти следующим образом. Первые
две из данных симметрий равносильны одному вращению, ось и угол поворота
которого определяются, как указано выше в примечании 1°,а. То же отно-
сится к третьей и четвёртой из данных симметрий и т. д. Таким образом,
получаются вращения, общее число которых вдвое меньше числа данных
симметрий. Результирующее вращение этих вращений можно найти, пользуясь
либо способом, приведённым в п. 439, либо способом, приведённым только
что в примечании 2°.
614. Пусть фигура F’ симметрична с F относительно плоскости
Р, а фигура F" симметрична с той же фигурой F относительно не-
которой точки О, не лежащей в плоскости Р.
Обозначим через Ог проекцию точки О на плоскость Р и через
F,— фигуру, симметричную с F относительно точки Ог. Так как фи-
гура F' симметрична с F относительно плоскости Р, а фигура Ft
симметрична с F относительно точки О,, лежащей в плоскости Р, то
фигура F, получается из F с помощью транспозиции относительно
прямой OjO, перпендикулярной к плоскости Р в точке О, (п. 443).
Далее, так как фигура Ft симметрична с F относительно точки
О,, а фигура F" симметрична с F относительно точки О, то фигура
F" получается из F с помощью поступательного перемещения, на-
правление которого совпадает с направлением отрезка ОГО, а величина
которого вдвое превосходит величину этого отрезка.
Итак, фигура F, получается из F' с помощью транспозиции отно-
сительно прямой 0,0, а фигура F" из фигуры F—с помощью по-
ступательного перемещения, по направлению совпадающего с отрезком
О]О, а по величине вдвое превосходящего его. Следовательно, фи-
гура F” получается из F' с помощью винтового перемещения. Осью
этого перемещения служит перпендикуляр 00, из точки О на пло-
скость Р; угол поворота равен 180°, а поступательное перемещение
имеет величину 20,0 и направлено от точки О, к точке О.
615. Предположим, что некоторая фигура F обладает двумя цент-
рами симметрии О' и О". Рассмотрим некоторую точку А фигуры F.
Точка А', симметричная с точкой А относительно точки О', также
принадлежит фигуре F. Далее той же фигуре будет принадлежать
и точка Д,, симметричная с А' относительно точки О". При этом
отрезок AAt параллелен отрезку 0'0", направлен с ним в одну сто-
рону и по величине вдвое более этого отрезка (ср. п. 443). Повторяя
для новой точки Аг те же рассуждения, которые мы применяли к
точке А, мы получим ещё одну точку А2 данной фигуры, лежащую
на продолжении отрезка AAt за точку .4,, причём ААг= AYA2, и т.д.
Таким образом, мы получим бесконечный ряд точек А, Аъ А2, А3,...
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА И
459
фигуры F, лежащих на одной прямой и удовлетворяющих условию
/}Д1 = Л1Л2 = Д2Д8=:... . Фигура F не будет ограниченной со всех
сторон.
Отсюда непосредственно следует, что фигура, ограниченная со
всех сторон, не может иметь двух центров симметрии.
616. Отрезок любой прямой, проходящей через точку пересечения
О диагоналей параллелепипеда, заключённый между его гранями, де-
лится в этой точке пополам (упр. 531). Отсюда следует, что любая
плоскость, проходящая через точку О, делит параллелепипед на две
части, симметричные относительно этой точки. Так как всякие два
симметричных многогранника равновелики (п. 447), то и те две части,
на которые делится параллелепипед, равновелики
617. 1) Пусть данная прямая пересекает плоскость Р в некоторой
точке X (черт. 395). Построим, как указано в тексте задачи, точку
А', косо-симметричную какой-либо точке А данной прямой, и обозна-
чим через Ао точку пересечения отрезка АА' с плоскостью Р. До-
кажем, что фигура, косо-симметричная прямой АХ, есть прямая А'Х.
Для этого проведём через произвольную точку М прямой IX
прямую ММ', параллельную АА' и, следовательно, лежащую в пло-
скости ХАА'. Пусть эта прямая пересекает прямую А'Х в точке М',
а плоскость Р (и в то же время прямую Л0А')— в точке Мо. Три
прямые ХА, ХА0 и ХА', выходящие из одной точки и лежащие
в одной плоскости, отсекают на параллельных прямых АА' и МАГ
пропорциональные отрезки (Пл., п. 121); следовательно, АпА:А0А' —
= М0М:М0М'. Так как /10.4 — До/Г (по определению косой симмет-
рии), то и М0М — М0М', т. е. М' есть точка, косо-симметричная
точке М. Таким образом, фигура, косо-симметричная прямой АХ,
есть прямая А’Х.
Мы предполагали, что данная прямая пересекает плоскость Р.
Если теперь данная прямая АХ параллельна плоскости Р (черт. 396),
то построим точку А', косо-симметричную какой-либо точке А данной
прямой, и проведём через неё прямую А'Х', параллельную АХ. До-
кажем, что фигура, косо-симметричная прямой АХ, есть прямая А'Х’.
460
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Для этого проведём опять через произвольную точку М прямой
АХ прямую ЛМГ, параллельную АА' и, следовательно, лежащую
в плоскости параллельных прямых АХ и А'Х', и обозначим через М’
точку её пересечения с прямой А'Х’. Обозначим далее через Ло и Л40
соответственно точки пересечения отрезков АА' и ММ' с плоскостью
Р. Так как четырёхугольники АММ0А0 и Д'Л4'Л4ОДО — параллелограмы,
то АА0 = ММ0 и А’А0 — ЛГМ0. Кроме того А40 — А’А0 (по опреде-
лению косой симметрии), и потому /ИЛ40 = /Ю!о. Отсюда и следует,
что в данном случае фигурой, косо-симметричной прямой АХ, будет
прямая А'Х'.
2) Пусть F’ есть фигура, косо-симметричная данной плоскости F
относительно плоскости Р. Рассмотрим две произвольные точки М'
и N' фигуры F’ и соответствующие им точки М и N плоскости F.
Так как все точки прямой MN лежат в плоскости F и так как фи-
гура, косо-симметричная прямой MN, есть, по доказанному, прямая
M'N', то прямая M'N' целиком принадлежит фигуре F'. Итак, фигура
F' обладает следующим свойством: прямая, соединяющая любые две
точки этой фигуры, целиком ей принадлежит. Но существуют только
три фигуры, обладающие этим свойством, а именно прямая, плоскость
и всё пространство (ср. п. 327).
Фигура F' не может быть прямой линией, так как иначе и фигура
F, косо-симметричная фигуре F', была бы прямой линией, как это
было доказано выше. Фигура F' не может также состоять из всех
точек пространства, так как иначе и фигура F состояла бы, очевидно,
из всех точек пространства. Следовательно, фигура F' есть плоскость.
3) Предположим сначала, что данный многогранник есть треуголь-
ная призма пли треугольная усечённая призма, боковые рёбра которой
параллельны данной прямой D. При этом многогранником, косо-сим-
метричным данному, будет также треугольная призма или треугольная
усечённая призма. Обе призмы или усечённые призмы будут, очевидно,
иметь соответственно равные боковые рёбра и равные перпендикуляр-
ные сечения и потому будут равновелики (п. 431, следствие).
Так как всякую призму или усечённую призму можно разбить на
треугольные плоскостями, проходящими через диагонали оснований и
боковые рёбра, то доказываемое свойство будет иметь место и для
любой призмы или усечённой призмы, боковые рёбра которой парал-
лельны данной прямой О, а не только для треугольной.
Наконец, в силу того, что всякий многогранник можно разбить
на усечённые призмы, все боковые рёбра которых параллельны данной
прямой D (упр. 577), всякие два многогранника, косо-симметричные
относительно некоторой плоскости, равновелики.
618. Первое решение. Проведём через данную прямую D две
произвольные плоскости Рх и Р2 (черт. 397) и обозначим через D1
линию пересечения плоскостей Р2 и Р, и через D2— линию пересе-
чения плоскостей Рх и Р. Если точка М' соответствует некоторой
точке М, как указано в тексте задачи, то построим точку М", косо-
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА И
461
симметричную точке М относительно плоскости Plt проводя прямую
ММ” параллельно прямой Плоскость ММ’М" параллельна плоско-
сти Р, так как прямая МЛ4' параллельна плоскости Р по условию,
а прямая А/АГ' параллельна прямой D\ по построению. Следовательно,
прямые М1М0 и М0М0, где Мо— точка пересечения отрезка ММ' с
прямой D, Mj — точка пересечения отрезка ММ" с плоскостью Ру
н М2— точка пересечения отрезка М"М' с плоскостью Р2, параллельны
соответственно прямым D2 и Так как М1М=М1М" (по опреде-
лению косой симметрии) и Af0Af = Л10АГ (по условию), то прямая
М"М' параллельна МГМО и, следовательно, прямой О2. Так как пря-
мые Af0Al, и АГАТ обе параллельны прямой и A70Af = А'/0АГ, то и
М2М" = М2М'. Таким образом, точка АГ получается йз АГ' с по-
мощью косой симметрии относительно плоскости Р2, причём прямая
М"М' параллельна прямой О2.
Итак, преобразование, с помощью которого из точки М получается
точка М', сведено к двум косым симметриям типа, рассмотренного
в упражнении 617.
Так как обе косые симметрии обладают всеми тремя свойствами,
сформулированными в этом упражнении 617, то и рассматриваемое
преобразование обладает темп же тремя свойствами.
Второе решение. Если точка М' соответствует некоторой
точке М, как указано в тексте задачи, то построим точку М" (черт. 398),
косо-симметричную точке М относительно плоскости Р, проводя пря-
мую ММ” параллельно прямой D. Обозначим через О и Мг точки
пересечения плоскости Р соответственно с прямыми D и ММ", через
А/о — точку пересечения отрезка ММ' с прямой D. Так как четырёх-
угольник MM0OMt—параллелограм, то ОМ0 = МгМ; так как, кроме
того, Л41М = М1М" (по определению косой симметрии) и М0М — МвМ'
(по условию), то точки М",0 и М' лежат на одной прямой и ОМ" = ОМ'.
Таким образом, точки М" и М' симметричны относительно точки О.
462
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Итак, преобразование, с помощью которого точка М’ получается
из точки М, сведено к косой симметрии типа, рассмотренного в уп-
ражнении 617, и к симметрии относительно точки О.
Так как косая симметрия и симметрия относительно точки обладают
всеми тремя свойствами, перечисленными в упражнении 617, то и рас-
сматриваемое преобразование обладает темп же тремя свойствами.
619. Примем за прямую D, о которой говорится в упражнении 618,
прямую EF, соединяющую середины Е и F рёбер АВ и CD данного
тетраэдра (см. черт. 376 на стр. 426), а за плоскость Р—плоскость,
параллельную этим рёбрам. При выполнении преобразования, рассмот-
ренного в упражнении 618, вершины А и В преобразуются друг
в друга, и то же имеет место для вершин С и D. Отсюда следует,
что при этом преобразовании данный тетраэдр переходит сам в себя;
так как тем же свойством обладает, очевидно, и любая плоскость,
проходящая через прямую EF, то две части, на которые плоскость
EGFH делит тетраэдр, также получаются одна из другой с помощью
указанного преобразования. Эти две части равновелики в силу упраж-
нения 618.
620. Пусть А — некоторая точка фигуры F и А'—соответствую-
щая ей точка фигуры F'. Построим фигуру F", симметричную с F
относительно плоскости Р, перпендикулярной к отрезку АА' и прохо-
дящей через его середину. Фигура F", очевидно, равна F'. Кроме
того, точка А' фигуры F" совпадает с соответствующей ей точкой
фигуры F'. Поэтому фигуру F" можно совместить с фигурой F' с по-
мощью вращения около некоторой оси, проходящей через точку А'
(п. 440). Итак, фигуру F можно совместить с F' с помощью сим-
метрии относительно плоскости Р, за которой следует вращение
около некоторой оси.
Разложим теперь это последнее вращение на две симметрии отно-
сительно плоскостей Q и R, проходящих через ось вращения (ср. ре-
шение упр. 613, примечание 1°), выбрав плоскость Q так, чтобы она
была перпендикулярна к плоскости Р. Таким образом, фигура F' по-
лучается из F с помощью трех последовательных симметрий от-
носительно плоскостей Р, Q и R, причём плоскости Р и Q перпен-
дикулярны между собой.
Заменим далее последовательность симметрий относительно плоско-
стей Р и Q (равносильную транспозиции относительно линии их
пересечения) парой симметрий относительно двух других взаимно пер-
пендикулярных плоскостей Р' и Q', проходящих через линию пере-
сечения плоскостей Р и Q. При этом выберем плоскость Р так, чтобы
она была перпендикулярна к R. Фигура F' получается из F с помощью
трёх последовательных симметрий относительно плоскостей Р', Q'
и R, причём как плоскость Q’, так и плоскость R перпендикулярны
к плоскости Р'. Последовательность, в которой выполняются симметрии
относительно плоскостей Р и Q', очевидно, безразлична, так как эти
две симметрии, выполненные в Аобом порядке, равносильны транспо-
КНИГА СЕДЬМАЯ- ГЛАВА II
463
зицнн относительно линии их пересечения. Так как то же относится
к симметриям относительно плоскостей Р' и R, то мы приходим к та-
кому результату. Фигура F' получается из F с помощью трёх по-
следовательных симметрий относительно плоскостей Р', Q' и R,
причём обе плоскости Q' и R перпендикулярны к Р', и три сим-
метрии можно выполнять либо в порядке P'Q'R, либо в порядке
Q'P’R, либо, наконец, в порядке Q'RP1.
В дальнейшем придётся рассмотреть отдельно два случая:
1) Если плоскости Q' и R параллельны, то последовательность
симметрий относительно этих двух плоскостей равносильна одному
пос пательному перемещению Т, перпендикулярному к плоскостям
Q' и R и потому параллельному плоскости Р'. Если три последова-
тельные симметрии выполнить в порядке P'Q'R (или в порядке Q'RP'),
то симметрия относительно плоскости Р' будет предшествовать пере-
мещению Т (или — соответственно — следовать за ним).
Итак, в этом случае фигура F' получается из F с помощью
поступательного перемещения Т, которому предшествует или за
которым следует симметрия относительно плоскости Р', парал-
лельной направлению перемещения Т.
2) Если плоскости Q' и R пересекаются, то последовательность
симметрий относительно этих двух плоскостей равносильна одному
вращению S около линии пх пересечения D, перпендикулярной к пло-
скости Р'. Отсюда, как и выше, следует, что в этом случае фигура
F’ получается из F с помощью некоторого вращения S около оси
D, которому предшествует или за которым следует симметрия
относительно плоскости Р', перпендикулярной к оси D.
Чтобы получить теперь вместо симметрии относительно плоскости
симметрию относительно точки, лежащей на оси вращения D, посту-
пим так. Выполним над фигурой F сначала симметрию относительно
плоскости Р', затем дважды транспозицию относительно оси D и, на-
конец, то вращение S около оси D, о котором говорилось выше;
в результате получим опять фигуру F'. Симметрия относительно пло-
скости Р' и транспозиция относительно прямой D, выполненные по-
следовательно, равносильны симметрии относительно точки пересечения
О плоскости Р' и прямой D. Вторая транспозиция относительно осп
D и вращение S около той же оси, выполненные последовательно,
дают новое вращение S* около той же оси D. Выполняя над фигурой
F сначала вращение S, затем дважды транспозицию относительно
оси D и, наконец, симметрию относительно плоскости Р' и повторяя
только что приведённые рассуждения, мы покажем, что симметрия
относительно точки О может не только предшествовать вращению
S*, но и следовать за ним.
Итак, в том случае, когда плоскости Q' и R пересекаются,
фигура F' получается из F с помощью некоторого вращения S*
около оси D, которому предшествует или за которым следует
симметрия относительно некоторой точки оси D.
464
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Примечание. Из доказанного предложения вытекает такое следствие:
Любое нечётное число симметрий относительно плоскостей, проходя-
щих через одну и ту же точку О, равносильно одному вращению около
оси, проходящей через ту же точку О, которому предшествует или за
которым следует симметрия относительно плоскости, проходящей через
ту же точку О и перпендикулярной к оси вращения.
В самом деле, нечётное число симметрий относительно плоскостей, про-
ходящих через О, преобразует любую фигуру F в фигуру F', равную фигуре,
симметричной данной (так как чётное число таких симметрий равносильно
одному вращению; ср. решение упр. 613, примечание 3°). Так как точка О
фигуры F совпадает при этом с соответствующей ей точкой фигура F', то
все плоскости Р, Q, R, Р' и Q', о которых говорилось в решении, будут
проходить через точку О. Отсюда и вытекает сформулированное предложение.
•
621. Пусть SABCD — данный многогранный угол, для определён-
ности— четырёхгранный. Предположим, что существует вписанный
в него четырёхгранный угол Sabcd (черт. 399), имеющий наименьшую
возможную сумму плоских углов. При этом мы
> допускаем (как это обычно делается для общно-
3 сти рассуждений; ср., например, Пл., решение
упр. 155) не только вписанные многогранные
углы „в собственном смысле слова”, рёбра ко-
торых лежат внутри плоских углов данного, но
и „вписанные” многогранные углы, у которых
рёбра могут лежать в плоскостях граней дан-
ного многогранного как внутри так и вне его
плоских углов.
Если бы плоскости dSa и aSb не образовали
с плоскостью ASB равных двугранных углов,
то, оставляя на месте рёбра Sb, Sc и Sd впи-
санного многогранного угла, мы могли бы заменить его ребро Sa
другим ребром Sa', также лежащим в плоскости ASB (и даже сколь
угодно близким к Sa), для которого сумма плоских углов X dSa' -|-
-|- / a'Sb была бы меньше суммы плоских углов / dSa -|- / aSb
(ср. решение задачи 516, примечание). Многогранный угол Sa'bcd
имел бы при этом меньшую сумму плоских углов, чем Sabcd, что
противоречит сделанному предположению. Следовательно, плоскости
граней dSa и aSb искомого вписанного многогранного угла образуют
равные двугранные углы с плоскостью ASB, и то же имеет, очевидно,
место для остальных граней.
Так как это рассуждение не зависит от числа граней данного
многогранного угла, то рассматриваемая задача сводится к следую-
щей:
Дан многогранный угол SABC..построить многогранный
угол Sabc..., у которого плоскости ASB, BSC,... служат биссек-
тральными плоскостями двугранных углов соответственно при рёб-
рах Sa, Sb,... или углов, с ними смежных.
При решении этой задачи придётся рассмотреть отдельно случай
чётного и случай нечётного числа граней.
Черт. 399.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА II
465
Начнём со случая чётного числа граней. Пусть грани данного много-
гранного угла, для определённости — шестигранного угла SABCDEF,
а именно плоскости ASB, BSC,... и FSA, служат бнссектральными
плоскостями двугранных углов соответственно при рёбрах Sa, Sb,.. .
и Sf искомого многогранного угла Sabcdef или двугранных углов,
с ними смежных.
Симметрия относительно плоскости ASB преобразует, очевидно,
искомую плоскость fSa в плоскость aSb, симметрия относительно
плоскости BSC — плоскость aSb в плоскость bSc,... и, наконец, сим-
метрия относительно плоскости FSA — плоскость eSf в плоскость/Sa.
Иначе говоря, шесть последовательных симметрий относительно пло-
скостей ASB, BSC,... и FSA преобразуют плоскость fSa в самое
себя. Но эти шесть симметрий равносильны одному вращению, ось D
и угол поюрота которого мы умеем найти (ср. решение упр. 613,
примечание 3°). Итак, результирующее вращение шести последова-
тельных симметрий относительно плоскостей ASB, BSC,... и FSA
преобразует искомую плоскость fSa в самое себя.
В общем случае, когда это результирующее вращение отлично от
транспозиции и от тождества (рассмотрением этого общего случая мы
и ограничимся), отсюда следует, что искомая плоскость fSa перпен-
дикулярна к оси D определённого выше вращения. После того как
построена плоскость fSa, не представляет труда построить и остальные
грани искомого многогранного угла Sabcdef и доказать, что построен-
ный многогранный угол будет обладать указанными выше свойствами.
Аналогично решается задача и в случае любого чётного числа
граней.
Переходим к случаю нечётного числа граней. Пусть грани данного
многогранного угла, для определённости — пятигранного угла SABCDE,
а именно плоскости ASB, BSC,... и ESA служат бнссектральными
плоскостями двугранных углов соответственно при рёбрах Sa, Sb, ...
и Se искомого многогранного угла Sabcde или двугранных углов,
с ними смежных.
Симметрия относительно плоскости ASB опять преобразует искомую
плоскость eSa в плоскость aSb и т. д. Таким образом, пять после-
довательных симметрий относительно плоскостей ASB, BSC, ... и
ESA преобразуют плоскость eSa в самое себя. Но эти пять последо-
вательных симметрий равносильны (в силу примечания к решению
упр. 620) некоторому вращению R около вполне определённой оси D,
проходящей через точку S, за которым следует симметрия относи-
тельно плоскости Р, перпендикулярной к оси D и также проходящей
через точку S. Итак, вращение R около оси D вместе со следующей
за ним симметрией относительно плоскости Р преобразует искомую
плоскость eSa в самое себя.
В общем случае, когда вращение R отлично от транспозиции и
от тождества (рассмотрением этого общего случая мы и ограничимся),
т. е. когда пять последовательных симметрий относительно данных
30
Элементарная геометрия, ч. II
466
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
плоскостей не равносильны одной симметрии относительно точки или
относительно плоскости, единственная плоскость, которая преобразуется
в себя в результате последовательного выполнения вращения R и
симметрии относительно плоскости Р, есть самая плоскость Р. Следо-
вательно, искомая плоскость eSa совпадает с плоскостью Р, которую
мы можем построить (как указано в решении упр. 620). После того,
как построена плоскость eSa, не представляет труда построить и ос-
тальные грани искомого многогранного угла Sabcde и доказать, что
построенный многогранный угол будет обладать указанными выше
свойствами.
Аналогично решается задача и в случае любого нечётного числа
граней.
Примечание. При решении поставленной задачи мы предполагали, а
не доказывали существование вписанного многогранного угла, у которого
сумма плоских углов имеет наименьшее возможное значение (ср. Пл., задача 366,
примечание к первому решению). Мы не будем останавливаться на дальней-
шем исследовании задачи в случае многогранного угла с произвольным чис-
лом граней, ббльшим трёх.
Рассмотрим теперь отдельно и более подробно случай трёхгранного
угла.
Пусть грани BSC, CSA и ASB данного трёхгранного угла SABC
служат биссектральными плоскостями двугранных углов соответственно
при рёбрах Sa, Sb и Sc искомого трёхгранного угла Sabc или дву-
гранных углов, с ними смежных.
Рассмотрим сначала общий случай, когда три последовательные
симметрии относительно плоскостей BSC, CSA и AS В не равносильны
одной симметрии относительно точки S или относительно плоскости,
проходящей через эту точку (последние два частных случая будут
разобраны ниже). В этом случае задача должна иметь только одно-
решение. Но трёхгранный угол Sabc, рёбрами Sa, Sb и Sc которого
служат проекции соответственно рёбер SA SB и SC на плоскости
противолежащих граней данного трёхгранного угла, удовлетворяет
условиям задачи (в силу упр. 492); следовательно, этот трёхгранный
угол и будет искомым (ср. аналогичный результат для треугольника;
Пл., решение задачи 362).
Если данный трёхграниый угол имеет три острых двугранных угла или
один острый и два тупых двугранных угла, то все три плоскости BSC, CSA
и ASB будут, как показывает более детальное рассмотрение вопроса, биссек-
тральными плоскостями двугранных углов, смежных с двугранными углами
искомого трёхгранного угла Sabc. Если данный трёхгранный угол имеет два
острых двугранных угла и один тупой или три -тупых двугранных угла, то
две из граней данного трёхгранного угла будут биссектральными плоскостями
самих двугранных углов искомого трёхгранного угла, а третья — биссек-
тральной плоскостью угла, смежного с его третьим двугранным углом. Если
данный трёхгранный угол имеет один или два прямых двугранных угла, то
три прямые Sa, Sb и Sc лежат в одной плоскости, и задача не имеет решений.
Наконец, случай трёхгранного угла с тремя прямыми двугранными углами мы
рассмотрим далее.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА 11
467
Предположим теперь, что три последовательные симметрии отно-
сительно плоскостей BSC, CSA и ASB равносильны одной симметрии
относительно некоторой плоскости Р (необходимо проходящей через
точку «S). В таком случае четыре последовательные симметрии относи-
тельно плоскостей BSC, CSA, ASB и Р дают тождество; но первые
две из них равносильны вращению около линии пересечения SC пло-
скостей BSC и CSX, а две последние — вращению около линии пе-
ресечения D плоскостей ASB и Р. Так как эти два вращения, вы-
полненные последовательно, дают тождество, то оси обоих вращений
должны совпадать. Но это может случиться только, если плоскость ASB
проходит через прямую SC, что противоречит предположению, что
плоскости BSC, CSA и AS В образуют трёхранный угол.
Остаётся рассмотреть последний случай, когда три последователь-
ные симметрии относительно плоскостей BSC, CSA и ASB равносильны
симметрии относительно точки S. В этом случае четыре последова-
тельные симметрии относительно плоскостей BSC, CSA, ASB и опять
ASB равносильны симметрии относительно точки <$, за которой сле-
дует симметрия относительно плоскости ASB, т. е. равносильны транс-
позиции относительно прямой, проходящей через точку 5 и перпен-
дикулярной к плоскости ASB. С другой стороны, те же четыре
симметрии равносильны, очевидно, двум последовательным симметриям
относительно плоскостей BSC и С5'Д. Таким образом, две послелова-
тельные симметрии относительно плоскостей BSC и CS/1 равносильны
транспозиции относительно оси, проходящей через точку 5’ и перпен-
дикулярной к плоскости ASB. Это показывает, что плоскости BSC и
Сб'Д перпендикулярны между собой и в то же время перпендикуляр-
ны к плоскости ASB. Итак, если три последовательные симметрии
относительно граней BSC, CSA и ASB трёхгранного угла SABC ра-
вносильны симметрии относительно точки S, то этот трёхгранный
угол имеет три прямых двугранных угла; обратное предложение оче-
видно.
Таким образом, в том случае, когда дан трёхгранный угол с тремя
прямыми двугранными углами, общий метод решения поставленной
задачи, указанный выше для общего случая нечётного числа граней,
оказывается неприменимым, так как любая плоскость, проходящая че-
рез вершину, преобразуется в себя с помощью трёх последовательных
симметрий относительно плоскостей граней; в то же время в этом
случае теряет смысл понятие проекции ребра на плоскость противоле-
жащей грани, которым мы пользовались выше в случае произвольного
трёхгранного угла.
Докажем теперь непосредственно для случая трёхгранного угла
с тремя прямыми углами следующие предложения: в трёхгранный
угол с тремя прямыми двугранными углами можно вписать бесчи-
сленное множество трёхгранных углов, у каждого из которых
плоскости BSC, CSA и ASB служат биссектральными плоскостями
углов, смежных с его двугранными углами; сумма плоских углов
30*
468
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
любого из этих вписанных трёхгранных углов равна 180°; сумма
плоских углов любого другого трёхгранного угла, вписанного в дан-
ный, больше 180°.
В самом деле, пусть все три двугранных угла трёхгранного угла
SABC (черт. 400) прямые. Рассмотрим какую-либо плоскость, прохо-
дящую через точку S’ и пересекающую грани CSX и BSC (для опре-
делённости— самые грани, а не их продолжения) соответственно по
лучам Sb и Sc. Обозначим через а'а!'
Черт. 4ои.
одной пли двух из этих
линию пересечения выбранной пло-
скости bSc с плоскостью BSC и через
Sa — прямую, симметричную с а'а"
относительно прямой SB, а следо-
вательно, и относительно прямой SC;
обозначения можно выбрать так,
чтобы луч Sa лежал в самой гра-
ни BSC. При этом трёхгранный угол
Sabc, вписанный в SABC (в соб-
ственном смысле слова), будет иметь
(как это легко вытекает из соображе-
ний симметрии) плоскости BSC, CSA
и ASB биссектральными плоскостями
углов, смежных с его двугранными
углами. Б то же время сумма плоских
углов трёхгранного угла Sabc будет
равна / aSb -РГ/ bSc -|- / cSa —
—X_a'Sb + Z^ + Z (Sa" = 180°-
Если бы выбранная плоскость пе-
ресекала не самые грани CSX и BSC
трёхгранного угла, а продолжения
граней, то мы получили бы трёхгранный
угол, „вписанный" в данный в том более широком смысле, о котором
говорилось в начале решения, и обладающий теми же самыми свой-
ствами.
Пусть теперь Sa()bQc0— какой-либо трёхгранный угол, вписанный
в данный. Оставляя на месте лучи Sb0 и .Sc0, заменим луч Sa0 дру
гим лучом Sa*, который получается при данных лучах Sb0 и Sc0
только что описанным построением. Трёхгранный угол Sa*boco будет
обладать перечисленными выше свойствами, и потому / a*S^fl
-- / b^Sc^A- / сп$д* = 180°. Так как в то же время / cQSan-~
- “ Z до^о Z coSa* 4- Z a*Sb0 (ср. решение задачи 516), то
сумма плоских углов трёхгранного угла Saobo”o, отличного от Sa*b0c0,
будет больше 180°. Все сформулированные выше свойства трёх-
гранного угла SABC с тремя прямыми двугранными углами дока-
заны.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА III
469
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III (стр. 128).
622. Пусть А — некоторая точка первой фигуры, А' — соответст-
вующая ей точка второй фигуры, В—какая-либо другая точка пер-
вой фигуры, не лежащая на прямой А А', и В' — точка, ей соответ-
ствующая. Так как прямая АВ, по условию, параллельна А'В', то п
точка В' не лежит на прямой АА'. Прямые А А и ВВ' лежат в одной пло-
скости и потому будут либо пересекаться, либо параллельны между собой.
Пусть прямые АА и ВВ’ пересекаются в некоторой точке О. Рас-
смотрим теперь произвольную точку С первой фигуры, не лежащую
в плоскости АВА’В’, и точку С, ей соответствующую (также не ле-
жащую в этой плоскости в силу параллельности прямых АС и А'С).
Точки А, С, А' и С лежат в одной плоскости в силу параллельно-
сти прямых АС и А'С', и тем же свойством обладают точки В, С,
В' и С. Плоскости АСА'С и ВСВ'С обе проходят через точку пе-
ресечения О прямых АА' и ВВ', а потому и линия их пересечения СС
проходит через ту же точку. Наконец, мы имеем ОС: ОС — О А: О А'
в силу параллельности прямых АС и А'С. Таким образом, всякая
точка С второй фигуры, не лежащая в плоскости АВА’В', получается
из соответствующей точки С пергой фигуры с помощью гомотетии,
которая имеет точку О своим центром подобия и преобразует точку
А в А'. Для точек С и С обеих фигур, лежащих в плоскости АВА'В',
тот же результат получается из параллельности двух пар прямых АС
и А’С, ВС и В'С.
Предположим теперь, что прямые АА' и ВВ’ параллельны. В та-
ком случае рассуждения, вполне аналогичные приведённым выше,
приводят к заключению, что отрезки АА', ВВ' и СС равны, парал-
лельны и направлены в одну и ту же сторону. При этом вторая фи-
гура получается из первой с помощью поступательного перемещения,
которое можно рассматривать как предельный случай гомотетии (ср.
и. 451).
623. Рассмотрим некоторые три точки А, В и С первой данной
фигуры F, не лежащие на одной прямой, и соответствующие им
точки А', В' и С ьторой данной фигуры (также не лежащие на од-
ной прямой в силу равенства углов ВАС и В'А'С). Треугольники
АВС и А'В'С' будут подобны в силу равенства соответственных
углов. В силу подобия этих треугольников, существует фигура F",
подобная первой данной фигуре F, и притом такая, что точки А", В"
и С, соответствующие точкам А, В и С, совпадают соответственно
с точками А', В' и С'.
Чтобы получить такую фигуру F", рассмотрим предварительно фигуру Fo,
прямо-гомотетичную фигуре F относительно некоторой точки, выбрав коэф-
фициент подобия так, чтобы треугольнику АВС фигуры /•’ соответствовал
в фигуре Fo треугольник Д,В0С0, равный А'В’С. Далее рассмотрим фигуру,
равную фигуре Fo, в которой точкам Bq и Cq фигуры Fo соответствуют
точки А’, В' и С (ср. п. 432); эта последняя фигура и будет искомой фигу-
рой F".
470
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Рассмотрим далее полупрямую АХ фигуры F, выходящую из
точки А и перпендикулярную к плоскости АВС. Соответствующая
полупрямая А'Х' фигуры F’ будет перпендикулярна к плоскости А'В'С,
так как В'А'Х' = / ВАХ — 90° и / С А'X' = / СА¥ = 90°.
Почупрямая А'X" фигуры F", соответствующая той же полупрямой АХ,
будет также перпендикулярна к плоскости А'В'С. Следовательно,
полупрямые А'Х' и А'Х" будут либо совпадать, либо составлять про-
должения одна другой.
Предположим сначала, что полупрямые А'Х' и А'Х" совпадают.
В таком случае рассмотрим какую-либо точку D фигуры F, не ле-
жащую в плоскости АВС, и соответствующие ей точки D' и D" фн-
фур F’ и С. Трёхгранный угол ABCD фигуры F будет равен или
симметричен трёхгранному углу A'B'C'D' фигуры F' (по равенству
трёх плоских углов), а также и трёхгранному углу А'В'СD" фигуры F".
Следовательно, и трёхгранные углы A'B'C'D и A!B'CD' будут либо
равны, либо симметричны. Чтобы решить, который из двух случаев
имеет место, рассмотрим угол XAD фигуры F и соответствующие
углы X'A'D' и X'A'D" фигур F' и F". Угол XAD равен как углу
X'A'D', так и углу X'A'D", и, следовательно, углы XA'D' и X'A'D"
равны между собой. Поэтому полупрямые A'D' и A'D" должны ле-
жать по одну сторону от плоскости А'В'С (ср. п. 395, лемма). Сле-
довательно, трёхгранные углы A'B'C'D' и A'B'C'D" не могут быть
симметричными между собой и должны быть равными. Поэтому
полупрямые A'D' и A'D' совпадают, а в силу равенства плоских
углов A'B'D и A'B'D" (которые оба разны углу ABD) совпадают
и точки D' и D'. Таким образом, каждая точка фигуры F', не лежа-
щая в плоскости А'В'С, совпадает с соответствующей ей точкой
фигуры F" Легко видеть, что то же имеет место и для точек, лежащих
в плоскости А'В'С'. Итак, если полупрямые А'X и А'Х" совпадают, то
фигура F' совпадает с F". Так как фигура F подобна F", то фигура F
подобна F'.
Предположим теперь, что полупрямые А'Х и А'Х" лежат по раз-
ные стороны от плоскости А'В'С и составляют продолжения одна
другой. В этом случае полупрямые A'D и A'D" лежат уже по разные
стороны от плоскости А'НС (в силу равенства углов X'A'D' и
X"A'D"). Трёхгранные углы A'B'C'D' и A'B'C'D' будут не равны,
а симметричны; полупрямые A'D' и AtD', а следовательно, и точки D и D'
будут симметричны относительно плоскости А'В'С. В этом случае
фигура F будет подобна фигуре F", симметричной с F относительно
плоскости А'В'С.
624. Пусть фигура F подобна (но не равна) фигуре F'. Построим
фигуру Fo, прямо-гомотетичную фигуре F' относительно произволь-
ного центра подобия О и в то же время равную фигуре F. Для
этого достаточно принять за коэффициент подобия фигуры Fo отно-
сительно F' отношение какого-либо отрезка фигуры F к соответству-
ющему отрезку фигуры F'.
КНИГА СЕДЬМАЯ. ГЛАВА III
471
Если фигура Fq получается из равной ей фигуры F с помощью
поступательного перемещения, то каждый отрезок фигуры F парал-
лелен соответствующему отрезку фигуры Fo, а следовательно, и фи-
гуры F', и потому фигуры F и F' будут гомотетическнми (упр. 622).
Так как для двух гомотетических фигур доказываемое предложение,
очевидно, справедливо (соответствующее вращение обращается в тож-
дество), то достаточно рассмотреть тот случай, когда фигура Fo по-
лучается из F с помощью винтового перемещения, отличного от по-
ступательного перемещения (в частности, с помощью вращения).
Так как фигура Fo получается из F с помощью винтового пере-
мещения около некоторой оси s0, а фигура F' — из Fo с помощью
прямой, гомотетии, то всякой прямой фигуры F, па ^аллельной $0,
соответствует в фигуре F' прямая, ей параллельная. Более того, вся-
кому отрезку, принадлежащему к фигуре F и параллельному s0, бу-
дет соответствовать в фигуре F' параллельный ему отрезок, направ-
ленный в ту же сторону (а не в противоположную). Нашей ближай-
шей задачей будет найти среди прямых, параллельных s0, прямую р,
обладающую следующим свойством: если эту прямую отнести к фигуре
F, то соответствующей ей прямой фигуры F' будет та же прямая р.
Такую прямую естественно назвать дзойной прямой фигур F и F'.
Чтобы установить существование такой двойной прямой, рассмот-
рим какую-либо плоскость а, перпендикулярную к прямой s0. Пусть
S— произвольная точка плоскости а. Через точку 5 проходит прямая
а, параллельная s0. Если отнести прямую s к фигуре F, то в фигуре
F' ей будет соответстгозать некоторая прямая s', ей параллельная.
Обозначим через 5' точку пересечения прямой s' с плоскостью а. Если
каждой точке 5 плоскости а поставить, таким образом, в соответствие
точку 5' той же плоскости, то мы получим подобие: фигура, образо-
ванная точками S, S,,... плоскости а, будет подобна фигуре, обра-
зованной соответствующими им точками S', Sj,... той же плоскости
(подчеркнём, что точке S как точке фигуры F не будет, вообще го-
воря, соответствовать в фигуре F' точка S'). В самом деле, отношение
расстояний между какими-либо двумя точками S и S, к расстоянию
между соответствующими им точками S' и S' будет, очевидно, равно
коэффициенту подобия фигуры F относительно F', так как расстояние
SSj равно расстоянию между прямыми s и фигуры F, а расстоя-
ние S,S'— расстоянию между соответствующими им прямыми s' и s'r
фигуры F'.
Отсюда следует, в силу п. 150 или в силу упражнения 161 гео-
метрии на плоскости •), что в плоскости а найдётся двойная точка
фигур SSj... и S'S'..., т. е. такая точка Ро, которой в описанном
>) Можно было бы доказать, что подобные фигуры SS|... и S'Sj... всегда
имеют в плоскости а одинаковое направление вращения, так что в действи-
тельности всегда достаточно применить Пл., п. 150.
472
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
р И N М' N'
Черт. 401.
выше соответствии между точками S и 5' будет соответствовать та
же самая точка Ро. Прямой р, проходящей через точку Рй и перпен-
дикулярной к а как прямой фигуры F, будет соответствовать, очевидно,
в фигуре F' та же самая прямая р. Прямая р и будет двойной пря-
мой фигур F и F'.
Найдём далее на прямой р точку Р, обладающую следующим
свойством: если отнести точку Р к фигуре F, то ей будет соответ-
ствовать в фигуре F' та же самая точка Р. Такую точку естественно
назвать двойной точкой фигур F и F'.
Чтобы установить существование такой двойной точки, рассмотрим
какие-либо две точки М и N прямой р как точки фигуры F и обоз-
начим через М’ и N' соответствующие им точки фигуры F', также
лежащие на прямой р. При этом отрезок MN, принадлежащий фи-
гуре F и параллельный прямой s0, будет направлен в ту же сторону,
что и отрезок M’N’, как это было отмечено (черт. 401). Разделим
отрезок ММ' точкой Р внешним
образом в отношении MN’.M'N'-,
будем иметь по величине и знаку
РМ:РМ' MNzM’N' = PN:PN'
или PMtPN= РМ' -.PN'. Точке Р
фигуры F, делящей отрезок MN в отношении PM-.PN внеш-
ним образом, будет соответствовать в фигуре F' точка, делящая отре-
зок М'N' в том же самом отношении по величине и знаку, т. е. (в силу
последнего равенства) та же самая точка Р. Итак, точка Р и будет
двойной точкой фигур F и F'.
Построим теперь опять фигуру F*, прямо-гомотетическую фигуре
F' и в то же время равную фигуре F, принимая на этот раз за
центр подобия уже не произвольную точку О, как выше, а двойную
точку Р фигур F и F'. При этом точка Р и прямая р фигуры F бу-
дут совпадать с соответствующими им точкой и прямой фигуры F',
а следовательно, и фигуры F*; более того, произвольно выбранное
направление на прямой р как прямой фигуры F совпадает, в силу
сказанного выше, с соответствующим ему направлением на той же
прямой в фигуре F', а следовательно, и в фигуре F*. Так как фи-
гура F равна F*, то всякая точка прямой р как точка фигуры F
совпадает при этом с соответствующей ей точкой фигуры F*. Отсюда
следует (и. 433), что фигура F* получается из F с помощью вра-
щения около прямой р.
Итак, фигуру F ложно совместить с подобной ей фигурой F"
с помощью вращения около оси р (совмещающего её с F*}, сопро-
вождаемого прямой гомотетией относительно тонки Р, лежащей
на оси р.
До сих пор мы предполагали, что фигура F подобна F'. Предпо-
ложим теперь, что фигура F подобна фигуре, симметричной с F', а
следовательно, подобна и фигуре Fo, обратно гомотетической F' от-
носительно произвольного центра подобия О. Коэффициент подобия
КНИГА СЕДЬМАЯ- ГЛАВА III
473
фигуры Fo относительно F' можно выбрать так, чтобы фигура F была
не только подобна фигуре Fo, а и равна ей.
Повторяя далее почти дословно те же рассуждения, что и выше,
мы придём к следующему результату
Две фигуры, из которых одна подобна фигуре, симметричной
другой, можно совместить с помощью одного вращения, сопровож-
даемого обратной, гомотетией относительно точки, лежащей на
оси вращения.
625. Предположим, что какие-либо две фигуры, гомотетичны между
собой тремя различными способами. Иначе говоря, предположим, что
существует три различные гомотетии, преобразующие первую фигуру
во вторую. Пусть АВ — какой-либо отрезок, принадлежащий первой
фигуре; А'В', А"В" и Д''В"’ — отрезки, принадлежащие второй фи-
гуре и соответствующие отрезку АВ в этих трёх гомотетиях. Среди
трёх отрезков А'В', А"В" и А'"В", параллельных отрезку АВ, най-
дутся два отрезка, направленные в одну и ту же сторону; пусть это
будут отрезки А'В' и А'В".
Отрезки А'В' и А'В" могут быть как равными, так и неравными.
Предположим сначала, что эти два отрезка не равны между собой, и
даже для определённости, что отрезок А'В' меньше А'В''. При этом
гомотетия, преобразующая отрезок А'В' в отрезок А'В', преобразует
вторую фигуру в самоё себя. Действительно, гомотетия, преобразую-
щая отрезок А'В' в АВ, преобразует вторую фигуру в г ервую, а го-
мотетия, преобразующая отрезок АВ в А'В', преобразует обратно
первую фигуру во вторую; но эти две гомотетии, выполненные по-
следовательно, равносильны одной гомотетии, преобразующей отрезок
А'В' в отрезок А'В" (в силу п. 451).
Итак, вторая фигура должна преобразоваться сама в себя с по-
мощью гомотетии, преобразующей отрезок А’В' в А'В". Но для ог
раниченнэй со всех сторон фигуры это невозможно, так как, приме-
няя эту гомотетию достаточное число раз последовательно, мы могли
бы получить из некоторого отрезка, принадлежащего этой фигуре,
ряд неограниченно возрастающих (в силу А'В' А:В') отрезков, при-
надлежащих той же фигуре.
Если бы отрезки А'В' и А'В' оказались равными между собой,
то вместо гомотетии, преобразующей отрезок АВ в А'В", мы полу-
чили бы поступательное пере.мещение, обладающее тем же свойством.
Существовало бы поступательное перемещение, которое преобразует
вторую даннуто фигуру в самоё себя. Но для ограниченной со всех
сторон фигуры это также невозможно (ср. решение упр. 615).
Таким образом, мы доказали, что две ограниченные со всех сторон
фигуры не могут быть гомотетичными между собой более чем двумя
способами.
626. Пусть точки, соответствующие в некоторой гомотетии трём
данным точкам А, В и С, лежат соответственно в трёх данных пло-
скостях P',Q’ и R'-
474
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Проведём через точки А, В и С плоскости Р, Q и R, параллель-
ные соответственно плоскостям Р', Q' и R'. Если точкам А, В и С
соответствуют точки, лежащие в плоскостях Р',Q' и R', то плоско-
стям Р, Q и R соответствуют плоскости Р', Q' и R', и обратно. Та-
ким образом, вопрос сводится к отысканию геометрического места
центров подобия тех гомотетий, которые преобразуют три данные
плоскости Р, Q и R в три данные плоскости Р',Q' и R', причём
плоскость Р параллельна плоскости Р', плоскость Q — плоскости Q'
и плоскость R — плоскости R'.
Если три данные плоскости Р', Q' и R' пересекаются в одной
точке 5, то и три плоскости Р, Q и R, параллельные трём данным,
также пересекаются в одной точке S. Точке S должна соответство-
вать в любой из рассматриваемых гомотетий точка S'. Искомым гео.
метрическим местом центров подобия будет поэтому, очевидно, пря-
мая SS' (за исключением точек S и S'), так как любую точку этой
прямой, отличную от S и от S', можно принять за центр подобия;
соответствующий коэффициент подобия надо выбрать так, чтобы точке
S соответствовала точка S'.
Если три данные плоскости P’,Q' и R' пересекаются попарно по
трём параллельным прямым или проходят все три через одну прямую,
то для плоскостей Р, Q и R возможно как то, так и другое из этих
двух обстоятельств. Если плоскости Р', Q’ и R' пересекаются по
трём параллельным прямым, а плоскости Р, Q и R проходят все три
через одну прямую или наоборот, то задача не имеет решений, так
как во всякой гомотетии плоскостям, проходящим через одну прямую,
соответствуют также плоскости, проходящие через отну прямую.
Рассмотрим теперь случай, когда данные плоскости Р'. Q' и R'
пересекаются попарно по трём параллельным прямым р', q' и г' (р' есть
линия пересечения плоскостей Q' и R', q'—плоскостей R' и Р', г' —
плоскостей Р' и Q'), а плоскости Р, Q, R — по трём прямым р, q и г.
Так как всякая искомая гомотетия преобразует прямую р в р', а
прямую q в q', то геометрическим местом центров подобия может
быть только линия пересечения плоскости, проходящей через прямые
р и р', с плоскостью, проходящей через прямые q и q' (если эти
две плоскости параллельны, то задача не имеет решений). Легко ви-
деть, что всякая точка этой линии пересечения действительно служит
одним из рассматриваемых центров подобия.
Не будем останавливаться на разборе других возможных частных
случаев.
627. Пусть прямая, соответствующая данной прямой D в одной
из рассматриваемых гомотетий, пересекает вторую данную прямую D'
в некоторой точке А'. Обозначим через А ту точку прямой D, кото-
рой в этой гомотетии соответствует точка А'. В таком случае соот-
ветствующий центр подобия S лежит на прямой АА' и делит отре-
зок А'А в отношении , ...
SA=k’ (1)
КНИГА седьмая. ГЛАВА III
475
где k — данный коэффициент подобия (заданный по величине и знаку)
Обратно, если А — некоторая точка прямой D, А' — некоторая
точка прямой D' и S — точка прямой А А', удовлетворяющая условию
(1), то гомотетия с центром подобия и коэффициентом подобия k
преобразует точку А в точку А' и, следовательно, прямую D в неко-
торую прямую, проходящую через точку А' и пересекающую в этой
точке прямую D' (если прямые D и D' не параллельны).
Если прямые D и D' не лежат в одной плоскости, то задача
непосредственно сводится таким образом к рассмотренной в упражне-
нии 433, и геометрическое место точек 5 есть плоскость, параллель-
ная прямым D и D'.
Если прямые D и D' пересекаются, то геометрическое место то-
чек 5 есть плоскость, в которой лежат эти прямые (за исключением
точек самих прямых). Действительно, через любую точку этой послед-
ней плоскости можно провести прямую так, чтобы отрезок её, заклю-
чённый между прямыми D и D', делился в этой точке в данном от-
ношении (ср. Пл., решение упр. 165).
Наконец, если прямые D и D’ параллельны, то задача теряет
смысл, так как прямая, соответствующая данной прямой D в некото-
рой гомотетии, или параллельна D' или с ней совпадает.
628. Пусть требуется найти геометрическое место прямых, про-
ходящих через точку О и обладающих тем свойством, что отрезки
атих прямых, заключённые между двумя данными плоскостями Р и Q,
делятся в точке О в данном отношении (по величине и знаку).
Пусть АА' — какой-либо один из таких отрезков, причём точка А
лежит в плоскости Р, точка А’ — в плоскости Q' и
ОА
О А’ ~
где k — данное отношение. При этом точка А' может быть получена
из точки А с помощью определённой гомотетии, центром подобия
которой служит данная точка О, а коэффициент подобия равен
ОА' । т- . г, л>
. 1ак как точка А лежит в плоскости Р, то точка А дол-
ОА . k
жна лежать в той плоскости Р', которая соответствует плоскости Р
в этой гомотетии.
Кроме того, точка А' лежит в данной плоскости Q, и, следова-
тельно, она лежит на линии пересечения плоскостей Р' и Q. Обратно,
любая точка этой линии пересечения служит, как это следует из ска-
занного, концом одного из искомых отрезков. Поэтому искомое гео-
метрическое место есть в общем случае плоскость, проходящая через
точку О и через линию пересечения плоскостей Р' и Q. Прямых,
проходящих через точку О и обладающих требуемым свойством, не
существует вовсе, если плоскости Р' и Q (а следовательно, и пло-
скости Р и Q) параллельны; все прямые, проходящие через точку О,
обладают этим свойством, если плоскости Р' и Q совпадают (а сле-
довательно, плоскости Р и Q параллельны).
476
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Пусть теперь даны три плоскости Р, Q и R, проходящие через
одну прямую, и точка О, и требуется найти геометрическое место
прямых, проходящих через точку О и обладающих тем свойством, что
отношение АВ: АС, где Д, В и С — точки пересечения рассматривае-
мой прямой соответственно с плоскостями Р, Q и R, имеет заданное
(по величине и знаку) значение.
Для решения этсй задачи заметим, что три данные плоскости,
проходящие через одну прямую, отсекают на любых двух парал-
лельных секущих пропорциональные отрезки. Действительно, пусть
одна из двух параллельных секущих пересекает плоскости Р, Q и R
соответственно в точках А, В и С, а вторая — в точках А', В' и С;
в плоскости, проходящей через эти две прямые, мы будем иметь три
прямые, проходящие через одну точку или, в частности, параллель-
ные между собой (линии её пересечения с тремя данными плоскостями),
пересечённые двумя данными параллельными секущими, откуда (Пл.,
п. 121) АВ:АС=А'В':А'С'.
Отсюда следует, что прямые, параллельные искомым прямым и
проходящие через какую-либэ данную точку А плоскости Р, обладают
тем свойством, что отрезки этих прямых, заключённые между плоско-
стями Q и R, делятся в данной точке в данном отношении. Так как
эти последние прямые образуют, вообще говоря, как было доказано
в первой части настоящего решения, плоскость, то и параллельные
им прямые, проходящие через точку О и обладающие требуемым
свойством, также в общем случае образуют плоскость. Итак, искомое
геометрическое место есть, вообще говоря, плоскость.
629. Пусть даны многогранники Р и Q’ и требуется найти такой
многогранник Q, подобный Q’, чтобы имело место равенство:
об. Р : об. Q— пов. Р : пов. Q. (1)
Обозначим через k неизвестное отношение какого-либо ребра искомого
многогранника Q к соответствующему ребру многогранника Q'. При
этом будем иметь: об. Q=ks-o6 Q'; поз. Q = k2-пов. Q'. Подстав-
ляя эти выражения в равенство (1), найдём:
об. Р пов. Q
об. Q' " пов. Q'
Этим значением k искомый многогранник Q, подобный Q', вполне
определяется.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ (стр. 128).
630. 1) Пусть ребро АВ тетраэдра ABCD равно ребру А'В’ тет-
раэдра A'B'C'D', двугранный угол при ребре АВ первого тетраэдра
равен двугранному углу при ребре А'В' второго и грани АВС и ABD
первого тетраэдра соответственно равны граням А'В'С и A'B'D' вто-
рого. Выберем обозначения так, чтобы ребро АС грани АВС первого
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
477
тетраэдра было равно ребру А'С (а не В'С) грани А'В'С второго.
Так как равные элементы обоих тетраэдров располагаются по условию
в одном и том же порядке, то ребро AD первого тетраэдра, выходя-
щее из общего конца рёбер АВ и АС, равно ребру второго, выхо-
дящему из общего конца соответствующих им рёбер А'В' и А'С,
т. е. ребру A'D' (а не B’D'). Итак, мы имеем, кроме равенства
ДВ=А'В' и равенства двугранных углов при рёбрах АВ и А'В
ещё равенства АС = А'С и AD= A'D', а следовательно, и равен-
ства ВС=В'С и BD = B'D'.
Построим точку D", симметричную точке D' относительно плоско-
сти А'В'С', будем иметь A'D" = A'D' — AD и В'D" = В'С = BD,
откуда (в силу равенства АВ - А 'В') /_D" А'В' = / D' А'В' = / РАВ.
Переместим теперь тетраэдр ABCD так, чтобы его грань АВС сов-
пала с А'В'С и её стороны АВ, АС и ВС совпали соответственно
со сторонами А'В', А'С и В'С ’). В силу равенства двугранных углов
/_C.AB~D, ^/_C-A'B'-D' и /_С -A'B'-D" при рёбрах АВ и А'В'
(ср. п. 445, следствие III), полуплоскость, выходящая из прямой АВ
и проходящая через точку D, совместится с одной из двух полупло-
скостей, выходящих из прямой А'В' и проходящих—одна через точку
D', другая через точку D”. При этом луч AD совместится соответ
ственно С лучом A’D' пли A'D" (в силу равенства углов BAD, В'A'D'
и В'A'D'), и точка D—с точкой D’ или D" (в силу равенства отрез-
ков AD, A'D' и A'D"). Таким образом, тетраэдр ABCD совмещается
либо с данным тетраэдэом A'B'C'D', либо с тетраэдром A'B'C'D"
который симметричен последнему.
В первом случае тетраэдры ABCD и А'В'CD' равны, во втором —
симметричны.
2) Пусть трёхгранный угол при вершине А тетраэдра ABCD ра-
вен пли симметричен трёхгранному углу при вершине А' тетраэдра
Д'B'CD', и рёбра АВ, АС и AD первого тетраэдра соответственно
равны рёбрам А'В’, А'С' и A'D' второго. Так как равные элементы
обоих тетраэдров располагаются, по условию, в одном и том же по-
рядке, то плоские углы ВАС и BAD и двугранный угол при ребре
АВ будут соответственно равны плоским углам В'А'С и В'A'D и
двугранному углу при ребре А'В'.
Грани АВС и А'В'С обоих тетраэдров будут при этом равны
(так как АВ=^А'В\ АС = А'С‘, /_ВАС = ^/_В'А'С), и то же будет
иметь место для граней ABD и А'В'D. Таким образом, данные тет-
раэдры имеют по равному ребру АВ и А'В и по равному двугран-
ному углу при этих рёбрах, заключённому между соответственно рав-
ными гранями, а потому будут равны или симметричны по первому
признаку, рассмотренному выше.
1) Последняя оговорка необходима, так как если треугольник АВС — рав-
нобедренный, то совмещение грани АВС с гранью А'В'С возможно ещё и
другим способом.
478
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
3) Пусть грань АВС тетраэдра ABCD равна грани А'В'С тет-
раэдра A'B'C'D', и двугранные углы первого тетраэдра, прилежащие
к этой грани, соответственно равны двугранным углам, прилежащим
к грани А'В'С второго. Выберем обозначения так, что ВС —В'С,
СА — С'А' и АВ=А'В'. Так как равные элементы обоих тетраэдров
располагаются, по условию, в одном и том же порядке, то двугран-
ные углы при рёбрах ВС, СА и АВ первого тетраэдра будут соответ-
ственно равны двугранным углам при рёбрах В'С, С А’ и А'В' второго.
При этом два трёхгранных угла при вершинах А и А' обоих тет-
раэдров будут равны или симметричны (так как / ВАС — / В'А'С
и двугранные углы при рёбрах АВ и АС соответственно равны дву-
гранным углам при рёбрах А'В' и А’С; ср. п. 397, первый признак)
и потому плоские углы BAD и В' A'D’ будут равны. Аналогично,
трёхгранные углы при вершинах В и В' обоих тетраэдров будут равны
или симметричны, и плоские углы ABD и A’B'D’ будут равны. Таким
образом, будут равны и грани ABD и A'B'D' обоих тетраэдров
(АВ — А'В'; / BAD=^/. В' A'D'; / ABD— / A'B'D'}. Следователь-
но, данные тетраэдры будут опять равны или симметричны по первому
признаку, рассмотренному выше.
4) Пусть ребро АВ тетраэдра ABCD равно ребру А'С тетраэдра
А'В'СD' и трёхгранные углы при вершинах А и В первого тетраэдра
оба равны или оба симметричны соответственно трёхгранным углам
при вершинах А' и В' второго. Так как равные элементы обоих
тетраэдров располагаются, по условию, в одном и том же порядке,
то общий двугранный угол при ребре АВ двугранных углов при вер-
шинах А и В будет равен двугранному углу при ребре А'В'. Выбе-
рем далее обозначения так, что плоский угол ВАС трёхгранного
угла при вершине А будет равен плоскому углу В' А’С (а не плоскому
углу В'A'D'}; при этом и плоские углы BAD и CAD будут равны
соответственно углам В'A’D' и С A'D'. Аналогично, плоские углы
ABC, ABD и CBD будут равны соответственно углам А'В'С, A'B'D'
и CB'D'. Следовательно, будут равны грани АВС и А'В'С (так как
АВ — А'С; / ВАС— /В' АС; ^/_АВС= / А’В'С), а также и грани
ABD и A'B'D'. Оба тетраэдра будут опять равны или симметричны
по первому признаку, рассмотренному выше.
5) Пусть обозначения выбраны так, что в двух тетраэдрах ABCD
и A'B'C'D' имеют место равенства АВ— А'В'; АС— А'С; AD— A'D’;
ВС=В'С; BD= В'D' и CD=CD'; такой выбор обозначений воз-
можен, так как равные элементы обоих тетраэдров располагаются, по
условию, в одном и том же порядке (и потому трём рёбрам первого
тетраэдра, лежащим в одной грани, соответствуют во втором равные
им рёбра, также лежащие в одной грани, а трём рёбрам первого,
выходящим из одной вершины,— три ребра, также выходящие из од-
ной вершины).
Соответственные грани обоих тетраэдров будут равны (по равен-
ству трёх сторон), а следовательно, будут равны и соответственные
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
479
плоские углы. Далее, трёхгранные углы при вершинах А и А' будут
равны или симметричны (по равенству трёх плоских углов), и потому
будут равны двугранные углы при рёбрах АВ и А'В'. Таким обра-
зом, данные тетраэдры будут равны или симметричны по первому
признаку, рассмотренному выше.
631. Признакам равенства трёхгранных углов, рассмотренным
в упражнении 630, соответствуют следующие признаки подобия.
Два тетраэдра подобны или один из них подобен тетраэдру,
симметричному) с другим:
1) если они имеют по равному двугранному углу, заключён-
ному между соответственно подобными гранями;
2) если они имеют по равному или симметри чному трёхгранному
углу, образованному соответственно пропорциональными рёбрами,
3) если одна из граней первого тетраэдра подобна одной из гра-
ней второго и прилежащие к этим граням двугранные углы соот-
ветственно равны;
4) если два трёхгранных угла одного тетраэдра соответст-
венно равны или соответственно симметричны двум трёхгранным
углам второго;
5) если рёбра одного из тетраэдров пропорциональны рёбрам
второго.
При этом каждый раз предполагается, что соответственные
элементы располагаются в обоих тетраэдрах в одном и том же
порядке.
Обратимся к доказательству первого из этих признаков. Пусть
двугранный угол при ребре АВ тетраэдра ABCD равен двугранному
углу при ребре А'В тетраэдра A'B'C'D' и грани первого тетраэдра,
образующие этот двугранный угол, соответственно подобны граням
второго, образующим соответствующий двугранный угол. Выберем
обозначения так, чтобы грань АВС была подобна грани А'В'С (а не
грани A'B'D'}, а грань ABD—грани A'B’D', и чтобы рёбрам АС,
ВС, AD и BD соответствовали в этих подобиях рёбра А'С, В'С,
A'D' и B'D'. Предположим ещё для определённости, что АВ
больше А'В'.
Отложим от вершины А на ребре АВ отрезок АВ0, равный А'В',
проведём через точку Во две прямые, параллельные соответственно
прямым ВС и BD, и обозначим через Со и Do точки пересечения
этих прямых с рёбрами АС и AD. При этом грани Д50С0 и AB0D0
тетраэдра AB0C0D0 будут соответственно равны граням А'В'С и
A'B'D' тетраэдра A'B'C'D'. Тетраэдр ЛВ0С0О0 будет прямо гомоте-
тичен тетраэдру ABCD и в то же время равен или симметричен тет-
раэдру A'B'C'D' на основании первого из признаков, рассмотренных
в упражнении 630. Таким образом, тетраэдр ABCD или подобен тет-
раэдру A'B'C’D' (по определению подобных фигур, данному в п. 453),
или подобен тетраэдру ABQCbDG, симметричному с A'B'C'D' (так как
юмотетия есть частный случай подобия).
480
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Остальные четыре признака подобия 2) — 5), сформулированные
выше, выводятся таким же путём из соответствующих признаков ра-
венства или симметрии, рассмотренных в упражнении 630.
632. Выполним над точкой В вращение около оси D, выбрав угол
поворота так, чтобы преобразованная точка лежала в плоскости, про-
ходящей через точку А и прямую D. Это можно сделать двумя спо-
собами, причём одна из преобразованных точек, которую мы обозна-
чим через В', будет лежать с точкой А по разные стороны от пря-
мой D, а вторая, которую мы обозначим через В",— по одну сто-
рону.
Так как для любой точки М прямой D мы имеем МВ = МВ', то
для всякой такой точки М имеет место равенство ДЛ1/ИД =
— AM-j-MB’, и сумма AM 'у МВ будет иметь наименьшее значение,
если точка М прямой D лежит на прямой АВ' (ср. Пл., решение
упр. 13).
Далее, так как для любой точки N прямой D мы имеем NB = NB',-
то для всякой такой точки имеет место равенство NA — NB = NA —
— NB", и разность NA — NB будет иметь наибольшее значение (по аб-
солютной величине), если точка N прямой D лежит на прямой АВ"
(ср. Пл., решение упр. 15).
633. Пусть на прямой D требуется найти такую точку, чтобы
сумма её расстояний от двух данных параллельных прямых Dx и D2
была наименьшей.
Пересечём прямые Dx и D2 в точках и Аг какой-либо перпен-
дикулярной к ним плоскостью Р н обозначим через d проекцию пря-
мой D на плоскость Р. При этом расстояния любой точки М пря-
мой D от каждой из прямых Dx и D2 будут соответственно равны
отрезкам тЛх и тА2, где т—проекция точки М на плоскость Р
(лежащая на прямой d). Таким образом, задача свелась к следующей:
в плоскости Р найти на прямой d такую точку //г, для которой сумма
mA J -|- mA 2 будет наименьшей.
Эта задача решается, как указано в решении упражнения 13 пла-
ниметрии.
634. 1°. Пусть отрезок ММ' делится в точке Мо плоскостью Р
не пополам, а в данном (по величине и знаку) отношении M0M:MQM'=k.
Формулировки предложений, приведённых в упражнении 617 под
рубриками 1) и 2), не изменятся вовсе.
Доказательство, данное в своё время для первого из этих предло-
жений, сохраняет силу при условии замены равенств АпА = А0А' и
Л10/И = М0М' равенствами А0А: А0А' = k и М0М:М0М’ = k. Дока-
зательство второго сохраняет свою силу без всяких изменений.
Предложение, приеденное в упражнении 604 под рубрикой 3),
заменяется следующим:
За) Отношение объёмов двух многогранников, получаемых один
из другого с помощью рассматриваемого преобразования, равно
абсолютной величине того отношения MGM:M0M' = k, в каком
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
481
плоскость Р делит каждый отрезок ММ', соединяющий две соот-
ветственные точки.
Для доказательства предположим сначала (как и в решении
упр. 617), что данный многогранник есть треугольная призма или
треугольная усечённая призма, боковые рёбра которой параллельны
прямой D. При этом преобразованным многогранником будет также
треугольная призма или треугольная усечённая призма. Отношение
каждого ребра первой призмы или усечённой призмы к соответствую-
щему ребру второй будет равно абсолютной величине данного отно-
шения k. Кроме токо, обе призмы или усечённые призмы будут иметь
равные перпендикулярные сечения. Следовательно, в этом случае спра-
ведливость доказываемого предложения вытекает из выражения для
объёма треугольной усечённой призмы (п. 431, следствие).
Переход к любой призме или усечённой призме и затем к произ-
вольному многограннику происходит буквально таким же образом, как
в решении упражнения 617.
2°. Рассмотрим теперь обобщение того преобразования, которое
приведено в упражнении 618.
Пусть отрезок ММ' делится в точке Мо прямой D не пополам,
а в данном (по величине и знаку) отношении М0М:Л10Л4'—Л.
Покажем прежде всего, как обобщаются те два разложения пре-
образования, рассмотренного в упражнении 618, которыми мы пользо-
вались в первом и во втором решениях этого упражнения.
Первое разложение (на две косые симметрии относительно пло-
скости; черт. 397 на стр. 461) заменяется в настоящем случае вполне
аналогичным ему разложением на два преобразования того типа, ко-
торые были рассмотрены выше в рубрике 1°. При этом равенства
Д41/И = Л41Л1", М0М=М0М' и М^М" — М2М' заменяются равенствами
МХМ-.МХМ’ = k, М0М:М0М' = k и М2М"\мгМ'= k.
Рассмотрим теперь разложение, приведённое во втором решении
упражнения 618 (на косую симметрию относительно плоскости и сим-
метрию относительно точки; черт. 398 на стр. 461). Симметрия отно-
сительно точки О заменится гомотетией относительно той же точки,
причём будем иметь ОМ"'.ОМ'= М^М'.М^М'— k. Косая симметрия
относительно плоскости Р заменится более общим преобразованием,
рассмотренным выше в рубрике 1°, причём М1М:МХМ"=ОМ':ОМ"=
= 1:6.
Оба эти разложения показывают, что предложения, приведённые
в упражнении 617 под рубриками 1) и 2), опять сохраняют силу.
Что же касается предложения, приведённого там же под рубрикой 3),
то оно заменяется следующим:
ЗЬ) Отношение объёмов двух многогранников, получаемых один
из другого с помощью рассматриваемого преобразования, равно
квадрату того отношения М0М:М0М', в каком прямая D де-
лит каждый отрезок ММ', соединяющий две соответствующие
точки.
31 Элементарная геометрия, ч. II
482
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Справедливость этого предложения вытекает с помощью любого из
двух приведённых только что разложений из сформулированной выше
теоремы За) и из теоремы об отношении объёмов подобных многогран-
ников.
635. При решении этой задачи мы воспользуемся следующим
предложением:
Пусть некоторое перемещение разложено один раз на две по-
следовательные транспозиции, а именно — относительно оси 11,
и затем относительно оси D, второй раз — на две последователь-
ные транспозиции, а именно — относительно той же оси D и затем
относительно некоторой оси D2; при этом оси и D2 получаются
одна из другой с помощью транспозиции относительно оси D.
Для доказательства рассмотрим какую-либо точку М оси D, п •
точку М', соответствующую точке М в данном перемещении. Так
как данное перемещение есть результирующее перемещение двух
транспозиций относительно осей Д и Ои точка М остаётся на месте
при транспозиции относительно оси D,, то точка М' получается из
М с помощью транспозиции относительно оси D. С другой стороны,
точка М' получается из М с помощью транспозиции относительно
оси D, за которой следует транспозиция относительно оси О2, так
как данное перемещение есть результирующее перемещение этих двух
транспозиций. Отсюда вытекает, что точка М' остаётся на месте при
транспозиции относительно осп D2 и потому лежит на этой оси.
Таким образом, транспозиция относительно осн О действительно пре-
образует всякую точку М оси Dx в точку М' оси D2.
Переходим к решению поставленной задачи. Пусть А—ось дан-
ного вращения, и D — общий перпендикуляр к прямой Дик какой-
либо прямой, параллельной направлению данного поступательного
перемещения.
Разложим данное вращение на две транспозиции, вторая из кото-
рых имеет своей осью прямую D, и обозначим через Dr ось первой
транспозиции. Данное поступательное перемещение разложим также
на две транспозиции, первая из которых имеет своей осью прямую D,
и обозначим через U ось второй транспозиции. При этом как ось
так и ось D' будут, как легко видеть, перпендикулярны к А и не
параллельны между собой. Если выполнить сначала вращение около
оси А, а затем — поступательное перемещение, то результирующее
перемещение будет равносильно двум последовательным транспозициям
относительно оси Dr и оси О'. Следовательно, ось результирую-
щего перемещения будет общим перпендикуляром к прямым Dj и О'
и потому будет иметь то же направление что и А. В то же время
ось Д, будет отлична от А; в самом деле, прямая О' не пересекает
оси А, потому что направление данного поступательного перемещения
не параллельно Д. Таким образом, ось Д! параллельна осн Д.
Пусть теперь изменён порядок обоих слагаемых. перемещений, так
что сначала выполняется данное поступательное перемещение, а затем
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
483
уже данное вращение. Разложим теперь данное поступательное пере-
мещение на две транспозиции, вторая из которых имеет своей осью
прямую D, в обозначим через D" ось первой транспозиции. Анало-
гично, разложим данное вращение на две транспозиции, первая из
которых имеет своей осью прямую D, и обозначим через О2 ось
второй транспозиции. Результирующее перемещение будет теперь сла-
гаться из двух транспозиций относительно осей D' и D2. Следова-
тельно, ось А2 этбго перемещения будет совпадать с общим перпен-
дикуляром к прямым D" и О2 и также будет параллельна осп А.
Так как данное вращение разложено один раз на две транспози-
ции относительно осей Dy и D, другой раз — на две транспозиции
относительно осей D и D2, то, в силу доказанного выше предложе-
ния, оси Dy и О2 получаются одна из другой с помощью транспози-
ции относительно оси D. То же имеет, очевидно, место и для тран-
спозиций относительно осей D' и U'. Поэтому и прямая Д2 — общий
перпендикуляр к прямым О2 и D" — получается из прямой А,— об-
щего перпендикуляра к прямым Dy и D'—с помощью транспозиции
относительно прямой D.
Транспозицию относительно прямой D можно разложить (ср. ре-
шение упр. 613) на две симметрии — относительно плоскости Р, про-
ходящей через прямые А и D, и относительно плоскости Q. прохо-
дящей через прямую D и перпендикулярной к прямой А. Так как
транспозиция относительно прямой D преобразует прямые А] и А2
одну в другую, а симметрия относительно плоскости Q, перпендику-
лярной к этим двум прямым, преобразует каждую из них в самое
себя, то осп А, и Аг обоих результирующих перемещений симметричны
между собой относительно плоскости Р.
636. Пусть А и В — оси данных перемещений (при этом за ось
поступательного перемещения можно принять любую прямую, парал-
лельную направлению перемещения), D — общий перпендикуляр к обеим
осям.
Разложим первое данное перемещение с осью А на две транспо-
зиции, вторая из которых имеет своей осью прямую D, и обозна-
чим через Dy ось первой транспозиции. Аналогично разложим второе
данное перемещение с осью В на две транспозиции, первая из кото-
рых имеет своей осью прямую D, и обозначим через D' ось второй
транспозиции. Если сначала выполнить данное перемещение с осью А,
а затем—данное перемещение с осью В, то результирующее пере-
мещение будет равносильно двум последовательным транспозициям
относительно осей О, и D' и будет поэтому иметь своей осью общий
перпендикуляр Су к этим двум прямым.
Чтобы выполнить теперь сложение двух данных перемещений, взя-
тых в обратном порядке, разложим первое данное перемещение с
осью А на две транспозиции, первая из которых имеет своей осью
прямую D, и обозначим через О2 ось второй транспозиции. Анало-
гично разложим второе данное перемещение с осью В на две тран-
31
4*1
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
спозиции, вторая из которых имеет своей осью прямую D, и обоз-
начим через D" ось первой транспозиции. Если выполнить теперь сна-
чала данное перемещение с осью В, а затем — данное перемещение
с осью А, то результирующее перемещение будет равносильно двум
последовательным транспозициям относительно осей D" и D2 и будет
поэтому иметь своей осью С2 общий перпендикуляр к этим двум
прямым.
Данное перемещение с осью А мы разлагали—один раз на две
транспозиции относительно осей D, и D, другой раз на две транспо-
зиции относительно осей D и D2. В силу того предложения, которое
было доказано в начале решения задачи 635, оси D} и D2 получа-
ются одна из другой с помощью транспозиции относительно оси D.
То же имеет место по аналогичной причине и для осей D' и D".
Следовательно, тем же свойством обладают и оси Ct и С2 обоих
результирующих перемещений, так как Сг есть общий перпендикуляр
к прямым и D’, а С2 — к прямым D2 и D'.
Величина угла поворота и величина поступательного перемещения
будет в обоих случаях одна и та же, так как угол между прямыми
Di и D' будет равен, в силу только что сказанного, углу между
прямыми D2 и D", и то же будет иметь место для кратчайших рас-
стояний между прямыми каждой пары.
637. Пусть S и Т — два данных перемещения. Обозначим через
D „ось“ перемещения S, понимая под этим ту прямую, которую пе-
ремещение 5 преобразует в самое себя с сохранением направления
на ней1). Если S—поступательное перемещение, то за D можно при-
нять любую прямую, параллельную направлению перемещения; если
же S отлично от поступательного перемещения, то прямая D будет
совпадать с осью перемещения S в обычном смысле слова.
Выберем далее на прямой D произвольное направление и обозна-
чим через D' ту направленную прямую, в которую перемещение Т
преобразует направленную прямую D.
Если выполнять над прямой D сначала перемещение S (направлен-
ная прямая D остаётся на месте и сохраняет своё направление!), а
затем — перемещение Т, то направленная прямая D переходит в на-
правленную прямую D'.
В случае двух перестановочных перемещений 5 и Т то же обсто-
ятельство должно иметь место, если выполнить сначала перемещение
Т, а затем перемещение 5. Но перемещение Т, выполненное первым,
уже преобразует направленную прямую D в направленную прямую D';
следовательно, перемещение S должно оставлять прямую D' на месте
и не изменять направления на ней. Таким образом, прямая D' есть
также ось перемещения S.
!) Если данное перемещение представляет собой транспозицию, то оно
преобразует в себя бесчисленное множество прямых (пересекающих ось под
прямым углом), изменяя направление каждой из них на противоположное.
Это и заставляет пас оговаривать сохранение направления.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
48S
Итак, необходимое условие, при котором перемещения S и Т
перестановочны, состоит в том, что перемещение Т преобразует
всякую „ось" перемещения S снова в „ось" того же перемещения S.
Очевидно, что аналогичное условие должно соблюдаться, и если по-
менять ролями перемещения 5 и Т.
Рассмотрим теперь различные возможные случаи.
Если оба данных перемещения — поступательные, то необходимое
условие перестановочности, очевидно, выполнено, и действительно,
всякие два поступательных перемещения, как легко видеть, переста-
новочны.
Если хотя бы одно из данных перемещений — пусть это будет
S—отлично от поступательного, то оно имеет единственную ось D.
В силу необходимого условия перестановочности, выведенного выше,
перемещение Т, перестановочное с S, должно преобразовать прямую D
в самоё себя (сохраняя или не сохраняя направление на ней — без-
различно). Следовательно, перемещение Т будет (в силу упражнения
594) или винтовым перемещением с осью D, считая в том числе вра-
щения около осп D и поступательные перемещения по направлению
той же оси, или транспозицией относительно оси, пересекающей пря-
мую D под прямым углом.
В первом из этих двух случаев оба перемещения имеют общую
ось или одно из них есть поступательное перемещение по направле-
нию оси другого. Нетрудно убедиться, что такие два перемещения
действительно перестановочны.
Во втором из этих случаев 5 есть перемещение, отличное от
поступательного, а Т — транспозиция относительно оси, пересекающей
ось D перемещения S под прямым углом. Меняя ролями перемеще-
ния S и Т, убедимся, что и S есть транспозиция. Итак, в этом слу-
чае оба перемещения S и Т представляют собой транспозиции отно-
сительно двух осей, пересекающихся. под прямым углом. Результиру-
ющее перемещение этих двух транспозиций, выполненных в любом
порядке, есть также транспозиции, ось которых проходит через точку
пересечения двух данных осей и перпендикулярна к ним обеим. Та-
ким образом, обе данные транспозиции перестановочны.
638. 1°. В основу решения этой задачи мы положим следующее
предложение:
Три последовательные симметрии относительно плоскостей Р,
Q и R, проходящих через одну прямую D, равносильны одной сим-
метрии относительно плоскости Т, также проходящей через пря-
мую D и определяемой следующим условием-, угол между плоско-
стью Р и плоскостью Т равен углу между плоскостью Q и плос-
костью R и имеет с ним одинаковое направление.
Для доказательства этого предложения заметим, что (в силу ска-
занного в примечании 1°.е к решению упр. 613) две последователь-
ные симметрии относительно плоскостей Q и R (черт. 402) равно-
сильны двум последовательным симметриям относительно плоскости Р
486
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
и плоскости Т, определённой выше. Следовательно, три последова-
тельные симметрии относительно плоскостей Р, Q и R равносильны
трём последовательным симметриям относительно плоскостей Р, опять
Р и Т, т. е. одной симметрии относительно плоскости Т (так как
две последовательные симметрии относительно плоскости Р дают
тождество).
Переходим к решению поставленной задачи.
Пусть данная прямая SA служит ребром искомого трёхгранного
угла SABC, а данные плоскости Р, Q и R— бнссектральными плос-
костями его двугранных углов соответственно при рёбрах 5А, SB и
SC или углов, с ними смежных (ср. упр. 487). Обозначим плоскости
граней BSC, CSA и ASB искомого трёхгранного угла соответственно
через L, М и N.
Так как плоскость Р есть, по условию, биссектральная плоскость
двугранного угла при ребре SA или угла, с ним смежного, то плос-
кость N симметрична плоскости Л'1 относительно плоскости Р (черт.
403) ’). Аналогично, плоскость L симметрична плоскости N относи-
тельно плоскости Q, и плоскость М— плоскости L относительно
плоскости R. Таким образом, три последовательные симметрии отно-
сительно плоскостей Р, Q и R, т. е. одна симметрия относительно
определённой выше плоскости Т, преобразуют искомую плоскость Л1
в самое себя. Следовательно, плоскость Л4 должна быть перпендику-
лярна к плоскости Т, т. е. должна проходить через прямую А, пер-
пендикулярную к плоскости Т в точке S.
1) На чертеже 403 для наглядности вместо трёхгранного угла SABC
изображён соответствующий ему (ср. п. 391) сферический треугольник АВС,
вместо плоскостей Р, Q и R — соответствующие им большие круги, которые
на чертеже также обозначены через Р, Q и R, вместо прямой D— соответствую-
щая ей точка, которая на чертеже также обозначена через D, и т. д.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
487
Можно доказать, что п обратно (в принятых выше обозначениях)
плоскости Р, Q н R служат бпссектральнымп плоскостями двугран-
ных углов пли углов, с ними смежных, любого трёхгранного угла,
образованного какой-либо плоскостью /И, проходящей через прямую А,
плоскостью N, симметричной с М относительно данной плоскости Р,
п плоскостью L, симметричной с N относительно другой данной пло-
скости Q.
В самом деле, так как плоскости М и N симметричны относительно пло-
скости Р, а плоскости N и L — относительно плоскости Q, то плоскости Р и
Q обладают требуемым свойством. А именно, плоскость Р служит биссект-
ральной плоскостью одного из двугранных углов, образованных плоскостями
М и Д', а плоскость Q играет ту же роль по отношению к плоскостям N и L.
Далее две последовательные симметрии относительно плоскостей Р и Q пре-
образуют плоскость М в плоскость £, а три последовательные симметрии
относительно плоскостей Р, Q и /?, равносильные одной симметрии относи-
тельно плоскости Т, преобразуют плоскость М в самой себя (так как пло-
скость М проходит через прямую А и потому перпендикулярна к плоскости Т).
Следовательно, симметрия относительно плоскости R преобразует плоскость
L в плоскость М. Это показывает, что плоскость R в свою очередь служит
биссектральной плоскостью одного из двугранных углов, образованных пло-
скостями L и М.
Плоскость /И, проходящую через прямую А, мы должны выбрать
так, чтобы эта плоскость М вместе с плоскостью N, симметричной
ей относительно плоскости Р, и плоскостью L, симметричной N отно-
сительно плоскости Q, образовали трёхгранный угол. Чтобы это имело
место, плоскости L, М и N, проходящие через точку S, не должны
проходить через одну прямую (откуда уже будет вытекать, что эти
три плоскости различны). Для этого плоскость /И не должна быть
перпендикулярна к прямой D, так как иначе она была бы пер-
пендикулярна к плоскостям Р, Q и R и потому совпадала бы с
плоскостями N п L. Далее плоскость М не должна проходить через
прямую D, так как иначе плоскости N и L также проходили бы че-
рез эту прямую. Можно доказать, что если плоскость М не пер-
пендикулярна к прямой D и не проходит через эту прямую, то
три плоскости L, М и N образуют трёхгранный угол.
Действительно, если плоскость М совпадает с Д', то оиа или перпенди-
кулярна к плоскости Р, или с ней совпадает. В первом случае плоскость М
будет перпендикулярна к прямой D, так как кроме плоскости Р она должна
быть перпендикулярна и к плоскости Т. Во втором случае она проходит че-
рез прямую D. К тем же заключениям мы пришли бы, предположив, что
плоскость М совпадает с L.
Если бы плоскости L и N, будучи отличными от плоскости М, совпадали
между собой, то плоскость L была бы симметрична с М как относительно
плоскости Р, так и относительно плоскости Q, и плоскости L и М проходили
бы через линию пересечения D плоскостей Р и Q.
Наконец, если бы все три плоскости L, М и N, будучи различными,
проходили через одну прямую, то этой прямой могла бы быть только пря-
мая D, и плоскость М проходила бы через прямую D.
488
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Чтобы построенный трёхгранный угол удовлетворял всем условиям
задачи, остаётся выбрать плоскость Л/ так, чтобы она проходила
через данную прямую лежащую в плоскости Р, т. е. принять за
М плоскость, проходящую через прямые А и 5Д. При этом и
плоскость N пройдёт через SA, так как плоскости М и N симмет-
ричны относительно плоскости Р, проходящей через 5Д, и прямая
SA будет, действительно, одним из рёбер построенного трёхгранного
угла.
Окончательно приходим к такому построению. Через прямую D
проводим плоскость Т так, чтобы угол между плоскостью Р и пло-
скостью Т был равен углу между плоскостью Q и плоскостью R и
имел с ним одинаковое направление. Далее строим прямую А, пер-
пендикулярную к плоскости Т, плоскость М, проходящую через пря-
мые А и SA, плоскость N, симметричную плоскости Л1 относительно
плоскости Р, и плоскость L, симметричную плоскости N относительно
плоскости Q. Любой из трёхгранных углов, образованных плоскостями
£, /И и N (если эти плоскости образуют трёхгранный угол), и будет
искомым.
Остановимся ещё на исследовании задачи.
Задача имеет бесчисленное множество решений, если прямая S/5 совпа-
дает с перпендикуляром А к плоскости Т. При этом прямая SX будет пер-
пендикулярна к прямой D, лежащей в плоскости Т; кроме того, так как
прямая А перпендикулярна к плоскости Т, то и прямая с ней совпадаю-
щая, а следовательно, и плоскость Р, через неё проходящая, должны быть
перпендикулярны к плоскости Т. Следовательно, плоскости Q и R должны
быть взаимно перпендикулярны, так как угол между плоскостями Р и Г
равен по построению углу между плоскостями Q и R.
Задача не имеет решений, если плоскость М, проходящая через прямые
SA и А, перпендикулярна к прямой D или проходит через эту прямую, так
как в этих случаях плоскость Af не образует вместе с соответствующими ей
плоскостями 7V и L трёхгранного угла (см. выше). В первом из этих двух
случаев прямая .8'/! должна быть перпендикулярна к прямой D, но не пер-
пендикулярна к плоскости Т; поэтому плоскости Р и Т, а следовательно, и
плоскости Q и R не должны быть перпендикулярны между собой. Во втором
случае плоскость Р, в которой лежат прямые .8'Л и А, должна быть перпен-
дикулярна к Т, так что и плоскости Q и R должны быть взаимно перпенди-
кулярными, но прямая SA должна быть не перпендикулярна к D.
Итак, задача имеет бесчисленное множество решений, если плоскости
Q и R взаимно перпендикулярны и прямая SA перпендикулярна к D, и
не имеет решений, если выполнено только одно из этих условий.
Следовательно, если плоскости Q и R не перпендикулярны между собой
и прямая SA не перпендикулярна к прямой D, то существует единствен-
ная тройка плоскостей L, М и N, которые образуют трёхгранные углы,
удовлетворяющие условиям задачи.
Выясним теперь, будут ли плоскости Р, Q w R биссектральными
плоскостями самих двугранных углов построенного трёхгранного
угла или биссектральными плоскостями углов, с ними смежных.
Предположим, что плоскости Р, Q и R служат биссектральными
плоскостями самих двугранных углов одного из трёхгранных углов
S.ABC, образованных плоскостями L, Л1 и N; при этом то же,
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
489
очевидно, будет иметь место и для трёхгранного угла SA'B'C, где
S.4', SB' и SC— продолжения рёбер <SA, SB и SC за вершину 5.
В то же время плоскость Р будет биссектральной плоскостью самого
двугранного угла при ребре &4' трёхгранного угла SA'ВС (черт. 403),
а плоскости Q и R— бнссектральными плоскостями углов, смежных
с двумя другими его двугранными углами. То же будет иметь место
и для трёхгранного угла SAB'C. И т. д.
Если бы мы с самого начала предположили, что в одном из трёх-
гранных углов SA'BC, образованных плоскостями L, М и N, пло-
скость Р служит биссектральной плоскостью самого двугранного угла,
а плоскости Q и R— бнссектральными плоскостями углов, смежных
с двумя другими его двугранными углами, то в трёхгранном угле
SABC, где SA — продолжение луча SA' за вершину S, все три пло-
скости будут бнссектральными плоскостями его двугранных углов,
так что мы опять будем иметь предыдущий случай.
Итак, во всех случаях в двух из восьми трёхгранных углов,
образованных плоскостями L, М и N, плоскости Р, (Q и R будут
биссектральными плоскостям его двугранных углов; в каждом
из шести других трёхгранных углов, образованных теми же пло-
скостями L, М и N, две из трёх плоскостей Р, Q и R будут
биссектральными плоскостями углов, смежных с его двугранными
углами, а третья — биссектральной плоскостью одного из его
двугранных углов, причём в двух из шести трёхгранных углов
этой последней плоскостью будет плоскость Р, в двух — плоскость Q
и в двух — плоскость R.
Если, наконец, при неподвижных плоскостях Р, Q и R и точке S
прямая SA перемещается в плоскости Р, плоскость М противолежа-
щей грани всё время проходит, как это следует из приведённого
выше построения, через одну и ту же прямую, а именно через пер-
пендикуляр Д к плоскости Т в точке S.
2°. Пусть теперь три данные плоскости Р, Q и R перпендикулярны
соответственно к плоскостям граней B'SC, CSA' и A’SB' искомого
трёхгранного угла SA’B'C и проходят через биссектрисы его плоских
углов или углов, с ними смежных, причём одной из этих биссектрис
служит данная прямая SA, лежащая в плоскости Р.
Так как плоскость Р перпендикулярна к плоскости B'SC, то она
будет проходить через перпендикуляр SA' к этой плоскости, а так
как она, кроме того, проходит через биссектрису плоского угла B'SC
трёхгранного угла SA'B'C, то она будет, как легко видеть, биссек-
тральной плоскостью двугранного угла при ребре SA" или угла, ему
смежного, в трёхгранном угле SA'B'C", пополнительном по отношению
к искомому. Аналогичным свойством будет обладать и каждая из
плоскостей Q и R. Кроме того, ребро SA" этого пополнительного
трёхгранного угла, лежащее в плоскости Р, будет, очевидно, перпен-
дикулярно к биссектрисе ДА плоского угла B'SC трёхгранного утла
SA'B’C.
4ГП
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Итак, рассматриваемая задача сводится к построению вспомога-
тельного трёхгранного угла SA"B”C", в котором биссектральнымп
плоскостями двугранных углов или углов, им смежных, будут три
тайные плоскости Р, Q и /?, а одним из рёбер — прямая 5Й", лежа-
щая в плоскости Р и перпендикулярная к данной прямой S/1. Таким
образом, мы приходим к задаче, только что рассмотренной под руб-
рикой 1°. Искомый трёхгранный угол будет пополнительным по отно-
шению к построенному трёхгранному углу SA”B"C.
Исследование поставленной задачи также сводится к исследованию
задачи, приведённой выше под рубрикой 1°. Так, задача будет иметь
единственное решение, если плоскости Q и R не перпендикулярны
между собой и прямая не совпадает с D (прямая SA" не перпен-
дикулярна к D); в двух из восьми трёхгранных углов, удовлетворяющих
условиям задачи, плоскости Р, Q и R проходят через биссектрисы
.самых плоских углов, а не углов, с ними смежных, и т. д.
Если, наконец, при неподвижных плоскостях Р, Q и R и точке S
прямая а следовательно, и SA", перемещается, то плоскость
грани CSA'' всё время проходит через одну и ту же прямую Д (см.
выше, заключительная часть решения задачи 1°). Следовательно, пря-
мая SB', перпендикулярная к плоскости CSA”, описывает рассмотрен-
ную выше плоскость Т, а прямые SC и SA'— плоскости, симметричные
плоскости Т соответственно относительно плоскостей Р и R.
3°. Пусть, наконец, плоскости Р, Q и R проходят соответственно
через рёбра SX', SB' и SC искомого трёхгранного угла SA'B'C' и,
для определённости, через биссектрисы трёх его плоских углов
(а не плоских углов, с ними смежных), причём биссектрисой угла
CSC служит данная прямая 5Д, лежащая в плоскости Р.
В силу последнего свойства прямой £Д, прямая SB' преобразуется
в SC транспозицией относительно прямой Так как прямая SB1
лежит в плоскости Q, то прямая SC должна лежать поэтому в той
плоскости Q', которая получается из плоскости Q с помощью транс-
позиции относительно прямой SA. Но прямая SC' лежит, по условию,
в плоскости R. Следовательно, если плоскость Q’ отлична от R и
линия пересечения плоскостей Q’ и R отлична от прямой D, то прямая
SC определится как линия пересечения плоскостей Q' и R, а пря-
мая SB'—как линия пересечения плоскости Q с плоскостью ASC'.
Если же плоскость Q’ совпадает с R, то плоскость R получается
из Q с помощью транспозиции относительно прямой SA. Это значит,
что прямая перпендикулярна к прямой D — линии пересечения
плоскостей Q и R — и лежит в одной из биссектральных плоскостей
образованных ими двугранных углов. ,
Если, наконец, плоскость Q' отлична от R, но проходит через
линию пересечения D плоскостей Q и R, то прямая SA, как легко
видеть, перпендикулярна к D, но не лежит ни в одной из биссек-
тральных плоскостей двугранных углов, образованных плоскостями
Q и R.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
491
Из сказанного следует, что в том случае, когда данная прямая
SA не перпендикулярна к D, положение искомых прямых SB" и
SC соответственно в плоскостях Q и R вполне определяется
требованием, чтобы прямая SA была одной из биссектрис углов,
образованных этими прямыми; а именно, прямая SC есть линия
пересечения данной плоскости R и той плоскости Q', которая
получается из данной плоскости Q с помощью транспозиции от-
носительно данной прямой SA, а прямая SB'—линия пересечения
плоскостей Q и ASC.
Если некоторый трёхгранный угол удовлетворяет условиям задачи,
то и трёхгранный угол, симметричный ему относительно вершины
(и. 388), также удовлетворяет условиям задачи. Следовательно, за ребро
SC' искомого трёхгранного угла можно принять любой из двух лу-
чей, на которые точка S делит найденную прямую SC. За ребро SB'
придётся принять вполне определённый луч прямой SB1, выбранный
так, чтобы прямая S4 проходила внутри угла B'SC (а не внутри
угла, с ним смежного).
Переходим к отысканию третьего ребра SA' искомого трёхгранного
угла. Обозначим через С какую-либо точку ребра SC и через А’
такую точку искомого ребра 5Л', что SA’=SC. Точка А', очевидно,
получается из точки С с помощью транспозиции относительно неко-
торой прямой, лежащей в плоскости Q и проходящей через точку S,
а именно относительно биссектрисы угла A'SC. Следовательно, точка А’
лежит (ср. решение упр. 609) на вполне определённой окружности —
геометрическом месте точек, которые получаются из точки С с по-
мощью транспозиций относительно прямых, лежащих в плоскости R
и проходящих через точку Таким образом, точкой А' должна быть
одна из точек пересечения этой окружности с плоскостью Р. Точка А'
может занимать два различных положения в пространстве, если
окружность пересекает плоскость Р в двух точках, одно вполне опре-
делённое положение, если окружность касается плоскости Р, и вовсе
не существует, если окружность не имеет общих точек с плоскостью Р.
Построив точку А', мы получим и последнее ребро SA' искомого
трёхгранного угла.
Покажем теперь, что построенный трёхгранный угол SA'B'C удовлет-
воряет всем поставленным условиям. Действительно, прямые S/Г, SB' и SC
лежат, по построению, в одной плоскости. При этом прямая SB’ лежит
в плоскости Q, а прямая SC — в плоскости Q', которая получается из Q с по-
мощью транспозиции относительно прямой $Л. Отсюда следует, что и прямые
SB' и SC получаются одна из другой с помощью транспозиции относительно
прямой S4. Так как прямая ,$Л проходит, по построению, внутри угла B'SC,
то она будет биссектрисой этого угла (а не угла, с ним смежного). Далее
точка А’ получается, по самому способу её построения, из точки С с по-
мощью транспозиции относительно некоторой прямой, лежащей в плоскости Q.
Следовательно, плоскость Q проходит через биссектрису плоского угла
C'SA’. Наконец, плоскость Р, проходящая через ребро SA' и через линию
пересечения плоскостей Q и R, проходит (в силу упр. 490, 1°) через биссек-
трису плоского угла A'SB'.
492
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Мы предполагали выше, что плоскости Р, Q и р проходят через
биссектрисы самых плоских углов искомого трёхгранного угла, а не
углов, с ними смежных.
Если теперь в некотором трёхгранном угле SA^B'C плоскость Р про-
ходит через биссектрису самого плоского угла B'SC, а плоскости
Q и р— через биссектрисы углов, смежных с двумя другими его
плоскими углами, то в трёхгранном угле SA'B'C, где S/T— продол-
жение ребра 5Л] за вершину S, все три плоскости Р, Q и Р про-
ходят через биссектрисы самых плоских углов. Таким образом, различие
между обоими случаями несущественно (ср. сказанное выше под руб-
рикой 1°).
