ДЛЯ ВУЗОВ
А.И. Яманин, А.В. Жаров
ДИНАМИКА
ПОРШНЕВЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
Допущено У МО по образованию в области энергетики и электротехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 651200 — “Энергомашиностроение" по специальности 101200 — “Двигатели внутреннего сгорания ”.
МОСКВА “МАШИНОСТРОЕНИЕ” 2003
УДК 621.432:531.3
ББК 31.365
Я41
Рецензенты: засл, деятель науки РФ, лауреат Государственной премии РФ д-р техн, наук профессор В.Р. Галъговскищ лауреат Государственной премии РФ канд. техн, наук Г.С. Корнилов
Яманин А.И., Жаров А.В.
Я41 Динамика поршневых двигателей: Учебное пособие. - М.: Машиностроение, 2003. 464 с., ил.
Рассмотрены вопросы кинематики, идентификации параметров динамических моделей преобразующих механизмов поршневых двигателей различных типов, их силового анализа, уравновешенности, колебаний и вибраций. Наряду с традиционными методами динамических расчетов впервые подробно рассмотрено комплексное применение элементов современных компьютерно-информационных CAD/CAE/CAM-технологий и соответствующих программных продуктов. Некоторые вопросы рассмотрены в их историческом развитии.
Издание ориентировано на студентов, обучающихся по специальности «Двигатели внутреннего сгорания» (некоторым родственным специальностям), и магистрантов, обучающихся по направлению «Энергомашиностроение» (родственным направлениям) со специализацией в области проектирования поршневых ДВС всех назначений.
УДК 621.432:531.3
ББК 31.365
ISBN 5-217-03166-2
© Яманин А.И., Жаров А.В., 2003
© Издательство «Машиностроение», 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ................................................. 5
1.	ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ.................................. 7
2.	КИНЕМАТИКА КШМ............................................ 23
2.1.	Кинематика центральною КШМ........................... 23
2.2.	Кинематика шатуна центрального КШМ................... 34
2.3.	Кинематика поршня дезаксиального КШМ................. 36
2.4.	Кинематика поршня КШМ с прицепным шатуном............ 38
2.5.	Элементы кинематики плоских механизмов двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом...................... 47
2.6.	Применение элементов CAD/CAE/CAM-технологии для динамического исследования механизмов............................. 50
2.7.	Кинематика пространственных преобразующих механизмов. 59
3.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕТАЛЕЙ КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО МЕХАНИЗМА....................... 76
3.1.	Общие положения..................................... 76
3.2.	Моделирование звеньев КШМ, совершающих поступательное и вращательное движения.................................... 78
3.3.	Моделирование шатуна КШМ............................ 81
3.4.	Уточненные модели шатунов КШМ........................ 84
3.5.	Приведение масс звеньев пространственного механизма. 90
3	6. Приведенный к оси вращения коленчатого вала момент инерции преобразующего механизма.................................... 93
3.7.	Экспериментальные методы определения инерционных параметров звеньев КШМ.............................................. 104
4.	СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ..................... 112
4.1.	Общие положения. Расчет сил инерции................. 112
4.2.	Расчет газовой силы................................. 114
4.3.	Суммарная движущая сила............................. 119
4.4.	Силы в КШМ.......................................... 121
4.5.	Силы в КШМ с учетом динамической модели шатуна...... 126
4.6.	Порядок работы многоцилиндровых ДВС................. 128
5.	СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА ДВИГАТЕЛЯ................................................... 144
5.1.	Таблица набегающих моментов......................... 144
5.2	Средний крутящий момент.............................. 151
5.3.	Неравномерность хода двигателя...................... 156
5.4.	Расчет маховика..................................... 160
6.	НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА 164
6.1.	Нагрузки на шатунную шейку и шатунный подшипник коленчатого вала..................................................... 164
6.2.	Нагрузки на коренные шейки и подшипники............. 177
6.3.	Диаграммы относительного изнашивания шеек и подшипников коленчатого вала......................................... 192
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
7.	АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ................................. 197
7.1.	Анализ внешней уравновешенности рядного двигателя............ 200
7.2.	Анализ внешней уравновешенности 8-цилиндрового V-образного двигателя с углом развала цилиндров уц = 90°............... 206
7.3.	Универсальный алгоритм анализа внешней уравновешенности V-образного двигателя...................................... 215
7.4.	Уравновешивание двигателей................................... 239
7.5.	Балансирные механизмы........................................ 255
7.6.	Уравновешивание двигателей с усложненными кинематическими и компоновочными схемами..................................... 271
7.7.	Анализ уравновешенности двигателя с усложненным плоским ры-
чажным механизмом, обеспечивающим перемену степени сжатия ....	276
7.8.	Уравновешенность аксиально-поршневых двигателей.............. 288
7.9.	Понятие об остаточной неуравновешенности двигателей.......... 305
7.10.	Критерии неуравновешенности двигателей...................... 323
8.	КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА............................. 326
8.1.	Алгоритм расчета крутильных колебаний........................ 328
8.2.	Модель крутильной системы. Определение жесткости участков коленчатого вала............................................. 332
8.3.	Определение инерционных свойств масс крутильной системы.	344
8.4.	Определение частот и форм собственных колебаний системы.	346
8.5.	Расчет частот собственных колебаний многомассовой системы методом Ф.А. Толле............................................. 350
8.6.	Определение частот и форм свободных колебаний матричным методом Видлера................................................ 356
8.7.	Метод начальных параметров................................... 362
8.8.	Метод В.П. Терских........................................... 364
8.9.	Вынужденные колебания. Возбуждающие моменты.................. 375
8.10.	Резонанс крутильных колебаний............................... 383
8.11.	Сопротивление колебаниям.................................... 391
8.12.	Дополнительные напряжения в коленчатом валу при крутильных колебаний................................................... 401
8.13.	Средства подавления крутильных колебаний.................... 401
8.14.	Гасители крутильных колебаний............................... 404
8.15.	Развитие методов расчетного исследования крутильных колебаний в ДВС....................................................... 424
9.	ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ......................... 427
9.1.	Продольные колебания......................................... 427
9.2.	Изгибные колебания........................................... 440
9.3.	Понятие о связанных колебаниях............................... 443
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................... 448
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................... 453
ПРЕДИСЛОВИЕ
Памяти профессора ПА. Истомина
Динамика поршневых двигателей (ПД) внутреннего сгорания (ДВС) - один из важнейших разделов двигателестроения. Он включает расчеты кинематики звеньев преобразующих1 механизмов и их отдельных точек; расчеты сил инерции, развиваемых этими звеньями, и, в связи с этим - разработку динамических моделей звеньев и механизмов в целом, а также решение вопросов идентификации динамических параметров упомянутых моделей; расчет сил, действующих в кинематических парах (таким образом определяются условия, необходимые для последующих прочностных расчетов), что позволяет оптимизировать (рационализировать) многие конструктивные особенности двигателя по условиям равномерности хода и крутящего момента. К динамике ДВС относятся расчеты параметров внешней и внутренней неуравновешенности двигателей, а также анализ способов их уравновешивания при помощи противовесов и специальных балансирных устройств. Важную часть динамики составляют расчеты колебаний всех видов, в частности, колебаний коленчатого вала (крутильных, изгиб-ных, продольных). В последние годы в связи с необходимостью защиты окружающей среды помимо норм, ограничивающих выбросы токсических веществ с отработавшими газами, установлены предельно допустимые уровни шума и вибраций2.
При разработке комбинированных двигателей возникают специфические задачи, связанные с совместной работой нескольких машин в объединенном агрегате. В каждой отрасли двигателестроения существуют (кроме названных) свои специфические динамические задачи и методы их решения.
Роль динамических исследований в наши дни возрастает в связи с повышением уровня форсирования двигателей (при этом
1 Преобразующими называют механизмы, предназначенные для преобразования поступательного движения поршней во вращение коленчатого вала.
2 Правила R51 Европейской экономической комиссии ООН (ЕЭК ООН).
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
существенно возрастают нагрузки на звенья преобразующих механизмов) при одновременном снижении их металлоемкости (вследствие чего возникает проблема обеспечения прочности и жесткости этих звеньев). Не исключено применение двигателей Стирлинга, двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом1 2, динамика которых к настоящему времени мало изучена.
В развитие динамики ДВС внесли существенный вклад многие российские ученые - профессора П.А. Истомин, Ф.Ф. Симаков, К.Г. Попык, Р.П. Доброгаев, Е.А. Григорьев, Л.В. Тузов, О.К. Найденко, И.Ш. Нейман и др.
В прежние годы изданы учебники по динамике ДВС [35, 74 и др.]; их содержание в значительной степени продолжает оставаться актуальным и в наши дни. Однако со времени их издания введены новые образовательные стандарты, предусматривающие, в том числе, и углубленное изучение отдельных вопросов динамики двигателей на стадии магистерской подготовки; конструкция двигателей претерпела существенные изменения; далеко не всегда удовлетворительной является корректность применяемых динамических моделей; все большую актуальность приобретают расчеты виброактивности (решение таких задач требует разработки особо корректных динамических моделей и применения численных методов исследования); изменились некоторые методы решения динамических задач (так, на второй план отходят графоаналитические методы решения, более широко используются аналитические расчеты); наконец, необходимо указать на появление профессио-
2
нальных программных средств , предназначенных для динамического исследования механизмов (такие программные продукты пока относительно мало распространены в инженерной практике, но позволяют сформулировать совершенно новые задачи, решение которых традиционными методами либо крайне затруднено, либо вообще невозможно). Эти (и ряд других) обстоятельства побудили авторов к написанию предлагаемого читателю учебного пособия.
1 Возможно, такие двигатели будут иметь отличные от традиционно используемого кривошипно-ползунного преобразующие механизмы.
2 Такие средства следует рассматривать как элементы наиболее прогрессивной CAD/CAE/CAM-технологии машиностроения.
1.	ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Преобразующими (приводными) механизмами называют устройства, превращающие поступательное движение поршней во вращательное движение коленчатого вала. В двигателестроении можно найти примеры применения многих таких механизмов, что позволяет классифицировать их по различным признакам. В соответствии с первым таким признаком все механизмы можно подразделить на плоские и пространственные. Звенья плоских механизмов совершают движение в одной плоскости или в параллельных плоскостях (при движении каждого такого звена изменяются две координаты любой его точки); звенья пространственных механизмов перемещаются в пространстве (изменяются все три координаты каждой точки звеньев). На рис. 1.1, 1.2 показаны примеры конструкций двигателей с плоским и пространственным преобразующими механизмами.
В подавляющем большинстве известные преобразующие механизмы являются плоскими. Среди них значительное место отведено различным модификациям кривошипно-шатунного механизма1 (КШМ), которые можно классифицировать показанным на рис. 1.3 способом в соответствии с количеством рядов цилиндров в двигателе, что соответственно определяет конструктивные особенности механизма. Отметим, что в связи с ориентацией пособия на рассмотрение преимущественно высокооборотных быстроходных двигателей для наземного и воздушного транспорта, здесь практически не рассматриваются крейцкопфные механизмы, широко распространенные в судовых энергетических установках с малооборотными дизелями.
КШМ однорядных двигателей могут быть центральными и смещенными (дезаксиальными). По причине конструктивной простоты на практике преимущественно используются центральные КШМ (рис. 1.4). В таких механизмах ось цилиндра ОВ проходит
1 Приведено наименование механизма, наиболее известное и применяемое в среде двигателистов. Заметим, что терминологией РАН для этого механизма установлено наименование «кривошипно-ползунный механизм».
8
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Рис. 1.1. Плоский преобразующий механизм двигателя Nissan [31 ] с регулируемыми степенью сжатия и рабочим объемом (регулировки осуществляются при повороте шатуна 1 относительно эксцентрика 2)
через ось В поршневого пальца и пересекает ось О вращения коленчатого вала. Центральный КШМ определяется двумя конструктивными параметрами - радиусом кривошипа R и длиной шатуна L. Отношение X = R/L играет важную роль в динамике ДВС и называется постоянной КШМ. Значение постоянной КШМ X характеризует относительную длину шатуна и для двигателей в целом равно 0,06 ... 0,35. Для ДВС, преимущественно используемых в энергетических установках наземного и воздушного транспорта, а также судовых энергетических установках с высокооборотными ДВС, X = 0,2 ... 0,3.
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
9
Рис. 1.2. Общий вид пространственного преобразующего механизма аксиально-поршневого двигателя АР-7.2 конструкции Государственного научного центра РФ по автомобильной технике ГНЦ НАМИ (твердотельная модель разработана в среде программного продукта Mechanical Desktop)
Смещенные (дезаксиальные) КШМ могут иметь смещение (дезаксиал, дезаксаж) оси цилиндра и (или) оси поршневого пальца. КШМ с дезаксиалом цилиндра (рис. 1.5) позволяют уменьшить боковую силу, действующую со стороны цилиндра на поршень на ходе расширения. Помимо аналогичных центральному КШМ конструктивных параметров R и Z, дезаксиальный КШМ характеризуется еще величиной дезаксиала е оси цилиндра. Для обеспечения нужного эффекта это смещение выполняют в направлении вращения коленчатого вала. При расчетах вводят относительную величину дезаксиала цилиндра к = е /R, которая с учетом известных в двигателестроении значений е изменяется в пределах к = 0,005 ... 0,02.
10
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Кривошипно-шатунные механизмы
Однорядных двигателей
Многорядных двигателей
Рис. 1.3. Классификация КШМ однорядных двигателей
Рис. 1.4. Кинематическая схема центрального КШМ
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
11
Рис. 1.5. Кинематическая схема КШМ с дезаксиалом цилиндра (а) и эффект уменьшения боковой силы /V| на ходе расширения по сравнению с центральным КШМ (б)
Практического применения такие двигатели в настоящее время почти не имеют: конструкции и технологии изготовления корпуса двигателя усложняются, а положительный эффект уменьшения боковой силы на ходе расширения практически поглощается отрицательным эффектом увеличения этой силы на ходе сжатия.
КШМ с дезаксиалом поршневого пальца, напротив, имеют применение. Цель введения в конструкцию двигателя такого дезаксиала заключается в попытке уменьшения шума, обусловленного перекладыванием (перекладкой) поршней (рис. 1.6) вблизи мертвых точек, когда направление боковой силы, прижимающей поршень к правой или левой стенке гильзы цилиндра, изменяется. В центральном КШМ перекладка происходит практически мгновенно, вследствие чего возникает удар поршня о гильзу, что и сопровождается возникновением шума.
12
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Рис. 1.6. Процесс перекладки поршня вблизи ВМТ в механизме со смещением поршневого пальца
КШМ многорядных двигателей могут быть как центральными, так и дезаксиальными. Однако в основу их классификации положим способ шарнирного соединения нескольких шатунов с одной и той же шатунной шейкой коленчатого вала (рис. 1.7). В двигателях наземного транспорта наибольшее распространение получили КШМ с последовательным расположением шатунов на шатунной шейке коленчатого вала (рис. 1.8). благодаря конструктивной простоте, обеспечивающей ремонтопригодность двигателя и уменьшение в производстве номенклатуры сборочных единиц и деталей (в подавляющем большинстве случаев шатуны правого и левого рядов цилиндров являются одинаковыми). К числу недостатков таких КШМ относят некоторое увеличение габаритной длины двигателя за счет смещения одного из рядов цилиндров вдоль оси вращения коленчатого вала (иногда необходимость ограничения длины двигателя может являться одним из решающих требований). При таком смещении силы, действующие в разных сечениях на шатунную шейку со стороны двух шатунов, вызывают ее дополнительный изгиб.
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
13
Рис. 1.7. Классификация КШМ многорядных двигателей
Сочлененные КШМ могут иметь вильчатые (рис. 1.9) или прицепные шатуны (рис. 1.10). Во всех случаях (в отличие от последовательного расположения шатунов на шатунной шейке вала) не происходит увеличения габаритной длины двигателя, оси цилиндров правого и левого рядов находятся в одной плоскости, что обусловливает отсутствие дополнительного изгиба коленчатого вала. Это преимущества механизмов сочлененного типа перед КШМ с последовательным расположением шатунов. Но при том и другом случае сочлененные КШМ конструктивно и технологически сложнее (в частности, увеличивается номенклатура деталей и сборочных единиц при производстве двигателя, становятся необходимыми дополнительные меры по обеспечению условий смазывания шатунного подшипника).
14
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Рис. 1.8. КШМ V-образного двигателя с последовательным расположением шатунов на шатунной шейке коленчатого вала
Если КШМ с прицепными шатунами (главным образом, благодаря наличию ряда дополнительных преимуществ) имеют в настоящее время распространение (в судовом, тепловозном дизеле-строении), то КШМ с вильчатыми шатунами1 имеют крайне ограниченное распространение (в отечественном двигателестроении такие механизмы используются в отдельных конструкциях транспортных дизелей, выпускаемых ПО «Трансмаш», г. Барнаул). При сборке такого механизма центральный и вильчатый шатуны могли предварительно надеваться на общую втулку, монтируемую далее на шатунной шейке коленчатого вала.
1 Ранее механизмы с центральным и вильчатым шатунами применялись в некоторых отечественных авиационных ПД, в частности во всех модификациях двигателей ВК-105 и ВК-107 конструкции Генерального конструктора акад. В.Я. Климова.
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
15
Рис. 1.9. КШМ с вильчатым шатуном V-образного двигателя: / - кривошип коленчатого вала; 2 - вильчатый шатун;
3 - центральный шатун; 4 - поршень левого ряда цилиндров;
5 - поршень правого ряда цилиндров
Рис. 1.10. КШМ с прицепным шатуном V-образного двигателя: / - главный шатун; 2 - прицепной шатун; 3 - палец прицепа
16
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Помимо преимуществ, присущих КШМ с вильчатыми шатунами, механизмы с прицепными шатунами позволяют создавать компактные W-, Х-образные и звездообразные двигатели1, прежде имевшие значительное распространение в авиации (см. конструкции звездообразных 9-цилиндрового двигателя АШ-62, 14-цилиндрового АШ-82; Х-образного ВД-4К2 и некоторых других -рис. 1.11). Особенностью КШМ с прицепными шатунами является некоторое увеличение мощности двигателя (по сравнению с последовательным сочленением шатунов) с такими же размерами цилиндров и уровнями форсирования, что объясняется большей величиной хода поршня в цилиндрах, поршни которых приводятся в движение прицепными шатунами. Недостатки КШМ с прицепными шатунами в основном соответствуют недостаткам механизмов с вильчатыми шатунами.
Конструктивные параметры V-образных двигателей даны на рис. 1.12. Помимо радиуса кривошипа и длины шатуна (при наличии дезаксиала еще и его величины) механизмы с последовательным расположением шатунов и с вильчатыми шатунами характеризуются углом развала цилиндров у. Вообще значение у может быть различным, но оно должно согласовываться с числом цилиндров и схемой коленчатого вала, поскольку оказывает существенное влияние на равномерность работы цилиндров и далее на равномерность крутящего момента и хода двигателя. Механизмы с прицепными шатунами (помимо указанных) определяются радиусом прицепа г, длиной прицепного шатуна /, углом прицепа упр.
Значительное количество преобразующих механизмов исследуется в настоящее время в связи с попытками создания двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом (рис. 1.13) [двигатель Стирлинга (рис. 1.14), аксиально-поршневого двигателя (позволяющий также изменять значения степени сжатия и рабочего объема, рис. 1.15)].
1 Двигатели с такими компоновочными схемами могут быть созданы и на базе других плоских механизмов, отличных от КШМ, например, «Дина-Стар», «Нордберг» и пр.
2 Последний серийный поршневой авиадвигатель, разработанный в ОКБ авиационного моторостроения (г. Рыбинск Ярославской обл.) под руководством Генерального конструктора В.А. Добрынина.
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
17
Рис. 1.11. КШМ с прицепным шатуном звездообразного двигателя: / - главный шатун; 2 - прицепные шатуны; 3 - пальцы прицепа
Вопросы динамики таких механизмов разработаны гораздо в меньшей степени, чем для двигателей с КШМ; они изложены в работах [10, 30, 94]. Не ослабевает интерес к оригинальному преобразующему механизму С.С. Баландина, ранее предназначавшемуся для авиационных двигателей и нашедшему впоследствии ограниченное применение в поршневых компрессорах и двигателях Стирлинга (рис. 1.16).
Помимо механизмов, упомянутых в данной главе, известно ограниченное применение ряда других устройств, также служащих для привода в движение выходного вала двигателя в результате расширения в какой-либо непоршневой расширительной машине продуктов сгорания топлива. Примерами могут служить роторнопоршневые двигатели Ванкеля, роторно-лопастные и пр. Особую группу составляют свободно-поршневые двигатели. Их динамика в настоящем издании не рассматривается.
18
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Рис. 1.12. Конструктивные параметры V-образных ДВС: а - с последовательным расположением шатунов или центральным и вильчатым шатуном; б-с прицепным шатуном
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
19
Рис. 1.13. Кинематические схемы плоских преобразующих механизмов двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом (регулировки этих параметров осуществляются при перемещениях шарнирно-подвижных опор рычагов): а - двигатель ТБ-48 (ГНЦ НАМИ); б - FEV\ в - Х-образный механизм П.Л. Чебышева; г - A. Jante [31 ]
20
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Рис. 1.14. Кинематическая схема ромбического преобразующего механизма двигателей Стирлинга с внешним подводом теплоты: 1 - холодная полость; 2 - поршень-вытеснитель; 3 - горячая полость; 4 - шток поршня-вытеснителя; 5 - рабочий поршень;
6 - шток рабочего поршня; 7 - уплотнения; 8 - траверса рабочего поршня; 9 - шатуны; 10 - кривошипы коленчатых валов;
11 - синхронизирующие зубчатые колеса;
12 - траверса поршня-вытеснителя; 13 - корпус
Рис. 1.15. Продольный разрез АПД АР-7.2 с пространственным преобразующим механизмом
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ

22
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Рис. 1.16. Кинематическая схема механизма С.С. Баландина:
/ - поршень; 2 - шток; 3 - направляющая; 4 - крейцкопф;
5 - коленчатый вал; 6 - кривошип; 7 - коренная опора;
8 - синхронизирующее зубчатое зацепление; 9 - синхронизирующий вал;
10 - вал отбора мощности; 11 - потребитель энергии
2.	КИНЕМАТИКА КШМ
2.1.	КИНЕМАТИКА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
Традиционно при исследовании кинематики любого преобразующего механизма в зависимости от угла поворота коленчатого вала определяют перемещение, скорость и ускорение поршня, угловые перемещение, угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также подобные параметры для некоторых характерных точек, к которым впоследствии будут приведены массы звеньев. В большинстве случаев полагают, что звенья механизма являются абсолютно твердыми телами, коленчатый вал вращается с постоянной угловой скоростью, зазоры в сопряжениях звеньев отсутствуют и пр. При определении таких динамических параметров исследуемого двигателя, как усилия в кинематических парах, суммарный крутящий момент и пр., эти допущения являются вполне корректными. Разумеется, если выполняется анализ виброактивности двигателя, необходимо учитывать податливость звеньев. Известны алгоритмы расчетов, в которых учитывается зазор между поршнем и цилиндром и пр.
Рассмотрим расчет кинематических параметров поршня центрального КШМ с известными параметрами R и L. Примем, что в исходном положении поршень находится в верхней мертвой точке (ВМТ), чему соответствует нулевое значение угла поворота кривошипа коленчатого вала а = 0 (рис. 2.1, а). Вращение коленчатого вала осуществляется по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью со, связанной с частотой вращения вала п (измеряется в мин’1) соотношением со = тт /30, рад/с. Для определения зависимости перемещения поршня 5 от времени t выберем систему отсчета, начало которой совпадает с центром поршневого пальца при начальном положении поршня в ВМТ (рис. 2.1, а\ а единственная координатная ось S' направлена в сторону коленчатого вала. Используя рис. 2.1, б и рассматривая треугольники ОАА} и АА]В, при произвольном а найдем
24
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.1. Кинематическая схема центрального КШМ при его начальном (а) и произвольном (б) положениях
5 = (А + L) - Acosa - ZcosP,	(2.1)
где Р - угловое перемещение шатуна, значение которого зависит от угла поворота вала.
Необходимо найти соотношение между ними и подставить последнее в правую часть формулы (2.1). Выразим величину стороны АА], которая входит в оба названных выше треугольника, и получим
Asina = ZsinP, откуда
sinР = —sina =*Xsina .	(2.2)
КИНЕМАТИКА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
25
Подстановка в (2.1) выражения cosP = л/1 -X2sin2a , полученного при помощи формулы (2.2), приводит к иррациональному выражению, не вполне удобному для практических расчетов. Поэтому его раскладывают в биномиальный ряд, принимающий с учетом наших обозначений вид
cosP = 1 - — X2sin2a —— X4sin4a---X6sin6a - ....	(2.3)
2	2-4	2-4-6
Для практических расчетов достаточно ограничиться лишь двумя членами этого ряда: например, в табл. 2.1 приведены значения компонентов формулы (2.3), вычисленных для значения Х = 0,3.
2.1. К вычислению угла отклонения Р шатуна
а,°	1 - —X2sin2a 2	1.4-4 	A sin а 2-4	—-—A,6sin 6сс 2-4-6
0	1,0	0	0
15	0,99698560	0,00000454	0,00000001
30	0,98875000	0,00006328	0,00000071
45	0,97750000	0,00025312	0,00000570
60	0,96625000	0,00056953	0,00001922
75	0,95801440	0,00088139	0,00003701
90	0,95500000	0,00101250	0,00004556
105	0,95801440	0,00088139	0,00003701
120	0,96625000	0,00056953	0,00001922
135	0,97750000	0,00025313	0,00000570
150	0,98875000	0,00006328	0,00000071
165	0,99698560	0,00000454	0,00000001
180	1,0	0	0
26
КИНЕМАТИКА КШМ
После отбрасывания третьего и последующих членов разложения в ряд выражения cosP = Vl — X2sin2oc и тривиальных алгебраических и тригонометрических преобразований получим приближенную формулу для расчета перемещения поршня центрального КШМ в виде
S = 7?(1 -cosoc)+ 7? — (1 -cos2ot) = S| + 5
(2.4)
2 •
Слагаемые и & в формуле (2.4) называют перемещениями поршня первого и второго порядков. Перемещение 2-го порядка зависит (помимо двойного угла поворота коленчатого вала) от кинематической постоянной КШМ X, т.е. от длины шатуна. Чем длиннее шатун (и, соответственно, меньше X), тем меньше перемещение 2-го порядка и тем в большей степени итоговая кривая перемещения поршня 5=/(а) приближается к косинусоиде (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Фрагменты функции перемещения поршня при различных значениях постоянной КШМ; кривая X = 0 соответствует косинусоидальному закону движения поршня (т.е. бесконечной длине шатуна):
—------X = 0; —•-----X = 0,2; — А---X = 0,3; —▼----X = 0,4
КИНЕМАТИКА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
27
На рис. 2.2 даны значения функции относительного перемещения поршня 50ТН = S/ R. Таким образом, вне зависимости от значения постоянной КШМ X величина хода поршня (расстояние между верхней и нижней мертвыми точками) равно двум радиусам кривошипа. Как отмечено выше, наличие в составе КШМ шатуна с конечной длиной приводит к появлению перемещения поршня 2-го порядка и соответствующему искажению косинусоиды 1-го порядка (рис. 2.3.)
С учетом того, что ранее было сделано допущение о нахождении поршня в начальный момент времени в ВМТ, рис. 2.3 позволяет заключить, что поршень интенсивно удаляется от ВМТ и замедленно приближается к НМТ. При движении поршня в противоположном направлении имеет место обратная картина - поршень медленно удаляется от НМТ и быстро приближается к ВМТ. Известно, что характер движения поршня оказывает влияние на особенности тепловыделения при сгорании топлива и, соответственно, на величину индикаторного КПД цикла. Корректное решение этого вопроса связано с расчетами рабочего цикла ДВС по методикам, которые учитывают реальный закон движения поршня.
Рис. 2.3. Составляющие перемещения поршня (X = 0,25)
28
КИНЕМАТИКА КШМ
Одной из таких является методика Н.Ф. Разлейцева [75]. Результаты расчета цикла по ней для двигателей с различными законами движения поршней, определяемыми разными значениями постоянной КШМ (в том числе проанализирован гипотетический КШМ с величиной X = -0,1) приведены на рис. 2.4. Сравниваемые двигатели имеют одинаковый диаметр цилиндра D = 90 мм и значения параметров рабочего процесса. Случай X = 0 соответствует бесконечной длине шатуна и движению поршня по чисто косинусоидальному закону; такой закон движения обеспечивает, в частности, бесшатунный преобразующий механизм С.С. Баландина [10]. В работе [80] для такого двигателя с близким значением диаметра цилиндра D = 95 мм указана реально измеренная величина индикаторного КПД, равная 0,444. С этой точки зрения преобразующие механизмы двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом (см. рис. 1.13) более предпочтительны по сравнению с КШМ, поскольку обеспечивают задержку поршня в области ВМТ, что благоприятствует более полному сгоранию топлива.
Рис. 2.4. Зависимость расчетных значений индикаторного КПД T|f двигателей с КШМ от закона движения поршня, определяемого длиной шатуна
КИНЕМАТИКА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
29
Дифференцируя равенство (2.4) по времени, получим выражения для скорости V и ускорения W поршня в виде
v _dS__dS_da _dS_ dt da dt da
pr = -/?co cosa +—cos2a
со^Ясо sina +—sin2a = И]+И2;
2
2
На рис. 2.5, 2.6 даны безразмерные скорость Иотн =- и ус-
соЯ
корение W0TH = -- поршня, также представляемые в виде суммы соR
составляющих 1-го и 2-го порядка. С ростом значения постоянной КШМ X отклонения кривых К=/(а) и fF=/(a) от гармонических синусоиды и косинусоиды становятся еще более наглядными.
Рис. 2.5. Относительные скорости 1-го и 2-го порядка (Vi Отн, ^2отн) и суммарная скорость Иотн поршня центрального КШМ (X = 0,3): '	^1отн» О ^2отн» A Kjth
30
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.6. Относительные ускорения 1-го и 2-го порядка (171отн, И^о™) и суммарное ускорение W0TH поршня центрального КШМ (X = 0,3):
- *И0ТН; —О— - 172oth; —А— - 17отн
Наличие составляющей скорости поршня 2-го порядка приводит к тому, что экстремальные значения суммарной скорости (которым соответствуют значения угла поворота коленчатого вала armax ) смец1аются по углу поворота вала (рис. 2.7), что и приводит к описанному выше характеру движения поршня с интенсивным удалением от ВМТ и замедленным приближением к НМТ. Для ускорения поршня значения постоянной КШМ могут способствовать даже изменению принципиального вида кривой ИЛ=/(а) вблизи НМТ: укорочение шатуна до X а 0,25 приводит к появлению ярко выраженной горизонтальной площадки на указанной кривой в области значений а, соответствующих НМТ; дальнейшее укорочение шатуна приводит к образованию в этой зоне выпуклости кривой 17 = /(а) вверх (рис. 2.8). Такими же особенностями обладают и законы, по которым изменяются силы инерции, развиваемые приведенными к поршням поступательно движущимися массами (ПДМ).
КИНЕМАТИКА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
31
Рис. 2.7. Влияние значения постоянной КШМ на характер изменения скорости поршня центрального механизма:
—□------X = 0,2; —О------Х = 0,3; —А-----Х = 0,4
Если необходимо определить точное значение угла поворота коленчатого вала, соответствующего экстремальным значениям скорости поршня, следует продифференцировать по углу поворота тригонометрический сомножитель в выражении (2.5) и далее приравнять полученную производную нулю. При этом получим
sin a4-— sin 2а =cosa + A.cos2a = 0.
Преобразования этого выражения в итоге приводят к уравнению
2Xcos ar +cosar -Х = 0, r max	r max
откуда
cosai/ r max
-1 + 71 + 8A.2 4X
32
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.8. Влияние значения постоянной КШМ на характер изменения ускорения поршня центрального механизма: а - X < 0,25; б - X = 0,25; в - X > 0,25
КИНЕМАТИКА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
33
Таким образом, для X = 0,2 значение аг “ 79,27°; X = 0,3 соответствует аГта = 75,03° и т.д. Подстановка таких значений в формулу скорости поршня (2.4) позволит определить ее максимальную величину, равную
V r max
= /?w sinarmax + —sin 2a(/fnax
(2.4)
Значения Kmax при современных уровнях форсирования двига-телей по частоте вращения коленчатого вала могут достигать 20 ... 26 м/с.
Максимальное ускорение поршня центрального КШМ имеет место при его положении в ВМТ; определяется по формуле
^тах=Л<о2(1 + Х)	(2.5)
и может достигать 12 000 ... 15 000 м/с2 для высокооборотных двигателей легковых автомобилей.
Важным параметром КШМ является средняя скорость поршня CWJ, косвенно характеризующая склонность деталей цилиндропоршневой группы (ЦПГ) к изнашиванию. Физический смысл средней скорости поршня установим на основе следующих рассуждений. Поршень, двигаясь с переменной скоростью, за один оборот коленчатого вала проходит путь, равный 2S. То же расстояние и за то же время он мог бы пройти, двигаясь с постоянной по величине скоростью Сп1. Если частота вращения коленчатого вала равна и мин’1, то время одного оборота составляет 60/и с. Тогда средняя скорость поршня равна (м/с)
Sn
30 ’
(2.6)
По величине средней скорости поршня все ДВС принято разделять на: тихоходные - Ст < 5 м/с; средней быстроходности -Ст = 5 ... 10 м/с и быстроходные - С,„>10 м/с. Для обеспечения надлежащей износостойкости предельно допустимую величину Ст ограничивают 12,5 ... 13,5 м/с. Значения средней скорости поршня некоторых двигателей приведены в табл. 2.2.
2 — 8013
34
КИНЕМАТИКА КШМ
2.2. Средняя скорость поршня некоторых транспортных ДВС
Двигатель (фирма)	Обозначение по ГОСТ 4989-83	Назначение	С/п, м/с
АШ-82ФН	14 ЧН 15,55/15,83	Авиационный	13,72
K90GF (Burmeister&Wain)	12ДКРН 90/180	Судовой малооборотный	6,84
РС2-5М (SEMT Pielstick)	12 ЧН 40/46	Судовой среднеоборотный	7,97
64-БЗ (Русский дизель)	16 ДПН 23/(2x30)	Судовой среднеоборотный	8,50
1А-5Д49 (КТЗ)	16 ЧН 26/26	Тепловозный	8,67
ЯМЗ-238Ф	8 ЧН 13/14	Автомобильный дизель	9,60
ЗМЗ-3110	4 Ч 9,2/9,2	Автомобильный бензиновый	12,27
Помимо классифицирования ДВС по средней скорости поршня в зависимости от значения частоты вращения коленчатого вала их подразделяют на малоообротные (МОД, п = 100 ... 200 мин'1); среднеоборотные (СОД, п < 600 мин"1); двигатели повышенной оборотности (ПОД, и < 1000 мин"1); высокооборотные (ВОД, п > 1000 мин’1).
2.2.	КИНЕМАТИКА ШАТУНА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
Шатун КШМ совершает плоско-параллельное движение, которое рассматривается как сложное. При этом поступательное движение вместе с поршнем нужно рассматривать как переносное движение, а вращение вокруг оси поршневого пальца - как относительное, которое и анализируется в этом разделе. Формула (2.2) углового перемещения шатуна была выведена при анализе кинематики поршня. Дифференцирование ее по времени позволяет найти выражения для угловой скорости (Ор и углового ускорения шатуна
КИНЕМАТИКА ШАТУНА ЦЕНТРАЛЬНОГО КШМ
35
Aw cos а
/ т . 2' ’’
VI-A. sm2 a
. 2 •	А2-!	(2’7)
8р = Хсо sin a----------у-.
(1 -X2 sin2 aj2
Зависимости от угла поворота коленчатого вала относитель-
ных угловой скорости COroth = ——	и углового ускорения
со
8ротн =—у шатуна показаны на рис. 2.9, 2.10. Их абсолютные зна-со2
чения в быстроходных высокооборотных двигателях могут достигать соответственно 150 ... 180 рад/с и 200 000 рад/с2.
Рис. 2.9. Изменение относительной угловой скорости шатуна центрального КШМ:
—О------X = 0,2; —О-----X = 0,3; — Д-----X = 0,4
2
36
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.10. Изменение относительного углового ускорения шатуна центрального КШМ:
—□------Х = 0,2; —О------А. = 0,3; —А----Х = 0,4
Так же, как кинематические параметры поршня, угловые скорость и ускорение шатуна зависят от величины постоянной КШМ.
2.3.	КИНЕМАТИКА ПОРШНЯ ДЕЗАКСИАЛЬНОГО КШМ
Приводим без вывода уравнения для расчета кинематических параметров поршня дезаксиального КШМ. Эти уравнения в одинаковой степени применимы для кинематического анализа механизма со смещением как поршневого пальца, так и оси цилиндра. Если относительный дезаксиал равен к (принимается положительным, если смещение выполняется в сторону вращения коленчатого вала, и отрицательным в противном случае), то перемещение, скорость и ускорение поршня определятся по формулам:
КИНЕМАТИКА ПОРШНЯ ДЕЗАКСИАЛЬНОГО КШМ
37
cosa) + — (1 - cos 2а)-sin а ;
V = /?со since+ — sin 2а-ЛХ cos а ;
I 2	)
W =/?co2(cosa+ Xcos2a + H,sina).
(2.8)
(2.9)
(2.Ю)
Малые значения величин к и X (см. выше) приводят к тому, что поправка, вносимая наличием дезаксиала, весьма мала, так что на практике ею зачастую пренебрегают. На рис. 2.11 показаны относительные перемещение, скорость и ускорение поршня смещенного КШМ (к = 0,1; X = 0,25); показать здесь же в том же масштабе кривые относительных кинематических параметров поршня центрального КШМ не представляется возможным: одноименные кривые практически сливаются. Различия в мгновенных значениях относительных перемещения, скорости и ускорения центрального и смещенного КШМ даны в табл. 2.3.
Рис. 2.11. Относительные кинематические параметры поршня смещенного КШМ:
__П— _	•  О_____Е •  А_______IV
1	°ОТН»	' ОТНэ	frOTH
38
КИНЕМАТИКА КШМ
2.3. Сопоставление относительных кинематических параметров поршня центрального и смещенного КШМ
а,°	С °отн		у к отн		W гг отн	
	Центр.	Смещен.	Центр.	Смещен.	Центр.	Смещен.
0	0	0	0	-0,025	1,250	1,250
30	0,165	0,153	0,608	0,587	0,991	1,004
60	0,594	0,572	0,974	0,962	0,375	0,397
90	1,125	1,100	1,000	1,000	-0,250	-0,225
120	1,594	1,572	0,758	0,770	-0,625	-0,603
150	1,897	1,885	0,392	0,413	-0,741	-0,729
180	2,0	2,0	0	0,025	-0,750	-0,750
Угловые перемещение, скорость и ускорение шатуна смещенного КШМ найдутся по формулам:
Р - arcsin[x(sin а - £)];	(2.11)
cos а
СОр = Х(1)7
(2.12)
1 — A? (sin сс —/с)2 2
Ер = Хсо2
7	7	7	7
X cos oc(sinoc-£)-sina 1-Х (sina-£)
1 - X2(sina-£)2
(2.13)
Для угловых параметров шатуна смещенного механизма справедливо предыдущее замечание о малости поправок, вносимых наличием дезаксиала.
2.4.	КИНЕМАТИКА ПОРШНЯ КШМ С ПРИЦЕПНЫМ ШАТУНОМ
Различные аспекты расчета КШМ с прицепными шатунами ранее были разработаны профессорами И.Ш. Нейманом, Ф.Ф. Симаковым, П.А. Истоминым и др.
КИНЕМАТИКА ПОРШНЯ КШМ С ПРИЦЕПНЫМ ШАТУНОМ
39
Выше приведена схема такого КШМ. На практике могут встречаться и более сложные, показанные на рис. 2.12, разновидности механизма. В ряде случаев кинематика прицепных поршней имеет некоторые особенности.
Методика расчета кинематических параметров прицепного поршня приводится нами без вывода формул [35]. Считается, что известны радиусы кривошипа R и прицепа г, длины шатунов -главного L и прицепного /, углы развала цилиндров у и прицепа упр, предварительно вычислено значение постоянной КШМ X.
1.	Рассчитываются безразмерные параметры механизма и вспомогательные величины:
2.	Безразмерные амплитуды гармонических составляющих:
f = —(Xz + cos ц/); г
ах = -(1 + Asin ц/sin у);
й| = — sin cos у — X/);
а2 = -0,25(pXz -2XXzcosy + f cos2y).
3.	Начальные фазы суммарных гармоник:
е2 =—arctg(tg2e2).
40
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.12. Разновидности кинематических схем КШМ с прицепным шатуном:
а - у = упр; б - с дезаксиалами цилиндров; в - с параллельными цилиндрами
КИНЕМАТИКА ПОРШНЯ КШМ С ПРИЦЕПНЫМ ШАТУНОМ
41
4.	Обобщенные параметры поршня:
a^cosp^.
COS 6]
4а2^
Rccos 2е2
5.	Углы, соответствующие положению прицепного поршня в
мертвых точках:
tg«coi =
tgpc . ’1 + XC ’
а/01 “ ас01 -е2 ’
tgaC02 =
tgpc .
.	Л	’
а/02 ~ ас02 ~ е2 •
6.	Ход прицепного поршня
S* = Лс(2 +tgac01tgac02).
7.	Текущие значения перемещения Si, скорости К/ и ускорения прицепного поршня (предварительно вычисляется вспомогательный параметр асо и аргумент ас, определяемый текущим значением угла поворота кривошипа, отсчитываемым от оси главного цилиндра):
^сО
------cos(ac01+цс);
cospc
ас =а-у + е2;
iS'y Rc aCQ
------cos(ac +pc)--^cos2ac cos|ic-4
42
КИНЕМАТИКА КШМ

