ЗТопцлярные лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
Б.?. MAP ГУЛИ С
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ
УР' МНЕНИЙ
ФИЗМАТГаЗ 'I960

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 34
Б. Е. МАРГУЛИС
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА I960

АННОТАЦИЯ
В книжке кратко и в популярной форме изла-
излагаются те вопросы, связанные с системами урав-
уравнений первой степени, которые недостаточно
освещаются в школьном курсе алгебры.
Отдельные параграфы книги были предметом
тематических занятий математического кружка
для школьников при Смоленском педагогическом
институте имени К. Маркса.
Книга рассчитана на учащихся старших классов
средней школы; отдельные части ее могут быть
использованы также учащимися техникумов, сту-
студентами младших курсов и учителями средних
школ.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 		4
§ 1. Почему нужно изучать системы линейных уравнений? . .	5
§ 2. Какие бывают системы?		14
§ 3. Метод последовательного исключения		20
§ 4. Общие вопросы исследования систем. Определители ....	37
§ 5. Приближенное решение систем методом последователь-
последовательных приближений		54
§ 6. Приближенное решение несовместных систем		69
§ 7. Графическое решение систем линейных уравнений ....	81
Ответы и указания к упражнениям для самостоятельного ре-
решения 	 ...	92

ПРЕДИСЛОВИЕ
Решение и исследование систем линейных уравнений —
одна из тех математических проблем, в которой имеется
широкое поле деятельности для всех любителей математики,
от семиклассника до академика.
Эта книжка ставит перед собой цель обратить внимание чита-
читателя на такие вопросы, касающиеся систем линейных уравнений:
а)	Общие методы исследования и решения систем.
б)	Практически удобные схемы для точного или прибли-
приближенного решения систем.
в)	Реальный смысл несовместных систем и их прибли-
приближенное решение.
г)	Графическое решение систем и приложения последних
к решению некоторых задач науки и техники.
Недостаток места не позволил касаться бесконечных си-
систем и вынудил ограничиться системами уравнений с неболь-
небольшим числом неизвестных, но методы решения даны в таком
виде, что их легко распространить на произвольные системы
линейных уравнений.
Изложение отдельных параграфов в большинстве случаев
независимо; лишь содержание § 2 следует знать при чтении
всего дальнейшего. По этой причине можно параграфы читать
в ином порядке и в разное время. По доступности можно
параграфы распбложить в таком порядке: 2, 3, 7, 1, 5, 4, 6.
Вопросы, требующие более внимательного изучения (хотя1
и доступные учащемуся средней школы), даны мелким шриф-
шрифтом: эти вопросы могут быть выпущены при первом чтении.
Автор будет благодарен всем, кто поделится своими за-
замечаниями по этой книжке, и просит направлять эти замеча-
замечания в I редакцию математической литературы Физматгиза.

§ 1. ПОЧЕМУ НУЖНО ИЗУЧАТЬ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ?
При изучении систем линейных уравнений (уравнений
первой степени) в школе учащиеся знакомятся с некоторыми
практическими задачами, решение которых требует составле-
составления и решения систем; такими являются, например, задачи
на составление смесей и сплавов. Мы рассмотрим несколько
задач такого типа, взятых из различных отраслей науки и
техники. Первой рассмотрим простую алгебраическую задачу.
Задача 1. Найти частное и остаток от деления много-
многочлена 2хъ — Зх* -f- 2х3 -f- 5х2—7 на трехчлен х2 — 2х-\-Ъ.
Читателю известно, что эту задачу можно решить деле-
делением многочленов; покажем, как это можно сделать, не при-
прибегая к делению. Мы используем известные из элементарной
алгебры соотношения между показателями степеней компо-
компонент действия деления многочленов: показатель степени
частного равен разности между показателями степеней дели-
делимого и делителя, показатель степени остатка меньше (по
крайней мере на единицу) показателя степени делителя. Для
данной задачи получаем: степень частного равна 3 E — 2),
степень остатка не выше 1 B—1). Итак, нам здесь известен
вид искомых функций, но неизвестны значения числовых
коэффициентов (частное — многочлен третьей степени, четыре
коэффициента его пока неизвестны; остаток может быть
многочленом первой степени, два коэффициента неизвестны).
В тех случаях, когда известен вид функции, но неизвестны
входящие в ее аналитическое выражение коэффициенты,
очень часто прибегают к методу неопределенных коэффи-
коэффициентов. Этот метод состоит в том, что мы вводим буквен-
буквенные обозначения для неизвестных коэффициентов; затем,
пользуясь условием задачи и существующими между рас»
сматриваемыми величинами тождественными соотношениями,

устанавливаем связи, которые имеются между неизвестными
коэффициентами и заданными величинами. Эти связи обычно
выражаются в виде уравнения или системы уравнений отно-
относительно неизвестных коэффициентов; решая уравнение (или
систему), мы находим значения коэффициентов.
Для решения данной задачи запишем частное в виде
Ахг -\- Вх2-\-Сх-\- D, а остаток — в виде Ex-\-F и вос-
воспользуемся известным соотношением, связывающим компо-
компоненты действия деления: делимое равно сумме произведения
делителя на частное и остатка; мы придем к равенству
2х5 — Зх4 _|_ 2хз _|_ 5х2 — 7 =
= (х2 — 2х + 3) (Ах3 -j- Вх2 + Сх -\- D) + Ex + F.
Это равенство должно выполняться тождественно относи-
относительно х, что возможно тогда и только тогда, когда в левой
и правой частях его будут совпадать коэффициенты при
каждой степени х. Выполняя действия в правой части и при-
приравнивая последовательно коэффициенты при хь, х4, х3, х2,
х и х° (свободные члены), мы придем к такой системе
шести уравнений относительно шести неизвестных коэф-
коэффициентов:
A)
Учащийся легко решит эту систему. Ее решение:
А = 2, В=1, С = — 2, D = — 2, Е = 2, F = —1.
Отсюда ответ: частное от деления: 2x3-j-*2— 2х — 2, оста-
остаток: 2х — 1.
Следующая задача относится к механике.
Задача 2. Круглый стол опирается на три ножки, концы
которых образуют правильный треугольник и находятся на
расстоянии г от центра треугольника. На расстоянии -н- от
центра О доски стола в точке D на радиусе, направленном
к одной из ножек, помещена гиря весом р кГ. Найти реак-
А
2Л +
зл —
в
2В + С
ЪВ — 2С +
ЗС —
D
2D-|-?
3D 4-
— 2,
	 о
	 Q
= 5,
= о,

ции и, v, w опор 1), вызываемые этой силой соответственно
в ножках А, В, С (рис. 1).
Для решения задачи используем правила, которые дает
Механика.
а)	Известно, что сила выражается вектором, равным по
длине величине силы, направленным по прямой, по которой
действует сила, и в ту сто-
сторону, куда направлена сила.
Один из законов меха-
механики требует, чтобы сумма
всех сил, приложенных к
телу, находящемуся в рав-
равновесии, равнялась нулю
(нуль-вектору).
В данном случаевсе силы	Рис. 1.
направлены по параллельным
прямым (вертикально); поэтому их можно характеризовать
относительными числами: абсолютным значением числа задать
величину силы, знаком — ее направление, а именно, силы,
направленные вверх, будем считать положительными, напра-
направленные вниз — отрицательными. Исходя из этого условия,
следует указанный закон механики записать в таком виде:
u~\-v-\-w — р = 0.
б)	Моментом силы относительно направленной пря-
прямой 2) называется относительное число, определяемое такими
условиями:
1.	Абсолютное значение его равно произведению вели-!
чины силы на ее плечо, т. е. на расстояние прямой, по кото-
которой действует сила, от данной прямой.
2.	Если представим себе, что сила, действуя на тело одна,
приводит его во вращательное движение относительно дан-
данной прямой, то движение может наблюдаться с положитель-
положительной стороны прямой происходящим либо в направлении часо-
часовой стрелки, либо в противоположном направлении; в пер-
первом случае принято момент силы считать положительным,
во втором — отрицательным.
!) Согласно третьему закону Ньютона сила, с которой ножка
стола давит на опору (пол), вызывает равное по величине и обрат-
обратное по направлению противодействие опоры (реакцию опоры).
¦ ¦ 2) Прямая называется направленной, если на ней указано поло-
положительное направление.

Другой закон механики требует, чтобы сумма моментов
всех сил, действующих на находящееся в покое тело, отно-
относительно любой прямой равнялась нулю.
Применим этот закон дважды: один раз будем вычислять
моменты сил относительно прямой ОА, проходящей через
центр доски и точку D приложения силы р, второй раз —
относительно прямой ВС (см. рис. 1). В первом случае
моменты сил аир равны нулю (так как плечо каждой из
этих сил равно нулю), момент силы v равен
х) ¦ BE — v
момент силы w равен
Указанный закон механики приводит в этом случае к урав-
уравнению
vr -г;	wr —- = О
или
v — w = Q.
Во втором случае моменты сил v и w равны нулю; момент
силы р равен
момент силы а равен
Это дает нам возможность составить еще одно уравнение:
3	.
pr — jur=0
или
Ъа = 2р.
Итак, величины сил к, v, w должны удовлетворять системе
V — W==Q I	B)
I
За	= 2p. )

Решая ее, приходим к такому ответу;
= ^r P, V = W:
-&Р-
М
Рис. 2.
B электротехнике может быть поставлена следующая задача.
Задача 3. Дана электрическая цепь, показанная на рис. 2.
Электродвижущая сила каждого из источников Ег и Е2
равна 120и, источника Е3—
240г>. Сопротивления та- .. .,	т.	 В
кие:
	 	 1 п о у 	of) Q
Найти силу тока на всех
участках цепи.
Для решения задачи ис-
используем два известных пра-
правила Кирхгофа.
1.	В любом узле (место
соединения проводов) сумма
всех токов равна нулю; при
этом токам, направленным к узлу, приписывается положи-
положительный знак, а токам, направленным от узла, — отрицатель-
отрицательный знак.
2.	В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма
электродвижущих сил равна алгебраической сумме произве-
произведений сил тока на сопротивления соответствующих участков
цепи.
Применим к заданной цепи последовательно оба правила
Кирхгофа, учитывая показанные на рис. 2 направления токов
и электродвижущих сил. Первое правило, примененное к каж-
каждому узлу, дает уравнения:
Узел А:	11Л~12 — /3 = 0,
Узел В:	/G — Д — /4 = 0,
Узел С:	/4 -\~ /5 — /2 = О,
Узел D:	/3 —/5 —/6 = 0.
Второе правило, примененное к каждому замкнутому кон-
контуру, приводит к уравнениям:
Контур АСВКА: It — 2/2 — 10/4 = — 120,
Контур ALDCA: 2F2-\-I3-\- 10/3— 120,
Зак. 1310

Контур BCDMNB:
Контур ACDMNBKA:
Контур ALDMNBCA:
Контур ALDCBKA:
Контур ALDMNBKA:
10/4— 10/5 + 20/6 = 240,
/, ~ 2/2—10/5 + 20/6 = 240— 120,
4 + 20/6 + Ю/4+2/2 = 240 + 120,
4 + 4+Ю/5 — Ю/4= 120 — 120,
4+ 4+ 204 = 240 — 120 + 120.
Рассматривая полученные уравнения совместно, приходим
к следующей системе 11 уравнений, содержащей шесть не-
неизвестных:
-4
— 4
—
+
4
—
+ /з
+ 4 +
+ 4-
+ /з
4
4 +
—
ю/4
+
4 —
—
ю/4
ю/4 +
/
/,
10/,
10/,
10/
= 0,
+ /6 = о,
= 0,
ь- /6 = 0,
= — 120,
s =120,
4 + 2/6 = 24,
5 + 2О/6= 120,
+ 20/6 = 360,
= 0,
+ 20/6 = 240.
4-2/2
2/,+ 4	+Ю4	=120,	C)
Л-2/2
24
h
Хотя число уравнений здесь превышает число неизвестных,
легко убедиться в том, что эта система имеет решение. Для
этого выберем из числа 11 уравнений систему шести урав»
нений, например составленную из уравнений с порядковыми
номерами 1, 2, 3, 5, 6, 7, и решим ее известными из
элементарной алгебры способами. Тогда получим такое реше-
решение укороченной системы:
Непосредственной подстановкой этих значений в уравне-
уравнения системы C) убеждаемся в том, что они образуют реше-
решение этой системы. Итак, поставленная задача имеет такое
решение: 4 = 2Л, /2=16Л, J3= \8А, /4 = 9Л, /5 = 7Л,
В дальнейшем (§ 4, стр. 38) будет выяснена причина того,
что система, у которой число уравнений превышает число

неизвестных, имеет в данном случае решение; там же будет
указано на физическое истолкование этого обстоятельства.
Рассмотрим старинную китайскую задачу-фокус, относя-
относящуюся к арифметике.
Задача 4. Ведущий игру предлагает кому-либо заду-
задумать целое число, затем разделить его последовательно на 3,
5, 7 и сообщить остатки от деления. По этим остаткам веду-
ведущий должен отгадать задуманное число. Как он может это
сделать?
Обозначим задуманное число через х, неизвестные частные
от деления его на 3, 5, 7 соответственно через и, v, w и
известные остатки от деления соответственно через а, Ъ, с.
Так как в каждом случае деления делимое равно сумме
произведения делителя на частное и остатка, то условия
задачи приводят к системе
х = За -\-а,
х — 5v -\-b,
х — 7w-\-c,
х — За = а,
или х — 5v = b, \	D)
х — 7т» = с.
Система содержит 4 неизвестных и только 3 уравнения.
Очевидно, что для получения ее решения достаточно одному
из неизвестных приписать произвольное значение, после чего
каждое из уравнений системы позволит найти еще по одному
неизвестному. Система имеет, таким образом, бесконечно
много решений. Однако не всякое решение системы будет
также удовлетворять и условиям задачи: ведь по смыслу
все 4 неизвестных должны иметь целые значения. Чтобы выде-
выделить те решения системы, которые удовлетворяют также этому
требованию задачи, исключим х один раз из первых двух
уравнений системы, второй раз из последних двух уравнений
и в обоих случаях выразим неизвестные через v:
	 5v + b — a 	 6u — v -j- b — a 	^ v -\- a — b
5v-\-b — 7w-\-c, w=—~	.
Числа а и v — целые; из первого уравнения можно заклю-
заключить, что выражение v $	 должно также быть целым.
11

„	v -+- а — b
Пусть	g	= s; тогда v=3s — a~\-b и второе урав-
уравнение дает для w выражение
5 Cs 4- Ь — а) 4- Ъ — с 	 A4s + 7b) + (s — b — 5a — с)
W =; -
- 5а ¦
Так как w, s и Ь — числа целые, то и выражение
s — Ъ — 5а — с
s — Ь — 5а — с
должно быть целым; пусть
= Л Тогда, выра-
выражая последовательно через t числа s, v и х, находим:
v = 3 Eа + b -f с -f 70 — a -f * = 14я + 4й + Зс + 2
х = 5 A4а 4-46 4-Зс 4-210 4-* ^ 70а 4-21* + 15с 4
Ответ получен: л: = 70а4~2\Ь-\- 156-4-105^ (t — произвольное
целое число). Итак, задача имеет все же бесконечно много
решений. Следует, однако, отметить, что если на задумывае-
задумываемое число наложить ограничение, чтобы оно было положи-
положительным и не имело более двух цифр, то в этом случае
задача будет иметь единственное решение; так, при а = 2,
6=3, с —5 находим:
х=:70. 24-21 • 3 4-15- 5 4-Ю5-(—2) = 68.
В заключение рассмотрим еще одну задачу из теории
теплоты, принадлежащую к очень распространенному в физике
типу задач.
Задача 5. Известно, что удельная теплоемкость воды
непостоянна и при постоянном давлении является функцией
от температуры воды. Если принять удельную теплоемкость
воды при 15°С за единицу, то для других температур при
постоянном давлении опыты дают значения удельной тепло-
теплоемкости, приведенные в следующей таблице:
Температура t
(в градусах С)
Удельная теплоем-
теплоемкость с
(в кал/г ¦ град)
35
0,9982
50
0,9988
65
1,0002
80
1,0025
90
1,0046
100
1,0072
12

Требуется подобрать формулу возможно более простого вида,
для которой перечисленные в таблице пары значений тем-
температуры t и удельной теплоемкости с были бы соответ-
соответственными парами значений аргумента и функции.
Заметим, что формулы, устанавливаемые на основании
данных опыта, называются эмпирическими.
Решение задачи начнем с того, что построим в прямо-
прямоугольной системе координат точки, координаты которых
равны соответственно значениям температуры t и удельной
теплоемкости с. Соединяя эти точки плавной кривой (рис. 3),
мы получим кривую, при-
приближенно выражающую гра-
графически указанную функ-
функциональную зависимость. Но
эта кривая по форме близка
к параболе с вертикальной
осью, уравнение которой
имеет следующий общий вид:
Проверим, нельзя ли оп-
определить коэффициенты /?,
q, r (вспомните метод не-
неопределенных коэффициен-
коэффициентов, примененный к решению
задачи 1) так, чтобы эта
формула отображала иско-
искомую зависимость, т. е. при
заданных в таблице значе-
значениях температуры принимала
30 40 50 60 70 80 90 100 i
AШ V J/
Рис. 3.
бы значения теплоемкости,
совпадающие с полученными из опыта. Но для этого необ-
необходимо, чтобы приведенные в таблице пары значений t и с
удовлетворяли предполагаемой формуле; подставляя их в фор-
формулу, мы получаем для трех неизвестных коэффициентов
такую систему шести уравнений:
1225/? + 35?+г = 0,9982,
2500/? + 50q-\-r = 0,9988,
4225/? + 65G+/-= 1,0002,
6400/? + 80G + г = 1,0025,
8100р+ 90<7-f г= 1,0046,
10000/7+ 100?+/• = 1,0072.

