С. А. Шестаков
ЕГЭ 2010
Математика
Задача ВЗ
Рабочая тетрадь
учени
класса
школы
Под редакцией
А. Л. Семенова и И. В. Ященко
Разработано МИОО

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
С. А. Шестаков
ЕГЭ 2010. Математика
Задача ВЗ
Рабочая тетрадь
Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко
Москва
Издательство МЦНМО
2010

УДК 373:51
ББК22.1я72
Ш51
Шестаков С. А.
Ш51 ЕГЭ 2010. Математика. Задача ВЗ. Рабочая тетрадь /
Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. — М.: МЦНМО,
2010.—48 с.
ISBN 978-5-94057-563-4
Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2010. Математика»
ориентирована на подготовку учащихся старшей школы для успешной
сдачи 1ущного государственного экзамена по математике в 2010 году. В
рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных
измерительных материалов ЕГЭ-2010.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уров-
невый подход к организации повторения, осуществить контроль и
самоконтроль знаний по основным темам алгебры и начал анализа.
Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при
необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях
выпускника.
Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей
математики, родителей.
ББК22.1я72
© Шестаков С. А., 2010.
ISBN 978-5-94057-563-4 '%&/ © МЦНМО, 2010.

От редакторов серии
Прежде чем вы начнете работать с нашими тетрадями, мы хотим дать вам
некоторые пояснения и советы.
Экзамен по математике в 2010 году состоит из двух частей: в первой части —
12 простых задач, в которых требуется краткий ответ (В1—В12); во второй части —
6 сложных задач, требующих развернутого решения (С1—С6).
Наши рабочие тетради организованы в соответствии с заданиями первой части
и позволяют вам подготовиться к выполнению всех заданий этой части, выявить
и устранить пробелы в своих знаниях.
Тем из вас, для кого главное — это набрать минимальный аттестационный балл,
мы рекомендуем ориентироваться на устойчивое, безошибочное решение 8 заданий
из этой первой части. (Хотя в реальности минимальное число заданий, которое нужно
решить верно, может составить 5, но ведь вам нужно застраховаться от случайной
ошибки!) Эти 8 (или больше) заданий нужно выбрать исходя из того, что вы хорошо
понимаете их условия, вам знаком материал и в школе вы хорошо справлялись с
аналогичными заданиями (не обязательно в курсе математики 11 класса, а на протяжении
всего обучения). При этом следует в первую очередь уделять внимание тем заданиям,
которые у вас уже получаются, добиваясь максимально надежного их выполнения, не
ограничивая себя временем.
Те из вас, кто ориентируется на поступление в вуз, конечно, понимают, что им
желательно с высокой надежностью решать все задачи части В — ведь на решение
такой задачи и вписывание ответа в лист на экзамене уйдет времени меньше, чем на
задачу части С, жалко будет, если вы ошибетесь и потеряете нужный балл. Вам следует
добиваться уверенного выполнения всех заданий первой части, большее внимание
уделяя тем задачам, которые вызывают наибольшие затруднения. Устранение
пробелов в ваших знаниях поможет вам и в работе с заданиями части С. Определив время, за
которое вы можете уверенно без ошибок выполнить все задания первой части, следует
планировать оставшееся время на экзамене на задания второй части.
Работу с тетрадью следует начать с выполнения диагностической работы.
Затем рекомендуется прочитать решения задач, сравнить свои решения с
приведенными в книге. По тем задачам, которые вызвали затруднения, следует после
повторения материала по учебнику или с учителем выполнить тематические тренинги.
Для завершающего контроля готовности к выполнению заданий соответствующей
позиции ЕГЭ служат диагностические работы, приведенные в конце тетради.
Работа с серией рабочих тетрадей «ЕГЭ 2010. Математика» позволит выявить и в
кратчайшие сроки ликвидировать пробелы в знаниях, но не может заменить
систематического повторения (изучения) курса математики!
Желаем успеха!