= 7?сС0
COS|lc
sin(ac +|ic) + — sin 2a
= /?cC02
1
cos |1 c
cos(ac + pc) + Xc cos 2a c
Изменения величин перемещения, скорости и ускорения прицепного поршня двигателя (параметры двигателя даны в табл. 2.4; расчет приведен подробно в [35]) в сравнении со значениями для поршня главного цилиндра приведено на рис. 2.13 - 2.15. Отсчет угла поворота коленчатого вала производится при этом от положения поршня главного цилиндра в ВМТ.
2.4. Кинематические параметры КШМ двигателя с прицепным шатуном (пример)
/?, мм	г, мм	L, мм	/, мм	1°	Упр,°	/7, МИН'*
100	94	350	256	60	68,5	1800
Рис. 2.13. Перемещения главного и прицепного поршней:
—-----главный; —О-----прицепной
КИНЕМАТИКА ПОРШНЯ КШМ С ПРИЦЕПНЫМ ШАТУНОМ
43
Рис. 2.14. Скорости главного и прицепного поршней (пример):
—-----главный; —О------прицепной
Рис. 2.15. Ускорения главного и прицепного поршней (пример):
- главный; —О-----прицепной
44
КИНЕМАТИКА КШМ
На кинематику прицепного поршня оказывают заметное влияние (хотя и в разной степени) конструктивные параметры КШМ. На рис. 2.16 показано изменение перемещения прицепного поршня двигателя, рассмотренного в предыдущем примере, при варьировании значениями угла прицепа упр. Видно, что, управляя этим параметром, можно добиться увеличения хода прицепного поршня (и, следовательно, рабочего объема и мощности двигателя). Однако, подобные решения следует принимать с осторожностью и учитывать прочие динамические факторы. Так, при увеличении угла прицепа возрастает относительная величина гармонических составляющих перемещения (а следовательно, ускорения и далее сил инерции, развиваемых поступательно движущимися массами) высоких порядков, вследствие чего осложняется уравновешивание двигателя и, возможно, ухудшается его вибрационное состояние.
Варьирование величиной радиуса прицепа (при неизменных значениях прочих параметров) приводит к менее наглядным изменениям кинематических параметров прицепного поршня; соответствующая информация (вследствие практического слияния кривых на графике) для рассмотренного выше примера дана в табл. 2.5.
2.5. Изменение значений перемещения прицепного поршня (м) при варьировании величиной отношения радиуса кривошипа к радиусу прицепа р
Угол а,°	р = 0,8	Р = 0,9	р = 1,0	р= 1,2
0	0,0615	0,0610	0,0605	0,0594
30	0,0184	0,0184	0,0183	0,0182
60	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001
90	0,0150	0,0146	0,0142	0,0135
120	0,0580	0,0572	0,0564	0,0547
150	0,1130	0,1121	0,1112	0,1094
180	0,1615	0,1610	0,1605	0,1594
КИНЕМАТИКА ПОРШНЯ КШМ С ПРИЦЕПНЫМ ШАТУНОМ
45
Рис. 2.16. Перемещение прицепного поршня при различных значениях угла прицепа:
Л-----главный поршень; —•-----прицепной поршень, упр = у;
—А-----прицепной поршень, упр = у + 10°;
—V-----прицепной поршень, упр = у + 20°;
—*-----прицепной поршень, упр = у - 10°
В связи с наличием проиллюстрированных зависимостей кинематических параметров поршня КШМ с прицепным шатуном многими авторами предпринимались попытки оптимизации конструктивных соотношении двигателей с таким механизмом. В основном рекомендации по проектированию КШМ с прицепными шатунами таковы.
1.	Обеспечение минимально возможной по конструктивным соображениям величины радиуса прицепа гпр
2.	Обеспечение «проворачиваемости» механизма (в связи с этим, в частности, следует согласовывать значения длины шатуна L и угла развала цилиндров у. Проф. П.А. Истоминым применительно к этому указано, что при у = 60° в КШМ с прицепным
46
КИНЕМАТИКА КШМ
шатуном может быть использован шатун длиной £ = 3,17?, а при у = 40° длина шатуна должна быть уже не меньше 4,5/?).
3.	Длина прицепного шатуна / может быть определена по формуле1 [59]
I — L — гпр •
4.	Идентичность значений степени сжатия в главном и боковом цилиндрах, с точностью ±0,05, которая достигается производственными допусками, может быть обеспечена уточнением (после первоначально выбранного) значения радиуса прицепа
г
'пр
L cos[arcsin(X sin у)] - /пр
cos arcsin
R .
—siny
5.	Угол развала прицепа упр может быть определен по формуле, предложенной проф. И.Ш. Нейманом2 (е - степень сжатия):
Упр =Ц + У,где |л-Х-7=— sin у.
<8+1
Возможности оптимизации конструктивных соотношений в настоящее время существенно расширены в связи с возможностью применения специализированных пакетов прикладных программ для динамического исследования механизмов.
1 Заметим, что проф. П.А. Истоминым дана несколько иная редакция этой формулы [35]:
/т- . fXsiny^
r	2v£rsin ------
1	~ ГПР	4.	\	)
I =-----, где tg (p =--------------.
coscp	£-rnp
2 Как правило, углы развала прицепа в звездообразных двигателях равны и их значение определяется числом цилиндров; в V-образных легких авиационных двигателях часто выполняли упр = у. В форсированных дизелях для исключения момента, изгибающего главный шатун во время вспышки топлива в боковом цилиндре, угол развала прицепа выполняют на 5 ... 10° больше угла развала цилиндров.
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ ДВИГАТЕЛЕЙ 47
2.5.	ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ ДВИГАТЕЛЕЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ СТЕПЕНЬЮ СЖАТИЯ И РАБОЧИМ ОБЪЕМОМ
Решение этой задачи проиллюстрируем на примере механизма проф. A. Jante, кинематическая схема которого дана на рис. 1.13, г. Введем в рассмотрение показанные на рис. 2.17 систему координат и обозначения звеньев и размеров. При исследовании кинематики следует задаться величинами радиуса кривошипа R, длин шатунов L и Z], длин плеч траверсы А и В, а также положением оси цилиндра, определяемым размером d, и координатами точки подвеса траверсы и т'о-
Вывод уравнений для расчета кинематических параметров поршня может быть сделан следующим образом [102]. Координата Y выразится соотношением
К = у0 + (А + Z?)sin р2 - Li cos Pj,
где значения углов могут быть определены из соотношений (для простоты принято, что точка присоединения шатуна к траверсе лежит на оси, проходящей через ось вращения коленчатого вала, а движение этой точки происходит по короткому участку прямой линии, а не по дуге окружности):
Рис. 2.17. К анализу кинематики механизма проф. A. Jante
48
КИНЕМАТИКА КШМ
/?cosa + ZcosP = у0 + JsinP2; x0 + d = (Я + 5)cosp2 + Lx sin Pjj /?sinct = ZsinP
Преобразования формул дают зависимость У = /(а), результаты расчета по которой для гипотетического механизма с параметрами, представлены в табл. 2.6 (кривая, соответствующая варианту 2) и на рис. 2.18.
2.6. Размеры механизма проф. A. Jante, м (пример)
R	L	11	А	в	*0	Уо	d
0,02	0,05	0,06	0,06	0,06	0,06	0,07	0,07
Рис. 2.18. Перемещение поршня в механизме проф. A. Jante: -------вариант 7; —О вариант?; —А вариант?
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ ДВИГАТЕЛЕЙ 49
Видно, что траверсный рычажный механизм даже в наиболее простом исполнении (с учетом сделанных выше допущений) определяется значительно большим числом конструктивных параметров, чем наиболее сложный КШМ. В общем случае дополнительно к приведенным в табл. 2.6 должны быть заданы параметры, показанные на рис. 2.19. Заметим, что вывод формул в этом случае существенно усложняется.
Расчеты показывают, что даже применительно к упрощенной схеме рассматриваемого механизма выбор рациональных конструктивных соотношений может быть затруднен. На рис. 2.18 приведены также зависимости перемещения поршня механизма Y = f (а) для механизмов с идентичными параметрами, отличающимися только величиной соотношения плеч траверсы А/В (вариант 2 соответствует данным табл. 2.6; для варианта 1 - А/В = = 0,07/0,05; для варианта 3 - А/В = 0,05/0,07). В таких условиях становится довольно затруднительным не только решение, но даже сама корректная постановка задачи оптимизации конструктивных соотношений (что должно служить целевой функцией, каковы накладываемые ограничения и пр.). Существенно может облегчить решение такой задачи применение элементов CAD/CAE/CAM-технологии для динамических исследований.
Рис. 2.19. Кинематическая схема усложненного механизма проф. A. Jante
50
КИНЕМАТИКА КШМ
2.6.	ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ CAD/CAE/CAM-ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ
Многие из указанных выше сложностей могут быть преодолены при использовании специализированных пакетов прикладных программ для исследования динамики механических систем. К числу таких пакетов относятся ADAMS (разработка фирмы MDI - Mechanical Dynamics Incorporated), WORKING MODEL 2D (сокращенное наименование WM 2D) и WORKING MODEL 3D (WM 3D), разработанные фирмой Knowledge Revolution (WM 2D предназначен для исследования плоских, a WM 3D - пространственных механизмов); существуют отечественные аналоги таких программных продуктов (EULER). Кроме того, существуют многочисленные приложения того же назначения к разнообразным CAD-системам (например, Dynamic Designer - приложение к системе Mechanical Desktop, Solid Works и пр.).
На сегодняшний день мировой рынок программного обеспечения данного направления примерно на 60 % представлен продуктами фирмы MDI ADAMS.
Этот продукт используется практически во всех отраслях промышленности:
•	автомобилестроение;
•	авиастроение и космонавтика;
•	железнодорожный транспорт;
•	общее машиностроение;
•	судостроение;
•	робототехника и приборостроение;
•	биомеханика и т.д.
Основными направлениями использования программного продукта ADAMS в промышленности являются создание и всесторонний анализ виртуальных компьютерных моделей разрабатываемого изделия на ранних стадиях проектирования, поверочный расчет и анализ работы уже спроектированных изделий, что позволяет избежать натурного моделирования, испытания реальных образцов и существенно сокращает как время, так и стоимость разработок.
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ CAD/CAE/CAM-ТЕХНОЛОГИИ
51
Программный комплекс в настоящее время завоевал авторитет фактического стандарта в области исследования кинематики и динамики механических систем.
Упомянутые программные продукты предоставляют возможность:
•	создавать компьютерную модель системы из жестких и деформируемых элементов, соединенных между собой различными кинематическими связями и шарнирами;
•	создавать параметризованную модель;
•	визуализировать модель конструкции средствами трехмерной графики; (иногда для понимания способа работы устройства бывает недостаточно наличия лишь плоского чертежа или даже неоживленного изображения твердотельной объемной модели (см. рис. 1.2) механизма. Понимание наступает лишь при просмотре оживленного - «анимированного» - изображения);
•	задавать вынужденные перемещения и движения элементов системы и прикладывать активные внешние силы и моменты;
•	проводить статический, динамический и кинематический анализ системы;
•	визуализировать движение системы и фиксировать заданные события;
•	анализировать влияние вариаций конструктивных элементов на поведение системы;
•	оптимизировать модель по заданному критерию;
•	получать результаты анализа в удобном для оценки и интерпретации виде: графики, таблицы, анимация;
•	проводить обмен информацией с программными комплексами автоматизированного проектирования, конечно-элементного анализа, анимации;
•	настраивать комплекс под типовые задачи конкретного пользователя;
•	использовать специализированные модули, ориентированные на конкретные области техники.
Программный комплекс имеет блочную структуру и в соответствии с этим может быть сформирован в различных комплектациях, соответствующих всему спектру задач пользователя.
52
КИНЕМАТИКА КШМ
В настоящем издании не может быть дана инструкция по работе с тем или иным программным продуктом; нашей задачей является иллюстрация обширных возможностей современного программного обеспечения указанного назначения: в настоящее время могут быть решены и, главное, сформулированы многие актуальные проблемы динамики поршневых двигателей, решение которых ранее не предусматривалось в связи с их сложностью. Так, программный продукт ADAMS/CAR, специализированный для автомобильной промышленности, позволяет построить полную модель всего транспортного средства, включая двигатель, трансмиссию, рулевое управление, тормозную систему и пр. На основе соответствующей введенной информации производится анализ таких характеристик, как безопасность, вибрации во время движения, воздействие на водителя со стороны автомобиля, работа антиблоки-ровочных систем и пр. Возможность совместной работы с программными продуктами, реализующими метод конечных элементов, позволяет проводить динамическое исследование механизмов с учетом податливости их звеньев. Немаловажное значение имеет и визуализация (в том числе, в реальном масштабе времени) всех этапов исследования динамики (от разработки модели механизма до вывода результата) средствами машинной графики.
Интерфейс программного продукта WM 2D показан на рис. 2.20.
Выполним анализ кинематики центрального КШМ двигателя. При решении задачи о расчете скорости, ускорения и перемещения поршня нет необходимости в точном отображении на экране конфигурации деталей (если не решается сугубо специальная задача, например, прокручивание механизма), а потому в простейшем случае анализу может быть подвергнута по существу кинематическая схема механизма (рис. 1.4).
Пусть радиус кривошипа R = 0,07 м; длина шатуна L = 0,28 м; частота вращения коленчатого вала п = 2100 мин'1, что соответствует значению угловой скорости коленчатого вала со = 219,9 рад/с. В таком случае текущее значение угла поворота коленчатого вала равно а = со/, где / - время.
'•[ Wot king Model 2D (Unlilledll
У* E* Wqdd У** 2bfed_£efir»e ^мхгв £«*’₽* Jtfrtow tJefc
Рис. 2.20. Интерфейс программного продукта WM 2D
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ CAD/CAE/CAM-ТЕХНОЛОГИИ
1Л
54
КИНЕМАТИКА КШМ
Найдем при указанных параметрах зависимости вертикальной координаты поршня У=/(а), скорости Иг=/(а) и ускорения IVY =/(а) поршня от угла поворота коленчатого вала.
Построим по отдельности входящие в состав механизма детали, представив их в виде прямоугольников (рис. 2.21).
После изображения прямоугольников следует скорректировать значения их размеров (ширины IV, измеряемой вдоль горизонтальной оси X, и высоты Л, измеряемой вдоль вертикальной оси У) и далее осуществить их сборку.
При этом следует определить шарнирные связи между звеньями (см. рис. 2.21) - то есть сформировать цилиндрические шарниры в сопряжениях шатуна и кривошипа, шатуна и поршня.
Для исследования кинематики механизма сообщим кривошипу движение с заданной угловой скоростью (для этого в состав модели вводится элемент сборки, называемый «мотором»). После построения прямолинейной направляющей для поршня, имитирующей цилиндр, формирование механизма заканчивается (рис. 2.22).
Рис. 2.21. Фрагмент интерфейса программного продукта WM 2D после отрисовки прямоугольников и последовательность сборки двух стержней цилиндрическим шарниром (также показаны используемые при этом построении пиктограммные меню)
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ CAD/CAE/CAM-ТЕХНОЛОГИИ
55
Далее необходимо описать или отредактировать свойства всех элементов модели (например, значения масс звеньев, угловую скорость «мотора», жесткости пружин, координаты отдельных точек и пр.). В нашем случае редактированию подлежит одно из свойств мотора - его угловая скорость. По умолчанию в программе WM 2D она принята равной 57,296 % (т.е. 1 рад/с). В нашем случае выраженная в °/с угловая скорость будет равна со = 57,296 -219,9=12600,05 7с.
К числу требуемых выходных кинематических характеристик относятся, например, графики составляющих линейных и угловых перемещений (координат), скоростей, ускорений звеньев или их отдельных (в том числе, задаваемых пользователем) точек. Пример графической зависимости, полученной в среде WM 2D, показан на рис. 2.23.
Для продолжения работы
Рис. 2.22. Окончание сборки механизма (справа показано используемое при определении «мотора» пиктограммное меню сборок «Constraints»)
с полученными данными в среде
другого программного продукта возможен экспорт последних (в табличной форме в виде текстового файла *.dta> в графической форме в виде файла *.dxf и как видеоклип в формате * avi).
По окончании работы с моделью при необходимости она сохраняется в специализированном формате в виде файла *.wm. При этом запоминаются все сведения об объектах модели.
56
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.23. Графический вывод зависимости вертикальной координаты Y поршня от угла поворота вала
Достоинством применения упомянутых программных средств является возможность формирования геометрии звеньев исследуемых механизмов в среде соответствующих программных продуктов, предназначенных для проектирования (например, AutoCAD, Solid Works, Mechanical Desktop и пр.), и последующей передачи этой реальной геометрии в среду WM 2D. Это автоматически обеспечивает многие важные для динамического исследования свойства расчетной модели: положение центра масс звеньев, их инерционные характеристики, реальные геометрические очертания и пр. (последнее позволяет осуществить так называемое «прокручивание» механизмов, при котором проверяется возможность сборки, отсутствие соударений звеньев при их движении и т.д.; пример такого «прокручивания» КШМ с реальными очертаниями звеньев, геометрия которых задана в среде AutoCAD R14 и впоследствии передана в среду WM 2D посредством обменных файлов *.dxf, показан на рис. 2.24).
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ CAD/CAE/CAM-ТЕХНОЛОГИИ
57
а)
Рис. 2.24. Модель КШМ, импортированная из среды программного продукта AutoCAD (а), и ее «прокручивание» в среде WM 2D (б)
Выше упоминалось, что использование современных программных средств для исследования динамики механических систем позволяет сформулировать задачи, ранее не ставившиеся. На рис. 2.25 показан результат выполненного в среде WM 2D расчета вибрации в поперечном направлении одноцилиндрового отсека дизеля ЧН 26/26 под действием газовой и инерционных сил.
58
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.25. Модель КШМ (а) и расчетная виброграмма перемещений Л корпуса (б), выполненные в среде WM 2D
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
59
При этом учтены истинные значения масс звеньев, а присоединение корпусных деталей к подмоторной конструкции представлено в виде упругих и демпфирующих связей, жесткость и диссипативные свойства которых соответствуют реальным значениям.
Выше на рис. 1.2 показана сборка пространственного механизма аксиально-поршневого двигателя, выполненная в среде программного продукта WM 3D, предназначенного для исследования динамики пространственных механизмов.
2.7.	КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗУЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ
Аксиально-поршневые двигатели (см. рис. 1.15; их основное отличие заключается в расположении цилиндров параллельно оси вращения коленчатого вала, приводимого во вращение посредством пространственного механизма) привлекают к себе внимание конструкторов уже на протяжении более чем 100 лет. Одним из важных преимуществ таких двигателей является компактность, сопоставимая с таковой для газотурбинных двигателей (рис. 2.26).
АПД отличаются более высокой по сравнению с прочими двигателями приспособленностью к реализации переменности степени сжатия и рабочего объема. Это обусловило повышение в последние годы интереса к этой конструктивной схеме [51], поскольку такое мероприятие способствует значительному улучшению эколого-экономических показателей двигателей, в особенности, продолжительное время работающих на частичных скоростных и нагрузочных режимах.
Пространственные преобразующие механизмы АПД весьма разнообразны по структуре и, соответственно по своим динамическим свойствам [40]. Поскольку в настоящем издании преследуется цель иллюстрации принципов исследования динамики подобных механизмов (а не их углубленного исследования - последнее изложено, например, в [105]), ограничимся рассмотрением одного из более простых механизмов такого типа - кривошипно-карданного, кинематическая схема которого известна, по меньшей мере, с 1908 г. (рис. 2.27). Здесь же рассмотрим основы матричного метода исследования механики, наиболее эффективного при изучении пространственных механизмов.
60
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.26. Степень использования поперечного сечения1 двигателей с различными числами цилиндров / и компоновочными схемами: 1 - СМД-60; 2 - GMC 6V53T; 3 - ЯМЗ-238; 4 - 40ДМ;
5 - 5Д49; б - АМ-38; 7 - ВК-105ПФ; 8 - ВАЗ-2108;
9 - ЗМЗ-406; 10 - М-503Г; 11 - АШ-62ИР;
/2-М-14П; 13- АШ-82В; 14 - АШ-82ФН;
19- Girodin I-XII 8ДН 23/30; 20- Aachen 7Д9,2/10,2;
21 - АР-5.2 ГНЦ НАМИ; 22 - АР-7.2 ГНЦ НАМИ;
23 - SPEC 9ДН 15,2/20,3 и Almen 94 10,8/14;
24 - проект МГТУ им. Н.Э. Баумана Б-1 144 10,2/8,2
1 Степень использования поперечного сечения - отношение суммарной площади проекций цилиндров на плоскость, перпендикулярную оси вращения коленчатого вала, к габаритной площади поперечного сечения двигателя.
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
61
Рис. 2.27. Кинематическая схема пространственного кривошипно-карданного преобразующего механизма АПД
62
КИНЕМАТИКА КШМ
В аксиальном двигателе цилиндры 1 расположены по окружности равномерно вокруг коленчатого вала 2. Перемещающиеся в них поршни А соединены посредством шатунов ABj с шаровыми шарнирами (возможны иные способы сочленения) со звеном 3, называемым качающейся шайбой. Шайба шарнирно соединена с наклонной шейкой кривошипа коленчатого вала (расположен в корпусе в коренных подшипниках D\,	D^) и при работе двига-
теля совершает сферическое движение вокруг неподвижной точки О - точки пересечения осей вращения вала Oz, наклонного кривошипа О^ и карданного подвеса Оу и Охр Последний может быть выполнен, например, в виде крестовины 4 с двумя парами цапф G\-Gi и F\-Fi. Посредством одной из них (G|-G2) крестовина подвижно сочленяется с качающейся шайбой; посредством второй (FrF2) - с корпусом двигателя. Назначение карданного подвеса -организация сферического движения шайбы (некоторые авторы называют это стабилизацией, а само применяемое при этом устройство - стабилизатором) и предотвращение ее вращательного движения вокруг оси наклонного кривошипа. Конструкция стабилизатора способствует организации сферического движения шайбы по законам регулярной прецессии, либо дугового движения (таковым, в частности, является описанный одинарный карданный шарнир).
Сферическое движение качающихся шайб может быть представлено в виде последовательности двух (при дуговом движении) или трех (при регулярной прецессии) конечных вращений вокруг пересекающихся осей (рис. 2.28).
Первоначально осуществляется поворот крестовины вместе с качающейся шайбой вокруг оси Оу (совпадает с осью Оу\) на угол р (вектор угловой скорости сор). При этом образуется новая система координат Ox\y\Z\. Второй поворот происходит на угол у вокруг оси Oxj этой системы с угловой скоростью coY, в результате чего получаем связанную с качающейся шайбой систему координат О£>т|^. При этом коленчатый вал будет повернут на угол ср, а ось О<^ расположится вдоль оси наклонного кривошипа под углом а к оси вращения вала.
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
63
Рис. 2.28. Составляющие сферического дугового движения качающейся шайбы: а - прецессия; б - нутация
Преобразование координат при первом повороте может быть описано матричным уравнением
у z} = [c]p{x.
У\ чЬ
(2.14)
где {л у z|, {.Xj у! Z|} и далее	- векторы коор-
динат произвольной точки шайбы в подвижной и неподвижной системах; [С]р - матрица направляющих косинусов рассматриваемых систем координат, имеющая структуру
[с]|> =
COSp О
— sin Р
sin Р О cosp
(2.14 а)
О
1
О
64
КИНЕМАТИКА КШМ
Аналогичным образом может быть
описано второе конечное
вращение
(2.15)
где
О О cosy sin у -sin у cosy
(2.15 а)
Объединяя (2.14) и (2.15), получим
{х у г} = [с]р[с]Д Л = П £}• (2-16)
Здесь
[с]=[с]р[с]у
cosp О
sin Р
— sin Psin у cosy -cos Psin у
sin Pcosy sin у cos Pcosy
(2.16 a)
Расположение цилиндров в неподвижной системе и их нумерация показаны на рис. 2.29, где дан вид с положительного конца оси Oz. С коленчатым валом связана система координат OXYZ, вращающаяся вместе с ним вокруг совпадающих осей Oz и OZ против часовой стрелки. В начальный момент времени (/ = 0, угол поворота вала ср = 0) поршень 1-го цилиндра находится в ВМТ. В таком случае плоскость наклонного кривошипа (при установочном угле 1-го цилиндра 5j = 0) совпадает с координатной плоскостью xOz\ сам кривошип направлен в сторону положительных значений оси Ох,
Применительно к механизмам с качающимися шайбами коэффициенты матрицы [С] получены В.Н. Яровым [105, 106], В.Я. Натанзоном [70], а также автором [52]. Окончательно матрица [С] имеет следующую структуру:
КИНЕМА ГИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
65
Рис. 2.29. Ориентация цилиндров АПД в неподвижной системе координат и их нумерация
а) при дуговом движении
cosa/Z)
[С] =
-sinacos(p/Z)
sin2 a cos a sin <p/Z> sin a cos<p
D	-sin a sin (p
sin a cos a sin cp / D	cos a
о
/	. ?	. 2
где D = JI-sin a sin cp ;
б) при регулярной прецессии
3 — 8013
66
КИНЕМАТИКА КШМ
2	• 2
cos a cos (р + sin ср
1 - cos а .
---------sin 2<р
2
- sin а cos ср
1 - cos а .
---- ---sin 2(р	since cos (р
cosasin2 ср + cos2 <р - sin asin <р
sinasinep	cosoc
(2.17 a)
Точка В) (рис. 2.27) прицепа шатуна к шайбе совершает движение по сложной пространственной траектории, представляющей собой «восьмерку», уложенную на сферу. Такие траектории являются одинаковыми для всех точек прицепа шатунов к шайбе при регулярной прецессии последней и отличаются при ее дуговом движении (рис. 2.30). Однако это не приводит к значительным отличиям в характере протекания всех кинематических характеристик точек В{ (рис. 2.31).
Показанные на рис. 2.30, 2.31 зависимости соответствуют значению угла наклона кривошипа a = 30°; относительные координаты найдены по выражениям вида
(z )	= —
Я2
где z^j - абсолютная координата точки; Т?2 - радиус качающейся шайбы.
Дифференцированием (2.16) найдем составляющие скоростей и ускорений точек В, шайбы
{Их Vy =со-^[С’]Д£( п at
Ж Wy	n Q,,
J at
(2.18)
где со - угловая скорость коленчатого вала; {Гх Vy ¥:}у - вектор скорости точки Bj шайбы в /-й момент времени; {Wx Wy №:}и -аналогичный вектор ускорения точки Вг
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
67
Рис. 2.30. Траектория точек прицепа шатунов к шайбе при различных значениях угла 5 при различных видах сферического движения шайбы:
1 - дуговое движение, 8 = 0; 2 - дуговое движение, 8 = 90°; 3 - регулярная прецессия, все значения 8
Указанные на рис. 2.32 - 2.35 относительные величины составляющих скорости и ускорения определены для точки Вр расположенной под углом 8 = 90° по формулам вида (Их, Wx - абсолютные значения составляющих кинематических параметров; проекции скорости и ускорения рассматриваемой точки на ось Оу для случаев дугового движения и прецессии шайбы полностью совпадают)
(и) =-¥*_ (w ) =
V хЛ™ /?2со’ V х7отн /?2(о2
3
68
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.31. Относительная вертикальная координата z перемещения точки прицепа шатуна к шайбе при ее дуговом движении и
прецессии:
—&------дуговое движение; —□-----прецессия
Рис. 2.32. Относительные компоненты (Гх)оти скорости точки прицепа шатуна к шайбе при ее дуговом движении и прецессии:
—-----дуговое движение; —А----прецессия
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
69
Рис. 2.33. Относительные компоненты (ИД,™ скорости точки прицепа шатуна к шайбе при ее дуговом движении и прецессии:
—-----дуговое движение; —А----прецессия
Рис. 2.34. Относительные компоненты (ИД,™ ускорения точки прицепа шатуна к шайбе при ее дуговом движении и прецессии:
—-----дуговое движение;-----прецессия
70
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.35. Относительные компоненты (Иду)отн ускорения точки прицепа шатуна к шайбе при ее дуговом движении и прецессии:
—И-----дуговое движение;-----прецессия
Зная закон движения точки Bj в общей системе координат, длину шатуна L и координаты хА^ уА, осиу-го цилиндра, найдем координату ztJ поршня
= Ч + ^2-(xAj-xBij)2-(yAj-yBii)2 .	(2.19)
Расчеты и опыты свидетельствуют о малости поперечных движений шатуна, отклоняющегося от оси цилиндра в пределах 2 ... 5°. Тогда разности координатх и у в выражении (2.19) становятся незначительными, и

(2.19 а)
Разность значений величин ztJ по формулам (2.19) и (2.19 а) для известных конструкций АПД как правило не превышает 0,14%.
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
71
При дифференцировании (2.19) получаем выражения скорости и ускорения поршня. Точные формулы при этом отличаются громоздкостью. Так, для скорости и ускорения j-го поршня получаем формулы:
(2.20)
(xAj ~xBtJ^BXtJ ~^BXlt +(yAj ^УВуУ^ВУч ~VBYi}

Для ориентировочных расчетов с учетом ранее выведенной приближенной формулы (2.19 а) для обоих видов сферического движения шайбы можно использовать соотношения V ~ VBZ ;
W = WBZ . Справедливость этого показана на рис. 2.36 применительно к АПД с параметрами: радиус шайбы R2 = ОД м; радиус окружности центров цилиндров на блоке R\ = 0,0866 м; угол наклона кривошипа а = 30°; частота вращения коленчатого вала п = 3000 мин’1.
Кинематика поршня незначительно отличается при дуговом движении и прецессии шайбы.
Известно, что совокупность трех или двух конечных вращений качающейся шайбы вокруг пересекающихся осей (см. рис. 2.28) может быть заменена одним мгновенным вращением
72
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.36. Ускорение точки прицепа шатуна к шайбе и приводимого этой точкой поршня:
- поршень; —А-----точка В,
вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку О и называемой мгновенной осью скоростей (МОС). При сферическом движении ориентация МОС постоянно изменяется. Вдоль нее располагается вектор мгновенной угловой скорости сферического движения шайбы, равный при дуговом движении
Q = (Dp 4- С0у ,
(/В dy
где (Dn = — ; cdv = — .
Р dt Y dt
Ранее [52] было показано, что углы р и у конечных вращений шайбы при дуговом движении шайбы могут быть найдены по
формулам
Р = arccos
COSOC
(2.22)
у = arccos(Z)).
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
73
Угловые скорости составляющих вращений при этом определятся
(Dp =-cd sin a cosasincp/Z)2;
(Dy = (D Sin ОС COS ф / Z) .
(2.23)
Проекции мгновенной угловой скорости на оси неподвижной системы координат могут быть определены следующим матричным равенством
(2.24)
Структура матрицы [С]р дана выше [см. формулу (2.14 я)].
Модуль Q мгновенной угловой скорости и направляющие косинусы МОС определятся (рис. 2.37)
z-ч / 2	2	2
Q = Jco; + (Dv + (d7 .
V Л У
cos/0 = /=—;
со
cos/ = т-—
° Q
coz
cos/zn = п=——.
0 О
(2.25)
(2.26 а)
Аналогично может быть определена мгновенная угловая скорость при регулярной прецессии шайбы. Здесь подробно этот вывод не приводится, поскольку ставится цель только иллюстрации принципа исследования динамики пространственных механизмов с помощью метода преобразования координат и матричной алгебры. Подробно этот вопрос изложен в [52].
74
КИНЕМАТИКА КШМ
Рис. 2.37. Составляющие со„ <ог <о2 и модуль ш мгновенной угловой скорости качающейся шайбы АПД, совершающей дуговое движение (о - угловая скорость вращения коленчатого вала):
—□-----сог; —----со/ —▲------сох; —V----Q
Модуль мгновенной угловой скорости шайбы незначительно изменяется с изменением угла поворота коленчатого вала при дуговом движении шайбы и практически постоянен при ее регулярной прецессии (рис. 2.38). Однако ориентация вектора Q в неподвижной системе координат различна при разных видах сферического движения, что, по-видимому, будет обусловливать различия в нагружении шайбы силами инерции. Существует зависимость модуля мгновенной угловой скорости шайбы от угла наклона кривошипа (рис. 2.38).
В [43] показано, что сложная кинематика пространственных преобразующих механизмов не ухудшает равномерности хода АПД, и определяется, как обычно, изменением крутящего момента и инерционными характеристиками преобразующего механизма.
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
75
Рис. 2.38. Изменение относительной величины модуля мгновенной угловой скорости шайбы в зависимости от угла наклона кривошипа:
—А------дуговое движение, а = 30°; —|------прецессия, а = 30°;
—О------дуговое движение, а = 20°; —О-----прецессия, а = 20°;
—П------дуговое движение, а = 15°; —V---прецессия, ос = 15°
3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕТАЛЕЙ КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО МЕХАНИЗМА
3.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При движении звенья механизмов, обладающие распределенной по их объему массой, развивают также распределенные силы инерции. Система последних может быть достаточно сложной (рис. 3.1), а потому расчет динамики механизма может быть осложнен. На основании теорем об эквивалентности систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу, производят замену системы распределенных сил инерции системой нескольких сосредоточенных сил, приложенных в точках звена, движение которых известно. С такими точками связываются так называемые замещающие массы. Замена при расчетах реального тела с распределенной массой (соответственно обусловливающей возникновение системы распределенных сил инерции) одной или несколькими точечными массами (в связи с чем возникает система сосредоточенных сил инерции) носит название приведения масс. Система замещающих масс, для которых определены значения, расположение, моменты инерции и прочие параметры, называется моделью звена. Расчет параметров модели производится на основании метода замещающих масс (МЗМ) [55]. Приведение масс по МЗМ должно производиться при выполнении следующих условий:
Л/ — di
7К1рсал '"мод ’
^реал ~ мод ’	(3 • 1)
^реал ~ *мод ’
где Л/реал; ^peani А’еал - масса, статический момент и момент инерции реального тела (в последнем случае имеются в виду все имеющие практическое значение моменты инерции тела относительно осей, точек, плоскостей и пр.); здесь и далее реальные параметры моделируемых тел обозначены прописными буквами, модели - строчными; /г?мод; 5М0Д; /мод - аналогичные параметры модели.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
77
Рис. 3.1. Система сил инерции, приложенных к точкам шатуна при его положении в верхней мертвой точке
Смысл условий МЗМ заключается в том, что реальное тело и его модель должны обладать одинаковыми инерционными характеристиками при поступательном движении (равенство масс), вращательном движении (равенство моментов инерции), а центры масс тела и модели располагаться в одних и тех же точках (равенство статических моментов). Если тело участвует в пространственном движении, следует приравнять моменты инерции (реальные и модели) относительно всех координатных осей, в связи с чем число уравнений для расчета параметров модели может быть больше трех.
Если модель удовлетворяет всем условиям МЗМ, она считается динамической, в противном случае - только статической.
Параметры моделей звеньев КШМ могут быть определены расчетными и экспериментальными методами. Расчетные методы в последние годы приобрели особую актуальность в связи с применением метода конечных элементов (МКЭ), позволяющим достаточно точно (с погрешностью до 5 ... 7 %) определить моменты инерции тел сложной формы (рис. 3.2), которые не могут быть рассмотрены как совокупность тел правильной геометрической формы. Кроме того, для этой же цели могут использоваться пакеты прикладных программ, реализуемые в CAD-системах (AutoCAD, Solid Works, ProEngineer и пр.). Они позволяют
78 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.2. Твердотельная модель качающейся шайбы аксиально-поршневого двигателя АР-7.2 конструкции ГНЦ НАМИ
выполнить точный расчет инерционных характеристик звеньев в процессе их проектирования. Эти вновь открывающиеся возможности моделирования рассмотрены ниже. Прочие расчетные методы (к ним, в частности, относится рассматриваемый ниже графоаналитический метод веревочного многоугольника) не обладают достаточной точностью при анализе тел сложной геометрической формы.
В общем случае, как правило, расчетчик сам выбирает количество и расположение замещающих масс в модели того или иного звена. Расчетные значения параметров модели этого звена будут определяться принятыми допущениями.
3.2.	МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ КШМ, СОВЕРШАЮЩИХ ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ
КШМ в простейшем случае моделируется в виде двух точечных масс, связанных нерастяжимым и невесомым стержнем: поступательно движущейся /иПдм и неуравновешенной вращающейся /Инвм, располагаемых на осях соответственно поршневого пальца и шатунной шейки коленчатого вала (рис. 3.3). Их значения определяются по формулам:
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ КШМ
79
^ПДМ	(32)
^НВМ —	+ '"ш к»
где тл - приведенная масса поршня в сборе; поскольку поршень совершает поступательное движение (его поперечными перемещениями в пределах зазора в цилиндре пренебрегаем1); тш.п - масса шатуна, приведенная к поршню; тшк -масса шатуна, приведенная к кривошипу; тк - приведенная масса кривошипа (ее расчет рассмотрен ниже).
При моделировании поршня первоначально следует принять допущение о составе этой модели.
Рис. 3.3. Простейшая модель КШМ
Примем, что поршень в сборе с поршневым пальцем и поршневыми кольцами моделируется точечной массой, сосредоточенной на оси поршневого пальца. В связи с тем, что масса является точечной (т.е. не имеет размеров), можно записать только одно уравнение, соответствующее условиям МЗМ

(3.3)
где Мп - реальное значение массы поршня; может быть определено экспериментально или при твердотельном моделировании деталей в среде программных продуктов - CAD-систем.
Моделирование кривошипа коленчатого вала производят также точечной массой, сосредоточенной на оси шатунной шейки. Б состав модели кривошипа тк следует включить элементы кри
1 Заметим, что в ряде работ рассматривается так называемое поперечное движение поршня в пределах зазора между ним и гильзой цилиндра.
80 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
вошипа, развивающие при вращении коленчатого вала центробежные силы инерции, - шатунную шейку, щеку кривошипа и противовес. Коренная шейка при вращении коленчатого вала не развивает избыточных сил инерции и в составе модели не учитывается.
Масса тш ш шатунной шейки определяется по ее геометрическим размерам
(3.4)
где D, d, /шш - наружный и внутренний диаметры и длина шатунной шейки; р - плотность материала коленчатого вала.
Неуравновешенная масса щеки А/щ (за исключением продолжения коренной шейки) развивает центробежную силу инерции Сщ, определяемую по формуле (рис. 3.4)
2
Сщ	риь
где рщ - радиус вращения центра масс щеки; положение центра следует определять при помощи графоаналитического метода или в процессе твердотельного моделирования.
Такую же по величине силу должна развивать замещающая масса /иш, располагаемая на оси шатунной шейки и, следовательно, имеющая радиус вращения R. С учетом предыдущей формулы получим

откуда

(3.5)
Из формулы (3.5) видно, что приведенная масса щеки коленчатого вала меньше реальной массы щеки. Аналогично осуществляется приведение массы противовеса, расположенного на коленчатом валу.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ШАТУНА КШМ
81
Рис. 3.4. К приведению массы щеки и противовеса коленчатого вала:
1 - след шатунной шейки; 2 - след коренной шейки
3.3.	МОДЕЛИРОВАНИЕ ШАТУНА КШМ
Наибольшую сложность вызывает приведение массы шатуна, который совершает плоское движение. В простейшем случае шатун моделируется двумя замещающими массами /иШ11 и /лшк, располагаемыми соответственно на осях поршневого пальЦа и шатунной шейки коленчатого вала. Для определения значений этих замещающих масс следует использовать два условия МЗМ, принимающих вид
^ЦР
tYi I — n? I ‘ш п ш.п ‘ш К Ш К ’
(3.6)
откуда (рис. 3.5, а)
82 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.5. Модели шатунов: а - простейшая двухмассовая; б - трехмассовая; в - двухмассовая с дополнительным моментом инерции
т =М Ш.П	Ш .	’
т =М ban
"*Ш.К	Ш J
(3.7)
В формулах (3.6) и (3.7) символами /шп, /шк обозначены расстояния от центра масс шатуна до центров соответственно поршневой и кривошипной головок; символом L - длина шатуна (следует заметить, что речь идет о кинематической длине шатуна -расстоянии вдоль его оси между центрами поршневой и кривошипной головок, а не о габаритной длине). Для определения замещающих масс тш п и к могут быть использованы экспериментальные методы взвешивания, веревочного многоугольника и качаний.
Простейшая двухмассовая модель шатуна (рис. 3.5, а) является большей частью лишь статической. Это значит, что условия МЗМ выполняются для нее не полностью (в нашем случае может
МОДЕЛИРОВАНИЕ ШАТУНА КШМ
83
отсутствовать равенство моментов инерции реального шатуна и его модели). Данное обстоятельство может обусловливать погрешности в дальнейших расчетах. Для повышения их точности используют усложненные модели - трехмассовые (рис. 3.5, б) или двухмассовую с дополнительным моментом инерции (рис. 3.5, в) [38]. Способ расчета параметров последней рассмотрен ниже.
Если шатун несимметричен относительно оси, соединяющей центры поршневой и кривошипной головок (это может наблюдаться у шатунов с косыми разъемами кривошипной головки или главных шатунов V-образных ДВС с сочлененным КШМ), в состав его модели могут быть включены три замещающие массы, расположенные в центрах кривошипной и поршневой головок и в какой-либо третьей точке (рис. 3.5, б). Для главных шатунов в качестве последней может быть выбрана точка прицепа прицепного шатуна (рис. 3.6). Ранее разработанные методики динамического расчета двигателей с КШМ с прицепными шатунами [59] предусматривали и в этом случае замену трехмассовой модели упрощенной двухмассовой (последнюю называли «приведенным главным шатуном»); в таком случае замещающие массы определяли по соотношениям (рис. 3.6)
Рис. 3.6. К приведению массы главного шатуна КШМ сочлененного типа
84 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
^Ш.П	Ш J + Wnp J ’
— \л П 1 гм а %1К — Ш т + ^пр т •
(3.8)
Здесь zwnp - масса прицепного шатуна, отнесенная к главному; распределение массы прицепного шатуна обычно производится тем же методом, что и для симметричного шатуна по формулам (3.6).
Момент инерции /мод двухмассовой модели шатуна вычисляется по формуле
МОД |/ш.П + кАп.К •	(3.9)
Двухмассовая модель шатуна может быть динамической (т.е. удовлетворяющей всем условиям МЗМ), если истинный момент инерции шатуна равен /мод, что осуществляется на практике далеко не всегда.
3.4.	УТОЧНЕННЫЕ МОДЕЛИ ШАТУНОВ КШМ
Для двигателей, имеющих в составе КШМ шатуны с малой массой и (или) работающих с малыми частотами вращения коленчатых валов, до последнего времени рассматривались как вполне удовлетворительные двухмассовые статические модели. Этому способствовало также то обстоятельство, что алгоритмы расчета с использованием упомянутых выше трехмассовых моделей практически не были разработаны, что объяснялось ранее их сложностью, связанной с необходимостью анализа кинематики точки, в которой располагалась третья замещающая масса ту (рис. 3.5, б). Данное обстоятельство в настоящее время с учетом современного развития вычислительной техники следует считать несущественным.
В прежние годы уже были выявлены случаи, когда использование двухмассовых моделей становилось недопустимым вследст
УТОЧНЕННЫЕ МОДЕЛИ ШАТУНОВ КШМ
85
вие роста погрешности в расчетах динамики1 двигателей ряда конструкций [13, 14]. К числу последних относятся, в частности, двигатели с короткими несимметричными шатунами, а также звездообразные дизели типа 42ЧСПН 16/17 и 56ЧСПН 16/17, масса главных шатунов которых достигает 20 кг, что при частоте вращения коленчатого вала п = 2000 мин'1 обусловливает значительные по величине силы инерции, в 2 раза превышающие значения сил инерции авиационных бензиновых двигателей конца 40-х - начала 50-х гг. XX в. То же относится и к ряду некоторых W- и V-образ-ных дизелей.
С целью обеспечения корректности расчетов предложены различные уточненные динамические модели шатунов. Часть из них описана в упомянутой выше статье [38]. Одним из первых на существование этой проблемы обратил внимание, по-видимому, проф. И.Ш. Нейман еще в середине 30-х гг. XX в. В более поздние годы разработкой динамических моделей активно занимались проф. П.А. Истомин и его ученики. Так, В.В. Котляровым [46] предложена показанная на рис. 3.7 уточненная модель шатуна КШМ, рекомендованная им для динамического расчета многорядных двигателей.
Модель выполнена в виде стержня, масса которого сосредоточена в центре масс шатуна S. В точке / приложена равнодействующая тангенциальных сил инерции массы шатуна; эта точка названа В.В. Котляровым центром качания шатуна, так как ее координата lt равна приведенной длине физического маятника, осью качания которого является ось А поршневой головки. Величина lf определяется по формуле
/ =	/
Ч > X»	ЧИП’
^шл
где Is - собственный момент инерции, М- масса шатуна.
1 Значения нормальной силы, действующей на боковую поверхность поршня и стержень главного шатуна двигателей 42ЧСПН 16/17 и 56ЧСПН 16/17, при расчетах с использованием двухмассовых моделей шатуна определяются с погрешностью до 30 %.
86 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.7. Динамическая модель шатуна, предложенная В.В. Котляровым
В.В. Котляровым показано, что шатуны большинства двигателей можно разделить на три группы в зависимости от величины отношения /,/£: первая группа соответствует /,/£ < 1; вторая -IJL= 1; третья - 1,1 L> 1. Предпочтительны с точки зрения уменьшения нагруженности деталей цилиндро-поршневой группы боковыми усилиями и стержня шатуна изгибающими усилиями шатуны 2-й группы (на практике встречаются относительно редко). Для шатунов 1-й группы, по мнению В.В. Котлярова, возможно использование простых статических двухмассовых моделей, а для шатунов 3-й группы последнее недопустимо.
Авторы упомянутых выше работ прибегали к введению в состав динамической модели шатунов фиктивных (дополнительных) моментов инерции. При этом двухмассовая модель шатуна с величинами замещающих масс, выражаемых формулами (3.7) и обладающая помимо собственного момента инерции, определяемого по формуле (3.9), дополнительным моментом инерции, становится динамической.
Величина дополнительного момента инерции шатуна выражается равенством (рис. 3.5, в)
Люп “Ли - Амоя ~ ш	П All II “’,WUI.K’|I1 К •	(э.Ю)
у гочиишьп-: молкли шатунов kiiim
87
При движении шатуна с угловым ускорением е он испытывает действие дополнительной пары сил инерции, момент которой равен
М =	/
7 J;ion °ш доп •
(3.11)
Введение в состав модели дополнительного момента инерции (или другие способы придания ей характера динамической модели) влияет на точность последующего силового анализа. В качестве примера ниже приводится расчет боковой силы /V, действующей со стороны поршня на стенку цилиндра, с использованием статической и динамической моделей шатуна (рис. 3.8).
Рис. 3.8. К определению сил в КШМ при использовании статической (а) и динамической (6) моделей шатуна
88 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Найдем боковую силу N, если на поршень в некоторый момент времени действует суммарная движущая сила Вычисления проведем в системе координат Аху, связанной с шатуном; при этом будем иметь в виду, что кривошипная головка шатуна присоединена к шатунной шейке коленчатого вала цилиндрическим шарниром, в связи с чем реакция в этой кинематической паре А имеет две составляющие - ХА и YA. Указанную силу N найдем из уравнения моментов сил, действующих на шатун, относительно точки А (истинное направление составляющих реакции в этой кинематической паре - вдоль радиуса кривошипа и по касательной к окружности, описываемой точкой А - в нашем расчете не имеет значения). Если используется простейшая статическая двухмассовая модель шатуна, то такое уравнение принимает вид
AT cos Р + Рх L sin Р = 0,
откуда
7V = -Pj;tgP.
При использовании динамической двухмассовой модели шатуна с дополнительным моментом инерции, величина которого определена в соответствии с равенством (3.10), следует учесть наличие дополнительного инерционного момента, возникающего вследствие движения шатуна с угловым ускорением [см. (3.11)]. Тогда уравнение равновесия запишется в виде
ATcosP + PLZsinP-A/Aon =0,
а боковая сила N определится по формуле
М
N =---Доп__р t р
Zcosp 1
Различия значений боковой силы в КШМ, вычисленной по простейшей и двухмассовой динамической моделям шатуна могут быть как незначительными (рис. 3.9), так и существенными
УТОЧНЕННЫЕ МОДЕЛИ ШАТУНОВ КШМ
89
М МПа
Рис. 3.9. Боковая сила в КШМ, определенная с использованием различных двухмассовых моделей шатуна: -----------статическая модель; -динамическая модель
(известны случаи, когда изменялся даже вид кривой N =/(а) -имело место иное число перекладок поршня и пр.). Погрешность расчета сил в КШМ зависит от величины дополнительного момента инерции шатуна. Последняя, в свою очередь, определяется геометрической формой шатуна и распределением материала в объеме детали. Установлено, что для коротких и несимметричных шатунов упомянутая погрешность расчета увеличивается. Значения дополнительных моментов инерции для шатунов некоторых современных автомобильных двигателей приведены в табл. 3.1. Представленные здесь двигатели ЯМЗ-840, КамАЗ-740 и ЗИЛ-645 имеют шатуны практически одинаковой топологической схемы, длина которых уменьшается в упомянутой последовательности. Шатун двигателя ЯМЗ-238 отличается несимметричностью вследствие наличия косого разъема кривошипной головки.
90 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
3.1. Параметры динамических моделей шатунов некоторых ДВС
Параметры	ЯМЗ-840	КамАЗ-740	ЗИЛ-645	ЯМЗ-238
Истинный момент инерции, кг- м2	0,073	0,034	0,018	0,063
Момент инерции статической модели, кг- м2	0,081	0,039	0,021	0,076
Дополнительный момент инерции в динамической модели, кг- м2	0,008	0,005	0,003	0,013
То же, в % к истинному значению	10,950	14,700	17,980	20,630
Максимальное угловое ускорение шатуна, рад/С	20 034,9	24 475,3	13 242,3	15 266,6
Максимальное значение момента Л/доп, Н • м	122,133	100,174	78,321	172,150
3.5. ПРИВЕДЕНИЕ МАСС ЗВЕНЬЕВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЕХАНИЗМА
Рассмотрим для примера определение параметров дискретной многомассовой модели качающейся шайбы пространственного преобразующего механизма АПД, общий вид которой дан на рис. 3.2.
Вопрос об определении инерционных параметров звеньев пространственных преобразующих механизмов является весьма сложным и вполне самостоятельным. Однако принципы разработки дискретных моделей звеньев таких механизмов, основывающиеся на МЗМ, весьма схожи с рассмотренными выше приемами моделирования звеньев плоских механизмов. Прежде всего следует принять состав модели (число и расположение замещающих масс). В ранее предлагавшихся разными авторами моделях звеньев пространственных механизмов АПД наблюдается достаточно за
ПРИВЕДЕНИЕ МАСС ЗВЕНЬЕВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЕХАНИЗМА 91
метное разнообразие. Так, В.Н. Яровой [105, 106] рекомендовал аппроксимировать детали сочленения поршней, шатунов и шайбы одной - двумя точечными массами, а саму шайбу считать плоским диском, располагающимся над центром механизма. С.А. Бершадским [11] рекомендовано принимать, что вдоль оси цилиндра движется вся масса шатуна, а в перпендикулярной плоскости - лишь 0,7 этой массы и т.п. Эти обстоятельства нередко приводили к тому, что инерционные характеристики качающихся шайб при силовом анализе АПД учитывались весьма приближенно. Некоторая систематизация предыдущего опыта моделирования звеньев пространственных механизмов АПД и разработка основ построения их динамических моделей предпринята в [53].
Остановимся более подробно на разработке динамической модели шайбы. Для и-цилиндрового двигателя шайба с массой Ms аппроксимируется массами тЕ и •, располагающимися в точках Bj прицепа шатунов к шайбе; центре Е кривошипного подшипника и центре масс С шайбы (рис. 3.10). Такая система замещающих масс обладает, помимо собственных, дополнительными моментами инерции 0д относительно координатных осей ОЕ, и Ог| - 0д^ и 0дп. Условия МЗМ в этом случае принимают вид
/?2 птв =I.Z-,
тС + тЕ +п тв~ Щ', тс с + тЕ Н + и твС,в -Ms с;
тЕ Н1 + тс с2 + w#Xfrl£/ +
тЕ +тС °2
+ 0 -/ *	(3J2)
где /пп, - моменты инерции шайбы относительно координатных осей; с - координата z центра масс шайбы; Н - координата z центра кривошипного подшипника шайбы; Ri - радиус шайбы;
- координата точки Bj в связанной с качающейся шайбой сис
теме.
92 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.10. К расчету параметров динамической модели качающейся шайбы
Решая систему (3.12). получим
[ 1РИВЕДЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЕОБРАЗУЮЩЕГО МЕХАНИЗМА 93
Предварительно необходимо определить моменты инерции шайбы относительно ее осей. Это может осложняться (при использовании расчетных методов) наличием у шайбы ребер жесткости, различных технологических приливов, крепежных элементов и пр. Применение средств трехмерной графики устраняет этот недостаток.
Так же как и при плоском движении, наличие 0д приводит к появлению дополнительных инерционных моментов
ду — _Q р •
1V1JX
jy ~ ~®иуу£У ’
где 8Х, гу - угловые ускорения шайбы относительно неподвижных координатных осей; 0ЯГГ, 0;w, - дополнительные моменты инерции шайбы относительно тех же осей.
При малых значениях координаты с центра масс шайбы, характерных для реализованных конструкций АПД, величина центробежных моментов инерции шайбы более чем в 15 раз меньше осевых моментов инерции, вследствие чего при практических расчетах ими можно пренебречь.
Если АПД снабжен показанной на рис. 3.11 качающейся шайбой, то учет ее дополнительных моментов инерции может способствовать значительному уточнению расчетов, поскольку на корпус двигателя в этом случае будет действовать инерционный момент (рис. 3.12), наличие которого не учитывается в ходе упрощенных расчетов.
3.6. ПРИВЕДЕННЫЙ К ОСИ ВРАЩЕНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЕОБРАЗУЮЩЕГО МЕХАНИЗМА
В некоторых разделах динамического расчета двигателя (крутильные колебания, равномерность хода и пр.) требуется знание приведенного к оси вращения коленчатого вала момента инерции преобразующего механизма. Основанием для такого приведения является равенство кинетической энергии реального тела и его модели.
94 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
0140
0100
R200
R210
R250
Рис. 3.11. Эскиз качающейся шайбы АПД (пример)
Рис. 3.12. Изменение инерционного момента, обусловленного дополнительными моментами инерции шайбы, движущейся с угловыми ускорениями (пример):
—------дуговое движение; —О---прецессия
ПРИВЕДЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЕОБРАЗУЮЩЕГО МЕХАНИЗМА 95
Известно, что в общем случае для произвольного пространственного механизма, составленного из п твердых тел, приведенный к некоторой точке или оси момент инерции выражается формулой
(3-14)
где 0XJt, 0v>, 0~ - масса, сосредоточенная в центре масс, и моменты инерции /-го звена относительно осей неподвижной системы; Vs, (Oj, от - линейная скорость поступательного движения центра масс и угловые скорости /-го звена относительно координатных осей; со - угловая скорость вала.
Применительно к преобразующим механизмам двигателей эта формула упрощается. Так, для звеньев плоского механизма учитываются только моменты инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, в которой движутся эти звенья; ряд звеньев не участвует в поступательном движении и пр.
В двигателестроении принято приводить момент инерции преобразующего механизма к оси вращения коленчатого вала.
Для плоских механизмов формула (3.14) принимает вид
(3.15)
Здесь тп/, тш/ - массы поршня и шатуна КШМ; /щ~ - момент инерции шатуна относительно оси z, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через его центр масс; /кв - момент инерции коленчатого вала; - момент инерции звеньев, приводимых во вращение от коленчатого вала; V - скорости поршней; Кш/ -скорости центров масс шатунов; соШ7 - угловые скорости шатунов в их относительном вращательном движении относительно указан
96 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ной оси, перпендикулярной плоскости движения шатунов; coIU -истинные угловые скорости приводимых от коленчатого вала двигателя звеньев.
Поскольку в КШМ массы шатунов приводятся к поршневой и кривошипной головкам, совершающим поступательное и вращательное движения, формула (3.15) упрощается и принимает вид
/=1
™ПДМ/
п
/=1
(3.15 а)
Здесь /ш к, - момент инерции z-й массы шатуна, приводимой к кривошипу коленчатого вала.
Если рассматривается приведенный момент инерции собственно КШМ (на начальных стадиях проектирования моменты инерции приводимых от коленчатого вала деталей определить достаточно сложно), то последнее слагаемое в формуле (3.15, а) не учитывается. Для плоских механизмов, отличных от КШМ, при приведении к оси вращения вала момента инерции следует пользоваться более общей формулой (3.15).
Определение момента инерции ПДМ /Пдм основано на допущении равенства кинетической энергии ПДМ и некоторой условной массы, вращающейся вместе с коленчатым валом на шатунной шейке, т.е.
2	2	22/	\ 2	22
Ллдм03 ^пдм^ ^пдм^ 03 | . X | ^пдм^ 03 — -----= — -----= —-------- sina + — sin2а =— -------
2	2	2	2	2
где множитель t = sin а +—sin 2а 2
можно рассматривать как ана-
лог кинетической энергии ПДМ.
Поскольку скорость поршня является переменной по углу поворота коленчатого вала, кинетическая энергия ПДМ также переменна (рис. 3.13).
ПРИВЕДЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЕОБРАЗУЮЩЕГО МЕХАНИЗМА 97
Рис. 3.13. Зависимость аналога кинетической энергии ПДМ от угла поворота коленчатого вала
Определяя среднюю за оборот коленчатого вала величину кинетической энергии ПДМ
2л
ГТб/СС	2 2 7	2 2
- _ о _ ^пдм^ 03 г . _	(0
ср' 2л 4л J	4л ср
4л
и приравнивая ее значению кинетической энергии упомянутой выше условной массы, окончательно найдем
Л1ДМ = ^ПДМ ^ср-	(3.16)
Средняя величина /ср аналога кинетической энергии ПДМ зависит от значений постоянной КШМ X. Эта зависимость, аппроксимированная полиномом 2-й степени
/ср = 0,50242 - 0,01886 X + 0,18771 V,
для наиболее употребительных величин X приведена на рис. 3.14.
4 — 8013
98 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.14. К расчету приведенного к оси вращения коленчатого вала момента инерции ПДМ
В ряде предыдущих изданий приводятся упрощенные форму-
лы для расчета приведенного к оси вращения коленчатого вала момента инерции ПДМ. Так, формула проф. К.Г. Попыка [74] имеет вид1
Л1ДМ -
1
Т^ПДМ
(3.16 а)
1 Строго говоря, в [74] дана формула для расчета условной вращающейся массы ПДМ тп, которая обладает той же кинетической энергией, что и
ПДМ,

