Автор: Свечников А.А.
Теги: программирование математика алгебра арифметика пособие для учителей издательство просвещение
Год: 1976
Текст
ДА-СВЕЧНИКОВ
ЗАДАЧ В 1-3 КЛАССАХ
/ РЕШЕНИЕ \ /МАТЕМАТИЧЕСКИХ
А. А. СВЕЧНИКОВ
РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В 1-3 КЛАССАХ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1976
51(07)
С 24
Рекомендовано
Министерством просвещения РСФСР
Свечников А. А.
С 24 Решение математических задач в 1—3 классах. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1976.
160 с.
Пособие имеет целью раскрыть методику решения математических задач в 1—3 классах и строит ее на основе постепенного перехода от решения задач арифметическими способами к алгебраическим способам. Пособие знакомит Ц с элементами программированного обучения решения задач,
с--050--233 91_76
. 103(03)—76
51(07)
© Издательство «Просвещение», 1976 г,
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемой книге автор, опираясь на опыт многих передовых учителей, попытался осветить наиболее эффективные методы активного обучения решению задач. Под активным обучением понимается усвоение учениками знаний в процессе напряженной мыслительной деятельности.
Правильно организованная и проводимая работа в школе дает ученику широкие возможности не заучивать приемы решения задачи, а искать их. В этом поиске формируется структура рассуждений, приводящих к открытию решения, вырабатывается «гибкость мышления» и «математическая зоркость».
Следует отметить, что активная работа мысли способствует развитию у школьника внимания, любознательности и значительно повышает его интерес к предмету.
Учитывая сказанное, автор ставил своей целью дать в настоящем пособии наиболее рациональные подходы к разрешению стоящих перед учителем проблем при работе учеников с задачей.
В пособии учитель найдет методические указания к использованию некоторых элементов программированного обучения, применение которых позволит ему более экономно и продуктивно использовать время детей и свое.
Изложенные в книге методы и приемы обучения решению задач соответствуют современной программе и согласуются с методологией, положенной в основу новых учебников.
Рецензентам А. С. Пчелко, Г. В. Бельтюковой, А. А. Кирюш- ’ киной, А. Н. Турсункуловой, Н. Г. Уткиной, С. Н. Фирсову и О. Г. Абрамовой, сделавшим критический разбор первоначального варианта рукописи и внесшим ряд ценных предложений, что помогло усовершенствовать пособие, автор выражает глубокую благодарность.
Автор заранее благодарит всех, кто пожелает дать свои замечания по содержанию этой книги.
Автор.
ЗАДАЧА И ЕЕ РОЛЬ В ОБУЧЕНИИ И ВОСПИТАНИИ ШКОЛЬНИКА
Во второй половине текущего столетия математика проникла почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения. Следуя требованиям жизни, в 1971/72 учебном году был завершен переход начальных классов массовой школы на программы, обеспечивающие новое содержание обучения. Определенный этой программой курс математики I—III классов составляет часть общего курса математики средней школы.
Основой указанного курса в начальных классах служит арифметический материал, а геометрическая и алгебраическая пропедевтика, органически связанная с основным материалом, способствует более высокому уровню усвоения понятия о числе, арифметических действиях, математических отношениях и позволяет знакомить детей с общими принципами, лежащими в основе изучаемых математических фактов.
«Изучение арифметики натуральных чисел и нуля,— говорится в объяснительной записке к программе,— строится на системе целесообразных задач и практических работ. Это значит, что формирование каждого нового понятия всегда связывается с решением тех или иных задач, требующих его применения или помогающих уяснить его значение» (Программа восьмилетней школы. Начальные классы, 1975, с. 39). Из приведенной цитаты следует, что решение задач при изучении математики играет весьма существенную роль, так как с помощью задач рассматриваются основные теоретические положения в курсе математики. При изучении математики в I—III классах дети должны научиться самостоятельно находить пути решения простых’ и несложных составных задач, а для этого они должны овладеть элементарными общими л в то же время разнообразными приемами подхода к решению таких задач. .
Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. В одной из первых бесед с первоклассником учитель, стремясь выяснить, каким жизненным опытом и знаниями рас-
полагает его ученик, обращается к простейшей задаче. Например: «У тебя 3 карандаша, и ты взял еще 2 карандаша. Сколько у тебя стало карандашей?»
С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения, позволяет устанавливать разнообразные числовые соотношения в наблюдаемых явлениях. В то же время решение задач способствует развитию мышления ребенка.
Какой же смысл вкладывают в понятие «математическая задача»? Математическая задача — это связный лаконичный рассказ, в который введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.
Иногда в понятие задачи вкладывают более широкий смысл. Так, например, встречаются задачи без числовых данных, в которых требуется по указанным признакам и связям сделать логически выводимое умозаключение, или задачи, требующие выполнить доказательство на основе ранее известных определений и свойств.
В начальных классах обычно рассматриваются математические задачи в более узком смысле, т. е. задачи, содержащие числовые значения величин, хотя в целях развития сообразительности полезно иногда предлагать задачу в виде логического вопроса.
Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:
1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.
2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.
3. Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.
Нередко два первых элемента задачи называют ее условием, последний элемент — вопросом. Иногда все составные части задачи называют условием в отличие от решения задачи.
Полное решение задачи состоит из анализа условия; плана, указывающего последовательность выполнения действий; пояснений, каким действием и почему именно этим действием находится то или иное значение величины; выполнения арифметических действий и ответа. К решению задачи также относят проверку и исследование пригодности полученного ответа. Сле
дует отметить, .что полное письменное решение задачи весьма громоздко и отнимает у ребенка, слабо владеющего навыком беглого письма, много времени, поэтому в I—III классах применяется редко. Но устное полное пояснение к решению задачи в начальных классах следует практиковать.
Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Роль решаемой задачи зависит от того, какую педагогическую цель ставит учитель, предлагая ту или иную задачу. Довольно часто рассмотрение и решение задачи выполняет роль трамплина, от которого должен оттолкнуться ученик, чтобы понять суть, практический смысл и значение изучаемого раздела теории. В этом случае решение задач способствует формированию математических понятий.
Значительно чаще задача предлагается ученикам для пополнения их знаний, приобретения умений, для совершенствования и закрепления навыков. В этом случае цели решения задач шире и сводятся к следующим:
1. Установить причинно-следственные связи и раскрыть функциональную зависимость между величинами, входящими в условие задачи.
2. Научиться умению логически правильно рассуждать и делать обоснованные умозаключения при выяснении хода решения задач.
3. Обоснованно выбирать арифметические действия и проводить их безошибочно.
4. Ознакомиться с решением задач определенного вида.
При этом работа с задачами преследует и широкие воспитательные цели:
1. Задачи, раскрывающие достижения социалистического строительства, воспитывают любовь к Родине.
2. Многие задачи готовят учеников применять в жизненной и учебной практике приобретенные ими знания.
3. Поиск решения развивает настойчивость, воспитывает волю.
4. Участие в творческом процессе открытия решения доставляет ученику эстетическое наслаждение и воспитывает его эстетически.
5. Сюжет задачи и взятые из жизни числовые данные способствуют общему развитию ученика.
Самостоятельное решение задач учеником используется не только для выработки у него умений и навыков, но и для установления обратной связи (ученик—-учитель), что позволяет учителю наблюдать ход усвоения учеником изучаемого материала и контролировать его успехи.
При контроле знаний задача позволяет судить о развитии мышления ученика, о его умении правильно выбирать нужные действия и выполнять их, о навыках в вычислениях.
Понимая роль задачи и ее место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения ее обоснованно и четко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.
ВИДЫ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ. ИХ ЗНАЧЕНИЕ
В I—III классах ученики рассматривают и решают разнообразные задачи, большинство которых содержит числовые данные. Кроме того, ученики должны познакомиться с решением задач, в которых значения одной-двух величин выражены буквами. Эти задачи подводят учеников к более широким обобщениям и служат вводным материалом к изучению алгебры. Сюжет некоторых решаемых в начальных классах задач построен на геометрическом материале, т. е. в них идет речь о фигурах и протяженности. Большинство этих задач, назвать геометрическими в полном смысле этого слова еще нельзя, они обычно содержат величины, выраженные целыми или дробными числами.
Таким образом, основное внимание в I—III классах обращается на рассмотрение задач с числовыми данными, при решении которых используют как арифметические, так и алгебраические методы. Среди математических задач различают задачи простые и составные.
К простым задачам относят те, которые можно решить одним действием. Задачи, которые составлены из нескольких простых и поэтому решаются с помощью двух или более действий, называют составными задачами.
К любой простой задаче можно составить две обратные задачи, т. е. две такие задачи, у каждой из которых в тот же сюжет искомое число из прямой задачи включено в виде одного из данных, а в качестве искомого выступает число, известное из условия прямой задачи. Так, например, к задаче «Во дворе играли 9 девочек. Две из них ушли домой. Сколько девочек осталось во дворе?» можно составить обратную задачу: «Во дворе играли девочки. Когда из них 2 девочки ушли домой, то во дворе осталось 7 девочек. Сколько девочек вначале играло во дворе?»— и вторую задачу: «Во дворе играло 9 девочек. Несколько девочек ушло домой, а осталось играть 7 девочек. Сколько девочек ушло домой?» Эта задача по отношению к первой, а также и ко второй является обратной. Но и первую задачу по отношению ко второй и третьей можно рассматривать как обратную им.
Кроме того, среди простых задач выделяются задачи, выраженные в косвенной форме. К ним относится, например, следующая задача: «На столе 7 карандашей. Это на 4 карандаша больше, чем в коробке. Сколько карандашей лежит в коробке?»
В условии, этой задачи сказано «больше», а задача решается вычитанием (7 — 4 — 3).
Рассматривая виды простых задач, методисты дали несколько различных их классификаций.
Для практического применения удобно следующее распределение основных видов простых задач:
«1. Задачи, связанные с раскрытием смысла арифметических действий: на нахождение суммы, остатка, на нахождение суммы одинаковых .слагаемых, на деление (на равные части и «по содержанию»).
2. Задачи на нахождение неизвестного компонента действия (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя).
3. Задачи, связанные с отношением «больше (или меньше)’ на несколько единиц (или в несколько раз); задачи на увеличение (или уменьшение) числа на несколько единиц (или в несколько раз), выраженные в прямой (или косвенной) форме; задачи на разностное (или кратное) сравнение чисел» (см.: Моро М. И. Обучение решению простых задач в курсе арифметики.—«Начальная школа». Сб. ст. М., «Просвещение», 1970, с. 90—91).
Рассматривая различные подходы к классификации простых задач, Л. В. Занков замечает, что ни одна классификация не позволяет установить последовательность, в какой следует рассматривать их при обучении детей решению задач. Это является существенным недостатком различных классификаций. Однако, зная принципы классификации простых задач, учитель с меньшей затратой труда и времени научит школьников правильно находить, каким действием решается та или иная задача. Ученикам I—III классов давать и разъяснять какую бы то ни было классификацию простых задач не нужно, чтобы не обременять их память лишними сведениями чисто методического характера.
Современная методика располагает достаточно обоснованными суждениями о значении и системе использования простых задач в начальных классах. Простые задачи всех видов нужны ученику для того, чтобы:
1) ознакомиться со структурой математической задачи: с условием, данными, вопросом, искомым; понятиями; решение задачи, действие, вопрос, ответ — и с терминами «больше, меньше, столько же, равно, между и т. д.,», выражающими математические соотношения; ,
2) выработать у детей сознательное отношение к выбору действия, которое нужно произвести для нахождения ответа на вопрос задачи; задачи помогают раскрыть смысл действий;
3) впервые увидеть элементарные функциональные зависимости между величинами, входящими в условие, понять связь между компонентами действий;
4) связать различные математические упражнения с .жизнью, 4tq повышает у детей интерес к предмету, оживляет про-- цесс овладения навыками;
5) работа с изменением текста простой задачи позволяет ученику овладеть более отвлеченными математическими понятиями, переходить к обобщениям и абстрагированию. Так, например, задачу — «Маша купила 7 тетрадей. Тетрадь стоит 2 коп. Сколько денег уплатила Маша?»— можно видоизменить, вводя более отвлеченные понятия, как: «Цена тетради 2 коп. Узнать стоимость 7 тетрадей»;
6) готовить ученика к пониманию решения разнообразных составных задач;
7) закладывать в сознание ребенка основы математики, расширять его кругозор, развивать и дисциплинировать мышление, воспитывать волю, настойчивость.
МЕТОДИКА РАБОТЫ С ПРОСТЫМИ ЗАДАЧАМИ
§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЗНАКОМСТВА УЧЕНИКОВ С ПРОСТЫМИ ЗАДАЧАМИ
Согласно современной программе все основные виды простых задач на сложение и вычитание ученики решают в I классе, а во II — задачи на умножение и деление.
В настоящее время сложилась определенная последовательность в знакомстве учеников с простыми задачами. Рассмотрим эту последовательность.
Первые задачи, с которыми раньше всего встретится ученик, естественно, должны быть самыми доступными для их понимания. К таким задачам относятся задачи на нахождение суммы и остатка. Знакомство с решением этих задач целесообразно вести параллельно. Образцом этого вида задач могут служить следующие:
1. Наташа сорвала 3 красных цветка, а потом 1 голубой. Сколько всего цветков сорвала Наташа?
2. У Коли было 5 карандашей. Один карандаш он подарил сестре. Сколько карандашей осталось у Коли?
Второй по сложности вид простых задач, решаемых в I классе,— это задачи на увеличение или уменьшейие числа на несколько единиц. Приведем примеры задач этого вида:
1. На двух полянах паслись гуси. На одной поляне Наташа йасчитала 6 гусей, а на другой она насчитала на 1 гуся больше. Сколько гусей на второй поляне?
2. У брата 5 книг, а у сестры на 2 книги меньше. Сколько книг у сестры?
3. Дети нашли гнездо жаворонка. В нем лежало 4 яичка. На следующий день дети заметили, что число яичек в гнездышке увеличилось на одно. Сколько яичек стало в гнездышке?
4. На ветке висело 6 яблок. На следующий день Егор заметил, что число яблок на этой ветке уменьшилось на 2. Сколько яблок осталось на ветке?
Следующий, более сложный вид простых задач — нахождение неизвестного слагаемого. Приведем образец задачи этого вида: «В корзине лежало 6 подосиновиков и несколько белых грибов. Всего в корзине было 8 грибов. Сколько белых грибов находилось в корзине?» Решение таких задач связано с решением уравнений вида: 64~х=8.
Далее следуют два вида задач на разностное сравнение чисел с вопросами «на сколько больше?» и «на сколько меньше?» Приведем для примера следующую: «У Мити 8 кроликов, а у Гриши 6 кроликов. На сколько кроликов у Мити больше, чем у Гриши?» Второй вопрос к тому же условию можно сформулировать так; «На сколько кроликов у Гриши меньше, чем у Мити?»
Задачи в косвенной форме ученики решают с большим трудом, чем в прямой, поэтому решение задач на увеличение и уменьшение на несколько единиц, выраженных в косвенной форме, относят на более поздний период (примерно к концу первого полугодия). Примерами таких задач будут следующие:
1. Миша и Наташа готовили флажки к новогодней елке. Миша сделал 15 флажков. Он сделал на 3 флажка больше, чем Наташа. Сколько флажков сделала Наташа?
2. Наташа сделала 12 флажков для елки. Она сделала на 3 флажка меньше Миши. Сколько флажков сделал Миша?
Решение задач этого вида рекомендуется перемежать с решением задач на разностное сравнение, чтобы не допустить выбора действия учениками только на основе употребляемых в условии слов «больше», «меньше».
Затем учеников I класса знакомят с решением задач на нахождение неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого. Задачи этого вида предлагают первоклассникам как с отвлеченными числами, так и сюжетные. Сначала может быть решена задача: «Из неизвестного числа вычли 6 и получили 4. Чему равно неизвестное уменьшаемое?».
Далее решают задачи сюжетные, например:
1. На лугу паслось 12 гусей. Когда несколько гусей ушли в кусты, на лугу осталось 6 гусей. Сколько гусей ушло в кусты? (№ 327, учебник математики I класса).1
1 Здесь и дальше указание на учебник I класса подразумевает книгу: Моро М И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В Математика. Учебник для 1 класса М., 1975.
Ссылка на учебник 11 класса имеет в виду книгу: Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Учебник для 2 класса. М., 1975.
При ссылке на учебник Ш класса имеется в виду книга: Пчел ко Л. С., Баитова М А., Моро М И., Пышка л о А. М Математика. Учебник для 3 класса. М., 1975.
2. В коробке лежало несколько кнопок. Когда взяли из нее 4 кнопки, то в коробке осталось 3 кнопки. Сколько кнопок было в коробке?
В конце года первоклассники знакомятся с решением задач на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых. Находят они эту сумму сложением.
Во втором полугодии первоклассники одновременно с решением простых задач начинают рассматривать и решать несложные составные задачи — задачи в два действия.
Знакомство детей с решением простых задач продолжается и во II классе. В начале учебного года при повторении материала в продолжение примерно 10 уроков учитель предлагает детям решать простые задачи того же характера, что и в I классе, но только с числами в пределах 100.
Последовательность знакомства учеников II класса с решением простых задач новых для них видов такова. От решения задач на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых переходят к решению задач этого вида не сложением,- а умножением, иначе говоря, решают простые задачи на нахождение произведения, например № 170 (учебник математики II класса): «В столовой было 4 банки фруктового сока, по 3 л в .каждой банке. Сколько литров сока в этих банках?»
Следом за задачами этого вида дети знакомятся с задачами на деление по содержанию и с задачами деления на равные части. Под № 163 (в той же книге) задача «У бабушки было 10 морковок. Она связала их в пучки по 5 морковок. Сколько получилось пучков?» содержит деление по содержанию, а задача № 191 решается делением на равные части: «12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?»
Следующая по сложности группа задач — это задачи на нахождение неизвестного множителя, а затем на нахождение не-' известного делимого и делителя. Одновременно с задачами этого вида детям дают решать задачи, в которых используются простейшие функциональные зависимости между ценой, стоимостью и количеством, например № 315 (там же): «За 2 пачки соли уплатили 14 коп. По какой цене покупали соль?»
Далее дети знакомятся с решением задач на кратное сравнение. Примером таких задач служат следующие (№ 432 и 440, учебник математики• II класса): «Над поляной летали 8 стрекоз и 2 бабочки. Во сколько раз было больше стрекоз, чем бабочек? Во сколько раз было меньше бабочек, чем стрекоз?» и «В столовой за день израсходовали 80 кг картофеля и 8 кг моркови. Во сколько раз больше израсходовали картофеля, чем моркови?»
После этих задач второклассники знакомятся с решением простых задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой, а затем в косвенной форме. Им предлагают pe
шать задачи следующего вида: «Попугаев 6, а голубей в 3 раза меньше. Сколько голубей?» (№ 381, там же) и «Сестре 8 лет, она в 2 раза моложе брата. Сколько лет брату?» (№ 488).
С задачами на нахождение доли числа и обратными им ученики II класса знакомятся после изучения кратного сравнения чисел. Задачи с долями рассматриваются самые элементарные. Примеры таких задач: «В книге 60 страниц. Мальчик прочитал -1_ книги. Сколько страниц прочитал мальчик?» и «Миша выучил половину стихотворения. Он выучил 18 строчек. Сколько всего строчек в этом стихотворении?» (ЛГ° 840, там же).
Затем дети знакомятся с решением простых задач на время. «Ученик вышел из дома в 8 ч 30 мин и пришел к школе в 8 ч 50 мин. Узнайте при помощи модели часов, сколько минут он потратил на дорогу?» (№ 878, там же).
С задачами на изменение произведения и частного в зависимости от изменения одного компонента дети знакомятся,, в III классе. С решением каждого нового вида указанных простых задач учеников II и III классов знакомят на одном из уроков, а после того как дети разберутся в решениях, такие задачи включают в составные.
§ 2. ОЗНАКОМЛЕНИЕ УЧЕНИКОВ СО СТРУКТУРОЙ ЗАДАЧИ
На первом этапе знакомства детей с простой задачей перед учителем возникает одновременно несколько довольно сложных проблем.
1) Нужно, чтобы в сознание детей вошли и укрепились вторичные сигналы (математические термины и другие неизвестные для них слова) к определенным понятиям, связанным с задачей (условие, вопрос, ответ и т. д.);
2) выработать умение видеть в задаче данные числа и искомое число;
- 3) научить сознательно выбирать действия и определять компоненты этих действий. Разрешение указанных проблем нельзя расположить в определенной последовательности. В занятиях с детьми довольно часто приходится добиваться результатов не одного за другим, а идти к достижению нескольких целей одновременно, постепенно развивая и расширяя достигнутые успехи в нескольких направлениях. При изложении методов и приемов работы мы расположим их в такой последовательности, чтобы осветить их наиболее ясно. Но в практической работе учителю нередко придется пользоваться этими приемами и методами в иной последовательности и даже сочетать некоторые из них в зависимости от материала, объясняемого детям.
При знакомстве с задачами и их решением нельзя избежать (да и не надо избегать) специфических терминов, но дети должны ясно их понимать, чтобы осознавать смысл задачи. Работа с детьми по усвоению ими специфической терминологии начинается с первых дней занятий в школе и ведется систематически на протяжении всех лет обучения.
Уже на одном из первых уроков учитель в беседе с детьми выявляет, как они понимают слова «больше — меньше — столько же», «длиннее — короче — такой же длины» и т. д. Ученикам, для которых эти понятия неясны, учитель, используя конкретные множества предметов, поясняет смысл указанных терминов. Например, он предлагает детям положить две палочки на книгу, а рядом на парту положить два листка и спрашивает: «Сколько палочек? Сколько листков? Чего больше: палочек или листков?» Затем предлагает увеличить число листков и снова задает те же вопросы. На данных и последующих, похожих на эти, упражнениях дети интуитивно усваивают понятие взаимно однозначного соответствия. Поэтому подобные приведенным упражнения с различными предметами нужно проделать неоднократно до тех пор, пока все дети не только поймут, но станут употреблять в своей речи введенные термины («столько же, меньше, больше, одинаково, увеличить» и др.) без ошибок. На последующих уроках к аналогичным упражнениям учитель возвращается, обращая особое внимание на соответствие (кружков столько же, сколько треугольников, и т. д.).
Поясняя понятие «длиннее — короче», можно взять две линейки, одинаковые по ширине, но разной длины и попросить детей назвать, какая из линеек длиннее, какая короче. А выясняя понятия «шире — уже», использовать для иллюстрации две линейки, равные по длине, но различной ширины. Так же предметно рассматриваются понятия «ближе —• дальше», «глубже — мельче», «толще — тоньше», «впереди — позади — посередине».
Понятия «дороже — дешевле» выясняют, обращаясь к жизненному опыту детей; их следует спросить: «Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка? А что из них дороже? Что дешевле?»
Работа с указанными и рядом других контрастных понятий не является кратковременной. Она сопутствует изучению счета и закрепляется при решении простых задач. При этом важно, чтобы с течением времени контрастные понятия употреблялись не только в связи с конкретным числовым материалом, но и выступали в абстрактном виде. Например, ученики должны ответить на вопросы: «Что выше — телевизионная башня или телеграфный столб? Где больше воды — в ведре или в стакане? Кто быстрее бежит—лошадь или черепаха? Что ближе— твоя квартира или спортивный зал школы?» и т. п. С рас
смотренными понятиями ученики будут встречаться при решении задач. Так, в учебнике математики I класса помещены задачи с рисунками: «У Вовы... (нарисовано 5 игрушечных тракторов) . У Миши на 4 больше. Сколько ... ?», «У Нины... (6 игрушечных слонов). У Иры на 4 меньше. Сколько ... ?» (№ 3, 4, с. 52.).
Расположение этих задач одна вслед за другой подчеркивает, что их необходимо сопоставить. Рассматривая эти задачи, дети должны, раскладывая предметы или рисуя их и отвечая на вопросы учителя, понять, у кого игрушек меньше, а у кого больше; затем сообразить, что у Миши столько игрушек, сколько их у Вовы (5), и еще 4 игрушки, поэтому к числу игрушек Вовы (5) нужно прибавить 4. Сложив числа 5 и 4, дети найдут, сколько игрушек у Миши.
Аналогично в другой задаче ученики, нарисовав 6 слоников, или 6 кружков, каждый из которых в их воображении будет слоником, и запомнив, что у Иры на 4 слоника меньше, должны будут отделить этих четырех слоников (вычесть). Они скажут: «У Иры столько же, сколько и у Нины, но без четырех слоников»,— и произведут действие, изобразив его с помощью карто-. чек; | 6 [ | —| |*4~| | = | | 2 | • При разборе этих задач полезно попросить учеников для одной из них придумать задачу про то же, но употребив слова «меньше», а для другой, наоборот,—«больше».
Так, понятия «больше — меньше» находят свое применение при решении задач.
После того как дети овладеют некоторыми навыками счета в пределах пяти, одновременно с продолжением его изучения, следует вести знакомство с задачами и решением их. Начать это знакомство полезно с задач-действий. Учитель берет со стола 2 тетради в левую руку и говорит: «В левой руке у меня 2 тетради», а затем берет в правую руку еще 2 тетради, говоря; «А в правой руке еще 2 тетради. Сколько тетрадей у меня в руках?» Задачи, аналогичные приведенной, ученики выполняют по указанию учителя: «Коля, возьми в шкафу 3 книги, возьми со стола еще 2 книги. Сколько книг ты взял?» Упражнения, помогающие изучению счета, полезно проводить ежедневно. Одновременно с этим можно перейти к составлению и решению задач по картинкам, а затем по картинкам и числам.
Когда дети освоятся с решением задач-действий, после решения одной из них учитель может сказать: «Мы с вами решили задачу, а теперь решим еще одну задачу. Слушайте, я ее прочитаю»,—и читает условие задачи, а дети решают ее.
Чтобы дети поняли, как различать в задаче условие и как выделить вопрос, учитель дает им задачу: «Аня сорвала 3 гриба (показывает рисунок), а потом еще 2 гриба (показывает рисунок двух грибов)»—и предлагает детям сказать: «Что мож
но узнать, или о чем можно спросить в этой задаче?» Ученики отвечают: «Сколько всего грибов сорвала Аня?» Так дети познакомятся с вопросом задачи. Учитель может подчеркнуть: «Это вопрос задачи. А как можно ответить на него, т. е. узнать, сколько всего грибов сорвала Аня?» Ученики должны ответить, что для этого надо к 3 прибавить 2 и сложить с помощью кар-
Прочитав еще задачу, надо предложить одному ученику вопрос, что спрашивается в задаче,' второму — повторить вопрос, третьему — что известно в задаче, а затем предложить нескольким учащимся повторить условие задачи. После таких упражнений дети поймут, как вычленять в задаче условие и вопрос.
Определений понятий «условие», «действие», «задача», «вопрос», «решение», «ответ» учитель не дает. Эти понятия дети, усваивают практически. Названия указанных понятий (термины) следует отрабатывать также не на одном уроке, а постепенно. Ученики запоминают их в процессе занятий: сначала они только правильно соотносят названия соответствующих понятий, услышанные от учителя, а затем усваивают новые для них термины и включают их в свой словарный запас, т. е. дети в своей речи начинают употреблять эти слова осмысленно.
На одном из последующих уроков ученики знакомятся с данными и искомым. Пользуясь иллюстрацией из учебника, рисунками на вывешенных листах или приготовленными заранее игрушками, учитель составляет задачу: «Плавали 5 рыбок (показывает 5 рыбок на рисунке или выставляет их на доске). Две из них попались на крючок (показывает их или отделяет 2 рыбки от остальных). Сколько рыбок осталось плавать?» При повторении учениками задачи по вопросам учитель употребляет выражения «Что’мы знаем?», «Что нам известно?», «Что дано в условии?», а затем — «Что нужно найти?», «Что нужно узнать?», «Что неизвестно?». Обобщая повторение, учитель подчеркивает: «В этой задаче известно, или дано,— плавало 5 рыбок, из них 2 попались на крючок, но неизвестно, сколько рыбок осталось,— это надо узнать, об этом спрашивается в задаче».
В цифровой кассе ученики сначала находят данные в условии числа (5 и 2). При этом учитель еще раз подчеркивает, что эти числа известны из условия—они даны. Потом спрашивает: «Что нужно сделать, чтобы найти неизвестное, т. е.. узнать, сколько рыбок осталось плавать?». После обсуждения этого вопроса дети выкладывают из карточек
Пользуясь иллюстрацией, они находят:
0 В 0 0Ш.
При знакомстве с задачей можно использовать обратный порядок, т. е. сначала познакомить учеников с данными и искомым, а затем уже с условием и вопросом.
Введенные термины учитель употребляет в дальнейших занятиях, постепенно ими начинают пользоваться в своей работе
и ученики.
Пока первоклассники не умеют читать, учитель сам сообщает условия задач. При этом важно, чтобы учитель прочитывал условие задачи или рассказывал его ясно, выразительно, соблюдая логические ударения, подчеркивая голосом существенно важные для решения задачи выражения и данные числа. Чтобы приобрести навык читать задачу выразительно, учитель при подготовке к уроку сам должен прочитать ее вслух, а в некоторых случаях и не один раз, добиваясь четкого и ясного произношения каждого слова и соблюдения всех логических ударений. От детей при восприятии ими задачи на слух следует требовать сосредоточенного внимания, поэтому условие и вопрос простой задачи повторять несколько раз не рекомендуется; полезно добиваться, чтобы дети, после того как прослушали задачу, сами могли бы ее повторить, не упуская существенных де-талей. Такое умение к детям приходит не сразу.
Целесообразно параллельно работе с условиями задач и решением их время от времени предлагать детям с целью развития у них внимания следующие упражнения. Учитель вывешивает на доске рисунок (рис. 1), затем предлагает детям несколько секунд внимательно посмотреть на фигуры. После того как рисунок убран, учитель просит их нарисовать показанные им фигуры в том же порядке и приблизительно такой же формы и того же цвета. С течением времени вывешиваемые рисунки усложняются (увеличивается число фигур и усложняются их очертания). В последующих упражнениях учитель предлагает детям внимательно выслушать, что и в каком порядке он назовет, произносит: «Квадрат, три, треугольник, пять»,— и дает ученикам задание: изобразить названные фигуры и числа в том
порядке, как их называли. Можно назвать несколько чисел или показать их, а затем заставить повторить числа в указанном порядке. Внимание следует развивать и слуховое, и зрительное.
Чтобы достичь полного
Рис. 1
внимания при восприятии ус-
ловия и его понимания, учитель вначале после прочтения задачи организует воспроизведение условия по отдельным вопросам, обращенным к ученикам. Например, прочитав задачу № 3 (с. 54) из учебника математики I класса: «У Коли 7 марок, а у Саши на 3 марки больше. Сколько марок у Саши?», учитель спрашивает: «Кто по условию задачи собирал марки? Сколько марок у Коли? А что из условия задачи известно о марках Саши? Что нужно узнать? Как узнать, сколько марок у Саши?»
Когда дети освоятся с повторением задачи по вопросам, можно переходить к более высоким требованиям; к повторению добавляются некоторые элементы анализа задачи. Учитель, прочитав задачу № 5 (с. 56 учебника математики I класса): «В саду росли 6 кустов малины, а смородины на 3 куста больше. Сколько кустов смородины росло в саду?», предложит ученикам указать, что в условии задачи известно и что нужно узнать—что неизвестно. А после этого попросит одного-двух учеников повторить задачу полностью.
В дальнейшей работе с условием следует рассматривать с учениками задачи, формулировки которых различны по своей сложности. Первые задачи будут содержать данные, расположенные в порядке их записи в решении, и прямой вопрос в конце задачи. В последующих задачах расположение данных и вопроса будет варьироваться: то вопрос задачи поставлен в начале условия, то в середине, то данные расположены так, что вычитаемое стоит впереди уменьшаемого, и т. д.
Дети в I классе постепенно приучаются во всех простых задачах, независимо от их структуры, сознательно выделять известные и неизвестные значения величин. Они должны после некоторых размышлений безошибочно указывать, что в задаче дано и что нужно отыскать. Это важно, так как для решения любой задачи надо понять связь между данными и вопросом задачи. Основываясь на психологических исследованиях, Н. А. Мен-чинская нашла, что в I классе дети не чувствуют необходимости в постановке вопроса к задаче (см.: Очерки психологии обучения арифметике. М., Изд-во АПН РСФСР, 1947). А как известно, мыслительный процесс обычно начинается с вопроса. С целью обострения сознания детей к важности вопроса в задаче полезно к одному и тому же условию ставить по очереди несколько разных вопросов. Например: «У Коли 3 тетради, а у Нины 4 тетради. На сколько тетрадей у Нины больше, чем у Коли?»
Во втором варианте к той же задаче можно поставить вопрос: «Сколько тетрадей у Нины и Коли вместе?» или «На сколько тетрадей у Коли меньше, чем у Нины?» Такая вариация вопросов к задаче заставит ученика вникать в содержание задачи. Эта работа потребует от ученика в каждой задаче рассматривать связь между данными и искомым, а не упражняться в чисто механическом выборе действия, не обращая внимания
2 А. А. Свечников
17
Рис. 2
на ситуацию, описанную в задаче и вопрос к ней, что у детей проявляется довольно часто.
Еще до того, как дети научатся записывать цифры, учитель начнет обучать их «записывать» данные из условия задачи. Краткая запись простой задачи помогает ученику лучше понять содержание и структуру ее, яснее выявить взаимосвязи данных и искомого. Все это ведет к сознательному и правильному решению задачи, поэтому на запись задач учителю следует обратить особое внимание.
Первые «записи» условия задачи представляют собой предметы, картинки или счетный материал (палочки, картонные кружки или квадратики), которые учитель одновременно с изложением содержания задачи выставляет для всеобщего обозрения на доске. Так, составляя задачу во рисунку (с. 28 учебника математики I класса), учитель скажет: «На дворе гуляло 2 гуся (выставляет на доске рисунок или вырезанные из картона фигуры двух гусей), к ним подошло еще 3 гуся (отдельно ставит рисунок или фигуры трех гусей). Сколько стало гусей?» После такой «записи» дети повторяют задачу, пользуясь иллюстрацией (рис. 2).
Следующим этапом будет запись данных посредством счетного материала. Учитель читает задачу: «На ветке дуба растет 6 желудей (кладет на полочку доски 6 кружков). Два желудя созрели и упали (отодвигает 2 кружка). Сколько желудей осталось на ветке?» Повторяя задачу, дети смотрят на выставленные на доске кружки и, вспоминая слова учителя, передают содержание задачи, а затем переходят к ее решению.
Сообщая следующую задачу, учитель может уже воспользоваться «комбинированной записью» данных — он выставит рисунок, соответствующий первому данному условия, а второе данное изобразит палочками. Полезно, чтобы дети по предложению учителя подобрали в цифровой кассе соответствующие данным числа и выставили карточки с числами под рисунком и под палочками.
В последующих задачах учитель перейдет к «записи» данных посредством карточек с числами. После работы с несколькими
такими задачами можно привлекать и самих учеников к «записи» данных условия посредством карточек с цифрами. (Такая запись ускоряет процесс работы, поэтому к ней можно иногда прибегать и позже, когда дети уже ознакомятся с написанием цифр.)
Этот путь обучения краткой записи простой задачи построен на постепенном переходе от конкретной наглядности к отвлеченному представлению числа, записанного цифрами.
Когда дети научатся писать цифры и ознакомятся с большинством букв алфавита, им следует показать, как записывать кратко задачу в одну строку с указанием наименований. Так, например, читая задачу: «У кормушки было 4 голубя», учитель записывает на доске «4 г.», а затем продолжает чтение: «к ним прилетели еще 2 голубя»— и пишет: «2 г.». Дальше задает вопрос: «Сколько стало голубей?» Повторяя условие, он указывает на запись «4 г.» и спрашивает: «Что вы знаете об этом числе из условия задачи?» (4 голубя было у кормушки.) «А что означает число «2 г.»?» (2 голубя еще прилетели к ним.) «Что в задаче требуется узнать?» (Сколько стало голубей?) Вызванный ученик по записанным на доске данным полностью повторяет условие, а второй ученик — вопрос. Затем дети решают п записывают решение.
На последующих уроках подобная работа продолжается. Через несколько уроков запись краткого условия можно поручать самим ученикам, сначала наиболее успевающим, а позже
и всем остальным.
При такой записи задач рекомендуется использовать различные условные схемы. Так, в учебнике математики с I класса уже на странице 46 введена фигурная скобка, условно обозначающая объединение двух множеств. Ученикам нужно объяснить смысл этого символа и в дальнейшем широко им пользоваться при краткой записи задач. Следующим символом будет знак вопроса. Первоклассники еще
незнакомы со знаками препинания, и поэтому для них знак вопроса требует особого толкования.
Рассматривая па уроке иллюстрацию к задаче № 3 (с. 48 учебника математики I класса), учитель предложит ученикам рассказать, что они видят на этой картинке. Дети объяснят: «На земле сидят 3 голубя, а еще несколько голубей находятся в клетке». На вопрос учителя «Что означает число 6, поставленное на углу клетки?» дети должны сообразить,
что это число указывает на то, сколько голубей находится в клетке. Даль-
ддг—awggjF'—jyi me учитель обратит внимание — Si ' giraKLjjL детей на фигурную скобку Ва под рисунком и знак вопроса
о э . под ней. Он скажет детям:
ин. на ок. меньше *
* «Скобка указывает, что число
рис 4 всех голубей надо объеди-
нить, сложить, а знак вопроса обозначает, что это общее число голубей неизвестно, его надо найти». Затем учитель сформулирует задачу: «В клетке находится 6 голубей, а на земле еще 3 голубя. Сколько всего голубей?» Он тут же кратко запишет эту задачу на доске в следующем виде: 6 г. 3 г. — и предложит по этой записи
5
детям несколько вопросов: «Что означает число 6? Число 3? На что показывает скобка? Что означает знак вопроса?» (Он показывает, что неизвестно, сколько всего голубей.) К решению задачи дети приступят после полного повторения всей задачи.
Спустя 2—3 недели учитель, повесив на доске иллюстрацию (рис. 4), попросит детей внимательно рассмотреть ее и даст задание составить к ней задачу. После этого учитель спросит:
— Что означает число 8? Что показывает знак вопроса на второй коробке?
— Неизвестное число карандашей в этой коробке.
— Что еще записано на рисунке?
— На 3 карандаша меньше, чем в первой коробке.
— О чем же идет речь в данной задаче?
— О коробках с карандашами.
— Что известно об этих коробках и карандашах?
— В первой коробке 8 карандашей, а во второй на 3 меньше.
— Что надо узнать?
— Сколько карандашей во второй коробке.
— Теперь можно сказать всю задачу. Я начну, а вы продолжите. В одной коробке 8 карандашей... Продолжай, Петя!
— Ав другой на 3 карандаша меньше, чем в первой коробке.
— Что можно спросить?
— Сколько карандашей во второй коробке?
— Запишем кратко задачу.
Учитель на доске записывает: I — 8 к.
II — ? на 3 к. меньше.
— Каким действием нужно решать задачу?
— Вычитанием.
Дальше дети самостоятельно запишут и найдут: 8 — 3 = 5.
Форма краткой записи простой задачи может быть различна. Выбор формы зависит от структуры и содержания задачи. Выбирая форму записи, данные и искомые стараются располо-20
жить так, чтобы зависимость между ними выступала наиболее ясно. Например, разобранную выше задачуудобнее записать в виде столбика, в этом случае запись ярче выявляет математический смысл, яснее выступает зависимость между данными и искомым. А в задаче «Петя поймал 4 рыбки, а Миша 5 рыбок. Сколько всего рыбок поймали дети?» краткую запись удобнее расположить в одной строке, объединив данные фигурной скобкой: 4 р. 5 р. Скобка и знак вопроса под ней в ' ? ’
данном случае подчеркивают связь между данными и искомым.
Показывая детям краткую запись задачи, нужно сказать о записи наименования рядом с данным. При записи действий наименование ставить не рекомендуется. Его следует указывать лишь в скобках в результате. Привычка записывать наименование у каждого компонента при выполнении действий может создать источник ошибок при решении уравнений, составленных по задаче.
Большую роль в сознательном подходе ученика к решению задачи (а этого надо добиваться постоянно) играют различные преобразования задачи, взятой для решения. С этой целью может быть изменен вопрос к задаче (об этом уже говорилось выше), можно поменять местами данные, если они входят как слагаемые или множители, можно преобразовать задачу, изменив условие, но, использовав те же числа в качестве данных, можно преобразовать задачу в обратную (II класс), т. е. ввести в условие задачи искомое как данное, а одно из данных сделать искомым.
Уже при знакомстве с условием и вопросом задачи, с выделением данных и неизвестного полезно предлагать детям задачи, преобразованные из первоначальной. Так, например, разобрав и решив задачу: «Барабан стоит 2 руб., а кукла дороже барабана на 3 руб. Сколько стоит кукла?», на доске будет записано 2 + 3=5. Тут же учитель может предложить детям задачу: «Барабан стоит 2 руб., а кукла 5 руб. Сколько стоят эти игрушки?» После решения этой задачи полезно предложить вторую видоизмененную задачу: «Кукла стоит 5 руб., а барабан дешевле куклы на 3 руб. Сколько стоит барабан?» Установив, что да-' но в этой задаче, что требуется узнать и как это сделать, дети запишут на доске решение: 5 — 3=2. Здесь учитель должен обратить внимание детей на решение всех трех задач. Он попросит учеников сказать, чем эти задачи похожи одна на другую, в чем сходство их решений. Выяснив сходство, устанавливают, чем одна задача отличается от другой.
В соответствии с программой понятие обратной задачи вводится во II классе, поэтому ученикам I класса толкование этого понятия не дают и термин «обратная задача» не вводят. Однако иногда в целях более глубокого рассмотрения связей между
данными и искомым учитель может (когда обратная задача не выходит за пределы знакомого детям материала) сформулировать условие обратной задачи и предложить ученикам решить ее.
Преобразование задачи в обратные ей- и решение их способствуют более глубокому осознанию зависимостей между величинами, входящими в задачу, и поэтому в процессе обучения во II и III классах этот прием следует практиковать довольно часто. С целью экономии времени решение большинства задач, преобразованных в обратные, можно выполнять устно.
§ 3. ВЫБОР ДЕЙСТВИЯ, КАКИМ РЕШАЕТСЯ ЗАДАЧА
При решении простых задач ученики довольно часто допускают ошибки в выборе действия, посредством которого можно решить задачу. Причина этого рода ошибок в большинстве случаев кроется в недостаточном осмысливании содержания задачи, что является следствием отсутствия или неполного анализа задачи. Дети в некоторых случаях не вдумываются в смысл содержания задачи, а просто останавливают свое внимание на одном слове, выхваченном из текста задачи, и по этому слову выбирают (определяют) действие, которым и пытаются решить задачу.