Если мы попытаемся решить эту систему так же, как
была решена система C), то нам это не удастся; так, например,
решая систему, состоящую из последних трех уравнений E),
мы для неизвестных получим значения /7 = 0,0000025,
q = — 0,000215, г =1,0037, не удовлетворяющие осталь-
остальным уравнениям системы E). Полученная система оказалась
противоречивой, она не имеет решений.
В § 6 будет введено понятие приближенного решения
системы и будет показано, как приближенно решаются
противоречивые системы; на стр. 72 и 77 будут даны два
приближенных решения системы E). Здесь отметим лишь,
что приближенное решение противоречивых систем сводится
к точному решению некоторых специальным образом по-
построенных систем.
Ограничиваясь приведенными выше задачами, отметим
еще, что к решению систем линейных уравнений сводятся
такие группы задач:
а)	Задачи механики, связанные с расчетом фундаментов,
колонн, арок, мостов и других сооружений.
б)	Задачи из геодезии, связанные с построением карт на
основании данных геодезической съемки; получающиеся здесь
системы содержат большое число неизвестных, исчисляю-
исчисляющееся часто сотнями.
в)	Системы линейных уравнений — основной аппарат при на-
нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах.
г)	Задачи приближенного решения уравнений, имеющих
большое распространение в высшей математике.
д)	Системы линейных уравнений широко используются в но-
новейших областях физики и смежных с ней наук: теории относи-
относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды.
Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев ис-
использования систем линейных уравнений, но обнаруживают,
насколько часто сталкиваются при решении задач математики
и естествознания с необходимостью исследовать и точно или
приближенно решить систему линейных уравнений. Вот почему
будущим специалистам многих профессий следует ознако-
ознакомиться с элементами теории систем линейных уравнений.
§ 2. КАКИЕ БЫВАЮТ СИСТЕМЫ?
Остановимся на основных определениях и обозначениях,
которыми мы будем пользоваться в дальнейшем изложении.
Мы не станем приводить здесь определений уравнения,
системы уравнений, системы линейных уравнений (уравнений
14

первой степени), считая, что читатель знает их из курса
элементарной алгебры. Условимся лишь в дальнейшем системы
линейных алгебраических уравнений именовать для краткости
одним словом «системы».
1.	Системы различаются по числу уравнений и числу
неизвестных. Прежде всего, нужно отметить, что совсем не
обязательно, чтобы число уравнений т совпадало с числом
неизвестных п, как это иногда ошибочно заключают из курса
элементарной алгебры. Наряду с системами, в которых вы-
выполняется равенство т = п, возможны системы, в которых
может иметь место любое из неравенств т>« (например,
в системах задач 3 и 5) или т<^п (например, в системе
задачи 4). В том частном случае, когда имеет место равен-
равенство от = я, мы это общее значение будем называть порядком
системы. В средней школе основное внимание уделяется
системам второго и третьего порядков; в этой книжке
наряду с такими системами будут также встречаться системы
более высоких порядков, произвольного порядка п, и системы,
в которых тфп.
2.	Условимся о записи систем в общем виде. Системы
с небольшим конкретным числом неизвестных B, 3, 4 и т. д.)
будем записывать, как в элементарной алгебре: неизвестные
будем обозначать последними буквами латинского алфавита
(х, у, z, a, v, w); коэффициенты при неизвестных и сво-
свободные члены — первыми буквами того же алфавита
{а, Ь, с, d, e), причем каждую из них будем снабжать внизу
цифрой (указателем или индексом), показывающей номер
уравнения, в которое входит этот коэффициент или сво-
свободный член. Так, системы второго и третьего порядков
согласно этому условию записываются в виде:
J
агх -f- Ьгу = d2, J
G)
aix + Ь^у + cxz — dv
агх -\~ Ьгу + c2z = d2,
агх -f- Ьъ
В случае систем с произвольным числом неизвестных п
такая система обозначений становится неудобной, так как
трудно с помощью букв выразить, что число неизвестных
равно точно п, что такое-то неизвестное занимает в уравне-
уравнении первое, второе и т. д. место. В этом случае удобнее
15

применить двухиндексную систему обозначений, принятую
в высшей алгебре. Неизвестные обозначим одной и той же
буквой (обычно х), которую снабдим индексом, указываю-
указывающим номер неизвестной в уравнениях системы. Свободные
члены обозначим одной и той же буквой, снабженной ин-
индексом, который должен указать номер уравнения, в кото-
которое входит соответствующий свободный член. Наконец,
коэффициенты при неизвестных также обозначим одной и
той же буквой (а, Ь, с), снабженной двумя индексами,
из которых первый должен указать на номер уравнения,
а второй — на номер неизвестного, при котором находится
данный коэффициент. В соответствии с этими условиями
система произвольного порядка я записывается в общем
виде так:
021*1 +022*2 +«23*3 + • • •
031*1 4" ^32*2 ~Т~ ^33*3 4~ ' • •
а система m уравнений с п неизвестными:
0Ц*1 +012*2 + • • • + а\пХ П ==Я1>
02i*i + «22*2 + • ¦ ¦ + а2пхп = d2,
(8)
amnxn = dm.
(9)
3. Перейдем к понятию решения системы.
Решением системы называется такая совокупность значе-
значений неизвестных, входящих в данную систему, которая,
будучи подставлена вместо неизвестных в уравнения системы,
обращает каждое из них в числовое равенство (или тождество,
если уравнения содержат буквенные выражения, которые
считаются известными). Нужно при этом помнить, что хотя
в совокупность значений неизвестных, дающую решение си-
системы, входит столько чисел (выражений), сколько имеется
неизвестных (п ^> 2), но такая совокупность принимается за
одно решение; так, например, система чисел х — 2, _у = — 1,
z = 4 является решением (одним!) системы
3*4- 2_у4- 2= 8,
х — Ъу — z — 1,
5г= 13.
16

Другим решением этой системы будет система чисел х = 3,
v ^= о, z =^ — 7.
Очень важна классификация систем по количеству имею-
имеющихся у них решений. Из элементарной алгебры уже из-
известно, и задачи § 1 подтверждают это, что система может
иметь единственное решение (например, системы задач 1, 2, 3),
может иметь более одного решения (например, система
задачи 4), но может также не иметь ни одного решения
(например, система задачи 5). Так как других случаев вообще
не может быть, то приходим к такой классификации систем
по количеству решений:
а)	системы, имеющие одно и только одно решение; такие
системы будем дальше называть определенными;
б)	системы, не имеющие ни одного решения; такие си-
системы будем дальше называть противоречивыми или не-
несовместными;
в)	системы, имеющие более одного решения; такие си-
системы будем называть неопределенными. Дальше мы увидим,
что всякая неопределенная система имеет бесконечно много
решений.
Системы определенные и неопределенные носят также
общее название совместных систем. Всякая совместная си-
система имеет по крайней мере одно решение.
Для практики наиболее важны определенные системы.
Но если система не является определенной, то этому могу г
быть две причины: либо она вообще не имеет решений, либо
она имеет более одного решения; нужно уметь установить,
какая из этих причин имеет место.
Напомним еще важное определение равносильности систем.
Две системы называются равносильными или эквивалент-
эквивалентными, если любое решение первой системы является также
решением второй системы и, обратно, всякое решение вто-
второй системы будет также решением первой системы. Если
мы в ходе решения системы как-либо преобразуем ее, то
только в том случае -можно за решение исходной системы
принять решение преобразованной системы, когда эти си-
системы равносильны; в противном случае следует решения
преобразованной системы подвергнуть проверке путем под-
подстановки их в исходную систему.
4. В заключение обратим внимание на два специальных
вида систем, с которыми дальше придется встречаться.
Если в системе все свободные члены равны нулю, то
система называется однородной. Особенность такой системы
2 Зак. 1310. Б. Е. Мзргулис	17

состоит в том, что она всегда совместна, так как ей без-
безусловно удовлетворяет решение, состоящее из нулевых зна-
значений неизвестных; это очевидное решение кратко называют
нулевым. Если однородная система — определенная, то нуле-
rsoe решение является единственным ее решением; если же
однородная система — неопределенная, то она наряду с нуле-
нулевым содержит также по крайней мере еще одно ненулевое
решение (т. е. такое решение, которое имеет в своем со-
составе хотя бы одно число, отличное от нуля). На практике,
как правило, представляют интерес именно ненулевые реше-
решения однородных систем.
5. Пусть мы в каждом уравнении системы выделили то
неизвестное, номер которого совпадает с номером уравнения
в системе (например, в системе G) х в первом уравнении,
у— во втором, z—-в третьем). Выделенные неизвестные
назовем диагональными неизвестными, а стоящие перед
ними коэффициенты — диагональными коэффициентами.
Так, например, в системе A) все диагональные коэффициенты
равны единице, в системе (8) диагональными будут коэффи-
коэффициенты, у которых оба индекса совпадают (ап, а2г, . . ., #„„)•
Ясна, что состав диагональных коэффициентов зависит от
порядка следования неизвестных в уравнениях и от порядка
следования уравнений в системе, причем первый предпола-
предполагается одинаковым во всех уравнениях.
Если уравнения и неизвестные в системе можно распо-
расположить таким образом, чтобы в каждом уравнении все коэф-
коэффициенты при неизвестных, находящиеся левее диагонального
коэффициента этого уравнения, оказались равными нулю,
ю говорят, что система имеет треугольную форму. Так,
треугольную
записать так:
форму имеет система A), ибо ее можно
Е-4-3- D-f-O- С + О .5 + 0 • Л=— 7,
0- А= О,
0. А = 5,
3-Л= 2,
2-Л = ~- 3,
Л= 2
Q.F+ Е — 2.D-4-3-C + O.B
0-F + 0-? + D — 2 • C-f-3 • В
O-F-j-O-f + O- D+ С — 2-В
0-F + 0-.E + G- D + 0-C+ В
Здесь жирным шрифтом напечатаны те нули, которые опре-
определяют треугольную форму системы.

П р и м е ч а н и е. Если число уравнений не превышает числа
неизвестных, то система будет диагональной формы и в том слу-
случае, когда нулю равны все коэффициенты, находящиеся правее диа-
диагональных, так как за счет изменения порядка следования уравне-
уравнений и неизвестных можно такую систему представить в виде, ука-
указанном в определении диагональной формы; такое видоизменение
системы выше выполнено над системой A).
В дальнейшем нам надо будет различать две разновидности
треугольной формы: точную и вырожденную. Треугольная
форма называется точной, если т — п (от — число уравне-
уравнений, п — число неизвестных) и если все диагональные коэф-
коэффициенты отличны от нуля; точную диагональную форму
имеет, например, система A). Треугольная форма называется
вырожденной, если тфп или если т=хп и хотя бы один
из диагональных коэффициентов равен нулю. Ниже приве-
приведены примеры систем вырожденной треугольной формы:
х— Ъу-\-	52—2^ = 7,
О • х-\-0- у—	4г -j- 3* = — 1,
О • х + 0 • у +	1z — Ы =» 2,
О • х-
О • х + Ь2у + сгх -f- d2t = е2, >
О • х -\- 0 • у + csz -f- d3t = е3. j
алх
О • х -\- Ъгу = dz,
О •
Следует обратить внимание на то, что в системе вырожден-
вырожденной треугольной формы, у которой т > п, все коэффициенты
при неизвестных в уравнениях, номер которых выше п,
должны быть нулями (как находящиеся левее диагонального
коэффициента, который можно считать существующим и
равным нулю). Этот случай иллюстрирует последний из при-
приведенных выше примеров.
Значение понятия системы треугольной формы будет
выяснено в § 3.
2*	19

§ 3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ
1. В элементарной алгебре обычно излагают два способа
решения систем линейных уравнений: способ подстановки и
способ алгебраического сложения (или уравнивания коэф-
коэффициентов). В применении к системам второго порядка эти
способы состоят в следующем.
а) Пусть система задана в общем виде F). Очевидно,
что хотя бы один из коэффициентов при х не равен нулю
(иначе система не содержала бы х); пусть для определен-
определенности uj ф 0 (в случае с, = 0 и а2 Ф 0 мы могли бы поме-
поменять местами уравнения). Тогда можно выразить из первого
уравнения х через у
н подставить это выражение во второе уравнение; в резуль-
результате получим уравнение относительно у:
i — d2 или
Подстановка позволила исключить одно неизвестное, умень-
уменьшить число неизвестных в одном уравнении на единицу.
В исключении неизвестного и заключается смысл способа под-
подстановки. В результате подстановки мы вместо системы F)
получаем другую систем}-:
ЬъУ = d3,
где
	/, 	 аг и
i.	й) 1>

о	I
Система A0) имеет треугольную форму (см. § 2, п. 5).
Решить ее легко: при
находим из второго уравнения у, после чего из первого
определяется х и система оказывается определенной; если
то значение у может быть взято произвольно, а значение х
находим, как выше, и система оказывается неопределенной;
в случае
20

второму уравнению, а с ним и всей системе A0) не может
удовлетворять никакое значение у, система оказывается не-
несовместной. Так как системы F) и A0) равносильны (это
можно было бы проверить непосредственно; дальше, в п. 3,
это будет доказано для систем произвольного вида), то сде-
сделанные только что выводы о решениях системы A0) отно-
относятся также к системе F).
б) По способу алгебраического сложения мы добиваемся
того, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных оказались
равными по абсолютной величине; тогда сложением или вы-
вычитанием уравнений исключают это неизвестное. Практически
можно поступить так: считая, что а, Ф 0 и агф0 (в про-
противном случае незачем было бы исключать неизвестное), мы
в системе вида F) первое уравнение умножаем на —а2, вто-
второе— на а,, после чего уравнения почленно складываем;
получим:
(а^2 — агЬ\) У — airf2 — a2rfi
или
atb3 v — fljrfg,
т. е.
(значения bz и d^ определены выше). Решение системы F)
снова сводится к решению системы A0) треугольной формы.
Таким образом, смысл способа алгебраического сложения
тоже заключается в исключении неизвестного и в приведении
системы к треугольному виду. Отсюда можно заключить, что,
по существу, мы имеем дело не с двумя различными спосо-
способами решения систем, а с двумя разновидностями одного и
того же способа исключения неизвестных. В элементарной
алгебре этот способ обобщается на системы третьего и более
высоких порядков; подробно мы на этом не будем остана-
останавливаться. Отметим лишь, что если порядок системы выше
двух, то приходится исключать более одного неизвестного,
что последовательно и выполняется. Мы дальше рассмотрим
способ последовательного исключения в общем виде, для
систем произвольного вида (9).
2. Произвольные системы, по аналогии со случаем си-
системы второго порядка, мы будем также решать в два этапа:
а)	данную систему заменяем системой треугольной формы,
равносильной данной системе;
б)	исследуем полученную систему треугольной формы и
в случае совместности ее находим решение этой системы.
21

Рассмотрим последовательно каждый из этих этапов.
3. Покажем, как можно произвольную систему вида (9)
заменить системой треугольной формы, равносильной данной.
Очевидно, что среди коэффициентов яи, аи, ..., ат1 при Ху
в уравнениях системы должен быть хотя бы один, не равный
нулю, иначе система не содержала бы хх. Мы можем, не огра-
ограничивая общности рассуждений, предположить, что лп Ф О,
так как этого можно всегда добиться за счет перестановки
уравнений (первым поставить уравнение, у которого коэффи-
коэффициент при Ху не равен нулю). Условие аи ф 0 позволяет
выразить из первого уравнения Ху через остальные неизвест-
неизвестные:
х = — (d — ах—	— —a v )
Ху— пп ( 1 «12 2 «13'3	•••	йуп. п).
Подставляя это выражение для Ху в остальные т—1
уравнений системы (9), мы преобразуем эти уравнения к та-
такому виду:
Ь ... 4-^зЛ =е3.
Ьтпхп = ет,
где
Й12
Ьгя= а2п
«и
= а,,	— а3., Ь33 = а,, —
зя ап si.
«11
= d —^а. ! С11)
«п
*mU
Й10
гт1>
aUi
.... Ъ^ — а^ — ^а^, em = dm — -^aml.
Заметим, что формулы A1) сохраняют силу и в том случае,
когда некоторое уравнение системы (9) не содержит х,, т. е.
когда фактически в это уравнение хх не подставляется; так,
если агх = 0, то из A1) устанавливаем, что в этом случае
коэффициенты второго уравнения системы (9) не меняются:
22

Итак, независимо от того, будут ли коэффициенты при хх
в остальных уравнениях нулями или отличными от нуля, мы
можем оставить хх только в первом уравнении, а из осталь-
остальных уравнений системы (9) исключить хх, после чего придем
к системе вида
aXixx-\-a12x2 -f-a13x3 + ... -\-alnxn =dx,
b,2x2 -A- b23x3 -f- .., -f- b2nxn = e2,
A2)
Хз-4- ... -{-bmaxa = em, .
где новые значения коэффициентов и свободных членов даны
в A1).
Докажем, что системы (9) и A2) равносильны. Пусть система
чисел
Х\ ^= Kj, Хп = Й2, . . .| Xл ^^ U-ц
является решением системы (9), т. е. пусть выполняются равенства
С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые выше приве-
приведены для уравнений системы (9), мы легко устанавливаем, что ука-
указанные там тождественные преобразования приведут нас к равен-
равенствам
= е
из которых следует, что совокупность чисел х\ = aj, x% = а2, ...
..., х„ = ап осуществляет также решение системы A2).
Пусть, обратно, система чисел
Л-1 = Рь ^2 = ?2	-КЛ = Рл
дает решение системы A2), т. е. пусть выполняются равенства (зна-
(значения ноеых коэффициентов заменяем по формулам A1))
«ин
23

Первое равенство показывает, что указанная система чисел удо-
удовлетворяет первому уравнению системы (9); покажем, что она удо-
удовлетворяет также каждому из остальных уравнений системы. Если
какой-либо из коэффициентов а2\, аль ..., а„л равен нулю, то для
содержащего этот коэффициент уравнения требуемое утверждение
становится очевидным (вторые слагаемые в выражениях новых
коэффициентов обращаются в нуль). Допустим, что некоторый из
этих коэффициентов не равен нулю, например я21 Ф ®- Учитывая,
что и ап Ф 0, умножаем обе части первого равенства па -— и
ап
почленно складываем его со вторым; в результате получаем ра-
равенство
a2x&i + Й22?2 "Г • • • "Ь ain'»n = ds,
подтверждающее, что система чисел Х\ = pi, х2 — %, ..., хт — rtm
удовлетворяет второму уравнению системы (9). Аналогично уста-
устанавливается, что эта система чисел удовлетворяет остальным урав-
уравнениям (9).
Возвращаясь к задаче приведения системы (9) к треуголь-
треугольному виду, рассмотрим систему уравнений, которая полу-
получится, если из системы A2) удалить первое уравнение. Она
отличается от системы (9) такими особенностями:
а)	число уравнений и число неизвестных уменьшились иа
единицу;
б)	нельзя быть уверенным в том, что в этой системе най-
найдется хотя бы один коэффициент при каком-либо неизвест-
неизвестном, отличный от нуля. Что это так, можно убедиться на
примере следующей системы:
х — 3v-f- 2z = 5,
Ъх— Qy-j- 62= 15,
5л; — 15v-f-10z = 20,
в которой после исключения х все коэффициенты при не-
неизвестных оказываются нулями (вместе с х исключаются все
неизвестные).
Если среди коэффициентов при неизвестных найдется
хотя бы один, отличный от пуля, то путем перестановки
уравнений н неизвестных можно этот коэффициент поме-
поместить па место коэффициента Ь22 и, повторно применив при-
приведенные выше рассуждения, добиться дальнейшего умень-
уменьшения числа уравнений. Если же в полученной системе все
коэффициенты при неизвестных равны нулю, то система A2)
уже будет иметь треугольную форму (вырожденную; см. § 2,
п. 5)."

Повторив этот процесс достаточное число раз (которое
не больше меньшего из чисел т — 1 пли п) и собрав в си-
систему первые уравнения рассматривавшихся на каждом этапе
систем, а также уравнение (или уравнения), полученное на
последнем этапе, мы получим систему треугольной формы,
равносильную заданной системе (9). . Здесь описан общий
метод приведения системы к треугольной форме, который
может быть применен к любой системе. Однако при приве-
приведении конкретных систем треугольная форма может быть
получена иногда при меньшем числе этапов преобразования.
Примеры приведения систем к треугольному виду будут даны
в конце параграфа.
4. Перейдем ко второму этапу решения системы общего
вида (9) — исследованию системы (т. е. установлению ее со-
совместности и количества имеющихся у нее решений) и нахо-
нахождению ее решений. Обе эти задачи решаются для системы
треугольной формы, равносильной заданной системе. В зави-
зависимости от того, к какой системе треугольной формы сво-
сводится данная система, здесь могут быть такие случаи:
а)	С п с т е м а имеет то ч н у ю т р е у г о л ь н у ю ф о р м у
(см. § 2, п. о). Тогда мы из последнего уравнения, содер-
содержащего только одно неизвестное с отличным от нуля коэф-
коэффициентом, находим это неизвестное; затем, подставив най-
найденное значение в предпоследнее уравнение, находим еще
одно неизвестное и т. д. Так, переходя каждый раз от ре-
решенного уравнения к соседнему и подставляя значения всех
ранее найденных неизвестных, мы каждый раз будем полу-
получать уравнение с одним неизвестным, коэффициент при кото-
котором отличен от нуля; по этой причине все уравнения ока-
окажутся разрешимыми, причем имеющими единственное решение.
Система в этом случае оказывается определенной. По та-
такому принципу решается система A), система задачи 10
(стр. 34).
Примечание. Нслн в системе равны нулю коэффициенты,
расположенные правее диагональных (как, например, в системе A)),
то для ее решения незачем видоизменять ее; следует решать си-
систему по указанному выше принципу, но начинать с первого урав-
уравнения и постепенно перемещаться к последнему уравнению.
б)	С и с т е м а, у которой число уравнений т
совпадает с числом неизвестных и, имеет выро-
;к д е н н у ю т р е у г о л ь и у ю фор м у. Это означает, что
по крайней мере в последнем из уравнений системы диаго-
диагональный коэффициент равен нулю, и следовательно, это
25

уравнение примет после упрощений либо вид
О.*л=1,
либо вид
о.*я = о.
Уравнению первого вида не может удовлетворить никакое
значение хп, что говорит об отсутствии решения у этого
уравнения, а следовательно, и у всей системы; система в этом
случае противоречива (несовместна). Уравнению второго вида
удовлетворяет любое значение хп. Если все те уравнения
системы, которые имеют нулевые диагональные коэффициенты,
приводятся к уравнениям вида 0 • xk — 0, то система в этом
случае совместна и неопределенна, причем она имеет беско-
бесконечно много решений (так как одному или нескольким не-
неизвестным можно приписать какие угодно значения).
Задача 6. Исследовать систему (а — некоторое заданное
число)
x-\-3y — 2z = 2, )
Зх + Ь — 2z == 2, }
y + z =д_ J
Согласно общей теории мы обязаны	поступить так: после
исключения х из последних двух уравнений	получается следующая
система;
х + Зу — 2z =2,	|
О • х + 0 • у -\- 4z = — 4, }
О • х -f 0 ¦ у + Ьг = а — 4. ]
Эта система уже имеет треугольную форму. Но для иллюстра-
иллюстрации общей теории выполним дальнейшие преобразования. Так как
у последних двух уравнений имеются отличные от нуля коэф-
коэффициенты при неизвестных, то, меняя местами члены с у и г, полу-
получим, систему
х — 2z4-3y =2,
/ = — 4,
/ = а — 4.
Исключая из последнего уравнения этой системы г, получим
следующую систему треугольной формы:
х — 22 + Зу =2,	I
О • х + 4г 4- 0 • у = — 4, \
Отсюда ясно, что при любом а ф — 1 последнее уравнение не может
быть удовлетворено ни при каком значении у, система при аф—1
26