^пдм 2
ПРИВЕДЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЕОБРАЗУЮЩЕГО МЕХАНИЗМА 99
проф. П.А. Истоминым [35] приведена формула
т _ ^ПДМ^2
1 ПДМ -	7 — •
Рассмотрим расчет момента инерции коленчатого вала КШМ. Он складывается из моментов инерции шатунной и коренной шеек, а также щек
К.В * К.Ш + Ш.Ш +	•
(3.17)
При отсутствии в момент расчета необходимых данных по геометрии коленчатого вала допускается принять их ориентировочные значения в соответствии с таковыми для двигателя-прототипа. Существуют также статистические данные (см., например, [21]) о конструктивных соотношениях коленчатых валов (рис. 3.15, табл. 3.2).
Моменты инерции элементов кривошипа вала определяются по формулам:
^к ш “(^р)к.ш^кшР’
2
Л11Ш ~ (^/?)ш.шЛ шР ^Ш.Ш^ ’
/	= m R2-	<3-17)
*Ш.К Ш.К ’
.	_ ™ПДМ^2
7 пдм ~	~	’
/ т \	_ f г\4   j4	,
/г \	_ (/~)4  л4
/ш.ш — 32 ш ш у’
где (/Див (Л)шш - полярные моменты сопротивления сечений коренной и шатунной шеек кручению; тишш - масса шатунной шейки; R - радиус кривошипа вала; /ипдм, ^шк - массы поступательно движущихся частей и шатуна, приведенная к кривошипу; р -плотность материала вала (для сталей и чугуна р = 7810 кг/м3); п -число ПДМ и шатунов, соединяемых с одной шатунной шейкой коленчатого вала (в рядном двигателе п - 1; в V-образном - п = 2).
4*
Рис. 3.15. К расчету инерционных характеристик кривошипа коленчатого вала
100 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПРИВЕДЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЕОБРАЗУЮЩЕГО МЕХАНИЗМА >о 1
3.2. Соотношения для коленчатых валов транспортных двигателей
Тип, назначение двигателя	L D	ш D	D	h Dw III	В in	
Судовые и тепловозные высокооборотные дизели	1,1-1,6	0,6 - 0,8	0,6 - 0,9	0,3 - 0,5		1,45-2,0
Автомобильные дизели	1,1-1,4	0,6 - 0,85	0,7- 1,0	0,2 - 0,35		1,45-2,0
Малооборотные судовые и стационарные дизели	1,5 - 1,8	0,56 - 0,75	0,6-0,8	0,45 - 0,55	1,3- 1,6	
Бензиновые, газовые двигатели	1,1-1,5	0,5 - 0,65	0,6 - 0,75	0,15-0,35	—	
Примечания: D - диаметр цилиндра; L = Лкш + длина пролета кривошипа; диаметры внутренних отверстий равны 0,4 - 0,5 (быстроходные высокооборотные ДВС) и 0,5 лооборотные ДВС) соответствующих внешних диаметров.						ш + 2Л -в шейках - 0,8 (ма-
Момент инерции щеки определяется графоаналитически, если щека не может быть уподоблена телу правильной геометрической формы (рис. 3.16).
Щека разбивается на N объемов в форме кольцевых секторов с углом 0, радиусом шириной Дг, и толщиной ht; момент инерции сектора равен
180	'
(3.18)
102 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.16. К определению момента инерции щеки кривошипа графоаналитическим методом
Вычисленные таким образом моменты инерции секторов
складываются
(3.18<7)
Более точное определение момента инерции щеки коленчатого вала может быть выполнено при использовании средств машинной ЗО-графики.
Момент инерции маховика /мах (рис. 3.17) определяют как сумму моментов инерции его составных частей - ступицы, обода и диска, каждая из которых уподобляется цилиндрической детали
мах

»4
-^2
-</34)/,]. (3.19)
Помимо рассмотренного способа определения моментов инерции звеньев КШМ для этой же цели существуют эмпирические формулы. Одна из таких формул предложена В.С. Картером
ПРИВЕДЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЕОБРАЗУЮЩЕГО МЕХАНИЗМА ЮЗ
Рис. 3.17. Определение момента инерции маховика двигателя
КШМ
[(1 + к^Мш + Л/п],
к
2
2
где к = /77ш к / М1Ц.
Расчеты дают постоянное значение приведенного к оси вращения коленчатого вала момента инерции КШМ; в действительности его величина является переменной, что способно обусловливать возникновение параметрических колебаний и т.п. явлений. Аналогичное явление присуще и другим типам преобразующих механизмов поршневых двигателей. Динамические расчеты с учетом этой переменности приведенного момента инерции широкого распространения в инженерной практике еще не получили1.
1 Подобные работы были выполнены, в частности, проф. П.А. Истоминым и канд. техн, наук М.М. Сорочкиным еще в конце 70-х - начале 80-х гг. XX в. Позднее [64] было показано общее решение задачи исследования КШМ на основании составления и решения уравнений Лагранжа 2-го рода, в ходе которого функция приведенного момента инерции описывается гармоническим рядом Фурье; при этом отмечалось, что вынужденное (по соображениям возможности практической реализации расчета) пренебрежение высшими гармониками в таком описании существенно снижает точность расчета, а потому применимость такого решения ограничивается.
104 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
3.7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНЕРЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ЗВЕНЬЕВ КШМ
Рассмотрим экспериментальные методы, наиболее часто применяемые в двигателестроении.
Метод взвешивания применяется для определения в явном виде приведенных масс поршня в сборе и шатуна. В последнем случае по результатам замера приведенных масс могут быть вычислены координата центра масс стержня и момент инерции модели.
Для проведения опыта необходимы весы, штатив с подвижной опорой, разновесы, штангенциркуль. Схема опыта показана на рис. 3.18. Необходимо установить одну из головок шатуна на весах, а вторую при помощи штатива расположить таким образом, чтобы ось стержня была горизонтальной. Приведя с помощью разновесов весы в равновесие, определить значение массы модели, приводимой к головке, лежащей на весах. Вторая замещающая масса определяется аналогично.
Положение центра масс определяется по формулам, выводимым из (3.7),
/	_	г .
411 П ”	. z Ь ’
мш
/	~”1ш ' I
Рис. 3.18. Определение замещающих масс шатуна методом взвешивания:
1 - испытуемый шатун; 2 - весы; 3 - разновесы; 4 - опора штатива
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ЗВЕНЬЕВ КШМ Ю5
Определенные взвешиванием и последующим расчетом замещающие массы и положение центра масс позволяют определить момент инерции модели шатуна (формула 3.9), который, главным образом, отличается от истинного значения (см. табл. 3.3).
Графоаналитический метод (метод веревочного многоугольника) позволяет, по крайней мере приближенно, определить параметры модели тела при наличии только чертежа. Ранее метод был достаточно широко распространен для определения параметров моделей шатунов, в настоящее время с учетом внедрения в практику методов машинной графики его значение и применяемость уменьшаются.
При использовании метода веревочного многоугольника предварительно следует схематично (с учетом пропорций и масштаба) изобразить шатун (рис. 3.19), представив его в виде совокупности тел правильной геометрической формы, положение центров масс которых известно - параллелепипедов, призм, цилиндров и пр. В расчетную схему, как правило, вносятся различные упрощения (игнорируются или представляются в виде треугольников радиусные скругления, не учитываются мелкие отверстия и пр.). По реальным размерам детали расчетом определяются массы всех составных частей.
После вычисления масс составных частей шатуна нужно построить вертикальные линии, проходящие через их центры масс. На рис. 3.19 для наглядности на таких линиях изображены масштабированные векторы Gl, G2 и т.д., длина которых пропорциональна массе каждой составной части.
Затем строится силовой многоугольник О-Н-1-2-3-4-5\ он показан в правой нижней части рисунка. Из произвольно выбранного полюса О через начальные и конечные точки векторов силового многоугольника проводятся лучи ОН, О1, 02 и т.д.
Далее на вертикальной линии G1 выбирается произвольная точка 7, через которую проводится прямая 7-2, параллельная лучу 07 силового многоугольника. Через полученную точку 2 на вертикальной линии G2 далее проводится прямая 2-2, параллельная лучу 02 силового многоугольника до пересечения с вертикальной линией G3. Аналогично строятся линии 2-3; 3-4.
106 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.19. Построение веревочного и силового многоугольников
Впоследствии через начальную точку 1 и конечную точку 4 веревочного многоугольника строятся линии 1-С и 4-С, соответственно параллельные лучам ОН и 05 силового многоугольника, пересекающиеся в точке С. Через эту точку строится вертикальная прямая С-С, пересекающая горизонтальную ось симметрии шатуна в центре масс последнего.
Зная массу шатуна, положение его центра масс (и, следовательно, значения /ш п и /ш>к), с помощью формул (3.8) могут быть найдены замещающие массы и момент инерции модели.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ЗВЕНЬЕВ КШМ Ю7
Метод качаний позволяет найти истинное значение момента инерции шатуна и положение его центра масс. Момент инерции определяют из формулы для расчета периода малых колебаний физического маятника
(3.20)
где I - момент инерции маятника относительно оси подвеса (качания); g = 9,81 м/с2 - ускорение свободного падения; / - расстояние от точки подвеса до центра масс маятника; Мш - масса шатуна.
При проведении опыта шатун подвешивается на призме за одну из головок (например, А) и отклоняется от равновесного положения на малый угол, после чего он начинает совершать колебательные движения (рис. 3.20). Следует определить период колебаний ТА или число полных колебаний в минуту пА. Затем опыт повторяется при условии, что шатун подвешен за другую головку 5; определяются период колебаний Тв или число колебаний в минуту пв. Зная массу шатуна Л/ш, можно определить моменты инерции шатуна в каждом из этих случаев по формулам:
т - ^A^uiSh .
*А л 2	’
4л
(3-21)
В “	Т~2
4л
где Z| и /2 - расстояния от точек подвеса А и В до центра масс шатуна.
Если измерялись значения чисел колебаний в минуту, моменты инерции шатуна определятся по формулам
_ 302Л/ш^.
1А ~
2 2
Л пА
В 2 2
Л пв
108 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рис. 3.20. К определению параметров модели шатуна методом качаний
Поскольку /| + Z2 = /3 (Z3 - расстояние между точками подвеса А и В\ для определения одного из расстояний от точки подвеса до центра масс шатуна получаем формулу
2	2
”а+”В
2 2
”а”В
(3.23)
-2/3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ЗВЕНЬЕВ КШМ 109
Момент инерции шатуна относительно центра масс (ЦМ) 1С при известных 1А или массе Мш и найденных /1 или /2 может быть определен по теореме Штейнера

(3.24)
Метод бифилярного подвеса применяется, главным образом, для определения моментов инерции тел относительно осей их вращения. Испытуемая деталь массой т (рис. 3.21) подвешивается на двух нерастяжимых нитях одинаковой длины /, расстояние между которыми равно а. Ось 1-1 детали, на которой располагается центр масс, может совпадать с ее осью вращения 0-0 или проходить параллельно последней на расстоянии Ь.
При проведении опыта нити подвеса скручиваются, и деталь
начинает совершать вращательные колебательные движения относительно оси вращения 0-0. Определив период Т этих колебаний,
по формуле
2	2
j^T mga—mb2 (3 16л/
находят момент инерции детали относительно оси вращения.
Существуют и другие схемы опытов с бифилярными подвесами (см., например, [88]).
В табл. 3.3 приведены результаты определения разными способами параметров моделей шатунов некоторых современных автомобильных двигателей; читатели имеют возможность оценить эффективность применения этих методов.
Рис. 3.21. Бифилярный подвес
11 о ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
3.3. Параметры моделей шатунов двигателей, определенные различными методами
Параметры моделей шатунов	Двигатели			
	ЯМЗ-238	ЯМЗ-840	КамАЗ-740	ЗИЛ-645
Масса шатуна, кг	4,25	4,95	3,23	2,05
Масса тш п, кг: метод взвешивания	1,714	2,0	1,115	0,837
метод качаний	1,811	1,650	1,148	0,716
графоаналитический метод	1,270	1,450	0,930	0,690
То же, в % к полной массе: метод взвешивания	40,3	40,4	34,5	40,8
метод качаний	42,6	33,3	35,5	34,9
графоаналитический метод	30,0	29,3	28,8	33,7
Масса /иш к, кг: метод взвешивания	2,536	2,950	2,115	1,233
метод качаний	2,439	3,300	2,082	1,334
графоаналитический метод	2,980	3,500	2,500	1,360
То же, в % к полной массе: метод взвешивания	59,7	59,6	65,5	59,2
метод качаний	57,4	66,7	64,5	65,1
графоаналитический метод	70,0	70,7	71,2	66,3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ЗВЕНЬЕВ КШМ j ] ]
Продолжение табл. 3.3
Параметры моделей шатунов	Двигатели			
	ЯМЗ-238	ЯМЗ-840	КамАЗ-740	ЗИЛ-645
Длина шатуна Z, м	0,265	0,275	0,230	0,210
Длина 7ШП, м: метод взвешивания	0,158	0,185	0,159	0,148
метод качаний	0,168	0,183	0,154	0,138
графоаналитический метод	0,174	0,188	0,160	0,144
Длина/ш к, м: метод взвешивания	0,107	0,090	0,071	0,362
метод качаний	0,097	0,092	0,076	0,072
графоаналитический метод	0,091	0,087	0,070	0,066
Момент инерции, кг- м2: метод взвешивания	0,076	0,083	0,039	0,021
метод качаний	0,063	0,073	0,034	0,018
графоаналитический метод	0,088	0,089	0,037	0,017
4.	СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
4.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. РАСЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ
В преобразующем механизме поршневых двигателей действуют силы, имеющие самую различную физическую природу. В классической динамике ДВС, как правило, рассматривают силы тяжести, силы инерции, развиваемые подвижными звеньями, и так называемые газовые силы, воздействующие на поршень и далее на детали механизма вследствие расширения в цилиндре продуктов сгорания топлива. При динамических расчетах двигателей конкретных типов учитывают не все названные группы сил. К примеру, при расчете тяжелых судовых МОД зачастую не учитывают силы инерции, развиваемые подвижными звеньями, вследствие малых значений ускорений или учитывают их наравне с силами тяжести звеньев. При расчетах высокооборотных форсированных двигателей не учитывают силы тяжести.
Силы инерции возникают вследствие движения звеньев КШМ, обладающих массой, с ускорениями. Если модель КШМ в простейшем случае содержит ПДМ и НВМ, сосредотачиваемые на осях соответственно поршневого пальца и шатунной шейки коленчатого вала, то возникают силы инерции ПДМ Р7пдм и центробежные силы инерции НВМ Снвм, определяемые по формулам (рис. 4.1)
Лпдм = Pji +pj2 = -wnflM^=-WnflM7?<o2(cosa + Xcos2a); (4.1)
£'нвм =^НВМЛс°2 •	(4-2)
Сила инерции ПДМ, как и ускорение поршня, включает составляющие 1-го и 2-го порядков PJ} и Р}2 (рис. 4.2)
Pj} =-гиПдМЯсо2 cosot; Pj2 =-/лПдМ7?со2Хсо5 2а .	(4.3)
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. РАСЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ
113
При современных значениях уровней форсирования двигателей силы инерции ПДМ достигают значительных величин. Так, при частоте вращения коленчатого вала дизеля ЯМЗ-8421 (12ЧН^), равной 2300 мин1, массе ПДМ Юпдм = = 4,663 кг и длине шатуна L = 0,275 м его ПДМ развивает силу инерции, модуль максимального значения которой достигает 23,75 кН.
Рис. 4.1. Силы инерции в КШМ
Рис. 4.2. Составляющие 1-го и 2-го порядков силы инерции ПДМ дизеля ЯМЗ-8421:
--□----Pj\\  О-----Pj2,  А----Р/ПДМ
114
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
4.2.	РАСЧЕТ ГАЗОВОЙ СИЛЫ
Наиболее точно зависимость газовой силы от угла поворота коленчатого вала Ргаз = /(ос) - так называемая индикаторная диаграмма - может быть получена экспериментально при индициро-вании двигателя. Все известные методики расчета этой зависимости являются приближенными. Ранее широко практиковалось преобразование свернутой индикаторной диаграммы Ргаз = /(S) графоаналитическим методом Брикса [74]. В более поздние годы в расчетную практику были внедрены аналитические расчеты искомой зависимости [95], основанные на представлении процессов сжатия и расширения рабочего тела политропами.
В последнем случае рабочий цикл 4-тактного двигателя рассматривается как совокупность четырех процессов, в течение которых давление газов в цилиндре изменяется по приведенным в табл. 4.1 законам.
4.1. К расчету развернутой индикаторной диаграммы
двигателя
Процесс	Диапазон значений угла поворота коленчатого вала	Расчетная формула Лаз =/(а)		
Впуск	0... 180°	Ргаз ~ Рк ~ ^Р ~ Const		
Сжатие	180... 360°	Ргаз	Рс + ^0	«I
Расширение	360... 540°	Ргаз ""	Pz ^+soy < р5° >	и2
Выпуск	540... 720°	Ргаз Pb COnSt		
РАСЧЕТ ГАЗОВОЙ СИЛЫ
115
В табл. 4.1 применены следующие обозначения:
р2 - максимальное давление сгорания; рс - давление в конце процесса сжатия; р: - давление в конце процесса расширения; So -условное значение хода поршня, соответствующее величине невы-тесняемого («мертвого») объема; вычисляется по формуле
- г ’	И-4)
Е-1
8 - степень сжатия двигателя; Др - потери давления, обусловленные аэродинамическими сопротивлениями впускной системы (трубопроводом, впускным каналом и клапанами); допускается принимать эту величину равной 0,002 ... 0,005 МПа; 5 - текущее перемещение движения поршня, определенное ранее в ходе кинематического расчета.
Результаты расчетов по формулам, приведенным в табл. 4.1, нуждаются в корректировке. Для дизелей, как правило, максимальное значение расчетного давления в цилиндре оказывается выше заданной величины pz. Значения давления при а = 180° и а = 540°, рассчитанные по формулам в ходе процессов наполнения и сжатия, а также расширения и выпуска, различаются между собой. Также различаются значения давления в точке а = 360° (этот момент времени служит геометрическим концом сжатия и началом расширения - см. точки 1 и 2 на рис. 4.3).
Указанная корректировка в простейшем случае связана с вычислением новых значений давления по формулам
/ п ч _ ^газ)18о-_да + (Лаз)18р°+Да .	...
^газ/18оэ	2	’	V '
/„ ч _ ^газ)540°-Да +^газ)540°+Да	/д с „ч
(Ргаз )540’ "---------3’	(4 5
где Да - принятый шаг расчета (для обеспечения точности расчета рекомендуется в области ВМТ выбирать его по возможности меньшим; применение программных средств позволяет выполнять расчет с предельно малым шагом по углу поворота коленчатого вала).
116
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Рис. 4.3. Предварительное построение развернутой индикаторной диаграммы
Для а = 360° вычисляется значение Рвмь
Рвмт ~
(4.5 б)
Для дизелей максимальное давление в цилиндре ограничивается величиной Р, (хотя расчет Ргаз по формулам табл.4.1 для некоторых близких к 360° значений угла поворота вала может дать большие значения Ргаз).
Аналогичная корректировка производится для угла поворота коленчатого вала а = 540°.
Максимальное давление в цилиндре бензинового двигателя ограничивается ординатой /?тах = 0,85/х.
РАСЧЕТ ГАЗОВОЙ СИЛЫ
117
В течение рабочего цикла 2-тактного двигателя давление газов в цилиндре рассчитывается по зависимостям, данным в табл. 4.2. Началом процесса (а = 0) считается момент времени, когда поршень находится в ВМТ в начале процесса расширения.
Помимо корректировки индикаторной диаграммы в окрестности ВМТ поршня, что осуществляется аналогично такому действию при а = 360° для 4-тактного двигателя, в данном случае следует ввести корректировку, связанную с наличием продувки. В течении этого процесса, протекающего в области НМТ, давление в цилиндре 2-тактного ДВС принимается постоянным и равным давлению рпр продувки (рис. 4.4). Для осуществления этой корректировки необходимо найти значения углов поворота коленчатого вала, соответствующих моментам открытия и закрытия окон (см. точки А и В на рис. 4.4).
В связи с наличием продувочных окон высотой 5П активный ход 5а1СГ поршня 2-тактного двигателя (в течение которого производится полезная работа) меньше геометрического ЗУеом (рис. 4.5). Отношение хп = Sn / Sre0M называют долей потерянного хода.
4.2. К расчету индикаторной диаграммы 2-тактного двигателя
Процесс	Диапазон изменения угла поворота коленчатого вала	Значение давления praj в цилиндре		
Расширение	0... 180°	Ргаз	Pz k ps° >	"2
Сжатие	180 ...360°	Ргаз	Pc <	J	"l
118
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Рис. 4.5. К построению индикаторной диаграммы 2-тактного двигателя
СУММАРНАЯ ДВИЖУЩАЯ СИЛА
119
При корректировке индикаторной диаграммы первоначально определяют величину активного хода
(1-хп) = 2/?(1-хп).
(4-6)
Из уравнения (2.4) для расчета текущих значений перемещения поршня при подстановке в его левую часть значения 5агг найдем значение угла поворота коленчатого вала а , соответствующего моменту открытия продувочных окон
(4.6 а)
Найденная величина а* откладывается от начала координатной оси углов поворота коленчатого вала в направлении координаты а = 180° (см. рис. 4.4), после чего определяется точка А; точка В располагается к ней симметрично по отношению к координате а = 180°.
Развернутые индикаторные диаграммы 2-тактного и 4-тактного двигателей даны на рис. 4.6, 4.7.
4.3.	СУММАРНАЯ ДВИЖУЩАЯ СИЛА
Суммарная движущая сила определяется по уравнению
(4.7)
В двигателестроен и и принято вести силовой анализ не в абсолютных (Н), а в относительных единицах (МПа), определяемых как отношение абсолютных значений сил к площади поршня. Это позволяет сравнивать по уровню нагруженности, форсирования и пр. двигатели с существенно различными размерами цилиндров.
120
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Рис. 4.6. Газовая, инерционная и суммарная движущая силы в цилиндре 4-тактного двигателя:
D----Ргаз^ --О-----Р/НД\Ь --А----Ръ
Рис. 4.7. Газовая, инерционная и суммарная движущая силы в цилиндре 2-тактного двигателя:
--О-----Ргаз, -О-----Р/ПДМ; --А----РУ
СИЛЫ В КШМ
121
4.4.	СИЛЫ В КШМ
Суммарная движущая сила, действующая на поршень КШМ двигателя (считается приложенной к поршневому пальцу), вызывает появление показанных на рис. 4.8 усилий в кинематических парах механизма. Такими усилиями являются:
•	продольная сила К, действующая вдоль оси стержня шатуна; эта сила считается положительной, если она сжимает стержень шатуна;
•	тангенциальная сила Г, действующая на кривошип и создающая крутящий момент; считается положительной, если вектор создаваемого ею момента совпадает по направлению с вектором угловой скорости коленчатого вала (в этом случае вал увеличивает свою угловую скорость);
•	радиальная сила Z, действующая на кривошип вдоль радиуса; считается положительной, если она сжимает щеки коленчатого вала;
•	боковая сила N, действующая со стороны поршня на стенку цилиндра; для этой силы не оговаривается положительное направление, а ее знак на графиках следует относить к совпадению истинного направления силы с тем направлением, которое указано на чертеже (вообще о положительности силы N говорить не приходится, поскольку по своему проявлению в КШМ она всегда отрицательна, так как приводит к возрастанию трения поршня о стенку цилиндра).
Указанные силы рассчитываются по формулам (вывод формул тривиален, а потому не приводится):
N = /’ItgP;
К = -^~;
cosp
sin(a + Р)
1	п ’
cosp
-7 _ Р COS(a + Р) Z — / у--------.
cosp
(4.П)
122
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Рис. 4.8. Силы, действующие в КШМ
Если двигатель рассматривается как система абсолютно твердых тел, то силы могут быть перенесены вдоль линий их действия. Приложенная к шатунной шейке коленчатого вала сила Z переносится вдоль радиуса кривошипа (см. силу Z2 на рис. 4.8) и прикладывается далее к коренной шейке вала (этим объясняется действие силы Z на обе шейки вала и обусловливаемое этим действием их изнашивание).
СИЛЫ В КШМ
123
Тангенциальная сила Т переносится параллельно своей линии действия и прикладывается далее к коренной шейке (см. силу Т\ на рис. 4.8). Для обеспечения условия эквивалентности систем сил (исходной и вновь получаемой) при таком преобразовании к той же точке должна быть приложена сила Г2, причем Т\ = -Т2. Силы Т2 и Т образуют пару с моментом Л/кр = 77?, называемым крутящим. Этот момент передается потребителю энергии.
Если геометрически сложить силы Т\ и Z2, приложенные к коренной шейке вала, получится сила ЛГЬ которая представляется далее в виде составляющих и -N. Несложные выкладки позволяют найти момент Л/опр пары сил N (приложенной на оси поршневого пальца к стенке гильзы цилиндра) и указанной выше силы -N,
Мопр = W (Lcos0 + /?cosoc) =	tgP(Lcos[3 + /?cosoc) =
=	(Lsin£ + R tgPcosoc) =
L — sincc + R tgPcosa
COS0
iRsin(a±P)=ra cosp
Момент Л/опр равен по величине и противоположен по направлению к моменту Л/кр. Однако говорить об их взаимном уравновешивании нельзя, так как силы, образующие пары с этими моментами, приложены к разным телам: Мкр - к коленчатому валу, а Л/опр - к корпусу двигателя. Наличие переменного по величине и направлению Л7опр вредно сказывается на вибрационном и напряженно-деформированном состоянии корпуса двигателя, но это свойство присуще всем поршневым двигателям, о чем следует знать и принимать конструктивные меры по нейтрализации последствий этого воздействия.
Изменение сил, возникающих в кинематических парах КШМ 4-тактного и 2-тактного двигателей показано на рис. 4.9 - 4.12.
124
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Рис. 4.9. Изменение боковой силы /V в 4-тактном и 2-тактном двигателях при одинаковом уровне их форсирования:
—•------двухтактный ДВС; —О------четырехтактный ДВС
Рис. 4.10. Изменение продольной силы К в 4-тактном и 2-тактном двигателях при одинаковом уровне их форсирования:
—О------двухтактный ДВС; —•------четырехтактный ДВС
силы в кшм
125
О
90	180	270	360	450	540	630	720
Рис. 4.11. Изменение тангенциальной силы Т в 4-тактном и 2-тактном двигателях при одинаковом уровне их форсирования:
—О------двухтактный ДВС; —•------четырехтактный ДВС
0	90	180	270	360	450	540	630	720
Рис. 4.12. Изменение радиальной силы Z в 4-тактном и 2-тактном двигателях при одинаковом уровне их форсирования:
—О------двухтактный ДВС; —•------четырехтактный ДВС
126
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Выше было показано, что результаты расчета сил в цилиндре по формулам (4.11) являются не вполне точными, так как не учитывают реального значения момента инерции шатуна. Поскольку в гл. 3 это явление было лишь проиллюстрировано, рассмотрим этот вопрос более подробно.
4.5. СИЛЫ В КШМ С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ШАТУНА
Введем показанные на рис. 4.8 системы координат, связанные со звеньями КШМ:	- связанная с шатуном (причем ось А7^
постоянно направлена вдоль оси стержня шатуна); ЛТЬ7Ь - связанная с кривошипом коленчатого вала (ось JZB направлена вдоль щеки кривошипа). В начальный момент времени (а = 0) обе системы координат совпадали; при произвольном значении угла поворота вала а 0 между одноименными осями указанных систем координат (т.е. TR и ZB и 7Ш) углы равны (а + Р). Взаимосвязь систем координат выражается матричным равенством
cos(a + Р)
-sin(a + p)
sin(a + р) cos(a + р)
(4.12)
где [С]| - матрица направляющих косинусов систем координат;
- векторы сил, выраженных в каждой из систем ко-
ординат.
Первоначально найдем составляющие реакции в точке А в системе координат АТШ7Ш, рассматривая равновесие шатуна. Уравнения равновесия имеют вид
sin Р — У cos Р + 7"ш =0;
cosp-NsinP4-ZUJ =0;
PL £sinp4- 7VZcosP~A/AOn =0,
(4.13)
откуда
СИЛЫ В КШМ С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ШАТУНА j27
« = -P£tg0-^;
гр _ ^доп .
ш " L ’
= ^-tgP - /^(tgpsin р + COSP).
(4.13 а)
Следует иметь в виду, что силы N', Тш и Zm, определяемые уравнениями (4.13 а), приложены к шатуну. На коленчатый вал будут действовать при этом силы Т'ш и Z'ш, равные
rr>t _ ГГ> _ ^^ДОП ,
'ш ~ ш ~	’
м
= -Zm =PL(tgPsinP + cosP)----^tgp.
Lt
(4.14)
Тангенциальная и радиальная сила в системе координат, связанной с валом, при этом определяется в соответствии с формулой, аналогичной (4.12):
(4.15)
или в скалярной форме
Тв = Тщ cos(a + р) + Z^ sin(a + Р);
ZB = ~Тш sin(a + ₽) + ZU1 C0S(a + ₽)
Читателям предлагается сопоставить данные расчетов с использованием упрощенной и уточненной моделей шатунов. Практика расчетов показывает, что расхождения результатов при значениях размеров, масс и прочих параметров, характерных для шатунов современных высокооборотных форсированных транспортных двигателей в общем невелики. Если в рассматриваемом примере дополнительный момент инерции известен и равен /доп = -0,05 кг- м", это обусловливает следующие расхождения между значениями
128
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
4.3. К расчету тангенциальной силы с применением уточненной и упрощенной моделей шатуна
а,°	^Приблэ КН	Т кН 4 ТОНН» 141 1
360	0	0,002
362	0,881	0,896
364	1,761	1,792
366	2,637	2,684
368	3,509	3,571
370	4,373	4,450
тангенциальной силы в КШМ (представлены значения силы, соответствующие моменту вспышки топлива в цилиндре), вычисленными с использованием точной (Гточн) и приближенной (Гприбл) моделей шатуна (табл. 4.3).
4.6. ПОРЯДОК РАБОТЫ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС
Современные двигатели, как правило, выполняются многоцилиндровыми, поскольку одноцилиндровые ДВС обладают наивысшими неуравновешенностью и неравномерностью вращения коленчатого вала. Для двигателей различных назначений в практике установились достаточно традиционные постоянные значения числа и расположения цилиндров (последнее называется также компоновочной схемой двигателя). Так, для двигателей легковых автомобилей число цилиндров / в общем может быть равно 2 ... 12; при этом часто / = 4 ... 6, а наиболее распространенная компоновочная схема двигателя - рядная.
Двигатели тяжелых грузовых автомобилей обычно имеют / = 6 ... 8, а в отдельных случаях число цилиндров равно 10 и 12. Наиболее часто встречается V-образная компоновка, при i = 6 практически в одинаковой степени используются рядная и V-образная компоновочные схемы.
ПОРЯДОК РАБОТЫ ЦИЛИНДРОВ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС 129
В последние годы наметилась тенденция к некоторому изменению указанных значений чисел цилиндров и их компоновочной схемы в связи с ужесточением норм по ограничению выбросов токсических веществ с отработавшими газами. Для уменьшения г
удельных выбросов (оцениваемых в ------) двигатели форсиру-
кВтч
ют, так что литровая и цилиндровая мощности возрастают. Таким образом, требуемая для привода одного и того же (или однотипного) транспортного средства агрегатная мощность может быть получена при меньшем числе цилиндров и в ряде случаев при их более простой компоновочной схеме. Так, в 60-х гг. XX в. первые образцы V-образных автомобильных дизелей 64 13/14 (ЯМЗ-236) при низком уровне форсирования развивали мощность Ne = 132 кВт, что соответствовало величине литровой мощности 2УЛ = 11,8 кВт/л. Позднее такую же агрегатную мощность стали развивать V-образные дизели 84 12/12 (КамАЗ-740), имевшие /Ул = 14,6 кВт/л. Современные дизели 44Н 10,2/12,2 развивают ту же мощность при Nn = 49 кВт/л (при этом уменьшение числа цилиндров обусловило применение более простой рядной компоновочной схемы), а на базе ЯМЗ-236 создана модификация 64Н 13/14 с Ne= 220 кВт для более тяжелых автомобилей. При форсировании двигателей в течение последнего десятилетия стали активно использоваться 3-, 5- и 7-цилиндровые1 двигатели (последние несколько реже).
В любом случае при проектировании многоцилиндрового двигателя возникает вопрос о выборе предпочтительного порядка работы цилиндров. Этот порядок определяется тактностью двигателя, схемой (т.е. расположением кривошипов) коленчатого вала, а при многорядной компоновочной схеме цилиндров - еще и углом развала рядов цилиндров.
1 В [73] описан 5-цилиндровый V-образный двигатель Стирлинга. Четыре поршня V-образно расположенных цилиндров связаны попарно с двумя кривошипами коленчатого вала, а 5-й цилиндр расположен далее вдоль длины вала в плоскости симметрии двигателя, и его поршень сочленен с 3-м кривошипом вала. Цель этого изобретения заключается в попытке расположить нагреватели всех цилиндров по кругу вблизи общей камеры сгорания.
5 - 8013
130
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Как и для чисел цилиндров, существуют преимущественно употребляемые схемы коленчатых валов. При изучении динамики ДВС взаимное расположение кривошипов изображают на плоскости и (или) в пространстве (рис. 4.13, 4.14).
Рис. 4.13. Коленчатый вал с пространственным расположением кривошипов (а) и его стержневая и плоская схемы (б); цифрами обозначены номера поршней, связываемых с каждым кривошипом
ПОРЯДОК РАБОТЫ ЦИЛИНДРОВ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС 131
я)
б)
Рис. 4.14. Коленчатый вал с плоским расположением кривошипов (а) и его стержневая и плоская схемы (б); цифрами обозначены номера поршней, связываемых с каждым кривошипом
5*
132
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Нумерацию цилиндров, как правило, производят со стороны носка коленчатого вала в направлении его хвостовика. В рядном двигателе цилиндры нумеруются подряд (рис. 4.15), а в V-образ-ном в указанном направлении нумеруются сначала цилиндры левого ряда (при направлении луча зрения от носка вала к его хвостовику), а затем правого ряда (рис. 4.15). Это же правило может распространяться и на W-образные, Х-образные и прочие многорядные компоновочные схемы.
Рис. 4.15. Нумерация цилиндров в рядном (а) и V-образном (б) ДВС
б)
ПОРЯДОК РАБОТЫ ЦИЛИНДРОВ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС 133
Отметим, что не все авторы придерживаются указанного способа нумерации цилиндров: так, в [21] предлагается нумеровать цилиндры в обратном направлении (то есть от хвостовика к носку коленчатого вала). Подобные разночтения способны обусловить ошибки в расчетах.
Компоновка цилиндров и схема коленчатого вала должны обеспечивать двигателю чередование вспышек топлива1 в цилиндрах через равные интервалы времени (углы поворота коленчатого вала). С точки зрения обеспечения работоспособности коленчатого вала целесообразно избегать последовательной работы цилиндров, шатуны которых связаны с одной или соседними шейками коленчатого вала (выполнение данного требования, особенно при малом числе цилиндров, бывает затруднительно). Одна и та же схема коленчатого вала может обеспечить несколько приемлемых вариантов порядков работы цилиндров (вопрос об их целесообразности должен решаться отдельно).
Анализ возможных порядков работы цилиндров удобно вести с помощью метода графов. Предварительно следует построить ось положений коленчатого вала. Это ось, на которой отмечены углы поворота вала и нанесены специальные метки. Эти метки соответствуют моментам нахождения поршня каждого цилиндра в ВМТ. Отсчет всех значений углов поворота будем вести от момента, соответствующего нахождению в ВМТ поршня 1-го цилиндра. Для составления оси положений в отдельных случаях целесообразно изобразить последовательные положения КШМ, соответствующие нахождению в своей ВМТ каждого поршня, запомнив значения соответствующих углов поворота коленчатого вала.
Рассмотрим построение оси положений и формирование графа возможных порядков работы цилиндров 4-цилиндрового рядного двигателя с коленчатым валом, показанным на рис. 4.14. При а = О 1-й и 4-й поршни находятся в ВМТ, 2-й и 3-й - в НМТ (рис. 4.16). При вращении вала угол а становится больше нуля, поршни 1-го и 4-го цилиндров движутся в направлении НМТ. Предположим, что в 1-м цилиндре при этом осуществляется впуск свежего заряда.
1 Более строго следует говорить об одноименных фазах рабочего процесса
134
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
а)	б)	«0
Рис. 4.16. К построению оси положении 4-цилиндрового рядного двигателя: а - а = 0; б - ос > 0; в - а = 180°
По достижении а = 180° поршни 1-го и 4-го цилиндров достигают НМТ, а поршни 2-го и 3-го цилиндров приходят в это время в ВМТ. При дальнейшем вращении коленчатого вала ос становится больше, чем 180° и достигает 360° (при этом в 1-м цилиндре осуществляется сжатие рабочего тела), когда в ВМТ оказываются поршни 1-го и 4-го цилиндров, а в НМТ - поршни 2-го и 3-го цилиндров. Поскольку цикл 4-тактного двигателя продолжается в течение двух оборотов коленчатого вала, следует мысленно вращать вал двигателя дальше. При ос = 540° в ВМТ вновь оказываются поршни 2-го и 3-го цилиндров, а в НМТ - поршни 1-го и 4-го цилиндров (в 1-м цилиндре закончилось расширение рабочего тела). При а = 720° в ВМГ оказываются поршни 1-го и 4-го цилиндров (в 1-м цилиндре осуществился выпуск отработавших газов), и далее рабочий цикл повторяется.
Ось положений поршней в ВМТ для рассмотренного примера показана на рис. 4.17.
ПОРЯДОК РАБОТЫ ЦИЛИНДРОВ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС 135
1,4	2,3	1,4	2,3 I	I	I	I	1,4
I	I	I	I 0	1 80	360	540	Ь * a,v 720
Рис. 4.17. Ось положений поршней в ВМТ для 4-цилиндрового рядного 4-тактного двигателя с плоским коленчатым валом
Граф возможных порядков работы формируется следующим образом. Если в 1-м цилиндре при положении его поршня в ВМТ произошла вспышка топлива (или начался впуск), то только при а = 180° возможна вспышка (начало впуска) в одном из цилиндров - 2-м или 3-м, поскольку только при указанном значении угла поворота их поршни приходят в ВМТ и, следовательно, появляются условия для осуществления указанных фаз рабочего процесса1. Если начало графа обозначить цифрой 1 (вспышка топлива в 1-м цилиндре), то далее в соответствии с упомянутым будут сформированы две ветви графа 1 - 2 и 1 - 3. После вспышки во 2-м или 3-м цилиндрах через 180° поворота коленчатого вала в ВМТ вновь оказываются поршни 1-го и 4-го цилиндров. Однако в 1-м цилиндре по нашему предположению вспышка топлива уже состоялась, таким образом, при а = 360° такая вспышка возможна лишь в 4-м цилиндре. Далее, несмотря на то, что в ВМТ находятся поршни 3-го и 2-го цилиндров, при а = 540° вспышка может иметь место только в 3-м цилиндре, если ранее при ос = 180° она произошла во 2-м цилиндре, или наоборот. При а = 720° механизмы двигателя возвращаются в исходное состояние и впоследствии указанные процессы повторяются. Сформированный граф возможных порядков работы цилиндров 4-тактного 4-цилиндрового рядного двигателя показан на рис. 4.18. Этот граф показывает, что такой двигатель может работать по одному из двух порядков работы, которые
1 Теоретически возможно предположить, что вспышка топлива или начало впуска произойдут в обоих цилиндрах, однако на практике такое неосуществимо.
136
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Рис. 4.18. Граф возможных порядков работы 4-цилиндрового 4-тактного рядного двигателя
обычно записывают в виде числовых последовательностей номеров работающих друг за другом цилиндров (иногда с указанием в промежутках такой последовательности значений угла поворота вала между каждой парой вспышек). Применительно к рассматриваемому примеру на практике реализуются оба порядка работы (верхний из показанных на рис. 4.18 - на двигателе ЗМЗ-402, нижний - на двигателях ВАЗ, АЗЛК и многих других).
Рассмотрим формирование графа возможных порядков работы цилиндров для V-образного 8-цилиндрового 4-тактного двигателя с коленчатым валом, показанным на рис. 4.19, и углом развала цилиндров уц = 90°.
Положения коленчатого вала, обусловливающие нахождение поршней различных цилиндров в ВМТ, даны на рис. 4.20 (для упрощения рисунка показаны только оси цилиндров и кривошипы вала); ось положений - на рис. 4.21.
Граф возможных для данной схемы коленчатого вала и угла развала цилиндров порядков их работы формируется аналогично изложенному выше. Если первым по очереди срабатывает 1-й цилиндр (граф начинается с цифры 1), то через 90° поворота коленчатого вала в ВМТ оказываются поршни 3-го и 5-го цилиндров (тем самым в последних создаются условия для осуществления рабочего хода). Поскольку в каждый момент времени вспышка топлива может осуществляться только в одном цилиндре, цифры 3 и 5 оказываются в разных ветвях графа. Далее после вспышки топлива в 3-м или 5-м цилиндрах в ВМТ оказываются поршни 7-го и 4-го цилиндров и т.д.
I1ОРЯДОК РАБО ТЫ 1(ИЛИ11ДРОВ Ml И)1 ()1 (ИЛИ! 1ДРОВЫХ ДВС 137
Рис. 4.19. Схема коленчатого вала 8-цилиндрового двигателя (пример)
Рис. 4.20. Последовательные положения коленчатого вала:
а - при а = 0; 360° и 720° в ВМТ поршни / и 6 цилиндров;
б - при а = 90° и 450° в ВМТ поршни 3 и 5 цилиндров;
в - при а = 180° и 540° в ВМТ поршни 4 и 7 цилиндров;
г - при а = 270° и 630° в ВМТ поршни 2 и 8 цилиндров
138
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
1,6	5,3	7,4	2,8	1,6	5,3	7,4	2.8	1,6	п <
—1-----1------1-----1------1-----*-----1-----1-----1—
О	90	180	270	360 450	540	630	720
Рис. 4.21. Ось положений коленчатого вала 8-цилиндрового V-образного 4-тактного двигателя с углом развала цилиндров уц = 90°
При а = 360° в ВМТ оказываются снова поршни 1-го и 6-го цилиндров. Но если в 1-м цилиндре уже произошла вспышка топлива, то в этот момент времени она произойдет только в 6-м цилиндре.
Полностью построенный граф всех возможных порядков работы цилиндров показан на рис. 4.22.
Рис. 4.22. Граф возможных порядков работы 8-цилиндрового V-образного 4-тактного ДВС с углом развала цилиндров уц = 90°
ПОРЯДОК РАБОТЫ ЦИЛИНДРОВ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС 139
Большинство 8-цилиндровых 4-тактных ДВС с показанным на рис. 4.16 коленчатым валом имеют порядок работы, выраженный последовательностью 1 - 5- 4- 2- 6- 3- 7-8.
Отметим, что в литературе этот порядок работы подвергали критике [5] в связи с последовательной работой двух цилиндров (7-го и 8-го), воздействующих на соседние шейки коленчатого вала; при этом расположенная между ними коренная шейка оказывается наиболее нагруженной.
При анализе возможных порядков работы цилиндров граф может не формироваться. Это, в частности, имеет место при несовпадении (или отсутствии кратности) угла развала цилиндров и углов между смежными кривошипами. В таком случае, как правило, порядки работы цилиндров отличаются неравномерностью и определяются путем перебора возможных вариантов с использованием оси положений. Рассмотрим такой пример. Пусть требуется выбрать порядок работы цилиндров 6-цилиндрового V-образ-ного 4-тактного двигателя с углом развала цилиндров уц = 90° и коленчатым валом в форме трехлучевой звезды с углами между смежными кривошипами, равными 120° (схема такого вала приведена на рис. 4.13). Указанные параметры имеет, в частности широко известный автомобильный дизель 6ЧН 13/14 (ЯМЗ-236Н). Вследствие упомянутого несовпадения углов между кривошипами и развала цилиндров при всех положениях вала в ВМТ оказывается не больше одного поршня (рис. 4.23). При этом может быть сформирована показанная на рис. 4.24 ось положений КШМ данного двигателя, с помощью которой путем перебора различных вариантов выбирается приемлемый порядок работы цилиндров. Как правило, останавливаются на порядке, выражаемом последовательностью 1 - 4- 2- 5- 3-6. При этом между вспышками топлива в 1-м и 4-м цилиндрах угол поворота коленчатого вала равен 90°; между вспышками в 4-м и 2-м цилиндрах - 150°; между вспышками во 2-м и 5-м цилиндрах - снова 90° и т.д. Данное обстоятельство ухудшает равномерность хода и крутящего момента двигателя и плохо сказывается на его виброактивности [89].
Для улучшения указанных характеристик двигателя применяют коленчатые валы со смещенными шатунными шейками (рис. 4.25).
140
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Рис. 4.23. Последовательные положения коленчатого вала 4-тактного 6-цилиндрового V-образного двигателя с углом развала цилиндров уц = 90°:
а - а = 0; 360; 720°; б - а = 90; 450°; в - а = 120; 480°;
г - а = 210; 570°; д - а = 240; 600°; е - а = 330; 690°
1	4 з	6	2 5	1	4 3	6	2 5	1
-I-Н------1----1—I---1---Н------1---Н------I— а,0
0	120	240 360 480	600	720
90	210 330	450	570 690
Рис. 4.24. Ось положений коленчатого вала 4-тактного 6-цилиндрового V-образного двигателя с углом развала цилиндров уц = 90°
ПОРЯДОК РАБОТЫ ЦИЛИНДРОВ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС 141
Рис. 4.25. Общий вид (а) и стержневая схема (б) коленчатого вала со смещенными шейками, обеспечивающего равномерную работу 6-цилиндрового V-образного двигателя с уц = 90°
Для рассмотренного в предыдущем примере V-образного 4-тактного 6-цилиндрового двигателя с целью обеспечения равномерного порядка работы цилиндров шатунная шейка вала, связанная с поршнем 4-го цилиндра, должна быть сдвинута по отношению к шатунной шейке 1-го цилиндра на 30° в сторону, противоположную направлению вращения коленчатого вала. Такие же сдвиги имеют шатунные шейки поршней 5-го цилиндра (по отношению к шейке 2-го цилиндра) и 6-го цилиндра (по отношению к шейке 3-го цилиндра). Общий вид и стержневая схема такого коленчатого вала показаны на рис. 4.25.
142
СИЛЫ В КРИВОШИПНО-ШАТУННОМ МЕХАНИЗМЕ
Смещение шеек вала с кинематической точки зрения равноценно существованию для поршня каждого цилиндра своего кривошипа. Это обусловливает нахождение одновременно двух поршней двигателя в ВМТ, что обеспечивает существование нескольких вариантов порядков работы цилиндров (рис. 4.26, 4.27).
Величина Ду рассмотренного углового смещения кривошипов вала может быть найдена по формулам:
а)	для 4-тактного двигателя с числом цилиндров i
720
i
б)	для 2-тактного двигателя (подобные случаи в практике крайне редки)
360
i
Описанное решение положительно зарекомендовало себя в конструкции двигателя 64 12/12 (ЯМЗ-642), обусловив значительное улучшение его виброакустических характеристик [89]. Однако следует иметь в виду, что большие значения Ду могут потребовать дополнительных конструктивных усложнений коленчатого вала для исключения ухудшения его прочностных свойств.
Рис. 4.26. Последовательные положения коленчатого вала со смещенными шейками:
а - а = 0; 360; 720°; б - а = 120; 480°; в - а = 240; 600°
ПОРЯДОК РАБОТЫ ЦИЛИНДРОВ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВС 143
1,5	3,4	2,6	1,5	3,4	2,6	1,5
Ч-----1-----1----1----1----1----F—
О	120	240	360	480	600	720
Рис. 4.27. Ось положений коленчатого вала и граф возможных порядков работы цилиндров 6-цилиндрового 4-тактного двигателя с коленчатым валом со смещенными шейками, обеспечивающим при величине угла развала цилиндров уц = 90° равномерную работу цилиндров
5. СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА ДВИГАТЕЛЯ
5.1. ТАБЛИЦА НАБЕГАЮЩИХ МОМЕНТОВ
В каждый момент времени в разных цилиндрах двигателя происходят различные фазы рабочего цикла, в связи с чем на кривошипы коленчатого вала со стороны разных поршней через шатуны передаются различные по величине и направлению тангенциальные силы. Потребителю в каждый z-й момент времени передается суммарный крутящий момент, равный сумме крутящих моментов, развиваемых каждым j-м цилиндром в этот же момент времени, т.е.
Мь=£мкр1у.	<51)
7=1
Как правило, при динамическом расчете принимают, что рабочие процессы в разных цилиндрах протекают в соответствии с одним и тем же законом, но сдвинуты по фазе. Для многих случаев это допущение является достаточно корректным. В таком случае суммарный крутящий момент двигателя определяется при помощи таблицы набегающих моментов. Для ее формирования необходимо знать закон изменения тангенциальной силы в цилиндре (как правило, в качестве последнего принимается 1-й цилиндр), порядок работы цилиндров и значение угла поворота коленчатого вала между последовательными вспышками топлива.
Рассмотрим формирование такой таблицы для 8-цилиндрово-го 4-тактного двигателя с порядком работы цилиндров 1 - 5 - 4 - 2 -6-3-7-8и углом поворота вала между каждыми двумя последовательными вспышками, равным 90°.
В соответствии с тем, что одноименные фазы рабочего процесса в цилиндрах двигателя наступают через 90° поворота коленчатого вала, законы изменения тангенциальных сил (являющихся аналогами крутящих моментов), развиваемых во 2-м, 3-ми т.д. цилиндрах, должны быть сдвинуты на 90° по отношению к анало
ТАБЛИЦА НАБЕГАЮЩИХ МОМЕНТОВ
145
гичному закону для 1-го цилиндра. В соответствии с этим таблица набегающих моментов принимает вид табл. 5.1. Приращение Да угла поворота коленчатого вала выбирается исходя из условия обеспечения достаточной точности расчета (как правило, для этого в большинстве случаев оказывается достаточным Да = 10 ... 15°).
5.1. Значения тангенциальных сил в 8-цилиндровом V-образном двигателе
а,°	Tt	Т5	Ту	Т’г	Те	Гц	Ъ	г7	Он	т<	Т%	
0	0	Озо	...	О50	Обо	...	О70	Oso		t5A0	too	...
...	...	...		...	...	...	...	...		...	...	...
90	Оо	to		Одо	О50		Обо	070		Озо	Oso	
...	...	...		...	...		...	...		...	...	
180	Oso	ho		Озо	Одо		О50	Обо		О	О70	
...	...	...		...	...		...	...		...	...	
270	О70	Oso		to	Озо		Одо	Oso		Оо	Обо	
...	...	...		...	...		...	...		...	...	
360	0б0	О70		Оо	0		Озо	Одо		Oso	Oso	
...	...	...		...	...		...	...		...	...	
450	О50	Обо		Oso	Оо		О	Озо		О70	Одо	
...	...	...		...	...		...	...		...	...	
540	040	О50		070	Oso		Оо	О		<360	Озо	
...												
630	Озо	Одо		Обо	О70		Oso	Оо		О50	0	
...	...	...	...	...	...		...	...		...	...	
720	to	Озо	...	О50	Обо		О70	Oso		Одо	too	
Примечание. Символами z0, t90 и пр. обозначены значения тангенциальных сил в 1-м цилиндре двигателя при значениях угла поворота коленчатого вала а = 0; 90° и т.д.
146 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
Структура таблицы набегающих моментов по горизонтали соответствует схеме коленчатого вала: за столбцами Т\ и Т5, соответствующими шатунным шейкам, с которыми связываются поршни 1-го и 5-го цилиндров, расположен столбец Ть соответствующий первой (за первым кривошипом) коренной шейке. Далее в составе коленчатого вала следуют шатунные шейки, связываемые с поршнями 2-го и 6-го цилиндров и следующая (П-я) коренная шейка; в таблицу в соответствии с этим включаются столбцы Т2 и Т6 и далее Тп.
В таблицу набегающих моментов могут заноситься значения как крутящего момента, развиваемого каждым цилиндром, так и тангенциальной силы - аналога крутящего момента.
Если 5-й цилиндр срабатывает позже 1-го на 90° поворота коленчатого вала, то все одноименные фазы рабочего процесса (в том числе, начало цикла изменения тангенциальной силы) будут происходить с этим же отставанием. Таким образом, заполнение столбца Т5 таблицы должно начинаться со строки, соответствующей а = 90°. При этом для а = 105° значение тангенциальной силы в 5-м цилиндре равно /|5 для 1-го цилиндра; для а = 120° - /з0; для а = 0 и 720° - /бзо- Четвертый цилиндр срабатывает через 90° после 5-го или через 180° после 1-го. В таком случае заполнение столбца Г4 таблицы следует начать со строки, соответствующей а = 180° и т.д.
Набегающие тангенциальные силы Т|, Тп, Уш, Tiv, передаваемые на 1 (I считается коренная шейка, расположенная за 1-м кривошипом), II, III, IV (с этой шейки IV суммарная тангенциальная сила Л передается потребителю) коренные шейки, могут быть вычислены для каждого момента времени (угла поворота коленчатого вала) суммированием значений тангенциальных сил на всех предшествующих шатунных шейках. Так, для а = 0 набегающие тангенциальные силы (применительно к рассматриваемому примеру) определятся следующим образом
ТАБЛИЦА НАБЕГАЮЩИХ МОМЕНТОВ
147
Т\ - to + *бзо;
7п = Л + /540 + /450 = to + /бЗО + /540 + /450;
Tin = /» + /360 + tzio = to + /630 + /540 + /450 +/36O + /270»
?£ = /ill + ^180 + ho ~ h + /бЗО + ^540 + ^450 +6бО + /270 + 180 + ^90-
Для следующего значения угла поворота вала (допустим, а = 10°) набегающие на коренные шейки тангенциальные силы найдутся по формулам
Т\ = /ю + /б40»
Гц = /| + /550 + /460 = /|0 + /б40 + /550 + /460»
^111 ~ /|1 + /37О + /280 = /ГО + /б40 + /550 + /46О +/370 + /280»
Т^. ~ /111 + /190 + /100 = /10 + /б40 + /550 + /460 "*’/370 + /280 + /190 + /100-
На рис. 5.1 - 5.4 показаны результаты расчета1 набегающих на коренные шейки тангенциальных сил, а также суммарной тангенциальной силы 8-цилиндрового V-образного двигателя 8ЧН 13/14 с углом развала цилиндров уц = 90°, порядком работы цилиндров 1-5-4-2-6-3-7-8, показанной на рис. 4.20 схемой коленчатого вала и приведенными в табл. 5.2 параметрами рабочего процесса.
Если двигатель работает с равномерным чередованием вспышек топлива (причем, вне зависимости от числа рядов цилиндров), то функция суммарной тангенциальной силы (суммарного крутящего момента) является гладкой периодической, причем число периодов равно числу цилиндров двигателя. Для 4-тактного двигателя эти периоды располагаются на промежутке оси углов поворота коленчатого вала, равном 720°, для 2-тактного двигателя - 360°.
1 Расчет проведен при следующих значениях параметров рабочего процесса и конструктивных соотношениях: длина шатуна 0,265 м; частота вращения коленчатого вала 2100 мин1; степень сжатия 15,0; давление сгорания 13,50 МПа; давление в конце сжатия 8,5 МПа; показатель политропы расширения 1,24; показатель политропы сжатия 1,36; давление выпуска 0,4 МПа; давление впуска 0,2 МПа; степень предварительного расширения 1,2; масса ПДМ 4,5 кг.
148 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
Рис. 5.1. Тангенциальная сила, набегающая на коренную шейку I
Рис. 5.2. Тангенциальная сила, набегающая на коренную шейку II
13 коленчатого вала двигателя 84Н —
14
ТАБЛИЦА НАБЕГАЮЩИХ МОМЕНТОВ
149
Рис. 5.3. Тангенциальная сила, набегающая на коренную шейку III
13
коленчатою вала двигателя 8ЧН —
14
Рис. 5.4. Суммарная тангенциальная сила двигателя 8ЧН —
150 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
Аналогично формируется таблица набегающих моментов при неравномерном чередовании вспышек топлива в цилиндрах. Приведем еще один пример для рассмотренного выше 4-тактного 6-цилиндрового V-образного двигателя с порядком работы 1-4-2-5-3-6и попеременным чередованием вспышек топлива через 90° и 150° (табл. 5.2).
При работе двигателя с неодинаковыми интервалами времени между вспышками топлива в цилиндрах кривая суммарной тангенциальной силы также является периодической, при том число периодов лишь кратно числу цилиндров. На рис. 5.5 показана расчетная зависимость от угла поворота коленчатого вала суммарной тангенциальной силы 6-цилиндрового V-образного двигателя 6ЧН 13/14 с углом развала цилиндров уц = 90° и показанной на рис. 4.13 схемой вала, обеспечивающей двигателю порядок работы 1 - 4- 2- 5- 3-6. Параметры рабочего процесса указаны выше.
5.2. Таблица набегающих моментов 6-цилиндрового V-образного двигателя
а,°	Тх	Л	Тх	Тг	Л	Т’п	Тз	т6	Тт
0		^630	...	^480	^390	...	^240	6 50	...
...	...	...		...	...		...	...	
90	^90	Л)		^570	^480		бзо	^240	
...	...	...		...	...		...	...	
240	^240	Л 50			^630		^480	690	
...	...	...		...	...		...	...	
330	бзо	^240		^90	to		^570	^480	
...	...	...		...	...		...	...	
480	^480	Лз90		^240	^150		А)	^630	
...	...	...		...	...		...	...	
570	^570	^480		бзо	^270		^90	4)	
...	...	...	...	...	...	...	...	...	
720	А)	^630	...	^480	Лз90	...	^240	50	...
СРЕДНИЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ
151
кис. хх суммарная тангенциальная сила двигателя очи —
с неравномерным порядком работы цилиндров
При расчетах двигателей, имеющих КШМ с прицепными шатунами следует учитывать, что тангенциальные силы в ряду цилиндров, поршни которых управляются главными шатунами, изменяются по одному закону, а в боковом ряду цилиндров по другому.
5.2. СРЕДНИЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ
Средним крутящим моментом называют условный постоянный по величине крутящий момент, который за цикл (период) производит ту же работу, что и реальный переменный крутящий момент. Это определение указывает инструмент, с помощью которого средний крутящий момент может быть вычислен. Рассмотрим один период кривой суммарного крутящего момента двигателя (рис. 5.6). Площадь криволинейной трапеции HABCDEFGK, ограниченной упомянутой кривой, осью абсцисс и ординатами I-I и П-П, проведенными через начальную и конечную точки периода, численно равна работе (в определенном масштабе), произведенной
152 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
Рис. 5.6. К определению среднего крутящего момента
переменным крутящим моментом за этот период. Тогда, разделив площадь 5* = Shabcdei-gk на длительность периода крутящего момента Тпер, найдем высоту равновеликого прямоугольника с тем же основанием. В выбранном масштабе эта высота пропорциональна величине среднего крутящего момента, т.е.
т
* пер |Л/.,пб/а I
М-^BCDEFGK^0-------------	(51)
Vjj	ГГЛ	ГТ1	'
*пер	* пер
Методы расчета среднего крутящего момента различаются способами нахождения площади упомянутой криволинейной трапеции. Для этой цели могут использоваться графоаналитический или численный способы. В предыдущих учебных изданиях по динамике ДВС, как правило, достаточно подробно описывался графоаналитический способ, сводящийся к планиметрированию криволинейной трапеции. Учитывая современный уровень развития вычислительной техники и профессиональных программных
СРЕДНИЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ
153
средств, целесообразно использование в первую очередь численного интегрирования кривой крутящего момента. Например, по формуле Симпсона (см. рис. 5.6)
S = y-(MQ + 4M^+2M2&a+4M3&a + ...+MN),	(5.2)
где Л/Да; Л/2да (7да; ?2да) и т.д. - значения крутящего момента (тангенциальной силы) в точках, соответствующих одному, двум и т.д. приращениям угла поворота коленчатого вала; Л/о, MN (То, Тм) - значение крутящего момента в начале и в конце периода; Да - шаг расчета.
Средний крутящий момент может быть также определен по значениям параметров индикаторной диаграммы двигателя по формуле
Л/Ср = 9550— = 9550—^,	(5.3)
«	rlmn
где Nh Ne - индикаторная и эффективная мощность двигателя, кВт; т|,„ - механический КПД.
Индикаторная мощность 4-тактного двигателя может быть вычислена по формуле [22]
N =PjJL Yh L	(5 4)
120
Для 2-тактного двигателя индикаторная мощность равна
.. р. nVhi	/с л \
N,=—-----— ,	(5.4 а)
'	60
где р, - среднее индикаторное давление цикла; п - частота вращения коленчатого вала, мин'1; = nD2S/4 - рабочий объем цилиндра; i - число цилиндров двигателя; 5 - ход поршня; D - диаметр цилиндра.
Среднее индикаторное давление определяется по формуле
154 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
(5.5)
где ра = рк - Др - давление в цилиндре на линии наполнения; 1 = р:1 рс - степень повышения давления в цикле (не следует путать этот параметр с X = /?/£); р - степень предварительного расширения; 8 = е/р - степень последующего расширения; п\9 п2 - показатели политроп сжатия и расширения соответственно.
Для бензинового двигателя среднее индикаторное давление может быть определено по формуле
(5.5 а)
Определив средний крутящий момент двигателя численным интегрированием Мкр\ и по значениям параметров индикаторной диаграммы Мкр2, следует сопоставить их значения. Весь предшествующий расчет может быть признан достоверным, если -^- = 0,98 ... 1,02.
Л4р2
Переменность крутящего момента - органически присущее поршневому двигателю свойство. Интенсивность его изменения оценивается величиной степени неравномерности крутящего момента 8Л/, равной
IX
(5.6)
где Л/ипппя„, Mvnm.n - максимальное и минимальное значения кру-14 U 111 и Л **	14 L? 111111	1
тящего момента.
СРЕДНИЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ
155
Наряду с величиной 8Л/ для оценки неравномерности крутящего момента используют другую характеристику, назовем ее коэффициентом неравномерности крутящего момента 8^, определяемую по формуле
М о	кртах	г ч
5W>= W—•	(5-6о)
Мер
Степень и коэффициент неравномерности крутящего момента наиболее существенным образом зависят от числа цилиндров двигателя и равномерности их работы. В табл. 5.3 представлены значения величины 8Л/, вычисленные для двигателя с разным числом цилиндров и идентичными показателями рабочего процесса. Видно, что равномерное чередование вспышек топлива более заметно влияет на рассматриваемую характеристику крутящего момента. На последнюю оказывают также влияние и прочие настройки рабочего процесса (максимальное давление сгорания, отношение давления конца сжатия к максимальному давлению цикла, степень сжатия и пр.).
5.3. Степень неравномерности крутящего момента 4-тактных двигателей с различным числом цилиндров
Число цилиндров	Компоновочная схема	Углы между последовательными вспышками топлива	8л/
3	Рядный	240 - 240 - 240°	0,8854
4	Рядный	180- 180- 180- 180°	0,8851
6	V-образный	90- 150-90- 150-90- 150°	1,1428
6	V-образный	120- 120- 120- 120- 120- 120°	0,6262
8	V-образный	90-90-90-90-90-90-90-90°	0,6210
156 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
5.3. НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА ДВИГАТЕЛЯ
Неравномерность крутящего момента двигателя обусловливает непостоянство значений мгновенной угловой скорости коленчатого вала (принятое выше положение о постоянной угловой скорости вращения вала является лишь допущением, упрощающим многие расчеты). На самом деле скорость вращения коленчатого вала уменьшается, когда действующий на него суммарный крутящий момент меньше среднего1, и увеличивается, когда крутящий момент выше среднего.
Для численной оценки изменения мгновенной угловой скорости коленчатого вала вводится понятие о степени неравномерности хода (вращения) двигателя 5Ш, равной
5и= ^тах-^т.п >	(5.7)
^ср
где сотах, coinin - максимальное и минимальное значения мгновенной угловой скорости коленчатого вала; (оср - среднее значение угловой скорости коленчатого вала, принимаемое равным
(max + ^min _ ™ ср 2	" 30 '
Вычислим значение степени неравномерности хода двигателя. Для этого рассмотрим изменение угловой скорости от ее минимального до максимального значения в процессе изменения в течение цикла суммарного крутящего момента (рис. 5.7).
Запишем дифференциальное уравнение движения коленчатого вала двигателя в виде
/ — = МК0-Мт	(5.8)
До	Кр	Up	v '
ИЛИ
1 Принимается, что нагрузка двигателя постоянна и равна среднему крутящему моменту. В связи с многообразием возможных нагрузочных режимов работы двигателя сделать какое-либо другое предположение практически невозможно.
НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА ДВИГАТЕЛЯ
157
Рис. 5.7. К определению степени неравномерности хода двигателя
лн
<7со da ----------= da dt
(5.8 я)

