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Текст
Perruccio Orecchia
Elementi di G"eometria e
Algebra Lineare
Il". Matrici, determinanti e sistemi lineari
Liguori Editore
Pubblicato da Liguori Editore
via Mezzocannone 19, 80134 Napoli
@ Liguori Editore, Sri., 1992
I diritti çli traduzione, riprodttzione e adattamento, totale o parziale, sono riservati
per tutti i Paesi. Nessuna parte di questo volume può essere riprodotta, registrata o
trasmessa con qualsiasi mezzo: elettronico, elettrostatico, meccanico, fotografico,
ottico o magnetico (comprese copie fotostatiche, microrùm e microfiches).
Prima edizione italiana Dicembre 1992
9876543210
1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992
Le cifre sulla destra indicano il numero e /'anno dell'ultima ristampa effettuata.
Printed in Italy, Officine Grafiche Ligut?ri, Napoli
ISBN 88-207.2194-5
Indice
Introduzione. .. . . . .. . . . . . . . .. .. . .. . .. .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. . . .. . . . . . .. .. .. . .. . . .. .. . . .. .. pag. 7
CAPITOI.40 PRIMO
Sistemi di equazioni lineari e matrici
1. Generalità sui sistemi di equazioni lineari.............................. )} Il
2. Generalità sulle matrici. Trasformazioni elementari e matrici
. aI · 21
e!l1l111 eIltl.................................................................. )}.
3. Matrici a scalini e matrici a scalini ridotte. Riduzione di una
matrice a forma a scalini o a scalini ridotta......................",... }) 24
4: Metodo di eliminazione di Gauss per risolvere un sistema lineare. }) 35
5. Operazioni sulle matrici. Notazione matriciale di un sistema
eEULea.......................*..a..*..............a......................... }) 44
6. Proprietà dell'aritmetica matrici aIe. L'inversa di una matrice. }) 48
7. Matrici elementari e determinazione dell'inversa di una matrice. » 52
8. La trasposta di una matrice. Trasformazioni elementari sulle
colC>IlI1e..........................................**.......................... » 59
9. Applicazioni dell'aritmetica matriciale ai sistenii lineari, in par-
ticolare omogenei. Se A è invertibile il sistema AX = B ha una
ed 'UTI.a sc>la sC>lu.zione.................................................... » 63
lO. E.. l . 66
serclZl e com p ementl. . . . . .. .. .. . . . .. . . .. . . . . .. .. . .. . .. .. . . . .. .. .. .. »
CAPITOLO SECONDO
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
1 I t . d .. .. d t · t .
. n ro UZIone al e erIIllnan 1..............................................................
2. DefU1izione di determinante............... u........ ... ........ .........oo
3.. Sviluppo di un determinante secondo una qualsiasi riga -=0 colonna
4. Proprietà dei determinanti................. ..........oo...... .............. ..........
})
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})
})
77
78
81
84
6 Indice
5. Applicazioni: calcolo del determinante per riduzione; determi-
nante del prodotto di matrici..................................................
6.. Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se det A ;;é o. La
regola di CraIner........................................................oo...................oooo....
7 M .. di t "
.. lnon e rango una ma nce............oo.......................oo.......
8. Il teorema di Rouché - Capelli.................................................
9. Dipendenza lineare. Un'altra definizione il rango di una matri-
ce. il teorema degli orlati.l..................................................oo.......
lO. Un altro metodo per determinare le soluzioni di un sistema li-
neare. Sistemi equivalenti e matrici equivalenti...oo.................
Il. Soluzioni linearmente indipendenti di un sistema lineare omo-
geIle().........................................................................
12. Altri modi di introdurre il determinante di una matrice...........
13 E ... l t "
. sercI.Z:l e comp emen l....... &............ .......... ..... &....... .......
CAPITOLO TERZO
Aspetti computazionali (cenno)
1. Costi com utazio ali.... .. ......oo ..... ..... .oo .... . ..oo . . .... .. . ....... ..... .. . .... .. .
2. Metodi di calcolo numerico.............. &.... .. . .... ........ .......... ..... & &.... ... ...
3. Metodi di calc()lo algebrico e simbolico............................
4 E .... l t &
. serc1.ZI. e c9m P emen 1..................................................
Illdice 1I tiC()*........4.......*.*.................*.......*.* a.................
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» 122
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) 137
» 148
» 155
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Introduzione
Questo volume (come gli altri della serie) trae origine dalle lezioni tenute
dall'autore in corsi di geometria del primo anno per fisici, ingegneri e matema-
tici, presso le Università di Genova e Napoli.
In questo testo si parte dalla nozione preliminare di sistema lineare, già
fanliliare allo studente dalla scuola media secondaria, e dal problema concreto
della sua risoluzione, effettuata mediante il semplice procedimento di elimina-
zione delle incognite. Ciò costituisce una naturale introduzione al successivo
sviluppo della teoria generale delle matrici, determinanti e sistemi lineari. Seb-
bene sia consueto in altri testi qui non si fa uso del IiQguaggio astratto degli
spazi vettoriali, che si ritiene non necessario e sovente di ostacolo ad una im-
mediata comprensione degli argomenti. Un particolare accento è stato posto,
inoltre sugli aspetti computazionali, dato l'uso sempre più diffuso dei calcola-
tori per risolvere problemi di algebra lineare.
L "Autore
Elementi di Geometria e
Algebra Lineare
Capitolo primo
Sistemi di equazioni lineari e matrici.
Supponiamo, in tutto il capitolo, di avere fissato un qualsiasi campaI k
(ad eseplpio il campo dei numeri razionali Q, dei numeri reali R, dei numeri
complèssi C). Quando scriveremo «elementi», «costanti» o «scalari» intende-
remo in tutti tre i casi «elementi del campo k». Negli esempi ed esercizi le è il
campo R dei numeri reali.
1. Generalità sui sistemi di equazioni lineari
Un'equazione lineare in due variabili x e y è un'equazione che può essere
scritta nella form"a
ax+by=c
dove a, b e c sono costanti. Ad esempio l'equazione cartesiana di una retta del
piano xy. Più-generalmente, un'equazione lineare nelle n variabili XI, X2,...,X n
è un'equazione che può essere espressa nella forma
(1)
alXl +a2X2 +a3 X 3 + ... + anx n = b
dove al, a2,. .,an sono costanti che vengopo denominate; coefficienti delle va-
riabili; la costante b è detta termine noto. Se qualche variabile Xi ha il corri-
spondente coefficienté ai nullo, si può omettere di scrivere Xi nell'equazione.
Se ai = O diremo allora che Xi non compare n eli ' equazione o che l'equazione non
contiene tale variabile.
1 Si dice campo un insieme k su cui siano defInite due operazioni + e . tali che qualunque
siano a t b, cEk si ha:
1) (a+b)+c:::a+(b+c)
2) (a. b) · c=a. (b. c)
3) a + b = b + a commutatività
4) a. b = b · a .
5) Esiste un J entità additiva O e moltiplicanva 1, tali che a + O = a e a . 1 = a
6) Esiste Popposto -a e il reciproco a-l, tali che a+(-a)=O, a. (a-I) = 1.
associatività
12 Capitolo l
Esempio 1. Le seguenti equazioni sono lineari 2x+3y= lt x-3y+z=7,
x--9y+z=O, x-5y+1tz=O) ex+2y.-z=1 2 , xl+2x 2 +3x3+ 5 XS+7x7=Ooo
Non sono lineari le equazioni 2x + 5r - z = O, cos x- sen y= 1, Xl - 2 x +
+x3=2, x] +X2X3 -X4= Il.
Una soluzione di un'equazione lineare (1) è una n-pIa (SI,...,Sn) di elemen-
ti che soddisfano l'equazione, cioè tale che:
alSI + aDS2 + ... + anS n = b..
Spesso scriveremo tale Soluzione anche nel seguente modo:
Xl =S1, Xz =S2,....,X n =Sn.
Esempio 2. Una soluzione dell'equazione 2x- 3y+ z=2 è (0,1,5) poiché
2 . 0-- 3 o. 1 + 5 = 2. Anche ( -- 1, 1, 7) è una soluzione di tale equazione..
Esempio 3. x=2,y=3 non è soluzione dell'equazione 5x-3y=2 poiché
5 · 2 - 3 · 3 = 1 ;é 2.
1#' equazione lineare nulla OXI + OX2 + OX3 + .... + OX n = O ha come soluzioni
tutte le n - pIe (SI,.... ,Sn).. L'equazione lineare OXl + OX2 + OX3 + ... + OX n = b;:é O non
ha soluzioni e si dice incompatibile. Tutte le altre equazioni sono compatibili
cioè hanno soluzioni che si determinano come segue:
se !'equazione QIXl +a2X2 + a3X3 +.... +anX n =b ha ai;éO, per un i= l,...,n, la si
può moltiplicare per J:..., ottenendo la seguente equazione, detta ridotta, che
ai
(come è facile verificare) ha le stesse soluzioni:
(2)
a/Xl +a2X2 +... + a!-IXi-1 +Xi+.a/+ l X i+ 1 +... + a xn= b'
I aj .. b ' b
aj =-, seJ;éI, =-.-
ai ai
con
Le soluzioni de/f 4 equazione (2) si ottengono immediatamente attribuendo
dei valori arbitrari, tj, alle variabiJi Xj, j i, cioè ponendo Xj = tj in (2) e ricavan-
do la variatiiIe Xi. Quindi sono date da:
(3) Xl = tl,....,Xi -1 = ti-}, Xi= -al tI - a2 t 2 - ... - al-lt; -1 .- a{+ 1ti+ l - oo...
- ant n - b I , Xi + 1 = ti + 1,... Xn = t n
dove t1,...,ti- I, ti + t,...,t n variano su tutti gli elementi del campo3.
: Geometricamente. nello spazio cartesiano. ogni equazione lineare in tre variabili
ax+by+ cz+d:=O, rappresenta un piano [VoI.. I. Cap. II].
, In alcuni testi le variabili Xj, j i, vengono dette libere o indipendenti e la variabile Xi di-
pendente, mentre ti sono detti parametri.
Sistemi di equazioni lineari e matrici 13
Osservazione l. Nel caso di equazioni in una sola variabile non si hanno pa-
rametri, poiché l'equaZione QIXI = b ha una sola soluzione data da Xl =..!!... .
al
Esempio 4. l 'equazione 3x+2y-z=O può essere scritta, ricavando x,
nella forma x= - y + -.!.- z e, ponendo y = s e Z = t le sue soluzioni sono
3 3
d d 2 1 l · d . ·
ate a x==: --- s +- t, Y =s, z= t a vanare el parametn s e t.
3 3
Ricavando invece la y dall'equazione si ha Y= _2.. x+ z e ponendo
2 2
x=s é z= t le soluzioni sono anche date dalle teme
( S, - . s+ t , t )
2 2
al variare dei parametri s e t.
Definizione. Un sistema di equazioni lineari o sistema lineare nelle va abili
(o incognite) Xl,...,X n è un insieme finito di equazioni lineari in tali variabili.
Una soluzione del sistema è una n-.pIa (Sl,...,Sn) di costanti che verifica ogni
equazione del sistema.
Un sistema arbitrario di m equazioni lineari in n incognite può quindi es-
sere scritto nella forma:
(4)
a21Xl +a2VCZ+a23X'3+... +az n X n=b 2
Ql1Xl +alzX2 + al3X3 + .... +alnX n = b 1
a......... .....................
a m lXl + a m 2Xz + a m 3 X 3 + ... + amnX n = b m
Si dice che (4) è un sistema lineare di m equazioni in n incognite Xl,...,X n . Le
costanti ai} sono dette coefficienti e le costanti bi te noti del sistema linea-
re. L'insieme delle soluzioni del sistema è quindi l'insieme delle n-pIe (SI,...,Sn)
tali che:
al1 S 1 + 01'}$2 + a13S3 + .... + alnSn = b 1
a21S1 + 021$2 + a23 8 3 + ... - + a2nSn = b z
amlSl + am'}.$Z ..t- am3S3 + .... + amnS n = b m
14 Capitolo 1
Esempio 5. Una soluzione del sistema lineare
4Xl +X2 -x3=7
2xt-X2+X3= - I
6Xl +.2x2 - 4X3 = 16
è
Xl = 1, Xz = 1, X3 = - 2
poiché tali valori verificano tutte e tre le equazioni.
Invece (1, 3, O) non è una soluzione del sistema poiché tali valori verifica--
no solo le prime due equazioni e non la terza..
Non sempre un sistema di equazioni ha soluzioni. Un sis ema lineare privo
di soluzioni si dice spesso incompatibile o inconsistente. Se un sistema ha a1me-
no lIna soluzione si dice compatibile o consistente.
{ x-y=o
è chiaramente incompatibile,
2x-2y=2
poiché moltiplicando per la seconda equazione si ottiene x-y= 1 e se
. 2
(SI, S2) fosse una soluzione del sistema s .avrebbe &=81 --S2= 1; assurdo.
Esempio 6. Il sistema
Esempio 7. II problema delle soluzioni di un sisteIna di due equazioni in
due incognite ha una facile interpretazione geometrica, utile per ricordare il se-
guente fatto generale che dimostreremo nel seguito: ogni sistema lineare ha una,
nessuna o infInite soluzioni. Infatti una retta ha come equazione cartesiana un'e-
quazione lineare onde determinare le soluzioni di un sistema di due equazioni
in due incognite equivale geometricamente a determinare i punti di intersezÌone
di due rette. Ci sono tre possibilità:
y
- .....
x
Figura l.a
Figura l.b
y
x
Figura l.c
Sistemi di equazioni /inearr e matrici 15
a) le rette sono parallele, nel qual caso non ci sono intersezioni e conseguente..
mente il sistema è incompatibile [Fig.. l.a];
b) le rette si incontrano in un punto e allora il sistema ha una ed una sola solu-
zione [Fig.. 1. b] ;
c) le rette sono coincidenti e allora ci sono infiniti punti di intersezione cioè in-
finite soluzioni del sistema [Fig. l.c]..
Vedianlo ora cosa significa risolvere un sistema liIleare. Iniziamo con si-
sterni particolarmente semplici, i sistemi ridotti, le cui soluzioni si determinano
immediatamente.
Definizione. Un sistema lineare si dice in forma ridotta o ridotto se ogni equa..
zione non nulla contiene, con coefficiente 1, almeno una variabile che non com-
pare fu nessun' altra equazione 4 .
Esempio 8. Dati i sistemi lineari
a) { x-z= 1
y+z=2
-.
{ x+2y-z=O
b)
3y-z= l
. Xl - 3X4 + 5xs = 2
...
X3+X4 =0
{ 3X2 + X3 = 1
d)
Xl . - 2x2 +. X4 = 5
c) 3X2- 7 Xs=4
a) è ridotto, poiché la prima equazione contiene la variabile x che non compare
nella seconda, la seconda equazione contiene la y ch non cornpare nella pri-
ma ed entrambe hanno coefficiente 1;
b) non è ridotto, poiché nella seconda equazione tutte le variabili sono presenti
anche nella prima equazione;
c) non è ridotto, perché, anche se la prima, seconda e terza equazione conten-
gono rispettivamente Xl, X2, X3 che non cOIIlpaiono nelle rimanenti equazio-
ni, la variabile X2 ha coefficÌente 3 e non 1 come richiesto dalla definizione;
d) è ridotto, poiché la prima equazione contiene la variabile X3 che non compa-
re nella seconda e la seconda equazione contiene le variabili Xl e X4 che non
compaiono nella prima; tutte hanno coefficiente 1.
Consideriamo un sistenla lineare ridotto di r equazioni in n variabili Xl,
4 Geometricamente, la nozione di sistema ridotto, in tre ariabili. applicata alle equazioni
di una retta dà 1uogo alla nozione di retta rappresentata in forma ridotta, vale a dire intersezione
di piani parallelf agli 'assi [VoI. "1, Cap. II, Esercizio 38].
16 Capitolo 1
X2,oo..,Xnoo Secondo la definizione per ogni i= 1,..oo,r, lti-esima equazione contie-
ne una variabile Xki che non compare nelle altre equazioni del sistema. Se
xP1,,,.,x ps ' s=n-r, sono le variabili diverse da Xkl,...,Xkr l'i-esima equazione
contiene solo le incognite Xki XPl'... ,x ps onde, attribuendo valori arbitrari tj alle
variabili x Pj nelle equazioni del sistema ridotto e ricavando le variabili Xki [FOT-M
mula (3)] si ha:
(5)
..a...t.......
Xk 1 = (tl,....,t s )
Xk r = 2:;(t1,...,t$)
dove 2:( ) indica le somme contenenti tl,...,t s che si ricavano immediatamente
dalle equazioni del sistema. Abbiamo: quin4! provato il:
Lemma 2. Un sistema lineare ridotto è sempre compatibile e le (5) insieme
con x P1 = tl,...,XPs= t s determinano tutte le n'-pie che sono soluzioni del siste-
ma, al variare di tl,...,t s nel campo considerato.
Osservazione 3. Se n = r, cioè nel sistema lineare ridotto il numero delle equa-
zioni non nulle coincide con quello delle vma:bili, il sistema non contiene va-
riabili x P1 ed ha l'unica soluzigne: Xl = Cl ... ,x n ::::: C n dove Cl, ... ,C n sono
costanti.
Vediamo alcuni e empi.
Esempio 9. Consideriamo il sistema lineare ridotto
{ X-Z=1
Y+Z='Z
dell'esempio 8.a); ponendo z= t si ha
{ x=t+ 1
y= -t+2
onde le teme
x=t+ 1, y=t+.2, z= t
descrivono l'insieme delle soluzioni al variare di t nei numeri reali. Ad esempio
per t=2 si ottiene la soluzione (3,4,2); per t= l si ottiene la soluzione (0,1, -1).
Sistemi di equazioni lineari e rnatrid 17
Esempio lO. Il sistema ridotto dell'esempio 8.d)
{ 3XZ'+X3 =1
Xt-2x'z +X4= 5
può essere scritto nella forma
{ X3 = - 3X2 + 1
Xl =2xz -X4+ 5
Ponendo X2 =s e X4= t le sue soluzioni sono date da (2s - t+ 5, 8, --- 3s+ 1, t)
al variare dei numeri reali s e t.
Ma lo stesso sistema può essere scritto nella forma
{ X3 = - 3X2 + 1
X'4=2xz:-Xl +5
e, ponendo Xl = S e X2 = t, le soluzioni possono. anche. essere. descritte da
(s, t, - 3t+ l, 2t-8 + 5) al variare dei :numeri reali s e la
Vediamo ora cosa vuoI dire risolvere un sistema lineare qualsiasi.
Definizione. Due sistemi lineari, in n variabili, si dicono equivalenti se hanno
le stesse soluzioni cioè ogni soluzione dell'uno è anche soluzione dell'altro e
viceversa.
Osservazione 4. Chiaramente due sistemi lineari entrambi in n variabili e in-
compatibili sono sempre equivalenti., Inoltre due sistemi equivalenti possono
avere un diverso numero di equazioni..
Definizione. Determinare le soluzioni di ( o risolvere) nn sistema lineare signi-
fica decidere se è incompatibile o meno e se è compatibile, determinare le solu-
zioni di un sistema ridotto [Lemma 2] equivalente ad esso..
Per risolvere un sistema lineare compatibile è, di fatto, sufficiente ottene-
re u.n sistema lineare ridotto equivalente al sistema dato cioè ridurre il sistema
a forma ridotta. Infatti, come visto, le soluzioni di un sistema ridotto si deter-
minano immediatamente [Lemma 2].
, Un semplice metodo per ottenere un sistema/lineare ridotto equivalente ad
un sistema dato consiste nell'applicare alle sue. equazioni le seguenti operazioni.
18 Capitolo 1
Definizione. I seguenti tre tipi di operazioDÌ t applicate alle equazioni di un
sistema lineare, si dicono trasformazioni elementari:
Tipo l. moltiplicare un'equazione per una costante non nulla
rripo 2. scambiare due equazioni
Tipo 3. aggiungere un multiplo di un'equazione ad un'altra equazione
Lemma 5. Ogni trasformazione elementare non cambia le soluzioni di un si-
stema lineare onde applicando ad un sistema dato un numero finito di trasfor-
mazioni elementari si ottiene un sistema equivalente ad esso.
Dim. [Esercizio 49].
Osservazione 6. Mostreremo neI seguito [Cap_ II, Cor. 38] che se due sistemi
lineari compatibili, in n variabili, sono equivalenti le equazioni di uno si posso-
no sempre ottenere dalle equazioni dell'altro mediante un numero finito di tra-
sformazioni elementari. Ciò motiva l'importanza delle trasformazioni lementari
nello studio dei sistemi lineari.
Esempio Il. I sisterrti lineari, nelle incognite Xl, X2, X3, X4
ci)
2xl +Sx2+3x3-X4=O
3Xl-2x2 +4X3 -7 4=3
- 4Xl + 6xz+ 4X3 - 2X4 = 3
e
b)
2xl + 5X2 + 3X3 - X4 = 1
_.. Xl + 6Xi + 2x3 + X4 -....: O
Xl + 12x2+ 2x3 +5X4= -3
sono equivalenti. Infatti sommando, nel primo sistema, alla seconda equazio-
ne la prmla TIloltiplicata per - 2 si ottiene il sistema:
2xi -t 5X2 + 3X3-X4=0
-" Xl -12x2 - 2x3 - 5X4:;: 3
-4Xl +6X2 +4X3 --2x4=3
Moltiplicando ora la seconda equazione per - 1 e scambiandola con la terza
si ha poi il sistema:
2xl + 5X2 -t.. 3X3 -Xi =0
--4Xl +6xz+4X3-2x 4 =3
Xl + l2x2+2x 3 +5x4=-3
Sistemi di equazioni lineari e matrici 19
Sommando alla seconda equazione la terza si ha:
2xl +5xz+3x3-X4=O
- 3Xl + 18x2 4, 6X3 -- 3X4 = O
Xl + 12x2+2x3..-5x4= -3
e moltiplicando la seconda equazione per si ha il sistema b).
3
Si può facilmente determinare un procedimento, detto metodo di elimina-
zione delle incognite che consente di risolvere un qualsiasi sistema lineare. Tale
procedimento, che descriviamo informalmente, consiste nell'eliininare via via
variabili del sistema, fino ad arrivare ad un sistema incompatibile o ad uno ri-
dotto, con l'applicazione ripetuta di trasformazioni elementari del tipo 1 e 3.
(6)
Metodo di e limin azione delle .incognite.
Si consideri una incognita Xj che compare, con coefficiente a, in una equa-
zione, i-esima, del sistema lineare dato (4). Moltiplichiamo tale equazione per
(trasformazione elementare di tipo 3), in modo da far diventare 1 il coef-
a
ficiente di Xj* Poi se b è il coefficiente di Xj nell' h-esima equazione, h;é i, sot-
traiamo a quest'ultinia la i-esima equazione moltiplicata per b (con questa tra-
sformazione elementare si elimina Xj da tutte le equazioni diverse dalla i-esima).
Ripetiamo le stesse trasformazioni elementari per le altre incognite che com-
paiono nelle rimanenti equazioni. Se durante il procedimento si ottiene l'equa-
zione incompatibile OXl+OXZ+OX3+...+0x n =b;éO allora il sistema (4) è
incompatiblle" Altrimenti si perviene ad un sistema fidotto le cui soluzioni sO"-
no quelle del sistema dato.
Osservazione 7. Con il metodo di eliminazione sopra esposto si ha libertà nel-
la scelta delle incognite che si vogliono eliminare. Sta all'abilità del solutore
scegliere le incognite che consentono di fare meno calcoli (ad esempio quelle
che compaiono nel minor numero di equazioni).
Esempio 12. Vogliamo determinare le soluzioni del sistema:
xl-t.2x2 -X4= -1
2xl - 3X2 + X4 = 2
Xl
-2x 3
=1
Consideriamo l'incognita X4 nella seconda equazione d eliminiamo X4 dalla pri-
ma equazione sommando quest'ultima con la seconda equazione.. Si ha il sistema:
20 Capitolo l
3Xl - X2
=1
2xl - 3X2 +
X4=2
Xl
-2x 3
=1
Consideriamo poi l'incognita Xz che compare nella prima equazione. Moltipli-
chiamo tale equazione per - l.. Eliminiamo poi Xz dalla seconda equazione ag-
giungendo ad essa 3 volte la prima equazione. Si ha il sistema:
-3Xl +X2
=-1
- 7X l
+X4= -1
Xl
-2x3
=1
Infine consideriamo l'incognita X3 della terza equazione che moltiplicheremo
per - . Si ottiene così il sistema ridotto:
2
-7XI
1
--Xl +X3
2
le cui soluzioni, .1Jonendo Xl t sono date da:
( 1 1 )
t -1+3t ---+--t -1+7t
. ' , 2 2'
+X4= -1
1
= -....--
2
- 3Xl + Xz = - 1
Esempio 13. V ogliamo risolvere il sistema
Xl + X2+X3= l
3XI +X3=O
Xl - 2x 2 - X3 = 1
Consideriamo l'incognita X2 della prima equazione ed eliminiamola dalla terza
aggiungendovi due volte la prima. Si ha il sistema:
Xl +XZ-X3= 1
3Xl +X3=O
3Xl .+ X3 = 3
Sistemi di equazioni lineari eJnatrid 21
Ora consideriamo l'incognita X3 della seconda equazione ed elinriniamola
dalla terza sottraendovi la seconda. Si ottiene l'equazione incompatibile OXl +
+ OX2 + OX3 = 3 per cui il sistema dato non ha soluzioni.
Nei paragrafi successivi descriveremo un altro metodo di eliminaiione del..
le incognite, detto di Gauss. Tale metodo è più sistematico perché non lascia
libera la scelta delle variabili da eliminare.. Infatti inizia l'eliminazione dalla prima
incognita che compare nel sistema.. Tuttavia il metodo di Gauss è per la sua
efficienza e facilità di implementazione sui calcolatori generalmente il più usa-
to per risolvere un sistema lineare. Inoltre, come vedremo, esso è legato alla
teoria della riduzione che permette, di dimostrare vari risultati sulle matrici.
In generale il metodo di Gauss consente di risolvere un sistema lineare con me-
no operazioni del metodo di eliminazione. Rimarchiamo però che, in taluni ca-
si, un uso intelligente del metodo di eliminazione (6) consente di risolvere più
rapidamente un sistema lineare [Esempio 32].
2. Generalità sulle matrici. Trasformazioni elementari e matrici equivalenti
Per studiare i sistemi lineari è fondamentale ricorrere alla nozione di ma-
trice. Tale nozione che in questo volume sarà vista solo in riferimento ai siste-
mi lineari trova numerose applicazioni in svariati settori della matematica 5 . Ci
è per ora solo necessaria la definizione di matrice. Le operazioni sulle matrici
saranno introdotte successivamente.
Definizione. Si dice matrice A una tabella rettango1are di elementi disposti
secondo righe e colonne. Per individuare la posizione degli elementi di una ma-
trice A la si scrive nella forma:
alI 012 013 OIn
a21 a22 023 a2n
(7)
A=
amI a m 2 a m 3 amn
che diremo matrice a m righe ed n colonne 0, più semplicemente matrice m X n.
L'elemento di posto (iJ) in A) denotato con aij, appartiene alla i-esima riga
(an...ain) e alla j-esima colonna
5 Ad esempio è utile per il prodotto vettoria1e e misto di vettori dello spazio euclideo rv 01.
I, Cap. I, Par. 6]..
22 Capitolo l
°u
Cj=
.
.
.
.
.
.
.
ami
Spesso scriveremo la matrice A sinteticamente nella forma A = (aij). Soli-
tamente denoteremo le matrici con lettere maiuscole.
Due matrici sono uguali se hanno la stessa dimensione (cioè sono entram-
be matrici m X n) e hanno i corrispondenti elementi uguali.
Una matrice i cui elementi sono tutti zero si dice matrice nulla.
Esempio 14. a. Consièleriamo le matrici:
A=[: J'
B= [: : J '
[ 3 2 0 J
C-
. 5 7 O
Si ha A ;é C, poiché A e C non hanno la stessa dimensione. Per lo stesso
ITIotivo B C.. Anche A ;éB, poiché nQn tutti i corrispondenti elementi sono
uguali.
Esempio 15. Le matrici nulle:
O O O
[::J [
o O
O O
:J
o
o
o
o O O
sono diverse tra loro perché hanno dimensioni diverse.
Esempio 16. Per studiare un sistema lineare (4) si fa spesso riferimento
alla seguente matrice A che contiene i coefficienti e i termini noti del sistema:
alI a12 013
aIn b 1
021 022 023
aZn b z
(8)
A=
amI a m 2 a m 3 amn b n
e che si dice matrice completa del sistema.
istemi di equazioni lineari e matrici 23
Se A = (aij) è una matrice m x n indicheremo con ri la riga i-esima (ail,...,ain)
(le virgole sono messe per chiarezza notazionale)..
Definizione. Le seguenti operazioni si dicono trasformazioni elementari (sul-
le righe) fi di A.
Tipo 1. Moltiplicare una riga fi per una costante non nulla c, che indichere-
mo con fi-)ocri 6
l'ipo 2. Scambiare due righe fi e fj che indicheremo con ri<t-+rj
Tipo 3. Aggiungere un multiplo di una riga ri ad un'altra riga rj che indiche-
remo con fr 4 fi + crjo
Esempio 17. Se A è la matrice completa (8) del sistema lineare (4) ogni
trasformazione elementare sulle equazioni del sistema ha come corrispondente
una trasformazione elementare, dello stesso tipo, sulle righe di A.
Definizione. Date due matrici non nulle A e B, diremo che A è equivalente
(per righe) a B se B è ottenuta daA mediante un numero finito di trasformazio-
ni elementari applicate alle righe di A.
Proposizione 8. Se A, B, C sono matrici:
a) A è equivalente qd A (proprietà riflessiva)
b) se A è equivalente a B al/ora B è equivalente ad A (proprietà simm trica)
c) se A è equivalente a B e B è equivalente a C allora A è equivalente a C (pro..
prietà transitiva)..
Quindi l'equiva/enza di matrici è una re/azione di equivalenza.
Dim. a) e c) sono immediate.
b) Se una trasformazione elementare viene applicata alle righe di una matrice
A ottenendo cosi Una nuova matrice A l , allora esiste una trasformazione in-
versa che applicata alle righe di A I , fa ritornare di' nuovo ad A.. Infatti la tra-
sformazione di tipo 1) rr- cri ha come trasformazione inversa rr-i> ( ) ri.
I.Ja trasformazione di tipo 2) ri' rj ha come trasformazione inversa rj+-+ri. Infi-
ne la trasformazione di tipo 3) ri-+f;-r"crj ha come inversa ri-+ri-crj.. Quindi
se B è ottenuta da A applicando un numero finito di trasformazioni elementari
allora A è ottenuta da B applicando le inverse di tali trasformazioni elementari.
In virtù della proposizione 8 si può dire che A e B sono equivalenti se A
è equivalente a B oppure B è eguivalente ad A.
6 In simboU, se rf= (al1.... ain) e rJ (ajl,...,ajn») effettuando l) si sostituisce, nella matrice
A, la riga i-esima (aU,...,Oin) con la riga (caf1,....)cain); effettuando 3) la riga j..esima viene sosti-
tuita con. (al1 + Ca}l,... ,ain + cajll).
24 Capitolo l
Lemma 9. Due sistemi lineari le cui matrici complete sono equivalenti, sono
anch essi equivalenti.
Dim. Basta osservare che tali sistemi possono essere ottenuti uno dall'altro me-
diante trasformazioni elementari e quindi hanno le stesse soluzioni [Esercizio 49].
Esempio 18. Le matrici A= [: : : ] e B= [: : : ] non
sono equivalenti.
{ 2x+3y=5
Infatti il sistema lineare di matrice completa A ha solu-
3x+4y=7
{ x+3y=4. .
zione CItI) che non è soluzione del sistema di matnce comple-
. 4x+y=6
ta B. Quindi i due sistemi non sono equivalenti e neppure le matrici A e B, in
virtù del Lemma 9.
2 5 3 -1 O
Esempio 19. Le matrici 3 x 5 A= 3 -2 4 -7 3 e
-4 6 4 --2 3
2 5 3 -1 l
B= - 1 6 2
1 O sono equivalenti.. Infatti A e B sono rispetti-
1 12 2
5 -3
vamente le matrici complete dei sistemi a) e b) dell'Esempio Il.
n secondo sistema è ottenuto dal primo con trasformazioni elementari,. come
viene mostrato nell'esempio Il e quindi A e B sono equivalenti [Esempio 17].