Введение
Это пособие предназначено для подготовки старшеклассников к решению задач по
теме «Уравнения», и, в частности, задачи ВЗ Единого государственного экзамена по
математике.
Задача ВЗ представляет собой несложное показательное, логарифмическое или
иррациональное уравнение базового уровня, которое в одно-два действия сводится
к линейному или квадратному уравнению. В последнем случае в условии задается
дополнительное ограничение для отбора корня. В случае логарифмического или
иррационального уравнения один из корней может быть отброшен как посторонний без
дополнительного ограничения.
Для того чтобы подготовку к ЕГЭ сделать максимально эффективной, в пособие
включены уравнения, соответствующие всем шести функционально-числовым
линиям школьного курса:
— целые рациональные уравнения,
—дробно-рациональные уравнения,
— иррациональные уравнения,
— тригонометрические уравнения,
— показательные уравнения,
— логарифмические уравнения.
Это, с одной стороны, позволит выявить существующие пробелы и проблемные
зоны в подготовке учащихся с целью их устранения и выработки устойчивых навыков
решения несложных уравнений, а с другой — использовать комплексный подход при
организации и проведении обобщающего повторения.
Пособие включает 5 диагностических и 12 тренировочных работ, а также разбор
задач первой диагностической работы с необходимыми методическими
рекомендациями. Каждая диагностическая работа содержит 12 заданий (по два на каждую из шести
функционально-числовых линий школьного курса в указанном выше порядке).
Каждая тренировочная работа соответствует одному из заданий диагностической работы
и содержит 10 задач для выработки или закрепления навыков решения по каждому
типу уравнений.
В начале работы с пособием целесообразно выполнить первую диагностическую
работу, определить, какие уравнения вызывают затруднения, и обратиться при
необходимости к разбору задач. После этого нужно потренироваться в решении уравнений
каждого типа, выполнив тренировочные работы. Для завершения подготовки следует
обратиться к диагностическим работам 1.2—1.4 и постараться решить их без ошибок.
Желательно, чтобы время решения любой из диагностических и тренировочных работ
не превышало 20—30 минут.
Подчеркнем, что в пособии рассматриваются только уравнения, отвечающие по
уровню сложности заданию ВЗ ЕГЭ по математике. Умение решать такие уравнения

Введение
является базовым: без него невозможно продвинуться в решении более сложных
задач.
При подготовке к решению задач части I Единого государственного экзамена
важно помнить следующее. Проверка ответов осуществляется компьютером после
сканирования бланка ответов и сопоставления результатов сканирования с правильными
ответами. Поэтому цифры в бланке ответов следует писать разборчиво и строго в
соответствии с инструкцией по заполнению бланка (с тем, чтобы, например, 1 и 7
или 8 и В распознавались корректно). К сожалению, ошибки сканирования полностью
исключить нельзя, поэтому если есть уверенность в задаче, за которую получен минус,
нужно идти на апелляцию. Ответом к задаче может быть только целое число или
конечная десятичная дробь. Ответ, зафиксированный в иной форме, будет распознан как
неправильный. В этом смысле задание ВЗ не является исключением: если результатом
3
решения уравнения явилась обыкновенная дробь, например, -т, перед записью ответа
в бланк ее нужно обратить в десятичную, т. е. в ответе написать 0,75. Важно помнить,
что каждый символ (в том числе запятая и знак «минус») записывается в отдельную
клеточку, как это показано на полях пособия.

Ответы:
ттттт
11111111
an
.1.
. :
Образец написания:
1Z3H567890
Диагностическая работа
1. Решите уравнение
2. Решите уравнение
2х2-13х-7 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
3. Решите уравнение
х-4
х + 3
"2-
4. Решите уравнение
х =
7х+16
х + 7 *
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
5. Решите уравнение
6. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
7. Решите уравнение
COS = A
cos 3 2 *
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
8. Решите уравнение
tgf —1.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.

Диагностическая работа
9. Решите уравнение
74"* = 49.
10. Найдите корень уравнения
|) =81-.
11. Решите уравнение
Iog4(5 + x) = 2.
12. Решите уравнение
Iog3(2x-3)=log3(18-x).
Ответы:
10
1ППТП1
12
111111111
Образец написания:

Целые рациональные уравнения.
Решения задач 1 и 2 диагностической работы
Первые два уравнения каждой диагностической работы
представляют собой соответственно линейное и квадратное
уравнение, либо сводятся к ним после элементарных
преобразований: раскрытия скобок и приведения подобных. Для
решения этих задач достаточно уметь решать линейные
уравнения, помнить формулы сокращенного умножения,
правило переноса слагаемого из одной части уравнения в другую
(знак этого слагаемого меняется на противоположный),
формулу корней квадратного уравнения, и обладать
определенными вычислительными навыками, связанными с
арифметическими действиями над целыми числами и дробями.
1. Решите уравнение
- -6-
Решение. Сначала обратим дробь в правой части
уравнения в неправильную:
6- = —
2
Разделим обе части уравнения на число -. Получим:
v-^.2 v _ £4 7 v_99
х- ? . 7, х- ? - 2, x-zz.
Ответ: 22.
2. Решите уравнение
2л:2-13х-7 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Решение. Вычислим дискриминант уравнения
D = (-13)2-4-2(-7)=225.
В формуле корней квадратного уравнения меньшему
корню соответствует знак «минус» перед квадратным корнем из
13-15
дискриминанта. Значит, искомый корень х = —т—> откуда
х = -0,5.
Ответ: -0,5.

