НОВОЕ
В ЖИЗНИ, НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
ЗНАНИЕ
Т.Д.КорЕльская
Е.В.ПадучЕва
ОБРАТНАЯ
ТЕОРЕМА
(аЛГОРИТМИЧЕСКИЕ
И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ
ПРОЦЕССЫ МЫШЛЕНИЯ)
• ••• •• • •
• ••• • •• • •
• •••• •••
• • • • • •
•••• • •• • ••• •• •• •• • •• •••• • • •
• •••••• • ••••• ••••• •••• ••••••• ••
•• • •• • • •• • •• • ••• • •• •• ••
2/1978
СЕРИЯ
МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА

НОВОЕ Серия «Математика, кибернетика»
В ЖИЗНИ, НАУКЕ, № 2, 1978 г.
ТЕХНИКЕ Издается ежемесячно с 1967 г,
Т. Д. Корельская,
кандидат технических наук
Е. В. Падучева,
кандидат филологических наук
ОБРАТНАЯ
ТЕОРЕМА
(АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ
И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ
ПРОЦЕССЫ МЫШЛЕНИЯ)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 197$

Корельская Т. Д. и Падучева Е. В.
К66 Обратная теорема (алгоритмические и
эвристические процессы мышления). М.,
«Знание», 1978.
64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия
«Математика, кибернетика», 2. Издается ежемесячно с 1967 г.)
Брошюра посвящена проблемам моделирования,
интеллектуальной деятельности человека, связанной с логической
переработкой языковой информации. Дана формальная модель
понятия обратной теоремы. Брошюра рассчитана на широкий
круг читателей, интересующихся проблемами искусственного
интеллекта.
30 500 6 ФОЛ
© Издательство «Знание», 1978 г.

§ 1. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА И ОБРАТНОЕ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ
К числу навыков, которыми должен овладеть
школьник на уроках математики, относится умение
сформулировать для теоремы соответствующую ей обратную1.
Например, для теоремы (1) это будет (Г), для (2)—(2'),
для (З)-(З'):
(1) Точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково
удалена от его сторон;
(Г) Если точка одинаково удалена от сторон угла,
то она лежит на его биссектрисе;
(2) В треугольнике против равных углов лежат равные
стороны;
(2') В треугольнике против равных сторон лежат
равные углы;
(3) Если четырехугольник является ромбом, то его
диагонали взаимно перпендикулярны;
(3') Если диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны, то он является ромбом (утверждение
ложно).
В самом общем виде в основе понятия обратной
теоремы лежит понятие импликации (следования): в обратной
теореме посылка исходной импликации становится
заключением и, наоборот, заключение — посылкой.
Одновременно с понятием обратной теоремы
рассматривается понятие противоположной теоремы и теоремы,
противоположной к обратной. Нацример,
для теоремы (1) противоположным будет утверждение (1а),
т. е. утверждение, полученное отрицанием обеих частей
1 Точнее было бы говорить не о прямой и обратной теоремах (или,
вообще, утверждениях, высказываниях), а о двух в з а и м н о-обрат-
ных теоремах: каждая из теорем в этой паре является обратной по
отношению к другой; соответственно, любая из них может быть принята
за прямую,
1*
3

исходного, а противоположным к обратному —
утверждение (16), т. е. утверждение, полученное тем же способом,
что (1а), но не из исходной теоремы (1), а из обратной (Г):
(1а) Точка, не лежащая на биссектрисе угла, неодинаково
удалена от его сторону
(16) Если точка неодинаково удалена от сторон угла,
то она не лежит на биссектрисе этого угла.
Эти понятия играют весьма важную роль в математике,
поскольку математический факт обычно рассматривается
не сам по себе, а на фоне других фактов, с которыми он
логически связан. По законам логики из четырех
связанных друг с другом по смыслу утверждений^— данное,
обратное данному, противоположное данному и
противоположное обратному — должны доказываться независимо
одно от другого только два—например, данное и обратное
к нему. В то же время противоположное и противоположное
обратному — при условии, что первые два верны,— уже
не требуют доказательства (а если неверны —
опровержения), поскольку противоположное утверждение равносильно
обратному (т. е. логически эквивалентно ему, имеет то же
самое истинностное значение), а противоположное обратному
равносильно исходному. Так, (1а) равносильно (Г), а (16)
равносильно (1); утверждение (36) равносильно
утверждению (3) (оба истинны), а (За) равносильно (3') (оба ложны):
(За) Если четырехугольник не является ромбом, то его
диагонали не перпендикулярны,
(36) Если диагонали четырехугольника не
перпендикулярны, то он не является ромбом.
Положение, согласно которому утверждение,
противоположное обратному, равносильно исходному, называется в
логике законом контрапозиции. Закон контрапозиции
может использоваться в доказательствах. А именно, когда
теорема доказывается от противного, это означает, что
вместо данной теоремы доказывается соответствующая ей
противоположная к обратной, которая в силу закона
контрапозиции ей равносильна.
Рассмотрение данного утверждения вместе с его
обратным важно тем, что в том (и только в том) случае, когда
прямое и обратное утверждения, касающиеся некоторого
объекта, одновременно истинны, возникает как бы новый
однозначный признак этого объекта или его свойства,
т. е. возможность выразить одно его свойство через другое
(см. [1]). Например, в силу того что для любого числа п
свойство Р «Число п делится на 3» влечет свойство Q:
4

«Сумма цифр числа п делится на 3», а свойство Q влечет
свойство Р, свойство Q является признаком свойства Р.
Между тем, если для любого четырехугольника из
свойства Р «Четырехугольник является ромбом» следует
свойство Q «Диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны», но обратное неверно, то наличие у
четырехугольника свойства Q не является признаком наличия у
него свойства Р.
Несмотря на столь важную роль понятия обратной
теоремы в математике, это понятие не является в
математическом смысле слова точно определенным: человек,
который может построить для данной теоремы обратную
(или осознать два предложения как взаимнообратные),
действует в значительной степени «интуитивно», т. е. не
на основе точного определения, а с помощью
приблизительного определения и неформализованного «собственного
опыта». Задача данной работы — дать этому понятию
точное определение. Это определение, с одной стороны,
должно моделировать, или имитировать —
в смысле А. Тьюринга — человека, практически
владеющего навыком построения обратной теоремы (т. е. навыком
обращения теорем); с другой стороны, оно должно
выявлять логические и языковые механизмы, лежащие
в основе обращения. Естественно, что точное определение
должно дать возможность обучать человека понятию
обратной теоремы более эффективно, превратив процесс
обучения из интуитивного и стихийного в сознательный и
детерминированный.
Первым шагом будет уточнение самой постановки
задачи. А именно, сначала необходимо понять, с какими
объектами имеет дело понятие обратной теоремы, т. е. понять,
какого рода объектом является теорема вообще.
Уточним прежде всего соотношение между теоремой и
утверждением. Теоремой в математике обычно называется
верное, а точнее, доказуемое утверждение; действительно,
сказать, что данное утверждение является теоремой,—
все равно, что сказать, что оно, истинно (а при более
формальном подходе — доказуемо). Однако в задаче об
обратной теореме истинность утверждения вообще не играет
существенной роли. С одной стороны, когда для данного
утверждения строится обратное, заранее неизвестно,
будет ли полученное утверждение истинным. С другой
стороны, построить обратное можно и для утверждения,
которое само по себе ложно. По этой причине предпочтитель-
5

нее было бы говорить об обратных (да и об исходных!)
утверждениях, а не теоремах.
Поскольку, однако, указанное ограничение на
употребление слова «теорема» соблюдается непоследовательно (так,
нередко можно услышать, что та или иная теорема неверна,
что некоторая теорема еще не доказана, например, Великая
теорема Ферма, и т. д.), мы будем употреблять слова «тео-
•рема» и «утверждение» как синонимы и, в частности,
будем употреблять словосочетание «обратная теорема» в том
же смысле, что «обратное утверждение».
Теорема обычно предстает перед нами как
сформулированная в виде некоторого предложения на естественном
языке. Однако нельзя сказать, что теорема является
предложением, поскольку одна и та же теорема допускает
разные формулировки, т. е. очевидно, что есть разные
предложения, которые выражают одну и ту же теорему. Так,
во многих методических пособиях в связи с понятием
обратной теоремы школьнику предлагается дать для той
или иной известной ему теоремы другую формулировку —
например, сформулировать ее в виде условного
предложения. И действительно, скажем, предложение (1) Точка,
лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от его
сторон и отличное от него предложение (1.1) Если точка
лежит на биссектрисе угла, то она одинаково удалена от
его сторон выражают одну и ту же теорему — являются
разными формулировками одной и той же теоремы.
Таким образом, теорема — это, скорее, не предложение,
а смысл предложения; иначе можно сказать, что
теорема — это то общее, что имеется во всех различных ее
формулировках (или даже класс всех возможных
формулировок). Теорема выражается каждый раз некоторым
предложением, но может быть выражена с равным успехом
и другими предложениями — если они имеют тот же смысл,
т. е. если они синонимичны данному.
Перейдем теперь к понятию обратной теоремы. Здесь
следует обратить внимание на два обстоятельства. Первое
состоит в том, что одна и та же теорема может, вообще
говоря, иметь несколько разных обратных (этот факт,
отмечал И. С. Градштейн [1 ] и, далее, В. Г. Болтянский
[2], но в школьной практике обычно исходят из того, что
обратная теорема для каждой единственна). Например,
у теоремы (4) соответствующих ей обратных по крайней
мере две, ср. (4') и (4"):
6

(4) В двух равных кругах равные хорды одинаково удалены
от центра;
{А')В двух равных кругах хорды, одинаково удаленные
от центра, равны,
{А")Если в двух кругах равные хорды одинаково
удалены от центра, то круги равны.
Действительно, предложения (4') и (4") имеют разный
смысл, т. е. выражают разные теоремы. Таким образом,
говоря об обратной теореме, не следует, вообще говоря,
полагать, что это единственная теорема, обратная данной:
обращение теоремы может быть однозначным
и неоднозначным; соответственно обратная
теорема будет единственной обратной или одной из обратных.
Второе обстоятельство еще более существенно. Мы уже
согласились, что исходная теорема — это некоторый класс
синонимичных друг другу предложений, а обратная
теорема (или каждая из обратных, если обращение
неоднозначно) — это другой класё предложений, тоже
синонимичных между собой. Например, исходная теорема может
быть выражена предложениями (1), (1.1) и т. д., а
обратная теорема выражается предложением (Г), а также (Г.1)
Точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на его
биссектрисе, (Г.2) Всякая точка, которая равноудалена
от обеих сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.
И еще многими другими. Неверно было бы, однако,
полагать, что каждая теорема, обратная данной, всегда
соответствует целиком всему классу синонимичных предложений,
выражающих исходную теорему. Дело в том, что разные
предложения, синонимичные друг другу, т. е. имеющие
один и тот же смысл, могут отличаться друг от друга
какими-то деталями своего содержания, из-за которых
результат их обращения оказывается существенно
различным по смыслу. Так, предложения (5) и (6) оба
синонимичны предложению (4); это явно формулировки той же
самой теоремы:
(5) Если хорды двух равных кругов равны, то эти хорды
одинаково удалены от центра;
(6) Если два круга равны, то в них равные хорды одинаково
удалены от центра.
Однако предложения (5') и (6'), обратные
соответственно для (5) и (6), не синонимичны между собой и выражают
разные теоремы:
(5') В двух равных кругах хорды, одинаково удаленные от
центра, равны (=Если хорды двух равных кругов
7

одинаково удалены от центра, то эти хорды равны);
(6') Если в двух кругах равные хорды одинаково удалены
от центра, то круги равны.
При этом предложения (5) и (6), хотя они и
синонимичны предложению (4), в отличие от (4) обращаются, с
точностью до синонимии, однозначно. Таким образом, все
три синонимичных предложения (4), (5) и (6) ведут себя
при обращении по-разному.
В таком случае приходится констатировать, что термин
«обратная теорема» плохо отражает стоящее за ним
содержание. Реально, когда речь идет о построении теоремы,
обратной данной, имеется в виду, вообще говоря, не
теорема как таковая, а теорема в некоторой заданной ее
формулировке, т. е. теорема, выраженная в виде
определенного предложения. Таким образом, задача,
которая фактически имеется в виду, — это не задача об
обратной теореме, а задача об обратном
предложении: речь идет не о том, чтобы построить для данной
теоремы обратную ей теорему, а о том, чтобы построить
для данного предложения обратное ему предложение
(или несколько несинонимичных друг другу обратных
предложений, если таковые имеются) 2.
Если рассматривать теорему как класс всех
возможных ее формулировок, то теоремой, обратной данной
теореме, можно считать любую теорему, одна из
формулировок которой является обратной по отношению
к какой-либо из формулировок данной теоремы (рис. 1).
2 Более точно то же самое можно сказать так. Одно и то же
предложение всегда имеет много разных обратных: достаточно получить
одно обратное предложение, и тогда любое ему синонимичное будет
также обратным к исходному предложению. Так, каждое из
предложений (Г)> (!'•!)» 0'-2) является обратным для (1). В то же время не
все предложения, обратные данному, синонимичны между собой. Так,
предложения (4') и (4"), обратные предложению (4), не синонимичны
друг другу. Под задачей построения обратного предложения мы
имеем в виду следующее: для каждого предложения, все обратные
которому синонимичны друг другу, должно быть построено одно (по
крайней мере) из этих обратных. Для каждого предложения, все обратные
которому распадаются на несколько классов попарно синонимичных
друг другу предложений, должно быть построено по одному (по
крайней мере) обратному в каждом из этих классов. Для предложения (1),
таким образом, достаточно найти одно предложение: (Г) или (У Л) или
(Г.2) или еще какое-нибудь синонимичное им; для предложения (4)
необходимо найти по меньшей мере два предложения: (4')— или
любое ему синонимичное — и (4")— или любое ему синонимичное,
8

Рис. 1. Множество всех
формулировок теоремы Т
может быть
сгруппировано в несколько классов
(быть может,
пересекающихся), таких, что
каждому классу tt
соответствует некоторый класс P(tt)
синонимичных друг
другу обратных предложений.
Каждый из классов Р (tj)
задает некоторое
утверждение и может считаться
одной из обратных теорем
для теоремы Т. Например,
предложение (4) входит в
пересечение классов t± и
t2\ предложение (5) —
скажем, в область tx\t2\
предложение (6) — в область
Понятие обратной теоремы представляется, однако,
производным от понятия обратного предложения.
Действительно, для того чтобы получить теорему, обратную
данной теореме (в данной ее формулировке), достаточно
перечислить все возможные формулировки, синонимичные
данной, и для каждой из них построить обратное предложение.
Однако правило перечисления всех возможных
синонимичных друг другу предложений само по себе достаточно
сложно и составляет отдельную задачу.
В дальнейшем мы иногда пользуемся — в особенности
при изложении существующих воззрений — наряду с
более точным термином «обратное предложение»
традиционным термином «обратная теорема». Таким образом, мы
употребляем термин «обратная теорема» в значении
«предложение, обратное данной теореме в данной ее
формулировке», т. е. сохраняем проведенное разграничение между
обратной теоремой и обратным предложением только на
уровне понимания, не проводя его последовательно на
уровне терминологии.
Умение строить для данного предложения обратное
(и осознавать два предложения как взаимнообратные),
вообще говоря, не входит в круг собственно
математических знаний человека. Оно принадлежит к тому же классу,
что, скажем, умение сформулировать утверждение, которое
9