639. 1°. Первое решение. В основу этого решения (сход
ного по идее с приведённым выше решением задачи 638, 1°) мы по-
\ ложим следующее предложение:
Три последовательные транспозиции от-
---J носителъно прямых Sa, Sb и Sc, лежащих
\ в одной плоскости, равносильны одной тран-
спозиции относительно прямой Sd, лежа-
\ щей в той же плоскости и определяемой
\ следующим условием: угол между прямой
\ Sa и прямой Sd равен углу между прямой
\ Sb и прямой Sc и имеет с ним одинаковое
с направление.
b Для доказательства этого предложения
Черт. 404. заметим, что (в силу второго раздела прямой
теоремы, доказанной в п. 438) две последо-
вательные транспозиции относительно прямых Sb и Sc (черт. 404) рав-
носильны двум последовательным транспозициям относительно прямой
Sa и определённой выше прямой Sd. Следовательно, три последова-
тельные транспозиции относительно прямых Sa, Sb и Sc равносильны
трём последовательным транспозициям относительно прямых Sa, опять Sa
и Sd, т. е. одной транспозиции относительно прямой Sd (так как
две последовательные транспозиции относительно одной и той же
прямой лают тождество).
Переходим к решению поставленной задачи.
Пусть грань BSC искомого трёхгранного угла SABC (черт. 405) ’)
лежит в данной плоскости Р, а прямые Sa, Sb и Sc служат для опре-
делённости биссектрисами углов, смежных с его плоскими углами
(упр. 489,1°).
Обозначим продолжения рёбер SA, SB и SC за вершину S соответ-
ственно через SB' и SC. Так как прямая Sa есть, по условию,
биссектриса угла BSC, то транспозиция относительно прямой Sa пере-
водит луч SB в луч SC (черт. .406). Аналогично, транспозиция
относительно прямой Sb переводит луч SC в SA, и транспозиция
П См. сноску па стр. 486.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
493
относительно прямой Sc — луч в луч SB'. Таким образом, три
транспозиции последовательно относительно прямых Sa, Sb и Sc, т. е.
одна транспозиция относительно определённой выше прямой Sd, преоб-
разуют луч SB в луч SB', а прямую SB — в самоё себя. Следова-
тельно, прямая SB должна быть перпендикулярна к прямой Sd, т. е.
лежать в плоскости D, проходящей через Л и перпендикулярной
к прямой Sd.
Можно доказать, что и обратно (в принятых обозначениях) прямые
Sa, Sb и Sc служат биссектрисами углов, смежных с плоскими
углами любого трёхгранного угла, образованного каким-либо лучом
SB, выходящим из точки S и лежащим в плоскости D, продолже-
нием SC луча SC', который, получается из луча SB с помощью
транспозиции относительно прямой Sa, и лучом SA, который по-
лучается из луча SC с помощью транспозиции относительно
прямой Sb.
В самом деле, так как луч SC получается из луча SB с помощью транс-
позиции относительно прямой Sa, а луч .S/1 — из луча SC с помощью транс-
позиции относительно прямой Sb, то прямые Sa и Sb обладают требуемым
свойством, а именно служат биссектрисами углов, смежных соответственно
с углами BSC и CSA. Далее, две последовательные транспозиции относи-
тельно прямых Sa и Sb преобразуют луч SB в луч S4, а три последователь-
ные транспозиции относительно прямых Sa, Sb и Sc, равносильные одной
транспозиции относительно прямой Sd,— тот же луч SB в луч SB' (так как
луч SB лежит в плоскости D и потому перпендикулярен к прямой Sd). Сле-
довательно, транспозиция относительно прямой Sc преобразуем луч .$/! в
луч SB', так что и прямая Sc обладает требуемым свойством, а именно служит
биссектрисой угла, смежного с углом ASB.
Луч SB, лежащий в плоскости D, мы должны выбрать так, чтобы
этот луч SB вместе с лучами SC и S/4, получающимися из луча SB,
как указано выше, образовали трёхгранный угол. Чтобы это
имело место, прямые SB и SC не должны лежать в одной пло-
494
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
скости (откуда уже будет вытекать, что эти три прямые различны).
Для этого прямая SB не должна быть перпендикулярна к плоскости
прямых Sa, Sb и Sc, так как иначе прямые SC и SA совпадали бы
с прямой SB. Далее, прямая SB не должна лежать в плоскости пря-
мых Sa, Sb и Sc, так как иначе прямые SC и S4 также лежали бы
в этой плоскости. Можно доказать, что если прямая SB не перпен-
дикулярна к плоскости прямых Sa, Sb и Sc и не лежит в этой
плоскости, то прямые SA, SB и SC образуют трёхгранный угол.
Действительно, если прямая SB совпадает с SC, то она или перпенди
кулярна к прямой Sa, или с ней совпадает. В первом случае прямая SB будет
перпендикулярна и к плоскости прямых Sa, Sb и Sc, так как она перпендику-
лярна и к прямой Sd. Во втором случае она лежит в плоскости прямых Sa,
Sb и Sc. К тем же заключениям мы пришли бы, предположив, что прямая SB
совпадает с
Если бы прямые .S/1 и SC, будучи отличными от прямой SB, совпадали
между собой, то прямая SA получалась бы из SB с помощью транспозиции
как относительно прямой Sa, так и относительно прямой Sc, и прямая SB
лежала бы в плоскости прямых Sa и Sc.
Наконец, если бы все три прямые SA, SB и SC, будучи различными, ле-
жали бы в одной плоскости, то этой плоскостью могла бы быть только пло-
скость прямых Sa, Sb и Sc, и прямая SB лежала бы в этой плоскости.
Чтобы построенный трёхгранный угол удовлетворял всем условиям
задачи, остаётся выбрать луч SB так, чтобы он лежал в данной пло-
скости Р, т. е. принять за луч SB один из двух лучей линии пере-
сечения плоскостей D и Р. При этом и луч SC будет лежать в пло-
скости Р, так как в этой плоскости лежит биссектриса Sa угла,
смежного с углом BSC.
Окончательно приходим к такому построению. В плоскости прямых
Sa, Sb и Sc строим прямую Sd так, чтобы угол между прямой Sa и
прямой Sd был равен углу между прямой Sb и прямой Sc и имел
с ним одинаковое направление. Далее строим плоскость D, перпенди-
кулярную к прямой Sd. Выбираем один из лучей SB линии пересе-
чения плоскостей Р и D, строим луч SC, который получается из SB
транспозицией относительно прямой Sa, и луч который полу-
чается из SC транспозицией относительно прямой Sb. Трёхгранные
углы SABC и SA'B'C, где SA', SB' и SC—продолжения соответ-
ственно лучей S/l, SB и SC за вершину S, и будут искомыми.
Мы предполагали выше, что прямые Sa, Sb и Sc служат биссек-
трисами углов, смежных с плоскими углами искомого трёхгранного
угла; случай, когда одна из этих трёх прямых служит биссектрисой
угла, смежного с одним из плоских углов искомого трёхгранного
угла, а две другие — биссектрисами двух других его плоских углов,
непосредственно сводится к предыдущему. Так, если прямая Sa слу-
жит биссектрисой угла, смежного с одним из плоских углов, а пря-
мые Sb и Sc — биссектрисами самых плоских углов, то искомыми будут
не трёхгранные углы SABC и SA'B’C, а трёхгранные углы SA'BC и
SAB'C, образованные теми же самыми прямыми £4, SB и SC, и т. д.
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
495
Остановимся ещё на исследовании задачи.
Задача имеет бесчисленное множество решений, если плоскость Р совпа
дает с D. При этом плоскость Р должна быть перпендикулярна к плоскости
прямых Sa, Sb и Sc; кроме того, так как плоскость D перпендикулярна к пря-
мой Sd, то и плоскость Р, а следовательно, и прямая Sa должны быть пер-
пендикулярны к Sd. Следовательно, прямые Sb и Sc должны быть взаимно
перпендикулярны, так как угол между прямыми Sa и Sd равен углу между
Sb и Sc.
Задача не имеет решений, если линия пересечения SB плоскостей Р и D
перпендикулярна к плоскости прямых Sa, Sb и Sc или лежит в этой пло-
скости, так как в этих случаях прямая SB не образует вместе с соответствую-
щими ей прямыми SC и S-4 трёхгранного угла (см. выше). В первом из этих
двух случаев плоскость Р должна быть перпендикулярна к плоскости пря-
мых Sa, Sb и Sc, но не перпендикулярна к Sd; поэтому прямые Sa и Sd,
а следовательно, и прямые Sb и Sc не должны быть перпендикулярны между
собой. Во втором случае прямая Sa — линия пересечения плоскостей Р и
D—должна быть перпендикулярна к Sd, так что и прямые Sb и Sc должны
быть взаимно перпендикулярны, ио плоскость Р должна быть не перпенди-
кулярной к плоскости прямых Sa, Sb и Sc.
Итак, задача имеет бесчисленное множество решений, если прямые
Sb и Sc взаимно перпендикулярны и плоскость Р перпендикулярна к пло-
скости прямых Sa, Sb и Sc и не имеет решений, если выполнено только
одно из этих двух условий.
Следовательно, если прямые Sb и Sc не перпендикулярны между собой
и плоскость Р не перпендикулярна к плоскости прямых Sa, Sb и Sc, то
существует два вертикальных трёхгранных угла SABC и SA'B'C', в каж-
дом из которых прямые Sa, Sb и Sc служат биссектрисами углов, смеж-
ных с его плоскими углами (и шесть других трёхгранных углов, образован
ных теми же самыми прямыми SA, SB и SC и также удовлетворяющих
условиям задачи).
Если, наконец, при неподвижных прямых Sa, Sb и Sc плоскость Р
вращается около прямой Sa, то прямая SB описывает, как это
следует из приведённого выше построения, плоскость D, а прямые
SC и 571— плоскости, которые получаются из плоскости D с по-
мощью транспозиций соответственно относительно прямых Sa и Sc,
Второе решение. Пусть грань BSC искомого трёхгранного
угла SABC лежит в данной плоскости Р, а данные прямые Sa, Sb и
Sc служат биссектрисами углов, смежных с его плоскими углами пли
самих его плоских углов (упр. 489,1°).
Так как прямая Sa служит биссектрисой угла, смежного с пло--
ским углом BSC, или самого плоского угла BSC искомого трёхгран-
ного угла, то перпендикулярная к ней плоскость перпендикулярна
к плоскости грани BSC и проходит соответственно через биссектрису
плоского угла BSC или угла, с ним смежного. Аналогичными свойствами
обладают и плоскости, перпендикулярные соответственно к прямым
Sb и Sc.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к задаче 638,2°,
в которой роль трёх данных плоскостей играют плоскости, соответ-
ственно перпендикулярные к трём данным прямым Sa, Sb и Sc, а
роль данной биссектрисы — прямая Sa', лежащая в данной плоскости Р
и перпендикулярная и данной прямой Sa.
496
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если теперь при неподвижных прямых Sa, Sb и Sc плоскость Р
грани BSC вращается около прямой Sa, то прямая Sa' описывает
плоскость, проходящую через точку 5 и перпендикулярную к прямой Sa.
Таким образом, мы приходим к последнему вопросу, поставленному
в той же задаче 638,2°.
Примечание. Приведённое выше первое (непосредственное) решение
настоящей задачи имеет перед вторым известное преимущество. А именно,
в этом первом решении непосредственно строятся в отдельности те трёх
гранные углы, в которых данные прямые служат биссектрисами углов, смеж-
ных с его плоскими углами, в отдельности — те, в которых две из трёх дан-
ных прямых служат биссектрисами двух плоских углов, а третья — биссектри-
сой угла, смежного с третьим плоским углом. В противоположность этому,
во втором решении одновременно получаются те и другие трёхгранные углы
(из которых затем уже можно сделать надлежащий выбор). Этим преиму-
ществом первого решения мы вскоре воспользуемся (ср. решение зад. 640).
2°. Пусть теперь данные прямые Sa, Sb и Sc соответственно
перпендикулярны к рёбрам 5Д, SB и SC искомого трёхгранного
угла SABC и лежат в биссектральных плоскостях углов, смежных
с его двугранными- углами при этих рёбрах (упр. 488), причём одной
из этих биссектральных плоскостей служит данная плоскость Р.
Так как прямая Sa перпендикулярна к ребру 3» трёхгранного
угла SABC и лежит в биссектральной плоскости угла, смежного
с двугранным углом при этом ребре, то плоскость, перпендикулярная
к прямой Sa, будет биссектральной плоскостью двугранного угла при
том же ребре. Аналогичными свойствами будут обладать и плоскости,
соответственно перпендикулярные к прямым Sb и Sc.
Если бы две из трёх данных прямых, будучи перпендикулярны
к рёбрам, лежали не в биссектральных плоскостях углов, смежных
с двугранными углами трёхгранного угла, а в биссектральных пло-
скостях самих двугранных углов (ср. решение упр. 488), то перпен-
дикулярные к ним плоскости были бы биссектральнымн плоскостями
углов, смежных с двугранными углами, а не самых двугранных углов.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к задаче 638,1°.
3°. Пусть, наконец, данные прямые Sa, Sb и Sc служат соответ-
ственно линиями пересечения плоскостей граней BSC, CSA и ASB
искомого трёхгранного угла SABC с биссектральнымн плоскостями
углов, смежных с его двугранными углами, или самых его двугранных
углов (упр. 490,2° и примечание к решению этого упражнения), при-
чём одной из этих биссектральных плоскостей служит данная пло-
скость Р.
В силу сказанного в решении упражнения 490,2° плоскость, пер-
пендикулярная к прямой Sa, проходит через ребро SA' трёхгранного
угла SA'B'C, пополнительного по отношению к искомому трёхгран-
ному углу SABC, и через биссектрису плоского угла B'SC илп угла,
с ним смежного. Аналогичными свойствами обладают и плоскости,
перпендикулярные соответственно к прямым Sb и Sc. Далее, прямая
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
•197
5/0> перпендикулярная к биссектральной плоскости Р двугранного
угла, при ребре SA или угла, с ним смежного, будет в пополнитель-
ном трёхгранном угле SA'B'C биссектрисой плоского угла B'SC пли
угла, с ним смежного.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к задаче 638, 3°.
640. Настоящее решение представляет собой обобщение первого
из решений задачи 639,1°, приведённых выше. При этом придётся
рассмотреть отдельно случай чётного и случай нечётного числа граней.
Начнём со случая чётного числа граней. Пусть данные прямые
Sa, Sb, Sc, Sd, Se и 5* служат соответственно биссектрисами углов,
смежных с плоскими углами ASB, BSC, CSD, DSE, ESF и FSA иске-’
мого, для определённости, шестигранного угла SABCDEF. Обозначим
через S/4', SB', ... и SF' продолжения рёбер SA, SB, ... и SF
за вершину 5.
Транспозиция относительно прямой Sa преобразует луч SA в про-
должение SB' луча SB, транспозиция относительно прямой Sb — луч
SB' в луч SC, ... и, наконец, транспозиция относительно прямой
Sf—луч SF в луч SA Иначе говоря, шесть последовательных транс-
позиций относительно прямых Sa, Sb, ... и Sf преобразуют луч SA
в тот же самый луч SA. Следовательно, луч SA есть один из лучей
оси L результирующего вращения шести последовательных транс-
позиций относительно осей Sa, Sb, ... и Sf. Эту ось можно найти,
как указано в п. 439 (пли же как указано в примечании 2° к реше-
нию упр. 613); она будет вполне определённой прямой, за исключе-
нием того случая, когда шесть данных последовательных транспози-
ций равносильны тождеству.
Обратно, пусть SA — один из лучей той прямой L, о которой
только что шла речь, SB' — луч, который получается из луча 5/Т
с помощью транспозиции относительно прямой Sa, SB—продолжение
луча SB' за точку S, SC — луч, который получается из луча SB'
с помощью транспозиции относительно прямой Sb, ..., SF' — луч,
который получается из луча SE с помощью транспозиции относительно
прямой Se, и, наконец, SF—продолжение луча SF' за точку S.
Можно доказать, что если лучи SA, SB, ..., и SF образуют шести-
’ранный угол, то последний удовлетворяет всем условиям задачи
(ср. доказательство соответствующего утверждения для случая трёх-
гранного угла в первом решении задачи 639,1°).
Если лучи S/4, SB, ... и SF, построенные, как только что было
указано, не образуют шестигранного угла (например, если три после-
довательные из них лежат в одной плоскости), то задача, очевидно,
не имеет решений. Если шесть последовательных симметрий относи-
тельно прямых Sa, Sb, ____, и Sf дают тождество, то задача имеет
бесчисленное множество решений. В остальных случаях задача имеет
два решения, а именно шестигранные углы SABCDEF и SA’В'СD'Е'F’,
симметричные относительно вершины.
Аналогично решается задача и в случае любого чётного числа граней.
-32 Элементарная геометрия, ч. II
498
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Переходим к случаю нечётного числа граней. Пусть данные пря-
мые Sa, Sb, Sc, Sd и Se служат соответственно биссектрисами углов,
смежных с плоскими углами ASB, BSC, CSD, DSE и ESA искомого,
для определённости, пятигранного угла SABCDE. Обозначим через
&4', SB', SC, SD' и SE' продолжения рёбер &4, SB, SC, SD и SE
за вершину S.
Транспозиция относительно прямой Sa преобразует луч ЗИ в про-
должение SB' луча SB, транспозиция относительно прямой Sb —
луч SB' в луч SC, ... и, наконец, транспозиция относительно пря-
мой Se — луч SE в продолжение SA' луча Иначе говоря, пять
последовательных транспозиций относительно прямых Sa, Sb,... и Se
преобразуют луч в его продолжение за точку S. Следова-
тельно, результирующее вращение пяти последовательных транспо-
зиций относительно прямых Sa, Sb, ... и Se должно быть транс-
позицией (так как вращение, отличное от транспозиции, не может
преобразовать какой-либо луч в его продолжение) , и луч SA дол-
жен быть перпендикулярен к оси L этой транспозиции. Ось L
можно найти тем же путём, как и в случае чётного числа граней (см.
выше).
Отсюда следует, что если пять последовательных транспозиций
относительно прямых Sa, Sb, ... и Se равносильны вращению, отлич-
ному от транспозиции, то поставленная задача не имеет решений.
Предположим теперь, что пять последовательных транспозиций
относительно прямых Sa, Sb, ... и Se равносильны одной транспози-
ции относительно некоторой прямой L. Обозначим через S/4 какой-
либо луч, выходящий из точки S и перпендикулярный к прямой L,
через SB'—луч, который получается из луча с помощью транс-
позиции относительно прямой Sa, через SB—продолжение луча SB1
за точку S, через SC — луч, который получается из луча SB' с по-
мощью транспозиции относительно прямой Sb, ... и, наконец, через
SE — луч, который получается из луча SD' транспозицией относи-
тельно прямой Sd. Можно доказать, что если лучи SA, SB, ... и SE
образуют пятигранный угол, то последний удовлетворяет всем усло-
виям задачи (ср. опять первое решение задачи 638,1°). Таким об-
разом, в рассматриваемом случае задача имеет, вообще говоря, бес-
численное множество решений, т. е. становится неопределённой.
При этом геометрическим местом рёбер S/4 будет, как видно из
предыдущего, плоскость М, проходящая через точку S и перпенди-
кулярная к прямой L, о которой говорилось выше, геометрическим
местом рёбер SB—та плоскость N, которая получается из плоско-
сти М с помощью транспозиции относительно прямой Sa, и т. д.
Прежде чем закончить решение предложенной задачи, докажем
следующее вспомогательное предложение:
Необходимое и достаточное условие, при котором вращение
около данной оси S! с произвольным углом поворопа и транспози-
ция относительно другой данной оси Se, пересекающей SI, выполнен-
ЗАДАЧИ К СЕДЬМОЙ КНИГЕ
499
ные последовательно, равносильны одной транспозиции, состоит
в том, что оси SI и Se взаимно перпендикулярны.
В самом деле, пусть результирующим перемещением данного вра-
щения около оси SI н транспозиции относительно другой данной оси Se
служит транспозиция относительно некоторой оси L. В таком случае,
результирующее перемещение трёх перемещений, а именно данного
вращения около оси SI и двух последовательных транспозиций относи-
тельно оси Se и опять относительно оси Se, т. е. данное вращение
около оси S/ (две последовательные транспозиции относительно одной
и той же оси Se дают тождество), будет и результирующим переме-
щением двух последовательных транспозиций относительно L и Se.
Так как две последовательные транспозиции относительно осей Ли Se
равносильны, таким образом, вращению около оси SI, то прямая Se
(а также и прямая L) перпендикулярна к SI (п. 438). Необходимость
условия доказана.
Докажем его достаточность. Пусть ось SI данного вращения пер-
пендикулярна к оси Se данной транспозиции. В таком случае данное
вращение можно разложить на две последовательные транспозиции
(п. 438, обратная теорема), вторая из которых имеет своей осью
данную прямую Se; обозначим через L ось первой транспозиции. При
этом данное вращение с осью SI и транспозиция относительно пря-
мой Se, выполненные последовательно, будут равносильны трём после-
довательным транспозициям относительно осей L, Se и опять Se, т. е.
одной транспозиции относительно прямой L. Наше вспомогательное
предложение полностью доказано.
Пусть теперь даны четыре прямые Sa, Sb, Sc u Sd; найдём
геометрическое место таких пятых прямых Se, что существует
пятигранный угол SAECDE, для которого четыре данные прямые
и прямая Se служат биссектрисами углов, смежных с его плоскими
углами.
Как мы видели выше, такой пятигранный угол существует, если
пять транспозиций относительно прямых Sa, Sb, ... и Se равносильны
одной транспозиции, иначе говоря, если два перемещения, а именно
результирующее вращение четырёх последовательных транспозиций
относительно прямых Sa, Sb, Sc и Sd и транспозиция относительно
пятой прямой Se, выполненные последовательно, равносильны одной
транспозиции. В силу доказанного только что вспомогательного пред-
ложения, ось Se последней транспозиции должна быть для этого пер-
пендикулярна к оси SI результирующего вращения четырёх последо-
вательных транспозиций относительно прямых Sa, Sb, Sc и Sd
Итак, геометрическое место прямых Se, удовлетворяющих по-
ставленному условию, есть, вообще говоря, плоскость, а именно
плоскость, перпендикулярная к только что определённой прямой St
и проходящая через точку S.
Всё сказанное выше о пятигранном угле сохраняет силу без суще-
ственных изменений и для любого нечётного числа граней.
32*
500
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
641. Пусть луч SA данной прямой служит одним из рёбер иско-
мого трёхгранного угла SABC, и данные плоскости Р, Q и под-
ходят соответствен но через его рёбра SA, SB и SC и через биссектрисы
противолежащих плоских углов.
Обозначим через А какую-либо точку луча SA и через В и С
такие точки соответственно лучей SB и SC, что SA=SB = SC.
Точка В, очевидно, получается из А с помощью транспозиции
относительно некоторой прямой, лежащей в плоскости R и проходя-
щей через точку S, а именно относительно биссектрисы угла ASB.
Следовательно, точка В лежит (ср. решение упр. 609) на вполне опре-
делённой окружности — геометрическом месте точек, которые полу-
чаются из точки А с помощью транспозиций относительно прямых,
лежащих в плоскости R и проходящих через точку S. Таким обра-
зом, точкой В должна быть одна из точек пересечения этой окруж-
ности с плоскостью Q. Точка В может занимать два различных поло-
жения в пространстве, если окружность пересекает плоскость Q, одно
вполне определённое положение, если окружность касается плоскости Q,
и вовсе не существует, если окружность не имеет общих точек с пло-
скостью Q.
Аналогично определяется и положение точки С.
Можно доказать, что если точки В и С определены, как только
что было указано, то трёхгранный угол SABC удовлетворяет всем
поставленным условиям.
Действительно, точки А, В и С, а следовательно, и рёбра SA, SB и SC
лежат соответственно в плоскостях Р, Q и /?. Биссектриса плоского угла ASB
лежит в плоскости R, так как точка В получается, по построению, из точки А,
а следовательно, и луч SB—из луча SA с помощью транспозиции относи-
тельно некоторой прямой, лежащей в плоскости R. Анало1ично, биссектриса
Плоского Vi ла ASc лежит в плоскости Q. Наконец, плоскость Р проходит
через биссектрису плоского угла BSC, так как она проходит через ребро SA
и через линию пересечения плоскостей Q и R.
Заметим ещё, что если некоторый трёхгранный угол SABC, по-
строенный, как указано выше, исходя из какой-либо точки А данной
прямой SA, удовлетворяет условиям задачи, то и трёхгранный
угол SA'B'C, где SA', SB' и SC—продолжения рёбер SA, SB и SC
за вершину S, также удовлетворяет условиям задачи.
КНИГА ВОСЬМАЯ.
КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I (стр 137).
D
Черт. 407.
642. Пусть прямая D, не являющаяся образующей данной цилин-
дрической поверхности с круговым основанием С, имеет с последней
общую точку А (черт. 407). Плоскость Р, проходящая через прямую D
и параллельная образующим поверхности, пересекает плоскость окруж-
ности С по некоторой прямой £)0. Образующая данной поверхности,
проходящая через точку А, необходимо проходит и через одну из
общих точек Ао окружности С и
прямой Do. Таким образом, каж-
дой общей точке данной цилин-
дрической поверхности и прямой
D соответствует общая точка ок-
ружности С и прямой О0. Оче-
видно, что и обратно, каждой та-
кой общей точке окружности С
и прямой Do соответствует одна °
общая точка данной поверхности
и прямой D. Так как прямая £>0
может иметь с окружностью С не
более двух общих точек, то и пря-
мая D, отличная от образующих,
может иметь с поверхностью не бо-
лее двух общих точек.
Отсюда и вытекает, что если
некоторая прямая имеет с данной
цилиндрической поверхностью с круговым основанием более двух общих
точек, то она является образующей этой поверхности.
643. Пусть какая-либо хорда АВ данной цилиндрической поверх-
ности, проходящая через данную точку О, делится пополам в точке Л4
(черт. 407). Обозначим через Ао и Во точки пересечения образую-
щих, проходящих соответственно через А и В, с плоскостью основа-
ния цилиндра, через О0 и /Ио—точки пересечения с той же плоско-
стью прямых, параллельных образующим и проходящих соответственно
через точки О и /И. Точки Ао, Во, О0 в Л70 лежат на одной пря-
мой, и М0А0 — МпВ0.
Геометрическое место середин Мо хорд А0В0 данной окружности,
проходящих через одну и ту же точку 0о, есть окружность или дуга
окружности (Пл., решение упр. 60). Следовательно, геометрическое
место точек /И есть цилиндрическая поверхность с круговым основа-
нием или часть такой поверхности, ограниченная двумя её образую-
щими. Действительно, геометрическое место точек М можно получить,
502
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
проводя через каждую точку Af0 прямую, параллельную образующим
данной поверхности.
644. Пусть для определённости цилиндр вращения задан своей
осью и радиусом.
Для решения поставленной задачи проводим через данную точ-
ку М плоскость Р, перпендикулярную к оси цилиндра; обозначим
через О точку пересечения плоскости Р с этой осью. Из точки О как
из центра описываем в плоскости Р окружность С данным радиусом
(эта окружность будет направляющей цилиндра). Далее, проводим
в плоскости Р из данной точки М касательные к окружности С;
пусть А — какая-либо из точек касания. Через точку А проводим пря-
мую L, параллельную оси цилиндра (эта прямая будет образующей).
Плоскость, проходящая через прямую L и данную точку М, и будет
искомой.
Задача имеет два решения, одно решение или не имеет решений
в зависимости от того, лежит ли точка М вне окружности С, на
окружности С или внутри окружности С.
645. Пусть прямая, соответствующая данной прямой D в одной из
рассматриваемых гомотетий, пересекает данную окружность С, и
коэффициент подобия имеет данное (по величине и знаку) значение k.
Рассуждая, как в решении упражнения 627 (только вместо пря-
мой D’ имеем окружность С), мы придём к заключению, что искомое
геометрическое место есть геометрическое место точек S, делящих
в данном отношении
^ = k (Z^l) (1)
все отрезки А'А, где А' — произвольная точка окружности С', и Л —
произвольная точка прямой D.
Найдём это последнее геометрическое место. Для этого найдём
сначала геометрическое место точек S при условии, что точка А' окруж-
ности С фиксирована, а точка А описывает прямую D. В силу равен-
ства (1), геометрическим местом точек S будет при этом условии пря-
мая Д, параллельная D и лежащая в плоскости, проходящей через
прямую D и точку А'. Следовательно, геометрическое место всех
точек 5 есть цилиндрическая поверхность, образованная прямыми Д,
параллельными данной прямой D.
С другой стороны, геометрическое место точек 5, соответствующих
фиксированной точке А прямой D и произвольным точкам А' окруж-
ности С, представляет собой в силу того же равенства (1) окруж-
ность Г, гомотетичную окружности С относительно точки А ^коэффи-
циент подобия А$:ЛЛ' равен Эта окружность Г будет напра-
вляющей цилиндрической поверхности —геометрического места всех
точек S.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА I
503
Итак, геометрическое место центров подобия есть цилиндрическая
поверхность с образующими, параллельными прямой D; за направляю-
щую этой поверхнос ги можно принять окружность I', соответствующую
какой-либо точке А прямой D, как только что было указано.
646. Пусть АВС—данный треугольник, М—произвольная точка
пространства, Мо — проекция точки М на плоскость АВС. Проекция
точки М на сторону ВС совпадает с проекцией на ту же прямую
точки 7И0, и то же имеет место для двух других сторон. Если проек-
ции точки М на три стороны треугольника лежат на одной прямой,
то и проекции точки Л40 на три стороны треугольника также лежат
на одной прямой, и обратно.
Геометрическое место точек Л10 плоскости АВС, проекции кото-
рых на три стороны треугольника АВС лежат на одной прямой, есть
окружность, описанная около треугольника (Пл., упр. 72). Отсюда
следует, что геометрическое место точек М есть цилиндр вращения,
имеющий своим основанием окружность, описанную около данного
треугольника.
647. Пусть некоторая поверхность вращения является в то же время
и цилиндрической поверхностью.
Примем одну из параллелей С этой поверхности вращения за на-
правляющую цилиндра. Так как центры всех других параллелей дан-
ной поверхности вращения должны лежать на прямой, перпендикуляр-
ной к плоскости окружности С и проходящей через центр последней,
то и образующие должны быть перпендикулярны к плоскости окруж-
ности С. Таким образом, данная поверхность действительно принад-
лежит к числу поверхностей, рассмотренных в п. 463.
648. Пусть h — высота литра, служащего для измерения сыпучих
тел, h’ — высота литра, служащего для измерения жидкостей. Прини-
мая за единицу измерения сантиметр, будем иметь уравнения
тг-1 000 и .А=1 000, откуда h— 10,8 сщ и Л'=»
= 17,2 см.
649. Объёмы, образованные вращением прямоугольника со сторо-
нами а и b последовательно около этих двух сторон, равны соответствен-
но nab2 и пагЬ, откуда следует, что отношение этих объёмов равно Ь‘.а.
650. Пусть АВ и CD (черт. 408)—два взаимно перпендикуляр-
ных диаметра данной окружности с центром О и радиусом г; OEFG —
прямоугольник со сторонами OE=GF=^x и OG — EF=у, рас-
положенный, как указано в условии задачи.
Полная поверхность цилиндра, образованного вращением этого
прямоугольника около стороны OG, равна 2пх2 4- 2пху — 2пхг -{-
•4-271x1' г2—хг. Если эта поверхность имеет данное значение 2nf
(множитель 2тг введён для упрощения дальнейших выкладок), то сто-
рона х прямоугольника удовлетворяет уравнению.
х24-хрг2—х2=/, (1)
604
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
где f—данное положительное число. Кроме того, сторона х удовле-
творяет очевидным неравенствам
0<^x<V. (2)
Уравнение (1) принимает после соответствующих преобразований
и подстановки х2 = и следующий вид:
(« г2)=°, <3а>
или:
2а2 — (2/-]-г2) w-!~/2 = 0. (ЗЬ/
Уравнение (ЗЬ) имеет действительные корни при условии, что (2/-|-г2)2—
— 8/2 0, т. е.
Черт. 408.
откуда
1—jZ’2
L+V2 гз
2 ' —/ — 2
Так как /^>0 по самому смыслу задачи,
то достаточно рассматривать значения /,
удовлетворяющие условию
О
Н)
2
При этом корни уравнения (ЗЬ) всегта
положительны, так как коэффициент при
первой степени и отрицателен, а свободный член положителен.
Обратно, пусть и— один из корней уравнения (ЗЬ). Соответствую-
щее ему значение х = 1 и^>0 удовлетворяет, как это следует из
формы (За) уравнения (ЗЬ), уравнению
xj/r2— х2 —|у—хг |. (5)
Отсюда видно, в частности, что х^г, так как Ф г2— хг есть дей-
ствительное число, равное |/ — х2|:х. Из последнего уравнения (5)
видно, что найденное таким образом значение х удовлетворяет всем
условиям задачи, т. е. уравнению (1) и неравенствам (2) при
ха — и <^f
(6)
и не удовлетворяет условиям задачи при и /.
Итак, полная поверхность рассматриваемого цилиндра может
иметь данное значение 2тт/’ только при условии, что f удовлетворяет
неравенствам (4); соответствующее значение и=хг квадрата радиуса
основания цилиндра должно удовлетворять уравнению (ЗЬ) и усло-
вию (6).
Покажем теперь, что уравнение (ЗЬ) имеет при всех значениях /,
удовлетворяющих неравенствам (4), хотя бы один корень, удовлетво-
ряющий условию (6). С этой целью введем новое неизвестное по-
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА I
50&
лагая u — v-[-f, и составим то уравнение, которому удовлетворяет v;
подставляя в уравнение (ЗЬ) вместо и его значение получим:
2®з + (2/ + г2)г,+/(/—г2) = 0- (7>
Это уравнение имеет при всех значениях /, удовлетворяющих усло-
вию (4), как и уравнение (ЗЬ), действительные корни; так как коэф-
фициент при первой степени v положителен, то хотя бы один из этих
корней отрицателен. Следовательно, в силу соотношения u —
хотя бы один из корней уравнения (ЗЬ) будет удовлетворять условию (6).
Уравнение (7) имеет, как легко видеть, при
два, а при
и при
+ гг
1 " 2
/=1±р^
(8а)
(8Ь)
(8с).
только один отрицательный корень. Следовательно, уравнение (ЗЬ) имеет в слу-
чае (8а) два, а в случаях (8Ь) и (8с) только один корень, удовлетворяющий
условию (6).
Поэтому в случае (8а) среди рассматри-
ваемых цилиндров имеется два различных
цилиндра, полная поверхность которых рав-
на 2л/, а в случаях (8ь) и (8с) — только один
такой цилиндр.
Из сказанного следует, что наибольшее
значение, которое может иметь полная по-
верхность рассматриваемого цилиндра, по-
, 14-Е2 , ос
лучается при / =——’-----г2 и равно 2п/ =
—тг(1-}-|/ 2 )г2. Соответствующее значение
квадрата радиуса основания цилиндра нахо-
дится из уравнения (ЗЬ) и равно и = х2 —
4
651. Пусть требуется вычислить часть
боковой поверхности данного цилиндра
вращения (черт. 409), ограниченную ду-
гой N0N основания, дугой линии
пересечения поверхности цилиндра с пло-
скостью АВС, проходящей через диаметр
Черт. 409.
АВ основания, и отрезками /И0Л70 и MN
двух его образующих.
Разделим дугу N0N (черт. 410) точками Nt, N2, ... на произ
вольное число п равных частей, приведём образующие M2N2, ...
через точки деления (черт. 409) и построим (прямолинейные) трапе-
60S
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ции TMoVo/Vj/Wj, MXNXN2M2, ... (не показанные на чертеже). Искомая
часть боковой поверхности цилиндра определяется как предел суммы
площадей таких трапеций при неограниченном возрастании п.
Для вычисления этого предела опустим из точек /Vo, Nx, ...
перпендикуляры N0K0, NXKX, ... на диаметр АВ и заметим, что
MO\\:NOKO = MXNX:NXKX = ...==MN:Nf<. Пользуясь этими пропор-
циями, мы будем иметь:
пл. MONONXMX = 1.(Af0ZV0 4- MXNX) • .V0M =
Далее мы имеем (черт. 411): NXKX) — IL, где I—середина
отрезка КйК, L — середина хорды N$NX. Из подобия треугольников
Черт. 410. Черт. 411.
OLI и NXNOH, где Н—основание перпендикуляра, опущенного из
точки Nx на прямук! K0N0, находим: IL-N0NX = NXH-OL = /(0KX-OL.
Итак,
пл. M0V0NXMX=^-OL.K0KX.
Так как равные хорды Л/o'Vj, NXN2, ... равноудалены от центра, то
мы будем аналогично иметь;
пл. MXNXN2M2 = ^.OL.КхК2,
и т. д. Таким образом, для суммы площадей построенных трапеций
будем иметь: ОТ-(/<0^4-Д',/<2-1-...)=^ ОТ-При из-
менении числа делений п отрезки MN, NK и не изменяются, а
отрезок OL имеет своим пределом при неограниченном возрастании п
радиус ОА. Отсюда следует, что величина искомой части поверхности
цилиндра равна ~ • О А- К0К= ~~ОА-К0К.
/УК /УлК о
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА 1
507
Если на чертеже даны диаметр АВ окружности, точки /v0 и N и
отрезок, равный MN (или равный A/o/Vo—несущественно), то мы мо-
жем построить отрезки NK и КйК, затем отрезок -К^К, как чет-
вёртый пропорциональный к трём известным отрезкам, и, наконец,
прямоугольник со сторонами -KQK и О А. Последний и будет рав-
новелик данной части поверхности.
652. Пусть дана цилиндрическая поверхность с круговым основанием
С. Проведём через центр О окружности С прямую, параллельную обра-
зующим поверхности. Докажем
предварительно, что любая точ-
ка О' прямой, проходящей через
центр О основания и параллель-
ной образующим цилиндра 1еской
поверхности (черт. 412), есть
центр симметрии этой поверх-
ности.
Черт. 413.
Черт. 412.
Действительно, пусть А — некоторая точка поверхности. Плоскость,
проходящая через точку А и прямую 00', пересекает окружность С по
диаметру, а цилиндрическую поверхность — по двум образующим,
равноудалённым от прямой 00'. Следовательно, прямая АО' пересекает
второй раз цилиндрическую поверхность в такой точке А', что
О' А = О' А'. Это и значит, что точка О' есть центр симметрии по-
верхности. Доказанным предложением мы вскоре воспользуемся.
Пусть теперь данная цилиндрическая поверхность пересечена двумя
плоскостями, не параллельными между собой, по двум кривым Г' и Г'
(черт. 413). Обозначим через О' и О" те точки, в которых плоскости
этих сечений пересекают прямую, проходящую через центр О осно-
вания С и параллельную образующим. Проведём через точки О' и О"
508
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
плоскости, параллельные основанию. В сечении получим две окружности
С u С".
Плоскости сечений С и Г' определяют тве части цилиндрической
поверхности. Каждая из этих частей (одна из них на черт. 413 за-
штрихована) ограничена одной из дуг окружности С и одной из дуг
кривой Г', причём обе дуги имеют своими концами точки пересечения
А' и В'. Выбирая на одной из этих частей какую-либо точку М', на
другой—точку Л/', мы обозначим величины поверхности этих двух
частей соответственно через пов. Г'М'С и пов. Y'N'C. Величину поверх-
ности каждой из этих двух частей можно рассматривать (как это было
сделано в упр. 651 для случая прямого цилиндра) как предел некото-
рой многогранной поверхности, вписанной в данную часть цилиндри-
ческой поверхности •). Но обе части цилиндрической поверхности, о ко-
торых идёт речь, симметричны относительно точки О в силу предложения
доказанного в начале решения; следовательно, и вписанные в них
многогранные поверхности можно всегда выбирать так, чтобы они
были симметричны относительно точки О. При этом обе многогранные
поверхности будут иметь одну и ту же величину. Переходя к пределу,
получим:
пов. Г'/И'С' = нов. V'.V'C. (1)
По тем же соображениям имеет место аналогичное равенство и тля
двух частей цилиндрической поверхности, ограниченных кривыми С"
и Г":
пов. Г'Ж"С"=пов. Г"ЛГС". (2).
Обозначая теперь через пов. ГТ" величину той части цилиндри-
ческой поверхности, которая ограничена кривыми Г' и Г", и пользуясь
аналогичным обозначением пов. С С", найдём, что пов. ГТ"=пов. С'С"-\~
-(-пов. f'.V'C'-j-пов. Г"Л/"С" — пов. Г'М'С — пов. V"M"C". В силу ра-
венств (1) и (2), это соотношение приводит к одному из искомых
равенств, а именно нов. Г'Г" = пов. С С”.
Доказательство для случая объёмов остаётся буквально тем же
объём каждого из тел, ограниченных плоскостями кривых Г' и С' и
теми двумя частями цилиндрической поверхности, которые ограничены
кривыми Г' и С, определяется как предел некоторого вписанного много-
гранника 2); многогранники эти, вписанные в два тела, симметричные
относительно точки О, можно выбрать так, чтобы они были симметричны
относительно той же точки; и т. д.
’) Для случая наклонного цилиндра доказательство существования этого
предела и его вычисление не выполнимы средствами элементарной геометрии.
Самое существование предела мы будем считать очевидным.
-) Здесь можно было бы повторить для любого цилиндра с круговым осно-
ванием сказанное в предыдущей сноске по поводу величины поверхности.
КНИГА ВОСЬМАЯ, ГЛАВА И
509
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II (стр. 143).
653. Прямая, проходящая через вершину 6’ некоторой конической
поверхности, либо имеет с этой поверхностью только одну общую
точку S, либо служит образующей этой поверхности.
Пусть теперь прямая D, не проходящая через вершину данной ко-
нической поверхности с круговым основанием С, имеет с поверхностью
общую точку А (ср. решение упр. 642). Плоскость Р, проходящая
через прямую D и через вершину S, пересекает плоскость окружности
С по некоторой прямой £)0. Образующая данной поверхности, прохо-
дящая через точку А, необходимо проходит и через одну из общих
точек Ао окружности С и прямой Do. Таким образом, каждой общей
точке данной конической поверхности и прямой D соответствует общая
точка окружности С и прямой О0. Очевидно, что и обратно, каждой
такой общей точке окружности С и прямой Do соответствует одна
общая точка данной поверхности п прямой D. Так как прямая Do может
иметь с окружностью С не более двух общих точек, то и прямая D,
не проходящая через вершину S данной конической поверхности, может
иметь с поверхностью не более двух общих точек.
Отсюда и вытекает, что если некоторая прямая имеет с данной
конической поверхностью с круговым основанием более двух общих
точек, то она является образующей этой поверхности.
654. Пусть некоторая поверхность вращения является в то же время
и конической поверхностью.
Примем одну из параллелей С этой поверхности вращения за на-
правляющую конуса. Осью поверхности вращения будет перпендику-
ляр D к плоскости окружности С, восставленный в центре последней.
Так как конус имеет только одну вершину, то эта вершина должна
переходить сама в себя при вращении поверхности около её оси. От-
сюда следует/ что вер-
шина конуса должна ле-
жать на прямой D. Таким
образом, данная поверх-
ность действительно при-
надлежит к числу конусов
вращения, рассмотренных
в п. 466.
655. Пусть S — вер-
шина данного конуса, С—
окружность его основания.
Соединим данную точку М
прямой с вершиной конуса.
Если прямая SM пересекает плоскость основания конуса в некото-
рой точке Р (черт. 4 14), то проводим через эту точку касательные
к окружности С; пусть А и В— точки касания. Плоскости SAM и
S/И В и будут, как легко видеть, искомыми. Задача будет иметь два
510
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
решения, одно решение пли вовсе не будет иметь решений в зависи-
мости от того, лежит ли точка М вне окружности С, на окружности
или внутри окружности.
Построение требует видоизменения, если прямая SM окажется парал-
лельной плоскости основания. В этом случае строим касательные к ок-
ружности С, параллельные прямой SM. Плоскости, проведённые через
вершину конуса и через каждую из этих касательных, и будут иско-
мыми. В этом случае задача имеет два решения.
656. Пусть конус вращения с вершиной 5 касается граней двугран-
ного угла с ребром SP вдоль образующих 5Л и SB (черт. 414). Обо-
значим через О центр основания конуса.
1) Треугольники SPA я SPB равны по равенству трех сторон;
следовательно, / PSA — X PSB.
2) Трёхгранные углы SOP А и SOPB симметричны по равенству
трёх плоских углов. Следовательно, равны их соответственные дву-
гранные углы при общем ребре SP.
Таким образом, доказаны оба утверждения теоремы.
657. Пусть SO — ось одного из конусов вращения, касающихся
двух данных плоскостей PSA и PSB (черт. 414). Плоскость PSO об-
разует с этими двумя плоскостями равные двугранные углы (упр. 656)
и потому является биссектральной плоскостью одного из двугранных
углов, образованных данными плоскостями.
Обратно, пусть SO — некоторая прямая, лежащая в такой биссек-
тральной плоскости и пересекающая ребро двугранного угла в неко-
торой точке S, и О—произвольная точка на этой прямой. Проводим
через точку О плоскость, перпендикулярную к прямой SO, и обозна-
чим через Р точку пересечения этой плоскости с ребром двугранного
угла (мы предполагаем, что построенная плоскость пересекает ребро
последнего), через РА и РВ — линии пересечения той же плоскости
с его гранями. Прямая РО будет биссектрисой угла АРВ (ср. реше-
ние упр. 463). Следовательно, существует окружность с центром О,
лежащая в построенной плоскости и касающаяся прямых РА и РВ.
Конус, имеющий эту окружность направляй шей и точку S своей вер-
шиной, касается обеих плоскостей SPA и SPB. Это рассуждение тре-
бует небольшого видоизменения, если плоскость, проходящая через
точку О и перпендикулярная к прямой SO, параллельна линии пере-
сечения данных плоскостей.
Из сказанного следует, что искомое геометрическое место есть пара
биссектральных плоскостей двугранных углов, образованных данными
плоскостями.
658. Ось конуса вращения образует равные углы со всеми его
образующими. Следовательно, ось любого из рассматриваемых конусов
образует с обеими данными прямыми равные углы. Обратно, любую
прямую, образующую с двумя данными прямыми равные углы, можно
принять, очевидно, за ось конуса вращения, проходящего через обе
вти прямые. В силу п. 356, искомое геометрическое место есть пара
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА II
511
взаимно перпендикулярных плоскостей; обе эти плоскости перпенди-
кулярны к плоскости, в которой лежат данные прямые, и проходят
через биссектрисы образованных ими углов.
659. Пусть 5—данная точка (черт. 415), Р—проходящая через
неё плоскость, Л40— какая-либо одна точка искомого геометрического
места, М—произвольная точка того же геометрического места, 7H0V0
и MN—расстояния точек Л40 и М от плоскости Р, SO—перпенди-
куляр к плоскости Р в точке 5.
По условию имеем. Л18:A4N — A40S:AI0N0. Следовательно, тре
угольники MSN и /I4OS,VO подобны, откуда __MSN = / MnSN0, и
потому X MSO — / MnSO или
/ MSO = 180° — / Мф8О. Обрат-
но, если для некоторой точки М
пространства выполняется одно из
двух последних равенств, то мы имеем:
MS'.MN^M^-.M^N^
Отсюда следует, что искомое
геометрическое место есть конус
вращения, имеющий точку S своей
вершиной, прямую 80 — своей осью
и проходящий через какую-либо одну
из точек /Ио, для которой отноше- Черт. 415.
ние Af(1S:/W0A/0 её расстояний от
данной точки и от данной плоскости имеет заданное значение
660. Через вершину данного конуса (точнее говоря, данной кони-
ческой поверхности) и через центр окружности его основания прово-
дим плоскость Р, перпендикулярную к плоскости основания. Так как
точки окружности основания попарно симметричны относительно плос-
кости Р, а вершина конуса лежит в самой плоскости Р, то фигура,
симметричная с любой образующей конуса относительно плоскости Р,
есть также образующая того же конуса. Отсюда и следует, что плос-
кость Р есть плоскость симметрии конуса.
Далее вершина 5 всякой конической поверхности есть, очевидно,
её центр симметрии.
Применим теперь к данному случаю следующее общее предложе-
ние (п. 443): две фигуры, симметричные с одной и той же третьей
фигурой, одна относительно то1,ки S, другая относительно плос-
кости Р, проходящей через точку S, получаются одна из другой
с помощью транспозиции относительно прямой, проходящей через
точку S и перпендикулярной к плоскости Р. При этом за каждую
из трёх фигур, о которых идёт речь, примем данную коническую
поверхность. Так как эта поверхность имеет плоскость Р своей плос-
костью симметрии н точку S—своим центром симметрии, то кони-
ческая поверхность не изменяет своего положения в пространстве
(совмещается сама с собой) при транспозиции относительно прямой, про-
ходящей через вершину 5 и перпендикулярной к плоскости Р. Следо-
512
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ .
вательно, эта прямая и будет осью транспозиции данного гео-
нуса.
661. Так как ось конуса вращения образует равные углы со всеми
его образующими, то осью искомого конуса может быть только пря-
мая, проходящая через точку пересечения 5 трёх данных прямых и
образующая с ними равные углы. Обратно, всякая прямая, удовлетво-
ряющая этим условиям, будет действительно осью одного из искомых
конусов.
Таким образом, задача сводится к рассмотренной в упражнении 445.
Задача имеет четыре решения (если, конечно, три данные прямые
не лежат в одной плоскости). Пусть одна из искомых прямых (точнее
говоря, какой-либо из лучей этой прямой, выходящих из точки 5)
образует равные углы с полупрямыми SA, SB и SC трёх данных пря-
мых и «у/Г, SB' и SC — продолжения этих трёх полупрямых за точку 5;
три другие искомые прямые образуют равные углы—одна с полупря-
мыми 5/Г, SB и SC, другая с 54, SB' и SC, третья с 54, SB и SC.
Пусть теперь даны два конуса вращения с общей вершиной 5,
имеющие три общие образующие. Обозначим эти образующие через
54, SB и SC, выбрав обозначения так, чтобы полупрямые SA,
SB и SC образовали равные углы с осью первого данного конуса.
При этом второй из данных конусов будет одним из тех трёх конусов,
о которых только что шла речь. Обозначения всегда можно выбрать
так, чтобы ось второго данного конуса образовала равные углы с по-
лупрямыми 54', SB и SC, где SA' — опять продолжение луча 54
за вершину 5. В таком случае оси обоих данных конусов будут ле-
жать в плоскости М, перпендикулярной к плоскости угла BSC и про-
ходящей через биссектрису последнего. Отсюда следует, что плоскость
Л1 будет общей плоскостью симметрии обоих данных конусов По-
Черт. 416.
этому оба конуса будут проходить через четвёртую
общую прямую SD, симметричную с 54 относитель-
но плоскости М (прямая SD совпадает с прямой
54, если последняя лежит в плоскости /И, т. е. если
Z_ASB=^ Z_ASC}.
Для построения прямой SD надо построить
плоскость 7И, проходящую через осп обоих кону-
сов. Две из общих образующих будут, как это
следует из сказанного, симметричны относительно
плоскости М. Прямая, симметричная третьей общей
образующей относительно плоскости М, и будет
четвёртой общей образующей.
662. Предположим, что выпуклый четырёх-
гранный угол SABCD (черт. 416) вписан в конус
вращения так, что все его рёбра лежат на одной и той же поло-
сти конуса. Пусть SO тот из лучей оси конуса, который проходит
внутри этой полости конуса. Так как рёбра 54, SB, SC и SD четырёх-
гранного угла образуют равные углы с полупрямой SO, то трёхгранные
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА И
513
углы SO АВ, SOBC, SOCD и SODA будут равнобедренными. Следо-
вательно, мы будем иметь / O-SA-B = ^/_ O-SB-A; / Q-SB-C=
^2.0-SC-B; /_O-SC-D = /_O-SD-C; /_O-SD-A = /_O-SA-D.
Если луч SO проходит внутри четырёхгранного угла, то отсюда сле-
дует, что
/ В • SA • D X. В • SC D = (/2 О • 5А • В О • &4 - D) -
4-(Z O-SC-B-\-^ O-SC-D}~(/_ O-SB-A-[-£ O-SD-A} -
\-(Z.O-SB-c\- ^O-SD-C) = Z.A-SB-C + Z.A-SD-C,
i. e.
/_B-SA-D-\- ^B-SC-D = Z. A-SB-C + ^/_A-SD-C. (1)
Если ось SO проходит вне четырёхгранного угла, например в области,
ограниченной гранью BSC и боковой поверхностью конуса (черт 417),
то мы будем иметь аналогично:
^B-SA-D-Y^B-SC-D=(Z_O-SA-B-^^O-SA-D)-\-
-\-(^0-SC-D—^0SC-B)=(Z_0-SB-A — ^0-SB-C}-\-
О-SD-С-4- /_O-SD-A)~- \/A-SB-C~\- /_A-SD-C.
Мы получили то же равенство (1), что и выше.
Равенство (1) и показывает, что суммы противоположных двугран-
ных углов данного четырёхгранного угла равны.
Обратно, пусть в некотором выпуклом четырёхгранном угле SABCD
(черт. 418 и 419) суммы противоположных двугранных углов равны,
так что имеет место равенство (1). Предположим, что обозначения вы-
браны так, что двугранный угол при ребре SA меньше двугранного
угла при ребре SD и, следовательно, в силу равенства (1), двугран-
ный угол при ребре SC больше двугранного угла при ребре SB; та-
такой выбор обозначений невозможен только тогда, когда все двугран-
ные углы данного четырёхгранного угла между собой равны. Этот
случай мы пока исключим из рассмотрения. Построим при ребре SC
33 Элементарная геометрия, ч. II
514
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
данного четырёхгранного угла двугранный угол B-SC-E, равный дву-
гранному углу A-SB-С и расположенный от плоскости BSC по туже
сторону, что и грань ASD. Вторая грань построенного двугранного
угла пройдёт внутри двугранного угла B-SC-D (так как двугранный
угол при ребре SC больше, чем при ребре SB); линия пересечения
SE второй грани нового двугранного угла с плоскостью грачи ASB
может проходить внутри угла ASB (черт. 417), а может и не про-
ходить (черт. 418). Аналогично строим двугранный угол A-SD-F,
равный двугранному углу B-SA-D. Обозначим через SG линию пере-
сечения вторых граней построенных двугранных углов. Мы будем
иметь, принимая во внимание равенство (1), / G-SC-D — /_B-SC-D —
-Z_B-SC-E=/_B-SC-D — /_A-SB-C = Z_C-SD-A —
~ Z_C-SA-B = X_C-SD-A — /_A-SD-F= /_G-SD-C. Таким об-
разом, все три трёхгранных угла SEBC, SFAD и SGCD будут равно-
бедренными.
Плоскости, проходящие через биссектрисы плоских углов BSC,
CSD и DSA данного четырёхгранного угла и перпендикулярные к пло-
скостям этих углов (не показанные на чертеже), будут играть ту же
роль соответственно в равнобедренных трёхгранных углах SEBC, SGCD
и SFDA и потому будут (упр. 494) биссектральными плоскостями
углов при их рёбрах SE, SG и SF. Поэтому те же три плоскости
будут и биссектральными плоскостями двугранных углов при рёбрах
SE, SG и SF трёхгранного угла SEFG и, следовательно, будут про-
ходить (упр. 487) через одну прямую. Эта прямая образует, как легко
видеть (пользуясь п. 356), равные углы со всеми рёбрами четырёх-
гранного угла и потому будет осью описанного около него конуса
вращения.
Мы исключили выше случай, когда в данном четырёхугольнике
все четыре двугранных угла равны. В этом случае можно доказать,
что осью описанного конуса будет линия пересечения диагональных
плоскостей ASC и BSD (ср. заключительное примечание в решении
упр. 497).
Итак, необходимое и достаточное условие, при котором выпук-
лый четырёхгранный угол может быть вписан в конус вращения
так, что все его рёбра лежат на одной полости конуса, состоит
в том, что сумма двух противоположных двугранных углов равна
сумме двух других его противоположных двугранных углов *).
М1Ы рассматривали до сих пор только выпуклый четырёхгранный
угол, все рёбра которого лежат на одной и той же полости описан-
ного конуса. Перейдём теперь к общему случаю произвольного (а не
только выпуклого) четырёхгранного угла, рёбра которого могут лежать
как на одной и той же, так и на различных полостях описанного
конуса.
*) Доказательство, вполне аналогичное приведённому, можно применить
и к доказательству соответствующего свойства как плоского так и сфери-
ческого четырёхугольника.
КНИГА ВОСЬМАЯ- ГЛАВА II
515
Пусть четыре данные прямые—рёбра четырёхгранного угла вместе
с их продолжениями за вершину 5—служат образующими одного
конуса вращения. Лучи этих четырёх прямых, лежащие на одной из
двух полостей конуса, обозначим через S.4, SB, SC и SD таким обра-
зом, чтобы точки их пересечения с окружностью основания следовали
на этой окружности в порядке А, В, С и D (см. черт. 416). Мы по-
лучим, очевидно, выпуклый четырёхгранный угол SABCD, к которому
применимы предыдущие рассуждения. Рёбрами этого четырёхгранного
угла (вообще говоря, отличного от данного) будут служить некоторые
из рёбер данного четырёхгранного угла и продолжения остальных
рёбер за вершину последнего (если бы все рёбра четырёхгранного
угла SABCD оказались продолжениями рёбер данного, то мы заме-
нили бы построенный четырёхгранный угол SABCD данным углом,
симметричным ему относительно вершины). Отсюда вытекает такое
предложение.
Необходимое и достаточное условие, при котором четырёхгран-
ный угол (выпуклый или невыпуклый) может быть вписан в kohvc
вращения, состоит в том. что хотя бы в одном выпуклом четы-
рёхгранном угле, каждое ребро которого совпадает с одним из рё-
бер данного или с его продолжением за вершину, сумма двух про-
тивоположных двугранных
углов равна сумме двух
других его противополож-
ных двугранных углов.
Черт. 420.
663. Предположим, что выпуклый четырёхгранный угол SABCD
(черт. 420) вписан в два конуса вращения так, что все его рёбра
лежат на одной и той же полости первого из этих конусов (и не
лежат все на одной и той же полости второго). Пусть SO — тот из
лучей оси первого конуса, который лежит внутри этой полости, и SO' —
один из лучей осп второго конуса (не показанной на чертеже). Так
как плоскость М, проходящая через прямые SO и SO', есть общая
33*
516
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
плоскость симметрии обоих конусов, то рёбра четырёхгранного угла
SABCD попарно симметричны относительно этой плоскости (при этом
каждое из рёбер будет симметрично относительно плоскости Л1 именно
ребру четырёхгранного угла, а не его продолжению за вершину, так как
луч SO, лежащий в плоскости М, образует равные углы с рёбрами).
Отсюда следует, что соседние двугранные углы данного четырёх-
гранного угла попарно равны.
Обратно, пусть в некотором выпуклом четырёхгранном угле SABCD
(черт. 420) соседние двугранные углы попарно равны; для опреде-
лённости пусть
/_D-SA-B=/_A-SB-C и £B-SC-D=/_C-SD-A.
Обозначим через SP линию пересечения плоскостей BSC и DSA.
В силу равенства двугранных углов при рёбрах SA и SB, а также
при рёбрах SC и SD, трёхгранные углы SPAB и SPCD будут равно-
бедренными. Следовательно (упр. 494), биссектральная плоскость М
двугранного угла A-SP-B перпендикулярна к плоскости угла ASB и
делит его пополам; теми же свойствами обладает плоскость М и ио
отношению к плоскому углу CSD. Иначе говоря, лучи SA и SB,
а также SC и SD симметричны относительно плоскости М. Те два
конуса вращения, проходящие через прямые 5Д, SB и SC, оси кото-
рых лежат в плоскости М (ср. решение упр. 661), будут проходить
и через прямую SD, симметричную с SC относительно плоскости /14,
так как эта плоскость будет плоскостью симметрии для каждого из
этих конусов. Таким образом, данный выпуклый четырёхгранный угол,
имеющий две пары равных соседних двугранных углов, будет впи-
сан в два конуса вращения. Рёбра 5Л, SB. SC и SD будут лежать
на одной и той же полости одного из этих конусов; рёбра 5Д, SB
и продолжения 5(7 и SD' рёбер SC и SD за вершину—на одной и
той же полости другого.
Итак, необходимое и достаточное условие, при котором выпуклый
четырёхгранный угол может быть вписан в два конуса вращения
так, что все его рёбра лежат на одной и той же полости одного
из этих конусов, состоит в том, что данный четырёхгранный угол
имеет две пары равных соседних двугранных углов.
Оговорка .так что все его рёбра лежат на одной и той же полости од-
ного из этих конусов* существенна. Действительно, на чертеже 420 выпуклый
четырёхгранный угол SA’CBD’ (обратить внимание на порядок букв)1'), где
S/Г и Spy — продолжения рёбер SH и SD за вершину, вписан в те же два
конуса вращения с осями SO и SO', что и четырёхгранный угол SABCD.
Однако рёбра этого четырёхгранного угла SA’CBpy не лежат на одной и той
же полости ни того, ни другого из этих конусов; на одной и той же полости
конуса с осью SO лежат его рёбра SB и SC и продолжения SH и SD его
рёбер SH' и SD', иа одной и той же полости кон\са с осью SO' — его рёбра
SB и ВРУ и продолжения SH и SC' его рёбер SA' и SC. Четырёхгранный
угол SA’CBD' не будет, вообще говоря, удовлетворять сформулированному
J) Изображённый на чертеже 420 для наглядности отдельно справа.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА II
517
выше условию — его соседние двугранные углы не будут попарно равны
(если бы последнее обстоятельство имело место, то данный четырехгранный
угол SABCD был бы вписан еще и в третий конус вращения, на одной и той же
полости которого лежали бы лучи Х/Г SC, SB и S77).
Мы рассматривали до сих пор только выпуклый четырёхгранный
угол, все рёбра которого лежат на одной и той же полости одного
из двух описанных конусов. Перейдём теперь к случаю произвольного
(а не только выпуклого) четырёхгранного угла, рёбра которого могут
лежать как на одной и той же, так и на различных полостях каж-
дого из двух описанных конусов. Рассуждая как в решении упраж-
нения 662, мы получи® следующее общее предложение:
Необходимое и достаточное условие, при котором четырёхгран-
ный угол (выпуклый или невыиуклый) может быть вписан в два
конуса вращения, состоит в том. что хотя бы один выпуклый
четырёхгранный угол, каждое ребро которого совпадает с одним
из рёбер данного или с его продолжением за вершину, имеет две
пары равных соседних двугранных углов.
Пусть теперь тот же выпуклый четырёхгранный угол SABCD
(черт. 420), что и выше, вписанный в конусы вращения с осями SO
и SO', вписан и в третий конус вращения. Ось SO" этого последнего
конуса не может лежать в плоскости М, проходящей через прямые
SO и SO', так как в последней лежат оси только двух конусов, про-
ходящих через три прямые S4, SB и SC (ср. решение упр. 661).
Рассмотрим теперь плоскость N, проходящую через оси SO и SO".
Как и выше, рёбра S4, SB, SC и SD четырёхгранного угла SABCD
будут попарно симметричны относительно плоскости N, а именно ребро
<9.4 будет симметрично ребру SD, а ребро SB — ребру SC (при этом-
ребро S4 будет симметрично именно ребру SD, а не его продолже-
нию за вершину, так как луч SO, лежащий в плоскости N, образует
равные углы с рёбрами SA и SD; то же относится к рёбрам SB и
SC). Из существования плоскостей симметрии М и N следует равен-
ство всех двугранных углов четырёхгранного угла.
Обратно, пусть в некотором выпуклом четырёхгранном угле SABCD
(черт. 420) все четыре двугранных угла равны. При этом линия пере-
сечения SO его диагональных плоскостей ASC и BSD образует рав-
ные углы со всеми рёбрами (ср. заключительное примечание в реше-
нии упр. 497) и будет осью описанного конуса. Равнобедренные
трёхгранные углы SPAB и SP'CD, где РР' — линия пересечения пло-
скостей BSC и ASD, равны (по равенству трёх двугранных углов),
откуда Z PSA = PSB = /_Р’SC= /_P’SD = PSC = PSD',
где SC и SD'—продолжения рёбер SC и SD за вершину. Таким
образом, прямая SP служит осью второго описанного конуса. Нако-
нец, совершенно так же докажем, что линия пересечения SQ плоско-
стей ASB и CSD будет осью третьего описанного конуса.
Итак, необходимое и достаточное условие, при котором выпук-
лый четырёхгранный угол может быть вписан в три конуса вра-
518
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
щения, состоит в том, что все его двугранные углы равны между
собой.
Оговорка «так, что все его рёбра лежат на одной и той же полости од-
ного из конусов* в данном случае излишня ребра каждого из трёх выпуклых
четырёхгранных углов SABCD, SABC'D’, hSA'CBD' и каждого из трёх четы-
рёхгранных углов, им симметричных относительно вершины, необходимо лежат
на одной и той же полости одного из трёх конусов.
Докажем теперь, что оси SO, SP и SQ трёх конусов образуют
трёхгранный угол с тремя прямыми углами. Ось SO есть линия пере-
сечения плоскостей ASC и BSD и образует равные углы с рёбрами
SX, SB, SC и SD. Следовательно, транспозип'А относительно осн SO
преобразует друг в друга рёбра SA и SC, рёбра SB и SD, плоско-
сти ASB и CSD, а также плоскости BSC и DSA. Поэтому линия
пересечения SP плоскостей BSC и DSA и линия пересечения SQ пло-
скостей ASB н CSD преобразуются в себя при транспозиции относи-
тельно оси SO. Это показывает, что прямые SP и SQ обе перпенди-
кулярны к SO. Далее, две симметрии относительно плоскостей М и N,
выполненные последовательно, преобразуют ребро S4 в ребро SC
и потому равносильны транспозиции относительно оси SO. Но это
возможно только, если плоскости М и N взаимно перпендикулярны
(ср. решение упр. 613, примечание 1°). Так как прямые SP и SQ
обе перпендикулярны к SO и плоскости М и N взаимно перпенди-
кулярны, то трёхгранный угол SOPQ имеет три прямых плоских угла.
Переходя от случая выпуклого к случаю произвольного четырёх-
гранного угла и рассуждая опять, как в решении упражнения 662,
мы получим следующее общее предложение:
• Необходимое и достаточное условие, при котором четырёх-
гранный угол (выпуклый или невыпуклый) может быть вписан в три
конуса вращения, состоит в том, что хотя бы один выпуклый
четырёхгранный угол, каждое ребро которого совпадает с одним
из рёбер данного или с его продолжением за вершину, имеет четыре
равных двугранных угла.
664. Пусть искомый конус (или цилиндр) вращения должен ка-
саться трёх данных плоскостей Р, Q и R.
Если конус (или цилиндр) вращения касается плоскостей Р и Q,
то его ось лежит в одной из биссектральных плоскостей углов, обра-
зованных этими плоскостями; для случая конуса вращения это следует
из второй части упражнения 656, а для цилиндра легко выводится
из способа построения касательных плоскостей, приведённого в реше-
нии упражнения 644. Отсюда получается такой результат: чтобы найти
оси искомых конусов (или цилиндров), строим биссектральные пло-
скости двугранных углов, образованных данными плоскостями, и берём
линии их пересечения. Далее приходится рассматривать отдельно не-
сколько случаев (п. 333):
1) Три данные плоскости имеют единственную общую точку.
В этом случае биссектральные плоскости двугранных углов, образо-
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА II
519
ванных данными плоскостями, проходят по три через четыре прямые
(ср. упр. 487). Каждая из этих четырёх прямых будет осью одного
из искомых конусов; это легко следует из сказанного в решении упраж-
нения 657.
2) Три данные плоскости попарно пересекаются по прямым, парал-
лельным между собой. Пересекая данные плоскости четвёртой пло-
скостью, перпендикулярной к этим прямым, мы получим в сечении
три прямые, образующие треугольник. Вписанная и вневписанные
окружности этого треугольника будут соответственно направляющими
четырёх искомых цилиндров.
3) Две из данных плоскостей параллельны, а третья их пересекает.
В пересечении с четвёртой плоскостью, перпендикулярной к трём дан-
ным, получим две параллельные прямые, пересечённые третьей. Две
окружности, касающиеся этих трёх прямых (Пл., п. 94), будут на-
правляющими соответственно двух искомых цилиндров.
Таким образом, задача имеет по четыре решения в первых двух
случаях и два решения — в третьем. В остальных случаях, когда все
три плоскости проходят через одну прямую или все три параллельны,
задача, очевидно, не имеет решений.
Пусть теперь два конуса касаются трёх данных плоскостей Р,
Q и R. Эти два конуса принадлежат к числу тех четырёх конусов,
о которых шла речь выше (случай 1). Следовательно, их оси лежат
в одной из биссектральных плоскостей углов, образованных двумя
из трёх данных плоскостей. Эта биссектральная плоскость будет пло-
скостью симметрии для каждого из данных конусов. Поэтому оба
конуса будут иметь и четвёртую общую касательную плоскость, а именно
плоскость, симметричную с третьей из данных плоскостей относительно
указанной выше биссектральной плоскости. Способ построения этой
четвёртой общей касательной плоскости очевиден.
В частном случае эта четвёртая общая касательная плоскость может
совпадать с одной из данных (ср. упр. 661). Это будет в том случае,
когда плоскость, проходящая через оси обоих конусов, будет пер-
пендикулярна к одной из их общих касательных плоскостей. Оба дан-
ных конуса будут при этом касаться друг друга.
Примечания. 1. Приведённому только что построению конусов вра-
щения, касающихся трёх данных плоскостей, пересекающихся в одной точке,
соответству ет на шаре построение малых кругов, касающихся трёх данных
больших кругов, не проходящих через одну точку.
2. Из решения этой задачи вытекает следующее предложение:
Если два конуса имеют четыре общие касательные плоскости, то по-
следние попарно симметричны относительно плоскости, проходящей через
оси обоих конусов.
Рассматривая пересечение данных конусов с каким-либо шаром, имеющим
своим центром их общую вершину, мы получим соответствующее предложе-
ние для малых кругов на шаре (ср. решение упр. 499, построение о):
Если два малых круга имеют четыре общих касательных больших
круга, то последние попарно симметричны относительно плоскости боль-
шого круга, проходящего через полюсы обоих малых кругов.
520
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
665. Предположим, что выпуклый четырёхгранный угол SABCD
(черт. 308 на стр. 365) может быть описан около конуса вращения,
одна из полостей которого расположена внутри четырёхгранного угла.
Обозначим через SAf, SN, SP и SQ те лучи, по которым эта полость
конуса касается соответственно граней ASB, BSC, CSD и DSA четырёх-
гранного угла. В силу первой части упражнения 656, будем иметь:
2,ASQ = Z.ASM, ^BSM=^BSN,^CSN=Z_CSP, /_DSP=/_DSQ.
Отсюда / ASZ?-|- / CSD= / BSC-, - / DSA. Итак, если выпуклый
четырёхгранный, угол может быть описан около конуса вращения,
одна из полостей которого расположена внутри четырёхгранного
угла, то сумма двух противоположных плоских углов последнего
равна сумме двух других его противоположных плоских углов.
Таким образом, мы доказали свойство выпуклого четырёхгранного
угла, вполне аналогичное свойству выпуклого сферического четырёх-
угольника (ср. первое предложение, сформулированное в решении
упр. 506). То же свойство четырёхгранного угла можно было бы очень
просто вывести и из соответствующего свойства сферического четырёх-
угольника, рассматривая пересечение данного четырёхгранного угла
с каким-либо шаром, центр которого совпадает с вершиной угла.
Остальные результаты, приведённые в решении упражнения 506,
также переносятся на случай четырёхгранного угла. Соответствующие
предложения можно либо доказать непосредственно (по образцу до-
казательств, приведенных в решении упр. 506), либо вывести из свойств
сферических четырёхугольников (рассматривая опять пересечение дан-
ного четырёхгранного угла с тем же шаром). Ограничимся поэтому
одними формулировками:
Необходимое и достаточное условие, при котором выпуклый
четырёхгранный угол может быть описан около конуса вращения,
одна из полостей которого лежит внутри четырёхгранного угла,
состоит в том, что сумма двух противоположных плоских углов
последнего равна сумме двух других его противоположных пло-
ских углов.
Необходимое и достаточное условие, при котором четырёх-
гранный угол (выпуклый или невыпуклый) может быть описан около
конуса вращения, состоит в том, что хотя бы в одном из вы-
пуклых четырёхгранных углов, образованных теми же плоско-
стями, что и данный, сумма двух противоположных плоских углов
равна сумме двух других его противоположных плоских углов.
Примечание. Соответственно трём типам невыпуклых сферических
четырёхугольников (ср. решение упр. 506, примечание 2°) существуют и три
типа невыпуклых четырёхгранных углов (черт. 311, 312 и 313 на стр. 368—369).
Обратим внимание на четырёхгранный угол, соответствующий вогнутому
сферическому четырёхугольнику с двумя входящими углами (черт. 312).
Этот четырёхгранный угол имеет своеобразную .седлообразную* форм):
в сторону наблюдателя, расположенного, например, в точке М, обращены
входящие двугранные углы при рёбрах и SC и двугранные углы, мень-
шие 180°, при рёбрах SB и SP), в сторону наблюдателя, расположенного
КНИГА ВОСЬМАЯ- ГЛАВА и
521
в точке N, наоборот, двугранные углы, меньшие 180°, при рёбрах .8/1 и SC
и входящие двугранные углы при рёбрах SB и SD.
Для произвольного четырёхгранного угла, как выпуклого, так и невы-
пуклого, имеет место следующее предложение (опять аналогичное имею-
щему место для сферического четырёхугольника; ср. решение упр. 506, при-
мечание 2°):
Необходимое и достаточное условие, при котором четырёхгранный
угол (выпуклый или невыпуклын) может быть описан около конуса враще-
ния, состоит в том, что сумма каких-либо двух его плоских углов равна
сумме двух других его плоских углов.
В’
Черт. 421.
г В
Дальнейшие рассуждения также можно проводить илп применительно
к сферическому четырёхугольнику, или применительно к четырёхгран-
ному углу. Мы выберем первый путь, так как это приводит к более
коротким записям (вместо / ASB придётся писать просто АВ и т. д.)
и к более наглядным чертежам. Окончательные же результаты мы будем
формулировать как для сфери-
ческих четырёхугольников, так и
для четырёхгранных углов.
Продолжая стороны выпук-
лого сферического четырёхуголь-
ника ABCD (черт. 421) за его
вершины, мы можем получить в
общей сложности шесть выпуклых
сферических четырёхугольников,
попарно симметричных относитель-
но центра шара, а именно ABCD
и A'B'C'D', B'EDF и BE'D'F’,
A'ECF' и AE'CF, где А', В', С,
D', Е' и F' — точки, диаметраль-
но противоположные точкам А,
В, ... и/7 (на черт. 421 изобра-
жены только первые четырёхуголь-
ники каждой из трёх пар). Если
данный сферический четырёхуголь-
ник может быть описан около малого круга Г,
описан и около малого круга, симметричного с Г относительно центра
шара. ~
около
малые
шара.
Предположим поэтому, что выпуклый сферический четырёхуголь-
ник ABCD (черт. 421), описанный около малого круга, расположен-
ного внутри четырёхугольника, может быть в то же время описан около
другого малого круга, не симметричного с первым относительно
центра шара. Пусть для определённости этот второй круг расположен
внутри четырёхугольника B'EDF. Стороны данного сферического
четырёхугольника будут попарно симметричны относительно плоскости
то он будет, очевидно,
Поэтому, говоря о сферическом четырёхугольнике, описанном
двух или трёх малых кругов, мы всегда должны иметь в виду
круги, не симметричные между собой относительно центра
522
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
большого круга, проходящего через полюсы обоих малых кругов, как
дуги общих касательных больших кругов к двум малым кругам (ср.
решение упр. 664, примечание 2). Отсюда следует, что соседние
стороны данного сферического четырёхугольника попарно равны (на
черт. 421 имеем АВ — ВС и CD=DA; если бы второй малый круг
располагался внутри четырёхугольника A'ECF', то мы имели бы
BC = CD и DA= АВ).
Обратно, пусть в некотором выпуклом сферическом четырёхуголь-
нике ABCD (см. черт. 421) соседние стороны попарно равны; для
определённости пусть АВ = ВС и CD—DA. Сферические треуголь-
ники ABD и CBD будут симметричны (по трём сторонам), и потому
большой круг BD делит углы при вершинах В и D пополам. Иначе
говоря, большие круги АВ и ВС, а также CD и DA будут попарно
симметричны относительно плоскости большого круга BD. Два из четы-
рёх малых кругов, касающихся трёх больших кругов АВ, ВС и CD,
имеют своими полюсами точки большого круга BD, делящего пополам
угол АВС (ср. решение упр. 487 и решение упр. 664, примечание 1);
эти два малых круга будут касаться и большого круга DA, симмет-
ричного с CD относительно плоскости большого круга BD. Таким
образом, данный выпуклый сферический четырёхугольник, имеющий
две пары соседних равных сторон, будет описан около двух малых
кругов, не симметричных относительно центра шара, и один из этих
малых кругов будет лежать внутри четырёхугольника.
Итак, необходимое и достаточное условие, при котором выпук-
лый сферический четырёхугольник может быть описан около двух
малых кругов, не симметричных относительно центра шара, так,
что один из этих малых кругов лежит внутри четырёхугольника,
состоит в том, что данный сферический четырёхугольник имеет
две пары соседних равных сторон.
Оговорка .так, что один из этих малых кругов лежит внутри четырех-
угольника* существенна. Действительно, на чертеже 421 выпуклый сфериче-
ский четырёхугольник A'ECF' описан около тех же двух малых кругов, что
и четырёхугольник ABCD. Однако ни один из этих малых кругов не лежит
внутри четырёхугольника А'ЕСЕ1, и последний не будет, вообще говоря,
удовлетворять сформулированному выше условию — его соседние стороны
ие будут попарно равны (если бы последнее обстоятельство имело место, то
данный сферический четырёхугольник ABCD был бы описан около третьего
малого круга, не симметричного ни с одним нз двух первых и лежащего
внутри четырёхугольника A'ECF1).
Сферический четырёхугольник A'ECF' имеет попарно равные противопо-
ложные стороны; действительно, А'Е= 180° — АЕ= 180° — CF= CF' и
ЕС — FA = F'A', так как дуги АЕ и CF, а также ЕС и AF симметричны от-
носительно плоскости большого круга, проходящего через полюсы обоих малых
кругов. Не останавливаясь на рассмотрении обратного предложения, можем
сформулировать теперь следующую теорему:
Необходимое и достаточное условие, при котором выпуклый сфериче-
ский четырёхугольник может быть описан около двух малых кругов, не
симметричных относительно центра шара, состоит в том. что стороны
четырёхугольника (соседние или противоположные) попарно равны.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА И
523
Мы рассматривали до сих пор только выпуклый сферический четы-
рёхугольник, описанный около двух малых кругов, не симметричных
относительно центра шара. Перейдём теперь к случаю произвольного
(а не только выпуклого) сферического четырёхугольника, не делая при
этом никаких предположений относительно расположения вписанных
малых кругов. Рассуждая, как в решении упражнения 506, мы полу-
чим следующее общее предложение:
Необходимое и достаточное условие, при котором сферический
четырёхугольник (выпуклый или невыпуклый) может быть описан
около двух малых кругов, не симметричных относительно центра
шара, состоит в том, что хотя бы один выпуклый сферический
четырёхугольник, образованный дугами тех же больших кругов,
что и данный, имеет две пары равных соседних сторон.
Для четырёхгранного угла соответствующее предложение форму-
лируется так:
Необходимое и достаточное условие, при котором четырёх-
гранный угол (выпуклый или невыпуклый) может быть описан около
двух конусов вращения, состоит в том, что хотя бы один выпук-
лый четырёхгранный угол, образованный теми же плоскостя-
ми, что и данный, имеет две пары равных соседних плоских
углов.
Предположим теперь, что выпуклый сферический четырёхуголь-
ник ABCD (черт. 421) описан около трёх малых кругов, никакие два
из которых не симметричны относительно центра шара. В таком слу-
чае оба выпуклых сферических четырёхугольника B'EDF и A'ECF'
будут описаны около малых кругов, расположенных внутри четырёх-
угольников. При этом стороны данного сферического четырёхуголь-
ника должны удовлетворять, в силу сказанного выше, условиям АВ—ВС",
CD = DA, а также условиям ВС—CD', DA —АВ, откуда АВ — ВС =
= CD = DA.
Обратно, пусть в некотором выпуклом сферическом четырёхуголь-
нике ABCD (черт. 421) все стороны равны. Рассуждая так же, как
выше в случае четырёхугольника с попарно равными соседними сто-
ронами, мы докажем, что данный четырёхугольник описан около ма-
лого круга, расположенного внутри этого четырёхугольника, около
второго малого круга, расположенного внутри четырёхугольника B'EDF
а также около третьего малого круга, расположенного внутри четырёх-
угольника A'ECF'.
Итак, необходимое и достаточное условие, при котором выпук-
лый сферический четырёхугольник может быть описан около трёх
малых кругов, никакие два из которых не симметричны отно-
сительно центра шара, состоит в том, что все его стороны равны
между собой.
Переходя от случая выпуклого к случаю произвольного сфериче
ского четырёхугольника и рассуждая опять, как в решении упражне-
ния 506, мы получим следующее общее предложение:
524
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Необходимое и достаточное условие, при котором сферический
четырёхугольник (выпуклый или невыпуклый) может быть описан
около трёх малых кругов, никакие два из которых не симмет-
ричны относительно центра шара, состоит в том, что хотя бы
один выпуклый сферический четырёхугольник, образованный дугами
тех же больших кругов, что и данный, имеет четыре равные стороны.
Для четырёхгранного угла соответствующее предложение форму-
лируется так:
Необходимое и достаточное условие, при котором четырёх-
гранный угол (выпуклый или невыпуклый) может быть описан около
трёх конусов вращения, состоит в том, что хотя бы один выпук-
лый четырёхгранный угол, образованный теми же плоскостями,
что и данный, имеет четыре равных плоских угла.
666. Проведём через ось SO данного конуса и данную полупря-
мую SM плоскость (черт. 422) и обозначим через и SB те обра-
вующие, по которым эта плоскость пересекает конус; обозначения
выберем так, чтобы образующая S/1 лежала с лучом SM по одну сто-
рону от SO (луч SM может проходить внутри угла 05Д может
и не проходить, как на чертеже).
Пусть SC—какая-либо образующая конуса, не лежащая в пло-
скости ASB. Из трёхгранного угла SOCM находим / CSM<^^_ CSO-J-
-4- / OSM = / BSO -4- / OSM = / BSM и с другой стороны
CSM > I / OSM — £cso | = I z 0SM — / Л-$0| = /.ASM, T. e.
/ASM /CSM /BSM. Таким образом, из всех образующих ко-
нуса наибольший и наименьший угол с данной полупрямой SM состав-
ляют образующие, лежащие в одной плоскости с этой полупрямой
и с осью конуса (ср. Пл., п. 64).
667. Пересечём данный конус вращения какой-либо плоскостью,
перпендикулярной к его оси, и обозначим через А и В точки пере-
сечения с этой плоскостью двух образующих, лежащих в одной пло-
скости с осью, так что ASB будет углом при вершине (углом в осе-
вом сечении) конуса (черт. 423). Далее, обозначим через С и D
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА II
525
точки пересечения с той же секущей плоскостью каких-либо двух
образующих, не лежащих в одной плоскости с осью.
Рассмотрим два равнобедренных треугольника ASB и CSD. Боко-
вые стороны того и другого треугольника равны (ДЛ — SB = SC=SD),
а основание первого больше основания второго (АВ^> CD). Поэтому
и угол ASB при вершине первого треугольника будет больше угла
CSD при вершине второго.
668. Обозначим радиусы обеих окружностей через 7? и /?' (черт. 424),
высоты обоих конусов — через h1 и h2, расстояние между параллель-
ными плоскостями — через h. При этом имеем, очевидно, /г, -]- h2 = h
и h,-.h, = R'.R'. Отсюда Л, = и Аг —Для искомого
объёма находим:
= = 4 + R'3 — RR'}-
о 1 О *J t\ ~I-
669. Пусть г и h — радиус основания и высота данного конуса
(черт. 425), х и у — радиус основания и высота искомого цилиндра.
Из подобия двух прямоугольных треугольников имеем: r:h = (r— х):у,
откуда y = h^r . Для боковой поверхности цилиндра имеем:
S = 2irxji — — - • х (г — х).
Чтобы вписать цилиндр с заданной боковой поверхностью, надо
из последнего уравнения выразить х через S. Решая квадратное урав-
нение, получим:
Б26
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Задача имеет два решения при ("02 —т- е- при S<^-i тггй,
и одно решение при 5 = — -nrh.
Следовательно, наибольшим возможным значением боковой поверх-
ности S цилиндра будет:
S™=^rh-
Соответствующие значения радиуса основания и высоты цилиндра
таковы.
1 1 ,
Х=2Г: У=2Н-
То обстоятельство, что боковая поверхность 5 будет наибольшей при
х — ~2 г' ВЬ1текает также из того, что произведение х(г — х) двух
отрезков, сумма которых постоянна, будет наибольшим, если эги
отрезки равны (ср. Пл., п. 155, построение 7).
670. 1) Обозначим через пов. SAB боковую поверхность конуса SAB->
через пов. ABCD—боковую поверхность усечённого конуса ABCD,
и т. д. (черт. 426). Будем иметь следующие равенства:
пов. SCD_CD SC <SCy х2 . пов. S’CTf _ (S'С_(i — X}2
пов. SAB~ AB ’ SA~J пов. S' Л'В' \SM'/ — I2 ’
откуда
пов. ABCD__. x2 # пов. A'B'C'D'_. (/ — x)2
пов. SAB P ’ пов. S'A'B' P
Таким образом, получаем следующее уравнение:
хг (1-х)2 .
2 В В
КНИГА ВОСЬМАЯ ГЛАВА HI
527
или
х24-(/ — х)2 = Р (2—1).
Решая это уравнение относительно х, находим:
х = 1/(1±/З —21).
Так как значение х должно быть действительным и, по самому смыслу
задачи, удовлетворять неравенству 0 х I, т. е. | х — 11 ~ /,
то 1 должно удовлетворять условиям 3 — 21^0 и КЗ— 21 1 от-
' 3
куда 1 1 —.
3
При 1 1 — имеем два значения х, удовлетворяющих условиям
, 3 1 /
задачи, при А — —-только одно, а именно х=^—1.
2) Путём, вполне аналогичным только что изложенному, получаем
уравнение:
У3 + (Л—у)3 = Л3 (2 — jx),
из которого находим:
j = 1 й (3 4- у<21 — 12ц).
Как и выше, мы должны иметь 21 — 12ц 5=0 и 1^21 — 12ц 3, от-
куда 1^ц^-^.
7
При имеем два значения V, удовлетворяющих условиям
7 1 «.
задачи, приц = -^-—только одно, а именно у = -^п.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III (стр. 158).
671. Пусть А, В и С—три точки рассматриваемой поверхности,
не лежащие на одной прямой. Все точки окружности АВС принад-
лежат поверхности. Пусть D— какая-либо точка поверхности,
не лежащая на окружности АВС. Обозначим через S шар (или пло-
скость), проходящий через точки А, В, С и D. Если М—какая-
либо точка шара (плоскости) 5, то через точки D и Л1 можно про-
вести окружность, лежащую на шаре (на плоскости) 5 и пересекаю-
щую окружность АВС в двух точках. Построенная окружность имеет
с данной поверхностью три общие точки, а именно точку D и две
точки окружности АВС, и потому целиком лежит на данной поверх-
ности. Следовательно, всякая точка М шара (или плоскости) S’ ле-
жит на данной поверхности.
Допустим, что данной поверхности принадлежит ещё какая-либо
точка Е, не лежащая на шаре (на плоскости) 5. Через точку Е и
528
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
через произвольную точку N пространства можно провести окруж-
ность, пересекающую шар (плоскость) S в двух точках. Эта окруж-
ность имеет с данной поверхностью три общие точки, а именно
точку Е и две точки шара (плоскости) S, и потому целиком лежит
на данной поверхности. Следовательно, в этом случае всякая точка N
пространства принадлежала бы данной поверхности, что невозможно.
Таким образом, данная поверхность совпадает с шаром или пло-
скостью S.
672. Пусть А и В—точки пересечения каких-либо двух из дан-
ных окружностей С] и С2. Через эти две окружности можно провести
шар (или плоскость) S. Если среди данных окружностей имеется
окружность С3, не проходящая хотя бы через одну из точек А и В,
то эта окружность С3 лежит на шаре (на плоскости) S, так как она
имеет с последним (с последней) более двух общих точек, а именно точки
её пересечения с окружностями СА и С2. Всякая другая данная окруж-
ность С пересекает каждую из трёх окружностей Сп С2 и С3 в двух
Черт. 427.
же расстоянии R от точки О
точках и потому имеет с шаром (с пло-
скостью) S более двух общих точек
(так как окружность С3 не проходит
хотя бы через одну из точек А и В);
следовательно, окружность С также
лежит на шаре (на плоскости) S.
Таким образом, если среди дан-
ных окружностей имеется окруж-
ность, не проходящая хотя бы через
одну из точек А и В, то все дан-
ные окружности лежат на шаре (или
на плоскости) 5.
673. Пусть С — данная окруж-
ность (черт. 427), О' — её центр,
D — ось вращения, D' — её проек-
ция на плоскость окружности С и
О — та точка оси D, которая проек-
тируется на плоскость окружности
в точку О'. Все точки окружности С
находятся, очевидно, на одном и том
остаются на том же расстоянии R
от точки О при вращении окружности С около оси D. Отсюда сле-
дует, что все точки искомого геометрическою места принадлежат
поверхности шара с центром О и радиусом R.
Построим далее касательные к окружности С, перпендикулярные
к диаметру D’. Они будут перпендикулярны и к оси D (п. 375).
Через эти две касательные проведём плоскости Р и Q, перпендику-
лярные к оси вращения D. Так как все точки окружности С лежат
между плоскостями Р и Q, то тем же свойством обладают и все
точки искомого геометрического места. Обратно, всякая гочка М по-
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
529
верхности шара с центром О и радиусом R, лежащая между плоско-
стями Р и Q (или в одной из них), получается из некоторой точки
7И0 окружности С при вращении последней около оси D.
Таким образом, искомое геометрическое место есть шаровой
пояс, принадлежащий шару с центром О и paduvcoM R и ограничен-
ный линиями пересечения этого шара с плоскостями Р и Q (если
ось D имеет с окружностью С общую точку, то шаровой пояс обра-
щается в сегмент).
674. Проекция М данной точки А пространства на какую-либо
плоскость, проходящую через другую данную точку В, служит вер-
шиной прямого угла АМВ и потому лежит (п. 472) на шаре, имеющем
отрезок АВ своим диаметром.
Обратно, если М — какая-либо точка этого шара, отличная от А и
В, то угол АМВ прямой. Точка М есть проекция точки А на пло-
скость, проходящую через точку В и перпендикулярную к AM. Точка
В есть проекция точки А на плоскость, проходящую через точку В
и перпендикулярную к АВ; точка А совпадает со своей проекцией на
любую плоскость, проходящую через прямую АВ.
Итак, искомое геометрическое место есть шар, имеющий отрезок
АВ своим диаметром.
675. Так как центр сечения шара плоскостью есть проекция
центра шара на эту плоскость, то центры всех рассматриваемых сече-
ний лежат на одном шаре S, если секущие плоскости проходят через
одну точку (упр. 674), и на одной окоужности С, если секущие пло-
скости проходят через одну прямую (упр. 511).
Если данная точка лежит внутри данного шара, то искомым гео-
метрическим местом будет шар 5, а если вне, то часть шара 5, рас-
положенная внутри данного шара. Аналогично, если данная прямая
пересекает данный шар, то искомым геометрическим местом будет вся
окружность С, а если не пересекает, то часть окружности С, распо-
ложенная внутри данного шара.
676. Пусть А — данная общая вершина рассматриваемых описан-
ных конусов, О — общий центр рассматриваемых шаров, и М— одна
из точек касания. Так как угол ОМА прямой, то точка М лежит на
шаре, имеющем отрезок ОА своим диаметром (п. 472). Этот шар и
будет искомым геометрическим местом, так как любая его точка М
есть, очевидно, одна из точек касания (отрезок ОМ следует принять
за радиус шара).
677 Пусть из некоторой точки М можно провести к шару три
касательные МА, МВ и МС (черт. 428), образующие трёхгранный
угол с тремя прямыми плоскими углами и, следовательно, с тремя прямыми
двугранными углами.
Если через центр О шара провести три плоскости, соответственно
параллельные плоскостям граней этого трёхгранного угла, то эти пло-
скости будут перпендикулярны к касательным МА, МВ и МС и по-
тому будут проходить через точки А, В и С. Три плоскости ВМС,
34 Элементарная геометрия, ч. II
530
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
СМА и АМВ вместе с тремя построенными плоскостями образуют
прямоугольный параллелепипед, у которого радиусы ОА, ОВ и ОС
шара будут диагоналями трёх граней. Из равенства этих диагоналей
(ОА= ОВ — ОС) легко вывести, что рассматриваемый параллелепипед
есть куб. Таким образом, расстояние точки Л/ от центра шара
равно диагонали куба, у которого диагональ грани равна радиусу
шара. Если R радиус шара, то OM=R у
Обратно, если последнее условие выполнено для некоторой точки
М, то в каком-либо кубе, построенном на отрезке ОМ как на диаго-
нали (ср. упр. 535), диагональ грани будет равна радиусу шара
Черт. 428.
Черт. 429.
силу соотношения OM—R у/ Так как диагонали граней
ОА, ОВ и ОС соответственно перпендикулярны к прямым МА, МВ
и МС, то эти три попарно перпендикулярные прямые будут касатель-
ными к шару.
Итак, геометрическое место точек М есть шар, концентриче-
/"У
—, где R — радиус данного
шара.
678. Пусть через некоторую точку М можно провести три попарно
перпендикулярные касательные плоскости (черт. 429) к шару с цент-
ром О и радиусом R. Если через центр шара провести три плоскости,
соответственно параллельные этим касательным плоскостям, то полу-
чим прямоугольный параллелепипед. Этот параллелепипед будет кубом,
так как его рёбра, выходящие из точки О, будут проходить соответ-
ственно через три точки касания, и потому будут совпадать с радиу-
сами шара. Таким образом, расстояние точки М от центра шара
равно диагонали куба, имеющего своим ребром радиус R шара'.
OM=RVS.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА ГП
531
Обратно, если последнее условие выполнено для некоторой точки
то через эту точку можно провести три взаимно перпендикулярные
касательные плоскости к шару, строя какой либо куб на отрезке ОМ
как на диагонали.
Итак, геометрическое место точек М есть шар, концентриче-
ский с данным; его радиус равен где В— радиус данного шара.
679. Заметим прежде всего, что для двух шаров имеет место
следующее предложение:
Если два отрезка гармонически сопряжены, то шар, построенный
на одном из них как на диаметре, пересекает под прямым углом лю-
бой шар, проходящий через концы другого.
Это вытекает из соответствующего предложения геометрии на
плоскости (Пл., п. 189), если пересечь оба шара плоскостью, прохо-
дящей через данную прямую и через центр второго шара.
Отсюда следует, что шар S, представляющий собой геометриче-
ское место точек, отношение расстояний которых от точек А и В
имеет постоянное значение (п. 472), пересекает под прямым углом
всякий шар, проходящий через точки А и В. Действительно, точки А
и В делят гармонически один из диаметров шара S (Пл., п. 116).