Тренировочная работа 1
Т1.1. Решите уравнение
Т1.2. Решите уравнение
Т1.3. Решите уравнение
(2х-3)2 =
Т1.4. Решите уравнение
= (2х-5)2.
Т1.5. Решите уравнение
Т1.6. Решите уравнение
Т1.7. Решите уравнение
Зх + 2
Т1.8. Решите уравнение
5х-4 4х-5
TL9. Решите уравнение
TL10. Решите уравнение
Ответы:
Т1.1
TL2
i
•
г
I
Т1.3
[ I
Т1.4
I
П.5
Г1.6
П.7
"
П.8
TL9
Т1.10
НИ
...
I
1
II )
i:
Образец написания:
1
гъ
6
7»
90
-
9

Ответы:
Т2.1
I I I I I I I I I
Т2.2
ГГГП
Т2.3
1111II11
Т2.4
: :
T2.5
I I
I
T2.6
i 1 I
Т2.7
LI
Т2.8
П
Образец написания:
1214567890
Тренировочная работа 2
T2.1. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Т2.2. Решите уравнение
2х2 + 17х-9 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Т2.3. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Т2.4. Решите уравнение
Т2.5. Решите уравнение
Т2.6. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Т2.7. Решите уравнение
Зх2-5х-2 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Т2.8. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
10

Тренировочная работа 2
Т2.9. Решите уравнение
12* ^12*
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Т2.10. Решите уравнение
12 _ 9 J_
11х -у1Г
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Ответы:
Т2.9
JJ
T2.10
I I 1 I 1 I I I
Образец написания:
11

Дробно-рациональные уравнения.
Решения задач 3 и 4 диагностической работы
Третье и четвертое уравнения каждой диагностической
работы являются дробно-рациональными. Для решения этих
уравнений достаточно умения выполнять действия с
алгебраическими дробями. Одно из этих уравнений после несложных
преобразований сводится к линейному, другое — к
квадратному.
3. Решите уравнение
л-4
х + 3 ~2'
Решение. Заметим, что хф -3. Умножив обе части
уравнения на х + 3, получим:
откуда х = -10.
Ответ: —10.
4. Решите уравнение
7х+16
Х~ х + 7 '
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Решение. Заметим, что хф-1. Умножив обе части
уравнения на х + 7, получим:
= 7х + 16, х2 + 7х = 7х+16, х2 = 16,
откуда х = ±4.
Ответ: -4.
12

Тренировочная работа 3
Т3.1. Решите уравнение
Т3.2.
ТЗ.З.
Решите уравнение
Решите уравнение
2
X
5
X
= -1.
= -2.
2х + 5
5х + 2
= -1.
Т3.4. Решите уравнение
Т3.5. Решите уравнение
Т3.6. Решите уравнение
Т3.7. Решите уравнение
4х+7
х + 1
= 5.
1 2
х + 2 х'
1 6
х + 6 х'
Зх " 12'
Т3.8. Решите уравнение
Т3.9. Решите уравнение
i-h = 0'1-
Т3.10. Решите уравнение
Зх + 5
= 0,02.
= 0,05.
Ответы:
Т3.1
Т3.2
ТЗ.З
['
Т3.4
Т3.5
Т3.6
Т3.7
Т3.8
.
Т3.9
Т3.10
Образец написания:
13
1234567890

Ответы:
Т4.1
1
Т4.2
Т4.3
Т4.4
•
Г4.5
Г4.6
Т4.7
с
[
п.
и.
.i:
1
[I
:i
::.
I I 1
I 1
:. i:
Образец написания:
1
г
IS
6
7»
90
-
Тренировочная работа 4
T4.1. Решите уравнение
х + 3
х + 3 "" 3 "
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Т4.2. Решите уравнение
5 _ jc-5
х-5 5 "
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Т4.3. Решите уравнение
х-3 х-3
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Т4.4. Решите уравнение
х + 6 х + 6
Если зфавнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Т4.5. Решите уравнение
х+4 "
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Т4.6. Решите уравнение
х2-9
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Т4.7. Решите уравнение
12
х2-13
= 1.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
14

Тренировочная работа 4
Т4.8. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Т4.9. Решите уравнение
6 =i.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Т4.10. Решите уравнение
= 1.
2х2 +13*
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Ответы:
Т4.8
:
Т4.9
сг
Т4.10
III
Образец написания:
15
1
г
ъ
ц
5
6
7
ь
9
0
-
»