является отрицанием данного (что требуется, в частности»
при доказательстве данного утверждения от противного),
умение сформулировать для данного общего утверждения
противоречащий пример (что требуется, в частности, для
опровержения этого общего утверждения), умение обобщить
утверждение (распространить на более широкий класс
объектов или свойств) или, наоборот, конкретизировать
его и т. д. Иными словами, умение построить обратное
предложение относится не к математическим способностям
человека, а, скорее, к логическим или даже к языковым —
семантическим: все, что требуется человеку для
преобразования данного предложения в обратное,— это
понимание существа операции обращения и владение смыслом
определенного круга слов и синтаксических конструкций.
Тем самым моделирование такого рода способностей
человека — это задача из области, пограничной между искус*
ственным интеллектом (ср. другие задачи моделирования
логических способностей человека — машинное доказа*
тельство теорем, поиск следствий из данных посылок и др.)
и собственно лингвистической семантикой (ср.
задачу.описания смысла слов типа наоборот, обратно, обратное
в [6] или слов типа следовательно, поэтому).
В настоящее время границы между логикой и
семантикой частично стираются, поскольку семантический анализ
в современной лингвистике при достаточной его глубине
в какой-то мере включает в себя логический анализ как
составную часть (ср. [7], [8]). Таким образом, понятие
обратного предложения и формальное описание
соотношения между данным предложением и соответствующим
обратным представляет интерес не только для математики
и логики, но и для лингвистики.
Современная лингвистическая семантика занимается
преимущественно синонимическими отношениями между
предложениями. Ясно, однако, что в компетенцию
семантики входят и несинонимические соотношения. В частности,
представляют интерес соотношения, которые не являются
синонимией, но являются логической эквивалентностью
(это соотношения между предложениями, описывающими
«одно и то же положение вещей»). К их числу относится
и соотношение по закону контрапозиции 3. А для преоб-
3 Утверждения, связанные по закону контрапозиции, традицион--
'но не считаются синонимическими, что закреплено терминологически:
одно считается прямой теоремой, а другое — теоремой,
противоположной обратной, см. выше.
10

разования предложения в соответствии с законом контра-
позиции обращение предложения с импликацией является
естественным субъективно ощущаемым «компонентом» —
недаром контрапозитивное утверждение в школьной
математике называется «противоположным обратному».
■ Замечание. Не следует думать, что использование
закона контрапозиции — это исключительная прерогатива
математического языка. Осознание контрапозитивного
соотношения предложений возможно в любом научном тексте.
Возьмем отрывок из лингвистической статьи: «Ложность
презумпции влечет семантическую аномальность
предложения. Или иначе: истинность презумпции является
необходимым условием семантической нормальности
предложения». Здесь два предложения осознаны говорящим как
описывающие одну и ту же ситуацию, причем первое
предложение имеет смысловую структуру 'Если не А, то не В',
а второе — 'Если В, то А' (где смысл А = 'Презумпция
истинна', а смысл В = 'Предложение семантически
нормально') 4, так что первое предложение — это контрапо-
зиция второго.
Другой пример — из учебника физики. В разделе,
посвященном расширению тел при нагревании, говорится:
«Разные вещества требуют для нагревания до одинаковой
температуры разные количества теплоты». А следующее
предложение, которое является контрапозицией первого,
поясняет: «Разные вещества от получения одинаковых
количеств теплоты нагреваются до разных температур».
Заметим, правда, что в тексте второе предложение имеет
вводное слово обратно, т. е. автор ошибочно считает его
обратным первому, а не противоположным обратному.
Наконец, в повседневной речи сколько угодно примеров,
подтверждающих осознаваемое говорящими^ родство
предложений, связанных по закону контрапозиции; их
можно найти среди вариантных и эквивалентных пословиц
и поговорок. Так, в примере (7) предложение (а) — это
контрапозиция (б); аналогично в примерах (8)—(9), где
французская поговорка обычно считается точным
эквивалентом русской:
(7) а. Кто не ревнует, тот не любит;
б. Кто любит, тот ревнует.
(8) а. Не разгрызть ореха — не съесть и ядра;
4 Здесь и далее одинарные кавычки используются для перехода
от языкового выражения к его смыслу,
П

б. И faut casser le noyau pour avoir Tamande, букв.
«Чтобы съесть ядро, надо разбить орех».
(9) а. Не посеешь — не пожнешь;
б. II faut semer pour recueillir, букв. «Чтобы собрать
урожай, надо посеять».
(10) а. Не подмажешь — не поедешь;
б. Pour bien charrier il faut bien graisser, букв.
«Чтобы хорошо поехать, надо хорошо подмазать», ■
Итак, задача, которая должна быть решена,— это
задача моделирования соотношения математического
предложения с соответствующим ему обратным. Это соотношение
описывается с помощью точно охарактеризованного
преобразования, позволяющего получить из исходного
предложения его обратное или несколько обратных, не
синонимичных друг другу.
Моделирование естественно считать тем более успешным,
чем точнее формальное понятие будет соответствовать
традиции практического использования термина «обратная
теорема». Это соответствие не может, однако, быть абсолютно
полным, поскольку практическое использование термина
«обратная теорема», как и всякого термина, не имеющего вполне
точного определения, непоследовательно. Например, не
исключено, что предложения (11) В равностороннем
треугольнике каждая медиана является высотой и (1Г) В
равностороннем треугольнике каждая высота является
медианой кем-нибудь будут названы взаимнообратными. Вза-
имнообратными могут быть названы также (12) и (12'):
(12) Кривая короче ломаной; (12') Ломаная короче кривой;
например, можно сказать: «Не (12), а, наоборот, (12')».
Эти употребления, однако, не соответствуют
терминологическому — более узкому по сравнению с обычным
языком — употреблению слова «обратный» в математике, и их
нет смысла отражать ваточном определении.
Заметим, что вовсе не всякая теорема имеет обратную,
вопреки тому, что обычно утверждается, см. [4], [1 ],
видимо, в педагогических целях, «для простоты». Не имеют
обратных, например, следующие теоремы: Существуют
параллельные прямые; Простых чисел бесконечно много;
Целое число тогда и только тогда делится на 6, когда оно
делится на 2и на 3 (примеры из [9]). Формальное определение
• должно не только задавать для предложения обратное, но и
указывать условие, при котором у данного предложения
нет обратного.
to

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ОБРАТНОЙ ТЕОРЕМЫ
Приводимые в учебниках инструкции относительно
преобразования прямой теоремы в обратную весьма
несовершенны, т. е. если воспринимать их буквально, не только
не формальны (не алгоритмичны), но и просто непонятны.
Так, в «Геометрии» А. П. Киселева [4, § 30] говорится:
«Теоремой, обратной данной теореме, называется такая,
в которой условием поставлено заключение (или часть
заключения), а заключением — условие (или часть
условия)». Если учитывать оговорку в скобках, то эту фразу
вообще нельзя применить для практического перевода
исходной теоремы в обратную, поскольку неясно, что это
за часть, которая может быть выкинута из заключения,
что с ней делать, как поступить с остатком, который,
возможно, не образует связного предложения, и т. д. Если же
на эту оговорку не обращать внимания 5 и принять, что
условие теоремы — это та часть ее содержания, которая
выражена условным придаточным, а заключение — это
то, что выражено главным предложением, то правило
преобразования теорем в обратные становится понятным,
но оно дает возможность получить лишь очень малую
часть обратных теорем, которые в самой «Геометрии»
А. П. Киселева считаются таковыми; так, пара
предложений, которая приводится в качестве примера,
иллюстрирующего Определение (это пример (8) ниже), в
действительности не удовлетворяет определению.
К числу взаимообратных теорем, которые соответствуют
этому правилу, относится следующая пара:
(1) «Теорема. Если четырехугольник — параллелограмм, то
его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.
Обратно: Если в четырехугольнике диагонали точкой
их пересечения делятся пополам, то данный
четырехугольник— параллелограмм» [4, § 90].
Здесь для получения обратной теоремы из исходной,
кроме перестановки главного предложения на место
условного придаточного и наоборот, нужно только перерас-
6 Что обычно и делается» Так, И. С. Градштейн [1, с. 27],
ссылаясь на А. П. Киселева, пишет: «Читатель, наверное,-*,помнит, что
теоремой* обратной данной, называется такая теорема, условием которой
служит заключение данной теоремы, а заключением — условие данной
теоремы».
13

пределить местоимения (которые, если их не трогать,
оказались бы впереди тех слов, которые они замещают). Это
«поверхностное» преобразование, столь естественное, что
его можно не принимать во внимание. Таким образом,
можно сказать, что в данном случае для получения
обратной теоремы достаточно произвести обращение его
синтаксической структуры, т. е. синтаксическое
обращение6.
Обычно же переход от исходного предложения к
обратному требует гораздо более сложных операций.
1. У предложения в его данной синтаксической форме
могут быть вообще не выявлены те посылка и заключение,
которые при обращении меняются местами. Ср.
предложения типа
(2) а. Вертикальные углы равны между собой;
б. Диагонали равнобочной трапеции конгруэнтны;
в. Четырехугольник, в котором диагонали точкой их
пересечения делятся пополам, является
параллелограммом;
г. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ее
пополам.
Для этого случая в [4, § 30] дается уточнение:
«Полезно заметить, что всякую теорему7 можно подробно
выразить словами так, что ее условие будет начинаться
словом если, а заключение — словом то». Иначе говоря,
для предложений (2а)—(2г) обратные (З'а)—(З'г) следует,
по А. П. Киселеву, получать с помощью синтаксического
обращения не самих предложений (2а)—(2г), а
синонимичных им (За)—(Зг):
(3) а. Если углы вертикальные, то они равны;
б. Если трапеция равнобочная, то ее диагонали
конгруэнтны;
в. Если диагонали четырехугольника точкой их
пересечения делятся пополам, то он параллелограмм;
6 В примере (1) обратное предложение отличается от исходного
также некоторыми другими деталями своего построения: в исходном
предложении сказано: диагонали четырехугольника и диагонали,
пересекаясь, делятся пополам, а в обратном — в четырехугольнике
диагонали и диагонали точкой их пересечения делятся пополам. Эти отличия,
однако, не необходимы для перевода предложения в
обратное: предложение Если диагонали четырехугольника, пересекаясь,
делятся пополам, то данный четырехугольник — параллелограмм не
приведено в качестве обратного, видимо, только из стилистических
соображений.
2 О том, что не всякую, см. в § 1.
14

г. Если диаметр перпендикулярен к хорде, то он
делит ее пополам.
(3') а. Если углы равны, то они вертикальные (ложно) 8;
б. Если диагонали трапеции конгруэнтны, то она
равнобочная;
в. Если четырехугольник — параллелограмм, то его
диагонали точкой их пересечения делятся пополам-,
г. Если диаметр делит хорду пополам, то он
перпендикулярен ей.
2. Включение в определение обратной теоремы
преобразований типа (2) => (3) делает определение операции
обращения существенным образом неформальным, т. е.
опирающимся на интуицию. Хуже, однако, то, что знание
синонимичного данному предложения с если ...то вовсе
не служит еще залогом успешного построения для него
обратного. Действительно, для теоремы, уже
сформулированной в виде условного предложения, синтаксическое
обращение далеко не всегда дает правильную обратную.
Так, для предложений (4) и (5) обратным будет не (4')
и (5'), а соответственно (4") и (5"):
(4) Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен
45°, то треугольник равнобедренный;
(4') Если треугольник равнобедренный, то в этом
прямоугольном треугольнике острый угол равен 45°;
(4") Если прямоугольный треугольник является
равнобедренным, то его острый угол равен 45°.
(5) Если некоторый угол А тупой, то угол В, смежный с ним,
острый;
(5') Если угол В, смежный с углом А, острый, то
некоторый угол А — тупой;
(5") Если угол В, смежный с некоторым углом А, острый,
то угол А тупой.
Действительно, предложения (4') и (5') не вполне
удовлетворительны с точки зрения синтаксических норм
русского языка: в (4') «не на месте» стоит определение
прямоугольный — оно должно находиться при первом
упоминании о треугольнике в этом предложении, т. е. входить в
состав придаточного предложения, а не главного; в (5')
также не на месте стоит слово некоторый — предложение
(5') из-за этого вообще находится на грани непонятности.
К др угому типу относятся примеры (6) и (7):
8 Для ориентировки при обращенном предложении иногда
приводится его истинностное значение: истинно/ложно.
15

(6) Если две стороны четырехугольника конгруэнтны и па-
раллельны, то четырехугольник — параллелограмм;
(6)' Если четырехугольник — параллелограмм, mv две
его стороны к нгруэнтны и параллельны,
(6") Если четырехугольник — параллелограмм, то н е -
которые две его стороны конгруэнтны и
параллельны.
(7) Если треугольник равносторонний, то у него медиана
одновременно является высотой;
(7') Если у треугольника медиана одновременно
является высотой, то он равносторонний;
(7") Если у треугольника всякая медиана
одновременно является высотой, то он равносторонний.
Предложения (6') и (7'), полученные синтаксическим
обращением (6) и (7), сами по себе правильно построены, и
по смыслу их, вообще говоря, можно признать обратными
для (6) и (7). Однако это будет не вполне удовлетворительное
обращение. Дело в том, что (6') и (7') оба существенным
образом неоднозначны, и обратными для (б) и (7) они
являются лишь в одном из своих пониманий 9. Поэтому
предпочтительными обратными следует считать (6") и (7"),
которые однозначно выражают именно это понимание.
Наконец представляет интерес еще предложение (8)
см. [4, §30]. Для него предложение (8'), полученное
синтаксическим обращением, вообще говоря, является
правильным обратным; однако наряду с ним обратным будет также
. и (8"), существенно отличное по структуре от (8'):
(8) Если центральные углы равны, то и соответствующие
им дуги равны;
(87) Если дуги, соответствующие центральным углам,
равны, то и углы равны; '
(8") Если дуги равны, то и соответствующие им
центральные углы равны.
Разнообразие примеров, не охватываемых
синтаксическим обращением, показывает, что это бедное понятие,
не позволяющее усвоить смысл операций,' происходящих
при обращении.
3. В книге И..С. Градштейна [1, с. 33] дается следующее
уточнение содержательного смысла преобразования,
осуществляемого при переходе от данной теоремы к обратной*:
«Обратную теорему мы можем строить двояким образом:
9 Другое понимание для (6'): ...всякие две его стороны кон-
груэнтны и параллельны, другое понимание для (7'): если у
треугольника какая-н ибу дь медиана одновременно является высотой..,
16

или взять в качестве заключения в обратной теореме все
условия, накладываемые на объект в прямой теореме, а
условием обратной теоремы сделать только одно
заключение прямой, или взять в качестве заключения обратной
теоремы только часть условий, накладываемых на объект
в прямой теореме, а остальную часть условий прямой
теоремы вместе с ее заключением сделать условием обратной
теоремы».
Иначе это правило можно выразить так. Каждое
предложение имеет, помимо синтаксической,
логико-семантическую структуру. Если представить
логико-семантическую структуру исходного предложения в виде
«ь •••> ап-+ Р
(где аъ ..., ап — «атомарные» условия, налагаемые на
объекты), то обратным для него будет предложение, в
котором любое одно или несколько условий at поменялось
местами с заключением. Например, обратное предложение
может иметь логико-семантическую структуру:
Р, а2, ..., an-^ai или
Р, аЛ->(*!, ..., -ап-г или
Р, аь а2->а3, ..., ап и т. д. .
В частности, в предложении (4), если его правильно
проанализировать, наложено не одно условие на
рассматриваемые в нем объекты, а три: треугольник должен быть
прямоугольный (ах); угол треугольника должен быть
острый (а2); этот угол должен быть равен 45° (а3), т. е.
утверждение (4) имеет структуру:
«1, а2> а8-* р.
Из трех условий аъ а2, а3 при переходе от (4) к (4")
подвергается обмену на заключение только одно — а3,
т. е. обращенное предложение (4") имеет
логико-семантическую структуру: ш
Р, аъ a2->a3,
причем в реальном обращенном предложении р и ах
находятся в составе придаточного предложения (т. е. после если),
а а2 и а3 — в составе главного (т. е. после то).
Стоит обратить внимание еще на пример (8), который
тоже показывает свободную связь между синтаксической
структурой предложения й его логико-семантической
структурой: предложения (8') и (8") синонимичны друг другу,
но в (8') условие о соответствии между дугами и углами
находится в придаточном предложении, а в (8") — в главном.
Обычное определение обратной теоремы, фактически
сводящееся к синтаксическому обращению, основано, по-
2 Серчия «Математика*» № 2
17