несовместна. Если же а — — 1, то это уравнение имеет вид 0-у = О,
значение у может быть взято произвольно. Система при в = — 1
неопределенна; ее решение в этом случае можно записать так:
X — —3/7, У—Р, 2 = — 1 (р—ПРОИЗВОЛЬНО).
в) Система характеризуется условием m < я
(т. — число уравнений, п — число неизвестных). Этот случай
отличается от рассмотренных только тем, что имеется п. — т
«избыточных» неизвестных. Если все диагональные коэффи-
коэффициенты отличны от нуля, то система решается, как в случае
а), с той лишь разницей, что «избыточным» неизвестным при-
приписываются произвольные значения. Если среди диагональных
коэффициентов имеются нули, то система исследуется и
решается, как в случае б), причем в случае совместности
системы «избыточным» неизвестным опять приписываются
произвольные значения. В рассматриваемом случае система
может быть либо несовместной, либо неопределенной.
Примечание. Следует обратить внимание на то, что тре-
треугольная форма системы в случае т < п существенно зависит от
порядка следования неизвестных. Наиболее удобно исследовать си-
систему, если приведение ее к треугольному виду проводить в точном
соответствии с методом, изложенным в общем виде в п. 3.
Задача 7. Исследовать систему (а, * — заданные числа)
х _ 2 у — 5z + At = б,
Злг -f у — 2z -f- 2t = *,
Приводя систему к треугольному вил у так, как предложено это
делать в п. 3, приходим к такой системе треугольной формы;
х — 2у -j- At — Ъг = 6,	I
at	=4 — 2*. J
Здесь в зависимости от значений а, * могут быть такие случаи:
1) а Ф 0, b — любое. Система совместна, неопределенна; ее
решения:
а
г=р,
b — lS — 1'ip , 40 — 20*
7	' Та
у =
6 4- 2* + 9р 16*—32
7	J^ ia
где р — произвольно.
27

2)	а — 0, 4 — 26 ф О (Ь Ф 2). Последнее уравнение не имеет
решения. Система несовместна.
3)	а = 0, 4 — 26=0F = 2). Последнее уравнение имеет вид
0-^ = 0, ему удовлетворяет любое значение t. Так как значение z
(«избыточного.) неизвестного) можно также взять произвольно, то
система неопределенна и имеет такие решения (р, q — произвольны);
, 10/7—13<7—Ю 10 —
t=p, г=д, у = -1	jl	, х =
г) Система характеризуется условием т > п.
Такая система отличается от рассмотренных в а), б) только
тем, что она содержит/и — и «избыточных» уравнений. После
приведения системы к треугольному виду во всех «избыточ-
«избыточных» уравнениях все коэффициенты при неизвестных должны
равняться нулю (стр. 19). Если среди «избыточных» урав-
уравнений имеется хотя бы одно, левая часть которого есть нуль,
а правая часть отлична от нуля, то система несовместна.
Если же все они имеют вид тождеств 0 • xk — 0, то они
могут быть отброшены, а оставшуюся систему и уравнений
нужно исследовать так, как в случаях а) или б). Система
может в этом случае принадлежать к любому из трех видов:
быть определенной, неопределенной, несовместной.
Задача 8. Исследовать систему (a, 6 — заданные числа)
х — Зу = 2,
Зх + ау = 6,
Исключая х из последних двух уравнений, получаем такую
систему треугольной формы:
(а + 9) у = 0, }
0 . у = b — 4. j
Здесь в зависимости от значений a, b могут быть такие случаи:
1N — 4=^0F=^=4). Последнему уравнению нельзя удовле-
удовлетворить, система несовместна.
2)	6 — 4=0, a -f- 9 Ф 0 или 6=4, а Ф — 9. Последнее урав-
уравнение выполняется тождественно, его можно отбросить. Остальные
два уравнения дают нам единственное решение системы: у = 0,
л-= 2.
3)	6 — 4 = 0, а + 9 = 0 или 6 = 4, а = — 9. Последние два урав-
уравнения выполняются тождественно. Система совместна и неопреде-
неопределенна, значение у можно взять произвольно, например у — р. Тогда
решение системы можно записать в виде х = 2 + Зр, у — р (р—про-
(р—произвольно).
Рассмотрим еще одну задачу на исследование системы.
28

Задача 9. Исследовать систему (а — заданное число).
ах + у + г+ t=*\, ]
х-\-ау-{- z-r t = a, I
х+ y + az-\- t = a\ |
x-\- y + z + at = a\ J
Систему треугольной формы, равносильную данной, здесь легко
построить таким образом. Неизвестные х, у, z одновременно исклю-
исключаются, если из последнего уравнения, обе части которого умножены
на a -j- 2, вычесть почленно сумму остальных трех уравнений. Ненз-
иестные х и у одновременно исключаются, если из третьего урав-
уравнения почленно вычесть последнее; х удобно исключить, вычитая
из второго уравнения последнее (исключается также г). Включая
еще в систему треугольной формы последнее уравнение (первое
нельзя включать, так как коэффициент при х может здесь оказаться
нулем), ыы получим систему треугольной формы в таком виде:
х -';-	у -j-	z -j-	at = а'\	|
(а-\)у	4-	A--а)К = дA—я)(Ч-а),	I
(a— \)z+	A — д)< = а2A— а),	\
(а -р 3) (д—1) г1 == (д—1) (д3+ Зд34-2д-;-1).	j
Здесь в зависимости от значения а возможны такие случаи:
1) аф 1, а Ф—3. Все диагональные коэффициенты отличны
от нуля, система — определенная. Решение ее можно записать в виде
__a-'-i-M2-t-2a-;-l	2а-|-1	1—д—а2		 я2 + 2д-!-2
~	^РЗ ' ^ = ТН^З ' '' ^ + 3 ' Х =	Т^Г'
2)	д — — 3. В последнем уравнении коэффициент при t — нуль,
свободный член отличен от нуля. Система противоречива.
3)	а —Л. Все диагональные коэффициенты и свободные члены
в последних трех уравнениях равны нулю. Система совместна, но
неопределенна, так как неизвестным у, z и t можно приписать про-
произвольные значения. Решения системы можно записать в виде
х—\ — р — q — г, у — р, г = q, t = r,
где р, q, r — произвольны.
5. Изложенное выше исчерпывает вопрос о решении си-
систем методом последовательного исключения. Однако при прак-
практическом решении систем, особенно при приведении систем
к треугольному виду, важно уменьшить, насколько это воз-
возможно, число промежуточных действий (вычислений), а также
количество записей промежуточных результатов. Практику-
вычислителю незачем также при решении каждой системы
вникать в смысл всех промежуточных действий и записей;
на это требуются дополнительные усилия и время. Поэтому
еще полтора века тому назад один из крупнейших немецких
29

2) с л
3) а,
4) й„
5) а,,
6) о,_, I
8) а.,.
9) яJ	I
1С) а,а
31)-6 : 1
3d) 2-31
41) 3-31
48) 4-31
51) 5-31
561 7-J-36
57) 8 + 41
58) 9 + 46
59) 10 + 31
11) «г:	I
12) ам	|
32) - 11 -.1
37) 2-32
13) «,,
| 42) 3-32
14) е,.,	I
15) а-ч
j 47) 4-32
52) 5-32
60) 12 + 37
76) - 60 : 56
61) 13 + 42 |
80) 57-76
62) 14 + 47 |
84) 58-76
63) 15 + 52 [
881 59-76
СО
ей
vo
Н
92) 61 + 80
93) 62+84
94) 63 + ?8
Система треугольной формы:
A) лг. + Сб) дг2 + (П) Jfa-bA6) Ж4-ЬB1)л:5= B6),
E6)x2 + F0)A:3 + F4)jr( + F8)A;s= G2),
(92) a:3 + (95)*, + (98)a:5=A01),
(ИЗ) ^ + A15)^= A17),
A23)лсв = A24).
30

16)
17)
Ш
19)
20)
а»
«л,
аз,
о„
о,,,
х%
33)-16 : 1
38) 2-33
43) 3-33
48) 4-33
53) 5-33
21) а„
22) о„
23) ах
24) «,,
25) а-л
х.
34)
39)
44)
49)
54)
1
— 21 : 1
2-34
3-34
4-35
5-34
26)
27)
28)
29)
30)
Свободные члены
d,
d.
d,
d,
35)-26 : 1
40) 2-35
45) 3-35
50) 4-35
55) 5-35
Свободные члены
64) 17 + 38
65) 18 + 43
66) 19 + 48
S7i 20 + 53
77)-64 :56
81) 57-77
85) 58-77
89) 59-77
x,
9.5) 65 + 81
98) 56 + 85
07)
57-f 89
«
к
и)
H
104)-95 :92
107) 93-104
110) 94-104
x,
113) 96 + 107
114) 97 + 110
68) 22 + 39
69) 23 + 44
70) 24 + 49
71) 25 + 54
78) - 68 : 56
82) 57-78
85) 58-78
90) 59-78
98) 69 + 82
99) 70 + 86
100) 71+90
105) - 98 : 92
108) 93-105
111) 94-105
x,,
115) 99+ 108
116I00 + 111
1Табл. 5
1
119)-115: 113
121) 114-119
123) 116 4-121
72) 27 + 40
73) 28 4-45
74) 29 + 50
75) 30 4-55
79) — 72 : 56
83) 57-79 |
87) 58-79
91) 59-79
Свободные члены
101) 73+83
102) 74 + 87
108) -101 : 92
|lO9) 93-106
103) 75+91
J112) 94-106
Свободные члены
117) 102+ 109
jl20)-117 : 113
118) 103+112
|l22) 114-120
Свободные члены
124) 118+ 122
31

математиков Карл-Фридрих Гаусс A777—185&) предложил
наиболее громоздкий этап решения системы — приведение ее
к треугольному виду — осуществлять с помощью практически
удобной схемы или таблицы, в определенные места которой
записываются в определенном порядке данные величины, про-
промежуточные результаты и окончательные результаты. С тех
пор предложено много таких схем; их принято называть схе-
схемами Гаусса. Одна из таких схем приведения системы к тре-
треугольному виду дана на стр. 30—31. Существенным отличием ее
от схем, используемых на практике, является отсутствие в этой
схеме контроля правильности вычислений, очень важного
в случае большого количества вычислений.
На стр. 30—31 приведена схема для решения систем пятого
порядка. Если система имеет меньший порядок, то заполнение
схемы следует начать не с первой таблицы, а со второй
(в случае системы четвертого порядка) или с третьей (если
система третьего порядка). Для решения систем более высо-
высокого порядка необходимо схему дополнить в начале соот-
соответствующими таблицами, которые имеют такое же строение,
как и приведенные, но содержат больше строк и столбцов.
Подробно описывать схему пет надобности. Учиться поль-
пользоваться схемой можно по самой этой схеме. Рекомендуемый
порядок заполнения клеток схемы указан при помощи поряд-
порядковых номеров, которые помещены в начале каждой клетки
и напечатаны жирным шрифтом. После порядкового номера
в каждой из первых тридцати клеток указано, какую из задан-
заданных величин следует там поместить (например, в клетку № 28
нужно записать свободный член третьего уравнения). В после-
последующих клетках схемы после порядкового номера указано то
действие над ранее записанными величинами, результат кото-
которого следует записать в данную клетку (например, запись
в клетке JV<> 77: —64 : 56 означает, что в эту клетку нужно
записать взятое с обратным знаком частное от деления числа,
записанного в клетке № 64, на число, записанное в клетке
К= 56).
Сделаем еще некоторые замечания, касающиеся практиче-
практического использования схемы.
Расстановка порядковых номеров в схеме предполагает,
чю порядок следования уравнений и неизвестных сохраняется
постоянным. На самом же деле его необходимо менять, если
число, которое нужно записать в левом верхнем углу каждой
таблицы (в клетки №№ 1, 56, 92, 113), оказывается равным
пулю. Его также целесообразно менять так, чтобы в указан-
32

ных клетках оказались числа наиболее простого вида (целые,
небольшие по абсолютной величине; лучше всего, если это
будет единица с любым знаком). Для заполнения схемы порядок
следования уравнений не имеет никакого значения, а порядок
следования неизвестных в случае его нарушения при переходе
к новой таблице надо отмечать в верхней строке этой таб-
таблицы (не имеющей номеров). Следует еще заметить, что в слу-
случае изменения порядка следования уравнений клетки №№ 1—30
и соответствующие им клетки в других таблицах (куда запи-
записываются коэффициенты во вновь полученной системе) удобнее
заполнять не столбцами (по неизвестным), как это предусмо-
предусмотрено в схеме, а строками (по уравнениям).
Для упрощения вычислений можно также все числа одной
и той же строки умножить (или разделить) на одно и то же
число, отличное от нуля, так как это соответствует умножению
па это число всех членов некоторого уравнения.
Чтобы после заполнения схемы получить систему треуголь-
треугольной формы, следует из каждой таблицы схемы выписать по
одному уравнению. Обычно выписывают первые уравнения,
по это не обязательно. На стр. 30 выписана система треуголь-
треугольной формы, составленная из первых уравнений каждой таб-
таблицы; в этой системе перед неизвестными и в правых частях
в скобках указаны номера клеток, из которых надо выписать
соответствующие коэффициенты или свободные члены. Для
завершения решения данной системы вида (8) и (9) остается
решить получаемую из схемы систему треугольной формы или
установить ее несовместность; об этом подробно было рас-
рассказано в п. 4.
Рассмотрим па двух задачах практические детали в реше-
решении систем методом последовательного исключения по схеме
Гаусса.
Задача 10. Решить систему
2*t — 3*2 + *3 + 4*,t + 3*5 = — 5,
хх + 4*2 + 6*3 — 2xi + *5 = 6,
—	3^ + 5*2 + 2*3 + *4 —2*5 = 6,
4Xl — 2*2 + 5*3	+ Зл-5 = — 4,
—	2*t-f- *2 — 4*з + Зл-.i + 4л-ь = 10.
Приведение системы к треугольному виду осуществляем по
схеме, данной-на стр. 30—31; заполненная схема решения этой задачи
помещена на стр. 34. При составлении схемы нами допущены такие
отступления от схемы стр. 30—31: в первой/таблице поменяли местами
3 Зак. 1310. Б. Е. Мзргулис	33

га
zt
**¦
Pi
s-
х,
1
2
—.3
4
-2
4
! -4
	з
5
-8
12
-2|
1
(М
а
VO
Н
— 16
8
х 1
1
1
-1
6
1
Система треугольной с
6
1
2
Г)
—4
—1>
—12
1К
—24
12
х.
-111
1 11
17
— 18
9
и ц а 3
е;
ормы
= 6,
71.Vj +106лг3 = 71,
Ее решение
= 1, х,~ —
1, *
И
-11
66
-13
16
—49
х.
-2
4
1
0
2
4
—6
8
3
—4
—И
20
-19
8
11
11
—И
6>
*„
28 |
—29
75
я
i-
28
13
443
Тз~
1372
~ 13
71
-397
*: = -2.
х.
1
3
—2
3
—1
—2
3
	Л
4 1
2
.V,
8
—5
8
_1
	Q
—8
8
—48
Х\
31
31
Та
—30
74
496
13
1519
х3
106
—557
':.
о
106
тГ
42 082
71
1
Своб.
6
—5
6
—4
10
Своб.
-17
24
-28
22
Своб.
41
—45
124
Сзоб.
7]
—397
Своб.
0
члены
-6
—12
18
—24
12
члены
17
17
-17
1
102
члены
41
VA
656
13
2049 ||
члеш!
	1
397
член)
34

первые два уравнения, во второй таблице на первое место поста-
поставили неизвестное хъ, в третьей таблице это место занимает неиз-
неизвестное хА (коэффициент 13 — наименьший по абсолютной величине
среди коэффициентов при неизвестных во вновь получаемой системе),
верхние строки таблицы 4 умножены на 13, в последней таблице
произведено сокращение на коэффициент при х3.
На той же стр. 34 выписана получаемая из схемы система тре-
угольной формы и дано ее решение; его можно найти, как указано
в п. 4.
Рассмотренная задача иллюстрирует случай определенной си-
системы.
Задача 11. Решить систему
2х1 4- 4^2 — Х2 — 5xi = 1,
4^ — х2 — 5х3 + 2xi = 2,
— 3xL + 2,r2 -f- 4jc3 — 3*4 =» — 2,
7xi 4" 8.^2 — 5хз — Юа'^ = 5,
Независимо от того, что здесь число уравнений не совпадает
с числом неизвестных, мы приводим систему к треугольному виду по
той же схеме стр. 39—31, сокращая лишь число столбцов в каждой
таблице на единицу. Заполненная схема решения этой задачи дана
на стр. 36. При заполнении схемы сделаны такие отступления от схемы
стр. 30—31: в первой таблице на первое место поставлено неиз-
неизвестное хя, во второй таблице последнее уравнение записано первым,
остальные уравнения сдвинуты вниз, в третьей таблице произведено
„93
сокращение чисел каждой строки соответственно на 6, —-н- и -=-.
В последней таблице имеются две строки, сплошь заполненные
нулями. Это говорит о том, что система совместна и что неизвест-
неизвестному х± можно приписать произвольное значение, например xi = т.
Переходя затем к третьему, второму и первому уравнениям системы
треугольной формы, мы последовательно выражаем через т остальные
неизвестные. Решение системы приведено на стр. 36; там же даны
три решения системы, получаемых при конкретных, указываемых
там, значениях т; разумеется, что таких решений можно построить
сколько угодно.
Рассмотренная задача иллюстрирует случай неопределенной си-
системы.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Решить систему методом последовательного исключения:
2х + 4у — Зг-f t= 5, I
4х — 2уАг г+ t= 3, [
Зх + у-}- z — 1t= 10. j
3*	85

_
—1
. <=»
; H
i
j
4
—5
—3
Система треуго
Ее
л-. —яг+ 4 .f3 —
При ui=*—'\\ xr-
2
4
-3
7
4
CM
=r
о
ьпой фс
X' x'
решеш
-10
8
4
	j
2
| 8
— 10
—6
_ -?.L
	2
—6
5
—3
рмы:
1; \
0. j
e:
3
4
—20
16
—20
— 12
-9
—21
18
— 12
CO
¦ H
¦=—1) л
9
27
ii
27
1
1
1
,=u.
XA
—5
2
—5
25
-3
-20
— 10
1
25
15
x*
11
27
—23
2
—33
55
15 !
33
2
X.l
—1
]
1
1
	1
\o
1
Своб.
1
2
	2
5
4
Своб.
j
—3
2
0
Своб
—1
—1
члены
1
-—о
4
-3!
члены
II
1
2
—3
5
2
||
3
члены;
1
]
1
xA 1 Своб. члены
0
0
0
0
36

2. Решить систему методом последовательного исключения:
х — 2у + 3г — 4u-\-5v = 6,
2x-\-3y—4z + 5u-\- « = 8,
Зх — 4у + 5г — и + 2t/ = — 7,
— 4л: -(- 5у — л -}- 2м — Зи =» 1,
5х— у_)-2г + 3и + 4и= 3.
3.	.Методом последовательного исключения решить систему
шестого порядка, полученную в задаче 3 (стр. 10, уравнения с номе-
номерами 1, 2, 3, 5, 6, 7).
4.	Решить методом последовательного исключения систему, по-
получаемую при решении задачи 5 (стр. 78).
5.	Решить методом последовательного исключения систему:
Здг— 2у+ г=
6. Имеет ли решение система
5х — 2у+ Зг
7. Исследовать систему и найти ее решения:
lax 4- у 4-z = 4,
§ 4. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Выше уже отмечалось, что системы могут быть опреде-
определенными, неопределенными и несовместными. Займемся выяс-
выяснением причин, обусловливающих принадлежность системы
к каждому из этих трех основных классов.
Сначала обратим внимание на следующий известный факт.
При решении систем часто приходится либо умножать обе
части уравнения па один и тот же множитель, либо почленно
складывать уравнения, либо последовательно выполнять обе
эти операции. Условимся всякое уравнение, которое можно
получить из данных уравнений умножением обеих частей
каждого из них на некоторый множитель и последующим
почленным сложением их, называть линейной комбинацией
37

