1952_mason

Похожие
Основы кристаллофизики
Электрические кристаллы
Ультразвук и его применение в науке и технике
Кристаллография. Издание второе
Текст
                    У.Л1 aj он

ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ

КРИСТАЛЛЫ

И
ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

В УЛ ЬТРААКУСТИКЕ
У. мэзон

ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
КРИСТАЛЛЫ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

В УЛЬТРААКУСТИКЕ

Перевод с английского
под редакцией

А. В. ШУБНИКОВА и С. Н. РЖЕ В К ИН А

и*л

ИЗДАТЕЛЬСТВО

ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва* 1952
PIEZOELECTRIC CRYSTALS
AND THEIR
APPLICATION TO ULTRASONICS

By
WARREN P. MASON

New York

19 5 0
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ

Пьезоэлектрический эффект был открыт в 1880 г. братьями Кюри в кри-
сталлах кварца и в основных чертах изучен ими. В дальнейшем он был
обнаружен в ряде других кристаллов. Изучение пьезоэффекта носило перво-
начально академический характер, и пьезоэлектричество не находило прак-
тических применений. Исследования в этой области велись в основном в рам-
ках классической кристаллографии и ограничивались изучением статических
явлений.

В период первой мировой войны П. Ланжевен впервые применил пьезо-
кварц для устройства подводных излучателей и приемников ультразвука
и положил начало изучению и применению пьезокристаллов в динамическом
(колебательном) режиме.

Эти работы наряду с развитием радиофизических методов, основанных
на применении электроники, послужили мощным толчком для разнообраз-
ных применений пьезокристаллов в науке и технике, к развитию теории пье-
зоэффекта и детальному изучению широкого класса веществ, обладающих
пьезоэлектрическими свойствами.

В настоящее время применения пьезоэлектрического эффекта настолько
важны и обширны, что можно говорить о рождении новой области техники—
пьезотехники.

Монография Мэзона «Пьезоэлектрические кристаллы и их применения
в ультраакустике» написана на основе изысканий и исследований, проведен-
ных в последние годы в лаборатории, руководимой автором, с учетом, хотя
и неполным, общих литературных данных.

В первых пяти главах автор в сжатой форме дает необходимые сведения по
кристаллографии, излагает феноменологическую теорию пьезоэлектрических
явлений и способы измерения пьезоэлектрических постоянных посредством
возбуждения резонансных колебаний.

Главы VI и VII посвящены подробному изложению свойств и примене-
ний кварца и сегнетовой соли—наиболее полно изученных и наиболее широ-
ко используемых кристаллов.

В VIII, IX и X главах приведены весьма интересные данные о новых
пьезокристаллах, выращиваемых искусственным путем из пересыщенных рас-
творов. При поисках новых кристаллов в лаборатории автора было предва-
рительно исследовано более полутораста различных веществ и из них ото-
браны немногие—лучшие. Методы выращивания этих кристаллов, изучение
их свойств, способов изготовления кристаллических срезов для различных
применений и измерительная аппаратура—все это разрабатывалось и осуще-
ствлялось главным образом за последние десять лет. В своей монографии
автор достаточно подробно освещает эти вопросы, излагает способы расчета
и изготовления разнообразных кристаллических пьезоэлементов, предназна-
ченных для получения или приема различного типа колебаний (продольных,
изгибных, сдвиговых, крутильных и др.), приводит значения пьезоэлектри-
ческих постоянных и описывает методы использования пьезоэлементов в
разнообразных технических и измерительных схемах. В XI и XII главах
излагается теория сегнетоэлектричества кристаллов (которая строится ана-
логично теории ферромагнетизма), а также теория электрострикционных
(квадратичных) эффектов в сегнетоэлектриках и титанате бария.

В XIII, XIV и XV главах автор дает картину современных методов ис-
следования свойств газов, жидкостей и твердых тел посредством ультразву-
ка, возбуждаемого пьезокристаллами. Среди этих исследований следует
отметить весьма важные исследования упругих и вязких свойств жидкостей
и полимеров, проводимые методом возбуждения сдвиговых волн посредством
пьезоэлементов специальной кристаллографической ориентировки, а также
исследования затухания и рассеяния ультразвука в металлах (импульсным
методом) и зависимости этих явлений от. величины зерен поликристалличе-
ских агрегатов.

Во всех главах автор дает общий обзор разбираемых вопросов, однако
наиболее подробно он везде излагает результаты работ своей лаборатории.
При этом сообщаются весьма существенные детали методики и техники экспе-
римента, а также подробности теоретических расчетов, что делает излагае-
мый материал весьма интересным и полезным для ознакомления.

К сожалению, Мэзон делает мало ссылок на р'аботы своих предшествен-
ников и современников в рассматриваемых вопросах. Ссылок на советские
работы по пьезоэффекту и ультразвуку, за редкими исключениями, мы не нахо-
дим. Так, совершенно не упоминаются весьма важные работы И. В. Курчатова,
которым впервые, еще в 1932 г., дана теория сегнетоэлектрического эф-
фекта, работы А. В. Шубникова по пьезоэлектрическим текстурам, работы
С. Я. Соколова по ультразвуковой импульсной дефектоскопии, работы
А. А. Харкевича по определению констант сегнетовой соли, в которых была
дана критика аналогичных работ Мэзона, и многие другие работы.

Для того чтобы читатель мог получить правильную ориентацию в вопро-
сах исторического хода развития работ по пьезоэлектричеству и ультразвуку
и приоритета тех или иных открытий или исследований, редакторы дали
ряд подстрочных примечаний и дополнительных ссылок на работы совет-
ских авторов.

При переводе книги Мэзона было обнаружено довольно много неясно-
стей, промахов и ошибок в изложении. В очевидных случаях исправления бы-
ли сделаны непосредственно в тексте. Там, где это было необходимо, соответ-
ствующие поправки сделаны редакторами в примечаниях.

Книга Мэзона будет полезна советским читателям—инженерам, физи-
кам, научным работникам различных профилей, аспирантам и студентам—
в качестве справочного руководства при экспериментировании с пьезоэлек-
трическими кристаллами.

Чл.-корр. АН СССР А. Шубников,
профессор С. Ржев кин.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

В течение последних 30 лет в лабораториях Белла проводилась большая
работа по исследованию пьезокристаллов с целью их применения в аппара-
туре связи (фильтры, генераторы, электромеханические преобразователи),
увенчавшаяся недавно открытием двух новых моноклинных пьезокристал-
лов: тартрата калия (DKT) и этилендиаминтартрата (EDT). Эти кристаллы
обладают такими свойствами, что успешно заменяют кристаллы кварца в те-
лефонных фильтрах. Это открытие дало возможность более широко приме-
нять в телефонии системы с высокочастотной несущей. Основная цель дан-
ной книги—описать эту работу с экспериментальной и теоретической сто-
роны.

Для того чтобы сделать изложение более понятным, в книгу включены
главы, посвященные кристаллографии и уравнениям, описывающим упругие,
пьезоэлектрические и диэлектрические свойства кристаллов, а также прило-
жение, показывающее применение тензоров к описанию свойств жидкостей,
газов и твердых тел. Следовательно, эту книгу можно рассматривать как
введение в учение о пьезоэлектричестве. Однако автором не было сделано
попыток рассматривать вопрос с исторической точки зрения, так как это уже
было сделано в фундаментальной работе Кэди «Пьезоэлектричество», опубли-
кованной в 1946 г. Напротив, большее внимание было уделено свойствам
новых кристаллов: дигидрофосфата аммония (ADP), широко применявшегося
во время второй мировой войны для электромеханических преобразователей
в гидроакустике, дигидрофосфата калия (KDP)—нового сегнетоэлектриче-
ского кристалла, этилендиаминтартрата (EDT) и тартрата калия (DKT),
недавно открытых пьезокристаллов, а также свойствам керамики из тита-
ната бария, обладающей эффектом электрострикции, сравнимым с наиболь-
шим пьезоэффектом известных нам кристаллов. Теория сегнетоэлектриче-
ского эффекта сегнетовой соли, тартрата калия и титаната бария, предло-
женная автором, изложена здесь более полно, чем где бы то ни было.

Пьезокристаллы, применяемые в качестве электромеханических преобра-
зователей, дали возможность развить другую экспериментальную науку—•
ультраакустику. Посредством ультразвуковых волн, возбуждаемых в газах,,
жидкостях и твердых телах, можно получить ценные сведения об их свой-
ствах и молекулярных процессах в этих трех агрегатных состояниях веще-
ства. Последние три главы книги посвящены описанию методов получения
и измерения ультразвуковых волн и результатов, полученных при этих
измерениях.

Глава I

* ВВЕДЕНИЕ

§ 1.	Природа пьезоэлектрического эффекта

Пластинка, вырезанная* из пьезоэлектрического кристалла и снабжен-
ная электродами, служит не только конденсатором, но и электромеханиче-
ским преобразователем, превращающим электрическую энергию в механи-
ческую и обратно. Слово «пьезо»—греческого происхождения и означает
«давлю», поэтому термином «пьезоэлектричество» обозначают электричество,
возбужденное путем давления. Оно возникает только в твердых диэлектри-
ках. Пьезоэлектрический эффект может быть возбужден в воске и различных
смолах при их затвердевании в постоянном электрическом поле, но кристал-
лические тела представляют несравненно большую группу веществ, обнару-
живающих пьезоэффект1). Обратный пьезоэлектрический эффект, как и элек-
трострикция, приводит к изменению формы диэлектрика под действием при-
ложенного электрического напряжения. Однако это два различных эффекта.
Первый эффект является линейным, т. е. при перемене знака электрического.,
напряжения происходит и перемена знака возникшей механической деформа-
ции, в то время как электрострикция является четным эффектом и знак деформа-
ции при перемене знака разности потенциалов не изменяется. Эффект электро- j
стрикции обычно очень мал по сравнению с пьезоэлектрическим, но в сегнето-"
электриках типа сегнетовой соли и титаната бария он может быть достаточно
большим.

Все кристаллические тела являются анизотропными, т. е. в противо-
положность изотропным телам обладают, вообще говоря, различными свой-
ствами по различным направлениям. По своей симметрии кристаллы могут
быть разделены на 32 класса. В 20 классах, называемых «пьезоэлектрически-
ми» классами, кристаллы обладают пьезоэлектрическими свойствами,
а в остальных 12 классах кристаллы не могут иметь этих свойств. За единствен-
ным исключением, критерием отнесения кристалла к пьезоэлектрикам слу-
жит отсутствие центра симметрии2). Кристалл, обладающий тщалремтпптмгггртя,
не может быть пьезоэлектриком потому, что никакой комбинацией однород-
ных механических напряжений нельзя разделить центры тяжести положи-
тельных и отрицательных зарядов и вызвать появление дипольного момента,
т. е. возбудить в кристалле электрическую поляризацию. Так как пьезокри-

При затвердевании смол в сильном постоянном электрическом поле получаются
тела, называемые электретами. Они характеризуются наличием постоянного электри-
ческого момента, существование которого в пьезоэлектрических кристаллах не обяза-
тельно. (Прим, ред.)

2) Следует иметь в виду, что признак ацентричности является только необходимым,
но не достаточным условием существования в кристалле пьезоэлектрических и, вообще,
полярно-электрических свойств (см. книгу А. В. Шубникова [3]). Помимо кристаллов,
обладающих пентагон-триоктаэдрической точечной группой симметрии, которая является
исключением, известно много кристаллов, принадлежащих к так называемым «пьезоэлект-
рическим» классам, но тем не менее не имеющих пьезоэлектрических свойств. Мы сохра-
няем термин «пьезоэлектрический» класс лишь ради краткости, имея в виду выше-
сказанное. Если принадлежность кристалла к пьезоэлектрическому классу еще не
гарантирует существования у него пьезоэлектрических свойств, то, наоборот, наличие
этих свойств служит достаточной гарантией отсутствия у кристалла центра симметрии,
(Прим, ред.)
сталл является электромеханическим преобразователем, мы должны рас-
сматривать системы его упругих и диэлектрических постоянных одновременно
с системой пьезоэлектрических постоянных.

Асимметричный кристалл всегда имеет 21 упругую, 18 пьезоэлектрических
и 6 диэлектрических постоянных. По мере возрастания симметрии число
постоянных, которыми может обладать кристалл, уменьшается1). Наиболее
симметричный кристалл, принадлежащий к кубической системе, имеет только
3 упругих, 1 пьезоэлектрическую и 1 диэлектрическую постоянную2).

§ 2.	Исторический очерк

Пьезоэлектрический эффект был обнаружен экспериментально в 1880 г.
братьями Пьером и Жаком Кюри. Они нашли, что при помещении груза на
поверхность кристалла на ней появлялись электрические заряды. Эти за-
ряды, измерявшиеся электрометром, оказались пропорциональными прило-
женной нагрузке. Так был открыт прямой пьезоэлектрический эффект. Бра-
тья Кюри обнаружили существование этого эффекта на значительном числе
кристаллов, включая кварц, сегнетову соль и турмалин, которые употре-
бляются и в настоящее время чаще всего. Существование обратного пьезо-
электрического эффекта, состоящего в возникновении механических напря-
жений и упругих деформаций под действием приложенного электрического
напряжения, было теоретически предсказано Липпманом в 1881 г. и затем
экспериментально подтверждено братьями Кюри. Среди первых исследовате-
лей пьезоэффекта следует назвать Кельвина, предложившего молекулярную
теорию и механическую модель для объяснения пьезоэффекта, Поккельса,
определившего пьезоэлектрические постоянные ряда веществ и во многом
развившего теорию электрооптического эффекта в кристаллах, Дюгема, чьи
формулировки принципов пьезоэлектрических явлений имели фундаменталь-
ное значение, и, наконец, Фохта, который систематизировал работу своих
предшественников и в своем фундаментальном учебнике кристаллофизики3)
собрал и обобщил большую часть того, что было известно о пьезоэлектриче-
стве до первой мировой войны4 5).

Связь пьезоэлектричества с атомной структурой кристаллов установле-
на лишь в общих чертах. Теория, могущая предсказать величину пьезоэлек-
трических констант и связать эти константы с химическим строением кри-
сталлов, находится еще в зачаточном состоянии. Наиболее существенный
вклад в этом направлении внесли Р. Е. Гиббс и М. Борн, вычислившие теоре-
тически величины пьезоэлектрических постоянных для кварца и цинковой
обманки. Вычисленные величины отличаются от экспериментальных значе-
ний не более чем в 10 раз б).

*) Здесь и везде далее, когда рассматриваются тензоры упругих, диэлектрических
и пьезоэлектрических постоянных кристалла, идет речь, если нет специального замеча-
ния, об основных постоянных кристалла, т. е. о постоянных, отнесенных к прямоуголь-
ным осям координат в общепринятой в кристаллографии ориентации. {Прим, ред.}

2) Естественно, что для непьезоэлектрических классов симметрии пьезоэлектриче-
ские постоянные равны нулю. {Прим, ред.}

3) См. [4]. {Прим, ред.}

4) Необходимо отметить среди первых исследователей полярно-электрических эффек-
тов имена русских ученых: В. Коленко, установившего зависимость пироэлектрического
эффекта от симметрии кристалла [5], и Ю. В. Вульфа, открывшего фундаментальный
факт существования двух типов пироэлектричества [6]. Это открытие иностранные ученые
(см., например, книгу Кэди [7], стр. 18) до сих пор без достаточных оснований продол-
жают приписывать Фохту, который значительно позднее ввел термины «истинное» и
«ложное» пироэлектричество для обозначения этих двух типов пироэлектричества [8].
{Прим, ред.}

5) Дальнейшее развитие теории Борна (см. [13]) дано в статье Хуанга [9], принима-

ющей в расчет, помимо упруго волновых взаимодействий, кулоновское взаимодействие
между заряженными частицами решетки. (См. также [14, 15]). {Прим, ред.}
До первой мировой войны пьезоэлектрический эффект оставался только
более или менее любопытным научным фактом. Во время войны французское
правительство предложило П. Ланжевену изыскать способы обнаружения
подводных лодок. После испытания ряда средств он, наконец, нашел, что
для этой цели могут быть использованы пьезоэлектрические свойства кри-
сталлов кварца. Главную роль в его приборе играл излучатель, состоящий
из нескольких пластинок кварца, смонтированных в форме мозаики между
стальными пластинами. При наложении переменной разности потенциалов
кварцевая мозаика начинала вибрировать, излучая в воду продольные уль-
тразвуковые волны. И обратно, волны, падающие на такую систему, застав-
ляли мозаику вибрировать и возбуждали в ней переменную э. д. с., которую
можно было обнаружить с помощью лампового усилителя. Ланжевен усо-
вершенствовал свое изобретение лишь после первой мировой войны, однако
еще во время войны прибор Ланжевена употреблялся в качестве эхолота.
Во время второй мировой войны аналогичные устройства уже широко исполь-
зовались для обнаружения подводных лодок.

В 1917 г. Никольсон сконструировал ряд громкоговорителей, микрофо-
нов и звукоснимателей, использовав для этой цели пьезоэлектрические
свойства сегнетовой соли. Ему же принадлежит первый патент на изобрете-
ние стабилизируемого кристаллом генератора (в качестве стабилизатора
использовалась сегнетова соль). В 1921 г. Кэди показал, что кристаллы квар-
ца могут быть использованы в качестве кристаллических стабилизаторов,
гораздо более устойчивых в работе, чем стабилизаторы с сегнетовой солью.
"Это было началом чрезвычайно широкого употребления пьезокристаллов для
контроля частот, особенно в приборах военной связи. Генераторы с кварце-
выми пластинками КТ-среза, описанного в гл. VI, обеспечивают получение
наиболее стабильных по частоте колебаний и служат лучшими стандартами
времени из всех, какие могут быть получены в настоящее время.

Пьезоэлектрические кристаллы также широко используются в схемах
фильтров с высокой избирательностью. Такие кристаллы обладают очень
большим значением добротности Q, и поэтому особым образом вырезанные
кристаллические пластинки могут быть включены в цепь совместно с индук-
тивностями и емкостями для получения фильтров с чрезвычайно высокой
избирательностью. Такие фильтры употребляются в системах с высокочастот-
ной несущей и в коаксиальных системах для разделения нескольких одно-
временных телефонных переговоров, передающихся по одной парс проводов.
Для этих целей первоначально употреблялся кварц, но новое искусственное
соединение—этилендиаминтартрат (EDT)1), кристаллы которого обладают
достаточно низкими температурными коэффициентами частоты и достаточно
высокой стабильностью,—начинает уже конкурировать с кварцем.

§ 3.	Кристаллические системы, постоянные кристаллов,
эффект электромеханического преобразования

32 класса кристаллов, выделяемые по признаку симметрии, объединя-
ются в более крупные подразделения, носящие название кристаллических

систем. Как описывается в гл. II, кристаллы^тцщнадлежащие к разным систе-
мам, отличаются по углам между ребрами и относительным размерам ребер
элементарных ячеек. Такие ячейки совмещаются д^уг с другом операцией

параллельного переноса, т. е. трансляции вдоль ребер на единичные отрезки.
Ребра ячейки параллельны кристаллографическим осям а, Ь и с, а их вели-
чины являются единичными отрезками вдоль этих осей. Всего существует

В дальнейшем для этилендиаминтартрата наряду с полным наименованием будет
употребляться и сокращенное—EDT, которое происходит от иностранного названия—
ethylene diamine tartrate. {Прим, ред )
7 кристаллических систем1), каждая из которых характеризуется своим типом
элементарной ячейки. 32 класса кристаллов различаются по набору элемен-
тов симметрии, определяемому расположением молекул внутри элементар-
ных ячеек.

Наиболее низкой симметрией обладает триклинная система. В этой
системе все три кристаллографические оси наклонены под косыми углами
друг к другу и все размеры ребер элементарной ячейки различны. При вычи-
слении упругих постоянных триклинных кристаллов удобнее пользоваться
прямоугольной системой осей, связанных с кристаллографическими осями
а, b и с, согласно определенным правилам (см. фиг. 3). Остальные кристал-
лические системы можно вывести из триклинной системы, как подробно опи-
сано в гл. II.

В зависимости от принадлежности к тому или иному классу кристаллы
будут иметь различное число основных упругих, диэлектрических и пьезо-
электрических постоянных или вовсе не иметь пьезоэлектрических посто-
янных. Эти основные постоянные определяются при основной установке
кристалла в прямоугольной системе осей х, у и z. Если мы желаем исследо-
вать свойства кристаллической пластинки, вырезанной косо по отношению
к этим осям, то, введя новую систему осей, можем вычислить с помощью урав-
нений преобразования координат,' выведенных в приложении, постоянные
при установке кристалла по новым осям, если известны постоянные кристал-
ла в основной установке. Вычисленные постоянные будут линейной комби-
нацией основных постоянных. Наоборот, для получения основных постоян-
ных часто удобнее проводить измерения свойств на косых срезах кристалла
и от полученных данных перейти к требуемым величинам путем вычислений.
Косые срезы часто интересны и сами по себе ввиду особых свойств, таких,
как низкие температурные коэффициенты частоты, высокая электромехани-
ческая связь, свобода от нежелательных связанных колебаний2) (моночастот-

*) Строго говоря, существует только 6 систем, если основываться на законе поясов
Вейсса. Автор под термином «кристаллическая система» понимает сингонию простран-
ственной решетки. Существует 7 сингоний, соответствующих «системам» автора. {Прим,
ред.)

2) Автор систематически применяет термин «мода колебания (или волны)», но исполь-
зует его зачастую неудачно, что приводит к смешению с терминами «тип колебания
(или волны)», «форма колебания (или волны)».	,

Термин «мода колебания (или волны)» или просто «мода» целесообразно применять
только для определения характерной пространственной конфигурации колеблющейся си-
стемы при одной из ее собственных частот Эта конфигурация характеризуется известным
числом зон (или участков) тела с максимальной амплитудой колебаний в середине зон (пуч-
ностей), разделенных узловыми точками в случае линейной системы (типа струны), узло-
выми линиями в случае двумерной системы (типа мембраны или тонкой пластинки) и узло-
выми поверхностями в случае трехмерной системы (типа массивных блоков, толстых
пластинок и стержней). Термин «мода» не является синонимом термина «нормальное ко-
лебание»—он является менее общим, так как ограничивается лишь характеристикой про-
странственной конфигурации колебаний тела.

Мода колебания одномерной системы определяется одним характеристическим чис-
лом (например, т), двумерной системы—двумя числами (например, т, п) и трехмерной
системы—тремя числами (например, т, п, р). Таким образом, удобно коротко обозначать
моду колебаний, говоря: мода (ш), мода (т, п) или мода (ш, п, р). Моду колебания систе-
мы, соответствующую наинизшей частоте, мы будем называть основной, другие же-—выс-
шими модами. Обертоны любой системы соответствуют высшим модам колебания.

Применение для того же понятия терминов «тип колебания (или волны)», «форма
колебания (или волны)» и др. ведет к недоразумениям, так как эти термины часто
относят также и к совершенно иным характерным свойствам колебательных процессов.

Термин «тип волны» мы будем применять для учета разницы направления колеба-
ний и направления волны. Так мы будем говорить о волнах продольного или попереч-
ного типа. Термин «форма колебания (или волны)» характеризует вид зависимости той
или иной величины, связанной с волновым движением от времени или пространства.
Так можно говорить о волнах синусоидальной, прямоугольной, треугольной и тому по-
добной формы. {Прим, ред.)
ность) ит. д., которые в косых срезах часто можно получить более легко, чем
в срезах вдоль прямоугольных осей.

Так как пьезокристалл является электромеханическим преобразовате-
лем, постоянные кристалла изменяются в зависимости от приложенной
к кристаллу механической нагрузки1). Например, если диэлектрическая про-
ницаемость, часто называемая диэлектрической постоянной, измеряется
в кристалле, жестко зажатом так, что кристалл не может деформироваться,
то определяется так называемая диэлектрическая проницаемость зажатого
кристалла. Если же зажим обладает некоторой гибкостью, то в кристалле
может быть запасена добавочная энергия в механической форме, а это при-
водит к увеличению диэлектрической проницаемости. Эффект возрастает
еще более, если кристалл может свободно колебаться. В этом случае при
измерении определяется так называемая диэлектрическая проницаемость
свободного кристалла.

V ..Разпость-между постоянными для свободного и зажатого кристалла опре-
деляется коэффициентом электромеханической связи, свойственным данному
кристаллу. Квадрат этого коэффициента определяется отношением энергии,
проявляющейся в механической форме для данного типа смещений, к полной
электрической энергии, полученной от батареи на входе. Как показано
в гл. V, этот коэффициент для данной моды колебаний равен

где d—пьезоэлектрическая постоянная, равная отношению деформации
к напряженности электрического поля, гТ —диэлектрическая проницаемость
и sE•—постоянная гибкости2).

Наоборот, упругие постоянные зависят от электрических условий, суще-
ствующих при измерении соотношения между механическим напряжением
и деформацией. Если электрическая цепь разомкнута, то определяются по-
стоянные гибкостиче^Е, соответствующие нулевой электрической индукции
(за исключением небольшой группы кристаллов, для которых направление
электрической индукции не совпадает с направлением поля). Если обкладки
кристалла замкнуты накоротко, то при измерении определяются постоянные
для нулевого поля. Отношение двух соответственных постоянных гибкости,
а также двух диэлектрических проницаемостей, равно

1 3)

I SD gS 1 — k2 ’

(1.2)

где гт—диэлектрическая проницаемость свободного кристалла, a es—диэлек-
трическая проницаемость зажатого кристалла4).

х) Термин «постоянная» не совсем удачен для обозначения величин, меняющихся в за-
висимости от направления измерения в кристалле и от других условий опыта. Зависи-
мость электрических характеристик кристалла от механических условий измерения обще-
известна. Менее известными являются нелинейные эффекты, приводящие к изменению
упругих постоянных кристалла под действием механического напряжения. Эти эффекты
обсуждаются в приложении, §6. Лишь при определенных точно учитываемых условиях
опыта постоянные кристалла имеют строго определенные значения. Чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, автор над символами постоянных особыми значками характеризует
условия измерения этих величин (подробнее об этом см. гл. III). (Прим, ред.)

2) См. примечание на стр. 34. (Прим, ред )

8)Это соотношение в несколько иной форме впервые было выведено А. А. Харкеви-
чем [12]. (Прим, ред.)

[	4) Иначе говоря, sT и являются диэлектрическими проницаемостями, измеряе-

s мыми соответственно при постоянном механическом напряжении Т и при постоянной
(деформации S. (Прим, ред.)
Для большинства кристаллов, имеющих коэффициент электромеханиче-
ской связи порядка 10%, различие между соответственными постоянными
гибкости, а также и модулями упругости не превышает 1 %, и им можно впол-
не пренебречь. В сегнетоэлектрических кристаллах, таких, как сегнетова
соль и дигидрофосфат калия (KDP)1), коэффициент электромеханической
связи может достигать 90%, а разность между соответственными постоянны-
ми гибкости может доходить до 5 %. В этом случае нельзя не принимать во
внимание различия, существующего между соответственными постоянными
гибкости, а также и модулями упругости.

§ 4. Кристаллические резонаторы и,преобразователи

Все практические использования пьезоэлектрического эффекта связаны
со способностью кристалла служить электромеханическим преобразователем.
В кристаллическом резонаторе пьезоэффект используется для приведения
кристалла в состояние механических колебаний. Эти колебания оказывают
обратное воздействие на электрические параметры, поддерживая определен-
ную величину электрического импеданса кристалла. В электромеханическом
преобразователе механическое напряжение, возбужденное при помощи пьезо-
электрического эффекта, воздействует не только на механические элементы
самого кристалла, но также и на любые другие механические элементы, со-
единенные с поверхностью кристалла. Примерами такого использования мо-
гут служить звукосниматели, телефоны, громкоговорители и ультразвуковые
преобразователи. В интервале частот от 10 кгц и выше пьезоэлектрические
кристаллы служат лучшим средством преобразования электрической энер-
гии в механическую. Последние три главы книги посвящены описанию мето-
дов такого преобразования и полученных с их помощью результатов.

При анализе работы кристаллов в рассматриваемом аспекте весьма
удобно пользоваться эквивалентной электрической схемой, изображающей
электрические и механические свойства кристалла2). На фиг. 1,а пока-
зана электромеханическая схема, изображающая работу вблизи резо-
нансной частоты пьезокристаллического преобразователя, развивающего

Э В дальнейшем для дигидрофосфата калия наряду с полным наименованием будет
употребляться и сокращенное—KDP, которое происходит от иностранного названия
kalium dihydrogen phosphate {Прим, ред.)

2) Поведение электрический и механической колебательных систем в целом ряде слу-
чаев может быть описано сходными по форме .дифференциальными уравнениями. Это
обстоятельство положено в основу метода динамических аналогий, нашедшего широкое
распространение в электротехнике и электроакустике. Например, вынужденные колеба-
ния линейной механической системы и вынужденные колебания заряда в электрическом
контуре, составленном из последовательно соединенных индуктивности, емкости и оми-
ческого сопротивления, описываются соответственно уравнениями

mi +	==- Fei^t

i	с

И

.LQ + RQ + ^г = Eej^,
j	о

в силу чего массе т, активному сопротивлению г, смещению $ и вынуждающей силе
F, действующей на механическую систему, эквивалентны соответственно индуктивность
L, омическое сопротивление R, заряд Q и приложенное напряжение Е, действующее на
электрическую систему. Гибкость (податливость, эластичность) с механической системы
эквивалентна электрической емкости С и обозначается автором тем же символом. Точно
так же элементы эквивалентных электрических цепей часто обозначают на схемах сим-
волами эквивалентных механических величин. Величина s, обратная гибкости, назы-
вается упругостью (иногда жесткостью) мехапищ'ской системы и имеет размерность
дин/см (см. книгу В._ В. Фурдуева [10]). {Прим, ред.)
силу с одной стороны при возбуждении его с другой стороны. Здесь Со—
статическая емкость пластинки, 1/<р—коэффициент, определяющий механи-
ческую силу, развиваемую пьезопластинкой при единичной приложенной
разности потенциалов, С\—гибкость, равная статической гибкости пластинки,
умноженной на 8/V, Мх—масса, равная массе пластинки, умноженной
на	—гибкость, равная 1/2 статической гибкости пластинки, и М2—

масса, равная полной массе пластинки, умноженной на 2/и2. При этих значе-
ниях параметров обе цепи резонируют при основной резонансной частоте
кристаллической пластинки, определяемой выражением

Со/	, V 1 I /~ 11

	= 4 ИЛИ /=Ч7=Л7|/ w ,	=-7= ,---------(1.3)
v-------------------------------------------------1	21	21 Y Мосо 2 У МС .	V ’

где v—скорость распространения продольных упругих волн, Мо и Со—мас-
са и гибкость, рассчитанные на единицу длины пластинки, а М и С—полная
масса и гибкость пластинки. Используя описанную простую схему, легко

Ф п г. 1. Эквивалентные схемы пьезоэлектрического кристалла,
а—электромеханическая; б—электрическая.

исследовать эффект приложения механической нагрузки на выходе кристал-
лического преобразователя. Если пластинка свободна на обеих сторонах, то тот
конец схемы на фиг. 1,а, где приложена нагрузка, может быть замкнут нако-
ротко. В результате получается электрическая схема, показанная на фиг-. 1,6.

Работу кристаллических резонаторов в генераторах или фильтрах
можно исследовать, подставляя на место кристаллической пластинки вто-
рую эквивалентную схему. В кварцевых резонаторах индуктивность LA
изменяется от 0,1 гн при колебаниях кристаллических пластинок на частотах
в 2500 кгц до 100 гн или более в низкочастотных резонаторах. Искусственные
кристаллы—дигидрофосфат аммония (ADP)1) и этилендиаминтартрат (EDT)—
имеют значительно меньшие значения индуктивности при тех же самых ча-
стотах колебаний и размерах кристаллических пластинок ввиду более высо-
кого значения коэффициента электромеханической связи. Емкость СА обыч-
но изменяется в пределах от нескольких десятков до 10 пф. Такое необычное
соотношение ЬА и СА вместе с очень низким значением активного сопротивле-
ния R (большой величиной добротности Q) дает возможность кристаллу ста-
билизировать частоты колебаний генератора в очень узких пределах. Доброт-
ность Q кристаллов кварца, измеренная при лабораторных экспериментах [1],
в ряде случаев доходила до 6 000 000. Даже в промышленных приборах,
в которых пластинки должны быть тщательно закреплены, чтобы противо-
стоять толчкам и ударам, величина Q кристаллов обычно имеет порядок
нескольких сот тысяч.

В любой схеме пьезоэлектрического генератора кристаллическая пла-
стинка действует в основном как резонатор. Она сама не генерирует энергии,
но электрическая реакция ее механических колебаний управляет переменным

*) В дальнейшем для дигидрофосфата аммония наряду с полным наименованием будет

употребляться и сокращенное—ADP, которое происходит от иностранного названия
ammonium dihydrogen phosphate. {Прим, ped.)
7*

потенциалом на сетке и удерживает частоту генератора в очень узком интер-
вале. Эквивалентная электрическая схема для такого кристалла обладает
резонансной частотой, при которой импеданс мал, и антирезонансной часто-
той, при которой импеданс велик. В обычных конструкциях генераторов,
использующих схему Пирса, показанную на фиг. 2, частота колебаний

Фиг. 2. Генераторы со стабилизацией кристаллом.
а—схема Пирса-Миллера; б—схема Пирса.

находится в промежутке между резонансной и антирезонансной частотами, не-
сколько ближе к резонансной. В более поздних конструкциях генераторов,
таких, как генератор Мичема с мостовой схемой, частота колебаний совпа-
дает с основной резонансной частотой кристалла.

§ 5.	Наиболее важные пьезоэлектрические кристаллы

До сих пор было подвергнуто испытанию на пьезоэлектричество, вероят-
но, более 500 кристаллов различных веществ, и только несколько десятков
из них оказались действительно пьезоэлектрически активными. Однако и из
этих последних лишь немногие находят практическое применение. Перед
второй мировой войной широко использовались только кристаллы кварца,
сегнетовой соли и турмалина. Кварц использовался во всех генераторах
и фильтрах, сегнетова соль служила для целей преобразования сравнитель-
но низких частот, а турмалин использовался исключительно для измерения
гидростатического давления. Во время второй мировой войны была продела-
на значительная работа по обнаружению новых пьезоэлектрических кристал-
лов. Это было вызвано потребностью в пьезоэлектрических преобразовате-
лях для гидроакустики, более устойчивых в работе и менее чувствительных
к колебаниям температуры, чем сегнетова соль.

Работа завершилась открытием и использованием дигидрофосфата аммо-
ния (ADP) в качестве преобразователя для гидроакустических излучателей.
Кристаллы ADP не содержат кристаллизационной воды (следовательно, не
могут подвергаться дегидратации), выдерживают более высокую температу-
ру (до 100° С) и обладают большей механической стабильностью, чем сегне-
това соль, поэтому ими с успехом заменяют кристаллы сегнетовой соли и дру-
гие кристаллы в электромеханических преобразователях в гидроакустиче-
ских приборах. Очевидно, так же хорошо кристаллы ADP могут заменить
сегнетову соль и в многочисленных пьезоэлектрических приборах для мир-
ных целей.

До настоящего времени кварц практически являлся единственным кри-
сталлом, подходящим для стабилизации частот в передающих, приемных
и контрольных схемах и для фильтров с чрезвычайно высокой избиратель-
ностью. Кварц, широко распространенный в природе минерал, химически
устойчив при всех обычных температурах и обладает очень низкими внутрен-
ними диссипативными потерями. Кроме того, вырезая кристаллические
пластинки косо по отношению к кристаллографическим осям, можно полу-
чить моночастотные резонаторы с очень низкими температурными коэффициен-
тами частоты. Эти особенности кристаллов кварца привели к использова-
нию только их в качестве первичных стандартов частоты и надежного сред-
ства для получения фильтров с высокой избирательностью.

Для последней цели требуются кристаллические пластинки довольно
большого размера (до 5 см в длину). В период второй мировой войны пьезо-
кварцевая промышленность США, использующая кристаллы кварца для из-
готовления генераторов с кристаллической стабилизацией, испытывала за-
труднения в получении кристаллов большого размера. После окончания войны
снабжение кристаллами большого размера не удовлетворяло даже потребно-
стей телефонной связи, но к этому времени изучение свойств искусственных
кристаллов, проводимое в течение последних 10 лет рядом сотрудников ла-
бораторий Белла, завершилось открытием двух новых видов кристаллов,
которые могут быть использованы для кристаллических фильтров. Кристал-
лы обоих веществ—этилендиаминтартрата (EDT) и тартрата калия (DKT)1)—
принадлежат к диэдрическому осевому классу моноклинной системы. В пла-
стинках косых срезов этих кристаллов возможно получить более низкие
температурные коэффициенты частоты и более сильную, чем в кварце, элек-
тромеханическую связь. Кристаллы EDT не имеют кристаллизационной воды,
выдерживают температуру до 120° С и выращиваются легче, чем кристаллы
DKT. Построен и уже действует завод для выращивания и обработ-
ки кристаллов EDT. Проектируется использование этих новых кристаллов
в системах высокочастотной несущей и в коаксиальных фильтрах телефон-
ных линий дальней связи. Свойства этих кристаллов описываются в гл. IX

Сегнетова соль NaKC4H4Oe • 4Н2О является наиболее сильным пьезо,
электриком и обладает аномальными пьезоэлектрическими свойствами при
комнатной температуре, точнее в интервале температур от —18 до + 24°С.
Диэлектрические свойства сегнетовой соли поразительно аналогичны ферро-
магнитным свойствам железа2). Ниже определенной температуры, называе-
мой температурой или точкой Кюри, сегнетова соль обнаруживает гистере-
зис диэлектрической проницаемости. При слабых полях диэлектрическая
проницаемость в точках Кюри становится очень большой. В отличие от фер-
ромагнитных тел сегнетова соль обладает двумя точками Кюри, верхней
и нижней. Дигидрофосфат калия (KDP) представляет собой другой тип сегне-
тоэлектрических кристаллов, обладающих только одной точкой Кюри. У кри-
сталлов KDP эта точка лежит при 121° К, и ниже этой температуры наблю-
даются сегнетоэлектрические аномалии.

Свойства кристаллов KDP и сегнетовой соли подробно описаны в гл. XI
на основе допущения, что сегнетоэлектрический эффект в обоих кристаллах
связан с дипольным характером водородных связей, обусловленным смеще-
нием водородных ядер из среднего положения между двумя частицами кис-
лорода. Кристаллы KDP обладают симметричной водородной связью3),

Э В дальнейшем для тартрата калия наряду с полным наименованием будет упот-
ребляться и сокращенное—DKT, которое происходит от иностранного названия dika-
lium tartrate. (Прим, ред )

2) Группу веществ, обладающих аномальными пьезоэлектрическими и диэлектриче-
скими свойствами (более кратко: сегнетоэлектрическими свойствами), подобно сегпето-
вой соли, в иностранной литературе принято называть «ферроэлектриками». Ввиду
неполноты аналогии более целесообразно, однако, употреблять для этой группы веществ
термин «сегнетоэлектрики», впервые предложенный И. В. Курчатовым [11] и получивший
широкое распространение в советской научной литературе. Этот термин и принят в пере-
воде. (Прим, ред.)

3)То есть оба иона кислорода, входящие в О—Н—О-связь, являются эквивалентными
и обусловливают симметричное распределение потенциального поля вдоль линии связи
при отсутствии внешнего смещающего напряжения. В случае асимметричной связи оба
иона кислорода неэквивалентны. (Прим, ред.)
и, когда фактор

становится больше единицы, в них обнаруживаются сегнетоэлектрические
свойства. В этом выражении N представляет число диполей в 1 см3, р—диполь-
ный момент, р—фактор Лорентца, связывающий поляризацию с внутрен-
ним полем, к—постоянную Больцмана, Т—абсолютную температуру и у—
поляризуемость в отсутствие водородных диполей. Сегнетова соль имеет две
системы асимметричных водородных связей. Нижняя температура Кюри
в сегнетовой соли обусловлена «замораживанием» водородных ядер в более
«глубоких» потенциальных ямах при понижении температуры. Изучение
указанных вопросов представляет значительный научный интерес. Однако
наличие этих особенностей снижает возможность практического использования
кристаллов сегнетовой соли и дигидрофосфата калия (KDP) из-за высокой
их чувствительности к изменениям электрического поля и температуры.
Учитывая все это и то, что сегнетова соль легко обезвоживается и разру-
шается при 55 °C, нетрудно понять потребность в кристаллах нового типа для
создания электромеханических преобразователей, свободных от указанных
дефектов. Как уже отмечалось, потребность эта в значительной степени удо-
влетворяется кристаллами ADP (NH4H2PO4).

§ 6.	Эффекты второго порядка

Помимо использования пьезоэлектрического эффекта в различных кон-
струкциях резонаторов и преобразователей, в настоящее время приобретают
важное значение два эффекгга^_второго порядка. Это—электрооптический
и пьезооптический эффекты, котор5эТ5“ПызмваГОтся изменением диэлектриче-
ской проницаемости соответственно в зависимости от приложенной разно-
сти потенциалов или приложенного механического напряжения. Впервые
эти эффекты теоретически и экспериментально были исследованы Поккель-
сом. До появления кристаллов ADP и KDP не были, однако, известны кри-
сталлы с достаточно большими электрооптическими и пьезооптическими посто-
янными, которые могли бы представить интерес. В кристаллах же ADP
и KDP модуляция света может быть получена уже при напряжении в 1000 в
или менее. Более того, так как электрооптический эффект зависит от измене-
ния диэлектрической проницаемости под действием электрического напря-
жения, а диэлектрическая проницаемость не зависит от частоты приложен-
ного поля, по крайней мере до 1010 гц, то, вероятно, и электрооптическая
постоянная не должна зависеть от частоты вплоть до этого значения часто-
ты. Биллингс [2] недавно предложил использовать электрооптический эф-
фект кристаллов ADP для изготовления полосовых оптических фильтров
широкого диапазона, в которых положение полос пропускания можно изме-
нять, изменяя приложенную разность потенциалов.

§ 7.	Использование пьезоэлектрических кристаллов для получения
электрической энергии

Поскольку пьезоэлектрический кристалл действует как электромехани-
ческий преобразователь, встает вопрос, нельзя ли его использовать для полу-
чения электрической энергии. В большинстве конструкций генераторов, филь-
тров и преобразователей, использующих пьезокристаллы, количество пре-
вращенной энергии невелико. Однако в гидроакустических преобразовате-
лях переходит из электрической в механическую форму значительное ко-
личество энергии.
При работе на нерезонансных частотах, например при 60 гц, эффек-
тивность превращения механической энергии в электрическую невелика, и,
величина преобразуемой энергии в конструкциях имсчощегоСяраэмера также
мала. Однако если работать на резонансных частотах и скомпенсировать
электрическую емкость кристалла соответствующей индуктивностью, эффек-
тивность преобразования может подняться до 90% и количество преобразо-
ванной энергии на 1 см2 площади кристаллической пластинки может уве-
личиться до 5—10 вт. Подобные преобразователи нуждаются в механиче-
ском вибраторе, который заставлял бы их колебаться с частотой от 10 до
100 кгц. При этих условиях использование пьезоэлектрических кристаллов
для получения электрической энергии становится, повидимому, вполне воз-
можным .

ЛИТЕРАТУРА1)

1.	V an Dyke К. S., Phys. Rev., 53, 943 (1938).

Колебания кварцевых колец с низким декрементом.

2.	Billings В. Н., Journ. Opt. Soc. Am., 37, № 10 (1947). Настраиваемые узко-
полосные оптические фильтры.

3*. Шубников А. В., Пьезоэлектрические текстуры, М.—Л., 1946.

4*. Voigt W., Lehrbuch dec Kristallphysik, Leipzig—Berlin, 1910.

5*. Коленко Б., Zs. f. Kristallographie, 9, 1 (1884). Пироэлектричество кварца
в связи с его кристаллической системой.

6*. Вульф Ю. В., Варшавские Университетские Известия, № 3 (1886). Опытное
исследование электрических свойств кварца.

* 7*. Кэди У., Пьезоэлектричество и его практические применения, М., 1949.

8*. Voigt W., Ann. d. Phys , 66, 1030 (1898). Можно ли пироэлектричество кристаллов
приписывать всецело пьезоэлектрическим эффектам?

9*. Huang К., Phil. Mag , 40, 793 (1949). Исследование диэлектрических и пьезо-
электрических постоянных с точки зрения теории кристаллической решетки.

10*. Фурдуев В. В., Электроакустика, М.—Л., 1948.

11*. Курчатов И. В., Сегнетоэлектрики, М.—Л., 1933.

12*. X арке вич А. А., ЖТФ, 13, 423 (1943).

13*. Born М., Borman Е., Ann d. Phys., 62, 218 (1920). Теория решетки для
цинковой обманки.

14*. Jaffe Н., Phys. Rev., 66, 357 (1944). Вычисление пьезоэлектрических констант
для ионных решеток типа цинковой обманки.

15*. Saxena В. D., S п i v as t a v a K. G., Ind. Journ. Phys., 22, 475 (1948). Вы-
числение пьезоэлектрической постоянной а-кварца на основе теории Борна. S а-
х е п а В. D. Proc. Ind. Acad. Sci., 28, 423 (1948). Новый метод вычисления пьезо-
электрической постоянной а-кварца; Phys. Rev., 81, 1012 (1951). Пьезоэлектриче-
ская постоянная цинковой обманки.

х) В настоящем списке литературы, так же как и в списках литературы к последующим
главам, ссылки, отмеченные звездочкой, даны редакторами перевода. (Прим, ред.)
Глава II

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ,
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И КЛАССЫ

Тип механических напряжений, возникающих в пьезоэлектрическом
кристалле под действием приложенного электрического поля, зависит от
симметрии кристалла. Например, электрическое напряжение под действием
гидростатического давления возникает в кристаллах не всех классов симмет-
рии, а лишь в кристаллах 10 классов из существующих 32. Следовательно,
для понимания работы пьезоэлектрических кристаллов необходимо рассмо-
треть симметрию кристаллов. Краткому рассмотрению соотношений симмет-
рии и посвящается настоящая глава.

По своей симметрии кристаллы разделяются на 32 класса, объединяе-
мых в 7 кристаллических систем1). Идеальных! кристалл характеризуется
пространственной решеткой, выводимой из элементарной ячейки путем про-
стых трансляций. За элементарную ячейку обычно выбирается наименьший
параллелепипед, достаточный для построения кристаллической решетки
путем трансляций. Ребра элементарной ячейки параллельны кристаллогра-
фическим осям а, b и с, а их размеры являются единичными отрезками вдоль
этих осей.

Бравэ показал, что существует 7 типов параллелепипедов, полностью
заполняющих пространство. Он также нашел, что если рассмотреть гране-
центрироваиные и объемоцентрированные параллелепипеды, то число
пространственных решеток возрастает до 14. Каждый параллелепипед являет-
ся элементарной ячейкой, соответствующей пространственной решетки.
Следовательно, существуют 7 типов простых решеток, которыми характери-
зуются 7 кристаллических систем. Ребра параллелепипеда являются кри-
сталлографическими осями, а грани—пинакоидами кристалла2). Решеткам
Бравэ соответствуют следующие 7 кристаллических систем: триклинная,
моноклинная, ромбическая, тетрагональная, тригональная, гексагональная и
кубическая.

Эти системы различаются по наклону кристаллографических осей а,
Ъ и с друг к другу и по относительным размерам ребер элементарной ячейки,
направленных вдоль этих осей. Например, в наименее симметричной системе,
триклинной, все три оси наклонены под косыми углами друг к другу и все
размеры элементарной ячейки по этим осям различны. При вычислении
упругих постоянных кристаллов, как описано в гл. III, более удобно поль-
зоваться не косоугольной системой координат с тремя кристаллографиче-
скими осями а, b и с, а прямоугольной системой, выбор которой может

1) Каждый класс характеризуется собственной точечной группой симметрии, т. е.
набором преобразований симметрии, оставляющих в покое одну точку, в противополож-
ность преобразованиям пространственных групп симметрии, включающим трансляции
в чистом виде или в комбинации с другцми операциями симметрии. (Прим, ред )

2) Пинакоидом называется простая форма, состоящая из двух параллельных граней,
выводимых одна из другой операциями инверсии, отражения в плоскости или вращения
вокруг оси второго порядка. Грани элементарной ячейки не всегда являются реальными
гранями кристалла и не всегда являются пинакоидами, поскольку многие кристаллы,
например все кристаллы кубической системы, вообще, пинакоидов не имеют. (Прим ред.)
быть сделан различным образом. Комитетом по пьезоэлектричеству Общества
радиоинженеров (I.R.E.) под руководством Кэди разработана следующая систе-
ма (фиг. 3-). За ось z принимается кристаллографическая ось с, ось х проводит-
ся в плоскости осей а и с под прямым углом к оси ъ, ось у направляется пер-
пендикулярно к плоскости осей х и z так, чтобы образовалась правая система
координат1 2). При выборе осей а, & и с элементарной ячейки следуют определен-
ным правилам, установленным в кристаллографии, хотя они не носят обще-

го характера.

1.	В триклинной системе выбор осей основан на относительных размерах
ребер элементарной ячейки. Оси выбираются так, чтобы удовлетворялось нера-
венство с<а<6, где буквами а, Ь, с обозначены размеры элементарной ячей-

ки вдоль соответствующих кристал-
лографических осей.

2.	В моноклинной системе пре-
дыдущее правило не соблюдается.
Ось симметрии второго порядка или
нормаль к плоскости симметрии всег-
да выбираются за ось Ь. Две другие
оси перпендикулярны к оси Ь, но на-
клонены под косым углом друг к дру-
гу. О выборе наименования для них
см. ниже.

3.	В ромбической системе за кри-
сталлографические оси выбираются
три взаимно перпендикулярные оси
второго порядка, а в классе с одной
осью симметрии за две другие оси
выбираются нормали к плоскостям
симметрии. Наименование осям дает-
ся так, чтобы удовлетворялось нера-
венство с < а < b

4.	В тетрагональной системе ось
симметрии высшего (четвертого) не-

прямоугольных осей в триклинном кри-

сталле.

"рядка—простая или зеркальная—вы-

бирается за ось с, а за две другие эквивалентные оси и а2 выбираются две
взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка3).

5.	В гексагональной системе (включая тригональную систему) за ось с
выбирается ось симметрии высшего порядка (тройная или шестерная), пер-
пендикулярные к ней три оси симметрии второго порядка выбираются за
эквивалентные оси а2 и аз3)»

6.	В кубической системе три взаимно перпендикулярные оси симметрии
четвертого порядка (простые или зеркальные), а в классах, где их нет, три

х) Для кристаллов, дающих энантиоморфные формы, целесообразно правую систему
координат применять для правых кристаллов, а левую систему координат—для левых
кристаллов. {Прим, ред.)

2) В советской кристаллографической литературе принято за ось с в ромбо-пирами-
дальном классе ромбической системы принимать единственную ось симметрии (см.
табл. 2). {Прим, ред.)

3) Правила, приводимые автором, не охватывают 11 классов в тригональной, тетра-
гональной и гексагональной системах, причем все пропущенные классы, за исключением
одного, являются «пьезоэлектрическими» (ацентрическими) классами. Согласно прави-
лам установки кристаллов, принятым советской кристаллографической школой [1],
в этих классах единственную ось симметрии высшего порядка (простую или зеркальную)
.принимают за ось с, а за эквивалентные оси аг- выбирают нормали к плоскостям симмет-
рии (в классах 14, 20, 26) или ребра, образующие друг с другом углы в 90° (в классах 9,
10,13) или в 120° (в классах 16, 17, 19, 23, 25). Названия классов см. под соответствую-
щими номерами в табл. 2. {Прим, ред.)

•>*
М.

Фиг. 4. Связь кристаллографических и прямо-
угольных осей в тригональных и гексагональных
кристаллах.

оси симметрии второго порядка, принимаются за эквивалентные оси ах,
6^2 и •

Моноклинная система характеризуется тем, что одна ось, принимаемая
за ось Ь, перпендикулярна к двум другим осям а и с, наклоненным под косым
углом друг к другу. Положительные направления осей а и с выбираются так,
чтобы они образовывали тупой угол, а положительное направление оси Ъ
выбирается так, чтобы при этом получилась правая система координат. Дли-
ны ребер элементарной ячейки по всем трем осям не равны друг другу. Обра-
щаясь к общему случаю триклинного кристалла (см. фиг. 3), видим, что для
моноклинного кристалла оси у и z прямоугольной системы должны совпадать
с осями бис, а ось х должна лежать в плоскости ас между осями а и с, по-
скольку угол (а, с) тупой. Отметим, что моноклинная система наиболее бога-
та по числу кристаллов, принад-
лежащих к ней, в сравнении с
другими системами.

Ромбическая система харак-
теризуется тремя взаимно пер-
пендикулярными кристаллогра-
фическими осями а, b и с, с
которыми совпадают оси прямо-
угольной системы координат х,
у и z. Длины ребер элементар-
ной ячейки по трем осям не рав-
ны друг другу.

Тетрагональная система ха-
рактеризуется тремя взаимно
перпендикулярными кристалло-
графическими осями а, b и с и
тем, что длины ребер элементар-
ной ячейки равны по осям а и
б, но не равны длине ребра по
оси с. По этой причине иногда
обозначают оси через ах, «а
и с. Оси х, у и z прямоуголь-
ной системы совпадают с
кристаллографическими осями

а, б и с, хотя и не имеется различия между осями а и б и соответственно
осями х и у.

Тригональную систему, или ромбоэдрическое подразделение гексаго-
нальной системы, можно характеризовать тремя осями—ребрами ромбоэдра.
Более часто, однако, ее рассматривают в установке осей гексагональной си-
стемы. Нафиг. 4 показано соотношение между ромбоэдрическими осями а1} а2,
а3 и осями х, у, z прямоугольной системы координат. Прямая OZ проведе-
на под равными углами к осям а2, аз- Если мы продолжим эти
оси до пересечения с плоскостью, перпендикулярной к OZ, то точки пере-
сечения М1г Мг, М3 образуют равносторонний треугольник. Впишем в пего
правильный шестиугольник BCDEFG. Тогда за ось х выбирается направле-
ние OG (или ОС или ОЕ), а за ось у—направление, перпендикулярное к оси х,
т. е. перпендикулярное к одному из отрезков МгМ3, M3MS или М^Мъ.
Для кварца более обычно употребление прямоугольных осей координат,
а не ромбоэдрических осей а1} и а3.

Гексагональная система характеризуется четырьмя кристаллографиче-
скими осями. За ось с принимается ось симметрии высшего порядка, с ней
совпадает ось z прямоугольной системы координат. Три эквивалентные оси
«1, «2, аз наклонены под углом 120° друг к другу и перпендикулярны к оси с.
На фиг. 4 эти оси направлены по отрезкам OG, ОС и OF и каждая из них мо-
жет выбирать за ось х. Ось у проводится под прямым углом к осям z и х так,
чтобы образовалась правая система координат.

Кубическая система характеризуется тремя взаимно перпендикулярны-
ми кристаллографическими осями и равными размерами элементарной ячей-
ки по этим осям.

Положение плоскостей или граней кристалла определяется величинами
отрезков, отсекаемых ими на кристаллографических осях. Если обозначить
через а, Ь, с величины отрезков, отсекаемых плоскостями элементарной ячей-
ки на соответствующих осях координат1), то числами 1,1,1 можно охаракте-
ризовать положение так называемой «единичной плоскости», отсекающей
единичные отрезки на осях координат, или любой плоскости, параллельной ей.
Любая плоскость, проходящая через три точки с координатами a/h, b/k, c/l,
где h, k, I—целые числа (включая и нуль), параллельна плоской сетке решет-
ки, а следовательно, и геометрически возможной кристаллической грани.
Целые числа А, к, I, называемые индексами Миллера, написанные в порядке
следования осей а, Ь, с и заключенные в круглые скобки, образуют символ кри-
сталлографической плоскости {hkl}, отсекающей на осях отрезки a/h, b/k, c/l,
или любой другой плоскости, параллельной данной. Индексы Миллера обыч-
но являются небольшими2) положительными или отрицательными числами,
включая и нуль. Например, плоскости (001) и (001) перпендикулярны к оси с
и расположены по разные стороны от начала координат; плоскость (312) от-
секает на осях отрезки—а/3, Ъ, —с/2.. Большое физическое значение имеет при-
сутствие во многих кристаллах полярных осей, т. е. осей, обладающих различ-
ными свойствами на разных концах. Для кристаллов тригональной и гек-
сагональной систем, описываемых в четырехосной установке Бравэ (см.
фиг. 4), принято употреблять символы Бравэ—Миллера, состоящие из четы-
рех индексов А, к, i, I, характеризующих пересечение плоскостью всех четырех
осей аг, аг, а3 и с. Так как три первых индекса связаны соотношением
А4- k~}-i = 0, часто пишут символ сокращенно (h k-l), подразумевая под точкой
значение г= —(А -р к).

Вообще говоря, узлы пространственной решетки не представляют поло-
жений атомов, но служат просто для определения элементарной ячейки,
внутри которой атомы могут располагаться определенным образом. Про-
странственная группа определяет симметрию такого расположения атомов
в пространстве. Вывод пространственных групп из решеток Бравэ в суще-
ственных чертах заключается в получении пространственного узора точек
с помощью комбинаций вращения вокруг винтовых осей или отражения
в плоскостях скользящего отражения, примененных к точкам, помещенным
в элементарной ячейке. Винтовые оси и плоскости скользящего отражения
(т. е. простые оси и плоскости симметрии, соединенные с трансляцией) явля-
ются новыми элементами симметрии, характеризующими решетки Бравэ,
в дополнение к обычным осям и плоскостям симметрии. В кристаллографии
доказывается, что всего существует 230 пространственных групп или спосо-
бов расположения атомов внутри 7 типов пространственных решеток3).

Чтобы определить, какими упругими или пьезоэлектрическими посто-
янными должен обладать кристалл, достаточно знать лишь точечную, а не

х) Эти отрезки принимаются за единицы масштаба вдоль кристаллографических
осей. {Прим, ред.)

2) Поскольку они допускают сокращение на наибольший общий множитель. {Прим,
ред )

3) Вывод 230 пространственных групп сделан впервые знаменитым русским кристал-
лографом Е. С Федоровым в 1890 г [2] и несколько позднее немецким математиком
Шенфлисом [3]. {Прим, ред)
пространственную группу симметрии кристалла. Было установлено, что всего
существует 32 возможных точечных группы, совпадающих с группами, кото-
рыми мы характеризуем 32 класса кристаллов. Любое свойство тела может
быть симметричным по отношению к точке, линии, плоскости или к опреде-
ленной комбинации их. Тело, обладающее симметрией по отношению к точ-
ке, т. е. центром симметрии, не может обладать полярными свойствами, та-
кими, как пьезоэлектричество. За исключением одного класса, все классы без
центра симметрии являются пьезоэлектрическими. Класс, обладающий пен-
тагон-триоктаэдрической точечной группой симметрии, является исключением
и хотя не имеет центра симметрии, но комбинация других элементов симметрии
исключает существование пьезоэлектрических свойств у относящихся к это-
му классу кристаллов. Симметрия по отношению к линии называется осевой
симметрией, а линия называется осью симметрии. Плоскость симметрии дей-
ствует подобно зеркалу: она разделяет кристалл на две половины таким обра-
зом, что к'аждой грани по одну сторону плоскости соответствует аналогичная
грань по другую сторону, которая является зеркальным отображением пер-
вой грани1).

Все эти элементы симметрии могут присутствовать раздельно или сов-
местно в различных классах кристаллов. Для обозначения этих элементов сим-
метрии и их комбинаций Шенфлисом предложена система символов, представ-
ленная на табл. 1. Позднее Герман предложил иную систему символов, усо-
вершенствованную Могеном, в которой оси симметрии второго, третьего,
четвертого и шестого порядков обозначаются соответственно цифрами 2, 3,
4 и 6, а инверсионно-поворотные оси третьего, четвертого и шестого поряд-
ков—соответственно цифрами с чертой сверху 3, 4 и 6. Отсутствие симметрии
обозначается символом!, а центр симметрии—символом!. Плоскость симмет-
рии изображается буквой т. При этом на первом месте записывается цифра,
символизирующая главную ось симметрии. Если присутствует плоскость сим-
метрии, перпендикулярная к оси, это записывается символом п/т, где
п—порядок оси симметрии. Потом следует символ для вторичных осей, если
имеются таковые, а затем символ для иных имеющихся плоскостей симме-
трии. Обозначения Германа-Могена проще обозначений Шенфлиса и широко
применяются вместо последних2).

Хотя группа симметрии кристалла однозначно определяется набором
элементов симметрии, в названиях классов кристаллов и в порядке их пере-
числения нет однообразия. Автор пользуется здесь терминологией Грота, упо-
треблявшейся им в фундаментальном труде по химической кристаллографии,

г) Автор делает здесь традиционную ошибку, полагая, что все элементы симметрии
точечных групп исчерпываются центром симметрии, простыми осями симметрии и пло-
скостями симметрии, забывая о существовании в кристаллах зеркальных осей симмет-
рии, которые отнюдь не всегда являются только комбинацией простой оси и плоскости.
Так называемые инверсионные оси, о которых идет далее речь и без которых вообще можно
обойтись в учении о симметрии, также не являются в общем случае комбинацией простой
оси и центра симметрии. (Прим, ред )

2) Системы обозначений Шенфлиса и Германа-Могена обладают целым рядом недо-
статков. Для устранения последних А. В. Шубников предложил новую систему обозна-
чений элементов симметрии и их комбинаций, максимально приближенную к интерна-
циональной символике [1]. По А. В. Шубникову, простые оси симметрии обозначаются
цифрами, указывающими порядок оси, зеркальные оси симметрии показываются теми
же цифрами, но с черточкой сверху, плоскость симметрии—символом т. При этих обоз-
начениях отсутствие симметрии изображается символом 1, а центр симметрии—символом
2. Параллельность двух элементов симметрии показывается точкой, поставленной между
символами этих элементов, а перпендикулярность—двоеточием, например m-3:m. Ко-
сой наклон осей обозначается знаком дроби, например 3/2. При этом в формулу симмет-
рии записываются лишь символы так называемых «порождающих» элементов симметрии,
вполне достаточных для вывода полной совокупности элементов симметрии, которой
характеризуется точечная группа симметрии. (Прим, ред.)
Символ	Значение
Сп	Простая ось симметрии, т. е. ось, при повороте вокруг которой на угол 2тс/« радиан фигура приходит в совмещение сама с собой. п= = 1, 2, 3, 4, 6. п=1 обозначает отсутствие симметрии
Спи	Ось симметрии а-го порядка с плоскостью симметрии, нормальной к оси
Cni	Ось симметрии n-го порядка с центром симметрии (т. е. инверсион- ная ось)
С nv	Ось симметрии п-го порядка с п плоскостями симметрии, параллель- ными оси
S2=Ci	Любое направление является зеркальной осью второго порядка или инверсионной осью первого порядка. Кристалл имеет только центр симметрии
	Зеркальная или инверсионная ось четвертого порядка. Центр сим- метрии отсутствует
V=D,	Три взаимно перпендикулярные простые оси второго порядка
V^D^h	Симметрия V с добавлением . плоскостей симметрии, нормальных к каждой из трех осей
Vd = D2d	Симметрия V с двумя плоскостями симметрии, пересекающимися по главной оси и делящими углы между двумя другими осями пополам
Dn	Главная ось симметрии Сп и п осей второго порядка, перпендику- лярных к главной оси. п=3, 4, 6	'
Dnd	Симметрия Dn с п плоскостями симметрии, пересекающимися по главной оси и делящими углы между осями второго порядка пополам
T>uh	Симметрия Dn с плоскостью симметрии, перпендикулярной к глав- ной оси, и п плоскостями симметрии, каждая из которых проходит через главную ось и одну из осей второго порядка
T	Три взаимно перпендикулярные оси второго порядка и четыре оси третьего порядка по диагоналям октантов (группа тетраэдра)
Th	Симметрия Т с плоскостями симметрии, перпендикулярными ко всем осям второго порядка
Td	Симметрия Т с шестью плоскостями симметрии, каждая из которых проходит через две оси. третьего порядка
0	Три взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого порядка, шесть осей второго порядка и четыре оси третьего порядка (группа октаэдра)
Oh	Симметрия О с плоскостями симметрии, расположенными как в клас- сах Та и Th
№ клас- са по Гроту	Название класса по номенклатуре Федоровского института	Формула симметрии		
		по Шен- флису	по Герману- Могену	по Шуб- никову
1	Триклинная система Моноэдрический		(\	1	1
2	Пинакоидальный 		S2=Ci	1	2
3	Моноклинная система Диэдрический осевой			2 _	2
4	Диэдрический безосный		clh=cs	m=2	m
5	Призматический			2  m	2 : m
6	Ромбическая система Ромбо-тетраэдрический . •		v=d2	222	2: 2
7	Ромбо-пирамидальный			2 mm	2 • m
8	Ромбо-дипирамидальный		Vn=Dih	2 2 2 		 — mmm  m m m	m-2:m
9	Тетрагональная система Тетрагонально-тетраэдрический		s.	4	4
10	Тетрагонально-пирамидальный		c4	_ 4	_4
11	Тетрагонально-скаленоэдрический ....		4 2m	4-m
12	Тетрагонально-трапецоэдрический ....		422	4:2
13	Тетрагонально-дипирамидальный ....	C4s	4  m	4 : m
14	Дитетрагонально-пирамидальный ....	C4-p	k mm	k-m
15	Дитетрагонально-дипирамидальный . . .	^47»	4	4 2 2  — mm, =	  m	mmm	m-k:m
16	Тригоналъная система Тригонально-пирамидальный		C3	3	3
17	Ромбоэдрический			3	6
18	Тригонально-трапецоэдрический			32	3 : 2
20	Дитригонально-пирамидальный		C3»	3 m	3-m
21	Дитригонально-скаленоэдрический ....	Пдй	3 — m	3-m
19	Гексагональная система Тригонально-дипирамидальный			_ 6	3 : m
22	Дитригонально-дипирамидальный ....	-Пзй	6 m 2	m-3 ". m
23	Гексагонально-пирамидальный .....	C6	6	6
24	Гексагонально-трапецоэдрический ....	C6	622	6 : 2
25	Гексагонально-дипирамидальный ....	C67i	6  m	6 : m
26	Дигексагонально-пирамидальный ....		6 mm	3-m
27	Дигексагонально-дипирамидальный . . .	-Oe/j	6	6 2 2  — mm —	  m	mmm	m-3 : m
28	Кубическая система Пентагон-тритетраэдрический		T	23	3/2
29	Пентагон-триоктаэдрический . . . . • . .	0	432	3/4
30	Дидодекаэдрический 		Th	— 3 = m3 m	6/2
31	Гексатетраэдрический		Ta	k 3m	3/4
32	Гексоктаэдрический		°h	4 5 2	Q •  — 3 — -= mom  m m	6/4
который представляет наиболее исчерпывающий источник информации
о свойствах искусственных соединений1).

Названия и формулы симметрии 32 классов кристаллов, подразделен-
ных на 7 кристаллографических систем, приведены в табл. 22).

Между геометрической формой и физическими свойствами кристалла су-
ществует соответствие. Согласно принципу Неймана3), если известны элемен-
ты симметрии, характеризующие внешнюю форму кристалла, то может быть
предсказана симметрия физических свойств. Любое заданное свойство, такое
как плотность, тепловое расширение, пьезоэлектричество или упругость,
может обладать более высокой симметрией, чем симметрия геометрической
формы кристалла (приближаясь к симметрии изотропного тела), и не может
иметь симметрии ниже, чем симметрия геометрической формы.

Математические методы, устанавливающие связь симметрических
свойств кристаллов с их физическими свойствами, описаны в гл. III.

ЛИТЕРАТУРА

1*. Шубников А. В, Флинт Е. Е., Б о к и й Г. Б., Основы кристалло-
графии, М.—Л., 1940.

2*. Федоров Е. С., Записки Минералогического общ-ва, 1890. Симметрия пра-
вильных систем фигур.

3*. Schoenflies A., Krystallsyst. und Krystallstruktur., Leipzig, 1893.

4*. Groth. P., Chemische Kristallographie, 1906—1919.

5*. Федоров E. C., Das Kristallreich, Петроград, 1920. Таблицы для кристаллохи-
мического анализа.

6*. Попов Г. М. и Шафрановский И. И., Кристаллография, изд. 2,
М.—Л., 1947.

7*. Groth Р., Physikalische Kristallographie, Leipzig, 1895. (Имеется русский пере-
вод под ред. Левинсон-Лессинга Ф. Ю., С.-Петербург, 1897.)

8*. N е u m а и в F., Vorlesungen uber die Theorie der Elastizitat, Leipzig, 1885.

Кроме справочника Грота [4], имеются более полные таблицы Е. С. Федорова [5].
{Прим, ред.)

2) Редакция сочла целесообразным переработать и дополнить эту таблицу. В пере-

воде здесь и далее мы даем названия классов по номенклатуре Федоровского института,
принятой в СССР, которая отличается от гротовской устранением архаичных названий
простых форм, лежащих в основе наименования классов, и большей лаконичностью.
Формулы симметрии записываются далее в обозначениях А. В. Шубникова. Для того
чтобы читатель мог пользоваться справочником Грота [4], приводим здесь названия
простых форм.

По Гроту.

сфеноид
дома
дисфеноид или бисфеноид
тетраэдрический пентагондодекаэдр
Пентагон ал ьный икоситетраэдр
диакисдодекаэдр
гексакистетраэдр
гексакисоктаэдр

По номенклатуре Федоровского
института’.

диэдр осевой
диэдр безосный
тетраэдр

пентагон-тритетраэдр
пентагон-триоктаэдр
дидодекаэдр

гексатетраэдр
гексоктаэдр

При этом в названиях классов кубической системы часто опускается слово «Пента-
гон», а асимметрический класс триклинной системы называется моноэдрическим. В
остальном названия классов кристаллов совпадают (см. книгу Г. М. Попова и И. И. Шаф-
рановского [6], стр. 256). В табл. 2 распределение классов между тригональной и гек-
сагональной системами автор проводит по признаку наличия простых и инверсионных
осей третьего и шестого порядков, а не по признаку одних лишь простых осей симметрии,
как у Грота [7], в силу чего последовательность нумерации классов симметрии не выдер-
живается. {Прим, ред.)

3)См., например, [1] или [8]. {Прим, ред.)
Глава III

УПРУГИЕ, ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ

Так как пьезоэлектрический кристалл является одновременно конденса-
тором и электромеханическим преобразователем, для полной характеристики
его работы необходимо рассмотреть 3 системы постоянных: диэлектрические,
упругие и пьезоэлектрические постоянные. Как подробно описывается в
настоящей главе, эти постоянные являются частными производными второго
порядка соответствующих термодинамических потенциалов по напряжен-
ности электрического поля или по механическому напряжению или смешан-
ными производными по обеим этим переменным. Вследствие большого разно-
образия символов, употребляемых для обозначения переменных и постоян-
ных величин, Комитет по пьезоэлектричеству Общества радиоинженеров пред-
ложил свою номенклатуру, которая и используется в этой книге. Чтобы
сделать возможным использование тензорного или матричного метода запи-
си уравнений, удобно обозначать каждую величину одним определенным
символом и различать ее компоненты по соответствующим индексам. Это
требование заставляет отказаться от выбора какой-либо из двух общеприня-
тых систем обозначений механических напряжений или деформаций. Пье-
зоэлектрические обозначения более сложны благодаря тому, что, вообще
говоря, предварительно должны быть точно определены электрические, меха-
нические, а иногда и термические условия измерения для того, чтобы по-
стоянным материала можно было приписать единственное значение. Поэтому
желательно получить в распоряжение такую систему обозначений, в которой
находили бы отражение граничные условия.

Принятые здесь обозначения основных переменных и две наиболее широ-
ко употребляющиеся системы единиц приведены в табл. 3. Определение ка-
ждой единицы дается в системе GGSE и в рационализированной системе MKSM.
Наряду с этим приводятся переходные множители для перехода от величин,
измеренных в единицах CGSE, к величинам, измеренным в единицах MKSM1).
Поскольку имеющиеся данные измерений пьезоэлектрических и упругих
свойств кристаллов выражаются преимущественно в системе единиц CGSE,
автор придерживается этого обычая и в настоящей работе. Соответствующие
данные в системе единиц MKSM приводятся лишь иногда, ибо их всегда лег-
ко получить с помощью переходных множителей, приведенных в табл. 3.

§ 1.	Механические напряжения и деформации в кристаллах

1.	Определение механического напряжения. Напряженное состояние
тела в виде элементарного кубика, ребра которого параллельны осям х, у и z
прямоугольной системы координат, можно определить, если рассмотреть на-
пряжения, действующие на каждую грань кубика (фиг. 5). Напряжение
в деформированном теле меняется от точки к точке, и результат воздействия

Редакция дополнила табл. 3 размерностями употребляющихся величин согласно
справочнику Л. А. Сена [3]. (Прим, ред.)	,
Определение употребляющихся величин, их размерности и единицы

Название величины	Символ	Размерность		Наименование п определение в единицах CG-SE	Перевод- ные мно- жители	Наименование и определение в единицах MKSM
		система C&SE	система MKSM			
Сила	F	см г • сек'2	м • к? • сект2	дина	Ю-5	ньютоп (и)
Электрический потен-	V	см11% - г1/2 • сект1	м31'2 • кг11-2 • сек*2 • рх/2	CGSE единица потен-	300	ВОЛЬТ (б)
циал			М1/2 • «й1/2	циала	3,33-10-ю	
Электрический заряд	Q	см3/% • гх/2 • сек'1		CGSE единица заряда		кулон (к)
Напряженность элек-	Е	смгЧъ • гг/2 • сек'1	мЧъ • кгЧъ . сек*2 рх/2	CGSE единица напря-	3 • 104	вольт/метр (в/м)
трического ноля				женности		
Электрическая ин-	D	см~11'2 - гЧя * сек"1	M"zh • кг1!^ • jjCx/2	4тс (CGSE ед. заряда)	2,65-10~7	кулоп/кв. метр (к/м3'}
дукция				см2		
Механическое на-	Т	см~1 г  сек~3	м*1 • кг • сек*2	бар --- дин!см2	10'1	мпллипьеза (мпз~н/м2)
пряжение  Механическая дефор-	S	Нулевая размерность	Нулевая размерность	см/см	1	метр/метр (м/м)
мадия  Смещение при упру-	и	СМ	м	см	IO’2	метр (м)
гой деформации Постоянная гибкости	s	см • г”1 - сек2	м кг 1 сек2	см2! дин	10	кв. мстр/ньютон (м3/н)
Модуль упругости	с	см1 г сек"2	м~г • кг сек'2	дин! см2	КГ1	ньютоп/кв. метр (нЛи2)
Диэлектрическа я	г '	Нулевая размерность	м~2 сек2 рлх	см/см	8,85-IO-12	фарада/метр (р/м)
проницаемость Диэлектрическая		» »	м2 сек 2 ’ р.	см/см	1,13 10й	метр/фарада (м/ф)
непроницаемость				CGSE ед. заряда дин		
Пьезоэлектрическая постоянная d	d	см1 /2 - г~3/2 • сек	лГ'х/2 • кг'1/2 » сек2 • рЛх/з		3,33 -10-3	кулон/ньютоп (к/н)
Пьезоэлектрическая		см~ЛН • гЧъ • сек'1	М'3 (2 . кгг12 • р~1/2	CGSE ед. заряда	3,33 10-®	кулон/кв. метр (к/м3)
постоянная е	в			см2		
Пьезоэлектрическая		смЧя • г~1/2 • сек	м3/2 • кг~1/2 • рЛ/э	см3	3,105	кв. метр/кулон (м3/к)
постоянная g	8			CGSE ед. заряда		
Пьезоэлектрическая	h	см~г12 ♦ гЧъ • сек'1	мг12 • кг1/^ • сек~2 рЛ/з		 ДИН			3,104	ныотон/кулон (н/к)
постоянная h				CCSE ед. заряда		
Температура	0	градусы Кельвина (°К)	градусы Кельвина (° К)	градусы Кельвина (°К)	1	градусы Кельвина (°К)
Энтропия  Магнитная проницае-	а	см~г • г • сек"2 ’ град*1	м~г • кг • сек~2 град^'1	эрг  см3 • град	10'1  1-135-1015	джоуль/куб. метр-град.  (дж/м3  град)
мость		см*2 • сек2	Р			магн
на площади грани

Фиг. 5. Элементарный ку-
бик, иллюстрирующий способ
определения механических на-
пряжений.

всех напряжений на грань ABGD, нормальную к оси х, может быть предста-
влен суммой некоторой равнодействующей силы R с точкой приложения в цен-
тре грани й некоторой пары сил. Напряжение считается положительным,
если оно вызывает растяжение кубика; таким образом, сила R в случае рас-
тяжения будет направлена наружу от грани кубика и будет пропорциональ-
а пара сил, измеряемая произведением силы на
плечо, будет пропорциональна третьей степени
длины ребра куба. Следовательно, в пределе па-
рой сил по сравнению с силой R можно пренеб-
речь. Напряжение (сила, отнесенная к единице
площади), обусловленное равнодействующей си-
лой R, может быть разложено по осям х, у и
z на три компоненты, которые мы обозначим
следующим образом1):

Тхх„ Tvx,, TZX9.	(3.1)

Здесь первый индекс при символе отмечает на-
правление компоненты напряжения, а второй
отмечает грань куба х% (ABCD), на которую дей-
ствует напряжение. Точно так же для первой
грани куба ^(OEFG), нормальной к оси х,

равнодействующее напряжение может быть разложено на компоненты Тхх^
Тух^ Тгх , причем соответствующие компоненты направлены противоположно
компонентам напряжения, действующим на вторую грань куба (ж2). По ана-
логии могут быть записаны компоненты напряжения на остальных четырех
гранях:

грань ОАВЕ	т	т  * УУ1>	т  1 zyi>
„ CFGD	т  Л ХУ2?	Т yy%f	?zy2’
„ OADG	т	т  J yzx,	Т ZZ\1
„ BGFE	Т	т  J 1/Z2>	Т ZZ2’

(3-2)

Равнодействующая сила в направлении оси х получается суммированием всех
сил с компонентами вдоль оси ж, т. е.

Fx = (Тхх, — ТХХ1) dy dz + (Тху2 — ТХУ1) dx dz 4- (TXZ2 — TXZl) dx dy. (3.3)

Ho

rm= +T„1 + dX^-dx, Txn=+T,n + a^dy, Tx„= +Tx4 + ^-dz,
VJj	kJ и	J J*

(3-4)

следовательно, уравнение (3.3) может быть переписано в форме

„	, fdTxx , 9Тху dTxz\ у , ,

Fx = 4- (	4- —----4 —) dx dy dz.

\ дх ду 1 dz J v

(3-5)

*) Здесь и далее автор недостаточно отчетливо употребляет термин «компонента напря-
жения». Величины Тхх^ ТуХ2> TZX2, введенные автором, являются в сущности
не компонентами напряжения, а компонентами сил (отнесенных к единице площади),
действующих на некоторую грань и возникающих в результате наличия напряжения
в теле. Само напряжение является тензором второго порядка и не может быть выражено
вектором (см., например, книгу А. В. Шубникова [4], стр. 37). Лишь в результате
умножения тензора напряжения на вектор, нормальный или касательный к некоторому
элементу площади (например, dydz), мы получаем указанные выше компоненты сил
напряжения, представляемые векторами соответствующего направления. (Прим, ред.)
Точно так же получим равнодействующие силы в двух других направлениях:
/dTvx	дТllv dTvZ \

Fv=+(~di \--d^^-~dr)dxdydz'

,aT	dT2v dTZs\	O5,0'

^(j^+-w + -dr)dxdydz-

Мы назовем компоненты матрицы

Т хх	Т ху Т XX		Гц	Л,	
Тух Туу Гуг	=	гр	гр	гр  -* 21	1 22	* 23	(3-7)
Тгх Tzy Tzz		^32 Т 33	

компонентами механического напряжения, которое, действуя на элемен-
тарный кубик, стремится деформировать его. Первые производные напряже-

ния определяют величину равнодействую
щих сил, действующих на единичный кубик
в направлении осей координат. Вторая фор-
ма записи матрицы (3.7) обычно употреб-
ляется, если механическое напряжение рас-
сматривается как тензор второго порядка.

Можно показать, что между тремя пара-
ми компонент напряжения существуют сле-
дующие соотношения:

ТХу—ТуХ, TXZ=TZX, Tyz — TZy. (3.8)

Для доказательства рассмотрим фиг. 6,
на которой представлены напряжения, стре-
мящиеся повернуть элементарный кубик во-
круг оси z. Напряжения и TVxy стре-
мятся повернуть кубик вокруг оси z, посколь-
ку они образуют пару

ТуХ dx dy dz

2	' '

Фиг. 6. Касательные напря-
жения, действующие на проти-
воположные грани элементар-
ного кубика.

(3-9)

Напряжения Тху^ и ТХУг составляют пару, стремящуюся вызвать поворот
в противоположном направлении. Следовательно, выражение

^(Tvx-Txv)dxdydz = I^	(3.10)

представляет равнодействующую пару, стремящуюся вызвать поворот куби-
ка вокруг оси z. Из динамики известно, что эта пара равна произведению
момента инерции поперечного сечения на угловое ускорение. Момент инерции
пропорционален четвертой степени длины ребра кубика, а угловое ускоре-
ние является конечной величиной. Так как ребро кубика выбрано бесконечно
малым и правая часть уравнения (3.10) представляет бесконечно малую вели-
чину четвертого порядка, то с точностью до бесконечно малой первого
порядка

Тух^Тху.	(З.И)

Те же самые рассуждения справедливы и для других компонент касательного
напряжения. Поэтому компоненты напряжения (3.7) могут быть записаны
в форме симметричных матриц

Тхх

ТХу
т

J XZ

Тху

Туу

Туг

* XZ

Тух

Тгх

•* 11

Т12

Т22
^23

Лз
Т^
у зз

Л Т6 т5
т. т2 т,
т-о т, Т3

(3-12)
Последняя форма записи употребляется для сокращения числа индексов
компонент тензора механического напряжения. Сокращенные индексы
1, 2, 3, 4, 5, 6 соответствуют индексам тензора, если мы заменим 1 на 11,
2 на 22, ЗнаЗЗ, 4 на 23, 5 на 13, 6 на 12. Сокращенный метод записи компо-
нент напряжения является наиболее обычным.

2.	Компоненты деформации. Тип деформации, которую испытывает тело,
можно определить, если рассмотреть две частицы Р и Q тела до и после
деформации. Возьмем точку Р в начале координат, и пусть точка Q имеет
координаты х, у, г, как показано на фиг. 7. После деформации тела те же
частицы переходят в положение Р' и Q'. Чтобы определить величину дефор-
маций, мы должны вычислить разность расстоя-
ния между частицами до и после деформации, т. е.
величину P'Q' — PQ. После деформации точка Р'
будет иметь координаты Si, тц, Ci, в то время как
координаты точки Q’ будут £4-S2> У +	z-|-C2.

Однако смещение является непрерывной функцией
координат х, у и z, так что мы имеем
t £ . 56	.56	.

Фиг. 7. Изменение длины
и положения отрезка PQ в
результате произвольной
деформации твердого тела.

Точно так же

„	।	। 5y1,,4_5?17

Г r , 5С . 5С . 5С

1 dx ду & dz

(3.13)

Отсюда найдем, что проекции разности расстояния между частицами Р и Q
до и после деформации выразятся так:

й _t е ft ! 5S ,	56

Ох — ’2 —	— X д-У 3----Ь %	»

Л х дх 1 а ду dz
=	+	+	(3.14)

*	dx и ду ‘ dz

Чистое удлинение отрезка в направлении оси х выражается величи-
-	56	„ 56

ноижтр, а относительное удлинение — величиной х-, которая называется
(/Л	0 jC

линейной деформацией в направлении оси х. Следовательно, компоненты
линейной деформации в направлении осей х, у и z выражаются следующим
образом:

5,= .^,	= Ss = £.	(3.15)

dx	dy 7	dz	\	/

Сдвиговые деформации обычно определяются суммами

= +	=	= +	(3.16)

ду dz ° dz dx ° dx dy ’	' f

а компоненты вращения — разностями

__5C	5y]	___56	5C __________df]	56

x dy	dz	’	dz	dx	’	dx	dy	’

(3.17)
Компоненты относительного смещения любых двух точек можно, следова-
тельно, выразить через компоненты деформации и вращения таким образом:

=	+	+	(3.18)

8г =	) + у (Ур) + zS,.

Уравнения (3.18) описывают деформацию наиболее общего типа, которую
может испытать отрезок PQ в упругом теле.

Как указывается в приложении, определение компонент касательной
деформации или деформации сдвига по уравнениям (3.16) не позволяет счи-
тать их компонентами тензора. Если, однако, мы определим компоненты
касательной деформации следующим образом:

2^23 — 64

ду s dz ’

ос —с _ 5$ ас	__ о _ 5т] аб

13	5 pz I ’	12	6	। Qy »

то все компоненты деформации образуют симметричный тензор

Для элемента, испытывающего только касательную деформацию 6'Q — 2S12,

смещение вдоль оси х пропорционально координате у данного элемента,

Фиг. 8. Искажение формы
элементарного кубика в ре-
зультате деформации сдвига.

Фиг. 9. Вращение элемен-
тарного кубика без деформа-
ций.

а смещение вдоль оси у пропорционально координате х. Элементарный кубик
в результате такой деформации превратится в призму с ромбическим сечением,
как показано на фиг. 8. Величина деформации сдвига измеряется косинусом
угла 0. Для элемента, испытывающего только одно вращение wz, смещение
вдоль оси х пропорционально координате у, взятой со знаком минус, в то время
как смещение вдоль оси у пропорционально координате ж элемента, взятой со
знаком плюс.Следовательно, смещение прямоугольного параллелепипеда, пока-
занное на фиг. 9, является чистым вращением тела вокруг оси z без деформации.

Вообще компоненты деформации Sъ ..., не могут быть заданы как
произвольные функции х, у и z. Согласно определению, на них уже наложены
ограничения, выражаемые уравнениями (3.15)—(3.17). Из эти± уравнений
найдем, что следующие шесть уравнений, выражающих условия совместно-
сти Сен-Венана, должны удовлетворяться тождественно:

=	2 а26>1 = д (dSi \dS* |

dz2	'	dy2	dy dz ’	ду dz	c)x\dx	^dy	dz / ’

=	(3 201

дх2	'	dz2	dzdx ’	dz дх	ду \ дх	dy	dz J ’	'	'

, a252 =	о g253 d (dS* | dS> dS^

dy2	1	dx2	dx dy ?	dx dy	dz\dx	* dy	dz J *

Эти условия необходимы и достаточны, для того чтобы обеспечить существо-
вание величин £, т], С, связанных с компонентами деформации по формулам
(3.15)—(3.17).

Полная энергия деформации общего типа может быть определена как
сумма энергий деформаций частных типов. Например, при растяжении куба
в направлении оси ж на величину — dx = S±dx совершенная работа рав-
на силе, умноженной на смещение. Пусть эта сила равна Ttdydz. Тогда
приращение внутренней энергии, вызванное этой деформацией, равно

TydSydxdy dz.

Для касательного напряжения, например Т6, приращение энергии равно
сумме смещения dSQdx/2, умноженного на силу Т3dy dz, и смещения dS^dy/Z,
умноженного на силу TQdxdz, т. е.

LU = у (dS3T3 + dS3T^) dx dy dz = dS3T6 dx dy dz.

Следовательно, для всех деформаций, вместе взятых, приращение внутрен-
ней энергии единицы объема будет равно

ДС7 = [Т^ + T2dS2 + T3dS3 + T^dSt + TddS5 4- T3dS6].	(3.21)

3. Обобщенный закон Гука. Дав определения понятиям механического
напряжения и деформации, рассмотрим теперь связь, существующую между
ними. При небольших смещениях в соответствии с законом Гука напряжения
пропорциональны деформациям. Для наиболее несимметричной среды эта
пропорциональность может быть записана в форме уравнений, выражающих
обобщенный закон Гука:

Т\ =	612*^2+ С13*$3 4“ С14^4 4~ С15^5 "Г с16^6’

^2 — С21^1 4~ С22^2 "Г С23^3 4~ С24‘5>4 + С25^5 4~ С26^6>

Тз = £31 *^4	£32^2 4~ С33$3 4" С34^4 4" С35^5 4~ ^36*^0’

74 7-~ c±xSi 4- c426l2 4- С4з^з 4- С4464 4- £45154 4- С4б^е>	(3.22)

74 — С51^1 4- £52*^2 + Сб3*$3 4- С54^4 4’ CS5^5 4” £бв^6>

Тq = C^lS4 4~ C6‘ZS2 4- c63*$3 4- сб4‘5'4 4" С65$5 4~ £б6^6»

где £ц, например, представляет модуль упругости, выражающий пропорци-
ональность между компонентой деформации *54 и компонентой напряжения Тг
при отсутствии других деформаций. Целесообразно использовать предло-
женную Эйнштейном форму записи суммирования при помощи одночленного
выражения, в котором дважды повторяющийся в правой части индекс при-
нимает все возможные для него значения при неизменном значении второго
индекса. Тогда уравнения (3.22) можно все вместе записать в сжатой форме:

i, /=1, 2, .. ., 6.	(3.23)

Из того обстоятельства, что приращение AZ7 внутренней энергии при
деформации представляет полный дифференциал, следует, что

Сц = Cji‘

Для доказательства заметим, что

Т dU	__ dTi _

1 1 ~ dS; И Ci}' ~ dS; ~ dS- dS , ‘
ь	J	b J

Поскольку порядок дифференцирования безразличен, получаем

_ d4J _ d2U

Cii ~ dS. dS: ~ д8< dS: ~ Cji'
k J	J t

Приведенное соотношение сводит число независимых модулей упругости для
наиболее несимметричной среды до 21. Как будет показано в § 3, п. 3, более
высокая симметрия кристалла уменьшает число основных модулей упругости
и упрощает связь между компонентами напряжения и деформации, выража-
емую системой уравнений (3.22).

Подставляя значения компонент напряжения из уравнений (3.22) в выра-
жение для приращения внутренней энергии (3.21), последнее можно предста-
вить в форме

2AZ7 =	-j- 2б12616'2 + 2c13iS^S 3 4~ 26446'46'4 4- 2с15Д1»5'5 4- 2c13S	+

.	4" С22^2 4~ 26236'26'3 + 26246'26'4 + 26256'26'5 + 26256'26'3 -j-

+ сзз$з 4~ 26346'36'4 + 26356" 36'5 + 2c36S 3S6 4-

+ ^446'4 4- 26456'46'5 4- 2б466'46'6 4'

+ С55^1 + 26536"5^6 4*

+ б666’^ = CipSpSj.	(3.24)

Уравнения (3.22) могут быть получены в таком случае дифференцированием
выражения для внутренней энергии1):

......=	(3-25)

Иногда удобно выражать компоненты деформации через компоненты
напряжения. Разрешая совместно уравнения (3.22) относительно компонент
деформации бд, получаем следующие выражения:

~ $11^1 4~$12^2 + *13^3 + ^14^4 + ^15^5 + *16^,

$2 — $21+ 1 +	2 + 4 S23^ 3 + S2i^ 4 + $25^5 + S2cT 6»

*	$3 = S31+ S32^ 2 + S33^3 + S3iT 4 + $35^5 + S36^ 6>

6*4 = SilT1 4" S42T2 4~ Si3T3 + $44^4 + $45^5 + S46^6>	(3.26)

*	$*5 ~	1 4“ $52^2 4~ ^бЗ^З 4“ S54^4 4" ^бб^б + ,?56^G>

*	$6 “ $61^1 4~ ^62^2 + ^3^3 + $64^4 + $65^5 +S66^6>

4 Ясно, что MJ =U—Uo, где UQ — энергия нсдсформированного тела; тогда

dMJ/dS^dU/dS^ (Прим, ред.)
ИЛИ

причем

где Дс — определитель, составленный из модулей сц

	£ц	С12	С13	£14	' С15	£16	
	с12	С22	С23	С24	С25	С26	
ДС—;	С13	С23	С33	£34	£35	С36	
	с14	С24	С3£	С44	£45	С46	(3.28)
	С15	С25	С35	£45	С55	С56	
	С16	^26	С36	£46	С5 6	С66	
а Ду —минор, получающийся из			этого	определителя зачеркиванием i-й строки			

и /-го столбца1).

Чтобы вывести уравнения (3.26) из основного термодинамического потен-
циала, воспользуемся функцией Гиббса G, определив ее следующим образом:

Так как dU ~~ TidSi, то

dG = Ti dSi - Ti dSi - Si dTi = - Si dTi.

Следовательно,
о	dG

и

__ да ______ да _______	/о 9С)\

‘'п' ~ дТ- дТ~-~ ат  дТ- Sji •	.^У)

	L J	J г

х) Входящие в уравнения обобщенного закона Гука

П-чА

коэффициенты ct- и были названы Фохтом [5] соответственно «константами» и «моду-
лями» упругости. В случае изотропного тела константы упругости сводятся к модулю
Юнга и модулю сдвига, имеющим размерность, обратную размерности фохтовских моду-
лей упругости. Дальнейшее использование терминологии Фохта является чрезвычайно
неудобным, что неоднократно отмечалось различными авторами [6—9].

II. Бехтерев [6] предложил называть «модулями упругости» коэффициенты c{j-, но
для величин ввел не вполне удачный термин «коэффициенты деформации». Точно так
же кажется нецелесообразным называть величины з^ «модулями гибкости» [8]. Можно
было бы назвать константами упругости или упругими постоянными, как это принято
в теории упругости [10, 11]. Ввиду аналогии, существующей между гибкостью механиче-
ской системы и величинами (см. примечание на стр. 12), мы будем называть последние
«постоянными гибкости». Величины мы будем называть «модулями упругости». Терми-
нология, предлагаемая редакцией и использованная в этой книге, а также определения,
символы и размерности упругих постоянных сопоставляются в следующей таблице:

Название величины	Обозначение	Определение	Размерность в системе COS
Модуль упругости		сг}	Т\ — cij Sj	дин/см2
Постоянная гибкости		sij	Tj	см2 /дин

Если речь идет о величинах si}- и одновременно, то мы будем их называть упру-
гими постоянными. (Прим, ред.)	,
Используя уравнения (3.26), выражение для приращения внутренней энергии
можно представить в форме

2ДU =	+ 2^12Т1712 + 2s13TxT3 + 2s^TJ\ + 2^15Z1715 + 2s167\Te +

Л s22^i 4- 2§23Т'2713 4~ 2s2^T2Т< “Ь 2s25T2Т§ 2s26r2^ 6 ~Ь

+ s33Tl + 2s3,T3Ti + 2s35T3T5 + 2s33T3T3 +

+ 544^1 4~ 2s457’471 5 4- 2si6T ЛвЛ

+ ’?55^5 4"2s66Z'5T G +

+ s^Tl = si:iTiTi*	(3.30)

4. Изотермические и адиабатические упругие постоянные. До сих пор
мы рассматривали только такие упругие постоянные, которые могли быть
измерены статическим методом при постоянной температуре. Эти постоянные
поэтому являются изотермическими величинами. Однако в теле, совершаю-
щем быстрые колебания, условия для выравнивания температуры отсутству-
ют. Следовательно, упругие постоянные, с которыми нам приходится опери-
ровать, являются адиабатическими величинами, определяемыми при усло-
вии, что в любом элементе объема отсутствуют процессы переноса (отдача или
приток) тепла. В случае газов имеется значительная разница между изотер-
мическими и адиабатическими постоянными, но для пьезоэлектрических кри-
сталлов это различие мало и им можно обычно пренебречь.

Для исследования существующих соотношений мы можем написать на
основании первого и второго законов термодинамики соотношение

dU = [T1 dSr + Т2 dS2 + Т3 dS3 4- dS± 4- Т5 dS5 + Т6 dSQ] + 0 da, (3.31)\

которое выражает тот факт, что приращение полной энергии U единицы объе-
ма равно приращению потенциальной энергии плюс добавленная тепловая
энергия dQ=Qda, где 0—температура, а а—энтропия.

Для того чтобы выразить компоненты деформации в зависимости от
компонент напряжения и температуры, воспользуемся функцией Гиббса,
определив ее в данном случае следующим образом:-

или dG= -SidTi-adB.

Тогда

Q _ dG __	dG

'	dl\ ’ ° —	‘

Разлагая выражения для деформаций и энтропии в ряд по напряжению и тем-
пературе и ограничиваясь частными производными первого порядка, получим
dSi = «4 dTi+^4 + ^4dTs	dTi «4 dT°+"<4dT*+~a&d®’

=44 dT1 + 44 dTi + 44 d Ts+44 +14 iTi+44 dTa+,
d.=4- dT,+di2+-4- dr3+4- dTt+4- dr3+^dT>+4

(3.32)

Легко видеть, что частные производные деформаций по напряжениям являются
изотермическими постоянными гибкости 4;, а частные производные деформа-
ций по температуре являются шестью коэффициентами теплового расширения,
т. е.

<951	0Se	,r.

лй — ai’ •••> ла — аб'	(3.33)
Чтобы оценить величины частных производных энтропии по напряжениям,
используем то обстоятельство, что функция Гиббса G является полным диф-
ференциалом. Тогда получим

dSi _	&G _ d2G	q ,

д®	dQdTi дТ\д®	д7\	(о. 34)

Наконец, умножая последнее из уравнений (3.32) на 0 и замечая, что из-за
отсутствия остаточных деформаций и напряжений уравнения (3.32) останут-
ся справедливыми, если положить dS],-— Si и dTi~Ti, получим

= 4 Tt + si Т2 4- 4 Т.А + £+ £ Т5 4- £ Т6 + ах d®,

+&Т2+seMTs+S®, Т, + а. de,	(3.35)

dQ — 0 do = 0 [&17\ Т ^2^2 + а3^3 +	+ а5^5 ~Г а6^б1 4“ Р^р <^0 ?

гд do

так как 0 представляет полную теплоемкость единицы объема при по-
и\У	х

стоянном давлении и равна рСр, где р—плотность, а Ср—удельная тепло-
емкость при постоянном давлении, рассчитанная на грамм вещества. Чтобы
получить адиабатические постоянные гибкости (случай, когда приток
и отдача тепла в элементе объема отсутствуют, т. е. dQ — O), исключим d®
из уравнений (3.35). В результате получим

............................................... (3.36)

S^^T. + ^T. + sl.T.+s^T. + siT. + s’.T^ dQ,

где

_ а а.а.-0

4 = 4/--(3.37)

Рассмотрим в качестве примера кварц, коэффициенты теплового расши-
рения которого равны

ах=14,3 • 10~6, а2 = 14,3 • 10-6, а3 = 7,8.10-6,

а4 = а5 = ае = 0.

Плотность и удельная теплоемкость при постоянном давлении равны для
кварца соответственно

р = 2,65 г/см?\ С'р = 7,37-106 эрг/г-град.

Следовательно, различие между адиабатическими и изотермическими зна-
чениями постоянных гибкости проявляется лишь у постоянных 8ц = S22,
4.2) 4з> s33‘ Принимая для адиабатических постоянных гибкости значения
(см. [1,2], а также гл. VI)

s3 = 127,9 • 1О~44, s3 =-15,35 • 10~14,

11	12

8* =11,0 • 10~14, 8s =95,6 • 10~14,
13	33

найдем, что величины соответствующих изотермических постоянных гиб-
кости при температуре 25° С будут равны

8® == 128,2 • 10-14,	8® = -15,04 • 10~14,

8® = 10,83 -10~*4,	8® = 95,7 • 10~14.

13	33
Такое различие между адиабатическими и изотермическими значениями по-
стоянных, повидимому, меньше, чем точность их измерения.

Разрешая совместно уравнения (3.35) относительно компонент напряже-
ния, найдем

+	+с®6'3 + с054 + с06,5 + с@5в-Х1с/0,

1	11	1 1	12	2	13 d 1	14	4 1	15	5 1	16	6	4

......................................... (3.38)

т. -	+cls2+c&36ss+- \de,

где

X —а.с® 4-а2с® -j-asc® -j-a.c® + а5с® +а с®

1	1 11	2 12 1	3 13 1	4 14 1	5 15	6 1в

Хй = а.с® +<х2с® а„с® +а,с® 4~агС® +«-6с® .

6	1 16	4 26 1	3 36	4 46	° 56 1	° 66

Величины Xi представляют температурные коэффициенты механического
напряжения при всех компонентах деформации, равных нулю. Знак минус
перед коэффициентами означает, что необходимо применить отрицательное
напряжение (сжатие), чтобы сохранить тело в недеформированном состоянии.
Если мы подставим уравнения (3.38) в последнее из уравнений (3.35), то
получим соотношение между приращениями теплоты и температуры:

dQ = 0cfc = 0 [ХцУх 4~ Хаб"2 -f- Хдб"3 -[- Х41У4 -4- Х5£5 4* Х^6] -4

4~ [р^р — ® (а1^-1 + а2^'2 + а3^3 4“ а4^4 4~ аб^5 4~ а6^б)1	•	(3.39)

Если приравнять нулю компоненты деформации, то размеры элемента не
изменятся, и поэтому отношение между dQ и 40 будет равно удельной теп-
лоемкости при постоянном объеме Cv, умноженной на р, т. е. dQ =- pCvd& ~
Принимая это во внимание, получим из (3.39)

Р [Ср — Cv\ — 0 [al^l 4~ a2^2 4" a3^3 4“ a4^4 4- a5^5 4“ аб^б] •	(3.40)

Связь между адиабатическими и изотермическими модулями упруго-
сти сц принимает в таком случае вид:

Так как различие между адиабатическими и изотермическими упру-
гими постоянными достаточно мало, в дальнейшем оно не принимается во
внимание.

§ 2. Уравнения, описывающие упругие, пьезоэлектрические,
пироэлектрические и диэлектрические свойства пьезоэлектрических
кристаллов

Если кристалл является пьезоэлектриком, внутренняя энергия кристал-
ла получает приращения также и под действием приложенного к кристаллу
электрического напряжения. Поэтому в выражение (3.31) для dU необхо-
димо добавить члены, характеризующие это приращение энергии. Выражая
все величины в единицах CGSE f получим следующее уравнение для прираще-
ния энергии в единичном объеме кристалла:

dU = 7\dSx + T2dS2 + T3dS3 4- T\dS± 4- TbdS^ TedS6 4-

'	(3.42)
Здесь Е1} Е2 и Е3 являются компонентами напряженности электрического
поля, приложенного к кристаллу, aZ)x, D2 и /^—компонентами электрической’
индукции. Чтобы избежать употребления множителя введем величину
8 = £-	(3.43)

Нормальная компонента S на любой ограничивающей поверхности числен-
но равна плотности поверхностного заряда Во. С другой стороны, если исполь-
зовать систему единиц MKSM, приращение энергии будет выражаться непо-
средственно членами вида EndDn, и во всех выражениях 3 в этом случае мо-
жет быть заменено непосредственно на D.

Существуют два основных способа записи уравнений, описывающих
упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства кристаллов.
За независимые переменные принимают цли механические напряжения, на-
пряженность электрического поля и температуру, и тогда механические де-
формации, электрическая индукция и энтропия будут функциями этих пере-
менных, или, наоборот, за независимые переменные принимают деформации,
электрическую индукцию и энтропию, и тогда механические напряжения,
напряженность электрического поля и температура будут зависимыми пере-

Таблица 4

Термодинамические функции для вывода уравнений, описывающих упругие,
пироэлектрические, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства кристаллов

Термодинамическая функция	Независимые переменные	Дифференциальные соотношения
Внутренняя энергия U  Свободная энергия A — U— а©  Энтальпия 2)  H^U-SiE-Ern  4к	$1, Т)т, а  Tii Ет7 а	dU^TidSi + Em	+©rfo  4 тс  dA = TidSi + Em^L — ad© 4tc  dH — — Si dTi — ~ dEm + 0 dz 4tc
Упругая энтальпия  Hx^U—SiTi	Т{, Dm, о	dH^ —Si dT,+Em^^+Q dz 4k
Электрическая энтальпия  H^U-Em^  4к	$ i j Ep-pi) о	dH2 = Ti dSi — ~ dEm p 0 de
Функция Гиббса  G = U—Si Ti —	— а©  4к	Ti, Em, 0	dG=—Si dTi— ^dEm — zdQ 4u
Упругая функция Гиббса  G^U —SiTi — о©	Т/t, Dm, 0	dGy= — Si dTi + Em	—adQ
Электрическая функция Гиббса  С2 = и~Ет^-е®  4и	Si, Em, ©	dG% = Ti dSi —	dEm — о (Z©  4u

1	1) Каждым из восьми приведенных выражений удобно пользоваться в различных случаях.

2) Энтальпия—функция состояния системы, часто вводимая вместо теплосодержания или
^функции Гиббса. (Прим. ред.)
менными. Последняя форма записи, невидимому, является основной для
сегнетоэлектрических кристаллов.

Как впервые указано Мюллером1), эти две системы и любые другие, име-
ющие дело с тремя рядами соотношений из шести переменных, могут быть
выведены, если использовать 8 характеристических термодинамических функ-
ций (потенциалов), представленных в табл. 4.

Для второй системы, описанной выше, подходящей термодинамической
функцией является внутренняя энергия U. Из табл. 4 имеем

dU = ТidSi -у EmdZm -у 0 de.

Отсюда '	’	,

=	(3.44)

Разлагая в ряд функции, выражающие механическое напряжение, напря-
женность электрического поля и температуру, мы мОжем написать

(3.45а)

х) Письмо в Комитет по пьезоэлектричеству Общества радиоинженеров.
Значки при символах частных производных отмечают величины, остающиеся
постоянными при дифференцировании, т. е. электрическую индукцию D,
энтропию с или механическую деформацию 3.

Исследуя первое уравнение, мы видим, что частные производные на-
пряжения Ti по деформации Sj являются модулями упругости сц, которые
определяют отношение между компонентой напряжения Т\ и соответствую-
щими компонентами деформации при условии, что все другие компоненты
деформации равны нулю. Чтобы отметить условия дифференцирования,
т. е. постоянство электрической индукции и энтропии, над символами моду-
лей упругости надписываются значки D и <з. Частные производные механи-
ческого напряжения по электрической индукции Ъ—D/^k являются пьезо-
электрическими постоянными и обозначаются кц; они измеряют прирост ме-
ханического напряжения, необходимый для того, чтобы сохранить кристалл
в недеформированном состоянии при наличии в нем электрической индук-
ции. В силу того что стремление кристалла расшириться под действием
приложенной электрической индукции должно быть скомпенсировано от-
рицательным противодействующим механическим напряжением, т. е. сжа-
тием, постоянным кц приписывается отрицательный знак. Так как постоян-
ные Иц измеряют отношение механического напряжения к электрической
индукции 8 = /4/4к всегда при условии постоянства деформации S, то над сим-
волом постоянной hij сохраняется один лишь значок а, указывающий на по-
стоянство энтропии (ибо существует различие между изотермическими и адиа-
батическими значениями пьезоэлектрических постоянных), значок же S всегда
подразумевается. Наконец, частные производные механического напряже-
ния по энтропии могут быть записаны в виде

dQ=-^>dQ,
\ да JS,D 0 \ да Js,D	О \ да Js,D х ‘п Y

где dQ—сообщенное кристаллу тепло. Мы обозначаем величину (J~dT~^)s D
s,d

через п со знаком минус, учитывая, что эта величина измеряет отрица-
тельное механическое напряжение (сжатие), которое необходимо приложить
для того, чтобы кристалл не расширялся при сообщении ему добавочного
тепла dQ. Значки S и D надписываются над символом уп потому; что деформация
отсутствует и электрическая индукция поддерживается постоянной. При
сделанных обозначениях шесть уравнений (3.45а) могут быть переписаны
в форме

гу г D.z о I	о ।	ci i D,® с* I Dci

j — Cjl	О2 + 0’з Л34-С;4 O4+C;5 O5 + C/6 \ —

-	- Л’Д -	dQ.	(3.46)

Чтобы дать оценку следующим трем уравнениям для компонент напря-
женности электрического ноля, используем то обстоятельство, что выраже-
ние для dU в табл. 4 представляет полный дифференциал. Вследствие этого
существуют следующие соотношения между частными производными:

dTj _дЕп	dTj _ дЕп __

дЪп dSj ’	да ds j ’ да дЪп ‘	\	/

Заметим также, что

= 4^,	(3.48)

\dt)nQs,a ^тп	V ’

где являются компонентами тензора диэлектрической «непроницаемости».
Они получаются из компонент епт тензора диэлектрической проницаемости
с помощью уравнений

д------,	(3.49)
где А — определитель:

£11	i * * * s * *12	£13

£12	£22	е23

£13	£23	£33

(3.50)

и Am>n—миноры, получающиеся из определителя зачеркиванием m-й строки
и тг-га столбца.

Частные производные напряженности электрического поля по энтро-
пии могут быть представлены в виде

(д-~^ da = 7v(d-^ &da=4\(^Q dQ=—qS’DdQ, (3.51)
\ да 7s,D	© \ да JS’D	0 \ да Js,T> v ™	V '

S,D

где q m—пироэлектрическая постоянная, измеряющая величину напряжен-
ности электрического поля, необходимой для того, чтобы сохранить нулевой
заряд на поверхности кристалла при сообщении кристаллу количества
тепла d@. Так как электрическое напряжение должно иметь знак, противопо-
ложный знаку того заряда, который существовал бы на поверхности кристал-
ла в отсутствие этого компенсирующего напряжения, то постоянной q8^
приписывается отрицательный знак.

Наконец, последняя частная производная

(3.52)

измеряет скорость возрастания температуры, связанного с добавлением ко-
личества тепла dQ, если механические деформации и электрическая индук-
ция поддерживаются постоянными. Она равна поэтому обратной величине
удельной теплоемкости при постоянном объеме и постоянной электриче-
ской индукции, умноженной на плотность, т. е. 1/рС„.

Следовательно, 10 уравнений (3.45) могут быть теперь записаны в обоб-
щенной форме

Т, -- С?/ s, +	’ 8г + S, + с?/ 3, + S„ + с?, ’ 3. -

- li^S, - lf„3S3 - h'm,S, - h^,S3 - h’^S, +

+ 4^®;“ + 4xf4°	- q^D dQ,	(3.53>

га Г ci । S,D ct । S,D о । S,D q t S,D ci . S,D о -i

i = 1, ..., 6, m 1, ..., 3.

Если, как обычно бывает в случае колеблющегося кристалла, колеба-

ния совершаются при отсутствии теплового обмена между соседними элемен-

тами, т. е. при dQ = 0, то 10 уравнений (3.53) приводятся к обычным 9 урав-
нениям в следующей обобщенной форме:

Т, = eg 3, + «Д 32 + с?3 3, +	3, + сД 35 + <Д 3, - h„- \ - h3i \ - h3S 8„

Ет=	у *^2 ^m3	8^ — hm$ S5 —	(3.54)

+ 4тфт1	+ 4ттрт2 §2 + 4^$ g

В этих уравнениях значок о над символами постоянных опущен; но не сле-
дует забывать, что обычно применяемые постоянные являются адиабати-
ческими. Последнее из уравнений (3.53) определяет повышение температуры^
вызываемое механическими деформациями и электрической индукцией при
отсутствии теплообмена.

В другой форме записи соотношений, описывающих упругие, пьезоэлек-
трические, пироэлектрические и диэлектрические свойства кристаллов,
механические напряжения, напряженность электрического поля и темпе-
ратура принимаются за основные независимые переменные, а механические
деформации, электрическая индукция и энтропия—за зависимые перемен-
ные. Эта форма может быть получена из функции Гиббса G (см. табл. 4)
с использованием соотношений

С	dG 17	dG л	dG	/о

дТ_, Ет — дЕ^, da- dQ.	(3.55)

Если мы разложим функции Si, Ет и da в ряд и используем соотношения
между частными производными

d\n~dSi dS^da дЪт__ да

дТ}- дЕт ' 50 dTj ’ 50 дЕт ’	[о.ои;

вытекающие из того, что функция G является полным дифференциалом, и под-
ставим вместо соответствующих частных производных эквивалентные им
упругие, пьезоэлектрические, пироэлектрические, диэлектрические посто-
янные, коэффициенты теплового расширения и величины удельной теплоем-
кости, то получим 10 уравнений вида

О Е, 0 гр 1 И, 0 гр 1 К, 0 гр । Е 0 гр г Е, 0 гр । Е, 0 гр ।

7\~Hi2 T^SSii	1

d„Е,Еd^{ E,E d'si E,-1^	<70,

—- d®n, T, —	T. - - a?,,:. Tя +	Ц “Г '

+ >	3- E, -J- E3 + pTmde,	(3.57)

dQ = 0 <fc -= 0 [jf Tr I- af 7’2 + af T„ + af Tt +	Tt + af Г,] +

+ 0 E, + E, + pf £,] + PC* de,

i = 1, ..., 6, m = 1, ..., 3.

Знаки E, 0 и T над символами означают, что при измерении соответствую-
щих постоянных напряженность электрического поля, температура или
механическое напряжение остаются постоянными. Следует подчеркнуть,
что постоянные гибкости и пьезоэлектрические постоянные dmn опре-
делены при изотермических условиях; а? являются коэффициентами тепло-
вого расширения, измеренными при постоянном поле; рТ является пиро-
электрической постоянной, определяемой при постоянном механическом
напряжении и измеряющей отношение электрической индукции S=Z)/4n:
к приращению температуры с/<Э. Поскольку механическое напряжение остает-
ся постоянным, пироэлектрическая постоянная рт учитывает не только
«истинный» пироэлектрический эффект, который определяется отношением
Z=D/^k к температуре при постоянном объеме, но и так называемый ложный
пироэлектрический эффект первого рода, заключающийся в появлении поля-
ризации, вызываемой тепловым расширением кристалла *). Невидимому,
употребление таких терминов неправильно. Для этих двух эффектов лучше

Э Как показано Ю. В. Вульфом в 1884 г., а позднее развито теоретически Фохтом,
тепловое расширение должно быть неоднородным, для того чтобы в кристалле появились
механические напряжения (см. примечание на стр. 8). (Прим, ped.)
пользоваться терминами: «пироэлектрический эффект при постоянной
деформации» и «пироэлектрический эффект при постоянном напряжении».
Ср является удельной теплоемкостью при постоянном давлении и пЛ5то-
янном электрическом поле.

Адиабатические соотношения, справедливые для быстро колеблющегося
кристалла, можно получить, полагая dQ — Q в последнем из уравнений (3.57)
и исключая d® из остальных девяти уравнений. В результате получим де-
вять уравнений:

$i — $11 Тг 4- Si^T2 4~ S13 Т3 $4 Т i Si5 Т5-\-8^Т&~\-

d[iEt-{- d^E^-}- d^E3,	(3.58)

— dfni Ti Ц- dmz T2 -{-	7 з -j- dm^ !'4" ^m.5 T15 + dme ^6 +

T	T

I	г? । Sm2 77

4tc 3

где значок <з над символами постоянных подразумеваётся, поскольку обычно
употребляющиеся величины характеризуют адиабатический процесс. Связь
между изотермическими и адиабатическими постоянными выражается урав-
нениями

Е, а _ Е,&	,з ___ 70 ai Pm ®

S{j —=	E , Ulm —	g

?cp	?CP

T.a	T,0	pTpTQ

mn   mn	rmrn

4к ~ 4k pCj

(3.59)

Следовательно, пьезоэлектрические постоянные, а также диэлектрические
проницаемости, идентичны при изотермических и при адиабатических про-
цессах для непироэлектрических кристаллов. Если же кристалл обладает
пироэлектрическими свойствами, то значения этих постоянных различны
при изотермических и при адиабатических процессах. Различие между ади-
абатическими и изотермическими значениями постоянных гибкости мало,
как было показано в §11, п. 4. Поэтому при обсуждении свойств пьезоэлектри-
ческих кристаллов обычно пользуются уравнениями в форме (3.58).

Иногда употребляют также и две другие формы записи пьезоэлектри-
ческих уравнений. Для адиабатических условий они могут быть выведены
из термодинамических потенциалов и Н-2 (см. табл. 4) и записаны в форме

Тj Cji emj Em,

D	.s	(3-60)

n__$ __ Q _1 тип t

— — on — eni Oi

— sij Tj 4~ gni 8n,

T	(3-61)

Em =	gmj Tj •

Четыре пьезоэлектрические постоянные d, e, g, h, определенные таким
образом, являются родственными величинами, но каждая из них отражает
различную сторону пьезоэлектрического эффекта и употребляется при раз-
личных условиях. Пьезоэлектрическая постоянная d определяет деформа-
ции, возникающие в свободном кристалле при заданном приложенном элек-
трическом поле; пьезоэлектрическая постоянная е измеряет механическое
напряжение, возникающее в зажатом кристалле под действием данного
поля; пьезоэлектрическая постоянная g измеряет электрическое напряжение
в разомкнутой цепи при заданном механическом напряжении; и, наконец,
пьезоэлектрическая постоянная h определяет электрическое напряжение
в разомкнутой цепи при заданной механической деформации г). Как пока-
зано в приложении, между этими постоянными существуют следующие
соотношения;

7	__ тп ______ Е

dnj —	: вп1

£S

Cnj= hmj = dni Cijf тп, И —1, 2, 3,	(3.62)

gm 4:1^тп draj = hni Sjj,	i, j = 1,2, • • •, 6,

knj =	^mj ” gni

причем, как и выше, по дважды повторяющемуся в формулах индексу про-
изводится суммирование. Вообще говоря, формы записи уравнений (3.58)
и (3.60) более удобны для кристаллов, не принадлежащих к типу сегнетоэлек-
триков, тогда как уравнения в форме (3.54) и (3.61) более удобны для сегне-
тоэлектрических кристаллов.

§ 3. Ограничения, налагаемые симметрией на диэлектрические,
пьезоэлектрические и упругие постоянные кристаллов

Все кристаллы могут быть подразделены на 32 класса в зависимости
от вида симметрии, которым они обладают. Более крупными подразделениями
являются 7 систем, различающихся по углам между кристаллографическими
осями и параметрами элементарных ячеек вдоль этих осей. Каждый из ви-
дов симметрии характеризуется особым набором элементов симметрии,
таких, как оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого поряд-
ков, плоскости симметрии и центр симметрии2). Любой из этих видов симме-
трии приводит к сокращению числа диэлектрических, пьезоэлектрических
и упругих постоянных, которыми может обладать кристалл в основной
установке.

Использование тензорного исчисления позволяет наиболее просто про-
водить необходимые расчеты, связанные с преобразованием осей координат,
в том числе выяснить действие различных симметрических операций, сокра-
щающих число постоянных и устанавливающих определенные соотношения
между ними. Ниже мы приводим полученные таким образом результаты
для различных классов кристаллов, отсылая за подробностями к при-
ложению.

1. Тензор второго порядка для различных классов кристаллов.

Симметрические соотношения были выведены для всех классов кристаллов.

г) Пьезоэлектрические постоянные d и е получили у Фохта [5] название пьезоэлектри-
ческих модулей и пьезоэлектрических констант в силу аналогии, существующей между
этими величинами и величинами и с(., входящими в уравнения (3 58) и (3.60) и назы-
ваемыми, по Фохту, соответственно модулями и константами упругости. Ввиду отказа
от фохтовской терминологии для обозначения упругих постоянных (см. примечание на
стр. 34) эта аналогия теряет свое значение. Кэди [12] предложил называть величины d
константами пьезоэлектрической деформации, а величины е—константами пьезоэлектри-
ческого напряжения, однако следует считать эти термины слишком громоздкими.
В. В. Фурдуев [13] предложил недавно называть пьезоэлектрические постоянные g и h
константами Харкевича и Мэзона соответственно, так как впервые пьезоэлектрическую
постоянную g ввел Харкевич [16], а постоянную h—Мэзон. А. А. Харкевич [16] впервые
нашел выражения, связывающие константы d, е, g и h друг с другом и с чувствитель-
ностью пьезоэлектрического преобразователя. (Прим, ред.)

2) См. примечание 1 на стр. 22 (Прим. редЛ
Тензор второго порядка (например, тензор диэлектрической проницаемости
еу) для различных кристаллических систем принимает следующие формы1):

Триклинная система

£11	£12	£13	•

е12	S22	S23

£13	£23	£33

Моноклинная система2)

£11	0	Sjs

О	^22	О

£13	0	£33

Ромбическая система •
еп	О	О

О $22 О

I 0	0	£зз

Тетрагональная, тригональная и гексагональная системы

е1Х	О	О

О	ехх	О

О	0	£33

Кубическая система
Sxx	О	О

О	£11	О

О	О	£ц

Среды с одним изотропным сечением и осью симметрии бесконечного

порядка оо, совпадающей с осью z,	
	su 0	0
	0	sxx 0
	0	0	ss

х) Этой классификацией охватываются только полярные симметричные тензоры.
Классификация логически не выдержана. Если она относится только к кристаллам,
то нет надобности указывать, что тензор

£11 О О
о о

О 0	е33

применим к средам, обладающим симметрией эллипсоида вращения, и писать его 2 раза.
Если же речь идет об однородных средах вообще, то следовало бы указать, что тензор

О О

О	гп О

О	0	еп

относится не только к кристаллам кубической системы, но и ко всем изотропным средам.
Подробнее об этом см. работу А. В. Шубникова [14]. {Прим, ред.)

2) За ось у принята ось второго порядка или нормаль к плоскости симметрии.
{Прим, ред.)
2. Тензор третьего порядка для различных классов кристаллов,
В качестве примера рассмотрим тензор пьезоэлектрических постоянных

Класс 1. Моноэдрический вид симметрии (1); отсутствие симметрии

h п11	7*12	7*1з	7*14	7*15	7^16
7*21	7*22	7*23	7*24	7*25	7*26
7*з1	7*32	7*зз	7*34	7*35	7*зб

Класс 2. Пинакоидальный вид симметрии (2); присутствует центр сим-		
метрии  7ii/ = 0.  Класс 3. Диэдрический осевой вид симметрии (2); ось 2 совпадает		
с осью у  Класс 4. Диэдр:	ООО	А14	0	А16  7*21 Тг22 А23	0	7?2з	0  0	0	0 Тг34 0	h36  ический безосный вид симметрии (п	г); плоскость т пер-

пендикулярна к оси	У					
	7*п	7*12	7*13	0	7*15	0
	0	0	0	7*24	0	7*26
	7*з1	7*32	7*33	0	7*35	0

Класс 5. Призматический вид симметрии (2 : т); присутствует центр сим-
метрии

hij— 0.

Класс 6. Ромбо-тетраэдрический вид симметрии (2 : 2); оси 2 совпадают
с осями х, у, z

0	0	0	7г14	0	0

0	0	0	0	Л25	0

0	0	0	0	0	7гзб	I

Класс 7. Ромбо-пирамидальный вид симметрии (2-т); ось 2 совпадает
с осью z\ плоскости т перпендикулярны к осям х и у

0	0	0	0	/г15	0

О 0	0	7г24 О О

А31	^32	7г33 ООО

Класс 8. Ромбо-дипирамидальный вид
вует центр симметрии

ha = 0.

симметрии (т • 2 : т); прису тс г-

х) Нумерация видов симметрии дается согласно табл. 2. Редакция сочла целе-
сообразным привести также формулы видов симметрии по Шубникову (см. табл. 2).
(Прим. ред.)
Класс 9. Тетрагонально-тетраэдрический вид симметрии (4); ось 4

совпадает с осью z

О	О	О	Л14	Л15	О

О 0	0	— Л15	Л14 О

Л31	Л31	0	0	0	hse

Класс 10. Тетрагонально-пирамидальный вид симметрии (4); ось 4 сов-
падает с осью zj )	<

ООО	Л14	h15	О

О О О Л15	— Л14 О

Л3х Л31	Л33	0	0	0

Класс 11. Тетрагонально-скаленоэдрический вид симметрии (4 • т); ось 4

совпадает с осью z; оси 2 совпадают с осями	X и у
0	0	0	Л14	0	0
0	0	0	0	Л14	0
0	0	0	0	0	Л3Й

Класс 12. Тетрагонально-трапецоэдрический вид симметрии (4 :’2);
ось 4 совпадает с осью z; оси 2 совпадают с осями х и у* 2)

О	О	О	Л14	О	О

0	0	0	0	-Л14	О

0	0	0	0	0	0

Класс 13. Тетраговально-дипирамидальный вид симметрии (4 : т); при-
сутствует центр симметрии

= 0.

Класс 14. Дитетрагонально-пирамидальный вид симметрии (4-т);ось4
совпадает с осью z; плоскости т перпендикулярны к осям х и у3)

О	0	0	0	/?15	О

О	О	О	Л15	О	О

Л31	Л31	Л33 ООО

Класс 15. Дитетрагонально-дипирамидальный вид симметрии (т*4:т);
присутствует центр симметрии

hij~ 0.

О Этот тензор относится также к анизотропным средам, обладающим симме-
трией оо. (Прим. ред )

2) Этот тензор относится также к анизотропным средам, обладающим симме-
трией оо : 2. (Прим, ред.)

3) Этот тензор относится также к анизотропным средам, обладающим симме-
трией оо  т. (Прим, ред.)
Класс 16. Тригонально-пирамидальный вид симметрии (3); ось 3 совпа-
дает с осью z

Класс 17.

-симметрии

	Лц	0	А15 —Л22	
	^22	^22	0	^15	^14 —^11	
	^31	Ь'31	^33	000	
Ромбоэдрический вид симметрии (6); присутствует		
	Ai7=0.	

центр

Класс 18. Тригонально-трапецоэдрический вид симметрии (3:2); ось 3
-совпадает с осью z; оси 2 совпадают с осями х

hn —Ьц О Л14 О О
О ООО -Л14 -Л1х
О ООО О О

Класс 19. Тригонально-дипирамидальный вид симметрии (3 : т); ось 3
совпадает с осью z; плоскость т перпендикулярна к оси z

А1Х	— ^11	0	0	0	^22	
^22	^22	0	0	0	— ^11	
0	0	0	0	0	0	

Класс 20. Дитригона льно-пирамидальный вид симметрии (3 • т); ось 3
совпадает с осью z; плоскости т перпендикулярны к осям у

0	0	0	0	^15	— ^22
^22	^22	0		0	0
^31	Ьз1	Ь'зз	0	0	0

Класс 21. Дитригонально-скаленоэдрический вид симметрии (6 • т); при-
сутствует центр симметрии

hij = 0.

Класс 22. Дитригонально-дипирамидальный вид симметрии (т • 3 : т);
ось 3 совпадает с осью z; плоскости т перпендикулярны к осям z ну

0	0

0	000

0	000

0	0

0

0	0

Класс 23. Гексагонально-пирамидальный вид симметрии (6); ось 6 совпа-
дает с осью z

0	0	0	hu	^15	0
0	0	0	^15	— ^14	0
А31	^31	h'33	0	0	0
Класс 24. Гексагонально-трапецоэдрический вид симметрии (6 : 2); ось 6
совпадает с осью z; оси 2 совпадают с осями х

О	О	О	Л14	О	О

0	0	0	0	-Л14	О

0	0	0	0	О	О

Класс 25. Гексагонально-дипирамидальньш вид симметрии (6 : т); при-
сутствует центр симметрии

hij == О»

Класс 26. Дигексагонально-пирамидальный вид симметрии (6 • т); ось 6
совпадает с осью z; плоскости т перпендикулярны к осям х и у

О О О О А15 О
О О О Л15 О О
^31 ^31 ^зз ООО

Класс 27. Дигексагонально-дипирамидальный вид симметрии (т • 6 : т);
присутствует центр симметрии

hij = 0.

Класс 28. Пентагон-тритетраэдрический вид симметрии (3/2); оси 2 сов-
падают с осями х, у, z

О	О	О	Л14	О	О

0	0	0	0	Л14	О

0	0	0	0	О	Л14

Класс 29. Пентагон-триоктаэдрический вид симметрии (3/4)
Aiy = 0.

Класс 30. Дидодекаэдрический вид симметрии (6/2); присутствует центр
симметрии

Ьц 0.

Класс 31. Гексатетраэдрический вид симметрии (3/4); оси 4 совпадают
с осями х, у, z

О	0	0	Л14	О	О

0	0	0	0	л14	о

о	о	о	о	о	л14

Класс 32. Гексоктаэдрический вид симметрии (6/4); присутствует центр
симметрии

Лъ = 0.

Поперечно-изотропная среда; ось со совпадает с осью z1)

О 0 0 0 h15 О
О О О Л15 О О
^31 ^31 Азз ООО

J) Симметрия тензора со • т (см. книгу Шубникова As В., Флинта Е. Е. и
Бокия Г. Б. [15], стр. 307). (Прим, ред.)
Приведенные формы матриц справедливы также и для пьезоэлектри-
ческих констант ец. В соответствии с принятым определением сдвиговой
деформации матрицы пьезоэлектрических постоянных d и g для классов
16, 18, 19 и 22 будут несколько отличаться от вышеприведенных матриц
для /«г;1), а именно:

				— du	0	^14	dis	— 2fi?22
Класс	16.	d^2		^22	0	<^15	— du	— 2б?ц
		d^l		^31	d%3	0	0	0
		du		— du	0	^14	0	0
Класс	18.	0		0	0	0	— du	— 2^u
		0		0	0	0	0	0
		dn		— du	0	0	0	— 2tZ22
Класс	19.	d22		^22	0	0	0	—
		0		0	0	0	0	0
			du ~	~ du	0	0	0	0
Класс	22.		0	0	0	0	0 -	—
			0	0	0	0	0	0

3. Тензор четвертого порядка для различных классов кристаллов.
Для примера рассмотрим тензор модулей упругости с^-.

Триклинная система (классы 1 и 2); 21 модуль

cii	c12	C13	C14	C15	C16
C12	C22	C23	C24	C25	C26
C13	C23	^33	C34	C35	C36
C14	C24	C34	C44	C45	C46
C15	C25	C35	^45	C55	C56
C16	C26	C36	^46	C56	C66

Моноклинная система (классы 3, 4 и 5); 13 модулей		
	е11	С12	С13	С15	0	
	С12	С22	С23	0	С25	0	
	С13	С23	С33	0	С35	0	
	ООО	с44	0	ci6	
	С15	С25	С3'5	0	С55	0	
	0	0	0	с4в 0	с66	
х) Матрица для класса 20 также отличается и имеет вид:		
	0	0	0 о d15	— 2d22	
	~ d22	d22	0	0	0	
	^з1 ^зз 0	0	0	

(Прим, ред.)
Ромбическая система (классы 6, 7 и 8); 9 модулей

£11	С12	£1з	0	0	0
С12	С22	с23	0	0	0
^13	С23	£зз	0	0	0
0	0	0	£44	0	0
0	0	0	0	£55	0
0	0	0	0	0	с66

Тетрагональная система (классы 9, 10 и 13);
ось 4 совпадает с осью z; 7 модулей

£11	С12	с1з	0	0	с1б
£12	£ц	с1з	0	0	ci6
с1з	С13	сзз	0	0	0
0	0	0	£44	0	0
0	0	0	0	£44	0
ci6	£16	0	0	0	с66

Тетрагональная система (классы 11, 12, 14 и 15);
ось 4 совпадает с осью z;
оси 2 — с осями х; 6 модулей

cii	С12	с1з	0	0	0
С12	£ц	£1з	0	0	0
с1з	£1з	сзз	0	0	0
0	0	0	£44	0	0
0	0	0	0	£44	0
0	0	0	б	0	с66

Форма тензора постоянных гибкости вц во всех этих пяти случаях
полностью аналогична форме тензора с^-.

Тригональная система (классы 16 и 17);

ось 3 совпадает с осью z; 7 модулей

С11	£12	с1з	С14	С25	0
с12	£ц	с1з	— С14	£25	0
с1з	с1з	сзз	0	0 .	0
С14	— с14	0	£44	0	С25
с25	С25	0	0	£44	£14
0	0	0	£25		Сц — с12
				£14	2

Форма тензора постоянных гибкости полностью аналогична, ва исклю-
чением ТОГО, ЧТО S46“=2$25, S56=2Si4, $66 = 2(51!—$12).

4*
Тригональная система (классы 18, 20 и 21); ось 3 совпадает
с осью z; оси 2 — с осями х; 6 модулей

С11	С12 I	С13	С14	0	0
с12	С11	С13	— С14	0	0
С13	С13	сзз	0	0	0
Сц	Сц	0		0	0
0	0	0	0	^44	Сц
0	0	0	0	^14	С11	С12  2

Форма тензора постоянных гибкости полностью аналогична, за исклЮ'
чением того, что sS6-=2s14, s66 = 2 ($u —$12).

Гексагональная система (классы 19, 22, 23, 24, 25, 26, 27);

ось 6 совпадает с осью z;				оси 2 —с		осями х; 5	модулей
	Сц	С12	С13	0	0	0	
	с12	С11	с1з	0	0	0	
	с13	С13	С33	0	0	0	
	0	0	0	С44	0	0	
	0	0	0	0	С44	0	\
	0	0	0	0	0	Сг1 —СГ2 2	г

Форма тензора гибкости полностью аналогична, за исключением того
что §6в = 2	§i2).

Кубическая система (классы 28,				29,	30,	31, 32); 3 модуля	
	Сц	С12	С12	0	0	0	
	с12	Сц	С12	0	0	0	
	С12	С12	С11	0	0	0	
	0	0	0	С44	0	0	
	0	0	0	0	С44	0	
	0	0	0	0	0	с44	

гибкости полностью аналогична.

Форма тензора постоянных

Изотропное тело1); 2 модуля

Сц	С12	с12	0	0	0
С12	Сц	С12	0	0	0
С12	С12	Сц	0	0	0
0	0	0	С11 — cta  2	0	0
0	0	0	0	$11 — ^12 2	0
0	0	0	0	0	С11	с12  2

х) Симметрия тензора оо/оо • т (см. книгу
и Бокия Г. Б. [15], стр. 325). (Прим, ред.)

Шубникова А. В., Флинта Е. Е
Форма тензора постоянных гибкости полностью аналогична, кроме

$44 = $55 — $66 =	($11 — $1з)-

Поперечно-изотропная среда; ось со совпадает с осью zx), б модулей		
	£ц ^12 £13 0	0	0	
	£12 cii с1з 0	0	0	
	С13 С13 сзз 0	0	0	
	0	0	0	с44 0	0	
	0	0	0 0	с44	0	
	0	0	0 0	0	

Форма тензора постоянных гибкости полностью аналогична, исключая
$66 ~ 2 ($11	$12)*

ЛИТЕРАТУРА

1.	М a s о n W. Р., Bell. Syst. Techn. Journ., 22, № 2 (1943). Применения кристаллов
кварца.

2.	Н е i s i n g, Quartz Crystals for Electrical Circuits, N. Y., 1946.

3*. Сена Л. А., Единицы измерения физических величин, М.—Л., 1949.

4*. Шубников А. В., Пьезоэлектрические текстуры, М—Л., 1946.

5*. Voigt W., Lehrbuch der Kristallphysik, Leipzig—Berlin, 1910.