Чтобы ребенок, решая задачу, научился правильно находить нужное действие, он должен по содержанию задачи представить себе конкретную ситуацию, о которой рассказано в задаче, и понять взаимосвязь между искомым и данными. Для этого некоторые из учителей пользуются следующим приемом: познакомив учеников с задачей, они предлагают им закрыть глаза, чтобы отвлечься от всего постороннего, и постараться представить, о чем и что сказано в задаче. Это упражнение для многих учеников оказывается полезным, так как помогает им сосредоточить свои мысли только на данной задаче.
Воссоздать ситуацию,, изложенную в задаче, помогают наглядные пособия и иллюстрации. Многие учителя готовят для занятий по математике в I классе различные картинки, нарисованные на плотной бумаге или картоне и имеющие прорези, в которые можно вставлять различные плоские предметы. Например, на рисунке изображено дерево и куст, а около них сделано несколько прорезей, в которые можно вставлять вырезанные из плотной бумаги и раскрашенные грибки (рис. 5). Картинка, как правило, не должна содержать деталей, отвлекающих внимание детей. Можно, хотя это для детей менее интересно, пользоваться простым наборным полотном, на котором нужно будет выставлять в отдельных кармашках соответствующие числа одинаковых предметов. Учитель читает задачу: «Девочка собирала грибы. Она нашла под деревом 4 гриба...» И тут же вставляет в прорезь на картинке или на полотно 4 гриба.
Рис. 5
«А около куста еще 3 гриба»— размещает на картинке под кустом 3 гриба. «Сколько всего грибов нашла и сорвала девочка?»
Дети, наблюдая множества находящихся перед ними предметов, повторяют задачу. А учитель предлагает им сказать., что важно знать для решения этой задачи. Если кто-либо из детей укажет, что важно знать, чтобы грибы девочка нашла поддеревом и кустом, то учитель, привлекая других учеников, должен убедить всех в том, что в этой задаче существенно то, что найдено 4 гриба и 3 триба, а нужно знать, сколько всего найдено грибов—в этом суть задачи.
При решении этой задачи учитель -может обратиться к воображению учеников.
— Дети, вот девочка нашла и сорвала 4 гриба (учитель вынимает грибки и кладет их в коробку), а затем подошла к кусту и сорвала еще 3 гриба и положила их в корзину. (Учитель снимает 3 гриба и кладет их в коробку.) Как изменилось число грибов у девочки после того, как она положила туда все сорванные у куста грибы? (Увеличилось, стало больше, прибавилось— скажут дети.) На сколько? (На 3.)
Итак, чтобы ответить на вопрос задачи, что нужно сделать с числами 4 и 3? (Надо их сложить: к 4 прибавить 3.) Запишем это. Учитель записывает: 4 + 3 = 7.
Дальше учитель попросит одного из учеников повторить условие и вопрос задачи. При этом на картинке снова выставляются грибки. Дети снова должны сказать, как решить задачу.
— А теперь, дети, запишите решение задачи в тетради!
Затем учитель читает задачу с измененным условием: «Девочка собирала грибы. Она нашла под деревом 3 гриба, а у куста 4 гриба. Сжолько грибов нашла девочка?»
Читая условие, учитель приводит иллюстрацию в соответствие с данными — выставляет под деревом 3 гриба, а под кустом 4.
Дети, разбирая условие и рассматривая пособие, устанавливают, что и эта задача решается сложением, и находят: 3+4 = 7.
После решения этих двух задач учитель обращает внимание детей на изменение данных в условии второй задачи, сравнив его с условием первой и сопоставив вопросы решенных задач.. При этом отмечают, что вопросы не изменились.
Детей необходимо приучать подвергать простейшему анализу каждую из решаемых ими задач (выражение «анализ задачи» при решении простых задач ученикам не сообщать).
. Обучая детей анализировать задачу, полезно проделать на нескольких задачах следующую работу. Прочитав условие задачи, показать ученикам, как в тексте выделить отдельные смысловые части, соответствующие данным в условии. Например, прочитав задачу, заранее написанную на доске: «На рябину сели 5 дроздов. Затем прилетело еще несколько дроздов. Всего на рябину село 9 дроздов. Сколько дроздов село на рябину во второй раз?», ученики под руководством учителя выделят все, что сказано о первом данном, т. е. выделяют первую смысловую часть задачи и отделяют ее вертикальной чертой. Затем выделяют вторую и третью смысловые части условия. Задача оказывается разбитой на смысловые части так: «На рябину сели 5 дроздов. | Затем еще прилетело несколько дроздов. | Всего на рябину село 9 дроздов. | Сколько дроздов село на рябину?»
Дальше дети найдут и подчеркнут в каждой выделенной части наиболее важные слова и числа, т. е. те из них, которые несут основную нагрузку. Ученики подчеркивают «сели 5», | «приле-тело несколько», | «всего 9 дроздов», | «сколько село». После этого детям нетрудно записать задачу кратко:
Сели 51 Всего 9 Прилетело—?J
Краткая запись и сделанный анализ задачи помогут ученикам правильно выбрать действие. Они сообразят: чтобы узнать, сколько прилетело дроздов во второй раз, надо от 9 вычесть 5: 9-5=4.
Для.-закрепления сознательного подхода при выборе действия при решении простой задачи целесообразно предложить детям несколько похожих задач, но решаемых различными действиями. Например:
1. В вазе лежало 7 яблок. Дети съели 3 яблока. Сколько яблок осталось в вазе?
Повторив задачу, дети выделят в ней смысловые части: «было 7», «съели 3», «сколько осталось». Выбирая действие, они будут рассуждать: «Когда 3 яблока съели, то яблок стало меньше, поэтому надо из 7 вычесть 3».
Вслед за этой задачей ученикам предлагают задачу с другой ситуацией.
2. В вазе лежалй яблоки. Дети взяли из вазы 3 яблока, ив ней осталось 7 яблок. Сколько яблок было в вазе первоначально? (Эта задача похожа на обратную по отношению к первой, но не является таковой.) Рассматривая условие и вопрос задачи, ученики по предложению учителя выделяют смысловые части, кратко записывают задачу и, выбирая действие, рассуждают: «В вазе осталось 7 яблок, а 3 яблока из нее взяли. Если эти яблоки положить на прежнее место, то число яблок в вазе увеличится и окажется первоначальным. Значит, чтобы узнать, сколько яблок было в вазе первоначально, надо сложить данные числа — к семи прибавить три: 7 + 3=10. 10 яблок лежало в вазе первоначально». (До разбора условия следует выяснить, понятно ли детям значение слова «первоначально», и если не понятно, то разъяснить его смысл.)
При поиске решения этой задачи можно обратиться к условно предметной наглядности, например, можно на лист бумаги или картона (это ваза) положить 7 кубиков (яблоки), а 3 кубика взять в руку (яблоки, которые взяли дети). В этом случае рассуждения детей могут быть такими: «Из вазы взяли 3 яблока, значит, там их было больше, чем осталось. Взяли 3 яблока, а осталось в вазе 7 яблок. Чтобы узнать, сколько было h6j лок в вазе первоначально, нужно к 7 прибавить 3 яблока».
Следующая задача тоже похожа на две первые, но также не является обратной ни к одной из них.
3. В вазе лежало 7 яблок. Дети взяли из нее несколько яблок, и в вазе осталось 3 яблока. Сколько яблок взяли дети?
Простейший анализ задачи подсказывает ученикам решение: 7 — это 3 и 4. Задача решается вычитанием, потому что, когда из вазы взяли несколько яблок, их стало меньше — надо найти остаток.
До того, как предложить детям решить задачу на сравнение чисел, им полезно выполнить ряд упражнений следующего вида:
5>3, следовательно, 5—х=3, или 5=3+£, х=5—3, 4<7, следовательно, 4+х=7, или 7—х—4, х=7~4.
Ознакомившись с условием следующей задачи: «Андрей и Юра собирали грибы. Андрей сорвал 4 гриба, а Юра нашел 7 грибов. На сколько больше грибов нашел Юра, чем Андрей?»— и разобрав ее условие, дети установят, что 7 больше 4. Дальше дети укажут: в задаче требуется узнать, на сколько одно число больше другого, а чтобы узнать это, нужно от большего числа вычесть меньшее, т. е. 7—4=3.
После решения этой задачи вопрос в ней следует видоизменить и сформулировать так: «На сколько меньше грибов нашел Андрей, чем Юра?» Повторив условие и вопрос новой задачи, ученики должны сказать, кто нашел грибов меньше.
— Откуда вам известно, что Андрей нашел грибов меньше, чем Юра? (Сказано в условии.) А можно ли сделать такой же
вывод, сравнивая число грибов, которые нашел Андрей, с числом грибов, найденных Юрой? (Да.) Почему? (Потому, что четыре меньше семи.)
Учитель предлагает записать одному из учеников на доске 4<7.
— А каким действием можно узнать, на сколько 4 меньше 7? (Вычитанием.)
Дальше дети самостоятельно под контролем учителя запишут: 7—4 = 3. Условия и вопросы двух последних задач полезно сопоставить, в результате чего на доске будет записано: 7>4, 4<7. При этом учитель обратит внимание детей на то, что для обоих этих неравенств вычитание дает возможность найти, на сколько одно число больше или меньше другого.
Рассмотрение указанной пары задач позволит учителю впоследствии, прочитав только условие аналогичной задачи, предложить детям придумать различные варианты вопроса к данному условию. Это упражнение с изменением вопроса к определенному условию заставит ребенка осмыслить, что одно и то же явление, одну и ту же ситуацию можно рассматривать с различных сторон.
При решении простых задач, особенно при разборе нового для учеников вида задач, рекомендуется применять разнообразные наглядные пособия. Следует заметить, что частое применение при решении задач однообразных наглядных пособий искусственно задерживает у детей развитие способностей к мышлению, поэтому, применив описанное выше пособие при решении и преобразовании нескольких задач, полезно в дальнейшем перейти к применению более отвлеченной формы иллюстраций — к простейшему рисунку, а затем к схематическому рисунку и чертежу. Однако последовательный переход от предметной наглядности к абстрактной не означает, что один из видов наглядности полностью исключает все ему предшествовавшие. Различные формы наглядности ино1да могут чередоваться. В зависимости от сложности изучаемого материала применяется более или менее сильное средство наглядности.
Проследим, как можно использовать упрощенный рисунок при выяснении выбора действия, с помощью которого решается задача. Возьмем задачу: «Ваня сорвал с яблони 3 яблока. После этого он пересчитал на яблоне оставшиеся яблоки и насчитал 7 яблок. Сколько яблок вначале было на яблоне?» Прочитав условие, учитель на доске схематически нарисует яблоню с 7 яблоками и отдельно 3 яблока, сорванных Ваней, и попросит учеников ответить, сколько яблок осталось на яблоне, сколько яблок сорвал Ваня и что нужно узнать. Дети без особого труда ответят на эти вопросы и тем самым уяснят смысл задачи. Названные учениками числа учитель запишет под рисунком (рис. 6). Уяснив смысл задачи, дети по предложению учителя скажут: «Вначале на яблоне яблок было больше, чем после
Рис. 6
того, как Ваня сорвал 3 яблока, поэтому к яблокам, оставшимся на яблоне, надо прибавить сорванные, т. е. 7 + 3. Решение задачи дети могут выполнить дальше самостоятельно.
На следующем уроке целесообразно взять, например, такую задачу: «На завтрак подали 9 помидоров. 6 помидоров съели. Сколько помидоров осталось?» К задаче можно дать схематическую иллюстрацию, изобразив помидоры кружками. Но если дети уже довольно легко справляются с такими задачами, то можно ограничиться лишь записью условия числами. Обращаясь к условию задачи, уместно спросить: «Сколько помидоров подали на завтрак? Сколько помидоров съели за завтраком? Что спрашивается в задаче?» Полезно при этом обратиться к воображению учеников: «Представьте, что за стол сели 6 человек, каждый из них съел по одному помидору. Было подано 9 помидоров. Первый взял 1 помидор, осталось 8, второй взял еще 1, третий тоже 1 и т. д. Как же узнать, сколько осталось помидоров?» Возможно, что один или несколько учеников ответят: «Нужно из 9 вычесть по одному 6 раз». Тогда учителю необходимо спросить: «А нельзя ли сделать короче?» Большинство учеников сообразят, что нужно из 9 вычесть б — это то же самое, что из 9 вычесть 6 раз по одному.
Затем учитель может предложить ученикам такую задачу: «К завтраку подали помидоры. За завтраком съели 6 помидоров, а осталось 3 помидора. Сколько помидоров было подано к столу?» При разборе задачи внимание учеников следует обратить на то, что 6 помидоров, которые съели за завтраком, взяли из поданных к столу, а на столе осталось 3 помидора. Следовательно, чтобы дать ответ на вопрос задачи, можно мысленно положить обратно взятые 6 помидоров, т. е. к,3 помидорам прибавить 6.
Работа с преобразованием вопроса в задаче и самих задач позволяет ученикам всесторонне рассмотреть описанную в задаче взаимосвязь величин и сознательно подходить к выбору действия, с помощью которого можно решить задачу.
При обучении решению простых задач не рекомендуется рассматривать подряд несколько задач, аналогичных по своему содержанию и характеру действия, чтобы не вырабатывать у детей шаблонного автоматического подхода при выборе действия.
С той же целью полезно время от времени предлагать ученикам решить несколько похожих задач с одинаковыми вопросами, но решаемых разными действиями. Например:
1. На полке стояло 8 книг. Девочка сняла с полки 2 книги. Сколько книг стало на полке?
2. На полке стояло 8 книг. Девочка поставила к ним 2 книги. Сколько книг стало на полке?
По смыслу, задач дети довольно легко находят, что первая задача решается вычитанием (8—2), а вторая сложением (8+2), хотя вопросы этих задач совершенно одинаковы. Здесь важны указания в тексте задач: «сняла 2 книги» (первая задача), «поставила 2 книги» (вторая задача).
При решении задач в косвенной форме целесообразно сопоставить решение пары задач, в тексте которых встречается одно и то же определяющее слово и один и тот же вопрос, например:
1. Брюки стоят 14 руб., а куртка дешевле брюк на 6 руб. Сколько стоит куртка?
2. Брюки стоят 14 руб., они дешевле куртки на 6 руб. Сколько стоит куртка?
При рассмотрении смысловых частей первой задачи ученики должны установить, какая вещь дороже (брюки), какая дешевле (куртка) и на сколько. Только после этого они могут правильно определить действие (14—6).
При анализе второй задачи, рассматривая смысловые части ее, также обязательно выяснить, что стоит дороже (куртка), что — дешевле (брюки) и на сколько. Установив это, ученики поймут, что задача решается сложением (14-{-6).
Сопоставив условия и решения этих задач, дети должны понять, что одинаковый вопрос и одно и то же определяющее слово в тексте еще не указывает действие, что при разборе задачи обязательно рассмотреть, к какому предмету и числу относится это определяющее слово. Выбор действия обусловлен зависимостью искомого от данных, а правильно выбрать его помогает рассмотрение смысловых частей задачи и выявление зависимости между величинами, поэтому ученик должен внимательно рассмотреть всю задачу, чтобы обосновать выбор действия.
Осознанность выбора действия учеником полезно проверять. При этом достаточно спросить, почему, например, данную задачу решили сложением, а не вычитанием. Ответ ученика на вопрос сразу обнаружит, случайно или сознательно выбрано действие.
Работу с простыми задачами полезно перемежать задачами на соображение (не стандартными задачами). Например, могут быть предложены детям такие задачи:
1. Над подъездом дома висит табличка — указатель квартир с числами 17—32. Можно ли в этом подъезде найти квартиры 15, 33, 31?
2. Электропоезд состоит из 7 вагонов. Два мальчика решили поехать вместе в четвертом вагоне. Один мальчик сел в 4 вагон от начала, а другой — в 4 вагон от конца. В один ли вагон они сели?
3. Два ученика решили сесть в 4 вагон электропоезда. Электропоезд состоял из 8 вагонов. Один ученик сел в 4 вагон от начала, а другой в 4 вагон от конца. В один ли вагон сели эти ученики?
4. Алеша и Таня сорвали поровну орехов. Алеша из своих орехов дал Тане 4 ореха. На сколько орехов у Тани стало больше, чем у Алеши?
Моилно предложить детям несколько задач следующего характера:
1. Мальчик поднялся на лифте на 6 этаж, а ему надо было подняться на 9 этаж. Сколько этажей ему нужно миновать, что-_бы подняться по лестнице на 9 этаж?
2. У каждого из трех учеников по 2 цветных карандаша: у Вани синий и красный, у Пети зеленый и красный, у Маши желтый и синий. Сколько карандашей разных цветов у этих детей?
3. Нужно привезти 7 одинаковых станков. На одну машину можно погрузить только 3 таких станка. Сколько потребуется сделать рейсов на одной машине, чтобы перевезти все 7 станков?
4. На автомашину ГАЗ-63 можно погрузить 4 бочки, а на машину ЗИС-6—8 таких же бочек. Какую из автомашин нужно заказать, если потребуется перевезти 5 бочек? А если 3 бочки?
Иногда полезно предложить ученикам задачу, которую по данным условия решить нельзя. Например: «Мама дала Кате 7 слив, а Мише 3 сливы. Сколько слив получил Петя?» В некоторых случаях ученики решают эту задачу и находят сумму 7 + 3. Следует разобрать условие этой задачи коллективно и выяснить, почему ее нельзя решить. Бывают случаи, что задачу, которая имеет все данные для ее решения, некоторые ученики отказываются решать по аналогии с предшествующей задачей. В этом случае детям следует показать, что содержание каждой задачи нужно внимательно прочитать и только после этого установить, можно ли ее решить.
Упражнения подобного рода заставляют детей более внимательно относиться к содержанию простых задач.
§ 4. РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Решение несложных уравнений в начальных классах не является каким-то неожиданным нововведением. Еще в дореволюционном сборнике задач по арифметике К. П. Арженикова (1862—1933) содержались упражнения вида 7+2=?, 7+?= 10, ?-|-21 = 29 и т. д. В более поздних сборниках появились несколько видоизмененные упражнения, например, 3+, ,. = 4, . ..+2=8
или □4-3=8, 54-0 — 7 (см.: Никитин Н. Н. и др. Сборник арифметических задач и упражнений для 1-го класса. Изд. 3-е, Л1., Учпедгиз, 1947, с. 33). В настоящее время в учебниках математики в уравнениях знаки вопросов и другие символы заменены буквами, хотя на первом этапе знакомства с уравнениями некоторые символы сохранились.
Решение простых задач с применением уравнений в I и II классах дается с целью показать детям практическое использование уравнений. Только в III классе программой предусмотрено решение задач с помощью составления уравнений, т. е. алгебраический прием решения задач.
Решение задач с использованием уравнений требует умения перевести условие задачи на язык математики. Например, возьмем задачу: «Помогая отцу, утром Алеша принес несколько кирпичей, а после обеда он принес еще 8 кирпичей. Алеша насчитал, что всего он принес 19 кирпичей. Сколько кирпичей принес Алеша утром?». При переводе ее на язык математики мы говорим: «Утром Алеша принес х кирпичей, после обеда — 8 кирпичей, следовательно, всего он принес x-j-8 кирпичей». По условию известно, что Алеша принес всего 19 кирпичей, поэтому х 4-8= 19. Равенство х 4-8= 19— уравнение, оно выражает условие и вопрос задачи на языке математики. Чтобы получить ответ на вопрос задачи, нужно найти значение'х, которое, вообще говоря, может принимать любое значение, но в данном случае оно равно разности 19—8, т. е. х=19 —8, х=11.
Из приведенного примера видно, что до решения задачи посредством составления уравнения дети должны знать, как решать простейшие уравнения, и при этом сознательно, а не автоматически. Чтобы достичь этого, с учениками проводят подготовку. Уже в I четверти первоклассникам предлагаются упражнения вида:
44-2 = 0
4-3 = 0 5-(-2=х
В приведенных примерах ученики должны найтн сумму или разность и записать ее вместо символов (О, х). Затем целесообразно уравнения, подобные приведенным, преобразовать и решить:
1) 0-4 = 2 6-4=2 6-0=4 6-2=4
2) 04-3 = 4 14-3 = 4 4-0 = 3 4—1=3
3) х—5=2 7-5 = 2 х— 2=5 7-2=5
Сравнение таких примеров покажет ученикам, что знаки О (квадратик), х (икс) обозначают неизвестные числа. При этом уместно сказать, что неизвестное принято обозначать буквой х (икс), хотя обозначать неизвестное можно и другими буквами.
(Необходимо помнить, что если приведенные выше упражнения для детей окажутся сложными, то при их решении следует воспользоваться предметной наглядностью.)
Затем идет обучение детей решению уравнений (методика обучения решению уравнений выходит за рамки темы нашего пособия и поэтому здесь не рассматривается). После того как ученики познакомятся с решением простейших уравнений, им целесообразно предложить тренировочные упражнения такого характера.
Записать в виде равенств выражения:
а) число 4 вместе с числом 3 составляют сумму 7;
б) число 8 больше числа 6 на *2;
в) число 5 меньше числа 9 на 4;
г) разность чисел 8 и 6 составляет 2.
Дальше полезно перейти к выполнению более сложных заданий, например.
Записать равенства и найти неизвестное, если:
а) 6 и число х составляют сумму 10,
б) число х больше 7 на 2;
в) число х меньше числа 8 на 3;
г) число 6 больше х на 3;
д) число 2 меньше х на 7;
е) число 7 меньше х на 0;
ж) число 1 больше числа х на 0.
Выполнение этих и аналогичных им заданий готовит ученм-* ков к составлению уравнения по тексту задач.
В качестве одной из первых задач, при решении которой можно воспользоваться уравнением, возьмем задачу из учебника математики I класса, № 4, с. 64: «Около дома 10 кур и уток. Уток 8. Сколько кур около дома?»
До рассмотрения приведенной задачи полезно решить одно-два уравнения вида 7-(-х = 9. Затем учитель читает задачу.
Повторив условие и вопрос задачи и выяснив, что в ней дано и что неизвестно, учитель напомнит ученикам, как обозначается неизвестное при решении уравнений, и предложит обозначить неизвестное число кур буквой х (икс). Теперь учитель может прочитать задачу в сокращенном виде: «Около дома всего 10 кур и уток. Кур х, а уток 8».
После того как дети вникнут в содержание перефразированной задачи, учитель спросит их:
— Если бы уток было 8, а кур 1, то как бы вы записали, сколько птиц около дома?
—~ Сложением: к 8 прибавили бы 1.
— Правильно! А в нашей задаче сказано: «Уток 8, а кур х». Каким же действием можно выразить, сколько всего птиц?
— Тоже сложением: 8Д-х.
— Теперь составим уравнение. Вспомните, что означает по условию задачи сумма 8-(-х.
•— Столько птиц находилось около дома.
— А что известно из условия о том, сколько всего птиц было около дома?
— Из условия известно: всего кур и уток было 10.
— Так, что мы знаем о сумме 8+х?
— Эта сумма равна 10.
— Верно, запишите.
Дети записывают: 8+х=10— и по предложению учителя называют, чем является неизвестное, и указывают, как найти его. Если при этом у детей возникнут затруднения, то придется рассмотреть с учениками этот случай решения уравнения с помощью набора конкретных предметов (кружков, палочек и т. д.)_
— Итак, запишем решение: х=10—8; х=2. Теперь проверим решение. Найденный ответ (значение х—2) подставим в левую часть уравнения 8+х и получим 8+2== 10, т. е. 10=10. Решение правильное.
Решая посредством составления уравнения следующую задачу, например № 6 (с. 66 из учебника математики I класса), следует показать, как схематически записать условие задачи, которая решается с обозначением неизвестного буквой. Прочитав условие задачи и выяснив, что в ней неизвестно, учитель читает ее в сокращенном виде: «Миша и Саша поймали 10 жуков. Миша поймал 6 жуков, а Саша поймал несколько жуков»—и предлагает записать кратко условие задачи в таком виде:
Юж.
Дальше следуют рассуждения, аналогичные указанным в задаче, рассмотренной выше. Ученики записывают уравнение 6+х=10, находят значение х (x=10—6; х=4) и проверяют решение.
Затем можно предложить задачу на такой сюжет, чтобы задача решалась уравнением х+4 = 10.
В методической литературе рассматриваются и другие подходы к решению простых задач с помощью уравнении. (См., например: Бантова М. А. и Бельтюкова Г. В. Уравнения в начальном курсе математики.—«Начальная школа». Сб. ст. М., «Просвещение», 1970, с. 116—118.)
За решением нескольких задач на нахождение неизвестного слагаемого посредством уравнения последует составление задачи по данному уравнению, например х+6 = 13. Предварительно полезно предложить первоклассникам составить задачу по следующей краткой записи:
Было — ?
Приехало — 4
Стало — 9
Чтобы акцентировать внимание учеников в определенном направлении, следует указать им тему к приведенной краткой записи задачи. Например, указать, что надо составить задачу о машинах в гараже.
Приведем примерную задачу на указанные данные: «В гараже было несколько машин. Когда в гараж приехали 4 машины, то в нем стало 9 машин. Сколько машин в гараже было вначале?»
Составленную задачу ученики решат с помощью уравнения.
От этого задания легко перейти к составлению задачи по уравнению, например х-}-6=13, подобрав для этого подходящий сюжет. Данное уравнение учитель может пояснить, используя предыдущую запись:
Было — ?
Подошло — 6 телят Стало — 13 телят
Тогда составление задачи по уравнению станет совсем простым. Ученики составят задачу: «У кормушки стояло несколько телят. Когда к кормушке подошли еще 6 телят, их стало 13. Сколько телят было у кормушки вначале?»
Решают эту задачу дети также с помощью уравнения.
Когда ученики ознакомятся с решением уравнений вида х — 7 = 12 и 8—х = 3, то для иллюстрации их практического применения полезно решить несколько задач, составив к ним уравнения. Сначала целесообразно рассмотреть наиболее простую задачу, например № 328 (учебник математики I класса): «В поезде было 13 вагонов. На станции несколько вагонов отцепили и в поезде осталось только 10 вагонов. Сколько вагонов отцепили?»
Разбирая задачу, следует подчеркнуть слова «было 13», «отцепили несколько вагонов», «осталось 10 вагонов». По предложению учителя один из учеников повторит задачу, а затем учитель поставит перед детьми вопрос, известно ли, сколько вагонов отцепили, и условится обозначить число отцепленных вагонов через х.
Краткая запись задачи примет вид:
Было — 13 вагонов Отцепили — ?
Осталось—10 вагонов
Полезно выяснить, как ученики понимают слова «несколько вагонов отцепили», и установить, на какое действие указывает это выражение.
На следующем этапе переходят к составлению уравнения. Было 13 вагонов, а отцепили х. Значит, чтобы узнать, сколько вагонов осталось, надо из 13 вычесть х, т. е. 13—х — столько вагонов осталось, а в условии сказано, что осталось 10 вагонов.
3 А. А. Свечников
33
Рис, 7
Получили два равных выраже-ения: 13—х и 10. Можно составить равенство (уравнение): 13—х=10.
Уравнения этого вида дети уже умеют решать и могут выполнить решение самостоятельно: х=13—10; х=3.
Ответ. Отцепили 3 вагона.
Для менее подготовленных учеников полезно к этой задаче сделать чертеж, условившись вагон изображать одной клеточкой. Тогда ученики нарисуют поезд, под ним подпишут данные (рис. 7).
Такая иллюстрация даст им более конкретное представление о задаче и ее решении.
После решения учитель может преобразовать задачу и предложить ее для решения в таком виде: «В поезде было несколько вагонов. Когда на станции отцепили 3 вагона, в поезде осталось 10 вагонов. Сколько вагонов было в поезде первоначально?»
Один из учеников запишет на доске:
Было — ?
Отцепили — Зв.
Осталось — 10 в.
К этой задаче ученики могут составить уравнения разных видов:
1) *=3+10; 2) *-3=10; 3) *-10=3.
Полезно рассмотреть и сопоставить все эти уравнения.
Решив с помощью уравнений несколько подобных задач (например, № 327, 336, 344 из учебника математики I класса), полезно предложить детям несколько заданий на составление задач по данному уравнению вида 12—*=5. Так, к указанному уравнению и сюжету — задача про уток, плавающих в озере,— ученики могут составить задачу: «В озере плавало 12 уток. Несколько уток улетело. 5 уток осталось. Сколько уток улетело?»
Решение составленной задачи дети выполняют самостоятельно.
Составление уравнений по задаче покажет ученикам применение их при решении задач, т. е. раскроет им практический смысл решения уравнений.
Если при последующем решении задач с помощью составления уравнений некоторые из них вызовут у детей затруднение, то в этом случае рекомендуется прибегнуть к иллюстрации условия посредством наглядных пособий в виде предметов, рисунка или схематического чертежа.
При этом по мере развития способностей и умений детей целесообразно от предметной наглядности постепенно переходить
/г СЛ
—
— 7 с л- —
Рис. 9
к рисунку, а затем к условному изображению отрезками соответствующих чисел, указанных в условии задачи. Так, решая задачу: «Туристы в первый день похода прошли 6 км. На привале определили по карте, что они прошли на 3 км меньше, чем им осталось идти дальше. Сколько километров осталось идти туристам?», условие задачи удобно проиллюстрировать двумя отрезками (рис. 8), из которых отрезок в 6 клеточек будет короче неизвестного на 3 клеточки.
Ученики, рассмотрев этот рисунок, увидят, что данное в условии число 6 меньше неизвестного (искомого) на 3, а поэтому если неизвестное х уменьшить на 3, то получим данное число 6, т. е. х— 3 = 6. Это рассуждение дети проведут, пользуясь иллюстрацией, с большей долей самостоятельности.
К более трудным простым задачам следует отнести задачи такого вида: «Если от одного отрезка прямой отсечь 12 см, а от второго — 7 см, то оставшиеся отрезки станут равными. Какой отрезок и на сколько короче другого?» (Это задача II класса.) Решение задачи иллюстрируем чертежом (рис. 9). Проведем два неравных отрезка. Выясняем с учениками, какой из отрезков длиннее (тот, у которого отсекли 12 см), отсечем черточкой от большего отрезка его часть и запишем под ней число 12. На втором, коротком отрезке против черточки, разделяющей больший отрезок, также проведем короткую черточку, которая отсечет отрезок, но меньше того, который обозначен числом 12. Под этим отрезком поставим число 7. Теперь, пользуясь чертежом, запишем неравенство: 12>7, а затем перепишем его в виде равенства: 12=7-(-х, получим уравнение. Решение составленного уравнения дети выполнят самостоятельно: х=12—7; х=5. Ответ полезно указать отрезком на чертеже, поставив отметку на отрезке в 12 см против конца отрезка в 7 см.
За решением этой задачи последует разбор и решение следующей: «Когда из одного бидона взяли 9 л молока, а из другого 7 л, то в этих бидонах осталось молока поровну. В каком бидоне молока было больше и на сколько литров?»
Затем целесообразно дать такую задачу: «Рядом стояли две бочки. Когда из одной взяли 9 ведер, а в другую влили 3 ведра, то в обеих бочках воды оказалось поровну. На сколько ведер воды в одной из бочек было больше, чем в другой?»
Решение подобных задач, построенных на уравнивании двух величин, развивает у детей сообразительность и скажется благотворно на дальнейшем изучении математики.
Учителю нужно внимательно следить за продвижением учеников, и если он заметит, что его ученики могут предложенную им задачу проанализировать и решить самостоятельно, то этап подробного рассмотрения условия может быть опущен. Не нужно навязывать детям помощь в работе с таким материалом, в котором они могут разобраться сами. После ознакомления учеников с содержанием задачи полезно спрашивать: «А кто знает, как решить задачу?»
Большое значение для успешного обучения детей имеет умение самостоятельно составлять простые задачи. При решении составных задач ученикам придется самим находить и составлять последовательный ряд простых задач. Если ученик овладеет навыком составлять простые задачи, то такого ученика легко научить решать составные задачи. Вот почему при решении простых задач следует заставлять детей придумывать к ним различные вопросы и к вопросам подбирать соответствующие данные.
§ 5. ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Согласно программе простые задачи на сложение и вычитание и на умножение и деление разделены во времени. Умножение и деление отнесены на второй год обучения.
До знакомства детей с умножением и делением рекомендуется на конкретных задачах рассмотреть сложение нескольких одинаковых слагаемых и вычитание из числа равных вычитаемых.
Еще в I классе детям в конце года можно предложить решение задач такого характера: «Миша купил 5 поплавков для ловли рыбы по 2 коп. за штуку. Сколько копеек уплатил Миша за поплавки?» (учебник математики I класса, № 458). Решение этой задачи первоклассники выполняют последовательным сложением. Следует записать: 2+2+2+2+2=10.
Во II классе знакомство с умножением и делением ученики начинают также с решения нескольких задач на сложение равных слагаемых.
Учитель предлагает детям найти в тетради, сколько клеток уложится в 6 см, если в 1 см укладывается 2 клетки. Дети вычерчивают прямоугольники, состоящие из двух клеток каждый и примыкающие один к другому,— всего 6 прямоугольников и подсчитывают число клеток, содержащихся в них. Затем записывают решение в виде сложения: 2+2+3+2+2+2=12.
6 раз
После того как учитель объяснит, что это действие можно заменить более коротким действием — умножением, записывают: 2-6= 12. '
Решив еще 2—3 задачи и несколько примеров на умножение с записью действия в виде сложения и соответствующего ему умножения, второклассники окончательно переходят на краткую запись умножением. А затем решают задачи на умножение (простые).
Когда дети приобретут первоначальные навыки в выполнении действия умножения, с ними следует рассмотреть пару задач с одинаковым сюжетом, но переставленными данными, например:
1. Витя сорвал 3 грозди орехов по 4 ореха в каждой. Сколько орехов сорвал Витя?
2. Во второй раз Витя сорвал 4 грозди орехов по 3 ореха в каждой грозди. Сколько орехов сорвал Витя во второй раз?
(Пока ученики не знают таблицу умножения, при затруднениях в вычислениях они заменяют умножение сложением.)
Решение первой задачи записывают на одной половине доски, а решение второй задачи — на второй. Затем учитель задаст вопрос: «Когда Витя сорвал орехов больше?». Получив ответ, записывает: 4-3=3-4.
В первый раз на этом равенстве задерживаться не надо. Это вводное наблюдение, которое имеет целью только наметить в сознании ребенка некоторую закономерность. К окончательному выводу переместительного свойства умножения следует обратиться несколько позже, проделав ряд наблюдений при решении задач и примеров, в которых будет выявлено, что от перемены мест множителей произведение не изменяется.
Когда дети ознакомятся с умножением и делением по содержанию и на части, область их работы с простыми задачами значительно расширится. Теперь детям можно предлагать для решения как прямые, так и обратные задачи на все четыре действия.
Рассмотрим, как проходит работа с простыми задачами на умножение и деление. Возьмем задачу: «Отряд пионеров отправился в туристский поход. Пионеры подсчитали, что в день им потребуется 6 кг продуктов. Сколько килограммов продуктов им нужно было взять на 3 дня?»
Условие задачи и вопрос к нему ученики повторят, выделят смысловые части и запишут:
«6 кг, 3 дня. Ск. на 3 дня?»
В беседе с учениками устанавливаем, что для ответа на вопрос задачи можно 6 кг повторить слагаемым 3 раза, или 6-3=18 (кг).
Если среди учеников найдутся такие, которым трудно сообразить, как решить задачу, то полезно прибегнуть к иллюстрации в виде чертежа, принять 1 кг за 1 клетку тетради и начертить 3 полосы по 6 клеток, расположенных одна рядом с другой (рис. 10).
Для проверки решения этой задачи ее можно преобразовать в следующую: «Отряд пионеров в походе ежедневно расходовал по 6 кг продуктов. На сколько дней хватило этому отряду 18 кг продуктов?»
Условие и вопрос задачи дети повторяют и иллюстрируют чертежом. Чтобы дать ответ на вопрос задачи, рассуждения ведут примерно так: всего продуктов 18 кг, их надо распределить, разложить по 6 кг на день. На сколько дней их хватит? Для этого нужно 18 разделить по 6, т. е. ответ на вопрос задачи узнаем делением. Выполняя деление, ученики могут воспользоваться палочками или другим набором счетных материалов. Дети отсчитывают 18 палочек, раскладывают их по 6 и считают число кучек. Затем записывают: 18:6=3 (дня).
Полезно решить и вторую обратную задачу: «Отряд пионеров в походе израсходовал 18 кг продуктов за 3 дня. Сколько килограммов продуктов расходовали в отряде за день?»
Учитель задает ученикам вопросы: «Сколько килограммов продуктов израсходовали в отряде? На сколько дней распределили 18 кг? Что нужно узнать в задаче? Как узнать, сколько килограммов продуктов расходовали в отряде за 1 день?» При необходимости эту задачу можно иллюстрировать чертежом, приняв за 1 кг 1 клетку. Однако этот чертеж лучше выполнить не в виде полосы, а в виде отрезка (рис. 11). Из чертежа нетрудно понять, что для получения ответа надо: 18:3=6 (кг).
Все решения задач ученики должны внимательно сопоста-. вить, чтобы подметить связь умножения и двух видов деления.
Следующая задача, которую дети должны рассмотреть также подробно,— задача деления на части. Например: «Ученик купил 7 одинаковых карандашей и заплатил за них 14 коп. Сколько стоит 1 карандаш?»
Один из учеников вслух прочитает задачу, а учитель предложит детям выделить в ней смысловые части и ответить на вопросы: «Сколько купили карандашей? Сколько копеек уплачено за все карандаши? Что нужно узнать? Каким действием можно узнать? Сколько стоит 1 карандаш, если 7 карандашей стоят 14 коп.?»
Установив, что для ответа на вопрос задачи нужно выполнить деление, рассматривается вопрос, какое число нужно делить и на какое. Ответ на этот вопрос указывает, что для ре^
шения задачи нужно 14 : 7. Если найдется несколько учеников, которые не смогут произвести деление, то нужно воспользоваться предметной наглядностью: взять 14 однокопеечных монеток и 7 карандашей и предложить против каждого карандаша положить сначала по одной копейке, затем по другой и т. д. Когда все монетки будут разложены, то сосчитать, сколько стоит 1 карандаш. Вместо монеток и карандашей могут быть использованы палочки и кружочки. Обычно при таком способе деления дети легко соображают, что 14 : 7 = 2 (коп.).
Полезно решенную задачу преобразовать, чтобы получить две обратные задачи. Преобразование проводится с привлечением всех учеников, а решение обратных задач предоставляется ученикам выполнить самостоятельно.
Сопоставление решений двух из этих задач, решаемых делением на части и делением по содержанию, поможет детям установить взаимосвязь между указанными видами деления: 14 : 7 = = 2 (коп.) и 14:2 = 7 (каранд.). Учитель обратит внимание детей на то, что в первой задаче делим копейки и узнаем цену карандаша в копейках, а в другой делим копейки на копейки, а узнаем, сколько раз в 14 коп. содержится по 2 коп.
В период изучения табличного умножения и деления детям следует предлагать для решения простые задачи на умножение и деление — в различных формулировках.
1. В коробке 6 цветных карандашей. Сколько карандашей в 3 коробках?
2. Сколько листов в 4 тетрадях, если в одной тетради 12 листов?
3. Учительница раздала 8 тетрадей 4 ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?
4. Учительница разделила 18 тетрадей на 3 равные части. Сколько тетрадей в каждой части?
5. Учительница раздала 36 тетрадей 9 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый ученик?
6. Учительница раздала 24 тетради ученикам по 3 тетради каждому. Сколько учеников получили тетради?
После ознакомления с понятиями «больше (меньше) в несколько раз» число вариантов формулировок простых задач на умножение и деление возрастает.
Прежде чем переходить к рассмотрению задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, ученики должны ясно понимать, что означают выражения: «больше в несколько раз», «меньше в несколько раз». Начало работы с этими понятиями сопровождается предметной наглядностью. Ученикам предлагается положить на парту слева 3 каких-либо предмета (палочки, кружки, листочки и т. п.), а справа 2 раза по стольку же таких же предметов. Учитель пояснит: в этом случае говорят — палочек (кружков) справа в 2 раза больше, чем слева. А затем спросит, во сколько раз
предметов слева меньше, чем предметов справа. Чтобы первое представление о данном понятии не было искажено, нельзя брать 2 предмета и увеличивать их вдвое (так как 2-2=2-|-2, то у детей может произойти смешение понятий.)
За такими упражнениями последуют задания: нарисовать справа 4 квадратика, а слева в 3 раза больше; нарисовать 6 треугольников, а под ними треугольников в 3 раза меньше. Затем ученики по вызову учителя будут самостоятельно давать подобные задания своим товарищам: нарисовать предметов (фигур) в 2, 3, 4, 5 раз больше, чем их дано.
Понятие «в несколько раз больше» на этом же уроке сопоставляется с понятием «на несколько единиц больше», а понятие «в несколько раз меньше»— с понятием «на несколько единиц меньше».
• Разнообразные упражнения на закрепление указанных понятий ученики проделывают до тех пор, пока не научатся безошибочно отвечать: «8 больше 2 в 4 раза» и «8 больше 2 на 6»; «3 меньше 12 в 4 раза» и «3 меньше 12 на 9 единиц».
Ясное понимание выражений «больше (меньше) в несколько раз» и «больше (меньше) на несколько единиц» дадут возможность ученикам правильно решать задачи такого вида:
1. В тетради 12 листов, а в альбоме листов в 4 раза больше, чем в тетради. Сколько листов в альбоме? (12-4 = 48.)
2. В альбоме 48 листов, а в тетради листов в 4 раза меньше, чем в альбоме. Сколько листов в тетради? (48:4=12.)
В последующих задачах выражения «больше», «меньше» полезно варьировать, например:
3. Отец старше сына в 5 раз. Сколько лет сыну, если отцу 45 лет?
4. Сын моложе отца в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну 9 лет?
5. Цена тетради 2 коп., она в 9 раз дешевле, чем книга. Сколько копеек стоит книга?
Одновременно с решением задач, в которых сказано, что одно число больше (меньше) другого в несколько раз, нужно давать и такие задачи, в которых требуется найти число, большее или меньшее другого на несколько единиц. Решение пары задач, в которых одинаковые данные, но вопросы разные, следует сопоставить 2—3 раза. Дети должны отчетливо усвоить, в чем суть сходства и отличия таких задач.
При знакомстве учеников с понятием кратного сравнения чисел удобно воспользоваться конкретным материалом. Для этого, например, учитель поместит на доске полосу, состоящую из 6 квадратиков, а под ней расположит другую полосу из 2 квадратиков и предложит ученикам сравнить число квадратиков первой и второй полос. Дети могут сказать, что в верхней полосе квадратиков больше, чем в нижней, или в нижней — меньше, чем в верхней. При уточнении этого ответа следует потребо
вать от учеников назвать сначала число квадратиков верхней полосы, а затем — нижней. Дальше учитель спросит:
— Что можно сказать о числе квадратиков верхней полосы по сравнению с числом их в нижней полосе?
