НОВОЕ
В ЖИЗНИ,
НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
Серия
«Физика»
№ 6, 1980 г.
Издается
' ежемесячно»
с 1946 г.
Г. Е Воловик,
кандидат физико-математических наук
В. П. Минеев,
кандидат физико-математических наук.
ФИЗИКА
И ТОПОЛОГИЯ
Издательство
«Знание»
Москва
1980

БЕК22.15
В68
Воловик Г. Е., Минеев В. П.
В68 Физика и топология,—М.: Знание, 1980.—»
64 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер.
«Физика», № 6).
В брошюре рассказано о едином топологическом подходе
х изучению устойчивых неоднородных состояний: вихрей. дис«
локаций, дисклинаций. доменных стенок, точечных дефектов
и т. п. в упорядоченных средах, таких, как сверхпроводники,
жидкие и обычные кристаллы, ферромагнетики и сверхтекучие
жидкости Не4 и Не8. Некоторые из этих неоднородных
состояний имеют общую топологическую природу с широко
известными в квантовой теории поля объектами: солитонами, ин-
стантонами. монополями. но в отличие от последних
существуют реально. Продемонстрирована связь явления
сверхтекучести с топологией.
20402 ББК22Д5
517.6
(б) Издательство «Знание», 1980 г.

4. ВВЕДЕНИЕ
Потребность в новых математических методах
возникает в теоретической физике не так часто. И каждый
раз это связано с какой-либо физической задачей или
проблемой, которую не удается решить, используя
традиционный для физики математический аппарат. В
подобных случаях приходится искать новый язык,
подходящий для формулировки и решения данной проблемы.
Так было, например, /при. создании общей теории
относительности, языком которой является риманова
геометрия?: Другим примером может служить квантовая
механика, первоначально сформулированная на языке
-матричной алгебры. После римановой геометрии ичал-к
гебры матриц в физику пришла теория групп,
оказавшаяся адекватным языком для описания явлений
симметрии в квантовой механике, физике твердого тела,
физике элементарных частиц.
Применение алгебраической топологии в различных
областях теоретической физики, начавшееся совсем
недавно, также является событием такого рода.
Топологические методы используются в настоящее время в
квантовой теории поля и общей теории
относительности, биофизике макромолекул и физике
конденсированного состояния. В каждой из этих наук назрели
вопросы, на которые можно дать ответы с помощью
топологических методов. Так, в теории поля можно надеяться
получить классификацию элементарных частиц;:и
решить ^облему/нёвылетания кварков. В физике
упорядоченных сред, которую мЪТ и "будем в1 основном иметь
в виду в этой книге, /благодаря топологии приобрели
/общие черты многие разрозненные исследования раз-
яичных дефектов в разных веществах: дислокаций в
кристаллах, дисклинаций в жидких кристаллах,
доменных стенок в магнетиках, вихрей в сверхтекучих жид-1
костях.и многих других.
Уже давно стало понятно, что существование
устойчивых дефектов в отдельных веществах является
следствием внутренней симметрии этих веществ, как,,
например, существование дислокаций является
следствием периодичности кристаллической решетки. Однако
только в 1976 г. q помощью простейших топологических
соображений была установлена однозначная связь
между структурой вещества и типами устойчивых де-
3

фектов в этом веществе.{ Были найдены также
топологические законы сохранения, которым подчиняются
дефекты при распадах и слияниях. Топологический
подход оказался плодотворным и при изучении круга
вопросов, связанных с явлением сверхтекучести.
Что же такое топология?
-Ответ на этот вопрос обычно звучит так:
«Топология—часть геометрии, изучающая свойства фигур,
остающиеся неизменными (инвариантными) при их
непрерывных преобразованиях^Конечно, такое
определение топологии не может Считаться исчерпывающим,
ибо оно не отражает той центральной роли, которую
играет топология в современной математике,
объединяя ее основные разделы: алгебру, геометрию, анализ, -
Мы надеемся, что по прочтении этой книги у читателя
создастся свое представление о той части топологии,
которая применяется в физике, а сейчас приведем
простейший пример топологического инварианта.0
Возьмем замкнутую веревочную петлю (рис. 1, а).
Очевидно, посредством непрерывной. деформации, т. е.
без разрывов и последующих соединений концов, ее не*
возможно превратить в петлю с узлом (рис. 1, б). Зна«?
чит, сохраняющимся при непрерывной деформации
свойством петли будет ^наличие или отсутствие разных
узлов. Веревочные петли локально, т. е. в окрестности
данной точки, неотличимы. Свойство, отличающее их
друг от друга, характеризует данную петлю «в целом».
Такие свойства называются глобальными
топологическими свойствами. Задача перечисления узлов, не
переводимых друг в друга непрерывной деформацией,
требует привлечения специальных методов алгебраической
топологии, точнее одного из ее разделов — теории
узлов. Эта задача играет важную роль в статистической
физику полимеров, где встречаются длинные молекулы
с узлами. ' ' :~
Основы
алгебраической топологии были ,
заложены в конце
прошлого века в трудах
гениального
французского математика Ан-
ри Пуанкаре. Айгебрй-
б) ическая топология ис-
Рис. 1 пользует алгебраиче-
&
4

екни аппарат — язык теории групп для описания
топологических инвариантов геометрических фигур., ,,
,-ч В физике конденсированного состояния геометр иче-У
скими объектами, ^топологические свойства^ которых V
\ имеют важныефизически^ являются так на- у
• •; зываемьйГ'ТьЬЯа^^ вырождения. J
„Форма этих "областей может быть как простой
(окружность, сфера, трр), так-и более сложной. До изучения
собственно топологических свойств этих фигур нам
^необходимо познакомиться с понятием вырождения,
характерным для конденсировав таких, как
твердые и жидкие кристаллы, фёрро- и антиферромап-
нетики, сверхпроводники и сверхтекучие жидкости Не4
>^-''4i Не3. В качестве наиболее простых примеров
вырожденных веществ рассмотрим сначала ферромагнетик и
сверхтекучий Не4 и найдем их области вырождения.
№
2. ВЫРОЖДЕНИЕ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ И СВЕРХТЕКУЧЕМ Не4
^>е}^омахнетики — это ^нпце^ув^ обладающие да*
^лягшч^няостъю в j>T(^T£TMej^
Jig, т. е. спйдтатым ы^щгг^ы^^о^^^аи." Спонташ- ^
ный момён-ГНюэникает при температурах ниже темпе- |Ц±ЦЫ|
ратуры Кюри, характерной для данного вещества, и &T&xtcei*
растет с понижением температуры Г, достигая шпсси-nHs]ft \x
мума при r^J3Lj£. Равь^весное^значение магнитного мо-jl Jl'v)'V|
мента М о^спечи^еГдишшум магнитной энергии n]^ut~>4
данной температуре. "^^^J^wSSm^ ч-**к-
нергшГТрбрромагнетика может зависеть не только irtLjJSiLlV
от величины, но и от шцщавденияшц^ ^ТИзО
Ml Так будет^Д^апример^в^ ^ ^ •
нетике, где разнкм направлениям М по отношению к
кристаллическим осям может соответствовать разная ^ л
энергия. Эта энергия магнитцрй ^амзоропии» как пра- jfl&f[
вило, мала по сравнению с чисто магнитной энергией
ферромагнетика, зависящей лишь _от _5МШШШи£пон-
тайного момента М. Поэтому^'' если^мы пренебрегаем
энергией магнитной анизотропии либо рассматриваем .
aj^j^i^^^i^ecTBO, все^ состояния ферромагнетика, от-^гЗДэЧ
Личающиеся" направлеНйкм спонтанного момента, обла- '
дают од^шгтво^эне2™^- Такие состояния с о^ина-i (£шм&
^овой^дне^гие^ отличающиеся значениями какогб-л^ол^^^!^^,
Уараметра^азываются вырожденными. ^с^сй,аС4|(н4' \Ьаш W
Состояния ферромагнетика вырождены по направле- ^ **

ник^намап^^^ которое и является параметром^
йрож^й^я^^ер^омагнетике. Выше температуры Кю-
т. е. в парамагнитной фазе, вещество может нахо-
W л)диться лишь в одном ^вно^Щ)м^со£^я^1л9 иначе
говоря, в парамагнетике нет вырождения. р ^ \щЛ*
1кую фигуру ^р_азуетоб£асть ^ырожделных^ со-
Ето5цц1й феррокагнетика?^^ воз-
^0\
ftQOjl 7можные векторы намагниченности ^{з^дной^и^ ^ ,
^ 0 / точки. Тогда геометрическое место^2че21^^концав]^к- 1%У
. ^jlDBSbzJNLjL ест^ис^шмая^дбласть^вырождения. Эта об- JL*k
^ор^йТ!ласть представляем поскольку величина Щр У
<^S \ намагниченности одинакова для всех вырожденных ^^^дШ\
бтоянийГХферjT в топологии принято обозначать S2. ^JiMW
2^ у кристалл]
_ теперь sqejgjApi дг^цдоц^^цш^^ в ^-
кристаллическом ферромагнетике. В этом случае уже ^у*
1 не все состояния ферромагнетика с заданной величиной Ш|
щт)[ намагниченности обладают одинаковой энергией. До-^ий
1 ' пустим, что для направлений намагниченности вдоль Щ>™
.у/^(Определенной кристаллическои^си v энергия анизотрЭ*)^
Wrb^vjnHH минимальна. Тогда говорят, что имеется «легкая
|ось» намагничивания. При наличии такой анизотропии fcl
равновесными будут лишь два состояния M=±Afv. ' '
ч Следовательно, имеется двукратное Вырождение — об- -j -
Аласть вырождения состоит из двух* изолированных то- ^р,
чек. В кристаллах с 6o^eejHdcoggJL3^iSJ^^
рией область вырождения может состоять и из боль-
^ шего числа изолированных точек. «ч-1гл . \ C?"t *)
~ N Возможна зругяя ^туяш1ят когда энергия мишГ-
у/ мальна для всех направлений намагничейн^
дакулйрных какой-либо К{)исга3]ли^
'случа^гов^ят, что имеется^легкая плоскость»
намагничивания. Область ^ы^ождения — геометТЛРГеское_ме-
itf^VtflcTO концов' вектор^ намагниченности, отложенного из
j данной точки, представляет собой в этом случае ^щу^ж-
S tJCHfiSZJ*- Окружность — наиболее простая й наиболее ча^-
~ * 2!^сто**встречающаяся область вырождения веществ. В то*
пологий окружность принято обозначать через^К
Покажем, что окружность является областью вырождения
'"""'ЖиЗдайНе4 — жидкость, lie замерзающая при
нормальном давлении вплоть до абсолютного нуля
температур. При температурах между 0 и 7\ = 2,17 К
жидкий Не4 ведет себя, как смесь дв^х^комдонент. Тече-
6

I ниР
%
f*
ни5Аодной из них, называемой сверхтекучей, не
испытывает никакого сопротивления'при протекании сквозь
узкие капилляры. Плотность сверхтекучей компоненты
рг совпадает с полной плотностью жидкости р при
Г=0 К и уменьшается с ростом Г, вращаясь в нуль
при Т=Т\ . Остальная часть жидкости с плотностью
ря =р—р, ведет себя, как обычная жидкость, и
поэтому называется нормальной компонентой. Появление^
сверхтекучего движения ь^Не^ оказывается следствием С
квантового вшо^^^^Гегю^состо^ний. """" ^ " '
T^^o£ai^Tii5jIa^^ и относительно
слабому притяжению между ними квантовое эффекты в
535Гии при понижении температуры начинают
сказываться j>aHbmejjie^_j£^^
SS^iJ^J£S^5JSJ^^^}iX: Атомы изотопа Не4 необла-V
дают спином и поэтому подчиняются квантовой
статистике ^азё^^цшш^ейна, в соответствии с которой в £1
данном квантовом^состоянш может находиться произ- Я jjj)
вольное ''чнслсГ^сти^ идеальном бозе-газе (газ 11 <s
из бозе-частиц б^^взаимодейстдия_ между ними) при *• -
температуре, ниже некоторой, имеет место явление бо-
зе-конденсации: частицы ^а]^ап^имюгсз-чъ_состоядии с
р*0
j^i^^2e^9L-^§WSSH» соответствующей импульсу ча-
стшсы^ равдрму Hyjyp. Три Г=0 К в этом состоянии
собираются все частицы бозе-газа. Все частицы бозе-кон-
денсата описываются одной и той же волновой
функцией ¥^=J4^Jjjxp^^ еслн
^^^m{^J^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ бозе-конден
^^ш^ущ^ь^^^^^^ж^ )^^_имеет^естоja ^в^жид
коТйГТ^^ТСоТ^яв^
и
;)
стиГйриводит к тому, 5tJ£J!£fL^^^i^^^^-S^^—°^7
^«и^^ходятся в бозе^одденсате, тем не* менее конеч-V
ная доля^обВШ^о количества частиц будет описываться
1\ общей ^волновой функцией У== |¥|exp(flfr), которая в .
\) равновесии постоянна в_ пр5£Й?а!1^еЛВ неравновесных ^-Cfcwrl
состоянияy ^олнпндя ^у!пшия У является Функцией ко- —-'"'■
9ЙМ1ШТ. Оказывается, что сверхтекучее движе|ше_свя- t>uc^^
5fp5i
зано с изменением
>азы
ижение с
*ФГИме1
менно
(Л*
- „ \ Ulf-О
скорость течения сверхтекучей компоненты выражается] '*
через градиент фазы у^=—VO, здесь ^ — постоянная/v J^r
Планка, am — масса атома Не4.
^Энегщщ^щдкости — вещественная функция и, есте-|[ л
ствеш![о7немон^ волновой функ-U /

> 7
Спро1131рД|Яш1Г'?Г^еГ имеется ^^Qiggelffi^^BrioBecHbix!
/состояний по Ф. Заметим, что вырождение по фазе вол«]
'новой функции — вещь обычная, оно имеется и у от-|
дельного атома, (^н^ко^ тгя. ^от^ед^чр^^ато^^^т^кое'
ВЫ])ОЖДеНИе НеДНЦЗОДИХ^ JS^^Hj^fl^fl^^J3H3gCKHM}
хцсЙийш^*^^
ис5ПГ^^ при-;
чине нормальная жидкость, например ^вода, не являет»!
ся вырожденным веществом.
Итак, область вырождения состояний сверхтекучего
Не4 — это область возможных значений волнойзйг!
функции при заданном~ее"модуле. На комплексной плС^
скости эта область представляет собой окружность о
^[адиусомГ^^ вдоль которта меняется фаза Ф.
3. ВИХРИ В СВЕРХТЕКУЧЕМ Не4 И АНИЗОТРОПНОМ
ФЕРРОМАГНЕТИКЕ
Мы видели, что два совершенно разных по своей фи*
зической природе вырожденных вещества: сверхтекуч
чий Не4 и ферромагнетик с «легкой плоскостью» намаг«
^ ничивания имеют одинаковые области вырождения -—
^ SSEX^SS^iL^* Покажем теперь, что отсюда следует
сщ^вд^ш^^этх веществах_оди^ко^х линейных
дефектов— вихрей.
Что представляет собой ^и&рь» в сверхтекучем Hej
и его бднянрн^--^прп6я1я 3Ji^^jt^I^gLH^^Kf с_«лег«
кои^Шг^зЩс^ю^ намагничивания, которую мы тоже
будем называть вихрем? Тащке как и ъ обычной жид*
Kgcra, вихрь в сверхтекучем Не4 —'это^ращаУельное
течение жидкости вокруг некоторой оси -± линии вих-
j^ Скорость жидкости, и возрастает^ при прибМжении
к линии вихря обратно пропорционально расстоянию от
нее и обращается в бесконечность на самой линии
вихря. Поэтому ^инця ^лхря является особой^цщшей. Для
вихрей в произвольной невязкой жидкости имеет место
»теорема о циркуляции: 'Циркуляция скорости по любому
замкнутовЛ^контур)Г у, окружающему линию вихря,
есть величина постоянная. В сверхтекучем }ке Не4 и
сверхпроводниках циркуляция не. просто постоянна, а
мджет^уцщ^
зд^че^ етоЛт(^лТГ^тмётИЛ
это в" ЯЙ9 г., но по своему обыкновению де оиублико-