где /1В - приведенный к оси вращения вала момент инерции подвижных звеньев двигателя (вопрос о его определении рассмотрен выше); в ходе данного расчета величина 11В принимается постоянной.
.	>	da
Разделим переменные и da и, зная, что — = со , проинтег-dt
рируем уравнение в левой части - в пределах изменения мгновенной угловой скорости от о|П1П до сотах, в правой - в пределах диапазона значений угла поворота коленчатого вала (ot| - соответствующего изменению угловой скорости в указанных пределах, т.е.
^гпах	^2
I |	= |(Л/КП -Mcr,)do. .
/ llJ I	Iх	IX IJ	V IJ z
(,Jinin	^1
158 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
Значение интеграла в правой части уравнения соответствует площади криволинейной трапеции АВС (см. рис. 5.7), которое может быть найдено, например, численным интегрированием по приведенной выше формуле Симпсона. Дальнейшие преобразования в ходе решения уравнения приводят к окончательной расчетной формуле для нахождения степени неравномерности хода дви-«2
гателя (в дальнейших выкладках обозначено |(Л/кр - Л/ср)б/а = S) ai
2	_ 2
г СО max ^min _ о . 2дв 2	“ ° ’
г (С^шах COmjn )(CQmax ~CDmjn) С0ср _ 1 дв	п	“ ’
2	соср
<5-9) ^дв С0ср
Следует заметить, что величина 5Ш, определенная по формуле (5.9), будет несколько отличаться от реальной, поскольку при расчете не учитывалась податливость коленчатого вала. Кроме того, сам расчет степени неравномерности хода содержит определенное противоречие: величина избыточной работы крутящего момента рассчитывается на основании ранее сделанного предположения о постоянстве угловой скорости коленчатого вала.
К величине двигателей различного назначения предъявляются хотя и разные, но достаточно высокие требования (табл. 5.4).
Структура формулы (5.9) показывает, что уменьшение степени неравномерности хода двигателя возможно за счет увеличения частоты вращения коленчатого вала и момента инерции подвижных звеньев, а также за счет уменьшения избыточной работы крутящего момента. Последнее достижимо при увеличении числа цилиндров (при этом увеличивается равномерность крутящего момента), но в рамках одной и той же конструкции эффект от этого способа невелик. Увеличение частоты вращения коленчатого вала
НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА ДВИГАТЕЛЯ
159
5.4. Значения степени неравномерности хода двигателей различного назначения1
Двигатели	Бы	
Судовые МОД	0,033 ..	0,020
Для привода электрогенераторов постоянного тока	0,005 ...	0,0033
Для привода электрогенераторов переменного тока	0,0145 ..	. 0,005
Транспортные с механической трансмиссией	0,013 ..	0,005
Транспортные с прочими типами трансмиссии	0,05 ..	0,01
должно согласовываться с требованиями, предъявляемыми к конструкции двигателя потребителями энергии. При этом достигаемый эффект уменьшения степени неравномерности хода непропорционален квадрату приращения средней угловой скорости (т.е. частоты вращения) вала, поскольку при этом более ощутимо увеличивается избыточная работа крутящего момента (рис. 5.8) [35].
Для МОД помимо определения степени неравномерности хода иногда в процессе этого расчета определяют также минимальное значение частоты вращения коленчатого вала. Для исключения остановки двигателя необходимо, чтобы omin было больше нуля [35], однако в последние годы для двигателей данного класса актуальность таких расчетов пропала, а для двигателей наземных транспортных средств таковой не существовало и ранее.
Величина степени неравномерности хода может быть эффективно изменена при увеличении приведенного к коленчатому валу момента инерции подвижных звеньев двигателя, достигаемом установкой на вал маховика.
1 Приведенные в табл. 5.4 данные соответствуют источнику [95]. В литературных источниках, вышедших в свет в разные годы, встречаются разночтения по поводу значений степени неравномерности хода двигателей отдельных типов. Так, в [35] приводятся такие данные: степень неравномерности хода судовых МОД - 0,0455 ... 0,02; электрогенераторов постоянного тока - 0,01 ... 0,0067; электрогенераторов переменного тока -0,0067 ... 0,005. Возможно, это связано с ужесточением требований, предъявляемых к равномерности хода транспортных двигателей.
160 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
/7, МИН
Рис. 5.8. Изменение степеней неравномерности хода, крутящего момента двигателя и величины, обратной квадрату средней угловой скорости, при увеличении частоты вращения коленчатого вала:
—------со’р-104; —О-------—А----------
5.4. РАСЧЕТ МАХОВИКА
При работе двигателя в промежутки времени, когда крутящий момент выше среднего, маховик запасает кинетическую энергию, которая затрачивается на поддержание постоянства угловой скорости в те периоды, когда крутящий момент меньше среднего. Маховики распространены, главным образом, в конструкциях высокооборотных ДВС наземного транспорта. В двигателях других типов есть устройства, заменяющие маховики: в судовых МОД -это валопровод энергетической установки, гребной винт и «присоединенная» к винту вода1; в тепловозных двигателях всех типов - ротор электрогенератора; в авиационных поршневых ДВС -воздушный винт.
1 Известно, что увлекаемая гребным винтом судовой энергетической установки вода увеличивает момент инерции валопровода на 20 ... 40 % [37].
РАСЧЕТ МАХОВИКА
161
Момент инерции маховика составляет основную долю суммарного момента инерции подвижных звеньев двигателей наземных транспортных средств (табл. 5.5) [74].
Для автомобильных двигателей обычно задаются требуемой величиной степени неравномерности хода, после чего из формулы 5.9 находят суммарную величину момента инерции подвижных звеньев КШМ и маховика. Если моменты инерции звеньев КШМ известны, то
0п’ Зш «ср
где 0П - величина приведенного момента инерции подвижных звеньев КШМ, определяемая по формуле (3.15).
По величине /мах, задавшись некоторыми размерами, определяют оставшиеся (удобно задаваться значением внешнего диаметра маховика, которое определяется размерами монтируемого на маховике сцепления).
Маховики современных двигателей зачастую обладают достаточно сложной геометрической формой. Поэтому расчет их моментов инерции иногда может оказаться затрудненным. В [74] описан графоаналитический расчет момента инерции маховика, основанный на представлении площади его диаметрального сечения в виде фигур правильной геометрической формы. Этот способ в настоящее время можно считать утратившим свое значение.
5.5. Относительная величина момента инерции подвижных звеньев КШМ автомобильных двигателей (в процентах от их суммарного момента инерции)
Звено	Момент инерции
Маховик	85 ... 90
Коленчатый вал	6 ... 10
ПДМ	1,0 ... 2,7
Вентилятор	1,5 ... 3,5
Распределительный вал	0,5 ... 1,5
6 - 8013
162 СУММАРНЫЙ КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ И РАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
В некоторых случаях может оказаться полезным использование табличных данных о моментах инерции тел со сложной геометрической формой [91].
В ряде отраслей машиностроения существуют эмпирические формулы для расчета моментов инерции специфических деталей, аналогичных маховикам. Так, для гребных винтов судовых ДВС известна эмпирическая формула Л.М. Кутузова (она дает расхождение с опытными данными для винтов нормального типа, не превышающее 10 %)
/в «28 1(Г6рГ)5а(а + 3),	(5.10)
где р - плотность материала винта; D - диаметр винта; а -дисковое отношение винта.
Развитие современных программных CAD/CAE/CAM-систем для твердотельного трехмерного моделирования позволяет еще на стадии проектирования достаточно точно определять моменты инерции тел самой сложной формы (рис. 5.9, 5.10). Эффективность применения таких программных средств очевидна и она увеличивается при усложнении формы проектируемых деталей.
Точно моменты инерции любых деталей могут быть определены экспериментальным путем, например, при помощи бифиляр-ного подвеса.
Рис. 5.9. Твердотельная модель маховика, выполненная в среде программного продукта Solid Works
♦ Массовые характеристики
Печать
Копировать
Закрыть
| Параметры...| Дересчитать|
Отобразить систему координат
- default -
Массовые характеристики Parti: ?
Плотность = 7.80 грамов на кубический миллиметр
Масса «14204071.92 грамов
Объем = 1821034.86 кубических миллиметров
Площадь поверхности = 348219.15 квадаратных миллиметров
Центр масс: (миллиметров)
Х-0.00
Y.-0.02
Z«6.02
Основные оси инерции и основные моменты инерции: (грамовх квадратных миллиметров) lx =(1.00,0.00,0.00) Рх «164894275792.02 1у = (0.00,1,00,0.00)	Ру = 164902942381.34
lz = (0.00, -0.00,1.00)	Pz = 325965733021.07
Моменты инерции: (грамов * квадратных миллиметров)
(@центр масс, выровнен с системой координат)
Lxx = 164894275790.59	Lxy = 0.00	Lxz = -0 00
Lyx = 0.00	Lyy	=	164902942517.36	Lyz = -4655790.12
Lzx = -0.00	Lzy	=	-4655790.12	Lzz = 325965732886.49
Рис. 5.10. Диалоговое окно программного продукта Solid Works, отображающее инерционные характеристики маховика, показанного на рис. 5.9
РАСЧЕТ МАХОВИКА
6. НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Нагруженность шеек и в особенности подшипников коленчатого вала в значительной степени обусловливает одну из составляющих надежности двигателя - его долговечность. Выход из строя шатунных и коренных подшипников коленчатого вала, как правило, обусловливает появление серьезных дефектов и на коленчатом валу (так, при проворотах вкладышей подшипников на рабочей поверхности шеек образуются задиры, устранение которых - если оно вообще возможно - требует перешлифовки шеек вала, т.е. капитального ремонта двигателя). Не менее серьезной проблемой является обеспечение износостойкости шеек и подшипников при современных значениях уровней форсирования двигателя. Эта задача является комплексной: ее решение обеспечивается не только в ходе динамических исследований, но и путем применения прогрессивных материалов, совершенствования технологии изготовления коленчатого вала и подшипников, улучшения работы системы смазки и применения высококачественного масла и пр. Расчет нагруженности шеек и подшипников вала рассматривается в данной главе. Обращаем внимание читателей на некоторые отличия векторных диаграмм нагрузок от традиционно приводимых в литературе: все они имеют соответствующие обоснования с точки зрения основных законов механики машин.
6.1. НАГРУЗКИ НА ШАТУННУЮ ШЕЙКУ И ШАТУННЫЙ ПОДШИПНИК КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
На рис. 6.1 показана расчетная схема для определения нагрузок на шатунную шейку коленчатого вала простейшего КШМ рядного двигателя. Выше были получены формулы для расчета приложенных к этой шейке тангенциальной и радиальной сил Т и Z, обусловленных воздействием на стержень шатуна продольной силы К, которая является одной из компонент суммарной движущей силы. Если справедливо ранее принятое предположение об идентичности работы всех цилиндров двигателя, то выбор расчетной шейки должен быть произвольным. При этом характер нагружения
НАГРУЗКИ НА ШАТУННУЮ ШЕЙКУ И ШАТУННЫЙ ПОДШИПНИК 165
Рис. 6.1. К расчету нагрузок на шатунную шейку и шатунный подшипник коленчатого вала рядного двигателя
каждой шатунной шейки многоколенного вала будет одинаковым, но равные значения указанные силы будут принимать в разные моменты времени, что обусловлено осуществлением рабочих процессов в разных цилиндрах со сдвигом по углу поворота коленчатого вала.
Помимо указанных выше сил на шатунную шейку вала действует центробежная сила инерции Сшк, развиваемая приведенной к этой шейке массой шатуна /ишк. Величина силы Сшк определяется по формуле
К	(6. 1 )
Сила Сшк стремится уменьшить положительные значения силы Z, таким образом, вдоль оси ZB на шейку действует сила Z-Cm к.
С математической точки зрения поставленная задача сводится к выражению составляющих и суммарной нагрузки на шатунную
166 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
шейку вала в связанной с ней системе координат ГВ-7В и равных им, но противоположно направленных сил1, приложенных к шатунному подшипнику (т.е. к шатуну), в связанной с последним системе координат Тш-71и (см. рис. 6.1).
На вал действуют силы Т и Z, определяемые в каждый момент времени по формулам (4.11). Принято геометрическую сумму этих сил Q = T + (Z -Сшк) изображать в виде векторной диаграммы. С геометрической точки зрения указанная векторная диаграмма является годографом силы Q - т.е. геометрическим местом концов векторов Q, построенных в каждый момент времени из общего начала. Такая диаграмма позволяет установить величину, направление и точку приложения равнодействующей силы, приложенной к шейке (подшипнику) в любой момент времени (при любом значении угла поворота коленчатого вала а ). Автоматизация построения векторных диаграмм эффективно достигается применением современных вычислительных средств.
Векторная диаграмма нагрузок на шатунную шейку рядного двигателя (или V-образного с последовательным расположением шатунов на шатунной шейке коленчатого вала) показана на рис. 6.2. При построении [по двум известным координатам Т и (Z-Cm к)] каждой точки диаграммы рядом с ней надписывается соответствующее значение угла (отдельные характерные значения последних нанесены на рис. 6.2; прочие значения не изображены вследствие высокой плотности точек на диаграмме). В литературе приводится несколько иной способ построения диаграммы нагрузок на шатунную шейку: предварительно она выстраивается по известным значениям сил Т и Z, а затем начало координат из первоначального положения О смещается в положение О\ вдоль оси Z (в сторону ее положительных значений) на величину центробежной силы Сш к. Способ построения не влияет на конечный результат.
1 Согласно 3-у закону Ньютона.
НАГРУЗКИ НА ШАТУННУЮ ШЕЙКУ И ШАТУННЫЙ ПОДШИПНИК j67
Рис. 6.2. Векторная диаграмма нагрузок на шатунную шейку рядного двигателя и ориентация звеньев КШМ
Проведенный из нового центра О\ в любую точку диаграммы вектор Q дает направление и модуль (в масштабе чертежа) равнодействующей силы, приложенной к шейке при соответствующем значении а угла поворота коленчатого вала.
Описанный способ построения векторной диаграммы нагрузок на шатунную шейку пригоден и для V-образного двигателя с последовательным расположением шатунов на этой шейке. В разных литературных источниках изложение этого вопроса различается. В [95] предлагается учитывать одновременное воздействие на шатунную шейку двух связанных с ней шатунов. Однако каждый из них действует лишь на одно сечение шейки и обусловлива
168 НАГРУЗКИ НА ШЕИКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
ет его изнашивание. Прочность и жесткость колена в настоящее время определяются расчетом с использованием МКЭ. Поэтому нам представляется более корректным описанный способ построения диаграмм нагрузок на шейку.
Для двигателей с КШМ сочлененного типа шатунная шейка действительно испытывает одновременное воздействие на одно и то же сечение со стороны двух шатунов. Поэтому при построении таких диаграмм предварительно следует вычислить значения сил 7Х/ и Z&, действующих на шейку в один и тот же /-й момент времени (при одном и том же значении угла поворота коленчатого вала) со стороны /-х цилиндров правого и левого рядов, поршни которых связаны с рассматриваемой шейкой. Расчетные формулы имеют вид
Для двигателей с вильчатыми шатунами необходимо учитывать только сдвиг по углу поворота коленчатого вала зависимостей Т^п = /(а) и Тил = /(а), обусловленный порядком работы цилиндров. Такой же сдвиг имеет место для зависимостей Z,yn=/(a) и =/(а). Для двигателей с прицепными шатунами помимо углового сдвига следует учитывать и различие указанных зависимостей, обусловленное неидентичностью законов изменения сил в цилиндрах правого и левого рядов. Принципиальный вид векторной диаграммы нагрузок на шатунную шейку вала двигателя с КШМ сочлененного типа показан на рис. 6.3. Отмеченные значения углов а и eq соответствуют моментам вспышки топлива в каждом из цилиндров, поршни которых связаны с расчетной шейкой. Величина смещения начала координат из старого центра О в новое положение О] определяется в соответствии с формулой
Сшк —
где гпш - суммарная масса двух шатунов (центрального и вильчатого или главного и прицепных), приводимая к шатунной шейке.
НАГРУЗКИ НА ШАТУННУЮ ШЕЙКУ И ШАТУННЫЙ ПОДШИПНИК 169
Рис. 6.3. Векторная диаграмма нагрузок на шатунную шейку V-образного двигателя с КШМ сочлененного типа
Диаграмма нагрузок на шатунный подшипник может быть построена графоаналитическим или аналитическим способами. Графоаналитический способ, достаточно подробно описанный в ряде литературных источников [35, 74], в настоящее время утрачивает свое значение, а потому в данном издании не рассматривается.
Аналитический способ (его применение было показано выше для исследования кинематики пространственных механизмов) связан с использованием преобразований координат и выражением силы £?в = {ГВ ZB} и равной ей по модулю, но противоположно направленной силы = {ГШ 7Ш} = {-Гв -ZB} в разных системах координат, связанных соответственно с валом и шатуном. Для этого сформируем матрицу направляющих косинусов этих систем, элементы которой - значения косинусов углов между парами координатных осей, относящихся к разным системам (см. рис. 6.1)
170 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
со$(Тв,Тш) со5(гв,Тш) = cos(a + p) -sin(a + p)
1 со5(Тв,7ш) со5(2в,7ш)	sin(a + p) cos(a + P)
Здесь символами cos(TB, 7ju) и пр. обозначены косинусы углов между осями Тъ системы координат, связанной с коленчатым валом, и системы координат, связанной с подшипником (поскольку последний жестко связан с шатуном, то и вторая система тоже считается связанной с шатуном).
С учетом этого найдем
= [C]J
(6-4)
Выполнив в равенстве (6.4) перемножение матриц, получим (рис. 6.4)
= ~Ть cos(“ + ₽) + (ZB - Сш.к)8'п(а + Р)’ 7Ш 7'Bsin(cx + Р) — (7В — Сщ к )cos(a + Р).
(6.4 а)
Следует заметить, что построенная по изложенной методике векторная диаграмма (рис. 6.4) отличается от традиционно приводимых в литературе (см., например, [21, 35, 74]).
Взаимное расположение звеньев КШМ и векторных диаграмм нагрузок на них показано на рис. 6.5.
Для V-образных двигателей с КШМ сочлененного типа векторная диаграмма нагрузок на шатунный подшипник показана на рис. 6.6; здесь (как и на диаграмме нагрузок на шейку) присутствуют два максимума, соответствующие вспышкам топлива в двух цилиндрах, поршни которых связаны с данной шейкой.
Векторные диаграммы нагрузок на шейки и подшипники позволяют найти не только модуль и направление, но и точку приложения силы, действующей на эти детали. Определяя точки, следует перемещать вектор, изображающий силу при рассматриваемом значении угла поворота коленчатого вала, вдоль линии действия последней таким образом, чтобы конец этого вектора совместился с поверхностью шейки или подшипника (рис. 6.7). Знание точек приложения сил необходимо для последующего построения диаграмм относительного изнашивания шеек или подшипников.
НАГРУЗКИ НА ШАТУННУЮ ШЕЙКУ И ШАТУННЫЙ ПОДШИПНИК )7|
Рис. 6.4. Векторная диаграмма нагрузок на шатунный подшипник рядного двигателя и ориентация относительно нее звеньев КШМ
Суммарные силы, действующие на шатунную шейку или подшипник, определяются по формулам (рис. 6.8)
172 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 6.5. Взаимное положение КШМ и векторных диаграмм нагрузок на шатунную шейку и шатунный подшипник
НАГРУЗКИ НА ШАТУННУЮ ШЕЙКУ И ШАТУННЫЙ ПОДШИПНИК 173
Рис. 6.6. Векторная диаграмма нагрузок на шатунный подшипник V-образного двигателя с КШМ сочлененного типа
С помощью одной из зависимостей (они одинаковы) =/(«) и =/(а) определяются максимальные ^|Пах и средние1 (?Ср значения нагрузок на шейку и подшипник (см. рис. 6.9). Понятно, что такие значения не могут полностью характеризовать погруженность шейки или подшипника вследствие различий в уровнях форсирования двигателя и размерах коленчатых валов. Более корректной является оценка нагруженности по величине удельных давлений на шейку (подшипник), определяемых по выражениям
(/max
C?max .	_ ^СР
(6.5)
где /п и с/п - длина опорной части и диаметр подшипника.
В некоторых литературных источниках приводятся ориентировочные значения удельных давлений в шатунных подшипниках для двигателей различных типов. Так, в [15, 20] даны такие величины дср (табл. 6.1).
1 Среднее значение нагрузки может быть определено аналогично вычислению среднего крутящего момента, в частности, с использованием формулы Симпсона и т.п.
174 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
б)
Рис. 6.7. Определение точек приложения нагрузок на шатунную шейку (а) и шатунный подшипник (б) вала:
1 - величина и направление силы Q\ 2 - поверхность шатунной шейки (подшипника); 3 - точка приложения силы Q к шатунной шейке;
4 - точка приложения силы Q к шатунному подшипнику
НАГРУЗКИ НА ШАТУННУЮ ШЕЙКУ И ШАТУННЫЙ ПОДШИПНИК 175
Рис. 6.8. Суммарная нагрузка на шатунный подшипник рядного двигателя
Рис. 6.9. Схема нагружения колена вала
176 НАГ РУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
6.1. Значения среднего удельного давления г/ср в шатунных подшипниках ДВС
Назначение, тип двигателя	Яср, МПа
Автомобильные бензиновые	3,5-5,0
Автомобильные дизели	5,0-8,5
Судовые МОД	2,0 - 5,0
Судовые СОД и ВОД	4,0 - 9,0
Форсированные V- и звездообразные	до 15,0
В последние годы актуальность расчетов удельных давлений в подшипниках по формулам (6.5) заметно снизилась: несущая способность подшипника определяется и лимитируется не этими значениями, а максимальным и средним удельными давлениями в смазочном слое, которые существенно отличаются от приведенных в табл. 6.1. Так, в [108] указано, что для дизелей максимальное давление в смазочном слое толщиной 2 мкм может достигать 250 МПа при окружной относительной линейной скорости шейки в подшипнике 12 м/с. Кроме того, установлено, что существенное влияние на реальную нагруженность подшипников оказывает из-гибная (вдоль длины коленчатого вала) жесткость корпуса двигателя: реально замеренные удельные давления в смазочном слое крайних и средних коренных подшипников рядного 6-цилиндрового дизеля 6ЧН 11/13,57 вследствие указанной причины отличаются в 1,4 раза [120].
Величины средних удельных давлений в смазочном слое шатунных подшипников qCM некоторых отечественных автомобильных и тракторных двигателей (по данным Ю.Н. Никитина) приведены в табл. 6.2.
Современные антифрикционные материалы, применяемые для изготовления подшипников, позволяют при условии надлежащей обработки выдерживать указанные значения удельных давлений. Так, алюминиевое покрытие АО-20 рабочей поверхности подшипника допускает qCM до 28 МПа; АО-6 - до 32 МПа; трехслойныи подшипник с антифрикционным слоем из алюминиево-цинко-кремниевого сплава-до 45 МПа, а из свинцовистой бронзы - до
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
177
6.2. Удельные давления в смазочном слое шатунных подшипников, МПа
Двигатель	*7см	Двигатель	Ясм
Д-37Е	27,05	Д-144	27
Д-145Т	37	Д-181	48,5
Д-50	20	Д-240	20
Д-240Т	23,5	Д-260Т	35
Д-260ТН	37,5	СМД-14	20
СМД-17К	20	СМД-19	35,5
С МД-21	36,5	СМД-60	32
С МД-62 М	41	СМД-72	42,5
СМД-84	43	А-41	26,5
А-41Т	38	А-90Т	34,5
8ДВТ-330	32,5	8ДВТ-440	38
ЯМЗ-240Н	33	ЯМЗ-840	40
КамАЗ-740	42	ЗИЛ-645	47,5
70 МПа. Выявлен значительный положительный эффект от применения на двигателях с высокими уровнями форсирования подшипников Rillenlager конструкции фирмы Miba Gleitlager AG (Австрия).
6.2. НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
Коренные шейки нагружаются реакциями со стороны корпуса двигателя, обусловленными действием на шатунную шейку тангенциальной, радиальной и центробежной сил (рис. 6.10). При расчете коленчатого вала по так называемой разрезной схеме проф. Р.С. Кинасошвили (при этом коленчатый вал и корпус принимаются абсолютно жесткими телами) считают, что нагрузки, действующие на шатунную шейку, полностью воспринимаются двумя расположенными рядом с рассматриваемым кривошипом коренными шейками. В действительности воздействие на ту или иную шатунную шейку передается не только на близлежащие, но и на удаленные коренные опоры.
178 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 6.10. Пространственная схема нагружения коренной шейки, расположенной между двумя кривошипами
В общем случае будем считать, что шатун располагается несимметрично относительно плоскости симметрии кривошипа, проходящей перпендикулярно оси его вращения (подобные конструкции в действительности встречались на практике - например, двигатель автомобиля ГАЗ-51). При этом расстояния Г и /", в сумме составляющие длину пролета кривошипа Z, не равны между собой.
Если на шатунную шейку действуют указанные выше тангенциальная Г, радиальная Z и центробежная СНвм силы, то на коренные шейки со стороны коренных опор действуют реакции R'T, R", R'z, Rg, R'c, R^ . Они могут быть определены по формулам
(6.6)
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
179
При симметричном расположении шатуна на шейке вала формулы (6.6) упрощаются
Л'=Л; = _£; = (6.6а)
Теперь рассмотрим коренную шейку, нагруженную реакциями, которые обусловлены действием на соседние z-ю и у-ю шатунные шейки соответствующих тангенциальных 7}; радиальных Z„ Zz и центробежных С„ С, сил (рис. 6.10). Плоская схема нагружения этой шейки реакциями со стороны коренной опоры дана на рис. 6.11. В общем случае угол развала смежных кривошипов вала равен ук. С расчетной коренной шейкой свяжем систему координат Тл - ZB, в которой следует выразить составляющие и ZlB равнодействующей силы, приложенной к шейке. Предварительно по формулам (6.6) или (6.6 а) следует рассчитать значения реакций pr D" D* D" Р' к7 , itT, Kz, кс .
ZB
Рис. 6.11. Плоская схема нагружения коренной шейки, расположенной между двумя кривошипами
180 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Спроецируем все реакции, приложенные к шейке, на каждую из показанных на рис. 6.11 координатных осей. После несложных тригонометрических и алгебраических преобразований окончательно получим
= ~RTi - RTj C0SYk - RCj sin Yk + RZj sin Yk ;
ZLb = RC, - RZ, - RZj C0SYk + RCj c0SYk - RTj Sln Yk-
Диаграммы нагрузок на коренные шейки одного и того же двигателя (в отличие от векторных диаграмм нагрузок на шатунные шейки) оказываются различными. Причиной этому служат различия значений угла развала смежных кривошипов и величины сдвига фаз в работе цилиндров, нагружающих каждую шейку. В качестве примера на рис. 6.13-6.17 показаны такие диаграммы для I ... V коренных шеек1 вала 6-цилиндрового рядного двигателя с порядком работы 1 - 5- 3- 6- 2- 4 так называемым «зеркальным»2 коленчатым валом, схема которого приведена на рис. 6.12 (такие валы могут иметь также и 12-цилиндровые V-образные двигатели).
Как и для шатунных шеек, вектор 0В, проведенный из начала координат в любую точку диаграммы, выражает в масштабе построений величину и указывает направление действия суммарной нагрузки, приложенной к коренной шейке со стороны коренных опор. При реализации указанного алгоритма расчета и построения оказываются учтенными уже центробежные силы инерции, развиваемые НВМ (в отличие от алгоритма расчета, данного в [21, 35, 74]). Точки приложения силы QR к поверхности шейки находятся способом, аналогичным таковому для шатунных шеек. На рис. 6.13, 6.14 и пр. для угла поворота вала (Х| такой точкой приложения является точка Л.
1 В данном случае первой считается коренная шейка, расположенная перед 1-м кривошипом; второй - перед 2-м и т.д. Таким образом, седьмая коренная шейка располагается за последним кривошипом вала. Вследствие высокой плотности значения углов поворота коленчатого вала на диаграммах не обозначены.
2 Вал назван «зеркальным» в связи с симметрией относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр средней коренной шейки. Подобные коленчатые валы способствуют лучшей внешней уравновешенности двигателя (см. ниже).
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
181
Рис. 6.12. «Зеркальный» коленчатый вал 6-цилиндрового рядного двигателя
Рис. 6.13. Векторная диаграмма нагрузок на 1 коренную шейку 6-коленного «зеркального» вала рядного двигателя
182 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 6.14. Векторная диаграмма нагрузок на II коренную шейку 6-коленного «зеркального» вала рядного двигателя
Рис. 6.15. Векторная диаграмма нагрузок на III коренную шейку 6-коленного «зеркального» вала рядного двигателя
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
183
Рис. 6.16. Векторная диаграмма нагрузок на IV коренную шейку 6-коленного «зеркального» вала рядного двигателя
Рис. 6.17. Векторная диаграмма нагрузок на V коренную шейку 6-коленного «зеркального» вала рядного двигателя
184 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
При расчете векторных диаграмм нагрузок на коренные шейки V-образного двигателя схема их нагружения предварительно сводится к схеме нагружения рядного двигателя (рис. 6.18).
Рис. 6.18. К расчету векторных диаграмм нагрузок на коренную шейку V-образного двигателя
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
185
Расчетная коренная шейка V-образного двигателя нагружается со стороны двух цилиндров, расположенных в левом ряду, тангенциальными силами Т1Л и 7}л, радиальными силами Zin и Zjn. Со стороны цилиндров правого ряда действуют аналогичные силы Г/п, 7}п, Z/n, Zjn. При вычислениях для каждого расчетного момента времени значения всех сил рассматриваются с учетом сдвига, обусловленного порядком работы цилиндров.
Вычислим суммарную реакцию опоры, действующей на расчетную коренную шейку. Она складывается из составляющих (см. рис. 6.11) /?;,/?;, /?z , R"z ,R'T ,rt >rz >rz ’fy > 4 r	'in 'in ^in ^in ' jn ' jn jn jn J v J
определяемых по формулам:
R’z	<6-8)
in J'1 J
Принимается, что центробежные силы инерции НВМ С, и С7 приложены в средних сечениях z-й и j-й шатунных шеек и определяются по формуле
С = Cj = линвм СО2/? =(тик 4- 2тш к) со2/?,
где тк - приведенная масса кривошипа; тшк - масса шатуна, приведенная к шатунной шейке коленчатого вала.
При практических расчетах с учетом малых размеров шеек можно пользоваться упрощенными выражениями
186 НАГРУЗКИ ИА ШПИКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛВИЧА ГОЮ ВАЛА
(6.8 а)
В остальном расчет параметров векторной диаграммы нагрузок на коренную шейку коленчатого вала V-образного двигателя аналогичен подобным расчетам рядного двигателя. Принципиальный вид векторной диаграммы нагрузок на одну из шеек вала 8-цилиндрового V-образного двигателя (схема показана на рис. 4.19) приведен на рис. 6.19. Интерпретация диаграмм (смысл вектора QKlII, положение точки А приложения равнодействующей силы и пр.) аналогична для диаграмм нагрузок рядного двигателя. При этом следует обратить внимание на наличие четырех максимумов значений силы что соответствует моментам вспышек топлива в каждом из четырех цилиндров, нагружающих расчетную шейку. Пример зависимости силы ^К111 от угла поворота вала V-образного двигателя показан на рис. 6.20.
Рассмотрим определение нагрузок на коренной подшипник рядного двигателя. Эта задача сводится, как и для шатунного подшипника, к вычислению компонент вектора Qn = -QB равнодействующей нагрузки на подшипник в системе координат Тп - Zn (QB - равнодействующая нагрузки, действующей на шейку вала, компоненты которой 7^в, ZZh в системе Гв - ZB, связанной с коленчатым валом, определяются по равенствам 6.7).
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
187
Рис. 6.19. Векторная диаграмма нагрузок на II коренную шейку 4-коленного вала 8-цилиндрового V-образного двигателя
Рис. 6.20. Зависимость равнодействующей нагрузки на II коренную шейку коленчатого вала V-образного двигателя
188 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рассмотрим первоначально расчет нагрузок на коренной подшипник рядного двигателя. Свяжем с расчетным подшипником указанную систему координат Тп - Zn (рис. 6.21). Ось Zn располагается вдоль радиуса кривошипа с меньшим номером. При произвольном значении угла поворота коленчатого вала а взаимосвязь векторов QB и Qn описывается матричным уравнением
cos а
-sin а
sin а
cosa
(6.9)
или
Тп = -Г1в cosa-ZIesina;
(6.9 a)
Zn =7’vBsina-ZvB cosa.
Векторные диаграммы нагрузок на коренные подшипники 6-цилиндрового рядного двигателя показаны на рис. 6.22 - 6.26. В отличие от диаграмм нагрузок на коренные шейки при определении точки приложения силы Qn вектор этой равнодействующей нагрузки не перемещается вдоль линии ее действия.
Рис. 6.21. К расчету нагрузок на коренной подшипник рядного двигателя
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
189
Рис. 6.22. Векторная диаграмма нагрузок на 1-й коренной подшипник 6-цилиндрового рядного двигателя с «зеркальным» валом
Рис. 6.23. Векторная диаграмма нагрузок на 2-й коренной подшипник 6-цилиндрового рядного двигателя с «зеркальным» валом
190 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 6.24. Векторная диаграмма нагрузок на 3-й коренной подшипник 6-цилиндрового рядного двигателя с «зеркальным» валом
Рис. 6.25. Векторная диаграмма нагрузок на 4-й коренной подшипник 6-цилиндрового рядного двигателя с «зеркальным» валом
НАГРУЗКИ НА КОРЕННЫЕ ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ
191
Рис. 6.26. Векторная диаграмма нагрузок на 5-й коренной подшипник 6-цилиндрового рядного двигателя с «зеркальным» валом
Расчет параметров диаграммы нагрузок на коренной подшипник V-образного двигателя при предварительно определенных значениях компонент вектора QK ={ТВ ZB} нагрузки на коренную шейку производится следующим образом. В начальный момент времени при а = 0 системы координат, связанные с валом и подшипником, занимали показанное на рис. 6.27, а положение, при
котором углы между одноименными координатными осями равны половине угла развала цилиндров. При повороте вала на некото-
рый угол а О (рис. 6.27, б) угол между этими осями становится
равным
; тогда
(6.10)
192 НАГРУЗКИ НА ШЕИКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 6.27. К расчету нагрузок на коренной подшипник V-образного двигателя: а-а = 0;б-а*0
или
7п = -^bCOS
(6.10 а)