Иррациональные уравнения.
Решения задач 5 и 6 диагностической работы
Пятое и шестое уравнения диагностических работ
являются несложными иррациональными уравнениями вида
«корень равен числу», «корень равен выражению». Для их
решения не нужно обладать никакими специальными знаниями,
достаточно помнить определение арифметического
квадратного корня: арифметическим квадратным корнем из числа а
называется такое неотрицательное число Ъ, квадрат которого
равен а. Таким образом, л/а = Ь, если выполняются два
условия:
Заметим, что в этом определении ничего не сказано о знаке
числа а: его неотрицательность следует из равенства а = Ь2.
Поэтому для того чтобы решить уравнение вида
\/а(х) = Ь, где Ь ^ О,
достаточно возвести обе части уравнения в квадрат, после
чего оно сведётся к линейному или квадратному уравнениям.
Для того чтобы решить уравнение вида у/а(х) = Ь{х),
нужно возвести обе его части в квадрат, решить полученное
линейное или квадратное уравнение и проверить, выполняется
ли для найденных корней условие Ъ(х) ^ 0. Если это условие
не выполняется, соответствующий корень является
посторонним. Обратим внимание на то, что проверка условия а{х) ^ 0
является избыточной: так как Ъ2(х) ^ 0 при любом
допустимом значении переменной, корнями уравнения а(х) = Ъ2(х)
могут быть только те числа, для которых а(х) ^ 0.
5. Решите уравнение
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат,
получим 5 - 4х = 25, откуда х = -5.
Ответ: -5.
6. Решите уравнение
16

Решения задач Бив диагностической работы
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из корней.
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат:
откуда
Корнями полученного квадратного уравнения являются
числа -3 и 1. Условию —х^О удовлетворяет только х = — 3.
Ответ: -3.
17

Ответы:
Т5.
1
п:
Т5.2
Т5.3
сг
Т5.4
Т5.5
С
Т5.6
И
Т5.7
[Г
Т5.8
г
i:
I
Т5.9
Т5.10
ш
Образец написания:
Тренировочная работа 5
Т5.1. Решите уравнение
^7-6* = 7.
Т5.2. Решите зфавнение
Т5.3. Решите уравнение
Т5.4. Решите уравнение
Т5.5. Решите зфавнение
Т5.6. Решите уравнение
/20-Зх=л/5.
Т5.7. Решите уравнение
Т5.8. Решите уравнение
Т5.9. Решите уравнение
1 1
3-4* 3'
Т5.10. Решите уравнение
5-х
= 2.
1£34567890
18

Тренировочная работа 6
Т6.1. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Т6.2. Решите уравнение
-6х = -х.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
Т6.3. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Т6.4. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
Т6.5. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Т6.6. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
произведение корней.
Т6.7. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Т6.8. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
19

Ответы:
Т6.9
111111
T6.10
. :
Образец написания:
1
г
ъ
ц
5
6
?
8
9
0
-
Тренировочная работа 6
Т6.9. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
Т6.10. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
20

Тригонометрические уравнения.
Решения задач 7 и 8 диагностической работы
Основная идея решения любого тригонометрического
уравнения (в диагностических работах это задания 7 и 8)
заключается в его сведении к одному или нескольким
простейшим тригонометрическим уравнениям, то есть к уравнениям
вида
a, cosx = a,
Формулы для решения простейших тригонометрических
уравнений приводятся в любом учебнике, для их повторения и
предназначена эта группа задач. Поскольку ответом к
заданиям с кратким ответом может быть только целое число или
десятичная дробь, в качестве дополнительного условия
требуется отобрать либо наименьший положительный корень
уравнения, либо наибольший отрицательный корень.
Поэтому вместо перехода от уравнения
cos(/(*)) = т (где \т\ ^ 1)
к уравнению
/(*) = ± arccos т + 2пк, keZ,
бывает целесообразно перейти к совокупности
Г/Ot) = arccos m + 2пк,
\ г, ч о keZ, neZ.
[/(х) = - arccos т + 2кп,
Аналогичное замечание справедливо для уравнения вида
sin(/(x)) = т (где \т\ ^ 1).
Соответствующая совокупность в этом случае имеет вид:
г, Л . keZ, neZ.
/Qt) = 7r-arcsinm + 27m,
Уравнение tg(/(x)) = m равносильно уравнению
/Qt) = arctgm + тгп, neZ.
7. Решите уравнение
7ГХ л/3
cos =
21

Решения задач 7 и 8 диагностической работы
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Решение. Из данного уравнения cos Щ- = -у находим, что
ягу лт 7TJC 7Г
-=- = т+27гп, п е Z, либо -=- = — -? + 2пт, meZ.
JO «5 О
откуда получаем:
х=2+6п, neZ, либо jc = ~2+6m, meZ.
Наименьшим положительным корнем в первом случае
является х = 0,5 (при п = 0), а во втором случае л: = 5,5 (при т — 1).
Значит, наименьший положительный корень данного
уравнения равен 0,5.
Ответ: 0,5.
8. Решите уравнение tg-т- = — 1. В ответе запишите
наибольший отрицательный корень уравнения.
7ZX
Решение. Из данного уравнения tg -т- = — 1 находим, что
откуда
Наибольшим отрицательным корнем уравнения является
х = -1 (при п = 0).
Ответ: —1.
22