текучщ скорости вoiФyjLjЦшщLJBИjЦSIJfl
^n^nhhrim. фаза Ф изменяется на 2nN
вал (!), был знаменитый американский физик-теоретик
JXagc^OHcarep. Действительно, вспоминая * выражение
*ЙляГсверЗсте1^чей скорости, введенное в предыдущем
разделе, получим, что диркуля^ия ^верхт^сучей скоро-
сти выражается через изменение фазы при обходе
линии вихря по замкнутому контуру и равна —• 6Ф. Вви-
- ' т ,
ду однозначности волновой функции ¥, изменение
фазы Ф может быть лишь целым кратным 2я, т. е. 6Ф=
=2я#, где N — целое число. Итак, циркуляция сверх-^
дЙТУется и рав-
дЕйоб^оде ли-^
нии вихряпод|00^ ма-
TfiffiT^spHfryj^^
одно5начноне^ределена. Таким образом* мы еш£ раз
приходим к тому, что линия вихря — особая линия.
Значение #=0 соответствует безвихревому или
потенциальному течению.
Вихрь в ферромагнетике с легкой плоскостью
определяется аналогичным образом. Если ввести угол Ф
между направлением намагниченности и каким-либо
фиксированным направлением, в легкой плоскости, то
- п I • t г t
w1.
Ж>
К
ч^ц// ^
6)
\ Mill
v^ -Ji/.<
/
*
4»
/
Рнс. 2
9

л
&
М = N f«) , x * *"
вихрь — это такая^£о£аялшщ,1П)^^ которой
гр&^1^££няет£Я--Л1^^
ихри в ферромагнетике с W=l, на рис. 2, в с #=—1,
на рис. 2, г с jV=0 и на рис. 2, <? с #=2. Лщши^вихреи
Ha_3TH2L£ncyi^axjja^
плоскости» и плоскости рисунков и обозначены точ-
^амиГДля вычисления N надо учесть, что
положительное направление обхода вокруг особой линии, а также
положительное направление изменения угла Ф — про-
^ тив часовой стрелки.
Ш*)11 ^1°ле векторов намагниченности непрерывно везде,)
Wwv|заТ^^иоч^нйтаГ^ЬбСои^инииГ которая поэтому и назы-7
вается; особой. На^самой^ особой
^^^н^lчejiцpcтиJ^^oг^peдeлeнo. ^
разувозникаех множество вопросов. Устойчивы ли
такй^^сосРбяния^^Мо^
поля намагниченности? Можно ли путем непрерывной
деформации этого пoляJ^eDeвecпkJ^дин^
например, вихрь 2, а в 'вихръ*2Гби^
изойдет, если два &и%[^солъотся? ^ак yCTPoeHaJ££P4"
iJSJUiH в-иЗЙЗФ^Г^ г де1-нЗ!1]!гЗвление^ намагниченности не
определено? Ведь особая точка или линия — это лишь
математический термин. И т. д. На этй^вдпросы додает.
готд^т^оцо^^и^в^с^ок^пностиис продты!>ш[_Ф^изичес^
Даваит^Тгроследим, как меняется вектор М в
области его изменения S1 (рис. 3) при обходе вокруг вих-
рей. Если мы совершим обход в положительном направ-
^^ДМлении вокруг вихря 2, а, то ^ектор_М^щи этом один
/ра^ обхприт ^ дпложител^ном направлении^окружность
Д^Иначе говоря, замкнутый контуру ^ обь1ннам-ддо-
VW.^ ^ст^анстве (см._рд£. 2,_а), сжружакщи^
\/\ *нш2,_рто^р^ЯГается в областй^о1 в^замкнутыи направ-
| ленный контур Гь прочерчиваемый концом вектора М
J^J^aшц^oдщJ^£aдoб£tI^
.^лении ^ту д1фужнбстъ~^^^ а). Ясно,^что при
М^^шб^й ^де^о^ации jjow^j^iMjuji^^
контур Ti все равио^б^ет^й^йГо^ровно сбишраз с
учетом знака обхода. Действительно, для того, чтобы
изменить число обходов, необходимо либо снять контур
Т\ с окружности, либо порвать его. Снятие контура с
окружности означает изменение равновесного значения
|М1, что требует больших энергетических захрдт. Рвать
Шг.
ю
кО>

же этот контур мы не мон*ем, поскольку любой такой
разрыв означает разрыд^ па?щ нам^гниз^ннрсти и так-
же требует больших затрЗтП^агнйтно^^ Подоб-
ный разрыв^ в Не4 означает скачокфазыФ^а^стало_
бытЬдбесконечное во^астаниё[^све^^Муче1ГскоРО^Т
и вместе с ней плотности кинетической
энергии
spsvi/2 сверхтекучего движения. Реально в окрестно-
п/сти разрыва плотность сверхтекучей Компоненты
обрамь щается в нульГ^при^то^^
^^^'r^^^jfiQ^ ДЯяуст^ с Л?=1
\\р\ точка разрыва фазы должна быть на любом контуре у,
| окружающем особую линию. Значит, сверхтекучесть
^ должна, быть разрушена в окрестностью шшшей мере
^"\ целой полуплоскости. . краем котор^ой^ служит линия
ви^фя, что требует преодоления огромного
энергетического барьера. Поэтому вихрь с Л/=1 устойчив. ^
Вихрь с #=1 не может оканчиваться внутри
ферромагнетика или сверхтекучего Не4. Иначе контур v.
можно было бы снять с вихря и стянуть в точку, а это
означало бы возможность стянуть в точку его образ Ti
в S1. Следовательно, вихрь с W = 1 вдосетлибо оканчи-
MTbC2_jia4jiQBe2XHO£ja^^
^аГмкну^
Аналогичным образом обстоит дело и для вихря с
любым другим N=fcOt так как замкнутый контур Г& »
который N раз с учетом знака обхода обегает
окружность, при любой деформации сохраняет свое N. Это
Is-
а)
Рис. 3
б)
И

?числб, которое сохраняется при любых непрерывных
деформациях, и является топологическим инвариантом,
характеризующим контуры, обегающие окружность.
Для вихря с N=0 (рис. 2, г) нет топологических
причин, мешающих ему перейти в состояние без
особой линии т. е. исчезнуть. Действительно, контур То
(см. рис. 3, б) — образ контура у (рис. 2, г) на
окружности S1 может быть непрерывно стянут в точку.
Например в точку А на рис. 3, б. Легко представить себ£Ъ
деформацию поля М в однородное состояние, соответ-;?
ствующую такой деформации контура Г0. у
#1 Аналогично нет топологических причин, мешающих^
г/переходить друг в друга вихрям с одинаковым N. Так,—.
U вихрь на рис. 2, а может непрерывно перейти в вихрь
* на рис. 2, б, а вихрь с JV=2 на рис. 2, д может
распасться на два вихря с N=1. Последнее возможно по
той причине, что контур у, охватывающий два вихря с
N±=1, отображается в тот же контур Гг, что и контур
у, охватывающий вихрь с #=2. Физические
препятствия, однако, возможны. Дело в том, что вихри с одним
' и тем же. инвариантом N могут обладать разной
энергией. Например, вихрь с JV=2 имеет энергию большую,
чем энергия двух вихрей с #=1. Поэтому вихрь с #=2 «
может распасться на два, но два вихря с #=1 не
могут без посторонней помощи слиться в один вихрь с
Итак, мы можем сделать .следующие выводы.
"Все вихри" (особые линии) могут быть
распределены по классам. Каждый класс характеризуется своим
топологическим инвариантом N. Внутри класса вихри
могут переходить друг в друга, если при этом
происходит пошшение^н^£ии.~ пока не будет достигнуто
состояние с наименьшей энергией в данном классе. Это
Lf состояние и эйдетически и ^топологически устойчиво,
поэтому оно должно наблюдаться экспериментально.
Переход вихрей из одного класса в другой запрещен*. _
Вихри с ЫФО либо оканчиваются на поверхности
системы, либо образуют замкнутые петли. При слиянии
вихрей происходит сложение топологических инвари-
| антов.
Таким образом, в процессах распада и слияния
дефектов имеется закон сохранения суммарного
топологического инварианта, аналогичный закону сохранения
электрического заряда. Вихри ведут себя как носители
12

элементарного элегического заряда электроны и
позитроны. При столкновении вихря с jV=1 (позитрон) с
вихрем с #=—1 (электрон) происходит аннигиляция
вихрей, аналогичная аннигиляции электронно-позитрон-
ной пары. В то время как происхождение инварианта
у вихрей связано с топологическими свойствами
сверхтекучего Не4, происхождение дискретных физических
зарядов (электрического, барионного и др.) пока
неизвестно. Соблазнительно думать, что и физические заА
ряды обязаны своим существованием т^по^цдческим >
сво^гва^нек^то^од^среды (физическо1(о^вакуумаУ^ ^
40 Всеперечисленные свойства, кроме последнего, име*
ют место и для дефектов в веществах с другими обла«
^ етями вырождения. Закол _содшшя. .аеф^лав^лсак^мм.
Г^" увидим дальше^выгдядвд^ в ^щщ^одцчаз немного
^с5стается выяснить, что происходит в сердцевине
вихря при приближении к оси вихря. Как уже
отмечалось, сверхтекучая скорость vs растет обратно
пропорционально расстоянию до оси вихря. Плотность энергии
сверхтекучего движения жидкости возрастает, и
единственная возможность сделать ее конечной — этомрщч^
jio^ua^jyB^E^gjQMficib^T. е. дбдатить Р* в нуль на оси ^
с\Гвюц)я. В ферромагнетике с '«лёгкой 1июск(йггью» этому \J&X\
^•^'соответствует обращение в нуд^^о^л^^^мдгниченно-"
««Э сти JjVlLHa и оси бЩфя. Однако имеется более энерге-
Д 31^т*СЛ(Р ^мгодн^явозможность li3&eS^fB ЬеСконечной.-
^^Гплотности эн^УййгТ"ферромагнетике. Действительно,
^на таких расстояниях от оси, на которых yng^j^aj^tgp-
гидподя_М^аналогичная энергии сверхте$3?чего потока
^^ё47^Мвмсит_адед£Що ала^нитной ^анизотропиит
вектору Л1Гвыго^^
^еши^Гт^ сгшш^
бых линий ферромагнетик с легкоЙ1-Л[ШСкостью_ш
"дда^ндд^удет "
В разделе \ мь
i-^.... тройном фещюмагнети
} "^Гение поля: iW вблизи оси вихрей в ферромагнетике с
«легкой плоскостью» выходит из нее и становится не-^т*ч
1 прерывным (рис. 4). (^{J/
Грявним *^иурь р ^ррхтекучем Не4 и вихрь в об'ыя-
но5Г жидупгти Ргди пренебречь силами вязЕого трения, «£<-£■■■•-
вихри в воде или атмосфере устойчивы в силу теоремы цу £,..
о сохранении циркуляции. Однако эти вихри под влия-
«SWVf^
1
13

V
иием вязкости _ постепещю ^а_ссасываются, хотя этот
гфоцес^монсе^Вь^ достаточно
мощный. Вихри с N=1 в Не4 топологически устойчивы,
^СД^» никакое вязкюе jrj>gjiiig не мозйет" из^ни1^_^вщгга^ццр-
^см^|^£££яции св^р2и^1^ей скодост!^ Не может
вязкость^фивести^^1ГТГасса^ыванию вихря, поскольку
g рассасывание означало бы увеличение той области
вблизи вихря, где сверхтекучесть нарушена, а это
энергетически невыгодно. Устойчивость^ дихда в ^сверхтеку-
HeJLявд&ется тш^^ел^о^с^ж^т^^^олбгп-
ч^сюГзГдво!^^ —
ШЕ^жнорпГ^Т^ поэтому
'в ней нет топологически устойчивых образований.
Можно переформулировать найденные здесь общие свойства
дефектов в языке теории групп, чему и посвящен
следующий раздел, о£новнои^вывод^^
* **то^<аждыйм^
еделеннойдлядуцщ^
ЦшрСл^ГшПо^собенност^
кожение элементов группы.
4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОБЛАСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
N Мы уже видели, что различные вихри соответствуют
S различным замкнутым контурам f в области вырож-
уденных состояний. Рассмотрим подробнее свойства этих
/контуров, ибъявим гомотопически эквивалентным или
принадлежащими одному гомотопическому классу
направленные контуры Г, выходящие из одной точки А и
такие, что их можно перевести друг в друга путем
непрерывной деформации, оставляющей на месте точку
Л. Например, на окружности гомотопически
эквивалентными будут все контуры
-W l\x.__
1нс. 4
U
Г w с данным N.
В множестве
контуров Г введем операцию
умножения. Для этого
вспомним, что каждый
контур Г является
образом контура у,
выходящего из
фиксированной точки г0 в
реальном пространстве и
охватывающего особую
линию. Произведением кон-

туров Г7 и Г" будем называть контур FT7, такой, что
при движении точки г по замкнутому контуру у,
выходящему из г0, ее образ в области вырождения
пробегает сначала контур Г', а затем контур Г". Умножение
классов контуров определяется как умножение
произвольных контуров из этих классов. Например,' для
случая окружности S1 произведением классов IV, и Tn2
является класс IV, +w2 > т. е. Глг.+лг, =Г^, Г#а .
Классы контуров образуют множество, называемое
группой. Напомним определение группы. Группой (мы
ее будем обозначать буквой G) называется
множество, обладающее следующими свойствами.
Л 1. В множестве G определен закон умножения, т. е.
правило, по которому любым двум элементам А и В из
G единственным образом сопоставляется некоторый
элемент С из G, называемый произведением А и В,
С=АВ.
2. Умножение обладает свойством ассоциативности,
т. е. для любых трех элементов группы выполняется
равенство (AB)D=A(BD).
3. Среди элементов G имеется единичный элемент,
т. е. такой элемент Ег что равенство АЕ=ЕА=±А
выполняется для любого А из G.
4. Для каждого элемента А из G имеется обратный
ему элемент Л"1 такой, что АА-]=Е.
Введенное нами умножение контуров очевидно
обладает свойством ассоциативности. Например, для
окружности (Г1Г2)Гз=Г1(Г2Гз)=Г6. Единичным
элементом в множестве, состоящем из классов гомотопически
эквивалентных контуров, объявим класс контуров,
стягиваемых в точку. В случае окружности это контуры
типа Го. Классом контуров, обратных данному, объявим
класс, состоящий из контуров с противоположным
направлением обхода. Для окружности Г# = Г~!у .
Множество классов контуров удовлетворяет всем
групповым свойствам, а стало быть, является группой,
которая называется фундаментальной^ группой_области
вы£ощещщ^ли^^
Jmhh^^
'])ужност»Г,Тфед собой группу целых чисел, в
которой групповое умножение — это обычное
сложение. Небольшое размышление, которое полезно
проделать самостоятельно, убеждает, что группой является
15