видимому, на несформулированной предпосылке о
взаимнооднозначном соответствии между логическим условием и
заключением и синтаксическими компонентами условного
предложения. Однако эта предпосылка неверна: условие и
заключение, которые подвергаются перестановке при
обращении теоремы, — это, в общем случае, компоненты не
синтаксической, а логико-семантической структуры
предложения, и их нельзя отождествлять с компонентами
синтаксической структуры предложения/
А в таком случае для обращения недостаточно знания
синтаксической структуры предложения — необходим
логико-семантический анализ исходного предложения,
который выделял бы в предложении объекты, о которых идет
речь, условия, наложенные на объекты, и заключение об
объектах, причем ни один из компонентов, выделенных при
этом анализе, не обязан совпадать с синтаксическим
членением предложения 10.
Заметим, что, кроме тех задач логико-семантического
анализа предложения, на которые указывает И. С. Град-
штейн — выделение объектов, о которых идет речь, и
расчленение утверждения на элементарные, —
логико-семантический анализ предложения должен решить еще одну не
менее важную задачу — выявить кванторы, общности или
существования, которыми связаны переменные.
Многие утверждения в школьной геометрии
формулируются без уточнения кванторов, а при доказательствах и
вообще при логическом анализе предложения кванторы
подставляются в него таким образом, чтобы предложение
было истинным и осмысленным. Между тем кванторы
несут существенную логическую информацию. В частности,
различение кванторов общности и существования играет
существенную роль при обращении предложения. Возьмем,
например, предложение: «Если медиана равна половине
10 Представление о взаимно-однозначном соответствии между
синтаксическими компонентами предложения и структурой выражаемого
им утверждения (и вытекающее отсюда представление о достаточности
синтаксического обращения) широко распространено. Например, в [5]
говорится: «Если теорема высказана в форме условного предложения,
то первая ее часть (после слова если до слова то) выражает условие
теоремы, а вторая часть (после слова то) — заключение теоремы.
Если теорема сформулирована в виде условного предложения, то для нее
можно сформулировать обратное предложение; для этого условие и
заключение данной теоремы следует поменять местами. Полученные
при этом предложения называют взаимно-обратными».
18

стороны, к которой она проведена, то треугольник
прямоугольный» [4, с. 59]. Если понимать медиана как 'всякая
медиана*, то обратное предложение «Если треугольник
прямоугольный, то всякая его медиана равна половине
стороны, к которой она проведена», будет ложным; если же
медиана понимается как 'некоторая медиана*, то обратное
предложение истинно. Необходимость внимания к
кванторам при обращении фактически была продемонстрирована
и раньше — на примерах (6), (7).
4. Имеется компонент содержания предложения, явно
учитываемый человеком при интуитивно естественном
обращении, который, однако, не может быть отражен в его
логико-семантической структуре. Так, при
логико-семантическом анализе, который предлагает И. С. Градштейн,
предложение (12) имеет два обратных, и совершенно те же
обратные приписываются предложениям (10) и (11),
поскольку они синонимичны (12). Между тем ясно, что (12)
действительно обращается неоднозначно, а предложения
(10) и (11) имеют каждое по одному естественному
обратному (здесь и далее предложение, обратное для
предложения s, обозначается R (s)):
(10) Если отрезок является медианой равностороннего
треугольника, то он является его высотой;
R (10): Если отрезок является высотой
равностороннего треугольника, то он является его медианой.
(11) Если треугольник равносторонний, то всякий отрезок,
являющийся его медианой, является его высотой;
R (11): Если всякий отрезок, являющийся медианой
треугольника, является его высотой, то этот
треугольник равносторонний,
(12) Отрезок, являющийся медианой равностороннего
треугольника, является его высотой;
RX(12) = R(10); Да(12) = Я(11).
- Дело в том, что хотя предложение (12) синонимично (11)
(10) и, следовательно, имеет с ними одну и ту же логико-
семантическую структуру, оно обладает следующим
структурным отличием: в нем два условия — о том, что
треугольник равносторонний, и о том, что отрезок является
медианой треугольника, — равноправны, в то время как
в предложениях (10) и (11) эти два условия обладают как
бы разной акцентированностью. При
обращении акцентированное условие обязательно подвергается
переносу в заключение — в (10) это условие о том, что от-
2*
19

резок — медиана; в (11) —что треугольник
равносторонний. А то условие, которое лишено акцента, остается на
месте. Различная акцентированность условий не может быть
отражена в логико-семантической структуре предложения,
поскольку информация об акцентах — это не логическая
и не семантическая, а своего рода прагматическая
информация. Между тем эту информацию естественно
принимать во внимание при переходе от данного предложения
к обратному. Как легко видеть, именно различия в этом
компоненте содержания предложения были причиной
неодинакового обращения синонимичных предложений (4),
(5) и (6) из § 1.
Приведем еще один пример. Предложения (13) и (14)
имеют по одному обратному, а синонимичное им
предложение (15) обращается неоднозначно:
(13) Если угол смежен с некоторым тупым, то он острый;
R (13): Если угол острый, то он смежен с некоторым
тупым.
(14) Если данный угол — тупой, то угол, смежный с ним,
острый]
R (14): Если угол, смежный с данным, острый, то
данный угол тупой.
(15) Угол, смежный с тупым, является острым;
/?1(1б) = /?(13); ДЯ(15) = Я(14).
Если акцентировать (15) как (13), то R (15) = R (13),
а если как (14), то R (15) =R (14).
Вопрос о неравноценности условий в составе те'оремы
рассматривается в двух интересных статьях В. Г.
Болтянского [2], [3], который выделяет в структуре теоремы,
помимо условия и заключения, еще один компонент,
называемый им разъяснительной частью теоремы:
«Разъяснительная часть описывает те обстоятельства, которые
должны иметь место, чтобы можно было сформулировать
теорему». «Для получения обратной теоремы нужно сохранить
ту же разъяснительную часть, а условие и заключение
поменять местами». (Так, в структуре предложения (10)
утверждение о том, что треугольник — равносторонний,
входит не в условие, а в разъяснительную часть, и потому при
обращении не подвергается переносу в заключение, а
остается на прежнем месте.) Статьи В. Г. Болтянского
вообще ближе всего подходят к формальному определению
понятия обратного предложения, и мы еще вернемся к ним
в дальнейшем.
20

Теперь можно точно сформулировать все проблемы, из
решения которых складывается определение обратной
теоремы.
1. Необходимо задать способ представления
результатов логико-семантического анализа
предложения, т. е. язык логико-семантических структур.
Логико-семантическая структура должна не только выделять
все элементарные компоненты утверждения, но и указывать
логические связи между компонентами. Кроме того,
она должна в явном виде указывать кванторы, которыми
связаны переменные.
2. Необходимо задать способ представления
прагматической информации в предложении —
информации о неравной акцентированности разных
элементарных утверждений в его составе.
1 3. Необходимо сформулировать само правило
обращения — правило, которое применяется, скорее
всего, к логико-прагматической структуре предложения (т. е.
такой структуре, которая содержит и
логико-семантическую и прагматическую информацию) и переводит ее в
логико-прагматическую структуру обратного предложения.
4. Необходимы алгоритмические
процедуры, сопоставляющие: (а) исходному предложению
соответствующую ему логико-прагматическую структуру
(или несколько разных, если предложение неоднозначно);
(б) обращенной структуре — по крайней мере одно
соответствующее ей предложение. Даже в тех работах, где
осознана отдельность логической структуры от предложения,
как в [1 ] и [2], вопрос о том, как эта структура
выявляется из предложения, обычно не ставится.
Дальше в §§3, 4, 5 и 6 мы дадим достаточно полные
ответы на вопросы 1—3. Что касается вопроса 4, то на него
исчерпывающего ответа в рамках данной работы дать
невозможно: алгоритмические процедуры логического анализа
в том виде, в каком они существуют сейчас, громоздки и не
окончательны. Приблизительные контуры этих процедур
описываются в § 4.
2*
т

§ 3. ЛОГИКО-СЕМАНТИЧЕСКАЯ
- СТРУКТУРА ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Логический язык
Нет необходимости производить особый логический
анализ математического предложения, специально
предназначенный для определения обратной теоремы:
адекватным логико-семантическим анализом предложения является
его перевод на обычный язык логики предикатов. Мы
возьмем за основу вариант узкого прикладного многосортного
исчисления предикатов, так называемый информационно-
логический язык (ИЛЯ) НО], который был разработан в
1961 г. в ВИНИТИ АН СССР и имеет целью глубокую
логическую переработку информации — доказательство
теорем, вывод следствий и пр.
ИЛЯ ориентирован — с точки зрения его «лексики» —
на элементарную геометрию и арифметику, хотя в принципе
может быть использован и в других областях науки.
ИЛЯ полностью определяется своим словарем (набором
элементарных знаков) и синтаксисом (правилами
образования формул).
I. Словарь ИЛЯ состоит из следующих частей:
1. Константы; к ним относятся: 0, 1 и другие числа;
d> 45° и т. д.
2. Предметные области переменных; сюда входят:
треугольник, прямая, окружность и т. д. (при записи
применяются естественные сокращения — тр/с, пр, окр)\ в число
предметных областей входит «универсальная» предметная
область — предмет.
3. Предикаты; сюда входят: ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ,
РАВЕН, ПЕРЕСЕКАЕТ, ЯВЛЯЕТСЯ ТРЕУГОЛЬНИКОМ,
ЯВЛЯЕТСЯ ДИАМЕТРОМ, ЛЕЖИТ МЕЖДУ и т. д.
4. Знаки логических операций; это логические связки
(сентенциональные) — & (конъюнкция, «и»), V
(дизъюнкция, «или»), ->- (импликация), = (эквивалентность), ~~|
(отрицание); квантор общности v и существования а; термовая
конъюнкция % — оператор образования множества
перечислением его элементов.
5. Индексы (латинские и греческие буквы).
6. Знаки сравнения: =, >, <, 3^, <.
7. Вспомогательные знаки —( ),
IL Синтаксис ИЛЯ включает правила образования
термов и формул.
22

1. Правила образования термов:
а) если X — предметная область, а а — индекс, то
Ха — переменная; вместо «предмета» можно
писать просто а;
б) если хъ ..., хп — переменные или константы, то
% (хъ ..., хп) — множественный терм
(обозначает множество, состоящее из элементов хъ ..., хп);
в) если х — переменная, константа или
множественный терм, то л: — терм.
2. Правила образования формул:
а) если Р — предикат отпаргументов, а хъ ..., хп —
термы, то Р (хъ ..., хп) — формула;
б) если А и В — формулы, а V — связка &, V, ->•
или =, то (А V В) - формула;
в) если А — формула, то ~~]А — формула;
г) если А — формула, х — переменная, у[ —
квантор, то }j л; А — формула;
д) если N — число, [> — знак сравнения, х —
переменная, А — формула, to3>n#A — формула.
3. Замкнутой называется такая формула, в
которой каждая переменная связана квантором, притом
только одним.
Логико-семантическая структура предложения должна
быть замкнутой формулой ИЛЯ. Например, формула
. V тчкА \тчкв (ОТЛИЧЕН (тчкА, тчкв) -> 3=гпра
(ПРОХОДИТ (лра> тчкА) & ПРОХОДИТ (прЛ9 тчкъ)))
является логико-семантической структурой предложения
(1) Через всякие две различные точки проходит ровно одна
прямая.
Каждой формуле соответствует дерево: стрелки
выражают отношение подчинения между оператором (т. е.
предикатом, квантором, связкой) и его аргументами; номер
при стрелке соответствует номеру аргумента. Например,
формула предложения (1) имеет дерево, показанное на
рис. 2.
На лексику ИЛЯ (а именно, на предметные области и
предикаты) не накладывается требование минимальности,
т. е. лексика не ограничена тем или иным набором
элементарных понятий (хотя известно, что в геометрии, скажем,
все понятия могут быть выражены через сравнительно
небольшое число исходных). Предметные области и
предикаты ИЛЯ находятся в предельно простом соотношении со
словами естественного языка: всякое значимое слово
естественного языка может быть словом логического языка,
23

точка»
N
•очка .
Рис. 2. Дерево формулы предложения (1)
если только оно имеет точный смысл. Например, ромб —
самостоятельное слово ИЛ Я, хотя понятие «ромб» может
быть выражено через понятие «параллелограмм» и
«равенство сторон»; аналогично катет не требуется для
представления на ИЛЯ сводить к понятиям «сторона» и «прямоуголь-
ный треугольник». С другой стороны, сочетанию выпуклый
многоугольник соответствуют два слова — многоугольник
(предметная область) и ВЫПУКЛЫЙ (одноместный
предикат), поскольку в естественном языке нет единого слова
«выпукломногоугольник». Разумеется, при этом сочетание
средняя линия не разлагается на линия + средняя — так,
как выпуклый многоугольник на многоугольник + выпуклый,—
поскольку средняя линия — это математический
фразеологизм; .аналогично, внешний угол <многоугольника> не
разлагается на угол + внешний.
24

Элементы логического анализа
Формула ИЛЯ отражает следующие логические и
семантические противопоставления в предложениях
естественного языка.
I. В формуле ИЛЯ каждому ее предикату соответствует
отдельная атомарная формула, которая
является аналогом элементарного утверждения. Формула ИЛЯ
показывает, как сложное утверждение разлагается на
элементарные утверждения и каковы логические связи эле-
ментарных утверждений друг с другом.
Средством выражения связей между элементарными
утверждениями в естественном языке являются союзы,
соответствующие логическим связкам. Кроме того, в
естественном языке широко используются определительные связи,
которые интерпретируются в зависимости от того, каким
квантором связана переменная: если квантором V, то
определительной связи соответствует ->; если з, то &.
Например, предложению Всякий равносторонний
треугольник является равноугольным соответствует формула ИЛЯ
V трка (РАВНСТ (mptcj -> РАВНУГ (трка)),
а предложению Некоторый прямоугольный треугольник
является равнобедренным — формула
3 трка (ПРЯМУГ (трка) & РАВНБЕДР (mpicj).
В естественном языке связи между элементарными
утверждениями иногда выражаются неоднозначно. Как,
например, понимается предложение (2) Диагонали ромба,
пересекаясь, делятся пополам: «пересекаются и делятся
пополам» или «если пересекаются, то делятся пополам»?
Среди различных способов выражения в естественном
языке той или иной логической информации могут быть
выделены стандартные: в принципе каждое
предложение может быть подвергнуто стандартизации, после
которой логико-семантическая информация становится
выраженной однозначно. Например, для предложения (2)
стандартизованный вариант — предложение Диагонали
ромба пересекаются в некоторой точке, которая делит их
пополам.
II. Атомарная формула состоит из предиката и его
аргументов. Набор аргументов у каждого предиката
постоянный (т. е. один и тот же во всех правильных формулах ИЛЯ)
и определяется смыслом предиката: он соответствует как
бы набору участников ситуации, описываемой данным пре-
25