Osservazione 10. In virtù dell'Osservazione 6, per sistemi compatibili vale il
viceversa del Lemma 9, cioè, se due sistemi lineari compatibili sono equivaIenti
anche le loro matrici complete sono tali.
3. Matrici a scalini e matrici a scalini ridotte. Riduzione di una matri-
ce a forma a scalini o a scalini ridotta
Definizione. Una matrice non nulla si dice a scalini {relativamente alle righe}
se ha le seguenti proprietà:
1) se una riga è nulla, tutte le righe successive sono nulle;
2) il primo elemento diverso da zero di lma riga non nulla, detto pivot, è più
Sistemi di equazioni lineari e matrici 25
a sinistra del primo elemento non nuno delle righe successive'.
Una matrice si dice a scalini ridotta se oltre le precedenti due proprietà ve-
rifica anche le segu ti:
3) il pivot di una qualunque riga non nulla è 1;
4) ogni colonna che contiene il pivot di una riga ha tutti gli altri elementi nulli.
1 O 1
Esempio 20. l a matrice O O 1 non è a scalini poiché il pivot
.
O 1 O
della seconda. riga è più a destra del pivot della terza riga.
Esempio 21. La seguente matrice è a scalini:
l 2 O -2 O
O O l O 1
A= O O O 1 3
O O O O O
O O O O O
.A non è a scalini ridotta poiché verifica la proprietà 3) ma non la proprietà
4).. Infatti la quarta colonna che contiene il pivot 1 della terza riga, contiene
l'elemento - 2 non nullo.
Esempio 22. La matrice:
1 O 2, 5
O 1 3 6
O O O O
\
e a scalini ridotta.
1 In simboli una matrice è a scalini se soddisfa alle seguenti due proprietà:
l) se ai} = O per j = l t... ,n allora ohj = O per h;a f e j = 1,... ,n
2) se ou O e nilt = 0, per ;ogni h <j, allora ai + l,h == 0, per ogni 1z :sj.
26 Capitolo 1
Esempio 23. La matrice:
1 O O O
O O 1 O
l O O O -1
O O O O
è a scalini ma non a scalini ridotta, poiché verifica la proprietà 4) a non la
3), essendo -1 il pivot della terza riga..
Osservazione 11. La denominazione di matrice a scalini è chiarita dalla Figu-
ra 2 osservando che il numero di righe non nulle coIncide con il numero degli
scalini della scala che separa gli zeri dagli altri elementi (abbiamo indicato con
X i pivot della matrice):
)< . . . . . la . . . .
oX. ......
oooX.......
0000 ....
. . . . . . .. . .
. . . . . . . . . . .
O O O O . . . . · o.lx
O O O O . . . . . O O
Figura 2
Lemma 12. Consideriamo un sistema lineare di matrice completa R che veri-
fica le seguenti due condizioni:
a) R è a scalini ridotta
b) /Jultima riga non nulla di R non è (O, O, ..., O, 1), ovvero nessun pivot di
R appartiene all#ultima colonna.
Allora il sistema è ridotto.
Dim. Ogni riga non nulla di S contiene un pivot, di valore 1, che app?Uti ne
ad una colonna con tutti gli altri elementi nulli, in virtù delle 3) e 4) de1J.a defi-
nizione di matrice a scalini ridotta. Tale pivot, in virtù della ipotesi b); è coeffi-
ciente di un'incognita del sistema che quindi è ridotto.
Osservazione 13. Un sistema lineare ridotto può avere matrice completa nQn
Sistemi di equazioni lineari e matrici 27
a scalini.. Tuttavia semplicemente riordinando le equazioni del sistema esso può
diventare un sistema di matrice completa a scalini ridotta come mostra il se-
guente esempio.
Esempio 24. Il sistema
x3-3x4= 1
X2 + x4=5
Xl +3X4=3
ha matrice completa
(O O 1 --3 1
o 1 O 1 5
100 3 3
che non è a sc Iiiii. Tuttavia scambiando la prima equazione con la terza il si-
stema diventa
Xl +-3X4 = 3
X2 + x4=5
X3 - 3X4 = 1
che ha matrice completa a scalini ridotta.
100 3 3
O 1 O l 5
O O l -3 1
Vediamo ora il procedimento, alla base del metodo di eliminazione di Gauss,
c e permette di trasfòrmare ogni matrice in una matrice' a scalini e quindi a
scalini ri otta ad essa equivalente.
Sia A = (aij) una matrice m x n.
(9)
Algoritmo di riduzione.
28 Capitolo ]
L'algoritmo si divide in due parti a) e b)
(9.a)
Riduzione di nna matrice a forma a scaJini
Passo 1. Si individui la prima colonna non nulla (partendo da sinistra) eli A
e il primo elemento (partendo dall'alto) non nullo a eli tale colonna. Sia rk ]a
riga che ha come pivot a 8 .
Passo 2. Scambiamo le righe ri e lk (TI ++rk) in modo da portare a nella prima
riga.
Passo 3. Per ogni riga rh, h> 1, se c è ltelemento di r/J che sta sotto ad a ope-
riamo la trasformazione elementare fll fh - : ) fl (questa operazione an-
nulla via via tutti gli elementi della colonna che contiene a fino che a resta l'u-
nico elemento non nullo).
Passo 4. Escludiamo la prima riga, vale a dire consideriamo la sottomatrice
delle righe fi, 2sism. Se quest'ultima è costituita da una sola riga o è la ma-
trice nulla l'algoritmo termina; altrimenti ricominciamo dal passo 1 applicato
a tale sottomatrice.. Terminato ]'algoritmo (9.a) si ricava quindi una matrice
a scalini S equivalente ad A.
(9.b) Riduzione di una matrice a scalini a forma a scalini ridotta.
Sia S una matrice a scalini.
Passo 1. Consideriamo il pivot a dell'ultima riga ri non nulla di S. Moltipli-
h . 1 ( 1 ) · d d .. . h
c lama ri per -; fj-+-; li In ma o a ottenere una matnce In CUI fi a l co-
me pivot.
Passo 2. Per ogni riga flt, h < i t se c è l'elemento di r" che sta sopra ad l, ope-
riamo la trasformazione r/t-+rh - Cfi, in modo che il pivot 1 di li sia l'unico ele-
mento non nullo della colonna che lo contiene.
Passo 3. Consideriamo la sottomatrice ottenuta escludendo la riga ri e tornia-
mo aI passo 1. Il procedimento termina quando si è giunti al pivot della prima
riga di S..
Terri:rlnato l'algoritmo 9.b) si ottiene una matrice a scalini ridotta R equi-
valente ad S.
· In simboli se a=akh;éO allora OiJ=O sej<h oppure sej=h e i<k.
Sistemi di equazioni lineari e matr.ici 29
Applicando in successione i passi l), 2), 3), 4) di (9.a) e 1), 2), 3) di b) si
ottiene una matrice ridotta R equivalente alla matrice A"
La matrice S del precedente algoritmo- di riduzione si dice una fornia a
scalini di A. La matrice R si dice la forma a scalini ridotta di A.
Osservazione 14. Con il precedente aIgoritmo resta provato che ogni matrice
è equivalente ad una matrice a scalini e ad una a scalini ridotta. S si dice una
forma a scalini di A poiché una matrice può essere equivalente a più di una
matrice a scalini. Invece R si dice la forma a scalini ridotta di A poiché ogni
matrice è equivalente ad un'unica matrice a scalini ridotta.. 011lettiamo la di-
mostrazione, non banale, di quest'ultimo risultato in quanto non rilevante per
la nostra trattazione.
Ese pio 25. Vogliamo ridurre la .seguente matrice a forma a scalini e quin-
di a forma a scalini ridotta
1 2 O -1 -1
-1 -3 1 2 3,
A=
1 -1 3 1 1
2 -3 7 3 4
Applichiamo dapprima l'algoritmo (9.a).
Passo 1. La 1 a colonna è non nclla ed ha come primo elemento non nullo
il pivot 1 della prima riga..
Passo 2. Nessuna trasfonnazione da fare.
Passo 3. Annulliamo gli eIementi sotto il pivot 1 mediante le trasformazioni
elementari specificate a sinistra:
1 2 O -1 -1
r2 r2+rl O -1 l 1 2
r3 r3 --ri O -3 3 2 2
f4 f4 - 2rl O -7 7 5 6
Passo 4. Escludiamo la prima riga fI e applichiamo l'algoritmo alla sottoma-
trice delle righe rimanenti
30 Capitolo 1
.{- 2 O 1 1
O -1 1 1 2
O -3 3 2 2
O -7 7 5 6
La 2 a colonna è la prima colonna non nulla ed ha come primo elemento
non nullo il pivot - l di f2.
Annulliamo gli elementi sotto _. 1.
1 2 O 1 1
O -1 1 1 2
r3 r3 -. 3r1 O O O -1 -4
r4 r4 - 7r 1 O O O -2 -8
Eliminiamo anche la seconda riga r2-
La 4 a colonna è la prima non nulla nella sottomatrice risultante ed ha -1
come primo elemento non nullo. Ann'ulliamo l'elemento sotto -1..
1 2 O - 1 - 1
-{}- - 1 1 1 2
O O O -1 -4
r4 r4-2r3 O O O O O
E limin ando anche la terza riga si è arrivati all'ultima riga di A e l'algorit-
mo termina. Abbiamo ottenuto la matrice
1 2 O -1 -1
O -1 l 1 2
s=
O O O -1 -4
O O O O O
che è una forma a- scalini di A.
Riduciamo S alla forma a scalini ridotta con l'Algoritmo (9.b).
Sistemi di equazioni lineari e matrici 31
Passo 1. Il pivot dell'uItiÌna riga f3 non nul1a è -- 1. Moltiplichiamo r3 per -1.
1 2 O -1 -1
O -1 l 1 2
f3-+ -- f3 O O O 1 4
O O O O O
Passo 2. Annulliamo gli elementi sopra il pivot 1 di r3-
I) -J-rl + f3 1 2 O O 3
f2 -+rz - r3 O -1 1 O -2
O O O l 4
O O O O O
Passo 3. Escludiamo f3 e applichiamo l'algoritmo alla sottomatrice così ottenuta.
1 2 O O 3
O -1 1 O -2
O O O 1 4
O O O O O
Il pivot dell'ultima riga non nulla r2 è-l
1 2 O O 3 rl-+rl - 2r2 l O 2 O -1
rz-+ - rz O l -1 O 2 O 1 -1 O 2
e o 0 . 1 4 O o o 1 --4.
o o O o o o o o o o
Escludendo rz si giung.e alla prim riga che ha pivot 1 onde l'algoritmo ter-
mina e
32 Capitolo 1
1 O 2 O -1
O 1 -1 O 2
.R=
O O O. 1 4
O O O O .. O
è la forma a. scalini ridotta di A.
Esempio 26. Vogliamo ridurre la seguente matrice a forma a scalini e poi
a forma a scalini ridotta.
o O O 2
A= O 2 - I 4
o 3 -1 2
Passo 1. La 2 a colonna è la prima non nulla; e il suo primo elemento non nul-
lo appartiene a rz..
o 2 -1 4
Passo 2. r2 -Ho fi O O O 2
O 3 -1 2
O 2 -1 4
Passo 3. O O O 2
3 O 1
r3-+ r 3 --- - fl O - -4
2 2
Passo 4. Escludiamo la prima riga e ritorniamo al passo 1..
-()-- 2 .1 4
f2 +-+r3 O O I ..-4
-
2
O O O 2
Sistemi di equazioni lineari e matrici 33
O 2 -1 4
s= O O l -4 è la forma a scalini di A.
-
2
O O O 2
Applichiamo ad S l'algoritmo (9.b).
O 2 -1 4 rl rl .- 4r3 O 2 -1 O
O O 1 -4 r2 r2 +4r3 1
- O O - O
2 2
1 O O
F3 -+- .-.-. f3 O 1 O O O 1
2
O 2 -1 O fl-+rl + r2 O 2 O O
l2 -+ 2f2 O O 1 O O O l O
O O O 1 O 0 - O 1
1 O 1 O O
fl-+---- II
2
- e o 1 O
o o o -+
o 1 o o
o o 1 o è la forma a scalini ridotta di A.
O O O 1
A volte può essere preferibile ridurre una matrice a forma a scalini senza
effettuare divisioni (ad esempio ciò consente di sviluppare una teoria delle ma-
trici e dei sistemi lineari su un anello, come vedremo nel Capitolo II!). Vedia-
mo un algoritmo per effettuare tale riduzione. L'algoritmo differisce dall'al-
goritmo (9.a) solo nel fatto che il Passo 3 viene spezzato in due parti, che per...
mettono di evitare l'uso di frazioni.
(lO) Algoritmo di riduzione a forma a scaDni senza l'uso, di divisiDni.
34 Capitolo l
Passo 1. e Passo 2. Come nell'algoritmo (9.a)..
Passo 3. Per ogni riga fll, h> 1, se c è l'elemento di rll che sta sotto ad a ope-
riamo le trasfonnaziom elementari rh q lIt e rh' +rlt -c fI (queste due ope-
razioni potrebbero essere sintetizzate con la seguente rJz-+a lh - C lI).
Passo 4. Come nell'algoritmo (9.a).
Terminato l'a1goritmo si ha quindi una matrice a scalini S equivalente adA.
Esempio 27.. Consideriamo la matrice
o'
O O O 2
O 2 -1 4
O 3 -1 2
dell'esempio 26 e riduciamola a forma a scalini con l'algoritmo (lO).
I passi 1 e 2 sono identici a quelli dell' esempio 26.
r 1 -H-r2 O 2 -1 4
O O O 2
O 3 -1 2
La trasformazione elementare del passo 3, l3-}>r3- rl, viene decom-
2
posta nelle due trasformazioni elementari:
O 2 -1 4
r3 -;. 2r3 O O O 2
O 6 -2 4
e
O 2 -1 4
O O O- 2
r3-+r3 - 3rl O O 1 -8
Proseguendo poi. con la trasformazione. r2.f04r3 si ottiene .la matrice a scalini
Sistemi di equa:zioni lineari e matrici 35
O 2 -1 4
O O 1 -8
O O O 2
4. Metodo di e limin azione di Gauss per risolvere un sistema lineare.
In questo paragrafo descriviamo il metodo di eliminazione delle incognite
detto anche di Gauss che consen e di risolvere un sistema lineare. Esso consiste
neli' applicare 1) algoritmo di riduzione (9) alla matrice completa eli un sistema
lineare per ottenere un sistema incompatibile od un sistema ridotto equivalente
le cui soluziom si determinano immediatamente.. Spesso per «metodo di elimi-
nazione di Gauss» si "intende anche la riduzione della matrice completa a fonna
a scalini [AJgoritlllo (9.a)] determinando poi le eventuali soluzioni con un pro-
cedimento di sostituzione a ritroso delle variabili. Come vedremo i due metodi
sono equivalenti poiché implicano le stesse operazioni sulle costanti per cui sta
alle preferenze del lettore applicare l'uno o l'altro.
Consideriamo il sistema lineare
(11)
a21Xl + a22X2 + a23X3 + ... + a2n X n = b 2
QI1Xl + al1X2 + a13X3 + ..... + alnX n = bl
a m lXl + a m 1X2 + a m 3 X 3 + ... + amnx n = b n
e la sua matrice completa
alI aI2 a13 aln b 1
a2I a22 a23 a2n h2
A=
aml a m 2 a m 3 a mn b m
Proposizione 15. Sia S la matrice,! scalini ottenuta applicando ad A /'algorit-
mo di riduzione (9.a). Il sistema lineare (11) è compatibile se e solo se /'ultiJna
riga non nulla di S non è del tipo (O,O,.....O,b)t con b;éO o equivalentemente nes-
sun pivot di S appartiene all ultima colonna. In tal caso la forma a scalini ri-
dotta R di A è matrice completa di un sistema ridotto equivale.nte a ,( 1)..
36 Capitolo 1
Dim. Se l'ultima riga non nulla della matrice S è del tipo (O,O,...,b), b O,
allora il sistema che ha come matrice completa S ha un'equazione del tipo
OXI + OX2 + OX3 + ... + OX n = b O ed è quindi incompatibile onde tale è il sistema
(11) ad esso equivalente.. Se l'ultima riga non nulla di S non è del tipo (O,O,...,b),
b;z:O, per come è costruito l'aIgoritmo (9.b), l'ultima riga non nulla della for-
ma ridetta R di S non è (0,0,...,0,1) e quindi il sistema di matrice completa R
è ridotto [Lemma 12] quindi è compatibile [Lemma 2] onde è compatibile il
sistema dato equivalente ad esso [Lemma 5]. Con ciò resta provata sia l'ultima
asserzione sia 1'equivalenza della proposizione.
Siamo ora in grado di descrivere il:
Metodo di eliminazione di Gauss
Il metodo si divide in due parti a) e b).
a) Compatibilità del sistema lineare.
Applichiamo alla matrice A di (11) l'algoritmo (9..a).. Si ottiene una forma
a scalini S di A.
Se S ha l'ultima riga non nulla del tipo (O,O,....,O,b), con b O, il sistema
(11) è incompatibile [prop. 15]. Altrimenti passiamo alla parte b).
b) Riduzione del sistema a forma ridotta.
Riduciamo S a forma a scalini ridotta R mediante l'aIgoritmo (9.,a).. Il si-
stema di matrice completa R è ridotto [Lemma 12] e le sue soluzioni, che si
determinano immediatamente [I:,emma 2], sono le soluzioni di (11).
Osservazione 16. Se durante il procedimento di riduzione della matrice A a
forma a scalini si ottiene una matrice che, ancorché non a scalini, ha una riga
del tipo (O,.....,O,b), b;éO, si può immediatamente concludere che il sistema da-
to non ha soluzioni.
Esempio 28. Vogliamo risolvere il sistema lineare:
x+y+2z=1
x + z=2
y+ z=o
La matrice completa del sistema è:
Sistemi di equ.a.zioni lineari e matrici 37
1 1 2 1
1 O 1 2
O 1 1 O
Riduciamo tale matrice a forma a scalini.
1 1 2 l 1 1 2 1
r2 r2'- 11 O -1 -1 1 O -1 -1 l
O 1 1 O r3 r3+r2 O O O l
Quest'uItimamatrice è a scalini e ha l'ultima riga del tipo (0,0,...,0,1) (cioè
il pivot 1 della terza riga appartiene all'ultima colonna) e quindi il sistema dato
non ha soluzioni.
Esempio 29. Consideriamo il sistema:
al +4Xz+6X3- 2x4= o
Xl + 2xz + X3 + 2x4= 1
2xz+4x3+ 2x4= 2
- 2x1 + X2 +lOX4=10
la cui matrice completa è:
2 4 6 2 O
1 2 1 2 1
A=
O 2 4 2 2
-2 1 O lO lO
a) Riduciamo A a forma a scalini:
2 4 6 -2 O 2
O O -2 3 1 O
O 2 4 2 2 f2+?r3 O
O 5 6 8 lO O
1
r2 r2-- fI
2
f4-+-f4 + fI
4 6 -2 O
2
4 2 2
O -2 3 1
5
6 8 lO
38 Capitolo l
2 4 6 -2 O 2 4 6 -2 O
O 2 4 2 2 O 2 4 2 2
O O --2 3 1 O O -2 3 1
5 O O -4 3 5 r4 r4 - 21"3 O O O -3 3
r4-+J"4-- r2
2
e la forma a scalini S di A è:
2 4 6 -2 O
O 2 4 2 2
s=
O O -2 3 1
O O O -3 3
b) Riduciamo S a forma a scalini ridotta R, scrivendo in dettaglio i calcoli
2 4 6 -2 O
O 2 4 2 2
O O -2 3 1
1 O O O 1 3 ( - )
r4-+ ---1"4
3
rl-7rl + 2r4 2 4 6 O 0+2(-1)
f2-7r2 - 21"4 O 2 4 O 2 - 2{ -1)
f3 r3 - 31"4 O O -2 O 1- 3( -1)
O O O 1 -1
2 4 6 O -2
O 2 4 O 4
1 O O l O 4 c- )
r3 --1"3
2
O O O 1 -1
Sistemi di equazioni lineari e matrici 39
rl-+rl-6f3 2 4 O O -2-6( -2)
r2 r2 - 4f3 O 2 O O 4-4( -2)
O O 1 O -2
O O O l :-1
240 O lO fI rl - 4r 2 2 O O O 10-4. 6
1 O 1 O O .12 O 1 O O 6
r2 -+-- f2 .
2 2
O O 1 O -2
O O 1 O -2
O O O 1 -1
O O O 1 -1
1 1 O O O 1
rl- - rl -14.-
2 2
O l O O 6
O .0 1 O -2
O O O 1 -1
La matrice
1 O O O -7
O l O O 6
R=
O O 1 O . . 2
O O O 1 -1
forma ridotta di S e quindi di A è matrice completa del sistema ridotto
Xl = - 7
X2
6
X3 = - 2
X4= -1
40 Capitolo 1
onde la soluzione del sistema dato è Xl = - 7 Xz = 6, X3 = - 2, X4 = - 1.
Esiste anche un altro modo, piÙ informale, di descrivere il metodo di eli-
minazione di Gauss che consiste nel lasciare invariata la parte a) relativa alla
compatibilità del sistema lineare e sostituire la parte b) con la seguente:
b') Sostituzione a ritroso
Consideriamo il sistema che ha come matrice- completa la matrice S rica-
vata da a).
Consideriamo l'ultima equazion non nulla di tale sistema e la prima va-
riabile, che compare nell' equazione. Attribuiamo dei valori arbitrari alle altre
variabili dell' equazione e ricaviamo tale variabile sostituendola poi nelle prece-
denti equazioni. Applicando lo stesso procedimento alla penultima, terZlùtima,
..., prima equazione si ottengono le soluzioni del sist ma dato.
Esempio 30. Consideriamo il sistema lineare dell'esempio 29.
II sistema che ha come matrice completa la matrice a scalini S ricavata nel-
la parte a) dell'esempio 29 è:
2x1 + 4X2 + 6x3 - 2x4 = O
2xz+4x3+2x4 2
- 2x3 + 3X4 = 1
-.3X4=3
Ricaviamo X4 dell'ultima equazione: X4 = 3 ( - ) = - 1, e sostituiamo nelle
precedenti. Si ha:
2x l + 4X2 + 6X3 = O + 2( - 1) = - 2
2x2 + 4X3 = 2 - 2( - l) = 4
- 2x3 = 1 - 3( - 1) = 4
X4= -1
Ricaviamo X3 dalla terza equazione, X3 = 4( - ) = - 2, e sostituiamo nelle
precedenti. Si ha:
Sistemi di equazioni lineari e matfici 41
2xl +4X2= -2-6( --2)= lO
2x 2 = 4-4( -2)= 12
X3 = - 2
X4= -1
Ricaviamo X2 dalla seconda equazione, x2= 2 =6 e sostituiamo nella prima
2
eqpazione. Si ha
X4= -1
e ricavando Xl dalla prima equazione si ha il sistema ridotto
= _ 4 = _ 7
2
- 6
X2 :"'- 6
X3 = - 2
2xl=10-4"6= -14
Xl
X2
X3 = - 2
X4= -1
che dà la soluzione ( -7 6, - 2, -1)..
Osservazione 17. I due modi di descrivere l'eliminazione di Oauss a), b) e a),
b') sono equivalenti dal punto di vista computazionale. Infatti è immediato ren-
dersi conto [Esempi 29, 30] che sono necessarie le stesse 9perazioni aritmetiche
(somme sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) per portare a termine i relativi
aIgoritmi.. In alcuni testi il metodo di elimin azione di Gauss con le procedure
a) e b) è detto di Gauss-Jordan mentre è detto di Gauss il metodo basato su
a) e sulla sostituzione a ritroso b').
Esempio 31. Vogliamo risolvere il sistema lineare
Xl + al
- .x4=-1
Xl - 3X2 + X3 + 2x4 = 3
Xl - X2 + 3X3 + X4 = 1
2x1-3X2+7x3+3x4= 4
42 Capitolo 1
La matrice completa del sistema è:
1 2 O -1 -1
-1 -3 1 2 3
A=
l -1 3 l 1
2 -3 7 3 4
che è stata ridotta a forma a scalini S nell'esempio 25.
1 2 O -1 -1
O -1 1 l 2
s=
O O O -.1 -4
O O O O O
pOIché l'ultima riga di S non è del tipo (O, O, ...) 0, b), b ;éO, il sistema è campa..
tibile..
Le soluzioni del sistema si determinano considerando la forma ridotta R
di A detenninata nell'esempio 25
o
2 O
o
O
o 1
1
2
4
R=
1
O
1 -1 O
che è la matrice completa del sistema ridotto
Xl + 2x3 = l
X2- X3 =2
x4=4
Ponendo X3 = t e ricavando Xl, X2 si hanno le riduzioni del sistema
Xl = -. 2t + 1, X2 = t + 2, X3 = t, X4 = 4 aI variare del numero reale t. Sì potevap.o
determinare le soluzioni anche con la sostituzione a ritroso applicata aI sistema
di matrice completa S:
Sistemi di equazioni lineari e matrici 43
-X4= -4
Si ha, ricavando X4 dalla terza equazione, X4 = 4, che s0stÌtuito nella prima
e seconda equazione da:
X2+X3+X4= 2
Xl + 2.x 2
-X4= 1
X4= 4
Ponendo X3 = t, ricavando X2 = t + 2 dalla seconda equazione nella prima
si ha:Xl + 2t+4= 3 da cui Xl = - 2t-.. 1, X2 = t+2, X3 =t, X4 =4 sono le soluzioni
del sistema (come sopra)..
Vogliamo ora confrontare il metodo di eliminazione di Gauss con il meto-
do di eliminazione delle incognite (6), descritto informabnente nel paragrafo
l. Come mostreremo nel capitolo 111,. paragrafo 1, in generale per risolvere un
sistema lineare con il metodo di eliminazione (6) occorrono più operazioni che
con il metodo di Gauss. Tuttavia in casi particolari (matrice completa con mol-
ti zeri) può essere più cOIlveniente il metodo di eliminazione (6).
Esempio 32. Vogliamo determinare le soluzioni del sistema lineare del-
l'esempio 12
- X2 + X3
5
=-2
Xl + 2x2
Xl + 2x2 -X4= -1
2x 1 - 3X2 +X4= 2
Xl -2x 3 - 1
l 20-1-1
di matrice completa A = 2 -- 3 O 1 2 , con il metodo di Gauss.
1 O -2 O l
Riduciamo A a forma a scalini S
1 2 O -1 -1 1 2 O -1 -1
r2 r2-2rl . O .-7 O 3 4 O -7 O 3 4 =8
r3 r3-rl O -2 -2 1 2 2 1 6
r 3 -ior3 --- r2 O O --2 - -
7 7 7
44 Capitolo 1
Riduciamo S a forma ridotta R
1 2 O -1 -1
O -7 O 3 4
1 O O 1 1 3
F-3--+- -- r3 -- --
2 14 7
rl rl - 2rz
100
1 2 O -1 -1
1 O 1 O 3 4
-- --
r2-4- -- r2 7 7
7
O O I 1 3
- --
14 7
1 1
-- -
7 7
3 4 =R
_.-- --
7 7
1 3
- ---
14 7
o 1 O
o O 1
che è matrice completa deI sistema ridotto:
1 1
.._- X4 =
7 7
3 4
X2 --X4= - -
7 7
Xl
1 3
X3-'- X 4= --"--
14 7
. h l 1 . . ( 1 1 3 4 1 3 )
Ponendo X4=t SI anno e so UZlom - t+- -- t-- -- t---- .
7 7' 7 7' 14 7
È facile -verificare che con il metodo di Gauss abbiamo effettuato più- ope-
razioni che con il metodo di eliminazione dèlle incognite usato nell'esempio 12.
Infatti, abbiamo effettuato 13 prodotti o divisioni e lO somme o differenze contro
8 prodotti o divisioni e 6 somme o differenze dell'esempio 12.
5. Operazioni sulle matrici. Notazione matriciale di un sistema lineare
Le hIatrici scaturiscono in molti contesti diversi dalla teoria dei sistemi li-
neari.. In questo paragrafo definiamo operazioni sulle matrici che saranno fon-
damentali per l'introduzione delle matrici nello studio dell'algebra lineare.
Definizione. Siano A = (aij) e B = (bij) matrici della stessa dimensione m x n.
Sistemi di equazioni lineari e matrici 45
Allora la somma A + B deIle due matrici è la matrice, 1J'l x n, C= (Cij), dove
cij = aij + b u , cioè la matrice il cui elemento di posto (iJ) è la somma degli ele-
menti di posto (i,j) di A e B..
5 7 8 5 -7 9
Esempio 33. SeA= 2 ..- 3 4 e B= 4 3 Il allora
7 6 -2 O 6 8
lO O 17
A -t-B= 6 O 15
7 12 6
Per ogni matrice A = (aij) esiste un'unica matrice B tale che A + B= o. In-
fatti si verifica subito che:
(12)
B=(-aij) e si pone B=-A
Esempio 34. Se A = [
-1
3 -5 J allora -A= [ -.2 -3 -5 }
O 7 l 0-7
Porremo A - B =A .f- ( - B) onde se .A = (aij) e B = (bij) si ha
(13)
A -.. B= (aij- bij)
Esempio 35. Se A = [ 2 3 J e B = [ 5 ..- 7 J a110ra A - B [ - 3 10 J
--lO 4-1 -5 1
Definizione. Sia c uno scalare e A = (ai}) una matrice. Allora il prodotto cA
è la matrice ottenuta moltiplicando ciascun elemento di A per c, cioè A == (bij)
dove bij = caij.
[ 5 7 11 J
Esempio 36. Se A =
986
[ -15 -21 -33 J
c= -3 alloIa cA =
. -27 -24 --18
Dalle definizioni si ha (-1)A = A.
46 Capitolo l
Abbiamo appena definito la moltiplicazione di una matrice per uno scala-
re. È naturale a questo punto porsi il problema se sia possibile moltiplicare due
matrici. La definizione di prodotto di matrici che apparirebbe più naturale è
«moltiplicare i corrispondenti elenlenti delle matrici». Sorprendentenlente questa
definizione non si rivela adatta per molti problemi. L'esperienza ha portato i
matematici alla seguente definizione di prodotto di matrici, meno intuitiva ma
più utile. Già in questo paragrafo vedremo come tale definizione ha un'appli-
cazione immediata per rendere più sintetica la notazione relativa ad un sistema
lineare.
Definizione. Siano date due matrici: A == (aij), m X n, e B = (bij), n xp.. Il pro-
dotto AB di A e B è la matrice C= (cij), m xp, tale che:
Cij = anbJ + ai 2 b 2 } + . .. + ainbnj
cioè l'elemento di posto (iJ) di AB è ottenuto moltiplicando i corrispondenti ele-
menti della riga i-esima e della colonnaj-esima e sommando i risultanti prodotti.
Esempio 37. Consideriamo le matrici
2 --3 - 5 9
A= [ : 3 : ]
B= -8 O Il 4
2
3 7 - 1 O
Poiché A è una matrice 2 x 3 e B è una matrice 3 X 4, il prodotto AB è una
matrice 2x4.. Per determinare, per esempio, l'elemento della prima riga e pri-
ma colonna diAB, isoliamo la prima riga diA e la prima colonna diB. Quindi,
moltiplichiamo i corrispondenti elementi e sommiamo 5 · 2 + 3( - 8) + 7 · 3 = 7.
[ [[ 3 ==zJ ]
026
r 2 -3 - 5 9
. -- 8 O Il 4 -
3 7 - l O
....
7
L'elemento della seconda riga e terza colonna è O( - 5) + 2(11) + 6( -1) = 16
[ I :
3 7 ]
2
2 -3 - 5 9 7
-8 O Il 4 - 16
3 7 -. l O
Sistemi di equazioni lineari e matrici 47
I calcoli relativi ai rimanenti prodotti sono:
5( - 3) + 3 · 0+7 . 7 = 34, 5( - 5) + 3 · Il + 7 · ( - 1) = 1, 5. 9 -I- 3 · 4 + 7 · 0= 57,
o. 2 + 2 · ( - 8) -1-- 6 · 3 = 2, O( - 3) + 2 · O + 6 · 7 = 42, O( - 5) + 2 .. Il + 6 · ( - 1) = 16,
O · 9 + 2 · 4 + 6 .. 0= 8, onde:
AB= [ :
34 1 57 ]
42 16 8
Osservazione 18. I.la definizione di prodotto di matrici richiede che il numero
delle colonne del primo fattore A sia uguale al numero delle righe del secondo
fattore B. Se ciò non accade non si definisce il prodotto.