6.3. ДИАГРАММЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ИЗНАШИВАНИЯ ШЕЕК И ПОДШИПНИКОВ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Векторные диаграммы нагрузок на шейки и подшипники позволяют спрогнозировать профиль изношенной шейки или подшипника, отображаемый на диаграммах относительного изнашивания этих деталей. Следует заметить, что диаграммы относительного износа не позволяют определить абсолютные значения глубины изношенной поверхности, скорости изнашивания и пр. Они
ДИАГРАММЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ИЗНАШИВАНИЯ
193
дают лишь возможность сделать сравнительную оценку величины износа в разных точках шейки (подшипника) и установить профиль изношенной поверхности.
При построении диаграммы износа делается допущение о том, что износ некоторого участка шейки (подшипника) пропорционален величине действующей на этот участок суммарной силы. Таким образом, большая по величине сила Fb приложенная к данному участку, вызывает больший износ Л] (рис. 6.28). Вместе с тем считается, что изнашивается не только поверхность шейки (подшипника) в непосредственной близости от точки приложения силы, но и достаточно протяженная поверхность АВ или CD детали, охватываемая дугой в 120° (этим учитывается податливость самой шейки и шатуна; заметим, что вопрос о величине дуги до сих пор обсуждается).
Рис. 6.28. К построению диаграммы относительного износа шейки коленчатого вала
7 — 8013
194 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Если в некотором направлении в разные моменты времени действуют п различных по величине сил, сумма которых равна Лг =	+ Flc + ... + F/n, то суммарный износ соответствующей
поверхности будет пропорционален суммарной величине силы.
При построении диаграммы относительного изнашивания в центре соответствующей векторной диаграммы нагрузок (точка О\ для диаграммы нагрузок шатунной шейки - см. рис. 6.2 - или начале координат для остальных звеньев КШМ) вычерчивают окружность, которую разбивают на равные секторы. Число секторов обычно берут кратным 12 (при увеличении числа секторов диаграмма получается более точной, хотя процесс построения становится более трудоемким).
В соответствии со сформулированными выше предположениями на векторной диаграмме с построенной вспомогательной окружностью измеряются длины отрезков от центра окружности О\ до пересечения с каждой линией векторной диаграммы (см. точки а, Ь, с и пр. на рис. 6.29), т.е. Oj<7, O\b. О\С и т.п. Суммарная длина этих отрезков пропорциональна суммарной силе, действующей на шейку и приложенной в точке 7 (определение точки приложения сил на векторных диаграммах нагрузок шеек и подшипников рассмотрено выше).
В соответствии с предположением о распространении действия силы, приложенной в некоторой точке поверхности шейки или подшипника, на сектор протяженностью 120° такой же нагрузке подвергаются точки поверхности шейки вала (подшипника), лежащие внутри секторов 6-7и5-6, а также 7 - 8 и 8 - 9. Число т заносится в соответствующие столбцы вспомогательной таблицы (табл. 6.3).
Затем производится измерение суммарной длины отрезков, идущих от центра О\ до точек пересечения линий векторной диаграммы продолжением луча 2 (на рис. 6.29 имеет место одна такая точка У). Если эта суммарная длина равна п, то в соответствии с положением точки приложения сил (точка 8) и распространением зоны износа на 60° в обе стороны от точки приложения сил число п заносится в графы 6 ... 10 табл. 6.3.
ДИАГРАММЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ИЗНАШИВАНИЯ
195
Рис. 6.29. К построению диаграммы относительного изнашивания шатунной шейки коленчатого вала
6.3. К построению диаграммы относительного изнашивания
Лучи вспомогательной окружности											
/	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
				т	т	т	т	т			
					п	п	п	п	и		
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
Е/	Е2	ЕЗ	Z4	Е5	Е6	Е7	ES	ЕР	Е/0	Е//	Е72
7
196 НАГРУЗКИ НА ШЕЙКИ И ПОДШИПНИКИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
После заполнения указанным образом всей таблицы производится суммирование значений в графах; при этом определяются числа L/, Е2, Z3 и т.д., которые заносятся в последнюю строку таблицы. Отложив эти числа (в масштабе) на лучах вспомогательной окружности и соединив их плавной линией, получим диаграмму относительного износа шейки (рис. 6.30).
Диаграмма относительного износа подшипника строится аналогично (с учетом лишь местоположения точки приложения нагрузки к поверхности подшипника, о чем сказано выше).
Практическое значение диаграмм относительного износа заключается в предварительном выборе положения маслоподводящего отверстия. Его следует располагать в ненагруженной части шатунной шейки перед началом зоны интенсивного износа по ходу вращения коленчатого вала (рис. 6.30). При этом обеспечивается малая величина противодействия вытеканию масла из отверстия в зазор между шейкой коленчатого вала и поверхностью подшипника с образованием устойчивого масляного клина между этими деталями. Окончательно положение маслоподводящего отверстия определяется впоследствии при прочностном расчете коленчатого вала.
Ось масляного отверстия
Рис. 6.30. Диаграмма относительного изнашивания шатунной шейки коленчатого вала
7. АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Считается, что именно анализ уравновешенности поршневых машин, выполненный Ж. Понселе в 1829 г., позволил выделить динамику поршневых ДВС в самостоятельный раздел двигателе-строения.
При движении с ускорениями звенья преобразующего механизма, обладающие массой (моментом инерции), развивают силы инерции. Последние способны передаваться на корпус двигателя и далее на подмоторную конструкцию транспортного средства, что ухудшает комфортабельность и служит одной из причин возникновения вибраций. Помимо внешнего проявления вредного воздействия сил инерции и их моментов имеет место внутреннее их проявление, заключающееся в дополнительном нагружении деталей самого двигателя. С учетом современных ограничений по уровню шума и вибраций транспортных двигателей обеспечение их уравновешенности стало одной из наиболее важных проблем двигателестроения.
Двигатель считается внешне уравновешенным, если на его опоры не действуют переменные по величине и направлению силы инерции и их моменты. Анализ уравновешенности двигателя с точки зрения статики является задачей о приведении системы сил инерции к некоторому центру.
Поскольку в двигателе с КШМ действуют силы инерции Pj\ пдм, Pji пдм и С нвм, развиваемые ПДМ (1-го и 2-го порядков) и НВМ соответственно, при анализе уравновешенности необходимо проверить выполнение равенства нулю главных векторов Rj и главных моментов М} указанных сил, т.е.
198
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
или в скалярной форме [после проецирования векторных равенств (7.1) на оси координат]
Я] jX - 0;	R\ jy - о.	R\jz = o,
Rijx=°;	R2jy ~	R2 jz ~
Rc = <Х	Rc 1У	^=0;
М1А = 0;	Mxjy = 0;	M\jz = 0,
	= 0;	Л/2уг = 0;
Мс =0;	Mr = 0; ^jy	Mc =0. k J=
(7.167)
В равенствах (7.1) и (7.1 а) индексы «1», «2», «С» относятся соответственно к силам (моментам) инерции 1-го, 2-го порядков ПДМ и центробежным силам НВМ.
Выбор системы координат, в которой производится анализ внешней уравновешенности двигателя, вообще произволен, но при удачном выборе этой системы некоторые из скалярных равенств (7.1 а) становятся тождественно равными нулю, вследствие чего сам анализ существенно упрощается. Так, для рядного двигателя (рис. 7.1) целесообразно выбирать начало координат в среднем сечении коленчатого вала, ось Oz совмещать с осью вращения вала (выбор начала координат и описанное направление оси Oz остаются такими же во всех случаях), ось Оу располагать вдоль осей цилиндров, а третью ось Ох размещать таким образом, чтобы образовывалась «правая» система координат. Выбор положительного направления оси Оу обосновывается ранее принятым допущением о знаке сил в КШМ (см. гл. 4), согласно которому силы считаются положительными, если они направлены к оси вращения коленчатого вала.
В случае анализа уравновешенности V-образного двигателя с углом развала цилиндров уц = 90° удобно располагать оси Ох и Оу вдоль осей цилиндров левого и правого рядов (рис. 7.2, а). Во всех остальных случаях примем показанное на рис. 7.2, б расположение координатных осей, при котором отрицательная полуось Оу делит угол развала цилиндров пополам, а ось Ох образует с двумя другими «правую» систему координат.
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
199
Р/1ПДМ
Рис. 7.1. Система сил инерции в 4-цилиндровом рядном двигателе и выбор системы координат для анализа его уравновешенности
Рассмотрим анализ уравновешенности 4-цилиндрового рядного двигателя с плоским «зеркальным» коленчатым валом и 8-цилиндрового V-образного двигателя с крестообразным валом (их схемы приведены выше на рис. 4. 13 и 4.19).
200
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.2. Возможные варианты выбора систем координат при анализе внешней уравновешенности двигателя: а - V-образного с углом развала цилиндров уц = 90°;
б - V-образного с произвольным углом развала цилиндров
7.1. АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ РЯДНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Дополнительно к рис. 7.1 будем использовать при этом анализе рис. 7.3. Анализ уравновешенности следует проводить при произвольном значении угла поворота коленчатого вала.
Как было отмечено выше, выбор показанной на рис. 7.1 системы координат позволяет существенно упростить условия уравновешенности рассматриваемого двигателя, которые в данном случае принимают вид
Rj\y - о;
Rcr =0; Л/?|Д.=О; мсу = °;
Rj2y = °;
RCi = 0;
Л/‘2л.=0;
Мс = 0.
(7.2)
АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ РЯДНОГО ДВИГАТЕЛЯ 201
Рис. 7.3. К анализу уравновешенности 4-цилиндрового рядного двигателя
При анализе уравновешенности двигателя следует выполнить проверку истинности условий (7.2) при произвольном значении угла поворота коленчатого вала а. Начнем такую проверку с сил инерции ПДМ 1-го порядка. Запишем их выражения для каждого цилиндра двигателя.
В 1-м цилиндре в произвольный момент времени сила инерции ПДМ 1-го порядка равна (принадлежность силы или момента тому или иному цилиндру будем обозначать соответствующим надстрочным индексом в круглых скобках)
РФ = - /77ПдМ/?со2со5а = -Tfcosa,	(7.3)
где Р\ = /иПдм Лео2 - амплитудное значение силы инерции ПДМ 1-го порядка.
202
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
В то время, как кривошип 1-го цилиндра повернут по отношению к оси последнего на угол а, угол поворота 2-го кривошипа (отсчитываемый от оси 2-го цилиндра по ходу вращения коленчатого вала до плоскости 2-го кривошипа) равен (а + 180°), вследствие чего сила инерции ПДМ 1 -го порядка для этого цилиндра запишется
Р^ = -/иПдМЯсо2со5^а +180°^ = Z^cosa .	(7.4)
С учетом одинакового расположения 1-го и 4-го кривошипов (и равенства их углов поворота) развиваемые ПДМ этих цилиндров силы инерции равны и определяются равенством (7.3). По той же причине Р^ = Р^ (см. формулу 7.4).
В общем случае найденные силы инерции следует спроецировать на оси координат и найти проекции их главного вектора /?7|Г и Rj\y. Но в нашем случае это сводится к простому суммированию найденных по формулам (7.3) и (7.4) выражений, поскольку линии действия всех сил параллельны оси Оу, а ее направление выбиралось с учетом ранее принятых допущений о знаках сил:
Rj।v = -P|Cos a + Picos a + Picos a - Picos a = 0.
Равенство нулю главного вектора сил инерции ПДМ 1-го порядка выполняется при любом значении угла поворота вала, следовательно, эти силы в рассматриваемом двигателе уравновешены.
Проведем аналогичный анализ уравновешенности сил инерции ПДМ 2-го порядка. Запишем их выражения для любого значения угла а. При этом будем помнить, что величина и направление сил инерции ПДМ 2-го порядка определяются величиной и направлением ускорения поршня 2-го порядка, зависящего от двойного угла поворота коленчатого вала (см. формулы 4.3)1.
1 При практических расчетах удобно пользоваться ранее полученными формулами для сил инерции ПДМ 1-го порядка, в которых при записи выражений сил 2-го порядка следует удвоить значения углов поворота коленчатого вала.
АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ РЯДНОГО ДВИГАТЕЛЯ 203
Р^2 =	~ ~///пдм^(о2со52а = -/2cos2a ;
Pj2) = Рух ~ -^ПдМ/?Хо)2со5 2(а +180°) = -P2cos2a.
(7.5)
Здесь Р2 =тиПдМ/?Хсо2 - амплитудное значение силы инерции ПДМ 2-го порядка (X - постоянная КШМ).
Проецирование всех сил инерции ПДМ 2-го порядка на ось Оу приводит к выражению
Rj2 = -4Р2 cos2a 0,	(7.6)
которое означает, что силы инерции ПДМ 2-го порядка в 4-ци-линдровом рядном двигателе с плоским зеркальным валом не уравновешены. При современных уровнях форсирования двигателей эти силы в сумме могут достигать весьма существенных значений. Так, для автомобильного двигателя ЗМЗ-406 (автомобиль ГАЗ-2410) при п = 4500 мин'1, R - 0,046 м, ///пдм = 0,999 кг, X = 0,228 величина суммарной неуравновешенной силы инерции ПДМ 2-го порядка превышает 9000 Н, что сопоставимо с весом самого автомобиля (масса в зависимости от комплектации составляет 1400 ... 1550 кг). При движении автомобиля с таким неуравновешенным двигателем эта сила дважды за каждый оборот коленчатого вала прижимает двигатель к подмоторной конструкции (сверх усилий крепления двигателя к амортизаторам), либо отрывает его (рис. 7.4). В этих условиях обеспечение долговечности амортизаторов становится затруднительным. Конструкции современных 4-цилиндровых автомобильных двигателей, как правило, включают специальный балансирный механизм для уравновешивания сил инерции ПДМ 2-го порядка (его устройство рассмотрено ниже).
Для анализа уравновешенности центробежных сил инерции, развиваемых НВМ, можно воспользоваться системой координат Ox\yBzB, связанной с коленчатым валом (рис. 7.3). Ось OzR совпадает с осью вращения коленчатого вала и осью Oz основной неподвижной системы координат, ось Оуъ расположена в плоскости
204
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.4. Изменение относительной величины суммарной неуравновешенной силы инерции ПДМ 2-го порядка в 4-цилиндровом рядном двигателе с плоским коленчатым валом
кривошипов, а ось Охв образует с ними правую систему координат. Взаимосвязь компонент главного вектора и главного момента центробежных сил, выражаемых в основной неподвижной
А*Сх
МСу
> и связанной с валом <
КхД
системах
координат описывается матричными уравнениями:
cosa since
-sina cosa
\мСу
cosa sina
-sina"I (Л^сх
i B cosa A/c
(7-7)
(7-7 a)
АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ РЯДНОГО ДВИГАТЕЛЯ 205
Указанные центробежные силы Ci - С4 (рис. 7.3) определяются по формуле (4.2); они равны по модулю и всегда ориентированы вдоль радиусов соответствующих кривошипов от оси вращения коленчатого вала. В нашем случае в подвижной системе координат эти силы проецируются только на ось Оуъ и их главный вектор равен нулю. Поскольку главный вектор любой системы сил является одним из инвариантов статики, равенство RjC = 0 сохраняется и в основной неподвижной системе координат.
Перейдем к анализу моментов системы сил инерции 1-го порядка. Главный момент этой системы определится по выражению (d- межцилиндровое расстояние)

3<7	„ d nd n3d
—cosa + Ру —cosa - A —cosa + Я —cosa =
2	1 2	1 2	2
Аналогично найдется главный момент системы сил инерции ПДМ 2-го порядка
3d ~	_ d _ _d _ n 3d
Ру —cos2a - А — cos2a + Я> — cos2a + А —cos2a = 0.
2 2	2 2	2	2	2
Таким образом, моменты сил инерции ПДМ 1-го и 2-го порядков в двигателе уравновешены.
Найдем компоненты главного момента системы центробежных сил в связанной с коленчатым валом системе координат.
МСх,
3d d d 3d п — + С2-С3 —+ С4— = 0.
7	1 7 J 7	4 7
Поскольку МСх = 0, то по формуле (7.7, а) получаем, что главный момент системы центробежных сил инерции НВМ также уравновешен.
206
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
7.1. Параметры уравновешенности рядного 4-цилиндрового двигателя с плоским коленчатым валом
Число и расположение цилиндров	Схема вала			%2	Л	Mi	Mj2	Me
4Р	7, _/	t	4 \	I	0	б гч (Л О О "з С *4. 7	0	0	0	0
	2,	f	г 3						
Результат анализа уравновешенности двигателя может быть представлен в табличной форме (табл. 7.1). В графы такой таблицы могут записываться в абсолютной или относительной форме как амплитудные значения неуравновешенных сил и моментов, так и расчетные выражения, позволяющие вычислить величины последних в произвольный момент времени. В ряде источников [35, 74 и др.] приведены подобные сведения для наиболее распространенных конструктивных схем ДВС.
7.2. АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ 8-ЦИЛИНДРОВОГО V-ОБРАЗНОГО ДВИГАТЕЛЯ
С УГЛОМ РАЗВАЛА ЦИЛИНДРОВ уц = 90°
На рис. 7.5 изображена плоская схема коленчатого вала такого двигателя (пространственная схема приведена на рис. 4.19). При произвольном значении угла поворота 1-го кривошипа ос, отсчитанном от оси левого ряда цилиндров до плоскости указанного кривошипа, углы поворота кривошипов остальных цилиндров левого ряда равны: для 2-го кривошипа - (а + 90°); для 3-го -(а + 270°); для 4-го - (а + 180°).
АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
207
Рис. 7.5. К анализу внешней уравновешенности 8-цилиндрового V-образного двигателя
Углы поворота коленчатого вала для цилиндров правого ряда должны отсчитываться от осей этого ряда по ходу вращения вала до плоскости соответствующего кривошипа. В этом случае углы будут иметь значения: для 5-го цилиндра - (360 - 90)° + а; для 6-го - (360 - 90)° + (а + 90)°; для 7-го - (360 - 90)° + (а + 270)°; для 8-го - (360 - 90)° + (а + 180)°.
С учетом этого, выражения для сил инерции ПДМ 1-го порядка запишутся:
для цилиндров левого ряда
Р(||) = -/иПдМ Wcosoc = -Р{cos а;
Р^} = —Pjcos (ос + 90)° =P]Sina;
= -P1cos(oc + 270)° = -P|Sinoc;
Pjp = -P{cos (a -i-180)° =P]Cosa;
(7-8)
208
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
для цилиндров правого ряда
Р‘^ = -P|Cos(360-90 + а)° = -/jsin а; р(,6) =-P1Cos(360-90 + a + 90)° =-P!Cosa;
Pj,7) =-^cos(360-90 + a + 270)° = P,cosa; p^ =-P|COs(360-90 + a + 180)° =^sina.
(7.9)
Система сил инерции ПДМ 1-го порядка показана на рис. 7.6 (штрихом отмечены силы, модули которых определяются по выражению Pji cos а, двумя штрихами - по выражению PZ| sin а; на рисунке показаны только оси цилиндров, параллельно которым располагаются оси координат Ох и Оу, и ось вращения коленчатого вала, с которой совпадает координатная ось Oz).
Рис. 7.6. Система сил инерции ПДМ 1-го порядка в 8-цилиндровом V-образном двигателе
АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
209
Проецируя силы инерции ПДМ 1-го порядка на указанные оси координат, найдем проекции главного вектора (в нашем случае это действие существенно упрощается в связи с параллельностью координатных осей осям цилиндров). Равенство указанных проекций нулю означает, что силы инерции ПДМ 1-го порядка в рассматриваемом двигателе уравновешены.
=°;
'=	(7.10)
/=5
Аналогично для сил инерции ПДМ 2-го порядка можно записать (рис. 7.7)
- -^ПдМ/?со2Хсо8 2а = -Р2 cos2а ;
’ = -Л cos[2(a + 90)° ] = Р2 cos 2а;
PjP = ~^2 cos[2(a + 270)°] = -Р2 cos 2а;
Р$ = -Р2 cos[2(a +180)° ] = Р2 cos 2а.
Рд = -Р2 cos[2(360 - 90 + а)0 ] = Р2 cos2а;
Р$ = -р2 cos[2(360 - 90 + а + 90)° ] = -Р2 cos 2а;
Ру(Р =-P2cos[2(360-90 + a + 270)°] = -P2cos2a;
= -p2 cos[2(360 -90 + а + 180)°] = Р2 cos2а.
Находя проекции главного вектора сил инерции ПДМ 2-го порядка,
= '£Pj2 ’
'='	(7.13)
Л?2у =ZP7(2’
>=5
определяем, что эти силы в рассматриваемом двигателе также уравновешены, поскольку /?у2г = Rj2v = О-
210
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
(8)
Рис. 7.7. Система сил инерции ПДМ 2-го порядка в 8-цилиндровом V-образном двигателе
Главные моменты сил инерции ПДМ 1-го порядка найдутся по формулам (см. рис. 7.6)
„ 3d . л d „d 3d
/] —sina - Pi — cosa - P] — cosa - /, —since =
1 2	1 2
2
(7.14)
= -P| (3sina + coscc) 0.
n 3d d . d n3d
= Pt —cosa - Л —sina - Pi —cosa + P} —cosa = 1 2	2	2	2
= P] (3cosa - sina) 0.
(7.15)
АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
211
Отсутствие тождественного равенства нулю главных моментов системы сил инерции ПДМ 1-го порядка относительно координатных осей означает, что эти моменты не уравновешены. Для анализа возможности уравновешивания этих (а также любых других) неуравновешенных моментов и сил противовесами на коленчатом валу рассматривают их годографы. Применительно к нашему случаю такой годограф показан на рис. 7.8 (его построение осуществляется аналогично построению векторных диаграмм нагрузок на шейки и подшипники коленчатого вала). Годограф построен в координатных осях т}\х и у, величины которых (называемые относительными главными моментами неуравновешенных сил инерции ПДМ 1-го порядка) определяются по формулам
М,\х
=—-— = -3sina-cosa ;
ylx Pxd
m	— = 3cosa - sina.
yb P}d
Некоторые точки годографа отмечены значением соответствующего угла поворота коленчатого вала. Момент сил инерции ПДМ 1-го порядка (а также любой другой неуравновешенный фактор) может быть уравновешен противовесами на коленчатом валу, если выполняются два условия:
1) модуль неуравновешенного момента (силы) постоянен (при этом соответствующий годограф является окружностью);
2) направление вращения вектора неуравновешенного момента (силы) совпадает с направлением вращения коленчатого вала (т.е. вектор неуравновешенного момента или силы сохраняет неизменное по отношению к валу положение и вращается вместе с ним).
Неуравновешенный момент сил инерции ПДМ 1-го порядка в рассматриваемом двигателе может быть уравновешен противовесами, установленными на коленчатом валу. Расчет их массы и ориентация рассматриваются ниже.
Аналогично определяются составляющие	главного
момента сил инерции ПДМ 2-го порядка, который в рассматриваемом двигателе уравновешен: данные ниже выражения тождественно равны нулю.
212
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.8. Годограф неуравновешенного момента сил инерции ПДМ 1-го порядка 8-цилиндрового V-образного двигателя
3d _	_б/	_	„ d _ 3d _	_
7 —cos 2а - A —cos 2а + —cos 2а - А —cos 2а = 0.
2 2	2	2	2
(7.16)
3d _	„ d _	„ d _ п 3d
—cos2а - Р, —cos2а + Р-> —cos2а - Рэ —cos2а = 0.
2	2	2	2
(7-17)
АНАЛИЗ ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
213
Перейдем к анализу уравновешенности центробежных сил, развиваемых НВМ, и их моментов. При этом будем пользоваться описанным выше (см. п. 7.1) способом первоначальных расчетов в подвижной системе координат Ox^yBzB) связанной с коленчатым валом, и последующей ориентацией определенных там главного вектора и главного момента этих сил в неподвижной системе координат Oxyz. Система центробежных сил инерции ПДМ показана на рис. 7.9.
В системе координат Ox^yBzB проекции главного вектора центробежных сил легко находятся по формулам:
/?СЛв - -С, + С4 - 0 ;
- С2 - С3 - 0.
Моменты системы центробежных сил относительно осей системы ОтцУвГв найдутся по формулам
Рис. 7.9. Система центробежных сил инерции НВМ в 8-цилиндровом V-образном двигателе
214
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
^Cx.=-C2y-C3y = -CJ; лх -г 3d л-г 3d -w МСу, -Q — + с4 — -ICd.
При произвольном значении а взаимное положение систем координат Oxyz и Ох^у^ описывается уравнениями (7.7) и (7.7 а) -рис. 7.10. При использовании указанных формул получаем
cosa
-sina
cosa
-sina
cosa
-sina
sina
cosa
A'c,.
cosa + 3sina
CJ(3cosa-sina)
Рис. 7.10. К анализу уравновешенности центробежных сил в 8-цилиндровом V-образном двигателе
(7.18)
0
0
0
0
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ
215
Таким образом, моменты центробежных сил в рассматриваемом двигателе не уравновешены. Обращает на себя внимание то, что составляющие главного момента центробежных сил находятся в одной и той же фазе с одноименными составляющими главного момента системы сил инерции ПДМ 1-го порядка (см. формулы 7.14 и 7.15, рис. 7.11). Это значит, что их уравновешивание также достижимо при помощи противовесов на коленчатом валу, причем возможно применение единой системы противовесов, масса которых определяется из условия одновременного уравновешивания моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка и центробежных сил НВМ.
При современных уровнях форсирования двигателей значения неуравновешенных моментов могут достигать существенных величин. Так, для дизеля ЯМЗ-238Ф амплитудные значения 0Ц|)тах и (^Нс)тах соответственно превышают 3200 Н м и 6000 Н м при значении среднего крутящего момента на номинальном режиме, равном примерно 1800 Н м.
7.3. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА ВНЕШНЕЙ УРАВНОВЕШЕННОСТИ V-ОБРАЗНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Представленный в п. 7.2 алгоритм расчета параметров внешней уравновешенности относительно легко реализуется лишь при отдельных значениях угла уц развала цилиндров 90° и 180°. При произвольных значениях уц этот расчет затрудняется.
В общем случае выберем показанную на рис. 7.2, б систему координат и введем две вспомогательные системы, оси которых располагаются вдоль осей каждого ряда цилиндров (рис. 7.12). Оси Oz всех систем координат по-прежнему совпадают и направлены вдоль оси вращения коленчатого вала к его хвостовику.
В системах координат Охдул и <Эх1(уп, связанных с осями левого и правого рядов цилиндров (для их обозначения использованы соответствующие индексы «л» и «п»), показаны положительные силы инерции, развиваемые ПДМ. Они могут быть выражены в виде векторов {0 Ру1л} и {0 Ру1п}.
216
Al 1ЛЛИЗ УРАВ1 IOBIJI!!• III IOC ГИ ДВИ1 All ЛЯ
Рис. 7.11. Годограф аналога неуравновешенного момента центробежных сил инерции НВМ 8-цилиндрового V-образного двигателя
Рис. 7.12. К выводу уравнений для анализа внешней уравновешенности V-образного двигателя с произвольным углом развала цилиндров
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ 217
Эти же силы в неподвижной системе координат Oxyz выразятся матричными уравнениями
(7.19)
(7.19 а)
где [С]п, [С]л - матрицы направляющих косинусов систем координат, связываемых с осями левого и правого рядов цилиндров, которые имеют структуру
-sin —
[С]п =
cos—
[С]л =
Уц cos —
2
sin —
2
cos—
2 J
Подстановка матриц в выражения (7.19), (7.19 а) дает возможность получить общую формулу для расчета проекций сил инерции ПДМ 1-го порядка, возникающих в любом цилиндре левого ряда
р(0
/ул
sin—:
2
(7.20)
cos—:
и правого ряда цилиндров
218
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
>(») = Jlxn
(7.21)
2 ’

Рис. 7.13 позволяет найти
а,п = 360°-уц+а+уЬп,
(7.22)
где а - текущий угол поворота коленчатого вала, отсчитываемый от оси левого ряда цилиндров до кривошипа; у&л, у*/п - углы между плоскостями 1-го и z-го кривошипов в левом и правом рядах цилиндров.
Тогда силы инерции ПДМ 1-го порядка, развиваемые в цилиндрах левого и правого ряда, запишутся
fjin = -"’пдм Ko)2cos(a + Yh-л) = -P1cos(a + yki„);
рЛп = -"'пдм /?w2cos(360° - уц + a + уЪп) =
= -P,cos(360° - yu + a + Yfan) •
Рис. 7.13. К выводу уравнений для расчета сил инерции
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ 219
Подставляя равенства (7.23) в (7.20) и (7.21) и суммируя одноименные проекции сил, получим окончательно выражения для проекций главного вектора сил инерции ПДМ 1-го порядка
/72	/
-£cos(a + п,л)+ £c°s(a-Yu + YA,n) ;
I	</2+1	J
</2	<
-£cos(a + Y*,„)- Xcos(a-Yu+Y*/n) •
1	/72+1
Индексы в обозначениях пределов суммирования в формулах (7.24) соответствуют упомянутому выше принципу нумерации цилиндров в двигателе; при этом одна половина цилиндров с номерами 1 ... /72 находится в левом ряду, а вторая с номерами (z/2 + 1)... i в правом ряду.
При Rjlx * 0 и (или) Rj}y * 0 модуль неуравновешенной суммарной силы инерции ПДМ 1-го порядка определится по формуле
Лу1	+ R2j\y •
Поскольку ход вывода уравнений для сил инерции ПДМ 2-го порядка аналогичен изложенному выше для сил 1-го порядка, а выражения для сил 2-го порядка отличаются от сил 1-го порядка лишь удвоенной фазой, можно записать сразу окончательные выражения для проекций главного вектора сил 2-го порядка
2
//24-1
R
/72	/
-£cos2(a + Y*,n)- Xе
1	//2+1
Расчет главного вектора центробежных сил проведем аналогично изложенному в рассмотренных выше примерах: проекции
220
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
главного вектора определим первоначально в системе координат связанной с коленчатым валом, причем ось Оуъ постоянно направлена вдоль кривошипа 1-го цилиндра (рис. 7.14).
Проекции центробежных сил С = тинвм/?о)2 на оси координат
Охв и Оу3 выразятся равенствами
(7.26)
В данном случае рассматривается /-й кривошип, а потому надобности в уточнении принадлежности его цилиндру левого или правого ряда (и соответственно записей ук7Л или ук/11) нет.
Взаимосвязь систем координат и Оху в этом случае выражается матричным уравнением (см. выше равенства 7.7, 7.18 применительно к рассмотренным частным примерам)
Рис. 7.14. К анализу центробежных сил инерции НВМ
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ
221
COS
2
-sin
sm а
cos а
(7.27)
или в аналитической форме
— cosYh = t i
(7.27 а)
2
2
2
2
cosy*, =
Суммируя одноименные проекции центробежных сил для всех 4 кривошипов коленчатого вала, получим выражения для проекций главного вектора центробежных сил
(7.28)
Для анализа моментов сил инерции (начнем анализ с моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка) удобно использовать их представление в форме символического определителя
Ill
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
(7.29)
где /, у, к - единичные векторы координатных осей; х„ yi9 z, -проекции на оси неподвижной системы координат радиуса-вектора точки приложения силы; Р^х, Р<р P^z - проекции на те же оси силы инерции ПДМ 1-го порядка /-го цилиндра.
Рассматривая двигатель как систему абсолютно твердых тел, перенесем приложенные в точках расположения замещающих масс ПДМ и НВМ силы инерции вдоль линий их действия. Тогда (см. рис. 7.1, 7.6, 7.7) в качестве х„ у„ z{ можно рассматривать координаты точек пересечения осей цилиндров с осью вращения коленчатого вала1; при этом координаты х, и у, указанных точек оказываются равными нулю. Также равны нулю проекции всех сил инерции на ось Oz. С учетом этого формула (7.29) принимает вид