данных уравнений. Линейную комбинацию уравнений будем
обозначать в виде
Ci[l]+c2l2]+c3[3]+ ... + ся[л].
Эта запись выражает следующее: обе части первого уравне-
уравнения умножены на ср второго — на с2, третьего —на с3 и т. д.,
с номером п — на сп, после чего все п уравнений почленно
сложены. Для задачи исследования и решения системы исклю-
исключительно важно утверждение, которым мы уже в прошлом
систематически пользовались и которое обосновывается извест-
известными свойствами равенств, а именно: если система чисел
удовлетворяет каждому из данных уравнений, то она удовле-
удовлетворит также любой линейной комбинации этих уравнений.
Имея в виду это замечание, рассмотрим внимательнее
системы, полученные при решении некоторых задач §§ 1 и 3.
1. Начнем с системы C). Нам удалось найти решение
этой системы 11 уравнений с 6 неизвестными после того,
как были отброшены 5 уравнений и решена оставшаяся си-
система шестого порядка. Какую же особенность имели отбро-
отброшенные уравнения, почему можно было решать систему, не
принимая их во внимание?
Нетрудно проверить, что каждое из отброшенных уравне-
уравнений является линейной комбинацией оставленных шести урав-
кений; так,
[4]= —[1] —[2] —[3]+0.[5] + 0-[6] + 0-[7]
пли проще
[4] = —[1] —[2] —[3].
Здесь знак равенства указывает на то, что у уравнения, за-
записанного слева своим порядковым номером в системе, и
у линейной комбинации уравнений, указанной справа, совпа-
совпадают как левые части (члены с неизвестными), так и правые
части (свободные члены). Аналогично
18] = [5] + 10. [7],
[9] = [6]+10-[7],
[Ю] = [5]+[6],
[11] = [5]+ [6] +10- [7].
Сделанное выше замечание объясняет причину того, что
можно было при решении системы отбросить пять уравнений.
Так как все отброшенные уравнения являются линейными
38

комбинациями шести оставленных уравнений, то им заведомо
удовлетворит любое решение оставшейся системы. В нашем
случае оставшаяся система шести уравнений оказалась опре-
определенной, поэтому и система C) — определенная. Отсюда
получаем такой практический вывод: если некоторое уравне-
уравнение системы является линейной комбинацией других уравне-
уравнений, то такое уравнение можно отбросить и при решении
системы не учитывать.
Установленная выше зависимость между уравнениями си-
системы C) не случайна и находит простое физическое истол-
истолкование. Действительно, рассмотрение узлов А, В, С (или
вообще любых трех узлов из имеющихся четырех) уже уста-
устанавливает те условия, которым должны удовлетворять силы
тока во всех проводниках в соответствии с первым прави-
правилом Кирхгофа, так что четвертый узел может только под-
подтвердить уже найденные условия. Аналогично рассмотрение
любых трех контуров, охватывающих все проводники цепи
(например, первых трех контуров или других последователь-
последовательных трех контуров), устанавливает зависимости между силами
тока во всех проводниках цепи, диктуемые вторым прави-
правилом Кирхгофа, и, таким образом, исчерпывает вопрос о та-
таких зависимостях, так что рассмотрение других контуров
может только подтвердить уже найденные зависимости.
2. Введем некоторые определения. Если в данной системе
хотя бы одно уравнение является линейной комбинацией
других, то уравнения системы называются линейно зависи-
зависимыми; так, уравнения системы C) линейно зависимы. Если
же ни одно из уравнений системы не может быть представлено
в виде линейной комбинации других уравнений, то уравне-
уравнения системы называются линейно независимыми.
Понятиям линейной зависимости и независимости уравне-
уравнений удобнее дать другие определения, равносильные приве-
приведенным. Если, например,
[Л] = СХ [1] -4-С2 [2]~Ь ... +С„_1[й— П.
то, очевидно, имеет место и такое равенство
c,[l]+c2[2]-f- ••• -hся_1 [л — 1] — [л] = 0. A3)
означающее, что при почленном сложении уравнений полу-
получится нуль как слева, так и справа (слева нуль, тождест-
тождественный относительно неизвестных). Отсюда следует, что
в случае линейно зависимых уравнений можно указать такие
множители, для которых имеет место равенство вида A3),
39

причем по крайней мере один из множителей заведомо не
равен нулю (здесь последний). Очевидно и обратное: если
с1Ц]-Иа[21+... +ся[я]=0	A4)
н сп -J= О, то будет иметь место равенство
т. е. уравнения системы оказываются линейно зависимыми.
Итак, уравнения системы линейно зависимы тогда и только
тогда, когда можно указать такие множители си с2	сп,
не все равные нулю, для которых имеет место тождество A4).
Рассуждая от обратного, легко получить и второй вывод:
уравнения системы линейно независимы тогда и только тогда,
когда тождество A4) возможно лишь при одновременном
равенстве нулю всех коэффициентов с,, с2> ..., сп.
Выведем другие признаки линейной зависимости и незави-
независимости уравнений. Подставляя в A4) левые части уравне-
уравнений и свободные члены системы, взятой в наиболее общем
виде (9), получим:
ci («и*. + ах2хг-Г • • • + а1пх„) + с, (а2[х1 + а22х, + . . .
• • • + а,пхп) + . . . + с,„ (amlXl -f- ат2х2 + . . . + атпхп) — О,
Собирая здесь члены, содержащие хи хг, ¦¦¦, хп, а также
свободные члены, и учитывая, что равенство это должно
вполняться тождественно (независимо от значений х{, х.,, . ¦ .
..., хп), приходим к такой однородной (§ 2, п. 4) системе
уравнений относительно с,, с,	с,„:
A5)
Если эта система имеет хотя бы одно ненулевое решение,
то уравнения данной системы линейно зависимы. Так, напри-
например, уравнения системы задачи 6 (стр. 26) при а = — 1 будут
40

линейно зависимы, так как для однородной системы
— 2cl—2c,-Ar
можно указать решение с, = 7, с2 ==—5, с3 = 4. Для полу-
получения этого решения достаточно в периом и последнем урав-
уравнениях положить с3 = 1 и решить систему этих двух уравне-
уравнений относительно сх и с2; найденные значения могут быть
умножены на одно и то же число.
В том случае, когда система A5) имеет только нулевое
решение, уравнения системы будут линейно независимы. На-
Например, линейно независимы уравнения системы A), так как
после умножения обеих частей уравнений на clt с,	ст
и почленного сложения уравнений мы в левой части сможем
получить тождественный пуль только тогда, когда последо-
последовательно с0 = 0 (коэффициент при F), с5 — 0 (коэффициент
при Е), с4=^0 (коэффициент при D), ..., с1^=0 (коэффи-
(коэффициент при А). Полезно вспомнить, что у этой системы число
неизвестных совпадает с числом линейно независимых уравне-
уравнений и что система оказалась определенной.
3.	Обратим, далее, внимание, на систему задачи 11 (стр. 35).
Составляя и решая системы вида A5), можно установить,
что между уравнениями системы имеется линейная зависи-
зависимость, которую можно выразить такими равенствами:
[4] = 3 [1] — 2 [2] — 3 13], [5] = 2 [1] — 3 [2] — 4[3].
Эти равенства показывают, что последние два уравнения
линейно зависят от остальных трех уравнений и могут по-
поэтому быть отброшены. Можно было бы также убедиться
в том, что первые три уравнения линейно независимы. Итак,
в этой системе число линейно независимых уравнений меньше
числа неизвестных (в системе 4 неизвестных). Решение
системы показало, что она—неопределенная и имеет беско-
бесконечно много решений.
4.	В заключение рассмотрим важный случай частичной
линейной зависимости уравнений, наблюдающейся в системе F).
Нетрудно проверить, что если из последних трех уравнении
системы составить линейную комбинацию 10 [4] — 1 о [о] —|— 6 [Gj,
'ю левая часть полученного уравнения совпадает с левоЛ
41

частью второго уравнения системы, но правые части ие сов-
совпадут. Сделанное в начале параграфа замечание показывает,
что построенной линейной комбинации должно удовлетворять
любое решение системы, составленной из последних трех
уравнений E); вместе с тем ясно, что никакая совокупность
чисел р, q и г не может Одновременно удовлетворить по-
построенной линейной комбинации и второму уравнению (так
как левые части уравнений совпадут, а свободные члены
различны). Отсюда следует, что в системе E) второе уравне-
уравнение противоречит системе, составленной из последних трех
уравнений E), что и является причиной несовместности си-
системы, отсутствия у нее решения.
Наряду с этим следует заметить, что свободные члены
у линейной комбинации, указанной выше, и у второго урав-
уравнения отличаются незначительно (на 0,0004, или меньше
чем на 0,1%, от значений свободных членов), что ука-
указывает на целесообразность постановки задачи приближен-
приближенного решения этой системы, о чем подробнее будет расска-
рассказано в § 6.
5. Выше (п. 1) мы видели, что те уравнения системы,
которые линейно зависят от других уравнений, не играют
никакой роли при решении системы и могут быть отброшены.
Отсюда видно, что для исследования системы важно знать,
сколько в данной системе имеется линейно независимых урав-
уравнений. Число линейно независимых уравнений системы назо-
назовем рангом полной или расширенной системы и обозначим
через Rn; здесь слова «полной или расширенной» подчерки-
подчеркивают то обстоятельство, что уравнения учитываются целиком:
как члены с неизвестными, так и свободные члены.
В п. 4 было обнаружено, что несовместность системы
связана с определенным видом частичной линейной зависи-
зависимости, когда левые части уравнений (члены с неизвестными)
линейно зависимы, но правые части (свободные члены) не
удовлетворяют этой зависимости. Это показывает, что при
исследовании системы важно также знать, сколько имеется
в системе уравнений, левые части которых линейно незави-
независимы. Условимся число уравнений, левые части (члены с не-
неизвестными) которых линейно независимы, называть рангом
неполной системы, или просто рангом системы, и обозна-
обозначать через /?н; слово «неполной» должно здесь подчеркнуть,
что уравнения не берутся полностью, а только их левые
части. Так как в случае независимости левых частей уравне-
уравнений эти уравнения, взятые целиком, тем более будут линейно
42

независимы, то между двумя введенными рангами имеет
место соотношение
На основании введенных здесь понятий можно формули-
формулировать общие выводы, касающиеся исследования систем; этн
выводы подтверждаются рассмотренными примерами, но дать
им строгие доказательства в этой краткой книжке затрудни-
затруднительно. Выводы следующие:
а)	Для совместности системы необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство /?„= Ra. Это утверждение
известно под названием теоремы Кронекера — Капелли. Так,
в системе A) выполняется равенство Rn = Ru = 6, в системе
C)— Ra = Rn = Q, в системе задачи 11— RR = Rn = 3,
б)	Из предыдущего вывода непосредственно следует, что
система несовместна тогда и только тогда, когда для нее
имеет место неравенство RH<LRn. Например, в системе E)
/?н=3, /?п = 4, /?„</?„; в системе задачи 6 при аф— 1
#„ = 2, /?п —3, /?„</?,,; в системе задачи 8 при а — — 9
и Ъ Ф 4 Rn =¦- 1, /?„ = 2,' Я., < Д„.
в)	Если Ra = /?п = я (/г — число неизвестных в системе),
то система — определенная. Эти условия выполняются, напри-
например, в системах задач 1, 2, 3, 10, причем общее значение
указанных величин в этих системах соответственно равно 6,
3, 6, 5.
г)	Если Rh = Rn < п, то система — неопределенная. Эти
условия имеют место в системах задачи 4 (Ян=/?п —3,
п = 4) и задачи 11 (#н = #п = 3, п = 4).
6. Далее, в пп. 6—8, мы рассмотрим еще один способ
решения систем, очень удобный тем, что позволяет в общем
виде записать решение системы и исследовать систему, не
решая ее фактически, а используя лишь ее коэффициенты.
Начнем с системы второго порядка общего вида F).
Составим из уравнений F) линейные комбинации Ь2\\\—
— bi {2} я —а2 [1] -{-а1 [2]; мы придем к системе
где
Заметим, что системы F) и A6), вообще говоря, не рав-
равносильны. Очевидно, что так как уравнения A6) являются
43

линейными комбинациями уравнений F), то каждое решение
системы F) будет также решением A6), но обратное не
всегда имеет место. Так, система
4х — 6_у = 5,
6х — 9у=7,5
приводится к
О • у = 0.
Второй системе удовлетворяет, например, система значений
х=1, у=\, не удовлетворяющая первой системе.
Если дополнительно предположить, что D Ф 0, то си-
система A6) будет иметь единственное решение:
x = D1:D, y = D2:D.
Ввиду сделанного замечания система F) не может иметь
других решений, кроме указанного решения системы A6);
непосредственной подстановкой значений x=D1 : D, y=D2: D
в уравнения системы F) убеждаемся в том, что эти значения
действительно составляют решение системы F):
d-ibo — dnb-i . , a-idn — a->d\
d-l(a-[b2
	——	~	 zzrr: и о.
Обратим внимание на вид выражений D, Dl и D2. Пусть
имеем квадратную таблицу, составленную из 22 = 4 чисел (или
алгебраических выражений), которые назовем ее элементами:
Л вг
О выражениях, находящихся в одном вертикальном ряду,
мы будем говорить, что они составляют столбец (первый,
второй), а о выражениях, находящихся в одном горизонталь-
горизонтальном ряду, — что они составляют строку (первую, вторую).
Минором данного элемента таблицы назовем тот элемент ее,
который останется, если из таблицы вычеркнуть столбец и
44

строку, в которых расположен данный элемент; так, мино-
минором элемента Аг будет элемент В1. Составим произведения
каждого из элементов первого столбца на его минор и алге-
алгебраическую сумму этих произведений, взяв первое произве-
произведение со своим знаком (т. е. поставив перед ним плюс),
а второе произведение с противоположным знаком (т. е. по-
поставив перед ним минус); такую сумму, у которой знаки
перед слагаемыми попеременно меняются, причем это чередо-
чередование начинается со знака плюс, называют чередующейся
суммой. Для данной таблицы указанная чередующаяся сумма
равна АхВг— А2В1. Введем такое определение: чередующаяся
сумма произведений элементов первого столбца на их миноры
называется определителем второго порядка, составленным
из элементов данной таблицы, и обозначается
1S
\
S = АЛ,._ АгВг.
A7)
Сравнив правую часть A7) с выражениями D, Dy и D.,,
замечаем, что все эти три выражения можно записать с по-
помощью определителей второго порядка:
D='
по Ьо
i d..
d.
Очевидно, что определитель D составляется из коэффициен-
коэффициентов при неизвестных, взятых в том же порядке, в котором
эти коэффициенты записаны в системе (при условии, что
порядок следования неизвестных во всех уравнениях системы
совпадает). Этот определитель называют определителем си-
системы. Для получения определителей D1 и D2 достаточно
в определителе системы столбец коэффициентов при х (для DJ
или при у (для D2) заменить столбцом свободных членов.
Полученное выше для случая D ф 0 решение системы F)
можно, таким образом, записать через определители
«2
!
Ьп I
У
Ьо
A8)
Формулы A8) выражают правило нахождения решения системы,
носящее имя Крамера:
Если определитель системы отличен от пуля, то решение
системы дается совокупностью дробей, в знаменателях кото-
которых находится определитель системы, а в чнетпгелях — опро-
делнгели, получаемые из определителя системы заменой столбца
45

коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом сво-
свободных членов.
Итак, мы нашли, что если определитель D системы F)
не равен нулю, то система — определенная, и ее решение
выражается формулами A8). Нетрудно проверить, что если
Б — афг — «2^ = 0, то левые части уравнений F) связаны
линейной зависимостью
или
Если при этом хотя бы один из определителей, Dx или Dv
не равен нулю (этого достаточно, но на самом деле из
D = Dj = 0 следует, что и D2 = 0, а из D = D2=0 сле-
следует, что и Dj = 0), то указанная линейная зависимость не
распространяется на свободные члены (проверьте это!).
В этом случае система F) несовместна, ибо несовместна
система A6); так как здесь (см. п. 5) RH= I, Ra=2, то мы
получаем еще одно подтверждение вывода б) п. 5. Если же
D = D;=D2 = 0, то одно из уравнений, как линейно
зависящее от другого, можно отбросить; остается одно урав-
уравнение с двумя неизвестными, которое имеет бесконечно много
решений (одному из неизвестных можно приписать произ
вольное значение). В последнем случае
это подтверждает вывод г) п. 5.
= /?„= 1, п — 2;
Задача 12. Исследовать систему (a, b — заданные числа)
Зх — 2у = Ъ,
ах-\-Ау — 8.
Пользуясь формулой A7),' вычисляем определители D,
3—2
и D2:
а
—9
= 3 ¦ 4 — (—2) а = 12 -f- 2a,
3 Ъ
= АЬ -+-16, D2 =
а 8
= 24 — ab.
В зависимости от значений а, Ъ возможны такие случаи:
а) при 12 -\- 2а фО (а Ф—6) система — определенная; ее
решение:
46 + 16 26 + 8	D2 24 — i
D 12 + 2й
У D
\2-\-2a '
б) при 12 + 2а = 0, 46 -f-16 ф 0 (а = —6, b ф — 4) система не-
несовместна;
46

в) при 12 + 2а =г 0, 4b -4-16 = О (а — — 6, Ъ — — 4) система —
неопределенная. Имеется одно линейно независимое уравнение
Зх — 2у= — 4, решение которого можно записать в виде у = р,
х = —ii-	 (j5 — произвольно).
7. Перейдем к системам третьего порядка вида G).
Составляя из уравнений системы G) линейные комбинации
(Ьгс, — Ь,с2) [ 1 ] -+- (&Л —
12]
[2]
c2 — &2d) 13],
[3],
мы придем к такой системе:
Dz = D3,
A9)
где
«2
h. Cl> I
— а.
¦а.
b2 с.
62 Co I'
D, ---¦=
D3 = rft (a2
— rf2
= a.
d2 с.
d3 C3
b3 — a
Ьг cl.,
b3 ^з
A) +
— o.
dz
h
«I
C3
[аф
dl
~Газ
2	a>1
«1
>,)
h
Cl
c2
==
Как и в случае систем второго порядка (стр. 44), можно
показать, что системы G) и A9) неравносильны; у системы A9)
могут быть решения, не удовлетворяющие системе G). Но
если ограничиться случаем, когда D ф 0, то единственно?,
в этом случае решение системы A9)
x = Dl:D, y = D,:D, z = D3:D
удовлетворяет также (что можно проверить подстановкой
этих значений в уравнения системы) системе G).
47

Обратим снова внимание на вид выражений D, Dv D2, D3-
Пусть имеем квадратную таблицу из З2 = 9 элементов
(чисел или алгебраических выражений):
А1 В, С,
Л В,
с2.
ся
Как и на стр. 44, определим столбцы и строки этой таб-
таблицы. Минором какого-либо элемента таблицы здесь назовем
определитель второго порядка, который можно образовать
из элементов таблицы, если из нее вычеркнуть столбец и
строку, в которых находится данный элемент; так, минором
В, С,
В я Са
Используя также
элемента А2 будет определитель
понятие чередующейся суммы, данное на стр. 45, мы введем
понятие определителя третьего порядка при помощи
того же определения, которое на стр. 45 приведено для
определителя второго порядка; итак,
Вг С,
с2
с3
В
по определению
IB
в, с
¦А,
Сг\'
2 В2 С 2
, в, с,
Если сравнить правую часть B0) с выражениями D, Dit D±
и D3, то несложная проверка покажет, что все они могут
быть записаны в виде определителей третьего порядка:
D
D,,=
ч
«2
«3
ч
а2
я,
Ь\
ь2
bi
d\
d2
d3
cl
c2
c3
4
c2
4
Л\
Us ьз
a3
с, '<
|
d2 i.
Нетрудно также убедиться в том, что эти определители
образуются из коэффициентов заданной системы таким же
способом, каким ранее (стр. 45) были образованы соответ-
соответствующие определители второго порядка: определитель D
составляется из коэффициентов при неизвестных, выписанных
в том же порядке, в каком они записаны в системе; он и
в данном случае называется определителем системы; опре-
определители Dx, D2 и D3 образуются из определителя системы
заменой столбца коэффициентов при неизвестном (соответ-
(соответственно) х, у, z столбцом свободных членов.
48