Esempio 38. Se A è una matrice 4 x 3, B è una matrice .3 x 5, e C è una
matrice 5 x 4 allora AB è definito ed è una matrice 4 x 5; CA è defmito ed è
una tnatrice 5 x 3; BC è defmitQ ed è una matrice 3 x 4 mentre i pro otti A C,
CB e BA non sono definiti.
La moltiplicazione di matrici ha un'applicazione notevole ai sistemi di equa-
zioni lineari. Consideriamo un sistema di m equazioni in n incognite:
(14)
a2IXl + a22X2 +a23X3 + .... + a2nX n =E b 2
allXl +al2X'2 +al3X'3 + .... + alnX n = b 1
..... ............... ........ ...
a m lXl + a m '2X2 + am3X3 + ... + amnX n = b m
La matrice:
(15)
alI a12 a13 .... al n
a2I a22 aZ3 .... aZ n
A=
amI a m 2 a m 3 . . . . a mn
si dice matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema .(14); la matrice
. Xl b l
X2
b2
matrice
colonna X =
si dice matrice delle incognite, e B =
.
.
.
.
X n
b m
48 Capitolo 1
dei termini noti.
Per la definizione di prodotto righe per colonne si ha:
allXl .1- al1X2 + Ql3X3 + ..... + alnX n
a21 X l + a22X2 + a23X3 + ... + aZ.nXn
AX=
............................................
a m lXl + am2X2 + a m 3X3 + .... + amnXn
Poiché due matrici sono uguali se e solo se i loro corrispondenti elementi
sono uguali, il sistema (14) può essere sostituito daII'unica equazione matriciale:
(16)
.AX=B
Quando si denota un sistema con la forma (16) si dice che esso è scritto
in forma matriciale..
Vedremo nel seguito che in casi notevoli l èqnazione (16) può essere tratta-
ta come se fosse un'equazione numerica e COmg conseguenza di tale interpreta-
zione otterremo nuovi efficaci metodi per ris:dlvere un sistema lineare.
6. Proprietà dell'aritmetica matriciale. L'inversa di una matrice
Jn questo paragrafo mostriamo che molte delle note regole dell'aritmetica
dei nUmeri valgono anche per l'insieme delle matrici su c1Ìi siano definite le ope-
razioni. introdotte nel paragrafo 5 con qualche eccezione.
Teorema 19. (proprietà basilari dell'aritmetica matriciale) Siano A, B e C ma-
trici qualsiasi e c, c' scalari. Supponendo che le dimensioni delle matrici siano
tali che le operazioni indicate possano essere effettuate, valgono le seguenti relazioni..
a) A+B=B+A
b) A+(B+C)=(A+B) +C
c) A +O=A, dove O è la matrice nulla
d) A+(-A)=O
quindi rispetto al[:1operazione di somma ['insieme delle matrici della stessa di-
mensione m x n è un gruppo abeliano 9 .
f) c(A+B)=cA+cB
9 Si dice gruppo abeliano un insieme su cui sia defInita un'operazione di somma + che veri-
fica le precedenti proprietà a), b), c), d).
Sistemi di equazioni lineari e matrici 49
g) (c+cl)A=cA+c'A
h) c(c l A) = (cc')A
i) lA = A
e quindi rispetto alle operazioni dì somma e prodotto per uno scalare l'insieme
delle matrici della stessa dimensione m x n è uno spazio vettoriale sul campo
degli scalarpD:
l) A(BC) = (AB)C
m) A(B+C)==AB+AC
n) (A+B)C=AC+BC
o) c(AB)=(cA)B=A(cB)
Dim. Ognuna delle precedenti equazioni esprime un'uguaglianza di matrici.
Per provare queste uguaglianze, è necessario mostrare che le matrici sulla de-
stra e sulla sinistra hanno la stessa dimensione, e che i corrispondenti elementi
di entrambi i lati sono uguali. Le dimostrazioni di a), ..., i).e o) sono molto
semplici e lasciate per esercizio; la dimostrazione di l) viene effettuata n.ei com-
plementi. Qui dimostriamo la m), osseIVando.:che la,dimostrazione di n). del
tutto analoga a quella di m). Se A.è nna.m atrice.-;llIX..n 'e.B, C hanne; dimeDsio.-
ne n x p allora A(B + q e AB + A C, per definiZione di somma e ' pro.dotto ,di
matrici, hanno la stessa dimensione m x p.. Inoltre, se A = (aij); B = (bu), C = (Cij),
allora l'uguaglianza fra gli elementi di A(B + C) e AB + AC è data da ai1(blj+
+ Clj) + ai2(b 2 j + C2j) + . ,,-..'+ ain{bn.j'+ Cnj) = anblj + ai2b 2 j + ... + ainbnj.... anCli +
+ ai2 C 1j + ... + ainCnj.
Una matrice .A ::::: (aij) con n righe e n colonne si dice m ti'ice. adrata di
ordine n, e gli elementi al1,....,a nn si dicono appartenere ana diagonale princi-
pale di A [Fig. 3].
alI a12 aln.
a21 a22 a211
anI On2 a nl1
Figura 3
In virtù delle precedenti relazioni a), ..., l), m), n) l'insieme delle matrici
10 Si dice spazio vettoriale su un campo k (o k spazio vettoriaIe) un gruppo abeliano su cui
sia defInito un prodotto esterno con gli elementi di k che verifica le precedenti proprietà f}, g),
h), i).
50 Capitolo 1
quadrate di ordine n è un anello Il rispetto alla somma e al prodotto righe per
colonne.
1'ale anello ha identità, data dalla matrice quadrata di ordine n:
1 O O O
O 1 O O
In=
O O l O
O O O "1
che si dice matrice identica. Spesso quando sarà chiaro dal contesto l'ordine
di l,l'la denQteremo semplicemente con l.
Tale anello npn è tuttavia commutativo cioè in generale non si ha AB = BA,
come mostra il seguente esempio:
Esempio 39. Consideriamo le matrici A = [ : J e B= [: : J si
ha AB l: : J e BA= [: : J onde AB BA
Inoltre.la nota regola eli cancellazione che vale per gli insiemi numerici de-
gli interi, razionali, re.ali, se ab = ac allora b = c, non vale per le matrici,
come mostra il seguente esempio..
Esempio 40. Basta considerare le matrici:
_ [ -- 5 -10 J
B- ,
1 2
[ - 6 - 12 4 J ·
Si ha B C e AB=AC= 2
[ 3 9 J
A=
..-1 -3 '
...... [ -8 -7 J
c- .
2 1
In particolare esistono matrici A e D non nulle tali che AD=O (cioè A e
D sono zero divisori deIranello delle matrici quadrate); basta considerare le
Il Si dice anello un groppo abeliano su cui sia definita un'operazione di prodotto ,che verifi-
ca le precedenti proprietà l), m), n), o).
Sistemi di equazioni lineari e matrici 51
matrici del precedente esenlpio e porreD=B-. C. Si haAD=A(B- C)=AB-
-AC=O.
Infine poiché l'insieme delle matrici quadrate di ordine n è un anello
ed anche uno spazio vettoriale e tali strutture sono compatibili in virtù della
relazione o) del teorema 19, tale insieme è anche un'algebra sul campo degli
scalari.
Definizione. Se A è una matrice quadrata, diremo che A è invertibile se esiste
una matrice B tale che AB = BA = I. B si dice matrice inversa di A e viene deno-
tata con il simbolo A -1 .
Vedremo, nel corollario 38, che se B è una matrice tale che BA =1 allora
B è un'inversa di A, cioè AB = l.
Esempio 41. Una matrice con una riga o colonna nulla non è invertibile.
Infatti se A = (aij) ha la riga i-esima (ail,...,ain) nulla ed esistesse B = (bij) tale
che AB=I, l'elernento Cu= 1 di AB sarebbe per defmizione unbli+ .... +alnbni=O.
Assurdo. Analogamente per le colonne..
È chiaro dalla definizione che se A è invertibile A 1 è invertibile e si ha:
(17)
(A-1)-1 =A
L inversa di una mat Jce è unica. Ciò è conseguenza del fatto più gene-
rale che in un anello l'inverso di un elemento è unico.. Rivediamo la dimo-
stràZÌone:
Se B e C sono inversi di A si ha:
B=BI = B(A c.l = (BA)C=IC= C
Esempio 42. Determiniamo l'inversa, quando esiste, di una matrice 2 X 2,
A = [: :]. Se A ammette rnversa B = [ : ] si ha
[::] [: ]=[
cx.+ dz
ay+bt
cy+dt
] = [: ]
ax+ bz
cioè si ha il sistema lineare
52 Capitolo 1
ax+ bz= 1
cx+ dz=O
ay+bt=O
cy+ dt= 1
Sommando la prima equazione del sistema moltiplicata per - c alla secon-
da moltiplicata per a si ha 1'equazione (ad - bc)z = .,- c. Sommando la prima
equazione moltiplicata per d alla seconda per - b si ha (àd - bc)x= d. Quindi
se ad-bc=O allora c=.d=O e la matrice A non è invertibiler[Esempio 41]. Se
ad - bc;;:O si ottiene z= - c e x= d . Ragionando analoga-
ad-bc ad-bc
mente suJIa 3 a e 4 a equazione del sistema si ottiene che, se ad-bc O, allora
y = - b e t = a . Abbiamo quindi dimostrato che A è invertibile
ad-bc ad-bc
se e solo se ad-bc O e in tal caso
IL b
-- -..---
A-l = ad-'bc ad -- bc
(la verifica al lettore)
c a
ad - bc ad - bc ..
Teorema 20. Se A e B sono matrici inver.tibili della stessa dimensione, allora
AB invertibile. e (AB):l =E 1 A- 1
Dim. Si ha (AB)(E 1 A- 1 ) = A (BB"I)A- 1 = AIA =AA- 1 =1. Analogamente si prova
che (B-IA- 1 ) (A B) =1. Onde.A.B è invertibile e (AB)-1=.H' I A- 1 .
Corollario 21. Se Al,A2,...A,n sono matrici invertibi/i della stessa dimensio-
ne allora A lA 2 . ..A n è invertibile e (A lAz. ..An)-l-:: (An)-I.. .(A 2 )-1(Al)-I.
Dim. Procediamo per induzione. l/asserto è vero per n=2 [Teor. 20]. Sup-
poniamolo vero per n - l cioè A lAz. ..A n -1 è invertibile e (A lA 2,.. ..A n _ 1}-1 =
=(An-1Jl...(Az)-1(A'lr 1 . Allora, per il Teorema 19, AIAzu.An=(AIAz...An-1)(An)
è invertibile e (AIAz...An)-l = «AIA2....An-1)(An»-1 = (Anr l (AIAz....A n _lr 1 =
= (An)-1(An _1)",1. ..(Az)..l(A 1)-1.
7. Matrici elementari e determinazione dell'inversa di una matrice
In questo,paragrafo costruiamo.un semplice algoritmo per detenninare l'in-
versa di una. matrice invertibile.:
Sistemi di equazioni lineari e matNci 53
Definizione. Una matrice n X n si dice elementare se può essere ottenuta dalla
matrice identica effettuando una trasformazione elementare.
o 1 O
Esempio 43. a) La matrice E= 1 O O è elementare poiché è ot-
O O l .
tenuta scambiando, nella matrice identica, la prima riga. con la seconda riga:
ri ++rz..
1 O O O
b) La matrice E=
o 1 O O
O O I 2
O O O 1
è elementare poiché è ottenuta dalla ma-
trice identica aggiungendo alla terza riga la quarta lpoltiplicata per 2: r3 r3 + 2r4.
Moltiplicare a sinistra lma matrice A per una matrice elementare E corri-
sponde ad effettuare una trasformazione elementare su A, come asserisce il se-
guente teorema la cui dimostrazione è rinviata ai complementi..
Teorema 21. Se la matrice elementare .H è ottenuta mediante una" certa tra-
sformazione elementare su 1m e se A è una matrice m x n, allora il prodotto EA
è la matrice che si ottiene quando la stessa trasformazione elementare è effet-
tuata su A.
Dim. Wsercizio 38]..
Osservazion 22. L'interesse del teorema è principalmente di carattere teori-
co e sarà usato per ottenere alcuni risultati sulle matrici e sui sistemi di equazio-
ni lineari. Da un punto di vista computazionale, è preferibile effettuare una
trasformazione lementare direttamente piuttosto che moltiplicare. a sinistra la
matrice per una matrice elementare..
Proposizione 23. Ogni matrice elementare è invertibi/e, e la sua inversa è an-
cora una matrice elementare.
Dim. Se .E è una matrice elementare di ordine n, allora E è ottenuta effet-
tuando una trasformazione elementare sulle righe di In. Sia Eo la matrice che
si ottiene quando l'inversa di questa trasformazione Viene effettuata sù In.. AP-
54 Capitolo., 1
plicando il teorema (e ricordando la dimostrazione della Proposizione 8) si ha
che:
EoE=l e EEo=In cioè Eo è l'inversa di E.
Come abbiamo visto conl'algoritmo (9), per ridurre una matrice a forma
a scalini ridotta è sufficiente applicare successivamente una serie di operazioru.
eIelnentari. Secondo il teorema 21 questo equivale a moltiplicare a sinistra per
una serie di matrici elementari. In simboli, se A è una matrice e se R è la lnatri-
ce a scalini ridotta equivalente ad A, allora:
(18)
"
R =EhEll-1...E 1 A
dove Eh, Elz-l,...,E 1 sono matrici elementari. La matrice E 1 effettua la prima
operazione usata per ridurre A a forma a scalini ridotta, la matrice E2 effettlia
la seconda operazione, e così via.
o O 1
Esempio 44. A== O 3 -2
1 4 2
II ++r3 1 4 -2 rl rl-2r3 140 140
f2 r2 + 2r3 1
O 3 -2 , O 3 O t , r2-+- f2 O l .0 ,
3
O O 1 O O 1 O O 1
fi --)o rI - 4r2 100 O O 1 lO-O
O 1 O , El= O 1 O , E2= 012 ,
O O 1 1 O O O O 1
1 O -2 100 1 -4 O
E 3 = O 1 O , E 4 = O ! O , Es= O l O ,
3
O O 1 O O 1 O O 1
R =13 =E4 E '1filA
Sistemi di equazioni lineari e trici 55
La formula (18) e il fatto che le matrici elementari sonò invertibili condu-
cono a varie caratterizzaZioni dell 'invertibilità eli .una m trice quadrata A.
Teorema 24. Sia A una lnatrice quadrata.. Le seguenti condizioni sono equi-
valenti:
1) A è invertibile,
2) la'forma a scalini ridotta di A è ['identità,
3) A è equivalente a/la matrice identica,
4) A. è prodotto di matrici. elementari.,
Dim. 1) 2) Sia A invertibile. Allora, poiché le matrici elementari sono in-
vertibili [prop. 23], la forma ridotta R di A [Formula (18)], è prodotto di ma-
trici invertibili e quindi è essa stessa invertibile [Cor.. 20]. Quindi R è ridotta
e invertibile onde è la matrice identica [Esercizio 35].
2) 3) Basta osservare che la forma a scalini ridotta R di A è equivalente ad A..
3)=>4) Supponiamo che A sia equivalente alla matrice identica l. Allora per
la proposiiione 5.a), I è equivalente ad A onde I può essere ridotta ad A me-
diante un numero finito di qasfo azioni elementari. Per il teorema 21 ognu-
na di queste oper oni può essere effettuata moltiplicando sinistra per 11+la
matrice elementare. Quindi esistono matrici elementari E 1 ,E2,...,Eh tali che:
A =Eh -1...E 1 l = EhE" -1...E 1
4) 1) L'implicazione segue dal fatto che le matrici elementari sono invertibi..
li [Prop. 23] e il prodotto di matrici è invertibile [C or .. 20].
Quindi, in virtù del teorema 24, 1) <=> 2), per decidere se A è una matrice
invertibile basta effettuare l'algoritmo di riduzione e vedere se la forma a scali-
ni ridotta R di A è la matrice identica. In tal caso moltiplicando a destra per
A-l entrambi i membri della formula (18) si ha:
(19) A-l =1 A-l =RA- 1 = (EhEh-l...EtA)A"'l =EhEIt _1...Et(AA- 1 ) =ElIE/ z - )...Etl
Ora, ricordiamo che le matrici EI, i= l,...,h, sono quelle che consentono
di ridurre A a forma a scalini ridotta e allora in virtù del teoreIna resta provato
il seguente:
Corollario 25. Se A è invertibile l#inversa di A si può ottenere applicando alla
matrice identica le stesse trasformazioni elementari, nello stesso ordine, che con-
sentono di ridurre A a forma ti scalini ridotta.
Vediamo nei successivi esempi come si calcola l'inversa di una matrice
56 Capitolo 1
Esempio 45. Data la matrice
-1 2-3
.A= 2 1 O
4 -2 5
vogliamo decidere se A è invertibiIe e in tal caso determinare l'inversa di A.
In virtù del corollario 25 basta ridUIre A a fonna a scalini ridotta e contempo-
raneamente applicare le corrispondenti trasforma.zioni elementari sulle righe della
matrice identica 13. TI modo più semplice di fare questo è ricopiare [3 alla destra
di A:
-1 2-3
2 1 O
4 -2 5
100
O 1 O
o O 1
e ridurre la matrice B, 3 x 6, così ottenuta a forma a scalini ridotta.. Se la metà
sinistra della matrice B è l'identità, la matrice.A è invertibile [Teor. 24] e la
sua inversa A -1 è data dalla metà destra della matrice B. Questi sono i passi:
-1 2 -3 1 O O
r2 r2+2rl O 5 -6 2 l O
r3 r3 -I- 4rt O 6 -7 4 O 1
-} 2 -3 l O O
O 5 -6 2 1 O
6 O 1 8 6
r3 r3 - -,. rz O - - -- l
5 5 5 5
--1 2 -3 1 O O
O 5 -6 2 1 O
r3 - 5r3 O O 1 8 -6 5
Sistemi di equazioni lineari e matrici
rl rl +3r3 -1 2 O 25 -18 15
fZ-4fz + 6r3 O 5 O 50 - 35 30
O O 1 8 - 6 5
-1 2 O 25 -18 15
1
fz -4-- r2 O 1 O lO 7 6
5
O O l 8 6 5'
f]---+rl - 2r2 -1 O O 5 -4 3
O 1 O lO -7 6
O O l 8 .--6 5
rl-4 -rì 1 (j O - 5 4 -3
O l O lO .-7 6
O O 1 8 -6 5
"- - J \.. ...
matrice identica inversa di A
- 5 4 -3
Quindi A-l = lO -1 6
8 -6 5
Esempio 46. Determiniamo se esiste l'inversa della matrice
1 2 1
A== 2 -2 O
3 O 1
Consideriamo la matrice
58 Capitolo l
1 2 l 1 O O
B= 2 -2 O O 1 O
3 O 1 O O 1
e riduciamo B a fonna a scalini ridotta.
1 2 1 1 O O
r2 r2-2rl O -6 -.2 --2 1 O
r3-+r3 - 3rt O -6 -..2 -3 O 1
1 2 1 1 O O
O -6 -2 -2 1 O
r3-+r3 - f2 O O O -1 -1 1
1 2 1 l O O
O -6 -2 -2 1 O
f3-T - F3 O O O 1 1 -1
1 2 1 O -1 l
r2 -+r2 + 2r3 O -6 -2 O 3 -2
rt-+ r t- f 3 O O O 1 1 -1
1 2 1 O -1 1
1 O 1 1 O l 1
r2-T -- r2 - -- -
6 3 2 3
O O O l 1 -1
La matrice A non è invertibile perché la sua forma a scalini ridotta non
è la matrice ident.ica.
Sistemi di equazioni lineari e matrici 59
Osservazione 26. Se durante il processo di riduzione nella parte sinistra della
matrice 3 x 6 compare una riga nulla (0,0,0) (come nell'Esempio 46) si può già
concludere che A non è invertibile poiché in tal caso A è equivalente ad una
matrice con una riga nulla e quindi non invertibile [Esempio 41].
8. La trasposta di una matrice. Trasformazioni elementari sulle colonne
In corrispondenza ad ogni,JIlatnce esiste un'altra matrice, detta matrice
trasposta, che ha proprietà nloltQ simili a quelle della matrice originale.
Definizione. SiaA = (aij) una matrice m xn..Allora la trasposta diA, denota...
ta A t, è la atrice n x m ottenuta scambiando le righe e le colonne dl A, cioè
A t = (aji). Quindi se
.
alI a12 . ain alI a21 amI
.
..
.
.
. i12n
a21 a22 . 012 Q22 a m 2
.
..
A= . A t =
..
.. ,
.
.
.
............:....... ............ .......
.
.
.
..
..
amI a m 2 .. a mn al n a2n a mn
.
..
Es mpio 47. La: trasposta della matrice
1 3
A= [ 1 2 -1 O J 2 5
" A t =
e
3 5 7 4 -l 7
O 4
Teorema 27. Supponiamo che A = (aij) sia una matrice m x n. Allora:
i) (At)t =A
.ti) (À.A)t = M t , Iv costante
) Se B è una matrice m X n, (A.t B)t =A t + B t
iv) Se B=(b;j) è una matrice nxp, (AB)t=BtA t
v) Se A è invertibile, A t è invertibile e (A t )-l = (A-I}t
Dim. i), ti), ili) [Esercizio 43].
iv) Basta osservare che l'elemento di posto (iJ) di (AB)t è l'elemento di posto
60 Capitolo I
(;,z) di AB cioè aj 1 b 1 i + a J "2b 2i +.... + ajnbni = bli a jl + b2iQJ"2 + .... + bnia,in ma que-
st'ultimo elemento è il prodotto della i-esima riga di Br per laj-esima co-
lonna di Ai e tale prodotto dà quindi l'elemento di posto (i,)) di BtA t .
v) Dallaiv)siha (A t )(A- 1 )t=(A- 1 A)r=(I n )-1=.ln e (A- 1 )t(A t )=(AA- 1 )t=
= (In)t = In e quindi la tesi.
Definizione. Una matrice A tale che A =A t si dice simmetrica. Una matrice
A tale che A = - A t si dice antisimmetrica.
Si osservi che una matrice simmetrica o antisimmetrica deve essere una ma-
trice quadrata.
Esempio 48. La trasposta de .la matrice
3 - 2 O
B= -2 4 6 è
O 6 O
3 -2 O
B t = -2 4 6 = B onde la matrice B è simmetrica.
O 6 O
Esempio 49. lJtilizzando le proprietà del teorema 20 mostriamo che, per
ogni matrice quadrata A, A + A t e AA t sono "matrici simmetriche mentre la ma-
trice A _A t è antisimmetrica. Infatti (A +At)t =(Aty +A t =A +A t e (AAtY=
= (At)tA t =AA t . Inoltre (A -A t )! =A t - (Ai)t =A t - A = -(A -A t ).
La trasposta gioca un ruolo importante nella teoria delle matrici. Vedre-
mo nel capitolo successivo che A e A t hanno molte proprietà in comune. Poi..
ché le colonne di Al sono le righe di A, useremo la trasposta per estendere i
risultati relative alle righe di una matrice anGhe alle sue colonne. In questo pa-
ragrafo vediamo come la trasposta permette di legare le trasformazioni elementari
relative alle righe di una matrice alle trasformazioni elementari relative alle
colonne..
Sia A = (aij) 1ma matrice In x 17 e indichiamo 1e sue colonne con
a1j
Cj= a2j
.
.
..
a
j = 1,. ..,n
amj
Definizione. Le seguenti operazioni si dicono trasformazioni elementari sulle
colonne Cj di A..
Sistemi di equazioni lineari e matrici 61
Tipo 1. MoltiplicaTe una colonna Cj per una costante non nulla A, che indi-
cheremo con Cj "'Cj
Tipo 2. Scambiare due colonne Cj e Ci che indicheremo con CI -+Ci
Tipo 3. Aggiungere un multiplo di una colonna Cj ad tm'altra colonna Cj che
indicheremo con Cj-i-Cj + ACi..
È chiaro che ogDÌ trasformazione elementare sulle colonne di A corrispon-
de ad una trasformazione elementare sulle righe di A f . Più precisamente:
Lemma 28. Se una matrice B è ottenuta effettuando una trasformazione ele-
mentare sulle colonne (righe) di A allora B t è la matrice ottenuta effettuando
la stessa trasformazione elementare sulle righe (colonne) di Al.
Dim. (Esercizio 45].
Esempio 50. Se aggiungiamo alla prima riga della matrice A = [ : : : J
[ lO 8 1 4 3 J.
la seconda moltiplicata per 3. rl-rl+3rz si ha la matrice B= 3 2
lO 3
La matrice B t =
8 2 è ottenuta effettuando la stessa trasformazione
13 4
1 3
sulle colonne di A t =
2 2 cioè Cl Cl + 3cz_
1 4
Il seguente lemma mostra che le matrici elementari possono essere definite
anche a partire da trasformazioni elementari suI1e colonne.
l,emma 29. Se E è una matrice ottenuta effettuando una trasformpzione ele-
mentare sulle colonne (righe) i, j della matrice identica In allora Épuò essere
ottenuta effettuando /a stessa trasformazione elementare sulle righe (colonne)
i i di In e quindi è una matrice elementare.
Dim. [Esercizio 45].
Corollario 30. Se E è una matrice elementare anche E è una matrice elementare.
62 Capitolo 1
Dim. Basta osservare che E t è ottenuta effettuando una trasfornlaZÌone ele-
mentare sulle colonne di 1,/ =In [Lemma 28] e l'asserto segue dal lemma 29.
Esempio 51. Se E è la matrice ottenuta aggiungendo la prima colonna
di 14 mo iplicata per 4 alla terza colonna C3 C3 + 4C l, si ha:
1 O 4 O
O 1 O O
E=
O O 1 O
O O O 1
La matrice E è anche la matrice elementare ottenuta aggiungendo la terz
riga di 14 moltiplicata per 4 alla prima riga [Lemma 28].
Inoltre:
1 O O O
O 1 O O
E t =
4 O 1 O
O O O 1
è la matrice elementare ottenuta aggiungendo alla terza riga la prima moltipli-
cata per 4.
Vale anche l'analogo, per le còlonne, del teorema 21.
'reorema 31. Se /a matrice elementare E è ottenuta mediante una certa tra-
sformazione elementare sulle .colonne di.1 e se A è una matrice m x n allora
il prodotto AE è la matrice che si ottiene quando la stessa trasformazione ele-
mentare è effettuata su A.
Dim. Basta osservare che (AE)t = EtA t e applicare il lemma 28 e il teorema 21.
Osservazione 32. Si potrebbe portare avanti l'analogia tra trasformazioni ele-
mentéUi per righe e colonne introducendo la nozione di matrice a scalini e a
scalini ridotta per c.olonne e un analogo, per colonne, dell'algoritmo di ridu-
zione (9). Il teorema precedente permette inoltre di estendere i risultati del pa-
ragrafo 6. Il motivo per cui abbiamo preferito trattare la teoria delle trasforma-
zioni element i per righe piuttosto che quella per colonne è che la prima gioca
Sistemi di equazioni lineari e matrici 63
un ruolo più importante rispetto a quella dell trasformazioni elementari per
colonne in quanto può essere applicata alla risoluzione di un sistema lineare.
Infatti, le trasformazioni elementari per righe, se applicate alla matrice com-
pleta di un sistema lineare, non ne cambiano le soluzioni mentre le trasforma-
zioni elementari per colonne possono alterarle.
{ x+y= 1
Esempio 52. Consideriamo il sistema lineare di soluzio-
x-y=l
ne (l O). . ]
Se alla sua matrice completa A = [ 1 1 1 applichiamo la tra-
I -1 1
sformaziorie elementare che "alla priIna' coloI;lD.a aggiunge la seconda si ha la matri
[ 2 1 1 ] . { 2x+ Y= 1
ce B= I che è la matrice completa del sistema
O -1 1 - y= 1
che ha soluzione (1; - 1).
9. Applicazioni dell'aritmetica matriciale ai sistemi lineari, in particola-
re omogenei. Se A è invertibiIe il sistema AX = B ha una ed una sola
soluzione
In questo paragrafo vogliamo esaminare proprietà notevoli dei sistemi li-
neari che si dimostrano agevol ente usando la notazione matriciale AX = B.
Nel seguente teorema supponiamo che il campo degli scalari sia infmito.
Teorema 33. Ogni sistema di equazioni lineari ha: nessuna soluzione;, una so-
la -soluzione o infinite soluzion,i..
Dim. Basta chiaramente, prqvare che se un sistelna ha più di una soluzione
allora ne ha 'infinite. Supponiamo quindi che il sistema AX = B abbia alqleno
due soluzioni distinte S e S / . Allora AS = B e AS I = B. Sottraendo queste equa-
zi.ontsi haA$:-- 48' =B- B p cioè, in virtù delle proprietà dell'aritmetica ma-
tiici e, A.(S 8') = O.. Se. c è un qua siasi $calare, si ha:
.A[S +. c(S - S')] = AS +:cA(S - S')=AS -!- c =AS=B.
Ma poiché c può assumere infIniti valori, AX = B ha infnrite soluzioni [Eser-
cizio 30].
Un sistema di equazioni lineari
64 Capitolo l
a11Xl +al2Xz +a13X3 + ... + aln X n = O
(20)
aZlXl + a2'iX2 + a23X3 + ... + a2nXn = O
a m lXI + a m 2X2 + a m 3X3 + ... .t amnX n = O
in cui tutti i termini noti sono nulli si dice omogeneo. Con notazione matriciale
un sistema omogeneo viene scritto nella forma: AX = o. Se
(21)
AX=B
è un qualsiasi sistema lineare il sistema AX = O si dice sistema omogeneo asso-
ciato a (21).. Dalla precedente dimostrazione si ricava immediatamente il seguente
risultato:
Proposizione 34. Ogni soluzione di un sistema:lineare si ottiene sommando una
rlSsata soluzione del sistema con una soluzione:del sistema omogeneo associato.
Dim. Sia S una fissata soluzione del sistema (20). Se S' è una qualsiasi solu-
zione del sistema, si haA(8-S')=O onde 8=8' +(8-8'), dove 8-8' è una
soluzione del sistema omògeneo associato.
Proposizione 35. Se A è una matrice invertibile il sistema AX = B ha ['unica
sòluzione A"'lB qualunque sia la matrice dei cqefficienti B..
Dim. Poiché A (A... l B) = B, .X = A -1 B è una soluzione di AX = B. Inoltre mo1ti-
plicando per A-l entrambi i membri dell'equazione AX =.8 si ha necessariamente
X=(A- 1 A)X=A- 1 (A.X)=A-1B e ciò prova rUnicità.
Esempio 53. La matrice A = [ : : ] è invertibile poiché 1 · 2 - 1 · 2 =
= --1 ;éO.
Osservazione 36. La formula X = A-l B, unìta al procedimento del paragrafo
7 per determinare l'inversa, fornisce un metodo per calcolare l'unica soluzione
di 'lm sistema con matrice dei coefficienti invertibile. In pratica però se si ba
un fissato sistema lineare, con matrice dei coefficienti invertibile, è più conve-
niente computazionaImente determinare l'unica soluzione con il metodo di eli-
minazione di Gauss..
TI precedente teorema può essere esteso facilmente al seguente:
Sistemi di equazioni lineari e matrici 6S
Teorema 37. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) A è una matrice quadrata invertibile
2) AX =B ha una sola soluzione per ogni matrice dei coefficienti B
3) AX = B ha una sola soluzione per qualche matrice dei coefficienti B
4) AX = O ha solo /a soluzione nulla.
Dim. 1) 2) È la proposizione 33. 2) 3) È ovvia. 3) 4) Sia Xl l'unica solu-
zione di AX = B e X2 una soluzione di AX = O allora A (Xl - Xz) = AXI - AX z ==
=B-O=B onde XI-X2=Xl eX2=X I -Xl = O. 4)=> 1) SiaR la matrice a sca-:-
lini ridotta equivalente ad.A. Allora, se AX = O ha solo la sol1Jzione nulla, RX == O
deve essere il sistema ridott<;>
Xn.=Q
onde R deve essere la matrice identica. Quindi,. per il teorema 24, A è invertibile.