(7.29 а)
В последнем равенстве коэффициенты при единичных векторах / и у - моменты силы Р^ относительно координатных осей Ох и Оу, т.е.
(7.30)
1 При расчетах V-образных двигателей с последовательным расположением шатунов на шатунной шейке коленчатого вала принимается, что координаты z, для точек приложения сил инерции ПДМ, развиваемых массами цилиндров левого и правого рядов, совпадают.
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ 223
Проекции z, радиусов-векторов точек приложения сил инерции на координатную ось Oz вычисляются через величину межцилиндрового расстояния d. Так, для V-образного 8-цилиндрового двигателя (рис. 7.15) можно найти z\ = z5 = -3d/2\ Z2 = z6 = -d12; z3 = z7 = J/2; z4 = z« = 3d/2.
С учетом формул (7.20), (7.21) и (7.23) запишем выражения для моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка цилиндров левого и правого рядов
м?,:’ =
Mj?x = zip\ cos(a - Yu + У к,) cosy;
=	cos(a + У*')sin ‘Т ’
(7.31)
Рис. 7.15. К анализу моментов сил инерции
224
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Суммируя одноименные моменты, найдем главные моменты сил инерции ПДМ 1-го порядка относительно координатных осей
//2
М
//2+1
Мj\yL
//2	/
- S z/C0S<a + J kin ) + Z z,cos<a - Yu + Y km )
I	//2+1
Аналогично могут быть записаны равенства для главных моментов сил инерции ПДМ 2-го порядка
M
у /72	/
= P2cos-y- £zzcos2(a + yhjl) + cos2(a-yu+ yAzn) ; l	./Э 1 1
i/2+l
/72
МjlyL - Л S’n“^
-£z,cos2(a + yfa„) + £zzcos2(a-yu + yAztl) .
/72+1
Величина суммарного неуравновешенного момента сил инерции 1-го и 2-го порядков определится по формулам
(7.34)
Моменты относительно координатных осей центробежной силы, развиваемой /-й НВМ, найдем при подстановке в (7.30) равенств (7.27 а); считаем при этом, что значения координат zt точек приложения центробежных сил совпадают с таковыми для сил инерции ПДМ. Тогда
-ZjC cos a
(7.35)
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ 225
Главные моменты центробежных сил определятся по выражениям
</2	(у
MjCxt =c£z,cos a—± + yki ; 1	к 2	7
«/г Су л
м jcy^=г«sin а - v+Ук,  1 к 2 J
(7.35 а)
Рассмотрим применение изложенного алгоритма к исследованию уравновешенности V-образного 8-цилиндрового двигателя и сопоставим результат с полученным в разделе 7.2. Воспользуемся наиболее общим случаем расположения координатных осей. Координаты точек приложения сил инерции ПДМ и НВМ показаны выше на рис. 7.15 (см. рис. 7.2, б; 7.6 и 7.7). Межцилиндровое расстояние равно в нашем случае d = 0,22 м. Составим вспомогательную таблицу (табл. 7.2) углов yki относительного расположения кривошипов коленчатого вала (напомним, что указанные углы отсчитываются от плоскости 1-го кривошипа до кривошипа каждого z-ro цилиндра по ходу вращения вала).
Предварительно установим, какие силы и моменты в двигателе не уравновешены. Для этого используем выражения значений проекций на координатные оси главных векторов и главных моментов сил инерции ПДМ и НВМ.
При использовании формул (7.24) для определения главного вектора сил инерции ПДМ 1-го порядка можно вычислить значения тригонометрических множителей, определяющих постоянство или переменность составляющих этого главного вектора. Делая все подстановки (в частности, Yu = 90°), получим
7.2. Относительное расположение кривошипов крестообразного коленчатого вала 8-цилиндрового V-образного двигателя
Цилиндр	1	2	3	4	5	6	7	8
Y«,°	0	90	270	180	0	90	270	180
8 — 8013
226
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
4	8
- £cos(a + yki) + £cos(a - 90 + ykl) =
1	5
= - [cos(a + 0) + cos(a + 90°) + cos(a + 270°) + cos(a + 180°)] + + [cos(a - 90° + 0) + cos(a - 90° + 90°) + cos(a - 90° + 270°) + + cos(a - 90° + 180°)] = 0.
4	8
- 22 cos(a + yki) - 22 cos(a - 90 + ykl) =
1	5
= - [cos(a + 0) + cos(oc + 90°) + cos(a + 270°) + cos(oc + 180°)] -- [cos(a - 90° + 0) + cos(a - 90° + 90°) + cos(a - 90° + 270°) + + cos(a - 90° 4- 180°)] = 0.
Рассмотрим равенства (7.25); при этом также вычислим значения только тригонометрических сомножителей:
4	8
- 22 cos 2(a + ykl) + 22 cos 2(a - 90°+ yki) =
1	5
= - {cos 2(a 4- 0) 4- cos 2(a 4- 90°) 4- cos 2(a 4- 270°) 4-
4- cos 2(a 4- 180°)} 4- {cos 2(a - 90° 4- 0) 4- cos 2(a - 90° 4- 90°) 4-
4- cos 2(a - 90° 4- 270°) 4- cos 2(a - 90° 4- 180°)} = 0.
4	8
- 22 cos 2(a + yki) - 22 cos 2(a - 90°+ ykif) =
1	5
= - {cos 2(a 4- 0) 4- cos 2(a 4- 90°) 4- cos 2(a 4- 270°) 4-
4- cos 2(a 4- 180°)} - {cos 2(a - 90° 4- 0) 4- cos 2(a - 90° 4- 90°) 4-
4- cos 2(a - 90° 4- 270°) 4- cos 2(a - 90° 4- 180°)} = 0.
Результаты вычислений дают возможность заключить, что силы инерции ПДМ 1-го и 2-го порядков в двигателе уравновешены (при этом равенство нулю каждой из сумм означает уравновешенность сил как в пределах каждого ряда цилиндров, так и в пределах всего двигателя).
Проекции главного вектора центробежных сил инерции НВМ определяются по формулам (7.28); при этом вновь вычисляются предварительно значения тригонометрических множителей:
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ 227
4 ( v \
V"1 •	‘ ц
Lsin a + Y*i—ч”
1 \ /
= sin(a + 0) + sin(a + 90°) + sin(a + 270°) + sin(a + 180°) = 0;
4	(
£ COS a + ykl
1	к
= cos(a + 0) + cos(a + 90°) + cos(a + 270°) + cos(a + 180°) = 0.
Таким образом, центробежные силы в двигателе уравновешены (последнее, как правило, всегда имеет место при выборе схем коленчатых валов с равномерным расположением кривошипов).
Вычислим тригонометрические множители в выражениях (7.32) для анализа моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка.
4	8
Y z,cos(a + уЪл) + £ z,cos(a - 90° + уЬп )=
1	5
3 /	/ z7 '
—cos(a + 0)+ -- cos(a + 90°) +
I	о 1
+ ycos(a + 270°) + ycos(a + 180°) +
2
cos(a + 0-90°) + -- cos(a + 90°-90°) +
+ у cos(a + 270° - 90°) + у cos(a +180° - 90°) = = -2<7sina - 4 Jcosa * 0.
Здесь уже можно сделать вывод о неуравновешенности момента сил инерции ПДМ 1-го порядка, поскольку одна из составляющих главного момента последних оказывается переменной по величине и направлению. Если необходима лишь качественная оценка уравновешенности двигателя, то в случае его неуравновешенности такой анализ может быть здесь уже закончен.
8*
228
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Дальнейшие расчеты необходимы в случае равенства нулю найденного главного момента относительно одной из координатных осей, а также при анализе возможности уравновешивания двигателя по рассматриваемым в данном случае моментам сил инерции 1-го порядка противовесами на коленчатом валу.
Вторая составляющая главного момента сил инерции ПДМ 1-го порядка определится аналогично и она также не равна нулю.
4	8
- X z/COS(a + У кт ) + X z/COS(a - 90° + У кт )=
1	5
3d	( d\
—cos(a + 0)+ — cos(a + 90°) +
2	I 2 J
>	о j
+ ~ cos(a + 270°) + у cos(a + 180°)
3d	id}
— cos(a + 0-90°) + -- cos(a + 90°-90°) +
2	I 2 у
+ у cos(a + 270° - 90°) + у cos(a +180° - 90°) =
= 2d cos a - 4 Jsina * 0.
Абсолютные значения составляющих указанного главного момента определятся по формулам
MjXxL = 2РХ cos 45° J(-2 cos a - sin a); MjXy^ - 2PX sin45°<7(-2sina + cosa).
Итоговые уравнения получились отличными от полученных ранее при традиционном способе исследования уравновешенности двигателя (см. выше), что объясняется другой ориентацией координатных осей. Однако расчет противовесов для уравновешивания моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка и центробежных сил инерции НВМ приводит к одному и тому же результату.
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ
229
Вычислим главные моменты сил инерции ПДМ 2-го порядка, используя формулы (7.33). Предварительно снова вычисляем тригонометрические сомножители. Равенство нулю приводимых ниже выражений свидетельствует о том, что моменты сил инерции ПДМ 2-го порядка в анализируемом двигателе уравновешены.
4	8
Y Zj cos 2(a + yki) +£ z, cos 2(a - у ц + yki) =
I	5
3d n --------cos 2a +
cos2(a + 90°) +
j	Tz7
+ ycos2(a + 270°) + ycos2(a + 180°) +
3d	( d\
— cos 2(a - 90°) + -- cos2(a + 90°-90°) +
+ -cos 2(a - 90° + 270°) +—cos 2(a - 90° +180°) = 0.
2	2
4	8
- £ z, cos 2(a + yki) +£ z, cos 2(a - у ц + yki) =
1	5
3d „
—cos 2a +
cos2(a + 90 ) +
3z7
cos 2(a + 270°) +—cos 2(a + 180°) +
3d	Id}
—cos2(a-90°)+ -- cos2(a + 90°-90°) +
j	T/7
+ -cos 2(a - 90° + 270°) + —cos 2(a - 90° +180°) = 0.
Далее в соответствии с формулами (7.35 а) вычислим:
230
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
v1 ( Уц
LZ<COS CL + ykl--—
y-cos(a + 0-45°)-ycos(a + 90° -45°) +
+ уcos(a + 270° - 45°) + — cos(a + 180°- 45°) = = dy/2 (-2 cos a - sin a);
4	(	v A 3J	d
^TzySin ос + Уд,—— =---sin(a + 0°-45°)—sin(a + 90°-45°) +
i \	2 J 2	2
+ уsin(a + 270° - 45°) + у sin(a + 180°-45°) =
= dy/2(-2sin a + cosa).
Совпадение результатов вычислений по двум последним равенствам с таковыми, полученными при анализе моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка, как и ранее, означает, что вектор суммарного неуравновешенного момента центробежных сил совпадает с вектором суммарного момента сил инерции ПДМ 1-го порядка.
Рассмотрим еще один пример применения универсального алгоритма. Проанализируем уравновешенность 6-цилиндрового V-образного двигателя с углом развала цилиндров уц = 120°. Составим вспомогательную таблицу (табл. 7.3) значений углов у^/л, у*/п и координату точек приложения сил (рис. 7.16).
7.3. К решению примера
Цилиндр	1	2	3	4	5	6
YA/л’ У кт	0	120	240	0	120	240
z,		0	d		0	d
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ
231
Рис. 7.16. К анализу уравновешенности 6-цилиндрового V-образного двигателя с углом развала цилиндров уи = 120°
Использование универсальных формул определения результирующих значений неуравновешенных сил инерции и их моментов для этого двигателя приводит к следующим итоговым выражениям (здесь определялись относительные значения сил инерции и их мо-
ментов, вычисляемые по соотношениям вида г h =- и пр.).
232
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Относительные значения проекций главного вектора сил инерции 1-го порядка выражаются следующими формулами (сделаны подробные подстановки и преобразования выражений).
2
з	6
- £cos(a + ykl„) + £cos(a - уц
1	4
. 120
= sin----
2
{-[cosa + cos(a +120°) + cos(a + 240°)] +
+ [cos(a -120° + 0) + cos(a -120° + 120°) + cos(a -120°+ 240°)]} =
= sin 60°’
cosa —cosa--sin a —cosa +—sin a
2	2	2	2
—cosa+
sin a + cosa—cosa
sina
з
6
= cos — 2
- Y cos(a + ykin) - £ cos(a - уц + yiin ) = I	4
120°
= cos-----{-[cosa + cos(a +120°) 4- cos(a 4- 240°)] -
- [cos(a -120° + 0) + cos(a -120° +120°) + cos(a -120°+ 240°)]} =
=cos60°
i	V3 .	1	V3 .
cos a — cos a----sm a — cos a + — sin a
2	2	2	2
—cosa +
2
sin a + cosa — cosa---sina
2	2
> = 0.
Двигатель уравновешен по силам инерции ПДМ 1-го порядка в целом и в пределах каждого ряда цилиндров. Силы инерции ПДМ 2-го порядка найдутся
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ
233
• Yu = sin—-
2
3
6
4
. 120
= sin----
2
< - cos 2a + cos 2(a + 120°) + cos 2(a + 240°
+ cos2(a-120° +0) + cos2(a-120° +120°) +
+ cos2(a-120° +240°)
= sin60°<
cos 2a — cos 2a +—sin 2a — cos 2a —;
2	2	2	2
—cos 2a-2
—sin 2a + cos 2a —cos 2a ч-sin 2a
2	2	2
sin 2a +
> = 0;
з
6
= cos— 2
120
= cos---
- cos2a + cos2(a + 120°) + cos2(a + 240°
- cos2(a-120° + 0) + cos2(a-120° + 120°) +
+ cos2(a-120° +240°
=cos60
cos 2a —cos 2a + —sin 2a —cos 2a —;
2	2	2	2
—cos2a
—sin 2a + cos 2a —cos 2a + — sin 2a
2	2	2
-sin 2a
► = 0.
234
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Силы инерции 2-го порядка также являются уравновешенными. При анализе центробежных сил получим
sin
120°
а-------
+ sin а+ 120
120
2
2
_,ло 120
+ sin а+ 240 --------
2
(1 • —sina
I2
7з .	1 .
— cosa + — sin а +
2	2
cosa - sin а) = 0;
cos
120
а-----
4-COS
120
120
+ cos а+ 240
2
а +
' 1	л/з . I	у/з .
—cos а +—sin а + — cos а---sin а - cos а
1^2	2	2	2
Таким образом, центробежные силы НВМ в рассматриваемом двигателе также уравновешены.
Суммарные моменты сил инерции ПДМ 1-го порядка определятся по формулам
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ 235
= cos----[-d cosa + 0 • cos(a +120°) + d cos(a + 240°) -
- d cos(a -120°) + 0 • cos(a -120° +120°) + d cos(a -120° + 240°)] =
cosa + sina)* 0;
= cos --- {-[-(7cosa + 0 • cos(a +120°) + dcos(a + 240°)} -
- d cos(a -120°) + 0 • cos(a -120° +120°) + d cos(a -120° + 240°)] =
J
= —6/(cosa--\/3 sina) 0.
2»
Таким образом, моменты сил инерции ПДМ 1-го порядка в рассматриваемом двигателе не уравновешены. Для анализа возможности их уравновешивания противовесами, вращающимися на коленчатом валу, следует построить годограф (рис. 7.17). Последний показывает невозможность реализации данного мероприятия (эллипсовидная форма годографа свидетельствует о непостоянстве модуля неуравновешенного момента).
Относительные величины проекций на оси неподвижной системы координат суммарного момента сил инерции ПДМ 2-го порядка найдутся по уравнениям
236
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.17. Годограф неуравновешенного момента сил инерции ПДМ 1-го порядка в 6-цилиндровом V-образном двигателе с углом развала цилиндров 120°
120° (
= cos----- d cos 2сс + 0 • cos 2(сс +120°) + d cos 2(сс + 240°) +
- dcos 2(a -120°) + 0•cos 2(a -120° +120°) +
+ Jcos2(a-120° +240°) > =
d\-y/3 cos2a + sin 2a)* 0;
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ АНАЛИЗА УРАВНОВЕШЕННОСТИ 237
mj2y =cosy
3	6
- X z<cos 2(a +	) + E z. cos 2(a - Yu + Y*,n) =
4
1
120 r I	i
= cos-{- [- d cos 2a+0 • cos 2{a +120°) + d cos 2(a + 240 )] -
- d cos 2(a -120°) + 0 • cos 2(a -120° +120°) +
+ Jcos2(a-120° + 240°) ► =
*0.
На рис. 7.18 представлен годограф неуравновешенного момента сил инерции ПДМ 2-го порядка, показывающий невозможность его уравновешивания противовесами, вращающимися на коленчатом валу.
Проекции неуравновешенного момента центробежных сил инерции НВМ найдутся по формулам
238
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
1 I 1 ' | ' 1 I	' у '
0,2	0,4	0,6	0,8
------1----1----1----1---------1----1----
-0,8	-0,6	-0,4	-0,2 О
Рис. 7.18. Годограф неуравновешенного момента сил инерции ПДМ 2-го порядка в 6-цилиндровом V-образном двигателе с углом развала цилиндров 120°
з г
mjCy=XZ> Sin а
2
= -Jsin а
120°
+ 0 +0-sin а
1^ + 120" +
2
+ Jsin а
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
239
Момент сил инерции НВМ может уравновешиваться противовесами на коленчатом валу, о чем свидетельствуют вид годографа (рис. 7.19) и совпадение направления вращения вектора MjC с направлением вращения вала.
7.4.	УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
Помимо упомянутых выше известны многочисленные другие примеры вредного проявления неуравновешенных сил инерции и их моментов. Так, неуравновешенные моменты сил инерции ПДМ 1-го порядка, возникающие в судовом дизеле и действующие в горизонтальной плоскости (рис. 7.20), способны вызвать двухузловые1 колебания корпуса судна рис. (7.21).
В [115] показано, что корпуса крупных танкеров и рудовозов характеризуются значениями собственных частот и форм колебаний, зависящих от массы и размеров судна. При установке на такие суда МОД, обладающих значительными размерами и массой, могут возникать колебания, оказывающиеся на отдельных режимах работы в резонансе с частотой собственных колебаний корпуса судна, что способно привести к его разрушению. Особенно опасны с этой точки зрения 2-тактные 4-цилиндровые дизели (например, дизели MAN и B&W2 серий L ... GB и L ... МС мощностью Nc = 7350 ... 13760 кВт с диаметром цилиндра D = 670 ... 900 мм и частотой вращения вала п = 74 ... 123 мин'1. С увеличением размеров судна уменьшается частота собственных колебаний корпуса, которая составляет: в вертикальной плоскости 60 -75 мин’1 для двухузловой формы и 80 - 140 мин'1 для трехузловой формы, а в горизонтальной плоскости (см. рис. 7.21) в среднем 80 ... 125 мин'1, т.е. того же порядка, что и частота вращения коленчатого вала двигателя.
1 Узлом называют сечение колеблющегося тела, амплитуда колебаний которого равна нулю (по существу, это сечение не принимает участия в колебательном процессе). Как правило, в узлах возникают наиболее опасные напряжения, обусловленные колебаниями тела. По количеству узлов, присутствующих в колебательных системах, последние могут быть одно-, двух-, трехузловыми и пр.
2 Такие дизели устанавливают на судах дедвейтом 20 000 ... 70 000 т.
240
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.19. Годограф неуравновешенного момента центробежных сил инерции НВМ в 6-цнлиндровом V-образном двигателе с углом развала цилиндров 120°
Рис. 7.20. Система сил инерции 4-цилиндрового крейцкопфного судового дизеля и схема действия уравновешивающего механизма
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
241
Рис. 7.21. Действие неуравновешенного момента сил инерции судового дизеля на корпус судна:
1 - упругая линия корпуса; 2,3- узлы колебаний
Приведенные примеры достаточно убедительно доказывают необходимость уравновешивания всех сил инерции и их моментов, возникающих в двигателях.
Некоторыми авторами [36] все способы уравновешивания двигателей подразделяются на естественные и искусственные. Под естественными понимают главным образом выбор таких числа и расположения цилиндров, схемы относительного расположения кривошипов коленчатого вала и пр., которые обеспечивают само-уравновешивание тех или иных сил инерции и их моментов. Так, с этой точки зрения в 8-цилиндровом V-образном двигателе уравновешиваю гея силы инерции ПДМ 1-го и 2-го порядков, а также центробежные силы и моменты сил инерции ПДМ 2-го порядка.
Под искусственными способами уравновешивания понимают применение специальных подвижных устройств, развивающих при своем движении силы инерции, находящиеся в противофазе с таковыми, обусловленными движением ПДМ, НВМ в двигателе.
Наиболее известным примером двигателя с естественным уравновешиванием является рядный 6-цилиндровый с «зеркальным» валом. Подобным примером может служить так называемый
242
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
оппозитный двигатель (по существу это V-образный двигатель с углом развала цилиндров уц= 180°, рис. 7.22), в котором число возможных неуравновешенных сил и моментов существенно ниже, чем в рядном или V-образном двигателе с отличным от 180° углом развала цилиндров.
В качестве одного из способов естественного уравновешивания двигателей можно назвать применение многовальных схем с противоположно движущимися поршнями’ (ПДП), рис. 7.23. Теоретически считается, что такие двигатели являются полностью уравновешенными, поскольку силы инерции, развиваемые верхним поршнем, уравновешиваются таковыми, развиваемыми нижним поршнем, движущимся в противофазе. Таким образом, уравновешивание достигается в пределах каждого цилиндра и, следовательно, в пределах всего двигателя.
Однако двигатели с ПДП могут быть исключительно двухтактными, а потому их применение ограничено главным образом судовыми энергетическими установками (в составе последних применяются не только двухвальные, но даже 4-вальные дизели 23
ДПН------- серии 61 производства завода «Русский дизель»). На
2x30
автомобильном транспорте вследствие невозможности достижения норм предельно допустимых выбросов токсических веществ двухтактные двигатели, по-видимому, не найдут применения в будущем. Следует отметить, что наблюдается отход от этой схемы и среди тепловозных дизелей.
Заметим, что двигатели с ПДП не являются полностью уравновешенными, так как в связи с необходимостью лучшей очистки цилиндров от отработавших газов поршень, управляющий открытием выпускных окон (верхний на рис. 7.23), должен несколько опережать по фазе поршень, управляющий открытием продувочных окон (это отчетливо видно на рис. 7.23: верхний поршень уже находится в ВМТ, а нижний еще не дошел до своей ВМТ).
1 Динамика дизелей с ПДП подробно рассмотрена в трудах проф. П.А. Истомина [36].
Рис. 7.22. Поперечный разрез оппозитного 2-цилиндрового двигателя Volkswagen
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ	243
244
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.23. Двухтактный двигатель Leyland с ПДП: / - верхний коленчатый вал; 2 - выхлопной поршень; 3 - продувочный поршень; 4 - нижний коленчатый вал
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
245
Таким образом, поршни двигателя с ПДП не находятся строго в противофазе в каждый момент времени, вследствие чего образуется так называемая остаточная неуравновешенность. Механизм ее возникновения иллюстрируется рис. 7.24; в любой момент времени вследствие неравенства углов поворота кривошипов верхнего и нижнего коленчатых валов (при этом следует иметь в виду, что валы вращаются в противоположных направлениях) сила инерции ПДМ (например, 1-го порядка), развиваемая массой верхнего !1, не равна аналогичной силе , развиваемой массой нижнего поршня. На нижнем графике рис. 7.24 дана зависимость остаточной силы инерции ПДМ 1-го порядка, которая имеет поли-гармонический характер и способна возбуждать вибрации корпуса двигателя.
Весьма любопытные способы естественного уравновешивания ДВС предложены Б.А. Дурымановым и З.А. Больжатовой [26]. Сущность этих предложений сводится к определению такого расположения кривошипов на коленчатом валу, которое обеспечивает минимизацию неуравновешенных сил инерции и их моментов за счет некоторого ухудшения равномерности чередования рабочих ходов цилиндров1. Так, для рядного 3-цилиндрового двигателя вместо традиционной схемы коленчатого вала с расположением кривошипов в виде симметричной трехлучевой звезды (рис. 7.25) предлагается плоская схема вала. Это, по мнению авторов работы [26] способствует уменьшению на 20 % массы противовесов2, ослаблению в 3 раза резонансных явлений при крутильных колебаниях коленчатого вала и пр. Для 5-цилиндровых двигателей вместо симметричных пятилучевых звезд предлагаются показанные на рис. 7.25 несимметричная пятилучевая звезда (при этом уравновешивается момент сил инерции ПДМ 2-го порядка) и трехлучевые звезды с различными величинами углов между смежными кривошипами. Этими же авторами предлагается неодинаковое
1 Подобные идеи ранее и независимо от названных авторов высказывались проф. О.К. Найденко.
2 Задача минимизации числа противовесов является актуальной; одно из ее решений дано В.К. Чистяковым [95].
246
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИ1 А ГЕЛЯ
Рис. 7.24. Иллюстрация возникновения остаточной неуравновешенности в двухвальном двигателе с ПДП
число шатунов на различных шатунных шейках коленчатого вала и пр. В нашу задачу не входит обсуждение достоинств и недостатков подобных способов уравновешивания двигателей; ограничимся лишь упоминанием об их существовании.
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
247
Рис. 7.25. Некоторые схемы коленчатых валов, способствующие улучшению уравновешенности двигателей по Б.А. Дурыманову и З.А. Больжатовой:
а - наиболее употребительная, б - оригинальная схема коленчатого вала
248
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Перейдем к анализу искусственных способов уравновешивания ДВС. К их числу относится применение противовесов и уравновешивающих (балансирных) механизмов.
Наиболее распространенным способом уравновешивания двигателей является применение противовесов, жестко закрепляемых на продолжениях щек коленчатого вала, на маховике или выполняемых выносными. Рассмотрим определение массы и расположения противовесов, предназначенных для уравновешивания моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка в 8-цилиндровом V-образном двигателе с углом развала цилиндров уц = 90° (см. п. 7.3). Пока отвлечемся от доказанного выше обстоятельства совпадения по фазе неуравновешенного момента с моментом центробежных сил инерции НВМ, вследствие чего для одновременного уравновешивания обоих указанных моментов могут использоваться единые противовесы.
Воспользуемся результатом расчета параметров неуравновешенного момента сил инерции ПДМ 1-го порядка универсальным алгоритмом [см. (7.36)]. Годограф неуравновешенного момента сил инерции ПДМ 1-го порядка для рассматриваемого двигателя показан на рис. 7.26. Для определения положения противовесов в координатной системе годографа изобразим оси цилиндров и коленчатый вал в положении, соответствующем нахождению поршня 1-го цилиндра в ВМТ (а = 0), а также вектор неуравновешенного момента М jVL • Противовесы, вращаясь вместе с коленчатым валом, должны развивать центробежные силы, которые создавали бы пару сил с моментом А/пр = -	. Эта пара сил должна рас-
полагаться в плоскости АВ, перпендикулярной обоим указанным векторам (рис. 7.26). Вычислим углы, ориентирующие эту плоскость по отношению к плоскости 1-го кривошипа. Рис. 7.26 позволяет в общем случае записать
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
249
Рис. 7.26. Годограф неуравновешенного момента сил инерции ПДМ 1-го порядка 8-цилиндрового V-образного двигателя
Угол 0| определяется по формуле
0] = arctg
Применительно к рассматриваемому примеру расчеты по этим формулам дают 0] = 26,56° и 0пр = 18,43°. Схема установки противовесов дана на рис. 7.27. Задачей конструктора является определение массы противовеса тлпр, радиуса вращения центров масс
250
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.27. Уравновешивание момента сил инерции ПДМ 1-го порядка в 8-цилиндровом V-образном двигателе противовесами на валу: A BCD - плоскость I -го кривошипа; AEFD - плоскость, в которой располагаются противовесы; / ... 8 - номера цилиндров
противовесов рпр и расстояния Znp между противовесами на носке и хвостовике коленчатого вала. Как правило, из конструктивных соотношений бывает удобно задаться величинами рпр и Апр (с целью увеличения последнего размера и соответствующего уменьшения /ипр передний противовес часто выполняют выносным, а задний располагают на маховике).
Противовесы развивают пару центробежных сил инерции Спр с моментом
^пр ^-пр^пр ^Пр Рпр^ ^пр'
откуда
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
251
^пр _ jVL ~	~	2 ~ ~т 2 *
РпрАпр^ Рпр^пр^
Если суммарный неуравновешенный момент сил инерции ПДМ 1-го порядка равен A/ylz = ^М^1х +	, причем его со-
ставляющие Mj\x и Mj\y определяются формулами (7.36), то при подстановке значений всех сомножителей (помимо указанных выше значений /иПдм, 7?, п приняты величины Znp = 4d = 0,88 м и Рпр = 0,08 м) получаем = 9351,2 Нм.
Тогда
9351,2 0,08-0,88-219,92
= 2,75 кг.
На рис. 7.28 показана компоновка противовеса на щеке коленчатого вала. Противовес выполняется в виде отдельного кругового сегмента с основанием 2ft, радиусом 7?пр, углом 2<|/ и толщиной 2/ (на рис. 7.28 последняя не показана; она измеряется в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка). Возможно выполнение противовеса заодно со щекой (подобным образом устроен коленчатый вал двигателя КамАЗ-740). Установка противовеса выполняется по двум центрирующим поверхностям С (см. рис. 7.28), а крепление - при помощи двух винтов, вворачиваемых через отверстие в противовесе в коленчатый вал (головки винтов во избежание саморазвинчивания привариваются к противовесу).
Известно, что положение центра масс кругового сегмента может быть найдено по формуле (обозначения соответствуют рис. 7.28)
_4 Япр sin3 У
Рпр 3 ц/-sin 2ц/’
(7.37)
где <|/ - величина половины центрального угла сегмента, рад.
252
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.28. Компоновка противовеса на щеке коленчатого вала
Конструктору выгодно задаться величиной радиуса /?пр, очерчивающего внешний контур противовеса; тогда из формулы (7.38) определяется величина ц/ (или по принятой величине ц/ находится требуемое значение Япр). Уравнение (7.38) решается итерационным способом, будучи предварительно преобразованным к виду _	•'/ С Ь )
= si" f .	(7.38»)
4^np
Вычислив предварительно значение левой части формулы (с учетом принятых в примере нашего расчета величин /?11р и р11р оно равно 0,375) при разных значениях ф, получим (табл. 7.4).
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ
253
7.4. К решению примера о расчете геометрии противовеса
V,0	105	106	107	НО
Зрпр / 4Rnp	0,386	0,373	0,360	0,323
Как результат следует принять у = 106°. Дальнейшее повышение точности вычислений нецелесообразно, так как связано с необходимостью резкого ужесточения допусков на угловые размеры. Впоследствии коленчатый вал с противовесами и маховиком подвергается балансировке.
Вычисленная величина ц/ позволяет найти площадь S сегмента
•с.	R,
S = - Rnp(v-sinv). i
В нашем случае при принятой ранее величине радиуса вращения центра масс противовеса и найденном в табл. 7.4 значении Зрпр / 4Rnp = 0,373 при = 106° найдем радиус /?пр, равный 0,177 м. При этом 5 = 0,00344 м2.
Дальнейшее проектирование противовеса связано с определением его необходимой толщины t по соотношению
^пр ^прР *-*^Р>
откуда
/=^пр
•Sp
где р - плотность материала противовеса. В нашем примере
2 75
Г =-------4-------= 0,1025 м.
3,44-10 -7800
254
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
В случае нецелесообразности выполнения одного противовеса с такой толщиной могут быть изготовлены два противовеса с половинной толщиной, которые устанавливаются на соседние щеки кривошипа.
Противовесы в ряде конструкций ДВС выполняются съемными. В частности, в звездообразных авиационных ДВС такие противовесы выполняются даже подвижными по отношению к щекам коленчатого вала, поскольку помимо основного назначения -уравновешивания центробежных сил инерции НВМ - они еще выполняют функцию антивибраторов-гасителей крутильных колебаний коленчатого вала (рис. 7.29). Принцип их действия рассматривается ниже.
Рис. 7.29. Устройство коленчатого вала авиадвигателя М-14П:
1 - съемный неподвижный противовес;
2-съемный подвижный противовес-антивибратор
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
255
7.5.	БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Некоторое время назад считалось, что введение в состав двигателя балансирных механизмов усложняет его конструкцию, а потому не является целесообразным (хотя отдельные конструкции двигателей такие механизмы имели, например, широко известный 2-тактный дизель GMC и его поздние аналоги ЯАЗ-М204, М206). В последние годы превалирует противоположная точка зрения, и разработчики обязаны вводить такие механизмы в состав вновь создаваемых конструкций с целью выполнения законодательных норм, ограничивающих предельные уровни виброактивности двигателей.
В течение длительной истории развития двигателестросния было предложено (и частично опробовано на практике) достаточно большое число разнообразных балансирных механизмов, наиболее известным из которых, по-видимому, является механизм Ланче-стера, позволяющий полностью уравновесить даже 1-цилиндровый двигатель (рис. 7.30).
Механизм включает два зубчатых колеса 7, приводимых во вращение от коленчатого вала с такой же угловой скоростью. При этом колеса вращаются в противоположные стороны. На колесах I размещены противовесы с массами /ипр|. Колеса 1 ориентированы по отношению к коленчатому валу таким образом, что при положении поршня в ВМТ радиусы проведенные от центров колес к центрам масс противовесов wnpi, направлены вертикально вниз. Благодаря равенству угловых скоростей вала и колес 1 при повороте кривошипа на угол а последние поворачиваются на тот же угол.
С колесами 1 сцеплены колеса 2, имеющие в 2 раза меньший диаметр, а потому вращающиеся с удвоенной угловой скоростью по отношению к коленчатому валу и колесам 7. Вращение колес 2 происходит также в противоположных направлениях. На колесах 2 размещены противовесы с массами wnp2. Ориентация этих противовесов такова, что при положении поршня в ВМТ радиусы г2, проведенные из центров колес 2 к центрам масс притивовесов, направлены также вертикально вниз. При повороте коленчатого вала на угол а колеса 2, движущиеся с удвоенной угловой скоростью, поворачиваются на угол 2а.
256
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГА1 ЕЛЯ
На продолжении щеки кривошипа размещен третий противовес массой /ипрз, предназначенный для уравновешивания центробежной силы инерции НВМ.
При вращении коленчатого вала ПДМ развивает силы инерции 1-го порядка Pt\ - /?orcosa и 2-го порядка Р/2 = = -мпдм /?co2Xcos2a, а НВМ развивает центробежную силу Снвм - Whbm Р<л2. Противовесы с массой /ипр| при этом развивают центробежные силы инерции
_	2
С пр ^пр! ^*1 (Л ,
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
257
каждая из которых раскладываются на вертикальные Cnpcosa = = 7?/пр| Г] со2 cos а и горизонтальные Спр sin а = wnpi г\ <о2 sin а составляющие. Из рис. 7.30 видно, что при вращении колес 1 в противоположных направлениях горизонтальные составляющие сил Спр взаимно уравновешиваются, а вертикальные составляющие складываются и уравновешивают силу инерции ПДМ 1-го порядка. Условие уравновешивания имеет вид
^пдм Лео2 cos а = 2шпр| г\со2 cos а,
откуда, задаваясь величиной радиуса вращения центра масс противовеса легко определяется требуемое значение его массы /?;пр1. Дальнейшее проектирование связано с определением геометрической формы и размеров противовеса (см. выше решение аналогичной задачи).
Действие противовесов с массой /иГ1р2 на колесах 2 аналогично описанному. Условие уравновешивания силы инерции ПДМ 2-го порядка имеет вид
шПдм Лео2 X cos 2а = 2шпр2 г2 <л2 X cos 2а.
Противовес с массой ти11р3 и радиусом г3 вращения собственного центра масс, установленный на продолжении щеки кривошипа, уравновешивает центробежную силу инерции НВМ согласно условию
мнвм = W1Ip3 r3 со2.
Моменты сил инерции в одноцилиндровом ДВС не возникают.
Вследствие сложности и громоздкости механизм Ланчестера действительно не применяется в транспортных двигателях; известно его крайне ограниченное применение в одноцилиндровых исследовательских двигателях (так называемых отсеках, предназначенных для доводки рабочего процесса) и установках для испытания топлив (типа ИТ9-1, ИТ9-2 и пр).
В многоцилиндровых ДВС балансирные механизмы как правило менее сложны. Так, в конструкции упомянутых двигателей 4Д 10,8/12,2 и 6Д 10,8/12,2 (GMC и его аналоги ЯАЗ-М204 и ЯАЗ-М206; последние первоначально использовались как автомобильные, впоследствии - как стационарные) с крестообразным коленчатым валом не уравновешен момент сил инерции ПДМ
9 — 8013
258
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
1-го порядка. Эти двигатели имеют рядную компоновочную схему, а потому указанный неуравновешенный момент действует в продольной плоскости, проходящей через ось вращения коленчатого вала, поворачивая двигатель относительно координатной оси Ох. Величина неуравновешенного момента определяется по формуле
Л/л = МjXx = /iJ(-3cosa + sin a) = тг7ПдМ/?со2б/(-Зсо5а + sin a).
Балансирный механизм двигателей ЯАЗ-М204, ЯАЗ-М206 показан на рис. 7.31. Этот механизм состоит из двух валов, вращающихся в противоположные стороны с угловой скоростью, равной скорости вращения коленчатого вала. Один из балансирных валов одновременно служит распределительным валом (рассматриваемые двигатели являются двухтактными) и приводит в действие выпускные клапаны и насос-форсунки. Второй вал служит только для уравновешивания. Схема действия такого механизма представлена на рис. 7.32.
Рис. 7.31. Компоновочная схема балансирного механизма двигателя ЯАЗ-М206 для уравновешивания момента сил инерции ПДМ 1-го порядка
Рис. 7.32. Принцип уравновешивания момента сил инерции ПДМ 1-го порядка в двигателе ЯАЗ-М206
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ	259
260
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
На вращающихся в противоположные стороны колесах размещены под углом 90° друг к другу два противовеса с массами т\ и zz?2, развивающие при вращении балансирных валов центробежные силы инерции и С2. Противовесы ориентированы таким образом, что при положении поршня 1-го цилиндра в ВМТ радиус Г] противовеса с массой тщ вертикален. Проецируя силы С| и С2 на вертикальную ось Оу. найдем их суммарную проекцию Су
Су = 2Q cosa - 2С2 sin a.	(7.29)
Суммарная проекция этих сил на горизонтальную координатную ось Ох равна нулю. Противовесы на противоположных концах балансирных валов развивают такие же по модулю, но противоположно направленные силы. Если радиусы вращения Г) и г2 центров масс противовесов известны, то формула (7.29) принимает вид
Су =2zz7|Z’1co2cosa-2zz72Z2c°2 sina.
При расстоянии Тпр между плоскостями расположения противовесов на коленчатом валу силы Cv образуют пару с моментом Мур, равным
А/ур = 2co2(zz/1r1 cosa - zz^ sina)Znp .
Из условия уравновешивания момента сил инерции ПДМ 1 -го порядка
zz^M7?co26/(-3cosa + sin a) + 2со2 (zz/,rx cosa - zzbz? sin a)Znp = 0, найдем
3Rd m\ ~ ,72пдм утт i ^l^np Rd m2 ~ "гГ1ДМ » 7	•
2^2 4p
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
261
Дальнейшее проектирование противовесов аналогично описанному выше. На практике вместо двух противовесов на каждом колесе может использоваться один противовес массой
= -J w2 + w2 , располагающийся так, как указано на рис. 7.32, б. При этом угол <р определится по формуле
tgtp^T2--
В рядных судовых МОД вследствие их значительных размеров привод балансирных валов не может быть осуществлен зубчатыми колесами; в этом случае широко применяются цепные передачи (рис. 7.33).
В подобных тяжелых МОД важно не только уравновесить собственно двигатель, но и исключить опасные взаимодействия неуравновешенного дизеля и корпуса судна. В [115] описан механизм фирмы B&W с поворотными противовесами, управляя положением которых можно свести к минимуму колебания корпуса судна, вызванные возможной (в том числе остаточной) неуравновешенностью дизеля (рис. 7.34)1.
В автомобильном двигателестроении весьма распространенной является схема рядного 4-цилиндрового двигателя, в котором не уравновешены силы инерции ПДМ 2-го порядка. Для их уравновешивания применяют балансирный механизм, состоящий из двух валиков с противовесами, вращающихся с удвоенной угловой скоростью по отношению к коленчатому валу. Принцип работы этого механизма, по существу, совпадает с таковым, описанным при рассмотрении уравновешивания сил инерции ПДМ 2-го порядка в механизме Ланчестера. Однако обращает на себя внимание тот факт, что уравновешивающие валы в большинстве конструкций таких двигателей располагают не в одной плоскости, перпендикулярной оси цилиндров, а выполняют разнесенными, т.е. в разных таких плоскостях (рис. 7.35).
1 Идея регулируемого положения противовесов не является новой: такая схема была, в частности, предложена П.А. Истоминым [36], практически в одно время с публикацией [115] появилась статья В.В. Крюкова [48], в которой также обсуждались эти вопросы.
262
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГА1 ЕЛЯ
Рис. 7.33. Схема привода механизма уравновешивания моментов сил инерции 1-го и 2-го порядков в судовых МОД Sulzer серии RTA: / - коленчатый вал; 2 - цепная передача; 3 - вращающиеся противовесы на балансирных валах для уравновешивания момента сил инерции ПДМ 2-го порядка; -/ - противовесы на коленчатом и распределительном валах для уравновешивания момента сил инерции ПДМ 1-го порядка;
5 - распределительный вал
Такое конструктивное решение применяется с той целью, чтобы развиваемые противовесами на балансирных валах центробежные силы образовывали бы пару с моментом, направленным противоположно опрокидывающему моменту, и частично уравновешивали бы последний (рис. 7.36). В связи с этим для каждого конкретного случая выбирается такая величина Л, определяющая взаимное расположение противовесов, которая приводит к минимальным уровням вибраций корпуса [111, 118].
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
263
Рис. 7.34. Регулировка уравновешивающего механизма судового МОД B&W:
/ - неподвижный противовес на коленчатом валу;
2 - подвижный противовес на балансирном валу;
3 - траверса и цепная передача для управления положением противовеса 2; 4 - регулирующее воздействие
Выше было показано, что суммарная неуравновешенная сила инерции ПДМ 2-го порядка в рядном 4-тактном 4-цилиндровом двигателе равна
Р 2 = 4/иПдМ7?со2Хсо5 2ос.
Принцип работы такого уравовешивающего механизма иллюстрируется рис. 7.36. От коленчатого вала с радиусом кривошипа R приводятся во вращение в противоположных направлениях два зубчатых колеса с противовесами т\. Диаметры колес таковы, что
264
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.35. Поперечный разрез 4-цилиндрового рядного двигателя
Porsche 944 с двумя разнесенными балансирными валами 1 для уравновешивания сил инерции ПДМ 2-го порядка
они вращаются с удвоенной угловой скоростью по отношению к валу, так что при повороте кривошипа на угол а колеса поворачиваются на угол 2а. Колеса ориентированы по отношению к валу таким образом, что при а = 0 радиусы г\ вращения центров масс противовесов тщ были вертикальны, а противовесы располагались в нижней части колес. При вращении колес с противовесами последние развивают центробежные силы инерции Ci, которые могут
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
265
Рис. 7.36. Принцип работы механизма, уравновешивающего силу инерции ПДМ 2-го порядка и частично опрокидывающий момент в 4-цилиндровом 4-тактном рядном двигателе
266
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
быть разложены на вертикальные С| cos 2а и горизонтальные C| sin 2а составляющие, причем, С| = т\ г\ (2со)2. Вертикальные составляющие складываются и уравновешивают суммарную силу инерции ПДМ 2-го порядка согласно уравнению
STWjrjco2 cos 2а = 4w^M/?(D2Xcos2a , откуда при выбранном значении гх определяется масса противовеса и далее устанавливаются его геометрические размеры.
Если оси колес с противовесами смещены вдоль оси цилиндров на расстояние А, то горизонтальные составляющие сил С| образуют пару с моментом Л/пр, равным
Л/пр = q sin 2аЛ = 4w|ZjCD2 sin 2аЛ, который частично уравновешивает опрокидывающий момент, создаваемый силами N (боковой и приложенной к коренному подшипнику).
На рис. 7.37 приведен результат действия такого механизма, гипотетически включенного в конструкцию двигателя ЗМЗ-402. Приняты значения Г| = 40 мм; т\ = 1,5 кг; h = 200 мм. Видно, что хотя полного уравновешивания опрокидывающего момента Мопр достичь не удается, величина АЛ/ момента, возбуждающего угловые колебания двигателя вокруг оси вращения коленчатого вала, существенно снижается (разумеется, приведенный график только показывает принципиальную возможность частичного уравновешивания опрокидывающего момента; в реальных случаях необходима оптимизация относительного расположения, массы и радиусов вращения центров масс противовесов).
Любопытно отметить, что абсолютное значение максимального момента, развиваемого противовесами на разнесенных балансирных валах, в нашем примере составляет Мпр= 10 659,4 Н м. В [118] упоминается о величине такого момента, равной приблизительно 50 000 Нм.
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
267
Рис. 7.37. Иллюстрация эффективности применения уравновешивающего механизма 4-цилиндрового 4-тактного рядного двигателя ЗМЗ-402 с разнесенными балансирными валами:
Э	• ^^опр»	АЛ/
Эффективность применения разнесенных балансирных валов для уравновешивания опрокидывающего момента будет различной для разных скоростных и нагрузочных режимов работы двигателя, поскольку величина опрокидывающего момента определяется газовыми и инерционными силами, а величина момента, развиваемого противовесами, зависит только от скоростного режима работы двигателя. Поэтому оптимизация конструкции такого балансирного механизма должна проводиться для тех нагрузочных и скоростных режимов работы двигателя, на которых он работает наиболее долго. В этом смысле желаемый эффект такого механизма на автомобильных двигателях достигается не всегда: на рис. 7.38 показано изменение относительного уровня вибрации корпуса двигателя при его работе на разных скоростных (п = 1000 ... 6000 мин'1) и нагрузочных режимах (кривые соответствуют работе двигателя на холостом ходу - XX - и на режимах, когда эффективный крутящий момент равен 0,2 ... 1,0 от максимального).
268
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.38. Изменение эффективности работы уравновешивающего механизма с разнесенными балансирными валами 4-тактного 4-цилиндрового рядного двигателя Porsche 944
(кривые соответствуют работе двигателя с разной нагрузкой во всем скоростном диапазоне) [118]
В связи с этим в [111] рекомендуется выбирать оптимальное с точки зрения виброактивности двигателя положение балансирных валов, а специалистами фирмы Deimler-Benz предложена конструкция механизма, в котором опоры балансирных валов установлены подвижно и могут синхронно изменять свое положение относительно оси вращения коленчатого вала. При этом величина развиваемого противовесами уравновешивающего момента изменяется [29].
Балансирные механизмы усложненных схем могут позволить уравновесить переменные по величине силы инерции и (или) их моменты, годографы которых отличны от окружностей. Примером такого двигателя может служить рассмотренный выше 6-цилиндровый V-образный ДВС с углом развала цилиндров уц = 120°. На рис. 7.39 дана принципиальная схема такого уравновешивающего механизма, позволяющего уравновесить моменты сил инерции ПДМ 1-го порядка упомянутого 6-цилиндрового двигателя.
БАЛАНСИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
269
Рис. 7.39. Принципиальная схема уравновешивания переменного по величине момента сил инерции ПДМ 1-го порядка
270
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
От зубчатого колеса 1 на коленчатом валу приводятся в разностороннее вращение с той же угловой скоростью валы с колесами 2 и 3. На этих колесах установлены противовесы с массами т\ и т2. Ориентация противовесов такова, что при положении поршня 1-го цилиндра в ВМТ (при этом угол поворота кривошипа а = 0) радиусы-векторы центров масс противовесов т\ на передних концах валов были вертикальны и направлены вниз (по отношению к рисунку), а на противоположных концах - вверх. Радиусы-векторы противовесов т2 всегда располагаются под углом 90° к первым радиусам-векторам и установлены на одном валу также в противофазе. Противовесы на противоположных концах валов находятся в противофазе как по отношению друг к другу, так и к первым противовесам.
При вращении балансирных валов противовесы развивают показанные на рис. 7.39 силы инерции С| = т\ Г\ со2 и С2 = т2 г2 со2, каждая из которых раскладывается на вертикальные С| cos а и С2 sin а и горизонтальные С2 cos а и С| sin а составляющие. Вертикальные составляющие сил С| и С2 с каждой стороны балансирных колес создают противоположно направленные результирующие, каждая из которых по модулю равна
Су = 2(Q cosa - С2 sin a).
Горизонтальные составляющие сил инерции при этом взаимно уравновешиваются. Если длина балансирных валов равна Апр, то силы Су создают момент относительно горизонтальной оси Ох, равный
А/Х=2(С, cosa -С2 sin a)Znp.
Для создания уравновешивающего момента относительно оси Оу используются противовесы с массами w3 и т«, расположенные на колесах 4 и 5. Из рисунка видно, что при вращении этих противовесов, напротив, уравновешиваются вертикальные составляющие развиваемых ими сил инерции С3 и С4, а горизонтальные при сложении дают суммарную силу Сх, равную
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ С УСЛОЖНЕННЫМИ СХЕМАМИ 271
СХ=2(С3 sina + C4 cosa).
Эта сила в совокупности с равной по модулю, но противоположно направленной силой, развиваемой противовесами на других концах валов, создает пару сил с моментом относительно оси Оу, равным
му = 2(с3 sina + С4cosa)inp .
Дальнейший расчет параметров уравновешивающего механизма сводится к определению требуемых значений масс и радиусов вращения противовесов, а впоследствии - выбора их геометрических форм и размеров.
На практике к таким сложным схемам балансирных механизмов обращаются крайне редко. Однако в последние годы с целью достижения наилучшей уравновешенности двигателей опробуются различные схемы таких механизмов, ранее даже не упоминавшиеся в научно-технической литературе. Так, в [116] предлагается новый способ уравновешивания суммарной силы инерции ПДМ (без ее подразделения на составляющие 1-го и 2-го порядков) при помощи противовесов, установленных на некруглых зубчатых колесах. Основа действия такого балансирного механизма заключается в переменности передаточного отношения, благодаря которому мгновенная угловая скорость колес (а следовательно, и мгновенное значение развиваемой установленными на них противовесами центробежной силы инерции) является переменной. Задачей разработчика подобного балансирного механизма является определение соответствующего профиля колес. Теоретические предпосылки таких расчетов известны [44].
7.6.	УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ С УСЛОЖНЕННЫМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ И КОМПОНОВОЧНЫМИ СХЕМАМИ
В связи с возможностью практического использования двигателей с усложненными кинематическими и компоновочными схемами особо возникает проблема анализа их уравновешенности. Некоторые такие схемы рассмотрены ранее Ф.Л. Ливенцевым [56],
272
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
автором [103]. Рассмотреть все такие схемы принципиально невозможно, поэтому уделим внимание лишь некоторым из них, возможность практического применения которых в настоящее время изучается либо в связи со значительным увеличением мощности при ограничениях габаритов двигателя, либо с необходимостью реализации переменности степени сжатия и рабочего объема. К числу первых отнесем многовальные многорядные двигатели, примером которых могут служить Н-образные ДВС (рис. 7.40).
В качестве двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом рассмотрим ранее упомянутые двигатели с усложненным плоским рычажным механизмом (см. рис. 1.13, г) и аксиально-поршневые двигатели (рис. 1.15). Одновременно здесь представляется возможность проиллюстрировать существенную эффективность применения элементов CAE-технологии, в частности, численной динамики двигателей, реализуемой посредством специализированных программных продуктов.
Основные принципы анализа внешней уравновешенности таких двигателей аналогичны изложенным выше.
Рис. 7.40. Кинематическая схема Н-образного горизонтального двигателя
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ С УСЛОЖНЕННЫМИ СХЕМАМИ 273
Рассмотрим особенности уравновешенности Н-образных многовальных ДВС. Эта схема прежде имела некоторое распространение в авиадвигателестроении1. В последние годы к такой схеме обратились в КНР при разработке 48-цилиндрового судового трехвального дизеля [114]. Подобные конструкции могут заслуживать определенного внимания при создании грузовых автомобилей и тягачей особо высокой грузоподъемности, включая автопоезда модульной конструкции. Обоснование возможного выбора для такого автомобиля Н-образного дизеля приведено в [99].
Исследований уравновешенности Н-образных ДВС ранее было проведено относительно мало (О.К. Найденко, М.В. Семенов), тем не менее содержащиеся в них выводы отличаются разнообразием. Нет единого мнения по таким вопросам, как необходимость вращения коленчатых валов в одну сторону или в противоположные стороны; должен ли Н-образный двигатель иметь одинаковые или разнотипные коленчатые валы и пр. Автором было проведено исследование которое, представляется, дает ответы на некоторые из упомянутых вопросов. Исследованию подвергались Н-образные двигатели с числом цилиндров от 16 до 32 с одинаковыми схемами коленчатых валов. Их плоские схемы с обозначением относительного расположения в начальный момент времени (когда поршень 1-го цилиндра «верхнего» двигателя находится в ВМТ) приведены на рис. 7.41 (цифры, проставленные около кривошипов, как и обычно обозначают номера обслуживаемых данным кривошипом цилиндров. Для удобства нумерация последних ведется однотипно в пределах верхней и нижней части двигателя)*".
1 Известен, в частности, 24-цилиндровый двигатель Napier Sabre (устанавливался на истребителях «Тайфун»; Ne - 1617 кВт; п = 3700 мин'1; 5 / D = 120,7/127 мм), выполненный по Н-образной схеме; помимо этого двигатель имел еще и гильзовое газораспределение, подвижные гильзы которого также подлежали уравновешиванию [68]. Особенности уравновешивания механизмов гильзового газораспределения исследовались М.В. Семеновым [81].
* Вне зависимости от числа цилиндров в Н-образном двигателе может быть достигнуто равномерное чередование рабочих ходов при вспышке топлива в каждый момент времени не более, чем в одном цилиндре. Число возможных вариантов порядков работы цилиндров в двухвальных двигателях велико: так, для 16-цилиндрового двигателя (схема в на рис. 7.41) можно сформировать 128 вариантов порядков работы цилиндров.
274
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.41. Схемы и относительное расположение коленчатых
УРАВНОВЕШИВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ С УСЛОЖНЕННЫМИ СХЕМАМИ 275
валов многоцилиндровых Н-образных двигателей
276
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
В ходе анализа внешней уравновешенности Н-образных ДВС (табл. 7.5) установлено, что вне зависимости от числа цилиндров и схемы коленчатых валов в двухвальных Н-образных ДВС уравновешены силы инерции ПДМ 1-го и 2-го порядков и моменты сил инерции ПДМ 2-го порядка. Кроме того (за исключением схемы, показанной на рис. 7.41, а) уравновешиваются центробежные силы инерции НВМ, причем указанная уравновешенность достигается даже в пределах каждой из частей двигателя - «верхней» и «нижней».
Во избежание одновременной работы нескольких цилиндров нецелесообразны описанные в [81] плоские коленчатые валы.
В большинстве случаев схемы с односторонним вращением коленчатых валов предпочтительнее схем с разносторонним вращением.
Лишь некоторые варианты конструкции двигателей обеспечивают возможность компенсации неуравновешенных моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка и моментов центробежных сил инерции НВМ противовесами на коленчатых валах.
7.7.	АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ С УСЛОЖНЕННЫМ ПЛОСКИМ РЫЧАЖНЫМ МЕХАНИЗМОМ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИМ ПЕРЕМЕНУ СТЕПЕНИ СЖАТИЯ
Рассмотрим 4-цилиндровый рядный двигатель с преобразующим механизмом по схеме проф. A. Jante (см. рис. 1.13). Схему относительного расположения кривошипов коленчатого вала выберем аналогичную показанной на рис. 4.13. На примере этого двигателя проиллюстрируем возможности метода численной динамики1 двигателей, который можно рассматривать как один из элементов CAE-технологии проектирования и расчетного исследования машин. Компьютерная модель этого механизма, разработанная в среде пакета прикладных программ WM2D, дана на рис. 7.42. Система сил инерции (разложены по направлениям координатных осей) в 4-цилиндровом двигателе Jante представлена на рис. 7.43.
1 Подобное упражнение может быть рекомендовано для выполнения в ходе лабораторных занятий.
7.5. Амплитудные значения неуравновешенных главных моментов сил инерции ПДМ 1-го порядка Mji и центробежных сил НВМ MajC двухвальных Н-образных двигателей
№ позиций по рис. 7.41	Направление вращения валов		Возможность уравновешивания л/7,	MjC	Возможность уравновешивания MJC
а	Одностороннее	0	Не требуется	0	Не требуется
	Разностороннее	4,828/,	Нет	6.30807	Нет
б	Одностороннее	10,452Pylt7	Нет	5,22607	Есть
	Разностороннее	13,654Р?1<7	Нет	7,38907	Нет
в	Одностороннее	4,8282’1(7	Нет	3,88707	Нет
г	Одностороннее	11,656Ру1(/	Нет	5,842 07	Есть
д	Одностороннее	4,8407,1(7	Нет	3,88707	Нет
е	Одностороннее и разностороннее	4,3287’itZ	Есть	4,32907	Есть
n/z»	Одностороннее и разностороннее	0	Не требуется	0	Не требуется
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Продолжение табл. 7.5
№ позиций по рис. 7.41	Направление вращения валов	л/;,	Возможность уравновешивания Л/71	М“с	Возможность уравновешивания A/J(.
	Одностороннее	0	Не требуется	0	Не требуется
3	Разностороннее	13,764PyIJ	Нет	7,833С<7	Нет
и	Одностороннее и разностороннее	0	Не требуется	0	Не требуется
к	Одностороннее	4,346P7iJ	Нет	1,621 Cd	Нет
	Разностороннее	5,795P7|J	Нет	2,40507	Нет
л	Одностороннее	6,403 PJ}d	Нет	2,273 Cd	Нет
	Разностороннее	]5,191PJ}d	Нет	\\,1\6Cd	Нет
м	Одностороннее и разностороннее	0	Не требуется	0	Не требуется
278	АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.42. Фрагмент интерфейса программного продукта WM2D с моделью механизма A. Jante в начальном положении (поршень в ВМТ) и зависимость ускорения поршня D от угла поворота кривошипа ОА (ускорение - в мм/с2)
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ	279
Рис. 7.43. Система сил инерции в 4-цилиндровом двигателе с преобразующим механизмом проф. A. Jante
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОЕ'I И ДВИГАТЕЛЯ
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
281
Авторами разработан следующий алгоритм численного исследования уравновешенности механизма.
1.	Построение компьютерной модели механизма отдельного цилиндра с учетом реальных размеров (а при необходимости и геометрических очертаний) звеньев. В нашем случае примем следующие размеры механизма:	= -89,2 мм; уо\ = -146,7 мм;
R = OA = 100 мм; L=AB= 190 мм; Lx = CD = 250 мм; О\В = ВС = = 155 мм; дезаксиал (смещение вдоль горизонтальной оси Ох) цилиндра равен 250 мм (впоследствии оно будет обозначаться символом х»). Пусть межцилиндровое расстояние равно d = 220 мм, а частота вращения коленчатого вала п = 2100 мин'1. Будем считать, что центробежные силы инерции, развиваемые приведенными к точкам А массами, уравновешиваются противовесами на продолжениях щек кривошипов.
2.	Анимация механизма и экспорт в табличной форме компонент ускорений точек А, В, С и D в зависимости от угла поворота кривошипа ОА (при этом для точек А, В и С выводятся две компоненты ускорения, для точки D - одна). Ниже приводится фрагмент файла значений компонент ускорения точки С (в дереве построения механизма она имеет порядковый номер 31, что отображено в заголовке таблицы), экспортированного из среды WM2D:
Acceleration of Point 31
t	Ax	Ay
0.000	2.096e+006	-4.212e+006
1.000	2.099e+006	-4.239e+006
2.000	2.102e+006	-4.269e+006
3.000	2.106e+006	-4.302e+006
178.000	-7.351e+005	6.599e+006
179.000	-1.002e+006	6.521e+006
180.000	-1.261e+006	6.440e+006
181.000	-1.510e+006	6.357e+006
358.000	2.089e+006	-4.166e+006
359.000	2.092e+006	-4.187e+006
360.000	2.096e+006	-4.212e+006
282
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
3.	Экспорт в табличной форме функций координат указанных точек в зависимости от угла поворота кривошипа (приводится начало аналогичной таблицы для той же точки №31, т.е. С):
Position of Point 31
t	X	У
0.000	187.829	-7.632 -
1.000	187.920	-7.812 -
2.000	188.023	-8.019 -
3.000	188.140	-8.252 -
4.000	188.270	-8.512 -
4.	Поочередный импорт таблиц ускорений указанных точек, записанных в текстовом формате, в среду электронной таблицы. Определение компонент инерционных сил, приведенных ко всем точкам В, С и D, путем умножения значений ускорений этих точек на величины приведенных к ним масс1. Для простоты в нашем расчете значения всех замещающих масс приняты равными 1 кг. В показанном на рис. 7.44 фрагменте электронной таблицы первоначально произведено определение компонент силы инерции, развиваемой массой С| первого цилиндра, а затем выполнены сдвиги столбцов значений этих компонент (в таблице они имеют обозначения X_C(z), Y_C(z), где / - номер цилиндра) для всех 4 цилиндров двигателя. В соответствии со схемой коленчатого вала: законы изменения компонент ускорения всех точек С\ и С2 идентичны, только указанные зависимости для точки С2 отстают от точки С| на 180°. То же касается точек С3 и С4. В среде электронной таблицы Excel эти сдвиги легко производятся даже вручную.
5.	Суммирование одноименных компонент инерционных сил, развиваемых массами, приведенными к точкам В, С и Д и определение компонент главного вектора неуравновешенных сил инерции (в нашем примере это действие осуществлено одновременно с формированием таблицы значений составляющих сил инерции (см. столбцы X C sum и Y C sum на рис. 7.44).
1 Определение приведенных масс специфических звеньев механизма наиболее эффективно выполняется при их твердотельном моделировании (см. рис. 5.10).
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
283
А	В	С	0	Е	F	G	Н	1	J	К
Ugol	X С (4)	X С(2)	Х_С(3)	X С(4)	X С sum	Y С(4)	Y С(2)	Y Ср)	Y С (4)	Y С sum
0	-2096	1510	1510	-2096	-1172	4212	-6440	6440	4212	-4456
1	-2099	1751	1751	-2099	-696	4239	-6357	-6357	4239	-4236
2	-2102	1983	1983	-2102	-238	4269	-6271	-6271	4269	-40*34
о	-2106	2208	2208	-2106	204	4302	-6182	-6182	4302	-3760
179	1002	2092	2092	1002	2180	-6521	4187	4187	-6521	
180	1261	-2096 |	•2096	1261	-1670	-6440	4212	4212	-6440	-4456
181	1510	-2099	-2099	1510	-1178	-6357	4239	4239	-6357	-4236
356	-2089	1002	1092	-2089	-2174	4166	-6599	-6599	4166	-4866
359	-2092	1261	1261	2092	-1662	4187	-6521	-6521	4187	-4668
360	-2096	1510	1510	-2096	-1172	4212	-6440	-6440	4212	-4456
Рис. 7.44. Фрагмент электронной таблицы значений компонент сил инерции, развиваемых приведенными к точкам С/ массами механизма A. Jante
6.	Формирование таблиц координат точек В, С и D для всех цилиндров двигателя с учетом схемы относительного расположения кривошипов коленчатого вала.
7.	Определение моментов сил инерции, развиваемых массами, приведенными к точкам В, С и D, относительно координатных осей. Здесь весьма удобно использование формулы (7.29), представляющей момент силы в форме символического определителя. С учетом конкретного вида разложения символического определителя в данном случае - проекции всех сил инерции на координатную ось Oz равны нулю, так что момент сил инерции точек С; относительно оси Ох в каждый момент времени выразится формулой
^С, - ~ZC, YC, ’
где zc - значение координаты z точки приложения составляющей Yc силы инерции /-го цилиндра; оно определяется при помощи значения межцилиндрового расстояния d. При этом электронные таблицы удобно формировать в соответствии с видом, данным в табл. 7.6. Момент этих же сил инерции относительно оси Оу найдется при помощи электронной таблицы с структурой, данной в табл 7.7.
284
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
7.6. Структура электронной таблицы при вычислении моментов сил инерции, развиваемых точками механизма A. Jante, относительно координатной оси Ох
а, °	Zrl	Г.	V	ы		Y	z<3	Уз	V	z<-4	У4	V	н £
0													
...													
360													
1.1. Структура электронной таблицы при вычислении моментов сил инерции, развиваемых точками механизма A. Jante, относительно координатной оси Оу
а,°	z<!		V	Zr2	А2	’Г	Z(3	*3	я V	*4	Xi	Y	к)
0													
...													
360													
Несколько сложнее структура электронной таблицы (табл. 7.8) для определения моментов сил инерции масс, приведенных к точкам С,, относительно оси Oz. Формула для определения такого момента имеет вид
МC,z = хс, Yc, ~ Ус, % с, •
Моменты сил инерции, развиваемых приведенными к точкам В, массами, вычисляются при помощи аналогичных по структуре таблиц (в обозначениях формул индексы «С» следует заменить на «В»). Для сил инерции ПДМ нужно вычислить только моменты относительно осей Ох и Oz (в последнем случае все силы инерции ПДМ имеют одно и то же значение координаты х, равное дезак-сиалу цилиндров).
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
285
7.8. Структура электронной таблицы при вычислении моментов сил инерции, развиваемых точками механизма A. Jante, относительно координатной оси Oz
а,°	х<|	У,	Ус,	л,	1 и"	ХС ( 2	У2	У<2	Х( 2	н'		Уз	...
0													
...													
360													
8.	Суммирование одноименных моментов сил инерции относительно координатных осей может быть также осуществлено одновременно с вычислением самих моментов.
В рассматриваемом 4-цилиндровом двигателе с механизмом A. Jante неуравновешенными являются силы инерции, действующие в направлении обеих координатных осей (рис. 7.45). Вид годографа1 суммарной неуравновешенной силы свидетельствует о наличии значительных затруднений при попытке уравновесить двигатель даже при помощи балансирных механизмов.
Особенностью системы сил инерции рассматриваемого двигателя является наличие неуравновешенного момента относительно оси вращения коленчатого вала. Этот момент при неблагоприятном сочетании конструктивных факторов способен складываться с опрокидывающим моментом. Из рис. 7.46 следует, что наибольшую роль в формировании названного неуравновешенного момента относительно оси вращения коленчатого вала играют силы инерции, развиваемые массами, приведенными к точкам С, наименьшую - силы инерции масс точек В.
1 Следует заметить, что в некоторой степени вид годографа обусловлен принятым допущением о равенстве всех замещающих масс 1кг, а также размерами механизма. Возможна постановка задачи минимизации неуравновешенных сил инерции и их моментов.
286
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.45. Годограф суммарной неуравновешенной силы инерции, развиваемой массами точек В, С и D 4-цилиндрового двигателя с механизмом A. Jante
Рис. 7.46. Изменение неуравновешенного момента сил инерции 4-цилиндрового двигателя с механизмом A. Jante относительно оси вращения коленчатого вала:
--о----^гПДМ,---О------------&----^zB-> -V-----
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
287
Механизмы, подобные рассмотренному, анализируются в связи с возможностью изменять степень сжатия двигателя. В данном случае это осуществляется при изменении координат точки О| -опоры качающегося рычага О\ВС (опора О\ выполняется в виде эксцентрика, изменение ее координат осуществляется при его повороте). Если в нашем примере принять = -99,2 мм и = -156,7 мм, то это приведет к заметному искажению формы годографа неуравновешенных сил (рис. 7.47). Поэтому для таких механизмов актуальной становится задача синтеза таких балансирных устройств, которые могли бы эффективно уравновешивать двигатель при изменении степени сжатия. То же касается пространственных преобразующих механизмов аксиально-поршневых двигателей, для которых упомянутые конструктивные решения уже существуют (см. ниже).
В ходе расчетно-экспериментальных исследований двигателей с усложненными схемами плоских преобразующих механизмов уже достигнуты некоторые положительные результаты [49, 50], табл. 7.9.
Рис. 7.47. Годограф неуравновешенной суммарной силы инерции механизма A. Jante с измененными координатами опоры качающегося рычага О\АВ
288
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
7.9. Сравнительные данные габаритов автомобильных двигателей Т-01 ГНЦ НАМИ с траверсным механизмом и 14
V-образного 8ЧН — с КШМ
Показатели	Т-01	V-образный
Число цилиндров	4	8
Ход поршня / Диаметр цилиндра, мм	140/130	140/140
Степень сжатия	10 ... 18	15,2
Частота вращения вала, мин1	1800	2100
Мощность, кВт	313	313
Максимальный крутящий момент, Н м	2000	1686
Литровая мощность, кВт/л	34,3	18,2
Удельная масса, кг/кВт	2,88	4,41
Габаритная мощность, кВт/м3	317,6	160,9
7.8. УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
В АПД, с одной стороны, существует большее число подвижных масс, развивающих неуравновешенные силы (ПДМ, НВМ, качающаяся шайба, прочие подвижные детали приводного механизма). С другой стороны, гармонические составляющие высших порядков упомянутых сил инерции существенно ниже составляющей 1-го порядка (или вообще отсутствуют).
Исследование уравновешенности АПД в последние годы приобрело большую актуальность в связи с созданием двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом. Задача анализа уравновешенности АПД является вполне самостоятельной1; в рамках данного учебного издания особенности уравновешивания этих двигателей лишь иллюстрируются. При этом будем считать, что параметры описанной в п. 3.5 модели пространственного преобразующего механизма (величины ПДМ, НВМ, приведенные к точкам С и Е массы) заранее определены.
1 Более подробно этот вопрос рассмотрен, например, в [54].
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 289
К НВМ в аксиальном двигателе относятся массы, приведенные к центру масс С шайбы т( и точке приложения тангенциальной и радиальной сил Е на наклонном кривошипе вала mf.:. Они развивают постоянные по модулю силы инерции, равные (рис. 7.48)
Сс = /77cco2csin ос;
С£ = 777£Cl)2//Sill ОС,
(7.30)
где с и Н - расстояния вдоль оси наклонного кривошипа до точек приложения соответствующих сил (см. рис. 3.9).
Рис. 7.48. Расчетная схема уравновешивания центробежных сил в АПД
10 - 8013
290
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Поскольку линии действия этих сил постоянно лежат в плоскости наклонного кривошипа коленчатого вала, силы С< и С/: могут уравновешиваться одним либо двумя противовесами на валу. Линия действия одной центробежной силы противовеса Спр (или равнодействующая двух сил Спр и Спрь если по конструктивным1 соображениям постановка одного противовеса не приводит к уравновешиванию рассматриваемых центробежных сил - см. рис. 7.48) должна располагаться в плоскости Л-Л, в которой лежит центр системы параллельных сил Сс и С/..
Суммарная масса противовесов wnp найдется из условия равенства развиваемых ими сил инерции - сумме сил С(- и Ср (рис. 7.48)
<wnprnp+",npirnpi)°)2 = (wcc + OT£//)co2sina.	(7.31)
Рассмотрим уравновешенность ПДМ - тиПдм, движущихся с ускорениями W4 (см. формулу 2.21). ПДМ каждогоу-го цилиндра в /-й момент времени развивает силу инерции (Рпдм)// = “^пдм Wy
Тогда главный вектор сил инерции ПДМ всех 7УЦ цилиндров двигателя определится
"ц
ЛПДМ/ = Х(рпдм)у-	(7.32)
Вид движения качающейся шайбы АПД оказывает влияние на уравновешенность сил инерции ПДМ (рис. 7.49): последние полностью уравновешены в АПД с регулярно-прецессирующими шайбами при любом числе цилиндров двигателя и не уравновешены для двигателей с дуговым движением шайбы, что объясняется отмеченными выше некоторыми различиями в характере движения поршней. Следует заметить, что величина неуравновешенной суммарной силы инерции ПДМ в двигателе с дуговым движением шайбы весьма невелика. Приводимые ниже рисунки иллюстрируют различие одноименных параметров внешней уравновешенности некоторого АПД с разными типами движения шайбы.
1 В частности, геометрия качающейся шайбы может осложнить располо-
жение противовеса в ограниченном межцилиндровом пространстве АПД.
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 291
Рис. 7.49. Изменение главного вектора неуравновешенных сил инерции ПДМ:
—Г]----прецессия;—О-----дуговое движение
При вычислении моментов сил инерции ПДМ относительно координатных осей формулы (7.29) значительно упрощаются, поскольку эти силы инерции параллельны оси Oz, так что Рх = Ру = 0. Координатами точки приложения силы инерции, развиваемой ПДМ у-го цилиндра, будут являться координаты хА и уА^ точки, в которой ось цилиндра пересекает координатную плоскость хОу. Выполнив указанные подстановки, получим
хПДМ )// - УAj ^ПДМ//
>ПДМ \j - ~xAj Л1ДМ/У
(7.33)
С учетом (7.33) главные моменты сил инерции ПДМ относительно координатных осей в каждый z-й момент времени найдутся
10*
292
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
^ЕПДМх/ =Х(^*ПДм)// 7=1 "ц
М ЕПДМу/ = К^ПДМ )//• 7=1
(7.34)
На рис. 7.50 показано изменение главных моментов сил инерции ПДМ АПД относительно координатной оси, перпендикулярной оси вращения коленчатого вала, при регулярной прецессии и дуговом движении качающейся шайбы (изменение других главных моментов имеет аналогичный характер). Моменты сил инерции ПДМ уравновешены при прецессии шайбы и не уравновешены при ее дуговом движении (последнему, в частности, способствует различный характер движения различных поршней), однако величина неуравновешенного главного момента значительно меньше таковой для двигателей с КШМ. В настоящем издании не преследуется цель исследования влияния различных конструктивных параметров пространственного преобразующего механизма АПД на его уравновешенность; этому, в частности, посвящена работа [100] (так, на характер изменения главного момента сил инерции ПДМ слабое влияние оказывает координата точек прицепа шатунов к шайбе) (см. рис. 2.30).
Точка Bj прицепа каждого у-го шатуна к шайбе движется с ускорением, имеющим составляющие Whxij,	вдоль каждой
координатной оси. В соответствии с этим замещающие массы mHj, связываемые с указанными точками Вр развивают силы инерции BXIJ9 BylJt Bz,j вычисляемые по формулам
^xij = ~тв^вХ1^
BytJ—mBW }	(7.35)
у J	J УЧ
Проекции главного вектора сил инерции точек Bj шайбы найдутся по выражениям
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЫ Ю-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 293
Рис. 7.50. Изменение главного момента сил инерции ПДМ относительно оси Ох при различных видах сферического движения шайбы: —-----------прецессия; —&----дуговое движение
- X ^XIJ ’	- X Byij ’	“ X •	(7.36)
7=1	7=1	7=1
Главный вектор сил инерции точек Bj шайбы равен
(7.37)
При нахождении точек В, в срединной плоскости шайбы (когда координата точек прицепа шатунов к шайбе равна нулю) силы В^ являются уравновешенными для обоих видов движения шайбы.
Моменты сил инерции точек В} найдем для каждого z-го момента времени по формулам
294
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
ЛУ— ур В,.. Zp В ....у
XtfIJ 7	у и
MyB'j = ZBtJ^xij ~xBtJ^ijz^ ^zB,j = х ВtJ Ву у ~ У ВtJ ^xij-
(7.38)
Составляющие и модуль главного момента сил инерции точек прицепа шатунов к шайбе при ее регулярной прецессии показаны на рис. 7.51. Дуговое движение шайбы незначительно нарушает постоянство модуля главного момента, затрудняя его уравновешивание.
Анализ годографов сил инерции ПДМ и точек прицепа шатунов к шайбе показывает, что в случае движения качающейся шайбы по закону регулярной прецессии они могут быть уравновешены вращающимися на коленчатом валу противовесами (рис. 7.52).
Рис. 7.51. Составляющие и модуль главного момента неуравновешенных сил инерции точек прицепа шатунов к шайбе при ее прецессии:
—----' —•--------М™'—А------А/™ ; —▼---М™
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 295
Рис. 7.52. Годограф неуравновешенных моментов сил инерции, развиваемых ПДМ и массами, приведенными к точкам Bj прицепа шатунов к шайбе, в АПД с прецессирующей шайбой