Тренировочная работа 7
Т7.1. Решите уравнение
sin пх = 0.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Т7.2. Решите уравнение
sin тгл: = 1.
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т7.3. Решите уравнение
sin27rx = —1.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Т7.4. Решите уравнение
пх Л
cos — = 0.
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т7.5. Решите уравнение
C0S7TJC = 1.
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т7.6. Решите уравнение
пх л
COS -у = -1.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Т7.8. Решите уравнение
пх л/3
C0ST8=-^-'
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
23

Ответы:
Т7.7
Т7.9
С
Т7.10
Ш
I I НИ
Образец написания:
1
г
5
6
?[8
9
о]-
9
Тренировочная работа 7
Т7.7. Решите уравнение
пх
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т7.9. Решите уравнение
sing = -0,5.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
17.10. Решите уравнение
cos -г- = -0,5.
о
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
24

Тренировочная работа 8
Т8.1. Решите уравнение
tgf = о.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Т8.2. Решите уравнение
rg 12 l'
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т8.3. Решите уравнение
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Т8.4. Решите уравнение
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т8.5. Решите уравнение
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Т8.6. Решите уравнение
пх _ _^_
g 12 ~ vT
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т8.7. Решите уравнение
te— -- —
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
25
Ответы:
Т8
[
1
Т8.2
i
Т8.3
Т8.4
I!
Т8.5
Т8.6
[
:
!
]
III
i:
11
:n
, ii :
n:
in
[ i
i
.и
11
T8.7
ГПТТ
Образец написания:

Ответы:
Т8.8
11111 n
T8.9
I,
1.
T8.10
I I 1 1 1 I IN
Образец написания:
Тренировочная работа 8
T8.8. Решите уравнение
пх
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Т8.9. Решите уравнение
пх л
ctgT = l.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Т8.10. Решите уравнение
пх л
ctg^ = -l.
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
26

Показательные уравнения.
Решения задач 9 и 10 диагностической работы
Решение большинства показательных уравнений после
некоторых преобразований сводится к решению одного или
нескольких простейших показательных уравнений вида
afM=ac (откуда /(*) = с)
или
а/(х) _ ag{x) (0ТКуда Дх) = g(x)),
где а > 0; а Ф1. Именно к простейшим показательным
уравнениям после одного-двух очевидных преобразований сводятся
уравнения 9 и 10 диагностических работ.
9. Решите уравнение 74~* = 49.
Решение. Перепишем уравнение в виде 74~* = 72, откуда
4-х = 2 и, значит, х = 2.
Ответ: 2.
10. Найдите корень уравнения
fiV^-81*
Решение. Перейдём в обеих частях уравнения к
основанию 9, записав его в виде
откуда
-9-х =
и, значит, х = —3.
Ответ: -3.
27

Ответы:
Т9.1
in
Т9.2
СП
., 11
T9.3
T9.4
TTTTT
T9.5
■
T9.6
TTTTT
T9.7
M
T9.8
ПТТТТГП
T9.9
I I I I I 1 I I I
T9.10
Образец написания:
Тренировочная работа 9
T9.1. Решите уравнение
б7"* = 36.
Т9.2. Решите уравнение
Т9.3.
Т9.4.
Решите уравнение
Решите уравнение
б12"*
6i6+*
18+х
= 36*.
1
~ 36'
1
~ 64*
Т9.5. Найдите корень уравнения
7+х
Т9.6. Найдите корень уравнения
Т9.7. Решите уравнение
2Х.3Х = 36.
Т9.8. Решите уравнение
52x-i.5*-i=5e
Т9.9. Найдите корень уравнения
(f)*-lA
Т9.10. Решите уравнение
5х- 2~* = 0,4.
28

Тренировочная работа 10
Т10.1. Решите уравнение
ух-З _
Т10.2. Решите уравнение
5и~х = 5*~9
Т10.3. Решите уравнение
б*"8 = 36х"18.
Т10.4. Решите уравнение
Т10.5. Решите уравнение
(Г7=?*-'■
Т10.6. Решите уравнение
Т10.7. Решите уравнение
Т10.8. Найдите корень уравнения
Т10.9. Решите уравнение
Т10.10. Найдите корень уравнения
Ответы:
Т10.1
Т10.2
Т10.3
т.
Т10.4
1
Т10.5
I I I I I I I I
Т10.6
11111111
Т10.7
Т10.8
гтттпгт
Т10.9
:
Т10.10
Образец написания:
29