Coronario 38. Sia A una matrice q.uadr.ata:
a) Se B è una matrice quadrata tale che. BA = l, allora B = A -1.
b) Se B è una matrice quadrata tale che AB = L allora B = A-l.
Dim. a) Dimostriamo dapprima che A è invertibile. Basta mostrare. che il sistema
AX =0 ha solo la soluzione nulla rreor.. 37]. Moltiplicando entrambi i fattori di
AX=O a sinistra per B, otteniamo X=lX=(BA)X=B(AX)=.BO=O. TI sistema
AX =0 ha qtrlndi solo la soluzione nulla. Proviamo ora che B=A- 1 . Moltip can-
do BA =Iasinistraper A-l si ottieneB=B(AA- 1 )=(BA)A-I=IA- 1 =A- 1 . b) In-
vertendo il ruolo di A e B in a) si ha che A = 8 1 e in virtù della formula (17) la tesi.
Possiamo ora aggiungere un'ulteriore equivalenza a quelle del teorema 37:
Xz =0
Xl =0
Teorema 39. Sia A una matrice quadrata. Allora A è invertibile se e S% se
il sistema AX =.8 ha soluzioni per ogni matrice dei coefficienti B.
Dim. Supponiamo che AX = B abbia soluzioni per ogni matrice. B. In parti-
colare i sistemi
l O O
.Y O 1 O.
AX= O AX= O ....., AX= O ,
O O O
..
.
.
.
O O 1
66 Capitolo l
avranno soluzioni.. Sia Xl una soluzione del primo sistema, X2 una soluzione
del secondo sistema, .. _, X n una soluzione dell'ultimo sistema e sia C la matrice
che ha queste soluzioni come colonne. Tenuto conto della definizione di pro-
dotto righe per colonne è facile rendersi conto che A C = I onde A è invertibile
per il Corollario 38.
lO. Esercizi e complementi
1. Quale delle seguenti equazioni è lineare?
a) y=3 b) x-3y=2 c) cos x- y=o
d) xyz=O e) x-y=tgk(kcostante) f) tlx+y=2
g) x- 1 +y=O h) x+1ty=5
2. Determinare le soluzioni di ognuna delle seguenti equazioni lineari..
a) x+2y=1 b) xl-2x2 3x3-X4=O c) x-y+z-t-w=3
3. Due se le seguenti sono soluzioni o meno dei sistenri dati.
{ x- y=o
a)
2x+y=3
x=l,y=l
{ X+2 Y =2a
b)
'2x-3,r=7b-3a
x=2b, y=a-b
a b costanti
{ X+Y-Z=2
c)
2x+3y+ ;=O
x=2, y=3, z=O, t=1
{ Xl + 2x2=O
d)
X2+ X 3=2
4. Dire» giustificando le risposte, quali tra i seguenti sistemi sono com-
patibili.
Xl =2, X2= -1, X3=O
{ X+ Y =3
a)
x+y=4
b)
x+y+z=l
2x-l 2y+2z=2
3x+3y+3z=3
Sistemi di equazioni lineari e matrici 67
c)
x-y=o
y-z=o
x+2z=O
XI-X2+X3+X4= 1
d)
Xl +X2 -X3 +X4=0
Xl +X4= 1
2x+ 3y- z=O'"
5. Per quali valori della costante k. il seguente sistema lineare è incoIIlpa-
tibile, ha una soluzione, infinite soluzioni?
{ x-y=3
2x -., 2y = k k. costante
6. Considerato il sistema di equazioni lineari
ax+by=k.
cx+ dy=l
a, b, c, d, e, f, k, l, m costanti
ex+ fy=m
Discutere le posizioni relative delle 3 rette rappresentate dalle equazioni
del sistema, quando:
a) il sistema incompatibile
b) il sistema ha esattamente una soluzione
c) il sistema ha infmite soluzione.
Mostrare poi che se il sistema è compatibile allora almeno un'equazione
può essere eliminata senza alterare l'insieme delle soluzioni.
7. Quali dei seguenti sistemi lineari sono ridotti?
a) { Y-Z=l b) { XI-X2+ X 3=1 c) { Xl+2x2=1
x+z=2 X2-X3=4 x3=2
. Xl + 2x2 = 3
{ x-y+z=o
d)
y-2z+t=O
e)
2x 1 +X4= 1
X2 +X3 =0
8. Determinare le soluzioni dei sistemi lineari ridotti dell'esempio 7.
9. Perché i seguenti sistemi lineari sono tutti equivalenti?
a) { x-.y=o
x--y= 1
b)
2x+y= 1
x-y=2
4x+2y=3
{ 2x+3 Y =1
c)
-4x-6y=O
68 Capitolo 1
lO. Dire quali tra i seguenti sistemi lineari sono equivalenti.
X+ Y°ft_ z= l
a). 2x- 3y + 4z=2
x+2y- 3z=O
Xl +2x 2 - X3=2
b)
c)
2xI- 3x 2+ 4x 3=2
d)
Xl +XZ-3X3=O
2x 1 +2x2 -2x 3 =2
2x'1- 3X2 +4X3 =2
Xl + 2x2 -- 3X3 = O
3x- +2y+3z=4
2x--3y+4z=2
X+ y-3z=O
Il. Risolvere con il metodo di eliminazione delle incognite, i seguenti
sistemi lineari.
X2 -5X4 - 3
b)
XI - 2x5 = O
Xs = .- 1
Xl- X2+X3- X4=O
d) 2x 1 + X2 - X3 + 2x4 = O
- Xl + 2x2.- X3 + X4=O
3x -2z= 1
a) 2x+y =2
y =3
c)
x+ y- z=l
2x-3y+ z=2
x+2y-3z=O
12. Data la matrice
2x 1 +x3+2x4 = -2
1 2 -3 14
5 6 O 8
A=
-2 3 1 2
4 1 l 1
scrivere la matrice equivalente ad A
le eguenti trasformazioni elementari:
1
fl-+fl-- f3..
3
ottenuta applicando successivamente
1
rl++f3, r2-Jo r 2+ 2r 3, r 3 -+ 2 f3,
13. Perché le seguenti matrici non possono essere eqlÙvalenti?
Sistemi di equazioni lineari e matrici 69
1 2 3 - 4 1 l O O O l
2 5 7 8 Il O 1 O O 3
A= B=
123 - 7 1 O 2 O O 1 O 5
18 Il 13 17 21 O O O l ,.,
-/
14. Dire quali tra le seguenti matrici sono a scalini e quali a scalini ridotte.
A=
1 2 3 4
O O O O
O 1 2 3
O O O -1
,
B=
O -1 O 2
O O 1 2
O O O 1
O O O O
c=
1 012
O O l O
O O O O
o O O
D= O 1 O ,
O O l
l O O O
E= O l O 2 ,
O O 1 3
o 1 O
F=
O O 2
O O O
15. Dati i sistemi lineari ridotti
a)
z+2t
=1
2x+y+
5x
3t =2
+5t+w=O
.....
b)
x4=2
Xz - X3 = 1
XI +2x3 =0
{ Xl +2x 2 -X3=O
c) .
-.. X3 + X4 = 1
Per quali di essi è possibile riordinare le equazioni in modo da ottenere sistemi
con matrice completa a scalini ridotta.
16. Sia A una matrice quadrata a scalini ridotta. Dimostrare che se A
non ha righe nulle allora A è la matrice identica.
17. Ridurre le seguenti matrici prima a forma a scalini e poi a forma a
scalini ridotta.
o O - 2 O
A=
2
4 -10 6
7 12
12 28,
2 9
1. 1
B=
4 -3 1
2
,
24-56-5-1
3 6 ... 5 O
70 Capitolo 1
O 3 1 -1
4 5 3 1
c=
-4 1 -1 1
2 1 1 2
18. Ridurre le matrici dell'esempio 17 a forma a scalini senza effettuare
divisioni.
19.. Si considerino i sistemi lineari le cui matrici complete sono le matri.ci
dell'esempio 17. Risolvere tali sistemi con il metodo di eliminazione di Gauss.
20. Risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di eliminazione di
Gauss usando la sostituzione a ritroso..
Xl + 2x2 + X3 + X4 = 2
3Xl + 4X2 + X3 + 2x4 = 5
2x 1 +x3+3x4=3
21. Risolvere i sistemi lineari dell'esempio Il, con il metodo di elimina-
zione di Gauss e mostrare che in tal modo si effettuano più operazioni che con
il metodo di eliminazione delle incognite (opportunamente applicato) relativa-
mente agli esempi a) e b) e meno operazioni relativamente agli esempi c) e d).
22. Sistemi con parametro. Spesso, in alcuni tipi di problemi, si presen-
tano sistemi co coefficienti o termini noti parametrici. Ciò non altera in alcun
modo le operazi ni dell'algoritmo di Gauss. La soluzione del problema si spez-
za in vari casi e dobbiamo consid.erare tutti i possibili modi in cui l'algoritmo
può procedere, sulla base di ipotesi sui parametri. Mostrare che, al variare del
parametro reale À, le soluzioni del seguente sistema lineare:
{ Xl +2x2 + (A,+2)X3 =À
Ax-l + (1 -1)x2 -- X3 = 1
sono date da (Àt- t+ 2, - (A, + l)t+ t-l, t), per À,;é -1 e da (- 2s- t-l, s, t)
se 1= -- l.
23. Risolvere, al variare del parametro À, i seguenti sistemi lineari
x-y"-f- z:::::l Xl + X2 + x3=1
a) Ax+y- z:::::O b) Xl +2x 2 + X3=2
X-Y+A.z==A 3Xl 1- 4X2 + 3Xj = À,
24. Siano
Sistemi di equazioni lineari e matrici 71
,
1 2 O 5 7 2
A= -1 3 4 e B= 3 -4 1
-2 7 Il
5
1 4
Calcolare le seguenti matrici:
A+B A-B
d) 5B-3A e) M + J.1B
c) 5A
f) A+3-B
2 3
5
1
25. Consideriamo le matrici A= 3 -4 ) B= [ : -:].
7 2
1 2 -1
[ -7 4 1 ]. E= [ 4 2 -:]
c= D= O 3 4 ,
. O 2 3 -7 l
1 2 6
Calcolare:
a) AB b) C ..... E c) DA
d) A(BC) e) (:1) f) (BE)A
26. Mostrare che se i prodotti AB e BA sono definiti allora A e B sono
matrici quadrate..
27. Scrivere i seguenti sistemi nella forma matrlciale AX = B (cioè deter-
minare le matrici A X e B)
{ 3x+2y=7
a)
- x+5y=1
b)
5x-7y+ z= 1
y + 3z = 2
z=4
{ Xl + 2x2 - X3 + 4X4 = 1
c)
Xt-2x'2+X3- X4=O
d) 2x-1- y_.. z=2
28. Date le manici A = [: :]. B= [: :]. c= [ _: :]
72 Capitolo l
Verificare che: a) A + çB + C) = (A + B) + Cb) (AB)C = A (BC)
c) A(B+ C)=AB+AC d) À(AB)=(M)B=A(AB) e) AB;éBA
29.. Se A = (ay) è una matrice mxn, B=(bij} una matrice nxp e C=(Cij) una
matrice p x q allora (AB)C=A(BC). (Infatti i: ( i: ail1b hk ) Ckj= :
a/h ( i: bhk Ckj )).
30. Siano A e B matrici delle stesse dimensioni. Se c;xf=c' sono scalari al-
lora A + cB;:A + Cf B (basta usare l'aritmetica matriciaIe).
-1 2-3
31. Verificare che la matrice A= 2 1 O
4 -2 5
- 5 4 -3
A l= lO -7 6
8 -6 5
ha inversa
32. Dimostrare che se.A è una matrice inverti bile e seAB=AC alloraB=C.
33.. Usare la formula data nell'esempio 42 per calcolare le inverse dE:!le
seguenti matrici:
A= [: :].
B= [: :].
C= [ -: -:]
34. Sia A una matrice quadrata invertibile. Dimostrare che A non ha ri-
ghe uguali.
35. Dedurre dall'esereÌZÌo 16 e dall'esempio 36 che se.A è una matrice
quadrata a scalini ridotta e invertibile allora.A è la matrice identica.
36. Dire quali tra le seguenti matrici sono elementari:
1 O O 1 O -1 O O -1
a) O O 1 t b) O 1 O , c) O 1 O , d) [ : :].
O 1 O O O 1 1 O O
l O O 1 2 3 1 O O
e) O 1 O , t) O 1 O , g) O 1 O ,
O O 5 O O 1 -A- D 1
Sistemi. di equazioni lineari e matrici 73
1 O O O
O O 1. O
h)
O 1 O O
O O 1 O
37. Per ognuna delle matrici elementari dell' esempio 36 scrivere l'inversa.
38. Dimostrare che una matrice elementare E è ottenuta mediante una
certa trasf-ormazione élementare su 1m e se A è una matrice m X n allora il pro-
dotto EA è la matrice B che si ottiene quando la stessa trasformazione elemen-
tare è effettuata su A. (Occorre naturalmente distinguere tre casi distinti, secondo
il tipo di trasformazione elementare sulle righe di A. In ogni caso si deve pro-
vare che per iJ arbitrari l'elemento di posto ij di B coincide con l'elemento
eli posto ij di EA. In tutti i tre i casi basta considerare gli elementi che appar-
tengono a righe che vengono trasformate, e per tali elementi l'asserto è una fa-
cile verifica).
39. Determinare l'inversa della seguente matrice, se esiste:
2 O 1 -1
1 -1 O 2
O -1 2 1
--2 1 3 O
40. Data la matrice
2 -1 -3 1
A= 1 O -2 1
-3 1 1 2
Determinare una matrice .P tale che P A sia a scalini ridotta. (Basta ricopiare
la matrice identica [3 alla destra di A e ridurre la matrice così ottenuta a forma
a scalini ridotta. Le ultime tre colonne di tale matrice danno p [Formula (18)]).
41. Data una matrice- quadrata, 3 X 3
alI a12 a13
A= aZI a22 023
a3I a32 a33
74 Capitolo 1
dimostrare che A è invertibile se e solo se
a11a22a33 + a12a23 a 31 + a13 a 21032 - 013a22 a 31 - al1 a '23 0 32 - alZa21a33;: O
(Basta ridurre a forma a scalini ridotta R. Allora A è inverbile se e solo se R
è l'identità [1"eorema 24]. Occorre distinguere vari casi: alI O a12a22-
- a21a12 ;éO.. ecc.).
42. Potenze di una matrice. Se A è una matrice m X m definiamo A o = 1m
e se r>O, AT=A...A. Se r<O e A è invertibile A'=A-1...A- 1 . Mostrare che
.J J
T-volte r..volte
se r,s?::' OA T + S =ArA s e (AT)S =A TS . Mostrare anche che se A è invertibile le pre-
cedenti relazioni valgono per tutti gli interi r,s.
43. Se A è una matrice qualsiasi provare che (At)t ==A, (lA)t = M t , À. cp-
stante. Se una matrice B ha la stessa dimensione di A, allora (A + B)t = A t + B t .
44. Scrivere la trasposta della matrice
[ 15 7 2 ]
A= -1 O 3 4
45. Dimostrare che se una matrice B è ottenuta effettuando una trasfor-
mazione elementare sulle colonne (righe) di una matrice A allora Br è la matrice
ottenuta effettuando la stessa trasformazione elementare nelle righe (colonne) diA.
46. Dimostrare che se E è una matrice ottenuta effettuando una trasfor-
.....
mazione elementare sulle colonne (righe).;J della matrice identica In allora E
può essere ottenuta effettuando la stessa trasformazione elementare sulle righe.
(colonne) j,i di In.
47. Mostrare che le matrici 2 X 2 che hanno inversa uguale alla trasposta
cl l t . ( senO ::t: cose ) ( senO ::I:: cose )
sono e lpO oppure .
::b sen6 cose =F sen8 cose
48. Considerate le matrici
1 -1 2 Xl
A= 3 5 1 e x= X2
-2 4 3 X3
risolvere l'equazione AX.=X".
49. Dimostrare che applicando una trasformazione elementare alle equa-
zioni di un sistema lineare l'insielne delle sue soluzioni non cambia. (È facile
dimostrare il risultato per via diretta. Si possono però anche usare le matrici
elementari. Infatti se AX = B è il sistema e E è la matriç:e elementare corrispon-
dente alla trasfonnazione elementare data basta provare che il sistema EAX = EB
ha le stesse soluzioni di AX =B).
50. L'inversa dena matrice
Sistemi di equazioni lineari e matrici 75
123 -2 O 1
2 3 4 è la matrice O 3 -2 ·
346 1 -2 1
Usare tale informazione per risolvere i seguenti sistemi:
x+2y+3z= 2
2x+3y+4z= - 2
3x+4y+6z= 2
e
x+2y+3z=O
2x+3y+4z= 1
3x+4y+6z=3
Capitolo secondo
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari.
Anche in questo capitolo supponiamo fissato un campo k a cui apparter-
ranno tutti gli elementi detti anche costanti o scaiari. Negli esempi ed esercizi
k è sempre il campo dei numeri reali.
l. Introduzione ai determinanti
Nel capitolo precedente abbiamo esaminato il problema della caratterizza-
zione dell'invertibilità di lma matrice. Come visto le matrici invertibili hanno
rilevanza in varie questioni sulle matrici e sui sistemi lineari, ad esempio nell'u-
nicità della soluzione di un sistema con matrice di coefficienti quadrata. Con
il teorema 24 del capitolo I abbiamo ottenuto la seguente caratterizzazione: una
matrice è invertibile se e solo è equivalente alla matrice identica. In questo ca-
pitolo daremo un'altra caratterizzazione dell'invertibilità usando la nozione di
determinante.
Consideriamo dapprima la matrice quadrata di ordine 2:
A= [ alI Q12 ]
a21 Q22
Nell'esempio 42 del capitolo I abbiamo visto che A è invertibile se e solo se
(1)
al1a22 - a12021 ;:é o.
L'espressione (1) si dice determinante di A.
Nel caso delle matrici di ordine 3
alI Q12 a13
(2) A= a21 a22 023
031 Q32 a33
78 Capitola 2
abbiamo visto [Esercizio 41, Cap. I] che la matrice.A è invertibile se e solo se
la seguente combinazione algebrica di el menti di A è non nulla
(3) a11a22a33 + G12a23 a 31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11 a 23 a 32 -- a12a21 a 33
L'espressione (3) si dice determinante di A; il determinante viene notato
con det A o con I A l ..
È quindi naturale porsi la seguente domanda: data una matrice A di ordi-
ne n, esiste una combinazione algebrica, degli elementi di A, non nulla se e solo
se la nlatrice A è invertibile? Nei paragrafi successivi daremo una risposta af-
fermativa a tale domanda e denomineremo tale combinazione algebrica, deter-
minante della matrice A.
OsserVazione 1. Esistono anche motivazioni geometriche per la nozione di de-
terminante di matrici di ordine 2 o 3. Per esse rinviamo al Volume I, Capitolo
I, paragrafi 5, 6, 7, 8 di questa serie.
Per introdurre la definizione di determinante di una matrice qualsiasi che
vedremo nel paragrafo successivo facciamo ulteriori considerazioni sul deter.
minante det A di una matrice A di ordine 3, data dalla (2).
Si ha dalle definizioni (1) e (3) che:
a22 a23 a2I a23 a31 a22
(4) det A =al1 -a12 +a13
a32 a33 a31 033 a31 ll32
e quindi il determinante di una matrice 3 x 3 è combinazione lineare di determi-
nanti 2 x 2. Osse;rviamo che i coefficienti della combinazione sono gli elementi
della prima riga della matrice presi con segno alterno + - +. Inoltre i de-
terminanti che compaiono nella (4) sono i determinantiAu delle matrici 2x2
ottenute da A cancellando la prima riga e laj-esima colonna,j= 1,...,3, onde
(5)
det A = alIAI I - alv112 + al 13
La formula (5) fornisce spunto per la definizione di determinanti di una
matrice qualsiasi che sarà data nel paragrafo successivo.
2. Definizione di determinante
V ogliamo definire il determinante di una matrice quadrata qualsiasi. Se-
guendo la linea suggerita dai determinanti 3 x 3 definiamo il deternrlnante di
una matrice n x n a partire da determinanti di una matrice (n - 1) x (n - 1), cioè
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equqzioni lineari 79
per ricorrenza. Quindi il determinante di una matrice 4 X 4 viene definito in ter-
mini di determinanti di matrici 3 x 3, il determinante di una matrice 5 x 5 in ter-
mini di determinanti di matrici 4 x 4 e così via.
Definizione. Il determinante di una matrice 1 x 1 A = (a) è det A = u. Suppo-
niamo di aver definito il determinante di una matrice (n -1) x (n - 1), aliora per
n 2: 2, il determinante det A = I A I di una matrice n x n
a11 012.... ... aIn
A=
anI a n2 ... . :. .. a nn
è definito come segue. Per ogni elemento av nella prima riga di A consideria-
mo il determinanteAIj della matrice (il -1) x (n-l) ottenuta da A cancellando
la priIT1a riga e la j - esima colonna.
-4:tt-ll1
A 1j . a21 a22.... a 'i .... a2n
anI a n 2.... a Ij .... a nn
Allora il determinante di A è defrnito da
(6) det A = I A I = allA II - al7A12 + al3A13 +.... + (-1)1 +n al1l Al n
Esempio 1. Mostria o che la precedente definizione coincide con quelle
date n l paragrafo l-per i determinanti 2x2 e 3x3.
Se A = [ alI 012 ] si h det A = al1 A 11 - al:zA12 = al1a22 - 012a21 cioè la (1).
021 022
alI a12 a13
SeA= a21 Q22 023 si ha det A =al1All-al2A12 + aI 13 cioè la (5).
031 032 033
Esempio 2. Sia A la matrice
80 Capitolo 2
4 2 -2 3
1 2 3 4
3 O 3 O
-1 4 2 -- 2
vogliamo calcolare det A. Si ha:
4 2 -2 3
2 3 4 1 3 4
1 2 3 4
=4 O 3 O -2 3 3 O +
3 O 3 O
4 2 -2: -1 2 -2
-1 4 2 -.2
1 2 4 1 2 3
+ ( - 2) 3 Q O -3 3 O 3
._ 1 4 -2 -1 4 2
Ora dobbiamo calcolare i determinanti di ordine 3. Lasciamo allettare ve-
rificare che
2 3 4 1 3 4 1 2 4
O 3 O =-60 3 3 O =48, 3 O O =60,
,
4 2 -2 -1 5 -2 -1 4 --2
1 2 3
3 O 3 =6
1 4 2
onde det A =4{ - 60)-2. 48 + (-2) 60-3 (6)= -474.
Osservazione 2. Un metodo per ricordare la formula (3) che dà il determinan-
te di una matrice 3 x 3
Deìerminanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 81
alI a12 a13
A= a21 a22 a23
a31 a32 a33
è la seguente regola di Sarrus. Si ricopiano le prime due colonne della matrice,
come mostrato in Figura 1. II determinante si calcola sommando i prodotti de-
gli elementi che stanno sulle frecce che volgono a destra e sottraendo i prodotti
degli elementi che stanno sulle frecce che volgono a sinistra, come si trae dalla (3).
" " ,/ / /
a11 812 a13 8 11 812
""XX/
821 822 8 23 821 822
/XX""
831 a32 8 33 8 31 832
///,," "
Figura l
3. Sviluppo di nn determinante secondo una qualsiasi riga o colonna
In questo paragrafo esamineremo un metodo per il calcolo del determi-
nante, fondamentale sia per gli esercizi sia da un punto di vista teorico.
Definizione. Sia A una matrice n x li e consideriamQ il determinante Au della
matrice (n -. 1) X (n -1) ottenuta da A cancellando l'i-esima riga e la j-esima
colonna. Si dice che Ajj è il minore complementare di aij nella matrice A. Si
dice aggiunto o complemento aJgebrico dell' elemento aij nella matrice.A il pro-
. + .
dotto (-lY JAij, notato aij.
Esempio 3. Data la matrice
l 2 3 1
1 O 4 1
.A=
O 2 1 O
1 2 3 O
82 Capitolo 2
vogliamo calcolare il minore complementare e il complemento aIgebrico di a32 = 2.
Si ha, cancellando la terza riga e la seconda colonna di A
131
-1 4 1
3 O
A=
1 3 l
A32 = - 1 4 1 = Il · 4 · O + 3 -1 -1 + 1 ( - 1)3 - 1 .4.1 .- 3 .1 .1 - O( - 1)3 = - 7
1 3 O
e 032 = ( - 1)3 + 2( -- 7) = 7 .
Teorema 3 (1 0 teorema di Laplace). Sia A una matrice n X n
alI a12......... Oln
A = alI a22.......... a2n
ani On2.......... ann
Allora il determinante di A può essere calcolato 11sando una delle seguenti
equazioni:
(7)
det A = ( _1)i + 10ilAil + ( _l)i + 2 af l.Ai2 + ... + ( -l)i + nainAln =
tè-
= ailaft + aizat2 +. &... + aina{n
dove i è qualsiasi intero tale che 1 s i s n (sviluppo del determinante secondo
la i - esima riga)
oppure
(8)
l . 2+. +-
detA=(-l) +J a 1jAJj+(-l) J a 1jAv+...+{--l)n Ja n .0.nj=
= aUalj + a1j a 2j + ... + arUa j
dove j è qualsiasi intero tale che 1 j s m (sviluppo del determinante secondo
la j - esima riga)
Dim. [Esercizio 30].
Detenninanti e soluzioni dei sistemi di equazioni /bzeari 83
Esempio 4. V ogliamQ verificare, sviluppando secondo la 3 n riga e poi se-
condò la 4 a colonna, che il determinante della matrice
1 2 3 1
-1 O 4 l
A=
O 2 -1 O
l -2 3 O
dell' esempio 3 è 8. Si ha
det A = a31 a 31 + a32 a 32 + a33a33 + a34 a 34 = a32 a 32 + a33 a 33
Ora nell'esempio 3 abbiamo visto che a32=(-1)3+2(-7)=7 Inoltre
1 2 1
a33 = ( - 1)3 + 3 -l O l = 1 · O · 0+2 · 1 · 1 + 1(- 1)( - 2) -
1 -2 O
+1.0.1(-2)-2(-1)0=6
onde det A = 2 · 7 + ( - 1)6 = 8
Sviluppando secondo la l a colonna si ha:
det A = a14a{4 + a24024 e
a14 = ( - 1)1 + 4
-1 O 4
O 2 -1 =(-1).[6+0+0-8+2+0]=+12
1 -2 3
1 2 3
024 = ( _1)2+4 O 2 -1 =6--2+0-.6--2+0= -4
1 -2 3
onde detA=1-(12)+1(-4)=12-4=8.
84 Capitolo 2
Dal teorema di Laplace segue subito la
Proposizione 4. Det A = Dei A t
Dim. Per induzione. Il risultato è ovvio per matrici 1 x 1. Supponiamolo vero
per matrici (n -1) X (n -l). Se A è una matrice quadrata di ordine n, si ha
A1i=Ah per l'ipotesi induttiva, onde sviluppando, con il teorema di I.,aplace,
det A secondo la prima riga e det A t secondo la prima colonna si ha det A =
det A t .
4. Proprietà dei determinanti
In questo numero vediamo le principali proprietà dei determinanti che si
deducono facilmente dal Teorema di Laplace. Tali proprietà consentono spes-
so di semplificare lo sviluppo di un determinante, ad esempio introducendo in
esso vari zeri.
Propos one 5. Sia A una matrice quadrata. Se A ha due righe (o colonne)
proporzionali allora" det A = o. In particolare se A ha due righe (colonne) ugua-
li oppure una riga nulla allora det A = 0 1 .
Dim.. Per induzione sull'ordine della matrice. Se A - [ ] oppure
- ::b
A = [1: :] è una matrice di ordine 2 a righe proporzionali allora det A
=Àab-Àab=O. Analogamente per le colonne. Supponiamo il risultato vero
per matrici di ordine n-l e sia A una matrice di ordine n in cui due righe (co-
lonne) sono proporzionali. Sviluppando det A secondo una riga diversa da quelle
proporzionali si ottiene che det A è una combinazione lineare di determinanti
di matrici (n - 1) X (n - 1) con due righe (colonne) proporzionali e qUindi nulli
per l'ipotesi induttiva.. Onde det A = O.
Proposizione 6. Siano A, A' e A " matrici n x n che differiscono per una sin-
gola riga (colonna), sia la i-esima, e supponiamo che, inA ", questa possa es-
sere ottenuta aggiungendo i corrispondenti elementi delle i-esime righe (colonne)
di A e A ' . Allora
J Si dice che due righe (colonne) di una matrice sono proporzionali se gli elementi di una
di esse differiscono dai corrispondenti elementi dell'altra per un fattore moltiplicativo c. L'u-
guaglianza è un caso particolare di proporzionaIità cioè il caso in cui c= 1. Una riga (colonna)
nulla è proporzionaJe a qualsiasi altra riga (colonna), come si ottiene ponendo c=O.
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 85
det A /1 = det A + det A f
Dim. Il risultato si ottiene immediatamente sviluppando det A secondo la i-
esima riga.
Esempio 5. Calcoliamo il determinante della matrice
135
A= 2 4 7
224
Gli elementi 2 4 7 della seconda riga di A. Si possono ottenere come som-
me 1 + 1 3 + 1 5 + 2. Consideriamo allora le matrici
1 3 5 1 3 5
B= 1 3 5 e c= 1 1 2
2 2 4 2 2 4
Le matrici A, B, C soddisfano le ipotesi della proposizione 6 onde:
1 3 5 1 3 5
det A=det B+detC= l 3 5 + 1 1 2 =0
2 2 4 2 2 4
poiché det B=O (ha la 1 a e la 2 a riga uguali). e det C=O (la terza riga è due
volte la seconda) [prop. 5].
Vediamo ora l'effetto di una trasformazione elementare [Cap.. I, Par. 2]
di righe o colonne sul determinante di na matrice.
Proposizione 7. Sia A una matrice quadrata.
l) Se una matrice B si ottiene. dalla matrice A moltiplicando tutti gli elementi
di una riga (colonna) di A per una costante "'" si ha det B=À det A;
2) se nella matrice A si scambiano tra loro due righe (colonne), si ottiene una
matrice tale che det B = - det A;
3) se una matrice B è ottenuta da A aggiungendo ad una riga (colonna) il multi-
plo di un' altra riga (colonna) allora det B=det A.
Dim. Basta provare gli asserti per le righe.. Infatti, a questo punto, per le co-
lonne seguono dal lemma 28 del capitolo I e dalla proposizione 4.
86 Capitolo 2
1) Supponiamo che B sia ottenuta da A moltiplicando la riga i-esima per una
costante À.. Allora
alI a12 al n
B :::::: A,ai! Àa i2 À,aln
anI Un2 ann
Osserviamo che i complementi algebrici alj degli elementi della i-esima ri-
ga di A e B sono uguali, poiché ottenuti cancellando tale riga.. Onde sviluppan-
.....)
do det B secondo la riga i-esima si ha det B=À.anall + ... + Àaina{n=Ìv(anal1 +
,- ... + aina{n) = À det A.
2) Per induzione. Se A è una matrice 2x2 A = [: : J e B= [: : J
allora det A = ad - bc= - (cb L- ad) = - det B. Supponendo l'asserto vero per ma-
trici di ordine n -1, esso si ottiene immediatamente, per matrici di ordine n,
sviluppando secondo una riga diversa da quelle che si scambiano.
3) In Virtù della proposizione det B = det A + det C dove C ha due righe pro-
porzionali onde det C= O..
2 2 4
Esempio 6. Sia data la matrice A =
1 1 3 . Vogliamo calcola-
-1 5 7
re det A. Osserviamo che i primi due elernenti della prima o seconda riga sono
proporzionali; considerando quindi la matrice B ottenuta da A con la trasfor-
O O -2
mazione elementare rl rl - 2r2 si ha det A = det B =
1 1
3 [prop.
-1 5 7
7]. Ora sviluppando det B secondo la prima riga si ha immediatamente
1 1
det A=-2
=: - 12.