Геометрическое место точек, расстояния которых от трёх данных
точек А, В и С пропорциональны трём данным числам, есть линия
пересечения шара S и аналогичного шара S', представляющего собой
геометрическое место точек, отношение расстояний которых от точек
В п С имеет постоянное значение (если, конечно, шары S и S' пере-
секаются; в противном случае искомое геометрическое место обращается
в точку или не существует).
Так как оба шара 5 и У пересекают под прямым углом любой
шар, проходящий через точки А, В и С, то тем же свойством обла-
дает и линия их пересечения.
680. Пусть М — одна из таких точек, что конусы с вершиной
в точке М, описанные около двух шаров с центрами О и О', равны
между собой. Обозначим через А какую-либо точку касания первого
конуса с первым шаром и через А' — какую-либо точку касания вто-
рого конуса со вторым шаром.
Условие равенства двух конусов (точнее говоря, двух конических
поверхностей) вращения состоит в равенстве их углов при вершине.
Дели в двух рассматриваемых конусах углы при вершине равны, то
равны и углы АМО и А'МО', и, следовательно, прямоугольные тре-
угольники АМО и А'МО' подобны. Из подобия этих треугольников
следует, что ЛЮ:МО' — АО: А'О'. Таким образом, точка М принад-
лежит шару S, представляющему собой геометрическое место точек,
отношение расстояний которых от точек О и О' равно отношению
радиусов данных шаров (и. 472). Обратно, всякая точка шара 5
удовлетворяет поставленному условию, если только она лежит вне
обоих данных шаров. В этом легко убедиться, повторяя те же рас-
суждения в обратной последовательности.
34'
632
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если два данных шара расположены один вне другого, то гео-
метрическое место точек М есть шар 5; если два данных шара пере-
секаются (или касаются один другого внешним образом), то геомет-
рическое место точек М есть часть шара S, расположенная вне дан-
ных шаров; если данные шары расположены один внутри другого
(или касаются один другого внутренним образом), то точек Л‘1, оче-
видно, не существует (ср. решение Пл., упр. 134).
В случае трёх данных шаров искомое геометрическое место есть
окружность — линия пересечения шара S, соответствующего двум из
данных шаров с аналогичным шаром S', соответствующим каким-либо
двум другим из данных шаров (если, конечно, шары S и S' пересе-
каются; в противном случае искомое геометрическое место обращается
в точку или не существует).
681. Задача решается аналогично упражнению 141 планиметрии.
Пусть сумма умноженных на данные (положительные или отрицатель-
ные) числа квадратов расстояний некоторой точки М от данных то-
чек А и В имеет постоянное значение, которое мы обозначим через
-ФА2. где k — некоторый отрезок:
m-MA2^n-MB2 = Azk2. (1)
Случай т -|- «= 0, очевидно, приводится к упражнению 447; поэтому
мы будем предполагать, что т -J- п =£= 0.
Если точка О делит отрезок АВ (по величине и по знаку) в от-
ношении АО:ОВ, обратном отношению данных коэффициентов, то мы
имеем ОВ'. АО: АВ — т:п:(т-\-п). Применяя обобщённую теорему
Стюарта (Пл., упр. 218) к трём точкам А, В и О одной прямой и
точке М, найдём: МО2- АВ-^-МА2-ВО-^-МВ2-ОА АВ-ВО-ОА — О,
или в силу предыдущего равенства:
МО2 — МА2 -|----- /ИВ2 — . ; АВ2.
т-\-п 1 m-фл (т-|-nJ-
Так как точка М удовлетворяет условию (1), то отсюда следует, что
±k2 тп .....
ОМ2 = —j------,—;—з • АВ2,
т -ф п (т-\-п)2
Геометрическое место точек М существует, если правая часть
последнего равенства положительна, и представляет собой шар с цент-
ром О, квадрат радиуса которого равен этой правой части послед-
него равенства.
682. Для двух шаров в пространстве имеет место следующее
предложение:
Разность степеней какой-либо точки относительно двух шаров
равна удвоенному произведению расстояния этой точки от ради-
кальной оси и расстояния между центрами.
Это свойство двух шаров доказывается таким же образом, как и
соответствующее свойство двух окружностей (Пл., п. 136).
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
533
Отсюда, как в решении упражнения 149 планиметрии, заключаем,
что искомое геометрическое место есть шар, имеющий с двумя дан-
ными шарами общую радикальную плоскость, если это геометри-
ческое место существует и не обращается в точку.
683. Геометрическое место точек, степени которых относительно
двух данных шаров пропорциональны двум данным числам, есть шар
(упр. 682). Отсюда следует, что искомое геометрическое место есть
окружность — линия пересечения двух таких шаров (если последние
пересекаются; в противном случае искомое геометрическое место обра-
щается в точку или не существует).
684. Пусть 5 и S’— два данных шара. Если через все точки
шара S провести отрезки, равные и параллельные данному отрезку
и направленные с ним в одну сторону, то геометрическим местом их
вторых концов будет шар 5", равный шару 5 (ср. Пл., решение упр. 75).
Точки пересечения тара S" с шаром 5' (если эти два шара пересе-
каются) будут принадлежать геометрическому месту тех концов рас-
сматриваемых отрезков, которые лежат на шаре S'. Мы получим
остальные точки того же геометрического места, проводя через все
точки шара S отрезки, равные и параллельные данному отрезку, ио
направленные в противоположную сторону.
Отсюда следует, что геометрическое место тех концов рассматри-
ваемых отрезков, которые лежат на шаре S', в самом общем случае
состоит из двух окружностей, каждая из которых (независимо от
другой) может обращаться в точку или вовсе не существовать.
Геометрическое место тех концов рассматриваемых отрезков, кото-
рые лежат на шаре S, и тех, которые лежат на шаре S', получаются
одно из другого с помощью поступательного перемещения и потому
имеют во всех случаях один и тот же вид (если одно из них состоит
из двух окружностей, то и другое также; если одно из них состоит
из окружности и точки, то и другое также, и т. д.).
685. Пусть вершины М, М' и М" искомого треугольника ММ'М",
который получается из данного треугольника АА'А" с помощью по-
ступательного перемещения, лежат соответственно на трёх данных
шарах S, S' и S".
Точка М шара S служит одним концом отрезка ММ', равного и
параллельного данному отрезку АА' и направленного с ним в одну
сторону, второй конец того же отрезка лежит на шаре S'. Отсюда
следует, что точка М должна лежать на вполне определённой окруж-
ности С', которая может обращаться в точку или вовсе не сущест-
вовать (ср. решение упр. 684). Рассматривая аналогично отрезок
ММ", равный и параллельный данному отрезку АА" и направленный
с ним в одну сторону, придём к заключению, что точка М должна
лежать и на второй вполне определённой окружности С'. Точка М
должна поэтому совпадать с точкой пересечения окружностей С и
С. После того как точка М найдена, точки М' и М' определяются
без труда.
534
решения упражнений и задач
Наибольшее число решений — два (за исключением того случая
когда окружности С и С" совпадают; в этом случае задача стано-
вится неопределённой).
686. Рассмотрим линию пересечения D секущей плоскости с ради-
кальной плоскостью данных шаров. Любая точка А этой прямой
имеет относительно всех окружностей, получающихся в сечении, одну
и ту же степень, равную степени точи А относительно данных ша-
ров. Поэтому прямая D и будет общей радикальной осью окружно-
стей сечения.
Теорема теряет силу, если секущая плоскость параллельна радикальной
плоскости, т. е. перпендикулярна к линии центров, так как в этом случае
в сечении получаются концентрические окружности, имеющие своим общим
центром точку пересечения секущей плоскости с линией центров.
Однако с более общей точки зрения такие окружности рассматривают
иногда как имеющие общую радикальную ось в бесконечности (ср. Пл., п. 136,
сноска).
687.
(п. 474)
касания.
688.
ружность С и касающийся данной плоскости Р (черт. 430).
Проведём через ось данной окружности С (п. 474) плоскость Q,
перпендикулярную к Р. Обозначим через / точку пересечения плоско-
сти Q с плоскостью Р и
плоскостью данной ок-
ружности, через А и В —
точки пересечения пло-
скости Q с данной окруж-
ностью С (ср. Пл., п. 159,
построение 14). На линии
пересечения плоскостей Р
и Q откладываем от точ-
ки I (в ту или другую
сторону) отрезок IT, пред-
ставляющий собой среднее
пропорциональное между
отрезками 1А и IB. Точ-
ка Т будет, как легко ви-
деть, точкой касания иско-
мого шара с плоскостью Р. Центр О искомого шара совпадает с точкой
пересечения перпендикуляра, восставленного к плоскости Р в точке Т,
с осью данной окружности, его радиус равен отрезку ОА. Таким обра-
зом, искомый шар можно считать построенным, так как определены
его центр и радиус.
Наибольшее число решений — два.
Построение требует видоизменения, если плоскость Р параллельна
плоскости окружности С. В этом случае точкой касания Т будет точка
Центр искомого niapa лежит на оси данной окружности
и на перпендикуляре к данной касательной плоскости в точке
Обе эти прямые пересекаются, как это нетрудно доказать.
Пусть требуется найти шар, проходящий через данную ок-
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА Ш
535
пересечения плоскости Р с осью данной окружности. Центром иско-
мого шара будет точка пересечения оси данной окружности с пло-
скостью, перпендикулярной к отрезку АТ и проходящей через его
середину. В этом случае задача имеет одно решение.
Пусть теперь требуется найти шгр, проходящий через дачную
окружность С и касающийся данною шара S (ср. Пл., п. 159, по-
строение 15).
Проведём через окружность С какой-либо шар, пересекающий
данный шар S; это легко сделать, проведя шар через окружность С
и через какую-либо точку шара S. Обозначим через С линию пере-
сечения обоих шаров. Общая касательная плоскость к шару S и
к искомому шару в их точке касания Т проходит через линию пере-
сечения плоскостей, в которых лежат соответственно окружности С и С
(п. 485); это даёт возможность построить точку касания Т (пользуясь
п. 477). Центр искомого шара лежит на линии пересечения оси дан-
ной окружности С и прямой, соединяющей точку Т с центром дан-
ного шара. Шар, имеющий эту точку своим центром и проходящий
через точку Т, и будет искомым.
Наибольшее число решений—два.
Построение требует видоизменения, если плоскость окружности С
будет параллельна плоскости окружности С. В этом случае точкой
касания Т будет точка пересечения данного шара с осью данной ок-
ружности. Центром искомого шара будет точка пересечения оси дан-
ной окружности с плоскостью, перпендикулярной к отрезку АТ, где
А — какая-либо точка данной окружности, и проходящей через его
середину.
689. Всякая плоскость, проходящая через центры двух ортого-
нальных шаров, пересекает их по двум ортогональным окружностям.
Отсюда вытекает такое построение.
Проводим плоскость через ось данной окружности (п. 474) и че-
рез центр данного шара (а если центр шара лежит на оси окружно-
сти, то любую плоскость, проходящую через ось). В этой плоскости
строим окружность, проходящую через точки пересечения плоскости
с данной окружностью и ортогональную к линии пересечения пло-
скости с данным шаром (Пл., решение упр. 258, примечание). Шар, име-
ющий построенную окружность своим большим кругом, и будет искомым.
Задача имеет единственное решение, за исключением того случая,
когда плоскость данной окружности проходит через центр данного шара.
В этом последнем случае задача имеет бесчисленное множество ре-
шений, если данная окружность ортогональна к данному шару, и не
имеет решения, если она к нему не ортогональна.
690. Пусть требуется найти шар, касающийся прямой D, имею-
щий своим центром одну из точек прямой Do и проходящий через
точку А.
Через точку А проводим плоскость Р, перпендикулярную к пря-
мой Dq, на которой должен лежать центр искомого шара (черт. 431).
536
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Последний пересекает плоскость Р по окружности С, проходящей
через точку А и имеющей своим центром одну из точек прямой Do.
Степень точки пересечения 7И данной прямой D с плоскостью Р от-
носительно окружности С равна степени той же точки относительно
искомого шара. Это замечание позволяет определить отрезок каса-
тельной, проведённой из точки
Черт. 431.
Мы предполагали в ходе
Л'1 к искомому шару и построить
точку касания Т искомого шара с
данной прямой D. Окружность С
и точка Т определяют искомый
шар (п. 475; если же точка Г ле-
жит на окружности С, то упр.
687).
Задача имеет два решения,
одно решение или не имеет ре-
шений в зависимости от того, ле-
жит ли точка М вне окружности С,
на этой окружности или внутри
неё.
Если точка А лежит на пря-
мой Do, то окружность С обра-
щается в точку, и построение
несколько упрощается, так как
при этом /147’= МА.
построения, что прямая D пересекает
плоскость Р в некоторой точке /14. Если прямая D параллельна пло-
скости М, т. е. перпендикулярна к прямой Do, то построение видо-
изменяется: точка касания Т лежит при этом в плоскости, проходя-
щей через прямую £>0 и перпендикулярной к прямой D, и задача
имеет одно решение. Наконец, если прямая D лежит в плоскости Р,
то задача становится неопределённой, если прямая D касается окруж-
ности С, и не имеет решений в противном случае.
691. Пусть требуется найти шар, касающийся прямой D и пло-
скости Р и имеющий своим центром одну из точек прямой О0.
Построим какой-либо шар So с центром на прямой £>0, касающийся
плоскости Р (черт. 432). Всякий другой шар с центром на той же
прямой Dq и касающийся той же плоскости Р, в том числе и иско-
мый, гомотетичен шару So, и центром подобия служит точка пересече-
ния А прямой Do с плоскостью Р (или получается из шара So с по-
мощью поступательного перемещения по направлению прямой Do, если
последняя параллельна плоскости Р). Чтобы определить коэффициент
подобия (величину поступательного перемещения), проводим плоскость Q,
проходящую через прямую D и через точку А (проходящую через
прямую D и параллельную прямой О0). Пусть С — та окружность,
по которой эта плоскость Q пересекает шар So. Строим касательные D'
и D" к окружности С, параллельные данной прямой D. Гомотетия
с центром А (поступательное перемещение по направлению прямой £)0),
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА Ш
537
преобразующая одну из прямых D' и D" в прямую D, преобразует
шар Sq в искомый шар 5.
Задача имеет два решения, одно решение или не имеет решений
в зависимости от того, будет ли плоскость Q пересекать шар So, ка-
саться того же шара или не иметь с ним общих точек.
692. Пусть требуется найти шар, проходящий через окружность С
и касающийся окружности С.
Все шары, проходящие через окружность С, имеют общую ра-
дикальную плоскость и потому пересекают (упр. 686) плоскость
Черт. 432.
окружности С по окружностям, имеющим общую радикальную ось, а
именно линию пересечения D плоскостей обеих окружностей. В то же
время искомый шар пересекает плоскость окружности С по окруж-
ности, которая касается окружности С. Отсюда вытекает такое по-
строение.
Через окружность С проводим какой-либо шар, пересекающий
плоскость окружности С по некоторой окружности Со. В плоскости
окружности С строим новую окружность С", касающуюся окружности С',
так, чтобы радикальной осью окружностей Со и С была прямая D
(ср. Пл., п. 311). Окружности С и С" лежат, как легко видеть, иа
одном шаре, так как всякая точка прямой D имеет относительно
окружностей С и Со, а следовательно, и относительно окружностей С
и С" одну и ту же степень. Шар, проходящий через окружности С и С",
и будет искомым.
Наибольшее число решений — два.
Более подробно исследование без труда приводит к следующему выводу.
Задача не имеет решений, если одна из точек пересечения окр\ жности С
с плоскостью окружности С лежит внутри, а другая — вне последней, т. е.
если окружности сцеплены одна с другой (как сцеплены между собой два
соседних звена одной цепи), а также если обе окружности пересекаются
в двух точках или касаются друг друга. Задача имеет одно решение, если
окружности имеют одну общую точку, но не касаются друг друга в этой
общей точке. Задача имеет два решения, если окружности не имеют общих
точек и не сцеплены, за исключением того случая, когда обе окружности ле-
жат в одной плоскости.
538
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
693. Рассмотрим окружности, вдоль которых описанные конусы
с вершиной в данной точке А, лежащей в плоскости окружности С
(и, конечно, вне последней), касаются шаров, проходящих через эту
окружность С. Все такие окружности лежат на одном шаре, так как
к числу образующих любого из этих описанных конусов принадлежат
и касательные АТ и АТ к окружности С, проведённые из точки А.
Центром шара В служит точка А, его радиусом — отрезок А Т. Этот
шар В (за исключением его точек, лежащих в плоскости окружности С
и отличных от Г и Т) и будет геометрическим местом рассматривае-
мых окружностей. Действительно, шар, проходящий через окружность С
и через какую-либо точку М шара В, не лежащую в плоскости ок-
ружности С, касается в точке М прямой AM в силу равенства
АМ=АТ. Поэтому точка М лежит на одной из рассматриваемых
окружностей.
Геометрическое место точек прикосновения касательных плоскостей
к тем же шарам, проходящих через данную прямую, лежащую в пло-
скости окружности С (и, конечно, не пересекающую последней), есть
окружность, а именно линия пересечения шара В, соответствующего,
как только что было указано, какой-либо точке А данной прямой, и
аналогичного шара, соответствующего какой-либо другой точке той
же прямой.
Пусть теперь Т и Т— две данные точки окружности С; А —
точка пересечения касательных к окружности С в точках Т и Т;
АХ—линия пересечения касательных плоскостей в точках Т и Т
к какому-либо шару, проходящему через С. Трёхгранный угол АТТ'Х
имеет, очевидно, равные двугранные углы при рёбрах АТ и АТ' и,
следовательно, равные плоские углы ТАХ и TAX. Поэтому прямая АХ
лежит (п. 356) в плоскости Р, проходящей через биссектрису угла ТАТ
и перпендикулярной к плоскости последнего. Плоскость Р и будет,
как нетрудно видеть, геометрическим местом линий пересечения рас-
сматриваемых касательных плоскостей. Это следует из того, что если АХ
какая-либо прямая, лежащая в плоскости Ри проходящая через точку А,
то существует (упр. 687) шар, проходящий через окружность С и
касающийся в точке Т плоскости ТАХ.
Если касательные в точках Т и 7” к окружности С параллельны
между собой, то геометрическим местом линий пересечения каса-
тельных плоскостей в точках Т и Т к шарам, проходящим через
окружность С, также будет, очевидно, плоскость.
694. Пусть Р — плоскость, проходящая через точки А и В и че-
рез данную прямую D, пересекающую продолжение отрезка АВ.
Всякий шар, проходящий через точки А и В и касающийся прямой D,
пересекает плоскость Р по окружности, также проходящей через точки А
и В и касающейся прямой D. Но в плоскости Р существуют лишь
две окружности, обладающие этими свойствами (Пл., п. 159, построе-
ние 14); обозначим их через С и С".
Итак, каждый из шаров, о которых идёт речь, проходит либо че-
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
539
рез окружность С, либо через окружность С". Обратно, всякий шар,
проходящий через одну из окружностей С илп С", обладает, очевидно,
требуемыми свойствами.
695. Пусть А и В—данные точки, Р-—данная плоскость.
Если прямая АВ пересекает плоскость Р в некоторой точке /,
то отрезок касательной из точки / к любому шару, проходящему че-
рез точки А и В, есть среднее пропорциональное между отрезками IA
и IB. Отсюда следует, что искомое геометрическое место точек ка-
сания есть окружность с центром / и радиусом, равным V IA • IB. Если
же прямая АВ параллельна плоскости Р, то искомое геометрическое
место точек касания есть прямая, по которой плоскость Р пересекает
плоскость, перпендикулярную к отрезку АВ и проходящую через его
середину.
Пусть теперь вместо плоскости Р дан шар S. Проводим через
точки А и В какой-либо шар S’, пересекающий S. Если прямая АВ
пересекает радикальную плоскость шаров S и S' в точке I, то отре-
зок касательной из точки I к шару S и к любому из шаров, прохо-
дящих через точки А и В, есть среднее пропорциональное между от-
резками IА и IB. Отсюда следует, что искомое геометрическое место
точек касания есть линия прикосновения конуса с вершиной I, опи-
санного около шара S. Если же прямая АВ параллельна радикальной
плоскости шаров S и S', то искомое геометрическое место есть
окружность, по которой шар 5 пересекает плоскость, перпендикулярную
к отрезку АВ и проходящую через его середину.
696. Пусть А и В — данные точки, Р и Q—данные плоскости.
Мы будем предполагать, что ни одна из данных точек не лежит ни
в одной из данных плоскостей.
Центр искомого шара, проходящего через точки А и В и касаю-
щегося плоскостей Р и Q, лежит в плоскости, перпендикулярной
к отрезку АВ и проходящей через его середину, а также во вполне
определённой биссектральной плоскости двугранных углов, образован-
ных плоскостями Р и Q (а именно, в той из двух биссектральных
плоскостей, которая проходит внутри двугранного угла, содержащего
точки А и В; если обе точки лежат в различных двугранных углах,
то задача, очевидно, не имеет решений). Следовательно, центр иско-
мого шара лежит на линии пересечения Do этих обеих плоскостей.
Если данные плоскости Р и Q параллельны, то вместо биссект-
ральной плоскости пришлось бы воспользоваться плоскостью, парал-
лельной плоскостям Р и Q и находящейся от них на равных рас-
стояниях.
Таким образом, предложенная задача сводится к следующей:
найти шар, проходящий через точку А, касающийся плоскости Р
и имеющий своим центром одну из точек прямой Do.
Эта последняя задача решается вполне аналогично рассмотренной
в упражнении 691 (вместо задания прямой D, касательной к искомому
шару, дана одна из точек последнего, а именно точка А). Коэффп-
540
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
цпент подобия (величина поступательного перемещения) определяется
требованием, чтобы искомый шар, гомотетичный вспомогательному
шару So (или получающийся из него с помощью поступательного пере-
мещения), проходил через данную точку А (ср. решение упр. 691).
Наибольшее число решений — два. Задача может не иметь решений
даже и в том случае, когда обе данные точки лежат внутри одного
и того же двугранного угла, образованного данными плоскостями.
Задача становится неопределённой, если данные точки расположены
обе внутри одного и того же двугранного угла, образованного данными
плоскостями, и симметричны относительно биссектральной плоскости
последнего (при этом обе плоскости, определяющие прямую £)0,
совпадают).
Примечание. Сделанное в начале решения предположение, что ни
одна из данных точек не лежит ни в одной из данных плоскостей, существенно.
В самом деле, если, например, точка А лежит в плоскости Р, то требова-
ние, чтобы шар касался плоскостей Р и Q, и притом первой из них в точке А,
определяет два шара: ни один нз них не пройдёт, вообще говоря, через вто-
рую данную точку.
697. Пусть D и D'—две данные скрещивающиеся прямые; d
и d' — их проекции на плоскость Р, им параллельную и находящуюся
от них на равных расстояниях; О — лежащий в плоскости Р центр
какого-либо шара, касающегося прямых D и £)'; А и Л' —точки ка-
сания; а и а' — их проекции на плоскость Р.
Прямоугольные треугольники ОАа и О А'а' равны (так как ОА = ОА'
пАа—А'а'), откуда Оа = Оа'. Таким образом, точка О равноудалена
от прямых d и d'. Обратно, из равенства Оа—Оа' вытекает, что
0/1= ОД', и всякая точка плоскости Р, равноудалённая от прямых
d и d', есть центр одного из рассматриваемых шаров. Отсюда следует,
что геометрическое место точек О есть пара взаимно перпендику-
лярных прямых — биссектрис углов между прямыми d и d'.
698. Если некоторая точка О служит центром шара, касающегося
трёх данных плоскостей, то она равноудалена от всех трёх плоско-
стей, и обратно. Таким образом, задача сводится к отысканию
геометрического места точек, равноудалённых от трёх данных пло-
скостей.
В том случае, когда три данные плоскости пересекаются в одной
точке, искомое геометрическое место состоит из четырёх прямых (ср.
упр. 487). Каждая из этих четырёх прямых служит в то же время
осью конуса вращения, касающегося трёх данных плоскостей (ср.
упр. 664).
Если три данные плоскости не имеют общих точек и попарно
пересекаются по трём параллельным прямым, то шесть биссектральных
плоскостей двугранных углов, образованных данными плоскостями,
пересекаются по три по четырём прямым, параллельным линиям пере-
сечения данных плоскостей. Эти четыре прямые и будут искомым
геометрическим местом. Каждая из четырёх прямых будет в то же
КНИГА ”ОСЬМЛЯ. ГЛАВА III
541
время осью цилиндра, касающегося трёх данных плоскостей (ср.
упр. 664).
Если две из данных плоскостей параллельны, а третья их пере-
секает, то четыре биссектральные плоскости двугранных углов, обра-
зованных данными плоскостями, попарно параллельны (ср. Пл., п. 94);
эти биссектральные плоскости попарно пересекаются по двум прямым,
отличным от линий пересечения данных плоскостей. Эти две прямые
и будут искомым геометрическим местом. Каждая из двух прямых
будет в то же время осью цилиндра, касающегося трёх данных пло-
скостей (ср. упр. 664).
699. Пусть требуется найти шар, касающийся четырёх сторон
АВ, ВС, CD и DA пространственного ^тырёхугольника или их про-
должений, иначе говоря, шар, касающийся четырёх прямых АВ, ВС,
CD и DA, не лежащих в одной плоскости. Будем называть такой
шар для краткости касательным шаром и обозначим его центр че-
рез О.
Точка О должна быть равноудалена от всех четырёх данных пря-
мых, и обратно всякая точка, равноудалённая от четырёх данных
прямых, есть центр одного из касательных шаров. Но геометрическое
место точек пространства, равноудалённых от прямых DA и АВ, со-
стоит (упр. 443) из двух плоскостей Р и Р', перпендикулярных
к плоскости DAB и проходящих через биссектрису угла DAB и через
биссектрису угла, с ним смежного. Назовём для краткости эти две
плоскости соответственно внутренней и внешней биссектральными
плоскостями угла DAB четырёхугольника. Аналогично обозначим через
Q, R, S и Q', R', S’ соответственно внутренние и внешние биссект-
ральные плоскости углов В, С, D четырёхугольника. Каждая точка О,
равноудалённая от четырёх данных прямых, лежит в одной из плоско-
стей Р или Р', в одной из плоскостей Q или Q', в одной из плоско-
стей R или R’ и, наконец, в одной из плоскостей S или S'. Обратно,
если некоторая точка лежит в одной из плоскостей Р или Р’, а также
в одной из плоскостей Q или Q' и, кроме того, в одной из плоскостей
R или R', то она будет равноудалена от всех четырёх данных пря-
мых, а потому будет лежать и в одной из плоскостей S или S’.
Таким образом, в общем случае существует восемь точек, равно-
удалённых от всех четырёх сторон четырёхугольника; это будут точки
пересечения по три биссектральных плоскостей:
PQR, P'QR, PQ'R, PQR',
P'Q'R', PQ'R', P'QR', P'Q'R.
Итак, существует, вообще говоря, восемь шаров, касающихся
всех сторон пространственного четырёхугольника или их продол-
жений.
Если бы какие-либо три из названных плоскостей, например Р,
Q и R, не имели общих точек, то соответствующий шар не существо-
вал бы (из дальнейшего будет видно, что такой случай невозможен).
542
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если какие-либо три из перечисленных плоскостей проходят через
одну прямую, то каждая точка этой прямой будет равноудалена от
всех четырёх данных прямых, и мы будем иметь бесчисленное множе-
ство касательных шаров.
Так, например, если стороны данного четырёхугольника удовлетворяют
условию AB-}-CD=BC-\-DA, то плоскости Р, Q и R проходят через одну
прямую (см. решение упр. 570, примечание). Можно показать и обратно, что
если плоскости Р, Q и R проходят через одну прямую, то ЛВ-ф- CD= ВС ф-
+ DA.
Чтобы исследовать все имеющиеся здесь возможности, примем за поло-
жительные направления на прямых АВ, ВС, CD и DA соответственно
направления от А к В, от В к С, от С к D и от D к А. При этом
мы будем иметь по величине и по знаку соотношения:
АК-Х-КВ — АВ-, BL-\-LC=BC; СМ 4- MD-= CD;
DN-\-NA = DA (1)
для любых точек /(, L, М и N, лежащих соответственно на четырёх
данных прямых.
Обозначим через К, L, М и N точки касания искомого шара
с прямыми АВ, ВС, CD и DA. Так как касательные к шару, прове-
дённые из одной точки, равны (по величине), то мы будем иметь:
AK=a-AN-, BL—fr-BK; CM^y-CL; DN = 8-DM, (2)
где каждый из коэффициентов а, 0, у и 8 равен -^-1 или -—1.
Покажем теперь, что и обратно, если на прямых АВ, ВС, CD
и DA выбрать четыре точки, удовлетворяющие соотношениям (2),
где каждый, из коэффициентов a, [J, у и 8 равен -р-1 или —1,
то существует шар, касающийся данных прямых в этих четырёх
точках.
Предположим сначала, что ни один из отрезков АК, BL, СМ и
DN не равен нулю. При этом, в силу равенства АК— a-AN, в пло-
скости DAB существует окружность, касающаяся прямых DA и АВ
соответственно в точках N и К- Через эту окружность и через точ-
ку L, не лежащую в плоскости DAB (так как данный четырёх-
угольник пространственный и BL^O), можно провести шар. Если
L' — вторая точка пересечения прямой ВС с этим шаром, то мы имеем
по величине и по знаку: BL-BL' = ВК2— $2 • ВК2‘, но так как
BL—^-BK, то и BL’ =$-ВК= BL, так что точка L' совпадает с А.
Построенный шар касается трёх прямых DA, АВ и ВС соответственно
в точках N, К и L. Рассмотрим теперь окружность, по которой пло-
скость BCD пересекает построенный шар. Прямая ВС касается этой
окружности в точке L. Касательная из точки D к той же окружности
будет равна (по величине) отрезку DN, так как прямая DA касается
шара в точке N. Равенство CM -ф- MD — CD, которое с помощью
(2) можно представить в виде \-CL—8-DN=CD, показывает, что
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
543
расстояние между точками С и D равняется сумме или разности
(рассматриваемых по величине) отрезков касательных к рассматривае-
мой окружности, проведённых из точек С и D. Но это возможно
только в том случае, когда прямая CD касается окружности (вытекает
из сказанного в решении Пл., упр. 88а), а значит и построенного
шара. Расстояния точки касания прямой CD с шаром от точек С и D
должны быть равны (по величине) отрезкам CL и DN', в силу равенств
CM = 'pCL и DN=8-DM точкой касания будет точка М. Итак,
построенный шар касается в точках К, L, М и /V четырёх данных
прямых.
Мы предполагали, что ни один из отрезков АК, BL, СМ и DN
не равен нулю. Пусть теперь один из этих отрезков, для опреде-
лённости АК, равен нулю; в таком случае будет равен нулю и от-
резок AN (так как АК=а-AN). В таком случае построим шар, ка-
сающийся плоскости DAB в точке А и проходящий через точку L,
не лежащую в этой плоскости (так как, в силу АК— 0, имеем
BL—^-BK^=C). Как и в общем случае, покажем, что этот шар
будет касаться прямой BL в точке L. Если теперь С7И = у-СА=^=0,
то доказательство заканчивается, как и в общем случае; если же
CM = '(-CL=Q, т. е. если точка L совпадает с С, то обозначим
через М' вторую точку пересечения прямой CD с построенным ша-
ром. Мы имеем по величине и по знаку DM-DM'= DN2 = DA2 —
— 52-DA2. Ho DM = S-DN = S-DA, откуда DM'— ё DA = DM, так
что построенный шар и в этом случае касается в точках К, L, М
и N четырёх данных прямых. Мы получили этот результат в пред-
положении, что АК— 0. К тому же результату мы пришли бы, пред-
полагая, что один из отрезков BL, СМ и DN равен нулю.
Итак, задача отыскания касательных шаров сводится к опреде-
лению на данных прямых точек К, L, М и N, удовлетворяющих
условиям (2), где каждый из коэффициентов а, р, у, й равен 1
или — 1.
Выясним теперь геометрический смысл знаков коэффициентов а,
р, у и й. Центр касательного шара лежит, как было сказано выше,
в одной из биссектральных плоскостей Р или Р' угла А. Если ои
лежит во внутренней биссектральной плоскости Р угла А, то обе
точки N и К лежат (при АК=а.-AN =^=(У) на лучах AD и АВ или
обе на их продолжениях за вершину А. В обоих случаях АК= —AN
и, следовательно, а =— 1. Если же центр касательного шара лежит
во внешней биссектральной плоскости Р' угла А, то точка N лежит
на луче AD и точка А — на продолжении луча АВ за вершину А
или же точка N— на продолжении луча AD за вершину А и точка
К—на луче АВ. В обоих случаях AK — AN и, следовательно,
а — -j- 1 • Итак, коэффициент а равен -|- I или — 1 в зависимости
от того, лежит ли центр касательного шара во внешней или во внут-
ренней биссектральной плоскости угла А. Коэффициенты р, у и й
играют аналогичную роль для углов В, С и D четырёхугольника.
544
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Положим АВ=а\ BC — b; CD = c; DA = d; АК = х; BL=y-
CM=zz; DN=u. Равенства (1) и (2) приводят к системе уравнений:
х—fiy = a; у — yz — Ь; z — ои = с; и — ax — d. (3)
Эту систему уравнений можно без труда заменить следующей, ей
равносильной:
(1 — офуЗ) х — a -J- fib -j- ₽ус +
у= 4~ yc4~ y^ 4-y52*;
z— с 4~ 4- te*;
и— d {- ax.
(4)
Предположим сначала, что правая часть первого из уравнений (4)
не обращается в нуль ни при каких комбинациях значений 4~ 1 и
— 1 коэффициентов а, у и & Иначе говоря, предположим, что
стороны четырёхугольника не связаны никаким соотношением вида
аЧ-^>Ч-сЧ-</ = 0.
При этом аруЗ =jA 1, и следовательно,
аруй — — 1.
(5)
(6)
При этом из формул (4) мы получим, придавая коэффициентам а, р
и у независимо друг от друга значения 4~1 и —1 и определяя каж-
дый раз соответствующее значение 3 из равенства (6), восемь систем
значений х, у, z и и, удовлетворяющих системе уравнений (3), и
следовательно, восемь касательных шаров. Таким образом, мы прихо-
дим к следующему окончательному результату:
Если стороны данного четырёхугольника не связаны никакой
зависимостью вида (5), то существует восемь и только восемь ка-
сательных шаров; положение точек касания на сторонах четырёх-
угольника определяется равенствами:
2х = а 4~ fib 4~ рус Ру®^1
2у=ь 4~ ус 4~ у^;
2z — с 4~ 4~ 4- fafib;
2и = d 4- аа afib 4~ afiyc,
(7)
где три из коэффиииентов а, р, у и 3 принимают независимо друг
от друга значения 4~1 и —1. а соответствующее значение чет-
вёртого коэффициента определяется каждый раз из условия (6).
Формулы (7) легко получаются из уравнений (4) с помощью ра-
венства (6).
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА 1П
545
Будем в дальнейшем обозначать восемь найденных шаров следую-
щим образом римскими цифрами 1, II, , IV';
В силу указанного выше геометрического смысла знаков коэффи-
циентов а, р, у и 8, равенство (6) показывает, что центры касатель-
ных шаров располагаются в биссектральных плоскостях Р, Р',______и S'
следующим образом:
P'QRS (I); PQ'RS (II); PQR’S (III); PQRS' (IV);
PQ'R’S' (I'); P'QR’S' (II'); P'Q'RS1 (III'); P'Q'R'S (IV').
Восемь найденных шаров и будут, очевидно, теми шарами, о ко-
торых говорилось в начале решения.
Равенство (6) позволяет сделать в этом случае и несколько дальнейших
выводов. Как видно из формул (7), ни один из отрезков АК = х, BL=y,
CM = z и DN—u не равен нулю, так как в противном случае между сторо-
нами четырёхугольника имела бы место зависимость вида (5). Поэтому ра-
венство (6) можно, пользуясь (2), переписать в виде:
q s _ АК BL CM DN __ ,
а?Т ~ АК' ВК~ CL 'DM
или:
КА LB^ МС KD_
КВ ’ LC ' МГУ NA~ ‘
Это равенство показывает, что из четырех точек касания каждого шара
с данными прямыми либо три лежат на сторонах четырёхугольника, а
четвёртая — на продолжении стороны, либо три — на продолжениях сто-
рон, а четвёртая — на самой стороне.
Далее, заметив, что точка пересечения К плоскости LMN с прямой АВ
определяется (задача 505) равенством
ГС A LB МС ND_
К'В ’ LC ’ MD' КА~^1
и что из этого равенства и из предыдущего вытекает КА'.КВ— —К А'-К В,
мы приходим к следующим результатам:
Точки касания каждого из восьми шаров с данными прямыми не лежат
в одной плоскости; точка касания К гармонически сопряжена относи-
тельно точек А и В с точкой пересечения прямой АВ и плоскости, про-
ходящей через три другие точки касания. Аналогичным свойством обладают
и три другие точки касания.
Рассмотрим теперь случай, когда между сторонами четырёхуголь-
ника имеет место одно соотношение вида (5). Так как одна сторона
35 Элементарная геометрия, ч. II
546
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
четырёхугольника не может равняться сумме трёх других, то перед
двумя из четырёх членов равенства (5) должен стоять минус, и мы
получаем два существенно различных случая, а именно:
«с = <7 (8)
и
a-\-d=b-{-c. (9)
Третье предположение
a-]-b — c-\-d (9')
геометрически не отличается от второго.
Рассмотрим подробнее случай (8), когда сумма двух противопо-
ложных сторон четырехуголышка равна сумме двух других его
противоположных сторон. В этом случае для шара (I), для которого
ct= —f—1; {1 = у = 5 =—1, из формул (8) находим х=0; u — d.
Это значит, что шар (I) касается сторон DA и АВ в точке А. Ана-
логичные результаты имеем и для шаров (II) — (IV). Итак, если сумма
двух противоположных сторон четырёхугольника равна сумме двух
других его противоположных сторон, то каждый из шаров (I) — (IV)
касается двух сторон четырёхугольника в одной из его вершин.
Далее в этом случае первое из уравнений (4) удовлетворяется,
если положить
—-|- 1 (10)
и - 1; J 1; — 1. Отсюда следует, что при а =
= Р=у—3=—1 система (4) имеет бесчисленное множество ре-
шений:
у b — c-\-d—х = а—х\ Z---с — d Ах; и =d—х, (11)
где х остаётся произвольным. Таким образом, в рассматриваемом слу-
чае существует бесчисленное множество касательных шаров, центры
которых лежат (в силу а = [}=у = 3 =—1) одновременно во всех
четырёх плоскостях Р, Q, R и S. Это возможно лишь в том случае,
когда эти четыре плоскости проходят через одну прямую / (непо-
средственное доказательство этого последнего утверждения приведено
в решении упр. 570, примечание). Эта прямая и будет, очевидно,
геометрическим местом центров шаров. Сравнение формул (7) и (11)
показывает, что шары (I) — (IV) входят в рассматриваемое семейство,
а ни один из шаров (Г) — (IV'), вообще говоря, в него не входит.
Итак, если сумма двух противоположных сторон четырёхуголь-
ника равна сумме двух других его противоположных сторон, то
существует бесчисленное множество касательных шаров. Геомет-
рическим местом их центров служит прямая линия I, через ко-
торую проходят внутренние биссектральные плоскости всех четы-
рёх углов четырёхугольника. Кроме того, четырёхугольник имеет,
вообще говоря, ещё четыре касательных шара.
КНИГА ВОСЬМАЯ- ГЛАВА III
517
Равенство (10) показывает, что из четырёх точек касания каждого из бес-
численного множества шаров (11) с данными прямыми чётное число лежит на
сторонах четырёхугольника и чётное число — на продолжениях сторон (если
ни одна точка касания не совпадает с вершиной). Далее нз того же равенства
след ver, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.
Чтобы выбрать из семейства касательных шаров (11) с центрами
на оси I шар наименьшего радиуса, достаточно принять за его центр
основание общего перпендикуляра к прямой / и к одной из данных
прямых, например к АВ (каждая точка прямой / равноудалена, как
следует из сказанного, от всех четырёх данных прямых, и потому
четыре общих перпендикуляра к прямой / и к каждой из данных
прямых пересекают прямую I в одной и той же точке).
Если принять теперь за точку О какую-либо точку прямой /, внут-
реннюю по отношению к тетраэдру ABCD, то можно будет доказать,
как это было сделано в решении упражнения 570, что сумма дву-
гранных углов тетраэдра при рёбрах АВ и CD будет равна сумме
двугранных углов при рёбрах ВС и DA.
Мы подробно рассмотрели случай, когда стороны четырёхугольника
удовлетворяют условию (8). Аналогичные результаты получились бы
и в случае (9), когда сумма двух соседних сторон четырёхугольника
равна сумме двух других его соседних сторон. При этом система (4)
имеет бесчисленное множество решений (а = — 1; [J— 3=-|-1):
у=х—a; z = a-\-b — x = c-\-d—х\ u~—d—х. Геометрическим
местом центров этих шаров будет общая линия пересечения плоско-
стей Р, Q’, R и 5'. Шары (Г), (П), (ПГ) и (IV) входят в рассматри-
ваемое семейство; шары (I), (II'), III и (IV') в него, вообще говоря,
не входят.
Если стороны четырёхугольника удовлетворяют двум соотношениям
вида (5), т. е. двум из соотношений (8), (9) и (9'), то четырёхуголь-
ник имеет две пары равных сто-
рон (противоположных или сосед-
них).! 1ри этом получается два се-
мейства касательных шаров. Три
семейства касательных шаров по-
лучаются, если выполнены все
три условия (8), (9) и (9'), т. е.,
если все стороны четырёхуголь-
ника между собой равны.
700. Пусть существует шар,
касающийся самых рёбер ВС, СА,
АВ, DA, DB и DC данного тет-
Черт. 433.
раэдра ABCD (а не их продолжений; черт. 433) соответственно в
точках L, М, N, L', М' и N'. Так как касательные к шару, проведён-
ные из одной точки, равны (и. 476), то мы имеем: ?W= AN —
= AZ/=a; BN = BL=BM' = b; CL = CM=CN' = с; DL' =
—DM' = DN’ — d, где через а, Ъ, с nd для краткости обозначены
35:
548
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
длины этих равных касательных. Отсюда AD-\-BC=AL'-[-L'D-\-
BL-\-LC=a-\-b-\-c-\-d. Аналогично найдём, что и BD[CA =
= а —|— b —с —d‘, CD —|— АВ = а |- b —|— с —d.
Итак, если существует шар, касающийся самых рёбер данного
тетраэдра (а не их продолжений), то суммы трёх пар противопо-
ложных рёбер тетраэдра равны:
AD-\-BC=BD-\-CA = CD-\- АВ. (1)
Пусть теперь, обратно, в некотором тетраэдре ABCD выполнены
условия (1). Из этих условий вытекает, что СА-|- АВ— ВС— AD-\-
АВ—BD. Но (СА-^-АВ— ВС) есть отрезок AN стороны АВ
треугольника АВС от вершины А до точки касания вписанной окруж-
ности (ср. Пл., упр. 90а), a - (АО-|- АВ — BD) имеет аналогичное
значение для вершины А и стороны АВ треугольника ABD. Таким
образом, окружности, вписанные в грани АВС и ABD данного тетра-
эдра, касаются общего ребра АВ этих граней в одной и той же
точке N. Так как равенства (1) симметричны относительно всех рёбер
тетраэдра, то то же самое обстоятельство имеет место для окружно-
стей, вписанных в любые две грани. Таким образом, на рёбрах ВС,
СА, АВ, AD, BD и CD тетраэдра определяются точки касания L, М,
N, L', М' и N'. Две окружности, вписанные в грани АВС и ABD,
касающиеся ребра АВ в одной и той же точке N и потому касаю-
щиеся одна другой, определяют шар 5 (п. 475, примечание 1). Этот
шар В, очевидно, касается пяти рёбер ВС, СА, АВ, AD и BD тет-
раэдра. Шар S пересечёт грань ACD по некоторой окружности. Эта
последняя окружность будет касаться рёбер АС и AD в тех же точ-
ках /И и L', где их касаются окружности, вписанные в грани АВС
и ABD, т. е. в тех же точках, где рёбер АС и AD касается окруж-
ность, вписанная в грань ACD. Поэтому окружность, по которой шар В
пересекает грань ACD, будет вписана в эту грань. Отсюда следует,
что шар 5 касается и шестого ребра AD тетраэдра.
Итак, если выполнены условия (1), то существует шар, касаю-
щийся всех шести рёбер данного тетраэдра.
Уловия задачи можно понимать и шире, в том смысле, что шар
г ожет касаться не только самых рёбер тетраэдра, но и их продолже-
ний. Предположим для определённости, что шар S', касающийся каж-
дого ребра тетраэдра или его продолжения, касается в точке L” про-
должения ребра AD за вершину А. В таком случае шар S' пересекает
очевидно, плоскости граней ABD и ACD по вневписанным окружно-
стям, касающимся самих рёбер АВ и АС и продолжений рёбер AD,
BD и CD за вершины А, В и С. Отсюда следует, что грань АВС
шар <$' пересекает по вписанной окружности, а грань BCD — по вне-
вписанной.
Итак, если рассматриваемый шар касается продолжения хотя
бы одного из рёбер, то он касается трёх рёбер тетраэдра, лежа-
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
549
щах в одной грани (а не их продолжений), и продолжений трёх
других рёбер.
Пусть шар 5' касается рёбер ВС, СА и АВ тетраэдра ABCD
(черт. 434) и продолжений рёбер AD, BD и CD соответственно в точ-
ках L, М, N, L", М" и N". Как и выше, будем иметь: AM = AN =
= AL" = a’-, BN = BL = BM” = b'; CL = CM = CN" — c'; DL" —
= DM"= DN" = d'. Отсюда AD — BC= (DL" — AL") — (BL CL) —
— d' — a' — b' — с . Аналогично найдём, что
BD — CA=d' — a' — b'~c’; CD— AB=d' —
— a' — b' — c'.
Мы имеем, таким образом, следующее пред-
ложение: если существует шар, касающийся
трёх рёбер грани АВС и продолжений трёх
других рёбер тетраэдра ABCD, то имеют
место равенства
AD — ВС—BD—CA — CD—АВ. (2)
Обратное предложение также справед-
ливо. Доказательство обратного предложения
проводится, как выше для условий (I).
В случае существования шара, касающегося Черт. 434.
трёх рёбер грани ABD и продолжений трёх
других рёбер тетраэдра ABCD, имеют место аналогичные равенства
AC— BD — ВС— DA ----- DC— АВ.
(2')
То же имеет место и для двух других граней BCD и CDA.
Возможен далее случай, когда выполняются и условия (1) и усло-
вия (2) одновременно. В таком случае мы имеем: AD = BD = CD и
ВС—С А — АВ. Таким образом, если существует шар, касающийся
шести рёбер тетраэдра, и в то же время шар, касающийся
трёх рёбер тетраэдра и продолжений трёх других, то тетраэдр
представляет собой правильную пирамиду, и обратно.
Условия (2) и (2') также могут выполняться одновременно. При
этом AD—BC\ BD — CA; CD=AB. Условия, аналогичные условиям
(2) и (2') и соответствующие остальным двум граням, также будут
выполнены. Отсюда следует, что в тетраэдре, у которого противо-
положные рёбра каждой пары равны, существуют шары, каждый
из которых касается трёх рёбер одной грани и продолжений
трёх других рёбер тетраэдра. В правильном тетраэдре существуют
все пять рассматриваемых шаров.
701. Центр всякого шара, вписанного или вневписанного в данный
тетраэдр SABC, т. е. касающегося плоскостей четырёх граней, рав-
ноудалён от этих четырёх плоскостей. Обратно, всякая точка, рав-
ноудалённая от плоскостей четырёх граней тетраэдра, служит центром
одного из искомых шаров. Таким образом, задача сводится к отыска-
нию точки, равноудалённой от плоскостей четырёх граней тетраэдра.
550
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕ НИЙ И ЗАДАЧ
Геометрическое место точек, равноудалённых от плоскостей трёх
граней BSC, CSA и ASB, состоит (ср. решение упр. 487) из четырёх
прямых D, Di, П2 и D3, проходящих через вершину S тетраэдра. Из
этих прямых только одна — назовём её D — проходит через внутрен-
нюю область тетраэдра.
Геометрическое место точек, равноудалённых от плоскости одной
из трёх рассмотренных граней, для определённости от плоскости грани
BSC, и от плоскости четвёртой грани АВС, состоит из двух плоско-
стей, делящих пополам двугранные углы при ребре ВС тетраэдра.
Обозначим через Р ту из этих плоскостей, которая делит пополам
внутренний двугранный угол пои ребре ВС тетраэдра, и через Р —
другую плоскость. Из этих двух плоскостей только одна, а именно Р,
проходит через внутреннюю область тетраэдра.
Отсюда следует, что центрами искомых шаров будут в общем
елучае восемь точек пересечения каждой из четырёх прямых D, Dt,
Ог и D3 с каждой из плоскостей Р и Р.
Прямая D будет, очевидно, всегда пересекать плоскость Р в не-
которой точке I, лежащей внутри тетраэдра (черт. 435 и 436; ср.
упр. 544). Эта точка и будет центром шара, вписанного в данный
тэтраэдр. Остальные точки пересечения лежат вне тетраэдра (так как
ни одна из прямых D2 и О3 не проходит через внутреннюю об-
ласть тетраэдра, и то же относится к плоскости Р) и потому будут
центрами вневписанных шаров.
Таким образом, во всякий тетраэдр можно вписать шар и при-
том единственный.
Чтобы получить выражение для радиуса R вписанного шара, обоз-
начим через V объём тетраэдра SABC, через До, Aj, Д2 и Аз соответ-
КНИГА ВОСЬМАЯ ГЛАВА III
551
ственно площади граней ABC, BSC, CSA и ASB. Мы имеем оче-
видное равенство:
об. 5 АВС = об. /АВС-[-об. /SBC Ц- об. fSCA-\- об. /SAB,
откуда
V7— у R (До Aj Д3).
Итак, объём тетраэдра равен произведению одной трети радиуса
вписанного шара на поверхность тетраэдра (ср. Пл., упр. 299).
Для радиуса вписанного шара получим отсюда следующее выра-
жение:
п_ W
*o+Ai + A2 + V '
Переходим к рассмотрению вневписанных шаров. Прямая D, оче-
видно, пересекает биссектральную плоскость Р' внешнего двугранного
угла при ребре ВС тетраэдра в некоторой точке /0 (это обстоятель-
ство можно доказать; см. ниже). Точка /0 лежит вне тетраэдра в об-
ласти, примыкающей к его грани АВС (черт. 435 и 436) и будет
центром вневписанного шара, касающегося самой грани АВС и про-
должений трёх других граней тетраэдра. Такой вневписанный шар,
552
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
касающийся одной грани тетраэдра и продолжений трёх других его
граней, назовём вневписанным шаром первого рода.
Чтобы получить выражение для радиуса А’о вневписанного шара
первого рода с центром /0, рассмотрим шестигранник SABCI0 (черт. 437).
Этот шестигранник состоит из двух тетраэдров SABC и 10АВС с об-
щим основанием АВС. С другой стороны, тот же шестигранник можно
разложить на три тетраэдра f0SBC, f0SCA и l0SAB с общим ребром
1OS, имеющих попарно общие грани I0SA, f0SB и I0SC. Поэтому имеет
место равенство:
об. SABC 4- об. 10АВС= об. I(,SBC-[- об. f0SCA 4- об. I0SAB, (2)
откуда V у Ro До — у Ro 4“ у Ro -^2 4“ у Ro
1/= у Ro (— -^о 4“ 4” ^2 4" Л3).
Итак, объём тетраэдра равен произведению одной
вневписанного шара первого рода, касающегося какой-либо
S
телен, так как сумма площадей
трети радиуса
из граней
тетраэдра (и продолжений трёх
других его граней), на разность
между поверхностью тетраэдра
и удвоенной площадью этой
грани (ср. опять Пл., упр. 299).
Для радиуса вневписанного
шара первого рода, касающегося
той грани тетраэдра, площадь ко-
торой равна До и продолжений
трёх других граней, получаем сле-
дующее выражение:
^-До+ДН-Дг + Д, • (3)
Заметим, что знаменатель правой
части равенства (3) всегда положи-
трёх граней тетраэдра больше пло-
щади его четвёртой грани (ср. п. 586, лемма I).
Мы считали выше очевидным, что прямая D пересекает плоскость Р'. Да-
дим теперь доказательство этого предложения и тем самым доказательство
существования вневписанного шара, о котором идёт речь.
С этой целью обозначим через /0 ту точку прямой D, которая лежит с
точкой S по разные стороны от плоскости АВС и отстоит от последней на
расстоянии Ro, определяемом формулой (3). Эта точка /0 равноудалена, как и
всякая другая точка прямой £>, от плоскостей трёх других граней тетраэдра;
обозначим через р расстояние точки /0 от каждой из этих трёх плоскостей.
Равенство (2), имеющее место для точки/с, даёт V4-4-/?0 Д0=у pAj -{- рД2 -|-
+ рД8. Из этого равенства в соединении с равенством (3) находим, что р — Rq.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА 111
553
Таким образом, построенная точка /0 равноудалена от всех четырёх граней
тетраэдра. Поэтому она лежит в плоскости Р' и служит центром вневписан-
ного шара.
Аналогичным образом существуют ещё три вневписанных шара
первого рода. Каждый из них касается одной из граней BSC, CSA и
AS В и продолжений трёх других граней тетраэдра. Радиус Rt того
из шаров, который касается грани BSC, выражается следующей фор-
мулой, вполне аналогичной формуле (3):
#1= А -дУд-Гд-- (3')
л0 — -ч ~Г a2 I -*s
Соответствующие выражения получим и для радиусов остальных
двух вневписанных шаров первого рода.
Итак, всякий тетраэдр имеет четыре вневписанных шара пер-
вого рода, т. е. касающихся каждый одной грани и продолжений трёх
других граней.
Пусть Dj та из трёх прямых О2 и D3, которая проходит
внутри двух трёхгранных углов SAB'C и SA’BC, где SA', SB' и
SC'— продолжения рёбер SA,
SB и SC. Эта прямая /Э3 пе-
ресекает плоскость Р' в некото-
рой точке Д (черт. 435 и 436),
лежащей, очевидно, внутри обла-
сти, прилежащей к грани BSC
тетраэдра. Точка служит цент-
ром уже рассмотренного выше
вневписанного шара первого ро-
да радиуса /?1; касающегося
грани BSC и продолжений трёх
других граней тетраэдра.
Предположим теперь, что пря-
мая D, пересекает плоскость Р в
некоторой точке Г. Эта точка Г может лежать или в части простран-
ства, примыкающей к ребру SA тетраэдра и имеющей форму „крыши"
пли „жолоба* (как на черт. 435 и 436), или в аналогичной части
пространства, примыкающей к ребру ВС, и будет центром вневписан-
ного шара, касающегося продолжений всех граней тетраэдра. Такой
вневписанный шар, касающийся продолжений всех граней тетраэдра,
назовём вневписанным шаром второго рода. В силу только что ска-
занного, из двух частей пространства, имеющих форму „крыши* и
примыкающих к противоположным рёбрам АВ и CD тетраэдра, вне-
вписанный шар второго рода может существовать только в одной.
Чтобы получить выражение для радиуса R' вневписанного шара
второго рода с центром в точке /', предположим для определённости,
что этот шар располагается в части пространства, примыкающей
к ребру SA (как на черт. 438), а не к ребру ВС. Рассмотрим шести-
554
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
гранник SBCI'A. Этот шестигранник состоит из двух тетраэдров SBCT
и АВСГ с общим основанием ВСГ. С другой стороны, тот же шести-
гранник можно разложить на три тетраэдра SABC, SACI' и АВСГ
•с общим ребром 5А, имеющих попарно общие грани SAB, SAC и SAI'.
Поэтому имеет место равенство:
об. 5ВС/'4-об. АВСГ = об. 5АВС 4-об. SAC1'об. SAI'B,
-откуда
-д- /? До 4" V Aj == 4 А2 4" "V R А3
о о о о
ИЛИ
п=—/? (Д24-а3—До — Д1)-
о
Итак, объём тетраэдра равен произведению одной трети радиуса
вневписанного шара второго рода, который лежит в части прост-
ранства, прилежащей к некоторому ребру тетраэдра, на разность
между его поверхностью и удвоенной суммой площадей двух гра-
ней, не примыкающих к этому ребру.
Для радиуса вневписанного шара второго рода, который лежит
в части пространства, примыкающей к общему ребру двух граней
тетраэдра с площадями, равными Д, и Д3, получаем следующее выра-
жение:
г» = 3IZ
— Aq— А1 4 Аг 4 А;з
Предполагая, что шар с центром /' лежит в части пространства, при-
мыкающей к ребру ВС, будем, очевидно, иметь:
Afl 4 Al — Д2 — А3
В обоих случаях радиус вневписанного шара второго рода с центром Г
на прямой Dj определяется равенством:
Ро 4 Aj — Д2 — А3[
Из этой формулы следует, что вневписанный шар второ) о рода
< центром Г на прямой Г)х может существовать только при условии,
что До-|-А] 4= Дг4~ Аг- Если сумма площадей двух граней равна сумме
площадей двух других граней, а именно До 4~ At = Д2 4" Д3, то этот
шар не существует.
Мы вывели формулу (4), предполагая, что вневписанный шар второго
рода с центром на прямой L\ существует. Можно, однако, доказать, что этот
шар действительно существует, если До -|- А! # Д2 -f- Д3. Доказательство вполне
аналогично приведённому выше доказательству существования вневписанного
шара первого рода.
Аналогичным образом могут существовать ещё два вневписанных шара
.второго рода. Один из этих двух шаров имеет своим центром точку
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
555
пересечения плоскости Р' с прямой D2, проходящей внутри трёхгран-
ных углов SA'BC п SAB'C. Этот шар лежит или в области, приле-
жащей к ребру SB, пли в области, прилежащей к ребру СА; его
радиус выражается следующим образом:
ЗУ
I -X) — -^1 + -\> — Д, I
(49
Наконец, последний вневписанный шар лежит пли в области, приле-
жащей к ребру SC, пли в области, прилежащей к ребру АВ. Для его
радиуса получим выражение, вполне аналогичное (4) и (4')-
Таким образом, мы приходим к следующим выводам:
Если сумма площадей никаких двух граней тетраэдра не равна
сумме площадей двух других его граней, то существуют, как это
следует из предыдущего, три вневписанных luapa второго рода, т. е.
касающихся каждый продолжений всех четырёх граней тет-
раэдра.
Если сумма площадей какой-либо одной пары граней тетраэдра
равна сумме площадей двух других его граней, т. е., если имеет
место одно и только одно из трёх равенств
До +*^1 — Дз! До ~ЬДг —Дз Д'Дб До ~ Дз = Д1 + Д3,
то существуют два вневписанных шара второго рода.
Пусть теперь выполнены два и только два из тех же трёх равенс гв,
например второе и третье; при этом До — Д] Д2 = Д3. Следова-
тельно, если площади граней тетраэдра попарно равны, то суще-
ствует только один вневписанный шар второго рода.
Наконец, если выполнены все три равенства, то Д1 = Д2 = Д3 = ДП.
Итак, если все четыре грани тетраэдра равновелики, то вневпи-
санных шаров второго рода вовсе не существует.
702. Совокупность всех шаров, касающихся данной плоскости
в данной точке А, получается из какого-либо одного из них с помо-
щью гомотетий с центром подобия А и произвольным коэффициентом
подобия. Так как к одному из этих шаров можно провести две каса-
тельные плоскости, параллельные данной плоскости, и отрезок, соеди-
няющий обе точки касания, виден из точки А под прямым углом, то
точки касания, о которых идёт речь в условии задачи, образуют две
взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку А.
Исключение будет иметь место только в том случае, когда одна из
двух точек касания с первоначально взятым шаром совпадает с точкой
А, т. е. когда рассматривается геометрическое место точек прикосно-
вения касательных плоскостей, параллельных общей касательной пло-
скости в точке А. В этом случае искомое геометрическое место, оче-
видно, представляет собой одну прямую.
703. При решении этого и некоторых из последующих упражне-
ний целесообразно воспользоваться следующими общими соображе-
ниями.
556
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Пусть С и С — две данные окружности. Проведём через окруж-
ность С два произвольных шара St и S2, а через окружность С" —
два также произвольных шара Sg и S4.
Рассмотрим сначала общий случай, когда оси (п. 474) данных
окружностей не лежат в одной плоскости. В таком случае центры четы-
рёх шаров S2, S3 и S4 также не лежат в одной плоскости, и эти
четыре шара имеют вполне определённый радикальный центр /. Этот
радикальный центр I можно также, очевидно, определить как един-
ственную точку линии пересечения плоскостей данных окружностей,
имеющую одну и ту же степень относительно обеих окружностей.
Отсюда следует, что положение точки I не зависит от выбора шаров
Sj, S2, Ss и S4, проходящих по два через данные окружности. Эту
точку 1 мы будем для краткости называть радикальным центром двух
данных окружностей.
Пусть теперь оси обеих данных окружностей лежат в одной пло-
скости Р, но не совпадают. В таком случае шесть радикальных пло-
скостей шаров S2, Ss и S4, взятых попарно, перпендикулярны
к плоскости Р. Мы предположим сначала, что эти шесть радикальных
плоскостей не проходят все через одну и ту же прямую. В таком
случае шары S4, S2, Ss и Si не имеют радикального центра и не имеют
общей радикальной octf. Ни одна точка линии пересечения плоскостей
данных окружностей не имеет одной и той же степени относительно
обеих окружностей или же плоскости данных окружностей параллельны.
Отсюда следует, что отсутствие радикального центра у шаров Sj, S2,
S3 и S4 не зависит от выбора этих шаров, проходящих по два через
данные окружности.
Пусть далее оси данных окружностей лежат в одной плоскости,
но не совпадают, и шесть радикальных плоскостей четырёх шаров S1t
S2, Sg и S4, взятых попарно, проходят через одну прямую D. Прямая D
будет общей радикальной осью четырёх шаров; она совпадает с ли-
нией пересечения плоскостей данных окружностей, если последние не
лежат в одной плоскости, и с радикальной осью данных окружностей,
если последние лежат в одной плоскости. Каждая точка прямой D
имеет одну и ту же степень относительно обеих данных окружностей,
и потому её можно рассматривать как их радикальный центр. Отсюда
следует, что существование прямой D не зависит от выбора шаров
S2, Sg и S4, проходящих по два через данные окружности. Будем
называть в этом случае прямую D для краткости радикальной осью
данных окружностей независимо от того, лежат ли последние в одной
плоскости пли нет.
Докажем, что две окружности, имеющие радикальную ось и не
лежащие в одной, плоскости, лежат на одном шаре (и притом в пе-
ресекающихся плоскостях).
Действительно, пусть окружности С и С не лежат в одной пло-
скости и имеют линию пересечения их плоскостей своей радикальной
осью. Проведём шар S через окружность С и через одну из точек А
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
557
окружности С", не лежащую на прямой D. Обозначим через С ту ок-
ружность, по которой этот шар пересекает плоскость окружности С”.
Каждая точка прямой D имеет по отношению к окружностям С и С
одну и ту же степень, равную степени этой точки относительно ок-
ружности С'. Если бы окружности С и С были различны, то пря-
мая D была бы их радикальной осью и общая точка А окружностей С
и С лежала бы на прямой D. Но так как точка А не лежит на пря-
мой D, то окружности С” и С совпадают. Таким образом, окруж-
ность С" также лежит на шаре S, проходящем через окружность С.
Обратное предложение очевидно: две окружности, лежащие на од-
ном шаре в пересекающихся плоскостях, имеют своей радикальной
осью линию пересечения обеих плоскостей.
Остаётся последний случай, когда две окружности имеют общую
ось; такие две окружности мы для краткости назовём коаксиальными
(соосными). Две коаксиальные окружности или лежат на одном шаре
в параллельных плоскостях, или лежат в одной плоскости и имеют
общий центр.
Таким образом, при решении настоящей и некоторых из после-
дующих задач мы должны будем учитывать следующие четыре воз-
можных случая взаимного расположения двух окружностей:
1°. Общий случай; окружности имеют радикальный центр.
2°, Окружности не имеют радикального центра') и не коак-
сиальны.
3°. Окружности имеют радикальную ось.
4°. Окружности коаксиальны.
В первых двух случаях окружности не лежат на одном шаре
или в одной плоскости, л последних двух — лежат на одном шаре
или в одной плоскости.
После этих предварительных соображений перейдём к решению
поставленной задачи.
Пусть некоторый шар /(/?) пересекает обе данные окружности С
и С" соответственно в точках А’, В' и А", В" под прямым углом.
Радиусы /А' и IB' будут касаться в точках Д' и В' окружности С,
радиусы IA" и IB" — в точках А" и В" окружности С". Центр I иско-
мого шара лежит как в плоскости окружности С', так и в плоскости
окружности С" и имеет относительно обеих окружностей одну и ту же
положительную степень (а именно R2). Обратно, если некоторая точка
обладает этими свойствами, то она, очевидно, служит центром одного
из искомых шаров.
Пользуясь общими соображениями, развитыми выше, мы непосред-
ственно приходим к следующим результатам.
’) Так как каждую точку радикальной оси двух окружностей можно рас-
сматривать как их радикальный центр, то говоря, что две окружности не имеют
радикального центра, мы будем предполагать, что они не имеют и радикаль-
ной оси.
558
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если данные окружности имеют радикальный центр и этот ради-
кальный центр лежит вне одной (а следовательно, и вне другой) из
данных окружностей, то задача имеет единственное решение. Центром
искомого шара служит радикальный центр I данных окружностей; квад-
рат его радиуса равен степени точки / относительно каждой из дан
ных окружностей.
Если данные окружности имеют радикальную ось, то задача ста-
новится неопределённой. За центр искомого шара можно принять лю-
бую точку I радикальной оси, внешнюю относительно одной (а сле-
довательно, и относительно другой) из данных окружностей; радиус
искомого шара определяется, как и выше.
В остальных случаях задача не имеет решений.
704. При решении этого упражнения мы будем пользоваться об-
щими соображениями, развитыми в начале решения упражнения 703.
Пусть некоторая окружность С, лежащая в какой-либо плоско-
сти Q, пересекает две данные окружности С и С соответственно
в точках Д', В' и А", В" (черт. 439).
Если прямые А'В' и А"В'' пересекаются, то точка их пересечения /
лежит как в плоскости окружности С, так и в плоскости окружно-
сти С" и имеет относительно обеих окружностей одну и ту же сте-
пень (а именно Д' • IB' = 1 A"-IB"). Обратно, если некоторая точка I
обладает этими свойствами, то всякая плоскость Q, проходящая через
эту точку I и пересекающая обе данные окружности, пересекает их
в четырёх точках одной окружности.
Если прямые А'В' и А" В" параллельны, то отрезки А'В' и А"В*
служат основаниями равнобедренной трапеции, так как точки А', В'
А" и В” лежат на одной окружности. Оси данных окружностей лежат
при этом в одной плоскости Р, проходящей через середины отрез-
ков А'В' и А"В" и перпендикулярной к плоскости Q окружности С
(в частности, оси обеих окружностей могут и совпадать). Обратно,
если осп данных окружностей лежат в одной плоскости Р (в частно-
сти, если оси обеих окружностей совпадают и Р—какая-либо пло-
скость, проходящая через их общую ось), го всякая плоскость Q
перпендикулярная к плоскости Р и пересекающая обе данные окруж-
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
559'
ности, пересекает их в четырёх точках, попарно симметричных отно-
сительно плоскости Р, и потому лежащих па одной окружности или
на одной прямой.
Отсюда и вытекает решение поставленной задачи.
Если данные окружности имеют радикальный центр, то все пло-
скости, о которых идёт речь, проходят через последний. Обратно,
всякая плоскость, проходящая через радикальный центр и пересекаю-
щая обе данные окружности, пересекает их в четырёх точках одной
окружности.
Если данные окружности не имеют радикального центра и не ко-
аксиальны, то все плоскости, о которых идёт речь, перпендикулярны
к плоскости Р, в которой лежат оси данных окружностей. Обратно,
всякая плоскость, перпендикулярная к плоскости Р и пересекающая
обе данные окружности, пересекает их в четырёх точках одной окруж-
ности.
Если данные окружности лежат на одном шаре, то задача стано-
вится неопределённой: всякая плоскость, пересекающая обе данные
окружности, пересекает их в четырёх точках одной окружности.
Наконец, если данные окружности лежат в одной плоскости, то
самая постановка вопроса теряет смысл.
705. При решении этого упражнения мы будем пользоваться об-
щими соображениями, развитыми в начале решения упражнения 703,
а также сказанным в решении упражнения 704.
Пусть некоторая окружность С, лежащая в какой-либо плоскости Q,
делит пополам обе данные окружности С и С". При этом плоскость Q
окружности С располагается, как это было указано в решении упраж-
нения 704, и, кроме того, проходит через центры О' и О" окружно-
стей С и С. Из этого замечания и вытекает решение поставленной
задачи.
Если данные окружности имеют радикальный центр / и этот ра-
дикальный центр не лежит на одной прямой с центрами О' и О" дан-
ных окружностей, то задача имеет одно решение. Плоскостью искомой
окружности будет плоскость Ю'СГ', окружность, на которой лежат
точки пересечения обеих данных окружностей с этой плоскостью, и
будет искомой.
Если радикальный центр / данных окружностей лежит на одной
прямой с точками О' и О", то задача не имеет решений. Действи-
тельно, всякая плоскость, проходящая через эту прямую и не содер-
жащая ни одной из данных окружностей, пересекает последние в че-
тырёх точках одной прямой; плоскость, проходящая через ту же пря-
мую и содержащая одну из данных окружностей, также не приводит
к решению.
Если данные окружности не имеют радикального центра и не ко-
акснальны, то задача имеет, вообще говоря, единственное решение.
Плоскостью искомой окружности будет плоскость, проходящая через
центры данных окружностей и перпендикулярная (ср. решение упр. 704)
560
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
к плоскости Р, в которой лежат их оси. Однако, если центры данных
окружностей совпадают, то задача не имеет решений.
Если данные окружности лежат на одном шаре, то задача стано-
вится неопределённой: искомой окружностью будет линия пересечения
этого шара с любой плоскостью, проходящей через центры (пли через
общий центр) данных окружностей.
Наконец, если данные окружности лежат в одной плоскости, то
задача также оказывается неопределённой. По поводу этого случая
см. ниже решение упражнения 708, примечание 2°.
706. При решении этого упражнения мы будем пользоваться об-
щими соображениями, развитыми в начале решения упражнения 703.
Пусть некоторая окружность С с центром I и радиусом R делится
каждой из данных окружностей С и С пополам. Иначе говоря, пусть
окружность С пересекает искомую окружность С в двух диаметрально
противоположных точках А' и В' последней, а окружность С пере-
секает ту же окружность С также в двух диаметрально противопо-
ложных точках А" и В" последней. При этом центр / искомой окруж-
ности имеет относительно обеих данных окружностей одну и ту же
отрицательную степень, а именно — R2. Если точка 1 отлична от
центра О' первой данной окружности С, то хорда А'В' окружности С
перпендикулярна к прямой О’/ и соответствующим свойством обла-
дает хорда А"В" окружности С.
Отсюда и вытекает решение поставленной задачи.
Если данные окружности имеют радикальный центр I и этот ра-
дикальный центр лежит внутри одной (а следовательно, и внутри
другой) из данных окружностей, то этот радикальный центр / будет
центром искомой окружности. Задача имеет единственное решение,
если точка I отлична от центров обеих данных окружностей; точки А',
В', А" и В”, через которые проходит искомая окружность, опреде-
ляются как указано выше. Если же точка / совпадает с центром
одной из данных окружностей, например с центром окружности С,
то за хорду А'В' можно принять любой из диаметров окружности С,
а хорда А" В" определяется, как указано выше; при этом искомая
окружность С совпадает, как легко видеть, с данной окружностью С.
Если данные окружности имеют радикальную ось и последняя
пересекает обе окружности в двух общих точках, т. е., если данные
окружности пересекаются в двух точках А и В, то задача становится
неопределённой: за центр искомой окружности можно принять любую
точку радикальной оси, внутреннюю относительно одной (а следова-
тельно, и относительно другой) из данных окружностей, т. е. любую
точку отрезка АВ. Положение точек А', В', А" и В", а следовательно,
и положение искомой окружности определяется при этом, как было
указано выше в случае существования радикального центра.
В остальных случаях задача не имеет решений.
707. При решении этого упражнения мы будем пользоваться
общими соображениями, развитыми в начале решения упражнения 703.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
561
Пусть некоторая окружность С касается двух данных окружно-
стей С и С" соответственно в точках Т и Т".
Если общие касательные к окружности С и к каждой из дан-
ных окружностей в точках Т и Т" пересекаются, то точка их пересе-
чения 1 лежит как в плоскости окружности С так и в плоскости
окружности С” и имеет относительно обеих окружностей одну и
ту же положительную степень (а именно 1Т'‘ — 1ТЛ). Обратно, если
точка I обладает этими свойствами, то касательные к обеим окруж-
ностям из точки I между собой равны. Если IT' -—одна из касатель-
ных из точки 1 к первой окружности С', IT"-—одна из касательных
из той же точки ко второй окружности С", то 1Т' = 1Т. В пло
скости ITT" существует окружность, касающаяся в точках Т и Т"
прямых IT' и IT". Эта окружность касается в тех же точках данных
окружностей С и С". Так как из точки / можно провести две каса-
тельные к окружности С и две касательные к окружности С" и
каждую из двух касательных к окружности С можно рассматривать
совместно с каждой из двух касательных к окружности С", то мы
получим таким образом (исходя из одной и той же точки /), вообще
говоря, четыре искомые окружности.
Если общие касательные к окружности С и к каждой из данных
окружностей в точках Т и Т параллельны, то оси обеих данных
окружностей лежат в одной плоскости, а именно в плоскости, про-
ходящей через диаметр Т'Т" окружности С и перпендикулярной к её
плоскости. Обратно, пусть оси данных окружностей лежат в одной
плоскости Р (в частности, пусть оси обеих окружностей совпадают,
и Р—какая-либо плоскость, проходящая через их общую ось). Если
Г— одна из точек пересечения плоскости Р с окружностью С и
Т"— одна из точек пересечения той же плоскости с окружностью С",
то касательные к обеим окружностям в точках Т и Т" перпендику-
лярны к плоскости Р. Поэтому существует, очевидно, окружность,
касающаяся обеих данных окружностей соответственно в точках Т
и Т". Таким образом, мы получим (исходя из одной и той же пло-
скости Р), вообще говоря, четыре искомые окружности.
Отсюда и вытекает решение поставленной задачи.
Если данные окружности имеют радикальный центр и этот ра-
дикальный центр лежит вне одной (а следовательно, и вне другой)
из данных окружностей, то задача имеет четыре решения. Точками
касания искомых окружностей с каждой из данных будут точки при-
косновения касательных к данным окружностям, проведённых из их
радикального центра.
Если радикальный центр данных окружностей лежит на одной иа
данных окружностей пли внутри неё, то задача не имеет решений.
Если данные окружности не имеют радикального центра и не
коаксиальны, то задача также имеет четыре решения. Точками каса-
ния искомых окружностей с каждой из данных будут точки пересечения
последней с плоскостью, в которой лежат оси данных окружностей.
36 Элементарная геометрия, ч. II
562
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если данные окружности имеют общую радикальную ось, то за-
дача становится неопределённой. Точками касания какой-либо из
искомых окружностей с каждой из данных будут точки прикоснове-
ния касательных к данным окружностям, проведённых из некоторой
точки радикальной оси, внешней относительно данных окружностей,
а также точки пересечения данных окружностей с плоскостью, в
которой лежат оси последних.
Пусть, наконец, данные окружности коаксиальны. Задача опять
будет неопределённой. Искомые окружности образуют два таких се-
мейства, что все окружности одного семейства получаются из какой-
либо одной из них путём вращения около общей оси данных окруж-
мы будем, очевидно,
ностей (для случая плоскости ср. Пл., ре-
шение упр. 265). Чтобы построить по одной
окружности каждого семейства, проведём че-
рез общую ось какую-либо плоскость Р и
рассмотрим, как было указано выше, точки
её пересечения с данными окружностями.
708. Пусть О' (г') и О" (г")—два данных
шара. Обозначим через О (г) какой-либо
третий шар, который будем считать искомым.
Если этот искомый шар пересекает первый
данный шар так, что линия пересечения
будет большим кругом на данном шаре, то
иметь (черт. 440) ОО'2 г’2 = г2. Если же
линия пересечения будет большим кругом на искомом шаре, то мы
должны в последнем равенстве поменять местами г и г', откуда
вытекает условие ОО'2 — г'2 = — г2.
Пусть теперь искомый шар пересекает оба данных шара так, что
тинии пересечения служат большими кругами на данных шарах. Мы
будем, очевидно, иметь:
откуда
ОО'2 -|-/2 = г2;
ОО"24-г"2 = г2,
ОО'2—ОО"2 = г"2 —г'2.
(1)
(2)
Iеометрическое место точек, удовлетворяющих этому последнему ра-
венству (2), есть плоскость (упр. 447), которую мы обозначим через Р,
если только центры данных шаров не совпадают. Итак, центры всех
искомых шаров лежат в одной плоскости Р.
Обратно, всякая точка О плоскости Р служит центром искомого
шара. Радиус г этого шара определяется любым из равенств (1).
Действительно, каждое из двух равенств (1) есть следствие равен-
ства (2) и другого из равенств (1).
Примечания. 1°. Любая точка Л1 радикальной плоскости данных
шаров удовлетворяет условию МО'2— МО,2 = г'“— г'2. Сравнивая это равен-
ство с равенством (1), мы приходим к заключению, что радикальная плоскость
данных шаров и плоскость Р, о которой идёт речь, обе перпендикулярные
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
563
к линии центров, симметричны относительно середины отрезка, соединяющего
центры обоих шаров.
2°. В случае плоскости соответствующая задача может быть поставлена
так: найти геометрическое место центров окружностей, делящих попо-
лам каждую из двух данных окружностей, лежащих в одной плоскости.
Уравнения (1) и (2) сохраняют силу. Искомым геометрическим местом служит
прямая, перпендикулярная к линии центров обеих окружностей и симметрич-
ная с их радикальной осью относительно середины отрезка, соединяющего
центры обеих окружностей (если центры данных окружностей не совпадают).
Аналогичное замечание относится и к другим вопросам, рассматриваемым
в настоящем упражнении.
Если обе линии пересечения служат большими кругами на иско-
мом шаре, то в тех же обозначениях будем иметь:
ОО'3+г2=г'2 и ОО"3-|-г2 = г',а,
откуда
ОО'3 — г'2 = ОО "2—г"2 = — г2 < 0.
Геометрическим местом точек О будет в этом случае, очевидно, часть
радикальной плоскости, внутренняя по отношению к одному (а следо-
вательно, и по отношению к другому) из данных шаров. Геометри-
ческое место существует только в случае двух пересекающихся шаров.
Если, наконец, линия пересечения с первым из данных шаров
будет большим кругом на этом шаре, а линия пересечения со вто-
рым из данных шаров — большим кругом на искомом шаре, то в
тех же обозначениях будем иметь:
ОО'3 + г'3 = г3; ОО"2 -\-г2 = г"\
откуда
оо'2 + =г"2—г'2-
Геометрическое место точек О, удовлетворяющих последнему условию,
существует при г"2 — О'®'* и пРеДставляет собой шар S с
центром в середине отрезка О'О" (упр. 681). Обратно, всякая точка
этого шара служит центром одного из искомых шаров. Геометриче-
ское место точек О обращается в точку при г"а —= у О'О"2 и
не существует при г"2 — г'2<^уО’О’2.
В случае трёх данных шаров Oj (г3), Ог (г2) и О:! (rs) можно рас-
сматривать геометрические места центров шаров О (г), пересекаю-
щих три данных шара так, что линии пересечения'.
а) со всеми тремя данными шарами будут большими кругами
на данных шарах;
Ь) со всеми тремя данными шарами будут большими кругами
на искомом шаре;
с) с какими-либо двумя из данных шаров будут большими
кругами на этих шарах и с третьим данным шаром — большим
кругом на искомом шаре;
36*
564
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
d) с какими-либо двумя из данных шаров будут большими кру-
гами на искомом шаре и с третьим данным шаром—большим
кругом на этом шаре.
Рассмотрим перечисленные здесь случаи по порядку.
а) В этом случае должны удовлетворяться условия ОО/ =
г=ОО22-| ггг— OOS2 -*-r32 = r2. Геометрическое место точек О есть
линия пересечения двух плоскостей, аналогичных рассмотренной выше
плоскости Р, если центры данных шаров не лежат на одной прямой.
Если центры данных шаров лежат на одной прямой, то геометри-
ческое место не существует или обращается в плоскость.
Ь) В этом случае должны удовлетворяться условия ОО/— г/ =
= 00/— г22 = ОО32— г$2 = — г2<^0. Геометрическое место точек О
есть, очевидно, часть радикальной оси трёх данных шаров, внутрен-
няя по отношению к одному из данных шаров (а следовательно, и по
отношению к двум другим), если центры данных шаров не лежат на
одной прямой. Если центры трёх данных шаров лежат на одной
прямой, то геометрическое место не существует вовсе или обра-
щается в часть общей радикальной плоскости трёх шаров, взятых
попарно, внутреннюю по отношению к одному из данных шаров
(а следовательно, и по отношению к трём другим).
с) Предположим, что линии пересечения искового шара с первыми
двумя из данных шаров будут большими кругами на этих шарах.
Мы будем иметь равенства 00 2 -|- г/ = ОО2 -/ г2 = г32 — ОО3 = г2.
Геометрическое место точек О (если оно существует и не обра-
щается в точку) представляет собой окружность, по которой пло-
скость, аналогичная рассмотренной в начале решения плоскости Р
и соответствующая первым двум данным шарам, пересекает шар, ана-
логичный рассмотренному выше шару S и соответствующий первому
(пли второму) и третьему данным шарам.
d) Предположим, что линии пересечения искомого шара с пер-
выми двумя из данных шаров будут большими кругами на искомом
шаре. Мы будем иметь равенства г2 — ОО2 — г22 — OO22 = rs2-^-
-\-OOs2 = r2. Геометрическое место точек О (если оно существует
и не обращается в точку) представляет собой окружность, по которой
радикальная плоскость первых двух данных шаров пересекает шар,
аналогичный рассмотренному выше шару S и соответствующий тре-
тьему и первому (или второму) из данных шаров.
709. Рассмотрим произвольную плоское ib, проходящую через
центры О’ и О" двух данных шаров. Положение предельных точек Р
и Q окружностей С и С, получившихся в сечении (Пл., упр. 152),
на прямой 0'0", очевидно, не зависит от выбора секущей плоское in.
Точки Р и Q, рассматриваемые как шары нулевого радиуса, имеют
с двумя данными шарами общую радикальную плоскость, так как
они обладают соответствующим свойством по отношению к окружно-
стям С и С".
Если некоторый шар О ортогонален к двум данным шарам О' и О",
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
565
то плоскость центров ОО'О" пересекает первый шар О по окруж-
ности С, ортогональной к линиям пересечения С и С" плоскости
с двумя данными шарами. В силу этого окружность С, а следова-
тельно, и шар О проходит через предельные точки окружностей
С' и С" (Пл., упр. 152), т. е. через предельные точки Р и Q дан-
ных шаров.
Примечание. Чтобы избежать ряда оговорок при решении некоторых
из последующих упражнений, мы несколько обобщим понятие предельной
точки двух шаров.
Если два шара касаются друг друга, то точка их касания обладает, оче-
видно, следующими свойствами. Если рассматривать точку касания как шар
(с радиусом, равным нулю), то последний имеет с двумя данными шарами
общую радикальную плоскость; любой шар, ортогональный к двум данным
шарам, касающимся друг друга, проходит через их точку касания. Эти
два свойства дают основание рассматривать точку касания как (единствен-
ную) предельную точку двух шаров, касающихся друг друга.
Далее, за предельные точки шара и плоскости, не имеющей с ним
общих точек, естественно принять две точки, обладающие следующим свой-
ством: если каждую из них рассматривать как шар (с радиусом, равным
нулю), то данная плоскость будет радикальной плоскостью этого послед-
него шара и данного шара. При этом любой шар, ортогональный к данному
шару и к данной плоскости, будет проходить через их предельные точки.
Чтобы доказать существование таких точек, достаточно взять какой-либо
шар такой, чтобы данная плоскость была радикальной плоскостью этого шара
и данного, и рассмотреть предельные точки обоих шаров.
Наконец, за (единственную) предельную точку шара и касающейся его
плоскости естественно принять их точку касания.
Соот егствуюшие зааечания можно сделать и по поводу предельных
точек двух окружностей на плоскости.
710. Пусть О (г), О'(г') и О" (г")— три данных шара. Так как
они не имеют ни одной общей точки, то их радикальная ось не
имеет ни с одним из этих шаров общих точек и целиком лежит вне
каждого из данных шаров. Действительно, общая точка радикальной
оси и одного из данных шаров была бы общей точкой всех трёх
данных шаров, так как степень такой точки относительно одного из
данных шаров, а следовательно, и относительно двух других была бы
равна нулю.
Обозначим теперь через О, и О2 какие-либо две точки радикаль-
ной оси, через г, и г2—радиусы шаров, имеющих эти точки своими
центрами и ортогональных к трём данным. Точка О имеет по отно-
шению к каждому из шаров О, (fj) и О2 (г2) одну и ту же степень г2,
как это следует из ортогональности шара О (г) к каждому из шаров
О, (г,) и О2 (г2). Таким же образом степень точки О' по отношению к
каждому из шаров О, (г\) и О2 (г2) равна г'2, а степень точки О" по
отношению к каждому из тех же шаров равна г"2. Таким образом,
плоскость ОО'О", т. е. плоскость центров трёх данных шарив,
есть радикальная плоскость шаров О] (г,) и О2 (г2), а следовательно,
и общая радикальная плоскость всех шаров, ортогональных к трём
данным.
566
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Если один из ортогональных шаров пересекает плоскость центров
по окружности С, то и все шары, ортогональные к трём данным,
будут проходить через ту же окружность С, так как эти шары
имеют общую радикальную плоскость. Но так как радикальная ось
целиком лежит вне каждого из данных шаров, то за центр шара
Oj (fj), к ним ортогонального, можно принять, в частности, точку
пересечения радикальной осп с плоскостью центров. При этом шар
Oj (fj) заведомо будет пересекать плоскость центров.
Итак, если три шара, центры которых не лежат на одной
прямой, не имеют ни одной общей точки, то ортогональные к ним
шары проходят через одну а ту же окружность С.
Пусть Р—какая-либо точка окружности С. Степень точки Olt
лежащей на радикальной оси, относительно каждого из трёх данных
шаров равна г у, где гг имеет то же значение, что и выше. Степень
точки Oj относительно точки Р как шара нулевого радиуса равна,
по определению, 0}Р'-. Но мы имеем О^Р—Гу, так как точка Р
лежит по условию на шаре (f\). Итак, все точки окружности С,
рассматриваемые как шары нулевого радиуса, имеют с тремя дан-
ными шарами общую радикальную ось.
Обратно, если некоторая точка X обладает последним свойством,
то мы должны иметь для такой точки OlX2 = г12 и аналогично
О2А“' — г22. Поэтому точка X есть одна из точек пересечения ша-
ров Oj (г() и О2(г2) и, следовательно, лежит на окружности С.
Итак, окружность С есть геометрическое место точек, кото-
рые как шары нулевого радиуса имеют с тремя данными шарами
общую радикальную ось.
711. Пусть существует шар, ортогональный к четырём данным.
Его центром служит радикальный центр 1 данных шаров. Квадрат
его радиуса г есть степень точки / относительно каждого из данных
шаров. Если какую-либо точку Р этого ортогонального шара рас-
сматривать как шар нулевого радиуса, то степень точки I относи-
тельно этого последнего шара также будет равна IP2 = г2. Обратно,
если некоторая точка X обладает требуемым свойством, то мы должны
иметь 1Х2 = Г2, и точка X лежит на ортогональном шаре.
Таким образом, шар, ортогональный к четырём данным, есть
геометрическое место точек, обладающих рассматриваемым свойством.
712. При решении этого упражнения мы будем пользоваться ре-
зультатами решения упражнений 703 и 709.
Рассмотрим сначала общий случай, когда данные окружности
а С2 имеют радикальный центр I. Пусть шар проходящий через
окружность Сц и шар S2, проходящий через окружность С2, не
имеют общих точек (или касаются друг друга). Обозначим через U
одну из их предельных точек (или их единственную предельную точку,
совпадающую с их точкой касания).
Так как точка I имеет относительно данных окружностей С\ и С2
одну и ту же степень, которую мы обозначим через h, то она лежит
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
567
в радикальной плоскости шаров S, и S2. Поэтому степень точки j
относительно точки U, рассматриваемой как шар (с радиусом, равным
нулю), также должна равняться h, так что IU2 = h. Это равенство
показывает, что в данном случае радикальный центр данных окруж-
ностей имеет относительно каждой из них положительную степень и
что предельная точка U шаров Sx и S2 лежит на шаре S, пересе-
кающем обе данные окружности под прямым углом (ср. решение
упр. 703).
Пусть теперь U — какая-либо точка этого шара S. Покажем, как
построить шары 5j и «$2, проходящие соответственно через окруж-
ности Q и С2 и имеющие точку U одной из своих предельных точек.
Центр 01 искомого шара должен лежать на оси окружности С,,
центр О2 искомого шара S2 — на оси окружности С2 и прямая О,О2
должна проходить через точку U. Следовательно, для построения то-
чек 01 и О2 достаточно провести через точку U прямую, которая пе-
ресекает не лежащие в одной плоскости оси окружностей Сх и С2
(упр. 424).
Если такая прямая существует, то точки её пересечения О, и О2
с осями обеих окружностей будут центрами искомых шаров, которые
таким образом определяются. В самом деле, если шары и S2 по-
строены, как только что указано, то точка / имеет одну и ту же
степень h как относительно шаров S, и 52, так и относительно точки
U, рассматриваемой как шар (с радиусом, равным нулю). Следовательно,
общей радикальной плоскостью трёх шаров будет плоскость, прохо-
дящая через точку / и перпендикулярная к построенной прямой Ог Ог,
и точка U есть предельная точка шаров и -^г1).
Если теперь через точку U нельзя провести прямой, пересекающей
оси обеих данных окружностей, то через ту же точку U проходит
прямая, параллельная одной из этих осей и пересекающая другую
(ср. решение упр. 424). Пусть, для определённости, эта прямая па-
раллельна оси окружности Сх, т. е. перпендикулярна к её плоскости,
и пересекает в точке О2 ось окружности С2- В этом случае точка I
имеет одну и ту же степень относительно точки U, рассматриваемой
как шар (с радиусом, равным нулю), и шара S2 с центром О2, про-
ходящего через окружность С2. Радикальной плоскостью этих двух
шаров будет плоскость, проходящая через точку I и перпендикуляр-
ная к прямой UO2, т. е. плоскость окружности С}. Таким образом,
точка U есть предельная точка шара S2, проходящего через окруж-
ность С2, и плоскости окружности Cj (ср. решение упр. 709, примечание).
Итак, если данные окружности имеют радикальный центр и этот
радикальный центр лежит вне одной (а следовательно, и вне другой)
J) Задача построения прямой ОХО2 становится неопределённой, если точ-
ка U лежит на оси одной из данных окружностей. Но каждая из данных ок-
ружностей пересекает шар S, на котором лежит точка U, под прямым углом,
откуда легко заключить, что оси данных окружностей не имеют общих точек
с шаром S.
568
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
из данных окружностей, то искомым геометрическим местом предель-
ных точек будет рассмотренный в упражнении 703 шар, пересекающий
обе данные окружности под прямым углом.
Если радикальный центр I данных окружностей лежит на одной
(а следовательно, и на другой) из них, то искомое геометрическое
место обращается в точку /, а если он лежит внутри одной (а следо-
вательно, и внутри другой) из них, то искомое геометрическое место
не сущест! ует.
Пусть теперь данные окружности не имеют радикального центра
и не коаксиальны. В таком случае оси данных окружностей лежат
в одной плоскости Р. В той же плоскости Р лежат и центры шаров
S, и 8г, а следовательно, и их предельные точки. Можно доказать,
что в этом случае искомым геометрическим местом предельных точек
будет вся плоскость Р.
Для этого надо показать, что всякая точка U плоскости Р служит пре-
дельной точкой некоторого шара S2. проходящего через окружность С\, и не
которого шара S2, проходящего через Окружность С2. Обозначим через С и
С" те окрх жности, по которым плоскость Р пересекает соответственно шары Si
и S3. Точка U будет предельной точкой и для окружностей С и С", так как
плоскость/3 проходит через линию центров шаров S, и S2 (ср. решение упр. 709).
Обозначим через А. и Bt точки пересечения окружности С\ с плоскостью Р,
через А2 и В,— точки пересечения окружности С2 с той же плоскостью.
Окружность С’ проходит через точки Л, и В}, окружность С* — через точки А2
и В,. Через предельную точку U проходит бесчисленное множество окружно-
стей, ортогональных к обеим окружностям С и С. Выберем среди этих
окружностей ту, которая ортогональна ещ5 к какой-либо окружности, проходя-
щей через точки А, и Вх. Эта окружность Г будет ортогональна, как легко
видеть, ко всем окружностям, проходящим через точки Д, и В, (ср. Пл., п 139,
примечание). Но существует единственная окружность, проходящая через
точку U и ортогональная к двум, а, следовательно, и ко всем окружностям,
проходящим через точки А} и Вх (ср. Пл., упр. 259 для того случая, когда
третья из данных там окружностей обращается в точку). Итак, искомая окруж-
ность С" ортогональна к окружности Гъ проходящей через точку U и орто-
тональную к окружностям, проходящим через точки Аг и ВА. Аналогично,
искомая окружность С ортогональна к окружности Г2, проходящей через
точку U и ортогональной ко всем окружностям, проходящим через точки А2 и В2.
Отсюда вытекает такое построение окружностей С' и С” (а следовательно,
и искомых шаров Sj и S2). Через точку U проводим окружность Г(, ортого-
нальную к каким-либо двум окружностям, проходящим через точки At и Вх,
и окружность Г2, ортогональную к каким-либо двум окружностям, пр ходящим
черв-i точки Аг и В2. Окружность С, проходящая через точки и .Sj и орто
тональная к Г2 (ср. Пл. упр. 258), и окружность С”, проходящая через точки
Аг и В2 и ортогональная к окружности Г(, и будут искомыми. Действительно,
окружность Г] ортогональна и к окружности С (так как последняя проходит
через точки Ах и Bt) и к окружности С” (по построению); окружность Г2 также
ортогональна к окружностям С и С". Так как через точку IJ проходят две
окружности Г! и Г2, ортогональные к двум окружностям С и С", то точка U
есть, действительно, предельная точка двух последних окружностей.
Это рассуждение теряет силу, если окружности Г] и Г2 совпадают ил з
если совпадают окружности С и С". В обоих случаях окружности и С2
лежат на одном шаре и потому имеют, вопреки предположению, радикальную
ось или коаксиальны. К рассмотрению этих последних случаев мы и переходим.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
569
Пусть теперь данные окружности имеют радикальную ось. В этом
случае получаются результаты, существенно отличные от предыдущих.
Предположим сначала, что данные окружности не имеют общих
точек, так что все точки радикальной оси будут внешними относи-
тельно каждой из данных окружностей. Пусть шар проходящий
через окружность С,, и шар S2, проходящий через окружность С2,
не имеют общих точек (или касаются друг друга). Обозначим через U
одну из их предельных точек (или их единственную предельную точку).