— В верхней полосе на 4 квадратика больше, чем в нижней, или в нижней на 4 квадратика меньше, чем в верхней.
— А как еще можно сравнить число квадратиков в этих полосах?
Чтобы облегчить ответ на этот вопрос, учитель, взяв нижнюю полосу из 2 квадратиков, трижды наложит ее на верхнюю полосу, сделав при этом соответствующие отметки. Увидев, что полоса в 2 квадратика 3 раза уложилась на полосе из 6 квадратиков, ученики скажут, что в верхней полосе квадратов больше, чем в нижней в 3 раза, или в нижней полосе квадратов меньше, чем в верхней, в 3 раза.
Учителю следует обратить внимание учеников на это и пояснить, что при сравнении 2 чисел нужно большее число разделить на меньшее, чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Он запишет: 6: 2 = 3.
Выяснив, как и каким действием сравнивают два числа, полезно предложить ученикам следующие задачи: «Черепаха ползет в 6 раз медленнее, чем идет человек. Андрей прошел 48 м. Сколько метров за это время проползла черепаха?»
Выяснив коллективно, как решить задачу, ученики записывают решение: х=48:6; х=8 (ти).
Составим к этой задаче обратную: «Черепаха проползла 8 м. Сколько метров прошел за это время Андрей, если он шел быстрее черепахи в 6 раз?»
Ученики решат эту задачу и запишут: х=8-6; х=48 (м).
Составив коллективно только условие второй обратной зада-чи‘- «За одно и то же время черепаха проползла 8 м, а Андрей прошел 48 л», учитель спросит:
— Какой вопрос можно задать к этому условию?
— Во сколько раз Андрей идет быстрее черепахи?— скажут одни ученики.— Во сколько раз черепаха ползет медленнее Андрея?— предложат другие.
— Каким действием можно найти, во сколько раз Андрей идет быстрее черепахи?
— Делением.
— Какое число и на какое надо разделить?
— Надо разделить 48 и 8.
— Почему?
— Потому, что надо знать, во сколько раз число 48 больше 8, а это находят делением.
Дети запишут: 48:8=6 (раз).
— Можно ли к этому условию дать другой вопрос?
— Можно. Во сколько раз черепаха ползет медленнее, чем идет Андрей?
— А как найти ответ на этот вопрос?
— Нужно разделить 48 на, 8.
— Почему?
— Чтобы найти во сколько раз число 8 меньше 48.
— Отличается ли второе решение от первого?
— Нет: оба раза действие одно и то же — деление и числа делим те же.
— Зачем при решении этих задач 48 делим на 8?
— Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, или во сколько раз одно число меньше другого.
— Значит, мы сравнивали два числа и, сравнивая, узнавали, во сколько раз одно число больше или меньше другого.
Вслед за этой задачей разбирается еще одна на кратное сравнение: «В пионерском отряде 27 человек, а в каждом звене по 9 человек. Во сколько раз пионеров в звене меньше, чем в отряде?»
Задачу ученики повторяют и кратко записывают. Учитель спрашивает их: «Какие числа в этой задаче требуется сравнить? Посредством какого действия нужно их сравнивать?»
Решение задач на кратное сравнение следует неоднократно сопоставить с решением задач на разностное сравнение. Для такого сопоставления удобно сравнить длины 2 отрезков, например: «Длина одного отрезка 14 см, а другого 7 см. Во сколько раз первый отрезок длиннее второго? На сколько первый отрезок длиннее второго? Решение задачи полезно сопроводить чертежом, приняв 1 клеточку за 1 см. После решения на чертеже следует указать и результаты сравнения «в 2 раза», «на 7 см» (рис. 12).
В заключительной беседе учитель покажет ученикам, что в этой задаче они сравнивали два отрезка и нашли, во сколько раз один отрезок длиннее другого, а затем узнали, на сколько сантиметров первый отрезок длинее второго. Тут же полезно спросить детей, а как можно изменить вопросы к тем же действиям с данными условиями задачи. Ученики должны будут сформулировать вопросы в таком виде: 1) во сколько раз один отрезок меньше другого? 2) На сколько сантиметров один отрезок короче другого?
К числу простых задач, решаемых во II классе, относятся задачи в косвенной форме на умножение и деление. Примером такой задачи может служить следующая: «Рамка стоит 3 руб., она дешевле картины в 7 раз. Сколько стоит картина?»
Для решения этой задачи примем неизвестную стоимость картины за х рублей. Тогда условие можно прочитать так: «Картина стоит х рублей, а рамка 3 руб. Рамка дешевле картины
в 7 раз». Такая формулировка задачи подскажет, как составить уравнение; оно будет иметь следующий вид: х : 3=7. Из него видно, что делимое больше делителя в 7 раз. Зная, что делимое можно выразить как произведение частного и делителя, получим х~7-3; х = 21.
В последующей работе с приведенной или аналогичной ей задачей полезно сделать так: одно' из данных будем последовательно изменять. Находя ответ для каждой новой пары данных, ученики будут наблюдать за изменением ответа в зависимости от данных. В указанной задаче будем изменять число 7. Пусть рамка дешевле картины в 3 раза. Тогда х:3 = 3; х=3-3; х—9, Если рамка дешевле картины в 4 раза, то х : 3=4; х=3-4; х= 12 и т. д.
Все решения последовательно выпишем в столбик одно под другим:
х : 3=3 х=3-3 х=9
х : 3=4 х=3-4 х= 12
х : 3=5 х=3-5 х=15
х : 3=6 х=3-6 х—18
х : 3=7 х=3-7 х=21
х : 3=8 х=3-8 х=24
Такое упражнение полезно не только для повторения и закрепления табличного умножения и деления, но оно подводит к понятию переменного х, значение которого зависит от данных, входящих в уравнение. Ученики по этой таблице видят изменение значения одной величины в зависимости от другой. Учителю пока не нужно по этому поводу делать какие-либо обобщения и выводы, нужно лишь, чтобы в сознание детей интуитивно'вошла идея взаимной зависимости значений одной величины от другой. При решении и преобразовании подобным образом нескольких аналогичных задач эта идея будет постепенно опознаваться учениками с большей ясностью и полнотой.
§ 6. ЗАДАЧИ НА ИЗМЕНЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕЙСТВИИ
Наиболее трудны для детей простые задачи на изменение компонентов действий. Эти задачи следует решать с учениками в III классе. Их можно предлагать и ученикам II класса на внеклассных занятиях.
Рассмотрим задачу: «Из кладовой отправлено на строительство дома 840 листов стекла, а с базы привезено в кладовую 1 360 листов стекла. Как изменился запас стекла на складе?»
К решению этой задачи целесообразно подойти от иллюстрации. Стекло было в кладовой.' Изобразим условно кладовую в виде прямоугольника. Из кладовой отправили 840 листов стекла на строительство. Проведем от одной из сторон прямоугольника вправо отрезок, заканчиваем его стрелкой, которая покажет, что стекло из кладовой отправили. А в кладовую привезли
1360Л
Рис. 13
4
1 360 листов стекла. Покажем это другим, более длинным отрезком. На конце этого отрезка слева поставим стрелку в обратном направлении, которая будет показывать, что стекло привезли (рис. 13). Как только ученики рассмот-
рят этот рисунок, они сразу скажут, что в кладовой запас стекла увеличился на 370 /ПЛ разность чисел 1 360 и 840, поэтому, J ч 7йЧ чтобы узнать, на сколько изменился __ ' из запас стекла в кладовой, нужно от
1 360 листов вычесть 840 листов, т. е. /
1360—840=520 (листов).
Ответ. В кладовой стало стекла 1 ** больше иа 520 листов.
За этой задачей последует другая: «В первом баке на 370 л керосина меньше, чем во втором. Из второго бака отпустили 7^5 л керосина. В каком баке и на сколько литров стало керосина больше?» Рассмотрим иллюстра-4 цию к задаче, которую нужно привести для учеников (рис. 14). При решении этой задачи ученики будут рассуждать так: если из второго (большего) .бака то в нем останется керосина столько же,
Рис. 14
Рис. 15
взять только 370 л,
сколько в первом баке. Но из него взяли больше, чем 370 л
(785>370). Следовательно, во втором баке керосина стало меньше, чем в первом баке, на разность чисел 785 и 370. Чтобы дать ответ на вопрос задачи, надо из 785 вычесть 370:
785-370=415 (л).
Можно предложить ученикам и такую задачу: «На участок полевой бригады завезли минеральные удобрения. Часть этих удобрений внесли в почву для подкормки озимых. Во второй раз привезли в бригаду еще 42 мешка удобрений. После этого бригадир подсчитал, что первоначальный запас удобрений увеличился на 29 мешков. Сколько удобрений израсходовали на подкормку озимых?»
Для решения этой задачи рекомендуется предложить ученикам сделать иллюстрацию самостоятельно (рис. 15); выполнив ее, дети без труда решат задачу устно.
Следующей по сложности будет задача такого вида: «В двух цистернах было одинаковое число литров кваса. Когда из первой цистерны продали , а из другой 360 л, то в обеих <5
цистернах число литров кваса оказалось вновь одинаковым.
Сколько кваса в каждой цистерне было вначале?» (Понятно, что эту задачу следует рассматривать с учениками после того, как они познакомятся с нахождением числа но его доле.) Условие
задачи сопровождаем чертежом, на ко-
тором проставляем данные (рис. 16). Рис 16
Дети могут рассуждать так: «Ци-
стерны содержали одинаковое число литров кваса. После продажи в обеих цистернах кваса осталось поровну, значит, и продали его из первой цистерны столько же, сколько из второй, т. е. — одной цистерны составляет 360 л. Но в целой О
цистерне третьих долей содержится 3. Следовательно, чтобы найти число литров кваса в одной целой цистерне, нужно 360-3=1 080 (л)».
Решение простых задач не следует обособлять от решения составных. Лишь на первом этапе обучения в I классе, когда дети еще не знают составных задач, они решают только простые. Впоследствии решение простых задач перемежается с решением составных задач.
Во многих случаях решение простой задачи предваряет решение составной задачи. В этом случае простая задача будет вводной к более сложной составной задаче. Например, до решения задачи № 920 («Математика», II класс): «В понедельник в школьной библиотеке побывало 75 человек, во вторник на 25 человек меньше, а в среду в два раза больше, чем во вторник. Сколько человек побывало в библиотеке в среду?»— полезно предложить ученикам решить две простые задачи:
1. В понедельник библиотеку посетило 40 человек, а во вторник на 8 человек меньше. Сколько человек побывало в библиотеке во вторник?
2. В понедельник библиотеку посетило 40 человек, а в среду в 2 раза больше. Сколько человек побывало в библиотеке в среду?
Решение приведенных простых задач поможет ученикам понять ход решения предложенной составной задачи и составить к задаче выражение: (75 —25)-2.
РЕШЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. ПЕРЕХОД ОТ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ К СОСТАВНЫМ
Когда первоклассники освоятся с простыми задачами — научатся выделять в них условие и вопрос, будут свободно выделять известные и неизвестные, приобретут первые навыки в решении, тогда наступает время постепенно включать в уроки решение простых задач с продолжением. Например: «Мальчик
сорвал 8 слив. 3 сливы он отдал сестре. Сколько слив осталось у мальчика?» После решения этой задачи учитель продолжает задачу: «Затем мальчик поднял упавшие сливы. Сколько слив оказалось у мальчика, когда он поднял 2 сливЬ1?»
За решением второй задачи можно сформулировать из двух задач одну составную. Первые составные задачи лучше формулировать так, чтобы последовательность действий выступала перед учениками достаточно ясно. Приведенные две задачи можно объединить в составную так: «Мальчик сорвал 8 слив. 3 сливы он отдал сестре, а затем поднял еще две упавшие сливы. Сколько слив после этого оказалось у мальчика?»
Решение этой задачщ-полезно записать сначала на доске, а затем в тетрадях:
1) 8-3 = 5 (сл.)
2) 5+2 = 7 (сл.).
Эту же задачу можно предложить ученикам в иной формулировке: «Мальчик сорвал 8 слив и поднял упавшие 2 сливы. Из этих слив он отдал сестре 3 сливы. Сколько слив осталось у. мальчика?»
Краткая запись этой задачи: 8 сл., 2 сл., 3 сл.
Решение этой задачи:
1)' 8+2=10 (сл.)
2) 10-3=7 (сл.).
Решения первой и второй задачи ученики сопоставят и укажут, в чем сходство и различие.
Следующую задачу, например, такого вида: «У Маши было две монеты: одна 15 коп., а другая 3 коп. Сколько копеек было у девочки?»— следует попросить детей продолжить самим. При этом можно указать им сюжет, сказав, что девочка что-то купила. После обсуждения нескольких предложенных детьми задач учитель выберет одну наиболее удачную и предложит детям записать ее решение.
Рекомендуется предлагать детям из двух простых задач составить одну составную. Например: 1) К обеду подали 4 огурца свежих и 6 соленых. Сколько огурцов подано к обеду? и 2) К обеду подано 10 огурцов. Из них за обедом 8 огурцов съели. Сколько огурцов осталось?
Дети после устного решения этих задач увидят, что ответ первой задачи выступает данным во второй задаче (а если они этого не увидят, то учитель обратит на это их внимание). Затем обе задачи коллективными усилиями учеников под руководством учителя преобразуются в одну составную. Полученную составную задачу («К обеду подали 4 свежих огурца и 6 соленых. За обедом съели 8 огурцов. Сколько огурцов осталось?») ученики решают устно и записывают решение.
Несколько преобразований простых задач в составную различными способами подготовят детей к тому, чтобы понять и решить ее. Преобразование простых задач в составные следует перемежать с решением простых задач.
На первых порах ученикам следует предлагать составные задачи в два действия, причем в них должно содержаться не два, а три данных числа. В этом случае -дети легче выявляют, что задача решается двумя действиями и им проще установить порядок действий. Сюжет первых составных задач должен быть несложным, чтобы дети ясно могли представить, какие действия надо произвести при решении.
В качестве одной из первых составных задач можно предложить ученикам следующую:
«В гараже стояло 14 автомашин. Утром 10 машин уехало. К вечеру в гараж вернулось 7 машин. Сколько автомашин стало в гараже вечером?»
Записав кратко задачу, повторив ее и выделив в ней смысловые части (было 14, уехало 10, вернулось 7), учитель спросит учеников:
— Можно ли сразу узнать, сколько автомашин осталось в гараже вечером?
— Этого сразу узнать нельзя — в условии не сказано, сколько машин осталось после того, как уехало 10 автомашин.
— Можно ли узнать, сколько осталось машин в гараже после утреннего выезда?
— Можно, так как в задаче указано, сколько машин было в гараже и сколько из него уехало. (При затруднении детей учитель задаст им несколько дополнительных вопросов.)
— Каким действием узнаем, сколько машин осталось в гараже утром?
— Вычитанием: из 14 вычтем 10, получится 4. (Дети записывают: 14—10=4 (маш.).)
— А о чем еще сказано в задаче?
— К вечеру в гараж вернулось 7 автомашин.
— Что же нужно узнать?
— Сколько машин стало в гараже вечером; для этого надо сложить 4 и 7. (Ученики записывают и. вычисляют: 4-|-7=. = 11 (маш.).)
— Получили ли ответ на вопрос задачи?
— Получили.
— Повторите вопрос задачи и ответ на него.
Один из учеников делает это.
Задачи в два действия на сложение и вычитание по степени их сложности можно распределить на три группы:-
I группа — задачи с тремя данными, в которых промежуточное действие и действие, определенное вопросом задачи, отнесены к разным предметам: действия в таких задачах могут быть одинаковыми или различными (Коля сорвал 8 орехов, а
Надя сорвала 13 орехов, но 4 ореха у нее оказались плохими. Сколько хороших орехов сорвали Коля и Надя вместе?).
II г р у п п а задачи с двумя данными, а действия в промежуточном и в основном вопросе различны (В гараже стояли легковые и грузовые машины. Легковых было 12, а грузовых на 5 меньше. Сколько всего машин находилось в гараже?).
III группа — задачи с двумя данными и одинаковыми действиями в промежуточном и основном вопросе, причем оба действия относятся к одним и тем же предметам (В одной комнате 8 стульев, а в другой на 4 стула больше. Сколько стульев в двух комнатах?).
Соблюдая один из основных принципов дидактики—идти от простого к сложному, целесообразно в период знакомства учеников с решением составных задач придерживаться указанной выше последовательности перехода от первой по сложности группы задач ко второй, от нее к третьей. От решения задач в два действия на сложение и вычитание вскоре можно перейти к разбору и решению более сложных для понимания детей составных задач второй группы (с двумя данными и различными действиями). Для примера возьмем задачу: «У Коли 10 книг,|а у Миши на 3 книги меньше, чем у Коли.[Сколько книг у Коли и Миши вместе?
Записав задачу на доске и прочитав ее, учитель попросит детей выделить в ней смысловые части, а после этого подчеркнуть в тексте наиболее важные слова и числа (в приведенном тексте указанные выделения уже сделаны). При дальнейшем разборе условия ученики пояснят, какое значение имеют слова «меньше», «вместе» и к чему они относятся. Они устанавливают, что выражение «на 3 книги меньше» указывает на то, что 2 числа, к которым оно относится — 10 и 3, надо сравнить вычитанием. А слово «вместе» относится к числу книг у Коли и Миши, оно говорит об объединении, о сумме этих чисел.
Понимание смысла рассмотренных выражений позволит записать кратко задачу в виде:
К- — Ю кн. { р
М.— ?, на 3 кн. меньше/
Эту запись ученики прокомментируют так: «У Коли 10 книг; у Миши неизвестно, сколько книг, но у него на 3 книги меньше, чем у Коли. Фигурная скобка и знак вопроса указывают: нужно найти, сколько книг у мальчиков вместе,— это основной вопрос задачи.
— Можно ли сразу,— спрашивает учитель,— одним действием найти ответ на основной вопрос задачи?
— Нет, в условии не указано, сколько книг у Миши.
— Можно ли по данным задачи найти, сколько книг у Миши?
— Да, можно. Для этого из числа книг, которые были у Коли, надо вычесть 3 книги, так как у Миши на 3 книги меньше, чем у Коли.
Если ответы детей будут менее полными, чем приведенные в предполагаемой беседе, то уместны и дополнительные вопросы, которые позволят уточнить и дополнить первоначальные ответы учеников.
Продолжая беседу, учитель скажет:
— Итак, что узнаем в первом действии?
— Сколько книг у Миши.
— А что узнаем во втором действии?
— Сколько книг у двух мальчиков.
— Правильно! Петя, повтори первый вопрос и запиши действие. Ученик повторяет и записывает. Второй ученик формулирует второй вопрос и записывает к нему действие.
— Решена ли задача?
— Да, решена.
— Почему ты так думаешь?
— В задаче спрашивалось, сколько книг у Коли и Миши вместе, а мы нашли, что у двух мальчиков 17 книг.
В последующем задании учитель записывает краткое условие такой задачи:
М. — 7 кн. 1 ?
К. — ?, на 4 кн. больше J
и предлагает ученикам составить по этой записи новую задачу.
По вызову учителя 2—3 ученика формулируют условия составленных ими задач. Решают эти задачи ученики самостоятельно. Учитель включается в эту работу учеников лишь в случае обнаружения ошибки в решении задачи.
В дальнейшем ученикам следует предлагать для решения составные задачи с таким расчетом, чтобы условие одной из них по своей структуре и сложности было отлично от другой, т. е. чтобы виды задач чередовались, чем предупреждается шаблонный подход детей к решению задач. Выводы, сделанные по этому поводу Л. В. Занковым, основанные на многочисленных наблюдениях, неоспоримы. Он говорит: «Решение аналогичных задач в непосредственном их следовании друг за другом нельзя вводить в систему... Характер задач и их однообразие исключают работу мысли». («Новое в обучении арифметике в I классе». М., «Просвещение», 1964, с. 54, 55.)
Существует и другая точка зрения на то, как перейти от решения простых задач к составным. В соответствии с этой методической точкой зрения обучение начинают с рассмотрения простых задач на уменьшение (увеличение) числа на несколько единиц и нахождение суммы (разности). Хотя решение задач этого вида несколько труднее, чем задач первой группы, но, как говорят сторонники этого метода, на таких задачах
4 А. А. Свечников
49
«...ярко раскрывается отличие задачи составной от простой, здесь удобно вести разбор от главного вопроса к числовьпм данным, при этом сразу обна-
Q руживается то, что задачу
• нельзя решить одним действи-
Рис 17 ем» (Моро М. И. и др. Мате-
матика в I классе. М., «Просвещение», 1974, с. 196). В качестве примера можно привести задачу № 57 (учебник математики I класса, с. 89): «В первой коробке 6 карандашей, а во второй на 2 карандаша меньше. Сколько всего карандашей в коробках?»
«Рассказывая условие задачи, учитель показывает, сколько карандашей в первой коробке (6); показывает вторую закрытую коробку и говорит, что в ней на 2 карандаша меньше (рис. 17). Формулируя вопрос, учитель одну коробку придвигает к другой. Затем дети повторяют задачу по вопросам учителя, а учитель по ходу работы выполняет схематический рисунок на доске: «Что известно про первую коробку? (На рисунке первой коробки появляется число 6 к.) Известно ли, сколько карандашей было во второй коробке? (На второй коробке ставится вопросительный знак.) Что известно про карандаши во второй коробке? (Запись под рисунком: на 2 к. меньше.) О чем спрашивается в задаче? (Обе коробки объединяются фигурной скобкой, и под нею ставится вопросительный знак.) Когда рисунок готов, учащиеся повторяют по нему задачу, поясняя, что обозначает каждое число и какой вопрос задачи.
Далее ведется разбор, с помощью которого детей подводят к решению задачи: «Знаем ли мы, сколько карандашей в первой коробке? во второй? Можем ли сразу (одним действием) узнать, сколько всего карандашей в двух коробках? Почему нельзя? (Потому, что неизвестно, сколько карандашей было во второй коробке.) Можно ли сразу узнать, сколько карандашей во второй коробке? (Можно.) Что для этого нужно сделать? Почему? Что узнаем, если вычтем 2? (Сколько карандашей во второй коробке.) Что потом надо сделать, чтобы узнать, сколько карандашей в двух коробках вместе? (Сложить число карандашей первой и число карандашей второй коробок.) Ответим ли мы тогда на главный вопрос задачи? (Да.) Решение задачи записывают на доске и в тетрадях. Учитель объясняет
и показывает, как вести запись решения: что мы должны узнать сначала? Каким действием? (Запишем посредине строки 6—2.) Что мы узнавали потом? Каким действием? (Прибавили к полученному результату еще 6.) Запись: (6—2)+6. Вычислите, сколько карандашей в двух коробках, и скажите ответ:
(6—2)4-6=10 (к.)
Ответ можно подчеркнуть. По записи решения дети еще раз могут пояснить, что узнавали первым действием, что узнавал» вторым действием и какой ответ можно дать на вопрос задачи. Затем идет сопоставление простой и составной задачи». (Там же, с. 199.)
Этот второй подход к обучению решению составных задач нашел свое отражение в учебнике I класса. Однако, пользуясь этим учебником, вполне возможно, изменив порядок рассмотрения нескольких задач, идти при обучении и по тому пути, который рассмотрен первым. Преимущество первого пути в том, что переход от решения простых задач к составным идет с постепенным нарастанием трудностей, а особенности составных задач дети осознают постепенно в процессе их решения. Этот путь более приемлем для тех учеников, которые медленно овладевают приемами решения задач.
Успешному развитию математического мышления детей способствует поиск ими наиболее простого и короткого, иначе говоря, рационального способа решения задачи, особенно в том случае, когда задача не стандартная. Время от времени, когда ученики уже освоятся с решением задач в 2 действия на сложение и вычитание, такие задачи полезно предлагать детям, чередуя их с обычными. В качестве таких задач можно предложить следующие
1. У Коли было 13 листов бумаги и у Вити столько же. Коля сделал рисунки на 6 листах, а Витя на 4 листах. У кого из мальчиков осталось бумаги больше? 13 —6<13 —4. Эта задача вводная. Следующие за ней требуют от детей большого напряжения ума.
2. У Коли было 13 листов бумаги. Он израсходовал на рисунки 4 листа. У Вити было И листов бумаги. Он израсходовал тоже 4 листа бумаги. У кого из мальчиков осталось больше бумаги?
Решение: 13> 11 | 13 —4> 11—4
Ученики будут рассуждать примерно так: мальчики израсходовали одинаковое число листов, по у Коли бумаги было больше, значит, у пего бумаги осталось больше, чем у Вити.
3. У Даши было 15 тетрадей. Из них за четверть она исписала 8 тетрадей. У Наташи было 16 тетрадей. Она исписала за четверть 7 тетрадей. У какой девочки осталось больше тетрадей?
Решение: 1) 15-8=7; 2) 16-7=9; 7<9 и 15—8<16-7.
При объяснении дети скажут, что у Наташи было тетрадей больше, а израсходовала она меньше, поэтому у нее осталось тетрадей больше, чем у Даши. Это объяснение можно записать так:
15-8С16—7
Следующие задачи уже нельзя решить только рассуждением. Они требуют гычислений и сопоставления результатов вычислений.
4. У Наташи было 24 карандаша. За год она исписала 19 карандашей. У Лены было 16 карандашей. Она исписала 12 карандашей. У какой девочки осталось карандашей больше?
В этой задаче ученики произведут вычисления: 1) 24 — 19 = 5; 2) 16—12 = 4. Сравнив два полученных числа или две разности, они найдут: 24—19> 16—12, так как 5>4.
5. Дима исписал за год 23 тетради, и у него осталось 6 тетрадей. У Миши осталось 7 тетрадей, а исписал он 22 тетради. Кто из мальчиков купил за год больше тетрадей?
Решение: 1) 23+ 6 = 29 1 29=29> или 23+6=7+22. 2) — /У J
При необходимости учитель может сам составить аналогичные задачи и предложить их для решения ученикам.
Задачи, подобные приведенным, учат детей подходить к ним осмысленно, вырабатывают умение сравнивать математические выражения, развивают у них способность логически рассуждать.
§ 2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О РЕШЕНИИ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ
Решение составных задач для многих учеников представляет довольно сложный труд. Попытаемся разобраться, в чем трудность решения составной задачи для ученика. Для этого сравним решение текстовой задачи с решением упражнения вычислительного характера, например 284-2 — 375. В упражнении подобного характера ученик по символам сразу видит, в каком порядке надо выполнить операции и какими правилами надо воспользоваться при их выполнении. В этом упражнении математические знаки (символы) и известное ученику правило о порядке действий ясно указывают алгоритм, которым он должен воспользоваться при нахождении ответа. Иначе говоря, в приведенной записи упражнения и в изученных школьником правилах вполне определен процесс выполнения этого задания.
Иное дело в текстовой составной задаче. В ней описана некоторая жизненная ситуация, приведены числовые данные, находящиеся в определенной зависимости друг от друга, но нет прямого указания, какова эта зависимость между данными и искомым, не указано, какие действия и в каком порядке нужно произвести, т. е. алгоритм решения задачи не выражен в яв^ой форме. Только на основе анализа условия, после ряда рассуждений и умозаключений ученик самостоятельно должен установить алгоритм решения задачи. Иначе говоря, при решении составной задачи ученику нужно суметь выявить цепь простых задач, с помощью которых можно прийти к ответу на основной
вопрос и установить, каким действием можно решить эти простые задачи. Эта цепь простых задач, выраженная в виде плана и записи ряда действий, или в виде математического выражения, или в виде формулы, и будет служить алгоритмом решения задачи. Ученик должен найти его собственными силами. Самостоятельный поиск и разработка алгоритма решения задачи вызывает у школьника особое напряжение мысли, что н составляет для него большую сложность.
Обучение решению задач по сути дела сводится к тому, чтобы научить детей путем анализа условия задачи и вопроса составить алгоритм решения, указывающий, какие действия и в какой последовательности надо произвести, чтобы от данных условия, описанной в задаче ситуации и от вопроса прийти к искомому результату.
При поиске алгоритма решения задачи ученик может слепо совершать пробы до тех'пор, пока не получит правильного решения. Такой путь порочен — он совершается на авось.
В другом случае ученик, опираясь на свой опыт, подыскивает путем перебора из известных ему алгоритмов подходящий, по его мнению, к данной задаче. Этот прием более совершенный, но полностью рассчитан только на память. В этом случае ученик сопоставляет данную задачу с теми, решения которых сохранились в его памяти. Но так как все алгоритмы он перебрать не может, а, кроме того, большинство их ему неизвестно, то к искомому результату он сможет прийти лишь случайно, если данная задача похожа на недавно решенную им. Мысль ученика при таком решении задач безынициативна. Этот путь также далек от совершенства.
В третьем случае решение задачи ученик начинает со сбора информации. Он внимательно знакомится с условием задачи, выписывает и запоминает данные, выявляет вопрос задачи, вспоминает или отыскивает в справочнике (книге) признаки и свойства величин, входящих в проблемную ситуацию, описанную в условии (I этап).
Второй этап работы сводится к выяснению всевозможных зависимостей, которые существуют между данными и искомым, т. е. Между величинами, составляющими проблемную ситуацию. При этом он прикидывает, какие из известных ему признаков, свойств и взаимосвязей можно использовать при решении проблемы, поставленной в задаче. Иными словами, ученик анализирует условие и в целом проблемную ситуацию, описанную в данной задаче, отбирает ту информацию, которая необходима для решения, отбрасывая все несущественное.
Третий этап заключается в составлении плана, который определяет последовательный ход решения задачи.
На четвертом этапе ученик, используя найденный им план, производит соответствующие записи, выполняет вычисления и получает ответ. Дальше следует проверка решения.
Отсюда можно наметить следующий общий порядок работы при решении задач:
1 этап. Прочитать задачу. Запомнить все данные и вопрос задачи. Выяснить все непонятные слова и выражения.
II этап. Выделить в задаче смысловые части. Отметить наиболее важные слова, относящиеся к данным и искомому, в каждой смысловой части. Кратко записать задачу, сделать к ней чертеж.
III этап. Выяснить, можно ли найти искомое одним действием. Установить, какая существует зависимость между данными и искомым. Для составной задачи наметить последовательность простых задач, решение которых приведет к нахождению искомого, т. е. наметить план решения.
IV этап. Опираясь на составленный план, отыскать необходимые действия, мотивируя каждое из них. Произвести вычисления и получить ответ на вопрос задачи, или, руководствуясь планом, составить выражение и найти его числовое значение.
V этап. Проверить решение и ответ. Подумать, нет ли других, более рациональных способов решения.
Этот порядок при работе с задачей учитель должен всегда иметь в виду, обучая детей. Отдельные указания из этой схемы при решении конкретной задачи могут быть опущены. Требовать от учеников запоминания всей схемы ие нужно, но учить их действовать при решении задачи в соответствии с ней следует повседневно, в результате чего у детей выработается определенный навык в приемах рассмотрения и решения задач.
Наиболее важно в первый период обучения дать детям возможность сознательно и наиболее полно овладеть терминами, понятиями и умением выявлять связи (зависимости), которые используются в построении задач и при их решении. Обычно многие из этих понятий, элементарная терминология и простейшие зависимости между величинами раскрываются уже при знакомстве с простыми задачами, а затем постепенно совершенствуются и пополняются.
Совершенное знание терминологии, отчетливое представление цели описанного в задаче, и умение выявить -зависимость между величинами, включенными в условие, позволяют ученику отобрать из информации, которой он располагает, необходимую для решения именно данной, а не другой задачи.
Вторая, не менее важная ноль — научить школьника анализировать составную задачу. Рассматривая условие и вопрос составной задачи, так же как и простой, он учится выделять в ней смысловые части, в каждой из частей находить наиболее важные по значению слова и числа, устанавливать, какие величины входят в задачу и в какой зависимости находятся значения этих величин. Осмысливая предложенную ему задачу, ученик, опираясь на известные ему сведения, овладе
вает умением составлять последовательно из звеньев — простых задач — целую цепь решений. Причем важно подобрать и расположить все звенья так, чтобы полученная цепь была кратчайшей. Овладеть этим умением весьма сложно. Здесь не существует шаблона. Ученику нужно научиться рассуждать.
С целью разумной экономии времени и энергии полезно научить школьников использовать специальные приемы подхода к решению наиболее распространенных видов задач.
Третья цель, которую также нельзя забывать,— выработать у школьников привычку проверять решенную задачу. Контроль решения удобнее всего проводить путем составления и решения проверочной задачи. В краткой записи задачи зачеркнуть одно из данных и поставить на его место вопрос — это будет искомым, а вместо искомого основной задачи поставить ответ, полученный при решении. Затем по преобразованной краткой записи сформулировать задачу полностью и решить ее. Этот прием можно применять уже во II классе.
§ 3. РАБОТА С УСЛОВИЕМ СОСТАВНОЙ ЗАДАЧИ
Решение задачи всегда начинается знакомством с условием и вопросом к ней. Пока дети не научатся читать достаточно бегло, условие и вопрос к нему рассказывает или прочитывает учитель. Но когда дети овладели навыком беглого чтения, а к началу решения составных задач они этим навыком обычно владеют, тогда целесообразно предлагать читать задачу одному из учеников, а в некоторых случаях всем ученикам про себя. В процесс чтения входит не только произношение вслух или про себя слов текста, но и осмысливание содержания прочитанного так, чтобы после чтения передать содержание, не пропуская ни одного существенного элемента. При громком чтении задачи требуется, чтобы каждое слово произносилось правильно и отчетливо, логическое ударение и паузы были сделаны в тех местах, где это нужно, а все чтение было бы четким и выразительным.
Если в тексте задачи встречаются незнакомые детям слова или выражения, то рекомендуется разъяснять их до начала чтения. Это необходимо для того, чтобы прочитанный текст слушатели могли воспринимать целостно.
Чтобы научить детей читать задачи, учитель должен тренировать их в этом. При ознакомлении с задачей могут быть использованы разнообразные приемы:
1) читает или рассказывает учитель, а ученики слушают;
2) читает учитель, дети следят глазами по тексту учебника;
3) все дети читают про себя, а затем громко или один из них передает содержание задачи в виде связного рассказа своими словами;
4) один ученик, по вызову учителя, читает условие, а остальные следят по тексту учебника;
5) по указанию учителя один из учеников читает задачу громко, а другие воспринимают чтение на слух;
6) ученики читают задачу про себя (глазами); а затем по вопросам учителя объясняют, что означает каждое из данных задачи.
Задачи, предлагаемые ученикам в качестве домашнего задания, в большинстве случаев следует прочитывать на уроке одним из указанных приемов. При этом после чтения в краткой беседе учитель выясняет все непонятные для детей места. Чтобы проверить, как ученики поняли смысл прочитанной задачи, необходимо предложить им несколько вопросов по содержанию задачи, что позволит не только проверить степень понимания учениками содержания задачи, но и повторить задачу.
Вопросы по содержанию задачи следует формулировать различно. На первом этапе обучения их следует предлагать в более простой форме, например: «Сколько учеников пришло в класс? Сколько учеников отсутствовало?» Затем вопросы постепенно усложняют, например: «Что означает число 12 кг?» Этот вопрос уже требует развернутого ответа. В процессе занятий вопросы рекомендуется варьировать.
Повторять чтение текста задачи следует как можно реже, когда, например, при первом чтении текст ошибочно искажен. Детей полезно приучать запоминать содержание задачи после однократного чтения ее, чтобы не расходовать время на повторное чтение. Если условие задачи ученики поняли недостаточно хорошо, то задачу можно повторить по вопросам учителя, а затем в виде связного пересказа содержания ее повторяет один из учеников.
Приемы повторения содержания задачи следует разнообразить. Начав с наиболее простой..формы повторения — ответов
на вопросы, полезно постепенно приучать детей к полному и связному пересказу содержания своими словами. При повторении сложной задачи обычно используют ее краткую запись. Задачу, содержание которой несложно, можно предлагать повторять без записи данных.
Если'задачу предполагается рассматривать на уроке коллективно, то данные можно выписать на классной доске во время чтения задачи учителем или одним из учеников. Эта запись обычно используется при повторении задачи.
Обучая школьников кратко записывать задачу, полезно сначала выписать подряд все данные из условия в строку, а затем после разбора задачи переписать их в определенном порядке, в некоторых случаях в виде принятой схемы. Например, читая задачу № 337 (учебник математики I класса): «Брат принес 8 поленьев дров, сестра на 2 полена больше, чем брат, а отец столько, сколько брат и сестра вместе. Сколько поленьев дров
принес отец?», учитель выпишет: «8 п., 'больше на 2 п.». Повторив задачу и разобрав ее, можно сделать следующую краткую запись:
^Р-8 п. 1 Отец — ?
С. — ?, больше на 2 п. J
Такая запись'помогает детям понять смысл задачи и ее решение. Впоследствии промежуточную запись опускают. Так, решая задачу № 304 (учебник математики III класса): «Девочка читает книгу. Когда она прочитала в один день 14 страниц, а в другой день в 2 раза больше, ей осталось читать 54 страницы. Сколько всего страниц в книге?», после чтения и повторения содержания задачи, вызванный к доске ученик схематически запишет ее:
1 — 14 стр. I
II — ?, больше в 2 раза }• ?
Осталось 54 стр. J
Одновременно эту запись могут произвести в тетрадях все ученики.
Задача № 290 (там же): «В колхозе было две пасеки. Сод-' ной из них рассчитывали получить а килограммов меда, а с другой b килограммов. С первой получили столько, сколько предполагали, а со второй на 46 кг больше, чем предполагали. Сколько килограммов меда получили с двух пасек? Решить задачу при а=975, 6=640».
Прочитав задачу и передав ее содержание, вызванный ученик запишет:
,1-° I Ск. всего? I “=975 кг, II — 6+46 J I 6=640 кг
Обучая детей, как кратко записывать задачу, следует пояснить, что при краткой записи данные и искомое стараются расположить так, чтобы наиболее ясно выразить зависимость между ними. Поэтому следует связанные между собой данные ставить рядом, два значения одной и той же величины расположить друг под другом. Число, связанное с несколькими данными, поместить после этих данных и записать наиболее важные слова, выражающие зависимость между указанными данными и искомым.
Значительное внимание со стороны учителя требуется уделять краткой записи условия в виде таблицы. Таблицы, содержащие данные и вопрос задачи, позволяют ученику яснее представить, какие величины вошли в условие задачи, какие из них известны и какие неизвестны, и выделить те из них, которые изменяют свое значение (переменные), и те, которые сохраняют в данном случае значение неизменным (постоянные, или пара-
метры). Термины, указанные здесь, в начальных классах ученикам не сообщают.
Уже в I классе полезно рассмотреть с учениками, как усло-
вие задачи кратко записать в таблице и и понимать. Так, в учебнике математики I класса (№ 291, с. 139) приведена задача: «На полке стояло 9 книг. Сколько книг будет на полке, если поставят еще 2 книги? 4 книги? 5 книг? 9 книг? Запиши решение в таблице».
Ознакомив детей с условием этой за-
как эту запись читать
Было 9
Поставили 2
Стало
дачи, учитель попросит их повторить его, а затем обратит внимание на таблицу. Дети должны будут внимательно рассмот-
реть ее, прочитав слова и числа, внесенные в эту таблицу, а также заметить пустые клеточки в ней.
Таблицу нужно начертить на доске так, чтобы можно было ее продолжить, так как по условию задачи потребуется к ней добавить еще две графы. Затем учитель предложит ученикам прочитать по таблице первую строку: «Было 9»—и спросит: «Чего было 9?»—«Книг»,— ответит один из учеников. Дальше он прочитаеТ: «Поставили две», и, вероятно, добавит: «Две книги». А если не дополнит, то учитель спросит: «Что поставили?» Потом будет прочитана последняя строка: «Стало...». Учитель снова спросит: «Как понимать это слово?» Ученик
должен пояснить, что здесь нужно подсчитать и указать, сколько стало книг, когда к 9 поставили еще 2. Если он этого не поймет, то учитель, пользуясь наводящими вопросами, подведет ученика к этому заключению.
Дети сложат 9+2=11 и запишут результат в таблицу на
доске, а учитель попросит нескольких учеников пояснить все, что записано в таблице. Дети начертят эту таблицу в тетрадях, дополнив ее двумя графами.
Продолжая разбор задачи, нужно рассмотреть второй вопрос. При этом данные 9 и 4 учитель запишет в таблицу на доске, а дети — в таблицу в тетради и, выполнив действие, внесут в таблицу второй результат. Подобным образом работа
продолжается до окончательного решения задачи.
Решение задач с предварительной краткой записью условия в таблицу следует практиковать в I классе и на последующих занятиях. Но, чтобы не расходовать много времени на вычерчивание таблиц в тетрадях, можно ограничиваться записью только на классной доске.
После выполнения нескольких упражнений на решение задач с применением таблиц полезно предложить детям составить по записи в таблице задачу и решить ее. Можно предложить детям следующую таблицу:
Было 78
Продано 17
Осталось
При этом можно сказать детям, что было 78 тетрадей.
Свободную графу дети могут заполнить по своему усмотрению (две первые строки) и уже после этого составить вторую
задачу.
Подобные задания целесообразно предлагать детям и при дальнейшей работе.
Во II классе дети в начале года должны вспомнить, как записывать условие задачи в виде таблицы, а затем работа с таблицами будет усложнена: в таблицах будут применяться более отвлеченные понятия — цена, стоимость, количество. Особенно важно применение краткой записи условия задачи в таблице при нахождении четвертого пропорционального (тройное правило). К этому второклассников надо готовить постепенно. Уже в первой четверти с учениками II класса следует рассмотреть задачу № 273 (учебник математики II класса): «Кукла стоит 5 руб. Сколько стоят 3 такие куклы?»
Прочитав условие этой задачи при закрытых учебниках, учитель предложит ученикам ответить на вопросы: «Какая цена куклы? Какое количество кукол покупают? Известна ли стоимость кукол?»
Установив, что детям понятны термины «цена», «стоимость»,
«количество», учитель может предложить им открыть книгу на странице 46 и, рассмотрев таблицу к прочитанной задаче, дать
Цена (руб.) Количество (шт.) Стоимость (руб.)
5 3 ?
стои-
пере-
цена, Дети
задание: сформулировать условие, пользуясь словами мость, количество.
фразируют задачу примерно так:
«Цена куклы 5 руб. Количество
3 куклы. Найти стоимость 3 кукол».