-1- 5
Determinanti e sDluzioni dei sistemi di equazioni lineari 87
Corollario 8. Se una matrice B è ottenuta da una matrice A effettuando una
permutazione 2 sulle righe (colonne) di A al/ora det B= ::J=det A.
Dim. Basta osservare che ogni permutazione di righe (colonne) può essere ot-
tenuta mediante un numero finito di successivi scambi di righe (colonne) e ap-
plicare la proposizione 7.
CoroIlario 9. Se una matrice B è ottenuta aggiungendo ad una riga (colonna)
una somma di multipli, cioè una combinazione lineare, di righe (colonne) di
A allora del B'= det A.
Dim. Basta osservare che tale operazione consiste nel ripetere un numero fi-
nito di trasformazioni elementari del tipo 3 [Cap. It 9 2], che non alterano il
determinante in virtù della proposizione 7.3).
Esempio 7. Vogliamo calcolare
3 1 1 3
6 4 l 5
det A=
7 3 2 7
8 5 1 2
Sottraiamo a1la prima colonna la seconda colonna più due volte la terza Cl-7
4-Cl - (C2 + 2C3). Si ha [Cor. 9]
O l 1 3
1 1 3
O 4 1 5
det A = -- 4 1 5
O 3 2 7
3 2 7
l 5 1 2
(sviluppando secondo la prima cplonn,!-). Se ora nell'ultimo determinante met-
tiamo, in luogo di C3-7C3-(Cl+2c2) si ha:
det A = -
1 1 3
4 1 5 =-
327
1 1 O
4 1 -] =-(-<-1)
320
1 1
3 2
)=1
1 1
3 2
=1
1 Per una defmizione rigorosa di permutazione si veda il paragrafo 12.
88 Capitolo 2
CoroIlario lO. Se in una matrice A una riga (colonna) è somma di multipli,
cioè cOlnbinazione lineare, di altre righe (colonne) di A allora del A = O.
Dim. Basta sottrarre tale combinazione lineare alla riga data. La matrice che
si ottiene ha determinante uguale a quello di A [Cor. 9] e nullo poiché ha una
riga nulla [Prop. 5].
Esempio 8. Se
-1 2 3 4
6 8 5 3
.A=
2 O 1 3
7 14 lO 7
poiché si ha r3 =rl + r2 -- 2r4= ( -- 2,4,6 t 8) + (18,24,15,9) - (14,28,20,14) = (2,0,1,3),
allora det A = O..
Osservazione Il. Vedremo che vale il viceversa del corollario lO nel successivo
corollario 34 del paragrafo 9 (si veda anche l'esercizio 20)..
5. Applicazioni: calcolo del determinante per rid zione; determinante del
prodotto di matrici
Vediamo, in questo paragrafo, due applicazioni notevoli delle proprietà vi-
ste nel precedente paragrafo: il calcolo del determinante per riduzione a scalini
e il determinante di un prodotto di matrici.
Vediamo innanzitutto quanto vale il determinante di una matrice a scalini.
Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se tutti gli elementi 5 9tt o la
diagonale principale sono nulli, vale a dire ay=O, se i> j. Una matrice quadrata
s dice triangolare- inferiore se tutti gli elementi sopra la diagonale principale so...
no nu.lij, cioè aij=O, se i<j.. Una matrice che è sia triangolare superiore che infe-
riore è una matrice che ha tutti gli elementi nulli al di fuori della diagonale
principale, cioè aij=O se i j e si dice matrice diagonale.
Esempio 9. Ogni matrice quadrata a scalini è triangolare superiore. Infat-
ti ogni pivot av è, per definizione, tale che i sj.
Non tutte le matrici triangolari superiori sono a scalini, come mostra il se-
guente esempio.
Determinanti e soluz.ìoni dei sistemi di equ ioni lineari 89
1 2 3
Esempio lO. La matrice O O 1 è triangolare ma non a scalini.
O O 2
Proposizione 12. Il deierminante di una matrice triangolare superiore o infe..
nore è uguale al prodotto degli elementi della diagonale.
Dim. Consideriamo una matrice A triangolare superiore (il ragionamento nel
caso -di matrice triangolare inferiore è identico)
alI 012 ....... ....... ....... ain
O a22 .a.a. _.... ..... a2n
A= O O a33 ....- ..... a3n
..... ..... ..... ..... -v... .....
o O
o ..... a nn
Sviluppando det A secondo gli elementi della prima colonna si ottiene:
a22 ..... ..." a2n
det A = alI O a33 .... u..
o
a nn
e operando successivamente allo stesso modo si ha che det A =a11a22...ann.
2 7 -3 8 3
O -3 7 5 1
Esempio 11. O O 6 7 6 .=2( --3)6. 9. 4= -1296.
O O O 9 8
O O O O 4
Teorema 13. Sia A una matrice quadrata e R = (bij) la matrice a scalini e-
quivalente ad A ottenuta applicando l'algoritmo (9.a) del capitolo I. Allora
det A = ( -1)ib11...b nn dove i è il numero degli scambi di righe (cioè di operazioni
del tipo 2) effettuati.
90 Capitolo 2
Dim. Basta osservare che per ridurre A a forma di scalini, usando !'algoritmo
(9.a), sono sufficienti trasformazioni elementari del tipo 2) e 3) che non camb a-
no il determinante [Prop. 7] salvo il segno che è dato dal numero i di scambi
di righe. Quindi detA = ( -. l)idet R. A questo punto basta osservare che R è una
matrice triangolare superiore e quindi det R = b 11 ...b nn [prop. 12].
015
Esempio 12. V ogliamo calcolare det A = 3 - 6 2 con l' algoritmo
121
di riduzione 9.a) del capitolo l. Si ha:
rI ++r2 3 -6 2
det A = O 1 5
1 2 1
det A = -
o
3 -6 2
det. A = - O l 5
1 O 4 1
r3 r3--rl .-
3 3
2
5 = -3(1) ( - 5:) =59
3 -6
r3 r3-4r2
1
O _ 59
3
o
Osservazione 14. Se nel corso del procedimento di riduzione a scalini si incon-
tra una riga nulla si può conclud re subito che det A = o.
1 2 3 4
-3 7 2 12
Esempio 13. V ogliamo calcolare det A = . Allora:
2 17 6 8
5 6 12 Il
1 2 3 4
r2-+ r Z + 3 r l O 13 O O
= det A
r3-7r3-2rl O 13 O O
r4 -+r4 - 5rI O - 4 -3 -9
Detenninanti e soluzioni dei sistemi di equazIoni lineari 91
1 2 3 4
O 13 O O
=det A onde det A =0"
r3 r3 - r2 O O O O
O 4 -3 -9
Osservazione 15. Per calcolare un determinante per riduzione non occorre usare
la trasformazione elementare del tipo 1. l"uttavia essa può essere utile per sem-
plificare il calcolo del determinante raccogliendo l'eventuale fattore comune l
degli elementi di una riga [prop. 7.1].
2 4 6
Esempio 14. V ogliamo calcolare det A =
213
. Raccoglien-
--3 1 O
do 2 dalla prima riga, cioè moltiplicando la prima riga di A per si ha:
.. 2
1 2 3 l 2 3
det A = 2 2 1 3 =2 O -3 -3 r2-+ r 2 - 2rl onde raccoglien-
-3 1 O O 7 9 r3-+r3 + 3rl
123
do - 3 dalla seconda riga si ha det A = 2( - 3)
011
e
079
1 2 3
det A=-6 O 1 1 quindi det A = - 6 · 1 · 1 .. 2 = - 12.
O O 2 r3 -+r3 - 7r2
Osservazione 16. Per matrici di grandi dimensioni il metodo di riduzione ri-
chiede considerevolmente meno operazioni del calcolo determinante con lo svi-
luppo di Laplace [Cap. 111, 1]. Invece per matrici di piccole dimensioni, ad
esempio 3 x 3, 4 x 4, la differenza non è elevata. In particolare può essere più
conveniente usare le proprietà dei determinanti, esposte nel paragrafo 4, per fa-
re comparire zeri nella matrice. '
92 Capitolo 2
3 1 1 3
6 4 1 5
Esempio 15. Consideriamo il determinante
dell' esempio
7 3 2 7
8 5 1 2
7. Per calcolarlo con il metodo di riduzione occorrono 14 somme e 23 prodotti
[Cap. 111, Teor. 1J.. Nell'esempio 7 abbiamo effettuato 15 somme e 9 prodotti..
V ogIiamo ora dimostrare W1 risultato fondament=a1e della teoria dei deter-
minanti, se A e B sono matrici quadrate det (A B) = det A det B. Ci occorre pre-
mettere alcune considerazioni sulle matrici a blocchi.
Sia E una matrice quadrata di ordine n. Se p è un intero positivo minore
di n si può decomporre la miltrice E in blocchi nel seguente modo:
E= [ ; ; J
dove A è la sottomatrice quadrata relativa alle prime p righe e colonne di E; B
è la sottomatrice relativa alle prime p righe ed alle ultime n-p colonne di E;
C è la sottomatrice relativa alle ultime n - p righe e alle prime p colonne di -E;
D è la sottomatrice quadrata relativa alle ultime n-p righe e colonne di E.
La màiiice E si dice a bloccbi-A, B, C, D.
. Proposizione 17. Siallo A una Inatrice n x n, O la matrice nulla n X m, C una
matrice mXn e.D una matrice mxm.
i) Sia E la matrice a blocchi A, 0 1 C, P
E= [ ; :J
Allora det E=det A det .D.
ii) Se B è una matrice n X m, O è la matrice nulla e F è la matrice a blocchi A,
B, O, .D
F= [ ; ;J
allora det F=det A det D.
Dim. i) Per induzione. Per n = 1 la matrice E ha come prima riga {an,O,...,O)
Detenninanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 93
e quindi sviluppando secondo la prima riga si ha det E = a]l det D = det A det D..
Supponiamo il risultato vero per A di dimensione n - l e proviamo lo per A di
dimensione n. Sviluppando det E secondo la prima riga e indicando con b/j il
complemento aIgebrico dell'elemento di posto lJ in E si ha det E=a 11 bf.l +
+ ... +alnb1n=al1al1 det D+...a +alnaln det D dove alj indica il complemento
aIgebrico di al} nella matrice A e la seconda uguaglianza è conseguenza dell'i-
potesi induttiva. Quindi detE= (alla Il .t....... + alna{n) detD=detA detD. ii) Ba-
sta osservare che:
r Ai 0 J
F t -
lBtD t
e quindi detF= detF t = detA t det D t =det.A detD per i) e per la proposizione 4..
120 O O
4 1 O O O
Esempio 16. Sia data la matrice E = - 1 2 2 1 - 1 E è a
1 3 1 l 1
57411
-1 2
E= [ : : J dove A = [: ]. 0= [
3 1 -1
O O
:].
blocchi. Infatti
o O
c=
l 3 , D=
5 7
1 3
l ·
4 1
1
Allora det E = det A det D = - 6 · 18 = - 108.
. Proposizione 18. Siano A, B e C matrici quadrate di ordine n tali che C=AB.
Allora det C=det A det B.
Dim. Poniamo A = (aU) t B=(bij), C=(Cij).
Si consideri la matrice a blocchi A d'ordine 2n
[ A C J
D=
-In O
94 GÌlpitolo 2.
dove O è la matrice nulla di ordine n, e la matrice a blocchi
E= [ In :]
La n + l-esima colonna di E è ottenuta aggiungendo alla (n t-l)-esima co-
lonna di D la cOlnbinazione lineare delle prime n colonne coi coefficienti - b 11 ,
- b21,...t - b nh la (n +2)-esima colonna di E è ottenuta aggiungendo alla (n + 2)-
esima colonna di D la combinazione lineare delle prime n colonne coi coeffi--
cienti - b 1 2, - b22,..., .- b n 2, ecc., onde det E = det D [Cor. lO].. Ma det E = det
A det B [Prop. 17]. Inoltre det D = det C (basta sviluppare det. D secondo le
righe n+ 1,...,,2n) e qUÌ11di det C=det A det B.
6. Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se det A -;é.O. La regola
di Cramer
In questo paragrafo utilizzando il determinante otteniamo una formula per
il calcolo dell'inversa di una matrice A invertibile. Ne deduciamo una formula
per il calcolo della soluzione del sistema AX=B..
Teorema 19 (Secondo teorema di Laplace). In ogni matrice quadrata A = (aij)
è nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per gli ag-
giunti dei corrispondenti elementi di un'altra riga (o colonna), cioè
(9)
I I I O ..
ailajl + ai2 a j2 +... + ainajn = , se 1;Z: J.
Dim. Consideriamo ia matrice B ottenuta da A sostituendo alla rigaj-esima
al! .............. aIn
la riga i-esima B=
an a............. ain
ai! .............. aìn
anI .............. ann
si ha det B= O [Prop.. 5].
-
Sviluppando det B secondo la rigaj-esima di B ['Teor. 3] e osservando che i
complementi algebrici della rigaj-esima di B coincidono con i complementi al-
gebrici della riga i-esima di A si ha la fomlula (9).
Riunendo assieme il primo e secondo teorema di Laplace, si ha la relazio-
ne (dove Oij è il cosiddetto simbolo di Kronecker: Oij= 1 se i= j Oij= O se i J):
(10)
aila}I + Qi2aj2 + ... + ainajn = Oij det A
Determinanti e soluzioni dei sistemi di e.flUazioni lineari 95
Ora, se
I / I
alI a12 ...... aln
c=
I I I
aul a n 2 ....... a nn
è la matrice dei complementi algebrici, detta matrice complementare, la trasposta
di C si dice matrice aggiunta di A.
l T I
alI a21...... ani
agg(A) =
I f ,
anI a n 2.. .... a nn
In virtù di (10) si ha
(11) A. agg(A) = (Òij det A)=det A. In
cioè:
det A
o
o
o
detA
o
A.aggA=
o O ......... det A
Proposizione 20. Se A è una matrice quadrata n x n tale che det A ;: o. Allora
A è in:Vertibile e ]'inversa è data dalla matrice:
I
alI
I
OZI
I
ani
detA
detA
detA
(12)
A-l .
a{n
detA
I
a nn
det A
il cui elemento di posto (iJ) è l'qggiunto afi del/'elemento aji diA., diviso perdetA.
Dim. In virtù di (11) si ha A ( 1 agg(A» ) =--1-- ( A agg(A» ) =Jn on-
det A det A
de A-l l . agg(A) [Cor. 38 Cap. I].. Vale anche il viceversa della pro-
det A
posizione 20 cioè se A è invertibile allora det A O.
96 Capitolo 2
Proposizione 21. Sia A una matrice quadrata. Allora A è invertibile se e solo
se det A;éO.. In tal caso det A-l = (det A)-l.
Dim. In virtù della proposizione 20 basta provare che se A è invertibile allora
detA ;60. Ma det (AA- 1 ) = det A det A-l =det In= 1 onde det A O e det A-l =
1
det A
243
Esempio 17. Sia A = O 1 - 1 . Calcoliamo innanzitutto la ma-
3 5 7
trice complementare C di A. Si ha:
1 -1
o -1
I
a1]=
= 12) a12=-
=-3, a{3=-3, a21=-13,
5
7
3
7
a22=5, Q23=2, a32=2 e a33=2 onde C=
12 -3 -3
-13 5 2 .
- 7 2 2
12 - 13 -7
3 5 2 . Inoltre
3 2 2
L'aggiunta di A è ora data da agg(A) = C t =
det A = 3 ;é O onde A è invertibile. L'inversa di A è quindi data da
4
13 7
3 3
5 2
3 3
2 2
3. 3
A-l =
-1
-1
La formula (12) che permette di calcolare l'inversa di una matrice consen-
te anche di ottenere-una formula esplicita per il calcolo della soluzione del sistema:
(13)
AX=B
Deten;ninanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 97
quando la matrice dei coefficienti
alI....... al n
A=
anI . . . ... . a nn
è invertibile, vale a dire quando det A;i:O [prop. 21].
Abbiamo già dimostrato [prop. 35, Cap. I] che se A è invertibij.e il sistema
(13) ha un'unica. soluzione .data da
. (13)
X=A- 1 B
e se B= [ J J è la colonna dei termini noti definiamo n nuove matrici:
bl a12 ...... aIn
alI b 1
...... ain
hz a22 ...... a2n
a2t h2
...... a2n
At=
, A2=
,...,
........................
b n a n 2 ...... a nn
anI b n .. ..... an n
alI a12 ....... bl
aZl a22. .. . .. b2
An=
........................
anI a n 2. .. . .. b n
Cioè Ai è la matrice ottenuta sostituendo l'i - esima colonna di A con la colonna
dei termini noti.
Teorema 22 (Regola di Cramer). Sia A una matrice n X n tale che det .A ;z: o.
Al/ora l'unica soluzione del sistema AX = B è data da
det Al
Xl = ...
det A '
det A 2
X2=
det A
det An
,..., X n =--
detA
Dim. La soluzione di AX=}1 è X=A-1B, 'cioè
98 Capitolo 2
, , ,
Xl alI a2I anl
.. ....... - _....
. detA det A det A
.
-
.
.. ..............&..&......................4..
.
.
. , J
. r
. aIn a2n a nn
.
X n ....... det A
detA detA
b 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
b n
onde
Xi=
bIa!; + b2a2ì + ... + bna i
detA
det Al
=.
det A
(come si V9de subito sviluppando det Ai secondo la i-esima colonna dei termini noti).
Esempio 18. V ogliamo risolvere il sistema
Xl + 3X2 + 5X3 + 2x4 = 2
- x2+3x3+4X4= O
2xl + X2 + 9X3 + 6X4:::: - 3
3Xl + 2x2+ 4X3 +8X4= --l
1 3 5 2
O -1 3 4
si ha lA 1= = 160;z:O
2 1 9 6
3 2 4 8
onde il sistema ha un'unica soluzione.. Se
2 3 5 2 1 2 5 2
O -1 3 4 O O 3 4
Al= , A2=
--.3 1 9 6 2 -3 9 6
-1 i'4 8 3 -1 4 8
l 3 2 2 I 3 -S 2
O -1 O 4 O -1 3 O
A 3 = , A4=
2 l '-3 6 2 l 9 -3
3 2 -1 8 3 2 4 -}.
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 99
si ha:
det Al
Xl
det A
det A4
X4 =---
detA ...
=-
464
160
112
160
det A2 280
X2=-- = X3
, det A 160'
det A3 56
det A - - -ì6o '
La verifica dei calcoli è lasciata allettare.
Nel seguito diremo che un sistema lineareAX =B con A matrice quadrata
e invertibile (cioè con det A ;éO) è un sistema di Cramer.
Osservazione 23. Anche per risolvere un sistema AX = B con A invertibile so-
litamente è più conveniente usare il metodo di eliminazione di Gauss invece della
regola di Cramer, come mostrato nel paragrafo 1 del Capitolo 111.
7. Minori e rango di una matrice
Definizione. Data una matrice A = (aij), m x n, ed un intero positivo p non
superiore né a m né a n, possiamo fissare p righe e p colonne della matrice A
di indici rispettivi Ìl,i 2 ,...,i p (con h < i z <... < i p ) ejlJz,...jp (conjl <jz <... <jp).
Gli elementi di A che si trovano all'incrocio delle suddette p righe e p colonne
costituiscòno la sottomatrice quadrata di ordine p
M=
Oi1il Oilj2 ...... OiJjp
OiJjl aiJj2 ...... aiJjp
aipil aipÌz. · · . .. aipip
il cui determinante si dice minore di ordine p della matrice A relativo alle righe
it,...,i p e alle colonnejtj2,....jjJ (a volte lo noteremo con Oit... i pJ p ...i p )3.
Esempio 19. Data la seguente matrice:
1 2 -3 2
A= 5 7 4 1
-3 O 2 1
] Osserviamo che, se A = (au) è una matrice quadrata, il minore complementare A(/ di un
elemento a/j (defInito nel paragrafo 3) coincide con il minore al...i - 1 i + l.. n. l..J - ]j + t...n'
100 Capitolo. 2
il minore di ordine 2 relativo alla 1 a, 2 a riga e alla 2 a , 4 a colonna è dato dagli
. .
mCrOCl
cioè
2 2
7 1
=2-14= -I2;
il minore di ordine 3 relativo alla 1 a, 2 a, 3 a riga e 1 a, 2 a, 4 a colonna è dato
1 2 2
dagli incroci
cioè
5 7 l = 33
-3 O 1
Diamo ora la nozione di rango di una matrice che sarà utile per approfon-
dire lo studio dei sistemi lineari. Se A è la matrice nulla il rango di A si defini-
sce uguale a zero. Sia A non nulla. Allora:
Definizione. Il massimo ordine di un minore non nullo di.A si dice rango di
A e si denota con p(A). Quindi p(A) = p se e solo se esiste un minore di ordine
p non nullo e i minori di- ordine maggiore di p sono nulli.
Osservazione 24. Se A è una matrice nl X n per definizj.one p(A)sMin[m,n].
Esempio 20. Vogliamo calcolare il rango p(A) della matrice:
1 2 3 5
A= --l O 3 2
O 2 1 .... 1
poiché il minore di ordine 3 relativo alla 1 a, 2 a, 3 a riga e 1 a, 2 a, 3 a colonna
l 2, 3
è -1 O 3 = -lO e quindi è non nullo, si ha p(A» 3.
o 2 1
D'altra parte p(A) < 3 [Osservazione 24] e quindi p(A)=3.
1 -1 2
1 . 1
Esempio 21. SeA= 3 5 4 il minore di ordine -
3 5
4 4 6
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
101
= 5 + 3 = 8 è non nullo. D'altra parte det A =
l --1 2
3 5 4 = O poiché la
4 4 6
terza riga è la somma della prima e della seconda. Ne segue p(A) = 2.
Lemma 25. Il rango di una matrice è uguale a quello della sua trasposta.
Dim. Basta osservare che il determinante di una matrice è uguale a quello della
sua trasposta.
Lemma 26. Se tutti i minori di ordine p + l di una matrice sono nulli, il rango
della matrièe non supera p.
Dim. Basta provare che tutti i minori d'ordine p + 2, p + 3,... sono nulli. Ora
sviluppando un minore d'ordine p + 2 secondo una qualsiasi riga lo si ottiene
come combinazione lineare di minòri d'ordine p + l; dunque tutti i minori d'or-
dine p + 2 sono nulli. Ripetendo il ragionamento per p-l. 3, ecc.., si ha l'asserto.
Teorema 27. Due matrici equivalenti hanno lo stesso rango.
Dim. Basta mostrare che effettuando su una matrice A una qualsiasi trasfor-
mazione elementare di tipo 1t2,3 [Cap. I Par. 2] il rango non cambia. Ciò è
evidente per la trasformazione di tipo 1, poiché essa non altera l'annullamento
dei minori. Consideriamo una trasformazione di tipo 2. Sia B la matrice otte-
nuta scambiando due righe di A. È facile rendersi conto che ogni minore di
B è un minore di A oppure è ottenuto permutando due righe della matrice di
un minore di A; onde, in virtù della proposiZione 7, p(B) = p(A). Sia infine
B= (bij) la matrice ottenuta da A = {aij} mediante una trasformazione elemen-
tare di tipo 3: ri-+ri + Àrja e proviamo che p(B):s p(A), poiché ogni trasforma-
zione elementare ha una trasformazione inversa dello stesso tipo [prop. 8..b),
Cap.. I], si ha anche p(A):s p(B) onde la tesi p(B) = p(A).. Per provare che p(B) <
s p(A) = p-l basta dimostrare che ogni minore di ordine p, bil...ip.jl...ip di .B
è nullo. Ora se i rÌ},...,ipl, oppure fiJl C [i1,...,i p ), si ha [Prop. 7] bil...ip)jt...ip =
=ail...ip,jt...ìp. Se invece i (il,....,ipJ ej {ih...,ip] consideriamo la matrice C=(Cij)
ottenuta con lo scambio ri*rj ÌnA. Si ha [propp. 6 e 1] bil. .ipjl....ip . ail...ipjt...ip-
-- À · Cil...ip jl... ip = O - À.O = o.
Proposizione 28. Il numero di righe non nulle (cioè il numero dei pivot) di
una matrice a scalini coincide con il suo rango.
Dim. Basta osservare che se p è il numero di righe non nulle della matrice a
102 Capitolo 2.
scalini S, da S si può estrarre il minore
ai1il . · · · · . · . . . · · . . . .
det (M) =
o ai2J2.............
o O O O aipÌp
individuato dalle righe e col nne che contengono i pivot aiJJh di S. La matrice
M è triangolare superiore e quindi [prop. 12] det (M) = aiIjlai2ir" .aipip;é O, o -
sia p(S) > p(M) = p, ma poiché S ha esattamente p lighe non nulle ogni minore
di ordfue p+: 1 è nullo onde p(S) = p per il lemma.
CoroUario 29. Sia A una matrice non nulla. Il rango di A coincide con il nu-
mero di righe non nulle (cioè il numero dei pivot) di una matrice a scalini equi-
valente ad A.
Dim. È immediata conseguenza del teorema 27 e della proposizione 28.
1 2 5 5 3
Esempio 22. Data la matrice A = 1 4 8 7- 2 la forma a sca-
2 2 7 8 7
1 2 5 5 3
lini diA è S= O 2 3 2 -1 , onde p(A) = 2.
O O O O O
8. n teorema di Roucbé-Capelli
La nozione di rango pennette di caratterizzare la compatibilità di un siste-
ma lineare..
Consideriamo UIl sistema lineare:
(15)
a21 X l + G22X2 + G23X3 + . . .. "i- a2nXn = b 2
allXl + Gl2X2 .t- al3X3 -t. ... + aln X n = b 1
amlXl + am2X2 + am3 X 3 + . . a + amnX n = b n
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 103
di matrice incompleta A e completa A '
a21 a22 a23 a2n
alI 012 a13 ....... a lnb l
OZI 022 a23 ....a.. a2 n b2
At=
alI a12 a13 a1n
A=
..*...... ...*.......*..*..........
.....................................
amI a m 2 a m 3 u..... amn .
amI Om2 a m 3 ....... amnb n
Teorema 30 (di Ronché Capelli).. Il sistema (15) è compatibile se e solo se
p(A) = p(A ').
Dim. Sia S' la forma a scalini di A I , e consideriamo il sistema equivalente
a (15) di matrice completa S' . La matrice incompleta S di tale sistema è equiva-
lente ad A, onde p(A ') = peS') e p(A) = p(S) [Teor. -27]. Basta quindi provare
l'asserto per sistemi con matrice completa a scalini. Ora un tale sistema ha so-
luzioni se e solo se l'ultima riga non nulla della matrice a scalini S' non è del
tipo (O,Op..,b), con b;z:O, [prop. 15, Cap. I] vale a dire S e S' hanno lo stesso
numero di righe non nulle cioè p(S)=p(S') [Prop.. 28].
2x+3y- z=o
Esempio 23. TI sistema lineare
2x+3y+2z=O
è incompatibile.
4x+6y+ z= 1
Infatti il determinante della matrice A dei coefficienti
2
det A = 2
4
3 -l
3 2
6 1
è nullo in quanto l'ultÌIna riga è somma delle prime due. Poiché il minore
2 1
a13,13 =
=2.t.4=6
è non nullo, la matrice A ha rango 2. La
4 1
matrice completa A I ha invece rango. 3 in quanto è non nullo il minore
2 -1 O
2 2 O =1(4+2)=6.
4 ] 1
104 Capitolo 2
Esempio 24. Il sistema lineare
x- y = - 1 è compatibile.
7x+3y= 1
2x+3y= 2
Infatti poiché il minore
2 3
. = -- 2 - 3 = - 5, della matrice incompleta
l -}
2 3
A = 1 - 1 t è non nullo, A ha rango 2. Tale minore è anche un minore
7 3
2 3 2 2 3 2
della matrice completa A I = 1 --1 -1 e poiché l -1 -1 -
7 3 1 7 3 1
=2( -1 +3)-3(1 +7)+2(3+7)=4-24+20=0. Si ha p(A ')=2 ed allora
p(A) = p(A ') = 2.
9. Dipendenza lineare. lJn'altra definizione il rango di una matrice. n
teorema degli' orlati
La nozione di rango. di una matrice è strettamente connessa alla nozione
di dipendenza lineare delle righe o colonne di una matrice. Anzi si potrebbe
dermire, come vedremo, il rango come il numero massimo di righe o colonne
linearmente indipendenti. Imziamo con il formalizzare la nozione di dipenden-
za lineare di n-pIe.
Date le m n-uple di elementi di un campo
al = ( 11,...,aln)
a m = (amt,...,amn)
e m scaIari Àl,...,Àm, diremo che l'n-pIa a= (al,....,a n ) è combinazione lineare,
a coefficienti A.I'''.'A. m , delle (o è linearmente dipendente dalle) n-pIe al,...,a n
e scriveremo a = À l a1 + ... + Àman se
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 105
al = A.l a ll +..... + Ananl
a n = Àla1n +. ... + Amamn
Le il-pie si dicono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare nul-
la, di esse, a coefficienti non tutti nulli cioè esistono "'1,....,A n non tutti nulli tali che
Alal + ...+ Ànan= 0= (0,...0). Altrimenti al,...,a m si dicono linearmente indipendenti.
La nozione di lineare dipendenza può essere immediatamente applicata alle righe
rl,...,rn..di una matrice. Si può applicare anche alle n-pl delle colonne di Wla ma-
trice. Quindi una colonna c = [ I J è combinazione lineare A.ICI + ... + A.nc"
delle colonne Cl = [ a I J ' Cn= [ ar ] se esistono scaIari Al,...,An tali che
amI a mn
al = At a l1 + ... + A n aln
a m = A.l a ml + ..... + Anamn
Teorema 31. Sia A = (aij) una matrice m X n di rango p e consideriamo le righe
(colonne) di A che contengono un minore non nullo di ordine p.. Al/ora queste
p righe (colonne) sono linearmente indipendenti mentre le altre sono combina-
zioni lineari di quelle. Viceversa se p righe (colonne) di una matrice A sono /i-
neannente indipendenti e le altre sono combinazione lineare di esse allora p(A) = p.
Dim. Dimostriamo il risultato per le colonne (l' asserto per le righe si ottiene
immediatamente considerando la traspost di A [Lemma 28, Cap. I]). Possiamo
supporre, senza ledere la generalità, che un minore non nullo eli ordine p pia quello
che si trova all'incrocio delle prime p righe e p colonne. Dire che le prlme p co-
lonne sono linearmente indipendenti equivale a dire che il sistema lineare omogeneo
allXl +. ... +. alpXp = O
(16)
amlX1 + ... + QmpXp = O
alI...... alp
ha soltanto la soluzione nulla. Ora, poiché il minore
.....**...........
"
e
llpl ...... app
106 Capitolo 2
per ipotesi non nullo, il sistema di Cramer
UIIXl + ... + alpXp= O
(17)
aplXI + ..... + appXp = O
ha solo la soluzione nulla [1'eor. 22] e a maggior ragione il sistema (16) ha solo
la soluzione nulla.
Laj-esIDla colonna (p+ 1 sj < m) della matrice A = (aij) sarà poi combi-
nazione lineare delle prime p righe se è possibile risolvere il sistema
a m l X l +... + ampXp = amj
Ora i minori della matrice completa C' e incompleta C di tale sistema sQno mi-
nori diA. Poiché p(A) =p si ha p(C) = p«(,"l/) = p e il sistema ha soluzioni in vir-
tù del teorema di Rouché-Capelli.
Esempio 25. Vogliamo calcolare il rango della matrice
al1 X l + ... + alpXp = av
1 2 -1 3 5
4 1 -2 O 3'
A=
6 5 -4 6 13
-3 1 1 3 2
1 2
Osserviamo che"
= 1 -- 8 = - 7 ;é O onde le prime due righe di
4 1
A sono lineaImente indipendenti. Inoltre f3 = r2 + 2rl e r4 = li - r2 onde
p(A)=2 per il teorema 31.
Dal teorema 31 discende subito il:
Corollario 32. Consideriamo J 1 insieme S delle righe (colonne) di una matrice
A. qgni sistema massimale di righe o di colonne di A lin armente indipendenti
ha lo stesso numero di elementi che coincide co1J il rango di A..