Записав, наконец, ранее найденное для случая D Ф 0 реше-
решение системы G) с помощью определителей
d\
di
h
h
h
ч
«2
Co
y-
«1 ,
a3
-.B1)
убеждаемся также в том, что для систем третьего порядка,
имеющих отличный от нуля определитель, полностью сохра-
сохраняет силу правило Крамера решения системы, которое было
сформулировано на стр. 45.
Заметим еще, что если ?> = 0, но хотя бы один из опре-
определителей Dlt D2 или DA не равен нулю, то данная система G)
несовместна, так как несовместна система A9), а всякое реше-
решение системы G), если оно вообще имеется, необходимо должно
удовлетворить системе A9). Исследованием более трудного
случая, когда D~ Dx — D2 = D3— 0, мы в общем виде не
станем здесь заниматься; ограничимся лишь подробным
исследованием конкретной системы.
Задача 13. Исследовать систему (а, Ь — заданные числа)
2x-j-3y— az=\.
Пользуясь формулой B0), вычислим определители D, Dh D2 и D3:
4 а
?> =
12
а 9 —18
9 —is;
3 —а
-12
-а
\а —12
¦2 Г
19 —18
2 3 —а
= 4 (—9а + 54) — a (— а"- + 36) +-2 (—18а + 108) =
= 36 F — а) — а F + а) F — а) + 36 F — а) =
= F — а) (— а- — 6а + 72) = F — а)"- A2 + а),
|2 а —12
?>i=|6 9 —18
I 1 3 —а
= 2 (—9а + 54) — Ь (— а"- + 36) + (— 18а + 108) =
= It. G — а) — Ь F + а) F — а) + 18 F — а) = F — а) C6 — 6b — ab),
49
9
3
—18
¦— а
L
	 О
а
3
—12
— а
+
а
9
—12
—18

?»-> =
4 2 —12
a b —18
2 1 —а
= 4 (— al
= — 4ab -
—18
— а
[2
I
—12
—а
+ 2
2
ft
—12
—18
+ 18) — a (— 2a + 12) + 2 (—36 -f 126) =
2a F — a) + 24ft = — 2a F — a) +
+ 4b F — a) = 2 F — a) (
-a),
4
а
2
а
9
3
2
ft
1
= 4
|9 ft
13 1
— а
а
3
2
1
+ 2
= 4 (9 — 3ft) — а (а — 6) + 2 (aft — 18) = — 12ft — а (а — 6) + 2aft =
= 2ft (а — 6) — а (а — 6) = Bft — а) (а — 6).
В зависимости от значений a, ft возможны такие случаи:
a) D — F— аJ A2 + а) ==? 0 (а Ф 6, а ==/= — 12). Система —
определенная; решение ее находим по правилу Крамера:
__/?!__ 36 — 6ft — ab v _ JDA ___ _ 2 Bft •
х- D	—
F-
D
2b—a
У D F-
a) A2 +a)*
Так, например, при а = 3, ft = 24 решение будет таким:
х = —4, >» = 2, г = — 1.
б)	а =— 12, ft =? — 6. В этом случае D = 0, ?>3 =± 0. Система
несовместна.
в)	а = —12, ft = — 6. В этом случае D = ?>, = D» — D? — 0.
Уравнения системы в этом случае связаны линейной зависимостью
вида
3[1] + 2[2] + 6[3] = 0.
Отбрасывая третье уравнение, как линейно зависящее от двух
других, и заметив, что оставшуюся систему двух уравнений с тремя
неизвестными можно решить относительно х п у (определитель,
составленный из коэффициентов при этих неизвестных не равен
нулю), полагаем z = р, где р — произвольно, и решаем систему
2х — &у = 1 + &р,
решение ее таково;
У"
¦2р.
Присоединяя сюда значение г = р, получаем решение заданной
системы в рассматриваемом случае. В частности, при р = -к- имеем
решение: х = — 1, у = — \, г = —.
50

г)	а = 6, Ъ Ф 3. Здесь опять D — Dx = D2 — Ds = 0. Подста- .
вляя а = 6 в заданную систему, легко убеждаемся в том, что
при любом значении Ь имеет место линейная зависимость [1] = 2 [3],
откуда следует, что первое уравнение можно отбросить. Между
левыми частями последних двух уравнений также имеется линейная
зависимость [2] = 3 [3J, но при Ъ ф 3 эта зависимость не распро-
распространяется на правые части. Система в этом случае несовместна.
д)	а = 6, 6=3. Этот случай отличается от предыдущего только
тем, что второе уравнение тоже здесь линейно зависит от третьего
и может поэтому быть отброшено. Остается одно уравнение с тремя
неизвестными. Положив в нем у = 2р, г = д, где р и q — произ-
произвольны, находим решение системы
x=*
Так, если принять р = -=-, q—\, то решение будет таким: х = 2,
у = г=1.
В заключение отметим, что можно на stom примере снова
убедиться в правильности выводов п. 5. Следует лишь заметить,
что в случае a) Ra — Rn = n = 3; в случае б) Ra = 2, Rn = 3; в слу-
случае в) RR = Rn = 2, п = 3; в случае г) Ra = 1, /?п = 2; в случае
Д) #н = /?п = 1, и = 3.
8. Мы рассмотрели системы второго и третьего порядков и
показали, как они исследуются и решаются (если решение воз-
возможно) с помощью определителей. Вкратце отметим, как эти методы
обобщаются на системы более высоких порядков.
Мы ввели понятие определителя третьего порядка (стр. 48),
основываясь на ранее введенном понятии определителя второго
порядка. Точно так же можно, опираясь на определители третьего
порядка, ввести определители четвертого порядка и т. д. Вообще, счи-
считая, что определители порядка k — 1 уже введены и что для таб-
таблицы из к2- элементов
Лп А12 ... Alk
Л 21 Л 22 ... Л 2ft
Akl Л/е2 ... Alk
установлены, как и ранее, понятия столбца, строки, минора данного
элемента (минором в этом случае будет определитель порядка
k — 1), а также используя понятие чередующейся суммы, мы опре-
определитель порядка k вводим таким определением: определителем
порядка k называется чередующаяся сумма парных произведений
элементов первого столбца (Лд) данной квадратной таблицы из й3
элементов на миноры этих элементов (Мц). Используя известное
уже обозначение определителя, мы, таким образом, по определению
имеем:
Лп Л и ••• Ли
¦^21 А%2 ... A2k _ I U	Л U Л	A., t 1\*~1 Л М
Akl Ah2 ... A kit
51

Определитель, составленный из коэффициентов при неизве-
неизвестных, называется и в этом случае определителем системы.
Оказывается, что для систем любого порядка вида (8),_ имею-
имеющих отличный от нуля определитель системы, сохраняет свою силу
правило Крамера, данное на стр. 45 *); оно может быть выражено
формулами
— dl — Ih.	- Rn
Здесь D — определитель системы, Db D.,, ..., Dn — определители,
получаемые из определителя системы заменой столбца коэффициен-
коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом свободных членов.
9. В заключение этого параграфа обратим внимание на то, что
приведенные в пп. 1—5 понятия линейной зависимости и независи-
независимости уравнений, рангов системы и расширенной системы, а также
выводы, касающиеся исследования систем (п. 5), допускают также
другие формулировки, использующие понятие определителя. Не
вникая в подробности, отметим лишь такие факты:
а)	Равенство Rn = г имеет место тогда и только тогда, когда
в системе можно выбрать такие г уравнений и такие г неизве-
неизвестных, что определитель, составленный из коэффициентов при этих
неизвестных в этих уравнениях, отличен от нуля, но не существует
ни одного определителя порядка г-\-\, составленного аналогичным
образом, который был бы также отличен от нуля. Так, запись RH — 2
для системы задачи 13 в случае б) означает, что существует хотя бы
Г 4 -12!
один определитель второго порядка, например 10 Qi, кото-
рый не равен нулю, но определитель третьего порядка, составлен-
составленный из всех коэффициентов при неизвестных, равен нулю.
б)	Расшифровка равенства /?„ = г отличается от приведенной
выше только тем, что наряду со столбцами коэффициентов при
неизвестных может здесь участвовать в образовании определителей
также столбец свободных членов. Так, в приведенном выше при-
примере /?„ = 3, так как имеется определитель третьего порядка, не
равный нулю:
; 4 —12 2
—12 9 0 = — 216=/= 0.
2 3 1 !
1) Для лиц, знакомых с элементами высшей алгебры, заметим,
что для вывода формул Крамера для систем произвольных поряд-
порядков не обязательно прибегать к теории подстановок, транспозиций
и к полной теории определителей, как это обычно делается в кур-
курсах высшей алгебры. Для этой цели достаточно, опираясь на ука-
указанное выше рекуррентное определение определителя, доказать,
что при перемене мест первого и еще одного столбца определи-
определитель меняет только свой знак и что определитель, у которого
первый столбец совпадает с другим столбцом, равен нулю, Чита-
Читатель, который заинтересуется этим вопросом, может найти такой
вывод в заметке автора «Краткий вывод формул Крамера> (Уч.
записки Смоленск, пед. нн-та, вып. 10 (I960)).
52

в) При новом, указанном выше, толковании понятий ранга
системы и ранга расширенной системы полностью сохраняют силу
все выводы п. 5, касающиеся исследования систем.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
8.	Найти Н„ и Rn для системы упражнения 5 (стр. 37) и про-
проверить вывод г) п. 5.
9.	Найти Ra и Яп для системы упражнения 6 (стр, 37) и про-
проверить вывод б) п. 5.
10.	Найти Rn и Rn для системы упражнения 7 (стр. 37) и про-
проверить выводы п. 5 для случаев: а = 1, а = -^-, а — О.
11.	Решить с помощью определителей систему:
7х — Зу = 29,
Зх + 2у = — 4.
12.	Исследовать систему (a, b — заданные числа)
8дг — ау = 6,
ах — 50у = Ь.
13.	Исследовать систему при 0 < а < —
2х sin2 a + у sin 2а = 2 cos3 a,
.xtga -\-у	= sin а.
14.	Убедиться в правильности следующего правила вычисления
определителя третьего порядка (правило Саррюса): определитель
третьего порядка равен сумме произведений элементов главной
диагонали (т. е. щ, Ь2, с3) и элементов, находящихся в вершинах
двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны
главной диагонали, без суммы произведений элементов второй диа-
диагонали (т. е, с\, Ь2, а3) и элементов, находящихся в вершинах двух
равнобедренных треугольников, основания которых параллельны
второй диагонали (это правило схематически изображено на рис. 4)
О
о
о
о
о
о
о
о
о
—
15. Решить с помощью определителей систему
6х — Зу — 4г — 5, 1
_2* + 5y + 3z = -2. \
—Зх + Чу + Ъг = 2. J
53

16. Исследовать систему (a, b — заданные числа)
2х — Зу + аг= 3,
у + аг= 3, \
у — 4г = — 1, \
= Ъ.)
17. Исследовать систему
х-{- 2у — аг= 4,	\
ах + 6у — 9г= Ь,	>
у —18г = 24.	J
18. Исследовать систему при abc Ф О
ах— by = с, \
bz—сх — а, }¦
су — аг =Ь. )
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
В §§ 3 и 4 были изложены так называемые прямые ме-
методы решения систем, имеющие очень важное значение для
исследования систем, а также для практического решения
систем (особенно метод последовательного исключения).
Однако использование этих методов требует громоздких вы-
вычислений. Кроме того, часто приходится для системы, для
которой уже найдено приближенное решение с небольшой
степенью точности, искать более точное решение; при поль-
пользовании прямыми методами приходится задач;' решать заново,
имеющееся приближенное решение не может как-либо облег-
облегчить вторичное решение системы.
По указанным причинам на практике наряду с прямыми
методами решения систем применяются еще косвенные методы
приближенного решения систем; к этим методам обычно
предъявляют такие требования:
а)	возможно большая простота вычислений (использо-
(использование наиболее простых действий, механическое их выпол-
выполнение),
б)	возможность получения результата с какой угодно
степенью точности.
Мы рассмотрим здесь один из этих методов — метод по-
последовательных приближений; этот метод в большой степени
удовлетворяет отмеченным двум требованиям и широко исполь-
54

зуется на практике. Метод этот подробно разберем иа си-
системах третьего порядка вида G).
1. Сначала относительно коэффициентов при неизвестных
в системе G) сделаем предположение, что в каждом уравне-
уравнении диагональный коэффициент (см. § 2, п. 5) по абсолют-
абсолютному значению превосходит сумму абсолютных значений двух
других коэффициентов, и притом не менее чем в q раз, где
q — некоторое число, большее единицы:
К I >. „	I h 1 -у. _	|сз! >. _ fn-^n
п7>Я	4	>Я (q>l)
Эти неравенства допускают и такую запись:
I 6,1 + ! сг | . 1 | а2 [ + ! сг f . 1 |a3l+|68|
«l I	^ Я	I o2 I ^ q	[ c31 - q
В пи. 2 и 3 будет выяснено значение этого условия, в п. 4
будет показано, как для системы, не удовлетворяющей усло-
условию B2), построить равносильную ей систему, удовлетво-
удовлетворяющую этому условию.
Для приближенного решения системы G) мы ее перепи-
перепишем в ином виде, выразив из каждого уравнения его диаго-
диагональное неизвестное через два других неизвестных; сделать
это можно, так как из условия B2) следует, что
а<Ф0, о2ф0, с,фО.	B3)
Система примет вид
й] а, •* ai
*"'	/}	/j	/l
. 	^ . , _ ¦J. V- ,	.
B4)
Попытаемся приблизиться к неизвестному нам решению
с помощью такого приема. Любую систему чисел х0, у0, г0
примем за нулевое приближение (к решению системы); для
упрощения вычислений положим х№ = yQ~zo = 0. За пер-
первые приближения примем совокупность значений левых ча-
частей B4), которые получатся, если в правых частях неизве-
неизвестные заменить их нулевыми приближениями; мы получим:
_ Л
55

Аналогично за вторые приближения примем совокупность
значений, которые получат левые части B4), когда в правых
частях неизвестные будут заменены их первыми приближе-
приближениями и т. д. Вообще, если уже найдены приближения с но-
номером к—1, то за очередные приближения с номером k
примем совокупность значений, которые получат левые части
B4), когда в правых частях неизвестные будут заменены их
приближениями с номером к-—1, т. е. для любого к:
d% 6,	Ci ..
У к —
<ii a,	c2
~	а к — I	/ '" к — i * {
	 dx а-л ,	b:)
"/?	п .	,. " к — I	,¦ -У к — I*
Чтобы получить более удобные формулы для нахождения
последовательных приближений, мы будем вычислять не сами
приближения, а последовательные поправки, которые в сумме
с предыдущим приближением дают очередное приближение;
обозначим эти поправки так:
а!г = хк	-v/.--l' \'tt —Ук	Ук-l' 7* —~й—Zb-X
(k=l, 2, 3	и).
Очевидно, что значения первых поправок совпадают
с первыми приближениями. Вычислим вторые поправки:

откуда
Гочпо так же можно на'ци, что
56

Легко проверить, что аналогичные формулы имеют место
для поправок с любым номером k\ действительно, используя
B5), находим:
а,
at
к. Заменяя в этих
Точно так же можно найти поправки $к и
выражениях xk_1 — хк_2, yk_i — ук-2, zlt-\ — zn-i на а
3,, ,, Тл 1, получим:
а, --Аз _iL	1
п	й,	Со
k_t.
Y 	 „___ '.'. /у		 *'. К	I
Заметим, что по известным поправкам легко записать
приближение с любым номером п; для этого достаточно со-
составить сумму поправок:
Аналогично записываются приближения уп н
имеем:
так что
B7)
Общность и простота формул B6) и, особенно, отсут-
отсутствие действия деления при нахождении каждой последую-
последующей поправки (делить приходится только один раз при
нахождении первых поправок) определяют удобство этого
метода для практического решения систем.
2. Перейдем к вопросу обоснования метода последовательных
приближений. Нам нужно доказать, что последовательные прибли-
приближения действительно приближают нас к искомому решению, т. е.
что они стремятся к определенным пределам, причем эти пределы
составляют решение системы. Как уже отмечалось, мы ограничимся
системами, длл которых выполнено условие B2).
57

В ходе доказательства нам придется пользоваться основными
свойствами абсолютного значения чисел, а именно: при изменении
знака числа его абсолютное значение не меняется (| — д|=|а|);
абсолютное значение суммы не превышает суммы абсолютных зна-
значений слагаемых (|a-f-*K|6|-rl*|. B более общем виде
абсолютное значение произведения (частного) равно произведению
(частному) их абсолютных значений (| аЪ \ = | а \ \ Ь |, в более общем
виде | а,й2 ... ап \ = | ах \ \ а21 ... \ап\; \a:b \=\a\:\ b \). Читатель,
который не знаком с этими свойствами, легко проверит их сам.
Мы, далее, будем исходить из того, что система имеет реше-
решение; можно доказать, что совместность системы следует из усло-
условия B2), но это—вопрос менее существенный, и мы не будем на
нем останавливаться. Из существования решения следует, что
можно указать такое постоянное положительное число L, которое
одновременно удовлетворяет трем условиям (х, у, z — решение си-
системы):
\x\<L, \y\<L, \z\<L.	B8)
Нам нужно доказать, что при п->со хп-> х, уп-> у, zn -> z. Для
этого достаточно доказать, что разности х — хп, у — уп и z — zn
имеют при п->са пределы, и притом равные нулю. Предварительно
докажем, что для указанных разностей имеют место такие нера-
неравенства (оценки):
\х — хп\<-^-, \у — уп\<~п-, \г — г.п\<-^.. B9)
Для случая п = 1 мы из B4), B5), B8) и B2) на основании пере-
перечисленных свойств абсолютного значения находим (для у и z ана-
аналогично):
— хх 1 =
п\
~ч
h I
а,1
h

\У
1
а.
J. у _
— г
_ii
аг
<:
11
^lail '
Cll ,
-z-
А.
z\<
L
1
tl
У
{
h
ах
c\
\сх\
т
При n = 1 неравенства B9) доказаны. Чтобы доказать, что они
верны при любом я, мы, следуя методу математической индукции1),
должны еще показать, что если они справедливы при каком-то
фиксированном (но произвольном) значении п = к — 1, то они верны
и при n = k.
!) С методом математической индукции можно подробно озна-
ознакомиться по книге И. С. Соминского «Метод математической индук-
индукции» (серия ('Популярные лекции по математике>, выпуск 3).

Пусть уже доказано, что при п = k — 1 неравенства B9) верпы:
L	. L .	L
xk-i\ <
qk-l
Используя те же равенства и условия, что и в случае п = 1, а также
последнее предположение, мы для n = k получаем (для у н г ана-
аналогично):
§
(*-**-.)
Неравенства B9) справедливы для п = А, откуда ввиду произволь-
произвольности k следует их справедливость при любом п.
В правых частях неравенств B9) числитель ¦— постоянное число,
а знаменатель неограниченно возрастает при п -> со (так как q > 1);
поэтому дробь будет стремиться к нулю. Но тогда меньшие выра-
выражения, составляющие левые части неравенств, тем более будут
стремиться к нулю, что и требовалось доказать.
Заметим еще, что согласно B7) можно предельное соотноше-
соотношение х„ ->• х записать в виде
или, как это принято условно записывать, в виде точного равен-
равенства:
Я! + ceo-f сс3 + ... 4-<Хл + ол + 1+ал + 2+ ... =х.	C0)
3. Установленный выше факт, что последовательные прибли-
приближения действительно стремятся к решению, не позволяет еще от-
ответить на такие более конкретные вопросы:
а)	Пусть мы остановились на приближении с номером п. Какую
абсолютную погрешность мы допускаем, приняв за решение системы
значения хп, уп, гп, иначе говоря, какое наибольшее значение могут
иметь величины \х — хп\, \у — Уп\ и \г — гп\ ПРИ данном и?
б)	На каком номере и следует остановиться, чтобы приближен-
приближенное решение хп, уп, zn имело наперед заданную точность, иначе
говоря, при каком п величины \х-—хп\, \у — уп\, \г — гп\ одно-
одновременно станут меньше некоторого наперед заданного числа?
Задача дальнейшего изложения — получить ответы на эти во-
вопросы.
Учитывая B3), можно утверждать, что должна существовать
такая положительная постоянная М, для которой одновременно
lT <м-
ь I =
< м.
59

Пользуясь этими неравенствами, равенствами B6), условиями B2)
и свойствами абсолютного значения, можно таким же образом, как
выше доказаны неравенства B9), доказать следующие неравенства
(оценки) для последовательных поправок с любым номером п:
Образуем величину \х— хп\ и, используя C0) и B7), представим
ее в ином виде:
= I а1 + а2 + ••• +
... — (aj-)-a2-)- ... +ал) I = 1
Выделим из правой части сумму р слагаемых и оценим ее, исполь-
используя свойства абсолютного значения и C1):
+ 2 + ая + з + ••• + ап+р К !ая
М Л- М 4- М 4-	М __
дП
Здесь в скобках получена сумма членов геометрической прогрес-
прогрессии со знаменателем —; применив соответствующую формулу, на-
находим:
	1	1
м
м
Если р будет неограниченно возрастать, то вычитаемое будет стре-
стремиться к нулю (числитель — постоянный, знаменатель неограни-
неограниченно возрастает, так как q > 1). Поэтому в пределе, при р -=> ею,
получим:
••• +ап+р+ ...К
<
Величины М vi q — постоянные для данной системы; вводя для
постоянной ——г- обозначение /< [К= —	г ¦ окончательно
q — 1	\	q — i /
имеем:
I x — xn\ < gii—i •	' '
60

Для величин \у— уп\ и \г — гп\ можно аналогично получить та-
такие же неравенства. Ответ на первый вопрос получен: заабсолют-
ную погрешность, допускаемую при замене решения системы при-
приближением с номером п, можно принять правую часть неравен-
неравенства C2).
Перейдем ко второму вопросу. Пусть требуется найти решение
системы, имеющее т верных десятичных знаков, т. е. такое реше-
решение, для которого выполнялись бы одновременно неравенства
\х — х„\ < 10-'", \у — у„|<10-т, |г —гп!<10-"\
Очевидно, что любое из этих неравенств будет выполнено, если
будет выполнено неравенство (см. C2))
gll-L
C3)
Здесь К > 0 (так как М. > 0, q > 1), qn~l > 0, 10'" > 0; следова-
следовательно, неравенство C3) выполняется одновременно с таким:
?"-!>/<• 10"'.
Так как из двух положительных чисел больше то, у которого ло-
логарифм больше, то интересующее нас неравенство будет удовле-
удовлетворено, если будет выполнено неравенство (для удобства берем
десятичные логарифмы от обеих частей неравенства)
(я — V)\gq > lg/<-f m
плп (lg q > 0, так как q > 1)
п_г \gK±m_
lg'7
окончательно:
!!так, мы безусловно достигнем требуемой точности, если число
приближений превысит число, записанное в правой части C4).
Полученный результат показывает, что число необходимых при-
приближений уменьшается, если увеличивать q; отсюда следует, что
для того, чтобы ускорить решение системы, надо стремиться к тому,
чтобы величина q была возможно больше.
4. Выше мы видели, что метод последовательных при-
приближений, применим к системам, удовлетворяющим условиям
B2) при <?>1. Во многих случаях решение практических
задач приводит к системам, для которых эти условия выпол-
выполнены; но это не всегда так. Дальше покажем, что систему
(по крайней мере определенную), не удовлетворяющую усло-
условиям B2), можно привести к виду, в котором эти условия
выполняются. Будут указаны два способа решения этой
задачи.
0!