Так как всякая точка радикальной оси данных окружностей имеет
относительно окружностей и С2 одну и ту же положительную сте-
пень h, то радикальная ось данных окружностей лежит в радикальной
плоскости шаров 5, и S2. Поэтому степень какой-либо точки / ради-
кальной оси относительно точки U, рассматриваемой как шар (с ра-
диусом, равным нулю), должна равняться степени h точки I относи-
тельно каждого из шаров S, и S2, т. е. степени h точки I относи-
тельно каждой из данных окружностей, так что IU2 — h. Это равенство
показывает, что точка U лежит на шаре L с центром I, пересекающем
обе данные окружности под прямым углом. Последнее рассуждение
можно повторить для любой точки I радикальной оси. Поэтому точка U
есть общая точка всех шаров S, пересекающих обе данные окруж-
ности под прямым углом. Из упражнения 710 легко вытекает, что все
такие шары проходят через одну и ту же окружность С (за три шара,
о которых идёт речь в упражнении 710, можно принять шары 51( S2
и тот шар, на котором лежат данные окружности, имеющие радикаль-
ную ось). Таким образом, предельная точка U шаров Sx и S2 лежит
в рассматриваемом случае на общей окружности С всех шаров, пе-
ресекающих обе данные окружности под прямым углом. Можно до-
казать, что в этом случае искомым геометрическим местом предельных
точек будет вся окружность С.
Для этого надо показать, что всякая точка U окружности С служит пре-
дельной точкой некоторого шара Sb проходящего через окружность С\ и неко-
торого шара Sz, проходящего через окружность С2.
За шар Sj примем произвольный шар, проходящий через окружность Ср
Радикальная плоскость М шара Si и точки U, рассматриваемой как шар, про-
ходит через радикальную ось данных окружностей, так как каждая точка пос-
ледней имеет относительно этих двух шаров одну и ту же степень. Проведём
теперь через произвольную точку Л окружности С2 такой шар S2, чтобы плос-
кость М была радикальной плоскостью шаров Sj и S2 (на способе построения
такого шара мы не останавливаемся). Нетрудно доказать, что линия пересе-
чения шара Sz с плоскостью окружности С2 совпадает с этой окружностью
(ср. доказательство совпадения окружностей С и С" в решении упр. 703).
Точка U, рассматриваемая как шар, имеет с шарами S| и S2 общую радикаль-
ную плоскость М и потому служит их предельной точкой.
Итак, если данные окружности имеют радикальную ось и эта ра-
дикальная ось не имеет общих точек с одной (а следовательно, и
с другой) из данных окружностей, то искомым геометрическим местом,
570
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
предельных точек будет окружность, а именно общая окружность всех
шаров, пересекающих обе данные окружности под прямым углом.
Если радикальная ось данных окружностей касается одной из них
в некоторой точке (и, следовательно, обе окружности касаются друг
друга в этой точке), то искомое геометрическое место обращается
в точку касания, а если радикальная ось пересекает одну из данных
окружностей в двух точках (и, следовательно, обе окружности пере-
Черт. 441.
секаются между собой в этих точках), то иско-
мое геометрическое место не существует.
Наконец, если данные окружности коак-
сиальны, то искомым геометрическим местом
предельных точек будет их общая ось.
713. Пусть три попарно перпендикуляр-
ные прямые, проходящие через данную точ-
ку S, пересекают данный шар О (R) — одна
в точках А и А', другая в точках В и В',
третья в точках С и С (черт. 441).
Обозначим через L, AI и середины
хорд АА', ВВ' и СС. Точки L, М, N, О и
5 служат вершинами прямоугольного парал-
лелепипеда, остальными тремя вершинами
которого будут центры Оп О2 и Оа тех окружностей, по которым
данный шар пересекает соответственно грани BSC, CSA и ASB трёх-
гранного угла SABC. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного
параллелепипеда (п. 412) имеем;
О(\2 + ОО22 4 ОО32 = OS2.
(1)
.Далее мы имеем: OL2 — ООг2 ОО32; ОМ2 == ОО32 OOj2 и
ON2=OOj2-j-ОО22, откуда:
OL2 4- СМИ2 4- ON2 = 2 (OOj2 4- ОО22 4- ОО32) = 2 OS2. (2)
1) Выражение для суммы квадратов трёх хорд, отсекаемых на рёб-
рах трёхгранного угла, можно преобразовать теперь следующим обра-
зом- АА'2 + W24-СС'2 = 4AL2 4 4В7И2 4 С А'2 = 4 (ОА2 — OL2} 4~
4- 4 (ОВ2 — О/И2) 4" 4 (ОС2 — 0№) = 12/?2—4(0Z.2-]-0Al2 + 0№),
откуда в силу равенства (2), найдём:
ДД'3 + ВВ'24-СС'2=12/?2 —8O52. (3)
Это равенство и показывает, что сумма квадратов рассматриваемых
хорд постоянна (для данной точки S).
Примечание. Из последнего равенства для вершины S трёхгран-
ного угла с тремя прямыми плоскими углами, все рёбра которого пере-
секают шар, имеем условие: 12/?2 — 8OS2>0 или 2OS<^R'\/6 .
2) Точка S может лежать как внутри шара (черт. 441), так и на
самом шаре или вне его. Выбирая на каждой из трёх прямых &4, SB
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА III
571
и SC произвольно положительные направления, будем иметь по вели-
чине и по знаку во всех случаях: SA2 —|—.SZ?2 -j-SC2 -|-S/4'2-(-S5'2
— SC2 = {SA — SX')24 {SB — SB')2-]- (SC — SC’)24-2 (&4-&4'4
- - SB • SB’ 4 SC • SC) = A A'2 4- ВВ'2 Ц CC'2 4- 2 (S.4 • SH' 4- SB SB'4-
--SC-SC). Обозначая через h степень точки S относительно шара,
имеем (п. 482): SA-SA' —SB-SB' — SC-SC = h = OS2 — R2. Прини-
мая ещё во внимание равенство (3), получим:
вл2 4 sb2 4 sc2 4 sa'2 4 sb'2 4- sc2=gr2—20s2.
Черт. 442.
Это равенство и показывает, что сумма квадратов шести рассматри-
ваемых отрезков постоянна.
3) Наконец для суммы площадей трёх рассматриваемых кругов
имеем: п-О1В24тг’О2С24тг'442==тг‘(^^2 — ООг2)тт (ОС2 —
— 0<42)4тг-(0.42 — ОО32) = Зп/?2 — п-(ОО]24ОО224ОО32). При-
нимая во внимание равенство (1), для
суммы площадей трёх кругов полу-
чаем постоянную величину Зп№—
—тг-OS2.
714. Пусть в обозначениях, при-
нятых в упражнении 713, из точки S
опущен перпендикуляр SH на пло-
скость АВС (черт. 442). При этом
точка Н будет точкой пересечения вы-
сот треугольника АВС (задача 523,1°).
Обозначим через D точку пересечения
плоскости SAH с прямой ВС и через
Е — вторую точку пересечения прямой
AD с шаром; так как Е есть точка пере-
сечения высоты AD треугольника АВС
с описанной окружностью, то DE = DH (Пл., упр. 70). Так как пря-
мая S/4 перпендикулярна к прямым SB и SC, то она перпендикуляр-
на и к прямой SD. Из прямоугольного треугольника ADS находим
SH2—^- НА-НЕ =—-i- h ——^(ОНг— R2), где Лесть степень
точки Н относительно шара. Последнее равенство даёт:
OH2-±-2SH2 = R2. (1)
Итак, основание Н перпендикуляра, опущенного из данной точки S
на любую из плоскостей АВС, удовлетворяет условию (1).
Обратно, пусть некоторая точка Н, отличная от S, удовлетворяет
соотношению (1). Плоскость Р, проходящая через точку Н и перпен-
дикулярная к прямой SH, пересекает шар, так как в силу соотноше-
ния (1) OH<^R. Обозначим через А какую-либо одну из точек пе-
ресечения плоскости Р с шаром, через Е—вторую точку пересечения
прямой АН с шаром и через О — середину отрезка НЕ. Так как точка
Н лежит внутри шара, то и точка D лежит внутри шара. Поэтому
672
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
прямая, лежащая в плоскости Р и перпендикулярная к AD в точке D,
пересекает шар в двух точках, которые мы обозначим через В и С.
Покажем, что трёхгранный угол SABC, где 5—данная точка, и
А, В, С — точки, определённые выше, имеет три прямых плоских
угла. Так как, на основании равенства (1), SH2 ——(ОН2 — R2) —
—----~h, где h — степень точки Н относительно шара, и HD=^ НЕ,
то SH2 -НА-HD. Так как, кроме того, прямая SH перпендикулярна
к плоскости Р и, следовательно, к прямой AD, то, в силу послед-
него равенства, угол ASD прямой. Кроме того, прямая ВС, перпен-
дикулярная (по построению) к проекции АН прямой SA на плоскость
Р, перпендикулярна и к самой прямой 571. Таким образом, прямая
571 перпендикулярна к прямым SD и ВС плоскости BSC, а потому
перпендикулярна и к самой плоскости BSC. Следовательно, плоские
углы ASB и ASC трёхгранного угла SABC прямые. Далее мы имеем
DB-DC=DA-DE=DS2. Так как прямая DS перпендикулярна (по
построению) к прямой ВС, то отсюда следует, что и угол BSC пря-
мой. Итак, всякая точка Н, удовлетворяющая условию (1), есть
основание перпендикуляра, опущенного из точки S на некоторую
плоскость АВС.
Остаётся найти геометрическое место точек Н, удовлетворяющих
условию (1). В силу решения упражнения 681, геометрическое место
точек Н есть шар. Центром этого шара служит точка Оъ делящая
отрезок OS (внутренним образом) в отношении О, О: O,S= 2:1; ра-
1 2
диус шара равен -^R2---g OS2 (ср. решение упр. 681). Этот шар
существует при OS2 у R2; следовательно, при том же условии су-
ществуют и трёхгранные углы, обладающие рассматриваемыми свойст-
вами (ср. решение упр. 713, примечание).
Рассмотрим теперь случай, когда точка 5 лежит на самом шаре.
Обозначим через А, В а С вторые точки пересечения рёбер трёхгран-
ного угла с шаром. Точки 5, А, В и С будут, очевидно, принадле-
жать к числу вершин прямоугольного параллелепипеда, вписанного
в шар и имеющего центр О шара точкой пересечения диагоналей.
Плоскость АВС проходит через концы трёх рёбер параллелепипеда,
выходящих из вершины 5. Поэтому диагональ OS параллелепипеда
проходит через центр тяжести О треугольника АВС, и точка G де-
лит отрезок OS в постоянном отношении 00:05=1:2 (упр. 536).
Отсюда и следует, что в этом случае все плоскости АВС проходят
через одну и ту же точку О.
715. Примем за центры трёх шаров какие-либо три точки, не
лежащие на одной прямой. Радиусы этих трёх шаров выберем так,
чтобы никакие два из них не были равны друг другу и чтобы сумма
радиусов каждых двух шаров была меньше расстояния между их
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА IV
573
центрами (а в остальном произвольно). При этом все три шара будут
расположены один вне другого. Если теперь какая-либо из осей по-
добия пересекает выбранные шары (или их касается), то уменьшим
радиусы всех трёх шаров, не изменяя положения их центров, в од-
ном и том же отношении настолько, чтобы ни одна из осей подо-
бия не пересекала изменённых шаров; так как центры и оси подобия
будут оставаться при этом на месте, то такое уменьшение радиусов
возможно.
При таком выборе трёх шаров через каждую из четырёх осей
подобия будет проходить по две касательные плоскости к какому-либо
одному из трёх шаров. Эти восемь плоскостей и будут общими каса-
тельными плоскостями ко всем трём шарам.
УПРАЖНЕНЬЯ К ГЛАВЕ IV (стр. 171).
716. Поверхность шара равна произведению длины окружности
большого круга на диаметр шара; поверхность сферического сегмента
равна произведению длины окружности большого круга на высоту
сегмента. Если поверхность сегмента относится к поверхности шара
как т:п, то и высота сегмента относится к диаметру шара также
как т:п. Поэтому плоскости, отсекающие от данного шара сфериче-
т
ские сегменты, поверхность каждого из которых составляет — по-
верхности шара, касаются одного и того же шара, концентрического
с данным; этот шар делит все диаметры данного шара в отношении
т:(п— т).
Отсюда и вытекает решение поставленной задачи. Чтобы разде-
делить поверхность данного шара на п равновеликих частей плоско-
стями, проходящими через данную прямую D, достаточно разделить
один из диаметров шара на п равных частей, провести через все
точки деления шары, концентрические данному, и построить касатель-
ные плоскости к этим шарам, проходящие через прямую D. На чер-
теже 443 построение показано для п — 5 (чертёж изображает сечение
данного шара плоскостью, проходящей через центр шара и перпенди-
кулярной к прямой D).
717. Пусть О — центр данного шара (черт. 444), О'—центр ка-
кого-либо шара, проходящего через точку О и пересекающего дан-
ный, Р — точка этого второго шара, диаметрально противоположная
точке О, А — одна из точек пересечения обоих шаров, Н— проек-
ция точки А на прямую 00'.
Поверхность сегмента, отсекаемого шаром О от шара О', равна
п-ОР-ОН. Но из прямоугольного треугольника АОР имеем ОР- ОН —
— ОАг. Отсюда для поверхности рассматриваемого сегмента получаем
величину п-О/12, равную площади большого круга данного шара,
независимо от выбора второго шара.
574
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
718. Поверхность шарового пояса равна длине окружности боль-
шого круга шара, умноженной на высоту. Часть боковой поверхности
цилиндра, о которой идёт речь, равна произведению длины окруж-
ности основания цилиндра, т. е. длины окружности большого круга,
на расстояние между обеими секущими плоскостями, равное высоте
пояса. Отсюда и следует равенство поверхности шарового пояса и
рассматриваемой части поверхности цилиндра.
719. 1) Пусть Р' — плоскость, параллельная плоскости Ри от
стоящая от центра шара на расстоянии х, меньшем его радиуса R.
Эта плоскость Р' пересечёт конус, о котором идёт речь, по окруж-
ности радиуса х, а шар — по окружности радиуса ]/р2— х2. Сумма
площадей обоих сечений будет равна ttjc2тг (/?2 — х2)=.тгД>2, т. е.
площади сечения цилиндра той же плоскостью Р'.
2) Пусть Р' — та же плоскость, что и выше, Ро —плоскость, па-
раллельная плоскости Р и проходящая через центр шара. Объём
части цилиндра, заключённой между обеими плоскостями Ро и Р1,
равен V'= тг/?2х; объём соответствующей части конуса равен
С1 = -д-пх3; соответствующая часть шара представляет собой шаро-
вой слой, у которого радиусы оснований равны R и ]Л/?2 — х2, а вы-
сота равна х, и имеет объём, равный V2 = у п/?2х у тгх (R2 — х2)
-J- пх3 = TtR2x — у пх3. Отсюда
V' = v't-]-V2. (1)
Проведём теперь вторую плоскость Р", аналогичную Р', и обоз-
начим через V", l7i и V2 соответственно объёмы части цилиндра,
части конуса и части шара, заключённых между плоскостями Ро и Р".
Будем иметь аналогично предыдущему:
И +^2. (2)
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА IV
575
Обозначая, наконец, через V, и V2 соответственно объёмы части
цилиндра, части конуса и части шара, заключённых между плоско-
стями Р" и Р', будем иметь очевидные равенства: V = V 4- V",
и V2=V24-V2, если плоскости Р и Р” лежат по
разные стороны от центра шара, и равенства V= V — V”, Vj =
= v'i — Vi и V2 = 1Z2 — V2, если плоскости P и P" лежат по одну
сторону от центра шара и плоскость Р" лежит ближе к центру, чем
Р (обозначения плоскостей можно выбрать так, чтобы последнее
условие выполнялось). Из этих последних равенств с помощью ра-
венств (1) и (2) выводим, что во всех случаях имеет место искомое
равенство У = 14 4~ Vz.
720. В случае цилиндра предложение очевидно, так как В —
= В' = В" и h (ВВ'4В") = Bh = V.
В случае конуса вращения площади сечений, параллельных осно-
ванию, относятся, как квадраты их расстояний от вершины, так как
радиусы этих сечений относятся, как их расстояния от вершины.
Следовательно, В' = 0; В" = ^В, и потому -i- h (В 4- В' 45") =
^~Bh = V.
В случае усечённого конуса вращения, у которого радиусы осно-
ваний равны Р и Р', радиус среднего сечения равен ~^-(Р-\-Р').
Поэтому
5==тг№;
5'=тг/?'2;
В” = ±ъ(Р + РУ,
откуда
1Л (5 4- 5' 4- 45") = | h (Р2 -J- Р'2 4- РР') = V.
Наконец, объём шарового слоя равен (п. 501) 17 = у/г(54~5')4*
4-1 тг^3- Точно так же объёмы тех двух шаровых слоёв, на кото-
рые плоскость, параллельная основаниям и находящаяся от них на
равных расстояниях, делит данный слой, соответственно равны
t(4)is+5-)+4(4)’ ”
Таким образом, для определения 5" получаем уравнение
1 й (5 4- 5") 4-1 пй2 4-1 h (В" 4- В') 4-1тгй2=4й (5+5')+1пй3'
из которого имеем
5" = 1(54-5')4-1тгй2.
576
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Следовательно,
1/г(54-В'4-4Я') = 1л[54-5' + 2(54-5'} + ттЛ2] =
= l*(5+B')4-l-n^ = V
Таким образом, формула, приведённая в условии, доказана для
всех случаев.
721. Пусть С и С—два малых круга, полярных один относи-
тельно другого (черт. 445 и 446), А — их общий полюс, Ни Н'—
их центры, 714 и ЛГ — какие-либо две такие точки обоих кругов,
что радиусы НМ и Н'М' параллельны и направлены в одну сторону,
О — центр шара.
Длина окружности круга С, равная 2п-МН, будет выражаться
2т.-МН МН
числом х = .^ qA' = ~од если за единицу длины принять длину
окружности большого круга, равную 2тс-ОА. Поверхность (меньшего)
сферического сегмента, ограниченного кругом С', равная 2тт-ОА-Н'А,
' 2т.-ОА- Н' А Н' А
будет выражаться числом у — - ^2—“TXT’ если за единицУ
площади принять поверхность полушария, равную 2тг-ОАг. Но в силу
свойств полярных малых кругов (ср. решение упр. 498), / АРМ-|-
/ АРМ' — 90°, треугольники ОМН и М'ОН' равны, и МН—ОН'.
Следовательно,
. МН . НА ОН'А-Н'А
х+у=-оа+-оа="-оа =1’
откуда х = 1 —у.
722. Произвольный многогранник, описанный около данного шара,
можно разложить на пирамиды с общей вершиной в центре шара,
имеющие своими основаниями все грани многогранника. Объём каж-
дой такой пирамиды равен произведению площади соответствующей
грани многогранника на одну треть радиуса шара (так как высота
пирамиды совпадает с радиусом шара). Отсюда следует, что объём
данного многогранника равен произведению его поверхности на одну
треть радиуса шара.
Таким образом, отношение объёма к поверхности имеет для всех
рассматриваемых многогранников одну и ту же величину; оно равно
одной трети радиуса шара.
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАРА IV
577
723. Объём и полная поверхность цилиндра равны тем пределам,
к которым стремятся соответственно объём и полная поверхность опи-
санной призмы, когда число сторон её основания неограниченно воз-
растает так, что длина каждой стороны стремится к нулю (для
объёма и боковой поверхности см. п. 465, примечание; для площади
основания см. Пл., п. 259). Если данный цилиндр описан около шара,
то и описанная около цилиндра призма будет в то же время описана
и около шара. Следовательно, отношение объёма призмы к её пол-
ной поверхности равно одной трети радиуса шара (ср. решение упр. 722).
Эта зависимость между объёмом, полной поверхностью и радиусом
шара сохранится и при переходе к пределу, т. е. будет иметь место
(в силу сказанного в начале решения) и для описанного цилиндра.
Аналогичные рассуждения применимы и в остальных случаях, о
которых говорится в условии.
724. Пусть а и b — стороны параллелограма, h и k— соответст-
вующие высоты, V и V — объёмы тел, образованных вращением дан-
ного параллелограма соответственно около сторон а и Ь.
Тело, образованное вращением параллелограма около стороны а,
очевидно, равновелико цилиндру, у которого радиус основания равен
k, а высота равна а. Отсюда V = mh2, и аналогично V‘ = -nbk2.
Следовательно, V: V" = ah2: bk2 или (в силу равенства ah = bk)
V:V'= h:k = b:a.
Итак, рассматриваемые объёмы обратно пропорциональны сторонам,
около которых происходит вращение.
725. Пусть /IjAgAg—искомый треугольник; А2А3 = «1, A3A1=a2
и Aiy42 = a3—его стороны; h2 и h3— соответствующие им высоты;
Гр гг и га — данные радиусы трёх шаров, о которых говорится в
условии.
В силу сказанного в п. 497 (рубрика 1°), объём тела, образован-
ного вращением треугольника AiA2A3 около стороны А2А3, будет
1,9 1,241™
равен у тга]«;, так что мы должны иметь = у к/ц. таким
образом, мы приходим к системе уравнений:
a,h~=4r^; a,h3,= 4г'; a3h2= 4г* (1)
К этим уравнениям надо присоединить ещё уравнения, дающие вы-
ражения высот треугольника AjAgAg через его стороны. Эти послед-
ние уравнения можно представить в виде:
д2Л2 - a3h3 ~ 2S (Oq, tz2, a3), (2)
где через S(u, v, -w) обозначена площадь треугольника co сторонами
и, v, w, т. е. выражение
S(a, i>, w)==~]/r(u-\-v-}-w)(v-^-'w—u)(w-[-a—v)(a-l~v—-w). (3)
37 Элементарная геометрия, ч. II
&78
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Задача сводится, таким образом, к определению неизвестных аи аг и а9
из системы уравнений (1) и (2). Это можно осуществить следующим
образом.
Из уравнений (1), принимая во внимание равенства axh1 = a2h2=t
~a3hs, без тРУДа находим
Ai:A2:A3 = r3:r3:r3;
_ 1 1 1
ai:cz:cs— -g-: : .
Г1 г2 гз
Поэтому можно положить
г3 г3 г3
, '1 , Г2 , г3
иг— f п„— —
т2 т2 3 т2
И
я4 я4 п*
G|—"х: : °з—
Г1 г2 г3
где т и п — некоторые неизвестные отрезки. При этих значениях
А,, Аг, А3 и аь а2, as уравнения (1) сводятся к одному уравнению
я4 — 4 m4, откуда
Остаётся удовлетворить только уравнениям (2). Подставляя значения
(4) в уравнения (2), получим одно уравнение:
\ Г1 '2 г3 /
Пользуясь равенством (3), легко убедимся, что
„ / 4/п4 4m4 4т*
d г3
X Г1 г2 г3
так что предыдущее равенство принимает вид:
Д-, -И =
£
г3
г3
= 16ms.s 4
2
Определив из этого уравнения значение т2 и подставив его в
выражения (4), мы и найдём стороны а1Т а2, а3 искомого треугольника,
если задача имеет решение.
726. Пусть О—центр и R— радиус данного шара, И—центр
искомого круга, М— одна из его точек, Р—вершина описанного
конуса, касающегося шара вдоль искомого круга (черт. 447).
Если положить ОН—х, то площадь сечения будет равна
тт (R2— х2), разность площадей двух сегментов 2n/?(/?-j-x) —
- 2л7? (R — х) = 4тг/?х. Отсюда получаем уравнение
R2 — x2 = 4Rx, (1)
решая которое находим одно положительное значение x = R (]/5 — 2).
Далее HM2 = R2 — х2 = 4/?х = 4Л?2(]/1Г—2). Из прямоугольного
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА IV
579
треугольника ОМР находим для высоты PH описанного конуса зна-
НМ2 ___________________х2
чение РН=^—г-р- =--------— 4R в силу уравнения (1). Таким об-
разом, высота описанного конуса равна удвоенному диаметру шара.
727. Пусть Н— центр основания искомого сегмента, М — одна
из точек окружности основания, НА — высота сегмента и 4'— точ-
ка шара, диаметрально про-
тивоположная точке А (черт.
447).
Поверхность искомого сег-
мента равна П'АА'-НА, пло-
щадь круга, служащего его
основанием, равна тг-НМ2 —
= тт-НА- НА’. Отношение по-
верхности сегмента к площади
АА’ „
круга равно поэтому -ггту. Зная
Г1/\.
это отношение, можно по-
строить на диаметре АА’ точку
, а следовательно, и искомый сегмент.
728. Пусть R— радиус данного шара, h — высота искомого ша-
рового сегмента, г — радиус его основания, V и V" — объёмы соот-
ветственно искомых шарового сегмента и шарового сектора, о кото-
рых идёт речь в условии.
Мы имеем (п. 501): V — ~ тгг2й -]- -I nh3. Заменяя здесь г2 его
значением r2 — h(2R— Л), получим: V=nRh2— ±-nhs. Для объёма
О
2
сектора будем иметь: V =-^nR2h.
О
Пусть теперь плоскость основания сегмента требуется выбрать
так, чтобы было V— IV, где к — данное число (к^>0). Подставляя
сюда вместо V и V приведённые выше выражения и отбрасывая мно-
житель тгЛ (решение А —0 интереса не представляет), получим квад-
ратное уравнение /г2 — 3Rh -j- 21R2 = 0, откуда
h = R (3 ± /9 —8k).
Чтобы получающиеся значения h были действительными, значение
9
к должно удовлетворять условию к^с— . Кроме того, значение Л
должно, по смыслу задачи, удовлетворять ещё условию 0 < h 2R.
Отсюда видно, что меньшее значение h, равное -у R (3 — ]Л9 — 8к),
будет удовлетворять условиям задачи, при всех значениях к, не пре-
восходящих . Большее же значение А, равное R (3 -|- ]/ 9 — 8к),
будет иметь смысл только при 9 — 8к<^1, т. е. при к^>1.
37
580
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Итак, при 0 задача имеет одно решение — получается
g
сегмент, не превосходящий полушария; при задача име-
ет два решения — оба получающихся сегмента больше полушария;
9 ^9
при к==— опять получается одно решение; наконец, при — за-
о о
дача не имеет решений.
729. При тех же обозначениях, что в решении упражнения 727
(черт. 447), объём конуса, о котором идёт речь, будет равняться
ук-НМ2-НА, а объём сегмента (ср. п. 501) у к-НЛ12-НА-]~
Если заданное отношение объёмов обозначить через л,
то -'ы будем иметь уравнение у НМ2-НА
Заменяя здесь НМ2 через НА-НА' и отбрасывая множитель НА2 (реше-
ние /УЛ = 0 интереса не представляет), получим ~НА'=\ НА'
-]-у/УЛ), откуда
НА __2 — 3k
НА---к
Зная
АА',
ние,
значение к, можно определить положение
а следовательно, и искомый круг. Чтобы
мы должны
> / 2
иметь к. — .
О
Из последнего уравнения находим:
точки Н на диаметре
задача имела реше-
1 —НА I 3
к ~~ 2 ‘ НА' 2 ‘
Отсюда видно, что при стремлении НА к нулю, ). имеет своим
2
пределом число .
О
730. Пусть R — радиус данного шара, г радиус шара, равнове-
ликого искомому слою, Г] — радиус круга, равновеликого поверхности
пояса, ограничивающего искомый слой, h — высота искомого слоя,
х—расстояние от центра данного шара до середины высоты слоя.
Приравнивая поверхность пояса площади данного круга, полу-
чим уравнение 2п/?/г = ттг|, откуда /г= Таким образом, высо-
ту h можно построить. Мы будем в дальнейшем считать её известной.
Расстояния от центра шара до плоскостей обоих оснований иско-
мого слоя равны х —|—у и |х—у-|. Приравнивая объём слоя объёму
шара радиуса г, получим уравнение:
КНИГА ВОСЬМАЯ. ГЛАВА IV
581
Хпй |>— Ч-уТГЙ [/?*- (х — у 2| 4-4^ =4^-3,
откуда
х2 = /?з—1л2 —
4г3
Зй
Это равенство определяет расстояние х и позволяет построить иско-
мый слой. Задача имеет решение при R2— ttJi2—
12 in
Наибольший объём искомого слоя получится при наибольшем воз-
можном значении г, т. е. при R2—^h2——0. При этом х = 0,
и высота искомого слоя делится в центре шара пополам. Наибольший
объём слоя будет при этом (в силу предыдущего равенства) иметь
4 ( й3\
значение пг3 = тг I R2h — 1.
731. Проведем через точку’ касания Я плоскость, перпендикуляр-
ную к плоскостям двух данных кругов, касающихся друг друга в
точке А. Она пройдёт через точки касания В и С, а также через
центр О шара и пересечёт первые два круга, равные между собой,
в их диаметрально противоположных точках А, В и А, С (черт. 448
и 449), а третий круг — в его диаметрально противоположных точ-
ках В и С. Пусть Н—центр последнего из трёх кругов, К—центр
одного из двух первых, х = АН—высота большего из рассматриваемых
сегментов. Условия задачи сводятся к тому, что поверхность каждого
из двух меньших сегментов должна быть в четыре раза меньше, а
следовательно, высота каждого из них должна быть равна . Подо-
бие прямоугольных треугольников АВН и АОК даёт ВН'.АВ=ОК'.АО
или, обозначая радиус данного шара через R,
/х(27? —х):/2^ = (r — ~\-R.
582
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Последнее уравнение не имеет решений, отличных от нулевого. Это
показывает, что поставленная задача не имеет решений (случай х —О,
когда каждый из трёх кругов обращается в точку, мы, естественно,
не считаем решением).
732. Пусть t и /' — проекции точек Т и Т на линию центров
(черт. 450), Tq —точка пересечения общей касательной к обеим
окружностям в их точке касания А с общей касательной ТТ', t0 — про-
екция точки А на прямую ТТ'.
Объём шарового кольца, о котором идёт речь, равен (п. 500):
V=^-n-TT'2-tf. (1)
Далее объём V\ тела, образованного вращением треугольника АТТ'
около линии центров, будет равен (п. 497,3° и п. 469, следствие 1):
VA=^n-AtQ-TT'- (tT-\-t'T).
О
Но в силу равенства двух пар прямоугольных треугольников AtT
и AtQT, а также АТТ' и AtQT имеем: At= АТ — At0 — ^tt'-,
tT-A-TT — TtQ-\-tQT' —ТТ', так что
V. = ~-n-tt’ -ТТ'2. (2)
1 о
Объёмы последних двух шаровых колец, о которых говорится
в условии, соответственно равны (п. 500): V = -§ъ»АТ2 • At и
V* = -^-тт-AT'2-АТ, откуда (в силу At = AT = ^-tf):
V -4- V” = 1 it• tf • (AT2 4- AT'2).
Но прямые AT и AT взаимно перпендикулярны как биссектрисы
смежных углов М£о и /0/4Г, так что АТ2 АТ'2=^ТТ'2. Следовательно,
V + V"=^n-TT'2-tt'. (3)
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
583
Наконец, объём части усечённого конуса, которая лежит вне ша-
ров <$ и S', равен в силу (2) ч (3):
Vj— (1/'+К") = 1тг-7Т2-/Г. (4)
Из сравнения равенств (1) и (4), а также (3) и (4) вытекают оба
доказываемых утверждения.
Чтобы выразить рассматриваемые объёмы через радиусы обеих
окружностей, достаточно выразить через эти радиусы отрезки ТТ’
и if. Это можно осуществить следующим образом.
Прямые Т0О и Т0О' взаимно перпендикулярны как биссектрисы
смежных углов ТТ0А и АТ0Т, откуда имеем ТТ' = 2Т0Т=2Т0Т =
2Т0А — 2]/ О А О'А. Далее, если К—проекция точки Т на прямую
tT и L — проекция точки О' на прямую ОТ, то из подобия прямо-
угольных треугольников ТТ'К и OO'L имеем: КТ-.ТТ’— OL-.OO',
ТТ-OL ТТ* ЮА-О'А п
и потому it =КТ = +ОМ = 04 + ОМ ~ Последние два
равенства и дают выражения отрезков ТТ' и tt' через радиусы ОА
и О' А данных окружностей
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ (стр. 173).
733. Степень точки /, лежащей внутри шара О(/?), относительно
этого шара равна ОТ— R2 =— (R2— О12) =— ±-АВ2, где АВ —
одна из хорд данного шара,
проходящих через точку /
и перпендикулярных к Of-
Так как радикальный
центр I четырёх данных ша-
ров О, О], О2 и О3 имеет
относительно всех этих ша-
ров одну и ту же степень,
ю хорды этих шаров, про-
ходящие через точку I и
перпендикулярные соответ-
ственно к Of, 0}1, 02! и О3/,
между собой равны. Прини-
мая точку 1 за центр, поло-
вину одной из этих равных
хорд — за радиус, мы получим шар, удовлетворяющий условиям задачи
(ср. Пл., упр. 154).
734. Пусть даны две пересекающиеся прямые ОА и ОВ и точка М;
лежащая в плоскости этих прямых (черт. 451).
Геометрическое место осей конусов вращения, проходящих через
прямые ОА и ОВ, есть пара плоскостей, перпендикулярных к пло-
скости АОВ и проходящих соответственно через биссектрисы ОЛТ и ОУ
584
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
углов, образованных данными прямыми (ср. решение упр. 658). Дан-
ная точка М будет, очевидно, внешней по отношению к тем из рас-
сматриваемых конусов, оси которых лежат в очной из этих двух
плоскостей (на черт. 451 это будет плоскость, проходящая через ОХ);
по отношению к остальным конусам эта точка будет внутренней.
Впишем теперь в каждый из рассматриваемых конусов, по отноше-
нию к которым точка М является внешней, шар (п. 476), касающийся
образующей ОА в некоторой определённой точке .4. Все эти шары
будут пересекать плоскость АОВ по одной и той же окружности
с центром на прямой ОХ, касающейся прямой О А в точке А. Так
как касательные плоскости ко всем этим шарам, проходящие чере.з
прямую ОМ, касаются последних в точках одной окружности, имею-
щей прямую ОМ своей осью (ср. решение упр. 693), то искомое геомет-
рическое место образующих, вдоль которых происходит касание,
представляет собой конус вращения. Вершиной этого конуса служит
точка О, осью — прямая ОМ, направляющей—только что названная
окружность. В частном случае этот конус может обращаться в пло-
скость или в часть плоскости (если точка О лежит в плоскости ок-
ружности).
Пусть теперь через точки А и В шара S с центром О (черт. 451)
проведены всевозможные малые круги, и из некоторой точки С боль-
шого круга АВ проведены к ним касательные большие круги. Соединяя
все точки рассматриваемых малых кругов и все точки касательных
к ним больших кругов с центром О шара S, получим только что рас-
смотренное семейство конусов, проходящих через прямые ОА и ОВ,
и касательные плоскости к этим конусам, проходящие через точку С
плоскости АОВ. Так как геометрическое место образующих, вдоль
которых происходит касание, есть конус вращения с осью ОС или,
в частном случае, плоскость, то геометрическое место точек Т,
в которых большие круги, проходящие через точку С, касаются
малых кругов, проходящих через точки А и В, есть малый или.
в частном случае, большой круг с полюсом в точке С.
Чтобы получить выражение для отрезка СТ, впишем в каждый из
построенных конусов шар, касающийся конуса вдоль того малого
круга, по которому конус пересекает данный шар S. Все эти вписан-
ные шары будут пересекать плоскость АОВ по одной и той же ок-
ружности Г, касающейся прямых ОА и ОВ соответственно в точках
А и В и потому пересекающей шар S под прямым углом. Прямая СТ,
лежащая в касательной плоскости СОТ к конусу, касается последнего
в точке Т. Следовательно, она касается в точке Т и вписанного
в конус шара. Отсюда вытекает, что СТ2 равняется степени точки С
относительно рассматриваемого шара, т. е. относительно окружности
Г. Если прямая СА пересекает вторично окружность Г в точке С,
то мы будем иметь:
СТ2 = СА-СС.
(D
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
585
Для преобразования этого выражения воспользуемся следующим предло-
жением:
Если некоторая секущая, проходящая через одну из точек пе-
ресечения А двух окружностей, пересекает их вторично в точках
С и С, то отрезок СС виден из другой точки пересечения данных
окружностей под углом, равным одному из углов между данными
окружностями (ср. Пл., решение упр. 69). В силу этого предложе-
ния угол СВС прямой. Если теперь опустить из точки О перпен-
дикуляр OH = d на хорду АВ, то прямоугольные треугольники О АН
и СС'В подобны (/ АОН — / С СВ}, откуда
СС'-ОН=ОА-СВ. (2)
Исключая из равенств (1) и (2) отрезок СС и заменяя О А и ОН
соответственно через Р и d, мы и получим искомое выражение для СТ2.
735. Пусть НН'—общий перпендикуляр к двум данным взаимно
перпендикулярным прямым НХ и Н'Х', не лежащим в одной плоскости
(черт. 452), М и М'— точки пересечения последних с какой-либо из
рассматриваемых плоскостей, параллельных данной плоскости Р, и О—
середина отрезка ММ', т. е. центр соответствующего шара.
В силу результатов решения упражнения 434 геометрическое место
точек О есть некоторая прямая YZ, лежащая в плоскости, параллель-
ной каждой из данных прямых и проходящей через середину отрезка
НН'. Далее все рассматриваемые шары проходят через точки Н
и Н', так как углы МНМ' и МН'М' — прямые. Проведём теперь
через прямую НН' плоскость, перпендикулярную к прямой YZ. Все
рассматриваемые шары пересекут эту плоскость по одной и той
же окружности, проходящей через точки Н и Н' и имеющей своим
центром точку пересечения плоскости с прямой YZ.
736. Пусть на каждой из данных прямых выбрано определённое
направление, которое мы будем называть положительным.
Мы получим одно семейство шаров, о которых идёт речь, откла-
дывая отрезки AM и А'М', удовлетворяющие условию А'М' :AM = k,.
оба в положительных направлениях (черт. 453) или оба — в отрица-
586
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
тельных. Второе семейство мы получим, откладывая один из двух
отрезков в положительном направлении, другой — в отрицательном.
Так как второе семейство шаров можно получить таким же путём,
как и первое, изменив на обратное положительное направление на
одной из данных прямых, то достаточно будет рассмотреть только
первое семейство. При этом мы не будем в дальнейшем оговаривать,
что оба отрезка откладываются в положительных направлениях или
оба в отрицательных.
Предположим для определённости, что прямые D и D’ не лежат
в одной плоскости.
Если отрезки AM и А'М удовлетворяют условию MM'.AM—k,
то все получающиеся при этом прямые ММ и прямая АА' парал-
лельны одной и той же плоскости (упр. 431). Далее, шар, представ-
ляющий собой геометрическое место точек Р, для которых РМ -.PM=k,
пересекает прямую ММ' в двух диаметрально противоположных точках
Мх и М2, делящих отрезок ММ' соответственно внутренним н внеш-
ним образом в отношении МХМ':MtM —МгМ';М2М = /г (на черт. 453
показана только точка Afj). На основании результатов решения
упражнения 434 отсюда следует, что геометрическое место точек Мг
(точек М2), делящих отрезки ММ внутренним (соответственно — внеш-
ним) образом в данном отношении, есть прямая Dx (соответственно —
прямая О2). Прямая Dx (прямая О2) лежит в плоскости, параллельной
прямым D и D', и делит отрезок А'А в точке Ах внутренним образом
в отношении Л1Л':Л1Л = k (соответственно — в точке А2 внешним об-
разом в отношении А2А' :А2А = k). Проведём через прямую D пло-
скость, параллельную прямой D', а следовательно, и прямым Dx и D2,
и обозначим через т', тх и т2 точки пересечения этой плоскости
с прямыми, параллельными прямой АА' и проходящими соответственно
через точки М', Мх и /И2. Будем иметь: трп':тхМ— МгМ’:МгМ =
= k=A'M':AM—Am':AM. Отсюда следует, что прямая Ати па-
раллельная прямой Dlt есть биссектриса треугольника АМт'. Таким
же образом докажем, что прямая О2 параллельна биссектрисе Ат2
внешнего угла при вершине А того же треугольника. Поэтому пря-
мые £)j и D2 взаимно перпендикулярны.
Итак, концы Mj и М2 отрезков МХМ2, параллельных одной и той
же плоскости, лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, не
лежащих в одной плоскости. Следовательно, все шары первого семей-
ства проходят через одну окружность С} (упр. 735). Геометриче-
ским местом центров О шаров первого семейства, т. е. середин отрезков
МХМ2, будет прямая Do, лежащая в некоторой плоскости, параллель-
ной прямым Dx и Dz, а следовательно, и прямым D и О'.
Приведённые выше рассуждения требуют видоизменения, если прямые D
«и D лежат в одной плоскости.
Отложим на прямых D и 1У какие-либо два отрезка АМ0 и Л'Л10, удовле-
творяющих условию А’М£:АМ0 — k. Отрезки АЛ^ и А'М^ можно, очевидно,
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
587
рассматривать как соответственные отрезки двух подобных фигур на плоско-
сти, имеющих одинаковое направление вращения. Эти две фигуры будут иметь
(Пл., п. 150) двойную точку U, удовлетворяющую условиям UA' :UA —
= иМ0:иМ0=А'М()'.АМ{} = к. Рассматривая те же отрезки АМд и А'М^ как
соответственные отрезки двух подобных фигур на плоскости, имеющих про-
тивоположные направления вращения, мы получим их двойную точку V
(точка S в решении Пл., упр. 161)1)- При этом мы будем иметь две пары по-
добных треугольников, а именно пару треугольников UAMU и UA’M0 и пару
треугольников УЛЛ10 и VA'Mq.
Если отложить теперь на прямых D и ГУ любые два отрезка AM и А'М’,
удовлетворяющие условию A'M'-.AM = k, то мы получим ещё две пары по-
добных треугольников, а именно пару UAM и бМ'ЛГ и пару 1Л4Л1 и V'A'M'.
Из подобия этих треугольников будем иметь: UM': UM = ПА!: ПА = k и
VM':VM~VA':VA = k. Следовательно, точки U и V обе принадлежат геоме-
трическому месту точек Р, для которых PM’-.PM — k. Поэтому все шары
первого семейства проходят через точки U и V, а так как центры этих шаров
лежат в плоскости прямых /) и Z/, то все шары первого семейства проходят
через окружность Сь имеющую отрезок UV своим диаметром. Центры
шаров первого семейства лежат на одной прямой Dg.
Дальнейшие наши рассуждения будут справедливы в равной мере и для
случая прямых О и С, не лежащих в одной плоскости, и для случая прямых
D и О', лежащих в одной плоскости.
Предположим теперь для определённости, что обозначения прямых
D и D' выбраны так, что отношение k меньше единицы
k изменяет свою величину на обратную, если
поменять ролями прямые О и D'). При этом
точка Мг будет лежать на продолжении от-
резка ММ' за точку М' (черт. 454). Не из-
меняя точки А прямой D, заменим точку А
в предыдущих рассуждениях другой точ-
кой А' той же прямой D'. Если точку М оста-
вить на месте, то точка М заменится той
точкой М прямой D', для которой (в си-
лу А'М = А'М') отрезки А'А' и М'М бу-
дут равны и направлены в одну сторону.
Точки Mt и ТИ2 заменятся при этом новыми
точками 7И, и М2, делящими отрезок ММ
внутренним и внешним образом в данном
отношении. В силу подобия треугольников
МММ, MMtMj и ЛШ2Л12 от[>езкиЛ/11/И| и
М2М2 будут оба параллельны отрезку М’М,
(отношение
т. е. отрезку А'АГ, на-
правлены с ними в одну сторону и соответственно равны:
М1М*=7^-ЛГМ==/ГГ1-А'А'’ M2^2=rrk-A'A'.
’) Не останавливаемся на том частном случае, когда точка V совпадает
с П\ в этом случае все шары первого семейства касаются друг друга в точке О
588
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Центр О шара заменится при этом центром О нового шара — се-
рединой отрезка Ж, Л12; при этом отрезок СЮ будет также паралле-
лен отрезку М'М', направлен с ним в одну сторону и равен:
ОО = ~ (MtM^ М2М2) = р-Ц.• А’А’.
Так как геометрическое место точек О есть прямая Do, то геометри-
ческим местом точек О будет при этом прямая Do, которая полу-
чается из Do с помощью поступательного перемещения, направление
и величина которого характеризуются отрезком } ' А'А’. Пря-
мая Do будет при этом параллельна Do. Отсюда и следует, что на-
правление плоскости, в которой лежат окружность С}, не зави-
сит (при данном k) от выбора точки А' на прямой D', так как
эта плоскость перпендикулярна к прямой D„. Таким же путём дока-
жем, что направление этой плоскости не зависит от выбора точки А
на прямой D.
Как выше было отмечено, прямая Оп лежит в некоторой плоско-
сти, параллельной прямым D и D', и потому перпендикулярна к об-
щему перпендикуляру к прямым D и D'. Следовательно, плоскость
окружности Cj будет при всяком k параллельна общему перпендику-
ляру к прямым D и D'.
Пусть теперь Р—произвольная точка окружности Сх. Если на пря-
мых D и D' отложить, как указано выше, две пары отрезков AM и
А'М', AN и A'N', удовлетворяющих условию А'М': AM = A'N': AN—k,
то точка Р, как общая точка шаров первого семейства, будет удов-
летворять условию РМ' -.PM — PN' :PN = k. Треугольники PMN и
Р'M'N' будут подобны (в силу пропорциональности сторон). Следова-
тельно. высоты PH и PH’ этих треугольников, т. е. расстояния
точки Р от прямых D и D', удовлетворяют условию PH'-.PH=k.
Итак, отношение расстояний любой точка окружности С( от
обеих данных прямых равно k.
Обратно, пусть Р—какая-либо точка пространства, отношение
расстояний которой от обеих данных прямых равно k. Примем за
точки А и А! основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на
прямые D и О' и отложим на них, как указано выше, какие-либо два
отрезка AM и А’М', удовлетворяющих условию А’М’ :АМ~ k. Пря-
моугольные треугольники РАМ и РА'М' будут подобны (в силу про-
порциональности катетов), откуда РМ'tPM = РА':РА = k. Отсюда
видно, что взятая точка Р есть одна из точек окружности С,, соот-
ветствующей выбранным, как было указано, точкам А и А'. Итак,
через любую точку пространства, отношение расстояний которой
от данных прямых равно k, проходит одна из окружностей Сх.
737. Пусть даны два шара S, и Х2и точка Р. Обозначим через А
произвольную точку шара Sj и через В — такую точку пространства,
ЗАДАЧИ к ВОСЬМОЙ КНИГЕ
589
что отрезок АВ делится точкой Р (внутренним или внешним образом)
в отношении т:п, где /н и п — два данных отрезка. Геометрическое
место точек В есть шар S', который получается из шара Si с по-
мощью гомотетии (соответственно обратной илп прямой), имеющей
центром подобия точку Р и коэффициент подобия, равный п-.т. Если
точка В лежит, кроме того, на шаре S2, то она лежит на линии пе-
ресечения шаров S' и S2. Таким образом, геометрическое место пря-
мых РВ существует и есть, вообще говоря, конус с круговым осно-
ванием, если шары S' и S2 пересекаются.
Этот конус обращается, однако, в плоскость (пли в часть плоско-
сти), если точка Р лежит в одной плоскости с линией пересечения
шаров S' и S2, т. е. если она лежит в радикальной плоскости этих
шаров. Обозначая через ръ рг и р' степени точки Р соответственно
относительно шаров Slt S2 и S', будем иметь р' — р2. Далее, так как
точка Р есть центр подобия шаров Sj и S' и коэффициент подобия
шара S' относительно шара S! равен п-.т, торрр' = тг‘.пг. Отсюда
следует, что pl-.p2 = m2-.ni. Геометрическое место точек Р, для ко-
торых конус вращения обращается в плоскость (если такие точки
cyi ествуют), есть шар (упр. 682).
738. Если в условиях упражнения 464 прямые D и D' пересе-
каются, то рёбра прямых двугранных углов, грани которых проходят
соответственно через прямые D и D', проходят через точку пересе-
чения этих прямых и потому образуют конус. Из решения упражне-
ния 464 следует, что этот конус пересекает по окружности плоскость,
перпендикулярную к прямой D, и потому будет конусом с круговым
основанием
739. Пусть даны две прямые О и D', пересекающиеся в точке S,
и требуется найти геометрическое место точек Р, расстояния РА и
РА’ которых от прямых О и D' удовлетворяют условию
PA’-.PA = k, (П
где k—данное постоянное.
В силу результатов упражнения 736, через каждую точку Р про-
странства, удовлетворяющую условию (1), проходит окружность
все точки которой удовлетворяют тому же условию; все такие окруж-
ности С} лежат в параллельных плоскостях, а их центры — в плоско-
сти прямых D и О'. С другой стороны, если некоторая точка Р удов-
летворяет условию (1), то и все точки прямой SP удовлетворяют тому
же условию. Отсюда следует, что искомое геометрическое место
представляет собой конус с круговым основанием, имеющий своей
вершиной точку S, или же совокупность нескольких таких конусов.
В последнем случае каждый из эт-их конусов пересекает плоскость
прямых D и О' по двум образующим, так как центры всех окружно-
стей С, лежат в плоскости прямых D и D'.
Но геометрическое место тех точек Р, удовлетворяющих условию (1),
которые лежат в плоскости прямых D и D', состоит из двух прямых.
6S0
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Черт. 455.
дан-
сто-
пло-
проходящих через точку S (Пл., п. 157). Следовательно, искомое
геометрическое место точек Р пространства представляет собой один
конус с круговым основанием.
Этот конус будет наклонным, так как через каждую его точку
проходит (упр. 736), кроме окружности Съ которой мы пользовались^
ещё вторая окружность Сг, при-
надлежащая рассматриваемому
геометрическому месту, т. е.
тому же конусу (ср. ниже,
п. 516).
740. Пусть требуется най-
ти геометрическое место бис-
сектрис углов ASB, у которых
одной из сторон служит
ная прямая 5Л, а вторая
рона SB лежит в данной
скости Р (черт. 455).
Выберем на прямой 5Л произвольную точку А и проведём через
неё плоскость Q, параллельную плоскости Р. Обозначим через С
точку пересечения с плоскостью Q биссектрисы угла ASB. В силу
параллельности прямых АС и SB углы ACS и CSB равны; так как
углы ASC и CSB также равны, то и углы ЛС5 и ASC равны, так
что .S4 = АС. Отсюда
следует, что геометриче-
ское место прямых SC
есть конус, имеющий
своей направляющей ок-
ружность с центром в
точке А и радиусом, рав-
ным отрезку 5Л.
741. Пусть ABCD —
данный плоский четырёх-
угольник (черт. 456),
О — точка пересечения
его диагоналей, Е и F—
точки пересечения двух
пар противоположных сто-
рон, К и L — точки пересечения его диагоналей АС и BD с прямой EF
(мы предполагаем, что все четыре точки Е, F, К и L существуют).
Рассмотрим четырёхгранный угол SABCD с вершиной в какой-либо
точке 5, грани которого проходят через стороны данного четырёх-
угольника. Плоскость, пересекающая этот четырёхгранный угол по
параллелограму, должна быть параллельна (ср. решение задачи 510)
линиям пересечения противоположных граней, т. е. прямым SE и SF.
При этом стороны сечения будут параллельны прямым SE и SF, а
его диагонали — прямым SK и SL.
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
59!
Чтобы параллелограм, получающийся в сечении, был прямоуголь-
ником, угол ESF должен быть прямым; соответствующее геометриче-
ское место точек S есть шар, имеющий отрезок EF своим диаметром.
Чтобы получающийся в сечении параллелограм был ромбом, угол KSL
должен быть прямым. Соответствующее геометрическое место точек S
есть шар, имеющий отрезок KL своим диаметром.
Если четырёхгранный угол можно пересечь по квадрату, то точка S
должна лежать одновременно на обоих указанных шарах. Соответст-
вующее геометрическое место точек 5 есть окружность, по которой
пересекаются оба шара (эти шары, очевидно, пересекаются, так как
одна из точек А' и L лежит на самом отрезке EF, другая — на его
продолжении). При этом центры получающихся в сечении квадратов
будут лежать на прямой, соединяющей точку 5 с точкой О. Так как
геометрическое место точек А есть окружность, то геометрическим
местом центров квадратов будет конус с вершиной в точке О, имею-
щий эту окружность своим основанием.
В предыдущем мы предполагали, что две пары противоположных
сторон данного четырёхугольника пересекаются соответственно в точ-
ках Е и F и что обе его диагонали пересекают прямую EF.
Предположим теперь, что стороны АВ и CD четырёхугольника
параллельны, а стороны AD и ВС пересекаются в точке Е. В это.м
случае линия пересечения граней ASB и CSD будет параллельна
прямым АВ и CD. Чтобы в сечении получался прямоугольник, пря-
мая SF должна быть перпендикулярна к этим прямым; соответствую-
щее геометрическое место точек 5 есть плоскость, проходящая через
точку Е и перпендикулярная к основаниям АВ и CD трапеции. Чтобы
в сечении получался ромб, точка А должна
при этом лежать на шаре, имеющем своим
диаметром отрезок KL, где К и L — точки
пересечения диагоналей трапеции с прямой,
проходящей через точку Е и параллельной
основаниям.
Не представляет особого труда рассмотреть
и другие возможные здесь частные случаи.
742. Пусть О и О' — центры оснований
усечённого конуса, АВВ'А' — одно из его
осевых сечений (черт. 457).
В плоскости этого осевого сечения по-
строим окружность, имеющую отрезок ОО'
своим диаметром, и из точки А проведём к ней касательную,
отличную от АО. Если обозначить через А" точку пересечения
этой касательной с прямой О'А' (точка А" на чертеже не по-
казана), то мы будем иметь ОА • О'А" = -^- ОО'г (ср. Пл., решение
упр. 135). Сравнивая это равенство с равенством ОО'2 = АВ-А'В",
имеющим место по условию, мы заключаем, что точка А” совпадает
592
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
•с Д'. Иначе говоря, образующая АА' касается окружности, имеющей
отрезок ОО' своим диаметром. Отсюда следует, что отрезок ОО'
есть диаметр шара, вписанного в данный усечённый конус (в смысле
упр. 723).
Обозначая через Т точку касания образующей с вписанным шаром,
можно следующим образом преобразовать выражение для боковой по-
верхности данного конуса:
и-АА' • (О А О' А') = к-АА’ • (АГ± АТ) = тт- АА'г.
Таким образом, боковая поверхность конуса равна площади круга
радиуса АА'.
Если даны высота ОО'= h и образующая АА’ = 1 конуса, то ра-
диусы оснований ОА и О'А' удовлетворяют, как следует из сказан-
ного, условиям ОА-^-О'А' = 1 и О А • О'А' =-|- Л2. Таким образом,
задача построения радиусов оснований сводится к построению двух
отрезков по их сумме и произведению (Ил., п. 155, построение 7).
743. Пусть ВС=а, СА—Ь и АВ = с — стороны данного тре-
угольника АВС; х, у и z — радиусы искомых шаров, попарно касаю-
Как видно из чертежа 458, при этом будет иметь место уравне-
ние (V — г)2 а2 — (у -J- z)2 или 4уг = й2, а следовательно, и два
других аналогичных уравнения 4zx = Z>2 и 4ху = сг. Перемножая по-
членно два последних уравнения и деля на предыдущее, получим
Ьс . . са ab _
х = ^~. Аналогично найдем у = =т ; z — -^. Эти выражения для х,
у и z позволяют без труда построить искомые шары.
744. Пусть АВ— экватор (черт. 459), Р— один из полюсов,
/И—какая-либо точка шара. Проводим через точки Р и М большой
круг и обозначим через Л/ ближайшую к /И точку его пересечения
с экватором. Прямым восхождением точки Л1 называется, как известно,
дуга AN экватора от некоторой раз навсегда выбранной точки эква-
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
593
тора, которую мы обозначаем через А, до точки N; склонением той
же точки Л4 называется дуга NM (ср. п. 405).
Если прямое восхождение точки М и её склонение равны между
собой, то дуги AN и NM равны, а следовательно, равны и централь-
ные углы AON и N0M. Если обозначить через Мо проекцию точки М
на плоскость экватора, то треугольники АОМ0 и МОМ0 равны (по
двум сторонам и заключённому углу). Следовательно, угол АМ0О,
равный углу ЛМ40О, будет прямым, и точка Мо будет лежать на ок-
ружности, имеющей отрезок ОА своим диаметром. Далее из равенства
тех же треугольников следует, что АМ0 — ММ0. Поэтому треуголь-
ник А/1ДИ0 равнобедренный прямоугольный, и X М0АМ — 45°. Сле-
довательно, все прямые AM лежат на некотором конусе вращения.
Вершиной этого конуса служит точка А, осью — перпендикуляр АХ
к плоскости экватора; угол между осью и образующей равен 45°.
Будет ли геометрическим местом точек Л1о вся окружность, о которой
шла речь, или нет—зависит от выбора тех границ, в которых мы будем
брать значения прямых восхождений, а именно будем ли мы их отсчитывать
от — 180° до-|-180о или от 0 до 360°, как это принято в астрономии (значе-
ния склонения естественно брать от — 90° до -|- 90°).
745. Пусть Н и К — проекции точек М и D на прямую АС
(черт. 460). Будем обозначать через об. АМВ, об. СМВ, об. ОМВ,
об. АМС и т. д. объёмы тел, обра-
зованных вращением около осп AC
криволинейных треугольников АМВ
и СМВ, кругового сектора ОМВ (пря- \
молинейного) треугольника АМС и т.д. /1
По условию имеем: А BW КО С
об.АМВ:об. CMB = k, X. J
откуда -----/
об.АМС'.об. СМВ=А-^-1. (1) Черт. 460.
Далее имеем:
об. AM С = об. AMH-f-об. СМН^^п-МН2-(АН-\-НО =
м
= ^ъ-МН2-АС.
о
Заменяя здесь МН2 через ВН-НС, получим:
об. АМС=~-тт>ВН-НС-АС.
О
Аналогично найдём;
об. СМВ —об. СМИ— об. 0МН-\-об. ОМВ = ^МН2-НС—
— 4- тт • МН2 НО + v " ’ ВН • ОС2 = 1 я • МН2 • ОС
О о о
88 Элементарная геометрия, ч. II
594
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДА Ч
4- 4к-ВН-ОС2 =4- ъ-ВН-НС-0С4-4 IT-ВН°ОС2 =
’ О о о
=4 ^вн- ос-(WC4- ‘юс).
Подставляя найденные значения объёмов в равенство (1), получим:
НС-АС
(НС-[-20С)-0С
k 4-i.
Это равенство позволяет определить значение отрезка НС,ч. е. опре-
делить положение точки Н, а следовательно, и точки М, по данным
точкам А, В и С и отношению k.
Чтобы установить границы, в которых изменяется k, перепишем
последнее равенство в виде:
АС
ОС-^
2ОС2
~нс
Так как отрезок НС изменяется в границах КСНС<^‘2ОС и левая
часть последнего равенства возрастает с возрастанием НС, то мы имеем:
ЛС ь । । / лс
+ <20с’
Л С
Полагая в этом равенстве OA = h°OB = h-OC и, следовательно,
ЛС=(Л-[-1)-ОС; КС—КО+ОС=-^^--\-ОС = ~--\-ОС =
= ОС, получим после соответствующих преобразований:
Л (Л — 1) , h — 1
746. Пусть а — сторона данного квадрата; h, k I, т и d — расстоя-
ния точки М соответственно от прямых АВ, ВС, CD, DA и от центра О
квадрата ABCD.
1°. Объёмы тел, образованных вращением треугольников МАВ,
МВС, MCD н ЛЮ А — первого около АВ, второго около ВС, треть-
его около CD и четвёртого около DA — можно определить как суммы
или разности объёмов некоторых конусов (ср. вычисление об. МАС
в решении задачи 745). Таким образом, найдём, что эти объёмы рав--’
ны 4 nah2, 4 nak2, 4то/2 и 4 то/n2, откуда
ООО о
5= 4 то (Л2 4-ft2 +12 + т2У
о ‘
2°. Мы имеем, очевидно, при любом положении точки М на пло-
скости равенства Л2 + ^2 — MB2; I2 т2 = MD2. Далее, пользуясь
выражением медианы МО треугольника MBD через его стороны
ЗАДАЧИ К ВОСЬМОЙ КНИГЕ
595
{Пл., п. 128), найдём MB2-f-MD2 = 2d2 а2. Отсюда
S = у па (а2 4~ 2d2).
Чтобы сумма объёмов S равнялась объёму конуса с высотой а п
радиусом основания г, должно иметь место равенство а2 Ц- 2d2 = г2,
откуда МО2 — d2 = -^-(r2— а2). Геометрическое место точек/И, удов-
летворяющих последнему условию, есть окружность при г^>а, обра-
щается в точку при г—а и не существует при г<^а.
3°. Отношение объёмов, образованных вращением треугольни-
ка МАВ последовательно около сторон МА и МВ, равно, как легко
видеть, МВ’.МА (ср. решение упр. 724). Чтобы это отношение рав-
нялось т, должно иметь место равенство МВ: МА — т. Геометриче-
ское место точек М, удовлетворяющих этому последнему условию,
есть окружность (при т=£ 1) или прямая (при /и=1). Точки пересе-
чения этого геометрического места и геометрического места, рассмот-
ренного в 2°, п будут искомыми положениями точки М (если точки
пересечения существуют).
747. 1°. Л4ы имеем:
об. ОАВ=±-п-ОВ-ОА2; об. АВМ = об. ОАМВ — об. ОАВ =
О
= 4-ОВ-(ОА2 4- ВМ2 -4- ОА-ВМ) — п-ОВ-ОА2 =
= у П • (ВМ2 4- ОА • ВМ).
Равенство об. ОАВ — об. АВМ принимает вид ВМ2 -|- О А ВМ = О А2
пли ВМ2 = ОА- (ОА — ВМ). Отсюда видно, что отрезок ВМ должен
быть равен большей части отрезка ОА, разделённого в среднем и
крайнем отношении. Так как расстояние ВМ точки М от прямой ОУ
сохраняет постоянное значение, то геометрическое место точек М есть
прямая А, параллельная ОУ.
Так как отношение АР-.РВ, равное ОА-.ВМ, сохраняет постоянное
значение, то и геометрическое место точек Р есть также прямая,
параллельная ОУ.
2°. Мы имеем:
об. ODM А —об. ОАМВ — об. ОМВ — об. ODM=
= 4- п - ОВ • (ОА2 4- МВ2 4- ОА МВ) — 1 п • ОВ • МВ2 —
— ~п-ОВ- ОМ2 =- у п О В • (20 А2 4- 20А - МВ ОМ2)-,
об. ОАВ = ^-п-ОВ-ОА2.
596
решения упражнений и задач
Равенство об. ODMA —об. ОАВ принимает вид ОМ2 = 20 А-МВ.
Чтобы найти геометрическое место точек М, удовлетворяющих этому
условию, заметим, что в треугольнике ОАМ мы имеем АМ2 = ОА2~1~
ОМ2 — 2ОА-ВМ. Предыдущее равенство равносильно, таким обра-
зом, условию АМ= ОА. Геометрическое место точек М есть окруж-
ность с центром А и радиусом ОА.
3°. Если объёмы, образованные вращением треугольников ОАВ
и АВМ и фигуры ODMA, равны между собой, то точка D есть точка
пересечения прямой Д, рассмотренной в 1°, и окружности, рассмот-
ренной в 2°.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I (стр. 195).
748. Пусть А и В — данные точки, Р и Q — полярные плоскости
8ТИХ точек втносигельно данного шара с центром О (черт. 461; пло-
скость чертежа проходит через точки О, Л и В и потому перпенди-
кулярна к плоскостям Р и Q). Обозначим через А' точку пересечения
прямой ОА с плоскостью Р, через
В' — точку пересечения прямой ОВ
с плоскостью Q, через а и b —
проекции точек А и В соответ-
ственно на прямые ОВ и ОА.
В силу свойств полярных пло-
скостей (п. 502), имеем: О А • ОА'=
г=ОВ-ОВ', откуда ОА:ОВ=
= ОВ' :ОА'. Из подобия тре-
угольников ОАа и ОВЬ следует,
что О А: ОВ = Оа: ОЬ. Из двух
последних равенств находим: ОА:
; ОВ=(Оа— ОВ'):(ОЬ — ОА')=
= аВ' :Ь А'. Но отрезки аВ' и ЬА'
соответственно равны расстоя-
ниям точки А от плоскости Q
749. Если некоторый шар пересекается с гранями данного трёх-
гранного угла SABC по трем попарно ортогональным окружностям, то
грани этого трёхгранного угла попарно сопряжены относительно шара
(п. 504). Отсюда следует, что полюс Р грани BSC лежит на ребре SA,
и потому перпендикуляр, опущенный из точки Р на плоскость BSC,
проходит через центр шара. Поэтому и плоскость, проходящая через
ребро 5/ и перпендикулярная к плоскости BSC, проходит через центр
шара. По тем же соображениям и плоскости, проходящие через два
других ребра и перпендикулярные к противолежащим им граням, про-
ходят через центр шара.
Итак, центры всех шаров, которые пересекаются с гранями дан-
ного трёхгранного угла по трём попарно ортогональным окруж-
ностям (если такие шары существуют), лежат на линии пересечения
трёх плоскостей, проходящих через его рёбра и перпендикулярных
к противоположным граням, т. е. на прямой d, рассмотренной
в упражнении 491,1°.
Почти очевидно, что если какая-либо одна точка О прямой d слу-
жит центром шара, обладающего рассматриваемым свойством, то и
все точки прямой d (отличные от вершины Sтрёхгранного угла) служат
центрами таких шаров. В самом деле, гомотетия с центром подобия
в вершине трёхгранного угла преобразует точку О в любую точку
прямой d, а шар с центром О, обладающий рассматриваемым свойст-
вом, в шар, также обладающий этим свойством.
598
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Остаётся, таким образом, выяснить, существует ли шар, перёсе-
кающий плоскости граней трёхгранного угла по трём попарно перпен-
дикулярным окружностям и имеющий своим центром какую-либо данную
точку О прямой d. С этой целью опустим из точки О перпендику-
ляр ОН на плоскость BSC и обозначим через Р точку пересечения
прямой ОН с прямой 571 (напомним, что точка О лежит в плоскости,
проходящей через ребро 57! и перпендикулярной к грани BSC; слу-
чай, когда ребро 5Л перпендикулярно к грани SBC, мы пока исклю-
чаем из рассмотрения). Точка Р должна быть, в силу сказанного выше,
полюсом плоскости BSC относительно искомого шара. Если поэтому
точки Р и Н лежат по разные стороны от О или если одна из них
совпадает с О, то искомый шар не существует. Если же точки Р и Н
лежат по одну сторону от О, то радиус г искомого шара опреде-
ляется равенством г2 — ОР-ОН.
Обратно, если радиус шара с центром О будет определён, как
только что указано, то точка Р ребра 5Л будет полюсом грани BSC
относительно построенного шара. Следовательно, плоскости BSA и BSC
будут сопряжены относительно этого шара. То же имеет место для
плоскостей ASC и BSC. Чтобы доказать, что и плоскости ASB и ASC
сопряжены относительно построенного шара, проведём через точку О
прямую, перпендикулярную к грани ASC, и обозначим через Q точку
её пересечения с ребром SB (напомним, что точка О лежит в пло-
скости, проходящей через прямую SB и перпендикулярной к грани ASC;
случай, когда ребро SB перпендикулярно к грани ASC, мы пока исклю-
чаем из рассмотрения). Так как точка Q лежит в полярной пло-
скости BSC точки Р, то полярная плоскость точки Q проходит через
точку Р; кроме того, полярная плоскость точки Q перпендикулярна
к прямой OQ и потому совпадает с ASC. Таким образом, полюс Q
плоскости ASC лежит в плоскости ASB и плоскости ASB и ASC со-
пряжены относительно построенного шара.
Итак, если за центр шара принята одна из точек О прямой d трёх-
гранного угла и радиус шара определён, как указано выше, то пло-
скости граней трёхгранного угла попарно сопряжены относительно
шара. Отсюда вытекает, что если построенный шар пересекает пло-
скости всех трёх граней трёхгранного угла, то он пересекает их по
трём попарно ортогональным окружностям.
Более летальное исследование показывает, что шар, построенный, как
было указано, может и не пересекать всех трёх граней данного трёхгран-
ного угла.
Мы предполагали выше, что ребро 57 не перпендикулярно к гра-
ни BSC, а ребро SB не перпендикулярно к грани ASC. Поэтому всё
сказанное выше нуждается в существенных изменениях, если данный
трёхгранный угол имеет три прямых плоских угла. В этом случае все
шары, пересекающие грани трёхгранного угла по трём попарно пер-
пендикулярным окружностям, имеют своим центром вершину угла.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
599
Мы приходим к следующему окончательному результату; для про-
извольно данного трёхгранного угла или существует бесчисленное
множество шаров, пересекающих его грани по трём попарно орто-
гональным окружностям, или не существует ни одного такого
шара; в первом из этих случаев геометрическим местом центров
этих шаров служит прямая d, рассмотренная в упражнении 491,1°,
за исключением того случая, когда трёхгранный угол имеет три
прямых плоских угла.
750. Пусть SABC — данный тетраэдр (черт. 462). Рассмотрим
дугу S/1 описанной окружности SAB, не содержащую точки В, и ана-
логично дугу SA описанной окружности SAC, не содержащую точки С.
Угол между этими двумя дугами, т. е. угол между касательными
к ним в одном из их общих концов (в точке 5 или в точке А— без-
различно), обозначим через а. Можно коротко сказать, что угол а
„соответствует" ребру &4 тетраэдра. Обозначим далее через р, у,
а', 8' и у' углы, соответствующие таким же образом по порядку
рёбрам SB, SC, ВС, СА и АВ данного тетраэдра.
Углы а, р и у при вершине S образованы касательными к окруж-
ностям SBC, SCA и SAB в точке S. Эти три касательные лежат в
одной плоскости, а именно в касательной плоскости к описанному
шару в точке S. Отсюда вытекает (ср. черт. 463), что
а_]_р4-т==18О°. (1)
Аналогично, рассматривая вершины А, В и С тетраэдра, получим ещё
три равенства:
а+Р' + Г = 180°; (2)
+ ?+y'=180°; (3)
а' + Р' + у =180°. (4)
Складывая почленно равенства (1) и (2), а также равенства (3) и (4),
получим:
2а + р + ₽' + у4-у' = 2а'Ч-₽ + г!' + у + т' = 360°,
600
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
откуда а = а'. Но а есть угол между окружностями SAB и SAC,
а а' — угол между окружностями SBC и АВС. Таким же образом
докажем, что Р = и у=у'.
751. Пусть ABCD — данный тетраэдр; А', В' и С — точки, соот-
ветствующие точкам А, В и С в инверсии с полюсом D и некото-
рой степенью k. При этом будем иметь (п. 509): В'С = ВС-
и аналогичные выражения для СА' и А'В'. Из этих трёх выражений
находим:
В'С: С А' :А'В' — (BC-DA):(CA-DB):(AB-DC).
Так как в правую часть этих соотношений все четыре вершины вхо-
дят вполне равноправно, то мы получим те же отношения сторон
в треугольнике, аналогичном А'В'С, который получится, если при-
нять за полюс инверсии какую-либо другую вершину тетраэдра. Сле-
довательно, и углы полученных треугольников будут одни и те же.
Если теперь Aj, Blt Сг и Dt—точки, соответствующие точкам
А, В, С и D в инверсии с полюсом О (отличным от вершин тетра-
эдра) и степенью kv то мы имеем Д,/^ — ДВ.^—^. и аналогичные
выражения для С1Д1, В^, .... Из этих выражений находим:
(ВС-DA) :(CA-DB):(AB-DC) =
= (В& -Dt Д,): (С, Д, • ад): (Д,5, • ад).
Полученные равенства показывают, что рассматриваемые треугольники
(аналогичные А'В’С) будут иметь для тетраэдра ABCD ту же форму,
что и для тетраэдра AlBIClDl.
752. Пусть О-—данная точка; k^=Q— данное произведение отрез-
ков, которое мы будем считать положительным или отрицательным
(в зависимости от того, лежат ли оба отрезка по одну сторону или
по разные стороны от точки О).
Если две точки А и Д', лежащие с точкой О на одной прямой,
удовлетворяют условию ОА • ОА' — k (по величине и знаку), то точка
Д' соответствует точке А в инверсии с полюсом О и степенью k.
Если при этом точка А лежит в данной плоскости Р (не проходящей,
по смыслу задачи, через О), то точка Д' лежит на шаре Р, обратном
плоскости Р. Так как точка Д' лежит по условию во второй данной
плоскости Q, то она должна лежать на линии пересечения этой пло-
скости с шаром Р'.
Отсюда следует, что искомым геометрическим местом будет конус
с круговым основанием, если плоскость Q пересекает шар Р'. Если
плоскость Q касается шара Р', то существует лишь одна прямая,
удовлетворяющая поставленному условию, а если плоскость Q не имеет
общих точек с шаром Р', то таких прямых вовсе не существует.
753. Пусть О — данная точка, через которую должны проходить
искомые прямые. Так как проекции равных и параллельных отрезков
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
601
на одну и ту же прямую равны, то можно считать, что начальной
точкой обоих данных отрезков ОА и ОВ служит самая точка О Итак,
мы будем искать геометрическое место таких прямых, проходящих
через точку О, что проекции ОА1 и OBt данных отрезков ОА и ОВ
на каждую из этих прямых удовлетворяют (по величине и знаку}
условию
OAJ’OBl=h, (1)
где h 0 — данная постоянная.
Обозначим через а, Ь, а, и Ьг точки, соответствующие по порядку
точкам А, В, Aj и Bt в инверсии с полюсом О и произвольной сте-
пенью k. В силу равенств
О А- Оа — OB-Ob = OA1-Oat = OB1-Obl = k, (2)
треугольники ОААХ и Оаха, а также ОВВХ и Obxb подобны, так что
углы Оаах и Obbx прямые. Это значит, что точки а, и Ьх лежат со-
ответственно во вполне определённых плоскостях Р и Q, проходящих
через точки а и b и перпендикулярных к данным прямым ОА и ОВ.
В силу тех же равенств (2) соотношение (1) принимает вид:
ОагС>&.=^.
1 1 h
Итак, искомые прямые обладают тем свойством, что плоскости Р и Q
отсекают на каждой из них, считая от точки О, два отрезка, имеющих
постоянное произведение.
В силу результатов решения упражнения 752, геометрическое место
искомых прямых (если оно существует) есть конус с круговым основа-
нием: может также существовать только одна прямая или не сущест-
вовать ни одной прямой, обладающей искомым свойством.
754. Если а и а' — проекции точек А и А' на ось одного и
рассматриваемых винтовых перемещений, то имеет место равенство:
Aa = Ata'. (1)
Обратно, если это равенство выполнено, то рассматриваемая прямая
служит, очевидно, осью одного из рассматриваемых винтовых перемеще-
ний: величина и направление соответствующего поступательного пере-
мещения определяются отрезком аа', угол поворота—углом между
прямыми а А и а' А'.
Так как Аа2 — ОА2— Оа2 и А'а2 — ОА'2—Оа'2, то равенство (1)
можно заменить следующим: Оа'2—Оа2=ОА’2—ОА2. В этом равен-
стве отрезки Оа и Оа' можно рассматривать по величине и по знаку,,
выбрав на прямой Оа произвольно положительное направление. Обозна-
чая ещё через т середину отрезка аа', т. е. проекцию середины М
отрезка А А' на рассматриваемую прямую, будем иметь: Oat -\-Оа =
— Ют', Оа' — Оа — аа'. Предыдущее равенство принимает вид:
Ют-аа' —ОА'2—ОА2.
602
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Таким образом, произведение проекций двух данных отрезков ОМ и
АА' на каждую из искомых прямых имеет одно и то же значение, а
именно (ОА'2— ОА2), и мы приходим к упражнению 753.
755. Пусть А — данная точка; S, и S2— какие-либо два из шаров,
имеющих общую радикальную плоскость; At н А2— точки, обратные
точке А соответственно относительно шаров S} и S2. Предположим
сначала, что точки А, А, и А2 не лежат на одной прямой.
Окружность С, проходящая через точки А, А} и А2, пересекает
каждый из шаров S, и S2 под прямым углом, так как она проходит
через точки А и Аг, обратные относительно шара и через точки
А и А2, обратные относительно шара S2. Следовательно, центр О
окружности С лежит в радикальной плоскости шаров S, и S2, а квад-
рат её радиуса равен степени точки О относительно каждого из данных
шаров Sj и $2. Поэтому окружность С пересекает под прямым углом
все шары, имеющие с и S2 общую радикальную плоскость. Если
— какой-либо один из этих шаров и А3—точка, обратная точке А
относительно шара S3, то все окружности, проходящие через точку А
и пересекающие шар S3 под прямым углом, в том числе и окружность
С, проходят через А3. Таким образом, точка А3 лежит на окружности
С. Итак, точки, обратные точке А относительно всех шаров, имеющих
с шарами 5, и S2 общую радикальную плоскость, лежат на окружно-
сти С.
Пусть теперь А’-—произвольная точка окружности С. Если точка
А’ обратна точке А относительно некоторого шара S', имеющего
с шарами S} и S2 общую радикальную плоскость, то прямая АА! пе-
ресекает линию центров этих шаров в центре О' шара S'. Обратно,
если прямая, соединяющая точку А с какой-либо точкой А' окружно-
сти С, пересекает линию центров шаров Sj и S2 и точка пересечения
О’ служит центром некоторого шара S', имеющего с Sj и S2 общую
радикальную плоскость, то точки А и А' будут взаимно обратны от-
носительно шара S'. Если же прямая АА' параллельна линии центров,
то точки А и А' симметричны относительно радикальной плоскости
шаров St и S2; можно сказать, что в этом случае инверсия относи-
тельно шара, имеющего с S, и S2 общую радикальную плоскость,
обращается в симметрию относительно последней (ср. п. 699).
Далее придётся различать три случая:
1) Если данные шары 5; и S2 пересекаются, то любая точка О'
линии центров этих шаров служит центром шара S', проходящего
через линию пересечения и потому имеющего с шарами S] и S2 общую
радикальную плоскость. Поэтому искомым геометрическим местом будет
вся окружность С.
2) Если данные шары Sj и S2 касаются друг друга в точке Т, то
любая точка линии центров, отличная от Т, будет центром шара,
имеющего с S} и S2 общую радикальную плоскость. Искомым геомет-
рическим местом будет окружность С за исключением точки Т.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
603
3) Если, наконец, данные тары S, и S2 не имеют общих точек.
то все тары, к ним ортогональные, пересекают линию центров в одних
и тех же точках Р и Q (упр. 709). Точки отрезка PQ не могут слу-
жить центрами шаров S', имеющих с Sj и S2 общую радикальную
плоскость, так как они лежат внутри шара, ортогонального к шарам
S'. В противоположность этому, всякая точка линии центров, лежащая
на продолжении отрезка PQ, служит
центром шара S', ортогонального ко всем
шарам, проходящим через точки Р и
Q и потому имеющего с шарами S, и
S2 общую радикальную плоскость. От-
сюда следует (ср. черт. 464), что иско-
мым геометрическим местом будет ду-
га PAQ окружности С.
Мы предполагали выше, что точки
А, Д, и А2 не лежат на одной прямой.
Если это последнее обстоятельство
Черт. 464.
имеет место, то точка А лежит на линии центров шаров S, и S2, и
обратно. При этом окружность С заменяется линией центров.
Более детальное исследование этого случая показывает, что
1) если данные шары S] и S, пересекаются, то искомым геометрическим
местом будет линия центров;
2) если данные шары Si и S2 касаются друг друга в точке Т, то искомым
геометрическим местом будет линия центров, за исключением точки Т;
3) если данные шары Sj и S2 не имеют общих точек, то искомое геомет-
рическое место представляет собой отрезок PQ при условии, что точка А
принадлежит этому отрезку, совокупность обоих продолжений отрезка PQ —
при условии, что точка А лежит на продолжении отрезка PQ за один из его
концов, и обращается в точку Q (в точку Р) при условии, что данная точка А
совпадает с точкой Р (с точкой (Д
Итак, геометрическое место точек, обратных данной точке А
относительно шаров, имеющих общую радикальную плоскость, есть,
вообще говоря, окружность или дуга окружности. Если точка А
лежит на линии центров рассматриваемых шаров, то геометри-
ческое место обращается в прямую линию, в некоторую часть
этой прямой (см. выше) или в точку.
Переходим к случаю шаров, имеющих общую радикальную ось.
Пусть А— опять данная точка; Sp S2 и S3— какие-либо три из
шаров, имеющих общую радикальную ось, выбранные так, что их
центры не лежат на одной прямой; Д(, А2 и А3 — точки, обратные
точке А соответственно относительно шаров S,, S2 и Ss. Предположим
сначала, что точки .4, At, А2 и А3 не лежат в одной плоскости.
Шар S, проходящий через точки А, Дп А2 и As, пересекает
каждый из шаров S,, S2 и S3 под прямым углом, так как он проходит
через точки А и А,, обратные относительно шара S,, через точки А
и А2, обратные относительно шара S2, и через точки А и As, об-
604
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ратные относительно шара S3. Следовательно, центр О шара 5 лежит
на радикальной оси шаров S„ S2 и S3, а квадрат его радиуса равен
степени точки О относительно каждого из шаров S2 и S3. Поэтому
шар 5 ортогонален ко всем шарам, имеющим с Sj и S, общую
радикальную ось. Если S4 — какой-либо один из этих шаров и А4—
точка, обратная точке А относительно шара S4, то все шары, прохо-
дящие через точку А и ортогональные к шару S4, в том числе и
шар о, проходят через точку А4. Таким образом, точка А4 лежит на
шаре 5. Итак, точки, обратные точке А относительно всех шаров,
имеющих с шарами Slt S2 и S3 общую радикальную ось, лежат на
шаре S.
Пусть теперь А' — произвольная точка шара S. Если точка А'
обратна точке Л относительно некоторого шара S’, имеющего с шарами
Sj, S2 и S3 общую радикальную ось, то прямая А А' пересекает плоскость
центров этих шаров в центре О' шара S'. Обратно, если прямая, соединяю-
щая точку А с какой-либо точкой А' шара S, пересекает плоскость цен-
тров шаров Sn S2 и Ss и точка пересечения О' служит центром
некоторого шара S', имеющего с S,, S2 и Ss общую радикальную ось,
то точки А и А' будут взаимно обратны относительно шара S'. Если
же прямая АА' параллельна плоскости центров, то точки А и А'
симметричны относительно некоторой плоскости, проходящей через
радикальную ось данных шаров S,, S2 и Ss; можно сказать, что в этом
случае инверсия относительно шара, имеющего с S,, S2 и S3 общую
радикальную ось, обращается в симметрию относительно одной из
проходящих через последнюю плоскостей.
Далее придётся опять различать три случая:
1) Если данные шары SIt S2 и S3 пересекаются в двух точках, то
любая точка О' плоскости центров этих шаров служит центром шара,
проходящего через точки пересечения и потому имеющего с шарами
Si, S2 и S3 общую радикальную ось. Поэтому искомым геометриче-
ским местом будет весь шар S.
2) Если данные шары St, S2 и S3 имеют только одну общую точку
Т, то любая точка плоскости центров, отличная от Т, будет центром
шара, имеющего с Sn S2 и S3 общую радикальную ось. Искомым
геометрическим местом будет шар S за исключением точки Т.
3) Если, наконец, шары Sj, S2 и Ss не имеют общих точек, то
все шары, к ним ортогональные, проходят через одну и ту же ок-
ружность С (упр. 710). Точки, внутренние относительно окружности
С, не могут служить центрами шаров S', имеющих с шарами S(, S2
и S3 общую радикальную ось, так как они лежат внутри шара, ортого-
нального к шарам S'. В противоположность этому, всякая точка пло-
скости центров, внешняя по отношению к окружности С, служит
центром шара S', пересекающего окружность С, а следовательно, и
все проходящие через неё шары, под прямым углом, и потому имею-
щего с шарами S„ S2 и S8 общую радикальную ось. Отсюда следует,
что искомым геометрическим местом служит один из двух сфериче-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
605
скнх сегментов, на которые окружность С дели) шар 5, а именно
тот, на котором лежит точка А.
Мы предполагали выше, что точки А, Д1? А2 и As не лежат в одной
плоскости. Если это последнее обстоятельство имеет место, то точка
А лежит в плоскости центров шаров 5„ <$2 и 53, и обратно. При
этом шар 5 заменяется плоскостью центров.
Более детальное исследование этого случая показывает, что
1) если данные шары Si, S2 и S3 пересекаются в двух точках, то искомым
геометрическим местом служит плоскость центров;
2) если данные шары Si, S2 и S3 имеют только одну общую точку Т, то
искомым геометрическим местом будет плоскость центров за исключением
точки Г;
3) если данные шары Si, S2 и S3 не имеют общих точек, то искомым гео-
метрическим местом будет часть плоскости, внутренняя (внешняя) по отноше-
нию к окружности С, при условии, что точка А лежит внутри (соответственно
вне) окружности С, и обращается в окружность С, если точка А лежит на
этой окружности.
Итак, геометрические место точек, обратных данной точке А
относительно шаров, имеющих общую радикальную ось, есть, вообще
говоря, шар или сферический сегмент. Если точка А лежит
в плоскости центров рассматриваемых шаров, то геометрическое
место обращается в плоскость, в часть этой плоскости (ср. выше)
или в окружность.
756. Пусть даны два шара 5, и <$,, и рассматриваются два шара
X и X', каждый из которых касается обоих данных и которые ка-
саются друг друга.
Шары, касающиеся двух данных шаров 5, и S2, образуют два
семейства (ср. п. 520). Первое семейово состоит из всех шаров,
каждый из которых касается обоих данных одинаковым образом. Второе
семейство состоит из всех шаров, каждый из которых касается обоих
данных неодинаковым образом. Мы должны отдельно рассмотреть случай,
когда оба шара £ и S' принадлежат к одному и тому же семейству,
и отдельно —случай, когда они принадлежат к различным семействам.
1) Пусть оба шара S и S' принадлежат к одному и тому же, для
определённости — к первому, семейству шаров, касающихся двух дан-
ных. При этом шар S касается шаров 5, и S2 в двух точках, анти-
гомологичных относительно их внешнего центра подобия Р (или в двух
точках, симметричных относительно радикальной плоскости шаров 5,
и S2, если последние между собой равны), и, следовательно, преоб-
разуется сам в себя той инверсией с полюсом Р, которая преобразует
шары 51 и S2 друг в друга (соответственно — симметрией относительно
радикальной плоскости; аналогичные оговорки в дальнейшем мы пов-
торять не будем). То же имеет често и для шара X'. Следовательно,
точка касания шаров X и X' лежит на шаре инверсии Р, так как
в противном случае шары X и X' имели бы более одной общей точки.
Обратно, каждая точка М шара инверсии Q принадлежит иско-
мому геометрическому месту. Чтобы в этом убедиться, выберем какую-
606
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
либо плоскость, проходящую через точку М и пересекающую шар
инверсии 6 под прямым углом. Существуют два шара S и S', которые
касаются выбранной плоскости в точке М и в то же время касаются
данного шара Sj (эти два шара можно построить аналогично построе-
нию, приведённому в решении Пл., упр. 74). Каждый из этих шаров
S и S', пересекающих под прямым углом шар 2, преобразуется ин-
версией относительно шара Й сам в себя, а потому касается и шара
Л’,. Если точка /И лежит на шаре S, (а следовательно, и на шаре <$2),
то оба шара S и S' обращаются в точку М.
Следовательно, геометрическим местом точек М будет весь шар й.
Мы предполагали, что оба шара S и S' принадлежат к первому
семейству. Аналогично, если шары S и S' оба принадлежат ко второму
семейству, то геометрическим местом точек касания будет шар й*
с центром во внутреннем центре подобия шаров 5] и S2, относительно
которого эти два шара обратны друг другу.
2) Если теперь один из шаров S и S' касается шаров <Sj и S2 оди-
наковым образом, а другой — неодинаковым образом, то касание ша-
ров S и S' можег иметь место только на одном из данных шаров Sj
или S2.
Это положение доказывается таким же образом, как и соответст-
вующее предложение на плоскости (Пл., решение упр. 266) с заменой
только термина „окружность” на „шар“.
Обратно, через любую точку М. шара (или <$2) проходят два
шара, касающиеся в точке М шара <Sj (или <$2) п в то же время ка-
сающиеся другого данного шара. Следовательно, в этом третьем слу
чае геометрическим местом точек касания /И будет совокупность дан-
ных шаров.
Итак, геометрическое место точек касания /И состоит всегда из
данных шаров 5j и S2 и, кроме того, включает в себя: а) шар (или пло-
скость) й, если шары <5, и S2 расположены один вне другого или касаются
один другого внешним образом (шар й* при этом не существует);
Ь) шар (или плоскость) й и шар й*, если шары Sj и S2 пересекаются;
с) шар й*, если шары 5] и S2 касаются друг друга внутренним образом
или расположены один внутри другого (шар й при этом не существует).
Пусть теперь даны три шара <Sj, S2 в Ss, п рассматриваются два
шара S и S', каждый из которых касается трёх данных и которые
касаются друг друга.
Шары, касающиеся трёх данных шаров S2 и <Ss, образуют че-
тыре семейства (ср. пи. 523—524). Первое семейство состоит из всех
шаров, каждый из которых касается трёх данных одинаковым образом.
Второе семейство состоит из всех шаров, каждый из которых касается
шаров S2 и <$3 одинаковым образом^ а шара 5] иначе, чем он касается
шаров S2 и <$3. Аналогично определяются и остальные два семейства.
Мы должны отдельно рассмотреть случай, когда оба шара S и S' при-
надлежат к одному и тому же семейству, и отдельно — случай, когда
они принадлежат к различным семействам.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
607
1) Пусть оба шара S п S' принадлежат к одному и тому же, для
определённости к первому, семейству шаров, касающихся трёх данных.
Так как каждый из шаров S н касается двух данных одинаковым
образом, то точка М их касания между собой лежит (в силу сказан-
ного выше) на том шаре Q12 с полюсом во внешнем центре подобия
шаров <5, и S2, инверсия относительно которого преобразует шар S,
в шар S2. По той же причине точка М лежит н на аналогичном шаре
инверсии й13, соответствующем шарам 5, и <$3. Следовательно, точка Л1
лежит на линии пересечения С шаров 1212 и 213.
Обратно, если шары 912 и Q]3 пересекаются, то каждая точка М
линии их пересечения С принадлежит искомому геометрическому месту.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим плоскость, проходящую через
точку М п перпендикулярную к окружности С. Существуют два шара £
и S', касающиеся выбранной плоскости в точке М. и в то же время
касающиеся данного шара (ср. сказанное выше по поводу построе-
ния таких шаров). Каждый из этих шаров S и S', будучи ортогональ-
ным к окружности С, будет ортогонален и к шарам "12 И ^13 и потому
преобразуется в себя обеими инверсиями—относительно шара й12 и
относительно шара Ч13. Следовательно, каждый из шаров S и S' ка-
сается как шара S2, так и шара <$3.
Следовательно, геометрическим местом точек М будет вся окруж-
ность С, если она существует.
Мы предполагали, что оба шара S и S' принадлежат к первому из
четырёх семейств. Аналогично, если шары S и S' оба принадлежат ко
второму семейству, то геометрическим местом точек касания будет ли-
ния пересечения С, шара S12* с центром во внутреннем центре подобия
шаров <$] и S2, инверсия относительно которого преобразует шары Sj
и S2 друг в друга, с аналогичным шаром 913*.
Примечание. Из этих рассуждений следует, что всякая точка М линии
пересечения шаров й12 и Й13 лежит на аналогичном шаре й23, так как точка Л/
есть точка касания двух шаров, касающихся шаров S2 и S;j одинаковым обра-
зом. Поэтому шары Й12, Й13 и Й23 проходят через одну окружность С, если
два из них пересекаются (ср. по этому поводу решение упражнения 786, пред-
ложение 1а).
Точно так же проходят через одну окружность шары ЙЕ* й13* и й23 и т. д.
2) Пусть шары S и S' принадлежат к различным семействам, на-
пример шар S — к первому семейству, шар S' — ко второму.
Так как шар S касается шаров 5] и S2 одинаковым образом, а
шар S' касается тех же шаров Sj и S2 неодинаковым образом, то
касание может иметь место (ср. выше) только в точке одного из
шаров 5] и S2. Точно так же, так как шар S касается шаров и S3
одинаковым образом, а шар S' касается тех же шаров <$, и <$3 неоди-
наковым образом, то касание может происходить только в точке од-
ного из шаров 5, и <Ss. Следовательно, точка касания должна лежать
на шаре Но шары S первого семейства касаются шара в точках
некоторой окружности (п. 524), шары S'второго семейства — в точках
608
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
некоторой другой окружности. Точка касания шаров X и S' должна
совпадать с одной из точек пересечения двух последних окружностей,
и вопроса о геометрическом месте точек касания не возникает.
То же имеет место вообще для касания шаров S и S', принадле-
жащих различным семействам.
757. Так как каждый из шаров и плоскостей, пересекающих два
данных шара под равными углами, преобразуется в себя одной из двух
инверсий, преобразующих данные шары друг в друга, то шары и
плоскости, проходящие через данную точку и пересекающие два дан-
ных шара под равными углами, образуют два семейства; шары и
плоскости одного (другого) семейства проходят через точку, обратную
данной точке в одной (соответственно — в другой) из этих двух ин-
версий. Однако если данная точка есть центр подобия двух шаров, то
все шары одного семейства, пересекающие оба данных шара под рав-
ными углами и проходящие через данную точку, также заменяются
плоскостями.
Если точка А', соответствующая данной точке А в искомой инвер-
сии /, есть центр подобия для двух шаров, в которые преобразуются
данные шары, то все шары одного семейства, проходящие через точку
А и пересекающие данные шары под равными углами, должны преоб-
разовываться в плоскости, проходящие через точку А'. Чтобы это имело
•место, за полюс инверсии / надо принять точку, обратную точке А
в одной из двух инверсий, преобразующих данные шары друг в друга
(ср. Пл., решение зад. 390).
758. Под углом между двумя шарами можно понимать (ср. Пл.,
решение упр. 256) любой из двух пополнительных углов между ка-
сательными плоскостями в какой-либо их общей точке, другими сло-
вами — угол между радиусами, проведёнными в какую-либо их общую
точку, или угол, ему пополнительный. В тех случаях, когда придётся
делать различие между этими двумя углами, мы будем говорить, что
„угол между двумя шарами строго равен а”, понимая под этим, что а
есть в точности угол между радиусами, проведёнными в одну из точек
пересечения (а не угол, ему пополнительный).
Два шара, касающиеся один другого, образуют угол, строго рав-
ный 2d, в случае внешнего касания и угол, строго равный нулю,—
при внутреннем касании.
Если речь идёт о пересечении плоскости и шара, то можно про-
извольно назвать „внутренним” по отношению к плоскости одно из
тех двух „полупространств”, на которые плоскость делит пространство,
и рассматривать угол между радиусом шара, проведённым в одну из
точек пересечения, и перпендикуляром к плоскости, проведённым во
„внутреннее” полупространство. Если одно из двух полупространств,
на которые плоскость делит пространство, названо „внутренним”, то
говорят, что плоскость ориентирована; если изменяется выбор „внут-
реннего” полупространства, то говорят, что изменяется ориентация
плоскости.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
609
Обратное предложение, доказанное в и. 520, мож-но теперь выска-
зать в следующей более точной форме:
Всякий шар (пли плоскость) £, который пересекает два данных
неравных шара S и S’ под строго равными углами (под строго по-
полнительными углами), пересекает их по двум окружностям, антиго-
мологичным относительно внешнего (соответственно внутреннего} центра
подобия, или, в частности, касается их в двух точках, антигомологич-
ных относительно внешнего (соответственно внутреннего) центра по-
добия, и обратно. Если данные шары равны, то окружности и точки,
антигомологичные относительно внешнего центра подобия, заменяются
окружностями и точками, симметричными относительно радикальной
плоскости.