Dim. Dimostriamo il risultato per le righe. Per le colonne la dimostrazione
è identica. Sia rt,...,rp un sistema massimale di righe linearmente indipendenti
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 107
della matrice A. Ciò vuoI dire che se r è un'altra riga di A allora rl,...,r p , r
sono linearmente dipendenti cioè A.lrl + ... + Àpr p + Ar = o. Ma si deve avere À;z: r,
altrimenti rl,....,rp sarebbero dipendenti e quindi r è combinazione lineare di
rI,....,r p [Esercizio 20]. Onde p= p(A) [Teor.. 31]"
Osservazione 33. Il corollario perm tte di dare un'altra defInizione di rango di
una matrice come massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti..
CoroUario 34. La righe (colonne) di una matrice A = (aij), m X DJ sono linear-
mente dipendenti se e solo se p{A) <m(p(A) <n). Quindi in particolare se A è una
matrice quadrata le righe di A sono linearmente dipendenti se e solo se det A = O.
Dim. Dal teoreIna 31 segue che se p(A) = m(p(A) = n) le righe (colonne) di A
sono linearmente indipendenti. Se viceversa p(A) < m(p(A) < n) si ha la tesi in
virt.ù del teorema 31 e dell' esercizio 20.
Esempio 26. Data la matrice
1 2 -1 1
O 1 2 1
A=
-2 -1 2 3
42--5-4
si ha 2fl - f2 - 3r3 - 2r4= O cioè le righe di A sono linearmente dipendenti e
det A =0.
Il teorema 31 permette di ricavare un criterio più efficiente per calcolare
il rango di una matrice.
Definizione. Si dice che un minore Il di ordine p + 1 orla UIi minore v di ordi-
ne p se p righe e p colonne tra quelle che individuano J.1 individuano v.
-1 1
Esempio 27. Dato il minore 024.15 = = 5 - 4 = 1 della matrice
1 2 5
-1 O 3
A=
1 -1 O
4 -5
7 1
2 1
3 2
:4 3 2 .:- 3 - 5
108 Capitolo 2
-1 3 l
il minore aZ34.135 = -1 O 2 =50 orla il minore 024 15.
,
4 2 -5
Teorema 35 (degli orlati o di Kronecker). Sia A = (aij) una matrice e sia Il un
minore non nullo di ordine p di A. Se tutti i minori di ordine p + 1 ottenuti or-
lando Il sono nulli, allora A ha rango p..
Dim. Possiamo supporre per semplicità che il minore non nullo sia individuato
alI..... al p
dalle prime p righe e p colonne J.L =
. In virtù del teorema
apI ..... a pp
31 basta provare che ogni colonna (a}.j,....,amj) (p<isn) è combinazione lineare
delle prime p colonne, cioè esistono degli sca1ari Al,...,Àp ta1i che:
(18)
al1À,1 + ... f. alpA. p = aV
arnIA! + .... +amplvp=amj
Ora se Ci sono le matrici complete dei sistemi, p < i < m
(19)
aplXl + ... + appXp = apj
(z11Xl + .... + al p = aV
aUXl .+ .... + aipXp = aij
Si ha che det Ci sono i minori di ordine p + 1 che orlano Il e quindi se Ci
è la matrice incompleta di (19) si ha per ipotesi P(Ci) = p(C{) onde i sistemi (19)
hanno sempre soluzioni. Inoltre il sistema
al1 X l +... + a p l x p =av
aplXl +.... +appXp=apj
è di Cramer, poiché J1 è non nullo e quindi ha una sola soluzione A.l,.. .A. p che
è anche soluzione dei sistemi (19), cioè valgono le (18).
Dete17l1inanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 109
Esempio 28. Calcoliamo il rango eli
1 2 6 1
1 O O O
A=
O 2 6 1
1 -2 -6 -1
Un minore non nullo di ordine 2 è a13 9 12 =
1 2
O 2
= -2.
Orliamo con la 2 a riga e 3 a colonna
1 2 6
a123,123 = 1 O O =0
O 2 6
Orliamo con la 2 a riga e 4 a colonna
l 2 1
a123 9 124 = 1 O O =0
O 2 1
Orliamo con la 4 a riga e 3 a colonna
1 2 6
a134,123 = O 2 6 =0
1 -2 -6
Orliamo con la 4 a riga e 4 a colonna
1 2 1
al34,l24 = O 2 1 =0
1 -1-1
Poiché abbiamo orlato a13,12 in tutti i modi possibili ai può concludere per
il teorema di Kronecker che p(A-) = 2.
110 Capitolo 2
lO. Un altro metodo per determinare le soluzioni di un sistema lineare.
Sistemi equivalenti e matrici equivalenti
li teorema di Rouché-Capelli è alla base di un procedimento, alternativo
al metodo di Gauss, per determinare le soluzioni di un sistema lineare. Occorre
però premettere il seguente risultato.
Proposizione 36. Se il sistema lineare (15) ha soluzioni e p(A) = p(A ') = p, con-
sideriamo p righe di A relative ad un minore di ordine p non nullo. Allora il
sistema (15) è equivalente a quello costituito dalle p equazioni corrispondenti a
tali p righe.
Dim. Basta osservare che p righe relative ad un minore di ordine p non nullo
di A' sono linearmente indipendenti Inentr le altre sono combinazioni lineari
di tali righe [Teor. 31]. Ora è facile verificare che ogni soluzione delle p equazio-
ni corrispondenti a righe di A' linearmente indipendenti è soluzione delle rima-
nenti equazioni..
A partire dai precedenti risultati si ottiene il seguente metodo, per determi-
nare le soluzioni di un sistema lineare.
Consideriamo un sistema lineare qualsiasi (15 di matrice completa A e in-
completa A f .
1) Calcoliamo p(A) e p(A '). Se p(A);é p(A ') il sistema non ha soluzioni.
2) Se p(A) = p(B) = p il sistema ammette soluzioni ed è equivalente al siste-
ma costituito da p equazioni relative ad un minore di ordine p non nullo. Sup-
poniamo, per semplicità, che tale minore non nullo sia quello determinato dalle
prime p righe e p colonne:
alI..... al p
apI ..... app
onde il sistema dato è equivalente al sistema
(20)
allXl + al2X2 +. ... + alnX n = b 1
Qpl X l +ap2Xz+..... +apnXn=b p
per determinare le soluzioni di (20) basta sostituire i valori arbitrari x p - l = t l,
X n = t n - p nel sistema e ricavare con la regola di Cramer le incognite Xl,...,Xp.
..
Esempio 29. Determinare le soluzioni del sistema lineare:
Determinanti e soluzioni dei sistemi di _equazioni lineari 111
Xl - 2x2 + 3X3 - X4;= 2
3Xl-6x2+ x3- =1
- Xl + 2x2 + 5X3 = 3
Detenninianlo il rango della matrice incompleta e completa
1 .- 2 3 -1 l -2 3 -1 2
A= 3 -6 1 -2 e At= 3 -6 1 -2 .1
-1 2 5 O -1 2 5 O 3
1 3
Orliamo il minore
= 1-- 9= - 8;z=O con la 3 a riga e 2 a colonna
3 1
1 -- 2 3
3 -6 1 =0
-1 2 5
e poi con la 3 a riga e 4 a colonna
1 3 -1
3 1 -2 =0
-.1 5 O
Quindi p(A) = 2.
Per calcolare p(A T) basta orlare
l 3
3 1
con la 3 a riga e 5 a colonna. Si ha:
1 3 2
3 1 1 ==0
-1 5 3
Onde p(A) = p(A 'J=2 e il sistema è equivalente a quello costituito dalle prime
2 equazioni
112 Capitolo 2
{ Xt-2x2+3x3- x4=2
3Xl - 6X2 + X3 - 2x4 = l
1 3
poiché il minore
= 1 - 9 = - 8 e individuato dalla prima e terza co-
3 1
lanna ponendo X2 = S e X4 = t si ha
{ Xt-1-3X3=2s+ t+2
3Xl + x3=6s+2t+ 1
e dalla regola di Cramer
2s+t+2 3
Xl=
6s+t+ 1 1
-8
1 2s+t+2
3 6s+2t+ 1
-8
- 16s -- 2t - 1 1 1
=18+- t +-
-8. 4 8
X3=
--. t - 5
-
-8
1 5
=- t+-
8 8
onde le soluzioni sono
( 1 1
2s+- t+- s
4 8"
. t+2. t )
8 8'
aI variare dei numeri reali s e t.
Siamo ora in grado di provare i risultati enunciati nelle osservazioni 6 e lO
del Capitolo I.. Precisiamo innanzitutto che una combinazione lineare delle eqna-
zioni di un sistema lineare è un'equazione lineare la cui matrice completa (che
è una riga) è combinazione lineare delle righe della matrice completa del sistema.
Teorema 37. Due sistelni lineari compatibili sono equivalenti se e solo se le equa-
zioni di uno qualsiasi di essi sono combinazioni lineari delle equazioni de/l'a/tro.
Dim. Consideriamo un sistema lineare compatibile
(21)
QmlXl + ... + amnxn=b m
QIIXl + .... + alnX n = bl
Detenninanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 113
tale che p(A) = p(A ') = p e supponiamo per semplicità che
alI ........ al p
al....p.1...p =
;éO;
£lpl ....... llpp
consideriamo l'equazione lineare
(22)
atXl + a2X2 + .... + anXn b
Per provare l'asserto basta provare che se le soluzioni di (21) sono anche solu-
zioni di (22) allora (22) è combinazione lineare delle prime p equazioni di (21).
Consideriamo allora il sistema:
(23)
aplXl + ... + apnXn= b p
alXl +... +anXn = b
£lII X l + ..... + alnX n = b 1
e siano B e B' le matrici complete di (23).
Poiché (23) è compatibile, per la proposizione 36 e per l'ipotesi, si ha
psp(B) = p(B') < p+ 1. Se p(B)=p(BI)=p l'ultima riga di B' è combinazione
lineare delle prime p righe [Teor.. 31] onde l'asserto. Supponiamo quindi p(B) =
=p(B1)=p-t-l e supponiamo per semplicità che un minore non nullo di B di
ordine p + l sia
al1 ...... a QIp + 1
a O
apI....... a pp + I
al......... a p + 1
Ponendo in (23) X p + 1 =Xp+ 2= ... =Xn=O e poix p + 1= 1, Xp+2 = ... =Xn = O
e ricavando, con la regola di CrameI; Xl,....,Xp dalle prime p equazioni si otten-
gono due soluzioni distinte delle prime p equazioni e quindi due soluzioni di-
stinte del sistema
114 Capitolo 1
all X l +... + Qlp + lX p + 1 = b 1
......................
a p l X l + ... + app+ lX p + 1 = b p
. alXl + ... + Op + lX p + l = b
che per l'ipotesi (24) ha una sola soluzione. Assurdo.
Corollario 38. Se due sistemi lineari sono equivalenti:. uno può essere ottenu-
to da/f.ta/tro applicando ad esso un numero finito di trasformazioni elementari..
Dim. Basta osservare che ogni combinazione lineare delle equazioni di un si-
stema lineare si può ottenere con un numero finito di trasformazioni elementa-
ri del tipo 1 o 3. La trasformazione elementare del tipo 2 si rende necessaria
se si vuole mantenere l'ordine delle equazioni nel sistema.
Corollario 39. Due sistemi lineari equivalenti hanno matrici complete equi-
valenti.
Dim. Basta osservare che ogni riga di una delle due matrici complete è com-
binazione lineare delle righe dell'altra matrice completa.
11.. Soluzioni linearmente indipendenti di un sistema Iineare.omogeneo
In questo paragrafo consideriamo il caso notevole dei sistemi lineari omo-
genei. In tal caso si possono determinare le soluzioni del sistema come combi-
nazioni lineari di soluzioni particolari, linearmente indipendenti in una forma
che sarà utile per la teoria degli spaZi vettoriali.
Consideriamo un sisteIna lineare omogeneo:
(25)
a21Xl + ... + a2nXn = O
al1Xl 4.... + alnX n = O
QmlXl + .... + amnxn = O
Tale sistema, come già osservato, è sempre risolubile poiché ammette la
soluzione banale o nulla (0,....,0). Si dimostra immediatamente la seguente:
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 115
Proposizione 40. Ogni combinazione lineare di un numero finito di soluzioni
del sistema (25) è ancora una soluzione di (25).
Dim. Con notazione matriciale il sistema può essere scritto nella forma AX = O.
Inoltre se indichiamo con matrici colonna SI,.... ,8n n soluzioni del sistema, si
ha ASI = ... = ;1Sn = O, e, in virtù delle proprietà dell'aritmetica matriciale [Teor.
19, Cap.. I], A(A 1 Sl +... + A,nSn) = A.l(AS 1 ) + ... + À.n(AS n ) = o.
Supponiamo che il rango della matrice A, dei coefficienti del sisteIna (25),
sia p e che 111;1 minore a1.. p. l...p nOII nullo sia individuato dalle prime p righe
e p colonne di A. Allora tutti i minori che si ottengono orlando al...p. l...p con
l'ultima colonna sono nt.ùIi (gli elementi dell'ultima colonna sono nulli) e quin-
di, per il teorema di Rouch -Capelli, ogni soluzione del sistema:
(26)
. aplXl + ... +apnxn=O
allXl + ... + al n X 1t = O
è anche una soluzione del sistema (25) cioè i due sistemi sono equivalenti e pos-
siamo dunque limitarci a studiare il sistema (26).
Se p = n il sistema è di Cramer e quindi ha solo la soluzione nulla [Teor.
22]; sep<n vogliamo determinare un insieme S di soluzioni linearmente indi-
pendenti tali che ogni soluzione del sistema è combinazione lineare degli ele-
menti di S (8 si dice una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo).
Dando a Xp+ 1, Xp+2,...., Xn i seguenti valori xp+ 1 = 1, X p +2= ... =X n =0 il
sistema (26) diventa un sistema di Cramer (il determinante della matrice dei coef-
ficienti è il minore aL..p. 1...P O) e quindi ha l'unica soluzionexl =S11' ..JXp =Slp
onde (SII, S12,..., Slp, 1, 0,...,0) è una soluzione del sistema.
Diam.o ora ax p + 1,...tXn i valorix p + l =0, X p +2;:::: l, Xp+3 =0, X p +4=O, ...,
X n = o. Si ottiene Xl =S21, X2 =S22, .h, X p =S2p e la soluzione (S21, S22, . .., S2p,
0, 1, 0, O). Proseguendo così, daremo a x p + 1,....'Xn i valori X p + 1 =X p +2=0,
X p + 3 = 1, X p + 4;:::... =Xn = O ecc. Otterremo le seguenti h = n - p soluzioni parti-
colari non nulle del sistema:
(27)
82 = (S21,S22,... ,S2p,O, 1 ,0,. ..,0)
SI = (Sll,SlZ,...,SIP,l,O,O,...,O)
Sh = (SIz1,SJt2,...,Shp,0,0,...,O,1)
Proposizione 41. Un sistema lineare omogeneo AX = O, tale che il rango
116 Capitolo 2
della matrice A sia minore del numero delle incognite, ha sempre soluzioni non
nulle. Se al.... p , l...p;éO, tutte le soluzioni del sistema si ottengono come combi-
nazione lineare delle n-p soluzioni (27) che sono linearmente indipendenti.
Dim. È chiaro dalla discussione precedente che, se p = p(A) < n, il sistema ha
almeno una soluzione non nulla 51. Consideriamo una qualsiasi combinazione
lineare À 1 S1 +... +lhSh di Sl,...,Sh. Innanzitutto essa è una soluzione del siste-
ma [prop. 40]. Tralasciando di scrivere le prime p componenti si ha A.lS1 +
+... + ÀlzSl z = (...,....,...)A,1,A,2,...,A,]z) e quindi A.IS1 +... + lltSlz=O se e solo se
(....,....,...,At,A.2,...,À. n ) = (0,0,...,0,0,...,0) cioè Al = 0, A.2 = O,...,A.h = O onde Sl,....,Sh
sono linearmente indipendenti. Mostriamo ora che ogni soluzione y = (vI,.. · ,Yn)
del sistema si ottiene come combinazione lineare di SI,... ,Sh a coefficienti
YP + l,...,Yn. Infatti y- (yp+ 1S1 +... + YnSn) è una soluzione del sistema, poiché
è differenza di due soluzioni. Inoltre y - (yp + 181 + ... + Ynsn) = (Zl,...,Zp, YP + 1 -
- Yp+ l,...,Yn - Yn) = (ZI,...,Zp;O,....O). Quindi la p-pIa (Zl,...,Zp) è soluzione del
sistema
al1Xl +.... +alpXp=O
aplX1 + ... + appXp = O
che è di Cramer e ha solo la soluzione nulla Zl=O,...,Zp=O onde y=
= Yp + 181 + .... + Ynsn come si voleva.
Osservazione 42. L'estensione della proposizione 41, al caso in cui al posto
del- minore al... p , 1....p della matrice A si consideri un altro minore di ordine p
non nullo, è immediata e lasciata al lettore.
Esempio 30. Determinare una base dello spazio delle soluzioni del siste-
ma omogeneo
X3- 2x 4=O
Xl +4X2-2x 3 +4X4=O
- 2x 1 + 8X2 -- 2x 3 +4x4=O
- Xl +4X2
=0
La matrice dei coefficienti del sistema è
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 1 17
o O 1-2
-1 4 -2 4
-2 8 -2 4
-1 4 O O
O 1
Calcoliamo p(A). Il minore
= - 4 è non nullo. Orliamo tale
4 -2
minore in tutti i modi possibili.. Si ha:
o O 1 O O 1
-1 4 -1 4
-1 4 -2 - ={} -1 4 -2 - =0
-2 8 --1 4
-2 8 -2 -1 4 O
o 1 -2
4 -2 4 =0 (3 a colonna= -2. 2 a colonna)
8 -2 4
O 1 --2
1 -2
4 -2 4 =4 =0
--2 4
4 O O
onde p(A) = 2 e il sistema dato è equivalente al sistema=
{ X3 --2x4=O
-Xl +4X2-X3+ 4 X4=O
Abbiamo n-p=4-2=2 soluzioni 51,52 che formano la base.
1° Passo. Poniamo xl=l, .)4=0. Si ha X3=O, X2= : e SI=(I' : ,o,0)
2° Passo. Poniamo Xl=O, X4= 1 e si ha: x3=2, X2=O cioè 82=(0,0,2,1).
118 Capitolo 2
Esempio 31. Consideriamo in particolare il sistema
allx1 + ... +alpXp + al p + l X p+ 1 =0
(28)
a p lXl + ... + appXp+ a pp + l X p+ 1 =0_
di p equazioni in p incognite, per il quale supponiamo ancora
alI...... al p
o
apI ........ a pp
In base alle considerazioni precedenti esiste p + 1 -p = 1 soluzione s del si-
stema tale che ogni altra soluzione è del tipo ÀS. Chiaramente ogni altra solu-
zione soddisfa alle stesse proprietà. Infatti se s I è Wl' altra soluzione allora s' = A5
e s = A. I S I dove A, I = e quindi tutte le altre soluzioni sono proporzionali a
À
s'. lndichiamo con bj il minore d'ordine p che si estrae dalla matrice del siste-
ma (28) escludendo la colonna j - esima. Si ha allora
alI .......... a1p
b p + l =
o
apI....... £lpp
onde la (p + I)-pIa b = (bt, - b2, b3,... .:.( -lfb p + 1) non è nulla. Vogliamo mo-
strare che questa (p+ l)-pia risolve il sistema. Per ogni intero i, 1 '5:i < p, si ha:
an ai2 ...... aip aip+l
a11 a12 ........ alp alp+l
=0
apI apI...... a pp a pp + l
poiché nella relativa matrice la prima riga è uguale ad una delle successive. Quindi
sviluppanqo il deteIDÙnante secondo la pri a riga si ha:
anb 1 -Qi 2 b 2 +... + (-1Y'+2 a ;p+ lb p + 1 =0
onde l' n-pIa CbI, - b2, b3,...,( - lfb p + 1) è soluzione del sistema lineare. Si po-
teva giungere alla medesima conclusione sostituendo, nel sistema, a x p + 1 il va-
lore (-lY'b p + 1, ricavando con la regola di Cramer le rimanenti incognite e
applicando. le proprietà 1 e 2 della proposizione 7. Lasciamo i dettagli allet.tore.
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 119
Osservazione 43. Una base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare
omogeneo AX = O, sÌ. può anche determinare con il metodo di eliminazione di
Gauss.. Infatti, se R è la matrice a scalini ridotta equivalente ad A e R}{= O è
il sistema ridotto equivalente a AX = O, ponendo nelle (5) del capitolo I tI == 1,
t2=0, ..., th=O e poi t1=0, t2= 1, t3=0,..., t" =0,...., tl=O,..., th-l=O, t1t= 1
si ricavano immediatamente h = n - p(A) soluzioni del sistema RX = O che sono
una base dello spazio delle soluzioni del sistema AX = o.
12. Altri modi di introdurre il determinante di una matrice
In questo paragrafo vedremo altri due modi di introdurre la nozione di
determinante.. Noi abbiamo preferito introdurre la definizione di determinante
con lo sviluppo di Laplace perché è il metodo con cui si calcola praticamente
un determinante ed inoltre esso consente di dimostrare facilmente le proprietà
dei determinanti.
Definizione. Una permutazione dell'insieme di interi {1 ,2,....,n J è una n - pIa
ottenuta disponendo tali interi, in un ordine qualsiasi) senza ripetizione 4 .
Esempio 32. Le permutazioni di {1,2,3} sono (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3),
(2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).
È un facile esercizio provare che il numero delle permutazioni di {l,.....,n}
è n! = n(n - l )(n - 2)...2 · l' [Esercizio 25]. Per denotare una qualsiasi permuta-
zione dell'insieme {l,...,n) scriveremo Ul,...Jn). Si dice che nella permutazio-
ne Ul,....Jn) c'è un'inversione se un intero più grande precedoe un intero più
piccolo, vale a dire j/z > jk con h < k. Il numero totale di inversioni di una per-
mutazione si può facilmente determinare considerando dapprima il nUmero degli
interi che sono minori dijl nella permutazione, poi considerando il numero de-
gli interi" escluso jl, che sono minori di j2, poi il numero degli interi, esclusi
il ejz, che sono minori dij3 e così via fino ajn-l. La somma di questi numeri
sarà il numero totale di inversioni nella permutazione.
Esempio 33. La permutazione .(3;4,2,1) di (1,2,3,4 J presenta 5 inversio-
ni 3 > 2, 3 > 1,. 4> 2, 4?, 1, 2> 1.
Definizione. Una permutazione si.dice pari se il numero totale di inversioni
è un intero pari e dispari altrimenti.
4 Più precisamente, con rlgore algebrico, una permutazione dell'insieme S == { 1,.... n} è un t ap-
plicazione biettiva di S in. sé stesso.
120 Capitolo 2
Esempio 34. La permutazione (1,3,5,4,2) di,t 1,2,3 4,5) è pari poiché ha
4 inversioni. La permutazione (1,3,4,5,2) è dispari poiché ha 3 inversioni..
Consideriamo la matrice n x n
alI...... aIn
A=
anI .... a nn
Con il termine prodotto dedotto da A intenderemo ogni prodotto di n elementi
di A, tali che qualsiasi due non stanno sulla stessa riga o sulla stessa colonna.
1 2 3 4
5 7 8 9
Esempio 35. SeA=
6 Il 17 13
14 15 12 lO
I prodotti J IO 7. 17. lO, 2. 5 · 17" lO, 4. 8 · 6" 15 sono dedotti da A mentre
:L: 2 . 17 · lO, 5. 11 · 3 . 9, 6" 15 . 8 · 13, 2. 8 · l-l · lO no.
In generale i prodotti dedotti hanno la forma aUla2j2u.(!Idn (dove Ji,...jn)
è: una permutaiion dell'insieme (l,...,n J. Con il termine prodotto dedotto con
segno ila'A futend'eremo un prodotto dedotto a]jlaZj2...anjn con il segno + o -
secondo che, rispettivamente, Ul,...jn) è unapeimutazione di classe pari o dispari.
Esempio 36. Data la matrice dell'esempio 35 il prodotto 1 .. 7. 17. lO è
del tipo alI a22 a33 Q34 e la permutazione (1,2,3,4) è pari onde il segno è +.
TI prodotto 2. 5 · 17. lO è del tipo a12 a21a33 a44, la permutazione (2,1,3,4) è di.
spari onde - 1 · 7 · 17 · lO è un prodotto dedotto con segno da A. Infine
-4. 8 · 6. 15 è un altro prodotto dedotto con segno da A.
Il seguente teorema fornisce un secondo modo di introdurre il determinante.
Rimandiamo la dimostrazione ai complementi..
Teorema 44. Sia A una matrice quadrata. .Allora det(A) è somma di tutti i
prodotti dedotti con segno da A.
Dim. [Esercizio 31].
Possiamo inIme interpretare il determinante come l'unica funzione o ap-
plicazione; dall'insieme Mn(k) delle matrici n X n aI campo degli scaIari k, inva-
riante per trasfonnazioni elementari di Mn{k) e il cui valore sulla matrice identica
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 121
sia 1. Supponiamo che il campo k abbia caratteristica diversa da 2 (cioè che
2=2. lk Ok). Denotata con det: Mn(k)-+k l'applicazione che associa ad ogni
matrice A il suo determinante si ha:
Teorema 45. det è f'unica applicazione «>: Mn(k)-+ k che soddisfa alle seguen-
ti proprietà:
1) Se una matrice B si ottiene dalla matrice A moltiplicando tutti gli elementi
di una riga di A per una costante À. non nul/a si ha cP(B) = À,CP(A)
2) Se nella matrice A si scambiano tra loro. due righe, si ottiene una matrice
B- tale che tf>(B) = - cp(A)
3) Se una matrice B è ottenuta da A aggiungendo ad una riga il multiplo di
un'altra riga allora <l>(B)= <l>(A)
4) q,(In) = l.
Quindi det è ['unica applicazione invariante per trasformazioni elementari
su Mn(k) il cui valore sulla matrice identica è l.
Dim. Innanzitutto det verifica le proprietà 1), 2), 3),4) [Prop. 7 e 12]. Inoltre
osserviamo che dalla l) segue che se A è lma matrice con una riga nulla allora
(A) = o. Infatti moltiplicando tale riga per 2 si ha tP(A) = 2Q>(A) onde cP(A) = O.
Ora se applichiamo ad A l' goritmo di riduzione (9) del capitolo I, chè con si..
ste in un numero finito di trasformazioni elementari del tipo 2) o 3) si ha
tP(A) = (-l)itP(S) dove S è la forma a scalini di A e i è il numero scambi
di righe effettuati nell'algoritmo. Se proviamo che <I>(S) = det (8), poiché det A =
= (-I)idet S, abbiamo dimostrato il risultato. .
La matrice S è triangolare [Es. 9, Cap.. I] onde
LJ 11 ...................
o b Z 2. . . . . . . . . .. . .
s= O O b 33 ...... .
O O.. . .... b nn
.
Se fosse bii = O per un i, avrebbe una riga nulla e quindi q,(S) = det (S) = o.
Se det S=bl1 h z2 ,..., bnll O riducendo, con l'algoritmo (9.b) del capitolo I, L
a forma a scalini ridottaR (vale a dire applicando un numero finito di trasfor-
mazioni elementar.i del tipo 1) e 3) si ha R=In [Teor. 18, Cap. I e Prop. 20,
Cap. 111. Onde .<p(S) = b 1 1...b nn det .E n = bil...b nn = det S per la 4). Cioè la tesi.
122 Capitolo 2
.
Osservazione 46. Il teorema precedente fornisce quindi una definizione assio-
matica di determinante. Tale definizione può essere espressa in altri modi equi-
valenti [Esercizio 38]. .
13. Esercizi e complementi
1. Calcolare i seguenti determinanti e dire in quali casi 1e corrispondenti
matrici sono invertibili:
1 2 -1 O 1 2
a) b) c)
4 1 3 O 1 1
2 1 2 1 2 3 a O a
d) --1 O 3 e) 6 5 4 f) l O b
5 7 4 7 7 7 O 3 O
1 2 -1
2. Calcolare --l O 3 sviluppando secondo la seconda riga e
4 5 1
poi secondo la prima colomla.
3. Calcolare i seguenti determinanti:
1 2 -3 7 -1 2 3 4
2 O 1 4 1 O 1 2
a) b)
5 O 2 3 3 2 O 1
-1 O 3 6 4 l 1 2
13 6 -7 1 3 O O O
O 6 1 1 O -3 O O
c) . d)
O O 5 2 O O 7 O
O O O 1 O O O 4
4. Calcolare il determinante della matrice A = (aij) n x n dove
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 123
a..- { (--li+ j se i j
v-
a se i>j
5.. Calcolare il determinante della matrice A = (aij) n X n dove
alj= { - 1)1 se i=j
se ir=j
6. Usando le proprietà dei determinanti trovare un semplice motivo per
cui i seguenti determinanti sono nulli:
1 2 3 1 1 l O O O
1 2 3 2 3 4 1 2 3
-1 O 1 ) 2 2 2 --1 O 3 ,
4 -l 3 1
1 3 5 1 -1 2
5 O 5 2
4 l 3 2 O 4
7 3 lO 3
5 4 8 3 2 6 )
8 2 lO .4
2 5 -1 6 ... 1 O 3 4 1 3 5 1
3 4 O 7 2 2 -6 5 2 2 2 2
7 1 2 lO 1 l -3 7 O 1 1 O
1 8 3 12 , 2 1 -6 2 3 7 9 3
1 2 3 4 -1 O 2 1
-1 O 2 1 1 5 7 1
7. Perché si ha - '1
1 5 7 l 1 2 3 4
O 2 4 8 O 2 4 8
8. Dimostrare, in modo analogo alla proposizione 12, che se A = (aij) e
aij = O per j < n - i allora det A === ( - l)n ai,n - i + l..
9. Calcolare con l'aIgoritmo di riduzione i seguenti determinanti:
124 Capitolo 2
l 2 1 3 7 5 2 1 1
-1 O 3 4 1 2 3 7 1
2 1 2 , --1 2 1 , 5 2 3 ,
4 3 2 1 O 2 1 3
5 7 Il l O 5 7 4
-1 O 3 8 I 2" 3 5
4 1 2 1 , -1 2 2 Il .
lO. Determinante di Vandermonde. Date n costanti al,...,4n si dice di
Vandermonde il determinante della seguente matrice n X n (n;::: 2):
1 al at di-l
1 a2 -1
det A =
1 a n tG -1 .
Provare che det A= II (ai-aj). (Sipuòprovare!'assertoperinduzioneeap-
i>j
plicando la prima parte dell'algoritmo di riduzione relativamente alla prima co-
lonna di .A).
Il. Calcolare i determinanti delle seguenti matrici a blocchi:
l 2 1 5 7 l 3 7 O O
-1 O 3 Il -2 2 5 8 O O
2 l O 5 8 Il 4 l O O
O O O 1 2 13 17 21 2 1
O O O 3 4 , 4 9 11 3 5
12. Date le seguenti matrici:
1 O O 2 1 1 -7 4 1
a) 5 2 3 b) -3 1 4 , c) 2 3 1
-1 O 7 2 l 3 5 7 2
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 12
1 O O 1 1 5 7 1
1 2 5
4 l 2 2 3 2 4 -1
d) 3 4 Il , e) f)
5 2 O O 2 1 2 1
5 7 19
O l 3 4 6 8 13 1
determinare le relative matrici complementari e ]e matrici aggiunte. Quindi di-
re quali tra di esse sono invertibili e determinare le relative inverse.
13. Risolvere, se possibile, con la regola di Cramer i seguenti sistemi lineari:
5Xl + X2 + X3 + X4 = O
14. Dimostrare che se A è una matrice triangolare superiore, allora A-l
è triangolare inferiore.
15. Determinare tutti i minori di ordine 3 della matrice
{ 2x1-3x2= 2
a)
5Xl +2xz=-3
2x+3y- z=o
c) 3x- y+4z= l d)
x-4y+5z=J
b)
4x+2y = 1
5x--2y+z=O
3x+ y-z=2
2xl - X2 + X3 - X4 = l
Xl + X2 - X3 + 2x4 = O
3 X I- 2x2 +2x3 - x4=2
lo
1 -1 O 3
2 5 2 5
A=
3 7 O 1
4 l 1 4
16. Determinare, calcolandone i minori, il rango della matrice
1 -1 7 5
A= 2 O 4 2
3 -1 Il 7
17.. Calcolare con }'aIgoritmo di riduzione il rango della matrice
126 Capitolo 2
2 -1 3 O
A= 2 O 2 2
6 -1 7 4
18. Dire, utilizzando il teorema di Rouché-Capelli, se i seguenti sistemi
lineari hanno soluzioni e nel caso calcolarle:
a)
2x 1 - 3X2 + X3 - X4 = 4
3Xl + 2x 2 + X3 - 3X4 = 1
b)
al - X2 + 5X3 + 2x4 = 7
5Xl + 2x2. + 4X3 + 3X4 = 2
-7XI-IOX2+8x3- X4= 13
5Xl + X2 - X3 -t. X4 = 3
2xt-- 5X2 +4X3 - 6X4=6
19. Calcolare il rango della matrice
1 2 5 7
-1 4 19 20
-1 O 3 2
O 2 8 9
usando il teorema degli orlati.
