Автор: Мосолов П.П. Мясников В.П.
Теги: движение жидкостей гидродинамика физика механика гидравлика
Год: 1971
Текст
П. П. МОСОЛОВ, в. п. мясников
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЙ
ЖЕСТКО-ВЯЗКО-
ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1971
УДК 532.503.2
Настоящая монография посвящена анализу основ-
ных представлений и теорем теории медленных движе-
ний произвольных жестко-вязко-пластических сред на
основе требования соответствия принципа виртуальных
работ некоторому экстремальному вариационному прин-
ципу. Такой подход позволил объединить теорию дви-
жений жестко-пластических материалов в теории плас-
тичности с теорией течений неньютоновских вязких
жидкостей в гидродинамике. Использование современ-
ных математических методов позволило решить наряду
с общими вопросами некоторые конкретные задачи и
получить явные формулы для инженерных расчетов.
Книга рассчитана на научных и инженерно-техничес-
ких работников, а также студентов и аспирантов соот-
ветствующих специальностей.
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
2-4-2
134—71
Предисловие
В настоящее время вариационные методы получили ши-
рокое распространение в механике сплошных сред. Работы
в этой области можно условно разбить на две группы. Пер-
вая свя-зана с построением общих моделей сплошных сред.
Ко второй группе относятся работы, посвященные исследо-
ванию конкретных моделей. Здесь нам хотелось бы отметить
работы Л. И. Седова, С. Л. Соболева, С. Г. Михлина и
К. Фридрихса не только в связи с их существенным вкладом
в теорию, но и с тем влиянием, которое их работы оказали
на -научное мировоззрение авторов.
Вариационные методы как средство качественного иссле-
дования конкретных задач теории пластичности авторы сис-
тематически развивают начиная с 1965 года. Эти задачи при-
вели к необходимости последовательного построения общей
теории пластичности (точнее, механики голономных сплош-
ных сред) на основе принципа виртуальных работ.
В предлагаемой вниманию читателя книге принцип вир-
туальных работ рассматривается как условие равенства ну-
лю вариации некоторого функционала. Это требование и оп-
ределяет класс голономных сплошных сред. Несмотря на ка-
жущуюся жесткость ограничений, класс голономных сплош-
ных сред достаточно широк. В него, в частности, входят не-
линейно вязкие жидкости, многие пластические и упругие
среды.
Ограничиваясь классом голономных сплошных сред, мож-
но интерпретировать задачу об определении состояния
сплошной среды на геометрическом языке, а именно связать
физические .характеристики сплошной среды со свойствами
поверхности (функционалом) в бесконечномерном функцио-
нальном пространстве. Например, пластические среды харак-
теризуются наличием конической точки у соответствующих
поверхностей в начале координат, тогда как нелинейно вяз-
ким жидкостям соответствуют гладкие поверхности.
з
Исследование свойств функционалов тесно связано с изу-
чением структуры функциональных пространств, на которых
-они определены. Эта связь механики сплошной среды с тео-
рией топологических пространств представляется нам чрез-
вычайно существенной, и мы стремились подчеркнуть это.
Вариационно-геометрический подход оказывается плодо-
творным не только в- связи с изучением общих вопросов тео-
рии пластичности, но и при решении конкретных задач. В ка-
честве иллюстрации рассмотрена задача об асимптотическом
поведении предельных нагрузок для тонких цилиндрических
панелей. Интерес к этой задаче у нас возник в связи с же-
ланием понять обоснованность обычно принимаемых допу-
щений о справедливости гипотезы плоских сечений, малости
касательных напряжений и т. д.
Мы глубоко благодарны Ю. Н. Работнову, прочитавшему
книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний, спо-
собствовавших значительному ее улучшению. Нам приятно
выразить свою признательность Л. И. Седову и В. Д. Клюш-
никову за постоянное внимание и интерес к нашей работе.
ВВЕДЕНИЕ
1. В настоящей работе для описания медленных движе-
ний или равновесия некоторых классов сплошных сред ис-
пользован принцип виртуальных работ, который не опреде-
ляет конкретную модель сплошной среды и . одновременно
справедлив, как, например, для вязкой жидкости, так и для
идеально пластического тела. Однако свойства этих моделей
существенно различны. Если в случае вязкой жидкости ки-
нематические и динамические характеристики ее движения
однозначно связаны, то в случае идеально пластического тела
однозначной связи нет.
Использование принципа виртуальных работ в качестве
исходного обусловлено тем, что вытекающая из этого прин-
ципа вариационная постановка задачи для рассматриваемого
класса сред может быть сформулирована в кинематических
терминах. Если в случае вязкой жидкости этот подход экви-
валентен соответствующему локальному подходу, то в слу-
чае идеально пластической среды положение существенно
иное. Именно, в последнем случае при дифференциальной
постановке задачи необходимо указать поля напряжений в
областях, где нет однозначной связи между кинематически-
ми и динамическими характеристиками. Подчеркнем еще раз,
что при вариационной трактовке этот вопрос не возникает1.
С физической точки зрения идеально пластическую среду
естественно рассматривать как предельную по отношению к
классу сред, обладающих однозначной связью между кине-
матическими и динамическими характеристиками их движе-
ния. Движение идеально пластической среды при этом (см. §4)
является в некотором смысле предельным по отношению к
движениям этого класса сред, хотя предельные поля напря-
жений, получаемые при различных предельных переходах,
1 В современной литературе указанная трудность, связанная с локаль-
ной постановкой задачи, приводит к понятиям полного и неполного ре-
шения.
5
в областях жесткого состояния могут существенно отли-
чаться друг от друга.
Построение конкретного термодинамического описания
рассматриваемого в работе класса сплошных сред проведе-
но в монографии [1]. Однако в рамках развиваемых в рабо-
те математических методов вместо закона сохранения им-
пульса в его локальной формулировке удобнее использовать
принцип виртуальных работ. Все остальные исходные термо-
динамические соотношения могут быть привлечены в их ло-
кальной формулировке.
Современные модели сплошных сред приводят к слож- .
ным математическим задачам, связанным с изучением
свойств решений краевых задач для нелинейных систем диф-
ференциальных уравнений. В последние десятилетия появи-
лись методы [2—10], позволяющие решать начальный вопрос
в изучении поведения моделей сплошных сред, именно вопрос
о существовании и единственности решений соответствующих
краевых задач.
В качестве иллюстрации рассмотрим применение вариа-
ционного метода при исследовании вопроса о существовании
решения в общей контактной задаче теории упругости. Пусть
имеется п упругих тел coi, о>2, •••, °п, в недеформированном
состоянии, приведенные в соприкосновение друг с другом.
Будем предполагать, что деформации малы и что &-тое тело
характеризуется упругим потенциалом (свободной энергией)
Fk(etj) (вц — тензор деформаций).
Потенциалы Рк(ец) предполагаются строго выпуклыми
функциями тензора деформаций. Относительно полей воз-
можных перемещений системы тел предположим следующее.
Если со/ — тело, полученное при деформировании тела со&
.полем ик, то тела со/, со/ не проникают друг в друга. Если
система полей uk(k=l, 2, ..., п) —допустимая, то система по-
лей Kuh(k=lt 2, ..., п; 0<^Х<^1) также допустима. Такое ус-
ловие естественно в рамках предположения о малости де-
формаций. Вариационный принцип Лагранжа в теории упру-
гости [11] состоит в том, что функционал на истинном поле
перемещений (среди всех кинематически возможных) дости-
гает своей нижней грани:
Fk —
1
(0,1)
6
где fk> tk — массовая и поверхностная плотности сил, прило-
женных к телу o)fe.
Задача о минимуме функционала (0.1) представляет со-
бой конкретизацию общей задачи о минимуме выпуклого
функционала, определенного на выпуклом множестве (см.
§ 3). При весьма слабых предположениях относительно по-
тенциалов Fk доказано существование и единственность сис-
темы полей и\ дающих нижнюю грань функционалу (0.1).
Это и есть ответ на вопрос о существовании и единственности
решения в контактной задаче теории упругости.
В этой работе используется вариационный подход к ана-
лизу общих особенностей движения жестко-вязко-пластиче-
ских сред. Как представляется авторам, этот подход являет-
ся наиболее адекватным при исследовании указанных моде-
лей. Он позволяет не только решать вопросы о существова-
нии и единственности, но и проводить качественный анализ
движений жестко-вязко-пластических сред [12—16]. Кроме
того, вариационные методы позволяют связать ряд понятий
теории пластичности и функционального анализа. В резуль-
тате оказывается возможным дать прозрачную функциональ-
но-геометрическую интерпретацию свойств решений задач
теории пластичности.
2. Первая глава посвящена рассмотрению общих
вопросов, связанных со свойствами моделей голономных дис-
сипативных сплошных сред.
В § 1 дано определение класса диссипативных сплошных
сред и указан метод построения диссипативного потенциала
для этих сред. Однако задание функции диссипации или
диссипативного потенциала еще недостаточно для описания
модели диссипативной среды.
Принцип виртуальных работ вообще не является усло-
вием обращения в нуль вариации некоторого функционала.
Для того чтобы это было так, необходимо наложить допол-
нительное ограничение на класс моделей, приводящее к по-
нятию голономной диссипативной сплошной среды. Требова-
ние голономности эквивалентно требованию потенциальности
тензора напряжений по отношению к тензору скоростей де-
формации. На важность этого ограничения для механики
сплошных сред впервые указано в [17]. Аналогичное условие
о потенциальности напряжений по отношению к тензору
деформаций возникает и в теории упругости, однако в по-
следнем случае, оно не является предположением, а вытекает
из требования термодинамической обратимости процесса уп-
ругого деформирования. \
Функция диссипации однозначно определяет модель го-
лономной диссипативной сплошной среды, хотя существуют
7
различные модели неголономных сплошных сред с одной и
той же функцией диссипации. Из предположения о голоном-
ности в случае гладкого диссипативного потенциала следует,
что принцип виртуальных работ есть условие равенства ну-
лю вариации некоторого функционала, что доказывает пол-
ную эквивалентность вариационного и локального подходов
для рассматриваемого класса моделей.
В предположении выпуклости диссипативного потенциала
относительно тензора скоростей деформаций задача о розыс-
кании действительного движения эквивалентна задаче об
отыскании абсолютного минимума полученного функционала.
Класс диссипативных голономных сред с гладкими дис-
сипативными потенциалами достаточно широк и совпадает
с классом неньютоновских вязких жидкостей.
В § 1 введено преобразование Юнга для диссипативного
потенциала и рассмотрены некоторые его инвариантные свой-
ства. Это преобразование позволяет яснее понять ряд
свойств соотношений между тензором напряжений и тензо-
ром скоростей деформаций. В частности, например, показано,,
что условие несжимаемости соответствует независимости со-
пряженного потенциала от первого инварианта. Наоборот,
если сопряженный потенциал не зависит от первого инвари-
анта, то соответствующие задачи в кинематических терми-
нах могут рассматриваться только на полях скоростей, удов-
летворяющих условию несжимаемости, так как в противном
случае полная диссипация энергии в объеме, занятом средой,,
для поля, неудовлетворяющего условию несжимаемости, рав-
на бесконечности 2.
Таким образом, инвариантные свойства, связывающие дис-
сипативный и сопряженный потенциалы, могут быть непо-
средственно интерпретированы как свойства поверхности те-
кучести.
Соотношения между напряжениями и скоростями дефор-
маций, вообще говоря, могут быть исследованы и без при-
менения преобразования Юнга. Например, это можно сде-
лать на основе хорошо известного преобразования Лежанд-
ра. Подобный анализ содержится в [1]. Однако, например, то,,
что наличие взаимооднозначной связи между напряжениями
и скоростями деформаций эквивалентно условию выпукло-
сти диссипативного потенциала, становится очевидным толь-
ко при использовании преобразования Юнга. Кроме того,
возможность применения преобразования Лежандра связана
с определенными дифференциальными свойствами, которыми
2 В случае идеально пластических сред, рассматриваемых в § 2, со-
пряженный потенциал тесным образом связан с поверхностью текучести.
Именно, он равен нулю внутри области, ограниченной поверхностью теку-
чести и содержащей начало координат, и равен бесконечности в допол-
нительной области.
8
должны обладать связи между напряжениями и скоростями
деформаций, в то время как для использования преобразо-
вания Юнга достаточно предположения о непрерывности
диссипативного потенциала. Функция диссипации при этом
может быть разрывной.
В § 2 введен класс идеально пластических сред, в случае
которых диссипативный потенциал есть положительно одно-
родная функция первой степени относительно тензора ско-
ростей деформаций и имеет в начале координат коническую
точку. Естественным обобщением идеально пластических тел
является класс жестко-вязко-пластических сред, диссипатив-
ные потенциалы которых также имеют коническую точку в
начале координат. Типичным представителем этого класса
является модель вязко-пластической среды (так 'называемое
тело Шведова—Бингама). Традиционно класс идеально пла-
стических сред связывают с условием текучести и ассоцииро-
ванным законом течения 3.
С каждым диссипативным потенциалом первой степени
положительной однородности можно связать выпуклую по-
верхность в пространстве напряжений. Эта поверхность воз-
никает в результате применения преобразования Юнга к
диссипативному потенциалу. Именно преобразование Юнга
положительно однородной функции первой степени представ-
ляет собой функцию, равную нулю в некоторой выпуклой
области, содержащей начало координат, и равную бесконеч-
ности вне ее. Граница этой области и является поверхностью
текучести, на которой выполняется постулат Мизеса для со-
ответствующей функции диссипации. Наоборот, если в про-
странстве напряжений задана некоторая поверхность, ограни-
чивающая выпуклую область, содержащую начало коорди-
нат, то с этой областью можно связать * функцию, равную
нулю внутри и бесконечности вне ее. Преобразование Юнга
такой функции приводит к функции положительной первой
степени однородности, причем тензор напряжений является
потенциальным по отношению к полю скоростей деформаций
с потенциалом, равным этой функции. Тем самым показано^
что принцип Мизеса эквивалентен предположению о потен-
циальности тензора напряжений по отношению к тензору
скоростей деформаций.
Далее рассмотрен вопрос о характерных особенностях
сред, диссипативные потенциалы которых имеют коническую
точку в начале координат. В частности, к характерным свой-
ствам таких моделей относится понятие предельной нагруз-
ки, величина которой зависит только от характеристик опор-
3 Отметим, что, например, в [18] вместо ассоциированного закона ис-
пользуется предположение о коаксиальности тензоров напряжения и ско-
ростей деформации. Эти предположения, вообще говоря, не являются эк-
вивалентными и приводят к различным теориям пластичности.
п
кого конуса к диссипативному потенциалу в начале коорди-
нат. При многопараметрическом нагружении множество пре-
дельных нагрузок соответствует в пространстве параметров
некоторой поверхности, ограничивающей выпуклую область.
В работе приведены оценки размеров этой области. Указан-
ные свойства по существу составляют основное содержание
общей теории предельного равновесия жестко-вязкощласти-
ческих сред.
В § 3 конспективно напоминаются основные понятия
функционального анализа, которые лежат в основе матема-
тических методов, используемых в работе при анализе мо-
делей голономных диссипативных сплошных сред. Централь-
ным пунктом в этом параграфе является известная теоре-
ма 3.1 о минимуме функционала (эта теорема уже упомина-
лась во введении в связи с контактными задачами теории
упругости). Теорема 3.1 базируется на фундаментальном
понятии функционального анализа — рефлексивного про-
странства. В работе на основе неравенства Кларксона по-
лучены достаточные условия рефлексивности пространств,
возникающих в теории пластичности. Именно доказывается,
что пространства, выделяемые этими достаточными условия-
ми, являются равномерно выпуклыми и образуют подкласс
в множестве рефлексивных пространств. Следует подчерк-
нуть, что в случае идеально пластической среды функцио-
нальное пространство, ассоциированное с этой средой, не яв-
ляется рефлексивным. Кроме того, нерефлексивные прост-
ранства возникают при анализе жестко-пластических сред,
которые заполняют неограниченные объемы. В связи с этим
отметим доказанную здесь теорему о минимуме функционала
в случае неограниченной области.
Функциональные пространства, соответствующие задачам
теории пластичности, строятся по диссипативным потенциа-
лам. В работе такое построение проведено для простоты в
случае, когда диссипативный потенциал представляет собой
сумму положительно однородных диссипативных потенциа-
лов: Для построения функциональных пространств, соответ-
ствующих диссипативным потенциалам более общего вида,
следует использовать технику введения.нормы в пространст-
ва Орлича [19].
Проведенная аналогия между понятиями теории пластич-
ности и ‘функционального анализа позволяет понять ряд ка-
чественных особенностей, характерных для движений жест-
ко-вязко-пластических сред. Например, с функционально-
геометрической точки зрения легко понять, что различные
внешние силовые поля при фиксированных кинематических
ограничениях могут приводить к одному и тому же полю ско-
ростей. Такое явление невозможно в случае голономных дис-
сипативных сред с гладкими диссипативными потенциалами.
10
§ 4 посвящен изучению сравнения гидродинамических ха-
рактеристик сред с различными диссипативными потенциа-
лами. В этом параграфе обсуждаются следующие три задачи.
Первая задача связана с оценкой различия между поля-
ми, если известна оценка различия между диссипативными
потенциалами. Приходится накладывать весьма жесткие огра-
ничения на диссипативные потенциалы (строгая выпуклость,
глобальная оценка различия между диссипативными потен-
циалами). Приведем пример использования полученных в
этой части утверждений. При обработке результатов реоло-
гических экспериментов оказывается несущественным выбор
той или иной аналитической зависимости напряжений от ско-
ростей деформаций (например, использовать зависимость
Шведова—Бингама или степенную), если только эти зависи-
мости приводят к близким диаграммам состояния.
Содержание второй задачи связано с рассмотрением не-
гладких диссипативных потенциалов. Центральным местом
в решении этого вопроса является теорема 4.4. Смысл ее со-
стоит в следующем: если последовательность диссипативных
потенциалов сходится на каждом компакте в пространстве
скоростей деформаций к некоторому диссипативному потен-
циалу, то при весьма слабых дополнительных ограничениях
(относительно поведения диссипативных потенциалов на
бесконечности), можно утверждать, что любое поле скоро-
стей, являющееся пределом полей скоростей, соответствую-
щих последовательности диссипативных потенциалов, пред-
ставляет собой истинное поле скоростей, соответствующее
предельному потенциалу. Таким образом, теорема 4.4 пока-
зывает, что жестко-вязко-пластические среды естественно
рассматривать как предельный случай'сред с гладкими дис-
сипативными потенциалами.
Третья задача связана с изучением движения вязко-пла-
стических сред при исчезающе малой вязкости. Хорошо из-
вестно, что в случае идеально пластических сред истинное
поле скоростей неединственно. Неединственность бывает двух
типов. Во-первых, если есть некоторое истинное поле скоро-
стей течения, то после умножения его на положительное чис-
ло опять получаем истинное поле скоростей (масштабная не-
единственность поля скоростей течения). Во-вторых, вообще
могут существовать два различных истинных поля скоростей,
которые не сводятся друг к другу умножением на действи-
тельное число (конфигурационная неединственность).
Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть дис-
сипативный потенциал -ср имеет вид
ф=МР2 + ф1,
где ф1 — положительно однородная функция первой степени
однородности относительно тензора скоростей деформаций,
11
Ф2 — строго выпуклая неотрицательная функция тензора ско-
ростей деформаций, р — параметр, который будем называть
вязкостью. Внешние силовые поля будем выбирать при раз-
личных ц пропорциональными друг другу, причем коэффи-
циент пропорциональности зависит от р и таков, что величи-
на диссипации энергии, связанная с потенциалом <рь на
истинном поле скоростей равна единице. Возникает естест-
венный вопрос: к чему стремятся истинные поля скоростей
при р—>-0?
В этой работе дан ответ на этот вопрос в двух случаях.
Во-первых, когда в задаче для идеально пластической
среды есть конфигурационная единственность. В этом слу-
чае истинные поля при р—>0 стремятся к истинному полю
для идеально пластической среды.
Во-вторых, если есть конфигурационная неединственность,
но среди истинных полей в задаче для идеально пластиче-
ской среды есть хотя бы одно поле, на котором диссипация
энергии, связанная с потенциалом <р2, конечна. В этом слу-
чае доказывается, что рассматриваемый предельный переход
выделяет из множества истинных полей скоростей для
идеально пластической среды то, на котором диссипация,
связанная с потенциалом ф2, является наименьшей.
Во второй главе показано, как вариационные мето-
ды позволяют исследовать конкретные задачи теории пла-
стичности, а в качестве иллюстрации применения вариацион-
ных методов рассмотрена задача, о расчете предельных на-
грузок для криволинейных цилиндрических панелей при со-
вместном изгибе и растяжении. Выбор именно этой задачи
обусловлен также и ее самостоятельным теоретическим и
практическим значением.
В § 5 изложена постановка общей плоской задачи теории
идеальной пластичности в применении к задаче о деформа-
ции плоской панели, проведен предварительный асимптоти-
ческий анализ значений предельных нагрузок и показано, как
произвольные внешние силовые поля могут быть заменены
некоторыми эффективными силовыми полями более простой
структуры, приводящими к тем же асимптотическим значе-
ниям предельных нагрузок.
В § 6, 7 исходный функционал рассматривается на полях
скоростей специального вида. Именно на полях, удовлетво-
ряющих гипотезе плоских сечений и условию несжимаемости.
В работе такие поля названы полями Кирхгофа. Ограниче-
ние класса рассматриваемых полей позволяет упростить
структуру функционала. Дальнейшее сужение класса полей
скоростей, возникающее из требования малости касательных
напряжений, приводит К еще более простой структуре функ-
ционала, предельные нагрузки для которого обычно и ис-
12
пользуются при расчете несущих способностей тонких пане-
лей. Это приближение названо в работе идеальной панелью.
Физически идеальная панель соответствует представлению
о ней как о совокупности тонких пластических нитей, не со-
противляющихся изгибу. В § 7 показано, что гипотеза мало-
сти касательных напряжений является следствием вариа-
ционного принципа для панелей малой толщины. Результа-
ты, полученные в § 6, 7, позволяют дать оценку сверху для
несущей способности панели, рассматриваемой в рамках
плоской задачи, через значение несущей способности для
идеальной панели.