6*. Бехтерев П., Аналитическое исследование обобщенного закона Гука, ч. 1, Л.,
1925 (литогр. изд.); ч. 2, ЖРФХО, 8, вып. 3—4 (1926).

7*. Wooster W. A., A text-book on crystallphysics, Cambridge, 1938.

8*. Харкевич А. А., Теория преобразователей, M.—Л., 1948.

9*. Лехницкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, М.—Л., 1950.

10*. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории
упругости, М.—Л., 1949.

11*. Лейбензон Л. С., Курс теории упругости, М.—Л., 1947.

12*. Кэди У., Пьезоэлектричество и его практические применения, М., 1949.

13*. Фурдуев В. В., Электроакустика, М.—Л., 1948.

14*. Шубников А. В., Изв. АН СССР, 13, 347 (1949). О симметрии векторов и тен-
зоров.

15*. Шубников А. В, Флинт Е. Е., Б о к и й Г. Б., Основы кристаллогра-
фии, М.—Л., 1940.

16*. Харкевич А. А., ЖТФ, 13, 585 (1943). О применении сегнетовой соли в пьезо-
электрических приборах.

!) Симметрия тензора т • оо : т (см. [15], стр. 325). (Прим, ред.)
Глава IV

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НА КРИСТАЛЛАХ
НЕБОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ

В настоящей главе описываются применявшиеся методы исследования
и приводятся данные для ряда исследованных кристаллов. Хотя эти кристал-
лы не были полностью изучены, данные о них могут быть использованы для
предсказания химических и атомных свойств кристаллов, наиболее удо-
влетворяющих заданным требованиям х).

§ 1.	Методика измерений на кристаллах малых размеров2)

Поскольку выращивание и исследование свойств крупных пьезоэлектриче-
ских кристаллов требует большой затраты времени и труда и часто нуждается
в специальной технике, важно найти метод исключения малоактивных пьезо-
электриков на кристаллах малых размеров, которые легко получаются при

Ф и г, 10. Схема генератора Гибе и Шейбе для обнаружения
пьезоэлектрических свойств кристаллических порошков.

самопроизвольном выпадении из пересыщенных растворов. Для этой цели
применялись два метода: метод «щелчков», предложенный Гибе и Шейбе,
и метод сбалансированного моста, впервые предложенный Мэзоном.

, Метод Гибе и Шейбе состоит в следующем. Большое количество кристал-
лических зерен помещают между двумя электродами, включаемыми в цепь
генератора, схема которого приведена на фиг. 10. При помощи переменного
конденсатора частота генератора плавно изменяется. Если резонанс одного
из пьезоэлектрических кристаллов оказывается вблизи частоты генератора,
то последняя на короткий момент стабилизируется на резонансной частоте
кристалла. По мере дальнейшего изменения емкости конденсатора собствен-
ная частота генератора начинает довольно сильно отличаться от резонанс-
ной частоты кристалла, так что кристалл уже не может стабилизировать

Э Наиболее полный каталог кристаллов, которые по своей симметрии могут обла-
дать пироэлектрическими и пьезоэлектрическими свойствами, составил Е. Е. Флинт
[1]. {Прим, ред.)

а) См. также работу Бурштейна [2]. {Прим, ред.)
частоту генератора. Тогда происходит скачок от частоты кристалла к дру-
гой частоте, определяемой параметрами контура генератора. Этот скачок
частоты сопровождается быстрым изменением анодного тока, и, если в анод-
ную цепь включен громкоговоритель, то слышен щелчок. При изменении
частоты генератора в широком диапазоне можно пройти через ряд резонан-
сов и получить ряд щелчков. Это — чисто качественный метод, поскольку
громкость щелчков не может быть связана с величиной электромеханиче-
ской связи или добротности кристалла. Но с помощью этого метода можно
определить, является ли кристалл пьезоэлектрическим или нет, даже в слу-
чае очень малого коэффициента электромеханической связи кристалла.

Фиг. И. Мостовая схема для полуколичественных
пьезоэлектрических измерений.

. Другой метод — метод моста — является полуколичественным и при-
меним даже для кристаллов очень малого размера. Схема моста показана
на фиг. 11, а. Кристаллические зерна помещаются между двумя электродами,
включенными в одно плечо емкостного моста. К одной диагонали моста
подведено напряжение от генератора, а в другую диагональ включен чув-
ствительный детектор. Изменяя емкость Сг, мост уравновешивают на ча-
стоте /, далекой от резонанса кристалла; при этом через детектор течет мини-
мальный ток. При изменении частоты / мост разбалансировывается по
мере приближения к резонансу кристалла. Степень разбалансировки опре-
деляет отношение добротности Q кристалла к отношению емкостей кристалла.

Для моста, как показано на фиг. 11, б, зависимость тока на выходе
от напряжения на входе определяется выражением

•  Ео (Z2 Z3 — Zi Zt)

lQ~	H

где

H = (Zi + ZJZiZl +

4~ (^3 + ^1)	^2 +

4~ ^5	4- ^2) (Z34--^4)] 4"

4~[(^14-Z3) (Z2 + Z4)] 4- Z5 Z6 (Zi-j- Z24-Z3 4-Z4).	0*1)
Если мы примем

/	7 _ 7 _	7

Z2-Z3--^,



7 _________f

4““(Со + С2)

у ___	1

R ~~ 2тс )/ Ь2С2 ’

СОС2
со + с2

(4.2)

о =—L_

V 2"М’

то получим уравнения для емкостного моста с кристаллом в одном из плеч.
Теперь предположим, что С1} С3 и {Cq-\-C2) приблизительно равны и что
входной и выходной импедансы Z5 и Z6 малы по сравнению с импедансом
моста. В таком случае ток через детектор равен

Когда

2/VWWW1) + ^(3/a-/k)/b/a. '

— (Со + Са)



2/1/в
3/W1

(4.3)

(4.4)

и величина Q для кристалла велика, знаменатель близок к нулю. При этом
возникает большой ток. Величина этого тока при резонансе весьма близка к

ia = % »«(Со + Q ) Q = Еа »в (С„ + С2) 2-,

(4.5)

где г—отношение емкостей ]) кристалла, связанное с коэффициентом электро-
механической связи к кристалла соотношением

(4.6)

Изменение тока в зависимости от частоты показано на фиг. 12.
Максимальный ток при резонансе пропорционален Q/2 г, и острота
резонансной кривой тем больше, чем больше величина добротности
кристалла Q. Величина Q в свою очередь определяется отношением
резонансной частоты Д к разности Д/ частот, при которых амплитуда тока

х) Имеется в виду отношение электростатической емкости Со к емкости, возникающей
в результате реакции механических колебаний кристалла на электрическую цепь. Оно
находится из эквивалентной схемы кристалла [см. гл. V, фиг. 13 и формулы (5.37) и
(5. 38а)]. {Прим, ред.)
снижается на 3 дб от максимального ее значения (ток изменяется в отно-
шении 1/J/ 2), т. е.

У ц

(4.7)

Таким образом, на основании этих измерений можно определить и Q
и коэффициент электромеханической связи к при условии, что известны ори-
ентация кристалла и приложенное поле. Так как обычно при этих исследо-
ваниях применяются кристаллики малого размера, то два последних пара-
метра неизвестны и связь можно измерить только качественно. Если одновре-
менно исследуется несколько кристаллических зерен различной ориентации^

Фиг. 12. Зависимость тока i в мостовой схеме от
частоты /.

то можно считать, что определение коэффициента электромеханической связи
может быть сделано с точностью до множителя, лежащего в пределах от
3 до 1.

В данное время принято относить связь в кристалле к одной из четырех
групп: нулевая, слабая, умеренно сильная и сильная. На основании измере-
ний с более крупными кристаллами было определено, что эти группы соот-
ветствуют приблизительно следующим значениям коэффициента связи (в %).

Нулевая	Слабая	Сильная

*	СИ ЛЬпал

меньше 1	1—7	5—15	8—30 или выше

Выбор подходящих химических веществ и выращивание соответствую-
щих кристаллов были выполнены Холденом. Эти кристаллы были исследованы
и объединены автором в группы по величине связи. Ниже приведен список,,
в котором кристаллы разбиты по этим группам.

ВЕЩЕСТВА, ОБЛАДАЮЩИЕ СИЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СВЯЗЬЮ

1.	Аминоэтилэтаноламин-гидротартрат

2.	Аммоний-арсонил cf-тартрат полугид-
рат

3.	Аммоний гидротартрат

4.	Аммоний (//-гидромалат

5.	Аммоний (/-гидротартрат-/-малат х)

6.	Аммоний-литий rf-тартрат моногидрат

7.	Аммоний оксалат гидрат

8.	Ацетамид-(/-тартрат

9.	Бензил

10.	Винная кислота

11.	/-Гистидиндихлоргидрат

12.	Декстроза—натрий иодид

1)	Малат—соль яблочной кислоты.
{Прим, ред.)

13.	1,3-Диаминобутан-арсонил-тартрат

14.	Йодноватая кислота

15.	Калий бромат

16.	Калий-литий d-тартрат моногидрат

17.	Калий тиохромат

18.	Литий-рубидий тартрат

19.	Литий-таллий тартрат гидрат

20.	Метиламин-арсонил-тартрат

21.	Метиламин-гидротартрат

22.	Натрий-аммоний тартрат

23.	Натрий дигидрофосфат дигидрат

24.	Натрий-рубидий тартрат тетрагидрат

25.	Натрий тартрат дигидрат

26.	Никель /-гидромалат дигидрат

27.	Никель селенат гексагидрат

28.	Пиперидинуксусная кислота моно-
гидрат

29.	/-Пропилендиамин-арсонил-тартрат
30.	Рубидий дигидроарсенат

31.	Рубидий гидрофосфат

32.	Сахароза—натрий иодид

-33. Таллий гидротартрат

34.	Z-Тирозингидробромид

35.	Z-Тирозингидрохлорид

36.	Э ти лендиамин- ар сони л-тартр ат

37.	Этилендиамин-антимонил-с/-тартрат

38.	Этилендиамин-/-гидромалат

.39. Этилендиамин-тартрат

40.	Этилендиамин-с?-тартрат

41.	Этилендиамин-хромат

ВЕЩЕСТВА, ОБЛАДАЮЩИЕ УМЕРЕННО
СИЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ
СВЯЗЬЮ

1.	Аммоний пентаборат

2.	Аммоний тартрат

3.	Z-Аспарагип

4.	Z-Бензоиламин

5.	Декстроза—натрий хлорид

6.	Изопропиламин-арсонил-тартрат

7.	Калий пентаборат

8.	Метилалапин

9.	Метилморфолин-антимонил-тартрат

10.	rf-Миндальная кислота

11.	Морфолинуксусная кислота-

12.	Мочевина

13.	Натрий гидротартрат

14.	«Z-Пропилендиамин-арсонил-тартрат

15.	Рубидий тартрат

16.	Серебро тартрат-тиомочевина

17.	Z-Тирозингидроиодид

18.	Этилендиамин-антимонил-тартрат

19.	Этаноламин-гидротартрат

ВЕЩЕСТВА, ОБЛАДАЮЩИЕ СЛАБОЙ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СВЯЗЬЮ

1.	Аминоуксусная кислота

2.	Аминоэтилморфолин-арсонил-тартрат

3.	Аминоэтилэтаноламин-арсонил - тарт-
рат

4.	Аммоний димолибдомалат

5.	Аммоний Z-гпдрома л ат

6.	Аммоний ио дат

7.	Ацетамид-гидротартрат

8.	Барий нитрат

9.	Бензофенон

10.	п-Бутиламин-арсонил-тартрат

11.	Гексаметилентетрамин

12.	Гексаметилентетрамин-манделат i) 2)

13.	Гидроксиэтилморфолин-арсонил-тарт-
рат

14.	Гиппуровая кислота

15.	/-Гистидинмоногидрохлорид

16.	Гуанидин-карбонат

17.	1,3-Диаминобутан-арсонил-тартрат

18.	2,3-Д ибр омпр опил амин-гидротартр ат

19.	Диметиламингидроиодид

20.	тр а нс- Д иметилпипер азин-тартрат

21.	Дифенилгуанидин-тартрат

22.	Диэтиламин-арсонил-тартрат

23.	Диэтиламин-гидротартрат

i) Невидимому, аммоний гидромолибдат-
гидромалат. (Прим. ред.)

2) Манделат—соль миндальной кислоты.
(Прим. ред.)

24.	И зобу тил амин-антимони л- тартр ат

25.	Калий-антимонил тартрат—литий
нитрат

26.	К алий-антимонил тартрат—натрий
сульфат

27.	Калий d-гидросахарат

28.	Калий гидротартрат

29.	Кальций Z-гидромалат гексагидрат

30.	Ксилоза

31.	Кумарин

32.	Z-Лейцин

33.	Магний Z-малат

34.	Магний-свинец пропионат

35.	Метилморфолин-гидротартрат

36.	Морфолин-аитимонил-тартрат

37.	Морфолин-гидротартрат

38.	Морфолин-манделат

39.	Морфолин-пиперидин-арсонил-тарт-
рат

40.	т-Нитробромбеизол

41.	т-Нитрохлорбензол

42.	Пипер азин-антимонил -тар трат

43.	Пиперазин-арсонил-тартрат

44.	Пиперазин-гидротартрат

45.	Пиперазин-тартрат

46.	Пиперидин-гидротартрат

47.	Пропилендиамин-гидротартрат

48.	Резорцин

49.	Рубидий гидротартрат

50.	Серебро сукцинонитрил-нитрат

51.	Z-Тирозин-сульфат

52.	Тетраметилпиразин-гидротартрат

53.	Трибензиламин-нитрат

54.	Триэтилентетрамингидробромид

55.	Фенил-«-пропиламин-гидротартрат

56.	^-а-Фенилэтиламин-с?/-гидромалат

57.	б?-а-Фенилэтиламин-/-малат

58.	Фталевый ангидрид

59.	Этаноламин-арсонил-тартрат

60.	Этилендиамин-сульфат

61.	Этилпропилпиперидин-иодид

ВЕЩЕСТВА, ОБЛАДАЮЩИЕ НУЛЕВОЙ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СВЯЗЬЮ

1.	n-Аминогиппуровая кислота

2.	Аминоэтилморфолин-манделат

3.	Аминоэтилморфолин-тартрат

4.	Аммоний-антимонил тартрат гидрат

5.	Аммоний о-гидросульфобензоат

6.	Аммоний цитрат

7.	(7-Аргининмоногидрохлорид

8.	Ацетамид-оксалат

9.	Ацетилфенилгидразин

10.	Барий тиосульфат-ацетат дигидрат

11.	Гексаметилентетрамингидробромид

12.	Гидразин-сульфат

13.	Гидроксиэтилморфолин-гидротартрат

14.	Глицингидрохлорид

15.	Глицип-тартрат

16.	Гуанидин-алюминий сульфат гекса-
гидрат

17.	Диметиламин-антимонил-тартр ат

18.	Диметиламин-арсонил-тартрат

19.	Диметилморфолин-иодид

20.	Диметилпиперазин

21.	Диметилпиперазин-меркурихлорид

22.	1,2-Диморфолинпропан-дигидробро-
мид
23.	1,3-Диморфолинпропан-дигидробро-
мид

24.	«7-6,6'-Динитродифениловая кислота

25.	1,3-Дипиперидинпропан-дигидробро-
мид

26.	Дифенилиодоний-хлорид

27.	Дифенилтрисилоксан

28.	Изобутиламин-арсонил-тартрат

29.	Калий аминоацетат

30.	Калий гидросукцинат дигидрат

31.	Калий дибромацетат

32.	Калий иодат

33.	Калий тетраоксалат дигидрат1)

34.	Калий-цинк цианид

35.	Кальций тартрат тетрагидрат

36.	Магний 2,5-дихлорбензолсульфонат
октогидрат

7. Магний тартрат пентагидрат

"8. Метиламин-антимонил-тартрат

$9. Метилгидроксиэтилморфолин-арсо-
нил-тартрат

40.	Метилгидроксиэтилморфолин-иодид

41.	Метил-а-пиколин-иодид

42.	Метилэтилморфолин-иодид

43.	Мочевина-нитрат

44.	Натрий дигидроарсенат дигидрат

45.	п-Нитробензоилпиперидин

46.	5-Нитро-2,3-ди-(трихлорметил)-дигид-
рокумарон

47.	5-Нитросалициловая кислота

1) Ошибка. Повидимому, калий гидроок-
<салат дигидрат. (Прим, ред.)

48.	Пиперидин-манделат

49.	Пропилендиамин-арсонил (рацемат)

50.	Пропилендиамин-манделат

51.	Стронций нитрат-ацетат полуторагид-
рат

52.	Тетра-р-толилкремний

53.	Тетраэтаноламмоний-гидроарсенат-
перхлорат

54.	Тетраэтанол аммоний-гидросульфат

55.	Тиояблочная кислота

56.	п-Толуидингидрохлорид

57.	Триметилсульфоний-иодид

58.	Трифенилгуанидин-гидротартрат

59.	Трифенилметанол

60.	Фенилтиосемикарбазид

61.	Фенилтриметиламмоний-иодид

62.	Фенолфталеиндиацетат

63.	п-Хлорацетанилид

64.	Цинк 2,5-дихлорбензолсульфонат
октогидрат

65.	Этилендиамин-б//-гидромалат

66.	Этилендиамин-дигидроарсенат

67.	Этилендиамин-иодат

68.	Этилендиамин-селенат

69.	Этилендиамин-сукцинат

70	Этилендиамин-тетраацетат-гидробро-
мид

71.	Этилендиамин-тиосульфат-ацетат

72.	Этилендиамин-этилендиамин-тетра-
ацетат

73.	Этилморфолин-арсонил-тартрат

74.	Этилморфолин-гидротартрат

75.	Этил-а-пиколин-иодид

§ 2.	Свойства, определяемые по трем различно ориентированным
пластинкам небольшого размера

Было целесообразно произвести исследование свойств всех пьезоэлек-
трических кристаллов, обладающих электромеханической связью от 12 до
15% и выше. Этот довольно произвольный выбор принят на том основании,
что кварц имеет 10-процентную связь и синтетический кристалл должен об-
ладать необыкновенно хорошими механическими свойствами, чтобы выдер-
живать сравнение с ним. Кроме того, связь в 15% или выше представляет
интерес для других применений, которым обычно кварц не удовлетворяет.

Поскольку метод порошков при определении электромеханической свя-
зи кристаллов дает ошибку в величине связи в 2—3 раза, невидимому, целе-
сообразно производить отборочные испытания на кристаллах, имеющих раз-
меры, промежуточные между размерами частиц порошка и размерами круп-
ных кристаллов. Для этой цели можно использовать кристаллы размерами
3—4 мм. Из них уже можно вырезать пластинки и применить обычную ме-
тодику. Необходимая ориентировка кристаллических срезов находилась
оптическим способом, разработанным Бондом Д.

Как известно, триклинные, моноклинные и ромбические кристаллы обла-
дают двумя оптическими осями, образующими друг с другом острые углы.
Вырезав одну пластинку параллельно плоскости оптических осей, другую—
перпендикулярно к этой плоскости и в то же время параллельно биссектрисе
оптических осей, а третью—перпендикулярно к этой биссектрисе, получим
систему трех взаимно перпендикулярных пластинок, исследуя которую

х) Оптическая методика определения ориентировки кристаллических срезов значи-
тельно раньше была разработана группой сотрудников пьезоэлектрической лаборатории
иод руководством А. В. Шубникова [3]. [Прим, ред.}
можно получить более точные данные о величине электромеханической связи,
В тетрагональных, гексагональных и тригональных кристаллах имеется
лишь одна оптическая ось. Поэтому одна пластинка вырезается перпендику-
лярно к этой оси, а две другие—параллельно ей и в то же время параллельна
или перпендикулярно к граням призматического пояса. Получается также
система трех взаимно перпендикулярных пластинок, использующаяся для
измерения электромеханической связи. Хотя нет уверенности при испыта-
нии таких трех взаимно перпендикулярных пластинок, что одна из них обла-
дает максимальной величиной связи, все же опыт показал, что величина
коэффициента связи, найденная таким путем, составляет обычно не менее
50% точной величины коэффициента связи, найденной из измерений на круп-
ных кристаллах. Измерение электромеханической связи для моноклинных
и триклинных кристаллов проводилось при колебаниях по толщине, а для
других классов кристаллов—при контурных колебаниях.

Таблица 5

Приближенное измерение наиболее сильной связи

Вещество	Кристаллический класс или система	Наиболее сильная связь, %
Аминоэтилэтаноламин-гидротартрат ....	Триклинная	16,0
Аммоний-арсонил d-тартрат полугидрат . .	2 : 2	9,0
Аммоний dl-гидромалат		Ромбическая	6,1
Аммоний оксалат моногидрат		2 : 2	10,25
Аммоний тартрат		2	11,3
Аммоний пентаборат		Ромбическая	7,0
Аммоний £?-гидротартрат-/-малат		Моноклинная	8,6
1 -Аспарагин		2:2	12,5
Ацетамид-тартрат		Ромбическая	8,4
Винная кислота . . .				2	17,5
Декстроза—натрий хлорид		3:2	9,0
1,3-Диаминбутан-арсонил-тартрат 		Ромбическая	7,0
Йодноватая кислота 		2 : 2	25,0
Изопропиламин-арсонил-тартрат		Ромбическая	11,7
Литий-рубидий тартрат		2 : 2	11,7
Литий-таллий тартрат моногидрат		2 : 2	15,8
Метилаланин 		Ромбическая	6,0
Метилморфолин-антимонил-тартрат		»	16,0
Натрий-аммоний тартрат		2 : 2	22,7
Натрий гидротартрат 		Моноклинная	6,2
Натрий дигидрофосфат 		Ромбическая	5,5
Натрий-рубидий тартрат		2 : 2	19,5
Калий пентаборат 		Ромбическая	11,8
Пиперидинуксусная кислота моногидрат . .	»	9,0
d-Пропилендиамин-арсонил-тартрат		Моноклинная	7,1
Рубидий дигидроарсенат		Тетрагональная	16,4
Рубидий дигидрофосфат 		»	16,0
Рубидий тартрат 		3:2	6,5
Серебро-тиомочевина-тартрат		Моноклинная	6,2
Таллий гидротартрат	•		2 :2	24,0
ОТирозингидробромид	,	Моноклинная	16,0>
Z-Тирозингидрохлорид 		»	13,2
Этилендиамин-антимонил-(/-тартрат ....	Ромбическая	8,0
Этилендиамин-арсонил-тартрат		»	15,4
Эти измерения производились на пластинках квадратной формы, с зо-
лотыми электродами, нанесенными методом испарения. Пластинки закрепля-
лись в хорошо экранированном держателе, причем все паразитные емкости
были нейтрализованы заземлением через цепи с ййзким входным и выход-
ным импедансом. Измерялись частоты резонанса и антирезонанса, статиче-
ская ёмкость и эквивалентное сопротивление кристалла при резонансе. На
основании этих измерений можно определить диэлектрическую проницае-
мость, отношение емкостей и коэффициент электромеханической связи по
формулам

4кС0 • 9 • Ю11 lw	1,1

£ = «----------«	г = ----- ft = —

где 6’0—статическая емкость в фарадах, lw—толщина пластинки в сантимет-
рах, А—площадь поперечного сечения пластинки в кв. сантиметрах, /д—
частота резонанса и /д—частота антирезонанса. В табл. 51) приведены значе-
ния величин наиболее сильной связи, найденные из измерений на трех
взаимно перпендикулярных пластинках, для ряда материалов из приве-
денного выше списка.

ЛИТЕРАТУРА

1*. Флинт Е. Е., Сборник работ рентгенографической лаборатории Института мине-
рального сырья, М.—Л., 1939.

2*. Burstein Е., Rev. Sci. Instr., 18, 317 (1947). Приближенные измерения пьезо-
электрических свойств на кристаллах небольших размеров.

3*. Руководство к изготовлению пьезокварцевых препаратов. Под редакцией А. В. Шуб-
никова, Л., 1931.

х) В табл. 5, там где это оказалось возможным, приводятся сведения о классе
симметрии вещества в символике А. В. Шубникова. {Прим, ред.)
Глава V

РЕЗОНАНСНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ
НА ПЛАСТИНКАХ БОЛЬШОГО РАЗМЕРА

При наличии крупных кристаллов можно определить упругие, пьезо-
электрические постоянные и диэлектрическую проницаемость путем измере-
ния импеданса кристалла в широком диапазоне частот. Эти постоянные
определяются на пластинках различной ориентации, вырезанных из кристал-
ла. Для этой цели производятся измерения частот резонанса и антирезонанса
и емкости пластинок при низких частотах. Из этих измерений можно найти
диэлектрическую проницаемость свободного кристалла, частотную посто-
янную и отношение емкостей1) кристалла. Зная плотность кристалла, можно
вычислить модуль упругости, относящийся к данному типу колебаний.
Измеряя сопротивление кристаллического элемента при резонансе, опре-
деляют добротность Q. Величина Q служит показателем внутренних потерь
в кристалле, если они достаточно велики по сравнению с другими потерями.
Однако для большей части измеренных кристаллов потери монтировки
и сопротивление излучения превалируют над внутренними потерями
и определяют добротность Q кристаллов. Поскольку для применений пьезо-
кристаллов существенную роль играют зависимости частоты и пьезоэлек-
трических и диэлектрических постоянных от температуры, эти величины
обычно измеряются в широких пределах температур. Такого рода измерения
дают также сведения о характере дипольной поляризации, обусловливающей
пьезоэлектрический эффект (см. гл. X, § 6).

Упругие и пьезоэлектрические постоянные кристалла наиболее легка
определить из измерений при продольных колебаниях. Это ясно из того, что
резонансная частота продольных колебаний длинного тонкого стержня опре-
деляется модулем Юнга, а отношение емкостей связано с пьезоэлектри-
ческой постоянной, диэлектрической проницаемостью и модулем упругости
простыми соотношениями. Есть еще другие простые типы колебаний, кото-
рые можно связать с постоянными упругости,—это колебания изгиба и кру-
чения. Однако для возбуждения этих колебаний требуется сложное распо-
ложение электродов, и поэтому их нельзя применить для измерений пьезо-
электрических и диэлектрических постоянных. Как показано в § 2 этой главы,
кристаллическими пластинками, в которых возбуждаются продольные ко-
лебания, можно пользоваться для определения всех модулей упругости,,
за исключением модулей сдвига, и для определения всех диэлектрических
и пьезоэлектрических постоянных. Для определения модулей сдвига можно
пользоваться или колебаниями сдвига вдоль грани, или колебаньями сдвига
по толщине кристаллической пластинки. Для такого рода измерений пользо-
вались до сих пор исключительно колебаниями сдвига вдоль грани (контур-
ными колебаниями) ввиду большей легкости определения размеров такого
рода пластинок и отсутствия поправок на влияние пьезоэлектрической
связи. Другой метод измерения модулей упругости использует колебания
пластинки по толщине на гармониках. Этот метод [1] был положен в основу
оптического способа измерения модулей упругости, при котором стоячие

г)См. ниже формулы (5.37) и (5.38а). {Прим, ред.)
ультразвуковые волны играют роль диффракционной решетки. По положению
диффракционных спектров для трех ориентаций пластинки можно определить
все модули упругости.

Недавно для измерения упругих постоянных кристалла применен им-
пульсный ультразвуковой метод, рассматриваемый в гл. XV, § 3. Используя
распространение волн сдвига и продольных волн в различно ориентирован-
ных кристаллических пластинках, можно вычислить все упругие постоянные
кристалла. Как показано Хантингтоном [2], эти измерения дают значения
упругих постоянных при постоянном поле, которые для сегнетоэлектри-
ческих кристаллов значительно изменяются вблизи температуры Кюри.
С помощью этого метода можно получить представление о размерах доменов
в сегнетоэлектрических кристаллах, таких, как, например, сегнетова соль.
Это следует из того, что в состоянии спонтанной поляризации в кристалле
выявляются домены определенного размера, действующие как центры, рас-
сеивающие звук, подобно тому как действуют кристаллические зерна в алю-
минии. Данные, приведенные на фиг. 202, показывают, что на частоте 100 кгц
добротность кристаллической пластинки 45° Х-среза сегнетовой соли в об-
ласти точки Кюри падает с 9 000 до 3 000 вследствие рассеяния звука, обу-
словленного доменами. Это соответствует затуханию в 2,5 • 10-4 непер/см
вследствие рассеяния звука. Если принять, что постоянная неоднородности
лежит в пределах от 0,001 до 0,1, то из уравнения (15.49) следует, что раз-
мер домена лежит в пределах от 0,01 до 1 см3. Это приблизительно совпадает
с величиной, найденной Мюллером электростатическим методом.

“ С помощью двух последних методов—метода оптической диффракции
и ультразвукового импульсного метода—можно определить только упру-
гие постоянные, но не пьезоэлектрические и диэлектрические постоянные.
Поэтому самым лучшим методом определения констант пьезоэлектрического
кристалла, повидимому, все еще остается измерение резонансных и антире-
зонансных частот специальным образом ориентированных кристаллов,
хотя этот метод может быть дополнен другими.

§ 1. Зависимость между частотами резонанса и антирезонанса
и основными постоянными пьезоэлектрического кристалла

Определение основных упругих, пьезоэлектрических и диэлектриче-
ских постоянных на основании измерений емкостей и частот резонанса и анти-
резонанса осуществляется путем вычисления этих величин по основным урав-
нениям, приведенным в гл. ПТ. Для металлизированной пластинки наибо-
лее подходящим соотношением, удовлетворяющим граничным условиям,
является выражение этих постоянных в зависимости от напряженности
электрического поля (по Фохту). Это объясняется тем, что для такой
пластинки все тангенциальные электрические поля исчезают и в левых ча-
стях уравнений остается только нормальная составляющая поля.

Цель этого раздела—расчет этих величин для продольных колебаний
и колебаний сдвига вдоль грани.

1. Продольные колебания пьезоэлектрических кристаллов. Для опре-
деления модулей упругости и пьезоэлектрических постоянных кристалла
необходимо возбудить в кристалле колебания возможно более простого вида
и измерить резонансные и антирезонансные частоты и емкость кристалла на
низких частотах. Простейшим типом колебаний, связанным наиболее простой
зависимостью с постоянными кристалла, являются продольные колебания.
В соответствии с недавно установленным порядком, толщина кристалличе-
ского бруска или стержня выбирается вдоль оси z, или х3, длина—по оси х,
или хг и ширина — по оси у, или х2. Если принять z за направление
толщины и нанести, с помощью металлизации, электроды на поверхности,
нормальные к этой оси,, то единственной величиной плотности поверх-
ностного заряда, отличающейся от нуля, будет величина, численно равная 83,
поскольку электрическое напряжение не подводится к другим поверхностям.
Так как предполагается, что толщина стержня мала, то градиент напряже-
ния dE3/dz будет постоянным по всей толщине стержня. Кроме того,
поскольку электроды представляют собой эквипотенциальные поверхности,
Е3 не изменяется в зависимости от направлений х или у, т. е.

дх ду °’

На поверхности граней, перпендикулярных к направлению толщины
стержня, механические напряжения равны нулю, т. е. в тензорных обозна-
чениях

2,з = Л = Гб»О	(5-2)

Поскольку толщина стержня мала и все механические напряжения на двух
поверхностях, нормальных к оси z, равны нулю, эти напряжения не могут
сильно отличаться от нуля внутри стержня1), и поэтому для любых эле-
ментов стержня мы можем написать

T3 = Tt=T5 = 0.	"(5.3)

Точно так же, поскольку ширина берется очень малой, то для любых эле-
ментов стержня

Т^Т, = Тб^0.	(5.4)

По йаправлению длины, являющейся единственным конечным размером стерж-
ня, поверхностные напряжения равны

Л, Т5, Т,.	(5.5)

Выше уже было показано, что Т5 и Т& равны нулю, поэтому единственным
напряжением, отличающимся от нуля внутри кристалла, является

Уравнение движения для такого стержня можно вывести из закона
Ньютона и уравнений пьезоэлектрического эффекта. В векторной форме за-
кон Ньютона можно написать в виде

P^-dxdVdz~Fh,	(5.6)

где —смещения элементарного куба dx dy dz в направлениях осей х, у
и z , Fk—компоненты силы, действующей на элементарный куб, и р—плот-
ность вещества. Из уравнений теории упругости, рассмотренных в гл. III
[см. уравнения (3.5) и (3.6)], вытекает, что равнодействующая сила в направ-
лении оси х определяется частной производной напряжений, т. е.

F1=\t>^ + a^ + ~\dxdydz.	(5.7)

1 L дх	ду 1 dz J	'

Точно так же для двух других направлений

„ [ОТ. . дТ2 . дТ.Л 7,7	Р ГЭТъ , дТ\ . дТ31 , , ,	Q4

^2—	J---г \dxdydz, F3= -г+угЧ-;) \dxdydz.	(5.8)

z L дх ду 1 dz J и ’	4 L дх ' ду ' dz J и	'

Эти соотношения можно выразить в общей тензорной форме

=	(5-9)

х) Это справедливо только при условии, что длина волны значительно больше
толщины стержня. (Прим, ред.)
Следовательно, уравнения движения можно представить в виде

дЕк __ дТкг
° <9t2 d$i

(5.10)

Для стержня с длиной вдоль оси х единственной составляющей напряжения,
отличной от нуля, является Ту, поэтому единственное уравнение движения
для этого стержня имеет вид

_ дт\

Р dt2 дх

(5.11)

Через напряжения деформации определяются по уравнениям (3.58).
Для интересующего нас случая i— 1 и Т2 — Т3 = Ту = Ть = Тв = 0 и, посколь-
ку поле действует только в направлении z, Еу~ Е^ — Q. Отсюда

Ту d3y Es.

(5.12)

В свою очередь, напряжение Ту можно выразить через одну компоненту де-
формации, так как все остальные компоненты деформации связаны с него. Де-
формация весьма просто связана со смещением поэтому останавливаемся
на ней. Тогда можно записать

(5.13)
11 11

Уравнения прямого пьезоэффекта (3.58) принимают форму

K =	+	(5.14)

\	41 /	41

Единственный интересующий нас в данном случае заряд, это заряд в на-
правлении г, которое является направлением приложенного поля. Отсюда

гТ d2

___ -и

4тг
у у

£з + 451-

Наконец, мы можем написать уравнение

Ь.

-Ез

гТ

533

4^

£lc eSi

4 тс 4тс

(5.15)

(5.16)

з —

показывающее, что, когда стержень зажат с концов так, что 51=0, отношение
плотности поверхностного заряда к напряженности поля можно выразить
через диэлектрическую проницаемость продольно зажатого кристалла epf.
Используя соотношения (5.13) и (5.16), можно записать уравнения
(5.11) и (5.15) в виде

1 д2£х d3t дЕя ,, _______________ р । ^31 'Ey

<,Е да2 (.Е дх ’	3 4к 3 ' дх

(5.17)

Для решения первого уравнения заметим, что Е3—постоянная величина,
независимая от х, поскольку электроды образуют эквипотенциальные поверх-
ности. Поэтому уравнение движения упрощается:

д2^ __ 1 д2^

Р dt2 SE. дх2

41

(5.18)

Для простых гармонических колебаний изменение со временем можно
выразить в обычной форме:

=	(5.19)

при этом уравнение движения (5.18) примет вид

2 Ei dE

-----(О "ГК г   
^2 Ш РЧ1’ ^2

^4 = 0,
V2

(5.20)
где и — скорость распространения продольных упругих волн в метал-
лизированном стержне, определяемая формулой

2	1

Vs —--------

Р«11

(5-21)

Решение уравнения (5.20) при произвольных граничных условиях
имеет вид

f	4	ШХ . Т. .

% — A cos----О В sm — .

V 1	V

(5.22)

Для определения произвольных постоянных А и В используем уравне-
ние (5.13). Дифференцируя уравнение (5.22), получим

= 5, =	[ - A sin + В cos^] =	+ dnE3.	(5.23)

Когда ж = 0 и х = 1, где Z — длина стержня, для свободного кристалла
напряжение будет равно нулю:

7\ = 0.	(5.24)

При этих условиях имеем

^B = d31E3 и ^[-^Sin4 + Bcos4]=d31£3.	(5.25)

Определив постоянные Л и В и подставив в уравнение (5.23), получим

S1 = d81Es cos

ml ’

cos ---

V

sm —

V

тх

sin —

V

— d3\E3

co (I — x) . mx
sm —--------- + sin----

sin —

V

v

Чтобы найти электрический импеданс, измеренный на электродах
металлизированного стержня, подставляем величину Sr — д^/ дх в последнее
из уравнений (5.17), определяющее о3 = Л3/4тс, где £>3—электрическая
индукция в направлении г. Поскольку нормальная составляющая индук-
ции, деленная на 4тс, численно равна плотности поверхностных зарядов,
то 83 представляет заряд на единицу площади поверхности кристалла. Ток
через кристалл определяется производной по времени от величины поверх-
ностного заряда и для простых гармонических колебаний выражается следую-
щим образом:
i	i

=	+	(5.27)

о	о '	,$и

Вводя значение 51! из (5.26) и проинтегрировав от 0 до Z, получаем

-LC

Проводимость свободного кристаллического стержня равна

( / . \

J_ — _L — f	I I  I g 2v j

Z E E&li fadt j	I

>	\ 2v /

где Z — длина, lw — ширина я Ц — толщина стержня. При очень низких
частотах эта проводимость сводится к обратной величине емкостного реак-
тивного сопротивления

~ Ml



(5.30)

так что низкочастотные измерения емкости С позволяют определить диэлек-
трическую проницаемость свободного кристалла sj3.

Если

tg^-=oo ИЛИ -^--4 (2^ + 1), п = Ъ, 1,2,3,	(5.31)

то наступает резонанс; наинизшая частота резонанса равна

v 	1

Таким образом, основная резонансная частота в этом случае определяет-
ся постоянной гибкости плотностью р и длиной кристаллического
стержня. Антирезонансная частота о)д получается в том случае, когда
выражение в скобках в уравнении (5.29) равно нулю, т. е. когда

(. “ДА

g 2г _Q.

j

2г /

Из этого выражения находим

40r.t	/г;

-2ГС^-2Г-=--^Г ’	'	<5'32)

Определяя коэффициент электромеханической связи выражением

и подставляя величину s3f из уравнения (5.1G), приведем уравнение (5.32)
к виду

При таком определении коэффициента электромеханической связи он пред-
ставляет ту часть электрической энергии, сообщенной кристаллу при нуле-
вой частоте, которая переходит в механическую форму.

Найдем теперь уравнение для вычисления коэффициента электромеха-
нической связи к в зависимости от резонансной и антирезонансной частоты
fii и /д. Разность между этими частотами обычно мала, так что мы можем
написать

/а~+	(1)Л — (йд 4-2тсД/.

(5.35),

Подставив эти величины в (5.34) и заметив, что

ctg (Ад-В) =

cig A ctg В — 1
ctg А + ctg В

мы имеем, поскольку для самой низкой резонансной частоты tf)Rl / 2v> — w / 2^

-Л ,
1
Разлагаем выражение для tg (д Д// в ряд по степенямД///д:

Д/\3

. тс _ 1 __ к V 2 ,
g 2 fr. . к	% fn	3	‘	*

. ctgT?f

Разрешая это уравнение относительно к'2, получаем

м V Ь । С4-*2)	। /^2-4д/^д<д/у ,

_T7^L1+~t-7^+1~AtA7^J +

(5.36)

Итак, коэффициент связи к определяется путем измерения разности частот
между резонансом и антирезонансом и подстановки полученных значений
в формулу (5.36). Обычно можно ограничиться первым членом.

Зная величину постоянной гибкости s^, которую можно вычислить по
резонансной частоте, и величину диэлектрической проницаемости

Фиг. 13. а—эквивалентная электрическая схема пьезокристалла; -
б—зависимость реактивного сопротивления пьезокристалла от частоты.

получаемую из измерений емкости на низкой частоте, можно определить
пьезоэлектрическую постоянную d31. Измеряя аналогичные постоянные для
срезов, повернутых относительно кристаллографических осей, можно вы-
числить все независимые постоянные гибкости, за исключением постоян-
ных для чистого сдвига, а также определить все пьезоэлектрические и ди-
электрические постоянные данного кристалла.

Элементы эквивалентной схемы кристалла1), показанной на фиг. 13, а,
можно определить из уравнений (5.33) и (5.36). Исходя из уравнений для
этой схемы, можно выразить резонансную частоту и разность резонансной
и антирезонансной частот через величины элементов схемы фиг. 13, а следую-
щим образом:

\	/	^А.	_ Су  1

где г —отношение емкостей кристалла.

Согласно (5.29), емкость Со равна

г _ <7^- 1,11 . ю-12

Отсюда имеем

=	. (1 и . ю-12) ф,

К*	If 4

6 11 1

(5.38а)

Эквивалентная электрическая схема для пьезокристалла впервые была предложена
В а н-Дейком [3, 4 ].
Из уравнения резонансной частоты находим выражение для индуктивности:

Т 	1	9 • 1011

Г/ 1'

(5.386)

Интересно отметить, что если те же измерения проводить на гармониках выс-
шего порядка, то при вычислении получаются те же величины С() и Lr, значе-
ние же (\ нужно умножить на коэффициент 1/тг2, где п—порядок гармоники.

2. Определение сдвиговых постоянных по колебаниям сдвига вдоль
грани1). Путем измерения кристаллических пластинок различной ориента-
ции при продольных колебаниях можно определить все упругие постоянные,
кроме сдвиговых. Для измерения сдвиговых упругих постоянных нуж-
но установить, при каких типах колебаний чистый сдвиг является преоб-
ладающим движением. При этом можно выбирать между колебаниями, вы-
зываемыми волнами сдвига по толщине или волнами сдвига вдоль грани.
Последний способ был выбран потому, что он проще и в этом случае
легче изготовить пластинки подходящих размеров, а также потому, что
основные константы могут быть определены из измерений на пластинке одной
ориентации. Кроме того, при этом способе колебания совершаются нормально
к направлению приложенного поля, и поэтому не нужно делать поправок
на неоднородность электрического поля, которая появляется вследствие
пьезоэлектрической поляризации, если колебания направлены вдоль прило-
женного поля. Колебания в случае волн сдвига вдоль грани (контур-
ные колебания) более сложны, чем колебания при продольных волнах. При
контурных колебаниях требуется, чтобы удовлетворялись граничные усло-
вия вдоль четырех ребер по контуру грани.

Рассмотрим кристаллический срез, нормальный к оси г, илиж3, допуская,
что толщина пластинки настолько мала, что можно положить равными нулю
механические напряжения вдоль направления х3, т. е.

Т3 = Т\ = Т5 = 0.	(5.39)

Остальные компоненты напряжения Тг, Т2 и Тв имеют в пластинке конечные
значения, но исчезают на ребрах. Исчезновение напряжений, согласно усло-
виям (5.39), упрощает уравнения движения, так как остаются только три
независимые компоненты деформации, т. е. три другие компоненты дефор-
мации находятся в определенном отношении к независимым компонентам.
Так как поле Е на поверхности параллельно оси z и толщина пластинки счи-
тается малой, то единственной составляющей поля будет Е3. В таком случае
уравнения (3.58) можно написать в виде

^ii — ‘S’i — 'sii Тi -j- Si2 Т2 4~ «16 Т6 ф- d3VEз,

25и -	- s® ?’х +	d.ME3,

Sw - S2 = sf/, +	+ d32£3,	<5Л0>

- Ф Л’з + d?A't\ + d^T., + d.xTs.

В силу (5.39) все другие напряжения исчезают. Хотя другие составляющие
электрической индукции не исчезают, единственный интерес для нас пред-
ставляет величина о3 (нормальная составляющая электрической индукции,

*) При колебаниях этого рода сдвиговые перемещения происходят в плоскости грани
пластинки одинаково по всей ее толщине, при этом изменяется форма ее контура. Коле-
бания и волны такого типа автор называет также контурными. (Прим ред.)
деленная на 4тс), так как она численно равна плотности поверхностного
заряда.

Чтобы ввести механические напряжения в уравнения движения, вели-
чины Тг следует выразить через деформации St. Это можно сделать, разре-
шая совместно уравнения (5.40), в результате чего получаем

Л = с^8г + сс12Е82 + сс’Е86 - ес31Е3,

2	Dj । с?22	2 Т ^26 ^6	,32^3?

/р „ V | С ’ с zjc 77	(5.41)

* 6 “ ^16	1 Г ^26	2 “Н ^66	6	’ ^36^3’

$3	^''з	~ (^З1б31 4" ^32e32 + ^Збезв)] + е31^1 + e32^2 + езв^6-

В этих уравнениях cl’E обозначают модули упругости при постоянном
поле для контурных колебаний. Эти модули применимы в тех случаях,
когда контурные колебания возбуждаются в очень тонких пластинках.
Они выражаются через постоянные гибкости при постоянном поле по фор-

мулам	<

4;Е =	, k, I = 1, 2, 3,	(5.42)

где А — определитель		
	Е	Е	Е	
	^11?	$12>	$16	
Д =	Е	Е	Е  $12?	$22?	$26	(5.43)
	Е	Е	Е	
	$16?	$26’	$66	

и Aw— миноры, получаемые зачеркиванием Лг-й строки и Z-ro столбца.

Пьезоэлектрические постоянные для контурных колебаний определяются

соотношениями

С 7 С,Е .	7 С,Е ;	7 С.Е

^31—“з1С11 Ч ®32С12 “Ь^36С16 >

с л	। л С,Е ।	7 „с.Е

^32 — ®31^13 + .J 2^*2 2 4"~ ^*36^28 ’

(5.44)

с 7 с,Е .	, с.Е ,	7 с.Е

е36 ~~ ^31С16	®32^26 ’ i -Ы^бй ’

тогда как диэлектрическая проницаемость кристалла, зажатого по контуру,
дается уравнением

£33	833 - (cZgiCgi 4~ ^32^32 -t~ ^Зб^зе) 4'1^.	(5.45)

Верхние значки с, 8 отмечают, что —диэлектрическая проницаемость
кристаллической пластинки, для которой запрещены контурные деформации,
но разрешаются деформации по толщине.

Подставляя выражение (5.41) в уравнение движения (5.10) и замечая,
что

^ = ^ = 0
дх ду ’
поскольку электроды являются эквипотенциальной поверхностью, приведем
уравнения движения к виду

<?2£г _ с, К д2^ । 9 С,Е , с,Е । с,Е <92?2 .

Р dt2 ~ С11 дх2 г ^С16 дх ду Сьб ду2 1 С*6 дх2

_1. (СС>Е । СС’Е)	+ сс’Е

И К°12 -Г Че ) дхду Г С26 дхг ’

= ^ + (с^ С.Е <5Л6>
Р dtz	° 16 дхЪ ^V-T2 П-Ь66 ) дхду^ ь26 ду2 П-

 с,Е d2i2  су с,Е д2^2	с, Е d3g2

"1 ^66 qxz Г '2в дх ду~^ 22 ду2
Для простых гармонических колебаний уравнения (5.46) сводятся
к виду

! 9	.	а2^ , М2 , ,	.	. а2?2 . а2е2 2 , _п

С16 аж2 12 дхдУ^С2в ду2 1 p£i —О,
(5.47)

е	Лг ^-1-с	I 2с,-	!

16 5ж2 ' \ 12 i 66/ qx Qy 26 dy2 '	66 ax2 26 dx dy 1

4" C22	4* w2P’2 = 0>

где подразумевается, что модули упругости являются модулями при постоян-
ном поле для контурных колебаний пластинки.

Для получения при измерениях более точных результатов длина пла-
стинки должна быть больше ее ширины и толщины. Еще выгоднее
употреблять при этом высокие гармоники, что делает пластинку по существу
еще длиннее по сравнению с ее шириной. Ввиду сказанного мы возьмем при
расчетах решение для кристаллической пластинки, имеющей бесконечную
длину в направлении х и конечную ширину в направлении у. Для бес-
конечно длинной пластинки компоненты смещения q и £2 не должны
изменяться вдоль длины, следовательно,

^=/4-=«1 = ^ = 0.	(5.48)

дх* дх ау дул дх ду	7

При этих условиях уравнения (5.47) принимают вид

д24	д2;2	2 t _ Л

С66 ду2 4 С26 ду2 4 <0 Р^1 — 0-	4$)

С26	+ С22	4 «>2Р52 = О-

При решении этих уравнений получаются две связанные волны, опре-
деляемые только размером пластинки по оси у, т. е. шириной. Если с2е=0,
то эти две волны представляют собой наложение стоячих волн сдвига и про-
дольных стоячих волн, существующих независимо друг от друга; при ко-
нечном значении с2б волны сдвига и продольные волны связаны так, что
нет чистых колебаний сдвига или чистых продольных колебаний.

Для доказательства этого мы исключим из вышеприведенных уравне-
ний и получим уравнение четвертого порядка

+ 0)2 (Л -------------------“Vil .	0.	(5.50)

ду4	\с22с^ — с2в 7 ду2 «22^66—с26	'	'

Решение этою уравнения имеет вид

— A cos ау В sin ау 4- С cos $у 4 D sin $у,

где	_____________________

п = ... « / 4га + с86) р 1 /1 , Л Г(с22—с66)24 4с23

И 2(С22Сб6-С26) у 1_|- V	(с22 + с6&)2	’

8=0) |/..(С22"^)Р- iZl-l/SESE+Me	(5 5П

Р V 2(е22Сб6-с28)|/ V (с22 + свй)2 •

Если с2в = 0, то

а = «)|/-±-, р = ш |/-Р-
F G66	У С22

и два колебания будут существовать независимо. Значение ^2 получается
путем подстановки значения в последнее из уравнений (5.49), тогда
ъ = (л cos ау+в sin + С^йк2)cos у+D sin	(5,52)

При этом' нужно удовлетворить следующим граничным условиям:

/7!	662 I	с Р г\

~	17 + С26 17 ~ e3iE3 — О,

Т — с -4- с — сс F — О

7 6~ С26 ду Т(66 ду ез&^3 — U

при у ~ 0 и у = lw,

(Ь.ЬЪ)

где lw — ширина кристаллической пластинки. Этими условиями определяются
четыре произвольные постоянные А, В, С и D. Эти постоянные в зависи-
мости от Es выражаются так:

Г (°>2Р —a2c22)tg (аЦ2)
[_а(Р — а2)(с22с6б — с2б)

ес Е3

36 d

ес £ Г to2PC66~^2(С22С66 — С26) 1 j

32 '3 L W2pC26	J J

/? _ Г ._____(«2р	g2C22)	1 . ( с р _____ с -р Г а)2Р<;66 ~~~ р2 (С22С66 С2б) 1 1

La(P2 —a2)(c22c6J —с|6) J | Зв 3	32 3 [	«>2рс2в	Jj ’

(5.54)

Г (щ2Р p2<?22) tg (Pl/2) Г -р _____________ р Г со3рс66 д2 (С22С66 ~~ С2б)

L РФ2 —а2)(с22с66 —с26) J I 36 3	32 3 |_	“2рс2б

а>2р—Рс22 I . /

Р(р2 —а2)(с22с66 —с|.) J ‘ j

а>2рс66 —а2 (с22сба —с2б)
со2рс2в

Для определения электрической проводимости кристаллической пла-
стинки мы воспользуемся последним уравнением (5.40), которое для дан-
ного предельного случая приводится к виду

с б£2	61

22 ду 36 дуу

(5.55)

Интегрируя это уравнение подлине и ширине пластинки и заметив, что Е3 не
изменяется на поверхности пластинки, а 1 и 1 не зависят от х, мы получаем

Q =	4-	- Ч.) 4-	(Ч2 - ?»)>

(5.56)

где смещения являются смещениями на двух ребрах грани и Q — полный заряд
на поверхности. Вводя в (5.56) величины смещений из (5.51), (5.52) и (5.54)
и замечая, что ток, протекающий через кристалл, равен j^Q, получим
проводимость кристалла

Z	j Л	ез24л Г а2 КрСбб — ft2 (с22^6 — С2б)] Л 1g («^/2)1

I Sc,s L (1 —«2)(('22С66 —CS«)WP2 \ а^/2 )

02 4 w2PC66~ а2 (С22С66“ С2б) Д tg (₽7/2) 1 ।

Р <ф2-а2)(С22С06-с26)«2р> ^7/2 J 1

W2

36
ес, 8

33

4яес ес

32 36
ес,8

33

2,

(^2 —а2) (С22еб6 —ci6)

^С66

ер-м (

(Р2 —а2) (c22c6S —

(5.57)

!Р — а2^22) (ц>2р — ft2c22) — Д2Р2с22СбГ 1 Г tg (qZw/2)  tg (P?w/2) I ,

(a2

:66 — С2о) <u2pC26

^Зц-Е'з е32^3

__	3 33

3	4^

J



с28	~1 Г tg («/J2)	tg (pZJ2)

С22С66	^26 J L Aw/2.
При низких частотах
tg	tg(^p/2)	,

aZM/2 £/w/2	’

поэтому проводимость оказывается чисто емкостной, а емкость равна

|_	ес> $ Кс22с66	С26/ гС’® \ С22С66	С26 /

33	33

4тгес„ес /	2r„	\ 1

_______32 36 ( ^с2б \ I
£С, S	С22С6в —с|6 J J

33

(5.58)

Эта емкость определяется диэлектрической проницаемостью свободного
кристалла. Если с26=0, то импеданс сводится к импедансу для двух несвя-
занных колебаний, и проводимость будет равна

В этом случае измерения резонансных и антирезонансных частот для колеба-
ний сдвига позволяют определить величину контурного модуля упругости
и контурной пьезоэлектрической постоянной е°в. Так как пьезоэлектриче-
скую постоянную сдвига легче определить для. продольно колеблющихся пла-
стинок, обычно объектом измерений при колебаниях сдвига является модуль
упругости с66, определяемый на резонансной частоте.

В общем случае, когда модуль с2б не равен нулю, уравнение (5.57)
определяет проводимость при наличии двух связанных колебаний. Резо-
нансные частоты имеют место, когда проводимость бесконечно велика (импе-
данс равен нулю); поэтому условиями резонанса будут

——— ОО ИЛИ 1ОЬ£ = 00.	(5.61)

Две первые (паинизшие) резонансные частоты равны

j __	1 Л/ (С22 Т С66)	1/(С22	С6б)2 4С2в

71 “ 2lw Г 2р’

/ __	1	1/ (С22 Д С6б) + ]/(С22 — С6б)2 + 4<"26

h~2lw ?	2Г	’

(5.62)

Так как частота f равна v/2lw, то
рости удовлетворяют уравнению
ро2— с22,

С26

легко убедиться, что две величины ско-

С26
ро2 —с66

= 0.

(5.63)

Измерения двух резонансных частот дают два соотношения для вычисления
с26, с22 ис66. Другие соотношения можно получить из измерений на продоль-
но колеблющихся пластинках. Во всех кристаллах, за исключением моно-
клинных и триклинных, продольные колебания и колебания сдвига не имеют
связи и поэтому могут быть использованы непосредственно для определения
с22 и с6Д).

Э Для пластинок из этих кристаллов частота будет основной частотой стоя-
чих волн сдвига по ширине пластинки, а /3—основной частотой продольных стоячих
волн (волн сжатия) в том же направлении. {Прим, ред.)
§ 2. Определение упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических
постоянных на срезах различной ориентации

До сих пор мы вычисляли резонансную и антирезонансную частоты про-
дольных колебаний или колебаний сдвига для кристаллических пластинок,
вырезанных нормально к оси z, с длиной, направленной вдоль оси х и шири-
ной—вдоль оси у. Для измерения всех свойств кристалла требуется несколь-
ко пластинок различной ориентации как для продольных колебаний, так
и для колебаний сдвига. Для того чтобы приведенные ранее решения можно
было приложить для любого из этих косых срезов, мы воспользуемся системой
повернутых осей, получающейся из основной системы координат в наиболее
общем случае путем трех вращений.

Принимая оси х, у и z прямоугольной системы (как определено в гл. II)
за неподвижные оси, можно определить постоянные гибкости для срезов
любой ориентации по общей тензорной формуле

t дх^ dx'j дх& дх\

= ~дхи д^0 d^pSmnop’

(5.64)

как показано в приложении, § 4. Здесь частные производные представляют
собой направляющие косинусы, определяемые выражением

	x±	x2	x3		Ху	ж2	х?,
x[	dx{ dxr	dx^ dx2		х[	4		
rr'	dx2 dxy	dx'2 dx2	дх2 дх3		^2	т2	п2
rr'	dx3 dx}	dx2	дх% дх3		4	т3	п3

(5.65)

Подобным же образом компоненты тензоров пьезоэлектрических постоян-
ных и диэлектрической проницаемости определяются по формулам

d' --i

~ dxt

f дху

£о’ = 5Д

dx'i

dxm dxnaimn

dxj

(5.66)

В случае продольных колебаний представляют интерес следующие по-
стоянные: постоянная гибкости $х111, пьезоэлектрическая постоянная
и диэлектрическая проницаемость е'3. Применяя формулы преобразования
тензоров и выражая компоненты символами с двумя индексами, получим
следующие выражения для упомянутых величин при произвольной ориен-
тации кристаллической пластинки:

4 - 4 П 4 (24 4 - 4)	+ (24 4 4) № + (24 4 2^) 11т1П1 4

4 2411п1 4	4 4mi 4 (24 + 4) mfal + 24^1^14

4 (24 4 24) m21l1n1 4 244 4^1 4 24^1^! +

4	4 2 ($36 4 sio) •	(5.67)
^31 ~ ^11^3^1 + ^12^3W1 4" W 4~ </14/3^1^1	Г

4- d^lj^m^ + d21m3ll + cZ22m3m| + d23m3ni + d2im3minl 4-

+ ^25m3^iwi + <Z26m3Zxmx + d31n3lf 4- rf32«3mj 4- d33n3nj 4-

4- d^m^ 4- d^n^ri! -j- d^n^m^	(5.67')

£33 " £11 ^3 Д ^£12 ^3^3 + 2si3 Z3723 4- S22 "4 4" 2s23 «44 4~ ®33 ^3«

В случае колебаний сдвига для вычисления контурных постоянных
гибкое!и в зависимости от основных постоянных гибкости нужно знать
выражения постоянных s&, sxf, s^} s^, s^, для произвольного направ-
ления. Для эта зависимость представлена уравнением (5.67). Пять
других уравнений

~ 4 llll + &	+ $f3 (llni + Z>|) 4- 4 (m^nJl 4- Z|w2m2) 4-

4~ $15 (Z2^iZi 4-	4~ $ie (ZxwxZ2 4" ZxZ2w2) 4- $22 ^1^2 4-

4 4 {n^ml 4- mini) 4- 4 (m^ml 4~ m?m2n2) 4- 4 (n^ml 4 mln2l2) 4-

+ 4 (hm^nl 4- mfZ2m2) + s33 nfyl + 4 (m^nl 4- n|w2n2) 4-

4- 4 (n^nl 4- nfn2Z2) 4- 4 (hr^nl 4- nll2m2) 4- 4 mln1m2n2 4-

4- 4 (n^m^ 4- m^n^) 4- 4 (limxm2n2 + тгпх12т2) 4-

-r$f5 «^1^2 +$f6 (hmrn2l2 4 nrl±l2m2) + 4 (ZimiZiWa).	(5.68)

$ie ” $112ZfZ2 4 2s12 [mxZx (wxZ2 4- w2^1)] 4“ 2s13 l^n^ {l2n^ 4- lin2) 4-
4~ $14 [2m1n1Z1Z2 -p Zj (t??i7?2 4- 74^2)] 4~ $15 (3Z2/2n1 + /^2) +
4"sie 4- Z4m2) 4~ 24 mlm2 4- 2s® (mym2nl 4~ П1П2пф 4
4- s® (3nilnrn2 4 m?n2) 4- 4 [2m1m2n1Z14- ml {lxn2 4- тгДД] 4-
-4 4 (Зт^хт2 4- mfZ2) 4- 2s33 nxn2 4- 4 (Зм1ф2 4~ nlm2) 4-
4~ s35 (Зп11хП2 4~ w-iZ2) 4- 4 [2Zi/nin1n2 4-	4- ^1^2)] 4~

4-	4 mxnx (mvn2 + п^т.2) 4- sf5 [2nxlrmTji2 4- {lxm2 4- m^)] 4-
4- $f6 tZimi (min2 t- ^1^2) 4- (lrm2 + mxZ2)] 4-

4-$f5 tnizi 4- MiZ2)] 4- $f6 [31x^1^ 4- ll (nxm2 4- mxn2)] 4-
4- 4 Ziwx (Zxm2 4- ^14).

(5.69)

$;? = $n Zt 4- (24 + $S llrnl + (24 4- $5E5) llnl 4- ,

4“	4" 2$66) l2m2n2 4 2s15 l2n2 4 2s,16 l2m2 4- s22 m2 4-

4-	(24 4- $£) mini 4- 24 mfi2 4 (24 4- 24) Z2m|n2 + 24 hml 4-

+ $f3 nl 4- 24 m2nl 4- 2sJ l^2 4- 2 (4 4- $«) Z2m2n|	(5.70
$26 — $11	4" 2$12	(^1W2 4 WjA) 4 2<S|3 Z2H2 (^1^2 4 ^1/2) 4

4 $Д [2ZxZ2m27?2 4 Z| (т1И2 4" W1W2)] 4" $15 (3Z1Z2^2 4- ^2nl) 4

4 sf6 (3ZxZ^m2 4 Z|wi) 4- 2sf2 4 2s^m2n2 {тгп2 4 nrtn^ 4

4 sf4 (Зт^щ 4 mfnx) 4 sf5 [2m1m2w2Z2 4 mj (lxn2 4 nxZ2)] 4

4 sf6 (3l2mlmx 4 z/z f Zx) 4 2ss3 n^f 4 sf± (Зп^т^ 4 m&l') 4

4 4, (3zzxn2Z2 41гп1) 4 $f6 [2nxw2Z2m2 4 n\ (lxm2 4 mxZ2)] 4

4 m2n2 4 «1W2) 4- fys [n2l2 {m^ 4 п^) 4 m2n2 4 nxZ2)] 4

4- $« [4^2 («4^2 4~ прпъ) 4 m2n2 (l±m2 4 mxZ2)] 4 sf5 n2Z2 (Zxn2 4 nxl^ 4

4$56 [^2m2 (Zxw2 4- ft 1/2) 4 Z2?t2	4 ^2)] 4 $4 l%m2 (^1^2 4 ft4?)-	(5.71)

$66 — 4^* ZjZ2 4 8$i2 ZiZ2m1m2 4 8s13 ZxZ2zixn2 4

4 4$14 ZxZ2 (mxft2 4 ftjft^) 4 4$i5 ZxZ2 (Zxtz2 4 ^fti) 4

4 4s^6 ZXZ2 (Zxm2 4 mxZ2) 4 4sf2 4 8sf3 7nxm2nxw2 4

4 4< mxm2 (тхтг2 4 w2nx) 4 4sf5 mxm2 (Zxtz2 4 Z2nx) 4

4 4s%. mxm2 (Zxm2 4 mxZ2) 4 4s^ nln\ 4 4s£ nxn2 (mrn2 4 nxm2) 4

4 4$35 ПуП2 (1±Пъ 4 га14) 4 4$36 Т1уП2 4 m1^2) 4

4	(mxn2 4 ftxm2)2 4 2sf5 (Zxn2 4 Z2wx) (mxn2 4 тгхт2) 4

4 2sf6 (Zxm2 4 mxZ2) (тхтг2 4 nxm2) 4 s® (Zxtz2 4 nxZ2)2 4

4 2s56 (Zxftz2 4 ft?iA) (Zx^2 4 п1Ц) 4 $66 (^im2 4 t7ixZ2)2.	(5.72)

Из этих уравнений и соотношений, приведенных в гл. III, можно опре-
делить все постоянные гибкости, пьезоэлектрические постоянные и диэлектри-
ческие проницаемости для пластинок любой ориентации, что иллюстрируется
примерами с отдельными кристаллами, рассмотренными в гл. X.

Уравнения (5.67) показывают, что все пьезоэлектрические постоянные
и диэлектрические проницаемости можно определить из измерений на про-
дольно колеблющихся пластинках; 9 постоянных гибкости и 6 отношений
между остальными 12 постоянными гибкости можно также определить из
измерений на продольно колеблющихся кристаллических пластинках. Для
получения 6 остальных независимых соотношений можно пользоваться
6 срезами различной ориентации, в которых возбуждаются колебания сдвига
вдоль грани. Для самого общего случая, а именно для триклинного кристалла,
все эти измерения можно проделать со срезами 18 ориентаций. Можно также
получить все постоянные гибкости из измерений 21 пластинки независимой
ориентации, работающих на колебаниях сдвига вдоль грани, но эти измере-
ния не так просто осуществить, как измерения с продольными колебаниями.

В гл. X показывается, какие срезы требуются для отдельных классов
кристаллов.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Bergman L., Der Ultraschall, Ziirich, 1949.

2.	Huntington H. B., Phys. Rev., 72, 321 (1947). Ультразвуковые измерения
монокристаллов.

3.	V a n Dyke K. S , Phys. Rev., 25, 895 (1925). Электрическая схема, эквивалентная
пьезоэлектрическому резонатору (реферат).

4.	V a n Dyke К. S., Proc. Inst. Rad. Eng., 16, 742 (1928). Пьезоэлектрический резо-
натор и его эквивалентная схема.
Глава VI

КРИСТАЛЛЫ КВАРЦА, ИХ СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ

Кристаллы кварца были первыми пьезоэлектрическими кристаллами,
получившими широкое применение. Благодаря превосходным механическим
свойствам они и до сих пор употребляются более широко, чем другие пьезо-
электрические кристаллы. Первоначально их применяли для гидроакустиче-
ских преобразователей, в настоящее же время ими пользуются почти исклю-
чительно в тех случаях, когда весьма высокая стабильность их механиче-
ских свойств имеет существенное значение. Поэтому они употребляются
в основном для стабилизации частоты генераторов и при изготовлении
фильтров с большой избирательностью.

Начало применения генераторов с кварцевой стабилизацией было поло-
жено Кэди. Эти генераторы используются для стабилизации частоты радио-
вещательных станций и вообще радиопередатчиков. Кварцевые пластинки
определенной ориентации, описанные в этой главе, обладающие низкими
температурными коэффициентами, используются в подавляющем большин-
стве стабилизированных генераторов и в эталонах времени, наилучших
из всех, которые могут быть сейчас получены. Во время второй мировой
войны кристаллы кварца настолько широко применялись для стабили-
зации генераторов, что в США за один только год для этой цели было из-
готовлено свыше 30 млн. кристаллических пластинок.

Другую область применения кристаллы кварца нашли в производстве
фильтров с очень высокой избирательностью. Ввиду высокой добротности Q
кристаллов кварца возможно создать схемы фильтров, в которых потери
практически исключены. Такие фильтры широко используются для длинных
телефонных линий и в радиотелефонных системах с одной боковой полосой
частот. Узкополосные кристаллические фильтры применяются для выделения
отдельных частот и узких полос частот для контроля и в анализаторах. Для
этих целей кристаллы кварца нашли наиболее широкое применение. Однако
выяснилось, что требования, предъявляемые к кристаллам в этих системах,
не слишком жесткие и в них можно употреблять некоторые синтетические
кристаллы: DKT и EDT. Применения этих кристаллов описаны в гл. IX.

Помимо излучения и приема звука в жидкостях, кристаллы кварца при-
меняются для излучения и приема колебаний в газах и твердых телах. Вслед-
ствие высокого механического и электрического импеданса кристаллы кварца
дают лишь слабое излучение в газовые среды, так как газы имеют низкий
акустический импеданс. Однако для излучения и приема звука в твердых
телах и жидкостях они очень хорошо подходят и поэтому широко приме-
няются в ультразвуковых интерферометрах и для возбуждения волн сдвига
и продольных волн в твердых телах. Такого рода устройства и резуль-
таты проведенных с ними исследований рассмотрены в гл. XIII, XIV и XV.
Для большей части этих высокочастотных устройств применяются кристаллы
кварца, так как из них можно изготовлять очень тонкие пластинки и возбу-
ждать высокие частоты. Пластинки Х-среза применяются для возбуждения
продольных колебаний, пластинки У-среза—для сдвиговых колебаний.
Ультразвуковые волны применяются для испытания стальных отливок и
других твердых материалов с целью обнаружения пороков в них [I]1). В дан-
ной главе описаны свойства кристаллов кварца и специальные срезы его,
находящие применение в генераторах, фильтрах ив ультразвуковой технике.

§ 1. Физические свойства кварца

Кварц представляет собой двуокись кремния SiO2. Он кристаллизуется
при температуре ниже 573° С в тригонально-трапецоэдрическом классе. Осьг
совпадает с оптической осью кристалла и является осью симметрии тре-
тьего порядка. Это означает, что любое свойство кристалла, измеренное
по произвольному направлению, повторяется при вращении кристалла
на угол ±120° вокруг оси z. Точка плавления кварца 1750° С, плот-
ность 2,65 г/см3, твердость 7 (по Моосу). При атмосферном давлении и тем-
пературе 573° С а-кварц, или низкотемпературный кварц, превращается

Фиг. 14. Принцип действия коноскопа.

в [3-кварц, или высокотемпературный кварц2). При повышенном давлении эта
температура превращения понижается. Низкотемпературный а-кварц не-
растворим в обычных кислотах, но растворяется в плавиковой кислоте
и в горячих щелочах. Кварц до некоторой степени растворяется в воде под
высоким давлением и при высоких температурах и в значительно большей
степени—в случае присутствия едкого натра.

Кварцевое сырье США получают главным образом из Бразилии, где
известно несколько природных месторождений кристаллов кварца [2].
Табл. 6 показывает на преобладание наименьших по весу кристаллов в об-
щей массе добытых там кристаллов. Большинство кристаллов кварца имеет
различимые природные грани, но некоторые сорта его, в частности речной
кварц, их не имеют.

Кварц встречается в оптически правовращающей и левовращающей фор-
мах. Левый кварц вращает плоскость поляризации светового пучка, про-
ходящего вдоль оптической оси, или оси z, против часовой стрелки, а правый
кварц—по часовой стрелке, с точки зрения наблюдателя, стоящего лицом
к источнику света. Большинство кристаллов являются двойниками, т. е.
обладают как право-, так и левовращающими областями. Как правило,
внутренние области кристалла, повидимому, обладают одним знаком враще-
ния, тогда как наружные могут иметь участки с различным вращением.

Для определения направления оптической оси можно пользоваться
коноскопом [З]3), с помощью которого можно определить также характер
вращения плоскости поляризации и выявить присутствие оптических двой-
ников. Принцип действия коноскопа показан нафиг. 144). Свет от источника
пропускается через поляризатор и собирающую линзу Ьг. Эта линза напра-

*) Впервые ультразвуковой дефектоскоп с кристаллом кварца предложен С Я Соко-
ловым в 1928 г. [27] и подробно описан им в 1936 г. [28].

2) 3-кварц принадлежит к гексагонально-трапецоэдрическому классу (симметрия
6 :2) гексагональной системы. (Прим, ред.)

3) По этому вопросу см. также работу А. В. Шубникова [29].

4) Автор дает здесь традиционно-неверную схему устройства коноскопа. Точеч-
ный источник света должен быть заменен светящейся поверхностью. (Прим, ред.)
вляет через кристалл сходящийся пучок лучей, который собирается второй
линзой, фокусируется и проходит через анализатор. Линзы и кристалл по-
гружены в жидкость, имеющую тот же показатель преломления, что и пока-
затель преломления кристалла вдоль оптической оси. К таким жидкостям
относятся смеси диметилфталата с а-монохлорнафталином1). Луч света,
падающий на кристалл в направлении, не параллельном оптической оси,
разделяется на два луча, распространяющиеся с различными скоростями.
Поэтому анализатор не может погасить все лучи, прошедшие через кри-
сталл; исключение составляют те направления, в которых лучи, прошедшие
через кристалл, выходят в противоположных фазах. Если направление
оси z совпадает с направлением прямой, проведенной между источником
света и глазом, в коноскопе можно видеть ряд концентрических колец2).
При поворачивании анализатора по часовой стрелке кольца, вследствие
вращения плоскости поляризации в кристалле, расширяются или сжи-
маются соответственно для право- или левовращающего кристалла. Это
дает возможность определить характер вращения плоскости поляризации
в кристалле. Этим методом обнаруживаются также оптические двойники,
так как они деформируют картину концентрических колец.

В случае применения не сходящегося, а параллельного пучка лучей,
и белого света присутствие оптических двойников устанавливается непосред-
ственно по погасанию областей какой-либо одной ориентации.

Кроме оптических двойников, кварц имеет так называемые электри-
ческие или дофинейские двойники. Такие двойники являются результатом
структурных изменений, которые можно описать как срастание двух частей
структуры, повернутых относительно друг друга на 180° вокруг оси г.
Фиг. 15, а показывает, что в проекции на плоскость ху ионы кремния
в монокристалле а-кварца расположены в вершинах искаженных шести-
угольников, которые образуют непрерывную тригональную сетку, обладаю-
щую тремя полярными направлениями. Если температура поднимается
выше 573° С, то происходит переход тригональной структуры в гексаго-
нальную, показанную на фиг. 15, б. При понижении температуры ниже 573°
кристалл может вернуться к структуре, показанной на фиг. 15, а, а может
полностью или частично перейти к структуре, в которой искаженные ше-

Таблица 6

Весовые группы кристаллов	Вес, г				
	200 — 300	300-500	500-700	700-1000	1000-2000
Содержание каждой группы в общем числе кристаллов, % . . .	55,5	29,5	30,4  Вес, а	2,1	1,8
Весовые группы 1;ристаллов	2000-3000	3000-4000	4000-5000	5000-7000	7000-10000
Содержание каждой группы в общем числе кристаллов, % . . .	о/'	0,2	0,1	о,1	о,1

Подходящей жидкостью является также бензиловый алкоголь. (Прим, ред.}

2) Виден также и темный крест (при скрещенных поляризаторе и анализаторе),
Обязанный своим происхождением совпадению плоскости колебаний луча с плоскостями
поляризатора или анализатора. (Прим, ред.)
Линия
\двойниковаяия

стиугольники ориентированы в двойниковом положении, так что поляр-
ность направлений в целом теряется. В случае присутствия таких обла-
стей различной ориентации кристалл называется «электрическим» двойни-
ком (фиг. 15,в).

Самый лучший способ обнаружения электрического двойникования—
это травление поверхности кристалла плавиковой
кислотой [4]. Последняя растворяет кристалл со
скоростью, зависящей от ориентации его поверх-
ности. Так как фигуры травления для обеих ча-
стей двойника различны по ориентировке или по
форме, то при рассматривании кристалла в сколь-
зящем свете одна часть его кажется матовой,
а другая—блестящей. Таким образом легко выяв-
ляются области электрического двойникования.
Так как пьезоэлектрический эффект в обеих обла-
стях двойника противоположен, необходимо,
чтобы в кристаллах, идущих в производство,
электрическая двойниковатость отсутствовала.

Электрические двойники обычно появляются
в монокристаллической пластинке в результате
повышения температуры выше точки превращения
и последующего резкого ее понижения. При прило-
жении механического напряжения двойники могут
возникать и при более низких температурах.
Такое двойникование замечалось при нажатии
горячим паяльником на кристалл и может иметь
место даже при распиловке кристалла. Недавно
было найдено [5], что электрическое двойнико-
вание можно уничтожить, создавая в кристалле
механическое напряжение и выдерживал его при
температуре, близкой к точке превращения1). При
этих условиях обе области двойника обладают
различной потенциальной энергией, и при высо-
кой температуре кристалл стремится перейти в ту
нем запасается большее количество энергии. При

деформации скручивания двойниковатая пластинка ВТ-среза имеет наибо-
лее высокую постоянную сдвиговой гибкости, и поэтому при приложении
крутильного момента двойниковатую пластинку ВТ-среза можно превратить
в монокристальную. Что касается ИГ-среза, то его нельзя сделать моно-
кристальным, прикладывая крутильный момент. Тем не менее, поскольку
постоянная гибкости больше для -4-35° ИГ-среза, чем для —35° ЛТ-среза,
Л Т-срез можно сделать монокристальным, растягивая пластинку вдоль оси z
или приложив напряжение изгиба, описываемого той же постоянной гиб-
кости.

Кроме двойниковатости, другими дефектами в кристаллах кварца
являются:

1)	«пузырьки», т. е. полости, которые могут иметь различные размеры;

2)	вуаль, тонкая или грубая, представляющая собой более или менее
непрерывные слои маленьких пузырьков;

3)	облака или дымка: скопление очень мелких полостей;

4)	фантомы: очертания более ранних образований в кристалле, обычно
показывающие, где были раньше ребра соседних граней; они становятся

в

Фиг. 15. Расположение
атомов кремния в кристал-
лической решетке кварца в
проекции на плоскость ху.
а—недвойниноватый низкотем-
пературный кварц (а-кварц);
б -высокотемпературный кварц
(g-кварц);	в—электрический

двойник а-кварца.

в

г) Разнообразные методы укрупнения монокристальных областей кварца были пред-
ложены впервые Е. В. Цинзерлинг [30, 31]. {Прим, ред.)
видимыми при отражении пучка света от капиллярных трещин или разде-
лительных плоскостей, окаймляющих их;

5)	трещины.

Эти дефекты можно наблюдать, направляя пучок яркого света через
кристалл под прямыми углами к направлению наблюдения. Обычно при на-
блюдении кристалл погружают в сосуд, наполненный жидкостью с тем же
показателем преломления, что и у кристалла. По вопросу о том, какое
количество включений или пузырьков малого размера можно допустить
в готовых изделиях, мнения расходятся. Приборы для наблюдения и полу-
чения различно ориентированных срезов, а также способы распиловки и об-
работки кристаллов подробно описаны в литературе (см. [2, 6]1).

§ 2.	Уравнения, описывающие упругие, пьезоэлектрические
и диэлектрические свойства кристаллов кварца

Характер колебаний и свойства кристаллической пластинки в значи-
тельной степени зависят от ее ориентации по отношению к кристаллогра-
фическим осям. На фиг. 16 приведен рисунок идеального кристалла кварца
с естественными гранями, показано направление трех прямоугольных кри-
сталлографических осей и изображены некоторые из наиболее важных спе-
циальных срезов, применяемых для радио и телефонии. Оси соответствуют
стандарту 1945 г. Общества радиоинженеров. Для согласования с общей
кристаллографической номенклатурой Комитет по пьезоэлектричеству
Общества радиоинженеров недавно изменил направление осей х и у на обрат-
ное. В то же время угол, отсчитываемый в направлении часовой стрелки,
принят за положительный, так что углы по новому стандарту будут те же,
что и на фиг. 16. Ось z, или оптическая ось кристалла, параллельна продоль-
ной оси кристалла; ось х проводится через противоположные ребра шести-
гранной призмы; ось у проходит нормально к двум параллельным граням
призмы так, что образуется правая система координат’

Уравнения прямого и обратного ньезоэффекта для кварца записываются
в такой форме:

*5*1 = Si\T 1 ~Ь «12^2 + «1з ^з + «г4	dnEx,

$> — «f2	4- s^T 2~\-813Т3 —	— d-tfE х,

^3	«13 Т± “j“ SygT^ «33Л >

=4 Л - 4 т\+4 т, - duEx,

S^^T^slT.-duE,,,	(6.1)

Se = 2&Тй + 2 (s® - 4) Tc - 2dT1Ey,

D	«T

— 4^7 = ^11^1 — ^11^2 + ^14^4 4-Ex,

-d^T^duT^^Ey,

S = E ,
z 4tc 4k

где 5Х, S2, S3—компоненты деформации растяжения вдоль осей х, у и z\ S4,
Ss, S8—компоненты деформации сдвига; Т1} Т2, Т3—компоненты нормаль-
ного напряжения; Т’4, Т5, Т&—компоненты касательного напряжения;
Ех, Еу, Ez—компоненты напряженности электрического поля; Dx, Dy, Dz—

9 См. также книгу А. В. Шубникова [32]. {Прим, ред.)
компоненты электрической индукции, которые на соответственных гранях
кристалла численно равны плотности поверхностных зарядов, умноженной
на 4тс. Метод определения этих величин рассмотрен в гл. III.

|Z

Х-срез

ВТ Л

СТ (+38°)
DT (~52°)
ЕТ (+66°)
FT (-57°)

ные срезы.
АТ (+35°15')
ВТ (-49°)

АТ

Моночастотный
-18° Х-срез (S'24=0).
работающий на
1,3,5,7-й гармониках

Срезы с нулевым темпера-
турным коэффициентом,
употребляющиеся в генера-
торах и фильтрах

Высокочастот- > Низкочастот-
---------- > НЬ1е Сре3ы;

Y-среь

-18

X

0° Z-срез, употребляю-\х GT-срез, у потреб- ।
щийся в генераторах на ляющийся в гене- \

основной частоте и
второй гармонике

раторах и фильтрах \
Кольцо

Срезы с нулевым температурным коэффициентом

а — +5° Х-срез, употребля\
ющийся в фильтрах х

5 — МТ-срез, работающий
на продольных колебаниях

в —NT-срез, работающий
наизгибных колебаниях

Срезы с низким температурным
у коэффициентом частоты

частоты

Ф и г. 16. Идеальный кристалл кварца с естественной огранкой и основные срезы кварца.

В единицах CGSE пьезоэлектрические постоянные, диэлектрические про-
ницаемости и постоянные гибкости имеют для кварца следующие значения [7]:
4 = 127,9 • 10-14,
4 = „15,35  10~14,
8^- -11,0 • 10~14,
4--44,6- 10-^,
4 = 95,6 • 10“14,
4 = 197,8 • 10~14,

сЕ — сЕ

4-2 (4-4) = 286,5  10-14,	4--^-2-^--40,5 •

du- -6,76 • 10 8,	4 = 4,58,

с?14 —2,56 • 10-8,	е^ —4,70.

= 86,05 • 1010,
4-4,85 • 1010
4 - 10,45 • 1010
4=18,25 • 1010
4=107,1 • 1010
4 = 58,65 • 1010
При переходе к системе MKSM значения постоянных гибкости умно-
жаются на 10, значения пьезоэлектрических постоянных делятся на
3,33-105, а значения диэлектрических проницаемостей умножаются на
8,85-10~12.	Л

§ 3. Различные типы колебаний,
возбуждаемых в кварцевых пластинках

Различные типы колебаний, возбуждаемых в кварцевых пластинках,
можно получить на основании уравнений (6.1). В данном параграфе описы-
ваются простейшие типы таких колебаний и методы их возбуждения. Фор-
мулы для определения частот приведены в тех случаях, когда они выражают-
ся в простой форме.

1.	Продольные колебания. Простейшим типом колебаний, которые
можно получить в кварцевой пластинке, являются продольные колебания.
Для этого из кристалла вырезают пластинку в таком направлении, чтобы
пьезоэффект для нее определялся пьезоэлектрической постоянной с?з i, и покры-
вают обе главные грани пластинки металлическими электродами. На практике
такие пластинки обычно подвешиваются с помощью проволочек, припаян-
ных к металлизированным поверхностям (см. [6]). Эти же проволочки слу-
жат также в качестве электрических контактов с поверхностями кристалла.
Если пластинка длинная и тонкая (стержень), то основная резонансная
частота ее, как показано в гл. V, выражается формулой

/к

(6.3)

где I—длина кристаллического стержня, р.—плотность и —постоян-
ная гибкости, обратная модулю Юнга вдоль длины кристаллического стерж-
ня. Резонансная частота—это частота, соответствующая самому низкому им-
педансу. В гл. V показано, что импеданс такого стержня эквивалентен импе-
дансу цепи, состоящей из двух емкостей, индуктивности и сопротивления
(см. фиг. 13,а). Импеданс такой цепи, если пренебрегать активным сопро-
тивлением, является чисто реактивным (см. фиг. 13, б). Эта цепь имеет резо-
нансную частоту Jr, антирезонансную частоту /а и представляет собой прак-
тически емкостную нагрузку. Резонансная и антирезонансная частоты выра-
жаются формулами

Полагая

или

“ 2л ’

f2R Со Г ’

(6.4)

(6-5)

_ Co + Ci
/2К ~ Со

где г—отношение емкости Со, обусловленной диэлектрической проницае-
мостью продольно зажатого кристалла, к емкости Сг, обусловленной реак-
цией движения кристалла. При измерениях на низких частотах получается
сумма емкостей Cq + C^.

Определив величину —	—fR по формулам (5.33) и (5.36), мы

можем выразить все элементы эквивалентной схемы через пьезоэлектри-
ческую постоянную dsl, диэлектрическую проницаемость свободного кристал-
ла ej3, постоянную гибкости (обратную модулю Юнга вдоль длины
стержня) и его геометрические размеры:

г _ *£Ии> -1,11 • IO'12 .

с° “

= СтО  141 • ,0~,3'А	(6-6)

Мр^) G1D2 •9 •1011 гн-

где

^C = e^(l-A®) = e£-^-3,	(6.7)

$11

I, lw и lt—соответственно длина, ширина и толщина кристаллического стерж-
ня в сантиметрах и р—плотность.

Фиг. 17. Резонансные частоты пластинок СРХ-среза с
длиной, направленной вдоль оси у, в зависимости от
отношения ширины пластинки к длине.

По мере увеличения ширины кристаллического стержня собственная
частота его становится ниже вследствие влияния связи с поперечными коле-
баниями; эта связь определяется через коэффициент Пуассона для кристалла.
Для такого кристаллического материала, как кварц, связь с колебаниями
сдвига вдоль грани может осуществляться также через постоянную гибко-
сти s24 (для пластинки Х-среза с длиной, направленной вдоль оси у); благо-
даря этому растяжение (сжатие) по длине приводит к сдвигу, деформирую-
щему грань пластинки из прямоугольника в ромб. Колебания сдвига вдоль
грани связаны с колебаниями изгиба. Это видно из зависимости резонанс-
ной частоты от отношения ширины пластинки к ее длине для пластинки
0°Х-среза с длиной, направленной вдоль оси у (см. [8] и фиг. 17). Ширина
заштрихованных областей на фиг. 17 пропорциональна разности резонанс-
ной и антирезонансной частот, тогда как нижняя граница этих областей
представляет частоту резонанса. Кривая частоты основного резонанса про-
дольных колебаний по длине обозначена через С, кривая частоты резонанса
продольных колебаний по ширине—через А, кривая частоты резонанса

Отношение ширины пластинки к длине

Фиг. 18. Резонансные частоты пластинок—18,5°Х-сре-
за в зависимости от отношения ширины пластинки
к длине.

колебаний сдвига вдоль грани—через В. При отношении ширины к длине
от 0,8 до 1,0 частота колебаний сдвига вдоль грани расщепляется на две ча-
стоты вследствие связи с какими-то другими ’ колебаниями, повидимому,
с колебаниями изгиба по толщине. Кривая D на фиг. 17 показывает, что
колебания сдвига вдоль грани могут только слабо возбуждать вторую гармо-
нику изгиба, но когда частота совпадает с частотой продольных колебаний,
связь становится сравнительно сильной; при таком отношении ширины
к длине кристаллическая пластинка становится бесполезной. Если ориен-
тировать пластинку таким образом, чтобы длина ее составляла угол —18,5®
с осью у, что отвечает направлению минимального значения модуля Юнга,
то можно показать, что для такой пластинки постоянная гибкости S24

Фиг. 19. Конфигурация электродов
для возбуждения изгибных колебаний
по ширине бруска.

исчезает. Спектр частоты такой пла-
стинки, получившей обозначение
—-18,5°Х-среза, показан на фиг. 18. Как
можно видеть, колебания сдвига и
вторая гармоника изгиба возбуждаются
очень слабо и не мешают применению
такой пластинки в фильтрах.

Продольно колеблющиеся пластин-
ки обычно монтируются путем припа-
ивания в узловых линиях проводников
к серебряным электродам, нанесенным
служат и для крепления и для

на поверхность пластинки. Эти выводы
электрического контакта (подробнее см. [6]).

2.	Колебания изгиба. Другой простой тип колебаний, который недавно
начали применять в низкочастотном диапазоне,—это колебания изгиба.

Отношение ширины к длине

Ф и г. 20. Значение т для пластинки, со-
вершающей колебания изгиба, в зависи-
мости от отношения ширины пластинки
к ее длине.

т—корень трансцендентного уравнения.

При этом применяются два типа этих
колебаний: колебания изгиба по ши-
рине пластинки и колебания изгиба
по толщине пластинки (используются
биморфные элементы)1). Колебания
изгиба по ширине вызываются при
помощи двух пар электродов, как по-
казано на фиг. 19. Частота колеба-
ний длинной тонкой пластинки опре-
деляется соотношением

/ =----f-=.,	(6.8)

2K-/12Z2/ s'2p

где I и lw—-соответственно длина и
ширина пластинки в сантиметрах,
s 22 —постоянная гибкости, обратная
модулю Юнга в направлении длины
пластинки, р—плотность и т—ко-
рень трансцендентного уравнения.
Для длинной, тонкой и узкой пла-
стинки, свободной с обоих концов,
как это обычно и бывает, величины т
для первых гармоник следующие:

/Из. = 4,73, т2 = 7,85,

т3 = 11,00.	(6.9)

По мере увеличения отношения ши-
рины к длине вращательная инерция
начинает играть более важную роль и
изменяет величину т. В работе Мэзо-
на [9] было показано, что влияние вращательной инерции приводит к измене-

нию величины т, согласно кривым фиг. 20. На фиг. 21 приведена зависимость
частотной постоянной от отношения ширины пластинки к ее длине для пла-

0 В обоих случаях происходит распространение изгибных волн по длине пластинки,
но в первом случае колебания элементов пластинки происходят по направлению ее
ширины, а во втором—по направлению толщины. (Прим, ред.)
стинок различных срезов кварца, работающих на изгиб. По мере увеличения
этого отношения частота асимптотически приближается к частоте пластинки,
приведенной в сдвиговые колебания.

Для получения колебаний изгиба пластинки включаются в схему с по-
мощью четырех проводов, присоединенных в узловых точках пластинки
на расстоянии от каждого конца, равном 0,224 ее длины. Отношение емко-
стей оказывается (см. стр. 215 книги Мэзона [10]) в 128/9 тс2 раз больше,

Фиг. 21. Частотная постоянная и отношение емкостей для пла-
стинок различных срезов кварца, работающих на изгиб.

чем для той же пластинки, совершающей продольные колебания по длине.
Описанные пластинки [применяются в диапазоне частот от 10 до 50 кгц
для фильтров] cj узкой полосой^ пропускания и других подобных уст-
ройств.

' J Для получения колебаний изгиба по толщине [11] применяются две
тонкие пластинки, соединенные вместе для образования биморфного эле-
мента. Они применяются для получения самых низких частот вплоть до 900 гц
и используются для стабилизации вращающихся механизмов. Применяя
пластинки 5°Х-среза, можно получить биморфный элемент с низким
температурным коэффициентом частоты. Такие элементы пригодны для стаби-
лизации низкочастотных генераторов.

3.	Крутильные колебания. Еще одним простым типом колебаний, кото-
рые можно возбудить в кварце, являются крутильные колебания, характери-
зуемые модулем сдвига. Такие колебания можно возбудить в цилиндриче-
ском стержне, вырезанном из кристалла вдоль оси х и снабженном попарно
соединенными четырьмя электродами; средние линии этих электродов делят
углы между осями г и у пополам (фиг. 22). Поле одного направления с ком-
понентой вдоль осп у, как показано на фигуре, вызывает сдвиг ху или iSg,
который смещает верхнюю плоскость цилиндра по отношению к нижней
плоскости. Другая пара электродов образует поле с компонентой противо-
положного направления, и

таким ооразом в другой половине кристалла
возникает сдвиг обратного знака. Такая ком-
бинация двух сдвигов и вызывает крутильные
колебания. Частота таких колебаний опреде-
ляется соотношением

(б-1*»

где с6С—соответствующий модуль сдвига для
анизотропного тела1). Подставляя, согласно
(6.2), значение с66 = 40,5-1010, получим резонан-
сную частоту для цилиндра в 1 см длиной:

/-1,95 • 10бгц.	(6.11)

Такого рода колебания применялись только
для измерения модулей сдвига твердых матери-
алов, но они могут быть использованы и для
измерения сдвиговой вязкости и сдвиговой упру-
гости жидкостей, как это описано в гл. XIV.

4.	Колебания сдвига вдоль грани (кон-
турные колебания). Существенное применение
получили более сложные колебания—колеба-
ния сдвига вдоль грани. Такие колебания мож-
но возбудить в СТ- и DT-срезах, описанных в
§ 4, п. 2 этой главы. Для определения частоты
этих контурных колебаний не было получено
точного решения. Когда длина кристаллической

пластинки значительно больше ширины, то, как показано в )гл. V, ее частота
определяется формулой

(6Л2>

для среза, нормального к оси г или повернутой оси г', где lw—ширина кри-
сталла и 46 —контурный модуль упругости. Колебания такого типа приме-
нялись для определения модулей сдвига многих кристаллов. На фиг. 23
показаны результаты измерения спектра частот пластинки У-среза в зави-
симости от отношения ширины к длине. Очевидно, что колебания сдвига на
основной частоте связаны с колебаниями изгиба четного порядка. При выборе
таких размеров пластинки, чтобы основная частота колебаний сдвига лежала
посредине между частотами двух связанных колебаний изгиба, получается
хорошее соответствие между измеренной частотой и вычисленной по фор-
муле (6.12).

х) Частота крутильных колебаний в случае изотропного тела определяется формулой
где р.—модуль сдвига для изотропного тела.
Приближенная формула, выведенная Мазоном [8] для несвязанных коле-
баний сдвига вдоль грани, имеет вид

(6.13)

где т и п—целые числа, а—длина пластинки по оси х и Ъ—ширина по оси у-
При этом предполагается, что электрическое поле приложено вдоль оси z.

Фиг. 23. Спектр частот пластинки У-среза гкварца, работающей
на изгиб, в зависимости от изменения ее ширины при неизменных
длине и толщине.

Длина пластинки направлена вдоль оси х ьи равна Г47 мм. Толщина
пластинки направлена вдоль оси z и равна 2 мм. Ширина пластинки
направлена вдоль оси у.

Основная частота колебаний получается при т=1, п=1, и, как показана
пунктирной линией на фиг. 23, эта частота достаточно хорошо согласуется
с частотой несвязанных сдвиговых колебаний. Сдвиговые колебания свя-
заны с четными гармониками изгибных колебаний, как это видно по часто-
там связанных колебаний. Эта связь, невидимому, происходит за счет гра-
ничных условий для напряжения.
5. Колебания сдвига по толщине. Сдвиговые волны по толщине приме-
няются очень широко для возбуждения в АТ- и ВТ-срезах колебаний высо-
кой частоты, как это описано в § 4, п. 2. Здесь опять точное решение было
получено только для пластинки с бесконечно большой шириной и длиной
по сравнению с толщиной. Теория таких волн развита Кристоффелем (см. [12]),
который показал, что в любом направлении в пластинке распространяются

в общем случае три различные волны со скоростями, значения которых
определяются при решении уравнения
Хц ру2 Х12	Х13
Х12	Х22 — ру2 Х2з	— 0,	(6.14)
Х4з	Х23	Х33 ру2

где р —плотность, у— скорость и коэффициенты К связаны с модулями
упругости кристалла формулами

Ml== С11^2 + c66m2 + С55ГС2 + 2с56нт 4- 2cunl 4- 2c16Zm,

>>12 = С16^2 + C26^2 + С45^2 + (С46 + С25) тП (С14 + С56) III + (с12 4- С66) 1т,

Мз = с15^2 + c46m2 4- с3бм2 + (с45 4- с36) тп 4- (с13 4- с55) nl4- (c14-t-с5в)1т, (6.15)

Мз= С56^2 + с24^2 4- ^зб^2 + (с44 + с23)тп Мзв + с45) nl 4- (с2б 4~ с46)

Х22 = c66Z2 4- c22m2 + с44м2 + 2c24mn 4- 2c46nZ 4- 2c26Zm,

Мз == c55Z2 4- c44m2 4- е33тг2 + 2c^mn -f- 2c^nl 4- 2c45Zm,

где Z, m, n — косинусы углов между направлением распространения волн
и основными прямоугольными ОСЯМИ X, у II Z.

Для кварца

(^11 *“•“ ^12)

С22 —С11>	С24 — —С14>	С65===С44> C5Q — C1A’ С66 == --%----

И

^15 ~ С16 ~ ^25 ~ Мб = ^34 == ^35 ~ ^36 ~ ^45 “ С46 “

Для срезов кварца, включая АТ- и ВТ-срезы, полученных вращением
вокруг оси х, 1 — 0, m = cos9, п =—sin 6. Следовательно, для этих срезов

Xu = с66 cos2 6 4" с44 sin2 6 — 2с14 sin 9 cos 6 = с36,

Х23 ^14 cos2 6 — (с44 4-с23) sin 9 cos 6,

Х22 = с22 cos2 9 -J- с44 sin2 9 4- 2с14 sin 9 cos 9,

Х33 = с44 cos2 9 4- с33 sin2 9.

Пользуясь этими значениями X, можно получить следующие три решения
уравнения (6.14):

Первое решение соответствует высокочастотным волнам сдвига, причем
частота собственных колебаний пластинки определяется формулой

i_ _ 1 -|/ с66 cos2 0 + с44 sin2 0 — 2с14 sin 0 cos 0 _ 1 л/ с'в

r~2lt~2liV	р	2ltV р ’

где lt—толщина пластинки. Это решение для бесконечной пластинки доволь-
но хорошо согласуется с наиболее выделяющейся частотой, но не выявляет
ни одного из других колебаний сдвига или связанных колебаний изгиба.
Мак-Скимин (см. гл. VII в книге [6]) дал приближенное решение для
конечной пластинки, приводящее к формуле

_ _Li/ £11 п2 । С66 т2 । С55?2

2 Г Р Р р il /2

(6.19)

где п, т и р—целые числа, a I, lt и Zw—соответственно длина, толщина
и ширина пластинки. Если I и lw—бесконечны, то это выражение приводится
к (6.18). Экспериментально обнаружено присутствие колебаний с верхними
частотами, предсказываемыми формулой (6.19), но подстановка при вычисле-
нии известных величин модулей упругости приводит к значениям частот, не
вполне согласным с экспериментальными данными.

Поэтому Сайкс (см. гл. VI в книге [6]) предложил формулу

_ £ cz66 ।	(р-У*

- 2 V р V Р + II

(6.20)

где к и кх—постоянные, определяемые экспериментально. В дополнение
к указанным частотам колебаний сдвига им найдены частоты, обусловлен-
ные связью с изгибными колебаниями четного порядка, и получен ряд
экспериментальных результатов (см. [6]). Вопрос о выборе таких размеров
кристалла, при которых можно было бы" избежать всех этих добавочных
резонансов, требует сложного исследования, главным образом эксперимен-
тального.

§ 4.	Наиболее употребительные срезы кварца

Вырезая пластинки, определенным образом ориентированные по отно-
шению к кристаллографическим осям, можно возбудить описанные выше
колебания с такими практически важными характеристиками, как низкий
температурный коэффициент частоты, отсутствие связанных вторичных
колебаний и высокий коэффициент электромеханической связи. Цель этого
параграфа—описание таких специальных срезов.

1.	Пластинки Х-среза. Уравнениями (6.1) можно пользоваться для
предсказания типа колебаний, которые будут возбуждаться в пластинке
данного среза, и величины электромеханической связи. Например, пер-
вое из уравнений (6.1) показывает, что деформация Slf представляющая
собой удлинение вдоль оси х, возбуждается полем, приложенным вдоль
оси х. Приложенное поле возбуждает в данном случае продольные коле-
бания по толщине, так как колебательное движение происходит в том же
направлении, в каком приложено поле. Если толщина мала, то пластинки
этого среза могут дать очень высокую частоту, и первоначально они
применялись для стабилизации генераторов. Вследствие высокого тем-
пературного коэффициента пластинок Х-среза теперь вместо них для
стабилизации генераторов большей частью используются АТ- и 2?Z-срезы
с колебаниями сдвига по толщине; эти пластинки обладают много большей
температурной стабильностью частоты. Но для возбуждения ультразвуковых
волн в твердых телах, жидкостях и газах пользуются пластинками Х-среза.
Такие волны применяются для изучения свойств веществ, а также для дефек-
тоскопии металлов и различных твердых тел [1].

При использовании кварца в качестве электромеханического преобра-
зователя желательно превратить максимальное количество электрической
энергии в механическую. Эффективность этого превращения для статиче-
ских или медленно изменяющихся приложенных полей характеризуется
коэффициентом электромеханической связи к, определяемым формулой



Л = с/и

0,095,

(6.21)

где cfx — эффективный модуль упругости для колебаний по толщине, равный

(£ = 8,605 • 1011 дин/см\	(6.22)

Подставляя эту величину в формулу (6.21), находим, что коэффициент
связи равен около 9,5%. Это означает, что для статического поля квадрат к
составляет около 1 %, или что около 1 % подводимой энергии превращается
в механическую. Для переменных полей с частотой, близкой к резонансу
пластинки, значительно большая часть энергии или фактически почти вся
электрическая энергия может быть превращена в механическую энергию,
если параллельная емкость компенсируется индуктивностью, но тем не
менее величина электромеханической связи характеризует ширину диапа-
зона частот, для которого это превращение может быть эффективным. Если
/в—высшая частота и /а—низшая частота диапазона, для которого потери
не больше 50% , то, как было показано Мэзоном [10]:

/!+*

V i-к

(6.23)

Некоторые искусственные кристаллы, например сульфат лития или L-срез
сегнетовой соли, имеют коэффициенты связи от 0,35 до 0,4, и их следует пред-
почесть в тех случаях, когда желательно пропускать широкую полосу частот;
но для высоких частот обычно пользуются пластинками Х-среза кварца,
ввиду его хороших механических свойств.

Второе из уравнений (6.1) показывает, что деформация 52, предста-
вляющая собой удлинение вдоль оси у, возбуждается полем, приложенным
вдоль оси х. Так как длина пластинки расположена вдоль оси у, то колеба-
ния этого типа называются продольными колебаниями по длине. Такие
пластинки применяются для получения низкочастотных колебаний в газах,
жидкостях и твердых веществах.

Две разновидности Х-среза начали довольно широко применяться при
изготовлении кварцевых фильтров. Это —18° и -+-5°Х-срезы, показанные
на фиг. 16. Первый (—18°.Х-срез) применяется потому, что он имеет хорошую
моночастотность, давая в диапазоне частот с отношением 1 : 3 только одну
резонансную частоту [8], а второй (5°Л-срез) является самым лучшим из
Х-срезов для получения низкого температурного коэффициента частоты.
Нанося разделенные металлизированные электроды на брусок, как пока-
зано на фиг. 19, можно возбудить в нем колебания изгиба на гораздо более
низких частотах, чем это возможно при продольных колебаниях. Такой срез
кварца применяется для получения узкой полосы пропускания управляющих
сигналов, служащих для контроля усиления в системах с пасущей частотой.

Температурный коэффициент 5°Х-среза, применяемого как в режиме
продольных колебаний, так и в режиме колебаний изгиба, можно умень-
шить, повернув плоскость среза вокруг направления длины пластинки.
В результате получаются МТ- и TVT-срезы, показанные на фиг. 16. Темпе-
ратурный коэффициент их ниже 1-10"6 на 1°С, но электромеханическая
связь слабее, чем у таких же пластинок 5°Х-среза [13]1).

2.	Пластинки У-среза. При приложении поля Еу возникают, как
показывают уравнения (6.1), деформации двух типов: $5 и S6. Оба эти

х) См. также гл. X.VII книги [6].
типа деформаций—деформации сдвига, и они искажают квадратное сече-
ние кристалла, превращая его в ромбическое (фиг. 24). Деформация 55 дефор-
мирует кристалл в плоскости xz, а деформация лУ6—в плоскости ху. Поскольку
поле прилагается вдоль толщины пластинки и совпадает с направлением оси у,
то деформация 55 называется деформацией сдвига вдоль грани, a S6—дефор-
мацией сдвига по толщине. Частота колебаний сдвига вдоль грани опреде-
ляется размерами контура пластинки и поэтому сравнительно низка. Частота
колебаний сдвига по толщине определяется толщиной кристалла, которую
можно сделать очень малой, что позволяет получить колебания пластинки
на высокой частоте.

Пластинки У-среза были сначала применены для стабилизации высоко-

частотных генераторов, но вследствие сильной зависимости их частоты от
температуры они были в значительной мере вытеснены пластинками АТ- и

ВТ1-срезов, представляющих собой повер-
нутые У-срезы. У-срез обычно применяют
для возбуждения волн сдвига в твердых
телах. Для этого типа волн он имеет бо-
лее высокую электромеханическую связь,
чем Х-срез, так как коэффициент связи
для волн сдвига по толщине определяет-
ся следующим соотношением:

к = 2(/ц	= 0,142.	(6.24)

При вращении направления толщины
У-среза вокруг оси х получаются повер-
нутые У-срезы, обладающие очень благо-
приятными свойствами. Исследования,
произведенные Лэкком, Виллардом, Фэром,
Мэзоном, Сайксом, Кога, Бехманом,
Штраубелем, показали, как изменяются
свойства волн сдвига по толщине в зависи-

Ф и г. 24. Деформация кристалли-
ческой пластинки при сдвиге и спо-
соб получения в ней продольных
деформаций.

мости от угла среза. Как видно из фиг. 16,
при всех ориентациях этих срезов длина кристаллической пластинки распо-
ложена вдоль оси гс, а толщина их образует угол 6 с осью у. На фиг. 25 пока-
зана зависимость частотной постоянной (в кгц для кристалла толщиной
в 1 мм) от угла поворота вокруг оси х. При угле поворота +31° частотная
постоянная минимальна, а при —59° она максимальна. При этих двух углах
механическая связь между колебаниями сдвига по толщине и колебаниями

сдвига вдоль грани и их обертонами становится нулевой и получаются пла-
стинки, гораздо более моночастотные, чем пластинки У-среза. На фиг. 26
показан график зависимости между температурным коэффициентом частоты
и углом поворота 6 вокруг оси х. При 34°45'1) и —49° получаются срезы
с нулевым температурным коэффициентом. Эти срезы называются соответ-
ственно AT- и ВТ-срезами. Они очень широко применяются для стабилиза-
ции высокочастотных генераторов. Основные частоты удается получить
до 15 мггц, а при использовании гармоник механических колебаний были
получены стабилизированные частоты до 197 мггц [14].

х) Следует обратить внимание читателя на то, что приведенное здесь значение угла
поворота вокруг оси х для ЛТ-среза, равное 34° 45', не совпадает со значением, приве-
денным ниже на стр. 96, равным 34° 43', и оба значения не совпадают с величиной угла,
указанной на фиг. 16 (35° 15'). Такое же несоответствие имеется между значением угла
поворота от оси у для бТ-среза, приведенным на той же странице и равным 50° 52,5',
и значением, указанным на фиг. 16, равным 51°. В то же время А. Ф. Плонский в своей
книге [33] дает значения этих углов, равные 35° 15' и 51° 30'. (Прим, ред.)
Поскольку А Т- л ВТ-срезы сравнительно близки по углу к АС- м. ВС- сре-
зам, они имеют неплохую моночастотность. Однако все же имеет место
сильная связь с колебаниями изгиба. При исследовании колебаний пласти-
нок в зависимости от длины, ширины и толщины удалось получить такие
соотношения размеров, при которых существует только один основной тип

Фиг. 25. Частотная постоянная пластинок У-среза
кварца в зависимости от угла поворота пластинки во-
круг оси х.

колебаний в широком диапазоне частот по обе стороны от основной частоты
[15]г). Сохраняя соотношение длины и ширины постоянным при изменении тол-

Ф и г. 26. Температурный коэффициент частоты пластинок
У-среза кварца в зависимости от угла поворота пластинки
вокруг оси х.

Относительное изменение частоты, отложенное по оси ординат, дано
в миллионных долях

Пластинки, полученные путем подшлифовки к заранее определенным
размерам, называются подогнанными пластинками. Они обычно обладают
более высокой активностью и малой температурной зависимостью частоты
в широком интервале температур. Иногда применяют и другой способ изго-
товления этих пластинок, называемый способом шлифовки по краям. Этот
способ состоит в изменении только толщины пластинки и удалении связей

х) См. также гл. VI в книге Хейзинга [6].
с нежелательными типами колебаний подшлифовкой ее краев до приобре-
тения пластинкой высокой активности в определенном интервале темпера-
тур. Этот способ применяется для кристаллов, к которым могут не предъ-
являться высокие требования в отношении активности и температурной
стабильности частоты, и, повидимому, он не позволяет получить столь же
совершенные пластинки, какие дает метод подгонки к заранее заданным раз-
мерам. Пластинки, колеблющиеся по толщине, можно шлифовать или про-
травливать до достижения выбранной собственной частоты. Для устранения
эффекта старения, который, повидимому, обусловлен отрывом и дезориен-
тацией частиц в поверхностном слое кристалла, что является следствием
распиловки и шлифовки его, обычно поверхности кристаллических пластинок
травят плавиковой кислотой до получения заданной собственной частоты.
Этот процесс приводит к удалению непрочно связанного кристаллического
материала и образует поверхность, повидимому, не подверженную заметному
старению. Эффект старения, вероятно, связан с влиянием паров воды на
деформированную поверхность, что приводит к отделению частиц и удалению
разрушенного материала. Первый процесс приводит к понижению доброт-
ности Q кристалла и к последующему понижению активности генератора,
стабилизированного кварцем, второй же процесс—к повышению собствен-
ной частоты кристаллической пластинки. Старение можно предотвратить
травлением поверхности кристалла или герметизацией кристалла.

Недавно начали применять два других способа подгонки собственной
частоты пластинок. Один из них [16] состоит в повышении частоты пла-
стинки на определенное число килогерц сверх выбранной частоты путем трав-
ления и последующем понижении частоты при нанесении металлических элек-
тродов методом испарения. Металлизация производится до тех пор, пока
собственная частота пластинки не понизится до заданной частоты. Таким спо-
собом можно очень точно подогнать частоту при окончательном монтаже
кристалла. Другой способ основан на недавно открытом факте, что при облу-
чении кристалла рентгеновскими лучами модуль упругости ВТ- и ЛТ-срезов
понижается и, следовательно, понижается частота собственных колебаний
пластинок [17]. Этот эффект обусловлен вырыванием электронов из ионов
кремния в кварце, что вызывает уменьшение энергии связи между молеку-
лами, а следовательно, и некоторое уменьшение величины модуля упру-
гости. Этот эффект приводит к изменению частоты колебаний, доходящему
до 0,1%, и значительно меняется от кристалла к кристаллу в зависимости
от содержания в них примесей. Освещение кристалла рентгеновскими лучами
вызывает его потемнение, причем степень потемнения, повидимому, свя-
зана со степенью изменения частоты. Ввиду изменчивости этого эффекта
указанный способ не получил широкого применения.

Два других повернутых У-среза с нулевым температурным коэффи-
циентом—это СТ-н ВТ-срезы, предназначенные для получения колебаний
сдвига вдоль грани [18]. Эти срезы вырезаются почти под прямыми углами
к АТ- и ВТ-срезам и обладают такими же модулями сдвига для сдвига вдоль
грани, как АТ- и ВТ-срезы при сдвиге по толщине. СТ-срез, получающийся
при угле поворота 38°, как показано на фиг. 16, имеет частотную постоян-
ную 308 кгц-см для квадратной пластинки и применяется в частотно-моАуди-
рованных генераторах в диапазоне частот от 300 до 1000 кгц. Пластинки
ВТ-среза меньше по размерам для той же частоты и применяются в диапа-
зоне частот от 200 до 500 кгц. СТ-ир&ъ получил широкое применение во время
прошлой войны в частотно-модулированных генераторах для радиосвязи
в танковых и артиллерийских частях.

Последний из повернутых У-срезов—это ВТ-срез [19], широко при-
менявшийся для стабилизации очень точных генераторов для стандартов
времени и для навигационных систем «Лоран». Этот срез получается, как
показано на фиг. 16, путем поворота плоскости среза на 50° 52,5'1) от оси у
и вращением направления длины пластинки на 45° от оси х.

Найдено, что собственные частоты всех пластинок с нулевым темпера-
турным коэффициентом частоты можно представить в виде ряда

/ = /«[1 + «2(Т-Ttf+а,(Т-Т„у ...],

(6.25)

где Т—температура нулевого коэффициента частоты, причем коэффициенты
ряда очень быстро убывают. Большая часть пластинок с нулевым темпера-
турным коэффициентом обладает параболическим законом изменения частоты
с температурой вблизи То, определяемым величиной коэффициента а2 (фиг. 27).

Фиг. 27. Температурная зависимость частоты различных срезов кварца с нулевым
температурным коэффициентом частоты.

Относительное изменение частоты, отложенное по оси ординат, дано в миллионных долях

Исключением из этого правила является АВ-срез, для которого а2=0 и изме-
нение частоты определяется коэффициентом as. Для получения кривой,
показанной на графике, угол поворота для АТ-среза должен быть точно
равным 34° 43'1). Если угол на 3' меньше, то на эту характеристику накла-
дывается влияние положительного температурного коэффициента 1 • 10~6
на 1 ° С, тогда как с увеличением угла поворота на 3' появляется влияние
отрицательного коэффициента той же абсолютной величины. Эта темпера-
турная зависимость гораздо более благоприятна для широких интервалов
температур, чем характеристика ВТ-среза, поэтому ЛТ-срез применяется
в тех случаях, когда требуются жесткие допуски в широких пределах тем-
пературы. GT-срез обладает подобным отсутствием параболического измене-
ния частоты с температурой. В пластинках GT-среза возникают связанные
колебания разных типов, и путем выбора определенного соотношения между
шириной и длиной можно накладывать на температурную зависимость,

г) См. примечание на стр. 93. {Прим, ред,)
представленную на фиг. 27, положительный или отрицательный темпера-
турный коэффициент. Применяя крепление пластинки с помощью несколь-
ких проволочек, припаянных к металлизированной поверхности кристалла
[20]1), получают очень устойчивую систему, малочувствительную к ударам
и очень медленно стареющую. Таким путем был создан генератор, частота
которого поддерживается с точностью до 10~9 или более в течение продол-
жительного времени; это делает возможным очень точное хронирование, что
необходимо в системе «Лоран» и в высокостабильных стандартах времени [21].

3. Косые срезы с низким температурным коэффициентом частоты.
Помимо описанных ранее срезов, перпендикулярных к одной или двум
осям координат, можно получить целый ряд срезов с нулевым температур-
ным коэффициентом, не перпендикулярных ни к одной оси координат. Хотя
ни один из них не получил практического применения, повидимому, сле-
дует отметить их существование и сообщить о методе нахождения их ориен-
тации. Зная модули упругости кристалла, их температурные коэффициенты
и характер их изменения в зависимости от ориентации, можно найти
путем вычислений области с низкими температурными коэффициентами.

Был произведен ряд измерений температурных коэффициентов постоян-
ных гибкости и модулей упругости кварца. Результаты последних измере-
ний автора [22], согласующиеся с точностью до нескольких процентов с ре-
зультатами Бехмана, Атанасова и Харта, представлены ниже в миллион-
ных долях величин 8ц и сц на 1° С:

TSz= +11,8,	.TSz= +195,	Tc^= +90,
Ts'2= -1350,	Ts% = -134,	Tc33 — — 205,
7^= -295,	Тс^= -46,5,	Tcf4 = - 166,	(6.26)
Тз^ = +120,  7 s33 = + 182,	Tcf2 = -3300,  7>f3 = -700,	Tc* = +164.

Достаточно знать значения этих коэффициентов Тзц и Тсц, значения
упругих постоянных (6.2) и коэффициентов теплового расширения

а3^7,8 • 10’6 7, а1 = а2=14,3 • Ю’6,	(6.27)

чтобы можно было определить температурный коэффициент частоты для
любого типа колебаний, частота которых может быть выражена через упру-
гие постоянные.

Так, например, температурный коэффициент частоты для продольных
колебаний можно вычислить, используя формулу (6.3),

/ = —-—

Проделаем эти вычисления. Свяжем с помощью этого уравнения постоян-
ную гибкости повернутого среза с вышеприведенными температурными коэф-
фициентами основных постоянных гибкостей. Зависимость от направления
постоянной S&, являющейся величиной, обратной модулю Юнга, рассмот-
рена в гл. V. Расположив пластинку по системе Общества радиоинженеров,
показанной на фиг. 28, получим следующее выражение для постоянной

х) См. также гл. XII в книге Хейзинга [6].

7 Мэзон
гибкости повернутого среза:

sii — sii (cos2 ® cos2 Ф + sin2 ф)2 +

+ (2$i3 + sf4) sin2 0 cos2 ф (cos2 0 cos2 ф -ф- sin2 ф) -f-

-j- s33 sin4 9 cos2 ф — 2$^ sin 9 sin ф cos ф X

X [3 (cos <p cos 9 cos ф — sin cp sin ф)2 —

— sin cos 9 cos ф — cos © sin ф)2].	(6.28)

Дифференцируя выражение (6.3) по температуре, получаем

dl / dp

£/__	1	М 1 I М i I

dfi"	21 V 0S'E i + 2 \ p + 'E /

r li L	'	ii ' J

или	-	(6.29)

^- = 2’, = (~a,_l[7’p + 7’s;®],

где (Л может быть /, или p, или s^f)—температурный коэффициент
величины А — определяется как скорость изменения А в зависимости от

Фиг. 28. Система ориентировки кристаллических
пластинок, принятая Обществом радиоинженеров.
Деформации растяжения приписывается положительный
знак

температуры, разделенная на величину А. Для произвольной ориентации
коэффициент теплового расширения а[ определяется выражением •

а[ = 14,3 — 6,5 (sin2 9 cos2 ф).

(6.30)

Поскольку общая масса при расширении кристалла остается неизмен-
ной, температурный коэффициент плотности является суммой коэффициен-
тов теплового расширения по трем осям с отрицательным знаком, или

= -36,4.	(6.31)
Следовательно, температурный коэффициент частоты будет равен

Tf — 3,9 4 6,5 sin2 * 0 cos2 ф —~

(6.32)

Продифференцировав выражение (6.28), получаем выражение температур-
ного коэффициента для произвольной ориентации:

Tj ~ 3,9 4 6,5 sin2 0 cos2 ф —
(cos2 6 cos2 ф 4- sin2 ф)2 -ф-

4- (2s13Ts13 4- Ts^) sin2 9 cos2 ф (cos2 9 cos2 ф 4- sin2 ф) 4

4- $33Ts33 sin4 * 9 cos4 ф — 2s^ sin 9 x

X sin ф cos ф [3 (cos 9 cos <p cos ф — sin <p sin ф)2 —

—	(sin cp cos 9 cos ф 4- cos cp sin ф)2]

4 (cos2 9 cos2 ф 4- sin2 ф)2 4- (2s13 4~ 4) sin2 9 cos2 ф X

X (cos2 9 cos2 ф 4 sin2 ф) 4- s33 sin4 9 cos4 ф —

—	4 sin 9 sin ф cos ф [3 (cos cp cos 9 cos ф — sin cp sin ф)2 —

—	(sin <p cos 9 cos ф 4 cos у sin ф)2]

(6.33)

Подставляя значения постоянных гибкости из (6.2) и температурных коэф-
фициентов из (6.26), приведем формулу (6.33) к виду

Tj — 3,9 4- 6,5 sin2 9 cos2 ф —

755 (cos2 9 cos2 ф 4- sin2 ф)2 4- 22,565 sin2 9 cos2 ф x

X (cos2 9 cos2 ф 4- sin2 ф) 4- 8700 sin4 9 cos4 ф 4

4- 5310 sin 9 sin ф cos ф [3 (cos cp cos 9 cos ф — sin cp sin ф)2 —

— (sin cp cos 9 cos ф 4* cos cp sin ф)2]

127,9 (cos2 9 cos2 ф 4 sin2 ф)2 4 175,8 sin2 9 cos2 ф X

X (cos2 9 cos2 ф 4 sin2 ф) 4 95,6 sin4 9 cos4 ф 4

4 89,2'sin 9 sin ф cos ф [3 (cos cp cos 9 cos ф — sin cp sin ф)2 —

— (sin cp cos 9 cos ф 4 cos cp sin ф)2]

(6.34)

Единственными областями низкого температурного коэффициента
являются области, для которых два наибольших средних члена в числителе
малы, для этого требуется, чтобы 9^0, или ф 90°. Первая область
соответствует пластинкам Z-среза, длина которых лежит в плоскости хуу
а температурный коэффициент равен —2 • 10~6. Такой кристалл не предста-
вляет особого интереса, поскольку он не обладает пьезоэлектрической
постоянной, необходимой, чтобы возбудить его. Вторая область (ф «а 90°)
соответствует пластинкам, длина которых также лежит почти в плоскости
ху. Но в этом случае главная грань пластинки может быть перпендикуляр-
ной к оси х, и поэтому кристалл может быть возбужден пьезоэлектрически.
Если допустить, чтобы угол ф был немного больше 90°, то четвертый член
числителя может быть сделан отрицательным п большим по абсолютной вели-
чине, чем два положительных члена. Таким путем получается 5°.Х-срез
с почти нулевым коэффициентом. Этот срез обладает наиболее низким темпе-
ратурным коэффициентом из всех срезов, в которых возбуждаются продоль-
ные колебания. Все другие срезы имеют отрицательный температурный коэф-
фициент.

Подобным же образом можно вывести значения температурных коэф-
фициентов для многих других типов колебаний, но, поскольку такого рода
пластинки не нашли практического применения, мы их рассматривать не
будем.

§ 5.	Применения кристаллов кварца

Как указано во введении, пьезокварц употребляется главным образом
для стабилизации частоты радиочастотных генераторов, в фильтрах с
высокой избирательностью и в высокочастотных электромеханических преоб-
разователях для возбуждения и приема механических колебаний в газах,
жидкостях и твердых телах. В этом параграфе кратко рассмотрены приме-
нения пластинок пьезокварца в генераторах и фильтрах. Последние три
главы книги посвящены применению кристаллических преобразователей
для исследования свойств газов, жидкостей и твердых тел.

1.	Применение пластинок пьезокварца для стабилизации генераторов
Пирса. Ламповый генератор представляет собой источник колебательной
энергии определенной частоты. Принцип его действия основан на применении
электронного усилителя и цепи обратной связи, вызывающей на частоте
генерируемых колебаний фазовый сдвиг в 2лк радиан [п—целое число,
обычно единица). При включении генератора в цепи сетки возникают имею-
щие широкий диапазон частот переходные колебания, которые усиливаются
электронной лампой. Далее в цепи сетки продолжают возрастать колебания
только на той частоте, на которой энергия возвращается в цепь сетки с фа-
зовым сдвигом 2nic, обусловленным цепью обратной связи. Амплитуда
этой частоты усиливается до тех пор, пока ее не ограничат нелинейные эле-
менты электронной лампы. Отсюда следует, что условия, определяющие
частоту и амплитуду установившихся колебаний, следующие: ^усиление тока
в замкнутой цепи обратной связи должно быть равно нулю, а фазовый сдвиг
в цепи обратной связи должен быть равен 2к радиан или 2итс радиан.
Этот критерий часто пишется в форме

рф=1,	(6.35)

где р.—комплексный коэффициент усиления электронной лампы (отношение
изменения анодного напряжения к изменению напряжения на сетке) и [3—
аналогичный коэффициент для цепи обратной связи1).

Так как в цепи электронного усилителя имеются нелинейные параметры,
анализ условий стабильности частоты генератора довольно сложен. Общие
условия для определения стабильности частоты генератора были изложены
Левеллином [23], а для генераторов с кварцем были даны Терри, Райтом,
Вигуре, Кога, Хигнером, Болла и Фэром2). Поскольку вопросы стабильности
пьезокварцевых генераторов подробно рассмотрены Фэром3), они не будут
разбираться нами в дальнейшем. Отметим лишь, что приближенное пред-
ставление об условиях стабильности частоты можно получить, изобразив

г) Отношение напряжения обратной связи к напряжению на выходе лампы. [Прим,
ред.)

2) Советским ученым принадлежит ряи фундаментальных работ по теории стаби-
лизации частоты генераторов (работы А. И. Берга, Б. П. Асеева, К. Ф. Тео-
дорчика и др.), и в частности по теории стабилизации генераторов кварцем (работы
М. С. Неймана, Б. К. Шембеля и др.). [Прим, ред.)

’) См. гл. XII в книге Хейзинга [6].
цепь обратной связи тремя реактивными сопротивлениями Хх, Х2 и Ха
(фиг. 29), а параметры электронной лампы—внутренним сопротивлением
лампы Rp, сопротивлением сетки Rg и источником напряжения
где Vg—напряжение на сопротивлении Rg, а р—коэффициент усиления
электронной лампы. Для схемы Пирса, показанной на фиг. 2,6, Хг—реак-
тивное сопротивление настроечного конденсатора и индуктивности в аноде
лампы, Xs—реактивное сопротивление обратной связи между анодом и сет-
кой, а Х2—реактивное сопротивление между катодом и сеткой. Для одиноч-
ной лампы коэффициент усиления [i имеет отрицательный знак, так как поло-
жительное напряжение на сетке вызывает уменьшение напряжения на аноде.

Пьезокварцевые генераторы можно разделить на два вида: генераторы,
работающие в режиме затягивания, и генераторы, в которых колебания
происходят только при включении в схему кварца.

/?Р

Фиг. 29. Эквивалентная схема для анализа работы
генератора.

Примером генераторов первого вида может служить генератор Гибе
и Шейбе (фиг. 10), частота которого стабилизируется кварцем, если индук-
тивность и емкость контура рассчитаны так, что частота генератора, опреде-
ляемая ими, приближается к частоте кристалла. Если частота генератора
с обычным контуром из емкости и индуктивности сама по себе сильно отли-
чается от частоты кристаллической пластинки, то кристалл действует как
простая емкость и не влияет на частоту генератора.

Примерами генераторов второго вида служит генератор по схеме Пирса—
Миллера, изображенный на фиг. 2,а, и генератор по схеме Пирса (фиг. 2,6).
Если кварц в любой из этих схем разрушается или теряет свою активность,
колебания генератора прекращаются. Эти две схемы, повидимому, являются
наиболее широко распространенными из схем генераторов, стабилизирован-
ных пьезокристаллами. В схеме Пирса—Миллера кварц включен в цепь
сетки и обратная связь подается через емкость анод-—сетка или через вклю-
чаемую иногда дополнительную емкость. В схеме Пирса обратная связь
подается непосредственно через кварц и емкость катод—сетка определяет
величину реактивного сопротивления Если в генераторе возбуждаются
колебания с небольшой амплитудой и на сетке не возникает положительного
потенциала, а следовательно, не появляется тока сетки, то сопротивлением
сетки Rg можно пренебречь ввиду большой его величины. При этих ограни-
чениях можно показать, что частота почти точно удовлетворяет условию
Х1 + Х2 + Х3 = Л 0,	(6.36)

где А—малая величина, определяемая параметрами лампы, приближающаяся
к нулю для ламп с большим усилением. Это условие вытекает из того, что
три реактивных сопротивления в сумме должны дать фазовый сдвиг на
180°, и, если коэффициент усиления велик, сумма их почти равна нулю
и определяет нулевое усиление. Было показано [14], что условия самовоз-
буждения удовлетворяются только при положительном реактивном сопро-
тивлении кристаллического резонатора. Таким образом, в этих схемах
частота колебаний всегда находится между резонансной и антирезонансной
частотами кристалла.	!

При настройке анодной цепи переменной емкостью импеданс Хг изме-
няется, и поэтому, в соответствии с условием (6.36), частота генератора также
изменяется. Но поскольку изменение реактивного сопротивления с частотой
(см. фиг. 13,6) очень резкое, то величина изменения частоты, которого можно
достигнуть путем настройки, невелика, и ее можно еще более уменьшить,
если сделать частоту fA близкой к /д. Для этой цели можно использовать
кристаллический резонатор со слабой связью или зашунтировать его емкостью.
Но ввиду того что кристаллический резонатор дает некоторые потери энер-
гии, эту операцию нельзя продолжать сколь угодно далеко, в противном
случае потери в цепи обратной связи станут настолько большими, что уси-
ление лампы не сможет их компенсировать. Как показано Мэзоном и Фэром
[14], показатель качества резонатора М для таких кристаллов выражается
следующим образом:

М = О-,	(6.37)

где г—отношение емкостей резонатора (С{}/Сх на фиг. 13,a), a Q (доброт-
ность)—отношение реактивного сопротивления одного из последовательных
элементов Lr или С\ (см. фиг. 13,а) к активному сопротивлению Rx. Если М
больше 2, то реактивное сопротивление- кристаллического резонатора
становится положительным, и при применении достаточного усиления можно
всегда заставить кварцевую пластинку колебаться. Для поддержания коле-
баний в узком диапазоне частот нужно, чтобы отношение емкостей имело
большую величину, а для поддержания колебаний при большом значении
отношения емкостей должна быть достаточно большой величиной Q для
резонатора. Такое же рассмотрение применимо для исследования ухода
частоты вследствие изменения параметров лампы, вызванного колебаниями
анодного тока, сменой ламп и т. п. Это изменение параметров лампы приводит
к изменению множителя Л в условии (6.36) и к некоторому изменению
частоты уравновешивания реактивных сопротивлений. Но если отношение
емкостей и величина Q кристаллического резонатора высоки, изменение
параметров лампы приводит к очень малому уходу частоты.

Фэр показал, что величиной, определяющей активность и стабильность
частоты данного кристаллического резонатора в заданной схеме генератора,
является коэффициент эффективности ЛГ9фф кристаллического резонатора
и схемы. Зная этот коэффициент, можно однозначно определить стабильность
и активность резонатора. Через показатель качества М, статическую емкость
кристаллического резонатора 6’() и общее входное емкостное сопротивление цепи
сетки Ct коэффициент эффективности -йГЭфф выражается следующим образом:

^ЭФФ =----,М с 	.(6.38)

 	“С“(1 + с0

Методы измерения 7ГЭфф кристаллического резонатора для данной схемы
рассмотрены Гаррисоном (см. гл. XV в книге [6]).

В схемах Пирса и Пирса—Миллера можно поддерживать частоту квар-
цевого генератора с точностью до нескольких миллионных долей и изменять
частоту примерно на 0,02% путем настройки анодного конденсатора. Это
наиболее широко применяемые схемы генераторов с кварцевой стабилизацией.

2.	Генераторы с мостовой схемой. Генераторы по схеме Пирса удовле-
творяют требованиям, предъявляемым к большой части кристаллических
генераторов, для которых умеренная стабильность частоты является
достаточной. Но если требуется очень высокая стабильность, то гене-
раторы по схеме Пирса не являются наилучшими. Это ясно видно из
фиг. 29, так как если цепь связи между анодом и сеткой может быть
составлена из чисто активных сопротивлений, то изменения внутреннего
сопротивления лампы и сопротивления сетки, обусловленные флюктуациями
напряжения, не вызывают какого бы то ни было изменения частоты. Кроме
того, в схеме Пирса нельзя ограничивать или регулировать амплитуду коле-
баний кристаллического резонатора, а это важно для получения очень ста-
бильных частот. Оба эти недостатка устранены в генераторе с мостовой схемой
из активных сопротивлений, сконструированном Мичемом [24] (фиг. 30). В этой
схеме применяется трансформатор для перевертывания фазы выходного
напряжения, а цепь обратной связи создает нулевой сдвиг фаз для создания

Фиг. 30. Генератор Мичема с мостовой схемой.

условий самовозбуждения. Кристаллический резонатор является одним из
плеч моста из активных сопротивлений, и для того чтобы создать нулевой
сдвиг фаз, пластинка должна колебаться на своей резонансной частоте.
Для ограничения амплитуды в качестве другого плеча моста используется
небольшая лампа накаливания или термистор. По мере нарастания ампли-
туды колебаний сопротивление этого элемента уменьшается и мост посте-
пенно уравновешивается. Это увеличивает потери в цепи моста и снижает
амплитуду. Таким путем быстро достигается устойчивая амплитуда, зави-
сящая более от свойств термистора, чем от нелинейных параметров лампы.
Обычно выбирают такой термистор или лампочку накаливания, чтобы ампли-
туда кристаллического резонатора была очень малой, и, поскольку послед-
няя поддерживается постоянной, не возникает и колебаний частоты, обу-
словленных изменениями амплитуды. Мостовая схема Мичема применяется
во всех высокостабильных генераторах постоянной частоты.

Еще один недостаток генераторов по схеме Пирса состоит в том, что
кристаллический резонатор должен иметь положительное реактивное сопро-
тивление для возбуждения колебаний. Это ограничивает применение гене-
раторов по схеме Пирса для возбуждения колебаний резонаторов на высоких
гармониках. Для получения положительного реактивного сопротивления
величина М должна быть больше 2. Из уравнения (5.34) видно, что отно-
шение емкостей кристаллического резонатора возрастает пропорционально
квадрату номера обертона. Например, у пластинок ВТ-среза, имеющих отно-
шение емкостей, равное 1000 для основной частоты, и Q = 100 000, величина М
для пятой гармоники должна быть равна 4, т. е. должна быть в 5 раз больше,
чем для основной. Практически оказывается, что пятая гармоника является
пределом для использования в генераторах Пирса.

Для преодоления этого затруднения Мэзон и Фэр [14] предложили при-
менять в цепи обратной связи схему мостового типа, при этом плечами моста
служат кристаллический резонатор и три емкости. Схемы могут быть
различного типа. Был сконструирован и самобалансирующийся мост. Емкост-
ное сопротивление кристаллического резонатора уравновешивается емкост-
ными сопротивлениями моста; поэтому то ограничение, согласно которому
резонатор должен иметь положительное реактивное сопротивление, устра-
няется. С такой схемой был возбужден 23-й обертон в пластинке АТ-среза
с основной частотой 8,56 мггц и были стабилизированы частоты, доходившие
до 197 мггц. Для того чтобы резонаторы были активными на такой высокой
частоте, необходимо, чтобы кристаллические пластинки были отшлифованы
точно плоско-параллельными. Практически применяющаяся наивысшая
частота—9-й обертон пластинки в 10 мггц.

3.	Применение кристаллов в фильтрах1). В телефонии пьезоэлектриче-
ские резонаторы наиболее широко употребляются в конструкциях полосо-
вых фильтров с высокой избирательностью. Для этой цели в основном исполь-
зуется кварц, но, как указано в гл. IX, в настоящее время вместо него начи-
нает использоваться новый синтетический кристалл—этилендиаминтартрат.
Поскольку вопрос о применении кристаллов в фильтрах подробно рассмо-
трен Мэзоном [10], здесь будут даны только краткие выводы.