а) Пусть задана система третьего порядка вида G), не
удовлетворяющая условиям B2). Последовательно выполним
следующие преобразования.
1)	Неизвестное х заменяем неизвестным х', исходя из
равенства
x — x'-\-ry-\-sz (rzzi — —, 5яй	— 1.
-^	\	4	atj
После этой замены первое уравнение будет удовлетворять
условию B2).
2)	Второе и третье уравнения заменяем такими линей-
линейными комбинациями уравнений системы, полученной после
замены 1):
[2] + *Ш и [3] + й[1] ('« — ~. й~~-^)-
Этими преобразованием мы делаем достаточно малыми коэф-
коэффициенты при х' в остальных двух уравнениях. Коэффи-
Коэффициенты системы, которая получится после второго преоб-
преобразования, мы обозначим теми же буквами и индексами, что
и системы G), но с штрихами сверху.
3)	Неизвестное у заменяем неизвестным у', исходя из
равенства
После этой замены первые два уравнения удовлетворяют
условию B2).
4) Третье уравнение системы, полученной после замены 3),
заменяем линейкой комбинацией
Это позволит сделать достаточно малым коэффициент при у'
в третьем уравнении.
5) Если после этого третье уравнение еще не будет удо-
удовлетворять условию B2), то мы неизвестное z заменяем не-
неизвестным z1, исходя из равенства
z — lz',
где / можно взять произвольно; его выбирают так, чтобы
после этой замены все уравнения удовлетворяли условию B2),
и притом примерно с одним и тем же значением q.
62

В отношении чисел г, s, t, и, v, w следует иметь в виду,
что чем ближе они будут к указанным отношениям, тем больше
будет q и тем быстрее можно решить преобразованную
систему; но вместе с тем они должны иметь возможно более
простой вид (быть целыми или дробями с небольшими зна-
знаменателями), иначе сильно усложнятся вычисления, связанные
с преобразованием системы.
б) Систему можно также привести к требуемому виду
путем составления из данных уравнений линейных комбинаций
с удачно выбранными коэффициентами. Во многих случаях
такие коэффициенты удается подобрать без каких-либо вы-
вычислений, на основе лишь внимательного рассмотрения задан-
заданной системы. Но если сочетание коэффициентов и знаков
неблагоприятно и простой подбор не помогает, то можно
поступить так. Пусть из уравнений системы G) нужно соста-
составить такую линейную комбинацию kx \\\-\-кг\1\ -f-й3[3],
в которой коэффициенты при у и z были бы достаточно
малы по сравнению с коэффициентом при х (коэффициенты
сравнивают по абсолютной величине). Собираем в этой линей-
линейной комбинации коэффициенты при у и z и составляем
систему
Решая эту систему с грубым приближением (например, в це-
целых числах), находим значения множителей линейной комби-
комбинации.
5. В пункте 1 были выведены формулы для вычисления
поправок с любым номером и показано, как по поправкам
найти приближенные значения неизвестных. Вычисление после-
последовательных поправок производится однообразным процессом,
по одним и тем же формулам. Практически его удобнее
выполнять с помощью специальной вычислительной схемы
типа схемы Гаусса, которой мы пользовались в § 3. На стр. 64
приведена такая вычислительная схема для систем третье! о
порядка; в схеме указан порядок вычисления поправок и
приближений до четвертого номера включительно.
В каждой клетке (кроме верхних, заглавных) жирным
шрифтом указан порядковый номер рекомендуемого порядка
заполнения схемы; после этого номера либо указано, какую из
заданных величин следует вписывать в данную клетку, либо
указано, из каких клеток из числа ранее заполненных сле-
следует взять результаты и какое действие над ними нужно
63

т.
ах.
н
со
15)
от
-о
14)
<у
со"
<3
(SI
(II
о~
со
чз
со
4з'
оГ
43*
ее
|
ся"
I
(
|
1
/—ч
г--
ее
ю
ч^
о
1-О
A3 |
•Ч"
20)
00
13:
а>
00
О]
18)
17)
о
ВИНЭЖИ1Г0ИС1ц
Hotbdoy
СП
см
.^—^
(М
ю
см
СО
СО
24)
СО
см
28)
23-17
27)
1Л
С)
23)
I
см
CN
СМ
о4
СО
00
см
см
29)
22)
О)
со
СО
СО
СО
5*
со
о
°?
00
см
(ее
о
(N
СО
37)
32-17
36)
СМ
_|„
см
32)
Z
-
СО
| 39)
00
СО
38)
см
+
ю
31)
СО
со
•&
О)
СО
(^
СО
42)
О
^^
46)
41 -17
45)
00
СО
+
ю
СО
41)
8
см
о
0?
00
о
'47)
СО
СО
+
СО
40)
со
т.
СО
(IS
+
о4
ю
+
СО
•4е
|49)
f
+„
со"?
•*см
СМЧ"
"?
+о
53)
_|-+
смо
см Ч"
|5?
О ск
о к
64

выполнить, чтобы получить число, которое следует вписать
в эту клетку; например, запись в клетке с номером 53: 23,—|—32—f-
—|— 41 —J— 50 — означает, что в эту клетку записывается сумма
результатов, ранее полученных в клетках с номерами 23, 32,
41, 50 (расположенных для удобства в одном столбце). Для
запоминания порядка записи коэффициентов при неизвестных
в клетках №№ 10—15 следует заметить, что буквы (соот-
(соответствующие неизвестным) идут в обратном порядке (с, Ь, а),
а цифры (соответствующие уравнениям) идут в обычном
порядке, но каждая повторяется дважды.
Задача 14. Решить методом последовательных приближений
с точностью до 0,001 такую систему:
3,756л- + 1,908у + 4,163г = 2,286, \
4,683л-— 2,147 у — 5,561г = 15,844,
2,491л + 1,284у + 2,238.? = 0,758.
Эта система не удовлетворяет условиям B2); нужно построить
сначала систему, равносильную данной и удовлетворяющую усло-
условиям B2); мы это выполним обоими способами, указанными в п. 4,
чачав со способа, изложенного в а). Отметим еще, что при реше-
•;ни этой задачи, связанной с приближенными вычислениями, нужно
j;i.seTb в виду следующее: из теории приближенных вычислений
известно, что для того, чтобы обеспечить определенную точность
окончательного результата, следует промежуточные вычисления
производить с более высокой точностью. Мы поэтому будем
лромежуточные вычисления производить с точностью до 0,0001
(одного дополнительного десятичного знака обычно бывает доста-
достаточно).
1) Производим замену
«0,5 ,-5t- 1,908 : 3,756; 1,1 ^ 4,163 : 3,756) и получаем:
3,756л:'+ 0,030 >'+ 0,0314г= 2,286, \
4,683л-' — 4,4885у — 10,7123г = 15,844, "
2,491л' + 0,0385у— 0,50212= 0,758.
5	2
2) Составляем линейные комбинации: [2] — тП] и [3] — ^ [1]
(|-^ 4,683: 3,756; ~-^ 2,491 :3,756 V Это приведет к системе
3 756л' + 0,030 у + 0,0314г = 2,286, \
-0,012л-' —4,5260у — 10,7516г= 12,9865, }
—0,013л' + 0,0185у— 0,5230г = — 0,766. ]
65

3) Производим замену: у = у'— 2,4г B,4 ;« 10,7516 : 4,526); си-
система преобразуется в такую:
3,756л:' + 0,030 у' — 0,0406г = 2,286, |
—0,012л:' —4,5260/+0,1108г = 12,9865, \
—0,013л:' + 0,0185/ — 0,5674г = —0,766. J
Система в последнем виде удовлетворяет уже условиям B2),
так что нет надобности в выполнении преобразований типа 4) и 5).
Эту систему можно решать по схеме стр. 64. Пользуясь оцен-
оценкой C4), можно заранее установить, что для получения решения
системы с точностью до 0,001 потребуется вычислить не более трех
приближений; здесь д= 18 @,5674: @,013 + 0,0185) > 18; другие от-
отношения еще больше), т = 3 @,001 = 1 : 103), /И = 3 A2,9865 : 4,526<3,
другие отношения еще меньше), /< = -р=- < 0,2; отсюда со-
согласно C4)
Решение последней системы по схеме стр. 64 помещено на стр. 67;
там получен ответ:
х' = 0,6447, у' = —2,8405, г = 1,2427.
Решение заданной системы находим, пользуясь формулами замены;
ответ:
л-^2,190, у ты — 5,823, гй 1,243.
Решим еще заданную в задаче систему, приводя ее к виду,
когда выполняются условия B2), по способу, указанному в б) (п. 4).
Непосредственно по коэффициентам системы легко догадаться, что
линейные комбинации
[1] + [2] + [3] и [1]-|[3]
дадут уравнения, в которых коэффициенты соответственно при х
и z будут превосходить по абсолютному значению сумму абсолют-
абсолютных значений остальных коэффициентов. Чтобы получить уравне-
уравнение, удовлетворяющее второму из условий B2), составим линей-
линейную комбинацию заданных уравнений с неопределенными коэффи-
коэффициентами
l]	2 *3
потребуем, чтобы коэффициенты при х и г обратились в нуль, и
решим получаемую при этом систему
3,756/^ + 4,683/г2 + 2,491 k3 = 0, |
4,1	/
приближенно, с очень грубым приближением. Полагая k2 = 1 и
перенося в правую сторону средний столбец, можно установить,
что остающейся системе второго порядка удовлетворяет прибли-
приближенно система значений *i=12, k3——20. Итак, вторым уравнением

м
V,
CO.
ч
с
о
СО
о
—0
ю
GO
О
О
со
о
,—1
о
о
см
о
с
о
СО
о
о
о
о
04
о
о
о
|>.
—0
865
от
12
о
со
<м
(М
о"
см
ю
о
о
ю
со"
^,
ю
с
260
ю
о
СО
ОТ
СМ
о
?
о
со
о
о
ю
см
о
о
со
см
о
о
о
о
о
о
о
1
со
о
о
о
винэжисдиёп
о
о
со
01
о
о
ю
о
1Л
СО
от
о
с
о
о
о
СО
о
о
tM
I
от
СО
о
с
¦>
с?>
о
о
с
GO
09
о
о
о
с
2
см
,—1
§
т
^>
о
т
о
о
о"
СО
о
о
315
о
о
Z
от
о
о
о
,—1
о
о
т
со
03
о
з
о
о
tM
о
с
8
о
о
S*
<м
405
со
с
t-
<о
о
еше-
ние
о.
67

со
и
;—
1
Н
сГ
ю
О)
о
о"

о
-
5
о
ю
СО
о"
о
о
о
о
8
о
g
оо
о"
490
8
оо"
см
1
00
со
00
18,
КИИЭЖ
О
о
о
ОО
о"
о
931
т
1
g
3)
о"
f
1
00
о"
о
,93
9300
о
о
о"

223
о
о
о
о
9
1
<N
СО
о
о
со
о
о"
1
2
о
—0,
пгдиёп
doi i
1
ю
2
о"
оо
оо
о
с
256
"*.

272
1-4
—0,
151
ю
о"
СП
f
t
'—
сь
о"

00
см
СМ
о
f
оо
см
ю
см
о
о"
о
о"
690
,—I
о"

О)
см
о
о"
СО
<м
о
о
S3
<м
f
Z
о
о
о
f

оо
ю
о
с
то
о
со
о"
о
8
о
о
о
о"
135
о
с

о
о
о"
со
о
о*
1
1
о"
со
о
8
о"

СО
о
о"
сч
см
о
о"
ю
о
о"
о
8
о"
,0004
о
426
см
оо
<м
<м
оо
ю"
,1900
<м
эин
-эта
а

преобразованной системы можно взять .линейную комбинацию
12 [1] + [2] — 20 [3]. Мы приходим к такой системе, удовлетворяю-
удовлетворяющей условиям B2):
10,930х + 1,045у + 0,840г = 18,888, |
0,065;е -j- 4,931 у + 0,365.? = —28,116,
0,0195;е —0,018у +0,806* = 1,149.
Система эта решена по схеме стр. 64 на стр. 68. Ответы по-
получились те же самые: jc?« 2,190, ур^—5,823, ztt 1,243.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
19.	Решить с точностью до 0,1 систему
6,00*+ 0,02у — 0,87г= 686,2,
3,92*4-271,50}'+ 7,36г= 9035,1,
379,23* + 36,34у + 5355,44* = 53122,9.
20.	Решить с точностью до 0,001 систему
5,368* — 3,684у + 2,179г= 5,724, \
	 . .... . .._	. ..^ ^
5. j
3,246*+ 4,523у —1,912г = 9,618,
6,735* + 4,219у + 3,083г = —3,216.
21.	а) Вывести рекуррентные формулы, аналогичные B5), для
случая системы четвертого порядка.
б) Составить вычислительную схему для решения системы
четвертого порядка, аналогичную схеме стр. 64,
22.	Пользуясь результатами упражнения 21, решить с точно-
точностью до 0,01 систему четвертого порядка, удовлетворяющую усло-
условиям типа B2):
5,63*+1,93у — 1,58г+1,24^= 6,41,	\
—0,95* — 3,89у + 0,69г + 1,08^ = 10,26,	I
1,48.г+1,22у+ 8,77*+1,91* => 4.65,	j
0,54* + 0,92у —1,48г —4,66^= 5,82.	j
§ 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕСОВМЕСТНЫХ
СИСТЕМ
Из предыдущего изложения известно, что несовместная
система по самому определению не имеет решений. Казалось бы,
что постановка вопроса о решении такой системы лишена
смысла. Но это не всегда так. С одной стороны, нужно
помнить, что отсутствие решения у несовместной системы
вида (9) означает, что нельзя указать такой системы значений
jCj, x3, ..., хп, которые обращали бы уравнения системы
в точные равенства; но это не исключает возможности
69

существования такой системы значений xlt x2, ¦ ¦ ., хп, которые
обращали бы уравнения системы в приближенные равенства
с той или иной степенью приближения. С другой стороны,
следует иметь в виду, что на практике системы уравнений
часто возникают в результате измерений каких-либо вели-
величин, которые, как правило, не могут быть выполнены точно
и дают приближенный результат; в таких случаях уравнения
системы не могут мыслиться как точные равенства и лишь
лриближенио отражают зависимость между величинами. Если
яри этом число уравнений превышает число неизвестных, то
система таких уравнений будет заведомо несовместной (ввиду
приближенного характера равенств), но вместе с тем она
должна заведомо иметь приближенное решение, смысл кото-
которого известен из условия задачи (например, длина отрезков,
иес тел, температура газа).
Итак, в отношении несовместных систем можно, и часто
необходимо, ставить вопрос об их приближенном решении.
Чтобы ослабить влияние ошибок, допущенных при составле-
составлении отдельных уравнений системы, обычно увеличивают число
уравнений; поэтому на практике приходится иметь дело
с несовместными системами, у которых число уравнений зна-
значительно превышает число неизвестных (например, в задаче 5
§ 1 несовместная система содержит уравнений вдвое больше,
чем неизвестных).
Но что означает выражение «приближенно решить си-
систему»? Если понятие точного решения имеет вполне опре-
определенный смысл, то понятие приближенного решения не имеет
такого определенного смысла: приближенно решать можно
с разной степенью точности, исходя из различных принципов
понимания наилучшего приближения. Поэтому мы должны
условиться о том, что мы будем понимать под приближен-
приближенным решением несовместной системы.
1. Чтобы не усложнять вычислений, мы систему будем
писать не в общем виде, для п неизвестных, а для частного
случая трех неизвестных; существенного значения для прин-
принципов решения систем это не имеет. Число уравнений будем
считать произвольным. Итак, рассматриваем систему
OjX ~\-bxy -f-c^ ¦—rft =0,
a2x -\-b2y -\-c2z —d.2 = 0,
,n + тУ + V — tfm = 0
70
{m > 3)	C5)

(свободные члены для удобства перенесены налево). Если бы
эта система имела решение, то это означало бы, что суще-
существует такая система значений х, у и г, которая, будучи
подставлена в левые части уравнений C5), обратила бы их
в нули. Но система не имеет решения; это говорит о том,
что, какие бы значения х, у и z ни подставили в левые
части уравнений C5), мы не сможем их одновременно обра-
обратить в нули, а будем получать, как правило, значения, отлич-
отличные от нуля:
ахх -\-Ьгу Jrclz —dl —hlt
а2х -j- b2y -j- c,z — d2 = /z2>
my + cmz — dm = hm.
C6)
Значения hu k2, .... hm называются погрешностями соот-
соответствующих уравнений. Уравнения системы, которые на
практике получаются в равных условиях (например, в резуль-
результате измерений с помощью одних и тех же приборов), мы
должны считать равноправными; поэтому наша задача состоит
в том, чтобы разыскать, такую систему значений х, у и z,
при которых значения погрешностей всех уравнений системы
были бы в каком-то смысле наименьшими. Но в последнее
выражение можно вложить различный смысл, и в зависи-
зависимости от этого мы будем получать различные способы при-
приближенного решения систем.
Мы рассмотрим два способа приближенного решения си-
систем: способ средних и способ наименьших квадратов. Сле-
Следует, однако, предупредить читателя, что разъяснения, кото-
которыми будет сопровождено изложение этих способов, должны
лишь разъяснить смысл того принципа, который лежит
и основе изучаемого способа, но не доказать его.
2. Погрешности уравнений, как н другие виды погрешностей,
бывают систематические и случайные. Систематические погреш-
погрешности являются следствием неисправности прибора, невер-
неверности шкалы, недостатка зрения; эти погрешности имеют
обычно один и тот же знак и примерно одно и то же зна-
значение. Такие погрешности в математике не изучаются, они
должны быть устранены за счет внесения поправок в резуль-
результаты измерений. Случайные погрешности являются неизбеж-
неизбежным следствием несовершенства измерительных приборов и
глаза, неточности установки приборов, наличия определенной
ширины у стрелок и штрихов шкалы. Именно случайные
71

погрешности изучаются в математике и, в частности, имелись
в виду, когда выше говорилось о погрешностях уравнений.
Случайные погрешности обычно невелики; естественно
также предположить, что такие погрешности должны одина-
одинаково часто быть положительными и отрицательными. Если
поэтому несколько уравнений почленно сложить, то следует
ожидать, что полученное уравнение будет иметь меньшую
погрешность, чем та, которую имели уравнения до сложения,
так как погрешности разных знаков будут погашать одна
другую. Основанный на таком предположении способ при-
приближенного решения систем называется способом средних.
Способ средних состоит в том, что уравнения системы
разбивают на три группы (по количеству неизвестных) и
уравнения каждой группы почленно складывают; в резуль-
результате нол'.чтот систему третьего порядка, решение которой
(если оно существует) принимается за приближенное решение
данной несовместной системы. Слово «средних» в названии
способа применяется потому, что почленное сложение уравне-
уравнений равносильно замене как левых, так и правых частей
уравнений их средними арифметическими значениями: ведь
среднее арифметическое отличается от суммы только множите-
множителем, равным числу слагаемых, а такой множитель в случае
уравнений не играет никакой роли, ибо всегда можно обе части
уравнения умножить на любой множитель, не равный пулю.
Следует отметить, что способ средних не дает вполне
определенного результата; разбивку системы на группы
можно осуществить различными способами, и каждый из них
приведет к своему ответу. Исходя из соображений равно-
равноценности всех уравнений системы, принято в каждую группу
включать примерно равное число уравнений, не выбрасывая
и не повторяя более одного раза ни одного из уравнений
системы.
Задача 5 (решение системы способом средних, начало
см. на стр. 12). Полученную на стр. 13 систему E) разбиваем
на три группы, собирая в группы уравнения, равноотстоящие
от кондов системы:
, ( 1225/)+ 35? + , = 0,9982,
1РУППЯ1- ( 10000/) + 100, + , = 1,0072,
I
ГруППаЧ
Групп. 3 {
72
2500/) +
3100/7 +
4225/) +
6400р +
50? + ,
90? + ,
65? + ,
80<7 + ,
^ 0,9988.
= 1,0046,
= 1,0002,
= 1,0025.