Далее, § 8 посвящен построению асимптотических оценок
снизу несущей способности панели в случае полей скоростей,
подчиненных только условию несжимаемости. Здесь показа-
но, что в задачах о чистом изгибе или чистом растяжении
плоской панели асимптотические оценки значений несущей
способности сверху и снизу совпадают и, таким образом, яв-
ляются точными значениями несущей способности для тон-
ких плоских панелей. Одновременно этот факт показывает,
что гипотеза Кирхгофа в этих задачах является асимптоти-
ческим следствием вариационного принципа. В случае со-
вместного изгиба и растяжения получены мало различаю-
щиеся двусторонние асимптотические оценки несущей спо-
собности тонких панелей.
Учитывая особую роль представлений об идеальной па-
нели в теории тонких панелей, в § 9 даны общие формулы,
позволяющие определять величины несущей способности па-
нели непосредственно через заданные внешние силовые поля
как в случае статически определимых, так и в случае ста-
тически неопределимых задач.
В § Ю даны формулы, позволяющие свести задачу об
определении предельной нагрузки для криволинейной иде-
альной панели к случаю плоской панели с соответствующим
пересчетом внешних силовых полей. В работе опущен вывод
функционала для криволинейной идеальной панели из об-
щей плоской задачи, так как это может быть сделано бук-
вальным повторением рассуждений, проведенных в преды-
дущих параграфах. ;
В § 11 уже изложенные теоретические представления й
формулы применяются к нахождению предельных нагрузок
в ряде конкретных задач. Например, вычислены значения
предельных внутренних давлений для тонкостенных труб с
круглым и квадратным поперечным сечением.
В § 12 на примере задачи о растяжении плоской панели-
указан метод нахождения двухсторонних оценок несущей
способности панели с учетом ее толщины.
В последнем § 13 рассмотрены качественные особенности
предельных нагрузок и разрушающих полей. В частности,
13
проанализирован вопрос о понятии сосредоточенной нагрузки
в теории панелей. Именно сосредоточенной нагрузке соответ-
ствует любая нагрузка, область распределения которой со-
измерима с толщиной панели, причем две нагрузки с непе-
ресекающимися областями распределения могут считаться
независимыми в рамках представлений идеальной панели,
если области их распределения отстоят друг от друга не ме-
нее чем на удвоенную толщину панели.
3. Не все задачи, в которых применение- вариационных
методов естественно как для решения общих вопросов, так
и для качественного анализа конкретных движений, рассмат-
риваются в данной работе.
К теории голономных диссипативных сред непосредствен-
но относятся задачи о предельном равновесии грунтов и сы-
пучих материалов. Традиционная схема постановки задач
о предельном равновесии грунтов аналогична задаче о пре-
дельном равновесии сжимаемого идеально пластического те-
ла [20—22]. Вместе с тем интересна постановка задачи о рав-
новесии в кинематических терминах. Это может быть легко
сделано с использованием преобразования Юнга. В качестве
примера рассмотрим случай, когда поверхность предельного
равновесия в пространстве напряжений представляет собой
полу конуса, которую обозначим через К. Легко показать,
что из условий инвариантности функции диссипации по от-
ношению к группе ортогональных преобразований (изотроп-
ная среда), вершина К может находиться только в точке
<Т1 = (Т2 = сгз = <^о- Обозначим через К\ полу конуса, ортогональ-
ного к К имеющего вершину в начале координат и ось ко-
торого направлена в противоположную сторону по отноше-
нию к оси конуса К. Рассмотрим теперь полуконус в про-
странстве скоростей деформаций. В этом случае функция
диссипации имеет вид
। Vi, если вц £ со /Сх, (q 2^
( со, если etj ( co/Ci,
где co Xi — выпуклая оболочка К\. Например, в. случае, ког-
да конус К — круговой (условие Мизеса—Шлейхера), по-
верхность предельного равновесия имеет вид
(?1 + СТ 2 + (Уз Зо0 —
= — а Г (©! — <т0)2 + (о2 — ст0)2 + (ст8 — а0)2.
(0.3>
В этом случае из (0.2) и (0.3) находим
(Г0/х, если 4 >1^3 — a2Z4»
оо, если 71 < 3 — a2 Z/2,
14
где Л, 4 — первый и второй инварианты тензора скоростей
деформаций.
Аналогичная постановка возникает и при анализе тече-
ний дилатантных^ жидкостей. Традиционное определение та-
ких сред дано в [23, 24].
К рассматриваемому кругу вопросов примыкает и теория
фильтрации. Уравнения теории фильтрации основаны на за-
коне Дарси и, как легко убедиться, имеют вариационную
форму. Например, в случае задач теории фильтрации с пре-
дельным градиентом, функционал, порождающий уравнения
теории фильтрации, имеет вид
1 ~ £ф ro)G(l vpl — то)Н<» — F(p), (0.4)
to
где Р(р) — линейный непрерывный функционал,, Ф($)— вы-
пуклая функция,
0(5) =
1, если s > 0,
0, если s < 0.
Вид функционала F'(p) определяется конкретной поста-
новкой задачи. Легко видеть, что функционал (0.4) являет-
ся гладким функционалом,если
lim “Т& - °’ («>0).
5^0
В этом случае функционал (0.4) порождает обычные урав-
нения теории фильтрации как в области, где | v р| >т0, так
и в области, где | v р |<Ст0, т. е. он приводит, например, к то-
му, что при | V/4<C.To скорость фильтрации равна нулю.
Функция р, дающая нижнюю грань функционалу (0.4), опре-
деляет распределение давления в пласте. Случай Ф($)=$2
определяет фильтрацию вязко-пластической жидкости.
Наиболее часто рассматриваемые задачи в теории фильт-
рации— это задачи о плоских движениях, вызываемых на-
личием перепадов давлений на сетке скважин. К этим зада-
чам относятся, например, задачи: <
a) F(p) =0, р-Рг (/= 1, п),
где pi — заданное давление на z-той скважине;
где Г< — контур /-той скважины, с? — параметр,
с расходом жидкости через /-тую скважину.
связанный
15
В задачах фильтрации с предельным градиентом поле
скоростей фильтрации обладает рядом качественных особен-
ностей. Например, в этих задачах движение охватывает лишь
конечную часть пласта. Движение возможно, если перепад
на различных скважинах достаточно высок. И еще, в случае
задачи а) для вязко-пластической среды зона течения стяги-
вается к линии, если диаметры скважин стремятся к нулю.
Однако при тех же условиях зоны течения охватывают часть
пласта, если, например, функция Ф($)=«а, а>2.
Такой качественный анализ может быть проведен мето-
дами, аналогичными изложенным в [12—16]. Отметим, что
ряд конкретных задач теории фильтрации с предельным
градиентом с использованием преобразования Чаплыгина
рассмотрен в [25—28].
Полученные в работе результаты могут быть перенесены
и на выше рассмотренные задачи.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИИ МЕДЛЕННЫХ
ДВИЖЕНИЙ жестко-вязко-пластических СРЕД
§ 1. Вариационный принцип для голономных диссипативных
моделей сплошных сред
Пусть пространственный объем заполнен некоторой не-,
сжимаемой сплошной средой, находящейся под действием
внешних массовых F и поверхностных сил t. Принцип вир-
туальных работ для произвольной сплошной среды может
быть представлен [1] в виде
J pF • 8xde> + J t • %xdS — J Оц da — f pw • Sxtf® = 0, (1.1)
<0 S G) 3 (i)
где 6x — кинематически допустимые возможные перемещения
точек сплошной среды, р — плотность среды, w — ускорение
элемента среды, a Oij— тензор напряжений в сплошной сре-
де, предполагаемый в рассматриваемом случае симметрич-
ным. По повторяющимся индексам предполагается суммиро-
вание.
Заметим, что член с вц в (1.1) представляет собой по оп-
ределению виртуальную работу внутренних поверхностных
сил на возможных перемещениях системы.
Сделаем следующие предположения:
будем рассматривать только медленные движения, когда
инерционным членом в (1.1) можно пренебречь;
наложенные на системы внешние кинематические ограни-
чения не зависят от времени. е
Тогда поле возможных перемещений с точностью до про-
извольного масштабного множителя может быть отождеств-
2 Заказ 458 17
лено с кинематически допустимым полем скоростей и соот-
ношение (1.1) переписано в виде
J pF • Swdco 4- J t • %udS ~ J cro-8eo-d(0 == 0, (1.2)
<0 S co
-Л
где — вариация'тензора скоростей деформаций, а бы—
вариация кинематически допустимого поля скоростей.
Заметим, что вариация поля скоростей би, вообще говоря,
не обязана удовлетворять внешним кинематическим ограни-
чениям и в то же время она автоматически удовлетворяет
условиям типа условия несжимаемости, т. е. в рассматривае-
мом случае
div — 0.
(1-3)
Важно отметить, что в отождествлении поля возможных
перемещений и поля допустимых скоростей движения суще-
ственную роль играло предположение о медленности движе-
' ния. В общем случае такое отождествление незаконно.
Сформулированный в таком виде принцип виртуальных
работ (1.2) справедлив для любых медленных движений
произвольной сплошной среды. Единственной внутренней ха-
рактеристикой сплошной среды, фигурирующей в (1.2), яв-
ляется тензор вц, связь которого с кинематическими харак-
теристиками движения и определяет конкретные модели
сплошных сред.
Следует особо подчеркнуть, что^ принцип виртуальных ра-
бот (1.2) дает только необходимые условия, которым долж-
но удовлетворять действительное поле напряжений, возни-
кающее в сплошной среде под действием внешних сил.
Рассмотрим класс диссипативных сред, обладающих тем
свойством, что для любых действительных движений имеет
место следующее соотношение для всех удовлетворяю-
щих (1.2)
(1.4)
причем D равно нулю тогда и только тогда, когда все
равны нулю, что соответствует движению среды как твердого
тела. Функция Dfe^) называется функцией диссипации.
Пусть функция D такова, что существует интеграл
1
Ф (^.) = [ ЩЧ? у. (1.5)
о
18
который будем называть диссипативным потенциалом. Пред-
положим далее, что функция ц(е^) дифференцируема. Тогда
Я(^)=~^-
Действительно, рассмотрим
ц
/ \ Г гч/
Ф (№3) = D (теИ) — .
J ’
О
(1-6)
(1.7)
Дифференцируя равенство (1.7) по параметру р, и пола-
гая р.= 1, приходим к соотношению (1.6).
Предположим, что рассматриваемая сплошная среда
изотропна. В этом случае скалярная функция D тензора вц
должна быть функцией его скалярных инвариантов. Заме-
тим, что при этом функция также является функцией
от этих же инвариантов.'
Введем в рассмотрение класс голономных сплошных сред.
Именно голономной сплошной средой будет называться сре-
да, принцип виртуальных работ (1.2) для которой может
быть сформулирован как экстремальный принцип
(1.8)
где Q — непрерывная, почти всюду дифференцируемая функ-
ция тензора скоростей деформаций.
Варьируя левую часть (1.8), получаем
J pF iuda + J 7- budr - J = 0. (1.9)
(О Г co 7 . ‘
Сравнивая выражения (1.9) и (1.2), находим, что ——
должно принадлежать классу полей о<3, удовлетворяющих
, принципу виртуальных работ.
Рассмотрим теперь голономную диссипативную среду.
В силу определения диссипативной среды (1.4)
-^-e„»D(eo). (1.10)
Найдем функцию Q. Сравнивая выражения (1.6) и (1.10),
будем иметь
(1.U)
2*
19
Из условий изотропности рассматриваемой сплошной сре-
ды соотношение (1.11) перепишется в виде
2/ ^(Q-ф) । з/ d(Q —<р) _
2 дЦ д13
(112)
О
2 — *3
Введем новые независимые переменные /2 = ^2, Л = Р3- За-
метим, что параметры X и р независимо меняются в некото-
ром угле на плоскости (Z, р). Уравнение (1.12) в новых пе-
ременных будет иметь вид
к д (9п.Ф). + р. d(Q. Z T) _ 0 (1.13)
дк ф
Общее решение уравнения (1.13) может быть представ-
лено в форме
(2-ф = т(—(1.14)
\ и /
Из требования непрерывности функции Q и ф следует, что
= const.
Тем самым доказано, что функция Q в случае диссипа-
тивных сред обязана совпадать с диссипативным потенциа-
лом,
а
Если отказаться от требования голономности, то принцип
виртуальных работ (1.2) для диссипативной среды можно
переписать в виде
Г = О,
(О
(1.15)
причем
' деа '
(1.16)
20
и, следовательно,
(1.17)
Для несжимаемой среды тензор
девиатором
Эф
деи
+ Ttj можно считать
-^-+^7 = 0. <1Л8)
дбц
Считая, что тензор является функцией только тензо-
ра ец, из общих соотношений теории тензорных функций [1]
ц. равенств (1.17), (1.18) получаем
4“ В (/g» Zs) т В (Zz> Zb) ^ik^kjy
'3 I
где В (12, h) — произвольная функция инвариантов I2, 1$.
Таким образом, для голономных диссипативных сплошных
сред принцип виртуальных работ (1.2) эквивалентен задаче
об экстремуме функционала
t •udr.
(1.19)
(О
со
Подчеркнем еще раз, что существуют различные неголо-
номные сплошные среды с одинаковой функцией диссипации.
Для однозначного определения неголономной диссипатив-
ной сплошной среды необходимо задание не только функции
D(Iz> 1$), но и функции B(I2t h). В случае же голономной
диссипативной сплошной среды В(12, /3) = 0, и среда пол-
ностью определяется заданием функции D(I2, I3).
Естественно предположить, что функция диссипации яв-
ляется монотонно возрастающей функцией главных скоростей
Деформаций [ej и |е3| (в силу условия несжимаемости
е\ + ^2 + ^з = 0). Тогда, как легко видеть, из (1.7) следует мо-
нотонное возрастание ф как функции | |, |е3|.
В дальнейшем будем предполагать, что ф (| е\ , | е31) —
выпуклая функция и е3. Из условия выпуклости функции ф
следует, что
дО О
/?=/ех2 -|- е22 4- е/ .
(1.20)
21
Действительно, из (1.6) в силу выпуклости <р будем иметь
(1.21)
Условие типа (1.20) было использовано, например, в [23]
и названо условием устойчивости.
Рассмотрим преобразование Юнга [29] функции ф(ег;)
Ф* (Р«) = Sup (р0ео- - ф (ео)).
еИ
(1.22)
Для гладкой функции ф(еу) верхняя грань правой части
(1.22) достигается в точке ец, где касательная плоскость к
поверхности z=<p('eiJ параллельна плоскости г=р^е^. Сле-
довательно, координаты этой точки должны удовлетворять
соотношению
—2— - Рц = Оц. (1.23)
дв^
Преобразование Юнга (1.22) определено для произволь-
ных функций. В случае гладких функций оно совпадает с хо-
рошо известным преобразованием Лежандра.
Для выпуклых функций преобразование Юнга инволютив-
но, т. е.
<р** = ф. (1.24) .
Следовательно,
Ф (ео) = Sup (<тоео- - ф* (а0)), (1.25)
’</
причем в случае гладкой функции ф инволютивное соотноше-
ние для (1.23) имеет вид
= (1.26)
Формула (1.26) показывает, что в случае гладкого вы-
пуклого диссипативного потенциала ф поля ец и вц потенци-
альны и поле имеет потенциалом функцию ф*. Следует
отметить, что в случае, когда функция ф не является строго
выпуклой функцией, соотношение (1.26) имеет место почти
всюду.
22
Отметим ряд инвариантных свойств преобразования Юнга. Покажем,
что если функция ф (ец) есть функция инвариантов ф (во)=Ф (Zb Z2, Л),-
т0 сопряженная по Юнгу функция есть так же функция инвариантов.
Действительно,
ф* (®у) = sup (fy ®г7 — ф (е,•;•)).
еи
Пусть ац — ортогональное преобразование. Рассмотрим тензор
ei] ~ epqapiaqj*
Тогда
eU = epqaP^aqf
Следовательно,
Ф* (’//) = S?P \-epqaipalq аЦ — Ф (e'pqaipafq)]-
еи
Из предположений относительно ф имеем
Ф* (’//) = V* (®f/ aipalql
Последнее равенство доказывает, что ф* (Оц) зависит только от инвари-
антов тензора (Уц.
Пусть функция ф (^ij) есть функция только от Ц. Покажем, что
в этом случае
ф*(®и)=ф*(22),
где Хз—'второй инвариант тензора Оц. Действительно, тогда
*
ф* («н) = sup («„ e{j — <р (/ е1(ецУ) = sup (0// e't} - ф (Г etj etj)),
еИ е. И
тде
eij — ец %
tskesk .
(tn — произвольный симметричный тензор). Легко видеть, что
eii еИ = еЦ eij*
Таким образом,
ф* (-2 Йе”tl>)" <₽*-(0‘7>‘
Отсюда в силу произвольности tn непосредственно вытекает, что
ф* (az/) <?* (S2).
Заметим так же, что условие несжимаемости среды эквивалентно то-
му, что Ф*((Го) не зависит от среднеобъемного давления.
Действительно, если ен=0, то
<Р* (®,/) = sup (etj — ф (е,7)) -
еч
~ sup [е{ - (?г + a8f,) — <р (е..)] - <р* + a6z/).
еИ
23
Наоборот, пусть ф*(ао+ади)==ф*((Гг,)< Тогда
? (бу) = sup (а/7 etl - <Р* (ay)) = sup [(о(.- + а8/;.) — <р* (о17)]
. • aij ' °Ц
при любом а. Если еи^О, то ср (е/}) —Следовательно, значение полной
диссипации энергии в любом объеме будет конечным только для несжи-
маемой среды, и поэтому сопряженный потенциал ф* можно рассматри-
вать как функцию девиатора тензора напряжений.
•
Как уже говорилось, в случае гладких диссипативных по-
тенциалов принцип виртуальных работ (1.2) в предположе-
нии потенциальности поля напряжений эквивалентен задаче
на экстремум функционала (1.19). Покажем, что в случае
выпуклой функции <р задача на экстремум, функционала
(1.19) эквивалентна проблеме минимума этого функционала.
Для определенности предположим, что — наибольшая*
е3^0— наименьшая из главных скоростей деформаций.
Теорема 1.1. Если <р (|ех |, |е3|)—монотонно возрастаю-
щая и выпуклая функция своих аргументов, то ср(и)— вы-
пуклая функция поля скоростей.
Доказательство. Рассмотрим
где £г — тензор скоростей деформаций, соответствующий по-
лю щ (i=l, 2). Тогда в силу определения собственных зна-
чений матрицы
Далее, так как
24
*
pSi+&-e~
min
е
> mi„ + ml„
Г p + ’ (г, г)
ТО В силу МОНОТОННОСТИ ф ( | |,
имеем
(L29)
е3|) из выражения (1.27)
+ . Р|е3(£1)1 + ?1М£2)1\ (1 30)
' р + ? ’ . Р + Я /
Из выпуклости ф (| ех |, |е3|) и (1.30) следует
ф f Pui + Я“ъ РФ (Ых) + ?Ф (^г)
\ р + Я J Р'+Я
Теорема доказана. Неравенства (1.28), (1.29) выражают
тот факт, что наибольшее (наименьшее) собственное значе-
ние матрицы является выпуклой (вогнутой) функцией мат-
рицы.
Следует отметить, что всюду в дальнейшем диссипатив-
ный потенциал ф будет предполагаться выпуклой функцией
поля, что приводит к выпуклости функционала (1.19). Одна-
ко функция диссипации, вообще говоря, не обязана при этом
быть выпуклой функцией поля. Например, если функция дис-
сипации зависит только от второго инварианта тензора ско-
ростей деформаций, то, как легко показать, для выпуклости
диссипативного потенциала необходимо и достаточно, чтобы
функция D допускала представление
где Yfs)— произвольная монотонно возрастающая функ-
ция s. Таким образом, функция диссипации в этом случае
не обязана быть даже непрерывной.
Резюмируя сказанное, можно утверждать, что для голо-
номных диссипативных систем с гладкими выпуклыми дис-
сипативными потенциалами функционал (1.19) является вы-
пуклым функционалом поля скоростей. ч
I
Теорема 1.2. Если 1(и)— выпуклый функционал поля и
и uQ — его критическая точка, то I(uQ)—абсолютный мини-
мум функционала 1(и).
Доказательство. Из выпуклости функционала 1(и)
имеем
(1.31)
В силу предположения о поле «о
/ ((1 — е) и0 + ей) = /(и0 + е (и — и0)) =
= 1(и0) + ео(1),
(1.32)
о (1)—»-0 при е—»-0.
Сравнивая (1.31) и (1.32), находим
7(и0) </(«) + 0(e).
(1.33)
В силу произвольной малости е неравенство (1.33) экви-
валентно неравенству 1(uq)<zJ(u). Теорема доказана.
Таким образом, для голономных диссипативных сред с
гладкими выпуклыми диссипативными потенциалами прин-
цип виртуальных работ эквивалентен проблеме минимума
функционала (1.19).
§ 2. Модели жестко-вязко-пластических сред
Этот параграф посвящен изучению моделей сплошных
сред с недифференцируемыми диссипативными потенциала-
ми. Именно относительно диссипативного потенциала ср бу-
дет предполагаться, что ф есть монотонно возрастающая
функция |^i| и |е3|, выпуклая относительно е3 и ф(0, 0) =
= 0. Из этих предположений следует, что ср(е^) дифферен-
цируема почти всюду [30]. Поле Оц будем называть потен-
циальным, если существует функция <р с перечисленными
выше свойствами, для которой почти всюду
__ дф
И
tejf
Полученные в предыдущем параграфе две эквивалентные
формулировки задачи об описании движения голономных
26
диссипативных сред с гладкими потенциалами требуют до-
полнительного исследования в случае недифференцируемого
потенциала (р. Каждая из этих формулировок имеет смысл
и в случае негладких диссипативных потенциалов. Однако
их взаимосвязь не является достаточно прозрачной в силу
того, что связь (2.1), имеющая место почти всюду в прост-
ранстве е^, теряет смысл, вообще говоря, на множествах по-
ложительной меры в физическом пространстве. Ниже нами
будет показана эквивалентность этих формулировок и в этом
случае. Однако из методических соображений доказательство
этого факта будет дано в § 4.