именно множество классов гШ^б1Шёски экв31алент-
ных контуров, но не множество всех контуррв, которое
не удовлетворяет определению группы.
Перейдем теперь к дефектам. Поскольку каждому
Классу дсдбш^тщксофветсще^ с^ои^^мотюпиче-
с^^^^с^кон^ров ^^^^^сти^ырд^Д£НИяГто
классы о^ббЁГзР'Зий^ слиянии
двух особых Л1ршй, принадлежащих классам Г' и Г",
получается особая линия из класса Г'Т'. т. е. процессы
ищшия_и распаiда^еф^етов^^ш)^ш^Ю11?^>рУпп^вым
зрЙшцГ^ Не4 и
$ерррмагаетике с «легкой- плоскостьк», для которых
фундаментальная группа ^- группа целых чисел, эти
^процессы определяются сохранением целочисленного
'топологического инварианта JVi (слияние вихрей с N{ и
Задает вихрь с Ni+N2.
I. Дислокации в кристаллах
Дислокации в кристаллам, пожалуй, наиболее хоро-
?ю известные линейные дефекты в конденсированных
редах. Типичная краевая дислокация в кубическом
кристалле изображена на рис. 5. Линия^д^л^к^щи,
Перпендикулярная плоскости рисун$ГТ&^з^ра^1гаая
точкой Л, является краем лдшрей кристаллической
полуплоскости, показанной Г^нктирной линией АВ.
Дислокация, как видно из рисунка, представляет собой juj;
Jj^fti^l^eAeKTjB ^щодадоч^ро^^
^УВ^/шПУасстояниях в несколько постоянных решетки
от линии дислокации кристаллический порядок,joccTa-
;шпщдд§т££. Известны также и другие типы
дислокаций: вицтодые, CB££{jjgJlSJge и т. д. Поскольку <^щество-
рание, неустойчивость дислокаций, так же как и уже
знакомых на^^шсреиГ^^зируе^ на ^гополощческйх
свод^таахокоужнос^ то, прежде чем переходить-к
^екта^ПТвещес^^ сложными областями вы-
ррждения, будет полезно взглянуть на них с
топологической точки зрения. Начнем, как обычно, с области
вырождения кристалла. "* ! ^
Ьообразим кристалл, заполняющий все
пространство. Поскольку область вырождения не. зависит от
конкретного вида кристалла, мы будем иметь в виду
кубический кристалл с осями вдоль х9 у и г. Очевидно
сдвд^д^исталла как целого вдоль произвольного на-
16

*-t
Т^У-К
-Ь*
С
3v КС
Л
1Я"*
*f правления не^ен^т^е^^энерпш» Рассмотрим ПгёЩения
вдоль оси ^ОГостояниякрис^ла 5ЙВаЖД£ДЙ-\23:й?си*
тмелуиг^эти^^^ Параметр вырождения —
величина смещения х. Область изменения этого
параметра — отрезок длины ах, где ах —период кристалла
вдоль оси ^.'Действительно, сдвиг кристалла на
величину ах приводит к совмещению кристалла с самим со- p^Q-i
бой, поэтому концы отрезка [0, ах ] описывают одно и L*,4x)~
то же состояние, т. ел эквивалентны. Если же величина у$1
^сдеще1щя-х^лежит вне отрезка, то всегда имеется
эквивалентная ей величина смещения, лежащая внутри
этого отрезка. Отрезок с эквивалентными концами по
рвоим топологическим свойствам совпадает с
окружностью. Разумеется, аналогичное вырождение состояний^
имеется и относительно смещений вдоль осей у и z. Сле-"
довательнд, область,вырождения, c^HM™«LJ;2g3>M£Bii0^ I
го кристалла представляет собой трехмерную область,/
построенную шмгрех^кружностях. ^"
ЭтТ^об^тП?^ как куб, противо-J
положные грани которого попарно эквивалентны, или*
что то же самое, ^ове^ность трехмерного jrop^ Buggi
^гырехмернщ^ просхранствеГ Аналогичным^бразом
поверхность двумерного тора в трехмерном пространстве
топологически эквивалентна квадрату с попарно
эквивалентными противоположными сторонами, склеивая
которые мы и получим тор.
Контуры^на тр&смернрхМ торе в^от^чи^от^ш^^жно-
£щда|Д1р£р|р[^^
окружностей) т^щ^ющчески^^ ,
Nz . Следовательно, топологически усгойчивые_линей-
"jjH^^jeifiKlbi в кри-
'^таЗиГахвотличие от
вихрей ^обладают уМсе
не одним, a • ggggg. це-
гкйшР нарядами) N. ,
ТГу. N1* л Например,
- 1ШИ^О0ХОД^ В^ПОЛОЖИ-
> ТйПш^Г' Z дислокаДШГ,
Ч изовртЯЗсейГОй на рис,
/5, по_ л1о£юму замкну-
Y
1^
■*£■
Рис. 5
ТАГ
719-2
^„(■ОГНУЧ^

образом, одна из окружностей в области вырождения
[(обходится один раз,ви значит, Nx =1, Ny =NS =0.
V/7 При распаде и" слиянии дислокаций сохраняется
(Ткаждый из трех топологических зарядов. Закон
сохранения трех зарядов можно рассматривать как.зако^ со-
> л л хранения вектора Ъ=хах Nx +yayN y +za2 N г% кото-
P/iP* ^рый называется вектором Бюргерса.
о У краевой дислокации на рис. 5 с вектором Бюргер-,
са Ъ=хах линия дислокации перпендикулярна вектору
Бюргерса. Линию дислокации можно деформировать.
Очевидно дислокация будет оставаться в том же
классе, т. е. описываться тем же вектором Бюргерса. Если
мы повернем линию дислокации так, чтобы она была
параллельна вектору Бюргерса, то полученная
дислокация уже называется винтовой. Таким образом, с
топологической точки зрения краевая и винтовая
дислокации эквивалентны.
Классификация дислокаций с помощью векторов
Бюргерса применялась в кристаллографии задолго до
I проникновения топологических методов в физику кон^
к денсированных сред. По этому поводу французский
. теоретик Л. Мишель остроумно заметил, что, подобно
* месье Журдену, говорившему прозой, физики использо-
• вали топологию, не подозревая об этом.
6. ЕСТЬ ЛИ ОСОБЫЕ ЛИНИИ
В ИЗОТРОПНОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ!
Рис. 6
Перейдем теперь к
веществам с другими
областями вырождения.
Выясним, могут ли
существовать устойчивые
особые линии в
изотропном ферромагнетике,
область вырождения
которого — сфера 52. Для
этого рассмотрим вихрь,
изображенный на рис. 2, а,
который был
топологически устойчив для
Ферромагнетика с анизотропией
18

типа «легкая плоскость». При обходе вокруг этой
линии по контуру у мы движемся в области вырождения
S2 по контуру Г, лежащему на экваторе сферы (рис.6).
Контур Г можно стянуть по сфере в точку, поднимая {
его, например, в северное полушарие сферы вплоть до
северного полюса N. Это означает,, что вихрь,
изображенный на рис. 2, а, 'может непрерывно перейти в
однородное состояние. В процессе перехода, изображенном
на рис. 6 в 52. и на рис. 7 в обычном пространстве (на
этом рисунке ось вихря лежит в плоскости рисунка),
намагниченность выходит из.плоскости и становится
постоянной в пространстве.
Такой процесс обычно называют в^ытекацие^^вихря 1
[детье измерение. ** Ч
Аналогичным, образом оказываются н^стощшвыми
и^все другие ^возможные вихри, пдскол^^яюНой замк-^
^ш1л_^^^ля^с25Ере моЗкно^стянуть^точку. Следом ч
вательно, в изотропном ферромагнетике^ j£Cipu4HBbu \
особых линий нет. •"
7. ДИСКЛИНАЦИИ В НЕМАТИЧЕСКОМ ЖИДКОМ КРИСТАЛЛЕ
Теперь перейдем к веществу, ^которое по струдщре
своей области в"р^ж"^"цст напоминает
ферромагнетик, — нематическому жидкому кристаллу. Нематиче-
ский жидкий кристалл (или нематик) состоит из
палочкообразных молекул. Вз^тлокецдтвнв |к^жду_палодками
стремится выстроитьих параллельно друг другу. Этому
___■ \
\.
\
\
\
/ /
/ /
/
/
/
'/
ММ!
ММ!
\ \ \ \ \
А ММ
t I \\\
ttttt
Рис. 7
19

препятствует тепловое движение, поэтому при высоких
температурах это обычная изотропная жидкость. Начи-
i ная с некоторой критической температуры в жидкости
, появляется выделенное направление, вдоль которого
'палочки в среднем ориентированы. Вещество, однако/ч
* остается жидким, так как центры тяжести палочек нет
упорядочены, т. €. не образуют кристаллической решет-?/
ки. Это и есть нематик. Выделенное направление в не-)
матике обозначается единичным вектором d, который S
.^называется директором. /
Состояния не^тикавырож^ ,
ветГ£од(П^
д.^од^опногофе^
>1еменееосо^Ь1 е ЛМии у нематика есть. Эти линий,' так*
называемые дисклинации, наблюдаются с помощью
микроскопа в виде нитей, от которых и произошло на-
■•.. звание «нематик» (ve\ia— нить).
В чем-же секрет существования особых линий в нё^
матике? *г***-~*">—~~^ -^
«^ Дело в.том, что концы палочек неотличимы, поэтов
*±J му неотличимы и состояния нематика с противопрлож-
~~ ным направле1Ш£м^аиректова. Одно и то же состояние
нематика одновременно описывается и вектором Лу'я
ДОДг-АДО-

вектором —d. Таким образом, -ка^оесостчщще% нема-
тика соответствует двум точка лГ^асферео^, которые
диаметрально противоположны. Это означает, что
диаметрально противоположные точки на сфере 52
физически эквивалентны. 3jn ня первый взгляд несущественное-^ .
отличие пт глучяя^ияптропного ферромагнетика и при- ? J
водит к существованию устойчивых линейных дефектов у/
в нематике. у
Рассмотрим возможные дисклинации в нематике и
выясним, какие из них топологически устойчивы. На
рис. 8; а, б изображены дисклинации, аналогичные
вихрям на рис. 2, а, в в ферромагнетике. В нематике, как
и в изотропном ферромагнетике, они неустойчивы. Они
могут вытекать iLxpeibeL измерение так, как это было? 07
доказано на рис. 6 и 7для случая ферромагнетика, при] f \
этом вектор d выходит из плоскости. Конфигурации,*
изображенные на рис. 8, в, г, возможны только
благодаря тому, что концы палочек неотличимы. У
ферромагнетика такое распределение намагниченности имело бы
разрыв на целой поверхности, .опирающейся на особую
линию и показанной жирной линией на рис. 8, А
Выясним, МОГуЛЛИ И ЭТИ ДИСКЛИНаЦИИ таКЖ^ иутечь р пц)Рткр
д^ерениеГ^Д!?^^ вырождения надо
найти образы контуров v> окружающих особые линии 8, в
и 8, г. Эти образы принадлежат классу контуров ГцL»
соединяющих диаметрально противоположные точки ч
сферы (рис. 9). Контур класса.Г»/» является
замкнутым, поскольку он начинается и кончается в физиче- aN
ски эквивалентных точ- £**
ках. Видно, чт^ликакой ,***ш~~~тттт*^^- t/ <*&
непреръшной^деформади- S^)vx /П^Ч fcV^^v
ей нев^щюжно стянуть / /$ Г* / \ v\^* I \o
;^хш^^ет^Е_й^шчку. 1лри / / / / \ \ j S^%.
Д£ф£РМЗЦИИ. контур а Ту, ' ' / j
, ьщжнд двигать и точки
А» но^юосольку они яв-^fi
^е^дЗ^^йср^конпщ)
}не стягивается.
( Поэтому дисклинации
Г рис. 8, в и 8, г топологи-
d&) ) чески устойчивы. Они
смогут перейти друг в
(друга или в Apyr^wjKftH*
2!
^"
Рис.9
I

??
они не могут. Таким образом, несмотря на то что
вектор d может выходить из плоскости, вытекгтядн^лп^\
наций рис. 8,в и 8, г в третье измере1ше^не^^оиДюдитд¥у
Вопрос о том, какая из оссЮеннбстйГэтого^ класса""име-^
^энергию, ВЫхс
ет_наимеш>111
кого рассмотрения
ов другого типа в об-
— имеется все-
два класса особых линии^ь нематиках. Один класс
состоит из устранимых особых линий. Обозначим этот
класс индексом N = 0. Второй класс состоит из
топологически неустранимых дисклинаций с топологическим
инвариантом #=72. Все дисклинаций, которые в
плоском случае характеризуются целым N, т. е. при
обходе вокруг них вектор d N раз обегает экватор сферы
S2, принадлежат классу #=0, а дисклинаций с полу
целым N — классу N= 7г.
У| Интересен закон слияния дисклинаций класса "#=7г.
11 Если оставить палочки в одной плоскости, то в
результате слияния получится дисклинация с N=*l. Например,
слияние двух линий 8, в дает линию 8, а, которая
может вытечь в третье измерение. Следовательно, две
дисклинаций из класса #=72, сливаясь, аннигилируют.
К Сложение топологических инвариантов происходит по
() закону 72+0= 72, 72+72 = 0. f I-VO^UY-O УхУ
Иначе говоря, фундаментальная группа сферы с
эквивалентными диаметрально противоположными точка-
и, называемой также проективной плоскостью, состо-
т из двух элементов (двух классов контуров) F<j, Гу, э
Групповой закон умножения этих элементов 1\ Г% =■
= Го. Действительно, щ?оиаведение двух контуров типа
Г»/а представляет собМ^онтуру проходящий по зжвато-
рд^сферы. Этот контурГ^юЖно^ так, как
это показано на рис. 6,*"следователЙю7 он принадлежит
ON
классу Го. Такое умножение можно заменить
эквивалентным ему сложением при условии, что все целые
числа эквивалентны нулю.
С Итак мы показали, что в отличие от изотропных
v ферррмагнетиков в тецадрчесгах ^жидких квдсгаллах
\ ддлжны существоватйПюобые ИйНии! И это несмотря на
-foT^WJ области вырождения обои5Г веществ в любой
малой окрестности какой-либо точки не отличаются друг
\
22

от друга, т. е: локально эквивалентны. Однако
глобально^ или, как говорят математики, «в
целом^^рниотличаются,
, и именно это отлтппяеги приводит к существо
<'1ПпШ!Густойчивых дефектов в нематике.
№
8. ОСОБЫЕ ТОЧКИ В НЕМАТИКЕ
И ИЗОТРОПНОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ
В нематических жидких кристаллах возможны и
экспериментально наблюдаются топологически
устойчивые особые точки в поле директора d. Аналогичные
особые точки возможны и в изотропном ферромагнетике. _
Простейшая особая точка такого рода имеется в начале f
координат, если направление намагниченности М в
каждрй тфчке фе£ромагн£хика^(?бвдадае£ с--цаправле-
^ящец рядиу^я-врктрря! М/1М | = г/г. Поле М торчит во
все стороны, напоминая иголки свернувшегося в клубок
/ежа. Поэтому такая особая точка получила название
•.' «еж». «Еж» топологически устойчив. Покажем это. t
Поле М в «еже» сопоставляет каждой точке сферы
а произвольного радиуса, окружающей особую точку,
одну точку сферы S2, на которой меняется М.
Соответствие между точками на сфере а и на сфере S2 можно
вообразить следующим образом. Представим образ
сферы а на сфере S2 в виде резиновой пленки, один раз
обтягивающей эту сферу. Пленку, т. Je^J[loлe^и£e^^гoga,
можно непрерывно деформировать,Тпричесывая» «ежа»,
можно даже образовывать на ней складки, но стянуть
в одну точку без разрывов и последующей склейки
невозможно. Это означает невозможность непрерывно
устранить особую точку в поле вектора М, т. е. превратить
поле М в однородное (М=const). В топологии в этом
-л
23

&
Случае говорят, что поле М(г^ задает отображение сфе-
ш д^на сферу S2 со степенью^ ото5ражения,_£авной еди-
цице? В отцембл^^^
/^ вает, ск^ькд^азг^енка_ окутывает S2. N может быть
"" и отри^ательны^^йс^^
ферромагнетике конфигурации поля М вокруг особых точек с JV и
~N отличаются лишь противоположными направления-
[ ми в каждой точке. Например, если N=1, то «иголки
I ежа» торчат, наружу, если же N=—1, то они направ-
* лены внутрь.
Итак, перевести «ежа» непрерывным образом в
неособую конфигурацию невозможно. Это можно сделать
лишь создавая дополнительные разрывы в
упорядоченном состоянии ферромагнетика. Такой процесс
устранения «ежа» путем создания разрыва на целой линии
изображен на рис. 10. Линии на рисунке показывают
направление М в каждой точке. Жирной линией
обозначена линия разрыва. Она, как показано на рис. 7,
вытекает в третье измерение, образуя однородное
состояние. Этот процесс требует больших затрат энергии на
создание разрыва. Поэтому «еж» практически
неустраним. Единственная оставшаяся для него возможность
исчезнуть — аннигиляция с «антиежом» («ежом» с #=*>
—1). ■
II Степень отображения играет роль_тюподогического
(раряда (ср. с топологическим зарядом вихрей). Тдк^^ке
~Kakj сдцнае особые гщнции дри слиянии особых .точек
с^ед^ни^охображения скл^ш£аются7 Например, чтобы
полз^Штьосооую~точку_ c~lV=2, достаточно слить в одну
С две особые точки с N=1. Неособой конфигурации соот-
ч ветствует степень отображения, равная нулю.
jf Итак, в^зртропном_ фе]^магн^хи^_^а^ы особых
//точекнах^^
ми*3>т<5б|^^
характ^^ N — степенью отображения.
\| Эти классы образуют группу, ^называемую гомотопиче-
нской группой* размерности 2. В ферромагнетике с
анизотропией типа «легкая плоскость» и jb' св1ерхтекучем
Не?_топологически устойчивые^эсобаеточки
невозможны, поскольку любо^непрерывное отоВражениё сферы
на область вырождения в этих веществах —
окружность S1 можно стянуть по этой окружности в точку.
Область вырождения нематика^^-^ £ферju поэтому
«ежи» в нематике тополШ^че~ш^^оичивы^т!)шако со-
;
о?