Действительно, пересечём рассматриваемую фигуру плоскостью, про-
ходящей через центры трёх шаров (или плоскостью, проходящей через
центры данных шаров и перпендикулярной к секущей плоскости). К фи-
гуре, полученной в сечении, можно применить сказанное в решении
упражнения 256 планиметрии, откуда и вытекает сформулированное
предложение.
Переходя теперь к решению поставленной задачи, начнём с дока-
зательства следующего предложения:
I. Все шары и плоскости, пересекающие под постоянными углами
а и а' два данных неконцентрических шара S и S', образуют два
семейства таких, что какой-либо шар S", имеющий с шарами S и
S' общую радикальную плоскость и пересекающий один из шаров
какого-либо из двух семейств, пересекает все шары этого семей-
ства под одним и тем же углом.
Совокупность шаров, пересекающих шары S п S' под углами, со-
ответственно равными а и а', можно распределить в четыре группы.
А именно, отнесём к одной и той же группе все шары, пересекающие
S и S' под углами, строго равными соответственно для каждой из
четырёх групп:
(/) а и а'; (2) 2d— а и 2d — а'; (I)
(3) 2d — а и а': (4) а и 2d а'. (И)
Шары первых двух групп будем называть шарами первого семейства,
шары последних двух групп — шарами второго семейства, и покажем, что
каждое из этих двух семейств шаров обладает требуемым свойством.
Достаточно доказать это для шаров первого семейства, так как вто-
рое семейство шаров получается из первого путём замены одного из
углов а и а' углом, ему пополнительным.
Можно доказать, что оба семейства шаров существуют при произвольных
шарах S и S' и произвольных углах а и а'. Чтобы построить шар первого
семейства, проводим через центры обоих данных шаров какую-либо плоскость
и рассмотрим окружности С и С', по которым она пересекает шары 3 и 3'.
В этой плоскости строим окружность Г, пересекающую окружности С к С
под углами, строго равными а и а или строго равными 2d— а. и 2d — а’
(ср. Пл., решение задачи 403, ру брика А). Шар S, имеющий окружность Г своим
39
Элементарная геометрия ч II
610
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
большим кругом, принадлежит к первому семейств). Аналогично можно по-
строить шар второго семейства.
Однако может случиться, что все шары одного семейства принадлежат
к одной и той же группе, так что шаров другой группы в этом семействе не
существует.
Так, если при а = а' = 0 шар 5' лежит внутри шара S, то в первом се-
мействе (шаров, касающихся обоих данных одинаковым образом) существуют
шары группы (У), пересекающие шар S под углом, строго равным нулю, и
шар S'— также под углом, строго равным нулю (т. е. шары, касающиеся обоих
данных шаров внутренним образом), но не существует шаров группы (2), пере-
секающих шар S под углом, строго равным 2d, и шар S' — также под углом,
строго равным 2d (т. е. шаров, касающихся обоих данных внешним образом).
Если же при а = а' = 0 шар S' лежит вне тара S, то существуют, очевидно,
шары всех четырёх групп.
Пусть в первом семействе существует шар 20 группы (/), т. е.
шар, пересекающий шары <$ и S' под углами, строго равными а и а'.
Пусть далее 2— некоторый другой шар первого семейства, принадле-
жащий к первой (ко второй) группе, т. е. пересекающий шары 5 и S'
под углами, строго равными а и а' (строго равными 2d—а и 2d—а').
Так как шар S пересекает шары 20 и 2 под строго равными (под
строго пополнительными) углами, то он пересекает их по двум окруж-
ностям, антигомологичным относительно внешнего (внутреннего) центра
подобия Р шаров 20 и 2; то же имеет место для шара S. Отсюда
следует, что точка Р имеет относительно шаров S и S' одну и ту же
степень р, равную степени той инверсии / с полюсом Р, которая пре-
образует шар 20 в шар 2 (а каждый из шаров S и S'—сам в себя).
Поэтому точка Р лежит в радикальной плоскости шаров <S и <S' и, зна-
чит, имеет ту же степень р и относительно любого шара S', имею-
щего с <$ и S' общую радикальную плоскость. Следовательно, шар У
преобразуется инверсией / сам в себя и потому (если он пересекает
один из шаров 20 и 2) пересекает шары 20 и 2 под строго равными
(под строго пополнительными) углами.
Если шар S, принадлежащий к группе (/), равен шару Zo, то последние
рассуждения требуют видоизменения. В этом случае шар S пересекает шары
Ц и £ по двум окружностям, симметричным относительно радикальной пло-
скости М шаров So и S, и то же имеет место для шара S'. Отсюда легко за-
ключить, что симметрия /0 относительно плоскости М преобразует шар
в шар S, а каждый из шаров S и S' — сам в себя. Следовательно, шар S",
имеющий с S и S' общую радикальную плоскость, преобразуется симметрией /0
сам в себя и потому (если он пересекает один из шаров и S) пересекает
шары Хо и S под строго равными углами. Симметрия /0 относительно плоско-
сти М играет при этом роль инверсии I (ср. п. 507, конец). В дальнейшем
изложении решения такого рода оговорки делаться не будут.
Итак, все шары 2, пересекающие шары S и S’ под углами, строго
равными а и а' (строго равными 2d — а и 2d—а'), пересекают шар У
под углом, строго равным (строго пополнительным) тому, под которым
его пересекает шар 20. Если не делать различия между двумя углами,
которые шар 2 образует с шаром У, то можно сказать, что все
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
611
шары 2 первого семейства пересекают шар S" под одним и тем же
углом.
Рассматриваемое предложение доказано для шароз первого семей-
ства в предположении, что среди шаров этого семейства есть шар,
принадлежащий к группе (/). Если бы среди шаров первого семейства
не было ни одного шара группы (/), то мы могли бы повторить те
же рассуждения для какого-либо шара Хо группы (2) (это сводится
к замене а и а' через 2d—а и 2d—а'). Таким образом, рассматри-
ваемое предложение доказано полностью для шаров первого семейства,
а следовательно, в силу замечания, сделанного в начале доказатель-
ства, и для шаров второго семейства.
Предыдущие рассуждения сохраняют силу без существенных изме-
нений, если вместо шара X рассматривать какую-либо плоскость, пересе-
кающую шары 5 и S' под углами, строго равными а и а’ (пли, если из-
менить ориентацию плоскости, то строго равными 2d—а и 2d— а');
при этом роль центров подобия шаров Хо и 2 будут играть концы
диаметра шара Хо, перпендикулярного к плоскости X.
Предложение I полностью доказано.
Рассмотрим теперь несколько подробнее плоскости, пересекающие
шары 5 и 5' под углами, равными а и а .
Все плоскости, пересекающие данный шар 5 под углом, равным а
(или, что то же, равным 2d— а), касаются одного и того же шара,
который мы будем обозначать через 5(a). Итак, через 5(a) мы бу-
дем обозначать шар, концентрический с шаром 5 и касающийся
всех плоскостей, пересекающих последний под углом а. Аналогично
будем пользоваться обозначениями 5'(а') и т д. Плоскости, пересе-
кающие шары 5 и 5' под углами а и а', будут общими касательными
плоскостями шаров 5(a) и 5'(а')- При этом будет иметь место сле-
дующее предложение.
II. Плоскости, пересекающие под постоянными углами а и а
два данных неконцентрических шара S и S' и принадлежащие
(в смысле предложения 1) к одному и тому же семейству (к раз-
личным семействам), проходят через один и тот же центр подо-
бия (через различные центры подобия) шаров S{a) и S'(а).
В самом деле, рассмотрим плоскость X первого семейства, пересе-
кающую шары 5 и 5' под углами, строго равными а и а' (или, если
изменить ориентацию плоскости, то строго равными 2d—а и 2d —а').
Пусть О и О' — центры шаров 5 и 5'; А и А' — какие-либо точки
пересечения этих шаров с плоскостью X; АХ и А'Х' — перпендику-
ляры к плоскости X в точках А и А', направленные во „внутреннее"
полупространство.
Если углы а и а', т. е. углы ОАХ и О'А'Х', оба острые (черт.
465) или оба тупые (если один из них острый, другой тупой), то>
лучи АО и А'О' будут лежать (ср. п. 395, лемма) по одну сторону
(соответственно по разные стороны) от плоскости X. Так как центры О
и О' шаров 5(a) и 5'(а') лежат по одну сторону (по разные сто-
39*
612
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
роны) от их общей касательной плоскости S, то последняя проходит
через их внешний (внутренний) центр подобия Q.
Таким же образом докажем, что плоскости второго семейства про-
ходят через центр подобия Q* шаров S(a) и S'(a'), отличный от Q.
Из доказанного предложения вытекает, что каждое из двух се-
мейств, о которых идёт речь, может содержать плоскости, а может
состоять из одних шаров.
Первое (второе) семейство
содержит или не содер-
жит плоскости в зависи-
мости от того, проходят
ли через точку Q (через
точку Q*) общие каса-
тельные плоскости к ша-
рам 5 (а) и S’ (а').
Докажем теперь два
предложения, на кото-
рые нам придётся ссылаться в дальнейшем.
Ill. Если шар O"(R") имеет с неконцентрическими шарами O(R)
и O’(R') общую радикальную плоскость, то степень т" произ-
вольной точки 714 относительно шара О" выражается через степени т
и т' той же точки относительно шаров О и О' равенством
m"=Rn- Y'm',
(1)
где коэффициенты kuV удовлетворяют условию
(2)
и не зависят ни от положения точки М, ни от paduvcoe шаров
(а определяются исключительно расположением центров трёх шаров
на линии центров), и обратно.
А именно-
О"О' ОО" 3
где отрезки рассматриваются по величине и знаку.
Докажем это предложение. Для произвольной точки М имеем по
величине и знаку (ср. Пл , решение упр. 218):
МО"2 = Y МО2 1' • МО’2 -ОО"- О" О', (4)
где X и Г имеют значения (3). Это соотношение верно, в частности,
для какой-либо точки L, лежащей в общей радикальной плоскости
трёх шаров:
L О”2 = X - L О2 -|- Y • L О’2 — ОО" СУ’О'. (5)
Обозначая через / степень точки L относительно каждого из трёх
шаров, будем иметь l=LO2 — R2 = LO'2—R2 = LOr R , откуда
ЛО2=7?24-/, £О'2=/?'24-/, LO"2=R”2-\-l.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
613
Подставляя эти значения LO2, LO’2 и LO"1 в равенство (5), получим,
принимая во внимание (2):
R"2 =X. R~ 4- Г • R'2 — ОО" • О" О'.
Наконец, вычитая почленно последнее равенство из равенства (4),
получим:
ЛЮ"2 — R"2 = X (МО2 — R2) 4- к’ • (МО'2 — R'2),
т. е. искомое соотношение (1).
Доказательство обратного предложения очевидно. Если некоторая
точка L радикальной плоскости шаров О и О' имеет относительно
каждого из этих шаров степень I, то степень Г точки L относитель-
но шара О" равна, на основании (1) и (2), Г = (X -1-X') / = /. Следо-
вательно, шар О" имеет с шарами О и О' общую радикальную плос-
кость.
IV. Если шар О" имеет с неконцентрическими шарами О и О'
общий центр подобия Q и через г, г' и г" обозначить радиусы
шаров О, О' и О”, взятые со зна-
ками плюс или минус так, что
радиусы двух шаров, внешний f
(внутренний) центр подобия ко- '
пюрых совпадает с Q, получают ------------4—1 ( } q
одинаковые (соответственно— ® О I \) б' )
противоположные) знаки, то \ / у"'
имеет место соотношение
г"=О.гД- кг', (6),
Черт. 466.
где \ и к — те же коэффициен-
ты (3), удовлетворяющие условию (2), что и выше в равенстве (1),
и обратно.
Рассмотрим сначала простейший случай (черт. 466), когда точка Q
служит внешним центром подобия каждых двух из трёх данных ша-
ров и точка О" лежит между точками О и О’. Если построить ка-
кие-либо параллельные между собой радиусы ОА, О'А' и О"А" трёх
шаров, направленные в одну и ту же сторону, то точки А, А’ и А"
будут лежать с точкой Q на одной прямой. Для отрезка О" А", па-
раллельного основаниям ОА и О' А’ трапеции ОАА'О', будем иметь
(Пл., упр. 130);
с,” л" — О"О'-ОА+ОО"-О'А'
ОО" + О" О'
Так как радиусам г, г’ и г" мы должны приписать в данном случае
одинаковые знаки, то мы приходим к соотношению (6).
В общем случае формула (6) выводится аналогично, если учиты-
вать знаки отрезков (ср. Пл., решение упр. 221).
Переходим к доказательству обратного предложения. Пусть для
трёх шаров S, S' и S'', центры О, О’ и О" которых лежат на одной
614
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
прямой, выполняется условие (6), где л и )/ имеют указанные выше
значения (3), а г, г' и г" обозначают взятые с теми или иными зна-
ками радиусы данных шаров. Обозначим через Q внешний или внут-
ренний центр подобия шаров О и О' в зависимости от того, имеют
ли в соотношении (6) радиусы г и г' одинаковые или противополож-
ные знаки. Рассмотрим далее шар 5 с центром О”, имеющий с ша-
рами О и О' общий центр подобия Q. В силу прямой теоремы будем
иметь
г~)г -j-1'г',
где г — взятый с надлежащим знаком радиус шара 5, аги г' имеют
те же значения, что и в равенстве (6). Из этого соотношения и со-
отношения (6) вытекает г" —г, так что шар S", концентрический
с 5, совпадает с последним. Так как шар 5 имеет, по построению,
общий центр подобия с шарами 5 и S’, то обратное предложение
доказано.
Чтобы оправдать теперь тот способ определения угла я", о кото-
ром говорится в условии, мы должны доказать следующее предло-
жение:
V. Если все шары и плоскости, пересекающие два данных шара
S и S' под постоянными углами а и а! и принадлежащие (в смысле
предложения I) к одному семейству, пересекают шар S", имеющий
с S и S' общую радикальную плоскость, под углом а", то три
шара S (a), S' (а') и S" (а") имеют общий центр подобия.
Предложение это является почти очевидным в том случае, когда
рассматриваемое семейство содержит плоскости (ср. сказанное после
доказательства предложения П). В самом деле, если X — какая-либо
из этих плоскостей, то она касается шаров-5 (я) и S'(а!) и проходит
через один из их центров подобия Q. Так как плоскость X пересе-
кает шар S" под углом я", то она касается и шара S" (я"). Так как
общая касательная плоскость S к трём шарам 5(2), 5'(я') и S" (а"),
центры которых лежат на одной прямой, проходит через центр подобия
Q шаров 5 (я) и 5' (я"), то точка Q будет общим центром подобия
шаров 5(я), S' (я') и S" (я").
Дадим теперь общее доказательство рассматриваемого предложе-
ния, не зависящее от существования в даннном семействе плоскостей.
Обозначим через S какой-либо шар данного семейства, через О
я 2 — центры шаров 5 и S, через р — радиус шара S и через <о, о/
и со*— степени точки 2 относительно шаров 5, S' и S".
Если А — одна из точек пересечения шара S с шаром 5 (черт. 467),
то мы имеем 2 О2 = 2 А2 ОД2^р22Д • АН, где Н—проекция точ-
ки О на прямую 2/1 и верхний (нижний) знак соответствует острому
(тупому) углу OAQ. Отсюда
2О2 — О А2 = QA2 =р 22Д. АН.
Но отрезок АН равен, как легко видеть (ср. чертёж), радиусу шара
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
615
5(a)- Обозначая через г радиус этого последнего шара, взятый со
знаком плюс (со знаком минус) при остром (при тупом) угле ОАЙ,
будем иметь:
ю = р2 — 2гр. (7)
Обозначая аналогично через г' и г" радиусы шаров 5' (а') и 5" (а’),
каждый из которых взят с надлежащим знаком, найдём таким же
путём:
ю' — р2 — 2г'р; <о" = р2 — 2г"р. (7')
Так как шары 5, 5' и 5" имеют, п
ную плоскость, то степени <о, Го>' и <в”
шаров связаны (предложение III) соот-
ношением:
<о" = До -f-
Подставляя сюда вместо <о, <о' и <о" их
только что найденные выражения (7)
и (7'), мы получим, принимая во вни-
мание (2), зависимость
г" = 1г4-л'г'.
Это равенство и показывает (предложе-
ние IV), что шары 5 (а), 5' (а') и 5" (а")
имеют общий центр подобия.
В случае трёх данных шаров 5, 5'
и 5" имеет место следующее предложение, аналогичное предложению I:
VI. Все шары и плоскости, пересекающие под постоянными
углами а., а' и а” три данных шара S, S' и S", центры которых
не лежат на одной прямой, образуют не более четырёх семейств
таких, что какой-либо шар S"', имеющий с шарами S, S' и S*
общую радикальную плоскость и пересекающий один из шаров ка-
кого-либо из этих семейств, пересекает все шары этого семейства
под одним и тем же углом.
Доказательство вполне аналогично приведённому выше доказатель-
ству предложения I.
Совокупность шаров, пересекающих шары 5, S' и S" под углами,
соответственно равными а, а' и а", можно распределить в восемь
групп. А именно, отнесём к одной и той же группе все шары, пере-
секающие 5, 5' и 5" под углами, строго равными соответственно для
каждой из восьми групп:
(7) а, а' п а"; (2) 2d— а, 2d— а' и 2d — а"; (I)
(3) 2d — а, а.' и а"; (4) а, 2d — а' и 2d — а"; (II)
(5) а, 2d — а' и а"; (6) 2d — а, а' и 2d — а"; (III)
(7) а, а' и 2d —а"; (3) 2d—а, 2d —а' и а”. (IV)
£16
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Шары групп (/) и (2) будем называть шарами первого семейства,
шары групп (3) и (4) — шарами второго семейства и т. д., и пока-
жем, что каждое из этих четырёх семейств обладает требуемым
свойством. Достаточно доказать это для шаров первого семейства,
так как каждое из трёх других семейств получается из первого путём
замены одного из углов а, а' и а" углом, ему пополнительным.
В отличие от того, что было сказано в случае двух шаров S и S', в слу-
чае трёх данных шаров могут существовать все четыре семейства шаров или
часть этих семейств; наконец, может не существовать ни одного шара, пере-
секающего три данных шара под данными углами (для случая а=а'=а"=0
сравнить Пл., стр. 276—278 и черт. 239 там же).
Пусть в первом семействе существует шар группы (/), т. е.
шар, пересекающий шары 5, 5' и S" под углами, строго равными
а, а' и а". Пусть далее S — некоторый другой шар первого семей-
ства, принадлежащий к первой (ко второй) группе, т. е. пересекаю-
щий шары S, S' и S' под углами, строго равными а, а' и а" (строго
равными 2d—а, 2d — а и 2d — а"). Так как шар 5 пересекает
шары So и S под строго равными (под ст рого пополнительными) угла-
ми, то он пересекает их по двум окружностям, антигомологичным
относительно внешнего (внутреннего) центра подобия Р шаров So и 5;
то же имеет место для шаров и S". Отсюда следует, что точка Р
имеет относительно шаров 5, 5' и S" одну и ту же степень р, рав-
ную степени той инверсии / с полюсом Р, которая преобразует шар
20 в шар 1 (а каждый из шаров 5, 5' и S" — сам в себя). Поэтому
точка Р лежит на радикальной оси шаров 5, 5' и S" и, значит,
имеет ту же степень р и относительно любого шара S'", имеющего
с S, S' и S” общую радикальную ось. Следовательно, шар S'" пре-
образуется инверсией I сам в себя, и потому (если он пересекает один
из шаров 20 и 2) пересекает шары So и 2 под строго равными (под
строго пополнительными) углами.
Если шар S, принадлежащий к группе (7), равен шару 2^, то последние
рассуждения опять требуют видоизменения (ср. выше, случай двух данных
шаров S и S'). В этом случае инверсия 1 заменяется, как и выше, симметрией
70 относительно радикальной плоскости шаров -Г| и 2-
Итак, все шары \ пересекающие шары S, S' и S" под углами,
строго равными а, а' и а' (строго равными 2d — а, 2d — а' и 2d—а"),
пересекают шар S'" под углом, строго равным (строго пополнитель-
ным) тому, под которым его пересекает шар So. Если не делать раз-
личия между двумя углами, которые шар S образует с шаром S'",
то можно сказать, что все шары первого семейства пересекают шар S'"
под одним и тем же углом.
Рассматриваемое предложение доказано для шаров первого семей-
ства в предположении, что среди шаров этого семейства есть шар,
принадлежащий к группе (/). Как и выше, в случае предложения (,
доказательство распространяется и на тот случай, когда в первом
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
617-
семействе нет такого шара, на остальные семейства шаров, а также
на случай, когда шар 2 заменяется плоскостью.
Предложение VI можно считать полностью доказанным.
Для плоскостей, пересекающих шары 5, 5' и S" под углами
а, а' и а" и, следовательно, касающихся шаров S(a), S' (а') и S"(a"),
имеет место следующее предложение:
VII. Плоскости, пересекающие под постоянными углами а, а! и а"
три данных шара S, S' и S", центры которых не лежат на одной
прямой, и принадлежащие (в смысле предложения VI), к одному
и тому же семейству (к различным семействам), проходят через
одну и ту же ось подобия (через различные оси подобия) шаров
S(a), S'(а') и S"
Доказательство аналогично доказательству предложения II, и мы
не будем его приводить.
Из предложения VII вытекает, что каждое из четырёх семейств,
о которых идёт речь, содержит пли не содержит плоскости в зави-
симости от того, проходят ли через соответствующую ему ось подо-
бия общие касательные плоскости к шарам S (a), S' (а') и S" (а").
Докажем теперь для случая трёх данных шаров предложения, ана-
логичные предложениям III и IV.
VIII. Если шар О'” (R'”) имеете шарами O(R), О' (/?') и О" (R"),
центры которых не лежат на одной прямой, общую радикальную
ось, то степень т!” произвольной точки М относительно шара О’”
выражается через степени т, т' и т" той же точки относитель-
но шаров О, О' и О" равенством
т'”=1т -|- X'т' Х"яг", (8)
где коэффициенты 1, и У удовлетворяют условию
1 4-1'4-Г=1 (9)
и не зависят ни от положения точки М, ни от радиусов шаров
(а определяются исключительно расположением центров четырёх ша-
ров на плоскости центров), и обратно.
А именно:
. пл. О'"О'О" ,,_пл.ОО"'О" пл. ОО'О"’
А‘—’пл. ОО'О" ’ * — пл. ОО'О" ’ • ~~ пл. ОО'О" ’ 1 У
где площади рассматриваются по величине и Знаку (ср. Пл., реше-
ние зад. 324).
Для доказательства предположим, что прямая ОО'" пересекает
прямую О'О" в некоторой точке О0 (черт. 468) а не параллельна ей-
(обозначения данных шаров всегда можно выбрать так, чтобы это'
условие выполнялось).
Для произвольной точки М имеем по величине и знаку (ср. Пл.,
решение упр. 218):
МО" '2 -- • МО2 4- • Л1О02 - ОО'" О"'О0,
•818
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ И ЗАДАЧ
<и аналогично:
Л1О02 • ЛЮ'2+^. МО"2 - О'О0.00О",
•откуда
МО'"2 = °"°0 • МО2 4- МО'2 4-
ОО0 и ОО0 0'0"
+ w 'мо"2~ (S? °'°0'°0°" °0"' °"'°0)• (1 ”
Мы имеем далее также по величине
н знаку (черт. 468):
О'"О0 _ пл. 0'"0'0р __ пл. О"’О0О" _
00п пл. 00' Оо пл. ООрО" ~
_ пл. б'"О'О0 + пл. О"'О0О" _ пл. &”О'О" ,
— пл. ОО'О04пл. ОО0О" ~ пл. OO'U' ~~ ’
00”' О0О” _ пл. 0(7"О" пл. ОО0О" _ пл. ОО'"О"
ООр 0'0" пл. ООрО" пл. 00'0" пл. 00'0" ~~
« аналогично:
ОО'" О'Ор. у,
ООр ’ 0'0" '
(12)
(12')
(12")
Равенство (11) принимает теперь вид:
О
мо'"2=к • мо2 4- г • мо'2 4- г • мо"2 4- к0, (i з>
где коэффициенты к, к' и к" имеют значения (1*0) и через к0 обо-
значен последний член правой части равенства
(11). Это соотношение верно, в частности, для
какой-либо точки L, лежащей на общей ра-
дикальной оси четырёх шаров:
LO"'2 = к-LO24-к'• LO'24-к"• АО"2 4-(14)
Обозначая через I степень точки L относитель-
но каждого из четырёх шаров, будем иметь:
LO2 = R2-\-l-, LO'2 = R’2-}-l; LOT2 = R"2
Черт. 468. LO'"2 — R"'2-\-l.
Лодставляя эти значения в равенство (14), получим, принимая во
внимание (9):
Я"'2 = к • R2 4- к' • R'2 4- к" • R"2 4- к0.
Наконец, вычитая почленно последнее равенство из равенства (13),
получим:
МО'"2 — R'"2 = к (МО2 — R2) 4- к' (МО'2 — R'2) 4- к" (МО"2 — R"2),
т. е. искомое соотношение (8).
Обратное предложение доказывается без труда. Если некоторая
точка L радикальной оси шаров О, О' и О" имеет относительно
каждого из этих шаров степень I, то степень V" той же точки L
относительно шара О'" равняется, на основании (8) и (9), /"' =
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
619
== (к -|- л' к") 1=1. Следовательно, шар О'" имеет с шарами О, О'
и О” общую радикальную ось.
IX. Если шар О'" имеет с шарами О, О' и О", центры кото-
рых не лежат на одной прямой, общую ось подобия q (т. е. если
одна из осей подобия q шаров О, О' и О" служит и осью подобия
каждых трёх из четырёх данных шаров, выбранных так, что их цен-
тры не лежа г на одной прямой) и через г, г', г" и г'" обозначить
радиусы шаров О, О', О" и О'", взятые со знаками плюс или ми-
нус так, что радиусы двух шаров, внешний, (внутренний) центр
подобия которых лежит на оси q, получают одинаковые (соответ-
ственно — противоположные) знаки, то имеет место равенство:
r'" = lr-]~'k’r'-}-'k"r", (15)
где V и 1"—те же коэффициенты (10), удовлетворяющие усло-
вию (9), что и выше в равенстве (8), и обратно.
Предположим, как п при доказательстве предыдущего предложе-
ния, что прямая ОО " пересекает прямую О'О" в некоторой точке О0.
Если построить какие-либо параллельные между собой радиусы
ОА, О'А', О'А" и О'"А"’ четырёх шаров, направив каждый из них
в надлежащую сторону, то точки А, А', А" и А'" будут лежать в
одной плоскости, проходящей через ось подобия q. Обозначим через Ло
точку пересечения с этой плоскостью прямой, проходящей через
точку О0 и параллельной ОА. Отрезок О0А0 будет радиусом некото-
рого шара, имеющего с данными шарами общую ось подобия q; этот
шар мы назовём О0
Применяя теперь к трём шарам О', О" и О0, имеющим своим
общим центром подобия точку пересечения прямых О'О" и q, пред-
ложение IV, найдём:
___ОрО' • I О'Ор гч
° — О'О" ' ' О'О" ' ’
Аналогично, для шаров О, О0 и О'" будем иметь:
,„ О"'Оп . ОО"'
г — ОО0 ‘Г+ ОО0 ' г°-
Отсюда
О'"О0 ,00'" О0О” ,,ОО"' О'О0 „
Г ~ ~ОО0 Г “Г ОО0 О'О" ’ Г "Г ОО0 ’ О'О" •
Принимая во внимание равенства (12), (12') и (12"), мы и получим
искомое соотношение (15).
Доказательство обратного предложения вполне аналогично дока-
зательству соответствующего предложения для двух шаров (ср. выше,
заключительную часть доказательства предложения IV).
Сформулируем, наконец, для случая трёх шаров следующее пред-
ложение, аналогичное предложению V
X. Если все шары и плоскости, пересекающие три данных шара
S, S' и S", центры которых не лежат на одной прямой,, под по-
620
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
с'тоянными углами a, i' и а" и принадлежащие (в смысле предло-
жения VI) к одному семейству, пересекают тар S'", имеющий
с шарами S, S и S’ общую радикальную ось, под углом а'". то
четыре шара S(z), S' (a'), S’ (а'') и S'" (2'") имеют общую ось
подобия.
Доказательство этого предложения вполне аналогично доказатель-
ству предложения V. Только кроме трёх равенств (7) и (7') будем
иметь аналогичное равенство и для шара S'" и вместо ссылок на пред-
ложения III и IV придётся ссылаться соответственно иа предложения
VIII и IX.
759. Начнём с решения следующей задачи:
I. Построить шар пересекающий пять данных шаров Sx, S2t
S3, S4 и S3 под равными углами (ср. Пл., задача 402).
Как было указано в п. 522, все шары, пересекающие четыре дан-
ных шара Sj, S2, S3 и S4 под равными углами, образуют восемь раз-
личных семейств: каждой из восьми плоскостей подобия четырёх ша-
ров соответствует одно из этих восьми семейств так, что все шары
семейства имеют эту плоскость подобия общей радикальной плоскостью.
Линией центров шаров каждого семейства будет перпендикуляр, опу-
щенный из радикального центра / четырёх шаров на ту же плоскость
подобия. Окружности, по которым какой-либо шар одного из этих
семейств пересекается с двумя из четырёх шаров, антнгомологичных
относительно того из двух центров подобия последних двух шаров,
который лежит в рассматриваемой плоскости подобия.
Отсюда следует, что центр О какого-либо из искомых шаров, ко-
торый мы обозначим через S, лежит иа перпендикуляре £)5, опущен-
ном из радикального центра /в шаров St, S2, S3 и S4 на одну из их
плоскостей подобия аБ, а также на перпендикуляре />4, опущенном из
радикального центра /4 шаров Sn S2, S3 н SB на одну из их плоско-
стей подобия а4. При этом если точки пересечения шара S с шарами
S2 и S3 попарно антигомологичны относительно пх центра подобия S23,
точки пересечения того же шара с шарами St и S3 попарно антпго-
мологичны относительно пх центра подобия S]3 и точки пересечения
того же шара с шарами Sj и S2 попарно антигомологичны относительно
пх центра подобия S12, то три центра подобия S23, SI3 и S12 лежат
как в плоскости а5, так и в плоскости а4, а потому лежат на одной
прямой — на одной из осей подобия $45 шаров Sj, S2 и S3. Так как
эта прямая $4- лежит в плоскости центров шаров Sb S2 и S3, а пря-
мая /4/.— радикальная ось тех же трёх шаров—перпендикулярна
к этой плоскости центров, то перпендикуляры Di и О6, опущенные
из точек /4 и /5 соответственно на плоскости а4 и аБ, проходящие
через прямую $45, лежат в одной плоскости п потому, вообще говоря,
пересекаются.
Таким образом, мы приходим к следующему построению центров
искомых шаров. Выбираем произвольно одну пз восьми плоскостей
подобия а5 шаров Sb S2, S3 и S4 п одну пз тех двух плоскостей по-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
621
добпя а4 шаров S], S2, S3 н S6, которые проходят через ось подобия
s4b шаров Sp S, и S3, лежащую в плоскости аБ. На плоскость а5 опу-
скаем перпендикуляр из радикального центра /6 шаров Sj, S2, Ss п S4,
а на плоскость a4 — из радикального центра /4 шаров S], S2, S3 и S5;
точка пересечения этих двух перпендикуляров (если они пересекаются)
и будет искомой точкой.
Каждой из восьми плоскостей подобия первых четырёх данных ша-
ров соответствуют, вообще говоря, два возможных положения центра
искомого шара, а всего получаем таким образом шестнадцать точек.
Рассмотрим теперь какую-либо одну из этих 16 точек — обозначим
её через О — п построим тот из искомых шаров У, который имеет
эту точку своим центром. Для этого построим какой-либо шар 1'с,
пересекающий шары S,, S2, Ss и S4 под равными углами и соответ-
ствующий выбранной плоскости подобия аБ (такой шар X. определяется
произвольной точкой А1 шара 5, и тремя точками шаров S2, S3 и S4,
антпгомологпческпмп точке А{ относительно центров подобия, лежа-
щих в плоскости а5; ср. и. 522). Так как искомый шар 1' и шар S6
должны иметь своей радикальной плоскостью плоскость а., то остаётся
построить шар 2 с центром О так, чтобы плоскость аБ была ради-
кальной плоскостью этого шара X и шара ХБ (прямая, соединяющая
центр шара Х5 с точкой О, заведомо перпендикулярна к а5, так как
и точка О и центр шара X- лежат на перпендикуляре, опущенном
из точки /5 на плоскость а ). С этой целью строим какой-либо шар Хо
с центром в плоскости а , ортогональный к X., а затем — шар X
с центром О, ортогональный к шару Хо. Если точка О лежит внутри
шара Xft пли если построенный, как указано, шар X не будет пересе-
кать данных шаров, то не существует искомого шара с центром в вы
бранной точке О.
Если построенный, как было указано, шар X с центром О пересекает один
из четырёх шаров Sh S2, Ss и то он будет, по самому способу его опре-
деления, пересекать все эти четыре шара под равными углами. Однако мы
должны ешё доказать, что построенный шар X пересекает под равными уг-
лами все пять данных шаров. Это можно сделать таким же образом, как в ре-
шении задачи 402 планиметрии.
Наибольшее возможное число решений задачи равно шестнадцати.
Чтобы не прерывать в дальнейшем изложения решения второй из
поставленных задач решим предварительно следующие две задачи.
II. Построить шар, имеющий с двумя данными шарами S и S'
общую радикальную плоскость и ортогональный к третьему дан-
ному шару X.
Попьзуясь п. 484, легко построить какие-либо три шара X', X" и X"'
с центрами, не лежащими на одной прямой, ортогональные к обоим
данным шарам S и S'. Каждый из этих шаров будет, очевидно,
ортогонален и ко всем шарам, имеющим с S и S' общую радикальную
плоскость, а следовательно, и к искомому шару. Поэтому искомый шар
(если он существует) можно построить как шар, ортогональный к че-
622
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
тырём шарам 2, X', X" и X'". Его центром служит радикальный центр
четырёх последних шаров, его радиусом — касательная из радикаль-
ного центра к одному пз тех же четырёх шаров.
Задача всегда имеет решение, если данные шары S и S' пересе-
каются или касаются друг друга. Для случая двух пересекающихся
шаров это доказано в решении упражнения 689, для случая двух
шаров, касающихся друг друга, доказывается аналогичным образом.
Ill. Построить шар, ортогональный к трём данным шарам,
центры которых не лежат на одной прямой, и пересекающий чет-
вёртый данный шар под данным углом.
Если первые три данных шара имеют две общие точки, то при-
мем одну пз них за полюс инверсии и придём к следующей задаче
построить шар с центром в данной точке, пересекающий данный шар
под даннйм углом. Эта последняя задача решается, как и соответст-
вующая задача на плоскости (Пл., решение упр. 259,1°).
Если первые три данных шара имеют только одну общую точку,
то примем её за полюс инверсии и придём к следующей задаче: по-
строить плоскость, перпендикулярную к данной прямой и пересекаю-
щую данный шар под данным углом. Способ решения этой последней
задачи очевиден.
Наконец, если первые три данных шара не имеют общих точек,
то примем за полюс инверсии какую-либо точку той окружности, че-
рез которую проходят все шары, ортогональные к трём данным
(упр. 710), и придём к следующей задаче: построить плоскость, пе-
ресекающую под прямым углом три данных шара с центрами на од-
ной прямой, т. е. проходящую через данную прямую, и пересекаю-
щую данный шар под данным углом. Способ решения этой последней
задачи очевиден.
Наибольшее число решений задачи — два.
Переходим к решению второй из поставленных задач.
IV. Построить шар, пересекающий четыре данных шара S, S'.
S" и S'" под углами, соответственно равными а, а, а и а'". Мы
дадим здесь решение этой задачи, вполне аналогичное тому, которое
мы дали для соответствующей задачи на плоскости (Пл., решение
зад. 403).
Если принимать во внимание угол между радиусами двух шаров,
проведёнными в одну пз их точек пересечения (ср. решение упр. 758),
то искомые шары естественно распределить в восемь семейств в за-
висимости от того, пересекает ли искомый шар четыре данные под
углами, строго равными:
1) а, а', а", а”'
2) 2d — а, а', а",' а!"
3) а, 2d — а', а", а'"
или 2d —а, 2d— а', 2d— а", 2d — а'";
или а, 2d — а, 2d—а", 2d—а'";
или 2d — а, д', 2d —а", 2d — а'":
и т. д.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
623
Для определённости начнём с отыскания шаров, принадлежащих
к первому из этих семейств, и даже предположим, что искомый шар S
пересекает данные под углами, строго равными а, а', а" и а'".
Построим (как было указано в решении упр. 758) какой-либо
шар SIt пересекающий шары S и S' под углами, строго равными
а и а' (илп же какой-либо шар Si, пересекающий их под углами,
строго равными 2d — а и 2d—а'). При этом искомый шар S и шар S]
(или Sf) будут принадлежать (в смысле упр. 758) к одному и тому же
семейству шаров, пересекающих 5 и 5' под углами а и а'. Следова-
тельно, любой шар, имеющий с S и S' общую радикальную плоскость,
пересекает, на основании сказанного в решении упражнения 758,
шары 2 и 2] под строго равными (шары S и Si — под строго попол-
нительными) углами.
Найдём далее среди шаров, имеющих с шарами S и S' общую
радикальную плоскость, два шара 5 и 6*, касающихся шара S,
(или Si); это можно сделать, пользуясь способом, указанным в тексте
(п. 522). Мы предположим пока, что такие шары существуют. Эти
два шара будут касаться, в силу только что сказанного, и искомого
шара S (так как касание есть пересечение под углом 0 или 2d). При
этом шар S будет касаться шаров S и одинаковым образом (а ша-
ров S и S] — неодинаковым образом), так как он должен пересекать
их под строго равными (под строго пополнительными) углами. То же
относится и к шару 5”.
Итак, искомый шар должен касаться двух шаров S и S', и при-
том каждого из них вполне определённым образом (либо внутрен-
ним, либо внешним), и пересекать шары S" и S'" под углами, строго
равными а" и а’".
Построим теперь какой-либо шар S2, пересекающий шар S" под
углом, строго равным а", и касающийся шара 5 таким же образом,
как его касается шар S (илп же какой-либо шар S2, пересекающий
шар S" под утлом, строго равным 2d — а", и имеющий с шаром S
касание противоположного характера, чем касание шара S с S). Любой
шар, имеющий cS и S" общую радикальную плоскость, пересекает, опять
на основании сказанного в решении упражнения 758, шары 2 и S2
под строго равными (шары S и S2— под строго пополнительными)
углами.
Так как среди шаров, имеющих с шарами S и S" общую ради-
кальную плоскость, имеется шар (а именно самый шар 5), касающийся
шара S2 (или S2), то среди тех же шаров найдётся, вообще говоря,
и второй шар S", касающийся шара S2 (или S2). При этом шары
S и S2 касаются шара S" одинаковым образом (а шары S и S2 каса-
ются его различным образом).
<624
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Итак, искомый шар 2 должен касаться трёх шаров S, S' и S",
и притом каждого из них вполне определённым образом (либо
внутренним, либо внешним), и пересекать шар S'" под углом,
строго равным а'".
Построим, наконец, какой-либо шар 23, пересекающий шар S'"
под углом, строго равным а'", и касающийся шара S таким же обра-
зом, каким его касается шар 2 (или же шар S3, пересекающий шар S'"
под углом, строго равным 2d — а”, и имеющий с шаром S касание
.противоположного характера, чем касание шара 2 с S). Любой шар,
имеющий с S и S’" общую радикальную плоскость, пересекает, опять
на основании сказанного в решении упражнения 758, шары 2 и 23
под строго равными (шары 2 и S3 — под строго пополнительными)
углами.
Так как среди шаров, имеющих с шарами S и S'" общую ради-
кальную плоскость, имеется шар (а именно самый шар S), касающийся
шара (или S3), то среди тех же шаров, найдётся, вообще говоря,
и второй шар S'", касающийся шара 23 (или 23). При этом шары
2 и 23 касаются шара S"' одинаковым образом (а шары 2 и 2з ка-
саются его различным образом).
Итак, искомый шар 2 должен касаться четырёх шаров S, S',
S" и S'", которые мы можем построить, и притом каждого из
них вполне определённым образом (либо внутренним, либо внешним).
Мы говорили до сих пор об отыскании шара 2 первого семейства,
пересекающего шары S, S', S" и S'" под углами, строго равными
а, а', а" и а'". Легко видеть, повторяя аналогичные рассуждения, что
шар 2' того же семейства, пересекающий четыре данных шара под
углами, строго равными 2d—а, 2d—а, 2d — а" и 2d—а", должен
касаться тех же шаров S, S', S" и S'", что и шар 2. Однако с каж-
дым из четырёх шаров S, S', S" и S'" два шара 2 и 2' имеют раз-
ноимённые касания. Это вытекает из того, что при построении шара 2'
можно пользоваться теми же самыми вспомогательными шарами 2;
или 21, 22 или 2г и 23 или 2з, что и выше. Однако шары 2; и 2Ъ
22 и 22, 23 п 2з меняются теперь ролями.
Можно доказать и обратно, что всякий шар, касающийся шаров
S, S', S" и S'" указанным образом (в смысле внешнего пли внутрен-
него касания) пересекает данные шары под углами, строго равными
а, а', а" и а'" или 2d — а, 2d — а', 2d— а" и 2d — а'".
Доказательство вполне аналогично доказательству соответствующего пред-
ложения на плоскости (Пл., решение задачи 403).
Итак, искомые шары, принадлежащие к первому из восьми се-
мейств, перечисленных в начале решения настоящей задачи, т. е.
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
625
пересекающие данные шары под углами, строго равными а, а', а", а'"
или 2d—а, 2d — а', 2d — а", 2d — а'", касаются четырёх шаров
S, S, S”, S’". При этом они принадлежат к одному и тому же из
восьми семейств шаров, касающихся этих шаров, соответствующему
одной из их восьми плоскостей подобия (ср. п. 522). Действительно,
из сказанного выше следует, что если один из искомых шаров пер-
вого семейства касается двух из четырёх шаров, скажем S и 5', оди-
наковым (неодинаковым) образом, то и всякий шар первого семейства
касается их одинаковым (соответственно — неодинаковым) образом.
Мы предположили выше, что среди шаров, имеющих с данными
шарами S и S' общую радикальную плоскость, найдутся два шара
5 и S', касающихся вспомогательного шара S] (или Si). Это всегда
будет иметь место, если шары S и 5' не имеют общих точек (ср. Пл.,
решение задачи 403). Однако шары S и S' могут существовать и в
том случае, когда шары S и S' пересекаются.
В том случае, когда среди шаров, имеющих с шарами S и S'
общую радикальную плоскость, не существует шаров, касающихся
искомого шара, и то же имеет место для каждой из пар шаров 5 и S",
S и S'", S' и S", S' и S'", S" и S'", описанный способ оказывается
неприменимым. Это может случиться лишь в том случае, когда каж-
дые два из четырёх данных шаров имеют общие точки.
Чтобы дать решение поставленной задачи, пригодное и в этом слу-
чае, поступим следующим образом. Построив, как и выше, вспомога-
тельный шар 2] (или Si), найдём среди шаров, имеющих с S и S'
общую радикальную плоскость, шар So, ортогональный к Si (или к Si).
Способ построения был указан ранее. (Ср. выше, рубрика II.) Иско-
мый шар S (или S') должен быть также ортогонален к SG, так как
шар S и шар St (или Si) пересекают Sb под равными углами. Ана-
логичным образом можно построить шар So, имеющий с S и S” общую
радикальную плоскость и ортогональный к искомому шару, а также
шар So, имеющий с S и S'" общую радикальную плоскость и орто-
гональный к искомому шару.
Итак, искомый шар S (или S'J должен пересекать шар S под
углом, строго равным а (или 2d—а), и быть ортогональным к ша-
рам So, So и So. Можно показать и обратно, что всякий шар, удо-
влетворяющий этим последним условиям, будет удовлетворять и усло-
виям первоначальной задачи. Таким образом, мы приходим к задаче III,
решённой выше.
Заметим, что этот второй путь решения будет заведомо пригоден
в тех случаях, когда первый способ может оказаться неприменимым,
т. е. когда каждые два из четырёх данных шаров имеют общие
точки. В самом деле, в этом случае задача построения каждого из
шаров So, Sb и So имеет решение (ср. выше, решение задачи II).
Однако этот второй путь может оказаться непригодным в тех слу-
40 Элементарная геометрия, ч. П
626
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
чаях, когда первый способ заведомо применим. В самом деле, если
два из данных шаров (скажем 5 и S') не пересекаются, то среди ша-
ров, имеющих с ними общую радикальную ось, может не существо-
вать шара, ортогонального к данному шару (скажем к Sj).
До сих пор мы искали шары, принадлежащие к первому из тех
восьми семейств, о которых говорилось в начале решения. Таким же
путём можно найти шары, принадлежащие к каждому из остальных
семи семейств. Надо только заменить один или два из углов а, а',
а" и а"' углами, им пополнительными. Существенно, что при этом
придётся пользоваться вспомогательными шарами, аналогичными S,
S', S" и S'" или Sq, So и So, но, вообще говоря, отличными от по-
следних.
Каждое из восьми семейств содержит самое большее два искомых
шара, и потому наибольшее число решений задачи 16.
Переходим, наконец, к решению последней из поставленных
задач.
V. Построить шар, имеющий с четырьмя данными шарами S,
S', S' и S'" общие касательные данной длины.
Мы дадим здесь решение этой задачи, вполне аналогичное тому,
которое мы дали для соответствующей задачи на плоскости (ср. Пл.,
решение задачи 403а).
Отложим на одной из касательных в произвольной точке А пер-
вого данного шара S, центр которого мы обозначим через О, отре-
«зок AAV имеющий данную длину, и проведём через точку А, шар
Sj, концентрический с S. Все шары, имеющие с шаром S общую ка-
сательную, равную ААи пересекают, очевидно, шар S, под одним
и тем же углом, равным углу АОАг.
Итак, искомый шар должен пересекать определённый шар S]t
концентрический с S, под определённым углом. Таким же путём
ложно определить углы между искомым шаром и вполне определён-
ными шарами Sj, S'' и Sj", концентрическими соответственно с тремя
другими данными шарами S', S" и S'”.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к предыдущей
задаче IV.
760. Обобщение упражнения 237. Если две точки А и
В сопряжены относительно шара О, то:
1) шары, имеющие своими центрами точки А и В и ортого-
нальные к шару О, ортогональны между собой;
2) шар, построенный на отрезке АВ как на диаметре, ортого-
нален к шару О;
3) квадрат расстояния между точками А и В равен сумме
степеней зтих точек относительно шара О.
Для доказательства достаточно пересечь рассматриваемые шары
плоскостью ОАВ и применить к полученной фигуре результаты упраж-
нения 237.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
В2Т
Обобщение упражнения 241. Если Р и Q — предельные
точки (упр. 709) двух шаров, то:
1) полярной плоскостью каждой из зтих предельных точек
относительно того и другого шара будет одна и та же плоскость,
проходящая через другую предельную точку;
2) не существует других точек (на конечном расстоянии), ко-
торые имели бы одну и ту же полярную плоскость относительно
обоих шаров.
Доказательство вполне аналогично приведённому в решении упраж-
нения 241 планиметрии.
Обобщение упражнения 242. Если две точки взаимно
обратны относительно шара, то их расстояния до какой-либо
точки зтого шара находятся в постоянном отношении.
Пусть точки А и В взаимно обратны относительно шара О, и
М—какая-либо точка этого шара. Проводим через точки О, А и М
плоскость (она пройдёт и через точку В) и применяем к полученной
фигуре результаты упражнения 242 планиметрии.
Обобщение упражнения 245. Шары, обратные шарам,
имеющим общую радикальную плоскость, также имеют общую
радикальную плоскость; шары, обратные шарам, имеющим общую
радикальную ось, также имеют общую радикальную ось.
Действительно, шары S, имеющие общую радикальную плоскость,
можно охарактеризовать как шары, ортогональные к трём данным
шарам S', S" и S"' с центрами в этой радикальной плоскости. При
этом последние три шара надо выбрать так, чтобы их центры не ле-
жали на одной прямой, иначе говоря, так, чтобы не всякий шар,
ортогональный к двум из них, был ортогонален к третьему.
Шары Sj, S’ и S"', обратные шарам S', S" и S"', также будут
обладать этим свойством, так как угол между двумя шарами сохра-
няется при инверсии. По той же причине шары Sv обратные шарам
S, будут ортогональны к шарам S', S' и S'", и потому будут иметь
общую радикальную плоскость — плоскость центров шаров S/, S/'
и S/".
Аналогично, шары S, имеющие общую радикальную ось, можно
охарактеризовать как шары, ортогональные к двум шарам S' и S"
с центрами на этой оси. Следовательно, шары Sp обратные шарам S,
будут ортогональны к шарам S/ и S/', обратным S' и S’, и потому
также будут иметь общую радикальную ось—линию центров шаров
S/ и S,".
Примечание. К числу „шаров*, имеющих с данными шарами общую
радикальную плоскость, можно в данном случае отнести и самую радикаль-
ную плоскость; к числу „шаров*, имеющих общую радикальную ось, — все
плоскости, через нее проходящие. Эти плоскости преобразуются инверсией
в шары, имеющие с другими преобразованными шарами соответственно об-
щую радикальную плоскость или общую радикальную ось.
40*
628
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Обобщение упражнения 246. Преобразуя путём инвер-
сии определение шара как геометрического места точек, находя-
щихся на данном расстоянии от данной точки, получаем пред ю-
мсение, приведённое в п. 472, следствие И.
Доказательство вполне аналогично приведённому в решении упраж-
нения 246 планиметрии.
Обобщение упражнения 247. Построен шар. обратный
данному шару в инверсии с данным поленом. Точка, обратная
в данной инверсии центру нового шара, есть в то же время точка,
обратная полюсу инверсии относительно данного шара.
Доказательство опять вполне аналогично доказательству соответ-
ствующего предложения на плоскости (ср. Пл., решение упр. 247).
Обобщение упражнения 248. Преобразовать два данных
шара, не имеющих общих точек, в два концентрических шара пу-
тём одной и той же инверсии.
Два концентрических шара характеризуются тем, что существует
бесчисленное множество плоскостей, ортогональных одновременно
к обоим шарам (плоскости, проходящие через общин центр), но не
существует шаров, ортогональных одновременно к ним обоим (так
как два концентрических шара не имеют радикальной плоскости).
Следовательно, чтобы преобразовать с помощью одной и той же
инверсии, два данных шара в два концентрических шара, надо пре-
образовать все шары, ортогональные к двум данным, в плоскости.
А для этого за полюс инверсии надо принять одну из общих точек
всех шаров, ортогональных к двум данным, т. е. (упр. 709) одну пз
двух предельных точек данных шаров.
761. Обобщение задачи 401. Даны четыре шара Ао, Во,
Со и Do с центрами А, В, С и D и радиусами a. b, cud. Пусть
I—радикальный центр четырёх других шаров, концентрических
первым и имеющих радиусы, соответственно равные a-\-h, b-\-h,
c-\-h и d-\-h, и N — такая точка прямой AI, что AN:Af=
= a:(a-j- h). С изменением h точки 1 и N описывают прямые,
первая из которых проходит через центры шаров, касающихся
данных одинаковым образом, а вторая — через точки прикоснове-
ния этих шаров к шару А.
Аналогичное предложение имеет место для шаров, касающихся
шаров Ао, Во, Со и О0 неодинаковым образом: надо только заме-
нить один или два из отрезков a-\-h, b-\-h, c-\-h и d-\-h соот-
ветственно через а — h, b — h, с — h и d — h. (Так, для шаров,
касающихся одинаковым образом шаров Ао, Вп и Со и неодинаковым
образом — шаров /10 и Do, надо взять отрезки а-*-й, b-^-h, c-\-h
и d — h, и т. д.)
Ограничимся рассмотрением случая шаров 1’, имеющих со всеми
четырьмя данными шарами одноимённые касания.
Для достижения полной общности рассуждений будем рассматри-
вать как положительные, так и отрицательные значения h.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
Пусть D — середина отрезка АВ; К — проекция точки I на пря-
мую АВ; Kq — проекция радикального центра /0 данных шаров Аи,
До, Со и О0 на ту же прямую. Аналогично тому, как это было сде-
лано в решении задачи 401 планиметрии, докажем, что имеет место
равенство К^К— Обозначая через L и Lo проекции тех же
точек / и /0 на прямую АС, найдём, что LQL = ^^-h. Обозначая
далее через Н и Но проекции точек / и /0 на плоскость АВС, до-
кажем опять таким же образом, как в решении соответствующей за-
дачи на плоскости, указанной выше, что геометрическое место точек Н
есть прямая линия. Отсюда следует, что все точки / лежат в опре-
делённой плоскости, перпендикулярной к плоскости АВС. По тем же
соображениям все точки 1 лежат и в определённой плоскости, пер-
пендикулярной, например, к плоскости ABD. Поэтому геометрическое
место точек I есть прямая линия — линия пересечения двух указан-
ных плоскостей.
Пусть теперь N—точка прямой AI, определяемая равенством
AN;Al — а;(а-\-h). Буквально так же, как в решении задачи 401
планиметрии, докажем последовательно, что геометрическое место то-
чек N есть прямая линия, что прямая линия, которая служит геомет-
рическим местом точек I, проходит через центры шаров, касающихся
одинаковым образом четырёх данных, и что прямая, которая служи?
геометрическим местом точек N, проходит через точки касания этих
шаров с шаром Ао.
Примечание. Доказанные теоремы дают новый способ построении
шаров, касающихся четырёх данных (ср. п. 522). Этот способ построения
вполне аналогичен описанному для случая плоскости в примечании к реше-
нию задачи 401 планиметрии.
762. Пусть М и М — две какие-либо соответственные точки двух
фигур, получаемых одна из другой с помощью инверсии S, и т и
т'—-точки, которые получаются из точек М и М' с помощью ин-
версии Т. Мы должны доказать, что и точка т' получается из т
с помощью некоторой инверсии.
Это свойство очевидно, если S—инверсия с положительной сте-
пенью и, следовательно, имеет шар инверсии. Действительно, при
этом точки М и М' можно охарактеризовать (п. 507) тем свойством,
что любой шар, проходящий через эти точки, будет ортогонален
к шару инверсии S. Отсюда следует, что точки /и и т будут обла-
дать тем же свойством по отношению к шару $, получаемому иа
шара S с помощью инверсии Т.
Чтобы распространить доказательство на случай инверсии 5 с про-
извольной степенью, достаточно воспользоваться результатом пункта
508: если N и N' — какие-либо две другие точки, соответствующие
друг другу в инверсии S, то точки М, N, М' и N' будут лежать
на одной окружности, и, следовательно, тем же свойством будут об-
630
решения упражнений и задач
ладать и точки in, п, in и п', соответствующие им в инверсии Т.
Так как точки ш и m , очевидно, могут быть выбраны произвольно,
то отсюда следует, что операция, преобразующая точку m в т’, есть
инверсия.
Если р— полюс этой новой инверсии, Р— точка, соответствую-
щая ему в инверсии Т, Р' — точка, соответствующая точке Р в ин-
версии S, то точка Р' должна совпадать с полюсом инверсии У;
действительно, инверсия Т должна была бы преобразовать точку Р’
в ту точку, которая соответствует точке р в инверсии s; но точке р
не соответствует в инверсии у никакой точки. Таким образом, полюс р
новой инверсии у получается из полюса Р' инверсии Т, если выпол-
нить над последним сначала инверсию S (преобразующую его в точ-
ку Р), а затем над полученной точкой—инверсию Т.
Примечание. Изложенное здесь решение приведено у самого Ада-
мара (см. первое издание второй части, п. 914). Можно было бы решить эту
задачу аналогично тому, как была нами решена соответствующая задача на
плоскости (ср. Пл., решение упр. 250).
763. В отличие от решения соответствующей задачи на плоскости
(Пл., упр. 251), мы не будем здесь предполагать, для общности, что
степени обеих инверсий положительны.
1) Если степени инверсий 5 и S' положительны и оба шара ин-
версии имеют хотя бы одну общую точку, то примем одну из общих
точек обоих шаров (или единственную их общую точку, если шары
касаются друг друга) за полюс инверсии Т, степень которой выберем
произвольно. Инверсия Т преобразует шары обеих инверсий 5 н S'
в две плоскости s и s', а фигуры F и F"— в фигуры f и полу-
чающиеся одна из другой с помощью двух последовательных сим-
метрий относительно плоскостей s н s'. Эти две фигуры будут, сле-
довательно, равны.
Если степени инверсий S и S' положительны и оба шара инвер-
сии не имеют общих точек, то примем за полюс инверсии Т одну
из предельных точек обоих шаров (ср. упр. 709). Степень инверсии Т
выберем произвольно. Инверсия Т преобразует шары инверсий S и S'
в два концентрических шара (ср. обобщение упражнения 248 в ре-
шении упр. 760) s и s', а фигуры F и F" — в фигуры f и полу-
чающиеся одна из другой с помощью двух последовательных инвер-
сий относительно концентрических шаров s и s'. Следовательно, фи-
гуры f и /" будут гомотетичны относительно общего центра шаров
£ и s' (и. 507).
Чтобы иметь возможность рассмотреть случай, когда степень хотя
бы одной из двух инверсий отрицательна, докажем следующее общее
предложение:
• Каковы бы ни были две инверсии с различными полюсами, су-
ществует бесчисленное множество шаров, каждый, из которых
преобразуется в себя как той, так и другой инверсией, Центры
всех этих шаров лежат в одной плоскости, и прямая, соединяю-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
631
щая полюсы обеих инверсий, служит их общей радикальной осью.
Если степени обеих инверсий положительны и оба шара инверсии
не имеют общих точек или если степень хотя бы одной из двух
инверсий отрицательна, то все эти шары пересекают прямую, сое-
диняющую полюсы обеих инверсий, в двух общих точках.
Если степени обеих инверсий положительны, то шарами, о кото-
рых идёт речь, будут все шары, каждый из которых ортогонален
к обоим шарам инверсии. Доказываемое предложение вытекает, оче-
видно, из свойств радикальной плоскости двух шаров и их предель-
ных точек. Поэтому мы будем для определённости предполагать при
доказательстве, что степень k первой инвер-
сии отрицательна (Л<^0), не делая никаких
предположений относительно степени k' вто-
рой инверсии {k' 2g 0), хотя приводимое да-
лее доказательство сохраняет силу с незна-
чительными видоизменениями во всех слу-
чаях.
Пусть О — центр и г — радиус какого-
либо шара, который преобразуется в себя
каждой из двух инверсий (если такие шары
существуют). Степень каждого из полюсов
Р и Р’ обеих инверсий относительно этого
шара должна быть равна степени соответ-
ствующей инверсии (ср. Пл., п. 221). Таким образом, мы приходим
к двум уравнениям (ср. п. 482):
PO2 — r2 = k-, p'CP — r'2 = k’.
Эта система уравнений равносильна следующей:
РО2 — P'O2 = k — k’; г2 = РО2 — k.
(1)
Первое из этих двух уравнений показывает, что центр О всякого
искомого шара принадлежит вполне определённой плоскости /И, пер-
пендикулярной к прямой РР’, а именно геометрическому месту точек,
разность квадратов расстояний которых от точек Р и Р' равна k — k'.
Второе из уравнений (1) показывает, что в рассматриваемом случае
{k 0) всякая точка О плоскости М служит центром одного из шаров,
удовлетворяющих поставленному условию, так как мы имеем РО2 —
Если обозначить далее через Н точку пересечения плоскости М с пря-
мой РР' (черт. 469), то мы будем иметь г2 — ОН2 — {РО2—k)—
— {РО2 — PH2) —PH2— k. Так как правая часть последнего равенства
положительна {k 0) и не зависит от выбора точки О в плоскости М,
то все шары, о которых идёт речь, пересекают прямую РР’ в двух
общих точках U и V. Наше предложение доказано.
Возвращаемся к решению поставленной задачи.
Если степень хотя бы одной из двух данных инверсий S и S'
отрицательна, то инверсия Т с полюсом в одной из точек U и V,
6J2 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
о которых только что шла речь, для определённости в точке U, пре-
образует все шары, проходящие через точки U и V, в плоскости,
проходящие через точку v, обратную точке V. Каждая из этих пло-
скостей преобразуется в себя любой из инверсий s и s', в которые
инверсии S и S' преобразуются с помощью инверсии Т (в смысле
упр. 762). Следовательно, инверсии s и s' имеют точку v своим
общим полюсом. Инверсия Т преобразует фигуры F и F" в две фи-
гуры f и У*. Эти две фигуры получаются одна из другой с помощью
двух последовательных инверсий s и s' с общим полюсом v. Следо-
вательно, фигуры / и f" опять гомотетичны.
Итак, фигуры F и F" всегда можно преобразовать с помощью
одной и той же инверсии либо в две равные, либо в две гомоте-
тичные фигуры.
2) Если степени инверсий S и S' положительны и оба шара инвер-
сии имеют хотя бы одну общую точку, то, не изменяя равных фигур
f и о которых шла речь выше, можно заменить пару симметрий
относительно плоскостей s и s' парой симметрий относительно пло-
скостей Sj и s/ (ср. решение упр. 613, примечание 1°). Следовательно,
пара инверсий S и S' равносильна паре инверсий Sj и 5' относи-
тельно шаров S, и Si, обратных плоскостям Sj и sj в инверсии Т.
Эта пара инверсий Sj и Si, как и пара плоскостей s, и si, может
быть выбрана бесчисленным множеством способов. За плоскость
(пли Si) можно принять любую из плоскостей, проходящих через линию
пересечения плоскостей s и s' или им параллельных. Следовательно,
за шар Sj (или Si) можно принять любой из шаров, проходящих
через линию пересечения шаров S и S' или касающихся их
в их общей точке, короче говоря, любой из шаров, имеющих
с S и S' общую радикальную плоскость. Другими словами, за
инверсию S, (или Si) можно принять любую из инверсий, преобра-
вующих в себя все шары, каждый из которых преобразуется в себя как той,
так и другой из данных инверсий. В частности, за плоскость s,
(или sj), о которой говорилось выше, можно принять плоскость, про-
ходящую через полюс инверсии Т. При этом инверсия Sj (или S0
обращается в симметрию относительно радикальной плоскости шаров
S и S'.
Если степени обеих инверсий S и S1 положительны и оба шара
инверсии не имеют общих точек или если степень хотя бы одной
из инверсий S и S' отрицательна, то, не изменяя гомотетичных фигур f
и о которых шла речь выше, можно заменить пару инверсий s и
s' с общим полюсом v равносильной ей парой инверсий $! и sj с тем же
полюсом (ср. Пл., п. 215). При этом за инверсию s1 (или s') можно
принять любую инверсию с полюсом v; вторая инверсия sj (или st)
определится из условия, что отношение степеней инверсий s и s'
равно отношению степеней инверсий S! и sj. Иначе говоря, за инвер-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
633
сию s, (или s') можно принять любую инверсию, преобразующую
в себя каждую из плоскостей, проходящих через точку v. Следова-
тельно, пару инверсий S и S' можно бесчисленным множеством спо-
собов заменить другой парой инверсий S, и S', также преобразую-
щей фигуру F в F". При этом за инверсию Si (пли S,) можно при-
нять любую из инверсий, преобразующих в себя каждый из шаров,
которые преобразуются в себя как той, уак и другой из инверсий S и S'.
В частности, за инверсию st (или sj), о которой говорилось выше,
можно принять инверсию относительно шара, проходящего через по-
люс инверсии Т, если этот полюс инверсии не совпадает с точкой v
(в последнем случае обе инверсии S и S' также имеют точку v своим
общим полюсом, и фигуры F и F” гомотетичны относительно точки »).
При этом инверсия S! (или S,) обращается в симметрию относительно
плоскости.
Итак, во всех случаях существует бесчисленное множество пар
инверсий, преобразующих, как и инверсии S и S', фигуру F в фигуру F".
За одну из таких инверсий можно принять любую инверсию, преобра-
зующую в себя каждый шар (или плоскость), который преобразуется
в себя как инверсией S, так и инверсией S'; в частности, можно
предположить, что одна из двух инверсий обращается в симмет-
рию, если только фигуры F и F" не подобны между собой.
Примечание. Из сказанного легко заключить, что если полюсы обеих
данных инверсий S и S' различны, то полюсы обеих инверсий Si и S,, кото-
рыми можно заменить две данные, всегда лежат на прямой, соединяющей
полюсы данных инверсий. При этом за полюс одной из двух новых инверсий,
например инверсии Slt можно принять любую точку Р этой прямой. Действи-
тельно, за степень инверсии St достаточно принять в этом случае общую
степень выбранной точки Р относительно всех шаров, которые преобразуются
в себя как инверсией S, так и инверсией S'.
764. Пусть данная последовательность инверсий содержит инвер-
сии как с положительной, так и с отрицательной степенью, и среди
этих инверсий могут быть и симметрии (п. 507). Инверсию S с по-
люсом О и отрицательной степенью —k можно, очевидно, заменить
последовательностью симметрии относительно полюса О и инверсии S'
с полюсом О и положительной степенью k. В свою очередь симмет-
рию относительно точки О можно заменить, как легко видеть, тремя
последовательными симметриями относительно каких-либо трёх попарно
перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку О. Оконча-
тельно инверсия S с полюсом О и отрицательной степенью будет
заменена последовательностью трёх симметрий относительно трёх пло-
скостей и инверсии S' с тем же полюсом О и положительной степенью
(ср. Пл., решение упр. 253).
На основании сказанного можно предполагать, что над данной
фигурой F выполнены последовательно инверсии Si, S2, ... и Sk,
634
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
имеющие положительные степени, в числе которых могут быть
и симметрии относительно плоскости.
Пользуясь теперь результатами упражнения 763 и рассуждая, как
в решении упражнения 252 планиметрии, мы заменим данную после-
довательность инверсий в общем случае, когда преобразованная фи-
гура не подобна данной фигуре F, последовательностью вида
S-J2 ... 1к, где через <S[ обозначена некоторая инверсия, через
..., 1к— симметрии относительно плоскости. Отсюда видно, что
если в результате выполнения над фигурой F данной последова-
тельности инверсий не получается фигура, подобная фигуре F,
то получается фигура, либо равная, либо симметричная той,
которая получается из фигуры F с помощью найденной выше ин-
версии S\. В самом деле, последовательность симметрий 12 • - 1к пре-
образует всякую данную фигуру в равную ей фигуру при нечётном k
(т. е. при чётном k—1) и в фигуру, симметричную данной при чёт-
ном k (т. е. при нечётном k—1).
При нечётном k последовательность /2 • • • чётного числа сим-
метрий есть движение, которое всегда можно заменить (п. 438) двумя
транспозициями относительно прямой и, следовательно (решение
упр. 613, примечание 1°), четырьмя симметриями относительно пло-
скости. В случае чётного k последовательность /2 ... 1к нечётного
числа симметрий можно заменить (ср. решение упр. 620) тремя сим-
метриями относительно плоскости. В частных случаях число необхо-
димых симметрий может оказаться и меньше указанного. Итак, дан-
ную последовательность инверсий можно заменить одной инверсией,
за которой следуют одна, две, три или четыре симметрии, если
только преобразованная фигура не будет подобна данной.
765. Рассуждая совершенно так же, как при решении задачи 396
планиметрии, докажем следующее предложение:
Необходимое и достаточное условие возможности преобразо-
вать с помощью инверсии фигуру, состоящую из двух шаров А и
В, в фигуру, равную той, которую образуют шары С и D, со-
стоит в следующем:
если шары А и В имеют хотя бы одну общую точку, то
то же должно иметь место для шаров С и D, и угол между
шарами А и В должен быть равен углу между шарами С и D;
если шары А и В не имеют общих точек, то то же должно
иметь место для шаров С и D, и отношение радиусов концентри-
ческих шаров, в которые шары А и В можно преобразовать с по-
мощью одной и той же инверсии (ср. обобщение Пл., упр. 248
в решении упр. 760), должно равняться аналогичному отношению
для шаров С и D.
Пересекая далее шары А и В какой-либо плоскостью, проходящей
через их линию центров, и поступая таким же образом с шарами С
и D, применим к обеим фигурам результаты упражнения 396. Мы
без труда получим следующее предложение.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
635
Если шары А и В имеют хотя бы одну общую точку, то
в предыдущем условии вместо угла между ними можно рассмат-
ривать отношение отрезка общей касательной к среднему пропор-
циональному их радиусов.
Плоскость всякой окружности, пересекающей каждый из двух
данных шаров под прямым углом, проходит через их линию центров.
Рассматривая какие-либо две такие окружности, можно предполагать,
что они лежат в одной и той же плоскости, так как в противном
случае можно совместить одну из этих плоскостей с другой путем
вращения около линии центров. Из результатов упражнения 396 пла-
ниметрии непосредственно вытекает при этом, что
сложное отношение точек пересечения двух шаров А и Вс любой
из окружностей, пересекающей их под прямым углом, есть величина
постоянная, и то же имеет место для сложного отношения двух из
этих точек и двух предельных точек; необходимое и достаточное
условие, о котором шла речь выше, состоит в том, чтобы любое
из этих сложных отношений, вычисленное для шаров А и В, было
равно соответствующему сложному отношению, вычисленному для
шаров С и D. ,
Наконец, пересекая опять данные шары А и В какой-либо пло-
скостью, проходящей через их линию центров, поступая таким же
образом с шарами С и D и применяя к фигурам, полученным в сече-
нии, дальнейшие результаты упражнения 396 планиметрии, получим
следующие предложения:
Если г и г'—радиусы шаров А и В, d — расстояние между
cP—fi—r'2 ,
их центрами, то величина -------- должна иметь то же число-
вое значение, как и аналогичная величина, вычисленная для окруж-
ностей С и D.
Если два шара А и В имеют общую касательную (например,
внешнюю) длины t и то же имеет место для шаров С и D, то
отношение -у - должно иметь одно и то же значение в обоих
Vrf
случаях.
766. Рассмотрим сначала случай, когда прямая О/И, на которой
лежит и точка М', пересекает шар 5, а следовательно, и шар S.
Пусть А и В — точки пересечения этой прямой ОМ с шаром S,A’
и В’ — точки, им обратные. Мы имеем (п. 509) М'А' = qa^OM ’
М'В’ = ВМ-, откуда М'А'• М'В’ = AM-BM-0A,qB:0M> - За-
меняя здесь М'А'-М'В', АМ.ВМ и ОА-ОВ соответственно через //,
р и Р, мы и получим требуемую формулу:
£L= ...£* (1)
р Р-ОММ ' '
636
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Переходим к рассмотрению общего случая. Пусть 2— весьма ма-
лый шар радиуса р с центром в точке М (достаточно даже предпо-
ложить только, что точка М лежит на этом шаре или внутри него);
2'— шар, обратный шару 2; р' — его радиус; г и г' — радиусы ша-
ров 5 и S'; d — расстояние между центрами шаров S и 2; d’ — со-
ответствующее расстояние для шаров 5' и 2'. В силу результатов
упражнения 765 будем иметь:
,Р — Г2 — С2 _ d'2 _ г>2 _ р>2
тр Г’р' <
Если теперь некоторая прямая, проходящая через точку О, пересе-
кает шар S в точках А и В, шар 5”— в точках А' и В', им обрат-
ных, а некоторая другая (или та же самая) прямая, проходящая через
точку О, пересекает шары 2 и 2' соответственно в точках С, D и
С, и, то
г' ОА' __ОД.ОД'_ и
г ОВ ОАОВ Р
и аналогично.
р' _ОС ОС____ р
р OCOD OC-OD'
Пользуясь этими соотношениями, равенство (2) можно представить
в виде:
d'2.-г*2—р'2 и2
г/2 —г2 —рг P-OC-OD'
Заставим теперь радиус р шара 2 стремиться к нулю так, чтобы
точка М оставалась его центром (достаточно предположить только,
что точка М остаётся на шаре 2 или внутри него). В пределе OC-OD
заменится через ОМ2; d2 — г2 — р2 обратится в d2 — г2, т. е. в сте-
пень р точки М относительно шара S. При этом радиус р' шара 2'
также будет стремиться к нулю и d'2—г'2 — р'2 обратится в р'
Предыдущее равенство обратится в искомое соотношение (1).
Равенства (1) и (3) дают:
Р' . £_ н
2г' ’ 2г ОЛР ’
Таким образом, отношение приведённой, степени точки М отно-
сительно шара S' к приведённой степени точки М относительно
шара S не зависит от этих шаров ’).
Чтобы выяснить теперь, во что обращается приведённая степень
точки Л4 относительно шара, если последний обращается в пло-
скость Q, опустим из точки М перпендикуляр МА на эту плоскость Q и по-
’) Другое доказательство приведено в первом издании второй части на-
стоящей книги в п. 972.
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
6ЭГ
строим шар 6', касательный в точке А к плоскости Q (черт. 470).
Обозначим через АВ диаметр шара S, проходящий через А. Для
приведённой степени точки М относительно шара <S будем иметь:
(МА - МВ): АВ = (МА - МВ): (МВ — МА) — /ИА: 1 — В пределе,
если точка В удаляется по прямой /ИА в бесконечность, то при-
ведённая степень точки М обращает- q
ся в её расстояние МА от плоско-
сти Q.
767. Пусть инверсия с полюсом О ---$
и степенью k преобразует некоторый f
шар S, не проходящий через О, в шар 5'. м ' \
Обозначим через М какую-либо точку, " ~ -----------jB
лежащую внутри шара S, через М' — \ J
точку, ей обратную, через А и В точ-
ки пересечения прямой ОМ (на кото-
рой лежит и точка М’) с шаром S,
через А' и В' — точки пересечения той Черт. 470.
же прямой с шаром S', обратные со-
ответственно точкам А и В. Чтобы выяснить, лежит ли точка М' внут-
М'А’
ри или вне шара 5, достаточно определить знак отношения -щ, .
Но мы имеем, как и на плоскости, по величине и знаку (ср. Пл.,
k k
и. 218, примечание) М’ А' = AM-и M'B' — BM-qB от-
куда
М'А' МА'ОА ...
М'В' — МВ'ОВ' 1 '
(Это соотношение получается также из теоремы о неизменности слож-
ного отношения, доказанной в п. 527, если принять во внимание,
1то отношение можно рассматривать как сложное отношение
точек А', В', М и четвёртой точки в бесконечности; ср. Пл., п. 199.)
Так как точка М лежит, по условию, внутри шара 5, то мы имеем
ИЛ М' А*
^<^0. Равенство (1) показывает, что отношение будет при
этом иметь знак, противоположный знаку отношения . Следова-
тельно, точки, лежащие внутри какого-либо шара, не проходящего
через полюс инверсии, преобразуются при инверсии в точки, лежа-
щие внутри (вне) преобразованного шара, если полюс инверсии ле-
жит вне (соответственно — внутри) данного шара.
768. Пусть даны окружность С и шар 5. Всякая окружность Г,
пересекающая окружность С в двух точках, лежит с ней на одном
шаре S (п. 475). Если, кроме того, окружность Г пересекает шар S
под прямым углом, то проходящий через неё шар S ортогонален к S,
638
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
и окружность Г пересекает под прямым углом ту окружность Со, по
которой пересекаются шары S и L Отсюда вытекает существование
бесчисленного множества окружностей Г, определяемых с помощью
следующего построения:
Через данную окружность С проводим шар 2, ортогональный
к данному шару S (упр. 689). На этом шаре 2 строим окружности Г,
пересекающие под прямыми углами окружность С и окружность Со,
по которой пересекаются шары S и 2. Эти окружности Г и будут,
очевидно, искомыми.
Как известно (ср. Пл., задача 396), сложное отношение точек
пересечения двух окружностей, лежащих в одной плоскости, с любой
из окружностей, к ним ортогональных, имеет одно и то же значение.
То же свойство будет иметь место для двух окружностей, лежащих
на одном шаре, и для любой окружности, к ним ортогональной.
В последнем можно убедиться, выполняя инверсию с полюсом в ка-
кой-либо точке данного шара и произвольной степенью (ср. п. 527).
Следовательно, сложное отношение точек пересечения окружно-
сти Г с окружностями Со и С, т. е. с шаром 5 и окружностью С,
имеет для всех окружностей Г одно и то же значение (так как все
окружности Г лежат на одном и том же шаре 2).
Примечание. Если две данные окружности, лежащие в одной пло-
скости, пересекаются пол углем а, то сложное отношение i точек их пересе-
чения с любой окружностью, к ним ортогональной, связано с углом а равенством
> = — (ср. Пл., решение задачи 396). Так как угол между двумя окруж-
ностями и сложное отношение четырёх точек одной окружности не изме-
няются при инверсии, то тоже имеет место и для двух окружностей на шаре.
Пусть теперь данная окружность С пересекает данный шар S. В таком
случае угол между ними равен углу между окружностью С и рассмотренной
выше окружностью Со, и мы приходим к следующему результату:
Если окружность С пересекает шар S под углом а, то сложное отно-
шение \ точек их пересечения с любой окружностью Г связано с углом Я
равенством > = —
769. Если данная окружность имеет с данным шаром хотя бы
одну общую точку, то достаточно принять их общую точку или одну
из их общих точек за полюс инверсии (выбрав степень последней
произвольно), чтобы преобразовать их в прямую и плоскость.
Если данная окружность не имеет с данным шаром общих точек,
то через неё можно провести, и притом двояким образом, новый шар,
касающийся данного; способ построения такого шара приведён в п. 522.
Инверсия с полюсом в точке касания обоих шаров (и произвольной
степенью) преобразует их в две параллельные плоскости; в одной из
них будет лежать окружность, обратная данной окружности.
Так как через окружность, не имеющую общих точек с данным
шаром, можно провести два шара, касающихся данного, то полюс
рассматриваемой инверсии можно выбрать двояким образом.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
639
Примечание. Докажем, что какой бы из двух полюсов инверсии мы
ни выбрали, отношение ц = расстояния h между обеими параллель-
ными плоскостями к радщс) г преобразованной окружности будет одним и
тем же.
С этой целью выразим величину ц через то сложное отношение X, о ко-
тором говорится в решении упражнения 768. Так как сложное отношение
четырёх точек одной окружности не изменяется при инверсии, то зависи-
мость между 1 и [1 можно установить, пользуясь только преобразованной фи-
гурой. В обозначениях, понятных из чертежа 471, имеем (ср. Пл., зад. 274)
__мк ,М<_(МК\
~ ML ’ NL~ \ML )
\=(KLMN)
/ КОМ = 2 / KLM, откуда р =
Но
что
2_^tg2/АД.Л7; (i = A==tgz'KOM
91 Г
д 1 . Это соотношение показывает,
1-1
величина |х вполне определяется значением 1 и потому не зависит от выбора
того или другого из возможных полюсов инверсии.
770. Пусть данная окружность С и шар 5 пересекаются в двух
точках. Необходимые условия возможности преобразовать их с по-
мощью инверсии в окружность С и шар S', образующие фигуру,
равную той, которую образуют другие данные окружность С\ и
шар состоят в том, что окружность С! и шар 6', также
пересекаются в двух точках и что угол между окружностью С
и шаром S равняется углу между Ct и Sj. Необходимость этих
условий вытекает из того, что угол между окружностью и шаром,
как легко видеть, не изменяется при инверсии (ср. п. 510, последний
абзац).
Докажем теперь, что те же условия и достато чны. Инверсия 1
с полюсом в одной из точек пересечения Р окружности С и шара 5
и произвольной степенью преобразуют их в прямую линию с и пло-
скость S, угол между которыми равен углу между С и S. Точно так
же инверсия /j с полюсом в одной из точек пересечения Pj окруж-
ности С] и шара 5, и произвольной степенью преобразует их в пря-
мую линию с, и плоскость угол между которыми равен углу между
и 5], т. е. углу между окружностью С и шаром S или между пря-
мой с и плоскостью $. Переместив теперь фигуру, состоящую из
640
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
окружности Ср шара S,, точки Р,, прямой с, и плоскости slt можно
достичь того, что прямая Cj и плоскость s, будут совпадать соответ-
ственно с с и у. При этом окружность Cj и шар Sj в их новом по-
ложении (иначе говоря, фигура, равная той, которую образуют перво-
начально данные окружность и шар Sj) будут получаться соответ-
ственно из окружности С и шара S с помощью двух последовательных
инверсий: первая инверсия / с полюсом Р преобразует С и S в пря-
мую с и плоскость s, вторая инверсия с полюсом в точке в её
новом положении — прямую с и плоскость $ в окружность С, и шар
S] (в их новом положении). На степени обеих инверсий / и (оста-
вавшиеся до сих пор совершенно произвольными) мы наложим теперь
только одно ограничение: точка Р} не должна совпадать с точкой Р
(при совмещении прямой с2 и плоскости с с и $).
Так как полюсы инверсий / и не совпадают, то последователь-
ность этих двух инверсий можно заменить (упр. 863) одной инвер-
сией Г и одной симметрией относительно плоскости. Следовательно,
инверсия /' преобразует окружность С и шар S в фигуру, симмет-
ричную с фигурой (С\, Sj) относительно некоторой плоскости и по-
тому равную фигуре (Сп Sj). Равенство углов между С и S и между
С, и Sj оказывается, таким образом, и достаточным.
Вместо угла между окружностью и шаром можно рассматривать и
то сложное отношение, о котором говорится в упражнении 768 (ср.
решение упр. 768, примечание).
Если бы окружность С ие пересекала шар S, а касалась его, то
можно было бы повторить предыдущие рассуждения с небольшими
видоизменениями. В этом случае прямая с параллельна плоскости $,
а прямая с, — плоскости $]. Выбрав произвольно степень инверсии /,
преобразующей окружность С и шар S в прямую с и плоскость s,
мы можем подобрать степень инверсии Ц, преобразующей окруж-
ность С] и шар .Sj в прямую С] и плоскость так, чтобы расстоя-
ние прямой С] от плоскости S, было равно расстоянию прямой с от
плоскости s. Затем можно совместить прямую с, и плоскость s, с
прямой с и плоскостью $, и т. д. Этот случай касания окружности С
и шара S можно рассматривать как частный случай предыдущего,
когда угол между окружностью и шаром равен нулю (или 180°).
Рассмотрим, наконец, случай, когда окружность С и шар S не
имеют общих точек. Выбрав полюс инверсии, как было указано в
решении упражнения 769, преобразуем окружность С и шар S в
окружность с и плоскость s, параллельную плоскости последней
окружности. Обозначим через г радиус окружности с, через h —
расстояние между обеими параллельными плоскостями и положим
р = h: г.
Пусть теперь окружность С и шар S, не имеющие общих точек,
можно преобразовать с помощью некоторой инверсии / в окружность
С и шар S' (также без общих точек), образующие фигуру, равную
той, которую образуют окружность Cj и шар Sj. Перемещая окруж-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
641
ность С] и шар Sj как одну фигуру, можно совместить их соответ-
ственно с окружностью С и шаром S'. Итак, можно считать, что
инверсии 1 преобразует фигуру (С, S) в фигуру (СД Преобра-
зуем окружность C'j и шар с помощью инверсии выбранной,
как указано в решении упражнения 769, в окружность сх радиуса гх
и плоскость Sj, параллельную плоскости окружности сх и отстоящую
от неё на расстоянии hx; положим ещё |х1 = г1:Л1. Так как полюс
инверсии /, можно выбрать двояким образом (величина р, не зависит
от этого выбора; ср. решение упр. 769, примечание), то можно
выбрать полюс инверсии /, отличным от полюса инверсии I. Таким
образом, последовательность двух инверсий I и Д с различными по-
люсами преобразует окружность С и шар А в окружность сх и плос-
кость Sj, параллельную плоскости окружности. Эту последовательность
двух инверсий можно заменить одной инверсией Г и симметрией от-
носительно плоскости. Инверсия Г преобразует фигуру (С, S) в неко-
торую фигуру, равную фигуре (с,, «,). Отсюда следует, что необхо-
димые условия возможности преобразовать окружность С и шар S,
не имеющий с ней общих точек, в окружность С и шар S', обра-
зующие фигуру, равную той, которую образуют другие данные
окру леность Сх и шар Sx, состоит в том, что окружность Сх и
шар Sx также не имеют общих точек и что введённое выше от-
ношение р г :h для фигуры (С,5) равняется аналогичному отноше-
нию <j.x=rx:hx для фигуры (Ср S]).
Докажем, что те же условия являются и достаточными. Инвер-
сия / с полюсом Р, выбранным, как было указано, и произвольной
степенью преобразует фигуру (С, А) в фигуру (с, s), состоящую из
окружности с и плоскости s, параллельной плоскости окружности с.
Аналогичная инверсия 1Х с полюсом Рх преобразует фигуру (Ср S,)
в фигуру (Гр «]), также состоящую пз окружности сх и плоскости
параллельной плоскости окружности сх. В силу равенства значений р
и рр степень инверсии 1Х можно подобрать так, чтобы фигура (cn s,)
была равна {с, s). Переместив теперь фигуру, состоящую из окруж-
ности Ср шара Sp точки Рх, окружности сх и плоскости можно
достичь того, что окружность сх и плоскость будут совпадать со-
ответственно ecus. При этом окружность Cj и шар Sj в пх новом
положении (иначе говоря, фигура, равная той, которую образуют
первоначально данные окружность Сх и шар будут получаться
соответственно из окружности С и шара S с помощью двух после-
довательных инверсий: первая инверсия I с полюсом Р преобразует С
и А в окружность с и плоскость $, вторая инверсия 1Х с полюсом в
точке Рх в её новом положении — окружность с и плоскость $ в
окружность Cj и шар Sj (в их новом положении). Как и выше, в
случае пересекающихся окружностей, заключим отсюда, что суще-
ствует одна инверсия, преобразующая фигуру (С, S) в фигуру, рав-
ную (С(, SJ. Равенство значений р и pj оказывается, таким образом,
и достаточным.
41
Элементарная геометрия, ч. II
642
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Чтобы последнее заключение было вполне обосновано, необходимо, чтобы
полюсы инверсий / и Д были различны. Можно показать, что этому послед-
нему условию всегда можно удовлетворить, выбирая надлежащим образом
одну из двух инверсий, преобразующих С\ и Sj соответственно в и (ср.
решение упр. 769).
Вместо значения р. можно и в случае окружности и шара, не
имеющих общих точек, рассматривать значение к того сложного от-
ношения, о котором говорится в упражнении 768. Действительно,
21 л
величина X связана с р соотношением }x = -j—(ср. решение упр. 769,
примечание).
Последнее соотношение определяет при заданном значении ц два значе-
ния X, произведение которых равно единице. Эти два значения сложного
отношения X соответствуют возможности рассматривать соответствующие
точки в различной последовательности (ср. Пл., решение задачи 396, стр. 558).
Итак, мы доказали, что необходимое и достаточное условие
возможности преобразовать данную фигуру (С, S) в фигуру, равную
другой данной фигуре (С\, SJ, состоит во всех случаях в равенстве
соответствующих этим фигурам значений сложного отношения
о котором говорится в условии.
771. Геометрическим местом полюсов инверсий, преобразующих
два данных шара Sj и S2 в два равных шара, есть шар инверсии,
преобразующей шары и S2 друг в друга, или совокупность двух
таких шаров.
Доказательство вполне аналогично приведённому в решении упраж-
нения 275 планиметрии.
Отсюда следует, что геометрическое место полюсов инверсий,
преобразующих три данных шара S2 и S3 в равные шары (если
такие инверсии существуют), есть окружность — линия пересечения
двух шаров, инверсии относительно которых преобразуют шар 5,
соответственно в шары S2 и S3 — пли же совокупность нескольких
таких окружностей. При этом может случиться, что инверсий, обла-
дающих требуемым свойством, вовсе не существует.
772. Две равные окружности, лежащие на одном шаре, симмет-
ричны относительно одной (или двух) из диаметральных плоскостей
этого шара. Действительно, в случае двух равных малых кругов этой
плоскостью будет диаметральная плоскость, перпендикулярная к линии
центров обоих малых кругов (а в случае двух больших кругов — обе
диаметральные плоскости, проходящие через линию пересечения
плоскостей данных кругов и делящие углы между этими плоскостями
пополам).
Иначе можно сказать, что в случае двух равных окружностей,
лежащих на одном шаре, одна из двух инверсий, преобразующих
данный шар сам в себя и две данные окружности — друг в друга
(или обе такие инверсии), обращается в симметрию относительно
плоскости.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
643
Отсюда следует (в силу упр. 762), что для преобразования с по-
мощью инверсии двух данных окружностей, лежащих на одном шаре,
в две равные окружности на преобразованном шаре эту инверсию
надо выбрать так, чтобы шар инверсии, преобразующей данный шар
сам в себя и две данные окружности — друг в друга (или один из
двух таких шаров), преобразовался в плоскость, а не в шар.
Поэтому геометрическим местом полюсов искомых инверсий будет
этот шар инверсии (пли совокупность двух шаров инверсии).
773. Если некоторая окружность С, лежащая на данном шаре,
преобразуется с помощью инверсии в большой круг преобразованного
шара, то шар, проходящий через окружность С и ортогональный к
данному шару, преобразуется в плоскость, а не в шар. Следовательно,
геометрическое место полюсов таких инверсий, что данная окруж-
ность, лежащая на данном шаре, преобразуется в большой круг
на преобразованном шаре, есть шар, проходящий через данную
окружность и ортогональный к данному шару.
Если некоторая окружность, лежащая на данном шаре, проекти-
руется из его центра конусом с углом 2а при вершине, то плоскость
этой окружности пересекает шар под (острым) углом, равным а
Поэтому инверсия, которая преобразует данную окружность С, лежа-
щую на данном шаре, в такую окружность на преобразованном шаре,
которая проектируется пз его центра конусом с углом 2а при вер-
шине, преобразует в плоскость, а не в шар, один из двух шаров,
проходящих через окружность С и пересекающих данный шар под
углом а. Следовательно, геометрическое место полюсов таких инвер-
сий, что конус вращения, имеющий своей вершиной центр шара,
соответствующего данному шару, а своей направляющей — окруж-
ность, соответствующую данной окружности, имеет данный угол
2а при вершине, есть совокупность двух шаров, проходящих через
данную окружность и пересекающих данный шар* под углом а.
Выбирая надлежащим образом степень каждой из только что рас-
смотренных инверсий, можно достичь того, что данный шар будет
преобразовываться этими инверсиями сам в себя. Отсюда непосред-
ственно следует, что геометрическое место вершин конусов, имею-
щих своим основанием данную окружность, лежащую на данном
шаре, и пересекающих этот шар по второй окружности данного
радиуса, есть совокупность двух шаров, проходящих через данную
окружность и образующих с данным шаром один и тот же угол а.
Угол а определяется из условия, что окружность данног > радиуса
проектируется из центра шара конусом с углем 2а при вершине.
774. Через две данные точки А н В, лежащие на данном шаре,
проходит единственная окружность С, пересекающая данный шар под
прямым углом; если точки А и В диаметрально противоположны, то
эта окружность обращается в прямую линию.
Отсюда следует, что каждая из искомых инверсий должна пре-
образовать окружность С в прямую линию, а не в окружность, и
41*
644
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
потому геометрическим местом полюсов инверсий, о которых идёт
речь, служит окружность С.
775. Пусть даны окружность С и точка А, лежащие на данном
шаре. Все окружности, лежащие на данном шаре, ортогональные
к данной окружности С и проходящие через точку А, имеют и вто-
рую общую точку В. Это следует из того, что плоскости этих
окружностей проходят, кроме точки А, ещё через полюс той пло-
скости, в которой лежит окружность С (п. 504).
Если точка А и окружность С преобразуются при некоторой ин-
версии в точку А' и окружность С, имеющую точку А' одним из
своих полюсов, то точка В преобразуется при той же инверсии во
второй полюс В' окружности С (общую точку всех окружностей,
ортогональных к С' и проходящих через А'). Следовательно, каждая
из искомых инверсий преобразует точки А и В в две диаметрально
противоположные точки А' и В'. Таким образом, задача сводится к
рассмотренной в упражнении 774.
776. Если две окружности, лежащие на одном шаре, не имеют
общих точек, то все окружности, к ним ортогональные, проходят че-
рез две общие точки А и В. Окружности, лежащие в параллельных
плоскостях, характеризуются гем, что общие точки окружностей, к
ним ортогональных, диаметрально противоположны.
Отсюда следует, что каждая из искомых инверсий должна преоб-
разовать общие точки А и В окружностей, ортогональных к обеим
данным, в две диаметрально противоположные точки преобразованного
шара. Таким образом, задача сводится к рассмотренной в упражне-
нии 774.
777. Если две окружности, лежащие на одном шаре, лежат на
некотором цилиндре, то они симметричны относительно плоскости,
проходящей через центр шара и перпендикулярной к образующим
цилиндра. Следовательно, эти две окружности равны. Обратно, вся-
кие две равные окружности, лежащие на одном шаре, симметричны
относительно некоторой плоскости (ср. решение упр. 772), и потому
один из проходящих через них конусов обращается в цилиндр, обра-
зующие которого перпендикулярны к плоскости симметрии.
Если оба конуса, проходящие через две данные окружности, ле-
жащие на одном шаре, обращаются в цилиндры, то эта пара окруж-
ностей имеет две плоскости симметрии. А именно, этими плоскостями
будут плоскости, проходящие через центр шара и перпендикулярные
соответственно к общим образующим обоих цилиндров. Отсюда сле-
дует, что плоскости обеих данных окружностей проходят через центр
шара. Поэтому обе данные окружности будут большими кругами
шара. Очевидно, что и обратно, в случае двух больших кругов,
лежащих на одном шаре, оба проходящие через них конуса обра
щаются в цилиндры.
778. Пусть сферическая фигура F преобразована с помощью не-
которой инверсии в фигуру Во, а последняя с помощью другой пн-
ДОПОЛНГНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
645
версии — в фигуру F'. Пусть далее фигуры/7, Fo и F’ преобразованы
с помощью одной и той же стереографической проекции в плоские
фигуры /, /с и f. Так как стереографическую проекцию можно рас-
сматривать как инверсию в пространстве, то фигуры f и /0 получа-
ются одна из другой также с помощью некоторой инверсии (в силу
упр. 762), а фигуры /0 и f — с помощью другой инверсии. Итак,
фигуры f н получающиеся пз F и F' с помощью стереографи-
ческой проекции, также получаются одна из другой с помощью двух
последовательных инверсий (на плоскости). Фигуры f и /' будут по-
лобпымн или равными между собой (ср. Пл., упр. 251) в следующих
двух случаях: 1) если полюсы последних двух инверсий совпадают;
2) если обе эти инверсии обращаются в симметрии относительно прямой.
Чтобы имел место первый пз этих случаев, центр стереографи-
ческой проекции должен лежать на одной прямой с полюсами обеих
данных инверсий. Чтобы имел место второй из этих случаев, центр
стереографической проекции должен совпадать с одной из точек пе-
ресечения обеих окружностей инверсии.
Итак, центром искомой стереографической проекции служит одна
пз точек пересечения с данным шаром прямой D, соединяющей по-
люсы обеих данных инверсий, а если прямая D тара не пересекает,
то одна из точек пересечения с данным шаром взаимной поляры этой
прямой D.