Итак, среди кинематически допустимых полей скоростей
действительным будет то, которое дает минимум функцио-
налу
(О (О
• ud<a —
t • udV,
(2-2)
где ф удовлетворяет указанным в начале параграфа усло-
виям.
Представим ф в следующем виде:
Ф=Л+Ф, <&>0,
(2.3)
где К — опорный конус для поверхности z=q(eij) в начале
координат, т. е. в точке ^=0. Тогда в силу определения
опорного конуса
Ф(е^) =о(е^) при —>0.
Из выпуклости диссипативного потенциала ф следует, что
конус.К—выпуклый и Ф(еъ-)>0. Будем говорить, что дис-
сипативный потенциал ф определяет модель жестко-вязко-
пластического тела, если хотя бы одна из образующих ко-
нуса К не лежит в плоскости г=0. Из ограничений, нало-
женных на ф, немедленно следует, что если хотя бы одна
образующая конуса К не лежит в плоскости z = 0, то и лю-
бая образующая этого конуса наклонена к плоскости 2=0
под ненулевым углом. Это вытекает из выпуклости конуса К
и монотонности ф как функции | е} |, | е31.
Как известно [20, 31], обычное определение модели жест-
ко-вязко-пластических тел связано с тем, что течение среды
возможно лишь при условии
hi
(2.4)
27
Однако, если предположить, что конус К нулевой (/<=0),
то ф совпадает с Ф и
llm JEiSel» 0. (2.5)
геи
Из свойств функции ф тогда следует, что частные произ-
водные диссипативного потенциалов нуле существуют и рав-
ны нулю. Кроме того, частные производные ф (там, где они
существуют) стремятся к нулю при —И). Следовательно,
в этом случае в силу (2.1) условие (2.4) не может быть вы-
полнено.
Среды, для которых ф=/С, называются идеально пласти-
ческими. Заметим, что в силу (1.7) и первой степени одно-
родности функции К следует, что диссипативный потенциал
и функция диссипации совпадают (ф=£>).
' Традиционно класс идеально пластических сред связы-
вают с существованием условия текучести и ассоциирован-
ным законом течения. Покажем, что для каждой функции К
с указанными выше свойствами существуют соответствующие
условия текучести и для тензора скоростей деформации
имеет место ассоциированный закон.-Более того, из условия
текучести и ассоциированного закона однозначно находится
функция К (£> = ф=Л), для которой справедливо [20] соотно-
шение (2.1).
Рассмотрим преобразование Юнга от К. Нетрудно видеть,
что это преобразование приводит к функции К*, равной ну-
лю внутри некоторой выпуклой, ограниченной и содержащей
начало координат области S с границей Г и равной беско-
нечности вне этой области. Граница Г в пространстве Oij
определяется теми которые могут быть получены из соот-
ношения (2.1). Эта гиперповерхность Г и является поверх-
ностью текучести, соответствующей заданной функции дисси-
пации. В силу инволютивности преобразования Юнга для
выпуклых функций /<**==/С С другой стороны,
г
/< = /<’* = sup (еИоИ - К* (<*/,)) = max = D. (2,6)
Ч/ €Г
Это равенство означает, что «скорость диссипации меха-
нической энергии в единице объема во время пластического
деформирования имеет максимальное значение для действи-
тельного напряженного состояния среди всех напряженных
состояний, допускаемых данным условием пластичности» [20],
и составляет содержание известного принципа Мизеса. Ре*-
шая задачу об условном экстремуме в (2.6) методом множи-
телей Лагранжа, приходим к ассоциированному закону те-
чения.
28
Наоборот, пусть задана выпуклая, ограниченная, содер-
жащая начало координат в пространстве вц область 2 с гра-
ницей Г. Введем функцию К*, равную нулю внутри Г и бес-
конечности вне ее. Тогда согласно принципу Мизеса
D = max еиви = sup [аиеи — /(•]=/(
и в силу свойств преобразования Юнга функция D удовлет-
воряет условию (2.1), т. е. является-диссипативным потен-
циалом.
Таким образом доказано, что предположение о существо-
вании выпуклого условия текучести и справедливости посту-
лата Мизеса эквивалентно требованию потенциальности по-
ля напряжений с пластическим потенциалом, представляемым
выпуклой конической поверхностью в пространстве £?>
Наиболее часто рассматриваются модели идеально пла-
стических сред с диссипативными потенциалами вида
1/ -у е^е^—потенциал Мизеса;
=ф(е«3)=то
D (еи)~ <р(еи) = т0max | et | j/e," + ег"4-е3п
— потенциал Треска, где т0 — предел текучести.
Заметим, что ‘точки недифференцируемости потенциала
Треска сосредоточены на линии р1| = |^з| в плоскости ех, е3,
а потенциал Мизеса недифференцируем лишь в начале коор-
динат.
Другой Часто используемой моделью жестко-вязко-пласти-
ческой среды является модель вязко-пластической среды с
функцией диссипации вида
D = Di (е^) +D2 (ea)f
*
где ‘ D2 — положительно однородные функции первой и
. второй степени соответственно. Соответствующий диссипа-
тивный потенциал имеет вид
<Р = ^1 + 1/2^2-
Вернемся к рассмотрению задачи о минимуме функцио-
нала (2.2). Минимум 1(и) должен быть найден на некотором
классе кинематических допустимых полей скоростей, удов-
летворяющих условию несжимаемости и ряду других ограни-
чений, вытекающих из конкретной постановки задачи. Будем
предполагать, что рассматриваемый класс полей скоростей
удовлетворяет следующему условию. Если поле и входит в
допустимый класс полей, то поле Ки также принадлежит
этому классу при
Заметим, что нулевое поле всегда является кинематиче-
ски допустимым.
Введем понятие корректно поставленной задачи: именно
задача поставлена корректно, если для любого поля скоро-
стей из класса кинематически допустимых,
—с^1(и),
(2.7)
где с — некоторое действительное число, зависящее от кон-
кретной постановки задачи, но, не зависящее от выбора кон-
кретного поля из класса кинематически допустимых.
В различных конкретных задачах условие корректности
часто представляет собой ограничение на внешние силовые
поля.
Например, пусть среди кинематически допустимых полей
содержатся поля, соответствующие движению среды как
твердого тела или системы твердых тел. По определению D
на таких полях D(u)=O и функционал (2.2) на этих полях
имеет вид
/(а) =
(2-8)
Условие корректности приводит к неравенству
J pF • udco + J t • udV < 0. (2.9)
(О г
Если вместе с полем и в класс кинематически допустимых
полей входят поля Хи/ где —^СХС00, то условие (2.9) пре-
вращается в равенство.
Как легко видеть, условие (2.9) представляет собой прин-
цип виртуальных перемещений аналитической статики. Со-
вместно с уравнениями связей, наложенных на систему, из
этого условия можно получить необходимые условия ее рав-
новесия.
В дальнейшем будем всегда предполагать условие кор-
ректности (2.7) выполненным.
Будем говорить, что система находится в жестком состоя-
нии при заданной внешней нагрузке, если значения (2.2) на
любом кинематически допустимом поле не отрицательны. Ес-
ли же существует хотя бы одно кинематически допустимое
поле, при котором (2.2) отрицательно, то будем говорить,
.30
что в системе развивается неограниченное пластическое те-
чение.
Система нагрузок (pF, t) называется предельной, если
при этих нагрузках система остается жесткой и при любом
числе k>l существует хотя бы одно кинематически допусти-
мое поле, на котором
kt udux^O. (2.10)
G)
(О
Отметим некоторые характерные особенности предельной на-
грузки. Пусть <рг’ = /О' + Ф\ (i=l, 2)—диссипативные потен-
циалы для двух различных жестко-вязко-пластических сред,
причем К1 —К2. .
Тогда
? («) =
(2.Н)
(О
Если (pF, t) — предельная нагрузка для одной из сред,
то она является предельной.и для другой. Пусть (pF, t) пре-
дельная нагрузка для первой среды. Тогда I2(u)^Q. Дейст-
вительно, если существует поле и0, для которого /2(и0)<<0;
то В силу свойств диссипативного потенциала
(2.3)
ф^ц) -»0 при Х-*0- (2.12)
Л
Но тогда при достаточно малом X, что противо-
речит предположению о том, что (pF, t) — предельная на-
грузка для первой среды.
Покажем далее, что при нагрузке (ApF, kt); k> 1 сущест-
вует поле Ць для которого I2(v0)<0. Из определения пре-
дельной нагрузки следует, что существует поле w0, для кото-
рого Il(wQ)<zO (функционал I1 здесь рассматривается при
нагрузке (6pF, kt); &>1). Легко видеть, что если положить
= то при достаточно малом А в силу (2.12) /2(о0)<0.
31
ИНГ
Таким образом показано, что задача о предельном равно-
весии жестко-вязко-пластической среды сводится к задаче о
предельном равновесии соответствующей идеально пластиче-
ской среды.
Укажем еще ряд особенностей предельных для идеально
пластической среды нагрузок. Именно, если (рЛ t) — пре-
дельная нагрузка, то нагрузка (kpF, kt) при k>\ приводит
к некорректно поставленной задаче.
Действительно, пусть и0 — кинематически допустимое по-
ле, для которого
J К (и0)da — J kp F • f/od(o — J*kt • wodr < 0.
CD (d Г
Тогда
kt 'Xuodr
---00
(0
(0
при Л—>°°, что противоречит условию корректности (2.7).
Пусть имеется две функции диссипации Ль Лг, причем
Рассмотрим некоторую внешнюю нагрузку (pF, t).
Пусть (hipF, h^) предельная нагрузка для среды с функ-
цией диссипации Кг (i=l, 2). Из определения предельной
нагрузки, очевидно, следует, что h^h2.
Покажем теперь конечность предельной нагрузки в том
случае, когда допустимые поля скоростей образуют линейное
векторное пространство. Пусть (pF, t) — некоторая ненуле-
вая нагрузка. Это значит, что существует кинематически допу-
стимое поле Uq, для которого
JpF-uodco + J t • wodr =/= 0. (2.13)
© г
Пусть для определенности интеграл (2.13) положителен.
Очевидно, всегда можно выбрать число для которого
С/С (u0) dm — J h^F • Ugdm — J hjt • uodr < 0.
CO CD Г
Но это означает, что нагрузка (hxpF, hxt) превосходит пре-
дельную. Заметим, что если кинематически допустимые поля
32
заполняют только конус в вектопи™, ™
у векторном пространстве, то суще-
ствуют ненулевые нагрузки (hoF hf\
значениях й^.0. ’ Допустимые при всех
т “а”°ртурз™ 2ау7л™Е «VSpSo?oP:ro“S
мости внешних нагрузок от параметров состоит в “ом что"'
F (Pi + Рг) = (pF (Р1 + р2), t (Р1 + р2)) = р + р '
Обозначим через р1 вектор (0, О, pi, 0, ...0). Рассмотрим
внешнюю нагрузку F (р1). Как было показано выше, для pi
существует такое значение pi*, что нагрузка F (р1*) —
= F (0, ..., 0, Р(*, 0, •..., 0)—предельная. В s-мерном евкли-
довом пространстве рассмотрим симплекс S, построенный на
векторах р1*, ..., ps*. Покажем, что если вектор р находится
внутри этого симплекса, то при нагрузке F (р) течение от-
сутствует. Действительно, представим вектор р в виде
р=£ j ^сР^
1
где 0<£< 1, 2Xj = 1, Так как
1 \
f К. (и) da — £ J pF (р,г) uda> — В у t (pj) udV 0
<о <о • Г
для любого кинематически допустимого поля и, то
К (u) d® - ХД У
СО
pF (р.‘) ud<>> —
и, следовательно,
*г'
0.
1
О) ©
Тем самым действительно доказано, что внутренние точки
симплекса S соответствуют движению среды кац* твердого
3 Заказ 458 33
тела. Покажем, что множество Р, состоящее из точек в про-
странстве параметров р, для которых течение отсутствует,
есть выпуклое множество. Действительно, пусть р\ и р2 при-
надлежат Р, т. е.
*
J к (и) dm — J pF (р() udm — t .(pi) udV > 0, (i = 1,2)
co co Г
для всех кинематически допустимых полей и. Но тогда
0 < j К (и) dm — | J pF (pi) udm — £ t (pj) udr —
(О CO Г
- (1 - I) J pF (p2) Zdm - (1 - g) J 7(72)7dr =
(О Г
= J к (и) dm — Jp7 (|px + (1 — g) p2) udm —
(0 (0
- J 7(й + (1 - I) ?2) ZdV. • (2.14)
г
Соотношение (2.14) доказывает выпуклость множества Р.
Очевидно, что PzdS.-
Доказанные выше свойства предельных нагрузок по су-
. ществу составляют основное содержание общей теории пре-
дельного равновесия жестко-вязко-пластических сред.
§ 3. Теоремы существования и единственности
Как было показано в § 2, задачи о медленных движениях
голономных диссипативных сред приводят к задаче о нахож-
дении поля скоростей, минимизирующего некоторый функ-
ционал. Обсуждение существования минимума функционала
начнем с рассмотрения следующего примера. Пусть непре-
рывная функция Ф(х) определена в п-мерном евклидовом
пространстве и пусть Ф(х)—>о° при |х|—*00. Очевидно, что
в этом случае нижняя грань значению Ф(%) конечна и су-
ществует точка х0, в которой Ф(х) достигает своей нижней
грани. Это утверждение базируется на фундаментальном
свойстве конечномерного пространства — компактности про-
извольного ограниченного замкнутого множества.
34
По существу для решения задач, связанных с движением
сплошных сред, необходим аналог приведенной выше теоре-
мы в случае бесконечномерных функциональных пространств.
Однако прямое перенесение этой теоремы на бесконечномер-
ный случай невозможно, что приводит к необходимости на-
ложить ряд ограничений на вид функционала и структуру
функционального пространства. Основным препятствием^ пе-
ренесению результатов, полученных в конечномерных про-
странствах, на бесконечномерные пространства является не-
компактность замкнутого ограниченного множества.
В бесконечномерных пространствах есть ряд свойств как
самого пространства, так и функций (функционалов) на нем,х
которые являются независимыми в этих пространствах и
отождествляются при переходе к конечномерным пространст-
вам. Например, в бесконечномернохм пространстве [5] можно
построить непрерывный функционал, определенный на замк-
нутом ограниченном множестве и неограниченный на этом
множестве, хотя в конечномерном пространстве из непрерыв-
ности функции на ограниченном замкнутом множестве сле-
дует ее ограниченность. Другим примером таких свойств яв-
ляются различные понятия сходимости (топологии) в бес-
конечномерных пространствах.
Рассмотрим бесконечномерное нормированное простран-
ство, т. е. такое линейное пространство, в котором можно
определить расстояние ll^i—е2|| между двумя элементами
e[f е^ обладающее следующими свойствами:
1) ll^i — е2||^0, причем равенство имеет место тогда и
только тогда, когда ei = e2;
2) ||Хе|| = |Х|||е|| для любого вещественного числа X; здесь
под ||е|| понимается ||е—О||, т. е. расстояние от е до О;
3) 1|Г1 + 72||^||^|| + 1|7211.
Естественным понятием сходимости в таком пространстве
является сходимость по норме (сильная топология). Говорят,
что последовательность еп сходится по норме к е, если
^11
Дадим теперь другое определение сходимости в нормйро- •
ванном пространстве. Рассмотрим вещественный линейный
Функционал f(e) на нормированном пространстве, т. е.
f (Mi + = М (*i) + (е2).
3*
35
Линейный функционал назовем ограниченным, если
для любого е из пространства. Здесь с — некоторое положи-
тельное число. Будем говорить, что последовательность еп
слабо сходится к элементу е (слабая топология), если
f(en) —^f(e) при п—> оо
для любого ограниченного линейного функционала f(e).
Можно доказать [33], что в нормированном пространстве
слабая и сильная сходимости совпадают тогда и только тог-
да, когда нормированное пространство конечномерно. В даль-
нейшем ограничимся рассмотрением полных нормированных
пространств (банаховы'пространства), т. е. будем рассмат-
ривать пространства, в которых любая сильно фундаменталь-
ная последовательность является сходящейся по норме. На-
помним, что последовательность называется сильно фунда-
ментальной, если lkn — ^7nll"^0 при n, т—Для простоты
будем рассматривать сепарабельные банаховы пространства,
т. е. такие пространства, в которых существует счетное всю-
ду плотное множество. Счетное множество еп называется
плотным в пространстве, если для любого ^положительного
числа 8 и любого элемента е существует элемент ек из счет-
ного множеств'а такой, что ||е — ej|<8. Как уже указывалось
выше, ограниченные замкнутые множества в бесконечномер-
ных пространствах, вообще говоря, не являются сильно ком-
пактными. Однако существует широкий класс бесконечно-
мерных банаховых пространств (рефлексивные пространст-
ва), в которых ограниченные замкнутые множества являются
слабо компактными, т. е. из любого ограниченного замкну-
того множества можно выделить слабо сходящуюся после-
довательность.
В рефлексивных банаховых пространствах уже можно
сформулировать аналог конечномерной теоремы о минимуме
функционала. Для этого введем понятие слабо непрерывного
функционала: функционал Ф(е) — слабо непрерывен, если
для любой последовательности еп, слабо сходящейся к е,
lim Ф(еп) = Ф(е). В рефлексивных банаховых пространствах
имеет место следующее утверждение. Если Ф(е) — слабо не-
36
прерывный функционал, заданный на ограниченном выпук-
лом и замкнутом множестве М, то существует элемент е0 в
М такой, что
Ф (е0) -• inf Ф (е).
"«EM
*
Однако запас слабо непрерывных функционалов в бана-
ховых пространствах очень узок. Например, часто используе-
мый в приложениях функционал ||е|| не является слабо не-
прерывным. Поэтому, для того чтобы сформулированная
теорема оказалась эффективной в приложениях, необходимо
ослабить предположения на функционал Ф. Именно, будем
предполагать, что Ф — слабо полунепрерывен снизу, т. е.
если последовательность еп слабо сходится к е, тогда
ф (е) < lim Ф (е„).
Л-»оо
Можно показать [4], что всякий непрерывный в сильной
топологии, выпуклый функционал является полунепрерывным
снизу. В частности, ||е|| — является полунепрерывным снизу
функционалом. Сформулируем теперь общую теорему суще-
ствования и единственности.
Теорема 3.1. [4]. Пусть В — рефлексивное, сепарабельное
банахово пространство и М — выпуклое, замкнутое множест-
во в В. Пусть Ф(е) — слабо полунепрерывный снизу функ-
ционал, определенный на М и возрастающий на М, т. е.
Ф(е)-*оо, если ||е||—»оо, е £ М.
Тогда существует элемент е0 из М, такой, что'
е£М
причем, если функционал Ф(е) — строго выпуклый, то ми-
нимизирующий элемент является единственным и любая ми-
нимизирующая последовательность слабо сходится к нему.
Доказательство. Рассмотрим последовательность
элементов еп из М, таких, что
при П-*со.
е£М
37
В силу предположений теоремы элементы еп в совокупности
ограничены по норме. Из предположения о рефлексивности
пространства В вытекает, что существует подпоследователь-
ность enk, слабо сходящаяся к элементу е0 из М.
Но тогда
ф(Хх
ПтФ(ея/!) = inf Ф (е).
Лс—>оо
R ’ е£М
Следовательно, нижняя грань функционала Ф конечна и
значение Ф(е0) равно этой нижней грани. Из строгой вы-
пуклости функционала вытекает единственность минимизи-
рующего элемента.
Покажем, что в этом случае всякая минимизирующая по-
следовательность слабо сходится к е0. Рассмотрим миними-
зирующую последовательность еп (я=1, 2, ...). Как уже от-
мечалось, эта последовательность ограничена по норме и,
следовательно, в силу рефлексивности пространства, слабо
компактна. Предположим, что эта последовательность имеет
две предельные точки е0/ е0* в слабой топологии. Так как
М — замкнутое выпуклое множество, то е0 и во* принадле-
жат М. Но тогда нижняя грань Ф достигается, по крайней
мере, на двух элементах е0 и е0*,*что противоречит строгой
выпуклости функционала Ф. Теорема доказана.
Важным условием, фигурирующим в теореме 3.1, являет-
ся требование рефлексивности банахова пространства. Эф-
фективным достаточным условием, обеспечивающим рефлек-
сивность, в ряде случаев оказывается требование равномер-
ной выпуклости банахова пространства, которое состоит в
следующем. Банахово пространство В называется равномер-
новыпуклым [33], если в нем из того, что хп, уп принадлежат
в, HxJl^l, ||уп||<1 и \\хп+уп\\—^2, вытекает: \\хп — уп ||—>0.
Конкретизируем теперь рассмотренные выше общие понятия
функционального анализа в случае' теории жестко-вязко-пла-
стических сред. Предположим (в дальнейшем мы это пока-
жем в некоторых частных случаях), что существует рефлек-
сивное банахово пространство В полей скоростей, опреде-
ленных в области со, в котором функционал
1»
е3) dco
(3.1)
38
является возрастающим и непрерывным. Относительно кине-
матических ограничений, наложенных на поле скоростей, бу-
дем для простоты предполагать, что они заполняют некото-
рое замкнутое подпространство в В. Рассмотрим функцию
<р(Л (Р^В, q^O). Легко видеть, в силу условия несжи-
маемости, что <р(р, q) должна быть, определена в углу
q<Z2p, p^.2q, расположенном в первой четверти плоскости
р, q-
В дальнейшем будем предполагать, что
ф(Л q)^c(P2 — pq + q2)^ , (3.2)
где с — положительное число, ос^.1. Это условие всегда вы-
полнено в случае жестко-вязко-пластических сред, что сле-
дует из выражения (2.3) и невырожденности конуса /С. Соот-
ношение (3.2) показывает, что поля скоростей и (и, v, w),
на которых рассматривается функционал (3.1), должны да-
вать конечное значение следующему интегралу:
f [2 (—Y + 2 (—У + 2 (—Y
р L 'дх ' 'ду' ^дг'
, (ди dv\2 , fdu , dw\2 f /dv . dw\2 |~,
\dy dx! 'dz dx' ^dz dy ' J
Это показывает, что условие несжимаемости при функцио-
нальном подходе выполняется, вообще говоря, почти всюду.