ответствие между классами точечных особенностей и
классами отображений неоднозначно. Действительно,- £>
пр^кольк^остоя!^
?еяаВ"'состепенЙ^ неразличимы, т. е.
^аждой _фдз1ш^кай^особен1^т^ ин-
*gamyuma Д n^-N\^e§tfm?r^^
также неоднозначен: так как степени N и —N
соответствуют одной и той же особенности, т£ сливая два^одинакд-?
^вые^оробенчоггт^ g фдчу, можно получить ли£о^£Ш>-^
/ю.конфигурапию, 1**6° особеннпут!^ зарядюм±2Уу. ^
^то может вызвать недоумение, ибо^^й^^йя&й^ГТш
должны получить конкретную физическую особенность
с определенным значением- модуля степени
отображения.
Разгадка в том, что результат слияния зависит от
4 "У™» J10 которому сближаются, ^особые точю£ Пути
блЭ^пгй^^могут быть топологически различными, если
Рис, 11
25.

в объеме нематика присутствуют дисклинации. Слияние
особых точек с \N\\ = \N2\ = 1 в присутствии
дисклинации показано на рис. 11. Здесь имеется два
топологически неэквивалентных пути сближения у и у,
проходящие по разные стороны от линии дисклинации (точка О
на рис. 11, а). Слияние вдоль пути у приводит к
образованию точечной особенности с N=|2|. При слиянии
«
по пути y особые точки аннигилируют, поскольку при
этом получается точечная особенность с N=0, которая
может исчезнуть.
Такой забавный .результат слияния является лишь
следствием того, что область вырождения нематика не *\л£
прпстп сфера S2. а сфера, у которой пиамруряльно про- Jv^
'тивоположные точки эквивалентны
9. ДОМЕННЫЕ СТЕНКИ. СОЛИТОНЫ
Кроме дефектов в виде линий и точек, в
упорядоченных веществах существуют устойчивые дефекты в
форме поверхностей. Наиболее простой пример такой
поверхности — доменная стенка в ферромагнетике с
анизотропией типа «легкая ось». Если v направление
легкого намагничивания, то область вырождения
ферромагнетика состоит из двух изолированных точек М =
= ±Mv, т. е. несвязна.
Доменная стенка — узкий переходный слой,
разделяющий области ферромагнетика с противоположными
направлениями намагниченности (домены). Внутри слоя
намагниченность М отклоняется от направления
легкого намагничивания (рис. 12). Такая поверхность
является топологически устойчивой, поскольку для ее
уничтожения требуется перемагнитить левый или правый
домен. Изменение направления намагниченности во всем
\\ / s
\ 1 Л >
H/V
it//
it//
—
—
—
—*
—-
^\1 \
^\\\
^\\\
-\П
-\1 »
ссссссссс
2С?
Рис. 12 Рис. 13

объеме домена требует затраты энергии,
пропорциональной этому объему. Итак, устойчивость доменной стенки
в ферромагнетике с анизотропией типа «легкая ось»
является следствием несвязности области вырождения.
Несвязность области вырождения характерна для многих
веществ и всегда приводит к существованию доменных
стенок.
Существуют доменные стенки и другой топологиче-
, ской природы. Рассмотрим, например, нематический
жидкий кристалл, помещенный в магнитное поле Я.
В силу различия между магнитной восприимчивостью
вдоль оси анизотропии d жидкого кристалла %t и
магнитной восприимчивостью перпендикулярно этой оси
%± магнитная энергия нематика зависит от ориентации
директора относительно магнитного поля. Мы рассмот-*>
рим здесь случай, когда птфрут^ру энергетически вы- с
годно иметь направление июль магнитного поля. В этом С
Случае область вырождения нйяатика суживается до >
одной точки d = ±H/i/. Напомним, что состояния с d и
—d физически эквивалентны. Несмотря на то что та-")
кая область вырождения является связной, в нематике^ #
возможны дефекты в форме поверхности. Покажем это. S
Рассмотрим, что произойдет.j»pjm наложить магните
нпеполе^на^нематик. в котором присутствует устойчиЛ "*■
вая дисклинация. В этом случае мы не можем выстро-
ить всеНоЛекулы нематика так, чтобы они были
параллельны полю, это означало бы, что можно устдщцць
дисклинацию. Молекулы будут ориентироваться таким
образомГ чтобы магнитная энергия нематика была
минимальна. Для этого требуется, чтобы объем области,
где молекулы отклоняются от направления поля, был
минимален. При уменьшении этого объема уменьшается
магнитная энергия, но растет энергия упругого
искажения поля директора. Равновесие, достигается, когда
неоднородная область представляет собой слой толщиной
R~(KI(%j—%a.)H2)1/* (К — модуль упругости поли
директора), опирающийся на дисклинацию. Такая кон-i
фигурация поля директора изображена на рис. 13;
Вновь линии на рисунке показывают направление ди-;
ректора в каждой точке. Плоскость рисунка перпенДи-^
кулярна линии дисклинации, которая обозначена
точкой. Если увести дисклинацию на границу сосуда, то в
объеме останется слой неоднородного распределения <|.
27

ные стенки в jjgN^jj^K^Mf
щества. Они 'оканчиваются
*
(&><
Это и есть доменная стенка, которая может
существовать^ в нематике в присутствии'магнитного поля.
~оуенные^ стенки тадрго типа существенно^ отлйча-
ютсй ^т^доменных стенок^в^еддоматнетике «с легкой
ocbi$j^^no топологич^кому^ так и по
аеским сЪойетВа%г:''В отличие от последних домен-
т^шщна^вдт^од^адч^ ве;-
на дисклинациях, поэтому
их можно классифицировать тем же топологическим
инвариантом N> что и дисклинации, принимающим
значения 0 и Тя Доменные стенки в нематиках, как и
особые линии, при своем слиянии подчиняются
следующему закону сложения топологического инварианта: !/г +
.+0-У,,«А + 1/2-0.
Уничтожение доменной стенки в нематике требует
существенно меньших затрат энергии, чем доменной
стенки в ферромагнетике. Для ее уничтожения нужно
образовать кольцевую дисклинацию внутри стенки,
которая, начиная с размера порядка /?, растет, съедая
доменную стенку. Следовательно, для уничтожения
стенки требуется затратить энергию, необходимую для
образования кольцевой дисклинации радиуса R.
Во многих веществах топологические образования,
подобные таким домешшм^стенкам, носят название^£0-
jLHTfiUQB. Это солитоньГТЪдномерных системах, солито-
ны, возникающие при структурных фазовых переходах,
солитоны в теории поля и т. д. Сущедхзшранде солйто-
нов обынна связывают с определенными нелинейными
^рдвнещцши. В действительности длявыясненияустой-
чивости срдртрцрвл некоторых их сюиств^ге"^тре5уется
^ешгпъ^кгцс^^ подход
обыгснсГдает дост^тотную^информацию, что мы и
увидим на примере цепочки взаимодействующих
маятников. Этот пример часто используют для получения
нелинейного уравнения (так называемое уравнение синус-
Гордона), решение которого дает солитоны в
некоторых веществах.
Рассмотрим предварительно еще раз топологическое
происхождение доменной стенки в нематике. Существо:-
вание доменной стенки связано с дополнительным
взаимодействием, которое фиксирует параметр вырождения.
В случае нематика это магнитное поле, которое
фиксирует директор в. направлении поля. Представим себе
неоднородное распред^цяие вектора d внутри какой-то
28

ограниченной области, пространства с d||H вне этой об- ~
I ласти. Если такое отбразование не может непрерывно
перейти в состояние с d||H везде, ^ч^эт9-чи^£дъ-дщ1о-
^логически устойчивый долитой. Солитон в виде домен-
^ной стенки ХйБГ ул^г^расЕТОтрели (неоднородный слой
слева от дисклинации на рис. 13). Если d фиксирован
снизу и сверху от доменной стенки, то такой солитон
топологически устойчив. Действительно, если прошить
доменную стенку прямой линией, то эта линия
отображается в замкнутый (!) контур Г«/а области
вырождения нематика. Контур замкнут потому, что левый и
правый концы линии отображаются в одну и ту же точку
d||H. Поскольку Г»/я нестягиваем в точку, доменная
стенка неустранима путем непрерывной деформации.
Не может стенка и схлопнуться, поскольку, как мы это
уже обсуждали, при уменьшении . толщины доменной
стенки хотя и уменьшается энергия магнитного поля,
но увеличивается упругая энергия поля d, В результате
действия этих двух противоположных факторов
устанавливается равновесная ширина солитона. Поскольку
солитон описывается классом контуров ГУ,, при
слиянии солитонов выполняется следующий закон сложения
топологических зарядов: 72+72=0.
Проведем теперь аналогичные рассуждения для
системы взаимодействующих маятников. Эти маятники
подвешены на общей оси и могут качаться только в
плоскости, перпендикулярной оси. Маятники связаны
между собой ^пружинками, так что колебания одного
маятника вызывают колебания соседнего и т. д. Упругая
энергия пружин аналогична упругой энергии поля d в
нематике. В отсутствии тяготения равновесное
состояние системы достигается, если все маятники отклонены
на один и тот же угол Ф от вертикали. Энергия системы
не зависит от угла Ф/ поэтому, равновесные состояния-
вырождены по Ф, а область вырождения — окружность''
S1. Тяготение, как магнитное поле в нематике, фикси-
Рис. 14
тр^
29

щ
рует параметр вырождения; равновесный угол Ф=0.
Можно, однако, построить топологически устойчивое
состояние, в котором угол Ф отклоняется от
фиксированного значения Ф=0 в ограниченной области. Одно из
таких состояний изображено на рис. 14. Здесь Ф
медленно меняется от маятника к маятнику от 0 до 2я, т. е.
область вырождения S1 обходится ровно один раз.
Поэтому солитон топологически устойчив и обладает
топологическим зарядом N=1. Размер солитона
определяется соотношением между силой тяжести и упругой
энергией; чтобы его оценить, так же как и в нематике,
нет необходимости решать уравнение. При
взаимодействии солитона с другими солитонами выполняется
закон сохранения топологического заряда. Таким
образом, основные свойства солитона получены. Разумеется,
поиски ответов на такие вопросы, как: притягиваются
ли солитоны или отталкиваются или каково точное
распределение угла Ф внутри солитона — уже выходят за
рамки топологического анализа.
Мы разобрали два примера, в которых
дополнительное взаимодействие (магнитное поле илн^сиАа „тяжести)
jioju^ Более
интересен случай, койиГдо^
<1>шссщ>£ет^41ард^ Так,
напримерГв А-фазе^
фиксирующего взаимодействия область выДЬждеТшя —
Некоторое пятимерное Пространство R, а вдрисутствии
f его — тредмерлаенподпространство R этого пространст-
ГваТ Л1;олит^ывА^$азе х^актерйзуются классами
непрерывных отображений линии, пересекающей солитон,
тв пространство R при условии, чтoкoнn!ы^JщщiJQQSp2i^
жафтся j»_/?. Хотя прямая линия, прошивающая
доменную стенкУ, отображается в незамкнутый контур в
пространстве /?, этот контур нельзя стянуть в точку, если
Ггго концы находятся в подпространстве /?. Такие
классы отображений также образуют группу, которая
называется одцосвдел ьной^гомотопизеской буддой.
Ита!сГдля классификацииГ топологически устойчивых
срлитонов требуется одновременно исследовать две
области вырождения системы. Одна область — это
область вырождения в пренебрежении дополнительным
взаимодействием, другая область — с учетом этого
взаимодействия.

При наличии особых линий в поле директора в .не-
матическом кристалле, помещенном в магнитном поле,
образуются доменные стенки, оканчивающиеся на
особых линиях. Подобно этому наличие особых точек в
поле директора приводит в.магнитном поле к
образованию в нематике цилиндрических доменов, т. е.
цилиндрических областей с сильно неоднородным
распределением директора, заканчивающихся на
топологически устойчивых «ежах». Такие домены, называемые
также линейными солитонами, однозначно соответствуют
особым точкам в нематике и характеризуются
топологическим инвариантом .— степенью отображения N.
Их слияние подчиняется тем же законам, что и
слияние особых точек! Домены такого рода известны также
в магнитных пленках, где они используются для
создания магнитной памяти.
цилиндрические домены представляют собой
частный случай топологически устойчивых линейных соли-
тонов,. у которых вне ограниченной цилиндрической
области пространства происходит полная (как в нематике
в магнитном поле) или частичная фиксация параметра
вырождения.
В топологической устойчивости солитонов в
нематике можно легко убедиться, заметив, что плоскость,
пересекающая тело солитона, отображается в замкнутую
(!) поверхность, окутывающую область вырождения,
т. е. сферу S2 с эквивалентными диаметрально
противоположными точками. Такую поверхность стянуть в
точку нельзя.
Примером солитона с частичной фиксацией
параметра вырождения может служить уже известная нам
особая линия в ферромагнетике с анизотропией типа
«легкая плоскость», вытекающая на малых расстояниях от
ядра в третье измерение (см. рис. 4). Здесь цррсхранст
др вырождения в обдясти.мдлщ^ |^сб?о^ии^^сФера
^НГТЗаГбс^
ciothojj^hkch
ы рождения
" разо
/ет параметр вь
уждени^су^ая- область
^^ужйбсти^о^-- ^к^^орасферы JS*,
'плоскости, пересекающей тело солитона, в
области вырождения является незамкнутая поверхность,
проходящая по S1, границей которой служит экватор.
Солитон устойчив, поскольку такую поверхность нельзя
стянуть в точку, оставляя ее границу прикрепленной к
экватору. *
81 -