дикатом. Так, слово симметричный в предложениях (За)
Фигуры А и В симметричны <друг другу относительно
некоторой оси симметрии> и (36) Фигура А симметрична
«Соотносительно некоторой своей оси симметрии> имеет
разный смысл, поскольку в (За) описывается ситуация с
двумя участниками, а в (36) — с одним. Для представления
структуры этих предложений будут использованы два
разных предиката, которые (оба) передают идею
симметричности, но различаются числом аргументов.
В естественном языке предикату соответствует глагол,
прилагательное или существительное (ср. предикаты
ПЕРЕСЕКАЕТ, РАВЕН, ЯВЛЯЕТСЯ ДИАМЕТРОМ). В
простейшем случае предикату соответствует глагол в форме
сказуемого, а аргументам предиката — слова, подчиненные
сказуемому: подлежащее (1-й аргумент) и дополнения
(прочие аргументы). Однако соответствие между аргументами
предиката и синтаксическими подчиненными слова вовсе
не всегда бывает таким явным и полным. Например, в
предложении (4) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ее
пополам слова диаметр и хорда соответствуют двуместным
предикатам ЯВЛЯЕТСЯ ДИАМЕТРОМ (*, у) и
ЯВЛЯЕТСЯ ХОРДОЙ (х, у), но не имеют в предложении
подчиненных им слов, которые бы соответствовали 2-му аргументу
этих предикатов — «диаметр чего?», «хорда чего?» (1-м
аргументом везде является переменная универсальной
предметной области предмет). В предложении (5) Точка А
лежит на перпендикуляре, проведенном через середину
отрезка у слова перпендикуляр нет подчиненного слова,
соответствующего 2-му аргументу предиката ЯВЛЯЕТСЯ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРОМ. При стандартизации (4) дает
предложение Диаметр окружности, перпендикулярный к хорде
этой окружности, делит ее пополам*, (5) дает предложение
Точка А лежит на перпендикуляре к отрезку, проведенном
через его середину.
III. Индексы в логической формуле позволяют
производить отождествление объектов. Например, индексы
позволяют эксплицитно выразить смысловое различие между
предложением (6) У некоторого четырехугольника две про-
тивоположные стороны конгруэнтны и параллельны и
предложением (7) У некоторого четырехугольника две
противоположные стороны конгруэнтны и две
противоположные стороны параллельны. Четырехугольник, о котором
идет речь в (6), обязательно параллелограмм, а
четырехугольник, описываемый в предложении (7), может быть и
26

параллелограммом и равнобочной трапецией и. В формуле
предложения (6) будет фигурировать одна пара индексов,
соответствующих сторонам четырехугольника; это означает,
что оба свойства (конгруэнтность и параллельность)
приписываются одной и той же паре сторон. А в формуле
предложения (7) будет две пары индексов; это значит, что,
может быть, одна пара сторон обладает одним свойством, а
другая — другим.
В естественном языке тождество объектов выражается
местоимениями этот, он, тот же самыйх который.
Использование индексов в логической формуле подобно
использованию букв для большей ясности в назывании объектов
в «естественном» языке математики, ср. Для любого числа
существует число, которое больше его и Для любого числа X
существует число У, которое больше числа X.
Индекс имеет в ИЛЯ и другую функцию — он
подчеркивает отличие термов от предикатов (о понятии терма
см. [11 ]). В естественном языке это различие нечеткое:
существительное может выполнять обе функции. Так, в
предложении (8а) Трапеция есть четырехугольник слово
трапеция называет предмет, а в (86) Фигура А — трапеция
слово трапеция выражает предикат:
(8) a. v трапеция^ ЯВЛЯЕТСЯ ЧТК {трапеция^}',
б. ЯВЛЯЕТСЯ ТРАПЕЦИЕЙ {фигураА).
IV. Важными компонентами логико-семантической
структуры предложения являются кванторы v и з.
При представлении логико-семантической структуры
предложения с помощью ИЛЯ квантор общности v
используется следующим образом.
1. Квантором общности связывается переменная,
которой соответствует в естественном языке именная группа
(именная группа — это существительное с зависящими от
него словами, сокращенно — ИГ) с эксплицитно
выраженной кванторной информацией, а именно, ИГ в составе
кванторного оборота {каков бы ни был х ..., для всякого х верно,
что ...)или ИГ с прилагательным всякий, каждый, любой.
2. Квантором общности связывается также переменная,
которой соответствует ИГ без кванторного слова — если
эта ИГ в своем контексте понимается в обобщающем
значении. Например, в предложении (9) Острый угол меньше
тупого переменная, соответствующая ИГ острый угол, бу-,
11 Мы следуем здесь терминологии А. П. Киселева [4, § 98], по
которой параллелограмм не является трапецией.
2Т

дет связана квантором общности, поскольку в
предложении (9) речь идет явно о всяком остром угле.
Понимание бескванторной ИГ в обобщающем значении
возникает у нее в следующих позициях:
а) Позиция подлежащего и обстоятельства в начале
независимого предложения, т. е. перед сказуемым12, а также
позиция в составе группы такого подлежащего или
обстоятельства, ср. (9) выше и (10) и (11) (квадратными
скобками выделены ИГ, о которых идет речь):
(10) В [равностороннем треугольнике] [медиана] является
высотой;
(11) [Медиана [равностороннего треугольника]] является
его высотой.
б) Позиция в составе условного придаточного
предложения и определительного оборота, ему эквивалентного:
(12) Если [прямая] перпендикулярна [отрезку], то она
перпендикулярна всякой прямой, которая ему параллельна;
(13) Через точку, лежащую вне [прямой], проходит един-
ственная прямая, параллельная данной.
Бескванторные ИГ не в начале предложения, т. е. после
сказуемого, не обязательно имеют обобщающее значение;
так, в (9) бескванторная ИГ тупого <Сугла> в позиции
после сказуемого имеет обобщающее значение, а в (14)
и (15) бескванторные ИГ ее диаметр и конгруэнтные
отрезки в такой же позиции понимаются соответственно как
Некоторый ее диаметр' и * некоторые конгруэнтные отрезки':
(14) Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на
ее диаметр;
(15) Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла,
отсекает от его сторон конгруэнтные отрезки.
Поэтому ИГ в позиции после сказуемого обычно имеет
кванторное слово:
(16) Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую,
меньше всякой наклонной, проведенной из этой
точки на эту прямую;
(17) Внешний угол треугольника больше всякого
внутреннего, не смежного с ним.
3. Квантором общности связывается также
переменная, соответствующая такой ИГ, которая обозначает
единичный объект:
12 Обязательным условием такого понимания является
«вневременный» характер сказуемого, ср. Утопающий хватается за соломинку
и Утопающий схватился за корягу; в математических текстах
сказуемое всегда вневременное,
28

а) Если ИГ образована с помощью предикатных слов
функционального типа — ЯВЛЯЕТСЯ БИССЕКТРИСОЙ,
ДЛИНОЙ, СУММОЙ и т. д., — то единственность объекта
вытекает из смысла предиката самого по себе (т. е. может
быть указана в словаре). Например, трехместный
предикат ЯВЛЯЕТСЯ СУММОЙ двум величинам (которые
обозначены 2-м и 3-м аргументом этого предиката) однозначно
сопоставляет третью величину, которая является
результатом их сложения (она обозначена 1-м аргументом);
двухместный предикат ЯВЛЯЕТСЯ БИССЕКТРИСОЙ
однозначно сопоставляет углу его биссектрису.
б) Если ИГ включает определительное придаточное,
то единственность обозначаемого объекта выражается
местоимением тот, например:
(18) Средняя линия треугольника конгруэнтна половине
той его стороны, которая ей параллельна.
в) Кроме того, единственность объекта может быть
никак не выражена, в частности, представлять
математический факт, как единственность диаметра в (19) и
единственность луча в (20):
(19) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ее
пополам-,
{20) Луч, равноудаленный от сторон угла, является его
биссектрисой.
Во всех этих случаях семантически более адекватным
был бы не квантор общности, а оператор дескрипции
1- оператор), служащий для образования имен
единичных объектов. Для некоторых целей различием между
V и 1 можно пренебречь. Поэтому ИЛЯ этого
противопоставления не отражает вообще. Однако для задачи об
обратной теореме различение подлинной всеобщности и
единичности существенно, так что в дальнейшем мы выделяем
среди прочих квантор общности, соответствующий ИГ тдпа
(а) — (в), тем, что ставим после него знак!, который
означает, что квантор действует в условиях презумпции
существования и единственности соответствующего объекта.
Противопоставление значений всеобщности и единичности
весьма слабо выражено в естественном языке, и алгоритмы
отличения v! от v возможны разве что для ограниченных
предметных теорий.
В отличие от квантора общности v квантор
существования з используется для представления структуры только
тех предложений, где он выражен явно — глаголами су-
29

щгствует, имеет и кванторньши прилагательными
некоторый, какой-нибудь, хоть один, один и тот же.
В предложениях естественного языка кванторная
информация может быть выражена неоднозначно. Так,
предложение (21) допускает два понимания, различающихся
тем, имеется ли в виду а) какая-нибудь одна пара
противоположных друг другу сторон или б) обе имеющиеся пары:
(21) Если четырехугольник параллелограмм, то его
противоположные стороны конгруэнтны и параллельны.
При понимании а) (21) синонимично (2Г), а при
понимании б) — (2Г):
(2 Г) Если четырехугольник параллелограмм, то некоторые
его противоположные стороны конгруэнтны и
параллельны,
(21") Если четырехугольник параллелограмм, то всякие его
противоположные стороны конгруэнтны и
параллельны.
Предложения, в которых значение существования не
выражено явно, а подразумевается, считаются
нестандартными. Стандартизация их состоит в добавлении кванторно-
го слова. Например, в (14) надо добавить на н е ко то -
рый ее диаметр; в (15) — некоторые конгруэнтные
отрезки.
V. Каждый квантор в формуле ИЛЯ имеет однозначно
определенную сферу действия, которая нагляднее
всего видна в дереве. Например , в дереве на рис. 2 сфера
действия у 1-го квантора v — поддерево, вершиной
которого является 2-й квантор v; У квантора з — поддерево,
вершиной которого является связка &. Способы
выражения в естественном языке информации о сфере действия
кванторов см. [7].
Единственность логико-семантической
структуры предложения
Разумеется, желательно, чтобы каждому предложению
естественного языка (однозначному) соответствовала
единственная формула ИЛЯ, которая и была бы его логико-
семантической структурой. Между тем некоторым
предложениям можно на первый взгляд сопоставить несколько
разных формул ИЛЯ, логически эквивалентных друг
другу, например:
(22) Никакой прямоугольный треугольник не является
равносторонним —
50

а. Пз трка (ПРЯМУГ (трка) &РАВНОСТ (трка));
б. V трка (ПРЯМУГ (трка) -> "1 РАВНОСТ (трка)).
(23) Угол, смежный с тупым, является острым —
а. щгА (ТУП (угА) -> уугв (СМЕЖ (угА, угв)-+
ОСТР (угв)));
б. ЧугАЧугв (СМЕЖ (угА, #гв) ->■ (ТУП (г/гА)-^
ОСТР (*/гв))).
Можно, однако, указать общие принципы, в силу
которых каждому предложению сопоставлятся ровно одна
формула как более естественная для данного предложения,
чем все остальные. В частности, предложению (22)
сопоставляется формула (226); предложению (23) — формула
(23а). В результате каждое однозначное предложение
получает единственную логико-семантическую структуру.
Формулы ИЛЯ объединяются в классы формул,
тождественных друг другу по смыслу, т. е. синонимичных:
синонимия формул ИЛЯ, естественно, возникает как отражение
синонимии тех предложений, которым они соответствуют.
Например, синонимичными являются формулы (24) и (25):
(24) v чсх ((ДЕЛИТСЯ (чсх, 2) & ДЕЛИТСЯ {чсх, 3)) -+
ДЕЛИТСЯ (чсх, 6); в переводе: «Если число делится
на 2 и на 3, то оно делится на 6»;
(25) \щсх (ДЕЛИТСЯ (чсх, 2) -> (ДЕЛИТСЯ (чсХУ 3)*-*
ДЕЛИТСЯ {чсх, 6))); в переводе: «Если число делится
на 2, то, если оно делится еще и на 3, то оно делится
на 6».
Синонимию формул ИЛЯ можно задать конечным
списком преобразований, переводящих синонимичные формулы
одна в другую (см. [7]). Естественно, что все синонимичные
формулы логически эквивалентны в исчислении
предикатов. Но обратное неверно — например, формулы,
связанные по закону контрапозиции, логически эквивалентны, но
не синонимичны: в противном случае теорема и ее контра-
позиция были бы одной и той же теоремой. Разумеется,
формулы (22а) и (226), (23а) и (236) синонимичны.
§ 4. ЛОГИКО-ПРАГМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Расширенный логический язык
Когда построен язык логико-семантических структур,
можно перейти к процедуре анализа, который
сопоставляет предложению его структуру. Для этого строится син-
31

таксическое расширение ИЛ Я, сокращенно — РЛЯ
(расширенный логический язцк). По сравнению с ИЛ Я
расширенный язык имеет более широкий словарь и более
разнообразный синтаксис: в РЛЯ входят все предложения
ИЛ Я, а также предложения, "которые получаются за счет
добавления в ИЛЯ новых синтаксических конструкций.
Добавляемые в ИЛЯ новые конструкции обладают
следующими двумя свойствами:
1) эти конструкции соответствуют конструкциям
естественного языка;
2) эти конструкции поддаются истолкованию — одни
через другие и в конечном счете через ИЛЯ, т. е. каждой
конструкции соответствует определение — пара
преобразований, позволяющая вводить и
элиминировать эту конструкцию, не меняя смысла предложения.
Если РЛЯ включает все синтаксические конструкции,
свойственные естественному языку, то набор точно
описанных преобразований элиминирования позволяет
сопоставить предложению естественного языка последовательность
его структур в РЛЯ такую, что началом в этой
последовательности является синтаксическая структура
предложения, а концом — формула ИЛЯ, причем каждый член
этой последовательности связан с предшествующим ему
членом некоторым преобразованием из заданного набора.
Тем самым РЛЯ может быть положен в основу процедуры,
позволяющей найти для каждого предложения (с
предварительно выявленной синтаксической структурой) его
структуру в ИЛЯ.
Каждое преобразование в РЛЯ отражает некоторое
синонимическое соотношение в естественном языке. Таким
образом, каждая из промежуточных структур в
последовательности РЛЯ-структур данного предложения является
синтаксической структурой какого-то другого
предложения13.
Перечислим основные синтаксические конструкции,
отличающие РЛЯ от ИЛЯ, вместе с преобразованиями,
которые являются правилами их введения.
I. Конструкция с ограниченным
квантором, т. е. с ограничительным условием на подкванторную
13 Разумеется, РЛЯ-структура — это довольно абстрактная
синтаксическая структура. Чтобы ее конкретизировать, следует,
например, расставить, как надо, местоимения, вставить некоторые
предлоги и т. п,
32

переменную. Общий вид преобразования I (сокращенно
обозначаемого ОГР. УСЛ):
а. V* (А (х) -> В (а:)) => v*<A (x)> В (а:);
б. зх (А (х) & В (*)) => зх <А (*)> В (х)
(ограничительные условия к подкванторным переменным
заключаются в угловые скобки и ставятся после
переменных).
Ограничительному условию соответствует в
естественном языке определительный оборот — прилагательное,
обособленное определение или определительное придаточное.
Например, формула
чтрка (РАВНСТ (трка) -* РАВНОУГ (трка)) (1)
применением преобразования I преобразуется в формулу
утрка < РАВНСТ (трка) > РАВНОУГ (трка). (1')
Формула (1) близка по конструкции к предложению
(1) Если треугольник равносторонний, то он
равноугольный, а формула (Г) — к предложению (Г) Равносторонний
треугольник является равноугольным.
II. Конструкция сотпредикатным именем
(отпредикатное имя — это, по существу, одна из
разновидностей ограничительного условия). Общий вид
преобразования II (ОТПР. ИМЯ):
уа<Р (а, х)> А (а) => vPa(x) A (PJ.
Преобразование II заменяет ограничительное условие
с двухместным или более предикатом на терм,
образованный от этого предиката. Например, от предикатов
ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРШИНОЙ (х, трку), КАСАЕТСЯ
(х, окр у) могут быть образованы термы ВЕРШИНАХ
(трку), КАСАТЕЛЬНАЯх (0КРу)> означающие
соответственно вершина треугольника' и касательная к
окружности*. Формула
ут/жау*<ЯВЛЯЕТСЯ БИССЕКТРИСОЙ (*, трка)>
ЯВЛЯЕТСЯ ОТРЕЗКОМ (*), (2)
близкая по конструкции к предложению (2) Предмет,
являющийся биссектрисой треугольника, является отрез-
ком, преобразуется в формулу
vmPKa чБИССЕКТРИСАх (трка) ОТРЕЗОК
(БИССЕКТРИСА,), (2')
близкую по конструкции к предложению (2')
Биссектриса треугольника является отрезкоми.
14 В дальнейшем для краткости изложения слово ЯВЛЯЕТСЯ в
составе предиката, как правило, опускается. Так, в формуле
предложения (2) вместо ЯВЛЯЕТСЯ ОТРЕЗКОМ (*) можно написать
ОТРЕЗОК (*).
83