20. Dimostrare che m n-pI . di costanti sono linearmente dipendenti se
e solo se una di esse è combinazione lineare delle rimanenti. Più precisamente
se rl,....,r m sono m n:-ple e À.1rl + ... +A.mrm=O con Ài;éO per un i, ism, allora
fi = J11 r I + ... -l J.1i -1 fi -1 + Ili + 1 li + 1 +. ... + J.lmrm, e viceversa.
21. Data la matrice:
l 2 1 3
1 5 2 4
A=
3 7 2 5
13 7 2 lO
verificare che det A = o. Determinare Al, A2, A3, non tutti' nulli tali che
A,lft ;:. A2f2 + À.3r3 + À.4r4 = O. (Basta determinare una soluzione non nulla del si-
stema lineare omogeneo A X = O)..
22. Determinare, con il metodo del paragrafo 10, le soluzioni del sistema
lineare dell'esercizio 18.a).
Determinanti e soluzioni dei sistemi di equazioni lineari 127
23. Dati i sistemi lineari:
a)
x+ y+ z=3
2x+ y-- z=2
3x+2y-2z=3
b)
2x+5y-7z=O
3x+2y-4z= 1
-5x+2y+4Z= 1
Dimostrare che a) e b) hanno le stesse soluzioni e determinare le combinazioni
lineari delle equazioni di a) che danno le equazioni di b).
24. Determinare una base delle soluzioni, se esiste, dei seguenti sistemi
lineari omogenei:
y+ z:::::O 2x 1 - 3X2 + X3- X4=O
-2x + z=o 7Xl - 3X2 + 5X3 + X4=O
a) b)
x+4y- z=o Xl;- X2 + X3+ X4=O
.- x+2y-4z=O Xl - 9X2 - X3 - 5X4=O
xl-2x2+3x3- X4=O
c) 2xl+ X2- X3- 2x 4=O.
3Xl - Xz + X3 + X4 = O
25. Dimostrare che il numero delle permutazioni di [1,2t...,nJ è.nl
26. Stabilire se le seguenti permutazioni dell'insieme (1 2,3,4J sono pari
o dispari: (1,2,3,4), (4,3,2,1), (3,2,4 1), (2,3,4,1), (4,2,1,3).
27. a) Determinare tutti i prodotti dedotti dalla matrice:
o 2 O 5
-1 O 3 2
A=
1 2 Q O
3 5 7 1
b) Verificare che det A è somma di tutti i prodotti dedotti con segno da A.
28. Provare, senza usare il1 o teoreIna di Laplace, che l'applicazione det:
Mn(k)--"k soddisfa le proprietà del teorema 45. (Si può provare l'asserto per
induzione. La dimostrazione della proprietà l è facile. La dimostrazione della
proprietà 2 è facile se le righe che si scambiano sono diverse dalla prima riga..
Altrimenti è sufficiente dimostrare l'asserto relativamente ad una matrice B che
si ottiene da A scambiando la l a e la 2 a riga. In tal caso sviluppando i comple
128 Capitolo 2
menti algebrici della prima riga ancora secondo la prima riga si verifica facil-
mente che si ottengono combinazioni lineari di minori (n - 2) X (n - 2) con gli
stessi coefficientL La proprietà 3 si dimostra agevolmente una volta mostrato
che se B ha due righe uguali det B = O. E questo si deduce facilmente daI1a pro-
prietà 2. La proprietà 4 è di immediata dimostrazione).
29. Sia 8j : .Mn(k)--'t-k la funzione definita da 8j(A)=a1j a{j+aZj a2j+
+ . .. + anj a/..;. Provare che j verifica le proprietà 1, 2, 3, 4 del teorema 45.
30. DimostIare il primo teorema di Laplace: se A == (aij) è una matrice
quadrata allora det A = ai} alI + ai2 a/2 + ... + ain a = alj alj + ... + anj a j, dove
1 < i S n e 1 sj S m. (In virtù degli esercizi 28 e 29 del teorema 45 si ha che det
A =av afJ+... +anj a j. Inoltre da quest'ultima uguaglianza applicata al caso
j = 1 segue che det A = det A t. Infine sviluppando secondo la i-esima colonna
A t si ha det A = det A t = ai! alI -t- ... + al n al n ). ,. .
31. Dimostrare il teorema 44, cioè che det (A) è somma di tutti i prodotti
con segno da A. (Basta provare che tale sorrllna verifica le proprietà 1 2, 3,
4 del teorema).
32. Primo teorema di Laplace generaJizzato. Sia A una matrice quadrata
e consideriamo un minore aI1...i p ' lI- ..J p . II minore ai p + l...ini p + l uJ n individuato
dalle righe e colonne residue Ì p + l,...,i n ejp+ 1,... jn si dice minore complementa-
r e e ( 1) 11 +... + ip T il +... + jp o :.:. pIe t al b .. di
-. . --. ail,....,ip. .h.u:J p c . . me o. ge. nco ait,...,ip'
h,...J p . Fissate m A le nghe (colonne) di mdiCl lt,...,lp Ul,...Jp), provare clie
det A è uguale alla somma dei prodotti di ogni minore di ordine p estratto dalle
righe (colonne) fissate per il corrispondente complemento aIgebrico. Tale som-
ma si dice sviluppo secondo le righe (colonne) il,...,i p .. (Si può procedere per
induzione utilizzando il primo teorema di Laplace).
33. Calcolare il determinante della seguente matrice sviluppando secon-
do la prima e la quarta riga
1 -1 2 1
2 O O 1
A=
3 2 3 l
4 1 1 O
34. Calcolare il determinante della seguente matrice sviluppando secon-
do la seconda e terza colonna
1 O 1 -1
-1 1 O 5
A=
O 2 l 7
2 3 4 1 .
,Determinanti e sol ioni dei sistemi di equazioni lineari 129
35. Secondo teorema di Laplace generalizzato. Data una matrice quadrata
A di ordine n e fissati in essa due insieme distinti di p righe (colonne) (isp < n),
è DUna la somma dei prodotti dei minori di ordine p estratti dal primo insieme
per i complementi algebrici dei corrispondenti minori del secondo insieme. (Sia
B la matrice quadrata ottenuta da A per sostituzione delle righe di indici hl,... ,hp
colle righe di indici i],...,i p . È chiaro.che in B vi sono almeno due righe uguali
onde det B = O. Basta a questo punto sviluppare det B con il primo teorema
di Laplace generalizzato).
36. Teorema di Binet. Siano A una matrice m x 11, B una matrice n x m
e C=.AB. Dimostrare che se m>n det C è nullo; se invece m:Sn det C è uguale
alla somma dei prodotti dei determinanti dei minori di ordine assimo m di
A per i determinanti dei minori corrispondenti di B, dove un minore di A ed
uno di B (entrambi di ordine m) sono corrispondenti se gli indici deI1e colonne
di A che individuano il primo sono anche gli 4Idici delle righe di B che indivi-
duano il secondo. ([,a dimostrazione è analoga a quella deUa Proposizione 18.
Consideriamo le matrici D= [ ':In ] e D' = [- n : ] Si ha
det C=det D=det D'. Si può svil ppa;re det D' secondo i minori cc>ntenuti
nella sottomatrice S di D I formata dane prime m righe. Se m> n questi minori
hanno tutti una colonna nulla e si ha det C == det D = O. Se m S n si ha la secon-
da parte dell'asserto).
5 O
37. Date le matrici A = [: : : ] e B = - 1 2
3 4
calcolare
det {AB} usando il teorema di Binet.
38. Provare che det può anche essere definita nel seguente modo: det è
l'unica applicazione g? : Mn(k) k che soddisfa alle condizioni l), 2), 4) del teo-
rema 45 e alla condizione 3 l). Se A, A " B sono tre matrici che differiscono
per una singola riga, sia la i-esima, e supposto che questa possa essere ottenuta
aggiungendo i corrispondenti elementi delle i-esime righe di A e A I allora
det B = det A -f- det A I . Le proprietà l), 2), 3/), 4) vengono sovente sintetizzate
dicendo che: det è l'unica applicazione bilineare alternante su Mn(lc) il cui valo-
re sulla matrice identica è l.
Capitolo terzo
Aspetti computazionali (cenno).
In questo capitolo esaminiamo alcuni aspetti computazionali della risolu-
zione dei sistemi lineari (e quindi del calcolo del determin.ante, dell'inversa e
del rango di una matrice).. Negli esempi concreti i sistemi -lineari sono spesso
risolti usando i calcolatori e in quest'ambito è di notevole importanza, usando
un qualsiasi metodo per risolvere un sistema lineare, il suo costo computazio-
nale, cioè il numero di operazioni aritmetiche richieste dal metodo. Inoltre i
calcolatori possono memorizzare un numero limitato di cifre decimali onde ar-
rotondano o troncano i numeri. Per esempio un calcolatore che conserva 8 ci-
fre decimaIi può memoriZzare 8/3 come 2,66666667 (arrotondamento) oppure
come 2,66666666 (troncamento). In ogni caso viene introdotto un errore detto
errore" di arrotondamento. Infine attualmente è p0ssibile usare sui calcolatori
i cosiddetti sistemi di Computer Algebra che permettono di mariipoIare"i sim-
boli oltreché i numeri. Questi sono i motivi per cui nel primo paragrafo' pren-
diaDio in'esame il costo computazionaIe dei vari metodi presentati nel testo,
neI' secondo paragrafo vedremo una variazione del metodo di Gauss e due me-
todi iterativi che permettono di mi zare gli errori di arrotondameIito, nel
terzo paragrafo faremo alcune considerazioni utili a trattare le matrici e i siste-
mi lineari a .coefficienti simbolici.
1. Costi computazionali
Nei capitoli I e II abbiamo visto metodi diversi per calcolare il detemli-
nante, l'inversa e il rango di una matrice e quindi per risolvere un sistema linea-
re. I metodi del capitolo I sono basati sulralgoritmo di riduzione (o sull'analogo
metodo di e limin azione di Gauss per risolvere un sistema lineare). I metodi del
capitolo II sono invece basati sullo sviluppo di Laplace, per calcolare un deter-
minante, e sulla regola di Cramer per risolvere un sistema lineare con Inatrice
dei coefficienti invertibile. Quindi per confrontare i costi computazÌonali dei
metodi dei capitoli I e II è sufficiente considerare un sistema AX'= B con det A ;é O
(cioè con matrice dei coefficienti invertibile).
132 Capitolo 3
Teorema l. Sia AX =B un sistema dove.A è una matrice n x n con determi-
nante non nullo.
a) Il numero di operazioni necessarie per deternlÈnare, con il metodo di elimi-
nazione di Gauss, J'unica soluzione del sistema è dato da:
n 3 n
-- + n 2 n101tiplicazÈoni o divisioni
3 3
n 3 n 2 5
-+---- n SOlnn1e o sottrazioni
326
b) Il numero di operazioni necessarie per determinare det A è
n 3 2n
---+---1 lnoltip/icazioni o divisioni
3 3
n 3 n 2 n
---+-
326
somme o sottrazioni
Dim. Ricordiamo che determinare ]'unica soluzione di .AX = B con il metodo
di Gauss equivale a ridurre la matrice completa A I del sistema a forma a scali-
ni ridotta con l'i!goritmo (9) del.capitolo I. Supponiamo, per semplicità, che
nel corso della rid o e.non siano necessari scambia.di righe. Questa ipotesi
è giustificata. dal fatto che gli scam i di righe su un calcolatore hanno un costo
computazionaIe notevolmente fuferiore ad un'operazione aritmetica. Descriviamo
schematicamente l' goritmo indicando, a sinistra, prima le matrici che si ot-
tengono rid cendo a zero gli elementi sotto il pivot della colonna 1,2,...,n-1
[aIgoritmo (9.a), Cap. I], poi.Je.matrici che si ottengono trasformando in 1 il
. . . t. _
pivot della colonna n -l,n - ,...2,1 e riducendo a zero gli el menti sopr:a di
esso [algor tmo (9.b), Cap. I] A'destra abbiamo indicato il numero di opera-
zioni necessarie per tali riduzioni. Nella discussione seguent . abbiamo raggrup-
pato le moltiplicazioni e le divisioni, sotto il nome di moltiplicazioni, che sono
più costose computazionalmente delle somme e sottrazioni, da noi chiamate en-
trambe somme. Nel diagramma che segue X indica un elemento da calcolare
mentre . indica invece un elemento che non viene calco1ato. Le dimensioni
delle matrici sono :n X (n + 1), poiché tali sono quelle di A ' .
Algoritmo (9.a), capitolo I: riduzione a forma a scalini
Aspetti computaziona/i (cenno) 133
1. . . .. . . .
O X X X X X
n + 1 moltiplicazioni ] per n -1 righe=
O X X ........ X X X n somme
.
.
.
.
.
. = [(n + 1 )(n -I) = n 2 -I moltiplicazioni
.
.
.
. n(n-l)=n 2 -n somme
.
..
O X X X X X
O X X X X X
2. . . . . - .
O . .. . . .
n moltiplicazioni ] per n-2 righe=
O O X X X X n-l somme
. .' . .
. . .
. . .. *
. . . .. _ [n(n - 2) '" (n - 1)2 - l moltiplicazioJ?i
* . . .
. . .. .
. .
. . . .
. . . . - (n-l)(n-2)=(n-l)2-(?1-1)
. . . .
. . . .
. . . .
O O X X X X somme
O ,O. X X X X
..........................
..........................
..........................
n .- 1. . . . . . .
O . . . . .
3 = moltiplicazioni J per 1 riga
O O . . . . 2= somme
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . _ [ 3 = 2 2 - l moltiplicazioni
. . . .
. . . .
.. . . ..
. . .. . :
.. . . . - :1
.. . .. . . 2=2 --2 somme
.. . . .. .
O O O . . ..
O O O O X X
Quindi il numero delle operazioni richieste per completare la riduzione a forma
a scalini è:
134 Capitolo 3
2 2 2 2 n(n+ 1)(2n+ l) n 3
Moltiplicazioni: n -1-. (n -1) +... + 2 + 1 - n =-. -- - n =--.+
6 3
n 2 5 .. 2]
+- --n [EsercIZIo .
2 6
Somme: [n 2 +(n-1)2+... + 12] _ [n+(n-l)+.... + 1] = n(n+ 1)(2n+ l)
6
n(n + l) n 3 n . ..
--..--. =-.. -- [EsercIZIo 1].
233
Algoritmo (9.b), capitolo I: riduzione a forma a scalini ridotta.
n-l. . . . . O X
O . . . O X
O O . . O X n moltiplicazioni
.. . .
. .
. .
. . . . n-l somme
. . 0& .
. . .. .
. . .. .
. . . .
. . .
. . . .
.. . .
O O O . O X
O O O O 1 X
n-2. . . . O O X
O . . O O X
O O . O O X n - 1 moltiplicazioni
. . . .
. . . .
. . .
. . . .
.. .. .. . n-2 somme
.. . . .
. .. .. .
. .. .
.. 0&
. . .
.
. . .
O O O ........ 1 O X
O O O O 1 .
...*.............. .......
Aspetti computazionali'{cenno} 135
2. . O O O O X
O 1 O O O X
O O 1 O O . 2 moltiplicazioni
. .
. .
. .
..
. . . 1 somma
. . .
. * ..
.
. . .
. . .
. . .
. . .
O O O 1 O .
O O O O 1 .
1. l O O O O X
O 1 O O O .
O O 1 O O .
.
.
.
. .
. . 1 moltiplicazione
.
. . .
. .
. . .
. .
. . .
. .
O O O 1 O .
O O O O 1 .
Quindi il numero delle operazioni per questa seconda fase è
n(n+ 1)
moltiplicazioni n + n -1 + ... + 2 + 1 =
2
n 2 n
-+- e
2 2
somme
(n -l)n
n.... 1 + n -- 2 + ... + 2 + 1 =
2
n 2 n
2 2
Quindi il costo totale per l' liminazione di Gauss è:
moltiplicazioni ( 3 + _.. n) + ( + ) = + _ ;
somme ( 3 - ;) + ( - ) = +f- n.
b) Per dimostrare le formule relative al determinante basta ripetere i calcoli,
fatti per ridurre a forma a scalini una matrice n x (n + l), per una matrice A
n X n. Si ottiene che per ridurre A a forma a scalini occorrono:
136 Capitolo 3
n(n -1)+ (n-l)(n - 2)+... +2=n 2 + (n _1)2+ ... t-l- (1 f-... + n)=
n(n + 1)(2n + 1) n(n + l) _ n 3 _
6 2 3 3
(n-I)2+(n-2i+...+l+l= n-l)n(2n-l) n 3 _!!_ +.!!...
6 326
moltipIicazioni o divisioni e
somme o
sottrazioni.
A questo punto basta aggiungere gli n-l prodotti degli elementi della dia-
gonale di .A e si hanno le formule dell'en'Q1lciato b).
Nelle applicazioni pratiche non è inconsueto dover risolvere sistemi lineari
con migliaia di equazioni in migliaia di incognite. Quindi i precedenti costi com-
putazionali assumono interesse per grandi valori di n. È un fatto ben noto che
per un valore molto grande della variabile, un polinomio può essere ben ap-
prossimato dal suo termine di grado più grande; cioè:
ao + alX+ ... -1- akx k - akx k per valori grandi di x [Esercizio 3]
onde il costo computazionale delI'algoritmo di Gauss è, per valori grandi di
3
.. Il
Il, apprOSSImatIvamente --.
3
Vediamo ora qual è il numero delle operazioni necessarie per calcolare detA
o per risolvere il sistema AX = B con la regola di Cramer, sviluppando i deter-
minanti con la regola di Laplace-.
Proposizione 2. Sia A una matrice invertibile. Per calcolare det A o per risol-
vere il sistema A.X = B, sviluppando i deterlninanti con la regola di I;aplace oc-
corrono al1neno n! prodotti e n! - 1 somme.
Dim. Basta osservare che i prodotti e le somme ottenuti con lo sviluppo di
Laplace di det.A sono i prodotti dedotti definiti nel paragrafo e le relative som-
me. Tali somme sorio tante quante sono le permutazioni di {l,... ,n }, cioè n!,
meno 1. Chiaramente il numero di prodotti è superiore, come superiore è il nu-
mero di operazioni per calcolare la soluzione di AX =B.
Riassumendo possiamo dire che per valori non piccoli di n (ad esempio
3
n 6) occorrono approssimativamente!!-.- operazioni per calcolare det A e ri-
3
solvere AX = B con il metodo di riduzione o di Gauss, mentre ne occorrono
più di n! con lo sviluppo di Laplace. Consideriamo vari valori di n e vediamo
3
la differenza tra E- e n! con la seguente tabella:
3
Aspetti computazionali (cenno) 137
n 6 8 lO 12 20 50
n 3 --
72 171 333 576 2.667 4 I ,667
3
n! 720 40.320 3.628.800 479.001.600 24xl0 18 3 x 10 64
,
--------..-.--
3
Come si vede nl. è molto più "grande di - . Per avere un'idea più con-
creta della differenza tra questi due numeri, immaginiamo di aver programma-
to 1m calcolatore per calcolare la soluzione di un sistema lineare 20 X 20 con
il metodo di riduzione e con il metodo dello sviluppo di Laplace. Supponiamo
che il tempo di calcolo sia di 10 6 moltiplicazioni per secondo. Approssima-
tivamente ci vogliono 2667/10 6 =0,003 secondi per calcolare il determinante
con il metodo di riduzione. Con il metodo di Laplace ci vogliono più di
(2,4. 10 18 )/10 6 =2,4. 10 12 secondi'o 76.103 anni. Invece nei determinanti (o si-
stemi) che si possono risolvere facihnente con carta e penna (diciamo al più di 4
equazioni in 4 incognite) la differenza tra il calcolo di det A (oppure della solu-
zione di un sistema lineare AX = B) con lo sviluppo di Laplace oppUre con il me-
todo di riduzione non è notevole.. In particolare se la matrice contiene molti zeri
oppure, se con trasformazioni elementari ci si può ridurre a questo caso, le ope-
razioni necessarie per lo sviluppo dì Laplace possono essere di numero inferio-
re a quelle del metodo di riduzione, come visto nell'esempio 15 del capitolo II.
Osservazione 3. Abbiamo visto nel primo paragrafo del capitolo I, un meto-
do di eliminazione delle incognite diverso dal metodo di Gauss per risolvere un
sistema lineare. Tale metodo (detto spesso di eliminazione di Gauss-Jordan)
è meno efficiente dell' eliminazione di Gauss. Infatti, con considerazioni anaIo-
3
ghe a quelle relative al Teorema 1, si prova che esso richiede n _ _.!!.- 50m-
2 2
3
me o sottrazioni e '!- + n 2 _!!..- moltiplicazioni o divisioni; tali numeri sono
2 2
sempre superiori a quelli del Teorema 1 per tutti gli n 2= 3 [Esercizio 4].
2. Metodi di calcolo numerico
I metodi di calcolo numerico per risolvere un sistema lineare si dividono
in due classi, metodi diretti o esatti e metodi indiretti o iterativi. I metodi diret..
ti, se non vi sono errori di arrotondamento, nei calcoli, forniscono sempre, do-
po un numero finito di passi, la soluzione esatta. I metodi iterativi forniscono,
a partire da un' approssimazione iniziale della soluzione, una successione di ap..
138 Capitolo 3
prossimazioni della soluzione che, sotto certe condizioni, si avvicinano sempre
di più alla soluzione esatta. In questo paragrafo vedremo un miglioramento del
metodo diretto di eliminazione di Gauss e due metodi iterativi detti di Jacobi
e di Gauss-Seidel.
a. Eliminazione di Gauss con il metodo del pivot massimo.
Non è difficile programmare un calcolatore per risolvere un sistema linea-
re con il metodo di elinlinazione di Gauss [ 3, Cap. I]. Tuttavia tale metodo
presenta un problema computazionale. Se dividiamo per un numero piccolo che
è stato approssim.çtto, il risultato può contenere un errore di approssimazione
notevole- Per esempio 1/0,00074 1351 mentre 1/0,0007 1429. Chiaramente
tale errore si propaga ai calcoli successivi.. Per evitare questo problema si può
introdurre una variazione al metodo di Gauss che è concepita per minimi zzare
gli effetti cumulativi degli errori di arrotondamento nel risolvere i sistemi linea-
ri.. L'idea è molto semplice: dividere per l'elemento di valore assoluto massimo
nella colonna in modo da evitare, nei limiti del possibile la divisione per un nu-
mero piccolo.
Consideriamo il metodo di eliminazione di Gauss, basato sull'algoritmo
(9) del capitolo I per ridurre una matrice a forma a scalini; (9.a), e poi a forma
ridotta, (9.b). Nell'algorit o (9..a) sostituiamo il passo 1 con il seguente:
Passo 1. Si individui la prima colonna non nulla (partendo da sinistra) di A
e nn elemento a di valore assoluto.... assimo 'tra quelli di tale colonna. Sia rk
la riga che contiene a.
Tutti i passi successivi e l' aIgoritmo (9. b) restano invariati.
Il metodo di eliminazione di Gauss con tale variazione si dice metodo di elimi-
nazione di Gauss con il pivot D;18ssimo.
Esempio 1. Risolviamo il seguente sist.ema usando l'eliminazione di Gauss
con il pivot massimo:
6Xl+6x2+2x3=12
3Xl - a2 + X3 = Il
Passo 1. La matrice completa del sistema è
3Xl -I- 2x2'- X3 = 1
3 2 -1 1
@ 6 2 12
3 -2 1 Il
Aspetti computazionali (cenno) 139
Nella prima colonna l'elemento 6 ha il valore assoluto massimo.
Passo 2. Scambiamo la prima con la seconda riga
r 2 <H>rl 6 6 2 12
3 2 -1 1
3 -2 1 Il
Passo 3. Annulliamo gli elementi sotto il pivot 6.
6 6 2 12
1
r2 -).r2 - --- rI O -1 --2 -5
2
l O -5 O 5
r3 r3 - -..- fI
2
Passo 4. Escl1. .diamo la prima riga e applichiamo l'algoritmo alla sottomatri-
ce delle righe rimanenti
6 6 2 12
O -1 -2 -5
O @ O 5
- 5 è l'elemento di massimo valore assoluto nella seconda colonna.
6 6 2 12
r2 <Ho r3 O -5 O 5
O -1 -2 -5
6 6 2 12
O -5 O 5
1 O O -2 -6
r3 r3 -- r2
5
e la matrice è a scalini. Il sistema dat.o è quindi equivalente al sistema:
140 Capitolo 3
6Xl + 6X2 -I- 2X3 = 12
-5X2
5
-2x 3 = - 6
Risolvendo tale sistema con la sostituzione a ritroso si ha 1a soluzione:
Xl = 2, X2 = - 1) X3 = 3
L'esempio successivo mostra concretamente come la tecnica del pivot massimo
sia superiore ai fini della determinazione della soluzione di un sistema, rispetto
al normale metodo di eliminazione di Gauss. I calcoli sono stati fatti su un cal-
colatore che arrotonda a tre cifre significative. Ciò vuoI dire che se la quarta
cifra del numero è > 5 si aggiunge 1 alla terza cifra; altrimenti il numero è tron-
cato a tre cifre. Ad esempio 2. viene scritto 0,667 e ...!.- 0,333. Ricordiamo
3 3
inoltre che su un calcolatore le cifre significative si contano a partire dalla pri-
ma cifra non nulla. Ad esempio un calcolatore che arrotonda a tre cifre signifi-
cative memorizzerà come 1,33, J.._ come 0,33 e l. come 0,0769.
3 3 13
Esempio 2. Consideriamo il sistema
. . O,OOO2x 1 - O,00031x2 + O,Ò017x3 = 0,00609
5Xl-
8Xl+
7X2+
6X2+
6X3 = 7
3X3 = 2
La soluzione esatta è Xl = .-- 2, Xz = 1, X3 = 4. Risolviamo dapprima il si-
stema con l'eliminazione di Gauss senza il pivot massimo, arrotondando a tre
cifre significative.
0,0002 -0,00031 0,00 17 0,00609
5 -7 6 7
8 6 3 2
0,0002 -0,00031 0,0017 0,00609
5
r2-+- r Z - - rl O 0,75 - 36,5 -145
0,0002
8 O 18,4 -65 -242
f3-4 f 3 0,0002 rl
Aspetti computQZionali (cenno)
0,0002 -- 0,00031 0,0017 0,00609
O 0;75 - 36,5 -- 145
18,4 O O 829 3310
f3-+ r 3 -- r2
0,75
0,0002 -0,00031 0,0017 0,00609
O 0,75 - 36,5 -"145
1 O l 3,99
r3 --- f3 O
829
fl rl - 0,0017 r3 O OOO2 - 0,00031 O - 0,000693.
r 2 --Jo r 2"'" 36,5 f3 O Q,75 O- 0,63.5
O O 1 3,99
0,0002 -0,00031 O - 0,000693
1
r 2 -J.-._.- r2 O 1 O 0,847
Q,75
O ° 1 3,99
rt--)ofl + 0,00031 fz 0,0002 O O - 0,00043
O l O 0,847
O O l 3,99
l 1 O O -2,15
rl-+ ft.__ rl
0,0002
O 1 O 0,847
O O 1 3,99
che dà la soluzione approssimata Xl= -2)15, x2=O,847, x3=3,99.
Applichiamo ora il metodo di Gauss con il pivot massimo.. Si ha:
142 Capitola 3
0,0002 -0,00031 0,0017 0,00609
5 --7 6 7
8 6 3 2
rl r3 8 6 3 2
5 -7 6 7
0,0002 -0,00031 0,0017 0,000609
8 6 3 2
5
rZ-.-+r2 - - rl O -lO 8 4,13 5,75
8 ,
0 OOO2 O - 0,00046 0,00163 0,00604
r3 r3 - -- fi
8
8 6 3 2
O 10 8 4)13 5)75
. ,
r3-;r3 - 0,00046 O O 0,00145 0,00058
r2
10)8
8 6 3 2
O 10,8 4,13 5,75
1 O O 1 4,00
r3 r3
0,00145
fl-4rl - 3r3 8 6 O - 10,00
r2-;r2 -4,13r3 O -10,8 O - 10,8
O O 1 4,00
8 6 O -- lO 00
1
f2 - f2 O 1 O 1
10,8
O O 1 4,00
rl-+rl -- 6r2 8
O
O
1 1
rI - rI
8
O
O
Aspetti copzput ionali (cenno) 143
O O -16,00
l O 1
O 1 4,00
o
o
.-200
,
1
o
1
o
1
4,00
Quindi con il metodo del pivot massimo si è ottenuta la soluzione esatta fino
a tre cifre significative.
Osservazione 4. Ci sono alcune matrici per cui un piccolo errore di arroton-
damento, porta sempre a un grande errore nella soluzione del sistema effettua-
to, tali matrici si dicono mal condizionate. C'è poco che si possa fare compu-
tazionalmente per evitare grandi errori nella soluzione dei sistemi lineari la cui
matrice completa è mal condizionata.
Esempio 3. Consideriamo il sistema
{ Xl + X2=-1
Xl + l,005x2=O
La soluzione, come si vede facilmente, Xl = 201, X2 = - 200. Se i coeffi-
cienti sono arrotondati a tre cifre significative otteniamo il sistema
{ Xl + X2 = 1
Xl + 1,Olx2=0
che ha soluzione Xi = 101, X2 = - 100. Come possiamo vedere un piccolo cam-
biamento nei coefficienti ha provocato un grande cambiamento nella soluzione.
L'e limin azione di Gauss è normahnente' la migliore tecnica per risolvere
un sistema di equazioni lineari... Tuttavia) quando il numero di equazioni è grande,
ad esempio 100 o più, e quando la matrice è sparsa, cioè ha pochi elementi non
nulli i metodi iterativi possono essere più efficienti. Esaminiamo due di tali
metodi relativamente ad un sistema lineare di n equazioni in n incognite
144 Capitolo.3
(1)
a n lXl + .... + annX n = b n
all X l +.... +aIn x n=b 1
Supponiamo che gli elementi della diagonale della matrice A = (aij) dei coeffi-
ci enti del sistema, 011,a22,...,a nn , siano non nulli e che il sistema abbia esatta-
mente una soluzione.
Innanzitutto si riscrive il sistema (1) ricavando Xl dalla prima equazione, X2 dalla
seconda equazione,..., X n dall'ultima equazione (ciò è possibile in virtù dell'i-
potesi au;:O per ogni l). Si ha:
l (b l - al2X2 - al3X3 - ... - al n X n )
Xl=
alI
1 (b2, - a21Xl _. QZ3X3 - ... - a2n X n)
X2
(2) a22
.......... .........................
1
(b n - a n lXI - an2X2 - .... -.. a nn - l X n .. 1)
X n -,
a 11n
b. L'iteraZÌone di Jacobi.
Il passo iniziale nell'iterazione di Jacobi è sostituire un'approssimazione
della soluzione, che chiameremo O-esima, nei membri di destra delle equazioni
(2). Se non si ha a disposizione di meglio sostituiamo XI =O,...,xn=O. Si otten-
gono casi altri valori di X1,....,X n che costituiscono la prima approssimazione
della soluzione. La seconda approssimazione della soluzione è ottenuta sosti-
tuendo la prima approssimazione nei membri di destra delle equazioni e rica-
vando i nuovi valori delle variabili a sinistra. In generale la k-esima approssi-
maZione.è ottenuta sostituendo la (k-I)-esima approssimazione nei secondi
membri di (2) e ricavando i nuovi valori delle variabili a sinistra. In questo mo-
do si ottiene una successione di approssimazioni che, sotto certe condizioni, si
avvicinano sempre di più alla soluzione esatta del sistema.