10. А-ФАЗА СВЕРХТЕКУЧЕГО Не9
Сверхтекучие фазы Не3 — вырожденные системы с
наиболее богатыми областями вырожденных состоянии.
В то время как в .сверхтекучем Не4, изотропном
ферромагнетике и кристаллическом твердом теле область
вырождения соответственно одномерна, двумерна и
трехмерна, в сверхтекучих В- и А-фазах Не3 она
соответственно четырех- и пятимерна. Поэтому при изучении
физических свойств этих фаз применение топологических
методов особенно необходимо.
Диаграмма фаз Не3 представлена на рис. 15. Обла-
k сти S, N, А и В на рисунке представляют собой твер-
' дый гелий, нормальную жидкость и сверхтекучие Л- я
Б-фазы соответственно. Как видно, переход
нормального жидкого Не3 в сверхтекучее. состояние происходит
при весьма низких температурах порядка 10"3 градуса
до Кельвину. Открытие американскими физиками
Д. Ощеровым, Р. Ричардсоном и Д. Ли в 1972 г.
перехода Не3 в сверхтекучее состояние явилось триумфом
развития криогенной техники, позволившей достигнуть
столь низких температур. В течение последующих лет1
новые фазы буквально поразили. физдков^ необычным <
С2Ч£таниемсво^ <
лов^федв^тГ^нтаф'ерр^ /
го предст'йГ^ В Не4
сверхтекучее состояние осуществляется благодаря выпадению
части атомов в бозе-конденсат. Для Не3 такой способ
образования сверхтекучего
Рат 1 W состояния невозможен. Яд-
\ s '>П>-^-lJL/, Р° ат°ма Не3 обладает спи-
1 иг- - L ном 7г, поэтому атомы Не3
являются ферми-частицами,
д^ и в одном и том же
состоянии их может быть не боль-
ше двух. Сверхтекучее сот
Ц 2fi tfio^K) стояние в Не3 образуется
так же, как и сверхпрово-
Рис. 15 дящее состояние в метал-*
л ах. В металлах эффективное притяжение, существующее
между электронами, приводит к тому, что при
понижении температуры, начиная с некоторой критической,
происходит образование электронных пар. Для нагляд- .
«ости это связанное состояние можно представить как
$
32

молекулу, состоящую из двух электронов. Размер
таких молекул примерно в 100 раз больше среднего
расстояния между электронами в металле. Поэтому
электронные молекулы сильно перекрываются друг с
другом. Обычно электронную молекулу называют куперов-
ской парой по имени американского физика Купера —
одного из создателей теории сверхпроводимости.
Куперовские пары обладают нулевым суммарным спином и
являются бозе-частицами. Поскольку температура, при
которой происходит образование пар, достаточно
низкая, одновременно образуется бозе-конденсат, т. е.
сверхтекучее состояние, аналогичное сверхтекучему
состоянию в Не4. Сверхтекучая компонента электронной
жидкости переносит электрический заряд, чем и
объясняется явление сверхпроводимости.
Аналогичное явление имеет место и в жидком Не3.
Однако взаимодействие между атомами в жидком Не3
таково, что образующиеся куперовские пары обладают
суммарным спином 5=1. Пары с 5=1 также являются
бозе-частицами, а фазовый переход — переходом в
сверхтекучее состояние. Между парами в сверхтекучих
фазах Не3 и в сверхпроводниках имеется еще одно
отличие. Электроны в сверхпрбводнике образуют
сферически симметричные пары, т. е. орбитальный момент
импульса относительного движения электронов в паре
равен нулю (L=0). В сверхтекучих фазах Не3
орбитальный момент относительного движения атомов Не3
в паре отличен от нуля. Эксперимент показывает, что
L=l как в А-, так и в В-фазе Не3.
Чем же отличаются эти фазы? Состояния
изолированной молекулы, состоящей из двух атомов,
отличаются по проекциям спина и орбитального момента
импульса на выбранные оси. В А-фазе каждая пара находится
в состоянии с равной единице проекцией т
орбитального момента на некоторую ось I (m=l) и с равной
нулю проекцией р, спина на некоторую другую ось V
(ц=1). В В-фазе все проекции т и \х равновероятны.
Асимметрия между проекциями орбитального момента L
в А-фазе делает ее свойства более' интересными по
сравнению с В-фазой, поэтому мы сосредоточим
внимание именно на А-фазе. Направления единичных
векторов I и V произвольны, и состояния А-фазы вырождены
по этим направлениям. Однако вырождение состояний
А-фазы этим не ограничивается. Для того чтобы выяс-
ЭЗ

нить, с чем связано дополнительное вырождение,
рассмотрим волновую функцию относительного движения
атомов в куперовской паре.
Пусть г радиус-вектор, соединяющий атомы пары.
Тогда волновая функция, описывающая состояние пар
с £=1, т=1, имеет вид Чг(г)=/(г)з1пвехр((ф), где
угол 0 — полярный угол, образованный
радиусом-вектором г с осью квантования I, ср — азимутальный угол
в плоскости, перпендикулярный 1, отсчитанный от
произвольного направления в этой плоскости (рис. 16, на
котором это направление обозначено посредством еди-
ничного вектора А', направление, ортогональное I и А,
обозначено через А"). Как обычно, в квантовой
механике квадрат модуля волновой функции определяет
вероятность нахождения частицы в данной точке
пространства. Квадрат модуля волновой функции
относительного движения атомов в паре /2(r)sin26 зависит от
угла в. Это означает, что атомы в паре с большей
вероятностью располагаются в плоскости, перпендикулярной
направлению орбитального момента импульса пары J.
Таким образом пара не является сферически
симметричным образованием, она имеет дискообразную
форму с осью симметрии, направленной вдоль 1.
Поскольку все диски в
А-фазе,.как и молекулы в
нематическом жидком
кристалле, в равновесии
ориентированы одинаково, А-фа-
^ за, как и нематик, является
анизотропной жидкостью.
*" Вектор I называют векто-
"~ ром анизотропии А-фазы.
Теперь можно перейти к
описанию вырождения в А-
фазе. Как видно из рис. 16,
состояния А-фазы вырож*
дены не только по ориен-
тациям вектора Анизотропии. I, но и по ориентации
вектора А', от которого отсчитывается азимутальный угол
ф. Действительно, поворот вектора А7, а вместе с ним
и А", вокруг 1 на произвольный угол Ф, не меняет
энергии системы. Волновая функция пары при таком пово-
34

роте умножается на ехр(/Ф), поскольку меняется
начало отсчета угла <р. Физически состояния с разными
фазами Ф различны, точно так же, как различны
состояния с разными фазами конденсатной волновой
функции в сверхтекучем Не4, причем фаза Ф имеет смысл
фазы конденсатной волновой функции для А-фазы
сверхтекучего Не3.
f* Итак, состояния в А-Фазе нырожпрны ро ориента-
} циям в пространстве тройки взаимно перпендикулярных
< единичных векторов А. А" и 1, а также по ориентациям
\ Ъ пространстве единичного вектора V. Область измене-! *^Л
/ ния тройки ортов А', А" и I — это область всевозмож-i рЦ7/
| ных ориентации воображаемого твердого тела, в кото-\
\ рое вморожены эти орты. Ориентация твердого тела
v> задается, как известно, тремя углами, поэтому область
изменения тройки ортов трехмерна. Каждой точке этой\
области соответствует еще целая двумерная поверх->
ность —сфера S2, на которой меняется единичный век-1 <*
тор V. В результате полная область вырождения А-фа- |<-*v
зы представляет собой сложное пятимерное многооб- ^ %
разие. о&Ф
Здесь мы не будем исследовать все это
многообразие, ограничимся более лростой^ ситуацией, когда
вектор У^шксщюв^
направлен ийГвектор^^
тальное взаимодействие^ которое' ориентирует эти"
векторы либо Т17раЛлельно ImSo антипараллельно друг
другу). В этом случае область вырождения .сводится к
пространству возможных ориентации твердого тела. S0(%
11. ОСОБЫЕ ЛИНИИ В А-ФАЗЕ
Прежде чем изучать топологические свойства этой
области и связанные с ними классы устойчивых особых
линий, давайте перенесемся по времени в период
между 1972 и 1976 гг., когда внутренняя структура А-фазы
была уже известна, а топологические методы для
изучения возможных дефектов еще не применялись.
Первая попытка дать классификацию особых линий в А-фа-
зе была сделана де Женом в 1973 г. Согласно этой
классификации имеется три типа особых линий. Они
изображены на рис. 17.
У особой линии на рис. 17, а поле вектора 1 не
меняется в пространстве, а вектора А' и А" при обходе по
35

контуру у, окружающему особую линию,
поворачиваются на угол 2я.
> д^ст^штельдо^^ооа^ посколь-4
ку натЩ1Н1Щ1я^ъш линии не оп-
■ ределены. Она представляет собой нё^что цное, как
вихрь в А-фазе. В самом деле, скорость сверхтекучего
движения v^, как и в сверхтекучем Не4, выражается
через фазу Ф волновой функции, vs=—V Ф (вместо
2т
массы одного атома, как в Не4, здесь стоит масса
пары, т. е. масса двух атомов Не3). Фаза Ф совпадает с
углом поворота Д' и. Д" вокруг 1, поэтому при обходе
особой линии она меняется на 2я. Циркуляция
сверхтекучей скорости вокруг вихря равна nh/m. Нетрудно
построить вихри и с большей величиной циркуляции
сверхтекучей скорости nhN/m, ГДе N — целое число. Это
такие линии, при обходе 'которых Д' и Д"
поворачиваются на угол 2nN. Заметим здесь для дальнейшего
изложения, что выражение для сверхтекучей скорости
h * '
v5=—V Ф верно лишь при постоянном в пространст-
2т
ве векторе 1. В общем случае, когда 1 меняется в
пространстве, сверхтекучая скорость выражается через
зависящие от координат единичные векторы Д', Д" по
формуле л vi =г-^-Д> У'Д".
2т
У особой линии на рис. 17,6 вектор анизотропии 1
направлен по радиусу от оси, а один из векторов либо
А7, либр Д" постоянен в пространстве. Сверхтекучая
скорость вокруг этой линии отсутствует, что видно из
вышеприведенной формулы. У особой линии на рис. 17, в
36
Рис. 17

силовые линии поля 1 шшравле^ с
центрами на особой ли1Ши~Л[сХГ~1шал^^
ление поля намагниченности в,вихре на рис. 2,б).
Вокруг этой линии сверхтекучая скорость также
отсутствует. Де Жен назвал эти линии соответственно
радиальной и тангенциальной дисгирациями. Поле вектора
I в сечении плоскостью, перпендикулярной оси дисги-
рации, изображено на рис. 2, а и 2, б. В обоих случаях
I при обходе дисгирации поворачивается на 2я.
Нетрудно построить дисгирации с поворотом 1 на 2nN.
В то время мало кто сомневался, что вихрь с N
квантами циркуляции устойчив в такой же степени, как
и вихрь в сверхтекучем Не4. Что касается дисгирации,
то были некоторые опасения, что они, как дисклйнации
с целым N в нематике, -могут вытечь в третье
измерение. Поэтому исследовалась устойчивость этих
дефектов методом малых возмущений, т. е. поле 1 слабо
отклонялось от распределения, изображенного на
рисунке, и выяснялось, увеличивается или уменьшается при
этом энергия. ЭтхлдоцедУРУ трудна выщ^лнить_без по-г
З^оод^выдисл^^ \
Сейчас мы с помощью простейшего топологического
рассмотрения области вырождения А-фазы покажем,
чтпп А-фяз^ ^^рр/ргя ftPf>ro два класса особых линий —
класс топологически неустойчивых деф^ктдр, который
15]^ будем j55>3^ д^кла£С~ополо-
готески^З^тойциЩ^ дефектов^ кот^ый^Йоздачим^ин^
[дзксоьГЫ^ТУБсе особые^линии, изображенные на
■рис. 17", принадлежат классу Af«l. Следовательно, они
топологически неустранимы, но могут непрерывно пере*
ходить друг (В друга. Далее, все вихри и дисгирации с
четным N принадлежат классу N=0, т. е. вихрь с
двумя квантами циркуляции сверхтекучей скорости может
непрерывно перейти в состояние без особой линии. Из
этого, в частности, следует, что два вихря с Af=l,
сливаясь,** могут аннигилировать. Таким образом, закон
сложения топологических зарядов /V при слиянии
особых линий в А-фазе следующий: 1+0=1, 1 + 1=0.
[ " Итак, рассмотрим область вырождения А-фазы. На
J первый взгляд кажется, что область вырождения А-фа-
• зы представляет собой хорошо известные нам фигурен
j сферу S2 — область изменения вектора I, и окружность
I S1- область изменения фазы Ф {угла вращения Д' и
37

А" вокруг I). Если это так, то можно отдельно
рассматривать дефекты, в которых меняется фаза Ф. Это
вихри, и они должны быть такими же, как в сверхтекучем
Не4. Независимо можно рассматривать и дефекты в
поле I. Здесь особых линий, как и в изотропном
ферромагнетике, не должно быть, а должны быть только
точечные дефекты — «ежи». В действительности
изменения Ф и 1 взаимосвязаны, так как Ф — это угол
вращения ортов А' и А" вокруг 1. Поэтому хотя локально
область вырождения А-фазы и можно представить в виде
окружности и сферы, глобальная же структура
области всевозможных ориентации тройки ортов А', А", I
другая, что и приводит к совершенно иной
классификации устойчивых дефектов (ср. нематик и
ферромагнетик в разделе 7). Выберем какую-нибудь фиксирован-
-ч -^ Л <
ную ориентацию ортов, например х, у, z. Тогда любую
ориентацию тройки ортов можно получить поворотом
фиксированных ортов вокруг некоторой оси (о на угол
а. Таким образом, состояния А-фазы можно
перечислить, задавая направление единичного вектора со и
величину угла а. Будем характеризовать каждое
состояние вектором асо.
Откладывая этот вектор из одной и
той же точки, мы получим
геометрическое место точек,
описывающих вырождение
состояния А-фазы. Заметим,
что угол а не должен
превышать я, поскольку
поворот твердого тела вокруг
оси со на угол, больший л,
например н,а угол я+ао,
приводит тело в то же
положение, что и поворот на
угол л—а0 вокруг противо-
положной оси —ю. Поэтому область вырождения
А-фазы представляет собой шар радиуса л. Если в
предыдущем рассуждении выбрать ао=0, то мы увидим, что
диаметрально противоположные точки на границе шара
физически эквивалентны, поскольку результаты
соответствующих поворотов совпадают,
38

Область вырождения А-фазы показана на рис. 18.
По своим топологическим свойствам Зта область
вырождения напоминает область вырождения в нематике.
Как и в нематике, в этом пространстве возможны
только два типа замкнутых контуров. Они также
изображены на рис. 18 и обозначены соответственно Го и Гь
Контур Го можно непрерывно стянуть в точку, а замкнутый
контур Гь связывающий две эквивалентные
диаметрально противоположные точки на прверхности шара,
стянуть в точку невозможно. Это и означает наличие
двух классов особых линий, одному из них (#=0)
соответствуют контуры типа Го, а другому (N=1)
контуры типа Гь
Мы получили следующее утверждение:
фундаментальная группа пространства трехмерных поворотов
{это пространство обычно обозначают SO (3)) состоит
из двух элементов Г0 и Гь Закон умножения элементов
группы Г1Г1 = Г0 изображен на рис. 19 (см. также
следующий раздел). Контуры Г' и Г" на этом рисунке
принадлежат классу Гь
Покажем, что вихрь на рис. 17, а принадлежит
классу особенностей, соответствующих контурам типа Гь
Выберем ось вихря вдоль z, тогда при обходе вокруг
вихря Д' и Д" поворачиваются вокруг оси © = z на угол
а от 0 до 2я, или, что то же самое, вокруг оси z на
угол а от 0 до я, а затем вокруг противоположной
оси — z на угол а от л до 0. В пространстве
вырождения мы движемся при этом сначала из центра шара к
северному полюсу, который физически эквивалентен
южному, а затем из южного полюса к центру шара.
Этот контур, соединяющий две эквивалентные диамет-
а) ф ф
Рис. 19
39