779. Если две взаимно обратные фигуры на плоскости представ-
ляют собой стереографическую проекцию двух взаимно обратных
фигур на шаре, то окружность инверсии с на плоскости (если, ко-
нечно, она существует) есть проекция окружности инверсии С на
шаре, так как каждая из окружностей с и С есть геометрическое
место точек, совпадающих со своими соответственными.
Если в стереографической проекции получаются две фигуры, сим-
метричные относительно прямой, то окружность с обращается в пря-
мою линию и, следовательно, центр проекции лежит на окружности С.
Геометрическое место искомых центров стереографической проекции
есть окружность С (если, конечно, данная инверсия имеет окружность
инверсии).
780. Если две взаимно обратные фигуры на шаре преобразуются
с помощью стереографической проекции в две фигуры на плоскости,
симметричные относительно прямой, то центр проекции лежит на
окружности инверсии, преобразующей две данные фигуры одну в
другую (ср. решение упр. 779).
Следовательно, окружности всех инверсий, обладающих требуемым
свойством, проходят через центр стереографической проекции, а по-
тому искомое геометрическое место полюсов этих инверсий есть каса-
тельная плоскость к данному шару в центре стереографической про-
екции.
781. Две фигуры, лежащие на одном шаре п соответствующие
одна другой в инверсии с полюсом в данной точке Р, преобразуются
646
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
с помощью стереографической проекции с центром в данной точке S
в две взаимно обратные фигуры на плоскости. Полюсом соответству-
ющей инверсии на плоскости служит, как легко видеть, точка пере-
сечения р прямой SP с плоскостью проекции.
Отсюда следует, что искомым геометрическим местом полюсов Р
инверсий в пространстве при заданных точках S (центр стереогра-
фической проекции) и р (полюс инверсии на плоскости) будет пря-
мая Sp.
782. Касательные к данному шару, проходящие через данную
точку, преобразуются с помощью произвольной инверсии в окруж-
ности, касающиеся преобразованного шара и проходящие через две
общие точки, а именно через точку, обратную данной, и через по-
люс инверсии. Диаметр данного шара, проходящий через данную
точку, преобразуется в окружность, пересекающую преобразованный
шар под прямым углом и проходящую через те же две точки. Так
как угол между двумя прямыми равен углу между обратными им
окружностями, то мы получаем следующее предложение:
Все окружности, касающиеся данного шара и проходящие че-
рез две данные точки, образуют равные углы с окружностью, пе-
ресекающей данный шар под прямым углом и проходящей через
те же две точки (ср. Пл., упр. 260).
783. Так как каждая точка радикальной плоскости двух шаров
имеет относительно обоих шаров равные степени, то касательные к
обоим шарам, проведённые из какой-либо точки радикальной плоско-
сти, внешней по отношению к данным шарам, между собой равны.
Отсюда и следует, что отрезок любой общей касательной к двум
шарам, заключённый между точками касания, делится радикаль-
ной плоскостью пополам.
Общие касательные к двум данным шарам преобразуются с по-
мощью произвольной инверсии в окружности С, касающиеся обоих
преобразованных шаров и проходящие через одну и ту же точку, а
именно через полюс Р инверсии; точки прикосновения общих каса-
тельных к двум данным шарам преобразуются при этом в точки при-
косновения этих окружностей к двум преобразованным шарам. Ради-
кальная плоскость двух данных шаров преобразуется с помощью той
же инверсии в некоторый шар S, имеющий с двумя преобразованными
шарами общую радикальную плоскость (ср обобщение Пл., упр. 245
в решении упр. 760, примечание) и проходящий через точку Р—по-
люс инверсии. Середина отрезка общей касательной гармонически
сопряжена относительно её обеих точек касания с точкой, лежащей
в бесконечности (Пл., п. 111). Так как сложное отношение четырёх
точек одной окружности пли одной прямой не изменяется при инвер-
сии, то точка пересечения какой-либо окружности С с шаром S и
полюс Р рассматриваемой инверсии гармонически сопряжены относи-
тельно точек касания окружности С с обеими шарами, обратными
данным.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА !
647
Обратно, пусть даны три тара, имеющие общую радикальную
плоскость, п некоторая окружность, касающаяся двух из этих трёх
шаров и пересекающая третий. Выполняя инверсию с полюсом в од-
ной из точек Пересечения (и произвольной степенью), мы получим
два шара, их радикальную плоскость и одну из общих касательных
к двум шарам. Таким образом, мы получим следующее предложение:
Если некоторая окружность касается двух из трёх данных
шаров, имеющих общую радикальную плоскость, и пересекает тре-
тий, то точки её пересечения с последним шаром гармонически
сопряжены относительно точек её касания с двумя первыми.
784. Всякий шар, касающийся одинаковым образом двух данных
шаров, касается их в двух точках Л1 и М, соответствующих друг
другу в той инверсии с полюсом во внешнем центре подобия 5обоих
шаров, которая преобразует их друг в друга (п. 520). Данная точка А,
лежащая на линии пересечения обоих данных шаров, преобразуется
той же инверсией сама в себя (так как она лежит на шаре инверсии).
Следовательно, имеет место равенство SM • SM' = 5712. Это равенство
и показывает, что окружность A AIM’ касается в точке А прямой 6’Л.
785. Три шара, пересекающиеся попарно по трём окружностям,
могут 1) иметь две общие точки; 2) иметь только одну общую
точку; 3) вовсе не иметь общих точек. Рассмотрим эти три случая
по порядку.
1) Пусть три данных шара имеют две общие точки. Инверсия
I с полюсом в одной из этих двух точек (и произвольной степенью)
преобразует три данных шара и три окружности С, С'и С" соответственно
в плоскости граней и рёбра некоторого трёхгранного угла (вместе с
их продолжениями). Точки, равноудалённые от трёх его рёбер, рас-
положены на четырёх прямых (упр. 489,2°). Каждая такая точка слу-
жит центром шара, касающегося всех трёх рёбер трёхгранвого угла.
Таким образом, получается четыре семейства шаров 5, касающихся
ребер трёхгранного угла. Выполняя над шарами S инверсию /, полу-
чим четыре семейства шаров S.
Все шары 5 с центрами на одной и той же из четырёх прямых
имеют в точках одного из рёбер трёхгранного угла общую каса;еди-
ную плоскость, так как радиусы, проведённые в точки касания, па-
раллельны между собой. Отсюда следует, что все шары S одного
семейства касаются в точках окружности С одного и того же шара
(обратного общей касательной плоскости), и то же имеет место как
для точек окружности С, так и для точек окружности С".
Если через точки касания каждого из шаров S одного семейства
с рёбрами трёхгранного угла провести плоскости, то все эти плоско-
сти, очевидно, параллельны (так как они отсекают на рёбрах трёх-
гранного угла пропорциональные отрезки). Отсюда следует, что все
шары X, о кет )рых говорится в условии, касаются друг друга в по-
люсе инверсии—общей точке трёх данных шаров.
648
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
2) Пусть три данных шара имеют только одну точку. Инверсия /
с полюсом в этой точке (и произвольной степенью) преобразует три
данных шара и три окружности С, С и С" соответственно в грани
и рёбра некоторой треугольной призматической поверхности. Геомет-
рическое место точек, равноудалённых от трёх рёбер последней,
есть прямая линия (вытекает пз второй половины решения упр. 443).
Таким образом, получается одно семейство шаров S, касающихся
рёбер призматической поверхности, и, следовательно, одно семейство
шаров S.
Как и в первом случае, докажем, что все шары S касаются в
точках окружности С одного и того же шара, и то же имеет место
как для окружности С. так и для окружности С".
Если через точки касания каждого из шаров S с рёбрами приз-
матической поверхности провести плоскость, то все эти плоскости,
очевидно, параллельны, и мы опять получаем семейство шаров 1,
касающихся друг друга в пх общей точке.
Черт. 472.
Кроме шаров 5, о которых говорилось выше, в этом случае су-
ществует ещё бесчисленное множество шаров, касающихся трёх
окружностей С, С и С" в пх общей точке касания (инверсия / пре-
образует пх в плоскости, параллельные рёбрам призматической по-
верхности).
3) Пусть три данных шара не имеют общих точек. Инверсия / с
полюсом в одной пз точек той окружности, о которой говорится в
упражнении 710 (и произвольной степенью), преобразует три данных
шара в три шара с центрами на одной прямой, так как все шары,
ортогональные к трём данным, инверсия I преобразует в плоскости.
Следовательно, три данные окружности С, С и С" преобразуются в
три окружности, имеющие общую ось. Обозначим через АВ, А'В' и
А~В" какие-либо три параллельных диаметра этих трёх преобразован-
ных окружностей (черт. 472) Шары, имеющие своими большими кру-
гами соответственно окружности ДА'А", АВ'А", АА'В" и АВ'В", каса-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I В 19
ются всех трёх данных окружностей (один из этих шаров может
обращаться в тоскость). Вращая эти четыре шара около общей осн
трёх преобразованных окружностей, мы получим четыре семейства
шаров 5, касающихся трёх преобразованных окружностей. Выполняя
инверсию /, получим четыре семейства шаров 5.
Все шары 5 одного семейства, очевидно, касаются в точках окруж-
ности, имеющей АВ своим диаметром, одного и того же шара. От-
сюда следует, что все шары S одного семейства касаются в точках
окружности С одного и того же шара, и то же имеет место как д.ад
точек окружности С', так и для точек окружности С".
Мы видим, таким образом, что случай трёх шаров, имеющих
только одну общую точку, представляет исключение из общего пра-
вила; в этом случае нельзя говорить о четырёх семействах шаров,
касающихся трёх данных окружностей С, С и С".
786. Рассмотрим в последовательном порядке те предложения,
которые соответствуют предложениям, приведённым в каждом и i
упражнений 487 -— 492.
Упражнение 487. Плоскости граней трёхгранного угла преоб-
разуются с помощью произвольной инверсии в три шара, имеющих
две общие точки. Бнссектральные плоскости двугранных углов, обра
зованных плоскостями граней, переходят при этом в шары, каждый из
которых проходит через линию пересечения двух шаров и делит по-
полам углы между ними; такой шар мы будем называть биссектраль-
чым шаром двух шаров.
Теорема, приведённая в упражнении 487, непосредственно приво-
дит к следующему предложению:
I. Если три шара имеют две общие точки, то шесть биссект-
ральных шаров этих шаров, взятых попарно, проходят через че-
тыре окружности.
Четыре прямые, по которым пересекаются по три бнссектральные
плоскости двугранных углов трёхгранного угла и углов, с ними смеж-
ных, представляют собой геометрическое место точек, равноудалённых
от трёх плоскостей граней трёхгранного угла. Иначе можно сказать,
что эти четыре прямые представляют собой геометрическое
место центров шаров, касающихся трёх плоскостей (ср. упр. 698).
Наконец, ещё иначе можно сказать, что всякий шар, касающийся
трёх плоскостей граней трёхгранного угла, пересекает под прямым
углом одну из четырёх прямых, о которых идёт речь
Преобразуя последнее предложение с помощью произвольной
инверсии, приходим непосредственно к следующему результату:
II. Всякий шар, который касается трёх данных шаров, имею-
щих две общие точки, пересекает под прямым углом одну из
тех четырёх окружностей, о которых говорится в предложении I.
До сих пор мы рассматривали три шара, имеющих две общие
точки. Чтобы перейти к случаю трёх произвольных шаров, центры
650
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
которых не лежат на одной прямой (эта оговорка в дальнейшем пов-
торяться не будет), воспользуемся следующими соображениями.
Каждый из двух биссектральных шаров двух данных пересекаю-
щихся шаров есть, очевидно, шар инверсии, преобразующей эти
шары один в другой. Полюсами этих двух инверсий, т. е. центрами
биссектральных шаров, будут центры подобия данных шаров. Если
два шара не имеют общих точек, то существует только одни шар,
инверсия относительно которого преобразует данные шары один в
другой; этот шар естественно назвать биссектральным шаром двух
данных шаров (ср. Пл., и. 321). Если данные шары расположены
один вне другого (один внутри другого), то центром этого шара
будет их внешний (соответственно — внутренний) центр подобия. Ана-
логичное положение имеет место и для двух шаров, касающихся
друг друга. Заметим далее, что три шара, проходящие через одну
окружность, можно рассматривать как частный случай трёх шаров,
имеющих общую радикальную плоскость.
Мы можем теперь сформулировать следующее предложение, явля-
ющееся обобщением предложения I на случай трёх произвольных шаров.
1а. Если три шара, инверсии относительно которых преобразуют
три данных шара, взятых попарно, друг в друга, выбраны так, что
их центры лежат на одной прямой, то зти три шара инверсии
имеют общую радикальную плоскость.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответ-
ствующей теоремы для трёх окружностей на плоскости (Пл., задача 276).
Пусть Sj, S2 и S3 — три данных шара; S23, 513 и S12— шары
инверсий, преобразующих соответственно S2 в S3, S3 в Sj и Sj в S2.
Эти шары выбраны так, что их центры лежат на одной оси подобия
данных шаров.
Всякий шар, ортогональный одновременно к шарам S2 и £23, пре-
образуется в себя инверсией относительно шара ^зз 11 потому будет
ортогонален и к шару S3; следовательно, три шара S2, S3 и ^зз имеют
общую радикальную плоскость (ср. Пл., п. 228). Эта радикальная
плоскость проходит через радикальную ось трёх данных шаров. Поэтому
произвольная точка этой радикальной оси имеет относительно шара ^зз
ту же степень, что и относительно каждого из данных шаров. То же
имеет место и для каждого пз шаров S]3 и £12. Следовательно, об-
щей радикальной плоскостью шаров S23, 213 и SI2 служит плоскость,
проходящая через радикальную ось трёх данных шаров и перпенди-
кулярная к той их оси подобия, на которой лежат центры трёх ша-
ров 2.
Предложение 1а можно доказать и с помощью предложения, при-
ведённого в упражнении 771, но лишь для того случая, когда какие-
либо два из трёх шаров инверсии пересекаются-, пусть это будут шары
'12 и 2j3.
Примем за полюс инверсии с произвольной степенью одну из общих
точек шаров 212 11 Sis- в СИЛУ сказанного в решении упражнения 771,
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
651
шары St, S2 и S3 преобразуются этой инверсией в три равных шара
S', S' и S',; шары инверсии 2]2 и У13—в радикальные плоскости
(т. е. плоскости симметрии) соответственно шаров S^, S.', и S', S3. Так-
как через линию пересечения двух последних плоскостей проходит и
радикальная плоскость (т. е. плоскость симметрии) шаров S^ и S', то
через линию пересечения шаров S12 и Х|3 проходит и шар S2s.
До сих пор мы предполагали, что три инверсии, упоминаемые
в предложении 1а, имеют шары инверсии. Можно, однако, пойти ещё
далее и следующим образом обобщить предложение 1а на тот случай,
когда среди трёх инверсий, о которых идёт речь, имеются инверсии
с отрицательной степенью.
Если шары трёх инверсий имеют общую радикальную плоскость,
то всякий шар, который преобразуется в себя двумя из трёх инверсий,
будет преобразовываться в себя и третьей инверсией; обратно, если
последнее свойство имеет место, то шары трёх инверсий имеют общую
радикальную плоскость. В самом деле, всякий шар, который преобра-
зуется в себя двумя из данных инверсий, будет ортогонален к двум
шарам инверсии; следовательно, он будет ортогонален и к третьему
шару инверсии, имеющему с двумя первыми общую радикальную пло-
скость. Это замечание даёт возможность сформулировать следующее
предложение, обобщающее предложение 1а
lb. Если три инверсии, преобразующие три данных шара, взя-
тых попарно, друг в друга, выбраны так, что их полюсы лежат
на одной оси подобия, то всякий шар, который преобразуется
в себя двумя из этих инверсий, преобразуется в себя и третьей.
Следующее доказательство этого предложения можно рассматривать
как обобщение первого из доказательств предложения 1а, приведён-
ных выше.
Пусть Sj, S2 и S3 — три данных шара; /23, /13 и /12 — инверсии,
преобразующие соответственно S2 в S3, S3 в Si и S( в S2. Эти инвер-
сии выбраны так, что их полюсы лежат на одной оси подобия данных
шаров. В силу сказанного в решении упражнения 763, существует
бесчисленное множество шаров каждый из которых преобразуется
в себя как инверсией /|3, так и инверсией /12. Центры всех этих шаров
лежат в одной и той же плоскости А/, перпендикулярной к соответ-
ствующей осп подобия. Плоскость М проходит через радикальную
ось трёх данных шаров, так как всякий шар, ортогональный к трём
данным, преобразуется в себя как инверсией /13, так и инверсией /12.
Аналогично, существует бесчисленное множество шаров S2, каждый
из которых преобразуется в себя как инверсией /12, так и инверсией /23.
Центры этих шаров, также лежат в одной плоскости, проходящей
через радикальную ось трёх данных шаров и перпендикулярной к рас-
сматриваемой оси подобия, т. е. в той же плоскости /И, что и выше.
Каждый шар совпадает с концентрическим с ним шаром J]2, и
обратно, так как степень полюса инверсии 112 относительно каждого
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
из этих шаров равна степени самой инверсии /|2. Тем самым предло-
жение 1b доказано.
Переходим к обобщению на случай трех произвольных шаров пред-
ложения И. Всякий шар, пересекающий под прямым углом одну из
тех окружностей, о которых говорится в предложении I, ортогонален
к трём проходящим через неё бнссектральным шарам. В более общем
случае можно рассматривать шары, ортогональные к шарам трёх ин-
версий, преобразующих три данных шара, взятых попарно, друг в друга
и имеющих своими полюсами три центра подобия данных шаров, ле-
жащие на одной оси подобия. В самом общем случае можно говорить
о шарах, которые преобразуются в себя каждой из этих трёх инверсий
(независимо от того, имеют ли они шары инверсии).
Итак, мы приходим к следующему обобщению предложения II
Па. Всякий шар, касающийся трёх данных, преобразуется в себя,
каждой из трёх инверсий, преобразующих данные шары, взятые
попарно, друг в друга и имеющих своими полюсами три центра
подобия данных шаров, лежащие на одной из их осей подобия.
Доказательство этого предложения не представляет затруднений.
Всякий шар, касающийся трёх данных шаров Sp S2 и Sa, касается
шаров S2 и S, в двух точках, антпгомологическнх относительно одного
из их центров подобия S2s. Следовательно, этот шар преобразуется
в себя инверсией с полюсом S2;!, преобразующей шар S2 в S3. По
аналогичной причине тот же шар преобразуется в себя и одной из
инверсий, преобразующих шар S, в S3. В силу предложения 1Ь, тог
же шар преобразуется в себя и третьей инверсией, о которой говорится
в формулировке теоремы.
Упражнение 488. Шесть биссектральных плоскостей двугран-
ных углов трёхгранного угла и углов, с ними смежных, преобразуются
с помощью произвольной инверсии в шесть биссектральных шаров
трех преобразованных шаров, взятых попарно (см. сказанное выше по
поводу обобщения упр. 487). При этом три бнссектральные плоскости
самых двугранных углов (а также биссектральная плоскость одного из
двугранных углов и бнссектральные плоскости углов, смежных с двумя
другими двугранными углами трёхгранного угла) преобразуются в три
биссектральных шара, проходящих через одну окружность. Бис-
сектральные плоскости трёх углов, смежных с двугранными углами
трёхгранного угла (а также биссектральная плоскость угла, смежного
с одним из двугранных углов трёхгранного угла, и бнссектральные
плоскости двух других его двугранных углов) преобразуются в три
биссектральных шара, не проходящие через одну окружность.
Теорема, приведённая в упражнении 488, непосредственно приво-
дит к следующему предложению:
III. Если три шара имеют две общие точки и три биссектраль-
ных шара этих трёх шаров, взятых попарно, выбраны так, что
они не проходят через одну окружность, то три окружности,
лежащие соответственно на трёх выбранных биссектральных ша-
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I G53
рах, проходящие через две общие точки данных шаров и пересекаю-
щие пос) прямым углом соответствующие линии попарного пересе-
чения трёх данных шаров, лежат на одном шаре, пересекающем
три данных под равными углами.
Прежде чем обобщить это предложение на случай любых трёх попарно
пересекающихся шаров, рассмотрим случай двух пересекающихся шаров. Вос-
пользуемся предложением, приведённым в примечании к решению упражне-
ния 456. Преобразуя плоскости, о которых там говорится, с помощью произ-
вольной инверсии, мы непосредственно придём к следующему предложению:
IV. Если некоторый шар, пересекающий под равными углами два данных
пересекающихся шара, пересекает и линию их пересечения, то он пересе-
кает один из биссектральных шаров двух данных шаров по окружности,
образующей с линией пересечения данных шаров прямой угол.
Переходя к любым трём попарно пересекающимся шарам, сформу-
лируем следующее предложение, аналогичное последнему предложе-
нию, приведённому в решении упражнения 488. Его можно рассматри-
вать как обобщение предложения III.
111а. Если некоторый шар, пересекающий под равными углами
три данных попарно пересекающихся шара, пересекает все туи
линии попарного пересечения данных шаров, то он пересекает не-
которые три биссектральных шара данных шаров, взятых попарно,
по окружностям, образующим с линиями попарного пересечения
данных шаров прямые углы.
Эти три биссектральных шара данных шаров не имеют общей
радикальной плоскости.
Первая половина этого предложения непосредственно вытекает из пред-
ложения IV. Доказать его полностью можно следующим образом.
Пусть шар У, пересекающий под равными углами три данных
попарно пересекающихся шара, пересекает три линии их попарного
пересечения. Так как шар L пересекает шары Sz и 53 под равными
углами, то он преобразуется в себя одной из инверсий, преобразую
щпх шар S2 в 53 (и. 522), и потому ортогонален к одному из бис-
сектральных шаров данных шаров S2 и S.,; обозначим этот бнссектраль
ный шар через 223. По аналогичной причине шар i ортогонален
к одному из биссектральных шаров данных шаров <5’, н S3, который
мы обозначим через 213. Следовательно, шар 1' будет ортогонален
и к одному из биссектральных шаров данных шаров 5| и S2, а именно
к шару Х12, имеющему с i23 и ^13 общую радикальную плоскость.
Обозначим через 1'*з, и отличные от ^23, 1'(3 и 1’12 бнссек-
тральные шары данных шаров, взятых попарно. Три шара —2з, 1’13 п 212
не имеют общей радикальной плоскости.
Так как шары 2 и 2Йз оба ортогональны к 1'23, то и линия пх
пересечения Г\ образует с шаром S23 прямой угол. Иначе говоря,
шар пересекает шар М2з по окружности Гь образующей с шаром
654
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
прямой угол. Следовательно, окружность образует прямые углы со
всеми окружностями, лежащими на шаре S2s 11 проходящими через
точки её пересечения с этим шаром, в том числе и с линией пересе-
чения шаров S2 и S3.
Итак, шар S пересекает шар S03 по окружности, образующей
с линией пересечения шаров S2 и S3 прямой угол. Аналогичными свой-
ствами шар S обладает, конечно, и по отношению к шарам и i12.
Так как шары Х*з, S13 и Si2 не имеют общей радикальной плоскости,
то теорема доказана полностью.
Упражнение 489,1°. Начнём со следующего предварительного
замечания.
Пусть даны две пересекающиеся окружности, лежащие на некото-
ром шаре. Две окружности, лежащие на том же шаре, проходящие
через точки пересечения двух данных и делящие пополам углы между
ними, будем называть биссектральными
окружностями двух данных окружностей
(черт. 473).
Как уже было отмечено выше, плоско-
сти граней трёхгранного угла преобразуют-
ся с помощью произвольной инверсии в три
шара, имеющие две общие точки. Прямые,
по которым пересекаются плоскости граней,
преобразуются при этом в окружности,
по которым попарно пересекаются эти три
шара. Биссектрисы плоских углов трёх-
гранного угла и углов, с ними смежных,
преобразуются, очевидно, в биссектральные
окружности линий попарного пересечения
данных шаров. Теорема, приведённая в упражнении 489,1°, непосред-
ственно приводит к следующему предложению:
V. Если три шара имеют две общие точки, то шесть биссек-
тральных окружностей линий попарного пересечения этих шаров
лежат по три на четырёх шарах, образующих с линиями попарного
пересечения данных шаров равные углы.
Чтобы установить более точно, какие именно из шести биссектральных
окружностей лежат на одном шаре, выберем произвольно положительные на-
правления на линиях попарного пересечения данных шаров. Выполняя инвер-
сию с полюсом в одной из общих точек трёх шаров и произвольной степенью,
убедимся, что такой выбор соответствует произвольному выбору положительных
направлений на линиях попарного пересечения трёх плоскостей, проходящих
через одну точку, т. е. произвольному выбору одного из восьми образованных
ими трёхгранных углов.
Ту из биссектральных окружностей, которая делит пополам угол между
двумя данными направленными окружностями и угол, ему вертикальный,
назовём собственной биссектральной окружностью двух направленных окруж-
ностей, другую — несобственной (черт. 473). Собственным (несобственным) бис.
сектральпым окружностям направленных линий пересечения трёх шаров соот.
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
655
ветствуют в инверсии биссектрисы плоских углов выбранного трёхгранного
угла (биссектрисы плоских углов, с ними смежных).
Таким образом, получается следующее уточнение предложения V;
Va. Если три шара имеют две общие точки и на линиях их попарного
пересечения выбрать произвольно положительные направления, то три не-
собственные биссектральные окружности линий пересечения, взятых по-
парно, лежат на одном шаре: то же свойство имеет место, если взять
собственные биссектральные окружности двух пар линий пересечения и не-
собственную биссектральную окружность третьей пары; каждый из полу-
ченных таким образом четырёх шаров образует с линиями попарного
пересечения данных шаров равные углы.
Из предложения, приведённого в примечании к решению упражне-
ния 489,1°, непосредственно вытекает (если выполнить произвольную
инверсию) следующее предложение, которое можно рассматривать как
обобщение предложения V:
Vb. Если три шара имеют две общие точки, то всякий шар,
проходящий через одну из их общих точек и образующий с линиями
их попарного пересечения равные углы, пересекает каждый из трёх
данных шаров по окружности, образующей с линиями пересечения
этого шара с двумя другими данными шарами равные углы.
До сих пор мы рассматривали три шара, имеющие две общие
точки. Предложение Vb следующим образом обобщается на случай
любых трёх попарно пересекающихся шаров:
Vc. Если три шара попарно пересекаются, то всякий шар, обра-
зующий с линиями их попарного пересечения равные углы, пересе-
кает каждый из трёх данных шаров по окружности, образующей
с линиями пересечения этого шара с двумя другими данными шарами
; авчые углы.
Переходим к доказательству этого предложения. Пусть <Sj, S2, S3—
три данных попарно пересекающихся шара; С2, С3— линии пере-
сечения соответственно шаров S2 и S3, S3 и Sj и S2. Обозначим
через 2 (черт. 474) какой-либо шар, образующий с окружностями CL, С2
и С3 равные углы, через 1\—линию его пересечения с шаром Slt
через А2 и Д3 — точки его пересечения с окружностями С2 и С3, через
А2Т2 и Д37’3 — касательные к’окружностям С2 и С3 в точках А2 и Д3,
через Д2т2 н Д3т3— касательные к окружности 1\ в тех же точках и
через а2 и а3 — касательные плоскости к шару 2 в тех же точках.
Направления А2Т2, А3Т3, А2х2 и Д3т3 на касательных выберем так,
чтобы оба угла Т2А2~2 и были острыми. Пусть, наконец, A2t2 и
А/3 (черт. 475) — проекции лучей А2Т2 и ASTS соответственно на
плоскости а2 и а3.
Рассмотрим трёхгранные углы Л27’2/2т, и A3Tst3Ts. В этих трёхгран-
ных углах двугранные углы при рёбрах A2t2 и /3/3 прямые (так как
A2t2 и A3t3 —проекции лучей А2Т2 и А3Т3 на плоскости а2 11 аз)>
двугранные углы при рёбрах Л2“2 и Д3т3 равны (так как каждый из
них есть угол между шарами 5] и 2), плоские углы T2A2t2 и TsA3ts
также равны (так как каждый из них равен углу между шаром 2 и
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
соответственно окружностью С2 и С3), плоские углы Т2А2~2 и ГдЛ/Тд
оба острые. Отсюда можно заключить *)> что трёхгранные углы A2T2t2z2
и Л37узт3 равны или симметричны; следовательно, плоские углы T2A2z2
п T’gXjjTg равны, что и доказывает теорему.
Упражнение 489,2°. Преобразуя с помощью произвольной ин-
версии данный трёхгранный угол и принимая во внимание сказанное
выше, мы непосредственно получим из теоремы, приведённой в упраж-
нении 489,2°, следующее предложение:
VI. Если три шара имеют две общие точки, то шесть шаров.
каждый из которых ортогонален к одному из данных шаров и про-
Черт. 474.
ходит через одну из биссектраль-
ных окружностей линий его пере-
сечения с двумя другими данными
шарами, проходят по три через че-
тыре окружности. Каждая из этих
четырёх окружностей образует
прямой угол с одним из шаров,
рассматриваемых в предложении V.
Черт. 475.
Чтобы установить более точно, какие именно из шести шаров, о которых
идёт речь, проходят через одну окружность, воспользуемся сказанным выше
при выводе предложения Va. Мы без труда получим следующее предложение:
Via. Если три шара имеют две общие точки и на окружностях, по
которым они попарно пересекаются, выбрать произвольно положительные
направления, то три шара, каждый из которых ортогонален к одному из
данных шаров и проходит через собственную биссектральную окружность
линий его пересечения с двумя другими данными шарами, проходят через
') Проще всего воспользоваться следующим признаком равенства прямо-
угольных трёхгранпых углов:
Если один из отличных от прямого двугранных углов первого прямо-
угольного трёхгранного угла равен одному из двугранных углов второго, ка-
теты обоих трёхгранных углов, противолежащие этим двугранным углам,
равны и гипотенузы обоих трёхгранных углов представляют собой обе ост-
рые углы или обе тупые углы, то трёхгранные углы равны или симметричны
(ср. решение уир. 499, построение /, примечание).
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
657
одну окружность; то же свойство имеет место, если взять несобственные
биссектральные окружности двух пар линий пересечения данных шаров а
собственную биссектральную окружность третьей пары.
Четыре прямые, о которых идёт речь в упражнении 489,2°, пред-
ставляют собой геометрическое место точек, равноудалённых от трёх
рёбер трёхгранного угла (конечно, вместе с их продолжениями). Иначе
можно сказать, что эти четыре прямые служат геометрическим ме-
стом центров шаров, касающихся трёх рёбер. Наконец, ещё иначе
можно сказать, что всякий шар, касающийся трёх рёбер трёхгран-
ного угла (или их продолжений), пересекает под прямым углом
одну из четырёх прямых, о которых идёт речь.
Преобразуя последнее предложение с помощью произвольной инвер-
сии, приходим непосредственно к следующему результату:
VII. Всякий шар, который касается трёх линий попарного пере-
сечения трёх шаров, имеющих две общие точки, пересекает под
прямым углом одну из тех четырёх окружностей, о которых го-
ворится в предложении VI.
Прежде чем пойти далее, докажем следующее вспомогательное
предложение:
Если три шара попарно пересекаются и никакие две из линий пере-
сечения не касаются друг друга, то полюсы шести инверсий, преобра-
зующих эти линии пересечения, взятые попарно, друг в друга, ле-
жат по три на четырёх прямых.
Пусть Sj, S2 и S3 -три данных шара; Clt С2 и Cs — линии пере-
сечения соответственно шаров S2 и S3, S3 и и S2. Обозначим
через Aj и Bj точки пересечения окружности Q с плоскостью центров
данных шаров (изображённой на черт. 476); аналогично обозначим
через А2, В2 и через А3, В3 точки пересечения окружностей С2 и С3
с той же плоскостью.
Одна-из двух инверсий, преобразующих окружность С2 в (^пре-
образует, очевидно, точку А2 в А3 и точку В2 в В3, другая — точку
А2 в В3 и точку Л3 в В2. Поэтому полюсами обеих инверсий будут
соответственно точка пересечения Р23 прямых Л2Л3 и В2В3 и (не по-
казанная на чертеже) точка пересечения Р2з прямых Л2В3 и ^2/3.
Аналогично определяются полюсы четырёх других инверсий, преобра-
зующих окружность С3 в С], а также окружность Cj в С2; из них на
чертеже показаны точка пересечения Р13 прямых А^А3 и В}В3 и точка
пересечения Р}2 прямых Aj212 и ВгВ2 (не показаны точка переселе-
ния Рп прямых А]В3 и /?1Л3 и точка пересечения Р12 прямых А}В,
и В,Д>).
Рассмотрим треугольники AtA2A3 и В}В2В3. Прямые A^Bt, А,В2 и
А?В?, соединяющие соответственные вершины, проходят через одну
точку как радикальные оси трёх окружностей, взятых попарно. Следо-
вательно, в силу теоремы о гомологических треугольниках геомет-
рии на плоскости (Пл., п. 195), точки пересечения Р2з, Р13 и Р12
42
Элементарная геометрия, ч. II
658
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
соответственных сторон лежат на одной прямой. То же имеет место
для точек i°2s, Р13 и Р12 (треугольники ВХА2А2 и АгВ2В^, а также для
точек Р*з, и ^*12 (треугольники А{В2А2 и Bi42B3) и для точек
Р&, Р13 и Р12 (треугольники AjA2Bs и BjB2As).
Чтобы перейти теперь от случая шаров, имеющих две общие точки,
к случаю любых трёх попарно пересекающихся шаров, мы следующим
образом распространим понятие биссектральной окружности на любые
две окружности, лежащие на одном шаре.
Черт. 476.
Если две окружности, лежащие на одном шаре, пересекаются, то
их биссектральные окружности (в смысле, установленном выше) пред-
ставляют собой окружности тех инверсий на шаре, которые преобра-
зуют данные окружности одну в другую. Это определение мы рас-
пространим и на общий случай; биссектральной окружностью двух
любых окружностей, лежащих на одном шаре, будем называть окруж-
ность, инверсия относительно которой преобразует данные окружности
отну в другую. Если данные окружности пересекаются, то мы полу-
чаем две биссектральные окружности в прежнем смысле слова; если
данные окружности не имеют общих точек, то мы получаем только
одну биссектральную окружность, так как из двух инверсий, преоб-
разующих эти окружности одну в другую, только одна имеет в этом
случае шар инверсии; наконец, если данные окружности касаются одна
другой, то существует только одна инверсия, преобразующая одну из
данных окружностей в другую, и эта инверсия имеет окружность ин-
версии.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
659
Мы можем теперь сформулировать следующее предложение, не-
которое можно рассматривать как обобщение предложения VI:
VIb. Если три шара, инверсии относительно которых преоб-
разуют взятые по две линии пересечения трёх данных попарно
пересекающихся шаров друг в друга, выбраны так, что их центры
лежат на одной прямой, то эти три шара имеют общую ради-
кальную плоскость.
Доказательство этого предложения аналогично доказательству
предложения 1а.
Пусть Sp S2. Ss — три данных попарно пересекающихся шара;
С], С2, Cs — линии пересечения соответственно шаров S2 и S8 и
Sj и S2. Полюсы шести инверсий, преобразующих окружности
С2 и С3, взятые попарно, друг в друга (мы предполагаем, что ника-
кие две из этих окружностей не касаются друг друга), лежат, как
было показано выше, по три на четырёх прямых. Мы предполагаем,
что какие-либо три из этих инверсий, полюсы которых лежат на од-
ной прямой, имеют шары инверсии; обозначим через 223, 213,
шары инверсий, преобразующих соответственно С2 в С3, С3 в
С, в С2.
Всякий шар, ортогональный одновременно к шарам Su S2 и Х23,
а следовательно и к окружности С3, преобразуется инверсией отно-
сительно шара S2S в себя, и потому будет ортогонален и к окруж-
ности С2, а значит и к шару S3. Поэтому четыре шара Slt S2, Ss и 22g
имеют общую радикальную ось, совпадающую с радикальной осью
данных шаров. Произвольная точка этой радикальной оси имеет от-
носительно шара S23 ту же степень, что и относительно каждого из
данных шаров. То же имеет место и для шаров S13 и SJ2. Следова-
тельно, общей радикальной плоскостью шаров S2s> 218 и S12 служит
плоскость, перпендикулярная к их линии центров и проходящая че-
рез радикальную ось трёх данных шаров S1, S2 и S3.
До сих пор мы предполагали, что три инверсии, о которых идёт
речь, имеют шары инверсии. Можно, однако, пойти ещё далее н
обобщить предложение Vlb на тот случай, когда среди трёх инвер-
сий имеются инверсии с отрицательной степенью, тем же путём,
каким мы перешли от предложения 1а к предложению 1b. Получим
следующее предложение:
Vic. Если три инверсии, преобразующие взятые по две линии
пересечения трёх данных попарно пересекающихся шаров друг в
друга, выбраны так, что их полюсы лежат на одной прямой,
по всякий шар, который преобразуется в себя двумя из этих
трёх инверсий, преобразуется в себя и третьей.
Пусть Sj, S2 и S3 — три данных попарно пересекающихся шара;
Cj, С2 и С3, как и выше, — линии их попарного пересечения; I2S, /18
и /j2—-инверсии, преобразующие соответственно С2 в С3, С8 в и
Ci в С2. Эти инверсии выбраны так, что их полюсы лежат на одной
прямой. •
42*
660
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Мы сможем повторить для данного случая дословно доказатель-
ство предложения lb, если покажем предварительно, что всякий шар,
ортогональный к трём данным, преобразуется в себя каждой из
рассматриваемых инверсий. Докажем это, например, для инвер-
сии /23.
Шар X, ортогональный к трём данным, будет пересекать под пря-
мым углом окружности С2 и С3 и потому будет пересекать данный
шар S] по некоторой окружности Г, также пересекающей С2 и С3
под прямым углом. На шаре S, окружность Г, образующая с С2 и С3
прямые углы, будет преобразовываться в себя каждой из инверсий,
преобразующих окружность С2 в С3 (ср. п. 530 и Пл., п. 227а).
Следовательно, в пространстве шар 2, проходящий через Г, будет
преобразовываться в себя каждой из инверсий, преобразующих ок-
ружность С2 в С3, в том числе и инверсией /23.
Предложение Vic можно считать доказанным.
Переходим, наконец, к обобщению на случай любых трёх попарно
пересекающихся шаров предложения VII. Рассуждая так же, как и
в переходе от предложения II к Па, мы приходим к следующему
обобщению предложения VII.
Vila. Если три шара попарно пересекаются, то всякий шар,
касающийся трёх линий пересечения, преобразуется в себя каждой
из трёх инверсий, преобразующих эпи линии пересечения, взятые
попарно, друг в друга и имеющих своими полюсами три точки,
лежащие на одной прямой.
Пусть опять 5], S2 и S8 — три данных шара; CJ( С2 и С3 — ли-
нии их попарного пересечения. Шар 2, касающийся трёх окружнос-
тей Cj, С2 и С2, пересекает шар Sj по окружности Г, очевидно,
касающейся окружностей С2 и С3. На шаре S, точки касания соот-
ветствуют доуг другу в одной из инверсий, преобразующих окруж-
ность С2 в С3 (п. 530). Следовательно, в пространстве шар 2 преоб-
разуется в себя одной из инверсий, преобразующих окружность С2
в С3. По аналогичной причине тот же шар X преобразуется в себя
и одной из инверсий, преобразующих окружность Ся в Cj. В силу
предложения Vic, шар 2 преобразуется в себя и третьей инверсией,
о которой говорится в формулировке теоремы.
Упражнение 490,1 °. Преобразуя с помощью произвольной
инверсии данный трёхгранный угол и принимая во внимание сказанное
выше, мы непосредственно получим из теоремы о трёхгранном угле,
приведённой в упражнении 490,1°, следующее предложение:
VIII. Если три шара имеют две общие точки, то шесть шаров,
каждый из которых проходит через линию пересечения двух из
данных шаров и через одну из биссектральных окружностей двух
других линий попарного пересечения данных шаров, проходят по
три через четыре окружности.
Чтобы установить боле» точно, какие именно из шести шаров, о которых
идёт речь, проходят через одну окружность, воспользуемся сказанным выше
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
661
при выводе предложения Va. Мы получим следующее уточнение предложе-
ния VIII:
Villa. Если три шара имеют две оощие точки и на окружностях, по
которым они попарно пересекаются, выбрать произвольно положительные
направления, то три шара, каждый из которых проходит через линию
пересечения двух из данных шаров и через собственную биссектральную
окружность двух других линий попарного пересечения данных шаров, про-
ходят через одну окружность; то же свойство имеет место, если взять
нгсобственные биссектральные окружности двух пар линий пересечения и
собственную биссектральную окружность третьей пары.
Упражнение 490,2°. Если выполнить над данным трёхгран-
ным углом произвольную инверсию, то плоскости его граней преоб-
разуются в три шара S2 и 5Й, имеющие две общие точки. Бис-
сектральные плоскости углов, смежных с двугранными углами трёх-
гранного угла, преобразуются в три биссектральных шара шаров
S2 и S3, взятых попарно, причём центры этих трёх биссектральных
шаров не лежат на одной оси подобия (и то же имеет место, если
взять биссектральные плоскости угла, смежного с одним из двугран-
ных углов, и биссектральные плоскости двух других двугранных
углов; ср. сказанное выше при выводе предложения III).
Таким образом, получается следующее предложение:
IX. Если три шара имеют две общие точки, то шесть окруж-
ностей, по которым каждый биссектральный шар двух данных
иаров пересекает третий данный шар, лежат по три на четырёх
шарах', три из этих шести окружностей лежат на одном шаре,
если проходящие через них биссектральные шары выбраны так, что
их центры не лежат на одной оси подобия.
Прежде чем пойти далее, рассмотрим следующее предложение:
X. Если даны две инверсии с различными полюсами и Р2 и
произвольная точка Р на прямой Р\Р2, то существует инверсия
с полюсом в точке Р, преобразующая в себя всякий шар, который
преобразуется в себя каждой из данных инверсий.
Степень этой последней инверсии вполне определяется, требова-
нием, чтобы она преобразовывала в себя какой-либо один из этих
шаров.
Обозначим через kx и k2 степени обеих данных инверсий. Центр Л1
и радиус г какого-либо шара, который преобразуется в себя каждой
из данных инверсий (такие шары существуют в силу сказанного
в решении упражнения 763), удовлетворяют, очевидно, следующим
условиям:
туи2 — r2 = kp, P2M2 — r2=k2. (П
Мы должны доказать существование такой постоянной k, что для
всякого шара М (г), удовлетворяющего условиям (1), имеет место
равенство:
Р/И2 — г2 = k. (2)
В силу сказанного в решении упражнения 218 геометрии на пло-
662
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
скости (видоизменённая теорема Стюарта), мы имеем для всякого
шара М(г), удовлетворяющего условиям (1), по абсолютной величине
и по знаку:
РЛ/Р Р2М2 — РгР- РР2} — г2 =
= • (г2 + Л,) + • (г2 + k2) - Р.Р- РР2 -г2 =
— ^2 • k I ^>1^> • k РР- РР
рхр2 *2 ' 2'
Сравнение с равенством (2) показывает, что степень k искомой
инверсии равна:
k = • А. + ££ • k2 - P.P- РР2. (3)
'1Г2 ч'г
Эту степень можно также, очевидно, определить равенством
k — PMf? — г2, где 7И0(г0)— какой-либо один из шаров, которые
преобразуются в себя каждой из двух данных инверсий.
Чтобы обобщить теперь предложение IX на случай трёх произ-
вольных шаров, придадим ему предварительно несколько иную форму.
Обозначим данные шары через Slt Ss и S3; рассматриваемые бис-
сектральные шары через S23, S18 и Sj2; наконец, последний шар,
о котором идёт речь в предложении IX, — через S. Мы можем, оче-
видно, сформулировать предложение IX следующим образом:
1Ха. Если три шара Su S2 и S8 имеют две общие точки и
шары S28, S]3 и S12, инверсии относительно которых преобразуют
данные шары, взятые попарно, друг в друга, выбраны так, что их
центры не лежат на одной оси подобия, то существует шар S,
имеющий общую радикальную плоскость с шарами S] и S28, а
также общую радикальную плоскость с шарами S3 и S13 и общую
радикальную плоскость с шарами S2 и S12.
В случае трёх произвольных шаров те инверсии, которые преоб-
разуют их попарно друг в друга, могут и не иметь шаров инверсии.
При этом требование, чтобы три шара имели общую радикальную
плоскость, можно заменить более общим требованием, чтобы всякий
шар, который преобразуется в себя двумя из трёх инверсий, преобра-
зовывался в себя и третьей (если все три инверсии имеют шары ин-
версии, то три шара иньерсии будут иметь в последнем случае общую
радикальную плоскость).
Принимая во внимание это замечание, мы сформулируем теперь
следующее обобщение предложения 1Ха:
IXb. Если три инверсии /23, /18 и /12, преобразующие три шара
S3, S2 и Ss попарно друг в друга, выбраны так, что их полюсы
не лежат на одной прямой, то существует инверсия I, обладаю-
щая следующим свойством', инверсия I преобразует в себя всякий
шар, который преобразуется в себя как инверсией относительно
шара Slt так и инверсией h,-., и аналогичными свойствами по от-
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
663
ношению к шару S2 и инверсии /13, а также по отношению к шару
St и инверсии /12.
Переходим к доказательству этого предложения. Пусть Olt О,
и 03 — центры данных шаров; гг, г2 и г3— их радиусы. Предположим
для определённости, что полюсы S28, 6’ls и S12 инверсий Ilt, /18 и
/12 совпадают с внутренними центрами подобия данных шаров, взя-
тых попарно (в случае одного внутреннего центра подобия и двух
внешних в последующее придётся внести лишь несущественное
видоизменение). В силу равенства S2sO2-.S23O3 — —rt:rt и двух
других, ему аналогичных, имеем:
S2tO2 . S13O3 _ SjjOj __.
S32Os S13O1 SI2O2
Следовательно, прямые O25i8 н OsS12 проходят через одну
точку О (Пл., п. 198). В силу предложения X, можно выбрать сте-
пень инверсии /] с полюсом в точке О так, чтобы инверсия Д преоб-
разовывала в себя всякий шар, который преобразуется в себя как
инверсией относительно шара 5, так и инверсией /28. Таким же об-
разом можно определить и две другие аналогичные инверсии /2 и
/8. Так как всякий шар, ортогональный к трём данным, преобразуете:!
в себя как инверсиями относительно каждого из шаров S2 и St,
так и каждой из инверсий /28, /19 и /12, то все три инверсии /(,
/2 и /8 имеют (в силу заключительной части предложения X) одну
и ту же степень и потому совпадают между собой. Предложение 1ХЛ
доказано.
Упражнение 491,1°. Преобразуя с помощью произвольной
инверсии данный трёхгранный угол, мы непосредственно получим и-
теоремы, сформулированной в упражнении 491,1°, следующее пред-
ложение:
XI. Если три шара имеют две общие точки, то три других
шара, каждый из которых проходит через линию пересечения двух
из данных шаров и ортогонален к третьему из них, проходят
через одну окружность.
Это предложение непосредственно распространяется на случай
любых трёх попарно пересекающихся шаров (хотя бы и не имеющих
общих точек):
Х(а. Если три шара попарно пересекаются, то три новых
шара, каждый из которых проходит через линию пересечения двух
из данных шаров и ортогонален к третьему из них, проходят
через одну окружность.
Для доказательства обозначим через Sj, S2 и S8 данные шарь-,
через Нг — шар, проходящий через линию пересечения шаров S2 11 Л’.,
и ортогональный к через Н2 и Н3 — два других аналогичных,
шара (существование и единственность каждого из шаров Нъ Н2 н
Н3 вытекают из решения упражнения 689). Шары Н2 и Н3, очевидно,
пересекаются.
664
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Выполним инверсию I с полюсом в одной из точек линии пере-
сечения шаров Н2 и Н3 и произвольной степенью. Данные шары пре-
образуются в три новых шара Sb S2 и S3; шары Н2 и Н3—в пло-
скости Н2 и Н3. При этом плоскость Hi проходит через линию пе-
ресечения шаров S3 и 6’1 и в то же время ортогональна к S2; плос-
кость Н3 обладает аналогичными свойствами. Отсюда следует, что
центр шара S2 лежит в радикальной плоскости Н2 шаров S3 и Si, а
центр шара S3— в радикальной плоскости //3 шаров S] и S2. Обозна-
чая (для простоты без штрихов) через Olt О2 и Os центры шаров
Si, S2 и S3, через гъ гг и г8— их радиусы, будем иметь, очевидно:
О^— г?=ОгО23 — г}; ОгС^ — г2 = О3О,—п,
откуда, складывая почленно, находим:
OtO2 — r22= OtO3—r3.
Последнее равенство показывает, что и центр Oj шара Si лежит
в радикальной плоскости Hi двух других шаров S2 и S3, т. е. что
эта радикальная плоскость ортогональна к шару Sj. Инверсия / пре-
образует плоскости Н2 и Н3 в шары Н2 и Н3, а плоскость Нх —
в шар, проходящий через линию пересечения шаров S2 и S8 и ор-
тогональный к Sj, т. е. в шар Н}. Так как три плоскости Hi, Н2
и Н3 проходят через одну прямую — радикальную ось шаров Si, S2
и S3,—то шары Нъ Н2 и Н3, обратные этим плоскостям, проходят
через одну окружность.
При обобщении предложений XI и Х1а на произвольные (хотя бы
и не пересекающиеся) шары мы должны естественным образом заме-
нить шар, проходящий через линию пересечения двух данных, ша-
ром, имеющим с ними общую радикальную плоскость. Однако здесь
возникает новая трудность; если данные шары S2 и Ss не пересе-
каются, то шар Hf, имекнДий с ними общую радикальную плоскость
и ортогональный к третьему данному шару Sb может существовать,
а может и не существовать; то же относится, конечно, и к двум
другим аналогичным шарам. В том частном случае, когда все эти
три шара существуют, мы получаем следующее предложение:
Xlb. Если существуют три шара, каждый из которых имеет об-
щую радикальную плоскость с двумя из данных шаров и ортого-
нален к третьему из них, то эти три шара имеют общую ра-
дикальную плоскость.
Чтобы распространить предложение Xlb на тот случай, когда не
все три упоминаемых там шара существуют, воспользуемся следую-
щими замечаниями.
Если шар Нъ имеющий общую радикальную плоскость с шарами
S2 и Sj и ортогональный к S,, существует, то инверсия /] относи-
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
ббо
тельно шара преобразует в себя всякий шар, ортогональный од-
новременно к S2 и Sg, а также шар S,. Обратно, если инверсия Д,
обладающая последними свойствами, существует и имеет шар инвер-
сии, то этот шар обладает перечисленными выше свойствами. По-
этому в общем случае вместо шара НА придётся рассматривать инвер-
сию Д. То же относится к двум другим шарам, аналогичным Нг.
Если какие-либо три шара имеют общую радикальную плоскость,
то инверсии относительно этих шаров обладают следующими свойст-
вами: полюсы трёх инверсий лежат на одной прямой, и всякий шар,
который преобразуется в себя какими-либо двумя из трёх инверсий,
преобразуется в себя и третьей (первое из этих двух свойств выте-
кает из второго).
Эти соображения приводят к следующему обобщению предложе-
ния Х!Ь:
Х1с. Если даны три шара, то существуют три инверсии, каж-
дая из которых преобразует в себя всякий шар, ортогональный
к двум из них, а также третий данный шар. Полюсы этих трёх
инверсий лежат на одной пряма; всякий шар, который преобра-
зуется в себя двумя из них, преобразуется в себя и третьей.
Мы можем ограничиться доказательством предложения Х1с: если
все три инверсии имеют шары инверсий, то предложение Х1с обра-
щается в Xlb.
Пусть Oj, О2 и О3 — центры трёх данных шаров; гь г2 и г3 —
их радиусы. Найдём инверсию Д, которая преобразует в себя всякий
шар, ортогональный к шарам О2 и О3, а также шар Ог.
В силу первого из этих свойств инверсии Д её полюс Р] должен
иметь одну и ту же степень относительно всех шаров, ортогональных
к О2 и Од. Но так как точка О2 имеет относительно всех этих ша-
ров одну и ту же степень, а именно г2, и тем же свойством обла-
дает точка Од (её степень равна г3), то все шары, ортогональные
к О2 и Од, имеют прямую О2О3 своей общей радикальной осью.
Следовательно, полюс Рг искомой инверсии Д должен лежать на пря-
мой OgOg.
Из предложения X вытекает, что всякая точка Р1 прямой О2О3
служит полюсом инверсии, которая преобразует в себя всякий шар,
ортогональный к шарам О2 и О3; степень kx этой инверсии опреде-
ляется формулой (3), стр. 662, которая в данном случае принимает
вид:
(4)
Если эта инверсия преобразует в себя и шар О1г то мы должны,
кроме того, иметь:
г\.
(5)
666
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Из двух последних равенств находим:
3— O2PJ‘P1O3 — °\р\ - П-
Заменяя здесь по видоизменённой теореме Стюарта (Пл., решение
упр. 218) (\Р{ следующим его выражением:
°‘₽;=W °' + W °'°1 -°л-р>°- 161
мы приходим к равенству:
Р/Л т г\ 2\ I ^2^1 ш г\ 2\ 2
оа* (°>°з ~ Г2>+оа • -Гз)=г’-
Подставляя, наконец, вместо 02О8 равную ему величину О2Р\ -|-
-|- Р\О3, получим после очевидных преобразований:
Р\О2 Г1-|~Л2 О-\Ръ
Нетрудно показать и обратно, что инверсия с полюсом в той точке Р,
прямой О2О8, которая определяется равенством (7), и степенью kb которая
определяется равенством (4), удовлетворяет всем поставленным условиям.
Для этого достаточно, очевидно, принять во внимание предложение X и
показать, что из равенств (4) и (7) вытекает с помощью соотношения (6' и
равенство (5).
Итак, положение полюса Рг инверсии Д на прямой О2Оа опреде-
ляется формулой (7), а её степень — формулой (4). Аналогично дока-
зывается существование двух других инверсий и определяется поло-
жение их полюсов Р2 и Ps и их степени.
Из выражения (7) для и двух аналогичных выражений для
РМ
РМ РМ
Т7РГ и ъ~л~ следует, что
A 'sC'j
РМ РМ РМ = .у
РМ РМ РМ
Отсюда вытекает (Пл., п. 193), что полюсы Plt Pt и Pt трёх ин-
версий лежат на одной прямой.
Остаётся ещё доказать, что всякий шар, который преобразуется
в себя двумя из найденных инверсий, преобразуется в себя и третьей.
В силу заключительной части предложения X, для этого достаточно,
чтобы последнее обстоятельство имело место для какого-либо одного
шара, который преобразуется в себя двумя из трёх инверсий. Ио
в данном случае за такой шар можно принять любой из шаров, ор-
тогональных к трём данным. Предложение Х1с доказано полностью.
Упражнение 491,2°. Преобразуя с помощью произвольной
инверсии данный трёхгранный угол, мы непосредственно получаем из
теоремы, сформулированной в упражнении 491,2°, следующее пред-
ложение:
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
667
XII. Если три шара имеют две общие точки, то три окруж-
ности, каждая из которых проходит через эти общие точки, ле-
жит на одном из данных шаров и образует прямые углы с линией
пересечения двух других, лежат на одном шаре.
Упражнение 491,3°. Преобразуя с помощью произвольной
инверсии данный трёхгранный угол, мы получим для окружностей и
шаров, рассмотренных в предложениях I, III, V, VI, VIII, IX, XI и XII,
результаты, вполне аналогичные изложенным в решении упражнения
491,3°. При этом роль трёхгранного угла, пополнительного по отно-
шению к данному, будут играть три шара, взаимные данным, т. е.
три шара, каждый из которых проходит через общие точки трёх
данных шаров и образует прямые углы с линией пересечения двух
из них.
Таким путём получаются следующие предложения:
XIII. Четыре окружности, о которых говорится в предложе-
нии I, построенные для трёх данных шаров, совпадают с четырьмя
окружностями, о которых говорится в предложении VI, построен-
ными для трёх шаров, взаимных данным, и наоборот. То же имеет
место для шаров, о которых говорится в предложениях III и V.
Действительно, окружности, о которых говорится в предложе-
нии 1, получаются с помощью инверсии из прямых D, ..., о ко-
торых говорится в решении упражнения 487, а те, о которых гово-
рится в предложении VI,—из прямых Д, Дп ..., о которых говорится
в решении упражнения 489,2°. Шары, рассматриваемые в предложе-
ниях III и V, получаются с помощью инверсии соответственно из
плоскостей Р, Ри .... (упр. 488) и П, Ilj, ... (упр. 489,1°). Но
прямые D, Dlt ... и плоскости Р, Р}, . .. одного из двух пополни-
тельных трёхгранных углов совпадают (ср. решение упр. 491,3°)
соответственно с прямыми Д, Дп ... и плоскостями II, Щ, ...
другого.
XIV. Каждая из четырёх окружностей, о которых говорится
в предложении VIII, построенных для трёх данных шаров, пересе-
кает под прямым углом один из четырёх шаров, о которых гово-
рится в предложении IX, построенных для трёх шаров, взаимных
данным, и наоборот.
Действительно, каждая из четырёх окружностей, о которых гово-
рится в предложении VIII, получается с помощью инверсии из пря-
мой S, о которой говорится в решении упражнения 490,1°, и из трёх
прямых, ей аналогичных (ср. решение упр. 490°, 2°, примечание), а
каждый из четырёх шаров, о которых говорится в предложении IX,—
из плоскости тг, о которой говорится в решении упражнения 490,2°,
и из трёх плоскостей, ей аналогичных. Но прямая 5 одного из двух
пополнительных трёхгранных углов перпендикулярна к плоскости тг
другого (ср. решение упр. 491,3°), и тем же свойством обладает
каждая из трёх прямых, аналогичных S, по отношению к одной из
трёх плоскостей, аналогичных п.
668
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
XV. Окружность, о которой говорится в предложении XI, по-
строенная для трёх данных шаров, совпадает с аналогичной окруж-
ностью, построенной для трёх шаров, им взаимных. То же имеет
место для шара, о котором говорится в предложении XII.
Действительно, окружность, о которой говорится в предложении
XI, получается с помощью инверсии из прямой d (упр. 491,1°), а
шар, о котором говорится в предложении XII,— из плоскости р
(упр. 491,2°). Но прямая d и плоскость р одного из двух пополни-
тельных трёхгранных углов совпадают (ср. решение упр. 491,3°) со-
ответственно с аналогичной прямой и плоскостью другого.
У пражнение 492. Преобразуя с помощью произвольной ин-
версии данный трёхгранный угол, мы непосредственно получим сле-
дующее предложение:
XVI. Пусть Sj, S2 и Ss — три шара, имеющих две общие точки;
Нх~- шар, проходящий, через линию пересечения шаров S2 и S3 и
орто, ональный к шару Sx; Н2 и Hs — два других аналогичных шара.
При этих условиях шар Нх есть бис-
сектральный шар двух шаров, один из
которых проходит через линию пере-
сечения шаров Sj и НА и через линию
пересечения шаров S2 и Н2, другой —
через линию пересечения шаров S\ и
Нг и через линию пересечения шаров
S3 и Н3; шары Н2 и Hs обладают
аналогичными свойствами.
787. Пусть фигура F лежит на ша-
$’ ре 2 с центром в точке О. Обозна-
чим через Р центр и через а' — пло-
скость стереографической проекции,
преобразующей фигуру F в F’; анало-
гичное значение для фигуры F" пусть
имеют Р' и а" (на черт. 477 изобра-
жено сечение рассматриваемой фигуры
плоскостью ОРР'). Стереографическую
проекцию из центра Р можно рассматривать (п. 518) как инверсию от-
носительно шара 5' с центром Р, проходящего через линию пересе-
чения шара 2 с плоскостью а'. Точно так же стереографическую
проекцию с центром Р' можно рассматривать как инверсию относи-
тельно аналогичного шара S’.
Плоскость а' можно совместить с плоскостью а", вращая её около
линии пересечения обеих плоскостей, двояким образом, а именно так,
что точка М' совпадёт с М" и точка 6Г— с N" (обозначения точек
понятны из чертежа), или же так, что точка М' совпадёт с N", а
точка N' — с М". Оба эти вращения равносильны, поскольку рас-
сматриваются только точки плоскости а', симметриям соответственно
относительно двух биссектральных плоскостей углов, образованных
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА !
669
плоскостями а' и а". Мы выберем симметрию относительно той из
этих плоскостей 50, по отношению к которой точки Р' и Р" симмет-
ричны (иначе говоря, мы выбираем то из двух вращений, которое сов-
мещает точку М' с М" и точку N' — с Л/”)- Обозначим через F'" ту
фигуру, в которую F' преобразуется этой симметрией.
Можно сказать, что фигура F’" получается пз фигуры F", лежа-
щей с ней в одной плоскости а", с помощью последовательного вы-
полнения следующих трёх преобразований:
1) инверсии относительно шара S", которая преобразует F" в F,
2) инверсии относительно шара S’, которая преобразует F в F', и
3) симметрии относительно плоскости Sc. На основании сказанного
в решении упражнения 763, две последовательные инверсии относи-
тельно шаров S' и S' можно заменить инверсией относительно неко-
торого шара S, имеющего с шарами S' и S' общую радикальную
плоскость Sq, сопровождаемой симметрией относительно этой послед-
ней плоскости. Таким образом, фигура F'" получается из F" с помо-
щью инверсии относительно шара S и двукратного выполнения сим-
метрии относительно одной и той же плоскости 50, т. е. с помощью
инверсии относительно шара S. Иначе говоря, фигура F'" будет об-
ратна фигуре F".
Так как шар 5 имеет с шарами S и S' общую радикальную
плоскость, то его центр Р лежит на линии центров Р'Р" шаров S
и S'. В то же время инверсия относительно шара 5 преобразует, как
следует из сказанного, точки плоскости а." в точки той же плоско-
сти Это возможно только при условии, что плоскость а" проходит
через центр шара 5. Итак, полюс инверсии, преобразующей фигуру
F" в F'", есть точка пересечения прямой Р'Р' с плоскостью а".
788. Пусть С и С — два малых круга, лежащие на одном шаре;
7И и N — две точки малого круга С; М' и N’ — точки круга С,
антигомологические точкам М и N, т. е. соответствующие им в од-
ной из двух инверсий, преобразующих окружности С и С друг
в друга; Р и Q точки пересечения больших кругов MN и M'N’.
Примем точку Q за центр стереографической проекции. В проек-
ции получим две окружности с и с’, две точки т и п на окружно-
сти с и две точки т' и п' на окружности с'. Так как инверсии на
шаре соответствует в стереографической проекции инверсия на пло-
скости, то точки т' и п' будут также антигомологическимн соответ-
ственно точкам т в п. Большие круги MN и M'N' будут иметь
своими проекциями прямые тп и т'п', так как они проходят через
центр проекции Q. Точка р—проекция точки Р—будет лежать на
радикальной оси с0 окружностей с и с' как точка пересечения двух
ангигомологпческих хорд тп и т'п’ (Пл., п. 224).
Радикальная ось с0 окружностей с и с' есть стереографическая
проекция некоторой окружности Со, лежащей на данном шаре. Эта
окружность Со проходит через две диаметрально противоположные
точки Р и Q и потому будет большим кругом. Кроме того, всякая
670
РЕШЕНИЯ УПРАЖН ЕНИЙ И ЗАДАЧ
окружность, лежащая на данном шаре и ортогональная к окружно-
стям С и С, пересекает под прямым углом и окружность Со, так как
всякая окружность на плоскости, ортогональная к окружностям с и
с', пересекает под прямым утлом и их радикальную ось с0. Это по-
казывает, что Со есть радикальный большой круг данных малых
кругов С и С.
Итак, большие круги MN и М№ пересекаются в точках Р и Q,
лежащих на радикальном большом круге Со данных малых кругов.
789. Обобщение упражнения 260. Чтобы распространить
на сферическую геометрию содержание упражнения 260 планиметрии,
необходимо найти в сферической геометрии аналог понятия центра
подобия двух окружностей на плоскости.
С этой целью воспользуемся следующим свойством инверсии на
шаре (п 528, примечание): все большие круги, соединяющие попарно
взаимно обратные точки, проходят через две общие точки. Эти две
точки назовём для краткости сферическими полюсами рассматрива-
емой инверсии. Сферические полюсы инверсии представляют собой,
как легко видеть, точки пересечения данного шара с прямой, прохо-
дящей через его центр и через полюс (в пространстве) данной инвер-
сии. Отсюда вытекает, что если данная инверсия имеет окружность
инверсии, то полюсы этой окружности совпадают со сферическими
полюсами инверсии.
Если даны две окружности, лежащие на одном шаре, то суще-
ствуют две инверсии, преобразующие эти две окружности одну
в другую (п. 529). Две пары сферических полюсов этих двух инвер-
сий и будут играть в сферической геометрии роль, аналогичную двум
центрам подобия двух окружностей на плоскости (напомним, что каж-
дый из центров подобия двух окружностей на плоскости служит полю-
сом инверсии, преобразующим их одну в другую).
Содержание упражнения 260 планиметрии переносится теперь без
труда на случай двух окружностей, лежащих на одном шаре, следую-
щим образом:
I. Если на шаре через две данные точки А и В проведены две окруж-
ности, касающиеся данной окружности С, и третья окружность,
ортогональная к С, то эта последняя окружность делит на две
равные части угол между двумя первыми и имеет своими полюсами
сферические полюсы одной из двух инверсий, преобразующие первые
две окружности одну в другую.
Доказательство соответствующего предложения геометрии на пло-
скости (Пл., решение упр. 260) сохраняет силу и в сферической
геометрии, если центр окружности на плоскости заменить полюсами
окружности на шаре, а центр подобия двух окружностей на плоско-
сти — сферическими полюсами инверсии, преобразующей две окруж-
ности на шаре одну в другую.
Обобщение упражнения 261. Заметим прежде всего, что
всякая окружность, касающаяся двух данных окружностей, лежащих
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
671
на одном шаре, соответствует сама себе в одной из двух инверсий,
преобразующих данные окружности одну в другую (частный случай
первого предложения п. 530). Соответственно двум инверсиям, преоб-
разующим две данные окружности одну в другую, получаются два
семейства окружностей на шаре, касающихся двух данных.
Пользуясь понятием внутренней области малого круга (п. 384), можно
ввести понятия внешнего ^внутреннего касания малых кругов на шаре и
доказать, что одно из двух семейств состоит из окружностей, касающихся
двух данных одинаковым образом, другое — из окружностей, касающихся их
неодинаковым образом. Мы не будем на этом останавливаться.
Содержание упражнения 261 следующим образом распространяется
на сферическую геометрию:
II. Если на шаре через точку А проведены две окружности,
касающиеся каждая, двух данных окружностей (и принадлежащие
к одному и тому же из двух семейств, о которых говорилось
выше), и третья окружность, к ним ортогональная, то эта по-
следняя окружность проходит через вторую общую точку В двух
первых и обладает свойствами, указанными в предложении I.
Для доказательства выполним стереографическую проекцию, приняв
за её центр произвольную точку шара. Мы получим на плоскости три
жружности, проходящие через одну и ту же точку а — проекцию
точки А. Каждая из двух из этих трёх окружностей будет касаться
двух окружностей, обратных двум данным (и притом обе они будут
касаться обеих последних окружностей одинаковым образом или обе
неодинаковым образом), а третья будет к ним ортогональна. В силу
соответствующего предложения геометрии на плоскости (Пл., упр. 261),
эти три окружности на плоскости будут иметь и вторую общую точку
а следовательно, и три соответствующие им окружности на шаре будут
иметь вторую общую точку В, имеющую точку b своей проекцией.
Эти три окружности на шаре будут удовлетворять условиям предложе-
ния I, а потому третья окружность будет обладать по отношению к
двум первым свойствами, сформулированными в этом предложении.
Обобщение упражнения 262. Содержание этого упражне-
ния следующим образом распространяется на сферическую геометрию-
III. Пусть на шаре через точку А проведены две окружности.
гасающиеся двух данных окружностей, как и в предложении II.
Если через Р и Q обозначить точки их касания с первой из данных
окружностей, через Р' и Q' — теки их касания со второй, то
имеют место следующие предложения'.
1°. Окружности APQ и A'P'Q’ касаются друг друга; они пере-
секают третью окружность, о которой говорится в предложении II,
под прямым углом..
2°. Окружности APQ и BPQ, где В, как и в предложении П,—
вторая общая точка окружностей АРР' и AQQ', взаимно обратны
относительно первой данной, окружности, окружности AP'Q' а
BP'Q' — относительно второй.
672
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Черт. 478.
3°. Если данные окружности представляют собой большие круги,
то все четыре окружности APQ, AP'Q', BPQ и B'P'Q' равны между
собой.
Утверждения 1° и 2° можно доказать двумя способами. Можно,
во-первых, выполнить стереографическую проекцию с центром в про-
извольной точке шара; мы придём, таким образом, к упражнению 262
планиметрии. Можно, во вторых, повторить для шара те же рассужде-
ния, которыми мы пользовались на плоскости (Пл., решение упр. 262).
Утверждение 3° вытекает из следующих соображений. Если обе
данные окружности — большие круги, то инверсии относительно дан-
ных окружностей обращаются в симметрии относительно плоскостей
этих больших кругов. Следовательно, окружности APQ и BPQ равны
между собой, так как они симметричны от-
носительно плоскости первого большого кру-
га (в силу 2°), и то же имеет место для
окружностей AP'Q' и BP'Q'. В то же время
окружности APQ и BP'Q' симметричны,
как легко видеть, относительно одного из боль-
ших кругов, проходящих через точки пере-
сечения двух данных и делящих угол между
ними пополам (вытекает из того, что окруж-
ности АРР' и AQQ' принадлежат к одному и
тому же семейству окружностей, касающихся
обоих данных больших кругов). Следователь-
но, все четыре рассматриваемые окружности
равны (ср. аналогичное решение Пл., упр. 262,3°).
Распространив, таким образом, упражнения 260—262 планиметрии
на сферическую геометрию, переходим к рассмотрению дальнейших
утверждений, содержащихся в формулировке настоящего упражнения.
Будем пользоваться на шаре теми же обозначениями, что и при
решении упражнения 262 планиметрии (окружности и прямые, изобра-
жённые на черт. 490 первой части книги, можно представлять себе
как окружности на шаре).
Выполним стереографическую проекцию, приняв за её центр
точку А. Первая данная окружность С преобразуется в некоторую
окружность с (черт. 478), точка В—в некоторую точку Л, две окруж-
ности Cj и С2, проходящие через точки А и В и касающиеся данных
окружностей С и С,— в касательные q и с2 к окружности с, про-
ходящие через точку Ь, точки касания F и Q — в точки прикоснове-
ния р и q этих двух касательных, окружность APQ — в прямую pq.
Отрезок pq, внутренний относительно окружности с, есть геометриче-
ское место точек, гармонически сопряжённых с точкой b относительно
концов отрезков, отсекаемых окружностью с па прямых, проходящих
через точку Ь. Отсюда следует, что дуга PQ окружности APQ, имею-
щая своей стереографической проекцией отрезок pq, есть геометриче-
ское место точек, гармонически сопряжённых с точкой В относительно
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
673
концов дуг, отсекаемых окружностью С на окружностях, проходящих
через точки А и В. Те же соображения применимы и к геометрическому
месту точек, гармонически сопряжённых с точкой А.
Так как угол между прямой pq и окружностью bpq (черт. 478)
равен углу pbq, то угол между окружностями APQ и BPQ, имеющими
своими проекциями прямую pq и окружность bpq, равен углу между
окружностями АВР и ABQ, имеющими своими проекциями пря
мые Ьр и bq.
Если точки А и В совпадают, то касательные в точках р и q
к окружностц с будут параллельны и прямая pq будет пересекать
окружность с под прямым углом. Следовательно, и окружность APQ
будет пересекать данную окружность С под прямым углом.
790. Так как при стереографической проекции окружность, лежа-
щая на плоскости, преобразуется в окружность, лежащую на данном
шаре, а прямая — в окружность, лежащую на данном шаре и прохо-
дящую через центр стереографической проекции (который мы будем
обозначать через Л), то теорема, приведённая в п. 211 планиметрии,
непосредственно приводит к следующему предложению (прямые и
окружность, изображённые на черт. 194 первой части книги, можно
представлять себе соответственно как окружности на шаре, проходя-
щие через общую точку А, и как окружность на шаре, не проходя-
щую через эту точку Л):
Пусть на шаре даны две точки А и В и окружность С. Если
через точки А и В провести две окружности, которые пересекают
данную окружность С—первая в точках М и N, вторая в точ-
ках М' и N', и построить затем окружности АММ', ANN',
AMN' и ANM', то эти четыре окружности будут пересекаться
в двух новых точках И и К, геометрическое место которых (при
переменных окружностях АМВ и AM’В) есть окружность, проходя-
щая через точку А.
Эта последняя окружность проходит через точки касания
с окружностью С двух окружностей, касающихся последней и про-
ходящих через точки А и В.
Вторая часть этого предложения непосредственно вытекает из того,
что на плоскости поляра точки относительно окружности проходит
через точки касания с окружностью касательных, проведённых из дан-
ной точки (Пл., п. 204).
Переходим к решению предложенной задачи на построение:
На шаре даны две точки А и В и окружность С. Построить
окружность, проходящую через точки А и В и касающуюся окруж-
ности С.
Из сказанного выше вытекает такой способ решения. Через точ-
ки А и В проводим какие-либо две окружности, пересекающие данную
окружность С — одна в точках М и N, другая в точках М' и N'.
Строим далее окружности АММ', ANN’, AMN', AM'N и обозначаем
через Н отличную от А точку пересечения окружностей АММ' и ANN’,
43 Элементарная геометрия, ч. Ц
674
РЕШЕНИЯ УПР АЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
через К — отличную от А точку пересечения окружностей АЛ-W
н AM'N. Точки пересечения окружности АНК с данной окружностью С
будут искомыми точками касания. Остаётся только провести окруж-
ности через точки А и В и через каждую из построенных точек
касания.
Наибольшее число решений—два.
791. Пусть на плоскости две прямые с и с'пересекаются в точке о
и две параллельные прямые сг и с2 пересекают прямую с в точках а и Ь,
прямую с'—в точках а' и Ь' (черт. 479). При этом мы имеем:
оа ___оа'
ob оЬ'
Но отношение
оа
оЬ
Черт. 479.
можно рассматривать (Пл., п. 199) как
сложное отношение точек а, Л, о и оо,
где через оо обозначена точка прямой
ab, лежащая в бесконечности, и то же
оа'
имеет место для отношения .
оо'
Если выполнить стереографическую
проекцию, то параллельные прямые сх
и с2 преобразуются в окружности Сх
и С2, касающиеся друг друга, как лег-
ко видеть, в центре Р стереографиче-
ской проекции; прямые с и с' — в две
окружности С и С, проходящие через точку О, имеющую точку о
своей проекцией, и через центр проекции Р. Сложное отношение
четырёх точек при стереографической проекции не изменяется (и. 527).
Таким образом, мы приходим к следующему предложению:
Пусть на шаре две окружности и С2 касаются друг друга
в точке Р и две другие окружности С и С, проходящие через
точку Р, пересекаются во второй раз в точке О. Если окруж-
ности Сг и Сг пересекают окружность С соответственно в точ-
ках А и В, а окружность С' —в точках А' и В', то имеет место
равенство сложных отношений (АВОР) = (А'В'ОР).
Если теперь через точку о, кроме прямых с и с', проходит ещё
третья прямая с", пересекающая прямую сг в точке а", а прямую с2 —
aft а Ъ"Ь
в точке Ь", то мы имеем: Рассуждая, как и выше, при-
дём к следующему предложению:
Пусть на шаре две окружности (\ и Сг касаются друг друга
в точке Р и три другие окружности С, С и С", проходящие через
точку Р, пересекаются во второй раз в точке О. Если окружно-
сти С1 и С2 пересекают окружность С соответственно в точ-
ках А и В, окру ясность С' —в точках А' и В' и окружность С" —
в точках А" и В”, то имеет место равенство сложных отношений
(АА’А"Р) = (ВВ'В"Р).
792. Пусть на шаре даны две точки А и В и окружность Со, и
требуется провести через точки А и В вторую окружность С, пере-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
675
секающую Со в точках М и N так, что сложное отношение (MNAB)
имеет данное значение А.
Примем точку В за центр стереографической проекции и обозна-
чим через а, т, п, с0 и с проекции точек А, М, N и окружностей Со и С.
Проекцией с искомой окружности С будет прямая, проходящая через
точку а, так как искомая окружность А проходит через точку А и
через центр проекции В Сложное отношение (MNAB) будет равно
сложному отношению четырёх соответствующих точек прямой с, а
именно точек т, п, а и точки, лежащей в бесконечности (Пл., п. 199).
т. е. будет равно . Таким образом, мы приходим к следующей
задаче
На плоскости даны точка а и окружность с0. Провести через
точку а прямую с, пересекающую окружность с0 в точках т и п
так, что имеет место равенство ^—-=1, где — данное число.
Решение этой задачи не представляет затруднений (ср. Пл., реше-
ние упр. 165). Наибольшее число решений — два.
Переходим к отысканию той окружности С, для которой сложное
отношение (/ИЛМ.В) имеет наибольшую или наименьшую величину.
Для соответствующей прямой с — стереографической проекции окруж-
ности С—отношение должно иметь наибольшую или наименьшую
величину. Если обозначить, для определённости, через т ту из двух
точек пересечения прямой с с окружностью с0, которая более удалена
от точки а, то отношение — будет иметь наибольшую (а отношение
ап . ,
наименьшую) величину, когда прямая с будет проходить через
центр окружности с0. Так как угол между двумя окружностями не
изменяется при стереографической проекции, то отсюда вытекает такой
результат: сложное отношение (MNAB) четырёх точек М, N, А
и В окружности С на шаре имеет (при данных точках А и В и
окружности Со) наибольшую или наименьшую величину, если окруж-
ность С ортогональна к данной окружности Со.
Чтобы провести через точки А и В окружность С, ортогональную*
к данной окружности Со, достаточно провести плоскость через точки АВ
и через полюс плоскости окружности С относительно данного шара.
Линия пересечения этой плоскости с данным шаром и будет искомой
окружностью (п 478).
Мы рассматривали случай, когда данные точки А и В и данная
окружность С лежат на одном шаре. Если данные точки и данная
окружность лежат в одной плоскости, то задача решается таким же
образом; только стереографическая проекция заменяется инверсией (на
плоскости) с полюсом В и произвольной степенью.
793. Примем одну из данных точек, а именно точку А, за центр
стереографической проекции и обозначим через b, р, q и с стерео-
43*
676
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
зависит от вы-
ii В и пересе-
к оты-
удовле-
относи-
степень
графпческие проекции точек В, Р, Q и окружности С. Так как точки
шара и их стереографические проекции соответствуют друг другу
в некоторой инверсии, степень которой мы обозначим через k, то мы
k k
будем иметь: АР—-^‘, AQ,=-^. Далее (в силу п. 509), ВР^
= = Отсюда
Ab-Ap Ab-Aq
* AP-AQ___ Ab2
BP-BQ bp-bq '
Стереографической проекцией окружности, проходящей через точки А
и В и пересекающей окружность С в точках Р и Q, будет прямая,
проходящая через точку b и пересекающая окружность с в точ-
ках р и q. Произведение bp-bq, равное степени точки b относительно
окружности с, не зависит от выбора секущей, проведённой через
точку Ь; отрезок АЬ также, очевидно, не зависит от этого выбора,
D AP-AQ
В силу последнего равенства, и величина -др pQ не
бора окружности на шаре, проходящей через точки А
кающей окружность С.
Пусть теперь точка А и окружность С на шаре, а следовательно,
и окружность с на плоскости даны, и требуется найти геометриче-
АР-АО
ское место точек В шара, для которых ?|г, па~ где — данное
число. В силу выведенного выше равенства задача сводится
сканию на плоскости проекций геометрического места точек Ь,
АЬ2 .
творяющих условию = А.
Величину АЬ2 можно рассматривать как степень точки b
тельно шара А нулевого радиуса, произведение bp-bq как
точки b относительно некоторого шара 5, проходящего через окруж-
ность с (какого именно — для дальнейшего безразлично). Геометриче-
ское место точек b пространства, отношение степеней которых отно-
сительно шаров А и 5 равно представляет собой, если это геоме-
трическое место существует и не обращается в точку, шар (ср. решение
упр. 682). Следовательно, геометрическое место точек b плоскости
проекций, удовлетворяющих указанному выше условию, представляет
собой, если оно существует и не обращается в точку, окружность.
Следовательно, геометрическое место точек В данного шара, удовле-
AP-AQ ,
творяющих условию -др др = К, есть также окружность, имеющая
только что рассмотренную окружность своей стереографической проек-
цией.
794. Прежде всего поясним, что величина имеет одно и то
г ’ sin 0
же значение для всех хорд pq данной окружности на плоскости, так
как эта величина равна, как легко видеть, диаметру данной окруж-
ности.
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
677
Выполним теперь инверсию (в пространстве) с полюсом в какой-
либо точке А, не лежащей в плоскости данной окружности (и произ-
вольной степенью). Плоскость данной окружности преобразуется в не-
который шар, данная окружность — в некоторую окружность С, лежащую
на этом шаре, прямая pq — в произвольную окружность, проходящую
через точку А и пересекающую окружность С в двух точках Р и Q.
Угол 6 будет равен углу между обеими окружностями. При этом
, РЧ k-QP ,
будем иметь равенство (п. 509): ^B=i4p./lg.sin(,, где k — степень
инверсии. Так как этим способом можно получить, очевидно, на про-
извольном шаре любую точку А и любую окружность, то мы прихо-
дим к следующему предложению:
Если на шаре даны окружность С и точка А, то для всех
окружностей, проходящих через точку А и пересекающих окруж-
ность С в каких-либо точках Р и Q под некоторым углом 6,
РО л
величина -т-„ имеет одно и то же значение.
AP-AQ-sin О
(Если рассматривать только окружности, проходящие кроме дан-
ной точки А ещё и через другую данную точку В, то постоянные
значения для всех этих окружностей будут иметь величины
PQ о PQ
°-— ло л/? я и р— а следовательно, и величина
В АРАО
~ — bq} таким образом, получается предложение, рассмотренное
в упражнении 793.)
795. Выполним стереографическую проекцию с полюсом в одной
из точек окружности С. Окружности А и В преобразуются в две
окружности а и b на плоскости, окружность С—в прямую с,
которую окружности а и b пересекают в четырёх гармонических точ-
ках. Окружность d на плоскости, имеющая своими диаметрально про-
тивоположными точками точки пересечения окружности а с прямой с,
будет ортогональна к прямой с и к окружности b (Пл., п. 189, след-
ствие). Следовательно, окружность D на шаре, имеющая окружность d
своей стереографической проекцией, будет обладать всеми свойствами,
указанными в условии.
796. Выполним стереографическую проекцию с центром в общей
точке окружностей Abc, Вса и Cab и обозначим через А', В', С',
а', Ь' и с' проекции точек А, В, С, а, Ь и с. Окружности Abc, Вса
и Cab проходят через центр проекции и потому имеют своими проек-
циями прямые линии (а не окружности) А'Ь'с’, В'с'а' и Са'Ь', обра-
зующие треугольник а'Ь'с'. На сторонах этого треугольника (пли их
продолжениях) лежат соответственно точки А', В' и С. В силу зада-
чи 344,1° планиметрии, окружности а'В'С, Ь'СА' и с'А'В' на пло-
скости проходят через одну точку. Следовательно, тем же свойством
обладают и окружности аВС, ЬСА и сАВ на шаре.
797. В решении упражнения 768 было попутно доказано, что слож-
ное отношение точек пересечения двух окружностей, лежащих на одном
678
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
шаре, с любой из окружностей, к ним ортогональных, имеет одно ц
то же значение независимо от выбора последней. Так как всякие две
окружности, пересекающиеся в двух точках, лежат на одном шаре,
то это предложение применимо и в данном случае.
В случае двух окружностей на плоскости это сложное отношение
равно Х = —tg2 Действительно, в обозначениях, принятых в ре-
oric' ч (КМ\г , ., а
шении задачи 39b планиметрии, мы имеем ).=—\рм) ~?
(ср. черт. 649 на стр. 558 первой части книги). В том, что это
соотношение сохраняет силу и для двух окружностей, лежащих на
одном шаре, можно убедиться, выполняя инверсию с полюсом в какой-
либо точке шара и произвольной степенью (ср. п. 527). Итак, рас-
сматриваемое сложное отношение вполне определяется углом между
данными окружностями.
Пусть теперь даны два пересекающихся шара. При этом имеет
место следующее предложение:
Сложное отношение точек пересечения двух шаров с любой
окружностью, к ним ортогональной, не зависит ни от положения
последней, ни от положения данных шаров при условии, что угол
между ними остаётся постоянным.
Для доказательства заметим, что всякая окружность, пересекающая
данный шар под прямым углом, лежит в плоскости, проходящей через
его центр. Поэтому окружность, пересекающая каждый из двух дан-
ных шаров пот прямым углом, лежит в плоскости, проходящей через
их линию центров. Рассматривая сечение данных шаров этой пло-
скостью, мы и придём к требуемому результату, так как угол между
окружностями, по которым эта плоскость пересекает данные шары,
равен, очевидно, углу между данными шарами.
Пусть, наконец, даны шар и пересекающая его окружность. Имеет
место следующее предложение:
Сложное отношение точек пересечения шара и пересекающей
его окружности с любой из окружностей, пересекающих под пря~
мым углом данный шар и пересекающих данную окружность в двух
точках под прямым углом, не зависит ни от положения секущей
окружности, ни от положения данного шара и данной окружности
при условии, что угол между ними остаётся постоянным.
Для доказательства воспользуемся сказанным в решении упражне-
ния 768, сохраняя принятые там обозначения. Сложное отношение,
о котором идёт речь, есть сложное отношение точек пересечения
окружностей Со и С х: любой из окружностей Г, причём угол между
окружностями Со и С равен, очевидно, углу между данным шаром и
данной окружностью. Таким образом, мы приходим к случаю, рассмот-
ренному в начале решения настоящего упражнения.
798. Примем плоскость фигуры, о которой говорится в упражне-
нии 65 планиметрии (ср. черт. 316 на стр. 334 первой части книги),
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I 679
за плоскость стереографической проекции, выбрав произвольно какой-
либо шар с центром в этой плоскости. Сохраним обозначения, приня-
тые в решении указанного упражнения.
Две данные окружности, рассматриваемые в упражнении 65 пла-
ниметрии, преобразуются в две окружности на шаре, пересекающиеся
между собой в двух точках А и В; две произвольные секущие на пло-
скости, проходящие соответственно через ту и другую из точек пе-
ресечения данных окружностей,— в две окружности Г и Г' на шаре,
одна из которых проходит через точку А, другая через точку В и
которые обе проходят через центр Р стереографической проекции;
прямая ММ' на плоскости—-в окружность, которая проходит через
вторые точки пересечения М и М' окружностей Г и Г' с первой
пз данных окружностей и через точку Р; прямая NN' на плоскости —
в аналогичную окружность, которая проходит через вторые точки
пересечения N и N' окружностей Г и Г' со второй пз данных окруж-
ностей и также через точку Р. Так как прямые ММ' и NN' на пло-
скости параллельны, то окружности РММ' и PsJN' на шаре касаются
одна другой в точке Р. Таким образом, мы приходим к следующему
предложению (чёрточки над буквами опускаем):
Если через какую-либо точку Р шаре и через одну из точек
пересечения А двух данных окружностей, лежащих на том же
шаре, провести на этом шаре какую-либо окружность и обозна-
чить через М и N вторые точки её пересечения соответственно
с обеими данными окружностями, а через ту же точку Р и через
другую точку пересечения В данных окружностей провести какую-
либо другую окружность и обозначить через М' и N' вторые точки
её пересечения соответственно с обеими данными окружностями,
то окружности РММ' и PNN' будут касаться друг друга в точке Р.
799. Выполним стереографическую проекцию с центром в точке А'
и будем обозначать проекции остальных рассматриваемых точек шара
теми же буквами, что и самые точки, только малыми (черт. 480 и 481).
К окружностям bcb'c' и b’c'q-lri на плоскости, пересекающимся
в точках Ь' и с', применима, как и в предыдущем упражнении, теорема,
рассмотренная в упражнении 65 планиметрии. А именно, через общую
точку Ь' этих окружностей проведена секущая b'p'q^ пересекающая
пх вторично соответственно в точках р' и qu а через другую общую
точку с' тех же окружностей — секущая с'р"г\, пересекающая их вто-
рично соответственно в точках р" и г\. В силу указанной теоремы,
прямые р'р" и 9]Г] параллельны. Следовательно, на шаре окружности
А'Р'Р" и A'QyRx, имеющие эти прямые своими проекциями, касаются
друг друга в точке А'.
На плоскости направление параллельных прямых р'р" и qrt\ не
зависит от выбора окружности b'c'q}rx, проходящей через точки Ь'
и с', так как направление этих прямых антипараллельно (Пл., п. 217)
680
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
направлению прямой Ь'с' относительно сторон угла Ь'ас'. Следовательно,
на шаре общая касательная к окружностям А'Р'Р' и A'QXRX в точке
А' не зависит от выбора окружности Г, проведённой через точки
В' и С.
Пусть теперь, в частности, окружность Го на шаре, проведённая
через точки В' и С и пересекающая окружности АСА'С и АВА' В"
соответственно в точках Q и R, выбрана так, что окружности A'B’Q
и A'C'R пересекают окружность ВСВ'С в одной и той же точке Р
(иначе говоря, так, что точки Р' и Р", о которых говорилось выше, совпа-
дают). При этом на плоскости прямая qr и касательная к окружности
bcb'c' в точке р будут параллельны между собой (чтобы в этом убе-
диться, достаточно рассмотреть предельный случай теоремы, рассмот-
ренной в упражнении 65 планиметрии, когда точки пересечения обеих
секущих с одной из данных окружностей совпадают между собой).
Обе эти прямые будут параллельны рассмотренной выше прямой qxj\,
так как направление каждой из трёх прямых опять антипараллелыю
направлению прямой Ь'с’ относительно сторон угла Ь'ас'. Следовательно,
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
681'
на шаре окружность A'QR и окружность, проходящая через точку А’
и касающаяся окружности ВС В'С в точке Р, обе касаются в точке А'
окружностей. А'Р'Р" и A’Q1R1.
Отсюда вытекает следующий способ построения точек Р, Q и R,
о которых говорится в условии. Проводим на шаре через точки В'
и С какую-либо окружность Г и обозначим через Qj и Rx точки её
пересечения соответственно с окружностями АСА’С и АВА’В'. Далее
строим окружность A’QtRx- Наконец, строим (упр. 499, построение г)
окружность, касающуюся окружности A’QiRj в точке А' и в то же
время касающуюся окружности ВСВ'С’ в некоторой точке; эта по-
следняя точка касания и будет искомой точкой Р. Точка пересечения
окружностей АСА’С' и А'В'Р будет искомой точкой Q, а точка пере-
сечения окружностей АВА’В' и А'СР—искомой точкой R.
Так как задача построения окружности, касающейся окружности'
/'Qj/?! в точке А' и в то же время касающейся окружности ВСВ'С,
имеет, вообще говоря, два решения (ср. решение упр. 499, построе-
ние г), то и задача построения точек Р, Q и R будет также иметь,
вообще говоря, два решения. В дальнейшем под Р, Q и R мы будем'
понимать какое-либо одно из этих решений.
Остаётся ещё доказать, что построенные таким образом точки Q и R лежат
с точками В' и С на одной окружности. Это можно сделать следующим об-
разом. Обозначим точку пересечения окружности B'C'Q с окружностью А’С'Р
через /?0. На плоскости мы опять будем иметь две окружности b'c'qr^ и bcb'c',
пересекающиеся в точках Ь’ и с'. Через общую точку Ь' этих окружностей
проведена секущая b'qp, пересекающая их вторично соответственно в точках q
пр, а через другую общую точку с' тех же окружностей—секущая c'rtp,
пересекающая их вторично соответственно в точках г0 и р. Прямая qty, и ка-
сательная к окружности bcb'c' в точке р должны быть, как и выше, парал-
лельны между собой. Следовательно, на шаре окружность Л'О/?0 и окруж-
ность, проходящая через точку А' и касающаяся окружности ВСВ'С в точке Р,
касаются друг друга в точке А'. Отсюда вытекает, что окружность A’QR0
совпадает с A'QR, так как обе они проходят через точку Q и обе касаются
в точке А’ окружности, проходящей через эту последнюю точку и касающейся
окружности ВСВ'С в точке Р. В силу совпадения окружности A'QR0 с A'QR
и точка Ro совпадёт с R, так как обе эти точки лежат на окружности А’С'Р.
Точки В, С, Q и R действительно лежат иа одной окружности.
Стереографическая проекция трёх данных окружностей и трёх
окружностей BC'Q'R, А'С PR и A'B'PQ изображена на чертеже 482.
На плоскости инверсия с полюсом в точке р и степенью, равной
степени этой точки относительно окружности b'c'qr, преобразует по-
следнюю окружность в самоё себя, точки Ь' и с' — соответственно-
в точки q и г и окружность bcb'c', проходящую через полюс инвер-
сии,— в прямую qr. Следовательно, угол между окружностями b'c'qr
и bcb'c' равен углу между окружностью b'c'qr и прямой qr. Далее,
инверсия с полюсом ь точке а и степенью, равной степени этой точки
относительно окружности b'c'qr, преобразует последнюю окружность-
в самоё себя, точки Ь' и с' — соответственно в точки г и q и окруж-
ность аЬ'с', проходящую через полюс инверсии,— в прямую qr. Сле-
€82
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
довательно, угол между окружностями b'c'qr и ab'c' также равен углу
между окружностью b'c'qr п прямой qr. Отсюда следует, что угол
между окружностью b'c'qr и окружностью bcb'c' равен углу между
Черт. 482.
той же окружностью b'c'qr и окружностью ab'c'. Так как углы между
окружностями не изменяются при стереографической проекции, то и
на шаре окружность B'C’QR образует равные углы с окружностями
ВСВ'С и АВ'С.
Далее, точка р имеет относительно каждой из окружностей bb'q
и сс'г (черт. 482 и 483) одну и ту же степень, равную степени той
же точки р относительно окружности b'c'qr. Аналогично, точка а имеет
ДОПОЛНЕНИЯ КО 'ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
683
относительно тех же окружностей bb'q и сс г одну и ту же степень,
равную степени точки а относительно окружности bcb’c'. Следовательно,
прямая ар есть радикальная ось окружностей bb'q и сс'г. Отсюда и
вытекает (п. 525), что на шаре три окружности АА'Р, BB'Q и CCR
принадлежат к одному пучку.
Примечание. Три окружности АА'Р, BB'Q и CC’R, принадлежащие
к одному пучку, могут как проходить через две общие точки (черт. 482),
так и касаться друг друга в одной точке или вовсе не иметь общих точек
(черт. 4S3).
800. Обобщение упражнения 256. Под углом между двумя
малыми кругами на шаре можно понимать любой из двух пополнитель-
ных углов между касательными в их общей точке, другими словами,
любой из двух пополнительных углов между сферическими радиусами
(как меньшими, так и большими квадранта) обоих кругов, проведён-
ными в их общую точку. В тех случаях, когда придётся делать раз-
личие между этими двумя углами, мы будем говорить, что „угол
между двумя малыми кругами строго равен а", понимая под этим,
что а есть в точности угол между сферическими радиусами, меньшими
квадранта, проведёнными в одну пз точек пересечения (а не угол,
ему пополнительный; ср. Пл., решение упр. 256 и решение упр. 758).