Далее идут две конструкции с неэксплицитно
выраженной кванторной информацией.
III. Конструкция с кванторными
прилагательными. Преобразование (сокращенно
обозначаемое КВ. ПРИЛ.):
ЪхА (х) => А &*).
Преобразование III переводит кванторы в кванторные
прилагательные; например, формула, соответствующая
предложению
(3) Какова бы ни была точка, существует прямая, такая
что эта точка принадлежит этой прямой —
\/тчкАз пра ПРИН (тчкА, яра), —
преобразуется двумя применениями преобразования III
в формулу, соответствующую предложению
(3') Всякая точка принадлежит некоторой прямой:
ПРИН (v тчкА, 3 пра).
IV. Конструкция с бескванторной
переменной. Преобразование (сокращенно обозначаемое
БЕСКВ. ПЕРЕМ.):
VxA (x) => А (х).
Преобразование IV удаляет кванторы общности;
например, формула, соответствующая предложению
(4) Каков бы ни был тупой угол и каков бы ни был острый
угол, первый больше второго
уг/гА<ТУП (угА)> чугв <ОСТР (угв)> БОЛЬШЕ (угА,
угв),—преобразуется в формулу, соответствующую
предложению (4') Тупой угол больше острого:
БОЛЬШЕ (угА<ТУП (угА)>, угв<ОСТР (угъ)>).
Преобразования III и IV возможны лишь при
определенных условиях, обеспечивающих однозначность
понимания, ср. § 3.
V. Конструкции с производным залогом.
Общий вид преобразования V:
а. Р {X, у) => Рпасс (У, Х)\
б. Р (*, у) =>РбЭ [х & у]
(пасс, вз — показатели соответственно пассивного и
взаимного залога).
У глаголов русского языка различаются три залога:
исходный и два производных — пассивный, и взаимный.
В ИЛЯ предикаты употребляются только в исходном
залоге. Данное преобразование добавляет к исходному
залогу производные. Примеры:
(5) СТЯГИВАЕТ (ХОРДАх {окра), ДУГАУ (окра)) =>
(5') СТЯГИВАЕТпасс (ДУГАу (окра), ХОРДАх(окра)) -
34

Хорда окружности стягивает дугу => Дуга окружности
стягивается хордой;
(6) КОНГР (отра, отръ) => (6') КОНГРб3 1отра & отрь]—
Отрезок а конгруэнтен отрезку Ъ => Отрезок а и отрезок
Ь конгруэнтны.
VI. Конструкция с сочинительным
сокращением.
Преобразование VI представляет собой своего рода
«вынос за скобку» повторяющихся компонентов в формулах
со связкой & или V. Например, формула, соответствующая
предложению (7):
(7) Точка А принадлежит прямой а и точка В
принадлежит прямой а, —
(ПРИН (тчкА, пра) & ПРИН (тчкв, мра)) —
может быть преобразована в формулу, соответствующую
предложению
(7') Точка А и точка В принадлежат прямой а:
ПРИН ([тчкА&—тчкв], пра).
При сочинительном сокращении возникает
конструкция с однородными членами, которая заключается в
квадратные скобки.
Формула, соответствующая предложению (8) Отрезок
а конгруэнтен отрезку b и отрезок а параллелен отрезку 6,
(КОНГР (отра, отрь) & ПАР (отра, отръ))
может быть преобразована в формулу [КОНГР & ПАР]
(ompaf ompb), соответствующую предложению Отрезок а
конгруэнтен и параллелен отрезку Ь.
Сочинительное сокращение может затрагивать и
кванторы, как, например, в формуле
V 1угА & угв ]<ВЕРТб3 (1угА & угв ])>
РАВЕНвз{[угА&угв}),
соответствующей предложению Всякие два вертикальных
угла равны между собой.
Каждому из преобразований I — VI, правилу введения,
соответствует обратное преобразование I-1—VI-1,
правило элиминирования. Полный список синтаксических
конструкций РЛЯ и соответствующих им преобразований
приведен в [13].
Описанная система преобразований позволяет
установить соответствие между предложением (взятым со своей
синтаксической структурой) и формулой ИЛЯ для
достаточно богатого фрагмента естественного языка —
практически для максимального, который вообще допускает
семантически адекватное представление на ИЛЯ. Один
Ч

.МЕНЬШЕ)
2
5 .V
,.ГХ0РДАХ ЛДИАМу •'<»*« , /'^2
ХОРДА*. „«Т
Рис. 5. Структура предложения окр^
(9): а — синтаксическая, б —
основная квантифицированная
РЛЯ-структура
• (перл)
ДИАМу
2 I
.МЕНЬШЕ
2
окра1 ЛОРДАх ^tAMAMy
окра%^ (проходитЬ-
ДИАМх.^ СЕрЕД^(
ДУГА,,
I2
ХОРДАу
%ДУГА„
Pwc. 4. Структура предложения
(10): а — синтаксическая, б —
основная квантифицированная
РЛЯ-структура
ДИАМХ/^ СЕРЕД^. окРа/ I СТЯГИВАЕТ • ДИАМ* *ХОРДАу
.V ДУГА,,»
5
ХОРДА • ДУГАу <
за

(Нерп)
о>фд
ХОРДАу
опр
ДИАМ^
• (проходит]) •^крве "N Сстягивает)
з..
1
/Ч
► СБРВД^
2
ДУГА и
ХОРДАу «ДУГА^
окр •
ДИАМХ/
►<жр(
ДУГА
ХОРДА,
2/ \опр
/ \э
•окр_ %J
г /Ч / \
«Ф«# |СЕРЕД2 ^ПРОКОДИТ ХОРДАу >ДУГА„
0КРа >Я:ЯГИВАЕТ*-диАМх ХОРДА^
>ДИАМХ >СЕРЕД ^
д
Рис. 5. Структура предложения (11): а — синтаксическая, б —
основная квалифицированная РЛЯ-структура
вариант алгоритмической процедуры, сопоставляющий
синтаксически проанализированному предложению
естественного языка вначале формулу РЛЯ, а затем формулу ИЛ Я,
описан в [14].
Ясно, что предложение естественного языка имеет не
одно семантически соответствующее ему представление
37

A .3
У\ /Ч
1 ИЧ Г / Ч
НАТУР! •^ислох \числоу НАТУР! •Село,, ^.МЕНЬШЕ
' v /Ч I' г
• ЧИСЛО,. TV
НАТУР? числох# • НАТУР • числоv «число,
I' 1
"V
Рис. 5. Структура предложения (12): а — синтаксическая, б —
основная квантифицированная РЛЯ-структура
на РЛЯ, а все множество синонимичных друг другу
представлений (РЛЯ-структур). Действительно, сюда входит
и формула ИЛ Я, и синтаксическая структура
предложения, и длинная серия формул РЛЯ, различающихся
степенью приближенности к формуле ИЛЯ и соответственно
степенью удаленности от синтаксической структуры —
степень удаленности зависит от того, сколько
преобразований типа I""1—VI-1 было уже применено к синтаксической
структуре предложения. Таким образом, представление
предложения на РЛЯ еще более неоднозначно, чем на ИЛЯ.
Однако из множества РЛЯ-структур предложения можно
выделить одну структуру, которую мы назовем
основной квантифицированной РЛЯ-структурой
данного предложения. Из всех РЛЯ-структур
предложения естественного языка это та структура, которая
ближе всего к его синтаксической структуре и отличается от
нее лишь тем, что в ней все термы связаны кванторами (это
условие, напротив, приближает квантифицированную
РЛЯ-структуру к ИЛЯ-структуре предложения).*
Ниже на примере предложений (9)—(13) показано
сопоставление предложению его основной
квантифицированной РЛЯ-структуры. Формула (а) — это та
РЛЯ-структура, которая является синтаксической структурой
предложения, формула (б) — это основная квантифицированная
РЛЯ-структура. На рих. 3—7 структуры предложений
(9)—-(13) представлены в виде дерева.
за

БОЛЬШЕ.^ РАВЕН/
число„
опр
Л опр /I \мр
т# 1 натур З/ ;одини>ч# натур1
ТОТ ЖЕ I
■
>числоу
НАТУР
/ | опр
НАТУР I БОЛЬШЕ
I'
•^ РАВЕН. «ЧИСЛОх ♦
ЧИСЛО^ ^ ЧЩоу
число •
Рис. 7. Структура предложения (13): а — синтаксическая, б — основ*
ная квантифицированная РЛЯ-структура
(9) Любая хорда окружности меньше ее диаметра.
а. МЕНЬШЕ (v ХОРДАх (о/сра), ДИАМУ (окра);
б. чокра чХОРДАх(окра) v ДИАМу (окра)МЕНЬШЕ
(ХОРДЛ,,, ДИАМу).
При переходе от (9а) к (96) были применены, в
частности, преобразования БЕСКВ. ПЕРЕМ."1 (к терму окра),
КВ. ПРИЛ.-1 (к терму ХОРДАх), БЕСКВ. ПЕРЕМ.-1
(к терму ДИАМу).
(10) Диаметр окружности, проходящий через середину ее
дуги, перпендикулярен к хорде окружности,
стягивающей эту дугу.
а. ПЕРП (ДИАМХ (окра) <ПРОХОДИТ (ДИАМ^

СЕРЕДг (ДУГАи (окра)))>, ХОРДАу (окра)
<СТЯГИВАЕТ (ХОРДАу, ДУГАи)>);
б. voKPav ДУГАи(окра)у\СЕРЕДг (ДУГАи)
*\ДИАМХ (о/фа)<ПРОХОДИТ (ДИАМХ, СЕРЕД2)>
V! ХОРДАу (о/сра)<СТЯГИВАЕТ (ХОРДАу,
ДУГА и)>ПЕРП (ДИАМХ, ХОРДАу).
(11) Диаметр окружности, проходящий через середину
некоторой ее дуги, перпендикулярен к хорде окружное
сти, стягивающей эту дугу.
а. ПЕРП (ДИАМХ (окра)<ПРОХОДИТ (ДИАМХ,
СЕРЕДг (з ДУГАи (окра)))>, ХОРДАу (окра)
<СТЯГИВАЕТ (ХОРДАу, ДУГАи)>);
б.чокра \г\ДИАМх (окра)<зДУГАи(окра)
V! СЕРЕД, (ДУГАи) ПРОХОДИТ (ДИАМХ, СЕ-
РЕД2)>у\ ХОРДАу(окра)<СТЯГИВАЕТ (ХОР-
ДАу,ДУГАи)> ПЕРП (ДИАМХ, ХОРДАу).
(12) Существует натуральное число, которое меньше
всякого другого натурального числа.
а. э числох <НАТУР (числох)> МЕНЬШЕ (числох,
V числоу<.НАТУР (числоу)>)\
б. з числох <НАТУР (числох)> v числоу <НАТУР
(числоу)> МЕНЬШЕ (числох, числоу).
(13) Всякое натуральное число больше или равно некоторому
одному и тому же натуральному числу.
а. [БОЛЬШЕ V РАВЕН] (v числох <НАТУР (чис-
лох)>, з ОДИН И ТОТ ЖЕ числоу<НАТУР
(числоу)>)\
б. з числоу < НАТУР (числоу) > v числох
< НАТУР (числох) > [БОЛЬШЕ V РАВЕН]
(число х, число у).
Логико-прагматическая структура
Перейдем теперь к прагматическим аспектам предложения.
В принципе по своим семантическим возможностям РЛЯ не
превосходит ИЛ Я: всякая РЛЯ-структура имеет только тот
смысл, который имеется у соответствующей ей формулы
ИЛ Я. Поскольку, однако, основная квантифицированная
РЛЯ-структура несет в дополнение к
логико-семантическим сведениям также и синтаксические сведения о
предложении, она может интерпретироваться как отражающая и
некоторую прагматическую информацию, содержащуюся в
предложении, — если эта информация выражается в
синтаксисе. А именно, в формуле РЛЯ утверждения, не вхо-
40

дящие в ограничительные условия (т. е. составляющие
посылку или заключение), можно интерпретировать как
а к ц е н т и р о в а.н н ы е, т. е. особенно важные для
говорящего, а утверждения в составе ограничительных
условий—как неакцентированные, тематические. Таким
образом, основная квантифицированная РЛЯ-структура
предложения содержит не только логическую, но и — в
достаточных для нашей задачи пределах — прагматическую
информацию о предложении. Она может поэтому считаться
логико-прагматической структурой
предложения (сокращенно — ЛПС).
§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ ТЕОРЕМЫ.
УИ-ФОРМА
Пусть ЛПС предложения имеет вид:
V*i{C}>...vMC?>(A-*B), (I)
где {С*?} — множество ограничительных условий к
переменной xk (1 < к < м), быть может, пустое, а А и В —
произвольные формулы ИЛ Я, причем каждая из
переменных xh либо (а) встречается в обеих формулах А и В, либо
(б) встречается в составе ограничительного условия С
£ {С[} к некоторой переменной Xj, удовлетворяющей
условию (а).
Тогда ЛПС предложения R(s), обратного для s, имеет
вид:
Vx1{C\}...vxn{0$(B-+A). (Г)
Таким образом, обращение ЛП-структуры предложе-
R
ния есть преобразование (I) => (Г), при котором
акцентированные компоненты А и В меняются местами (т. е.
посылка становится заключением, а заключение— посылкой),
а вся остальная часть формулы, а именно, синтаксическая
позиция кванторов по переменным хъ ..., хп и
тематических компонентов {С!}, ..., {О}} остается неизменной
(смысл условий (а) и (б) будет объяснен ниже).
Обращенная ЛПС является, вообще говоря,
синтаксической структурой некоторого обратного предложения.
Можно, однако, получить и другие синтаксические
структуры и соответственно другие обратные предложения,
синонимичные первому, применив к обращенной ЛПС
преобразования, обратные тем, которые применяются при логико-
4!