рально противоположные точки на поверхности шара —
южный и северный полюсы, принадлежит" классу
контуров Гь Следовательно, вихрь с одним квантом
циркуляции сверхтекучей скорости принадлежит классу W=l.
Переобозначением осей легко показать принадлежность
s к этому классу обеих дисгираций на рис. 17.
Непрерывное преобразование вихря в дисгирацию
можно проделать и непосредственно. Поворачивая в
каждой точке на рис. 17, а векторы А" и 1 вокруг
направления А' на угол л; против часовой стрелки, мы
получим дисгирацию на рис. 17,6. Обратим внимание,
что при переходе вихря в дисгирацию циркуляция
сверхтекучей скорости непрерывно уменьшается от nh/m до
О! До открытия- А-фазъГ такое непрерывное устранение
циркуляции в, сверхтекучей жидкости считалось
невозможным.
«. ОСОБЫЕ И НЕОСОБЫЕ ВИХРИ С ДВУМЯ КВАНТАМИ
ЦИРКУЛЯЦИИ В А-ФАЗЕ. МОНОПОЛИ
Покажем теперь, что вихрь с двумя квантами
циркуляции принадлежит классу N=0. Замкнутый контур
Г2, соответствующий вихрю с #=2, изображен на рис.
19, а. Сначала этот контур проходит по контуру Г7
типа Гь который соответствует вращению А' и А" вокруг
£ на угол 2я, а затем по такому же контуру Г".
Стягивание контура Гг в точку .изображено на рис. 19, б, в, г.
Стягивание контура Гг в точку означает возможность
непрерывного перехода вихря с двумя квантами
циркуляции в неособое состояние.
Докажем, как происходит процесс уничтожения
вихря с N=2 в реальном пространстве. Пусть линия вихря
совпадает с осью г. Повернем в каждой точке прост*
—+• *^
ранства (рис. 20, а) тройку ортов А', А", 1 на угол я по
часовой стрелке вокруг направления, касательного к
кольцевому контуру у. Таким направлением^ точке В,
например, является А", а в точке С—А'. При этом во
всем пространстве вихревое распределение; А',, А", 1
переводит в однородное (рис. 20,6), а сверхтекучая
скорость v, обращается в нуль.
Такое преобразование можно произвести не только
40

с целым вихрем, но и с его частью, например с
половиной вихря, лежащей на полуоси 2>0, как показано на
рис. 21, где линиями со стрелками обозначено
распределение поля I. Однородное поле 1 переходит в «ежа»,
расположенного в, начале координат. При этом часть
вихря, лежащая на верхней полуоси, переходит в неосо*
бое состояние. Мыполучили щцс|)ь c_kohulqm^-^—•
Рассмотри^ИйЯробнее поле сверхтекучей скорости,
циркулирующей вокруг вихря с концом. Величина
сверхтекучей скорости зависит от расстояния г до конца
вихря, расположенного в начале координат, и от угла в
между осью z и радиусом-вектором, исходящим из
начала координат:
/ ч h 1—cose
vs v)s■— — •
* 2mr s n6
A' *
Piic. 20
kz
4 4 4
Рис. 21
A\

Из этой формулы следует, что при приближении к
нижней полуоси, т. е. при 6->-я, сверхтекучая скорость
растет обратно пропорционально расстоянию rsin0 до
нижней полуоси, сигнализируя о наличии особой вихревой
линии с двумя квантами циркуляции на нижней
полуоси. При «приближении к верхней полуоси, т. е. при
6-Н), никакой особенности в поле нет. Циркуляция
сверхтекучей скорости по замкнутому контуру вокруг
верхней полуоси уменьшается до нуля при стягивании
контура в точку, т. е. на верхней полуоси вихревая
особая линия отсутствует.
r Buxjib^uKOHnoM -^явление неожиданное. Как было
показано, в сверхтекучем Не4 существование вихрей с
концами внутри вещества невозможно. В А-фазе это
возможно, поскольку рассматриваемый вихрь
принадлежит к классу особенностей с N=0, которые
топологически устранимы.
} » Интересно, что вихрь с концом по структуре поля
сверхтекучей скорости напоминает магнитный моно-
^д^дьДицака. Представим себе, что вместо ТХоЗнСЪг'во-
~!фуг№хря с концом распределено поле
вектора-потенциала электромагнитного поля А, с точностью до
коэффициента 2тс/е, совпадающего cv, (с — скорость
света, е — заряд электрона). Тогда магнитное поле H = rotA
направлено по радиусу от конца вихря (г —
радиус-вектор) и спадает, как Лс/г2е аналогично
электростатическому полю вокруг точечного электрического заряда.
Таким образом, в начале координат находится
магнитный полюс с магнитным зарядом Лс/*.- Магнитный
поток, вытекающий из магнитного монополя 4nhc/e t ком-
" пенсируется магнитным потоком, втекающим в моно-
поль по особой линии на нижней полуоси, так что
теорема электродинамики о том, что магнитный поток
через произвольную замкнутую поверхность равен нулю,
выполняется. Итак, конец вихря в А-фазе Не3
аналогичен монополю Дирака, а сам вихрь аналогичен линии
разрыва в электромагнитном поле, которая исходит из
манополя Дирака («хвост» монополя). По этой
причине вихрь с концом в А-фазе также называют моно-
полем.
Монополь в А-фазе, однако, неустойчив. Дело в том,
что его энергия пропорциональна длине его «хвоста».
Представим себе, что нижний конец вихря на рис. 21
находится на границе А-фазы с сосудом. Тогда моно-
42

поль будет двигаться по оси z в сторону границы,
уменьшая длину «хвоста», пока не достигнет границы,
где он образует устойчивую поверхностную особенность,
называемую буджумом, которую мы рассмотрим в
отдельном разделе.
Аналогия между вихрем с концом в А-фазе и маг-Э
нитным монополем Дирака возникает как следствие \
общих топологических свойств различных полей. Mo- S
нополеподобные объекты появляются и во многих/
моделях теории поля. В 1974 г. голландский физик
т'Офт и советский физик Поляков независимо получили
топологически устойчивый монополь в одной из
моделей теории поля. В этой теории электромагнитное поле
является частью более общего" поля, описывающего
взаимодействие между элементарными частицами.
Теорема об обращении в нуль магнитного потока -
через замкнутую поверхность в
теории отсутствует. Поэтому
полученный монополь не имеет
«хвоста» и является
топологически устойчивой особенностью
типа «ежа», аналогичной «ежу» в
вихре с концом (см. рис. 21).
Этот монополь обладает
топологическим инвариантом N,
поэтому магнитный заряд монопо-
ля оказывается квантованным и
равным bcNIe.
Вернемся снова к процессу
устранения особенности "у вихря
с #=2. Произведем этот процесс
внутри цилиндрической области,
на оси которой находится
вихревая линия, причем вне этой
области параметры вырождения
А', А", 1 будем сохранять неизменными. На рис. 22
показана образовавшаяся в результате этого процесса
аксиально симметричная конфигурация поля 1." Поле
сверхтекучей скорости в такой конфигурации, так же
как и поле I, нигде не имеет особенности. Сверхтекучая
скорость направлена азимутально, а по величине равна
t>,=— (1+1* )> где 1г —проекция вектора 1 на ось
Рис. 22
43

н
ф
II
симметрии, а г расстояние до оси. Циркуляция
сверхтекучей скорости вокруг этой оси зависит от
расстояния до нее. На больших расстояниях, где 1г =1,
циркуляция vs такая же, как вокруг особых вихрей с W=2,
т. е. 2nhjmr С уменьшением расстояния до оси
циркуляция уменьшается до нуля на оси, где 1г =—1.
п Итак, мы получили вихревое течение в ^отсутствие
[iQgflfibix линий. Локальная угловая скорость вращения
\\ сверхтекучей компоненты 72rotv^ отлична от нуля
везде внутри рассматриваемой цилиндрической области.
Вихревое течение сверхтекучей жидкости в отсутствие
особых линий — явление уникальное. До открытия А-
'фазы господствовало представление*о том, что течение
сверхтекучей компоненты в отсутствие особых линий в
сверхтекучих жидкостях всегда безвихревое,
потенциальное. Потенциальность может нарушаться лишь в
случае,нарушения сверхтекучести в некоторой области,
например, на особой линий —^ихре1 где плотность
сверхтекуче|П5Тмпоненты обращается^нуль. Теперь мы
видим, что это представление справедливо для веществ
с определенными топологическими свойствами области
вырождения, в том числе для сверхтекучего Не4 и
электронной жидкости в сверхпроводниках, где область
вырождения — окружность; но не^ля А-фазц. Таким
образом, свойства сверхтекучего движения зависят от
топологических свойств области вырождения вещества.
В А-фазе область вырождения такова, что в этой
жидкости возможны вихревые течения без особых линий.
Если нет внешних полей, то размер сердцевины не-
особого вихря (области, где /^ =—1) увеличивается и
неособый вихрь рассасывается в однородное состояние
с 1г =—Г (см. рис. 20,6). Это энергетически выгодно,
поскольку сверхтекучее движение при этом полностью
исчезает; Х)дн§|са^ли А-фаза находится ъо вращаю-
щемсячсоЬудё, такие нерсобые вихри не4 только не рас-
сасываютсярйо, наоборот, образуются в большом
количестве. Почему это происходит, мы рассмотрим в
следующем разделе. .
13. ВРАЩЕНИЕ СВЕРХТЕКУЧИХ ЖИДКОСТЕЙ
Во всех других сверхтекучих жидкостях, кроме
Не3-А в сверхтекучем Не4 и В-фазе Не3, врадценйе
жидкости приводит ц образованию системы вихревых нитей/
44

В сверхпроводниках решетка вихревых нитей (так
называемая решетка вихрей Абрикосова) образуется в
магнитном поле, которое действует на заряженную
жидкость так же, как вращение.
Происходит это по следующей причине. Если мы
будем вращать сосуд с обычной жидкостью, например
с водой, то стенки сосуда будут постепенно сообщать
воде вращательное движение, пока вода не начнет вра-
с щаться вместе с сосудом как целое. Для наблюдателя,
вращающегося вместе с сосудом, вода в конечном рав«
новесном состоянии будет - покоиться. При вращении
жидкости как целого с угловой скоростью со ее скорость
v=(oXr, а ротор ее скорости равен удвоенной угловой
скорости вращения rotv=2(o. Пусть теперь вращается
сосуд со сверхтекучей жидкостью, у которой vs —
потенциально, т. е. rotVj =0. Стенки сосуда стремятся
передать жидкости вращательное движение, поэтому
нормальная компонента будет вращаться вместе с
жидкостью.
Каким образом стенки сосуда могут передать
вращательное движение сверхтекучей компоненте жидкое
сти, если ее течение потенциально? Единственный
посредник между стенками и сверхтекучей компонентой/
который может сообщить ей вращательное движение,;
это вихрь. Рождаясь на стенке и порникая в глубь э£йд-|
, кости, он сообщает сверхтекучей компоненте
циркуляционное движение вокруг вихря. Вихри будут
рождаться до тех пор, пока средняя сверхтекучая скорость
.<v* > "(усредненная по объему, содержащему много
вихрей) не станет равной соХг. Легко найти число вих-|
рей, приходящихся на единицу площади поперечного се- S
чения сосуда. Пусть R — радиус сосуда. При вращении'!
жидкости как целого циркуляция скорости вдоль rpa-i
ницы сосуда равна 2nvsR=^2n(dR2. Эта циркуляция соз-|
дается вихрями, каждый из которых дает вклад, равный]
кванту циркуляции 2яА/т. Поэтому полное число вих«||
рей з сосуде равно /псо/?2/^, а плотность вихрей — тю/яй. j
Отталкивай^ между вихрями приводит к тому, что
вихри образуют кристаллическую решетку, в узлах которой
расположены вихревые нити. 'I
Теперь ясцо, что происходит цри враще.щщ „сосуду1
с А фазой. Кроме особого вихря, с^о&ним квацтом дир|
А

1$s^ ~
образовывать?"1 »p,SS? "менио о™' и Должны
вихрей равна таГе:КейНИ^0^акуПлв°иТН0СТЬ *«
обладает циркуляцией 2лд/т. ^вихпи !fpb c "=2
образуют периодическую ctdvktvdv НРЛ оо особые'
жено непрерывное оаспмпЖЭ^ a, рис- 23 изобРа-
можных пе5иод2че?ких cr^KTvn Т* ' В °ДН0Й из в">-
структуры поемтЛЗм?Д JS - УР< КажДая ячейка этой
«•««"Ж вихрь с двумя
нице ячейки LZp I на^?м2 b"S Г?™" На Гра"
пределение пал.^^ТвИГ^^Г* На ^
но, периодическая структура сун^Д»?4, СлеД°в?тель-
При меньших угловыу г1пРЛ существУет при ©>А/т/?2.
ны граничные Квия котопыТ пВращения существен- '
вектор 1 на повеохн^тГЖ Д°ЛЖен Удовлетворять
Щего жидкостГэТГграничныГГ ^ огРа"ичиваю-
если вспомнить, ^ЗД^У^.ЛТ^зГЖ
форму дисков, в
плоскости которых происходит
вращение атомов вокруг
центра тяжести пары
Ясно, что при
приближении пары к границе
жидкости плоскость
диска должна быть
параллельна плоскости
границы, иначе граница будет
мешать циркуляционно-
Рис. 23
му движению атомов в паре SSv *ИРКУЛЯВД0НИ°-
жидкости ось вращения атомо* »п^ ■ ИЗН гРаницы
пеРпендИКулярнРаТра„„Яц^^Разумеете? вГеп™ бШЬ
ные качественные рассуждения «SS ^еп^т^н-
подтверждаются и теории^эксперименте ' "° °ЙЯ
y сосуде даже в отсутствие вращения сосу-

да является вихревым. Таким образом, в основном
состоянии А-фаза находится в макроскопическом
движении, в то время как у всех других известных веществ
основное состояние — это состояние покоя.
Рассмотрим это уникальное явление.
Пусть А-фаза помещена в покоящийся
цилиндрический сосуд. На границе жидкости с сосудом вектор 1
перпендикулярен стенке. Как распределено поле 1 в
глубине жидкости? Одно из возможных распределений
поля I изображено на рис. 24, а в поперечном сечении
сосуда и на рис. 24,6 в продольном сечении,
проходящем через ось сосуда. Такое распределение поля 1
означает существование топологически устойчивой дисги-
рации с N=1 на оси цилиндра (см. рис. 17,б). Покажем
теперь, что существует такое состояние А-фазы в
сосуде, которое нигде не имеет особенности и поэтому
энергетически более выгодно. Ояо изображено на рис. 24, е.
Эта конфигурация и представляет собой основное
состояние А-фазы в. сосуде. Причем в этом состоянии
имеется циркуляционное течение сверхтекучей комшь
ненты. Циркуляция vs вдоль границы сосуда имеет
такую же величину, как у вихря с #=1, т. е. яА/ш,- внутри
сосуда циркуляция уменьшается до нуля. Обратим
внимание, что цилиндрическая форма сосуда не
исключение. Для сосуда любой формы граничные условия
приводят к тому, что в основном состоянии существует
макроскопическое течение. Поэтому можно сказать, что
А-фаза всегда в движении.
По этой же причине бтличная от нуля циркуляция
сверхтекучей скорости всегда существует и вокруг
твердого тела любой формы, помещенного в А-фазу.
Поэтому если твердое тело размера R обтекается сверх-
6) е)
Рис. 24
«7.