Решая подобную задачу в следующий раз, например: «Для оклейки комнаты купили 8 кусков обоев по цене 89 коп. Сколько уплатили за обои?», уместно записать данные и искомое на
доске в таблицу. После разбора условия и решения задачи таблицу продолжить:
Можно предложить ученикам составить еще 2—3 задачи, используя данные из второй и следующих строк таблицы, причем в одной из задач употребить слова, указанные
Цена (коп.) Количество (кусков) Стоимость (руб. и коп.)
89 8 ?
90 8 7
? 8 . 4 руб. 64 коп.
в заголовке таблицы.
Выполнение нескольких упражнений такого вида должно предшествовать краткой записи условия задачи в виде таблицы на нахождение четвертого пропорционального (тройное правило).
Так, приступая к решению задачи № 492 (учебник математики II класса): «4 конверта стоят 28 коп. Сколько стоят 6 таких конвертов?», следует, после ознакомления детей с ус-
ловием, рассмотреть краткую запись условия в таблице: Рассматривая таблицу, нужно обратить внимание учеников на первую .графу и попросить объяснить: На что указывает слово «одинаковая»? К каким данным оно от- Цена Количество кои. СТОИМОСТЬ коп.
Одинаковая 4 6 28 коп. ?
носится?
Выяснив эти вопросы, ученики установят, что цена купленных в первый и во второй раз конвертов неизвестна, но она одинакова. Чтобы найти эту цену, в первой строке содержится достаточно данных, а узнав цену одного конверта, можно найти стоимость 6 конвертов.
При решении задач этого вида и в дальнейшем можно пользоваться таблицей для записи условия.
В III классе ученики будут пользоваться теми умениями, которые они приобрели ранее, и будут их расширять. Их нужно познакомить с таблицей, в заголовке которой будут стоять термины «время», «расстояние», «скорость». (Построение этой таблицы в принципе аналогично таблице, содержащей величины: цена, стоимость, количество.) Используя эти таблицы в III классе, полезно показать, что с изменением значенией одной из величин будет изменяться связанная с ней величина:
изменение цены вызывает изменение стоимости, изменение скорости изменяет пройденное расстояние и т. д.
В этом же классе применяется еще одна таблица, в которой показывается связь между длиной сторон, периметром и площадью прямоугольника. Например, «Найти неизвестные числа a, b, S для прямоугольников, у которых
Длина (см), а Ширина (см), Ь Площадь (кв, см), S
18 17 S
а 12 156
20 b S
В некоторых случаях задачу до краткой записи удобнее перефразировать. Пример: задача № 450 (учебник математики III класса)—«Скорость вертолета 320 км в час. Это в 4 раза больше скорости электропоезда и в 3 раза меньше скорости реактивного самолета. Найти скорость электропоезда и реактивного самолета».
При разборе задачи ученики установят, что электропоезд идет в 4 раза медленнее вертолета, а реактивный самолет летит в 3 раза быстрее вертолета. Записывая условие, ученики 60
воспользуются уже перефразированным условием и .запишут:
Вертолет — 320 км в час, Электропоезд в 4 раза меньше, |qeM 320 Самолет в 3 раза больше, /
При дальнейшем разборе задачи ученики выявят, какие данные указаны в условии и значение какого неизвестного требуется Отыскать. Затем им нужно установить, какие существуют зависимости между данными и неизвестным.
Решая задачи с помощью уравнений, в процессе анализа бывает полезно преобразовать формулировку задачи, введя в нее букву вместо искомой величины. Например, работая с задачей № 367 (учебник математики III класса): «Теплоход, двигаясь со скоростью 30 км в час, прошел путь между пристанями за 4 ч. На обратном пути он прошел то же расстояние за 5 ч. С какой скоростью шел теплоход на обратном пути?», можно в процессе разбора условия предложить ученикам перефразировать его, выразив искомую скорость теплохода неизвестным х. Тогда вторая часть задачи будет сформулирована следующим образом: «На обратном пути теплоход шел со скоростью х и прошел то же расстояние за 5 ч». При таком преобразовании условия явно выступает возможность одно и то же расстояние между пристанями записать первый раз 30-4 и второй раз х-5. Эти выражения равны, а поэтому могут служить правой и левой частями уравнения, что даст: 30-4 = х-5.
Во многих случаях, рассматривая условие задачи, целесообразно его упростить (преобразовать или трансформировать), освободив от некоторых превходящих в него элементов, что значительно облегчит решение. Для примера рассмотрим задачу № 646 (учебник математики III класса): «Строятся 3 шестнадцатиэтажных жилых дома. На каждом этаже будет по 20 квартир. Из всех квартир однокомнатных 270, двухкомнатных вдвое больше, остальные трехкомнатные. Сколько трехкомнатных квартир в этих домах?»
Анализируя эту задачу, ученики заметят, что в ней можно выделить две части: первая — строятся 3 дома по 16 этажей и на каждом этаже разместится 20 квартир. Следовательно, в этих домах всего квартир 20-16-3=960. Во второй части требуется найти, сколько будет трехкомнатных квартир, зная, что в строящихся домах 960 квартир, из которых 270 однокомнатных, а двухкомнатных в 2 раза больше, остальные — трехкомнатные, т. е.
Однокомнатных — 270 ]
Двухкомнатных — 270-2 ) Всего 960. Трехкомнатных — ? J
Подобная трансформация значительно упрощает условие задачи, а по сути дела .это начало решения. Запись решения в
окончательном виде должна включать и предварительные расчеты, т. е. в данном случае — все 5 действий:
1) 20-16; 2) 320-3; 3) 270-2; 4) 270+540; 5) 960-810.
Рассмотрим задачу № 716 (там же): «По плану завод должен выпускать по 84 швейные машины в день. Но рабочие повысили производительность труда и стали выпускать за 6 дней столько машин, сколько полагалось выпускать по плану за 10 дней. Сколько швейных машин выпустит завод за год, если в году считать 302 рабочих дня?»
Анализируя приведенную задачу, третьеклассники заметят, что выпуск швейных машин по плану в день составляет 84, а за 10 дней по плану нужно выпустить 84-10=840 (машин). Следовательно, упрощая условие, задачу можно сформулировать так: «За 6 дней завод изготовляет 840 швейных машин. Сколько швейных машин выпустит завод за 302 рабочих дня?» Выражение для трансформированной задачи таково: 840:6-302, а для основной— 84-10:6-302. (Понятно, что ученики должны в окончательном решении давать решение основной, а не трансформированной задачи.) Снова подчеркнем, что, упрощая условие, ученики уже приступают к решению предложенной задачи.
К трансформации задачи можно прибегать и на более раннем этапе. Так, во II классе, рассматривая задачу № 1119 (учебник математики II класса): «Для детского сада купили 15 мячей; из них 7 красных, по 50 коп. за штуку, а остальные черные, по 30 коп. за штуку. Сколько стоили все эти мячи?», внимание второклассников следует обратить на то, что всего куплено 15 мячей, из которых 7 красных, а остальные черные, причем число черных мячей неизвестно. Из этого наблюдения дети сделают заключение, что куплено 7 красных и 8 черных мячей. Цена красных 50 коп., а цена черных 30 коп. Отсюда найдем общую стоимость купленных мячей. Таким образом, преобразованная задача становится для детей значительно проще.
Такая работа с задачей всегда выступает как начало решения синтетическим путем, т. е. от данных к искомому, причем в этом случае ученики не теряют из виду решение задачи в целом. Здесь частичное решение — решение одного из звеньев составной задачи — в сознании учеников не вырывается из целой (основной) задачи, а выступает как необходимая составная часть ее. Этим и ценен прием упрощения задачи при ее трансформации. Он не позволяет ученикам оторваться от решения основной задачи и стать на путь простого перебора всевозможных операций с данными задачи. Однако, показав на нескольких упражнениях этот прием поиска решения задачи, важно не навязывать его детям, а подтолкнуть их к тому, чтобы они сами искали пути наиболее простого подхода к решению задачи.
Большую помощь при решении задач оказывает графическая иллюстрация. Об иллюстрациях простых задач сказано
выше. Не меньшую роль играет иллюстрация и при решении составных задач. Многие из задач в учебниках математики иллюстрированы. Много и других задач из тех же учебников смогут иллюстрировать сами ученики. Учитель должен показать им, как это делать.
Для начала целесообразно рассмотреть составную задачу с данной в учебнике иллюстрацией, например задачу№88 (учебник математики II класса): «От куска ленты девочка отрезала 6 дм. и еще 7 дм. После этого у нее осталось 9 дм. Какой длины был кусок ленты?» (рис. 18).
После чтения задачи внимание детей обращают на рисунок.
Учитель, помогая им, рас-
сматривать рисунок, спросит: «Какой кусок ленты самый короткий? Какой — самый длинный? Какой кусок отрезала девочка вначале? (Самый короткий.) Какой — во второй раз? Какой кусок ленты остался? Разобрав эти вопросы, можно предложить детям кратко записать задачу с помощьр иллюстрации, на которой проставить данные из условия. Детям полезно сказать, что куски ленты они могут рисовать в виде отрезков. Запись условия будет выглядеть так (рис. J9). Сделанный разбор условия задачи и рисунок к ней значительно облегчат детям понимание смысла ее.
Решая задачу № 34 (с. 28 учебник математики II класса), полезно предложить ученикам изобразить данные числа из условия задачи с помощью отрезков: «К празднику второклассники сделали 52 красных флажка и 36 голубых. 26 флажков они подарили первоклассникам. Сколько флажков у них осталось?» Детям следует подсказать, что все сделанные учениками флажки можно изобразить в виде одного отрезка, разделенного на 2 части. Большая часть этого отрезка будет изображать красные флажки, под ней надо поставить число52, а другая часть, меньшая — это голубые флажки. Над этим отрезком также поставим нужное число. «Подумайте,— скажет учитель,— как из всех флажков выделить флажки, которые отданы первоклассникам. Выделите из двух объединенных отрезков один небольшой отрезок, который будет изображать флажки, отданные первоклассникам». Выделение детьми флаж-
ков в разных частях чертежа натолкнет их на разные способы решения задачи (рис. 20).
Особенно важно сопровождать чертежом задачи на движение, хотя и для многих других задач чертеж хорошо помогает ребенку осмыслить содержание ее и даже зависимости между величинами, о
которых говорится в задаче. При решении задач с геометрическим содержанием настоятельно рекомендуется обращаться к чертежам.
Чертеж к задаче следует выполнять быстро, поэтому он должен быть, схематичным. Кроме того, важно, чтобы чертеж наиболее ясно раскрывал суть задачи, поэтому его выполняют обычно после того, как условие задачи усвоено и рассмотрено.
Изображая отрезком или прямоугольником то или иное число, рекомендуется придерживаться масштаба, если не точно, то хотя бы приблизительно. Например, если одно число боль-
ше другого, то и соответствующие им отрезки на чертеже должны быть один больше другого. Графическая иллюстрация задачи — одно из важных и мощных средств осознания математической сущности задачи. Для подтверждения этой мысли рассмотрим решение следующей задачи: «В поселке на трех улицах всего 96 домов. На первой и второй улицах 62 дома, а на второй и третьей вместе 66 домов. Сколько домов иа второй улице?» Эта задача решается довольно просто. Так как всего 96 домов, а иа первой и второй улицах вместе 62 дома, то на третьей улице 96 — 62 = 34 (дома). Известно, что на второй и третьей улицах вместе 66 домов, следовательно, на второй улице 66 — 34 = 32 (дома). Но, чтобы прийти к этому решению, необходимо внимательно рассмотреть и запомнить, что выражают числа 62 и 66. Многие из учеников не могут себе представить,
суммы каких чисел здесь сопоставляются, и поэтому, если ре-
Рис. 21
шение не подкреплено иллюстрацией, не могут понять даже выполненного решения. Если же, рассматривая эту задачу, ученики сделают, к ней иллюстрацию, то она сразу становится понятной для каждого ученика (рис. 21). Пользуясь иллюстрацией, ученики самостоятельно укажут три различных способа решения данной
задачи:
1) 66-(96-62) =32 (дома)
2) 62-(96-66) =32 (дома)
3) 62+ 66-96 =32 (дома).
Эффективность обучения детей при работе с составной задачей и способами решения значительно повышается, если учитель использует творческие формы занятий. Уже в первом полугодии обучения, когда дети имеют дело с простыми задачами, им следует предлагать задания, содержащие элемент творчества. В дальнейшем процессе обучения эти задания постепенно усложняются."
Приведем примерную систему работы с условием задачи.
I КЛАСС
Задание
1. Изменить в задаче вопрос.
Задача. На верхней полке стояло 8 книг, а иа нижней — 6 книг. На сколько книг на нижней полке стояло меньше, чем на верхней?
2. К данному условию задачи составить вопрос.
Условие. К завтраку подали 6 огурцов, а затем еще 3 огурца.
3. В условие задачи вставить недостающие данные.
Задача, а) На одном кусте цвело 5 роз, а на другом иа несколько роз больше. Сколько роз цвело на втором кусте?
б) Задача. Мама дала Маше □ коп Маша купила книгу и за» платила за нее □ коп. Сколько денег осталось у Маши?
4. По вопросу н данным числам составить условие.
Вопрос. Сколько всего тетрадей купила Юля?
В клетку 4 тетради, в линейку 6.
5. По краткой записи условия составить задачу.
Условие: 18 яблок, 4 яблока.
II КЛ
6. Составить задачу, похожую на решенную по выражению. Коля прополол 5 грядок, а Маша на 2 грядки больше, чем Коля. Сколько . грядок прополола Маша?
5+2=7
Образец выполнения
Условие то же.
Вопрос. Сколько всего книг стояло на двух полках?
Вопрос. Сколько всего огурцов подали к завтраку?
На одном кусте цвело 5 роз, а на другом на 4 розы больше. Сколько роз цвело иа втором кусте?
Мама дала Маше 40 коп. Маша купила книгу и заплатила за нее 36 коп. Сколько денег осталось у Маши?
t
Задача. Юля купила 4 тетради в клетку и 6 тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купила девочка?
Задача. Мама сорвала 18 яблок. Из них 4 яблока оказались плохими. Сколько хороших яблок сорвала мама?
АСС
Маша прополола 7 грядок, а Коля прополол на 2 грядки меньше Маши. Сколько грядок прополол Коля.
7. По данному числовому выражению составить текстовую задачу.
19—17=
8. Составить задачу, обратную данной.
Задача. Цена блокнота 16 коп. Для новогодних подарков надо купить 3 блокнота. Сколько стоят эти блокноты?
9. Уточнить условие с лишними данными.
На огороде 20 грядок. Для поливки на каждую грядку надо 3 ведра воды. Сколько ведер воды надо принести, чтобы полить 16 грядок?
10. Подобрать к условию с недостающими данными необходимые числа. Дети катались иа лыжах с горы. Из них несколько человек ушло кататься в лес. На горе осталось 15 человек. Сколько человек ушло кататься в лес?
В классе учатся 19 детей. Сегодня пришли 17 учеников. Сколько учеников отсутствует?
За блокноты уплатили 48 коп.
Сколько купили блокнотов, если цена блокнота 16 коп.?
Надо полить 16 грядок. На каждую грядку для поливки требуется 3 ведра воды. Сколько ведер воды надо принести, чтобы полить эти грядки?
С горы на лыжах каталось 26 детей. Из них несколько человек ушло кататься в лес, а на горе осталось 15 ребят. Сколько человек ушло кататься в лес?
В период перехода от простой задачи к составной и при решении составных задач творческие формы работы с задачей расширяются. Помимо указанных заданий, следует практиковать и такие:
I КЛАСС
Задание
1. Продолжить задачу, превратив ее из простой в составную.
Задача. Дети собирали грибы. Ваня сорвал 12 грибов, а Петя 8. Сколько грибов сорвали дети?
2. Из двух простых задач составить одну составную.
1) На катке каталось 12 мальчиков и 15 девочек. Сколько детей каталось на катке?
2) На катке каталось 27 человек. Из иих 16 человек ушлн на занятия кружка. Сколько человек осталось кататься?
3. Изменив вопрос к задаче, превратить ее из простой в составную.
Задача. Андрей сорвал с дерева 10 груш, а Юра на 3 груши меньше. Сколько груш сорвал Юра?
Образец выполнения
Дети собирали грибы. Ваня сорвал 12 грибов, а Петя 8. 4 гриба оказались плохими. Сколько хороших грибов сорвали дети?
На катке каталось 12 мальчиков и 15 девочек. Затем 16 человек ушли на занятия кружка. Сколько детей осталось кататься?
Андрей сорвал с дерева 10 груш, а Юра иа 3 груши меньше. Сколько всего груш сорвали два мальчика?
II КЛАСС
4. Составить задачу по краткой записи.
Тетрадь 2 коп. ' 1 ?
Блокнот дороже на 13 коп./
Мальчик уплатил за тетрадь 2 коп., а за блокнот на 13 коп. больше. Сколько всего уплатил он за тетрадь и блокнот?
5. Составить задачу по таблице
Грузоподъемность Число рейсов Груз
Одинаковая 3 ? 12 ящ. 16 ящ.
На автомашине за 3 рейса перевезли 12 ящиков с грузом. За сколько рейсов можно привезти 16 таких же ящиков, если грузоподъемность машины одна и та же?
6. Составить задачу по числовому выражению:
36-2+3
7. Составить задачу по уравнению:
4-9=3-х
В двух первых классах учится по 36 учеников, а во вторых классах учится на 3 человека больше. Сколько учеников во вторых классах?
Отправляясь на экскурсию, ученики построились по 4 человека в ряд, а рядов было 9. На обратном пути они шли по 3 человека в ряду. Во сколько рядов построились ученики на обратном пути?
III КЛАСС
8. К условию составной задачи с буквенными данными подобрать числовые данные и вставить их в условие.
Задача. Надо перевезти а мешков картофеля по b килограммов в каждом. Сколько потребуется машин, если на каждую грузить по с килограммов?
9. Данную составную задачу усложнить, включив в нее еще одно действие, изменив вопрос задачи или добавив одно данное.
Задача. За перевозку 1 т груза иа 1 км платят 20 коп. и за простой автомашины под погрузкой и разгрузкой 2 руб. в час. Сколько надо заплатить за перевозку 4 т груза на 12 км, если погрузку и разгрузку произведут за 1 ч?
10. По чертежу с проставленными числами составить задачу (рис. 22),
Надо перевезти 250 мешков картофеля, по 60 кг в каждом мешке. Сколько потребуется автомашин для перевозки этого картофеля, если на одну машину грузить 3 г?
За перевозку 1 г груза на 1 км платят 20 коп. и за простой под погрузкой и разгрузкой 2 руб. в час. Сколько надо заплатить за перевозку 4 т груза на 12 км, если погрузку и разгрузку произведут в течение 2 ч?
Рис. 22
Огород имеет форму прямоугольника. Одна сторона его 34 м, а другая на 6 м короче. Найти длину ограды вокруг этого участка.
11. Подобрать сюжет и составить задачу по данному уравнению:
х=6-3+12-2
Ученик купил 3 карандаша и 2 тетради для рисования. Цена карандаша 6 коп., а тетради—12 коп. Сколько уплатил ученик за всю покупку?
Примечание. Задания, предназначенные для младшего класса, могут предлагаться и в последующих классах.
Все указанные формы работы с условием задачи служат составной частью урока, а не выступают в виде самостоятельных уроков. Они, как правило, сопровождают решение той или иной задачи. Обычно на уроке после рассмотрения одного из указанных заданий ученики самостоятельно преобразуют предложенные задачи или составляют их, а затем решают.
§ 4. ОТ ИСКОМОГО К ДАННЫМ ИЛИ ОТ ДАННЫХ К ИСКОМОМУ?
В методике математики известны аналитический и синтетический приемы рассуждений при решении задач. Сравнительно не так давно появилось течение, сторонники которого утверждали, что при решении задач анализ и синтез нельзя разрывать, и поэтому оба приема предлагали объединить в аналитико-синтетический.
Прежде чем рассматривать эти приемы решения задач, рассмотрим смысл слов. Дословный перевод слов: анализ — разложение, разбор, исследование путем разложения на составные части; синтез — составление, восхождение от частного и простого к общему и сложному. Оба термина широко распространены в логике и философии. В этих науках под анализом и синтезом понимают формы мышления. При анализе некоторое понятие разлагается на существенные составные части. При синтезе происходит объединение общей идеей отдельных элементов в одно целое. Синтез позволяет вывести из отдельных связанных простых утверждений новые, более общие положения. Диалектический материализм рассматривает анализ и синтез как неразрывное единство. При обучении мыслительная деятельность школьника постепенно развивается от анализа, входящего в непосредственное действенное восприятие, к анализу явлений с возрастающим привлечением накопленных знаний, т. е. чувственный анализ переходит в анализ суждений. Аналитическое мышление ученика из элементарного анализа предметов и явлений на первых этапах обучения постепенно перерастает в глубокий и всесторонний анализ их.
Анализ приводит к синтезу. Синтез совершенствует анализ. На отдельных этапах обучения у школьников может преобладать то анализ, то синтез.
Основываясь на этих понятиях анализа и синтеза, построены аналитический и синтетический приемы решения задач. Однако их не следует смешивать с формой мышления. Нужно 68
понимать, что по. сути дела названия «аналитический», «синтетический» и «аналитико-синтетический» метод, чисто условно присвоены определенным приемам решения задач. Даже если ученик отлично овладел указанными приемами решения задач, это еще не означает, что он хорошо владеет философскими формами мышления — анализом и синтезом. И все же сознательное применение учеником указанных выше приемов решения задач поможет ему более правильно подходить к выбору пути решения проблемы или задачи, а вместе с этим они (эти приемы) послужат некоторой первоначальной основой для овладения диалектическими формами мышления.
Чтобы избежать указанных выше условных названий, которые дают повод отождествлять частные приемы рассуждений с философскими понятиями, но не помогают уяснению существа дела, по предложению Н. С. Поповой в настоящее время принята иная терминология, а именно:
1) разбор задачи от числовых данных к искомому;
2) разбор задачи от искомого к данным.
Чтобы ознакомиться с указанными приемами решения задач, рассмотрим следующую задачу: «Столовой отпущено на 7 дней 78 кг муки. В первые 5 дней расходовали по 12 кг в день. По скольку килограммов муки надо расходовать в каждый из двух оставшихся дней, если расходовать поровну?»
Прочитав задачу, ученики записывают ее условие:
78 кг J 5О дн- по I2 ( 2 дн. по ?
По этой записи ученики повторяют задачу, чтобы осмыслить связь между данными. При повторении условия важно, чтобы дети увидели, что муку расходовали в два приема: в первые 5 дней по 12 кг, а оставшуюся распределили поровну на 2дня. Из условия можно установить, что непосредственно связаны между собой 2 числа: 12 кг и 5 дней, поэтому при решении задачи ученики выбирают из условия указанные 2 числа, устанавливают, какая между ними существует зависимость (в день расходовали 12 кг, а таких дней 5), указывают, каким действием нужно найти ответ на этот промежуточный вопрос, и производят действие: 12-5 = 60 (кг). Затем из условия задачи и полученного результата (60 кг) ученики вновь выбирают ца-ру взаимосвязанных чисел (78 кг муки было, а израсходовали за 5 дн. 60 кг), устанавливают зависимость между ними, формулируют вопрос, указывают действие и производят вычисление (78—60=18 (кг)).
На следующем этапе ученики, используя данные условия и полученные ими результаты вычислений, рассуждают: «Муки осталось 18 кг, и ее надо распределить поровну на оставшиеся 2 дня, следовательно, можно найти, сколько муки расходовали в каждый из оставшихся дней». Так как 18 кг надо распреде
лить поровну на 2 дня, то нужно произвести деление. Ученики записывают и вычисляют (18:2=9 (кг)).
На вопрос учителя «Что нашли, выполнив это действие?» ученики ответят: «В каждый из оставшихся 2 дней расходовали по 9 кг муки».
— А что требовалось узнать в задаче?
— В задаче требовалось найти ответ именно на этот вопрос.
— Решена ли задача?
—i Да! Решена: мы нашли ответ иа вопрос задачи;—9 кг муки расходовали в каждый из оставшихся дней.
Полезно после решения провести проверку, составив и решив новую задачу, например такую: «В первые 5 дней недели в столовой расходовали по 12 кг муки, а в следующие 2 дня по 9 кг. Сколько муки израсходовали за неделю?»
Решение составленной задачи удобно записать в виде выражения 12-5-J-9-2 и найти его значение 12-5-4-9-2=78.
Из приведенного описания видно, что сущность приема решения задачи от данных к искомому (синтетического способа) состоит в следующем: после разбора (анализа) задачи и выяснения связей между данными и искомым из условия выбирают пару непосредственно связанных величин, устанавливают зависимость их, формулируют простую задачу и решают ее. Затем результат этого решения и условие основной задачи вновь рассматривают, выбирают другую пару связанных величин и с ними составляют вторую простую задачу и решают ее. Так продолжают до тех пор, пока вопрос новой простой задачи не будет совпадать с основным вопросом первоначальной задачи. Решение последней простой задачи даст окончательный ответ.
Схематически ход решения предложенной задачи можно представить в следующем виде (рис. 23):
А схема задачи, составленной для проверки, будет такова (рис. 24):
Рис. 23 Рис. 24
Рассмотренный путь решения задач по своей кажущейся простоте и целесообразной последовательности привлекает многих учителей. Для учеников же довольно часто этот прием содед-z 70
жит много скрытых неудач. Ученик легко включает в решение вопросы и действия, которые к решению не относятся, а только осложняют и запутывают решение. Особенно часто такое усложнение решения проявляется в задачах с избыточными данными. Учитывая эту особенность, следует время от времени давать ученикам для решения задачи с избыточными данными. Случается, что ученик использовал все или почти все данные из условия, а ответа на основной вопрос задачи все жене получил. При поиске решения задачи от данных к искомому все зависит от правильного выбора значений пары величин. Но выбор этой пары и постановка вопроса к действию в значительной степени содержат элемент произвола. Вот почему указанный прием решения не позволяет убедиться в правильности хода действий до тех пор, пока не будет получен и проверен ответ.
Желая упорядочить ход решения задачи этим приемом, рекомендуется после очередного выбора пары чисел и выбора действия с ними ставить вопрос: «А для чего это нужно?» Выяснение этого вопроса позволит ученику увидеть некоторую, хотя бы ближайшую перспективу в направлении хода решения задачи, что весьма важно. Однако этот подсобный шаг не дает полной перспективы всего хода решения.
Другое дело — разбор задачи от искомого к данным (аналитический подход). После основательного знакомства с содержанием задачи и краткой записи ее, внимание учеников сосредоточивается на основном вопросе. Им предлагается сказать: «Что нужно знать, чтобы дать ответ на вопрос задачи?» Ученики еще раз рассматривают все данные задачи и находят: «Чтобы узнать, сколько муки нужно расходовать в каждый из оставшихся дней, требуется знать, сколько останется муки на определенное число дней. Число дней в условии указано — 2 дня, а сколько муки останется на эти 2 дня, неизвестно — это надо найти».
— Что необходимо знать, чтобы найти, сколько муки останется на 2 дня?
— Для этого надо знать количество муки, что из условия известно, и сколько муки израсходовали за первые 5 дней.
— А что требуется знать, чтобы сказать, сколько муки израсходовали за первые 5 дней?
— Для этого необходимо знать, сколько муки расходовали в день (это известно — 12 кг) и сколько дней расходовали, что тоже известно (5 дней).
Анализ закончен. Ученики переходят к составлению плана решения. При этом рассуждения ведут в направлении, обратном рассуждениям при анализе, т. е. синтетически (вот почему этот метод называют аналитико-синтетическим).
Обратный путь таков: из условия задачи известно, что в терние 5 дней расходовали ежедневно по 12 кг муки, значит,
можно найти общий расход муки за 5 дней; всего муки было 78 кг, а за 5 дней израсходовали (12-5) кг; из этой пары чисел можно найти число килограммов оставшейся муки. Зная остаток муки и число дней, на которое надо распределить этот остаток муки, узнаем ответ на основной (главный) вопрос задачи, т. е.
1) 12-5 = 60 (кг)
2) 78-12-5 или 78 — 60=18 (кг)
3) (78-12-5) :2 или 18 : 2 = 9 (кг).
Особенность разбора и решения задачи от искомого к данным (от основного вопроса) состоит в том, что ученик, отправляясь от основного вопроса задачи, идет к исходным данным условия прокладывая путь в обратном направлении.
Рассмотренный прием логически строг, в нем каждый шаг обоснован, и поэтому произвольный подбор действий полностью исключен. Однако путь решения задачи от искомого к данным утомителен, особенно если задача имеет больше трех действий: ведь ученик должен найти, запомнить и держать в памяти весь план решения, причем последовательность намеченного хода решения на втором этапе нужно преобразовать — перевернуть с головы на ноги. Если же сопровождать решение составлением и записью схемы, что разгрузит память, то на эту работу уйдет много времени. Кроме того, не всякая задача может быть решена этим приемом.
Сопоставляя два разобранных приема решения задач, нужно еще раз подчеркнуть, что подход от искомого к данным представляет логически стройную цепь умозаключений, органически связанных между собой, вытекающих одно из другого. Эта причинно-обусловленная последовательность рассуждений помогает выбрать правильный ход решения задачи. Но этот ход рассуждений для ученика II—III класса еще не привычен, сложен и не всегда достаточно ясен. В этом трудность применения рассматриваемого приема.
Путь решения от данных к искомому значительно примитивнее, чем обратный ему. Пользуясь этим приемом, ученик задается вопросом, что можно узнать по данным задачи, и на первых порах даже не пытается осмыслить, а нужно ли это действие для решения, что довольно часто приводит ученика на ложный путь. Меньшее напряжение мышления при этом подходе к решению задачи, облегчение в рассуждениях отрицательно сказываются на обеспечении надежности решения.
Учитель, рассматривая вопрос о преимуществе того или иного приема решения, должен исходить из принципов дидактики. Как известно, эти принципы включают в себя следующие положения: обучая идти от легкого к трудному, от известного к неизвестному и второе — обеспечить при обучении такое умственное напряжение ребенка, чтобы его мысль, работая, постоянно развивалась.
К решению посредством разбора задачи от искомого к данному детей следует вести постепенно. Само собой разумеется, что этот прием при решении простых задач не применяется. В простой задаче только два данных и один вопрос. Но это не означает, что при решении простой задачи нет элементов анализа как формы мышления. Уже на первых этапах работы после ознакомления с задачей и ее элементами ученикам полезно, как это уже говорилось раньше, провести анализ условия, а именно установить, что дано, что требуется узнать, указать смысловые части задачи и выяснить, в какой зависимости друг от друга находятся данные и искомое. А решив задачу, иногда полезно проследить, как изменится результат, если одно из данных чисел изменить. Приведенные элементы анализа приучат детей выискивать взаимосвязи, устанавливать причинно-следственные отношения в любой жизненной ситуации, особенно в том случае, когда она становится предметом задачи.
Эти первые шаги к постижению аналитико-синтетического подхода к явлениям и проблемам постепенно будут в сознании детей утверждаться и развиваться.
При переходе к решению составных задач роль анализа значительно возрастает — он становится более сложным и разносторонним. Учитель при этом не должен забывать о необходимости развивать у детей способности к логическому мышлению и вести их от частного к общему.
При решении задач рекомендуется подбирать их так, чтобы легкая задача предшествовала сложной, но в то же время содержала некоторый ключ к решению сложной задачи. Задачу несложную с «прозрачным» ходом решения целесообразно рассматривать приемом от данных к искомому, используя при этом некоторые элементы анализа и при разборе условия, и при выяснении зависимостей между величинами, и при выборе пары чисел для очередного действия. При этом всегда надо рассматривать, для чего нужно выбранное действие, к чему оно приведет.
В тех же случаях, когда путь от данных к искомому может привести к ошибочному решению, когда перспектива продвижения к решению основного вопроса не совсем ясна, целесообразнее пойти по пути от искомого к данным.
Для первого знакомства с решением задач от искомого к данным удобно выбрать задачу в два действия, например № 451 (учебник математики II класса): «Отец купил дочери на платье Л3 м материи | ценой по 4 руб. |и у него еще осталось 38 руб. |. Сколько денег было у отца?» Ученики, ознакомившись с задачей, выделяют в ней смысловые части и кратко записывают:
3 м по 4 руб.
, Осталось 38 руб.
Учитель задает вопрос: «Можно ли эту задачу решить одним действием?» Установив, что этого сделать нельзя, обращает внимание учеников на основной вопрос задачи: «Сколько денег было у отца?»
— Что нужно знать, чтобы найти ответ на этот вопрос?
— Сколько денег отец израсходовал и сколько их у него осталось? (Из условия известно, что у отца осталось 38 руб.)
— Известно ли, сколько денег истратил отец?
— Нет. Но это можно найти из данных условия.
— Какие данные помогут узнать это?
— Отец купил 3 м материи ценой по 4 руб. за метр.
— Как же решить эту задачу?— переключает учитель мысль учеников на составление плана.
— Сначала узнаем, сколько денег уплатил отец за 3 м материи, для этого надо 4 руб. умножить на 3.
— Правильно. Узнав, сколько уплатил отец за материю, что нужно найти дальше?
— Нужно узнать, сколько денег было у отца. Для этого найдем сумму оставшихся у отца денег' и уплаченных им за материю.
Решение [1) 4-3=12 руб,; 2) 384-12 = 50 (руб.)] ученики могут выполнить самостоятельно.
Решение задачи еще раз следует разобрать и при этом выяснить, как дети объясняют действия, которые они выполняли.
Подобным образом рассматривают с учениками и решают еще несколько задач в два действия, а затем можно этот прием решения применить к более сложным задачам.
Вполне допустимо, что некоторые из задач, у которых первая часть решения довольно «прозрачна», ученики будут решать, не придерживаясь строго пути от искомого к данным, а совмещая и тот и другой приемы, т. е. начало задачи решат, продвигаясь от данных к искомому, а затем переходят на путь разбора от искомого к данным. Для примера рассмотрим следующую задачу: «Ученикам II класса купили сначала 54 тетради, а затем 39 тетрадей. Все тетради раздали ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик, если в классе было 18 девочек и 13 мальчиков?»
Ознакомившись с условием задачи, дети сразу скажут, что вначале следует узнать, сколько всего тетрадей куплено. Для этого необходимо сложить: 544-39=93 (тетр.). Дальше учитель предложит вспомнить основной вопрос задачи и спросит:
— Что надо знать, чтобы найти, сколько тетрадей получил каждый ученик?
— Надо знать число всех розданных тетрадей и число всех' учеников,— ответят дети.— Число всех тетрадей мы узнали в первом действии, а чтобы найти число всех учеников, надо сложить 18 и 13.
— Так, что нужно найти во втором действии?
— Сколько всего учеников в классе, если мальчиков было» 13, а девочек 18. Для этого сложим 184-13=31 (уч.).
— А что узнаем дальше?
— Сколько тетрадей получил каждый ученик? Для этого 98i 31 = 3 (тетр.).
Повторяя решение задачи, полезно провести весь анализ уже по выполненному решению. В задаче нужно было узнать, сколько тетрадей получил каждый ученик. Для этого надо знать, сколько было всех учеников и сколько было куплено всех тетрадей. Число всех купленных тетрадей можно узнать, сложив числа 54 и 39. А чтобы найти число всех учеников, следует к числу девочек прибавить число мальчиков.
Следующим этапом в освоении решения задач с использованием приема от искомого к данным будет решение составной задачи с полным устным разбором обратного хода решения (анализ), затем устное составление и запись плана решения (синтез) и выполнение всех действий для получения ответа на вопрос задачи. Проверяя решение задачи, полезно составить новую задачу, в условие которой ответ будет входить как данное, а одно из данных будет искомым. Например, для проверки рассмотренной задачи можно составить и решить следующую задачу: «Для класса, в котором было 18 девочек и 13 мальчиков, надо купить по 3 тетради каждому ученику. Купили 54 тетради. Сколько еще тетрадей надо купить?»
Решение этой и обратной задач полезно записать в виде выражения (18-}-13)-3—54 и найти его значение (184-13)-3 — -54=39.
В решении последующих задач при самостоятельной работе детей прием решения они выбирают сами. Навязывать им определенный путь решения не следует. Пусть они используют тот прием, который для них более доступен. Универсального подхода нет. Однако при разборе задач учитель не должен забывать, что путь решения задачи ученик найдет лишь тогда, когда в его рассуждениях анализ и синтез будут сопутствовать друг другу, т. е. когда, исходя из данных задачи, его мысль будет идти к искомому, а от искомого к данным, и наоборот. Только такой совмещенный ход мысли обусловливает правильный процесс решения задачи.
§ 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Требование, высказанное в программе математики, научить школьников I—III классов составлять и читать выражения, находить их значения, пользоваться ими и числовыми формулами при решении задач, вызвано рядом причин. Укажем основные из них.
1. Умение составить по условию задачи выражение и найти его числовое значение ускоряет процесс решения задачи, а это
f обучении детей позволяет более рационально использовать время. Применение выражений и формул позволяет сократить число решений задач с записью вопросов или плана, хотя и при этом способе план составляется и вопросы ставятся, но устно.
2. Составление выражения или формулы помогает ученику обобщить решение ряда сходных задач, что вырабатывает у него более глубокое и осознанное рассмотрение путей к решению.
3. Работа с математическими выражениями и формулами помогает развивать познавательные способности ученика, так как дает ему представление о более общем, понятии числа и действиях с числами. Используя формулы, можно записать свойства (законы) арифметических действий в общем виде, заменив длинные словесные формулировки символическими выражениями, что также позволяет беречь время.
4. Обращаясь к выражениям и формулам решения задач, ученик постепенно овладевает более общим алгебраическим методом решения с использованием уравнений.
Указанные мотивы говорят о целесообразности использования в начальных классах математических выражений и формул при решении задач с целью подготовки учеников к решению задач алгебраическим путем.
В предыдущих параграфах, рассматривая отдельные приемы решения задач, уже говорилось об использовании при этом математических выражений. В этом разделе наметим некоторую систему в работе с детьми по подготовке их к решению задач в общем виде.
Напомним, что следует понимать под математическим выражением и формулой. В математике принято несколько чисел, записанных цифрами или буквами, и соединенных какими-либо знаками действий, а также одно число называть выражением. Например, записи 2-х, 12, (4+3)-9-х представляют собой выражения. Два выражения, соединенные знаком равенства или неравенства, называются формулой. Для примера приведем несколько формул: х=2+13; 4>0; 5=/=6; S=a-b. Среди множества формул можно выделить подмножества, которые представляют собой равенства, например: 20=4+16; 19—х=12 и др. Среди различного рода равенств выделяют уравнения, т. е. равенства, содержащие одно или несколько неизвестных (х+3 = = 17—4; 3-х—7=14 и т. п.).
В I классе термин «математическое выражение» и понятие, которое вложено в его содержание, не рассматривают (это по программе отнесено на первую четверть II класса). Однако подготовительная работа по этому разделу ведется уже в этом классе. В первой четверти первоклассники знакомятся со знаками больше (>), меньше (<), равно ( = ) и с применением их в наиболее простых записях. Детям предлагают сравнивать значения выражений и результат сравнения записывать, например: 2>1; 1<2, 2=2 и т. д. , ч
При изучении сложения и вычитания в пределах первого десятка ученики должны находить значения простейших выражений вида 6 —5 = 0; 8 —3>П и им подобные, а затем сравнивать и более сложные выражения, как, например, 3+2 и 4+1 (3+2=4+!, 5=5), 2+3 и 5-1 и др.
Подобные сравнения дети должны воспринимать не только в окончательном виде, но и учиться рассматривать числовое значение каждого выражения отдельно, чтобы определить,' какой знак поставить между ними. Для этого им дают упражнения вида: 8 * 3+6; 8 * 3+5; 6 * 7— 1; 9—4 * 2+3 (вместо * поставить соответствующий знак сравнения: >, <, =). Упражнения такого характера со временем постепенно усложняются.
При изучении компонентов действий ученики должны не только различать слагаемые, сумму, уменьшаемое, вычитаемое и разность, но и уметь находить любой член суммы или разности, а также записать, как по названным слагаемым найти сумму и как по названным уменьшаемому и вычитаемому найти разйость. С этой целью им дают упражнения: «Найти сумму чисел 7 и 2», «Найти разность чисел 9 и 5» и т. п.
Ученики знакомятся с простейшими уравнениями. Пользуясь знанием зависимости между компонентами действий, они учатся решать эти уравнения. При этом ученикам полезно упражняться в переводе математических фраз на язык математики, например;
а) Записать: первое слагаемое 3, второе слагаемое неизвестно, сумма 9. Найти второе слагаемое.
б) Найти уменьшаемое, если разность 2, а вычитаемое 5.
в) Увеличить число 4 на 3 и найти это число.
г) Сколько будет, если число 8 уменьшить на 2?
д) Найти вычитаемое, если разность 4, а уменьшаемое 12. Все эти упражнения и им подобные вырабатывают у детей сознательный подход к решению задач составлением выражений и с применением уравнений.
К составлению выражения по данной составной задаче учеников I класса удобно подвести, рассматривая решение задачи «по ступенькам». Возьмем задачу № 96 (учебник математики I класса); «Октябрята заготовили для птиц 6 кг рябины и 4 кг семян липы. За зиму они израсходовали 9 кг корма. Сколько килограммов корма осталось?»
. При коллективном анализе задачи учитель посредством ряда направленных вопросов подводит учеников к тому, что одним действием задачу решить нельзя, так как, чтобы ответить на основной вопрос, надо знать, сколько всего корма было заготовлено, а это в условии не указано. Однако в нем сказано, что рябины заготовлено 6 кг и семян липы 4 кг. Сложив эти числа, можно узнать, сколько всего корма заготовили октябрята. В результате разбора задачи дети приходят к следующему заключению: в первом действии находим, сколько всего корма заготови
ли октябрята. Для этого надо узнать сумму числа килограммов заготовленных кормов, т. е. сложить 6-f-4.
Вторым действием находим, сколько килограммов корма осталось. Для этого из указанной суммы вычтем 9 кг, т. е. 6+4 — 9.
Вычисление даст ответ на основной вопрос задачи. Запись решения выглядит так;
1) 6+4
2) 6+4 — 9 Ответ: 1 кг.
Эту запись ученики должны уметь пояснить: 6+4 — первое действие, в котором узнаем, сколько всего корма заготовили октябрята.
Второе действие: 6+4—9. В нем от суммы килограммов заготовленного корма вычитаем израсходованный за зиму корм (9 кг) и находим ответ на вопрос задачи.
При такой форме записи результат действий и наименования не записывают. Числовое значение находят лишь для окончательного выражения. Это значение и дает ответ. Окончательное решение можно записать в виде уравнения:
х=6+4 —9; х=1. Ответ: 1 кг.