Логарифмические уравнения.
Решения задач 11 и 12 диагностической работы
Решение очень многих логарифмических уравнений после
некоторых преобразований сводится к решению одного или
нескольких уравнений вида
loga / U) = Ь или loga / (х) = loga g(x),
где a > 0,
Для решения уравнения loga/(jt) = b достаточно только
знания определения логарифма, из которого вытекает, что
f(x) = ab (условие /(х) > 0 при этом, очевидно, выполняется,
т.к. ab>0).
Из уравнения loga/(x) =logagU) следует, что /U) =£(*).
В силу последнего равенства достаточно проверить корни
полученного уравнения на выполнение только одного из
неравенств fix) > О либо g(x) > 0. В самом деле, если g(x0) > 0, то в
силу равенства /Uo) = g(*o) получим, что и /0г0) > 0. Задания
11 и 12 диагностических работ представляют собой уравнения
указанных типов и сводятся в большинстве случаев к
линейным уравнениям.
И. Решите уравнение
Iog4(5 + x) = 2.
Решение. Из определения логарифма следует, что
откуда х = 11.
Ответ: 11.
12. Решите уравнение
Iog3(2jc-3)=log3(18-jc).
Решение. Поскольку основания логарифмов равны,
можно перейти к системе
Г2х-3 = 18-х,
[2х-3>0.
Корнем уравнения системы является число 7. При х = 7
неравенство системы, очевидно, выполнено.
Ответ: 7.
30

Решения задач 11 и 12 диагностической работы
Логарифмические уравнения, содержащие переменную в
основании логарифма, которые могут встретиться в части 1
ЕГЭ, не слишком сильно отличаются по уровню сложности от
уравнений, содержащих логарифмы только с постоянным
основанием. Нужно лишь не забывать записывать
дополнительные ограничения: выражение, стоящее в основании
логарифма и содержащее переменную, должно быть положительно и
отлично от единицы.
Решим в качестве примера уравнение
1о&_х169 = 2.
По определению логарифма находим, что
(5-х)2 = 169,
причем
5-х>0, Ъ-хф1.
Из уравнения (5 - х)2 = 169 получаем, что
5-х = 13 либо 5-х = -13.
Последнее равенство противоречит условию 5 - х > 0. Значит,
5 - х = 13, откуда х = -8.
Рассмотрим ещё один простой на первый взгляд пример,
который порой вызывает затруднения, поскольку основания у
логарифмов здесь различны (правда, выражения под знаками
логарифмов одинаковы — именно это и дает ключ к
решению). Решим уравнение
Iogll(19-x) = log13(19-x).
Для решения этого примера можно рассуждать
по-разному. Вспомним, что логарифм — не что иное, как обозначение
степени. Из уравнения следует, что число 19-х должно
одновременно являться и степенью числа 11, и степенью числа 13,
что возможно, лишь если эта степень равна нулю, т. е. если
19-х = 11° = 13° = 1,
откуда х = 18.
Другой способ заключается в переходе к новому
основанию, в качестве которого в данном случае лучше выбрать 11
или 13. Перейдя, например, к основанию 11, получим
31

Решения задач 11 и 12 диагностической работы
Далее остается перенести слагаемые в левую часть и вынести
общий множитель:
Поскольку 1 - : — ф 0, получим, что logn(19 - х) = О,
ю&11 х^
откуда 19 - х = 1, х = 18.
32

Тренировочная работа 11
TILL Решите уравнение
logs(7-x) = 2.
Т11.2. Решите уравнение
Iog3(6-x) = 3.
Т11.3. Решите уравнение
Iog2(4-x) = 3.
Т11.4. Найдите корень уравнения
Iog49(x-6) = 0,5.
Т11.5. Найдите корень уравнения
logi(6-x) = -2.
Т11.6. Найдите корень уравнения
logi(7-x) = -2.
8
Т11.7. Найдите корень уравнения
logi(9-x) = -2.
Ш.8. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
Т11.9. Решите уравнение
1о&_х25 = 2.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
ШЛО. Решите уравнение
logjc_764 = 2.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
33
Ответы:
Т11.1
: :
Т11.2
Т11.3
Т11.4
Т11.5
Т11.6
Т11.7
Т11.9
Т11.10
: :
;
111
.8
Образец написания:
|1|Z[3M516I?18|9IOH.

Ответы:
Т12.1
111 n n 11
T12.2
ELL
T12.3
I I ITTTT
T12.4
Lin
T12.5
T12.6
T12.7
T12.8
ГТТП
T12.9
T12.10
. :
linn
: :
: :
Образец написания:
1Z5456789Q
Тренировочная работа 12
Т12.1. Найдите корень уравнения
Iog6(x + ll)=log7(
Т12.2. Решите уравнение
Т12.3. Решите уравнение
log17(4*-9) = log17x.
Т12.4. Решите уравнение
Т12.5. Найдите корень уравнения
Т12.6. Решите уравнение
log5x = -log0f2(14-x).
Т12.7. Найдите корень уравнения
=0,5-log3Qt + l
Т12.8. Найдите корень уравнения
Т12.9. Решите уравнение
Iog7(3-x) = log6(3-x).
Т12.10. Решите уравнение
log17 (х + 5) = log19 (x + 5).
34