семантическом анализе, т. е. преобразования типа 1—VI
из § 4 (см. об этом подробно в § 7).
Ниже следуют примеры обращения, осуществляемого
по этому правилу.
Пример 1. Если два угла вертикальны, то они равны:
ЛПС(1) = \/[угк & угв] (ВЕРТвэ( [угА & угв]) -*
РАВЕНвз([#гА & угв\)\
#(ЛПС(1)) - v \угк & угв ] (РАВЕНб3 (1угА& угв ])-+
ВЕРТвз([угА& угв\))\
R (1): Если два угла равны, то они вертикальны (ложно).
Пример 2. Если две прямые параллельны, то всякий
перпендикуляр к одной из этих прямых является
перпендикуляром к другой:
ЛПС(2) = vnpavnpb(I\AP (npa, пръ) -*
чПЕРПх(пра) (ПЕРП (ПЕРПХ, пръ))\
R (ЛПС(2)) = чпрачпрь(\/ПЕРПх(пра)
(ПЕРП (ПЕРПХ, пРъ) -+ ПАР (npa, пръ)У
R (2): Если всякий перпендикуляр к одной из двух прямых
является перпендикуляром к другой, то эти две прямые
параллельны.
Пример 3. Если диаметр окружности
перпендикулярен к хорде окружности, то он делит эту хорду
пополам:
ЛПС(З) = v окрачДИАМх(окра) \/ХОРДАу{окра)
(ПЕРП (ДИАМУ, ХОРДА,) ->
ДЕЛ.ПОПОЛАМ (ДИАМХ, ХОРДА ));
R (ЛПС(З)) = уокрауД#ЛМх(окра) VХОРДА у(окра)
(ДЕЛ.ПОПОЛАМ (ДИАМГ, ХОРДА у)-+
ПЕРП (ДИАМХ, ХОРДА У)У
R (3): Если диаметр окружности делит пополам хорду
этой окружности, то он перпендикулярен smou хорде.
В ЛПС (3) переменные ДИАМХ и ХОРДАу
удовлетворяют пункту (а) условия (I); переменная окра— пункту (б).
ЛПС, имеющую вид (I), можно назвать универ-
сально-импликативной формой
(сокращенно — УИ-формой).
Подчеркнем следующие обстоятельства.
1. Если ЛПС предложения является УИ-формой, то у
него заведомо имеется соответствующее обратное.
2. Если ЛПС предложения является УИ-формой, то для
него обратное определяется с точностью до языковой
синонимии '(ср. примечание 2) однозначно.
3. Для любой УИ-формы Ф ее обращение R (Ф)
обязательно является синтаксически правильной формулой РЛЯ,
42

т. е. правильной РЛЯ-структурой некоторого предложения.
Это условие не соблюдалось при синтаксическом
обращении: результат обращения синтаксической структуры
условного предложения не обязательно является правильной
синтаксической структурой; см. примеры (4х), (5') в § 2.
Правда, перенос операции обращения на уровень ЛП-
структуры не гарантирует все же от некоторых
семантических аномалий, которые должны рассматриваться отдельно
(см. об этом в § 9).
4. Переменную с предваренным квантором,
удовлетворяющую условию (а) или (б), можно назвать переменной с
полной областью. Условие о том, что в УИ-форме
все переменные с предваренными кванторами должны иметь
полную область, является существенным для правильности
обращения. Это можно показать на следующем примере.
Предложение (5) имеет ЛП-структуру, которая обладает
всеми свойствами УИ-формы, кроме этого: переменная угъ
не удовлетворяет ни условию (а) — она встречается только
в посылке, — ни условию (б). Если в ЛПС предложения (5)
поменять местами посылку и заключение, то получится
ЛПС предложения (5х), которое по смыслу не
воспринимается как обратное для (5), потому что (5х) ложно, а
настоящее обратное для (5), предложение (5"), истинно (см. разбор
этого примера в § 6):
(5) Если угол смежен с тупым, то он острый;
ЛПС (5) = v угАчугв < ТУП (угв) >
(СМЕЖ (угА, угв) -> ОСТР (угА));
(5х) Если угол острый, то он смежен со всяким тупым;
(5") Если угол острый, то он смежен с некоторым тупым*
Условие о том, что в УИ-форме все переменные с
предваренными кванторами должны иметь полную область,
имеет следующее содержательное обоснование. Переменные с
полной областью соответствуют по смыслу объектам, о
которых идет речь на всем протяжении предложения:
условие (а) отражает тот случай, когда объект упоминается в
явном виде, условие (б) — когда в имплицитном. Чтобы
обращение посылки и заключения импликации в формуле
было обращением всей формулы, нужно, чтобы это была не
просто импликация, а такая импликация, которая
подчинена только кванторам, соответствующим объектам, о
которых идет речь во всем предложении, т. е. кванторам по
переменным с полной областью.
5. В большинстве определений обратной теоремы для
исходной теоремы принимается логическая структура «Ес-
4»

ли А, то В», или, в логической символике, А -> В, где А и
В — высказывания. Этот анализ, однако, даже для самых
простых целей неудовлетворителен. В частности, такое
представление структуры теоремы приводит к парадоксальному
заключению, что из двух теорем, прямой и обратной,
составленных из произвольных высказываний А и В, по
крайней мере одна должна быть истинной (см. [9]): формула
(А -> В) V (В -> А) является тождественно истинной в
логике высказываний. Если же логическая структура
теоремы проанализирована более точно, в частности, если в ней
выявлены кванторы по переменным с полной областью, то
все встает на свои места: формула ух(А(х) -> В(х)) V
vy(B(y) -> A(y)) не является тождественно истинной.
В принципе допустима как частный случай УИ-форма
вида (I), в которой п = 0, т. е. предваренные кванторы
отсутствуют. Однако практически в логической структуре
теоремы с импликацией всегда есть хотя бы один
предваренный квантор общности.
6. В соответствии с принимаемым определением
операции, обращения перестановке подвергаются всегда те два
компонента, которые подчинены главной импликации ЛП-
структуры. В этом отношении определение следует
реальной практике. Действительно, если переставить посылку
и заключение импликации, которая не является вершиной
ЛПС, то результат не будет воспринят как обращение всего
предложения в целом (см. [2]).
В учебниках можно найти примеры обратных теорем, ко- т
торые на первый взгляд опровергают всеобщий характер
этого условия. Так, теорема (6') называется в учебнике
Киселева [4] (на с. 32, 33) обратной к (6):
(6) Если из одной и той же точки, взятой вне прямой,
проведены к этой прямой перпендикуляр и две
какие-нибудь наклонные, то если основания двух наклонных
одинаково удалены от основания перпендикуляра,
наклонные равны.
(6') Если из одной и той же точки, взятой вне прямой,
проведены к этой прямой перпендикуляр и две
какие-нибудь наклонные, то, если две наклонные равны, их
основания одинаково удалены от основания перпендикуляра.
Если считать, что союзу если ... то соответствует в
ЛПС этого предложения импликация, то ЛПС (6) имеет
схему
V*(A(*) -> (В(х) -+ СИ));
44

ЛПС (6') — схему
\/х(А(х) -> (СИ -> В(х))),
где через х обозначен набор переменных хъ ..., хп\ т. е.
получается, что в этом примере при обращении меняются
местами посылка и заключение не главной импликации
логической формулы, а подчиненной.
В действительности, однако, этот пример скорее
опровергает не правило обращения, а правило о том, что в ЛПС
предложения союзу если ...то всегда соответствует
импликация. Действительно, в своем контексте посылка А
является общей для двух теорем — теоремы (6) о
наклонных, основания которых одинаково удалены от основания
перпендикуляра, и другой теоремы — о наклонных с
основаниями, неодинаково удаленными от основания
перпендикуляра. В силу одного этого обстоятельства посылка А
является тематическим компонентом. В действительности
ЛП-структура предложения (6) должна иметь вид: ух
< к{х) > (В(х) -> СИ), а не vx(A{x) -^ (В(х) ^ C(x))f.
Таким образом, этот пример не опровергает правила
обращения: для него оказываются недостаточными лишь
критерии тематичности утверждения, приведенные в § 4.
§ 6. ПРИВЕДЕНИЕ ЛОГИКО-ПРАГМАТИЧЕСКОЙ
СТРУКТУРЫ К УИ-ФОРМЕ
Если ЛПС предложения не является УИ-формой, это еще
не значит, что предложение не имеет обратного. Имеется
набор преобразований, применяемых к формуле РЛЯ и
обладающих следующими свойствами:
а) ни одно преобразование не меняет смысла формулы;
б) прагматическую информацию в формуле эти
преобразования либо оставляют неизменной, либо если изменяют,
то только в определенном направлении: они могут
увеличивать число акцентов (на один), но не могут устранять уже
имеющихся акцентов;
в) с помощью этих преобразований некоторые формулы
РЛЯ могут быть приведены к УИ-форме.
Если ЛПС предложения приводима к УИ-форме, то эта
УИ-форма может быть далее подвергнута обращению по
общему правилу (см. § 5).
" Преобразования, участвующие в приведении ЛПС к
45

УИ-форме, можно назвать преобразованиями
мажорирования, поскольку они переводят ЛПС предло*
жения в некоторую другую его РЛЯ-структуру, которая
мажорирует исходную структуру по числу акцентов, т. е.
содержащихся в ней акцентированных утверждений.
РЛЯ-структура, которая получается из ЛПС
предложения преобразованиями мажорирования, . называется м а -
жорирующей ЛПС данного предложения.
Множество М преобразований мажорирования состоит
из четырех преобразований.
МЛ. Внос квантора в посылку (сокращенно—КВ.ПОС):
KB ПОС
a. vx(A(x) -> В)——МзхА(х) -> В);
KB ПОС
б. vU (A(*) -► B)==>(v!x к{х) -> В),
где В не содержит х.
М. 11. Внос квантора в заключение (сокращенно —
КВ.ЗАКЛ):
a. vx(k -> В(х))—т-=>(А -> \/х В(х))\
б. уЩА-+ В(х))^^(А-+у\хВ (х))9
где А не содержит х.
Преобразования МЛ. и МЛ I. убирают кванторы по пере*
менным с неполной областью из предваренной позиции.
Таких переменных может быть несколько, и тогда для
приведения к УИ-форме потребуется применить
преобразования МЛ. и М.II несколько раз. (Преобразования МЛ и
М.П соотносят друг с другом формулы, логически
эквивалентные в логике предикатов. Подчеркнем, что
преобразование МЛ.б, при котором квантор общности переходит из
предваренной позиции в посылку импликации,
возможно только в силу единственности объекта в области значений
подкванторной переменной.)
М. III. Замена ограничительного условия на посылку
импликации (сокращенно — ИМПЛ):
Vxx{C\) ... vxj{Cl}... v*n{C?>AS
v*i{ct!}... vxj{C{)*(C-> vwq+i}-..
y/xn{Cl)A),
где С £ {C{}9 {Ci}* = {q*}\{C}, а формула А не имеет
своей вершиной импликацию.
Преобразование ИМПЛ превращает одно из
ограничительных условий в формуле в посылку импликации.
Таким образом, ИМПЛ — это, по существу, ОГР.УСЛ.-1
(см. § 4).
46

Если после применения преобразования ИМПЛ
переменные хъ ..., хп имеют в формуле полную область, то эта
формула — УИ-форма. Если же в преобразованной
формуле имеются переменные с неполной областью, то она всегда
может быть приведена к УИ-форме преобразованиями
КВ.ЗАКЛ и КВ.ПОС.
M.IV. Объединение ограничительных условий
(сокращенно — ОБЪЕДИН):
г ^ ^ * а ОБЪЕДИН
.-V*{<Ci>, <С2>...}...А =>
...vx{<d& C2>, ...}...А.
Преобразование M.IV соответствует одной из равно-
сильностей логики высказываний — это так наз.
«Объединение посылок»: А -> (В -> С) & (А&В) -> С. Это
преобразование дает для формулы новые УИ-формы.
Приведем примеры обращения предложений с переходом
к мажорирующим ЛПС, которые получаются применением
преобразований МЛ—M.IV. Через s (Ф) обозначается
предложение, имеющее ЛП-структуру Ф. Греческими буквами
обозначаются формулы, возникающие в качестве
промежуточных результатов в ходе обращения.
В примерах 1—3 ЛПС приводится к УИ-форме
преобразованиями КВ.ПОС и КВ.ЗАКЛ.
Пример 1. Если угол смежен с тупым, то он острый.
ЛПС(1) = чугАчугв<ТУП (угв) > (СМЕЖ (угА,угв) ч
-> ОСТР (угА)); «х>
KB ГТОС
а.==>чугА(зугв<ТУП (угв)>-
СМЕЖ {угк, угв) -> ОСТР (угх)); «0|>
Я(р) = V^A(OCTP (угА) -> эг/гв<ТУП(*/гв)>
СМЕЖ (угА, угъ));
s(/?(P)): Если угол острый, то он смежен с некоторым
тупым.
Прим.ер 2. Если четырехугольник является ромбом,
то его диагонали перпендикулярны.
ЛПС(2) = учткау! 1ДИАГХ &ДИАГУ) (чтка)
(РОМБ (чтка) -> ПЕРГЫ [ДИАГХ &ДИАГУ ])); <а>
КВ.ЗАКЛ /гчгччс/ ч
а ■ => учтка(РОМБ(чтка) -*-
у\[ДИАГх&ДИАГв](чтка)
ПЕРГЫ [ДИАГХ АДИАГу ])); <р>
Я(Р) = учтка(у! ШИАГХ &ДИАГу](чтка)
ПЕРП„3([ДИАГХ &ДИАГ„]) -> РОМБ(ч/шса));
s(/?(p)): Если диагонали четырехугольника
перпендикулярны, то он является ромбом (ложно).
47

Пример 3. Если диаметр окружности проходит
через середину ее дуги, то он перпендикулярен хорде этой
окружности, стягивающей эту дугу.
ЛПС (3) == уокрауДИАМх(окра)>/ДУГАу(окра)
V \СЕРЕДг{ДУГАу)ч \ХОРДАи(окра)
<СТЯГ (ХОРДАи, ДУГЛ^>(ПРОХОДИТ
(ДИАМХ, СЕРЕДг) ->ПЕРП (ДИАМХ, ХОРДАи)); <а>
а^—^^окраУДИАМ^окр^ДУГАу^кра)
V! СЕРЕДг{ДУГАу) (ПРОХОДИТ (ДИАмх, СЕРЕДА
V! ХОРДА и(окра)<СТЯГ (ХОРДА „, ДУГАУ)>
ПЕРП {ДИАМХ, ХОРДА„)); <р>
KB ПОС
Р ===> \/окра\*ДИАМх{окр0)чДУГАу{окра)
(v \серед2(ду/тдпроходит (д#лмх, середх)-+
ч\ХОРДАи(окра)<СТЯГ (ХОРДАи, ДУГАу)>
ПЕРП (ДИАМХ, ХОРДАи)); <у>
R(y) = \/окра\/ДИАМх(окра)уДУГАу(окра)
(VI ХОРДЛи(о1сра)<СТЯГ(ХОРДЛа, ДУ/\4,,)>
ПЕРП (ДЯЛМ,, ХОРДЛи) ->ч\СЕРЕДг(ДУГАу)
ПРОХОДИТ (ДЯЛМ*, СЕРЕД,));
s(R(y))' Если диаметр окружности перпендикулярен ее
хорде, стягивающей какую-нибудь ее дугу, то он проходит
через середину этой дуги.
В примере 4 ЛПС приводится к УИ-форме с участием
преобразования ИМПЛ.
Пример. 4. Вертикальные углы равны между собой.
ЛПС(4) - у[угА &угв)<ЪЕРТю([угА &угв])>
(РАВЕНвз([угА&угв])); <а>
а ==> у[угА &угв](ВЕРТвз(1утА&угв])
-+ РАВЕНвз([угА&угв ])); <р>
s(P): Если углы вертикальны^, то они равны между собой]
ЖР) = vlyaA &угв](РАВЕНвз([угА&угв])
->ВЕРТвз([угА&угв]));
s(jR(P)): £а/ш угль/ равны между собой, то они
вертикальны (ложно).
Чтобы получить из собственной ЛПС предложения
мажорирующую ЛПС с импликацией, достаточно применить в
ней преобразование ИМПЛ к какому-либо одному
ограничительному условию. Таким образом, если в ЛПС имеется
несколько ограничительных условий, то ей соответствует
несколько разных мажорирующих ЛПС с импликацией.
Предложение с такой ЛПС имеет, следовательно, несколько
обратных. В примерах 5 — 8 выводы разных обратных