Итак, кинематические ограничения на допустимые поля
скоростей вместе с условием несжимаемости выделяют
в пространстве полей В некоторое замкнутое подпространст-
во М, на котором и будет рассматриваться функционал
(1.19). Из условия (2.7) находим, что линейная часть
в функционале (1.19), имеющая вид
L (и) — \pF ud(d -(- \t • udr,
•J '*7
co Г
является непрерывным функционалом на М.
Действительно; предположим, что L не является непре-
рывным на М. Тогда L не является ограниченным на единич-
ном шаре в М, т. е. существует последовательность ип, нор-
мы которых ограничены и L(un)—при п—Но тогда
Ф(пп)—£(wn)—*—00 при п—что противоречит условию
(2.7), т. е. мы приходим к задаче о минимуме функционала
•Ф(и) —L(u) на подпространстве М Если а>1, то функцио-
нал Ф — L является возрастающим и, как легко видеть, вы-
39
Цолнены все условия теоремы 3.1. Таким образом, получена
теорема существования, а в случае строго выпуклого функ-
ционала — и единственности поля скоростей/ минимизирую-
щего (1.19).
Рассмотрим конкретный пример функции <р(р, q), часто
используемой в приложениях
ф (р> q) = £ ф< (р, q), (3.3)
где <fi(p, q) — частичный диссипативный потенциал, удов-
летворяющий всем Требованиям, налагаемым на диссипатив-
ный потенциал, и являющийся положительно однородной
функцией степени sr('s1>s2>...>sft^l)
Фс (^Р, Ч) = | % |si ф£ (р, q)
при любом действительном А. Очевидно, функции- <рг- удов-
летворяют соотношению (3.2), причем а = s{. Представление
(3.3) позволяет ввести норму в пространстве полей скоро-
стей, так что функционал Ф(и) будет непрерывным и воз-
растающим в этом пространстве. Именно нетрудно видеть,
что выражение
(3.4)
определяет преднорму в пространстве полей скоростей. Для
того чтобы выражение (3.4) определяло норму, необходимо
отождествить поля скоростей.«1 и и2, для которых ||«i — «211 =
= 0. Другими словами, отождествляются поля скоростей, раз-
личающиеся на движение, соответствующее перемещению
среды как твердого тела.
Из свойств функции ц>г(р, q) непосредственно следует, что
норма (3.4) эквивалентна следующей норме:
Пусть со — ограниченная область. Тогда норма (3.5) экви-
валентна норме
40
(3.6)
Предположим сначала, что Si^2, и покажем, что в этом
случае банахово пространство с нормой (3.6) является рав-
номерно выпуклым. Это утверждение является непосредст-
венным следствием известного неравенства Кларксона [2]:
для любых ф, гр, суммируемых на со со степенью Si^2.
Из неравенства Кларксона следует
41
(О
1
(О
(О
1
(О
I 1
У
(О
1 *5
(О
22 + Wx
> 2
х
, 2
У
I 2
У
'Si
s\
\ da)
<*1
•Ч
Введя в пространстве В норму, эквивалентную (3.6), вида
(О
IMi
находим, что для нормы (3.7) имеет место соотношение
Н и2
2
$1
U1---
откуда непосредственно вытекает равномерная выпуклость
пространства В.
Пространство В остается равномерно выпуклым и при,;
1<$1<С2. Однако неравенства в этом случае несколько бо*'
лее громоздкие. Именно неравенство Кларксона при
имеет вид %
das
das
Si—1
(О
со
42
Преобразуем последнее неравенство. Положим
Из неравенства Кларксона следует, что А^>,В. Тогда
1 1 1 (
ASi~1 — В5*—1 = ЛЛ1~1 { 1 ~
_1 /г 1 1 \
+1)(Л-В).
'L sr — 1 J '
Здесь [а] — целая часть действительного числа а. Таким
образом,
1 2—
с \ - ___ *
* Лог1-1 < Л5*-1
(О
Пусть’ щ, и2— два кинематически допустимых поля ско-
ростей, для которых норма (3.7) равна единице и, кроме
Очевидно, что на компонентах полей щ, и2 коэффициент А
в (3.9) не превосходит единицы. Поэтому, применяя неравен-
ство (3.9) к соответствующим производным от компонент по-
лей скоростей щ, и2, будем иметь
и,1 — и,2
_л л
1
О)
О)
+ 1 и*151 — \и* + НО da
* I Л I I Л • -w ' /
+1V Is* — IV + vu Ist)I >
’ст 1 “ “ I
43
4-1 v2 4- w2 |s* — | vz 4- Wy 4- у/ + wyZ I5*) d®
Складывая эти неравенства, находим
44
Из неравенства (3.10) очевидно следует равномерная вы-
пуклость пространства В.
Перейдем теперь к рассмотрению неограниченности обла-
сти со. В этом случае норма (3.5) эквивалентна норме
WII = { У [2«/ + 2ииг + 2аУг2 +
(0
+. (иу 4- vxy 4- (иг 4- шх)2 4- (V2 + wu)2]2 d<o h 4-
+ { J [2«/ 4- 2р/ 4- 4-
(О
Sfc 1—
+ ("г, + vx)* + (“г + Wx)* + (°г + 2 doiJ ** =
=Л«|114-||«||а. (3.11)
Если s&>1, то банахово пространство В, возникающее
при замыкании гладких функций в норме (3.11), является
равномерно выпуклым и так же, как и раньше при решении
задачи' о минимуме функционала, может быть использована
теорема 3.1. Однако, если $&=1, банахово пространство В
перестает быть рефлексивным.
Поясним это следующим примером. Рассмотрим про-
странство функций f(x), определенных на вещественной пря-
мой 7?1 с нормой
11/11= { J J |/(х)|
dx.
45',
/л W =
Возьмем следующую последовательность функций
— , при п < х < 2л,
л
О, при х<л, х>2л.
Легко видеть, что ||fn||<c. Предположим, что из последо-
вательности fn можно выделить слабо сходящуюся последо-
вательность. Слабый предел при этом может . быть равен
только нулю. Рассмотрим следующий непрерывный на В ли-
нейный функционал
• оо
Lf=\f(x)dx.
— (X)
Очевидно, что Lfn = 1. Отсюда следует, что пространство В
не является рефлексивным. Поэтому при решении проблемы
о минимуме функционала в таких пространствах приходится
накладывать ограничения на линейную часть в функционале
(1.19). Перепишем функционал (1.19) в виде
/(и) = Ф (и) — L (и),
где
Ф(и) =
со
pF • udm + р •
О) Г
а
Пусть Bi(Bk) — банахово пространство, полученное за-
мыканием в норме НИ 1 (Мл) (см. 3.11). Покажем, что зада- J
ча о минимуме функционала (1.19) имеет решение в про- ;•
странстве В, если L — непрерывней функционал в простран- 1
стве Вь
Действительно, пусть ип — последовательность, миними- |
зирующая функционал (1.19). Тогда
llw/JL<c- (3-ll 12)
Так как пространство Bj— равномерно выпуклое, то из ?
последовательности ип можно выделить подпоследователь-
ность ип , слабо сходящуюся к и0 в пространстве Вь Пока-
* •
жем, что и0 принадлежит пространству Bh и, следователь-
но, В.
46 *
Рассмотрим область сох, являющуюся пересечением обла-
сти о» с кубом стороны N, центр которого в начале коорди-
нат. Через BN обозначим сужение пространства В на область
сох. Аналогично вводятся пространства Bi , В*'. Очевидно,
иПп слабо сходятся к и0 в В .N и так как В есть часть В А,
то и0 принадлежит BN и иПр , слабо сходятся к и0 в BN, при-
чем
lim >||«о Г
П—>оо
Так как в силу (3.12) ||«ет|к<с и llanll^llu„llAr, то
Н«оГ<с при любом N. Отсюда непосредственно следует,
что «о принадлежит В. Покажем, что и0 дает минимум функ-
ционалу (1.19). Обозначим через IN следующий функционал;
IN (ц) = фЫ (u) _ LN ДО,
где
а Гх — часть границы Г, попавшая в а>х. Пусть е>0 — про-
извольное число. Выберем N такое, что
Ф* («о) — В («о) > («о) — е-
Из рефлексивности пространства BN следует, что
к
„^Ф"(«пр)>Ф"(«о)-
Из непрерывности L(u) в Вх имеем
lira L(« ) = L(w0).
V*~ p
(3.13)
(3.14)
47
Используя неравенства (3.13), (3.14) и принимая во внима- ]
ние, что Ф(и)^Фк(и), находим ;
Hm / (иПр) > I (и0) - е. :
-> |]
Так как е — произвольно мало, то действительно и0 дает ми- И
нимальное значение функционалу (1.19). 1
Дадим теперь геометрический аспект теории медленных • I
движений диссипативных голономных систем. Напомним, что I
линейный непрерывный функционал L(e), определенный в I
банаховом пространстве В, называется опорным к функцио- I
налу Ф на элементе во, если I
фЙ-ф(70)>£(7-70). I
Легко видеть, что в случае гладких функционалов Ф по- В
нятие опорного функционала и касательного функционала Е
совпадает. Из определения опорного функционала непосред- . В
ственно следует, что функционал 1(e) = Ф(е)— L(e) дости- к
гает своего наименьшего значения на элементе во. Справед- в
ливо и обратное утверждение. Если е0 — элемент, на кото- |
ром функционал 1(е) = Ф(е)— L(e) достигает своей нижней В
грани, то функционал L(e) является опорным к Ф(е) на эле- В
менте е0. При постановке конкретной механической задачи Е
задается конфигурация внешних силовых полей, определяю- I
щая функционал L. Функционал Ф от конкретного вида за- I
дачи не зависит и определяется моделью голономной дисси- . I
пативной сплошной среды. Функционал I
7(и)=Ф(а)—L (и) I
Ж
определяется на некотором замкнутом подпространстве I
(в более общем случае на замкнутом выпуклом множестве), I
выделяемом кинематическими условиями, накладываемыми J
на поля скоростей. I
Подобная геометрическая трактовка позволяет яснее по- I
нять ряд качественных свойств полей скоростей, соответст- I
вующи'х действительным движениям диссипативной среды. I
Так, например, если функционал Ф(и) не является строго I
выпуклым, то при заданном L(u) могут существовать два I
48
поля «о, ^i, для которых L(u) является опорным к Ф(и).
Но тогда L(u) является опорным к Ф(и) и на полях
%^о+(1—Х)иь Другими словами, если и0 и щ ми-
нимизируют 1(и), то их любая выпуклая линейная комбина-
ция так же минимизирует 1(и). Другая качественная особен-
ность связана с моделями жестко-вязко-пластических сред.
Дело в том, что в этом случае функционал Ф, вообще говоря,
не является гладким, т. е. в этом случае для некоторого поля
могут существовать несколько опорных функционалов. Это
эквивалентно тому, что при варьировании внешних силовых
полей, действительное поле скоростей остается неизменным.
Поясним указанное свойство следующим простым приме-
ром об антиплоской деформации идеально "пластической сре-
ды в плоскопараллельном ‘ зазоре —00<у<00;
—оо<2<о°. Пусть на среду действуют только массовые силы
с плотностью pF=(0, 0, pFz); t=0. На стенках зазора пред-
полагаются выполненными условия прилипания и(0, у, z) =
н(1, У, z)=0. Поставленная задача немедленно приводит к
тому, что действительное поле скоростей должно иметь вид
zz=(O, Ovuz(x)), где uz(x) дает нижнюю грань функционалу
zuzdx, ыг(0) =иг(1) =0.
(3.15)
Предельная нагрузка, если Fz^0, определяется из соот-
ношения
pF^dx = 2т0
(3.16)
При этом класс функций uz(x), дающий нижнюю грань функ-
ционалу (3.15), описывается следующим образом:
' 0 при х — 0,
иг (х) =
с при 0<х<£1,
0 при х — \,
(3-17)
где с — произвольное действительное число. В данном слу-
чае действительные поля скоростей, очевидно, не зависят от
конкретного выбора функции Fz(x), удовлетворяющей усло-
вию (3.16).
Остановимся еще на одном понятии функционального
анализа, связанном с теорией пластичности: рассмотрим во-
4 Заказ 458
49
4
прос о предельных нагрузках в случае идеально пластине- |
ской среды. Напомним, что нормой линейного функционала ?
L в банаховом пространстве В называется следующее число:
(3.18>
Из определения предельной нагрузки, приведенного в § 2,
вытекает, что если (kpF, kt) — предельная нагрузка, то
J kpF • uda 4- j* kt • udV
sup-----------f±-------------= 1. (3.19>
T J К («) d®
(0
Сравнивая формулы (3.18) и (3.19), находим, что пре-
дельное значение коэффициента k равно
(3.20>
где
L (и) = У pF • ud<o + У t • udV,
<о Г
а норма в пространстве В
II и ||в — У К (и) da.
©
Формула (3.20) показывает, что вопрос о нахождении
предельной нагрузки эквивалентен вопросу о нахождении
нормы линейного функционала в банаховом пространстве.
Структура функционального пространства, на котором
рассматривается функционал, определяет класс задач, яв-
ляющихся корректными для выбранной реологической мо-
дели. Поясним это на примере задачи о продольном движе- •
нии нити в жестко-вязко-пластической среде. Пусть нить
движется вдоль оси Oz под действием приложенной к ней
вертикальной силы с линейной плотностью р. В этом слу-
чае действительное поле скоростей имеет вид и—
= (0, 0, w (х, у)), причем w(x, у) должно минимизировать
следующий функционал:
== J Г— I vwla + T0 lvwl dto — 0).
я* a
(3.21)
50
Легко видеть, что линейный функционал L(u) =pw(Ot 0)
в силу теорем вложения Соболева [2] будет непрерывным
в банаховом пространстве, порожденным диссипативным по-
тенциалом, только если а>2. Это показывает, что при а^2
при любом р>0 нижняя грань значений функционала (3.21)
равна —°°, т. е. указанная задача в этом случае не является
корректной (нить движется с бесконечной скоростью). Од-
нако при а>2 рассмотренная задача о минимуме функцио-
нала (3.21) является корректной, и при каждом р>0 нить
движется с определенной конечной скоростью. Указанное яв-
ление не связано с наличием пластической части в функ-
ционале (3.21) й, очевидно, имеет место и в более общем
случае степенных ненъютоновских жидкостей.
Итак, в этом параграфе указан ряд контактов< между по-
нятиями и» методами теории пластичности и функционального
анализа. Мы не останавливаемся здесь на проблеме мини-
мума функционала в нерефлексивных пространствах в об-
щем случае, которая представляет интерес в связи с теорией
идеально пластических сред [34]. Кроме того, мы не затра-
гиваем вычислительных аспектов задачи, например вопросов
о сильной сходимости минимизирующей последовательности,
о скорости сходимости и т. д.
§ 4. Близкие реологические модели
Рассмотрим две модели голономных диссипативных
сплошных сред, характеризующихся диссипативными потен-
циалами фь ф2- Естественно ожидать, что если рассмотреть
одну и ту же задачу для этих двух сред и предположить,
что потенциалы ф1 и ф2 мало отличаются, то поля скоростей,
характеризующие течение, так же в определенном смысле
окажутся близкими. Этот вывод будет следовать из дока- -
зываемых ниже теорем. Прежде чем приступать к доказа-
тельству этих теорем, рассмотрим несколько вспомогатель-
ных утверждений.
Пусть I — непрерывный выпуклый функционал, опреде-
ленный на банаховом пространстве В. Функционал I назы-
вается сильно выпуклым, если существует непрерывная не-
отрицательная функция Ф(Х, р) (О^Х^Г, р^О, Ф(Х, .0)—
= Ф(0, р)=Ф(1, р)=0, Ф(А>, р)—монотонно возрастающая
функция р), такая, что для любых двух элементов ву е2 из В
Z(4 + (1 - Х)72) + Ф (X, 1Й - е2 II) <
<Х74)4-(1-к)/(е2).
(4.1)
51
4*
Теорема 4.1. Если сильно выпуклый функционал / до-
стигает на элементе е0 своего абсолютного минимума и е —
произвольный элемент из В, то
max Ф (К, II е0 — е ||) < / (е)— 1 (е0).
Доказательство. Легко видеть, что
Це0) < ЛЧ + (1 - X) е) < 7(e).
(4-2)
(4.3)
Действительно, левая часть (4.3) — очевидна, правая часть—
непосредственное следствие выпуклости функционала
7(4 + (1 - X) е) < Х7(7О) + (1 - к) 7(7) <
<к/(7)-Ь(1-к)ЛЙ = /Й.
Из неравенств (4.1) и (4.3) вытекает неравенство (4.2). Тео-
рема доказана.
Рассмотрим два диссипативных потенциала <pi, ф2 и пред-
положим, что |<Р1 — фа| <а+с(а)тах(ф1, ф2) Для всех кине- .
матически допустимых полей скоростей. - Пусть диссипатив-
ным потенциалам соответствуют функционалы 1у 72 и пред-
положим, что 1\ ^я-сильно выпуклый функционал.
Теорема 4.2. Если и2 — элементы банахова простран-
ства В, минимизирующие функционалы 7Ь 72 соответствен-
но, то
max Ф(X, || — ы21|)<2аmesо +
4-с (а) j max (<Р1 («i), ср2 («j)) do 4-
G)
+ J max (Фг (Ц2), ф2 (м2)) d<o J , (4.4) .•
<o ;
где <о — область, в которой рассматриваются поля скоростей. =„
Доказательство. Из предположений теоремы еле- ?
дует, что '
Л («г) < 4 («2) + «mes го + с (a) J max (ф2 («а), Ф2 («2)) <4 (4.5) ..
(О
4 («а) < 4 («Д < 4 («1) 4-ames(£>4-
4-с (a) J тах(Ф1(«1)> Фа&))^ш.
СО
Отсюда вытекает справедливость неравенства (4.4).
Неравенство (4.4) показывает, что при условии близости
потенциалов в случае ограниченной области и при условии
сильной выпуклости одного из функционалов норма разности
полей, минимизирующих функционалы /ь /2, достаточно мала.
Общие теоремы существования и единственности поля,
минимизирующего функционал (1.19), справедливы без пред-
положения о сильной выпуклости этого функционала. (В тео-
реме единственности существенное значение имеет требова-
ние строгой выпуклости функционала (1.19)). Поэтому было
бы желательно иметь теорему о близости полей без предпо-
ложения о> сильной выпуклости функционала (1.19).
Кроме того, остается открытым еще такой вопрос: в § 1, 2
было показано, что принцип виртуальных работ эквивален-
тен минимальному принципу в случае гладких диссипатив-
ных потенциалов, и было отмечено, что минимальный прин-
цип остается в силе и для негладких потенциалов. Обосно-
вание этого утверждения состоит в том, что если последова-
тельность гладких диссипативных потенциалов сходится к,
вообще говоря, негладкому потенциалу, то последователь-
ность полей скоростей, соответствующих действительным
движениям, сходится к действительному полю скоростей, со-
ответствующему предельному функционалу. В случае сильно
выпуклого предельного функционала и в предположении, что
последовательность диссипативных потенциалов удовлетво-
ряет условию
|ф — Фп|'Сап4-с(ап)шах((р, <рп), (4.6)
где ап—*0, с(ап)—*0 при п—>°°, ^формулированное утверж-
дение о свойствах предельного тюля скоростей при условии
конечности области со может быть получено из теоремы 4.2.
Однако требование сильной выпуклости опять-таки является
нежелательным ограничением.
Пусть функционалы I, 1п ассоциированы с потенциалами
Ф, срп соответственно. Предположим, что эти функционалы
определены на рефлексивном банаховом пространстве В и
ип — поле, минимизирующее функционал 1п. Кроме того,
предположим, что ип равномерно по норме пространства В
ограничены.
Теорема 4.3. Пусть со — ограниченная область. Если по-
тенциалы ф, фп удовлетворяют условию (4.6) и uQ — слабо
предельная точка последовательности ип, то предельный
функционал 1 достигает на uQ своего абсолютного минимума.
Доказательство. Прежде всего покажем, что функ-
ционалы 1п равномерно ограничены на любом ограниченном
53
в В множестве полей скоростей. Действительно, пусть
||«||<С1. Тогда из непрерывности функционала I следует
Ф (и) d®
С2
Из условия (4.6) следует, что
J | ф («) — фя (и) | d® < а„ mesw 4-
(О
[ф (и) + Фл («)] С (а„) d®.
(4-7)
О)
Так как ап *"0, с(ап)—►О при п—►<», то при достаточно боль-
шом п из неравенства (4.7) непосредственно вытекает, что
J Фл (“) < с3.
‘ (I)
Таким образом, если ||и||<с, то для любого положительного
в>0 существует достаточно большое п0, что при п>п0
|7(u)-/„(i5l<£. (4.8)
Не ограничивая общности, можно предполагать, что ип схо-
дятся слабо к «о. Тогда из выпуклости функционала и нера-
венства (4.8) следует, что
I («0) <lim 1 (ип) = Пт [/ («„) — /„ (ы„) + /„ (гГ„) ]<
Л.—> 00 П j, оо
< е 4- Ит7п (ип) < е + Нт/п («) = е + /ДО. (4.9)
П—п__________> OQ
Отсюда в силу произвольной малости е имеем, что 1(и0) дает
значение минимума фуйкционала 1(и).
Сделаем ряд замечаний в связи с доказанными теоремами.
При исследовании свойства (4.1) сильной выпуклости функционала
полезным оказывается неравенство Кларксона. Проиллюстрируем это на
примере вязко-пластической среды. Предположим, что диссипативный по-
тенциал имеет вид
где Ф1 (и) диссипативный потенциал первой степени однородности.