Диагностическая работа 1
Д1Л. Решите уравнение
Д1.2. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Д1.3. Решите уравнение
х + 15
х-15
= 4.
Д1.4. Решите уравнение
х + 8 х + 8
Ъх + 7
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Д1.5. Решите уравнение
Д1.6. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
Д1.7. Решите уравнение
sinnx = -1.
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Д1.8. Решите уравнение
sin f = 0,5.
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
35
Ответы:
Д1Л
.1
Д1.2
Д1.з
Д1.4
Д1.5
Д1.6
Д1.7
Д1.8
I II
L
.11,
I.
Образец написания:
1£ЬЧ56?890

Ответы:
Д1.9
I III
Д1.Ю
III
Д1.11
1111111
Д1.12
Mill
.1
1.
I]
I]
Образец написания:
Диагностическая работа 1
Д1.9. Найдите корень уравнения
л\ 9+х
Д1.10. Найдите корень уравнения
Д1.11. Решите уравнение
Iog7(8+x) = 2.
Д1.12. Решите уравнение
Iog7(5+x)=log7(15-x).
36

Диагностическая работа 2
Д2.1. Решите уравнение
Д2.2. Решите уравнение
2лг2-9х-5 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Д2.3. Решите уравнение
х + 5
х-5
= -9.
Д2.4. Решите уравнение
х =
х + 5'
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Д2.5. Решите уравнение
'6-5* = 6.
Д2.6. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Д2.7. Решите уравнение
cos пх = 0.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Д2.8. Решите уравнение
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
Д2.1
Д2.2
37
Д2.3
Д2.5
Д2.7
Д2.8
Ответы:
гттл
Д2.4
Д2.6
: :
Образец написания:
1Z54567&90

Ответы:
Д2.9
I 1 I I I 1 I I I
Д2.Ю
I I I I I I I I 1
Д2.11
11 1 I I I 1 I
Д2.12
ПГГТ
Образец написания:
Диагностическая работа 2
Д2.9. Решите уравнение
86~* = 64.
Д2.10. Решите уравнение
Д2.11. Найдите корень уравнения
log25Qc-4)=0,5.
Д2.12. Решите уравнение
log5 (х2 + 2*) = logs
38

Диагностическая работа 3
Д3.1. Решите уравнение
Д3.2. Решите уравнение
2л:2-15л: + 7 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
ДЗ.З. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.
Д3.4. Решите уравнение
13*
2х2-7
= 1.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Д3.5. Решите уравнение
<8-7х = 8.
ДЗ.б. Решите уравнение
у/8-7х = -х.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.
Д3.7. Решите уравнение
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Д3.8. Решите уравнение
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
39
Ответы:
Д3.1
Д3.2
ДЗ.З
Д3.4
Д3.5
Д3.7
Д3.8
п.
.1.
:
:
Д3.6
Образец написания:
1Z34567890

Ответы:
Д3.9
Д3.10
I.
дз.п
[III
Д3.12
[III
1.
II
Образец написания:
Диагностическая работа 3
Д3.9. Решите уравнение
95~х = 81.
Д3.10. Решите уравнение
99~х = 81"\
ДЗ.П. Найдите корень уравнения
Iog36(x-5)=0,5.
Д3.12. Найдите корень уравнения
log3(x-6) = log5U-6).
40

Диагностическая работа 4
Д4.1. Решите уравнение
= (2х-1)2.
Д4.2. Решите уравнение
±х2-9±
Iх "V
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Д4.3. Решите уравнение
х~ х + 8 *
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Д4.4. Решите уравнение
Их
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.
Д4.5. Решите уравнение
1 1
5-2* 3*
Д4.6. Решите уравнение
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Д4.7. Решите уравнение
пх у/2
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
уравнения.
Д4.8. Решите уравнение
В ответе запишите наименьший положительный корень
уравнения.
41
Ответы:
Д4.1
Д4.2
Д4.3
Д4.4
Д4.5
Д4.6
Д4.7
Д4.8
.
.
.1,
Образец написания:
1Z34567890

Ответы:
Д4.9
ГТГТПТТ1
Д4.10
I I I I I I I I I
Д4.11
.1.
I.
Д4.12
LL
Образец написания:
1
г
5
6
1
Ь
9
,°Г
Диагностическая работа 4
Д4.9. Найдите корень уравнения
Д4.10. Найдите корень уравнения
23+* = 0,4-53+*.
Д4.11. Решите уравнение
logjc_549 = 2.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Д4.12. Решите уравнение
Iog5(7-x) = log5(3-x) + l.
42