Почленное сложение уравнений каждой группы приводит к системе
11 225/; + 135 q + 2г = 2,0054, \
10 GOO/J + 140 q 4- 2/- = 2,0034, \
10 625/> -f- 145 ? + 2/- = 2,0027. ]
Система эта легко решается исключением неизвестных (сначала г
мгем q)\ решение оказывается таким:
Искомая эмпирическая формула имеет вид
с =¦ 0,000002 Г? — 0,00015 t -f 1,0016.
Интересно отметить, что если вычислить по этой формуле
.•значения теплоемкости при температурах, заданных в условии задачи,
•10 расхождения между вычисленными и полученными из опыта
(данными в условии задачи) значениями достигнут наибольшей
величины на концах таблицы, причем наибольшее расхождение
... калорий ,.	,
оказывается равным 0,0006	—. учитывая, что c?f,I, можно
г•градус
утверждать, что полученная выше формула позволяет вычислить
теплоемкость при температуре, удовлетворяющей неравенствам
of) о'/ .<; Юи°, с относительной ошибкой, не превышающей
0.A01N —- 0,06 .
3. Переидем ко второму из упомянутых в п. 1 способов—
способу наименьших квадратов. Рассмотренный выше спо-
способ средних имеет существенные недостатки: он не дает
нполие определенного ответа и, кроме того, точность его
невелика, так как погрешность почленной суммы уравнений
может быть очень малой и даже равняться нулю, когда
погрешности отдельных уравнений сравнительно велики.
Для достижения более точного результата желательно
¦;!;ести некоторую меру для измерения погрешностей, причем
лк, чтобы она удовлетворяла таким естественным требова-
требованиям:
а)	эта мера должна выражаться через абсолютные значе-
значения погрешностей заданных уравнений и при этом в равной
мере учитывать каждое из этих значений;
б)	она должна обращаться в нуль тогда и только тогда,
когда все погрешности равны нулю;
и) она должна расти вместе с ростом абсолютного значе-
значения любой из погрешностей уравнений.
В качестве меры, удовлетворяющей указанным требова-
требованиям, проще всего было бы принять величину | hx \ -\- | h2 |-j-
"- | Л,' -f- ,..-(-1 hm |; но пользование такой мерой вызвало бы
73

большие вычислительные трудности из-за наличия знаков
абсолютного значения. По этой причине предпочитают сум-
суммировать квадраты абсолютных значений, т. е. за меру
погрешностей принять величину
S=shl-\-f&-\-hl+...-\-h2n.	C7)
также удовлетворяющую указанным требованиям и более
удобную для вычислений. От искомого решения целесообразно
потребовать, чтобы для этого решения мера C7) имела бы
наименьшее значение. Требование, чтобы сумма квадратов
погрешностей была бы наименьшей, и составляет принцип
наименьших квадратов, а способ решения систем, основан-
основанный на этом принципе, называется способом наименьших
квадратов.
Заметим, что к выражению C7) приводят и другие сообра-
соображения, на которых мы не можем здесь подробно останавли-
останавливаться. Так, если погрешности уравнений принять за коор-
координаты некоторого вектора, то условие C7) равносильно
требованию, чтобы длина этого вектора была наименьшей.
Можно показать также, что решение системы, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию C7), является наиболее вероятным среди всех
других возможных приближенных решений 2). Принцип наи-
наименьших квадратов впервые сформулировал К. Ф. Гаусс
в возрасте 17-—18 лет; впоследствии он дал несколько обо-
обоснований этого принципа.
Итак, по способу наименьших квадратов мы ищем такую
систему значений х, у и z, при которых выражение C7)
приняло вы наименьшее возможное значение. Подставляя
значения hx, hz, .... hn из C6), получаем для суммы 5 такое
выражение:
5 = (алх -|- Ьху -f- сxz — rfj2 + {<hx -j- Ьгу -\-c,z — d2J -J- ...
• • • -Ь (amx -f- bmy -+- cmz — dmf
или
S = [aa] x2 -f- [bb] V2 -f- [cc] zn--}-2 [ab] xy-\-2 [ac] xz -f-
-f- 2 [be] yz — 2 [ad] x — 2 [bd] у — 2 [cd] z + [dd], C8)
!) Подробнее с последним вопросом можно ознакомиться
по книге Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчина «Элементарное введение
в теорию вероятностей^, М.—Л., Гостехиздат, 1952.
74

где введены такие обозначения, также принадлежащие Гауссу:
[аа]=^а\-\-а\+ ...+cL
= а^! -f-
[ас] = о^с,-{-
ambm.
amcm.
bmcm,
[cd] =
+ cmdm.
C9)
Нам нужно найти систему трех чисел х, у и 2, при
которых сумма 5 становится наименьшей. Временно предпо-
предположим, что значения у и г уже найдены и осталось найти
то значение х, при котором выполняется указанное условие.
Расположим 5 (см. C8)) по степеням х:
S = [аа] х2 + 2 ([ab] y-\-\ac]z— [ad] )x-\-( [ЬЬ\ у2-\-[сс\ 2Ч~
+ 2 [be] yz — 2 [bd] y — 1 [cd] z -f- [drf]),
К полученному квадратному (относительно х) трехчлену
применим известный вывод о том, что квадратный трехчлен
с действительными коэффициентами вида Auz-\-2Bu-\~C,
где А > 0, принимает наименьшее значение при а=	-j ^
в данном случае найдем, что сумма 5 будет наименьшей при
такой зависимости х от у и 2".
у 4- [ac]z—[ad]
[аа]
Это можно доказать таким образом: так как А ф 0, то
Аи"- + 2В« -{- С = Л (аз _|_ 2 JL н -|- -~
АС— S3
Здесь второе слагаемое не зависит от и, а первое слагаемое,
будучи неотрицательным, примет наименьшее значение 0 при
4
75

или, иначе говоря, когда х, у и z связаны условием
[да] х + [ab] у -f- [ас] z — [ad] = 0.
Предположим, далее, временно, что известны х лги
что нужно найти значение у, при котором значение 5 станет
наименьшим. Располагая S (см. C8)) по степеням у:
S = \bb] J>2 + 2 ( [ab] х -f [be] z — \bd\) у -f
\aa\ x2 -+- [cc] z2 -f- 2 [ас] хг — 2 [arf] x — 2 [crf[ 2 -+- [dd]),
ii используя упомянутое условие для наименьшего значения
квадратного трехчлена (здесь относительно у), мы аналогично
предыдущему случаю найдем, что требуемое условие будет
выполнено, если у выражается через х и г следующим
образом:
у-	\ъь\
пли если х, у и z связаны условием
[а*] х + Ш у +¦ [be] z — [bd\ = 0.
Полагая, наконец, известными х и у и стапя перед собой
задачу найти такое значение z, при котором сумма 5 оказа-
оказалась бы наименьшей, можно при помощи того же приема,
дважды уже примененного, найти еще одно условие, кото-
котором}' также должны удовлетворять искомые значения х, у, z:
[ас] х~\-[Ьс\ у+[сс\ 2 — \cd\ — 0.
Итак, приближенное решение системы C5), для которого
выполняется условие C7), должно одновременно удозлетво-
рять полученным трем условиям, т. е. быть решением
системы
[aa\x-\-[ab] у-{-[ас] г — [ad\ = 0, )
[ab]x-{-[bb]y-{-[bc]z — [bd] = Q, I	D0)
0, J
если такое решение существует. Система D0) называется
нормальной системой, соответствующей данной несовмест-
несовместной системе C5). Можно доказать, что для несовместных
систем с вещественными коэффициентами нормальная система
всегда определенна и что ее решение х, у, z, действительно,
сообщает сумме 5 наименьшее значение. Отсюда следует, что
76

для такой несовместной системы существует единственное
решение, удовлетворяющее принципу наименьших квадратов.
Обратим внимание на то, что нормальная система D0),
коэффициенты которой даются формулами C9), может быть
составлена по дайной системе C5) по простому и легко
запоминаемому правилу: чтобы получить первое (второе,
третье) уравнение нормальной системы, соответствующей
данной несовместной системе, следует левые части уравнений
данной системы умножить на коэффициент при первом (вто-
(втором, третьем) неизвестном в этом уравнении, после чего все
уравнения системы почленно сложить.
Важно также заметить, что система D0) обладает инте-
интересным свойством, упрощающим ее составление и решение,
а именно: коэффициенты, расположенные симметрично отно-
относительно прямой, соединяющей диагональные коэффициенты,
попарно равны (в обозначениях G) равны коэффициенты аг
и /;,, а. и с,, Ь3 и с.,).
Система, коэффициенты которой связаны указанными
равенствами, называется симметричной. Симметричную си-
систему удобнее, всего решать способом последовательного
исключения неизвестных, так как не только заданная система,
но и все промежуточные системы (с меньшим числом неизвест-
неизвестных) будут обладать свойством симметричности, что сокра-
сокращает вычислительную работу: на каждом этапе достаточно
вычислить коэффициенты, расположенные но одну сторону
от упомянутой прямой, включая также коэффициенты,
расположенные на самой прямой.
Задача 5 (решение системы методом наименьших квадра-
квадратов: начало см. на стр. 12).
Для приближенного решения системы E) составляем соответ-
соответствующую ей нормальную систему; согласно C9) имеем:
\аа] =- 1225' + 2500'- -'г 4225- -f- G4003 -f 8I003 -f 10 000- xs
^23 217-10*.
\ab] = 1225 • 35 + 2500 • 50 + 4225 ¦ 65 -f 6400 • 80 -f 8100 • 90 -f
+ 10 000-100 = 26 835- IO5,
[ac]	^ 1225 • 1 -f 2500 • 1 -f- 4225 • I + 6400 • 1 -f 8100 • 1 +
-j-10 000-1 =32 450,
\bb] = 3& + 502 _u 652 -l. 80'- -f- 902 + 1003 = 32 450,
\bc] =-- 35 ¦ 1 + 50 • I + 65 • 1 -f 80 • 1 -}- 90 • 1 + 100 ¦ I = 420,
[cc] = I'2— I2+l2+ 124-124-P = 6,
[ad]	= 1225 ¦ 0;9982 + 2500 ¦ 0,9988 -f 4225 • 1,0002 -4- 6400 -1,0025 -f
+ 8100 • 1,0046 -f 10 000 • 1,0072 ?« 32 572,
77

[bd] = 35 ¦ 0,9982 + 50 • 0,9988 + 65 • 1,0002 + 80 • 1,0025 + 90-1,0046 f
+ 100-1,0072^421,22,
[cd] = 1 • 0,9982 + 1 ¦ 0,9988 + 1 • 1,0002 + 1 • 1,0025 + 1 • 1,0046 +
+ 1 -1,0072 = 6,0115.
Задача сводится к решению такой нормальной системы (см. D0)):
232 170 000/> + 2 683 500? + 32 450/- = 32 572, |
}
2 683 500р -
32 450j9 ¦
32 450? +
420? +
420/-:
421,22,
6,0115.
Для приближенного решения этой системы способом последова-
последовательного исключения неизвестных целесообразно в этой системе
изменить порядок следования уравнений и неизвестных на обрат-
обратный:
6/-+ 420?+ 32 450/>= 6,0115, )
420г + 32 450?+ 2 683 500j9= 421,22, }
32 450r + 2 683 500? + 232 170 000р — 32 572.	]
Решая эту систему, находим:
р = 3,05-10~6, q —
2,75-10
1,0347.
Искомая эмпирическая формула:
с — 0,00000305 Р — 0,000275 t + 1,0047.
Если здесь, так же, как после решения способом средних
(см. стр. 73), вычислить по найденной формуле значения тепло-
теплоемкости при заданных в условии температурах, то наибольшее
расхождение между вычисленными значениями н полученными
нз опыта будет равно 0,0006.
Решим еще одну задачу на нахождение эмпирической формулы
более сложного вида.
Задача 15. Исследование зависимости продолжительности
решения систем линейных уравнений одинаковой степени трудности
от порядка системы дало следующую таблицу значений этих вели-
величин (п — порядок системы, t — средняя продолжительность решения
системы в минутах):
Порядок систе-
системы и
Время t (в мину-
минутах)
2
12
3
35
4
75
5
130
6
210
7
315
8
445
9
600
10
800
Требуется найти, эмпирическую формулу для зависимости t от п,
выражаемой этими данными опыта.
78

Мы покажем, что данную зависимость удобно выразить с по-
помощью показательной функции вида t — Апх, где коэффициент А
и показатель х следует подобрать, исходя из условия, чтобы эта
функция выражала указанную зависимость ,л/
с достаточно хорошим приближением. Для *
более удобной проверки целесообразности
выбора формулы указанного вида мы пред-
предполагаемую формулу прологарифмируем
(хотя бы при основании 10); полагая
\gA = y, получим: Ig t = х lg n -\- у. Это
уравнение можно записать в виде у=
«и kx -j- b (k — — Ig n, b = !g t), который по-
показывает, что оно имеет своим графиком
в прямоугольной системе координат пря-
прямую линию. Отсюда приходим к такому
способу проверки целесообразности выбора
формулы указанного вида: наряду с задан-
заданной таблицей строим вторую таблицу, в ко-
которой вместо величин п и t вписываем
найденные из логарифмических таблиц зна-
значения lg п и lg t, затем строим в прямо-
прямоугольной системе координат точки, коор-
координаты которых равны соответственным
значениям Ig n и Ig t. Если точки, число
которых значительно больше двух, окажутся
расположенными примерно на одной пря-
прямой, то вид формулы выбран удачно. В данном случае вторая таблица
имеет вид (использованы четырехзначные таблицы логарифмов)
3,0
2,8
гв
г/
г.о
18
1В
iA
ЛоЛ 0,8 0.8 / '
У л
Рис.
Igra
0,3010
1,0792
0,4771
1,5441
0,6021
1,8751
0,6990
2,1139
0,7781
2,3222
0,8451
2,4983
0,9031
2,6484
0,9542
2,7781
1,0000
2,9031
Точки с соответствующими координатами действительно рас-
располагаются (рис. 5) близко к некоторой прямой; это подтверждает,
что вид искомой формулы выбран удачно.
Для определения неизвестных нам величин х и у (а по у и
величины А) подставим соответственные пары значений из второй
таблицы в формулу х lg п — у = lg t; мы приходим к такой системе 9
уравнений с 2 неизвестными:
0,3010л + > = 1,0792,
0,4771л: -J- у = 1,5441,
0,6021 х + у = 1,8751,
0,6990л-|-> =2,1139,
0,7781д;-f у = 2,3222, !-
0,8451л + у = 2,4983,
0,9031а- + >' = 2,6484,
0,9542л + у = 2,7781,
х + у = 2,9031.
79

Л\ы не будем здесь проверять, что система несовместна; в этом
читатель легко убедится сам. Приближенно решим эту систему
обоими вышеуказанными способами.
а)	Чтобы приближенно решить систему способом средних, разо-
разобьем ее уравнения на две группы, включив в первую группу пер-
первые 5 уравнений системы, во вторую — остальные четыре уравне-
уравнения. Почленное сложение уравнений каждой группы приводит к такой
системе второго порядка:
2,8573а- — 5>> = 8,9345, )
3,7024*-f 4;у = 10,8279. \
Решая ее, находим х — 2,5981, у — \g А = 0,3022, А = 2,005. Иско-
Искомая эмпирическая формула:
^ = 2,005 п2-381.
б)	Для приближенного решения этой же несовместной системы
способом наименьших квадратов составляем соответствующую ей
нормальную систему, вид которой аналогичен D0), но без членов
с г и без третьего уравнения; согласно C9) имеем:
[ад] = 0,30102 _+_ 0.477I3 -\- 0.60212 + 0,6990? + 0.77812 + 0,8451' +
4- 0,90312 4- 0,9542--* -f I3 =f 5,2151,
[ab\ = 0,3010 • 1 -f 0,4771 • 1 + 0,6021 • I -}- 0,6990 • 1 4- 0,7781 • I -[-
+ 0,8451 • I -f 0,9031 ¦ 1 + 0,9542 -14-1-1= 6,5597,
[bb] = I2 +12 4- Is 4-12 + l'3 + I2 4-13 4-13 4-12 =- 9,
[ad] =0,3010-1,07924-0,4771-1,5441 4-0,6021-1,8751 4-0,6990-2,11394-
4- 0,7781 • 2,3222 + 0,8451 ¦ 2,4983 4- 0,9031 ¦ 2,6484 + 0,9542 • 2,7781 -f-
4- 1 -2,9031^15,5321,
[bd] = I -1,0792 + 1 -1,544i f 1-1,8751 4-1 -2,II39-,- 1 -2,3222 J-1-2,49834-
4- 1 • 2,6484 4- 1 • 2,7781 4- 1 ¦ 2,9031 = 19,7624.
Нормальная система (см. D0)):
5,2151л- 4- 6,5597у = 15,5321, |
6,5597*4- Ь = 19,7624. J
Решение нормальной системы: х — 2,5993; у = Ig A = 0,3013;
Л = 2,001. Искомая эмпирическая формула:
t = 2,001 гг'т\
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
23. Установить, как наиболее удобно проверить, подходит ли
для данной таблицы значений х и у, полученной из опыта,
Х2
V
У\
>'2
Уз ...
Уп

эмпирическая формула вида:
г) у = a + b\gx, А)у = аЛ0Ьх.
24. Проверить, что для таблицы значений
X
У
1
4,13
4
2,78
9
2,53
16
2,44
25
2,40
36
2,38
49
2,37
64
2,36
можно подобрать эмпирическую формулу вида а-]	. Найти коэф-
коэффициенты формулы двумя способами.
25. Проверить, что для таблицы значений
X
У
6
161,1
9
152,6
12
138,2
15
127,3
18
116,9
21
108,8
31
83,8
35
74,8
39
66,5
48
53,7
можно подобрать эмпирическую формулу вида у = а ¦ ЮЬх и найти
коэффициенты формулы двумя способами.
26. Для таблицы значений
X
У
0,05
600
0,15
60
0,30
15
0,50
5
0,80
3,3
1,50
2,9
b с
подобрать эмпирическую формулу вида у = а -)	1	. Найти
коэффициенты способом наименьших квадратов.
§ 7. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Выше были рассмотрены наиболее распространенные
способы решения систем с помощью вычислений. Интересно
также остановиться хотя бы на одном способе графического
решения систем, который можно было бы применить к си-
системам любого порядка.
81

В школьном курсе алгебры изучается один способ гра-
графического исследования и решения систем второго порядка,
который можно применить к системам с двумя неизвестными
независимо от числа уравнений. По этому способу мы
строим прямые, соответствующие уравнениям системы. Эти
прямые могут:
а)	пересекаться в единственной точке; система — опре-
определенная; решением служит совокупность координат точки
пересечения;
б)	не иметь ни одной общей точки для всех прямых
(в случае двух прямых это имеет место при их параллель-
параллельности); система несовместна;
в)	иметь бесконечно много общих для всех прямых
точек (если прямые сливаются); система — неопределенная;
совокупность координат любой общей точки всех прямых
даст решение системы.
К сожалению, этот удобный и наглядный способ иссле-
исследования и решения систем не может быть применен к систе-
системам уравнений, содержащих более двух неизвестных, так
как на плоскости нет геометрического образа, который соот-
соответствовал бы уравнению с числом неизвестных re^s-3.
Мы в этой книжке изложим способ графического реше-
решения систем, пригодный в принципе для решения систем лю-
любого порядка.
Идея его весьма проста: он графически осуществляет
последовательное исключение неизвестных и решение системы
треугольной формы (см. § 3). Рассмотрим каждую из этих
двух задач в отдельности, ограничиваясь системами до
третьего порядка включительно; дальнейшее обобщение метода
не представляет принципиальных трудностей, но становится
громоздким. Внимательный читатель справится с таким обобще-
обобщением самостоятельно.
Предварительно сделаем такое замечание. Так как коэф-
коэффициенты при неизвестных и свободные члены могут быть
как положительными, так и отрицательными, то при их гра-
графическом построении мы условимся числа с противополож-
противоположными знаками откладывать в противоположных направлениях;
для определенности условимся положительные числа откла-
откладывать либо вправо (при горизонтальном положении прямой),
либо вверх (при вертикальном положении прямой). Первый
коэффициент в уравнении мы условимся считать положитель-
положительным (этого можно всегда добиться путем умножения обеих
частей уравнения на —1).
82