Параллельно упражнениям с несложными выражениями в I классе целесообразно проводить работу с задачей, которая ставит целью научить детей осознанно воспринимать содержание ее и правильно выбирать действие, вытекающее из описанного в задаче положения. Дело в том, что согласно исследованиям психолога Н. А. Менчинской дети довольно часто воспринимают описанную в задаче ситуацию отдельно от математической операции, которая следует из содержания задачи. Многие дети, выбирая по условию задачи математическую операцию, руководствуются не описанной в задаче жизненной ситуацией, а числовыми данными. Преодолеть это помогают упражнения, которые заключаются в том, чтобы по содержанию задачи, в которой не названы числа, указать действие, а затем, подобрав нужные числа, решить ее. Например, учитель читает задачу: «Наташа купила тетрадь и альбом. Сколько денег уплатила Наташа?»
Когда дети уяснят, что требуется узнать в задаче, учитель спросит: «Каким действием можно узнать, сколько денег уплатила Наташа?»
— Сложением.
— А что нужно сложить?
— Цену тетради и цену альбома.
— Указаны ли в задаче эти цены?
— Нет.
— Какие числа надо вставить в условие задачи?
— Дети называют цены альбома и тетради. Учитель читает задачу, дополненную числами, а ученики самостоятельно запи
сывают ее решение. Подобные задания очень полезно предлагать ученикам и в I и во II классах.
При повторении материала в начале года во II классе вводится термин «выражение» и подробно рассматривается, что под этим словом следует понимать. Здесь же находят числовые значения выражений уже более сложных, нежели в I классе. Второклассники записывают выражения и находят числовые значения в следующих упражнениях: «К сумме чисел 16 и 3 прибавить сумму чисел 5 и 3»; «Из суммы чисел 24 и 8 вычесть сумму чисел 8 и 2».
Дети должны отчетливо представлять, как записать сумму, как выразить разность. Они должны уметь переводить словесные выражения на язык математических символов.
С целью показать обобщенный характер числа, записанного буквой, и подвести детей к понятию о переменной, с второклассниками разбирают выражения вида а-\-Ь и а—Ь, в которых надо подставить вместо букв различные числовые значения, например:
а=8, 12, 13, ...; 6 = 6, 11, 7, ...
Ученики подставляют в данные выражения значения букв и находят числовые значения выражений. Упражнения такого характера готовят учеников к записи свойств действий в виде формул. После этого переместительное свойство сложения, а несколько позже и умножения, записанные формулами (а-[-Ь = —Ь-]-а и a-b = b-a), а также некоторые правила (0-6 = 0, 0 : а=0, а-1 = а и др.) станут совершенно ясными.
Упражнения в переводе математических выражений на язык математических символов и обратно предлагают второклассникам систематически. Многие из таких упражнений включены в учебник математики (№ 13, 14, с. 24; №19, 20, с. 58 и др.). Для образца рассмотрим № 14 (2): «Запишите разность чисел а и 6. Подберите по 4 значения уменьшаемого и вычитаемого и вычислите разность».
Ученики, ознакомившись' с заданием по учебнику, ответят на вопросы учителя: Какое действие надо произвести, чтобы найти разность? Какая из приведенных в задании букв будет уменьшаемым? Какая — вычитаемым? Значение какой из названных в задании букв будет больше? Какой — меньше? Могут ли они быть равными?
Ответы на эти вопросы позволят ученикам полнее понять сущность задания.
Важность аналогичных упражнений в том, что дети, разбирая их, видят переменный характер значения букв, входящих в записанные формулы, и зависимость результата действия от значения компонентов.
Задания такого же характера находим и в № 22 (учебник математики II класса, с. 59): «12—k. Подбери 5 значений бук
вы k и вычисли значения разности. Можно ли давать букве k значения II, 12, 13, 14, 15, О?»
Дети без особого затруднения выполнят это задание. Учителю необходимо обратить внимание детей на то, какие из названных чисел’ можно подставить вместо k, а какие нельзя, и попросить их объяснить, почему некоторые из чисел подставить нельзя. Здесь речь идет о допустимых значениях букв, входящих в выражение. А это при дальнейшей работе весьма важно для понимания учениками ряда основных разделов математики.
Для подготовки учеников к записи решения составных задач в виде математических выражений удачны задания № 19—21 (учебник математики II класса, с. 58). Приведем одно из них: «Запишите математические выражения: частное от деления чисел 6 и 2, а и 3, а и k».
Дополнительно к этим упражнениям следует предложить следующие:
1) Записать произведение суммы чисел а и b
на 3. [(а+6).3.]
2) Записать частное от деления разности
чисел 29 и 7 на 2. [(29—7): 2.]
Записать частное от деления суммы чисел
а и b на 4. [ (а+Ь): 4.]
3) Записать половину числа, с. с: 2
Записать удвоенное число а. а-2
Записать утроенное число k. 'fe-3'
Записать частное от деления числа 18 на х. [ 18: х]
После знакомства с записью такого рода выражений подобные задания полезно предлагать детям в виде диктанта, продолжающегося в течение 5—7 минут. Учитель сначала прочитывает задание. Затем медленно повторяет его, а дети в это время пишут в специальной тетради или на отдельном листке. После выполнения одного задания учитель читает другое и т. д. Закончив диктовать, учитель собирает работы и проверяет их к следующему уроку. Ошибки, допущенные учениками во время работы, на следующем уроке тщательно анализируют те дети, которые их допустили.
Во втором классе при изучении увеличения и уменьшения числа в несколько раз целесообразно дать ученикам упражнения, в которых сопоставляются разностное и кратное сравнения чисел.
Приведем набор рекомендуемых упражнений.
1) Восемь больше пяти на 3. Записать. (8—5=3, или 34-5=8.)
Двенадцать больше трех на а. Записать. (12 —3 = а, или а4-3=12.)
Семь больше с на 4. Записать. (7—с=4, или с4~4=7.)
2) Примеры, аналогичные приведенным, но со словами «меньше на ...».
3) Примеры, подобные упражнению 1 и 2, чередующиеся между собой.
4) Восемь больше 4 в 2 раза. Записать. (8:4 = 2, 8:2=4).
Двенадцать больше 3 в b раз. Найти, чему равно 6? Записать. (3-6=12 или 12:3 = 6, 6 = 4.)
Двенадцать больше 6 в 4 раза. Записать выражение; найти 6 (6-4=12 или 12:6=4, 6=12:4, 6 = 3.)
5) Примеры, аналогичные примерам из упражнения 4, но со словами «меньше в ... раз».
6) Перемежающиеся между собой примеры из упражнений 4 и 5.
7) Записать произведение разности чисел 24 и 7 на 4. [(24-7)-4.]
Записать произведение разности чисел а и 6 на 2. [(а—6) -2.]
8) Записать частное от деления суммы, а затем разности чисел 29 и 16 на х [ (29+16): х; (29—16) :х.]
Кроме указанных упражнений, большую пользу приносят задания на вычисление выражений при различных значениях букв, входящих в него и записанных в таблице, например:
и поэтому нужно в выра-
Цена Количество Стоимость
12 6
21 а
Ь 5
81
буется не просто подсчитать, а преобразовать таблицу, заметив, что с имеет постоянное значение женин с—d вместо с поставить 30. Тогда в таблице верхняя строка будет снята, а последняя строка должна иметь вид 30—d.
При изучении выражений весьма полезны упражнения с таблицами такого вида:
6 А. А. Свечников
В графу «Стоимость» ученики должны поставить выражение, соответствующее данной цене и количеству. В первой строке—12-6, во второй 21-а, в третьей Ь-5. Затем подобрать для букв определенное значение и найти числовое значение выражения; при а=5, 21 -а= 105; при 6= 16, Ь-5=80.
Разбор и выполнение упражнений с математическими выражениями готовят учеников к использованию приобретенных знаний при решении задач.
Записывая решения задач в виде выражений, второклассники поймут, что одно выражение, содержащее буквы, представляет собой решение ряда сходных задач. Также они заметят, что по одному и тому же выражению можно составить не одну, а ряд задач. Но алгоритм решения всех их одинаков. Представление о том, что в выражении высказана определенная зависимость между числами и буквами, входящими в него, должно сложиться у школьников уже во II классе.
Выполненные упражнения помогут второклассникам сознательно подходить к решению составной задачи с записью решения в виде выражения или формулы. Рассмотрим решение следующей задачи: «Юра решил купить 2 книги. Одна книга стоила 48 коп., а другая в 4 раза дешевле первой. Сколько копеек должен заплатить Юра за книги?»
Ученики находят смысловые части задачи и записывают ее кратко на доске:
I — 48 коп. } ?
II — ? в 4 раза деш. /
— Что надо сначала узнать, чтобы найти стоимость 2 книг?— спрашивает учитель.
— Надо знать цены первой и второй книг. Цена первой книги известна, а цену второй книги надо найти.
— Можно ли узнать цепу второй книги?
— Да! Для этого нужно цену первой книги уменьшить'в 4 раза, т. е. 48 разделить на 4.
— А когда узнаем цену второй книги, можно ли найти стоимость двух книг?
— Для этого нужно сложить цену первой и цену второй книг.
— Расскажите последовательно, как узнать, сколько копеек нужно заплатить за 2 книги,— предлагает учитель.
Вызванный ученик объясняет: «Чтобы найти неизвестную стоимость двух книг, нужно узнать цену второй книги, для чего 48 : 4, а затем к полученному числу прибавить цену первой книги — 48 коп.».
Учитель предлагает записать решение в виде выражения: 48 : 4+48.
Ответ ученики находят самостоятельно.
Для проверки правильности решения учитель предлагает ученикам составить одну из обратных задач. Ученики могут составить задачу: «Одна книга стоит 12 коп., а две книги стоят 60 коп. Во сколько раз первая книга дешевле второй книги?» Решение этой задачи также целесообразно записать в виде выражения (60—12): 12 и найти значение этого выражения.
Очень важно с учениками II класса решить несколько задач, в которых одно из данных условия выражено буквой, например № 589 (учебник математики II класса): «В семи одинаковых ящиках 42 кг помидоров. Сколько килограммов помидоров в с таких ящиках? Составь по задаче выражение и найди его значение при с = 8, с=9, с=10».
При анализе этой задачи ученики выясняют, что ее нельзя решить одним действием, так как, чтобы узнать, сколько помидоров в с ящиках, нужно сначала найти, сколько их в одном ящике, а для этого следует 42:7 (в 7 ящиках 42 кг, а в 1 ящике их будет в 7 раз меньше). Узнав, сколько помидоров в 1 ящике, находим число килограммов в с ящиках; 42: 7-с. Составив по задаче искомое выражение, ученики найдут числовое значение его для каждого из трех данных значений с.
Допустимо пойти и другим путем, а именно вначале подставить вместо с одно из числовых данных (например, с=8) и решить задачу с числовыми данными, записав решение в виде выражения 42:7-8. Затем, опираясь на записанное выражение, определить, что с должно стоять на месте 8, представить себе это выражение и получить его последовательным рассуждением. После этого ученики найдут значение выражения для двух следующих значений с (с—9 и с== 10).
Второй путь решения проще для учеников, но, применяя его, есть опасность стать на формальный подход к решению задачи с буквенными данными. Чтобы избежать этого, следует после решения задачи снова рассмотреть и потребовать от учеников составлять выражение не по аналогии, а поясняя каждый шаг своего действия.
Параллельно решению задач с записью выражений следует практиковать составление задач по данному выражению. Эту работу начинают с составления простых задач. Например: «Составьте задачу по выражению 17+32». Вначале полезно подобрать к данному заданию тему или сюжет задачи, т. е. сказать, о чем нужно составить задачу — о числе учеников в двух классах или о посадке деревьев в парке.
От составления по выражению простых задач переходят к составлению задач в два, а затем в три действия. Приведем соответствующее задание: «Составьте задачу по выражению 70—(13+9)». При этом также полезно подобрать тему содержания задачи, например, о сборе урожая слив и вишен. Первые задачи полезно составить коллективно. Разбирая задание, уславливаются данные в выражении числа отнести к опреде
ленным предметам: «Пусть с одного дерева собрали 13 кг вишен, а с другого — 9 кг. Что же тогда будет представлять собой число 70? Предположим, что 70 — это весь собранный урожай слив и вишен». Тогда задачу ученики могут сформулировать так: «В саду собрали всего 70 кг слив и вишен. Вишни сняли с двух деревьев: с одного дерева 13 кг, а с другого — 9 кг. Сколько собрали слив?»
Если первоначальная формулировка окажется не совсем удачной, то перед учениками следует поставить вопрос, что в составленной задаче неясно и как лучше сказать, чтобы задача стала вполне определенной. От коллективного составления задач ученики переходят к самостоятельному составлению их. Причем задания постепенно усложняются, и учитель все меньше и меньше разъясняет данное выражение, предлагая ученикам самим осмысливать его и все свои шаги при разработке условия и вопроса задачи.
Одновременно с заданиями, приведенными выше, ученикам предлагают упражнения на составление задач по уравнениям. Эту работу удобно предлагать детям после решения определенной задачи. Так, решив задачу: «Кочан капусты весит 3 кг, а тыква в 5 раз тяжелее. На сколько килограммов кочан капусты легче тыквы?» (№ 473, учебник математики II класса) с записью выражения 3-5—3, детям предлагают составить похожую задачу по уравнению х=4-3 —4.
Составление задач по заданному выражению или уравнению не ограничивается единичными заданиями, а продолжается иа протяжении всего курса обучения с постепенным усложнением заданий по тому материалу, который в определенное время изучают школьники. Подобная работа продолжается и в III классе.
Чтобы подготовить учеников всесторонне к решению задач с помощью уравнений и поднять их мышление на более высокую ступень понимания обобщений, в III классе продолжают работу с разнообразными математическими выражениями более сложными, чем те, которые рассматривались в I и II классах.
Как и раньше, ученикам не следует давать упражнения с математическими выражениями сразу одно за другим, а распределять их во времени и предлагать решать при изучении каждого раздела программы, чередуя с выполнением заданий другого характера.
В начале первой четверти III класса после выполнения упражнения № 73 (учебник математики III класса) «Запиши в виде равенств следующие предложения:
1) 100 больше 25 на 75;
2) 36 меньше числа 80 на 44;
3) Число k больше числа 200 на 45;
4) 24 меньше числа b на 76».
Уместно предложить детям записать выражения с примени нием букв:
а) Сумму числа а и произведения чисел 230 и 2. (а-|-230-2.)
б) Разность чисел 270 и 230, увеличенную в с раз. [270— -230)-с.]
в) Произведение числа 5 и суммы чисел а и b [5- (а+5)].
г) Частное чисел 260 и а. [260 : а.]
Решив задачу № 88 (учебник математики III класса): «Школьный участок прямоугольной формы огорожен забором. Длина участка 70 м, ширина 40 м. Сколько метров надо пройти вдоль забора, чтобы обойти вокруг всего участка?», целесообразно предложить ученикам задачу в обобщенном виде: «Вычислите периметр прямоугольника, у которого длина а метров, а ширина b метров». Для сильного класса задача может быть усложнена тем, что в ней будет сказано: «а ширина на 5м меньше длины» или «длина в 2 раза больше ширины».
Желательно, чтобы ученики III класса выполнили ряд упражнений на зависимость действий при изменении одного из компонентов. Для этого учитель может выписать на доске в виде таблицы следующие выражения:
I слагаемое
И слагаемое
Сумма
5 (5+6)
5
(5-2) 5
7
7
(7+3)
7 (7-3)
12 5+6+7=12+6, 5+7+6=18 ?
?
?
Ответы (на доске не выписывать): 5+7+3= 12-1-3 5-2+7=12-2 5+7-3 = 12-3
5+7+3=15 5-2+7=10 5+7-3= 9
' Ученики должны переписать два первых столбика, в третьем же записать не знаки вопроса, а ответы. После выполнения этого упражнения учитель спросит, как изменится сумма, если первое слагаемое увеличить на 6, уменьшить на 2 и т. д.
Вслед за этим упражнением уместно решить № 212 (учебник математики III класса), в котором нужно сравнить выражения 470-120 и 410-120, 700+380 и 760+380 и т. д.
Опираясь на знания, закрепленные при заполнении указанной выше таблицы, ученики значительно легче справятся с решением задачи № 225 (1) (учебник математики III класса): «Разность неизвестного числа и числа 4 увеличили на 15 и получили 50. Найди неизвестное число», которая решается с помощью уравнения х—4+15=50.
Варианты упражнений, приведенные выше, целесообразно предложить на изменение разности, а также на изменение про
изведения и частного при изменении одного из компонентов этих действий.
В практическом смысле упражнений с выражениями ученики могут убедиться при выполнении заданий следующего характера: «Дано равенство: 368+243=611, используя его, найдите значение выражения (368+127)+243. Проверьте подробным вычислением». При выполнении подобных заданий внимание детей следует обратить на перестановку слагаемых, а именно искомое выражение можно преобразовать так: (368+127)+243= (368+ +243)+ 127, после чего совершенно ясно, что сумму в скобках можно заменить данной (611), а дальше вычислить устно.
В дальнейшем подобные упражнения ученики могут выполнять без промежуточных записей.
Особого внимания заслуживают формулы, выражающие определенные зависимости, как, например, формулы периметра и площади квадрата, а также прямоугольника, формулы пут», времени и скорости равномерного движения. К составлению таких формул, записанных в общем виде, учеников подводят от разбора и решения простой задачи, в которой рассматривается частный случай и только одно из данных выражено буквой. Например: «С опытного участка собрали а одинаковых корзин свеклы. В одной корзине свекла весила 12 кг. Сколько всего свеклы собрано с участка?» Решение: 12-а.
Когда третьеклассники освоятся с решением простых задач с буквенными данными и записью решения в виде выражений, целесообразно познакомить их с некоторыми формулами, выражающими периметр и площадь прямоугольника, квадрата, скорость движущегося тела.
Это знакомство обычно начинают с реше'ния числовой задачи на определение периметра прямоугольника, например, со сторонами 6 и 8 см. Периметр этой фигуры полезно записать в виде различных выражений: 6+8+6+8, 6+6+8+8, 6-2+8-2 и (6+8)-2. Вычисления этих выражений дают один и тот же результат, поэтому можно записать, что все они равны между собой.
Ученикам следует предложить указать наиболее рациональную запись, выражающую периметр прямоугольника. Дальше рассматривают задачу: «Найти периметр прямоугольника, у которого длина 8 см, а ширина а сантиметров». Условившись обозначить периметр буквой Р, записываем: (8+а) -2. Для про-
верки заменим букву а числом 6 и найдем числовое значение периметра: Р=(8+6)-2; Р=28 (см).
Следующую задачу на нахождение периметра можно дать в виде чертежа прямоугольника с обозначением его сторон буквами (а и Ь). При записи периметра этого прямоугольника получим формулу: Р=(а-)-Ь)-2. Затем, пользуясь этой формулой, ученики найдут значение Р для нескольких прямоугольников, длины сторон которых выражены числами.
Аналогично приведенному примеру ознакомления с формулой можно подвести учеников к составлению формулы площади прямоугольника. Причем полезно рассмотреть зависимость одной из величин при изменении другой.
Переходя к решению составных задач с некоторыми данными в виде букв, также желательно предложить ученикам сначала записать решение числовой задачи выражением, а затем заменить в этой задаче несколько числовых данных буквами. Решение измененной задачи ученики запишут в виде выражения. Так, после решения задачи «Ученик купил книгу за 28 коп. н 8 тетрадей по 2 коп. каждая. Сколько он получил сдачи, уплатив в кассу 50 коп.?» (Решение: 50—(284-2-8)) учитель предложит задачу: «Ученик купил книгу за а копеек и b тетрадей по 2 коп. каждая. Сколько он получит сдачи, уплатив в кассу 50 коп.?»
Ученики, выполнив решение первой задачи (зная ее алгоритм), смогут найти решение и второй задачи: 50—(а4-2-&)-
Желательно, чтобы другие значения ученики подобрали сами и, подставив их в выражение, нашли числовой ответ.
При дальнейшей работе с задачами, содержащими буквенные данные, предварительно решать задачи аналогичные, но с числовыми данными необязательно и даже нежелательно.
На следующем этапе обучения школьники должны овладеть умением составлять задачи по данному выражению, например составить задачу по выражению а-^-b : 3.
Решение задач с буквенными данными и проверка их решения посредством подстановки в выражение чисел, а также составление задач по данным выражениям и уравнениям дают ученикам более четкое представление о простейшей функциональной зависимости величин, входящих в определенную задачу. Кроме того, при решении таких задач ученики получают первое представление о решении задач в общем виде, что весьма важно при дальнейшем изучении математики.
Обучение решению задач с буквенными данными перемежается с решением задач с числовыми данными, т. е. с решением задач путем составления уравнений. Этот метод решения задач будет рассмотрен в следующем параграфе.
Составление выражения по задаче позволяет обозревать сразу все решение и выявлять наиболее рациональный ход решения. Этот способ решения наиболее краток и требует от ученика сознательного подхода к рассмотрению задачи. Решение задач посредством составления выражений и формул экономит время за счет уменьшения решения задач с записью вопросов. В этом преимущество указанного способа решения задач. Тем не менее никак нельзя рекомендовать все задачи решать только посредством составления выражений. Чтобы школьники приобрели умение решать задачи и другими приемами, большую часть задач следует решать, не пользуясь выражениями.
§ 6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
Вопрос о применении уравнений при решении задач в I— VI классах в последнее двадцатилетие подвергся всестороннему обсуждению. В дискуссии на эту тему сторонники арифметических приемов, обосновывая необходимость решения задач в I—VI классах только арифметическими способами, выдвигали две главные причины:
1. Ребенок до 10 лет, по их мнению, не может понять механизм уравнений, так как в этот период жизни у него преобладает конкретное мышление и ему недоступны обобщенные приемы суждений.
2. Традиционные приемы решения арифметических задач развивают у детей сообразительность и способствуют их умственному развитию.
Рассматривая эти обоснования и .исследуя психические возможности детей, ряд сотрудников института психологии АПН СССР пришли к выводу, что «уже ученики I—II классов могут полноценно усвоить описание значений величин и чисел посредством буквенной символики’ (работы Давыдова В. В., Фроловой Т. А., Минской Г. И. и др.). В психологии имеются также данные, показывающие принципиальную доступность уравнений первой степени учащимся II—III классов (исследование А. В. Скрипчейко) и даже учащимся I класса, если уравнения были совсем простыми типа: а-)-х=Ь, а~х=Ь и т. п. (исследования В. В. Давыдова, А. А. Кирюшиной)»1.
Таким образом, отвергать использование уравнений при решении задач по причинам особенностей психического развития детей нельзя. Это обоснование проведенными исследованиями не подтвердилось.
Второй мотив — развитие сообразительности детей при решении задач традиционными арифметическими приемами можно признать лишь частично, так как решение типовых задач посредством этих приемов превращается в простое запоминание ребенком соответствующего способа решения данного типа задач. Кроме того, способность к обобщениям, которая развивается у детей при решении задач с использованием уравнений, содействует развитию мышления, пожалуй, в большей мере, чем арифметические приемы решения задач.
Результаты обсуждения вопроса об алгебраических и ариф--метических методах решения задач нашли свое выражение в современной программе и учебниках по математике. В них рекомендуется наряду с изучением арифметических приемов решения задач знакомить учеников I—III классов, не говоря уже об учениках IV—VI классов, и с алгебраическими способами ре
1 Психологические возможности младших школьников в усвоении математики. Под ред. В. В. Давыдова. М , 1969, с. 233.
шения, т. е. с решением задач с применением уравнений. Вот почему, для того чтобы показать детям практическое использование уравнений, уже при решении простых задач целесообразно некоторые из них решить с помощью составления уравнений (об этом говорилось выше при рассмотрении методов решения простых задач). При решении составных задач алгебраический метод находит значительно более широкое применение.
Введение алгебраического способа решения задач в I—• III классах не означает простого переноса методов решения задач из VI—VII классов в I—III. Обучение решению задач с применением уравнений следует сделать более доступным для понимания детьми. Для этого решению задач посредством уравнений должна предшествовать основательная подготовительная работа в виде специальных упражнений с математическими выражениями, о чем рассказано в предшествующем параграфе, и в процессе рассмотрения различных способов решения одной и той же задачи.
Подготовительные упражнения дают ученику возможность выразить ту или иную зависимость, выраженную словами, посредством математических символов, а это позволит ученику все условие задачи перевести на язык математики. А научить детей такому переводу — значит научить их алгебраическим приемам решения задач. На это указывал еще И. Ньютон. Во «Всеобщей арифметике» он писал: «Чтобы решить задачу, нужно лишь перевести ее с обыкновенного языка на язык символических выражений—язык алгебры. Этот перевод означает составление уравнения, корни которого дают ответ на вопрос поставленной задачи».
В качестве иллюстрации этого высказывания рассмотрим последовательный ход составления уравнения к одной из задач (№ 485 из учебника математики III класса): «Из города к зимовке, расстояние между которыми 150 км, выехали аэросайи со скоростью 60 км в час. В это же время навстречу им из зимовки вышел лыжник и встретил аэросани через 2 ч. Найди скорость лыжника».
Попытаемся показать, как эту задачу перевести на язык алгебры.
Запись текста словами Запись иа языке алгебры
1. За 1 ч лыжник проходил метров несколько кило- X
2. За 2 ч ои прошел в 2 раза больше х-2
3. Аэросани за 2 ч проехали в 60 км 2 раза больше 60-2
4. Сколько километров лыжиик шли за 2 ч? и аэросани про- х-2+60-2
5. За 2 ч они прошли 150 км 150
Продолжение
' Запись текста словами Запись на языке алгебры
6. Задача выражается уравнением х-2+60-2=150 х-2+120=150 х-2=150—120 х-2=30 х=30:2
7. Решив уравнение, найдем х= 15. Лыжник проходил за 1 ч 15 км х=15
Примечание. Наименование, которое следует за буквой, ваписывать сокращенно нельзя, так как это может вызвать ошибку, например, хт — это не х тонн, поэтому после буквы наименование не надо писать.
Из приведенного образца перевода задачи на язык алгебры следует, что объяснение решения составной задачи при составлении уравнения надо начинать именно так и подводить ученика к этому следует постепенно. Обычно решение составных задач алгебраически начинают после того, как дети уже освоятся с решением простых задач на нахождение неизвестных компонентов посредством уравнений.
Предлагая ученикам решить ту или иную задачу посредством составления уравнения, учителю следует помнить, что согласно программе в I—III классах дети решают только простейшие уравнения. К простейшим уравнениям отнесены следующие виды (ниже приведены уравнения, записанные в общем виде, они расположены по степени их сложности).
I КЛАСС
1. а+х=Ь; х+а=Ь; х^Ь—а. Образец: 3+х=15; х+2 =15;
х=15—3.
2. а—х=Ь-, х—а=Ь; х=а+Ь. Образец: 14—х=6; х—8=6;
х=6+8.
II КЛАСС
3. а-х—Ь; х-а=Ъ. Образец: 4'Х=36; х-4=36.
4. а:х=Ь; х:а=Ь. Образец: 84:х=12; х:16=8.
б. х-а=Ь+с; а-х=Ь—с. Образец: х-12=84+48.
12-х=84—48.
6. (х+а) — Ь=с; (а—х)+Ь—с. Образец: (х+19)—16=11; (13—х) +8= 18.
III КЛАСС
7. х-а+Ь=с; Ь+а-х=с. О б р а з е ц: х-12+25= 169;
14+8-х=78.
& а:х=Ь—с; х:а=Ь+с. Образец: 12:х=53—49;
х: 11=8+4.
9. a: x—b=c; x : a+&=c. Образец: 242 : x—10=1;
x: 5+ 14=20.
10. (a+x) : b=c; (x-a)-b—c. Образец: (540-f-x) : 9=62;
(x-490) -5=400.
В I и II классах дети, решая уравнения и некоторые задачи с использованием уравнений, по сути дела только готовятся к решению задач алгебраически, т. е. с помощью составления уравнений. Основная работа по овладению решением задач с использованием уравнений в начальных классах относится на III класс.
Во II классе ученики знакомятся с практическим использованием уравнений при решении простых задач (об этом уже говорилось выше). Когда второклассники овладеют этим умением, им предлагают более сложные задания, а именно: составить задачу в два действия по уравнению. К этому подходят так: после решения задачи с записью выражения, например 2- (7+9), ученикам дают задание — составить задачу, похожую на решенную по уравнению. Уравнение подбирают сходное с полученным выражением, например х=6-(4+2).
Чтобы ученикам легче было подобрать сюжет, учитель может сказать, что задачу составьте о покупке цветных карандашей. Опираясь на решенную задачу и указание учителя, они составляют примерно такую задачу: «Куплено 4 красных и 2 зеленых карандаша. Каждый карандаш стоил 6 коп. Сколько заплатили за все карандаши?»
Так как уравнение к этой задаче дано, то при решении составленной задачи дети его используют и находят: х—6- (4+2); х=6-6; х=36 (коп.).
Значительно сложнее для учеников составить задачу по уравнению вида 76+х=32-3. При выполнении подобного задания нужно дополнительное указание — например, составить задачу о числе книг, поставленных на трех полках. Такое указание значительно облегчит детям работу.
По данному уравнению ученики под руководством учителя могут составить, например, следующую задачу: «На трех полках стояло 76 книг. Когда на эти полки поставили еще несколько книг, то на каждой полке оказалось по 32 книги. Сколько книг поставили на полки?»
Имея уравнение, ученики найдут решение: 76+х=32-3; 76+х=96; х=96—76; х=20 (книг).
В III классе посредством составления уравнений решают несколько видов задач. Наиболее легко составить по задаче уравнение в том случае, когда в условии имеется более или менее полное указание на путь составления уравнения. Например. «За три равноценных блокнота Петя уплатил 50 коп. и получил 14 коп. сдачи. Сколько стоит один блокнот?»
Немного сложнее составить уравнение к задаче, в которой нет прямого указания к составлению уравнения," но имеются
$46 км слова, указывающие на ра-
венство значений некоторых f—1 т-т— величин (одинаковый расход,
-/• - —V—-z равная стоимость, проехали
324 км . 286км одно и то же расстояние, ку-
пили- по одинаковой цене или
Рис- 25 одинаковое количество, упла-
тили поровну и т. п.). Например: «На две машины погрузили по равному количеству яблок. На первую машину погрузили 33 ящика по 80 кг в каждом, а на вторую — несколько мешков по 60 кг в каждом. Сколько мешков яблок погрузили на вторую машину?» Уравнение: 80-33 = 60-х.
Еще сложнее составить уравнение к задаче, в которой нет указаний на равенство двух выражений или значений одной и той же величины, а эти указания выявляются лишь после анализа условия и вопроса задачи. Обычно к такой задаче можно составить несколько уравнений. Примером такой задачи может служить следующая: (№ 462 из учебника математики III класса): «Из двух городов, расстояние между которыми 846 км, вышли навстречу друг другу два поезда. Какое расстояние между поездами, когда один пройдет 324 км, а другой 286 «ои?»
Подобные задачи целесообразно иллюстрировать схематиче-’ скими чертежами, что облегчает детям понять и решить задачу (рис. 25). Рассматривая иллюстрацию, ученики замечают, что 846 и сумма чисел 324+286+х выражают одно и то же расстояние. Поэтому 846 является суммой слагаемых 324+286+х, получают уравнение 324+286+х=846. Уравнение можно составить иначе, представив равенство разности 846—х и суммы 324+286, т. е. 846 —х = 324+286. Составление этого уравнения сложнее первого. Решение любого из составленных уравнений даст ответ на вопрос задачи: х=236 (км).
Подготовку к решению составных задач посредством уравнений в III классе начинают при повторении с решения простых задач, подобных тем, которые решались в 1 и II классах. А дальше переходят к составлению уравнений по тексту, в котором дано полное указание о действиях с данными числами и неизвестным. Например: «Удвоенное неизвестное число равно разности чисел 41 и 17. Найти неизвестное».
Ученики, опираясь на свои знания о математических выражениях, без особого труда могут записать по данному тексту равенство: 2-х=41 —17.
Здесь учителю следует обратить внимание на то, что полученное равенство составлено из двух выражений, в которое вхоМ днт неизвестное число. Такое равенство двух выражений, в котором содержится неизвестное число, называют уравнением. Решить его — значит найти, при каком значении неизвестного равенство будет верным.
Под наблюдением учителя дети сначала упрощают составленное уравнение и получают 2-х=24, а затем находят значение неизвестного, пользуясь правилом — один из множителей равен частному от деления произведения на второй множитель: х=24 : 2; х=12. Уравнение следует проверить, подставив в первоначальное равенство найденное значение неизвестного.
Подобные упражнения играют роль переходного мостика от решения простых задач к решению с помощью уравнений составных задач.
Но, прежде чем переходить к решению составных задач с помощью уравнений, полезно составить с учениками задачу по данному уравнению. Учитель записывает на доске уравнение 3-х= 15—9 и предлагает ученикам подумать, как по этому уравнению составить задачу о покупке карандашей мальчиком, у которого было 15 коп.
Дети коллективно выясняют, что означают числа, вошедшие в данное уравнение: 3 — цена карандаша, 15 коп.—уплатил мальчик в кассу, 9 коп. — сдача, которую он получил из кассы, х — неизвестное число карандашей, купленных мальчиком. По предложению учителя, один из учеников формулирует задачу: «Сколько карандашей ценой по 3 коп. купил Ваня, если он дал в кассу 15 коп. и получил 9 коп. сдачи?»
Дети устанавливают, соответствует ли составленная задача данному уравнению, затем, используя это уравнение, находят значение х. Получив значение х, решение проверяют. Для проверки этой задачи составляют и решают обратную задачу, в которой искомым будет сдача. После этого ученикам можно предложить составить к подобной задаче уравнение и выполнить решение.
В качестве такой задачи можно взять следующую: «Для посадки в саду яблонь привезли 28 саженцев. Их посадили в несколько рядов по 8 штук в ряд. 4 саженца оказались бракованными и их выбросили. Сколько рядов заняли посаженные яблони?»
Анализ задачи имеет цель найти два равных выражения, илн два равных значения одной и той же величины — число посаженных яблонь. Первое выражение 28—4, второе — 8-х, где х— число рядов посаженных яблонь. Оба эти выражения равны, так как указывают одно и то же число. На этом основании составляем уравнение: 8-х=28 —4.
При решении этого уравнения сначала находим разность, получим 8-х=24, а затем, используя правило, выражающее значение неизвестного множителя, находим: х = 24 : 8; х=3.
Чтобы дать ученикам конкретное представление о всех членах уравнения, предложим им решить задачу, которую легко иллюстрировать -рисунком или чертежом. Возьмем задачу: «Вдоль глухой стены нужно отвести прямоугольную площадку для игр и обнести ее с трех сторон ограждением, длина которо-
82 82
’ Рис. 26
го 286 м. Какой должна быть длина площадки, если ширина ее 82 м?»
Ознакомившись с задачей и разобрав ее, ученики делают чертеж и обозначают известные стороны площадки числами, а неизвестную сторону буквой (рис. 26).
Из чертежа выясняется, как можно записать длину трех сторон площадки: х+82-2, но
она по условию выражена длиной ограждения, т. е. числом 286. Указанное выражение и число 286 равны, так как это одна и та же длина ограждения; следовательно, можно записать уравнение х + 82-2 = 286.
Упрощая уравнение, получим: х+164=286. Зная, что неизвестное слагаемое равно сумме без второго слагаемого, найдем: х=286—164; х=122.
Для проверки уравнения ученики подставляют значение х и получат верное равенство: 286=286. Для проверки же задачи составляют обратную задачу, приняв, по указанию учителя, за. неизвестное ширину площадки. Обратную задачу следует решить также посредством уравнения.
В дальнейшей работе с задачами целесообразно взять для решения посредством уравнений несколько задач следующего характера: «За 4 тетради"и книгу мальчик заплатил 74 коп. Книга стоит 66 коп. Сколько стоит тетрадь?»
В этой задаче за неизвестное удобно взять цену тетради. Тогда 4 тетради будут стоить х-4, а задачу можно представить в такой записи:
4 тетр.—х-4 1 74 коп
Книга —66 коп. J. °
По этой записи видно, что сумма стоимостей книги и тетрадей составляет 74 коп., поэтому можно составить уравнение
X-4+66=74.
Найдем значение х:
х-4=74—66; х-4 = 8; х=8:4; х=2 (коп).
Проверив решение уравнения, следует проверить и решение задачи. Ответ: цена тетради 2 коп. '
Умение выделять в задаче данные и искомое, находить в ней 2 равных значения одной и той же величины и записывать эти значения различными выражениями у школьников складывается не сразу. Выработке этих умений поможет рассмотрение последовательно одна за другой нескольких задач с однотипна
ми уравнениями, но разного содержания. Подбирать и предлагать для решения подобные задачи следует с учетом нарастания сложностей. Приводим примерную подборку задач, близких по своему характеру разобранным выше.
1. На уборку спортивной площадки пришло 30 учеников III класса, 40 учеников II класса и несколько учеников I класса. Всего на уборке спортивной площадки работало 80 учеников. Сколько первоклассников приняло участие в уборке?
Выражение «несколько учеников I класса» подсказывает детям обозначить их число буквой х. Тогда число учеников, убиравших площадку, можно выразить суммой 304-40+х. В условии же сказано, что работало 80 учеников, поэтому можно приравнять эти выражения и записать уравнение: 304-404-^=80.
При решении два первых слагаемых заменим их суммой и получим уравнение 704-х=80, решение которого уже не затруднит третьеклассников.
2. Скольким ученикам следует возвратить деньги за билеты в театр, если по предварительному заказу за билеты уплатили 14 учеников I класса. Из них несколько человек в театр не пошли, но зато присоединилось 6 учеников II класса. Всего в театре присутствовало 18 учеников I и II классов.
Здесь изменена структура задачи (вопрос поставлен в начале условия). Это изменение осложнит ученикам повторение условия и вопроса задачи, но оно поможет им совершенствовать умение выделять в задаче данные и искомые.
Уравнение к этой задаче будет таким: 144-6—х= 18.
При его решении ученики могут заменить два известных слагаемых их суммой, что значительно упростит решение.
3. Из одной школы на спортивные соревнования приехала команда в составе 12 мальчиков и 8 девочек. В соревнованиях из этой команды участвовало 16 спортсменов. Сколько учеников из команды было запасными?
В приведенной задаче нет прямого указания, что принять за неизвестное, поэтому дети могут решить эту задачу арифметически (124-8—16=4). Однако после арифметического решения полезно с учениками установить, что если в этой задаче принять за неизвестное искомое число, т. е. число запасных спортсменов обозначить буквой х, тогда можно составить следующее уравнение: 124-8—х— 16.
4. Сколько учеников было на елке, если на ней, кроме учеников, было 10 человек взрослых? Когда 20 учеников находились на сцеие, то в зале было занято 80 мест взрослыми и детьми.
Структура этой задачи преследует цель: приучить детей выделять условие и вопрос при любой формулировке задачи. Если задачу решать алгебраически, то за неизвестное число принимают число учеников, присутствовавших на елке. Тогда поручим уравнение: х4-10—20 = 80.
Целесообразно после решения каждой из предложенных задач проверить значение неизвестного и решение задачи, решив ее другим способом.
Следующая группа задач, решаемых в III классе с приме-, пением уравнений,— это задачи, в которых хотя нет прямого указания на отношение равенства, но его можно подметить.
Вот одна из таких задач: «Для детского сада решили купить несколько одинаковых игрушек. Игрушечный танк стоит 4 руб., а электровоз на 1 руб. дешевле. Сколько электровозов можно купить, уплатив 24 руб.?»
Анализ задачи сводится к тому, что ученики выясняют, какие величины упоминаются в ней — цена, стоимость, количество, значения каких из них известны (стоимость) и какое значение величины выступает искомым (количество). Значение какой величины, не изменяясь, выступает в задаче дважды (цена).
Если обозначить количество электровозов буквой х, то за один электровоз надо уплатить 24 : х рублей — это цена электровоза. По условию цену электровоза можно выразить иначе: 4—1. Оба выражения — и первое и второе равны, так как указывают цену одной и той же игрушки. Составим уравнение: 24 : х=4—1, откуда 24 : х = 3; х=24 : 3; х=8.
К этой задаче можно составить уравнение и по-другому, выразив не цену, а стоимость купленных игрушек. Цена 4—1, количество х, тогда стоимость (4—1)-х=24; х=8. Ученикам следует предоставить возможность выбирать путь решения по своему усмотрению.
Рассмотрим задачу, в которой равенство двух выражений выявляется только при подробном анализе: «На лесном складе за неделю нужно было нагрузить 228 вагонов. В первые 3 дня ежедневно грузили по 24 вагона. По скольку вагонов должны грузить ежедневно в следующие 4 дня, чтобы выполнить задание?»
Поиск решения задачи начинается с того, что устанавливаем: надо нагрузить 228 вагонов в 2 приема — в первые 3 дня грузили по 24 вагона, а число вагонов, которые надо нагрузить ежедневно в последующие 4 дня, неизвестно. Обозначим это число буквой х. Тогда задачу можно записать так:
3 дня по 24 вагона 1 всег0 228 вагонов
4 дня по х вагонов J
Произведение 24-3 выражает число вагонов, нагруженных за 3 дня; также произведение х-4 даст число вагонов, нагруженных за 4 дня. Всего надо нагрузить 228 вагонов, или 24-3-|-х-4. Оба этих выражения равны, поэтому 24-34-х-4=228.
Решение уравнения: 72+х-4=228; х-4=228—72; х=156: 4; х=39. Решение уравнения и решение задачи следует проверить.
В некоторых случаях задачу до составления уравнения полезно трансформировать, чтобы упрощенная задача дальше могла бы быть решена посредством несложного уравнения.
Проследим это на одной задаче: «Мастер делает 120 деталей за 8 ч. А когда он работает со своим учеником, то столько же деталей они успевают сделать за 5 ч. Сколько деталей в час делает ученик?» (учебник математики III класса, с. 36, №26).
Анализируя задачу, ученики выясняют, какие величины в ней упомянуты (время работы, число деталей или количество и производительность в час, или выработка)1, какие значения первой величины и какие значения второй величины известны, значение какой величины искомое (производительность ученика или его выработка — искомое).
Помогая детям разобраться в задаче, учитель задает вопросы: Что в задаче надо узнать? О чем идет речь в задаче? (О работе мастера и работе ученика.) О какой работе говорится в задаче? (О совместной работе мастера и ученика.)
— Одинаково ли время работы только для мастера и для совместной работы его ученика указано в задаче?
— Нет. Мастер один работает 8 ч, а вместе с учеником — только 5 ч.
— Как можно сравнить их работу? Что для этого надо узнать?
— Чтобы сравнить совместную работу мастера и ученика с работой одного мастера, надо узнать, сколько деталей в час сделает мастер и сколько деталей в час они сделают вместе.
Дети находят, что за 1 ч один мастер изготавливает деталей 120: 8= 15, а вместе с учеником, тоже за 1 ч, они делают деталей больше, т. е. 120:5 = 24.