предложений, соответствующих одному исходному,
нумеруются римскими цифрами.
Пример 5. Число, большее положительного, само
положительно.
I. ЛПС (5) = учсх<ПОЛОЖ (чсх) > ччсу
<БОЛЬ (чсу, чсх)>ПОЛОЖ (чсу); <а>
ИМПЛ ,пг\т1г\ч7 / \
а ==> ую*(ПОЛОЖ (нсх) -> учсу
<ЪОЛЪ(чсу, чсх)>ПОЯОЖ (чсуу, <Pi>
s(pi): Если число положительно, то всякое число, большее
него, само положительно',
R($i) == Ччсх(у/чсу<ЗОЛЪ (чсу, чсх)>
ПО ЛОЖ (чсу) -> ПО ЛОЖ (чсх));
s(R($i))'- Если всякое число, большее другого числа,
положительно, то это другое число само положительно (ложно);
II. а ==> у/чсх<ПОЛОЖ(чсх)>у/чсу
(БОЛЬ(^, чсх) -> ПОЛОЖ (чсу)); <Р„>
s(Pn): Если число у больше положительного числа х, то оно
само положительно-,
KB ПОС
|3И — => ччсу(зчсх<ПОЛОЖ{чсх)>
БОЛЬ (чс,, О -> ПОЛОЖ Ы; <y„>
s(Yh): Если число больше некоторого положительного числа,
то оно само положительно',
ДЫ = У^(ПОЛОЖ(^) ->
3^х<ПОЛОЖ(^х)>БОЛЬ(^, чсх))\
s(R (уи)): Если число положительно, то оно больше
некоторого другого положительного числа.
Пример 6. Отрезок, являющийся медианой
равностороннего треугольника, является его высотой.
I. ЛПС (6) - ут/жа<РАВНСТ {трка)> vomp^
<МЕД(отра, трка)~> ВЫС {отра, трка); <а>
а ===> утрка<РАВНСТ (трка)> vomp^
(МЕД(отра, трка) -> ВЫС (отра, тряа)); <РГ>
sd^): £сла отрезок является медианой равностороннего
треугольника, то он является его высотой',
#(Pi) = V/wp/ca<PABHCT(mpKa)>vompa
(ВЫС (отра, тряа) -> МЕД (отра, трка))\
s(^(Pi)): Отрезок, являющийся высотой равностороннего
треугольника, является его медианой',
II. а ==> v^p^a(PABHCT(mp/ca)-> vompa
<МЕД(отра, трка)> ВЫС(отра, трка))\ <Ри>
s(|JH): £а/ш треугольник равносторонний, то всякий
отрезок, являющийся его медианой, является его высотой;
49

^(Pn)aE=V/np/ca(vompa<MEfl (ompa, трка)>
ВЫС(отра, трка) ~> РАВНСТ {трка))\
s(jR(Pn)): £Ьш всякий отрезок, являющийся медианой
треугольника, является его высотой, то этот треугольник
равносторонний.
Пример 7. Выпуклая ломаная короче всякой другой
ломаной, объемлющей первую.
I. ЛПС (7) = улл*а<ВЫП {лма)> \/лм$
<ОБЪЕМЛ (лма, лж3)>КОРОЧЕ (лма, лм$); <а>
импл ПТ1П/
а ===> улжа<ВЫП (лма)>улм$
(ОБЪЕМЛ (лмь лма) -> КОРОЧЕ (лма, лм$)\ <рх>
«(Р^: Если ломаная объемлет выпуклую ломаную, то
последняя короче первой;
#(Pi) = Члма<ВЫЩлма)> улл*э
(КОРОЧЕ(лжа, лм$) -> ОБЪЕМЛ (лм$, лма))\
^Д (Pi)): Если выпуклая ломаная короче другой ломаной,
то последняя ее объемлет (ложно);
импл ___
П. а ===> улжа(ВЫП (лл*а) ->■ >/лжр
<ОБЪЕМЛ (лл*з, лжа)>КОРОЧЕ (лма, лм$)\ <Р„>
s(P„): £Ъш ломаная выпуклая, то она короче всякой
другой ломаной, объемлющей первую;
#(р11)=Улл*а(улжэ<ОБЪЕМЛ (лм$, лма)>
КОРОЧЕ (лма, л%)->ВЫП (лма))\
s(i?(Pn)): Если ломаная короче всякой другой ломаной,
которая ее объемлет, то она выпуклая (истинно).
Пример 8. По крайней мере один из углов
равнобедренного прямоугольного треугольника равен 45°.
I. ЛПС (8) = утрка<РАВНБ (трка)><ПРЯМУГ
(трка)>зУГх(трка)РАВЕН (УГХ, 45°)); <а>
а S» утр/са<РАВНБ(тр/са)>(ПРЯМУГ
(трка) -+ зУГх(трка)РАВЕН (УГХ, 45°)); <р,>
s(Px): Если равнобедренный треугольник является
прямоугольным, то по крайней мере один из его углов равен 45°\
/?(Рж) - Vmp/ca<PABHB (трка)>(зУГх(трка)
РАВЕН (УГХ, 45°) -* ПРЯМУГ {трка))\
s(i?(Pj)): Если по крайней мере один из углов
равнобедренного треугольника равен 45°, то этот треугольник
прямоугольный (ложно);
II. а =™ утр^<ПРЯМУГ (тр/са)>(РАВНБ (трка)
-> ъУГх(трка) РАВЕН (УГХ, 45°)); <ри>
s(pn): Если прямоугольный треугольник является равно-
50

бедренным, то по крайней мере один из его углов равен 45°;
ЖРп) = Утрка<ПРЯМУГ (трка)> (зУГх(трка)
РАВЕН (УГХ9 45°) -> РАВНБ {трка))\
s(R фп)): Если по крайней мере один из углов прямо-
угольного треугольника равен 45°, то этот треугольник
равнобедренный (истинно).
Применив к ЛПС предложения (8) преобразование
ОБЪЕДИН, мы получим для нее новую мажоранту р1П
(отличную от мажорант рх и (5И) и соответственно новое
обратное предложение:
III. a -> v трка < РАВНБ (трка) &
ПРЯМУГ {трка)>з УГХ (трка)
РАВЕН (УГХ, 45°)); <рш>
ИМШ1
рш ==> v трка ((РАВНБ (трка) & -
ПРЯМУГ (трка)) -> з УГХ (тр/О
РАВЕН (УГЯ, 45°)); <Тш>
5 (Ym): Если треугольник является равнобедренным
и прямоугольным, то по крайней мере один из его углов
равен 45° \
R (Yin) = V трка (з УГХ (трка) РАВЕН (УГХ, 45°)
-> (РАВНБ (mp/cj & ПРЯМУГ (m/wcj));
s (R (Yhi)): ^л^ я° крайней мере один из углов
треугольника равен 45°, то этот треугольник равнобед-*
ренный и прямоугольный (ложно).
Подчеркнем следующее.
1. Хотя разные мажоранты одной и той же ЛПС
синонимичны, результаты обращения этих мажорант не
синонимичны (и, более того, могут иметь разные
истинностные значения, ср. примеры 7, 8). Это не удивительно,
поскольку преобразование мажорирования может
переводить компоненты формулы из тематических в
акцентируемые, а правило обращения чувствительно к этому
различию. Тем самым получается, что прагматические
различия в предложении при обращении предложения
переходят в семантические.
Заметим, что такой переход прагматических различий
в семантические не является уникальной особенностью
операции обращения: то же самое имеет место, например,
при переводе предложения в его отрицание.
Действительно, если предложение допускает неоднозначную
расстановку акцентов, то отрицание предложения в каждом из
его акцентных вариантов дает предложение с новым
смыслом:
51

(9) а. И (Ваня разбил чашку) =* Ваня разбил не чашку;
б. "I (Ваня разбил чашку) = Чашку разбил не Ваня.
2. Как было сказано в § 5, предложения, у которых
ЛПС является УИ-формой, имеют однозначное обращение.
Однозначное обращение могут иметь и такие предложения,
у которых лишь мажорирующая ЛПС является
УИ-формой — если эта мажорирующая ЛПС единственна, см.
примеры 1, 2, 4.
3. Как было сказано, мажорантами для данйой ЛПС
являются только такие формулы РЛЯ, которые не
устраняют имеющихся в данной ЛПС акцентов: КВ.ПОС и
КВ.ЗАКЛ оставляют акценты неизменными, а ИМПЛ
и ОБЪЕДИН добавляют новые акценты, но не отменяют
старых. Отсюда следует, что преобразования
мажорирования несимметричны. Рассмотрим, например,
преобразование ОБЪЕДИН. Оно может применяться для перехода
от данной ЛПС к ее мажоранте только в одну сторону;
так, ЛПС вида ух < Сх & С2 > А не имеет своей
мажорантой структуру вида ух {<СХ>, <С2>} А и, далее,
структуру вида: ух <СХ> (С2 -> А); соответственно ЛПС
вида: ух <С!>(А->С2) не будет для нее обратной.
Например, для предложения (10) обратным будет только
предложение (10"), но не (10').
(10) Точка, которая расположена внутри угла и лежит
на его биссектрисе, одинаково удалена от его сторон;
(10') Точка, которая расположена внутри угла и
одинаково удалена от его сторон, лежит на его биссектрисе
(истинно);
(10") Точка, одинаково удаленная от сторон угла,
расположена внутри него и лежит на его биссектрисе
(ложно).
4. Помимо тех синтаксических противопоставлений,
которые мы указали как существенные при выявлении
прагматической информации об акцентах, в предложении или
его контексте могут быть и другие признаки, позволяющие
выделить акцентированные условия, т. е. условия,
которые при обращении меняются местами с заключением.
Так, И. С. Градштейн пишет [1, с. 93]: «За теорему,
обратную теореме В равных кругах равные хорды
равноудалены от центра, обычно принимают теорему В равных
кругах хорды, равноудаленные от центра, равны.
Происходит это потому, что двум условиям, накладываемым
на хорды (их равенству и равенству кругов, в которых
52

эти хорды проведены), придают неодинаковое значением
Очевидно, И. С. Градштейн имеет в виду, что подлежат
переносу в заключение те условия, которым придается
наибольшее значение. Действительно, более тонкий анализ
позволяет обнаружить различие в акцентированности этих
условий, но это различие выражено не синтаксическими
средствами, а возникает как следствие межфразовых
связей данного предложения. В учебнике А. П. Киселева
условие о равенстве кругов выступает как общее для двух
теорем — теоремы о равных хордах и теоремы о неравных
хордах:
(11) Б равных кругах
1) Равные хорды одинаково удалены от центра;
2) из двух неравных хорд большая ближе к центру
[4, § ПО].
В этом контексте акцентированным оказывается
условие о равенстве хорд. Вне контекста два условия в
примере И. С. Градштейна равноправны.
§ 7. ПЕРЕХОД ОТ ОБРАЩЕННОЙ ЛОГИКО-
ПРАГМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
К СИНТАКСИЧЕСКОЙ
В результате обращения логико-прагматической
структуры предложения или ее мажоранты мы получаем
некоторую РЛЯ-структуру. Эту РЛЯ-структуру можно,
вообще говоря, счесть за синтаксическую структуру обратного
предложения. Однако эта структура будет, как правило,
громоздкой, в силу своей приближенности к ИЛЯ и,
следовательно, чрезмерной эксплицитности логической
информации. Можно поэтому поступить иначе — применить
к РЛЯ-структуре, полученной при обращении,
преобразования типа I—VI из § 4, увеличивающие степень ее
«естественности», и получить в качестве обратного
предложения то, у которого синтаксической структурой будет
одна из таких преобразованных РЛЯ-структур.
Преобразования, которые здесь применяются, это
прежде всего ОГР.УСЛ, КВ.ПРИЛ и БЕСКВ.ПЕРЕМ.
Так, если обращенную ЛПС предложения (1) сразу
принять за синтаксическую структуру обратного
предложения, то получится (Г):
(1) Вертикальные углы равны;
(Г) Каковы бы ни были углы, если они равны, то они
вертикальны.
53

Если применить к этой РЛЯ-структуре преобразование
ОГР.УСЛ, то получится структура, соответствующая
предложению (Га). Применив, далее, преобразование
БЕСКВ.ПЕРЕМ, можно получить структуру
предложения (1'б):
(Г)а. Каковы бы ни были равные углы, они вертикальны;
б. Равные углы вертикальны'.
Можно было бы выбрать другой путь и сразу применить
к обращенной ЛПС предложения (1) преобразование
БЕСКВ.ПЕРЕМ, получив структуру, соответствующую
предложению (1"):
(1") Если углы равны, то они вертикальны.
щ Замечание. Общая стилистическая норма естественных
языков состоит в том, что кванторные прилагательные
и ограничительные- определения всегда находятся при
первом упоминании объекта; соответственно в ЛПС —
при первом вхождении переменной. При обращении ЛПС
порядок вхождений переменной может измениться. Тогда
после применения к обращенной структуре
преобразований КВ.ПРИЛ и БЕСКВ.ПЕРЕМ определительные
обороты и кванторные прилагательные попадут не на то
вхождение переменной, что в исходной структуре, и тем самым
правило о 1-м вхождении будет соблюдено. Вспомним
предложения (4') и (5') из § 2, дефектность которых
объяснялась именно тем, что в них определительный оборот
и кванторное прилагательное оказались — в результате
синтаксического обращения — не при первом
упоминании объекта. В
Иногда для получения стилистически
удовлетворительного обратного предложения желательно применить к
обращенной ЛПС некоторые преобразования, не
упоминавшиеся в § 4. Рассмотрим обращение предложения (3):
(3) Если катет прямоугольного треугольника равен
половине гипотенузы, то угол,- противолежащий этому
катету, равен 30°\
ЛПС (3) = v трка <ПРЯМУГ (трка)> V КАТЕТХ
(трка) у\ГИПу (трка)у\ПОЛх(ГИПу) \*УГОЛА (трка)
<ПРОТИВОЛЕЖИТ (УГОЛА, КАТЕТХ)>
(РАВЕН (КАТЕТХУ ПОЛ,) - РАВЕН {УГОЛА, 30°)); <а>
R<a>=:vm/7Ka <ПРЯМУГ (трка)>
VKATETX (трка) v! ГИПУ (трка)ч\ПОЛ% (ГИПУ)
Ч\УГОЛА (трка) <ПРОТИВОЛЕЖИТ (УГОЛА,
KATET*)>
(РАВЕН (УГОЛА, 30°) -НРАВЕН (КАТЕТХ, ПОЛ%))\ <р>
s ф) Если угол прямоугольного треугольника, противо-

«
лежащий катету этого треугольника, равен 30°,
то этот катет равен половине гипотенузы.
Предложение s ф) — вполне адекватное обратное для
(3), если не считать некоторой его синтаксической
громоздкости. Более совершенный вариант —
(3') Если угол прямоугольного треугольника равен 30°,
то катет, противолежащий этому углу, равен
половине гипотенузы.
ЛПС (3') имеет вид
V трка <ПРЯМУГ (трка)> v УГОЛА (трка)
V КАТЕТх (трка) <ПРОТИВОЛЕЖИТ (KATETXf
УГОЛА)>
Ч\ГИПУ (трка) ч\ПОЛ% (ГИПУ) (РАВЕН (УГОЛА,
30°) -> РАВЕН (КАТЕТХ, ПОЛ2))
и отличается от р тем, что атомарная формула
ПРОТИВОЛЕЖИТ (УГОЛА, КАТЕТХ) а) подвергнута инверсии:
получается ПРОТИВОЛЕЖИТ (КАТЕТХ, УГОЛА) (что
не влияет на смысл, поскольку предикат
ПРОТИВОЛЕЖИТ симметричен) и б) присоединена в качестве
ограничительного условия к другому терму — к терму КАТЕТХ
(трка) (что также не влияет в данном контексте на смысл
формулы).
Предложение (3') лучше, чем s (Р), потому, что в (3')
меньше неопределенных объектов: в s ф) катет вводится
как неопределенный объект, а в (3') он однозначно
определяется углом, которому противолежит.
Другие примеры обратных предложений, построенных
с участием инверсии предиката:
(4) Если диаметр окружности проходит через середину
некоторой ее дуги, то он перпендикулярен к хорде этой
окружности, стягивающей эту дугу;
(4') Если диаметр окружности перпендикулярен к
некоторой ее хорде, стягивающей некоторую ее дугу,
то он проходит через середину этой дуги',
(4") Если диаметр окружности перпендикулярен к
некоторой ее хорде, то он проходит через середину
дуги, стягиваемой этой хордой.
Такая же инверсия предиката происходит в
предложении (8) из § 2. В примере (4) инверсия предиката в
атомарной формуле СТЯГИВАЕТ (ХОРДАх, ДУГАУ)
сопровождается введением пассивного залога: СТЯГИВАЕТ,^
(ДУГАу, ХОРДАх).
Инверсия предиката может оказаться желательной и по
другой причине. Большинство предложений имеют смысло-
55