54
Пусть кинематически допустимые поля скоростей определены в огра-
ниченной области со. Тогда функционал Ф, введенный в теореме 4.1
Следовательно,
dw1 ди2
дх * дг
max Ф (X, || — и21| = Ф
Заметим, что из ограниченности области со и первой л степени однород-
ности epi вытекает, что правая часть в (4.10) действительно представляет
собой квадрат нормы разности полей.
Далее, предположим, что ср—диссипативный потенциал в простран-
стве тензоров скоростей деформаций гладкий всюду, кроме, быть может,
начала координат. Такие потенциалы в теории пластичности появляются
в связи с условием текучести Мизеса. В этом случае можно рассмотреть
гладкие диссипативные потенциалы (ре
Л <ре = -рЛ-ср2 е2 — е.
Для диссипативных потенциалов <р имеет место неравенство более сильное,
чем (4.6): |<р — <ре [<8.
Доказанные теоремы о сходимости полей скоростей к
предельному полю предполагают довольно жесткие ограни-
чения относительно поведения диссипативных потенциалов
на бесконечности (см. (4.6)). Однако, как будет показано
ниже, это ограничение не является существенным.
Пусть со — ограниченная область в пространстве /?3. Че-
рез Wsx (со), обозначим банахово пространство полей и,
нормы в котором определяются формулой
(4.П)
откуда следует, что если и принадлежит lFsl(<o), то компо-
ненты принадлежат пространству Ls(co). Рассмотрим по-
следовательность диссипативных потенциалов <Pi(^i, —£з)
(i=l, 2, ...) и предположим, что она поточечно сходится к
диссипативному потенциалу фо(вь —е3) (в дальнейшем пред-
положение о поточечной сходимости <р< к <ро не будет играть*
существенной роли). Можно предположить любой другой вид
55
сходимости фг к ф0, но лишь такой, что в случае выпуклых |
Фг йз сходимости ф$ к ф0 вытекала бы равномерная сходи-
мость фг- к фо на любом фиксированном компакте. Предпо-
ложим, что функционалы Щи), ассоциированные с потенциа-
лами фг-, являются непрерывными * функционалами ' в
(со), , (*=1, 2, ...) и предположим, что ли-
нейный функционал L(u) допускает непрерывное продолже-
ние на пространство IF’nf р. (оэ). Обозначим через ип поле ,
из пространства WPn (со), на котором функционал In
гает своего абсолютного минимума’ (предполагается, что та-
кие поля существуют). *
Теорема 4.4. Если и0 — слабо предельная точка совокуп-
ности ип в пространстве ^infp.(co), то «о принадлежит
ь
пространству W J,o (со) и функционал Щи) достигает на uQ
своего абсолютного минимума. ~ <
Доказательство. Рассмотрим тензорное поле ец в
области со и продолжим его во все пространство нулем. Вве-
дем в /?3’ опёрацию сглаживания тензорных полей
1
(2/г)3
х4-Л y+h z+h
х—h y—h z—h
Отметим ряд свойств операции сглаживания:
1. Если ф—выпуклая функция поля вц, то
ф(е?/Х<Р4(е0)-
(4.12}
2. Пусть ец — тензорные поля, для которых ||е^||ь
h ' р
тогда вц —непрерывные тензорные поля и для компонент
имеет место оценка
max I eh I < с (clf h). . (4.13}
н3 .
3. Если е[} при п—слабо сходятся в Lp к ец г
то (е/-)71 сильно сходится к в Lq при любом q.
4. Тензорные поля с нулевым следом после операции
сглаживания переходят снова в тензорные поля с нулевым
следом.
Пусть имеется последовательность тензоров ец, являю-
щихся тензорами скоростей деформаций для полей ип. Не
ограничивая общности можно предполагать, что тензоры ец
56
слабо в Llnip. (со) сходятся к е^9 Где еУ.— тензор скоростей
деформации поля скоростей и0. Из слабой сходимости еле-
• п
дует, что поля е»/ равномерно ограничены по норме про-
странства Цп{р. (со). В силу (4.13) max|(e?/)h| также рав-
R3 .
номерно ограничены. При этом сильно сходятся к
(e9.)h в Lq при любом q. Так как диссипативный потенци-
ал — выпуклая и монотонная функция —е3 и еь —е3 —
выпуклые функции поля скоростей, то диссипативный потен-
циал является выпуклой функцией тензора скоростей дефор-
маций. Поэтому для диссипативных потенциалов имеет место
неравенство (4.12). Отсюда непосредственно вытекает, что
j ср (4) da < j Ф (е0) da. (4.14)
’ R3 Я3
Напомним, что тензор предполагается продолженным
нулем вне области ®. Из предположения о непрерывности
в пространстве WPt (ю) имеем (inf Pi = р * )
J Фо ((еи )ft) da = 1 i m J ф0 ((e?;)ft) da. (4.15)
R3 Л^>вв ^3
Так как срп сходится к ф0 равномерно на любом компакте в
пространстве* то
lim \ ф0 ((e?/)ft) da — I ф„ ((eij)h)da =0. (4.16)
zi—♦ <x>
Откуда на основании равенств (4.15) и (4.14)
f Фо (($)А) da < lim f Ф„ (efj) da. (4.17)
• / ft у co
Я’ «
Так как
л
J фя (e?i) da < L (un),
CO
тр Jcp равномерно ограничены. В силу (4.17) из схо-
(0
димости почти всюду (еР. )h к е^. при. h—>0 и равномерной
ограниченности норм в LPo (со) компонент (еР. )\ следует^
что е®. принадлежит пространству LP() (со) и сходимость
(еР. )Л к ef. есть сходимость по норме в пространстве LPo (со).
57
Таким образов
IЙо) С1™ Л Й) < Нт 7„ (7) = /о Й. (4.18)
/1—> оо д >°°
где и предполагается принадлежащим Wp* (со). В силу плот-
ности Wp* (о) в IFpo (со) из (4.18) вытекает утверждение тео-
ремы.
Все предыдущие рассмотрения относились к случаю ко-
нечной области со. Однако аналогичные свойства могут быть
обнаружены и у функционалов, рассматриваемых на неогра-
ниченных областях. Вернемся к задаче в неограниченной об-
• ласти, сформулированной в § 3. Именно
(О
(fjdcd
q)Ade> — L (и),
(4.19)
причем Sft=l (см. 3.3.). Относительно L(u), как и ранее, пред-
полагается непрерывность в пространстве Вь
Рассмотрим функционалы
s2 — е] dco — Ци).
со
Рассуждениями, аналогичными проведенным в § 3, можно
Получить, что существует поле в соответствующем бана-
ховом пространстве, на котором Л достигает своего мини-
мума. Заметим, что поле us, вообще говоря, не принадле-
жит пространству Bk. Из рефлексивности пространства В{
следует, что из множества полей ие можно выделить по-
следовательность wejfe, слабо сходящуюся в В{ к полю и0
из Bk. Так же, как и в параграфе 3, можно доказать, что
поле uQ принадлежит пространству Bk и, следовательно, вхо-
дит в. область определения функционала (4.19). Покажем,
что 1(щ>) — абсолютный минимум функционала (4.19). Дей-
ствительно,
• 7Й)< 7" Й) + .<limV(^п) + . <
ел~*0
< lim [7^ (и.п) + 2e„mes<ow] + е <
еп~*°
(<> + е < 1Й27ел Й + е = 7 Й + в-
п п еи->0
п п 9
58
Из произвольной малости е следует, что 1(щ)^1(и). Тем
самым показано, что близкие реологические модели приводят
в определенном смысле к близким полям скоростей течений
и в случае неограниченных областей <о.
В заключение этого параграфа рассмотрим одну задачу,
связанную с наличием малого параметра в диссипативном по-
тенциале.
Пусть epi — диссипативный потенциал первой степени од-
нородности. Рассмотрим функционал, определенный на не-
котором банаховом пространстве Во
/0 (и) — J
со
<рг (и) da — L (у).
Из условия корректности (2.7) следует, что нижняя грань
этого функционала- равна нулю. Обозначим через V множе-
ство полей и, на которых /о(ы)=О. Очевидно, что вместе с
полем и в множество V входит поле Ли при % 0. Используя
нормировочные множители Л, выберем в множестве V под-
множество Vo таких полей и, что £(и) = 1.
Рассмотрим функционалы определенные на рефлек-
сивном банаховом пространстве BisBo
1»,с (Ц) = J [МРа Й + Ф1 (й)1
(0
d<o — cL (u),
где ф2 — строго выпуклый диссипативный потенциал. Обо-
значим с — поде, минимизирующее функционал /ц, о
и через 1(c) функцию Ь(и^. е).
Очевидно, что / (1)=0. Докажем, что
1(с)-+оо при с->оо. (4.20)
Предположим противное; пусть существуют сР->оо при р->оо и число k,
такие, что Цср)<к, при всех р. Тогда
(w0) > — cpk.
Возьмем некоторое поле и0, такое, что L(uo)=R>k. Отсюда
IV.,co («•) = *- СР^-
Л*
(4.21)
(4.22)
59
Здесь числа Ф и R зависят от uq. Сравнивая (^-^1) и (4.22) приходим
при больших р к противоречию с условием l(Cp)<k. Следовательно, вы-
ражение (4.20) справедливо. Нетрудно убедиться в том, что 1(c) — мо-
нотонная функция с. Действительно,
< Vc. J = “ C1) <
(^2.)« (4.23)
Из соотношения (4.23) немедленно следует, что (с2—*Ci)/(Ci) <
< (с2— Ci)/(c2), что означает монотонность 1(c),
Покажем, наконец, что 1(c) — непрерывная функция параметра с.'
Пусть Со—'некоторое число с0< 1. Рассмотрим числа с из некоторой
ограниченной окрестности точки Со. Очевидно, и^ с для этих \ с. равно-
мерно ограничены по норме пространства В\ и, следовательно, любая по-
следовательность un,ck ПРИ ck~^co имеет, по крайней мере, одну слабо
предельную точку. Покажем, что все эти слабо предельные точки совпа-
дают с . Обозначим слабо предельную точку последовательности
“ц,сь Vc • Тогда
/с
/„ с (»н с ) < lim /„ , («„ с ) =
Ck^ CO
= Ji?- [7ц,c. (U C ) + (Ck - c0) / (cft)] =
Cft-»C0 *
— lim I (w ) < lim I,,. (u) = l,.. (u).
Ck-*C0 K ’ Cfc-»co R
Таким образом, функционал Iна поле Co достигает абсолютного
минимума. Но из строгой выпуклости функционала следует, что
= и .
Следовательно, /(сл)->/(с0), если и тем самым доказана непре-
рывность 1(c) при всех с.
Из доказанных свойств 1(c) следует, что существует, по крайней мере,
одно значение для которого ) — 1.
Рассмотрим функционал
/ц (и) =
j рф2 (u) d(0 +- J <РХ (^jdta — Сц£ (и).
<0 (О
60
Через и ц будем обозначать поле, минимизирующее функ-
ционал /ц. Из определения Сц следует, что L(Up) = l. По-
кажем, ЧТО При р, ’"О, Ср. *1.
Предположим противное; пусть существует последова-
тельность чисел |Хр"“*0 и число k такие, что сМр >£>1.
Тогда
С другой стороны, пусть заданы числа и
поле 8 такое, что
(4.24)
е. Возьмем
<Р1 («w,«) da — L (uN,,) < е
(О
и L(uN, t)>N. Очевидно, что
1»р (%) < < (l ~ N + 5 + а (ГР)> (4-25)
где а(р,р)—*0 при —*0. Из неравенств (4.24), (4.25) при-
ходим к противоречию с условием k>\. Итак, доказано,
что с(|л)—*1 при |х—‘"0.
Так как Ip (up )<0, то Ip(up)—*0 при р—”0 и, следо-
вательно, Up — представляет собой параметризованное се-
мейство полей, минимизирующее функционал 1о(и). Из по-
следнего утверждения следует, чтб все слабо предельные
точки семейства Up при р—*0 принадлежат множеству Uq.
Таким образом, предельный переход по вязкости, стремящей-
ся к нулю, приводят к тем же полям, которые определяются
из предельной задачи.
Заметим, что выпуклое множество может содержать
несколько линейно независимых полей. В связи с этим воз-
никает естественный вопрос о том, к какому полю из Uo
сходится семейство Up. Мы дадим ответ на этот вопрос при
одном дополнительном предположении относительно и0.
Именно, что множество Vo = £70 Г| — не пустое. Очевидно,
Vo является выпуклым множеством в пространстве Вр Рас-
смотрим в пространстве Bi множество
Фа (Up) da
Легко видеть, что Оц —замкнутое, ограниченное, выпук-
лое множество в Bit содержащее некоторую окрестность ну-
61
ля. Заметим, что ни одна из точек множества Vo не может
являться внутренней для множества Оц. Действительно,
пусть vu из Vo такова, что
Фг(^)Жо < <p2(uM)d(d.
©
Так как
А* (Цл) — J
©
НФ, (ум) d® — + 1
/ц (Иц) = РЧ>2 («и) da + \ ф1 (t/ц) d® —
и
©
и
j <p1(un)d<»> 1,
©
то
4* (Цх) < 4* (ыц)-
Таким образом доказано, что
©
<Р2 (Иц) da <Jnf j ф2 (0)
»€’/. <о
da.
(4.26)
Отсюда следует,, что все поля ограничены по норме
пространства ||uu lh<P. Рассмотрим слабо предельные
точки семейства при р—Ч). Из доказанного следует, что
все эти слабо предельные точки принадлежат Vo. Покажем,
что слабо предельная точка семейства «ц при р—*"0 только
одна, а именно это v0, для которого
da.
(4.27)
Заметим,- что условием. (4.27) определяется только одно поле
v0, что следует из выпуклости множества Vo и строгой вы-
пуклости потенциала <рг- Пусть и0 слабо предельная точка
семейства Мц.
62
Тогда
f <р2 й) d<o < Jim
J Ф2 fo 4®-
a
(4.28)
Из (4.26), (4.27) и (4.28) следует, что u0=v0. Можно дока-
зать, что Up, сходятся сильно в пространстве Д к г?о-
Проиллюстрируем полученный результат следующим простым приме-
ром. Рассмотрим плоскопараллельный зазор 0< х < 1, —оо<р<оо,
—оо<г<оо} заполненный идеально пластической средой. Предположим,
что на среду действует сосредоточенная сила величины р, приложенная
в сечении х=72. Движение идеально пластической среды можно харак-
теризовать полем скоростей w=(0, 0, w(x}). Действительное поле скоро-
стей должно минимизировать функционал
w (0) = w (1) — *0,
Р = 2т0.
В качестве (и) рассмотрим функционал
1
/„й-У{
о
2
dw
dx
dw
dx
Здесь Uo — множество функций w(x), монотонно возрастающих на отрезке
-[0, V2] и монотонно убывающих на отрезке £’/2» 1], причем значение их при
X — V2 равно 1; в Uq входят и разрывные, вообще говоря, функции.
Из доказанных выше утверждений следует, что в этом случае
w0,
где
w0 (*) = •
2х, если 0 < х < —
Глава II
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЖЕСТКО-
ПЛАСТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
г
§ 5. Постановка задачи
Основной задачей теории предельного равновесия иде-
ально пластического материала является задача о нахожде-
нии предельных нагрузок в, различных конкретных случаях,
фиксируемых наложением дополнительных ограничений на
поле скоростей.
_ Рассмотрим плоскую панель, изображенную на рис. L
Рис. 1
Будем предполагать, что Обозначим через 17, V, W
проекции поля скоростей на оси х, у, х. Пусть действующие
на панель нагрузки не зависят от у, а условия закрепления
заданы в виде кинематических ограничений на компоненты
U и W. Тогда V =0 и t7, W не будут зависеть от у:
U=U(xfx), W=W(x, х), V=0. (5.1)
Из этого условия и несжимаемости следует, что первый и тре-
тий инварианты тензора скоростей деформаций равны нулю.
Таким образом,
<p=Z)=Z)(/2), (5.2)
где /2 — второй инвариант тензора скоростей деформаций
4 = 2 (Uxr + 2 (WZT 4- (U2' + Wx'?. (5.3)
• t
Так как функция D зависит только от /2 и должна быть
функцией первой степени однородности по отношению к но-
лю скоростей, то
D = т0 /2 (UXT + 2 (W,’)* + (£// + Wx')\
(5-4)
где То — предел текучести среды при чистом сдвиге.
Вид функции диссипации (5.4) показывает, что задача
о деформировании панели приводит к задаче о плоских те-
чениях идеально пластического материала.
Функционал Ци) в рассматриваемом случае имеет вид
L h
1 =т° 1Sz 2 (^,)2+(fi7/)2++^,)а dxdz -
О -h
L h
— J С Fx (х, z) U (х, z) dxdz —
О —h
L h L
-^Fz (*• 2) W (x, z) dxdz - J [Tx+ (x) U (x, ft) + (5.5)
6 — h 0
L
+ T- (x) U (x, - ft)] dx - f [T + (x) W (x, ft) +
0
+ T~(x)W(x\ — h)]dx.
Положим теперь, что выполнены следующие ограничения на
силовые поля:
Л- = Fx (х), Тх+ = Тх~ = 0. (5.6)
Из функционала (5.5) нетрудно видеть, что при уменьше-
нии ft величина предельной нагрузки на чистом изгибе
(/4=0) стремится к нулю.
Введем следующие обозначения
ft ft2 Л
F, = — 4, Fx = fx, = — 4±, z = — С, (5.7)
U=u,W^—w.
h
5 Заказ 458
65
В новых переменных (5.6) перепишется в виде
h
Л*
— yj fx(x)u(x,tydxdt — f £ fz(x,Z)w(x,^)dxdZ —
О —L О —L
L
— C [tt+ (x) w (x, L) 4-1~ (x) w (x, — L)J dx.
о
(5.8)
Условие
следующим
несжимаемости в новых переменных перепишется
образом:
(5.9)
Обозначим через kh положительное число, такое, что khfXr
khfz, образуют систему предельных нагрузок для функ-
ционала (5.8).
Введем функционал Ф(и)
ф(«) = ТоП
L4
h* '
L2
Л2
— И fx(x)u(x,t)dxdl-?-§ § gz(х)w(х, С)dxdk
О —L 0 — L
где
1 г г 1
вг W = ТТ f fz (*’ Q Ж + i2+ (X) + /2- (X)
ZJL L v J
(5.10)
Пусть ть — положительное число, такое, что система нагру-
зок mhfx, mhgz является предельной для функционала Ф(и).
Покажем, что
ftih — kh—*0 при h—>0. (5.11)
Другими словами, надо показать, что для любого положи-
тельного числа 8, при нагрузках (kh — e)fx, (kh — e)gz функ-
@6
ционал Ф(и) неотрицателен при всех достаточно малых h.
Наоборот, для системы нагрузок (kh+e)fx, (kh+e)gz и для
любого достаточно малого h существует поле и, на котором
<W<0.
Докажем первую часть утверждения
О
И/ 2(«xT+2^(utT + ^
I - 2 ) J J (Aft
L
[4+ю (x, L) 4- tz~w (x, — L)] dx < '
2«)a + + £ (^'+«E')2 X
dxdC — To
0 — L
-и(“-
0 —L
(5.12>
где
A = —
2L
-ие*-
0 —L
—fzwdxd^ —
2 /
s
0
0
5*
67
Тогда при достаточно малом h
iLL
т0 тЛ2—f [ | | dxdt,
1 0 —L '
(5.13)
и неравенство (5.12) можно переписать в виде
(5.14)
Но
при достаточно малом h. Следовательно, при нагрузках
(kh— e,)fx, (kh — e)gz функционал Ф(«) не отрицателен.
Докажем вторую часть утверждения. Рассмотрим систе-
му нагрузок
Тогда существует поле «о> для которого 1(и0) >0. .Проводя
оценки, аналогичные (5.12), (5.13), приходим к неравенству
8
^wg'dxdt,. (5.15)
Vu
68
Я V
Так как при достаточно малом h
то при системе нагрузок (kh+e.)fx, (kh+e)gz получим
Ф(«о)<О. Таким образом, при вычислении предельных на-
грузок, когда h—"О, можно использовать функционал Ф(и).
Проведенный анализ показывает, что при достаточно малых
h объемные и поверхностные внешние нагрузки fz(x, (х)
можно заменить некоторым эффективным силовым , полем
gz(x), не изменяющимся по толщине панели.
§ 6. Асимптотические оценки, предельных нагрузок сверху
Для оценки величины предельных нагрузок сверху восполь-
зуемся полями скоростей специального вида
и(х, t) = u0(x) — 1щ(х),
. i \ г du%. I £2- dul /К n
w(X, Q = w0(x) — С— —4 + - - — -2_. (6.1)
L2 dx 2 L2 dx
Эти поля удовлетворяют условию (5.9) и согласуются с ги-
потезой Кирхгофа (гипотеза плоских сечений). В дальней-
шем поля вида (6.1) будем называть полями Кирхгофа. От-
носительно кинематических ограничений для исходной зада-
чи будем предполагать, что в случае полей вида (6.1) они
представляют собой условия на функции и0, щ, w0. Очевидно,
что предельные нагрузки, определяемые по всевозможным
кинематически допустимым полям, оказываются, вообще го-
воря, меньшими, чем предельные нагрузки, определяемые на
полях вида (6.1). ,
Подставляя (6.1) в (5.10), будем иметь
Ф (и) = -с0 х
4, у , Ь2 / ; Л* „ , С2 Л2 „\2 .
4« —М2 + —{-Ux+йУо'—) X
пА \ L & Lt *
L L
X dxtit — 2L fxU^dx — 2L f g^dx —
о 0
L’>'f я /доч
~T7?WA'' (6,2)
О Lt «J .
0
69
Положим u,{ = Wq. Тогда
Ф («) = х0 X
О -L
dxdt —
Ls ft2
— 2L j fxuodx — 2L J
о о о
В дальнейшем для простоты будем предполагать, что ки-
нематические условия, налагаемые на поле скоростей, носят
локальный характер, т. е. в концевой точке х=0 на и0(х)
может быть наложено условие «о(0)=0. Аналогичное усло-
вие может быть наложено на и0(х) в точке x=L. В концевой
точке х—0 на wQ{x) могут быть наложены (в случае функ-
ционала (6.3)) условия шо(0)=0 или ayo(0) =t0o'(O) =0. Ана-
логичные условия могут быть наложены в точке x=L. Кроме
этого ш0(х) может быть подчинено еще условиям
wo(Xi)=O (7=1,
Р),
В случае функционала (6^2) кинематические условия на и0(х)
остаются теми же. В концевой точке х — 0 в первом- случае
условие на йуо(х) сохраняется, а во втором случае условия
Wo(O) = w</(0) = 0 заменяются условиями wo(0) = «1(0) = 0
(аналогичные изменения следует сделать и в точке х = £).