Одинаковый вид годографов свидетельствует о возможности уравновесить моменты сил инерции ПДМ и точек прицепа шатунов одной парой противовесов. На рис. 7.53 показано их расположение на коленчатом валу двигателя. Если задаться радиусом вращения центров масс противовесов гпр и расстоянием /пр между ними, то их масса wnp определится по формуле
"'пр
^BL +^£ПДМ
Ачр^ 'пр
(7.39)
296
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.53. Расположение противовесов для уравновешивания моментов сил инерции ПДМ и точек прицепа шатунов в АПД с прецессирующей шайбой
Г одографы неуравновешенных моментов сил инерции ПДМ и точек прицепа шатунов к шайбе в двигателе с дуговым движением последней (рис. 7.54; годограф неуравновешенного момента сил инерции точек Bt имеет тот же вид, несколько отличаются значения суммарного неуравновешенного момента) показывают, что их полное уравновешивание не может быть достигнуто; возможно лишь частичное уравновешивание. При этом целесообразно выбирать противовесы из такого условия, что развиваемые ими силы инерции образуют пару с моментом, равным таковому для случая регулярной прецессии шайбы. Тогда вибрации двигателя будут возбуждаться лишь разностью мгновенных значений неуравновешенного момента сил инерции ПДМ (или точек Ву) и постоянного момента, развиваемого противовесами (рис. 7.54).
Уравновешенность АПД несколько осложняется тем, что в их конструкциях присутствуют отдельные подвижные звенья, сочленяющие шайбу с корпусом двигателя и предназначенные для синхронизации ее движения. В АПД как с дуговым движением шайбы, так и с ее прецессией, для этой цели достаточно часто применяется карданный подвес (в последнем случае - двойной) [100]. Движение таких звеньев, обладающих достаточно значительными массами и моментами инерции, с ускорениями приводит к появле-
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 297
Рис. 7.54. Годограф неуравновешенного момента сил инерции ПДМ в двигателе с дуговым движением качающейся шайбы:
—------дуговое движение; —□------прецессия
нию неуравновешенных сил инерции и их моментов. Проиллюстрируем способ уравновешивания одного из наиболее простых механизмов с дуговым движением шайбы и одинарным карданным подвесом.
Крестовина карданного подвеса качающейся шайбы совершает вращательное движение вокруг одной из координатных осей (например, оси Оу) с угловым ускорением 8кр и, обладая некото-
298
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
момент
(7.40)
(7.41)
рым моментом инерции /Kpv относительно этой оси, развивает инерционный момент. Значения последнего в каждый ьй времени определяются по формуле (рис. 7.55, а)
М = -е I кр °кр кр^ ’
Окончательно получим
„	2,(1 + sin2 asin2(p)sin2acoscp
4<P = -2Gnp(0 1-----;--—----П---------’
I—sin asm ф
где Gnp - массы, приводимые к центрам G\ или G2 подвижных цапф, сочленяющих крестовину с шайбой; / - расстояние от центра механизма до точек G\ и G2.
Масса Gnp включает приведенную массу самой крестовины GKp и массу цапфы Gu
Gnp G^ + Gu, если крестовина массой G выполнена в виде кольца высотой h с наружным и внутренним радиусами R и г соответственно, то (рис. 7.55, б)
3R2+3r2+h2 р	24/2
Зависимость инерционного момента крестовины от угла поворота коленчатого вала применительно к конструкции гипотетического двигателя, рассматриваемого в качестве примера в данной главе, определяется характером именения углового ускорения крестовины. На рис. 7.56 показано изменение аналога инерционного момента, определяемого по выражению
_ ^кр
в сравнении с косинусоидой. Поскольку зависимость углового ускорения крестовины от угла поворота вала имеет полигармониче-ский характер, развиваемый ею инерционный момент не может быть полностью уравновешен вращающимися противовесами.
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 299
Рис. 7.55. Образование инерционного момента крестовины карданного подвеса
300
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.56. Изменение углового ускорения крестовины карданного подвеса качающейся шайбы и его отличие от гармонической кривой:
—------мкр; —о----cosq)
Представляется, что при дуговом движении шайбы следует принять меры к уравновешиванию рассматриваемого инерционного момента крестовины. Так, если приведенная масса Gnp равна 0,25 кг, а расстояние 7 = 0,05 м, то при п = 4500 мин'1 инерционный момент достигает максимального значения, равного 1875 Н • м.
Уравновешивание инерционного момента крестовины карданного подвеса может быть осуществлено при помощи несложного механизма (рис. 7.57). В его состав входят два балансира 14, устанавливаемые в плоскостях, параллельных плоскости качания крестовины 10. Балансиры снабжены зубчатыми секторами 13 и 16, которые одновременно служат противовесами. Зубчатые секторы входят в зацепление с зубчатыми секторами, установленными на крестовине 12. Таким образом, при качании крестовины оба балансира движутся в противофазе по отношению к ней с таким же угловым ускорением. Последнее обеспечивается тем, что
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 301
Рис. 7.57. Кривошипно-карданный преобразующий механизм с устройством для уравновешивания инерционного момента крестовины карданного подвеса
зацепление зубчатых секторов на крестовине и балансирах осуществляется с передаточным отношением 1 : 1. В связи с таким движением балансиров их противовесы развивают касательные силы инерции, образующие момент, равный и противоположно направленный по отношению к моменту крестовины [3].
302
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Расчеты показывают, что введение такого устройства не приводит к существенному увеличению габаритов и массы АПД. Так, применительно к конструкции двигателя 5ЧП 7,6/8,3 каждый из противовесов на балансирах должен иметь массу около 0,7 кг при максимальном размере около 100 мм. Таким образом, возможность уравновешивания инерционного момента крестовины оказывается потенциально достижимой и технически возможной.
Поскольку в АПД величина неуравновешенных сил и моментов всех типов зависит от угла наклона качающейся шайбы, то при реализации переменных степени сжатия и рабочего объема задача уравновешивания двигателя несколько осложняется, так как противовесы формально должны создавать момент сил или силу с переменным модулем (рис. 7.58).
Если противовесы жестко установлены на коленчатом валу и имеют постоянную массу, то уравновешивание АПД с переменными е и Vh становится возможным лишь при одном значении угла наклона шайбы (т.е. только на некоторых скоростных или нагрузочных режимах работы двигателя).
Рис. 7.58. Изменение модуля неуравновешенного главного момента сил инерции ПДМ гипотетического АПД с прецессирующей шайбой
УРАВНОВЕШЕННОСТЬ АКСИАЛЬНО-ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 303
Известны конструктивные решения, которые позволяют уравновешивать двигатель при любом значении угла наклона шайбы (см., например, [30]). Суть подобных технических решений заключается в придании противовесам подвижности относительно коленчатого вала, что приводит к возможности перемены величины развиваемого ими уравновешивающего момента (силы). Если управлять значением угла у в зависимости от значения угла наклона шайбы а (рис. 7.59), то противовесы будут развивать центробежные силы Спр, образующие пару с моментом
AfПр ~ Спр (4ip + 2гпр sin <|/) — /иПрСО гпр (/Пр + 2гпр sin v|>)cos vj/.
Рис. 7.59. Принцип действия уравновешивающих механизмов с переменной ориентацией противовесов в АПД с изменяемым углом а наклона качающейся шайбы
304
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Одна из вариаций конструктивного исполнения подобного механизма, разработанная фирмой Techniques Girodin, показана на рис. 7.60.
Рис. 7.60. Устройство механизма изменения ориентации противовесов в аксиальном двигателе Girodin по французскому патенту № 2277233: / - подвижный противовес;
2 - рычажная система управления положением противовеса
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВ1ЮВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 305
В целом уравновешенность АПД является более высокой по сравнению с двигателями прочих типов и обеспечивается существенно меньшим числом противовесов. При этом уравновешенность АПД с прецессирующими шайбами несколько выше, чем при дуговом движении последних.
7.9. ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ
Практика показывает, что даже теоретически полностью уравновешенный (номинально уравновешенный) двигатель на самом деле таковым не является. Имеет место так называемая остаточная неуравновешенность, в значительной степени способствующая возникновению вибраций.
Одной из причин остаточной неуравновешенности является различие значений масс и размеров подвижных звеньев реально выполненного (т.е. с соответствующими технологическими допусками) механизма. Простейшая схема возникновения остаточной неуравновешенности в 2-цилиндровом двигателе показана на рис. 7.61. Если ПДМ, связанная с 1-м поршнем, имеет максимальное значение ^пдМ’ а связанная со 2-м поршнем - минимальное значение МцдМ’ то главный вектор сил инерции ПДМ 1-го порядка найдется
^/1пдм ~ "^пдм^2 cosa-
- Юпдм ^с°2 cos(a +180°)
^ПДМ “ ,?/ПДМ R® cosa-
При п = 2100 мин'1, R = 0,07 м и (/Ицдм _^пдм) = 0,05 кг амплитудное значение этой неуравновешенной силы равно 169,3 Н. Обладая сплошным спектром, эта весьма малая по величине сила способна вызвать заметные колебания двигателя на подмоторной конструкции. Соответствующие примеры приведены, в частности, в работе [82]: увеличение амплитуды вибраций на номинальной
306
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.61. Механизм возникновения остаточной неуравновешенности сил инерции ПДМ 1-го порядка в 2-цилиндровом ДВС
частоте вращения при увеличении различия значений массы деталей поршневой группы имеет место у подавляющего большинства двигателей. Так, у двигателей типа 12ЧН 16/18; 12ЧН 18/20 при различии масс поршней в пределах Д/Ипдм = 10 ... 160 г наблюдалось увеличение уровня вибрации на 6 ... 7 дБ. При этом наряду с изменением уровней вибраций на номинальной частоте вращения наблюдается некоторое изменение уровней ее гармонических составляющих, в особенности, низкочастотных.
Если номинальная уравновешенность двигателя является детерминированной (т.е. подчиняется тем или иным закономерностям, выражаемым зависимостями, формулами), то остаточная неуравновешенность подчиняется статистическим закономерностям: так, в рассмотренном примере для каждого экземпляра 2-цилинд-
1 Изменение уровня Lw вибраций (оцененного по ускорению колебательного движения - виброускорению) даже на 1 дБ соответствует существенной перемене значений этих виброускорений: так, для легких высокооборотных транспортных дизелей Lw = 120 ... 121 дБ. При Lw = 120 дБ максимальное виброускорение равно 300 м/с“ (что соответствует 30,58g), а при 121 дБ - 336,6 м/с2 (т.е. 34,31g).
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 307
рового двигателя величина ^пдм-/иПдМ), а следовательно и Я7тдм, являются случайными.
Помимо указанных выше различий в массе деталей остаточная неуравновешенность двигателей может обусловливаться дисбалансом маховика (несовпадением центра масс с осью вращения коленчатого вала), различиями размеров звеньев (обусловленными их выполнением с соответствующими технологическими допусками), а также отклонениями центров масс звеньев от номинально определенного положения. Эти причины остаются постоянными для каждого конкретного экземпляра двигателя. Существуют и другие причины, например, непостоянство от цикла к циклу угловой скорости вращения коленчатого вала, что обусловливает различия неуравновешенного опрокидывающего момента.
Наиболее полно вопросы остаточной неуравновешенности двигателей рассмотрены проф. Е.А. Григорьевым [19], который, по-видимому, ввел понятие «статистическая динамика ДВС».
Установлено, что отклонения массы деталей двигателя, выполняемых с технологическими допусками, в пределах этих допусков подчиняются нормальному закону распределения (рис. 7.62), при котором одни значения отклонений более, а другие - менее вероятны. Если обозначить технологическое отклонение массы звена х; плотность распределения вероятностей появления (реализации) звена с отклонением х - F(x), то при упомянутом нормальном законе распределения
F(x) =
(7-42)
где - среднее квадратическое отклонение случайной величины х; тх - математическое ожидание случайной величины х.
Величины Oj и тх определяются выражениями
308
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.62. Нормальный закон распределения вероятностей отклонения х массы поршня тракторного дизеля Д-54
+оо
D(x) = $(х-тх)2 f(x)dx;
—оо
4-оо
—оо
где D(x) - дисперсия случайной величины х.
Вероятность F(a < х < Ь) нахождения случайной величины (массы, размера детали и пр.) в интервале [а < х < Л] оценивается интегралом Лапласа
F(a <х <b) =
е
(х-^х)2 2Ох
(7.43)
dx.
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕ1IIГОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 309
В практических расчетах допускается принимать, что случайная величина распределена в обе стороны от математического ожидания на величину ±3ох (эти пределы часто называют «трех-сигмовыми»). Интеграл вероятности F(a < х < b) при этом принимает значение 0,9973; это означает, что из 1000 случайных величин только 3 могут выходить за пределы ±3ох.
Силы инерции ПДМ зависят от двух случайных величин - радиуса кривошипа и массы. Отклонения силы инерции от номинального значения при этом определяются двумя различными законами распределения. В этом случае говорят, что сила инерции -композиция случайных величин. Исследуем такую композицию для силы инерции ПДМ 1-го порядка одноцилиндрового гипотетического двигателя с параметрами:	= 1 кг; /?0 = 0,05 м;
&т = 0,05 кг; Д7? = ±0,0001 м. Расчет проведем для значения угловой скорости коленчатого вала со = 209 с' (что соответствует частоте вращения вала п = 2000 мин'1) и значении угла поворота коленчатого вала а = 30°.
Расчет проводится в такой последовательности. Во-первых, определим значение математического ожидания силы инерции ПДМ 1-го порядка
Pjio = Ро = /«0 Ро со2 cos а = 1  0,05 • 2092 • 0,866 =1891 Н.
Максимальная Р^ и минимальная Р^”) величины силы max	min
инерции, обусловленные изменением ПДМ, найдутся по формулам й’ = (то + Aw)/^co2 cosa = (1 + 0,05) • 0,05 • 2092 • 0,866 = 1985 Н; рт?п = ("'о ~Мро®2 cosa = (1 - 0,05) • 0,05  2092 • 0,866 = 1796 Н.
Таким образом, интервал распределения первой случайной величины Р(,/,) равен
-С) = 1985-1796 =189 Н.
310
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Расчет удобнее проводить не в абсолютной, а в относительной форме. При этом оперируют со значением математического ожидания не силы инерции Ро, а ее отклонения ДР0, которое стремится к нулю. Тогда (с учетом означенного выше допущения о «трехсигмовых» пределах) отклонения силы инерции обусловленные случайными значениями отклонений массы ПДМ, распределены по нормальному закону в интервале др*т> = (_94 ... +94) н.
Среднее квадратическое отклонение <зт случайной величины ДР(П,) найдется
о
т
-32 Н.
Нормальный закон (см. формулу 7.42) плотности распределе-
ния вероятностей величины ДР(П,) запишется в виде
где APj"^ - случайная величина отклонения.
Аналогично найдем параметры второй случайной величины ДР(/?) - отклонения силы инерции ПДМ, обусловленного различиями размеров кривошипов. Если
^liax = WO(/? + A/?)co2 cosa = 1  (0,05 + 0,0001)• 2092 0,866 = 1895 Н;
=mo(R~ АЯ)®2 cos a = I • (0,05 - 0,0001) • 2092  0,866 = 1887 H,
то отклонения силы инерции ПДМ за счет изменения радиуса кривошипа распределены в интервале от ДР^ = Н до ДР^ = 4 Н при математическом ожидании ДР0(/?)=0 и среднем квадратическом отклонении = 1,3 Н согласно уравнению
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ л ]
2а«
(Я)	1
(7.44)
Суммарные отклонения силы инерции ПДМ (т.е. обусловленные отклонениями как массы, так и величины радиуса кривошипа) будут распределены в интервале
+ Д^тах , т.е. -98 Н ... +98 Н.
Для расчета плотности интервал распределения вероятности такой композиции двух случайных величин следует разделить на четное число подынтервалов. В рассматриваемом примере ограничимся 8 такими подынтервалами; вообще следует выбирать большее их количество. Итак, величина каждого подынтервала 2 • 98/8 = 24,5 Н.
Одна из случайных величин (при общих рассуждениях обозначим ее символом А); входящих в композицию (обозначим последнюю z), принимается независимой (рекомендуют выбирать ту, которая имеет меньшие пределы изменения; в нашем случае это будет ДР**0). Интервал изменения независимой случайной величины также делится на четное число подынтервалов (в нашем примере число последних также принято равным 8).
Далее определим плотность распределения вероятностей композиции случайных величин. При этом для каждого значения композиции следует поочередно задаться значениями независимой случайной величины X; вычислить соответствующее значение второй входящей в композицию случайной величины Yt = zt -найти плотности распределения fxl,fyt вероятностей для найденных значений обеих случайных величин; произведение последних fxlfyl даст значение плотности распределения вероятностей композиции. Такие вычисления удобно выполнять в табличной форме (табл. 7.10), используя для автоматизации этих вычислений табличный процессор. Общая вероятность того, что отклонения силы инерции (при любых комбинациях определяющих композицию
312
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
7.10. К расчету плотности распределения вероятностей композиции случайных величин (в скобках указаны ранее использованные обозначения случайных величин и плотностей распределения их вероятностей)
^1	у(К)	Y,	y(w)	
Ал	/1	Y,		fx\fy\
^2	fx"!.	y2	fyl	ftlfyl
Аз	fxl	Yj	fyy	fxifyi
•..	...	...	...	...
	fxn	Yn	fyn	fxnfyn
Условные обозначения: X - значения независимой случайной величины AP(,°;/(/?) - плотность распределения вероятностей независимой случайной величины; Y, - значения второй случайной величины АР(Ш);/(ш) - плотность распределения вероятностей второй случайной величины;- плотность распределения вероятностей композиции.				
случайных величин) ПДМ составят z,, найдется при помощи формулы (7.43), в которой значение определенного интеграла вычисляется численными методами (в частности, успешно используется здесь метод Симпсона, расчетная формула для которого приведена в гл. 5).
Пусть композиция случайных величин принимает первое значение, равное z\ = -98 Н, а независимая случайная величина при этом равна X = -4 Н. Тогда Kj = -94 Н. В нашем случае может быть только эта комбинация, приводящая в итоге к z} = -98 Н. В других случаях композиция не существует, поскольку значения зависимой случайной величины выходят за пределы ее распределения. Вычисления по формуле (7.44) дают/ = 3,32-10'3;/= 1,38*10'4 и/ /2 = 4,6 • ПУ7. Таким образом, вероятность того, что отклонение силы инерции ПДМ, будет обусловливаться одновременно минимальными значениями как радиуса кривошипа, так и массы ПДМ, практически отсутствует.
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 313
Далее исследуем случай, когда композиция принимает значение, равное z2 = -73,5 Н. Это может иметь место при нескольких сочетаниях независимой и зависимой случайных величин: например, если	-4 Н, то Д/^'”) = -69,5 Н; если ДР2(/?) = -3 Н, то
ДР2(ш) = -70,5 Н и т.д. В табл. 7.11 приведены остальные результаты расчета.
Найденная численным способом величина интеграла вероятности составляет F = 0,01843342. Это означает, что суммарная вероятность того, что отклонение силы инерции ПДМ ДР7ь равное -73,5 Н, составляет 1,84 % (при этом уже не учитывается, какая комбинация значений ДР(/е) и привела к данному значению композиции.
Вычислив значения F для каждой величины получим функцию распределения вероятности для композиции (рис. 7.63) и далее - гистограмму распределения. Последнее действие выполняется при помощи интеграла вероятности
Ф = -А[е ^dt. Vя о
7.11. К расчету плотности распределения вероятностей композиции zi = -73,5 Н
ДРw, н	F*"' • 10‘6	ДР (т\ Н	у("») . |0-6	у( /0у ("») . 10-6
	4	3323,89	-69,50	1087,83	3,62
-3	23804,74	-70,50	1012,97	24,11
-2	97138,20	-71,50	942,30	91,53
-1	225853,10	-72,50	875,67	197,77
0	299206,70	-73,50	812,92	243,23
1	225853,10	-74,50	753,90	170,27
2	97138,20	-75,50	698,45	67,85
3	23804,74	-76,50	646,42	15,39
4	3323,89	-77,50	665,80	2,21
314
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
АР7ь Н
Рис. 7.63. Плотность распределения вероятностей отклонений значений силы инерции ПДМ 1-го порядка КШМ как композиции случайных величин - технологических отклонений массы ПДМ и радиуса кривошипа (пример)
Физический смысл гистограммы распределения заключается в том, что она показывает вероятность попадания случайной величины в определенный интервал. Значения интеграла вероятности Ф табулированы. При этом вероятность Р попадания случайной величины z в интервал [я; А] определяется как разность интегралов вероятности
где т2 - математическое ожидание композиции случайных величин; - среднее квадратическое отклонение композиции, которое может быть вычислено по формуле	в примере
сь = 32,03 Н.
ПОНЯТИЕ ОБ ОС ТА TO4IЮЙ 11ЕУ РАВНОВЕШЕШ ЮСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 3 j 5
Если в нашем примере необходимо исследовать вероятность нахождения отклонения силы инерции 1-го порядка ДРу1 в интервале [я, Ь] = [-25; 0] Н, то
-25-0
_0-0__
32,03
-0,276.
Это означает, что 27,6 % комплектов двигателей будут иметь отклонения силы инерции ПДМ 1-го порядка в пределах (-25 ... 0) Н. Поскольку большинство распределений являются симметричными, строят гистограмму распределения отклонений абсолютных величин сил инерции. Тогда 55,2 % комплектов двигателей будут иметь отклонения силы инерции ПДМ 1-го порядка от ее номинального значения в пределах (-25 ... +25) Н (рис. 7.64).
Рис. 7.64. Гистограмма распределения вероятностей различных отклонений силы инерции ПДМ 1-го порядка (пример)
316
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Данный пример показывает, что отклонения сил инерции, главным образом, обусловливаются отклонениями масс. Поэтому при проектировании деталей отклонения размеров назначают исходя из соображений технологичности конструкции, свойств оборудования и пр. При определении отклонений сил инерции, задаваясь различными значениями последних (а также экономическими соображениями), устанавливают достаточно жесткую величину допуска на массы подвижных звеньев (табл. 7.12). При необходимости этот расчет может служить основой для формирования размерных групп при селективной сборке.
Расчет, пример которого приведен выше, является составной частью так называемого метода статистических испытаний, который успешно реализуется на многих двигателестроительных предприятиях. На Коломенском тепловозостроительном заводе в результате применения этого метода в практике проектирования и исследования тепловозных дизелей в производство были введены допуски на размеры и массы деталей, жесткости амортизаторов и др. параметры, существенно (на 30 ... 35 %) отличавшиеся от первоначально принятых.
Проф. Е.А. Григорьевым получены итоговые выражения для параметров остаточных сил инерции ПДМ и НВМ и их моментов для транспортных двигателей наиболее распространенных схем.
Данные табл. 7.13 показывают, что для уменьшения вредных воздействий остаточных центробежных сил инерции НВМ балансировку и сортировку деталей двигателя по значениям масс необходимо проводить тем более тщательно, чем больше цилиндров имеет двигатель.
7.12. Средние квадратичные отклонения масс звеньев некоторых двигателей, кг
Звено	Д-50	Д-54	Д-37	ЯМЗ-236
Поршень в сборе	0,021	0,019	0,015	0,040
^ш.п	0,032	0,027	0,020	0,035
к	0,060	0,048	0,039	0,080
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 3 ] 7
7.13. Относительные значения предельных (ДРуС)тах, средних квадратических и «трехсигмовых» qP значений остаточных центробежных сил инерции НВМ
Число и расположение цилиндров	Схема коленчатого вала		(Afy)max	°д/у	
			/?со2 (Д/иНвм)	(атнвм)	
2Р			2,0	1,41	1,42
ЗР	з ЧТ	1	2,64	1,23	2,15
4Р		L4 АЗ	4,0	2,0	2,0
4V		А4	4,0	2,0	2,0
12V	00 < • •	оо < •	OS <	о\ *0	Число и расположение цилиндров	
1,7,6,12 2,s\f^y3,9, 5,11"	7 4,10	Оо	Ln 1ч> О\	1,5,4,8 2,6,3,7	Ъ\		Схема коленчатого вала	
10,56	3,82	00 о	5,28	5,28	е ьэ > S	1 3^ X
2,42	N) О	2,82	1,73	Lb)	е сГ т аз г	q Л
4,86	\О	2,83	3,06	3,06		
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 319
Заслуживает внимания то обстоятельство, что в двигателях с пространственными схемами коленчатых валов средние квадратические отклонения остаточных сил инерции НВМ не зависят от угла поворота коленчатого вала, а в двигателях с плоскими валами -зависят. Это значит, что к двигателям с пространственными коленчатыми валами можно предъявлять менее жесткие требования по балансировке или подгонке масс звеньев, чем к двигателям с плоскими валами.
Для сил инерции ПДМ проф. Е.А. Григорьев приводит следующие данные (табл. 7.14).
7.14. Относительные средние квадратические значения вертикальной (с индексом «в») и горизонтальной (с индексом «г»)составляющих остаточных сил инерции ПДМ
Число цилиндров	СТ71в	& J 1 г	а72в /?CO2(JW	^y2r /?co2crw
	R(d2Gm	/?со2о,„		
1	cosa	0	X cos2a	0
2	V2 cosa	0	V2 X cos2a	0
ЗР	л/З/2	0	л/з/21	0
4Р	2cosa	0	2Х cos2a	0
6Р	7з	0	V31	0
4V	i	1	V2 X cos2a	V2 X cos2a
6V	1,22	1,22	1,221	1,221
8V*	V2	V2	2А. cos2a	2 A, cos2a
8V”	V2	V2	2А. cos2a	2X cos2a
12V	3 V2	3 V2	V2	V2
320
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Как видно, остаточные силы инерции ПДМ присутствуют во всех двигателях независимо от их компоновки. Можно отметить следующие закономерности. Наибольшую величину имеют остаточные силы инерции ПДМ 1-го порядка. С увеличением числа цилиндров их максимальные значения увеличиваются. В двигателях с рядным расположением цилиндров остаточные силы действуют только в плоскости осей цилиндров, в то время как в V-образных двигателях есть и вертикальные и горизонтальные их составляющие.
Одной из существенных причин, обусловливающих возникновение остаточной неуравновешенности ДВС, является наличие дисбаланса вращающихся деталей - несовпадение центра масс сборки таких деталей (например, коленчатого вала в сборе с противовесами, приводными зубчатыми колесами, шкивами, маховиком и сцеплением) с осью вращения. С точки зрения механики машин существо дисбаланса выражается в том. что центробежные моменты инерции упомянутых вращающихся деталей становятся отличными от нуля, в связи с чем ось вращения перестает быть главной центральной осью инерции для вращающихся деталей и (или) их сборок. Если центр масс детали весом G = nig находится в точке С, отстоящей от оси вращения вала на расстояние е (рис. 7.65), то дисбаланс I) вычисляется по формуле D = Ge и измеряется в Н • м или Н • мм.
Рис. 7.65. Статическая балансировка вращающегося тела
ПОНЯТИЕ ОБ ОСТАТОЧНОЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ 321
Дисбаланс вращающихся частей оказывает заметное влияние на уровни низкочастотных колебаний двигателя, в особенности на уровни основных составляющих, соответствующих номинальной частоте вращения, и их низших гармоник. Уровни остальных частотных составляющих при этом практически не изменяются. Изменение уровней вибрации двигателей при нарушении балансировки коленчатого вала может быть весьма заметным. Так, известно [60], что при изменении величины дисбаланса коленчатого вала дизеля типа М50 от 60 до 300 Н м уровень вибрации на опорах дизеля увеличивался с 74 до 80,5 дБ.
Устранение дисбалансов носит название балансировки звеньев. Различают статическую и динамическую балансировки. При статической балансировке находят точку г (см. рис. 7.65) расположения дополнительной корректирующей массы AG, в результате чего центр масс вращающегося тела оказывается на оси вращения. Однако при этом возможно возникновение пары сил инерции, момент которой зависит от значения центробежных моментов инерции. При небольшой длине деталей (например, таких как маховики, шкивы ременных передач, зубчатые колеса и пр.) величина момента этой пары невелика, а потому для них ограничиваются только статической балансировкой. Для длинных деталей, к которым относятся и коленчатые валы (в особенности высокооборотных двигателей), необходима динамическая балансировка, при которой ось вращения превращается в главную центральную ось инерции. Механизм образования статического и динамического дисбалансов и принципиальные схемы балансировочных приспособлений рассмотрены, например, Дж. Ден-Гартогом еще в 1940-42 гг. [23].
Динамическая балансировка коленчатых валов является неотъемлемой частью технологического процесса их изготовления и производится на специальных балансировочных станках1. Принципиальная схема такого станка приведена на рис. 7.66; теоретические положения динамической балансировки даны в [9] и [23].
1 В соответствие с требованиями ГОСТа динамическая балансировка не обязательна только для коленчатых валов двигателей, имеющих не более двух кривошипов и работающих при п < 1000 мин1.
II — 8013
УП
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.66. Схема станка для балансировки коленчатого вала:
/ - вал; 2 и 3 - опоры; 4 и 5 - катушки; б и 7 - постоянные магниты;
8 - приводной вал; 9 - усилитель; 10 - регистрирующий прибор;
11- ротор генератора; 12 -зубчатое колесо
Балансировку коленчатого вала обычно производят относительно двух поперечных сечений А и В (рис. 7.66) щек крайних шатунных шеек. Дисбаланс устраняют путем высверливания металла в щеках вала.
При балансировке вал 7 размещают на упругих опорах 2 и 3, связанных с катушками 4 и 5, находящимися в поле постоянных магнитов 6 и 7. При вращении неуравновешенного вала от приводного вала 8 возникающие колебания будут передаваться катушкам 4 и 5, в которых при перемещении в магнитном поле возникает электрический ток. Напряжение тока будет тем больше, чем больше колебания катушек. Ток проходит через усилитель 9 и регистрируется прибором 10. Синхронно с коленчатым валом в балансировочном станке вращается ротор 11 генератора.
КРИТЕРИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
323
Поворотный статор генератора позволяет изменять положения катушек, вследствие чего меняются показания прибора 10. Если при определенном угле поворота статора показания прибора равны нулю, то этот угол будет соответствовать углу, на который нужно повернуть указатель шкалы колеса 12 для определения плоскости расположения неуравновешенных масс в балансируемом коленчатом валу.
Электрические системы в станке выполнены отдельно для каждой опоры, что позволяет определять неуравновешенность относительно двух плоскостей приведения.
В настоящее время балансировочные станки агрегатируют со сверлильными станками, и работа по определению места и величины дисбаланса и высверливанию металла осуществляются автоматически.
Значительно более жесткие требования предъявляются к балансировке роторов газотурбинных двигателей. В связи с их значительной податливостью при отсутствии балансировки при некотором значении частоты вращения (так называемая критическая скорость вращения) возникает потеря устойчивости роторов, сопровождающаяся значительными деформациями, способными вызвать разрушения элементов конструкции двигателя. Положения балансировки роторов газотурбинных двигателей изложены в [9].
7.10. КРИТЕРИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Возможны ситуации, когда сравниваемые варианты конструкции обладают одинаковым числом неуравновешенных факторов. В таком случае становится необходимой количественная оценка неуравновешенности. Для этой цели используют так называемые критерии неуравновешенности. К наиболее часто используемым относят критерии, предложенные Б.С. Стечкиным и В.Я. Климовым, а также А.М. Кацем.
Критерием неуравновешенности двигателя по Б.С. Стечкину -В.Я. Климову является амплитуда виброперемещений двигателя как твердого тела под действием неуравновешенных сил и моментов в предположении, что он установлен на податливых опорах (рис. 7.67).
п*
324
АНАЛИЗ УРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
Рис. 7.67. К выводу уравнений расчета критериев неуравновешенности
Под действием неуравновешенной инерционной силы Р/к к-го порядка (практическое значение имеют только 1-я и 2-я гармонические составляющие силы двигатель массой /?/дв колеблется вдоль оси Оу согласно уравнению
У Pjk ~	’
Подставляя в уравнение его решение в виде ^ = /4sin£cD/ (здесь А - искомая амплитуда), найдем
Р!к
А =----(7.45)
т.Л со ДИ
Двигатель считается удовлетворительно уравновешенным при А < 0,01 мм и плохо уравновешенным, если А > 0,1 мм.
КРИТЕРИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
325
Если на двигатель действует неуравновешенный момент Mjk, то колебания двигателя будут описываться уравнением
/двФ + jk ~~ 0 ’
где /дв - момент инерции двигателя относительно оси Ох\ ср - угол поворота двигателя относительно оси Ох.
Удобнее пользоваться не угловыми, а линейными размерами, а потому после аналогичного (7.45) решения
MJk
находят
. _ jk^)W 2I„X2^2' До
Неудобством при использовании критерия Б.С. Стечкина -В.Я. Климова является возможность учета только одного неуравновешенного фактора, тогда как двигатель может быть неуравновешен сразу по нескольким факторам, причем последние могут достигать своих амплитудных значений в разные моменты времени.
Критерий А.М. Каца представляют в виде совокупности двух безразмерных коэффициентов (в отличие от критерия Б.С. Стечкина - В.Я. Климова здесь имеется возможность проанализировать неуравновешенность при наличии нескольких неуравновешенных факторов)
+ 0,25 Л
/r/nRZ)co2
До
6 Айв
2	, гг2
дв п дв
/wnRZ)co2
До
6Адв -М
2 I /7^ дв 11 дв
Здесь D - диаметр цилиндра; Адв, /7ДВ - длина и высота двигателя соответственно.
Двигатель считается удовлетворительно уравновешенным при 0,001 ;т| <0,001.
8.	КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Важным аспектом динамики ДВС является расчет колебаний коленчатого вала и связанных с ним звеньев. В литературе эти колебания рассматриваются как парциальные (т.е. происходящие в различных направлениях - крутильные, изгибные и продольные -независимо друг от друга) и как связанные, т.е. зависящие друг от друга (рис. 8.1). Амплитуды колебаний весьма малы, однако колебания опасны в связи с возможностью появления резонансов, когда частота собственных колебаний вала (т.е. происходящих под действием только упругих и инерционных сил и моментов) совпадает с частотой возмущающей силы (момента).
В реальных условиях колебания являются связанными, однако частоты собственных колебаний изгибных форм, как правило, на 1 ... 2 порядка выше таковых для крутильной и продольной форм, а потому резонансы колебаний изгибных форм в рабочем диапазоне частот вращения вала не опасны.
Крутильные колебания коленчатых валов представляют собой наиболее существенную опасность. При таком виде колебаний разные сечения коленчатого вала под действием переменного крутящего момента совершают колебательные движения, поворачиваясь относительно оси его вращения на неодинаковые углы.
Рис. 8.1. Парциальные (изолированные) крутильные (а), продольные (б) и изгибные (в) колебания колена вала
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
327
Отрицательная роль крутильных колебаний в двигателестрое-нии проявилась уже в 1902 г., когда произошли многочисленные аварии судовых энергетических установок с паровыми поршневыми машинами, которые были объяснены крутильными колебаниями. Отсюда и начальный этап развития теории крутильных колебаний был связан именно с судовыми энергетическими установками. Позднее в 1905 г. в России была опубликована одна из первых в мировой научной литературе статья проф. С.П. Тимошенко «К вопросу о явлениях резонансов», посвященная крутильным колебаниям. Массовые аварии судовых дизельных установок, обусловленные крутильными колебаниями, в 1912 ... 1914 гг., вызвали появление в 1912 г. графического метода расчета крутильных колебаний Г. Гюмбеля, изобретение в 1*916 г. Гейгером механического торсиографа (прибора для регистрации крутильных колебаний). В 1921 г. независимо друг от друга Ф.А. Толле, Хольцер и Видлер предложили аналитический метод расчета крутильных колебаний, реализованный в виде метода остатка (этот метод до сих пор широко применяется в расчетной практике, в особенности для неразветвленных колебательных систем).
Проф. В.П. Терских в 1930 г. был предложен метод цепных дробей (или метод динамических жесткостей), впоследствии занявший главное место в расчете крутильных колебаний судовых энергетических установок [18].
В те же годы в двигателестроении стали исследоваться не только крутильные, но и изгибные колебания, причем одна из первых работ в данном направлении была выполнена применительно к автотракторному двигателю [28].
В авиационном двигателестроении впервые стали исследоваться связанные крутильно-изгибные колебания (акад. Л.И. Ман-дельштамм, проф. М.Л. Кемпнер, В.Я. Натанзон).
В 1957 г. впервые появились сообщения об авариях установок с двигателями, обусловленные продольными колебаниями коленчатых валов [69]. При изучении таких колебаний было установлено, что резонансные частоты продольных форм колебаний близки к таковым для крутильных форм.
328
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Бурное развитие расчеты колебаний получили в связи с внедрением в инженерную практику современной вычислительной техники. Удалось реализовать известный ранее алгоритм метода начальных параметров (упомянутый выше метод остатка является одной из разновидностей его реализации) в матричной форме, что дало возможность рассчитывать как парциальные, так и связанные колебания разветвленных систем. В 1976 - 78 гг. впервые в отечественной практике для исследования связанных колебаний коленчатых валов В.К. Румбом был применен МКЭ [79].
8.1.	АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Расчет параметров крутильных колебаний с использованием дискретных моделей проводят в такой последовательности:
•	разработка модели крутильной системы (определение приведенных длин и жесткостей или податливостей участков; моментов инерции моторных масс);
•	определение частот и форм свободных (собственных) крутильных колебаний;
•	гармонический анализ крутящего момента, анализ резонансных режимов работы двигателя;
•	определение амплитуд вынужденных колебаний моторных масс на резонансных режимах;
•	расчет дополнительных напряжений в коленчатом валу от скручивания;
•	определение параметров гасителя колебаний.
Расчетные модели колебательных систем могут быть континуальными (с распределенными параметрами, когда каждый элемент расчетной модели обладает массовыми, упругими и демпфирующими свойствами; наиболее яркими примерами континуальных моделей являются конечно-элементные модели звеньев) или дискретными (в последнем случае элементы моделей обладают только либо массовыми, либо упругими и демпфирующими свойствами).
Колебания механических систем описываются дифференциальными уравнениями - линейными (наиболее широко применяемыми вследствие возможности нахождения решения в аналитиче
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
329
ской форме) или нелинейными (обычно требуют итерационного решения).
В практике нашли применение модели всех типов; несколько большее распространение пока имеют дискретные модели, которые могут отличаться большей или меньшей детализацией и представляться в виде цепных (рис. 8.2) или усложненных разветвленных колебательных систем (рис. 8.3).
Массы с моментами инерции Ц и /2 (далее для простоты будем говорить просто массы Ц и пр.; определение значений моментов инерции масс рассматривается ниже) моделируют здесь агрегаты (насосы, вентиляторы и пр.), приводимые от коленчатого вала, и
Рис. 8.2. Пример упрощенной цепной крутильной системы двигателя в составе энергетической установки
330
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.3. Пример разветвленной дискретной упруго-массовой модели крутильной системы двигателя:
1 - моторные массы; 2 - масляный насос; 3 - маховик;
4 - ременные передачи; 5 - вентилятор; 6 - генератор; 7 - шкивы;
8- гаситель колебаний; 9-зубчатая передача; 10- распределительный вал с приводом; / / - топливный насос с приводом; 12 - компрессор
шестерни привода. Массы Л - /6 называют моторными; они моделируют кривошипы коленчатого вала и связанные с ними массы подвижных звеньев КШМ. В дальнейшем будем обозначать их символами /м. Масса /7 моделирует маховик, масса 1% - присоединенную массу транспортного средства (например, автомобильную трансмиссию, гребной или воздушный винт и пр.). Участки между соседними массами с номерами / и j характеризуются только податливостью (жесткостью), величину которой будем обозначать символом еч.
Усложнение модели (рис. 8.3) способствует большей точности при определении частот собственных колебаний и, соответственно, резонансных режимов, трудоемкость расчета в этом случае повышается. Обстоятельством, препятствующим широкому внедрению таких усложненных моделей, является наличие в модели эле
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
331
ментов, соответствующих упругим соединениям, зубчатым зацеплениям и пр., что, строго говоря, требует решения задачи о колебаниях в нелинейной постановке.
Примеры континуальной конечно-элементной модели кривошипа коленчатого вала приведены на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Континуальные модели колебательной системы коленчатого вала:
а - первая модель В.К. Румба (1978 г.); б - современная модель
332
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
8.2.	МОДЕЛЬ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ УЧАСТКОВ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
В дискретную крутильную систему включают колеблющиеся массы и упругие участки между ними. При этом считают, что массы обладают только инерционными свойствами (масса, момент инерции), а участки - только упругими свойствами. К их числу относят крутильные жесткость Скр и податливость екр участков, связанные между собой обратной зависимостью
С = 1 / е '-'кр	1 ' скр-
Под крутильной жесткостью понимают величину скручивающего момента, который нужно приложить к упругому участку, для углового деформирования последнего на одну угловую единицу. В связи с этим единицей измерения крутильной жесткости является Н • м/рад. Физический смысл податливости заключается в том, что она показывает величину угловой деформации вала под действием приложенного к нему единичного скручивающего момента. Единицей измерения податливости является рад/(Н м).
Основой для определения крутильной жесткости (податливости) является условие равенства потенциальной энергии упругой деформации реальной системы и ее модели. Наиболее точное определение крутильной жесткости вала возможно экспериментальным путем. Из расчетных методов наилучший результат дает метод конечных элементов, в наибольшей степени учитывающий реальную геометрию коленчатого вала (см. рис. 8.3), но требующий значительных усилий расчетчика по разработке конечноэлементной модели и организации численного эксперимента.
В других случаях коленчатый вал уподобляют совокупности тел, имеющих правильную геометрическую форму - цилиндров, прямоугольников, конических участков и пр. При этом податливость составного участка равна сумме податливостей е, всех N входящих в него составляющих фрагментов, т.е.
(81) <=|
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
333
Ниже приводятся расчетные формулы для определения податливостей таких простых геометрических участков. Податливость цилиндрического участка (рис. 8.5) вала равна
где G - модуль упругости материала вала при кручении и сдвиге; для наиболее употребимых материалов коленчатых валов эта ве-
личина равна, МПа: сталь............................................8,1 -104;
чугун с пластинчатым графитом....................6,5	• 104;
чугун с глобулярным графитом.....................7,4	• 104;
1Р- полярный момент сопротивления сечения вала кручению. С учетом того, что для круглого полого участка вала
р 32	’
окончательно получим
32 I
е = —-!—к,	(8.2а>
nG D4
где к = 1--- коэффициент формы участка вала, учитывающий
возможное наличие внутреннего отверстия диаметром d.
Рис. 8.5. Полый цилиндрический участок
334
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
По формуле, аналогичной (8.2 а), вычисляется податливость конического участка (рис. 8.6) и цилиндрического участка с облицовкой (рис. 8.7); при этом коэффициенты формы (соответственно кк и ко) определяются выражениями
(8.2 б)
2
(8.2 в)
Если вал имеет в своем составе ступенчатый участок с радиусным сопряжением (рис. 8.8), то формальное сложение податливостей двух фрагментов этого участка с разными диаметрами по формуле (8.1) недопустимо вследствие того, что в заштрихованных зонах этого ступенчатого участка деформация кручения не возникает. Податливость такого участка вычисляется по формуле [37, 88]
Рис. 8.6. Конический участок
Рис. 8.7. Цилиндрический участок
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
335
где
Рис. 8.8. Ступенчатый участок вала с радиусным сопряжением
(8.2 г)
Кривошипы коленчатых валов достаточно трудно корректно представить в виде совокупности отдельных участков правильной геометрической формы. Многими авторами на основании статистической обработки сведений о геометрии и податливости многочисленных коленчатых валов различных двигателей выведены эмпирические формулы.
Если использовать показанную на рис. 8.9 расчетную схему вала, пренебрегая при этом отдельными элементами его конструкции (фасками, мелкими резьбовыми отверстиями, галтелями и пр.), то известные нам эмпирические формулы для определения податливостей принимают следующий вид.
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.9. К расчету податливости коленчатого вала
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
337
Формула С.С. Зиманенко (опубликована в 1948 г.) применяется для валов ДВС разнообразных типов и учитывает наличие у последних перекрытия шеек
(8-3)
J
Формула В.С. Картера применяется преимущественно для валов быстроходных высокооборотных авиационных двигателей; отличается наибольшей простотой
W £к ш + 0,8/? + 0,75£ш ш + 1,57?' яО [ Д4Ш - </к4ш + О4 ш - J4 ,ш hB3 >
(8-4)
Известно, что эксцентричное сверление шатунных шеек валов авиадвигателей [6], а также судовых и тепловозных дизелей [24] уменьшает жесткость колена вала (и, соответственно, увеличивает его податливость). При эксцентриситете, равном 0,125£>шш, и <7ШШ 0,5£>шш податливость собственно шейки увеличивается на 9 %, а всего колена - на 2 ... 3 % по сравнению с валом с соосными отверстиями тех же размеров.
Формула Коломенского тепловозостроительного завода применяется для валов судовых дизелей средней мощности
0,92?Г 0,64 (сРк4ш-4в)(Ршш-4ш)Л
hB3 [ R2 N	В2
(8.5)
338
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Формула С.П. Тимошенко (дана им в 1908 г.)
32 Г LK ш + 0,9Л ш + 0,9Л 0,9л]
nG D4 -d4 D4 -d4 ИВ3 _ кш кш шш шш
Формула В. Таллина (W. Tuplin) дает хорошие результаты для коленчатых валов разнообразных двигателей
32 е = —
KG (D
К.Ш +
'4 -J4 )
кш икш/
^Ш.Ш	ш
(4.ш -4 ш
4
2
4
2 ш
2Л-0,15(Ршш-£>кш) 0,065Г>кш+0,58Л	0,16
В4-</к4ш	h2B3	Bh2
(8.7)
Для валов судовых дизелей средней и большой мощности (в том числе составных) применяется формула Зульцера
32	+ 0,4£>к ш £ш ш + 0,4Дшш [ 0,8у
л<ч 4ш-4.ш	4ш-4.ш ьв3
где
А Т\3	13
^к.ш ~ “к.ш
Эд £)2 _ J2 ^к.ш кш
Для ориентировочного определения податливости, если известны не все размеры вала, может быть применена формула В.П. Терских
и -а
(8-9)
где D и d - средние значения наружного и внутреннего диаметров шеек; Н - растояние между серединами двух соседних коренных шеек.
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
339
Для этой же цели может быть применена формула [24]
-5 и
(8.10)
где - диаметр цилиндра двигателя. Формула применима, если
Для вычисления податливости неполноопорного коленчатого вала (рис. 8.10) может быть использована формула, получаемая модификацией формулы Кер-Вильсона, выведенной для валов двигателей с расходящимися поршнями [25]
+ Ашш t 47?
лС1Хш-4.ш М?
(8.Н)
где е - суммарная податливость частей А и С колена (рекомендуют использование формулы Таллина), а второе слагаемое выражает податливость промежуточной щеки шириной В\ с прилегающими участками шатунных шеек.
Применение эмпирических формул может быть облегчено при использовании устоявшихся в практике конструктивных соотношений коленчатых валов [21]. Так, для форсированных транспортных дизелей такие конструктивные соотношения даны в табл. 8.1 (обозначения соответствуют рис. 8.9).
8.1. Соотношения для коленчатых валов транспортных форсированных 4-тактных дизелей (Z)-диаметр цилиндра)
-^К Ш -^Ш U1 2/У	(1,1 ... 1,4)Р
ш	(0,7 ... 1ДО
Пш 111	(0,6 ... 0,85)D
h	(0,2 ... 0,35)Г>
в	(1,45 ... 2,0)Г>
340
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.10. Эскиз колена неполноопорного вала
В табл. 8.2 приведены расчетные значения ерасч податливости кривошипа коленчатого вала автомобильного двигателя 44 9,2/9,2 (ГАЗ-21), определенные по разным эмпирическим формулам, в сравнении с ее экспериментальным значением еэксп = 1,61 • 10'6 рад/(Н м). Практика показывает, что для высокооборотных быстроходных ДВС, как правило, более предпочтительными являются формулы С.С. Зиманенко, Таллина и Картера; для крупноразмерных средне- и малооборотных - формулы Зуль-цера и КТЗ.
8.2. Эффективность различных эмпирических формул
Формула	Зиманенко	Тимошенко	КТЗ	Таллин	Зульцер	Картер
е-106, рад/(Нм)	2,04	1,96	1,56	1,59	2,02	1,87
^расч / ^эксп	1,26	1,19	0,95	0,96	1,22	1,13
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
341
Значения жесткости С и податливости е кривошипов коленчатых валов некоторых современных автотракторных двигателей, вычисленные по формуле С.С. Зиманенко, приведены в табл. 8.3.
Наиболее точным методом расчетного определения жесткости кривошипов является МКЭ. При этом может быть учтено наличие практически всех разновидностей конструктивных элементов, влияющих на упругие свойства (отверстия, в том числе наклонные и эксцентричные; радиусные сопряжения и пр.). Однако применение МКЭ сопряжено с необходимостью применения достаточно совершенной вычислительной техники и программных средств, поскольку создаваемые современными программными средствами конечно-элементные модели отличаются значительными размерами. Так, показанная на рис. 8.4 модель кривошипа включает свыше 7 тыс. конечных элементов (КЭ), более 11 тыс. узлов и сводится в итоге к решению задачи с 34 тыс. неизвестных, что требует (помимо затрат времени на моделирование геометрии, трансляцию твердотельной модели и передачу данных в IGES-форматс в среду программного продукта ANSYS 5.5) примерно 3 ч расчетного времени; по окончании расчета база данных модели занимает около 500 Мбайт дискового пространства (рис. 8.11).
8.3. Упругие свойства коленчатых валов автотракторных двигателей
Двигатель	Марка по ГОСТ 4393-82	С -10'5, Н м/рад	е-106, рад/(Н • м)
ЯМЗ-238	8ЧН 13/14	17,430	0,570
ГАЗ-66	84 9,2/8	14,600	0,685
ЗИЛ 130	84 10/9,5	7,695	1,300
СМД-14	64 12/14	23,920	0,418
Д-12А-525	12 4Н 15/18	22,180	0,451
Д-37М	44 10,5/12	10,440	0,958
ЗМЗ-402	44 9,2/9,2	7,200	1,389
КамАЗ-740	84Н 12/12	17,000	0,588
342
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
NODAL SOLUTION
STEP-1
SUB =1
Т1ИЕ=1
UZ
RSYS=0
PowerGraphics
EFACET=1
AVRES=Hat
DMX =.054141
SMN =-.041959
SMX =.013269
Рис. 8.11. Определение продольной жесткости кривошипа по МКЭ (поле перемещений узлов модели кривошипа при нагружении левого сечения известной сжимающей силой)
(AVG)
-.041959 -.035823 -.029686 -.02355 -.017413
-.011277 -.00514 .996E-03 .007133 .013269
Существенным удобством МКЭ является возможность его однотипного применения к расчету валов с самой различной геометрией, в частности, с наклонными кривошипами.
Если разница между значениями крутильной жесткости, определенными по различным эмпирическим формулам, превышает 7 %, рекомендуется ее экспериментальное определение. При этом коленчатый вал должен быть уложен в затянутые коренные подшипники (об этом было указано еще в 1905 г. проф. С.П. Тимошенко). Схема такого простейшего эксперимента приведена на рис. 8.12.
Испытуемый коленчатый вал 1 укладывается в коренные подшипники корпуса с предусмотренной конструкцией двигателя величиной момента затягивания коренных болтов. Хвостовик вала 2 при этом стопорится. На носке коленчатого вала жестко укрепляется
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
343
Рис. 8.12. Схема эксперимента по определению податливости кривошипа
рычаг 3, свободный конец которого нагружается силой тяжести подвешиваемого груза. В состав установки включается индикатор 4, посредством которого измеряется перемещение сечения рычага относительно неподвижного основания. Жесткость вала определяется по следующей формуле
(8.12)
344
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
8.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ СВОЙСТВ МАСС КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Основанием для приведения масс является равенство кинетической энергии реального тела, совершающего вращательное движение, и его модели. Для определения моментов инерции вращающихся масс могут быть применены аналитические (табл. 8.4), графоаналитические, численные или экспериментальные методы, а также твердотельное моделирование. В связи со сложностью реальной геометрической формы звеньев практическая применимость аналитических формул является ограниченной. Выше в гл. 3 приведены формулы для определения моментов инерции масс звеньев КШМ.
8.4.	Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ СВОЙСТВ МАСС
345
При расчетах усложненных колебательных систем в них включают не только коленчатый вал, но и связываемые с ним повышающими или понижающими передачами механизмы, а также детали трансмиссии автомобиля или летательного аппарата, валопроводов судовых энергетических установок. Детализация таких колебательных систем может быть также различной. В простейшем случае такие элементы могут быть смоделированы одной массой с моментом инерции, определяемым по эмпирическим формулам.
Моменты инерции деталей, приводимых от коленчатого вала и вращающихся со своими угловыми скоростями содст, определяются по формуле
2
— J ШДСТ 1 “ 7 дет	7
О)
(8.13)
где со - угловая скорость коленчатого вала; /дет - истинное значение момента инерции детали относительно оси ее собственного вращения.
Из формулы (8.13) следует, что приведенный к оси вращения коленчатого вала момент инерции тяжелых деталей, вращающихся с меньшими угловыми скоростями (например, детали привода топливной аппаратуры, механизма газораспределения) существенно уменьшается против истинного значения, а момент инерции даже легких малоразмерных деталей, но вращающихся с большими значениями угловой скорости (приводные нагнетатели, насосы и пр.) увеличивается.
Момент инерции автомобиля /авт может быть вычислен по формуле
R2
зз Д/ -----------
авт 1 авт э
/ I
*кпп 'гп
(8-14)
где Л/авт - масса автомобиля; RK - радиус колес; /кпп, 4п - передаточные отношения коробки перемены передач и главной передачи.
346
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
При моделировании валопроводов судовых энергетических установок обычно учитывают момент инерции гребного винта /гв с увлекаемой им водой. Для этого применяют формулу
/гв = /м + /В = £7М,	(8.15)
где 7М - момент инерции гребного винта, определяемый графоаналитически (например, предложенным проф. В.П. Терских методом средних ординат) или экспериментально; 7В - момент инерции увлекаемой винтом воды; эта величина зависит от скоростного режима, параметров самих колебаний и оценивается коэффициентом к = 1,2 ... 1,4 (более точно величина коэффициента к может быть вычислена по формулам Л.В. Ефремова, Л.М. Кутузова [37]).
Момент инерции масс судового редуктора 7Р вычисляется по формуле
/р = 2/кшмА	(8.16)
где /кшм “ суммарный момент инерции подвижных звеньев КШМ двигателя; / - передаточное отношение редуктора.
Для реализованных установок момент инерции механизма изменения шага гребного винта 7Миш находится
Алиш = 2/кшм-
8.4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим простейшую двухмассовую крутильную колебательную систему (рис. 8.13), состоящую из масс с моментами инерции /| и /2, соединенных упругим участком с крутильной жесткостью с |2.
При анализе колебаний крутильных систем прежде всего определяют частоты их собственных колебаний и совокупности соответствующих каждой частоте амплитуд колебаний масс (так называемые моды колебаний). Применительно к рассматриваемому случаю запишем дифференциальные уравнения движения каждой массы:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 347
Рис. 8.13 Простейшая двухмассовая крутильная колебательная система
Аф| +^i,2(<Pi-<р2) = °;	8|7)
/2Ф2 +«1,2<Ф2-ф|) = 0,
где ф|, ср? - текущие значения угловых перемещений колеблющихся масс.
Решение системы (8.17) будем искать в виде
(р, = A] coscoJ ;
и 1 с	(8.18)
ср2 = А2 cos(oc/.
где <о( - круговая частота собственных колебаний системы; At, А2 -амплитуды угловых перемещений.
Подставляя в (8.17) решение (8.18) и его вторые производные
Ф! = cos<or/;
2
ф2 = -СОс^2 C0SG)c/,
получим систему двух алгебраических уравнений
348
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
-	+ с1,2(А ~ ^2) 0 ’
+ с1,2(^2 ~ А) = 0 ’
содержащую 3 неизвестных - сос, J| и А2. В таком случае могут быть определены в явном виде только значения частоты сос и соот-д
ношение амплитуд — . Обычно принимают А\ = 1 и далее находят А2
А2 как долю от Л|, используя формулы
сос
А _ /2
А2 Л
(8.19)
(8.20)
Амплитуды колебаний масс изображают в виде масштабированных векторов (рис. 8.13), концы которых соединяются прямой линией (линейные колебания описываются линейными дифференциальными уравнениями); эти изображения называют также формой колебаний. Знак «минус» в выражении (8.20) означает, что в любой момент времени 1-я и 2-я массы движутся в противоположных направлениях, что на изображении формы соответствует противоположному направлению векторов амплитуд колебаний масс. Особого внимания заслуживает точка М9 амплитуда колебаний которой равна нулю. Эта точка называется узлом колебаний, а наличие узла в колебательной системе является неблагоприятным обстоятельством. Формы колебаний по количеству узлов называют одно-, двух-, трехузловыми и пр.
Аналогично решается задача о нахождении частот и форм собственных колебаний трехмассовой системы (рис. 8.14), включающей массы с моментами инерции /ь 12, /3, соединенных упругими участками с жесткостями С|>2 и с2з. Система дифференциальных уравнений, описывающих движение масс, принимает вид
АФ1 +с1,2(<Р1 -ф2) = °;
Ш + <Ч,2(ф2 -ф|) + С2,з(<Р2 "Фз) = 0;	(8-21)
ЛФз +с2,з(Фз -Фг) = °-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 349
Рис. 8.14. Одноузловая и двухузловая формы колебаний трехмассовой крутильной системы
Записывая решение системы (8.21) в виде
Ф] = Л] cos(ocZ;
ф2 = А2 coscofr;
Ф3 = А3 coscoc/,
и подставляя это решение и его вторые производные в систему (8.21), получим в итоге систему алгебраических уравнений, решая которую относительно сос, получим после преобразований биквадратное уравнение
С1,2С2,3
"с
с1,2	с2,3 J
+ (/] + /2 +/3)-0.
(8.21 а)
г 2 7 з
350
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Решение этого уравнения приводит к нахождению двух значений частоты собственных колебаний системы - cot । и сос2* каждой из которых соответствует своя форма колебаний. Меньшему значению частоты соответствует одноузловая форма, а большему -двухузловая форма колебаний.
Если число масс в системе увеличивается, подобный способ определения частот собственных колебаний становится неприемлемым в связи с увеличением порядка итогового уравнения для определения частоты (его называют частотным уравнением).
8.5.	РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
МНОГОМАССОВОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ Ф.А. ТОЛЛЕ
Все способы определения частот и форм собственных колебаний многомассовых крутильных систем (рис. 8.15) предусматривают нахождение частот колебаний в явном виде и форм в относительном виде. Достаточную точность вычислений обеспечивает табличный метод Ф.А. Толле [119], иначе называемый методом остатка; он описан в большинстве литературных источников по расчету крутильных колебаний. Метод был разработан в 1921 г. независимо друг от друга Ф.А. Толле и Г. Хольцером [113].
Суть метода заключается в следующем. После определения параметров крутильной системы принимают величину искомой частоты собственных колебаний сос и амплитуду колебаний 1-й массы системы Ai = 1. Удобно пользоваться относительными амплитудами колебаний масс at = А,1 А\. Далее последовательно вычисляются
Рис. 8.15. Многомассовая неразветвлснная крутильная система
РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ Ф.А. ТОЛЛЕ 351
упругие моменты М./+1 на следующем за рассмотренной массой участке и относительные амплитуды колебаний следующей массы at. Используются уравнения
2
Мi ^\ —	t 4-1
^/+1
(8.22)
Определив амплитуду колебаний aN последней массы системы, вычисляют величину упругого момента = MNjv+\ за последней массой. Поскольку упругий участок там отсутствует, эта величина должна быть равна нулю (так же, как и величина упругого момента A/0,i перед 1-й массой). Это условие выполняется, если была верно выбрана величина сос. В противном случае (т.е. когда * 0) появляется остаток упругого момента, вследствие чего метод Ф.А. Толле получил название метода остатка. Следует скорректировать величину сос и повторить расчет. Полезно при таких итерациях строить график функции остатка от частоты Л/ост =/(сос) или Л/ост/Е/=/(сос), что позволяет разумно корректировать испытуемые значения (рис. 8.16). Значение остаточного момента при сос = 0 соответствует сумме моментов инерции всех масс системы. Значения частот собственных колебаний находятся на пересечении кривой функции остаточного момента с осью абсцисс графика.
Рис. 8.16. График функции остаточного момента
352
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Для многомассовой системы могут быть найдены несколько значений частот собственных колебаний, соответствующих одноузловой двухузловой (Шег), трехузловой ((ос3) и т.д. формам колебаний. Практическое значение имеют лишь несколько низших частот.
Рассмотрим применение метода Ф.А. Толле на примере расчета частот собственных колебаний 5-массовой системы. Пусть размеры кривошипа коленчатого вала равны (см. рис. 8.9), м: ............................................0,04
£ш.ш.....................................0,09
Г>к.ш...............................................0,12
£>ш.ш...............................................0,10
В...................................................0,2
^К.Ш................................................0
^ш.ш................................................0,5Рш ш — 0,05
По формуле С.С. Зиманенко найдем податливость колена вала
0,04 + 0,6-0,03 — 0,8 0,09 + 0,2 0,2 —
32 0,04 |0,08 |
л-8,1-104	0,124	0,14-0,054
+	™	=2,581-10-7^.
0,03-0,23 V 0,1	Н-м
В таком случае жесткость кривошипа равна с = 1/е = 3,874-106 Н • м/рад. Будем считать, что жесткости всех четырех участков системы (т.е. С\,2 = с2,з = Сз,4 = £4,5) равны указанному значению.
Моменты инерции масс равны:
Л ш = — о, 124 • 0,04 • 7800 = 6,352 • 10-3 кг • м2;
32
2	2
/ш ш =—(0,14 - 0,054) • 0,09 • 7800 + я(0Д ~°’05 )0,09 • 7800 =
шш 32^ 4
= 0,0329 кг-м2;
РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ Ф.А. ТОЛЛЕ	353
7Шк = 71(0,12 0,05 )0,09• 7800• 0,082 =0,0192 кг-м2;
4
4-0,08 ллшо 2
Лщм -	“	-0,0128 кг-м .
Примем величину момента инерции щеки равной /щ = 0,004 кг-м2.
Суммируя найденное, определим момент инерции моторной массы
/м = 6,352 • 10‘3 + 0,0329 + 2 • 0,004 + 2-0,0192 +
+ 2-0,0128 = 0,112 кг-м2.
Пусть величина момента инерции маховика равна /щах = 6,552 кг-м2.
Далее реализуем метод Ф.А. Толле. Приведем начало итерационного процесса определения частот. Зададимся значением частоты одноузловой формы колебаний (Dc! = 100 с’1 и величиной относительной амплитуды колебаний 1-й массы а\ = 1. Далее, двигаясь в направлении хвостовика коленчатого вала, последовательно определим упругие моменты на участках и амплитуды колебаний масс:
М12 = Мо.1 - ^W2^ = 0-0,112• 1002  1 = -1120 Н • м;
а2 = at + М j 2 / Cj 2 = 1 -1120/(3,874 •1О6)= 0,9999;
M2t3 = Мх2 - I2^ia2 = -1120 - 0,112 • 1002 • 0,99971 = -2239,67 Н • м; а3 = а2 + М23/С2,3 =0,9999 - 2239,67/(3,874-106) = 0,999 Г, М34 = М23 - 13^а3 = -2239,67-0,112-1002 • 0,9991 = -3358,69 Н • м; а4 = а3 + М3 4 /С3 4 = 0,9991 - 3358,69/(3,874 • 10б) = 0,9983;
М45 =M34-/4to2la4 =-335869-0,112 1002-0,9983=^147674Н-м;
12 - 8013
354
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
а5 = а4 + М4 5 / С4>5 = 0,9983 - 4476,74 /(3,874 • 106) = 0,9972;
Л/56 = Л/4 5 -/5®с1°5 = -447674-6,552-1002 • 0,99717= -69807,02 Н м.
Следовательно, допущение о том, что cot| = 100 с", было оши-бочным. Необходимо принять новое значение частоты и повторить расчет. Ход итерационного процесса по определению частоты приведен в табл. 8.5, а окончательный результат - в табл. 8.6. При определении частот собственных колебаний следует обратить внимание на смену знака остаточного момента при последовательных допущениях сос = 2100 с1 и сос = 2110 с1, что свидетельствует о нахождении корня частотного уравнения в данном промежутке значений сос.
Графическая интерпретация форм колебаний дана на рис. 8.17.
8.5. Определение частоты одноузловой формы собственных колебаний (пример)
®с, с’1	М5 6 / <ЛС2	Примечание
100	-6,981	Остаточный момент изменяется слабо, можно увеличить шаг расчета
200	-6,923	
400	-6,694	
1000	-5,155	
1500	-3,071	
2000	-0,547	Целесообразно уменьшить шаг расчета
2100	-0,019	Целесообразно еще более уменьшить шаг расчета
2110	0,034	Искомое значение частоты меньше 2110 с'1
2105	7,874 • 1О'3	Искомое значение частоты меньше 2105 с'1
2102	-8,008-10’3	Искомое значение частоты больше 2102 с'1
2104	2,58-10 3	
2103	-2,714-10 3	
2103,5	-6,732-10'5	
РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕ11НЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ Ф.А. ТОЛЛЕ 355
8.6.	Частоты и формы свободных колебаний системы вала
Номер массы	Относительные амплитуды колебаний масс, а		
	Форма 1, (0с1 =2103,51 с’1	Форма 2, <ot2 = 5898,09 с 1	Форма 3, сосз = 9016,68 с"1
1	1,0	1,0	1,0
2	0,872	-0,006	-1,350
3	0,632	-1,006	-0,527
4	0,312	-0,994	1,535
5	-0,048	0,017	-0,011
Номер массы
Рис. 8.17. Формы колебаний коленчатого вала (пример): а - одноузловая форма; б - двухузловая форма; в - трехузловая форма
12*
356
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
8.6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ВИДЛЕРА
Матричный метод, основы которого разработаны Видлером, может быть интерпретирован как фрагмент конечно-элементной процедуры решения задачи о собственных значениях и собственных векторах. Если для одной массы справедливо уравнение ее свободных колебаний, записанное в виде, аналогичном формулам (8.17), (8.21), то совокупность уравнений для многомассовой системы может быть записана в виде матричного равенства
И{<р} + [С]{<р} = 0,	(8.23)
где [J] - матрица масс колебательной системы; {ф} - вектор угловых ускорений крутильных колебаний; [С] - матрица статической жесткости системы; {ф} - вектор угловых перемещений масс крутильной системы.
Если решение системы (8.23) записано в виде
ф, = A, coscocZ,	(8.23 а)
где А, - амплитуда колебаний /-й массы, то после подстановки его и его вторых производных в уравнение (8.23) последнее приводится к виду
-(ос2И{Л}+[С]М} = 0
или, обозначая со2 - А.,
([С]-Х[У]){Л}=0.
(8-24)
Если крутильная колебательная система включает N масс (1\, I?, h,... , In), то матрица [J] имеет следующую структуру
Z,	0	0	...	О
О	12	0	...	О
и=	0 0 Ij ... 0	•
(8.25)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 357
Формирование матрицы статической жесткости осуществляется на основании положения о том, что при установившемся колебательном процессе потенциальная энергия П упругой деформации минимальна. Дальнейший расчет проведем применительно к трехмассовой системе (см. рис. 8.14). В таком случае величина П определяется по формуле
П = тК2(Ф1 -Фг)2 +с2,з(Ф2 -Фз)2]->тт,	(8.26)
или с учетом (8.23 а)
2
с
1,2(^1 “ А2)2 + с2,з(А2 ~ ^3
)2 —> min .
(8.26 а)
Условием минимизации П является равенство нулю всех частных производных потенциальной энергии по каждому угловому перемещению <р, (или А,), т.е.
Т- ~ С1,2Ф1 “ Ч2Ф2 - 0 »
5ф,
ап
------ —С] 2<Р| + С| 2Ф2 + с2,зФ2 “ с2,зФз - 0 '> 9ф2
9П _	_п
а— “ -С2,ЗФ2 + С2,ЗФЗ ~ О , 5ф3
или
ап _
’Т~Г~С1,2^ ~С1,2^2 -0 >
ап _
—- - -Су 2Л] + Су 2^2 + с2,3^2 ~ с2,3^3 ~ > 5/^2
ЗП А А
~Г~ ~~ ~с2,3^2 + с2,3^3 “ 0 •
(8.27)
(8.27 а)
Систему алгебраических уравнений (8.27) можно записать в виде одного матричного равенства
358
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
[С]{ф} = {0} ,
где [С] - матрица статической жесткости, имеющая применительно к данному примеру структуру
Первоначально из алгебраического уравнения (оно также называется частотным) N-й степени относительно X, которое получается при приравнивании нулю определителя
det([C]-X[J]) = 0,
(8.28)
определяется совокупность значений X, (т.е. частот собственных колебаний), каждому из которых соответствует свой вектор {А},. Заметим, что с точки зрения информативности метод Видлера равноценен методу Ф.А. Толле: частоты собственных колебаний определяются в явном виде; амплитуды - в относительном виде. Также следует указать, что формулировка метода Видлера в математике известна как проблема собственных значений (ими являются частоты А,,) и собственных векторов {Л}/.
Рассмотрим реализацию метода Видлера на примере. Пусть некая трехмассовая система, структура которой аналогична показанной на рис. 8.14, состоит из масс и упругих участков, моменты инерции и жесткости которых равны: I} = 1 кг-м2; I2= 1 кг-м2; /з = 2 кг-м2; С\ 2 = 105 (Н• м)/рад; С23 = 105 (Н• м)/рад.
Тогда матрица масс будет иметь структуру
0
0
2
Структура матрицы статической жесткости приведена в выражении (8.27); после подстановки в него значений жесткостей участков матрица приобретает вид
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 359
-105 2105
-105
О -105 105
Сформируем в матричном виде уравнение вида (8.24) для определения амплитуд колебаний
105 -105 о
-105 2-105
-105
(8.29)
Первоначально запишем частотное уравнение вида (8.28)
det([C] - Х[ J]) = det
105 -105 О
-Ю5 2 • 105 -105
О
О
2
(105-Х)	-105
-105	(2105-Х)
О	-105
О -105 (105 -2Х)
При раскрытии определителя получаем алгебраическое уравнение
(105 - Х)(2  10s - Х)(105 - 2Х) +105 • 105 • 0 +10s • 105 • 0 -
- 0(2-105 - Х)0-105 • 105(105 -2Х)-105 • 105(Ю5-X) = 0.
Это уравнение после преобразований приводится к виду
Х(2Х2-7-105Х + 4) = 0.
(8.30)
Корнями этого уравнения являются Хо = 0; Z| = 0,72-105 с’2; ^2 = 2,78 • 105 с’2, откуда частоты одно- и двухузловой форм коле-
360
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
баний найдутся а») =	= 268,18 с1; а>2	= 527,33 с'1. Триви-
альное решение (Оо = JXq = 0 соответствует движению системы при отсутствии колебаний.
Выполним поочередно подстановку найденных значений частоты собственных колебаний в уравнение (8.29) и найдем соответствующую каждой частоте совокупность амплитуд колебаний. Так, для Xi получим
105 -105
0
-105 2-105
-105
0 -105 105
105 -105
0
-105 2-Ю5
-105
0 -105 105
-0,72 105
0
0
2
0
0
0
0
0
0
= 105
0,28
-1
0
1,28
= 0,
предварительно приняв^! = 1, найдем А2 = 0,28; А3 = -0,641.
При подстановке в (8.29) значения = 2,78-105 с’2 получим
откуда для двухузловой формы колебаний - А\ = 1; А2 = -0,561; А3 = 0,118.
Подстановка числовых данных в уравнение (8.21 а) приводит к выражению
2-Ю-|0(Ор-7-1О-5со2+4 = 0,	(8.30а)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 351
домножив которое на 1010, получим в точности уравнение (8.30).
Поскольку истинные значения компонент векторов {A}t не могут быть определены явно, удобно масштабировать эти векторы таким образом, чтобы
=[7],
где [7] - единичная матрица; надстрочный индекс «7>> - символ транспонированной матрицы.
Масштабированные таким образом векторы амплитуд носят название нормированных мод.
Важным свойством мод является их ортогональность, т.е. для любых двух z-й иу-й частот со, и со, сохраняется равенство
М}Г[/]{Л}7=о.
Преимущество матричного метода Видлера проявляется при анализе разветвленных колебательных систем. Так, для показанной на рис. 8.18 системы уравнение потенциальной энергии упругой деформации примет вид
П =|[с, ,2(ф| -Фг)2 +С2,з(ф2~Фз)2 + Чз(ф4 -Фз)2 + + сЗ>5(фЗ “Ф5)2 +с5>б(ф5 “Фб)2.*
Тогда матрица статической жесткости запишется в виде
	с1,2	-с1,2	0	0	0	0
	-с1,2	(А,2+с2,з)	“с2,3	0	0	0
	0	“с2,3	(с2,3 +с4,3 +с5,з)	~с4,3	-С3,5	0
[С] =	0	0	-С4,3	с4,3	0	0
	0	0	-с3,5	0	(с5.3+с5,б)	-с5,6
	0	0	0	0	-с5,6	с5,6
Дальнейший ход вычислений аналогичен изложенному выше.
362
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.18. Разветвленная крутильная система (пример)
В любом случае вычисление значений частот собственных колебаний для многомассовых систем связано с решением алгебраического уравнения высокого порядка, которое осуществляется, как правило, численными методами. Весьма удобным может быть в этом случае применение специализированных программных продуктов MathCAD, MathLAB и пр.
8.7.	МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Если состояние системы в каждом сечении описать вектором
где ср, - амплитуда углового перемещения, Mt - упругий
момент, то взаимосвязь двух сечений может быть описана матричным уравнением
Ф2 [л/J
-Г-41 /Ф1
Mi К * У
МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
363
Здесь [Л]12 - переходная (передаточная) матрица участка между сечениями 1 и 2. «Участком» в методе начальных параметров принято называть любой элемент колебательной системы - собственно упругий участок, массу и пр. Для классических «участков» переходные матрицы определены:
I)	для массы с моментом инерции I:
2)	для упругого участка с жесткостью с:
Для прочих типов «участков» колебательных систем (совершающих не только крутильные, но и изгибные и продольные колебания) переходные матрицы приведены в [33].
Для составного участка, состоящего из У фрагментов,