вую тему — объект, о котором идет речь на всем
протяжении предложения, а не только лишь в одной из его частей
(возможно, есть предложения с несколькими смысловыми
темами), см. [15], [16]. Естественное построение
предложения таково, что первое вхождение ИГ, выражающей
смысловую тему, должно быть
линейно-интонационной темой предложения — например, подлежащим
в начале предложения. При обращении предложения его
смысловая тема, как правило, остается неизменной; между
тем первоначальное совпадение 1-го вхождения смысловой
темы с линейно-интонационной темой предложения может
нарушиться. В этом случае обратное предложение будет
дефектным. Чтобы его отредактировать, нужно изменить
предложение так, чтобы смысловая тема снова стала
линейно-интонационной. В частности, это достигается инверсией
предиката; ср. дефектное (5') и правильное (5"):
(5) Если треугольник а не равносторонний, то никакой
равносторонний треугольник не подобен ему\
(5') Если никакой равносторонний треугольник не подо-
бен треугольнику а, то треугольник а не
равносторонний;
(5") Если треугольник не подобен никакому
равностороннему треугольнику, то он не равносторонний.
§ 8. ТЕОРЕМЫ, НЕ ИМЕЮЩИЕ ОБРАТНЫХ
Вопреки тому, что обычно утверждается в школьных
учебниках, не всякая теорема имеет обратную. Для того
чтобы предложение могло быть подвергнуто обращению,
его ЛПС или мажорирующая ЛПС должна быть УИ-фор-
мой. В противном случае предложение обратного не имеет.
Предложения, не имеющие Ьбратных, распадаются на
несколько классов в зависимости от того, какой логический
оператор является внутренней вершиной их ЛПС.
Внутренняя вершина формулы — это знак, который а) подчинен
последовательности — любой длины, в том числе нулевой—
кванторов общности по переменной с полной областью и
б) сам не является таким квантором общности 15. Ниже
следует перечень примеров. В предложениях (1), (2)
внутренняя вершина ЛПС—квантор существования; в (3),
15 В ЛПС необратимых предложений кванторы общности, подчи-
н яющие внутреннюю вершину, не должны иметь ограничительных
условий; в противном случае ЛПС имела бы некоторую УИ-форму
в качестве мажоранты, и предложение было бы обратимо.
56

(4) — отрицание; в (5) — эквивалентность; в (6) —
дизъюнкция; в (7) — предикат.
(1) Ромб имеет ровно 2 оси симметрии —
V ромба 3 = 2 ОСЬ СИММЕТРИИх{ромб0)\
(2) Во всякий треугольник можно вписать окружность
(иначе: Для всякого треугольника существует вписанная
в него окружность) —
V трка з о/срр ВПИСАН (окр$> трка)\
(3) Не всякий выпуклый четырехугольник является
вписанным —
ПУчтка<ВЫПУКЛЫЙ (чтка)>(ВПИСАН (чтка))\
(4) Никакая хорда окружности не превосходит ее
диаметра —
\/окра v ХОРДА х (окра) v ДИАМЕТРу (окра)
Н(БОЛЬШЕ (ХОРДАх, ДИАМЕТРу))\
(5) Многоугольник является квадратом, если и только если
он является ромбом и прямоугольником —
\/мнка (КВАДРАТ (мнка) ~ [РОМБ &
ПРЯМОУГОЛЬНИК! (мнка))\
(6) Либо треугольник равносторонний, либо некоторый его
угол не равен 60° —
утр/са (РАВНОСТОРОННИЙ (трка) V 3 УГОЛА
(трка) "1РАВЕН (УГОЛА, 60°));
(7) Любая хорда окружности меньше ее диаметра —
Vo/cpa v ХОРДА х (окра) v ДИАМЕТР у (окра)
(МЕНЬШЕ (Х0РДАх, ДИАМЕТРу)).
Для теоремы с ЛП-структурой вида
V* (А (х)-*(В (х) & СИ)
обратной естественно считать теорему со структурой вида
V*(B Й & С(х)->А(*)).
Например, для (8) обратной будет (8'):
(8) Если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3\
(8') Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
А. П. Киселев [4, § 106), который указывает для
теоремы (9) с той же структурой, что у (8), две обратных, (9')
и (9"), со структурами соответственно
V*(B (*)->•'А (х) & СИ),
vx (С Й->А Й & В Й),
в этом месте неправильно пользуется термином «обратная
57

теорема»; единственной действительно обратной для (9)
является (9"'):
(9) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду
и стягиваемую ею дугу пополам;
(9') Диаметр, проходящий через середину хорды,
перпендикулярен ей и делит стягиваемую ею дугу пополам;
(9") Диаметр, проходящий через середину дуги,
перпендикулярен к стягивающей ее хорде и делит эту хорду
пополам;
(9'") Диаметр, который делит хорду и стягиваемую ею
дугу пополам, перпендикулярен к этой хорде.
Спорным является вопрос о допустимости обращений,
основанных на «истолковании» содержащихся в
предложении существительных через предикаты. Так, И. С. Град-
штейн [1 ] полагает, что предложение (10) Диагонали ромба
взаимно перпендикулярны имеет в качестве обратного
предложение (10') Если диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны,' то этот четырехугольник — ромб
(ложное) и даже (10") Если диагонали параллелограмма взаимно
перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб (ис«
тинное).
ЛПС предложения (10) имеет вид:
V ромба v ДИАГОНАЛЬх (ромба) v ДИАГОНАЛЬу
(ромба) ПЕРПб3 (1ДИАГОНАЛЬх & ДИАГОНАЛЬу]).
Чтобы получить для (10) в качестве обратных (10')
и (10"), необходимо принять следующие допущения. Во-
первых, нужно допустить, что любое существительное
выражает скрытое ограничительное условие, т. е. является
отпредикатным именем; в частности, в ЛПС предложения
(10) слово ромб надо рассматривать как отпредикатное имя
предиката ЯВЛЯЕТСЯ РОМБОМ. Во-вторых, нужно
допустить, что аргументом предиката в этом ограничительном
условии может быть не только переменная универсал^юй
предметной области «предмет», как принято в определении
конструкции с отпредикатным именем, см. преобразование
II в § 4, но и переменные всех других предметных
областей, которые не противоречат смыслу предиката; в
частности, для получения (10') надо выделить переменную
предметной области «четырехугольник», а для (10")—
«параллелограмм». Наконец, в-третьих, нужно допустить, что
любое ограничительное условие, в том числе такое скрытое,
может стать акцентированным.
Эти допущения, однако, представляются
необоснованными. Признать предложения (10') и (10") обратными для
58

(10) — это значит сделать обращение принципиально более
неоднозначной операцией, чем оно в действительности
является. Таким образом, естественно считать, что
предложение (10) не имеет обратного. Предложения (10') и (10")
являются обратными не от предложения (10), а соответственно
от предложений (11) и (12):
(11) Если четырехугольник является ромбом, то его
диагонали взаимно перпендикулярны;
(12) Если параллелограмм является ромбом, то его
диагонали взаимно перпендикулярны.
§ 9. СЕМАНТИЧЕСКИЕ АНОМАЛИИ
ПРИ ОБРАЩЕНИИ
Структура формулы РЛЯ такова, что замена в ней
посылки на заключение и обратно всегда дает снова правильно
построенную формулу РЛЯ. Тем самым описанная
процедура обращения гарантирует синтаксическую правильность
РЛЯ-структуры обратного предложения и, далее, самого
обратного предложения даже ппи весьма содержательном
понимании синтаксиса, когда достаточно тонкие
ограничения относятся к числу синтаксических. Однако возможность
возникновения разного рода семантических
аномалий в 'обращенной РЛЯ-структуре — и
соответственно в обращенном предложении — не исключена.
Источником семантической аномалии всегда является
в конечном счете того или иного вида противоречие или
тавтология в семантическом представлении предложения.
Аномалии, . возникающие при обращении, — это всегда
аномалии типа тавтологий. Действительно, между посылкой
и заключением ЛПС обязательно есть какие-то
семантические связи, т. е. у посылки и заключения имеются
некоторые общие смысловые компоненты. Они и оказываются
при определенных условиях источником тавтологии.
Дело в том, что обращение предложения
сопровождается изменением исходного порядка следования частей
предложения. Между тем одно только изменение порядка
следования частей предложения — при наличии определенного
рода семантических связей между этими частями — может
сделать предложение тавтологичным. Общий механизм
возникновения тавтологии при перестановке можно
показать на следующем примере:
59

(1) а. У Ивана есть жена; она (=*жена Ивана') работает
в сберкассе;
б. ? Жена Ивана работает в сберкассе; у него есть
жена16.
Как видно из примера (1), для повторяющихся
компонентов смысла небезразлично их отношение к
прагматической организации предложения и к линейному порядку.
Если в предложении некоторый смысловой компонент
вначале выступает как акцентированный, утверждаемый,
а затем — как тематический, подразумеваемый (как
компонент' у Ивана есть жена' в (1а)), то предложение нормально;
обратный же порядок — когда вначале компонент
появляется как тематический, а затем как утверждаемый (как в
(16)) — воспринимается как семантическая аномалия;
такая структура «тривиальна», тавтологична.
Итак, чтобы при обращении предложения возникла
тавтология, достаточно, чтобы ЛПС обращаемого предложения
была устроена так, что в ее посылке некоторый смысловой
компонент о выступает как утверждаемый (например, ему
соответствует сказуемое условного придаточного), а в
заключении повторяется тот же компонент а, но уже как
тематический. Когда происходит обращение такой ЛПС,
порядок следования утверждаемого и тематического
употребления компонента а изменяется на противоположный,
и возникает семантическая аномалия. Рассмотрим
несколько примеров.
(2) Если треугольник прямоугольный, то его наибольшей
стороной является та, которая противолежит его
прямому углу;
R (2) ? Если наибольшей стороной треугольника
является та, которая противолежит его прямому углу,
то треугольник прямоугольный.
В предложении (2) в посылку входит компонент а
'Треугольник X прямоугольный', который выступает здесь
как утверждаемый. Кроме того, в сущности тождественный
смысловой компонент а' 'Существует прямой угол
треугольника' повторяется в качестве тематического (в составе
сочетания его прямому углу) в заключении. Предложение
(2) нормально. В предложении R (2) компонент а' входит
в качестве тематического в посылку, а затем тождественный
ему смысловой компонент а появляется в качестве утверж-
16 Значок ? указывает на семантическую аномалию.
60

даемого в заключении. Предложение R(2) аномально.
Другой пример.
(3) Если прямая касается окружности, то радиус,
проведенный в точку их касания, перпендикулярен в этой точке
к этой прямой;
R (3) ? Если радиус, проведенный в точку касания
прямой с окружностью, перпендикулярен в этой точке
к этой прямой, то прямая касается окружности.
В предложении (3) компонента4 Прямая касается
окружности' входит в качестве утверждаемого в посылку, а
компонент а' 'Существует точка касания прямой с
окружностью', возникающий из сочетания точку их касания, входит
в качестве*тематического в заключении. Предложение (3)
нормально. В предложении R (3) компонент а' входит в
качестве тематического в посылку, а затем компонент а
входит в качестве утверждаемого в"заключении, так что R (3)
аномально.
Подчеркнем, что смысловые компоненты а и а' в
примерах (2), (3) тождественны, но выражены в языке
существенно различными способами. Еще один пример.
(4) Если треугольник прямоугольный, то медиана,
проведенная к его гипотенузе, равна ее половине;
R (4) ? Если в треугольнике медиана, проведенная к
гипотенузе, равна ее половине, то треугольник
прямоугольный.
В предложении (4) в посылку входит в качестве
утверждаемого смысловой компонент а треугольник
прямоугольный', а в заключении имеется тот же компонент, поскольку
сочетание гипотенуза треугольника предполагает, что
имеется в виду прямоугольный треугольник. Компонент
'Треугольник прямоугольный1 возникает в посылке в
качестве презумпции (см. [12]) предиката ЯВЛЯЕТСЯ
ГИПОТЕНУЗОЙ, а в заключении — в качестве утверждаемого,
так что предложение R (4) аномально.
При построении обратного предложения семантическую
аномалию можно рассматривать как своего рода фильтр:
если обращенная ЛПС оказывается семантически
аномальной, то обращение (или данный вариант обращения, если
обращение неоднозначное) должно быть признано
невозможным.
Чаще, однако, к семантическим аномалиям подходят
иначе: если результат обращения данного предложения
дает семантическую аномалию, то предложение заменяется
другим — не синонимичным исходному, а лишь близким
61

по смыслу, которое обращается уже без семантической
аномалии. Однако направленное преобразование данного
предложения в предложение, близкое по смыслу к данному, но
обратимое без аномалий, — это отдельная и весьма трудная
задача.
ЛИТЕРАТУРА
1. Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы. Изд. 3-е,
М., Физматгиз, 1959.
2. Болтянский В. Г. Как устроена теорема?—«Математика
в школе», 1973, № 1.
3. Болтянский В. Г. Четырехугольники.—«Квант», 1974,
№ 9, стр. 53—56.
4. К и с е л е в А. П. Геометрия. Ч. I. Изд. 21-е. М., 1962.
5. Геометрия в VI классе. В помощь учителю. М., 1972.
6. Крейдлин Г. Е. Значение и употребление слова наоборот*
«Семиотика и информатика», вып. 7. М., ВИНИТИ, 1976.
7. Падучева Е.В. О семантике синтаксиса. М., 1974.
8. L a k о f f G. Linguistics and natural logic. B: D. Davidson,G. Har-
man (eds.) Semantics of natural language. Dordrecht, 1972, c. 545—
665.
9. Шиханович Ю, А. Введение в современную математику,
М., Ш65,
Ю.Кузнецов А. В., Падучева Е. В.,
Ермолаева Н. М. Об информационном языке для геометрии и
алгоритме перевода с русского языка на информационный и обратно.—
«Машинный перевод и прикладная лингвистика», 1961, № 5, 6.
И.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.,
J976.
12. П а д у ч е в а Е. В. О понятии презумпции в лингвистической
семантике.— «Семиотика и информатика», вып. 8. М., ВИНИТИ,
1977.
13. К о р е л ь с к а я Т. Д. О формальном описании
синтаксической синонимии. М., 1975.
14. К о р е л ь с к а я Т. Д. Об алгоритме перевода с естественного
языка на информационно-логический — «Научно-техническая
информация», сер. 2, 1975, № 6*.
15. Падучева Е.В. Актуальное членение и структура имен
объектов.— В кн.: Синтаксическая семантика. М., 1977.
16. V a n D i j k T. A. Text and Context. Explorations in the
Semantics and Pragmatics of Discourse. London, Longman, 1978.

СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Обратная теорема и обратное предложение
§ 2ч Некоторые подходы к определению
обратной теоремы , . . . , . . , ш ш , ,
§ 3* Логико-семантическая структура
предложения t ш . # . . I ч м t ■ i • • » •
§ 4. Логико-прагматический анализ предложения 31
§ 5. Определение обратной теоремьь УИ-форма 41
§ 6. Приведение логико-прагматической
структуры к УИ-форме . . . i . i , * . , . 45
§ 7. Переход от обращенной
логико-прагматической структуры к синтаксической . , , . 53
§ 8, Теоремы, не имеющие обратных .... 56
§ 9. Семантические аномалии при обращении 59
Литература 62
13
22

Татьяна Дмитриевна КОРЕЛЬСКАЯ
Елена Викторовна ПАДУЧЕВА
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА (алгоритмические и эвристические
процессы мышления)
Главный отраслевой редактор В. П. Демьянов
Младший редактор Е. М. Авешникова. Художник
Л. П. Р о м а с е н к о. Техн. редактор А. М. Красави-
н а. Корректор В. В. К а н о ч к и н а.
ИБ № 1355
Т-04294 Индекс заказа 84302.
Сдано в набор 16/XII-77 г. Подписано к печати 1/И-78 г.
Формат бумаги 84ХЮ87з2- Бумага типографская № 3 Бум. л. 1
Печ. л. 2 Усл. печ. л. 3,36 Уч.-изд. л. 3,48 Тираж 42 380 экз.
Издательство «Знание». 101835, Москва, Центр, проезд Серова, д. 4.
Заказ 2930.
Чеховский полиграфический комбинат Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области,
Цена 11 коп.