Остальные кинематические условия для функционала (6.2)
те же, что и для функционала (6.3). Рассмотренные кинема-
тические условия называют удерживающими связями.
Для функционалов (6.2), (6.3) можно рассмотреть и ки-
нематические условия, соответствующие освобождающим
(односторонним) связям. Примером такой связи является
условие ®о (*о) 2^0. Однако задачи с освобождающимися
связями сводятся к задачам с удерживающими связями, по-
этому такие связи в дальнейшем рассматриваться не будут.
Проиллюстрируем на примере метод сведения задач с освобожденны-
ми связями к задачам с удерживающими связями. Пусть поле скоростей
и удовлетворяет некоторым кинематическим ограничениям и дополни-
тельно условию w0 (х0) > 0, где 0 < %0 <
Наряду с задачей о нахождении предельных нагрузок на указанном
выше поле скоростей (задача а) рассмотрим еще следующие две за-
дачи:
определить предельные нагрузки, когда на поле и накладываются те
же ограничения, кроме точки х0 (задача Ь);
определить предельные нагрузки, когда поле и удовлетворяет кине-
матическим ограничениям задачи (а) и дополнительно шо(хо)=О (за-
дача с).
70
Рассмотрим некоторую систему нагрузок (fXt gz). Определим числа
kb> kc так, что (kafx, kagz) — предельная нагрузка для задачи (а),
(kbfx, kbgz) — предельная нагрузка для задачи (b), (kcfx, kcgz) —
предельная нагрузка для задачи (с). Очевидно, что
kg kd kf)»
Покажем, что ka равно либо kc, либо kb. Предположим противное. Пусть
k^ > kd kj).
Рассмотрим для задачи (а) нагрузку ((^a+e)fx, (&a+e)gz) и е
выберем так, что ka<ka-\-E<kc. Тогда существует поле иа такое, что
Ф(«а)<0 и wa(xo)>0. Далее, рассмотрим в задаче (Ь) нагрузку
((A»b+e)fx, (&b+s)gz) и относительно е дополнительно предположим, что
^ь+е<£а. Тогда существует поле иъ, на котором Ф(мь)<0. При этом,
очевидно, wfc(x0)<0. В силу однородности функционала Ф(«) можно счи-
тать, что
Wa(XQ)=^~-Wb(X0).
Рассмотрим поле
ис = 1/, (иа 4- иь).
Юно удовлетворяет кинематическим ограничениям задачи (с). При этом
для нагрузки ([ka + е) fx, (ka + е) gz)
Ф (X) < 0.
Полученное утверждение противоречит условию fca+e<£c. Предположим,
что kc^>kb. Рассмотрим систему нагрузок
((kb 4~ е) /л» (kb 4~ 6) £<?)> kb < kc
для задачи (Ь). Тогда существует поле иъ, для которого Ф(«ь)<0.
Если
wb(x0)>0,
то
ka:= kb,
^если
w&(x0)<0,
то
ka == kc*
Таким образом, задача (а) с освобожденными связями сведена к за-
даче с удерживающими связями.
Итак, рассмотрим задачу о нахождении минимума функ-
ционала (6.3) при условии, что функции щ>(х), w0(x) удов-
летворяют указанным выше кинематическим ограничениям.
Покажем, что предельные нагрузки для функционала (6.3)
71
отличаются на величину порядка Л2 от предельных нагрузок
для функционала
Ф1Й=-г0|у 1/4(«о'-С<')2+^-С2(<'-у^о/")2ад-
О —L Г
— 2L I fxuad\ — 2L g^odx. (6.4)
О о
Наметим план доказательства этого утверждения. Йусть
сначала на функцию w0(x) никаких ограничений не нало-
жено. Тогда, для того чтобы задача была поставлена коррект-
но, необходимо, чтобы gz(x) удовлетворяла ограничениям
Но тогда
С gz (х) dx == о,
о
xg2(x) dx = 0.
b
О Ох
и функционал (6.3) перепишется в виде
Ф (и) = т0
С L
— 2L | }хщ4х — 2L ( gzwQdx —
о о
L3 Л2 п г f т
- V — f £z (P) dp J ®o" (*) dx.
о I? J L J J
0 x
Воспользовавшись вспомогательным неравенством
L L L
J JItOO — C^(x)|dA<>L2j |^(*)|dx, (6.6>
—L0 0
находим
[ J 1/ 4 («„' - !>0")2 + 2T С2 («о" - у <')2 dxdg >
0 — L r
L
> 2L2 C | u>o" | dx. <6*7>
0
72
Проводя рассуждения, аналогичные (5.12)—(5.14), и учи-
тывая (6.7), получаем, что предельные нагрузки для функ-
ционалов (6.3) и (6.4) отличаются в рассматриваемом слу-
чае, на величину порядка №/Ь?.
Проведенный анализ показывает, что для сведения зада-
чи о минимуме функционала -(6.3) к задаче о минимуме
функционала (6.4) необходимо иметь следующее представ-
ление:
I SzWO (*) dx
О
L
С q2 (х) w0" (х) dx.
О
(6-8)
В случае, если функция w0(x) удовлетворяет только одному
ограничению wo(a)=O, O^a^L, то требование корректно-
сти снова приводит к условию (6.5).
Если же функция w0(x) удовлетворяет, по меньшей мере,
двум условиям, то тогда
L
w0' = С G (х, s) w0" (s) ds,
о
где G(x, s) — ограниченная функция, вид которой зависит
от наложенных ограничений. Тем самым представление (6.8)
всегда оказывается возможным.
Наряду с функционалом (6.4) рассмотрим функционал
Ф2 (и) = 2т0
и0' — £w0" | dxdg — 2L
j [хЩ&х
о
- 2L
(6-9)
о
Обозначим через k^\ № положительные числа, такие, что
(kh}fx, kh} gz) — предельная нагрузка для (6.4), (&<2)/х,
ЛЭД — предельная нагрузка для (6.9). Покажем, что
lim kj? — k(2).
h—^0
(6.10)
Между числами и имеет место очевидное неравенство
^>Л(2).
73
Предположим, что (6.10) несправедливо. Тогда существует
число р>0 такое, что при достаточно малых h
(6.11)
Рассмотрим для функционала (6.9) нагрузку ((^(2) + p/2)f^,
(№+p/2)gz). Тогда существуют трижды непрерывно диффе-
ренцируемые функции и0*(х), wq*(x), на которых функцио-
нал (6.9) отрицателен. Подставив нагрузку ((A(2) + p/2)fx,
(№+р/2) gz) и поле Uo*, w<)* в функционал (6.4), получим
тогда, что при достаточно малых h Ф1(и*)<0. Следователь-
но (6.11), невозможно и справедливо равенство (6.10). Та-
ким образом доказана следующая теорема:
Теорема 6.1. Пусть kh— положительное число, такое, что
(khfx, khfz, kht^) — система предельных нагрузок для функ-
ционала (6.8). Тогда
Йш (6.12)
В дальнейшем будем говорить, что функционал (6.9) описы-
вает идеальную цилиндрическую панель.
Отметим, что в задаче об определении предельных нагру-
зок можно было рассмотреть кинематические ограничения на
поле скоростей, отличные от указанных в этом параграфе.
Например, можно предполагать, что в некоторой точке а вме-
сто условия ш0 (а) = 0 выполнено условие w(a, £)=0. Для по-
лей вида (6.1) это приводит к требованиям, чтобы
wo(a)=O, г/ох («) =0, щ'(а)=$. (6.13)
Однако асимптотически при h—>0 эти кинематические огра-
ничения приводят к тем же оценкам сверху предельных на-
грузок, что и рассмотренные выше ограничения, так как ес-
ли.поле и удовлетворяет условию w$(a) = 0 и не удовлетво-
ряет условиям (6.13), то можно построить новое поле, кото-
рое удовлетворяет условиям (6.13) и значение функционала
(6.9) на этом новом поле сколь угодно мало, отличается от
значения функционала (6.2) на поле и.
§ 7. Асимптотические значения предельных нагрузок
на полях Кирхгофа
Покажем, что на полях вида (6.1) имеет место равенство
lim kh=№, (7.1)
Л->0
т. е. идеальная панель является асимптотическим пределом
плоской задачи на полях Кирхгофа. Заметим, что функцио-
74
нал (6.3) совпадает с функционалом (6.2), если на поле
(6.1) наложено ограничение ul(x) — w0'(x). Поэтому, очевид-
но, для kh выполнено" неравенство (6.12). Пусть е — произ-
вольное положительное число. Тогда при достаточно малом е
L L_____________________________________________1--2
J J 1/ 4 («.'• -Cw/)2 + --Ui W0 ~ S £2"“e'+g'p “1 *
0 —L '
X dxdZ
Ve | — ux w0' | | dxdC.
h-------------1
Рассмотрим функционал W(u)
(7-2)
(u) = x9
L L
0 — L
h
0
— 2L
L8 h2
о
0
Пусть kh, t — положительное число, такое, что нагрузка
kh,, (fx, gz) является предельной для функционала (7.3).
В силу неравенства (7.2) находим
(7.4)
Рассмотрим первый случай, когда на w0(x) никаких огра-
ничений не наложено. Тогда из условия корректности ис-
ходной задачи имеем условия (6.5) на функцию gz и функ-
ционал (7.3) перепишется в виде
О —L
w0'| IdxdZ—
w0' (х) dx —
^gz(k)^ u/ixjdx.
О x
75
Введем функционал
1
1
- 21.
dxdC — 2L j —
о
Если через ХА,е
что ХА;« (fx, gz) — предельная нагрузка для
(7.5), то рассуждениями, аналогичными ранее
находим
обозначить положительное
нагрузка для
число, такое,
функционала
проведенным;
Л
о
lim (k£>. - kA>.) = 0.
(7-6)
Перепишем (7.5) в виде
L L
«*1(«) = т0JJ (2(1 -
0 —L
£)
ц0' — tu^' | +
Ы1 + “’o' I I dxdt, — 2L
fxUtflX —
У gz (к) <ik j (uV (x) — ut (x)) dx —
X
L L
- 2L j Г j*& (k) dl ] щ. (x) dx.
0 x
Рассмотрим функционал
L L
T2(w) = t
0 — L
s)lu0— dxdg —
— 2L
fx^odx — 2L
о
L L
j C & (k.) dk. (X) dx.
0 x
76
Пусть zj2) (fx, Sz) — предельная нагрузка для ^(и). Тогда
при достаточно малом h имеем
4(2) Ad)
Полагая «1=ф'(х) и учитывая (6.5), будем иметь, что
М2)(fx, gz) — предельная нагрузка для функционала
L L L L
2т0 (1 — е) J С ] и0' — W | dxdg — 2L fxuodx — 2L J gz<fdx.
о —l о о
Сравнивая это выражение с (6.9), находим, что Ае отли-
' чается от k№ на величину порядка е. Так как е сколь угодно
' мало, то
. lim /гА>Нт^2)==Л(2). (7.7)
/мО е-*0 4
Из неравенства (7.7) следует, что
lim£A = #2>.
Во втором случае, если w0(x) удовлетворяет только одному
ограничению w0(«) =0, L, то в этом случае из усло-
вия корректности функция gz(x) снова должна удовлетворять
условию (6.5). Но тогда остаются в силе все предшествую-
щие рассуждения.
Рассмотрим, наконец, третий случай, когда на w0(x) на-
ложено, по крайней мере, два ограничения. Пусть эти огра-
ничения имеют вид
®о(О)=О, wo(Xi)=O, i=l, .... р 0<Xi<xi+l^L.
Пусть q>i(x) — неотрицательная дифференцируемая функция,
удовлетворяющая следующим условиям:
J <pz (xfdx = 1 (i = 1,..., р), х0 = 0
*1—1
и (х) = 0, если х, не принадлежит отрезку [Хц, х,]. Поло-
жим
V (х) = «1 (х)
(х) dx.
77
Тогда
xi
J ,v(x)dx = 0 (» = 1
Подставляя выражение для щ(х) через v(x) в (7.3), находим
L L
^(«)>То f f 2(l-e)|«0'-^'|dxdC-2T0(l-s)L®X
P), (7.8)
0 —L
P
j utdx
*x-i
- 2L
о
J J Sz (*) dK (w0' — uj) dx —
X
— I V te<X^^ JI wo' “ ui I dx —
л t
ь L p xt
J J&WrfA, S<Pf(*) f
Ox 1 *•
L P Xi
L3 h2 C L2 vi C
T zT J §aVdx +To<X ~h " J 01 dx
О X
- 2L
о
X
о
Р Xi
«! (г) dr I dx —
xi~-\
р XJ
X;
0 1 *>-1
ft2 Г | P
3 L2Jl
о
Так как в силу (7.8)
Ui (r) dr I dx. .
0 0
"-.JS1
и при достаточно малом h
О’
Wq — u^dx —
n
Р
urdx
J utdx —
p
xi
I u± (r) dr dx
о
4-1
P
S<PiW
f i<t (r) dr dx^- 0,
О X
1
то будем иметь
W(u)>2t0(1 —
.1J'“°'
.0 —L
— t,v' | dxdt. —
gz (M
X
v (x) dx — 2L
L
fхЩ$х.
0
Если обозначить через pl2) положительное число, такоег
е2) (tx, gz) — предельная нагрузка для функционала
ЧТО gs
L L
1®,i(«) = T0jJ 2(1-
0 —L
s) | u»' —• I dxd^,
TO
— 2L
С Г f g2 (X,) dX v (x) dx — 2L j fxuodx,
Ox о
(7.9>
(7.10)
79
Полагая и=ф'(х), находим, что в силу (7.7) <р(0) =0,
ф(х») =0 (i=l, р). При этом функционал (7.8) перепишет-
ся в виде
«
L L
^(а) =2т0(1 - е) f J | ий' - Сф" | dx<X. -
0 -L
L L
-2L^dx-2L^fxuodx.
о о
Сравнивая это выражение с (6.9), находим, что ре(2) отли-
чается от k№ на величину порядка е. Так как е сколь.угодно
мало, то приходим к (7.1).
Помимо условий на могут быть наложены ограничения
и на «ь Если Uj(O) =0 или U\(L) =0, то функция ^(х) так же
будет удовлетворять условиям п(0)=0 или v(L)=0 и, сле-
довательно, ср'(0) =0 или (p'(L)=O. Аналогично рассматри-
вается случай, когда Ui(0) =0.
Результаты, полученные в настоящем параграфе, позво-
ляют сделать интересный вывод о связи между гипотезой
Кирхгофа и малостью касательных напряжений в тонкой
панели. Именно предположение о малости касательных на-
пряжений, в тонкой панели является следствием вариацион-
ного принципа в случае полей Кирхгофа.
Заметим, что эти напряжения не равны нулю, но асимпто-
тически малы при h—>0 и порядок их величины определяет-
ся соотношением
*
0.
(7.Н)
о
Докажем это соотношение. Пронормируем поле скоростей и
L, р............
T°f J]/ 4 (V)2 + («'С
так, что
(7-12)
где и — поле вида (6.1). Обозначим через gz) предельную нагрузку
для функционала (6.2). Тогда существует последовательность полей «Л,
удовлетворяющих условию (7.12), таких, что функционал (6.2) на этих
полях стремится к нулю при и—>оо, причем компоненты поля ип можно
считать непрерывно дифференцируемыми функциями.
’•80
Пусть задано произвольное число 8>0. Выберем h настолько малым,
чтобы ]Аь— А^|<8. Тогда, используя (7.2) и то, что ’
L
k^L J fxuondx — 2Lkh
о
L L
J
О х
игп (х) dx = 1 + о (Л) 4-0 (1),
(7.13)
где о(1)->0 при n->oo, \O(h)/h\<c при А->0, получаем
L L r_ L
И2сЬ2 Vt Г
2т0 (1 - е) | (V)' - С М' 1 dxdl + —— I I - ttl"+(w0«)'|dx-
tl 1 — е J
О —L О
“ ~СД* 21 f f^ndx —7~Г"21П J (х) dx Ь"(х) dx<0 (7,14)
О Ох
при достаточно малом h и достаточно большом п. Так как из (7.12)
L L
-L0
iM'-^M'ldxdH^L
То из (7.13) и (7.14) следует
i 2g£a
h
uf + (won)' | dx —
(I-*)§ **
или
L
УI — «1я + («’о")' I Ax < Cl /Г Д , (7.15)
0
где 8—>0 при A—>0, n->oo, число ci выражается через k® t L, с. Из этого
неравенства вытекает утверждение (7.11), что и требовалось доказать.
§ 8. Асимптотические оценки предельных Нагрузок снизу
В § 7 было показано, что предельные нагрузки для иде-
альной цилиндрической панели являются асимптотическими
оценками, сверху для цилиндрической панели в точной по-
становке. В этом параграфе будут построены асимптотиче-
ские оценки снизу.
В § 5 было показано, что предельные нагрузки исходного
функционала (5.8) и функционала (5.10) асимптотически
совпадают.
6V4 Заказ 458
81
Рассмотрим сначала задачу на растяжение, т. е. gz(x)==0,
функционал (5.10) в этом случае имеет вид
L L____________s________
*(«)=<• JJ. т/4(«/)’+^.(ц6'+№/)2«-
0 —L '
L L
-П (8.1)
0 —L
Кинематические условия закрепления в концевых точках
х=0 или x=L будем задавать в виде
f и (0, С) dC = 0 или
0.
(8.2)
u(L, g)dC =
Заметим, что для полей Кирхгофа условия (8.2) эквивалент-
ны условиям «о(О)=О или uo(L) =O. Обозначим через и0(х)
следующую функцию:
«о (х) =
Очевидно, что
1 А
J-C u(x,Qdg.
£»Li «J
—L
ИЛИ
Ф (и) > Ф<« (и) = 2L
(8-3)
Из неравенства (8.3) следует, что предельные нагрузки для
функционала Ф^(и)- не превосходят предельных нагрузок
для исходного функционала Ф(и). Тем самым найдена .оцен-
ка снизу для предельных нагрузок функционала (5.8).
Запишем функционал Фг(и) для идеальной панели в за-
даче о растяжении
(“) = t0
f J | «о' ~ I dxd% — 2L j* fxuQdx.
о —ъ b
82
Заметим, что поля аг>о и и0, —w0 дают одно и то же значе-
ние функционалу ФгСы). Следовательно, на полусумме этих
полей значение Фг(и) не превосходит. значения Ф2(ы) на
каждом из них. Отсюда следует, что при отыскании предель-
ных нагрузок можно ограничиться полями, в которых
uio(x)=O. Но тогда, функционалы Фг(и) и Ф^ы) тождест-
венны.
Таким образом доказана следующая теорема:
Теорема 8.2. Предельные нагрузки для идеальной панели
при растяжении дают точные асимптотические значения пре-
дельных нагрузок для задачи (8.1).
Рассмотрим теперь задачу на изгиб, т. е. будем предпо-
лагать, что fx(x) — О- В этом случае функционал (5.10) имеет
вид
Ф(а) =
’о
4 (а/)а+ (asz + wx')2 dxdt. —
9 L
И gzwdxd£.
(8.4)
Предположим, что на поле и наложены кинематические
ограничения следующего вида:
|№(O,g)l^ = j |й>(ХЛ,Р|
—L
<К = 0 (6=1.Р),
(8-5)
0 х^ Z..
Кроме того, в концевых точках х = 0, х = L может быть еще
выполнено одно из трех условий
(а) Г ы ( 0, £) sgn = 0; (6) J и (L, £) sgn WC =
(c) f «(O,QsgnWC = J и (L, C) sgn M =
0.
Для полей Кирхгофа условия (4.5) переходят в условия
(6.13) и, аналогично, условия (4.6) Кирхгофа соответствуют
условиям
(а) нх(0) = 0 (6) (L) - 0 (с)(0) = иг (L) = 0.
6 Заказ 458
83
Используя условие несжимаемости, функционал (8.4)
можно переписать в виде
П ]/ 4(1-«)(«/)«+4.
L L
-- f J gz (*) w (x> 0 dxdC
й4
L2
й2
При достаточно малом 6
LS
h
L2
+ 2e8 —
h2
L L
J J gzw (x> 0)dxdt - J J gz(x)
При достаточно малом h
ф й > w
0
и, следовательно,
Ф(И)>Ф1(«)=т0
+ ^-|ue' + wx'\ j dxdZ,— j J gz(*) — I c I) (x> 0) dxcK,.
0 —L
Повторяя предыдущие рассуждения и используя первое из
условий (8.5), находим, что тогда (при достаточно малом й)
^(u)>VFa(u)
L L
е)(1-3)|ц/
84
L8 , » i 1 j jr
+ — I «с + wx I dxcK, —
2 L L L
“ T J J L J 8z (X) J(L ~1; J) Wx> (x’ ° M'
0 —L х
Так как в этом случае
о
О —L х
и, следовательно,
Т2(«)>Чг8(й) = т0
L8
2h
— -у- С И gz (Л) dk и (х, Q sgn WxdC
Введем, как и раньше, функцию v(x, t,)
р
v (х, Q = u (х, t) sgn С —
S Ф< W j J « (х> 9 Sgn
где
xi
Г <Рг(л)й*= 1, q>i(x) = 0
при или х^.Х{, причем <р<(х)—непрерывно диффе-
ренцируемая, неотрицательная функция, х0 = 0. Заметим, что «.
L xi
' J J V (х, С) dxdl = 0 (i = 1.................р). (8.7)
6*
85
xl
Заменим в функционале Тз(н) функцию и(х, £) на v(x, И.