Сделав такой расчет, задачу можно значительно упростить, а именно: «Мастер изготавливает в час 15 деталей, а работая вместе с учеником, они делают в час 24 детали. Сколько деталей в час делает ученик?» К этой преобразованной задаче ученики довольно легко составят уравнение 15-)-х==24 и найдут х=9.
Для проверки полезно рассмотреть другие способы решения предложенной задачи. Сопоставив их, дети укажут, какой способ рациональнее Других.
Во многих случаях решение задачи посредством уравнения требует иной предварительной подготовки. Довольно часто эта подготовка сводится к решению вспомогательной задачи, которая позволяет школьникам уяснить отдельные этапы решения последующей, более сложной задачи. Так, предлагая задачу № 850 (учебник математики III класса), ученикам следует на-
1 Слово «выработка», или «производительность», ученикам надо объяснить.
7 А. А. Свечников 97
помнить, как найти площадь прямоугольника и как по площади и ширине прямоугольника найти его длину. Для этого учитель до решения указанной задачи даст ученикам задание устно вычислить площадь прямоугольника, если его длина 9 м, а ширина 7 м, затем предложит им узнать длину прямоугольника, площадь которого 72 кв. м, а ширина 8 м.
Решение указанных задач восстановит в памяти учеников те сведения, которые им потребуются для решения следующей задачи: «На пришкольном огороде прямоугольной формы выделены два опытных участка одинаковой площади. Длина первого участка 30 м, а ширина.28 м. Чему равна длина второго участка, если его ширина 20 м?»
Анализ условия задачи выявит соотношение между значениями величин, вошедших в нее, и позволит сделать следующую запись:
площ. I уч.-30-28 I площ J уч.=площ. II уч.
площ. II уч. — х-20 | J
Такая запись помогает составить уравнение, так как указывает на равенство двух составленных выражений. Получим: х-20=30-28.
При решении задач с использованием уравнений не всегда искомое по условию задачи удобно принять за неизвестное и ввести его в уравнение. В качестве примера такой задачи может служить задача № 416 (учебник математики III класса): «Пионеры совершили экскурсию по реке на катере, проплыв всего 66 км. 2 ч они плыли со скоростью 18 км в час, а остальной путь со скоростью 15 км в час. Сколько времени находились они в пути?»
Если искомое число — время нахождения в пути — принять за неизвестное х, то окажется: за 2 ч пути пионеры проплыли 18-2 (км).
Остальное время (х—2) часов они плыли со скоростью 15 в час и проплыли за это время — 15-(х—2) километров, а всего проплыли 66 км. Отсюда получим уравнение 18-2-f-' -f-15-(х—2) =66, решить которое ученикам III класса не по силам. Поэтому к решению этой задачи следует подойти иначе, приняв за неизвестное (х) время, в течение которого они плыли со скоростью 15 км в час. Тогда:
за 2 ч пионеры проплыли 18-2 = 36 I или 18-2=36 { gg
за х ч они проплыли 15-х | 15-х (
Всего они проплыли 66 км г
Приравняв сумму (36-f-I5-x) к числу 66, получим уравнение Зб4-15-х=66.
Решение: 36-J-15-x=66; 15 х=66 —36; 15-х=30; х= =30 : 15; х—2.
Но значение неизвестного числа из этого уравнения не служит ответом на основной вопрос задачи. Время нахождения пионеров в пути составляет в часах (2-f-x) или 2+x=2-f-2; 2-f-x=4.
Ответ: 4 ч находились пионеры в пути.
Процесс составления уравнения, а главное, само уравнение во втором случае значительно проще, нежели в первом.
При решении задач, подобных по сложности этой, полезно после получения ответа снова рассмотреть все и убедиться, нет ли более рационального способа решения.
Разбор решения задачи, после того как оно выполнено, позволяет ученику оценить выбранный путь и, если он сложен, поискать более простой и короткий. Учитель не должен забывать, что его цель — научить школьников решать задачи и осознанно выбирать самый короткий и легкий способ. Рациональный ход решения выявляется не сразу, а только после тщательного анализа содержания и решения различными путями одной и той же задачи.
Из приведенных примеров решения задач с использованием уравнений можно заметить, что проверки решений уравнения и задачи — это разные проверки. Первая позволяет установить, правильно ли найден корень (значение неизвестного), удовлетворяет ли он уравнению, т. е. выяснить, будет ли числовое значение правой части равняться числовому значению левой части уравнения при подстановке значения неизвестного (корня) и выполнении всех действий отдельно в правой и в левой частях уравнения.
Проверка же решения задачи позволяет установить, удовлетворяет ли найденный в процессе решения ответ условию задачи, правильно ли он отвечает на основной вопрос задачи.
При решении задач с использованием уравнений, Kart и при решении их другими способами, неизбежно, что некоторые ученики будут допускать ошибки. При обучении важно, чтобы учитель не проходил мимо, не отметив этих ошибок. Он обязан внимательно рассмотреть причины появления каждой ошибки. Установив причины возникновения той или иной ошибки, учитель сможет сделать необходимые педагогические выводы, наметить пути предупреждения и изжития этих ошибок на последующих уроках.
Как установлено исследованием Н. А. Менчинской, дети часто допускают ошибки в решении задач из-за недостаточной связи в их деятельности первой и второй сигнальных систем, т. е. из-за несоответствия словесного, или символического, выражения и истинного понятия, которое вложено в это выражение. Это своеобразный разрыв теории с практикой. С целью преду
преждения ошибок, появляющихся по этой причине, учителю следует выяснять, как понимают ученики то или другое выражение или термин, содержащиеся в условии или вопросе задачи. Например; если тетрадь дешевле блокнота на 6 коп., то что можно сказать про цену блокнота по сравнению с ценой тетради; или если книга дешевле альбома в два раза, то что можно сказать про цену альбома по отношению к книге, как это запи* сать и т. п.
До ознакомления с содержанием задачи учитель должен проверить, понимают ли дети те специфические термины или отдельные новые для них слова и выражения, которые встретятся в условии задачи. Выяснение всех туманных для учеников мест в задаче еще до чтения условия позволит им избежать многих ошибок при решении.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Рассматривая способы решения разнообразных составных задач, можно выделить задачи, которые имеют сходные решения, хотя по своему сюжету могут значительно отличаться одна от другой. Группу задач, имеющих сходные решения, или, иначе говоря, в которых описана одинаковая зависимость между входящими в них величинами, обычно относят к одному виду — типу. Каждый особый тип задач имеет свой алгоритм решения, отыскать который бывает иногда довольно трудно.
Из задач, решаемых учениками начальных (I—III) классов, можно выделить следующие типы:
1. Задачи на нахождение четвертого пропорционального, или на тройное правило.
2. Задачи на пропорциональное деление.
3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.
Кроме того, в этих классах решают задачи с определенным содержанием: а) задачи на время; б) задачи на движение; в) задачи с геометрическим содержанием.
Особо следует рассмотреть задачи на нахождение доли числа и обратные им.
Как правило, арифметические способы решения типовых задач представляют для учеников большую сложность, так как решение каждого из видов зачастую требует отыскания искусственного приема. Найти арифметический путь решения типовой задачи самостоятельно ученику удается довольно редко. Вот почему, руководствуясь старыми программами, которые не допускали алгебраического решения задач в арифметике, учитель опирался на память ребенка. Дети под руководством учителя решали большое число одинаковых задач, запоминали при этом алгоритм решения задач определенного вида, а впоследствии, 100
решая задачу, всякий раз пытались установить, к какому типу она относится, и вспоминали прием решения. Однако методика обучения решению задач, рассчитанная главным образом на память ученика, довольно часто играла печальную роль. Во многих случаях недостаточно осознанные попытки ученика решить типовую задачу не приводили к нужному результату, так кек ои или неправильно определял тип задачи, или забывал алгоритм решения их.
Современная программа, требуя введения алгебраических приемов решения задач, обязывает учителя больше внимания обращать на осознанное решение их и развивать у ребенка не только память, но главным образом мышление.
Использование уравнений при решении задач в первые годы обучения математике является по сути дела подготовительным этапом к решению типовых задач алгебраическим путем в последующие годы (IV—VIII кл.). Если в этот подготовительный период дети приобрели соответствующие навыки в решении простых задач и в решении несложных уравнений, то они подготовлены и к решению типовых задач.
§ 1. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЧЕТВЕРТОГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО
(НА ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО)
Один из наиболее распространенных типов задач, с которым дети встречаются раньше и чаще других,— это задачи на нахождение четвертого пропорционального, или на тройное правило. В задачу такого вида входят три зависимых (пропорциональных) величины, например: 1) цена, стоимость и количество; 2) скорость, пройденное расстояние и время движения; 3) работа, время работы и количество изготовленных деталей. При этом для одной величины даны два значения (например, количество: куплено в первый раз 6 тетрадей, а во второй раз 14 тетрадей); для другой величины задано одно значение, а другое надо найти (пример: стоимость первой покупки 12 коп., сколько уплатили во второй раз?); значений третьей величины не дается, по указывается, что они одинаковы (в нашем примере цена тетрадей не указана, но она одинакова). Таким образом, в задачу вводятся 3 величины и 3 значения двух из этих величин.
Тройное правило пришло в Европу из Индии через посредство ал-Хорезми и Леонардо Фибоначчи, а из Европы к нам. Его долгое время считали самым полезным в коммерции и житейской практике. «Ключ купцов»— называли его. При изучении арифметики ему уделяли чрезвычайно большое внимание, иднако рассматривали его до IX в. догматически, заучивали без объяснения: «Перемножь два последних; что получится дели на первое».
И в настоящее время знакомство с задачами на нахождение четвертого пропорционального играет в изучении математики не последнюю роль.
Эти задачи дают детям первые представления о функциональной зависимости между величинами.
В общем виде задача на нахождение четвертого пропорционального выглядит так: «а единиц соответствует числу Ь. К а-кое число соответствует с единицам, если соответствие и в первом и во втором случае не изменилось?»
Конкретное содержание задач этого вида можно бесконечно разнообразить. Для выяснения теории вопроса рассмотрим обычную задачу на зависимость между ценой, количеством и стоимостью товара: «За 8 листов бумаги уплачено 24 коп. Сколько таких листов бумаги можно купить за 36 коп.?» В этой задаче изменяется стоимость товара и число листов, а цена остается постоянной.
Запишем эту задачу кратко в виде таблицы, а рядом дадим формулу ее решения.
Цена (коп.) Количество (листов) Стоимость (коп.)
Одинаковая 8 ? 24 36
Решение:
х=36: (24 :8); х=12.
К этой задаче можно составить 3 обратные ей.
Цена (коп.) Количество (листов) Стоимость (коп.)
Одинаковая ? 12 24 36
Одинаковая 8 12 24 ?
Одинаковая 8 12 ? 36
Решение: х=24: (36: 12); х=8.
х== (24 : 8) • 12; х=36.
х=(36: 12).8; х=24.
Две первые формулы аналогичны: в них содержатся два частных, а в двух последних надо найти частное, выражающее цену, и умножить его на количество листов.
Если в первой задаче взять за постоянное количество ли-стов, а менять цену одного листа, то можно составить следующие задачи, которые кратко запишем в виде таблицы.
Цена (коп.) Стоимость (коп.) Количество (листов) Решение:
1. 3 2 24 ? Одинаковое . х=(24:3)-2; х=16.
2. 3 2 ? 16 Одинаковое х=(16:2)-3; х = 24.
3. 3 ? 24 16 Одинаковое > = 16: (24 : 3); х=2.
4. ? 2 24 16 Одинаковое х=24: (16:2); х=3.
Выражения, составляющие решения этой группы задач, по своей структуре можно распределить на два вида: в первом находим произведение частного, выражающего количество листов, на цену, а во втором — два частных. Эти две группы задач — задачи на прямо пропорциональную зависимость.
Взяв за постоянное стоимость, составим еще задачи.
Цена (коп.) Количество (листов) Стоимость (коп.) Решение:
1. 3 2 8 ? Одинаковая х=(3-8) :2;. х=12.
2. 3 2 ? 12 Одинаковая х=(2-12):3; х=8.
3. 3 ? 8 12 Одинаковая х=(3-8) : 12; х=2.
4. ? 2 8 12 Одинаковая х=(2-12) : 8; х=3.
В этой группе задач зависимость величин обратно пропорциональная. Формулы решения этой группы по структуре идентичны.
Подобным же образом можно составить три группы задач: на зависимость заработной платы, рабочего времени и оплаты работы за единицу времени; на зависимость производительности, рабочего времени и числа деталей, изготовленных за определенный промежуток времени, а также и для других 3 величин, связанных между собой определенной зависимостью.
Таким образом, на зависимость трех величин можно составить по данному сюжету 12 задач на нахождение четвертого пропорционального.
При решении задач на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) используют следующие приемы: 1) способ прямого приведения к единице; 2) способ обратного приведения к единице; 3) способ отношений; 4) способ кратных частей (с этим способом, как и с задачами на сложное тройное правило, учеников I—III классов не знакомят).
Способ прямого приведения к единице
Этот способ состоит в том, что сначала узнают значение (цену) единицы одной из пропорциональных величин (товара, работы и пр.), а затем — значение (стоимость) указанного в условии количества. Причем к единице приводят величину, для которой даны два значения. Для примера рассмотрим следующую задачу: «Рабочий при одинаковом ежедневном заработке получил за 6 дней 42 руб. Сколько денег получит этот рабочий за 25 дней работы при том же заработке?»
Запишем задачу в виде таблицы:
Оплата за 1 день Рабочее время (дни) Заработная плата (руб.)
Одинаковая 6 25 42 ?
В этой задаче известны оба значения величины времени и неизвестно одно значение заработной платы, а оплата за день одинаковая. При решении способом прямого приведения к единице находим сначала цену или стоимость единицы первой величины (времени), т. е. заработок рабочего за 1 день, а затем вычисляем, сколько денег получит рабочий за 25 дней.
Дети, решая эту задачу, делением находят заработок рабочего за 1 день: 42:6=7 (руб.). Затем, умножая, вычисляют заработок рабочего за 25 дней работы: 7-25=175 (руб.). Ответ: 175 руб. получит рабочий за 25 дней.
Решение задач на нахождение четвертого пропорционального способом приведения к единице во II классе начинают с решения простых задач, в которых требуется определить стоимость единицы товара, работы или какой-либо иной величины, и задач, обратных им. Так, уже в начале второго года обучения ученики решают задачи такого вида: «Куплено 4 м материи по 3 руб. за метр. Сколько заплатили за эту покупку?»,— а такя?ё задачи, обратные приведенной: «За 4 м материи уплатили 12 руб. Сколько стоит 1 м материи?» (Найти цену.)
Решение нескольких задач, однотипных с приведенной, и преобразование их в обратные приводят учеников к пониманию решения задач способом прямого приведения к единице. Объясняя решение задач этим приемом, полезно воспользоваться предметной наглядностью. Так, при решении задачи «За 6 карандашей заплатили 18 коп. Сколько нужно заплатить за 10 таких карандашей?»
учитель предложит вызванно- Рис 27
му к доске ученику поставить на планке столько карандашей, сколько их купили в первый раз (6), и записать рядом стоимость (рис. 27). Затем, выяснив, почему нельзя сразу дать ответ на вопрос задачи (неизвестна цена карандаша), на второй планке поместить 1 карандаш и против него поставить знак вопроса. На следующей планке ученик поставит 10 карандашей и против них запишет также знак вопроса. Условие и решение первой такой задачи после ее разбора с помощью предметной наглядности рекомендуется записать:
6 к. стоят 18 коп. 1 Цена одинаковая
10 к. стоят ? J
Решение: 1) Сколько стоит 1 карандаш?
18.: 6=3 (коп.)
2) Сколько стоят 10 карандашей?
3-10=30 (коп.) Ответ: 10 карандашей стоят 30 коп.
Примечание. Учеников полезно знакомить с различными формами записи задачи.
Решение задачи ученики повторят, объясняя каждое действие— в первом действии узнаем, сколько стоит 1 карандаш, для этого 18 коп..делим на 6, так как 1 карандаш стоит дешевле, чем 6 карандашей, в 6 раз; во втором действии найдем стоимость 10 карандашей: 1 карандаш стоит 3 коп., а 10 карандашей будут стоить в 10 раз дороже, поэтому нужно 3 коп. умножить на 10, получим 30 коп. Это ответ на основной вопрос Задачи.
Вслед за решением этой задачи дети под руководством учителя составляют обратную задачу по ее краткой записи в виде таблицы.
Количество (шт.) Стоимость (коп.) Цена (коп.)
10 6 30 ? Одинаковая
Рассматривать другие обратные задачи рано, так как они решаются способом обратного приведения к единице, с которым дети познакомятся позже.
После решения задач указанным способом следует предложить ученикам по данной краткой записи задачи составить ее, например:
Зарплата (руб.) Рабочее время (дни) Оплата за день (руб.)
28 ? 4 9 Одинаковая
На следующем этапе при знакомстве с этим способом решения полезно предложить ученикам самостоятельно составить задачу по таблице (№ 925, учебник математики II класса).
Расход в день Число дней Всего израсходовано
Одинаковый 6 4 72 ?
Ученик, рассматривая таблицу, должен понять: в первой графе указано, что расход продуктов неизвестен, но он один и тот же на каждый день — об этом говорит слово содинаковый». Число дней и соответствующее число килограммов расходуемого продукта обозначены во второй и третьей графах на первой строке. Во второй строке этих же граф указано число дней, а знак вопроса означает, что число килограммов продуктов неизвестно. После разбора смысла записанных в таблицу слов и чисел дети устно сформулируют задачу, а затем решат ее.
На последующих уроках ученикам следует предложить составить задачу, аналогичную решенной, по выражению вида 84:6-13. При этом учитель скажет, о чем (на какую тему) составить задачу, например о покупке 13 тюбиков клея. Это или подобное ему указание даст определенное направление поискам при составлении условия задачи.
Конкретизируя задание, учитель спросит:
Если требуется купить 13 тюбиков клея, нужно ли . иметь дополнительные данные?
— Нужно знать цену одного тюбика.
— Посмотрите на выражение и скажите, как можно найти цену тюбика клея. Какими данными из него можно выразить эту цену?
— Числами 84 и 6.
— Что будет означать число 6? А число 84?
— Число б будет указывать на число тюбиков, а 84 — на стоимость этих тюбиков.
— Скажите условие и вопрос составленной задачи.
Один из учеников формулирует задачу: «В первый раз купили 6 тюбиков клея и заплатили за них 84 коп. Сколько нужно заплатить за 13 таких тюбиков клея?»
Решение задачи, пользуясь данным выражением, ученики выполняют самостоятельно.
Составление задач по таблицам и данным выражениям следует практиковать и на последующих занятиях.
Способ обратного приведения к единице
При решении задач на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) довольно часто встречаются задачи, которые рациональнее решать способом обратного приведения к единице. С этим приемом решения дети знакомятся также во II классе.
Прием, названный способом обратного приведения к единице, сводится к тому, что находят соответственное значение единицы той величины, для которой в условии указано лишь одно данное (одно значение). Это выявляется при записи условия в виде таблицы.
Для примера сопоставим способ прямого приведения к единице и способ обратного приведения к единице.
Задача. За 6ч мастер изготовляет 60 деталей. За сколько часов он изготовит 80 таких же деталей, если будет работать равномерно?
Запишем задачу в виде таблицы.
Выработка за 1 ч Время работы Изготовлено деталей
Одинаковая 6 ч ? 60 80
Из таблицы видно, что для времени дано одно значение, а для числа изготовленных деталей — два значения. Решая способом обратного приведения к единице, нужно привести к единице первую величину (время), т. е. узнать, сколько за 1 ч можно изготовить деталей.
Способ прямого приведения - к единице.
Способ обратного приведения к единице.
1) За какое время мастер изготовит деталь?
6 ч=360 мин
360:60=6 (мин)
2) За сколько часов будет изготовлено 80 деталей?
6-80=480 (мин)
1) Сколько деталей изготовит мастер за 1 ч?
60:6=10 (дет).
2) За сколько часов мастер изготовит 80 деталей?
80: 10=8 (ч)
480 мин=8 ч
Ученики далеко не всегда видят различие между двумя рассмотренными способами решения задач. Они обычно считают и тот и другой способ способом приведения к единице, так как в обоих случаях они узнают значение одной из величин, соответствующее единице другой величины. Стремиться к тому, чтобы дети безошибочно указывали различие этих приемов решения задач, необязательно. Значительно важнее, чтобы дети понимали смысл математических зависимостей (пропорциональность) между величинами, входящими в задачу, для чего при решении задач нужно обращать внимание, как одна величина зависит от другой.
К решению задач способом обратного приведения к единице второклассники приступают после того, как познакомятся с приемом решения задач способом прямого приведения к единице и самостоятельно составят несколько задач по краткой записи условия в виде таблицы или выражения.
Рассмотрение нового для учеников приема можно начать с составления задачи по данным, записанным в таблицу.
Вместимость 1 банки Число банок Всего литров
Одинаковая 9 ? 18 30
Имея опыт составления подобных задач, дети без особого труда составят устно задачу: «В 9 одинаковых банок налили 18 л молока. Сколько таких банок потребуется, чтобы налить 30 л молока?» , - •
При анализе условия следует обратить внимание ученикбв на то, что все банки одинаковые и, следовательно, имеют равную вместимость (объем). Основываясь на этом, дети должны выполнить следующие рассуждения: чтобы узнать, сколько потребуется банок для 30 л молока, нужно знать, сколько литров войдет в одну банку. Это можно найти, так как из условия из-вестно, что 18 л можно вместить в 9 банок. Отсюда составим план решения:
1) Сколько литров молока входит в 1 банку?
• 2) Сколько потребуется таких банок для 30 л молока?
Решение: 1) 18:9= 2 (л)
2) 30:2=15 (банок)
_V). Ответ: 15 банок потребуется, чтобы поместить 30 л молока.
Эту же задачу можно преобразовать в обратные (их 3) и решить, записав решение хотя бы одной из них. Например: «30 л молока налили в 15 банок. Сколько таких же банок потребуется для 18 л молока?»
Решение: 1) 30:15=2 (л) . 2) 18:2=9 (банок)
Во II классе решение аналогичных задач обычно выполняют по действиям. Однако решение нескольких задач рекомендуется записать в виде выражений и вычислить их значения. Это готовит учеников к решению таких задач с применением уравнений в III классе.
В III классе для двух—трех задач такого характера целесообразно составить и решить все 3 обратные задачи и сопоставить их решения.
Способ отношений
По сравнению со способом приведения к единице (прямым и обратным) способ отношений позволяет решать значительно больший круг задач на нахождение четвертого пропорционального, пользуясь только целыми числами. Для примера рассмотрим, как решить задачу способом отношений.
Задача. Бригада кузнецов изготовила за смену 84 топора, израсходовав 75 кг стали. Сколько нужно стали, чтобы изготовить 336 таких же топоров?
Ученики могут попытаться решить эту задачу одним из известных им приемов. Препятствовать такой попытке не следует, даже, наоборт, полезно предложить детям убедиться, что имеющихся у них знаний недостаточно, что(?ы решить предложенную задачу в целых числах. Убедившись в том, что 75" кг на 84 разделить без остатка нельзя, даже выразив килограммы в граммах, дети должны будут более внимательно рассмотреть зависимость между величинами, вошедшими в задачу.
Анализируя краткую запись условия задачи (84 топ. — 75 кг, 336 топ.— ?), они убедятся в том, что, чем больше будет изготовлено топоров, тем больше стали потребуется для их изготовления. Для 168 топоров (84-2) потребуется стали не 75 кг, а 75-2. Для (84-3) топоров потребуется (75-3) кг стали и т. д. Отсюда, чтобы найти, сколько потребуется стали для изготовления 336 топоров, нужно узнать, сколько раз число 84 содержится в числе 336, иначе говоря, во сколько раз 336 больше 84, во столько раз искомое число килограммов стали будет больше 75 кг. Сделанное заключение позволит довольно простым способом найти решение задачи.
1) Во сколько раз число изготовляемых топоров (336) больше числа сделанных (84)?
336 : 84.
2) Сколько потребуется стали для поделки 336 топоров?
75-(336:84).
Ученики выполнят вычисления и найдут числовое значение выражения:
75-(336: 84) =300.
Ответ. Для изготовления 336 топоров потребуется 300 кг стали.
В III классе решение задач этого типа обычно записывают в виде выражения или составляют уравнение и затем находят ответ.
Алгебраический прием решения задач на нахождение четвертого пропорционального
Как уже указывалось в III классе, наряду с арифметическими способами решения задач на нахождение четвертого пропорционального следует использовать и алгебраический прием.
Задача. В первую неделю типография получила с фабрики 6 рулонов бумаги одного сорта и перечислила за эту продукцию 204 руб. Сколько рублей должна перечислить типография за месяц, если получила 10 таких же рулонов бумаги того же сорта?
Анализируя задачу, внимание учеников нужно обратить на то, что цена рулона одного и того же сорта бумаги не изменяется. Кратко записать задачу можно в виде таблицы:
Ученики установят: первый
раз цена 1 рулона бумаги выразилась частным — 204:6.
Во второй раз цену рулона выразим так: х: 10. Цена 1 рулона не изменялась, поэтому оба записанных частных равны. Имея два равных выражения, составим уравнение:
х : 10 = 204:6.
Упростив уравнение, получим: х: 10 = 34, откуда х=34-10, х=340.
Проверка решения уравнения: 340:10=204:6; 34 = 34.
Ответ: 340 руб. надо перечислить за 10 рулонов бумаги.
Проверка решения через составление проверочной задачи: «Цена 1 рулона бумаги 34 руб. Сколько рулонов такого же сорта приобретет типография за 340 руб.?» Эта проверочная задача не является обратной, но она содержит два найденных при решении числа, которые в проверяемой задаче неизвестны, а
Количество рулонов
Стоимость (руб.)
Цена (руб.)
6
10
204 ?
Одинаковая
искомое в новой задаче известно из первой. Следует заметить, что надежность проверки более высока при составлении обратной задачи, так как в ней в данные включено только одно найденное при решении число.
Чтобы составить для проверки обратную задачу, предварительно запишем кратко все возможные варианты этих задач:
1) а — 204 руб.
10 рул. — 340 руб. дена одинаковая
2) 6 рул. — 204 руб.
b — 430 руб. жена одинаковая
3) 6 рул. — k
10 рул. — 340 руб. цена одинаковая
По любому из записанных вариантов ученики составят задачу самостоятельно и решат ее.
После того как ученики ознакомятся с задачами на движение, целесообразно решить с помощью уравнения и такую задачу: «Расстояние между двумя городами автобус проезжает за 7 ч со скоростью 30 км в час. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы проехать это расстояние за 3 ч?»
При анализе надо установить, какие величины входят в задачу, и выяснить, значение какой величины остается постоянным (расстояние). Для автобуса расстояние выразится произведением 30-7, а для мотоциклиста х-3, если через х обозначить скорость движения мотоциклиста. Эти произведения равны, так как и автобус и мотоцикл проезжают одно и то же расстояние, поэтому х- 3 = 30 -7.
Отсюда: х=30-7 : 3; х=70.
Ответ; Мотоциклист должен ехать со скоростью 70 км в час.
Варианты обратных задач к решенной задачи будут следующими:
1) 7 ч — 30 км в час 2) х — 30 км в час 3) 7 ч — а k — 70 км в час 3 ч — 70 км в час 3 ч — 70 км в час
Во всех трех случаях расстояние одинаковое.
Более сложной будет задача № 449 (учебник математики III класса): «Из поселка и города выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 14 км в час, мотоциклист — 40 км в час. Велосипедист проехал до встречи 42 км. Какое расстояние проехал до встречи мотоциклист?»
При анализе задачи ученики, рассматривая, какие три величины входят в условие, должны установить, что велосипедист и мотоциклист до встречи ехали в продолжение равных промежутков времени. Краткая запись задачи будет иметь вид:
42 км 14 км в час 1 Время одинаковое ? — 40 км в час J
Время движения велосипедиста можно найти, разделив расстояние, которое он проехал, на скорость, т. е. 42 : 14. Аналогично найдем и время движения мотоциклиста, разделив число километров, пройденных им, на его скорость, т. е. х: 40.
Но время движения одного равно времени движения другого, поэтому х: 40=42; 14, или х: 40=3, откуда х=3-40 (делимое равно частному, умноженному на делитель — пояснят ученики).
Рассмотренный алгебраический способ решения задач на нахождение четвертого пропорционального — наиболее общий метод и поэтому приемлем для любой задачи данного типа. Ученикам III класса можно рекомендовать пользоваться этим методом решения.
Уравнения можно использовать в некоторых случаях и при решении таких задач, в которые нахождение четвертого пропорционального входит как составная часть.
Приведем для примера следующую задачу; «В первый раз купили 6 одинаковых стульев и заплатили 42 руб. Во второй раз купили 5 таких же стульев. Сколько уплатили за все купленные стулья?»
Эта задача на нахождение четвертого пропорционального усложнена дополнительным действием, в котором нужно найти или сумму стоимостей 6 и 5 стульев, или сначала узнать общее число купленных стульев.
Проще первый способ. Обозначим стоимость 5 стульев через х. Тогда можно составить уравнение х : 5=42 : 6. Отсюда х=35 — это стоимость 5 стульев, а стоимость всех стульев 42+35=77 (руб.).
Внесено некоторое усложнение и в задачу: «Расстояние между городами 675 км. За 4 ч автомашина прошла 180 км. Сколько времени потребуется ей, чтобы пройти оставшийся путь, если скорость движения машины не изменится?»
В этой задаче до составления уравнения следует найти расстояние, которое автомашине осталось пройти, или сначала найти время, необходимое на весь путь, а затем вычислить время на оставшуюся дорогу.
Краткая запись задачи:
Скорость одинаковая
Сначала находим разность 675—180=495 (кл<), а затем составляем уравнение 495: х= 180 : 4. Решение: 495: х=45; х=495 : 45; х=11.
§ 2. ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционального. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.
4 ч — 180 км
? _ (675—180) км
К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:
а) задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;
б) задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;
в) задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.
В начальных классах ученики решают на уроках задачи только первого вида, а виды б) и в) могут быть предложены детям в часы внеклассных занятий.
К решению задач на деление пропорционально двум числам учеников можно подвести от решения задачи на нахождение четвертого пропорционального. Ученикам, которые уже освоили решение задач этого вида, предлагают решить самостоятельную задачу: «Первый раз в 24 вагонах доставлено в район 768 т минеральных удобрений. Сколько тонн удобрений привезли во второй раз в 33 таких же вагонах?» (Ответ: 1056 т.)
После решения этой задачи учитель усложняет ее, добавив вопрос: «Сколько тонн минеральных удобрений доставили в район за 2 раза?» Так как ученики уже нашли число тонн удобрений, доставленных во второй раз, а из условия знают, сколько удобрений доставлено в первый раз, то на дополнительный' вопрос найдут ответ сложением: 768+1056—1824 (т).
Рассмотрев с учениками и второй вариант решения усложненной задачи (768 : 24) • (24+33), учитель предлагает решить задачу, обратную последней, а именно: «За 2 раза доставлено в район 1 824 т минеральных удобрений. В первый раз в 24 вагонах, а во второй — в 33 вагонах такой же грузоподъемности. Сколько тонн удобрений доставлено отдельно в первый и второй раз?» Сделав анализ задачи, ученики могут записать ее в виде таблицы:
Число вагонов Доставлено удобрений Груэоподъемность вагона Общий вес удобрений
24 33 ? ? Одинаковая 1824
Разбор второго варианта решения предшествующей задачи помогает найти ход решения обратной задачи. Ученики укажут, что для решения ее надо найти, сколько тонн удобрений доставляли в одном вагоне, но для этого необходимо знать общее число вагонов, в которых доставляли груз. ЧисЛо всех вагонов находим сложением: 24+33. Затем узнаем, сколько тонн удобрений доставляли в одном вагоне. Для этого 1824 разделим на общее число вагонов. Количество доставленных удобрений найдем умножением:
в I раз — 1824 : (244-33) -24
во II раз — 1824 : (244-33) -33
Найдя числовые значения составленных выражений, получим: 768 т удобрений доставлено в первый раз, 1056 т удобрений — во второй раз. Полезно предложить ученикам сделать простейшую проверку полученных ответов, для чего сложить 7684-1056=1824, что соответствует данному в условии числу.
К решению этого вида задач можно подойти и другим путем. Прежде чем решить задачу № 593 (учебник математики III класса), учитель предложит решить следующие две задачи.
1. Цена 1 м ткани 3 руб. Сколько стоят 2 куска ткани в 5 м и 7 ж?
Решение: 1) 54~7=12(л<); 2) 3-12=36 (руб.)
2. За 5 м ткани уплачено 15 руб. Сколько стоят 2 куска такой ткани в 5 м и 7 м?
Решение: 1) 15:5=3 (руб.); 2) 3-7=21 (руб.); 3) 214-' 4-15=36 (руб.).
Второй вариант решения: 1) 54-7=12 (л<); 2) 15:5= = 3 (руб.); 3) 3-12 = 36 (руб.).
После решения двух приведенных задач надо решить задачу № 593 (учебник математики III класса): «В одном куске 5 м ткани, а в другом 7 м такой же ткани. Сколько стоит каждый кусок, если за оба куска уплатили 36 руб.?»
Ознакомившись с содержанием задачи и рассмотрев, какие величины в нее включены (цена, стоимость, количество метров), ученики запишут кратко задачу в виде таблицы:
Наименование кусков Количество (л<) Цена (руб.) Общая стоимость (руб-) Стоимость куска (руб.)
I II 5 7 Одинаковая 36 ? ?
Условие может быть записано и Так:
5 м 7 м Цена одинаковая Сколько стоит каждый
' 36 руб. КУСОК?
Устанавливая зависимость между данными и искомыми, внимание детей надо обратить на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.
Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани — в условии она указана — и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:
1. Найдем число метров ткани в двух кусках.
2. Узнаем цену 1 м ткани.
3. Вычислим стоимость первого куска ткани.
4. Вычислим стоимость второго куска ткани. Решение:
12 м ткани стоят 36 руб.
3 руб. стоит 1 м ткани.
15 руб. стоит первый кусок ткани.
21 руб. стоит второй кусок ткани.
задачи: 154*21 = 36. Стоимость всей
1) 54-7=12 (м)
2) 36:12=3 (руб.)
3) 3-5=15 (руб.)
4) 3-7 = 21 (руб.) Проверка решения
ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в
условии.
Разобранную задачу ученики решают одной из первых среди задач этого вида. Поэтому целесообразно с целью уяснения всех взаимосвязей в задачах подобного характера рассмотреть несколько вариантов проверочных задач.
Для ознакомления с решением задач на пропорциональное деление алгебраическим способом возьмем задачу № 622 (учебник математики III класса): «В двух кусках 8 м одинаковой ткани. Один кусок стоил 15 руб., другой 9 руб. Сколько метров в каждом куске?»
Краткое условие этой задачи запишем в таблицу:
Наименование Цена (руб.) Количество (ж) Стоимость (руб.)'
I кусок II кусок Одинаковая И8 15 9
Зная, что в куске 8 м, и обозначив цену.х рублей, выразим стоимость 8 м материи х-8. Стоимость отдельно каждого куска известна, поэтому можно общую стоимость записать как сумму: 154-9 рублей. Так как стоимость материи не изменилась, когда ее разрезали на 2 куска, то х-8= 154-9.
Решение: х-8=24; х=24:8; х=3.
В I куске 15:3=5 (ж)
Во II куске 9 : 3=3 (м)
Проверка: 54-3=8; 8 = 8.
Покажем, как решить алгебраически ранее решенную задачу № 523.
Краткое условие этой задачи запишем в таблицу:
Наименование Цена (руб.) Количество (ж) Стоимость (руб.)
I кусок' ? 5
П кусок Одинаковая ? 7 36
Зная стоимость всей материи и обозначив ее цену через х, запишем количество метров во всем куске. Из условия известно, что в I куске 5 м, а во II куске 7 л/, следовательно, общее число метров будет 5+7, в то же время общее число метров выражено частным 36 : х. Оба выражения равны, т. е. 36 : х=5+7; 36:х=12; х=36 : 12; х=3. Это цена.
Отсюда: I кусок стоит 3-5=15 (руб.)
II кусок стоит .3-7=21 (руб.)
Проверка решения: 15+21 = 36; 36 = 36.
Второй путь составления уравнения по условию задачи подобного вида осложняется тем, что приводит к уравнению а-х-]-Ь х=с, решение которого программой не предусмотрено, поэтому при решении этой задачи воспользоваться уравнением х-5+х-7 = 36 нельзя. Однако допустимо составить уравнение „л-(5+7) =36 или, узнав сначала 5+7=12, составить уравнение х-12 = 36.
§ 3. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЕЛ ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМ
По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей.
Знакомство учеников с задачами на нахождение чисел по двум разностям удобно начать с простейших задач, а затем постепенно переходить к более сложным задачам.
Для начала предложим детям решить задачу: «Мальчик и девочка купили листы бумаги по одинаковой цене. Девочка заплатила на 12 коп. больше, так как купила на 4 листа больше, чем мальчик. Найти цену листа бумаги».
Учеников III класса эта задача не должна затруднить — они сообразят, что для ответа на вопрос задачи надо произвести деление числа копеек на число листов, т. е. 1 лист стоит 12 : 4=3 (коп.).
Дальше условие этой задачи усложняют, привлекая к этому учеников.
Коллективно можно составить следующую задачу: «Мальчик и девочка купили одинаковые листы бумаги. Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше, чем мальчик. Сколько стоит 1 лист бумаги?»
Краткая запись задачи:
Количество Цена Стоимость
м. д. 7 11 Одинаковая 11 листов дороже, чем 7, на 12 коп.
После решения предыдущей задачи ученикам станет ясно, что для решения усложненной задачи надо сначала узнать, на сколько больше листов бумаги купила девочка, чем мальчик: 11—7=4. А после этого найти цену листа бумаги: 12:4= = 3 (коп.).
Продолжая работу, преобразуем задачу в более сложную: «Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила-за бумагу девочка и сколько мальчик?»
Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:
Количество Цена Стоимость
м. д. 7 11 , Одинаковая ? 1 11 листов дороже ? J 7 на 12 коп.
Решая эту задачу, ученики пойдут по известному пути: 1) найдут, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11—7=4); 2) узнают цену листа бумаги (12 :4=« = 3); 3) вычислят, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3-7=21); 4) сколько заплатила за 11 листов девочка (3-11 = = 33).
При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33—21 = 12, что совпадает с данным из условия.
Эту задачу можно решить и алгебраическим способом. Рассмотрим решение.
Примем цену листа бумаги за х. Девочка купила бумаги больше, чем мальчик, на 4 листа (11—7 = 4), поэтому она заплатила дороже на х-4 копейки. Девочка заплатила больше мальчика на 12 коп., следовательно: х-4=12; х=12:4; х=3 (коп.). Цена одного листа бумаги 3 коп. Стоимость 7 листов 21 коп. (3-7=21). Стоимость 11 листов33коп. (3-11 = 33). Уравнение можно составить и так: девочка купила на 11—7 листов больше мальчика; цена листа х, поэтому х- (11—7) = 12, так как девочка уплатила больше, чем мальчик, на 12 коп. -
Рассмотрим еще один путь составления уравнений к этой задаче. Обозначим цену листа бумаги х. Так как девочка уплатила на 12 коп. больше, чем мальчик, то, значит, она купила на (12 : х) листов больше мальчика.
Из условия находим, что девочка купила больше мальчика на (11—7) листов. Оба этих выражения равны, поэтому запишем уравнение: 12:х=11 —7.
§ 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ДОЛИ ЧИСЛА И ОБРАТНЫЕ ИМ
Первые представления о дробях программой отнесены ко второму классу. В этом классе дается представление о получении и сравнении долей, нахождение доли числа и нахождение по данной доли всего числа. В III классе круг представлений о дробях расширяется. Здесь дается понятие о нескольких долях числа, о сравнении дробей с разными знаменателями и о нахождении дроби от числа двумя действиями.
В соответствии с этими указаниями ученики II и III классов должны овладеть навыком решения простых, а затем и составных задач, в которых требуется найти определенную долю числа и по доле найти все число.
Во II классе знакомство с долями числа проводится с широким использованием наглядных пособий и дидактических
материалов.
До решения задач на нахождение доли числа и обратных им ученики должны научиться от полоски бумаги, прямоуголь-1111111 ника, квадрата, круга отделять —, —, —, —, —, —, —. 2 3 4 5 6 8 1С
Затем они переходят к отделению таких же долей от различных множеств предметов непосредственным подсчетом. Например: найти — от 16 тетрадей — значит разделить 16 на 4 и взять
одну такую часть.
Первые задачи на нахождение дроби числа следует сопровождать действиями с различными дидактическими материалами.
Пример: задача № 828 (учебник математики II класс): «Полоску бумаги длиной 12 см разделили (перегибанием) на 4 равные части. Раскрась полоски. Узнай длину полоски. Как узнать?»
Ученик, выполнив перегибание полоски и подсчитав число сантиметров, укладывающихся в — данной полоски, найдет, 4
что оно равно 3 см. Поясняя свои действия, он скажет, что данную полоску он разделил на 4 части и взял одну такую часть, а поэтому, чтобы найти часть от 12, нужно 12 :4.
Для закрепления первых представлений о дробях решается задача «От каната длиной 45 м отрезали —. Сколько метров будет составлять отрезанная доля каната?» Условимся изобразить канат отрезком в 9 см (5 м приравняем 1 см). На чертеже отрезок разделим с помощью сантиметровой линейки на 3 части. Одна такая часть будет составлять третью долю всего
отрезка. Основываясь на этом наблюдении, учитель задает детям вопрос:
— Как найдена одна Треть отрезка? Каким действием?
— Разделили отрезок на три равные части и взяли одну часть.
Решение записывают: 45:3=15 (л).
Возникает вопрос: «Можно ли проверить решение данной задачи и как это сделать?» Совместными усилиями находят, что для проверки потребуется составить обратную задачу, в которой нужно узнать, во сколько раз 15 м каната меньше 45 м каната: 45 : 15=3. Ученики делают вывод: 15 от 45 составляют третью часть.
К этой задаче полезно возвратиться еще раз через несколько уроков, преобразовав ее в обратную. Прочитав задачу, учитель попросит учеников узнать: «Сколько метров составляет весь канат, если -у- его равна 15 м?»
Чтобы ученики осмыслили задачу, целесообразно предло-тт 1
жить им несколько вопросов: Чему равна — часть всего кана-
О
та? Весь канат меньше или больше, чем — его? Сколько 3
третьих частей во всем канате? Как можно узнать длину всего каната, если известно, что — его равна 15 м? Сколько таких частей по 15 м содержится в целом канате? Какое число и на сколько надо умножить, чтобы найти всю длину каната?