Два малых круга, касающихся друг друга, образуют угол, строго
равный 2d, в случае внешнего касания, и угол, строго равный нулю —
при внутреннем касании (по поводу внешнего и внутреннего касания
малых кругов ср. указание в решении упр. 789).
Если речь идёт о пересечении большого круга с малым, то можно
произвольно назвать „внутренним" но отношению к большому кругу
одно из двух полушарий, на которые большой круг делит шар, и
рассматривать угол между сферическим радиусом малого круга, мень-
шим квадранта, проходящим через одну пз точек пересечения, и сфе-
рическим радиусом большого круга, проведённым во „внутреннюю"
область.
В случае двух больших кругов можно произвольно назвать „внут-
ренним" по отношению к каждому большому кругу одно из двух
полушарий, на которые этот большой круг делит шар, и рассматри-
вать угол между сферическими радиусами обеих больших кругов, про-
ведёнными во „внутренние" области.
Рассмотренное в п. 530 предложение: „всякая окружность, пере-
секающая две данные окружности, лежащие на одном шаре, под
равными углами, сама себе соответствует в одной пз двух инверсий,
преобразующих данные окружности одну в другую, и обратно" —
можно теперь высказать в следующей более точной форме:
I. Всякая окружность, пересекающая две данные окружности,
лежащие на одном шаре, под строго равными (под строго попол-
нительными) углами, сама себе соответствует в одной и той же
из двух инверсий, преобразующих данные окружности одну в дру-
гую (соответственно — в другой из тех же двух инверсий).
684
РЕШЕНИЙ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
^Докажем это предложение для случая строго равных углов (для
случая строго пополнительных углов доказательство вполне анало-
гично); при этом мы ограничимся случаем малых кругов, не останав-
ливаясь на тех видоизменениях (почти очевидных), которые требуются,
если некоторые из рассматриваемых кругов на шаре большие.
Пусть окружность Г пересекает две данные окружности С и С,
лежащие на одном шаре, под строго равными углами. Проведём через
окружности С, С и Г соответственно шары 5, S' и S, ортогональные
к данному шару. При этом угол между окружностями С и Г будет
равен углу между шарами 5 и S. Точнее говоря, угол между окруж-
ностями С и Г будет строго равен углу между шарами 5 и S. Это
вытекает из того, что область данного шара, внутренняя относительно
окружности С (или Г) будет лежать внутри шара S (или соответст-
венно 2). Точно так же угол между окружностями С' и Г будет
строго равен углу между шарами S' и S.
Отсюда следует, что если окружность Г пересекает окружности
С и С под строго равными углами, то и шар X пересекает шары S
и S' также под строго равными углами. Следовательно, данный шар
и шар 2 преобразуются каждый сам в себя инверсией, преобразующей
шары S и S' один в другой и имеющей своим полюсом внешний
центр подобия этих двух шаров. Та же инверсия преобразует окруж-
ности С н С одну в другую, а окружность Г—самоё в себя. Пред-
ложение I доказано.
Содержание упражнения 256 планиметрии следующим образом
распространяется на случай шара:
II. Все окружности на шаре, пересекающие две данные окруж-
ности А и В под данными углами, образуют два таких семейства,
что какая-либо окружность С, принадлежащая с А и В к одному
пучку, пересекает все окружности одного и того же семейства
под одним и тем же углом.
Доказательство этого предложения вполне аналогично доказатель-
ству соответствующего предложения на плоскости. Совокупность
окружностей, пересекающих окружности А и В под углами, соответст-
венно равными а и р, можно распределить в четыре группы. А именно,
отнесём к одной группе все окружности, пересекающие А и В под
углами, строго равными:
(1) а и р; (2) 2d—а и 2d — р; (I)
(3) а и 2d— р; (4) 2d—а и р. (II)
Окружности первых двух групп будем называть окружностями первого
семейства, окружности последних двух групп — окружностями второго
семейства, и покажем, что каждое из этих двух семейств окружно-
стей обладает требуемым свойством. Достаточно доказать это для
окружностей первого семейства, так как второе семейство окружностей
получается из первого путём замены одного из углов аир углом,
ему пополнительным.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
685
Оба семейства окружностей существуют при произвольных окружностях
А и В и произвольных углах а и ₽. В этом можно убедиться, выполняя на
шаре построение, рассмотренное в решении задачи 403 планиметрии под руб-
рикой А.
Однако может случиться, что все окружности одного семейства принад-
лежат к одной группе, так что окружностей другой группы в этом семействе
«е существует (ср. соответствующий пример в решении упр. 758).
При доказательстве рассматриваемого предложения для окружно-
стей первого семейства мы будем рассматривать окружности групп (7)
и (2) параллельно, указывая в соответствующих случаях на первом
месте (без скобок) то, что относится к окружностям группы (7), и
далее в скобках то, что относится к окружностям группы (2).
Пусть в первом семействе существует окружность Го группы (7),
т. е. окружность, пересекающая окружности А » В под углами, строго
равными а и р. Пусть далее Г — некоторая другая окружность первого
семейства, принадлежащая к первой (ко второй) группе, т. е. пере-
секающая окружности А и В под углами, строго равными а и $ (строго
равными 2d — а и 2d—р). Так как окружность А пересекает окруж-
ности Го и Г под строго равными (под строго пополнительными) уг-
лами, то она сама себе соответствует в одной из двух инверсий, пре-
образующих окружности Го и Г одну в другую; эту инверсию мы
обозначим через 7, а её полюс — через Н (в другой из тех же ин-
версий: эту последнюю инверсию мы обозначим через J, а её полюс —
через К). То же имеет место для окружности В. Отсюда следует,
что плоскости окружностей А и В обе проходят через полюс Н ин-
версии 7 (через полюс К инверсии J). Следовательно, плоскость всякой
окружности С, принадлежащей с Л и В к одному пучку, также про-
ходит через точку Н (через точку К). Инверсия 7 с полюсом Н (ин-
версия J с полюсом К) преобразует окружность С в самоё себя, так
как она преобразует в себя как данный шар, так и плоскость окруж-
ности С. В силу предложения I, доказанного выше, окружность С
пересекает окружности Го и Г под строго равными (под строго попол-
нительными) углами. Итак, все окружности Г первого семейства, пере-
секающие окружности А и В под углами, строго равными аир (строго
равными 2d—а и 2d—р), пересекают окружность С под углом,
строго равным (строго пополнительным) тому, под которым её пере-
секает окружность Го. Если не делать различия между двумя углами,
которые окружность Г образует с окружностью С, то можно будет
сказать, что все окружности Г первого семейства пересекают окруж-
ность С под одним и тем же углом.
Предложение II дока, ано для окружностей первого семейства
в предположении, что среди окружностей этого семейства есть окруж-
ность, принадлежащая к группе (7). Если бы среди окружностей пер-
вого семейства не было ни одной окружности группы (7), то мы могли
бы повторить те же рассуждения для какой-либо окружности Го
группы (2) (это сводится к замене углов а и fi через 2d — а и 2d — р).
Таким образом, предложение II доказано полностью для окружностей
686
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
первого семейства, а следовательно, в силу замечания, сделанного
в начале доказательства, и для окружностей второго семейства.
Примечание. Распределение окружностей, пересекающих две данные
окружности А и В под углами, соответственно равными а и ₽, в два семей-
ства существенно (ср. Пл., решение упр. 256, примечание).
Обобщение задачи 402. Содержание задачи 402 планиме-
трии переносится на шар без всяких изменений.
111. Найти на гиаре окружность, пересекающую четыре данные
окружности под равными углами.
Эту задачу можно решить, воспользовавшись стереографической проек-
цией и сведя её к соответствующей задаче на плоскости. Однако непосред-
ственное решение этой задачи на шаре оказывается несколько более простым,
чем решение соответствующей задачи на плоскости (Пл., решение зад. 402).
Пусть С], С2, С3 и С4— данные окружности, с — искомая окруж-
ность, пересекающая их под равными углами.
В и. 530 было показано, что на шаре все окружности, пересе-
кающие три данные окружности С,, С2 и С3 под равными углами,
образуют четыре пучка; плоскости окружностей каждого из этих че-
тырёх пучков проходят через одну из четырёх прямых, на которых
по три лежат полюсы инверсий, преобразующих три данные окруж-
ности, взятые попарно, одну в другую (т. е. вершины тех конусов,
которые проходят через данные окружности, взятые попарно).
Пользуясь сказанным выше, в обобщении упражнения 256 планиметрии,
можно было бы показать, что один из этих пучков состоит из окружностей,
пересекающих три данные под строго равными углами; каждый из трёх
других состоит из окружностей, пересекающих две из данных окружностей под
строго равными углами, а третью—под углом, им строго пополнительным.
Обозначим через s4 ту пз рассматриваемых четырёх прямых, через
которую проходит плоскость искомой окружности а. Точки пересечения
окружности а с окружностями и С2 попарно преобразуются одна
в другую с помощью той из двух инверсий, преобразующих окруж-
ности С4 и С2 одну в другую, полюс Н которой лежит на прямой s4.
По аналогичным соображениям плоскость искомой окружности о про-
ходит через одну из четырёх прямых, на которых по три лежат полюсы
тех инверсий, которые преобразуют окружности С,, С2 и С4, взятые
попарно, одну в другую; обозначим эту прямую через s3. Так как
плоскость окружности а проходит через полюс Н одной из двух ин-
версий, преобразующих окружности С4 и С2 одну в другую, то и пря-
мая 58 проходит через точку Н.
Отсюда вытекает следующий способ построения искомой окружно-
сти. Строим полюсы тех инверсий, которые преобразуют данные
окружности, взятые попарно, одну в другую (способ построения выте-
кает из сказанного в п. 521). Выбираем произвольно одну из четырёх
прямых, на которых по три лежат полюсы тех инверсий, которые
преобразуют окружности Сп С2 и С3, взятые попарно, одну в другую;
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА j
687
обозначим эту прямую через s4. Пусть Н—лежащий на прямой
полюс инверсии, преобразующей окружности С1 и С2 одну в другую.
Выбираем теперь одну из двух проходящих через точку Н прямых,
на которых по три лежат полюсы тех инверсий, которые преобразуют
окружности Ct, С2 и С4, взятые попарно, одну в другую; обозначаем
эту прямую через s3. Плоскость, проходящая через прямые s3 и s4,
и будет плоскостью искомой окружности с. Эта окружность а будет
существовать, если построенная плоскость пересекает хотя бы одну
из данных окружностей, например С4, и будет определяться как линия
пересечения построенной плоскости с данным шаром.
Построенная так окружность будет пересекать все четыре данные окруж-
ности под равными углами, если она пересекает одну из них, например Сь
Действительно, построенная окружность преобразуется в себя каждой из тех
трёх инверсий, преобразующих окружность С4 соответственно в три другие
данные окружности, полюсы которых лежат на прямых и s4.
Так как каждой пз четырёх прямых, одну из которых мы прини-
маем за х4, соответствуют две прямые, одну из которых мы прини-
маем за ss, то наибольшее число решений равно восьми.
Можно показать, что если существуют все восемь искомых окружностей,
то одна из них пересекает все четыре данные окружности под строго рав-
ными углами, четыре других — три из данных окружностей под строго рав-
ными углами и четвёртую под углом, им строго пополнительным, и последние
три — две из данных окружностей под строго равными углами и две другие
под углами, им строго пополнительными.
Обобщение задачи 403. Чтобы не прерывать дальнейшего
изложения, решим предварительно следующие четыре задачи.
IV. Построить на шаре окружность, пересекающую две данные
окружности А и В соответственно под данными углами а и и
притом первую из них, т. е. окружность А, в данной точке.
Решение соответствующей задачи на плоскости, приведённое в ре-
шении задачи 403 планиметрии, переносится на случай шара без
сколько-нибудь существенных изменений.
V. Построить на шаре окружность, принадлежащую с двумя
данными окружностями А и В к одному пучку и касающуюся
третьей данной окружности Г.
Так как плоскость искомой окружности проходит через линию
пересечения D плоскостей окружностей А и В, то общая касательная
к окружности Гик искомой окружности пересекает прямую D или
ей параллельна.
Отсюда вытекает такое построение. Строим касательные к третьей
данной окружности Г, проходящие через точку пересечения плоско-
сти последней с линией пересечения D плоскостей окружностей А
и В (или же параллельные прямой D). Плоскости, проходящие через
прямую D и через каждую из построенных касательных, и будут пло-
скостями искомых окружностей.
Наибольшее число решений — два.
688
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Отметим, что задача всегда имеет два решения, если окружно-
сти А и В не имеют общих точек. Действительно, в этом случае
прямая D не имеет с данным шаром общих точек, и точка пересече-
ния прямой D с плоскостью окружности Г (если эта точка пересече-
ния существует) лежит вне этой окружности.
VI. Построить на шаре окружность, принадлежащую с двумя
данными окружностями А и В к одному пучку и ортогональную
к третьей данной окружности Г.
Так как искомая окружность должна принадлежать к одному пучку
с окружностями Л и В, то её плоскость должна проходить через ли-
нию пересечения D плоскостей окружностей А и В, а так как иско-
мая окружность должна быть ортогональна к окружности Г, то её
плоскость должна проходить через полюс Р плоскости окружности Г
относительно шара. Следовательно, плоскостью искомой окружности
будет плоскость, проходящая через прямую D и через точку Р. Таким
образом, искомая окружность построена.
Если окружности А и В имеют две общие точки, то прямая D,
а следовательно, и плоскость, проходящая через эту прямую и через
точку Р, пересекают данный шар, и задача имеет решение. В других
случаях задача может и не иметь решений.
VII. Построить на шаре окружность, пересекающую данную
окружность А под данным углом и ортогональную к каждой из
двух других данных окружностей В и С.
Рассмотрим отдельно три возможных случая (ср. Пл., решение
упр. 259).
1°. Окружности В и С пересекаются в двух точках М и N. Вы-
полним одну из инверсий (ср. решение упр. 774), преобразующих
данный шар сам в себя, точки М и N — в две диаметрально проти-
воположные точки М' и N’ и, следовательно, окружности В и С —
в два больших круга В’ и С. Пусть данная окружность А преобра-
зуется в некоторую окружность А'. Искомая окружность преобразуется
этой инверсией в некоторую окружность, ортогональную к двум боль-
шим кругам В' и С, т. е. в окружность, имеющую точки М' и N'
своими полюсами, и мы приходим к задаче: построить на шаре окруж-
ность с полюсами в точках М и N', пересекающую окружность
А' под данным углом.
Решение последней задачи сводится, очевидно, к построению сфе-
рического треугольника по двум сторонам и углу против одной из них
(ср. упр. 499, построение Л): данными сторонами будет дуга, соеди-
няющая точку М' с полюсом окружности А', и сферический радиус
последней; угол, лежащий против первой из этих сторон, должен быть
равен данному углу.
2°. Окружности В и С касаются одна другой в точке Т. Искомая
окружность пересекает обе окружности в точке Т под прямым углом.
Мы приходим к задаче: построить на шаре окружность, пересекаю-
щую окружность В в данной её точке Т под прямым углом и пере-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
689
секающую окружность Л под данным углом. Эта последняя задача
представляет собой, очевидно, частный случай одной из задач, рас-
смотренных выше (а именно, задачи, приведённой под рубрикой IV).
3°. Окружности В и С не имеют общих точек. Выполним одну
из инверсий (упр. 776), преобразующих данный шар сам в себя, а
шпине окружности В и С—в две окружности В' и С, лежащие
в параллельных плоскостях и, следовательно, имеющие общие по-
носы Р' и Q'. Пусть данная окружность А преобразуется при этом
в некоторую окружность .4’. Искомая окружность преобразуется этой
инверсией в некоторую окружность, ортогональную к двум окружно-
стям В' и С, имеющим общие полюсы Р' и Q', т. е. в большой круг,
проходящий через точки Р' и Q', и мы приходим к следующей задаче:
построить на шаре большой круг, проходящий через точки Р' и Q’
и пересекающий окружность А' под данным углом.
Решение последней задачи не представляет затруднений, так как
все большие круги иа шаре, пересекающие данную окружность под
данным углом, касаются, очевидно, одной и той же окружности, имею-
щей с данной общие полюсы.
Переходим, наконец, к решению на шаре задачи 403 планиметрии.
VIII. Найти на шаре окружность, пересекающую три данные
окружности А, В и С под данными углами а, {J и у.
Эту задачу также можно решить, воспользовавшись стереографи-
ческой проекцией и сведя её к соответствующей задаче на плоскости.
Мы дадим здесь непосредственное решение этой задачи, аналогичное
решению соответствующей задачи на плоскости (Пл., решение за-
тачп 403).
Если принимать во внимание угол между радиусами двух окруж-
ностей, проведёнными в точки их пересечения, то искомые окружно-
сти естественно распределить в четыре семейства в зависимости от
того, пересекает ли искомая окружность три данные под углами, строго
равными:
’) а, р, у
2) 2d— i, у
3) а, 2d — fj, у
4) а, 2d — у
пли 2d — 2, 2d—р;, 2d —
или а, 2d—}, 2d—
или 2d — а, 3, 2d — у;
или 2d — а, 2d — -i, у.
Для определённости начнём с отыскания окружностей, принадле-
жащих к первому из этих семейств, и даже предположим, что иско-
мая окружность с пересекает тайные иод углами, строго равными а,
(J и у.
Построим, как было указано выше (под рубрикой IV), какую-либо
кружность з,, пересекающую окружности А и В под углами, строго
равными а и 8 (или же какую-либо окружность пересекающую их
мод углами, строго равными 2d— я и 2d—^J). При этом искомая
окружность с и окружность 3] (или 31) будут принадлежать к одному
44 Элементарная геометрия, ч. II
6f0
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
п тому же семейству (в смысле предложения II) окружностей, пере-
секающих А и В под углами а и Следовательно, любая окруж-
ность, принадлежащая с А и В к одному пучку, пересекает окруж-
ности G и Gj, на основании сказанного при доказательстве предложе-
ния II, под строго равными (а окружности с и G]— под строго
пополнительными) углами.
Найдём далее среди окружностей, принадлежащих с А и В к од-
ному пучку, две окружности А' и В', касающиеся окружности с,
(или Gi), пользуясь способом, указанным выше (под рубрикой V). Мы
предположим пока, что такие окружности существуют. Эти две
очэужности будут касаться, в силу только что сказанного, и искомой
окружности G (так как касание есть пересечение под углом 0 или 2т/).
При этом окружность А' будет касаться окружностей G и G, одина-
ковым образом (а окружностей а и Gi — неодинаковым образом), так
как она должна пересекать их под строго равными (под строго по-
полнительными) углами. То же относится к окружности В'.
Следовательно, искомая окружность s должна касаться, и при-
том вполне определённым образом (в смысле внутреннего или внеш-
него касания), каждой из окружностей А' и В' и пересекать окруж-
ность С под углом, строго равным у.
Построим теперь какую-лпбо окружность g2, пересекающую окруж-
ность С под углом, строго равным у, и касающуюся окружности А'
таким же образом, как её касается окружность о (или же какую-либо
окружность с2> пересекающую окружность С под углом, строго рав-
ным 2d—-у, и имеющую с окружностью А' касание противоположного
характера, е 1 касание окружности о с Л')- В силу предложения II,
любая окружность, принадлежащая с окружностями А' и С к одному
пучку, пересекает окружности а и g2 под строго равными (а окруж-
ности G и &2 — под строго пополнительными) углами.
Так как среди окружностей, принадлежащих с А' и С к одному
пучку, есть окружность (а именно Л'), касающаяся окружности g2
(или о2), то среди тех же окружностей найдётся (ср. выше, рубрика V),
вообще говоря, и вторая окружность С, касающаяся окружности g2
(или g2). При этом окружности о и g2 касаются окружности С' одина-
ковым образом (а окружности а2 и g2 касаются её неодинаковым образом).
Итак, искомая окружность с должна касаться трёх окружно-
стей. А', В' и С, которые мы можем построить, и притом каж-
дой из них вполне определённым образом (в смысле внутреннего или
внешнего касания).
Мы отыскивали окружность G, пересекающую данные окружности
под углами, строго ранными а, р и у. Легко видеть, повторяя ана
логичные рассуждения, что окружность с', пересекающая три данные
окружности под углами, строго равными 2d — а, 2d—fi и 2d—-у.
должна касаться тех же окружностей А', В' и С, что и окружность о.
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
691
Однако с каждой из трёх окружностей А', В' и С две окружности с
и а' имеют разноимённые касания. Это вытекает из того, что при
построении окружности о можно воспользоваться той же самой вспо-
могательной окружностью G] или Ci, что и выше, и той же самой вспо-
могательной окружностью G2 ИЛИ <?2. Однако окружности Gj И 01, а
также о2 и о2 меняются теперь ролями.
Можно доказать и обратно, что всякая окружность, касающаяся
окружностей А’, В1 и С указанным образом (в смысле внешнего или
внутреннего касания), пересекает данные окружности под углами,
строго равными a, fl, у или 2d—а, 2d—р, 2d —"( (ср. соответ-
ствующее доказательство в решении Пл., зад. 403).
Итак, искомые окружности, принадлежащие к первому из чегы-
рёх семейств, перечисленных в начале решения настоящей задачи,
т. е. пересекающие данные окружности под углами, строго рав-
ными a, fl, у или же 2d — а, 2d — j), 2d — у, касаются трёх окруж-
ностей. А', В' и С. При этом они обе принадлежат к одному и
тому же из четырёх пучков окружностей, пересекающих три данных
под равными углами (п. 530). Действительно, из сказанного выше
следует, что если одна из искомых окружностей первого семейства
касается каких-либо двух из трёх окружностей, скажем А' и В', оди-
наковым образом, то и всякая окружность первого семейства касается
их одинаковым образом.
Мы предположили выше, что среди окружностей, принадлежащих
с Л и В к одному пучку, найдутся две окружности А' и В', касаю-
щиеся вспомогательной окружности о1 (или Sj). Как было отмечено
выше (под рубрикой V), это всегда будет иметь место, если окруж-
ности А и В не имеют общих точек. Однако окружности А' и В'
могут существовать и в том случае, когда окружности А и В пере-
секаются (ср. черт. 664 на стр. 573 первой части книги).
В том случае, когда среди окружностей, принадлежащих с А нВ
к одному пучку, не существует окружностей, касающихся искомой
окружности, и то же обстоятельство имеет место для каждой из пар
окружностей В и С, А и С, описанный способ оказывается неприме-
нимым. Это может случиться лишь в том случае, когда все три дан-
ные окружности имеют попарно общие точки (ср. черт. 665 иа стр. 575
первой части книги).
Чтобы дать решение поставленной задачи, пригодное и в этом
случае, поступим следующим образом. Построив вспомогательную
окружность Gj (или Gj), как указано выше, найдём среди окружностей,
принадлежащих с А и В к одному пучку, окружность Во, ортогональ-
ную к Gj (или о').. Способ построения был указан выше (иод рубри-
кой VI). Искомая окружность о (или с') должна быть также ортого-
нальна к Во, так как окружности о и о, (илп о и о') пересекают
Во под равными углами. Аналогичным образом, построив далее новую
вспомогательную окружность с2, пересекающую А и С под углами,
44
692
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
соответственно равными а и у, можно найти окружность Со, принад-
лежащую с А и С к одному пучку и ортогональную к окружности аг.
Окружность Со будет ортогональна и к искомой окружности а.
Итак, искомая, окружность s (или а') должна пересекать окруж-
ность А под углом, строго равным а (или 2d—а), и быть ортого-
нальной к окружностям Во и Со. Можно показать, что и обратно,
всякая окружность, удовлетворяющая этим последним условиям, будет
удовлетворять и условиям первоначальной задачи. Таким образом, мы
приходим к построению, рассмотренному выше под рубрикой VII.
Заметим, что этот второй путь решения будет заведомо пригоден
в тех случаях, когда первый способ может оказаться неприменимым,
т. е. когда три данные окружности попарно пересекаются. В самом
деле, если две окружности пересекаются, то через точки их пересе-
чения всегда можно провести окружность, ортогональную к третьей
данной окружности (ср. сказанное выше, под рубрикой VI). Следова-
тельно, в данном случае окружности Во и Со существуют.
Однако этот второй путь может оказаться непригодным в тех
случаях, когда первый способ заведомо применим. В самом деле, если
две окружности (скажем А и В) не пересекаются, то средн окружно-
стей, принадлежащих с ними к одному пучку, может не существовать
окружности, ортогональной к данной окружности (скажем к aj).
До сих пор мы искали окружности, принадлежащие к первому из
четырёх семейств, о которых говорилось в начале решения. Таким
же путём можно найти окружности, принадлежащие к каждому из
остальных трёх семейств. Надо только заменить один из углов а, >
и у углом, ему пополнительным. Существенно, что при этом каждый
раз придётся пользоваться некоторыми вспомогательными окружно-
стями, аналогичными А’, В' и С или Во и Со, но, вообще говоря,
отличными от последних.
Каждое из четырёх семейств окружностей содержит самое большее
две искомые окружности, и потому наибольшее возможное число
решений задачи — восемь.
801. В решении упражнения 705 было показано, что поставленная
там задача становится неопределённой, если обе данные окружности
лежат на одном шаре, и что при этом все искомые окружности ле-
жат на том же шаре, а плоскости искомых окружностей проходят
через одну и ту же прямую I, соединяющую центры обеих данных
окружностей.
Следовательно (и. 505), вершины конусов, описанных около шара
и касающихся его вдоль искомых окружностей, т. е. полюсы относи-
тельно шара плоскостей искомых окружностей, лежат на одной пря-
мой— взаимной поляре Г прямой I относительно шара. Так как
прямая I пересекает шар в двух точках, то её взаимная поляра /' не
имеет с шаром общих точек. Поэтому геометрическим местом вер-
шин рассматриваемых конусов будет вся прямая Г.
Далее в решении упражнения 706 было показано, что поставлен-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
693
пая там задача становится неопределённой, если обе данные окруж-
ности лежат на одном шаре и пересекаются в двух точках А и В,
что все искомые окружности лежат при этом на том же шаре и что
। еометрпческим местом центров этих окружностей служит отрезок АВ.
Так как вершины конусов, описанных около данного шара и касаю-
щихся его вдоль искомых окружностей, очевидно, обратны относительно
данного шара центрам искомых окружностей, то геометрическим местом
этих вершин будет дуга АВ окружности, обратная отрезку АВ отно-
сительно данного шара.
802. Всякий большой круг шара, отличный от окружности с, пере-
секает последнюю в двух её диаметрально противоположных точках.
Следовательно, чтобы окружность С, лежащая в плоскости Р, была
проекцией большого круга шара, она должна пересекать данную
окружность с в двух её диаметрально противоположных точках (или
с ней совпадать); то же условие, очевидно, и достаточно.
Это условие можно представить и в другой форме. Если о — центр
окружности с, г — её радиус, то степень точки о относительно
любой окружности С должна равняться —г2. Отсюда следует, что
стереографические проекции т и т' двух диаметрально противополож-
ных точек шара (т. е. точек пересечения двух больших кругов), как
точки пересечения двух окружностей С, должны лежать на одной
прямой с точкой о и удовлетворять (по величине и знаку) условию
от-ст' = —г2.
803. Пусть, как и в упражнении 802, в плоскости Р дана окруж-
ность с — большой круг того шара, который стереографически проек-
тируется на плоскость Р из одного из полюсов этого круга. Будем
обозначать центр и радиус окружности с через о и г.
1°. Даны стереографические проекции а и Ь двух точек А и В
шара; требуется построить стереографическую проекцию большого
круга, проходящего через эти две точки шара.
Строим сначала стереографическую проекцию а' точки А' тиара,
диаметрально противоположной точке А на шаре. Точка а' лежит на
прямой оа и удовлетворяет (ср. решение упр. 802) условию оа-оа' =
— —г2. Последнее равенство показывает, что точка а' симметрична
относительно точки о точке, обратной данной точке а относительно
данного шара. Это даёт возможность построить точку а'. Последнюю
можно, например, определить как точку пересечения с прямой оа
окружности, проходящей через точку а и через концы т и т' диа-
метра окружности с, перпендикулярного к оа.
После того как точка а' построена, достаточно провести окруж-
ность через точки а, b и а'.
2°. Даны стереографические проекции а и b двух точек А и В
шара. Требуется построить на плоскости угол, равный углу АоВ,
измеряющему сферическое расстояние между точками А и В.
Вместо угла АоВ сферическое расстояние можно также измерять
углом между двумя большими кругами, перпендикулярными к боль-
694
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
тому кругу АВ и проходящими соответственно через точки А и В.
Так как стереографическая проекция не изменяет углов между окруж-
ностями, то это построение можно осуществить следующим образом.
Строим проекцию а' точки, диаметрально противоположной точке
А, и проекцию большого круга АВ (ср. выше, 1°); на построенной
окружности аа'Ь находим проекцию Ь' точки, диаметрально противо-
положной точке В, как точку пересечения этой окружности с прямой
оЬ. Через точки а и а' проводим окружность, ортогональную к окруж-
ности аа'Ь (Пл., п. 90, построение 13); через точки Ь и Ь' проводим
аналогично окружность, также ортогональную к окружности аа'Ь (на
которой лежит и точка Ь'}. Угол между двумя последними построенными
окружностями и будет искомым.
3°. Построить стереографическую проекцию окружности с по-
люсом А, проходящей через точку В, зная стереографические проек-
ции а и b точек А и В.
Так как эта последняя окружность пересекает под прямым углом
все большие круги, проходящие через точку А и через точку, ей
диаметрально противоположную, то и искомая стереографическая
проекция той же окружности должна пересекать под прямым углом
проекции всех этих больших кругов. Таким образом, задача сводится
к следующей:
Провести на плоскости через точку Ь окружность, пересекаю-
щую под прямым углом все окружности, проходящие через данную
точку а и через точку а', построенную как указано выше в 1°.
Центром искомой окружности будет, очевидно, точка пересечения
прямой аа' с касательной к окружности аа'Ь в точке Ь. Построение
требует видоизменения, если точка Ь лежит на прямой аа': в этом
случае искомая окружность вторично пересекает прямую аа' в точке,
гармонически сопряжённой с точкой Ь относительно концов отрезка
аа' (Пл., п. 189).
Пусть теперь вместо точки Ь дана дуга окружности с, равная
сферическому радиусу искомой окружности. В этом случае при-
дётся предварительно построить проекцию Ь одной из точек рас-
сматриваемой окружности, чтобы свести задачу к только что рассмот-
ренной. Проще всего построить точку Ь, лежащую на прямой оа. С этой
целью проводим окружность через точку а и через концы т и т
диаметра окружности с, перпсн щкулярного к прямой оа. Далее про-
водим через точки т и т' окружность (точнее говоря, одну из двух
окружностей), образующую с окружностью атт' угол, измеряемый
данной дугой. Точка пересечения этой последней окружности с прямой оа
и будет точкой Ь. Справедливость этого последнего построения вытекает
из того, что точки т и т' будут стереографическими проекциями по-
люсов того большого круга, который имеет прямую оа своей проекцией.
4°. Построить стереографическую проекцию большого круга,
представляющего геометри 'еское место точек, равноудалённых
от двух данных точек, зная стереографические проекции последних.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
695
Строим проекции двух окружностей, каждая из которых имеет своим
полюсом одну из данных точек и проходит через другую (ср выше, 3°);
далее' строим проекцию большого круга, проходящего через точки
пересечения обоих построенных окружностей (ср. выше, 1°).
Выполнение построений, указанных в упражнении 499, не пред-
ставляет теперь принципиальных затруднений: достаточно выполнить
в стереографической проекции те операции, которые выполняются при
решении тех же задач на шаре (ср. решение упр. 499), используя
для этой цели рассмотренные построения 1° — 4°.
894. Обозначим через Р точку данного шара, диаметрально про-
тивоположную точке V (черт. 484), и через р — её стереографиче-
скую проекцию, т. е. центр окружности с (черт. 485). Пусть тре-
буется построить точку М шара, имеющую своей стереографической
проекцией данную точку т плоскости проекций.
Задача будет решена, если мы построим на шаре большой круг,
имеющий своей проекцией прямую рт, и малый круг, имеющий своей
проекцией окружность с центром р, проходящую через точку т.
Пусть b — точка пересечения луча рт с окружностью с. Пользуясь
сферическим циркулем, отложим на большом круге С в надлежащем
направлении дугу АВ, равную дуге ab окружности с. Далее строим
большой круг РВ. Последний и будет и|1еть своей стереографической
проекцией прямую рт.
Строим теперь на плоскости окружность с' (черт.486) с произ-
вольным ве нтро л р' и радиусом, равным радиусу данного шара, т. е.
радиусу данной окружности, а также какой-либо диаметр У Р' этой
окружности с'. На луче р'В', перпендикулярном к VP', откладываем
отрезок р'т', равный рт. Обозначим через М' вторую точку пересе-
чения прямой Ут' с окружностью с'. Пользуясь сферическим цирку-
лем, строим на шаре малый круг с полюсом Р, сферический радиус
696
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
которого равняется дуге Р'Л1 окружности с'. Этот малый крхг и
будет, очевидно, и леть своей стереографической проекцией окруж-
ность с центром р, проходящую через точку т. Искомой точкой /И
будет точка пересечения построенного малого круга с полуокружно-
стью PBV большого круга РВ.
Построение можно было бы несколько спростить, приняв за окружность
с' самую данную окружность с и за точку т' — данную точка т (соответст-
вующие построения показаны пунктиром па черт. 485).
Чтобы, обратно, построить точку т по заданной точке /И, доста-
точно выполнить аналогичные построения, но в обратной последова-
тельности.
805. В основу построения мы положим следующее предложение
геометрии на шаре: окружность Г, которая пересекает две данные
окружности С и С под прямым углом,
сама себе соответствует как в одной
так и в другой инверсиях, преобра-
зующих данные окружности одну в
другую. Это предложение непосредст-
венно вытекает из соответствующего
предложения геометрии на плоскости
(Пл., п. 227а) с помощью стереографи-
ческой проекции (или из предложе-
ния 1, приведённого в решении упр. 800).
Отсюда следует, что точки пересечения
А и В окружности .Г с данной окруж-
ностью С преобразуются в точки пере-
сечения А' и В' окружности Г с дру-
гой данной окружностью С обеими
инверсиями, о которых идёт речь; одна из двух инверсий преобра-
зует точку А в А', точку В—в В'; другая, наоборот, точку А-—в
В’ и точку В— в А'. Отсюда вытекает следующий способ построе-
ния любого числа пар соответственных точек в обеих инверсиях.
Строим радикальный большой круг двух данных окружностей; так
как радикальные большие круги каких-либо трёх окружностей, взятых
попарно, имеют две общие точки (п. 526), то способ построения ра-
дикальной оси двух окружностей на плоскости (Пл. п. 158, построе-
ние 12) применим и в данном случае. Далее строим какую-либо
окружность Г с полюсом в одной из точек М радикального большого
круга, ортогональную к С, а следовательно, и к С; чтобы построить
такую окружность Г, достаточно провести через точку М большой
круг, касательный к С (упр. 499, построение п); точку М надо вы-
брать на радикальном большом круге так, чтобы последняя задача
имела решение. Точки пересечения построенной окружности Г с ок-
ружностями С н С и определяют две пары взаимно обратных точек,
как было указано выше.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛХВА I
697
Переходим к построению окружности инверсии, если она суще-
ствует. С этой целью проводим через две взаимно обратные точки
произвольную окружность 2- ^та окружность сама себе соответствует
в данной инверсии и потому будет ортогональна к окружности ин-
версии. Поэтому окружность инверсии можно построить как окруж-
ность, ортогональную к окружности У л к двум другим окружностям,
ей аналогичным (и не принадлежащим сук одному пучку): способ
построения такой окружности вытекает из сказанного в пп. 525—526
и вполне аналогичен способу решения соответствующей задачи на
плоскости (ср. Пл., п. 158, построение 13).
Точки U п V пересечения между собой двух окружностей Г и Г',
каждая из которых ортогональна к обеим данным, преобразуются одна
в другую как той, так и другой из рассматриваемых инверсий. По-
этому прямая UV должна проходить через полюсы обеих инверсий.
Иначе говоря, U и V будут точками пересечения шара с прямой,
соединяющей полюсы обеих инверсий, т. е. вершины двух конусов,
которые можно провести через данные окружности
Многие из описанных построений на шаре упрощаются, если две данные
окружности пересекаются: в этом случае радикальный большой круг прохо-
дит через точки пересечения обеих окружностей, обе окружности инверсий
также проходят через точки пересечения обеих окружностей и делят углы
между ними пополам.
Выполнение рассмотренных построений в стереографической проек-
ции не представляет никаких затруднений, так как стереографическая
проекция двух взаимно обратных фигур на шаре представляет собой
(в силу упражнения 762) также взаимно обратные фигуры. Отметим
только, что стереографические проекции и и v точек U и V, о ко-
торых только что шла речь, представляют собой предельные точки
(Пл., упр. 152) тех окружностей с и с', которые служат стереогра-
фическими проекциями данных окружностей С и С'. Действительно,
точки и и v будут точками пересечения окружностей, ортогональных
к с п с'.
806. Окружность, о которой говорится в упражнении 502 (см.
решение этого упражнения), лежит в плоскости, проходящей через
центры трёх данных окружностей; чтобы построить эффективно эту
окружность, достаточно построить какие-либо три точки пересечения
указанной плоскости с шаром.
Пусть Р и Р' — полюсы двух из данных окружностей (черт. 487).
Построим на шаре большой круг, проходящий через точки Р и Р',
и обозначим через М, N и АГ, N' точки его пересечения с этими
двумя данными окружностями. Строим далее на плоскости окружность,
радиус которой равен радиусу данного шара (черт. 488), и на ней
точки р, р', т, п, т' и п' так, чтобы дуги РР', PM = PN и Р'М —
= P'N' были соответственно равны дугам рр', рт=рп и р'т' =р'п'
(обозначения точек т, п и т , п выбираем так, чтобы на окружности
точки /л, р, п, т', р', п' следовали одна за другой в том же
698
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
порядке, что и соответствующие точки на большом круге РР'). Пусть
прямая, соединяющая середины о и о' хорд тп и т'п', пересекает
окружность в точках I п Г. Постэоим на большом круге РР' шара
с помощью сферического циркуля такие точки L и L', чтобы дуги 1т,
In, I'm' и Гп’ были равны соответственно дугам LM, LN, L'M' и L’N'.
Точки L и L' будут, очевидно, лежать на прямой, соединяющей цен-
тры обеих данных окружностей, и потому будут лежать на искомой
окружности.
Черт. 487. Черт. 488.
Рассматривая одну из только что использованных данных окружно-
стей вместе с третьей из них, можно аналогично построить ещё
одну пару точек искомой окружности, а следовательно, и самую
искомую окружность.
827. Задачу, которую мы должны решить, можно сформулировать
следующим образом:
Даны стереографические проекции сг, сг и с8 трёх окружно-
стей Ct, Сг и Cs, лежащих на шаре, и окружность с, по которой
шар пересекает плоскость проекции; построить стервографшческую
проекцию у окружности Г на шаре, которая пересекает каждую
из окружностей Cj, С2 и Cs в двух- её диаметрально противопо-
ложных точках.
Рассмотрим, как будут изображаться в стереографической проек-
ции диаметрально противоположные точки окружности Cj. С этой
целью заметим, что каждые две диаметрально противоположные точки
окружности Cj, очевидно, соответствуют одна другой в некоторой
инверсии в пространстве, а именно в инверсии, имеющей своим полю-
сом центр этой окружности и своей степенью — степень её полюса
относительно шара. Иначе можно сказать, что каждые две диаметрально
противоположные точки окружности С{ соответствуют одна другой
в некоторой инверсии на шаре, преобразующей окружность в са-
мое себя. Так как стереографические проекции двух взаимно обрат-
ных фшур на шаре представляют собой две взаимно обратные фи-
гуры на плоскости (мы пользовались этим замечанием в решении пре-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАС1И. ГЛАВА I
699
дыдущего упражнения), то мы приходим к следующему результату.
Стереографические проекции каждых двух диаметрально противопо-
ложных точек окружности представляют собой две точки окруж-
ности с,, соответствующие одна другой в одной и той же инверсии !х
на плоскости, преобразующей окружность сг в самоё себя. Чтобы
найти на плоскости полюс последней инверсии, достаточно найти
стереографические проекции двух пар диаметрально противоположных
точек и соединить найденные точки попарно между собой. За проек-
ции одной такой пары точек можно принять, очевидно, точки Пересе- •
1ения линии центров окружностей с и сг с окружностью ср, проек-
ции точек другой пары можно найти, построив стереографическую
проекцию какого-либо большого круга, пересекающего окружность С\
под прямым углом. Таким образом, полюс Oj инверсии /1 можно по-
строить. Степень (необходимо отрицательная) инверсии /г равна сте-
пени точки О] относительно окружности с,; мы будем обозначать сте-
пень инверсии /j через —р2, где pt — отрезок, который можно
построить. Так как искомая окружность у проходит через две точки,
соответствующие одна другой в инверсии /н то окружность у сама
себе соответствует в инверсии /}.
Рассматривая аналогично окружности С2 и С8 и их стереографи-
ческие проекции, мы найдём, что искомая окружность у сама себе
соответствует ещё в двух инверсиях, полюсы которых О2 и О3 мы
можем построить таким же образом, как выше полюс О1 первой ин-
версии. Степени обеих инверсий отрицательны; пх мы обозначим че-
рез — р| и —р|, где р2 и р3 — отрезки, которые мы также можем по-
строить, как и выше отрезок р,. Таким образом, мы приходим
к следующей задаче:
На плоскости даны три инверсии с данными полюсами Ор
О2 и О3 и отрицательными степенями
^ = _р2; /е2=—р2; *3 = -р*,
заданными отрезками рр р2, р3. Построить окружность, которая
преобразуется в себя каждой из э.пих трёх инверсий.
Чтобы каждая из трёх инверсий преобразовала искомую окружность
О(г)в самоё себя, степень полюса каждой инверсии относительно иско-
мой окружности должна равняться степени соответствующей инверсии:
О, О2 _ Г2 = _ р2. о2О2 - г2 = - р2; О3О2 - г2 = - &
Чти уравнения показывают, что искомая окружность О (г) делит по-
полам каждую из трёх известных окружностей О, (Pi), О2 (р2) и Оз(?з)-
Таким образом, мы приходим окончательно к следующей задаче:
Построить на плоскости окружность О (г), которая делит
каждую из трех данных окружностей пополам.
Решение этой последней задачи не представляет затруднений,
если воспользоваться сказанным в решении упражнения 708, приме-
чание 2°.
700
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
808. Заметим, что содержание задачи 112 планиметрии можно
понимать шире, чем это было сделано на стр. 359 — 360 первой
части книги, а именно следующим образом:
Две окружности на плоскости, первая из которых касается
данной прямой а или данной окружности в данной на ней точке А,
а вторая — другой данной прямой b или другой данной окружности
в данной на ней точке В, изменяются, оставаясь всё время
касательными между собой. Найти геометрическое место их
' точек касания.
Случай,- когда даны две окружности, не отличается от того случая,
когда даны две прямые; поэтому мы ограничимся, для определённости,
только последним.
Первое решение. Пусть, во-первых, данные прямые а и b
пересекаются в некоторой точке Р (черт. 489). Если две окружности,
первая из которых касается прямой а в точке А, а вторая — прямой b
Черт. 489.
в точке В, касаются одна другой внешним образом в точке М, ле-
жащей внутри угла АРВ, то угол АМВ будет равен, как легко убе-
диться из чертежа, сумме углов РАМ и РВМ, так что равенство
/ АРВ-- / РАМ -|- / РВМ-|- / АМВ = 4<7 принимает вид:
/ АРВ - - 2Х АМВ = 4d, откуда
/ АМВ = “2d---------X АРВ ----- const.
(1)
Если же при тех же предположениях окружности касаются одна
другой внутренним образом в точке Н, также лежащей внутри
угла АРВ, то угол АНВ будет, очевидно, дополнять до 2d сумму
внешних углов при вершинах А и В четырёхугольника РАНВ, т. е.
Z.AHB+(2d— </PAH)-\-(2d — /_PBH) = ^d, откуда /_РАН^-
+ /_ РВН= АНВ 2d. Равенство X АРВ Ц- X РАН-{- /_ РВН-\-
ДОПОЛНЕНИЯ КО второй части. гл \ВА I
701
~г~ / А.\!В — Ad принимает вид _/_АРВ [-2 / ANB — 2d, откуда
/ .4.V5 = cl — i Z лрв = const.
Если бы мы рассмотрели аналогичным образом две окружности,
касающиеся одна другой внутренним образом в точке /И', лежащей
вне угла АРВ, пли внешним образом в точке N', также лежащей вне
угла АРВ, то мы получили бы соответственно:
^АЛГВ=у /_АРВ const; (Г)
^/_AN'B~d-\-~^APB = eonst. (2')
Из равенств (1) и (Г) следует, что геометрическое место точек
М и М есть некоторая окружность, проходящая через данные точки
А и В, а из равенств (2) и (2'), что геометрическое место точек
N в N" есть другая окружность, проходящая через те же точки.
Из равенств (Г) и (2) вытекает соотношение / АМ'В-|- /ANB = d,
из которого легко заключить, что обе последние окружности пересе-
каются в точках А и В под прямым углом.
Если прямые а и b параллельны, то аналогичным путём полу-
чаются следующие результаты; геометрическое место точек М и М
есть прямая АВ, а геометрическое место точек N и N' — окружность,
имеющая отрезок АВ своим диаметром.
Сказанное требует оговорки в том случае, когда при пересекающихся
данных прямых имеет место равенство РА — РВ или при параллельных дан-
ных прямых прямая АВ к ним перпендикулярна. В этом случае существую
окружность, которая касается первой данной прямой в точке А и второй дан-
ной прямой — в точке В. Эта последняя окружность будет совпадать с той
окружностью, которая в общем случае служит геометрическим местом точек Л
и N' (она получается как геометрическое место „точек касания* двух совпа-
дающих между собой окружностей; действительно, всякая общая точка двух
совпавших окружностей обладает тем же свойством, что и точка касания
двух различных окружностей — обе окружности имеют в этой точке общую
касательную). Поэтому в отмеченных здесь частных случаях искомым геомет-
рическим местом будет одна окружность или одна прямая.
Примечание. Чтобы не рассматривать отдельно несколько частных
случаев, как это было сделано выше, можно воспользоваться направленными
углами и равенствами (I) — (IV), выведенными в решении задачи 344 плани-
метрии.
Рассмотрим опять сначала случай, когда прямые а и b пересекаются
в некоторой точке Р. Пусть две окружности, первая из которых касается
прямой а в точке А, а вторая — прямой Ь в точке В, касаются одна другой
в точке М. Обозначим через МТ общую касательную к обеим окружностям
в точке .44. При этом мы будем иметь во всех случаях по величине и знаку:
<$РАМ=-^АМТ', -QTMB'= <$МВР. Далее, в силу равенства (II), имеем:
<У /МШ=< ЛЛ47Ч-< ТМВ=^РАМ-\-<$МВР. В' силу равенства (III)
имеем: <£ РАМ + < АМР + < МРА = 0; МБР + < BPM -J- < РМВ—0,
откуда « BPM -J- «J МРА) + РАМ 4- « АМР + < РМВ) 4- МБР- 0 или,
в силу (II): ВР/1< РА41 4-А44Д 4-< Л4ВР= 0. Заменяя здесь, нако-
нец, сумму РАМ 4* МБР равным ей углом АМВ, получим <£ БРА 4~
4-2<ДЛ4'В —0.
702
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Отыскание из последнего уравнения направленного угла -^АМВ тре-
бует особого внимания. Напомним, что в решении задачи 344 планиметрии
мы условились считать равными между собой те направленные углы, алге-
браические величины которых или равны, или отличаются друг от друга на
целое число полуокружностей. Поэтому последнее равенство можно заменить
следующим: <$ ВРА 4- 2 АМВ ~ 2dk, где k — любое целое число. Отсюда
<i^AMB—dk—^-d^BPA. Не считая опять различными направленные углы,
отличающиеся один от другого на целое число полуокружностей, мы будем
иметь два существенно различных возможных случая:
$АМВ= — J <$ВРА и < AMB = d-^- ^ВРА.
Как в том, так и в другом случае геометрическим местом точек Л1 будет,
в силу (IV), некоторая окружность. Мы получили тот же результат, что и выше.
В случае, когда прямые а и b параллельны, мы будем иметь, как легко
видеть, те же формулы, в которых MPA — ВРМ = ВРА — 0.
Второе решение. Инверсия с полюсом А и произвольной
степенью преобразует окружности, касающиеся в точке А прямой а.
в прямые, параллельные последней прямой, а окружности, касающиеся
в точке В прямой Ь, — в окружности, касающиеся в точке В', обрат-
ной точке В, одной и той же окружности Ь', обратной прямой Ь.
Мы приходим, таким образом, к следующей задаче:
Найти геометрическое место точек прикосновения касатель-
ных, параллельных данной прямой а, к окружностям, касающимся
в данной точке В' данной окружности Ь'.
Так как окружности, касающиеся одна другой в данной точке В',
имеют эту точку В' своим общим центром подобия, то это геомет-
рическое место состоит, как легко видеть, пз двух взаимно перпен-
дикулярных прямых (черт. 490) или, в частном случае, представляет
собой одну прямую (ср. решение упр. 702).
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
703
Следовательно, искомое геометрическое место точек касания М
двух окружностей состоит из двух окружностей (или, в частности,
из окружности и прямой), пересекающихся под прямым углом (или
представляет собой одну окружность или прямую). Мы пришли
к тому же результату, что и в первом решении.
Переходим теперь к случаю шара.
Две окружности на шаре, первая из которых касается одной
данной окружности в данной на ней точке, а вторая — другой
данной окружности также в данной на ней точке, изменяются,
оставаясь всё время касательными между собой. Найти геомет-
рическое место точек касания.
Выполняя стереографическую проекцию с центром в произволь-
ной точке шара, мы придём к только что рассмотренной аналогичной
задаче на плоскости. Следовательно, искомое геометрическое место
точек касания на шаре состоит из двух окружностей, ортогональных
между собой (или, в частном случае, представляет собой одну
окружность).
809. Пусть требуется найти геометрическое место точек касания
Л1 двух шаров У и У', первый из которых касается данной плоско-
сти а в данной точке А, а второй — другой данной плоскости р
также в данной точке В.
Первое решение. Предположим сначала, что данные пло-
скости аир пересекаются. Общая касательная плоскость к обоим
шарам в их общей точке М пересекает линию пересечения обеих
данных плоскостей а и р в точке Р, для которой РА — РМ=РВ.
Если прямая АВ не перпендикулярна к линии пересечения обеих
данных плоскостей, то на этой прямой существует единственная
точка Р, равноудалённая от точек А и В. Эта точка Р будет поэтому
общей точкой пересечения всех общих касательных плоскостей к ша-
рам S и S' в точках их касания М. Отсюда следует, что в этом
случае все точки касания М лежат на одном и том же шаре S с цен-
тром в точке Р п радиусом, равным РА = РВ. Шар S пересекает
какие-либо два шара У и У' по двум окружностям, первая из ко-
торых касается линии пересечения шара S с плоскостью а в точке А,
а вторая—линии пересечения шара S с плоскостью р в точке В. Та-
ким образом, мы приходим к отысканию на шаре 5 геометрического
места, рассмотренного в упражнении 808.
Если прямая АВ перпендикулярна к линии пересечения обеих
плоскостей а и р, то точка касания М лежит в плоскости, проходя-
щей через точки А и В и перпендикулярной к линии пересечения.
Таким образом, мы приходим к отысканию в этой плоскости геомет-
рического места, рассмотренного в упражнении 808. Аналогично ре-
шается задача в случае двух данных параллельных плоскостей.
Второе решение. Инверсия с полюсом в точке А и произ-
вольной степенью преобразует шары, касающиеся плоскости а в точ-
ке А, в плоскости, параллельные плоскости а, а шары, касающиеся
704
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
плоскости в точке В, — в шары, касающиеся в точке В', обратной
точке В, одного и того же шара, обратного плоскости fj. Мы прихо-
шм, таким образом, к следующей задаче:
Найти геометрическое место точек прикосновения М' касатель-
ных плоскостей, параллельных данной плоскости а, к тарам,
касающимся в данной точке В' данного шара.
Из решения упражнения 702 вытекает, что это геометрическое ме-
сто состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, лежащих
в одной плоскости, или, в частном случае, представляет собой одну
прямую.
Следовательно, искомое геометрическое место состоит из двух
(жружностей, лежащих на одном шаре и ортогональных между собой,
или представляет собой одну окружность.
810. Пусть требуется найти геометрическое место точек каса-
ния М данного шара 5 с шарами, касающимися в данной точке А
данной прямой D.
Обозначим через А' точку, в которой прямая, соединяющая точку А
с одной из точек касания М, пересекает во второй раз данный шар 5.
Одна пз касательных к шару S в точке Д' параллельна прямой D,
так как точка касания М есть центр подобия обоих шаров, а А и
А' — две соответственные точки. Следовательно, геометрическое место
точек А' есть большой круг шара 5. Геометрическое место точек Л1
шара 5 будет также окружностью, так как точки Л1 и А' соответст-
вуют одна другой в инверсии с полюсом А и степенью, равной сте-
пени точки А относительно шара 5.
811. Пусть требуется найти геометрическое место точек касания /И
двух окружностей С и С, первая из которых касается данной пря-
мой а в данной точке Л, а вторая — другой данной прямой b также
в данной точке В.
Первое решение. Предположим сначала, что данные пря-
мые а и b скрещиваются. Окружности С и С, не лежащие, оче-
видно, на одной плоскости и касающиеся друг друга в точке Л1,
лежат на одном шаре (п. 475, примечание 1), и этот шар касается
прямой а в точке А и прямой b — в точке В. Центр этого шара
лежит, очевидно, на линии пересечения I двух плоскостей, перпенди-
кулярных соответственно к прямой а в точке Дик прямой b в точ-
ке В. Кроме того, центр того же шара лежит в плоскости, перпенди-
кулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину. В случае
скрещивающихся прямых а и b эта последняя плоскость пересекает
прямую Z, так как прямая I перпендикулярна как к прямой а, так и
к прямой Ь, а отрезок АВ не может быть перпендикулярен к общему
перпендикуляру к тем же прямым. Отсюда следует, что существует
единственный шар S, касающийся прямых а и Ь соответственно в точ-
ках А и В, и на этом шаре S лежат все рассматриваемые окружно-
сти С и С. Таким образом, мы приходим к отысканию на шаре
геометрического места точек, рассмотренного в упражнении 808
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
705
(то обстоятельство, что вместо двух окружностей на шаре даны две
касательные а и b к шару 5, не изменяет существа вопроса).
Мы предполагали выше, что прямые а и b скрещиваются. Если
прямые а и b лежат в одной плоскости, то решение задачи, как
мы сейчас увидим, существенно изменяется. В этом случае точка
касания М может пли лежать в плоскости прямых а и Ь, или не лежать.
Если прямые а и b лежат в одной плоскости и точка касания М
лежит в той же плоскости, то мы приходим к отысканию на пло-
скости геометрического места точек, рассмотренного в решении упраж-
нения 808.
Если, далее, прямые а и Ь пересекаются в некоторой точке Р
(если они параллельны между собой) и точка касания М окружно-
стей С н С не лежит в плоскости данных прямых, то общая каса-
тельная к обеим окружностям в точке М проходит через точку Р
(соответственно — параллельна данным прямым). Отсюда следует, что
РА — РМ=РВ (соответственно — что прямые AM, МВ и АВ перпен-
дикулярны к данным прямым). Поэтому точка М лежит на шаре
с центром Р и радиусом, равным РА = РВ (соответственно— в плоско-
сти, проходящей через точки А и В и перпендикулярной к данным
прямым).
Принимая теперь во внимание сказанное в решении упражне-
ния 808, приходим к следующим окончательным результатам.
Если данные прямые а и b скрещиваются, то искомое геометри-
ческое место состоит из двух взаимно ортогональных окружностей,
лежащих на шаре S, который касается прямой а в точке А и прямой b
в точке В.
Если данные прямые а и b пересекаются в некоторой точке Р
такой, что РА РВ, то искомое геометрическое место состоит из двух
взаимно ортогональных окружностей, лежащих в плоскости данных
прямых; если же РА = РВ, то искомое геометрическое место пред-
ставляет собой шар с центром в точке Р и радиусом, равным РА-=РВ.
Если данные прямые а и b параллельны и прямая АВ к ним не
перпендикулярна, то искомое геометрическое место состоит из двух
взаимно ортогональных окружностей, лежащих в плоскости данных
прямых; если же прямая АВ перпендикулярна к данным прямым, то
искомое геометрическое место представляет собой плоскость, перпенди-
кулярную к данным прямым и проходящую через точки А и В.
Второе решение. Инверсия с полюсом в точке А и произ-
вольной степенью преобразует окружности, касающиеся прямой а
в точке А, в прямые, параллельные прямой а, а окружности, касаю-
щиеся прямой b в точке В, — в окружности, касающиеся в точке,
обратной точке В, одной и той же окружности, обратной прямой Ь.
Мы приходим, таким образом, к следующей задаче:
Найти геометрическое место точек прикосновения касательных
прямых, параллельных данной прямой а. к окружностям, касаю-
щимся в данной точке В данной окружности.
45 Элементарная геометрия, ч. II
706
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Решение этой последней задачи не представляет особых затрудне-
ний; решив её, мы получим, выполняя снова инверсию с полюсом
в точке А, те же результаты, что и при первом способе решения
первоначальной задачи.
812. Пусть а и b — данные прямые, а’ и Ь' — их взаимные поляры
относительно данного шара. Так как прямая а пересекает по условию
взаимную поляру Ь' прямой b или ей параллельна, то прямые а и Ь’
лежат в одной плоскости. Если последняя плоскость не проходит через
центр шара, то прямые a' w b обе проходят через полюс этой пло-
скости как взаимные поляры прямых а и Ь'. Если же плоскость,
в которой лежат прямые а и Ь', проходит через центр шара, то пря-
мые а' к b будут обе перпендикулярны к этой плоскости и потому
будут параллельны между собой.
Итак, вторая прямая b во всех случаях пересекает взаимную по-
ляру а' первой прямой или ей параллельна.
Прямые а и Ь, вообще говоря, не пересекаются, так как за пря-
мую а можно принять любую из прямых, пересекающих взаимную
поляру Ь’ данной прямой Ь. Рассмотрим теперь случай, когда прямая а
не только пересекает взаимную поляру Ь' данной прямой b (или ей
параллельна), но и пересекает в некоторой точке А самую данную
прямую Ь. Предположим ещё, что прямые а и b обе не пересекают
данного шара.
Выберем на прямой а произвольную точку В (отличную от Д) и
рассмотрим две окружности, вдоль которых описанные конусы с вер-
шинами в точках А и В касаются данного шара. Эти две окружности
пересекаются в двух точках М и ЛГ; в самом деле, линия пересече-
ния плоскостей обеих окружностей пересекает шар в двух точках,
как взаимная поляра прямой а, не имеющей с шаром общих точек.
Отсюда следует также, что точки М и М' не зависят от выбора
точки В на прямой а; их можно определить как точки прикоснове-
ния к шару касательных плоскостей, проходящих через прямую а.
Выберем далее на прямой b также произвольную точку С и рас-
смотрим две окружности, вдоль которых описанные конусы с верши-
нами в точках А и С касаются данного шара. По той же причине,
что и выше, эти две окружности также будут пересекаться в двух
точках N и N', и прямая NN' будет взаимной полярой прямой АС,
т. е. данной прямой Ь. Точки 7V и 7V' опять не зависят от выбора точки С-
Итак, мы получили на окружности Г, вдоль которой описанный
конус с вершиной А касается данного шара, четыре точки Л4,Л4',ЛГ
и N’. При этом касательные к окружности Г в точках М и М' пересе-
каются на прямой а (или обе параллельны этой прямой), так как М
и М' — точки прикосновения к шару касательных плоскостей, прохо-
дящих через прямую а. Прямая AW' проходит через точку пересече-
ния этих двух касательных (или им параллельна), так как прямая NN
как взаимная поляра прямой b пересекает по условию прямую а (или
ей параллельна). Так как секущая AW' проходит через точку пере-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
707
сечения касательных к окружности Г в точках М и Л'Г (или им
параллельна), то .44, /V, М' и N’ — четыре гармонические точки окру-
жности Г (Пл., п. 213).
813. Точка а' шара А, рассматриваемая в п. 523, получается из
произвольной точки а того же шара с помощью следующего построе-
ния. Пусть кроме шара А даны ещё два шара В и С. Обозначим
через b точку шара В, антигомологичную точке а шара А относи-
тельно одного из центров подобия S12 шаров А и В; далее обозна-
чим через с точку шара С, антигомологичную точке b шара В от-
носительно одного из центров подобия 523 шаров В и С. При этом
точкой а’ шара А будет точка, антигомологпчная точке с шара С
относительно того из центров подобия 513 шаров А и С, который
лежит на оси подобия S12 S23 данных шаров.
Иначе можно сказать, что точка b получается из точки а с по-
мощью инверсии /12 с полюсом 512, преобразующей шар А в шар В;
далее точка с получается из точки Ь с помощью инверсии /23 с по-
люсом S23, преобразующей шар В в шар С; наконец, точка а полу-
чается из точки с с помощью инверсии /13 с полюсом S13, преобразую-
щей шар С в шар А. Таким образом, точка а’ получается из точки а
с помощью трёх последовательных инверсий /12, /28 и /13, полюсы
которых лежат на одной прямой к.
Две последовательные инверсии /28 и /13 можно заменить (ср. ре-
шение упр. 763) бесчисленным множеством способов двумя другими
разносильными им инверсиями Г и /", полюсы которых лежат на той
же прямой $’. За полюс первой из этих инверсий Г можно, в частно-
сти, принять полюс S12 инверсии 112, лежащий на прямой S. При
этом и степень инверсии /' будет равна степени инверсии /12, так
как инверсия Г должна преобразовывать в себя те же шары, что и
инверсия /12. Такой выбор инверсии Г будет вполне определять и
инверсию I". Следовательно, точка а' будет получаться из точки а
с помощью трёх последовательных инверсий, а именно инверсии /]2,
опять инверсии /12 и, наконец, некоторой определённой инверсии Г,
т. е. с помощью одной инверсии Г.
Отсюда и следует, что если точка а описывает на шаре А не-
которую данную фигуру, то точка а' будет описывать на данном
шаре фигуру, обратную данной (а именно фигуру, соответствующую
данной в инверсии Г).
Мы неявно предполагали выше, что центры подобия 5j2, S23 и
•S 3 различны. С незначительными видоизменениями те же рассужде-
ния сохраняют силу и в том случае, когда эти три центра подобия
совпадают между собой.
814. Пусть через данную окружность С можно провести шар (или
плоскость) S, пересекающий другую данную окружность С под пря-
мым углом. Обозначим через А' и В' точки пересечения шара 5 с
окружностью С.
Инверсия / с полюсом в какой-либо точке Р окружности С (для
45
708
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАД 14
определённости, отличной от точек А' и В') и произвольной степенью
преобразует данную окружность С и шар (или плоскость) S в не-
которую окружность с, и проходящий через неё шар у, а окруж-
ность С — в прямую с', пересекающую шар у под прямым углом, т. е.
совпадающую с одним из его диаметров. Через диаметр с’ шара у
можнэ провести плоскость s', которая пересекает окружность с, лежа-
щую на шаре s, под прямым углом: для этого достаточно провести
через с' плоскость, перпендикулярную к плоскости окружности с.
Та же инверсия I, что и выше, преобразует плоскость s' в шар (или
плоскость) S', проходящий через окружность С’ и пересекающий
окружность С под прямым углом.
Итак, если через окружность С проходит шар (или плоскость) S,
пересекающий окружность С под прямым углом, то и через окруж-
ность С проходит шар (или плоскость) S', пересекающий окруж-
ность С под прямым углом.
Предположим теперь, что через окружность С проходит бесчис-
ленное множество шаров, пересекающих окружность С под прямым
углом (впрочем, достаточно предположить, что через С проходит по
крайней мере два таких шара). При этом и через окружность с,
рассмотренную выше, проходит бесчисленное множество шаров (или
по крайней мере два шара), пересекающих прямую с' под прямым
углом, т. е. имеющих эту прямую своим общим диаметром. Следова-
тельно, окружность с имеет прямую с’ своей осью, и через эту пря-
мую проходит бесчисленное множество плоскостей, пересекающих
окружность с под прямым углом. Инверсия I преобразует эти плос-
кости в бесчисленное множество шаров, проходящих через окружность С
и пересекающих окружность С под прямым углом.
Итак, если через окружность С проходит бесчисленное множество
шаров, пересекающих окружность С под прямым углом, то и через
окружность С проходит бесчисленное множество шаров, пересекаю-
щих окружность С под прямым углом.
Выберем в этом случае две произвольные точки К и М на
окружности С и две произвольные точки L и N на окружности С и
докажем, что в четырёхугольнике KLMN имеет место соотношение:
KL-MN=LM-NK.
Пусть рассмотренная выше инверсия I с полюсом Р и степенью h
преобразует точки К, L, М и N соответственно в точки k, I, т и п
(мы предполагаем, что точка Р отлична от L и N). Равенства
... h-kl . h-lm .... h-inn .... h-nk
KL = ; LM=r„ n ; MN—T.—NK = -^—
Pk-Pl Pl-Ptn PmPn Pn-Pk
дают:
,,, h2-kl-mn . h2-lm-nk
KL • MN = ~; LM • NK = ъгвГв—в~ •
Ря-Р1Рт-Рп Pk-Pl Pm-Pn
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
709
Так как точки k и т лежат на окружности с и точки I и п— на
её оси с', то мы имеем, кроме того, kl—ltn и mn — nk. Из двух
предыдущих равенств и вытекает искомое соотношение KL-MN =
= LM- NK.
815. Единственными шарами и плоскостями, которые преобразуются
сами в себя с помощью транспозиции относительно данной прямой с,
будут, очевидно:
а) плоскости, проходящие через прямую с, и
в) шары и плоскости, пересекающие прямую с под прямым
углом.
Пусть теперь некоторый шар S преобразуется сам в себя с по-
мощью аналлагматической. транспозиции относительно данной окруж-
ности С.
Инверсия 1 с полюсом в какой-либо точке окружности С преобра-
зует её в прямую линию с, а шар (или плоскость) S—в шар или
плоскость s. Аналлагматическая транспозиция относительно окруж-
ности С преобразуется в транспозицию (в обычном смысле слова) от-
носительно прямой с, и шар или плоскость s преобразуется этой
последней транспозицией сам в себя (ср. решения упр. 762 и 763).
Следовательно, в силу сказанного в начале решения, шар или плос
кость s расположены по отношению к прямой с, как указано выше
под рубриками а) или Ь). При этом и шар S, соответствующий
в инверсии I шару или плоскости S, расположен по отношению
к окружности С, как указано в тексте задачи под рубриками 1)
или 2).
816. Единственными окружностями и прямыми, которые преобра-
зуются сами в себя с помощью транспозиции относительно данной
прямой с, будут, очевидно:
а) самая прямая с;
Ь) окружности, имеющие прямую с своей осью, иначе говоря,
пересекающие под прямым углом все плоскости, проходящие через
прямую с\
с) окружности, пересекающие прямую с в двух точках под прямым
углом, и прямые, пересекающие прямую с под прямым углом.
Отсюда совершенно тем же путём, как и в решении упражне-
ния 815, получается результат, приведённый в условии задачи.
817. Инверсия с полюсом в какой-либо точке данной окружности С
и произвольной степенью преобразует окружность С в прямую с, а
точки Р и Р' — в некоторые точки р и р'. Справедливость доказы-
ваемого предложения вытекает (ср. решение упражнения 815) из
следующего очевидного предложения;
Каждой точке р пространства соответствует некоторая точка р',
обладающая тем свойством, что через точки р и р' проходит бесчис-
ленное множество окружностей, пересекающих данную прямую с
в двух точках под прямым углом; точка р' получается из р с по-
мощью транспозиции относительно прямой с.
46 Элементарная геометрия, ч. II
710
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
818. Пусть требуется найти окружность С, касающуюся данной
окружности С и пересекающую другую данную окружность С”
в двух точках под прямым углом.
Инверсия 1 с полюсом в какой-либо точке окружности С" (для
определённости, не лежащей на окружности С) и произвольной
степенью преобразует данную окружность С в некоторую окруж-
ность с', другую данную окружность С" — в прямую с", искомую
окружность С — в окружность или прямую с. Таким образом, мы
приходим к следующей задаче:
Найти окружность с, касающуюся данной окружности с' и
пересекающую данную прямую с" в двух точках под прямым уг-
лом (или же прямую с, касающуюся данной окружности с' и
пересекающую данную прямую с" под прямым углом).
Эта последняя задача легко решается, если принять во внимание,
что касательная в точке касания искомой окружности с и данной
окружности с' (или же искомая касательная с к окружности с) ле-
жит в одной плоскости с прямой с’. Поэтому достаточно провести
касательные к окружности с' из точки пересечения плоскости этой
окружности с прямой с" (а если эти плоскость и прямая параллельны,
то касательные к окружности с', параллельные прямой с”), чтобы оп-
ределить точку касания окружности (или прямой) с с данной окруж-
ностью с', после чего не представляет затруднений и построение
самой окружности (или прямой) с. После того как окружность (или
прямая) с построена, окружность С получается с помощью рассмот-
ренной выше инверсии I.
Задача становится неопределённой, если прямая с" лежит в плос-
кости окружности с', т. е. если окружности С' и С" лежат на одном
шаре пли в одной плоскости. В других случаях наибольшее число
решений — два.
819. Обозначим через [Р) и (Q) какие-либо два конуса, описанных
около данного шара, через Р и Q—их вершины, через А и В —
соответствующие окружности касания. Через окружности А \\ В про-
ходят (п. 521) два конуса; обозначим эти конусы через (Н) и (Л),
а их вершины — через Н и К.
Пусть М—одна из точек пересечения конусов (Р) и (Q); обозна-
чим через М' и М" соответственно точку пересечения образующей РМ
конуса (Р) с окружностью А и точку пересечения образующей QM
конуса (Q) с окружностью В. Прямая РМ имеет своей взаимной по-
лярой относительно шара (п. 505) касательную к окружности А
в точке М', прямая QM — касательную к окружности В в точке Л1".
Отсюда следует, что полярная плоскость любой точки пересече-
ния М конусов (Р) и (Q) обладает следующим свойством: она со-
держит одну из касательных к окружности А и одну из каса-
тельных к окружности В
Найдём теперь все плоскости, обладающие этим последним
свойством, т. е. содержащие одну из касательных к окружности А и
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА 1
711
одну из касательных к окружности В. Через касательную т' к ок-
ружности А в некоторой её точке М' проходит, очевидно, две такие
плоскости; чтобы их получить, достаточно провести касательные
к окружности В через точку пересечения плоскости этой окружности
с прямой т (или же касательные к окружности В, параллельные
прямой т'). С другой стороны, такими плоскостями будут две каса-
тельные плоскости в точке М' к обоим конусам (/У) и (К). Отсюда
следует, что единственными плоскостями, обладающими указанным
выше свойством, будут касательные плоскости к конусам (Н) и (К).
Таким образом, полярная плоскость любой точки пересечения М
конусов Р и Q касается илп конуса (И), или конуса {К) и потому прохо-
дит или через точку Н, или через точку К. Следовательно, любая точка
пересечения конусов (Р) и (Q) лежит или в полярной плоскости
точки Н, или в полярной плоскости точки К.
820. Сохраним обозначения, принятые в решении упражнения 819.
Если М—некоторая точка конуса (Р), не лежащая на данном
шаре, то та окружность, вдоль которой описанный конус с верши-
ной М касается шара, очевидно, касается окружности А в точке её
пересечения ЛГ с прямой РМ. То же имеет место для точек М ко-
нуса (Q) и окружности В. Отсюда следует, что если М—некоторая
общая точка конусов (Р) и (Q), то описанный конус с вершиной М
касается шара вдоль некоторой окружности С, касающейся окруж-
ностей А и В. Так как плоскость всякой такой окружности проходит
(п. 530) через точку Н или через точку К и эта плоскость есть
полярная плоскость точки М, то всякая точка пересечения М кону-
сов (Р) и (Q) лежит или в полярной плоскости точки Н или
в полярной плоскости точки К.
821. 1°. Пусть а0 — середина отрезка, имеющего своими концами
точки а и а'.
Если точки а и а' действительны (черт. 491), то мы имеем по
величине и знаку та0 — ^- (/иа-|-та') и тачпа'— та^=та-та'—
—।-------------1-----1-----
т а ав а'
Черт. 441.
---(ma-j-ma')3 =— ^(та— та')2 —— -iaa'2<^0, где бы ни ле-
жала точка т на прямой.
Пусть теперь а и а'—мнимые точки пересечения прямой D и
окружности С, Р—одна из предельных точек последних (черт. 492).
В таком случае точкой а0 будет (по определению) основание перпен-
дикуляра, опущенного из точки Р на прямую D. Произведение
та-та' будет равно (также по определению) степени точки т отно-
сительно окружности С, т. е. тР2. Мы будем иметь в этом случае
46
712
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
та •та’ — та2 = тР2—та2 = а0Р2'^>0, где бы ни лежала точка т
на прямой D.
2°. Пусть а и а’ — опять мнимые точки пересечения прямой D
с окружностью С (черт. 492); Р — одна из предельных точек пря-
мой D и окружности С; а0 — середина отрезка аа’, т. е. (по опре-
делению) основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на-
прямую D; а и b — две действительные точки прямой D, образующие
с точками а и а’ гармоническую четвёрку, т. е. (также по опреде-
лению) сопряжённые относительно окружно-
сти С.
окружности С равна
произведение ра-ра’.
Так как точки а и b сопряжены относи-
тельно окружности С, то окружность, по-
строенная на отрезке ab как на диаметре,
ортогональна к С (пл., упр. 237) и потому
проходит через точку Р. Из прямоугольного
треугольника аЬР имеем аоа-аоЬ = аоРв
независимо от выбора пары точек а и Ь,
образующих с а и а' гармоническую чет-
вёрку.
3°. Так как окружность, имеющая отре-
зок ab своим диаметром, ортогональна к С,
то степень середины р отрезка ab относительно
у j . Но эта степень и есть (по определению)
„ Л ' (аЬ\2
Таким образом, ра^ра = ( -у ) .
822. 1°. Пусть мнимая окружность определена плоскостью Р п
точкой s. Обозначим через О центр мнимой окружности, т. е. (по
определению) основание перпендикуляра из точки s на плоскость Р,
и через т—произвольную точку этой плоскости. Разность между
степенью ms2 точки т относительно мнимой окружности и квадра-
том расстояния тО той же точки от центра окружности равна, оче-
видно, ms2 — mO2 = Os2, т. е. не зависит от выбора точки т.
2°. Пусть точка b плоскости Р сопряжена с точкой а той же
плоскости относительно мнимой окружности, т. е. лежит на поляре
точки а относительно последней. При этом середина р отрезка ab
лежит (по определению поляры точки относительно мнимой окружно-
сти) на радикальной оси точки а и мнимой окружности. Так как
степени точки р — середины отрезка ab— относительно каждой из
точек а м b равны, то точка р лежит также на радикальной оси
точки Ь и мнимой окружности. Поэтому точка а лежит (опять по
определению поляры точки относительно мнимой окружности) на по-
ляре точки b относительно мнимой окружности. Итак, если точка b
сопряжена с а относительно мнимой окружности, то и точка а
сопряжена с b относительно той же окружности.
Так как степень точки р относительно мнимой окружности равна,
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА I
713
в силу сказанного, ра2=рЬг, то и степень точки р относительно
каждого из шаров S равна той же величине. Следовательно, шар 2,
имеющий отрезок ab своим диаметром, ортогонален ко всем шарам Л'.
Пусть произвольная плоскость, проходящая через прямую ab, пере-
секает данные шары по окружностям С, а шар X по окружности Г;
окружность Г, имеющая отрезок ab своим диаметром, будет ортого-
нальна, как легко видеть, ко всем окружностям С. Это и показывает,
что точки а и b гармонически сопряжены (в смысле упр. 821) от-
носительно мнимых точек пересечения прямой ab с окружностями
С, т. е. относительно точек пересечения прямой ab с мнимой
окру жностью.
3°. Каждая точка плоскости Р служит центром шара 2, ортого-
нального ко всем шарам 5 (п. 484); все эти ортогональные шары I
пересекают линию центров шаров S в их предельных точках $ и s'.
Отсюда следует, что центр о мнимой окружности имеет по отноше-
нию ко всем ортогональным шарам 1 одну и ту же степень h — — os2.
Если теперь точки а и b взаимно обратны относительно мнимой
окружности, то все окружности Г, лежащие в плоскости Р и прохо-
дящие через а и Ь, пересекают мнимую окружность под прямым
углом, т. е. служат большими кругами шаров S, ортогональных ко
всем шарам S. Следовательно, центр О мнимой окружности имеет
относительно всех этих окружностей Г одну и ту же степень, рав-
ную h. Таким образом, точка О лежит иа радикальной оси ab окруж-
ностей Г и удовлетворяет условию Oa-Ob = h. Инверсия с полюсом О
и степенью h преобразует точки а и b одну в другую.
4°. Вытекает из того, что общая точка двух из трёх радикаль-
ных осей имеет одну и ту же степень относительно всех трёх окруж-
ностей и потому лежит и на третьей радикальной оси (ср. Пл., п. 139).
При этом мы ничего не предполагаем относительно действительности
или мнимости каждой из данных окружностей.
Из этого рассуждения следует также, что если две из трёх ради-
кальных осей между собой совпадают, то и третья совпадает с двумя
первыми.
5°. Центр данной окружности, действительной пли мнимой, имеет
одну и ту же степень относительно всех действительных окружнос-
тей, ортогональных к данной.
Если данная окружность действительна, то это предложение
очевидно. Если же данная окружность мнима, то оно вытекает из
сказанного выше в рубрике 3°: степень центра О данной мнимой
окружности относительно любой ортогональной к ней действительной
окружности была там обозначена через h.
Точно так же, центр данной действительной окружности име*4"
одну и ту же степень относительно всех окружностей, действитель
ных или мнимых, ортогональных к данной.
В самом деле, центр данной действительной окружности имеет
относительно всякой второй действительной окружности, ортогональ-
714
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ной к данной, одну и ту же степень, равную квадрату радиуса дан-
ной. Пользуясь определением ортогональности действительной и
мнимой окружностей, нетрудно показать, что это свойство сохраняет
силу и в том случае, когда вторая окружность — мнимая.
Пусть теперь даны две окружности Оу и О2, каждая из которых
может быть действительной или мнимой. Точка О, имеет относительно
всех окружностей, ортогональных к обеим данным, одну и ту же сте-
пень, и тем же свойством обладает точка О2. Следовательно, пря-
мая О^О2 служит общей радикальной осью всех действительных окруж-
ностей, ортогональных к Oj и к О2. Эти последние окружности могут
пересекать прямую ОгО2 в одних и тех же действительных точках,
в частности касаться её в действительной точке (Пл., п. 137), или
*е пересекать её в двух мнимых сопряжённых точках (упр. 821).
6°. В том случае, когда обе данные окружности действительны,
предложение было доказано (п. 510).
Пусть теперь одна из двух данных окружностей, лежащих на дан-
ном шаре S, мнима и определяется как линия пересечения послед-
него с другим данным шаром S', а другая окружность С действи-
тельна. Так как обе окружности ортогональны между собой, то
последняя окружность С есть линия пересечения шара 5 с некоторым
шаром 2, ортогональным к шарам S и S'.
Произвольная инверсия преобразует шары S, S' и 2 в шары s, s'
и а (некоторые из них могут быть и плоскостями), а окружность С —
з линию пересечения с шаров s и а. Так как шар а ортогонален
к шарам $ и s', то окружность с ортогональна (по определению) к
мнимой окружности, по которой пересекаются шары s и s'.
7°. В том случае, когда обе данные окружности действительны,
предложение было доказано (п. 478).
Пусть теперь одна из двух данных окружностей, лежащих на дан-
ном шаре S, мнима и определяется как линия пересечения последнего
с данной плоскостью Р, а другая окружность С действительна. Так
как обе окружности ортогональны между собой, то последняя окруж-
ность С есть линия пересечения шара S с некоторым шаром 2, орто-
гональным к шару S и пересекающим плоскость Р под прямым углом.
Центр Й шара 2 лежит, очевидно, в плоскости Р; в то же время
точка й как центр шара 2, ортогонального к шару S и проходящего
через окружность С, есть вершина конуса, описанного около шара 1S
и касающегося его вдоль данной окружности С, т. е. полюс пло-
скости окружности С. Так как полюс й плоскости окружности С от-
носительно данного шара лежит в плоскости Р мнимой окружности, то
ялоскости обеих окружностей сопряжены относительно шара.
Нетрудно доказать, повторяя те же рассуждения в обратной по-
следовательности, и обратное предложение:
Если плоскости двух окружностей, лежащих на одном шаре,
сопряжены относительно последнего, то обе окружности ортого-
нальны.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА И
715
8°. Если некоторая окружность Г, лежащая на данном шаре, пере-
секает под прямым углом две данные окружности Ct и С2, то пло-
скость окружности Г сопряжена относительно данного шара (в силу 7°)
с плоскостью окружности Сг и с плоскостью окружности С2. Следо-
вательно, плоскость окружности Г будет сопряжена относительно дан-
ного шара и с любой плоскостью Р, проходящей через линию пере-
сечения плоскостей окружностей С] и Сг (или им параллельной).
Поэтому окружность Г будет ортогональна к линии пересечения каж-
дой плоскости Р с данным шаром (в силу только что сформулирован-
ного обратного предложения). При этом мы не делаем никаких пред-
положений о том, будет ли каждая из рассматриваемых окружностей
действительной или мнимой.
823. Пусть точка Ь плоскости Р сопряжена с точкой а той же
плоскости относительно данной мнимой окружности, т. е. лежит на
поляре точки а относительно последней. При этом середина р отрез-
ка ab лежит (по определению поляры точки относительно мнимой
окружности; ср. упр. 822) на радикальной оси точки а и мнимой окруж-
ности, откуда pa2 = ps2. Так как мы имеем, кроме того, pa=pb, то
pb2 — ps2. Последнее равенство показывает, что точка р лежит также
на радикальной оси точки b и мнимой окружности, откуда следует,
что точка а лежит на поляре точки b относительно мнимой окруж-
ности, так что и точка а сопряжена с тонкой Ь. Так как при
этом pa—pb — ps, то угол asb прямой. Таким образом, если
точки а и b сопряжены относительно мнимой окружности, то
угол asb прямой. Обратное предложение доказывается таким же
образом.
Так клк для всякой точки Ь, сопряжённой с а, угол asb прямой,
то поляра точки а относительно мнимой окружности лежит в пло-
скости, проходящей через точку s и перпендикулярной к прямой sa,
т. е. представляет собой линию пересечения этой плоскости с плос-
костью Р.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ // (стр. 209).
824. Понятие полярного сферического треугольника (п. 395) и его
свойства следующим образом распространяются на выпуклые сфери-
ческие многоугольники.
Пусть дан некоторый выпуклый сферический многоугольник, на-
пример выпуклый пятиугольник ABCDE (все дальнейшие рассуждения
от числа вершин не зависят). Пусть А' — тот из полюсов большого
круга АВ, который лзжит по отношению к последнему в том же полу-
шарии, что и данный многоугольник; В" — тот из полюсов большого
круга ВС, который лежит по отношению к последнему в том же по-
лушарии, что и данный многоугольник;...; наконец, Е'— тот пз полю-
сов большого круга ЕА, который лежит по отношению к последнему
в том же полушарии, что и данный многоугольник. Сферический мно-
716
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
гоугольник A'B'CD'E' называется полярным по отношению к много-
угольнику ABCDE.
Полярные сферические многоугольники обладают следующими свой-
ствами (ср. п. 395).
1. Многоугольник, полярный по отношению к выпуклому сфе; и-
ческомч многоугольнику, также выпуклый.
Чтобы доказать это предложение, заметим предварительно следую-
щее. Так как полюс А' большого круга АВ лежит по отношению к
последнему в том же полушарии, что и точки С, D и Е, то каждая
из дуг А'С, A'D и А'Е меньше квадранта (п. 395, лемма 1). По ана-
логичной причине будет меньше квадранта и каждая из дуг B'D, В'Е,
В'А, СЕ, С А, СВ, D'A, D'B, D'C, Е'В, Е'С и E’D.
Покажем теперь, что точки С, D' и Е' лежат по отношению
к большому кругу А'В' в одном полушарии. Так как точка А' есть
полюс большого круга АВ, а точка В' — полюс большого круга ВС,
то каждая из дуг А'В и В’В равна квадранту, и точка В есть полюс
большого круга А'В'. Так как каждое из сферических расстояний
СВ, D'B и Е'В точек С, D' и Е' от полюса В большого круга А'В'
по доказанному меньше квадранта, то эти три точки лежат по отно-
шению к большому кругу А'В' в одном полушарии. Таким же обра-
зом покажем, что точки D', Е' и А' лежат по отношению к большому
кругу В'С в одном полушарии, и т. д. Это и показывает, что мно-
гоугольник А'В' С'D'Е' — выпуклый.
II. Если один из двух данных выпуклых сферических много-
угольников полярный по отношению к другому, то и, обратно, вто-
рой — полярный по отношению к первому.
В самом деле, пусть A'B'CD'E'—многоугольник, полярный по
отношению к ABCDE, как и выше. Мы уже доказали (ср. доказа-
тельство предложения I), что точка В есть полюс большого круга А'В'
и что каждая из дуг СВ, D'B и Е'В меньше квадранта. Последнее
обстоятельство показывает, что полюс В большого круга А'В' лежит
по отношению к последнему в том же полушарии, что и вершины
C,D'mE' многоугольника А'В'СЕУЕ'. Таким же образом докажем
далее, что С есть полюс большого круга В'С, лежащий по отн >-
шению к последнему в том же полушарии, что и многоугольник
A'B'C'D'Е', и т. д. Это и показывает, что многоугольник ABCDE —
полярный по отношению к A'B'C'D'E'.
III. Если два выпуклых сферических многоугольника полярны
один по отношению к другому, то каждая из сторон одного по-
полнительна по отношению к соответствующему углу другого.
В самом деле, точки А' и В', служащие вершинами второго мно-
гоугольника A'B'C'D'E' и в то же время полюсами сторон АВ и ВС
первого многоугольника ABCDE, расположены по отношению к сто-
ронам угла АВС, как указано в условии леммы II, п. 395. Поэтому
дуга А'В' дополняет угол АВС до полуокружности, и то же имеет
место для остальных сторон и углов.
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА II
717
Найдём теперь зависимость между площадью выпуклого сфери-
ческого многоугольника ABCDE и периметром его полярного мно-
гоугольника А' В'С D' Е'.
В принятой системе единиц площадь многоугольника ABCDE выра-
жается следующим числом (п. 534, следствие):
Z^ + ZB+ZC + Z^+Zf—Зтг.
Это число можно, очевидно, представить в виде:
2п—(и — Z-*4)— (7Т — Z^)— • • - —(п—Z£)-
Но числа п — X А, 71—Z Д. • • • представляют собой в принятой
системе единиц длины сторон Е' А', А'В', ... полярного многоуголь-
ника (ср. предложение 111). Отсюда и следует, что площадь много-
угольника ABCDE равна разности между 2тг и периметром многоуголь-
ника A'B'C'D'E'.
825. Углы данного сферического треугольника выражаются в радиа-
нах числами у, и . Следовательно, площадь данного треуголь-
ника выражается в системе единиц, принятой в тексте, числом (п. 534)
if 4~ у 4“ ~ а в квадратных метрах — числом, в 100 раз
большим (так как радиус шара равен 10 м). Итак, площадь данного
25
треугольника равна -g-тг кв. м, или 26,18 кв. м.
826. Чтобы вывести теорему Лекселля (п. 536) из результатов
упражнения 503, сохраним принятые в решении последнего обозначе-
ния (ср. черт. 306 на стр. 365) и рассмотрим треугольники P'Q'R',
полярные по отношению к рассмотренным там треугольникам PQR.
Общей вершиной Q' всех этих треугольников будет полюс большого
круга PN, лежащий по отношению к последнему в том же полуша
рни, что и малый круг С. Аналогично определится и общая верши-
на R' всех треугольников P'Q'R'. Так как все треугольники PQR
имеют один и тот же периметр, то все треугольники P'Q'R' имеют
(в силу последней теоремы п. 395) одну и ту же сумму углов, а сле-
довательно (п. 534), и одну и ту же площадь. Наконец, точки Р'
лежат по отношению к большому кругу Q'R' в одном и том же полу-
шарии, а именно в том же, в каком лежит точка Р, так как тре-
угольник PQR — полярный по отношению к P'Q'R'.
Итак, рассматриваемые треугольники P'Q'R' имеют две общие
вершины Q' и R' и одну и ту же площадь, а их третьи верши-
ны Р’ лежат по отношению к большому кругу Q'R' в одном и том
же полушарии. Мы пришли к условиям теоремы Лекселля.
Так как полуокружности РМРХ и PNPX можно выбрать произ-
вольно, и постоянный периметр треугольника PQR также остаётся
произвольным (в силу произвола выбора малого круга С, касающегося
сторон двуугольника PMP^N), то и точки Q', R' и постоянную площадь
треугольников P'Q'R' также можно считать заданными произвольно.
718
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Так как стороны QR треугольников PQR касаются определённой
дуги MA'V малого круга С, то полюсы Р’ больших кругов QR лежат
на опре е генной дуге некоторого млого круга С (ср. упр. 498;
впрочем, в данном случае круг С будет диаметрально противополо-
жен на шаре тому малому кругу, который в упражнении 498 был на-
зван полярным по отношению к С, так как точка Р' лежит теперь
с кругом С не в одном полушарии, а в различных полушариях п.)
отношению к большому кругу QR).
Если большой круг QR будет касаться малого круга в одном из
концов М данной дуги MXN, т. е. если большой круг QR будет
совпадать с РМ, то соответствующей точкой Р' будет точка, диамет-
рально противоположная точке R' (так как точкой Р' будет в этом
случае полюс большого круга РМ, лежащий по отношению к послед-
нему в другом полушарии, чем С, а точка R' есть полюс того же
большого круга РМ, лежащий по отношению к последнему в том же
полушарии, что и С). Таким образом, дуга, которая служит гео-
метрическим местом точек Р’, имеет одним из своих концов точку,
диаметрально противоположную точке R’. По аналогичным соображе-
ниям, другим концом той же дуги будет точка, диаметрально проти-
воположная точке Q'. Теорема Лекселля доказана полностью.
827. Если треугольники МАВ и МАС (черт. 493) имеют одина-
ковое расположение, то точки В и С лежат по отношению к боль-
шому кругу AM в одном полушарии. Так как треугольники МАВ
и МАС равновелики, то должны пересекаться между собой стороны
МВ и ЛК или стороны МС и АВ (иначе один из треугольников рас-
полагается внутри другого). Предположим, для определённости, что
стороны МВ и АС пересекаются в некоторой точке N.
В силу равновеликости треугольников МАВ и МАС, будут, оче-
видно, равновелики и треугольники ABN и MNC, а следовательно,
и треугольники АВС и МВС. Геометрическое место точек М опре-
деляется по теореме Лекселля и представляет собой одну из двух
дуг, о которой говорится в этой теореме, так как дуга ВМ пересе-
кает АС. Мы получили бы ту же дугу, предположив, что имеет место
не пересечение дуг МВ и АС, а пересечение МС и АВ.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА II
719
828. Начнём с решения следующей задачи:
I. Разделить данный сферический треугольник АВС дугой боль-
шого круга, выходящей из вершины А, на две равновеликие части.
Пусть точка D стороны ВС данного сферического треугольни-
ка АВС (черт. 494) обладает тем свойством, что сферические тре-
угольники ABD и ACD равновелики. Стереографическая проекция с
центром в точке Р, диаметрально противоположной вершине А, пре-
образует дуги АВ, АС и AD в прямолинейные отрезки А'В', А'С
и A'D' (черт. 495), а дугу BDC—в дугу B'D'С окружности. Углы
криволинейных плоских треугольников A'B'D' и A'C'D' будут соот-
ветственно равны углам сферических треугольников ABD и ACD. Но
так как последние треугольники равновелики, то равны между собой
их сферические избытки. Следовательно, избыток суммы углов над 2с/
в криволинейном плоском треугольнике A'B'D', т. е. удвоенный
угол D'B'b, где В'Ь — касательная к дуге B'D'С в точке В', равен
удвоенному аналогичному углу D'Cс. Из равенства углов D'B'b и D'C'c
следует равенство дуг D'B' и D'C.
Отсюда и вытекает способ решения поставленной задачи, который
сводится к следующему: точка D на шаре соответствует в рассмат-
риваемой стереографической проекции середине D' дуги В'С на пло-
скости.
Повторяя это построение р раз последовательно, т. е. деля ду-
гу В'С на плоскости на 2;' равных частей, придём к решению сле-
дующей задачи:
II. Разделить данный сферический треугольник дугами больших
кругов, выходящими из одной из его вершин, на 2? равновеликих частей.
Рассмотрим теперь следующее обобщение задачи I:
III. Разделить данный сферический треугольник АВС д\>гой боль-
шого круга, выходящей из вершины А, на две части, разность пло-
щадей которых известна.
Так как площадь сферического треугольника вполне определяется
его сферическим избытком, то последнюю задачу можно сформулиро-
вать ещё так:
Ша. Найти на стороне ВС данного сферического треугольни-
ка АВС такую точку D, чтобы разность сферических избытков
треугольников ABD и ACD равнялась данному углу е.
Повторяя те же рассуждения, что и выше (при решении задачи I),
мы придём к построению на дуге В'С на плоскости точки D', удов-
летворяющей условию 2^_D'B'b—2Х Z)'Сс=е. Иначе говоря, на
дуге В'С требуется построить такую точку D', чтобы разность дуг
B'D' и CD' (выраженных в угловой мере) равнялась бы е. Способ
построения такой точки D' очевиден.
Переходим далее к решению следующей задачи:
IV. Разделить данный сферический треугольник АВС дугой боль-
шого круга, выходящей из данной точки D его стороны ВС, на две
равновеликие части.
720
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Предположим для определённости, что площадь сферического тре-
угольника ABD больше площади сферического треугольника ACD
(черт. 496), т. е. что конец Е искомой дуги DE лежит на стороне
АВ (а не на стороне ЛС) данного треугольника. В таком случае,
искомая дуга DE, выходящая из вершины D треугольника ABD, делиг
последний на две части, разность площадей которых, очевидно, равна
площади треугольника ACD. Таким образом, мы приходим к рас-
смотренной уже задаче III.
Переходим, наконец, к последней поставленной задаче:
V. Разделить данный сферический треугольник АВС дугами
больших кругов, выходящих из данной точки D его стороны ВС,
на 2р равновеликих частей.
Построим (задача IV) дугу DE, деля-
щую площадь треугольника АВС на две
равновеликие части, и предположим опять
для определённости, что точка Е лежит на
стороне АВ.Чтобы разделить теперь пло-
щадь треугольника АВС на четыре рав-
новеликие части, надо разделить треуголь-
ник BDE дугой DF на две равновеликие
части (задача I), а также разделить четы-
рёхугольник AEDC дугой DG на две рав-
новеликие части.
Переходим к последнему построению. Если мы предположим, что
площадь треугольника ADC больше площади треугольника ADE,
то дело сводится к делению площади треугольника ADC дугой DG
на две части, разность площадей которых равна площади треуголь-
ника ADE (задача III).
Продолжая таким же образом, мы решим поставленную задачу для
любого значения р.
Отметим, что для решения этой последней задачи достаточно
одной стереографической проекции с центром в точке, диаметрально
противоположной данной точке D.