Тогда
^зЙ > tojJ 2(l-e)|(l-8)a/|dM-£ —^~")(1~5)Х
О —L 1
L L L Х1
XJJ '<Р' J J u(p,q)sgnqdpdq dxdZ +
О —L —L x/__i
+ 2йЛ «e'(L-KI) + ^'(b-|S|)|rfxdC-
Л О ~L
2 L Ь L
— уЦ v(x,Z)dxdZ —
О —L x
р
xi
x [S Ф» W j. J и (P> Я) s8n qdpdq J dxdt>.
L 1 —L xi-l
Так как в силу (8.5)
yjj |«Е'(Ь-|С|) + а>/(1-|С|)|^==
1 О —L
. ’ s Р Xl L
= f J |u£'(^-|S|) + ^'(L-|C|WC>
1 Xi—i —L
в p Xi L
j j w(x, QsgnC dxcfi ,
1 x: i —L
TO
L L
’Ми) >’JMw) = T0 J J 2(l-e)(l - 8) I v/I dxdC -
0 —L
л L L L
— — J J [J £«(&)<& »(x,C) tfxdC
X
86
Положим
ф' (х) = t»o (*) = J V (х, Q (К,,
причем ф(0)= О, и в силу (8.7) ф(х«)=0 (i=l, р). Тогда
О
е) (1 ~ 8) | ф" (х) |(/х — — J
о
Следовательно, предельная нагрузка для функционала (5.8)
при изгибе, вообще говоря, превосходит предельную нагруз-
ку для функционала Тб/м). Рассмотрим функционал (6.9)
для задачи об изгибе = 0)
L.L L
Ф2 (и) = 2т0 j* | u0' — Cw0" | dxcfg — 2L J gz (x) u»0 dx.
O —L О
Заметим, что на полях u0(x), w0(x) и —и0(х), w0(x) функ-
ционал Фг(и) принимает одинаковые значения. Таким обра-
зом, при отыскании предельных нагрузок можно ограничить-
ся полями ы(х) с Мо(х)=0. Итак, функционалы Фг(«) и Фб(п)
приводят к предельным нагрузкам, отличающимся на вели-
чину порядка е + б. В силу произвольной малости чисел е, б
. справедлива следующая
Теорема 8.3. Предельные нагрузки для идеальной панели
при изгибе дают точные асимптотические значения предель-
ных, нагрузок для задачи (8.4). Эта теорема остается спра-
ведливой и при добавлении кинематических ограничений (8.6),
которые эквивалентны условиям (а) ф'(0) =0, (b) cp'(L) = 0,
(с) ф'(0) =ф'(£)=0 и соответствуют защеплению идеальной
панели на краях. -
Рассмотрим теперь общую задачу о совместном изгибе и
растяжении. Предположим, что поля скоростей удовлетво-
ряют кинематическим ограничениям типа (8.2), (8.5), (8.6).
Используя условие несжимаемости среды, перепишем выра-
жение (5.10) в виде
Ф (ы) = т0 х
йа
Л4
У J 1/ 4 (1 — е) (ы/)2+4е
0 —L '
L L
— у у gz (х) w(x, С) dxdC— у у fx (х) и (х, С) dxdC.
О —L • 0 —L
87
Представим функцию и(х, £,) в виде
и(х, &=р(х, £)+<1(х, I),
где р(х, £) —четная функция £, q(x, £) —нечетная функция,
при этом р(х, у удовлетворяет условиям (8.2), a q(x, £)
удовлетворяет условиям (8.6). Проводя оценки, аналогичные
предыдущим, находим
Ф(«)>*0 Jj
о —
, £3 I , , , ,
+ ^|РС +<76 +
2 L Ь L
. О —-L Л X
Замечая, что
’I'dxdC — j*f fxp(x,r.)dx(ff. —
О —L
q (х, sgn С dxd\
и вводя функцию
. sgn С
r(jf,C) =<7(х, Q —
Р xl L
j] <Pi (х) J у q (X, т) sgn т dtdl,
1 -L
аналогично предыдущему находим, что при достаточно ма
лом А
Ф («) > т0
L L
—У у fx(x)p (х, С) dxdt. —
О —-L
88
Заметим, что
£ *i
J I r (x, Q sgn £ dtf/x = 0
—£ */_i
(» = 1....P). (8-8)
Положим
£ h L
“oW=^-f РЫК’ 'MsgntoC,
~2L J dx Is J
—l —l
оу© (0) 0.
Тогда
ю —L
- to0' I dxdt = J J С (px (X, t) + rx' (x, t)) dx —
(r* (x, t) 4- px' (x, t)) sgnr dr
dxdZ =
I L
0 — L
L
J <Px (X, T) + rx' (X, T)) -
sgn r) dx dxdt,-^.
L L L Ch
<ff |p/(*. т) + rx' (x, т) I dxdC. f |^-——
0 -£ -L
dC..
Пусть 2a. В этом случае
C a CJ> .r 4а*+ b*
1---------dC. = —-------
J 2L L* 4a
- . —£
Следовательно,
Ф(и) > f f [2To(l~8)(l-B)|Ho'-too"|^-
4дя + o L v «я •
nr 4a* + Ь* c t.. nr 4a2 + ba f „ rti
— 2L-----— । f xtiqdx 2>Lf -- -- l I •
4a2 J 4ab J, J
89
Таким образом, при h—>0 предельные нагрузки задачи
(5.10) не меньше, чем предельные нагрузки, определяемые
функционалом
2Tq |
«o' — | rfxdC — 2L(1 + s2
о
1 4- s2 p
——- \ gzw^x
2s J
о
uodx—
(8-9)
при любом S
Из условий (8.2), (8.8), (8.6) определяем кинематические
ограничения для и0(х) и w0(x):
«о(0)=0, i/o(L)=O, wo(O)=O, wo(xk)=O (k = 1, p)/
^o'(O)=O, wo'(L)=O.
Функционал (5.9) аналогичен функционалу (6.9) и дает
асимптотическую оценку снизу предельным нагрузкам, опре-
деляемым из (5.8) при любом s (0<^$^1). Например, при
s = 0,5 зазор между верхними и нижними асимптотическими
оценками предельных нагрузок задачи (5.8) составляет 20%.
Дальнейшее уточнение оценок снизу будет дано в следую-
щем параграфе.
Полученные в настоящем параграфе оценки в задачах о
растяжении и изгибе показывают, что гипотеза Кирхгофа о
структуре минимизирующих полей в этих случаях является
следствием исходного вариационного принципа, когда тол-
щина панели стремится к нулю.
§ 9. Определение кинематических множителей
для идеальной плоской панели
Рассмотрим задачу о вычислении предельных нагрузок,
определяющихся функционалом (6.9). Пусть (fx, gz) — за-
данная внешняя нагрузка. Числа X, ц называются кинема-
тическими множителями, если нагрузка (hfx,*^gz)—пре-
дельная. Из определения предельной нагрузки следует, что
кинематические множители определяются следующим соот-
ношением:
sup
L
f (fxuol +
о _ To
L L £
J ( | «o' — Cte>o" | dxdt,
0 —L
(9.1)
90
A
Числа Л, р, называются допустимыми множителями, если
L
\(fxU0k + gzw0v.)dx
sup —°—L--------------------------
«О»®'» Г» р
| | I Uo — | dxdt.
• J V
О — L
(9.2)
Совокупность точек плоскости %, р, удовлетворяющих усло-
вию (9.2), образует область корректности поставленной за-
дачи. Очевидно, что эта область зависит как от конфигура-
ции внешних нагрузок (fx, gz), так и от кинематических огра-
ничений, наложенных на поля скоростей и.
Легко показать, что область корректности для удержи-
вающих связей выпукла и симметрична относительно осей
X, р. Поэтому достаточно определить структуру этой области
при Х^-0, р^>0.
Пусть движение, панели стеснено p-связями, заданными
в виде условий на функцию и0(х), и ^-связями, заданными
в виде условий на функцию wG(x) и ее производную w0'(x).
Будем называть задачу о нахождении области корректности
при таких кинематических ограничениях (р, q)-задачей. Внут-
ри каждого класса этих задач, т. е. при фиксированных р
и q методы отыскания области корректности совершенно
идентичны.
Покажем, что задачи вида (0.0), (0.1), (1.0), (0.2), (1.1)
требуют некоторых ограничений на конфигурацию внешних
нагрузок и при выЦолнении их эти задачи могут быть сведе-
ны к задаче (1.2). Проиллюстрируем соответствующий ме-
тод на примере задачи (0.0). Условие корректности, сфор-
мулированное в § 2, показывает, что в этом случае
L
f fx (х) dx = 0,
о
L
J gz (х) dx = о,
о
L
§gz(x)xdx =0.
о
Отсюда следует, что значение функционала (7.9) на полях
«о, wG и и0^(х) = и0(х) — и0(0), woO)(x) = w0(x) — w0(0) —
—xwG'(0) совпадают. Но поле Wo(1), w0(1) удовлетворяет сле-
дующем кинематическим ограничениям:
/7(i) ____п W,(D _ dw^ (°) „ л
w0 (и) — и, Wo — —— — и
т. е.' соответствует задаче типа (1.2).
91
Отметим/что задачи (р, q) при р<^1, <?<^2 соответствуют
классу так называемых статически определимых задач. Рас-
смотрим следующую конкретную задачу типа (1.2)
9
«о(О)=О, w0(0)=wo'(0)=0. (9.3)
Обозначим через р(х) и а>(х) следующие функции:
р(х) = и0'(х), a(x) = w0"(x).
Тогда условие (9.1) можно записать в виде
J (^ФхР + рФ2®) dx
sup птт--------
Р’° yyiP-c<o|«
(9.4)
где
L
Фх = У fx (X) dK,
X
- L
У (Т — X) gz (t) dx.
Заметим, что на р(х), ы(х) никаких ограничений не на-
кладывается. Обозначим через х отношение p/со. Тогда (9.4)
можно записать в виде
L
I, . Лфхх 4- рФ
v (х) —-— z— dx
0 Г |х(х)-С|^ *
— = sup ----------——----------------------- (®*®)
L х(х),^(х) л
J | v (х) I dx
о
где
v (х) = (О
Зафиксируем функцию и(х). Тогда выражение в левой части
равенства (9.5) представляет собой норму линейного функ-
92
ционала в пространстве L\ [О, L] и может быть вычислено
следующим образом:
I АФрс + нФг
I v (х) т------------dx
J . у | х (Х) _ с | л
sup --------—-------------=тах
v р X
I | v (х) | dx
о
|1ФхХ (х) + р.Ф2
L
J 1*-с|л
—L
. (9.6)
Для того чтобы найти верхнюю грань в соотношении (9.5),
необходимо найти верхнюю грань по всевозможным функ-
циям и(х) в соотношении (9.6). Докажем, что
ймаМЫмм
sup max
* w *
АФ< (х) х (х) + рФг (х)
L
| х(х) — С (dC
= max
а,х
ХФха 4. |лФ2
т
У |а —С|Л
-L
(9.7)
Очевидно, что выражение, стоящее слева в (9.7), не мень-
ше выражения, стоящего справа.
Предположим, что соотношение (9.7) неверно. Тогда су-
ществует положительное число а такое, что
sup max
X (х) X
1фжх + рФ2
y|x(x)-£|dg
—L
>max
а,х
ХФ^а + рФг
Возьмем фиксированную функцию п(х), для которой в
некоторой точке Хо
>тах
а,х
ХФ;^л 4*
Z————
У |а-£|<к
—L
+т • м
Но неравенство (9.8) невозможно, так как, положив а = х(х0),
имеем
max
X
ХФх (х) X (х0) + рфг (х)
L
У |*(-vo)-qd£
—L
Тем самым равенство (9.7) доказано.
9Э
Итак, граница области корректности определяется урав-
нением
= max
(9-9)
ЛФХ (х) а + рФг (х)
L
Вычисляя интеграл в (9.9), получим
То
— — max max
L х,а
L lal^L
^PxQ 4- рФ2
2aL
; max
x,a
|a|<L
ХФ^П! 4" P^z
(9.10)
Формулу (9.10) можно упростить. Легко видеть, что если
в некоторой точке х Фх и Фг имеют различные знаки, то чис-
ло а следует взять отрицательным, если же Фж и Ф: в этой
точке имеют одинаковые знаки, то а должно быть положи-
тельным. Отсюда следует, что граница области корректности
определяется уравнением
т° -тяг *|<М*)|а4-р|Фг(*)|
-- — Шал----------------------
L а,х L2 + а2
0<a<L
ИЛИ
2£т0 = max (р. | Фг (х) | 4- /(рФг (х))2 4- №ФХ (х))2). (9.11)
X
Для других задач типа (1.2) формула (9.11) так же имеет
место, только следует иметь в виду, что функции Фж, Фг
должны быть связаны с функциями gz формулами, учиты-
вающими конкретнный характер кинематических ограниче-
ний задачи. Отметим, что норма линейного функционала в
пространстве £] [0, L] достигается на б-образной ’функции
v(x), что соответствует функции и0(х) вида
. . I А при х<х0,
«о(*) =
( X при X > х0,
и функции w0(x) вида
«Мх) = k х—хо +Ь.
Однако существуют случаи, когда функции v(x), на которых реали-
зуется норма линейного функционала, можно выбрать отличными от
d-образных функций. Это возможно в том случае, когда существует функ-
ция х(х), для которой
ХФхх -Ь р-Ф^
ХФ^а р.Ф2
| х (х) - С| dC
= шах
94
Если выполнено соотношение (9.12), то тогда норма функционала
реализуется на любой неотрицательной функции v(x). Например, это
-имеет место, когда Фх = const, <Dz=const.
Рассмотрим теперь общий случай (р, q) -задачи. Предпо
ложим для определенности, что система кинематических ог
раничений имеет вид
«о(«г) = 0(i =0,...,р—1); 0 <az<af+i <L; ao=0;
®o(Pi)=0(i = 0,...,<7-l); 0<P,<P/+i<L; ₽o = O.
Тогда будем иметь:
J p (x) dx — 0 (i — 1..p — 1),
о
X
₽.
(9.13)
о о
Отсюда, аналогично предыдущему построим функции Фх, Ф2.
Неиспользованные кинематические условия можно записать
следующим образом:
0
(9.14)
о
Таким образом приходим к
: задаче отыскания верхней грани
в (9.4) при условии, что функции р(х) и со(Х) удовлетворя-
ют дополнительным ограничениям. (9.14).
Принимая во внимание теорему Никольского [35] о нор-
ме линейного функционала на подпространстве и повторяя
предыдущие рассуждения, находим, что граница области
корректности в рассматриваемом случае определяется соот-
ношением
p-i
<7—1
max min
xta 0/ ъ
2
где a, 6$, Xi
— действительные числа.
95
Итак, задача о вычислении предельных нагрузок для
идеальной панели аналитически сведена к отысканию экст-
ремальных значений функции нескольких переменных. Урав-
нение (9.15), аналогичное уравнению (9.10), можно перепи-
сать в виде, подобном (9.11). Именно
2Lt0 = птах min Г
X L
рф2 (х) — 2 w xt I+
. 2
q—1 Р~1 2
(рфг(х) -р((х)тг)* 2 4- (ХФЛх)- £ 0гЯДх)) ].(916)
2 1
В заключение этого параграфа вернемся к рассмотрению
асимптотического поведения кинематических множителей
для плоской задачи. Как было показано, область допусти-
мых множителей для идеальной панели дает оценку. сверху
для множества допустимых множителей плоской задачи. Да-
дим оценку снизу для множества допустимых множителей
плоской задачи. В § 8 было показано, что если (%, р) —^ки-
нематические множители для идеальной панели, то пара
чисел
при любом s, дает асимптотическую оценку снизу
для соответствующих кинематических множителей плоской
задачи. Таким образом, с каждой точкой (X, р), располо-
женной на границе области корректности для идеальной па-
нели, можно связать эллипс (рис. 2)
граница которого дает асимптотическую оценку снизу для
множества допустимых множителей плоской задачи.- Рас-
смотрев огибающую семейства этих эллипсов, когда точка
(X, ц) пробегает границу области корректности для идеаль-
ной панели, приходим к оценке снизу для области допусти-
мых множителей плоской задачи. Легко видеть, что при л=0
или ц=0 асимптотические оценки сверху и снизу для кине-
матических множителей плоской задачи совпадают.
§10. Криволинейные цилиндрические панели
Рассмотрим теперь панель толщины Л, срединная поверх-
ность которой имеет цилиндрическую форму й уравнение ко-
торой в нормальной форме имеет вид (рис. 3):
x = x(s) (10.1)
где s — длина дуги направляющей (0$С$<;£), х—кривизна
этой линии.
Записывая исходный функционал в переменных (s, п)
(рис. 3) и проводя рассуждения, аналогичные предыдущим,
- приходим в этом случае к функционалу, аналогичному (6.9), .
следующего вида:
/(«) = 2r0[f + dCds-
J J d s ' d s2 ds '
0 L
L
~2L\ [A (s) + Sn (s) «Л (s)] ds, (10.2)
0
где ux, un — проекции скорости смещения средней линии на
оси т, п и где все обозначения аналогичны использованным
в § 3.
Заметим, что движение панели при условии равенства ну-
лю диссипативной части функционала (10.2) приводит к сле-
дующим полям
и? = [*>0 + «> х Р (s)] * (5); (s) = |>о + w х р (s)] п ($), (10.3)
где v0 — произвольный постоянный вектор, лежащий в пло-
скости (s, п), а (о=(0, 0, со), т. е. перпендикулярно к этой
плоскости; р = р(Х)— радиус-вектор кривой (10.1).
Легко видеть, что (10.3) соответствуют движению панели
как твердого тела.
97
Сведем функционал (10.2) к функционалу вида (6.9).
Для этого рассмотрим следующую систему:
диг сРип ,
= От, — 4-
дз-------------------------------ds2 ds
~vn
(10.4)
Общее решение системы (10.4) имеет вид
«т (s) = «г®
{т(|)т(5)От(^) + [о)0
Х(р(5)-р(В))]т(з)о„(£)П£,
(10.5)
S
Un (s) = «п° («)+[{* (I) п (s) V, (В) 4-
о
4- [°>о х (р (s) - Р (|))] п (s) v„ (£)} d£,
где ®о= (0, 0, 1).
Перепишем функционал (10.2) относительно функций
О', vn
L L
L L
vz - Cu„ I d%ds -2l\ k (s') f (An (s, s') f. (s) + '
0 s'
s'
0
A (s) Ur® (s) ds —
L
— 2L C gn (s) un° (s) ds,
b
где матрица ku(s, s') имеет вид
ll^ ll = A (s') T (s), [®0 X (p (s) — P (s'))] T (s) \
\T (s') n (s), [©0 x (p (s) — P (s'))] n (s) /
(10.6)
(Ю-7)
Произвольные постоянные в полях («т°, u„°) определяют-
ся либо из кинематических ограничений, наложенных на эти
поля, либо при отсутствии таких ограничений приводят к
98
условиям на внешние нагрузки и тогда не дают вклада в
функционал (10.2).
Полученный функционал (10.6) аналогичен функционалу
(6.9), и область корректности для этого функционала может
быть найдена по формуле (9.4), где вместо р, (о нужно под-
ставить vx, vn с соответственным, в согласии с (10.6), пере-
определением Фх, Ф'2.
Таким образом, задача о вычислении предельных нагру-
зок для криволинейной цилиндрической панели при h—»-0
всегда сводится к нахождению предельных нагрузок для
соответствующей плоской панели.
§ 11. Примеры
Вернемся к рассмотрению статически определимых задач
типа (5.2). Как было показано в этом случае, граница об-
ласти корректности определяется уравнением (9.11). Пред-
положим, что на отрезке [0, L] существует точка х0, в кото-
рой
max | Ф/(х) | = | Ф* (х0) |, max | Ф2(х) | = | Ф2 (х0) |. (11.1)
Такая точка %о существует, например, в следующих част-
ных случаях:
а) одна из функций Фж или Ф2 — постоянная;
Ь) обе функции |ФХ|, |Ф2| монотонно, убывают на от-
резке [0, L] (здесь хо=0). Легко видеть, что случай (Ь) для
задачи (9.3) эквивалентен условиям: fx(x)—сохраняет знак
на отрезке [0, L], a J gz(k)dk— сохраняет знак на отрезке
[0, £].
Из соотношения (11.1) и формулы (9.11) непосредствен-
но вытекает, что в рассматриваемом случае границей обла-
сти корректности на плоскости (А, ц) при Z.^-0 яв-
ляется парабола, уравнение которой таково:
|Ф2(^)|р=1т0--^%^-Х8. (11.2)
4Tq
Формула (14.2) показывает, что предельные кинематические
множители (X, ц) не зависят от деталей конфигурации на-
грузок, а зависят лишь от чисел Ф2(х0), Фж(х0). Заметим, на-
конец, что из формулы (11.2) следует при fz(x)=O
max I Ф,(х) I
ооа? 2 1
99
при gz(x)=O
|fc|<-----.
max | Фх (х) I
0<x<L
В качестве конкретных примеров статически определимых
задач рассмотрим тонкие цилиндрические трубы с круглым
или квадратным поперечным сечением, находящиеся под
внутренним давлением. Используя схему § 10, эти задачи
могут быть сведены к задачам о предельных нагрузках для
плоских панелей' и приводят к следующим значениям пре-
дельных внутренних давлений:
в случае квадратного поперечного сечения (Ь — сторона
квадрата) и
— 4л т0 ' • •
8п ~ У4л2 + 1 ~R
в случае круглого поперечного сечения (R — радиус попе-
речного сечения).
Перейдем теперь к задачам статическц неопределимым.
Рассмотрим панель длины L, шарнирно закрепленную на
краях и удерживаемую от поперечных перемещений в точке
х0, 0<х0<£. Пусть на панель действуют поперечные силы,
распределенные с плотностью gz(x). В этом случае Ф2(х)
вычисляется по формуле:
о
где
G(x,y) =
!
0<х<у,
и задача о предельной нагрузке в силу (9.15) сводится к он-
ределению числа р, удовлетворяющего уравнению
То •
— == min max
L е х
рФ2 — QG (х, х)
L?