Кристаллический элемент (см. фиг.13,а) эквивалентен комбинации индук-
тивностей и емкостей с высокой добротностью; зависимость его реактивного
сопротивления от частоты изображена на фиг. 13,6. Ввиду того что с квар-
цем можно получить не более чем 10-процентную электромеханическую
связь, в пьезоэлементах из кварца относительная разность между резонанс-
ной и антирезонансной частотами равна, согласно соотношению (5.36),
0,004,	'	(6.39)

или около 0,4% резонансной частоты /д. Таким образом, если мы имеем
дело с комбинацией только кристаллических элементов, то можно показать,
что наиболее широкая полоса пропускания, которая может быть получена
от такого фильтра, это удвоенное значение относительной разности между
резонансной и антирезонансной частотами, равное 0,8%. Это слишком малая
ширина для большинства линий связи, но узкополосные фильтры такого
типа применяются в качестве моночастотных фильтров контрольного сигнала
и для анализаторов спектра шума и речи. Такие кристаллические элементы
можно комбинировать в виде Т- и П-образных и мостовых фильтров. Схемы
фильтров и формулы для их расчета рассмотрены в работе Мэзона [10].

Для широкополосных фильтров, необходимых для каналов телефонной
связи, можно использовать комбинации из индуктивностей, емкостей и кри-
сталлических элементов. Поскольку отношение реактивного сопротивления
к омическому для самых лучших катушек, монтированных на надлежащем
расстоянии друг от друга, не превышает 400, следует обращать особое вни-
мание на рассеяние.

В фильтре действие рассеяния двоякое. Оно может вносить постоянные
потери в дополнение к затуханию в фильтре и может создавать потери, изме-
няющиеся в зависимости от частоты в полосе пропускания фильтра. Второй
эффект—более опасный, так как первые потери могут быть скомпенсированы
усилителями, а вторые изменяют частотную характеристику вносимого филь-
тром затухания. Поэтому, если рассеяние на индуктивностях, необходимых
для расширения полосы пропускания фильтра, вносит только дополнитель-
ные постоянные потери в полосе пропускания, то можно считать фильтр
удовлетворительным.

Впервые кварцевый фильтр предложен в СССР в 1931 г. Я. И. Эфрусси (34] и в даль-
нейшем усовершенствован им и другими советскими инженерами. Кварцевый фильтр Мэ-
зона, предложенный им в 1934 г. [8], полностью совпадает с фильтром, предложенным
Я. И. Эфрусси. (Прим,, ред.)
Этого результата можно добиться, включая только последовательные или
параллельные индуктивности на концах фильтра, так как омическое сопро-
тивление индуктивностей может быть сделано таким, что составит лишь часть
входного или выходного импеданса и добавит только постоянное затухание,
не зависящее от частоты. На фиг. 31,а показана наиболее употребительная

Фиг. 31. Кристаллический фильтр с применением скрещенного четы-
рехполюсника из кристаллических элементов и индуктивностей на кон-
цах звена.

а—звено фильтра; б—эквивалентная электрическая схема.

схема фильтра [25] с использованием индуктивностей, емкостей и кристалли-
ческих элементов. На этой схеме два кристаллических элемента, каждый
с двумя парами разделенных электродов, образуют четыре плеча четырехпо-
люсника скрещенного типа. Две половины кварцевой пластинки составляют
последовательные плечи четырехполюсника, а две половины пластинки Q-,—
перекрестные. Две маленькие емкости Св применяются для подгонки частот
на пиках затухания. Емкости С а на концах моста служат также, как и индук-
тивности Lo, для установления ширины полосы пропускания фильтра. Каж-
дая оконечная индуктивность состоит из двух симметричных обмоток, каждая
из которых образует катушку Lo / 2. Эквивалентная электрическая схема
для такого четырехполюсника с кристаллическими пластинками с разделен-
ными электродами показана на фиг. 31,6, где 2 Q± и 2 означают эквивалент-
ную электрическую схему кристаллических элементов (см. фиг. 13,а) с удво-
енным значением импеданса пластинок с неразделенными электродами.

Было показано (см. [10] гл. VIII), что затухание такого звена фильтра
равно затуханию суммы трех звеньев полосового фильтра т-производного
типа1). При наличии индуктивностей на конце звена одно из этих звеньев
имеет бесконечное затухание на бесконечной частоте. Частоту, соответствую-
щую бесконечному затуханию, для двух других звеньев можно устанавливать
выбором относительных импедансов и частот двух кристаллических элемен-
тов^ и Q2. Формулы для расчета таких кристаллических элементов рассмот-
рены Мэзоном [10]. Звено фильтра может быть обобщено добавлением кристал-
лических элементов в последовательные или перекрестные плечи звена филь-
тра скрещенного типа. Если удалить одну из кристаллических пластинок и за-
менить ее емкостью, то затухание в фильтре соответствует затуханию двух про-
стых звеньев фильтра. Если же добавить кристалл в одно из последовательных
или перекрестных плеч, то это эквивалентно добавлению еще одного простого
звена фильтра. Применение двух кристаллических элементов с разделенными
электродами в обоих последовательных и перекрестных плечах фильтра

Э Под фильтром m-производного типа подразумевается фильтр, в последователь-
ную ветвь которого включается импеданс, в т раз больший соответствующего импе-
данса в исходном звене, а в параллельной ветви ставится такой импеданс, чтобы
волновое сопротивление осталось неизменным. [Прим, ред.}
послужило основой для создания кварцевого фильтра типа 219 [26]; такой
фильтр эквивалентен пяти простым полосовым фильтрам, полученным
с помощью обычной схемы скрещенного типа. Этот фильтр имеет такую харак-
теристику затухания, которая необходима для получения широкой полосы
пропускания в системах с несущей частотой. Применяя другие схемы [10]
соединений индуктивности, кристаллов и емкостей, можно получить филь-
тры низкой частоты, высокой частоты, фильтры, вырезающие полосу частот,
и всевозможные фильтры с фазовым сдвигом.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Firestone F. A., Journ. Acous. Soc. Amer., 17, 287 (1946). Ультразвуковой
рефлектоскоп.

2.	Stoiber, Tolman, Butler, Amer. Min., 30, 245 (1945). Геология место-
рождений кристаллов кварца.

3.	В о n d W. L., Bell Syst. Techn. Journ., July, 1943. Метод описания ориентации
кристаллов кварца и определение ее оптическим путем.

4.	Willard G. W., Bell Syst. Techn. Journ , October, 1943. Кварцевое сырье, его
дефекты и проверка.

5.	Wooster W. N., Nature, 157, № 3987 (1946).

6.	Н е i s i n g R. A., Quartz Crystals for Electrical Circuits, N. Y., 1946.

7.	M a s о n W. P., Bell. Syst. Techn. Journ., 22, № 2 (1943) Применение кристаллов
кварца.

8.	M a s о n W. P., Bell Syst. Techn. Journ., 13, 405 (1934). Электрические фильтры
с применением кварцевых кристаллических элементов.

9.	М a s о n W. Р., Journ. Acous. Soc. Amer., 6 (1935). Изгибине колебания стержня
с учетом эффектов вращательной и поперечной инерции.

10.	Mason W. Р., Electromechanical Transducers and Wave Filters, N. Y., 1948.

11.	L a n e С. E., Bell Lab. Rec., 24, A1» 2, 59 (1946). Сдвоенные кристаллы.

12.	Л я в, Теория упругости, М.—Л., 1936.

13.	М a s о н W. Р., Sykes R. A., Proc. Inst. Rad. Eng., 32, № 4 (1944). Низко-
частотные срезы кварцевых кристаллов, имеющие низкий температурный коэф-
фициент.

14.	Mason W. Р., Fair J. Е., Proc Inst. Rad. Eng , 30, 464(1942). Новый стабили-
зированный кристаллом генератор для ультракоротких волн.

15.	Sykes R. A., Bell Syst. Techn. Journ., 23, № 1 (1944). Типы колебаний кварце-
вых кристаллов.

16.	Sykes R. A., Proc. Inst Rad. Eng, 34, № 2 (1946); Proc. Inst. Rad. Eng., 36,
4 (1948). Высокочастотные металлизированные кварцевые кристаллические эле-
менты для контроля установок связи.

17.	F г о n d е 1 С., Amer. Min., 30, May, 1945. Излучение упругих волн кварцем.

18.	Willard G. W., Hight S. С., Proc. Inst. Rad. Eng., 25, 549 (1937).

19.	Mason W. P., Proc. Inst. Rad. Eng., 28, 220 (1940). Новый срез кварца, назван-
ный СУ-срезом, обладающий весьма высоким постоянством частоты в широком
интервале температуры.

20	Greenidge R. М. С., Bell Syst. Techn. Journ., 23, 234 (1944). Изготовление
и монтаж металлизированных кварцевых элементов.

21.	Jones Н. Spencer, Endeavor, 4, № 4 (1945).

22.	Mason W. P., Bell Syst. Techn. Journ., July, 1943. Применение кварцевых кри-
сталлов.

23.	Llewellyn F. В., Proc. Inst. Rad. Eng., 19, 2063 (1931). Генераторы постоян-
ной частоты.

24.	Meacham L. A., Proc. Inst. Rad. Eng., 26, 1278 (1938); Bell Syst. Techn, Journ?,
17, 574 (1938). Стабилизированный генератор мостикового типа.

25.	Mason W. P., Патент США 2045991.

26.	W i 1 1 i s E. S., Elec. Eng. Trans. Sec., March, 1946. Новый кристаллический поло-
совой фильтр для широкополосных систем с несущей.

27.* С о к о л о в С. Я., Авторское свид. № 23246, кл. 42 (1928).

28*. Соколов С. Я., Journ. Techn. Phys. USSR, 3, 76 (1936).

29*. Шубников А. В., Прибор для точного определения оптической оси в кварце
(конометр), М.—Л., 1938.

30*. ЦинзерлингЕ. В., Труды Лабор. кристаллографии, вып. 2 (1940).

31*. Цинзерлинг Е. В., Труды Института кристаллографии, вып. 4, 197 (1948).

32*. Шубников А. В., Кварц и его применение, М.—Л., 1940.

33*. Плонский А. Ф., Пьезокварц в технике связи, М., 1951.

34*. Эфрусси Я. И., Вестник электротехники, № 2, 52—62 (1931).
Глава VII

КРИСТАЛЛЫ СЕГНЕТОВОЙ соли, их свойства
И ПРИМЕНЕНИЯ

§ 1. Введение

Сегнетова соль впервые была получена Пьером Сегнетом, французским
аптекарем из Ла Рошели, в 1672 г. В то время как сначала медицинские,
а затем и химические свойства сегнетовой соли, стали хорошо известными,
среди ее физических свойств ничего особо примечательного не было открыто
до 1880 г. В этом году братья Кюри, исследовавшие явление пьезоэлектри-
чества, обнаружили, что сегнетова соль является сильным пьезоэлектриком.

Первые количественные измерения пьезоэлектрического эффекта сег-
нетовой соли были проведены Поккельсом в 1894 г. В ходе своих эксперимен-
тов Поккельс обнаружил также существование эффекта Керра и аномаль-
ные диэлектрические свойства кристаллов в направлении кристаллографи-
ческой оси а (оси ж). Технические применения кристаллов сегнетовой соли
были впервые описаны Никольсоном [1] в 1919 г. Никольсон использовал
кристаллы сегнетовой соли в ряде конструкций пьезоэлектрических микро-
фонов, приемников, громкоговорителей, а также употребил их для стабили-
зации частоты в первом генераторе с кристаллической стабилизацией [2].
За этими первыми исследованиями несколькими годами позднее последо-
вала серия работ Валашека, которым были обстоятельно изучены пьезоэлек-
трические и диэлектрические свойства кристаллов сегнетовой соли. Наибо-
лее важная работа касалась аналогии между диэлектрическими свойствами
сегнетовой соли и ферромагнетизмом. Эта аналогия служит ключом к описа-
нию аномальных свойств сегнетовой соли.

Глубокий интерес к теории структуры сегнетовой соли возник в 1929 г.
после работ русских авторов—Р. Д. Шульвас-Сорокиной, И. В. Курчатова
и его сцтрудников. Вслед за этим появилось много исследований как теоре-
тических, так и экспериментальных, среди которых выделяются работы
Шерера с сотрудниками в Цюрихе, Фаулера, Биверса и Хыоза, Уббелоде
и Вудворда в Англии, Кэди, Мюллера и Мэзона в США. Теории, объясняющие
пьезоэффект в сегнетовой соли, были выдвинуты Фаулером, Кэди, Мюллером
и Бушем1). Так как они подробно описаны Кэди [14], мы их здесь не будем
рассматривать. Теория сегнетоэлектрического эффекта в сегнетовой соли
и KDP, предложенная автором, излагается в гл. XI. Теория автора близка
к теории «внутреннего поля» Мюллера2), но в ней сделана попытка связать
сегнетоэлектрические свойства с существованием водородных связей в кри-

Э Автор, будучи вынужденным отдать должное работам И. В. Курчатова и
Р. Д. Шульвас-Сорокиной, при перечислении позднейших исследователей совершенно
не упоминает советских авторов, которым в изучении физических свойств сегнетовой
соли принадлежит ведущая роль. Ссылки на ранние работы советских исследовате-
лей приведены в известной книге И. В. Курчатова [15], которым была дана и первая
теория сегнетовой соли. Подробная библиография, доведенная до 1941 г., содержится
в книге В. Н. Лепешинской [36]. За невозможностью упомянуть о всех многочислен-
ных работах советских авторов, появившихся за последние годы, укажем Лишь на
некоторые [16—21, 23, 24, 29]. (Прим, ред.)

2) Старая теория Мюллера—теория «внутреннего поля» [8]—относила сегнетоэлектри-
ческий эффект за счет сильного внутреннего поля, создаваемого дипольными молекулами.
Впоследствии автор отказался от этого представления и построил полуэмпирическую
теорию [22], известную под названием теории «внутреннего взаимодействия». (Прим, ред.)
сталлах. Целью настоящей главы является краткое описание некоторых
физических и химических свойств сегнетовой соли.

Общие свойства сегнетовой соли. Сегнетова соль является двойной

натриево-калиевой солью винной кислоты с четырьмя молекулами кристал-
лизационной воды (NaKC4H4Oe • 4Н2О). Она кристаллизуется в ромбо-тетра-
эдрическом классе ромбической системы. Обычная форма кристалла приве-
дена на фиг. 32,а, на которой показано также направление прямоугольных
осей х, у иг в кристалле, совпадающих с кристаллографическими осями
а, Ъ и с. Хотя кристаллы сегнетовой соли теоретически могут встречаться
в двух энантиоморфных формах, обычно все винные кислоты, получаемые

в виноделии, являются правыми, и при обычных условиях получается
только правая сегнетова соль (d-соль). Молекулярный вес сегнетовой соли
равен 282,184, плотность при 25° С, по измерениям Бонда, равна 1,775±

г

Фиг. 32. Кристалл сегнетовой соли.
Различные срезы. Типы биморфных эле-
ментов.

i0,003. Это значение очень хорошо
согласуется с величиной плотности,
вычисляемой из рентгеновской струк-
туры, расшифрованной Биверсом и
Хьюзом [3]. По данным этих авторов,
элементарная ячейка, содержащая
четыре молекулы сегнетовой соли,
имеет размеры: а—11,93А, Ь—14,3 А,
с—6,17 А соответственно вдоль осей
х, у и z. Легко подсчитать, что в каж-
дом см8 будет содержаться 3,81 • 1021
молекул. Разделив эту величину на
число Авогадро 6,06 • 1023 и умножив
на молекулярный вес 282,184, полу-
чим плотность, равную 1,77. Раство-
римость соли в литре воды при 0° С
равна 1,50моля (420 г), а при 30° С—-
4,90 моля (1390 г).

Наиболее обычный метод выра-
щивания кристаллов сегнетовой соли,
как и большинства других раство-
римых в воде кристаллов, использу-
ет отмеченную зависимость раство-
римости от температуры. Затравоч-
ные кристаллические пластинки
помещаются в покачивающиеся или
вращающиеся бачки, содержащие пе-

ресыщенный водный раствор соли
при температуре около 40° С. Соль осаждается на кристаллической за-
травке, и степень пересыщения раствора понижается. Для того чтобы усло-

вия роста сохранялись постоянными, температура снижается на несколько
десятых долей градуса в день. При достижении комнатной или другой
подходящей температуры кристалл вынимается из бачка, а отработанный
раствор используется для повторной кристаллизации1).

Так как сегнетова соль содержит кристаллизационную воду, упругость
паров над кристаллом достигает заметной величины. Как показывает кри-
вая В на фиг. 33, если влажность окружающей атмосферы при 25° С ниже
35%, упругость паров над кристаллом превышает упругость паров над

х) В СССР были разработаны скоростные методы выращивания сегнетовой соли [23].
(Прим, ред.)
водой, и кристалл будет обезвоживаться, теряя воду. В результате поверх-
ность кристалла покроется белым порошковатым налетом обезвоженной
соли, который может повредить нормальному использованию кристалла,
если этот процесс пойдет слишком далеко. Кристалл устойчив при комнат-
ной температуре в интервале относительной влажности между 35 и 85%.
При относительной влажности воздуха свыше 85% кристалл будет погло-
щать пары воды из атмосферы своей поверхностью и медленно растворяться
(кривая А на фиг. 33). Чтобы уменьшить влияние этих эффектов, кристалл
часто покрывают лаком, который, однако, лишь замедляет, но не предотвра-
щает обезвоживания1). Если бы кристалл можно было герметически изоли-
ровать в каком-нибудь сосуде, он бы сохранился там неопределенно долго
в присутствии порошков кристаллической и обезвоженной сегнетовой соли.

Фиг. 33. Область влагоустойчивости кристаллов сегнетовой соли.

А — кривая начала поглощения влаги; В — кривая начала обезвоживания.^

При повышении температуры первый порошок будет выделять воду, а при
понижении—второй будет поглощать ее, поддерживая таким образом влаж-
ность воздуха в соответствии с кривой А на фиг. 33.

При температуре 55е С сегнетова соль распадается на тартрат натрия
и тартрат калия с выделением кристаллизационной воды; эта вода раство-
ряет обе соли. Если этот раствор быстро переохладить, он останется совер-
шенно жидким еще в течение нескольких минут перед тем, как начнется
кристаллизация и затвердевание. Такая «расплавленная» сегнетова соль
образует очень прочный клей, который употребляется для соединения ку-
сочков кристаллов друг с другом.

Распиловку кристаллов сегнетовой соли обычно производят ленточными
пилами или с помощью влажной нити. Также легко кристаллы поддаются
механической обработке на фрезерных станках при высокой скорости реза-
ния. Кристаллы можно шлифовать шлифовальным^ ремнем, охлаждаемым
насыщенным водным раствором соли. Наиболее современным методом нане-

х) Существует много способов защиты, полностью гарантирующих влагоустойчи-
вость пьезоэлементов из сегнетовой соли. (Прим, ред.)
сения металлических электродов на поверхность кристалла является метод
испарения золота в достаточно высоком вакууме. Этот процесс должен быть
закончен очень быстро, так как кристалл в вакууме выделяет влагу. При
соблюдении этого условия потеря воды незначительна и получаются вполне
удовлетворительные электроды.

§ 2.	Физические свойства сегнетовой соли

1.	Диэлектрические свойства сегнетовой соли. В интервале температур
от —18 до -г 24° С сегнетова соль обладает сегнетоэлектрическими свой-
ствами. Под этим понимают существование в кристалле спонтанной поляри-
зации по направлениям и гистерезисной зависимости поляризации от

Фиг. 34. Зависимость спонтанной поляризации от температуры для
обычной сегнетовой соли и сегнетовой соли с тяжелой водой.

напряженности электрического поля, аналогичной гистерезисной зависи-
мости магнитной индукции от напряженности магнитного поля в ферромаг-
нитных телах. Величина спонтанной поляризации была определена Мюл-
лером [4] и Хаблютцелем [5] по величине остаточной поляризации, опреде-
ляемой из петли гистерезиса. Результаты измерений этих авторов приведены
в графической форме на фиг. 34. При температуре 3°С спонтанная поляри-
зация достигает максимального значения в 740 ед. CGSE. Та же фиг. 34
показывает зависимость спонтанной поляризации от" температуры для сегне-
товой соли с тяжелой водой, т. е. с замещенными на дейтроны протонами
в группах ОН и в кристаллизационной воде. Обе точки Кюри (температуры,
при которых спонтанная поляризация равна нулю) смещаются до —22°
и +35°С соответственно, и величина спонтанной поляризации возрастает
до 1120 ед. CGSE при температуре около 6° С.

Точки Кюри смещаются также под действием давления. На фиг. 35
изображена' установленная Бэнкрофтом [6] зависимость положения точек
Кюри от величины гидростатического давления. Гидростатическое давление,
повышая обе температуры Кюри, увеличивает в то же время интервал
между ними. С точки зрения теории водородной связи, развитой в гл. XI,
этот результат связан с изменением от давления величины, определяемой

выражением

Смысл входящих в это выражение величин выясняется в гл. XI.

Типичный ряд кривых гистерезисной зависимости поляризации от на-
пряженности электрического поля приведен для свободного кристалла на
фиг. 36. Эти кривые изображают результаты измерений Дэвида [7] при
частоте 50 гц и поле, приложенном вдоль оси х. Как следует из кривых, усред-
ненная и мгновенная диэлектрические проницаемости (приблизительно

Фиг. 35. Влияние гидростатического давления на положение
точек Кюри в сегнетовой соли.

равные в данном случае отношению поляризации к напряженности поля, умно-
женному на 4тс), весьма заметно зависят от напряженности поля. Закруг-
ленная форма петель гистерезиса обычно связывается с доменной структу-
рой сегнетовой соли.

Другими свидетельствами доменной структуры являются существова-
ние эффекта Баркгаузена [8], пироэлектрические свойства, изученные
с помощью порошков Бюркера [4], и эффект рассеяния ультразвука. Из своих
опытов Мюллер пришел к выводу, что размеры доменов должны быть около
1 см в поперечнике. Из-за трудностей оптического и рентгеновского наблю-
дений явлений двойникования в сегнетовой соли и в кристаллах KDP све-
дения о типах двойникования, обусловливающих доменную структуру
в этих кристаллах, очень скудны1). С другой стороны, для титаната бария,

х) Впервые форма и размеры доменов сегнетовой соли были исследованы в СССР
оптическим способом М. В Классен-Неклюдовой, М. А. Чернышевой и А. А. Штернбер-
гом [241 и М А. Чернышевой [29] Из рентгеновских работ укажем на наиболее интересные
работы Уббелоде и Вудворда [25] для сегнетовш! соли и Квервайна [26] для дигидро-
фосфата калия (Прим, ред.)
в котором может произойти изменение ориентировки сегнетоэлектрической
оси на 90°, определенно известно, что доменная структура может быть след-
ствием двойникования кристалла по плоскости (101).

При слабых полях диэлектрическая проницаемость намного меньше,
чем при сильных полях. На фйг. 37 и 38 представлены результаты измерений
[8, 9] диэлектрической проницаемости свободного кристалла вдоль оси х
и обратной восприимчивости при различных температурах для напря-
женности поля порядка 5 в/см. Величина диэлектрической проницаемости
между точками Кюри (—18° и + 24°С) равна приблизительно 200 и возрастает
почти до 2000 в точках Кюри. За пределами интервала между точками Кюри
диэлектрическая проницаемость падает и доходит до 7 при темпера-
туре—157°С, далее не изменяясь. При сильных полях, как видно из фиг. 37,

диэлектрическая проницаемость, измеренная по среднему наклону петли

Ф’и г. 36. Кривые гистерезисной зависи-
мости поляризации от напряженности
электрического поля для пластинки
45° Х-среза сегнетовой соли.

Максимальная напряженность поля равна:
для кривой а—30,7 в1см

v	»	6—61,4	»

»	»	в—123	»

»	»	а—384	»

гистерезиса, достигает максимально-
го значения внутри интервала Кюри.
Дифференциальная диэлектрическая
проницаемость, измеряемая по на-
клону кривой в данной точке петли,
может достигать 200 000.

Диэлектрическая проницаемость
вдоль осей у и z имеет для сегнетовой
соли вполне нормальные значения и
не зависит заметным образом от на-
пряженности электрического поля.
Диэлектрическая проницаемость сво-
бодного кристалла вдоль оси у в
интервале температур от —10° до
4-24° G имеет величину 11,1 и выше
верхней точки Кюри возрастает по ли-
нейному закону до значения 12,5 при
температуре 45® С. Диэлектрическая
проницаемость вдоль оси ze^ = 9,2.

Диэлектрическая проницаемость
свободного кристалла, т. е. диэлек-
трическая проницаемость, измерен-
ная при постоянном механическом на-

пряжении, определяет не только энер-
гию, запасенную в электрической форме, но и энергию, запасенную в меха-
нической форме при постоянном поле или переменном поле низкой частоты.
Механическая энергия запасается в результате деформации кристалла, свя-
занной с пьезоэлектрическим эффектом. Если мы зажмем кристалл так,
чтобы он не деформировался, то сможет запасаться только электрическая
энергия. Этому случаю соответствует диэлектрическая проницаемость зажа-
того кристалла. Хотя трудно зажать кристалл достаточно жестко, так
чтобы воспрепятствовать любым механическим деформациям, но аналогич-
ного результата можно добиться, если проводить измерения при частотах

настолько высоких, что почти все основные резонансные частоты кристалла
и их гармоники будут лежать ниже частоты приложенного поля. Этот метод
аналогичен в принципе методу измерения той части диэлектрической прони-
цаемости тел, которая связана только со смещением электронов. При воз-
растании частоты приложенного поля доля диэлектрической проницаемости,
связанная со смещением диполей и атомов, сходит на нет, ибо колебания
последних не поспевают за колебаниями приложенного поля. Диэлектри-

ческая проницаемость зажатого кристалла и соответствующее электрическое
сопротивление для кристаллической пластинки с размерами /=1,75 см,
см, /^=0,75 см были недавно измерены [10] при частоте 20 мггц.
Полученные результаты изображены штрих-пунктирной линией (кри-

Фги г. 37. Температурная зависимость диэлектрической прони-
цаемости свободного кристалла сегнетовой соли, измеренная при
напряженности поля 5 и 500 в)см.

Фиг. 38. Обратная восприимчивость свободного кристалла сег-
нетовой соли при низких температурах.

Кюри. Конечное значение диэлектрической проницаемости зажатого кристал-
ла и появление двух максимумов при тех же температурах, что и для свобод-
ного кристалла, объясняются теорией автора в гл. XI, § 5. Сплошная кривая
на фиг. 39, отмеченная буквой А, представляет результаты других измере-
ний диэлектрической проницаемости [11] на частоте 160кг?{ при исключении
взаимодействия между механической и электрической энергией с помощью
теоретических соотношений, приведенных в следующем параграфе. Оба ряда
измерений хорошо согласуются между собой; согласуются также и соответ-
ствующие значения величины Q для кристаллической пластинки, рассматри-
ваемой как конденсатор (кривые С и D).

Фиг. 39. Температурная зависимость диэлектрической проница-
емости и добротности зажатого кристалла сегнетовой соли при
слабых полях.

Кривая А—диэлектрическая проницаемость при частоте 160 кгц; В—ди-
электрическая проницаемость при частоте 20 мггц; С—добротность при
частоте 160 кгц; D—добротность при частоте 20 мггц.

2.	Пьезоэлектрические свойства сегнетовой соли. Если приложит]
электрическое напряжение к плоско-параллельной кристаллической пл а
стинке Х-среза, пластинка испытает относительно большую деформация
плоского сдвига, превращающую квадратное сечение пластинки в ромби
ческое, как показано на фиг. 32,6. Для того чтобы получить деформация
чистого растяжения или сжатия, кристаллическую пластинку вырезаю'
под углом в 45° к осям у и z, как показано на той же фигуре.

Отношение линейной деформации к приложенному электрическому на
пряжению становится вблизи точек Кюри очень большим по сравнению с<
значениями при всех других температурах. Кроме того, это отношение яв
ляется функцией напряженности электрического поля. С другой стороны
если взять отношение линейной деформации к плотности поверхностной
электрического заряда, то это отношение будет приблизительно постоянны]
при всех температурах и не зависит от напряженности электрического ноля
Как показано в гл. VIII и X, наиболее постоянным является не отноп еви<
линейной деформации к плотности поверхностного заряда (или к электри
ческой индукции, величина которой на поверхности численно равна плот
пости поверхностного заряда, умноженной на 4-гс), а отношение мехапиче
ского напряжения к той части электрической индукции, которая обусловлен,
дипольной поляризацией.

Однако измерение дипольной поляризации не является легкой задачей
так что, повидимому, при выводе фундаментальных уравнений лучше осно
вываться на электрической индукции, так как эта величина легко изме
ряется и непосредственно связана с энергией, запасенной в единице объем
кристалла. Эта точка зрения развита в гл. III, где было показано, что урав
нения, характеризующие пьезоэлектрические, упругие и диэлектрические
свойства кристалла, принадлежащего к ромбо-тетраэдрическому классу
(класс 6, симметрия 2: 2), могут быть записаны в форме

— С11^1	С12^2 "Г С13^3) гр ®Х , Q

Т%	с126! -г	£и

Т3 = с13^1 “Г С23^2 ~Г ^ЗЗ^З)	Dt,

Т ^eD S' —h ( Л

* 4	С44 ^4	™14 4К у ’	22

Г5- c°s5-h25	,	п

°	55	&	25 у у >	„ _ JJZ ,	„

J^Z — g —^36°6!

71 - cD S —Л (ДгЛ	£зз

1	7 6 " С66 ° 6 '6ЗС \ 4я у ?

где 7\, ..., Т6 — компоненты механического напряжения, определенные
в гл. III, 5Х, . . ., 56 — компоненты деформации, Dx, Dv, Dz — компоненты элек-
трической индукции вдоль осей х, у и г, Ех, Еу, ^ — компоненты напря-
женности электрического поля вдоль этих осей, сп, ..., с66—модули упругости,

> ^25> ^зб — пьезоэлектрические постоянные, связывающие механическое
напряжение с электрической индукцией, деленной на 4к. Модули упруго-
сти, связывающие касательные напряжения и деформации сдвига, отмеча-
ются индексом D для того, чтобы указать на постоянство электрической
индукции при измерении этих модулей. Точно так же индекс S указывает
на постоянство деформации при измерении диэлектрической проницаемости
кристалла вдоль осей х, у и г, следовательно, величины , s®2, е33 опреде-
ляют диэлектрическую проницаемость зажатого кристалла.

Во всех динамических методах измерения пьезоэлектрических постоян-
ных сегнетовой соли используют продольные колебания кристаллических
пластинок, длина которых направлена под углом 45° к двум кристаллогра-
фическим осям, а толщина—вдоль третьей оси. Используя уравнения пре-
образования осей, выведенные в приложении, § 4, можно показать, что для
пластинки 45°^-среза уравнения, определяющие упругие и пьезоэлектри-
ческие свойства, могут быть записаны в форме

Т\ = С1Х; +

С^12 + с13\	, /с22 + с33 + 2^23 +	\	Мют Сда + 2с3з — 4.Х \

1 2 = ---2---) d 1 + \---------4----/ 6 2 + -------4--------7 о з 4-

+ С") s^hu(J^'y

Т< — Лс12 + <?1зЛ О/ I /с22 + сзз + 2с2з —4с® \ /с2а + с3з + 2с2з + 4с^ \	(7.2):

-* з — (	2	) 1 । V	4----/ 5а -f- (	joзф-

__ ^g13'	| ^33 С22^	; ^g3 3д	S' ~j™	^33 ^23^

Компоненты Т'^, Tq, Е'у и E’z не участвуют в описании поведения кристал-
ла. Для тонкой и длинной пластинки с длиной, направленной вдоль оси у'г
шириной, направленной вдоль оси z', и толщиной, направленной вдоль
оси х, единственной компонентой механического напряжения, отличной
8*
от нуля, является Т\. Полагая	= Т\ = Т'Ь=- Т'6 -= 0, получим сле-

дующие уравнения для такой пластинки:

у" /___________4________\	с &х л /__________4________\

2 \	+'?22 + 533 + 2.5'2з/ 2 2сР4 Ч	+«22 + *’зз + 2«2з/

' — г _

х L

М* ( g22 ~Ь ^зз ~Ь 2s23	\ ~1 __ h{l /___________4___________

С44	+ S22 + «33 + 2s23/ J 2tf4 \	+ s22 + S33 + 2s23

(7.3)

причем постоянные гибкости кристалла s22> s33, s23 связаны с модулями
упругости соотношениями

где.

С11	С12	С13

с12	с22	С23

С13	с23	С33

а ДСИ —миноры, получаемые изопределителя Дс зачеркиванием i-й строки
и /-го столбца. В то же время имеет место соотношение



По форме уравнения (7.3) видно, что

1

cD ‘

44

S22 + $33 + 2<523
--------------Г--------------= ®22-

(7.4)

Эта величина обратна модулю Юнга вдоль длины пластинки для длинной
и тонкой кристаллической пластинки, вырезанной под углом 45° к осям
у и х. Имеем также

4к h\4 / s22 + s33 + 2s23 \	__ 4л	/п

-S D ( D , „	, _	, I ' 'LC ’Sa ’	{

11	С44 ^ 44 + 22 + S33 + ^ W	еп еп

где — диэлектрическая проницаемость продольно зажатого кристал-
ла, т. е. диэлектрическая проницаемость, измеряемая при отсутствии дефор-
мации 83. Как описывается в упоминавшейся работе [11], s14c может быть
определена путем измерения диэлектрической проницаемости при частоте,
вдвое большей резонансной частоты кристалла. Вычислив значение члена

^zI4 /	s22 ~Ь ^33 "И 252з

с44 \544 + $22 + 5зз + 2s23

можно вычислить и значение диэлектрической проницаемости зажатого
кристалла. На фиг. 39 изображены значения диэлектрической проницае-
мости зажатого кристалла, полученные в результате измерений при частоте
160 кгц. Подставляя (7.4) и (7.5) в уравнения (7.3), получим

Т'2 =

S’s

^14

2^ s'D

44 22

eLG

“11

2cds'd

44 22

$2-

(7-6)

Е

Л)4

Наиболее прямым путем измерения постоянной Л14 является опреде-
ление электрического напряжения в разомкнутой цепи для пластинки
45°Х-среза при данной деформации82. Это измерение было сделано в упомя-
нутой работе [11]. Пластинка из сегнетовой соли длиной в полволны наклеи-
валась на кварцевую пластинку длиной в полволны и сравнивалось электри-
ческое напряжение в разомкнутой цепи для кварца с напряжением в такой
Ж ШК дал ИТОШ соли, ко время колебаний обоих кристаллов под
действием полуволнового кварцевого возбудителя. Зная величины относи-
тельных деформаций в этих двух пластинках, которые относятся друг
к другу, как скорости распространения звука в кристаллах, и зная величину
напряжения в разомкнутой цепи для кварца, которое равно

= 4^21$^ -= 1,312 • 10ад,
5п$22

(7.7)

где lt—толщина кристаллической пластинки, можно найти величину Л14
для сегнетовой соли:

Л14 = 7,58* 104 <9w«/CGSE ед. заряда. ’	(7.8)

Эта величина совершенно не зависит от температуры в интервале от —10
до Я- 45° С.

Другим методом определения /?14 является измерение резонансной и
антирезонансной частот колебаний металлизированной кристаллической

Ф и г. 40. Температурная зависимость частотной постоянной
45°Х-среза сегнетовой соли.

Кривая А—резонансная частота металлизированной пластинки; В—ан-
тирезонансная частота металлизированной пластинки; С—резонансная
частота пластинки в держателе с большим воздушным зазором; D—вы-
численная частота механического резонанса металлизированной пла-
стинки.

пластинки из сегнетовой соли и диэлектрической проницаемости свободной
пластинки. На фиг. 40 показана температурная зависимость частот резо-
нанса (кривая А) и антирезонанса (кривая В) для металлизированной пла-
стинки. Кривая С показывает резонанс той же, но не металлизированной
пластинки, измеренный в держателе с широким воздушным зазором. Чтобы
использовать эти измерения для оценки пьезоэлектрической постоянной
Л14, необходимо еще связать уравнения (7.6) с ньютоновским уравнением
движения для любого элемента кристалла,.которое в нашем случае может
быть записано в форме

<92т] ____дТ%

Р ~di* = ду' ’
где т] —смещение элементарного объема в направлении длины пластинки,

т. е. вдоль у'.

.и замечая, что

Подставляя сюда величину Т' из первого уравнения (7-6)

<б*Т]

=	? получим

<?2y]	1 d^f\

p ~di^	dtj7^

h

2cD sd

44	22

'дВх
ду'
4п

(7.10)

Имея в виду,

циальнои,
уравнение

так 1
(7-6),

что
что

металлизированная поверхность является эквипотен-
Ех не зависит от у', найдем, дифференцируя второе

1 dDx
гьс дУГ
11

2cd

44

s'D jdy'2 ’

22 /

(7.11)

Исключив

из этих

„ dDx
двух уравнении

, получим

где

д2т\

1 52y]	/	T?14

\2cd s'd

22	4	44 22

LC-

1

S22



(7.12)

1
sE

22

S
22

h \2/

"14 \	/	11

2ce ) \ 4ks d

44 z \	22

причем коэффициент электромеханической связи

1 — k^

sD ’

22

к определяется выражением

A	V	/	£LC

7 2	(	}	\__

K - \2cd	J	4k/d

\	44	22



) \4ТГ6

44 / v 22

2

4к

e? s'E

11	22

(7.13)

как можно показать, исходя из соотношений гл. III. Это следует из равенств,
справедливых для кристаллов ромбо-тетраэдрического класса (класс, к ко-

торому принадлежат кристаллы сегнетовой

соли):

4k

7^
ii

4к

Л2

Г

It



gli

h
14

44

22

/ .Т

^14	§14

4u	4k .	,

~	+ £14^14,

S	£

Т

(7-14)

! 1

Здесь и g14 — пьезоэлектрические постоянные, определенные
Из уравнений (7.14) получим

в гл. III.

4k

£$

11

следовательно,

4к

ii

4k

°n

h

44

И

22_____44_

4s E

2 £LC
°11

4ks d

22

sLC
11

гТ

11

4irs D 4us

22

4тс

22

4к

~T
£

h2

cD

44

(7.15)

(1 - к2)

4к

Уравнение (7.12) уже подробно обсуждалось

в гл. V, где

было пока-

зано, что резонансная частота /r определяется выражением

(7.16)
а коэффициент электромеханической связи, определяемый выражением (7.13),
связан с разностью А/ между резонансной и антирезонансной частотами
уравнением

Л* 2 * =

(7Л7)

Используя результаты измерений резонансной и антирезонансной ча-
стот (см. фиг. 40), которые позволяют вычислить и коэффициент электро-
механической связи к, а также используя данные фиг. 37 для диэлектриче-
ской проницаемости свободного кристалла и результаты измерений модуля

Фиг. 41. Модули сдвига и в зависимости от темпера-
туры. Измерения для пластинок сегнетовой соли в держателе
с воздушным зазором.

сдвига сf4 (фиг. 41), можно вычислить величину Л14. Было найдено, что
пьезоэлектрическая постоянная Л14 сохраняет почти постоянное значение,
равное приблизительно 7,8 • 104. Имеются некоторые указания на то, что
величина Л14 несколько уменьшается с повышением температуры. Это согла-
суется с результатами гл. X, показывающими, что отношение между пьезо-
электрическим напряжениемх) и дипольной поляризацией является наиболее
постоянным. Так как диэлектрическая проницаемость ejj, связанная со
смещением электронов и атомов без учета дипольной составляющей2), равна
приблизительно 7, то дипольная поляризация будет составлять от 92 до
99% общей величины Dx/^tz; следовательно, пьезоэлектрическая постоян-
ная дипольной поляризации /44, определяемая отношением пьезоэлектри-
ческого напряжения к дипольной поляризации при постоянной деформации,
будет приближенно равна

е® h

/u = -f-1y = 7,8. 104.	(7.18)

s — ev

' 11 11

э То есть механическим напряжением, вызванным пьезоэлектрическим эффектом.
(Прим, ред.)

2) Под названием дипольной поляризации Мэзон объединяет тепловую ориентацион-

ную поляризацию, связанную с наличием в кристалле полярных молекул или радикалов,

способных к тепловому вращению, и тепловую ионную поляризацию (поляризацию
ионных перебросов). (Прим, ред.)
Достаточно точных измерений постоянной /14 при сильной поляризации
не имеется, но теоретически она не должна зависеть от величины дипольной
поляризации.

Для двух других пьезоэлектрических постоянных—вдоль осей у и z—
автор нашел значения [9]

Л25 = _ 5,8 • 104, Л36 - 4,81 • 104.

(7.19)

Как указывалось в гл. III, в трех других формах записи пьезоэлектри-
ческих соотношений оперируют с иными пьезоэлектрическими постоянными,
которые связаны с постоянной следующими соотношениями:

h

44

h eS

р 	14	11

^25

е25 —

h

25

CD ’

55

h

25 22

4тс

с

66

Л £$

„	__ 36	33

’	4к

(7.20)

z7 „	14 \ 11

а14 —	ri-------

cD (4тг)

44 V 7

Л (е? )

25 \ 22 /
с2 (4к)

„7	__ 31 \ 33 .

u36 — d / . .

с«« <4т0

^25

Постоянная g определяет электрическое напряжение в разомкнутой цепи
при данном приложенном давлении для кристаллической пластинки, рабо-
тающей как микрофон; постоянная е определяет механическое напряжение,
возбужденное в кристаллической пластинке при данном приложенном поле;
постоянная d определяет механическую деформацию пластинки при данном
приложенном поле1). Используя значения упругих постоянных, приведен-
ные ниже вп. 3, и значения диэлектрических проницаембстей из предыдущего
раздела, получим следующие значения пьезоэлектрических постоянных
сегнетовой соли при комнатной температуре (25° С), выраженные в едини-
цах GGSE:

g14-6,3 - 10-7,
е14=1,4 • 106,
^4 = 7-10-5,

g25 = -19 • 10-7,
е26 — 4,7 • 104,
-169 • 10-8,

S36 = 4,8 -10-7,
е„6 •= 3,4 • 104,
rf36 —35,5 • IO-8.

(7.21)

Величины в]4 и tZf4 значительно изменяются при изменении температуры
и напряженности электрического поля, в то время как g14 и Л14 сохраняются
относительно постоянными. Поскольку сегнетоэлектрический эффект вдоль
осей у и z отсутствует, все четыре пьезоэлектрические постоянные вдоль
этих осей имеют относительно устойчивые значения при изменении темпе-
ратуры и напряженности электрического поля.

3. Упругие постоянные сегнетовой соли. Как показывают уравнения
(7.1), сегнетова соль имеет девять модулей упругости. Шесть из них с1Ъ с12,
с13, с22, с2з и сзз не зависят от электрического поля или электрической
индукции, в то время какостальные три различаются в зависимости от того,
является ли при их измерении постоянным электрическое поле или электри-
ческая индукция2). Связь, существующая между модулями упругости, изме-
ренными при постоянном поле, и модулями упругости, измеренными при

т) А. А. Харкевич [31] впервые разграничил области применения всех четырех
типов пьезоэлектрических постоянных и нашел выражения, связывающие их с чув-
ствительностью пьезоэлектрического преобразователя. {Прим, ред.)

2) На различие между упругими постоянными sD, cD и sE, сЕ сегнетовой соли было
впервые четко указано А А. Харкевичем [31, 33, 33] и Л Я Гутипым [34, 35]. Они же
обобщили формулы, связывающие упругие постоянные при постоянном поле и упругие
постоянные при постоянной индукции, на общий случай пьезокристалла. {Прим. ред.
постоянной электрической индукции, обсуждается в приложении, § 2, гдр
показано, что

cd =се	_р е h cd	= се _ре A	cD	= сЕ	+e 9hs .	(7.22)

44	44	14	34?	55	55	1	35	~5	66	66	36	36	4	7

Интересно получить также выражения для постоянных гибкости, ибо
эти величины измеряются легче, чем модули упругости. Постоянные гиб-
кости для сегнетовой соли входят в уравнения типа

*$1 “ $ц7\ 4“ S12 ^2 4~ S13-^3’

Se=-sET6+g

35 4тс ’

8% — ^12^1 4“ $22'E2 4'$331".

^3	$23^2	$33^:

s^E+gv.

Постоянные гибкости su(i, j~ 1, 2,
Сц (i, j = 1, 2, 3) соотношениями

sij ~ “

, Ex^-^-gliTi,
г
11

, Ey^^—g25T5,	'	(7.23)

"22

n7

. J? - _L_ a T

rp b36 x 6'
£
33

3). связаны с модулями упругости

7 дс ’

где

Дс =

С11	^12

С12	С22

С13	С23

С13
с23
сзз

(7.24)

и Lcij—минор, получающийся из определителя Дсзачеркиванием i-й строки
и /-го столбца. Три постоянных гибкости для сдвиговых деформаций и на-
пряжений, измеренные при постоянном поле, связаны с постоянными гибкости
для сдвиговых деформаций и напряжений, измеренными при постоянной
электрической индукции, с помощью формул

У.

К 7	D Е 7

$44	^14 §14’	$55	$55	^25§‘,

D Е j

SRR “ $йЯ   «Чй £чй

Ьо оо	оо ОоЬ

(7-25)

Соотношение между модулями упругости для сдвиговых напряжений
и деформации и аналогичными постоянными гибкости могут быть записаны
в форме

fD	L rD	_ 1	D	=	1

44	П	’	l55	n	’	^66	n	’

s	s	s

44	55	66

E 1 E _	1 E ___________ 1

C4 E ’	C55 ~	’	C66 “дУ *

44	S55	b66

(7.26)

Девять постоянных гибкости для сегнетовой соли были измерены Ман-
делем и Гинцем статическим методомг). а Мэзоном [9] и Хантингтоном [12]—•
динамическим методом. Постоянные гибкости для сдвиговых деформаций
и напряжений измерялись Мэзоном при постоянной электрической индукции
для неметаллизированной пластинки, помещенной в держателе с воздушным

х) См. [27. 28]. (Прим ред.)
зазором. Метод раздельного измерения различных постоянных путем исполь-
зования различно ориентированных срезов кристалла подробно описы-
вается в гл. X. Хантингтон измерял по существу постоянные гибкости при
постоянном электрическом поле, ибо использованный им импульсный ультра-
звуковой метод приводил именно к таким величинам. В табл. 7 приведены
для сравнения результаты измерений Гинца, Хантиштона и автора. За
исключением значения s13, результаты Хантингтона и Мэзона1) хорошо со-
гласуются между собой. В последней строке таблицы приводятся реко-
мендуемые значения постоянных гибкости.

Таблица 7

Значения постоянных гибкости сегнетовой соли

Постоянные гибкости	811	S22	833	8 44	$55	SS5	$12	S13	823

.Экспериментальные изотер-
мические значения при
комнатной температуре
и постоянном поле по
Гинцу, 10~12 см2/дин . .

Вычисленные адиабатиче-
ские значения при ком-
натной температуре и
постоянном поле по Гин-
цу, 1.0~12 см2/дин ....

Адиабатические значения
при 30° G и постоянной
электрической индукции
по Мэзону, 10~12 см2/дин

Адиабатические значения
при постоянной электри-
ческой индукции по Хан-
тингтону, 10"12 см1/дин

Рекомендуемые адиабати-
ческие значения при по-
стоянной электрической
индукции, 10~12 см2/дин

5,19

5,24

3,43

3,41

3,49

3,50

5,20 .3,50

3,24 9,63

3,22 9,63

3,34 7,98

3,37 7,45

3,35 7,9

33,7

33,7

32,8

34,9

33,0

11,8 —2,18 ^1,69 —1,34

—2,20 —1,72

—1,36

10,1 —1,53 —2,11 —1,03

Для нахождения температурных коэффициентов постоянных гибкости
был проделан ряд измерений в широком температурном интервале. Вообще
говоря, эти коэффициенты различаются в зависимости от того, находится ли
исследуемая область температур внутри или за пределами интервала Кюри.
Для температур выше верхней точки Кюри Мэзон нашел следующие значе-
ния температурных коэффициентов Tsij, выраженные в миллионных долях
на градус Цельсия:

х) К значениям постоянных гибкости,полученным Мэзоном при его измерениях [9J,
следует отнестись критически. (См. работу А. А. Харкевича [31] и книгу Кэди [14] § 207.)
/Прим. ред.) j
Tslx -=1230,
Ts2i = 1330,
Ts33 ^890,

Ts^ = -1660,

Ts®5 = 700,

Ts° -1830,

Ts12 = 5240,
75>13 =2710,
Ts23 = -10 200.

Хотя эти коэффициенты определены только для одного температурного
интервала, они показывают значительную изменчивость постоянных гиб-
кости сегнетовой соли по сравнению с соответствующими постоянными
кварца. Две постоянных сдвиговой гибкости были определены в широком
температурном интервале при колебаниях сдвига вдоль грани для двух
длинных и тонких кристаллических пластинок, толщина которых была
направлена вдоль осей х и г, а длина — вдоль осей гиг/ соответственно. Кон-
турные колебания этих пластинок определяются модулями и соот-
ветственно, если измерение проводится в держателе с широким воздушным
зазором. В самом деле, при колебаниях указанного типа возбуждаются
только компоненты индукции Dx и Dz. Поскольку нормальная компонента
индукции, численно равная плотности поверхностных зарядов, равна
нулю, так как пластинки не металлизированы, то и компоненты индукции
Dx и Dz постоянны внутри соответствующих пластинок и равны нулю. На
фиг. 41 изображена температурная зависимость модулей сдвига и с33.
График показывает, что близость точек Кюри оказывает заметное влияние
на величину модулей сдвига.

§ 3. Наиболее употребительные срезы сегнетовой соли

Наиболее широко употребляются кристаллические пластинки Х-среза,
т. е. пластинки, вырезанные нормально к оси х, как показано на фиг. 32, б.
Под действием приложенного электрического напряжения такая пластинка
испытывает деформацию сдвига, и квадратная призма переходит в призму
с ромбическим сечением. Но если ориентировать ребра пластинки под углом
45° к кристаллографическим осям у и г, она будет удлиняться по направле-
нию одного ребра и сжиматься по направлению другого. Такие пластинки,
известные под названием 45°Х-среза, широко используются для получения
продольных колебаний. Склеивая вместе, как показано на фиг. 32, в, две
такие кристаллические пластинки, колеблющиеся по длине, получим би-
морфный элемент1), работающий на изгиб2). Частота изгибных колебаний би-
морфных элементов много меньше частоты продольных колебаний отдельных
пластинок, поэтому они используются в низкочастотной аппаратуре для
приема и воспроизведения звука. На фиг. 32,а показан биморфный элемент
из двух пластинок Х-среза, употребляющийся для получения крутильных
колебаний. На внутренних гранях обеих кристаллических пластинок вклеи-
вается один общий электрод, а на две наружные грани приклеиваются два
соединяемых вместе электрода; в результате на элемент действуют два про-
тивоположных сдвига в плоскости граней, вызывая деформацию кручения.
При наложении переменного напряжения на электроды возникают колеба-
ния кручения. Наконец, на фиг. 32,5 показан биморфный элемент из двух
тонких пластинок Х-среза, работающих на сдвиг, который обеспечивает
значительную амплитуду колебания одного угла элемента, если пластинки
зажаты по трем другим углам. Все эти типы биморфных элементов исполь-
зуются в различных конструкциях звукоснимателей, микрофонов, громко-

Биморфный пьезоэлемент впервые предложен в СССР Н. Н. Андреевым [30].
(Прим, ред.)

2) Пластинки биморфного элемента испытывают деформации разного знака, что
приводит к изгибу. {Прим, ред.)
говорителей, в анализаторах качества поверхностей, модуляторах света
и для многих других приложений.

Для пластинки 45°Х-среза можно написать следующие уравнения для
деформации и напряженности поля при продольной деформации:

St - : S’a2 Ti + gi ,	(7.27)

Е* = -giT, + tfDx,

где Si — деформация по направлению длины пластинки, Ti—механическое
напряжение в том же направлении, gi — эффективная пьезоэлектрическая
постоянная для направления, проходящего под углом 45° к двум кристалло-
графическим осям, и рт — диэлектрическая непроницаемость (величина,
обратная диэлектрической проницаемости), измеряемая для свободного
кристалла. В единицах CGSE постоянная гибкости и пьезоэлектрическая
постоянная, входящие в уравнения (7.27), имеют значения

4? = 3,16 • 10-12, gl = 31,5 • IO-» _	(7.28)

Значения диэлектрической проницаемости свободного кристалла, обратные
значениям рт, приведены в графической форме на фиг. 37 для слабого
(5 в/см} и сильного (500 в/см} приложенных полей.

Уравнения (7.27) можно использовать для характеристики работы
кристаллической пластинки при статических условиях или при частотах
колебаний, значительно меньших частот резонанса. Например, если мы
хотим найти чувствительность пластинки, работающей в качестве микрофона,
то из второго уравнения найдем, что при работе в разомкнутой цепи, когда
заряды на поверхности, а следовательно, и электрическая индукция Dx
равны нулю, величина напряженности электрического поля, возбужденного
при данном давлении р (давление направлено противоположно напряже-
нию Ti) будет равна

£«---=- -?,Л-31,5  10-8 р ед.CGSE,	(7.29)

It

где р — давление в дин/см2, lt — толщина пластинки в см и г — электриче-
ское напряжение в единицах CGSE. Так как единица потенциала в системе
GGSE равна 300 в, напряжение в вольтах, возбужденное давлением р
в дин/см2 на поверхности кристаллической пластинки толщиной в 1 см,
будет равно

V - 31,5 • IO-8  300 р - 9,45 . 10-5 р.	(7.30)

Так как электрическое напряжение, возбужденное при данном давле-
нии, прямо пропорционально пьезоэлектрической постоянной gi, равной
половине соответствующей основной постоянной, то из уравнений (7.21)
найдем, что пластинка 45°У-среза будет возбуждать электрическое напря-
жение в разомкнутой цепи примерно втрое большее, чем пластинка 45°Х-среза
при том же давлении, поскольку пьезоэлектрическая постоянная gi для пла-
стинки 45°У-среза будет равна Vs’190-IO-8 — 95-10-8. Пластинки 45сУ-среза
употребляются для работы в качестве микрофонов и для преобразования элек-
трической энергии в механическую в гидроакустических преобразователях,
Если кристалл употребляется в качестве микрофона, нагруженного низким
.импедансом, пластинка У-среза не разовьет такое же высокое электриче-
ское напряжение, как пластинка Х-среза, которая имеет очень низкое
внутреннее сопротивление вследствие большой емкости; однако напряже-
ние, развиваемое пластинкой У-среза, не будет зависеть от температуры
в противоположность пластинке 45°Х-среза.

Исключая Dx из уравнений (7.27), представим деформацию S\ т. е. отно-
сительное удлинение, в виде функции приложенного электрического поля:

4

4~

blS-L

4гс

(7.31)

При отсутствии внешнего механического напряжения Тi полное удлинение d
пластинки 45°Х-среза в зависимости от приложенного электрического
напряжения V (в вольтах) будет равно

• Ю-5	(Ч) ,

4к \ bt/

(7.32)

где I—длина и lt—-толщина пластинки. Величина относительного удлинения
в зависимости от напряженности приложенного электрического поля (в воль-
тах на 1 см толщины) представлена на фиг. 42 для нескольких различных
температур. За пределами интервала Кюри удлинение значительно меньше,
т

поскольку диэлектрическая проницаемость ех также значительно меньше,
в частности, и для сильных полей.

Фиг. 42. Зависимость относительного удлинения
пластинки 45°У-среза сегнетовой соли от напряжен-
ности электрического поля при разных температурах.

У jEcnn две кристаллические пластинки склеены вместе так, что образуют
биморфный элемент, то, как было показано Мэзоном [13]J), удлинение пласти-
нок, колеблющихся по длине, увеличивается в 3Z/Zt раз, где Z—длина пла-
стинки, a Zf—общая толщина биморфного элемента. При этом получается

г) Работа биморфного пьезоэлемента подробно рассмотрена А. А. Харкевичем [32]
еще в 1943 г. (Прим, ред.}
увеличение полного удлинения элемента ценой значительного понижения
его резонансной частоты. Поскольку диэлектрические проницаемости двух
склеенных вместе кристаллических пластинок будут меньше диэлектрической
проницаемости свободного кристалла, представленной графически на фиг. 37,
и будут приближаться к диэлектрической проницаемости зажатого кристалла,
изображенной на фиг. 39, то очень большие температурные эффекты и эф-
фекты насыщения, отмечаемые для свободного кристалла, в биморфном эле-
менте будут значительно уменьшены. Все же чувствительность элемента
в пределах широкого температурного интервала может измениться в 5 раз
от максимального до минимального значения. В сегнетоэлектрическом интер-
вале типичная зависимость деформации от приложенного напряжения для
работающего на изгиб биморфного элемента длиной 3,81 см, шириной 1,90 см
и толщиной 0,10 см имеет следующий характер:

Напряжение, в	Деформация, см
’33  77  125  140	0,00508 0,01143  0,01524  0,01651

Величина удлинения элементов другой формы изменяется пропорционально
коэффициенту (l/lt)2 и не зависит от ширины.

Когда биморфные элементы употребляются в качестве генераторов элек-
трического напряжения, например в звукоснимателях, то механический
импеданс такого преобразователя будет значительно меньше, чем импе-
данс преобразователя с зажатыми кристаллическими пластинками, рабо-
тающими на продольных колебаниях. Чувствительность элемента можно
определить, исходя из величины деформации, задаваемой при данном роде
колебаний, путем вычисления электрического напряжения по уравнению
(7.27). Обычный элемент толщиной 0,076 см, длиной 1,75 см и шириной 1,11 см
будет развивать при работе в качестве звукоснимателя напряжение на
выходе, доходящее до 1 в. Эта чувствительность будет мало зависеть от
температуры, когда элемент работает в цепи сетки электронной лампы.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Nicolson А. М., Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 38, 1467 (1919); Proc. Amen
Inst. Electr. Eng., 38, 1315 (1919). Пьезоэлектрический эффект в кристаллах сег-
нетовой соли с изоморфными примесями.

2.	Nicolson А. М., Патент США 2212845, заявка от 10 апреля 1918 г. (опубли-
ковано в 1940 г.).

3.	Beevers С. A., Hughes W., Proc. Roy. Soc., 177, 251 (1941). Кристалличе-
ская структура сегнетовой соли NaKC4H4O6-4H2O.

4.	Mueller Н., Ann. N. Y. Acad. Sci., 40, 34, 321 (1940). Диэлектрические аномалии
сегнетовой соли.

5.	Hablutzal J., Helv. phys. acta, 12, 489 (1931). Исследование диэлектрических
свойств сегнетовой соли с тяжелой водой.

6.	Bancroft D, Phys. Rev., 53, 587 (1938). Влияние гидростатического давления
на восприимчивость сегнетовой соли.

7.	David R., Helf. phys. acta, 8, 431 (1935). Зависимость диэлектрических свойств:
сегнетовой соли от механических условий.

8.	Mueller Н., Phys. Rev., 47, 175 (1935). Свойства сегнетовой соли.

9.	Mason W. Р., Phys. Rev., 55, 775 (1939). Динамические измерения упругих,
электрических и пьезоэлектрических постоянных сегнетовой соли.
10.	Mason W. P., Phys. Rev., 72, 854 (1947). Теория сегнетоэлектрического эффекта
и диэлектрической проницаемости зажатого кристалла сегнетовой соли.

11.	Mason W. Р., Phys Rev., 58, 744 (1940). Определение явлений гистерезиса в кри-
сталлах сегнетовой соли.

12.	Huntington Н. В., Phys. Rev., 72, 321 (1947). Ультразвуковые измерения
монокристаллов.

13.	Mason W. Р., Electromechanical Transducers and Wave Filters, N. Y., 1948.

14*. Кэди У., Пьезоэлектричество и'его практические применения, М., 1949.

15*. Курчатов М. В., Сегнетоэлектрики, М.—Л., 1933.

16*. Гинзбург В Л., ЖЭТФ, 15, 739 (1945); Усп. физич. наук, 38, 490 (1949).
Теория сегнетоэлектрических явлений

17*. Шубников А. В., Пьезоэлектрические текстуры, М.—Л., 1946.

18*. Королев Ф. А. и Ферсман Б. А., Труды Института кристаллографии,
вып. 3, 1947. Исследование пьезоэлектрических свойств текстур из сегнетовой соли.

19*. Константинова В. П , Труды Института кристаллографии, вып. 5, 1949.
Диэлектрическая постоянная текстур из сегнетовой соли.

20*. Константинова В. П., Труды Института кристаллографии, вып. 5, 1949.
Электрические свойства текстуры из сегнетовой соли: Константинова В. II.
и Шубников А. В., ЖТФ, 21, 962 (1951). Колебания текстурных пьезоэлектри-
ческих пластинок из сегнетовой соли.

21*. К о см ан М. С. и К а р м е н К. Н., ЖЭТФ, 21, 524 (1951). Пьезоэлектрические
свойства сегнетовой соли при прямом пьезоэффекте.

22*. Mueller Н., Phys. Rev., 57, 829 (1940). Свойства сегнетовой соли. II.

23*. Аншелес О. М., Татарский В. Б., Штернберг А. А., Скоростное
выращивание однородных кристаллов из растворов, Л., 1945.

24*. Классен-Неклюдова М. В., Чернышева М. А. и Штерн-
берг А. А., ДАН СССР, 63, № 5 (1948). О реальном строении кристаллов сегпе-
товой соли.

25*. Ubbelohde A. R, Woodward, Proc. Roy. Soc., A185,448 (1946). Струк-
турные и тепловые свойства кристаллов Роль водородных связей в сегнетовой соли.

26* Quervain М, Helv. phys. acta, 17, 509 (1944). Рентгеновское исследование дигид-
рофосфата калия при низких температурах.

27*. Mandell W., Proc. Roy. Soc., 116, 623 (1927). Определение упругих модулей
пьезоэлектрической кристаллической сегнетовой соли статическим методом.

28*. Hinz Н., Zs. f. Phys., Ill, 617 (1939). Упругие деформации сегнетовой соли.

29*. Чернышева М. А., ДАН СССР, 74, 247 (1950).

30*. Андреев Н. Н., Авторское свид. № 27406 (1930).

31*. Харкевич А. А., ЖТФ, 13, 585 (1943). О применении сегнетовой соли в пьезо-
электрических приборах.

32*. Харкевич А. А., ЖТФ, 13, 423 (1943). Изгиб пьезоэлектрического стержня.

33*. Харкевич А. А., Теория преобразователей, М.—Л., 1948.

34*. Г у т и н Л. Я., ЖЭТФ, 15, 198 (1945). О постоянных сегнетовой соли.

35*. Г у тин Л. Я.? ЖЭТФ, 15, 367 (1945). Теория пьезоэлектрического эффекта.

36*. Лепешинская В. Н., Пьезоэлектрические приборы с сегнетовой солью,
Л., 1943.
Глава VIII

КРИСТАЛЛЫ ДИГИДРОФОСФАТА АММОНИЯ (ADP)
И ДИГИДРОФОСФАТА КАЛИЯ (KDP),
ИХ СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ

В качестве электромеханического преобразователя для гидроакустиче-
ских излучателей и гидрофонов во время второй мировой войны начали ши-
роко применять новый пьезоэлектрический кристалл ADP [1]. Этот кристалл
не обезвоживается, так как не содержит кристаллизационной воды, легко
выдерживает нагревание до 100° С и может, не разрушаясь, излучать значи-
тельную акустическую энергию.

Благодаря своим преимуществам ADP вытеснил в гидроакустической
аппаратуре сегнетову соль и другие виды электромеханических преобра-
зователей. Представляется вероятным, что в устройствах, предназначенных
для преобразования механических колебаний в электрические, вроде пьезо-
электрических звукоснимателей, микрофонов и т. д., ADP даст лучшие ре-
зультаты, чем сегнетова соль, и сможет ее заменить в этих преобразователях.
Однако если при заданном электрическом напряжении преобразователь дол-
жен давать наибольшее смещение, то для этой цели сегнетова соль, благо-
даря большому значению постоянной d, до сих пор является единственным
подходящим кристаллом.

ADP входит в группу четырех изоморфных солей, обладающих очень
интересными диэлектрическими и пьезоэлектрическими свойствами. Как
было впервые показано Бушем [2] дигидрофосфат аммония NH^H2PO4,
дигидрофосфат калия КН2РО4, дигидроарсенат калия KH2AsO4 и дигид-
роарсенат аммония NH4H2AsO4 в интервале температур от 91 до 220°К
претерпевают фазовые превращения.

По измерениям диэлектрической проницаемости и по гистерезисным
петлям кривой «заряд—потенциал» было установлено, что у дигидрофосфата
калия и дигидроарсената калия эти фазовые превращения относятся к сег-
нетоэлектрическому типу.

Вследствие внезапного распада кристаллов дигидрофосфата аммония
и дигидроарсената аммония при температуре выше точки Кюри, обнару-
жить подобными методами сегнетоэлектрические свойства у этих кристаллов
не удалось. Кроме того, из экстраполяции результатов измерений их ди-
электрических и пьезоэлектрических свойств в сторону низких температур
видно, что при понижении температуры до 0°К появление у них сегнето-
электрических свойств мало вероятно.

Из перечисленных кристаллов техническое применение имеет только
ADP, хотя Маттиас и Шеррер [3] предлагали использовать KDP в филь-
трах. Однако, вследствие большого температурного коэффициента частоты,
достигающего 3-10~4 на 1°С при комнатной температуре, применение KDP
для этой цели сомнительно.

Из четырех изоморфных кристаллов наибольший коэффициент электро-
механической связи (30%) имеет ADP. Описание его свойств и применений
является целью настоящей главы. Поскольку сегнетоэлектрические превра-
щения KDP представляют значительный теоретический интерес, будут
разобраны также и его свойства.
§ 1. Физические свойства ADP и KDP

1. Общие свойства ADP и KDP. Эти соединения кристаллизуются

в тетрагонально-скаленоэдрическом классе (симметрия 4-т) в виде комби-
нации тетрагональной дипирамиды и призмы, как показано на фиг. 43. Ось с
(ось г) направлена вдоль длины кристалла и является зеркальной осью
симметрии четвертого порядка. Оси х и у направлены перпендикулярно
к граням призмы и являются осями симметрии второго порядка. Какую из
этих осей назвать осью х и какую осью у—безразлично, так как свойства
пластинок, вырезанных нормально к этим двум осям, идентичны. Две

диагональные оси, обозначенные Рх и иР2>
электрических испытаниях: Рг является
(растяжение) вдоль которой создает по-
ложительный заряд на положительном
(верхнем) конце оси z. Если ось z
вертикальна, а ось Рх направлена к пра-
вой руке наблюдателя, то за ось х при-
нимается ось, идущая к наблюдателю
из-за плоскости чертежа, а за ось у—ось,
идущая слева направо (см. фиг. 43).
Плотность кристаллов ADP равна
1,804 г 1см9, плотность кристаллов KDP
равна 2,31 г]см9.

Кристаллы ADP и KDP не содер-
жат кристаллизационной во ды, и поэтому
не могут ^4 обезвоживаться. Приблизи-
тельно при 93 % влажности воздуха кри-
сталлы начинают поглощать влагу и рас-
творяться. Чтобы предохранить кри-
сталлы от этого, обычно их держат по-
груженными в масло или в запаянных со-
судах. Кристалл ADP не плавится до
190° С, однако при температуре выше
100° С с его поверхности начинает уле-

могут быть различимы при пьезо-
осыо, положительное напряжение

тучиваться аммиак, и сцепление элек-

тродов с кристаллом ослабляется; поэтому желательно, чтобы при работе
поддерживалась температура ниже 100° С. Это заставляет использовать
кристаллы ADP только при подходящих температурных условиях.

На кристаллы обычно наносятся золотые электроды способом испарения.
Кристаллы можно разрезать дисковой пилой с абразивом, охлаждаемой насы-
щенным раствором разрезаемого материала, а поверхность обрабатывать
шлифовальным ремнем, охлаждая тем же раствором.

Вследствие диффузии ионов кристаллы ADP и KDP обладают объемной
утечкой; зависимость удельного сопротивления от температуры для чистых
солей ADP и KDP показана на фиг. 44. Структура кристалла KDP изобра-
жена на фиг. 109 и 110, где видно, что группы РО4 соединяются с другими груп-
пами РО4 водородными связями. Ион, содержащий такие связи, имеет
меньшую энергию активации, чем ионы в большинстве кристаллов,
и, следовательно, этот кристалл имеет более низкое удельное сопротивление.
Присутствие поля может вызвать миграцию ионов в направлении поля,

что и служит источником проводимости кристалла.

Грубый расчет проводимости может быть сделан следующим образом1).
Для того чтобы связанный водородной связью ион мог переместиться с одного

*) Этот расчет полностью вытекает из расчета, данного Я. И. Френкелем [4].
Фиг. 44. Зависимость удельного сопротивления кристаллов
ADP и KDP от температуры.

места на другое, ему необходимо сообщить дополнительное количество энер-
гии, достаточное для разрушения связи. Как будет показано ниже, энер-
гия связи составляет около 12,6 ккал/моль для Z-среза KDP и 14,6 ккал/моль

Фиг. 45. Распределение потенциальных ям, при-
нятое для расчета сопротивления утечки.

для Z-среза ADP. На фиг. 45 показано распределение потенциальных
барьеров, которые преодолеваются при разрушении связей в кристаллах
K.DP и ADP. Вдоль линии связи имеется два устойчивых положения, разде-
ленных расстоянием, которое для KDP имеет в среднем величину 4,6 • 10~8 см.
IV—высота потенциального барьера (в эргах) приблизительно в 21 раз боль-
ше средней потенциальной энергии иона. Согласно закону распределения
Максвелла, вероятность того, что при температуре 300°К=27° С молекула
будет иметь достаточно энергии, чтобы пересечь барьер при первом же при-
ближении к нему, равна

e-WT^e-2i^o,8O • 10“9.	(8.1)

Умножая эту величину на v—число «попыток» перехода через барьер,
совершающихся за 1 сек., получим а12—число переходов в 1 сек. из потен-
циальной ямы 1 в потенциальную яму 2:

а12 = ve-w^T^ e-W№.	(8.2)

Согласно теории абсолютных скоростей реакций Эйринга, считаем, что

кТ
h ’

где к—постоянная Больцмана, h—постоянная Планка, а Т—абсолютная
температура. Если поперек кристалла в направлении от потенциальной
ямы 1 к потенциальной яме 2 приложено поле Е, то уровень дна потенциаль-
ной ямы 1 повышается по отношению к потенциальному максимуму W,
а уровень дна потенциальной ямы 2 понижается, как показано пунктирной
линией на фиг. 45. Разница между уровнями дна потенциальной ямы 1 и по-
тенциальной ямы 2 и вершиной потенциального барьера равна

W1==w-^,	W2=W-k^,	(8.3)

где В—расстояние между потенциальными ямами, е—заряд ядра, а Е—на-
пряженность поля, одновременно являющегося приложенным полем, так как
текущий ток разрушает всякое внутреннее поле лорентцовского типа. Отсюда
число переходов в 1 сек. ионов из ямы 1 в яму 2 или обратно равно

а12 = ™ e-(W-Eebl2)/&Tf а21 = kZ_ e~(W+Eet>/2)lkT.
Общий поток в направлении поля равен

(а12 - а21) -	e~wlkT [еЕе5/2*т - е-ЕеЬ12кТ] ъ

кТ ЕеЪ e_WlkT __ е-1У/ЪТ.

h к.Т	h

(8.4)

(8.5)

Ток утечки равен п, числу элементарных ям на 1 еж2, умноженному на заряд е
и на общий поток (а12 — а21):

t = пе (а12 — а21) =	5 e-wikT,	(8.6)

где N — n/В — число молекул в 1 см3. Тогда сопротивление 1 см3 равно напря-
женности поля Е, деленной на плотность тока i:

„ Е hewlkT	_ h • 9 •	. з	7Ч

7?	$	ед.СБЗЕ Ае2о2 ом/см .	(8.7)

Энергия активации W может быть вычислена по приведенной на фиг. 44
зависимости удельного сопротивления от температуры. Взяв две темпера-

туры Ti и Г2, получим

л, _

А2 “ eWlkT2

(8.8)
Откуда

ЧМ1 bVi] “	<8в>

X	12 J

Умножая (8.9) на число Авогадро Ад = 6,06 • 1023 и деля на механический
эквивалент теплоты 4,187 • 107 дрг/кал, получим для Z-среза KDP выражение

W =	-----т—-——------= 12,6 ккал/моль.	(8.10)

А'7-w) 4487'10’

Для Z-среза ADP энергия активации равна 14,6 ккал/моль.

Удельное сопротивление, полученное по формуле (8.7), также представ-
ляет некоторый интерес. По данным рентгеновского анализа для Z-среза
ADP А=Л022, 5^4,6-108 * см, /г = 6,6-10~27, е-4,8-10-10, W/kT=2A,S при
300° К=27°С. Это дает по расчету удельное сопротивление 4-107, в то
время как измеренная величина равна 2-1010. Отсюда ясно, что проводимость
обусловлена примесями, имеющими более низкую энергию активации, чем
чистый ADP, у которого только одна молекула из тысячи дает ион.

Некоторое подтверждение этой мысли дает работа Морфи, который
нашел, что при повышении температуры до 125°С на кривой удельного со-
противления появляется излом, причем энергия активации, определенная для
более высоких температур, оказалась равной 20,4 ккал/моль. Морфи припи-
сывает эту энергию активации чистой соли, а более низкую—присутствию
примесей. Дальнейшее подтверждение этого предположения было получено
добавкой в кристалл 0,006 молярных процентов иона сульфата SO4, что
вызвало падение энергии активации до 10,9 ккал/моль, а удельного сопро-
тивления до 5 108 ом/см2 3 при 27эС=300°К. Это подтверждает предположе-
ние, что если имеется одна молекула со значительно более низкой энергией
активации на 104 * * молекул, то уже появляется проводимость. Для некото-
рых приложений необходимо иметь высокое удельное сопротивление, и поэ-
тому весьма желательно получить кристаллы, свободные от некоторых ионов,
вроде ионов сульфата.

2. Диэлектрические свойства ADP и KDP. Кристаллы ADP и KDP

в соответствии с симметрией класса 4-т имеют две различные диэлектриче-

ские проницаемости ел —е22 и s33. Значения диэлектрических проницаемо-

стей свободных кристаллов были измерены Бушем [2] иМэзоном [5]. Резуль-

таты хорошо согласуются между собой и показаны на фиг. 46 и 47.

Диэлектрическая проницаемость KDP вдоль оси z имеет при темпера-
туре 122°К очень большой пик, достигающий величины 30 000 и связанный

с сегнетоэлектрическим эффектом. Ниже точки Кюри обнаруживается явле-
ние гистерезиса поляризации. Беря значение поляризации при насыщении,
Буш нашел зависимость спонтанной поляризации от температуры, показан-
ную на фиг. 48. Максимум поляризации имеет порядок 14 100 ед. CGSE,
в то время как для сегнетовой соли он равен 740. Бантле [6] показал, что,
замещая водород дейтерием, можно поднять точку Кюри до 213° К. Отмечен-
ная крестиками кривая на фиг. 48 показывает измеренную зависимость
спонтанной поляризации от температуры для солей с дейтерием. Было обна-
HWW Ж К ДАН KDP , а ДЛЯ СОЛИ

Л дейтер ие м ниже ЖК, метан тистерезиса исчезает и диэлектрическая

проницаемость падает до 40. Предполагается, что этот эффект связан с
Ф и г. 46. Обратная восприимчивость х(Хзз:=—л) вдоль оси гдля
кристаллов ADP и KDP в зависимости от температуры.

«замораживанием» доменов, так что даже очень большое внешнее поле не
может их «повернуть»1).

У KDP диэлектрическая проницаемость свободного кристалла выше
точки Кюри хорошо описывается соотношением

Ф и г. 47. Диэлектрическая проницаемость вдоль оси х для кри-
сталлов ADP и KDP в зависимости от температуры.

где температура выражена в градусах Кельвина. Это соотношение показывает,
что диэлектрическая проницаемость состоит из двух частей, из которых
одна меняется с температурой очень мало, а другая, обусловленная

То есть изменить направление поляризации. {Прим, ред.}
присутствием диполей водородных связей, изменяется обратно пропорци-
онально разности температур. Аналогичное соотношение для ADP имеет вид

/г = 7 О Д- 2670

£зз	Г + 287

(8.12)

и показывает, что точка Кюри, обязанная своим происхождением водородным
связям, находится вблизи абсолютного нуля. Диэлектрическая проницае-
мость зажатого кристалла не была измерена, но ее можно рассчитать из выра-
жений

®38 = ®38	^36^36’	®11	®11	^14^14*	(8.13)

Значения пьезоэлектрических постоянных даются ниже в п. 3
и в табл. 8 и 9.

Фиг. 48. Зависимость спонтанной поляризации кристаллов КН2РО4
и KD2PO4 от температуры.

3. Пьезоэлектрические свойства ADP и KDP. Для кристалла класса
4-т уравнения, характеризующие пьезоэлектрические, упругие и диэлектри-
ческие свойства, могут быть написаны в виде

^1 — С11^1 -I" С12^2 + С13‘^3>	1 6 — С664^'б	^36 (^z/4tc),  Dv
^2 — С12*$1 4 с22$2 "Ь С13^3>	ех=-+г-ь14з4, г  11
= С135 J + с13А 2 Д- С3353,	Ev = ~^-—h^S*'	(8.14)  11
Л=^4-й14(РЛ),	Ez —	— h^S^-  г 33

^5 — С44^5	^14 (-^М/гс),

При трех других способах записи уравнения имеют аналогичный вид.
Пьезоэлектрическая постоянная /г36 для кристаллов ADP и KDP была
измерена в широком диапазоне температур, причем было найдено, что с ро-
стом температуры она несколько уменьшается. Однако если взять отношение
пьезоэлектрического напряжения к дипольной поляризации, то получится
постоянная величина /36, не зависящая от температуры. Чтобы получить эту
величину из уравнений (8.14), заметим, что

> = > + Л, +	(1 + 4-х,,) + PZ1 =	+ Л,,	(8.15)

где Pz—поляризация электронного и атомного смещения, Pid—дипольная
поляризация, /30 — восприимчивость, обусловленная электронами и ато-
мами, s30—диэлектрическая проницаемость, также обусловленная электро-
нами и атомами, которая, согласно соотношениям (8.11) и (8.12), равна
4,5 для KDP и 7,0 для ADP. Подставляя выражение (8.15) в уравнения
(8.14), получаем уравнения пьезоэлектрического эффекта в виде

т __	<? _ h ( EzS3o _ р А

1 6 — с66° в «Зв	у ,

+	(8.16)

33

Разрешая эти уравнения совместно, найдем

cD

66

р	'>Т'рг1

Ег “ -е

33	30

7uftS 8^

30 33

4?С	---S

4 33	30

h
^33

£S -8

33	30

h з*

36 33

s$ —е

33	30

(8.17)

Отсюда пьезоэлектрическая постоянная /зе, выражающая отношение напря-
жения Т& к дипольной поляризации, равна

/ h 3S \

/зб^=	•	(8.18)

I е — £	/

\	33	36 /

Пьезоэлектрическая постоянная Л3б определялась при помощи измере-
ния резонансной частоты металлизированной пластинки 45° Z-среза и срав-
нения ее с резонансной частотой неметаллизированной пластинки. Частота
металлизированной пластинки зависит от постоянной гибкости , в то время
как частота неметаллизированного кристалла определяется постоянной
гибкости s®. Как показывает уравнение (7.12) предыдущей главы, их отно-
шение равно

где ^ — коэффициент электромеханической связи, который равен

На фиг. 49 показаны измеренные резонансные частоты металлизирован-
ной и неметаллизированной пластинок KDP, а на фиг. 50—те же величины
для ADP. Отсюда можно рассчитать коэффициент электромеханической
связи; результаты вычислений для кристаллов ADP и KDP даны на фиг. 51.
Кривая для KDP поднимается до максимума, который имеет величину
92%, при температуре —151° С (точка Кюри). Значения продолжают оста-
ваться высокими до —180° С (наинизшей температуры, при которой были

Фиг. 49. Частотные постоянные металлизированной и неметалли-
зированной пластинок кристалла KDP.

Фиг. 50. Частотные постоянные металлизированной и неметал-
лизированной пластинок кристалла ADP.

сделаны измерения). Коэффициент электромеханической связи ADP при ком-
натной температуре составляет около 30% и имеет наибольшую величину по
сравнению со всеми до сих пор известными несегнетоэлектрическими кри-
сталлами. Он возрастает до 42% при —125° С, и при этой температуре кри-
сталл разрушается. Эта температура не является точкой Кюри, так как при
приближении к ней кривые зависимости диэлектрической проницаемости и
коэффициента связи от температуры не показывают отклонения от плавного
хода.
Автор высказал предположение [5], что в кристалле ADP имеется вторая
система водородных связей между ионами кислорода и аммония и что вне-
запное разрушение кристалла при —125° G происходит из-за структурной
перестройки системы водородно-аммонийной связи. Существование этого
второго ряда водородных связей недавно было подтверждено Пепинским1)
при помощи структурного анализа ADP. Наличие системы аммонийно-
водородных связей может объяснить, почему коэффициент электромехани-
ческой связи ADP превышает соответствующий коэффициент KDP. Дейст-
вительно, в ADP между всеми ионами РО4 существует тесная механическая

Фиг. 51. Коэффициент электромеханической связи кристаллов
ADP и KDP в зависимости от температуры.

ожидать, что под влиянием изменения Н2РО4-диполей должны происходить
большие изменения постоянных решетки, чем в случае KDP, где ионы Р04
связаны с ионами калия центральными электростатическими силами.

В работе Бартши, Маттиаса, Мерца и Шеррера [7] утверждается, что
разрушение кристаллов при - 125°C вызывается не изменением в системе во-
дородных связей РО4, а иной причиной. По представлениям этих авторов пере-
ход происходит из-за «замораживания» вращения иона аммония, подобно тому
как это бывает в хлористом аммонии. Введя в кристалл ADP таллий, они экра-
нировали квадрупольный момент NH4 и снизили точку перехода до —180° С.

По значениям диэлектрической проницаемости свободного кристалла,
получаемым из данных, приведенных на фиг. 46 и 47, и значению модуля
упругости с», приведенному ниже в п. 4, можно рассчитать все пьезоэлектри-
ческие постоянные. Результаты расчетов в единицах CGSE для ADP приведе-
ны в табл. 8 и для KDP—в табл. 9.

Первые четыре столбца этих двух таблиц содержат значения четырех обыч-
ных пьезоэлектрических постоянных с/36, езе, g36 и Л36. Для сегнетоэлектри-
ческого кристалла KDP <736 изменяется в 88 раз, е36—в 44,5 раза, g36—в
1,2 раза и /г36—в 1,42. Таким образом, постоянные, связанные с электрической
индукцией Dz, изменяются с температурой значительно меньше, чем постоян-
ные, связанные с напряженностью электрического поля. Однако если взять
часть электрической индукции, обусловленную дипольной поляризацией,
то постоянная, связанная с ней, будет еще меньше меняться с температурой,

х) Частное сообщение. Будет опубликовано.
Таблица 8

Пьезоэлектрические постоянные ADP

"Температура, °C	с/зб • IO3	е3о • Ю-'t	036 • Ю8	Лзе  10'4		/36 • 10'4
100	129,5	7,62	117	7,47	12,9	16,3
80	132,5	7,82	116	7,55	13,0	16,3
60	136	8,14	116	7,67	13,3	16,2
40	142	8,61	117,5	7,87	13,6	16,2
20	148	9,04	118,5	8,09	14,0	16,2
0	155	9,54	120,0	8,37	14,4	16,3
—20	161	10,0	119	8,44	14,9	16,0
—40	170	10,65	121	8,75	15,4	16,1
—60	180	11,32	122	8,94	16,0	15,9
—80	198	12,4	125	9,35	16,7	16,1
—100	207	12,9	126	9,6	17,3	16,1
- 110	242	14,9	130	10,0	18,2	16,3
—120	261	15,4	132	10,2	18,6	16,3
—122	270	15,6	132	10,3	19,0	16,3

Таблица 9

Пьезоэлектрические постоянные KDP

Температура, °C	dзз • 108	езв • 10 ’4	036 • Юз	h36 • 10'4	4	/зб • IO-*
100	50,4	2,91	36,8	2,16	17,0	2,95
80	54,0	3,17	37,2	2,21	1	18,0	2,95
60	59,0	3,5	38,6	2,32	18,9	3,04
40	63,2	3,8	38,8	2,35	20,3	3,02
20	69,6	4,26	39,4	2,44	21,8	3,07
0	76,2	4,73	39,6	2,50	23,75	3,09
—20	85,9	5,39	40,4	2,58	26,0	3,12
—40	98,6	6,24	41,0	2,66	29,4	3,14
—60	119,0	7,55	41,5	2,73	34,9	3,14
—80	153	9,75	42,0	2,79	43,9	3,10
—100	202	12,8	42,2	2,81	57,6	3,05
—120	334	20,8	43,0	2,93	89,8	3,08
—130	480	29,0	43,2	2,97	123	3,09
-140	975	47,3	43,4	2,98	200	3,06
—145	1465	70,0	43,6	3,02	291	3,07
—150	4400	130,0	44,0	3,07	542	3,10

как для ADP, так и для KDP. В пятом столбце даны значения диэлектри-
ческой проницаемости зажатого кристалла. Воспользовавшись ими и вели-
чиной диэлектрической проницаемости, обусловленной смещениями элек-
тронов и атомов, и равной, согласно выражениям (8.11) и (8.12), 4,5 для
KDP и 7,0 для ADP, можно рассчитать отношение пьезоэлектрического на-
пряжения *) к дипольной поляризации. Эта величина дана в последнем столб-
це таблиц для обоих кристаллов; в пределах ошибок эксперимента она по-
стоянна и равна 16,2-104 для ADP и 3,1-104 для KDP. Отношение этих
величин, равное 5:1, указывает, что ADP имеет большую электромехани-
ческую связь и более подходит для применения в условиях комнатной тем-
пературы.

Другие пьезоэлектрические постоянные этих кристаллов очень малы,
поэтому пластинка, вырезанная так, что главные грани ее перпендикулярны
к оси z, возбуждается очень слабо. Коэффициент электромеханической связи
здесь так мал, что измерения при помощи метода резонанса и аптирезонанса
не очень надежны. Постоянные были определены при одной температуре,
для чего кристалл включался в мост и в зависимости от частоты вблизи
резонанса измерялось эквивалентное шунтирующее сопротивление. Для
пластинки 45°А-среза KDP длиной 19,56 мм, шириной 6,10 мм и толщиной
0,20 мм эта зависимость выражается следующей таблицей:

Частота, гц	Эквивалентное шунтирующее сопротивление, 105 ом	Частота, гц	Эквивалентное шунтирующее сопротивление, 105 ом
102250	12	102300	5,5
102270	6,8	102310	7
102280	5,7	102320	9
102290	5	102330	11,8

Шунтирующая емкость пластинки была равна 54 пф, что согласуется со
значением диэлектрической проницаемости, равным 46, получаемым из гра-
фика на фиг. 46. Рассмотрев эквивалентную схему кристалла, можно пока-
зать, что эквивалентное шунтирующее сопротивление дается формулой
=	J ’	<8Л9)

где Rs—шунтирующее сопротивление при резонансе, Со—шунтирующая
емкость кристалла, г—отношение емкости Со к —емкости, возникающей
вследствие реакции колебаний пластинки, и Д?—резонансная частота пла-
стинки. По измерениям /Ц = 500000 ом, /д=102290 гц, Со = 54-10 12 ф. В интер-
вале 40 гц от резонанса Я3//?1=2,4. Этих данных достаточно, чтобы опреде-
лить г; оно получается равным 26 400. Коэффициент электромеханической
связи определяется через г по формуле

(8.20)

По резонансной частоте и длине пластинки находим постоянную гибкости
; она оказывается равной 2,56-10-2 см2/дин. Отсюда для KDP

/ A sE'

du^2-k]/ 20-21^4,2 • 10~8.	(8.21)

Подобные же измерения с пластинками 45°Х-сроза ADP дают

= b - 10“8.	(8.22)

Следовательно, хотя диэлектрические проницаемости вдоль оси х очень
велики, пьезоэлектрические постоянные по этому направлению очень малы.

4. Упругие постоянные кристаллов ADP и KDP. Все упругие постоян-
ные этих двух кристаллов были измерены в широком температурном интер-
вале посредством обычного метода измерений (при продольных колебаниях
Фиг. 52. Постоянные гибкости кристаллов ADP в зависимости от
температуры.

Фиг. 53. Постоянные гибкости кристаллов KDP в зависимости от
температуры.
пластинок шести различных ориентаций и при колебаниях сдвига вдоль
грани пластинок, вырезанных нормально к осям ж и z). Постоянные гибкости
si2> $1з и 5зз не зависят от приложенного поля. Их значения приведены

Фиг. 54. Постоянные сдвиговой гибкости кристаллов ADP в зави-
симости от температуры.

Ф и г. 55. Модули сдвига кристаллов KDP в зависимости от тем-
пературы.

на фиг. 52 для ADP и на фиг. 53 для KDP. Две постоянные сдвиговой гибкости
должны зависеть от поля, но для s44 ощутимой разницы не замечено, так как
для полей, нормальных к оси г, коэффициент электромеханической связи
мал. На фиг. 54 показаны значения постоянных гибкости s44 и s66 для ADP.
Значения s66 даны при двух различных условиях для электрического поля:
Ф к г, 56. Тепловое расширение кристаллов ADP вдоль осей х и z.

По эс и ординат отложено изменение размеров вдоль осей по отношению к тем же
размерам при 25° С, выраженное в процентах.

Ф и г. 57. Тепловое расширение кристаллов KDP вдоль осей х.
У и z.

По осн ординат отложено изменение размеров вдоль осей'по отношению н тем*же
размерам при 25° С, выраженное в процентах.
при постоянном поле и при постоянной индукции s®. Результаты таких же
измерений для KDP даны на фиг. 55, где приведены значения	и

Коэффициенты теплового расширения для этих кристаллов также пред-
ставляют интерес; их значения приведены на фиг. 56 для ADP и на фиг. 57
для KDP. Коэффициент теплового расширения ADP в интервале температур
от 20 до 80° С близок к нулю.

§ 2. Наиболее употребительные срезы ADP и их применения

1.	Употребляемые срезы кристалла ADP. Очевидно, что наиболее
пригодны для использования срезы, нормальные или почти нормальные
к оси z, так как пьезоэлектрическая постоянная g36 для ADP значительно
больше постоянной g14. Колебания сдвига вдоль грани возбуждаются в пла-
стинках, нормальных к оси z, подобно тому как показано на фиг. 32,6 для
сегнетовой соли. Продольные колебания можно получить, вырезая плас-
тинку Z-среза с длиной, направленной под углом в 45° к прямоугольным
кристаллографическим осям х и у. Кристаллы ADP чаще всего употребляются
в виде пластинок Z-среза и 45° Z-среза. Z-срез используется для возбуждения
сдвиговых колебаний вдоль грани и крутильных колебаний. 45°Z-cpe3
кристалла применяется как элемент для излучателей в гидроакустической
аппаратуре, а также в микрофонах, пьезоэлектрических звукоснимателях
и в других устройствах для преобразования механической энергии в эле-
ктрическую. Если вырезать из кристалла пластинку так, чтобы ее главные
грани образовывали с осями х и z углы 45°, а ширина была бы направлена
вдоль оси у, то в такой пластинке будут возбуждаться сдвиговые колебания
по толщине с высоким коэффициентом электромеханической связи. Если
нормаль к пластинке образует одинаковые углы со всеми тремя кристалло-
графическими осями, то получается пластинка, работающая на продольных
колебаниях по толщине так же, как пластинка L-среза сегнетовой соли* 2 *).
Коэффициент связи здесь меньше, чем у пластинок A-среза кварца, колеб-
лющихся по толщине, поэтому этот срез не употребляется.

Уравнения пьезоэлектрического эффекта для 45°Z-cpe3a имеют вид

Si^ s^Ti + gi^,

22	‘ 1	41t ’

Ez=~g^ + ^Dz,	,	(8.23>

где

gi =	- 59,2 • IO’8, s£ = 4,72 • 1012,

Л — 1 -- 15 7
£зз г т — J О, / .

*33

Если этот срез используется для преобразования механической энергии
в электрическую, то пластинка толщиной в 1 см при разомкнутой внешней
цепи на каждую единицу давления, измеряемого в динах на квадратный
сантиметр, возбуждает электрическое напряжение

V = 1,78 • 10-4в.	(8.24)

х) Недавно были опубликованы результаты измерений модулей упругости ADP
и KDP импульсным методом [10]. Некоторые из приведенных значений модулей значи-
тельно отличаются от значений, полученных Мэзоном. {Прим, ред.)

2) /.-срез сегнетовой соли был впервые описан Кэди [8] и теперь довольно широко-

употребляется для возбуждения высокочастотных продольных колебаний в жидкостях.
Эта величина больше, чем в случае 45°Х-среза сегнетовой соли. Для полу-
чения такого же выходного напряжения, как у сегнетовой соли, пластинка
45°£-среза ADP из-за ее низкой диэлектрической проницаемости должна
включаться в цепь с большим импедансом, чем сегнетова соль. Благодаря
тому что кристаллы ADP обладают большой химической стабильностью и спо-
собны выдерживать широкий диапазон температур, этот срез ADP вытесняет
сегнетову соль в таких устройствах, как микрофоны и звукосниматели1).

2.	Применение ADP в гидроакустических преобразователях. Коэф-
фициент электромеханической связи для кристаллов 45° Z-среза ADP опре-
деляется формулой

Благодаря такой высокой связи [9] эти кристаллы могут эффективно преоб-
разовывать электрическую энергию в механическую и обратно в частотном
диапазоне

~- 1,36,	(8.26)

где /в—верхняя граница частотного диапазона, а /д—нижняя граница.

Фиг. 58 Градиент напряжения пробоя для пластинок кри-
сталла в зависимости от толщины пластинок.

Возможности преобразования электрической энергии в механическую
ограничены наибольшей деформацией и максимальным градиентом электри-
ческого напряжения, которые может выдержать кристалл. Произведенные
с ADP эксперименты показывают, что кристалл разрушается, когда отно-
сительная деформация превышает 5—10-10~Э 4. Градиент напряжения, кото-

Э В Советском Союзе разработана электроакустическая аппаратура (измеритель-

ные микрофоны, фильтры и др.) с применением кристаллов ADP. См., например, ра-
боту П. В. Ананьева [И]. (Прим, ред.)
рый может выдержать кристалл до появления пробоя, зависит от толщины
пластинки. На фиг. 58 показаны усредненные значения градиента напря-
жения, вызывающего пробой пластинки, погруженной в масло.

На фиг. 59 изображены два типа обычно применяемых преобразовате-
лей с кристаллами ADP. В четвертьволновом преобразователе пакет кристал-
лических пластинок длиной в четверть волны приклеен к тяжелой метал-
лической пластине также длиной в четверть волны (обычно между ними

Излучающая
поверхность

Излучающая
поверхность

Четвертьволновой
пакет

Малый механический
импеданс,
О

Металлическ.
четвертьвол-
новая отражаю-
щая насадка

а

Ф и г. 59. Преобразователи с кристаллами ADP.

а—четвертьволновой преобразователь; б— полуволновой преобразователь.

вклеивается керамический или пластмассовый изолятор); кристаллический
элемент излучает ультразвук со своей свободной торцевой поверхности.
Полуволновой преобразователь одним торцевым концом нагружен на низкий
механический импеданс, а другим—излучает ультразвук. Эквивалентные

Фиг. 60. Кристаллическая мозаика для подводного преобра-
зователя QJA.

электрические схемы для элементов этих типов и методы расчета их мощ-
ности, полосы частот и т. д. рассмотрены в гл. VI книги [9].

Большие преобразователи, состоящие из многих четвертьволновых
излучателей, были разработаны во время войны и использовались в воен-
номорских силах США как часть гидролокационной установки «Сонар
QJA». Передняя поверхность такого преобразователя показана на фиг. 60,
10 Мэзон
где видны 52 пакета из кристаллических пластинок, сзади которых приклеено
такое же число четвертьволновых металлических пластинок; весь набор
держится на тонкой пластине. Каждый из крайних кристаллических паке-
тов состоит из двух пластинок ADP, а внутренние—из четырех. Так как
ко всем кристаллам приложено в поперечном направлении одно и то же
напряжение, то внутренние, более тонкие кристаллы колеблются с амплиту-
дой вдвое большей, чем внешние, которые вдвое толще внутренних. Если бы
весь излучатель действовал как плоский поршень, то боковые лепестки излу-
чения получились бы только на 13,6 дб ниже основного лепестка. Для подав-
ления боковых лепестков и выбрано описанное расположение неодинаковых
по числу пластинок пакетов. На фиг. 61 показаны полученная из опыта

Фиг. 61. Теоретическая и экспериментальная диаграммы на-
правленности излучения преобразователя QJA.

Цифры на окружностях означают ослабление в децибелах по сравнению
с максимальным излучением.

и теоретическая диаграммы направленности в зависимости от угла с нор-
малью. Измеренные боковые лепестки излучения получились по меньшей
мере на 22 дб ниже основного.

Группы кристаллических пакетов разделены вертикальной осью на две
половины и имеют отдельные выводы. Каждая половина присоединена к от-
дельной высоковольтной обмотке трансформатора, низковольтная обмотка
трансформатора обеспечивает согласование импедансов с усилителями пере-
дающей и приемной схемы. Это деление преобразователя на две части сделано
для того, чтобы было возможно сравнивать фазу приходящего импульса, при-
нятого на две раздельные половины преобразователя, благодаря чему направ-
ление прихода импульса можно определить значительно точнее, чем при
помощи одной только характеристики направленности преобразователя.

Трансформаторы смонтированы внутри кожуха преобразователя. Кон-
тактом между кристаллическими пластинками и электродами служит золото.
Золото наносится на кристаллические пластинки методом испарения и на
металлизированные пластинки наклеивается позолоченная металлическая
фольга. Эта конструкция обеспечивает очень небольшое переходное элекри-
ческое сопротивление и тем самым сводит к минимуму нагревание в кон-
тактах во время посылки весьма мощных импульсов. Кристаллические
пакеты и весь излучатель поддерживаются резиновыми опорами внутри
стального кожуха. Звукопрозрачная резиновая покрышка приварена
к стальному кожуху и образует его переднюю поверхность, как показано на
фиг. 62. 1дожух со стальной оболочкой герметизирован при помощи ре-
зиновой прокладки, внутри него помещены также согласующие трансфор-
маторы. Позади стальных резонаторов, внутри кожуха, прикреплен звуко-
поглотитель, состоящий из чередующихся слоев густой проволочной сетки

Фиг. 62. Кожух преобразователя
QJA с звукопрозрачной покрыш-
кой из резины ре.

Фиг. 63. Обтекатель и по-
воротно-выдвижное устрой-
ство гидролокатора QJA.

и металлических стружек. Поглотитель предназначен для ослабления сигна-
лов, проходящих через заднюю стенку преобразователя, а также для умень-
шения отражения внутри кожуха. Верхняя часть всего преобразователя кре-
пится фланцем к литой крышке, которая прикреплена к вертикальному
стержню подъемного поворотно-выдвижного устройства (фиг. 63). Преобра-
зователь может вращаться внутри цилиндрической полости диаметром 30 см.
Весь преобразователь весит около 90 кг.

Пространство внутри преобразователя заполнено касторовым маслом,
подвергнутым вакуумной очистке от воздуха и влаги с целью повы-
шения пробивного электрического напряжения. Весь преобразователь имеет
эффективную площадь 200 см2, так что при подводимой мощности от 100 до
150 вт получается удельная мощность около 0,5 вт на 1 см2 поверхности
кристалла. Поскольку эффективность преобразования энергии кристаллами
очень высока, то в акустическую энергию превращается более 80% подводи-
мой мощности. Фронт волны, пока она доходит до передней поверхности
излучателя, расширяется, и в воде возле излучателя плотность потока
энергии оказывается значительно меньше 1/3 вт/см2, что, как известно, со-
ответствует началу возникновения кавитации в морской воде при атмосфер-
ном давлении. Было найдено, что многие жидкости, в том числе касторовое
масло, выдерживают большую плотность потока энергии по сравнению с
получающейся при расчете стационарного состояния с учетом только амп-
литуды давления. В таких жидкостях имеет место значительное сцепление

частиц, что приводит к повышению

порога кавитации при излучении ко-
ротких импульсов. Это указывает,
что подобные излучатели способны
отдавать много большую мощность.

Преобразователь монтируется в
обтекателе, и весь агрегат может
быть поднят внутрь корпуса корабля
с помощью поворотно-выдвижпого
устройства, изображенного на фиг. 63.
Подробности устройства обтекателя
показаны на фиг. 64. Передняя часть
его состоит из звукопрозрачного ли-
ста нержавеющей стали толщиной
0,45 мм, укрепленного на металличес-
кой раме. Внутри обтекателя, позади
излучателя, помещен звукопоглоща-
ющий слой, а за ним отражающий
экран, для того чтобы обеспечить
поглощение энергии, излучаемой
преобразователем назад, и для отра-
жения шума, идущего от винта
корабля. Характеристика направлен-
ности излучателя в обтекателе в ос-
новном та же самая, что и без него,
а применение обтекателя существен-
но снижает уровень гидродинамиче-
ских шумов, возникающих при бы-

стром движении излучателя в мор-
Ф и г. 64. Детали обтекателя гидролока- ской воде.

тора QJA.	Детали гидролокационной уста-

новки системы QJA описаны в ука-

занной выше работе [1]. Такие гидролокаторы широко использовались во
время второй мировой войны. В них, а также в гидролокаторах других си-
стем, очень широко применялись кристаллы ADP.

3.	Использование кристаллов ADP для получения больших перемен-
ных деформаций в металлах. Колебательная скорость частиц на конце чет-
вертвволновой и полуволновой пластинок равна

— или £ -- 3,3 • 1055м,	(8.27)

где £—амплитуда скорости частиц, v—скорость распространения продоль-
ных волн, равная 3,3-105 см/сек для 45°/-среза ADP, аАм—амплитуда отно-
сительной деформации. Максимальная относительная деформация полу-
чается в середине полуволновой кристаллической пластинки или у конца
четвертьволновой пластинки. Так как кристалл прочнее, чем большинство
склеивающих веществ, которые употребляются для прикрепления к твердым
материалам с высоким механическим импедансом, то полуволновые пластинки
можно использовать для получения более высоких колебательных скоростей
частиц, чем четвертьволновые.

Предельная скорость частиц равна около 165 см!сек, так как максималь-
ная деформация, возможная для ADP или большинства других синтетических
кристаллов, равна 5-10~4; поэтому эти кристаллы нельзя прямо использо-
вать для получения очень больших деформаций в металлах или скоростей
частиц, близких к скорости звука. Однако если к металлическому стержню,
суживающемуся как экспоненциальный рупор, приклеить кристаллический
пакет, то на узком конце можно получить очень большие деформации и очень
высокие скорости.

На фиг. 65 показана конструкция, употребляющаяся для испытания
металлов на усталость. Кристаллический пакет с поперечным сечением

Фиг 65. Металлический «рупор» для получения больших деформаций в металлическом
образце.

I равно целому числу полуволн.

в несколько десятков см2 приклеен к стальному стержню, который сужается
до толщины 0,125 см, после чего диаметр увеличивается. Сужение осуще-
ствляется по экспоненте и должно удовлетворять соотношению

. (8.28)

Величина Т определяет закон изменения площади стержня

S^-S^e-^,	(8.29)

/—резонансная частота, a v8—скорость звука в стали. Если полную длину
стального стержня сделать равной целому числу полуволн при частоте коле-
баний кристаллического пакета, то место склейки попадает в пучность сме-
щения и не испытывает разрывного усилия. Вся система действует как резо-
нансная и дает значительную амплитуду смещения при малом приложенном
напряжении. Скорость частиц стали, прилегающих к кристаллу, та же,
что и на поверхности кристалла. Можно показать, что деформация стержня
постоянного сечения в пучности (точках наибольшей относительной дефор-
мации) равна S

S = ^~,	(8.30)

US

где vs—скорость распространения звука в стали, а £—скорость частиц на
поверхности. Сужение сечения металлического «рупора» приводит к тому,
что скорость частиц изменяется обратно пропорционально диаметру. По-
этому, если диаметр уменьшается от 5 до 0,125 см, то скорость увеличивается
в 40 раз, и относительная деформация в узловой точке будет равна

5, ^ 40  ;? У;,	: (8.31)

где Ss-—деформация в стали, $с—деформация в кристалле, vc—скорость рас-
пространения волн в кристалле (3,3-105 см!сек), а —скорость распростране-
ния волн в стали (около 5,1 • 105 см!сек). При относительной деформации в кри-
сталле, равной 4 ЛО-4, можно получить в стали деформацию порядка 10'2. Это-
го достаточно для того, чтобы получить пластическую деформацию, а посте-
пенно увеличивая напряжение, действующее на кристалл, можно исследо-
вать явление усталости стали при больших деформациях и скоростях. Сле-
дует отметить, что для того, чтобы формулы преобразования оставались спра-
ведливыми, наибольший диаметр металлического рупора должен быть
меньше длины полуволны в стали при данной частоте колебаний.

Та же система может быть использована для получения больших скоро-
стей частиц на узком конце стального стержня. Ограничением служит здесь
только предельная деформация, которую может выдержать материал. Другое
использование кристаллических преобразователей состоит в получении
большой силы на малой площади узкого конца стержня. Прикрепив к узкому
концу сверло из карборунда, можно осуществить быстродействующий бур.

Установив на широком конце стержня кристаллический элемент, работаю-
щий на крутильных колебаниях, можно изучать свойства материала при
деформации сдвига. Как сказано в гл. XIV, кристалл ADP можно заставить
совершать крутильные колебания при помощи системы электродов, показан-
ной на фиг. 145. Внутренняя поверхность кристалла покрывается одним
электродом, в то время как два внешних электрода, каждый из которых
покрывает сегмент в 90°, соединены вместе и образуют второй электрод.
Средние части двух внешних электродов нормальны к оси z; поле приложено
между наружными и внутренними электродами и вызывает сдвиг одного сег-
мента в одну сторону и другого сегмента—в противоположную. Поэтому
весь кристалл испытывает крутильные деформации. Употребление кристаллов
ADP, работающих на крутильных колебаниях, для измерения сдвиговой вяз-
кости и упругости жидкостей рассмотрено в гл. XIV.

ЛИТЕРАТУРА

1.	К е 1 1 е г А. С., Trans Amer. Inst. Electr. Eng., 66, 1217 (1937). Обнаружение под-
водных лодок с помощью сонара.

2.	Busch G., Helv. phys. acta., 2, № 3 (1938). Новый сегнетоэлектрик.

3.	Matthias В., Scherrer Р., Helv. phys. acta, 16, 432 (1943). Кристалличе-
ские полосовые фильтры.

4* Френкель Я. И., Кинетическая теория жидкостей, Изд-во АН СССР, 1945.
5. Mason W. Р., Phys. Rev., 69, 173 (1946). Упругие, пьезоэлектрические и диэлек-
трические постоянные дигидрофосфата калия и дигидрофосфата аммония.

6.	В a n 11 е W., Helv. phys. acta, 15, 373 (1942). Удельная теплоемкость сегнетоэлек-
трических веществ. Диэлектрические измерения в кристаллах KD2P04.

7.	Bartschi Р.,Matthias В.,Merz W.,Scherrer P., Helv. phys. acta,
18, Fasc. 4 (1945).

8.	C a d у W., Proc. Phys. Soc , 49, 645 (1937). Продольный пьезоэлектрический эффект
в кристаллах сегнетовой соли

9.	Mason W. Р., Electromechanical Transducers and Wave Filters, N. Y., 1948.
10*. Price W. J., Huntington H. B., Journ. Acous. Soc. Amer., 22, 32 (1950).

Акустические свойства анизотропных материалов

11*. Ананьев П. В., Труды комиссии по акустике, Сборник № 6, Изд. АН СССР,
1951. Синтетические кристаллы и их применение в аппаратуре электросвязи.
Глава IX

КРИСТАЛЛЫ ЭТИЛЕНДИАМИНТАРТРАТА (EDT)
И ТАРТРАТА КАЛИЯ (DKT), ИХ СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ

§ 1.	Введение

В течение последних 10 лет в лабораториях Белла проводилось изучение
искусственных кристаллов с целью использования их в телефонии. В резуль-
тате этих работ недавно были получены два кристалла с небольшим содержа-
нием кристаллизационной воды у одного и с полным отсутствием ее у дру-
гого, принадлежащие к диэдрическому осевому классу моноклинной системы
и обладающие срезами с нулевыми температурными коэффициентами частоты,
с высокой добротностью и с высоким коэффициентом электромеханической
связи. Эти кристаллы могут вполне успешно заменить кварц в электриче-
ских фильтрах. При этом к ним предъявляются следующие требования:
сравнительно высокая стабильность по частоте и индуктивности в интервале
температур от 13 до 43°C, хорошая химическая устойчивость в условиях
повышенной влажности, низкие механические потери и, наконец, структур-
ная устойчивость кристалла, обеспечивающая отсутствие эффекта старе-
ния, т. е. постоянство частоты и электрических свойств кристалла во времени.

Эти кристаллы были открыты перед концом второй мировой войны,
когда вследствие широкого применения кристаллов кварца в приборах связи
в США ощущался острый дефицит в кварцевых кристаллах крупных разме-
ров. К концу войны большинство предприятий в США было вынуждено пе-
рейти на использование сырья в виде кусков кристаллов с весом менее 100 г.
С окончанием войны стал ощущаться недостаток в естественных кристаллах
и для установки в фильтрах. Следует заметить, что длина пластинок, требую-
щихся для фильтров, нередко достигает 5 см. Рассматриваемые в этой главе
синтетические кристаллы можно вырастить любых размеров, и, следова-
тельно, проблема получения кристаллов для использования в фильтрах
мэжет быть разрешена.

Этими синтетическими кристаллами являются этилендиаминтартрат [1]
C6H14N2O6 и тартрат калия [2] К2С4Н4О6-1/2Н2О. Кристалл EDTne содержит
кристаллизационной воды и поэтому не может обезвоживаться. Кристалл
EDT начинает расплываться, т. е. впитывать в себя воду, при влажности
воздуха более 93%, но, поскольку он изготовляется в помещениях с малой
влажностью, а затем помещается в герметически закрытый стеклянный сосуд,
это свойство не является существенным недостатком. DKT содержит одну
молекулу кристаллизационной воды на две молекулы тартрата калия, од-
нако вода прочно связана, и эксперименты показывают, что до температуры
80°С обезвоживание не наступает. Кристалл DKT расплывается при несколь-
ко более низкой влажности (около 80%), чем EDT. Из этих двух кристал-
лов DK.T более устойчив при изменении температуры, однако он медленней
растет и требует большего внимания при использовании, чем EDT. Вслед-
ствие этого первыми практическое применение нашли кристаллы EDT.
В Аллентауне (Пенсильвания) был построен завод для выращивания кристал-
лов этого типа и изготовления кристаллических элементов EDT для
фильтров.

Как указывалось недавно в работе Уокера и Комена [3], для выращива-
ния кристаллов EDT не подходит метод покачивающегося бачка, применяв-
мый для выращивания кристаллов сегнетовой соли и ADP, ввиду того
что EDT обладает гораздо более сильной тенденцией к спонтанной кристал-
лизации из раствора, чем последние два вещества. Вместо этого применяется
метод, при котором затравочные кристаллы закрепляются на кристаллодер-
жателе, совершающем вращательные колебания в пересыщенном растворе.
Это движение кристаллодержателя обеспечивает одинаковое пересыщение
раствора около растущих граней кристалла. Эксперимент показывает, что
если приостановить движение на несколько часов, то раствор около граней
кристалла становится менее насыщенным, скорость роста кристалла пони-
жается, и на гранях образуется вуаль. Вращение способствует также раство-
рению паразитических кристаллов, оседающих на дно бака, где поддержи-
вается ненасыщенная зона благодаря близости нагревательных элементов,
установленных в нижней части аппарата. Кристаллы можно выращивать,
или используя пересыщенный раствор при высокой постепенно понижаю-
щейся температуре, или в условиях постоянной температуры, непрерывно
добавляя в раствор соль. На заводе в Аллентауне применяется метод постояш
ной температуры. Температура процесса принята равной 43° С, так как
недавно было установлено, что при температуре ниже 41 ° С гидрат EDT более
устойчив и при температуре ниже 43° С он загрязняет кристалл. В начальной
стадии роста ориентировка растущего кристалла задается соответственным
образом вырезанной кристаллической пластинкой, на которой и происходит
рост естественных граней кристалла. Этого можно не делать, если исполь-
зовать для затравки уже оформившийся кристалл. Рост кристалла EDT
отличается рядом особенностей и происходит лишь на одном конце кристал-
лографической оси Ь, совпадающей с осью у.

Разработка технологии изготовления, способов монтажа, методов устра-
нения нежелательных форм колебаний и методов испытаний пластинок была
проведена под руководством Сайкса. Частично эта работа описана Пенеллом
и Гриффином [4.]

Длина используемых брусков достигает 17,5 см, площадь поперечного
сечения лежит в пределах 13—27 см2. Распиловка кристаллов производится
с помощью пилы с влажной нитью. Действие пилы основано на местном
растворении материала вдоль поверхности разреза. Пила состоит из одной
или нескольких бесконечных нитей, перекинутых через блоки и натяну-
тых в вертикальной плоскости; устройство это напоминает пилораму (фиг. 66).
Вслед за распиловкой кристаллические пластинки подвергаются грубой
шлифовке для получения плоских граней и прямых ребер и рентгеновскому
анализу для корректирования ориентации граней и ребер. Далее пластинки
доводятся до нужных размеров на шлифовальном станке с влажной лентой,
имеющем приспособления для держания кристалла. Для предотвращения
местного нагрева употребляется жидкий охладитель.

После этого начинается процесс изготовления из заготовленных пластинок
закопченных кристаллических элементов. Первый шаг состоит в протравли-
вании пластинок раствором спирта в воде для снятия поверхностных трещин.
Затем к пластинке приклеиваются четыре выводив виде проволочек. Диаметр
этих проволочек не превышает 0,2 мм, тем не менее они выдерживают на-
грузку до 3,5 кг. Их располагают попарно с двух сторон пластинки, близко
к ее середине. Затем пластинка с прикрепленными к ней проволочками по-
крывается слоем золота толщиной порядка 10~4 мм способом испарения.
После этого на ее обеих сторонах электроды разделяются пополам с помощью
пескоструйного устройства. Подгонка по частоте достигается уменьшением
длины кристалла путем подшлифовки его конца мелкой наждачной бумагой.
После подгонки кристаллический элемент устанавливают в держатель
и помещают в напаиваемый стеклянный сосуд, из которого откачивается воз-
дух (фиг. 67).
Пластинки EDT были испытаны на стабильность по частоте в течение дли-

тельного периода времени. Произведенные измерения показали, что типич-
ная пластинка EDT изменяет свою частоту в течение первого года примерно
на 4-40-10~6. Это старение вначале происходит быстро, но к концу года оно
падает почти до нуля. Такой же характер имеет изменение тангенса угла
потерь. Активное сопротивление элемента уменьшается почти вдвое по
сравнению с первоначальной величиной, но к концу года становится почти
постоянным. Разброс значений в ходе старения по частоте сравнительно

Ф и г. 66. Ниточная пила для резки крп'-тал-
ла EDT.

невелик, поэтому можно зара-
нее, еще перед подгонкой,
предусмотреть окончатель-
ную частоту данного эле-
мента.

Сравнение в диапазоне
низких частот характеристик
элементов из нового искус-

Ф и г. 67. Смонтированная пла-
стинка кристалла EDT, приме-
няющаяся в фильтрах.

ственного кристалла EDT и н.з кварца показывает, что элемент EDT прево-
сходит кварцевый и по величине индуктивности и по величине отношения
емкостей1). Элемент EDT примерно одинаков или несколько превосходит
элемент из кварца в отношении температурного коэффициента, габаритов
и характеристик- старения, но уступает в отношении механической проч-
ности и тангенса угла потерь. Однако его добротность достигает 30 000, н
она достаточна для того, чтобы удовлетворить требованиям, предъявляемым
к полосовым фильтрам в системах с высокочастотной несущей частотой.

О Здесь имеются в виду индуктивность, вносимая в электрическую цепь вследствие
реакции колеблющегося кристалла, и отношение статической емкости к емкости, вноси-
мой также вследствие реакции кристалла. См. гл. V, § 1, п. 1, формулы (5.38а) и
(5.386). (Прим, ред.)
Работы по применению кристаллов EDT в фильтрах были проведены
под руководством Д’Хидена и частично описаны Виллисом [5]. Кристал-
лические элементы EDT были использованы в фильтрах каналов контроль-
ного сигнала с частотой 56 кгц и в 12-канальной телефонной системе с высоко-
частотной несущей, где были применены фильтры, обладающие очень пло-
скими кривыми затухания в области полос пропускания и использующие

Фиг. 68. а—схема кристаллического фильтра; б—частотная
характеристика затухания, вносимого фильтром.

около 3 300 гц из всего диапазона для передачи речи в 4 000 гц. Для кабельные
и воздушных линий с высокочастотной несущей и для коаксиальных систем
используются одинаковые наборы фильтров с полосами пропускания, лежа-
щими в пределах частот от 60 до 108 кгц. В связи с бурным ростом приме
нения систем с несущей возникла потребность в новых кристаллически?
материалах. После рассмотрения всех возможных путей замены кварце
было решено перейти на использование кристаллов EDT.

Кристаллические элементы EDT обладают частотами, лежащими в пре-
делах рабочего диапазона существующих схем. Кроме того, они имеют сле-
дующие преимущества:
1.	Фильтры с пластинками EDT могут быть изготовлены практически
с теми же самыми электрическими характеристиками, что и фильтры с квар-
цевыми пластинками. Поэтому переход на применение новых кристаллов
не требует существенных изменений в схеме.

2.	Фильтры с пластинками EDT занимают не больше места, чем фильтры
с кварцевыми пластинками, благодаря чему отпадает необходимость суще-
ственной переделки аппаратуры.

3.	Открытие нового легкодоступного пьезоактивного материала обеспе-
чивает дальнейшее развитие средств дальней связи, которое лимитировалось
размерами импорта кварцевого сырья.

Ф и г. 69. Общий вид собранного фильтра.

Первоначально кристаллические элементы EDT применялись в филь-
трах каналов контрольного сигнала для регулирования усиления, дава-
емого усилителями системы. Для этой цели был использован фильтр с тремя
параллельными конденсаторами и двумя последовательными кристалличе-
скими элементами. Применение кристаллических пластинок типа А, опи-
санных в § 3 данной главы, объясняется их большой температурной ста-
бильностью и небольшими размерами.

Примерно 75% всех кристаллов для фильтров используются в фильтрах
12-канальных систем, охватывающих диапазон частот от 60 до 108 кгц.
Используемая схема, приведенная на фиг. 68,а, подобна схеме с кварцевыми
элементами, описанной в гл. VI, и отличается от нее только наличием шунти-
рующей индуктивности, включенной между двумя сбалансированными зве-
ньями фильтра, вместо индуктивностей, включенных последовательно.
В первых шести фильтрах каналов с диапазоном частот от 60 до 84 кгц при-
менены пластинки У-среза, описанного в § 3 данной главы. Пластинки этого
среза взяты вследствие их высокого коэффициента электромеханической
связи, и поэтому можно применять практически удобные величины индук-
тивностей и емкостей. Стабильность по частоте пластинок } -среза в диапа-
зоне температур от 13 до43°С примерно в 4 раза выше, чем у кварцевых
пластинок—18° Х-среза, использовавшихся ранее в этих же фильтрах. Для
шести фильтров верхнего диапазона частот электромеханическая связь
У-среза слишком велика, и, повидимому, в этом случае целесообразней при-
менить ух It, JL20,—5° срез, названный В-срезом (см. фиг. 84). Вместе с этими
фильтрами применены постоянные сопротивления для уравнивания зату-
хания во всем диапазоне частот. Три катушки индуктивности с прессован-
ными из порошкового железа сердечниками обладают хорошей стабильностью
при изменениях температуры и высокой добротностью Q. Типичная кривая за-
висимости величины вносимого затухания от частоты показана нафиг. 68, б.
Собранный фильтр изображен на фиг. 69. На фотографии видны четыре кри-
сталлических элемента, смонтированных в запаянных стеклянных баллонах,
три индуктивности и переменные емкости. Постоянные емкости и сопротив-
ления размещены под панелью.

§ 2.	Свойства кристаллов этилендиаминтартрата (EDT)

Моноклинные кристаллы характеризуются наличием двух кристалло-
графических осей а и с, не перпендикулярных друг к другу, и третьей оси Ьг
перпендикулярной к первым двум осям. Ось с направлена вдоль ребра

Фиг. 70. Связь прямоугольных
осей координат с кристаллогра-
фическими осями для моноклин-
ных кристаллов.

Фиг. 71. Ориентация плоскости
оптических осей по отношению к
кристаллографическим осям а и
Ъ для кристаллов DKT

элементарной ячейки, имеющего наименьший параметр, а ось Ъ является осью
симметрии второго порядка. При определении свойств кристаллов вычисле-
ния проще всего вести в прямоугольной системе координат. На фиг. 70 пока-
зана общепринятая ориентация прямоугольных осей координат х, у и z отно-
сительно кристаллографических осей а, b и с для моноклинных кристаллов.
Ось z совмещена с осью с, ось у—с осью Ь. Тогда ось х будет лежать в пло-
скости, перпендикулярной к оси Ь. Для DKT ось х отклонена вверх от оси а
на 51'. Для EDT угол между осями х и а значительно больше и равен 15°30'.

Оси х, у и z образуют правую систему координат. Ввиду того, что ось Ъ
(ось у) есть ось второго порядка, необходимо задать на ней положительное
направление. Это можно сделать, если определить ориентацию оптических
осей кристаллов. Моноклинный кристалл является двуосным кристаллом,
и плоскость, содержащая две оптические оси, должна быть или перпенди-
кулярной или параллельной кристаллографической оси b (оси у). Из фиг. 71,
относящейся к DKT, видно, что у этого кристалла оптические оси лежат
в плоскости, параллельной оси Ь, отклоненной на угол 21° по часовой стрелке
от кристаллографической оси с (оси г); для кристалла EDT этот угол равен
25°. Для совмещения положительной полуоси х с положительной полуосью
z ось х необходимо повернуть на 90° по часовой стрелке. Так как оеъу вместе
с осями xts.z должна образовывать правую систему координат, данное построе-
ние определяет положительное направление всех трех осей.

DKT имеет две плоскости спайности, лежащие в плоскостях, опреде-
ляемых тремя кристаллографическими осями. EDT имеет одну плоскость
спайности (001), т. е. эта плоскость содержит кристаллографические оси а и Ь.
Ни одна из этих плоскостей спайности не приводит к расслаиванию и не пре-
пятствует полировке и шлифовке кристаллов DKT и EDT обычными спосо-
бами. Плотность кристалла EDT равна 1,538 и плотность DKT равна 1,988.

Ввиду того что не все направления в кристалле эквивалентны между
собой, у различных кристаллов используются различные срезы, причем тип
колебаний связан с различной ориентацией пластинок по отношению к кри-
сталлографическим осям. Легче всего найти положения срезов с желатель-
ными свойствами, определив величину и температурные коэффициенты основ-
ных упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных кристалла.
Исходя из этих основных постоянных, можно определить свойства кристалла
в произвольном направлении, переходя с помощью поворота системы коор-
динат от основных прямоугольных осей х, ysi z к повернутым осям х', у' и z'.
Таким образом, если известны основные постоянные кристалла, можно для
заданного типа колебаний и данного материала рассчитать ориентацию среза,
имеющего минимальный температурный коэффициент частоты и большой
коэффициент электромеханической связи.

Для металлизированных пластинок, вырезанных из кристаллов несег-
нетоэлектрического типа, подобных рассматриваемым здесь, наиболее целе-
сообразно определять пьезоэлектрические постоянные, как это предложил
Фохт, исходя из соотношений, связывающих шесть компонент деформации
Si (i = 1,...6) с шестью компонентами напряжения Ti (j = l,...,6) и тремя
компонентами напряженности электрического поля Ех, Еу и Ez.

Деформации 52, 53 представляют собой удлинения вдоль осей х, у и z,
отнесенные к единице длины. Деформации А4, S5, представляют собой дефор-
мации сдвига относительно осей х, у и z, рассмотренные ранее в гл. III. Ана-
логично, напряжения Т\, Т2, Т3 представляют собой напряжения, вызы-
вающие удлинения вдоль осей х, у и z, а ТТ5, Т6—напряжения, вызываю-
щие деформации сдвига относительно осейх,уиг. Величины^, Еу, Е2 пред-
ставляют собой компоненты напряженности поля по осям х, у и z. Уравне-
ния (9.1) описывают, по Фохту, обратный пьезоэлектрический эффект для
кристаллов, относящихся к диэдрическому осевому классу моноклинной
системы:

+ 47\ + 4'Л + 4, T„ + d2lEy,

S2 = 4'12^1 + S2 2^2 + S23^3 TS2S^s + ^22^’

*$з ~ 5'1Й1 + S23^2 + SsXa 4" Ss C,	'	(9.1)

+ 4 T, + duEx + d.X,,

S„ = 4 E + 4 7\ + s” T, + sf5 Ts + d2.Ev,

~ stX4	Ta -- d16Ex + d2JE2.

Величины , ..., представляют собой 13 постоянных гибкости кристалла
и равны отношению деформации к соответственному напряжению при
условии постоянства остальных напряжений и напряженности поля. Восемь
величин <714, ..., d36 являются пьезоэлектрическими постоянными и равны
отношению деформации к соответственной напряженности поля при усло-
вии постоянства механических напряжений. Постоянные гибкости $ взяты
с индексом Е, означающим, что электрическое поле сохраняет постоянную
величину, т. е. что они измерены при постоянном поле.

Уравнения прямого пьезоэлектрического эффекта связывают компонен-
ты электрической индукции вдоль трех осей с компонентами приложенных
механических напряжений и напряженности электрического поля.

D	Ех eTq Ez

=- -4-^ + -V22- +	4- d16T6,

4л 4л 1 4л 1 а 1 1Ь °’

Z\ е Ev

= ~^Г +	+ d™T* +	+ d25Tbi	(9.2>

D ef Ez еТ Ez
^^^r+-^ + d3iTi + d3tT„

где	и т. д.—компоненты диэлектрической проницаемости при постоян-

ном напряжении Т и Dx, Dg, Dz—компоненты электрической индукции по
осям х, у и г.

Фиг. 72. Постоянные продольной гибкости кристаллов EDT в за-
висимости от температуры.

Фиг. 73. Постоянные сдвиговой гибкости кристаллов EDT в за-
висимости от температуры.

Как указывалось, все эти постоянные могут быть найдены путем изме-
рения резонансной и антирезонансной частоты и емкости при низких часто-
тах для 18 различных срезов. Этот процесс описан и иллюстрирован приме-
рами для различных кристаллов в гл. X. Результаты для кристалла EDT,
выраженные в единицах CGSE, приведены на фиг. 72—76. На фиг. 72 пред-
ставлены кривые температурной зависимости постоянных гибкости, взятых
вдоль осей; на фиг. 73 и 74—кривые температурной зависимости постоянных

Фиг. 74. Постоянные поперечной гибкости кристаллов EDT в за-
висимости от температуры.

Фиг. 75. Пьезоэлектрические постоянные кристаллов EDT в зависи-
мости от температуры.

сдвиговой гибкости; на фиг. 75—аналогичные кривые для восьми пьезо-
электрических постоянных и на фиг. 76—для четырех диэлектрических
проницаемостей.

При построении температурных зависимостей постоянных гибкости при-
шлось принять во внимание различное значение коэффициентов теплового
расширения по различным направлениям, для того чтобы исключить влияние
изменения плотности и линейных размеров пластинок и плотности. На фиг.77
приведены значения коэффициентов теплового расширения в плоскости ж, г, из-
меренные Вуд. Она же нашла, что коэффициент теплового расширения вдоль
Фиг. 76. Диэлектрические проницаемости свободного кристалла
EDT в зависимости от температуры.

40°	30°	20°	10°	0° -10° -20°	-30°	-40°

140°	150°	160° 170° ±180° -170° -160° -150°	-140°

Фиг. 77. Коэффициенты теплового расширения кристаллов EDT в
плоскости ху.

Приведенная кривая рассчитана по формуле

ab	.

Г=—	1 >

у a2 sin2 (9-70°) + b2 cos2 (9-70°)
где а=1—12,2 • Ю-6, Ь=1 +91,9 • 10 в.

Кружочками отмечены экспериментальные значения.
оси у равен 20,3-10-6 на 1°С. Таким образом, получаем для кристалла EDT
следующие значения четырех основных коэффициентов теплового расширения:

ац = 0, «22= +20,3 • 10~6,

«1з = - 32 • 10-6, «зз = 80 • 10-6.	(9,3)

Характер теплового расширения этого кристалла довольно необычен
(см. фиг. 77): в одном направлении кристалл имеет очень высокий поло-
жительный коэффициент линейного расширения (4-90- 10“6), а в направ-
лении, перпендикулярном к первому, имеет небольшой отрицательный
коэффициент (—12-10-6). Это свойство кристалла несколько затрудняет
его использование, так как он оказывается хрупким в условиях резкого
неравномерного нагрева и охлаждения. Кроме того, ограничивается быстро-
та, с которой может быть изменена температура при измерениях темпера-
турных коэффициентов. Возникают также некоторые затруднения при при-
клейке выводов к поверхности кристаллических пластинок.

§ 3. Наиболее употребительные срезы EDT, применяемые
в кристаллических фильтрах

Одно из требований к кристаллическим элементам, применяемым в филь-
трах, заключается в том, что пластинки должны совершать колебания только
одного типа и частота их должна значительно отличаться от частоты других
возможных, но нежелательных типов колебаний. Это требование может
быть выполнено при использовании продольных колебаний пластинок,
длина которых в 2—3 раза больше ширины.

Рассматривая кривые на фиг. 72, можно заметить, что постоянные гиб-
кости 4 и 4> кристалла EDT'принимают минимальные значения при 20°С;
следовательно, пластинки, длина которых направлена вдоль оси х или оси
г, будут обладать нулевым температурным коэффициентом частоты при 20°C.
Колебания в этих двух типах срезов могут быть возбуждены, если прило-
жить поле вдоль оси у, причем значения <Z2i и +з ПРИ 20°С (см. фиг. 75) равны

d21 = +34 • 10-8,
d23 = -31 • ю-8.

(9.4)

Постоянные гибкости для этих двух срезов имеют значения

4 = 3,88 • 10-12, 4 = 9,8 • 10-12,	(9.5)

а диэлектрическая проницаемость свободного кристалла для обоих срезов
равна ,

е^2 =8,22.	(9.6)

Ранее было показано, что коэффициент электромеханической связи к и отно-
шение емкостей г для кристалла, совершающего продольные колебания,
определяются формулами

7 Л Л	<1 —

к =	(9-7)

F 22

Таким образом, для рассматриваемых пластинок У-среза имеем
к = 0,215, г = 25,5 (длина пластинки взята вдоль оси х),
Л = 0,126, г = 76,5 (длина пластинки взята вдоль оси z).

Пластинка 0° У-среза с длиной, направленной вдоль оси х, обладает
высоким коэффициентом связи, мало меняющимся при изменениях темпера-
туры, малым значением отношения емкостей и сравнительно небольшим
И Мезон
изменением частоты вблизи точки с нулевым температурным коэффициен-
том. Этот срез—один из важнейших срезов для элементов, применяемых
в фильтрах. С другой стороны, 90°Т-срез с длиной, направленной вдоль оси z,
обладает низким коэффициентом связи, сильно зависящим от температуры,
и большим изменением частоты вблизи точки с нулевым температурным коэф-
фициентом. По этой причине последний срез не нашел применения в практике.

Сгруппировав основные постоянные гибкости в соответствии с уравне-
нием преобразования постоянной при повороте осей координат, имеющим
вид

'Е	ЛЕ , j2 2 /о Е , Щ , ,2 2/о Е , Е\ , О73. Е ,

$п “г (2$12 -г$вв) 4~ (2Чз 4~ $55) 4~ 2ZX^i$i6 4"

I 4 Е 1	2 2 / с\ Е j	Е \	t Q 31 Ei	k. Е ।	2?	/ Е < о Е к	/гх q v

4~ ^'1'^22 4~	(2^28 I	^41)	1	~F (2^26 4~ 2^4s)’	(9.9)

где Z1; ... п3—направляющие косинусы повернутых осей относительно прямо-
угольных кристаллографических осей х, у, и г—определяются согласно схеме

X у Z

х'
У'
z'

Zi тл пг

Z3 m3 тг3

(9.10)

можно показать, что имеется еще одно направление с нулевым температур-
ным коэффициентом. Это направление, как видно из фиг. 78, может быть най-
дено, если взять пластинку с толщиной,
+Z	направленной вдоль оси у, и с длиной—

Фиг. 78. Ориентация Л-среза кри-
сталла EDT.

вдоль Оси г, повернуть ее против часо-
вой стрелки на 45° вокруг оси у, а за-
тем повернуть против часовой стрелки
вокруг оси х на 63°. В соответствии с
обозначениями, предложенными Бондом
и принятыми Комитетом по пьезоэлек-
тричеству Общества радиоинженеров,
этот срез обозначается yz£w,45c,63°.
Первая буква обозначает направление
толщины до поворота. Вторая соответ-
ствует направлению длины до поворота.
Третья буква и первое число указывают
соответственно ось первого вращения и
величину угла поворота, измеренного
против часовой стрелки. Четвертая бук-
ва и второе число соответствуют второй
оси вращения и углу поворота, изме-
ренному против часовой стрелки1).

Направим у рассматриваемой пла-

стинки ось х' вдоль ее длины, ось у'
вдоль ширины и ось z' вдоль толщины (в правой системе координат). Тогда для
этого среза направляющие косинусы между новыми повернутыми осями x'y'z'
и прямоугольными кристаллографическими осями xyz определяются из соот-

ношений

Zx = sin ср cos 9,

77?!= —-sin 9,	= cos 9 cos ср,

2 = cos <p,

= 0,

ls = sin 9 sin cp,

m3 = cos 6,

n2 = — sin cp,
n3 = sin 6 cos cp.

(9.11)

x) Буквы w, t означают: w—направление ширины, t-—направление толщины. Кроме
того, в дальнейшем употребляется буква I—направление длины {Прим, ред.)
При этих значениях направляющих косинусов пьезоэлектрические постоян-
ные рассматриваемого среза удовлетворяют соотношению

а'12 = cos3 9 [d2i sin2 ср 4- d23 cos2 ср -j- d25 sin cp cos cp] 4-

4- sin2 6 cos 6 {d22 — [(d14 tZ36) sin cp cos cp 4-

+ cZ16 sin2 cp 4-c/34 cos2 cp]},	(9.12)

а постоянная гибкости и диэлектрическая проницаемость — соотношениям
5if — sii sin4 ? c°s4 $ + (%si2 + sfe) sin2 $ cos2 $ sin2 ? +

4- (2s$ +^5) c°s4 9 sin2 cp cos2 cp 4- 2sf5 cos4 6 sin3 cp cos cp 4- s22 sin4 6 +
4-(2sf3	) sin2 9 cos2 6 cos2<p4-	(9.13)

4- 2s$ (cos4 9 cos3 cp sin cp) 4- s^3 cos4 9 cos4 cp 4- 2 (sf5 _4~sf6) sin2 9 cos2 9 sin cp cos cp,
езз — efi sin2 9 sin2 cp 4- 2s^3 sin2 9 sin cp cos cp 4- s^2 cos2 9 4- sin2 9 cos2 cp.