D
Черт. 496.
Примечание. Приведённые решения требуют выполнения построений
на шаре и на плоскости (ср. упр. 804). Можно, однако, получить из них дру-
гие решения, требующие только построений иа шаре. Достаточно указать
такие решения для задач I и III или П1а, так как все остальные рассмотрен-
ные задачи сводятся к последним.
В случае задачи I, касательная к дуге В'ГУ С на плоскости в точке ГУ
параллельна прямой В’С' (черт. 495). Следовательно, на шаре окружность Г,
касающаяся в центре стереографической проекции, т. е. в точке Р, диаметрально
противоположной точке А, окружности РВС и в то же время касающаяся
большого круга ВС, касается последнего в искомой точке D. Таким образом
решение поставленной задачи на шаре сводится к проведению окружности
через точки В, С и через точку Р, диаметрально противоположную точке А,
и к построению окружности Г, удовлетворяющей перечисленным выше усло-
виям (упр. 499, построение г).
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА II
721
Аналогично, в случае задачи III, касательная к дуге В'L/C на плоскости в точ-
ке [У пересекает прямую В’С под углом В'МЧУ, равным е (Пл.; п. 76, приме-
чание) и имеющим с углом В'А'С одинаковое направление (черт. 497). Следо-
вательно, иа шаре мы будем иметь окружность Г, уже не касающуюся
в точке Р окружности РВС, а пересекающую последнюю в этой точке под
углом, равным е, и в то же время попрежнему касающуюся большого круга
ВС в искомой точке £>; при этом угол между окружностью РВС и окруж-
ностью Г должен иметь при точке М, имеющей своей проекцией точку М',
то же направление, что и угол ВАС, а следовательно, угол между теми же
окружностями при точке Р — направление, противоположное направлению
угла ВАС (построение такой окружности опять сводится к упр. 499, построе-
ние г).
829. Пусть внутри данного сферического треугольника АВС
требуется найти точку М (черт. 498), для которой
пл. 7ИВС=2.ПЛ. MCA — 2• пл. МАВ.
При этом будем иметь:
пл. МВС = ~-пл. АВС (1)
И
пл. MCA=j--пл. АВС. (2)
В силу теоремы Лекселля (п. 536), геометрическое место точек М,
удовлетворяющих условию (1) и лежащих внутри треугольника АВС,
есть некоторая дуга малого круга. Построить этот последний можно,
очевидно, следующим образом. Строим на стороне АВ треугольника АВС
такую точку D, что дуга CD делит его на две равновеликие части
(ср. решение упр. 828), и проводим малый круг через точку D и через
точки, диаметрально противоположные точкам В и С.
Точно так же геометрическое место точек М, удовлетворяющих
условию (2) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая
дуга малого круга. Построить последний можно аналогично сказан-
722
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ному выше, найдя на стороне АВ такую точку Е, что пл. АСЕ =
= ~пл. АВС, и проведя малый круг через точку Е и через точки,
диаметрально противоположные точкам С и А.
Искомая точка Л4 есть точка пересечения обоих построенных гео-
метрических мест.
830. Пусть С—данная окружность (черт. 499 и 500), О — её
полюс, А и В — данные точки этой окружности и М— искомая точка
той же окружности. Обозначим данные углы ОАВ и АМВ на шаре
соответственно через а и и. Сумма углов сферического треугольника
АМВ будет при этом равна 2а-]-2(р, как это следует из равенства
углов при основании в каждом из равнобедренных треугольников
ОАВ, ОАМ и ОВМ. Это выражение для суммы углов будет справед-
ливо как в том случае, когда точка О лежит внутри треугольника
МАВ (черт. 499), так и в том случае, когда она лежит вне этого тре-
угольника (черт. 500). Так как сумма углов треугольника АВМ должна
иметь известную величину 2а-J-2®, то и его площадь должна иметь
вполне определённую величину. Следовательно, точка М должна
лежать (по теореме Лекселля) на одной из двух вполне определённых
дуг, имеющих своими концами точки, диаметрально противоположные
точкам А и В. Точки пересечения этих двух дуг с окружностью С
и будут искомыми.
Чтобы построить теперь эти искомые точки, достаточно, в силу
сказанного, решить следующую задачу:
Построить геометрическое место точек М, образующих с двумя
данными точками А и В сферический треугольник МАВ, имеющий
данную сумму углов (или, что сводится к тому же, данную пло-
щадь).
Как уже было отмечено, искомое геометрическое место точек М
состоит из двух дуг малых кругов, имеющих своими общими концами
точки А' и В', диаметрально противоположные точкам А и В. Если
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА II
723
О — полюс одного из этих малых кругов (черт. 501), то мы будем
иметь (ср. п. 535)
/_В' А'О — * (^В' А' М-\- А' — / А’МВ') —
= ’ (2d — j/BAM^-‘2d— /_МВА — /_АМВ) =
= 2d — 4" (Z RAM + Z МВА + / АМВ}.
Таким образом, известны равные между собой углы В'А'О и А'В'О,
и точку О можно построить.
Если угол В' А'О, определённый как указано, окажется отрицатель-
ным, то это значит, что центр О каждой из дуг, входящих в состав
искомого геометрического места, лежит с
этой дугой по разные стороны от боль-
шого круга АВ.
831. При построении сферического
треугольника по данным стороне или углу,
высоте и площади мы должны рассмо-
треть четыре различных случая, а именно:
1°. Даны сторона, опущенная на неё
высота и площадь.
2°. Даны сторона, опущенная на одну
из других сторон высота и площадь.
3°. Даны угол, проведённая из вер-
шины этого угла высота и площадь.
4°. Даны угол, проведённая из вершины
одного из других углов высота и площадь.
При этом под высотой (в смысле длины
высоты; ср. ещё упр. 492,1°) сферического треугольника будем
понимать сферическое расстояние (п. 404) от вершины до большого
круга, проходящего через две другие вершины; определённая так
высота треугольника не превосходит квадранта.
Рассмотрим эти четыре случая по порядку.
1°. Пусть даны сторона ВС—а искомого треугольника АВС,
опущенная на неё высота ha и площадь, заданная для определён-
ности сферическим избытком е.
Строим дугу ВС, равную данной стороне а искомого треуголь-
ника (черт. 502, выполненный в стереографической проекции на пло-
скость большого круга ВС), и точки В' и С, диаметрально противо-
положные точкам В н С. Далее строим геометрическое место третьих
вершин А треугольников, имеющих данное основание ВС и данную
площадь, т. е. данный избыток S (ср. решение упр. 830). Наконец,
строим ещё геометрическое место вершин А треугольников, у кото-
рых Основанием служит дуга ВС и высота, опущенная на сторону ВС,
равна ha. Это последнее геометрическое место состоит, очевидно,
724
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
из двух малых кругов, имеющих с большим кругом ВС общие полюсы
и сферический радиус, равный d — ha. Вершиной А искомого тре-
угольника будет одна из точек пересечения обоих геометрических мест.
При построении указанных геометрических мест достаточно по-
строить одну из двух дуг, образующих первое геометрическое место,
и один из двух малых кругов, образующих второе геометрическое
место, выбрав эту дугу и этот малый круг так, чтобы они лежали
по отношению к большому кругу ВС в одном полушарии; вторая
дуга и второй малый круг не приводят к новым решениям.
Наибольшее число решений — одно (если считать два симметрич-
ных треугольника за одно решение, как мы это делали в решении
упражнения 499, построение g и следующие; ср. черт. 502).
2°. Пусть даны сторона ВС=а искомого треугольника АВС,
высота BH = hb, опущенная на сторону АС, и площадь или же сфе-
рический избыток е.
Строим, как и в первом случае, дугу ВС, равную данной сто-
роне а искомого треугольника (черт. 503, выполненный в стереогра-
фической проекции на площадь большого круга ВС), точки В' и С,
диаметрально противоположные точкам В и С, и геометрическое
место третьих вершин А треугольников, имеющих данное основание
и данную площадь. Далее строим прямоугольный треугольник ВСН
по гипотенузе ВС и катету ВН, равному данной высоте hb искомого
треугольника (упр. 499, построение k). Из двух прямоугольных тре-
угольников, удовлетворяющих этим условиям, достаточно построить
один треугольник ВСН, так как второй треугольник, симметричный
с ВСН относительно большого круга ВС, не приводит к новым ре-
шениям (если, как мы это делаем, считать два симметричных тре-
угольника за одно решение). Вершиной А искомого треугольника
будет точка пересечения большого круга СН с построенным выше
геометрическим местом.
Наибольшее число решений — два (одно из них, треугольник АВС,
показано на черт. 503; второе, вообще говоря, отличное от первого.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА II
725
получается в результат пересечения большого круга СН с дугой,
симметричной дуге В'АС относительно большого круга ВС и входя-
щей в состав рассмотренного геометрического места).
3°. Пусть даны угол а при вершине А искомого треугольника
АВС (черт. 504), его высота AH=ha и площадь, заданная для опре-
делённости сферическим избытком е. Мы д
можем считать заданными точки А и И и /г—
большой круг Г, на котором должны ле- /1
жать искомые вершины В и С треуголь- —
ника. н
Выполним стереографическую проекцию
треугольника АВС, принимая за центр Черт. 504.
проекции точку А’, диаметрально про-
тивоположную точке А. Стереографические проекции точек и окруж-
ностей шара будем обозначать теми же буквами, что и самые точки
и окружности, но малыми.
Мы придём, таким образом, к следующей задаче на плоскости
проекций (черт. 505):
Даны окружность у и некоторая точка а, лежащая внутри
этой окружности; найти на
Черт. 505.
этой окружности две такие точки
Ь и с, чтобы угол Ьас был равен дан-
ному углу а и сумма углов криво-
линейного треугольника abc, образован-
ного отрезками ab и ас и дугой Ьс
окружности у, равнялась 2d^-s, где
s — данный угол.
Решив эту задачу на плоскости, мы
тем самым решим и предложенную за-
дачу на шаре: точки В и С будут точ-
ками шара, имеющими точки Ь и с
своими стереографическими проек-
циями.
Обращаемся к решению сформули-
рованной задачи. Так как сумма углов
криволинейного треугольника abc рав-
на 2d -ф- £, то хорда Ьс образует с ду-
1
у угол -у е, и этот угол вполне характе-
гой Ьс данной окружности
ризует длину хорды Ьс. Отсюда вытекает такой способ решения:
а) Через произвольную точку данной окружности у проводим
прямую, пересекающую эту окружность под углом у е, и обозначаем
через с0 вторую точку пересечения построенной прямой с окружно-
стью у.
Ь) Строим дугу Ло/посо, из точек которой отрезок Ьосй виден под
углом, равным а. Для этого достаточно, например, провести через
726
РЕШ ЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
точки Ло и с0 прямые, образующие с хордой Ьосо углы, равные d — а,
п провести дугу bomQco через точку пересечения т0 этих прямых.
Строим анатогичную дугу Ьопосо, симметричную с Ьотосо относительно
хорды bQc0.
с) Строим окружность а, концентрическую суп проходящую че-
рез точку а, и обозначаем через а0 одну из точек её пересечения
с дугой Ьйтйс0 или с дугой Ьопсо.
d) „Повёртываем" дуги Ьйтосй и ^оносо около центра о окружно-
сти у так, чтобы точка а0 совпала с а; новое положение точек Ьй и
с0 определит положение точек b и с. Чтобы осуществить этот пово-
рот, строим прямые оа0, о/>0, ос0 и оа и проводим через точку о
луч ob, образующий с прямой оа при точке о угол аоЬ, равный углу
a0ob0 и имеющий с ним одинаковое направление. Точка пересечения
построенного луча с окружностью у и будет искомой точкой Ь. Ана-
логично строится луч ос и точка с.
Если окружность о пересекает дугу Ьотосо в двух точках, то мы
получим два криволинейных треугольника abc, очевидно, симметрич-
ных относительно прямой оа; им будут соответствовать на шаре два
сферических треугольника АВС, симметричных относительно большого
круга АН, которые мы считаем за одно решение. Поэтому наиболь-
шее число решений равно двум (по одному решению, соответствующему
дугам Ьот.осо и Ьопосо).
Если точка а совпадёт с о, то задача будет иметь бесчисленное
множество решений при е = я и не будет иметь решений при е=у^д.
Соответствующий сферический треугольник АВС будет иметь высоту
АН, а следовательно, и стороны АВ и АС, равные квадранту, и
также будет существовать лишь при е = а.
Примечание. Приведённое решение требует выполнения построений
на шаре и на плоскости (ср. упр. 804). Можно, однако, получить решение
с помощью построений только па данном шаре, если заменить построения,
выполненные выше на плоскости проекции, соответствующими нм построени-
ями на шаре. Решение задачи будет выглядеть так:
а) Через произвольную точку Во большого круга Г и через центр проек-
ции, т. е. через точку А', диаметрально противоположную точке А, проводим
окружность, пересекающую Г под углом, равным -i- е, и обозначаем через Са
вторую точку пересечения построенной окружности с Г.
Ь) Проводим через точку А' и соответственно через точки Ви и Со по две
окружности, образующие с окружностью А'ВйС0 углы, равные d—— е, и обо-
значаем через Л10 и точки их пересечения; строим дуги ДуИдСо и В0ЛГ0С0.
с) Находим вторую общую точку О всех (а для построения достаточно
только двух) окружностей, проходящих через А', ортогональных к Г; прово-
дим через точку А окружность S, ортогональную ко всем (а для построения
достаточно только к двум) окружностям, проходящим через точки О и А';
обозначаем через Ао одну из точек пересечения окружности S с дугой BqMqCq
или с дугой Вй1\1Сц.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА II
727
d) Строим 'окружности ОА0А', ОВпА', ОСбА' и О А А' и проводим через
точки А’ и О дугу окружности ОБА', образующую с полуокружностью А’ОА
при точке О угол АОВ, равный углу АПОВ0 и имеющий с ним' одинаковое на-
правление. Точка пересечения построенной дуги с большим кругом Г и будет
искомой точкой В. Аналогично строится дуга ОСА' и точка С.
4°. Пусть, наконец, даны угол при вершине С искомого треуголь-
ника АВС, высота hb того же треугольника, выходящая из вершины В,
и его площадь.
Строим прямоугольный треугольник ВСН (черт. 503) по катету
BH=hb и противолежащему углу при вершине С (ср. решение
упр. 499, построение /) и точки В’ и С, диаметрально противопо-
ложные вершинам В и С. Построение заканчивается, как в случае 2°.
832. При решении этой задачи придётся различать два случая
в зависимости от того, даны ли
1° сторона или же
2° угол
сферического треугольника.
1°. Пусть даны сторона ВС=а и высота ha треугольника АВС.
Сохраним все обозначения, принятые в решении упражнения 831,1°
(черт. 502 на стр. 724). Площадь треугольника АВС будет, очевидно,
тем меньше, чем „ближе” проходит дуга В’МС к дуге ВС. Отсюда
непосредственно следует, что наибольшее и наименьшее значения
площади треугольника соответствуют тем случаям, когда дуга В’МС
касается малого круга Г, о котором говорится в решении упражне-
ния 831,1°. В том и в другом случае треугольник АВС будет, очевидно,
равнобедренным.
Точка касания малого круга Г с дугой В’МС, когда последняя
касается круга Г, лежит на большом круге, проходящем через сере-
дину дуги ВС и перпендикулярном к последней. Способ построения
треугольника АВС, имеющего наибольшую или наименьшую площадь,
очевиден.
2°. В этом случае придётся воспользоваться следующими двумя
свойствами полярных сферических треугольников.
I. Высота треугольника,полярного по отношению к данному,
равна соответствующей ей высоте данного треугольника.
Это свойство легко вытекает из рассмотрения чертежа 71 (на
стр. 66). В самом деле, пусть М—одна из вершин данного тре-
угольника, MN — соответствующая высота, так что стороной тре-
угольника, противолежащей вершине М, будет некоторая дуга боль-
шого круга ANA'. При этом вершиной полярного треугольника,
соответствующей вершине М, будет точка Q (так как точка Q есть
надлежащим образом выбранный полюс большого круга ANA'). В то
же время стороной полярного треугольника, противоположной вер-
шине Q, будет некоторая дуга большого круга АРА' (так как точка М
есть полюс этого большого круга). Так как дуга QMNP дополняет,
очевидно, дугу MN до полуокружности (Q/H.VP-]- MN=MP-\- QN—
728
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
= 2d), то высота полярного треугольника, выходящая из вершины Q,
будет равна МН; действительно, дуга QMNP есть больший из пер-
пендикуляров, опущенных из вершины Q на основание АРА', а вы-
сота равна меньшему из тех же перпендикуляров.
II. Чем больше площадь данного сферического треугольника, тем
меньше периметр треугольника, полярного по отношению к данному.
Вытекает из упражнения 824.
Пусть теперь требуется построить треугольник А’В'С, имеющий
данный угол при вершине А', данную высоту, выходящую из вер-
шины А', пак, чтобы его площадь была
наибольшей или наименьшей. Если мы вме-
сто искомого треугольника А'В'С' будем
предварительно строить треугольник АВС,
полярный по отношению искомому, и при-
мем во внимание свойства I и 11 полярных
треугольников, то мы придём к следую-
щей задаче:
III. Из всех сферических треугольни-
ков с данным основанием и данной вы-
сотой построить тот, в котором сумма
боковых сторон наименьшая или же наи-
большая (так как величина основания
дана, то вместо наименьшего или наиболь-
шего периметра можно
Можно без труда
рассматривать сумму боковых сторон).
построить два равнобедренных треугольника
с данным основанием и данной высотой. Пусть ВйСй — данное осно-
вание (черт. 506), В'й и Со — точки, диаметрально противоположные
точкам Во и Со. Если на большом круге, перпендикулярном к дуге
В0С0 и проходящем через её середину Н, отложить дугу НА, равную
данной высоте, то мы и получим два равнобедренных треугольника
ДВ0С0 и АВ0С0, о которых идёт речь.
Случай, когда данная высота равна квадранту, не представляет
интереса (так как при этом АВ0 = АС0 = АН); поэтому мы будем
предполагать, что дуга АН меньше квадранта. Так как каждая из
равных дуг НВц и НСо также меньше квадранта, то и дуги ЛВ0 = ЛС0
меньше квадранта (п. 404, следствие II).
Докажем теперь, что равнобедренный сферический треугольник
АВ0С$ имеет меньшую сумму боковых сторон, чем всякий другой
треугольник АВС с той же высотой АН и основанием ВС, рав-
ным В0С0.
Из равенства ВйСй — ВС имеем В^В—С^С. Мы предположим сна-
чала, что В0В меньше квадранта. Если мы отложим теперь на про-
должении дуги НВ0 дугу В0ВА, равную В0В=С0С, то мы будем
иметь ABt — АС в силу равенства прямоугольных треугольников АНВ\
и АНС. Медиана АВй треугольника ЛВВг меньше квадранта; поэтому
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВ* II
729
(упр. 495) мы имеем АВ0 (АВ-|-'^iK откуда ЛВ0-|-ДС0 =
= 2АВ0 <АВ-±- АВ, = АВ -j- АС.
Мы предполагали, что дуга В0В меньше квадранта. Если эта дуга
равна квадранту или больше квадранта, то фигура, ограниченная
дугами АВ, АВ1 и ВВ0Вг, не будет сферическим треугольником, так
как последняя из этих дуг равна полуокружности или больше полу-
окружности, и мы не можем опираться на свойства треугольников,
выведенные ранее. Однако в этом случае мы могли бы доказать не-
посредственно (по образцу решения упр. 495), что неравенство
ЛВ0 (ЛВ-ф/Вх) сохраняет силу. После этого доказательство за-
канчивается, как и выше.
Докажем далее, что равнобедренный сферический треугольник
АВоСо имеет большую сумму боковых сторон, чем всякий другой
треугольник АВ'С с той же высотой АН и основанием В'С, рав-
ным В0С0.
Действительно, если В и С—точки, диаметрально противоположные
точкам В’ и С', то мы имеем, очевидно, (АВ' -j- АС') -|- (ЛВ-|- ЛС) =
= (ЛВо-}-ЛСо)4 (АВ0 АС0), так каки левая и правая части в от-
дельности равны окружности большого круга. Так как по доказан-
ному ЛВ0 —I— АС0<^ АВ-^-АС, то отсюда следует, что ЛВо-|-ЛСо^>
> АВ’А-АС'.
Итак, мы окончательно доказали, что из всех треугольников АВС
с данным основанием и данной высотой и наименьший и наибольший
периметры имеют равнобедренные треугольники. Возвращаясь к тре-
угольникам А’В'С, полярным по отношению к АВС, мы приходим
к следующему результату:
Из всех треугольников А'В'С, имеющих данный угол при вер-
шине А' и данную высоту, выходящую из этой вершины, наиболь-
шую и наименьшую площадь имеют равнобедренные треугольники.
Построение этих равнобедренных треугольников не представляет
затруднений.
833. При решении этой задачи придётся опять различать два
случая в зависимости от того, даны ли
1° основание или же
2° боковая сторона
равнобедренного сферического треугольника.
1°. Пусть даны основание ВС—а искомого равнобедренного тре-
угольника АВС и его площадь.
Строим дугу ВС, равную а, точки В’ и С', диаметрально проти-
воположные точкам В и С, и геометрическое место третьих вершин А
треугольников АВС, имеющих общее основание ВС и данную пло-
щадь (ср. решение упр. 830); при этом достаточно построить одну
из двух дуг, имеющих своими концами точки В' и С' и входящих
47 Элементарная геометрия, ч. II
730
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
в состав искомого геометрического места. Третьей вершиной А иско-
мого треугольника бутет, очевидно, точка пересечения этой дуги
с большим кругом, перпендикулярным к дуге ВС и проходящим че-
рез её середину. Задача всегда имеет одно решение.
Вопроса о треугольнике наибольшей площади в этом случае не
возникает (площадь искомого треугольника может принимать при этом
как значения, сколь угодно близкие к нулю, так и значения, сколь
угодно близкие к площади полушария).
2°. Пусть дана боковая сторона АВ = ВС = а искомого равно-
бедренного треугольника АВС и его площадь.
Строим опять дугу ВС, равную а, точки В' и С, диаметрально
противоположные точкам В и С, и одну из двух дуг, имеющих сво-
ими концами точки В' и С и входящих в состав геометрического
места третьих вершин А треугольников АВС, имеющих общую сто-
рону ВС и данную площадь. Третьей вершиной А искомого треуголь-
ника будет, очевидно, точка пересечения этой дуги с окружностью СХ,
имеющей своим полюсом точку В и сферический радиус, равный ВС
(черт. 507, 508 и 509, выполненные в стереографической проекции;
окружность СХ, о которой идёт речь, изображается окружностью или
прямой, проходящей через точку С и образующей прямые углы с ок-
ружностью ВСВ'С' и с прямой ВВ').
Если данная боковая сторона ВС искомого треугольника меньше
квадранта, то задача может иметь два решения, одно решение или не
иметь ни одного решения (черт. 507). Площадь треугольника будет
наибольшей, если дуга, проходящая через точки В' и С, будет ка-
саться окружности СХ (треугольник А0ВС). Построение треугольника
с наибольшей площадью сводится к проведению через точки В' и С
окружности, касающейся построенной окружности (упр. 829).
Если данная боковая сторона ВС искомого треугольника раина
квадранту, то задача может иметь одно решение или не иметь ни о i-
ного решения (черт. 508). Геометрически очевидно, что площадь рав-
нобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна квад-
ранту, может принимать значения, сколь угодно близкие к одной чет-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА И
7л 1
вертп поверхности шара. Вопроса о треугольнике с наибольшей
площадью в этом случае не возникает.
Наконец, если данная боковая сторона ВС больше квадранта, то
задача всегда имеет одно решение (черт. 509). Площадь искомого
равнобедренного треугольника может принимать значения, сколь угодно
близкие к поверхности полушария, и вопроса о треугольнике с наи-
большей площадью опять не возникает.
834. Построение точки Р, рассмотренное в решении упражнения 799,
принимает в случае трёх данных больших кругов следующий вид:
Проводим через точку пересечения В' больших кругов АВ и ВС,
отличную от В, т. е. через точку В', диаметрально противоположную
точке В, и через точку С,
диаметрально противоположную
точке С, какую-либо окруж-
ность Г, пересекающую сторо-
ны АС и АВ сферического тре-
угольника АВС (или их продол-
жения) соответственно в точ-
ках Qj и Рр Далее проводим
окружность /1'QiPj через точ-
ки Qj, Pj и через точку А',
диаметрально противоположную
точке А. Наконец, строим ок-
ружность, касающуюся окруж-
ности A'Q1R1 в точке А' и
в то же время касающуюся стороны ВС треугольника АВС. Точка
касания и будет искомой точкой Р.
Аналогично строятся точки Q и Р.
Рассмотрим теперь это построение в стереографической проекции,
принимая за центр проекции точку Д'. Будем обозначать проекции
рассматриваемых точек А, В, С, ... теми же буквами, что и самые
точки, но малыми. Мы получим в проекции две прямые линии ab и ас
и окружность ЬсЬ'с', пересекающую прямую аЬ в точках Ь и Ь' и пря-
мую ас — в точках с и с' (черт. 510). Окружность Г будет имев
своей проекцией какую-либо окружность у, проходящую через точки /»'
и с' и пересекающую вторично прямые ас и ab в точках qA и г,.
Прямая q{r} будет, как легко видеть, параллельна прямой Ьс (Пл., упр. 65)
Окружность будет иметь своей проекцией прямую qyA. На-
конец, окружность, касающаяся окружности A'Q^R^ в точке А' и ка-
сающаяся стороны ВС треугольника, будет иметь своей проекцией пря-
мую, параллельную и касающуюся дуги Ьс в точке р. Но так как
прямая qp\ параллельна Ьс, то и касательная к дуге Ьс в точке р будет
параллельна хорде Ьс. Следовательно, точка р есть середина дуги Ьс.
Отсюда и вытекает (ср. решение упр. 828), что на шаре дуга АР
делит площадь сферического треугольника АВС пополам. То же имеет
место для дуг BQ и CR.
732
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
835. Вычислим сначала площадь общей части РАМВ (черт. 511)
сферического двуугольника и сферического сегмента, имеющего своими
полюсами вершины двуугольника.
Пусть R— радиус данного шара, h = PH— высота сегмента,
1 — АРВ — угол двуугольника, выраженный в радианах. Мы имеем
очевидное равенство пл. РАМВ : 2nRh.= к: 2тт,
откуда
iV\\ пл. PAMB = ~kRh.
--------гДА Вычислим теперь площадь „серпика" AMBN,
\-------I Л/\ / ограниченного дугой АЛ1В малого круга и дугой
--- ANB большого круга, соединяющей её концы.
А М Сохраним введённые выше обозначения R, h, \ и
Черт. 511. обозначим ещё через а = / MAN— / MBN угол
„серпика", выраженный в радианах. Площадь сер-
пика равна разности между площадью фигуры РАМВ, равной ио доказан-
ному \Rh, и площадью сферического треугольника РАВ (т.е. площадью
фигурыPANB), равнойR2 ---— R2 (к —
— 2а). Таким образом, находим:
пл. AMBN = lRh — R2(k — 2а).
(1)
Вычисление площади любой сферической фигуры, ограниченной
дугами больших и малых кругов, можно теперь свести к вычислению
площади некоторого сферического многоугольника с последующим
прибавлением к ней и вычитанием из неё площадей „серпиков". Для
этого достаточно, очевидно, соединить каждые две последовательные
вершины данной фигуры дугой большого круга (ср. Пл., п. 263).
Примечание. Мы характеризовали выше .серпик" четырьмя величи-
нами R, h, к и а. В действительности же три из этих величин, а именно R,
h и к, определяют угол а. В самом деле, эти три величины вполне характе-
ризуют фигуру РАМВ (черт. 511), а точки Ан В определяют проходящую че-
рез них дугу АРВ большого круга и, следовательно, угол а. Таким образом,
формула (1) обладает тем недостатком, что величины, входящие в правую
часть, не являются независимыми.
Однако вывод формулы, связывающей между собой величины R, h, I и а,
выходит из рамок настоящей книги, так как требует формул сферической три-
гонометрии.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ HI (стр. 236).
836. Соответствие между точками двух многоугольников, как ле-
жащими на самых многоугольниках, так и внутри последних, мы бу-
дем называть непрерывным, если оно обладает свойствами, рассмот-
ренными в п. 539.
Доказательство того, что все выпуклые плоские многоугольники
имеют одинаковую связность, мы разобьём на ряд пунктов.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
733
а) Два многоугольника Р и Q имеют одинаковую связность, если
каждый из них имеет одинаковую связность с некоторым третьим
многоугольником R.
В самом деле, если многоугольники Р и R имеют одинаковую
связность, то между точками самих многоугольников и точками их
внутренних областей можно установить непрерывное соответствие.
То же имеет место и для многоугольников Q и R, если они имеют
одинаковую связность.
Будем теперь считать соответствующими друг другу в многоуголь-
никах Р и Q две точки (лежащие на самих многоугольниках или
внутри их), которым соответствует одна и та же точка в многоуголь-
нике R. Это соответствие между точками будет опять непрерывным,
и многоугольники Р и Q имеют одинаковую связность.
Ь) Два подобных треугольника имеют одинаковую связность.
Действительно, если рассматривать соответственные точки, лежа-
щие на самих подобных треугольниках пли внутри них, то мы полу-
чим непрерывное соответствие.
с) Если одна сторона одного треугольника равна одной сторо-
не другого, то треугольники имеют одинаковую связность.
В самом деле, расположим данные треугольники так, чтобы сто-
рона АВ первого треугольника АВС совпадала с равной ей стороной АВ
второго треугольника АВС', а самые треуголь- р
ники лежали в различных плоскостях. Если
считать соответственными в двух треугольниках
точки, лежащие на одной прямой, параллельной
СС, то мы будем иметь опять непрерывное со- \ // /
ответствие 1у/ / /
d) Всякие два треугольника имеют одина- |Д/ /
ков\>ю связность. — v ----------j*
Рассмотрим третий треугольник, подобный и
первому из данных, одна из сторон которого Черт. 512.
была бы равна одной из сторон второго. Первый
и третий треугольники будут иметь одинаковую связность в силу пун-
кта Ь), второй и третий — в силу пункта с). Следовательно (иа основании
пункта а), и два данных треугольника имеют одинаковую связность.
е) Всякий выпуклый многоугольник имеет одинаковую связность
с некоторым треугольником.
Пусть дан выпуклый многоугольник, например пятиугольник ABCDE
(черт. 512). Пэоведём диагональ AD, которая соединяет две вершины,
смежные с одной и той же вершиной Е, и выберем на продолжении
стороны АВ за точку А произвольную точку D'.
Треугольник ADD' имеет одинаковую связность с треугол*-"”
ком AED. При этом непрерывное соответствие между точками ойоил
треугольников можно установить так, что каждая точка общей сто-
роны AD будет соответствовать самой себе. Если считать далее, что
каждая точка четырёхугольника ABCD соответствует самой себе, то
734
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
мы получим непрерывное соответствие между точками пятиугольни-
ка ABCDE и точками четырёхугольника BCDD'.
Таким образом, всякий выпуклый многоугольник имеет одинаковую
связность с некоторым выпуклым многоугольником, имеющим на одну
сторону меньше, чем данный. Продолжим это рассуждение до тех
пор, пока не придём к треугольнику.
1) Всякие два выпуклых многоугольника имеют одинаковую связ-
ilirCfUb.
Если даны два выпуклых многоугольника Р и Р', то мы можем
найти два треугольника А и Д', имеющих одинаковую связность со-
ответственно с многоугольниками Р и Р'. Эти два треугольника имеют
одинаковую связность (пункт d). Итак, многоугольник Р имеет одина-
ковую связность с треугольником Д, треугольник Д — с треугольни-
ком Д', треугольник Д' — с многоугольником Р'. В силу пункта а)
многоугольники Р и Р' имеют одинаковую связность.
Чтобы распространить полученный результат и на невыпуклые много-
угольники, достаточно доказать следующее утверждение:
Всякий невыпуклый многоугольник имеет одинаковую связность с вы-
пуклым многоугольником, имеющим то же число сторон.
Наметим, не входя в детали, путь доказательства этого предложения.
Данный невыпуклый многоугольник можно разложить его диагоналями на тре-
угольники (это свойство мы будем считать очевидным). Так, многоуголь-
Е.-.К ABCDEFOHK (черт. 513) можно разложить на треугольники диагоналя-
ми AC, AD, АВ, АН, DF и FH. Выпуклый многоугольник A'B’CD'E'F'G'H’K'
(черт. 514) с тем же числом сторон также можно разложить на треугольники
.соответствующими" диагоналями А'С', A’Lf, A'F, А'Н', L)'F' и В'Н'. Между
каждыми двумя соответствующими треугольниками АВС н А'В’С’, ACDvl А’С О',
AOF и A'LfF' и т. д. установим непрерывное соответствие, как указано выше
в пунктах b) -d). Существенным оказывается при этом следующее обстоя-
тельство. Каждой точке М диагонали АС будет соответствовать одна и та же
точка М' диагонали А'С независимо от того, будем ли мы рассматривать отре-
вок АС как сторону треугольника АВС или как сторону треугольника АС О.
Действительно (в силу пу нктов b и с), эта точка М’ удовлетворяет условию
МА:МС=М'А'\М'С'. Таким путём будет установлено непрерывное соответ-
ствие между обоими многоугольниками.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
735
837. Если концы А н D разреза ABCD принадлежат одному и
тому же из контуров, образующих край поверхности (черт. 515), то
число контуров, образующих край, увеличится на единицу, так как
вместо одного контура AEFDGHKA мы будем иметь их два, а
именно ABCDFEA и ABCDGHKA. Если же концы А и D разреза ABCD
принадлежат различным контурам (черт. 516), то число контуров
уменьшается на единицу, так как вместо двух контуров AEFGA и
DHKLMD будем иметь один контур AEFGABCDMLKHDCBA. Итак,
если провести один разрез, то чётное число контуров первоначальной
поверхности заменится нечётным числом контуров
и наоборот. Отсюда следует, что после про-
ведения последовательно чётного (нечётного)
числа разрезов число контуров первоначальной
поверхности и число контуров преобразованной
будут оба чётными или оба нечётными (соответ-
ственно— одной чётным, другой нечётным).
Пусть теперь порядок связности данной мно-
гогранной поверхности (п. 545) есть число чёт-
ное. В таком случае, нечётное число разре-
зов обратит её в односвязную поверхность, т. е.
у преобразованной,
в поверхность, край которой состоит из нечётного числа контуров,
а именно из одного. Следовательно, первоначаль-
ное число контуров было чётным.
Аналогичное имеет место в случае, когда по-
I / рядок связности есть число нечётное.
I______/ В частности, если отнять от многогранника,
удовлетворяющего условиям пункта 537, одну
/ грань, то получится многогранная поверхность,
ограниченная одним контуром и потому имеющая
\_____£ нечётный порядок связности.
/ i 838. Общее число сторон у всех треугольных
/ / граней равно 3Ft, общее число сторон у всех че-
X. / тырёхугольных граней равно 4Fi и т. д. Общее
X/ число сторон у всех граней многогранника равно
' поэтому 3F8 -j- 4F4 -|-. . . . Но каждое ребро
Черт. 516. многогранника служит стороной двух его граней,
так что общее число сторон равно удвоенному
числу рёбер. Отсюда
2А = 3F34F4-J-5F5-4-... .
(1)
Точно так же общее число рёбер всех многогранных углов много-
гранника, равное З53 4Л\ -I- 5S6 -I-... , равно в то же время удво-
енному числу его рёбер, так как каждое ребро многогранника служит
ребром двух его многогранных углов. Отсюда
2.4^3S3-J-4S4-L5S54-.. - -
(2)
736
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
839. Так как в обозначениях, принятых в упражнении 838, имеет
место очевидное равенство F — Fa -L F4 -I- Fa 4-..., то из равенства (1),
приведённого в решении того же упражнения, находим, что 24 2= 3F. -4-
4-3F44-3F6 + ... , т. е. 24>3F.
Точно так же из очевидного равенства S = S3-(-S4 )-5в4-... ц
из равенства (2), приведённого в решении того же упражнения, нахо-
дим, что 2 А 3Ss 4- 354 35в Ц-... , т. е. 24^35.
Заменяя далее в неравенстве 24 2= 3F величину F, на основании
теоремы Эйлера, через А — 5Ц-2, получим 24 2=3(4— S-j-2), от-
куда 35 2=4 4~6 и 6S—12 2=24.
Заменяя, наконец, в неравенстве 24 2=35 величину 5, на основа-
нии теоремы Эйлера, через 4 — F-J-2, получим 24 2=3(4—F-J-2),
откуда 3F2=4 4-6 и 6F—12 2=24.
Таким образом, все неравенства, приведённые в условии, доказаны.
840. Мы имеем (ср. решения упр. 838 и упр. 839):
24 = 3F84-4F44-5F6-|-... ; (1)
24 = 3S8-|-454-|-55Б; (2)
F = Fs-|-F4-|-F8-|-...; (3)
s8-]-•$< 4~ • • • • (4)
Подставляя теперь в равенство F -(- 5 = 4 -1- 2 вместо F, 5 и 4 их
значения (3), (4) и (1), получим: 2(F8-|-F4-J-F6-|-...)-|-2(S3-|-54-|-
— (3FS-|-4F45F6-j-2 или, после упрощений:
2 (S3 + 54 + 5В 4- ...) = 4 4- F8 + 2F4 + 3F6 + ... (5)
Точно так же, подставляя в то же равенство F4-5 = 4 4~2 вместо
F, 5 и 4 их значения (3), (4) и (2), получим после упрощений:
2(f8 4- f4+f8+...)—4 4- 53 2s4 4- 3SB 4-...
(6)
Наконец, складывая почленно (5) и (6), иайдём:
Fs4-S3 = 8 + (FB + SB) + 2(Fe4-S6)... . (7)
Последнее равенство показывает, что
f84-s8 >8,
откуда вытекают доказываемые предложения.
Первое из двух доказываемых предложений можно доказать проще.
А именно из равенств (1) и (2) при F8 = S8 = 0 мы имела бы 2A^4F и 242= 1S,
откуда F-]-S=s:A, что противоречит теореме Эйлера. Таким образом, равен-
ства F8 = 0 и S| —0 не могут выполняться одновременно.
841. Если бы каждая грань некоторого многогранника нулевого
рода имела более пяти сторон, то в обозначениях, принятых в уп-
ражнении 838, мы имели бы Fs = F4 — FB — 0. В силу равенства (В,
приведённого в решении того же упражнения, мы имели бы при этом
24 2= 6F. В то же время, в силу упражнения 839, мы должны име.ь
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
737
6F—12 2э=2Д. Полученное противоречие и показывает, что каждая
грань многогранника нулевого рода не может иметь более пяти сторон.
Аналогично при 58 = 54 = 5Б = 0 мы получили бы два соотноше-
ния, противоречащие одно другому, а именно: 2Л гэ 65 и 65— 12 э* 2А.
Те же предложения вытекают как следствие из сказанного ниже в уп-
ражнении 844.
842. Мы имели выше (упр. 839): 2 А 3F^= А 4~ 6. При А = 1
мы получили бы отсюда невозможные неравенства 14 3F:s= 13.
843. Мы имели выше (упр. 839): 6F—12 5= 2А 3F^= А-|-б.
Если F=5, то мы получаем: 18 2А 15 А 4~ 6, откуда А = 8
или А — 9. По теореме Эйлера, 5= А — F-j-2. Поэтому при F= 5,
А = 8 находим 5=5 (пример: четырёхугольная пирамида), а при
F=5, А = 9 находим 5=6 (пример: треугольная призма).
844. Складывая почленно один раз равенства (5) и (7), другой
раз — равенства (6) и (7), приведённые в решении упражнения 840,
получим:
353 + 254 + 55=124-2F4 + 4F64-... + 5, + 25s + ... (8)
3F8 + 2F4 + F6=12 + 254 + 45B + ... + F, + 2F8+... (9)
Складывая теперь почленно один раз равенства (7) и (8), другой
раз — равенства (7) и (9), получим далее:
Fs + 453 + 254 = 20 + 2F4 + 5F5 +
53 + 4Fg + 2F4 = 20 + 254 + 55Б +
4-256 + 45,4-... (10)
+ 2Fe + 4F, +... (11)
Полагая теперь в равенствах (9) и (11) F3 = F4 = 0, получим.
F62sl2 и 53 > 20. Таким образом, первое предложение, приведённое
в условии, доказано.
Аналогично, полагая в равенствах (8) и (10) 53 = 54 = 0, получим:
5Б^12 и Fs^20. Таким образом, доказано следующее пред-
ложение:
Многогранник нулевого рода, не имеющий ни трёхгранных, ни
четырёхгранных углов, имеет по крайней мере двенадцать пяти-
гранных углов и двадирть треугольных граней.
Полагая далее в равенстве (9) F4 = F6 = 0, получим F35=4. Та-
ким образом, последнее предложение, приведённое в условии, доказано.
Аналогично, полагая в равенстве (8) 54 = 5Б = 0, получим 58=&4.
Таким образом, доказано следующее предложение:
Многогранник нх/левого рода, не имеющий ни четырёхгранных,
ни пятигранных углов, имеет по крайней мере четыре трёхгран-
ных угла.
845. Сумма 2 плоских углов всех граней многогранника равна
2 = 2<7-(3 — 2) Fs + 2г7-(4 — 2) F4 Ц-2г/. (5 — 2) F6 +.. - = 2d (3F3-|-
+ 4F44- 5F6 J-...) — 4d (F3 A- F4 -LF6Пользуясь равенствами
(1) и (3), приведёнными в решении упражнения 840, получим отсюда:
738
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
2 —2d-2A— 4d-F=4d(A— F) или, в силу теоремы Эйлера:
S = 4d(S—2). Так как сумма углов плоского S-угольника равна
2d (S — 2), то теорема доказана.
846. Пусть о — центр направляющего шара S, А— полярная
плоскость точки а, р— полюс плоскости Р (черт. 517 и 518). Обо-
значим через а' и а0 точки пересечения прямой оа с плоскостями А
и Р, через р’ и рй — точки пересечения прямой ор с плоскостями Р и А.
Предположим сначала, что угол аор острый (черт. 517). Если
точка а лежит с точкой о по одну сторону от плоскости Р, то мы
имеем оа<^оай, и обратно; аналогично, если полюс р плоскости Р
и точка о лежат по одну сторону от плоскости А, то ор орй,
и обратно. Таким образом, мы должны доказать, что из неравенства
оа<^оай следует, что и ор<^орй.
Но, в силу основного свойства полюсов и полярных плоскостей,
мы имеем оа-оа' = ор-ор'-, в силу подобия прямоугольных треуголь-
ников оа'р0 и ор'ай, мы имеем оай-оа' =ор0-ор'. Из двух последних
равенств находим оа: оай = ор: ор0. Эта пропорция и показывает, что
из оа<^оа0 следует, что и ор<^орй.
Мы предполагали, что угол аор острый. Пусть теперь этот угол
тупой (черт. 518). В этом случае точка а и точка о всегда лежат по
одну сторону от плоскости Р, так как угол аор', равный углу аор,
также тупой. Аналогично, точка р и точка о всегда лежат при этом
по одну сторону от плоскости А. Аналогичные соображения применимы
и в случае прямого угла аор.
Первое предложение, сформулированное в условии задачи, доказан >.
Переходим к рассмотрению многогранников.
Пусть а, Ь, с,.. . — вершины данного многогранника; Р, Q, R, . ..—
его грани; А, В, С,.. . — полярные плоскости точек а, Ь, с, ... отно-
сительно шара S; р, q, г, ... — полюсы плоскостей Р, Q, R, ... от-
носительно того же шара. Мы должны доказать, что многогранник,
взаимно-полярный данному, т. е. имеющий точки р, q, г,.. . своими
вершинами и плоскости А, В, С, ... своими гранями, также выпуклый.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАЗА III
739
Пусть р — какая-либо вершина преобразованного многогранника,
А— плоскость какой-либо его грани, не проходящая через р. Так
как центр о направляющего шара лежит, по условию, внутри перво-
начального многогранника, то его вершина а и точка о лежат по
•одну сторону от грани Р, не проходящей через а. Следовательно, по
доказанному, и полюс р плоскости Р лежит с точкой о по одну сто-
рону от плоскости А. Таким образом, всякая вершина преобразован-
ного многогранника, не принадлежащая плоскости А его грани, лежит
от этой плоскости по ту же сторону, что и точка о. Так как это
имеет место для всех граней А, В, С, ... преобразованного много-
гранника, то последний выпуклый.
Если теперь х — какая-либо точка, внутренняя по отношению к
первоначальному многограннику, то точки х и о лежат по одну сто-
рону от любой из плоскостей Р, Q, R, ... Следовательно, по дока-
занному, точка о и любая из точек р, q, г,... лежат по одну сторону от
полярной плоскости X точки х. Иначе говоря, все вершины преобра-
зованного многогранника лежат по одну сторону от плоскости X,
и последняя целиком лежит вне преобразованного многогранника. Итак,
точка х, лежащая внутри данного многогранника, имеет своей поляр
ной плоскостью плоскость X, целиком лежащую вне преобразованного
многогранника.
Таким же путём доказывается аналогичное свойство плоскостей,
лежащих вне данного многогранника, и точек, лежащих внутри пре-
образованного многогранника.
847. Примем некоторую точку О, лежащую внутри данного вы-
пуклого многогранника, за центр шара произвольного радиуса. „Спро-
ектируем “ данный многогранник из центра О на поверхность шара,
принимая за „проекцию" каждой точки многогранника ту точку по-
верхности шара, которая лежит с ней на одном луче, выходящем из
точки О. Граням многогранника будут соответствовать некоторые сфе-
рические многоугольники, его рёбрам и вершинам — стороны и вер-
шины этих многоугольников. Полученные сферические многоугольники
покроют шар без пробелов и перекрытий. В системе единиц, приня-
той в начале предыдущей главы (п. 531), сумма площадей всех по-
лучившихся сферических многоугольников будет равна 4тг. Выразив
ту же сумму площадей через число вершин 5, число граней F и число
рёбер А многогранника, мы и получим новое доказательство теоремы
Эйлера.
С этой целью обозначим через пх, п2, • числа сторон каждой
грани многогранника, т. е. каждого сферического многоугольника,
через Cj, а2, ...—суммы углов тех же многоугольников (в радианах).
Площади сферических многоугольников (в принятых единицах) будут
равны соответственно ст,—(л1—2)71=0]—«,тг—ф-2тг, о2—и2тт 4-2п,... .
Таким образом, получается уравнение
(Ji—/ZjTr-j- 2тг) -ф- (а2 — г?2тг -ф- 2тг) -ф-. ,. = 4тт.
740
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Так как число слагаемых в левой части равно числу граней F, то это
уравнение можно переписать в виде
(ai 4~а2 -*-• - -) — (Л1 ~i~n2 4“ • • •) 714~ 2/Тг=4тт.
Далее ffi <?2 -(- • -. = 25тг, так как сумма углов на шаре вокруг
каждой из 5 вершин сферических многоугольников равна 2тт,
и nl -ф-п2 -I-... — 2А (упр. 838). Предыдущее равенство принимает вид:
25тг — 2 А тг -ф- 2Ftc = 4тг,
откуда и вытекает теорема Эйлера.
Пусть теперь данный многогранник — правильный и имеет /д-уголь-
ные грани и д-гранные углы, а точка О совпадает с центром много-
гранника. В таком случае углы при вершинах А, В и С сферического
треугольника АВС (п. 557, черт. 213 на стр. 229) будут соответ-
1t It It Я Я . Я
ственно равны — , —• и тг, а его площадь----------------к- ----п =
f п ’ т 2 ’ п 1 т 1 2
= -ф- ~ тг. В то иге время поверхность сферы разбивается
на 2mF треугольников таких, как АВС, так как каждой из F граней
многогранника соответствует 2т таких треугольников на шаре. Так
как имеет место равенство mF=2A (п. 561), то площадь каждого
из равных треугольников, таких, как АВС, равна = Прирав-
нивая оба выражения для площади треугольника АВС, мы получаем
уравнение:
±।
т п 2 * А ’
т. е. равенство (6'), выведенное в п. 561 из других соображений.
848. Если hlt h2, . .. — расстояния точки, лежащей внутри пра-
вильного многогранника от плоскостей всех его граней, 5 — площадь
грани, V — объем многогранника, то имеет место равенство:
4-4-S/z2+ ...= V,
о О
так как сумма объёмов пирамид, имеющих своими основаниями все
грани многогранника, а своей общей вершиной — данную точку, равна
объёму многогранника. Из этого равенства и следует, что
A] -f- ft2 -1-... = -у = const.
849. Рассмотрим одну из граней правильного октаэдра, например
грань АВС на чертеже 214 (стр. 230), а также три другие его грани,
каждая из которых имеет с первой общую вершину, но не имеет
с ней общих рёбер; на том же чертеже это будут грани АВ'С, А'ВС
и А'В'С. Продолжив эти грани до взаимного пересечения, мы полу-
чим вписанный в тот же куб правильный тетраэдр (ср. черт. 212 на
стр. 225); в самом деле, плоскости граней АВС и АВ'С пересека-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
711
ются по прямой, проходящей через центр .4 одной из граней куба
и параллельной прямым ВС и В'С, т. е. по одной из диагоналей
этой грани, и то же имеет место для других выбранных нами граней
октаэдра.
Второй правильный тетраэдр, вписанный в тот же октаэдр, мы
получим, продолжая до взаимного пересечения плоскости остальных
четырёх граней А'В'С, А’ВС, АВ'С и АВС того же октаэдра.
850. Рассмотрим произвольное ребро MN додекаэдра (черт. 519).
Параллельные ребру MN диагонали АВ и CD граней додекаэдра,
образующих это ребро, будут параллельны
и равны между собой. Каждый из отрезков
ВС и DA будет равен этим двум отрезкам
АВ и CD как диагональ одной из других
граней додекаэдра. Таким образом, четырёх-
угольник ABCD есть ромб. Так как биссек-
тральная плоскость двугранного угла при ре-
бре MN додекаэдра есть плоскость симметрии
последнего (п. 551), то отрезки АВ и DC
будут симметричны между собой относитель-
но этой плоскости. Отсюда следует, что от-
резки ВС и DA перпендикулярны к АВ, так
что ромб ABCD, представляет собой квадрат.
Q
Черт. 519.
Аналогично можно убедиться, что диа-
гонали АА' и ВВ' граней додекаэдра перпендикулярны к АВ (вместо
ребра MN додекаэдра надо исходить из ребра PQ). Продолжая
эти рассуждения, мы установим существование вписанного куба
ABCDA' B'C'D', имеющего своими вершинами 8 из вершин до-
декаэдра, а своими рёбрами 12 из диагоналей его граней.
Легко видеть, что вписанный куб вполне определяется выбором
одной из 5-12 = 60 диагоналей граней додекаэдра; действительно,
например, диагональ АВ одной из его граней вполне определяет ребро
A1.V додекаэдра и т. д. Так как каждый вписанный куб имеет своими
рёбрами 12 диагоналей граней додекаэдра, то эти 12 диагоналей
определяют один и тот же куб, и потому общее число вписанных
кубов будет равно 60:12, т. е. пяти.
Каждая вершина додекаэдра принадлежит двум вписанным кубам,
так как из одной вершины додекаэдра в трёх примыкающих к ней
гранях выходит всего 2-3=6 диагоналей, и три из этих шести
диагоналей принадлежат одному кубу.
851. Примем за первый тетраэдр, вписанный в данный куб
ABCDA'B'C'D', тетраэдр AB'CD'-, соответствующие этому выбору
направления на рёбрах куба показаны на чертеже 520. Проводя пло-
скости через рёбра куба, как сказано в тексте задачи, мы можем
предполагать, что угол а меньше 45°. Действительно, если проведён-
ная через ребро АВ плоскость AMNB образует с гранью ABCD,
расположенной „слева" от ребра АВ, угол а, то с гранью АВВ'А',
742
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
расположенной „справа** от того же ребра, она образует угол 90° — а.
Если бы угол а был больше 45°, то достаточно было бы изменить
направление на каждом ребре на обратное, чтобы новое значение
угла а было меньше 45°. (Случай, когда а = 45° требует особого
рассмотрения.)
Итак, предположим, что угол а меньше 45°. В таком случае мы
получим многогранник, изображённый на чертеже 520 и ограниченный
двенадцатью равными пятиугольниками, аналогичными AMNBP. Этот
многогранник и называется пентагон-додекаэдром. В силу равенства
углов а при всех рёбрах куба, будем иметь равенство 24 рёбер
многогранника, выходящих из вершин куба (AM = BN=CN = DM=s
= АР= BP=B'Q = A'Q— ...), и равенство 6 остальных рёбер
(MN=PQ = . ..).
Если угол а равен 45°, то четыре плоскости, проведённые через
рёбра АВ, ВС, CD и DA грани ABCD куба, проходят через одну
точку, и т > же имеет место для остальных граней куба. На чертеже 520
совпадут между собой точки Л4 и ЛА, Р и Q, и т. д. Мы получим
многогранник, изображённый на чертеже 521 и ограниченный две-
надцатью равными ромбами, аналогичными АМВР. Этот многогранник
и называется ромбододекаэдром.
Вернёмся к случаю пентагон-додекаэдра. В силу отмеченных выше
равенств между рёбрами последнего, каждая его грань имеет четыре
равные стороны. Так, грань AMNBP (черт. 520) имеет четыре равные
стороны АМ = АР — РВ=BN. Пятая сторона каждой грани будет,
вообще говоря, не равна остальным четырём; так, мы будем в общем
случае иметь AM MN. Чтобы построенный пентагон-додекаэдр был
правильным додекаэдром, необходимо, чтобы и пятая сторона каждой
грани была равна остальным четырём. Для этого достаточно (в Силу
равенства всех граней), чтобы имело место равенство;
AM = MN. (1)
ДОПОЛНЕНИЯ ко ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
743
Далее, каждая грань пентагон-додекаэдра имеет, очевидно, две пары
равных диагоналей. Так, грань AMNBP имеет равные диагонали AN
и ВМ, а также РМ и PN. Чтобы пентагон-додекаэдр был правильным
додекаэдром, необходимо, чтобы все диагонали каждой грани были
между собой равны, в частности, чтобы было
АВт-ВМ. (2)
Обратно, если соотношения (1) и (2) будут выполнены, то грань
AMNBP будет иметь пять равных сторон и три равные диагонали
АВ = ВМ = AN. Отсюда легко за-
ключить, что все пять плоских углов М N
этой грани также будут равны, так B/f.
что мы будем иметь правильный Г/М
пятиугольник. В силу равенства гра- !// /1
ней пентагон-додекаэдра, все осталь- М
ные грани также будут правильными II/ I*'
пятиугольниками. Все двугранные ’
углы многогранника будут равны Н
между собой, так как все его трёх- Черт. 522.
гранные углы будут равны по ра-
венству трёх плоских углов, и многогранник будет правильным доде-
каэдром. Итак, мы должны доказать, что равенства (1) и (2) будут
выполняться при надлежащем выборе угла а.
С этой целью опустим из точки М перпендикуляры МН, МК
и 7ИЛ/0 на рёбра АВ, AD и на грань ABCD куба (черт. 522). Из
прямоугольных треугольников АМН и НММ0 будем иметь: AM2 —
— Л1Н2 4- АН2 = МН2 Д- А- (АВ — MN)2 и МН2 = М0Н2 Л40ЛД =
= -| АВ2 -J- М0М2, откуда
AM2 = 4 АВ2 4- М0ЛР — у АВ• MN 4- MN2. (3)
Далее, прямоугольные треугольники НММй и М1\М0 подобны, так
как, по построению, / МНМа = а и X МКМ0 — 90° — а. Из подо-
бия этих треугольников имеем:
М0М2 = МйН М0К = -^-АВ-±-(АВ — MN) = ^АВ2 — ^АВ-MN. (4)
Подставляя это значение в равенство (3), получим:
AIVP=%- АВ2 — -I AB-MN+-1-MN2. (5)
4 4 1 4
Равенства (3), (4) и (5) имеют место при любом выборе угла а.
Требование (1) равенства рёбер многогранника равносильно, в силу
(5), соотношению:
MN2—ABS -АВ-MN, (6)
744
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
которое можно представить в виде:
АВ MN
~MN~AB—MN’
Последнее равенство показывает, что реоро MN равно большей части
отрезка АВ, разделённого в среднем и крайнем отношении (Пл.,
п. 156), откуда
ALV _ J Т—1
~АВ ~ 2 ’
При этом будем иметь, в силу (4) и (6):
Af0A/ = l-ALV
и, следовательно,
tga
_М^М
“Ж
(8)
4е
При таком выборе угла а условие (1) выполняется. Покажем, что при
этом будет выполнено и условие 12) равенства диагоналей. В самом
деле, мы имеем:
мв2 = мн2 4- нв2=Л1ОЛ12 4- мйн2 4- нв2=т mn24-1- ад2 4-
-4-1- (АВ 4- MN)2 = 1 (АВ2 4- MN2 + AB-MN}.
Если выполнено условие (6), то это равенство обращается в МВ — АВ,
Таким образом, условие (2) выполнено.
Итак, построенный, как указано в тексте задачи, пентагон-
додекаэдр обращается в правильный додекаэдр, если угол а удов-
летворяет условию (8), иначе говоря, если ребро ALV равно большей
части ребра АВ куба, разделённого в среднем и крайнем отноше-
нии, а расстояние ребра MN от параллельной ему грани ABCD
куба—половине самого ребра MN.
Последняя форма условия, при котором пентагон-додекаэдр обращается в
правильный додекаэдр, позволяет построить правильный додекаэдр по дан-
homv вписанному в него кубу. Для этого делим ребро куба в крайнем и
среднем отношении, откладываем половину большего из полученных отрезков
на продолжении каждого из перпендикуляров, опушенных из центра куба на
ею грани и т. д.
Шар, описанный около данного куба, будет в то же время описанным
около построенного правильного додекаэдра, так как он проходит через во-
семь вершин последнего, и потому мы имеем возможность построить пра-
вильный додекаэдр, вписанный в данный шар.
Наконец, так как ребро АВ куба, вписанного в шар радиуса R, равно
2/?
АВ= -р=, а ребро правильного додекаэдра выражается через ребро куба
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
745
формулой (7), то мы получаем выражение ребра MN правильного додекаэдра
через радиус R описанного шара в виде:
13
(ср. п. 564).
Если соединить теперь вершину М правильного додекаэдра с
центром О ближайшей грани ABCD куба (черт. 522) и с одной из
его вершин А, то мы будем иметь: ОМ0 — -^ MN — М0М, откуда
/ МОМп = 45° и M0M — -^MN—-^-AM, откуда X МАМВ = 30°.
Построим теперь проекцию правильного додекаэдра на плоскость,
параллельную грани АВВ'А' куба (черт. 520 и 522). Чтобы не вво-
дить новых обозначений, примем
за плоскость проекций плоскость
KMN. Точки К, М, 7И0, N, О бу-
дут совпадать со своими проек-
циями.
Из предыдущего вытекает та-
кой способ построения. Выбрав
произвольно ребро MN додекаэдра
(черт. 523), строим точки Мв и О,
пользуясь тем, что ММВ = -^-MN.
Далее строим прямоугольный тре-
угольник LMMB, равный АММВ,
пользуясь тем, что по доказанному
Х_МЬМв^2.МАМс^=^°- Да-
лее строим треугольник 1МВО,
равный АМВО, пользуясь тем, что
/ Л10О/ = Z MoOA = 45° и
МВ1 — М0А — Л10£(точка 1 есть центр грани куба, проходящей через
вершины А,А' и D). Перпендикуляр, опущенный из точки 1 на ОМВ
определяет точку К. Проекция КРВ ребра АР на плоскость чертежа
равна проекции ДЛ40 ребра AM на плоскость ABCD и, следовательно,
равна МВР, это даёт возможность построить прямоугольный тре-
угольник КРВО и тем самым точку Рв. Дальнейший ход построения ясен.
852. Центры граней данного правильного икосаэдра образуют
(пп. 557 и 563) правильный додекаэдр. Прямые, соединяющие общий
центр обоих многогранников с вершинами додекаэдра, перпендику-
лярны к граням икосаэдра. Выберем восемь вершин додекаэдра,
которые служат вершинами одного из вписанных в него кубов
(упр. 850). Проходящие через эти восемь вершин одного куба пло-
скости восьми граней икосаэдра образуют правильный октаэдр, так
как каждая из этих плоскостей перпендикулярна к прямой, соедння-
48 Элементарная геометрия, ч. II
746
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ющей центр куба с его вершиной. Пяти кубам, вписанным в доде-
каэдр, соответствуют пять правильных октаэдров, образованных про-
долженными гранями данного икосаэдра.
Обратно, пусть А, А', В, В', С и С' — вершины данного окта-
эдра (черт. 214 на стр. 230). Выберем тетраэдр, образованный про-
долженными гранями АВС, АВ'С', А'ВС и А'В'С октаэдра, и на
каждом из рёбер октаэдра выберем положительное направление, как
указано в тексте задачи (черт. 524). Разделим теперь рёбра окта-
эдра в одном и том же отношении, руководствуясь опять текстом
задачи. Будем иметь: BK‘KA = B'L-.LA — BK’:fCА' —В'С'.L'А' —
— С'М'МВ-=.... Получим в об-
>тей сложности двенадцать точек
деления. Каждые три точки деления,
лежащие на рёбрах одной грани ок-
таэдра, служат вершинами равно-
стороннего треугольника. Так, в
g’ грани АВС получим равносторон-
ний треугольник КМР (отрезки
КМ, МР' и Р'К будут равны в силу
равенства треугольников ВКМ, АР'К
и С'МР'). Эти восемь равносторон-
них треугольников будут гранями
вновь образовавшегося многогран-
А ника. Далее, каждой вершине октаэд-
Черт. 524. ра будет соответствовать ребро по-
лученного многогранника, не лежа-
щее в плоскостях граней, и две грани последнего, имеющие это
ребро своей общей стороной и представляющие собой равнобедрен-
ные (но, вообще говоря, не равносторонние) треугольники. Так,
вершине С октаэдра соответствует ребро Р'Qu грани МР'Q и M'P'Q.
Отсюда заключаем, что построенный многогранник имеет 20 граней,
из которых 8 представляют собой равные равносторонние треуголь-
ники, а остальные 12 — равные равнобедренные треугольники.
Двугранные углы построенного многогранника, каждый из кото-
рых имеет одной своей гранью равносторонний треугольник, а дру-
гой— равнобедренный треугольник, все равны между собой. Точно
так же равны между собой остальные двугранные углы многогран-
ника, каждый из которых имеет обеими своими гранями равнобедрен-
ные треугольники.
Чтобы выбранные на рёбрах октаэдра точки деления были* вер-
шинами правильного икосаэдра, необходимо, чтобы и 12 равнобед-
ренных треугольников, служащие гранями нового многогранника,
обратились в равносторонние треугольники. Для этого достаточно
(в силу равенства 12 граней), чтобы имело место равенство:
KL — KM.
(1)
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
747
Обратно, если соотношение (I) будет выполнено, то все рёбра
построенного многогранника будут равны между собой. Далее, все
его двугранные углы будут также равны между собой. Действительно,
все вершины многогранника, очевидно, равноудалены от центра О
октаэдра. Соединяя точку О с вершинами каждой грани, получим
двадцать правильных треугольных пирамид, равных между собой и
потолу имеющих равные двугранные углы при основании. Но каждый
из двугранных углов построенного многогранника равен, очевидно,
удвоенному двугранному углу при основании этих пирамид, откуда и
следует равенство всех двугранных углов многогранника. Из равенства
всех рёбер многогранника и равенства всех его двугранных углов
вытекает, что построенный многогранник будет в этом случае пра-
вильным икосаэдром. Итак, мы должны доказать, что равенство (1)
будет выполнено при надлежащем выборе отношения, в котором вер-
шины многогранника делят рёбра октаэдра.
Мы имеем:
KL = (AB — (2)
Далее из треугольника КВМ находим: КМ2 = ВК2 ВМ2—2ВК-ВН=
= В К2 _|_ дм2 — вк ВМ, где Н— проекция точки М на сторону АВ.
Заменяя в последнем равенстве ВМ через АК = АВ — ВК, предста-
вим его в виде:
КМ2 = АВ2-\-ЗВК2 — ЗАВ-ВК. (3)
Равенства (2) и (3) имеют место при любом выборе точек деления.
Требование (1) равенства рёбер многогранника равносильно, в
силу (2) и (3), соотношению
ВК2=АВ2-АВ-ВК,
которое можно представить в виде:
АВ _ ВК
ВК~ АВ —ВК'
Последнее равенство показывает, что рёбра октаэдра разделены, в
среднем и крайнем отношении (Пл. п. 156), откуда
ВК 5 — 1
АВ~ 2
Итак, построенный, как указано в тексте задачи, многогранник
будет правильным икосаэдром, если рёбра октаэдра разделены в
среднем и крайнем отношении.
853. В том, что пентагон-додекаэдр допускает всякое вращение,
которое допускает правильный тетраэдр, вписанный в данный куб,
можно было бы убедиться наглядным путём из рассмотрения чертежа.
При этом пришлось бы рассмотреть вращения на 120° в ту и другую
сторону около диагоналей куба и вращения на 180° около осей, со-
48*
748
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
единяющих центры его противоположных граней. Мы дадим здесь,
однако, более общее доказательство того же утверждения.
Пусть некоторое вращение куба, которое преобразует вписанный
тетраэдр сам в себя, совмещает концы А и В одного из рёбер куба
соответственно с концами А' и В' какого-либо его ребра. Если при
этом вершина А принадлежит тому из вписанных тетраэдров, кото-
рый мы считаем первым (упр. 851), то и вершина А' ему принадле-
жит, а вершины В к В' ему не принадлежат. Отмеченным нами
направлениям (упр. 851) на рёбрах АВ и А'В' будут соответство-
вать направления от А к В и от А' к В'. Рассматриваемое враще-
ние преобразует грань куба, проходящую через ребро АВ и распо-
ложенную слева от него, если смотреть от А к В, в грань куба,
проходящую через ребро А'В' и также расположенную слева от не-
го, если смотреть от А’ к В'. Отсюда и следует, что плоскость
каждой грани пентагон-додекаэдра переходит при рассматриваемом
вращении в плоскость одной из других граней того же многогранника
в силу самого определения плоскостей граней пентагон-додекаэдра
(упр. 851). Наше утверждение доказано.
Из приведённого рассуждения вытекает также, что вращения куба,
преобразующие один из вписанных тетраэдров в другой, не могут
преобразовывать пентагон-додекаэдр в себя.
В том, что пентагон-додекаэдр, отличный от правильного доде-
каэдра, не допускает других вращений, кроме указанных выше,
можно убедиться следующим образом. Всякое вращение, которое до-
пускает пентагон-додекаэдр, должно преобразовывать в себя и дан-
ный куб, так как вершины пентагон-додекаэдра, совпадающие с
вершинами куба, отличаются от остальных его вершин хотя бы длинами
выходящих из них рёбер. Но из вращений, допускаемых кубом, только
те будут преобразовывать в себя пентагон-додекаэдр в силу сказан-
ного выше, которые преобразуют в себя вписанный в куб тетраэдр.
Иначе, чем в случае вращений, обстоит дело в случае симметрий.
Отличие состоит в том, что симметрия (относительно центра или
относительно плоскости —безразлично), которая переводит вершины
А н В куба соответственно в его вершины А' и В', переводит грань
куба, расположенную слева от АВ, если смотреть от Л к В, в грань
куба, расположенную справа от А'В', если смотреть от А' к В'
(т. е. в грань, расположенную слева от В'А', если смотреть уже от
В’ к А’). Отсюда и вытекает, подобно тому как это было сделано
выше, второе утверждение, приведённое в тексте. •
854. Радиус шара, касающегося всех рёбер правильного много-
гранника, равен, очевидно, расстоянию от его центра до какого-либо
из рёбер. Радиус R' этого шара легко определить из равнобедрен-
ного треугольника ОАВ, где О — центр многогранника, АВ—одно
пз его рёбер. Таким образом, получается формула
/?2
4
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
749
где R— радиус описанного шара, а—ребро многогранника. Пользу-
ясь выражениями для ребра, приведёнными в п. 564, мы получим
для отдельных видов правильных многогранников следующие выра-
жения радиуса R': для тетраэдра zp=R, для куба l/y-/?, для ок-
I О F О
1 Г, _ _________ _ . / 3 -Е 1
таэдра —— R, для додекаэдра I Л+I R и, наконец, для икосаэдра
У 2 ~ 6
У т
855. Соединяя центр данного правильного многогранника с его
вершинами, мы разложим его 'на F равных правильных пирамид,
где F— число граней многогранника. Следовательно, объём много-
гранника будет в F раз более объёма одной такой пирамиды. В обо-
значениях, принятых в п. 564, площадь основания рассматриваемой
пирамиды будет равна т-^рат-рст, а её высота г. Отсюда без
труда получается следующее общее выражение для объёма правиль-
ного многогранника:
V,==imFamcm?2 г-
Подставляя сюда числовые значения, соответствующие каждому виду
правильных многогранников, из таблицы, приведённой в п. 564, мы
g
получим следующие выражения объёма V\ для тетраэдра /?3,
для куба R3, Д™ октаэдра у R3, для додекаэдра R3,
ч ---------
для икосаэдра у 1/102]/5 R3-
Для отдельных типов правильных многогранников можно, конечно, ука-
зать и более простые пути вычисления объёмов. Мы ограничимся здесь об-
щим методом, приведённым выше.
856. Правильный тетраэдр допускает три вращения второго по-
рядка. Оси этих трёх вращений соединяют попарно середины проти-
воположных рёбер тетраэдра, т. е. центры противоположных граней
описанного куба. Следовательно, оси этих вращений попарно перпен-
дикулярны между собой. Если мы выполним теперь последовательно
вращения второго порядка, т. е. транспозиции, около двух из этих
осей, то получим в результате вращение на 180° около третьей оси
(в силу п. 438). Отсюда и вытекает, что три вращения второго по-
рядка тетраэдра образуют (вместе с тождественным перемещением)
группу.
Эта группа будет инвариантной подгруппой группы тетраэдра,
так как всякое вращение, допускаемое тетраэдром, преобразует каж-
дую из трёх его осей второго порядка также в ось второго порядка.
750
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
По тем же соображениям рассматриваемая группа будет и инва-
риантной подгруппой группы куба.
857. Сложное отношение четырёх точек А, В, С и D выражашся
следующим образом (Пл. п. 199):
входящие сюда отрезки рассматриваются по величине и знаку.
Как легко видеть, это сложное отношение не изменяет своей ве-
личины при следующих трёх перестановках входящих в него букв:
1) если поменять местами точки Л и В и в то же время поменять
местами остальные две точки; 2) если сделать то же с точками А и С
и одновременно с остальными двумя точками; 3) если сделать то же
с точками А и D и одновременно с остальными двумя точками. Не-
трудно также убедиться, что при остальных перестановках входящих
в него точек сложное отношение изменяет свою величину (если только
точки Л, В, С и О не выбраны специальным образом).
Но тем же самым трём перестановкам подвергаются, очевидно, и
вершины правильного тетраэдра ABCD при его вращениях около осей
второго порядка.
858. Куб допускает двоякого рода вращения второго порядка (тран-
спозиции), а именно вращения второго порядка около осей четвёр-
того порядка, соединяющих центры противоположных граней, и вра-
щения второго порядка около осей второго порядка, соединяющих се-
редины противоположных рёбер. Кроме того, куб допускает вращения
третьего порядка около его диагоналей и вращения четвёртого порядка
около осей, соединяющих центры противоположных граней. Этими
вращениями исчерпываются все перемещения, отличные от тождества,
которые допускает куб (п. 552).
По поводу комбинации этих вращений между собой сделаем сле-
дующие замечания.
1°. Выполняя последовательно две транспозиции относительно осей
второго порядка аа' и 00' (черт. 210 на стр. 223), образующих угол
в 60°, мы получим (п. 555) вращение третьего порядка около оси аа',
перпендикулярной к прямым аа' и 00'. Таким образом, комбинируя
вращения второго порядка, можно получить все вращения третьего
порядка, допускаемые кубом.
2°. Выполняя последовательно транспозицию около оси второго по-
рядка 00' и транспозицию около оси четвёртого порядка АА', образую-
щей с аа' угол 45° (черт. 525), мы получим (п. 438) вращение чет-
вёртого порядка около оси ВВ', перпендикулярной к осям аа' и АА'.
Направление этого вращения характеризуется направлением угла 0<$Л.
Таким образом, комбинируя вращения второго порядка, можно полу-
чить все вращения четвёртого порядка куба.
Из замечаний 1° и 2° непосредственно следует, что комбинируя
вращения второго порядка, можно получить все перемещения, ко-
торые допускает куб.
ПОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
751
3°. Выполняя последовательно транспозиции относительно взаимно
перпендикулярных осей аа! и 8S' второго порядка (черт. 526), мы
получим (п. 438) транспозицию относительно оси четвёртого порядка
АА , перпендикулярной к осям аа! и SS'. Таким образом, комбинируя
транспозиции около осей второго порядка, можно получить все тран-
спозиции относительно осей четвёртого порядка.
мещения, которые допускает куб, можно даже получить, комби-
нируя между собой вращения второго порядка около осей второго
порядка.
Переходим к вращениям четвёртого порядка. Вращение четвёртого
порядка, выполненное два раза подряд, даёт транспозицию относи-
тельно оси четвёртого порядка. Далее имеет место следующее обстоя-
тельство.
4°. Выполняя сначала вращение четвёртого порядка около оси ВВ'
в направлении угла а затем — транспозицию около оси четвёр-
того порядка АА’, мы получим (в силу 2°) тот же результат, что и
выполняя последовательно три транспозиции,— около оси fiff, около
оси АА' и опять около оси АА', т. е. получим транспозицию около
оси Таким образом, комбинируя вращения четвёртого порядка
с транспозициями относительно осей четвёртого порядка, можно полу-
чить все транспозиции относительно осей второго порядка.
Отсюда и из сказанного выше следует, что комбинируя враще-
ния четвёртого порядка, можно получить все перемещения, кото-
рые допускает куб.
Переходим к вращениям третьего порядка.
5°. Выполняя последовательно вращения третьего порядка (в над-
лежащем направлении) около осей аа' и ЬЬ' (черт. 210 на стр. 223),
мы получим транспозицию около оси АА’. Действительно, при враще-
нии третьего порядка около оси аа' в надлежащем направлении вершины
а, Ь, с, d, а!, b', с’, d' переходят соответственно в вершины а, с', d!,
b, а!, с, d, b', а при вращении третьего порядка около оси ЬЬ' в над-
лежащем направлении эти последние вершины переходят соответст-
752
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
венно в вершины с, d, a, b, с', d', а' Ь'. Выполняя оба вращения
последовательно, мы переведём вершины a, b, с, d, а’, Ь', с’, d’ соот-
ветственно в с, d, а, Ь, с', d’, а', Ь', т. е. получим транспозицию отно-
сительно АА'. Таким образом, комбинируя вращения третьего по-
рядка, можно получить все транспозиции относительно осей
четвёртого порядка.
В то же время, комбинируя вращения третьего порядка, мы не
можем получить всех вращений, которые допускает куб. В самом
деле, вращение третьего порядка преобразует каждый из двух впи-
санных тетраэдров (п. 554) в себя. Комбинируя вращения третьего
порядка, мы получим только те из вращений куба, которые обладают
тем же свойством. Но куб допускает и вращения, этим свойством не
обладающие.
Обозначим теперь через G группу всех вращений куба, через g —
какую-либо её инвариантную подгруппу (п. 556). Если эта инвариант-
ная подгруппа g содержит транспозицию относительно одной из осей
второго порядка, то она содержит транспозиции относительно всех
осей второго порядка, так как вращениями группы G данную ось
второго порядка можно совместить с любой осью второго порядка.
Аналогично, если подгруппа g содержит вращение второго порядка
или червёртого порядка около одной из осей четвёртого порядка, то
она содержит вращения того же порядка окото всех осей четвёртого
порядка, и то же имеет место для вращений третьего порядка.
Предположим, что группа g содержит одну, а следовательно, и
все транспозиции относительно осей второго порядка. Комбинируя эти
транспозиции, мы можем, как сказано выше, получить все перемеще-
ния, которые допускает куб. Следовательно, группа g совпадает с G.
Таким образом, группа g не может содержать транспозиций относи-
тельно осей второго порядка. Аналогично группа g не может содер-
жать вращений четвёртого порядка, так как, комбинируя вращения
четвёртого порядка, можно получить все перемещения, которые до-
пускает куб.
Таким образом доказано, что группа g может содержать только
вращения третьего порядка и транспозиции относительно осей четвёр-
того порядка куба. Если она содержит одно, а следовательно, и все
вращения третьего порядка, то она содержит (в силу 5°) и все транс-
позиции относительно осей четвёртого порядка и совпадает с группой
тетраэдра. Если же она содержит только транспозиции относительно
осей четвёртого порядка, то она совпадает с группой, рассмотренной
в упражнении 857.
Обозначим, наконец, через Н группу всех вращений тетраэдра,
через h — какую-либо её инвариантную подгруппу. Группа Н состоит
(не считая тождества) из вращений третьего порядка около осей,
соединяющих вершины тетраэдра с центрами противолежащих граней,
и из транспозиций относительно осей, соединяющих середины проти-
воположных рёбер. Если подгруппа h содержит одно вращение треть-
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА II!
753
его порядка, то она содержит все вращения третьего порядка, а сле-
довательно (в силу 5°), и все вращения второго порядка, т. е.
совпадает с Н. Отсюда следует, что h содержит только вращения
второго порядка, т. е. представляет собой группу, рассмотренную
в упражнении 857.
859. Пусть а и р— середины двух соседних рёбер правильного
додекаэдра, S—его центр (черт. 527). Рассуждая, как в п. 555, мы
убедимся, что результирующее вращение двух транспозиций относи-
тельно осей Sa и Sp будет вращением пятого порядка додекаэдра.
Если X и р— середины двух несмежных рёбер одной грани додека-
эдра (черт. 528), то результирующее вращение двух транспозиций
относительно осей S7. и Sp будет вращением третьего порядка до-
декаэдра. Таким образом, комбинируя вращения второго порядка
додекаэдра, можно получить все вращения третьего и пятого по-
рядка, т. е. всю группу додекаэдра.
Будем теперь исходить из вращений третьего порядка или иа
вращений пятого порядка. Обозначим через А, А', А"... вершины од-
ной грани F додекаэдра, через В и В’ — полюсы грани F и грани F’,
смежной с F по ребру АВ, через С—середину дуги А А’ (сравнить
п. 557 и черт. 213 на стр. 229). Заметим, что в сферическом треуголь-
нике АВС углы при вершинах А, В, С равны соответственно 60°, 36°“
и 90°, и то же имеет место в каждом из сферических треугольников
А’ВС, АВ’С, А’В’С,..., равных треугольнику АВС.
Результирующее вращение двух вращений третьего порядка около
осей S/1 и SA’ можно определить проще всего, как указано в при-
мечании к решению упражнения 613. При надлежащем выборе на-
правлений обоих вращений (в направлении угла ВАС около оси S/1
и в направлении угла СА’В около оси £Л') мы легко .получим в ка-
754
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
честве результирующего вращения вращение около оси SB в направ-
лении угла АВА' с углом поворота, равным 144° (удвоенному углу АВА'
на сфере). Выполняя это последнее вращение три раза подряд, мы
получим вращение пятого порядка около оси SB с углом поворота
72° (=144°-3— 360°). Аналогично, выполняя в надлежащем на-
правлении вращения пятого порядка около осей SB и SB', можно
получить вращение третьего порядка около оси S/I. Таким образом,
исходя из вращений третьего порядка группы додекаэдра, можно
получить все вращения пятого порядка той же группы, и обратно.
Наконец, выполняя последовательно вращение третьего порядка
в направлении угла САВ около оси S/I и вращение пятого порядка
в направлении угла АВС около оси SB, мы получим в качестве ре-
зультирующего вращения вращение второго порядка около оси SC.
Отсюда и следует, что исходя только из вращений третьего порядка
или только из вращений пятого порядка, можно получить все вра-
щения второго порядка, а следовательно, и всю группу додекаэдра.
Если бы теперь группа додекаэдра имела инвариантную подгруппу,
то последняя содержала бы какое-либо одно вращение второго, треть-
его или пятого порядка, и потому содержала бы все вращения того
же самого порядка. Следовательно, эта подгруппа содержала бы во-
обще все вращения группы додекаэдра, что невозможно. Группа до-
декаэдра не имеет поэтому инвариантных подгрупп.
860. Пусть некоторый параллелепипед имеет ось симметрии D
третьего порядка. Обозначим через А точку пересечения этой оси
с плоскостью М одной из его граней. Так как грань параллелепипеда
не может обладать симметрией третьего порядка, то плоскость М не
перпендикулярна к оси D. Поэтому вращения на 120° в ту и дру-
гую сторону около оси D преобразуют плоскость М в плоскости двух
других граней, также проходящие через точку А. Таким образом ось
симметрии третьего порядка D необходимо проходит через вершину А
параллелепипеда. В силу наличия этой оси симметрии, три ребра парал-
лелепипеда, выходящие из вершины А, между собой равны и обра-
зуют равные углы друг с другом. Отсюда и следует, что данный
параллелепипед должен быть ромбоэдром.
Нетрудно доказать, что и обратно, всякий ромбоэдр действительно
имеет ось симметрии третьего порядка. Рассмотрим одну из вершин
ромбоэдра, например А' (черт. 81 на стр. 85). Если все три плоских
угла при этой вершине не равны между собой, то два из них необ-
ходимо равны между собой; в самом деле, в силу равенства всех гра-
ней, все углы ромбоэдра распадаются в две группы равных между
собой углов, и углы обеих групп дополняют друг друга до 180°.
Предположим, для определённости, что углы при вершине А' удов-
летворяют условиям / АА'В' = / AA'D'=^=^/_B'A'D'. В таком случае
при вершине А будем, очевидно, иметь три равных плоских угла.
Итак, во всяком ромбоэдре имеется трёхгранный угол с тремя рав-
ными плоскими углами. Вершина А этого трёхгранного угла и концы
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
755
А', В и D выходящих из неё рёбер образуют правильную треуголь-
ную пирамиду. Ось симметрии D третьего порядка и будет, как легко
видеть, осью симметрии третьего порядка ромбоэдра.
Так как при вращениях на 120° около оси О в ту и другую сто-
рону грани ромбоэдра, не проходящие через А, преобразуются одна
в другую, то ось D проходит через вершину С ромбоэдра, проти-
воположную А, т. е. совпадает с его диагональю.
Чтобы пересечь ромбоэдр плоскостью по правильному шестиуголь-
нику, проведём, как мы это делали в случае куба (п. 555; ср. черт. 210
на стр. 223), секущую плоскость через центр О ромбоэдра перпен-
дикулярно к оси D. Шестиугольник, полученный в сечении, имеет
точку О центром симметрии, так как последняя
метрии ромбоэдра (упр. 531). В
время этот шестиугольник допускает враще-
ния третьего порядка около оси D. Отсюда
следует (в силу 180°—120° —60°), что тот
же шестиугольник допускает и вращения
шестого порядка и потому представляет со-
бой правильный шестиугольник.
861. Обозначим, как и в п. 564, через г
радиус вписанного шара, через R — радиус
описанного шара, через р—радиус окруж-
ности, описанной около грани, через т—
число сторон каждой грани, через п — число
рёбер каждого многогранного угла данного
правильного многогранника. При этом мно-
гогранник, сопряжённый с данным, будет иметь
«-угольные грани и /и-гранные углы.
Пусть теперь аир — середины двух со-
седних рёбер АС и ВС (черт. 529), 5—центр
общая проекция точек а и р на прямую SB, О — центр грани АВС...
Через ст и ат будем обозначать сторону и апофему правильного
w-угольника, вписанного в окружность радиуса 1.
Так как многогранник имеет п граней, сходящихся в вершине В,
то отрезок ар есть сторона правильного «-угольника, вписанного
в окружность радиуса На = Л/р. Отсюда
аР = Л/а-с„. (О
Далее, в силу сказанного в п. 555, отрезок ар есть сторона некото-
рого правильного )-угольника, имеющего точку S своим центром,
откуда
то же
служит центром сим-
многогранника, Н —
ap = Sa-cx. (2)
Наконец, в правильном ш-угольнике АВС... имеем два подобных тре-
угольника Оар и ОАВ, из которых находим:
пр __Оп ___
756
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
Из этого соотношения получаем:
сф = 2Да-л .
। т
(3)
В прямоугольном треугольнике SBa имеем (Пл., упр. 136):
_1_\ 2___ /J \ 2 / 1 \ 2
№) \£а у * J
Подставляя сюда значения На, Sa и Аа из равенств (1), (2) и (3),
получим, после очевидных преобразований:
Ех.У = f £п\
2 ) \ 2 )
2
---ат2
т
Из этих равенств видно, что для двух сопряжённых многогран-
ников величина сх, а следовательно, и число ). имеют одно и то же
значение.
В случае додекаэдра п икосаэдра мы должны положить /л = 3,
д = 5 (или т — 5, п = 3) и Х=10 (ср. решение упр. 859 и черт. 527
на стр. 753). Предыдущие соотношения дают:
Но апофема as правильного пятиугольника равна (ср. Пл., п. 170)
половине стороны сю правильного звёздчатого десятиугольника, впи-
санного в ту же окружность. Далее, апофема а3 равностороннего
треугольника равна, очевидно, половине стороны се правильного ше-
стиугольника, вписанного в ту же окружность. Полагая в последних
1 ' 1
равенствах a6 — -^-Ci0 и а3 — — св, получим:
cio -|- сю = сз!
2 I 2 2
с10“Г С6 = С5.
2 , '2 9 '9
Наконец, мы имеем, как легко видеть, с10=1—а5; с^ =1—йщ, и
из последнего равенства получаем:
'2,2 '2
сю ~г С6 — с5 •
Таким образом, мы получаем соотношения, указанные в Пл., упр. 181
и 182. То обстоятельство, что радиус окружности мы предполагали
равным 1, не имеет в данном случае никакого значения.
ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. ГЛАВА III
757
Применяя соотношения (4) к к>бу и октаэдру, мы должны поло-
жить /и=:3, /2 = 4 и л = 6. Таким образом, мы получим'
(?)
Полагая здесь а4 = с4, найдём соот ношение между сторонами пра-
вильного шестиугольника, квадрата и равностороннего треугольника'.
Сб~|-С4 = Сз.
Из подобия прямоугольных треугольников BSa и ВаН имеем.
BS Ba DC Ba-Sa
5а На На
Полагая здесь BS = R; Ва—$-^~ и выражая На и Sa через
ар из равенств (1) и (2), получим после очевидных преобразований:
Из этих равенств видно, что отношения радиусов R, г и р имеют
для двух сопряжённых многогранников одни и те же значения.
Наконец, рёбра данного многогранника и многогранника, ему
сопряжённого, равны соответственно рст и рсл. Полагая здесь
2/?сх 27?сд 2RcK
р = -----, мы и получим приведенные в тексте значения ----- и —— .
стсп еп
862. Сохраним все обозначения, принятые в решении упражнения
861. Рассмотрим правильную wz-угольную пирамиду SABC—, имею-
щую своей вершиной центр 5 многогранника и основанием его грань
АВС... (черт. 529). Угол ~ будет углом между боковой гранью и
плоскостью основания этой пирамиды. Отсюда вытекает, что
. V SO
S,n 2 ~Sa •
Но в силу равенства (2) из решения упражнения 861 имеем: Sa =
— —; далее, в силу равенства (3) из решения того же упражнения
ci
758
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
имеем: = наконец, ДВ=р-ст. Принимая во внимание эти
равенства и подставляя SO—г, получим:
• V гсх
sm = —*—
?атст
Наконец, заменяя здесь (на основании решения упр. 861)— через д,”Дп ,
Р
мы и получим искомое выражение. В силу соотношения =
/ £ \ 2 q л q
= ( #] — а„, отрезки -А и ап служат катетами, а отрезок — ги-
\ 2
потенузой некоторого прямоугольного треугольника, один из острых
1 TZ
углов которого равен — V .
Примечание. Более простое выражение можно получить не для
синуса, а для тангенса угла V. А именно:
, V SO г а„
tg2--o7-^-T7-
2 х
863. Предположим, для определённости, что каждая из построен-
ных треугольных призматических поверхностей обращена к центру
первоначального многогранника своим ребром (на черт. 530 изобра-
жены три такие призматические поверхно-
сти, соответствующие трём рёбрам перво-
начального многогранника, образующим
при одной из его вершин трёхгранный
угол).
Обозначим через F, S и А числа гра-
ней, вершин и рёбер данного правильного
многогранника Р, через п—число граней
его многогранного угла, через F', S' и
А'— числа граней, вершин и рёбер много-
гранника Q и через 7V-|-1 порядок связ-
ности поверхности, которая получится,
Черт. 530. если отнять одну из граней многогранни-
ка Q (п. 545).
Нетрудно найти выражения для чисел F', S' и А'. Прежде всего
очевидно, что F' = 3A. Далее, каждой вершине многогранника Р
соответствуют, как легко видеть, и —2 вершин многогранника Q
(так, на черт. 530 одной вершине многогранника Р соответствуют
вершины Л41, Л4г, /И8, М' и ещё одна вершина /И" многогранника Q),
откуда S' — (п -(- 2) S. Наконец, каждой вершине многогранника
Р соответствуют 2и рёбер многогранника Q (так, на черт. 530 одной
вершине многогранника Р соответствуют рёбра М2М', М9М',
УКАЗАТЕЛЬ СОДЕРЖАНИЯ ЗАДАЧ
759
МАМ", М2М" и Л78АГ многогранника Q), и каждому ребру много-
гранника Р—три ребра многогранника Q. Отсюда A' = 2nS-\-3A.
Подставляя теперь найденные выражения для F', S' и А' в ра-
венство
Д4-1=71'4-2 — (Г— 1) — S',
выражающее обобщённую теорему Эйлера (п. 545) для поверхности,
которая получится, если отнять одну грань многогранника Q, мы
найдём Ar-J--1 = («— 2)S-]-3. Заменяя здесь (п. 561) nS через 2А
и затем А — S, по теореме Эйлера, через F—2, мы и получим
окончательное выражение для порядка связности рассматриваемой
поверхности:
ДГ-1-1 = 2А— 1.
Найденный порядок связности не изменится при замене треуголь-
ных призм многоугольными. Действительно, между точками поверхности
многогранника Q и точками поверхности аналогичного многогранника,
соответствующего многоугольным призмам, можно, очевидно, устано-
вить соответствие типа, рассмотренного в п. 539. То же будет иметь
место и для поверхностей, которые получатся, если от каждого из
многогранников отнять по одной грани. В силу того геометрического
смысла, который имеет порядок связности (п. 545), последний будет
иметь в обоих случаях одно и то же значение.
УКАЗАТЕЛЬ СОДЕРЖАНИЯ ЗАДАЧ
(числа указывают номера задач).
Вращение 589—592, 595, 601, 602, 604, 610; — аналлагматическое 763; —
многогранника правильного см. Группа вращений.
Высоты тетраэдра 547, 550.
Геометрическое место прямых 444, 462, 470, 477, 565, 596, 597, 600, 601,
610, 628, 657, 658, 734, 738, 740, 752—754.
Геометрическое место точек в пространстве 432—434, 442, 443, 447, 449—
451, 457—461, 464, 471, 511, 512, 533, 576, 609, 626, 627, 643, 645, 646, 659,
674, 675, 677—684, 695, 697, 698, 702, 708, 739, 741, 749, 755, 756, 771—776,
780, 781, 809—811;—_на шаре 779, 808, 826, 827.
Группа вращений 856—859.
Деление площадей на шаре 716, 828, 829, 834.
Додекаэдр правильный 850, 851, 859. См. ещё Пентагон-додекаэдр, Ром-
бододекаэдр.
Икосаэдр правильный 852.
Инверсия 757, 760, 762—765, 767, 769—776, 782, 783, 786, 794.
Конус 653—658, 660—668, 698, 738—740, 753.
Kv6 535—538, 583, 585, 850, 851, 856, 858.
Многогранник 577, 722, 1003; — выпуклый 846, 847, нулевого рода
839—845; - правильный 848, 854, 855, 861, 862. См. ещё под названиями
отдельных многогранников.
760
УКАЗАТЕЛЬ СОДЕРЖАНИЯ ЗАДАЧ
Многоугольник прямолинейный (плоский и пространственный) 428, 480,
483, 515, 836; — сферический 482, 484, 824. См. ещё Треугольник, Четырёх-
угольник.
Наибольшее и наименьшее 452—454, 499, 507, 516, 517, 554, 621, 632, 633,
650, 669, 699, 832, 833.
Окружность в пространстве 672, 814; — мнимая на плоскости 822, 823; —
на шаре 487, 489, 502, 721, 788, 789, 791, 795, 797, 799. См. ещё построения
в пространстве.
Октаэдр правильный 849, 852.
Параллелепипед 531, 532, 534, 536, 562, 583, 616. См. ещё Kv6, Ромбоэдр.
Пентагон-додекаэдр 851, 853.
Перемещение 593, 594, 596 — 600, 603, 605—607, 611, 612, 635—637, 754.
См. ещё Вращение.
Пирамида 539, 567, 587. См. ещё Тэтраэдр.
Построения в пространстве точек, прямых и плоскостей 424, 426, 430, 437,
440, 441, 445, 467, 468, 479, 509, 522, 559, 592, 598, 606, 644, 655; - углов много-
гранных (трёхгранных), многоугольников, многогранников 427, 524, 526,
528, 529, 532, 535, 608, 621, 638—641, 685, 851, 852; — сечений 463, 510, 525,
568; — окружностей 705—707, 800, 818; — шаров 687—692, 696, 699, 701, 703,
759, 761.
Построения в стереографической проекции 803, 805, 807.
Построения эффективные (на шаре, на шаре и плоскости) 499, 500, 501,
504, 505, 550, 790, 792, 804—806, 828—831, 833, 834.
Призма 551, 552, 578, 579, 586.
Проекция стереографическая 778—781, 787, 802. См. ещё Построения
в стереографической проекции.
Прямые в пространстве 423, 424, 429, 475, 476.
Ромбододекаэдр 851.
Ромбоэдр 582, 583, 860.
Связность (поверхности) 836, 837, 863.
Симметрия 613—615, 620; — косая 617, 618.
Степень точки приведённая 766.
Тетраэдр (пирамида треугольная) вообще 540—546, 550, 553, 555, 557—
564, 568, 571, 573—576, 580, 581, 619, 630, 631, 701, 750, 751; — правильный
538, 556, 569, 849, 856—858; — частного вида (отличный от правильного) 527,
547—549, 570, 572, 700. См. ещё Высоты тетраэдра.
Точки мнимые 821.
Точки предельные двух шаров 709, 712, 760.
Транспозиция аналлагматическая 815—817.
Треугольник сферический 482, 487—491, 495, 496, 825. См. ещё Деление
площадей, Построения эффективные.
Треугольники гомологические 425, 513, 514.
Угол двугранный 462, 463, 469, 656; — многогранный 482, 484, 608, 621,
640; — трёхгранный 481, 482, 487—495, 523—526, 528, 529, 638, 639, 641, 713,
714, 749, 786; — четырёхгранный 510, 662, 663, 665.
Фигуры гомотетические 622, 625; — подобные 623,624; — симметричные
см. Симметрия.
Цилиндр 642—644, 647, 648, 651, 652, 664, 698.
Четырёхугольник пространственный 432, 439, 515, 699; — сферический
497, 506.
Шар вписанный, вневписанный и т. п. 699—701. См. ещё Построения
в пространстве.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