текучим потоком в А-фазе, то на него будет действовать
h
подъемная сила (сила Магнуса) F'~ —p. v./?, Заме*
т
тим, что в отличие от обычной жидкости подъемная си-г
ла будет действовать даже на невращающееся тело
сферической формы!
14. БУДЖУМЫ В А-ФАЗЕ И ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
!С граничными условиями на поверхности А-фазы
связано существование специфических поверхностных
особенностей, называемых буджумами.
На границе с сосудом, где вектор 1 зафиксирован,
у А-фазы остается лишь одна степень свободы —
вращение Д' и А" вокруг I. Таким образом, область
вырождения А-фазы на поверхности является окружностью.
И Поэтому Ae^^jMj^jjoB^BjHos^i сосуда представляют
\| собой вихри с целым числом^ квантов циркуляции
сверхтекучей скорости rch/m. Ec^iJVjiesgTHO, то такой
дефект является точкой окончания топрлогически устой*
^чивой особой линии, идущей из объема сосуда (#=1)\
<Если же Лжф£, то поведхзосз^шй. дефект
оказывается и^сшцювгннц!^ Это и есть буд-
^З^мТ^удЗсумьГ в отличие от изолированных особых
точек в объеме вещества (см. раздел 8) могут
существовать только на поверхности, топология препятствует их
уходу в объем. Буджум с двумя квантами циркуляции
сверхтекучей скорости изображен на рис. 25. Именно в
*«
РИС, 25

эту особенность релаксирует монополь — вихрь с
концом. Подобные точечные дефекты на поверхности есть
и в других веществах, в том числе ^^нематик^ где
они видны в микроскоп в поляризованном свете.
Первым на существование таких точечных дефектов
в А-фазе обратил внимание американский физик Мер*
мин, который и дал им таинственное название «буд-
жум», заимствованное из поэмы Л. Кэролла «Охота на
Снарка». Сейчас это словечко прочно вошло в
физический,лексикон, подобно термину «кварк», взятому Гелл-
Манном из произведения Дж. Джойса «Поминки по
Финнегану». Дадим слово самому Мермину. Он писал?
«Термин «буджум» был введен потому, что это все, что
осталось после того, как т^сгокчкв^^^рцщддъ^ц^
осдбещюст]^ Доводы в
лользэ^а^ благодаря
тому факту, что са]м^сверхтек^ может
испытать эту ужасную катастрофу, стоит ему столкнуться с
такой особенностью». О катастрофе, которую
испытывает поток при встрече с буджумом, мы расскажем в
следующем разделе, а сейчас выясним, как связана
Jjfe^J^^coc^^ которые могут
существовать^ на егоповердности.
^идкбсть^налита в сосуд сферической фор*
Пусть
мы. Сколько буджумов на поверхности такого сосуда?
Разумеется, сколько угодно. Но оказывается, что
сумма квантов циркуляции сверхтекучей скорости v, по
замкнутым контурам, окружающим буджумы и точки
окончания реальных вихрей, есть величина постоянная
и равная 2, т. е. на поверхности сферы должен быть
Рис. 26

по крайней мере один буджум (рис. 26, а) или две
точки окончания реального вихря с одним квантом
циркуляции (см. рис. 26,б).
Этот удивительный факт носит в математике
название теоремы Пуанкаре. Он может быть сформулирован
я более общим образом: сумма индексов особых точек
гладкогок££ат£дьн91^^
>ноголюля (А1или^А"]К иными словами, сулш^звантрв
'2акте£^^ Эйлеровой
xap5icrepinffl^^ называется число %=
=#в—Np+Nr, где NBf Afp, Nr — соответственно число
вершин, ребер и граней многогранника. Для всех
многогранников х==:2, например, для куба х=8—12 + 6=2.
Легко сообразить, что для определения х произвольное
поверхности достаточно произвольным образом разбить
поверхность на односвязные клеткц (грани) такие, что
каждую из них можно стянуть в точку и подсчитать
число «вершин», «ребер» и «граней» (клеток).
Поскольку любой выпуклый
многогранник можно продефор-
мировать в сферу, то х Для
сферы также равно 2.
Непосредственным подсчетом
можно убедиться, что для
тора х=0, а для
произвольной замкнутой
ориентируемой поверхности, которая
представляет собой сферу
с п ручками, х=2—2м (для
тора %п=1).
Итак, на^ поверхности
тора с налитои^него^А-фа-
зои^Ле* может не быть буд-
жумов (рис. 27), во всяком случае, если они и есть,
сумма их циркуляции равна нулю.
Теперь мы обладаем достаточным запасом сведений
для изучения вопроса ббдстоичивост^^
потсжа в А-фазе Не3. < s ^
Рис. 27
15. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И ТОПОЛОГИЯ
Рассмотрим этот вопрос сначала для более простых
сверхтекучих жидкостей: Не4 и электронной жидкости
50

в сверхпроводниках. Пусть имеется течение
сверхтекучего Не4 по замкнутому в кольцо каналу (или
электрический ток в кольцевом сверхпроводнике). Такое
течение оказывается топологически устойчивым, т. е. мы не
можем непрерывно уменьшить скорость этого потока.
В самом деле, при обходе вдоль канала, как^ и при
обходе вокруг вихря, фаза конденсатной волновой
функции Ф меняется на 2nN. Поэтому циркуляция
сверхтекучей скорости вдоль канала сохраняется и равна
2nttN/m. Если R — радиус кольца, та средняя скорость
такого течения vs =bN/mR. Скорость течения и его
энергия не могут изменяться непрерывно. Переход из
состояния течения с N квантами циркуляции в
состояние с меньшим числом квантов циркуляции N—1
может произойти лишь путем разрыва сверхтекучего
состояния внутри объема. Проще всего это сделать,
образовав на поверхности канала вихрь .с одним квантом
циркуляции и двигай его так, чтобы вихревая нить
заметала при своем движений всё поперечное сечение
канала * (рис. 28, где волнистой линией изображен вихрь
в последовательные моменты времени). При таком
переходе требуется затратить энергию на рождение и рост
вихря, т. е. требуется преодолеть значительный
энергетический барьер.
Поэтому течение
сверхтекучей компоненты в
кольце очень
устойчиво и существует на
протяжении
гигантского промежутка
времени, причем для
поддержания
сверхтекучего потока не нужно
никакого внешнего Рис. 28
источника энергии.
Аналогичное квантование циркуляции сверхтекучей
скорости имеет место и в кольцевом сверхпроводнике.
Поскольку течение электронной жидкости в
сверхпроводнике представляет собой электрический ток,
квантование электрического тока в кольце приводит к
квантованию магнитного потока через кольцо. Квант
магнитного потока связан с квантом циркуляции сверх*
текучей скорости и равен nhc/e. Течение электрического
тока в кольцевом сверхпроводнике также чрезвычайно
51

tkh
й
w*
У
устойчиво. Достаточно сказать, что опыт по проверке
отсутствия затухания тока в кольцевом
сверхпроводнике продолжался в течение нескольких лет. За это
время не было обнаружено. заметного уменьшения тока.
Опыт был прерван лишь из-за прекращения
энергоснабжения во время забастовки на электростанции,
вследствие чего стало невозможным поддерживать низкую
температуру, при которой имеет место
сверхпроводимость.
Подчеркнем, что возможность построить устойчивое
состояние, в котором жидкость течет без
сопротивления, есть следствие того факта,- что область
вырождения в -He^jr сверхпроводнике является окружностью:
Существование топологического инварианта N, сохраняв
ющегося при непрерывных деформациях течения,
приводит к устойчивости сверхтекучего потока.
"^ ^4i^£2£ ДРУгая область вырождения с дцугими; _тр?
1тщотщ^^}ш^свд^^^ы^ поэтому и свойства С££ЦХ-
текучег|£^^ Рассмотрим течение А-
фазы в кс^гьи^в^^К^а^ес N квантами яЛ/m
циркуляции сверхтекучей скорости. Такое течение уж&*_не_об-
Д£№етщ>тщ)^^ Действительно,
на рш:. 19 ош^показан пример непрерывной
релаксации потока с двумя квантами циркуляции вдоль
контура вокруг вихря с N=2 в такое состояние, в котором
не только циркуляция v5 вдоль контура у» но и сама
v, в каждой точке контура равна нулю. Аналогичным
образом в канале можно непрерывно. уменьшить
циркуляцию сверхтекучей скорости на два кванта.
Поэтому если N четно, то течение можно непрерывно
перевести в состояние покоя. Если же N нечетно, то мож-
о непрерывно перевести течение в состояние с одним
квантом циркуляции, которое в силу большого радиуса
кольца практически неотличимо от состояния покоя.
Таким образом нет никаких топологических причин,
которые препятствовали бы релаксации потока А-фазы в
кольцевом канале. Разумеется, гщ^мены^ .
могут^быть^ энергетические^
ха^а|о^р£^вязанные, ,наприл^,^с^щ2зтоф*ю^
котороемен^т^ и во времени в
процессе уничтожения двух квантов циркуляции сверхтеку-
1 чего потока. 0;uuycg>j>T^^
1 тока всегда существенно менее жесткие, чем тододоги-
il ческие ограничения.
\Jk\
52

Интересно, что поток А-фазы в кольцевом канале
можно сделать топологически устойчивым,
прикладывая небольшое магнитное поле. Дело в том,/что
магнитное поле ориентирует вектор 1 лерпендикулярно
направлению поля. При этом оказывается, что область
вырождения А-фазы становится двумерной
поверхностью, построенной на двух окружностях, т. е.
двумерной поверхностью тора. Одна окружность — это
область изменения вектора 1 в плоскости,
перпендикулярной магнитому полю, а вторая окружность
описывает вращения Д'и А" вокруг 1. В результате течение
А-фазы в кольцевом канале характеризуется двумя йн-
©а]риантами Nx и N2. Инвариант Nx есть число квангов
циркуляции сверхтекучей скорости в потоке, а
инвариант N2 показывает, что при обходе канала вектор 1
поворачивается на угол 2nN2. Таким образом, изменение
топологии области бырождения сразу привело к
устойчивости сверхтекучего потока.
Разумеехс^^
те£учего~движе^
1^^Ггт^п^кплмтевог^ кашГлаГВ пристеночном слое
из^^рт5гокал^ 1 к поверхности сосуда область
ьу^джд^пня^сх^П^З- На границе канала достается
лишь вырождение по углу вращения Ф пары ортов А' и
А" вокруг направления нормами к границе. Область
вьщождерщ^^о^^
jp^^^^j5i^J3^, ^^6m3S^3S^^19^^&1' И вновь,
как в сверхтекучемНе4, т^чениес!\Г квантами
циркуляции в под<е22УШС1ном сл^здоль^анала оказывается
тстойчив^ГЙтаксверй канала
может^елаксировать в^состояние^покоя, а цидкудядия
сверхтек^его^щхщс^^
(ак же выглядит такое течение?
Оказывается, сдоростьУ^вобъеме компенсируется
X
vs
о)
О QQ Q
о о о о
9—
mm
mm
Рис. 29
53

появлением в пiщgйЗШgcxцgм_^лpeJ^goc^ыx_виxpeй,_oб*
раэуюших^ замкнутые^ кольца, лежщци^^в^^дё^езлом
^^^^^^^^^^^^Г1!д\тд^ вихри* показаны в про-
дольншГсеч^пш канала). Это явление напоминает
эффект Мейснера в сверхпрюводниках, когда появление
кольцевых токов приводит к компенсации внешнего
магнитного поля. Циркуляция скорости вокруг одного
такого вихря равна 2яЛ/т. Возможность непрерывного
рождения неособого кольцевого вихря (мы
рассматривали этот процесс для прямолинейных вихрей) также
является спецификой А-фазы. £ЬЦ1&>есдо1_дтч^^
имеется бecкoнeчнoeJЩC^дoп0^ц)pi^
5собыТ1шлй^в^*вих^ей с одной и той же циркуляцией
сверхтекучей скорости. Эти вихри характеризуются це-1
лочисленным* топологическим инвариантом Н, нумеру-'
ющим классы непрерывных отображений точек объема,
заполненного Не*-А, в котором имеется вихрь, в
область вырождения А-фазы, при условии, что при
больших расстояниях от вихря параметр вырождения
поддерживается постоянным. Классы таких отображений
образуют гомотопическую группу, размерности 3.
Вернемся к течению А-фазы в кольцевом канале.
Можно j\$ ут4еньщит^по]ведхд^ сверх*
текучей скорБсти?Естёственно, поверхностная циркуля-
цйя"~уменьшается с помощью поверхностных дефектов —
буджумов — носителей кванта поверхностной
циркуляции. Пусть на границе А-фазы со стенкой канала имеет-,
ся буджум с к=2. Если буджум один раз обойдет
сечение канала, циркуляция сверхтекучей скорости вдоль
канала в поверхностном слое изменится на два кванта.
Поскольку уменьшение скорости потока энергетически
выгодно, буджум будет двигаться вокруг сечения
канала до тех пор, пока поток полностью йе исчезнет. Итак, *
сверхтекучий поток действительно претерпевает ката-(
строфу, встречая на
своем пути таинственный
буджум.
Если же буджумов в
канале нет, то для
уменьшения поверхностной цир-
и куляции достаточно об-
Л "~^ ^^^^ разовать пару буджумов
с противоположными цир-
Рис. зо • куляциями, такой про-
54
0

цесс, как мы знаем, возможен. Двигая один из'буджу-
мов вокруг сечения канала, как это показано на рис. 30,
столько раз, сколько необходимо, мы непрерывно
уменьшаем циркуляцию в пристеночном слое до нуля.
Таким образом устойчивость сверхтекучего потока в
пристеночном слое определяется величиной
энергетического барьера, требуемого для рождения пары буджу*
мов и разведения их на достаточное расстояние.
Обычно в канале всегда есть какое-то случайное количество
буржумов, поэтому скорость уменьшения пристеночного
сверхтекучего потока зависит только от подвижности
буджумов, движению которых могут мешать
шероховатости на поверхности сосуда,
16. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА
С ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ. ИНСТАНТОНЫ
С проблемой топологической устойчивости
сверхтекучих потоков тесно связано и необычное явление,
предсказанное в 1962^ г. английским физиком Б. Джозефсо-
яом и обнаруженное экспериментально в 1964 г. Это
явление, носящее название нестационарного эффекта
Джозефсона, заключается в том, что в
сверхпроводнике при постоянном напряжении возникает
осциллирующий электрический- ток. Оказывается, этот эффект
является проявлением общих свойств упорядоченных
систем, н аналог нестационарного эффекта Джозефсо-
на имеет место и в сверхтекучих жидкостях, и в жид-
кик кристаллах, и в кристаллических твердых телах.
Начнем его обсуждение, как обычно, со сверхтекучего
Не4.
Снова рассмотрим течение сверхтекучего Не4 в
замкнутом канале. Мы видели, что такое течение
топологически устойчиво. Чтобы уменьшить поток, требуется
образовывать вихри (см. рис. 28), преодолевая
некоторый энергетический барьер. Поэтому лри малых
скоростях потока, когда барьер особенно велик, ,вихри
практически не образуются, и течение сохраняет свою
циркуляцию. Однако если скорость потока достаточно
велика, а именно больше некоторой критической
скорости, при которой вихреобразование становится
интенсивным, поток перестает быть устойчивым.
Сверхтекучий поток с такой скоростью долго циркулировать не
может, потому что каждый вихрь, пересекающий попе-
55