Из этих уравнений для среза yz7w,45°,63°, получившего наименование
A-среза, найдем

^2=4-31,0.10-%	= 5,55 • 10-12, 8^ = 6,50.	(9.14)’

Далее, рассматривая постоянную гибкости как функцию температуры,
найдем, что ее величина мало меняется.

Характеристиками кристаллических пластинок,

представляющими наи-

больший интерес для конструктора фильтров, являются изменение резонан-

сной частоты с температурой, отношение емкостей
в эквивалентной схеме кристалла и диэлектриче-
ская проницаемость. Все элементы эквивалентной
схемы кристалла (фиг. 79)1) могут быть вычислены
по этим данным. На фиг. 80 показана зависимость
этих величин от температуры для 4-среза в интер-
вале от —80 до 4-80°С. Соответственные кривые
для У-среза даны на фиг. 81.

Пластинки 4-среза имеют более высокое отно-

Ф и г. 79. Эквивалентная
электрическая схема пьезо-
электрического кристалла.

шение емкостей (более низкий коэффициент
электромеханической связи), чем пластинки У-сре-
за, однако их частотно-температурная зависимость
более полога. Поэтому этот срез применяется, на-

пример, в фильтрах каналов контрольного сигнала для передач по
линиям на высокочастотной несущей частоте, где требуется повышенная
стабильность и более низкий коэффициент электромеханической связи. Кри-
сталл У-среза находит применение там, где требуется высокий коэффициент

связи и умеренная температурная стабильность.

Достоинство моноклинного кристалла заключается в том, что благодаря
наличию большого числа упругих постоянных увеличивается вероятность
компенсации температурного коэффициента одной постоянной коэффициен-
тами других, т. е. вероятность получения нулевого температурного коэф-
фициента частоты. Однако, вследствие наличия большого числа перекрест-
ных связей между упругими постоянными, увеличивается также вероятность
получения нежелательных связанных колебаний. Это иллюстрируется

4 Эта эквивалентная схема идентична схеме, приведенной на фиг. 13,а, за исключе-

нием того, что теперь пренебрегается активным сопротивлением 2?х. (Прим, ред.)
фиг. 82, на которой приведен спектр частот в зависимости от отношения
ширины к длине для пластинки У-среза EDT. Нижняя сплошная линия со-
ответствует основной резонансной частоте для продольных колебаний. Числа
на кривых выражают отношение емкостей при 25°С. Верхняя сплошная

Ф£и г. 80. Частотная постоянная, отношение емкостей и диэлектри-
ческая проницаемость Л-среза EDT в зависимости от температуры.

Температура, °C

Фиг. 81. Частотная постоянная, отношение емкостей и диэлектриче-
ская проницаемость У-среза EDT в зависимости от температуры.

линия соответствует связанным колебаниям по ширине, обладающим срав-
нительно сильно выраженными резонансами. Пунктирная кривая, идущая
выше кривой основной частоты продольных колебаний, относится к колебаниям
изгиба, связанным с основными продольными колебаниями через сдвиговую
связь, аналогично тому, как это имеет место для кварца. Этот эффект при
малых значениях отношения ширины к длине становится настолько значи-
тельным, что при отношениях ширины к длине меньше 0,31 и Дольше 0,5
кристалл не может быть использован. Вторая пунктирная кривая соот-
ветствует другому типу колебаний, дающему лишь незначительное мешаю-
щее действие. Кроме того, существует связь с колебаниями изгиба по тол-
щине, в результате чего при некоторых значениях отношения толщины
к длине пластинки не удается применять.

Вследствие этих ограничений нельзя получить эквивалентную схему
(см. фиг. 79) с произвольными параметрами, варьируя в широких пределах

Фиг. 82. Частотный спектр пластинки У-среза EDT в зависи-
мости от отношения ее ширины к длине.

лишь ширину и толщину пластинки, как это можно сделать в случае
кварца. Для получения такой эквивалентной схемы приходится использо-
вать более сложные ориентации, меняющие величину постоянных кристалла
без изменения его температурной стабильности. Ввиду того что в боль-
шинстве кристаллов требуется электромеханическая связь, большая, чем
может дать Л-срез, но меньшая, чем дает У-срез, следует искать модифи-
цированные ориентации вблизи У-среза.

Наиболее простая ориентация может быть получена вращением пла-
стинки вокруг направления толщины, вызывающим отклонение направле-
ния длины от оси х на угол i $°- В результате этого вращения постоянные
Температура	Частотная

нулевого коэф-	постоянная,

фиииента, °C	кгц-см

Ф и г. 83. Влияние вращения пластинки У-среза EDT
вокруг оси у на ее частотную постоянную, отношение
емкостей и температура нулевого коэффициента частоты.

Отношение емкостей

yxll,tZ0°-5*(Q-cpe3) yztw,45°,63°(A-cpe3)	ZXtw,70°50°

Ф и г. 84. Форма кристалла EDT и его наиболее употреби-
тельные срезы.
пластинки изменяются в соответствии с кривыми фиг. 83. Верхняя кривая
выражает изменение частотной постоянной при 25° С для пластинки с отно-
шением ширины к длине, равным 0,4. Эта кривая имеет отрицательный наклон.
Вторая кривая показывает изменение отношения емкостей в зависимости
от угла поворота, и нижняя—зависимость температуры, соответствующей
нулевому температурному коэффициенту. Эта величина увеличивается при
отрицательных углах и уменьшается при положительных.

Возможны также два других вращения: вращение вокруг направления
ширины и вращение вокруг направления длины. На фиг. 84 показаны
основные ориентации кристаллов, нашедших применение в фильтрах. Вра-
щение на + 10° вокруг направления ширины дает срез с характеристиками,
весьма близкими к характеристикам пластинки У-среза. Были также испро-
бованы вращения вокруг направления длины. Вращение вокруг направле-
ния длины на 20° с последующим вращением вокруг нового направления
толщины на —5° дает срез с нулевым температурным коэффициентом, со срав-
нительно хорошей моночастотностью и с индуктивностью в эквивалентной
схеме фиг. 79, примерно на 50% превышающей индуктивность схемы с кри-
сталлом У-среза. Эта ориентация показана на фиг. 84, и срезу дано обо-
значение yxlt, ± 20°, —5°. Повидимому, этот срез может найти применение
в высокочастотных полосовых фильтрах. Этот срез получил название В-среза.

§ 4.	Свойства кристаллов тартрата калия (DKT)

Основные постоянные кристаллов DKT приведены в табл. 10. Приве-
денные постоянные кристаллов DKT позволяют найти ряд представляющих
интерес срезов. На фиг. 85 показаны два среза, работающие на продольных
колебаниях (zxt>, 45° и zxt, 37,5°), и один срез, работающий на колеба-

Значения основных постоянных кристаллов DKT

Таблица 10

Пьезоэлектрическая постоянная х 108	Постоянная гибкости х 10^2, см^/дин	Диэлектрическая проницаемость	Коэффициенты тепло- вого расширения х 10®, град.“1
<Zu=-25,0	s11== + 2,24	ец=6,44	а11“ + ^2,0
гйб=Н~ 6,5	«12= -0,08	е22~5,80	$22™ 4+4,8
rf21=- 2,2	s13=-l,64	8зз—6,49	азз” 4~32,0
8,5	$15= — 0,64	е1з=0,005	а1з’“ — 12,0
С?23~ ~ Ю > 4	s22= + 3,37	р=1,988	
<725=-22,5	,,’2з— — 1,05		
^з4—+29,4	$25= -0,57		
«?36 — — 66,0	со	Со	со	Со	сс  са	ся	ео	о?  Ci	«Я	03	СЛ	W  II II	II	II	II	II  ++++++ ОО	о	Н1	О	W  сл	-	СО	ОО  <i	g	о	а		

ниях сдвига вдоль грани1). Все эти срезы обладают нулевыми температур-
ными коэффициентами частоты в области комнатных температур. На фиг. 86
приведены кривые зависимости резонансной частоты и отношения емкостей

х) См. гл. V, § 1, п. 2. (Прим, ред.)
от температуры для 45° Z-среза. Сравнивая эти кривые с кривыми для
У-среза кристалла EDT (см. фиг. 81), можно заметить, что кристалл DKT
обладает более высоким коэффициентом связи (т. е. более низким отноше-
нием емкостей в эквивалентной схеме), чем У-срез кристалла EDT, в то

АТ-срез,
Z работающий
1 на сдвиг
I L - ш

Ф и г. 85. Форма кристалла DKT и применяемые срезы с нулевым
температурным коэффициентом частоты.

Фиг. 86. Частотная постоянная, отношение емкостей и диэлектри-
ческая проницаемость 45° Z-среза DKT в зависимости от темпе-
ратуры.

время как изменение частоты в том же температурном интервале у кри-
сталла DKT приблизительно втрое меньше, чем у кристалла EDT. Можно
предполагать, что с дальнейшим улучшением методов выращивания и
обработки кристаллов эти кристаллы смогут получить применение в схемах,
где требуется высокая электромеханическая связь и низкий температурный
коэффициент.

Более высокая связь, которой обладают кристаллы EDT и DKT, по срав-
нению с кристаллами кварца также открывает новые возможности. При
такой электромеханической связи становится возможным создать полосо-
вые фильтры с шириной полосы пропускания в 3300 гц при частотах порядка
20 кгц. Кроме того, высокая связь позволяет полностью избавиться от при-
менения индуктивностей в высокочастотном диапазоне телефонного канала
и уменьшить габариты и стоимость этих фильтров. Эти возможности еще
не исследованы.

§ 5.	Применение кристаллов EDT
для стабилизации генераторов высокой частоты

В пластинках EDT могут быть^вызваны сдвиговые колебания^высокой
частоты с нулевым температурным коэффициентом при комнатной темне
ратуре. Главная грань таких пластинок (см. фиг. 84) параллельна кристал-

Ф и г. 87. Резонансная и антирезонансные частоты колебаний
сдвига по толщине для пластинки кристалла EDT.

лографическим осям а и b и совпадает с плоскостью (001). На фиг. 87 при-
ведены кривые температурной зависимости fa и /в для пластинки с разме-
рами: длина I вдоль у=1,737 см, ширина w вдоль а=0,922 см и толщина
£=0,874 мм. Резонансная частота определяется для пластинки толщиной
в 1 мм по формуле

/н =/0 [1-а2(Т-710)2] = 904 000 [1-1,21 • 10~6 (Т -10°)2],	(9.15)

где Т—температура в °C.

Величина коэффициента а2, определяющего кривизну частотной кри-
вой, значительно больше для данной пластинки, чем для пластинок из
кварца. Например, для ВТ-среза кварца, наиболее часто применяющегося
в генераторах высокой частоты, коэффициент кривизны равен

п2 = 0,042 • 10-6.

(9.16)

Таким образом, в заданном интервале изменений температуры по обе сто-
роны от точки с нулевым температурным коэффициентом изменение частоты
у пластинок EDT примерно в 29 раз больше, чем у пластинок кварца. Иначе

Фиг. 88. Частотная постоянная, отношение емкостей и температура
нулевого температурного коэффициента частоты для пластинки кри-
сталла EDT, колеблющейся по толщине, в зависимости от угла нор-
мали к пластинке с осью z.

говоря, при заданном интервале частот диапазон допустимых колебаний
температур для пластинки EDT в 1/]/"29=0,185 раз меньше, чем допусти-
мый диапазон для кварца. Эта более высокая кривизна, повидимому, харак-
терна для всех изученных до сих пор синтетических кристаллов.

Однако пластинки кварца не могут обеспечить достаточной стабиль-
ности по частоте в очень широком диапазоне температур (от—50 до +90° С),
в котором приходится применять военную аппаратуру. Поэтому часто тре-
буется применение температурной стабилизации. В этом случае допустимый
диапазон изменения температур для кристаллов EDT будет только в 5 раз
меньше, чем для кристаллов кварца, при одинаковых колебаниях частоты.
Например, если требуется стабилизировать частоты с точностью до 0,01%,
достаточно чтобы температура лежала в пределах ±9° С от номинальной.
Такая точность может быть легко получена даже при применении термостата
с регулировкой путем включения и выключения тока. Отсюда ясно, что
кристаллы EDT, колеблющиеся по толщине, могут быть применены в стабили-
зированных генераторах.

В случае применения температурной стабилизации желательно, чтобы
нулевой коэффициент лежал в пределах 70—90° С, так как тогда обеспечи-
вается работа термостата при любых окружающих условиях. Это может
быть достигнуто у кристалла EDT увеличением угла поворота пластинки
вокруг оси у. На фиг. 88 приведен график измеренных в градусах Цельсия
значений температур, при которых пластинка обладает нулевым темпера-
турным коэффициентом частоты, в зависимости от угла поворота нормали
относительно оси z. Здесь же построены кривые отношения емкостей и частот-
ной постоянной, отложенной на графике в кгц  мм. Для больших углов
поворота электромеханическая связь становится очень большой, вследствие
чего разность между резонансной и антирезонансной частотами резко воз-
растает. Это свойство пластинок EDT широко используется в частотно-
модулированных генераторах, так как оно допускает большие отклонения
величины резонансной частоты. Применяя температурную стабилизацию,
можно поддерживать среднюю частоту постоянной при значительной глу-
бине модуляции по частоте.

Толщина кристаллической пластинки легко может быть доведена до
% мм, что соответствует резонансной частоте примерно 2,7 мггц. Ввиду на-
личия высокой электромеханической связи, третья и пятая гармоники дости-
гают значительной амплитуды и позволяют получить частоту в 13,5 мггц.
Отсюда видно, что кристаллы EDT вполне могут найти применение для ста-
билизации генераторов.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Mason W. Р., Proc. Inst. Rad. Eng., 35, 1005 (1947). Новые синтетические пьезо-
электрические кристаллы с низким температурным коэффициентом для использо-
вания в фильтрах и генераторах.

2.	Mason W. Р., Phys. Rev., 70, 705 (1946). Свойства моноклинных кристаллов.

3.	Walker А. С., Kohman G. Т., Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 67, 565 (1948).
Выращивание кристаллов этилендиаминтартрата.

4.	Griffin J. P., Pennell E. S., Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 67, 557 (1948).
Конструирование и свойства кристаллических элементов из этилендиаминтартрата.

5.	W i 11 i s Е. S., Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 67, 552 (1948). Кристаллические
фильтры с применением этилендиаминтартрата вместо кварца.
Глава X

ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ

НЕКОТОРЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ

В литературе, посвященной пьезоэлектрическим кристаллам, опубли-
кованы полные или частичные данные о свойствах ряда кристаллов, главным
образом тех, которые нашли специальные применения. Между тем данные
о свойствах многих кристаллов, для которых были сделаны неполные измере-
ния или которые не нашли специального применения, до настоящего времени
не опубликованы. Представляется целесообразным дать сводку всех изме-
ренных свойств, так как на основании этих данных может быть обнаружено,
какие типы химических соединений и кристаллических структур приводят
к сильной электромеханической связи, низкому температурному коэффициен-
ту и к интересующим нас значениям других связанных с ними величин.
Для удобства рассмотрения кристаллы сгруппированы по классам, посколь-
ку к кристаллам одного класса применимы одинаковые методы измерения.

§ 1. Исследования свойств кубических кристаллов
(хлората и бромата натрия)

Недавно были довольно подробно исследованы [1] свойства двух кристал-
лов, принадлежащих к тритетраэдрическому классу кубической системы (сим-
метрия 3/2). Так как структура этих кристаллов хорошо известна, то изучение
их свойств проливает некоторый свет на молекулярный механизм пьезоэлек-
тричества. Этими двумя кристаллами являются хлорат й бромат натрия.

Первые измерения пьезоэлектрической постоянной хлората натрия были
сделаны еще в 1893 г. Поккельсом, который получил для пьезоэлектрической
постоянной cZ14 значение 4,84 • 10"8 ед. CGSE. Фохт [2] измерил упругие посто-
янные хлората натрия и пришел к заключению, что при растяжении кристалл
расширяется, т. е. имеет отрицательный коэффициент Пуассона. Это заклю-
чение не подтверждается измерениями, описанными в настоящей книге.
Недавние работы Бхагавантама и Сурганарайона [3], воспользовавшихся
для измерения упругих постоянных пьезоэлектрическим клином, также
указывают на ошибку Фохта.

Изучение кристаллической структуры хлората натрия [4] показало, что
его элементарная ячейка содержит четыре молекулы (фиг. 90). Каждая его
молекула состоит из трех ионов кислорода, расположенных в вершинах рав-
ностороннего треугольника, как показано на фиг. 89, с расстоянием между
центрами атомов в 2,38А._ Ион хлора расположен на 0,48 А выше плоскости
кислородных ионов на линии, проходящей через центр тяжести ионов кис-
лорода. Ион натрия лежит над ионом хлора на расстоянии 6,12 А. Ион
натрия сильно отдален от иона хлората С1О3, и представляется возможным,
что последний, действуя как диполь, обусловливает зависящую от температу-
ры часть диэлектрической проницаемости. Этот диполь образован положитель-
ным зарядом хлора и центром тяжести отрицательных зарядов кислорода.
Температурные измерения показывают, что этот диполь является диполем
вращения, получающимся при фактическом повороте на весьма малый угол
плоскости, в которой лежат три иона кислорода и ион хлора. При низкой
температуре диполь колеблется очень мало, но при более высоких темпера-
турах приобретает большую свободу движения, и при точке плавления
кристалл приближается к сегнетоэлектрическому состоянию.

Все постоянные кристаллов хлората натрия можно измерить при помощи
пластинок трех различно ориентированных срезов. Это следует из уравнений

Na-^Q—г

2 38

Фиг. 89. Расположение ионов натрия,
хлора и кислорода в молекуле хлората
натрия.

Фиг. 90. Структура хлората
натрия.

пьезоэлектрического эффекта для кубических кристаллов:

*$1 •— $11Т1 + $12^2 4~ s12^3>
t

«У2 — 8-^Т 1 4“	+ S12^3>

£3 = S^Ti-j- $12Г2 ~F 5ц?1з,

S5 = 4 Л+

<S6 = Т„ 4- dyiEz,

х 4^

 ЕУ

. Dz

4 тс

л 11

4 л

ЕУ^

4л

(10.1)

Ь duT,



^ZST

В эти уравнения входят три постоянные гибкости, одна пьезоэлектрическая
постоянная и одна диэлектрическая проницаемость.

Все три пластинки вырезаются перпендикулярно к одной из трех экви-
валентных кристаллографических осей, которую мы условно обозначим
осью z. Длина одной пластинки направлена под углом 45° к двум другим осям,
длина второй—под углом 22,5° к одной из осей, длина третьей.—вдоль одной
из кристаллографических осей. В пластинках двух первых срезов возбуж-
даются продольные колебания на основной частоте; их длина берется боль-
шой по сравнению с шириной и толщиной, так что из измерений непосред-
ственно определяется без поправок постоянная гибкости s^- Направляющие
KOCBiivcbi для этих двух срезов равны

X ' у	Z

х'	Z1 = cos6	sin9	/г1 = 0

у'	l2= — sin	9	m2 — cos 6	п2 = 0

z'	Z3 = 0	m3 = 0	n3 = l

(10.2)
Поэтому из уравнений (5.67) находим, что постоянная гибкости и пьезо-
электрическая постоянная d'^ определяются равенствами

s'f = (cos4 6 Ц- sin4 0) -j- (2s12 + s® ) sin2 9 cos2 9,

d'sl = c/36 sin 9 cos 9 = cZ14 sin 9 cos 0, так как d36 — dxi.

При помощи третьей пластинки с длиной, направленной вдоль оси х, толщи-
ной, направленной вдоль оси z, и шириной, направленной вдоль оси у, опре-
деляется постоянная сдвиговой гибкости s44. Длина этой пластинки была
взята примерно в 6 раз больше ширины, поэтому при измерении основной
частоты колебаний сдвига постоянная гибкости s44 определяется из формулы

= (2/^)2 Р ’	(10-3)

где lw—ширина, р—плотность, /д—резонансная частота. Точнее всего постоян-
ную можно определить, используя высшие гармоники и деля частоту
резонанса на гармонике на ее номер.

В табл. 11 приведены экспериментальные значения отношения &f]fR
fA—fR, где Jr—резонансная частота, fA~антирезонансная частота)
и значения диэлектрической проницаемости, измеренные на частоте 1000 гц.

Таблица 11

Результаты измерений для трех срезов кристалла хлората натрия

Темпера- тура, °C	Частотная постоянная, кгц-см			д flfR  для 45° Z-среза	Диэлектрическая проницаемость свободного кристалла  S11
	22,5° Z-срез (1 под углом 22,5сн оси х)  1 = 20,13 мм lw=2,69 »  =1,00 »	45° /“Срез (1 под углом 45° к оси х) 1 = 20,38 мм Zw=2,71 » lt =1,01 »	0° Z-срез  (1 вдоль оси х) 1 = 29,90 мм lw^=6,02	»  1г =1,01	»		
28	193,2	181,8	108,6	0,000281	5,76
40	192,2	180,9	108,3	0,000317	5,8
75	190,2	179,3	108,2	0,000393	5,94
100	187,2	177,2	106,2	0,000465	6,05
130	183,4	173,5	104,2	0,000584	6,21
140	182,3	172,5	103,8	0,00065	6,27
150	181,3	171,3	103,1	0,000725	6,34
160		170,3	102,5	0,000807	'6,41
170	178,6	169,2	102,0	0,000894	6,49
180	177,5	168,3	101,2	0,00098	6,57
190	176,1	167,1	100,4	0,00115	6,70
200	175,1	166,2	99,9	0,00134	6,81
210	173,1	164,5	99,1		
220	172,2	163,3	98,3		
230	170,3	161,3	97,2		
240	168,5	160,2	96,2		
По этим данным, считая плотность хлората натрия р равной 2,49 (при
28° С), можно вычислить его упругие и пьезоэлектрические постоянные для
температуры 28°С. Резонансная частота продольных колебаний дается фор-
мулой

где I — длина пластинки, которая предполагается длинной и тонкой. Отсюда
получаем

Zf — 2,69 • 10-12 см2/дин	для 22,5° Z-среза,

-Е	(10-5)

= 3,045 • 10-12 см2,/дин для 45° Z-среза.

Так как

(cos4 9 4- sin4 9) 4- (2^12 4-	) sin2 9 cos2 9,

то, подставляя 9 = 22,5° и 9 = 45°, имеем

s^22 5° = 0,75su, 4- 0,125 (2s12 4-Su),

’	e	(Ю.6)

$u 45® — 0,5^1Х 4-0,25 (2s124- s44 )•

Разрешая эти уравнения относительно и (2s124-$^), находим

Sii = 2$'f29 ,0—	= 2,335 • 10-12 см2/дин,

(2^ + sf.) = 6S;f45.^4sJ22 5. = 7,51  10~1г см^/дин.

Величина s,t может быть получена из данных для 0° Z-среза хлората натрия.
Формула (10.3) дает

$f4 = (2 Л08б00)2.'2,49 = 8>54 ‘10-12 см2/дин-	(Ю.8)

Отсюда имеем

sE = (7,51-8,М). 10-ia__Oj5i5.10-12 см^/дин.	(10.9)

Коэффициент Пуассона равен

о= ~^ = ^4Й = О,22.	(10.10)

Ьц	у ООО

Итак, коэффициент Пуассона положителен и имеет обычную велцчину в про-
тивоположность измерениям Фохта, получившего отрицательное значение,,
равное —0,51.

Значение пьезоэлектрической постоянной может быть получено по изме-
рениям диэлектрической проницаемости, постоянной гибкости 45-градусного
среза кристалла и интервала между резонансной и антирезонансной часто-
той. Согласно формуле (5.33), коэффициент электромеханической связи равен
—	^31

1/S

V 4т.

и может быть рассчитан по значениям величины (/А—/й) //д = Д///в,
приведенным в пятом столбце табл. И. Из приближенного равенства (5.36)

получаем

/с2 = 0,000694, к = 0,0264.

(10.11)

Используя также значения

4=5,76, S;f45. = 3,045- 10~13,
получаем

«?з1 = ^ = 3,05 • 10~8ед. CGSE, г/14 6,1 • 10-8.	(10.12)

Это немного больше, чем полученное Поккельсом значение 4,84 • 10~8.

С повышением температуры изменяются длина и плотность образца.
Поэтому, если нужно произвести точные измерения упругих постоянных

Фиг. 91. Тепловое расширение хлората и бромата натрия.

По оси ординат отложено относительное удлинение по сравнению с размера-
ми при 25 С.

в широком диапазоне температур, необходимо принять в расчет коэффициент
теплового расширения. Измерения коэффициента теплового расширения
были проделаны в довольно широком интервале температур при помощи
оптиметра, смонтированного на раме из плавленого кварца. Коэффициент
измерялся по изменению длины образца сравнительно с длиной подобной же
пластинки из плавленого кварца. Для хлората и бромата натрия резуль-
таты показаны на фиг. 91 и в табл. 12.

'	Таблица 12

Вещество	Коэффициент теплового расширения (106-AI/Z), град-1			Д1/г=а(О-25)+Ь(й-25)2	
	от—40 до 0°	от 0 до 50°	от 50 до 90°	105-а	108. ь
Бромат натрия ....	37,5	39,2	41,7	3,94	1.0
Хлорат натрия ....	40,8	43,4	45,2	4,36	3,6
Так как резонансная частота пластинки определяется равенством

1

а частотная постоянная равна/с = fRl0, где 10—длина пластинки при 25° С, то
постоянная гибкости находится по формуле

11 Z / V

(2/ov) р

1

{2/0 [1 + а (0 — 25)]}2

-------------=	(Ю.13)

[1 + а(0—25)]3	'Z'0' Ро

где а—линейный коэффициент теплового расширения, который для куби-
ческого кристалла одинаков по всем направлениям, а 0—температура в °C.

Фиг. 92. Зависимость постоянных гибкости хлората натрия от
температуры.

Принимая в расчет эту поправку, получим значения постоянных гибкости
хлората натрия, представленные на фиг. 92. При приближении к точке
плавления (264° С) эти постоянные гибкости, особенно постоянная сдвиговой
гибкости, растут с температурой быстрее. Соответствующие кривые для
бромата натрия даны на фиг. 93. Точка плавления у этого кристалла лежит
вблизи 420° С, поэтому его постоянные гибкости зависят от температуры
линейно вплоть до 200° С. Это обстоятельство наводит на мысль, что кри-
сталлы бромата натрия можно использовать в качестве термометра, для
чего частоту генератора, стабилизированного кристаллом бромата натрия,
достаточно сравнить с частотой генератора, стабилизированного кристал-
лом кварца.

Было найдено, что с увеличением температуры диэлектрическая прони-
цаемость и пьезоэлектрическая постоянная тоже возрастают. При 200° С
начинает сказываться уменьшение сопротивления утечки кристалла, а при
210° С и выше оно падает настолько, что измерение диэлектрической прони-
цаемости и антирезонансной частоты становится ненадежным. Кривая удель-
ного сопротивления в зависимости от температуры дана на фиг. 94. При
245° С удельное сопротивление делается настолько малым, что ощутимого
пьезоэлектрического эффекта не было получено, а при точке плавления
(263°С) сопротивление становится меньше 1000 ом-см. Это указывает на то,
что с приближением к точке плавления кристалл сильно ионизируется, т. е.
большое число ионов хлората отделяется от ионов натрия. Это свойство

Фиг. 93. Зависимость постоянных гибкости бромата натрия'от
температуры.

обычно для ионного кристалла. Типичная для кристаллов логарифмическая
зависимость сопротивления от величины i/T объясняется дефектами кристал-
лической решетки. В решетке существуют незанятые узлы («дырки»), и ионы
кристалла могут передвигаться внутри кристалла, перескакивая в незаня-
тые узлы и оставляя позади себя дырки в структуре. При перескакивании
с одного места на другое ион должен преодолеть энергетический потенциаль-
ный барьер W. Приложенное поле для этого недостаточно сильно, поэтому,
чтобы ион мог передвинуться из одного положения в другое, требуется изве-
стное накопление тепловой энергии. Вероятность изменения положения
в отсутствие внешнего поля равна

а = Се1у/*г,	(10.14)

где W—высота потенциального барьера, называемая энергией активации,
к—постоянная Больцмана, Т—абсолютная температура. Если приложено
поле, то в направлении поля перемещается большее количество ионов, чем
против него. Среднее количество переносимых ионов, умноженное на вели-
чину заряда одного иона, дает ток утечки, как это было разобрано в гл. VIII.
Тот факт, что на кривых зависимости сопротивления от температуры обычно
бывает два разных наклона, следует отнести за счет двух разных механизмов
Температура, °C

Фиг. 94г Удельное сопротивление хлората натрия
в зависимости от 1/71.

Фиг. 95* Диэлектрическая проницаемость хлората и бромата натрия
в зависимости от температуры.
проводимости, соответствующих разным энергиям активации и разным
постоянным С (см. фиг. 94).

В табл. 11 приведены температурные зависимости отношения Д///д для
45°/-среза хлората натрия и диэлектрической проницаемости свободного
кристалла, измеренной на частоте 1000 гц. Зависимость от температуры
диэлектрической проницаемости хлората и бромата натрия показана графи-
чески на фиг. 95. Температурная зависимость диэлектрической проницае-
мости хлората натрия может быть выражена эмпирической формулой

е __ 4 7 ।	310	_	6750	/ л q л г \

’	320—0	(32О — 0)2 ’	'	'

где 0—температура в °C. Формула показывает, что имеется часть диэлектри-
ческой проницаемости, равная 4,7, независимая от температуры, и другая

Фиг. 96. Пьезоэлектрическая постоянная d14 и ее обратная величина 1/с?14
для хлората и бромата натрия в зависимости ат температуры.

часть, которая меняется с температурой и становится большой с приближе-
нием температуры к 320° С. Первая часть обязана своим происхождением
электронной и ионной поляризации, вторая, зависящая от температуры,
вызывается изменением дипольной поляризации. В случае бромата натрия
для аналитического представления кривой достаточно одного переменного чле-
на, так как измеренные величины взяты значительно ниже точки перехода.

= = 4.87 + ЖВёГ	(Ю.16)

По значениям A///R из табл. 11 могут быть определены температурные
зависимости постоянной гибкости для 45°/-среза, диэлектрической прони-
цаемости свободного кристалла и пьезоэлектрической постоянной хлората
натрия. Значения пьезоэлектрических постоянных для хлората и бромата
натрия в зависимости от температуры изображены на фиг. 96. Если нанести
значения 1/с?14 для этих двух кристаллов, то оказывается, что они ложатся
на прямые, как показано штриховыми линиями на фиг. 96. Продолженная
прямая 1/cZ14 для хлората натрия достигает нуля (с?14 обращается в бесконеч-
ность) около 320° С; для бромата натрия эта температура оказывается близ-
кой к 415° С. Как было показано в гл. VII и VIII, высокое значение пьезо-
электрической постоянной <714 означает, что кристалл приближается к точке
Кюри, в которой диполи достаточно свободны, для того чтобы они могли взаим-
но ориентировать друг друга и тем самым вызвать спонтанную поляризацию.
Эти температуры несколько выше точки плавления, при которой ионы сво-
бодно перемещаются поступательно; это указывает на то, что диполи возни-
кают благодаря фактическому вращению иона хлората, так как иначе непо-
нятно, почему точка Кюри столь близка к точке плавления.

Сильное изменение пьезоэлектрической постоянной и диэлектрической
проницаемости с температурой позволяет произвести некоторые расчеты
для выяснения причин возникновения пьезоэлектрического эффекта. Восполь-
зовавшись различными формами записи уравнений пьезоэлектрического
эффекта, можно установить связь между пьезоэлектрическими напряжениями
и напряженностью электрического поля или электрической индукцией I)
или связь между пьезоэлектрическими деформациями и напряженностью
электрического поля или электрической индукцией. Для кубического кри-
сталла эти уравнения имеют вид

*$в ~~ see ^6 Д' ^зв^г, *$6 — S86 ^6 + §36$:

^6 — свб ^6	е36^2,

=	где = и =	(10.17)

Если вычислить постоянные d14, е14, g14 или Л14, которые связывают соответ-
ственно пьезоэлектрическую деформацию с напряженностью электриче-
ского поля, пьезоэлектрическое напряжение с напряженностью электри-
ческого поля, пьезоэлектрическую деформацию с электрической индукцией
и пьезоэлектрическое напряжение с электрической индукцией, то окажется,
что все эти величины зависят от температуры. Наименее зависимой является
Л14—отношение пьезоэлектрического напряжения к электрической индукции.
Однако, если выделить часть электрической индукции, а именно дипольную
поляризацию, и найти отношение пьезоэлектрического напряжения к диполь-
ной поляризации, то получим величину/14, постоянную в пределах ошибок
эксперимента и для хлората и для бромата натрия. Электрическая индук-
ция равна

®£.=.8г=А+рг+рж ,	(10.18)

47t z 4^ 1 о 1 zd’	4	'

где Рч—электронная и ионная поляризация, a PZd—дипольная поляриза-
ция. Так как поляризация Р2о не зависит от температуры и механических
напряжений и пропорциональна полю, то можно написать

> =	+4-Х») + Р^, = ^+P;d,	(10.19)

где е0—часть диэлектрической проницаемости, не зависящая от температуры
и деформаций. Вводя это выражение в уравнение (10.17), получим соот-
ношение, устанавливающее связь между пьезоэлектрическим напряжением
и электрической индукцией:

Л2 £ CS

где с*„ =	+	'“°'”-

4Л (s — Sq)
v зз '

И

h eS

=	(Ю.20)

— Sa
Вычислив величину/14 для хлората и бромата натрия, найдем, что в пределах
ошибок эксперимента она постоянна и равна 9 • 104 для хлората и 18 • 10*
для бромата натрия. Постоянство этих величин означает, что поворот диполя
на малый угол (пропорциональный дипольной поляризации) вызывает напря-
жение в решетке кристалла, которое искажает последнюю и вызывает пьезо-
электрическую деформацию. Так как упругость зависит от температуры,
то отношение результирующей деформации к дипольной поляризации не
столь постоянно, как отношение напряжения к дипольной поляризации.

Используя дипольную пьезоэлектрическую постоянную, можно полу-
чить эквивалентную электрическую схему, учитывающую диэлектрическую
jS
проницаемость е0? дипольную диэлектрическую проницаемость sd, связь
между дипольной поляризацией и пьезоэлектрическим напряжением и по-
стоянную гибкости. Для низких частот эта схема изображена на фиг. 97,а.



Фиг. 97. Эквивалентная электрическая схема пьезоэлектрического
кристалла, учитывающая влияние дипольной связи.

а—схема для низких частот; б—схема для высоких частот.

Здесь е0/4тс соответствует емкости кристалла объемом 1 см3, обусловленной элек-
тронной и атомной поляризацией, величина же sd/4~ соответствует емкости
кристалла объемом 1 см3, обусловленной дипольной поляризацией. Комби-
нация из трех взаимных гибкостей См, из которых две положительные, а одна
отрицательная, изображает связь между электрическими и механическими
свойствами кристалла. Так как заряд на конденсаторе sd/4u соответствует
дипольной поляризации для зажатого кристалла, когда механические дефор-
мации появиться не могут, то диэлектрическая проницаемость в данном слу-
чае является проницаемостью зажатого кристалла и обозначается е®. Постоян-
ная гибкости, изображаемая конденсатором Се, является отношением дефор-
мации в отсутствие дипольной поляризации P2d к приложенному напря-
жению Ту. Написав соотношение (10.20) для продольно колеблющейся пла-
стинки, имеем

где

Для 45°2-среза /г31==Л14 и /31 = /14.Если кристалл зажат (т. е. в пластинке
с гибкостью Се^1/С^ смещений не происходит), то сила (электрическое
напряжение, приложенное к емкости, эквивалентной взаимной гибкости)
равна

Pz

( ~'^~}==~rJL = PzJ31> следовательно, J—=	(10.22)

Последнее звено цепи, содержащее Се, является механическим, и заряд
на конденсаторе Се, если равно нулю, выражает деформацию кристалла,
возникшую под действием приложенного поля. Если Тг равно нулю, то
полная емкость, измеренная с электрической стороны, равна

где

^0	,	1

4 к 4к

4те*

ео
4тс

(10.23)

.8

so । zd

1 4тс(1—

есть дипольный коэффициент электромеханической связи и представляет
собой долю электрической энергии в дипольном звене, проявляющуюся
в механической форме. Дипольная диэлектрическая проницаемость при
нулевом механическом напряжении есть дипольная диэлектрическая про-
ницаемость при постоянной деформации, деленная на (1—к%).

Если определить квадрат коэффициента электромеханической связи
как квадрат отношения энергии, проявляющейся в механической форме, ко
всей электрической энергии, подведенной к кристаллу, при постоянном
электрическом напряжении, то коэффициент электромеханической связи
будет определяться равенством

£Sa.2

АА где Ss = 8o + es_	(10.24)

£ -£o*d

Если дипольная диэлектрическая проницаемость мала по сравнению с элек-
тронной и атомной, то коэффициент электромеханической связи мал по срав-
нению с дипольным коэффициентом связи. Эти величины были определены
для четырех кристаллов. Результаты измерений даны в табл. 13.

Таблица 13

Вещество	/31	c*	4	kd	ss	it
KH2PO4(KDP)		3,2-10*	1,70-1011	17,4	0,114	21,9	0,105
NH4H2PO4(ADP) ....	16-10*	1,85-Ю11	9,7	0,332	15,7	0,285
‘NaClOg		9-104	4,3-Ю11	1,0	0,039	5,70	0,017
NaBrO3 		18-104	4,2-Ю11	0,83	0,072	5,70	0,028

Из таблицы видно, что для разных кристаллов дипольная постоянная
/31 различна, причем между наибольшим (для бромата натрия) и наимень-
шим (для дигидрофосфата калия) значениями /31 различие в 6 раз. Послед-
ний столбец таблицы содержит значения коэффициента электромеханической
связи, измеряемого долей полной приложенной электрической энергии,
проявляющейся в механической форме при статических условиях. Для хло-
рата и бромата натрия эта величина мала, так как электронная и ионная
поляризация сравнительно с дипольной велики, поэтому только небольшая
часть полной входной электрической энергии идет здесь на ориентировку
диполей. Дигидрофосфат калия, имеющий малую дипольную пьезоэлектри-
ческую постоянную, имеет большой коэффициент электромеханической
связи потому, что дипольная поляризация составляет около 3/4 полной поля-
ризации, в то время как для хлората натрия она составляет только Vs пол-
ной. Дигидрофосфат аммония имеет большой коэффициент связи, потому
что больше 50% полной поляризации составляет дипольная; кроме того,
дипольная пьезоэлектрическая постоянная велика.

Чтобы схему на фиг. 97,а сделать пригодной для высоких частот, в слу-
чае кристалла, свободного с обоих концов, последовательно с СЕ и См при-
бавляется масса, равная Vs массы кристалла, а для того чтобы принять в
расчет изменение гибкости Се с частотой, последняя умножается на 8/и2.
Множитель 8/и2 употребляется при частотах, близких к первому резонансу.
Соответствующая эквивалентная схема показана на фиг. 97,6.

§ 2. Исследования свойств тригональных кристаллов

1. Свойства кристаллов декстрозы—хлорида натрия, декстрозы—броми-
да натрия и декстрозы—иодида натрия. Кристаллы декстрозы—хлорида нат-
рия, декстрозы—бромида натрия и декстрозы—иодида натрия кристаллизуют-
ся в классе кварца, поэтому интересно получить ответ на вопрос, обладают
ли кристаллы, принадлежащие к одному классу, сходными свойствайи, напри-
мер похожим температурным коэффициентом частоты? Низкий или нулевой
температурный коэффициент частоты для кварца возможен благодаря тому,
что модуль сдвига с66 имеет положительный температурный коэффициент
и при изменении ориентации пластинки положительный коэффициент может
быть скомпенсирован обычным отрицательным коэффициентом.

Измерения, проделанные для вышеуказанных кристаллов, показывают,
что для них температурный коэффициент частоты при сдвиговых колебаниях
высок и отрицателен. Таким образом, кристаллы, принадлежащие к одному
классу, не всегда имеют один и тот же тип температурного коэффициента.
Пьезоэлектрические постоянные у этих кристаллов имеют тот же порядок,
что и у кварца, все упругие постоянные имеют высокие отрицательные темпе-
ратурные коэффициенты, и значения Q относительно низки. Поэтому данные
кристаллы едва ли будут иметь практическое значение.

Чтобы измерить постоянные для кристаллов рассматриваемого класса,
берут четыре косых Х-среза с толщиной, направленной вдоль оси х, а напра-
вление длины этих срезов выбирают так, что оно образует угол в пределах
от —30 до +60° с кристаллографической осью у. Кроме того, берется У-срез,
для которого измеряются собственные частоты при колебаниях сдвига
вдоль грани и по толщине. Полученных данных достаточно для определения
всех шести упругих и двух пьезоэлектрических постоянных и одной из ди-
электрических проницаемостей. Для определения другой диэлектрической
проницаемости пластинка вырезается нормально к оси г. Так как полем,
направленным вдоль оси г, пьезоэлектрические колебания не возбуждаются,
то для этого направления можно измерить только диэлектрическую прони-
цаемость.

Рассматриваемые кристаллы принадлежат к классу кварца, поэтому
соотношения для упругих и пьезоэлектрических постоянных и диэлектриче-
ской проницаемости те же самые, что были приведены в системе уравнений
(6.1). Для длинных и тонких пластинок четырех косых Х-срезов, толщина
которых направлена вдоль оси х, уравнения пьезоэффекта записываются
в виде

D sT

С2^-d'12Ex, Ьх-=Ех-[-d'12T2,	(10.25)

поскольку для такой пластинки все напряжения, исключая 71', равны нулю.
Для пластинки, длина которой повернута на положительный или отрица-
тельный угол 9 по отношению к кристаллографической оси у, имеем

s'% _ cos4 9 -f- $зз sin4 9 — 2$® cos3 9 sin 9 + (2$13 + $® ) sin2 9 cos2 9,

—	(1 + cos 29) + cZ14 sin 29

(10.26)

2

Эти соотношения получены из уравнений (5.67) с помощью следующих зна-
чений направляющих косинусов:

x

x'

У’

z'

У

z

= 0 т1 — cos 9 nr — sin 9

Z2 - 0	m3 = — sin 9 n2 = cos 9

l3 = 1	m3 = 0	n3 = 0

(10.27)

Заметим, что для кристаллов рассматриваемого класса $22 — $и, $23 = $1з>
$24 =—cZ12 =—с?ц. Угол 9 между направлением длины пластинки и
кристаллографической осью у в этих уравнениях измеряется против часовой
стрелки.

Результаты измерений для декстрозы — бромида натрия приведены
в табл. 14.

Таблица 14

Результаты измерений для различно ориентированных пластинок
декстрозы—бромида натрия, колеблющихся по длине

Срез		Размеры, мм			Резонанс- ная часто- ” >1!, гц	Антире- зонансная частота fA, гц	Отно- шение емко- стей Т	.Коэф- фици- ент связи 1с	Ем- кость кри- сталла, пф	Диэлек- трическая проницае- мость Т
		1	1  W	lt						
-30°	ДГ-срез . .	4,38	1,28	0,96	371280	—>	—	-  —*	,—	—.
0°	ДТ-срез . .	9,13	2,95	0,975	177500	178990	182,5	0,082	1,0	4,1
+30°	ДГ-срез . .	9,89	2,70	0,99	158600	158972	213,0	0,0765	1,0	4,0
4-60°	ДГ-срез . .	9,98	2,95	1,01	163240	163338	832,0	0,0385	1,1	4,0

Срез		Сопротив- ление при резонансе, ом	Доброт- ность  Q	Частотная постоянная / , ъгц • см м	Постоянная гибкости S22X1°12’ СМ% [дин	Пьезоэлек- трическая постоянная d'2 Х108, ед. CGSE	Температур- ный коэф- фициент частотых х 1 Об, град.-1
-30°	Х-срез . .	—•	—-	162,5	5,62	—	— 186
0°	ДГ-срсз . .	38 000	3900	161,5	5,69	11,0	-328
+30°	ДГ-срез . .	100 000	5280	156,5	6,06	10,62	-285
+60°	ДГ-срез . .	115 000	5500	163,1	5,56	5,13	-210

По этим данным, зная плотность р= 1,69, с помощью формул (10.26)
можно определить часть упругих и пьезоэлектрических постоянных. Вели-
чина $^ определяется непосредственно из данных для 0°Х-среза и равна
5,69 • 10~12. Так как член в выражении для $14 меняет знак при переходе
от положительных углов к отрицательным, то имеем

S	— S

= 22 -.30° 23+зо_° = 0,34 • 10~12.	(10.28)
Остальные две постоянные, входящие в уравнения (10.26), могут быть
получены из измерений с другими срезами и определяются формулами

*'зз — $п + 0,43s14 + ^22бо°——"° ' 2--------^-^=5,23- 10~12,	(10.29)

(2«13 + «44) = 3 (sr22 3 00 4-s<,2_300) — 0,662s22eoo —3,31j?n —0,142s14 -= 12,6 - 10-i2.

Используя второе из уравнений (10.26) и значения сГ12, приведенные
в табл. 14, находим

du- -11,0 • Ю-s, = -5,4 • 10-8.	(10.30)

Эти величины несколько больше, чем для кварца, но из-за значительно
большей гибкости коэффициент связи к ниже, чем у кварца.

Чтобы получить остальные упругие постоянные декстрозы—бромида
натрия, нужно определить модули сдвига. Последние могут быть получены
по У-срезу кристалла измерением частот колебаний сдвига по толщине
и вдоль грани; оба эти типа колебаний легко возбуждаются. Чтобы получить
высокочастотные сдвиговые колебания, была вырезана квадратная пластинка,
и ее контур подшлифовывался до тех пор, пока не получился отчетливый
резонанс при хорошей моночастотности. Данные измерений собраны в табл. 15.
Затем та же пластинка была сошлифована так, что ее длина стала в 6 раз боль-
ше ширины, и произведено измерение частоты колебаний сдвига вдоль
грани. Результаты также приведены в табл. 15.

Таблица 15

Результаты измерений для двух пластинок декстрозы—бромида натрия,
совершающих колебания сдвига

Тип колебаний	Размеры, мм			Резонанс- ная	Температур- ный коэффи-	Диэлек- триче-	Модуль сдвигах
	1		Ч	частота, гц	циент ча- стоты х 108, град.-i	ская проницае- мость	х10“Ю, дин/смЯ
Высокочастотные колеба- ния сдвига по тол- щине 	  Низкочастотные колеба-	7,04	7,04	1,05	1017 820	-320	4,0	,66
ния сдвига вдоль гра-  ни 		7,04	1,6	1,05	601 000	-240	4,0	с44=6,34

Чтобы ПО модулям упругости Cij получить постоянные гибкости Sij,
нужно использовать соотношения, выведенные в приложении, § 3 (см. табл. 28):
= _ 1/+/Д%7Дс,	(10.31)

где

	cii	С12	С13	с14	0	0
	С12	С11	С13	С14	0	0
	С13	С13	сзз	0	0	0
Дс =	С14	С14	0	С44	0	0
	0	0	0	0	С41	с14
	0	0	0	0	С14	С11	С12  2
а ДСЪ'_ минор, полученный из детерминанта вычеркиванием i-й строки и
/-го столбца.

Раскрывая (10.31), получим

С33	|	С44	%	_ С33	С44	__ С13

+	,	^12р7-,	*13---^,

*14=-^-,	«44=^5^.	(Ю.32)

’	($11 $12) — “3 >

где

а'= с33 (cu-j-с12) — 2су3, р =644 (cii схз) 2cj4.

Производя обратные преобразования, можем написать также

%	_ $33 I $44	9z.	__ $33	$44 п ______ $13	/,	__ $14

^и- —Ч р-,	^С12-—	С13	С14--------р-,

„	_$11 + $12	„	_ $11	$12	_	_С11	$12	__ $44	/Л Л ПП\

с33 —	-	, с44 — Р , себ -	2	— 2$ ’	ОО'

где

а ~ $33 ($11 ^$‘12)	2sf3, Р — S44 ($ц	$12)	2$14.

Результаты измерений, о которых говорилось выше, дают возможность
определить остальные модули упругости и постоянные гибкости. Поскольку с44
и с66 измерены, из выражений для с44 и с6С паходим

($и -$12) =	+ " ’

_ _ 1 ,	251%	(10.34)

$44 - ~ ~ I ----------Г .-------..~~ •

44	_1_+1'	1	1 S1*CM

4$бв '	(4$ee)2 сбв

Отсюда, подставляя значения измеренных величин, получаем

4 =15,8 • 10~12, s® - +4-6.55 . 10-12, sf2 =-0,86 • 10~12. (10.35)

Таким образом, все постоянные декстрозы—бромида натрия определены.
Приведем их снова все вместе:

4 =5,69 • 10-12,	s33 = 5,23- 10-12,		dn=-ll,0- 10-8,
4 - -0,86 • 10-12,	Е $14 —	-0,34 • 10-12,	= -5,4-10-8,(10.36)
sf3 = -1,60 • 10~12,	Е $44	15,8 • 10-12,	=4,0.

Значение е33 измерено не было.

Были измерены также температурные коэффициенты частоты для всех
срезов; эти данные приведены в табл. 14 и 15. Оказалось, что все срезы имеют
большие отрицательные температурные коэффициенты частоты. Отсюда сле-
дует, что получить нулевые или положительные температурные коэффициенты
частоты с этими кристаллами невозможно. Это указывает на то, что не все
кристаллы одного класса имеют температурные коэффициенты частоты одного
и того же характера.

Были измерены также постоянные двух других кристаллов этого класса:
декстрозы—хлорида натрия и декстрозы—иодида натрия. Результаты этих
измерений приведены ниже. Температурные коэффициенты частоты у этих
кристаллов также велики и отрицательны, и нулевые температурные коэф-
фициенты частоты невозможны.
Для декстрозы—хлорида натрия основные постоянные имеют следующие
значения:

Е  *11 -	6,38 • 10-12,	$33 = 7,02 • 10-12,	dn = -20,9 • 10-8,
Е	-2,61 • 10-12,	4 = +0,36 • 10-12,	+4 = +1,0 • 10-8, (10.37)
$13 =	-1,6 • ю-12,	4 = 13,0.10-12, р = 1,564.	sii = “4,25,
Для декстрозы—иодида значения:		натрия основные постоянные имеют следующие	
Е $и	6,02 • 10-12,	• s33 = 5,16 • 10-12,	d11== -11,4- 10-8,
Е $12 ~	-3,43 • 10-12	, 4 = +0,38 • 10-12,	du = +2,2 • 10-8, (Ю.38)
$13 —	-0,62 • 10-12	4 =1з,о-Ю-+ Р = 1,864.	еГ1=4Д

Были измерены, кроме того, постоянные кристаллического фосфата
алюминия А1РО4, также принадлежащего к классу кварца. Этот кристалл
имеет точку плавления при 1500° С, почти не растворим в воде и обладает
плотностью 2,566. Его постоянные в единицах GGSE равны

$5 =i,6i • ю-I2,	E $44	= 5,3 • IO-12,
sf2 = -0,01 • 10-12,	E $66	= 3,22 • IO-12,
4 = -0,83 . 10-12,	du	= ± 10,0 • 10-8,
= +0,89 • 10-12,	du	= + 4,65 • 10-8
< = +1,61 • 10-12,	T en	= 6,05.

Все температурные коэффициенты этого кристалла при комнатной темпе-
ратуре отрицательны. Наинизший температурный коэффициент частоты
имеет У-срез этого кристалла при сдвиговых колебаниях по толщине,
а при 45° С его температурный коэффициент равен нулю.

2. Свойства кристаллов класса турмалина. Турмалин относится к дитри-
гонально-пирамидальному классу, обладающему симметрией 3-иг, что
означает, что ось z является осью симметрии третьего порядка и что у кри-
сталла имеются три плоскости симметрии, параллельные оси г. Его пьезо-
электрические и упругие постоянные были измерены Фохтом [2],’но изме-
рений температурных коэффициентов постоянных для различных срезов кри-
сталла им сделано не было. Такие измерения были выполнены и рассма-
триваются здесь. Оказывается, что температурные коэффициенты для всех
типов колебаний отрицательны и, следовательно, невозможны срезы с нуле-
вым температурным коэффициентом частоты.

Турмалин имеет ту же систему упругих постоянных, что и кварц,
но иную систему пьезоэлектрических постоянных. Для измерения всех упру-
гих и пьезоэлектрических постоянных турмалина нужен набор кристалличе-
ских пластинок разной ориентации, поскольку, например, в пластинках,
вырезанных нормально к оси ж, нельзя возбудить продольные колебания.
Для измерений берется серия пластинок с направлением длины, лежащим
в плоскости yz, как это делалось в случае кварца, и направлением нормали к
толщине, также расположенным в плоскости yz, как показано на фиг. 98.
Направление длины этой серии из четырех пластинок выбирается так, что
оно образует с осью у углы в 0, 22,5, 45 и 67,5°. Если длина пластинки
направлена вдоль оси х', ширина—вдоль оси у' по отрицательному направ-
лению оси х и толщина—вдоль оси z', то этот срез обладает направляю-
щими косинусами, определяемыми следующим образом:

х

Z

х'	z1=o	— cos 9	nx = sin J	(10.39)
у'	Z2= -1	m2 = 0	n2 = 0	
zf	Z3 = 0	m3 — — sin 9	n3 = cos 9	

Если подставить эти значения направляющих косинусов в уравнения
(5.67), то получим постоянную гибкости вдоль длины пластинки (обратную
величине модуля Юнга вдоль того же направления) и пьезоэлектрическую
постоянную в виде

s5. = sii cos4 6 + (2sf3 + sf4) sin2 6 cos2 9 — 2sf4 sin 9 cos3 9 + s33 sin4 9,
d31 = d31 cos3 9 + (d33 — cZ15) sin2 9 cos 9 — d22 sin 9 cos2 9.

Результаты измерений и расчетов для пластинок с ориентацией, со-
гласно фиг. 98, приведены в табл. 16. Ориентация пластинок указана в

Фиг. 98. Ориентация срезов, необходимых для измерения основных постоянных
турмалина.

первом столбце по способу, принятому Комитетом по пьезоэлектричеству
Общества радиоинженеров. Первая буква обозначает направление толщины
для неповернутой пластинки, вторая—направление длины, третья—ось вра-
щения повернутого среза1); число градусов показывает значение угла по-
ворота, измеренного против часовой стрелки. Использованные пластинки
поворачивались от оси у против часовой стрелки. Во втором, третьем и четвер-
том столбцах приведены размеры в мм; в пятом—значения резонансной
частоты в гц; в шестом—значения разности А/ между резонансной и
антирезонансной частотами; в седьмом столбце указана частотная постоян-
ная /м, т. е. произведение частоты на длину пластинки; восьмой стол-
бец содержит значения температурного коэффициента частоты Тк в

х) См. примечание на стр. 162. (Прим, ред.)
пределах от —50 до 4-50° G в миллионных долях на 1° С; в девятом столбце
приведены значения диэлектрической проницаемости ет, измеренной на часто-
те 1000 гц. В остальных четырех столбцах указаны величины, вычисленные
на основании измеренных значений, приведенных в предыдущих столбцах,
s'f вычисляется по частотной постоянной и плотности р=3,1 из формулы

= -%=	(10.41)

2 1 sff

Следующий столбец содержит значения отношения емкостей кристалла,
вычисленные по формуле

г =	.	(10.42)

Значения коэффициента электромеханической связи рассчитываются по фор-
муле (5.36) и приведены в предпоследнем столбце. Значения пьезоэлектриче-
ской постоянной d'al, приведенные в последнем столбце, рассчитываются
по данным таблицы при помощи формулы (5.33).

Дополнительно используется также У-срез с длиной вдоль оси х,
поскольку из измерений пластинок этого среза непосредственно опреде-
ляется одна из основных пьезоэлектрических постоянных, а именно, постоян-
ная (/2ъ равная tZ22 (см. гл. III, § 3, п. 2). Согласно табл. 16, с?21 имеет числен-
ное значение 1,0 • 10+ Из соотношений (10.40) мы видим также, что
с помощью первой пластинки табл. 16 определяется численное значение rfsl;
оно равно 1,03 • 10“8. Теперь осталось определить значения с£1б и d33, а также
знак этих двух постоянных. Испытания на сжатие, выполненные Бондом,
показали, что знаки этих постоянных отрицательны*.

Воспользовавшись пьезоэлектрическими постоянными для косого среза
кристалла, определяемыми при помощи соотношений (10.40), найдем, что
для согласования измеренных значений в последнем столбце табл. 16 мы
должны принять

d31 = -1,03 • 10-8,	cZ23= —1,10 . io-8,

(d33 - d15) = -В 5,4 . IO"8.	(10.43)

Значения величины s'f, приведенные в десятом столбце табл. 16, опре-
деляют три постоянные гибкости и одно соотношение между остальными
постоянными. Постоянная s'E для первой и последней пластинок непосред-
ственно равна sfi и имеет следующее численное значение:

4 =4 =0,385 • 10-12 см2/дин.	(10.44)

Чтобы получить значения остальных трех постоянных гибкости, входящих
в соотношение (10.40), имеем три уравнения с тремя неизвестными для трех
разных углов. Решая уравнения для срезов, полученных поворотом на отри-
цательный угол, находим, что

s33 = 1,79«1167>5О	0,74.S1122^o	,265sil45o 0,265$^,

su = — 3,05s1122j5o— 0,53s1167j5o +1,79s1145o + 1,79su,	(10.45)

(2$1з + s44) — 8,85s1:l4g0 6,85s11225o 2,8551:1g7^o + 2,85su,

где $1122 5o есть значение s'n при положительном угле 22,5° с осью’?/
и т. д., a — значение вдоль у, приведенное в (10.44). Подставляя
в (10.45) значения из табл. 16, находим

4 =0,385 • 10-12,	4 =0,636  ю-12,

(2sE +sE ) = 1,402 • 10-12,	sE = +0,045.10~12.	(Ю.46)

X 13	44 /	14	*
Таблица 16

Результаты измерений для различно ориентированных пластинок турмалина

Ориентация пластинки	Размеры мм			fR, гч	Д/, гц	fM’  кгц * см	Г^.106, град -1	т б	s'f -1012, см"/дин	Г	к	йзГ108> ед. CGSE
	1	1  W										
zy		12,95	1,89	0,85	355 100	66	459	-57,7	7,5	0,385	2 680	0,0214	‘ 1,03
zyw,+2Z,5°		10,25	1,61	0,99	420 580	—.	431	-61,0	7,6	0,435	> 10 000	<0,011	<0,5
зугс,+45°		9,32	1,45	1,02	403 715	150	375	-51,2	7,85	0,575	1340	0,0304	1,82
zi/w,4-67,5°		8,09	1,21	1,01	439 195	140	355	-41,4	8,1	0,64	1 570	0,028	1,7
ух		10,54	1,61	1,01 (	435 500	70	459	-58	8,2	0,385	3100	0,02	1,0

Таблица 17

Результаты измерений для двух пластинок турмалина, совершающих колебания сдвига по толщине

Ориентация	Размеры, мм			fR’ гч	А/, гц	кгц-мм М	Т„-10в, А  град<1	т &	с-10-ю  дин/см2	Г	к	Й15 108, ед. CGSE
	1	1 W										
yz		8,97	8,95	1,002	2 285 120	И 130	2289,5	-40,0	8,2	65	103	0,1085	10,9
%У		5,02	5,02	1,01	2 743 000	19 000	2270	-50,6	8,2	95	71	0,131	10,9
Все эти значения достаточно хорошо согласуются с величинами, получен- ными Фохтом:		
5П = s22 = 0,398 • IO’12, «3з = 0,625 - 10~12,	с11 = с2 = 270 - 1010, с33 = 161 - 1010,	d15=ll,0 • IO'8,
s44 = s65== 1,51 - 10~12,	С44 = ^5 = 67.10+	d22= —0,94 • 10~8, (10.47)
«12=—0,103 • 10~12,  Sj3 = $23=—0,016 • 10-12,	с12 = 69 • 1010,  С1з — С2з=:858  1010,	cZ31 = 0,96 • IO'8,

s14— —$24 — 55б/2— +0,058-10 12,	С14=	С24—С56—	7,8-101в с?33 = 5,4 • 10~8.

Последний столбец в (10.47) содержит данные, полученные Фохтом и Рент-
геном, с выбором наиболее вероятных значений [5].

Чтобы завершить измерения упругих и пьезоэлектрических постоянных
турмалина, необходимо промерить две пластинки с колебаниями сдвига.
Поскольку, однако, у кристаллов турмалина для срезов вдоль кристалло-
графических осей невозможно получить колебания сдвига вдоль грани,
были использованы две пластинки, совершающие колебания сдвига по
толщине с пьезоэлектрическими постоянными d15=d:2A. Результаты этих
измерений даны в табл. 17. Непосредственно из этих измерений получаем

с44 = 65 • Ю10,	с66 = 95 • 1010,

rf15 = ± Ю,9 - IO-8.

(10.48)

Пользуясь приведенными выше в и. 1 соотношениями (10.34), которые
справедливы и для рассматриваемого класса кристаллов, можно вычислить
все постоянные турмалина. Они оказываются в единицах CGSE равными

$и — 0,385 • 10-12,	си = 272 • 1010,	^15	-10,9  10-8,
$12 = -0,048 - 10-12,	с12 = 40 • 1010,	+2 —	-1,0 • 10-8,
$13 = -0,071 • 10-12,	с13 = 35 • 1010,	dgi —	-1,03 • 10-8,
$33 = 0,636 • ю-12,	с33= 165 • 1010,		к г	8	(10.49)  — 5,5 • IO-8,	\	/
$44=1,54  10~12,	С44=65 • 1010,	Т £и	-= =8,2,
$14= +0,045 • 10-12,	е14 = — 6,8 • 1010,	т  £зз	7,5.

Знаки пьезоэлектрических постоянных здесь противоположны знакам,
которые дает Фохт, вследствие различного выбора направления оси + г.
Все температурные коэффициенты отрицательны и составляют от —40
до —60 • 10~в на 1° С. Поэтому нельзя изготовить срез с, нулевым темпера-
турным коэффициентом частоты.

Два других кристалла класса турмалина, а именно гексагидрат хромата
тринатрия-лития и гексагидрат молибдата тринатрия-лития исследованы
лишь частично. Производить с ними подробные измерения не имеет смысла,
поскольку они быстро обезвоживаются. Результаты, полученные для этих
двух кристаллов, приводятся ниже. Для хромата тринатрия-лития постоян-
ные в единицах CGSE равны

$и=7,87 • 10-12,

Т$и=+7,5 • 10~4 на ГС,

$33 = 3,5 - 10-12,

Г$33 = +7,0-10-%

(2s13 + s44) = 0,9-10-+

(27>13 + Tsu) = + 19 • 10-«, (W 50)

±8,6  10~«,

£=8,0,
р =2,11.
Для молибдата тринатрия-лития постоянные в единицах CGSE равны

s13 = 2,95  10~12,

s33 — 2,71 • 10-12,
(2^з ±^) = 7,05- 10~12,

d22 = ±7,45 . 10-8,
= ± 4,0 • 10-8,
cZ33- ±5,8 - 10-8,

^11- ±7,3 • 10~4 на 1°C,

Ts33 = +5,9 • 10~4,

(27>13± 7s44) = ±4,0- 10~4,

еГх=6,7,
s3T3 = 5,3,

P = 2,43.

(10.51)

§ 3. Исследования свойств тетрагональных кристаллов

Из тетрагональных кристаллов были исследованы три вещества: дигидро-
фосфат аммония (ADP) и дигчвдрофосфат калия (K.DP), постоянные которых
приведены в гл. VIII, а также гексагидрат сульфата никеля. Первые два
кристалла относятся к тетрагонально-скаленоэдрическому классу (симметрия
4 • т), тогда как гексагидрат сульфата никеля принадлежит к тетраго-
нально-трапецоэдрическому классу (симметрия 4:2).

Измерение постоянных для кристаллов класса (4 ♦ т) производится
на двух сериях пластинок по четыре пластинки в каждой. Одна серия пла-
стинок вырезается перпендикулярно к кристаллографической оси а (оси х),
а другая—перпендикулярно к оси с (оси г). В каждой серии направление

длины пластинки образует угол в 0, 22,5, 45 или 67,5° с одной из кристалло-
графических осей. В пластинке с длиной, направленной вдоль кристаллогра-
фической оси, возбуждаются сдвиговые колебания вдоль грани, а в трех
остальных пластинках—продольные.

Для срезов, перпендикулярных к оси ж, продольные колебания опреде-
ляются пьезоэлектрической и упругой постоянными следующего вида:

• d'3l =	sin 29,

= sir cos4 9 + (2s13 ± s%) sin2 9 cos2 9 + s33 sin4 9

(10.52)
где 9 — угол между направлением длины и кристаллографической осью у.
Отсюда, определяя постоянные гибкости через резонансную частоту посред-
ством формулы

найдем для четырех основных постоянных гибкости соотношения:

S11 = 1,707 s^-s'/J. + 0,293s^,5-,

s8s= 1,707 s'el5«-s’5. + 0,293s22,s-,	(10.54)

(2s13 -b) = 6s4l —	50 — 2se7,r..

Таблица 18

Результаты измерений для различно ориентированных пластинок кристалла
гексагидрата сульфата никеля

Ориентация	Размеры, мм			1r> гц	Д/, гц	1м,  кгц . см
	I					
xzt,—22,5°		16,97	2,48	1,04	106 700	120	181,0
xzt,—45°		17,55	2,59	1,05	92 895	150	162,5
xzt— 67,5°		20,0	2,91	1,0	71 900	60	143,5
xzt, 0°		18,47	2,72	1,0	435 795	827	118
zwy, 45°		19,93	3,0	1,0	443 380	260	132,5
yxwt, 45°,45°		19,93	3,02	1,02	96 330	—	191,5

Ориентация	Tj • 104, град	sr	S * 1012, см2/дин	r	k	d  108
xzt,—22,5°		-3,9	6,2	3,68	444	0,053	7,1
xzt,—45°		-5,2	6,2	4,56	310	0,0629	9,4
xzt,—67,5°		-3,9	6,2	5,84	600	0,045	7,4
xzt, 0° 		-5,3	6,2	8,65	264	0,0685	14,1
zwy, 45°		-4,3	6,5	6,8	852	0,0379	7,1
yxwt, 45°,45°		-4,0	6,2	3,30	—.	—	—

Для среза, перпендикулярного к оси z,

fl' — °^38 Нп2 fl

d31- 2 sin fl,	(10.55)

— su (sin4 9 + cos4 9) 4- (2s12 4-	) sin2 9 cos2 9.

- Поэтому соотношения для определения постоянных приобретают вид

$11 — ($22,5°“Г $67,5°)— $45°, (2$12 + $6б) = бв^о — 2 ($22,5° + $6^,5°)-	(10.56)

Из измерений резонансной частоты сдвиговых колебаний, перпендикуляр-
ных к оси х, определяется модуль сдвига cf4, а из сдвиговых колебаний,
перпендикулярных к оси z, определяется модуль сдвига cf6.

Такой комплекс измерений был осуществлен для кристаллов ADP и
KDP. Полученные результаты приведены в гл. VIII.
У кристаллов класса (4 ; 2), однако, нет пьезоэлектрической постоян-
ной с?36, и поэтому пластинка, вырезанная из кристалла сульфата никеля
перпендикулярно к оси г, не может быть приведена в колебания пьезо-
электрическим способом. Чтобы обойти эту трудность, пластинка выре-
зается, как показано на фиг. 99, а; при этом направление ее длины образует
угол 45° с осью z в биссекторной плоскости, проходящей через эту ось, а
направление толщины лежит в плоскости ху. Постоянные этой пластинки
определяются через основные постоянные кристалла следующим образом:

Л' _ ^14

а31--у ,

(2$j2 + S®)

2

/Е 1 ри

—4 [у

Ь (2$i3 + $f4) + j .

(10.57)

Таким способом определяется сумма (2$12+$f6). Другая пластинка, показан-
ная на фиг. 99,6, представляет собой срез с направлением ширины вдоль
оси х и с направлениями длины и толщины, лежащими под углом 45° к
осям у и. z. Эта пластинка обладает пьезоэлектрической постоянной и мо-
дулем сдвига, равными

Е Е

44 '	8»

2

^14
2

И

(10.58)

и, следовательно, может быть использована для определения cf6.

Табл. 18 показывает результаты измерений для таких шести различно
ориентированных пластинок сульфата никеля. Постоянные, в единицах
CGSE, вычисленные по этим данным, приводятся ниже [см. (10-59)]. Темпе-
ратурные коэффициенты для всех типов колебаний отрицательны, следова-
тельно, невозможно наличие температурных коэффициентов частоты, равных
нулю.

$п = 6,5 • 10-12,
$12 = -4,68 • 10-J2,
s13= -0,13 • 10-12,
s33 = 3,43 • 10-12,
4 = 8,65 - 10~12,
4 = 5,62 - 10-12,

^i4=±18,0-10-81),

4 = 6,2,

4 — 6,8,
P = 2,07.

(10.59)

§ 4. Исследования свойств ромбических кристаллов

Было измерено шесть кристаллов ромбической системы; все они при-
надлежат к ромбо-тетраэдрическому классу (симметрия 2:2). К этому же
классу относится сегнетова соль. Способ определения значений постоянных
у кристаллов этого класса весьма сходен со способом определения постоян-
ных у тетрагональных кристаллов, за исключением того, что измерения
должны выполняться для всех трех осей, поскольку свойства всех трех
осей различны.

х) Недавно стало известно, что пьезоэлектрические константы ряда кристаллов были
измерены Ф. Шнитцером (см. его диссертацию, Геттинген, 1938). Он измерил постоян-
ные хлората натрия, бромата натрия, гексагидрата сульфата никеля, ADP, KDP, суль-
фата магния, моногидрата сульфата лития, DKT и тартрата аммония. Значения, полу-
ченные им, хорошо согласуются с приведенными в этой книге. Для сульфата никеля
Шпитцером было найдено значение du, равное —15,9 ЛО-8.
(10.60)

(10.611

(10.62)

Уравнения для постоянных гибкости, обратных модулям Юнга, и пьезо-
электрических постоянных в направлении осей х, у и z для продольно коле-
блющихся пластинок даются соотношениями

= s22 cos4 + (2$23 di) sin2 G COS2 6 + S33 sin4
^3i = sin 29;

= $11 cos4 9	(2s13 4- $55) sin2 9 cos2 9 4- s33 sin4 9,

d't — sin 29;

s* = slt cos4 0 4- (2s12 4- sin2 9 cos2 9 4 $22 84114 ,
d31 = ^sin29.

Следовательно, из измерений с тремя пластинками, направление длины
которых образует угол 22,5, 45 или 67,5° с одной из кристаллографических
осей, а толщина лежит вдоль другой оси, могут быть вычислены упругие
постоянные, входящие в соотношения (10.60)—(10.62). Уравнения для вычис-
ления постоянных по результатам измерений подобны соотношениям
(10.54). Частоты колебаний сдвига вдоль грани для срезов, перпендику-
лярных к осям х, у и z, зависят соответственно от модулей сдвига

<5=4- <£=4- <£=4-	(10-63)

«44	S55

Итак, измерения для 12 срезов, образующих три серии по четыре пластин-
ки, перпендикулярных к одной из кристаллографических осей, определят все
девять упругих постоянных и дадут контрольные значения постоянных гиб-
кости 5ц, s22 и 8зз- Измерения трех 45-градусных срезов определят три
пьезоэлектрические константы, а низкочастотные измерения емкости любой
из пластинок, перпендикулярных к осям х, у и г, определят диэлектрические
проницаемости ( е^2 и е^3.

Исследовано шесть ромбических кристаллов: моногидрат тартрата
лития-аммония, моногидрат тартрата лития-калия, дигидрат формиата строн-
ция, формиат бария, йодноватая кислота и тетрагидрат тартрата натрия-
аммония. Первые два кристалла изоморфны между собой. Тартрат лития-
аммония имеет один срез, для которого температурный коэффициент частоты
равен нулю. Поскольку, однако, у него электромеханическая связь меньше,
чем у этилендиаминтартрата, а зависимость частоты от температуры больше,
этот кристалл практически не используется. Значения диэлектрической
проницаемости и пьезоэлектрической постоянной, нормальных к оси у, быстро
возрастают при понижении температуры, и поэтому существует некоторая
вероятность проявления сегнетоэлектрических эффектов при низких темпе-
ратурах. Этот вопрос будет разобран ниже, в § 6 данной главы. Формиат
стронция с двумя молекулами кристаллизационной воды обладает довольно
сильной электромеханической связью, однако легко обезвоживается и не
может быть практически использован. Формиат бария не имеет кристаллиза-
ционной воды, однако обладает малым коэффициентом электромеханической
связи, и все его температурные коэффициенты отрицательны. Тот факт, что
йодноватая кислота HJO3 имеет большой коэффициент электромеханиче-
ской связи, был впервые установлен Бурштейном и Илиасом [6]; ими были
выполнены независимые измерения основных постоянных йодноватой кис-
лоты. Тетрагидрат тартрата натрия-аммония изоморфен с сегнетовой
солью. Несмотря на довольно большие пьезоэлектрические постоянные,
практическое использование его невозможно вследствие очень сильного
обезвоживания, значительно большего, чем у сегнетовой соли.

При помощи описанных методов найдено, что упругие и пьезоэлектриче-
ские постоянные, а также диэлектрические проницаемости тартрата лития-
аммония при 25° С в единицах CGSE равны

511 = 3,0.10-1*, '
s22 = 2,56  10-12,
§33 = 3,5 • Ю-i2,
4 = 8,4 • Ю-i2,
4 = 15,0 - 10-12,
4 = 4,3 • Ю-i2,
§12 = -0,82 • IO-22,
513= -0,27  Ю-i2,
§23= - 1,22  IO-22,

rf14 = ± 13,2 • 10-8,
tf25 = ± 19,6 • 10-8,
<736= ± 14,8 • 10~8,
4 = 7,2,
£ — з,о,

£ = 6,9,

P- 1,71.

(10.64)

Температурные коэффициенты этих величин также были измерены; между
— 30 и ±80° С они имеют следующие значения:

Т§п= ±8,8 • IO-4 на 1°С,
Ts22 = ±6,2 • IO-4,
Ts33 = ±6,1 • IO-4,
Ts^ = ±6,7 • IO-4,
Т§65= -8,3 • IO-4,
T§66 = ±10,9 • lO-i,
T§12 = +4,5 • lO-i,
Т§13 = + 74,0 • IO-4,

T§23 = ±6,0 • IO-4,
Td14t = ±3,9 • 10-3,
Trf25=-5,0-10-3,

Td3(i-~ ±3,1 • 10-3,	(10.65)

= ±1,9 • IO-4,

Te22 = -2,7 • 10-1,
Тг33 = -0,4  10-1.

Как и у кварца, температурный коэффициент определенным образом
ориентированной пластинки может быть сделан равным нулю благодаря
отрицательному температурному коэффициенту одной из постоянных гиб-
кости (в данном случае §^). Тем не менее быстрота изменения с температурой
этой постоянной столь велика, что температурная характеристика полу-
чается сильно искривленной. Свойства пластинок этого кристалла, выре-
занных нормально к оси у, обсуждаются ниже, в § 6.

У тартрата лития-калия были измерены три 45-градусных среза, однако
обнадеживающих результатов не получено. Из этих измерений получены
следующие значения постоянных и их температурных коэффициентов:

для 45° Х-среза

§± =2,8 -IO-12,

Ц450	’	’

= ± 9,6 • 10~8,

+5’4 10Л
£ = 5,84;

для 45° У-среза

§;? =5,72 • 10-12,
И450	’	’

йм = ± 33,6.10-»,

=4-1,3-10-*,
и45°

£2 = 7,32;

(10.66)
для 45° Z-среза

=2,56-10-12,

Х145° К	’

4в=±22,8 • 10-8,

Ts^o= 4-7,3- 10~4

4 = 7,4;

Р = 1,61.

Для дигидрата формиата стронция найдены следующие значения основ-
ных постоянных в единицах CGSE:

2,84 • 10“12,	4i= ±25,6 - IO"8,
s22 = 3,l • 10-12,	45= ± 34,6  10-8,
х33=з,1 • 10~12,	dS6= ± 7,0 • 10-8,
4 = 6,5 .10-12,	4 = 6,1,
£ = 9,3-ю-«	4 = 6,4,	(10.67)
£ = 5,8  Ю’12,	4=б,о,
«12= ”0,8 • 10	Р =2,25.
«„ = 4-1,1 • 10-12, s23 = -0,2 - 10 х2;	

Температурные коэффициенты для этих величин также были измерены
и имеют на 1°С следующие значения:

Г511= +10 • Ю-4,
Ts22 = 4-5,5 • 10-\
Ts33 = 4-5,95 • 10-4
Ts^= 4-4,6 • 10-4
TsS>^ +3,2 • 10'4
Ts* = +4,7-10-4
Ts12 = +10,4 • 10-4
^!3 = 0,
Ts^ +42 - 10-4

Td^ -8 • 10-4
Td№=-- -3,8 • 10-4
Td33^ -14,7 - 10-4
Teu = -0,8 - 10-4
Te22 = -1,3 • 10-4
Ts33 = +5,7 - IO-4.

(10.68)

Для формиата бария, принимая во внимание слабую электромехани-
ческую связь, были сделаны измерения только при сдвиговых колебаниях
вдоль грани. При этом получены в единицах CGSE следующие значения
постоянных:

4 = 7,85-10~12,

4 = 6,0- 10-12,

4 — 8,25-Ю-12,

74 = +3,2 • 10-4 на 1°С,
74-+3,2 • 10-4	» ,

7s-66 = +3,9 - 10-4	» ,

р = 3,261.

±12-ю-4
45=±8 • 10-8,
46=±14-10-8,
£ = 7,9,	<10-69>

£ = 5,9,
£ = 7,5,
Для йодноватой кислоты получены в единицах CGSE следующие зна-
чения постоянных:

su = 3,98 • 10-12,	dn -= ± 56,8 • 10-8,	
«22 = 2,01 . 10-12, «33-2,56 • 10-12, 4=5,45 • 10-12, 4 = 4,56 • 10-12,	d№ = ± 46 • 10-”,  = ± 70,5  !0“,  Bn = 7,5,  £22 = 12,4,	(10.70)
«® = 5,76 • 10-12,  «12 = -0,775 • 10-12,  «13 = -0,97 • 10-12,  «23 = -0,045 • 10-12,	езз = 8,1, p = 4,63.	

Температурные коэффициенты всех этих величин оказались положитель-
ными, поэтому получить пластинку с нулевым температурным коэффициен-
том нельзя. Эти температурные коэффициенты имеют на 1°С следующие
значения:

TSll = +7,0 • IO-4, Ts22 — +6,0 • IO-4, Ts33=+12,0-10-*, ?4 = +7,5 • 10-*, Tsf = +7,0 • IO-4, Ts^= +6,5 - IO-4,	Ts12 = +9,3 • IO-4, T«13 = +11,0 • 10-4, Z«23 = +l,7.10-2, Td^= +3,5 • IO-4, TcZ25 = -3,5 • IO-4, Td36 = -0,9 • IO-4.

Были выполнены также измерения тартрата натрия-аммония, который
изоморфен с сегнетовой солью. Найдено, что у этого кристалла одна из посто-
янных гибкости, а именно «®, имеет отрицательный температурный коэффи-
циент, поэтому возможно получить ряд срезов с нулевым температурным
коэффициентом частоты. Однако этот кристалл обезвоживается столь сильно,
что рассчитывать на какое-либо его практическое применение нельзя, хотя
пьезоэлектрическая постоянная его вдоль оси у достаточно велика и возра-
стает с понижением температуры. Температурный коэффициент у d25
слишком мал, чтобы по его изменениям судить о наличии каких-либо сегнето-
электрических свойств вблизи абсолютного нуля. Измеренные значения
постоянных приведены ниже в единицах GGSE:

«1X = 5,7O • 10-12,„ •	c/14= ± 57,0 • IO-8,
«22 = 3,85 - 10-12,	+5 =±95,0 • 10-8,
«зз = 4,0.10-12,	d36=±31,0- 10-8,
4 = 9,45 • 10-12,	" +=9,0,
.4 = 33,0 • 10-12,	+ =8,9,	<10-72)
«f5 = 11,5 • IQ-12,	S33 = 10,0,
«12= -1,55 • 10-12,	P =1,587.	.	. . - ,
«13= -2,2 • 10-12,	4

«23 = -1,55 • 10~12,
Для температурных коэффициентов тартрата натрия-аммония найдены сле-
дующие значения на 1°С:

TsiX---- +9,0 • 10-<,  Ts22 = +10,5 • IO-*,	Td^ +2,1 • IO-4,  Td25 = -1,9 • 10-3,
Ts33 = +11,4 - IO-4,	Td36= +12,1 -IO-4,
Ts^ = +4,4 • IO-4,	Ts* = +1,0 • IO"4,
Ts^= -18,5 • IO-4,	T& = +3,0 • 10-4,	(10.73)
Tsfe_-_ 4-4,6 • IO-4,	T£3 = +3,8 • IO-4.
Ts33 = 4-4,8 • IO-4,	
Т+з^+5-10-4,	
Ts23 = -4,8 • IO-4,	•

Приведенные значения упругих и пьезоэлектрических постоянных тартрата
натрия-аммония достаточно хорошо согласуются с данными, полученными
Манделем [7].

§ 5. Исследования свойств моноклинных кристаллов

Были измерены пять кристаллов, относящихся к диэдрическому осевому
классу моноклинной системы (симметрия 2). Два из них—EDT и DKT—были
уже описаны в гл. IX. Остальные три кристалла—моногидрат сульфата
лития Li2SO4-H2O, Винная кислота С4НвО6 и тартрат аммония (NH4)2C4H4O6.
Из этих кристаллов, как можно видеть из Интернациональных критических
таблиц *), наибольшую пироэлектрическую постоянную имеет сульфат лития.
Яффе показал, что среди всех несегнетоэлектрических кристаллов сульфат ли-
тия при продольных колебаниях по толщине имеет один из наибольших коэффи-
циентов электромеханической связи (около 35%). Эта особенность может быть
использована для получения мощных ультразвуковых волн в жидкостях.

Кристаллы этого класса также используются для изготовления гидро-
фонов или индикаторов статического или низкочастотного гидростатического
давления. До настоящего времени для этих целей широко использовался
турмалин, однако сульфат лития и винная кислота более чувствительны,
чем турмалин. Для этих кристаллов напряжение холостого хода в зависи-
мости от гидростатического давления выражается соотношением* 2)

К =	(10.74)

е22

в то время как у турмалина напряжение холостого хода в случае поля,
направленного нормально к оси г, равно

Ко - К33Л = к(->03) • 10-8 Х1,23.10~8.	(10.75)

Для сульфата лития и винной кислоты из соотношения (10.74) получаем
соответственно

=	=	• 10-8,

7о^7Г^2’3 + ^ + 6-5^^3,5 • 10-8.	(Ю.76)

3) См. также «Справочник физических, химических и технологических величин»
(приложение к Технической энциклопедии). (Прим, ред.)

2) Постоянная К равна	где lt—толщина пластинки, измеренная вдоль напра-

вления поля, а р—гидростатическое давление. (Прим, ред.)
Следовательно, эти кристаллы втрое чувствительнее турмалина и обеспечива-
ют вполне удовлетворительную замену этого относительно дорогого материала.

Кристаллы данного класса имеют 13 упругих постоянных, 8 пьезоэлек-
трических и 4 диэлектрических. Метод измерения этих постоянных подробно
описан Мэзоном [8] и был иллюстрирован на примере кристалла DKT.
Метод заключается в измерении свойств четырех длинных тонких пластинок
Х-среза, четырех пластинок Z-среза, пяти пластинок У-среза (ось у является
осью симметрии второго порядка) и четырех пластинок, ориентированных по
направлениям, указанным ниже.

ф и г. 100. Ориентация срезов, используемых для измерения основных посто-
янных моноклинных кристаллов.

Уравнения для срезов, нормальных к осям х и г, те же самые, что и для
ромбо-тетраэдрических кристаллов [см. уравнения (10-60) и (10-62)].
Отсюда величины

Мы Мг, Мз> Mi, Мб> Мг, Мз, i i d36, s1]L, £33	(10./7)

могут быть определены при помощи метода, описанного в § 4 данной главы.
Для среза, нормального к оси у, модуль Юнга VMi и пьезоэлектрическая
постоянная d31 определяются уравнениями

= s33cos4 ® "Ь ^s35cos3 ® sin ® + (2s^ 4- sin2 6 cos2 0 -P

-P2s^ sin3 0 cos 0-ps^ sin4 0,	(10.78)

d'i — <72i sin2 0 ~p d23 cos2 0 -p d25 sin 0 cos 0,

где 0—угол между направлением длины пластинки и положительным напра-
влением оси г, измеренный против часовой стрелки. Поскольку уравнение
для постоянной гибкости содержит пять неизвестных постоянных, то выре-
заются пять пластинок, длина которых составляет с осью z углы 0, 22,5,
45, 67,5 и 90°. По первому и последнему срезам определяют соответственно
контрольные значения 4 и , так как эти величины определяются также
по X- HZ-срезам. По трем другим пластинкам определяют sf5,	и (24 + sf5)

согласно равенствам

4 = 3,407 4 5о+1,414 4 5<> - 2,407 4« - 0,5 4 - 1,914 4 ,

4 = 3,407 4,5° + 1,414 4>5о - 2,407 4» - 0,5 4 - 1,914 < ,	(10.79)

(24 + 4) - 13,628 4» - 9,642 (4>5о + 4,5») + 3,828 (4 + 4),

где 522,5°, 4° и 4,5°—постоянные продольной гибкости вдоль направлений
под углами 22,5, 45 и 67,5е к оси z, отсчитанными против часовой стрелки.
Величина электромеханической связи кристаллических пластинок с напра-
влением длины вдоль осей ж и z определяет соответственно величины rf21 и <4-
Из измерений среза кристалла с длиной, направленной под углом 45е
к осям жиг, вместе с измерениями двух других 45-градусных срезов опре-
деляется с/25 согласно равенству

С?25 — ^45»	(^21	^2з) •

(10.80)

Значения, полученные для всех ориентаций, позволяют определить знаки
d23 и d25 по отношению к <22i- Чтобы определить абсолютный знак пьезоэлек-
трической постоянной, прибегают к испытанию на сжатие и отмечают
полярность поверхностного заряда при данной деформации. Условно при-
нято считать постоянную d положительной в том случае, когда у кристалла,
испытывающего положительную деформацию (например, удлинение в слу-
чае продольной деформации), на пэложительном конце оси возникает поло-
жительный заряд.

Срезы кристалла, нормальные к трем кристаллографическим осям, воз-
буждаемые на продольных колебаниях и сдвиговых колебаниях вдоль грани,
позволяют определить 11 упругих, 5 пьезоэлектрических и 3 из 4 диэлектри-
ческих постоянных. Чтобы определить остальные постоянные, требуется
промерить дополнительно 4 пластинки, повернутые относительно кристалло-
графических осей. Их ориентировки выбираются следующим образом:

1)	пластинка, направление длины которой совпадает с кристаллографи-
ческой осью у, а направление ширины составляет угол 45° с положитель-
ными направлениями осей жиг (фиг. 100, а); в этой пластинке возбужда-
ются колебания сдвига вдоль грани;

2)	пластинка с шириной, параллельной оси z, и с длиной, направлен-
ной под углом 45° к положительным направлениям осей ж и у (фиг. 100, б)\
в этой пластинке возбуждаются продольные колебания;

3)	пластинка с шириной, параллельной оси ж, и с длиной, направ-
ленной под углом 45° к положительным направлениям осей у и z
(фиг. 100, в); в ней возбуждаются продольные колебания;

4)	пластинка, получающаяся при двойном повороте, как показано на
фиг. 100, a. (yzZw,45°,45°-cpe3), колеблющаяся по длине.

Вводя соответствующие направляющие косинусы в уравнения (5.67)—
(5.69) и (5.72), можно показать, что упругие и пьезоэлектрические постоян-
ные и диэлектрическая проницаемость будут равны:

для среза (жг/,-|-45о)

___ ^14 Ч *^16	4i4	'Т

14 —	2	’	11

Л +2T +ет
11	13	33

'Е
5es

sE —2sE 4- sE

86________48 1	44

(10.81)
для среза (г/жг£>,4-45°)

< = -0,3535 [dal + dS2-du], с=-+^

Л +sE +2sE +.,E
_ ' _	11	22	12	68 .

“	4	’

для среза (zyw,4-45°)

d31 —	0,3535 [</23c?22	<^34],

(10.82)

(10.83)

для среза (yztw, + 45°, 4- 45°)

d'x = 0,1768 [c?2i +^23 +^25 4-2c?22 ~ (<^14 + ^16 + ^34 + ^зб)1»	(Ю84)

£T + £T _1_ 2 (гТ + £T )	V '	/

-T 11 ~ 33 “ V 22 ~ is7 .

s —--------------f------— ,

33	4

'E 1 г E , E . /п E . E \-i <
$n	|g [$n	$33 "4* (2$u + $65)] ~b

+|[4 +4 +(24 + 4)+(24 +4.)]+	(Ю.85)

. 1 Г E , E , E 1
"1“ 4 L$22	$25	$48 J *

Измерения с первой пластинкой позволяют определить , sfs и дают соот-
ношение между четырьмя пьзоэлектрическими постоянными. Вторая пла-
стинка не дает каких-либо новых данных о диэлектрических проницаемо-
стях и упругих постоянных, зато с ее помощью можно получить второе со-
отношение между тремя пьезоэлектрическими постоянными «Z2i> ^22 и ^16-
Измерения с третьей пластинкой дают соотношение между d2S, d22 и d3i, а
по четвертой—определяют постоянную гибкости sf. и получают четвертое
соотношение между пьезоэлектрическими постоянными. Чтобы закончить
определение пьезоэлектрических постоянных, надо сделать еще одно из-
мерение при колебаниях по толщине, для чего обычно выбирают продольные
колебания по толщине вдоль оси у, представляющие интерес в связи с их
использованием для возбуждения высокочастотных колебаний. Это измере-
ние дает величину (Z22. Затем для определения знака пьезоэлектрических посто-
янных применяются испытания на сжатие. При этом одна сторона кристалла
присоединяется к сетке электрометрической лампы. По направлению, в ко-
тором изменяется анодный ток, определяется знак заряда на грани, соединен-
ной с сеткой. При сжатии кристалла вдоль оси у определяется знак с?22. Сжатием
этого же кристалла вдоль осей жиг могут быть определены знаки t/2t и d23.

Измерения этих 13 пластинок, вырезанных нормально к кристалло-
графическим осям, и 4 пластинок косых срезов вместе с дополнитель-
ными испытаниями на сжатие однозначно определяют все постоянные кри-
сталла рассматриваемого класса. Однако в одной из этих пластинок, а именно
в пластинке, вырезанной нормально к оси у и совершающей колебания
сдвига вдоль грани, возбуждаются одновременно связанные колебания.
Как видно из уравнения (5.62), в случае пластинки У-среза с длиной, напра-
вленной вдоль оси ж, действующий модуль упругости, определяющий /д—
резонансную частоту колебаний сдвига вдоль грани, находится по формуле

•—с

с,Е

55

)2 + 4сс’-е'2

______ 15

(10.86)
где сс<Е, сс>Е и сс,Е — модули упругости при зажатом контуре и постоян-
ном поле. Они связаны с постоянными гибкости Sij равенствами

=	(k, 1=> 1, 2, 3),	(10.87)

где А — определитель

к

Л"

Е

15

Е

SS5

Е

55

и дм—минор, полученный из Д зачеркиванием к-й строки и 1-го столбца.
Поскольку значения всех s®, кроме определены, то могут быть одно-
временно решены два уравнения для определения sf5, и таким образом будут
найдены все упругие постоянные.	i

Для левого кристалла моногидрата сульфата лития LiSO4-H2O с плот-
ностью р=2,06 постоянные были измерены при 25° С и получены следующие
значения диэлектрических проницаемостей и их температурных коэффи-
циентов на 1°С:

Т £11	= 5,6,	Те* = +7,8 • 10-4
т £22	= 6,5,	П2Т3 = +1,6  10-4
т езз	= 10,3,	7\т3 = +4,7 • IO-4
Т е13	= 0,07,	Те^ = -4,0 • 10-3

(10.88)

Пьезоэлектрические постоянные в единицах CGSE и их температурные
коэффициенты на 1° С для этого кристалла оказались равны х)

с?14 — +14,0 • 10~8,	+3,6 • IO*3,
dle== -12,5 • 10~8,	+4,5 • 10-4,
d21 = +11,6 • IO"8,	Td21--= +3,2 • IO-3,
d^ -45,0 • IO-»,	7+22- -1,5 • 10-4,
<Z23 = —5,5 • 10“8,	Tdi3=- -6,1 . 10-4,	(10.89)
d25= +16,5 • IO-»,	Tdu= -2,2 • IO-3,
d34- -26,4 • 10-8,	Td^ = -0,4 • IO-4,
d3e = +io,o. 10-8,	Td3,= +3,6 • IO-3.

О В недавно опубликованной работе [10] приведены новые результаты измерений
постоянных сульфата лития, в ряде случаев расходящиеся с данными Мэзона.
(Прим, ред.)
Постоянные гибкости в единицах CGS
на 1°С имеют следующие значения:

и их температурные коэффициенты

4 =2,39 • 10-12, 4 =2,13 • 10~12, 4 =2,31 • 10-12, 4 =3,69 • io-12, 4 =4,1. 10-12,	7^4 = +7,2 • 10-4, ?4 = +5,2 • 10-4, Т4 = -0,24 • 10-4, t4 = +2,5 • 10-4, ^4 = +5,0 -IO-4,
4 —7,40.10-12,	Т4^ +4,2-10-4,
4 - -0,95 . 10-12,	t4 = +1,6 • 10-3,	(10.90)
4 = -0,5 . 10-12,	t4 = 5,0 • 10-4,
4 -- -0,36 • io-42,	r4 =o,
4 = +o,71 • 10-12,	74 -1,5 . 10-4,
4 - -1,20 • 10-12,	TsL = -6,0 • IO-4,
4 = +0,05 • 10-12,	Ts^ = -1,0 • IO-2,
Л = -0,41 • 10-12, d46	Ts^ = -8,0 • IO-4.

Для винной кислоты С4Н6О6 с плотностью р = 1,760 измерения пока-
зали, что диэлектрические проницаемости и их температурные коэффициен-
ты на 1°С имеют следующие значения:

T £11	=4,3,	T T	= +2,6 • IO-4,
T  S22	= 4,3,	ТгТ  J b22	= +2,6 • IO-4,  (10.91)
T £33	— 4,5,	TeT  1 b33	= +1,9 • IO-4,
T £13	= 0,55,	ТгТ  1 b13	= +12,0 • IO-4;

пьезоэлектрические постоянные в единицах CGSE и их температурные
коэффициенты на 1°С имеют следующие значения:

d14 = +24 • IO"8,
d16 = -+-15,8 • 10-8,
rf21 = -2,3 • 10-8,
^22= — 6,5 • 10—8,
+3 = -6,3 . ю-8,
й25= +1,1 -10-8,
d^ = -32,4  10-8,
d^ = +35,0 • 10-8,

TW14 = -6,0- ю-4,
7\Z16 = -5,0  10-4,
Td21 = +9,6 • 10-4,
Td22 = +2 • 10-4,
TtZ23=+5,3 • 10~4,
Td25 = +2,5 • io-4,
TW34=+l,0.10-4,
Td36 = -0,65 • 10-4;

(10.92)
постоянные гибкости в единицах CGS на ГС имеют следующие значения:	и их	температурные	коэффициенты
sE. =2,16 • КГ12,	TsE	= —4 • 10-3,	
4 =7,7 . 10-12,	TsE * *23	= +3,8 - 10-3,	
4 = 3,85 • 10-12,	/7Т 2?  * $13	= +2,6 • 10-3,	
4 = 12,6 • 10-12,	TsE j.	= +3,9 • 10-4,	
4=17,5- 10-12,	TsE  Z d22	= +10,8 - 10-4,	
4 =9,62 • 10-12,	гр E	= + 6,7 - 10-4,	
4 = -0,61 • 10-12,	TsE  * d44	= +5,3 • 10-4,	(10.93)
4	-1,5 - 10-12,	TsE  2 d55	= +1,5 -10-4,	
4 = -1,8 . 10-12,	TsE	= +4,1 • 10-4,	
4 = ±2,8 - КГ12,	TsE 1 d12	= +0,9 • 10-4,	
4 = ±2,76 - 10-12,	TsE  -1 d25	= + 3,0 • io-3,	
4 = -2,9 - 10-12,	TsE	- -5,2  10-4,	
4 - -1,64 - 10-12,	TsE - 1 чб	- +3,2 - 10-3.	

Для тартрата аммония (NH4)2C4H4O6, были выполнены неполные
измерения, поскольку измеренные коэффициенты связи очень малы. Были
вырезаны три пластинки, нормальные к кристаллографическим осям. Их
измерения дали следующие результаты:

р = 1,601;

диэлектрические проницаемости
на 1° С равны

е£ - 6,45,

С =6,8,

С =б,о,
пьезоэлектрические постоянные в
коэффициенты на 1° С *) равны

d14= + 14,6 • 10~8,
d23 = +17,5 • 10~8,
d21= +2,0 • 10~8,
-3,0- кг8,
^36 =±8,8 . 10-8,

и их температурные коэффициенты

= ±3,5 • 10~4,

Ге2Т2 = ± 7,4 • 10~4,	(10.94)

Т&33 = +2,8 • 10-4;

единицах CGSE и их температурные

= -5 • 104,

Td23 = +5,6 • 10“4,
Td21^ -3,2 • 10“3,	(10.95)

Td25 = -2,3 • 10-3,
Td36= -6,10- НГ4;

х) Пьезоэлектрические постоянные этих трех моноклинных кристаллов были
также измерены Шнитцером (см. примечание на стр. 195), а пьезоэлектрические посто-
янные и часть упругих постоянных были также измерены Яффе [9]. Значения пьезо-
электрических постоянных, полученные Шнитцером, Яффе и Мэзоном, хорошо согласу-
ются между собой. Шпитцер и Яффе показали, что для тартрата аммония наибольшая
пьезоэлектрическая постоянная d22 имеет значение + 26,0 • 10~3. Это приводит к электро-
механической связи, равной 20% для F-среза, работающего на колебаниях по толщине.
упругие постоянные	в единицах CGS	и их температурные		коэффициенты
на 1°С равны				
Е $11	3,60 • 10~12,	ГГ1 Е Tsyi	- +7,4 • 10~4,	
Е ~  $22 “	3,71 . 10“12,	TsE  Л d22	--- +3,5 • 10~4,	
Е $33	3,50 • 10-12,	TsE	- +4,6 • 10“4,	
Е $44	’	18,5 • 10“12,	TsE	- +9,0 • 10“4,	(10.96)
Е  66	8,50 • 10-12,	TsE	- +6,5 • 10-4,	
Е $12 		-1,2 • 10~12,	TsE  1 d12	= +6,8 • 10~4,	
Е $23	+ 0,35 • 10"12,	TsE  J d23	= -4,2 • 10-3.	

§ 6.	Возможность сегнетоэлектрических свойств у исследованных
кристаллов

Исключая сегнетову соль и KDP, среди кристаллов, исследованных в ши-
рокой области температур, только некоторые обладают настолько заметным
температурным коэффициентом пьезоэлектрических постоянных, что у них
можно ожидать вблизи абсолютного нуля или ниже температуры фазового
перехода проявления сегнетоэлектрических свойств. Этими кристаллами

Фиг. 101. Значение 1/<725 в зависимости от температуры для
тартрата лития-аммония.

являются хлорат натрия и бромат натрия (рассмотренные в § 1 данной главы),
EDT и тартрат лития-аммония. У последнего пьезоэлектрические постоян-
ные +1 и заметно возрастают с понижением температуры.

При тщательном исследовании сегнетоэлектрических свойств кристал-
лов обнаружено, что с температурой сильно изменяются две характеристики
кристалла: диэлектрические проницаемости и пьезоэлектрические постоян-
ные dip Как будет показано в следующей главе, диэлектрическая проницае-
мость зажатого кристалла, следовательно, и диэлектрическая проницае-
мость свободного кристалла за пределами его сегнетоэлектрической области,
приблизительно удовлетворяют закону Кюри-Вейсса:

.	(10.97)

где TQ~-точка Кюри, т. е. температура, при которой диэлектрическая про-
ницаемость становится очень большой и при которой возникает спонтанная
поляризация.

Поскольку, с одной стороны, пьезоэлектрические постоянные d удовле-
творяют тензорному соотношению

еТ

dnM = gmU-~- ,	(10.98)

а с другой, оказалось, что пьезоэлектрические постоянные g очень слабо
зависят от температуры, то, очевидно, вблизи точки Кюри пьезоэлектриче-
ские постоянные d должны становиться большими.

Если для тартрата лития-аммония отложить на графике величину
1/с?25 в зависимости от температуры, то получится кривая, приведенная
на фиг. 101. Для EDT такая же зависимость была прослежена вплоть
до 120° К, причем экстраполяция этой зависимости до абсолютного нуля
не показывает, чтобы у EDT проявлялись сегнетоэлектрические свойства.
Между тем для тартрата лития-аммония в интервале от 123 до 353° К кривая
прямолинейна, и если ее экстраполировать в сторону низких температур,
то она показывает наличие точки Кюри или некоторого переходного эффекта
вблизи 94° К. Измерения при дальнейшем понижении температуры с этими
кристаллами не проводились, так как экспериментальная установка не могла
создать более низкой температуры.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Mason W. Р., Phys. Rev., 70, 529 (1946). Упругие пьезоэлектрические и диэлек-
трические свойства хлората и бромата натрия.

2.	Voigt W., Lehrbuch der Kristallphysik, Leipzig, 1910.

3.	Bhagavant am S.,Surganar ay on D., Phys. Rev., 71, 553 (1947). Упругие
постоянные хлората натрия

4.	Wyckoff R. W. G., Crystal structures, N. Y., 1948.

5.	К э д и У., Пьезоэлектричество и его практические применения, М., 1949.

6.	Burstein Е., Rev. Sci. Instr., 18, № 5 (1947). Приближенные’измерения пьезо-
электрических свойств на кристаллах небольших размеров.

7.	Mandell W., Proc. Roy. Soc., 121, 130 (1928). Определение пьезоэлектрических
модулей аммониевой сегнетовой соли.

Mandell W., Proc. Roy. Soc., 165, 414 (1938). Резонанс в кристаллических брусках
натриево-аммониевой сегнетовой соли.

8.	М a s о n W. Р., Phys. Rev., 70, 705 (1946). Свойства моноклинных кристаллов.

9.	Jaffe Н., Bruch Со. report № W—28—003 to U. S. Signal Corps.

10*. Bechmann R., Proc. Phys. Soc., B65, 375 (1952). Упругие и пьезоэлектриче-
ские коэффициенты моногидрата сульфата лития.
Глава XI

ТЕОРИЯ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ

Сегнетоэлектрические кристаллы—это кристаллы, которые обладают
спонтанной поляризацией по одному или нескольким направлениям в опре-
деленном температурном интервале. Такие кристаллы обнаруживают гисте-
резисную зависимость поляризации и деформации от напряженности элек-
трического поля, а также обладают большой изменчивостью основных свойств
в зависимости от температуры.

В течение нескольких последних лет были достигнуты значительные
успехи в анализе свойств сегнетоэлектрических кристаллов и в выявлении
причин сегнетоэлектрических аномалий. Как показано в гл. VII, VIII и X,
зависимость пьезоэлектрического напряжения или деформации от электриче-
ской индукции или поляризации является однозначной. В то же время
пьезоэлектрическая деформация зависит неоднозначно от напряженности
электрического поля, поскольку индукция и поляризация сами неодно-
значно зависят от поля. В частности, было найдено, что отношение пьезо-
электрического напряжения к дипольной поляризации1) является постоян-
ным. При вычислении постоянной Ду, исходя из расположения атомов
в кристаллической решетке, не было достигнуто значительных результатов.
Единственная попытка Борна [1] привела к значениям, отличающимся от
экспериментальных не менее чем в 10 раз2).

Если, однако, определить пьезоэлектрическую постоянную (или fa)
экспериментально, то можно добиться значительного успеха в определении
остальных свойств кристалла и в выяснении связи их с атомной структурой.
Например, диэлектрическая проницаемость свободного кристалла, измеряе-
мая при низких частотах, является суммой двух величин: диэлектрической
проницаемости зажатого кристалла (т. е. диэлектрической проницаемости
кристалла при запрещении механических деформаций) и диэлектрической
проницаемости, связанной с энергией, запасаемой при механических дефор-
мациях. Измеряя пьезоэлектрические и упругие постоянные кристалла,
можно вычислить величину диэлектрической проницаемости, связанной
с механическими деформациями, а также однозначно определить величину
диэлектрической проницаемости зажатого кристалла. Другим методом опре-
деления диэлектрической проницаемости зажатого кристалла является
измерение диэлектрической проницаемости при частотах, которые значи-
тельно превышают частоты основных резонансов и их первых гармоник.
При таких частотах энергия не испытывает приращения от механических
колебаний, ибо эти колебания слишком малы, чтобы оказать заметное влияние.
Как показывает фиг. 39, значения диэлектрических проницаемостей зажа-
того кристалла, определенные обоими методами, хорошо согласуются между
собой.

Все аномалии сегнетоэлектрического кристалла связаны с диэлектриче-
ской проницаемостью зажатого кристалла. Это видно из того, что пьезо-

г) То есть тепловой ионной или ориентационной поляризации (в зависимости от
строения кристалла). (Прим, ред.)

2) См. примечание 5 на стр. 8. (Прим, ред )
электрическая постоянная /14, измеряющая отношение пьезоэлектрического
напряжения к дипольной поляризации, не обнаруживает никакого измене-
ния в точках Кюри; равным образом не обнаруживают изменения в
точках Кюри и упругие постоянные, измеряемые при постоянной
электрической индукции (за исключением небольших изменений, обсуждае-
мых в приложении, которые могут быть отнесены к эффектам второго
порядка). В то же время, как показывает фиг. 39, диэлектрическая про-
ницаемость зажатого кристалла, измеренная при высоких частотах, обладает
максимумами в точках Кюри, совпадающих с точками Кюри для диэлектри-
ческой проницаемости свободного кристалла. Величину диэлектрической
проницаемости зажатого кристалла можно также изменять, прилагая к кри-
сталлу гидростатическое давление, но это изменение связано с перегруппи-
ровкой молекул. В этом новом состоянии диэлектрическая проницаемость
свободного кристалла, измеренная при низких частотах, обладает точками
Кюри, которые все еще совпадают с точками Кюри для диэлектрической
проницаемости зажатого кристалла, измеряемой при очень высоких частотах.

Следовательно, для того чтобы понять свойства сегнетоэлектрических
кристаллов, необходимо понять природу диэлектрической проницаемости
зажатого кристалла. Оказывается возможным объяснить все сегнетоэлектри-
ческие свойства с помощью простой теории, как описывается в § 5, но
изложению теории целесообразно предпослать рассмотрение особенностей
диэлектрической проницаемости зажатого кристалла.

В настоящее время известны три различных типа сегнетоэлектрических
кристаллов: тип сегнетовой соли, тип KDP и тип титаната бария1). Кристаллы
типа сегнетовой соли обладают особым интервалом температур, внутри кото-
рого они обнаруживают сегнетоэлектрические свойства. Верхняя и нижняя
точки Кюри отмечают границы этого сегнетоэлектрического интервала.
С другой стороны, кристалл KDP имеет только одну верхнюю точку Кюри.
Он обладает сегнетоэлектрическими свойствами в интервале температур
от абсолютного нуля до 121° К и теряет их при более высоких температурах.
Кристаллы титаната бария способны обнаружить сегнетоэлектрические свой-
ства по трем различным направлениям. Они обладают верхней точкой Кюри
при 120° С и испытывают еще два превращения между этой температурой
и абсолютным нулем, как показывают результаты рентгеновских измерений
Мигоу [2] и измерений диэлектрической проницаемости. Эти превращения
связаны с тем, что в кристаллах появляется спонтанная поляризация по двум
или трем направлениям одновременно.

Используя данные расшифровки кристаллической структуры сегнето-
вой соли, определенной Биверсом и Хьюзом, автор развил теорию сегнето-
электрического эффекта и диэлектрической проницаемости зажатого кри-
сталла, которая, повидимому, количественно объясняет основные свойства
сегнетовой соли [3]. Эта теория обсуждается ниже в § 1. Для KDP связь
свойств с кристаллической структурой, повидимому, установлена теорией
Слэтера, усовершенствованной Бардином. В обоих кристаллах сегнето-
электрические диполи образуются благодаря смещению водородных ядер
вдоль линий водородных связей. В титанате бария сегнетоэлектрический
эффект объясняется, вероятно, тем, что трехмерная структура допускает
6 равновесных положений иона титана.

Структура сегнетовой соли [4, 5] представлена на фиг. 102. Здесь
в проекции на плоскость (001) показаны три возможных направления водо-
родных связей: между частицей кислорода 1 и молекулой воды 10, между

0 Возможность сегнетоэффекта у кристаллов типа перовскита подробно рас-
смотрена Г. А. Смоленским. Им же открыт и изучен ряд новых сегнетоэлектриков.
[35] {Прим, ред.)
молекулой воды 10 и молекулой воды 9 и между молекулой воды 9 и части-
цей кислорода 2. Расстояния между соответствующими частицами следую-
щие: от 1 до 10—2,59А, от 9 до 10—2,86 А и от 9 до 2—3,02 А. Сме-
щение иона водорода (протона) вдоль направления кратчайшего рас-
стояния, равного 2,59 А (между частицами 1 и 10), и обусловливает

•Фиг. 102. Структура сегнетовой соли в проекции на плоскость (001).

Связи 1 — 2—9—10, образующие непрерывные цепочки, выделены жирными линиями. Рядом с
символами частиц приводятся их координаты в долях элементарной ячейки. В приведенной ниже
таблице даны в долях элементарной ячейки координаты всех частиц, занумерованных в соответ-
ствии с рисунком.

Таблица координат

	х^а	У=Ъ	z~c
2 К в положении (а)	.		0,00	0,00	0,05
2 К »	»	(б)		0,00	0,50	0,15
4 Na в общем положении		0,23	0,99	0,52
4 0 в положении (1)		0,12	0,10	0,37
4 0	»	»	(2)		0,22	0,20	0,12
40	»	»	(3)		0,23	0,40	0,82
4 0	»	»	(4)			0,06	0,37	0,85
4 ОН »	»	(5)		0,16	0,36	0,32
4 ОН »	»	(6)		0,29	0,24	0,63
4 Н2О »	»	(7) 		0,40	0,08	0,50
4 Н2О »	»	(8)		0,25	0,05	0,87
4 Н2О »	»	(9)		' 0,44	0,30	0,05
4 Н2О »	»	(10)		0,42	0,40	0,45
4 С в общем положении		0,15	0,18	0,28
4 С »	»	»			0,12	0,28	0,42
4 С »	»	»			0,17	0,27	0,65
4G»	»	»	...»	  .	0,15	0,35	0,80
сегнетоэлектрический эффект1). Эта связь направлена почти параллельно оси
х, которая является сегнетоэлектрической осью кристалла (координаты х, у, z
вектора,о направленного вдоль связи в элементарной ячейке, равны 2,35,
О, 1,09 А). Теория, обсуждаемая в § 1 и основанная на действии этой водо-
родной связи, приводит к объяснению сегнетоэлектрического эффекта,
давая правильную величину спонтанной поляризации и температур Кюри.
Теория приводит также к хорошему количественному совпадению с резуль-
татами измерений диэлектрической проницаемости зажатого кристалла
и с результатами недавних измерений, которые показывают, что дипольная
диэлектрическая проницаемость релаксирует при частотах около 5 • 108 гц.

Фиг. 103. Вероятное распределение потенциала вдоль водородной
связи I—10.

а—распределение потенциала в случае эквивалентности частиц 1 и 10;
б—распределение потенциала в случае неэквивалентности частиц 1 и 10.

§ 1.	-Сегнетоэлектрический эффект в сегнетовой соли

По современной теории сегнетоэлектрический эффект в сегнетовой соли
связывается со смещением ионов водорода (протонов) вдоль линий водород-
ных связей 1—10. Поскольку эти связи осуществляются между молекулами
воды и ионами кислорода, не имеется достаточных оснований полагать, что
они окажутся симметричными. Поэтому мы допустим, что потенциальное
поле вдоль линии связи имеет вид, показанный на фиг. 103, б. Две водород-
ные связи 1—10, идущие вдоль положительного направления оси х, будут
рассматриваться как связи типа 1, в то время как две другие связи 1—10

*) Мы называем структурные элементы 1 и 2 «частицами» кислорода, поскольку ча-
стица 1 ведет себя как положительный ион по отношению к молекуле воды 10 и как отри-
цательный ион по отношению к ионам К и Na. Связи 1 —10—9—2—1 протягиваются не-
прерывной'цепочкой в структуре вдоль оси х и являются направленными Если частица 1
сместится по направлению к частице 2 в результате поляризующих влияний соседних
элементов структуры, то направление цепочки 1—10—...—1 изменится на противополож-
ное. Водородные связи соединяют лишь частицы 1—10, поскольку расстояние между
ними меньше суммы ионных радиусов кислорода (2,64А). {Прим, ред.)
противоположного направления будут рассматриваться как связи типа 21).
Такое распределение связей вызывает появление двух систем потенциальных
ям, как показано на фиг. 103, б. Обозначим величину асимметричного
смещения уровней потенциальных ям через 2А, высоту потенциального
барьера от среднего уровня дна ям—через АС/ и расстояние между двумя
соседними ямами—через о. Тогда, согласно элементарной кинетической
теории, вероятность перехода ионов водорода из одних потенциальных
ям в соседние за единицу времени будет выражаться величиной

а = Те-адт,	(11.1)

где Г—постоянная, представляющая по теории абсолютных скоростей реак-
ций Эйринга2) частоту инфракрасных колебаний, принятую равной kT/h.

Пусть а12 будет вероятностью перехода частицы через потенциальный
барьер за единицу времени в положительном направлении оси х, а а21-—
вероятностью противоположного перехода. Обозначим через Nх число
ионов водорода в 1 см? объема, находящихся в потенциальных ямах, смещен-
ных от центра в отрицательном направлении оси х, и через IV 2 число ионов,
находящихся в ямах, смещенных в положительном направлении, для свя-
зей типа 1. Для связей этого типа имеем соотношения

(11.2)

где р—величина дипольного момента молекулы, a N—число ионов водорода
в единице объема3 * *). Если ион водорода располагается посредине между
двумя ионами кислорода, связь является нейтральной, и дипольного момента
не существует. Если ион водорода смещается на расстояние 8/2 от централь-
ного положения, возникает дипольный момент, равный е&/2, где е—заряд
электрона (4,80-10~10 ед. GGSE), и эту величину следует принять за диполь-
ный момент молекулы. (В действительности дипольный момент, повидимому,
меньше, что связано с противоположной поляризацией соседних частиц
кислорода под действием иона водорода, но этим эффектом мы пренебрегаем.)
Поскольку водородная связь проходит под углом 25° к оси х, дипольный
момент в проекции на эту ось будет равен р- —у cos 25°.

Скорость изменения во времени дипольной поляризации для связи типа 1
равна

dP,	рл

—— (TV!а12 — N2а21) [1 -- —(а12 а21)	(а12 -|- а21),	(11.3)

если подставить соответствующие величины из соотношений (11.2). Следова-
тельно, скорость изменения поляризации равна произведению 7V3—числа
ионов водорода, расположенных в потенциальных ямах, смещенных в отри-
цательном направлении оси х, на вероятность перехода а12 в положительном
направлении и на дипольный момент р минус противоположная величина
TV2a21p. Теперь допустим, что мы приложили поле Е. Это вызовет изменение
потенциального поля, как показано пунктирной линией на фиг. 103, б.
Происходит смещение дна потенциальных ям на величину AS и изменение
высоты потенциального барьера, который должны преодолеть частицы,
чтобы достигнуть другого потенциального минимума. Величина смещения

!) На элементарную ячейку сегнетовой соли приходится четыре водородные связи
попарно противоположного направления, так что в целом ячейка является электрически
нейтральной. (Прим, ред )

2) См. [31]. (Прим, ред.)

з) Мэзон называет молекулой группу частиц, входящую в О—Н—0-связь, а диполь-

ный момент р дипольным моментом молекулы. Более целесообразно называть р диполь-

ным моментом водородной связи. (Прим, ред.)
дна потенциальных ям не зависит от температуры, и поляризация, связанная
с этим смещением, может быть объединена с поляризацией электронного
и атомного смещений. Дипольная поляризация, появляющаяся в резуль-
тате перехода водородных ионов через потенциальные барьеры, контроли-
руется высотой барьеров:

EU - А - у Fe В cos 25° и AfZ + A-pl- То? В cos 25°,	(11.4)

где F cos 25°—составляющая внутреннего поля вдоль оси х, е—заряд элек-
трона и В—расстояние между двумя потенциальными ямами* 1).

После приложения поля Е и изменения величины поляризации возникнет
внутреннее поле типа поля Лорентца, которое можно вычислить по формуле

F=E + $P,

где коэффициент р равен 4тс/3 для изотропной среды, но может отличаться
от 4тс/3 для кристалла. Долгое время считали, что эта формула является
очень грубым приближением, поскольку распределение поля в различных
частях элементарной ячейки не может быть одним и тем же. Слэтер [6],
обсуждая свойства дигидрофосфата калия, допустил, что внутреннее поле F
пропорционально полю Е, причем фактор пропорциональности изменяется
в зависимости от направленияF в элементарной ячейке. Буш [7], с другой
Стороны, принимает полную поляризацию за наиболее постоянную величину
и утверждает, что внутреннее поле может быть различным в зависимости
от того, вызывается ли оно поляризацией электронного и атомного смеще-
ния Ре или дипольной поляризацией Pd. Этому соответствуют следующие
два уравнения Буша:

FE = E + \ieP, Е^Е + %Р.

Более правдоподобное предположение может быть получено, если
считать, что внутреннее поле определяется суммарным распределением
зарядов, связанным с поляризацией электронного и атомного смещений
и с дипольной поляризацией, как принимается в теории растворов [8].
Следовательно,

F^+рА + рл.

Можно считать, что поляризация электронного и атомного смещений
не носит направленного характера, так что коэффициент [1е будет равен 4к/3.
Однако дипольная поляризация имеет направленный характер, и ее дей-
ствие на местное поле может выражаться коэффициентом, меньшим, чем 4^/3,
из-за экранирующего влияния соседних частиц кислорода.

Полагая ре = 4тс/3 и р^ •= р, где р может иметь различные значения для
различных кристаллов, однако всегда меньше 4тс/3, и считая, что РЕ про-
порционально внутреннему полю, получим

4тс	4тг	Е “Ь pFя

F = Е + Рв + $Pd = E + -Х + №Л или F =----------(11.5)

1 Г1

где у—поляризуемость единицы объема, связанная со всеми типами поля-
ризации, за исключением поляризации водородных диполей. Значение у
может быть определено путем измерения диэлектрической проницаемости
при абсолютном нуле, ибо при абсолютном нуле дипольная поляризация
равна нулю.

У Действие составляющей внутреннего поля Feos 25° в данном случае аналогично
действию поля Е, показанному на фиг. 103,а. На расстоянии В/2 от центра связи эта сос-
тавляющая Feos 25° вызовет дополнительное изменение уровней потенциальных ям на

1

величину + — Ее 8 cos 25°. {Прим, ред.}
В таком случае

•(Е

. 4тс



Диэлектрическая проницаемость г0 при абсолютном нуле Определяется
отношением электрической индукции к полю

е» = -Ж=“£----- J ,	

1--уК

Следовательно?

Полная поляризация равна

Р = РЕ + Pd =	+ р =	Е + РJ14---•

i-yT	\	1^-7/

Отсюда видно, что дипольная поляризация, измеренная любым способом,
например по кривым гистерезиса, является внутренней дипольной поля-
ризацией, увеличенной на величину поляризации электронного и атомного
смещения, обусловленного дипольной поляризацией. Измеряемая дипольная
поляризация равна поэтому

P'^Pd [1 + ?(Х)] •	(11.7)

В таком случае диэлектрическая проницаемость будет определяться урав-

нением

D
£'~ Е " S°

ХЧХХ)]-

(11.8)

Чтобы определить внутреннюю дипольную поляризацию, можно подставить
величину F из (11.5) в выражения для потенциальных барьеров (11.4),
тогда получим, согласно (11.1),

а21 = Ге-[№+4+2-™^(Е+

(11.9)

Подставляя эти значения для а]2 и а21 в уравнение (11.3) и вводя сокра-
щенное обозначение

^2,^ COS2 25°	_ paft#

(11.10)

получим следующее дифференциальное уравнение для определения диполь-
ной поляризации, обусловленной водородными связями типа 1:

4-5 I J ('»?'•) j". [<). !- ЧЧ₽)) ' <« ">

Аналогичным образом получим и уравнение для связей типа 2:

(11.11')

Эти два уравнения определяют все сегнетоэлектрические и диэлектрические
свойства кристалла.
Для статических условий мы можем положить dJE\ / dt -- dP2 j dlA),
Складывая полученные выражения для Р^ и Р^, получим

(11.12)

Это выражение с помощью формул для суммы гиперболических функций
может быть приведено к виду

Фиг. 104. Отношение спонтанной поляризации Pg*к максимальной
дипольной поляризации Аф. в зависимости от факторов А (сплошная
кривая) и А' (пунктирные кривые) при различных значениях &1кТ.

Полагая поле Е равным нулю, получим

Ра

, APd , APd
sh Np. ch Аф

(11.14)

19 A no
ch 1z+sh

Простейший случай имеет место для кристаллов KDP, как это опи-
сывается в следующем параграфе; в этом случае величина асимметричного
смещения потенциальных ям А равна нулю, и уравнение (11.14) принимает
простую форму

(11.15)

Если фактор А больше единицы, это уравнение будет иметь отличные от
нуля действительные положительные и отрицательные решения, которые
представляют спонтанную поляризацию вдоль положительного и отрица-
тельного направлений оси х. Для значений А, не сильно отличающихся от
единицы, мы можем заменить th (APd/Np) двумя первыми членами разложе-
ния тангенса в ряд, т. е. величиной

= А | А3 Г •
N ;х	\ N[j. у 3	у 2Vtx у

Разрешая это соотношение относительно Pd/Np, получим

<11Л6>

Графическое решение этого уравнения представлено сплошной линией
на фиг. 104, где величина спонтанной дипольной поляризации Pd обозначена
через А1). Влияние А—величины асимметричного смещения потенциальных
ям заключается, в принципе, в том, что фактор А изменяется до значенияг

Ф и г. 105. Расстояние между потенциальными ямами В и высота потен-
циального барьера ДС в зависимости от длины водородной связи (рассто-
яния между частицами кислорода).

при котором может возникнуть сегнетоэлектрический эффект. В непосред-
ственной близости от точек Кюри отношение	очень близко к нулюг

так что можно заменить

Ц APl	л И 2 APd	MAY

ch л7 чеРез sh ж ”ерез ЫУ '

Тогда, учитывая, что

д 1

ch2 —- -=

kT

мы приведем уравнение (11.14) к виду

> Ч)ЧЧ{1+-ЧЧУ С1-11ЧЧУ} • (11Л7>

х) См. соотношения (11.27) на стр. 222. (Прим, ред.)
•Следовательно, в этом случае выражение

(11.18)

должно быть больше или равно единице, для того чтобы сегнетоэлектриче-
ский эффект был возможен. На фиг. 104 пунктирными линиями пока-
зан ход отношения P^/N^ в зависимости от А' для значений k.]kT — 3/5;
&/kT = &/кТ — Увеличение В приводит к возрастанию спонтанной
поляризации при одном и том же значении А'.

Для того чтобы вычислить величину фактора А, необходимо знать,
каким образом расстояние 51) зависит от расстояния между частицами кисло-
рода 1 и 10. Наибольшее значение 8 получится, если мы допустим, что радиус
иона водорода (равный радиусу ядра водорода в воде—0,99 А.) не изменяется
при изменении расстояния между частицами кислорода. Этому предположе-
нию соответствует прямолинейная зависимость 8, показанная сплошной
линией на фиг. 105. Другой результат был получен Хаггинсом [9], исполь-
зовавшим две потенциальные кривые Морза для случая меняющегося рас-
стояния между частицами кислорода. Результаты Хаггинса, согласован-
ные с величиной 8 для воды, показаны нижней сплошной линией на фиг. 105.
-Здесь же приводится зависимость высоты потенциального барьера AZ7 от
расстояния между частицами кислорода, вычисленная по данным Хаггинса.
Некоторым подтверждением такого хода кривых служат результаты, полу-
ченные недавно Ландсбергом и Барышанской [10] при наблюдении спектров
комбинационного рассеяния в кристаллах KDP и ADP. Для K.DP, длина
водородных связей которого равна 2,54 А, они получили значение 8=0,38 А
в близком согласии со значением 0,4 А, показанным на фиг. 105 2). Поэтому мы
будем считать, что зависимость величин 8 и AU от расстояния между частицами
кислорода выражается соответствующими кривыми на фиг. 105. В сегнетовой
•соли кратчайшее расстояние между частицами кислорода равно приблизи-
тельно 2,59 А, что дает для 8 значение 0,51 А. На каждую элементарную
ячейку, имеющую объем 14,3х 11,93х 6,17 А, приходится четыре связи типа
1—10. Следовательно, N—число водородных диполей в 1 см3—равно 3,81 -1021.
Поляризуемость у связана с диэлектрической проницаемостью е0, обуслов-
ленной поляризацией электронного и атомного смещения, соотношением

^7 = ^-2-	<11Л9)

При низких температурах (начиная с —160° С), как показывает фиг. 38,
диэлектрическая проницаемость достигает минимального постоянного зна-
чения и далее не уменьшается. Согласно излагаемой теории, при этой темпе-
ратуре ионы водорода «замораживаются» в потенциальных ямах каждой
связи. Поэтому мы примем для е0 значение, равное 7. Подставляя это значе-
ние в соотношение (11.19), получим

7 = 0,159.	-	(11.20)

Величина А или Ь/кТ при некоторой фиксированной температуре (напри-
мер, в верхней точке Кюри) определяет, в принципе, крутизну спада диэлек-

0 То есть расстояние между двумя возможными положениями иона водорода в по-
тенциальных ямах вдоль водородной связи. (Прим, ред.)

2) Авторы нашли также, что при температуре 150° К спектр комбинационного рассе-
яния света, отвечающий NH-связи, в кристаллах ADP, повидимому, расщепляется на
серию узких максимумов, тогда как спектр ОН-связи сохраняет такой же вид, как и в
кристаллах КН2РО4. Этот факт служит подтверждением того, что превращения в ADP
«вязаны с системой NH-связей.
прической проницаемости при понижении температуры. Для того чтобы такой
спад происходил достаточно быстро, значение Ь/kT примем равным 2/з в верх-
ней точке Кюри. График функции	Т в зависимости от аб-

солютной температуры приведен на фиг 106 для различных значений отноше-
ния ЩкТ в верхней точке Кюри (24° С). В пределах сегнетоэлектрического
интервала выражение ((1 — thP^^/T увеличивается на 4,5%, и, поскольку
фактор А' должен быть равен 1 при—18° С (нижняя точка Кюри), это увели-
чение должно компенсироваться уменьшением величины 52. Если длина водо-
родной связи уменьшается в той же степени, как и весь кристалл вдоль оси х
(65'10~6 на ГС), то расстояние между частицами кислорода при уменьшении

Значения Д/kT взяты при температуре 297° К = 24° С.

температуры в пределах интервала Кюри уменьшается от 2,590 до 2,583 А,
а величина о2 уменьшается на 7 %. Но в то же время N увеличивается пример-
но на 2/3% в связи с уменьшением размеров элементарной ячейки, а выраже-
ние 1/(1 —Т" 0—на 2% в связи с увеличением числа водородных диполей
в единице объема при понижении температуры, и этого оказывается доста-
точным для того, чтобы фактор А' вновь стал равен единице при —18° С. За
пределами интервала Кюри фактор А' становится меньше единицы, и кри-
сталл теряет сегнетоэлектрические свойства.

Изученная Бэнкрофтом [11] зависимость положения точек Кюри от ве-
личины гидростатического давления хорошо согласуется с найденной зави-
симостью В от длины водородной связи. Как показывает фиг. 35, если к кри-
сталлу приложить гидростатическое давление в 11 000 кг/см2, то можно пони-
зить верхнюю точку Кюри (4-24° С) до температуры, при которой в обычных
условиях находится нижняя точка Кюри. Принимая для коэффициента
объемного сжатия значение 3,6-10~12сж2/5гги, а для коэффициента сжимаемо-
сти вдоль оси х—значение 2,0-10~12с>2/бнн, найдем, что объем кристалла
уменьшится на 3,9%, а длина оси х—на 2,1 %, если к кристаллу приложите
гидростатическое давление в 11 000 кг/см2. Считая, что изменение длины
водородной связи пропорционально изменению длины элементарной ячейки
вдоль оси х, найдем, что расстояние между частицами кислорода уменьшится
от 2,59 до 2,53 А, а величина о2 изменится в 0,62 раза. При этих условиях N
увеличится на 4%, а выражение 1 /^1 —	—на 12%. Величина асимметрич-

ного смещения уровней потенциальных ям А может несколько уменьшиться
при высоком давлении, так что выражение [1-—th2(A/AT)] также увеличится.
Следовательно, все эти величины почти уравновешивают друг друга, и зави-
симость расстояния между потенциальными ямами В от длины водородной
связи не сильно отличается от зависимости, выражаемой приведенной
кривой.

Все величины, входящие в выражение для фактора А', известны доста-
точно хорошо, за исключением величины р. Если в выражение

(11-21)

3

подставить соответствующие величины:

е = 4,80 • Ю-1 ° CGSE ед. заряда, В = 0,51 • Ю"8 см, Л’= 3,81  102’,
cos2 25° = 0,881, [1 — th2 (А/ЛГ)] = 0,66, А; = 1,38 • 10-16 эрг/град, Т = 297°К
и разрешить это выражение относительно р, то получим

₽ = 4,4,	(11.22)

что хорошо согласуется с теоретическим значением 4тг/3=4,19.

1. Коэрцитивная сила и диэлектрическая проницаемость при сильных
полях. Уравнение (11.13) и постоянные, вычисленные из приведенных выше
соотношений, открывают путь для определения свойств кристалла при силь-
ных полях. Это уравнение справедливо главным образом для кристалла,
состоящего из одного домена. Поскольку в сегнетоэлектрическом интервале
различие между симметричной водородной связью и двумя асимметричными
связями типа 1 и 2 мало и введение последних приводит к значительным
затруднениям, результаты настоящего рассмотрения, а также приведенного
ниже в п. 2, основываются на принятии симметричного распределения потен-
циального поля вдоль линии связи1), причем под А теперь будет подразу-
меваться фактор А', определяемый выражением (11.21).

Начнем наше рассмотрение с выражения

<и-23>

для отношения дипольной поляризации к полной. Замечая, чю

3,81 • 1021 • (4,8 • 10-10) • 0,51 • 10~8 /сгп ГГС17 /м э/\
JVpu = —— -----—— -------— -------= 4650 ед. GGSE, (11.24)

так что отношение А'/Р-Ур-будет равно приблизительно 4,9-Ю-5, мы можем
представить выражение (11.23) в приближенной форме:

th _l th —

=	4-9' i°'5£+lh w 

0 Предполагается, что внешнее поле отсутствует. (Прим, ред.)
AF

при этом мы заменяем величину его аргументом и отбрасываем по

малости второе слагаемое, входящее в знаменатель. Зависимость спонтанной
поляризации от температуры для сегнетовой соли с обычной и тяжелой
водой показана на фиг. 34. Максимальная поляризация сегнетовой соли
достигает величины в 740 ед. CGSE при 0° С. Однако этот результат отно-
сится к измеряемой величине Pd, которая, согласно уравнению (11.7), больше
величины внутренней дипольной поляризации Ра в 3,1 раза:

Фиг. 107. Графическое решение уравнения (11.25) для
определения коэрцитивного поля.

Следовательно, отношение APd/Np равно примерно 0,05. В таком случае
мы можем представить гиперболический тангенс двумя первыми членами его
разложения в ряд и, учитывая (11.23), переписать уравнение (11.25) в форме

УР-Р(УгУ--•10 ^’+4^ •	ci-26)

7V|x з V W у	Ар-	х '

По этому уравнению можно вычислить теоретическое значение вели-
чины коэрцитивного поля, которое необходимо приложить для того, чтобы
изменить знак поляризации одного домена. Форма кривой, определяемой
уравнением (11.26), показана на фиг. 107 в увеличенном для наглядности
виде. Чтобы определить коэрцитивное поле, требующееся для перемены зна-
ка поляризации домена, мы должны увеличить отрицательное поле Е в такой
мере, чтобы величина—4,9.10“6 Е стала равной наибольшему отклонению
•степенного ряда (11.26) от прямой линии, проходящей через начало отсчета
и значение ряда для данного отношения Pa/N^1). Согласно вычислениям,
перемена знака поляризации происходит при значениях Pd/N^=0,035

г) Следовательно, наибольшее отклонение измеряется отрезком оси абсцисс между
двумя параллельными прямыми, одна из которых проходит через начало отсчета, а другая
является касательной к графику функции

, APd APd A3 f Pd V

th ~	3	’ (Прим, ped.)
и £'=0,33 ед. CGSE или около 100 в/см, что совпадает по порядку вели-
чин с экспериментальными значениями, представленными на фиг. 361).

2. Диэлектрическая проницаемость зажатого кристалла при слабых
полях. Решения уравнений (11.11) при небольшом приложенном электриче-
ском поле также приводят к результатам, которые согласуются количественно
с измеренными в некотором интервале частот и температур значениями ди-
электрической проницаемости зажатого кристалла при слабых полях. Для
простого гармонического колебания мы положим

E^EQei'\ Pd = Ps^P^,

(11.27}

где Ps—спонтанная дипольная поляризация. Так как меняющиеся со вре-
менем напряженность поля и поляризация малы по сравнению со ]спонтан-
ным эффектом, то мы можем записать

sh А



414 ) zjwi

X

Xeh^+ch4^>,^

и положить

sh А (	А (е^, ch А (	1.