Ответы
Диагностическая работа
1.22. 2.-0,5. 3.-10. 4.-4. 5.-5. 6.-3. 7.0,5. 8.-1. 9.2. 10.-3. 11.11.
12.7.
Тренировочная работа 1 (Т1)
1.12. 2.12. 3. -0,5. 4. -0,5. 5. 6. 6. -4,5. 7. 0. 8. -10. 9. 2,5. 10. -3,5.
Тренировочная работа 2 (Т2)
1. -0,5. 2. 0,5. 3. -3. 4. 7. 5. -8. 6. 0,25. 7. 2. 8. -2. 9. -7. 10. -10.
Тренировочная работа 3 (ТЗ)
1. -2. 2. -2,5. 3. -1. 4. 2. 5. -4. 6. -7,2. 7.10. 8. 0,5. 9. 5. 10. 5.
Тренировочная работа 4 (Т4)
1. -6. 2.10. 3.1. 4. -6. 5. 3. 6. -5. 7. 5. 8. 5. 9. -6. 10. 0,5.
Тренировочная работа 5 (Т5)
1. -7. 2. -4. 3. 7. 4.9. 5. 2. 6. 5. 7. -0,5. 8. -1,5. 9. -1,5. 10.4.
Тренировочная работа 6 (Т6)
1. 2,25. 2. -7. 3.4. 4. -2. 5. 4. 6. 3. 7. -3. 8.1. 9. 3. 10. 2.
Тренировочная работа 7 (Т7)
1. -1. 2. 0,5. 3. -0,25. 4. 2. 5. 2. 6. -7. 8.15. 7. 2. 9. -2. 10. -4.
Тренировочная работа 8 (Т8)
1. -4. 2. 3. 3. -1,5. 4.1. 5. -2. 6. 2. 7. -1. 8. 2. 9. -6. 10.12.
Тренировочная работа 9 (Т9)
1. 5. 2.4. 3. -18. 4. -20. 5. -9. 6. -8. 7. 2. 8.1. 9. -1. 10. -1.
43

Ответы
Тренировочная работа 10 (Т10)
1. -2. 2.10. 3. 28. 4.4. 5.12. 6. 1,5. 7.11. 8.13. 9. 5. 10. 8.
Тренировочная работа 11 (Т11)
1. -18. 2. -21. 3. -4. 4.13. 5. -43. 6. -57. 7. -40. 8. -3. 9. -2. 10.15.
Тренировочная работа 12 (Т12)
1. -10. 2.10. 3. 3. 4.12. 5. -2. 6. 7. 7. 6. 8. 5. 9. 2. 10. -4.
Диагностическая работа 1 (Д1)
1.10. 2.-7. 3.25. 4.1. 5.-2,5. 6.-5. 7.1,5. 8.0,5. 9.-11. 10.-4. 11.41.
12.5.
Диагностическая работа 2 (Д2)
1. -4. 2. 5. 3.4. 4. -4. 5. -6. 6. 7. 7. -0,5. 8.1. 9.4. 10. 3. 11. 9. 12. 5.
Диагностическая работа 3 (ДЗ)
1. -6. 2. 0,5. 3. 5. 4. -0,5. 5. -8. 6. -8. 7. -2. 8. 5. 9. 3. 10. -9. И. 11.
12.7.
Диагностическая работа 4 (Д4)
1. -1,5. 2. -8. 3. -5. 4. 0,5. 5. -2. 6. 6. 7. -1,5. 8. 0,5. 9. -5. 10. -2.
11.12. 12. 2.
44

Содержание
От редакторов серии 3
Введение 4
Диагностическая работа 6
Целые рациональные уравнения. Решения задач 1 и 2 диагностической работы . . 8
Тренировочная работа 1 9
Тренировочная работа 2 10
Дробно-рациональные уравнения. Решения задач 3 и 4 диагностической работы . 12
Тренировочная работа 3 13
Тренировочная работа 4 14
Иррациональные уравнения. Решения задач 5 и 6 диагностической работы .... 16
Тренировочная работа 5 18
Тренировочная работа 6 19
Тригонометрические уравнения. Решения задач 7 и 8 диагностической работы . . 21
Тренировочная работа 7 23
Тренировочная работа 8 25
Показательные уравнения. Решения задач 9 и 10 диагностической работы 27
Тренировочная работа 9 28
Тренировочная работа 10 29
Логарифмические уравнения. Решения задач 11 и 12 диагностической работы ... 30
Тренировочная работа 11 33
Тренировочная работа 12 34
Диагностическая работа 1 35
Диагностическая работа 2 37
Диагностическая работа 3 39
Диагностическая работа 4 41
Ответы 43
45

Шестаков Сергей Алексеевич
Математика. Задача ВЗ. Рабочая тетрадь
Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко
Подписано в печать 5.11.2009 г. Формат 70 х 90 У^. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 3. Тираж 10 000 экз. Заказ №20175.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, 15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblioGmccme.ru