100
С одной стороны, в силу теоремы Чебышева о наилучшем
приближении в пространстве С (0, 1] число 6 должно быть
выбрано так, что существует пара чисёл х', х" таких, что
min max | рФ2 (х) — 6G (х0, х) | = рФ2 (х') — 0G (х0, х') =
0 х
= — рФ2 (х") + 0G (х0, х"),
откуда
а_. +
И G (х0, х') + G (х0, х")
И
Lx . = | Фг (X') о (ХО, х") - Ф2 (х") G (х0, х') I .
° G (х0, х') + G (х0, х")
С др.угой стороны, если рассмотреть функционал (9.4) на
функциях
р(х) = 0, и(х) = аЗ(х -х*) + (х — х**), (11.4)
где
’ aG(xo,x*) + ₽G(xe,x") = O,
то .
U, = max . (|1.5)
л.- О (х„, *•) + О (х0, Х-)
Сравнивая (11.3) и (11.5), находим, что среди минимизирую-
щих полей содержатся поля вида (11.4), и число р, может
быть определено из формулы (11.5).
Совершенно аналогичные формулы имеют место и при
большем числе кинематических ограничений, однако при их
выводе необходимо учитывать, что система функций G(xft, х)
0<ZXi<.„.<ZXk<.L не образует систему Чебышева, хотя, как
можно показать, для нее справедлива теорема об «альтер-
нансе» [36].
§ 12. Оценки предельных нагрузок на растяжение .
' при конечной толщине панели
В предыдущих параграфах было показано, что при нали-
чии только растягивающих сил (gz(x)sO) предельные на-
грузки для идеальной панели являются асимптотически точ-
ными при h—>0 для соответствующей плоской задачи. Од-
нако важно знать отклонения предельных нагрузок для пло-
ской задачи от предельных нагрузок для идеальной панели
при конечном h.
7 Заказ 458 101
Мы не будем детально исследовать этот вопрос, а коснем-
ся его лишь в связи с иллюстрацией возможностей качествен-
ных вариационных методов.
Как уже указывалось ранее, проблема отыскания предель-
ных нагрузок для плоской задачи сводится к исследованию
функционала
L L_________________________
7 (ы) = т° ( (1/ 4 («/)« + ~ («е' +.wx'Y dxO. -
0~L'
L L
j j V* (х) и (х, £) dxcK.,
О -L
(12.1>
где поле и удовлетворяет условию несжимаемости и некото-
рым кинематическим ограничениям, которые выделяют зам-
кнутое подпространство в пространство полей и с нормой
L L_________________________________________________
II«III = J J ]/ 4 (и/)2 + + о>/)2 « +
К такого типа кинематическим ограничениям относятся, на-
пример, ограничения вида
L L
(a) J и (О, Q < = 0, (&)
—L —L
f I и (0,£) | ас = о,
—L
w (0, С) sgn Cdg —
0.
Из вида функционала (12.1) находим, что предельные на-
грузки для идеальной панели дают оценку снизу предельным
нагрузкам плоской задачи, так как функционал для идеаль-
ной панели получается из (12.1) отбрасыванием скорости
сдвига и последующим введением средней по толщине про-
дольной скорости. При этом для идеальной панели естест-
венно рассматривать лишь кинематическое ограничение вида
цо(О)=О.
Рассмотрим теперь функционал (12.1) на полях Кирхго-
фа. Очевидно, что предельные нагрузки Kfx, определяемые из
(12.1), на полях Кирхгофа дают оценку сверху для предель-
но
ных нагрузок плоской задачи. В. силу выпуклости функцио-
нала (12.1) при минимизации этого функционала .можно
ограничиться полями вида
Л2 -
и(х,С)=и0(х), w(х, С) = — £ — ио (х). (12-2)
ь
При этом кинематические ограничения (а), (Ь) приводят к
условию ио(О) =0, ограничение (с)—к условию и0'(0) =0.
Функционал (12.1) на поле (12.2) примет вид
l l '____________________________________
4(«о) = то [ J 1/ 4(4)2+C2^-(u0")2^-
0 —L '
L
— 2L'K{fxUrfix. (12.3)
о
Пусть имеются кинематические ограничения только вида
«о(-0)=«о'(0)=0. (12.4)
Предельные нагрузки при кинематических ограничениях
вида (12.4) оценивают сверху предельные нагрузки при ки-
нематическом ограничении и0(0)=0- Обозначая р(х) = щ'(х),
перепишем (12.3) в виде
и ____________________________?_________
4(Р) = to J j т / 4р2 + ?2(р')2 dxd^ —
0 —L *
L
— 2L>A<bxpdx, (12.5)
о
где
Вместо функционала (12.5) рассмотрим функционал
i (р) = т0
L
dx — X j ®xpdx.
о
(12.6)
о
Легко видеть, что предельные нагрузки для функционала
(12.5) не превосходят предельных нагрузок для функциона-
ла (1216). В дальнейшем для простоты ограничимся случа-
7* 103
it-
ем, когда Фж неотрицательная функция, имеющая лишь один
локальный максимум (рис. 4).
Рис. 4
Легко видеть, что при таком ограничении на Фх(х) для
отыскания нижней грани функционала (12.6) достаточно
рассматривать функции р(х), такие, что на участках моно-
тонности Фх р(х) так же монотонна. Действительно, предпо-
ложим что р(х) имеет вид, указанный на рис. 5. Тогда пе-
рейдем к функции р*(х), изображенной на рис. 6, получаю-
щейся из графика р(х) срезыванием локального максимума
и заклеиванием локального минимума. Легко видеть, что
i(p)^/(p*). Далее, очевидно, нижняя грань достигается на
функциях, изображенных на рис. 7. (Без ограничения общ-
ности можно считать, что шахр(х) = 1.)
Итак, кинематический множитель Л плоской задачи удов-
летворяет неравенству
- --°— < X < --------------\-----------------. (12.7)
фИ*о) ltfA,
1 Фхб/Х Ч~ В 1 Ф^^
S 2 (х2 - хг) 4- 2g(L— х2) 4- (2 - 6) - Л/2
В силу условий относительно Фх, Фх либо постоянна, ес-
ли fx=6(x— L), либо существует число а, такое, что Фх(х)
104
достигает своего наибольшего значения М на сегменте
[О, L — а] и Ф(х)<М при X из [L — а, L]. В первом случае,
когда ФЛ(х)=Л1 условие (12.7) дает
2Тр 2т0 hx$
~М ^M12LM
(12:8)
Эта формула допускает уточнение. Во-первых, можно показать, что
при Фзс(х) постоянном предельная нагрузка при любой толщине панели
в случае плоской задачи совпадает с предельной нагрузкой для идеальной
панели. Действительно, как было показано выше, предельные нагрузки
при растяжении для идеальной панели дают оценку снизу предельных
нагрузок плоской задачи.
Во-вторых, то же самое значение предельной нагрузки в плоской за-
даче можно получить, если рассмотреть следующее поле скоростей
и (х, 0 = 0
при
IX
а (х, 0 ® v0 при С > L ( 1 —
\ h
где fо ~ постоянный вектор с координатами
и0 = а (Л,
а — произвольное положительное действительное число.
Заметим, что предельная нагрузка в задаче на растяжение для панели
конечной толщины совпадает с предельной нагрузкой для идеальной па-
нели не только в случае, когда Фх(Х)=const, но и в случае, когда наи-
большее значение Ф»(х) достигается на отрезке длины не меньше, чем 2h.
Отметим так же, что рассмотренное поле скоростей не удовлетворяет ги-
потезе Киргхгофа. Однако при Л->0 поля Кирхгофа так же дают правиль-
ное значение предельной нагрузки.
Перейдем к рассмотрению второго случая. Если формулы
(12.7) и (12.8) справедливы для любой толщины h, то в
дальнейшем рассмотрения идут для достаточно малых h. Так
как выражение, стоящее в знаменателе (12.7), монотонно по
то его нужно рассмотреть при двух значениях g: g=0, g=l.
Соответственно имеем
С одной стороны, в силу предположений относительно
Фх существует число р>0, такое, что
L
J Фхйх
М - --------> р.
L — Xi
Й, следовательно,
L
^Фхйх\/(L — Xj)
_____________
2 + h/2(L— хх)
(УИ/2) —(Р/2).
(12.9)
С другой стороны, фиксированные числа Ху и х2 можно
взять настолько близкими, что
Хг
С Фхйх
М> Ь--------->м — Р/2.
х2 — Xi
Если же число h взять настолько малым, что
й/(х2—< р/(Л1 + р),
то из условия (12.10) вытекает
*2
(12.10)
(Л!/2) — (Р/2).
(12.11)
Сравнивая (12.9) и (12.10), находим, что
—
м
Х2
(12.12)
max
Xi
Заметим, что если в формуле (12.8) отклонение кинема-
тического множителя от кинематического множителя для
идеальной панели есть величина порядка h, то в формуле
(12.12) это отклонение зависит от вида графика функции Фх
в точке максимума.
1D6
h
Приведем грубую оценку величины этого отклонения.
Предположим, что в точке максимума функции Фх(х) мож-
0 *0 L
Рис. 8
но вписать угол так, как показано на рис. 8. Положим.
•ПР
Тогда
*1 = х0 — У h, х2 — х0 4- у h.
f
< х < —0+т0 /л—А+м/Д-—.
М М
(12.13)
Заметим, что если относительно гладкости кривой Фх(х) в
точке максимума предполагать только то, что можно вписать
угол, то в формуле (12.13) можно лишь улучшить констан-
ту перед г h, но сам порядок отклонения изменить нельзя.
Отметим, наконец, что хотя оценки типа (12.7) проведены
для функционала (12.6), однако нетрудно доказать, что они
являются точными по порядку и для функционала (12.5).
При конечных h, как следует из полученных результатов,
скорость сходимости к предельной нагрузке для Идеальной
ланели резко уменьшается при fx, имеющих вид, указанный
на рис. 9, т. е. при fx с бесконечными амплитудами, но сум-
мируемых.
107
§ 13. О некоторых качественных особенностях поведения
предельных нагрузок на полях Кирхгофа в задаче
о растяжении
- »
В задачах на растяжение для идеальной панели, очевид-
но, действует следующий принцип локальности: если нагруз-
ка распределена по некоторому промежутку Д/, то разру-
шающее поле скоростей, соответствующее предельной на-
грузкё, сосредоточено в зоне действия этой нагрузки. Дру-
гими словами, это разрушающее поле приводит к движению
среды как твердого тела вне зоны действия нагрузки Д/. По-
кажем, что аналогичный принцип справедлив и для задачи
о растяжении в случае полей Кирхгофа.
Предположим, что растягивающая сила f(x) такова, что
Фх имеет вид, изображенный на рис. 10 (график fx, соответ-
ствующей Фх, приведен на рис. И), причем
Рис. 11
Рис. 12
Xx>(nh)l2, x2<L— (лЛ)/2.
Заметим, что при условии ио(О)=О условие Х)>л/г/2 яв-
ляется несущественным. Тогда будет показано, что в случае
предельной нагрузки разрушающее поле сосредоточено в
промежутке [xit х2]. Рассмотрим функционал (12<5) и пред-
положим, что функция и0(х) удовлетворяет кинематическим
ограничениям типа (12.4), т. е. р(0)=0. Функционал (12.5)
с помощью замены переменных удобно переписать в виде
L 2Ь/Л£ ------ L
о о r ' ' о
В дальнейшем а и х будем интерпретировать как величину
угла в радианной мере. Тогда
108
представляет собой длину дуги, выраженную в полярных
координатах. Очевидно, что функционал (13.1) минимизиру-.
ют неотрицательные функции р(х). Пусть р(х) имеет гра-
фик, изображенный на рис. 12. Очевидно, что поведение
графика р(х) на участках 0<х^хь х^х <£ не влияет на
величину интеграла
. L
J <J>xpdx.
О
Но для уменьшения длины дуги и, следовательно; функ-
ционала (13.1) естественно дугу р(х) в промежутке O^x^Xj
провести по радиусу х=хь что означает р(х)=0 при 0^_
^х^х(. Далее, переход от переменного х к переменному о
означает растяжение масштаба в 2L//ig раз. Из предполо-
жения, что L—(л/г/2) >х2, вытекает, что в переменных о
лучи х=х2 и x—L образуют угол, не меньший, чем л. По-
этому опять-таки для того, чтобы длина дуги на участке от
х2 до L в переменных <т была наименьшей, график р(х) дол-
жен по лучу х=х2 спускаться в начало координат. Таким
образом, функции, минимизирующие функционал (13.1), сле-
дует искать среди функций р(х), образующихся в нуль при
O^x^Xj и при x^x-<L. Это и есть принцип локальности
для разрушающих полей.
Так как в случае полей Кирхгофа поперечная состав-
ляющая скорости w(x, £) связана с р(х) формулой .. ,
м
ау(х,р=р(х),
то легко видеть, что поперечная скорость отлична от нуля
только в зоне х^х^хг, и в силу положительности функции
р(х) приводит к пережатию (утонению) панели в этой зоне.
Такая качественная картина течения соответствует извест-
ному механизму разрушения через образование шейки.
Перейдем теперь к рассмотрению другой качественной
Рис. 13
Рис. 14
109
особенности, связанной с поведением предельных нагрузок
для функционала (13.5). В случае идеальной панели, если
нагрузка имеет вид, изображенный на рис. 13, то она ста-
новится предельной, если локальные максимумы Фх(х) не-
зависимо друг от друга достигают критического значения
2т0. При этом совершенно несущественно расстояние х3— х2.
В случае функционала вида (13.5) положение несколько
иное, именно:
1. Если выполнено неравенство х3—х2 > лЛ/2, то пре-
дельная нагрузка по-прежнему определяется поведением
каждой части графика Фх(х) на отрезках [хь х2] [х3, х4] неза-
висимо друг от друга, т. е. если на отрезке [хь х2] нагрузка
достигает предельного значения и на [x3f х4] нагрузка дости-
гает предельного значения, то совокупность этих нагрузок
так же является предельной нагрузкой.
2. Если х4— xi<zh/2, то, вообще говоря, совокупность
двух предельных нагрузок на отрезках [хь х2], {х3, х4] при-
водит к некорректной задаче, т. е. нижняя грань (12.5) рав-
на —
Доказательство первого утверждения следует из проведенного рас-
суждения, которое показывает, что при х3— х2>лЛ/2 минимизирующая
функция должна обращаться в нуль при х2<х<х3.
Докажем второе утверждение. Предположим, что график функции
Фх симметричен относительно прямой х=(х3+%2)/2 (рис. 14) и концы xi
и х4 удалены от концов 0 и L соответственно на величину, большую
лА/2. Тогда среди функций, минимизирующих функционал (12.5), есть
такая, которая равна 0 на отрезках [0, xi], [х4, L], и график ее симметри-
чен относительно прямой х=(^+^з)/2. Из однородности функционала
(12.5) можно предполагать, что шахр(Х)=1 (рис. 15). Рассмотрим функ-
цию р*(х), изображенную на рис. 16, которая равна 1 на отрезке
Ii/ь yd и совпадает с р(х) в остальных точках отрезка [О, L]. Тогда,
очевидно,
(13.2)
У Vi л'о хз У1
Рис. 15
ПО
Предположим, что р(х) в некоторой точке отрезка [х2, х3] обращается
в нуль. Тогда
h2
Z2
п Aa:
О —L
L, b /♦ —-----------
+ jj 1/ 4^ + ^-C2(^)2^;
Уг —L
п
Vi L________________________
J J ]/ 4p* + -^-C*(p')* rfxdc +
Л3
4р* + — С2 (р'У dx(K.,
L L
4p» + — <? (p’f dxdC>
ft8
L8
C* l(P*)']2 dxdC.
(13.3)
Из неравенства (13.2), (13.3) следует, что значение функционала
(12.5) на функции р*(х) меньше, чем на функции р(х). Отсюда следует,
что отрезок [х2, Хз] на котором не действуют внешние силы, тем не .менее
в разрушающем поле (т. е. поле соответствующем предельным нагрузкам)
находится в пластическом состоянии. Последнее утверждение эквивалент-
но тому, что предельные нагрузки на каждом из участков [хь х2], [х3, х4],
взятые в совокупности, имеют кинематический множитель меньше 1, или,
другими словами, приводят к некорректной задаче.
В заключение отметим, что полученные в настоящем па-
раграфе результаты совершенно автоматически переносятся
на задачу об изгибе.
Сделанные выводы о взаимодействии систем самоуравно-
вёшенных нагрузок, приложенных к материалу в, ограничен-
ных и не перекрывающихся зонах, эквивалентны известному
принципу Сен-Венана в теории упругости. Однако если в
рамках теории упругости такого типа возмущения не взаи-
модействуют лишь асимптотически, то для идеально пласти-
ческого материала в приближении полей Кирхгофа эти воз-
мущения не взаимодействуют на конечных расстояниях.
Л И Т ЕР АТУ РА
1. Седов Л. И. Механика сплошной среды, тт. 2, 4. Изд-во МГУ (ро-
тапринт), 1967.
2. С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике. Изд-во ЛГУ, 1950.
3. М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.,
Физматгиз, 1957.
4. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных .
операторов. М., Гостехиздат, 1966.
5. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелиней-
ных интегральных уравнений. М., Гостехиздат, 1956.
6. В и ш и к М. И. Квазилинейные сильно эллиптические системы диффе-
ренциальных уравнений, имеющие дивергентную форму. «Тр. ММО»,
1963, т. 12. г
7. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилиней-
ные уравнения эллиптического типа. М., «Наука», 1964.
8. О л е й н и к О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных
уравнений. УМН, 12, № 3, 3—73, 1957.
9. Browder F. Е. «Bull. Amer. Math. Soc.», 69, pp. 862—874, 1963;
«Trans. Amer. MathrSrjc.», 117, pp. 530—550, 1965.
10. L ё г a у J., L i о n s L. «Bull. Soc. Math. France», 93, No. 1, pp. 97—107,
1965.
11. Работнов Ю. H. Лекции по теории упругости. Изд-во МГУ (ро-
тапринт), 1967.
12. Мосолов П. П., Мясников В. П. ПММ, 29, № 3, 492, 1965.
13. Мосолов П. П., Мясников В. П. ПММ, 30, № 4, 705—717, 1966.
14. Мосолов П. П., Мясников В. П. ПММ, 31,1, 581—585, 1967.
15. Мосолов П. П., Мясников В. П. ДАН СССР, 174, № 2, 312—
315, 1967. ’ -
16. Мосолов П. П., Мясников В. П. ДАН СССР, ’ 174, № 3, 541—
544, 1967.
17. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М., Физматгиз,
1962.
18. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.,
«Мир», 1964.
19. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции
и пространства Орлича. М., Физматгиз, 1958.
20. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М., «Наука», 1966.
21. И осел ев и ч В. А. МТТ, 1970, № 2.
22. С о к о л о в с к и й В. В. Статика сыпучей среды. М., Физматгиз. 1960.
23. Ц и г л е р Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых
процессов и механика сплошной среды. М., «Мир», 1966.
24. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. Гидромеханика пере-
мешивания и теплообмен. М., «Мир», 1964.
25. Gheorghitza St. I. «J. Quart Meeh. Appl. Math.», 12, No. 3, 1959.
i
।
112
26. МирзанджанзадеА. X. Вопросы гидродинамики вязко-пластич-
ных и вязких жидкостей в нефтедобыче. Баку, Азнефтьиздат, 1959.
27. А л и ш а е в М. Г., В а х т о в Г. Г., Г е х т м а н М. М., Г л у м о в И. Ф.
«Изв. АН СССР», МЖГ, 1966, № 3.
28. Ён то в В. М. ПММ, 31, № 5, 820—833, 1967.
29. И о ф ф е А. Д., Т и х о м и р о в В. М. УМН, 23, вып. 6, 1968.
30. С акс С. Теория интеграла. М., ИЛ, 1949.
31. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М., ИЛ,
1956
32. И в л е в Д. Д. ПММ, 31, № 2, 346—348, 1967.
33. Д а н ф о р д Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая тео-
рия). М., ИЛ, 1962.
34. Мосолов П. П. «Изв. АН СССР», сер. матем., 31, № 6, 1289—1310,
1967. •
35. Н и к о л ь с к и й С. М. «Изв. АН. СССР», сер. матем., 10, № 3, 1946.
36. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., «Наука», 1965.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................... ................... 3
Введение...................................................... 5
Глава I. Общие теоремы в теории медленных движений жестко-вяз-
ко-пластических сред........................................*17
§ 1. Вариационный принцип для голономных диссипативных
моделей сплошных сред . .........................17
§ 2. Модели жестко-вязко-пластических сред..................26
§ 3. Теоремы существования и единственности................-34
§ 4. Близкие реологические модели...........................51
Глава II. Асимптотическая теория жестко-пластических цилиндричес-
ких панелей..............................................64
§ 5. Постановка задачи......................................64
§ 6. Асимптотические оценки предельных нагрузок сверху . . 69
§ 7. Асимптотические значения предельных нагрузок на полях
Кирхгофа.................................................. 74
§ 8. Асимптотические оценки предельных нагрузок снизу . . 81
§ 9. Определение кинематических множителей для идеальной
плоской панели ...... 90
§ 10. Криволинейные цилиндрические панели...............97
§ 11. Примеры...........................................99
§ 12. Оценки предельных нагрузок на растяжение при конечной
толщине панели . . . -............................101
§ 13. О некоторых качественных особенностях поведения пре-
дельных нагрузок на полях Кирхгофа в задаче о растя-
жении .................................................... 108
Литература. .................................................. 112
Петр Петрович Мосолов
и Вениамин Петрович Мясников
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЙ
ЖЕСТКО-ВЯЗКО-ПЛ ЛОГИЧЕСКИХ
СРЕД
Тематический план 1971 г. № 134
Редактор Ф. И. Горобец
Техн, редактор Е. Д. Захарова
Сдано в набор 28/VI 1971 г.
Подписано к печати 15/XI 1971 г.
Л-115459 Формат 60X90716
Бумага тип. № 3 Физ. печ. л. 7,25
Уч.-изд. л. 6,86 Изд. № 1425
Заказ 458 Тираж 1250 экз.
Цена 69 коп.
Изд-во Московского университета.
Москва, К-9, улица Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ (филиал).
Москва, проспект Маркса, 20.