речное сечение сосуда, уменьшает поток на один квант
циркуляции. Поэтому для поддержания течения
сверхтекучей компоненты со скоростью, большей
критической, требуется, как и в обычной жидкости, внешний
источник энергии. Внешняя сила, действующая на
жидкость (например, электрическое поле в
сверхпроводнике), должна ускорять ее, компенсируя замедление ее
за счет рождения вихрей. В результате действия этих
двух противоположных факторов и возникает режим
течения с постоянной средней скоростью vs ;
превышающей критическую скорость. Такой режим имеет место
не только в замкнутом, но и в незамкнутом канале.
Течение сверхтекучей жидкости, для поддержания
которого требуется внешний источник энергии, и есть, как
мы сейчас увидим, режим нестационарного эффекта
Джозефсона. Рассмотрим этот режим подробнее. Под
действием внешней силы F=—\/U на сверхтекучий
Не4 жидкость в соответствии со вторым законом Нью-
тона приобретает ускорение mvs=—VC/, которое и
должно компенсироваться рождением вихрей. Поскольг
ку сверхтекучая скорость выражается в виде v, =
«±=.—V Ф, то отсюда следует уравнение, которому
долги
жна удовлетворять фаза конденсатной волновой
функции: йф=—£/. Рассмотрим канал, к концам которого
приложена разность потенциалов U2—U\. Тогда, с
одной стороны, из-за приложенного напряжения разность
фаз на концах канала растет по закону ^(Фг—Ф1) =
= (£/i—U2)t. С другой стороны, при прохождении
одного вихря с N=1 через поперечное сечение канале
разность фаз на концах сосуда уменьшается на 2л.
Пусть в канале имеется узкое место, где в основном
и образуются вихри. Выясним, с какой частотой
должны рождаться вихри в этом узком месте, чтобы
полностью компенсировать ускорение. Пусть Т — отрезок
времени между двумя последовательными процессами
образования вихрей. Для полной компенсации
необходимо, чтобы за это время Г разность фаз возросла за~
счет внешней силы ровно на 2я. Поэтому - число
вихрей, рождающихся в единицу времени, v=7,-1== (£/2—<
—Ut)lunb. Процесс рождения вихрей происходит'
периодично, в результате имеют место периодические осцил-
56

ляции сверхтекучего потока при стационарных внешних
условиях '(Т)." В сверхпроводнике осцилляции
электрического тока наблюдаемы экспериментально благодаря
электромагнитному излучению, генерируемому этим
процессом.
Итак, мы получили известную формулу Джозефсо-
на, связывающую частоту осцилляции v электрического
тока с приложенной к джозефсоновскому контакту
(аналог узкого места в канале) разности потенциалов
Ui—Ux (умноженное на два заряда электрона
электрическое налряжение). Заметим, что формула Джозефсо-
на вытекает из квантования циркуляции, т. е. является
следствием того, что область вырождения
сверхтекучего Не4 и сверхпроводника — окружность.
Изменение разности фаз на концах канала на 2л
за счет внутренних процессов в сверхтекучей жидкости
обычно называют «проскальзыванием фазы». В
сверхтекучем йе4 «проскальзывание фазы» осуществляется
благодаря вихреобразованию.
Нестационарный эффект Джозефсона известен и в
других вырожденных средах, например в нематическом
жидком кристалле.
Пластическое течение кристаллов также есть не что
иное, как нестационарный эффект Джозефсона.
«Проскальзывание фазы» здесь осуществляется движением
дислокаций.
Но наиболее интересен нестационарный эффект
Джозефсона в А-фазе Не3. Здесь механизм
«проскальзывания фазы», т. е. уменьшения сверхтекучей
скорости, может осуществляться движением особых вихрей,
движением неособых вихрей с двумя, квантами
циркуляции, а кроме того, имеется еще и полностью
безвихревой процесс (!) уменьшения скорости.
, Рассмотрим этот процесс. Для этого снова
вспомним течение А-фазы в замкнутом канале. Пусть
течение таково, что / всюду направлено одинаково, а
сверхтекучая скорость обладает N квантами циркуляции*
Пусть теперь неособый вихрь с двумя квантами
циркуляции непрерывно пересекает сечение канала, тогда в
новом состоянии жидкости поле 1 снова везде
постоянно, но циркуляция потока жидкости уменьшилась на
два кванта. В процессе прохождения .неособого вихря
происходит изменение поля вектора 1 как во времени,
так и в пространстве. Причем в промежуточных состоя-
57

«иях поле I зависит как от координаты z вдоль потока,
так и от поперечной потоку координаты х, вдоль
которой движется вихрь. Оказывается, процесс изменения
циркуляции потока на два кванта можно устроить так,
что в промежуточных состояниях поле 1 зависит
только от одной координаты z. При этом в канале в
промежуточных состояниях никаких вихрей нет. Зато если
мы рассмотрим этот процесс во времени
(распределение поля 1 в этом процессе показано на рис. 31 в
фиктивной пространственно-временной плоскости г, t), то
в плоскости г, / мы увидим конфигурацию поля 1,
характерную для неособого вихря с двумя квантами
циркуляции (см. рис. 22 и 23). При *=0 поле 1 однородно
(см. рис. 31), при t-+co поле снова становится
однородным, но циркуляция vs в канале уменьшается на
два кванта.
Конфигурация поля I в плоскости z, / обладает
топологическим зарядом, аналогичным топологическому
заряду у неособого вихря. Подобные пространственно-
временные образования с топологическим зарядом
известны в теории поля под названием инстантонов.
Название «инстантон» (instant — мгновение) отражает
конечное время существования этих объектов. Инстан-
тоны в теории поля осу-
. 1 | lli ществляют переходы меж-
f I '11 ДУ состояниями с различ-
| ■ \ / ^» :..j, ными топологическими за-
Ч . —*r i -— | радами. В А-фазе инстан-
тоны осуществляют
переход между течениями с
разными квантами цир-
* куляции.
р 31 Процессы уменьшения
циркуляции на два
кванта в режиме эффекта Джозефсона следуют один за
другим. При этом поле вектора 1 меняется периодично во
времени. Эти осцилляции поля 1 обнаруживаются
экспериментально с помощью распространения ультразвука,
затухание которого чувствительно к углу между
направлением распространения ультразвука и направлением
вектора I, который является вектором анизотропии А-
фазы. На эксперименте наблюдается осциллирующее
поведение интенсивности звукового сигнала,
проходящего через поток А-фазы:
"i^7<
58

Инстантонный механизм проскальзывания фаз
имеет место и в очень тонких сверхпроводящих проволоках,
в которых, обычные вихри существовать ие могут.
В этом случае инстантон представляет собой такой
точечный дефект в плоскости z, t, при обходе которого
фаза меняется на 2я, как у вихря. Наблюдая этот
процесс в реальном пространстве, мы увидим, что в
определенной точке пространства в определенный момент
времени мгновенно происходит сброс разности фаз на 2л.
Итак в сверхтекучих жидкостях имеется два
режима течения: режим сверхтекучего движения без
сопротивления и диссипативный режим нестационарного
эффекта Джозефсона. Диссипация в последнем режиме
осуществляется за счет различных дефектов: вихрей,
доменных стенок, инстантонов и т. п., делающих
возможным «проскальзывание фазы». Механизм
«проскальзывания фазы» в существенной мере определяется
топологическими свойствами области вырождения системы.
На этом мы заканчиваем рассмотрение свойств
сверхтекучего движения. Читатель уже, наверное»
обратил внимание на особую роль А-фазы Не3. Ее свойства
противоречат привычным представлениям о том, как
должна вести себя сверхтекучая жидкость*, что
заставило по новому взглянуть на проблемы сверхтекучести:
вихревое течение, устойчивость сверхтекучего потока,
нестационарный эффект Джозефсона — и привело к
пониманию их тесной связи с топологией.
17. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В нашем популярном очерке мы рассмотрели лишь
несколько веществ: сверхтекучий Не4. А-фазу Не^
ферромагнетик, кристалл и нел^ическийц^^юга^щ^^та^.
Среди осталы!Ы)ГТз^щесйг есТь^такие, топологические
-свойства которых дают, как и в случае А-фазы, пищу
для размышлений, приводящих к далеко идущим
выводам. Так, например, исследование французскими
учеными В. Поэнару и Г. Тулузом еще^^не^обн^рудйнных
экспериментально ^цв^хосных нем^тачески^
сталлов привело 1Готкрь1№й1б необычного явления не-
'р^Сцепления особых линий в этом веществе. Это яв!ле-^
ние, характерное для всех веществ с некоммутативной
фундаментальной группой области вырождения,
возможно, имеет отношение к проблеме невылетания
кварков.
59

Мы старались также дать представление и о допо-
логических объектах, возникающих в квантовой теории
йбЛя! йЩтодах, моноп2ЛЯ2с, ин^^анюна^ опираясь на
йхГобщую топологическую сущность с различными
неоднородными состояниями в веществах со сложными
параметрами вырождения. Оказалось, что весьма
разнообразный круг явлений в очень разных по своей
физической природе веществах можно изучать на общей
основе одной из ветвей топологии — теории грмотопий.
Польза топологического подхода здесь заключается
прежде всего в том, что с помощью чисто качественных
соображений, т. е. не решая никаких уравнений и не
производя никаких вычислений, можно получать
довольно значительную информацию о конденсированных
веществах. Имдндсц пл^
дзнно1ю^порздоченного^вещества ;можно г^еадсл^ь^^еи^щ^огически ^и^рйчивые
«йлассьГ^йе^ых^ точечных д^фёктовГ^доменных сте-
^рЕГ^ЛитоцовраГ также выяснить закон^^ях^^^ияния
д^В^^адаГ^Гопологическая устойчивость означает
устойчивость по отношению к непрерывным
деформациям поля параметра вырождения и определяется
глобальными топологическими свойствами области
вырождения данного вещества. Топологическая устойчивость
обеспечивает существование бездиссипативных
сверхтекучих потоков в жидкостях и квантование магнитного
1Ютока в замкнутых сверхпроводниках.
Итак, ^гомотопическая тдполргия_ полезна на
первоначальном — геометрическом уровне понимания
поведения упорядоченных систем. На этом же уровне
полезно и другое направление алгебраической
топологии — х^о^ад^томолот^^ которую из-за ее меньшей на-
j глядности мы здесь совсем не затронули.
Теория гомологии была создана Аяри Пуанкаре в
связи с задачами многомерного интегрирования,
возникшими в его исследованиях по небесной механике.
Такого^дода ^адачи^£емя_ от времени возникают и в
Дфуги^^ла^тяЗГ^^ например при исследовании
j^ftH^aHOBCKHx диаграмм или в теории 'ь^^окакклъ-
ш{юоасдеяния. Ответвление теории голГологий — тео-
\/ ©чя^м^са, изучающая особые точки многообразий,
'. ^оказалась полезной при исследовании.особенностей в
Аононном спектре кртеталло^^^бёённости Ван Хова).
Изучая динамическое поведение различных
физических систем, мы имеем дело с дифференциальными
60

* уравнениями. Поскольку большинство из них не
удается решить ни аналитически, ни численно, даже
используя электронно-вычислительные машины, здесь
оказывается полезной другая. ветвь ^топологии — л^фферен-
дцальная топрлоГия, ОСНОВьГкотЗР^ залЗЖны
в трудах А. Пуанкаре. Многие современные достижения
в самых разнообразных областях физики и механики
от общей теории относительности до теории
турбулентности связаны с приложениями этой науки.
Таким образом, мы видим, что дологические метр!
ды постепенно проникают во все^д)дзделы. терр^хиче-
ской физики* становясь в одаТГряд с более старыми
классическими разделами математики. Необходимость
в качественных методах, подобных топологическим,
стимулируется как все возрастающей сложностью задач,
встающих перед теоретической физикой, так и самой
геЬметрической природой многих явлений. В
ближайшем будущем язык топологии, несомненно, станет
частью математического образования физика-теоре-*
тика. "
Для читателей, у которых появилось желание
поглубже познакомиться с топологией и областями
физики, где используются топологические методы, можно,
дать краткие рекомендации, касающиеся литературы.
К сожалению, не существует достаточно полного и в
то же время элементарного изложения основ топологии.,
Для первого ознакомления, пожалуй, наиболее
доступными будут книги и журналы [1—3], а для более
искушенного читателя можно посоветовать книгу [4], в
которой также содержится и описание ряда приложений
топологии в квантовой теории поля, общей теории
относительности и теории дифференциальных уравнений.
С приложениями идей гомотопической топологии в
физике упорядоченных систем и теории сверхтекучести
вместе с изложением необходимых математических
понятий можно познакомиться по работам [5, 6]. Об
использовании топологии в теории полимерных ueneft
смотри статью [7]. Как сама теориТТшлологийГтак\\
гёе физические приложения не столь элементарны, как
. теория гомотопий. По-видимому, лучшее изложение
этих вопросов содержится в лекциях [8].

ЛИТЕРАТУРА
1. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Очерк
основных идей топологии Математическое просвещение (новая серия),
1957, вып. 2, с. 3—34; 1958, вып. 3, с. 5—40; 1959, вып. 4, с. 27—
52; 1961, вып.6, с. 107—138.
2. Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологий. М.,
«Мир», 1967.
3. М и л н о р Дж., Уоллес А. Дифференциальная
топология. М., «Мир», 1972.
4. Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А. Т.
Современная геометрия. М.% «Наука», 1979.
5. .В о л о в и к Г. Е., М и н е е в В. П. Исследовайие
особенностей в сверхтекучем Не3 и жидких кристаллах методами
гомотопической топологии. Журнал экспериментальной и теоретической
физики, т.. 72, 1977, с. 2256.
6. М е р м и н Н. Д. Поверхностные сингулярности и
сверхтекучий поток в Не3-А. — В сб.: «Квантовые жидкости и
кристаллы». М.,'«Мир», 1979.
7. Вологодский А. В., Лука шин А. В., Ф р а н к-К-а м е-
н е ц к и й М. Д. Топологическое взаимодействие полимерных
цепей. — Журнал экспериментальной и теоретической физики, т. 67t
1974, с. 1875.
8. Шапиро И. С, Ольшанецкий М. А. Лекции, по
топологии для физиков. — В сб.: «Элементарные частицы».
Шестая школа физики ИТЭФ, вып. 4. М., Атомиздат, 1979.

СОДЕРЖАНИЕ
К Введение в • . « • • # „ . . . ; 3
2. Вырождение в ферромагнетикам я сверхтекучем Не4 • 5
3. Вихри в сверхтекучем Не4 п анизотропном
ферромагнетике о . 4 ,. - • • • • 4 t • с О
4. Фундаментальная грума оСлгстл вырождения • • 14
5. Дислокации в кристаллах , . , . . о . . 16
6. Есть ли особые линии в изотропном ферромагнетике? -> 18
7. Дисклинашш в нематическом жидком кристалле • 19
8. Особые точки в нематике и изотропном ферромагнетике 23
9. Доменные стенки. Солктоны • . . . ..-...• .26
10. А-фаза сверхтекучего Не3 •••••*••• 32
11. Особые линии в А-фазе . . . . • . э . • 35
12. Особые и неосочбые вихри с двумя квантами циркуляции
в А фазе. Монополи • . • • 40
13. Вращение сверхтекучих жидкостей . . . . • . 45
14. Буджумы в А-фазе и топология поверхностей • • • 48
15. Сверхтекучесть и топология • • 51
16. Нестационарный эффект Джозефсона с топологической
точки зрения. Инстантоны «.•••» t • • 55
17. Заключение . • • .,••(•••• 59

Григорий Ефимович ВОЛОВИК,
Владимир Петрович МИНЕЕВ
ФИЗИКА И ТОПОЛОГИЯ
Гл. отраслевой редактор Л. А. Ерлыкин. Редактор
К. А, Кутузова. Мл. редактор О., А. Васильева,
Обложка художника А. А. Смирнова. Худож. редактор
М. А. Гусева. Техн. редактор А. М. Красавина.
Корректор В, Е. Калинина,
ИБ № 2767
Сдано в набор 2.04.80 г. Подписано к печати 21.05.80 г.
T-10161. Формат бумаги 84X108'/». Бумага № Д... Гарнитура
литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. ~$>. Уч.-изд. л.
3.36. Тираж 43 580. Заказ № 719. Цена И коп.' Издательство
«Знание». 101835. ГСП, Москва, Центр, проезд Серова, д. 4.
Индекс заказа 804006.
Типография Всесоюзного общества' .«Знание». Москва. Центр,
Новая пл., д. 3/4.