Ч J	Ч № J	Ч J

С этим приближением уравнения (11.11) дают следующие решения:

Л, + Рое^ = Ч

। Л(Е0 + $Р0)Л'*

+А №

Д ЛР< ’

г ch кТch 7^



Д . Aps
кТ TVjx

(11.28)

Д , ^3
кТ N?

—s>) 1У

kT^ NpJ ][

/а>Р0

АЁЛ

YchkTchW

Складывая оба выражения, получим выражение для спонтанной поляризации



х) Если воспользоваться данными, приведенными на стр. 221 (см. также стр. 225), то

> г а=0,051 и величина коэрцитивного поля будет равна 0,9 ед. CGSE, или
jvp. 3,1 • 4650

270 в/см. {Прим, ред.)
и выражение для переменной части поляризации1)

1-

Д Aps~\

2

АР..

Д APS

Г ch —ch
kT 2V,u

(11.30)

Рассматривая сначала случай
т. е. случай, когда А — 0, получим

отсутствия асимметричного

смещения,

Ps , APS

Л) =---

1-4

j^ulhT '

Р АР

Г ch ~s
N^

(11.31}

Подставляя выражение (11.31) для переменной части поляризации
нение (11.8), получим	j

в урав-



е= s0-{

(11.32)

1—4

А Р
г ch^p
No.

Вне интервала Кюри (т. е. когда PS = Q) диэлектрическая проницаемость
точно выражается уравнением

4^(v:

-о ।

(11.33>

Внутри интервала Кюри А приблизительно равно единице, а также
3(4-1)
~	43	’

х) В уравнениях (11.28) и (11.30) исправлены опечатки, содержащиеся в ориги-
нале. Болес точное решение отличается от (11.28) выражением знаменателей в последних
членах, а именно:

, Д , 4P.S

вместо 1 ch 7-ch следует записать
кТ No. J

г L < Л 4PS\	, У А , 4Р,\

г ch + Ж / первом уравнении И Г ch	J

во втором уравнении (11.28). При этих уточнениях последний член в уравнении (11.30)-
должен быть записан в следующем виде:

^ewlhT

Г

У°1 ,

А+4Г>уг

кТ N? J

Ро,
кТ N-f. J J

/ Д AP \

При достаточно малых APs/Np и &{kT можно положить ch ( ±	+ -^4 ) ==

— ch^ch^*-8 , и уравнения (11.28) и (11.30) примут приведенный в тексте вид. Однако
nJ. X V

при выбранном для сегнетовой соли значении Д/АТ'=2/3 (стр. 219) и при AP^jN^ — 0,051
(стр. 221) погрешность, вносимая таким приближением, доходит до 30% величины

Д АР

ch— ch -vrA пто ПРИ высоких частотах не является допустимым. То же самое справед-
кТ No.

ливо и относительно всех выражений, вытекающих из (11.28) и (11.30). (Прим. ред.)>
и выражение (11.32) принимает вид1)

е~£о-г	j^uikT •	(11.34)

1 — А А- ---т^=-	'

В случае асимметрии, т. е. в случае Д^О, диэлектрическая проницае-
мость вне интервала Кюри точно выражается уравнением

— Г1+?

e_75o + -L--------, где -4'=x(l-th2 *Ay	(11.35)

4__ Л' _1_ 7 0)6_

Проводя разложение в степенные ряды гиперболических тангенсов, входя-
щих в выражения (11.29) и (11.30), можно показать, что уравнение (11.34)
о достаточным приближением остается справедливым внутри интервала
Кюри, если А заменить на А'.

С помощью полученных выражений можно,вообще говоря, принципиаль-
но объяснить наблюдающиеся значения диэлектрической проницаемости
зажатого кристалла. Точные значения диэлектрической проницаемости
зависят от допущений, сделанных при вычислении дипольного момента, от
величины асимметричного смещения Д, неоднородности кристалла и т. д.
Излагаемая теория, однако, не объясняет ни конечных значений диэлектри-
ческой проницаемости зажатого кристалла в точках Кюри, ни гистерезисного
характера изменения сопротивления при небольших амплитудах как вне,
так и внутри интервала Кюри, существование которого очевидно из того,
что Q сохраняет почти постоянное значение в интервале частот, показанном
на фиг. 39. Эти эффекты, быть может, объясняются доменной структурой
кристалла, которая приводит к расширению интервала Кюри, так как раз-
личные домены обладают различными температурами Кюри в зависимости от
испытываемых ими деформаций.

Выражения для диэлектрической проницаемости согласуются с резуль-
татами недавних измерений диэлектрической проницаемости сегнетовой соли
при частоте 2,5 ЛО10 гц, сделанных Ягером. Ягер нашел, что в интервале
температур от—40 до +26° С диэлектрическая проницаемость и Q практиче-
ски не зависят от температуры и имеют значения

е-=8,0,	(> 0,25.	(11.36)

Эти измерения были проделаны с помощью волноводной техники. Они указы-
вают на то, что при такой высокой частоте ориентация водородных диполей
не может следовать за полем, в результате чего часть диэлектрической прони-
цаемости, зависящая от дипольной поляризации, очень мала2).

*) В оригинале в выражении (11.34) допущена ошибка: в знаменателе дроби стоит
величина 2(А—1) вместо 1—А. (Прим, ред.)

2) Ср. значение е = 8 с величиной диэлектрической проницаемости е0=7, измерен-

ной при низких температурах (см. стр. 112). (Прим, ред.)
Теоретически ожидаемый импеданс кристалла можно получить, исходя
из уравнения (11.32). В результате имеем

(11.37)

Это выражение состоит из двух членов: Zd представляет импеданс, связан-
ный с дипольной поляризацией, a Zo—импеданс конденсатора с диэлектриче-
ской проницаемостью е0, связанной с другими типами поляризации. Обу-
словленный дипольной поляризацией импеданс, рассчитанный на 1 еж3, равен

Обусловленный диэлектрической проницаемостью г0 импеданс, рассчитан-
ный на 1 еж3, равен

Чтобы дать оценку этим соотношениям, примем, по Эйрингу, для постоян-
ной Г значение Г = kT/h. Значение, которое следует принять для ДС/ в сегне-
товой соли, несколько неопределенно. Если мы возьмем значение, полученное
Хаггинсом для величины 3, равное 0,51 А, и используем классическую стати-
стику, то величина LU будет равна 1800 кал/молъ. Если, однако, использо-
вать квантовую статистику, то мы должны вычесть отсюда величину нулевой
энергии. Результаты описанных в следующем параграфе измерений KDP
при высоких частотах показывают, что величина потенциального барьера не
может превышать 100 кал/молъ. Поскольку для KDP S=0,40 А, найдем по
графику (фиг. 105), что Д(7—700 кал/молъ, так что для величины нулевой
энергии можно принять значение 600 кал/молъ. Поэтому ДП для сегнетовой
соли будет равно 1200 кал/молъ. Используя при вычислениях уже известные
значения: р = 4,4, Ps/7Vp. = 0,051, А' = 1,00093, Л = 6,62-10~27 эрг-сек,
А: — 1,38• 10-16 эрг/град, 71=273°К, ДС/= 1200 кал/молъ, е0=7, найдем для
частоты 2,5-1О10 гц

Zd^ 1,64 — у • 0,014, Z0-~/-10,3.	(11.40)

Следовательно, активное сопротивление, связанное с дипольной поляри-
зацией, больше реактивного сопротивления. Найденная частота релакса-
ции равна приблизительно 5-108 гц при 0° С. Исходя из экспериментальных
значений Ягера (11.36), найдем, что импеданс, рассчитанный на 1 см3, при
частоте 5-108 гц должен состоять из реактивного сопротивления, равного
9,0 ом, и активного сопротивления, равного х/4 этого значения, т. е. 2,25 ома.
Эти результаты отличаются от вычисленных теоретических значений менее,
чем в 2 раза.
3. Теоретическое объяснение свойств сегнетовой соли с тяжелой водой.
Если в молекулах воды и гидроксильных группах заместить ионы водорода
на ионы дейтерия, произойдет весьма значительное изменение свойств кри-
сталла сегнетовой соли. По данным Хаблютцеля [12], представленным на
фиг. 34, нижняя точка Кюри смещается до—22° С, верхняя—до 4-35° G
и величина спонтанной поляризации значительно возрастает. Поскольку
размеры элементарной ячейки кристалла не изменяются заметным образом,
распределение потенциальных ям вдоль связи должно быть тем же самым,
и различие в поведении должно быть приписано более низкой нулевой энер-
гии, которой обладает дейтериевая связь по сравнению с водородной связью.
Понижение нулевой энергии обусловлено уменьшением подвижности моле-
кул. Этот эффект можно приближенно учесть, положив, что постоянная
Больцмана к для сегнетовой соли с тяжелой водой по сравнению с обычным
значением имеет меньшее значение: ка = к (1—х). Подставляя это значение
в выражение (11.18)

d ._{ 112_

,,	№2	кТ

Я Л	кТ

1	3 1

получим выражение для фактора А' с учетом понижения нулевой энергии:

Влияние замещения протона дейтроном на положение точек Кюри будет
зависеть в таком случае от отношения разности уровней потенциальных ям
Л к кТ в точках Кюри. Если отношение к/кТ равно 0,775, то точка Кюри не
будет смещаться. Если отношение Ь./кТ меньше этого значения, то температура
Кюри будет возрастать, а если больше—уменьшаться. Для согласования
с экспериментальными результатами отношение Д/Л Т в верхней точке Кюри
(24° С=297° К) должно равняться 0,69 и, следовательно, в нижней точке
Кюри (—18°С=255°К) ДДТ'—0,807. Поэтому верхняя температура Кюри
для сегнетовой соли с тяжелой водой повышается, а нижняя-—понижается.
Эти значения ЩкТ очень близки к 2/3, значению, принятому для верхней точки
Кюри для того, чтобы диэлектрическая проницаемость спадала с достаточ-
ной быстротой при понижении температуры.

Если величина асимметричного смещения Д равна нулю, как в случае
дигидрофосфата калия, рассматриваемого в следующем параграфе, то влия-
ние понижения уровня нулевой энергии скажется на увеличении температуры
Кюри в (1-рх) раз. Как видно из фиг. 48, для KDP множитель (1+х) доста-
точно велик. Для определения значения х требуется квантовомеханическое
рассмотрение водородной связи.

§ 2. Сегнетоэлектрический эффект в дигидрофосфате калия (KDP)

Существенное различие между сегнетоэлектрическим эффектом в сегне-
товой соли и KDP заключается в том, что первая обладает верхней и нижней
точками Кюри, тогда как KDP обладает только одной точкой Кюри при
121°К и сегнетоэлектрическим интервалом, простирающимся от 0 до 121° К,
выше которого кристалл теряет сегнетоэлектрические свойства. Применяя
к дигидрофосфату калия теорию, развитую в предыдущем параграфе, можно
показать, что причина такого различия заключается в том, что сегнетова
соль имеет комбинацию двух асимметричных водородных связей, а дигидро-
фосфат калия обладает симметричной водородной связью, причем положения
водородных ядер не «замораживаются» при понижении температуры.
Для того чтобы показать, что дипольный момент в дигидрофосфате калия
практически не зависит от температуры, нам необходимо использовать соот-
ношения для диэлектрической проницаемости, выведенные в предыдущем
параграфе. Для симметричной связи это будут следующие соотношения:

(11.41)

Подстановка выражения для 4 в соотношение для А дает
кт I ' з J ~т *

Подставляя эту величину в первое уравнение, получим для диэлектрической
проницаемости при температурах выше точки Кюри (где Р8—(У) и низких ча-
стотах (где мнимым членом можно пренебречь) следующее выражение:

где

(11.42)

Следовательно, если дипольный момент мало зависит от
ратуры, то диэлектрическая проницаемость будет удовлетворять
Кюри-Вейсса:

где

i +	. г0-^Г1+^1 •

к L	J L 3 J и к L 1	3 J

Поэтому

kitT о

темпе-
закону

(11.43)

Диэлектрическая проницаемость зажатого кристалла KDP, определяемая
выражением (8.11), очень хорошо удовлетворяет уравнению

£s = 45_l._3100_

3	’° 1 Т — 121°К

для температур, не очень близких к точке Кюри. Следовательно»
С -3100, е0-=4,5, 70-121°К.

(11.44)

(11.45)

Согласно данным рентгеноструктурного исследования [13], параметры
элементарной ячейки, содержащей четыре молекулы, равны 7,43; 7,43 и 6,97 А
по осям ж, у и г соответственно. Так как каждая молекула обладает двумя во-
дородными связями, которые действуют как диполи, то в каждом кубическом
сантиметре содержится 7V ==2,08-1022 диполей. Все другие величины, за исклю-
чением дипольного момента молекулы р и фактора "Лорентца известны.
Используя данные (11.45), получим

р. = 0,81 - IO’18, р = = 0,567,	(11.46)

где |4 и р не должны зависеть от температуры, для того чтобы удовлетворять
закону Кюри-Вейсса.
Подтверждением того, что дипольный момент не зависит в сегнетоэлектри-
ческом интервале от температуры, могут служйть также и исследования спон-
танной поляризации. Если бы все диполи были ориентированы параллельно,
поляризация была бы равна

Фиг. 108. Теоретическая и экспериментальная зави-
симости спонтанной поляризации KDP от температуры.

В соответствии с (11.15) отношение спонтанной поляризации Р$ к полной
дипольной поляризации равно

.	ф-48)

где
. 	То

если р не зависит от температуры. Теоретические значения Pd нанесены на
фиг. 108 пунктирной линией, а экспериментальные—сплошной. Вблизи
температуры Кюри совпадение удовлетворительное, но при более низких
температурах наблюдаемая величина спонтанной поляризации меньше
теоретической. Спонтанная поляризация определялась по кривой гистере-
зиса. Так как фактор А становится бесконечно большим, если Т стремится
к нулю, то в соответствии с теорией, развитой в § 1, п. 1 данной главы, коэр-
цитивное поле при низких температурах также становится очень большим.
Следовательно, при низких температурах наибольшая допустимая разность
потенциалов оказывается все же недостаточной для того, чтобы переменить
знак поляризации всех доменов. Такой вывод подтверждается и тем, что
ниже 58° К. поляризация, гистерезис и диэлектрическая проницаемость ста-
новятся значительно меньше. Эти факты связываются с возрастанием коэрци-
тивного поля при понижении температуры. При напряженности поля
в 3000 в/см еще не происходит перемены знака поляризации доменов. При
более высоких температурах некоторые домены, вероятно, не могут переме-
нить знака поляризации, и поэтому наблюдаемая величина спонтанной
поляризации меньше теоретической.

Этот вопрос был также исследован Баркла [14], использовавшим статиче-
ский метод, при котором измеряемый заряд поступает от компенсирующего
конденсатора значительно большей емкости, для того чтобы поддержать по-
стоянную разность потенциалов в пластинке из KDP при изменении темпе-
ратуры. С помощью этого метода можно показать, что в постоянном поле
поляризация объема вещества не изменяется при переходе через «нижнюю»
точку превращения. Все эти факты свидетельствуют о том, что дипольная
поляризация, равная 0,81 единицы Дебая, почти не зависит от температуры.

Теория Слэтера. Структура кристалла KDP, расшифрованная Вестом [13],
показана на фиг. 109. Каждая фосфатная группа РО4, состоящая из фосфорно-
кислородного тетраэдра, тетраэдрически окружена в структуре четырьмя

а = Ь = 7,43 А
С = 6,97 А

Фиг. 109. Структура
кристалла KDP?

Фиг. 110. Фосфорнокислород-
ный тетраэдр с четырьмя водо-
родными связями.

другими фосфатными группами (фиг. 110). Положение водородных ионов
не фиксируется рентгеновским структурным анализом, однако Вест допустил,
что ионы водорода располагаются между ближайшими ионами кислорода из
соседних РО4-групп. Длина линии водородной связи равна при комнатной
температуре 2,54 А.

Теория сегнетоэлектрического эффекта в KDP, развитая Слэтером [6],
основана на допущении изменения ориентации диполя каждой Н2РО4-группы,
вызванного смещением ионов водорода от центров водородных связей. По этой
теории, если два иона водорода смещены в направлении ионов кислорода,
занимающих верхние вершины тетраэдра1), как показано на фиг. НО, то ди-
поль направлен вдоль оси г. Другие комбинации могут вызвать ориентацию
диполей перпендикулярно к оси z2 *). Поскольку ионы водорода совершают
колебания перпендикулярно к оси z и, следовательно, сами по себе не вызы-
вают дипольного момента вдоль оси г, теория Слэтера, как было указано

х) При этом два других иопа водорода удалены от ионов кислорода, занимающих
нижние вершины тетраэдра. {Прим, ред)

2) На элементарную ячейку приходится четыре молекулы КН2РО4 и на каждую
РО4-группу—два иона водорода. На этом основании Слэтер допускает, что распределение
двух ионов водорода, «принадлежащих» РО4-группе, по четырем водородным связям,
соединяющим эту группу с соседними фосфатными группами, может быть осуществлено

24 = 16 способами. Из них только 6 способов отвечают расположению двух ионов водорода
вблизи Р04-группы или двух других ионов водорода вдали от нее. Два размещения соот-

ветствуют направлению диполя Н^РО4-группы вдоль положительного и отрицательного

направлений оси z, как показано на фиг. 110. Эти размещения обладают более низкой
энергией по сравнению с четырьмя другими, когда один из ионов водорода расположен
сверху, а другой—снизу на одинаковом расстоянии от фосфатной группы, так что обра-
зуется диполь, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси z. Поэтому образование
диполей, нормальных к оси z, менее вероятно. {Прим, ред.)
Бардином, оправдывается только в том случае, если оба иона водорода ин-
дуцируют диполь в группе РО4, направленный вдоль оси z и приблизительно
равный диполю, образованному от смещения ионов водорода вдоль водо-
родных связей. Индуцированный диполь будет направлен вдоль отрицатель-
ного направления оси z для случая, показанного на фиг. 110.

Оценка поляризуемости РО4-групп показывает, что индуцированный
диполь может быть больше или равен диполю водородной связи, определяе-
мому расстоянием 5 между потенциальными минимумами. Если мы допустим,
что индуцированный диполь равен диполю водородной связи, то, чтобы полу-
чить момент еЗ/2 = 0,81 • 10~18, 3 должно иметь значение

8=йЧ^=°-3/‘ 10~8 “	(11-49)

Это значение несколько меньше, чем значение 0,4 • Ю-8, приведенное на фиг. 105
для расстояния 2,54 А, экспериментально определенного Вестом. Согласно
излагаемой теории, изменение дипольного момента KDP, связанное с изме-
нением температуры, очень мало. Как показывают данные фиг. 57, тепловое
расширение в направлении осей х или у является линейной функцией темпе-
ратуры и равно 26,7 -10-6 на 1°С. Следовательно, при температуре ниже точки
Кюри (—152° С) элементарная ячейка испытывает сжатие вдоль осей х и у
на 0,35 Апо сравнению с размерами при комнатной температуре. Поскольку
в направлении осей х пли у имеются по две водородных связи у каждой
РО4-группы, сжатие, приходящееся на одну ° связь, не может превышать
0,0175 А и, следовательно, расстояние 2,54 А, измеренное при 25° С, не
может стать меньше, чем 2,522 А, что соответствует весьма небольшому
изменению величины диполя.

Ягер нашел, что при температуре 25° С диэлектрическая проницаемость
вдоль оси z равна приблизительно 20 в согласии с измерениями при низких
частотах и Q равно приблизительно 30 при частоте 2,5-1010 гц, т. е.

£ — 20, <2-30.	(11.50)

Если подставить в уравнение (11.32) значения и А из соотношений
(11.48) и (11.46), то можно рассчитать импеданс, связанный с дипольной поля-
ризацией:

Для того чтобы уравнение (11.51) приводило к согласным с экспериментом
значениям е и Q (11.50), ДС7 не должно превышать 100 кал/молъ. При этом
значении ДС7 и частоте 2,5 -1010 гц уравнение (11.51) даст

Zd = 0,2-/-4,2,	ZO--/-15,9.	(11.52)

Если мы рассчитаем для этих значений эквивалентную параллельную цепь,
то получим

г-20,	<2 = 27,	(11.53)

что хорошо согласуется с экспериментальными значениями. Принятое зна-
чение Д(7 согласуется со значением ДС/ на фиг. 105 для 8=0,4 А, если мы
вычтем нулевую энергию, равную 600 кал/молъ.

§ 3.	Сегнетоэлектрический эффект в титанате бария

Теория сегнетоэлектрического эффекта в сегнетовой соли и дигидро-
фосфате калия недавно была приложена и к рассмотрению сегнетоэлектриче-
ских свойств кристаллов титаната бария [15]1). В настоящем параграфе дается

0 См. также работы В. Л. Гинзбурга (см. прим, на стр. 261) и др. советских
авторов [36, 37]. (Прим, ред.)
описание трехмерной структуры с шестью положениями равновесия для иона
титана, которая и определяет в основном поведение кристалла титаната бария,
состоящего из одного домена. Теория, излагаемая здесь, имеет несколько
более общий характер по сравнению с предшествующей [15], поскольку она
распространяется и на низкотемпературные превращения, которые испыты-
вает кристалл при Д-10 и —80° С. Новая теория лучше согласуется с послед-
ними измерениями диэлектрических постоянных титаната бария.

1.	Экспериментальные данные. Титанат бария выше верхней температуры
превращения (120°С) обладает кубической ячейкой, показанной нафиг. 111.
Фигура 111, а изображает сечение элементарной ячейки по одной из граней,

Фиг. 111. Элементарная ячейка титаната бария.

а—сечение ячейки вдоль одной из граней; б—сечение ячейки через ее
центр параллельно грани.

а фигура 111, б—сечение через центр ячейки параллельно грани. Ионы ба-
рия с радиусом приблизительно 1,33 А занимают углы элементарной ячей-
ки, ионы кислорода с радиусом около 1,35 А центрируют грани. На фиг. 111,6
показано положение иона титана, который имеет малый радиус. Обычно
принимают, что ион титана находится в центре элементарной ячейки, хотя
более вероятно, что он смещен в направлении одного из ионов кислорода,
с которым ион титана образует постоянную ковалентную связь1). Выше 120° С
величина тепловой энергии, повидимому, достаточна для того, чтобы сде-
лать все эти шесть положений равновесия равновероятными, и элементар-
ная ячейка, согласно рентгеновским измерениям, становится кубической.
Ниже 120° тепловая энергия уже недостаточна для того, чтобы все положения
равновесия были равновероятными, и большинство ионов титана в данной
области или домене смещается вдоль одного из шести направлений. В этом
же направлении возникает дипольный момент и кристалл обнаруживает сегне-
тоэлектрические свойства. Ось, вдоль которой смещается ион титана, как
показывает фиг. 112, становится несколько больше двух других осей (по дан-
ным рентгеновских измерений Мигоу [2]), и кристалл переходит из кубиче-
ской в тетрагональную форму2).

Измерения диэлектрической проницаемости поликристаллической кера-
мики титаната бария и кристаллов, состоящих из одного или нескольких

х) Даниельсон [16] первоначально дал для величины этого смещения значение 0,16 А,
но более новые измерения показывают, что величина смещения меньше 0,09А. Современ-
ные исследования Девоншира [17] показывают, что ион титана прочно закреплен в ячейке,
в то время как ионы кислорода могут иметь устойчивые положения, смещенные в направ-
лении иона титана. В таком положении может, следовательно, образоваться диполь, при-
чем в соответствии с настоящей теорией величина смещения иона кислорода должна быть
приблизительно равна 0,16А..

2) В Советском Союзе В П. Бутузовым было проведено первое рентгеноструктур
ное изучение различных модификаций титаната бария (см , например, книгу Г. И. Ска-
нави [32]). (Прим, ред.)
Фиг. 112. Изменение параметров а и с элементарной
ячейки титаната бария в зависимости от температуры.

Фиг. ИЗ. Диэлектрическая проницаемость в и ташепс угла
потерь tgS керамики из титаната бария в зависимости от тем-
пературы.
доменов, обнаруживают существование сегнетоэлектрических областей
ниже 120° G. Зависимость индукции от напряженности поля проявляется
в форме петель гистерезиса. Диэлектрическая проницаемость поликристалли-
ческой керамики при слабых полях [18], как показывает фиг. 113, возрастает
до наибольшего значения при температуре 120° С. Выше 120° С диэлектри-
ческая проницаемость приблизительно следует закону Кюри-Вейсса, т. е.
изменяется обратно пропорционально разности между данной температурой
и температурой Кюри:

2 ' е° + Т — То

(11.54)

Здесь е0—постоянная диэлектрическая проницаемость при очень высоких
температурах по сравнению с температурой Кюри, С—коэффициент пропор-

Температура, °C

Фиг. 114. Диэлектрические проницаемости и е3 поли-
доменного кристалла титаната бария в зависимости от тем-
пературы.

температуры Кюри диэлектрическая проницаемость уменьшается от своего^ма-
ксимального значения до значения около 90 вблизи абсолютного 'нуля [19].
Плавное уменьшение прерывается скачками при температурах +10 и—80° С.
В соответствии с излагаемой здесь теорией превращение при 120° С свя-
зано с тем, что в кристалле появляется спонтанная поляризация вдоль
одной оси, а структура кристалла переходит из кубической в тетрагональную.
Превращение при+ 10° С связано с тем, что спонтанная поляризация при тем-
пературе ниже -4-10° G существует одновременно в двух направлениях, т. е.
ион титана пребывает в среднем равное время в состоянии ковалентной связи
с ионом кислорода как вдоль положительного направления оси z, так и вдоль
положительного направления оси х. Вместе с этим происходит изменение кри-
сталлической структуры из тетрагональной в ромбическую.Наконец, при—80°С
кристалл становится спонтанно поляризованным по всем трем осям, и кри-
сталлическая структура переходит из ромбической формы в тригональную1).

Диэлектрическая проницаемость кристаллов, состоящих из нескольких
доменов, не сильно отличается от диэлектрической проницаемости поликри-
сталлической керамики. На фиг. 114 представлены результаты измерений
диэлектрической проницаемости вдоль осей а и с, проведенных Маттиасом
и Гиппелом [21]. Диэлектрическая проницаемость вдоль оси а больше, чем

Температура, ° К

Фиг. 115. Диэлектрические проницаемости ех и е3 одно домен-
ного кристалла титаната бария в зависимости от температуры.

структуре при температуре выше 120° С, о чем свидетельствует различная
величина диэлектрической проницаемости вдоль осей а и с, вероятнд, связано
с нарушением симметрии в распределении потенциального поля между
шестью ионами кислорода, вызванным напряжениями, внесенными в струк-
туру примесями. Путем введения большого количества минерализаторов
Маттиас недавно вырастил кристалл, состоящий из одного домена сравни-
тельно большого размера. В таком кристалле обнаружилось весьма заметное
различие диэлектрической проницаемости вдоль двух осей, как показывают
результаты измерений, представленные на фиг. 115. И в этом случае кристалл
также не в состоянии вернуться к первоначальной кубической структуре
при температуре выше 120° С в связи с устойчивым нарушением структуры
решетки.

Более совершенные кристаллы недавно были выращены Мерцем в Цюри-
хе [22] в тиглях из окиси алюминия, а не из платины. Эти кристаллы вновь
возвращаются к кубической структуре при температуре выше 120° С. Это
показывает, что постоянным нарушающим структуру элементом является
платина, абсорбированная из тигля. Диэлектрическая проницаемость вдоль
оси с падает до 200 при 10° С, а диэлектрическая проницаемость вдоль оси а

г) Подобная интерпретация превращений при+10 и -—80°С согласуется с современ-
ными измерениями Форсберга [20]. Согласно Форсбергу, превращение при 4-10° С свя-
зано со смещением иона титана в направлении [101]. Это согласуется с принятым здесь
представлением, что ион титана проводит наибольшую часть времени в положениях,
смещенных вдоль положительных направлений осей х и ъ. Превращение при —80°С со-
ответствует смещению иона титана вдоль направления [111], что также может быть опи-
сано как сегнетоэлектрический эффект вдоль трех направлений, если считать, что ион
титана проводит наибольшую часть времени в положениях, смещенных вдоль трех вза-
имно перпендикулярных осей.
остается очень большой. Выше температуры превращения (5° С) диэлектриче-
ская проницаемость вдоль оси с возрастает до 600, а ниже—постепенно спа-
дает с уменьшением температуры до точки превращения при —80° С. Согласно
этим измерениям, превращения при -| -5 и —80° С являются сегнетоэлектри-
ческими.

При измерении в некотором диапазоне частот диэлектрической проницае-
мости вдоль оси а кристалла, состоящего из одного домена, была обнаружена
релаксация диэлектрической проницаемости. При частоте около 15 мггц
величина диэлектрической проницаемости уменьшалась до 1200 и даже более,

Ф и г. 116. Диэлектрическая проницаемость и tgS однодомен-
ного кристалла титаната бария в зависимости от частоты.

как показано на фиг. 116. Аналогичная релаксация диэлектрической прони-
цаемости керамики титаната бария наблюдалась Машем1 2 * *) [23] и Ягером (не
опубликовано) при частотах около 109 гц*). При длине волны 23,4 см Маш
нашел для диэлектрической проницаемости s и тангенса угла потерь tgB
следующие значения:

s имеет величину от 1250 до 1420; tg В % 0,20;	(11.55)

тогда как,	по данным Ягера, при длине волны	1,25 см

s имеет величину от 250 до 320;	tg В 0,70.	(11.56)

По этим значениям можно вычислить, что частота релаксации диэлектриче-
ской проницаемости равна приблизительно 6,2 • 109 гц.

Релаксация диэлектрической проницаемости при этих частотах определен-
но показывает, что большое значение диэлектрической проницаемости опре-

деляется скорее существованием температурно-подвижных диполей, а не

уменьшением почти до исчезновения члена
диэлектрической проницаемости

4тс \

у Т ) в выражении для

8----1

4тс

4к

"3 1

(11.57)

*) Недавние измерения Поулса [24] дали ту же частоту релаксации. Поскольку изме-
рения проводились в определенном температурном интервале, по значениям частоты ре-
лаксации можно определить величину энергии активации, равную 3,65 ккал/молъ, что до-
вольно хорошо согласуется с величиной (11.117).

2) Титанат бария открыт и впервые исследован в СССР в 1945 г. Б. М. Вулом

с сотрудниками [33, 34]. Им же получены первые образцы керамики из титаната

бария.
поскольку поляризуемость у, обусловленная смещением электронов, ионов
и атомов, не будет изменяться вплоть до частот инфракрасного спектра. Сле-
довательно, лишь наличие диполей, способных к тепловому вращению, может
объяснить столь низкую частоту релаксации, как 15 мггц. Свойства таких
диполей обсуждаются в п. 2.

2.	Спонтанная поляризация и диэлектрическая проницаемость при
равновесных условиях. Модель структуры титаната бария, которую мы будем
здесь рассматривать, изображена на фиг. 117. В схематической форме на
модели показано положение шести потенциальных минимумов, смещенных
в направлении ионов кислорода на расстояния 8 от центра элементарной
ячейки. Форма потенциального барьера между положениями 1 и 2 показана
на фиг. 118, где через AZ7 обозначена величина потенциального барьера. Если
ион титана переходит из положения 1 непосредственно в положение 3, вели-
чина потенциального барьера Д?72, который преодолевается ионом титана,
будет, вообще говоря, больше, чем Д£7, однако равновесие между двумя поло-
жениями может установиться и в том случае, если ядро перейдет в положе-
ние 3 не по прямой, а несколько уклоняясь в сторону центра. Поэтому можно
думать, что величина потенциального барьера, определяющего частоту релак-
сации для перехода 1 —> 3, не будет сильно отличаться от величины потен-
циального барьера ДС7 для перехода 1—>2.

Для низких частот, т. е. в диапазоне частот ниже' частоты релакса-
ции, равновесные величины могут быть вычислены на основании принципа
Больцмана, согласно которому равновесное отношение чисел ионов, нахо-
дящихся в двух потенциальных ямах, определяется выражением

^=:eEjkT)	(11.58}

IV 2

где 72'—разность потенциалов между ямами 2 и 1, А:—постоянная Больцмана

Ф и г. 117. Теоретическая модель структу-
ры титаната бария для объяснения его
сегнетоэлектрических свойств, показыва-
ющая положения ионов кислорода и потен-
циальных ям для ионов титана.

и Т—абсолютная температура.

Допустим теперь, что все потен-
циальные ямы на фиг. 118 обладают
первоначально одним и тем же по-
тенциалом, который мы положим рав-
ным нулю. Если приложить в направ-
лении оси z поле Ez, то в том же на-
правлении возникнет поляризация
Рг. Возникновение поляризации по-
влечет за собой возникновение внут-
реннего поля лорентцова типа, кото-
рое можно записать в следующем
виде:

F=E + ~Pe + ^р„,	(11.59)

О

где р может значительно отличаться
от теоретического значения фактора
Лорентца 4тс/3 в связи с экраниру-
ющим влиянием соседних молекул.
Внутренняя дипольная поляризация

является результатом смещения ионов
титана из центрального положения в элементарной ячейке. Дипольный
момент, вызванный этим смещением, равен

р-4еЗ,	(11.60)

так как валентность титана в структуре равна четырем. В выражении ди-
польного момента е представляет заряд электрона, а 8—расстояние между
положением равновесия иона титана и центром элементарной ячейки. Допол-
нительный дипольный момент может возникнуть также, если ион кислорода
вместится по направлению к иону титана. Измеряемая величина дипольной
поляризации увеличивается вследствие поляризации электронного смеще-
ния, вызванной дипольной поляризацией. Измеряемая величина P'd связана
с внутренней дипольной поляризацией соотношением (11.7)

потенциальных

ям

Ф”и г. 118. Распределение потенциала в титанате бария
в зависимости от расстояния от центра элементарной ячейки.

Возникшая поляризация электронного и атомного смещений будет про-
порциональна напряженности внутреннего поля F, так что

F = E + k~Pe + <lPd= E+^F + W,, или	(11.61)

где у—поляризуемость единицы объема, обусловленная всей поляриза-
цией, не считая поляризации диполей титана. Из уравнения (11.6) имеем

So—-1 _	7

4к Л 4тс

’--И

4тс е0 — 1
з ‘ - ДДГ

(11.62)

Следовательно, напряженность внутреннего поля F равна



(11.63)

Диэлектрическая проницаемость е0 вблизи абсолютного нуля равна приблизи-
тельно 90, следовательно,

1 +^--30,7.	(11.64)

‘-у’

Внутреннее поле, появившееся после приложения поля Ez, приводит к изме-
нению уровней потенциальных ям 1 и 2 соответственно на величины U\ и
равные

rr	ттг	( Ez "F Н-7*z \	j-y . / Ez 4“ z \	f л Л Г* К\

Ui =-F  р.=	и2=+	1|>.	(11.65)

Потенциалы остальных четырех ям не изменяются полем Ez, и поэтому

U3 -= U4 -= U5 = U& - 0.	(11.66)
В соответствии с принципом Больцмана [выражение (11.58)] относи-
тельные числа ионов, находящихся в различных потенциальных ямах, по
отношению к TV5 —числу ионов, находящихся в положении 5, будут равны

( Ez-[-$Pz \ [л	__/ Ezp$Pe \ ц.

недт' kT} N2 = N&e	N3 = N5 = N&. (il.67)

Кроме того, имеем очевидное соотношение

N^N. + N.-i- N3 + N, + N5 + N6,

где Nчисло ионов титана в 1 см3. Разрешая совместно
(11.67) и (11.68), получим

/ Ez-[-$Pz .

ДдД 1-(4TC/3)Y ) кТ



Ne ( 1-(4г./3)т ) кТ

2 Г2 I ch /	\

+	Г.—^1*7

L б-щ

(11.68)

уравнения

(11.69)

N^^-N.-N^lV^

В таком случае поляризация Рг, возбужденная вдоль оси

z и имею--

щая дипольную природу, будет равна

Лр. sh

Рг= (AV-At2)p=-------

2 + ch

-S'z Ч- Р-Р z Л 2-
1_(4тс/3)7 J кТ

Ez 4~ рРz Л Д
1—(4k/3)V кТ

(11.70)

Равновесные значения всех величин—спонтанной поляризации, коэрцитив-
ного поля, диэлектрической проницаемости и т. д.-—могут быть определены
из этого выражения.

Рассмотрим сначала условия, при которых возникает спонтанная поля-
ризация и сегнетоэлектрический эффект. Полагая Ez=0 и вводя обозначении

(11.71)

приведем выражение (11.70) к виду

(11.72)

Исследуя уравнение (11.72), найдем, что оно будет иметь ненулевые решения
для Pz/N\b только в том случае, если А больше или равно 3. Если А больше 3,
отношение Pz/Np может иметь положительные или отрицательные значения,
лежащие между 0 и 1. Эти случаи соответствуют спонтанной поляризации
вдоль положительного или отрицательного направления оси z, вызванной
внутренним полем, возникшим от смещения ионов титана из центров элемен-
тарных ячеек. Вообще говоря, можно считать, что смещение иона титана в лю-
бом из шести направлений равновероятно и только случайность определяет,
в каком направлении возникает спонтанная поляризация.

Зависимость отношения Pz/N\i от величины фактора А представлена кри-
вой А на фиг. 119. График показывает, что отношение возрастает с увеличе-
нием А значительно быстрее, чем в случае одиночной водородной связи,
для которой
Pz	Apz

= th-—.

Ар-

(11.73)
Менее крутое возрастание Pz/7Vp для связи последнего типа показано на
фиг. 119 пунктирной линией при одном и том же процентном возрастании А.
Некоторые данные, подтверждающие такое резкое возрастание поляриза-
ции, можно получить, рассматривая поведение параметров элементарной
ячейки, показанное на фиг. 112. Изменение размеров ячейки, не зависящее
от направления поляризации вдоль оси z, можно считать связанным с эффек-
том электрострикции в титанате бария.

Фиг. 119. Отношение спонтанной поляризации Р8 к полной по-
ляризации в зависимости от фактора А.

Кривые А, В и С относятся к титанату бария, поляризованному соот-
ветственпо вдоль одной, двух и трех осей одновременно. Пунктирная
кривая относится к одиночной водородной связи.

Эффект электрострикции в керамике титаната бария исследуется в
гл. XII, где показано, что диск из керамики расширяется по толщине и сжи-
мается в радиальном направлении в соответствии с уравнениями деформации

^33 = С1(Л)2,	(11.7/,)

где

- з.б. io--	=-f’35 • 1о~’2 G)2 

Поскольку отношение Qn/Qiz для керамики не равно точно —2, по этим значе-
ниям можно рассчитать лишь ориентировочную величину спонтанной поляри-
зации. При20°С продольная деформация по толщине равна 6,7  10~3, тогда
как радиальная деформация по толщине 511=5'22 равна —3,3-10“3 (по данным
фиг. 112). Вместе со значениями электро стрикционных постоянных (11.74) эти
значения определяют величину спонтанной поляризации для обоих случаев:

Pz = 44000-|д^-2заРяда =	. jQ-e 2L (продольный эффект),

(11.75)

/>2=:49 500— --заРяд^ = 16,4 • 10~6 (радиальный эффект).

Данные для продольной деформации более надежны, так что полагаем
Рг = 44 000-GGSE ед~ заРяда — 14,6 • 10-6	.	(11.76)

*	см2	СМ*	'	7

Этот результат хорошо согласуется со значениями, полученными при изме-
рениях по петлям гистерезиса. Последним методом Маттиас и Гиппел 121]
нашли для Pz значение 12 • 10~6 кфсм?, тогда как Халм [25] дает значение
16. • 10~6 kIcaP. С учетом этих данных температурная зависимость спонтанной
поляризации представлена пунктирной линией на фиг. 120. Резкое возра-
стание спонтанной поляризации сразу же ниже температуры Кюри каче-
ственно согласуется с данными фиг. 119.

Чтобы выяснить, имеется ли качественное совпадение величины спонтан-
ной поляризации с величиной, вычисленной из уравнения (11.72), мы должны
оценить фактор А и дипольный момент р другими методами. Одним из методов
является установление температурной зависимости диэлектрической прони-
цаемости, измеренной при слабых полях. Теоретическую величину можно

Фиг. 120. Теоретическая и экспериментальная зависимости
спонтанной поляризации от температуры.

-спонтанную поляризацию и на весьма малую переменную часть
Допустим, что приложенное поле Ezejtiit очень мало, тогда получим

sh

Г (Ez+$PAe3'<Ot+Ws -

±_=sh
kT S

Р-
kl

1	(

xch —

V1-3^

l^+ch

— • sh /
кТ

\ P-

. 4л I kT

1Г I

Г CEz+Jfo) I

Г (Ez + $P0)eimt 1



_(EZ + ^PO)^^

Точно так же

, APS . , APS

• ch-^ + sh .

IVu.	jyp.

(11.77)

ch

f (EZ + ^PA^±^PS

4л:

JL ch^1^
kT Ny.

- (Ег + ^Р„)е’“‘ ~
. 4л

L J

(11.78)

Подставляя соотношения (11.77) и (11.78) в выражение (11.70) и разрешая
его относительно постоянной и переменной частей поляризации, получим
уравнение (11.72) для постоянной поляризации и выражение

__ (Ег + $Р0)е^ 2ch JV[/+1

 (•-?'> к=*-'4И'

(11.79)

для части поляризации, меняющейся со временем.

Разрешая выражение (11.79) относительно Ро и подставляя результат
в уравнение (11.8), получим

£2 — £о 4“

„ , АРЙ .

2 ch + 1

Ny

2 + еЬ^

2 + ch

APS

9 пЪ	8  2 СП —~	
	

2 4- ch

(11.80)

ap8

Np

т

Выше точки Кюри спонтанная поляризация Ps исчезает, и уравне-
ние (11.80) после подстановки значений для А из (11.71) и (11.64)
приводится к виду

^+-т^т; 	(н.81)

где

4«л,12 Г1+ J/8-1'—-V.] Г i+ s<>~1 1	2

с =------1-------'V ----------• Т« --- тг [1 ' "у-1] . (н-82)

Разрешая эти уравнения относительно р и р, получим

с

[О —Уо (s0 —1)] 3k .

1 + - у11 ]

(11.83)

По данным измерений ряда керамик выше температуры Кюри и изме-
рений кристаллов, состоящих из одного домена, проделанных Мерцем [22],
получены значения

(7 = 70000,	7’0 = 393°К,	(11.84)

в то время как измерения при низких температурах [19] дают

г0-90.

(11.85)

Следовательно, из (11.83) получим

р —0,142,	р--1,56 • 10~18.	(11.86)

Так как число диполей в 1 см3 равно 1,56 • 1022, то полная измеряемая
поляризация в случае, если все диполи ориентированы параллельно, дол-
жна быть равна

P^N? [1-Fp (-^=^)]=49000 ед. CGSE = 16,4-10-6 к/слС. (11.87)
Если все величины, входящие в выражение (11.71) для А, за исключе-
нием Т, не зависят от температуры, то фактор А при 10° С должен быть равен
4,17, а теоретическое значение отношения Ps/7Vp должно выражаться числом
0,92. Этот результат близок к значениям, полученным при точных измере-
ниях; несколько лучшее значение для А, равное 3,95, соответствует значению
Ps/Np=0,88. При этом значении А диэлектрическая проницаемость вдоль
оси с равна 202 при 10° С, что хорошо согласуется с экспериментальными дан-
ными Мерца [22]. Фактически диэлектрическая проницаемость выше темпе-
ратуры превращения (10° G) хорошо согласуется с величиной, вычисленной
из уравнения (11.80). Можно ожидать небольшого изменения компонент,
входящих в выражение фактора А, ибо остаточная диэлектрическая прони-
цаемость гсо может изменяться от электрострикции, становясь меньше вслед-
ствие увеличения параметра элементарной ячейки по оси с.

3.	Диэлектрическая проницаемость вдоль оси а и низкотемпературные
превращения. Измерения диэлектрической проницаемости вдоль оси а для
кристаллов, состоящих из одного домена, показывают, что диэлектрическая
проницаемость вдоль этой оси намного больше, чем вдоль оси с. Диэлектри-
ческие свойства кристалла вдоль оси а в присутствии поля вдоль оси х
и возникшей вдоль оси z спонтанной поляризации, в соответствии с моделью,
показанной на фиг. 117, определяются следующими потенциалами
шести ям:

U ! = -  1—у 7	U3 = Ut = 0,
тт  	(Ех 4“ $1Рх) Iх  U&~	Л 4к	. 0	.	(11.88)  гт  (Ex 4~ Pi^x) Р-  U(i	Л 4к" '  1— у 7

Допустим, что Pi вдоль оси х может отличаться от р3 вдоль оси z.
Используя принцип Больцмана и выражая АД, TV2> 7V6 через N3==Nit
найдем

Г	РзЩ ]	Р-

N1	N3A	тJ	лт	}

Г	Ех+$гРх ~1	р.

АД = АДс*-1-(4«/з) d	кТ	,

Так как

_Г ftS-Pg 1 Ц

N2=N3e L 1-(4«/з) d кт}

АД = 7V3e“Li-(4K/3) J Хт

N^Ni. (11.89)

+	+	(11.90)

то для N3 получим выражение

JV3 -= --------

2 ’ 1 + ch

N

I

Es \ Ft

4t7c I кТ

4-ch

Ex

Л

i- 3-Т

(11.91)

Р- 1

Подставляя значения N3, N5 и N6 в выражение для поляризации вдоль
оси х, аналогичное (11.70), получим



(11.92)
Чтобы определить диэлектрическую
малых полей, положим

проницаемость вдоль оси х для

Ж / ЕХ + ^Р:
кТ [ я 4л

п К	8

2+chw

где

/	4~ х \ 3-

I . 4к I кТ

\	з"7 J

(11.93)

(11.94)

/ « \ 1 Wf , ч-С

3 L 4л \ кт кТ \ ‘	3	/

V""377

(11.95)

Разрешая уравнение (11.94) относительно Рх/Ех и подставляя в уравнение
(11.8), получим выражение для диэлектрической проницаемости вдоль оси х:

— 8(

(11.96)

Теперь, поскольку кристалл становится тетрагональным в связи с дефор-
мацией, вызванной электрострикцией, 7 вдоль оси а может возрасти и
вызвать увеличение sq1. Поэтому мы можем написать

-Чг—1+-^з~-	(11.97)

1- -л- 7,

Подставляя эту величину в выражение (11.96) и вводя сокращенное
обозначение

получим выражение для диэлектрической проницаемости вдоль оси а (оси ж):

ех — £01 4“

2 + ch^-A

(11.98)

В точке Кюри, где кристалл переходит из тетрагональной в кубическую
форму, значения факторов Лорентца вдоль осей жиг становятся равными,
и, следовательно, диэлектрическая проницаемость вдоль оси ж будет иметь
ту же температуру Кюри, что и диэлектрическая проницаемость вдоль оси г.
При других температурах факторы Лорентца вдоль этих двух осей, вообще
говоря, не будут равны из-за смещения зарядов, вызванного электрострик-
цией. То же самое справедливо для диэлектрической проницаемости, связан-
ной с поляризацией электронного и атомного смещений. Вследствие того, что
параметры элементарной ячейки вдоль оси ж меньше, чем вдоль оси г, вели-
чина г01 должна быть больше, чем е0з. Поскольку не существует иных разум-
ных предположений, которые можно положить в основу вычисления
величины получающегося при этом изменения диэлектрической прони-
цаемости, то можно только утверждать, что фактор для оси ос имеет
тенденцию к увеличению по сравнению с фактором А3 для оси z. •

Для согласования с экспериментальными данными необходимо, чтобы
и 43 имели температурный ход, показанный сплошной линией на фиг. 121.
Так как диэлектрическая проницаемост-ь, связанная с поляризацией электрон-
ного и атомного смещений, уже настолько велика, что находится вблизи кри-
тических условий, то даже небольшое уменьшение параметров элементар-
ной ячейки может вызвать сильное возрастание величины диэлектрической

Фиг. 121. Температурные зависимости факторов и А3.

Для согласования с экспериментальными данными следует пользоваться
сплошными кривыми. Пунктирные кривые дают теоретические зна-
чения факторов Ai и Аз.

проницаемости. Как видно из фиг. 112, при переходе кристалла из кубиче-
ской в тетрагональную форму размеры элементарной ячейки вдоль оси а
уменьшаются. Такое объяснение превращения при 10° С, основанное на силь-
ном возрастании вдоль оси а диэлектрической проницаемости, связанной с по-
ляризацией электронного и атомного смещений, частично подтверждается
результатами последних измерений пластинок из керамики цирконата
свинца. Цирконат свинца, обладающий кубической структурой выше 242° С,
обнаруживает при этой температуре сегнетоэлектрическое превращение, но
не имеет, однако, двух низкотемпературных точек превращения, наблюдаю-
щихся у титаната бария. При низких температурах диэлектрическая прони-
цаемость цирконата свинца не превышает 50, поэтому эффект электрострикции
не приводит к ощутимому различию между величинами е01 и е0з. Очень
слабое изменение Аг в направлении пунктирной линии на фиг. 121 будет при-
водить к бесконечно большим значениям диэлектрической проницаемости
вдоль оси а. Небольшим изменением содержания примесей в кристалле, зна-
чения диэлектрической проницаемости которого показаны на фиг. 115, веро-
ятно, можно объяснить более высокое значение диэлектрической проницае-
мости вдоль оси а по сравнению со значением, полученным Мерцем [22].
В приведенной ниже таблице собраны данные измерений диэлектрической
проницаемости вдоль оси а (по Мерцу), из которых видно, что вблизи 10°С
диэлектрическая проницаемость обладает максимумом.

Т К..........

393	360	340	320	300	288
10000	3 400	3 500	3 800	4400	5 400

При этой температуре превращения (10° С) все оси х в кристалле стано-
вятся сегнетоэлектрическими. Согласно излагаемой теории, относительное
распределение спонтанных зарядов вдоль осей х и г определяется совмест-
ным решением двух уравнений

_	sh-ф^

Pz =______Яр-____

л . u AaPz , к АгРх ’
1 + chWL+chlvr

Рх__ ______

Яр. . , ,
1 + ch

. А}Р X
sh-^

Яр-_____

। pi, АгРх

Np. + П Яр.

(11.99)

Решение может быть получено приближенными методами при постоянных зна-
чениях Аг и А3 Результаты показывают, что отношение Px/Np. будет соста-
влять заметную часть от величины Pz/Np- в интервале температур выше точки
превращения, тогда как отношение Pz/Np- ниже температуры превращения
будет меньше, чем Pz/Np. выше этой температуры. Так как различие между Ai
и As было обусловлено различным смещением зарядов вдоль осей х и z, мы
должны для Ai и As принять новые сближенные значения. В результате после-
довательных приближений получим, наконец, Л3=Лг. При этом спонтан-
ная поляризация вдоль осей х и z сравняется и будет определяться соот-
ношением

Р*
N-J.

sh^p5
14-2ch^^
Яр.

(11.100)

График этой функции представлен на фиг. 119 кривой В.

В интервале температур между —80 и 4-10° С кристалл обладает сегне-
тоэлектрическими свойствами одновременно по двум направлениям. Это
означает, что ионы титана проводят равное время в двух потенциальных
ямах, смещенных вдоль осей х и z, и лишь незначительное время в осталь-
ных четырех положениях равновесия. Такое распределение сопровождается
изменением кристаллической структуры из тетрагональной в ромбическую.
Это легко показать следующим образом. Если мы проведем новую ось z вдоль
направления [101] посредине между двумя упоминаемыми выше наиболее
вероятными положениями равновесия ионов титана, то получим ось симмет-
рии второго порядка и две плоскости симметрии, параллельные оси, из кото-
рых одна проходит через оба избранных положения иона титана, а другая—
перпендикулярна к первой. Следовательно, получается симметрия 2 • т,
как показывают оптические измерения Форсберга [20], и кристалл становится
ромбическим. Диэлектрическую проницаемость вдоль всех трех осей нельзя
вычислить, не делая никаких допущений относительно величин Л1=Л3и Л2.
Но поскольку параметры элементарной ячейки вдоль ’оси у стремятся стать
меньше параметров по двум другим осям, очевидно, что значение Л2 будет
больше, чем Л!=Л3, и диэлектрическая проницаемость вдоль оси у будет
больше, чем вдоль двух других осей. В конце концов по мере понижения
температуры и приближения ее к точке Кюри диэлектрическая проницае-
мость будет обнаруживать сегнетоэлектрические аномалии и вдоль оси у.
Рассуждая, как и выше, можно показать, что при этом все три величины Л
становятся равными и ионы титана проводят в среднем равное время в лю-
бом из трех положений равновесия (вдоль осей х, у и z) и очень малое время
в остальных трех положениях. Выбирая за ось z направление [111], получим
тригональную симметрию, ибо при поворотах на 120° вокруг этой оси наиболее
вероятные положения равновесия ионов титана совмещаются сами с собой.
Это соответствует классу симметрии 3 ♦ т и согласуется с наблюдениями
Форсберга [20].

При этих условиях спонтанная поляризация определяется соотно-
шением ,

__А

Np

к APS
sh~w
ЗсЬ-^Р^

Np

(11.101)

График этой функции представлен на фиг. 119 кривой С.

4.	Коэрцитивное поле вдоль осей а и с в титанате бария. Коэрцитивное
поле вдоль осей а и с может быть вычислено из основных уравнений

«ь Г Л' (Ех/^ + Рх) 1

Рх ________________ 1 Np J_______________________

1	। ch Г	+	] । Г Л1 (Ex/$i + Рх)

L ftp I' L

Г As (Ez/$s + Pz) ]

Pz_= ______________ I Np. 1______________________

। । ch ~^8 (Ezlfts + ^*z) j । ch	(Ex/$l + Px)

(11.102)

(11.103)

Используя метод вычисления коэрцитивного поля, описанный выше в § 1,
п. 1, можно установить, что необходимая для перемены знака поляризации
домена вдоль оси z величина коэрцитивного поля определяется из уравнения

sh 32

Pz A3EZ

2 । ch y^3^>z	ftaNp

2ch—+i

+ ch

(11.104)

Если мы приложим отрицательное поле вдоль оси г, отношение Pz/N\t.
будет постепенно уменьшаться до тех пор, пока левая часть уравнения не
достигнет максимального значения. При комнатной температуре и значениях
Д3=3,95,	24500 ед.СОБЕ, р=0,142 это произойдет, когда отношение

Pz/Np станет равным 0,5. При этом левая часть уравнения (11.104) будет
равна 0,120. Подставляя соответствующие величины в правую часть уравне-
ния (11.104), найдем, что величина отрицательного поля, которое требуется
приложить для перемены знака поляризации доменов, будет равна

£z = 470 ед. CGSE = 141000 в/см.

(11.105)

Однако кристалл, действительно состоящий из одного домена, будет
обнаруживать петлю гистерезиса и при значительно меньших полях. Чтобы
убедиться в этом, нужно исследовать условия, при которых вдоль оси х
возникает спонтанная поляризация, определяемая уравнением (11.102).
Положим в (11.102) Ех равным нулю и потребуем, чтобы решение давало
конечные значения для Рх в присутствии поля Ez и спонтанной поляризации
Pz. Граница области Рх определяется при стремлении Рх к нулю. В этом
случае мы можем заменить гиперболический синус его аргументом, а гипер-
болический косинус единицей, и уравнение примет вид

Рх

2+ ch

Ai Р х

Np

Aa(Ez/^ + Pz)

Np.

(11.106)

Если Ez — 0, получим

(11.107)

Разность между левой и правой частями уравнения (11.107) является знаме-
нателем уравнения (11.98) для диэлектрической проницаемости вдоль оси ж.
Эта величина имеет небольшое, но всегда положительное значение (равное
приблизительно 1,9 при комнатной температуре). Следовательно, спонтан-
ная поляризация вдоль оси х не может существовать, пока не будет приложено
постоянное поле —Ez.

В присутствии приложенного постоянного поля уравнение (11.107)
принимает вид

(11Л08)

Положительное поле Ez, направленное по Pz, увеличивает еще больше левую
часть уравнения (11.108), и поляризация вдоль оси х не может существовать.
Если, однако, приложить отрицательное поле Ez, левая часть уравнения
может стать меньше или равной правой части, и вдоль оси х возникнет спон-
танная поляризация. Для того чтобы установить необходимую величину поля,
разделим поляризацию Pz на две части: спонтанную поляризацию Ps и не-
большую часть ДР2. Последняя при малых полях Ez определяется величиной
диэлектрической проницаемости е3, т. е.

<11ло9)

Следовательно, так как величины Ez/fi3 и &PZ малы по сравнению с Р„, уравне-
ние (11.108) для коэрцитивного поля принимает вид

Л о I A3Pg__ . \

Подставляя значения А3=3,35, р3=0,142, Np—24500, е3=200, PS/N^~Q,88
и At=16,3 получим

-Е2 = 6,5ед. G.SE^ 1950 в/см.	(11.111)

Полученное значение согласуется с результатами измерений по петлям
гистерезиса для кристаллов, состоящих из одного домена, и керамики из
титаната бария, как описано в гл. XII.

5.	Частоты релаксации диэлектрической проницаемости. Вычисление
частоты релаксации для кристаллов титаната бария [15] было сделано со-
гласно способу расчета, намеченному выше в § 1, п. 2. Так как употребляе-
мый здесь метод подобен описанному, ниже приводятся лишь окончательные
результаты. Для диэлектрической проницаемости вдоль оси z в первом сег-
нетоэлектрическом интервале (между 10 и 120° С) получаем выражение

Если последний член в знаменателе равен сумме первых двух членов, ди-
электрическая проницаемость, связанная с дипольной поляризацией, приво-
дит к равным значениям реактивного и активного сопротивлений. Вычисляе-
мая при этих значениях частота является частотой релаксации /0, опреде-
ляемой выражением

/о



г

2

(11.113)

2кЛ

Для температуры 10° С—283° К нами были уже найдены значения Л3=3,95,
/)s/2Vp=0,88. Подставляя эти и следующие значения:

/с — 1,38 • 10~16, Г = 300, А = 6,56 • 10~27, <_	(11.114)

в выражение (11.113), найдем

/0 = 5,7  1013е-д^т.	(11.115)

До сих пор частота релаксации вдоль оси с не измерялась. Для керамики
энергия активации A U, определенная Поулсом [24], изучавшим темпера-
турную зависимость частоты релаксации, равна 3,65 ккал/моль. Эта величина
представляет количество энергии, необходимое для того, чтобы переместить
ионы титана из их положений равновесия в центры элементарных ячеек.

Данные фиг. 116 показывают, что при комнатной температуре диэлектри-
ческая проницаемость вдоль оси а релаксирует при частоте около 15 мггц.
Используя тот же самый способ для вычисления диэлектрической проницае-
мости вдоль оси а, можно получить частоту релаксации:

(ДР \
о 1 р и	__А \

Лр - W- -	(11.И6)

2+сй~Ж /

При значении диэлектрической проницаемости, равном 150 000 при 27° С—
— 300° К, числитель выражения, заключенного в скобки, равен 0,044. Под-
ставляя другие численные значения, найдем

= 15 500,	= 5,76 ккнл/лшль.	(11.117)

Следовательно, полученная энергия активации для перехода иона титана из
положений 1 или 2 в положения 3, 4, 5 или 6 несколько больше величины
энергии активации для перехода между противоположными ямами, напри-
мер 1 и 2. Вычисление также показывает, что огромное значение диэлектриче-
ской проницаемости вдоль оси а связано с почти нулевым значением знаме-
нателя в уравнении (11.98). Для кристалла, выращенного Мерцем [22], была
отмечена частота релаксации около 6,5 • 108 гц.
§ 4.	Аномалии удельной теплоемкости в сегнетоэлектрических
кристаллах

Если кристалл находится в сегнетоэлектрическом интервале, некоторые
из его структурных элементов, например ионы водорода или титана, уже
не обладают той свободой движения, которой они обладали в отсутствие
сегнетоэлектрического состояния. Поэтому вблизи температуры Кюри отме-
чаются аномалии удельной теплоемкости. Как и в случае ферромагнетизма,
увеличение удельной теплоемкости Ср сверх нормального значения опреде-
ляется уравнением

d(^Cp) р dpl

—АГ— = ^~АГ дР8 * см~3 ' гРад,	(11.118)

где р—фактор Лорентца, a Ps—спонтанная поляризация, рассчитанная на
1 см2. Следовательно, величина аномалии удельной теплоемкости между
двумя температурами и равна

ДСр-Ц [Р1,-Р'А	(11.119)

Поскольку в этом уравнении р относится к внутренней дипольной поляри-
зации, к ней же следует отцосить и величину Р&. Так как аномалии удельной
теплоемкости были исследованы для сегнетовой соли [26], дигидрофосфата
калия [27] и титаната бария [28], это дает возможность сравнения значений
фактора Лорентца р, полученных из измерений диэлектрической проницае-
мости и из измерений удельной теплоемкости.

В нижеследующей таблице приведены наиболее надежные результаты
измерений величин удельной теплоемкости, разности квадратов спонтанной
поляризации на границах температурного интервала и наиболее вероятные
значения р. В пятом столбце приведены значения р, полученные из измере-
ний теплоемкости. В последнем столбце приведены значения Р, определенные
из измерений диэлектрической проницаемости. Как можно видеть, оба ряда
измерений р согласуются между собой достаточно хорошо.

Вещество	Д Ср^ кал/г* град	ДСР, эр г/см $	р2 	 р2  S2	0  (По измере- ниям тепло- емкости)	(По изме- рениям диэлек- трической прони- цаемости)
Сегнетова соль, верхняя точка Кюри		<0,0035	<2,6 • 105	7,5 • 104	<6,9	4,4
Сегнетова соль, нижняя точка Кюри		<0,0035	<2,6 • 105	7,5 • 104	<6,9	4,4
KDP		0,75	7,2 • 107	2,0 • 108	0,72	0,567
Титанат бария, темпера- тура 120° С		0,2	5 • 107	5,8 • 108	0,172	0,142

§ 5.	Упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства
сегнетоэлектрических кристаллов

Для выяснения основного механизма сегнетоэлектрического эффекта
в первых четырех параграфах рассматривалась только диэлектрическая про-
ницаемость зажатого кристалла. Оказывается возможным, однако, объяснить
в рамках единой обобщенной теории изменение упругих и пьезоэлектриче-
ских постоянных, вызванное сегнетоэлектрическим эффектом. Целью на-
стоящего параграфа является приложение такой теории к простейшему сег-
нетоэлектрическому кристаллу—дигидрофосфату калия.

Хотя четыре водородные связи каждой из РО4-групп проходят под пря-
мыми углами к сегнетоэлектрической оси х, из-за поляризации, индуциро-
ванной в РО4-группе, можно считать, что каждая связь как бы находится
под действием поля, приложенного вдоль связи. В отсутствие поля потен-
циальные ямы для двух симметричных положений обладают равными потен-
циалами Uo. После приложения электрического поля Е возбуждается вну-
треннее поле

F^E + '^PE^Pd,	(11.120)

которое вызывает изменение потенциалов ям на величину E.Feb/2, так что
потенциалы ям будут равны

С1 = Со“^. ^ = Р,+ф>	(11.121)

где В—расстояние между потенциальными ямами.

Если кристалл под действием пьезоэлектрического эффекта испытывает
деформацию, водородная связь растягивается или сжимается и, следовательно,
возникает дополнительная асимметрия в распределении потенциальных ям
вдоль связи. Влияние асимметричного смещения аналогично наложению элек-
трического поля Е, так что выражение для внутреннего поля может быть
записано в форме

F^E + f^ + ^Pz + ^Pt,	(11.122)

где /36—пьезоэлектрическая постоянная кристалла и 56—компонента деформа-
ции (деформация плоского сдвига) для кристаллической пластинки Z-среза.

Теперь, поскольку потенццалы Ui и U2 известны, можно использовать
способ, употреблявшийся в § 1—3. Для нашей цели мы рассмотрим только
равновесные величины, поскольку распространение теории на высокие ча-
стоты очевидно. Согласно принципу Больцмана, относительное число ионов
водорода, находящихся в потенциальных ямах каждого типа, выражается
соотношением

1 _ FebjlcT —-	[Б+/зб8б+(47с/3)Р£+РРй1еШ’Т	j 123)

Ni + N2 = N.

Так как общее число ионов водорода в потенциальных ямах обоих типов
равно N числу ионов водорода в 1 см3, то получим

N	Ng-FeS/kT

’ 5 , -FeZ/kT ’	^2. =	•	(И • 124)

1 -д- с	1 Д’ о

Выражение для внутреннего поля F может быть упрощено подстановкой вме-
сто поляризации электронного и атомного смещений РЕ величины

yF -= РЕ,

где у—поляризуемость единицы объема, обусловленная поляризацией элек-
тронного и атомного смещений. В таком случае выражение для F принимает
вид

р _ Ё' + /зе^б + ftCz	(11 125)

1-^т;

Теперь величину дипольной поляризации Pd можно оценить следующим
образом:

Pd.=	th

Е + /зб^б + Р-Р d

ео

Т •

(11.126)

Последнее выражение и является искомым решением. Чтобы отделить
спонтанную поляризацию от поляризации, вызванной приложенным полем
или деформацией, положим

Pd = Ps + PQ^, E — EQeiiat, S, = S^A-S^ (11.127)
поскольку существуют спонтанные поляризация- Ps и деформация 6^.
Подставляя эти выражения в уравнение (11.126) и замечая, что перемен-
ная часть очень мала по сравнению с постоянной частью, получим после
отделения двух частей

_____fо1 4 [Afi^es/P
Ny. ~tg А jVp.

/ Ер -j- P-Pq I ;J-	. I /зб^'б | 2'

I , 4к Л7'	, 4k kT

P p^(	\ 1~-5-7 /	\

\	3 / V 3 4	(11.128)

сЬ8Л[Л + /36^ЛП

JVp.

где, как и прежде, фактор А определяется выражением

. _ / В2У(л2 \

А~ л 4к ] кТ ’
V-зУ

Первое из уравнений (11.128) является условием (11.13), определяю-
щим спонтанную поляризацию при диэлектрической проницаемости, соответ-
ствующей зажатому кристаллу. Разрешая второе уравнение относительно
амплитуды Ро переменной поляризации, получим

р   А	(Ер -4- /За^6)

°"" р сЬ^(Л + /36ад) ,л •
Ny.

Из^первого*уравнения (11.128) получим

РЬ2 (?з + /зб^бя/Р)  I

 \	>-Ш2]

(11.129)

(11.130)

Подставляя значение А и замечая,
трической проницаемости зажатого

что температура Кюри То для диэлек-
кристалла равна

(11.131)

получим

(11.132)

Полная поляризация Р является суммой переменной дипольной поля-
ризации PG, умноженной па коэффициент [1 + P(so — V^)], и поляриза-
ции Ре, связанной со смещением электронов и атомов. Следовательно,
для электрической индукции получим выражение



В соответствии с формой потенциальной функции U мы можем записать

где P'z — измеряемая дипольная поляризация.

Для свободного кристалла Т& — 0. Следовательно, при существовании
спонтанной поляризации Р8 существует и спонтанная деформация £6S, равная

(11.135)

Подставляя это выражение в первое уравнение (11.128), найдем, что для сво-
бодного кристалла спонтанная поляризация возникает при более высокой
температуре Кюри Т'о, равной

Т'0 = Та

14

р

66

(11.136)

Используя полученные ранее численные значения входящих в выраже-
ние (11.136) величин, найдем, что для кристаллов KDP Т'о на 3,5° К пре-
вышает То.

Уравнение, связывающее переменные механические напряжения, дефор-
мации и напряженность электрического поля, можно получить, подставляя
в (11.134) величину Ро из (11.132):

Сравнивая это уравнение с уравнениями (3.60) гл. III, получим

(11.138)

Так как выше температуры Кюри спонтанная поляризация отсутствует
Р8 —0), получаем окончательные соотношения для трех постоянных:

’Ss =S33

33	о

Т—Т.

€36

Т-То

СЕ = ср

66	66

т-т0

. (11.139)

Следовательно, диэлектрическая проницаемость зажатого кристалла, изме-
ряемая при достаточно высоких частотах для того, чтобы исключить деформа-
ции, следует закону Кюри-Вейсса [в уравнениях (11.139) То—температура
Кюри]. Детальное вычисление, однако, показывает, что ее величина дости-
гает максимального значения при T=Tq, т. е. при температуре Кюри для
диэлектрической проницаемости свободного кристалла. Это следует из того,
что выражение [1—(Ps/7Vp)2] в (11.138) уменьшается с температурой Т быстрее,
чем происходит само снижение температуры Т. Поэтому диэлектрическая про-
ницаемость зажатого кристалла достигает конечного максимума при темпе-
ратуре Tq в согласии с данными фиг. 39, дающими для KDP значение

es

33

_ 4кТ<ф

°0	7Т/	гр

z о	1 о

[1+К^)]=880-

(11.140)

Эта величина согласуется также со значением, приведенным в табл. 9. При
температуре Кюри Tq величина модуля упругости cfe , в соответствии с со-
отношениями (11.139) и (11.136), будет равна

сЕ ^ср
66	61

(11.141)

^(Т'-То)

Изложенная здесь теория согласуется с теорией внутреннего взаимодей-
ствия Мюллера1) в том, что предсказывает увеличение температуры Кюри Tq
для диэлектрической проницаемости свободного кристалла по сравнению
с температурой Кюри То для зажатого кристалла, но она основывается боль-
ше на теории внутреннего поля, чем на теории внутреннего взаимодействия.

Последние два уравнения (11.138) будут справедливы для сегнетоэлектри-
ческих кристаллов любого типа, в том числе и для сегнетовой соли, но в связи
с тем, что в сегнетовой соли присутствуют водородные связи двух типов,
диэлектрическая проницаемость зажатого кристалла сегнетовой соли опре-
деляется другим уравнением, как описано в § 1, п. 2 данной главы.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Борн М. и Гепперт-Мейер М., Теория твердого тела, М —Л., 1938.

2.	Megaw Н. D., Proc. Roy. Soc., 189, 261 (1947). Температурные изменения в кри-
сталлической структуре титаната бария.

3.	Mason W. Р., Phys. Rev., 72, № 9, № 10 (1947). Теория сегнетоэлектрического
эффекта и диэлектрической проницаемости зажатого кристалла сегнетовой соли.

4.	Beevers С. А., Н ughes W., Proc. Roy. Soc., 177, 251 (1941). Кристалличе-
ская структура сегнетовой соли NaKC4H4O6-4H2O.

5	Ubbelohde A. R., Woodward I., Proc. Roy. Soc., 185, 448 (1946). Струк-
турные и термические свойства кристаллов. VI. Роль водородных связей в сегнето-
вой соли.

6.	Slater J. С., Journ. Chem. Phys., 9, 1633 (1941). Теория фазовых переходов
в КН2РО4.

7.	Busch G., Helv. phys. acta, И, 269 (1938). Новые сегнетоэлектрики.

В См. [29] или гл. XXIII книги Кэди [30].
8.	Van V 1 е с к J. Н., The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities, Oxford,
1932.

9.	Huggins M. L., Journ. Phys. Chern., 40, 723 (1946).

10.	Ландсберг Г. С. и Барышанская Ф. С., ДАН СССР, 61, 1027 (1948).
Рассеяние света в КН2Р04 и (NH4)H2P04 и его значение для теории сегнетоэлек-
триков.

11.	Bancroft D., Phys. Rev., 53, 587 (1938). Влияния гидростатического давления
на восприимчивость сегнетовой соли.

12.	Н abliitzel J., Helv. phys. acta, 12, 489 (1939). Диэлектрические исследования
сегнетовой соли с тяжелой водой.

13.	West J., Zs. f. Kristallographie, 74, 306 (1930). Количественный рентгеноструктур-
ный анализ монофосфата калия КН2РО4.

14.	В а г k 1 а Н. М., Nature, 158, 340 (1946). Нижняя точка Кюри ферроэлектрических
солей.

15.	Mason W. Р, Matthias В. Т., Phys. Rev., 74, 1622 (1948). Теоретический
механизм сегнетоэлектрического эффекта в титанате бария.

16.	Danielson G. С., Phys. Rev., 74, 986 (1948).

17.	Devonshire A. F., Phil. Mag., 40, 1040 (1949). Теория титаната бария. Часть 1.

18.	Hippel A., Breckinridge R. G., Chesley F. G., Tisza L., Ind.
Eng. Chem., 38, 1097 (1946).

19.	Blunt R. F., L о v e W. F., S k о m a I E. N., Amer. Phys. Soc. Meeting,
27 January, 1949, Paper H—10.

20.	Forsbergh P. W., Amer. Phys. Soc. Meeting, 27 January, 1949, Paper H—11

21.	Matthias B., Hippel A., Phys. Rev., 73, 1378 (1948). Структура доменов
и диэлектрические свойства монокристаллов титаната бария.

22.	Merz W. J., Phys. Rev , 75, 687 (1949). Диэлектрические свойства однодоменных
кристаллов BaTiO3.

23.	Маш Д. Е., ЖЭТФ, 17, 537 (1947).

24.	Р о w 1 е s, Nature, 162, 614 (1948).

25.	Н u 1 m F., Nature, 160, 126 (1947). Спонтанная поляризация монокристалла BaTiO3

26.	Wilson A. J. С., Phys. Rev., 54, 1103 (1938). Теплоемкость сегнетовойсоли
между —30 и +30° С.

27.	Stephenson С. С., Н о о 1 е у J. G., Journ. Amer. Chem. Soc , 66, 1397 (1944).
Теплоемкость монофосфата калия в интервале от 15 до 300° К.

28.	Blattner Н., Merz W., Helv. phys. acta, 21, 210 (1948). Аномалии удельной
теплоемкости титаната бария.

29.	Mueller Н., Phys. Rev., 58, 805 (1940). Свойства сегнетовой соли. IV.

30.	Кэди У., Пьезоэлектричество и его практические применения, М., 1949.

31*. Глесстон С., Лейдлер К., Эйринг Г., Теория абсолютных скоростей
реакций, М., 1948.

32*. Сканави Г. И., Физика диэлектриков, М.—Л., 1949.

33*. В ул Б. М., Гольдман И. М., ДАН СССР, 46, 154 (1945). Диэлектрическая
проницаемость титанатов металлов второй группы.

34*. By л Б. М., Электричество, 3, 12 (1946).

35*. Смоленский Г. А., ДАН СССР, 70, № 3 (1950). Новые сегнетоэлектрики;
Смоленский Г. А., Кожевникова Н. В., ДАН СССР, 76, № 4 (195Г.
К вопросу возникновения сегнетоэлектричества.

36*. Широбоков М. Я., Холоденко Л. П., ЖЭТФ, 21, 12з9 (1951). К термо-
динамической теории сегнетоэлектрических явлений в кристаллах типа титаната
бария; ЖЭТФ, 21, 1250 (1951). Сегнетоэлектрические свойства кристаллов типа
ВаТЮ3 вблизи точки Кюри при наличии упругих напряжений.

37*. Р ж ан о в Д. В., ЖЭТФ, 19, 502 (1949). Пьезоэффект титаната бария; УФН, 38,
46 (1949). Титанат барий—новый сегнетоэлектрик.
Глава XII

ЭФФЕКТ ЭЛЕКТРОСТРИКЦИИ1) В СЕГНЕТОВОЙ СОЛИ
И ТИТАНАТЕ БАРИЯ

§ 1.	Введение

В дополнение к пьезоэлектрическому эффекту (эффекту первого порядка),
который обнаруживается у определенной группы кристаллов, все кристаллы
обладают эффектом электрострикции (эффектом второго порядка), заключаю-,
щимся в возникновении деформаций, пропорциональных квадрату электри-
ческой индукции. Хотя этот эффект существует во всех кристаллах и фактиче-
ски во всех твердых диэлектриках, он всюду чрезвычайно мал, за исключе-
нием сегнетоэлектрических веществ, таких как сегнетова соль и титанат бария.
Величина деформации, возбуждаемой в керамике из титаната бария, превы-
шает значения, известные для магнитострикционных тел, в силу чего титанат
бария, повидимому, сможет стать важным электромеханическим преобразо-
вателем.

Эффект электрострикции в сегнетовой соли обсуждается в приложении.
Единственная постоянная электрострикции сегнетовой соли, которая была
измерена, это постоянная для поляризации вдоль оси х. Результаты этих
измерений приведены на фиг. 201 (относительная деформация, вызванная
спонтанной поляризацией в сегнетовой соли, выражена в миллионных долях).
Наибольшая постоянная характеризует относительное сжатие в направле-
нии оси х, причем если величина спонтанной поляризации равна 740 ед.
CGSE, то сжатие равно 50 • 10~6. Согласно уравнениям (П.100) и (П.102)
деформация по толщине определяется выражением

£ц = <21ш	»	(12.1>

гДе (?11п— —86,5’• 10-12. При той же индукции величина продольной дефор-
мации, вызванной пьезоэлектрическим эффектом, будет приблизительно
в 5 раз больше, так что эффект электрострикции приближается по величине
к пьезоэлектрическому эффекту.

Так как электрострикционная деформация пропорциональна квадрату
электрической индукции, т. е. является четным эффектом, то зависимость
деформации от напряженности поля выражается при наличии гистере-
зиса кривой типа «бабочка» (фиг. 122). В сильных полях кристаллическая
пластинка колеблется с удвоенной частотой по сравнению с частотой прило-
женного поля, и такую пластинку можно использовать в качестве модуля-

г) В настоящей книге деформация, пропорциональная квадрату индукции или напря-
женности поля или произведению двух индукций или напряженностей поля, называется
электрострикционной деформацией. В ряде случаев это противоречит употреблению вве-
денного Мюллером термина «квадратичный» пьезоэлектрический эффект для эффекта,
зависящего от деформации, вызванной спонтанной поляризацией или приложенным по-
лем, действующим через пьезоэлектрическую постоянную. Согласно этому определению,
эффект электрострикции в сегнетовой соли будет «квадратичным» пьезоэлектрическим
эффектом, потому что он связан с превращением ромбического кристалла в моноклинный
в сегнетоэлектрическом интервале и с возникновением новой пьезоэлектрической постоян-
ной, которая выражает пропорциональность деформации произведению спонтанной поля-
ризации на приложенную электрическую индукцию. Эффект электрострикции в титанате
бария [1] не относится к этому типу, но, во всяком случае, аналогичен магнитострикции
в ферромагнитных телах.
тора. Типичная схема электрострикционного модулятора показана на
фиг. 123. На кристаллический элемент L-среза сегнетовой соли, колеблю-
щийся по толщине, действуют несущая и звуковая частоты. Снимаемые

Фиг. 122. Типичная гистерезисная зависимость (типа «бабоч-
ка») электрострикционной деформации от приложенного поля
смещения.

Штрих-пунктирная кривая изображает квадратичную зависимость дефор-
мации от поля, которая существовала бы в отсутствие гистерезиса.
Маленькие замкнутые кривые показывают деформации, возникающие
при приложении слабого переменного поля.

колебания будут иметь две боковые полосы частот, и, следовательно, такое
устройство можно использовать для модуляции.

Частоту, равную частоте приложенного поля, можно получить, налагая
на приложенное переменное электрическое напряжение постоянный смещаю-
щий потенциал или доводя с помощью поля поляризацию до насыщения и

Несущая fc

Звуковая fv

L

Фиг. 123. Электрострикционный модулятор.

используя после снятия поля остаточную поляризацию для получения смеще-
ния. Если приложенное переменное поле мало, оно не будет уменьшать вели-
чину остаточной поляризации, и такой кристалл будет действовать как
колеблющаяся по толщине пьезоэлектрическая пластинка.
Недавно было обнаружено [2, 3, 4], что другой сегнетоэлектрический
кристалл—титанат бария—в поликристаллической форме будет действовать
аналогичным образом. Керамику, приготовленную вместе с небольшим коли-
чеством связующего вещества из кристаллического порошка титаната бария,
в котором оси кристалликов беспорядочно распределены по всем направле-
ниям, можно заставить изменять свои размеры под действием приложенного
электрического поля. Деформация керамической пластинки по толщине имеет
примерно такую же величину, как в сегнетовой соли под действием обратного
пьезоэлектрического эффекта, и несколько больше величины деформации,
которую можно получить в магнитострикционных материалах. Кроме того,
изменение свойств титаната бария в зависимости от температуры не настолько
велико, как в сегнетовой соли. Поэтому такая керамика может быть исполь-
зована для различных типов преобразователей. Если амплитуда переменного
поля мала по сравнению с постоянным поляризующим полем смещения, вели-
чины остаточной поляризации достаточно для того, чтобы поддерживать эле-
мент в рабочем состоянии. Если ввести в керамику небольшое количество
титаната свинца, коэрцитивное напряжение становится очень большим и от-
даваемая мощность возрастает до 100 вт с 1 см2 пластинки, причем материал
элемента еще не подвергается деполяризации.

§ 2.	Методы измерения основных постоянных

В присутствии постоянного поляризующего напряжения в керамической
пластинке из титаната бария можно возбудить резонансные колебания
под действием переменного электрического напряжения. Были исследованы
четыре существующих эффекта: радиальные колебания элемента, изготовлен-
ного в виде диска [2], продольные колебания стержня, вырезанного из такого
диска, колебания по толщине в направлении приложенного поля [3] и коле-
бания сдвига по толщине [4]. Первые три типа колебаний возбуждаются,
если ноле смещения приложено в том же направлении, что и переменное поле,
в то время как колебания сдвига по толщине возникают, если поляризую-
щее поле смещения направлено под прямым углом к переменному полю. Если
имеются две пары электродов, расположенные под прямым углом друг к дру-
гу, то переменное поле не может быть сделано однородным вдоль линии его
приложения. Поэтому, прежде чем вызвать последний тип колебаний, воз-
буждается остаточная поляризация с помощью постоянного смещающего
поля, после чего электроды в этом направлении снимаются. Вообще говоря,
перед возбуждением всех этих типов колебаний можно приложить постоянное
смещающее поле, а затем снять его. В таком случае после снятия постоян-
ного напряжения керамические элементы будут работать за счет остаточной
поляризации.

Обычная схема, употребляющаяся для исследования резонансных коле-
баний керамических элементов, представлена на фиг. 124. В схеме имеются
источник высокого напряжения, например высоковольтный трансформатор,
и детектор, к выходу которого через большое сопротивление присоединена
пластинка из керамики титаната бария. Переменное напряжение подводится
через два конденсатора емкостью в 4 мкф каждый. При резонансных частотах
керамики, которые обычно превышают 100 кгц, импеданс конденсаторов не
превышает 1 ом, в то время как шунтирующий импеданс источника высокого
напряжения, равный 10 мгом, намного больше импеданса керамики. Следова-
тельно, с помощью такого устройства можно измерить электрический импе-
данс керамики и определить влияние сильного поляризующего напряже-
ния смещения, приложенного к керамической пластинке.

Если измерять импеданс только что приготовленной керамики в отсут-
ствие смещающего напряжения, он будет равен импедансу конденсатора
и никакие резонансные колебания не могут существовать. Однако, если нало-
жить смещающее поле в 30 000 в/см, резонансные колебания могут быть воз-
буждены, например, в диске из керамики, имеющем размеры

а — 2,5 см,	lt = 0,025 см,	(12.2)

где а—радиус, а Ц—толщина диска. На фиг. 125 представлены результаты из-
мерений резонансной и антирезонансной частот такого диска в зависимости
от приложенного смещающего поля, доходящего до 30 000 в/см. При
перемене направления смещающего поля получается симметричная кривая,

Фиг. 124. Схема установки для исследования
электр острикции.

показанная на той же фигуре. Очевидно, титанат бария обладает гистерези-
сом, и предистория керамического диска определяет его поведение. По-
скольку электрическая индукция обнаруживает аналогичную гистерезисную
зависимость от электрического напряжения, можно думать, что отдача эле-
мента определяется скорее индукцией, чем напряженностью поля. После
снятия внешнего поля вещество остается поляризованным, и это определяет
резонансные и антирезонансные частоты элемента.

По данным фиг. 125 и результатам измерений диэлектрической прони-
цаемости (фиг. 126) можно определить для керамики коэффициент электро-
механической связи (который определяет процентное отношение энергии,
проявляющейся в механической форме, к полной электрической энергии на
входе), постоянную электрострикции и величину модуля упругости, входя-
щего в формулу для радиальных колебаний. Способ определения основных
упругих и электрострикционных постоянных и коэффициента электромехани-
ческой связи для радиальных колебаний обсуждается в приложении. Можно
показать, что резонансная частота радиальных колебаний /к для вещества,
коэффициент Пуассона которого, равный 0,27, близок к величине коэффи-
циента Пуассона для титаната бария, определяется выражением

*R 2ка V р(1 — а2) ’	(12.3)

где а—радиус диска, Уо—модуль Юнга, р—плотность и а—коэффициент
Пуассона. Для диска, резонансные частоты которого приведены на фиг. 125,
а=2,5 см, р=5,5 и а=0,27. Следовательно, величина модуля Юнга при
нулевом смещающем поле равна 1,12 • 1012 дин/см1. Величина модуля
Юнга при увеличении смещающего поля до 30000 в/см возрастает
до 1,18 • 1012 дин/см1.

Как показано в приложении, коэффициент электромеханической свя-
зи к определяется величиной разности между резонансной и антирезонан-
сной частотами Д/, резонансной частотой /в, первым корнем Rv уравненияг
Фиг. 125. Резонансные и антирезонанасные частоты радиальных ко-
лебаний круглого диска из керамики титаната бария в зависимости
от приложенного поляризующего поля смещения.

Размеры диска: радиус 2,5 см, толщина 0,025 см.

Фиг 126. Диэлектрическая проницаемость керамики титаната бария в за-
висимости от напряженности приложенного поля.

определяющего частоту, и величиной коэффициента Пуассона а, согласно
формуле

Для а=0,27 значение выражения, стоящего в скобках, равно 2,51. Следова-
тельно, по данным фиг. 125 можно вычислить коэффициент электромеханиче-
ской связи. Зависимость коэффициента электромеханической связи от сме-
щающего поля изображена на фиг. 127. Такая зависимость в форме правиль-
ных петель гистерезиса показывает, что остаточная поляризация исчезает
при отрицательном напряжении, равном 5000 е)см. Для более слабого пер-
воначального поляризующего поля величина коэрцитивного поля также
уменьшается.

На фиг. 122 показана типичная гистерезисная зависимость (типа«бабочка»)
электрострикционной деформации от приложенного поля смещения. Кривая

Фиг. 127. Коэффициент электромеханической связи керамики титаната бария
для различных типов колебаний в зависимости от поляризующего поля смещения.

симметрична относительно оси ординат в силу того, что деформация пропор-
циональна квадрату электрической индукции. Действительно, измерения по-
стоянного смещения, проведенные на биморфных элементах при приложении
поля только к одной стороне, дают значения, очень хорошо укладывающиеся
на кривой приведенного типа. Вычисленная постоянная подходит очень близ-
ко к величине постоянной, измеренной с помощью переменного поля, как
описывается в следующем параграфе.

Точно так же были проделаны измерения коэффициента электромехани-
ческой связи для продольных и сдвиговых колебаний по толщине и для
продольных колебаний по длине. Полученные результаты представлены в гра-
фической форме на фиг. 127. Частотная постоянная для продольных колеба-
ний по толщине при нулевом смещающем поле равна 2550 кгц-мм. Исполь-
зуя это значение, можно определить величину упругих коэффициентов Ламэ
1 И [1 из формулы

•	(12-5)
откуда

(Х + 2р) = 1,42 • 1012 дин/см2.	(12.6)

Это соотношение вместе с выражением для модуля Юнга

У0 = р^4^г = 1ЛЗ • 1W2 дин/см2	(12.7)

приводит к следующим значениям упругих коэффициентов Ламэ:

А = 5,2 • 1011 дин/см2, р — 4,5 • 1011 дин/см2.	(12.8)

При этих значениях величина коэффициента Пуассона получается равной

° = 2(>Ь) = 0-27’	<12-9»

как уже было упомянуто выше.

Для того чтобы получить колебания сдвига по толщине, нужно поля-
ризовать керамику в одном направлении, а затем удалить электроды. Пере-
менное электрическое напряжение, приложенное перпендикулярно к напра-
влению поляризации, будет возбуждать колебания сдвига по толщине,
значение коэффициента электромеханической связи для которых показано
крестиком на фиг. 127.

§ 3. Феноменологическая теория эффекта электрострикции
в керамике из титаната бария1)

Керамика из титаната бария обладает более высокой симметрией по
сравнению с симметрией отдельных кристаллов в силу неупорядоченного
распределения кристаллических осей в пространстве. В связи с этим кера-
мика уже не может иметь пьезоэлектрического эффекта (эффекта первого
порядка), и все типы колебаний в ней должны быть связаны с электрострик-^
цией (эффектом второго порядка). При обсуждении экспериментальных
результатов в § 2 данной главы было показано, что электромеханическая
связь определяется, повидимому, электрической индукцией, а не напряжен-
ностью поля, так что мы примем механические напряжения и электрическую
индукцию за независимые переменные. Так как все измерения были прове-
дены при адиабатических условиях, постоянные, упоминаемые в этом раз-
деле, являются адиабатическими величинами.

В символике тензорного исчисления выражение для приращения внут-
ренней энергии тела при приложении механических напряжений и электри-
ческого поля может быть записано в форме

dU^T^dS^ + Ej^ + SdA =	® ),	(12.Ю)

\ т = 1, 2, о /

где Tij—шесть компонент механического напряжения, —шесть компо-
нент деформации, Ет—три компоненты напряженности электрического поля,
Dm—три компоненты электрической индукции, 0—абсолютная температура
и а—энтропия. Компоненты деформации в тензорной форме определяются
обычным соотношением

= 4	+	(12.11)

J 2 \dxj 1 дх; J	'

x) Теория сегнетоэлектриков, включая вопросы электрострикции и электрической
поляризации, была разработана еще в 1945 г. В. Л. Гинзбургом [8] и в дальнейшем
развита им и рядом других советских ученых. (Прим, ред.)
где Ui—смещение вдоль оси Чтобы избежать употребления множи-
теля 1/4тс, введем подстановку

=	(12-12)

тогда 8 будет измеряться в CGSE ед. заряда/еж2.

Поскольку мы собираемся использовать величины Ti}-, и а в каче-
стве основных переменных, введем термодинамическую функцию Нг, назы-
ваемую упругой энтальпией, согласно уравнению

H^-U-SijTip	(12.13)

Отсюда, принимая во внимание выражение (12.10),

dH\~—SijdTij-}-Emdbm-]-@ da	(12.14)

и

(12Л5)

Так как при адиабатических условиях о не изменяется, интересующие нас
переменные Зц и Ет зависят от Т и 8, т. е.

8ц = Зц(Тм, Ъп), Em=Em(Tkl, 8П).	(12.16)

Разлагая в ряд эти функции в области нулевой деформации и нулевого
поля и ограничиваясь членами второго порядка, получим

в„=^<1ты+^п+

+    <12Л7>

+ъ dT*dT-+2 таdT"+таd8- a, ] + • • •

В нашем случае некоторые из этих частных производных могут быть прирав-
нены нулю. Поскольку прямой пьезоэлектрический эффект в керамике из-за
однородного распределения осей кристалликов по всем направлениям отсут-
ствует, имеем

dSjj	д*1Е _ д*Нг _	дЕ™	су	М2 18Ч

ЭЪп	дЪпдТц дТчдЪЛ	дТц	\ • /

Более того, керамику можно рассматривать как материал, достаточно «мяг-
кий» лишь в отношении электрических, но не механических свойств. Следо-
вательно, изменение постоянных гибкости при изменении напряжения не
очень велико и

а __ л
dThldTqr U-

Изменение постоянных гибкости в зависимости от электрической индукции,
как показывает фиг. 125, очень мало, и здесь им можно пренебречь.
Поэтому мы можем положить

d^Sij _ d3Ht _ dsHj, _ дЕт

дТы дъп ~ ~ дты дъп Tij “ dTij dTkl дъп " дт^ дтм

(12.19)

После этого остаются только три частных производных второго порядка,
которые мы обозначим следующим образом:

d2Sjj =
дЪп дЪ0

дзнг _ д3Нг
дЪп дЪ0 dTij “	dTij дЪп db0

~ dTa dbn	,	(12.20)

д2Ет
дЪп db0

%Отпо>

в силу того, что между двумя из них существует приведенное выше соотно-
шение. Две частные производные первого порядка, оставшиеся в уравнениях
(12.17), определяют постоянные гибкости и диэлектрическую непроницае-
мость керамики согласно выражениям

__ D дЕт______ , qT

~ЗТ^ ~Sijhlf Ж “ Wmn’	(12.21)

где Sjjki—постоянные гибкости, измеряемые при постоянной электрической
индукции, a Pmn—диэлектрическая непроницаемость (величина, обратная
диэлектрической проницаемости), измеряемая при постоянном механическом
напряжении.

Наиболее несимметричная среда характеризуется 21 постоянной гибкости
и 6 величинами диэлектрической непроницаемости. Для случая изо-
тропного тела, рассматриваемого здесь, условия симметрии допускают
существование только двух постоянных гибкости и одной диэлектрической
непроницаемости. В самом общем случае имеются 36 компонент тензора
электрострикции Qijno и 18 компонент тензора поправок к величинам
диэлектрической проницаемости. Для изотропного тела диагональные
компоненты тензора электрострикции типа

= И ^211 = ^.	(12.22)

очевидно, равны, так как расширение вдоль оси хг при электрическом поле,
приложенном вдоль х2, равно расширению вдоль х2 при поле вдоль xt. Сле-
довательно, тензор электрострикции симметричен и имеет столько же компо-
нент, сколько имеет тензор постоянных гибкости s®ki, являющийся тен-
зором четвертого порядка. Для изотропного случая остаются неравными
нулю лишь компоненты, приведенные в табл. 19. В этой таблице в крайнем
левом столбце приведены компоненты деформации, которые возбуждаются
произведением электрических индукций, показанных в первой верхней стро-
ке. Так как Sij=Sji и 8|8;=8Д, три столбца и три строки в таблице
являются излишними. Тензор четвертого порядка для постоянных гибкости
изотропного тела можно составить по той же таблице, заменив Q11U на sim,
(Jim на $1122- В то же время в верхней строке следует заменить 8f на Т11}
8j82 на Т12 и т. д.

Чтобы упростить метод записи уравнений электрострикции, упо-
требляются обычные символы с одним индексом для механических напря-
жений и деформаций и с двумя индексами для постоянных гибкости,
постоянных электрострикции и диэлектрической непроницаемости. В таком
случае уравнения электрострикции для керамики примут вид
siiЛ + $2 (Т2 + тз) -}- (Jn&f + @12 (8g 4-	,

б12 sf2 (1\ 4- Г3) + &'п Т2 4- (>ц§2 + Q12 ($1 + $з) >
*$з = $12 (^i + Г2) 4- s°T з 4-	4- ()12 (Sx 4- 82),

^12	"2	‘4г) ^6 4~ (@11	(?1г) ^1$2>

^13 I5'=(£ -$£) т5 4- (Qtl -<?12) Мз,	(12.23)

*$23 ~~2~ (sn $12) ^4 4" ((?п	O12)	’

Ei = (< 4 ОпМ - 2 {<21! М4- ^6 + та 4-

4- £12 А (Г2+Т3) - (Г6В2+ГА)]},

Е2 = 82(4кЙ - Ои82) - 2 {<2и (В2Г2 4- W6 4- Ззг4) 4-

4- <212 А (Л 4- г3) -	4- W]},

- Bs (4TCpfx 4- c>n83) - 2 {^n (§3Г3 + ЪЛь 4- W +

4- <212 [83 (Л + Г2) - АГ5 + &2Г4)]}.

Таблица 19

		 Тензор электрострикции для изотропного тела									
	S2		М2		528i		81B3		82  2
Su 	  S12	....  S21 		Qiin 0 0		0  <2111 r <21122  <21111 <21122		0  <21111 Q1122  <21111 <21122		0  0  0		<21122 0  0
s13	  S22	  S31		0 Q1122  0		0  0  0		0  0  0		<21111 <21122 0  <21111 -<21122		0 Qiin 0
S23	  S32	  S83		0  0  Q1122		0  0  0		0 0  0		0  0  0		0  0  <21122
		S35l		§2§3		S3§2		£1	
sn. . .  S12 . . .  S2I. . .		0  0  0		0 0  0		0  0  0		<21122 0 0	
GQ СП CZ> w to M to CO		Qllll “Q1122 0  Qim Q1122		0  0  0		0  0  0		0  <21122  0	
CQ 02 co CO	CO	TO  CO	to	w	. . •	0  0  0		Qllll—Q1122  Qllir Q1122 0		<21111~~<21122  <21111 <21122  0		0  0  <2iui	
В уравнения электрического поля введен добавочный член О1Г, учи-
тывающий уменьшение диэлектрической проницаемости в зависимости от
приложенного поля. Такое уменьшение, как показывает фиг. 126, достигает
значительной величины. Изменение полной диэлектрической проницаемости
в широком температурном интервале показано на фиг. ИЗ1). Уравнения
для различных типов колебаний могут быть выведены из уравнений (12.23).

Рассмотрим простейший случай продольных колебаний длинного тонкого
стержня, которые возбуждаются полем, приложенным перпендикулярно
к его длине. Если толщина стержня направлена по оси г, а длина—по оси х,
уравнения принимают вид

= SXiT 1 + <2 А,

=	(12.2b

Для интересующего нас здесь случая В3 состоит из части 83 , связанной
с приложенным постоянным полем или остаточной поляризацией, и пере-
менной части, связанной с приложенным переменным полем. Поскольку
переменная часть мала, мы можем записать предыдущие уравнения в виде

•Si = <£Л + <?1г(253о53),
Es = 83 (Мп + Oi А„) - 2QA0'J\.

(12.25)

Для того чтобы привести эти уравнения к обычному виду, мы должны выра-
зить компоненту напряжения через компоненты деформации 55 и напря-
женности поля Е3. Исключая переменную часть электрической индукции
о3 из последнего уравнения и подставляя в первое уравнение (12.25), по-
лучим

гр _ 6*1________2Qi2B3q.E'3

(МП + ons3o)	’

8 =	’ '2 * *Qu\Sl	(12.26)

’	+ Onb,o -г s" + ОП6В1]) ’

где





и

Q	т	^012^3	Т

М»;+о, =м„+- -рр = (4<. + о, Ао) (1 - л=).

11

Подставляя последнее соотношение во второе уравнение (12.26), приведем
уравнения (12.26) к виду

Т —	—	^<212^з0-Б'з

в	. 2QiaM1 .	(12.27)

3 <+0Л	+ 01 Ао) *

3) См. [5].

2) Повидимому, автор разбивает выражение для индукции на постоянную часть &3
и переменную часть В3 и в выражении для квадрата индукции отбрасывает постоянный
член Q12 и малую величину В2, оставляя лишь член 2В3()В3. Уменьшение диэлектри-

ческой проницаемости определяется только постоянной индукцией (0Х1 B3q). Уравнения

(12.25) связывают, таким образом, только переменные механические напряжения и

деформации, индукции и напряженности поля. {Прим, ред.)
Если определить величину эквивалентной пьезоэлектрической постоянной

выражением

2Q12$3o

6/31	4^ + 0^’

(12.28)

то уравнения (12.27) совпадают с уравнениями пьезоэффекта (5.13). Следо-
вательно, можно применить тот же самый метод оценки этой величины, как
и в случае пьезоэффекта, если известны резонансная и антирезонансная
частоты, диэлектрическая проницаемость и плотность керамики. Коэффи-
диент электромеханической связи определяется выражением (5.36)

тс2 А/

[и

(4 — 7^2) _Д/

4 /в

(12.29)



4 /д

«а эквивалентная пьезоэлектрическая постоянная — выражением

- г1Х . ^-8о	4к^+Оиб3о ’

•откуда	(12.30)

<212 =	(^11 + ^и$з0) •

30

Результаты измерений зависимости коэффициента электромеханической
связи от приложенного напряжения для длинного тонкого стержня пред-
ставлены на фиг. 127. Частотная постоянная такого стержня равна
2,28 • 105 кгц • см. При плотности 5,5 г! см? это соответствует значению
постоянной гибкости (обратной модулю Юнга), равному 0,88 • 10-12 смг/дин.
Величина остаточной поляризации керамики оценивается в 6000 ед. GGSE.
Остаточная электромеханическая связь целого ряда стержней доходила
до 18%. По этим данным величина (712 в единицах GGSE приближенно
равна

<212= -1,35 • 10’12.

Отрицательный знак приписывается компоненте Q12 в силу того, что стер-
жень сжимается по длине, если нормально к длине прилагается электри-
ческое напряжение.

Та же самая постоянная <212 характеризует возбуждение радиальных
колебаний диска, но в этом случае необходимо преобразовать уравнения
к цилиндрическим координатам. Этот эффект обсуждается в приложении, § 9.
Было показано, что коэффициент электромеханической связи для радиаль-
ных колебаний в )/ 2/(1—о) раз больше, чем для продольных. Это хорошо
согласуется с экспериментальными результатами, представленными
на фиг. 127.

Коэффициент электромеханической связи для колебаний по толщине
также показан на фиг. 127. Эффективная пьезоэлектрическая постоянная
для колебаний по толщине может быть вычислена из уравнений (12.23),
если положить в них />1=52=0, поскольку никаких других деформаций
не происходит. Разрешая эти уравнения относительно Т3 и 83, получим

/ 2sd \

2Ч
__2_______ 11 *	12__'

+ O1183q

3 —-	Ез

3 4тф8з + Ои83(

/	2sD	\

2сп	Мз

\	Ч1+Ч2	/

(12.31)


где

Е

С11

с»
11

1 —А2 ’

/	2^Q12 \2 Е

4S32ol^-sVtT) Cfi
li2 -	\	11 T 12,/

Следовательно, для продольных колебаний по толщине эквивалентная пьезо-
электрическая постоянная равна

( к

\	О	о	/

v 11 1	12	7

(12.32)

Из результатов измерений остаточной электромеханической связи, доходя-
щей в некоторых пластинках до 40%, найдем, что

2s D

11 1	12

Поскольку постоянные гибкости и s12
гости си и С12 с помощью соотношений

2,7  КГ12.

(12.33)

выражаются через модули упру-

и





511 <ai 611 + C12) — 2c22

[i (3X	2|i) ?

(12.34)

12 си (си-г С12)—2с$2	2р. (ЗХ-р 2р.) ’

получим, используя значения упругих коэффициентов Ламэ (12.8), следую-
щие значения постоянных гибкости:

$п = 0,88 • 10-12, $12- —0,236 • 10"12.

(12.35)

Следовательно,

3,6 • 10~12.

(12.36)

Компонента в 2,7 раза больше (?12 и имеет противоположный знак.

Четвертым типом колебаний, которые можно возбудить в прямоуголь-
ном стержне, являются колебания сдвига по толщине, возникающие,
когда переменное электрическое поле приложено под прямым углом к посто-
янному смещающему полю. Этот тип колебаний был исследован для стержня
длиной 5 см, шириной 0,5 см и толщиной 0,25 см при приложении электри-
ческого поля 30 000 е/см и использовании остаточной поляризации, которая
создавалась при таком смещающем поле. Так как трудно установить электри-
ческую индукцию по направлению ширины стержня с помощью электродов,
перпендикулярных к большим граням, то электроды были совсем устранены
и вдоль ширины было приложено переменное поле. Измеренная резонанс-
ная частота оказалась равной 566 кгц, что хорошо согласуется с величиной
модуля сдвига р (12.8). Коэффициент электромеханической связи для сдви-
говых колебаний больше, чем для продольных колебаний по толщине.
Этого следовало ожидать из уравнений (12.23), которые для сдвиговых коле-
баний принимают вид

T __ Q e 2(Qn— Qi2)S3op.E„
1 4 — ° 4P* K“QT 7 A >	£'2’

4л:^11 + °l1830

Е

-St,

2 (Qu Q12) $з0Р

g________23 2__

2	4u^n+°u530

+Оп83о
где

Л __ Е ,D _CD '

’Л	(1 — А*),

/£2 — _________u

м^+ОиЧ

Подставляя определенные ранее величины (2П, (?12, р, и о3о (В3о—остаточ-
ная поляризация, составляющая 85 % величины поляризации, возбужденной
полем 30 000 в/см), найдем, что величина коэффициента электромеханической
связи равна 48%, что хорошо согласуется с экспериментом. Следовательно,
феноменологическая теория дает количественное объяснение для всех наблю-
давшихся типов колебаний и дает возможность подсчитать упругие и электро-
стрикциондые постоянные и диэлектрическую проницаемость керамики.

§ 4.	Теоретическое объяснение эффекта электрострикции

Предлагаемое ниже объяснение механизма электрострикционного эф-
фекта в титанате бария основывается на том, что радиальные деформации

о барии «Кислород • Титан

Фиг 128. Структура ти-
таната бария при темпера-
турах выше 120° С.

в дисках из керамики являются сжатием и что отношение между двумя раз-
личными деформациями по толщине равно примерно 1:2.

Титанат бария при температуре выше 120° С обладает кубической ячей-
кой, показанной на фиг. 128. Восемь ионов бария располагаются по углам
куба. Так как каждый ион бария принадлежит
одновременно к восьми элементарным ячейкам,
то на каждую ячейку приходится один ион бария.
Шесть ионов кислорода помещаются в центрах
граней, но, так как каждый из них принадлежит
одновременно двум элементарным ячейкам, то на
одну ячейку приходится три иона кислорода.
Ион титана находится в центре куба. Поскольку
его размеры значительно меньше размеров других
ионов, ион титана является самым подвижным эле-
ментом в структуре. Если температура понижается
ниже 120° С, ион титана смещается из центра
ячейки в направлении ионов кислорода в одно из
шести возможных положений равновесия. При
центральном положении иона титана ячейка яв-
ляется электрически нейтральной. Смещение же
титана из центра наводит в ячейце постоянный
дипольный момент. В этом случае домен, в котором

расположена ячейка, будет обнаруживать сегнетоэлектрические свойства.

Кристалл в сегнетоэлектрическом состоянии теряет кубическую струк-
туру. Ячейка становится тетрагональной, так как ось, вдоль которой сме-
щается ион титана, удлиняется на 1 % по сравнению с другими двумя
осями. На фиг. 112 представлена температурная зависимость параметров
элементарной ячейки титаната бария, полученная Мигоу [6]. Как показывает
графиков направлении сегнетоэлектрической оси размер ячейки возрастает
от 4,0 А при 120°С до 4,О26А при комнатной температуре, в то время как
параметры ячейки вдоль других двух осей уменьшаются от 4,0 до 3,986 А.
Объем элементарной ячейки остается неизменным, но отношение осей изме-
няется до 1,01.

В поликристаллическом материале механизм возбуждения эффекта
электрострикции в основном заключается в следующем. В приготовленной
керамике направления поляризации доменов (которые могут существовать
ниже 120° С) равномерно распределены в пространстве, и остаточная поляри-
зация не может существовать. Влияние сильного постоянного смещающего
поля заключается в изменении направлений поляризации доменов, так
что большинство из них ориентируется преимущественно в направлении
поля. Такое изменение направления поляризации происходит не в резуль-
тате поворота самих доменов, а скорее в результате перемены направления
сегнетоэлектрической оси от одного возможного положения в элементарной
ячейке к другому. После снятия внешнего поля в керамике остается внут-
реннее поле, возникшее в результате параллельной ориентации направле-
ний поляризации доменов, и это поле продолжает удерживать направления
поляризации большей части доменов в параллельном положении. Теперь,
когда домены ориентированы параллельно в направлении поля, пластинка
удлиняется в этом направлении на2/з% пропорционально относительному ко-
личеству доменов, направления поляризации которых были изменены полем.

В то же самое время радиальные размеры пластинки уменьшаются.
В кристаллах, по рентгеновским данным, боковое сжатие составляет поло-
вину от величины расширения по толщине. Однако для керамики, в силу
отношения—<212/<2и= 1,35/3,6=0,37, величина бокового сжатия еще меньше,
и, следовательно, появляется объемный эффект электрострикции1). Это, веро-
ятно, можно объяснить тем обстоятельством, что домены в кристалле по
всюду жестко связаны с соседними областями, так что сокращение разме-
ров домена может происходить без соответствующего сокращения размеров
тела. В то же время расширение вдоль оси с всегда производит перемещение
материала вне зависимости от того, связан ли домен жестко всюду или нет.
Оба эффекта, радиальный эффект и эффект по толщине, достигают значи-
тельной величины.

Если приложить слабое переменное поле в присутствии постоянного
поля смещения или остаточной поляризации, вероятно, происходят следую-
щие процессы. Переменное поле само по себе слишком мало, для того чтобы
вызвать перемену направления поляризации сразу во всем домене, но в по-
граничной области между двумя различно ориентированными доменами оно
может вызвать переход ионов титана из одного положения равновесия в эле-
ментарной ячейке в другое и тем самым вызвать рост одного домена за счет
другого.

Если переменное поле противоположно постоянному смещающему
полю, некоторые из элементарных ячеек доменов, поляризованных вдоль
толщины пластинки, перейдут к доменам, поляризованным в других напра-
влениях, и пластинка станет тоньше. Если переменное поле совпадает со
смещающим полем, эти ячейки, а также и ряд других будут поляризованы
в направлении поля, и пластинка станет толще. Так как изменение поляри-
зации ячеек будет, вообще говоря, запаздывать в сравнении с изменением
направления приложенного поля, то в керамике возникнет большой диэлек-
трический гистерезис так же, как и в кристаллах сегнетовой соли, и механи-
ческие резонансы будут иметь небольшую величину Q. Радиальные колеба-
ния возникают за счет сжатия доменов в направлении, перпендикулярном
к сегнетоэлектрической оси, причем этот процесс будет возбуждать радиаль-
ное смещение, приблизительно равное половине смещения при колебаниях
по толщине, что согласуется с экспериментом.

Полное увеличение толщины пластинки составляет примерно 5—7 • 10~4
для приложенного смещающего поля 30 000 в/см. Измерение этого уве-
личения толщины дает метод оценки числа доменов, которые поляризуются
в направлении поля сильным постоянным полем смещения. Так как пластин-
ка, если все домены ориентированы параллельно, может расшириться на

) См. также работу Г. А. Смоленского [9]. {Прим ред.)
2/.з%, т0 процентное содержание поляризованных параллельно полю доме-
нов будет равно

от вТв^ = 7’6% до (ЦГВЯ = 10-6%	(12.38)

сверх средней величины для изотропных условий.

§ 5.	Метод получения постоянной поляризации

Так как для практических целей нежелательно применять приложенное
все время постоянное смещающее поле, то для этих целей используется оста-
точная поляризация, возбуждаемая в керамике сильным постоянным элек-
трическим полем, которое после этого снимается. Имеются некоторые указа-
ния на то, что остаточная поляризация со временем может уменьшиться, как
это имеет место для остаточного магнитного момента мягких в магнитном отно-

Ф и г. 129. Температурная зависимость коэффициента электромеха-
нической связи для круглого диска из керамики титаната бария при
различных добавках титаната свинца.

Кривая А — обычный титанат бария; В—титанат бария в смеси с 4% титаната
свинца; С—титанат бария в смеси с 8 % титаната свинца.

поляризацию, был проделан ряд экспериментов по введению в титанат бария
примесей с целью закрепления электрических диполей в фиксированном
положении, подобно магнитным диполям постоянных магнитов. После вве-
дения 3 или 4 % свинца в форме титаната свинца желаемый эффект был обна-
ружен. Если такая смешанная керамика помещается в сильное постоянное
поле при температуре выше точки Кюри и охлаждается в присутствии поля,
возникшая остаточная поляризация и сопутствующая электромеханическая
связь не исчезают даже в электрических полях обратного направления, кото-
рые можно прилагать при температурах вплоть до 70° С. Как показывает
фиг. 127, остаточная поляризация керамики обычного титаната бария может
быть удалена отрицательным полем 5000 &)см, а в керамике с добавлением 4%
титаната свинца коэффициент электромеханической связи под действием отри-
цательного поля вплоть до 25 000 в/см лишь слегка уменьшается. Величина
коэффициента полностью восстанавливается при наложении положитель-
ного поля 25 000 в{см. Следовательно, новый материал действует подобно
постоянному магниту и его остаточная поляризация устойчива во времени.

Согласно данным рентгеновских измерений Рашмена и Страйвенса [7],
ион свинца замещает места ионов бария в элементарной ячейке. Поскольку
двухвалентный радиус иона свинца равен 1,2'1 А, т. е. на 0,14 А меньше,
чем радиус иона бария, ион свинца может также образовать диполь в допол-
нение к диполю, образованному от смещения иона титана. В результате
температура Кюри (120°С) для четырехпроцентной смеси повышается.
Поскольку ион свинца поляризуется меньше, чем ион бария, величина
уменьшается, и сильного увеличения фактора не наблюдается до тех пор,
пока не понизится температура. Вторая температура превращения, как пока-
зывают измерения частотных постоянных (фиг. 130), понижается с 10° С
до —20° С для 4-процентной смеси и до —45° С для 8-процентной смеси.
Как уменьшение диэлектрической проницаемости, так и понижение средней
температуры превращения связано с уменьшением величины фактора
в то время как возрастание температуры Кюри указывает на возрастание
фактора А3 в интервале комнатных температур. Поэтому выражение, стоя-
щее в числителе уравнения (11.110) и определяющее коэрцитивное поле,
может легко увеличиться в 5 раз. Вместе с тем коэрцитивное поле также
увеличится в 5 раз, что и наблюдается экспериментально.

При использовании смеси с 4% титаната свинца керамика может дли-
тельно излучать акустическую мощность, доходящую до 100 вт/см2, без.

Фиг. 130. Температурная зависимость частотной постоянной круг-
лого диска из керамики титаната бария при различных добавках
титаната свинца.

Кривая А—обычный титанат бария; В—титанат бария в смеси с 4% титаната
свинца; С—титанат бария в смеси с 8% титаната свинца.

уменьшения остаточной поляризации, если только окружающая среда под-
держивается при температуре менее 70° С. Эта величина представляет наи-
большую мощность, снимаемую с 1 сж2, какую только можно получить-
в ультразвуковых преобразователях.

В то время как еще преждевременно описывать, какие приложения
преобразователей из керамики будут давать лучшие результаты по сравне-
нию с конкурирующими методами, некоторые преимущества сразу же можно
отметить. На фиг. 129 и 130 представлены температурные зависимости коэф-
фициента электромеханической связи и частотной постоянной (частота,
умноженная на радиус диска) для круглого диска из керамики. Кривая А
относится к керамике из обычного титаната бария, кривая В—к смеси с4%-
титаната свинца, а кривая С—к смеси с 8% титаната свинца. Эти данные пока-
зывают существование двух температур превращения (при 0° и при —90° С).
Согласно теории, изложенной в гл. XI, в этих точках кристалл становится
спонтанно поляризованным соответственно по двум пли трем направлениям
одновременно. Положения точек превращения для смешанной керамики
несколько неопределенны. Промежуточная температура превращения пони-
жается до —20° для 4-процентной смеси. Для 8-процентной смеси эта точка
располагается еще ниже. Постоянные преобразователя из керамики титаната
бария, как показывают фиг. 129 и 130, значительно менее чувствительные
к изменениям температуры, чем постоянные для преобразователя из сегне—
товой соли.
Другим бесспорным преимуществом преобразователя из керамики
является возможность изготовления элемента любой формы или размера.
Эта возможность может быть использована, например, для изготовления
фокусирующих излучателей, концентрирующих ультразвуковую энергию
в определенной области. Такие преобразователи можно сделать одинаково
эффективными во всех точках излучающей поверхности, чего нельзя добиться
в фокусирующих излучателях из кварца. В форме цилиндрического излу-
чателя преобразователь из титаната бария может развить высокую интен-
сивность ультразвука вдоль оси цилиндра. Такой преобразователь может
быть использован для получения длительных воздействий ультразвука на
жидкости или твердые тела, что применяется для изменения их свойств.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Mason W. Р., Phys. Rev., 73, 1398 (1948). Пьезоэлектрический или электрострик-
ционпый эффект в керамике титаната бария.

2.	Roberts S., Phys. Rev., 71, 890 (1947). Диэлектрические и пьезоэлектрические
свойства титаната бария.

3.	Mason W. Р., Phys. Rev., 71, 809 (1947). Эффект электрострикции в титанате
бария.

4.	Cherry W. L., Jr., Adler R., Phys. Rev., 72, 981 (1947). Пьезоэлектрический
эффект в поликристаллическом титанате бария.

5.	Н i р р е 1 лА., В г е с k i n г i d g е R. G., С h е s 1 е у F. G.,Tisza L., Industr.
Eng. Chern , 38, 1097 (1946).

6.	Megaw И. D., Proc. Roy. Soc., 189, 261 (1947). Температурные изменения в кри-
сталлической структуре титаната бария.

7.	Rushman, Striven s, Farad. Soc., 42A, 235 (1946).

8*. Гинзбург В. Л., ЖЭТФ, 15, 739 (1945), ЖЭТФ, 19, 999 (1949).

9*. Смоленский Г. А., ЖТФ, 21, вып. 9 (1951), Электрострикционные явления
в керамических сегнетоэлектриках.
Глава XIII

СВОЙСТВА газов и методы их исследования с помощью
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Пьезоэлектрические преобразователи широко применяются для полу-
чения колебаний в газах, жидкостях и твердых телах и для измерения упру-
гих и диссипативных постоянных твердых тел1). Первым прибором для этой
цели был, повидимому, акустический интерферометр Пирса [1], который
применялся для измерения скорости и затухания ультразвука в газах и
жидкостях. При попытке проверить на опыте классические уравнения,
предсказывающие затухание звуковых волн, пропорциональное квадрату
частоты, Пирс нашел, что затухание имеет максимум при определенной
частоте и скорость в связи с этим увеличивается с частотой. Вскоре Герцфельд
и Райс объяснили это явление как следствие обмена энергией между внешними
степенями свободы молекулы (поступательными) и внутренними степенями
свободы молекул (колебательными), которые возбуждаются в среднем
только после большого числа столкновений. Эти внутренние колебания
могут быть возбуждены только в многоатомных газах, для которых адиаба-
тические соотношения могут видоизменяться вследствие влияния некоторых4
постоянных времени, характеризующих скорость обмена тепловой энергией
между поступательными, вращательными и колебательными степенями сво-
боды молекул. Это явление известно под названием тепловой релаксации2 *).

Целью данной главы является описание методов исследования свойств
газов с помощью кристаллических преобразователей и некоторых получен-
ных этими методами результатов.

§ 1. Классические уравнения распространения звука
и приложение их к одноатомным газам

Классические соотношения для затухания звука в газах, возникающего
благодаря сдвиговой вязкости (Стокс, 1841) и теплопроводности (Кирхгоф,
1868), выведены подробно в приложении, §7. Как там показано, распростра-
нение плоской волны описывается уравнениями

р = pQ ch Гх — £0Z0 sh Er,	)

£ --= £0 ch Тх —~ sh Тх,

где р—избыточное давление в точке с координатой х, р0—избыточное давле-
ние в начале координат, В—скорость частиц в плоской волне, Г—постоян-

*) Методы исследования газов, жидкостей и твердых тел с помощью ультразвука
подробно освещены в обстоятельной монографии Б. Б. Кудрявцева [14]. Там же приведена
подробная библиография советских работ по указанным вопросам.

2) В 1911 г. Н. П. Неклепаев [15] в лаборатории П. Н. Лебедева получил ультразву-

ковые волны в воздухе, возбуждая их искрой, получаемой от «поющей дуги» высокой
частоты. Обнаруженное Неклепаевым на опыте увеличение затухания ультразвука в воз-
духе в 2 раза по сравнению с классическим затуханием Лебедев [16] объяснил влиянием
молекулярных процессов на распространение волны. Таким образом, молекулярное за-

тухание ультразвука было обнаружено и теоретически объяснено Лебедевым еще
в 1911 г.(Прим. ред.)
ная распространения и Zo—импеданс бесконечной среды. Последние две
величины через постоянные газа выражаются в виде

Ч |_7. + 21 +

(t~ V* 1

Ср J

^Г/ + 27!4
ргз Lz+	1

(7-1) Д'
Ср

(13.2)



/со

2pv2

Г , 9	, (7-1) К 7 I

Г 2''	„ If •

В этих уравнениях р—плотность, v-—скорость звука, равная У к/p (к—
модуль объемной упругости), ю=2тс/ (/—частота), щ—сдвиговая вязкость,

pdx

%—объемная вязкость, у—отношение
удельных теплоемкостей, К—коэффи-
циент теплопроводности, Ср—удельная
теплоемкость при постоянном давлении.
Для газов, согласно предположению
Стокса, имеем

х + 2^^.	(13.3)

Ф и г. 131. Эквивалентная электриче-
ская схема, представляющая распро-
странение продольной упругой волны
в газе или жидкости.

Это соотношение оправдывается по край-
ней мере для одноатомных газов. Из
теории газов имеем

К	(&f—5) г;

(13.4)

так что эффективное затухание звука определяется формулой

 Л 2к2^2 Г I (7“ 1)(97 — 5)7]

L 3 '	4

Для одноатомного газа 7 = е/з> откуда затухание равно

А =	2,96т).

(13.5)

(13.6)

Обширные исследования аргона, проведенные Келлером [2] при частоте
4,25 мггц, подтверждают классическую формулу в широком диапазоне давле-
ний вплоть до 12 атм. Однако измерения, проделанные в гелии [3, 4] и в
неоне [5], показывают, что затухание в этих двух газах приблизительно
в 4 раза превышает теоретическую величину. Объяснить это расхождение
чрезвычайно трудно, поскольку для одноатомных газов нельзя указать допол-
нительные факторы, вызывающие поглощение. Недавние измерения [6]
в гелии дали результаты, согласующиеся с полным термодинамическим урав-
нением (13.2), для давления, понижающегося вплоть до 5 • 102 дин/см2.

Эквивалентная электрическая схема, представляющая распространение
волны согласно классической формуле, имеет некоторый интерес, в особен-
ности для объяснения затухания, происходящего от различных причин.
Такую схему можно получить, если известны постоянная распространения
Г и импеданс Zo. Для Т-образного четырехполюсника при низких частотах
последовательный и параллельный импедансы слоя газа толщиной dx опреде-
ляются формулами

Z^ZJ'dr,	.	(13.7)

1	°	’	4	1 dr
Отсюда, согласно уравнению (13.2), имеем

Z^j^dx, 22={[х+21!+<1=^]-А| _L.	(13.8)

На фиг. 131 приведен Т-образный четырехполюсник, составленный из этих
импедансов.

§	2. Исследование свойств газов

Исследование свойств газов на низких частотах обычно производится при
распространении звука в закрытых трубах или в замкнутых объемах. Одна-
ко на ультразвуковых частотах свойства газов почти всегда исследуют при
помощи ультразвукового интерферометра. В таких интерферометрах, впер-
вые сконструированных и примененных Пирсом [1], для получения стоячих
волн между поверхностями пьезокристаллической пластинки и подвижной
отражающей пластинки обычно используется кварц или другой пьезоэлек-
трический кристалл. Поперечное сечение этой пьезоэлектрической пластинки
берется настолько большим, чтобы получить плоские волны и не принимать
в расчет расхождение фронта волны.

1. Теория интерферометра. На фиг. 132 показан типичный интерферо-
метр для измерения скорости и поглощения звука в газе при различных тем-
пературах. Пластинка большого поперечного сечения из кварца или ADP
жестко укреплена между двумя электродами. Передвигающаяся отражаю-
щая пластинка соединена с микрометрическим винтом, который точно изме-
ряет ее расстояние от поверхности пьезоэлектрической пластинки. При
этом отражающая пластинка установлена строго параллельно поверхности
пьезоэлектрической пластинки. Для регулирования температуры весь интер-
ферометр помещен в термостат. Камера термостата делается газонепроницае-
мой и имеет приспособления для впуска и выпуска газа.

Колебания пластинки пьезокристалла создаются ультразвуковым гене-
ратором, настроенным на ее резонансную частоту. Для измерения зави-
симости силы тока, текущего через пьезопластинку, от положения отража-
теля может быть использована термопара или усилитель, включенный после-
довательно с пьезопластинкой. При изменении положения отражателя по
отношению к поверхности пьезоэлектрической пластинки ток через инди-
катор изменяется, как показано на фиг. 133. Через интервалы в полволны
обнаруживаются резкие минимумы тока, указывающие на то, что к поверх-
ности колеблющегося кристалла приложен большой импеданс, создающийся
системой стоячих волн между поверхностью пьезоэлемента и отражающей
пластинкой. Сосчитав число минимумов (число полуволн), появившихся при
данном смещении отражающей пластинки, и зная точно частоту колебаний,
можно определить скорость распространения ультразвука в газе по формуле

/ 2 х Смещение \	/ло п\

У =	----------- х частота.	(13.9)

\Число полуволн /	'	'

Максимумы и минимумы кривой тока лежат на кривых, обозначенных
/макс И Днгн (фиг. 133); при увеличении расстояния они сближаются. По
форме этих кривых можно вычислить затухание волны. Теоретический
метод расчета затухания впервые был дан Хаббардом [7]. Этот расчет
может быть значительно упрощен применением эквивалентной схемы пьезо-
электрической пластинки, колеблющейся по толщине, полученной в гл. VI
книги [8]. На фиг. 134,а показана эквивалентная схема, пригодная для
рассматриваемого случая. Если изменить статическую емкость пластинки
параллельно включенной индуктивностью, то при резонансе ток в индика-
18*
-2

б

Фиг. 132. Установка с интерферометром для измерения ско-
рости ^поглощения звука в газе или жидкости,
а—схема установки:

Л 7—ловушки гдля воды с сухим льдом; 2—обмотка для подогрева газа;
3—потенциометр; 4—вариак; 5—лед; 6—интерферометр; S—жидкостный
клапан для поддержания постоянного давления; 9—манометр.

б—схема интерферометра:

/—вход газа; 2—асбестовая теплоизоляция; 3—термометр; 4—обмотка
для подогрева; 5—термопара; в—пьезокварц; 7—микрометрический
винт; 8—выводы к потенциометру; 9—гибкое сочленение; 10—выход
газа; 14—пружина; 12—бачок из хромированной латуни; 13—выводы
к генератору; 14—отражающая стеклянная пластинка; 15—пластинка
из плавленого кварца.
торе определится последовательно включенными омическим сопротивле-
нием R1} механическим сопротивлением пластинки и механическим импедян-
сом среды, приложенным к поверхностям кристаллической пластинки. Можно
считать, что среда за кристаллической пластинкой (со стороны, противо-
положной отражающей пластинке) имеет постоянный импеданс, не завися-
щий от свойств отражающей пластинки. Наиболее вероятно, что этот
импеданс равен акустическому сопротивлению среды рг?, умноженному
на площадь пластинки. Обозначив это сопротивление через Rr, можно
представить эквивалентную схему фиг. 134,а в виде схемы, показанной
на фиг. 134,6, где —механический импеданс, приложенный к пьезо-
пластинке и создаваемый системой стоячих волн. Исполдзуя (см. [8])
эквивалентную схему, показанную на фиг. 29, фиг. 134,6 можно
представить в виде фиг. 134,в. Но вблизи резонансной частоты вели-
чина 2/Z0 tg^- очень велика по сравнению с Zm—Rr, так что ею можно

пренебречь. При резонансе реактивные сопротивления CeJ^ и —2/ Zo ctg

взаимно компенсируются, и в результате получается схема, показан-
ная на фиг. 134,a. R'e представляет сопротивление пластинки, обязанное
своим происхождением упругому гистерезису, потерям в креплении и дру-
гим источникам диссипации в кристалле, Rr представляет сопротивление
излучения со свободной поверхности, a Zm—механический импеданс пьезо-
пластинки, возникающий вследствие реакции системы стоячих волн. Если
заменить Re и Rr через Re, то текущий через гальванометр ток при резо-
нансной частоте кристаллической пластинки равен

i —------

Ro +

Е.

Л Rfi +	Л

к 4<Р2	7

(13.10)

Если считать, что излучатель дает хорошо направленный пучок, а рас-
стояние между кристаллической и отражающей пластинками столь мало,
что с диффракцией можно не считаться, то импеданс может быть рассчитан
из уравнений для плоской волны (13.1)

р2 — Pi ch Г/ — iiZ0 sh Г/,

ch rz-^shrz,

где Г — постоянная распространения, являющаяся комплексной величиной,
Zo — характеристический импеданс, очень близкий к ру, /ь и ^—давление
и скорость частиц на поверхности излучающей пластинки, а р2 и £2 — давле-
ние и скорость частиц на поверхности отражателя. Отражатель, вообще
говоря, имеет очень большой импеданс по сравнению с воздухом. Обозначив
этот импеданс на единицу площади через Zr, имеем

Р2

6г

= Zr.

(13.11)

Подставив это выражение в уравнения (13.1), находим полный механический
импеданс Zm, который равен

Epi __ 17	__ Г7 С

— Zm — Z-0O

£1

с th rz + (Z0/Zjj)

1 + (ZO/ZR) c th 17

(13.12)

Здесь 5 — эффективное поперечное сечение пьезопластинки. Для некоторых
газов отношение Zg/Zr очень мало, и его можно считать равным нулю. Даже
для жидкостей Z^Zr мало и может считаться равным малой величине Д.
Ток через гальванометр

Ф и г. 133. Зависимость тока через гальванометр интерферометра от поло-
жения отражателя.

По оси абсцисс отложено расстояние между излучателем и отражателем, выражен-
ное в длинах полуволн.

г

Фиг. 134. Эквивалентные электрические схемы интерферометра.
Подставляя выражение (13.12) в формулу (13.10), имеем

i

Яр

Ео___________

,S / cthTZ +Д
52 <1 + Acthrz

(13.13)

Так как Г состоит из действительной части А (затухание в неперах на
сантиметр) я мнимой части /В (где В — фазовая постоянная в радианах),
cth Г/ может быть представлен в виде

j. i тд 7	4-К7/Л i * d\	7 sin 2HL

cth Г/ -- cth Z (A + jB) -- ch2^Z—cos 2BI '

(13.14)

cth Г/ имеет максимум
следует, что для каждого
достигает минимума, как
точках равна

при cos 2В1 = 1,

т. е.

целого числа полуволн
показано на фиг. 133.

. при Bl — nw. Отсюда
импеданс Zm велик и ток

Величина cth Г/

в этих

а минимальный ток равен

ch 2А1 — 1

(13.15)

Ео

re ZoS ( tfbAl + k
4<p2 + 4^2 \1 + Д cth AZ

th Л/ + Д

(13.16)

^мин ~~

так как А мало и им можно пренебречь по сравнению с очень большой вели-
чиной cth Al. Если экстраполировать величину минимального тока к нуле-
вому расстоянию I — 0, то минимальный ток при расстоянии, равном нулю,
будет равен

i0 —

^о

2?в

4<р2

zos

4ср2Д

(13.17)

Когда cos2B --- — 1, т. е. при нечетном числе четвертей волн, укладываю-
щихся в промежутке между пьезопластинкой и отражателем, ток достигает
максимума. В этом случае

cth Г/ =	-th А/,

1 + ch 2А1	’

(13.18)

и максимальный ток выражается соотношением

^макс

re

4^)2

A) _________________________

<1 + Д th AZ J o+4?a +

до_________

^L(th.4/ + A)

, (13.19)

так

ток

как th Al всегда меньше единицы, а А очень мало. Если максимальный
экстраполировать к нулевому расстоянию, то получится

1м =

J-'O

Л»+ /1?= + 4<pa

Eo

C ’

(13.20)

где

С — постоянная величина для данного интерферометра.

Взяв отношение 1м к Zo и обозначив его через <з0, получим

G0 —

Дд , z»-? c । z«s (

4cp2 1 4ср2Д ______	4<p2 \

RE	z(is	C

4<p2	4®2

(13.21)
Так как А очень мало, имеем

____ZpS

4<раС(а0 — 1) ’

(13.22)

Для нахождения А и th Al имеются еще два уравнения (13.16) и (13.19).
Запишем их в виде отношений

__ *М _	1

$1 j	7 с	1

*+4Wth^	(13.23)

__	_____JL_________

*МИН j ]	1 Л

4ср2С <th Al + Д )

Итак, мы получили три уравнения для нахождения А и th Л/. Разрешив
их относительно А и th Al, получим

th Л1 == 1/ЕЕЖЕЗ, д =	.	(13.24)

Г (ffo—i)(a2—1)	Г (а0— 1)(а0 — а2)	'	’

Так как величина А не зависит от положения отражателя, то последнее из
соотношений (13.24) не зависит от величины промежутка I. Поэтому кривые,

Фиг. 135. Зависимость омического сопротивления пьезоэлектрического
излучателя интерферометра от положения отражателя.

По оси абсцисс отложено расстояние между излучателем и отражателем, выра-
женное в длинах полуволн.

типа приведенных на фиг. 133, могут служить для определения скорости
звука и затухания в газе.

Другой метод измерения этих величин состоит в том, что пьезопластинка
интерферометра включается в импедансный мост, и при резонансной частоте
пьезопластинки измеряется ее активное и реактивное сопротивление в зави-
симости от величины промежутка между излучателем и отражателем. Из
формулы (13.13) получаем, что импеданс определяется выражением



4<р2

Z0S
4<р2

/ cth TZ + Д А
\1 + Д cth TZ)

(13.25)

Активная компонента изменяется, как показано на фиг. 135, меняясь в пре-
делах между

+	Л	(13.26)

\ /макс о 1 4ср2 1 4^2 \^th Al + Д J	v 7
И

R {l)wLK — во +	4"	^ + △) •

Обозначив минимальное сопротивление при 1—0 через 7?мин, а минималь-
ное сопротивление при расстоянии I через /?(/)МИн? максимальное со-
противление при 1—0 через /?макс, а при расстоянии I через Л(/)Макс>
можно найти из равенства (13.26), что затухание определяется формулами

th

•^макс (^манс
В ^^макс ^мин

В ОмиН -^МИН

7?

* макс 1мин

(13.27)

и

д =

7?	__7?

макс яшп1

в (Омаке ^мин

в (Омин -^мии 1
^макс R (Омаке J

Эти формулы дают другой метод определения скорости и затухания ультра-
звука в газах.

2. Экспериментальные результаты. Измерение затухания и скорости
распространения звука в воздухе, кислороде, углекислом газе, азоте и дру-

Ф и’г. 136. Затухание звука в воздухе в зависимости от содержания
водяного пара при различных частотах и температуре 20° С.

по расчету согласно классическому представлению о затухании за счет вяз-
кости и теплопроводности, рассмотренному в приложении, § 7; кроме того,
скорость в таких газах, как двуокись азота, при изменении частоты обнару-
живает дисперсию. Первые измерения для двуокиси азота были выполнены
в 1925 г. Пирсом [1], первые убедительные измерения для воздуха—
Кнудсеном [9].