Изучение нахождения целого по данной его части во П классе сопровождается выполнением ряда разнообразных упражнений с конкретным материалом. Например, дана — квадрата, показать целый квадрат; дана — круга, восстано-О
1 д вить целый круг; известно, что — числа карандашей в коробке составляют 6 карандашей. Узнать, сколько всего карандашей в этой коробке, и т. п.
За этими упражнениями последует решение задач уже более отвлеченного характера. Учитель читает задачу: «Даша прочи-тала — часть книги. Она сосчитала прочитанные листы, их оказалось 16. Сколько в этой книге всего листов?» После повторения и краткой записи условия ученики рассуждают: «Даша прочитала 16 листов — это составляет часть книги, а во всей книге четыре такие части, значит, чтобы решить задачу, надо 16 умножить на 4: 16-4=64 (листа).
С целью выработки навыков решения задач на нахождение доли (части) числа и числа по его доле (части) следует решить с подробным разбором и иллюстрацией или набором предме-тов во II классе еще несколько задач. При этом задачи на нахождение части числа полезно преобразовывать в обратные им.
В III классе изучение дробей начинают, как правило, с повторения изученного во II классе.
Для знакомства с решением задач на нахождение дроби числа удобно взять такую задачу, в которой смысл дроби выступал бы для ученика совершенно ясно, например: «В магазин привезли 4000 тетрадей, упакованных в 8 пачек. В первый день 3
продали • всех тетрадей. Сколько тетрадей продали в этот О
день?»
При анализе условия задачи учитель обратит внимание уче-3 ников на то, что привезено 8 пачек тетрадей, а продано — при-8
везенных тетрадей, другими словами можно сказать: продано 3 пачки. Чтобы узнать, сколько продано тетрадей, следует узнать число тетрадей в одной пачке или чему равна — всех 8
8 пачек или — долей, что составляет
(1 пачка) содержит 4000:8 = 500
(3 пачки), следовательно, продано
тетрадей. Всего тетрадей 8
4000 тетрадей; поэтому —
8 3 (тетрадей), а продано —
500-3=1500 (тетрадей). Решение надо записать не только в два действия [1) 4 000:8=500; 2) 500-3=1 500], но и в виде выражения (4 000:8-3) и найти значение этого выражения.
Задачу полезно усложнить, поставив вопрос: Сколько тетрадей осталось после продажи в первый день? (4 000—1 500= = 2 500.)
Целесообразно вслед за этим предложить детям решить задачу на нахождение числа по его доле.
Задача. В магазин привезли 8 пачек тетрадей, -i- приве-
зенных тетрадей (1 пачка) содержала 500 тетрадей. Сколько тетрадей было привезено в магазин?
Приведенное в условии пояснение (1 пачка-------5- составля-
8
ет 500 тетрадей) разъясняет детям соответствие между долей и числом, содержащимся в этой доле, что значительно облегчает понимание сути задачи.
Дети рассуждают: 1 пачка или — — это 500 тетрадей, а 8
всего тетрадей 8 пачек или 8 таких долей, значит, всего тетрадей 500-8=4 000.
| Г
—
4
4*9 ах
1
Рис. 28
1
> J-
•
□
Рис. 29
Такой подход к нахождению дроби числа и числа по его дроби дает возможность детям представить весь процесс и сознательно установить соответствие между долей числа и частью этого числа.
В дальнейшем целесообразно предложить ученикам уже без особых пояснений сначала задачу на нахождение числа по данной его доле, а после решения попросить их преобразовать задачу в обратную и решить. Например: «Мотоциклист проехал 132 км. Он проверил запас горючего и нашел, что израсходовано — всего бензина. Сколько всего километров от начала пу-
4
ти сможет проехать мотоциклист, использовав весь запас горючего?» (рис. 28).
При решении ученики будут рассуждать примерно так: израсходовано — всего бензина, следовательно, мотоциклист
1 проехал.—
1 ше, чем —
4
всего пути или 132 км, а весь путь в 4 раза его, поэтому 132-4=528 (км).
боль-
Ответ: 528 км может проехать мотоциклист от начала пу
ти, израсходовав весь запас горючего.
Надо предложить ученикам самостоятельно составить взаимно обратную задачу. Но не следует останавливаться на этом. При работе с приведенной задачей рекомендуем первоначальный вариант задачи постепенно усложнять в следующей последовательности:
1) Изменить вопрос: «На сколько километров хватит оставшегося бензина?»
2) Вопрос перефразировать: «Сколько километров сможет проехать мотоциклист, израсходовав — всего запаса бензина?»
3) Изменить данные: «Мотоциклист, проехав 176 км, обнаружил, что израсходована всего запаса бензина. Сколько километров он сможет проехать еще, использовав оставшийся бензин?» (рис. 29).
Решение: — пути составляет 176 км. Весь путь в 3 раза больше, поэтому 176-3=528 (км). Мотоциклист проехал 176км, а осталось ему проехать 528—176=352 (км).
После того как ученики станут без ошибок решать задачи на нахождение дроби числа и числа по его дроби и научатся преобразовывать эти задачи в обратные им, они будут в состоянии решать и более сложные составные задачи, имеющиеся в учебнике и содержащие в условии данные в виде дробей.
ЗАДАЧИ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ СОДЕРЖАНИЕМ
§ 1. ЗАДАЧИ НА ВРЕМЯ
Ученики начальных классов знакомятся с единицами измерения времени: секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год, век, или столетие. Они должны научиться выражать календарный промежуток времени в единицах измерения его, решать задачи на определение времени, прошедшего между двумя событиями, а также на определение даты предыдущего и последующего кратковременного события (в пределах нескольких суток или в пределах одного года).
Дети знакомятся с единицами времени постепенно, и одновременно применяют их при решении задач.
Вслед за ознакомлением учеников II класса с единицами времени: год, месяц, неделя — им предлагают задачи иа выражение промежутка времени, начало и конец которого даны по календарю. Ознакомившись с продолжительностью суток, дети должны научиться выражать отрезок времени, отмеченный календарными датами, в сутках и в часах. Например: «25 декабря солнце восходит в 9 ч, а заходит в 4 ч. Сколько часов продолжается этот световой день?»
Решение сопровождается отсчетом по часовому циферблату.
От 9 ч до 12 ч пройдет 12—9=3 (ч).
От 12 ч до 4 ч пройдет 4 ч.
Всего от 9 ч утра до 4 ч вечера пройдет 3+4 = 7 (ч).
Составим к этой задаче обратную. Световой день 25 декабря продолжается 7 ч. Солнце взошло в этот день в 9 ч. Во сколько часов будет заход солнца?
Решение полезно сопроводить иллюстрацией (рис. 30). Подчеркиваем на отрезке с делениями начало отсчета и находим:
9 ч+7 ч=16 ч. Так как до полдня отсчет ведется до 12 ч
1 2 3 4 5 '6 7 дня, то время захода надо вы-М я о in 11 X * 1 * 1 1 * "К » числять: 16—12=4 (ч).
v с' Ответ: 25 декабря солн-
Рис. 30 це зайдет в 4 ч.
Вторая обратная задача: «Продолжительность дня 25 декабря 7 ч. Солнце заходит в 4 ч. Когда в этот день взойдет солнце?»
При решении пользуемся тем же чертежом. Подчеркнем конец отсчета 4 ч и найдем:
- 1) Сколько времени пройдет от восхода до 12 ч дня?
7-4 = 3 (ч).
2) Когда взойдет солнце 25 декабря? 12-3=9 (ч).
В III классе, когда дети получат представление о 24-часовом циферблате и ознакомятся с отсчетом времени суток от 0 ч до 24 ч, та же задача будет решена иначе.
4 ч вечера выразятся как 12+4=16 (ч).
От 9 ч до 16 ч пройдет 16—9 = 7 (ч).
Решение обратных задач будет таково:
Первая з ад а ч а. 9+7=16 (ч).
Вторая задача. 1) 4+12 = 16 (ч),
2) 16-7=9 (ч). .
Эти решения настолько просты, что комментария не требуют.
Учеников III класса необходимо познакомить с решением трех видов задач на вычисление времени в пределах суток.
«От Москвы до Смоленска поезд идет 8 ч. Из Москвы поезд вышел в 22 ч. Когда он прибудет в Смоленск?»
Решение:
1) До конца суток от 22 ч пройдет 24—22 = 2 (ч).
2) На вторые сутки поезд будет идти 8—2 = 6 (ч).
Ответ. В 6 ч утра следующего дня поезд прибывает в Смоленск.
В этой задаче ученики самостоятельно составят и решат две обратные задачи.
За этими задачами следует решить с учениками задачу на определение начала, а потом на определение конца события в пределах одного года, используя при подсчете табель-календарь.
Задача. По народным приметам озимые (рожь и пшеница) 2 недели цветут, 2 недели наливают зерно и 2 недели созревают. Ког^а можно начать уборку урожая озимой ржи, если она зацвела 13 июня?
Решение:
1) От цветения до спелости ржи пройдет 2+2+2=6 (недель), или 7-6=42 (дня).
2) В июне пройдет 30—13=17 (дней).
3) В июле на налив и созревание зерна пройдет 42—17 = = 25 (дней).
Ответ: 25 июля можно приступить к уборке урожая.
Проверку этого решения дети могут выполнить, воспользовавшись табель-календарем, непосредственным подсчетом дней.
Задача. От посадки до появления первого плода огурцор требуется 65 суток. Когда нужно посадить огурцы в парник, чтобы начать сбор урожая 15 июля?
Решение:
1) В июле пройдет 15 сут
В июне » 30 сут.
Всего » 45 сут.
2) Кроме того, еще нужно 65—45=20 (сут).
3) В мае 31 день, поэтому 31—20=11 (сут).
Ответ: 11 мая следует посадить огурцы, чтобы получить первый сбор 15 июля.
Ученикам можно предложить для решения несколько более сложных задач, например:
Задача. Поле засеяли 18 мая, а убрали урожай с этого поля 15 августа. Сколько времени прошло от посева до уборки урожая?
Решение.
В мае прошло 31 — 18=13 сут.
В июне 30 сут.
В июле 31 сут.
В августе 15 сут.
Всего прошло . 89 суток, или 2 меся-
ца 28 суток.
§ 2. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
Многие методисты выделяют в особый тип задачи, содержащие описание процесса движения двух или нескольких тел, которые перемещаются в одном или в разных направлениях. Эти задачи получили название «задачи на движение». Особенность этих задач в том, что они построены на основе функциональной зависимости между величинами время, расстояние (путь) и скорость. Причем единица скорости является производной единицей от пути по времени и выражается в метрах, деленных на секунды или в километрах за час, метрах в минуту. Понятие скорости для учеников начальных классов довольно сложно и вводится чисто интуитивно, без всяких теоретических обоснований, опираясь лишь на жизненный опыт детей.
Задачи на движение по существу математических зависимостей, заложенных в их содержании, нельзя отнести к ocoOoj му типу задач. Для подтверждения этого сопоставим решение задачи «Из двух городов, находящихся на расстоянии 420 км, выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист со
скоростью 60 км в час и автомобилист со скоростью 80 км в час. Через сколько часов они встретятся?» и задачи «На 4 руб. 20 коп. куплено по равному числу килограммов яблок и груш. Цена яблок 60 коп. за килограмм, а груш 80 коп. Сколько килограммов тех и других фруктов куплено?»
Решение задачи на движение.
1) На сколько километров в час сближаются мотоциклист и автомобилист?
60+80=140 (кле)
2) Через сколько часов произошла встреча мотоциклиста и автомобилиста?
420:140 = 3 (ч)
Решение второй задачи
1) Сколько платили за 1 кг яблок и 1 кг груш вместе?
60+80=140. (коп.)
2) По скольку килограммов яблок и груш купили за 4 руб. 20 коп.?
420: 140=3 (кг)
Алгебрайческое решение
Встреча произошла через к часов. За х часов автомобилист и мотоциклист проехали 60+80, или 140кл. Следовательно, 60х+80х=420; 140х=420; х=420:140; х=3 (ч).
Тех и других фруктов купили по х килограммов. Заплатили за них 60х+80х=420; 140х=420; х=420:140; х=3 (кг).
Аналогичное решение будет иметь и следующая задача: «Мастер за 1 ч изготавливает 80 деталей, а ученик 60 деталей. За сколько часов, работая вместе, они изготовят 420 деталей?»
Из приведенных примеров видно, что и арифметическое и алгебраическое решения этих задач полностью совпадают по своим приемам. Вот почему задачи на движение не составляют особого типа задач. Однако, следуя сложившейся традиции, решение задач на движение тел рассмотрим особо, тем более что методика их решения имеет свою специфику.
Среди задач на движение в начальных классах рассматривают задачи, в которых описывается движение одного тела и задачи на одновременное движение двух тел.
В задачах первого вида содержатся в качестве данных или искомого 3 зависимых друг от друга величины: расстояние, время движения, скорость. Зависимость между ними выражается формулами:
1 s—vt, v=s:t, t=s:v.
Отсюда ясно, что в задачах этого вида можно задать скорость и время, а искать пройденное телом расстояние, или задать расстояние и время движения, а искать скорость, или задать расстояние и скорость, а искать время. Все 3 задачи на движение одного тела рассматриваются в III классе. Подготовку к решению этих задач начинают уже во II классе.
Второклассникам вполне доступно решение задач, в которых требуется найти сумму или разность пройденных расстояний, например:
1. За неделю турист проехал на лодке 46 км, прошел пешком 37 км и проехал на автомашине 469 км. Какое расстояние преодолел турист за неделю?
2. Трактор до полудня прошел 78 км, а во вторую половину дня на 14 км больше. Сколько горючего израсходовал за весь день трактор, если на 1 км пути он расходует 200 г?
Решение: 1) 784*14=92 (км)
2) 924-78=170 (км)
3) 200-170=34 000 (г); 34 000 г = 34 кг.
3. За 3 ч велосипедист проехал 42 км. Сколько километров он проезжал в час, если в каждый час проезжал одинаковое число километров?
Эта задача и последующая подводят учеников к понятию о скорости, хотя этот термин еще не вводится.
4. За 2 ч велосипедист проехал 18 км. Сколько километров проедет он за 3 ч, если за каждый час будет проезжать одинаковое число километров?
В приведенных задачах говорится о движущихся телах, о пройденных ими расстояниях. Решать во II классе задачи, в которых речь идет о скорости, не следует — понятие скорости для второклассников преждевременно: для них довольно сложно узнать скорость движения тела по времени движения и пройденному пути. Однако они не затруднятся найти, сколько километров прошло оно за несколько часов.
При решении задач, в которых говорится о движущихся телах и о расстоянии, пройденном ими, ученикам II класса следует показать на конкретных примерах движение тел и несколько раз измерить расстояние, которое некоторое тело прошло за определенное время. А после того как они ознакомятся с измерением времени, полезно с ними проделать ряд упражнений на определение времени движения. Например, по часам.» измерить, за сколько минут пешеход пройдет 500 м, или за какое время велосипедист проедет 1 км, и т. п. Эти практические работы дадут детям представление о времени движения и о пройденном расстоянии.
Если почему-либо во II классе таких упражнений ученики не выполняли, то с них в III классе и нужно будет начать подготовку к решению задач на движение.
В III классе практические занятия следует усложнить, проводя одновременное измерение пройденного расстояния и времени движения, а также одновременное наблюдение за движением двух тел. Например, пользуясь часами, измерить, за сколько минут 2 ученика, находящиеся на расстоянии 200 м, встретятся, если выйдут одновременно. Измерить скорость движения пешехода, заметив время его движения и пройденное им
расстояние; измерить, на сколько сблизятся 2 человека или удалятся, двигаясь в противоположных направлениях за5лы«.
Все эти практические работы не потребуют много времени и не сложны, но они обогатят представления детей конкретными наблюдениями за движущимися телами.
и Следующим этапом подготовительной работы будут упражнения на вычисление пути и времени движения одного тела. Целесообразно решить следующие задачи, соблюдая указанную последовательность их решения:
1. Водитель автомашины при выезде на шоссе заметил 48-километровый столб, а остановку он сделал у 350-километрового столба. Сколько километров проехал он до остановки?
За этой задачей можно рассмотреть задачи:
2. Мотоциклист выехал в 11 ч, а приехал в город в
1 ч 30 мин того же. дня. Сколько времени мотоциклист был в пути?
3. За 4 ч пешеход прошел 16 км. Он шел равномерно, т. е. в каждый час проходил одинаковое число километров. Сколько километров он проходил за 1 ч?
4. Велосипедист за 3 ч проехал 36 км. Он ехал равномерно. С какой скоростью ехал велосипедист?
Решение двух последних задач ученики должны сопоставить и из наблюдений заметить, что для нахождения скорости надо знать, какое расстояние проходит тело за 1 ч или за какую-либо другую единицу времени (минуту, секунду).
К последней задаче дети составят две обратные, а именно:
а) Велосипедист был в пути 3 м. За час он проезжал
12 км. Какое расстояние проехал велосипедист за 3 ч?
б) Велосипедист проехал 36 км со средней скоростью 12 км в час. Сколько времени ехал велосипедист?
Краткую запись условий и решений этих задач удобно поместить в таблице:
Скорость (км в час) Время (ч) Расстояние (км) Решение
Задача 4 ? 3 36 х=36 : 3; х=12 (км в час)
Задача а) 12 3 ? х=12-3: х=36 (км)
Задача б) 12 ? 36 х=36:12; х=3 (ч)
Чтобы учеников познакомить с формулой, описывающей движение тела, им следует предложить для решения задачу, подобную решенной, у которой значение одной из величин выражено буквой, а в следующей задаче уже оба значения величин будут заданы буквами. Например: «Вертолет пролетел s километров за t часов. Найти скорость (о) вертолета».
Опираясь на предыдущие решения, ученики разберут эту задачу и с помощью учителя запишут ее решение в виде формулы: v — s : t. Это решение ученики должны пояснить и, сделав соответствующие подстановки чисел вместо букв, найти значение выражения, стоящего в правой части формулы.
Составив к приведенной задаче обратные ей и решив их, дети получат две другие формулы: s = v-t и /=s : V.
Числовые формулы, соответствующие конкретным задачам, ученики должны уметь записывать и находить значение неизвестной величины без ошибок. С этой целью они должны решить ряд задач из учебника для III класса: № 302, 307—310, 316—319 и др.
На следующем этапе дети перейдут., к решению задач на движение, на нахождение четвертого пропорционального, например: «Расстояние от города до поселка велосипедист проехал за 3 ч со скоростью 15 км в час. На обратном пути то же расстояние он проехал за 5 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на обратном пути?»
Краткая запись задачи:
3 ч— 15 км в час 5 ч — ?
расстояния одинаковые
Решение. Обозначим через х скорость велосипедиста на обратном пути. До поселка велосипедист проехал 15-3 (км). Обратный путь — х-5. Расстояние от города до поселка и обратно одно и то же, поэтому 15-3=х-5; х=45:5; х=9.
Ответ: 9 км в час — скорость велосипедиста на обратном пути.
Задачи на движение одного тела могут быть и усложнены, как, например, следующая: «По озеру и реке катеру нужно пройти 124 км. По озеру он идет 2 ч со скоростью 24 км в час, а по реке его скорость 19 км в час. За сколько времени катер пройдет все расстояние?»
Задачи на одновременное движение двух тел значительно сложнее рассмотренных выше и поэтому к их решению приступают позже. В задачах этого вида можно выделить задачи на движение тел в противоположных направлениях (на встречное движение и задачи на удаление движущихся тел друг от друга) и задачи на движение в одном направлении. Последние в III классе не рассматривают.
Среди задач на встречное движение следует различать четыре вида. Приведем образцы этих задач.
1. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 4 ч. Скорость велосипедиста 14 км в час, а мотоциклист проезжал в час 50 км. На каком расстоянии они находились в начале движения?
Решение: (14-J-50) -4 =256 (км).
2. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из двух городов, находившихся на расстоянии 256 км, навстречу друг другу. Мотоциклист проезжал в час 50 км, а скорость велосипедиста 14 км в час. Через сколько часов они встретятся?
Решение: 256 : (50+14) =4 (ч).
3. Мотоциклист и велосипедист одновременно выехали навстречу друг другу из двух городов, находившихся на расстоянии 256 км. Мотоциклист ехал со скоростью 50 км в час. С какой скоростью ехал велосипедист, если он встретил мотоциклиста через 4 ч после выезда?
Решение: 256 : 4—50= 14 (км в час).
4. Мотоциклист и велосипедист одновременно выехали навстречу друг другу из двух городов, находящихся на расстоянии 256 км. Велосипедист ехал со скоростью 14 км в час-. С какой скоростью ехал мотоциклист, если он встретил велосипедиста через 4 ч после выезда?
Решение: 256:4—14=50 (км в час).
В задачах на удаление двух тел друг от друга также можно выделить 4 аналогичные задачи, решения которых также похожи на приведенные.
Переходя к решению задач на движение двух тел в противоположных направлениях, ученикам следует напомнить о тех наблюдениях, которые они провели, проследив движение двух человек навстречу друг другу и уходивших друг от друга.
Эти наблюдения за движением двух тел помогут детям понять, что при встречном движении, а также при удалении одного тела от другого расстояния, пройденные телами за единицу времени, суммируются, иначе говоря, скорости при движении в противоположных направлениях складываются.
Кроме того, что при решении задач на движение двух тел, скорости их складываются или вычитаются, эти задачи имеют еще некоторые специфические особенности, в которых ученик должен хорошо разбираться. Выяснению этих особенностей поможет подробный разбор следующих задач из учебника математики III класса:
«№ 441. 1) Два велосипедиста выехали в одно и то же время навстречу друг другу и встретились. Что можно сказать о времени, которое пробыл в пути до встречи каждый велосипедист?
2) Из Москвы и Тулы выехали одновременно навстречу друг другу два автобуса и встретились через 2 ч._ Сколько времени был в пути до встречи каждый автобус?
№ 442. Из поселка в город выехал велосипедист, который ехал со скоростью 14 км в час. В то же время навстречу ему из города выехал мотоциклист, который встретился с велосипедистом через 2 ч. На каком расстоянии от поселка произошла встреча?»
• Из разбора трех приведенных задач ученик должен уяснить, как понимать «одновременное начало движения», почему при
встрече оба тела, находятся на одинаковом расстоянии от какого-либо одного пункта, независимо от того, с какой скоростью они перемещались и какое расстояние прошли, а также уяснить, что время движения до встречи двух тел при одновременном их отправлении в путь одинаково.
В задачах на встречное движение и в задачах на удаление одного тела от другого (в некоторых методических статьях второй вид движения назван в отличие от встречного движением в противоположных направлениях, например в ст. Г. С. Шам-сутдиновой в журнале «Начальная школа» за 1972 г., № 1, . с. 32—35, хотя в обоих случаях рассматривают два тела, движущихся в противоположных направлениях: в первом случае навстречу одно другому, во втором — удаляясь одно от другого) искомым выступает или 1) время движения, или 2) пройденное расстояние (путь), или 3) скорость движения одного или обоих тел.
Из названных задач ученикам доступнее других те, в которых требуется отыскать расстояние, поэтому лучше начать с решения задач этого вида.
Задача. Из двух городов выехали одновременно мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист ехал со скоростью 48 км в час, а велосипедист—12 км в час. Они встретились через 4 ч. Какое расстояние проехали мотоциклист и велосипедист?
К условию задачи ученики сделают графическую иллюстрацию в виде отрезка прямой с указанием над ним скоростей в виде стрелочек, направленных друг к другу (рис. 31).
Рассматривая условие, следует установить, на сколько километров в час приближается велосипедист к мотоциклисту, если второй стоит на месте, а затем выяснить тот же вопрос для мотоциклиста. Дальше следует оба вопроса объединить, т. е. установить, на сколько километров в час приближаются друг к другу велосипедист и мотоциклист: 48+12=60 {км). После этого будет ясно, как найти расстояние, которое они проехали до встречи, чт. е. за 4 ч: (48+12)-4, или 60-4= —240 {км).
Эту задачу ученики могут решить и вторым способом: ' 48-4+12-4.
Ответ: 240 км проехали вместе велосипедист и мотоциклист.
Решения первым и вторым способами, записанные в виде выражений, ученики сопоставят, в результате чего может быть записано равенство: (48+12)-4=48-4+12-4. Рассмотрев его, ученики скажут, какой из способов решения рациональнее.
К решенной задаче учитель составит одну из обратных задач: «Из двух городов, расстояние между которыми 240 км, выехали одновременно мотоциклист со скоростью 48 км в час и велосипедист, проезжавший в час 12 км. Через сколько часов они встретятся?»
Решение этой задачи целесообразно записать в виде выражения 240: (48+12); 240:60=4 (ч).
Вторую обратную задачу ученики составят и решат самостоятельно. Однако им полезно сказать, что за искомое они могут взять скорость движения велосипедиста или мотоциклиста. Чтобы экономнее использовать время урока, часть учеников может составить первую задачу, а другая — вторую. Разбор и запись решений этих задач дадут ученикам представление о задачах на встречное движение.
Решение задач на удаление одного тела от другого в принципе не отличается от задач на встречное движение.
Рассмотрим задачу № 712 (учебник математики III класса): «С одного аэродрома поднялись одновременно и полетели в противоположных направлениях два самолета. Через 3 ч между ними было расстояние 3 540 км. Один из них летел со скоростью 620 км в час. С какой скоростью летел другой самолет?»
Решение. Анализируя задачу, находим, что для первого самолета дана скорость (620 км в час) и время полета (3 ч). Для другого самолета указано лишь время полета—те же 3 ч.
Первый самолет за 3 ч пролетел 620-3=1 860 (км).
Второй самолет за это же время пролетел
3 540-1 860=1 680 (км).
Следовательно, за 1 ч он пролетит в 3 раза меньше, т. е.
1 680:3 = 560 (км).
Следует рассмотреть и второй способ решения этой задачи.
Оба самолета пролетели за 3 ч расстояние 3 540 км, следовательно, за 1 ч они пролетели в 3 раза меньше, т. е._3 540: 3 = =.1188 (км) —это сумма скоростей двух самолетов (на это обстоятельство обязательно обратить внимание учеников).
Скорость первого самолета 620 км в час. Чтобы найти скорость второго самолета, от суммы скоростей двух самолетов вычтем скорость первого самолета: 1 180—620=560 (км в час).
Ответ. Скорость второго самолета 560 км в час.
Оба решения ученики сопоставят и сделают вывод: второй способ решения короче, а следовательно, рациональнее, хотя рассуждения при его решении сложнее.
Для проверки решения надо составить и решить новую задачу, например: «Два самолета вылетели с одного аэродрома одновременно и полетели в противоположных направлениях. Скорость одного самолета 620 км в час, а другого 560 км в час.
Через сколько часов расстояние между самолетами составит 3 540 км?»
Вычисления при решении проверочной задачи можно записать, а пояснения ученики сделают устно. Полезно спросить учеников: «Можно ли для проверки решения составить другие задачи?», а затем попросить составить еще одну такую задачу.
Система расположения материала при ознакомлении детей с решением задач на движение может быть иной. В книге для учителя «Обучение в III классе» (М., «Просвещение», 1975) М. А. Бантова и А. С. Пчелко предлагают после предварительного ознакомления учеников с характерными для этого вида задач терминами рассмотреть, используя конкретные примеры, 3 вида задач на встречное движение, а затем 3 вида задач на движение с удалением тел, рекомендуя при этом решать прямые и обратные задачи. В приведенном ими примере решения задач на встречное движение предлагается при анализе графической иллюстрации к условию установить, что все расстояние между пунктами состоит из двух отрезков, пройденных различными телами. Затем найти эти расстояния и определить весь путь. Там же разобран и второй способ решения, при котором сначала складываются скорости двух движущихся тел.
Далее предлагается рассмотреть обратные задачи: первая с искомым временем движения, а вторая с искомой скоростью движения одного из тел. Причем каждая из обратных задач сопровождается особой иллюстрацией.
Ознакомившись с различными особенностями в подходе к решению задач на движение, учитель сам может избрать тот подход, который, по его мнению, будет более приемлем для его учеников.
Среди задач на движение полезно решить несколько задач комбинированных, например: «В 8 ч утра велосипедист выехал на шоссе и заметил на километровом указателе 53 км. Отдыхал он в 10 ч утра у 79-километрового столба. Сколько времени ему потребуется, чтобы проехать оставшиеся 39 км, если он будет ехать с той же скоростью?»
Решение: 1) 79—53=26 (км), 2) 10—8 = 2 (ч)
3) 26:2=13 (км в час) 4) 39:13 = 3 (ч)
Ответ. Чтобы проехать оставшиеся 39 км, велосипедисту потребуется 3 ч.
Большинство задач на движение в Ш классе можно решать, пользуясь уравнениями. Так, приведенную выше задачу № 712 целесообразно решить следующим образом. Условие задачи, иллюстрируем (рис. 32), что позволит ученикам значительно быстрее и полнее осмыслить суть задачи. Скорость первого самолета по условию 620 км в час, а скорость второго самолета обозначим х километров в час. Согласно условию самолеты вылетели из одного пункта в противоположных направлениях, поэтому отмечаем точку на прямой (начало пу-
Рис. 33
ти), примерно на середине прямой, а над ней направление полетов указываем стрелками. Над стрелками указываем скорости полетов. На прямой отмечаем конечные точки А и В. Отрезок АВ изображает все расстояние. Под ним запишем: «3 540 км за 3 ч».
Первый самолет за 3 ч пролетит 620-3 (км).
Второй самолет за это время пролетит х-3 (км).
По условию оба самолета за 3 ч пролетают 3 540 км. Следовательно, 3 540 равны сумме 620-З+х-З. На этом основании запишем уравнение: 620-3+х-3 = 3 540.
Решение уравнения: 1 860+х-3=3 540; х-3=3540—1 860; х-3= 1 680; х= 1 680 : 3; х=560.
Проверка решения уравнения: 620-3+560-3 = 3 540; 3 540= = 3 540.
Рассмотрим алгебраическое решение следующей задачи: «С одной станции одновременно вышли в противоположных направлениях 2 поезда. Первый шел со скоростью 60 км в час, второй — 56 км в час. Через сколько часов эти поезда ушли друг от друга на 696 кмЪ>
При разборе задачи ученикам следует предложить сделать к ней чертеж. Отступив от края листа бумаги, ставим точку — это начальная станция, из которой поезда вышли в противоположных направлениях. Из точки проводим две противоположно направленные стрелочки, из - которых одна длиннее другой (рис. 33), и отмечаем над ними данные скорости поездов: 56 и 60 км в час. Проводим прямую так, что стрелки окажутся расположенными над этой прямой,- и на ней от точки откладываем по разные стороны 2 отрезка и ставим под ними число696 км. Искомым к задаче служит время, поэтому рядом с числом 696 запишем: «время х». Таким образом, задача схематически записана отрезками, стрелками и надписями.
Все расстояние, пройденное двумя поездами, известно (696 км)-, если узнать, сколько километров проходили2 поездд за 1 ч, и обозначить время их движения через х, то можно записать все пройденное поездами расстояние выражением (60+ +56)-х. Это выражение указывает пройденный поездами путь, но по условию он равен 696 км. Составляем уравнение: (60+ +56) -х=69б.
Решение: 116-х=696; х=696 : 116; х=6.
Проверка уравнения; (60+56)-6=696; 116-6 = 6%; 696=696.
Ответ. Поезда будут на расстоянии 696 км через 6 ч.
Уравнение можно составить и другим способом. Время движения х, а пройденное расстояние 696 км, следовательно, сумма скоростей двух поездов выразится частным: 696 : х. Эта сумма равна 56+60, поэтому получим уравнение: 696:х=56+60.
Решение этого уравнения даст тот же результат.
Из решения двух последних задач легко заметить, что чертежи, иллюстрирующие задачи на движение, позволяют ученикам значительно лучше разобраться в содержании задачи и характере движения, описанного в ней. Поэтому большинство задач на движение целесообразно сопровождать схематическими чертежами. На первых этапах работы такие иллюстрации делает учитель, а затем он постепенно вовлекает в их составление и учеников, которые впоследствии переходят к самостоятельному выполнению схематических чертежей.
§ 3. ЗАДАЧИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
Изучение геометрического материала в I—III классах не обособляется от арифметического. Совместное изучение арифметического и геометрического материала способствует более углубленному изучению каждого из них и программы по математике в целом. Однако некоторые вопросы из геометрии приходится рассматривать обособленно.
Модели геометрических фигур (треугольников, квадратов, кругов, прямоугольников), а затем отдельные элементы фигур широко используются при обучении счету и вместе с тем помогают детям получить первые представления о геометрических фигурах и некоторых свойствах их.
Модели различных фигур и их части дают полезный дидактический материал при изучении долей. Геометрические иллюстрации задач играют большую роль при уяснении содержания и решении многих задач. Измерение отрезков, вычисление периметров и площадей фигур позволяет установить отношение между фигурами и числами, а также способствует выработке навыков в вычислениях.
С другой стороны, свойства арифметических действий используются при изучении свойств геометрических фигур. Знание арифметики помогает при нахождении периметров и площадей'различных фигур.
Изучение геометрического материала, так же как и арифметического, сопровождается решением задач.
Среди геометрических задач, рассматриваемых в начальных классах, следует выделить:
1. Задачи на узнавание фигур.
2. Задачи на измерение, вычерчивание и построение.
3. Задачи на нахождение и выделение фигур.
4. Задачи на видоизменение фигур.
5. Задачи на классификацию фигур.
6. Задачи на сравнение фигур.
7. Задачи вычислительного характера.
Знакомство с геометрическими фигурами дети- начинают с узнавания их и различения. Детям показывают несколько различных фигур и предлагают сначала выбрать из них одинаковые фигуры, затем — фигуры одинаковой формы независимо от их величины. Одновременно дети запоминают названия простейших фигур: треугольник, квадрат, круг; учатся правильно называть увиденные фигуры и изображать их от руки.
Несколько позже перед детьми ставится задача выделить в фигуре отдельные элементы: стороны, вершины, углы.
Познакомив детей с отрезком прямой и кривой линий, следует требовать от них правильно изображать линии на бумаге и на классной доске и сравнивать их по длине и на глаз. Затем ученикам надо показать, как измерять длину отрезка сантиметровой линейкой, и записать результат измерения. При знакомстве детей с сантиметровой линейкой нужно обратить их внимание на деления, нанесенные на линейку, и на обозначение штрихов цифрами. Числа 1, 2, 3 и т. д. указывают счет сантиметрам. Измеряя отрезок, линейку прикладывают так, чтобы штрих, стоящий против числа нуль (0), совпал с началом отрезка, тогда число, стоящее против штриха, совпадающего с концом отрезка, укажет его длину.
В I классе, когда дети овладеют навыком измерения отрезков, им можно предлагать задачи на вычерчивание отрезков определенной длины, на нахождение суммы и разности двух отрезков. Эти геометрические упражнения используются затем при решении задач, например задачи № 388 (учебник математики I класса, с. 161): «Длина аллеи 40 м. Два мальчика пошли навстречу' друг другу с концов этой аллеи. Один прошел до встречи 22 м. Сколько метров прошел до встречи другой мальчик?» К этой задаче дана иллюстрация в виде двух отрезков,, причем известна общая длина двух отрезков и длина одного из них. Зная, как найти разность двух отрезков, дети смогут решить эту задачу самостоятельно. Учителю нужно будет лишь помочь им разобраться в приведенной иллюстрации, поставив перед детьми ряд вопросов:
Где на рисунке указана длина аллеи?
Чему равна эта длина?
Каким отрезком показано расстояние, которое прошел первый мальчик? Чему оно равно?
Как обозначен отрезок пути, пройденный вторым мальчиком?
Каким действием надо будет решать эту задачу?
метры изображать санти-Рис. 34 метрами. По выполненному
чертежу можно проверить решение задачи геометрически — измерением длины суммы двух отрезков.
Аналогично можно провести решение задачи № 382 (там же, с. 160).
Во II классе умение измерять длину отрезков потребуется при определении периметров многоугольников, а также при ил-дкЯГГрации задач чертежами. Ученики этого класса должны овладеть навыком откладывать отрезки определенной длины на прямой посредством циркуля и линейки.
Периметр многоугольника (треугольника, прямоугольника) дети могут находить путем непосредственного измерения каждого отрезка и суммирования полученных при измерении чисел. Можно познакомить детей с измерением периметра путем спрямления контура посредством переноса каждой стороны, взятой циркулем, на прямую, одну за другой, и последующего измерения сантиметровой линейкой отрезка, представляющего собой сумму длин всех сторон многоугольника.
Измеряя отрезки, ученики научатся сравнивать их: в I классе они находят, какой из отрезков длиннее, какой короче, и записывают *Угот результат в виде неравенства, позднее проводят разностное сравнение отрезков, т. е. вычисляют, на сколько один отрезок длиннее другого.
Во II классе делят отрезки на 2, 3, 4, 5 частей на глаз с последующей проверкой измерением и сравнивают отрезки путем накладывания одного из них на другой. Затем дети могут по готовому чертежу с обозначением длин отрезков составлять простейшие уравнения. Так, пользуясь рисунком 34, они могут составить уравнение 46+х—58 или 58—х=46.
В III классе детям, помимо задач на нахождение периметров различных фигур — треугольников, прямоугольников и разносторонних четырехугольников, полезно давать задачи на составление уравнений такого характера: «Периметр треугольника 136 см. Одна сторона его 47 см, а вторая — 53 см. Найти третью сторону данного треугольника».
Уравнение: 47+53+х= 136.
Решение: 100+х==136; х==136 —100; х=36.
Задачи подобного типа могут предлагаться в виде чертежа фигуры с указанием длины сторон (рис. 35).
Задачи на построение требуют от ученика некоторых умений в обращении с чертежными инструментами и принадлежностями, поэтому следует ознакомить учеников с правилами обращения с линейкой, прямоугольным треугольни
136 см
Рис. 35
ком, циркулем и тренировать их
в умении применять эти инструменты при черчении. Упражнения в построении начинают с простейшего: провести прямую линию, отложить отрезок, измерить отрезок, сравнить два отрезка, сложить отрезки, вычесть из большего отрезка меньший, разделить отрезок, построить окружность произвольного, а позже данного радиуса, разделить окружность на 2, 6, 3 равные части с помощью линейки и циркуля, построить, пользуясь чертежным треугольником, прямой угол, построить прямоугольник. Большинство задач на построение дети выполняют на бумаге, разлинованной в клетку, но в III классе они должны уметь построить прямоугольник на нелинованной бумаге. Построение прямоугольника в этом случае начинают с построения прямого угла с помощью чертежного треугольника. На стороне этого угла от вершины откладывают циркулем или с помощью линейки длины сторон. За.тем в полученных точках строят еще два прямых угла.
Среди задач на построение следует предлагать и такие: «По трем точкам, изображающим вершины прямоугольника, построить прямоугольник» или «Даны 2 точки, которые служат вершинами квадрата. Построить квадрат». Задача имеет два решения: 1) данные точки принимаются за ближайшие друг к другу вершины; 2) точки обозначают вершины квадрата, противолежащие друг другу.
Предлагая ученикам для самостоятельного выполнения (фронтально) задачу на построение фигуры по заданным точкам, удобно использовать листки бумаги. При подготовке к уроку учитель складывает их в стопку и шилом или толстой иглой делает в нужных местах проколы, которые будут обозначать заданные точки. На уроке каждый ученик получает листок с проколами, выслушивает указания учителя и выполняет соответствующее построение по заданным точкам.
Важно, чтобы дети умели видеть в геометрическом чертеже все разнообразие фигур и их элементов, включенных в него. С этой целью детям предлагают назвать все элементы данной фигуры. Например, в треугольнике они должны указать 3 точки — они же и вершины треугольника и вершины углов, 3 стороны треугольника — они же отрезки прямой и стороны углов, 3 угла. По данному чертежу фигуры также полезно отыскать другие заданные фигуры, вошедшие в данную. Например, по чертежу (рис. 36) указать все треугольники (8). При выпол-
Рис. 36
Рис. 37
нении задания такого рода удобно каждую из указанных учеником фигуру изобразить отдельно. Так, к данной фигуре будут сделаны следующие чертежи (рис. 37).
Во II классе к задаче № 58 (учебник математики) «Сколько на этом чертеже треугольников?» можно сделать следующий чертеж (рис. 38). Из него видно, какие в данной фигуре следует вычленить треугольники.
С задачами на нахождение и выделение фигур тесно связаны задачи на видоизменение фигур. Для развития пространственного воображения последние задачи служат непосредственным продолжением первых. Иногда задачи на видоизменение фигур (или на изменение вида фигур) называют задачами на преобразование фигур. От этого термина в данном случае следует отказаться, так как в дальнейшем школьники будут изучать «преобразование» как особый раздел геометрии, в котором под преобразованием понимается движение, поворот и симметричные преобразования фигур. Чтобы при последующем обучении школьникам не пришлось переучиваться, удобнее в данном случае пользоваться термином «видоизменение фигур» или «изменение формы фигуры».
Знакомство учеников с задачами на видоизменение фигур обычно начинают с упражнения на моделях фигур. Например:
1) Модель фигуры прямоугольника или квадрата разрезать так, чтобы получить 2 треугольника.
2) Отрезать от модели прямоугольника модель квадрата.
3) Разрезать модель фигуры квадрата на части и сложить из них прямоугольник.
Рис. 39
4) Разрезать модель треугольника так, чтобы из его частей можно было бы сложить четырехугольник, прямоугольник.
В дальнейшем подобное изменение в фигурах следует задавать на чертежах. Например: «Начертите такие фигуры (рис. 39} и дополните каждую из них до треугольника (на чертеже пунктиром указано решение).
Рассматривая решения этих задач, следует обратить внима-
ние на то, что решение первых двух однозначно, так как в данных фигурах пересекаются продолжения только 2 сторон, а па
ры других сторон при продолжении не пересекаются, в третьей же задаче можно построить два треугольника.
В задаче № 324 (учебник математики II класса) на предложенном чертеже пятиугольника требуется провести один отрезок так, чтобы получить в первый раз треугольники четырехугольник, а во второй раз — 2 четырехугольника (рис. 40). Решение этих задач не однозначно и поэтому следует рассмотреть несколько вариантов решений и выяснить, какое из этих решений наиболее простое.
В III классе также целесообразно давать ученика^ задачи на видоизменение фигур, например такого характера:
1) В данных многоугольниках провести один отрезок, чтобы
образовался квадрат (рис.41).
2) В данных многоугольниках (рис. 41) провести по 2 отрезка так, чтобы получить в первом многоугольнике наибольшее число треугольников, а во втором и третьем многоугольниках— наименьшее число треугольников.
На рисунке 42 приведено разложение одного из данных многоугольников на треугольники.
Рис. 40
Весьма важно научить детей находить в геометрических фигурах общие свойства и свойства, отличающие одну фигуру от другой. Знание этих свойств фигур позволит ученикам классифицировать фигуры.