1. Начнем с задачи графического приведения системы
к треугольной форме.
а) Пусть требуется исключить одно из неизвестных си-
системы второго порядка вида F). Коэффициенты при неизве-
неизвестных мы вправе считать отличными от нуля, так как в про-
противном случае система уже имела бы треугольною форму.
Мы также будем считать, что й; > 0 и а2 > 0. '
Выполним такое построение (рис. 6): проведем произ-
произвольно две параллельные прямые 1Х и 12, затем выберем на
N
Рис. 6.
каждой из них начальные точки (соответственно Ot и О2)
так, чтобы соединяющая их прямая была перпендикулярна
к lt и 12. Приняв некоторый отрезок OtE за единицу мас-
масштаба, отложим на прямой 1г, начиная от точки Ох, после-
последовательно отрезки О1А1 = а1, A1B1 = bl, B1D1 = d1, а на
прямой 12, начиная от точки Ог,—отрезки О2А2 — а2, А2В2 — Ь2,
B2D2 = d2; при этом необходимо учитывать знаки коэффи-
коэффициентов и свободных членов, как выше условлено. На рис. 6
принято, что йх < 0 и Ъ2 < 0, а остальные значения поло-
положительны. Точки At и А2, Bj и В2, Dj и Dz соединим пря-
прямыми. Проведем еще параллельно lt (l2) прямую / и обозна-
обозначим точки пересечения / с прямыми О1О2, А1А2, ВХВ2 и DXD%
соответственно через О, А, В и D, а числа, измеряющие
отрезки ОА, АВ, BD, через с, Ь, d. Имеет место такая
Теорема. Где бы мы ни провела прямую I, значе-
значения а, Ъ и d удовлетворят уравнению ах-{-by — d,
где х, у—решение системы F).
Прямая / может занимать относительно 1Х и 12 одно из
трех положений: находиться между ними, быть выше 1Х и
быть ниже 12. Мы подробно проведем доказательство только
для первого случая, изображенного на рис. 6, а для двух
других случаев отметим лишь особенности их доказательства.
Обозначим через ряд расстояния от / соответственно
до 1Х (р^ОО^ и до 1г (q — OzO). Проведем AfiWOfii,
83

^A^, BlN\\DvD2 и обозначим точки пересечения этих
прямых с / соответственно через F, Н и М. Очевидно, что
GA2 = О2А2 — O2G = О2А2 — ОХАХ =¦ а2 — alt
КВ2 = КА2 -+ А2В2 = В^АГ +¦ Аф2 = А2Вг — А1В1 = b2 — bit
B2N = B2D2 -+ D2N = B2D2 — BlD1 =1 J — dv
Далее, используя подобие треугольников
Д AXFA со Д ArQA2, Д ВВ^ со Д В2ВХК.
Д BfiiM со Д Я^Л/
и основываясь на теореме о пропорциональности соответ-
соответственных сторон и высот подобных треугольников, устана-
устанавливаем, что
), НВ :КВ2 = р :
BM:B2N = p
или, подставляя значения отрезков ОА2, КВ2, B2N2:
v p+q"
ВМ = (d2
l> p+q
Последний результат позволяет вычислить отрезки а, Ъ и d:
= 0,-4- (c, — c,) —7— = —f— a, ~\	7— с,,
= AXBX -+HB =
= BD = ВЖ + MD = ВЖ 4- BlDl =
Пусть x, у — решение системы F); вычислим сумму ах-+Ьу,
где с, Ь — только что найденные отрезки:
ах -4- ft у = —т— Й1 х Н	т— о?-* Ч	г— fti V Ч	т—• ^ =
d + Х- rf2
р + qv 1 ' 1-// /> + ^ 2 ^^ р Л~ q
84

Последний отрезок совпадает, как выше установлено, с от»
резком (I. Доказательство теоремы для рассматриваемого
случая закончено. Для двух других случаев доказательство,
по существу, ничем не отличается от приведенного: следует
лишь считать р<^0, если / находится выше 1г, и q < О,
если / находится ниже 12.
Доказанная теорема позволяет сделать такое заключение:
если прямую 10 провести через точку пересечения Ао пря-
прямых АХА2 и ВХВ2, то в этом положении ее отрезок Ь=А0В0
обратится в нуль и соответствующее прямой /0 уравнение
примет вид aox = do, где а0 = О0Л0, d0=^A0D0 их — то же,
что в решении системы; это уравнение вместе с одним из
уравнений системы F) образует систему треугольной формы,
равносильную F).
б) Пусть требуется привести к треугольной форме систему
третьего порядка вида G). Выполним построение, аналогичное
4
Os
0,
о,
Os
В С, А,
в,
[у
Ц
г
и
\ Вг Ра
4
Рис. 7.
предыдущему (рис. 7): проведем произвольно три параллель-
параллельные прямые /t, /2, 13 и на каждой из них выберем начальные
точки (соответственно О,, О2, O:i) так, чтобы они лежали
на одной прямой, перпендикулярной к ]л. Выбрав еще еди-
единицу масштаба—отрезок ОХЕ, отложим на /1 последова-
"¦ «io отоезки O1A1 = al, AiBl = b1, BlCl==cl, ClDl = d1,
на прямой /2 — отрезки О2Аг = а2, А2В2 — Ьг, ВгСг = с2,
C2D2 = йг, на прямой /3 — отрезки О^А3 = а3, АЪВ3 = Ь3,
В3С3 = с3, C3DS = d3. Точки, обозначенные одинаковыми бук-
буквами, соединим попарно прямыми (например, В1 с В2, В2 с В3,
Bt с В3; на рис. 7 показаны не все прямые). Имеет место
теорема, аналогичная рассмотренной в предыдущем случае.
Теорема. Если провести произвольную прямую I
параллельно 1± и отметить точки пересеченая ее О, А,
В, С, D соответственно с прямыми OtO2, АхАг (или,
85

А2А3, А^з), В,В2 (или В2В3, В^Вз), СХС2 (или С2С3, C^Q,
DXD2 (или D2DS, DXD3), то величины а=^ОА, Ь — АВ,
с = ВС, d = CD удовлетворят уравнению ax~\-by-\-cz—d,
где х, у, z — любое решение системы, составленной из
первых двух уравнений (соответственно последних двух
или первого и третьего уравнений) системы G).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы п. а), и поэ.ому мы его опускаем.
Исходя из этой теоремы, мы для исключения z можем
поступить следующим образом. Построим прямые BJ53 и СгС3,
а также В2В3 и СгС3 (рис. 7). Через точки пересечения каждой
пары прямых проводим прямые /4 и /б, параллельные lv От-
Отмечаем точки О4, А4, В4, D4 пересечения /4 соответственно
с Ofi3, АуАз, ВХВЪ (или CfC3) и DXD3 и точки О5, Л5> В5> Оъ
пересечения 1Ъ соответственно с О2О3, А2А3, В2В3 (или C2CS),
D2D3. Из построения и указанной теоремы ясно, что урав-
уравнения, соответствующие /4 и 1б, не содержат z; поэтому сово-
совокупность этих двух прямых представляет графически систему
двух уравнений с двумя неизвестными, полученную из си-
системы G) исключением z. Дальнейшее исключение одного
неизвестного из полученной системы можно выполнить приемом,
описанным в а). Для этого придется провести прямую 1^1Х
через точку пересечения А6 прямых А±А5 и ВАВЪ и отметить
на этой прямой точки О6, D6 пересечения ее соответственно
с прямыми ОцОь, D^D^. Прямая /6 представляет графически
одно уравнение с одним неизвестным, полученное в резуль-
результате исключения из системы G) z и у. Совокупность пря-
прямых /6, /4 (или /б) и 1Л (или 12, или /3) представляет графи-
графически систему уравнений, равносильную системе G), но
имеющую треугольную форму.
В заключение заметим, что порядок исключения неиз-
неизвестных в принципе безразличен: можно исключать любое
неизвестное из любой пары уравнений; практически следует
выбирать такой порядок исключения неизвестных, который
удобнее для чертежа (как это сделано на рис. 7).
2. Перейдем к вопросу о графическом решении системы
треугольной формы. Начнем с случая решения одного урав-
уравнения с одним неизвестным.
а) Пусть требуется графически решить уравнение
ахх = dv
Допустим, что задача уже решена и отрезок х уже изве-
известен. По сомножителям ах (% > 0) и х можно построить

произведение алх таким образом (рис. 8): на прямой L от-
отмечаем начальную точку О и точки Е и Ах так, чтобы
?0=1 и ОА1 = а1. Перпендикулярно к L проводим пря-
прямые ОМ и AXN; на ОМ откладываем отрезок OFX = х,
точку Ft соединяем с ? и проводим OQX\\EFt. В результате
этого построения мы получим от-
отрезок A1G1 = ахх. Действительно,
из подобных треугольников EOFt
и OAlG1 устанавливаем:
OFX: ЕО — A1Gl : ОАХ,
х : 1 = A1G1: аи Afix — ахх.
Но заданное уравнение пока-
показывает, что агх — dv где dl из-
известно. Отсюда легко получаем	Рис. 8.
способ построения решения урав-
уравнения a1x=^d1. Строим, как указано выше, прямую L,
точки О, Е, Ах, прямые ОМ, A±N и откладываем на AtN
отрезок A1G1 = d1; затем соединяем точки Gx с О и прово-
проводим EF1\\OO1. По доказан-
доказанному отрезок 0F1 будет вы-
выражать неизвестное х.
б) Пусть, далее, тре-
требуется решить систему вто-
второго порядка треугольной
формы:
ахх	—dx,
агх -\- Ьгу = d2-
Пользуясь указанным в а)
построением, мы найдем от-
отрезок, равный х, являющийся решением первого уравнения
системы. Предполагая временно, что известен также отрезок у,
покажем, как строится отрезок, выражающий левую часть
второго уравнения системы (рис. 9).
Построим произвольно прямую L, на ней отметим
точки О (произвольно), Е (?0=1), Аг (ОЛ2=с2),
В2 {АФг — Ь^; затем перпендикулярно к L проведем пря-
прямые ОМ, A2N и ВгР; на ОМ построим точки Fx @F1 = x)
и F2 @F2 = у) и соединим их с точкой Е; после этого про-
проведем OG2\\EFi и G2H2\\EF2. Убедимся в том, что отре-
отрезок В2Н2 выражает сумму агх ~j- Ь2у. Действительно, проведя
87

еще G2K2\\L и пользуясь подобием треугольников
Д EOF^ Д OA2G2 и /\EOF2 со Д О2К2Я2>
мы найдем:
OF1:EO=^A2G2:OA2, х : 1 = А2О2: а2, A2G2 = a2
OF2 : ЕО = К2Н2 : G2K2, у : 1 = К2Я2 : 62
(G2K2 = ^!2В2 = &2), /^2Я2 = Ъ2у
и окончательно
В2Я2 = В2.АС2 + К2Н2 = Л2О2 -f- /С2Я2 = с2х -4- ?2 J-
Но по условию а2х-\-b2y = d2, т.е. отрезок В2Я2 дол-
должен выражать число d2. Отсюда легко получить способ
построения отрезка у, который мы ранее предполагали
известным; после построения прямой L, точек О, Е, А2, В2,
прямых ОМ, A2N', ВгР, точки Fx и прямых EFit OG2, как
показано выше, мы откладываем на прямой ВгР отре-
отрезок B2H2 = d2, соединяем Я2 с О2 и проводим EF2\\O2H.,.
Отрезок OF2, как это следует из приведенного доказатель-
доказательства, будет выражать второе неизвестное у.
в) Пусть, наконец, требуется графически решить систему
третьего порядка треугольной формы:
a2x
b2y
=d2,
c32 — r/3.
Пользуясь построением, указанным в б), мы можем ре-
решить систему, составленную из первых двух уравнений за-
заданной системы, и найти отрезки, равные х и у. Пред-
Предполагая временно известным и отрезок, равный z, покажем,

как построить отрезок, выражающий левую часть послед-
последнего уравнения заданной системы третьего порядка.
Построим произвольно прямую L (рис. 10), на ней
выберем произвольно точку О и нанесем точки Е (ЕО = 1),
А3 (ОЛ3—а3), В3 (А3В3—Ь3), С3 (В3С3—с3); затем проведем
прямые ОМ, A3N, В3Р, C3Q перпендикулярно к L. На пря-
прямой ОМ нанесем точки Fx
— x), F2 (OF2
F3 (OF3 = z) и соединим их прямыми с точкой Е. После
этого проведем прямые OG3\\EFX, G3H3\\EF2 и H3K3\\EF3.
u
Рис. 11.
Докажем, что отрезок С3К3 выражает сумму а3х -f-#3_у-j-c3z.
Действительно, проведя дополнительно G3R3\\L и H3S3\\L и
используя подобие треугольников
Д EOF^ Д OA3G3, Д EOFzc* Д O3R3HS,
Д EOF3 c/d Дtf3S3K3,
найдем:
OFX : ЕО — A3G3; ОА3, OF2: ЕО = R3H3: G3R3,
OF,: ЕО = S3K3: H3S3
или
x : 1 = A3G3: a3, у : 1 = R3H3: b3, z\\— S3K3: c3,
откуда
b3y, S3K3 = c3z,
и окончательно
= A3G3
= B3H3 -\- S3K3 — B3R3
c3z =
-j- c3z =
89

м
Но так как по условаю а3х -\- Ьъу -\- c3z = d3, то отре-
отрезок С3К3 должен выражать заданное число d3. Отсюда ясно,
как следует строить отрезок z, который мы временно счи-
считали известным: строим прямую L, точки О, Е, А3, В3, С3,
прямые ОМ, A3N, B3P, C3Q,
точки Ft, F2, прямые EFlt
EF2, OG3, G3H3, как выше ука-
указано; затем на прямой C3Q
откладываем отрезок, выра-
выражающий d3, после чего соеди-
соединяем Кз с Н3 и проводим
EF3\\H3K3. Из приведенного
доказательства следует, что от-
отрезок OF3 будет выражать
третье неизвестное z.
Следует отметить, что при
практическом решении систем
графическим способом нет не-
необходимости для каждого не-
неизвестного строить отдельный
чертеж, как это было сделано
выше, чтобы сделать изложе-
изложение более понятным. Всю си-
систему треугольной формы можно решить на одном чертеже
(см. решение задачи 16, рис. 12).
Задача 16. Решить графически систему
Рис. 12.
х — Ъу -f- 2z = 12.
Приведение системы к треугольному виду выполнено на
рис. 11 в соответствии с изложенным в п. 1,6), с тем
только отличием, что исключение z производится из первых
двух уравнений, а в п. 1,6) на рис. 7 переменное z исклю-
исключалось из первого и третьего уравнений. Систему треуголь-
треугольной формы считаем представленной прямыми /6, /4 и /1#
На рис. 12 дано решение полученной системы треуголь-
треугольной формы, выполненное в соответствии с изложенным
в п. 2, а), б), в), но все построение дано на одном чертеже.
Решение системы дается отрезками OFV OF2, OF3. Из-
Измерение их показывает, что х — Ъ, у——1, z—2.
90

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
27. Решить графически систему
4х-
2х-
: + 7у=-1, \
:-у= 13. /
28. Решить графически систему
х — Зу + 6г = 5,
5х+6у — Юг = 4,
29. Обобщая изложенный метод на системы четвертого по-
порядка, решить графически систему
2х + 5у — Зг — М = 3,
х — Зу + 2г + 3/ = 4,
5х + 6у — Зг + 2/ = —1,
Зх —2у —4г+ ^= 1.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.	х —2, у = — 1, z = — 3, t = — 4.
2.	л; = 2, ^ = 3, 2 = —1, м = —2, v=\.
5.	Один из возможных видов решений:
17/7 — 2	19р+1
х — р, у~ 5 , z— 5
(/7	ПРОИЗВОЛЬНО).
6.	Система решения не имеет.
7.	При афО, аф~:
х = у = ~, * = 2--;
при а = 0 решений нет; при а = —:
х = /7, _у = 2, 2=^2 — /7
(/7 — произвольно),
8.	RH = /?п = 2.
9.	/?ц = 2, /?п == 3.
10.	При а=1:
/?и = л» = 3;
1
при а =-!т '¦
Ra = Ra = 2;
лри а=0:
11.	х — 2, у— —5.
12.	а) При а ф ± 20:
	 аб — 300		 86 —6д
х ~ "^2 _ 400 ' -У— д2_400 '
92

б)	При а = 20, Ьф 15 и при а = —20,
система несовместна.
в)	При а = 20, Ь= 15:
3+10/7
при а = —20, ? = —15:
3— 10/7
13.	При а Ф 45° решений нет. При а=45°:
VT
х = р, y = -L7)	р (р — произвольно).
14.	Воспользоваться развернутым выражением определи-
определителя.
15.	х = 4, ,у =—3, г = 1.
16.	а) При афЪ, аф—7 имеем
(Д-12) B-ft)
2E-а)G + а)'
__ аЧ -f 4д -f 8& — 86	_ (& — 2) B 4- За)
¦У~ 2E-а)G + а) ' Z ~~ 2E — в) G4- а)'
б)	При а = —7, Jf 2 и при а = 5, Ъ Ф 2 система
несовместима.
в)	При а = —7, * = 2:
х = Р. У = Зр — 1, z = — р
(р — произвольно),
г)	При а = 5, Ь=2:
х = 7р, _у = 33/7—1, 2=17/7
(р— произвольно).
17.	а) При а Ф Ъ, а Ф —6 имеем
дб4-3&—72
х
3Da — b)	_ b — 4a
У ~ 2 (а — 3) (а 4- 6)' * ~ (а — 3) (а + 6) '
б) При а = —6, й =?—24 система несовместна.
93

в)	При g = —6, b = — 24:
х = 4 + 6р, у = Ър, z— —2/7
(р — произвольно).
г)	При а = 3, Ъ ф 12 система несовместна.
д)	При а—Ъ, Ъ—\2:
х = 4 — 2р-\- Zq, y = p, z = q
(р, q — произвольны).
18.	Система несовместна.
19.	л; = 114,5; ^=31,6;	z= 1,6.
20.	х=:2,О05; _у = —1,017; z = — 4,032.
21.	Если уравнения писать в виде
z + dit = ei (/=1,2,3,4)
и поправки для неизвестных х, у, z, t обозначать соот-
соответственно через а, р, "j-, 8, то поправки вычисляются по
формулам:
Т-	(-^ «-1 "+- ^ Р-1 -+-^" 8
-
Вычислительная схема получается аналогично приведен-
приведенной на стр. 64; число столбцов увеличивается до 16, число
строк для вычисления очередной поправки— 4.
22.	х = 3,12; у = — 3,77; 2 = 0,95; ^ = —1,93.
23.	Следует составить новую таблицу значений таких
переменных:
а)	— и у;
б)	х и —;
У
в)	х и •—;
;	У
г)	lgx и у;
д)	х и \$у.

Затем по новой таблице построить в прямоугольной си-
системе координат приближенный график функции; если этим
графиком окажется примерно прямая линия, то ответ утвер-
утвердительный.
24.	Способом наименьших квадратов:
а = 2,33; Ь= 1,761.
25.	Способом наименьших квадратов:
а— 190,4; * = —0,0116.
26.
27.
28.
а =
х =
х==
3,6,
5,
5
Ъ — —2
у = —3.
,35;
13
с
= 1
; = -
,6.
7
4
29. х =

Борис Евсеевич Маргулис.
Системы линейных уравнений.
Редактор А. Ф. Лапко.
Техн. редактор Е. А. Ермакова.
Корректор С. Н. Емельянова.
Сдано в набор 30/Ш 1960 г.	Подписано
к печати 27/VII 1960 г. ".Бумага 84x108/32.
Физ. печ. л. 3.0. Условн. иеч. л. 4,98.
Уч.-изд. л. 4,92. Тираж 30 000.	Т-10131.
Цепа книги 1 р. 50 к. С 1/1 1961 г. цена 15 к.
Заказ № 1310.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.