При помощи измерения времени реверберации в замкнутых камерах
различных размеров было определено затухание на частоте 3000, 6000 и
10 000 гц в зависимости от процентного содержания водяного пара в воздухе.
Кривые, приведенные на фиг. 136, имеют резко выраженный максимум зату-
хания при содержании водяного пара от 0,2 до 0,4%. Затухание в сухом
воздухе приблизительно на 40% выше, чем рассчитанное по классической
теории. В присутствии водяного пара затухание превышает классическое
значение больше чем в 100 раз. Затухание в углекислом газе, измеренное при
тех же частотах, более чем в 350 раз выше классического значения.
На фиг. 137 приведены измеренные значения затухания и скорости звука в
углекислом газе в зависимости от частоты.

Причины такого расхождения между классической теорией и опытом
были исследованы Герцфельдом и Райсом [10] и Кнезером [II]1). Основной

Фиг. 137. Квадрат скорости и затухание звука в углекислом газе
в зависимости от частоты.

механизм этого явления был объяснен следующим образом: когда газ
адиабатически сжимается, некоторая часть энергии переходит во вну-
треннюю энергию колебаний молекул и некоторая часть—во внутреннюю
энергию вращательных движений молекул. Вычисления показывают, что
для большинства газов обмен энергией между поступательными и вращатель-
ной степенями свободы молекулы происходит так быстро, что для некоторых
частот, при которых делались измерения, этот обмен можно считать полным.
Оказывается, например, что для водорода могут возбуждаться вращательные
движения молекул, имеющие частоту релаксации 10 мггц. Для некоторых
же видов колебательных движений молекул обмен происходит совсем не так
быстро. Если сжатия и расширения происходят настолько медленно, что моле-
кулы успевают проходить через состояние равновесия в промежутке между
стадиями сжатия и расширения, то при таких очень низких частотах
энергия поступательного движения молекул, перешедшая во внутрен-
нюю энергию колебания молекул, успевает возвратиться обратно. Однако
если промежуток времени, в течение которого газ сжимается и расширяется,
того же порядка, что и время, необходимое для установления теплового

х) Отметим, что принципиально новая теория поглощения и дисперсии скорости
звука в многоатомных газах дана А. С. Предводителевым [17]. (Прим, ред.)
равновесия между невозбужденными и колеблющимися молекулами, то
определенная часть внутренней энергии колебания молекул не возвращается
обратно в энергию внешних степеней свободы и переходит в тепловую. Нако-
нец, если процесс происходит со скоростью, значительно превышающей
скорость энергетического обмена, то во время сжатия во внутреннюю коле-
бательную энергию успевает переходить очень незначительная доля энергии
внешних степеней свободы, а следовательно, и поглощается ее мало.

Поэтому при низких частотах нужно ожидать малых потерь энергии,
так как большая часть ее возвращается волне. Эти потери приводят к неко-
торой добавке к величине удельной теплоемкости, так как при низких часто-
тах может возбуждаться много различных степеней свободы. Максимум
поглощения появится тогда, когда частота звуковой волны будет равна
обратной величине времени установления теплового равновесия. Наконец,
при высоких частотах в энергию внутренних колебательных степеней сво-
боды молекул переходит мало энергии и следует ожидать малых потерь
звуковой энергии и малого значения удельной теплоемкости газа.

Вычисления, основанные на этих соображениях, приведены в приложе-
нии, § 8. Формулы для затухания А на одну длину волны и скорости v
в зависимости от частоты имеют вид

(13.28)

где Cv—удельная теплоемкость при постоянном объеме, CVi—удельная
теплоемкость при постоянном объеме, обусловленная колебательными сте-
пенями свободы, -у—отношение удельных теплоемкостей CP!CV, w = 2u/ —
круговая частота, и кг—постоянная скорости реакции, т. е. число пере-
ходов в 1 сек. из возбужденного состояния в нормальное, приходящееся
на 1 молекулу. Это число равно 1/т', где т'—время релаксации. Заметим,
что при о —> 0 и со —> оо скорость распространения звука принимает значения

» — г?0 =

У,

7—1 Cyj

(13.29)

Отсюда

V2
оо

v0

-1 cvi

Т

&~'О)

V0V„

7—1

1

(13.30)

и



2 л
к х

Поскольку скорости при

очень низких

и очень

высоких частотах оце-

йены, можно вычислить отношение теплоемкости CVi, обусловленной коле-
бательными степенями свободы молекулы, к удельной теплоемкости Cv.

Между максимальным затуханием на одну длину волны Ахт и этими скоро-
стями имеется соотношение, выраженное равенством (13.30). Квадрат ско-
рости в некотором диапазоне частот показан на фиг. 138 пунктирной линией,
а сплошной линией нанесено затухание в зависимости от частоты. Частота
точки перегиба кривой квадрата скорости совпадает с частотой максимума
затухания. Частоты максимального затухания для разных газов или сме-
сей газов различны. Для углекислого газа этот максимум появляется при
частоте около 20 кгц. По спектроскопическим исследованиям в инфракрасной
области спектра известно, что для молекулы СО2 имеются три собственные
частоты, соответствующие двум продольным и одному изгибному колебаниям.
Одно из продольных колебаний добавляет к величине удельной теплоемкости
очень мало, второе—около 0,308 кал/молъ, в то время как колебание изгиба
добавляет 1,598 кал)моль. Если взять сумму этих величин, получается хоро-
шее согласие с величиной, вычисленной по ультразвуковым измерениям.
Отсюда следует, что исключение этих колебаний из удельной теплоемкости
должно вызвать увеличение скорости звука при высоких частотах.

Влияние водяного пара на затухание звука в воздухе заключается в том,
что он является катализатором для перехода энергии внешних степеней
свободы молекул во внутреннюю колебательную энергию молекул. Другими
словами, в отсутствие водяного пара энергия звуковой волны переходит

Фиг. 138. Теоретическая кривая зависимости квадрата скорости
и затухания звука от частоты для газа с внутренними колебатель-
ными степенями свободы.

в колебательную в незначительном количестве. Если вместо воздуха взять
чистый кислород, то затухание повышается более чем в 5 раз; это указывает
на то, что внутренние колебания происходят, повидимому, в молекулах
кислорода, а не азота. Эксперименты с азотом показали, что у него погло-
щение не зависит от количества добавленного водяного пара и почти совпадает
с классическим значением, определенным по вязкости и теплопроводности.

Релаксационные явления наблюдались во многих газах, в том числе
в ацетальдегиде, аммиаке, двуокиси азота, окиси азота, метане, сероугле-
роде, пропилене и различных парах1). Релаксационные частоты зависят от
вероятностей энергетического обмена между поступательными и внутренними
степенями свободы, а эти вероятности лежат в пределах от 10~3 до 10-6. Теоре-
тические оценки вероятностей довольно грубы и нуждаются в уточнениях.
Вращательная релаксация (т. е. возбуждение вращательного движения
молекул при их соударениях) недавно была доказана для водорода. Стюарт
[12] нашел, что частота релаксации при обычных температурах и давлениях
равна около 10 мггц. Вероятность энергетического обмена равна около
2 • 10~2 на одно столкновение. Колебательная релаксация здесь невозможна,

Э См. книгу Б. Б. Кудрявцева [14]. (Прим, ред.)
поскольку колебательные степени свободы при комнатной температуре не
возбуждаются. Келлер [13] утверждает возможность вращательной релак-
сации в азоте и аммиаке. Вероятности обмена колеблются для перехода от
поступательного к вращательному движению молекул в пределах от 10~г
до 10_2, а для перехода от поступательного к колебательному движению
молекул в пределах от 10~3 до 10~6.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Pierce G. W., Proc. Amer. Acad., 60, 269 (1925).

2.	Keller H., Phys. Zs., 41, 386 (1940).

3.	Itterbeck, Thy s, Physica, 5, 640 (1938).

4.	Itterbeck, Mariens, Physica, 7, 125 (1940).

5.	Itterbeck, Thy s, Physica, 5, 889 (1938).

6.	Greenspan, Phys. Rev., 75, 197 (1949).

7.	Hubbard, Phys. Rev., 38, 1011 (1931). Акустический интерферометр. I. Акусти-
ческая система и ее эквивалентная электрическая схема; Phys. Rev., 41, 523 (1932).
II. Скорость и поглощение ультразвука в газах.

8.	Mason W. Р., Electromechanical Transducers and Wave Filters, N. Y., 1948.

9.	Knudsen V. O., Journ. Acous. Soc. Amer., 3, 126 (1931). Влияние влажности на
поглощение звука в помещениях и определение коэффициента поглощения звука
в воздухе, Journ. Acous. Soc. Amer., 5, 112 (1933). Поглощение звука в воздухе,
кислороде и азоте в зависимости от влажности и температуры.

10.	Herzfeld, Rice, Phys. Rev., 31, 691 (1928). Дисперсия и поглощение высоко-
частотных звуковых волн.

11.	Kneser, Journ. Acous. Soc. Amer., 5, 122(1933). Интерпретация аномального по-
глощения звука в воздухе и кислороде в свете Законов молекулярных явлений.

12.	Stewart Е. S., Phys. Rev., 69, 632 (1946).

13.	Keller Н., Phys. Zs., 41, 386 (1940).

14*. Кудрявцев Б. Б., Применение ультраакустических методов в практике
физико-химических исследований, М.—Л., 1952.

15*. Неклепаев Н. П., ЖРФХО, 43, 101 (1911).

16*. Лебедев П. Н., ЖРФХО, 43, 108 (1911).

17*. Предводителев А. С., Вестник МГУ, 5, 65 (1948).
Глава XIV

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ

В течение последних нескольких лет было проведено большое количество
работ по измерению скорости и затухания продольных волн в жидкостях1).
Измерение скорости звука в жидкостях представляет интерес как метод
определения адиабатической сжимаемости жидкости. Данные, полученные
с помощью этого метода, и значения изотермической сжимаемости, полу-
ченные с помощью статических измерений, позволяют произвести рас-
чет отношения удельных теплоемкостей в жидкости. Это в свою очередь
дает возможность найти значения удельной теплоемкости при посто-
янном объеме Cv, которые не могут быть непосредственно измерены,
а могут быть только подсчитаны с помощью сложных термодинамических
соотношений.

Как показано в гл. Ill, § 1, п. 4, разность удельных теплоемкостей
в анизотропном твердом теле определяется уравнением

р(Ср — Cv) —- TQ (g^Xj -f- a2X2 -ф- ... 4~а6Х6),

(14.1)

где

Xi — otjCu -f- a2e12	-f- &6cle,

^6~а1С1б + а2С2вН" * • • +a6C66>

p—плотность, Tq—абсолютная температура, a1; ..., ae—шесть коэффициен-
тов теплового расширения, связывающих температуру и шесть относитель-
ных деформаций, Сц,..., с66—21 модуль упругости. Для жидкости

«1 = а2 -= а3 =	и а4 = а5 = а6 — О,

где а — коэффициент объемного расширения;

где — изотермическая сжимаемость, а остальные модули упругости равны
нулю. Следовательно, для жидкости

Так как скорость распространения волн в жидкости определяется формулой

Э За год до выхода в свет данной книги И. Г. Михайлов опубликовал весьма обстоя-
тельную монографию [33], в которой подробно разобраны существующие теории
распространения и затухания ультразвуковых волн в жидкостях и методы исследования
свойств жидкостей, проведена критика зарубежных работ и подчеркнут большой вклад
советской науки в разработку этих вопросов. (Прим, ред.}
где Ра—адиабатическая сжимаемость, то

 Cp + T6aW ,

(14.5)

РСР ’

a 4~CP/CV—отношение удельных теплоемкостей для жидкости. Отсюда,,
измеряя скорость звука у, коэффициент объемного расширения а, удель-
ную теплоемкость при постоянном давлении Cv и плотность р (все величины
должны измеряться при температуре То), можно определить все пара-
метры жидкости.

Результаты измерений затухания дают возможность выяснить харак-
тер молекулярных процессов в жидкостях. Согласно классической теории,
затухание продольных волн в жидкостях, так же как и в газах, обязано вяз-
кости и теплопроводности. Для жидкостей, кроме жидких металлов, таких как
ртуть, влияние теплопроводности по меньшей мере в 20 раз меньше, чем
влияние вязкости, и поэтому первым можно практически пренебречь.
Экспериментальные результаты для двух одноатомных жидкостей, с кото-
рыми проводились измерения,—ртути и жидкого аргона—почти точно совпа-
дают с теоретическими значениями. Характеризуя затухание величиной

Л[непер/см]	0/(

можно подсчитать в соответствии с классической теорией, что значение зату-
хания для ртути равно 5 • 10-17 и для жидкого аргона—3  10-17. Последние
измерения затухания в ртути [1] на частотах до 1000 мггц дали значение
затухания 6 • 10-17, а измерения Голта [2] дали результаты, хорошо совпа-
дающие с теоретическими значениями для жидкого аргона.

Для жидкостей с более сложными молекулами экспериментальные
результаты не дают хорошего совпадения с классической теорией и показы-
вают наличие другой причины затухания. Для легких жидкостей с малой
вязкостью экспериментальные значения затухания резко расходятся со
значениями, предсказанными классической теорией. Для сильно ассоцииро-
ванных жидкостей, как показано ниже, полученные на опыте значения зату-
хания близки к вычисленным по классической теории. Спирты и вода явля-
ются хорошими примерами ассоциированных жидкостей, и для них отно-
шение экспериментального значения затухания Лэк к вычисленному по.
классической теории значению Лкл имеет следующую величину:

Вещество		
Метиловый	спирт 		3
Этиловый	» 		1
Пропиловый	» 		 .	2
Амиловый	» 	. . . .	1,5
Бутиловый	» 		t
Вода . . .			3

(14.7)

Для трех наиболее сильно поглощающих жидкостей неполярного типа
с низкой вязкостью—сероуглерода, четыреххлористого углерода и бен-
зола—получаются следующие значения отношения экспериментального за-
тухания Лэк к классическому Лкл:
^эк/^кл

Вещество

Сероуглерод 		600
Четыреххлористый углерод . . . .	25
Бензол 		90

(14.8)

Другие неполярные жидкости, как гептан, гексан и толуол, также обла-
дают высоким поглощением. Одним из источников повышенного поглоще-
ния является обмен энергией между поступательными и внутренними коле-
бательными степенями свободы молекул, аналогично процессу, имеющему
место в газах. Был проделан расчет [3] скорости звука в жидкостях. Со-
гласно представлению, использованному в этих работах, принято считать, что

Ф и г 139 Схема расположения молекул
в жидкости.

звуковая волна распространяется
с бесконечно большой скоростью
внутри молекулы и с кинетической
скоростью молекул газа в про-
странстве между молекулами. Это
пространство называется «свобод-
ным объемом». Таким образом, мо-
лекулы как бы дают эффект корот-
кого замыкания на части пути зву-
ковой волны. Если расстояние

между центрами молекул равно L
(фиг. 139), а длина свободного пути равна то молекулярная цепь коротко
замкнута на всем пути, кроме части, равной L^jL, и скорость звука в жид-
кости определяется выражением

^ЯШДН —

Угаз, где

^газ — Тгаз

(14.9)

здесь угаз—отношение удельных теплоемкостей для газа, R—газовая
постоянная, Т—-абсолютная температура, М—молекулярный объем.

Если молекулы обладают внутренними колебательными степенями
свободы, то имеет место затухание по Герцфельду, Райсу и Кнезеру. Хотя
такое затухание наблюдается во всех типах жидкостей, оно не является
ни единственным, ни преобладающим, как это подтверждают последние изме-
рения [4—6] по крайней мере в трех жидкостях. Эти измерения показали,
что затухание по Герцфельду, Райсу и Кнезеру не может объяснить все
добавочное затухание. Измерения поглощения звука в воде в зависимости
от температуры, проделанные Фоксом и Роком [4], показывают, что только
классическим поглощением и тепловой релаксацией нельзя объяснить полное
поглощение звука в воде. Такое заключение основано на следующем явле-
нии. При температуре 4°С коэффициент объемного расширения воды равен
нулю. Следовательно, для воды вблизи 4°С Ср—Cv—0, и звуковая волна
при температуре 4°С распространяется в воде изотермически, т. е. без пере-
менного нагрева и охлаждения воды. Если процесс протекает изотермически,
то нет причин к изменению энергии внутренних колебаний молекул и, сле-
довательно, не должно иметь место затухание, вызванное запаздыванием
в установлении теплового равновесия. Между тем измеренное значение по-
глощения звука в воде при 4°С равно Л//2=50 • 10“17, в то время как
классическая теория дает значение, равное 15 • 1СН7. Таким образом,
необъяснимая разница составляет 35 • 10~17.
По другой концепции жидкость рассматривается как твердое тело, для
которого существует упорядоченное распределение молекул ближнего поряд-
ка, а дальний порядок нарушен. Такое представление о жидком состоянии
было впервые высказано Дебаем [8]1) и развито Френкелем [9]. На этой
точке зрения основана теория перегруппировки Дебая-Френкеля, по кото-
рой можно объяснить дополнительное затухание. Согласно этой теории, при
сжатии жидкости происходят два процесса: увеличение потенциальной
энергии, обусловленное уменьшением расстояния между молекулами, и из-
менение степени ближнего порядка в распределении частиц за счет более
компактной их упаковки при сжатии жидкости и более свободного распреде-
ления при ее расширении. Это изменение степени ближнего порядка в распре-
делении частиц, вообще говоря, запаздывает относительно изменения давле-
ния, так как оно связано с перегруппировкой частиц или перераспределе-
нием их взаимной ориентации, т. е. с процессами, требующими определенной
энергии активации и протекающими с конечной скоростью. Время запазды-
вания перегруппировки частиц при изменении объема должно совпадать
со средним временем пребывания частиц в колебательном состоянии около
тех же самых положений равновесия, которыми определяется сдвиговая
вязкость жидкости. Следовательно, основы теории объемной вязкости жидко-
сти предусматривают добавочное затухание для продольных волн. Если
частота настолько велика, что молекулы не имеют времени для перегруппи-
ровки в течение одного периода, гибкость, обусловленная перераспределе-
нием, исчезает и жидкость становится более упругой. До сих пор для лег-
ких жидкостей измерения не показали наличия дисперсии скорости.
Измерения Рупуано, проведенные до частоты 250 мггц, показывают, что
затухание пропорционально квадрату частоты, а скорость не зависит от
частоты. Между тем если принять механизм добавочного затухания по Герц-
фельду, Райсу и Кнезеру, то, по расчетам, скорость продольных волн в бен-
золе должна была бы изменяться на измеримую величину. Следовательно,
эти измерения указывают на то, что главной причиной увеличенного погло-
щения является затухание по Дебаю-Френкелю. Холл [5] объяснил про-
исхождение добавочного затухания в воде с помощью теории перегруппи-
ровки Дебая-Френкеля.

Измерения [10] обнаружили дисперсию скорости и связанную с ней
дисперсию затухания в полиизобутилене. Одновременные измерения модуля
сдвига показывают, что эта дисперсия объясняется высокочастотной сдвиго-
вой упругостью, которая вызывает увеличение продольной скорости за счет
релаксационного механизма. Подробно эти измерения обсуждаются в § 5.

Затухание продольных волн в очень вязких жидкостях, в таких, как
например, полиизобутилен и силиконовые смолы2), значительно меньше,
чем затухание, рассчитанное с учетом сдвиговой вязкости и объемной вяз-
кости по классическим формулам. Это указывает на то, что низкочастотная
сдвиговая вязкость вызывает релаксацию под влиянием сдвиговой упругости
конфигурационного типа на сравнительно низких частотах и не вызывает зату-
хания продольных волн высокой частоты. Непосредственные измерения коэф-
фициента сдвиговой вязкости и модуля сдвига для жидкостей были сделаны
Мэзоном [11] и обсуждаются в § 2. Жидкость имеет частоту релаксации /0,
определяемую из формулы

1) См. также работу Кнезера [7].

2) Впервые кремнийорганические соединения, в том числе различные силико-
новые смолы, получены и исследованы в СССР в 1937—1939 гг. К. А. Андриановым.
{Прим, ред.)
где [1—модуль сдвига, т;—коэффициент сдвиговой вязкости. Ниже этой
частоты жидкость ведет себя, как вязкая среда; выше этой частоты жидкость
ведет себя, как упругая среда. Для резиноподобных материалов типа очень
вязких полимеров модуль конфигурационной сдвиговой упругости будет
меньше, чем 107 дин/см*, в то время как коэффициент вязкости их лежит
в пределах от 20 до 1000 пуаз. Следовательно, частота релаксации изменяется
в пределах от 105 до 103 гц. Сдвиговая упругость измеряется с помощью кри-
сталлического элемента, работающего на крутильных колебаниях, как опи-
сано ниже в § 2. Для легких жидкостей, которые не обладают конфигурацион-
ной сдвиговой упругостью и имеют 10~2пуаз и модуль сдвига порядка
1010 дин/см* (что характерно для ионных кристаллов), можно ожидать значения
частоты релаксации, равного 1011 гп; такая частота лежит далеко за преде-
лами диапазона экспериментальных измерений. Сдвиговые волны этих
частот, однако, могут существенно влиять на величину теплоемкости жидко-
сти, как это подчеркнуто Бриллюэном [12] и Лукасом [13].

Наличие сдвиговой упругости в жидкостях было доказано измерениями
па гиперзвуковых частотах, проведенными Раманом и Венкатесвармом [14].
Они использовали тепловые колебания решетки, имеющие место при дебаев-
ских волнах. Как предсказано Бриллюэном [15], эти волны являются
причиной того, что свет, рассеянный молекулами жидкости, через которую
проходят звуковые волны, оказывается модулированным с частотой звуковых
волн. Рассеянный свет имеет частоту / + /s, где /s—частота звуковых
волн, и может быть видим под углом который определяется из следую-
щего выражения:

2XS sin ср- Хг,	(14.11)

где Xs-—длина звуковой волны, Хг—длина волны света в среде. Применяя
этот метод, Раман и Венкатесварм нашли, что скорость продольных волн
в глицерине г?=2500м/сек на частоте 1,53 • 104 мггц, между тем как на ультра-
звуковых частотах скорость равна 1910 м/сек. Исходя из этого, найдем,что
модуль сдвига будет равен р.—2,4 • 1010 дин/см*, тогда как модуль объемной
упругости х = Х + 2/3р. - 4,6-1010 дин/см*. Из формулы (14.10), если при-
нять коэффициент вязкости глицерина равным 5,8 пуаза, расчетное зна-
чение частоты релаксации для сдвиговых волн будет равно 6,5 • 102 мггц.
Это намного ниже, чем показывает эксперимент. Последующие измерения
позволили предположить, что дисперсия скорости, вызванная сдвиговой
упругостью, ниже 1000 мггц в обычных легких жидкостях не встречается,
если только в этих жидкостях не играют роли процессы, приводящие к фор-
муле (14.10).

§ 1. Измерение скорости и затухания продольных волн в жидкостях

Для измерения скорости и затухания продольных волн в жидкостях на
частотах выше 1 мггц применялись акустические интерферометры, оптиче-
ский и импульсные методы. Обычно применяется такой же интерферометр,
как на фиг. 132, за исключением того, что кристаллическая пластинка поме-
щается в герметически запаянный держатель, имеющий сзади воздушный
промежуток. Кристаллическая пластинка обычно прикрепляется к метал-
лической оправе с помощью серебряно-стеклянной пасты, наносимой по
краям пластинки, и припаивается на место. Электроды наносятся на всю
поверхность обеих главных граней пластинки, за исключением небольшого
кольца возле краев граней (для целей изоляции). Так как механический
импеданс жидкостей много больше, чем импеданс газов, то импеданс кри-
сталлического элемента каждый раз резко меняется при изменении расстоя-
ния между излучателем и отражателем на четверть длины волны. Нафиг. 140
показана типичная кривая зависимости тока от расстояния между излу-
чающей и отражающей пластинками. Скорость продольных волн и их
затухание могут быть рассчитаны по формулам (13.9) и (13.24) так же, как и
для газов. Так как затухание в большинстве жидкостей мало, с помощью
этого метода трудно получить точные значения затухания на частотах
ниже 5—8 мггц.

Для измерения скорости и затухания продольных волн в жидкостях
используются и другие методы. Широко применяется оптический метод,
основанный на использовании диффракции света на ультразвуке. Кристал-

Ф и г. 140. Ток через гальванометр заполненного жидкостью интер-
ферометра в зависимости от расстояния между кристаллическим из-
лучателем и отражателем.

По оси абсцисс отложено расстояние между излучателем и отражателем,
выраженное в длинах полуволн.

лическая пластинка возбуждает в жидкости стоячие акустические волны,
создающие области сжатия и разрежения, чередующиеся через половину
длины волны. Следовательно, если через сосуд с плоскими стеклянными
стенками (см. фиг. 141 без учета линзы L4), в котором помещен кристалличе-

Н-Ц

Ф и г. 141. Установка для измерения скорости и затухания ультразвука
в прозрачной жидкости методом диффракции света на ультразвуке.

ский излучатель, проходит параллельный пучок света, то области сжатия
и разрежения играют для света роль фазовой диффракционной решетки.
Если параллельный пучок света фокусируется при отсутствии ультразвуко-
вых волн в маленькое пятно, то при возбуждении в жидкости ультразвуко-
вых волн получаются диффракционные спектры первого и более высокого
порядков по ту и другую сторону от центрального пятна (спектра нулевого
порядка). По расстоянию между диффракционными максимумами разных
порядков можно определить длину волны ультразвука X, а по ней, зная
частоту, вычислить значение скорости ультразвука в жидкости. Если интен-
сивность ультразвуковой волны увеличивается, то интенсивность света
в диффракционных спектрах растет по отношению к интенсивности в спектре
нулевого порядка, и при некоторой интенсивности ультразвука центральное
пятно исчезает. Если этот спектр нулевого порядка или все вторичные спек-
тры закрыть с помощью экрана или узкой щели, то интенсивностью прохо-
дящего света можно управлять, изменяя амплитуду ультразвуковой волны,
и таким образом может быть получен модулятор света. Такой модулятор
света употребляется для звукозаписи на кинопленку [16]1).

Если в оптическую систему, изображенную на фиг. 141, добавить линзу
для фокусировки центральной плоскости ультразвуковой решетки на экран
через щель 52, то может быть сделана видимой картина звукового
поля. Типичная установка такого рода описана в статье Вилларда [17]2).
С помощью этой установки были получены [18] очень, наглядные фото-
графии интерференции и диффракции ультразвуковых волн. На фиг. 142, а
приведена фотография плоской волны от кристаллического излучателя
и диффракционных линий, аналогичных линиям, наблюдаемым от ши-
рокой щели в оптике. На фиг. 142, в показана фотография, сделанная
с тем же излучателем на некотором расстоянии от узкой щели; на фигуре
видны боковые лепестки, которые аналогичны лепесткам электроакусти-
ческого преобразователя или микроволнового излучателя. На фиг. 142,6
показан промежуточный случай. На фиг. 142,6 показано прохождение
звука через цилиндрическую линзу, сделанную из плексигласа; снимок дает
представление о фокусирующем эффекте, вызываемом такой линзой. Так
как скорость звука при частоте 10 мггц в плексигласе больше, чем в воде, то
плосковогнутая линза действует как собирающая и фокусирует звуковые
лучи. Зная радиус кривизны линзы, ее фокусное расстояние и скорость
звука в жидкости, можно определить скорость звука в материале линзы;
в данном случае для плексигласа она оказалась равной 2640 MjceK.

Применяя щель вместо экрана, Виллард [17] нашел, что имеет место
цветовой эффект, зависящий от интенсивности звуковой волны: определенной
интенсивности звука соответствует определенный цвет. Это явление он
использовал для измерения затухания продольных волн в жидкости. Для
определенного электрического напряжения, приложенного к излучающей
кристаллической пластинке, цветовой эффект замечается на расстоянии Z4
от пьезопластинки. Затем напряжение, приложенное к пластинке, удваи-
вается, при этом цветовой эффект той же интенсивности наблюдается на
расстоянии Z2 от кристаллической пластинки. Следовательно, затухание
в дб!см равно

(14.12)
г2—

так как отношение напряжений, равное 2, соответствует 6 66. Таким путем
было измерено [17] затухание в большом количестве жидкостей3).

В табл. 20 приведены свойства некоторых жидкостей4), расположенных
в порядке уменьшения значения скорости звука. Для некоторых жидкостей

Э Ультразвуковой модулятор света впервые был предложен С. Я. Соколовым в
1934 г и запатентован им во всех странах [34]. {Прим ред )

а) Автор обходит молчанием работы советских ученых, использовавших этот так
называемый метод свилей для исследования диффракции, интерференции, отражения
и преломления ультразвуковых волн и получивших значительно более полные резуль-
таты на 4 года раньше Вилларда. Еще в 1937 г. С. Н. Ржевкиным совместно с С. И. Креч-
мером [35, 36] этим методом были проведены обширные исследования в области распро-
странения ультразвуковых волн в жидкости. {Прим, ред.)

3) Автор замалчивает советские работы по оптическому методу измерения затухания
звука в жидкостях. П. А. Бажулин еще в 1936 г. [37] предложил очень точный оптический
метод измерения затухания звука в жидкостях, основанный на определении интенсивности
света в диффракционных спектрах, и измерил этим методом затухание во многих жидко-
стях. {Прим, ред )

4) Некоторые из этих значений были измерены Виллардом [17, 19]; остальные изме-
рения сделаны с помощью акустического интерферометра Джонсоном, Мак-Скимином
и Мэзоном.
Ф ii г. 142. Диффракция ультразвуковых волн и фокусирующее
действие ультразвуковой линзы.

Мэзон
Вещество	Химическая формула	Плотность, г/слг3	Скорость при 25° С, м1сек	-Дг?/Т, (м/сек) град -1	Импеданс pv при 25° С, мех-ом/см^	Затухание А • 1015//2 		1 Вязкость 7), пуаз• 103
Глицерин 		С3Н8О3	1,26	1904	2,2	2,40-Ю5	24,00	5800
Этаноламин		c2h7no	1,018	1724	3,4	1,755	—	—
Этиленгликоль 		с2нео2	1,113	1658	2,1	1,847	.—	—
Анилин 		CeH7N	1,022	1637	4,0	1,675	—.	—
Формамид 		CH3NO	1,134	1622	2,2	1,842	0,57	—
Триэтиленгликоль ....	C6HUO4	1,123	1608	3,8	1,975	.—	-
Диэтиленгликоль ....	С4Н10О3	1,116	1586	2,4	1,770	—	—
Тетраэтиленгликоль . . .	С8Н18О5	1,123	1586	3,0	1,784	—	—
Коричный альдегид . . .	С9н8о	1,112	1554	3,2	1,731	—	—
Морская вода 		—.	1,025	1531	-2,4	1,572	—.	--
Смазочное масло X 200 .	—	0,964	1530	3,7	1,475	.—	—
а-Метилнафталин		СПН1О	1,090	1510	3,7	1,645	—-	.—
Дистиллированная вода . Тяжелое жидкое топливо	Н2О	0,998	1498	-2,4	1,495	0,25	10,0
АА		—	0,99	1485	3,7	1,472	—	—,
2,3-Бутиленгликоль . .	С4н10о2	1,019	1484	—	1,511	20,0	.—
> асторовое масло ....	—	0,969	1477	3,6	1,430	61,0	6700
Нитробензол		c6h5no2	1,20	1463	3,6	1,758	0,9	20,0
Диметилфталат		С8н10о4	1,20	1463	•—	1,758	—	
Масло земляного ореха	•—	0,936	1458	—	1,365		—
Карбитол 		СвН]4О3	0,988	1458	—	1,431	—	—
Циклогексанол		С6Н12О	0,962	1454	3,6	1,400	5,0		Л
Фурфуриловый спирт . .	СбН6О2	1,135	1450	3,4	1,645	.—	—
Фурфурол		С5н4о2	1,157	1444	3,7	1,670	.—	—
Морфолин 		c4h9no	1,000	1442	3,8	1,442	.—			
Спермацетовое масло . . .	—	0,88	1440	—	1,268	.—.	—
Оливковое масло 		—	0,912	1431	2,75	1,308	10,0	1000
Циклогексанон		С6Н10О	0,948	1423	4,0	1,391	.—	*—
Пиридин 		C6H6N	0,982	1415	4,1	1,39		—
Дибутилфтайат		С16Н22О4		1408	—	.—	—	—
Бутилолеат 		С22Н42О2	—	1404	3,0			.—	—
3-Метилциклогексапол . .	с7н14о	0,92	1400	-—	1,29	3,5	— .
Ацетонилацетон ....	СвН10О2	0,729	1399	3,6	1,359	0,5	—
2,3-Дихлордиоксан .... Сассафрасовое камфарное	С4Н6С12О2	—•	1391	3,7	—	—	—
масло 		—	.—	1390	3,8			.—.	—
Диоксан		С4Н8' >	1,033	1376	4,0	1,425	1,3	—
Сольвессо № 3 		—	0,877	1370	3,7	1,201	—	
Унивис 800 		—	0,870	1346	—	1,191	—	—
Нитрометан 		ch3no2	1,13	1330	4,0	1,504	0,9	—
т-Ксилол 		С8Н10	0,864	1324	4,2	1,145	0,74	5,5
Керосин 		—	0,81	1324	3,6	1,072	1,1	—
d-Фенхон 		Сг,)Н16О	0,94	1320	—	1,241	0,55	2,2
Алказен-13		С15н24	0,86	1317	3,9	1,132	1,3	—
Вещество	Химическая формула	Плотность, г[см%	Скорость V при 25' С, м/сек	-Дг/Т, (м/сек)/°C	Импеданс pi) при 25° с, мех • ом/см2	Затухание, А  1015//2	80Т • евХп ‘!л '.лэоненц
Окись мезитила		С6Н10О	0,85	1310		1,115-105	3,3	
Толуол 		С7Н8	0,866	1308	4,2	1,132	0,85	5,8
Алказен-25		G10H12C12	1,20	1307	3,4	1,568	0,6	—
Дихлорбутиловый спирт							
(третичный)		С4Н8С12О	—	1304	3,8	—	—	—
Хлорбензол1) 		С6Н5С1	1,10	1302	—	1,432	1,7	•		
п-Гексанол 		С6Н14О	0,819	1300	3,8	1,065	—	•—
Бензол 		С6Н6	0,870	1295	4,65	1,129	8,3	7,0
Ацетонитрил		c2h3n	0,783	1290	4,1	1,01	0,8	’	
Монохлорбеизол1) ....	С6Н5С1	1,107	1273	3,6	1,411	1,7				
Диамиламин 		CioHjjjN	—	1256	3,9	—	—	-—
Скипидар 		—	0,88	1255	—	1,05	1,5	14,0
Бутиловый спирт ....	СЛ10О	0,810	1240	3,3	1,003	—,	•—
Диацетпл 		С4Н6О2	0,99	1236	4,6	1,222	•—•	—
Нефть 		—	0,76	1225				1,08	1,0	—.
1,3-Дихлоризобутан . . .	СЛН8С12	1,14	1220	3,4	1,390	0,9	—
Метилацетат		С3Н6О2	0,934	1211				1,131	1,09	3,8
Этиловый спирт 		с2н6о	0,79	1207	4,0	0,954	0,9	11,0
Амиловый спирт (третич-							
ный) 		с5н120	0,81	1204		*	0,976	3,3	—
Этилацетат		с4н802	0,90	1187				1,069	1,1	4,2
Ацетон		С3Н6О	0,79	1174	4,5	0,929	0,64	3,0
Октан		С8Н18		1171	4,2				.—	•—
Сероуглерод 		cs2	1,26	1149	—	1,449	74,0	3,5
Гептан 		С7Н16	—	1135	4,2		*	—	—
Гексан 		С6Н14	-—	1112	—	—	—-	—
Метиловый спирт ....	СН4О	0,791	1103	3,2	0,872	0,9	5,5
Дихлорэтилен		С2Н2С12	1,26	1015	3,8	1,280	4,0	4,0
Изопентан 		С5Н12	0,62	992	4,8	0,615	1,5	14,0
Силиконовая смола (30 сан-							
типуаз) 		—	0,993	990	—	0,985	—	300,0
Хлороформ		СНС13	1,49	987	3,4	1,471	3,8	5,5
Этиловый эфир		С4Н10О	0,713	985	4,87	0,702	•—	—
Хлористый бутил (третич-							
ный) 	  .	С4Н9С1	0,84	984	4,2	0,827	1,9	-—'
Йодистый метил		CH3J	—•	978		•	—	—	--
Четыреххлористый угле-							
род 		СС14	1,595	926	2,7	1,478 ‘	5,7	10,0
Бромоформ 		СНВГз	2,890	916	3,1	2,670	2,3	•—1
Гексафторксилол	....	C8H4F6	1,37	879	.—-	1,205		8,4

1) Повидимому, речь идет о двух разных образцах хлорбензола. (Прим, ред.)
был измерен температурный коэффициент скорости звука; его значения
приведены в пятом столбце таблицы. Значения затухания, выраженные
в виде

,1015>	(14.13)

приведены в седьмом столбце. Эта теоретическая формула применялась
в том случае, если экспериментально было обнаружено, что затухание уве-
личивается пропорционально квадрату частоты. Восьмой столбец содержит
значения коэффициента вязкости для тех жидкостей, для которых он изве-
стен.

Значения зависимости скорости от температуры, приведенные в пятом
столбце, показывают, что все исследованные жидкости имеют отрицатель-
ный температурный коэффициент скорости звука, за исключением воды.

Фиг. 143. Скорость звука в воде и водных растворах этилового
спирта в зависимости от температуры.

На фиг. 143 показано изменение скорости звука в воде в зависимости от
температуры. Скорость увеличивается до температуры 75° С, при которой
скорость звука в воде имеет нулевой температурный коэффициент; выше
этой температуры скорость звука уменьшается с увеличением температуры.
При добавлении в воду жидкости с отрицательным температурным коэффи-
циентом скорости звука, максимум кривой, выражающей зависимость ско-
рости звука от температуры, наблюдается при более низкой температуре.
Виллард [19] нашел1), что при добавлении 16 сж3 этилового спирта к
100 сж3 воды максимум этой кривой снижается с 75° С (для дестиллированной

•’) В 1936—1941 г. значительно ранее Вилларда В. В. Тарасов с сотрудниками
и И Г. Михайлов опубликовали работы [38—41], где были описаны аналогичные
явления и разобрана теория зависимости скорости звука в смесях жидкостей от
температуры. (Прим, ред.)
воды) до 45° С, как это показано на фиг. 143. Добавление 22 см3 этилового
спирта к 100 см* воды снижает максимум до 25° С. При этом наблюдается
неожиданное явление: хотя скорость звука в этиловом спирте несколько
меньше (1207 м/сек), чем в воде, скорость звука в их смеси больше, чем
в каждой из компонент смеси. Это явление показывает, что при смешивании
жидкости с водой положение параболы скорости для воды смещается в сто-
рону низких температур и в это же время увеличивается эффективная упру-
гость при температуре, соответствующей наибольшей скорости.

Нулевой температурный коэффициент скорости звука, свойственный
смеси воды с другими жидкостями, делает возможным конструирование
линий задержки для измерения очень малых промежутков времени [20].
В этом случае короткие импульсы высокой частоты излучаются в жидкость
с помощью кристаллической пластинки, колеблющейся по ^толщине, и вос-
принимаются другой кристаллической пластинкой. Время распространения
этих импульсов в жидкости сравнивается с временем распространения радио-
импульсов, излучаемых одновременно с импульсами, посланными в жидкость,
а так как длина пути в жидкости известна, то, изменяя ее, можно точно
определить время распространения радиоимпульса до отражающей поверх-
ности и обратно. Для этой цели необходимо иметь жидкость, скорость в кото-
рой практически не зависит от температуры.

Если принимать во внимание в качестве источников затухания акусти-
ческих волн только классическую вязкость и теплопроводность, то зату-
хание плоской волны в жидкости в непер/см может быть вычислено по
формуле (13.2)

.	2л2/2 Г , о . (7—1)^1

где /—частота, р—плотность, о—скорость звука, т]—коэффициент сдвиговой
вязкости, х—коэффициент объемной вязкости, у—отношение удельных
теплоемкостей, К—коэффициент теплопроводности и Ср—удельная тепло-
емкость жидкости при постоянном давлении. Для неметаллических жидкостей
теплопроводность невелика, и ею можно практически пренебречь. Если мы
примем предположение Стокса, что при объемных деформациях жидкости
не происходит потерь, то /4-2^ =4^/3; при выполнении этого условия
выражение (13.2) является распространенной формулой для расчета зату-
хания звука. В действительности измерения затухания для легких жидкостей
дают значения от 2 до 900 раз большие по величине, чем получающиеся по
формуле (13.2). Однако, в соответствии с этой формулой, затухание в таких
жидкостях пропорционально квадрату частоты вплоть до 250 мггц [6].

Возможной причиной этого расхождения является наличие, наряду
со сдвиговой вязкостью т], объемной вязкости %. Теоретические предполо-
жения, обосновывающие существование объемной вязкости, были даны в тео-
рии перегруппировки Дебая-Френкеля. Согласно этой теории, как уже изло-
жено в вводной части настоящей главы, сжимаемость определяется двумя фак-
торами: увеличением потенциальной энергии за счет уменьшения расстоя-
ния между молекулами и изменением упругости вследствие изменения ближ-
него порядка в распределении частиц (при сжатии жидкости упаковка частиц
становится более плотной, а при ее расширении более свободной). Это изме-
нение ближнего порядка вызывается переходами молекул или их частей из
одного положения равновесия в другое через потенциальный барьер, и,
следовательно, процесс сопровождается движениями, подобными тем, которые
имеют место для сдвиговой вязкости в жидкостях. Для ассоциированных
жидкостей, в которых молекулы объединяются в группы, перегруппировка,
имеющая место при сжатии, невелика, и, следовательно, для этих жидкостей
объемная вязкость мала. Для неполярных жидкостей имеет место значи-
тельно большая перегруппировка в структуре и, следовательно, большая
объемная вязкость. Согласно теории Дебая-Френкеля, частота релаксации /с
объемной вязкости равна.

где —упругость перегруппировки, а /—объемная вязкость. Сдвиговая
вязкость под влиянием сдвиговой упругости также имеет свою частоту
релаксации, но значительно более низкую, чем частота релаксации /с объем-
ной вязкости.

При смешивании двух жидкостей в различных пропорциях, как показали
Виллард [17], Виллис [21] и Бартон [22], поглощение в смеси значительно
больше, чем поглощение в каждой из компонент. На фиг. 144, б приведены

Фиг. 144.

Поглощение и скорость звука в смесях жидкостей.

а—в смеси ацетона и бензола; б—в смеси ацетона и воды.

измеренные значения поглощения в смеси воды и ацетона в зависимости от
процентного содержания ацетона в воде. При 70% ацетона поглощение
в 3 раза выше, чем для каждой жидкости в отдельности. Так как вода пред-
ставляет собой высокоассоциированную жидкость, то можно предположить,
что при смешивании ее с другими жидкостями разрушаются некоторые связи
в группах молекул, уменьшая структурную гибкость Дебая-Френкеля
и увеличивая объемную вязкость, обусловленную перегруппировкой в
структуре. Как показано на фиг. 144, а, в смеси неассоциированных жидко-
стей, например бензола и ацетона, явление увеличения вязкости не наблю-
дается.

§ 2. Измерение сдвиговой вязкости и упругости жидкостей
с помощью • криста ллических элементов, работающих
на крутильных колебаниях

Если возбудить в кристаллическом элементе чисто сдвиговые коле-
бания, то все движение его частиц будет происходить тангенциально к его
поверхности; при этом в окружающей среде, как было показано впервые
Стоксом, могут быть созданы быстро затухающие вязкие волны. Уравнения
распространения этих волн можно вывести, воспользовавшись определением
коэффициента вязкости и уравнениями движения:

=	+	(14.-15)
где В—скорость движения вдоль оси х и С—скорость движения вдоль оси z.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси г, движение частиц
перпендикулярно к направлению распространения волны и £=0. Под-
ставляя первое уравнение (14.15) (определение коэффициента вязкости)
во второе, мы получаем дифференциальное уравнение вязкой волны

Для простого гармонического колебания и плоской вязкой волны решение
принимает вид

Т5 = Т5 chrz + eoZoshrz,

0	0	(14.17)

ch Tz +	sh Vz,

где Г — постоянная распространения, a Zo— характеристический импеданс:

(14.18)

Zo = у форт] = |Лти/ртг] (1+/).

Для четыреххлористого углерода с -плотностью р=1,595 и вязкостью
0,0098 пуаза затухание составляет 2660 непер/см при частоте в 14 кгц. Таким
образом, сдвиговые напряжения заметны только на расстоянии нескольких
тысячных долей сантиметра от поверхности колеблющегося кристалличе-
ского элемента. Несмотря на то, что затухание вязких волн настолько велико,
что нельзя непосредственно исследовать их распространение, эти волны
могут быть изучены посредством измерения реакции присоединенной нагрузки
на кристаллический элемент, погруженный в изучаемую жидкость. Измеряя
увеличение резонансного активного сопротивления и уменьшение резонанс-
ной частоты кристаллического элемента при перенесении его из вакуума
в исследуемую жидкость, изучают таким способом свойства этой жидкости.

Применение таких кристаллических элементов для измерения вязкости
рассмотрено Мэзоном [11]. Как показано в этой статье, изменение омиче-
ского сопротивления AR% и снижение частоты Д/ определяют механиче-
ское сопротивление на 1 см2 Rm и реактивную составляющую механического
импеданса Хм согласно формулам

где

7?

I'M — -pr

Кг-=-------

2иДс0/

[1Р + Щ, + (В‘	,

 _ В +я§ + (л«-д‘о)/г .
2	97	1

(14.19)

здесь г—отношение емкостей кристаллической пластинки, определяемое
путем измерения резонансной частоты /д и антирезонансной частоты /а
по формуле г=/д/2(/а—/д), Со — статическая емкость кристаллической
пластинки в фарадах, R и 7?0—наружный и внутренний радиусы кристалли-
ческого элемента, I—его длина и I—момент инерции на единицу длины,
вычисляемый по формуле



(14.20)

где рс—плотность кристалла.
Способ изготовления кристаллического элемента из ADP, работающего
на крутильных колебаниях, показан на фиг. 145. Цилиндрический элемент
вырезается так, что ось его расположена вдоль кристаллографической оси х,
отверстие внутри элемента сверлится также вдоль оси х (фиг. 145, а).

Ф*и г. 145. Способ изготовления кристаллического элемента из ADP,
работающего на крутильных колебаниях.

Фиг. 146. Устройство для
измерения сдвиговой вязкости
жидкостей.

Для возбуждения сдвиговых колебаний контурного типа поле приклады-
вается вдоль кристаллографической оси z. Для этой цели на кристаллический
элемент электроды наносятся следующим образом: на внутреннюю поверх-
ность цилиндра наносится один сплошной электрод, а другой электрод,
наносимый на внешнюю поверхность цилиндра,
состоит из двух сегментов по 90°, электриче-
ски соединенных вместе. Центральные линии
этих двух сегментов лежат вдоль оси z
(фиг. 145, б). Как показано на фиг. 145, в, поле
одного сегмента создает сдвиг вдоль грани в
одном направлении, а поле другого сегмента—
сдвиг вдоль грани в обратном направлении.
В результате возникают крутильные колебания
всего кристаллического цилиндра. Как пока-
зано на фиг. 22, крутильные колебания могут
быть также возбуждены в элементах из кварца,
употребляющихся специально для измерений в
широком диапазоне температур.

Как изложено в упоминавшейся работе [И],
с помощью экспериментальной установки, схе-
матически изображенной на фиг. 146, была
измерена вязкость ряда легких жидкостей.
Эта установка состояла из кристаллического
элемента ADP, подвешенного на трех про-
волочках, укрепленных в узловых точках, и

помещенного внутри сосуда небольшого диаметра. Этот сосуд действует
как волновод и вносит повышенное затухание для любых паразитных
продольных колебаний, которые могут возникнуть в трубе. В резуль-
тате, если движения, возникающие при колебании кристаллического
элемента, не точно тангенциальны к его поверхности и создают продоль-
ные волны, то эти волны вносят лишь небольшое изменение реактивной
нагрузки кристаллического элемента. Если диаметр элемента меньше его
длины в 10 раз, то нагрузкой, вносимой продольными колебаниями, можно
пренебречь. Это было проверено измерениями вносимой нагрузки при поме-
щении кристаллического элемента внутри волновода, заполненного азотом
под различным давлением. Снаружи сосуд, изображенный на фиг. 146,
имеет два ввода, состоящих из стеклянных бусинок с впаянными в них мед-
ными проволочками, подсоединенными к электродам кристаллического эле-
мента. Внутренняя камера может наполняться жидкостью и освобождаться
от нее через два крана. Если необходимо, внутри камеры может быть создано
повышенное давление на жидкость с помощью газа, подводимого извне.

Процесс измерения начинается с определения резонансной частоты /в
и сопротивления при резонансе Ro для кристаллического элемента, находя-
щегося в вакууме. Затем, после введения в сосуд жидкости, определяется

Ф и г. 147. Омическое сопротивление и емкость кристалличе-
ской пластинки, погруженной в полимеризованное касторовое
масло, в зависимости от частоты

новая резонансная частота и новое значение сопротивления при резо-
нансе Для жидкостей, имеющих малую вязкость, эти значения могут
быть определены весьма точно с помощью измерения величины тока, прохо-
дящего через кристаллический элемент, нагруженный на малый механи-
ческий импеданс. Резонансной частотой считается та частота, при которой
ток достигает максимума. Резонансное сопротивление измеряется методом
замещения. Однако для очень вязких жидкостей такой способ определения
резонансной частоты не точен, и поэтому измерения активного и реактивного
сопротивлений делаются с помощью мостового метода.

Результаты измерения активного сопротивления и емкости для поли-
меризованного касторового масла показаны на фиг. 147. Резонансная ча-
стота определяется по нижней точке кривой активного сопротивления или,
что более точно, путем определения среднего значения двух частот, соответ-
ствующих равным сопротивлениям, большим, чем минимальное. За значе-
ние сопротивления при резонансе берется ордината самой нижней точки
кривой.

Например, элемент из ADP с размерами

/ — 6,9 еж,	Дшеш = 0,93 см, Z>BHyT —0,64 см, (14.21)

колеблющийся на частоте, близкой к 14 кгц, имеет резонансную частоту
13 948 кгц, антирезонансную частоту 14 098,5 кгц и сопротивление при
резонансе 1300 ом (все значения измерены в вакууме). Емкость элемента Со

Фиг 148. Эквивалентные схемы, поясняющие распространение,
звука в вязких средах. Компоненты импеданса полимери-
зованного касторового масла в зависимости от частоты.
а—эквивалентная схема для вязкой среды; б—эквивалентная схема для
вязкой среды, обладающей сдвиговой упругостью; в—-активное сопротив-
ление и реактивное сопротивление полимеризованного касторового масла
в зависимости от частоты.

равна 140 пф. Плотность кристалла ADP равна 1,804. Вычисленные по этим
значениям постоянные Кх и Л"2 равны

Ах- 366,	А2= 0,673.	(14.22)

Для некоторых легких жидкостей были сделаны измерения вязкости
при температуре 24° С. Для диметилфталата, например, сопротивление при
резонансе оказалось равным 36 500 ом. Следовательно, коэффициент вязкости
диметилфталата при плотности его р --1,186 равен

ДТ = °,178^.	(14.23)

Это совпадает с точностью до 1 % со значением 0,176, полученным при изме-
рениях по методу истечения. Строго поддерживая заданную температуру
и применяя точные электрические мостовые измерения, можно сделать рас-
сматриваемый . метод прецизионным. Были сделаны измерения вязкости
жидкостей с коэффициентами вязкости от 0,01 до 6 пуаз. Результаты этих
измерений с точностью до 1 % совпали с данными, полученными по методу
истечения.
Однако измерения, произведенные с очень вязкими жидкостями, как
например, полимеризованное касторовое масло, показывают, что эти веще-
ства нс ведут себя как простые вязкие жидкости, так как реактивная и актив-
ная компоненты их импеданса не равны. Активная составляющая становится
на высоких частотах значительно больше реактивной. Это хорошо иллюстри-
ровано фиг. 148, в, на которой нанесены кривые, представляющие резуль-
таты измерений реактивной и активной составляющих импеданса для поли-
меризованного касторового масла в зависимости от частоты. Штрих-пунк-
тирной линией показано активное и реактивное сопротивления, которые
получились бы для вязкой жидкости, имеющей плотность 0,977 и вязкость
18 пуаз, при измерениях по методу истечения. Значения активного сопро-
тивления, полученные при измерениях рассматриваемым методом (отмеченные
кружками), оказались выше, а значения реактивного сопротивления (отме-
ченные крестиками)—ниже, чем данные, полученные по методу истечения.

Это расхождение и форму кривой можно объяснить, предположив, что
данная жидкость имеет наряду со сдвиговой вязкостью и сдвиговую упру-
гость. Импеданс жидкости для звуковых волн может быть легко подсчитан
с помощью эквивалентной схемы, в которой электрические напряжения
соответствуют механическим напряжениям и скорость частиц—току. Для
чисто вязкой среды эквивалентная схема показана на фиг. 148, а. После-
довательное плечо звена, состоящее из индуктивности, эквивалентно произ-
ведению плотности р на длину dx, где dx имеет порядок длины свободного
пути. Параллельное плечо звена состоит из омического сопротивления
эквивалентного коэффициенту вязкости т], деленному на длину dx. Эквива-
лентная схема относится к поперечному сечению 1 сж2. Схема может со-
держать бесконечное число звеньев в случае бесконечно протяженной среды
или может быть ограничена некоторым конечным числом звеньев, соответ-
ствующим конечной длине пути в жидкости. Характеристический импеданс
(импеданс бесконечной линии) и постоянная распространения определяются
выражениями

У ZjZ^l//о>р	//wpij = 1/^/(1 + /),

г— г г	,	(14.24),

где Zj—последовательный импеданс, Z2—параллельный импеданс эквива-
лентной схемы. Эти выражения совпадают с выражениями (14.18), получен-
ными на основании гидродинамических уравнений.

Влияние сдвиговой упругости может быть учтено с помощью шунти-
рования вязкого сопротивления i\/dx гибкостью (величиной, обратной упру-
гости). На эквивалентной схеме этой гибкости соответствует емкость Csdx, где
Cs—постоянная гибкости для жидкости. Такая эквивалентная схема пока-
зана на фиг. 148, б. Следовательно, на низких частотах, где активное сопро-
тивление много меньше, чем реактивное сопротивление шунтирующей гиб-
кости, жидкость ведет себя как вязкая. С другой стороны, если частота на-
столько велика, что реактивное сопротивление гибкости Cs становится рав-
ным вязкому сопротивлению, то возникает эффект другого рода: на очень
высоких частотах в такой среде становится возможной передача сдвиговых
волн.

Постоянная распространения Г и характеристический импеданс Zo для
жидкости со сдвиговой упругостью могут быть следующим образом выражены
через последовательный и параллельный импедансы;

Z^j^dz, Z2 =	(14.25)
Отсюда мы находим, что Zo= RM 4- jXM, где

=

W2Y]2pC'g 4- j/ <U4Y|4p2C2 + 0>2^2p2

2(1+ ^01)

---<O2Y]2pCg + V Ш4'Г]4р2С§ + a>2Y]2p2

2(1 +	’

(14.26)

и Г А -р /В, где

a>2pCs +	+ w2p2/rj2

o>2pCs + P co4p2Cf + а>2р2/Т|2

2

(14.27)

В этих выражениях Rm—активное сопротивление на 1 см2, Хм—реактивное
сопротивление на 1 см2, А—затухание волн в непер/см и В—фазовый сдвиг
в радиан/см. На фиг. 149 показан характер зависимости активной и реактив-
ной компонент сопротивления от отношения частоты волн к частоте релакса-
ции /с. Для жидкости со сдвиговой упругостью поведение активного сопро-

Ф и г. 149. Теоретически рассчитанные активное и реак-
тивное сопротивления жидкости, обладающей сдвиговой
упругостью, в зависимости от отношения частоты звука /
к частоте релаксации /с<

тивления на низких частотах определяется влиянием вязкости, а на высоких
частотах активное сопротивление асимптотически приближается к значе-
нию |/р/C's. Реактивное сопротивление для низких частот равно активному.
Для высоких частот оно приближается к нулю. На фиг. 150 показан харак-
тер изменения затухания и фазового сдвига в зависимости от частоты. На
высоких частотах затухание становится постоянным и равным

=	(14.28)

Фазовый сдвиг на высоких частотах пропорционален «Д/фСд.

Разрешая выражения (14.26) относительно коэффициента вязкости
и постоянной гибкости, получаем

(14.29)

2RMXMu?	(Я2м + Х2м)*

Определяя величины Rm и Хм на частоте 30 840 ец, мы получим следующие
значения т] и Cs для полимеризованного касторового масла:
т] = 18 пуаз, Cs = 7,95 • 10-8 см2,/дин.

(14.30)

Значение модуля сдвиговой упругости имеет такой порядок, какой можно
ожидать от модуля конфигурационной упругости. Подробно этот вопрос
будет разобран ниже в § 3, п. 1. Расчетные значения активного и реактивного
сопротивлений, вычисленные по этим данным, показаны на фиг. 148, в сплош-
ной и пунктирной линиями. Они хорошо совпадают с экспериментальными
данными.

Так как вязкие волны очень сильно затухают уже на глубине
нескольких долей сантиметра, то в тонкой пленке возникают эффекты насы-
щения. Следовательно, описанная техника измерений может быть применена

Фиг. 150. Теоретически рассчитанные затухание и фазовый
сдвиг в жидкости, обладающей сдвиговой упругостью, в зави-
симости от отношения частоты звука / к частоте релаксации /с.

для измерения вязкости очень малых количеств жидкости. Рассматриваемое
устройство можно превратить в вискозиметр с непрерывной записью, так
как можно непрерывно измерять и регистрировать сопротивление и резо-
нансную частоту кристаллического элемента.

Возникает вопрос, может ли устройство такого типа быть применено
для изучения вязкости и сдвиговой упругости жидкостей при очень высоких
скоростях сдвига. Как было показано в статье Мэзона [11], относительные
деформации сдвига, возникающие в жидкости вблизи кристаллического
элемента, совершающего круг ильные колебания, равны произведению
максимального тангенциального смещения di} на затухание А, или



5

(14.31)

Максимальное смещение, имеющее место на обоих концах элемента, выра-
жается через деформацию кристаллического элемента $5 формулой

d0--AS5,

(14.32)

где I—общая длина кристаллического элемента, а 55—максимальная отно-
сительная деформация сдвига. Для кристаллов максимально допустимая
относительная деформация равна примерно 10~4, хотя для сильно протрав-
ленных кристаллических пластинок, у которых удалены поверхностные
трещины, относительная деформация может быть доведена до 10~3. Умножив
эту величину на значение затухания для легких жидкостей, равное примерно
500 непер/см, мы видим, что в жидкости вблизи поверхности кристалличе-
ского элемента возможны очень сильные деформации. Однако для нахожде-
ния относительной деформации необходимо решить сложное дифференциаль-
ное уравнение, так как деформация медленно изменяется вдоль длины кри-
сталлического элемента и быстро убывает при удалении в глубь жидкости.
Пока еще не было ни попыток точного расчета для этого случая, ни экспери-
ментальных исследований. Верхний предел частоты для кристаллических
элементов, работающих на крутильных колебаниях, равен примерно 500 кгц,
так как уже на этой частоте требуются весьма малые размеры кристалли-
ческого цилиндра.

Рассмотрим вопрос о возможности применения для возбуждения вязких
и упругих сдвиговых волн в жидкостях АТ- и ВТ-срезов кварца, возбуждаю-
щихся на сдвиговых колебаниях по толщине и рассмотренных в гл. VI.
Было найдено, что если кристалл полностью окружен жидкостью, то, вслед-
ствие связи между сдвиговыми и изгибными колебаниями кристалла, в жид-
кости возникают продольные волны, которые вызывают такую большую
нагрузку, что нагрузку за счет сдвиговых волн определить точно невозможно.
Однако, используя технику тонких пленок, удалось измерить, хотя и грубо,
сдвиговую вязкость и сдвиговую упругость жидкостей, смачивающих поверх-
ность кристалла. В этом случае толщина пленки настолько мала, что в ней
укладывается очень небольшая часть длины продольной волны, и, следо-
вательно, пленка действует как нагружающая масса без заметного сопро-
тивления. Длина же вязкой волны настолько мала, что волна почти пол-
ностью затухает на пути меньше 0,0001 см.

С помощью кварцевой пластинки В7'-среза, колеблющейся на частоте
3527 кгц, были проделаны некоторые измерения. Постоянная К1} характе-
ризующая зависимость активной нагрузки на 1 см2 от изменения электри-
ческого сопротивления &Re> и постоянная К %, характеризующая зависи-
мость реактивной нагрузки на 1 еж2 от изменения частоты, могут быть полу-
чены из формул (14.19), если положить В — R0-}-lt, где lt—толщина кристал-
лической пластинки, и считать, что Во стремится к бесконечности. Это по-
требовало бы применения плоской пластинки бесконечного радиуса, работа-
ющей на сдвиг; для такой пластинки имеют место формулы



2*2Ас0рЛ ’

(14.33)

Между тем на основании исследования движения поверхности кристалли-
ческих пластинок известно, что пластинки этого типа обладают неодно-
родным движением частиц в разных точках поверхности, и, следовательно,
приведенные формулы могут дать лишь приблизительные значения. Приме-
ненная пластинка ВТ-среза имела следующие характеристики:

I — lw=A2 мм, lt = 0,l мм, Jr = 3 527 000 гц,

Д/ = 3450 гц, г = 510, Со = 5 пф.

Сопротивление при резонансе равно 180 ом\ плотность кристалла рс —2,65.

Подставляя эти значения в формулы (14.33), найдем, что К\- 2,2, К.,

= 0,85. Результаты измерений, проделанных с некоторыми легкими жидкостя-
ми (кристаллический элемент погружался в жидкость, затем вынимался отту-
да, и излишки жидкости удалялись стряхиванием), дали для величины Кг
совпадение с точностью до 20 % со значением ее при низких частотах, равным
0,83. Уменьшение частоты было в несколько раз больше, чем это могло быть
вызвано наличием вязкого реактивного сопротивления; это показывает,
что инерционная нагрузка, вызванная наличием изгибных колебаний,
также понижает частоту.

Другой и, возможно, лучший метод для изучения сдвиговой упругости
в жидкостях на высоких частотах, описанный в гл. XV, § 3, и. 1, состоит
в том, что в стержне из плавленого кварца, погруженном в исследуемую
жидкость, возбуждают сдвиговые импульсы. Измеряя количество энергии,
поглощенной при отражении одного импульса, можно показать, что модуль
сдвига для полиизобутилена (полимер D, описанный в § 3) равен
3-109 дин/см2 на частоте 10 мггц и 5,5-109 дин/см2 на частоте 60 мггц.
Значение этих измерений обсуждается ниже в § 3.

Применение кристаллических элементов, работающих на крутильных
колебаниях, для измерения свойств растворов полимеров с длинной цепью.
Кристаллические элементы, работающие на крутильных колебаниях, начали
недавно [23] применять для изучения свойств полимеров с длинной цепью
в разбавленных растворах. На механические свойства чистых полимеров
влияют прочность связи между цепями, а также взаимодействия внутри
самих цепей. Для изучения возможных движений, возникающих в цепях,
желательно иметь возможность разделить эти два эффекта. Применяемый
для этой цели простой метод состоит в использовании настолько разбавлен-
ного раствора полимера, что его молекулы, имеющие, вероятнее всего, скру-
ченную форму, в общем не касаются одна другой. Механические свойства
таких растворов определяются только взаимодействиями внутри цепей,
а взаимодействие между цепями здесь не имеет места. Расчеты показывают,
что концентрации, нри которых уже отсутствует взаимодействие между
цепями, должны быть меньше чем 2—3%. Практически все измерения были'
проведены при концентрациях от 0 до 1% (т. е. от 0 до 1 г на 100 сж3 раствора)1).

При измерении сдвигового механического импеданса таких растворов
было найдено, что жидкость действует не как чисто вязкая жидкость, а имеет
активное сопротивление большее, чем реактивное. На фиг. 151 показаны
результаты измерения на частоте 20 кгц активного и реактивного сопро-
тивлений растворов в циклогексане полиизобутилена со средним молекуляр-
ным весом 3,93-106. Были исследованы четыре раствора различной концен-
трации при двух различных температурах. Для чистого циклогексана актив-
ная и реактивная компоненты импеданса равны, но с увеличением процентного
содержания полиизобутилена, активное сопротивление увеличивается
быстрее, чем реактивное.

Для изучения влияния самой структуры цепи необходимо отделить
влияние растворителя на общий механический импеданс раствора от влияния
структуры цепи. Для этого рассмотрим поведение раствора на очень низких
и на очень высоких частотах. На очень низких частотах присутствие 1 а
полимера на 100 см2 раствора (молекулярный вес полимера 3,93-106) увели-
чивает статическую вязкость в 30 раз. С другой стороны, при измерениях
на очень высоких частотах порядка 14 мггц, проведенных с помощью мето-
дики, описанной в гл. XV, § 3, п. 1, вязкость раствора оказалась только на
10% выше, чем для одного чистого растворителя.

Отсюда следует, что поведение раствора на низких и высоких частотах
различно. На низких частотах движение молекул растворителя может за
время одного периода вызвать движение частей цепи. Это движение цепи
отнимает часть энергии движения молекул растворителя. В результате, сред-
нее смещение будет несколько меньше, и, следовательно, вязкость повы-

х) Обычно процентная концентрация выражается в граммах растворенного веще-
ства, содержащегося в 100 г растворителя (а не 100 с№). (Прим, ред.)
сится. На очень высоких частотах движение молекул растворителя не может
вызвать за время одного периода отклонения частей цепи от их равновесного
положения. Следовательно, имеет место движение только молекул раство-
рителя, как будто растворенное вещество (цепи полимеров) отсутствует,
и вязкость раствора почти такая же, как вязкость одного растворителя.

Если частота растет от нуля до некоторого небольшого значения, то
первый сдвиг, который за время одного периода не успевает завершиться,
связан с конфигурационной релаксацией между всеми частями цепи. Для це-
пей полимера, имеющего молекулярный вес 3,93 -106 при концентрации 1 г на
100 см3, эта частота релаксации лежит около 600 гц при 25° С и сильно зави-
сит от температуры и длины цепи. Выше этой частоты очень большая
низкочастотная вязкость исчезает. Вторая релаксационная частота лежит
около 80 кгц и, как установлено экспериментально, является частотой
релаксации, обусловленной переплетением цепей. Эта релаксационная часто-
та изменяется обратно пропорционально квадратному корню из молеку-
лярного веса, а ее температурные изменения определяются энергией актива-
ции вязкого течения растворителя. Наконец, с помощью высокочастотной
методики, описанной в гл. XV, § 3, п. 1, найдена третья релаксация на частоте
около 3,3 мггц. Рассмотрение условий третьей релаксации показывает, что
движение сегмента цепи *) от одного положения равновесия к другому
требует перехода через высокий потенциальный барьер и число переходов
в 1 сек. приближенно может быть выражено соотношением (8.2)

а ^Le~wikT_

При частоте релаксации 3,3 мггц это соответствует энергии активации
8,7 ккал/молъ, что близко к энергии активации, необходимой для перехода
от одной преимущественной ориентации к другой путем вращения, и, следо-

вательно, частота релаксации, повидимому, связана с движением отдельных
сегментов Эйринга или Куна. Модуль упругости, равный примерно
80 000 дин/см? для 1-процентного раствора, соответствует упругости цепи,
у которой все связи «заморожены».

Вязкие и упругие свойства раствора, рассмотренные выше, могут быть
описаны с помощью следующего соотношения между напряжением и дефор-
мацией:

N

г-

n=1 dS + fx-uS

(14.34)

где Г—сдвиговое напряжение, S—деформация сдвига, щ представляет
величину, близкую к вязкости раствора, т]мп представляет «молекулярную»
вязкость некоторого частного движения цепи, которая исчезает, когда реак-
тивное сопротивление за счет модуля упругости этого движения стано-
вится настолько малым, что движение может следовать за прилагаемым сдви-
говым напряжением при всех применяемых при измерениях частотах. Вообще
говоря, возможно, имеется больше одного вида таких движений, и, следо-
вательно, п изменяется от 1 до N. Однако все опытные данные согласуются
с теорией при допущении, что имеются лишь три релаксационных меха-
низма, описанных выше.

При анализе результатов измерений на одной частоте проще всего счи-
тать, что имеется только один механизм молекулярной вязкости и один

х) Подобного рода сегменты, за счет перемещения которых в конечном итоге пере-
мещается вся цепь молекул полимера, автор называет также сегментами Эйринга или
Куна. (Прим, ред.)
механизм сдвиговой упругости. Если существует больше чем один механизм
релаксации, то эта вязкость и упругость будут функциями частоты. Однако,
подобрав соответствующую формулу, можно описать изменение упругости
и вязкости с помощью кривой, аналитическое выражение которой содержит
два или больше членов. Таким способом могут быть определены число
релаксационных механизмов и их частоты.

Если мы предположим для соотношения (14.34) наличие только одного
релаксационного механизма, то получим выражение

Т dS	1

7	-----г-

dS +

Подставляя это выражение в уравнение движения (14.15), найдем постоян-
ную распространения и характеристический импеданс:

Г

— PRM + /	~ (’ll + ’Im)



(14.35)

j-’im + / "P’li’ilf + ~ (’ll + W

Как было указано раньше, с помощью кристаллического элемента, рабо-
тающего на крутильных колебаниях, можно измерить активное сопротивле-
ние R и реактивное сопротивление X. Наконец, измерение вязкости на нуле-
вой частоте—позволяет найти сумму тц-ртцм. Разрешая выражения для этих
трех величин относительно величин тц, т]М и р, находим

2ДХ  (Д2—Х2)2/о>р

’lM^(’liH-w) — ’ll,

(Rt-X*)^
а>р(7)1 + 7)л/) — 2RX

(14.36)



Таким образом, измерения R, X и тр т)м позволяют определить значения
всех интересующих нас величин.

На фиг. 151 показаны некоторые экспериментальные данные для рас-
твора полиизобутилена в циклогексане. Полиизобутилен является полимером,
в котором молекулы изобутилена соединены в длинную цепь1). Он имеет
структурную формулу, приведенную на фиг. 152, а, и зигзагообразное строе-
ние цепи, показанное на фиг. 152, б. Эта цепь в упорядоченном растянутом
состоянии, повидимому, повернута вокруг направления ее длины 1 раз на
каждые девять пар групп СН3. В соответствии с этим у такого жидкого поли-
мера можно ожидать наличия неплоских зигзагообразных сегментов цепи.
Данные фиг. 151 относятся к полиизобутилену с молекулярным весом 3,93 • 106.

Подставляя значения, приведенные на фиг. 151, в формулы (14.36),
можно получить зависимость тц, ир от концентрации. Эта зависимость
показана на фиг. 153. Коэффициент вязкости раствора тц увеличивается по
сравнению с коэффициентом вязкости чистого циклогексана от 1 до 2,2
раз в зависимости от температуры и концентрации. Модуль сдвиговой
упругости р прямо пропорционален концентрации вплоть до концентрации
1 а на 100 см3 раствора. Коэффициент молекулярной вязкости ум обнару-
живает заметную зависимость от концентрации и увеличивается с концентра-

Как известно, реакция полимеризации изобутиленов открыта и исследована зна-
менитым русским химиком А. М. Бутлеровым в 1873 г. (Прим, ред.)
цией более быстро, чем по линейному закону. Это показывает, что вязкость
зависит от сил, действующих на большем расстоянии, чем силы, определяю-
щие упругость молекул.

Влияние температуры и молекулярного веса на изменение трех парамет-
ров jh, и р для 1-процентной концентрации полиизобутилена было опреде-
лено из измерений, проделанных на частоте 20 кгц. Результаты этих измере-
ний приведены на фиг. 154. С точностью до ошибки эксперимента модуль

Фиг. 151. Экспериментальные значения компонент ха-
рактеристического импеданса растворов полиизобутилена
в циклогексане.

R—активная компонента импеданса; X—реактивная компонента
импеданса.

сдвиговой упругости мало изменяется с изменением молекулярного веса
и вместе с тем на частоте 20 кгц уменьшается с увеличением температуры.
Однако при измерениях, сделанных на частотах 20, 40 и 80 кгц, было найдено,

Н	СН3	Н	с.Нз

—с—с—-с------с—

I	I	I	I

н	СН3	Н	Сн3

Фиг. 152. а—структурная формула полиизобутилена;
б—строение молекулярной цепи полиизобутилена.

что упругость зависит и от частоты. Это указывает на присутствие двух или
более механизмов релаксации и усложняет определение температурной
зависимости.

Все данные измерений можно изобразить эквивалентной схемой, в кото-
рой вязкость тг)! соединяется последовательно с тремя релаксационными
системами, представляющими т]2 параллельно с р2, параллельно с р3
и т]4 параллельно с [х4. Модуль конфигурационной упругости Г|х2> изме-
няющийся пропорционально абсолютной температуре, возрастает для
1-процентного раствора от 450 до 900 дин/см2 при изменении молекулярного
веса от 1-106 до 4-106. Коэффициент вязкости т]2 характеризует главную
часть ^низкочастотной вязкости и при изменении длины цепи в 1—4 раза
изменяется в 1—7 раз. Это подтверждает предположение о том, что эта рела-
ксация связана с конфигурационным движением молекулы как целого.
G другой стороны, коэффициент вязкости т]3 имеет порядок вязкости раство-
рителями увеличивается примерно на 50 % при уменьшении длины цепи в 4 раза.

Ф и г. 153. Зависимость Tf)i, и [л при 7,5° С от концен-
трации раствора полиизобутилена в циклогексане.

имеет порядок 2500 дин/см2 и, несколько уменьшаясь с температурой
незначительно увеличивается с длиной цепи. Эти факты показывают, что
частота релаксации этого типа изменяется примерно обратно пропорцио-
нально корню квадратному из молекулярного веса и обусловлена взаимодей-
ствием между цепями. Наконец, наивысшая частота релаксации не зависит
от молекулярного веса и характеризуется для 1-процентного раствора моду-
лем упругости около 80 000 дин/см2 и соответствующим коэффициентом вяз-
кости, равным примерно половине коэффициента вязкости растворителя.
Эта частота релаксации равна 3,3-10® гц при комнатной температуре. Как
было показано выше, это явление, повидимому, связано с движением оди-
ночных сегментов Эйринга.

Измерения также показывают, что имеются различия в свойствах разных
растворов, обусловленные разной длиной или строением цепи. Измерения,
проведенные с растворами полистирола в бензоле, дают значение р2 и Рз>
равные 100 и 1000 дин{смг соответственно. Все вязкости для обоих случаев
имеют тот же характер изменения с температурой, что и вязкости раствори-
телей. Таким образом подтверждается интерпретация этих вязкостей как
вязкостей, обязанных относительному движению молекул полимеров и рас-
творителя с различными релаксационными механизмами.

Были сделаны также в широком диапазоне концентраций измерения

Фиг. 154. Влияние температуры и молекулярного веса полимера на
изменение тц, т]м и р для однопроцентного раствора полиизобутилена
в циклогексане.

А—кривые для полимера с молекулярным весом 3,93 • 106; В—кри-
вые для полимера с молекулярным весом 1,17 • 106.

сдвиговой упругости р, как показано на фиг. 155, линейно зависит от кон-
центрации вплоть до 2-процентной концентрации. При увеличении концен-
трации модуль сдвиговой упругости хорошо следует закону

ri-^AP + A^,

где At и А3 очень мало изменяются с температурой. Измерения на частоте
20 кгц дают значения

Hi-1,2-105, Л3 = 2,6-107.	(14.37)

Позднейшие измерения на частоте 14 мггц для полимера с тем же самым моле-
кулярным весом дали при 25°С значения

А-8,0-106, Л ---6,5 • 108.	(14.38)

Член АГС представляет модуль сдвиговой упругости изолированных
молекул, в то время как член, пропорциональный кубу концентрации, пред-
ставляет модуль упругости, обусловленный эффектом переплетения цепей.
Ферри [24] рассмотрел кубический член в выражении для модуля сдвиговой
упругости полиизобутилена (молекулярный вес около 106) по данным изме-
рений на значительно более низких частотах для 10-процентных растворов
и растворов более высоких концентраций и дал следующее объяснение: число

Концентрация раствора, г/Ю0см3

Фиг. 155. Зависимость тц, и jj от концентрации раствора поли-
изобутилена в циклогексане при различных температурах.

точек, в которых цепи сплетаются, увеличивается пропорционально квадрату
концентрации, в то время как расстояние между точками сплетения цепей
изменяется обратно пропорционально концентрации. Поскольку упругость
части цепи между точками переплетения изменяется обратно пропорционально
длине, то упругость, обязанная сплетению цепей, должна увеличиваться
пропорционально кубу концентрации. Независимость этой упругости от
температуры показывает, что переплетение не связано с энергией активации.
Результаты измерений (14.37) и (14.38) показывают, что упругость, обуслов-
ленная переплетением цепей, увеличивается с частотой и следует тому же
закону, что и линейная упругость.

§ 3. Измерение сдвиговой упругости жидких полимеров

С помощью кристаллического элемента, работающего на крутильных
колебаниях, были проведены исследования сдвиговой упругости и вязкости
чистых жидких полимеров с длинной цепью, позволившие частично выяс-
нить причину низкой сдвиговой упругости у полимеров. Обычно, если жид-
кость ведет себя, как кристалл, ожидается, что модуль сдвиговой упругости
имеет порядок 108—1010 дин/см2. И действительно, для некоторых жидкостей,
таких как силиконовые смолы и пентахлордифенил (арохлор), модуль
сдвиговой упругости имеет такой порядок. Однако полимеризованное касто-
ровое масло и полиизобутилен (вистенекс), рассматриваемые в данном пара-
графе, имеют значительно меньшие модули сдвиговой упругости—порядка
5 -10е-—5-107 дин/см? в частотном диапазоне до 100 кгц. Этот тип упругости
вызывается искажением конфигурации молекулы (см. ниже § 3).

Исследованные образцы полиизобутилена, обозначенные А, Б, В и Г,
имели средний молекулярный вес, равный соответственно 903, 3520, 4550
и 5590. Измерения вязкости для этих четырех типов образцов были проделаны
в некотором диапазоне температур методом падающего шарика. Результаты
этих измерений приведены на фиг. 156 в виде графика (в логарифмическом
масштабе) зависимости вязкости от величины, обратной температуре. Для
всех полимеров получаются на графике прямые, имеющие одинаковый на-
клон. Это показывает, в соответствии с теорией Эйринга [25], что для любого
полимера элементом, который движется от одной потенциальной ямы
к другой, близлежащей, является сегмент цепи, состоящий из 20 или около
того атомов, причем длина его по существу не зависит от общей длины цепи.
Большое увеличение вязкости для некоторой температуры в зависимости от
длины цепи объясняется тем, что увеличивается возможность скачкообраз-
ного перехода цепи в целом в новое положение по мере того, как длина цепи
становится -короче. Были также измерены плотности этих полимеров; зна-
чения плотности в зависимости от температуры приведены на фиг. 157.

Экспериментальная установка, на которой производились измерения,
показана на фиг. 146. Кристаллический элемент из ADP, работающий на
крутильных колебаниях, металлизированный золотом методом испарения,
был подвешен в узловых точках с помощью трех проволочек, приклеенных
к поверхности элемента бакелитовым клеем. Размеры кристаллического эле-
мента и постоянные, характеризующие его, были равны:

7 = 5,0 см,	7)внеш = 27? = 0,472 еж, DBHyT = 2/?о = О,ЗО см,

р= 1,804,	/л = 19615з^,	(/а — /к) — 220 гц,

С^^пф, R=^om,	ЙГ3=1,15.

Значение К\ медленно изменяется с температурой и при 50° С равно 455.

Было найдено, что по значению сопротивления можно определить мо-
мент резонанса наиболее надежным способом, поскольку другим путем было
трудно точно определить резонансную частоту элемента, погруженного
в вязкую жидкость. Измерения производились с помощью сбалансированного
электрического моста, и данные, подобные приведенным на фиг. 147, были
использованы для определения сопротивления нагрузки. Измерения произ-
водились на 1, Зи 5-й гармониках кристаллического элемента. Значения К {
дляСгармоник были те же, что и для основной частоты. Типичные значения
активной нагрузки на 1 см2 в зависимости от частоты и температуры для жид-
кого полимера Б приведены на фиг. 158. Для интерпретации зависимости

Фиг. 156. Результаты измерений температурной зависимости
модуля сдвиговой упругости и коэффициента сдвиговой вязкости
различных полимеров полиизобутилена.

этих значений от сдвиговой вязкости и сдвиговой упругости были использо-
ваны расчеты активного и реактивного сопротивлений нагрузки для жид-
кости, имеющей сдвиговую упругость и вязкость, результаты которых при-
ведены на фиг. 149. Сравнивая эти данные со значениями, приведенными на
фиг. 158, мы видим, например, что при 0°С нагрузка почти не зависит от
частоты. Это означает, что частота релаксации значительно ниже самой
Фиг. 157. Плотность различных полимеров полиизобутилена
в зависимости от температуры.

Фиг. 158. Частотная зависимость активной нагрузки кристал-
лической пластинки, погруженной в полимер Б, при различных
температурах.

По осп абсцисс отложены значения частоты в кгц.

низкой частоты, на которой производились измерения (17,5кгц). Кривые для
24, 40 и 50° С показывают достаточно сильный рост нагрузки с частотой,
и их можно сопоставить с теоретической зависимостью.
По этим данным найдены отношения самой низкой частоты измерений
(около 17,5 кгц) к частоте релаксации, приведенные во втором столбце
табл. 21. Асимптотические значения активного сопротивления нагрузки на
очень высоких частотах приведены в третьем столбце. Модуль сдвиговой

Фиг. 159. Модули конфигурационной и высокочастотной
сдвиговой упругости различных полимеров полиизобутиле-
на в зависимости от их плотности

упругости связан с активным сопротивлением нагрузки на высоких частотах
формулой

]/р[Г=7?, или =	.	(14.39)

Вычисленные по формуле (14.39) значения модуля сдвига приве-
дены в четвертом столбце. В пятом столбце приведены вычисленные значения
частоты релаксации. Шестой столбец содержит значения коэффициента сдви-
говой вязкости т], рассчитанные по формуле

^=2^-	<14-4°)

Значения вязкости для всех жидких полимеров, измеренные с помощью кри-
сталлического элемента, отмечены на фиг. 156 кружочками. Легко видеть,
что онис точностью, не меньшей 10%, совпадают со значениями, измеренными
методом падающего шарика, отмеченными крестиками; это характеризует
точность и пригодность настоящего метода.

Таблица 21

Полиизобутилен Б

Температура, °C	///R	R на высо- ких частотах, мех. ом	Модуль сдвига ц, дин] см%	Частота релаксации /с, гц	Коэффициент сдвиговой ВЯЗКОСТИ I), иуаз
0			6 100	42-Ю6				
24	1,8	3 500	14-Ю6	9 700	230,0
40	0,9	2 650	8-106	19 400	68,8
50	0,6	2 200	5,6-Ю6	29 200	30,5

Измеренные для трех жидких полимеров Б,ВиГ, значения модуля
сдвиговой упругости нанесены на фиг. 156. Они лежат, ио крайней мере
в исследованном диапазоне температур, приблизительно на прямых линиях
с одинаковым наклоном, если на графике откладывать значения 1g р в зави-
симости от 1/Т. Если мы отложим все эти значения модуля сдвиговой

упругости в зависимости только от плотности, используя данные фиг. 156
и 157, то получим точки, изображенные на фиг. 159. Повидимому, в преде-
лах экспериментальных ошибок все точки могут быть уложены на одну
кривую. Это согласуется с измерениями для полиизобутилена в раствори-
теле, которые показывают, что модуль сдвиговой упругости зависит только
от количества полимера в единице объема.

Были также проделаны имеющие важное значение измерения с другими
жидкостями: пентахлордифенилом (арохлором) и силиконовой смолой.
Пентахлордифенил имеет структуру, показанную на фиг. 160. При 24° С
плотность его равна 1,35 и вязкость 150 пуаз. Значения активного и реак-
тивного сопротивлений в интервале частот от 0 до 100 кгц также показаны
на фиг. 160. Приведенные значения не могут быть объяснены наличием
одной частоты релаксации и указывают на присутствие по крайней мере
двух частот релаксации и значительно меньшей гибкости (высокой упру-
гости), равной примерно 6 • 10-9 см2/дин. Такая упругость приближается
к упругости кристалла. В § 4 приведены результаты измерений упругости
силиконовой смолы на частоте 50 кгц при температуре 25° G методом сдви-
говых волн. Она имеет постоянную гибкости 1,35-10~В 9 ся?/дин, что соответ-
ствует модулю упругости, равному примерно 109 дин!см\ приближающемуся

к упругости кристаллических веществ.

Рассмотрение происхождения сдвиговой упругости в жидких полиме-
рах1). Проблемы структуры, диффузии и диффузии под действием смещаю-

В этом параграфе, как и в других параграфах этой главы, автор стоит на
позициях так называемой теории абсолютных скоростей реакций, развиваемой Г. Эйрин-
гом, М. Поляни и др.

Следует учитывать, что обилие приближенных допущений и вычислений, особенно
в квантовомеханической части этой теории, делает результаты расчетов и выводы, как
указывают и сами авторы, весьма неточными и приблизительными. Помимо этого, оче-
видно, что основное требование теории о наличии равновесия между исходным состоя-
нием молекул и так называемым активированным комплексом или переходным состоянием
(не говоря уже о других требованиях) практически может выполняться далеко не всегда.

Поэтому попытки автора книги дать на основании взглядов Эйринга исчерпываю-
щее объяснение вязких и иных свойств чистых жидкостей и растворов при прохождении
через них звуковых волн нельзя считать убедительными, а полученные им результаты
требуют весьма критического отношения. (См. также критику взглядов Эйринга в книге
Б. Б. Кудрявцева [32], стр. 198.) (Прим, ред.)	,
щих напряжений (иливязкости) для полимеров с длинной цепью и для обыч-
ных жидкостей в основном аналогичны. Но вместе с тем структура молекул
полимера с длинной цепью связана с некоторыми новыми важными эффек-
тами. Молекулы с длинной цепью гибки и могут принимать многие различ-
ные формы. Некоторые скрученные формы более вероятны по сравнению
с другими; и, если молекула, имеющая наиболее вероятную форму, деформи-
руется, то при снятии напряжения молекула стремится очень быстро вер-
нуться к начальной форме. Этот тип упругости называется конфигурацион-
ной упругостью, и скорость, с которой молекула возвращается к своей

Фиг. 160. Активное и реактивное сопротивления пентахлордифенила (арохлора) в зави-
симости от частоты.

наиболее вероятной форме, определяет время релаксации для этой
упругости.

Когда сдвиговое напряжение приложено к одной из молекул такого
типа, сегменты молекулы, цепь которых состоит из 20—30 атомов, переходят
от одной конфигурации к другой, что сопровождается появлением пустот
или «дырок» в жидкости. Такой отдельный перескок сегмента приводит
к двум результатам. Во-первых, форма молекулы слегка изменяется
в соответствии с движением сегмента, во-вторых, слегка смещается центр
тяжести молекулы. Результат большого числа последовательных переско-
ков сегментов также двойной: молекула, извиваясь, переходит из одной
формы, при перемещении ее сегментов (как это бывает при движении червя),
в другую, и центр тяжести молекулы медленно перемещается. Когда пере-
скоки сегментов происходят под влиянием приложенного напряжения
сдвига, то смещение центра тяжести вызывает вязкое течение, в то время
как изменение формы молекулы по сравнению с наиболее вероятной формой
вызывает конфигурационную сдвиговую упругость.
«Течение» (перемещение) сегмента происходит через некоторый энер-
гетический барьер W, и, следовательно, температурные изменения коэф-
фициента вязкости должны удовлетворять уравнению

т; = AeBz42ewlRT,	(14.41)

где W—энергия активации, R—газовая постоянная (R=Nk, где TV—число
Авогадро и ^—постоянная Больцмана) и Т—абсолютная температура. Веро-
ятность движения центра тяжести молекулы в заданном направлении зависит
от вероятности некоторого числа последовательных перескоков сегментов
в этом же направлении, и, следовательно, она уменьшается с уменьшением
молекулярного веса (Z) цепи. Уравнение (14.41) предложено Флори и теоре-
тически подтверждено Эйрингом [25]. Уравнение (14.41), строго говоря
применимо только для линейных полиэфиров. Более общее уравнение,
обоснованное с помощью аналогичных представлений о течении сегментов
цени [26], имеет вид

1g т; = ]g AZ +	’ 1

Это уравнение охватывает случай жидкостей типа полиизобутилена.

Если напряжение с молекулы снято, она возвращается к своему наиболее
вероятному положению путем ряда сегментных перескоков. Эксперименталь-
ные данные, полученные при исследованиях с высокочастотными сдвиговыми
волнами, показывают, что энергия активации, необходимая для сегментных
перескоков, обусловливающих местное искажение формы, составляет только
около 75% энергии активации, необходимой для сегментных перескоков,
обусловливающих вязкое течение. Так как вязкое течение связано с измене-
нием положения центра тяжести молекулы, оно требует большей энергии
активации.

Для изучения конфигурационной упругости было проведено значитель-
ное количество исследований и показано [27], что кинетическая теория
упругости приводит к следующему выражению для упругой восстанавливаю-
щей силы при условии равновесия:

dL Lo a2 J '

где Т—абсолютная температура, L—длина образца, о—энтропия, Lo—длина
нерастянутого образца, v—число цепей в объеме V и a=L/L0. Эта теория хо-
рошо объясняет обычно наблюдающиеся значения модулей сдвига порядка
10е дин) см2* и их увеличение с температурой. Однако эта теория является
теорией равновесного состояния, и для того, чтобы она была применима,
необходимым условием является наличие времени для установления равно-
весия.

Большинство полимеров обнаруживает в дополнение к этой «идеальной»
упругости некоторые другие упругие эффекты, часть которых детально
рассмотрена в ранее опубликованной литературе. Так при сравнительно
низких температурах обычные переохлажденные органические жидкости
(«стекла») становятся твердыми (как это происходит с различного рода кау-
чуками и пластмассами). В диапазоне низких температур каучукоподобные
материалы имеют относительно высокие значения модуля сдвига, порядка
108—1010 dunfcM2*. Этот модуль сдвига приблизительно одинаков, независимо
от того, имеются ли поперечные связи между цепями или нет [28—30], и выше
определенного предела [28] мало зависит от средней длины цепей или сег-
ментов между точками поперечных связей. В соответствии с этим процесс
перемещения представляется как смещение положения небольших элементов
цепи в потенциальных ямах, определяющееся взаимодействием с соседними
элементами цепи. В этих случаях, как и следовало ожидать, имеет место
резкое уменьшение модуля сдвига с увеличением температуры даже при
статических измерениях. Измерения, проведенные с пентахлордифенилом
и силиконовой смолой, показывают, что упругость кристаллического типа
имеет место также на частотах настолько высоких, что общие сложные дви-
жения цепей не успевают возникнуть. Все эти различные эффекты могут быть
учтены с помощью эквивалентной схемы, изображенной на фиг. 161, а. Здесь
x\-Jdx представляет вязкость течения слоя толщиной dx\ зависимость этой

Ф'иг. 161. Эквивалентные схемы для жидкости, име-
ющей конфигурационную упругость и упругость кри-
сталлического типа

а—нормальное представление; б—представление, использу-
ющее две отдельные релаксационные системы.

вязкости от температуры и молекулярного веса выражается уравнением
(14.41). Величины x^/dx и p2/drc определяют конфигурационную сдвиговую
упругость и скорость ее релаксации. Наконец, р3/с(ж представляет упругость,
обусловленную движением молекулярных цепей, очень близко располо-
женных друг около друга. Этот тип упругости наблюдается при таком сниже-
нии температуры, при котором коэффициенты вязкости т]г и т]2 становятся
настолько большими, что вещество теряет способность течь. Как мы могли
видеть раньше, этот тип упругости может также наблюдаться на таких высо-
ких частотах, при которых реактивное сопротивление, обусловленное моду-
лем упругости р3, меньше, чем сопротивление вязкости течения тц и сопро-
тивление релаксационной вязкости т]2.

При увеличении температуры происходит удаление потенциальных ям
друг от друга и могут возникать сложные движения цепей полимеров, такие
как перемещение и ограниченное вращение. Если имеется достаточное время
для установления равновесия между всеми различными видами движения
цепей, упругость может быть объяснена на основании кинетической теории
упругости, и величина ее становится пропорциональной абсолютной темпе-
ратуре. Если, однако, частота настолько велика, что равновесие не успевает
устанавливаться, то упругость определяется поведением и взаимодействием
соседних молекул или их сегментов. (Этот тип упругости обычно объясняется
теорией потенциальных ям1)). При этих условиях с увеличением температуры
упругость уменьшается.

г) Автор утверждает, что в случае неустановившегося равновесия данный тип упру-
гости можно объяснить теорией Эйринга (теорией потенциальных ям), забывая о том, что
последняя в этом случае неприменима (см. примечание на стр. 315). {Прим, ред.)
Наиболее близко подходят к представлениям кинетической теории упру-
гости результаты высокочастотных измерений полимеров в растворах, описан-
ные в § 2. В этом случае вязкость течения имеет энергию активации, равную
только 3,9 ккал/моль, что не намного больше, чем для чистого циклогекса-
на. Вязкость т]2, связанная с конфигурационной упругостью, имеет такую же
низкую энергию активации, и значение т2 настолько мало, что время рела-
ксации конфигурационной упругости невелико и равновесие устанавливается
за время, меньшее, чем 0,0017 сек. Данные, приведенные выше в § 2, показы-
вают, что сдвиговая упругость увеличивается почти прямо пропорционально
абсолютной температуре. При этих условиях вполне можно пренебречь т]2 и р8.
Тогда в уравнении (14.34) 'Цм представляет коэффициент вязкости течения
(см. фиг. 161), в то время как р представляет модуль конфигурационной
упругости р2.

Для чистых жидких полимеров, описанных в начале данного параграфа,
энергия активации для релаксационной вязкости т;2 равна около 12 ккал/моль,
и, следовательно, для релаксации конфигурационной упругости требуется
значительное время. При этих условиях равновесие не может установиться
за время одного периода, и «кинетическая теория» упругости в данном случае
не может быть применена. Для этого случая нет удовлетворительных объяс-
нений, и причина, почему логарифм модуля сдвиговой упругости увеличи-
вается пропорционально 1/Т, неизвестна.

Импульсные измерения, рассмотренные в гл. XV, § 3, п. 1, показывают,
что сдвиговый импеданс жидкости приблизительно характеризуется кри-
выми, приведенными на фиг. 162. Эти кривые показывают, что на таких
частотах общее сложное движение более не может иметь места и сдвиговая
упругость объясняется и определяется отдельными потенциальными ямами.
По данным измерений с продольными волнами, описанных ниже в § 5, модуль
сдвиговой упругости достигает порядка 5,7 «109 дин/см2, что в 100 с лишним
раз больше, чем в случае конфигурационной упругости, как это следует из
фиг. 156.

Сдвиговый импеданс жидкости наиболее легко подсчитывается по экви-
валентной схеме для жидкости, приведенной на фиг. 161, б. Эта сх«м^ экви-
валентна схеме, приведенной на фиг. 161,а, если положить

^а = ^в _р Tj

н+^)2

2 ’

112 ’

о А it В | В
гз ri । ^2 *

Схема фиг. 161,6 дает две частоты релаксации, и зависимость упругих
напряжений от деформаций для нее может быть записана в виде

, 1 । 1

5	1_____,	1 "I 1 ,	1

Н-1^5	^5

7)1 ~дГ

(14.42)

Импеданс и постоянная распространения могут быть получены подстановкой
в уравнение (14.16) и решением его относительно Г и Zo.

Равноценной является эквивалентная схема, приведенная на фиг. 163,
с помощью которой можно более коротким путем рассчитать характеристиче-
ский импеданс по формуле

Z0 ~	^1 ^2 >
где

/	/Р-1 ^1	/Р-2 Tfo \

ZX — /юр dx,	Z2 = I-------ш---1------°?—	.

'	I	„	/Р-1	'	/Р-2	dx

\	—zr/

(14.43)

Ф.и г. 162. Сдвиговое сопротивление полимеров прлиизо-
бутилена на высоких частотах при температуре 25° С.

Результат расчетов может быть выражен в форме

I	I L/1/2	I Г2

1 .	р-1	1

fl Р-1 + Р-2 /1

+ if [

2тс (т], + т]2)
Р-1 + р2

J'	-"’1 /I Ц’/2Х

/1 /г х.Р-1 + Р-2 /г Р-i + Рг /1 7 J J J

(14.44)

где и /2— две частоты

релаксации, определяемые выражениями

1 __ сН 2	^2

2tctj1 ?	2кт]2 *

Как показано на фиг. 163, расчет активной и реактивной компонент
сдвигового импеданса для полимера Г дает следующие значения:

р.х 4 • 107 дин/см2, р.2 —5,81 • 109 дин/см2,
(14.45)

7)14-^2—1600 пуаз, т]2—175 пуаз.	4 ' 1

Pi и 7)i4-7|2 определены по данным, приведенным на фиг. 156; т)2ир2 определе-
ны экспериментальным путем с помощью метода продольных волн, описанного
ниже в §5. Импеданс в области низких частот определяется главным образом
по первой частоте релаксации в согласии с результатами, изложенными

Фиг. 163. Теоретические значения активного и реактивного сдвиговых сопро-
тивлений для жидкостей, имеющих две частоты релаксации.

Сплошные кривые построены без учета влияния гистерезисного члена и'; пунктирные по-
строены с учетом его влияния

выше. Величина высокочастотного сдвигового импеданса примерно совпа-
дает со значениями импеданса, показанными на фиг. 162.

Однако значительно лучшее совпадение получено при предположении,
что высокочастотная сдвиговая упругость имеет гистерезисную компоненту,
описываемую импедансом

^2—/У 2

Значение модуля определено ниже в § 5 с помощью измерений методом
продольных волн. Включая р' в эквивалентную схему, изображенную на
фиг. 163, и определяя общий импеданс, находим

х(С1+д)	<14-46>
Если р.2 = 0, то это выражение приводится к выражению (14.44). Подставляя
значение р-г = 2,65-109 дин/см?, определенное путем измерений методом про-
дольных волн, получим видоизмененные кривые, изображенные на фиг. 163
пунктирной линией. Активное сопротивление, найденное путем расчетов,
дает хорошее совпадение с измеренными значениями.

Следовательно, измерения определенно показывают наличие двух рела-
ксационных механизмов в сдвиговом процессе: одного—связанного с кон-
фигурационной упругостью цепей, и другого—связанного с упругостью
цепей полимеров, размещенных в отдельных потенциальных ямах,
когда частота настолько высока, что конфигурационная упругость не играет
роли.

Поскольку конфигурационная упругость и кристаллическая упругость,
по всей вероятности, определяются близлежащими сегментами, поведение

Ф и г. 164. Распределение потенциальных ям.

а—для легкой жидкости; б—для полимерной жидкости,
имеющей конфигурационную упругость.

отдельного сегмента можно считать обусловленным распределением потен-
циальных ям, показанным на фиг. 164, б. Вязкое «течение» сегмента требует
и смещения и вращения и, следовательно, происходит путем перехода через
барьер свободной энергии С другой стороны, расширение или сжатие
цепи в целом, связанное с конфигурационной упругостью, не требует изме-
нения положения центра тяжести цепи и происходит с переходом через
более низкий барьер свободной энергии Д£72. Если к жидкости приложено
сдвиговое напряжение, то дно одной потенциальной ямы понижается по
сравнению с дном другой, как показано пунктирными линиями на фиг. 164.
На низких частотах имеется достаточно времени для того, чтобы вязкое тече-
ние могло происходить путем перехода через высокий энергетический барьер.
Если частота увеличивается, то времени для перехода центра тяжести цепи
через барьер за один период колебаний становится уже недостаточно, но тем
не менее еще могут существовать местные искажения формы, связанные
с переходом через низкий энергетический барьер. Это обратимый процесс,
определяющий конфигурационную упругость. Так как такого рода смещение
может быть довольно большим, модуль конфигурационной упругости мал по
величине. На еще более высоких частотах не может происходить даже мест-
ное искажение формы и имеет место только эффект смещения сегмента из его
положения равновесия. Это приводит к очень высокой сдвиговой упругости
кристаллического типа. На основании измерений установлено, что высота
энергетического барьера для вязкого течения равна 16 ккал/молъ, в то время
как энергетический барьер для местных искажений формы равен 12 ккал/молъ.
По мере уменьшения длины цепи различия между местным искажением
формы и вязким течением исчезают, и для жидкостей, имеющих длину цепи
порядка одного сегмента Эйринга, обе потенциальные ямы становятся рав-
ными, и их распределение делается подобным распределению потенциальных
ям для легкой жидкости, показанному на фиг. 164,а. При таких условиях
конфигурационная упругость в жидкости с малой плотностью исчезает,
как это показано на фиг. 159, и коэффициент сдвиговой вязкости равен коэф-
фициенту вязкости течения до частот, при которых начинает играть роль
кристаллическая упругость, как это показано на фиг. 162.

§ 4. Сдвиговые волны в жидкостях

В дополнение к измерениям вязкости, показывающим наличие в жид-
кости сдвиговой упругости, были проделаны измерения, обнаружившие

Фиг. 165. Частотная зависимость активного сопротивления
кристаллического элемента, работающего на крутильных коле-
баниях, при фиксированном расстоянии между излучателем и
отражателем, показывающая наличие сдвиговых волн в поли-
мере В полиизобутилена.

присутствие сдвиговых волн в очень вязких жидкостях. В полимеризован-
ном касторовом масле затухание выше частоты релаксации оказалось равно

4 = i^p==97,2 непер/см. _ '	(14.47)

Такое затухание слишком высоко, чтобы можно было обнаружить волновое
движение. Однако, если мы будем исследовать жидкость с много большей
вязкостью, предельное затухание становится ниже. Такой жидкостью, на-
пример, является полиизобутилен, описанный выше в § 3, полимер В кото-
рого имеет вязкость 900 пуаз при 25° С. Если бы он имел такую же сдвиговую
упругость, как полимеризованное касторовое масло, он должен был бы иметь
затухание порядка 1,5 непер/см.

Для доказательства присутствия сдвиговых волн в полиизобутилене
применялся пьезоэлемент, работающий на крутильных колебаниях, который
создавал систему стоячих волн. В связи с большой вязкостью полиизобу-
тилена было бы трудно менять расстояние между отражателем и кристалли-
ческим излучателем, поэтому расстояние между излучателем и отражающей
пластинкой было фиксировано и изменялась только частота.

Измеренные значения сопротивления в зависимости от частоты пока-
заны на фиг. 165. Расстояние между пьезо элементом и отражающей пластин-
кой было равно 0,50 см. При фиксированном расстоянии между излучателем
и отражателем минимум тока в излучателе наблюдается каждый раз, когда
цри изменении частоты между ними укладывается целое число полуволн.
Если на данном фиксированном расстоянии между излучателем и отража-
телем укладывается 14 полуволн при частоте 47,8 кгц и 15 полуволн при
частоте 51,3 кгц, то значение скорости сдвиговых волн равно 3600 см/сек.
Так как плотность полимера В равна 0,886 при 25° С, то модуль сдвиговой
упругости будет равен 1,2-107 дин/см2, что в пределах экспериментальной
ошибки дает совпадение с данными, приведенными на фиг. 156. (Надо иметь
в виду, что измерения при изменении числа укладывающихся полуволн
только на единицу не являются достаточно точными.) Измеренное затуха-
ние, определенное по отношению между максимальным и минимальным актив-
ным сопротивлением, равно для данного расстояния между излучателем
и отражателем 0,5 непер или 1,0 непер/см. Сравнивая это значение с рас-
четным

,	/0,886 • 1,2 • 107	, о	.	/л / /ох

А = —goo—— = 1,8 непер/см,	(14.48)

мы видим, что расхождение результатов лежит в пределах ошибки измерения.
Были проделаны также на частоте 50 кгц при 20°С измерения характе-
ристик силиконовой смолы и получены следующие результаты:

р—1,14, v -2,55 • 104 см/сек, А = 0,13 непер/см.

Коэффициент сдвиговой вязкости, как показали измерения Бекера методом
выдавливания, равен 3-105 пуаз. Необходимо отметить, что сдвиговая упру-
гость для этого вещества намного выше, чем для полиизобутилена. Рассчи-
тывая по значениям плотности и скорости, мы получим следующие значения
постоянных:

Cs=l,35 • 1(Г9 см2/дин, р. = 7,4 - 108 дин/см2,	(14.49)

что составляет только Vie значения модуля упругости для продольных
плоских волн в этой же жидкости и показывает, что упругость этой жид-
кости приближается к упругости кристалла. Вычисленное значение затуха-
ния, равное 0,05 непер/см, сравнимо с экспериментальным значением, рав-
ным 0,13 непер/см. Так как точность измерений невысока, возможно наличие
и другого источника рассеяния волн.

Вероятно, все жидкости могут иметь сдвиговую упругость, но частота
или частоты ее релаксации слишком велики, так что измеримый эффект
должен лежать далеко за пределами диапазона частот, использовавшихся
при исследовании жидкостей. Эта сдвиговая упругость может оказывать
существенное влияние на удельную теплоемкость жидкостей [12,13].

§ 5. Распространение продольных волн

в очень вязких жидкостях и доказательство дисперсии скорости
и затухания в жидкостях

Так как низкочастотная сдвиговая вязкость в очень вязких жидкостях
связана с конфигурационной сдвиговой упругостью, то следует считать,
что для продольных волн с частотой, значительно большей, чем частота
первой сдвиговой релаксации, сдвиговые компоненты продольных смещений
будут чисто упругими и эта сдвиговая вязкость ничего не добавляет к зату-
ханию.

Такое предположение недавно [31] подтверждено изучением продоль-
ных волн в жидком полиизобутилене. Кроме того, в полиизобутилене обнару-
жены дисперсия скорости и связанная с ней дисперсия затухания, обязанные
молекулярным процессам. Такие явления наблюдаются в жидкости впер-
вые. Поскольку этой работой в значительной мере освещается вопрос о меха-
низме молекулярного процесса и тот факт, что затухание в жидкостях на
очень высоких частотах приближается по типу к затуханию, имеющему
место в твердых телах, она рассматривается нами довольно подробно.

Метод измерений представлял сочетание импульсного метода и метода
установившихся колебаний. Блок-схема установки изображена на фиг. 166.
Колебания от генератора высокой частоты передаются на индикатор через
две параллельные цени. Одна из них состоит из пропускающего каскада
и усилителя. Этот каскад «отпирается» импульсами постоянного тока.
Таким образом к кристаллическому излучателю подводятся импульсы
с наполнением высокой частотой, которые преобразуются в механические
колебания и возбуждают продольные волны в жидкости. Эти волны
воспринимаются кристаллическим приемником, поверхность которого

Фиг. 166. Блок-схема установки для измерения скорости и за-
тухания продольных волн в жидкости.

строго параллельна поверхности излучающей пластинки; расстояние между
излучателем и приемником может изменяться. Напряжение, возникающее
на приемном пьезо элементе, усиливается широкополосным усилителем,
детектируется и подводится к вертикальным пластинам электронного осцил-
лографа. Развертывающее напряжение, подаваемое на горизонтальные
пластины, управляется тем же самым синхронизующим генератором, кото-
рый управляет генератором импульсов постоянного тока, запускающих
излучатель. Таким образом, принятые импульсы всегда оказываются в непо-
движном положении на флуоресцирующем экране осциллографа. Вторая
цепь от генератора высокой частоты проходит через аттенюатор к усилителю,
детектору и осциллографу. Аттенюатор собран из углеродистых поверхност-
ных сопротивлений, имеющих стабильную величину до частоты 10 мггц.

Процесс измерения затухания состоит в сравнении амплитуды импульса,
прошедшего через исследуемую жидкость, и амплитуды импульса, прошедшего
через аттенюатор, и в установке такого затухания в аттенюаторе, чтобы ам-
плитуды обоих импульсов на экране были одинаковы. Если затухание в жид-
кости достигает 15 дб или более, длительность импульсов не имеет значения,
и амплитуда их может сравниваться с помощью метода установившихся коле-
баний. Но если затухание в промежутке между излучателем и приемником
невелико, использование метода установившихся колебаний связано с трудно-
стями из-за наличия стоячих волн. Для того чтобы избавиться от этих помех,
применяют импульсы очень малой длительности и сравнивают амплитуду
первого принятого импульса, свободного от наложения стоячих волн, с ампли-
тудой установившихся колебаний.

На фиг. 167 показаны результаты типичных измерений затухания
в полимере Г в зависимости от изменения длины пути волны. Изменение

Фиг. 167. Затухание в полимере Г в зависимости от длины
пути волны.

затухания на 38 дб при разности пути 0,1465 см (на частоте 8 мггц и при тем-
пературе 310 С) соответствует затуханию 259 дб[см. В связи с тем, что зависи-
мость затухания от расстояния выражается линейным законом, затухание
может быть измерено с точностью ±2% для материалов с большими потерями
и ±5% для материалов с малыми потерями.

Измерения скорости для материалов с большими потерями этим методом
более трудны, нежели измерения обычными методами, так как длина пути
волны настолько мала, что сравнение положения принятого импульса с поло-
жением импульса посылки не дает точного значения скорости. С другой
стороны, затухание в сильно поглощающих жидкостях настолько велико,
что использование метода стоячих волн, как это сделано в акустическом интер-
ферометре, невозможно. Вместо этого применяется метод сравнения фазы
принятого импульса с фазой установившихся колебаний. Для этой цели
обе цепи соединяются вместе на входе усилителя-детектора, и затухание
в аттенюаторе устанавливается примерно равным затуханию в жидкости.
8

0,68	0,70	0,72	0,74	0,7В	0,78	0,80	0,82	0,84	0,86

Расстояние, см

Ф и г. 168. Число длин волн, укладывающихся между излучате-
лем и приемником, помещенными в полимер Г, в зави-
симости от расстояния между ними.

Фиг. 169. Затухание на длину волны в полимере Г в за-
висимости от частоты при различных температурах.
По мере изменения длины пути импульса в жидкости амплитуда им-
пульса на выходе то прибавляется, то вычитается из показаний аттенюатора.
Нанося на график положения максимумов в зависимости от длины пути,
можно определить длину волны в жидкости. На фиг. 168 показаны типич-
ные результаты измерений для полиизобутилена Г в виде графика зависи-
мости числа длин волн, укладывающихся между излучателем и приемником,

Фиг. 170. Скорость ультразвука в полимере Г в за-
висимости от частоты при различных температурах.

ютЛрасстояния Ьиежду ними. Через точки, определенные экспериментальным
путем, можно провести прямую линию. Это показывает, что измерение
скорости может быть произведено с точностью ±1%. С помощью такого
метода может быть измерена скорость в жидкости при затухании в слое
жидкости, равном 50 дб и более.

Этим методом была проведена серия измерений с упомянутыми тремя
жидкостями на частотах 2, 5 и 8 мггц в широком диапазоне температур.
Результаты измерений затухания в полимере Г приведены на фиг. 169;'
результаты измерений скорости при тех же самых условиях приведе-
ны на фиг. 170. Затухание отложено на графике в неперах на длину волны
pdx	pdx

Фиг. 171. Эквивалентная схема, пред-
ставляющая распространение продоль-
ных волн в жидкости с учетом второй
вязкости.

(1 непер = 8,68 дб), так как теоретическое значение затухания может быть
легко подсчитано в этих единицах. При рассмотрении результатов становится
очевидным, что этой жидкости свойственны дисперсия затухания и связанная
с ней дисперсия скорости.

С целью классификации результатов измерений и получения параметров,
через которые могут быть выражены затухание и дисперсия, использовано
подсчитанное значение затухания и сдвига фазы, объясняемых релаксацион-
ной теорией. Рассматриваемое явление может быть представлено с помощью
эквивалентной схемы, изображенной на фиг. 171, последовательное плечо
которой представляет плотность р, умноженную на длину сечения dx, а па-
раллельное плечо состоит из последовательного соединения упругости к-Jdx,
соединенной параллельно со второй вязкостьюделенной на dx, и второй
упругости ^Qjdx. На очень низких частотах импеданс определяется только
упругостью х0, так что %0 представляет
модуль объемной упругости жидкости,
измеренный статическими методами.
На очень высоких частотах импеданс
параллельного плеча сводится к импе-
дансу двух упругостей, соединенных по-
следовательно. Таким образом, х0 яв-
ляется модулем низкочастотной объем-
ной упругости, а %! равно разности
между модулями упругости на высоких
и низких частотах.

Из результатов измерений сдвиго-
вой упругости на высоких частотах,
рассмотренных выше в § 3, можно заклю-
чить, что дисперсия скорости продоль-
ных волн вызвана дисперсией сдви-
говой упругости. Так как скорость

продольных волн определяется упругими постоянными Ламэ (Х-[-2 jx), то изме-
рения с продольными волнами не позволяют выяснить, объясняется ли
изменение скорости с частотой изменением постоянной X или изменением
постоянной [1. На высоких частотах конфигурационная упругость р2 (см.
фиг. 161, а) релаксирует под влиянием конфигурационной! вязкости т]2,
и, поскольку ?]2 значительно меньше, чем (вязкость течения), tj2 пред-
ставляет всю сдвиговую вязкость на высоких частотах. Значения для
полимеров полиизобутилена А, Б, В и Г недавно были измерены высоко-
частотными импульсными методами, описанными в гл. XV, § 3, п. 1,
и результаты этих измерений показаны на фиг. 172. Кроме того, оче-
видно, объемная вязкость '% составляет значительную часть вязкости т]2.
Величина х', включенная в схему на фиг. 171, равна = х+2 т/2. Величина
%! весьма близка к модулю сдвиговой упругости 2р3, т. е. к модулю высоко-
частотной сдвиговой упругости.

Затухание и скорость звука могут быть вычислены из выражения

Tdx = (А ф- /В) dx —

(14.50)

где для последовательного плеча

— /<ор dx
Фиг. 172. Вторая сдвиговая вязкость полимеров полцизобути-
лена в зависимости от 1/Т.

Сплошные кривые представляют значения х'=(7+2т)2), найденные из изме-
рений с продольными волнами. Пунктирные кривые представляют зна-
чения т)2, найденные из измерений со сдвиговыми волнами.

и для параллельного плеча

Если из выражения (14.50) мы определим затухание А (в непер/см) и фа-
зовый сдвиг В (в радиан/см), то получим

(О

/А2 + <о2	’

к2 + о)2

_А = А___________\

В 2	1 _]_х'2 ш2 4Хо + %1Л 2Ч ^оЧао 7Л2+<02‘

\ 'Х'О'Х2 J .
В этих выражениях





где г?0—скорость на низких частотах, г?ет—скорость на высоких частотах
и к/2тс—частота релаксации. Если мы умножим отношение A/В на 2тс, то
получим затухание Aw в неперах на длину волны, результаты измерения кото-
рого представлены на фиг. 169. Aw может быть вычислено по формуле

---------г-------------т <14-52)

Для очень низких частот это выражение упрощается:

(14.53)

Следовательно, затухание на очень низких частотах пропорционально частоте.
Этот вывод совпадает с результатами измерений для температур от 30° С,
представленными на фиг. 169, где виден начальный наклон частотных
характеристик затухания. Выражение (14.53) дает метод определения вяз-
кости; в частности, из него получаем

/ ?го

*	2к2/ '

(14.54)

Все величины, стоящие в правой части равенства (14.54), можно измерить,
а следовательно, может быть определен коэффициент вязкости .

На фиг. 172 представлена в логарифмическом масштабе зависимость
от 1/Т для полимера Г. Экспериментальные точки ложатся на прямую
линию, имеющую наклон 3/4 по сравнению с наклоном характеристики низко-
частотной вязкости. Были определены начальные части кривых и для
других трех жидкостей; они также показаны на фиг. 172. Все эти кривые
параллельны, как и для низкочастотной сдвиговой вязкости; это показывает,
что скачок, зависящий от температуры, совершается частями цепи, одина-
ковыми для всех средних молекулярных весов. Конфигурационная вязкость
увеличивается с увеличением молекулярного веса, хотя ее изменение для
различных молекулярных весов далеко не так велико, как изменение низко-
частотной сдвиговой вязкости. Для молекулярных весов выше 10 000 даль-
нейшего роста вязкости с длиной цепи не наблюдается. Сравнивая значение
Х“(х4~2 т;2) со значением т;2, полученным с помощью сдвиговых измерений,
мы видим, что коэффициент объемной вязкости изменяется от нуля для поли-
мера А с низким молекулярным весом до величины, близкой к коэффициенту
сдвиговой вязкости т;2, для полимеров с наибольшим молекулярным весом.
Насколько можно судить по относительным наклонам кривых вязкости,
измеренных с помощью продольных и сдвиговых волн, энергия активации
для объемной вязкости равна энергии активации для второй (конфигурацион-
ной) сдвиговой вязкости. Для сопоставления всех результатов измерений
температурных и частотных зависимостей, приведенных нафиг. 169, построен
график затухания на длину волны в долях величины

Aw?v%
(Р^о4
в зависимости от произведения частоты на приведенный на фиг. 174.
В выражении (14.55) (p^o)s представляет произведение плотности р^н а ;для

Фиг. 173. Значения скорости при нулевой частоте в поли-
t мерах полиизобутилена в зависимости от температуры.

Фиг. 174. Затухание на длину волны в зависимости от произ-
ведения второй сдвиговой вязкости на частоту для полимеров
полиизобутилена.

Затухание отложено в долях величины Aw рг2o/(p^)s.

А—экспериментальная кривая; В~теоретическая кривая»

полимера Г при 20° С. Все значения у/ взяты из фиг. 172, значения скорости
при нулевой частоте получены экстраполяцией данных, приведенных на
фиг. 170, и показаны на фиг. 173. В пределах экспериментальных погреш-
ностей все точки на фиг. 174 ложатся на одну кривую. На эту кривую
нанесены также значения затухания на длину волны, измеренные для
жидких полимеров В и Б. Из выражения для фазового сдвига (14.51),
учитывая, что В =•(»/», мы видим, что отношение v/v0 также должно
быть функцией произведения частоты на у/ 4-2т]2- Из измеренных значений
скорости v, приведенных на фиг. 170, значений у', приведенных на фиг. 172,
и значений скорости и0, соответствующей нулевой частоте, показанных на
фиг. 173, может быть найдена зависимость отношения v/v0 от произведения

(Вторая сдвиговая вязкость %')* Час глота, пуаз-мггц

Фиг. 175. Отношение скорости v к скорости при нулевой ча-
стоте г0 в зависимости от произведения второй сдвиговой вязко-
сти на частоту для полимеров полиизобутилена.

частоты на у', приведенная на фиг. 175. Поведение трех исследованных
жидких полиизобутиленов при всех температурах выражается одной и той
же кривой.

Другие измерения [И], проведенные для силиконовой смолы при ком-
натной температуре, показывают значительно меньшее значение коэффициен-
та высокочастотной вязкости по сравнению с полиизобутиленом. Скорость
ультразвука в силиконовой смоле равна 1,03-105 см/сек, плотность смолы
равна 1,14, затухание ультразвука прямо пропорционально квадрату частоты
и подчиняется зависимости

А = 9,2 • 10-14/2 непер/см.	,	(14.56)

Так как коэффициент низкочастотной сдвиговой вязкости для этой жидко-
сти равен 30 000 пуаз, то, если применима классическая формула (14.14),
затухание должно быть равно 3-10-10/2 непер/см. Это показывает, что для низ-
кочастотной сдвиговой вязкости уже перейден предел релаксации и она не
влияет на затухание. Из результатов измерений нельзя заключить, является
ли высокочастотная вязкость с коэффициентом у', равным 5,76 пуаза,
объемной вязкостью или она обязана релаксации второй сдвиговой вязкости.
Импульсные измерения с высокочастотными сдвиговыми волнами не позво-
ляют сделать никаких выводов, так как силиконовая смола не смачивает
кристалл, и поэтому сдвиговая упругость и затухание в ней не могут быть
измерены.

Механизм дисперсии скорости продольных волн и затухания в жидко-
стях. Измерения скорости и затухания продольных волн в полиизобутилене
дают материал для рассмотрения различных механизмов, предложенных
для объяснения дополнительного затухания и дисперсии. Поскольку ско-
рость продольных волн определяется упругими постоянными Ламэ (Хф-2 р),
измерения, использующие продольные волны, не позволяют определить,
вызвана ли дисперсия изменением постоянной к или изменением постоян-
ной р.

Согласно большинству теорий, разработанных для жидкостей, пред-
полагается, что рь — 0, и считается, что дисперсия определяется только измене-
нием постоянной X. До настоящего времени предложены две теории механизма
дисперсии. Первая, предложенная Герцфельдом, Райсом и Кнезером, рас-
смотрена в гл. XIII, и вторая—теория перегруппировки Дебая-Френкеля—
рассмотрена во введении к данной главе. Хотя эти теории, повидимому, при-
менимы для легких жидкостей, таких как сероуглерод, который имеет зату-
хание в 900 раз большее, чем рассчитанное на основании измерения сдвиго-
вой вязкости, однако измеренные значения высокочастотного сдвигового
импеданса для этих жидкостей, рассмотренные выше в § 3, определенно пока-
зывают, что релаксация, свойственная этим жидкостям, связана скорее
с модулем сдвига р, нежели с постоянной X. Повидимому, большинство
случаев, когда поглощение меньше, чем классическое, обусловлено скорее
релаксацией ji, чем релаксацией X.

Вне зависимости от того, существует ли релаксация |i или X, эквивалент-
ная схема, представляющая эффект релаксации для продольных волн, будет
такова, как показано на фиг. 171. Величина х0 есть модуль низкочастотной
объемной упругости жидкости, а сумма хх и х0 равна модулю высокочастот-
ной объемной упругости жидкости. Так как модуль высокочастотной упру-
гости равен Х-р2 р, а модуль низкочастотной упругости х0 равен упругой
постоянной X, то, следовательно, имеют место соотношения

Х = х0, 2р. = х1.	(14.57)

Данные, приведенные выше в § 3, показывают, что имеются две частоты ре-
лаксации для сдвига, но, поскольку более низкая частота релаксации лежит
около 5000 гц, высокочастотные измерения с продольными волнами можно
истолковать, пользуясь только одной частотой релаксации. Модуль релак-
сирующей низкочастотной сдвиговой упругости добавляется к X, но если
Х = 2,28-1010и2[1г = 8-107, то добавка к постоянной X будет меньше, чем 0,4%,
и ею можно пренебречь. Коэффициент высокочастотной вязкости как это
было показано, определяется по начальному наклону частотных характери-
стик затухания, и результаты его измерения приведены на фиг. 172. Отно-
шение между скоростью на высоких и низких частотах, равное 1 : 1,23
(см. фиг. 175), показывает, что модуль высокочастотной сдвиговой упругости
равен

1,17.1^1 = 5,59 • 109 дин/см\

что согласуется с результатами измерений, приведенными на фиг. 162.

Однако эта теория не дает полного объяснения характера кривых зату-
хания и скорости, полученных экспериментально и приведенных на фиг. 174
и 175. Вычисленное значение затухания на длину волны для одной частоты
релаксации показано кривой В на фиг. 174. Экспериментальная кривая А
расположена выше, чем теоретическая кривая для одной частоты релаксации,
несимметрична относительно максимума и после максимума уходит в сторону
от теоретической кривой, не спадая до нуля. Теоретическую кривую можно
было бы улучшить асимметричным распределением частот релаксации.
Но более простое объяснение следует из того, что зависимость между
напряжением и деформацией имеет гистерезисный характер и поэтому
потери за один период имеют постоянное значение. С целью получения луч-
шего совпадения с экспериментом эти гистерезисные потери следует ввести
последовательно с упругостью %! в эквивалентную схему, изображенную на
фиг. 176. Импеданс этого плеча характеризуется следующей величиной:

О)

Так как это плечо шунтируется на
поведение жидкости может быть
pda:

очень низких частотах вязкостью
представлено следующим образом,
pda:

Фиг. 176. Эквивалентная схема, представ-
ляющая распространение волн в жидкости
с учетом гистерезисного сопротивления и вто-
рой сдвиговой вязкости.

На низких частотах изменение ближнего порядка, вызываемое сдвигом, осу-
ществляется путем перескока отдельного сегмента цепи из одной стабильной
потенциальной ямы в другую, без существенного затрагивания других цепей.

Фиг. 177. Затухание на длину волны для полимера А
в зависимости от частоты при разных температурах.

Даже в этом случае мы наблюдаем очень малые гистерезисные потери, как
это показано на фиг. 177, представляющей результаты измерения затухания
в самой легкой жидкости—полимере А. Значения затухания, измеренные на
частотах 2,5 и 8 мггц, лежат на прямых линиях, которые не проходят через
начало координат при нулевой частоте, но пересекают ось ординат на высоте
около 0,0025 непера на длину волны, что указывает на присутствие незна-
чительных гистерезисных потерь. По мере увеличения частоты все меньшее
и меньшее количество цепей успевает за один период накопить энергию
в количестве, достаточном для перемещения к смежным стабильным потен-
циальным ямам, и жидкость становится менее сжимаемой. Однако цепи,
невидимому, могут быть смещены к промежуточным потенциальным мини-
мумам. Это смещение, возможно, представляет собой внутреннее скручива-
ние. Закреплению цепей в новом скрученном положении способствуют
пространственные ограничения, обусловливаемые влиянием на гибкость
отдельных цепей тесно расположенных метильных групп. В последнем
случае сегменты цепи освобождаются только на более поздней части пери-
ода колебаний, и поэтому относительно приложенного напряжения дефор-
мация запаздывает. Предполагается, что волны, проходящие через полимер,
создают крутильный момент в некоторых частях вкрученных цепей, в ре-
зультате чего возникает значительная сила смещения скрученных пар
метильных групп. Таким образом, обычно значительная энергия активации
внутреннего вращения пар одной относительно другой в полиизобутилене
практически снижается до нуля. В соответствии с этим, поскольку потен-
циальный барьер, который должны преодолеть цепи, чтобы достигнуть
скрученных положений, очень мал по сравнению с барьером для перехода
к соседнему устойчивому положению (последний процесс требует и скручи-
вания и перемещения), гистерезисные потери имеют место вплоть до очень
высоких частот. Представление о таком механизме хорошо совпадает с основ-
ными принципами теории гистерезиса.

Эквивалентная схема на фиг. 176 учитывает влияние гистерезисных
потерь. Если мы разрешим уравнение этой эквивалентной схемы относительно
скорости и затухания звука, то будем иметь

в

(14.59)

где Zx—последовательное плечо, равное /wp dr
равное

Z2—параллельное плечо,

1! Р' —7*i) 1

Z2-

1

dx

(14.60)

Разрешая
сдвига В,

соотношение (14.59) относительно
получим

затухания Л

фазового

А2 -=

^*о

(X'2 + Zj) + 2аг//Х' +

*о

,2у'2

11

7*о ,
о>

—/Х1

и

*•' + аг/

2
(Л'2 + %1) + 2ш^,'К' + w2^'2

о

’«Т

02 _ м2Р / __

~ 2х0 Г

X'2 +	+ 2<i)X/yz + «2у/2

(14.61')

2 ) (

\ хо

	

Отсюда получаем

В = w

2тсЛ л

Aw =

х о х

5 Ь*1) + 4тгХ'(/х') + 4л2 Г^_±2Д
L

“ (fl') l^'2 + + 2пХ' (/%')]
хо

|2

(14.62)

|\'2 + + 4лХ'2 (/х') + 4я2

(14.63)

Представляют интерес предельные случаи. На низких частотах
на длину волны AWo и скорость звука у0 будут равны

затухание

.	2п2

= — (/х )

2*2/Г
pv2 ’

(14.64)

Для очень высоких частот затухание на
ляются соотношениями

длину волны и скорость опреде-

itK'

*о + *1

тсХ'

р'Уоо

(14.65)

у0 =



(*0 + %i)2

Следовательно, если принять гистерезисный тип потерь, затухание на длину
волны на высоких частотах остается постоянным и не зависит от частоты.
Этот тип затухания [31] свойственен твердым телам типа стекла и, невидимо-
му, также жидким полиизобутиленам на высоких частотах.

Вводя величины vQ и v<x> в (14.61), мы можем выразить скорость звука,
которая в данном случае равна <ь/В, и затухание на длину волны в следующей
форме:

^2

1	+ 2С(/у/) + Д^ С/х')2

1 + 2С (/хЭ + 1>0(/хЭ2 ’	,	(14.66)

А 2п2 (/хЭ[1+С(/О

х0 1 V2C(f1')-\-DW),^,

где

Г— 2к^ п - 4п2(х0 + *1)
^-Х^ + х2 ’	x0(V2 + %2) ’

Следовательно, если С, D и у^>//о относительно постоянны и не зависят от
температуры, то скорость и затухание на длину волны являются функциями
22*
от произведения частоты на величину коэффициента вязкости Как пока-
зывают данные, приведенные на фиг. 174 и фиг. 175, это предположение,
повидимому, оправдывается.

Экспериментальные кривые, построенные на фиг. 174 и фиг. 175, очень
хорошо согласуются, если принять

х0 —2,28 • 1010 дин/см?, Xi —1,17 • 1010 дин/см*,

V = 0,53 • 1010 дан/см?.	(14.67)

Тогда значение скорости для нулевой частоты при температуре 20° С равно
1,6-105 см/сек при стандартных условиях, соответствующих фиг. 175. Пунктир-
ная линия на фиг. 174 построена по вычисленным значениям затухания на
длину волны и очень хорошо совпадает с точками, полученными из экспе-
римента. Сплошная линия на фиг. 175 дает теоретические значения отношения
скорости к скорости при нулевой частоте, согласно выражению (14.66),
причем взяты значения постоянных (14.67). Легко видеть, что совпадение
с измеренными значениями очень хорошее. Теоретическая кривая на фиг.174
показывает, что на высоких частотах жидкий полиизобутилен имеет зату-
хание 0,5 непера на длину волны, не зависящее от частоты.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Ringo G. R., F i t z g er a 1 d J. W., Hurdle B. G., Phys. Rev., 72, 87
(1947). Распространение ультразвука в ртути.

2.	Galt J. К., Journ.-Chem. Phys., 16, 505 (1940). Поглощение и скорость звука
в сжиженных аргоне, азоте и водороде.

3.	Eyring, Hirschfelder, Journ. Chem. Phys., 41, 249 (1937); Kincaid,
E у r i n g, там же, 5, 589 (1937); 6, 620 (1938); Hirschfelder, Stevenson,
Eyring, там же, 5, 896 (1937); Kittel С., там же, 14, 614 (1946).

4.	Fox, Rock, Phys. Rev., 70, 68 (1946).

5.	Hall, Phys. Rev., 73, 775 (1948).

6.	R u p u a n о R. A., Phys. Rev., 72, 79 (1947). Поглощение ультразвука на часто-
тах от 75 до 250 мггц.

7.	Kneser Н. О., Phys. Zs., 39, 800 (1938).

8.	Debye Р., Zs. Electrochem., 45, 174 (1939).

9.	Френкель Я., Кинетическая теория жидкостей, М.—Л., 1945.

10.	Mason W. Р., Baker W. О., McSkimin Н. J., Heiss J. Н., Phys.
Rev., 73, 1074 (1948). Механические свойства жидких полимеров с длинной цепью
на ультразвуковых частотах.

11.	Mason W. Р., Trans. Am. Soc. Meeh Eng., 69, 359 (1947). Измерения вязкости и
сдвиговой упругости жидкостей с помощью кристалла, работающего на крутиль-
ных колебаниях.

12.	Brillouin L., Journ. Phys. Rad., 7, 153 (1936).

13.	Lucas R., Journ. Phys. Rad., 8, 410 (1937).

14.	Raman С., V e n k a t e s w a r m G. S., Nature, 143, 798 (1939).

15.	Brillouin L., Ann. de phys., 17, 88 (1922).

16.	Willard G. W., Патент США 2345441, 1944.

17.	W i 11 a r d G. W., Journ. Acous. Soc. Amer., 12, 438 (1941).

18.	Willard G. W., Bell.. Laborat. Record., 25, № 5 (1947).

19.	Willard G. W., Journ. Acous. Soc. Amer., № 1 (1947).

20.	S h о c k 1 e у W., W i 1 1 a r d G. W., Патент США 2407294, 1946; В о n d W. L.,
Mason W. P., Патент США 2427348, 1947.

21.	Willis F. H., Thesis, N. Y., 1943.

22.	Burton C. J., Journ. Acous. Soc. Amer., 20, № 2 (1948). Изучение поглощения
ультразвука в смесях жидкостей.

23.	Baker W. О., Heiss Н. J., Mason W. Р., сообщение на заседании Amer.
Phys. Soc., January 27, 1949. Механические свойства растворов высокополимеров
с длинной цепью.

24.	Ferry J. D.,Ashworth J. N,Sawyer W. M., Amer. Phys. Soc., Paper C3,
January 27, 1949.

25.	Kauzmann W., Eyring H., Journ. Amer. Chem. Soc., 62, 3113 (1940). Вязкое
течение больших молекул.

26.	Baker, Fuller, Heiss, Journ. Amer. Chem. Soc., 63, 2142 (1941).
27.	Wal 1, Journ. Chern. Phys., 10, 132, 485 (1942); 11, 1527 (1943); Flory, Chem. Rev.,
35, 51 (1944).

28.	В а к e r, P a p e, Report to Rubber Reserve Co., 27 May, 1943.

29.	S i s к a, Ind. Eng. Chem., 36, 40 (1944).

30.	Sisk a, Conant, Journ. Appl. Phys., 15, 767 (1944).

31.	Mason W. P., M c S к i m i n H. J., Journ. Acous. Soc. Amer., 19, 464 (1947).
Затухание и рассеяние высокочастотных звуковых волн в металлах и стекле.

32*. Кудрявцев Б. Б., Применение ультраакустических методов в практике
физико-химических исследований, М.—Л., 1952.

33*. Михайлов И. Г., Распространение ультразвуковых волн в жидкостях,
М.—Л., 1949.

34*. Соколов С. Я., Патент СССР 173441, 1935.

35*. Ржевкин С. Н., К р е ч м е р С. Н., Усп. физ. наук, 18, 1 (1937). Исследова-
ние волновых процессов по методу моделей с применением ультраакустических волн;
Techn. Phys. USSR, 4, 1 (1937); ДАН СССР, 20 17 (1938); Ржевкин С. Н.,
ДАН СССР, 16, 275 (1937).

36*. Ржевкин С. Н., Кречмер С. И., Труды ФИАН, 1, 43 (1938). Применение
ультраакустических волн к исследованию волновых процессов на моделях.

37*. Бажулин П. А., ДАН СССР, 12, № 6, 283 (1936).

38*. Тарасов В.	В., Б е р и н	г В. П., С и	д	о р о в а А. П., ЖФХ, 8, 372 (1936).

39*. Михайлов	И.	Г.,	ДАН	СССР,	26,	№	2	(1940).

40*. Михайлов	И.	Г.,	ДАН	СССР,	31,	№	4	(1941).