Упражнения по классификации геометрических фигур начинаются уже на первых этапах знакомства с геометрическим материалом, когда детям предлагают из ряда моделей фигур выделить круги, квадраты, треугольники и т. д. Постепенно работа в этом направлении усложняется. Ученики должны видеть общие очертания фигур и различать их свойства и свойства их элементов. Например, в данном четырехугольнике все углы прямые— это прямоугольник, а в другом четырехугольнике все утлы прямые и все стороны равны между собой — это не только прямоугольник, но и квадрат.
При разборе подобных задач надо обращать внимание учеников на то, чтобы они рассматривали особенности не только фигуры в целом, но и свойства элементов данной фигуры, сопоставляя эти элементы между собой и с аналогичными элементами в других фигурах. Так, выясняя, будет ли данный четырехугольник квадратом, ученик сравнит между собой все его стороны, затем установит, какие углы у данной фигуры, и только после этого сделает заключение: данная фигура — квадрат или данная фигура не квадрат.
Задания по классификации фигур приводят к сравнению одной фигуры с другой. Сравнение вызывает необходимость сопоставлять число содержащихся в фигуре элементов и размеры сходных элементов. Сравнивая четырехугольник с треугольником, ученик устанавливает, что вершин, сторон и углов в первой фигуре по 4, а во второй—по 3.
Сопоставляя 2 треугольника, он выясняет, что число вершин, сторон и углов одной фигуры равно числу сходных элементов
другой фигуры. Сравнивая их стороны, он находит, что у одного треугольника все стороны равны — треугольник равносторонний, а у другого треугольника стороны разной длины — треугольник разносторонний и т. п.
При сравнении фигур следует руководствоваться определенным порядком:
1) выяснить, равно ли число сходных элементов данных фигур;
2) установить соотношение между сторонами рассматриваемых фигур;
3) узнать, каково соотношение углов сравниваемых фигур.
При этом в начальных классах соотношение между линейными элементами фигур следует устанавливать посредством изме: рения линейкой, полоской бумаги или циркулем. А соотношения между углами — посредством сравнения с углами чертежного треугольника или путем сравнения угла, скопированного на кальку, с углом данной фигуры.
Решение геометрических задач вычислительного характера во многом сходно с решением обычных арифметических задач. Некоторые из таких задач связаны с задачами других видов, и мы рассмотрели их выше.
Рассмотрим задачи на сравнение длины отрезков.
1. Андрей от своей квартиры до школы может пройти двумя дорогами. По первой он идет до магазина ПО м и от магазина до школы 170 м, по второй — от квартиры до кинотеатра 140 м и от кинотеатра до школы 120 м. Какой путь короче и на сколько? Начертите эти дороги одну под другой, каждую в виде двух отрезков, приняв 10 м за 1 клеточку.
Ознакомив учеников с условием, учитель предложит им сделать чертеж и проставить на нем данные из условия. Затем спросит, как узнать длину первого пути, как узнать длину второго пути, как сравнить, какой путь короче и что для этого нужно сделать. Выяснив эти вопросы в беседе, дети запишут:
I) Первая дорога 110+170 = 280 (м).
2) Вторая дорога 120+140 = 260 (л«).
3) На сколько вторая дорога короче первой? 280 — 260 = = 20 (л«).
Дальше учитель спросит -детей: смогут ли они без вычислений, а только измерением найти, какая дорога и на сколько короче другой. Дети могут догадаться и скажут, что по чертежу видно, какая дорога короче; надо измерить ее длину, т. е. длину двух отрезков, которые представляют короткую дорогу, и отложить их длину на сумме двух других отрезков. Остаток снова измерить и, приняв каждую клеточку за 10 м, найти, на сколько одна дорога короче другой. По предложению учителя один из учеников выполняет эту работу, пользуясь чертежом на доске, а другие ученики, делают это в тетрадях. Учителю необходимо проследить, правильно ли дети сде-
лали чертежи и правильно ли они производят измерения.
2. Длина одного отрезка составляет 18 см. Другой отрезок короче первого в 3 раза. Найти общую длину двух отрезков. Решая эту задачу, ученики сначала выразят условие
Рис. 43 посредством приблизительно-
го чертежа (рис. 43). По чертежу найдут зависимость между данными и искомым и составят уравнение х= 18+18:3 и найдут: х=18+6, х—24. Ответ: 24 см.
После решения полезно сделать точный чертеж к этой задаче, что дети могут выполнить самостоятельно. Масштаб для чертежа целесообразно подобрать в процессе коллективного обсуждения (1 см— 1 клеточка).
Учащимся можно предложить составить к этому случаю обратную задачу, приняв за известное длину меньшего отрезка, а искомое оставить прежним.
Рассмотренные задачи предшествуют задачам, в которых требуется вычислять периметры треугольников и прямоугольников, в которых по условию одна сторона выражена через другие, например: «В прямоугольнике ширина в 2 раза меньше длины. Длина этого прямоугольника 38 см. Найти периметр».
В III классе эту задачу целесообразно решать арифметическим -способом. Решая задачу, удобно сначала найти ширину прямоугольника 38:2=19 (см), а затем полупериметр: 38+ + 19=57 (см). Периметр прямоугольника найдем, умножив 57 на 2, т. е. 57-2=114 (щи). Ответ: 114 см.
Следующую задачу удобнее решить, используя уравнение: «Периметр прямоугольника 206 м. Одна сторона его 38 м. Найти другую сторону прямоугольника».
Решение. Неизвестную сторону обозначим х, тогда полупериметр выразится суммой 38+х, а по условию полупериметр составляет 206:2, следовательно, можно записать равенство: 38+х=206:2; 38+х=103; х=103—38; х=65. (Ответ: 65 (м).)
К геометрическим задачам на вычисление можно отнести и задачи комбинированные, например: 1) Периметр квадрата 24 см. Найти его сторону и построить квадрат.
2) Построить прямоугольник, у которого одна сторона на 2 см короче другой, а периметр составляет 32 см.
Особый интерес представляют задачи на нахождение площадей фигур и обратные им. С площадями фигур дети знакомятся в III классе. Вначале они на ряде наблюдений и сравнений различных фигур убеждаются, что площади фигур неодинаковы: площадь одной фигуры может быть больше или меньше 142
площади другой фигуры. Но не всегда при А взгляде на фигуры можно определить, какая / \ фигура имеет большую площадь, поэтому [ \
нужно уметь измерять площадь, и выражать г~г л—
ее числом. Площадь прямоугольника выра- / \
жается числом укладывающихся в данную f _______________\
фигуру квадратов, принятых за единицу измерения. Например, если в прямоугольник Рис 44 уложилось 12 квадратов, стороны которых по 1 см, то площадь этого прямоугольника
12 квадратных сантиметров. Ученикам нужно показать, как найти площадь фигуры непосредственным укладыванием в нее квадратов и посредством палетки. Если фигура не прямоугольная, то при подсчете уложившихся в нее квадратов или числа квадратов на палетке приходится из частей квадратов мысленно составлять целые квадраты. Удобнее перед непосредственной укладкой квадратов в многоугольник превращать данную фигуру в равносоставленные прямоугольники (термин «равносостав-ленные» ученикам давать не нужно). Так, при нахождении площади треугольника посредством подсчета уложенных в него квадратов целесообразно треугольник видоизменить в равно-составленный прямоугольник (рис. 44). Подобное видоизменение треугольника в прямоугольник следует проделать на ряде моделей и представить возможность ученикам самостоятельно поупражняться в разрезании модели многоугольника на части, из которых можно составить прямоугольник.
При решении задач на нахождение площадей различных фигур путем непосредственного подсчета числа уложенных в нее квадратов полезно рационализировать подсчет, введя умножение числа квадратов, уложенных в один ряд, на число рядов, содержащих одинаковое число квадратов. Так, в фигуре, приведенной на рисунке 45, целесообразно при подсчете числа клеток (квадратов) выделить прямоугольник и найти число размещенных в нем клеток умножением.
От такого приема при подсчете площадей легко перейти к выводу правила вычисления площади прямоугольника. Правило полезно записать в виде формулы S — a-Ъ (S — площадь; а — длина; b — ширина прямоугольника). Правил для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции и др. ученикам III класса не дают, но дети могут находить площади этих фигур, превращая их в равносоставленные прямоугольники или посредством палетки. Следует заметить, что подсчет посредством превращения фигуры в равносоставленный прямоугольник дает возможность больше тренировать умственные способности учеников.
Вычисление площади прямоугольника в Ш классе начинают с наиболее простых задач. Первые 2—3 задачи дети решают двумя способами: 1) по выведенному правилу находят произ
ведение длины на ширину; 2) на рисунке расчерчивают прямоугольник на квадраты и непосредственно подсчитывают число •квадратных единиц, укладывающихся в данный прямоугольник. Порядок использования этих приемов можно варьировать.
Затем перед учениками ставится вопрос, как решить обратную задачу, т. е. как по данной площади прямоугольника и одному известному измерению (длине или ширине) найти второе измерение (ширину или длину). Если ученики знают, как находить площадь, то и обратная задача не составит для них большой трудности. Зная, что площадь равна длине, умноженной на ширину, а в данном конкретном случае, например, если ширина 32 м и площадь 1 312 кв. м, ученики составят уравнение: 32-х=1312, откуда найдут: х= 1312 : 32, х=41.
После того как ученики научатся находить площадь прямоугольника и решать обратные задачи, им можно предлагать более сложные задачи. Важно, чтобы ученики решили несколько задач на подсчет площадей треугольников и параллелограммов, предварительно превратив их в равносоставленные прямоугольники. При этом нужно подбирать данные так, чтобы площадь выражалась целым числом. Дальше следует решить несколько задач на подсчет площадей многоугольников. Например: «Вычислить площадь фигуры, пользуясь рисунком (рис. 46)». Решая, ученики сразу могут подсчитать площадь одного прямоугольника, а для нахождения площади другого прямоугольника предварительно нужно найти его ширину, т. е. узнать разность: 1) 4 — 2=2 (см). Получив результат, дети найдут: 2) 2-2=4 (кв., см); 3) 2-3=6 (кв. см); 4) 4+6 = = 10 (кв. см).
Решение этой задачи полезно сделать еще двумя способами, а именно:
II способ: разделим фигуру на два прямоугольника горизонтальной линией и найдем:
1) 3 — 2=1 (см); 2) 2-4 = 8 (кв. см); 3) 2-1 = 2 (кв. см); 4) 8+2=10 (кв. см).
Ill с п о с о б: дополним фигуру до прямоугольника и найдем площадь данной фигуры как разность площадей двух прямоугольников:
1) 3-2= 1 (см)-, 2) 4—2 = 2 (см); 3) 3-4 = 12 (кв. см); 4) 1-2 = 2 (кв. см); 5) 12—2 = 10 (кв. см).
Упражнения такого характера покажут ученикам, что площадь фигуры не зависит от того, каким способом ее вычислять.
Умение находить и вычислять площади прямоугольника и его частей дает ученикам полезный материал для изучения и сравнения долей числа.
В III классе изучение площадей завершается решением комбинированных'задач примерно такого вида: «Длина огорода прямоугольной формы 72 м, а ширина его в 2 раза меньше. 3
— площади огорода занято овощами, а остальная площадь картофелем. Сколько квадратных метров занято картофелем?» (учебник математики III класса, № 876).
Анализируя задачу, ученики устанавливают, что ответ на вопрос задачи сразу дать нельзя — неизвестна площадь огорода. Чтобы найти эту площадь, надо знать длину огорода (72 м) и его ширину, о которой сказано, что она меньше длины в 2 раза. План решения таков:
1) Найдем ширину огорода.
2) Вычислим площадь огорода.
3) Узнаем площадь, занятую овощами.
4) Найдем площадь, занятую картофелем.
Вычисления: 1) 72:2 = 36 (л<). Ученики устно поясняют: число, которое меньше другого числа в несколько раз, находят делением.
2) 72-36=2592 (кв.м).
Устное пояснение: площадь прямоугольника выражается произведением его длины на ширину.
3) ——от 2592 равна: 2592:4=648 (кв. м).
О
Отсюда — равны 648-3=1944 (кв. м).
4) 2592—1944 = 648 (кв. м). Пояснение: остаток (остальную площадь) находят вычитанием.
Задачу, приведенную ниже, удобнее решить, применяя уравнение. «Площадь участка при школе 3600 кв. м. Ширина его 48 м. Найти, какую наименьшую длину будет иметь ограждение участка с трех сторон».
Решение. Обозначим длину участка через к, тогда его площадь выразится произведением 48-х, а по условию она составляет 3600 кв. м, поэтому 48-х=3600; х=3600:48; х=75 (м). Чтобы ограждение было короче, его надо установить по одной длинной стороне и двум коротким. Его длина будет: 48-2+75= 171 (м).
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
В последние годы в педагогике одним из путей и средств повышения эффективности обучения стало новое течение, получившее название «программированное обучение». Суть его заключается в том, что при обучении учитель должен не только сообщать ученикам некоторые сведения, но и управлять их активной деятельностью по усвоению знаний и приобретению навыков. Чтобы процесс обучения шел таким образом, весь материал, подлежащий изучению, распределяют на небольшие куски, шаги или кадры, составлякицие отдельные элементы определенного понятия или умения. Ознакомившись с материалом первого кадра и продумав его, ученик для самоконтроля должен дать ответ на один или несколько вопросов, выполнить упражнения. После того как ученик убедится в правильнбсти ответа, он переходит к выполнению следующего кадра.
Такой порядок работы по овладению знаниями может осуществляться учениками самостоятельно при работе по специально составленному пособию или под руководством учителя. В последнем случае самоконтроль дополняется контролем со стороны учителя. Учитель, прежде чем приступить к изложению последующего кадра, должен получить от каждого ученика сигнал о том, что материал усвоен. Этот сигнал выступает как обратная связь: ученик — учитель — и может выражаться кратким устным или письменным ответом ученика, поднятием флажка, карточки определенного цвета, символически подтверждающей правильность понимания учеником переработанной им информации.
Программированное обучение в чистом виде, когда ученик работает самостоятельно по специальному руководству в темпе, не зависимом от работы других учеников, а учитель лишь наблюдает за работой учеников и консультирует их, в условиях занятий в I—III классах неприменимо. Однако использование отдельных элементов программированного обучения и в этих классах вполне возможно и даже целесообразно, особенно в малокомплектной школе.
Разумное использование некоторых приемов программированного обучения может обеспечить активность всех учеников в овладении знаниями и позволяет учителю держать в поле зрения продвижение каждого ученика и, учитывая его успехи, регулировать темп движения вперед, последовательность и содержание работы.
К элементам программированного обучения относят те приемы, которые сопровождают изучение материала самоконтролем или контролем каждого или почти каждого шага переработки и усвоения информации, а также и те, которые рассчита
ны на самостоятельную деятельность ученика с учетом его индивидуальных особенностей с самоконтролем отдельных этапов приобретения умений и навыков.
Некоторые результаты экспериментов по программированному обучению учтены и использованы авторами М. И. Моро и Н. Ф. Вапняр в пособии «Карточки с математическими заданиями для 3 класса» (М., «Просвещение», 1975). В этом пособии дан набор серий карточек с заданиями для самостоятельной работы по всем основным разделам программы III класса по математике. В нем содержатся три набора серий: основного и двух дополнительных. В каждую карточку основной серии (С-1, С-2, С-3 и т. д.) включены 1—2 задачи и несколько примеров для вычисления, а иногда отдельные вопросы. В некоторых карточках этой серии содержатся задания, отмеченные звездочкой. Эти задания усложнены и требуют более глубокого обдумывания материала. Карточки рассчитаны на использование их: 1) при проведении общеклассных (фронтальных) обучающих работ; 2) для индивидуальных занятий при восполнении отдельных пробелов в знаниях некоторых учеников; 3) при проведении контроля знаний.
Два набора дополнительных карточек (С-1 № 1-А, С-1 № 1-Б, С-1№2-А, С-1№2-Б, С-1№3-А, С-1№3-Б и т. д.) строго согласованы с основными карточками. Набор карточек «А» содержит краткие указания, а набор карточек «Б»— более подробные указания типа консультации, которые позволяют ученику, встретившему затруднение при выполнении задания из основной карточки, преодолеть его. Дополнительные карточки учитель хранит у себя и вручает их во время работ только тем ученикам, которые не могут без дополнительных указаний справиться с заданием.
Для примера приведем содержание нескольких карточек.
«Карточка С-26, Я» 2
1. На хлебозавод отправили муку на 30 грузовых машинах по 3 т на каждой. Сколько потребуется машин, чтобы погрузить столько же муки, если на каждую машину грузить по 5 т?
Реши задачу, составив уравнение.
2. В магазин привезли 145 тюльпанов, что составляет -у- часть всех цветов. Сколько всего цветов привезли в магазин?
3. 29-3+60 : 5
2570-900-69 680 : 40.
4. Найди — от 638323, от 919 884».
7
«Карточка С-26, № 2-А
Г рузоподъемность одной машины Число машин Вся мука весит
3 m 5 m 30 м Поровну
2. Сколько седьмых долей в целом?
3. Подумай, в каком порядке надо выполнять действия.
1 3
4. Найди сначала —, а потом —».
7 7
«Карточка С-26, № 2-Б
1. Запиши выражения, заполняя пропуски:
Хлеб на машинах по 3 т весит —
(□ • □)• т
Хлеб на машинах по 5 т весит —
(□* □) т
Мука весит поровну.
Составь уравнение и реши его.
2
3. Сначала выполняют умножение и деление, а, потом сложение и вычитание.
4. На сколько надо разделить число, чтобы узнать —- его?»
Рассмотрим, как можно использовать карточки на уроке.
На одном из уроков, посвященных решению задач способом составления уравнений, ученики коллективно под руководством учителя решают задачу: «Мастер в течение рабочего дня (8 ч) делает в среднем по 18 деталей в час. Ученик в среднем делает в час по 12 деталей. Сколько часов должен работать ученик, чтобы выполнить дневную норму мастера?»
Задачу решают с применением уравнения.
Ученик изготовит дневную норму мастера за х часов. Дневная выработка мастера — 18-8, а выработка ученика должна быть 12-х. Выработка ученика равна выработке мастера, т. е. выражения 18-8 и 12-х равны. Составим уравнение: 18-8= 12-х.
Решение уравнения: 144—12-х; х=144:12; х=12. Ответ: 12 ч.
После коллективной работы учителю нужно узнать, а все ли ученики справляются с решением аналогичных задач, иначе говоря, ему нужно осуществить обратную связь «ученик — учитель». С этой целью он раздает ученикам карточки С-26 (двадцать шестой серии) и предлагает выполнить задание № 1.
Ученики начинают решать, а учитель проходит по классу и смотрит, как работают те из них, которые до сих пор не имели твердых навыков в решении задач. Он заметил, что несколько учеников не могут понять, с чего начинать составление уравнения по условию задачи. Тогда он дает этим ученикам дополнительные карточки С-26, № 2-А. Некоторые из учеников, получив дополнительные указания во второй карточке, поняли, с чего начать решение и начали составлять уравнение. Но один из учеников, рассмотрев таблицу, в которой записано условие задачи в виде таблички:
*’ т 30 машин 1 вся МуКа весит поровну, 5 т — ? машин J
все же не понял, как составить уравнение. Учитель, заметив это, через 2—3 минуты дает ему вторую дополнительную карточку С-26 № 2-Б. В этой карточке к первому заданию дано указание:
«1. Запиши выражения, заполняя пропуски:
Хлеб на машинах по 3 т весит —
(□ * □) т
Хлеб на машинах по 5 т весит —
(□ * □) т.
Мука цесит поровну.
Составь уравнение и реши его».
Приведенное указание позволяет ученику понять путь составления по условию задачи уравнения к ней. Он записывает в тетрадь приведенные в карточке выражения, заполняя их числами из условия, составляет уравнение и находит правильный ответ.
Но учитель отмечает у себя, что с учеником или с учениками, которым потребовались карточки «Б», нужны по данному разделу индивидуальные занятия. Поэтому он дает этим ученикам для работы дома или после уроков из той же серии карточки основную и дополнительную «А» других номеров, например С-26 других номеров, например С-26, № 1 и С-26, № 1-А.
Если ученик справился с решением аналогичной задачи, используя дополнительную карточку «А», то для контроля ему следует дать из той же серии одну только основную карточку. Убедившись, что с таким заданием ученик справился, можно считать, что у него нет пробелов по данному разделу программы.
Карточки могут быть использованы на уроке для проверочных (контрольных) работ. При этом ученикам обычно предла
гают выполнить все задания, содержащиеся в карточке, но в некоторых случаях число заданий для контрольной работы может быть ограничено 1—2 заданиями по усмотрению учителя. При проведении контрольных работ дополнительные карточки набора «А» рекомендуется давать лишь в редких случаях, а от использования карточек набора «Б» при проверке знаний следует совершенно отказаться.
К элементам программированного обучения относится и применение перфопапок и перфокарт, которые позволяют учителю поддерживать с учениками обратную связь «ученик — учитель», не расходуя на это много времени. Для работы такого рода учитель до урока изготавливает сам или с помощью учеников старших классов из плотной бумаги перфопапки размером в половину тетрадного" листа. Лист бумаги, равный тетрадному, перегибается пополам. На лицевой стороне его вырезается прямоугольное отверстие, в которое можно вписать фамилию, и небольшие квадратные отверстия в 4—6 рядов один под другим, причем в каждом ряду делают 4—6 отверстий. Возле рядов и отверстий проставляют номера. Перфопапка с лицевой стороны имеет вид, указанный на рисунке 47.
Для облегчения проверки работ важно, чтобы во всех перфопапках, изготовленных для каждого ученика, отверстия строго совпадали. Для этого при изготовлении перфопапок их складывают в стопку, а затем по углам каждого отверстия делают проколы шилом.
На уроке, получив указание подготовить перфопапку и перфокарту, ученик берет перфопапку и вкладьщает в нее четвертушку листа бумаги (перфокарту) так, чтобы верхний и левый боковой края перфопапки точно совпали с теми же краями перфокарты, а затем в верхнем прямоугольном вырезе вписывает свою фамилию.
Если, например, на данном уроке учителю нужно проверить, правильно ли ученики называют фигуры, то он вывешивает на доске заранее подготовленный чертеж (рис. 48), который легко сделать на цветном или белом листе бумаги цветными мелками (такой же чертеж можно до урока сделать на классной доске и закрыть шторкой). Рядом с чертежом записаны назва-
7
Рис, 47
ния фигур и пронумерованы:
1. Треугольник
2. Квадрат
8. Угол
4. Прямоугольник
8. Четырехугольник
Учитель предлагает детям внимательно рассмотреть все нарисованные фигуры, про себя назвать их, а затем найти каждую из них в столбике с названиями. Лишь после этого ученик должен в подготовлен-
ную карточку через отверстия в перфокарте отметить плюсом против номера фигуры в строке, соответствующий номер названия этой фигуры, указанное в табличке название.
В результате правильного выполнения работы на перфокарте будут сделаны следующие отметки (рис. 49), т. е. •'первая фигура — квадрат (2), она же прямоугольник (4) и четырехугольник (5);вторая — треугольник (/); трётья— прямоугольник (4) и четырехугольник (5) и т. д.
Второй пример. Учителю надо во II классе проверить знание учениками порядка действий. С этой целью он пред-
/ И /// /V V V!
*□□□□□□
*□□□□□□
»□□□□□□
Рис. 49
лагает детям выполнить, пользуясь перфокартами, следующую работу: «Указать порядок действий и вычислить результат в примере 2-34 — 51 i 17+24». Рядом с .заданием он записывает табличку
I. Деление
II. Сложение
III. Умножение
IV. Вычитание V. 25
VI. 89
Ученики должны первое действие отметить плюсом в первой строке против цифры, указывающей в табличке его название; второе—во второй строке и т. д.; в пятой строке они должны будут указать номер правильного ответа. В результате работы ученики сделают следующие отметки на карточке (рис. 50). Если же ученик допустит ошибку в порядке действий, то поставит плюс против строки 5 в V столбике.
/ // /// IV V VI
*□□□□□□
Рис. 50
В результате правильного выполнения работы на перфокарте будут сделаны отметки (см. рис. 49).
Для проверки учитель собирает перфокарты, складывает их стопочкой, вкладывает в свою перфопапку, в которой уже отмечены клетки с правильными ответами, и просматривает, в чьей перфокарте плюсы проставлены не на месте. Эти карточки он откладывает, чтобы в беседе с их владельцами выяснить, почему допущены ошибки. Для ускорения проверки можно, сложив все карточки в стопку, проколоть шилол! отверстия в клетках с правильными
ответами, а затем, перебрав карточки, отложить те, в которых около плюса нет прокола, т. е. в которых ответы даны ошибочно. Перед выполнением такого задания следует разобрать решение I—2 примеров и показать, как записывать ответ в перфокарту. Особенно важно это сделать при первом употреблении перфокарт, чтобы техника выполнения работы для детей была совершенно понятной. Практика показывает, что де-1и довольно быстро с этой техникой осваиваются и с интересом выполняют задания на перфокартах. Задания для работы с перфокартами могут быть весьма разнообразными. Например, к задаче № 211 (учебник математики III класса): «С первого участка получили 3800 ц пшеницы, со второго на 1278 ц меньше, чем с первого, а с третьего на 815 ц больше, чем со второго. Сколько центнеров пшеницы получили с трех участков?» учитель выписывает на доске следующие действия с указанием порядкового номера:
I. 3 800+1 278
II. 2 522+815
III. 3 800—1 278
IV. 3 800 + 815
V. 3 800+2 522+3 337
По указанию учителя дети решают задачу, сопоставляют свои вычисления с выписанными на доске действиями и записывают в I столбце перфокарты первое действие, поставив плюс в строке против числа, которым обозначен порядковый номер этого действия в столбике, выписанном на доске. Во II столбце перфокарты они поставят плюс, в строке, обозначенной числом, совпадающим с номером, указывающим действие в табличке, выписанной на доске, и т. д.
Скворцов
Правильно заполненная карточка будет выглядеть так. (рис. 51):
Работа такого характера дает возможность учителю быстро проверить, как ученики разбираются в решении задач и правильно ли они выбирают действия при их решении. Выписывая действия, учитель должен предусмотреть и такие, которые ученик может допустить, не разобравшись в содержании задачи. Например, строки 1 и 4 записи предложенных выше действий.
Во многих случаях полезно применять цветные флажки Рис. 51
или.карточки с номерами, проставленными иа них. Каждый ученик вырезает для себя несколько флажков или карточек различных цветов: красный, желтый, зеленый, синий, белый — и наклеивает их на белую подкладку. Карточки нумеруются в определенном для всего класса порядке, например: красный — № 1, желтый — № 2, зеленый — № 3, синий — № 4, белый — № 5. Числа проставляют на цветной стороне, чтобы ученик, сидящий на задней парте, не мог определить, какого цвета и с каким номером подняты карточки впереди.
Используют флажки так. Учитель записывает на доске не
сколько чисел, среди которых содержатся правильные ответы к задаче. Все выписанные числа нумеруются по порядку записи, например: 1) 11; 2) 8; 3) 20; 4) 2. Затем читает задачу сам или предлагает ее прочитать ученикам и дает время на обдумывание задачи и вычисление ответа. Рассмотрим, как можно провести решение следующей задачи: «248 кг помидоров нужно положить в ящики, по 12 кг в каждый. Сколько полных ящиков получится? Сколько килограммов помидоров останется?» Задача прочитана, ученики обдумали решение и делают вычисления, а учитель наблюдает. Заметив, что первое действие ученики выполнили, учитель предлагает: «Покажите ответ к первому действию». Дети поднимают карточки с № 3. Спустя некоторое время учитель говорит: «Покажите ответ ко второму вопросу». Ученики поднимают карточки с № 2. По цвету поднятых карточек учитель сразу получает информацию, кто из учеников ошибся. Если ошибочных ответов нет, то учитель, получив через обратную связь «ученик — учитель» подтверждение, что материал усвоен, может продолжать работу без опа
сения, что его кто-то не понял. Числа, которые учитель выписывает в ряд с ответом, следует подбирать так, чтобы при некоторой вполне возможной ошибке они могли бы совпасть с полученным ответом ученика. Например, в приведенной задаче число 11 ученик мог бы получить, если бы при делении 248: 12 допустил такую ошибку:
_248 12_________
___—___ 11 (ост.8)
12
12
О
। Число 2 могло получиться при следующей'ошибке:
_248 12_________
---—— 2 (ост, 8)
8
Аналогично следует подбирать числа, стоящие рядом с правильными ответами, и при работе учеников с перфокартами.
Другим вариантом приведенной работы будет .следующий. Каждый ученик заранее готовит для себя набор карточек с цифрами от 0 до 9. Во время урока карточки лежат на парте. Учитель дает задание решить задачу. Ученики решают, а когда они выполнят первое действие, то учитель попросит их показать ответ с помощью карточек с цифрами. Ученик его составит из нескольких рядом расположенных цифр и поднимет руку с карточками. Учитель быстро просматривает показанные учениками ответы и, если нет ошибок, предлагает детям продолжать решение. Подобным же образом он проверяет ответы ко второму и последующим действиям. Или, не проверяя отдельных ' действий, проверяет ответ только на основной вопрос задачи.
Этот вариант работы намного удлиняет процесс проверки ответов, но зато в нем исключен элемент подсказывания ответа.
Подбирая в этом варианте задачи, рекомендуется следить ва тем, чтобы в результатах по возможности не встречались одинаковые цифры. Это позволяет ограничить набор цифр 10 карточками, что значительно упрощает работу учеников при подборе цифр для ответа.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ПРИ ОБЪЯСНЕНИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
В первые годы обучения у детей отвлеченное мышление развито слабо. Их мышление конкретно. Учитель должен учи-, тывать эту особенность и поэтому при объяснении материала обязан идти от конкретных образных детских представлений.
Этому во многих случаях помогает подбор соответствующих задач, на которых можно раскрыть то или иное общее положение. Так, в I классе нужно познакомить детей с тем, как к числу прибавить сумму двух чисел. Учитель дает детям задачу: «Три мальчика — Петя, Коля и Саша сделали одинаковые покупки. Каждый из них купил карандаш ценой в 3 коп., тетрадь за 2 коп. и блокнот за 8 коп. По скольку копеек уплатил каждый мальчик? Петя сначала заплатил за блокнот, а затем сразу за карандаш и тетрадь.
Коля уплатил вначале сразу за блокнот н карандаш, а затем за тетрадь.
Саша уплатил за блокнот, карандаш и тетрадь сразу».
Решая эту задачу, ученики ведут подсчет оплаты для каждого мальчика отдельно:
Петя уплатил — 8+ (3+2) =8+5= 13.
Коля уплатил— (8+3) +2= 11+2=13.
Саша уплатил — 8+3+2=13.
Основываясь на решении этой задачи, ученики сделают заключение, что общая стоимость карандаша, блокнота и тетради не изменится от того, в каком порядке платить за купленные предметы, т. е.
8+3+2=8+ (3+2) = (8+3) +2 = 13.
Дальше учителю надо провести еще несколько похожих примеров на прибавление к числу суммы. Затем, дав детям возможность сопоставить все приведенные случаи, сказать, что прибавить к числу сумму можно различными способами: прибавить к данному числу первое слагаемое, а затем второе слагаемое, или сначала найти сумму двух слагаемых^ а затем прибавить ее к данному числу.
Перед тем как рассмотреть порядок действий во II классе, учитель может дать для решения ученикам следующую задачу: «В школьном саду посадили 36 вишен и 4 ряда яблонь, по 8 штук в ряд. Сколько всего фруктовых деревьев посадили в саду?» Решить задачу, составив выражение.
Решение: 1) Сколько яблонь посажено в 4 рядах? 8-4.
2) Сколько всего деревьев посадили в саду? 36+8-4.
Находим числовое значение выражения: 36+32 = 68.
Учитель спрашивает: «Можно ли выполнить подсчет в другом порядке, т. е. сначала найти сумму 36+8, а затем найти произведение 44-4?». «Нет, так задачу решить нельзя»,—замечают ученики.
Учитель дает еще одну задачу: «В школьном саду посадили вишни в 3 ряда по 12 штук в ряду и 4 ряда яблонь по 8 штук
в ряду. Сколько всего фруктовых деревьев посадили в школьном саду?»
Решение ученики выполняют по действиям, а затем в виде выражения:
1) 12-3 = 36
2) 8-4 = 32
3) 364-32 = 68 12-34-8-4 = 68.
Учитель снова спрашивает: «Можно ли при подсчете числового значения выражения изменить порядок действий?»
Ученики проводят вычисления и приходят к выводу, что сначала нужно выполнить умножение, а потом находить сумму. В противном случае подсчет будет ошибочным.
Затем учитель дает ученикам несколько примеров на порядок действий и просит их указать, в каком порядке нужно их выполнить. Для контроля предлагает сделать устные вычисления:
3-44-4-5; 6+2-4; 84-7-3 и др.
Дальше предлагает задачу: «Володя задумал прочитать 2 книги. Одну с картинками в 48 страниц, а другую без картинок в 42 страницы. В книге с картинками он решил прочитывать ежедневно по 8 страниц, а в книге без картинок — по 6 страниц. Сколько дней будет читать эти книги Володя?»
Решение этой задачи дети запишут в виде выражения:
1) 48:8; 2) 42:6; 3) 48:8+42:6; 48:8+42:6 = 6+7=13.
После решения этой задачи ученики по заданию учителя проверяют, можно ли найти числовое значение выражения, выполняя действия в ином порядке. Затем придумывают несколько примеров и указывают в них порядок выполнения действий. В заключение учитель делает вывод о порядке действий в числовых выражениях.
В III классе, изучая умножение числа на произведение, ученики по предложению учителя решат вначале следующую задачу: «На заготовительный пункт из колхоза отправляли зерно. Автомашина сделала 8 рейсов. Каждый раз на машину грузили по 52 мешка, а в мешок насыпали по 60 кг зерна. Сколько зёрна отправили на заготовительный пункт за 8 рейсов?» .
Задачу решают различными способами.
I с п о с о б:
1) Сколько зерна в 52 мешках?
60-52=3 120 (кг).
2) Сколько зерна отправили на заготпункт?
3 120-8=24 960 (кг).
II с п о с о б:
1) Сколько мешков зерна отправили за 8 рейсов?
52-8 = 416 (мешков).
2) Сколько зерна отправили на заготпункт?
416-60=24 960 (кг).
После решения задачи ученики по указанию учителя составят аналогичную и решат ее. Решив несколько подобных задач различными способами, дети с помощью учителя обратят внимание на то, как в разных случаях они подсчитывали произведения трех множителей и сделают правильный вывод.
Приведенные примеры показывают, как при изучении многих вопросов теории можно использовать задачи, чтобы яснее раскрыть определенное правило. Задачи при этом подбирают в строгом соответствии с поставленной целью.
Разумеется, при таком применении задач не должно быть крайностей. В том случае, когда изучаемый раздел программы не представляет для ученика большой сложности, его не нужно разъяснять посредством искусственно подобранной задачи.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Реформа преподавания математики в школе вызвала изменение не только содержания обучения, но и методов обучения, так как составные части обучения (содержание обучения и методы обучения) тесно связаны между__ собой. Видоизменение одной из этих частей (в данном случае изменение содержания) неизменно вызывает изменение другой (методов).
Приближение курса школьной математики к современной науке требует изменения уровня мыслительной деятельности ученика, что в свою очередь ведет к модернизации методов обучения. Обучение математике на современном уровне требует разработки и применения таких методов, которые вызывают наибольшую активность мысли ученика и оптимально способствует его умственному развитию.
Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задач, что является одним из важнейших звеньев в цепи познания математики. Этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но прокладывает пути к глубо-. кому пониманию ее. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи дает импульс к развитию мышления ученика. Решение, задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углубленному изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира.
Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей многие положительные качества характера и развивает их эстетически.
Даже сравнительно несложная задача пробуждает у школьника любознательность, заставляет его изобретать. Решение задачи заставляют человека напрягать ум и волю, ведет его к открытию и позволяет насладиться радостью победы.
Эмоции, возбуждаемые решением задачи, пережитые человеком в школьном возрасте, могут пробудить у него; вкус к умственной деятельности, оставить свой след в уме и характере человека на долгие годы, а может быть, и на всю жизнь.
Учитель, предлагая детям задачи, соразмерные их знаниям, направляя ход мысли школьников при решении этих задач, сможет привить им вкус к самостоятельному мышлению, пробудить их любознательность, развить способности и умения.
Умение решать задачи-—одно из сложнейших умений. Формируя его, важны все этапы работы с задачей: чтение и понимание текста, вдумчивое рассмотрение содержания и ситуации, лежащей в основе задачи, краткая запись задачи и иллюстрация, установление связей и зависимостей между данными и искомым, расчленение составной задачи на простые, выбор действия, установление последовательности в действиях, вычисления и проверка решения.
Для углубления понимания детьми структурных особенностей задач важно рассмотрение различных вариантов решений задач, систематическое составление задач самими учениками и упражнения в различных преобразованиях задач. Все это в значительной мере способствует и математическому и общему развитию детей.
С этих позиций и следует подходить к каждой задаче, решаемой детьми. Учитель должен стремиться к тому, чтобы каждая задача стала наиболее разносторонним источником знаний и представлений, давала бы наиболее полный поток информации, поступающей в мозг ученика. Отсюда следует, что не нужно предлагать ученику решать как можно больше задач— этот путь не самый короткий и не самый совершенный. Значительно целесообразнее ориентировать ученика на то, чтобы при решении задачи он почерпнул из нее все возможные сведения, способствующие его развитию, его продвижению вперед по пути совершенствования мышления, по пути овладения новыми знаниями.
Основное методическое правило при обучении решению задач: не спешить переходить к решению новой задачи, пока не исчерпаны все или почти все заложенные в ней возможности к развитию мыслительных способностей ученика, к приобретению им новых знаний.
Это правило надо всегда помнить и неизменно им руководствоваться на протяжении всего курса обучения математике.
ЛИТЕРАТУРА
Моро М. И. и др. Математика. Учебник для первого класса. М., «Просвещение», 1975.’
Моро М. И., Бантова М. А» Математика. Учебник для второго класса. М., «Просвещение», 1975.
П ч е л к о А. С. и др. Математика. Учебник для третьего класса. М-, «Просвещение», 1975.
Моро М. И. и др. Математика в I-классе. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1975.
Моро М. И., Бантова М. А. Математика во 2 классе. М., «Просвещение», 1973.
П ч е л к о А. С. и др. Математика в 3 классе. М., «Просвещение», 1974, Обучение в первом классе. Книга для учителя. Сост. Горецкий В. Г. М., «Просвещение», 1973.
Обучение во втором классе. Книга для учителя. Сост. Сунцов Н. С. М., «Просвещение», 1974.
Обучение в третьем классе. Книга для учителя. Сост. Горецкий В. Г., Сунцов Н. С. М., «Просвещение», 1975.
Психологические возможности младших школьников в усвоении математики. Под ред. Давыдова В. В. М., «Просвещение», 1969.
Основы методики начального обучения математике. Под ред. Пчел-ко А. С: М., «Просвещение», 1965.
Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М., «Просвещение», 1965.
Менчинская Н. А. Очерки психологии обучения арифметике. М., «Просвещение», 1947.
Методы начального обучения математике. Под ред. Скаткияа Л. Н. М., «Просвещение», 1965.
Методика начального обучения математике. Под ред. Скаткина Л. Н. М., «Просвещение», 1972.
Бантова М. А. и др. Методика преподавания математики в начальных классах. М., «Просвещение», 1973.
П ы ш к а л о А. М. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах. М., «Просвещение», 1970.
Занков Л. В. Новое в обучении арифметике в! классе. М., «Просвещение», 1964.
Скаткин Л. Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач. М., «Просвещение», 1963.
Статкевич В. В. О начальном обучении- решению задач. Минск, «Народная асвета», 1970.
Нешков К. И., Пышкало А. М. Математика в начальных классах. Ч. 1. М., «Просвещение», 1968.
Макарычев Ю. Н., Нешков К И. Математика в начальных классах. Ч. И. М., «Просвещение», 1970.
Эрдниев П. М. Метод противопоставления на уроках арифметики в 1 классе. М., «Просвещение», 1969.
Статьи в журнале «Начальная школа», 1970—1974 гг.
Начальная школа (сб. статей). М., «Просвещение», 1970.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие..................................................: 3
Задача и ее роль в обучении и воспитании школьника .... 4
Виды простых задач. Их значение...............................7
Методика работы с простыми задачами ........ 9
§ 1. Последовательность знакомства учеников с простыми задачами —
§ 2. Ознакомление учеников со структурой задачи..................12
§ 3. Выбор действия, каким решается задача ...... 22
§ 4. Решение простых задач с помощью уравнений .... 29
§ 5. Задачи на умножение и деление............................. 36
§ 6. Задачи на изменение компонентов действий....................43
Решение составных задач ..............................................45
§ 1. Переход от простых задач к составным........................—’
§ 2. Общие замечания о решении составных задач .... 52
§ 3. Работа с условием составной задачи..........................55
§ 4. От искомого к данным или от данных к искомому «... 68
§ 5. Математические выражения и решение задач....................75
§ 6. Использование уравнений при решении задач.................88
Решение типовых задач................................................. 100
§ 1. Задачи на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) ............................................ 101
Способ прямого приведения к единице ........................ 104
Способ'обратного приведения к единице ......................... 107
Способ отношений..............................................109
Алгебраический прием решения задач иа нахождение четвертого пропорционального ................................... .110
§ 2. Задачи на пропорциональное деление ....... 112
§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям . . . .116
§ 4. Задачи на нахождение доли числа и обратные им . . -г 118
Задачи с определенным содержанием.......................................122
§ 1. Задачи на время.................................................—
§ 2. Задачи на движение.............................................124
§ 3. Задачи с геометрическим содержанием............................134
Элементы программированного обучения решению задач .... 146 Использование задач при объяснении теоретического материала . . 154
Заключение.................................................... : 157
Литература .................................................. : 159
Александр Александрович Свечников
РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В 1-3 КЛАССАХ
Редактор Л. А. Сидорова. Художник обложки Е. Т. Яковлев. Художественный редактор Е. Н. Карасик. Технический редактор В. Ф. Коскина. Корректор Л. П. Михеева, Сдано в набор 4/VII 1975 г. Подписано к печати 28/1 1976 г. бОХЭО'/ю- Бумага тип. № 3.
Печ. л. 10,0. Уч.-изд. л. 10,53. Тираж 200 тыс. экз. Заказ № 1747.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, 3-й проезд Марьиной рощн, 41. Отпечатано с матриц Смоленской типографии им. Смирнова в областной типографии управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского облисполкома, г. Иваново-8, ул. Типографская, 6. Цена 28 коп.