Esempio 4. Consideriamo il sistema
15x- y.+ z= 14
x+20y- z=59
x- 2y+ 30z=55
e supponiamo di usare un calcolatore che arrotonda a 5 cifre significative.
Aspetti computazionali (cenno) ]45,
Per. effettuare l'iterazione di J acobi lo riscriviamo nella seguente forma:
(3)
1
x=--- (14+y-z)
15
1
y=- (59--x+z)
20
1
z=- (55 -x+2y)
30
Sostituendo la O-esima approssimazione x=O, y=O, z=O alla destra di
(3) otteniamo la prima approssimazione
la
x=O,93333
y = 2,9500
z= 1,8333
Sostituendo questi valori nel secondo membro di (3) si ottiene la seconda ap-
prossimazione
2 2
x= 1,0078
y = 2,9950
z= 1,9989
Continuando in questo modo, otteniamo le seguenti approssimazioni
3 3
4
x= 0,99974
x= 1,0000
y=2,9996
y=3,OOOO
z= 1,9994
z =.2,0000
Cç>me è JaciIe. verificare, la soluzione esatta del sistema è x = 1, . y = 3, . z = 2;
abbiamo quindi ottenuto un'approssimazione accurata fino a cinque cifre:si-
gnificative della soluzione in quattro iterazioni.
Discutiamo, ora, una lieve modifica del metodo di Jacobi che spesso ridu-
ce il numero di iterazioni necessarie per ottenere un dato rado di precisi.onè.
Il metodo Viene' detto:
c. L'iterazione di Gauss..Seidel.
In ogni iterazione del metodo di Jacobi, la nuova approssimazione. viene
ottenuta sostituendo l'approssimazione precedente nei secondi membri delle (2)
e ricav do i nuovi valori di Xl,....,X n . Questi nuovi valori delle x, non sono tut-
ti calcolati simultaneamente; dapprima Xl è ottenuto dalla prima equazione, poi
X2 è ottenuto dalla seconda equazione, poi X3 ecc... Poiché i nuovi valori di x
sono in generale più vicini alla soluzione esatta questo suggerisce che una maggior
precisione può essere ottenuta usando i nuovi valori di x non appena vengono
determinati.
146 CapitDlo 3
Esempio 5. Consideriamo il sistema dell'esenlpio 4, sostituendo l'appros-
simazione iniziale x=O, y=O, z=O nel secondo membro della prima equa-
zione di (3). Si ottiene il nuovo valore x= 0,93333. Usiamo questo nuovo
valore immediatamente sostituendo:
x= 0,93333
y=o
Z=O
nel secondo membro della seconda equazione di (3).. Ciò fornisce il nuovo va-
lore y= 2,9033.. Usiamo questo nuovo valore diy immediatamente sostituendo
x=O,93333
y = 2,9033
z=o
nel secondo membro della terza equazione di (3). Ciò dà il nuovo valore di
z= 1,9958.. Così dopo un'iterazione completa abbiamo ottenuto la prima ap-
prossimazione
la
x=O,93333
y=2,9033
z= 1,9958
Applicando ancora l'iterazione di Gauss -Seidel si ottengono le approssimazioni
2 a
3 a
x= 0,9938
x= 1,0000
y=3,OOOl
y=3,OOOO
z=2,0002
z=2,OOOO
Abbiamo ottenuto unJapprossimazione, accurata fino a cinque cifre decimali
della soluzione in tre iterazioni invece che con quattro come nell'esempio 4.
A prima yista il metodo di Gauss-Seidel sembra essere un metodo miglio-
re che Piterazione di J acobi e in generale è così. Tuttavia, sorprendentemente,
esiste qualche sistema per cui l'iterazione di jacobi è più veloce dell'iterazione
di Gauss-Seidel.
I metodi di Gauss-Seidel e Jacobi non sempre funzionano. In qualche ca-
so infatti le soluzioni calcolate con uno o entrambi questi metodi, per quante
iterazioni siano fatte, possono non avvicinarsi mai alla soluzione effettiva del
sistema. In tali casi, le approssimazioni si dicono' divergere. Se, effettuando un
numero sufficiente di terazioni, la soluzione può essere ottenuta ad ogni grado
di precisione, esiderato, le approssimazioni si dicono convergere.
Osservazione 5. Chiaramente quando si risolve un sistema lineare con un me-
todo iterativo, esiste il problema di determinare l'iterazione a cui ci si può fer-
mare. Se sappiamo che le approssimazioni convergono ci si può fermare quando
i valori di due successive approssimazioni sono entro un fissato margine di tol-
leranza. Diamo ora alcune condizioni che assicurano la convergenza.
Aspetti computazionali (cenno) 147
Si dice che una matrice quadrata
(4)
A = (aij) = [ ai! a 1n J
anI a nn
ha diagonale strettamente dominante se il valore assoluto di ogni elemento del-
la diagonale è maggiore della somma dei valori assoluti dei rimanenti elementi
della stessa riga t cioè
I 1111 I > I a12.[ + I a13 I +... + I a1n I
I a22 I > I a21 I + I 023 l +. .. + I a2n )
l a nn I > I anI I + I a n 2 I -1--.... + I a nn -:1 I
Esempio 6. La matrice
8 -3 1
A=
5
3 -9
241
ha diagonale non strettamente dominante poiché nella seconda riga I 3 I =
= 3 < I 5 l + I - 9 ] = 14. Se però scambiamo la seconda riga con la terza ri-
ga, la matrice risultante:.
8 -3 l
241
5 3-9
ha diagonale stret.tamente dominante poiché
, 8) > I -3[ + Il}, 141 > 12 J + 111, [--91 > 151 + 131
.Una matrice quadrata (4) siriunet.rica (cioè tale che aij= aji) si dice definita po-
sitiva se i minori principali a1.ui,i...i, i= 1,...,n sono positivi, cioè
alI a12" a13
alI a12
al] = l alI I > 0, I >0, a{23, 123 = l!.22 Q23 >0,...
a12. 12 = a2!
a21 022
a31 032 a33
148 Capitolo 3
Teorema 6. L')Ìa AX = B un sistema lineare.
a) Se la Inatrice dei coefficienti A ha diagonale strett(l1nente dominante allora
i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel danno approssi111azioni convergenti alla soluzione.
b) Se.A è simmetrica definita positiva allora il metodo di Gauss-Seidel dà ap-
prossimazioni convergenti alla soluzione.
Omettiamo la dimostrazione del teorema che si può trovare in testi specia-
listici di calcolo numerico.
3. Metodo di calcolo aJgebrico e simbolico
Con i moderni sistemi di calcolo algebrico e simbolico (Macsyma, muMath,
Maple, R.educe, Axiom, Mathematica; ecc..) sf possono effettuare, su un calco-
latore, operazioni oltreché sui numeri anche sui simboli. Ad esempio si può cal."
colare il determinante di una matrice i cui elementi sono polinomi. Occorre quindi
spesso usare risultati della teoria delle matric-i, determinanti e sistemi lineari a
elementi in strutture più generali di quella di. campo; solitamente gli elementi
appartengono ad un anello commutativo con'.Identità.. Nel seguito esaminiamo
le principali proprietà che valgono ancora in tale ambito più generale.
a. Matrici, determinanti e sistemi lineari su un anello.
Consideriamo sempre matrici, determinanti e sistemi lineari a elementi in
1m fissato anello che supporremo commutativo con identità.. Anche le soluzio-
ni dei sistemi avranno componenti in tale anello. Iniziamo con le matrici.
1) Le definizioni di trasformazione elementare, matrice equivalente ad
un' altra matrice, matrice a scalini e matrice a.:.scalini ridotta [Par. 2 e 3, Cap.
Il continuano a valere.
2) L'algoritmo (lO) del capitolo l, permette di ridurre A aforma a scalini..
Osservazione 7. Se una matrice A è equivalente alla matrice B non è detto che
B sia equivalente ad A, cioè l'equivalenza di matrici non è una relazione di equi-
valenza.
Esempio 7. La matrice A = [: :] a elementi nell'anello degli in-
teri. è equivalente alla matrice B= [: : ](basta applicare rl-42rI, ad A)
Aspetti computazionali (cenno) 149
ma B non è equivalente ad A poiché ci si -rende subito conto che qgni trasfor-
mazione elementare su B determina una matrice i cui elementi sono tutti nume...
. .
n pan..
Non tutte le matrici A possono essere ridotte a forma a scalini ridotta, co-
me mostra il seguente esempio:
Esempio 8. La matrice B= [: : J a elementi nell'anello degli in-
teri relativi Z non può essere equivalente ad una matrice a scalini ridotta poiché
i pivot di quest'ultima sono 1, mentre ogni trasformazione elementare su B de-
termina una matrice i cui elementi sono tutti numeri pari.
3) Valgono tutte le opefazioni sulle matrici e le relative proprietà dei pa-
ragrafi 5 e 6 del capitolo I.
Osservazione 8. La formula dell'esempio 37 del Capitolo I, che determina
A=[ a c b dJ
l'inversa di una matrice contin.ua a valere nel caso in cui
ad - bc sia un elemento invertibile dell' anello.
4) Sipuò definire, allo stesso modo, la trasposta di una matrice e valgo-
no tutte le proprietà del paragrafo 8 del capitolò I.
Passiamo ora ai determinanti.
5) Si può dare la stessa- definizione, per il determinànte di una matrice
quadrata (a elémenti in un anello), introdotta nel paragrafo 1 del Capitolo II
e la definizione di determinante con i prodotti dedotti che scaturisce dal Teore-
ma del paragrafo lO del Capitolo .lI.
6) Valgono tti i teoremi di Laplace [l'eorr. 3 e 19 Esercizi 32 e35 Cap.lI].
7) Valgono tutte le proprietà del determinante viste nel paragrf!fo 4 del
Capitolo 'l..
8) Si possono definire allo stesso modo i minori e il rango di una matrice
A [Par. 5 Cap. IIJ. '
9} Il determinante si può calcolare per riduzione [Eserc!zit;J 15].. li deter-
min nte del pr:odotto. di due matrici è uguale al prodotto dei rispettivi deter-
minanti.
150 Capitolo j
lO) Si può definire l'aggiunta agg(A) di una matrice A e si ha:
detA
o
o
o det A ............ O
A · agg(A) =
o O ............ det A
Ne segue che:
l I) A è invertibile e vale formula (12) del capitolo II se e solo se det A
è un elemento invertibile dell'anello.
Supponiamo, nelle successive proprietà 12) e 13), che l'anello a cui appar-
tengono gli elementi dèl1e matlici sia. privo di zero divisori (cioè se a, b sono
elementi non nulli, allora ab è non nullo). Ad esempio l'anello Z degli interi
relativi e gli anelli k[XI,...,xnI dei polinomi su un campo k.
12) Valgono tutii i risultati del paragrafo 6 del Capitolo II, quindi il ran-
go può essere calcolatQ. per riduzione, ove si sostituisca /'aIgoritmo (9.a) con
[:lafgoritmo (10I del Capitolo 1 "[Esercizio 16].
13) Valgono tutti i risultati del paragrafo 7 del Capitolo Il, in particolare
il teorema degli orlati, con l'eccezione del Teorema 31. Si noti tuttavia che con-
tinua a valere il Coroilario 32 [Esercizi 18, 19:r 20, 21J.
Osservazione 9. Su un anello..qualsiasi non è vero che il rango di una matrice
coincide con il massimo :fiÙInero di righe o colonne linearmente indipendenti
[Esercizio 9]-..
Consideriamo infine i sistemi di equazioni lineari. È sùbito chiaro che per
risolvere un sistema lineare, qualunque metodo si usi, occorre, generalmente,
mvertire elementi per cui i relatiVi risultati dei primi due capitoli non si esten-
dono ad an ni. Tuttavia alcuni psuItati continuano a valere. Segnaliamo in par-
ticolare i seguenti.
14) Se det A è un elemento invertibile ne//'anello base, si ha ancora che
il sistema AX=B ha un'unica soluzione X=:A lB e vale la regola di Cramér
[T'eor. 22;1 Cap. IIJ.
Supponiamo, nelle successive proprietà 15) e '16),. che l'anello a cui appar-
tengono i èoefficienti, i temiini noti e'le .componenti delle soluzioni dei sistenii
lineari. considerati, sia privo di zero divisori.
Aspetti camputazionali (cenno) 151
15) Se-un sistema lineare ha soluzioni allora il rango della matrice incoln..
pleta è uguale al rango della matrice completa [Esercizio 23].
Ci si rende subito conto che non vale il viceversa di 15) (cioè non si può
estendere ad un anello il teorema di Rouché-Capelli), come mostra il seguente
esempIO.
Esempio 9. Il sistema lineare
{ X+Y=l
x-y=O
n9n ha soluzioni nell'anello degli interi relativi Z.. Infatti sommando la pri-
ma e la seconda equazione si ha 2x= 1 che non ha soluzioni in Z. Tuttavia
A = [ 1 l J e B = [ 1 1 1 J hanno rango entrambe ugualè a due.
1 -- 1 1 -- 1 O
16) Si possono determinare con una piccola v riazione del metodo di eli-
m'in azione di qaziss [Par. 4 Cap. Il tutte le oluzioni a va/ori- in u anello di
un sistema lineare omogeneo.a co.efficienti nello stesso anello. Infatti, liçzio il
sistema lineare omogeneo
(5)
allXl +... + alnX n = O
OmlXl +:.... + QmnXn = O
applicando a (5) la parte a) del metodo di eliminazione di Ganss, in cui si sosti-
tuisce !'algoritmo (9.a) con PaIgoritmo (lO) del Capitolo I, si ottiene il sistema:
ai,k,xi,kr + .. .. · = O
Se r = il, ij. sisteqla ha solo la'.soluzione nulla [EserciziQ 24]. Se r < n e x P1 , · .... ,x plz '
h + r= n, sono le incognite diverse da Xk 1 ,... · ,Xk r , sostitUiamo x P1 = cl 1 .... ,xPn = ct n
nel sistema, dove c = Oil k I Qi2k2. ..airkr. Con il proceclimento di sostituzione a ri-
troso pcaviamo:xk r da1l'ult a quazione (non .sono necessarie divisioni, poi-
ché tutti i coefficienti de l' equazione hanno c<;>me fattore airkr) e sostituiamola
nella penultima equazione. Poi ricaviamo Xk r _: 1 ga11'equazione così ottenuta
ail kixil k 1 '+ . · · .. . . . . .. . . .. .. .. . .. .. .. . . · .= O
Qi2k2Xi2k2 + .. · .. . · .. · .. · .. .. = O
(6)
152 Capitolo 3
(non sono necessarie divisioni poiché tutti i coefficienti dell' equazione hanno
come fattore ai r _ l k T _ 1) e sostituiamo nella precedente equazione e così vja fino
alla prima equazione. Si ottiene così l'insieme delle soluzioni:
Xkl = "L(tt,....,tl 1 ),...,Xk r = b(il,...,tl:), XPI = ctl,.",X Ph =Cth
dove 2; sono combinazioni lineari di t},....,tl1. a coefficienti nell'anello.
{ 3Xl +2xZ-X3+X4=O
Esempio lO. In Z sia dato il sistema omogeneo
2xl +5X2+X3-X4=O
{ 3Xl + 2x2-- X3 + X4=O
esso è equivalente aI sistema .. Ponendo nel si-
. l1xz + 5X3 - 5X4 = O
stema x3=33s, x4=33t si ha x2=-15s+15t e 3Xl=30s-30t+33s-
-33t=63s-63t onde le soluzioni sono xl=21s.-21t, X2= -15s+ 15t,
x3=33s, x4=33t.
Un altro aspetto dei sistemi di Computer Algebra è che essi permettono
di effettuare i calcoli in aritmetica razionale esatta, cioè rappresentano esatta-
mente un numero razionale (in particolare intero), senza effettuare arrotonda....
menti.. Ovviamente esiste 1m massimo numero di cifre (normalmente molto
grande) che è possibile rappresentare in dipendenza della memoria del calcola-
tore (comunque se tale .numero di cifre viene superato il calcol.atore non ap-
prossima ma semplicemente non termina il calcolo).
È opportuno quindi fare considerazioni teoriche su:
b. Matrici, determinanti e sistemi lineari su Q, Z e Zp.
Nel seguito, con il simbolo Zp, p numero primo, indicheremo il cam po de -
gli interi modulo p. Ricordiamo dall'algebra che in Zp{ O, I,...,p -1)
le operazioni sono definite da fii + ii = F se r è il resto della. divisione di m + n
per p e mn - 'f se r .è il resto della divisione di lfln per p..
Osserviamo innanzitutto che in aritmetica esatta, su Q o Z, ogni operazio-
ne ha un costo computazionale dipendente dalla grandezza del numero. Inoltre
la grandezza dei numeri che si ottengono per calcolare (con qualunque meto-
do) un determinante; un rango, ecc., di una matrice non sparsa (cioè con pochi
zeri) tende a crescere con il numero dei passi effettuati e quindi il tempo di com-
putazione in aritmetica esatta cresce molto più rapidamente che nell'aritmetica
a,precisione finita. Ad. esempio spesso le matrici 50 x 50 sono già un limite per
il calcolo del determinante o del rango di una matrice. Invece se si effettuano
i calcoli sul campo Zp (p primo) il tempo di computazione delle somme e dei
prodotti è costante (in realtà tali calcoli si possono effettuare esattamente con
qualsiasilinguaggio; è sufficiente che p sia inferiore al massimo intero rappr.e..
sentato: esattamente nel linguaggio ).
Aspetti computazionali (cennlJ) 153
Acquistano quindi grande importanza ì risultati che permettono di ridurre
i calcoli da Q a Zp..
Qui vediamo solo. alcuni risultati che permettono tale riduzione, poiché un'a-
nalisi più approfondita (che è possibile) va oltre gli scopi del libro:
Lemma lO. Sia A= ( . a ij ) EMm.n(Q) e mi=m.c.ln..(bil,...,bin).
bij
..c)ia C=(Cij)EMm n('Z) dove Cij=aij i . Si ha p(A) = p(B).
Vij
Osservazione Il. Se m < n, per ottenere numeri n'li più piccoli è conveniente
considerare invece diA la matrice A t , n x m, ricordando che p(A) = p(A t ) (cioè
conviene razionalizzare le colonne)..
Dim. Basta osservare che C è ottenuta da A mediante le trasformazioni ele-
mentari ri- miri, i=l,....,fn. Sia ora C=(CU)EMm n(Zp) dove cij è la classe del
numero cij (cioè Cij = resto della divisione di Cij per p) in Zp. Allora
Proposizione 12. p(C) < p(C)=p(A).
Dim. Basta osservare ch e se D = (dij) è lma matrice quadrata a elementi in Z
e D=(dij) allora det D=det D onde det D;é.O implica det D O.
Teorema 12. Nelle ipotesi precedenti si ha:
a) se p(C)=Min {m,n} (cioèp(C) è massimo) allora p(C)=p(C)=p(A)..
b) se p>(ii(t; ICijIZ)*) allorap(C)=p(C)=p(A).
)=1 1=1
Dim. a) Discende immediatamente dal1a Proposizione Il osservando che si
ha sempre p(A) < Min{m,n}.
b) Omettiamo la dimostrazione che si può trovare in testi specialistici di cal-
colo numerico..
Esempio 11. V ogliamo calcolare il rango della matrice
12 17 93 12
- - -- -
17 31 87 15
A= 7 138 51 137
-- - - --
Il 13 7 lO
Il O 1 5
- .-
13 3
154 Capitolo 3
Poiché A è 3 X 4 conviene calcolare il rango della trasposta (o equivalentemen-
te razionalizzare le colonne di A). Si ha:
12 7 Il
- -- -
17 Il 13
17 138
- - O
A t = 31 13
93 51 1
_MO - -
87 7 3
12 137 5
- .-
15 lO
Ora lnl =Jn.c.ln.(17, 11 13)=2431, m2=m.c.m.(31, 13)=403, m3=
=m.c..m.(87, 7, 3)=609, m4=m..c.m.(15, 10)=30. Onde
1716 - 1547 2057 I 3 2
221 4278 O l 3 O
c= einZs c=
651 4437 203 I 2 3
24 4tl 150 4 I O
1 3 2
ora 1 3 () =3r=O onde p( C) = 3 e poiché p(A) < 3 si ha
1 2 3
p(C)= p(C)= p(A).
Esempio 12. Calcolare il rango della matrice
1212123 798543214 854321322
-7457231 55555678 1111Ìl11
c=
- 22345678 532748 -.739857
52431157 6328435 8765321
OsserViamo che in Z2
Aspetti cOlnputazionali (cenno)
. 1 O (}
I O 1
c=
O O I
I 1 1
155
e il minore
1 O O
O O I =I o onde p(Gj = 3.
ì I I
4. Esercizi e complementi
1. Dimostrare che
n(n + 1)
1 + 2 + 3 +.... + n =. (per induzione).
2
}2 + 2 2 + 3 2 +.... 1: n 2 = n(n + 1)( + .!.L (per Ìn-
6
2. Dimostrare che
duzione).
3. (Si suppone nota la nozione di limite). Dimostrare che se p "'() = 00 +
+alx+.... +ak , dove ak;Z:O, allora:
lim !(x) = 1
x- + a;) akx!'
Ciò. giustifica 1'approssimazione 00 + aln + ... + .akn k aknk, per n intero molto
grande:
4. Dimostrare che il metodo di eliminazione delle incognite, dette di tJa ss-
Jordan [Par. 1, Cap. I], applicato ad un sistema AX=B, dove A è una matrice
3 3
· . bil · hi d n n ... n 2 n
lllvertI e n x n, nc e e: somme o sottraZJ.om e 1- + n
2 2 2 2
mo1tiplicazioni o divisioni.
5.. Confrontaìeper n=5, n=10, n=50, n=100 i costi computa-
zionali dei metodi di Gauss (Teorema 1) e Gauss..Jordan (Esercizio 4).
6. Dimostrarè che per deterrfiinare l'inversa di una matrice A con l'algo-
ritmo di riduzione Qccorrono n 3 - 2n 2 + Il somme o sottrazioni e n 3 nlolti-
plicazioni o divisioni.
7.. Calcolare il numero di somme e moltiplicazioni necessarie per calcola-
re AB se A è una matrice m X n e B è u a matrice n xp.
8. Dimostrare che per risol¥ere un sistema lineareAX =B (A invert,ibile)
156 Capitolo 3
con la formula X =A-1B occorrono n 3 - n 2 somme o sottrazioni e n 3 + n Z molti-
pIicazioni o divisioni.
9. Risolvere i seguenti sistemi lineari usando l'eliminazione di Gauss con
il metodo del massimo pivot.. Usare un calcolatore tascabile e arrotondare ad
ogni passo a sei cifre significative..
a)
-4XI + 3xz - 2x3 = --1,4
3Xl- 8X2 + 3X3 = O l
b)
4,7xl + 1,81x2+2,6 X3= 5,047
3,4xl - O,25x2 + 1,1 X3 = 11,495
12,3xl + O,06X2 +O,77x3 = 7,9684
2xl - X2 + X3 = 0,3
c)
- 7,4 xl+3,61x2+8 04 x3=25,1499
12,16xl -.2,7 X2 - O,891x3 = 3,2157
- 4, 12x 1 + 6,63x2 - 4,38 X3 = - 36,1383
lO. Risolvere i seguenti sistemi lineari con l'eliminazione di Gauss, con
e senza pivot massimo, arrotondando a tre cifre significative. Quindi risolvere
i sistemi esattamente e fare un confronto tra i valori ottenuti
O,Ixl + O,05X2 ..I- O,2x3 = 1,3
12xl + 25x2 - X3 = lO
-7Xl + 8xz + 15.xa =2
11. Risolvere i seguenti sistemi lineari prima con l'iterazione di J acobi
e poi con !'iterazione di Gauss-SeideL Iniziare con Xl = O, X2 = O, X3 = O
e fermarsi alla terza iterazione arrotondando i calcoli alla terza cifra significa-
tiva.. Confrontare i risultati con la soluzione esatta:
10XI .+ X2+ 2x3:= 3 20Xl- X2+ X3= 20
a) Xl + 10 2- 3 ) 2x 1 + IOx2 - Il
X3= - X3=
2
2x 1 + Xz + 10x3 = - 9 Xl+ X2 _n 20X3 = - 18
12. Quali delle seguenti matrici hanno diagonale strettamente dominante?
[: -:}
853
- 1 lO 2. ,
O O 1
311
121
113
Aspetti computazionali lcenno) 157
13. Quali delle seguenti matrici simmetriche è definita positiva?
5 7 -1 O
1 -1 O 2 l 1
7 2 4 3
-1 2 5 , 1 3 3 ,
-1 4 5 2
O 5 3 1 O 4
O 3 2 1
14. Dimostrare che una matrice simmetrica è defmita positiva se e solo
se i pivot ottenuti mediante l'algoritmo (9.a) del Capitolo I sono maggiori di zero.
15. Sia A una matrice a scalini a coefficienti in un anello commutativo
con identità e S= (bij), Ja matrice a scalini ottenuta da A applicando l'algorit-
mo (lO) del Capitolo l. Provare che det A = ( _l)i bl1...b nn dove i è il numero
degli scambi di righe effettuati.
16. Sia A una matrice a scalini non nulla a coefficienti in un anello com-
mutativo con identità privo di zero-divisori. Mostrare che il rango diA coinci-
de con il numero di righe non- nulle di una matrice a scalini equivalente ad A.
17. Sia a un anello privo di zero-divisori e k= ç l a, bEA, b;=O
.. lb.
il suo campo dei quozienti. Date m n-pie al = (all"....,al n ),...,am=(antt,...,a mn
dove aijEaCk provàre che esse sono linearmente dipendenti su (i (vale a dire
Ala1 +... + Ànam=O con AiE<ì, i= 1,....,m e A.j;Z:O per un j) se e solo se
al,...,am sono lineaIJ'llente dipendenti su k).
18.. Sia A = (au) una matrice m x n, a elementi aij nell'anello (i, privo di
zero divisori. Provare che il rango di A, p(A), è uguale ap se e solo se esistono
p righe (colonne) di A linearmente indipendenti e qualunque siano p + 1 righe
(colonne) .A sono linearmente dipendenti. (Basta considerare A = (aij) come
matrice di Mm"n(k), dove k è il campo dei quozienti di- Ci e applicare il Teorema
31 e l'esercizio 17).
19.. Data la matrice A = (aij) dell'esercizio 17, provare che p(A) coincide
con il massimo numero di righe (colonne) linearmente indipendenti di A.
20. Provare il Corollario 34 relativamente alla matrice A dell' esempio 18.
21. Se A = (au) è una matrice a elementi in un anello <t privo di zero divi-
sari, provare il teorema di Kronecker relativamente ad A. (Basta osservare che
k è il campo dei quozienti di d allora p(A), su a, coincide con p(A), su k).
A - _[ 2 2 2 3]
22. Data la matrice
det A ;éO, quindi p(A)=2, ma le righe di A sono linearmente dipendenti.
23. Sia dato un sistema lineare compatibile a coefficienti e termini noti
in un anello <1, privo di zero divisori. Sia.A la matrice incompleta e A I la ma-
a elementi in Z4, provare che
158 Capitolo 3
trice completa del sistema. Allora p(A) = p(A I) (se k è il campo dei quozie ti
dì A, allora p(A) = p(A I), su k, per il teorema di Rouché-Capelli e quip.çli
p(A) = p(A I) su (1).
24. Provare che, se aii O per ogni i= 1,...,n, il sistema lineare
allXl + .. ......... ........... + alnX n = O
a21X2 + ............ + a2nXn = O
Q33X3 + ... + a3nXn =0
............................................
annX n = O
a coefficienti in un anello a privo di zeri divisori ha solo la soluzione ulla (ba-
sta osservare che dall'ultima equazione si ha X n = O e pròcedere per sostituzione
a ritroso).
25.. Calcolare il rango dell matrice
Il 7
13 8
12 121
17 3
98 111
7 3
riducendo modulo un primo p.
15
13
A=
4
8 5
-
4
7 28
-
3
5 Il
- -..-
4 9
-8
Indice analitico
Aggiunta, matrice, 95
Aggiunto, 81
Alg9ritmo di riduzione J 27, 33
Aritpleti a matriciale, 48
Arrotondamento, errore di, 131
Associato. sistema omogeneo, 64
Eliminazione, metodo di, 19
Equazione lineare, Il
Equivalenti, matrici, 23
.. sistenrl lineari, 17
Ba , rleI1e soluzioni, 115
Binet J teorema di, 129
Blocchi, matrice a. 92
Forma a scalini, di una matrice, 29
.. ridotta J 29
Fonna ridotta di un sistema lineare, 15
, ..
Calcolo gebrico e simbolico, 48
Coefficienti, 13
.. matrice dei, 47
Co pnna ' di una matrice, 21
Combinazione lineare, di n.. pIe, 104
- di xighe, 87
..: pi c;oIonne, 87
Co patibile, sistema lineare, 14
CompIémeÌltare, minore, 81
Complemento algebrico, 81
Co plet . ' atrice, 22
Costi computazionali, 131
C amer, regola eli, 97
Gauss, eliminazione di, 35
Gauss.. J ordan, eliminazione di, 41
Gauss-SeÌdel, iterazione di, 145
Incognita, 13.
Incompatibile, sistema lineare, 14
Incompleta, matrice, 47
Inversa di .una matrice, 51)0 95
- di una matrice 2 X 2, 51
Inversione, in una permutazione, 119
Invertibile, matrice, 51
Iterazione, di Gauss - Seirlel, 145
.. di Jacobi, 144 .
KIonecker, teorema di, 108
Determinante, definizione, 79
- di una matrice 2 X 2, 77
- di una Inatrice 3 X 3, 78
- sviluppo di un, 82
Di gonaié, matrice, 88
· - principa1e, 49
.. strettamente dominante, 147
Dipendenza lineare, di n - pIe, 105
E1ementare, matrice, 53
- trasformazione, 18, 23
Laplace, lO teorema di, 82
- generalizzato, 128
.. 2 0 teorema di, 94
- generalizzato, 129
Lineare, combinazione, 104
- dipendenza. 105
.. equazione, Il
Linearmente dipendenti, n - pIe, 105
.. righe, 105
.. colonne, 105
160
Indice analiiico
Matrice (i), 21
... a blocchi, 92
... aggiunta, 95
.. antisimmetrlca, 60
... a scalini, 24
- ridotta, 25
... colonna di una, 21
... complementare, 95
... completa. 22
... defmita positiva, 147
- defInizione di, 21
- dei coefficienti, 47
- diagonale, 88
- elementare, 53
... equivalenti, 23
... identica, 50
- inversa, 51
- invertibile, 51
,. mal condizionata, 143
- nulla, 22
- prodotti di, 46
- quadrata, 49
-rango di una, 100
. riga di una, 21
- simmetrica, 60
- somma di, 45
'. sparsa, 143
- trasposta, 59
- triangolare, 88
Metodo, di eliminazione delle incognite. 19
... di eliminazione di Gauss, 35
Minore, 99
- complementare, 81
Omogeneo, sistema lineare, 64
Operazioni sulle matrici, 44-
Ordine, di una matrice quadrata, 49
Orlati, teorema degli, 108
Parametri, 12
Pennutazione, 1J9
Pivot, 24
... massimo, 138
P oteoze di una matrice, 74
Prodotto, dedotto, 120
- di matrici, 46
- di una matrice per uno scalare, 45
Quadrata, matrice, 49
Rango di una matrice, 160
Ridotta, matrice a scalini, 25
Ridotto, sistema lineare, 15
Rjduzione di una matrice, 28
Riga di una matrice, 21
Risolvere un sistema lineare, 17
Roucbè-Capelli, teorema di, 103
Scalini, matrice a, 24
Simmetrica, matrice, 60
Sistema di Cramer, 99
Sistema (i) lineare (i), compatibile, 14
- con parametro, 70
- di Cramer t 99
- eqUivalenti 17
- omogeneo, 64
:.: ridotto, 15
Soluzione, di un sistema lineare, 13
Somma di matrici, 45
Sostituzione a ritroso, 40
Sparsa, matrice, 143
Strettamente dominante, diagonale, 147
Sviluppo di un determinante, 81
Termini noti, 13
Trasformazioni elementari, 18, 23, 60
Trasposta, matrice, 59
Triangolare, matrice, 88
Uguaglianza di matrici, 22
Vandermonde, determinante di, 124
Variabile, 13