41*. Михайлов	И.	Г.,	ДАН	СССР,	31,	№	6	(1941).
Глава XV

СВОЙСТВА твердых тел и их изучение
С ПОМОЩЬЮ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ волн

Хотя большинство физических свойств твердых тел было определено
с помощью статических методов, в течение последних 10 лет получены важ-
ные сведения об этих свойствах с помощью ультразвуковых волн в образ-
цах в виде стержней.

Большинство ранних работ было проведено резонансным методом,
при котором измеряется резонансная частота и добротность Q стержней
конечной длины или камертонов. По значениям этих величин и по их измене-
нию с частотой и с температурой можно получить важные данные для уточ-
нения свойств веществ, а также для выяснения механизма поглощения
энергии. Одни из первых измерений были сделаны Вегелем и Уолтером [1],
которые измеряли Q различных твердых тел, возбуждая электромагнитным
способом колебания на резонансной частоте в стержнях из различных твердых
материалов. Они нашли, что добротность Q большой группы твердых тел
практически не зависит от частоты, и это навело^на мысль, что механизм
затухания в твердых телах является упругим гистерезисом, который приво-
дит к постоянным потерям за один период приложенного переменного меха-
нического напряжения.

Другой метод, который широко применялся Квимби1) и его учениками [3],
заключается в том, что пьезоэлектрическая пластинка в полволны исполь-
зуется для возбуждения колебаний в стержне, к которому она приклеена.
Длина стержня подгоняется до получения резонансной частоты составного
резонатора равной резонансной частоте самой пьезопластинки. При этом на
длине стержня укладывается целое число полуволн, соответствующих
резонансной частоте пьезопластинки. Измеряя изменение электрического
сопротивления, вызываемое нагрузкой, можно определить добротность
стержня. Этот способ применялся для исследования свойств монокристаллов
металла [4,5], причем наблюдалось исчезновение модуля сдвига вблизи
точки плавления.

Применяется также и иной метод, заключающийся в том, что звук про-
пускается последовательно через жидкость, твердое тело и снова через жид-
кость. При нормальном падении волны получается хорошее прохождение
звука, если толщину образца твердого тела выбрать равной полуволне.
Повертывая образец на разные углы по отношению к звуковому лучу,
можно наблюдать связь между степенью прохождения звука и параметрами
твердых тел, как это показали Бэр и Уолти [6]. Параметры твердых тел,
импеданс которых не сильно отличается от импеданса жидкостей, могут быть
также измерены методом интерферометра.

В течение второй мировой войны значительное количество работ было
проведено методом коротких звуковых импульсов, проходящих в столбе
жидкости. Эта же техника была применена для посылки импульсов сквозь
твердые тела и оказалась вполне пригодной для создания линий задержки,
при конструировании которых использовали волны сдвига в плавленом
кварце. Эти линии применялись для воспроизведения явления отражения

См. [2]. (Прим, ред.)
радиоимпульса с заданной задержкой по времени. Эта техника позже была
применена [7] для измерения потерь в твердых телах (типа металла и стекла)
и позволила установить связь между размерами кристаллических зерен
в металлах и релеевским законом рассеяния, согласно которому интенсив-
ность рассеянных волн пропорциональна четвертой степени частоты. Анало-
гичная техника используется для определения дефектов в металлических
отливках и других твердых телах х)[9].

Различие, существующее между распространением звука в жидкостях
и твердых телах, возникает прежде всего за счет упругости формы твердых
тел и затем за счет их анизотропии. Упругость формы делает возможным
существование волновых движений различною типа, в то время как благо-
даря анизотропии возникают потери двух типов: термические релаксацион-
ные потери и потери на рассеяние. В твердых телах бесконечных размеров,
а также и в телах конечных размеров, в которых ширина фронта волны равна
большому числу длин волн, могут возбуждаться волны двух типов: продоль-
ные и сдвиговые (поперечные). Скорости распространения этих волн равны
^прод — "j/"-» упопер =“	’	(15.1)

где р—модуль сдвига и к+2р.—модуль упругости для плоской продольной
волны в бесконечной среде. Отношение г?ПОпер к ^прод Для плавленого кварца,
стали и олова равно соответственно 0,65, 0,52 и 0,30. Для стержня или про-
волоки, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, скорость опре-
деляется модулем Юнга

«етерж-рД5, где =	(15.2)

Для материалов, у которых модуль сдвига р невелик (например, резина,
модуль Юнга равен Зр.

Потери, которые наблюдаются в твердых телах, могут быть обязаны теп-
лопроводности, термоупругой релаксации, термической или механической
релаксации, пластической текучести, упругому гистерезису и рассеянию.

Потери на термоупругую релаксацию возникают вследствие потока
тепла от нагретых частей среды к холодным, как это впервые было замечено
Зинером [10]. В этом отношении они подобны термомеханическим потерям,
рассматриваемым в приложении, § 7, но потери в металле гораздо больше
из-за его поликристаллической структуры. Добротность Q, по Зинеру, опре-
деляется следующим выражением [И]* 2):

где R—та часть общей энергии деформации, которая связана с флуктуациями
при расширении. Частота релаксации определяется приближенной фор-
мулой

(15.4)

Э Применение ультразвука для целей дефектоскопии было впервые осуществлено
в 1927 г. в СССР С. Я. Соколовым, впоследствии значительно развившим и дополнившим
свое изобретение [8]. {Прим, ред.)

2) Полное рассмотрение релаксации термодиффузии, релаксации граничных ча-
стиц, граничной релаксации двойников и диффузии атомных растворов дается в [12].
Большинство этих эффектов требует для своего проявления от секунды до недели при ком-
натной температуре и представляет принципиальный интерес для анализа физических
процессов, происходящих в металлах.
где D—постоянная термодиффузии и Lc—средний диаметр кристаллитов.
Постоянная флуктуации 7? может быть определена по среднему изменению
упругой постоянной для отдельных кристаллов, как это показано в § 3, и. 3.
Ниже приведена таблица значений R, (Ср—Cv}/Cv и R(CP—Cv)/Cv для различ-
ных металлов.

Металл	R	(C -C )/C p v v	/С —c \  Ip v\	
			FC  \ Cy /	
РЬ		0,065	0,067	4,4-10-s	(15.5)
Ag		0,031	0,040	1,2-10-з	
Си		0,031	0,028	8,7.10-4	
Ап		0,014	0,038	5,3-10'4	
Fe		0,022	0,016	3,5-10-4	
Al		0,0009	0,046	4-10“5	
W		IO'6	0,006	6-10~9	

Здесь Ср—теплоемкость при постоянном давлении, совпадающая
с теплоемкостью при постоянном напряжении, a Cv—теплоемкость при
постоянном объеме, совпадающая с теплоемкостью при постоянной деформа-

ции. Последний столбец таблицы дает представление об относительном зату-
хании за счет термо упругой релаксации. Частота релаксации обычно ниже
100 кгц, и потери, обязанные этому эффекту, слишком малы, чтобы ими
можно было объяснить потери при высоких частотах.

Другие источники потерь детально рассматриваются в нижеследующих
параграфах.

§ 1.	Низкочастотные резонансные измерения

Обширная серия измерений рассеяния в твердых телах была сделана
Вегелем и Уолтером [1]. Они применили электромагнитное возбуждение
и измерили рассеяние в твердых телах в частотном диапазоне от 2 до 100 кгц.
Относительные механические деформации во всех случаях менялись от
10~8 до 10-5. (В этих пределах деформаций Q материалов не зависит от ампли-
туды.) Они нашли, что Q в твердых телах практически не зависит от частоты
в исследованном диапазоне частот, и сделали заключение, что потери объяс-
няются упругим гистерезисом. На фиг. 178 показаны результаты измерений
постоянной упругого гистерезиса, которая определяется как площадь гисте-
резисной петли на диаграмме «напряжение—деформация».

Как показано в приложении, § 7, для гистерезисной составляющей доб-
ротности справедлива формула

<? = £,	(15-6)

где Yo—действующая упругая постоянная для рассматриваемого типа де-
формации (в данном случае Fo—модуль Юнга), all—постоянная гистерезиса.
Согласно результатам измерений, приведенным на фиг. 178, подавляющее
большинство твердых тел имеет Q, не зависящее от частоты. Так как

Q =	(15.7)

где В—фазовый сдвиг (в радиан/сек-см), который прямо пропорционален
частоте, и А—затухание на единицу длины, то получаем
Д — А

Л~~ 2Q '

(15.8)

Если Q не зависит от частоты, то А прямо пропорционально частоте.
Действительно, как показано в § 3, и. 2, затухание в плавленом кварце про-
порционально частоте в очень широком диапазоне частот, и это с очевид-
ностью доказывает гистерезисный характер потерь.

Фиг. 178. Значения постоянной упругого гистерезиса в зави-
симости от частоты для некоторых материалов.

Сплошные линии относятся к продольным волнам, пунктирные—к кру-
тильным.

А—свинец 121; В—свинец 112; Л—никель; Е—медь; G—натронно-каль-
циевое стекло; Н—просверленый стержень (неотожженный); I—просверлен-
ный стержень (отожженный).

Метод измерения постоянных твердого тела, взятого в форме стержня
с прикрепленной к нему пьезокристаллической пластинкой, путем подгонки
длины стержня до получения резонанса составного резонатора, равногб
резонансу пластинки, детально рассмотрен Мэзоном [13]. В этой работе
показано, что добротность стержня Qb равна

г (МВ

@в 2л/й Со (R'—R) ['МС)

(15.9)

где /д—резонансная частота, Со—емкость пьезокристаллической пластинки,
г—отношение емкостей этой пластинки, определяемое с

(здесь А/-—разность между резонансной и антирезонансной часто-
той), R'—электрическое сопротивление составного резонатора, R—электри-
ческое сопротивление пьезопластинки, Мв—масса стержня и Мс—масса
пьезопластинки. Скорость определяется, исходя из того, что в стержне при
резонансной частоте укладывается некоторое целое число волн, а именно
из соотношения

v = fR\,	(15.10)

где X—длина волны. Этим методом были определены свойства некоторых
материалов, приведенные в табл. 22. Температурный коэффициент измерен
путем наблюдения различия в изменении частоты резонанса составного ре-
зонатора при изменении температуры по сравнению с изменением частоты
резонанса одной пьезопластинки.

Для материалов с очень низким значением Мэзоном [13] был разработан
другой метод, при котором колебания в образце возбуждаются с помощью
полуволновой пьезопластинки и принимаются с помощью другой пьезоплас-
тинки. Путем подгонки длины образца до получения от составного резо-
натора максимальной отдачи, соответствующей отдаче самой пьезокристал-
лической пластинки, может быть измерена скорость волн, а путем изме-
рения затухания при прохождении волн может быть измерено поглощение
в материале.

Таблица 22

Материал	Плотность р, г/см*	Скорость v-1 (Г5, см/сек	Импеданс ртн 10“6, мех ом	Добротность Q	Температур- ный коэффи- циент часто- ты	1 0е,  град.
Алюминий		2,68	5,13	13,8	10000	- 215
Магний		1,705	5,10	8,7	5 700	-194
Вольфрамовая углеро-					
дистая сталь ....	8,52	4,72	41,0	8 180	-10,5
Молибденовая сталь . .	8,39	4,70	39,5	4 700	-16,0
Стержень из плавле-					
ного кварца 		2,2	5,11	11,3	5 000	+5,0
Пайрекс 702 		2,32	5,35	12,4	1200	+25,0
Оконное стекло ....	2,42	5,44	13,5	910	-58,0
Литое стекло		2,48	5,13	12,8	1910	+41,0
Микалекс		3,34	5,35	17,9	2 890	-74,0
Керамика ........	2,47—3,38	4,55—6,78	11,5—18,4	700—5 000	-45—215

При применении этого метода к некоторым пластмассам было обнаружено,
что термическая, или механическая релаксация аналогична релаксации,
наблюдаемой в полиизобутилене.

§ 2.	Исследование свойств твердых тел
с помощью ультразвуковых волн в жидкостях

Ультразвуковые волны в жидкостях могут быть использованы не только
для исследования свойств самих жидкостей, но также для исследования
свойств твердых тел, погруженных в жидкость. Примеры были уже даны
при описании применения линз из пластмассы для фокусирования звуковых
лучей в жидкости. Зная радиус кривизны линз, скорость звука в жидкости
и фокусное расстояние линз, можно определить скорость распространения
звуковых волн в пластмассе. Путем наблюдения изменения положения дан-
ного цветового эффекта при установке на пути волны тонкого образца из
пластмассы могут быть определены потери при распространении звука1).

Для измерений применялись также два других метода. Один из них—
это метод акустического интерферометра, при котором плоский образец из
резины или пластмассы заменял в интерферометре слой воды такой же тол-
щины. По изменению положения резонансной кривой определяется скорость
распространения звука в образце. Этот метод дает хорошие результаты только
тогда, когда импеданс резины при нормальном падении волн не сильно отли-
чается от импеданса жидкости, которой обычно является вода. Второй метод
состоит в измерении потерь при нормальном падении волн и потерь при раз-
личных углах падения, когда звук проходит сквозь пластинку из иссле-
дуемого твердого материала. Из этих измерений могут быть легко подсчи-
таны постоянные упругости и потери в материале.

1.	Измерение скорости звука в резине с помощью интерферометра.
Если измерять модуль Юнга путем растяжения образца резины, то для него
получается значение порядка 107 дин]см\ Однако если произвести сжатие
резины с помощью гидростатического давления, то получается гораздо более
высокое значение модуля упругости—одного порядка с модулем объемной
упругости воды, равное 2,25 -1010 дин/см\ Причиной этого является большое
различие между модулем сдвига р для резины, который очень низок, и второй
постоянной Ламэ X, которая очень велика. С этой точки зрения резина ана-
логична жидкости, которая имеет на низких частотах большое значение
X и нулевое значение р,. По этой причине резина применяется как связующая
среда для передачи звуковых волн из одной жидкой среды в другую, напри-
мер из касторового масла в морскую воду, как это сделано в некоторых
гидроакустических преобразователях.

Для измерения скорости распространения в резине волн сжатия и раз-
режения применяется простой метод, использующий акустический интерферо-
метр, в котором слой жидкости некоторой толщины замещается слоем резины
такой же толщины. Если скорость звука в резине такая же, как скорость
в жидкости (обычно в воде), то точки максимального и минимального токов
не изменяются. Если скорость в резине выше, положения последовательных
точек максимума и минимума смещаются в интерферометре в направлении
отражателя и скорость может быть определена из выражения

lt — d ’	(15.11)

где Vr—скорость звука в резине, It—толщина резины, V—скорость звука
в жидкости и d—смещение максимума тока от положения того же максимума,
когда резина в интерферометре замещена жидкостью. Если скорость звука
в резине меньше, чем скорость в воде, то положение максимума смещается
в сторону излучателя, и скорость в резине может быть определена из выра-
жения

(15.12)

По этому способу было измерено несколько образцов натурального
и синтетического каучука на частоте 1 мггц. Результаты приведены в табл. 23.
Все измерения были сделаны при температуре 25° С. В таблице также

Э Описание цветового эффекта и применения его для измерения затухания приведено
в гл. XIV, § 1. {Прим, ред.)
Таблица 23

Тип резины	Скорость на частоте 1 мггцх 10~5, см/сек	Плотность р, г/см3	Удельный акусти- ческий импедансу х1(П, мех ом/см%
Сырой каучук № 488-8 		1,546	0,95	1,469
Бутилкаучук № 488-3 		1,83	1,065	1,95
Неопрен 1LS № 488-5 		1,60	1,33	2,13
Хайкар № 488-2 		2,04	1,14	2,32
Бутиловый каучук № 488-6 ....	1,630	0,96	1,565
Мягкая резйна № 488-1 		1,47	1,04	1,53
Мягкая резина № 3076-В		1,485	1,07	1,592

приведены значения плотности и импеданса на 1 см2, (удельного акустиче-
ского импеданса р«).

Измерения были сделаны на относительно высокой частоте (1 мггц),
тогда как исследованные типы резины применяются обычно на сравнительно

Фиг. 179. Устройство для низкочастотных измере-
ний скорости звука в твердых телах, состоящее из
интерферометра и измерительного бака.

1—поглощающие стенки; 2—микрометр; 3—подвижная
площадка; 4—излучахвль; 5—образец; 6 —ручка для пере-
мещения площадки.

низких частотах. Возникает вопрос, изменяются ли свойства этих материа-
лов, измеренные на высоких частотах, при переходе к низким частотам.
Для ответа на этот вопрос были сделаны измерения скорости звука в резине
на частоте около 25 кгц. Для этих целей интерферометр обычного типа не
может быть применен, потому что его излучатель для получения той же
самой направленности и исключения паразитных резонансов объема должен
иметь при частоте 25 кгц диаметр в 40 раз больше диаметра, равного 2,5 см
и соответствующего частоте 1 мггц.

Эта проблема решена с помощью применения гидрофона «биномиального»
типа и'заглушенного измерительного бака, описанных в гл. IV книги [13].
Схема установки вместе с интерферометром показана на фиг. 179. Подвижной
держатель образца имеет диаметр 200 мм и передвигается относительно
гидрофона с помощью винта, имеющего нарезку с шагом 0,05 дюйма.

Типичная кривая изменения тока с расстоянием для одной воды показана
сплошной линией на фиг. 180. Из этих данных следует, что скорость распро-
странения звука в воде при температуре 25° С равна 1 • 54-105 см/сек. Эта

Фиг. 180. Показания индикатора интерферометра в зависимо-
сти от числа оборотов микрометрического винта.

Сплошная кривая — для воды; пунктирная кривая—для воды, в
которую помещен образец из резины.

Фиг. 181. Скорость звука вводе и различных сортах резины
при частоте 25 кгц в зависимости от температуры.

А—М163;	В — «Гудрич рс»; С—М163-3; D—вода; Е—М163-4;

F—М163-5 (беч 2); G—М163-5 (беч 1).

скорость несколько выше, чем получающаяся из данных, приведенных на
фиг. 144 для дистиллированной воды; так как обычная вода из водопровода
имеет несколько процентов растворенной соли, то результат не является
неожиданным. Пунктирная линия на фиг. 180 показывает изменение, вно-
симое образцом из резины «Гудрич рс» толщиной 25,4 мм, замещающим воду.
Пик смещается примерно на один оборот винта, или на 1,27 мм. Отсюда
скорость в этом типе резины получается равной

^R~-= 1 2,54-0,12754	1,6 ’ 105 CMfceK'

На фиг. 181 приведены результаты измерения на частоте 24,5 кгц ско-
рости звука в различных образцах в зависимости от температуры. Все образ-
цы имели в основе натуральный каучук, но образцы Ml 63-3 и Ml63-4 имели
50 и 100 частей атомита (aTomite) на 100 частей натурального каучука. Это
привело к снижению скорости звука. Образцы Ml 63-5 и Ml63-6 имели
каждый по 110 частей окиси цинка на 100 частей натурального каучука,
что снизило значение скорости еще больше. У этих образцов ре было равно
100, а плотность имела следующие значения:

Образец	М163	Ml 63-3	М163-4	Ml 63-5	М163-6
Плотность 		0,98	1,22	1,40	1,62	1,62

Все эти образцы показывают увеличение скорости на низких температурах.
Образец Ml63 одинаков с образцом 488-8 в табл. 23. Таким образом, для
этой резины измерения не обнаружили изменения скорости звука с частотой.

2.	Исследование свойств твердых тел методом измерения потерь при
прохождении звука через твердое тело при различных углах падения. Если
скорость распространения звука в твердом теле существенно отличается от
скорости звука в жидкости, в которой это твердое тело помещено, метод
интерферометра не применим, так как отражение от передней границы образ-
ца накладывается на систему волн, отраженных от задней границы образца,
и препятствует обнаружению стоячих волн, вызванных отражателем. Однако
для таких материалов применим другой метод, который был впервые предло-
жен Бэром и Уолти [6]. Этот метод заключается в измерении ослабления
звука в зависимости от угла падения звуковой волны при ее прохождении
через тонкий слой материала. Бэр и Уолти применяли этот метод, используя
диффракцию света на ультразвуке по схеме, показанной на фиг. 142, и, сле-
довательно, они могли использовать частоты только выше 1 мггц. Применяя
заглушенный измерительный бак и гидрофон, Мэзон использовал этот метод
до частоты 20 кгц. С помощью этого метода была сделана серия измерений
с пластмассами.

Численные результаты, полученные этим методом, поддаются анализу
на основе предложенного Рейснером [14] теоретического решения задачи
о прохождении звуковых волн через твердую плоскую пластинку из одной
жидкой среды, расположенной с одной стороны образца, в другую жидкую
среду, расположенную с другой его стороны. Угол наклона пластинки по
отношению к падающей волне может изменяться. Если звуковая волна падает
на твердое тело под углом падения 9, то волна частично отражается и частично
преломляется, образуя в твердом теле продольные и поперечные волны.
Эти волны также частично отражаются на задней границе образца и частично,
проходят в жидкость за образцом, преобразуясь в продольные волны. Рейс-
нер показал, что коэффициент прохождения звука Т, т. е. отношение интен-
сивности звука, прошедшего сквозь твердую пластинку, к интенсивности
звука при отсутствии образца, дается выражением

_ _______4-N2_______ /л Г Л 94

(2W2 —X2 —1)2 + 47И2 ’	. Щ • /
р cos 0 / vd cos220r
Pi T>i (cos 0d sin

p cos 0 , vd cos2 20r

Pih lcos0dtg<p

где

vr sin2 20r
cosbrsintp
vr sin2 28r
cos 0r tg ф

В этих выражениях p—плотность вещества пластинки, рх—плотность жидкой
среды, ух—скорость звука в жидкой среде, vd=]/r (k-J-2pi)/p —скорость продоль-
ных волн в пластинке, &г = ]/р/р—скорость поперечных волн в пластинке,
О—угол падения волны в среду относительно нормали к пластинке, 0d
и 0Г-—соответственно углы преломления продольных и поперечных волн
в пластинке. Они определяются известными формулами

sin 0d = — sin 0, cos0d=l/ 1—^-sin20,
u ~ vl

sin 0r — — sin 0, cos0r = |/ 1—^-sin20.

(15.14)

Если выражение (z?d/yx) sin 0 меньше единицы, 0d имеет действительное
значение; когда это выражение больше единицы, 0d—мнимая величина, и

cos 0d = ch /6d.	(15.15)

Углы ср и ф в выражении (15.13) определяются выражениями

СОб/	л	I	п	/ /- Л 04

ср=—— cos6d, Ф = —cos0r,	(15.16)

ьг

где d—толщина пластинки. Выражение (15.13) получено в предположении
отсутствия диссипативных потерь в пластинке.

Представляют интерес несколько предельных случаев. Когда скорость
волн сдвига приближается к нулю, выражение (15.13) для коэффициента про-
хождения Т превращается в известное соотношение, обычно применяемое
для расчета прохождения световых волн через слой жидкости

.	1 /'p^iCosOrf ргъ cos 0 \2 . л„ / шй

1 у -- ’Д-1------/ — -Д-Д----- ) sin й2 — cos 9,

4 \ рДг cos 0 p^i cos Odz/ \va

(15.17)

Это соотношение, например, применимо для расчета прохождения звука
через лист резины, в которой скорость поперечных волн очень мала.

Другой представляющий интерес предельный случай—прохождение
звука при нормальном падении волн. Для этого случая 0 = 0 и

(15.18)

-4 МД/ Р1Т’1У vd

Следовательно, когда па толщине пластинки укладывается нечетное число
четвертей длины продольной волны, то должно наблюдаться уменьшение
коэффициента прохождения. Если отношение pyd/px«x велико, то наблюдается
резко выраженное уменьшение коэффициента прохождения. Уолти [6] при-
менил этот метод для измерения скорости продольных волн в стекле.
Однако для пластмасс и резины это отношение мало, и в них имеют место
большие потери на высоких частотах, так что заметного уменьшения коэф-
фициента прохождения не наблюдается.
На фиг. 182 приведены результаты измерения затухания при прохо-
ждении ультразвука для некоторого числа образцов из резины и пластмасс
(в частотном диапазоне от 500 кгц до 3,5 мггц). Затухание в зависимости от
частоты отложено в дб/см. Во всех случаях отсутствует падение затухания
при равенстве толщины пластинки нечетному числу четвертей длины волны.
Потери в пластмассах и в резине значительно выше потерь в металлах, стекле,
плавленом кварце и других твердых телах. Из всех пластмасс наименьшие

Частота, мггц

Фиг. 182. Затухание ультразвука в различных сортах резины и
пластмасс при нормальном падении в зависимости от частоты.

А—бутилкаучук; В—неопрен ILS; С—неопрен GH; D—тенит II типа Н;
Е—резина рс; F—плексиглас; G—полистирол.

потери на высоких частотах имеет полистирол. Квадратичная зависимость
потерь от частоты, повидимому, свидетельствует о наличии релаксационных
явлений.

Результаты измерений прохождения ультразвука в резине и пластмассе
в зависимости от угла падения звуковой волны приведены на фиг. 183.
Сплошная линия показывает потери, вносимые при прохождении ультра-
звука через пластинку плексигласа толщиной 12,7 мм, а пунктирная линия—
потери при прохождении ультразвука через пластинку такой же толщины из
резины «хайкар». Частота при измерениях для резины была равна
29,5 кгц и для плексигласа—20 кгц. Плексиглас дает очень резкое падение
коэффициента прохождения, соответствующее углу 44,5° от нормали, в то
время как резина показывает постепенное падение коэффициента прохождения
звука с увеличением угла. Согласно табл. 23, плотность резины «хайкар»
равна 1,14 г/см3,а скорость звука в ней равна 2,04-105 см/сек. Подставляя
эти значения в соотношение (15.17), найдем теоретическую кривую зависи-
мости прохождения ультразвука от угла падения. Эта теоретическая кривая
изображена пунктирной линией на фиг. 184. Она хорошо согласуется с экс-
периментальной кривой, приведенной на фиг. 183.

Резкое падение прохождения звука через плексиглас можно рассчитать
с помощью выражения (15.13). Действительно, для углов падения, при

Фиг. 183. Результаты измерений прохождения ультразвука через
пластинку резины или пластмассы в зависимости от угла падения
волны.

Сплошная линия представляет результаты измерений па частоте 20 кгц с пла-
стинкой толщиной 12,7 мм из плексигласа. Пунктирная линия представляет
результаты измерении на частоте 29,5 кгц с пластинкой толщиной 12,7 мм из
резины «хайкар».

которых N—0, продольные и поперечные волны взаимно уничтожают друг
друга на задней поверхности твердой пластинки, и в жидкость ничего не
излучается. Если толщина пластинки меньше длины полуволны, этот угол

Фиг. 184. Теоретические кривые зависимости прохождения ультра-
звука через пластинку резины или пластмассы от угла падения волны.
Сплошная линия—зависимость для пластинки толщиной 12,7 мм из плекси-
гласа, имеющего р==1,185 а/слг3, г^=2,30 • 105 см[сек, пг=1,24 • 10^ см [сек. Пунк-
тирная линия—зависимость Для пластинки толщиной 12,7 мм из резины
«хайкар», у которой	2,04 • 10 5 и гу предполагается равной нулю.

отсутствия прохождения имеет место при угле падения, немного большем
критического угла 0С для продольных волн. На фиг. 184 сплошной линией
изображена полученная теоретически с помощью выражения (15.13) кривая
зависимости прохождения звука через плексиглас от угла падения 9 при
частоте 20 кгц, толщине пластинки d--=l,27 см и значениях скоростей vd, vr
и г?х, равных

vd -2,30 • 105 см/сек,

г?х = 1,49 • 105	» ,	(15.19)

vr = 1,24 • 105	»

Фиг. 184 показывает, что при угле 44,5° наблюдается очень резкое падение
прохождения. Этот угол на 4° больше критического угла для продольных
волн, определяемого по формуле

sin9e-=.^-=-|^=O,65, бс—40,5°.	(15.20)

Значения vd и vr согласуются с этими измерениями и со значением модуля
Юнга, измеренного независимо и равного 4,75 • 1010 дин/см2. Измерив угол не-
прохождения и зная значение модуля Юнга, можно рассчитать постоянные
Ламэ лир-.

Исследование выражения, полученного подстановкой N =^0, показывает,
что

tg2 2f)r cos sin ( ~ cos )

fl Д ’	(15.21)

/ r	cos 6r sm f — cos 9r \

Если od больше, чем уг, как это обычно бывает, и толщина d меньше длины
полуволны, то отрицательный знак правой части выражения (15.21) возмо-
жен только для мнимых cos 9^, т. е. для значений угла 6, превышающих

критический угол для продольных волн. При этих условиях tg220r обычно

велик, a sin (^ cos 0rf) очень мал.

Заменяя синус углом, выражению (15.21)

придаем вид

vri

tg2 29r  - cos2 6d

tg2 26r • — (sin2 9-A

COS

cos 0r sin

(15.22)

Это соотношение удовлетворяется, если 9 несколько больше, чем критическое
значение угла 9С.

3.	Ультравысокочастотные измерения. Диффракция света на ультра-
звуке дает простой метод для измерения параметров твердых тел на очень
высоких частотах. Метод измерения углов прохождения и отражения позво-
ляет определить упругие постоянные, как показано выше в п. 2. Наконец,
простой метод определения скорости продольных волн для пластмассы
в форме линз по измерению фокусного расстояния линзы поясняется на
фиг. 142. Применяя этот метод, Виллард измерил на частоте 10 мггц ско-
рости звука для различных пластмасс. Результаты измерений приведены
в табл. 24. При измерениях использовались плоско-цилиндрические линзы
с радиусом кривизны 0,634 см. Скорость звука в пластмассе может быть
подсчитана по формуле

'	(15.23)

i~~~d

где г—радиус кривизны линзы, d—фокусное расстояние, »и.—скорость
звука в воде. Во всех исследованных пластмассах обнаружена значительная
дисперсия скорости звука, прекращающаяся на частоте 10 мггц, при кото-
рой скорость значительно выше скорости при низких частотах. Эти измере-
ния совместно с измерениями затухания (см. фиг. 182) показывают при-
сутствие термической или механической релаксации.	,

Таблица 24

Материал	d, см	Скорость звука в пластмассе х!0~5, см/сек
Плексиглас 		1,48	2,64
Плиоформ 		1,8	2,305
Полистирол 		1,75	2,35
Ацетат целлюлозы ....	1,67	2,405
Бензольная целлюлоза . .	1,58	2,495

§ 3. Импульсный метод исследования свойств твердых материалов
и обнаружения пороков в них

В течение нескольких последних лет импульсные методы и методы изме-
рения затухания на высоких частотах начали широко применяться для иссле-
дования свойств жидкостей [15] и обнаружения пороков в металлических
отливках и других твердых телах [9]1). Подобный же метод был использован
Мак-Скимином и Мэзоном [16] для определения свойств твердых тел с по-
мощью посылки и приема импульсов продольных и сдвиговых волн.

Хотя не получены точные решения задачи о прохождении волн в образ-
цах конечных размеров, экспериментально обнаружено, что если диаметр
твердого стержня значительно больше длины волны, то прохождение про-
дольных волн в нем подобно распространению волн в безграничной среде.
Скорость прохождения импульса в неограниченной среде определяется
формулой

М =	(15.24)

где X и р—постоянные Ламэ для твердого тела и р—плотность. Главный
импульс, прошедший через образец, часто сопровождается серией импуль-
сов, которые копируют основной импульс с меньшей амплитудой и запазды-
вают на время, пропорциональное радиусу стержня. Было показано, что
эти запаздывающие импульсы вызваны падающей продольной волной,,
которая распространяется почти параллельно поверхности стержня и, отра-
жаясь от поверхности и превращаясь в отраженную продольную волну,,
одновременно возбуждает волну сдвига под значительным углом к боковой^
поверхности стержня. Эта сдвиговая волна падает на противоположную
границу стержня и частично превращается снова в продольную волну,
которая распространяется с присущей ей скоростью. Поперечные волны запаз-
дывают на интервал, зависящий от диаметра стержня и отношения между
скоростью сдвиговых и продольных волн. Если, однако, диаметр стержня
во много раз больше длины волны, эти сопровождающие импульсы малы
по сравнению с основным импульсом, и для определения затухания волн,
пропускаемых через металл, может быть использовано измерение относи-
тельной амплитуды основного импульса как функции расстояния. С помощью-
пьезокристаллического элемента, создающего сдвиговые деформации в стержне,

х) Импульсный метод обнаружения дефектов в непрозрачных твердых телах
предложен в СССР С. Я. Соколовым в 1934 г. [28]. {Прим, ред.)
'могут быть определены скорость и затухание сдвиговых волн. Эти волны
не сопровождаются вторичными импульсами, так как сдвиговые волны, рас-
пространяясь почти параллельно боковой поверхности, падают на нее под
углом больше критического. Отсюда следует, что свойства твердых тел легче
измерять посредством сдвиговых волн, чем продольных.

1.	Экспериментальная методика. При измерениях затухания и скорости
звука в твердых телах используется стержень из исследуемого материала
длиной около метра и, по возможности, прямой. Поверхности торцов
стержня следует сделать строго перпендикулярными к его оси так,
чтобы можно было приклеить кварцевые пластинки Х-среза, У-среза

Фиг. 185. Потери, вносимые прослойкой воска между кристал-
лической пластинкой и стержнем.

Цифры возле кривых показывают отношение гибкости слоя восна С% к гиб-
кости кристалла Сь

или повернутого У'-среза (ЛГ-или ВГ-среза). Пластинки Х-среза приме-
няются для получения продольных волн, а пластинки У'-среза—для полу-
чения сдвиговых волн. Так как стержень действует как волновод и может
проводить волны при очень небольшом изгибе, то он может быть не обяза-
тельно строго прямым. Для измерения скорости и затухания кристалличе-
ская пластинка прикрепляется к стержню с помощью минерального или
пчелиного воска, который имеет относительно высокую сдвиговую и продоль-
ную упругость, хотя и меньшую, чем у кристалла и металла. Этот тонкий
слой материала с малой упругостью вызывает сужение частотного диапазона,
н котором энергия может быть передана от пьезокристалла к твердому телу.

Используя эквивалентную схему пьезокристаллического элемента,
можно подсчитать потери при превращении электрической энергии в меха-
ническую энергию колебаний стержня при наивыгоднейшем импедансе элек-
трической схемы, когда стержень крепится к кристаллической пластинке
•слоем воска различной упругости. Частотная зависимость этих потерь, выра-
женных в децибелах, показана для алюминиевого стержня на фиг. 185. Для
очень жесткого соединения зависимость потерь от частоты изображена сплош-
ной линией. Потери имеют наименьшую величину, если частота такова, что
на толщине пьезокристаллической пластинки укладывается половина длины
волны; в этом случае затухание составляет около 14 дб как для продольных,
так и для сдвиговых волн. В пределах широкого частотного диапазона
затухание сильно не изменяется. Затухание при прохождении слоя воска
разного состава между пластинкой и стержнем с учетом влияния гибкости
слоя показано на фиг. 185 пунктирной и штрих-пунктирной линиями. По
мере того как отношение гибкости воска к гибкости пластинки увеличивается,
сложный резонатор начинает действовать как трансформирующий полосовой
фильтр, и увеличивается эффективность преобразования в узком частотном
диапазоне, лежащем несколько выше резонансной частоты пластинки.
Поскольку такая характеристика переходного импеданса имеет место и на
входе и на выходе, полоса пропускания ограничивается частотами, отличаю-
щимися на 10% от несущей частоты. Это обстоятельство налагает ограничение

Осцилло-

Импульсы
с заполнением

Ф и г. 186. Блок-схема установки для измерения затухания
ультразвука в металлах.

на минимальную длительность импульса, так как импульс может возрасти
до своей полной амплитуды, если только длительность его в секундах будет
больше или равна обратной величине ширины полосы пропускания в герцах;
минимальная длительность определяется неравенством

1 2

(Длительность импульса, сек.)>77^-------1--------

' (Ширина полосы, ец) ’

(15.25)

где 1,2—эмпирическая постоянная, а ширина полосы определяется как раз-
ность частот, при которых эффективность передачи на 3 дб ниже максималь-
ной. При несущей частоте в 3 мггц длительность импульса для получения
полной амплитуды должна быть равна по крайней мере 4 мксек.

Блок-схема экспериментальной установки изображена на фиг. 186.
Генератор регулируемой частоты является источником напряжения несущей
частоты. Это напряжение подается на широкополосный усилитель, с выхода
которого через сопротивление в 100 ом снимается около 10 в на кристалли-
ческую пластинку. Смещение входной лампы усилителя управляется гене-
ратором импульсов. Обычно на сетку входной лампы усилителя подано
большое отрицательное смещение, и лампа заперта. Генератор импульсов
подает на сетку входной лампы положительный импульс и отпирает усили-
тель на время прохождения импульса. Открывающий импульс управляется
синусоидальным напряжением, получаемым от отдельного генератора с часто-
той от нескольких сот герц до 5 кгц. Этот хронирующий сигнал запускает
также развертку электронного осциллографа. Генератор импульсов собран
по обычной схеме и подает положительный прямоугольный импульс на две
сбалансированные входные лампы усилителя, включенные по двухтактной
схеме. Таким образом, импульс постоянного тока нейтрализуется на входе,
и поэтому он не действует на последующие лампы. С другой стороны, несу-
щая частота попадает на защитную сетку одной из ламп, причем она не сба-
лансирована на выходе. Когда няГ сетку подано отрицательное смещение,
напряжение несущей частоты, попадая на усилитель, нейтрализуется и не
усиливается усилителем. Когда же на вход усилителя попадает отпирающий
импульс постоянного тока, то на излучающую пластинку подается импульс
заданной длительности с высокочастотной набивкой. Приемный кристал-
лический элемент с подключенным сопротивлением в 100 ом и индуктив-
ностью, нейтрализующей его емкость, присоединен к входу апериодического
широкополосного усилителя. На выходе этого усилителя включен диодный
детектор, и выпрямленное напряжение попадает на вертикальные пластины
электронного осциллографа. Если горизонтальная развертка запускается
тем же самым синусоидальным напряжением, которое управляет импульсами
постоянного тока, то принятый и отраженные импульсы оказываются на
экране электронно-лучевой трубки в неподвижном положении, и картина
на экране характеризует временную последовательность принятого импульса
и его отражений. Положение импульса посылки может быть также
отмечено на экране, для чего его следует слабо связать с усилителем
генератора.

Метод измерения затухания состоит в следующем. Частота наполнения
импульсов устанавливается равной основной резонансной частоте кристал-
лической пластинки, и длительность импульса выбирается такой, чтобы
обеспечить условия установившегося режима. Как можно видетьиз фиг. 185,
это приводит к тому, что ультразвук эффективно излучается лишь на одной
боковой полосе, причем выходной импульс может быть слегка искажен, но
установившийся режим довольно точно соответствует такому установивше-
муся режиму на выходе, который получился бы, если бы несущая частота
точно совпадала с резонансной частотой кристаллической пластинки. Более
того, на этой частоте получается почти полное отражение, потому что
оконечный импеданс на резонансной частоте практически равен нулю, так
как инерционное и упругое сопротивления кристаллической пластинки
на этой частоте компенсируют друг друга. Если бы частота генератора
устанавливалась равной частоте максимальной передачи, то отражение было
бы далеко не полным вследствие трансформирующего действия воска.

Для учета потерь в воске применялись стержни различной длины, напри-
мер 38 и 305 мм. Путем сравнения принятых импульсов для данной полной
длины пути могут быть подсчитаны потери при отражении от слоя воска.
Для продольных волн эти потери сравнительно малы, например, на частоте
7,5 мггц потери составляют 0,07 дб на каждое отражение. Но для сдвиговых
волн на частоте 5 мггц они составляют 0,5 дб на каждое отражение и должны
учитываться.

Типичная серия импульсов продольных волн, прошедших алюминиевый
стержень диаметром 25 лсм, показана на фиг. 187. Частота несущей при этом
была равна 5 мггц. Вторичные импульсы имеют малую амплитуду, но на боль-
ших дистанциях они затухают медленнее, чем основной импульс. На фиг. 187
можно видеть другую особенность следующих друг за другом импульсов:
последовательные импульсы не уменьшаются экспоненциально, а создают
интерференционную картину, указывающую на возбуждение двух или более
нормальных мод колебания, в результате чего последовательные импульсы
становятся то меньше, то больше, так как различная разность фаз между
нормальными модами приводит то к взаимному сложению, то к ослаблению
колебаний. Это явление может быть сведено к минимуму использованием
электродов несколько меньшего диаметра, чем диаметр стержня, или путем
придания электроду на задней стороне кристалла такой формы, чтобы воз-
душный зазор между кристаллом и электродом увеличивался по краям.
Это приводит к распределению амплитуды приблизительно по бесселевой
функции, уменьшающейся до нуля на краях (эта функция является первой
собственной функцией для стержня).

При таком способе возбуждения кристаллического элемента отражения
падают по экспоненциальному закону, вторичные же импульсы достаточно
малы и содержат лишь небольшое количество общей энергии, что позволяет
произвести точные измерения на частотах до 5 мггц для стержня диаметром
25,4 мм. Поглощение измеряется путем определения затухания в децибелах,
которое должно быть установлено в аттенюаторе для того, чтобы сделать

______Огибающая амплитуд
принятых импульсов

------Экспоненциально

затухающая волна

Время

Фиг. 187. Вид типичной серии импульсов продольных волн,
прошедших через стержень.

амплитуду первого принятого импульса, равной амплитуде отраженного
импульса первого или более высокого порядка. Построив зависимость
амплитуды отраженных импульсов (в децибелах) от пройденного пути, можно
проверить соответствие закона их затухания экспоненциальному закону.
С помощью сменных образцов различной длины можно определить потери
в воске и вычесть их из общих потерь. Скорость распространения может
быть измерена с помощью отметок времени путем измерения времени запазды-
вания последовательных отражений по отношению друг к дру]у. Для не
слишком большого запаздывания очень точный метод состоит в регулирова-
нии частоты посылки импульсов, так чтобы два последовательных отраже-
ния совместились друг с другом на экране электронного осциллографа.

Например, для алюминиевого стержня длиной 61 см отражения могут
быть совмещены при частоте посылок, равной 5184 гц. Скорость звука оказы-
вается при этом равной

v f • I = 5 184 • 2 • 61 = 6,32 • 105 см!сек,	(15.26)

так как время между двумя последовательными отражениями равно удвоен-
ному времени прохождения импульса по длине стержня.

Другой метод измерения затухания продольных волн в металле, исполь-
зованный Ротом [17], заключается в том, что один конец металлического
стержня помещается в ванну с водой. Кристаллический элемент возбуждает
волны в воде, которые превращаются в продольные волны в стержне. Серия
отражений принимается кристаллической пластинкой и состоит из отраже-
ний от границы раздела между металлом и водой и отражений в металличе-
ском стержне. Изменяя путь импульса в воде, легко отделить отражения
от границы вода-—металл и отражения в металлическом стержне. Таким путем
может быть исследована серия импульсов, вызванных отражениями внутри
металла. В эти измерения должна быть внесена поправка, учитывающая
потери энергии при распространении волны в воде; эти потери могут быть
учтены посредством расчета или путем погружения свободного конца стержня
в сосуд с водой. Для алюминия эти потери составляют 1,5 дб на отражение.
После внесения этой поправки может быть определено затухание в металле.
Значения затухания, полученные этим методом, были сравнены с результатами
измерений методом передачи ультразвука через воск, описанным выше; при
этом было получено хорошее совпадение. Метод с водяной ванной можно
применять и на очень высоких частотах, но он пригоден только для продоль-
ных волн.

Для очень высоких частот становится трудно передать сдвиговые волны
через воск. Чтобы обойти эти трудности, было использовано то обстоятель-
ство, что очень вязкие жидкости обладают сдвиговой гибкостью, как это
изложено в гл. XIV. Так как при нагревании жидкости и прижатии кристал-
лической пластинки к поверхности металла можно получить очень тонкую
прослойку жидкости, то ослабление (потери) при прохождении через такое
соединение гораздо меньше потерь при соединении через воск.

Основная жидкость, применяемая для этих целей,—полиизобутилен
(полимер Г с молекулярным весом 5600, описанный в гл. XIV). Измерения
в диапазоне от 20 до 100 кгц показывают, что эта жидкость имеет при комнат-
ной темперадуре модуль сдвига около 4-107 дин/см2. Дальнейшие измерения
в диапазоне от 10 до 53 мггц были проведены с помощью импульсов сдвиго-
вых волн в плавленом кварце путем наблюдения влияния присоединения
к концу стержня слоя полиизобутилена. Результаты измерений показали,
что в этом случае всегда возникают добавочные потери в 1,10 дб на каждое
отражение, медленно увеличивающиеся с частотой при переходе от 10
к 53 мггц. Вода и любые легкие жидкости не дают заметного эффекта, и это
показывает, что их сдвиговая вязкость не дает релаксации до этих частот.
Так как коэффициент отражения лежит в пределах от 0 до 1,10 дб, то импе-
данс жидкости будет равен

ZO = 5,4  10‘ мех.ом/см2 *),

где Zq—импеданс плавленого кварца, равный 2,24 • 3,76 • 105= 8,30 • 105 ом/см2.
Поскольку плотность полиизобутилена равна 0,892, то модуль сдвига ока-
зывается равным 3,26-109 Эпн/сж2на частоте 10 мггц, что в 100 раз больше,
чем на частоте 100 кгц при той же температуре. Это подтверждает предполо-
жение о существовании сложного движения и наличии двух потенциальных
барьеров, как это изложено в гл. XIV, § 3. При применении тонкого слоя
полиизобутилена потери на границе раздела двух твердых тел при частотах
до 50 мггц очень малы.

Чувствительность этого метода измерения сдвигового импеданса жид-
кости значительно повышена путем применения стержня из плавленого
кварца [18]. Сдвиговые волны, излучаемые кварцевой пластинкой, падают
на отражающую поверхность под углом около 80° к нормали. По отношению
к этому стержню пластинка установлена таким образом, что колебания для
сдвиговых волн тангенциальны к поверхности. Увеличение площади про-
порционально 1/cos 0, где 6=80°. Это приводит к сильному увеличению потерь
при отражении и фазы отраженных от границы волн и дает более чувстви-
тельный метод измерения сдвигового импеданса.

Активное и реактивное сопротивления можно измерить при помощи
двух одинаковых стержней, применяя фазовращатель и аттенюатор и доби-
ваясь взаимного погашения импульсов от двух стержней. Процесс измерения
состоит в нейтрализации импульсов при отсутствии жидкости на поверх-
ности, после чего вводится жидкость, и вновь производится подгонка фазы
и амплитуды, пока импульс снова не исчезает. Это делается с помощью фазо-

х) Коэффициент отражения, равный 1,10 дб, соответствует уменьшению амплитуды
на множитель 0,880, а не на 0,875, как это значится в формуле. Это даст значение Zl при-
мерно на 5% меньшее, чем приведенное. {Прим, ред.)
вращающей цепи из емкостей и сопротивлений и изменением усиления
путем подачи смещения на экранирующую сетку. Детально этот метод
рассмотрен в упоминавшейся работе [18]; как там показано, сдвиговый импе-
данс равен

г, D , v	Г 1 —7?2 + 2//?sin9 1

+ JXm~^C0S^1 + да + 2j? cos 0 J ’

где 7?—потери при однократном отражении, выражаемые отношением токов,
0—фазовый угол, необходимый для восстановления нейтрализации импуль-
сов. Если этот метод применяется для изучения легких жидкостей, таких
как вода, то активное и реактивное сопротивления одинаковы и равны

вм = Хм^

где т]—сдвиговая вязкость, которая равна статической в пределах экспери-
ментальной ошибки. Это показывает, что повышенные потери в легких жидко-
стях должны быть объяснены объемной вязкостью, как это было изложено
в гл. XIV. Для полимеров же с длинной цепью, например полиизобутилена,
вполне подтверждается наличие двух областей частот релаксации.

2.	Результаты измерений. Описанные экспериментальные методы были
применены для измерения затухания и скорости сдвиговых и продольных
волн в металлических и стеклянных стержнях. Из всех металлов дали непло-
хие результаты только измерения в алюминии и магнии. Причиной этого
является, как рассмотрено ниже в п. 3, большое рассеяние во всех металлах,
кроме алюминия, магния и вольфрама. Это рассеяние вызывает большие
искажения и делает точные измерения невозможными. Для стеклянных
стержней потери прямо пропорциональны частоте. Стекло можно рассмат-
ривать как жидкость, которая имеет очень высокий коэффициент вязкости—
порядка 1015 пуаз. Так как модуль сдвига для стекла имеет порядок
3-1011 дин/см2, то, согласно данным гл. XIV, § 3, для сдвиговых волн в жид-
кости частота релаксации должна быть равна около 5-105 гц, и затухание,
обязанное сдвиговой вязкости, составит около 1(У8 непер/см и не должно за-
висеть от частоты. Это затухание слишком мало, чтобы его наблюдать экспе-
риментально, и, следовательно, измеренное на опыте затухание происходит
от каких-то других причин. Так как, согласно экспериментам, затухание
в металлах на низких частотах, а в стекле и на высоких частотах, пропор-
ционально частоте, то обычно приписывают его происхождение упругому
гистерезису, так как гистерезис для данной частоты деформации вызывает
потери, прямо пропорциональные числу прохождений петли «напряжение—
деформация» в 1 сек.

Для высоких частот данные, полученные при исследовании алюминие-
вых стержней, показывают наличие другой составляющей затухания, кото-
рая увеличивается пропорционально четвертой степени частоты. Было
найдено, что эти потери обязаны рассеянию энергии звуковой волны,
связанному с конечными размерами кристаллических зерен в алюминиевом
стержне. Результаты измерений со сдвиговыми и продольными волнами
в двух стандартных алюминиевых стержнях, показаны на фиг. 188 и 189.
Значения затухания продольных волн могут быть признаны надежными
при частоте выше 5 мггц, данные же для сдвиговых волн надежны для всех
частот.

Измерения скорости дали одинаковые результаты для обоих стержней
на всех частотах, а именно:

= 6,32 • 105 см/сек, vs = 3,13 • 105 см/сек,	(15.27)

где Va—скорость продольных волн, a vs—скорость сдвиговых волн.
Фиг. 188. Затухание ультразвука в зависимости от частоты для
алюминиевого стержня с размерами зерен 0,23 i 0,01 мм.

Ф и г. 189. Затухание ультразвука в зависимости от частоты для
алюминиевого стержня с размерами зерен 0,13 + 0,01 мм-
Эти значения скорости хорошо согласуются со значениями, вычисленными
из опубликованных данных для упругих постоянных Ламэ. В самом деле,
согласно [19], для алюминия

X = 5,44 . 1011 дин/см2, р = 2,67 • 10п дин/см2.

Зная значения Кири учитывая, что р--2,7, легко вычислить, что

vd — j/"— = 6,32 • 105 см/сек, vs — ^/~у = 3,14 • 105 см/сек.

Средние значения модулей упругости тоже хорошо согласуются с опу-
бликованными значениями [20] для монокристалла алюминия, являющего-
ся гранецентрированным кубическим кристаллом, модули упругости которого
равны

си — 10,76 • 1011 дин/см2,

с12 — 6,18 • 1011	»	,	(15.28)

е44-2,84 • 10й	»

Чтобы получить средние упругие постоянные для продольных волн и волн
сдвига, нужно решить кубическое уравнение (6.14) для всех возможных ори-
ентаций и усреднить результаты, считая все направления равновероятными.
Это очень трудная задача, решение которой кроме того не приводит к точ-
ному результату, так как при расчете пренебрегают влиянием пограничных
слоев зерен, которые действуют, как было недавно показано, как вязкая
среда [21].

Предложен приближенный метод, который очень хорошо согласуется
с методом кубического уравнения, если степень анизотропии не очень велика;
тогда становится возможным усреднить модули с'г1 и с44, считая все направле-
ния равновероятными. Эти модули упругости для любой ориентации опре-
деляются уравнениями преобразования основных модулей упругости

с'п Сц № 4 т* + п*) + (2с12 4- 4с44) (llml + Z?^ 4 т2п2),

сы = cu (1Ц1 + mjml 4- nlnj) + 2с12	+ пгп2 (1г12 4- W?c)] ~г (15.29)

4~ с44 [(ZXZ2 -!-mim2)24-(m1m2-l-n1n2)2],

где Zn ..., п3 — направляющие косинусы между новыми (повернутыми)
и кристаллографическими осями, задаваемые схемой:

X у Z

х' тг пг

у' Z2 m2 п2

z' l3 т3 п3

Исходя из уравнений (15.29) можно показать, что модуль с41 [равный
(к + 2р) в случае изотропною тела] изменяется от 10,76 • 1011 до
11,49-10й дин/см2, вто время как модуль сдвига с44 изменяется от 2,84-1011
до 2,27  10п.

Среднее значение c'lt может быть определено из уравнения

с'ц = Сц4-[2(с12 — Сц) + 4с44] [11т212^ + mini] =

= 10,764-2,2 (l2ml + llnl 4- mini).	(13.3U)
Если мы предположим, что радиус-вектор, лежащий в плоскости, прохо-
дящей через ось z, составляет угол ср с осью х и угол 6 с осью z,
то направляющие косинусы будут равны

Z4 — sin 6 cos <р,	— sin 9 sin ср, nx = cos9.	(15.31)

Следовательно, если все ориентации равновероятны, то среднее по объему
значение с'1г может быть найдено из выражения

с'п ~ cii + [2 (С12—си) 4- 4с44] X
2тс тс

X dy (sin4 9 sin2 ср cos2 ср sin2 9 cos2 9) sin 9 tZ9 =
о b

= C11 + [2(ci2-en) + 4C44] .	(15.32)

Принимая значения модулей, приведенные выше, получим, что с'ц — 11,20-1011.

Это значение является несколько завышенным.

Так как

1г12 + тгт2 ПуП2 — 0,

то уравнение (15.20) для модуля сдвига можно представить в виде

= 2 (с12 — сп) (1г12тхт2 + Zi/2«i^2 + т^п^) +

4“ С44 [(^21^2 Ч~ 4" (п1^2 4“ ^1п2)2 4-

4~	4~ иг4/2)2]-	(15.33)

Модуль сдвига можно усреднить по всем направлениям, выразив напра-
вляющие косинусы в эйлеровых координатах:

= cos 9 cos ср cos ф — sin ср sin ф,

Z2 — — cos 9 cos ср sin ф — sin ср cos ф,

Z3=- cos ср sin 9;

m1 —'cos 9 sin cp cos ф 4- cos cp sin ф,

m2 -- cos cp cos ф — sin cp sin ф cos 9,	(15.34)

m3 = sin cp sin 9;

— sin 9 cos ф,

n2 =- sin 9 sin ф,

n3 = cos 9,

где 9—угол оси z' с осью z и ср—угол плоскости zz' с осью х. Подставляя эти
значения в (15.33), получим среднее значение с'14

27г 2п vt

7* __ £ С С с44 sin 0 dQ	[2 (сг1 с12) в4с44] __ 3 cu~ci2 /л г

44 “ J 2тс J J 2	С44	5	"	""5 С44 4	5	’

ООО

Для алюминия эта формула дает значение С44=2,62-10п, близкое к измеренно-
му значению, равному 2,67-1011. В табл. 25 приведены значения упругих по-
стоянных для некоторых металлов с кубической решеткой и значения усред-
пенных постоянных с'и и с'^. Из таблицы видно, что наиболее изотропными
материалами являются вольфрам W и алюминий А1.

Другим металлом,представляющим интерес для высокочастотных ультра-
звуковых измерений, является магний, имеющий гексагональную решетку.
Гексагональный кристалл имеет пять упругих постоянных, как это явству-
ет из вида матриц, приведенных в гл. III, § 3, п. 3. Для гексагонального

Таблица 25

Упругие постоянные металлов с кубической решеткой

Металл	SU-1012	812 * 1 012	S44- 1 012	сц.10’11	С12.10’11	С44 10’11	с'г 10’11	с'4-10-11
А1 ....	Мета  1,59	л л ы с г  -0,58	ранеце  3,52	н т р и р 0 10,76	। в а н н о i  6,18	i р е ш е I  2,84	’КОЙ  11,20	2,62
Au ....	2,33	-1,07	2,38	19,6	16,45	4,20	21,7	3,15
Ag ....	2,32	-0,993	2,29	11,9	8,94	4,37	14,21	3,21
Си ....	1,49	-0,625	1,33	17,02	12,3	7,51	21,14	5,46
Pb ....	9,30	-4,26	6,94	4,85	4,09	1,44	5,67	1,02
Ni2) ....	0,80	-0,312	0,844	25,0	16,0	11,85	30,85	8,9
Ge2) ....	0,964	-0,260	1,49	12,92	4,79	6,70	15,04	5,645
Fe ....	Me  0,757	таллы  - 0,282	с цент 0,862	р и р о в а 23,7	иной р  14,1	> е ш е т к (  11,6	э й  29,15	8,86
Na ....	48,3	-20,9	16,85	0,615	0,469	0,592	1,03	0,384
К		83,3	-37,0	38,0	0,416	0,333	0,263	0,593	0,175
w		0,257	-0,073	0,660	50,2	19,9	15,15	50,2	15,15

1) Постоянные гибкости выражены в см2/дин, модули упругости выражены в дин/см2.

2) Постоянные этих двух кристаллов были недавно измерены импульсным методом [22].

кристалла модули упругости сД и с'66 для произвольной ориентации выражают-
ся через основные модули упругости следующим образом:

сД = Сц (Zf Д- mj)2 + с33п$ + (2с13 Д- 4с44) п2 (I2 Д- т2),

сД -= сп [	+ тгт2)2 +(Z1?W2	— тг12)2 Д-

+ 2c13nrn2 (lj2 + тгт2) Д c33nlnl Д- с44 [(тхп2 Д- приД2 Д-
т (пх12 Д- Z^)2].

(15.36)

Подставляя направляющие косинусы, согласно выражениям (15.31) и (15.34),
и усредняя по сфере, находим

—8	.3	. 2 ,о . ,	.

си ~ те cii Ч~ тё сзз + те (2с13 Д- 4с44),

7 с 2 с 2	(1S-37)

С66 = 30cn--Q— 15с1з+ 15 -ту сы-
В табл. 26 приведены значения упругих постоянных и усредненные зна-
чения Cii и Сце для трех металлов с гексагональной решеткой. Из этой табли-
цы видно, что магний наиболее изотропен, в особенности для сдвига, другие
два металла дают заметное отклонение от изотропности.

Результаты измерений затухания, приведеные на фиг. 188 и 189, показы-
вают быстрое увеличение затухания с частотой, пропорциональное четвертой

Таблица 26

Упругие постоянные металлов с гексагональной решеткой1)

Металл	8Ц • Ю12	tN тН  n  <Z)	813 ’ 1012  1	C*l  00 co	(M r-i	сц • IO-11	u-0I •	ci3 • 10-11	Сзз • io-11	C44 • 10"11	r-i	c66 • 10
Mg	2,21	-0,77	-0,49	1,97	6,03	5,86	2,49	2,08	6,60	1,65	5,88	1,77
Zn	0,84	+o,n	-0,78	2,87	2,64	16,35	2,64	5,17	5,31	3,78	13,17	4,52
Cd	1,23	-0,15	-0,93	3 ? 55	5,40	12,12	4,81	4,42	4,45	1,85	8,51	2,55

1) Постоянные гибкости выражены в см%/дин, модули упругости выражены в дин/см2.

степени частоты на высоких частотах. Вследствие этого можно представить
затухание следующей формулой:

A = B1f + B2p,	(15.38)

хорошо отражающей поведение обоих алюминиевых стержней при сдвиговых
и продольных волнах. Эта формула показывает, что имеется одна составляю-
щая затухания, пропорциональная частоте, и другая—пропорциональная
четвертой степени частоты. Составляющая, пропорциональная частоте,
наблюдается в большинстве металлов и твердых тел на низких частотах [1]
и свидетельствует о наличии упругого гистерезиса. Член, пропорциональный
четвертой степени частоты, указывает на присутствие рассеяния энергии,
подобного рассеянию звука малыми частицами, объясненному Релеем[23].
Релей показал, что отношение рассеянной энергии к энергии падающей
волны возрастает пропорционально четвертой степени частоты в том случае,
если размеры частиц малы по сравнению с длиной волны.

Данные, приведенные на фиг. 188 для алюминиевого стержня № 1, хо-
рошо согласуются на всех частотах с формулой (15.38) для продольных волн,
если положить

Bi — 0,738 дб/м-мггц, В2 0,00331 дб/м-мггц*. (15.39)

Для сравнения с теоретическими значениями, приведенными ниже в п. 3,
удобнее представить эти величины в непер/см-гц и непер/см-гц*. Так как
1 непер=8,68 дб, то для алюминия получим следующие значения постоянных
в уравнении (15.38) в случае продольных волн:

Вг = 0,845 • 10-9 непер/см-гц, .

В2 = 3,74 • 10~30 непер/см-гц*.

Аналогично для затухания сдвиговых волн получим следующие значения
постоянных:

Вг = 0,515 • 10-9 непер/см-гц,	. _ ...

В2 =50,2 • 10-30 непер/см-гц*.
Для алюминиевого стержня № 2 значения постоянных, лучше всего согла-
сующиеся с экспериментальными данными, равны для продольных волн

—0,65 • 10-9 непер/см-гц,	_ ,

В2~— 0,695 • Ю“30 непер/см  гц*

и для сдвиговых волн

Вх = 0,58 • 10-9 непер/см- гц,

В2 —9,4  10~30 непер / см  гц*.	'	(15.43)

Так как стержни № 1 и 2 были изготовлены из одного и того же металла
(алюминия), но дали различные значения затухания, были исследованы при-
чины, определяющие это различие. Были сделаны микрофотографии, которые
показали, что средние размеры зерен в стержне № 1 равны 0,23±0,01 мм,
а для стержня № 2 равны 0,13±0,01 мм. Большие размеры зерен в стержне
№ 1 вызывают большее рассеяние в соответствии с теорией, изложенной
ниже в п. 3, и приводят к большему затуханию.

Потери на упругий гистерезис, пропорциональные первой степени ча-
стоты, тоже представляют некоторый интерес. Добротность стержня Q равна

 <15-44)

где Bq—фазовый сдвиг в радианах и Ао—затухание в неперах. Так как оба
члена уравнения Во и До в случае одного только упругого гистерезиса
пропорциональны частоте, то добротность Q не должна зависеть от частоты.
Фазовый сдвиг Во в радаан/гц-см равен в случае алюминия

2^

Bq --- — — 0,995 • 10~5 для продольных волн,

Во — 2 • 10~5 для сдвиговых волн.

Разделив эти значения на удвоенную величину постоянной затухания
в непер/см-гц, взятую из выражений (15.40)—(15.43), получим значения Q для
обоих стержней:

Стержень	Q при про- дольных волнах	Q при сдви- говых волнах
№ 1	5 900	19 400
№ 2	7 650	17 200

(15.46)

Эти значения неплохо согласуются со значением, найденным для про-
дольных волн на низких частотах (см. табл. 22).

На фиг. 190 приведены измеренные значения затухания для трех стеклян-
ных стержней и стержня из оптического плавленого кварца при сдвиговых
волнах. В этих материалах неравномерность размеров зерен очень мала, и,
как показывает эксперимент, обнаруживается прямая пропорциональность
между затуханием и частотой. Чистый плавленый кварц имеет наименьшее
затухание по сравнению со всеми измеренными материалами. Результаты
измерений для этих материалов приведены в табл. 27.
Таблица 27

Материал	А • 109, иепер[см*гц	v • 10 5, см/сек	Q
Стекло 1-С 1720 		4,37	3,74	1 970
Стекло 0,12		2,67	2,80	4 200
Стекло 790 Vycor		1,03	3,58	8 520
Плавленый кварц		0,188	3,76	44 500

3.	Расчет затухания, обусловленного рассеянием энергии волны. Поли-
кристаЛлические стержни из алюминия или других металлов состоят из боль-
шого числа беспорядочно ориентированных кристалликов малых размеров.
Границы между этими кристалликами или зернами могут быть обнаружены
на микрофотографиях полированной и протравленной поверхности металлов.
Рассеяние звука вызывается различием плотности соседних элементов среды
или различием их упругости. Вероятно различие в плотности между сосед-
ними зернами ничтожно; различие в упругости вызвано тем, что не все
кристаллики ориентированы в одном направлении, упругость же зависит
от их ориентации. Релей [23] дал формулу для рассеяния плоской звуковой
волны одиночной частицей:

где Т—объем зерна, X—длина волны, х—модуль объемной упругости среды,
Др и Дх—разность плотностей и модулей упругости частицы и среды, р—плот-

Ф и г. 190. Затухание сдвиговых волн в зависимости от частоты для стер-
жней из трех сортов стекла и плавленого кварца.

А—стекло С 1-1720	1

В—стекло 012	> фирма Корнинг

С—стекло 7 90 Vycor J
В—плавленый кварц

падающей волны, As—амплитуда рассеянной волны, Ар—амплитуда падаю-
щей волны и R—расстояние от зерна до точки наблюдения. В данном случае
мы можем пренебречь отношением Др/р, так как плотность соседних частиц
не меняется.

Вся энергия, рассеянная одним зерном, пропорциональна интегралу
по сфере радиуса R от квадрата амплитуды падающей волны. Производя это
интегрирование и пренебрегая Др/р, находим
2 тс

4 2^2Г2 9 „2 /Дх\2 Г .	.34к3Г2 /Дх\2

Es — Ai ^iR2 • 2~7? Q % J sin О Й0 Ai % J ,

о

(15.47)

где Е&—энергия, рассеянная одним зерном. Если мы имеем большое число
зерен, сконцентрированных в объеме, площадь поперечного сечения которого
равна А и длина которого равна dx, мы можем предположить, что рассеяние
от всех зерен распределяется беспорядочно и полная энергия, рассеянная
2У-частицами, будет суммой энергии, рассеянной каждым зерном, т. е.

(15.48)

где Eq—полная рассеянная энергия. Если нет связи между объемом зерна Т
и неоднородностью упругости, то можно суммировать обе величины неза-
висимо друг от друга.

В результате получим

N N	N ___________

Eg 4тс3	т 2	х )  4к3 vi < АхЧ2

л?_	2j 1 k 2j n ~ v 1 J

k=l	k=i

(15.49)

где —усредненная по объему величина • Если распределение
размеров зерен не сильно отличается от среднего, то первое суммирование
дает

JVE2^VT = AdxE,

(15.50)

где V—рассматриваемый объем, равный Adx. Но так как произведение
А • Aj пропорционально полной падающей энергии, то отношение полной
рассеянной энергии к полной падающей энергии будет равно

Eg 4тс3 dx Т ( Дх\ 2

Е^ =	)

(15.51)

где Ei — полная падающая энергия. Это выражение определяет коэффициент
затухания звуковой энергии на единицу длины материала, так как

Ео = Ei - Es - Ei e^dx = Ei(l-adx),	(15.52)

где Eo—энергия волны, выходящей из слоя, Ei—энергия падающей волны и
Es—рассеянная энергия, представляющая общие потери, учитываемые при-
емным кристаллическим элементом. Следовательно,

a =	•	(15.53)

При измерениях мы учитываем коэффициент затухания по амплитуде,
который равен половине коэффициента затухания по энергии. Учитывая, что
l/k^//t>, можно записать постоянную В2 в уравнении (15.28) в следующем
виде:

Если размер зерен лежит в некотором интервале, то значение Т оказы-
вается больше, чем средний размер частиц, полученный из подсчета их числа
в заданном объеме.
Метод апроксимации1) значений усредненной по объему величины (Дх/х)2
состоит в учете изменения в зависимости от ориентации. Из формулы
(15.30) мы имеем

c'll = <41 + [2 (с12 — Сц) 4- 4с44] (/2 т2 12 п2 ^2)
и

Л । 2 (ci2 Сц)+-4с44

С11 = С п -]------g------- .

Следовательно,

(j — 1 — В (sin4 в sin2 <р cos2 <p + sin2 8 cos2 6) 4-

-j- C (sin4 8 cos2 о sin2 o 4~ sin2 0 cos2 8)2,

где

Л __ Г 2 (c12 — cxi) -j-4c44	*1 2

l5c1j + 2(c12 — cii) + 4c44J ’

В = 10Л, С--25Л.

Интегрируя это соотношение по ср и 8 и усредняя, мы находим

<15-55>

Беря значения модулей упругости из (15.28), получаем (Дх/х)2=0,0003.
Используя это значение (Дх/х)2 и принимая диаметр зерен для стержня № 2,
равным 0,130 мм, можно подсчитать теоретическое значение постоянной зату-
хания:

В2 = 0,134 • 10~30 непер/см(15.56)

Это значение величины В2 имеет тот же порядок, что и значение В2=0,695 -Ю"30,
полученное из измерений. Лучшего совпадения вряд ли можно было ожидать,
учитывая, что зерна дают также значительное рассеяние в форме сдвиго-
вых волн, а не только продольных волн. Поскольку сдвиговые волны более
короткие, рассеяние их происходит в значительно большей степени. Потери
на рассеяние в стержне № 1 относятся к таким же потерям в стержне № 2,
как

(о!У=:5’5’	(15-57)

что очень хорошо совпадает с найденным из эксперимента отношением, рав-
ным 5,4.

Так как сдвиговые волны являются поляризованными, формула рассея-
ния для них должна отличаться от формулы рассеяния для продольных волн.
Формула рассеяния должна быть такого же вида, как для световых волн,
проходящих через среду с неоднородным показателем преломления. Как
было показано Релеем [24], имеет место соотношение

rz=^C¥)2(1+cos2e)>	(15-58)

где Is—интенсивность рассеянного света, —интенсивность падающего
света и 0—угол между направлением наблюдения и направлением падающего

4 Этот метод оценки фактора неоднородности связан с 72-функцией Зинера, приме-

няемой для расчета термоупругих потерь в твердых телах (см. [11]), и определяется для
различных металлов по уравнению (15.2).
света. Согласно этому соотношению, значение постоянной затухания по
амплитуде равно для сдвиговых волн

Значение (Ар//р/)2 может быть получено интеграцией выражения

С44  С44 Л 2   3 Г Щ| 1  Сг 2) 2с44 2
тг ) —175 L	J •

с4 4 у	u	с44

Для алюминия эта постоянная оказывается равной 3,3 •10г3, что в 10 раз боль-
ше, чем постоянная рассеяния для продольных волн. Используя это значение,
получаем теоретическую величину затухания для стержня № 2:

В2 = 10,3 • 10~30 иепер/см-гц\	(15.60)

что сравнимо с полученным из измерений значением В2==9,4-10-30. Отноше-
ние между потерями на рассеяние для сдвиговых волн в двух стержнях, рас-
считанное теоретически, также равно 5,5 и близко к экспериментальному
значению, равному 5,4.

Для металлов, данные для которых приведены в табл. 25 и 26, были под-
считаны коэффициенты рассеяния (ДсД/сД)2 и (Др'/Ю2 и сведены в табл. 28_

Таблица 28
Коэффициенты рассеяния продольных и сдвиговых волн

Металл	Кх/а2	(Дн7Ю)2
А1		3 • 10~4	3,3 • io-3
Au ....... • . .	1,78 . 10~3	5,2  IO-2
Ag		5 • IO’3	6,1 • IO-2
Си		7,4 • IO-3	6,7 • IO"2
Pb		4,2  IO-3	7,2  IO-2
Ре 		6,7 • IO-3	4,0 • IO'2
Na		2,9 • IO’2	1,25 • 10-1
К		1,7 • IO-2	1,1 • ю-1
W		0	0
Mg		2,2 • 10~4	
Zn		5,6 • IO"2	
Cd		2,8 • IO-2	

Коэффициент рассеяния продольных волн для металлов с гексагональной
решеткой был рассчитан путем подстановки направляющих косинусов, вы-
раженных согласно формулам (15.31), в уравнение (15.29) и усреднения по
сфере. В результате получаем

У =	[48с2! — 64cn с33 + 28с|3 - 16сп (2с13 + 4с44) Д- 4с33 х

X (2с„ + 4е„) + 3 (2с16 + 4с„)2].	(15.61>
Хотя коэффициент рассеяния сдвиговых волн в металлах с гексагональной ре-
шеткой не был рассчитан, из табл. 26 ясно, что поскольку для них среднее зна-
чение с'6—1,77 -1011 отличается в процентном отношении отс44 ись6=(с1Г—с12)/2
меньше, чем с'4 отличается от с44 для алюминия, то рассеяние волн сдвига
в магнии меньше, чем в алюминии. Это было показано экспериментально на
образцах магния, имеющих средний диаметр зерна 0,1 мм. В этом случае зату-
хание до И мггц может быть выражено формулой

А непер/см = 1,06 • 10-10 / -J- 4,6 • 10-31 /4,

Фиг. 191. Затухание сдвиговых волн в зависимости от частоты
для "алюминиевого стержня с размерами зерен 0,23 i 0,01 мм.
А—кривая затухания по линейному закону; В—кривая затухания по квад-
ратичному закону; С—кривая затухания по закону четвертой степени.

т. е. потери на рассеяние при сдвиговых волнах значительно меньше, чем
в алюминии. Член, содержащий / в первой степени, меньше, чем в случае
алюминия, и указывает, что добротность Q для низких частот равна 100 000.
Для продольных волн рассеяние в магнии выше и приближается по величине
к рассеянию в алюминии.

Рассеяние, пропорциональное четвертой степени частоты, имеет место
тогда, когда длина волны значительно больше размеров зерен. Если же длина
волны становится сравнимой с размерами зерен, то закон четвертой степени
не справедлив; когда же размер зерна становится больше длины волны, то
прохождение звука становится подобным процессу диффузии, и потери
становятся обратно пропорциональными средней длине пути. Если диаметр
зерен определяет длину свободного пути, затухание становится обратно про-
порциональным диаметру зерен. Некоторые экспериментальные данные
показывают, что имеет место приближение к процессу диффузии. На
фиг. 191 показаны результаты измерения затухания сдвиговых волн в алю-
миниевом стержне № 1, имеющем диаметр зерен 0,23 мм. Сплошная линия
на графике изображает зависимость затухания от частоты по закону четвер-
той степени. Этот закон действителен до частот, при которых диаметр зерен

Фиг. 192. Затухание продольных волн в зависимости от часто-
ты для алюминиевых стержней с размерами зерен 0,23 i 0,01 мм
и 0,13 4^ 0,01 мм.

равен примерно 0,33 длины волны. Выше этой точки явление хорошо^отобра-
жается законом второй степени, справедливым до частот, при которых диа-
метр частиц равен 0,7 длины волны. Фиг. 192 показывает результаты изме-
рения затухания продольных волн на частотах от 5 до 34 мггц для двух алю-
миниевых стержней № 1 и 2. При этих измерениях в качестве связующей
среды между кристаллической пластинкой и стержнем служила вода. Ма
низких частотах результаты измерений хорошо согласуются с'результатами
измерений, при которых в качестве связующей среды используется воск. На
высоких частотах затухание в образце с мелкозернистой структурой стано-
вится большим, чем для образца с крупнозернистой структурой. Это пока-
зывает, что затухание, определяемое рассеянием, переходит в затухание,
определяемое диффузией.

Измерения затухания продольных волн в магнии на частотах от 10 до
100 мггц были сделаны Ротом [17]. Фиг. 193 показывает затухание (в дб/см) в
зависимости от частоты для двух различных типов магния с размерами зерен
0,21 и 2 мм. Затухание в крупнозернистом материале примерно в 10 раз
меньше, чем в мелкозернистом, и это показывает, что затухание в высоко-
частотном диапазоне определяется диффузией. При частотах ниже 10 мггц
измерения не проводились, и затухание вследствии рассеяния не может
быть оценено.

Грубая оценка затухания вследствие диффузии может быть сделана
следующим образом. Пусть приемная кристаллическая пластинка имеет
большую направленность, и, следовательно, все принятые волны нормальны
ц поверхности. Если частота настолько велика, что длина волны мала по
сравнению с размерами зерен, затухание вызвано отражениями между зер-
нами и изменением направления волны, обязанным этим отражениям. Эти
два вида затухания, поскольку оба они обусловлены отражениями, сравнимы
друг с другом по величине, и поэтому мы можем рассчитать ослабление при
отражении при нормальном падении и принять, что ослабление вследствие
изменения направления волны имеет величину того же порядка. Если волна
переходит от одного зерна к другому, падая на границу раздела нормально,
то часть энергии на границе отражается. Так как амплитуда отраженной
волны мала, то амплитуда прошедшей части волны давления будет равна

P-=--Po({— Ri) Poe-R1,	(15.62)

Фиг. 193. Затухание продольных волн в двух магниевых стержнях в зависимости
от частоты.

где	—коэффициент отражения. При п отражениях на длине пути I резуль-

тирующее давление будет равно

р=/>»«“'(в1+я2+"'+в")=р»^’,й.	(15.63)

где R — средний коэффициент отражения. Если средний диаметр зерен
равен D, тогда

или ,	(15.64)

где Z — общая длина пути. Следовательно,
р = poe~^l!D.	(15.65)

Таким образом, для процесса диффузии коэффициент потерь равен RJD,
т. е. обратно пропорционален диаметру частиц. Умножая коэффициент потерь
R/D на 2 для подсчета потерь, связанных с изменением направления волны
и имеющих амплитуду того же порядка, что и потери на отражение, заклю-
чаем, что коэффициент потерь в непер/см будет определяться для этого случая
соотношением

А =	.	(15.66)

Для определения среднего коэффициента отражения можно написать

выражение

Г>___^1

Zi + Z2

(15.67)

где сД—модуль упругости в произвольном направлении, а —модуль упру-
гости, усредненный по всем направлениям. Так как отношение (сД—сД)/сД
мало по величине, то мы можем упростить выражение (15.67) и привести

его к виду



(15.68)

Делая расчеты согласно этому выражению, мы должны брать абсолютное зна-
чение, так как потери энергии не зависят от знака коэффициента отражения.
Это затрудняет интегрирование, и поскольку могут быть сделаны только
примерные вычисления, то достаточно взять одну четверть средней величины
двух крайних значений коэффициента отражения. Для магния среднее зна-
чение сД равно 5,88-Ю11. Максимальное значение с33 равно 6,60-Ю11, а ми-
нимальное значение равно 5,75-1011. Следовательно, среднее значение коэффи-
циента отражения будет примерно равно 0,0075. Затухание для магниевого
стержня с размерами зерен, равными 2 мм, рассчитанное теоретически,
составит 0,075 непер/см, что довольно хорошо согласуется с опытными
данными, приведенными на фиг. 193 для магния с размерами зерна 2 мм.

Зависимость по закону четвертой степени хорошо отражает явление рас-
сеяния до частот, при которых размер зерна становится равен х/3 длины вол-
ны, тогда как диффузионный процесс имеет место при размере зерен, равном
трем или больше длинам волн. Для описания явления рассеяния в проме-
жуточной области удовлетворительной теории не существует.

4.	Распространение звуковых волн в материалах с зернистой структу-
рой и его связь с распространением тепловых волн. Рассеяние и отражение
не являются действительной причиной, вызывающей потери звуковой энергии,
так как они только отнимают энергию от прямого луча и посылают ее в дру-
гих направлениях. Следовательно, вследствие многократного отражения
звуковых лучей от границ зерен мы должны ожидать вслед за приходом при-
нятого импульса запаздывающие «всплески». Это явление практически неза-
метно в материале, близком к изотропности, в связи с острой характеристи-
кой направленности у приемного кристалла, но совершенно ясно видно на
фиг. 194, на которой изображен принятый импульс сдвиговой волны с часто-
той 12 мггц, прошедший через образец из обычной бронзы длиной 25,4 мм.
Бронза является материалом, имеющим наименее изотропные упругие по-
стоянные. У данного образца размер зерен был примерно равен 1,25 мм.
Размер активной площади приемного кристалла невелик, и поэтому может
приниматься энергия, падающая под различными углами. Основной импульс,
затухающий экспоненциально, на осциллограмме не показан. Бросается
в глаза, что запаздывающие отражения возрастают до максимума и снова
уменьшаются до нуля.
Если взять трехмерное тело, безграничное в двух направлениях,
и пренебречь затуханием, то можно показать, что если в это тело послан
импульс, то время достижения максимальной результирующей амплитуды,
получающейся при суммировании энергии всех импульсов, дошедших до
плоскости на расстоянии / от места излучения импульса, вычисляется тем
же методом, что и в кинетической теории газов, и выражается известной
формулой

ВР

1 “ vA

(15.69)

где v—скорость распространения звука, В—коэффициент, равный 2, и Л—
величина, соответствующая длине свободного пути для этого случая и являю-
щаяся расстоянием, необходимым для затухания волны на 1 непер; согласно

Фиг. 194. Осциллограмма импульса сдпиговых волн с частотой 12 мггц,
прошедшего через образец из бронзы.

а—принятый импульс, прошедший череп образец ч олпинюп 25,4 лш с размерами зерен
1,5 льм; б—синусоида с частотам I о ъги, играющая роль отметки времени. Максимальная
амплитуда прошедппч о импульса получается через ЮО.мксек после посылки. Скорость
распространения сдвиговых воли равна 2,5 • 105 см/сек.

формуле (15.66), Л—D/2R. Значение момента максимальной амплитуды
на фиг. 194 хорошо согласуется с выражением (15.69), если в него подста-
вить величину затухания в бронзе. Но скорости затухания рассеянной энер-
гии можно подсчитать, что истинное затухание для сдвиговых колебаний
в бронзе будет около 0,33 дб[см на частоте 12 мггц. Таков один из методов
изучения высокочастотного затухания в металлах даже в диапазоне рас-
сеяния.

Существует тесная аналогия между распространением звука в зер-
нистой среде и распространением тепловых волн в жидкости пли твердых
толах, за исключением того, что при распространении тепла не должно учи-
тываться затухание. Это следует из того факта, что затухание акустических
волн приводит к превращению колебательной энергии в тепловую, т. е. вызы-
вает механические колебания на очень высоких частотах. При распростра-
нении тепла эти потери не имеют места, так как они приводили бы к превра-
щению тепловой энергии в тепловую же. Согласно современным теориям,
теплота представляет собой механические колебания кристаллической
решетки, причем основное количество энергии при комнатной температуре
концентрируется в частотном диапазоне от 1012 до 1013 гц. Теплопроводность
есть процесс передачи энергии колебаний с этими частотами от одного места
к другому, и она определяется в основном длиной свободного пути на этих
частотах. Хотя энергия тепловых колебаний в ультразвуковом диапазоне
очень невелика, мы все же должны учесть наблюдаемое затухание звука,
чтобы не получить бесконечной теплопроводности.

Если мы приложим тепловой импульс в некоторой точке стержня и рас-
считаем температуру в точке на расстоянии I от источника в зависимости
от времени, то получим кривую, изображенную на фиг. 195. Температура до-
стигает своего максимального значения через время t\

/2

(15.70)

где К—коэффициент теплопроводности, а С—удельная теплоемкость мате-
риала стержня. Влияние затухания при сравнительно низких (акустических)

Ф и г. 195. Изменение температуры в произвольной точке
стержня при распространении тепла от источника теп-
лового импульса.

По оси абсцисс отложено время в долях CZ2/2K. По оси орди-
нат отложены относительные значения температуры Сплошная
линия показывает при приложении теплового импульса к торцу
стержня температуру на расстоянии I от торца. Пунктирная
кривая показывает ту же зависимость с учетом затухания.

частотах снижает кривую, и максимум температуры получается меньшей
величины и по прошествии меньшего интервала времени, как это показано
на фиг. 195 пунктирной линией. Так как два указанных метода дают два раз-
личных способа описания одного явления, мы можем принять равными зна-
чения t по формулам (15.69) и (15.70), что дает выражение для определения
коэффициента теплопроводности

К =	(15.71)

где Л—длина свободного пути. Строго говоря, поскольку в твердом теле
распространяются две сдвиговые волны вместе с продольной волной, мы
должны написать уравнение в следующем виде:

К ,4(CiOiA + 2CsBsA),	(15.72)

где CzhCs, vi и vs—теплоемкости и скорости распространения соответственно'
продольных и сдвиговых волн.

Имеется два типа проводников тепла, проводящих тепло с помощью
акустических волн: тела аморфного типа, такие как стекло и жидкости, не
имеющие периодической структуры, и тела кристаллического типа. Для
аморфных тел длина свободного пути имеет порядок межмолекулярных рас-
стояний, поскольку изменение в расположении молекул вызывает отраже-
ния. Действительно, если мы подставим значение Л такого порядка, а также
известные значения теплоемкости и скорости звука, то получим значение
теплопроводности, хорошо согласующееся с экспериментом. Если температу-
ра уменьшается, теплопроводность тоже уменьшается, так как А не сильно
изменяется, а С приближается к нулю. Однако, как показал Киттель [25],
по мере того как температура приближается к абсолютному нулю, частотный
диапазон, в котором сосредоточена максимальная энергия, сужается, длина
волны становится больше, эффект рассеяния звука, обусловленный неодно-
родностью определенного размера, становится меньше, и длина свободного
пути растет. При температуре 1° К передача тепла становится подобной пере-
даче звука в диапазоне частот от 1010 до 1011 гц. Для кристаллических сред
не существует естественных барьеров, определяющих длину свободного пути

Линия задержки
из плавленого кварца

Фиг. 196. Экспериментальная установка для наблюдения двой-
никования в олове.

волн. Однако тепловое движение молекул, которое выводит их из нормаль-
ного положения, создает постепенное рассеяние волн и лимитирует длину
свободного пути величиной от 10 до 100 атомных промежутков при комнат-
ной температуре. Когда температура понижается, длина свободного пути
увеличивается в значительно большей степени, нежели уменьшается тепло-
емкость, и поэтому теплопроводность при низких температурах становится
очень большой. Эксперименты де Гааза и Бирмаца (см. [25]) показали, что
теплопроводность ряда монокристаллов достигает максимума в диапазоне
температур жидкого гелия, причем температура максимума зависит от раз-
меров образца. При этих температурах длина свободного пути равна разме-
нам образца, иными словами, имеет порядок сантиметра, и падение тепло-
проводности при очень низких температурах происходит вследствие увели-
чения теплоемкости.

§ 4. Применение ультразвуковых методов для исследования
двойникования в металлах

Пластические свойства металлов обычно объясняются присутствием
дислокаций, которые, представляя собой дефекты решетки, имеют размеры
поперечного сечения порядка нескольких межатомных расстояний и про-
стираются вглубь кристалла на некоторое расстояние. Такие искажения
решетки распространяются через металл приблизительно со скоростью
звука и возникают на поверхности в результате сдвиговых напряжений.
Хотя многие свойства металлов могут быть объяснены на основе этих пред-
положений, эти дислокации никогда не были наблюдаемы непосредственно.

Недавно была сделана попытка [26] с помощью механических волн,
возбуждаемых в металле, обнаружить присутствие и влияние таких дислока-
ций. Если такая дислокация перемещается вдоль исследуемого образца со
скоростью, приближающейся к скорости звука, то изменение порядка по-
стоянной решетки d будет происходить за время, соответствующее диаметру
образца, деленному на скорость звука. Такие эксперименты требуют нали-
чия приборов для измерения смещений около 10-8 мм, происходящих за
время 10-6 сек., которое лежит в пределах, применяемых в ультразвуковых
линиях задержки.

В первом экспериментальном устройстве, блок-схема которого приведена
на фиг. 196, тонкий стержень из испытуемого металла припаивался к метал-
лизированной поверхности пьезокварцевой пластинки, которая с другой

— К усилителю

образец

Фиг. 197. Устройство для возбуждения напряжений
в образце, видоизмененное с целью устранения лож-
ных отражений.

Кристалл

стороны была припаяна к торцу длинного стеклянного стержня, покрытому
серебром путем вжигания серебряной пасты. Металлическая обкладка пьезо-
пластинки соединялась с заземленным выводом предварительного усилителя,-
который был в свою очередь присоединен к модулятору широкополосной
линии задержки из плавленого кварца, создающей задержку 15 мксек
с шириной полосы 4 мггц. ДемоАудированное выходное напряжение линии
задержки усиливалось широкополосным усилителем и подавалось на верти-
кальные пластины осциллографа. Звуковые импульсы от предварительного
усилителя подавались также на спусковую схему, запускающую ждущую
развертку осциллографа. Длительность развертки могла регулироваться и
для большинства опытов устанавливалась равной 4,мксек/см. Если оловян-
ный образец изгибать, то шум двойникования запускает развертку и на
экране появляется примерно на первых 25 мм прямая линия. Спустя 15 мксек
(это определялось линией задержки), выходное напряжение кристалла
возбуждало вертикальное движение пятна на экране. С помощью этой
установки, набзюдались неретулядунъле волны, имеющие иастоту ирюдарно

кгц. Они ватух.али олень быстро и легко равлинались tta фоке жхаиияе-
ских шумов, вызываемых легким постукиванием, так как последние вызывали
отражения последовательно' от двух концов всей системы и создавали
колебания с частотой порядка 10 кгц, продолжавшиеся значительное время.
Если оловянный стержень заменялся алюминиевым, то шумов двойникова-
ния или скольжения не наблюдалось. Это показывает, что процесс пластиче-
ской деформации в алюминии вызывается гораздо меньшими по размерам
частицами, чем в олове, или имеет совершенно иной характер.

Было предположено, что волны с частотой 100 кгц вызываются ударными
возбуждениями резонансных колебаний стержня или пьезопластинки. Для
устранения этой трудности было изготовлено устройство, изображенное на
.фиг. 197. Оно состояло из двух стеклянных стержней длиной по 92 см каждый,
заточенных на конус так, что на концах образовались окружности диаметром
3,2 .-ил/. На конце одного стержня укреплялся оловянный образец, имеющий
диаметр 3,2 мм на одном конце и заточенный на конус так, что на другом
конце образовалась окружность диаметром 1,6 мм. Широкий конец
оловянного образца припаивался к стеклянному стержню, покрытому сереб-
ром путем вжигания серебряной пасты. Оловянный образец изготовлялся
из 99,9-процентного олова, имеющего размер зерен порядка 1,5 мм‘, таким
образом этот образец представлял собой почти монокристалл. Кварцевая
пластинка толщиной 0,5 мм и диаметром 3 мм припаивалась к торцу
другого стеклянного стержня. Чувствительность этого кристаллического
элемента была одинакова в диапазоне частот от нескольких килогерц
до 5 мггц. При калибровке было найдено, что при приложении к образ-
цу силы в 1000 дин луч на экране осциллографа смещается примерно на
10 мм. Придавливание стержней друг к другу производилось с помощью струб-

Время

Ф и г. 198. Осциллограммы изменения
электрического напряжения при про-
цессе двойникования.

цинки с винтом, действующим через
резиновую прокладку па конец одного
из стеклянных стержней. С помощью
этого устройства было снято около
15 фотографий электрических напряже-
ний, возникающих в процессе двойни-
кования. Так как свет, испускаемый
экраном осциллографа при одиночном
импульсе, слишком слаб для получе-
ния четкого фотоснимка, то две кривые,
изображенные па фиг. 198, типичные
для этих измерений, были воспроизве-
дены с пленки с помощью пантографа.
Можно было наблюдать изменения за
время порядка 1 мксек и общую

картину затухания, продолжавшуюся
30 мксек. Различные механические и электрические испытания показали,
что кристаллический элемент и электрическая схема имеют достаточную
ширину полосы пропускания для наблюдения данного явления.

В течение времени, необходимого для затухания процесса и равного
примерно 30 мксек, ультразвуковые помехи нс успевали достичь концов
стержней, и поэтому стеклянные стержни действовали как бесконечные стерж-
ни, имеющие характеристический импеданс, равный произведению плот-
ности р на скорость распространения v и на площадь А. Электрическое на-
пряжение переходного процесса имеет знак, показывающий направление

давления на поверхность кристалла, и эти переходные давления оказываются
меньше, чем 0,1 приложенной нагрузки. Следовательно, деформация имеет
место по существу при постоянной нагрузке. Увеличение приложенной
нагрузки поворотом винта сопровождается переходными процессами дефор-
мации. Так как кристаллическая пластинка соединена на другом конце
с механическим импедансом Z=pz?/1, разность давлений, связанная с напря-
жением, генерируемым пьезопластинкой, зависит от скорости деформации
оловянного образца в направлении, нормальном к поверхности кристал-

лической пластинки. Обозначим эту скорость деформации через Тогда
общая сила на поверхности кристаллической пластинки будет равна

F — 'pvA и ; -	.

1	рг.4

(15.73)

Для оловянного образца имеем р=7,1 г/см3, г=2,6 • 105 см/сек, А =0,02 см2
(для окружности диаметром 1,6 мм). Волновое сопротивление стекла равно
около 15-105 мех. ом/см2, что хорошо согласуется с сопротивлением олова
и кварца. При этом значении импеданса скорость деформации для силы
в 1000 дин равна

^ = 3 • 102 см/сек.	(15.74)

Это позволяет нанести на фиг. 198 масштаб скорости деформации. Шкала
времени определяется по синусоиде с частотой 200 кгц (кривая С на фиг.198).
Кривая А показывает возрастание скорости деформации примерно до
2 • 10~2см/сек за время около 2 мксек, после чего скорость уменьшается экспо-
ненциально в е раз за 30 мксек. Общее изменение объема для олова может
быть определено интегрированием по этой кривой и умножением на площадь
А и имеет значение около 1,2 • 10~8 см3. Площадь кривой В дает примерно
половину этого значения.

Тонкая структура кривых не одинакова для различных записей; это
показывает, что она характеризует скорее процессы двойникования, чем
процессы, связанные с механическими резонансами образца. Путь, прохо-
димый за один период топкой структуры равен примерно 2,5 А для кривой
А и около 0,5 А для кривой В. Период тонкой структуры соответствует
2,5 мксек для кривой Л и 1 мксек для кривой В.

Эти результаты в основном совпадают с предположением, что дислока-
ции при двойниковании распространяются от одного края образца к другому
со скоростью звука. Наиболее вероятное направление распространения двой-
никования лежит под углом 45° к приложенному механическому напряжению,
так как это направление является направлением наибольших сдвиговых де-
формаций. Расстояние от одного края образца до другого, взятое под углом
45° к длине образца, составляет примерно 0,26 см. Поэтому время распро-
странения дислокации через образец, если скорость распространения сов-
падает со скоростью звука, будет равно 1 мксек. Следовательно, кривая А'
показывает, что дислокация распространяется от угла образца через весь
образец со скоростью, близкой к скорости звука. Когда дислокация дости-
гает другого края, начинает также со скоростью звука распространяться
обратная дислокация. Это вызывает небольшие изменения интенсивности
звука, воспринимаемого кристаллическим элементом, так как звук, воспри-
нимаемый при движении дислокации от кристаллического элемента, слабее
звука при движении, направленном к кристаллу. Согласно Баррету [27],
плоскостью двойникования в кристалле является плоскость (331), и рас-
стояние между двумя соседними плоскостями двойникованияоравно 0,2 А.
Так как расстояние между максимумами кривой равно 2,5 А, становится
ясным, что одновременно пересекает образец дислокация размером около
десяти плоскостей. Так как, время между одинаковыми максимумами при-
мерно постоянно, то ясно, что пластическое течение затухает в процессе
движения дислокации и содержит меньшее число плоскостей в конце дефор-
мации, чем в начале. Отсюда видно, что материал делается более жестким
и становится более трудно вовлечь в дислокацию столь же много плоскостей
в конце процесса, как и в начале.	л

Кривая В, повидимому, обусловлена длиной пути меньшей, чем общая
ширина образца, что может произойти, если не весь образец состоит из кри-
сталлических зерен. Время между двумя последовательными максимумами
равно примерно 1 мксек, а смещение максимумов вдоль оси равно около
0,5 А. Это заставляет предполагать, что область зерен составляет примерно
х/з максимальной длины образца и что между моментом достижения дисло-
кацией границы образца и моментом начала возвратного движения дислока-
ции протекает некоторое время.

Из этих измерений явствует, что удается довольно отчетливо обнаружить
существование дислокаций при процессе двойникования олова.
ЛИТЕРАТУРА

1. W е g е 1 R. L., W а 1 t h е г Н., Physics, 6, 141 (1935).

2*. Quimby S. L., Phys. Rev., 25, 558 (1925). Об экспериментальном определении
вязкости колеблющихся твердых тел.

3.	В alamuth L., Phys. Rev., 45, 715 (1934). Новый метод измерения модулей упру-
гости и изменение с температурой главного модуля Юнга каменной соли между
78° К и 273° К.

4.	R е a d Т. A., Phys. Rev., 58, 371 (1940). Внутреннее трение в монокристаллах
металлов.

5.	HunterL. Р., Sei gel S., Phys Rev., 61, 84 (1942). Изменение с температурой
главных модулей упругости NaCl вблизи точки плавления.

6.	Ваг, W а 1 t i, Helv. phys. acta, 7, 113 (1938).

7.	Mason W. P., McSkimin H. J., Journ. Acous Soc. Amer., 19, 464 (1947).

8*. Соколов С. Я., Elektr. Nachr.-techn., 6, 11 (1929).

9.	Firestone F. A., Journ. Acous. Soc. Amer., 17, 287 (1946). Ультразвуковой
рефлектоскоп. Firestone F A., Frederic J. R., Journ. Acous. Soc Amer.,
18, 200 (1946) Поляризованный звук.

10.	Zener C., Phys. Rev., 52, 230 (1937).

11.	Zener C., Phys. Rev., 53, 90 (1938).

12.	Zener C., Elasticity and Anelasticity of Metals, Chicago, 1948.

13.	Mason W. P., Electromechanical Transducers and Wave Filters, N. Y., 1948.

14.	Reissner H., Helv. phys. acta, 7, 140 (1938)

15.	Galt J. К , P e 1 1 a m J. R., Journ. Acous. Soc. Amer., 18, 251 (1946); Journ.
Chem. Phys., 14, № 10 (1946).

16.	Mason W. P., McSkimin H. J., Journ. Acous. Soc. Amer., April, 1947.
Поглощение и рассеяние высокочастотных звуковых волн в металлах и стекле.

17.	Roth W., Quarterly Progress Report, Research Laboratory of Electronics, M. I. T.,
1947.

18.	Mason W. P., В a k e r W. O., McSkimin H. J., H e i s s J. II., Phys.
Rev.; 75, 936 (1949). Измерение сдвиговой упругости и вязкости жидкостей с по-
мощью ультразвуковых сдвиговых волн.

19.	К э й Д. и Л э б и Т , Справочник физика-экспериментатора, М., 1949.

20.	G о е n s Е., Ann. d. Phys., 17, 233 (1933). Упругие постоянные монокристалла алю-
миния.

21.	Ting-Sui К е, Phys. Rev., 71, 533 (1947). Экспериментальное подтверждение
вязких свойств на границах раздела зерен в металлах.

22.	Boz or th R. М., Mason W. Р., М с S k i m i n H. J., W a 1 к e r J. G.,
Phys. Rev., 75, 1954 (1949).

23.	Релей, Теория звука, т. II, М.—Л., 1944.

24.	Rayleigh, Phil. Mag, 41, 107 (1871).

25.	К i t t е 1 С., Phys. Rev., 75, № 6 (1949).

26.	Mason W. P., M c S к i m i n H. J., S h о с к 1 e у W., Phys. Rev., 73, 1213
(1948). Наблюдение двойникования в олове с помощью ультразвука.

27.	Barrett Ch. S., Structure of Metals, 1943.

28*. Соколов С. Я., Авторское свидетельство № 48894, кл. 21 д, 1934; Заводская
лаборатория, 4, 527, 1468 (1935).
ПРИЛОЖЕНИЕ

ТЕНЗОРНЫЙ МЕТОД ЗАПИСИ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИИ
ДЛЯ ЖИДКОСТЕЙ, ГАЗОВ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Уравнения, описывающие основные свойства пьезоэлектрических кри-
сталлов в зависимости от механических напряжений и деформаций, напряжен-
ности электрического поля и индукции, температуры и энтропии, были
выведены в гл. III. Существуют два сокращенных метода записи этих урав-
нений, сильно упрощающих вычисления: матричный1) и тензорный методы.
Здесь будет рассмотрен тензорный метод, обладающий большей общностью,
которая позволяет распространить его на описание эффектов второго1
порядка, таких, как электрострикция, в то время как матричный метод для
этой цели неприменим.

В § 1 дается краткое изложение теории тензорного исчисления, после
чего выводятся тензорные уравнения для описания упругих, пьезоэлектри-
ческих и диэлектрических свойств кристаллов, т. е. уравнения гл. III. Эти
тензорные уравнения применяются далее для получения преобразованных
уравнений пьезоэффекта при переходе от основной системы координат к по-
вернутой и находятся получающиеся при этом выражения постоянных для
различных классов кристаллов. Тензорные уравнения прилагаются затем
к описанию пироэлектрического эффекта и некоторых эффектов второго
порядка (электрострикционного, пьезооптического и электрооптического).
В § 7 и 8 тензорные уравнения используются для вычисления классических
потерь при распространении звука в газах, жидкостях и твердых телах,
вызванных вязкостью, теплопроводностью, гистерезисом и эффектом тепло-
вой релаксации.

Автор пользуется здесь символикой, предложенной Джеффрисом в его
книге «Декартовы тензоры», которая не делает различия между ковариант-
ными и контравариантными тензорами. Этот способ обозначений, применяе-
мый при декартовых координатах, можно также применить и в случае криво-
линейных координат, если за базисные векторы выбрать единичные векторы,
касательные к криволинейным осям. В качестве примера в § 9 рассматри-
ваются цилиндрические координаты. Поэтому нет необходимости пользо-
ваться более общей и сложной ковариантной и контравариантной симво-
ликой в обычных приложениях тензорного исчисления к механике, теории
поля или теории пьезоэлектричества.

С другой стороны, для таких дисциплин, как общая теория относитель-
ности, необходима более сложная система ковариантных и контравариантных
обозначений. Общий разбор систем обозначений, употребляющихся в мате-
матической физике, дан в книге [2], одна глава которой посвящена пьезо-
электрическим кристаллам.

§ 1. Общие свойства тензоров

Запись уравнений пьезоэлектрического эффекта, обсуждавшихся В ГЛ. 111,
может быть значительно сокращена, если представить их в тензорной форМб.
Более того, вычисление упругих постоянных для пластинок произвольного *

Э Матричный метод хорошо описан в статье [1].
среза сильно упрощается, если использовать законы геометрического пре-
образования тензоров. Следовательно, имеет смысл выразить в тензорной
форме уравнения, описывающие упругие, электрические и пьезоэлектри-
ческие свойства кристаллов. Целью настоящего параграфа является обсуж-
дение общих свойств тензоров в декартовых координатах.

Если мы имеем две системы прямоугольных осей (Ox, Оу, Oz) и (Ох',
Оу', Oz'), обладающие общим началом, то координаты любой точки Р во
второй (новой) системе можно выразить через координаты ее в первой (ста-
рой) системе следующим образом:

х' = Цх 4- тгу -j- nxz,

у' ^ -Цх т2у-'г n^z,	(П.1)

Величины (Z1? ..., /г3) являются косинусами углов между старыми и новыми
осями; например, Z}—косинус угла между осями Ох и Ох', п3—косинус угла
между Oz и Oz' и т. д. Решая совместно уравнения (П. 1), можно выразить
старые координаты х, у, z точки Р через новые координаты х', у', z' сле-
дующим образом:

х = Цх' 4- Цу' +	,

у = тхх' -\-т%у' 4-?ft3z',	(П-2)

Z = п±х' 4- п2у' + n^z'.

Мы можем значительно сократить запись уравнений (П. 1) и (П. 2), не-
сколько изменив обозначения. Будем писать хх, х2, х3 вместо х, у, z и xi,
Х2, х3 вместо х', у', z'. Теперь координаты точки в старой системе будут
обозначаться Х{, где г=1, 2, 3, а координаты ее во второй системе—хр
где /=1, 2, 3. В таком случае в уравнениях (П.1) каждая координата х) бу-
дет выражаться суммой трех членов, в которые входят координаты Xi. Обо-
значим через a,ij косинус угла между положительными направлениями осей
Oxi и Охр тогда для всех трех координат Xj получим

з

Xj = ctj^jX^ । d3jX3 4~ a3jX3 — o>ijX^.	(П.З)

i~ 1

Наоборот, уравнения (П.2) могут быть записаны в форме
з

(П.4)
/=1

где dij для одних и тех же значений i и / имеют такие же значения, как
и в (П.З), так как в обоих случаях берутся углы между положительными
направлениями осей Oxi и Ох,. Рассмотренная совокупность трех величин Xi
или Xj, заданная вместе с законом преобразования величин при переходе
от одной системы координат к другой, называется тензором первого порядка
(первого ранга) или вектором.

Отметим, что каждое из уравнений (П.З) и (П.4) в действительности пред-
ставляет систему трех уравнений, так как индексам i или / в левых частях
уравнений необходимо приписать последовательно значения 1, 2 и 3. В то же
время правые части уравнений представляют сумму трех членов, полу-
чаемых при последовательной подстановке значений 1, 2 и 3 вместо индек-
сов / или i и суммировании членов. Всегда, когда необходимо провести такое
суммирование, в выражении общего члена—например dijXj—встречается
повторяющийся индекс. Мы условимся и в дальнейшем при развертывании
сокращенных выражений приписывать повторяющемуся индексу последо-
вательно все возможные для него значения и суммировать получающиеся
члены. В таком случае уравнения (П. 3) могут быть записаны в виде

где, согласно условию, автоматически подразумевается суммирование по г.

В противоположность векторам существуют ненаправленные величины,
такие, как масса и протяженность, которые не изменяются при преобразова-
нии координат. Такие величины называют тензорами нулевого порядка или
скалярами.

Рассмотрим теперь два тензора первого порядка и V&. Перемножим
попарно компоненты первого тензора на компоненты второго тензора, тогда
получится система из девяти величин типа ut Vk, где i и к получают неза-
висимые друг от друга значения 1, 2 и 3. Компоненты utVk по отношению
к новой системе осей х3, т. е. Uj vi, имеют вид

u3v[ = (akivh) = ацами&к.	(П.5)

Индексы i и к в правой части повторяются, и, следовательно, сокращенная
запись (П.5) представляет систему девяти уравнений, каждое из которых
состоит в правой части из девяти членов. Каждый член справа является про-
изведением двух величин: первой—а^ащ, зависящей только от ориентации
осей, и второй—utvk, представляющей произведение компонент, отнесен-
ных к старым осям. Таким образом новые компоненты iijVi могут быть выра-
жены через старые компоненты и€г^по формулам (П.5). Не только произведе-
ние векторов удовлетворяет закону преобразования (П. 5). Вообще говоря,
любая совокупность девяти величин Жщ, отнесенных к какой-либо системе
осей и преобразующихся при переходе к другой системе координат по фор-
мулам

ж ji = ац&ълЖщ,	(П.6)

называется тензором второго порядка.

Тензоры более высоких порядков можно получить, если рассмотреть
произведение нескольких векторов. Любая система из п величин, преобра-
зующихся подобно произведению п векторов xt х3...хр, называется тензором
n-го порядка.

В правой части формул преобразования (П.6) индексы i и к повторя-
ются. Согласно условию, этим индексам следует приписать последовательно
значения 1, 2 и 3 и сложить полученные члены. Поскольку не существенно,
какой из индексов мы обозначим через i, а какой через к, можно записать

. .	ж'л ацаыЖгъ= акз-ацЖМ.	(П.7)

Следовательно, величины Жм преобразуются так же, как и Wik, и образуют
тензор второго порядка. Важность отмеченного обстоятельства заключается
в том, что если мы имеем систему величин, представляющих тензор второго
порядка

	Wn	W]2		
	W21	^22	^23	(П.8)
	W31	w32	^33	
то и система величин ,				
	Wn	W21	^31	
	^12	Ж 22	W32	(П.9)
	^13	^23	33	
будет тензором второго порядка. Точно так же сумма	и разность

(w^—Wki) являются тензорами второго порядка. Компоненты первого из
этих тензоров не изменяются при перемене индексов i на к и образуют по-
этому симметричный тензор. Компоненты второго тензора изменяют знак
при перемене индексов i на к и, следовательно, образуют антисимметричный
тензор. Ясно, что в антисимметричном тензоре компоненты, расположенные
по главной диагонали, т. е. компоненты, для которых i~k, будут равны
нулю. Так как

1	1

Wife = у (Wik + Ым) + "2 ( Wife— Wki),	(П. 10)

мы можем рассматривать теперь любой тензор второго порядка как сумму
симметричного и антисимметричного тензоров. Большинство тензоров, упо-
требляющихся в теории упругости, являются симметричными тензорами.

Операция приравнивания двух индексов и сложения членов известна
под названием свертывания тензоров. Она приводит к понижению порядка
тензора на два. Если, например, свернуть тензор vk, получим выражение

+ и2^2-|-(П.11)

которое является скалярным произведением и v^, т. е. тензором нулевого
порядка.

Выведем теперь формулы преобразования тензоров к новой системе
осей. Для тензора первого порядка (вектора) эти формулы уже были полу-
чены [см. (П.1)]. Выразим направляющие косинусы llf ..., п3 в виде

К	дх’  дх		дг'г дхг ’	Z2 —	ду' _ дх	-дх'ъ дхг ’	/3 —	dz' дх		
	дх'			ду'			dz'		
			-—		—	Л7 —			(П 12)
	ду	б»га ’	—	ду	дхг ’	Ш3 ““	ду	дхг ’	
	dxf	_ дх'х		ду			dz'		дх*	
«1 =	dz	дх„ ’	п2 =	dz	—  дх. ’	п3 =	dz	дх. *	

Тогда уравнения (П.1) можно записать в тензорной форме

=	— (LijXi.	(П. 13)

Так как тензор второго порядка можно рассматривать как произведение
двух векторов, его компоненты преобразуются по формулам

/дх'; \ / дх', \ дх'; дх',

<П14>

которые также можно представить в обобщенной форме

дх'- дх\

<ПЛ5>

Вообще, уравнения преобразования тензора и-го порядка имеют вид
dxk> dxk,	dxh,

...	(П.16)

h n	in

§	2. Тензорный метод записи уравнений,
описывающих упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические
свойства кристаллов

Рассмотрим компоненты тензора механического напряжения (3.7)

Тхх Тху Txz

Г ух -куу Т yz
и соотношения (3.8) для симметричного тензора

т — т т — т

7 ХУ - уХ) л XZ ---- ZX)

Обозначим эти компоненты на основании

образом:

Т Т
2 yz 2 zy

соотношений (3.8) следующим

Т
т..
т.

11

21

31

^12

22

Г:

32

т
Т,
т.

13

23

33

11

12

13

^12

У22

23

?\з
7’23
^33

(Г1.17)

Т
Т
т

для того, чтобы привести обозначения в соответствие с тензорной симво-
ликой. Покажем теперь, что совокупность девяти величин (П.17) образует
тензор и притом симметричный тензор.

Уравнения преобразования компонент напряжения к новой системе
осей х', у', z', как было показано Лявом [3], имеют вид

1 хх — Z2/хх + уу + «^zz 4-Ы^Тху 4“ xz 2,min]Tyz,

Тху — XX 4“ ^1^2^УУ “Ь W1^2^zz 4" (Л^2 4” ^2да1) 1 Ху 4'

(П.18)

4- (/1^2 4“ ^2^1) ТXZ 4- (^1^2 4" П1т%) Ту2,

где Z1? .. ., п3 — направляющие косинусы углов между осями, такие же,
как и в уравнениях (П.1). Используя выражение (П.12), можно первое
из уравнений (П.13) представить в форме

Т’ — (дх'^\2 т	। 4444 т _|_

11 \dxxJ 11 дхг дх2 12~Т~дх1йх3 13 '

•+ S T2t ('4У Тт ч- У У Тм +	(П. 19)

дх'х дх{ гр	. dx'i dx'i	4<5х1'\ 2 ™   дх'г дх'т Гр

дх3дхг 31 ' дх3дх2 32 ч^з/ 33 ^xh

а последнее уравнение представить в форме

J"»-	dx{ dx'2 r , дх^ dxj 11	4^4 т  дхг dx2 12		dx{ dx2 T		
4~	dx'x dx2 rp  dx2 dxx 21	^2  d%2 dx2	22	dxfx dxf2 ' д%2 ^^3	23 4“	
4-	dx-^ dx2 rp ।  5a:3 dxr 31	dx’} dx2 dx3 dx2	^32	. дх^ dx2  r dx%dx3	^33	rri  dxk drt hl

(П.20)

Общее выражение для любой компоненты напряжения

дх'- дх'-
гр/ _ г ]_ гр

dxfr dxi hl

(П.21)

представляет в то же время уравнение преобразования тензора второго
порядка. Следовательно, компоненты напряжения удовлетворяют условиям,
определяющим тензор второго порядка.

Компоненты деформации

^хх
&ух
8ZX

^хЬ
8уу
SZy

£>XZ
^yz
Szz
однако, не удовлетворяют этим условиям, поскольку, как было показано
Лявом, уравнения преобразования компонент деформации к новым осям
имеют вид

SXx — ^1^хх + т1$уу n^Szz 4~ ^lmlSXy 4~ ^l^l*$zx + ГП^Зуг,

......................................................... (П.22)

SXy	4“ ^ШуШ^Зуу 4- 2tTi]n%Szz + (^1^2 4 ^2^1) Зху 4-

4~ (Л^2 4- ^1^2) 3Xz 4~ (wi^2 4-	3Ху.

Если, однако, мы определим компоненты деформации следующим образом:

о___«	_д^, гт ____ q ___дч\ о _____ г, _дС

Оц—Охх —	,	0-22 &уу—	>	°33~ ^ZZ—

С _ <? $ху __ 1	г, г, Sxz 1 / д£ .	/тт ло\

*>12 -021-~2	1^4-^J’	О13-О31 = -2--у ^4^J , (П.23)

о _ с Syz._____1 Л । дтА

d23-032 = -г-т^4-^?) ,

то совокупность девяти величин

*	$11	*$12	*$13

*	$21	*$22	*$23

*	$31	*$32	*$33

образует тензор второго порядка, что можно проверить по уравнениям
преобразования (П.22).

Обобщенный закон Гука, выражаемый уравнением (3.22), в тензор-
ных обозначениях принимает вид

Уц = CijkiS ki,	(П. 24)

причем модули упругости Cijki образуют тензор четвертого порядка. Пра-
вая часть уравнения, будучи произведением тензора четвертого порядка
на тензор второго порядка, образует тензор шестого порядка, но так как
последний дважды свертывается по индексам к и Z, то и в правой части полу-
чается тензор второго порядка. Так как сцъл является тензором четвертого
порядка, то, в общем случае, он имеет 81 компоненту; однако вследствие сим-
метрии тензоров l\j и Ski существует определенное число тождеств, умень-
шающих число независимых модулей упругости. Эти тождества можно
получить, записывая уравнение (П.24) в развернутой форме и сравнивая
коэффициенты при компонентах деформации с коэффициентами в эквивалент-
ном уравнении (3.22). Например,

2"11 — С1111*$ 11 4- С1112*$12 4- С1113*$13 4- С1121*$21 4- ^1122*$22 4~

4“ С1123*$23 4“ С1131*$31 4~ С1132*$32 4~ С1133*$33-	(П.25)

Сравнивая это- уравнение с первым из уравнений (3.22) и замечая, что
*^12 = *$21	*$хУ/2 ит. д., мы получим

	£1111=^1, Сц12 = Сц21 — С]б, С1133 = С13,

с1113 ~ С1131 = С15>	С1122~С12>	с1123 — с1132 = с14«	(П.26)

Таким способом можно показать, что модули упругости из уравнений (3.22)
соответствуют тензорным модулям упругости согласно следующим
соотношениям:
Сц — СШ1, С12 — С1122 ~= С2211,	с13 — С1133 ~ С3311,	с14 — С1123 — с1132 ~ С2311 ~ С3211»

С13 ~ С1113 ~~ С1131 — С1311 = ^3111, ^le С1112 — С1121 ~ С1211 — С2111, С22 ~~ С2222>

С23 С2233 — С3322>	С24 = С2223 ~ С2232 = С2322 ~ С3222> С25 ~~ С2213	С2231 “ С1322 = С3122,

С26 “ ^2212 — С2221 ~ С1222 " С2122,	С33 ~ С3333>	С34 ~ С3323 “ ^3332 ~ ^2333 ~~ ^3233»

“35 — С3313 — С3331 ~ С1333	С3133> С36 = С3312 ~ с3321 = с1233 ~ С?133,	(11.27)

с44 ~ с2323 = С2332 = С3223 ~ С3232 , С45 ~ С2313 ~ С2331= С3213 — С3231 ~ С1323 = С1332 ~

- С3132 — С3123,	-	.	,

^46 ~ С2312 - С2321 = С3212С3221 — С1223 — С1232 — С2123	С2132,

С55 — С1313 ~ С1331 — С3113 — С3131,

С56 — С1312 “ С1321 = С3112 — С3121 = С1213 = С1231 = С2113 “ С2131»

С66 — С1212 — С122]	^2112	С2121-

В силу этих соотношений из 81 модуля c^ki остаются независимыми только 21.
Тензорные модули упругости c^ki получаются из обычных модулей сц,
если произвести следующую замену индексов:

1 —11, 2—>22, 3-»33,

4-^23, 5—>13, 6-» 12,

(П.28)

и образовать всевозможные перестановки этих индексов по два.

Уравнения упругости (3.26), полученные обращением уравнений (3.22),
можно записать в тензорной форме следующим образом:



(П.29)

Записывая эти уравнения в развернутом виде и сравнивая с уравнениями
(3.26), мы можем установить следующие соотношения между постоянными
гибкости:

(11.30)

— $2213 — $2231 — $1322 “ $3122,

$11 ~~	$12 — $1122 — $2211» $13—$1133 — $3311»

___ __________________________________________

~2 ~ $1123 — $1132 = $2311	$3211, ~2~	$1113	$1131 — $1311 — $ЗП1>

-у-= $1112 - $1121 — $1211	$2111, $22 “ $2222, $23 " $2233 ~ $3322,

—- = $2223	$2232 “ $2322	$3222,

у* == $2212 — $2221 ~ $1222 = $2122, $83	$3333,	= $3323 ~ $3332 — $2333	$3233»

^35	$36

у' -~ $3313 = $3331 — $1333 " $3133,	~2~ $3312 = $3321 — $1233 ~ $2133’

~ $2323 — $2332 == $3223 “ $3232,	— $2313 = $2331 “ $3213 ~~ $3231 = $1323 ~ $1332 =

= s3123 — s3132>	— s2312 — s2321 " s3212 ~ s3221 “ S1223 ~ S1232 “ S2123 ~ ?2132>

$55 ____

-y- — $1313 = $1331 = $3113 = $3131 > У ~ s1312 — s1321 — s3212 ~ s3221i ~ S1213 ~	=

$66

$2113 ~ $2131, ~4~ ~ $1212 = $1221 ~ $2112 ~ $2121* ‘
Здесь также тензорные постоянные гибкости Si^i получаются из обычных
постоянных гибкости Sij заменой индексов

2—>22, 3~»33, 4-->23, 5-^13, 6-» 12.

Однако для любого из индексов 4, 5 или 6 величину постоянной гибкости
s^ следует разделить на 2 перед тем, как приравнять ее к соответствующей
достоянной sum, а если индекс 4, 5 или 6 встречается в постоянной дважды,
величина делителя должна быть равна 4.

Изотермические постоянные гибкости, входящие в уравнения (3.35),
также могут быть выражены в тензорной форме. Тогда соответствующие
уравнения примут вид

Si^sluTu + ^de.	(П.31)

где, как и раньше, ау— компоненты тензора теплового расширения (тен-
зора второю порядка), связанные с обычными коэффициентами теплового
расширения соотношениями

__ а4 _	а5 _	а6 _

а1“а11> а2---а22, а3 — а33,	—а23,	— а1з> а12-

Последнее из уравнений (3.35) в тензорных обозначениях принимает вид

d<2=aklTkle+Pcpde.

(П.32)

Полагая для адиабатических условий dQ = Q и подставляя в (П.31) зна-
чение dQ из (П.32), получим простое выражение для адиабатических
постоянных гибкости

О	0

Sijkl — Sijkl

ai}ahlQ
рср

(П.ЗЗ)

Комбинация уравнений упругости и уравнений пьезоэлектрического
эффекта (3.58) может быть записана в тензорной форме следующим образом:

вц— SijhiThi -f- dpiijEpi,

^Em + dmklTM.

(П.34)

Ът =-

Здесь dmij — тензор третьего порядка, а е^п — тензор второго порядка. Тен-
зорные пьезоэлектрические постоянные с?ту связаны с обычными постоян-
ными dij соотношениями

.	^11	^111, ^12 — ^122»	:	~ ^123 — ^132>

— t/il3 — с£1з1,	-4$ — С?112 =- б/121>	^211> ^22 — ^222,

<^23 — ^233,	~ '^223 “ ^232 >	— ^213 “ ^231»	(П.35)

^212 — ^221> ^31—^311’ ^32°Сз22, ^33	*^333 >

~2 ~ ^323 — ^332>	~ °^313 = ^331,	— ^312 = ^321-

Тензорные уравнения (П.34) открывают путь для выражения уравнений
пъезоэффекта в другой форме, которая полезна в ряде случаев. Здесь
имеется в виду связь механического напряжения и деформации с электри-
ческой индукцией, а не с напряженностью поля, как в уравнениях (П.34).
Чтобы получить эту новую форму, умножим второе из уравнений (11.34)
на тензор 4ж1'тП. Тогда получим

4тсрт1гВп — ^тп^тпЕт Т ^-'^dnhl^mnl'kl•	(П.36)

Тензор диэлектрической непроницаемости свободного кристалла fan свя-
зан с тензором диэлектрической проницаемости соотношениями

=	(П.37)

где Д®т определитель следующего вида:

	т  S11		т £13		
Д^_	т г12	£22	Т & 23		(П.38)
	т £13	т £23	Т £33		
а Дтп —минор, получаемый из	него	зачеркиванием			m-й строки и н-го

столбца. Если образовать произведения SmnPmn для трех значений т- 1, 2, 3
и трех значений п = 1,2,3, то получим коэффициенты, стоящие перед
соответствующими компонентами поля Ег, Е% и Е3; при этом

	тат . т оТ . т ат л  £11Г11 4 £12Г12 4~ £1зР13	  СС + £K + £1зй = 1 >	(П.39)  Т аТ . ТпТ , Т 0Т	л  31 г 31 4” S32Г32 4" £ЗзРзз “ •

Очевидность соотношений (П.39) вытекает из уравнений (П.37) и (П.38).
Поэтому мы получим

Ет = 4'пф.тте8п —	Тщ •	(П .40)

Поскольку повторяющийся индекс п пробегает значения 1, 2 и 3, мы
можем ввести для выражения в скобках новое обозначение

	гр	Г	Г	jP  gmkl ~~ Wtdnkifynin = 4тс (dik$mi 4“ C?2kl^m2 4“ ^ЗЫ^тз)	(П.41)

При этом уравнение (П.40) примет вид

	Em — 4тсРтпВте gmhl'Tkl-	(П.42)
Подставляя	это выражение в первое уравнение (П.34), получим  = SijkiTki + gnifin,	(ПЛЗ)
где	Sijkl “ $ijkl	™	•

Подставляя различные значения i, j, к и I, соответствующие 21 постоянной
гибкости, можно вычислить разность между постоянными гибкости, измеряе-
мыми при постоянной электрической индукции и при постоянном поле.
Если уравнения (П.42) и (ПЛЗ) записать - с помощью компонент дефор-
мации ..., 56 и напряжения j\,	Т6, то постоянные gnij заменяются на

постоянные gu по тем же соотношениям (П.35), которые связывают посто-
янные dnij с постоянными da, если заменить d на g.

Третья форма уравнений пьезоэлектрического эффекта, которая иног-
да употребляется, связывает механические напряжения с деформацией и
напряженностью электрического поля. Эту форму можно получить непосред-
ственно из уравнений (П.34), умножая обе части первого уравнения на тен-
зор модулей упругости которые связаны с соответствующими постоян-
ными гибкости соотношениями

в

.	(П.44)

4 $Е

где Д —определитель следующего вида:

	Е  S11	Е $12	Е $13	sE ^14	Е $15	Е $16
	Е	Е	Е	Е	Е	Е
	*12	$22	$23	$24	$25	$26
	Е ж	Е	Е	Е	Е	Е
Дв£ =	*13 fc	$23	$33	$34	$35	ОЭ
	Е	। Е	Е	Е	Е	Е
	*14?	$211	.$311	$44	$45	$46
	Е	Е	Е	Е	Е	Е
	*15	$25	$35	$45	$55	$ГЦ 56
	Е	Е	Е	Е	Е	Е
	1*16	$26?	зь	$46	$56	$66

из него зачеркиванием [i-й
тензоров, получим

а Аг, —минор, получающийся
столбца. Произведя умножение

строки

^ijkl^ij — ^ijhlSijklThl “I-

И /-ГО

(П.45)

Как и прежде, найдем, что тензорное произведение Ci;ki$ijki равно единице
для всех значений к и I. Следовательно, уравнения (П.45) могут быть
записаны в форме

Тhl ~ CijklSij Q'mhlb'm^	(П.46)

причем тензорные пьезоэлектрические постоянные emki связаны с тензорными
пьезоэлектрическими постоянными (1тц соотношением

^mhl —	(П.47)

где суммирование производится по всем значениям повторяющихся индексов
i и /. Если подставить выражение (П.46) в последнее уравнение (П.34),
получим

es

Zn-^Ern + enijSii, ’	(П.48)

где —диэлектрическая проницаемость зажатого кристалла, связанная
с диэлектрической проницаемостью свободного кристалла еХп соотношением

$mn — ®mn 4u (_dnkl^mhl)‘	(П.49)
Связь между соответствующими пьезоэлектрическими постоянными и тремя индексами выражается соотношениями  е111»	С21е‘211?	е31“е311»  612= е122,	е22 — е222>	•	е32 = е322,	с двумя
^ХЗ^^ЗЗ»	б23~е233>	е33 ~ б333>  614 — 6123 — е132>	е24	е223 = е232>	634—6323 = 6332,  е15 — бцз---6]31,	625 = е21з = e23i,	635 = 6313 =e33i,  -	6i6 = 6ц2 = 6121,	е26 ~ б212 — е221,	636 = 6312 = 6321.	(П.50)

Наконец, четвертая и последняя форма выражения уравнений пьезоэлек-
трического эффекта дается уравнениями (3.53). Переписывая уравнения
в тензорной форме, получим
Т kl —	tlnkfin; — 4'пфгппЗгг	hmijS\j.

(П.51)

Входящие в эти уравнения пьезоэлектрические постоянные с тремя инде-

ксами связаны с постоянными с двумя индексами, входящими в уравнение
(3.53), так же, как связаны пьезоэлектрические постоянные е с тремя и дву-
мя индексами в соотношениях (П.50). Уравнения (П.51) можно получить
непосредственно из уравнений (П.46) и (П.48), исключая из них величину
Ет. Эта операция приводит к дополнительным соотношениям

hnkl — 4'^emfclPiTm, Cijhl ~ ^ijkl Ч- ~ Cijkl Ч~	(П.52)

где

qS _ /	лкШ+п

pmn — V	Ту

де8
тп

причем

£22	£23

S S
£23	£13

Четыре формы пьезоэлектрических уравнений и соотношения, суще-
ствующие между постоянными, приведены в табл. 29.

Таблица 29

Четыре формы уравнений, описывающих упругие, диэлектрические
и пьезоэлектрические свойства кристаллов

Форма	Уравнения обратного пьезоэффента	Уравнения прямого пьезоэффента
1	£—	^kl +	eT  Ет + dnki Tfti
2	^ij ~$ijkl Tkl + gnij &n	Ет—	grnkl E kl
3	Eki =	$ij	emkl Em	eS  j.	771П p	।	о  On	-^m reni]^ij
4	Tkl “ €ijkl ij hnkl	Em =	$n hmij S^j

Форма	Соотношения между упру- гими постоянными	Соотношения между пьезо- электрическими постоян- ными	Соотношения между диэлек- трическими постоянными
1	s^jkl ~sfjkl dmij gmkl	Smkl ~	^nkl	<1  7 т
2	cf.	emkl —dnuj cijkl	smn — smn — /i1z (^nkl emhl)
3	cijkl —cijkl+emhl hmij	hnkl — ^K^mnemkl	ftS _ qT , gnkl hmhl  Pmn Pmn '	4-д;
4	u	v	7	I] ‘	h-nhl — gnij cijkl	co  <3 <1  1 T  £
§ 3. Влияние симметрии кристаллов и ориентировки кристаллических
пластинок на число диэлектрических, пьезоэлектрических
и упругих постоянных

Все кристаллы могут быть разделены на 32 класса в зависимости от вида
симметрии, которым они обладают. Классы можно объединить в семь более
крупных подразделений в зависимости от углов между кристаллографиче-
скими осями и соотношений между параметрами ячейки решетки. Каждый
из 32 классов характеризуется особым набором элементов симметрии, т. е.
осей симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков,
плоскостей симметрии и центра симметрии. Любой из этих видов симметрии
приводит к уменьшению числа основных диэлектрических, пьезоэлектриче-
ских и упругих постоянных.

Уравнения преобразования тензоров к новой системе осей (П.16) поз-
воляют наиболее просто выяснить влияние симметрических операций на
число упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных. В ка-
честве примера рассмотрим тензоры второго порядка: тензоры диэлектриче-
ской проницаемости и тензоры коэффициентов теплового расширения
afei. В самом общем случае симметричный тензор второго порядка имеет
шесть независимых компонент. Допустим, однако, что ось х является осью
симметрии второго порядка, т. е. что свойства кристалла, измеренные в поло-
жительном направлении оси z, совпадают со свойствами в отрицательном
направлении оси z. Если произвести поворот вокруг оси х на 180°, то поло-
жительный конец оси z совместится с отрицательным концом, а направляющие
косинусы такого симметрического преобразования примут вид

^1	дх{ дхА	-1,	дх\ т1 = ~Л— С/	-о,
Z2 —	дх'2 дхх		дх»	= -1,
Аз	дх'А дхА	-0,	дх~  6 дх%	0,

дх{

дх'2

дх'А
дх*>

О,

о,

-1.

(П.53)

Напомним уравнение преобразования тензоров второго порядка:
dx'. дх'.

(П-54)

Развертывая выражение (П.54) по всем значениям к и I для каждой вели-
чины i и / и пользуясь соотношениями (П.53), определим шесть новых ком-
понент

/	_ f ________ f

S11 — Sll>	—S13>

£22— s22>	£23 - £23>	£33 ' ~ £33*

(П.55)

Так как кристалл, обладающий осью симметрии второго порядка, которая
совпадает с осью х, должен иметь одну и ту же величину диэлектрической
проницаемости вдоль обоих направлений оси z *), этому условию можно удо-
влетворить, лишь полагая

£12 —' £13 — 0.

(П.56)

1) Это относится не только к оси х , но и к обоим направлениям оси у. В общем слу-
чае все свойства кристалла до и после симметрического преобразования должны совпадать
Поэтому, чтобы получить приводимые ниже соотношения, в левых частях уравнений
(П. 55) мы должны убрать штрихи над символами компонент. (Прим, ред.)
Такому же условию удовлетворяют коэффициенты теплового расширения,
так как они также образуют тензор второго порядка, т. е.

а12 —а13 = 0.	(П.57)

Для тензоров третьего порядка, например dijh, е^, gijk, hi}k, при тех
же условиях мы найдем, что из 18 независимых компонент 10 компонент

^112 — ^16>
^233 ~ ^23 >

Лц3 —Л15, Л311 — ^21,
^311~^31> ^322 = ^32?

^222 ~ ^22» ^223 ^24,
^323 = ^34? ^333 = ^33

(П.58)

должны быть равны

нулю. Аналогичные величины для тензоров d^h, ець,

gi}k также равны нулю.

Уравнения преобразования тензоров четвертого порядка (например, с^ы
и Sijki) имеют вид

дх^ дх^ дх& дх[

Cijhl	~дГр Стпо?‘

(П.59)

Считая, что направляющие косинусы преобразования определяются соот-
ношениями (П.53), найдем уже применявшимся способом, что

С15 — С16 ~ С25 ~ С26 — С35 — С36 — С45 — С46 ~

(П.60)

Если ось симметрии второго порядка совпадает не с осью х, а с осью у,
соответствующие компоненты, которые обращаются в нуль, можно получить
круговой перестановкой тензорных индексов. Таким образом найдем, что
должны быть равны нулю следующие компоненты тензоров второго, третьего
и четвертого порядков, преобразованные к двузначным индексам:

£23> е1з! ^11> ^12, Л13, Л15 Л24, Л26, ^31> ^32, ^33, ^Зб>	/т-r

(П.61)

С14; с16» ^24» С26> С34> С3в> ^45’ С56’

Точно так же, если осью симметрии второго порядка является ось z,
будут равны нулю следующие компоненты тензоров:

£13’ S12>	^11» ^12> ^13> ^16> ^21» ^22> ^23> ^26» ^34» ^35 >	, гт еоч

(11 .62)

^14» ^‘15> ^24» ^25> С34, С35> С46’ С56'

Следовательно, кристалл, принадлежащий к ромбо-тетраэдрическому
классу1) (симметрия 2 : 2) и имеющий три оси второго порядка, которые совпа-
дают с осями х, у и z, будет иметь лишь следующие ненулевые компоненты
тензоров второго, третьего и четвертого порядков:

sll, е12> ®33!	^25> ^36>	С11> С12) С13> С22, 623> С33> С44> С55> С66 (П.63)

и аналогичные компоненты для других тензоров таких же порядков.	
Если ось z является осью симметрии третьего порядка,	то направляю-
щие косинусы для симметрической операции вращения на	120° по часовой
стрелке вокруг оси z равны	
°’5> °’866'	-0;
4-=^ = 0,866,	=	-0;	(П.64)
	-1. •
• Прилагая схему косинусов (П.64) к преобразованию тензора второго
порядка по уравнениям (П.54), найдем следующие выражения для новых
компонент:

+	+	sl2- -0,433£11-0,50s12 + 0,433s22,

si3— —0,5 е13 — 0,866 s23, s22 — 0,75 sn —0,866 s12-{-0,25 е22,	(П.65)

s23 = 0,866 e13 — 0,5 s23,	£33-333.

Так как по условиям симметрии мы должны иметь £i3 = ei3, Сз£2з>
то третьему и пятому соотношениям (П.65) можно удовлетворить, лишь
полагая

S13^=S23 = 0.	.	(П.66)

Точно так же, решая совместно остальные три уравнения, найдем

212==6, $11 — s22.	(П.67)

Следовательно, не равны нулю только следующие компоненты:

гг1=-822, г33.	(П.68)

Аналогичным образом найдем ненулевые компоненты тензоров третьего
и четвертого порядков для кристалла, ось z которого является осью сим-
метрии третьего порядка:

^11, ^12—	^11? ^13	6, Z&J4, Л15, А16 —

^21“	^22» ^22> ^23 =	^24 ™ ^15> ^25 ~	^14; ^21 —	^11)	(П.69)

^31> ^32 “^31? ^33, ^34 — 0, ^35 “ 0,	=

С11> С12> С13> С14? С15 “ ' С25> С16~0,

-12’ С22 — С11, С23 =~ С13, ^24“ —с14, С25’ С26 ~~ 0»

С13’ С23“^13’ ^33’ С34 - 0, С35 = - 0, С36 — 0,	,

п	_П	(П.70)

С14> С24—	С14, С34 — О, С44, C,i5— 0, С^6 -С1б,

С15 ~	С25> С25’ С35 =	С45 ~ 0» С55 ~ С44> С56С14>

с16 ~ 0, С26 — 0, С36 - 0, C4e — С25, С56 ~= С14, Ссб~~2(.С11	с12/’

Если ось z является осью симметрии третьего порядка, а ось х — осью
симметрии второго порядка, как в кварце, то, сравнивая выражения для
компонент (П.56), (П.58), (П.60) с выражениями (II.68), (П.69), (П.70) соот-
ветственно, получим в результате следующий вид тензоров второго, третьего
и четвертого порядков (исчезающие компоненты приравнены нулю):

®11, е12 “ 0> £13 —

g12=0, S22—-11» £23 —	(П.71)

£13 =	£23 ~	£33'

^ii> hl2— hllf А13=0, Л14, /г15 -= 0, h16 — 0,

^21=== 0, Л22 ~~ 0, Л23 ~ 0, Л24 = 0, Л25 — —^14, ^2в = —(П.72)

^з1 = О, ^32 — 0, ^зз“ 0, /г34 — 0, Л3б — 0, Zi36 = 0.
с11> С12> С13’ С14> С15 ~	С16 ~ О»

С12> С-зг”6!!’ С23^=С13> С24 =	С14> С25 ~	С26 =

С13» ^23 ~ С13» С33> с34“0> С35 = О, Cog = О,

л л	(П.73)

С14, С$4 -— —С34 — О, С44, ^45 = 0, C^q = V,

С15 — О, С25 — 0, Сз5 = 0, С45 ~ О, С55 —С44, Cgg Cj4,

с16 ~	С26 = 0, С36 —0, C4g = 0, С56 = С14, с66—-^-(Сц с12).

Полная сводка тензоров второго, третьего и четвертого порядков для
всех 32 классов кристаллов приводится в гл. III, § 3, п. 1 —З1).

§ 4. Уравнения пьезоэлектрического эффекта для повернутой
системы координат

Другой важной задачей, решаемой тензорными методами, является
задача определения уравнений пьезоэлектрического эффекта для кристалли-
ческих пластинок, вырезанных косо по отношению к кристаллографиче-
ским осям. Такие пластинки косых срезов употребляются потому, что обла-
дают иногда свойствами, которые не могут быть получены у обычных пласти-
нок, вырезанных вдоль кристаллографических осей. Среди этих свойств
могут быть высокая электромеханическая связь, отсутствие нежелательных
типов колебаний (моночастотность) или низкие температурные коэффициенты
частоты. Для того чтобы изучить поведение таких кристаллических пласти-
нок, необходимо уметь выражать уравнения пьезоэлектрического эффекта
в форме, подходящей для любых ориентаций. Обычно при первом измерении
свойств кристаллов употребляют целый ряд пластинок косых срезов, так как
определенные для этих пластинок значения резонансных частот и импедан-
сов могут быть использованы для вычисления всех основных постоянных
кристалла.

Перепишем вновь уравнения пьезоэффекта (П.51):

71 hl "=	hnhl^ni Ет ~~	ij.

Левая часть первого уравнения представляет тензор второго порядка, а левая
часть второго—тензор первого порядка. Если мы хотим преобразовать эти
уравнения к другой системе осей х', у’, z', необходимо использовать

*) Матрицы направляющих косинусов для симметрических операций инверсии
(отражение в точке), поворота вокруг оси z на любой угол ср и отражения в плоскости
симметрии, перпендикулярной к оси z, имеют соответственно вид

— 10	0

0—1 о

0	0—1

cos ср —sin ср 0

sin ср	cos ср 0

0	0	1

10	01

0	10

0	0-1

С помощью этих п аналогичных матриц направляющих косинусов if уравнений пре-
образования тензоров можно выяснить вид тензора для любого из 32 классов кри-
сталлов. Полезно отметить, что величины а^, входящие в матрицу косинусов, связаны
между собой следующими соотношениями:

з	з

>1 <?/*==l, 7 — 1, 2, 3,	— Ч, Л = 1, 2, 3, j к.

i=t	t=l
уравнения преобразования тензоров (П.16). Тогда получим

дх'ъ dx'j
rnf	ft L rrt

дх^ дх^
дхь dxt

+ ^Ci2/jj6'12 -j- 2ci3fei*S*13 —j- c^ki>S22 2(fykliS2s 4- с^м338) —

do^ dx?

~d^^i ^hikl^ +	+ hah^’	(

gxf

E'm - 4"ГС (Pml\ 4~ Pm2$a + Pm3$3) —

dx'm

0^,	't- 2Ami2512 -}“ 2/zW13*$13 4-hm^S22 4~	23 4~^тззЗ33).

(П.74)

Эти уравнения выражают новые компоненты механического напряжения
и напряженности электрического поля через старые компоненты деформации
и электрической индукции. Чтобы довести преобразование до конца, необ-
ходимо преобразовать также компоненты последних величин к новым осям.
Для этой цели воспользуемся тензорными уравнениями

(п.75)

J дх^ ox. s	дхп	\	/

дх *
где —направляющие косинусы между старыми и новыми осями. Оче-
дх'г dxi
ТЭТЯТ1ТТГЧ ттгтчгч _   L	л ттлттпи л тлттг пм » г М^Т'ТТ ш гл гт к л от т

ВИДНО, что —	— —у , следовательно, можно			записать  1 _ dxi	
	1 дхг дх2 дх{ дх3  К» 	 	 d		’	дх'2 ’	3  дх2 = -s-у .  1 дх2 ’ дх3  в уравнения (П.74),		дх% ’  - ’ <п-76)  _ дх3
1- дх{ ’ Подставляя выражения (П.75)					дх^  приведем их к виду

_ п дх^дх^ дх. dXj	dx'h дх[ дх

1 Ы ~ Ci)kl dTk dxt	if пы дхк dxt дх'п °п

Q дх'дх	дх? дх. дх.

е^-=	-2-= а;,-hmilSh.

dx^yi дхп	dx^fi дх^ дх j

(П.77)

Эти уравнения пригодны для употребления при* любой ориентации кристал-
лической пластинки.

В качестве примера рассмотрим случай продольно колеблющейся пря-
моугольной кристаллической пластинки ADP. Выберем новые оси х^, х^
и x'z вдоль трех ребер в направлении длины, ширины и толщины пластинки

соответственно и определим упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические
постоянные этой пластинки, если ось х[ направлена под углом 6=45° к оси
х1г а ось х'з совпадает с осью х3. При этих условиях система направляющих

косинусов примет вид

dx'i

1 дхг

дхг д

-т-4-cos 9
дх\

тг —

п^

дх{
дх2
дх{
дх3

дх2 __
дх{

sin 6,

дх3 __ л
дх[ ’	’

2	дХ} ~дх2

дх»	дх2

^2 =	7Г~Г

дх2	дх%

— sin 9

cos 9

„	__ дх2 _ дх3 _ И

д^ "У

/ _ dx3
1з " дхг

дх',

а дх2

дх'а
ns д-1

3	дх3

дх2  п

дх3 ,
dx'A

(П.78)

Дигидрофосфат аммония принадлежит к тетрагонально-скаленоэдри-
ческому классу (класс 4-т). Форма его диэлектрического, пьезоэлектриче-
ского и упругого тензоров приведена в гл. III, § 3, п. 1—3. Развертывая
уравнение (П.77) с помощью системы направляющих косинусов (П.78)
при 6 = 45° и учитывая, что в силу условий симметрии целый ряд
компонент cfjki и hmki обращается в нуль, получим после приведения всех
компонент к компонентам с сокращенным числом индексов следующие
выражения:

rr' (с11 + с12 + 2сРв) п/ | (cfi + с?2	2с^)	, D аг 7

I г	-------- о ! -1----2------- ° 2 Т- С13д 3 — /г38й3 ’

Т'Л = e°S't + Л148.;,	(П. 79)



Et - hltS't + 4г (₽1тв;), Ег huS', 4- 4it •



Для длинной и тонкой кристаллической пластинки, колеблющейся по
длине, все компоненты напряжения, кроме Tv равны нулю. Поэтому более
выгодно пользоваться уравнениями, которые выражают деформации через
напряжения, ибо в них все компоненты напряжения, кроме Т'г, можно
положить равными нулю. В таком случае все компоненты деформации
будут выражаться через компоненту и только она одна должна быть
определена. Более того, поскольку для определения свойств кристаллов
обычно употребляются пластинки с металлическими электродами на
главных гранях, так что поперечное электрическое поле равно нулю,
то единственной ненулевой компонентой поля остается компонента Е’^
если ось х3 или z' направлена вдоль направления толщины. Следовательно,
уравнения, выражающие деформацию через компоненты механического напря-
жения и напряженности электрического поля, обладают большими преиму-
ществами при определении свойств продольно колеблющихся кристалличе-
ских пластинок. Если известна ориентация таких пластинок по отношению
к кристаллографическим осям, можно определить все упругие постоянные,
за исключением сдвиговых упругих постоянных. Кристаллические пла-
стинки косых срезов, колеблющиеся по длине, позволяют также определить
все пьезоэлектрические и диэлектрические постоянные кристалла.

Для таких измерений необходимо определить выражения упругих, пье-
зоэлектрических и диэлектрических постоянных прямоугольной кристалли-
ческой пластинки, ориентированной произвольно по отношению к кристал-
лографическим осям.

Примем за новые оси xlf х2 и х3 три ребра пластинки, направленные
соответственно вдоль длины, ширины и толщины пластинки. Начнем наше-
рассмотрение с уравнений

*5г/ — SijklTkl dijmEm >

6т	(П.80)

'	^--- — E^ + d^Tw.
и преобразуем их для повернутой системы осей, пользуясь системой напра-
вляющих косинусов (П.76). В результате получим

, _ е dxi dxj dxk dxi	dx^dx'jdxm

6 V ~ Sijhl d^t dZ- dZ te' 1 kl dijm d^i Ч/"1 ’

T	dx' dx	dx' dxk	dxi	'	<П-81)

	 smn	__n____r?f	। j	n R_l	rpf
n___________________________________________4rc	dxn dx'm	m	dxn dx&	dx't

Все компоненты механического напряжения и напряженности электриче-
ского поля, за исключением и Е3, можно положить равными нулю.
Кроме того, все компоненты деформации связаны зависимостями с
Следовательно, для тонкой пластинки, колеблющейся по длине, остаются
лишь следующие уравнения

ы	Е dx'i dx[ дх^ dxi т,	дх’г дх’х дхт р,

11	^ijkl	qx^ ii i г/m qx^ qx^ qx^ ^3?

'	3x% dX'jryi	. 7 дх^ dxi rptf	(П.82)

3 4tc dxn dx3 3 * ntll dxn dx'x dx{ 11 '

Переходя к компонентам с двумя индексами, получим для кристалла с наи-
более низкой симметрией

*Е	Е Е ?4 । /о Е । Е\ ?2 2 । /с\ Е । Е\	2 

Sill $11 " $11 Al (^12 i $вб) ^1 ^1 “Н (2^1з Ч" $55) ^i +

. о / Е । Е \ у 2	1О 7 $	। о Е у 3	1 Е 4 

Ч~ 0>14 $5б) К ^1^1 Н”	-р 2si6Z177Z1 *4“ $22^1 '

+ (2 sf3 4- 4)	+ 2 d + 4) m2i lini +

+ 1г 4- s^3ni + 2$^ + 2sf5n13Z1 -J- 2 (sfe + 4)	> (П.83)

rfgil C?31	4“ ^12^3^1	^13^3^1 ~H ^14^3^’1^’i “b ^15^3^1^! H-

.	+	+ d21m3ll + d22m3m^ + d23m3nl + d^mjn^ +

d23n3lj7b1 d2eiri3l1 Z7?j —|- d31n3l^ -f- d32n^n^ -f-

4- d33n3n* 4- d^m^ 4- d33n3lrnx 4- d33n3lxmlt

£33	S11^3 + 2гТ2^3^3 “b 2е13^3^3 “b S22W'3 “Ь 2е23^3И3 “Ь £33^3 ‘

Следовательно, проводя измерения пластинок 18 срезов с независимыми
направляющими косинусами, можно полностью определить 9 постоянных
гибкости и установить 6 соотношений между остальными 12 постоянными.
Из этих измерений можно также определить все пьезоэлектрические и ди-
электрические постоянные. Практически постоянные можно определить,
измеряя резонансную и антирезонансную частоты и емкость пластинки при
низких частотах. Резонансная частота /ц определяется по формуле

^=4-/4®	(П-84)

Р511

для любой длинной и тонкой продольно колеблющейся пластинки. Следо-
вательно, если плотность р и длина I пластинки известны, то, измеряя резо-
нансную частоту, можно вычислить s^. Используя значения для 15 не-
зависимых ориентаций пластинок, получим достаточно данных для опреде-
ления постоянных гибкости, входящих в первое из уравнений (П.83).
Емкость кристаллической пластинки повернутого среза, измеренная при низ-
ких частотах, определяет диэлектрическую проницаемость е^'. Шести неза-
висимых ориентаций пластинок достаточно для определения шести компонент
диэлектрической проницаемости Разность между резонансной и анти-
резонансной частотами	—fR определяет величину пьезоэлектриче-

ской постоянной а1Х по формуле

<п-85)

Знание величин d' для 18 независимых ориентаций достаточно для опре-
деления 18 независимых пьезоэлектрических постоянных, входящих во вто-
рое уравнение (П.83).

Оставшиеся 6 постоянных гибкости можно определить при измерениях
сдвиговых колебаний длинной и тонкой кристаллической пластинки. Посколь-
ку используются сдвиговые колебания контурного типа, соответствующие
уравнения значительно более сложны, чем уравнения для продольных
колебаний. В эти уравнения входят модули упругости, которые не являются
модулями, измеренными при постоянном поле или постоянном электриче-
ском смещении. Уже было показано [см. (5.62)], что основная частота кри-
сталлической пластинки с направлением длины вдоль xlf направлением ши-
рины вдоль .т2 (направление, определяющее частоту) и направлением тол-
щины вдоль xs (направление приложенного поля) определяется выражением

4 . /\с’ Е 4- сс’ Е 4- 1/ (сс> Е — ес> EV 4- 4 (У’Е\2

^^у с22 1 с66 ПГ Г \с22 —С66 ) 1£\с26 )	(П.86)

причем контурные модули упругости связаны с основными постоянными
гибкости следующим образом:

Е Е ( Еу>	„ ЕЕ ЕЕ

__ *11*66	(*1б)	, *12*16	*11*2в

С22	Д	’	С26	Д

где

	Е  S11	Е  S12	sE  *16
	се to	sE  *22	sE  *26
	се  S Й	Е $26	sE'  *66

„с>Е_____ Ь — (6'12 )2

С6в	д

(П.87)

(П.88)

Все постоянные гибкости, за исключением постоянных и s^, могут быть
определены раздельно друг от друга при измерениях на продольно колеб-
лющихся кристаллических пластинках, и, кроме того, может быть определена
сумма (2s+ sf6). Измерение сдвиговых колебаний пластинки при низких
частотах дает еще одно соотношение между и sf6, и, следовательно, по-
стоянные sE и могут быть однозначно определены. Точно так же при изме-
рениях на кристаллических пластинках, вырезанных нормально к оси хг
[с шириной вдоль оси х3) и нормально к оси х2 (с шириной вдоль жД, опреде-
ляются соответственно постоянные	и sf5, Эквивалентные по-

стоянные гибкости можно получить для первой пластинки, прибавляя еди-
ницу к каждому индексу 1, 2, 3 или 4, 5, 6 и подразумевая, что 34-1—1 и
64-1 = 4. Для второй пластинки к каждому индексу прибавляется 2.

Наконец, последние три постоянные гибкости можно определить при
измерении сдвиговых колебаний трех пластинок, длины которых направлены
по одной из кристаллографических осей, а ширина (направление, опре де ля-
ющее частоту) составляет угол 45° с остальными двумя кристаллографиче-
скими осями.

Более высокая симметрия кристалла, чем здесь рассмотренная, будет
уменьшать число независимых постоянных, а следовательно, и число
ориентаций, необходимых для определения основных постоянных.

§ 5. Температурные эффекты в кристаллах

В гл. III было выведено общее выражение, учитывающее влияние темпе-
ратуры и энтропии на постоянные кристалла. Было дано два способа рас-
смотрения: в одном из них за независимые переменные принимались меха-
ническое напряжение, напряженность электрического поля и температура,
а во втором—деформация, электрическая индукция и энтропия. В тензор-
ной форме 10 уравнений, выраженных вторым способом, имеют вид

ты = eSs s,,-	dQ,

Е„ =--	+	dQ ,	(11.89)

de = - e^f Sil - e<i^D .

Уравнения пьезоэлектрического эффекта уже рассматривались для адиаба-
тических условий, при которых теплообмен между различными элементами
кристалла исключен.

Если теперь какому-либо элементу кристалла внезапно сообщается ко-
личество тепла dQ, то первое уравнение показывает, что возникшее от мгно-
венного расширения напряжение пропорционально постоянной ^’D и оно
должно быть компенсировано отрицательным напряжением (сдавливанием),
для того чтобы в кристалле не возникли деформации или электрическая индук-
ция. Этот эффект может быть назван тепловым эффектом механического на-
пряжения. Второе из уравнений (11.89) показывает, что если к кристаллу
добавляется количество тепла dQ, то необходимо приложить обратное поле Ет
для того, чтобы деформация и поверхностные заряды не изменились. Этот
эффект может быть назван тепловым эффектом электрического поля. Нако-
нец, третье из уравнений (П.89) показывает, что существуют обратные
эффекты, при которых изменение температуры происходит под действием
механической деформации или электрической индукции даже без добавления
тепла dQ. Эти эффекты могут быть названы температурными эффектами
механической деформации и электрического заряда.

Первая форма выражения уравнений пьезоэффекта, даваемая уравне-
ниями (3.56), более привычна. Эти уравнения в тензорной форме имеют вид

Su = ты + i,Em+de,

T,0

8» - d^Tbi +	Em + Pn dO,	(П.90)

dQ e do = tu + e pl e„+Pc? de.

Величины 4 являются коэффициентами теплового расширения, измеряв-
мыми при постоянном поле. Они образуют тензор второго порядка, обладаю-
щий, вообще говоря, шестью комповентами.

Величины р? представляют пироэлектрические постоянные, измеряю-
щие прирост электрической индукции при возрастании поляризации или
поверхностных зарядов вследствие возрастания температуры. Каждая вели-
чина р? равна сумме двух величин: пироэлектрической постоянной, измеряю-
щей так называемый «истинный» пироэлектрический эффект, т. е. возрастание
поляризации при возрастании температуры, если объем кристалла сохра-
няется постоянным, и пироэлектрической постоянной, измеряющей так
называемый «ложный» пироэлектрический эффект первого рода, т. е. поля-
ризацию, вызванную однородным расширением кристалла при возрастании
температуры на dQ. Как уже упоминалось, более логично называть оба эти
эффекта пироэлектрическими эффектами при постоянной деформации и
постоянном механическом напряжении. Подставляя во второе уравнение
(П.90) выражение для компонент механического напряжения из первого
уравнения, найдем, что

..	(П.91)

гп 1 п г] ni]	х /

Следовательно, разность между пироэлектрическими постоянными, измерен-
ными при постоянном механическом напряжении, и пироэлектрическими
постоянными, измеренными при постоянной деформации, определяется вели-
чиной «ложного» пироэлектрического эффекта первого рода

Первый член в правой части последнего из уравнений (П.90) определяет
так называемую теплоту деформации, т. е. тепло, вызванное приложенным
напряжением Ты- Второй член характеризует электрокалорический эффект,
так как определяет тепло, вызванное приложенным полем Ет. Последний
член представляет умноженную на плотность р удельную теплоемкость при
постоянном давлении и постоянном поле.

Коэффициенты теплового расширения afj образуют тензор второго
порядка. Следовательно, тензор имеет те же самые компоненты для раз-
личных классов кристаллов, что и тензор диэлектрических постоянных, при-
веденный в гл. III, § 3, п. 1.

Тензоры пироэлектрических постоянных р? и р® в общем случае будут

иметь три компоненты рг , р2 и р3, поскольку они являются тензорами пер-
вого порядка. Таким же образом, как для тензоров второго, третьего и чет-
вертого порядка, можно показать, что различные классы кристаллов обла-
дают следующими компонентами тензора первого порядка:

Класс 1: компоненты р1} р2, р3.

Класс 3 (ось симметрии второго порядка совпадает с
осью у); компоненты 0, р2, 0.

Класс 4: компоненты рг, 0, р3.

Классы 7, 10, 14, 16, 20, 23 и 26: компоненты 0, 0, р3.	(П.92)

Классы 2, 5, 6, 8, 9, И, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22,

24, 25, 27, 28, 29, 30, 31 и 32: компоненты 0, 0, 0, т. е. р~0.

Для гидростатического давления р тензор механического напряжения
имеет компоненты

- Т22 = Гзз = ~ Р>	Т12 =•- Т13 - Т23 = 0.	(П.93)

Следовательно, уравнение для электрической индукции (П.90) может быть
записано в форме

то

8. --^Em-dlp + p^de,	(П.94)

где выражение

denp =	+ dena Тм + dl„ T„

представляет свернутый тензор dnudThk. Это тензор первого порядка, кото-
рый имеет те же самые компоненты для различных классов кристаллов, что
и тензор рп пироэлектрических постоянных.
§ 6. Эффекты второго порядка в пьезоэлектрических кристаллах

До сих пор мы рассматривали только условия, при которых механиче-
ское напряжение и напряженность электрического поля зависели от дефор-
мации и электрической индукции линейно. Если рассматривать нелинейные
соотношения, можно обнаружить ряд эффектов второго порядка. Такие со-
отношения представляют известный интерес для сегнетоэлектрических кри-
сталлов, подобных сегнетовой соли. В сегнетоэлектрических кристаллах
спонтанная поляризация, существующая в определенном температурном
интервале, связана с так называемым кооперативным эффектом в кристалле,
т. е. с ориентацией всех элементарных диполей данного домена в одном и
том же направлении. Поскольку в таких кристаллах существует спонтанная
поляризация, имеет смысл выразить соответствующие соотношения через
электрическую индукцию, а не через напряженность внешнего поля. В эф-
фектах второго порядка роль тепловых эффектов незначительна, так что можно
принять за независимые переменные только механические напряжения
Тц и электрическую индукцию D. Проводя разложение компонент деформа-
ции и электрического поля в ряд Маклорена по механическому напряжению
и электрической индукции, получим, ограничиваясь членами второго порядка,
следующие выражения в тензорной форме:

дТк1 дЪп п+ 2! \дТыдТ^1и1(1г^

<П'95)

__ дЕт „у дЕта j. I 1 f d^Efd гр гр ।
dThl дЪп bw+ 2! \dTkldTqrlkllqr~^

। 9 d2Em rp j. । d^Em j, j, j

+ 2 dTkl дЪп 1 klbn + дЪ0 ЬпЬ(>) +  • • ’

где, как и прежде, 8 = 7)/4тс.

Вводя термодинамический потенциал Нг, имеем

dHr =

Следовательно,
о дНг р _дНу й _ dHt
dTij ’

Поскольку порядок дифференцирования безразличен, между частными про-
изводными существуют следующие соотношения:

, dsn _ д	д^н1 _ дЕп

дЪп ~ дЪп\ дТд)~~ дЪпдТд~ дТц •

Входящие в разложение (П.95) частные производные первого порядка
нам уже встречались и были определены как

dSH — SD dSH_________дЕп 7 dEm _ , _nT	/тт qcx

дтм ~ wv дъп ” dTi, ~8гзп' chn ?mn'	щ.ио;

где s°kl — постоянные гибкости кристалла, измеренные при постоянной
электрической индукции, — пьезоэлектрические постоянные, связываю-
щие деформацию с величиной электрической индукции, деленной на 4тс,
и — компоненты тензора диэлектрической непроницаемости, измеренные
при постоянном механическом напряжении. Для частных производных вто-
рого порядка введем следующие обозначения:

д$гз	d2Sij __ д2Еп _______9 MD

dTkl dTqr * ijhlqr’ dTkl дЪп “ dTM dTij ~ ijhln’

_ d*En _9nD d*Em 9f)D	(П-97)

ds0 дт^ db0 — Л<г^по > dbn as0 ZUmno •

Величины N, M, Q и О являются тензорами соответственно шестого,
пятого, четвертого и третьего порядка. Их интерпретация приводится ниже.

При этих обозначениях соотношения (П.95) принимают вид

Sii — Tki (Sijki -}- TVijklqrTqr jjkln^n) “Г (gijn Qijno^o),

| Em~ Tkl (gmhl + MijkinTqr -p 2Qklmv$n) 4*	"Г Omnfio)-

В такой форме интерпретация членов, характеризующих эффекты второго
порядка, очевидна. Nfjhiqr представляет нелинейное изменение постоянных
гибкости SijM, вызванное приложенным напряжением Tqr. Так как произве-
дение N^jkiqr'Tqr представляет (после свертывания по индексам q, г) тензор чет-
вертого порядка, это будет поправочный член к постоянным гибкости. Тензор
Mijkin может представлять или нелинейный поправочный член к постоянной
гибкости, связанный с приложенной электрической индукцией Dn, или по-
правку к пьезоэлектрической постоянной gmki, обусловленную напряжением
Tki. В силу второго тождества (П. 96) получается второе соотношение (П. 97)
для М^т- Тензор четвертого порядка Qijn0 описывает эффект электрострик-
ции в кристалле, ибо он определяет деформацию, пропорциональную квад-
рату электрической индукции. Удвоенную величину тензора электрострик-
ции Qkimn, появляющуюся в выражении (П. 98) для компонент напряженности
электрического поля, можно трактовать как величину изменения обратной
диэлектрической проницаемости (т. е. диэлектрической непроницаемости),
вызванного приложенным механическим напряжением. Так как изменение
диэлектрической проницаемости приводит к появлению в кристалле двойного
лучепреломления света, этот тензор характеризует пьезооптический эффект.
Тензор третьего порядка Отпо характеризует изменение диэлектрической
непроницаемости, связанное с изменением напряженности электрического
поля, и, следовательно, описывает электрооптический эффект в кристаллах.

Полученные соотношения можно также использовать для исследования
изменений, наблюдающихся в сегнетоэлектрических кристаллах (таких,
как сегнетова соль), в присутствии спонтанной поляризации. В этом случае
элементарные диполи кристалла в данном домене ориентируются параллельно
и одинаково направлены. Для сегнетовой соли такими направлениями слу-
жат оба направления оси х. Электрическая индукция Dx вдоль оси х будет
равна

8« = > = > + Р«» + /’х<1 = ^ + Рч,	(П.99)

гДе PXq—поляризация электронного и атомного смещений и Рх<1—дипольная
поляризация. Поляризация электронного и атомного смещений определяет-
ся полем и поэтому может быть связана с напряженностью поля через
диэлектрическую проницаемость е0, представляющую не зависящую от тем-
пературы часть диэлектрической проницаемости. При появлении спонтан-
ной поляризации в кристалле возникает поле Ех, которое быстро нейтрали-
зуется потоком электронов через поверхность и объемной проводимостью
кристалла, так что через короткое время £'х=0. Следовательно, для лю-
бых остаточных изменений в'кристаллах мы можем положить

0х

р = р±

4тс d л

(П.100)

Фиг. 199. Зависимость спонтанной поляризации сегнетовой
соли от температуры.

поляризации заключается в появлении спонтанной деформации, пропорцио-
нальной первой степени поляризации (пьезоэлектрический эффект), и де-
формации, пропорциональной квадрату поляризации (эффект электрострик-
ции). Спонтанная поляризация вдоль оси ж4 существует в сегне-
товой соли в температурном интервале от—18 до -р24°С. Температурная
зависимость спонтанной поляризации представлена на фиг. 1991). Единствен-
ной пьезоэлектрической постоянной, определяющей спонтанную деформацию
в сегнетовой соли, будет g14/2 = g123. Следовательно, спонтанная поляризация
Рх вызывает спонтанную деформацию сдвига S4, равную gi4Px; после под-
становки экспериментальных значений получим

54 = 63 • 10-8 • 760 = 4,8 . 10-4.	(П.101)

Так как величина измеряется косинусом угла, равного 90° плюс угол
деформации, то вычисленное значение (П. 104) показывает, что прямоуголь-
ные оси ромбической ячейки отклоняются от прямого угла на1'36"2). При-
веденное отклонение должно иметь место для любого домена. В кристалле
с несколькими доменами результирующее отклонение будет меньше из-за
частичного ослабления поляризации под действием противоположно поляри-
зованных доменов. Измерение угла отклонения для монокристалла
проведено Мюллером [5], который приводит величину 3' 45".

т) За меру спонтанной поляризации принята остаточная поляризация, когда направ-
ления поляризации всех доменов параллельны [4].

2) Это относится только к углу между осями у и z. (Прим. ред.)
Этим вопросом также занимались Вуд и Мэзон, которые измеряли коэф-
фициенты теплового расширения вдоль осей у и z и сравнивали их среднее
значение со значением коэффициента расширения по направлению, прохо-
дящему под углом 45° к осям у и z. Разность между этими двумя величи-
нами определяет изменение угла между осями у и z, вызванное спонтанной
деформацией. Результаты измерений представлены на фиг. 200. За пределами

Ф и г. 200 Тепловое расширение пластинки сегнетовой соли вдоль
направления, лежащего под углом 45° к осям у и z, измеренное по
отношению к размерам при температуре 25° С.

Пунктирная кривая—среднее значение расширений вдоль осей у и z. Сплош-
ная кривая—’экспериментальные значения расширения вдоль направления, ле-
жащего под углом 45° к осям у И Z.

сегнетоэлектрического интервала расширение вдоль диагонали совпадает
со средним значением расширений вдоль осей у и г, измеряемых по отноше-
нию к размерам при температуре 25°С, принятым за начальные. Внутри
интервала Кюри наблюдается расхождение, указывающее на то, что угол
между кристаллографическими осями у и z уже не равен 90°. Максимальное
расхождение при 0°С равно 1,6- 10~4 см]см. Это соответствует изменению угла
между осями на 1'6". При других температурах величина изменения угла
уменьшается в соответствии с уменьшением спонтанной поляризации. Было
найдено также, что практически одна и та же зависимость получается для
любого из двух направлений, проходящих под углом 45° к осям у и z. Это
обстоятельство указывает на то, что механические смещения, приложенные
с помощью оптиметра, употребляющегося при измерении расширения, при-
водят к смещениям, определяющим направления поляризации наибольшего
числа доменов.

Члены второго порядка, описывающие деформацию, пропорциональную
квадрату спонтанной поляризации, входят в выражение

*У«=-<2м,,Л2-	(П.102)

Так как Q является тензором четвертого порядка, он будет иметь три
не равные нулю компоненты для ромбо-тетраэдрического кристалла (класс
сегнетовой соли), и уравнения (П. 102) примут вид

VO,’.	•	(П.103)

G целью обнаружения этих эффектов были проделаны тщательные измерения
теплового расширения вдоль осей ж, у иг. Результаты приведены в табл. 30.
Вследствие малых значений относительного расширения, трудно выделить
спонтанные компоненты по графику. Выражая относительное расширение
в виде

= аг (Г - 25) + «2 (Т7 - 25)2 + а. (Т - 25)3	(П. 104)

и оценивая величину постоянных вне сегнетоэлектрического интервала
температур, можно установить нормальную зависимость. Для осей х, у
и 2 выражение (П.104) принимает вид

~ = 69,6  10-6(7-25)2 + 7,4 • 10-8 (Т-25)2-3,13 • 10-10 (Т — 25)3

Ju

(направление ж),

^ = 43,7 • 10-6(Т-25) + 8,16 • ПК8 (7-25)2-3,60 • 10“10 (71 - 25)3
Zj

(направление у),	(П.105)

^ = 49,4  10-6 (Г —25) + 1,555-10-8 (Т - 25)2-2,34 • 10-10 (Г-25)3
(направление z).

Различие между плавным ходом кривых и экспериментальными значениями
внутри интервала Кюри можно видеть на фиг. 201, где экспериментальные
значения нанесены значками. Сплошная и пунктирные кривые представляют
деформации, пропорциональные квадрату спонтанной поляризации, согласно
(П. 103), причем для лучшего совпадения кривых с экспериментальными дан-
ными выбраны следующие значения постоянных электрострикции:

<?.Din=-86,5-10-4 С°п-+17,3- 10-12,	(П.106)

efsn=-24,2-10-4

Еще один эффект, наблюдающийся в сегнетовой соли, заключается
в том, что некоторые упругие постоянные внезапно изменяются на небольшую
величину в точках Кюри. Как можно видеть из первого уравнения (П.98),
этот эффект вызывается тензором Jkfijkin, определяющим нелинейную по-
правку к постоянным гибкости в присутствии спонтанной поляризации Ру.
Второе уравнение (П.98) показывает, что этот же тензор определяет нелиней-
ную поправку к пьезоэлектрическим постоянным gmki- Поскольку изменение
Таблица 30

Измерения теплового расширения вдоль трех кристаллографических осей

Температура, °C	Относительное расширение вдоль оси х - 104	Температура, °C	Относитель- ное расши- рение вдоль оси у • 104	Температура, °C	Относительное расширение вдоль оси Z • 104
39,6	10,2	35,0	4,45	34,9	4,9
38,7	9,46	30,3	2,5	29,9	2,5
35,2	6,96	25,25	0,2	25,05	0,05
30,2	3,63	23,9	- 0,42	24,0	-0,5
27,2	1,41	22,9	- 0,88	19,95	— 2,62
26,2	0,71	19,35	- 2,4	14,95	-5,11
25,15	0,06	14,9	- 4,25	9,75	-7,55
24,0	-0,71	10,0	- 6,25	4,9	-9,9
23,0	-1,39	5,4	- 8,18	0	-12,31
21,8	-2,37	0,3	-10,15	-6,35	-15,3
16,0	-6,5	-9,7	-13,98	-10,5	-17,29
15,2	-7,05	-16,3	-16,41	-15,0	-19,42
4,9	-14,12	-20,85	-17,94	-18,0	-20,86
0,3	-17,28	-25,1	-19,22	-23,2	-23,08
— 4,7	-20,3	--30,3	-20,8	-25,1	-23,96
-10,7	-24,0	-35,0	-22,23	-31,1	-26,59
-15,3	-26,6	-39,7	-23,54	-35,0	-28,28
-20,7	-30,2	-53,2	-27,60	-40,0	-30,4
-25,7	-32,7				
-30,1	-35,2				
-34,7	-37,85				
-40,7	-41,25				
-45,0	-44,0				
-50,5	-47,0		1		

постоянных гибкости устанавливается гораздо легче, чем нелинейное измене-
ние пьезоэлектрических постоянных, только первый эффект определяется
при эксперименте достаточно надежно. Так как в кристаллах сегнетовой

соли все три кристаллографические оси являются осями симметрии второго
порядка, легко показать, что тензор пятого порядка будет иметь не равными

нулю компоненты:

MD MD MD

1К£ 11123’	12223’	12333

(П.107)

и все компоненты, получающиеся отсюда путем перестановки и комбинации
индексов. Поэтому в присутствии спонтанной поляризации постоянные
гибкости принимают вид

$мм —

(П.108)

Сравнивая эти выражения с соотношениями (П. 30), видим, что спонтанная
поляризация дополняет число постоянных гибкости между двумя точками
Кюри следующими постоянными:

£Н   (-^11231 + -^11321 + 23111 + 32111) Р\

*14"-	2	’

D ___ 22231 + -^22321 + -^23221 + ^32221) ^1

‘	О	?

D _	23331 4 Л^32331 +-^33321 + ^33231) ^1

*34"	2

в зависимости от температуры.

Кривые представляют деформации, пропорциональные квадрату спонтанной поляриза-
ции. Значками отмечены экспериментальные значения.

Следовательно, в i	грисутствии спонтанной поляризации		тензор постоянных
гибкости имеет вид			
	$11	$12	$13	$14	0	0		
	$12	$22	$23	$24	0	0		
	$13	$23	$33	$34	0	0  $14	$24	$34	$44	0	0		(П.110)
	0	0	0	0	$55 $б0		
	0	0	0	0	$б6 $б6		
Сравнивая этот тензор с тензорами четвертого порядка, приведенными
в гл. III, § 3, п. 3, видим, что между точками Кюри кристалл относится
к диэдрическому осевому классу моноклинной системы и имеет ось симмет-
рии второго порядка, совпадающую с осью х. Вне интервала Кюри кри-
сталл становится ромбо-тетраэдрическим. Эта интерпретация согласуется
с кривыми теплового расширения (см. фиг. 200).

Внезапное появление поляризации влияет на величину резонансной
частоты кристаллической пластинки 45° Х-среза, так как для пластинки

Фиг. 202. Частотная постоянная и добротность Q для пластинки
45° Х-среза сегнетовой соли в зависимости от температуры.

Штрих-пунктирной линией показан теоретический ход изменения частотной посто-
янной без учета появления спонтанной поляризации. Сплошная линия—эксперимен-
тальная кривая

Х-среза с длиной, направленной вдоль оси у' под углом 0 к оси у, вели-
чина 'постоянной гибкости S22 определяется выражением

= sf2 cos4 9 + 2s? cos3 0 sin 0 4- (2s? -|- s?) 84112 $ cos2 $ +

4-2sf4 sin3 0 cos 0 + sf3 sin4 9,	(П.111)

которое для угла 9 = 45° принимает вид

„*Р ..... $22 + 2 (Р? + $23 +	+ $44 + $33 .	(£[ j j£)

Для пластинки 45°Х-среза при появлении спонтанной поляризации мы долж-
ны ожидать внезапного изменения величины s2f в связи с появлением доба-
вочных постоянных гибкости s?4 и s?- Такое изменение и было отмечено
для сегнетовой соли [6], как показано на фиг. 202, на которой приведена
температурная зависимость частотной постоянной неметаллизованной пла-
стинки, имеющей постоянные гибкости типа s?j. Следовательно, внезапное
изменение постоянной гибкости s^ является результатом появления двух
новых постоянных гибкости и sf4, вызванных спонтанной поляризацией
и учитывающих эффекты второго порядка. Величина суммы этих двух по-
стоянных для средней температуры в интервале Кюри (3° С) равна

~Н?4 = 4,1 • 10-14 см*)дин.	(П.113)

Пластинки, вырезанные перпендикулярно к осям у и г, не должны обна-
руживать спонтанного изменения частотных характеристик, так как спонтан-
ные величины s14, s24, s34 и s5e не влияют на величину модулей Юнга в пло-
скостях, нормальных к осям у и г. Эксперименты на пластинках 45°У-среза
не обнаруживают спонтанного изменения частоты в точках Кюри, хотя
между точками Кюри происходит значительное изменение температурных
коэффициентов постоянных гибкости. Это изменение является следствием
эффектов третьего порядка и не рассматривается здесь.

Спонтанная постоянная гибкости s66 влияет на величину постоянной
сдвиговой гибкости s'6 для пластинки, повернутой вокруг оси х, и может
быть определена экспериментально. Однако экспериментальных значений
до сих пор не было получено.

Влияние спонтанной поляризации на электрическое поле, как можно
видеть из второго уравнения (П.98), проявляется в нескольких формах. На
поверхности неметаллизованной пластинки возбуждается спонтанное элек-
трическое напряжение, которое, однако, быстро исчезает в связи с поверх-
ностной и объемной утечкой в кристалле. Другими эффектами являются изме-
нение под действием спонтанной поляризации пьезоэлектрических постоянных
через тензор Quimn, изменение диэлектрических постоянных через тензор Отпо

и влияние механического напряжения на пьезоэлектрические постоянные
через тензор Mkimqr- Так как пьезоэлектрические постоянные измеряются
менее точно, чем упругие постоянные, первый эффект еще не наблюдался.

Добавочные пьезоэлектрические постоянные, вводимые через тензор
Qkimn, приводят к следующему виду тензора пьезоэлектрических постоян-
ных:

§11	§12	§13	§и	°	°

°	о	°	°	g25	£26

°	0	0	°	£35	£зб

(ПЛ 14)

Так как единственными не равными нулю постоянными для ромбо-тетраэдри-
ческого кристалла (класс сегнетовой соли) являются g14, g25, g3e, вид тензора
(П.114) еще раз показывает, что между двумя точками Кюри кристалл принад-
лежит к диэдрическому осевому классу и имеет ось симметрии второго
порядка, совпадающую с осью х. Добавочные постоянные, однако, так малы,
что при самых тщательных измерениях невозможно оценить их величину.
По величинам относительного расширения (П.105) и спонтанной поляриза-
ции можно вычислить теоретически максимальные значения постоянных
-6,6 • НУ8, 4-1,3 • 10-8, g13 = -1,8 • 10-8.	(П.115)

Эти величины составляют лишь около 6% величины постоянной g14, и точ-
ность пьезоэлектрических измерений пока не позволяет проверить справед-
ливость такой оценки.

Влияние тензора Отпо заключается в появлении спонтанной диэлектри-
ческой проницаемости s23 в интервале Кюри, так что тензор диэлектрической

проницаемости принимает вид

еп 0	0

°	£22	S23

°	£23	S33

(П.116)

Изменение диэлектрической проницаемости вызывает появление двойного
преломления света в направлениях, не лежащих вдоль кристаллографиче-
ских осей1). Для того чтобы получить спонтанный квадратичный эффект,
наблюдавшийся Мюллером [7], должны быть приняты во внимание производ-
ные третьего порядка.

§ 7. Затухание звука в газах, жидкостях и твердых телах,
вызванное вязкостью, теплопроводностью и гистерезисом

Согласно классической теории, наблюдающееся при распространении
плоских и других волн в жидкостях и газах затухание звука обусловлено
вязкостью среды и теплопроводностью, поскольку волны не являются строго
адиабатическими и теряют энергию путем переноса тепла от более теплых
и сжатых элементов объема к более холодным и разреженным элементам.
Поглощение в твердых телах и даже в жидкостях при очень высоких часто-
тах, повидимому, не относится к этому типу, а обусловлено гистерезисной
зависимостью деформации от механического напряжения. В пределах этой
зависимости деформация является неоднозначной функцией механического
напряжения. Такую гистерезисную зависимость можно описать, вводя ком-
плексную величину модуля упругости и приняв за коэффициент при его
мнимой части отношение ширины петли гистерезиса к ее длине. Так как
ширина петли пропорциональна длине, общая площадь поля петли будет
пропорциональна квадрату максимальной деформации. Следовательно, гис-
терезисные потери энергии не зависят от амплитуды. Целью настоящего
параграфа является рассмотрение уравнений, описывающих эти эффекты.
Для простоты будут рассмотрены только вещества, в которых невозможен
пьезоэлектрический эффект, хотя распространение теории на пьезоэлектри-
ческие вещества не представляет труда.

Если две горизонтальные плоскости находятся в вязком веществе на
расстоянии 1 см друг от друга, причем одна из плоскостей неподвижна,
а вторая движется со скоростью 1 см/сек, то, по определению, коэффициент
сдвиговой вязкости жидкости или газа численно равен тангенциальной силе,
действующей на единицу площади этих плоскостей. Следовательно, в вяз-
ком веществе механическое напряжение зависит не только от деформации
и температуры, но также и от скорости деформации. Если мы представим
анизотропную в отношении вязкости среду, в которой вязкость по разным
направлениям, вообще говоря, различна, то для фиксированного объема
такой среды механические напряжения и энтропия будут выражаться следую-
щими тензорными уравнениям^:

ЛТЫ = dSij +	dSit + ^d®,

dS_	OU

d^^dSii+~dSii + ~de,	(П.117)

075 o'	dSij

где Tki—компоненты механического напряжения, Sij—компоненты дефор-
мации, Si}-—компоненты первой производной деформации по времени, dQ—
приращение температуры и da—приращение энтропии. В гл. Ill, § 1, п. 4
было показано, что частные производные, входящие в уравнения (П.117),
можно выразить следующим образом:

dTkl__„©	дТы _ da __.g	da	__ pC„	,

дЗц ~ им’	oe ~ dSa	ip	50	“ ©	’	tu.iio;

r) Это утверждение является, повидимому, следствием недоразумения. В данном слу-
чае может итти речь лишь о появлении тех эффектов дву пре лом ления, которыми вызы-
вается явление моноклинной дисперсии биссектрис. {Прим, ред.)
где ctjki—изотермические модули упругости, X®—температурные коэф-
фициенты механического напряжения, измеряемые при постоянной дефор-
мации, р—плотность, Cv—удельная теплоемкость при постоянном объеме,
рассчитанная на 1 г вещества, и 0—абсолютная температура. Кроме того,
в уравнениях (П.117) содержатся еще две частные производные:

dTki	ds ~

(П.119)

Первая производная является обобщенным коэффициентом вязкости, а вто-
рая равна нулю, так как из-за постоянства скорости деформации энергия
не может запасаться в элементе объема. После подстановки в уравнения
(П. 117) этих выражений, а также мнимой части модуля упругости, описы-
вающего эффект гистерезиса, получим, отбрасывая дифференциальную форму
для компонент Т и 5,

Tkl — (cjjki 4 I'Hijhl) Sij-\ ^ijkl^'ii

(П.120)

1. Потери, вследствие вязкости, в жидкостях и газах в случае адиаба-
тической плоской волны. Если мы временно пе будем учитывать поглощение,
обусловленное теплопроводностью среды, и допустим, что распространение
волн происходит при строго адиабатических условиях, то в последнем из урав-
нений (П.120) можно положить da равным нулю и с помощью полученного
соотношения исключить dQ из первого уравнения (П.120). Тогда получим

(Cijkl “Ь J-ffijkl')

(П.121)

где

„а --/>0 I	та — -п®

Представляет некоторый интерес выяснить различие, существующее
между адиабатическими и изотермическими модулями упругости для газов
и жидкостей при низких частотах. Как показано ниже, модули упругости
для газа или жидкости сводятся к одному модулю объемной упругости
х==си—с12=с13, в т0 время как все другие модули равны нулю. Следовательно,
нас интересует только один модуль Сц=с1111. Из соотношения (3.38) полу-
чаем

M = ctjCn + a2c12 + a3c13 = % (ax 4- a2 + a3) = xa,

где a—коэффициент объемного расширения, равный сумме трех коэффициентов
линейного расширения. Следовательно,

= +	=	.	(П.122)

Другую форму для этого соотношения можно получить, используя соотно-
шение (3.40), которое для газа или жидкости принимает вид

p(Cp-Cv)-@a2z®.	(П.123)

Подставляя (П.123) в (П.122), получим

Ср
х® Cv 

(П.124)

Следовательно, отношение модулей упругости равно отношению удельных
теплоемкостей.

Для жидкостей и газов можно пренебречь членами, выражающими гисте-
резис, и, более того, можно рассматривать такие среды, как изотропные тела.
Так как обобщенные коэффициенты вязкости и модули упругости Sijki
являются тензорами четвертого порядка, то в случае изотропной среды оба
тензора будут иметь только по две независимых компоненты. В соответствии
с гл. III, § 3, п. 3 оба тензора, записанные в виде компонент с двумя индек-
сами, имеют вид

и

Сц	с12	С12	0	0	0
”12	С11	С12	0	0	0
С12	С12	С11	0	0	0
0	0	0	С11	С12  2	0	0
0	0	0	0	С11  2	£1_2	0
0	0	0	0	0	С11 — с12  2
*111	*112	*112	0	0	0
*112	*111	*112	0	0	0
*112	*112	*111	0	0	0
0	0	0	*]Ц — *112 2	0	0
0	0	0	0 -	*111—*1  2	L2 0
0	0	0	0	0	*111 —*112 2

(П.125)

В жидкостях и газах (по крайней мере при низких частотах) модули сдви-
говой упругости равны нулю, следовательно, с11=с12=*, где %—модуль объем-
ной упругости. Обозначим коэффициент сдвиговой вязкости (7]п—7]i2)/2 через ij
и отдельно т)12 через /. В таком случае 7]ц=х+2т]. При этих обозначениях
шесть уравнений для компонент напряжения (П.121) могут быть выражены
в символах с двумя индексами следующим образом:

11 — % (*^11 + ^22 + ^Зз) Ч~ (X + 21])	+	X	(5*22	+	^Зз)>

^22 — х (^11 + ^22 "Ь ^Зз) + (X + 2Т|) 6*22~Г X (*$11 + *$3з)»

^33 = х (*^11 + *^22 Ч - ^зз) + (X“l“ ^TQ) <$33 + X (*$11 + *$22)>	/у,	л л f>у

^11 . 1ы

^*12 =	,

^13 — *1^13,

. Т123 — Т]6*23.

В эти уравнения входят два коэффициента вязкости: коэффициент сдви-
говой вязкости т] и коэффициент объемной вязкости /.

Согласно предположению Стокса, экспериментально проверенному для
одноатомных газов и жидкостей, распространяющаяся упругая волна,
при которой расширение и сжатие элементов объема происходит равномерно
во всех направлениях, не вызовет сил вязкости, а приведет лишь к тому, что
действительное давление оказывается равным статическому давлению, соответ-
ствующему действительной плотности элемента объема. Такое колебательное
движение будет происходить, если

*11 = «$22 = *$33 И ^12 == *$13 = *$23 = 0.	(П.127)

При этих условиях

Т u = Г22 = Т33 = 3xSu + (ЗХ + 2т)) S	(ПЛ 28)

Если расширение происходит при отсутствии сил трения, то

(3x4-27,) -= 0 и х=-	(11.129)

Поскольку эти соотношения справедливы не во всех случаях, мы сохраняем
общую форму уравнений (П.126) и используем соотношения (П.129) лишь
там, где они применимы.

Чтобы получить уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль
оси х, используем уравнение (3.5). Заменив его левую часть произведением
массы на ускорение, получаем

=	+	.	(П.130)

д t	дх оу dz

Так как для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ж, поперечные
смещения т; и С и скорости т] и С равны нулю и не происходит никаких
изменений в направлениях у и z, т. е.

=	(П.131)

ду dz	v 7

то уравнения для трех компонент напряжения Т11} Т12 и Т13 (П.126) при-
водятся к виду

? и =-< + (/+ 2^. Г,,= ГИ = О.	(ПЛ32)

Дифференцируя первое уравнение (П.132) по ж и подставляя полученное
выражение в уравнение движения (П.130), приведем его к виду

4г = ’1й + (х + 2т|)/рА7 .	(ПЛЗЗ)

di дх	дх ду

В случае простых гармонических колебаний уравнение (ПЛЗЗ) упрощается

®sp54-I*4-/m(x+2'4)]g=O.	’	(П.134)

Решение последнего уравнения может быть представлено в форме

а ЛсйГж17^йЬГ.г,	(ПЛ35)

где постоянная распространения Г определяется выражением

н?р 4-Г2 [*4-(Х4“2т))] — О, или	,	(ПЛ36)

1/ 1 + W£+2j)
г	pv2

так как скорость распространения у — Постоянные, входящие в урав-
нение (П.135), могут быть оценены следующим образом. При ж = 0, Л Л0,
где ^ — первоначальное смещение в начале пути. Дифференцируя В по ж,
получим

~ = Г (A sh Га 4- В ch Га) -=- , /	•	(П.137)

дх	7 х + 7 “> (X + 21])	v '
Следовательно,

В = Г1 ,	,-> п = Г,|-,/1 + '<а +	=----S'1-----= , (П. 138)

rix+wx+^i ^х[1+/ф(Х+2^/х1

г	pv

так какх = ргА Первоначальное напряжение равно TQ. После подстановки
этих величин в (П.135) и (П.137) приведем оба уравнения распространяю-
щейся волны к виду

^=-^0сЬГгс4-^8ЙГж, Т = То chr^ + i0Z0 shTrc, (П.139)
z0

где Г —постоянная распространения, равная

Р 7°>/v____________0)2 zv ! 2-тЛ 4- — 2тс2/2 (х + 2-q) . 7м

-|/	, /ш	pt)3 Т v ,

V + pv*	/

и ZQ — характеристический импеданс волны, равный

7 — л,,1/4 । /ш(х + 2т1) ~ п„ Г 4  7Ш (X + 2т)) 1

4)-рг>|/ 1 + —~2—р+ - -2pi)2- j •

При рассмотрении распространения волн в этом и в более сложных слу-
чаях часто удобнее перейти к эквивалентной схеме, которая будет приводить
к тем же самым значениям постоянной распространения и характеристического
импеданса, которые получаются из приведенных дифференциальных уравне-
ний. Эквивалентный четырехполюсник для элемента длиной dx получим,
считая, что для элемента единичной длины импеданс последовательного
плеча равен произведению величины характеристического импеданса на
постоянную распространения, а импеданс параллельного плеча—отношению
этих величин, т. е.

= Zo Г dx = / сор dx,

[-£ + </- +<ПЛ4°)

Такая эквивалентная схема изображена на фиг. 131.

2. Тепловые потери, связанные с неточностью представления об ади-
абатическом характере распространения волн. Характер распространения
плоских волн в газах или жидкостях не вполне удовлетворяет предположению
об адиабатическом характере этого процесса, сделанному выше, в п. 1 данного
параграфа, так как часть тепловой энергии переходит от сжатых и более теплых
областей газа к разреженным и более холодным областям. Этот теплообмен
отнимает часть энергии от акустической волны и вызывает дополнительные
потери энергии при распространении волн в газах, жидкостях и даже в твер-
дых телах. Фактически при очень высоких частотах этот источник потерь
в твердых телах является самым большим и обусловливает в конечном счете
уменьшение скорости распространения волн от адиабатических до изотер-
мических значений. Ниже будет дано рассмотрение этого источника потерь.

Уравнение теплопроводности может быть записано в форме

Cvp~ -	0 - Р,	(П.141)

где К—коэффициент теплопроводности и P—dQJdt—скорость притока тепла
к данному элементу объема. Из второго уравнения (П.120) следует, что
тепло, приносимое механической волной к элементу объема, равно

dQ — 0 da - &кц8ц,

'21 Мэзон
откуда скорость притока тепла

=	(П.142)

Ct с	Ctъ

Подставляя (П.142) в уравнение (Р.141), получим

(П.143)

Uh	(IL

Это уравнение сводится к последнему уравнению (П. 120), если da равно нулю
и теплопроводность отсутствует.

Допустим теперь, что колебания температуры 0 малы, так что можно
положить 0 = 0О(1 4- $). Поскольку мы имеем дело с простыми гармони-
ческими колебаниями, & также будет гармонической функцией, и уравнение
(П.143) примет вид

(П.144)

Распространение деформированного состояния описывается уравнением
(П.137) для плоской волны. Аналогичным уравнением будут описываться
и изменения Поэтому, записывая

9- = А' ch Гх + В' ch Г#
и

= дЛ = Г (A sh Гя: + В ch Гл),
получаем решение для $ в виде

& = - - /“Hrs Г Г (В ch Га: + Ash IV)] ==	 (П.145)

j<apCv—КГ2 L	J	/шрСи—KL2	'	7

Подставляя это выражение в первое уравнение (П.120) и замечая, что
<70 — 0О4, получим

Ты = (^сцМ +	<^11 ' HukvSii- (П. 146)

Пренебрегая членами, выражающими гистерезис для жидкостей и газов,
и предполагая, что

V2

(это равенство достаточно точно, если затухание мало), можно представить
уравнение для компоненты механического напряжения в виде

т„ =	(1 +	+ /» ГX + 27] +	] 5П.	(П.147)

\ P^v z	L	^р J

Следовательно, при сделанных допущениях скорость является адиабати-
ческой, а к вязкости добавляется член, равный отношению коэффициента
теплопроводности к удельной теплоемкости при постоянном давлении, умно-
женному на (7—1), где у —отношение удельных теплоемкостей.

Из уравнения (П.145) следует, что при очень высоких частотах, т. е.
когда

-	(П.148)

Л

выражение для $ стремится к нулю и скорость сводится к изотермической
скорости. Так как большинство жидкостей или аморфных твердых тел
обладает ничтожной теплопроводностью, такие частоты очень велики даже
для кристаллического кварца, который обладает высокой теплопровод-
ностью. После подстановки значений удельной теплоемкости кварца
(7,37-106 грг/г-град), теплопроводности в направлении, перпендикулярном
к оси z (6,68 • 106 дрг!сек-смг-град), и скорости распространения продоль-
ной волны вдоль оси х (5,6 • 10б см/сек) получаем для этих частот

,	1 2,65 • 7,37 . 106(5,6 • 10s)2 л /о 4ли	/гг л/п\

/»й--------6766. W-------=М6- 10” гц.	(П.149)

Такие частоты превышают предельные, полученные на опыте, частоты, и, сле-
довательно, трудно рассчитывать, что мы сможем экспериментально наблю-
дать уменьшение скорости, связанное с неточностью представления об ади-
абатическом характере процесса распространения звуковых волн.

Согласно кинетической теории газов, существует следующее соотноше-
ние между коэффициентом вязкости и отношением коэффициента теплопро-
водности к удельной теплоемкости при постоянном давлении:

£=(-fc^-7].	(П.150)

Следовательно, отношение затухания Atn, обусловленного теплопровод-
ностью, к затуханию обусловленному вязкостью, равно

=	(7-1)	.	(П.151)

Av 4 Ср т) 4 u ' < 4 J	'	7

Это отношение приблизительно равно 1,2 для одноатомных газов, для кото-
рых 7=5/з, и уменьшается для более сложных молекул.

Для жидкостей член, характеризующий потери от теплопроводности,
значительно меньше члена, обусловленного вязкостью, и им обычно можно
пренебречь для всех жидкостей, кроме ртути, в которой теплопроводность
очень велика. Потери от теплопроводности должны также наблюдаться
в твердых делах, и именно они определяют затухание при очень высоких
частотах, так как они возрастают пропорционально квадрату частоты, в то
время как гистерезисные потери пропорциональны первой степени частоты.
Для твердых тел потери от теплопроводности равны

л„2к2/2 ГД сЬ-сТд
Р^3 [.Си cjj J

Например, для кристалла кварца, колеблющегося вдоль оси х, значения
величин, входящих в уравнение (П. 152), равны-

р = 2,65 г/Ъч3, у = 5,6< 105 см!сек, 7Г = 6,66- 106 эрг/сек'см^-град,
Ср =-7,37 • 106 эрг/г-град, с® =86,02 • 1010 дин/см2,
с’* —с®! =2,85 • 109 дан/см2.

При этих значениях затухание равно

А = 12,8 • Ю-20/2 непер/см.

Так как добротность Q для стержня определяется выражением
п _ В __ 2к „4,41 • 1013
" ~ 2Д ~ 2 (12,8 • 10“2(>) fv ~ f

где В—фазовый сдвиг, выраженный в радианах, и А—затухание в

то при частоте 1 мггц значение Q, обусловленное потерями от теплопровод-
ности, должно иметь порядок 108. Это значение значительно выше экспери-
ментального; отсюда следует, что большинство потерь при такой частоте
должно относиться к гистерезисному типу. Однако при частоте 100 мггц
потери от теплопроводности, вероятно, выше гистерезисных потерь.

(П.153)

(П.154)
3. Гистерезисные потери. Затухание звука в плавленом кварце, меди
и во многих других твердых телах прямо пропорционально частоте и, следо-
вательно, не может быть приписано потерям, обусловленным теплопровод-
ностью или вязкостью. Релаксационный механизм вызывает появление по-
терь, которые пропорциональны квадрату частоты в области ниже частоты
релаксации и не зависят от частоты выше частоты релаксации. Следовательно,
такие потери также не могут быть обусловлены упомянутым механизмом.

Пренебрегая потерями вследствие вязкости и теплопроводности, пред-
ставим уравнения механического напряжения для адиабатических условий
следующим образом:

Пг = (4;/гг-4-/Яда)^.	(П.155)

Для плоской волны, описываемой единственной компонентой деформации
хУц (предполагается, что действующим модулем упругости является только
с11=с1111), можно привести уравнение движения к виду

дё __ /Л° ।	\ ^2ё

р dt — (С11	дх* *

(П.156)

Решение этого уравнения для простого гармонического колебания имеет вид

В = A ch. Г ж 4- В sh Гж,

где

---О)2р

^(Яп/Сц) /<о

V	' V

(П.157)

Следовательно, при таком типе рассеяния энергии потери прямо пропор-
циональны частоте и в первом приближении не влияют на скорость звука.
Величина Q для рассматриваемых веществ равна

В _ 2nf!v	с^

2к/(Я11/С;1)

(П.158)

V

и не зависит от частоты.

Если все три типа потерь существуют совместно, то в первом приближе-
нии можно принять, что они являются аддитивными.

§ 8. Потери в газах и жидкостях,
обусловленные тепловой релаксацией

Потери, обусловленные тепловой релаксацией, появляются в результате
неполного установления теплового равновесия в системе и рассеяния энер-
гии волны всякий раз, когда отдельные части системы не находятся при
одной и той же температуре. Рассеяние энергии становится, в частности, ощу-
тимым, если цикл нагревания и охлаждения сравним с периодом приложенной
волны. В многоатомных газах существует отставание порядка 10~б сек.
в установлении энергетического равновесия между внутренними степенями
свободы молекул и внешними поступательными степенями свободы. Такое
отставание во времени приводит к дисперсии скорости звука и к аномальному
поглощению при частотах порядка 100 кгц. Поглощение, обусловленное
этой причиной, часто очень велико и может вызвать затухание, которое будет
в сотни раз сильнее, чем классическое поглощение, обусловленное вязкостью
и теплопроводностью. Дисперсия скорости звука имеет место потому, что
отношение удельных теплоемкостей, входящих в выражение для скорости,
зависит от полноты возбуждения внутренних степеней свободы при данной
частоте.

Феноменологическое описание процесса запаздывания в перераспределе-
нии энергии по степеням свободы было дано Герцфельдом и Райсом [8], ко-
торые рассматривали внутренние и внешние степени свободы как отдельные
термодинамические системы. Колебания внутри молекулы соответствуют
температуре 0', которая отличается от температуры 0, характеризующей
внешнюю систему поступательных степеней свободы. Пренебрегая вязкостью,
уравнения (П. 117) для напряжения и энтропии можно записать в форме

/ л я	(П.159)

da~~^-dS--4-~dQ4- — dQ'

Эти уравнения показывают, что внешние механические напряжения испы-
тывают влияние только одной «внешней» температуры 0, а энтропия про-
порциональна как «внешней» температуре 0, так и «внутренней» темпера-
туре 0'. Так как 0 и 0' отличаются лишь на очень небольшую величину,
мы можем написать

да _ pCVa
3Q ~ 0 ’

да
дО7

(П.160)

P^vi

0 ’

где Сva — удельная теплоемкость при постоянной деформации, обусловлен-
ная поступательными и вращательными степенями свободы, и CVi — удель-
ная теплоемкость при постоянном объеме, обусловленная внутренними
колебательными степенями свободы1). Как и прежде

dThl _ _0

д$ц Сг]Ы’

dl\i _ да _ . g
50 dSa ~	’

(П.161)

где Cijki — изотермические модули упругости и X® — температурные коэффи-
циенты напряжения при постоянной деформации.

Уравнивание температуры между внутренней и внешней системами
будет происходить со скоростью, пропорциональной разности температур
двух систем, и, следовательно, мы можем положить

50'

0 — 0'

di т

(П.162)

где т — постоянная, которая оказывается почти равной времени релаксации.
Поскольку мы рассматриваем только случай простого гармонического коле-
бания, изменения температуры (70 и d&' совершаются по гармоническому
закону. Тогда из (П. 162) будем иметь

«70' (1 -|- /ют) = <70.

(П.163)

Внося эти величины в уравнения (П.159) и опуская дифференциальную
форму для Тиб1, получим

/ „г  \	(П.164)

еd. -

\	JL щ-" у с /

Допуская, что волны распространяются адиабатически, т. е. что вся
тепловая энергия в данном объеме распределяется между внутренними

х) Обычно к внутренним степеням свободы многоатомных молекул относят
и колебательные и вращательные степени свободы. (Прим, ред.)
и внешними степенями свободы и не теряется из-за перехода от нагретых
к холодным областям, мы можем положить с?а = О и исключить dQ из пер-
вого уравнения. Таким образом приходим к единственному уравнению для
механического напряжения

Тм =

Mij

f Сс”а+т+7^)

Sij-

(П.165)

&

Так как жидкости и твердые тела, которые мы здесь рассматриваем, явля-
ются изотропными телами и к тому же не имеют упругих постоянных
для сдвиговых деформаций и напряжений (по крайней мере при низких
частотах), то уравнение (П. 165) переходит в уравнение

Ги

г

%®0а2

(^11 + ^22 + ^зз).

(П.166)



Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, только компонента Sir
dk

отлична от нуля и равна . Подставляя выражение (П.166) в уравнение

движения

^_дТГ1

Р dt дх 1

получим

1 ~Ь

%®0а2

Oyj

1 4"

д^
дх* *

(П.167)

t В
рВ ~ X

Это уравнение для плоской бегущей волны имеет решение вида
В — Вое~Гх,

где постоянная распространения Г имеет значение

(П.168)

Г = л + /В =

%®0а2

— О)2р

(П.169)

Разрешая уравнения для затухания А
соотношения

Cvi \

1 /шт J -
и сдвига фазы В

подставляя

x®0a2 _CP—CV
рСу	Су

-1,

.9 ’ Cv ‘ ’

и

получим

В

<1>2р/х’

(7-1) Cvi шМ

7 Cv (14-«>2т2)

(ОТ

<О2Т2

Так как скорость распространения
то

Ч 7 J Су < 14-соМ >

(П.170)

при любой частоте / равна v — w/B,

А

В

со
°^-В

V? 4- w2t2?/L
где скорость при низкой частоте г>0 и скорость при высокой частоте Vco
равны соответственно

»»=/—’	С?	(П.172)

Так как затухание на длине волны равно отношению A/Bt умноженному
на 2-тс, то получим

Теперь, если мы определим т' как

(П.174)

уравнение для затухания примет вид

А	X 7 У X Vco У	/ут

--------1+А^----------’	<ПЛ75)

а скорость будет равна

Эти выражения нами уже приводились ранее [см. (13.28)].

§ 9. Использование тензорных уравнений
в цилиндрических координатах

В гл. XII был затронут вопрос о резонансных частотах элемента, изго-
товленного в виде диска из керамики титаната бария. Колебания такого диска
определяются эффектом электрострикции. Чтобы получить удобные уравне-
ния, необходимо преобразовать уравнения, в которые входят компоненты
механического напряжения, деформации и напряженности электрического
поля, к цилиндрическим координатам. Целью настоящего параграфа является
рассмотрение преобразованных к цилиндрическим координатам тензорных
уравнений.

В цилиндрических координатах переменными являются проекция ра-
диуса-вектора г на плоскость, нормальную к оси цилиндра, угол 9 этой проек-
ции с направлением, лежащим в той же плоскости и выбранным за начало
отсчета, и проекция z радиуса-вектора г на ось цилиндра. При таком опре-
делении связь цилиндрических координат с прямоугольными координатами
х, у, z выражается следующим образом:

- '	=	tg9--|-, z = z.	'	(П.177)
Направляющие косинусы между направлениями г, 6, z и осями х, у, z при-
ведены ниже1):

X		У	z
г	cos 9	sin 9	0
6	— sin 9	cos 9	0
Z	0	0	1

(П.178)

Используем формулу преобразования тензора к новой системе координат:
(П.179)

где а, Ъ связаны с координатами г, 9, z. Замечая, что частные производ-
ные в (П.179) равны направляющим косинусам, приведенным в (П.178),
получим следующие выражения для компонент тензора механического напря-
жения в цилиндрических координатах:

Trr ~ cos2 9Уц 4- 2 sin 9 cos 9У12 4- sin2 9У22,
У 90 = sin2 9 Т1{ — 2 sin 9 cos 9 Г12 cos2 9 Т22,
Tr& = sin 9 cos 9 (У22 - Гп) + (cos2 9 - sin2 9) Т12,	(П. 180)

Т rz — cos 6 .У 1з 4~ sin 9 Т 2з,
Т qz = —sin 9 У13cos 9 У 23,
Т ZZ — У 33*

Тензор деформаций преобразуется аналогичным образом.

В свою очередь компоненты механического напряжения или деформа-
ции, выраженные в прямоугольных координатах, связаны с компонентами,
выраженными в цилиндрических координатах, соотношениями типа

=	(П.181)

4 дха дхъ	4	'

Следовательно,

5ц = cos2 95rr —- 2 sin 9 cos 9 5r0 4- sin2 ,
522 = sin2 GSrr 4~ 2 sin 9 cos 6Srg 4~ cos2 QaS'qq ,
S33--=SZz,	(П.182)

512 = sin 9 cos 6 (Srr —• 500) 4~ (cos2 0 — sin2 9) Sr$,
S13 — cos QSrz — sin 950z,
6*23 = sin QSrz 4- cos OcSez.

Для решения уравнений движения необходимо выразить компоненты
деформации через смещения в направлениях г, 9 и z. Обозначим последние
через

иг, щ и uz.	(П.183)

*) Под направлением в подразумевается направление прямой, перпендикулярной
к г и z. (Прим, ред.)
(П.184)

(П.185)

Искомые соотношения могут быть получены из уравнений преобразования
компонент деформации, которые аналогичны уравнениям (П.180). Например,

Srr = cos2 65ц + 2 sin 0 cos 0512 + sin2 0522 ~

= cos2 0	4- sin 6 cos 6 (	+ sin2 0	.

дх ‘	\ дх ду J	ду

Используя соотношение
dux дих дг . дих д (rQ) ,дих dz
дх дг дх ""Г" д (г0) дх dz dx

и замечая, что
их — ur cos 0 — щ sin 0, иу — ur sin 0 + llg cos 0,
представим уравнение (И. 184) в виде

Srr = cos2 0 f cos2 0 — — sin2 0 — fsin 9 4—- cos 0^ sin 0 1 4-
[_ dr	г	V r <90	' r J J’

+ sin 0 cos 0 Г 2 — sin 0 cos 0 + 2 — sin 6 cos 0 +

1	[_ dr	r	'

ro du ri	“i

4— ~ sin 6 cos О 4--(cos2 9 — sin2 9) 4~

1 r dQ	r x	j

+ sin20 —sin2 0 —- cos2 0 — cos 0 cos 0 — — sin 0^) ^^.(11.186)

Аналогичным образом можно показать, что

,  1 диЦ , иг
г <90 г ’

, _ duz

<zz~~dz’

, _ ди$	м6	,	1	диг

r®	dr	г	г	<90 ’

, ____диТ .	диг

Ч ____ 1 duz

®z	г <90	~г~ dz

(П.187)

Последним соотношением, которое необходимо преобразовать к цилин-
дрическим координатам, является уравнение, выражающее закон Ньютона
и имеющее в прямоугольных координатах вид

d2uk dTM

° dt2, dxk

(П.188)

Это векторное уравнение можно преобразовать по формуле

'	(П.189)

где вместо индекса а следует подставить переменные г, (г0), z.
Например,
Подставляя сюда вместо Тц компоненты Тгг, Тг$, Тгг и т. д., связанные
с Тц таким же образом, как в уравнениях (П.182) связаны компоненты
деформации, выраженные в прямоугольных и цилиндрических координатах,
и вводя соотношения типа

(П.191)

(П.192)

(П.193)

исследования

дТ1г __ дТг1 dr дТ1г d(rft) дТц dz
дх dr dx ' d(rQ) dx	dz dx ’

найдем, что уравнение (П.190) принимает вид
.. _ дТГт . 1	, dTrZ | (Ттг-Гдд)

dr г dO ' dz ‘ г

Точно так же получим

Рб	dr г d(J ' dz	'	г	’

•• -дТ^ I 1 дТ^ I дТ^ I TTZ
° z	dr	‘ г dQ ~г" dz	‘	г

Эти уравнения дают достаточное число соотношений для

радиальных колебаний диска из керамики титаната бария, которые совер-
шаются под действием эффекта электрострикции.

Уравнения (12.23) для эффекта электрострикции записаны в прямо-
угольных координатах. Преобразуя уравнения для компонент деформации
к цилиндрическим координатам с помощью тензорных соотношений (П.180)
и (П.182), найдем

Srr ==siinTrr + sf122 (Тдд + TZz) + [@nil^ + Qinz 09 + $z)],
^99 = sii22 (^rr+ Tzz) + Suii^99	0r + $z) + 2п10в1»

^zz —$nii^zz + Sn22 (^"r + ^99) + [21110Z + (?ii22 0r +^8)]»
Srz (Sllll	$1122) ^rz + (21111	@1122)

•$r9 — 01111	$1122) TrQ + (2nn	^1122) $r$o>

*^9z = 0И11	$1122) ^9z + (2nn	Ф1122) $9$z,

(П.194)

где 8r, 80, 8Z— компоненты электрической индукции вдоль направлений г,^0
и z. Уравнения для компонент напряженности поля принимают вид

Ег = Вг (4т< + О1П8Г) - 2 {21U1 $тТгт 4- 39Гг9 + 8zTrz) +

"Г 21122 Рг (^00 + Tzz) — ^TrQ + bzTrz)]} ,

£в =8в(4<1 + О111ад-2{<21ш(8вГвв + 8г7’гв + 82Т1г)+ ,njg5)
+ 21122 09 (^rr+ ^zz) —0r^'r94-$z7,9z)]}>

Ez = 8г (4<, + Ох118г) - 2 {<21In (Vriz + ЪгТп +	+

+ 21122 Pz ( Trr + Tgg) (brTrz-[-^Tgz)]},

где Er, Eq, ^ — компоненты поля вдоль направлений г, 6 и z.

Допустим, что толщина радиально колеблющегося диска настолько
мала, что изменением механического напряжения вдоль направления
z можно пренебречь. Поскольку напряжения на поверхности равны нулю,
мы можем положить

Tzz^Trz^TQZ = O.

(П.196)
Кроме того, для чисто радиальных колебаний щ — uz = 0 и

Гхв = 0.	(П.197)

Так как электрическое поле приложено только вдоль направления z, то
Зг=. В0 = О. В таком случае уравнения (П.194) и (П.195) сводятся к сле-
дующим:

$гг = rr	00 + (?ii22$z,

5ee = s°22Trr + «“117’ве + (>,,,/'?.	(П.198)

£z -- Sz 4-	2<?1122SZ (Trr 4- T'gg).

Для того чтобы подставить соотношения (П. 198) в уравнение движения
(П. 192), необходимо выразить компоненты механического напряжения через
компоненты деформаций. Для электрических граничных условий лучше вос-
пользоваться компонентами напряженности поля, а не электрической индук-
ции. Кроме того, для слабого переменного напряжения, наложенного на
сильное постоянное смещающее напряжение, электрическая индукция 8Г,
которая может возникнуть под действием поля или остаточной поляризации,
может быть разложена на две части

32^3го-|_3ге^,	(П.199)

где огО—остаточная электрическая индукция и Вг—периодическая компонента
индукции. Разрешая теперь совместно уравнения (П. 198) для периодиче-
ских компонент механического напряжения, деформации и электрической

индукции, получим

/

Т ____ Q I 1111

1 06 — д09 —---------ZF"

I

\ Sllll $1122

S1122

Е2 E2

Sllll S3122

^Qm22^ZqEz \ I 1

4тгЗт +CWzo J \	+ sEo

rll I 111 zo / \	1111 ।	1122

(П.200)

Ez. / 2Qn22SZ0
ll$zo	+ О]

(Ггг+Ти),

причем

sD	sD

„Е __ __________ini_________ _ пи

ПИ {____________^1122^0	i — tf’

+ O111M s^n
sD	sD

SE 1122 ______________________________________1122

1122	qD	j—	//^2 5.2	”1

л _ siin Г______4Qu22bzo______П	«  sini (

sD L (4тфГ + Oin?J’o)J	sD

1122 u V rll 1	111 ‘°7 nil J	1122

где кг — коэффициент электромеханической связи для продольных колеба-
ний. Замечая, что l/sfni равно модулю Юнга Уо, а отношение — sf122/snii"~
коэффициенту Пуассона с, уравнения (П.200) 'можно представить в более
простой форме:

Угг — ( I _°J2 ) (*$ГГ + a^Ofl)

2Q1122^Z0^'z57q‘

/ yE \

^90 ~ I —^2 j (^00 + °Srr)

82-

(M^ + Oin^oXi-®)’

^2^122^20^ zY о

(4^1 + 011Ло)(1_а)’

(П.201)

Ez

47ipT +ОцЛ0

____2(21122^20

(471^+OuiS.o)

(Угг + Уоо)-
Заметим, что металлические обкладки диска являются эквипотенциаль-
ными поверхностями, так что Ez не зависит от г. В таком случае, под-
ставляя выражения (П.201) в уравнение движения (П.192) и пользуясь
следующими соотношениями, справедливыми для радиальных колебаний:

ГТ	Up

^88 =- “

(П.202)

приведем уравнение (П.192) для случая простых гармонических колебаний
к виду

Г0 d^Up .	1 диг Uf	d^Uy.	a

1----2 ттН--------5------г —	— <п2риг.	(П.203)

Решения этого уравнения Бесселя

первого порядка, имеют вид

=	(П.204)

Так как смещение иг в центре диска равно нулю, то добавление функ-
ции Бесселя второго рода является излишним. На границе диска, при
г = а (а —радиус диска), напряжение Тгг~0. Из уравнения (П.201),
используя соотношения (П.202), получим

(П.205)

Так как

Tq" / диг . gu,A 2Q1i228Z0JE'zy®
~) “ (4крТ +О111й20)(1-а) *

(П.206)

то, полагая Тгг--0 при т — а, получим

1 — о2 /

(1-а) Л

2Q1J 22^20^20

(4^^ + Olll^zo) (1--а)

= 0. (П.207)

Следовательно,

2Q1122^Z0 С + в) Д'г______

] (Иц+О1Ло)

2QU228ZOF®

(4к^1 + 011Ло)(1_о)

, (П.209)

(4Kpfi + OinSZ0)(l-e)

2Q11aaSZ0^ Y o'

, диг

Следующим шагом в решении является нахождение электрического
импеданса, измеряемого методом переменного тока. Его можно получить,
подставляя выражения для Тгг и в последнее из уравнений (П.201)
и интегрируя по поверхности диска из керамики. Так как величина oz
на поверхности численно равна поверхностному заряду, то интеграл дает
величину полного заряда

з. j	Егпа2

%zr dr =---------------

(4^Р11+О1цЗг0)

2Q1122^20

Tee) dr.

(П.211)

Подставляя сюда выражение для Тгг и Zee из (П.209) и (П.210),
интеграл к виду

О =	х

(4теР^ + ^ni^zo) (4тф^ + Oj.ii$zo) (1 °2)

приведем

пользуясь подстановкой

(П.212)

Выполняя интегрирование и

1	Г1 __	1 _	1

+ Оу u?>z0 _	(4rc₽^ + ОцА~с) (1 — ст2) _	4гср^с + OlubZ0

(П.213)

где ряс — диэлектрическая непроницаемость для радиально зажатого кри-
сталла, получим

причем коэффициент электромеханической связи к для радиальных колеба-
ний определяется выражением



(П.215)

Сравнивая последнее выражение с выражением коэффициента электромеха-
нической связи для продольных колебаний, описываемых тем же самым
модулем упругости, видим, что коэффициент электромеханической связи
для радиальных колебаний больше на множитель

(П.216)

Так как проводимость пластинки равна отношению электрического тока
к разности потенциалов на электродах, а для простых гармонических
колебаний ток i равен

‘ =	.	(П.217)
тур Q— заряд, то импеданс пластинки будет выражаться следующим обра-
зом:

/со ла2

(4к^1С + 01118го)/<

(П.218)

Резонансная частота наблюдается, когда

или

С?) (Д

, / Д	(П.219)

1 \ V ) .

При значении а = 0,27, как указано в гл. XII, наименьший корень этого
уравнения имеет величину

{^} = 2,03 = Ях.	(П.220)

Следовательно, резонансная частота определяется выражением

(П-221)

Антирезонансная частота наблюдается, если выражение в фигурных скобках
в (П.218) сводится к нулю. Это происходит при частотах, несколько
превышающих резонансную частоту.

Чтобы определить разность Д/ между резонансной и антирезонансной
частотами, разложим функции Д (<оа/г>) и J\ (u>a/v) в ряды Маклорена
вблизи первого корня Rt:

л ( Д='° М ~ Д Д (Д ]	*/+••• =

Z X	я Г Z X -I	(П.222)

Л С“) = Л (д1) + 3} [ Л ( Д ]	д/ +    -

= Л (Я,)+^ [ Л (Л) -	] д/ +...

Подставляя (П.222) в уравнение (П.218) и полагая числитель равным
нулю, получим следующее выражение, определяющее Д/:

д/_ (1—

fR~	—(1 —а2)

(П.223)

откуда в первом приближении получим

Д'Г*1=£^+...1.	(П.224)

При значении о = 0,27 величина выражения в квадратных скобках
равна 2,51. Сравнивая это значение с величиной множителя, стоящего
перед ^j/fR в уравнении (5.36) для продольно колеблющейся пластинки,.
который равен тс2/4=2,47, видим, что в обоих случаях, проводя измерения
разности между резонансной и антирезонансной частотами, можно пользо-
ваться одним и тем же уравнением (II. 224) для вычисления коэффициента
электромеханической связи.

§ 10. Эффекты второго порядка,
наблюдающиеся при распространении волн

Когда волны с большой амплитудой распространяются в жидкостях
или газах, наблюдается несколько нелинейных эффектов, представляющих
интерес: медленный постоянный поток вещества («ветер») от кристалличе-
ской пластинки и давление излучения. Среди других эффектов можно
назвать силы, воздействующие на диск Редея, разделение смесей и ускорение
химических реакций в ультразвуковом поле. Целью настоящего параграфа
является выяснение вида тензоров, которые могут быть использованы при
описании этих эффектов.

Ньютоновское уравнение движения в форме (5.9) является точным,
если оно относится к элементу объема, заключающему постоянную массу
вещества. В этом случае его можно записать следующим образом:

• <п-225)

где D/Dt обозначает дифференцирование по времени скорости в замкнутом
объеме. Теперь, если мы фиксируем наше внимание на элементе объема
dxdydz, движущемся в жидкости, то полное ускорение данного элемента
среды будет определяться хорошо известной из гидродинамики [9,10]
формулой

+	(П.226)

Следовательно, уравнение Ньютона для фиксированного объема примет вид

<п-227)

Другим необходимым уравнением является уравнение непрерывности,
которое может быть записано в виде

1 + ^>') = 0.	(П.228)

Это уравнение отражает тот факт, что приток количества вещества в данный
элементарный объем должен равняться скорости изменения плотности в дан-
ном объеме. В дальнейшем мы будем пользоваться потоком массы или перено-
сом количества движения

Л/i-pii.	(П.229)

Это приводит к более простым уравнениям и граничным условиям, так как
для непроницаемой поверхности, такой как тонкая мембрана из пластмассы,
ЛЦ должно исчезать при стационарных граничных условиях, в то время как
аналогичное утверждение относительно соответствующих величин не
может быть сделано. Это следует из того, что в среднем через поверхность,
представляющую среднее положение непроницаемой границы, не должен
происходить перенос массы. Исчезновение не обеспечивает этого условия,
так как плотность во время течения массы в одну сторону через границу
может быть отлична от плотности во время обратного течения, а это приведет
к чистому переносу массы.

Чтобы привести основное уравнение (П. 227) к форме, содержащей
поток массы Mt, умножим уравнение (П. 228) на хк и сложим с уравнением
(П. 225). В результате получим

дхк . • др дТъг Г ‘ i * \ , ’ д / * \ 1

р ~л +	Lт +Хк J

или

(П.230)

dt 4	’ d%i dxi \ р J

Уравнение (П. 230) вместе с уравнением (П. 228) описывает перенос массы
и количества движения. Если мы пожелаем учесть объемные силы Рг, оба
основных уравнения могут быть записаны в форме

dt 4 м dxi d%i \ p

dt 1 dxL '	'

(П.231)

В теории турбулентности величину МкМг1^ часто называют напряжением
Рейнольдса, так как она удовлетворяет тому же закону, что и обычное напря-
жение Tki< В случае бегущей плоской волны напряжение Рейнольдса опре-
деляется выражением

- р^ cos2 art.	(П.232)

Усреднение по времени за большой период дает величину постоянного
напряжения или давления

/>в=4р«, '	(П.233)

которое равно плотности энергии волны и давлению излучения. Отрица-
тельный знак перед производной от МкМг/^ъ уравнении (П. 231) показывает,
что этот член выражает скорее сжатие, чем растяжение.

Уравнения (П. 231) решаются методом последовательных приближений,
основанным на выражении всех величин через величину характеристиче-
ской амплитуды а, а именно

р = р(°)	р(1)а J- . ..,

Т т(°)д_ T(1)a4- T(2)a2 4-	(П.234)

+ * fel a+•< fel a +•••>

Здесь мы допустили, что объемная сила Fj является известной функцией
положения и, следовательно, не зависит от а. Мы также допустили, что 7l/z=0
при а=0, т. е. что все возмущения вызываются силой, амплитуда которой
пропорциональна а. Подставляя предыдущие выражения в уравнения
(П. 231) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени а, получим
следующую систему уравнений:

^ = 0, ^г + р(0)7?1 = °-	(П-235)

^ + ^[4‘>] = 0, ^ = Д[ПР]-р<‘>^,	(П.236)

+р(2)^	=0- (П-237)
Первые уравнения (П. 235) выражают условия статического равновесия,
вторые (II. 236) являются обычными линеаризованными уравнениями аку-
стики, тогда как уравнения (II. 237) определяют квадратичную поправку
для нелинейных эффектов.

До сих пор мы не ограничивались рассмотрением среды какого-нибудь
специального вида, но так как наибольшие приложения полученных урав-
нений связаны с эффектами, наблюдающимися в жидкостях и газах, мы
рассмотрим только последние. В этом случае соотношения, связывающие меха-
нические напряжения и деформации, сводятся к уравнениям (П. 126) для
линейного эффекта. Члены второго порядка для напряжения почти всегда
малы по сравнению с величиной напряжения Рейнольдса (МкМг/ф),
и ими обычно пренебрегают.

Для решения уравнений (П. 237) необходимо сначала найти точное
решение уравнений (П. 236). Второе уравнение (П. 237) не содержит ника-
ких величин из предыдущего приближения. Получив решение уравнений
(П. 236) для Mi, приводим выражение напряжения Рейнольдса к виду

Лы = "^ео^« = 4	(1 +cos2<»Z).	(П.238)

Следовательно, напряжение Рейнольдса Rki состоит из двух частей: члена,
который не зависит от времени, и члена, меняющегося во времени с удвоен-
ной частотой.

По многим причинам мы заинтересованы только в медленном изменении
секулярных величин с индексом (2), а не высокочастотными колебаниями,
которые искажают главную волну. Следовательно, нас интересует только
первый член выражения (П. 238). Подставляя эту величину в уравнения
(II. 237), найдем, что секулярные движения в жидкостях определяются
уравнениями

^+Ди2)]“°>

£ И2>1 Ки -СО + P(2)F>-	(11.239)

где Rki—постоянный член из уравнения (П. 238). Таким образом, секуляр-
ные движения жидкости или газа, через которые распространяются волны,
аналогичны поведению певозмущенной системы, к которой добавлено
постоянное напряжение Rkl.

1.	Частные случаи. Рассмотрим теперь вид выражения Rki для различ-
ных типов волнового движения. В общем случае распространяющейся плос-
кой волны имеем выражение

cosoi,	(П.240)

где —амплитуда потока массы в различных направлениях, a At и Нг—
постоянные затухания и сдвига фазы, характеризующие процесс распростра-
нения волны. Подставляя выражение (П. 240) в уравнение (П. 238), полу-
чим медленно изменяющуюся часть секулярную напряжения Рейнольдса

ти О) д/(1)

RM =-feo--O)4q-(П.241)
2pk

Градиент Rki будет иметь следующее выражение:

 Д <СО ----- --	(П.242)
Исследуя уравнение (П. 242), выясним некоторые особенности, которыми
обладает градиент напряжения Рейнольдса:

1.	Градиент исчезает, если постоянная распространения Лу-уТ? не имеет
действительной части А.

2.	Градиент исчезает, если перенос количества движения совершается
под прямым углом к направлению распространения, как в поперечной волне.

3.	Градиент не исчезает, если вектор распространения имеет действи-
тельную часть, параллельную вектору переноса количества движения, как
в случае затухающей продольной волны. Затухание может быть обусловлено
или исчезновением, или существованием только действительной части век-
тора распространения, параллельного вектору переноса количества движе-
ния, как в случае полного отражения.

4.	Если налагаются несколько волновых систем, появляются напряже-
ния Рейнольдса, связанные с перекрестным произведением членов, даже
если затухание отсутствует.

5.	Любое неоднородное поле, подобное полю фокусирующего излучателя,
приводит к возникновению напряжений Рейнольдса, даже если затухание
волн отсутствует.

2. Конвекция в среде, вызванная звуковыми волнами. Уравнения вто-
рого порядка типа (П. 239) были использованы Эккартом [11] для объясне-
ния «ветра», порождаемого кристаллической пластинкой, т. е. медленного
потока жидкости или газа, отходящего от колеблющейся кристаллической по-
верхности. Эккарт рассматривал случай плоского пучка звуковых волн
радиуса щ внутри трубки диаметра г0 и показал, что, если затуханием в сре-
де можно пренебречь, вдоль звукового пучка бежит поток жидкости, в то
время как обратный поток бежит в трубке снаружи звукового пучка, причем
величина его такова, что полный поток через любое поперечное сечение равен
нулю. Распределение скоростей потока в трубке дается уравнением

£= —<?[ (4 —У2) (1 —a:2) + lg*] , у<,х<Л,

где x = r/rQ, y-=rr/rQ и

Здесь к = о)/у0 — 2и//«0, где /—частота, г>0—скорость распространения звука
в среде, р0—максимальное акустическое давление, выраженное в динах
на квадратный сантиметр, щ—радиус звукового пучка, р0—плотность
среды, т]—сдвиговая вязкость и —объемная вязкость среды. Для да-
вления 10б дин] см? (0,1 атм) и частоты 24 мггц, учитывая, что для воды р0—1,0,
у0 = 1,5 • 105 cMjceK, найдем, что величина G для пучка радиусом 1,5 см опре-
деляется выражением

6= 1,5	см./сек.	(П.245)

Так как скорость возрастает пропорционально квадрату частоты, скорость
такого потока в жидкости становится пренебрежимо малой величиной при
частотах ниже 1 мггц. Однако для воздуха из-за малой плотности и скорости
эффект поддается оценке уже при таких небольших частотах, как 1 кгц,
и становится очень большим при высоких частотах. Так как в выражение
для G входит объемная вязкость у, Эккарт предположил, что измерения
конвекционных потоков могут служить методом оценки объемной вязкости.
Эта мысль недавно была проверена Либерманом [12], который нашел,
что величина объемной вязкости, "измеренная методом конвекционного
потока, хорошо согласуется с величиной, необходимой для объяснения, полу-
ченного экспериментально, сильного затухания звука в легких жидкостях.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Bond W. L., Bell Sist. Techn. Journ., 22, 1 (1943). Математический аппарат для
описания физических свойств кристаллов.

2.	Schouten I. A., Tensor Calculus for Physicist, Clarendon Press, 1949.

3.	Л я в А., Математическая теория упругости, М.—Л., 1935.

4*. Mueller Н., Ann. N. Y., Acad. Sci., 40, 338 (1940). Диэлектрические аномалии
сегнетовой соли.

5.	Mueller Н., Phys. Rev., 57, 829 (1940). Свойства сегнетовой соли. III.

6.	М a s о n W. Р., Phys. Rev., 58, 744 (1940). Исследование гистерезисных явлений
в кристаллах сегнетовой соли.

7.	М u е 1 1 е г Н , Phys. Rev., 47, 175 (1935); 58, 805 (1940). Свойства сегнетовой соли.
I и IV.

8.	Herzfeld К. F., R i с е F. О., Phys. Rev., 31, 691 (1928).

9.	Релей, Теория звука, т. II, М.—Л., 1944.

10.	Лэмб Г., Гидродинамика, М., 1947.

11.	Е с k а г t С., Phys. Rev., 73, 68, 76 (1948). Вихри и потоки, вызванные звуковыми
волнами.

12.	Liebermann, Phys. Rev., 75, 1415, 1422 (1949).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алюминии 344, 346

— затухание звука 344, 358, 359, 361, 362,
366—368,370—373

— скорость звука 346, 361 

— упругие постоянные 363—365

Антирезонансная частота 14, 63, 67, 68,
83, 169, 258, 259, 401

Бензол, упругие и вязкие свойства 287,
288, 297

Биморфные элементы 87, 123, 125, 126, 260
Больцмана принцип 236, 238, 242, 250
Бравэ решетки 18, 21

Бромат натрия 172, 176—184, 207

— —диэлектрические свойства 179, 180,
182, 183

— — коэффициент теплового расширения
176

— — — электромеханической связи 183
— — пьезоэлектрические свойства 180—183
— — упругие свойства 177, 178, 181—183
Бронза, распространение звуковых волн
375, 376

Буша уравнения 214

Винная кислота 200, 201

— — основные постоянные 205, 206

Внутреннее электрическое поле 214,
236—238, 250

Вода, упругие и вязкие свойства 287—289,
295—297, 349

Водородная связь 15, 16, 137, 210—215,
217—219, 226, 230, 238, 250

— — асимметричная 15, 16, 212, 220, 224,
226, 250

— — симметричная 15, 212, 220, 223, 226
Волны продольные в жидкостях 290, 291,
326—340, 416

-----в твердых телах 343, 355, 356,
361—363,366, 367, 370, 371 373, 374, 377

— сдвиговые в жидкостях 290, 302, 305,
319, 325, 326, 333, 335

— — в твердых телах 343, 355, 356,
360—363, 366, 367, 370—372, 375—377

Восприимчивость 112, 113, 135

Вязкие волны в жидкостях 297, 298, 304,
305

Вязкое течение 318, 319, 324

•— — коэффициент вязкости 320, 321, 325,
331

Вязкость жидкости объемная 289, 296,
297, 331, 333, 335, 415, 435

-----сдвиговая 289,	290, 296,	297,
301—303, 325, 326, 413—415, 418, 419

Вязкость жидкости сдвиговая вторая (кон-
фигурационная) 331—335

—• — — для жидких полимеров в раство-
рах 306—313

— — — — — — чистых 290, 313—324,
331—335

— — — методы измерения 298—301, 304,
305, 313, 314, 317, 333

— — — тензор 415

Газы 273—285

— дисперсия скорости звука 273, 281—284,
420, 423

— затухание звука 273, 274, 281—284,
413—423

— степени свободы 273, 282—285, 420,
421

— тепловая релаксация 273, 284, 285, 420
Генераторы с кристаллической стабилиза-
цией 9, 13—15, 77, 87, 91, 93, 95, 97,
100—104, 169—171, 177

-------— генератор Гибе и Шейбе 54,
55, 101

— — — __ мостовая схема 14, 102, 103

— — — — схема Пирса 14, 101—103

— — — — — Пирса-Миллера 14, 101,
102

Гидроакустические преобразователи 14, 16,
77, 124, 128, 143, 145—148, 200

Гидростатическое давление, влияние на
положение точек Кюри 219, 220

—	— пьезоэлектрические индикаторы 14,
200, 201

Глицерин 290, 293

Гука обобщенный закон 32—35, 388

Двойникование в металлах 378—381

—	кварца 78—80

—	сегнетовой соли и KDP 111

—	титаната бария 111, 112

Дебая—Френкеля теория перегруппировки
289, 296, 297, 336

Декстроза—бромид натрия 184—187

—	— — коэффициент электромеханиче-
ской связи 185, 186

—	— — основные постоянные 187

—	— — — __ метод определения 184—
187

— — — частотные постоянные 185, 186
Декстроза—иодид натрия 184, 187, 188
— — — основные постоянные 188

Декстроза—хлорид натрия 184, 187, 188
— — — основные постоянные 188

Дигидроарсенат аммония 128
Дигидроарсенат калия 128

Дигидрофосфат аммония (ADP) 13, 14, 16,
128—150, 183, 184, 218, 398, 399
— — диэлектрические свойства 132—134,
138, 183, 184

— — коэффициент электромеханической
связи 135—137, 139, 144, 183, 184

—	— коэффициенты теплового расширения
142, 143

—	— метод определения основных постоян-
ных 193, 194

—	— общие физические и химические
свойства 129—132

—	— основные срезы 143, 144

_----------45°2-срез 143, 144, 148

---применение в гидроакустических пре-
образователях 145—148

—	— — для исследования вязкости и
упругости жидкости 299—301, 313

—	— — для получения больших перемен-
ных дефорхмаций в металлах 148—150

— — проводимость кристалла 129—132

— — пьезоэлектрические свойства 134—•
139, 183, 184

•— — упругие постоянные 139—141, 143,
183, 184

— — частотные постоянные 136

— калия (KDP) 12, 15, 16, 111, 128—143,
183, 184

	— — аномалия удельной теплоемкости
249

— — диэлектрические свойства 132—134,
138, 183, 184, 227, 230, 250—253

—	— импеданс кристалла 230

—	— коэффициент электромеханической
связи 135—137, 139, 183

—	— коэффициенты теплового расширения
142, 143

—	— метод определения основных постоян-
ных 193, 194

—	— общие физические и химические свой-
ства 129—132

—	— прово димость кристалла 129—132
— — —• пьезоэлектрические постоянные
138, 139, 183, 252, 253

--------свойства 134—139, 183,250—253

—	— сегнетоэлектрические свойства 15,
16, 210, 216, 226—230, 250—253

•	— — — — теория Слэтера 229, 230

— — структура 129, 218, 227, 229

— — с тяжелой водой 132, 134

— — упиугие постоянные 139—141, 143,
183, 252, 253

— — частотные постоянные 136

Диметилфталат 79, 293, 301

Дипольная поляризация 62, 406

— — дигидрофосфата аммония 137, 138

—-------калия 137, 138, 250, 251

— — кубических кристаллов 181—184

—• — сегнетовой соли 114, 119, 213—217,
220—222, 225

— — титаната бария 236, 237

Дипольный момент молекулы 213, 227,
231, 236, 240, 241

Дислокации 378—381

Дисперсия скорости и затухания звука
в газах 273, 281—284, 420, 423

— — — — — в жидкостях 287—289, 296,
297, 326, 327, 335—340, 420—423

Диффракция света па ультразвуке 62, 63,
291, 292, 350, 354

Диэлектрическая непроницаемость 27, 40,
405

— — тензор 40, 41, 391

Диэлектрическая проницаемость 11, 27, 40,
41, 62, 63, 76, 393, 401, 405, 412

-----дипольная 133, 134, 182, 183, 212,
224, 248

— — для среза произвольной ориентации
75, 400

— —зажатого кристалла И, 112, 208—210,
222—224, 392

----------KDP 138, 227, 251, 253

-----— — сегнетовой соли 112—114, 116,
222—224, 253

— — изотердщческая и адиабатическая 43

—• — кристалла, зажатого по контуру
70—73

-----продольно зажатого кристалла 65,116
-----резонансный метод измерений 62—76
-----свободного кристалла 11, 62, 67, 112,

ИЗ, 208—210, 253, 392

— — связанная со смещением атомов и
электронов 119, 243, 244

-----тензор 40, 41, 44, 45, 74, 39И, 412

Добротность кристаллов 9, 13, 56, 57, 62,
102, 114, 224, 230, 411

— стержня 345, 419

— твердых тел 342—346, 367, 372

Домены в сегнетоэлектрических кристал-
лах 63, 111, 112, 221, 224, 228, 229,
246, 268—270, 404—406

Единицы измерения п размерности 27

Жидкости 286—340

— ассоциированные 287, 296, 297

— затухание звука 286—297, 304, 305,
325—340

— легкие 287, 289, 290, 296, 299, 301,
324, 335, 361, 435

— неполярные 287, 288, 296, 297

—	релаксация вязкости и упругости 289,
290, 297, 303, 307—311, 314—316,
320—322, 336

—	свойства 292—295

—	сжимаемость 296

—	— адиабатическая 286, 287

—	— изотермическая 286

—	скорость звука 286—297, 326, 330,
331, 383—335, 339, 349

—	— — методы измерения 290—292, 327—
330

— — — температурный коэффициент 294—
296

— удельные теплоемкости 286—288, 414

Затухание звука в газах 273, 274, 281 —
284, 413—423

—	— — — классическая теория 273, 274,
413—419

---------- азот 284, 285

—	— — — аргон 274

—	—------воздух 281, 284

—	_ — — гелий 274

—	— — — неон 276

—	— — — углекислый газ 281—284

— — — — теория молекулярного зату-
хания 273, 282-285, 420—423
Затухание звука в жидкостях 286—297,
"304, 305, 325—340

— — — — ассоциированных 287

— ------— гистерезисный характер 336—

339

— — — — классическая теория 287, 288,
296, 413—419

----------легких 287, 296, 305, 335, 361,
435

— — — — методы измерения 290—292,
327, 328

— — — — неполярных 287, 288

— — — — одноатомных 287

— — — — по Дебаю—Френкелю 289

----в твердых телах 342—347,
352, 353, 358—375, 413, 417, 419,
420

— — — — — методы исследования 342,
343, 347, 350, 351, 355, 359

— — — — — — — импульсный 342,
343, 355—361

— — — — — — — метод интерферо-
метра 347, 350

— — — — — — — метод составного ре-
зонатора 346

— — — — — — — резонансный 342,
344

— — — — — обусловленное диффузией
373—375

— — — — .— — рассеянием 368— 375

— — — — — — упругим гистерезисом
342—344, 361, 366, 367, 413, 414, 419,
420

— — — — — — — — постоянная упру-
гого гистерезиса 344, 345, 420

— — по Герцфельду, Райсу и Кне-
зеру 273, 282, 283, 288, 289, 325,
421

Звукосниматели пьезоэлектрические 9, 12,
123, 126, 128, 143, 144

Импеданс акустический жидкостей 298,
301—303, 306, 308, 309, 317, 318, 321—
323, 331, 337, 338, 360, 361, 417

— — твердых тел 346, 348

Индексы Миллера 21

Интерферометр Пирса 273, 275—281

---применение для исследования газов

273, 275, 280, 281

— — — — — жидкостей 290, 291

•---— — — твердых тел 342, 347—349,

350

— — эквивалентные схемы 277, 278

Йодноватая кислота 196

— — основные постоянные 199

Касторовое масло, вязкие и упругие свой-
ства 293, 300—303, 313, 325

Кварц 8, 9, 14, 15, 59, ’77—106, 396,

419

— две модификации а и р 78—80

— двойники оптические 78, 79

— — электрические 79, 80

— коэффициенты теплового расширения
36, 97, 98

— основные постоянные 36, 82, 97

----срезы 82, 91—100

--------ЛТ-срез 80, 90, 91, 93—96, 104,

305, 356

Кварц, основные срезы, ВТ-срез 80, 90,
91, 93—95, 103, 170, 305, 356

-------СТ-срез 88, 95

---— -ОГ-срез 88—95

-------GT-срез	9, 93, 95—97

—	—	—	Л/Т-срез 92

—	ЛТ-срез	92

•	— —	—	Ji-срезы	91,	92

----------0°Х-срез 84, 95, 91, 92, 356

-------------f-5°Х-срез 87, 92

-------------18°Х-срез 85, 86, 92

—	— — Y-срезы 92—97, 356

—	0°У-срез 92—93

—	плавленый 306, 342, 343, 345, 346, 360,
367, 368, 420

—	право- и левовращающий 78, 79

—	применения 9, 14, 15, 77, 100—106, 275,
299, 305, 356, 379, 380

—	структура 79, 80

—	уравнения пьезоэффекта 81

— физические свойства 78—81

— частотные постоянные 84, 85, 87, 89,
94

Керамика из титаната бария 231—234,
241, 247, 248, 257—272

— — — — в смеси с титанатом свинца
270, 271

—---------- диэлектрические свойства 231—

233, 235, 241, 259, 263, 265

— — — — колебания радиальные 239,
257—260, 266, 269, 426—431

----------— по толщине 257, 260, 266,
267

-------------продольные 239, 257, 260,
265, 266

— — _ — — сдвига но толщине 257,
260, 261, 267, 268

— — — — коэффициент электромехани-
ческой связи 258—261, 265—268, 270,
429

— — — — методы измерения основных
постоянных 257, 258

— — — — остаточная поляризация 266—
271

— — — — пьезоэлектрические постоян-
ные 266, 267

— — — — упругие постоянные 258, 260—
263, 265—267

— — —• — частотные постоянные 260, 271

— —-------эффект электрострикции 239,

257, 270

Колебания изгиба 62, 84, 305

— — кварца 84—89, 92

— — сегнетовой соли 123, 126

— — этилендиаминтартрата 164

— контурные, см Колебания сдвига вдоль
грани

— крутильные 62, 297—301, 304—306,
313, 325, 326

---дигидрофосфата аммония 143, 150,
299, 301

— — кварца 87, 88

— — сегнетовой соли 123

— продольные 62—69, 74—76, 161, 400

— — дигидрофосфата аммония 143, 398,
399

— — кварца 83—86, 91, 92

— — керамики из титаната бария 239,
257, 260, 265, 266
Колебания продольные сегнетовой соли
115, 123, 124, 126, 143

—	— тартрата калия 167

—	—- этилспдиампнтартрата 164

—	радиальные керамики из титаната бария
239, 257—260, 266, 269, 426—431

—	сдвига вдоль грани 60, 62, 69—73, 75,
76, 299, 401

—	—	—	—	дигидрофосфата	аммония	143

-----—	—	кварца 84—86,	88, 89,	93,
95

—	—	—•	—	сегнетовой соли	123

—	—	—	—	тартрата калия	167

—	— по толщине 90, 91

—	— — — дигидрофосфата аммония 143

—	— —• — кварца 90, 91, 93, 305

—	— _ — керамики из титаната бария
257

—	— — — теория Кристоффеля 90, 91

—	— — — этилендиаминтартрата 169—
171

Коноскоп 78, 79

Кооперативный эффект 404

Коэрцитивное поле в KDP 228, 228

—	— в сегнетовой соли 220—222

— — в титанате бария 238, 246, 247, 271
Коэффициент электромеханической связи
11, 12, 56—61, 67, 68, 92, 93, 157, 169
183, 184, 200, 429—431

—	— — дипольный 183

—	— — порядок величины у различных
веществ 57—59

Коэффициенты теплового расширения 35.
42, 402, 403, 414

Кристаллические классы 7—10, 18, 19, 22,
394

—	— названия и формулы симметрии 24

— — «пьезоэлектрические» 7, 22

— системы 8, 9, 10, 18—21, 24

— — выбор прямоугольных осей коорди
нат 10, 18—21, 156

— — гексагональная 18—21, 24, 45, 48,
49, 52

— — кубическая 8, 18, 19, 21, 24, 45, 49
— — моноклинная 15, 18—20, 45, 46, 50
— — ромбическая 18—20, 24, 45, 46, 51
— — тетрагональная 18—20, 24, 45, 47, 51
— — тригональная 18—21, 24, 45, 48, 51
— — триклинная 10, 18—20, 24, 45, 46, 50
Кристаллы гексагональные 60, 365, 366,
371 372

— кубические 172—184, 363—365

— моноклинные 59, 60, 73, 156, 163,
200—207, 411

— основные постоянные 8, 10, 11, 26, 157,
394

— постоянные для срезов произвольной
ориентации 74—76, 339, 400, 402

— ромбические 59, 195—200

— тетрагональные 60, 193—195

— тригональные 60, 188—193

— триклинные 59, 60, 73, 76

Кюри—Вейсса закон 208, 227, 228, 233, 253
Кюри температуры и интервал 15, 16, 110,
180, 181, 208, 210, 224, 226, 234, 249,
253, 408, 410—412

—----------для дигидрофосфата калия 15,

16, 132, 134, 136, 137, 210, 226—
228, 230, 249, 251—253

Кюри температуры и интервал для диги-
дрофосфата калия с тяжелой водой 132
— — — — для сегнетовой соли 15, 16,
110—113, 210, 217—219, 223, 224, 249,
408, 410—412

— — — — — — — с тяжелой водой 110,
111, 226

— — — — для титаната бария 210, 233,
234, 241, 243, 249, 270, 271

— — — —- зависимость от гидростатиче-
ского давления 110, 111, 219, 220

Ламэ постоянные для жидкостей 331, 335,
336

— — для твердых тел 260, 261, 343, 347,
354, 363

Ланжевена мозаика 9

Линии задержки 296, 342, 343, 379

Магний 346

— затухание звука 361, 372—375

— упругие постоянные 365, 366

Металлы 342, 344—346, 355

— двойникование 378—381

— затухание звука 343—346, 358—363

—	— — обусловленное рассеянием 366—
375

—	коэффициент рассеяния 371

—	постоянная упругого гистерезиса 344,
345

—	— флуктуации 344

—	упругие постоянные 363—366

Механическая деформация, компоненты
30—32, 387, 388, 424, 425

—	— определение 30

—	— тензор 31, 388, 424

—	— энергия 32, 33, 35

Механическое напряжение, компоненты
28—30

— — определение 26—30

-----тензор 29, 30, 386, 387, 424

Микрофоны пьезоэлектрические 9, 107,
123, 124, 128, 143, 144

Мода колебаний (волны) 10

Модули сдвига 88, 119, 141, 343

— упругости 27, 32—34,	388,	389,

392, 413

— — адиабатические 37, 40, 41, 43, 402
-----для контурных колебаний 70—73, 401
— — изотермические 37, 402
-----тензор 50—53, 388, 389, 392

Модуль Юнга керамики из титаната бария
258, 261, 266, 427

— — кристаллов 34, 83, 412

— — твердых тел 343, 344, 347, 354

Модулятор света пьезоэлектрический 124

—	•—ультразвуковой 292

—	электрострикционный 256

Молибдат тринатрия-лития 192, 193

Лентах лор дифени л 313, 317, 318, 320

Пироэлектрические постоянные 41, 42,
402, 403

—	— для различных классов кристаллов
403

Пироэлектрический эффект 8, 42, 43, 111,
402, 403

Пластмассы 319, 346, 350—352, 354, 355
Плексиглас 292, 352—355
Подгонка собственной частоты пьезопла-
стинок 94, 95

Полиизобутилен 289, 306—310, 313—317,
319, 322, 323, 325, 326, 328—331, 360,
361

— затухание звука 289, 325, 326, 328 —340
— плотность 315

— продольные волны 326—340

— сдвиговая вязкость 313, 314, 316, 317,
325, 326, 331—333, 336

— — упругость 314, 316, 317, 326, 336,
360

— сдвиговые волны 325, 326

— скорость звука 330, 331, 334—336, 340

Полимеры жидкие в растворах, упругие
и вязкие свойства 306—313, 321

— •— чистые, упругие и вязкие свойства
290, 313—340

Поляризация электронного и атомного
смещений 214, 215, 237, 250, 252, 405

Поляризуемость диэлектрика 214, 215,
218, 236, 237, 243, 250

Поляризующее поле смещения 256—260,

267, 269, 270

Полярные оси 21

Постоянные гибкости 27, 34, 76, 389—392,

400, 401, 410

— — адиабатические 36, 43, 390

— -— для среза произвольной ориентации
74—76, 400

-— — изотермические 35, 36, 42, 43, 390
— — нелинейная поправка 405^ 408, 409
----тензор 51—53, 74, 263, 389, 390, 392,
410

Принцип Неймана 25

Проводимость кристаллов 66, 72, 73, 129—
132, 178—180

Пуассона коэффициент 84, 172, 175, 258,

259, 261, 427

Пьезооптический эффект 16, 405

Пьезоэлектрические кристаллы, методы ис-
следования 54—57, 59—76

— — — — метод Гибе и Шейбе 54, 55

•---— — метод измерений трех различно

ориентированных пластинок 55-—57

----— — метод сбалансированного моста
59—61

— — — — резонансный метод 62—76

— — необходимое условие существования
пьезоэлектрических свойств 7

— — отношение емкостей 56, 68, 87, 102,
139, 153, 163, 164, 166, 168, 170

— — температурные эффекты 402—404
— — эквивалентная электрическая схема
12—14, 68, 69, 83, 84, 102, 163,
165

—	— — — — с учетом дипольной связи
182 — 184

—	— эффекты второго порядка 16, 404—
413

—	постоянные 27, 43, 44, 46—50, 76,
120, 157,	208, 393, 399—401, 405

—	— адиабатические и изотермические 43,
402, 403

—	— для контурных колебаний 70—73
	нелинейная поправка 405, 408, 409,
412

----постоянная d 27, 42—44, 50, 202,
208, 390, 401, 403

Пьезоэлектрические постоянные для сре-
за произвольной ориентации 75, 400
— — постоянная е 27, 43, 44, 50, 392
— — постоянная дипольной поляриза-
ции /119, 181—184, 210

—	— постоянная g 27, 43, 44, 50, 208, 391,
405, 408

—	— постоянная h 27, 40, 41, 43, 44, 46—
49, 117, 181, 393

—	— резонансный метод измерения 62—
76

—	— связь между постоянными d, е, g,
и h 44, 120

—	— тензор 46—50, 74, 390—393, 412

Пьезоэлектрический эффект обратный 7,8
— — прямой 7, 8

-----уравнения 37—44, 390—393, 397—
402

Распространение звука в газах 273, 274,
416, 417

— ------жидкостях 286, 288—290, 292,

301—303, 326, 331, 337—339, 416

— — — — эквивалентные электрические
схемы 274, 275, 301, 302, 320, 321,
323, 331, 337, 338, 417

-----эффекты второго порядка 431—435

Резина, акустические свойства 147, 290,
 319, 347—353

Резонансная частота 14, 63, 67—69, 73,
83, 169, 258, 259, 342, 345, 400, 401

Резонансные методы измерения постоян-
ных кристалла 62—76

Резонаторы кристаллические 12, 13, 15,
101, 102

— — коэффициент эффективности 102

— — показатель качества 102, 103

Рейнольдса напряжение 432—434

Релея закон рассеяния 343, 366, 368, 370

Сегменты Эйринга или Куна 307, 310, 324
Сегнетова соль 8, 9, 12, 14—16, 107—128,
395, 405—409

— — биморфные элементы 123, 125, 126

— — аномалия удельной теплоемкости 249

-----выращивание 108

— — диэлектрические свойства 110—114,
215, 218, 219, 224, 412, 413

— — импеданс кристалла 225

— — общие физические и химические свой-
ства 108—ПО

— — основные срезы, £-срез 92, 143, 256

—-------— ЙГ-срез 114, 123

----------45°7Г-срез	112, 115—117, 123—
125, 411

-----------45°У-срез	124, 125, 412

— — достоянные 120, 412

— — — пьезоэлектрические свойства
114—120, 412

— — сегнетоэлектрические свойства 15,
16, 107, 210, 212—226, 253

— — структура 210—212, 218

— — с тяжелой водой 110, 111, 226

—	— тепловое расширение 407—409

—	— упругие свойства 119—123

—	— — — изменение в интервале Кюри
410—412

—	— — — постоянные гибкости 122, 123-
— — уравнения пьезоэффекта 115
— — частотные постоянные 117, 411
Сегнетова соль, электрострикция 255, 256
Сегнетоэлектрические кристаллы 12, 15,
16, 107, 128, 207—253, 404, 405

— — аномальные свойства 15, 107, 110—
114, 132, 207, 208, 404—413

— — — — аномалии удельной теплоем-
кости 249

—	— определение 209

—	— различные типы 15, 210

—	— спонтанная поляризация 110, 180,
208, 210, 216—218, 226, 404, 406

—	— — — дигидрофосфата калия 132,
134, 228, 249, 251, 252

— — — — сегнетовой соли 110, 217, 218,
221, 222, 249, 404—413

— — — — титаната бария 233, 234, 236—
240, 246, 247, 249

—	— теория сегнетоэлектрического эф-
фекта дигидрофосфата калия 15, 16,
216, 226—230, 250—253

—	— — — — — — теория Слэтера 229,
230

—	— — — — сегнетовой соли 15, 16,
107, 212—226

—	— — — — титаната бария 230—248

—	— упругие, пьезоэлектрические и ди-
электрические свойства 249—253

Сен-Вснана условия 32

Силиконовая смола 289, 320, 326, 335
— — вязкие и упругие свойства 289,
313, 317, 320, 326, 335

— — затухание звука 289, 326, 335

Символы Бравэ—Миллера 21

—	Германа—Могена 22

—	Шенфлиса 22, 23

—	Шубникова 22

Симметрия кристаллов 7—10, 18—25, 44,
394

—	— влияние на число основных постоян-
ных 8, 44—53, 394—397, 400, 402

—	— элементы 22, 44, 394

—	— — центр симметрии 7, 22

—	— пространственные группы 18, 21,
22

•	— — точечные группы 18, 21, 22
Спонтанная деформация 252, 406, 410
— диэлектрическая проницаемость 412
— поляризация; см. Сегнетоэлектрические

кристаллы

Спонтанное электрическое напряжение 412
Спонтанные постоянные гибкости 410, 411,
412

Срезы кристаллов косые 10, 74—76, 397—
399

— — с низким и нулевым температурным
коэффициентом частоты 96—100, 157,
163, 170, 184, 187, 188, 195—197

— — —-------------------Л-срез EDT 162

— — — —---------------- — В-срез EDT 167

------------------------У-срез EDT 161,
162, 166, 167, 169—171

----------— — —---------срезы DKT 167,
168

—------— •--------------ЛТ-срез квар-

ца 93

—	— — — — — — — — ВТ-срез квар-
ца 93

—	— — — — — _ _. — ст-срез квар-
ца 95

Срезы кристаллов с низким и нулевым тем-
пературным коэффициентом частоты,
ВТ-срез кварца 95

------------------------- GT-срез квар-
ца 95—97

------- —----— —---------У-срез фос-
фата алюминия

Старение кристаллических элементов 95

Стекла 319, 346, 368, 377

— затухание звука 339, 343, 345, 346,

361, 367, 368

Сульфат лития 92, 200, 201

— —• основные постоянные 204, 205

—	никеля 193—195

—	— измерения с косыми срезами 194

—	— коэффициент электромеханической
связи 194

—	—- основные постоянные 195

•— — частотные постоянные 194

Тангенс угла потерь 153, 232, 235

Тартрат аммония 200

— — основные постоянные 206, 207

— калия (DKT) 15, 151, 167—169

—	— направление осей 156

	— —- общие свойства 151, 156, 157

—	— основные постоянные 167

------ — срезы 167, 168

—	— уравнения пьезоэффекта 157, 158

—	-— частотные постоянные 168

—	лития-аммония 196

—	— — возможность сегнетоэлектриче-
ских свойств 207, 208

—	— — основные постоянные 197

—	лития-калия 196

---— постоянные для 45-градусных сре-
зов 197, 198

— натрия-аммония 196, 197

— — — основные постоянные 199, 200

Твердые тела 342—381

— — затухание звука 342—347, 352, 353,
358—375, 413, 417, 419, 420

— — скорость звука 343, 346—350, 354,
368, 419

— — методы измерения упругих постоян-
ных и скорости звука 342, 345—348,
354, 361

Температурные коэффициенты механиче-
ского напряжения 37, 40, 421

Температурный эффект механической де-
формации 402

— электрического заряда 402

Тензоры антисимметричные 386

— второго порядка 44, 385, 386

—	запись в цилиндрических координатах
423, 424

—	n-го порядка 386

—	нулевого порядка 385

—	общие свойства 383—386

—	первого порядка 384, 385

—	симметричные 386

—	третьего порядка 46

—	четвертого порядка 50

Тепловой эффект механического напряже-
ния 402

—	— электрического поля 402

Тепловые колебания решетки 290, 376,377

Теплопроводность твердых тел 376—378,
417—419
Теплота деформации 403

Термодинамические функции 38, 39

Титанат бария 111, 112, 230—249, 255—
272

— — аномалия удельной теплоемкости
249

— — диэлектрические свойства 231—235,
247

—	— — — вдоль оси а 242—246

—	— — — при равновесных условиях
236—242

—	— — — релаксация диэлектрической
проницаемости 235, 236, 247, 248

—	— керамика, см. Керамика из титаната
бария

—	— модификационные превращения 210,
231, 233, 234—235, 242—246, 270, 271

—	— сегнетоэлектрические свойства 210,
230—248

-----структура 231, 232, 236, 237, 245—
247

—	свинца 270, 271

Турмалин 8, 14, 188—192, 200, 201

—	коэффициент электромеханической свя-
зи 190, 191

—	основные постоянные 192

—	— — метод определения 188—192

—	частотные постоянные 190, 191

Упругие постоянные кристаллов 34, 50—
53, 62, 63, 393

—	— — изотермические и адиабатические
35—37

—	— — методы измерения, импульсный
ультразвуковой 63

—	—---------оптический 62, 63

—	— — — — резонансный 62—76

—	— — зависимость от электрического
состояния кристалла 11, 12, 120, 121,
393

—	— металлов 363—366

Упругость жидкости кристаллического ти-
па 319, 320, 324, 325

-----объемная 290, 331, 336, 414, 415

—	— перегруппировки 297

-----сдвиговая 289, 290, 297, 302—304,
326, 336, 415

—	— — высокочастотная 289, 316, 323,
324, 331, 336

—	— — для жидких полимеров в раство-
рах 307—313

—	— — — — — чистых 313—324

—	— — изотермическая и адиабатиче-
ская 414

—	— — конфигурационная 289, 290, 304,
320, 324, 326

—	— — — для жидких полимеров 290,
316, 318, 320, 321, 324, 331

—	— — методы измерения 290, 304—306,
313

Усталость металлов, метод испытания 149,
150

Фильтры, применение пьезокристаллов 9,
14, 15, 77, 86, 87, 92, 104—106, 151,
161—167, 169

Формиат бария 196

—	— основные постоянные 198

—	стронция 196

Формиат стронция, основные постоянные
198

Фосфат алюминия 188

Хлорат натрия 172—184, 207

— — диэлектрические свойства 174, 175,
177—183

—	— коэффициент теплового расширения
176

—	— — электромеханической связи 175,
183

---метод определения основных постоян-
ных 173—177

—	— пьезоэлектрические свойства 172,
176, 178, 180—183

—	— структура 172, 173

—	— удельное сопротивление 178—180

—	— упругие свойства 172, 175, 177, 181—
183

—	— уравнения пьезоэффекта 173

—	— частотные постоянные 174

Хромат тринатрия-лития 192

Цветовой эффект 292, 346, 347

Циклогексан как растворитель полиизобу-
тилена 306—311

Цирконат свинца 244

Частотные постоянные дигидрофосфата ам-
мония 136

—	— — калия 136

—	кварца 84, 85, 87, 89, 94

—	— керамики из титаната бария 260,
271

—	— сегнетовой соли 117, 411

—	— сульфата никеля 194

—	— тартрата калия 168

—	— турмалина 190, 191

—	— хлората натрия 174

— — этилендиаминтартрата 164—167, 170

Четыреххлористый углерод, упругие и вяз-
кие свойства 287, 288, 298

Эйринга теория 131, 213, 313, 317, 320

Электреты 7

Электрокалорический эффект 403

Электромеханические преобразователи пье-
зокристаллические 7, 12, 16, 91, 92,
100, 143, 255, 257, 271—273

—	— — использование для получения эле-
ктрической энергии 16, 17

Электрооптический эффект 8, 16, 405

Электрострикции постоянные для сегне-
товой соли 255, 408

--- тензор 263, 264, 405

— — титаната бария 239, 258, 266, 267

Электрострикция 7, 255—272, 404, 406,
410, 423—431

—	объемный эффект 269

—	отличие от пьезоэлектрического эф-
фекта 7, 255, 406

—	се нетовой соли 255, 256

—	титаната бария 239, 242, 27t3, 255, 257—
272

—	— — теория и механизм эффекта в ке-
рамике 239, 257—270

Этилендиаминтартрат (EDT) 9, 15, 151 —
171, 208

—	выращивание кристаллов 151, 152
Этилендпаминтартрат, диэлектрические
проницаемости 160, 164, 208

— коэффициенты теплового расширения
159—161

— направление осей 156, 166

— общие свойства 151, 156, 157

— основные срезы, Л-срез 155, 162—164

— — — В-срез 155, 167

--------У-срез 155, 161—166

— постоянные гибкости 158, 159

Этилендиаминтартрат, применение в фильт-
рах 154—156, 161—167, 169

— для стабилизации генераторов 169—
171

— пьезоэлектрические постоянные 159

— технология изготовления и характери-
стики пьезоэлементов 152, 153, 155,
156

— уравнения пьезоэффекта 157, 158

— частотные постоянные 164—167, 170
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редакторов....................................................   3

Из предисловия автора....................................................... 5

Гласа I. Введение. (Перевод В. А. Копцика) ..................	7

§ 1.	Природа пьезоэлектрического эффекта................................. 7

§ 2.	Исторический очерк.................................................. 3

§ 3.	Кристаллические системы, постоянные кристаллов, эффект электро-
механического преобразования.................................. 9

§ 4.	Кристаллические резонаторы и преобразователи....................... 12

§ 5.	Наиболее важные пьезоэлектрические кристаллы....................... 14

§ 6.	Эффекты второго порядка . . . •.................................... 16

§ 7.	Использование пьезоэлектрических кристаллов для получения электри-
ческой энергии..............................................  16

Литература.............................................................. 17

Глава II. Симметрия кристаллов, кристаллические системы и классы. (Перевод

В.	А. Копцика) ............................	18

Лите	ратура............................................................. 25

Глава III. Упругие, пьзоэлектрические п диэлектрические свойства кристаллов	26

§ 1.	Механические напряжения и деформации в кристаллах (Перевод В. А.
Копцика) .....................................................26

§ 2.	Уравнения, описывающие упругие, пьезоэлектрические, пироэлектри-
ческие и диэлектрические свойства пьезоэлектрических кристаллов . .	37

§ 3.	Ограничения, налагаемые симметрией на диэлектрические, пьезо-
электрические и упругие постоянные кристаллов...................... 44

Лите	ратура ............................................................ 53

Глава IV. Определение пьезоэлектрических свойств на кристаллах небольших
размеров (Перевод И. В. Защука) ...................	54

§ 1.	Методика измерений на кристаллах малых размеров.................... 54

§ 2.	Свойства, определяемые по трем различно ориентированным пластинкам
небольшого размера........................................... 59

Литература.............................................................. 61

Глава V. Резонансные методы измерения свойств кристаллов на пластинках
большого размера. (Перевод И. В. Защука)......................
§ 1.	Зависимость между частотами резонанса и антирезонанса и основными
постоянными пьезоэлектрического кристалла............................ 63

§ 2.	Определение упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических постоян-
ных на срезах различной ориентации................................... 74

Литература ...................,............................................ 76

Глава VI. Кристаллы кварца, их свойства и применения. (Перевод И. В. Защука) 77

§ 1.	Физические свойства кварца ........................................... 78

§ 2.	Уравнения, описывающие упругие, пьезоэлектрические и диэлектри-
ческие свойства кристаллов кварца.................................... 81

§ 3.	Различные типы колебаний, возбуждаемых в кварцевых пластинках .	83

§ 4.	Наиболее употребительные срезы кварца................................. 91

§ 5.	Применения кристаллов кварца........................................ 100

Литература................................................................ 106

Глава VII. Кристаллы сегнетовой соли, их свойства и применения. (Перевод

В. А. Копцика) ............................	107

§ 1.	Введение............................................................. 107

§ 2.	Физические свойства сегнетовой соли.................................. 110

§ 3.	Наиболее употребительные срезы сегнетовой соли....................... 123

Литература................................................................ 126

Глава VIII. Кристаллы дигидрофосфата аммония (ADP) и дигидрофосфата
калия (K.DP), их свойства и применения. (Перевод В. С. Нестерова) . .	128

§ 1.	.Физические свойства ADP и KDP....................................... 129

§ 2.	Наиболее употребительные срезы ADP и их применения..................  143

Литература............................................................... 150

Глава IX. Кристаллы этилендиаминтартрата (EDT) и тартрата калия (DKT), их
свойства и применения.	(Перевод И. В. Защука).................... 151

§ 1.	Введение............................................................ 151

§ 2.	Свойства кристаллов этилендиаминтартрата (EDT) ..................... 156

§ 3.	Наиболее употребительные срезы EDT, применяемые в кристаллических
фильтрах............................................................ 161

§ 4.	Свойства кристаллов тартрата калия (DKT)............................ 167

§ 5.	Применение кристаллов EDT для стабилизации генераторов высокой
частоты............................................................. 169

Литература............................................................... 171

Глава X. Исследования свойств некоторых пьезоэлектрических кристаллов. (Пе-
ревод В. С. Нестерова)..............•................................... 172

§ 1.	Исследования	свойств кубических кристаллов (хлората и бромата натрия) 172

§ 2.	Исследования	свойств тригональных кристаллов........................ 184

§ 3.	Исследования	свойств тетрагональных кристаллов...................... 193

§ 4.	Исследования	свойств ромбических кристаллов......................... 195

§ 5.	Исследования	свойств моноклинных кристаллов......................... 200

§ 6.	Возможность сегнетоэлектрических свойств у исследованных кристаллов 207

Литература............................................................... 208

Глава XI. Теория сегнетоэлектрических	кристаллов. (Перевод В.	А.	Копцика) . .	209

§ 1.	Сегнетоэлектрический	эффект	в	сегнетовой солп....................... 212

§ 2.	Сегнетоэлектрический	эффект	в	дигидрофосфате калия	(KDP)............ 226

§ 3.	Сегнетоэлектрический	эффект	в	титанате бария........................ 230
§ 4.	Аномалии удельной теплоемкости в	сегнетоэлектрических кристаллах .	24$>

§ 5.	Упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства сегнето-
электрических кристаллов............................................. 249

Литература.............................................................. 253

Глава XII. Эффект электрострикции в сегнетовой соли и титанате бария .(Перевод
В. А. Копцика)........................................................... 255

§	1.	Введение....................................................... 255

§	2.	Методы измерения основных постоянных........................... 257

§ 3.	Феноменологическая теория эффекта электрострикции в керамике
из титаната бария.................................................... 261

§	4.	Теоретическое объяснение эффекта электрострикции............... 268

§	5.	Метод получения постоянной поляризации......................... 270

Литература.............................................................. 272

Глава 'XIII. Свойства газов и методы их исследования с помощью кристалли-
ческих преобразователей.	(Перевод В. С. Нестерова).................... ‘ПЗ

§ 1.	Классические уравнения распространения звука и приложение их к
одноатомным газам................................................... 273-

§ 2.	Исследование свойств газов......................................... 275

Литература................................................,............. 285

Глава XIV. Изучение свойств жидкостей. (Перевод И. В. Защука).............. 286

§ 1.	Измерение скорости и затухания продольных волн в жидкостях . . .	290

§ 2.	Измерение сдвиговой вязкости и упругости жидкостей с помощью
кристаллических элементов, работающих на крутильных колебаниях .	297

§ 3.	Измерение сдвиговой упругости чистых жидких полимеров.............. 313

§ 4.	Сдвиговые волны в жидкостях........................................ 325

§ 5.	Распространение продольных волн в очень вязких жидкостях и
доказательство дисперсии скорости и затухания в жидкостях............ 386

Литература............................................................. 340

Глава XV. Свойства твердых тел и их изучение с помощью ультразвуковых
волн (Перевод И. В. Защука) ........... • ...........	342

§ 1.	Низкочастотные резонансные измерения.............................. 344

§ 2.	Исследование свойств твердых тел с помощью ультразвуковых волн в
жидкостях........................................................... 346

§ 3.	Импульсный метод исследования свойств твердых материалов и обна-
ружения пороков в	них.......................................... 355

§ 4.	Применение ультразвуковых методов для исследования двойникования
в металлах........................................................   378

Литература ..........................................................   382

Приложение. Тензорный метод записи основных уравнений для жидкостей,
газов и твердых тел. (Перевод В. А. Копцика) ...............	383

§ 1.	Общие свойства тензоров.........................................   383

§ 2.	Тензорный метод записи уравнений, описывающих упругие, пьезо-
электрические и диэлектрические свойства кристаллов................. 386

§ 3.	Влияние симметрии кристаллов и ориентировки кристаллических
пластинок на число диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих
постоянных ......................................................... 394

§ 4.	Уравнения пьезоэлектрического эффекта для повернутой системы
координат.........................................................   397

§ 5.	Температурные	эффекты в кристаллах ............................... 402
§ 6.	Эффекты второго порядка в пьезоэлектрических кристаллах.......... 404

§ 7.	Затухание звука в газах, жидкостях и твердых телах, вызванное
вязкостью, теплопроводностью и гистерезисом........................... 413

§ 8.	Потери в газах и жидкостях, обусловленные тепловой релаксацией . .	420

§ 9.	Использование тензорных уравнений в цилиндрических координатах . .	423

§ 10.	Эффекты второго порядка, наблюдающиеся при распространении волн .	431

Литература............................................................ 435

Предметный указатель...............................................    436
Редактор Л. А. ШУВАЛОВ
Художник М. Г. Ровенский
Технический редактор Б. М, Ильин
и Л. Н. Никифорова

Сдано в проивеодство 15/IV 1952 г. Подпи-
сано к печати 12/VII 1952 г» А05632
Бумага 70x 1081/16 = 14,1 бум, л.

38,5 печ. л. в т/ч. 1 внл.
Уч.-издат. л. 38,6. Изд. № 2/1008
Цена 29 р. 15 к. Зак. № 251

16-я типография Главполиграфиздата
при Совете Министров СССР.

Москва, Трехпрудный пер., д. 9
ОПЕЧАТКИ

Стр.	Строна	Напечатано	Следует читать
64	13 св.		т3 = т^т5^0
72	11 св.	О)2р -• Вс22	w2p-32c22
	2 сп.	—а2р2с22с|6	— a2Jj2C22^26
74	4 сп.	(2su + 2s®)	(2s®+2s®)
75	11 СП.	(Зт^ + тМ	s2i (3m|«1n24' вг|п2)
	9 сп.	n2 (l1m2 + m1l2)	«1 С1^2 + 7ЙЛ)
76	3 св.	2s 22 m2n2	2sf3 m2n2
	5 св.		тгп1
	7 св.	sE  d 35	sE *45
90	13 сн.	A23 = C1.1 c°s2 S —	*23= ~ «14 COS2 9 —
		— (c44 + c23) sin 0 cos 6	(сц + саз) sin 0 cos 6, *-i2=*i.'=^
101	10 св.	в аноде	на аноде
129	25 св.	не обезвоживаться	обезвоживаться
135	17 и 18 св.	гзз	es  ь33
227	14 св.	не зависит	зависит

Зак. 251
У.Мэук

•*

ПЬЕЗО-

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ

КРИСТАЛЛЫ

( и

I ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

В УЛЬТРА-
АКУСТИКЕ