(8.31)
Например, для рассмотренной выше трехмассовой крутильной системы справедливы соотношения:
а)	для определения амплитуды углового перемещения 2-й массы
^2
Г1 >;
(8.32)
б)	для определения амплитуды 3-й массы
4
О
= [^]1М]1,2М]2М]2.з[^з
(8.33)
364
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Векторы <
и пр. описывают состояние колебатель-
ной системы в сечениях, в которых расположены 1-я, 2-я и т.д. массы колебательной системы; упругие моменты в этих сечениях равны нулю. Матрицы [Л]|, [Л]|>2, ИЬ и т.д. - соответственно переходные матрицы 1-й массы, упругого участка между 1-й и 2-й массами, 2-й массы и пр.
Необходимо отметить, что при использовании метода начальных параметров частоты собственных колебаний системы должны быть определены заранее, так что этот метод равноценен по информативности другим рассмотренным методам.
Если продолжить рассмотрение примера с трехмассовой крутильной системой и принятыми ранее численными значениями моментов инерции и жесткостей упругих участков (/| = 1 кг-м , h = 1 кг • м2; /3 = 2 кг • м2; С|2 = 105 (Н • м)/рад; с2,з = 105 (Н • м)/рад), то для одноузловой формы собственных колебаний с круговой частотой о)^| = 0,72 • 105 с'2 переходные матрицы «участков» примут вид:
1
0
1
И,
1
-0,72-105-1
1J L-0,72105
и2 =
Из
1
-С0с1^2
1	-0,72-Ю5-!
о!_ Г 1 о ij~[-o,72-io5 1
-0,72-Ю5-2
1	-1,44-105
И1,2 =
1/105	1
10"5
1
1
~®С1Л
0
I
о
0
о
0
I о
0
МЕТОД В.П. ТЕРСКИХ
365
М]2,3 -
1 1/I05
О 1
10“5
о
о
После перемножения сформированных матриц согласно уравнениям (8.32) и (8.33) получим уже известные нам решения.
8.8.	МЕТОД В.П. ТЕРСКИХ
Этот метод пока применяется для расчетов параметров крутильных колебаний в судовых, стационарных и тепловозных энергетических установках1. В связи с тем, что при определении частот и форм собственных колебаний оперируют со значительно различающимися по величине числами, проф. В.П. Терских первоначально предложил осуществлять расчеты в безразмерном виде и ввел следующие понятия:
1)	безразмерный момент инерции /-й колеблющейся массы
ij = —, Io
где I, - реальный момент инерции /-й массы; /0 - реальный момент инерции колена вала;
2)	безразмерная податливость упругого участка (/, Z+I)
г ^/,/+1
£|,/+1 =—’
е0
где e//t/ - реальная податливость участка; во - реальная податливость колена вала;
3)	безразмерная амплитуда колебаний /-й массы
а, =
1 Некоторое время назад в упомянутых отраслях двигателестроения он являлся основным: правила Морского регистра предписывали проводить расчет крутильных колебаний валопроводов судовых энергетических установок именно методом В.П. Терских.
366
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
где At - реальная амплитуда колебаний /*-й массы; А\ - реальная амплитуда колебаний 1-й массы системы;
4)	безразмерная частота
А — (x)cIqCq ,
5)	безразмерная амплитуда упругого момента на участке (м+1)
Помимо этих очевидных понятий В.П. Терских введены и совершенно новые понятия:
1) безразмерная стойкость z-й массы
= ЧД;
2) безразмерный инерционный момент, действующий на /-ю массу
/?, = -Н,а,.
Схема N-массовой крутильной системы с учетом вновь введенных безразмерных параметров показана на рис. 8.19. На произвольную У-ю массу системы стойкостью //, со стороны упругих участков слева и справа (безразмерные податливости которых соответственно равны и E//+i) действуют упругие моменты т,.\tl и а также инерционный момент /?,. Запишем уравнение равновесия этой массы в форме уравнения моментов
(8.34) и в форме уравнения деформаций
^=^_|+/77//+1Ем+1.	(8.35)
После этого решение задачи об отыскании частот собственных колебаний в безразмерном виде может осуществляться в табличной форме. Последовательность такого расчета приведена в табл. 8.7; заметим, что этот расчет по существу аналогичен рассмотренному выше методу Ф.А. Толле.
8.7. Определение частот собственных колебаний системы в безразмерном виде (см. рис. 8.19)
Массы системы	Амплитуды	Участки системы	Упругие моменты
1	а, =1		
		1-2	те1,2 =w0,l + Н\а\ =Н\а\
2	а2 =	+ т\,2^\,2		
		2-3	т2,3=т\,2+Н2а2
3	а3=а2 + т2,3^2,3		
		3-4	m3,4=m2,3+H3a3
• • •	• • •	...	• • •
У	aN = aN-\ + mN-\,N^N-\,N		
		N^l+1	^N,N+\ = mN-\,N + NaN 0
МЕТОД В.П. ТЕРСКИХ
368
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.19. Схема /V-массовой крутильной системы с безразмерными параметрами
Более известным является развитие этих идей, приведшее к появлению метода цепных дробей (МЦД). Профессором В.П. Терских в дополнение к указанным выше введены понятия стойкости части крутильной системы от z-й массы до 1 -й
(8.36) ai
и податливости части системы от участка (/, Z+1) до 1-й массы
	^’11 =	•	(8-37)
Для вывода частотного уравнения в форме В.П. Терских подставим выражения (8.34), (8.35) в (8.36) и (8.37). Получим
„(1) _ ,и1,1+1 _ п 1 ai	Ш: ,1 + HjOj	1	1 = —	— = Hi +	= Hi + -wr-	(8.38) а>	4!,,
НО =_Ei_.	CLx + /И.1 :E:_X i	1	1 = '*	’	= 2U- + ,H	(8-39) ai-\
МЕТОД В.П. ТЕРСКИХ
369
Запишем выражение стойкости всей системы, формально рассматривая последнюю как «стойкость части системы от N-й массы до I-й»; при этом делаются все подстановки выражений стойкостей частей системы от (ЛЧ)-й, (У-2)-й и т.д. масс до 1-й и податливостей частей системы от участков (N, 2V-1), (N-1, N-2) и т.д. до 1-й массы:
(1) _
Поскольку по определению
(11	2
=	9 для случаев, когда используемая в расчете вели-
а\
чина А (входит в выражения стойкостей масс) действительно является частотой собственных колебаний, получаем
(8.40)
Это выражение является частотным уравнением колебательной системы в форме цепной дроби.
При определении безразмерной частоты собственных колебаний А при помощи МЦД обычно используют графическое представление функции //JP=/(A). Корням частотного уравнения при этом соответствуют значения аргумента, в которых функция терпит разрывы (рис. 8.20).
370
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.20. Стойкость колебательной системы в функции безразмерной частоты
Практическое вычисление частот и форм собственных колебаний МЦЦ проводят с помощью таблиц В.П. Терских. Пример такой таблицы для трехмассовой системы приведен в табл. 8.8. Стрелки в этой таблице показывают последовательность вычислений; амплитуды колебаний масс и амплитуды упругих моментов на участках вычисляют после определения частот.
Рассмотрим применение МЦЦ для определения частот и форм собственных колебаний трехмассовой крутильной системы с принятыми ранее численными значениями моментов инерции (/1 = 1 кг-м2; /2 = 1 кг-м2; /3 = 2 кг• м2) и жесткостей упругих участ-
,	1 Л5 Н • М
ков (С| 2 - С2 з = 10 -, что соответствует значениям податливо-
рад
1П_5 рад стеи в) 2 = е2,з =10 ——).
Н-м
8.8. Таблица В.П. Терских для трехмассовой крутильной системы
Параметры системы	Я,=	-ЛД	£1,2	Hi —ii/S.	^2,3	H3 = -6Д
Обратные величины стойкостей и податливостей			1	1 £1,2	1	1 ^2,3
Стойкости и податливости частей системы	Я](1)	= Я,	г(1) Л1,2	' I	1 p(i) £2,3	i -> 0
Амплитуды колебаний	°1	= 1		°2 = £|(,2w1,2		°3 = ^23m2,3
Амплитуды упругих моментов			"»1,2 = °1Я1(П		OT2,3 = a2^2^	
372
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
1.	Вычислим безразмерные моменты инерции масс; примем, что /о = Л
2.	Определим безразмерные податливости участков; примем, что ео = в|2
	_ е1.2
1.2 - — *0
10~5
10“5
е2.з _ 10~5 е0 Ю-5
3.	Примем в первом приближении значение частоты собственных колебаний сос = 100 с’1. Тогда безразмерная частота А равна
А = со|/0<?0 = 104 • 1 • 10“5 = 0,1.
4.	Стойкости масс
Нх = -qA = -1 • 0,1 = -0,1; Н2 = -i2\ = -1 • 0,1 = -0,1;
Я3 =-/3Д =-2*0,1 =-0,2 .
Составим таблицу В.П. Терских (табл. 8.9). Поскольку полученное значение стойкости всей системы, равное -0,467, отлично от нуля, следует скорректировать значение безразмерной частоты и повторить расчет. Примем, что А = 0,7 -105 * 1 Ю’5 = 0,7. Расчет таблицы В.П. Терских вновь дает отличное от нуля значение стойкости системы, равное в этом случае -0,093. Принятое новое значение безразмерной частоты А=0,8 приводит к значению стойкости системы, равному 0,321. Смена знака стойкости для двух последних значений А свидетельствует о нахождении корня частотного уравнения в интервале 0,7 < А < 0,8. Подстановка А = 0,72 приводит к получению стойкости системы, равному -0,0032 = 0 (табл. 8.10).
8.9. Таблица В.П. Терских для трехмассовой системы (1-е приближение частоты)
Параметры системы	Я) =-0,1	£|,2 = 1	Я2 = -0	,1	£2.3 = 1	Я3 = -0,2
Обратные величины стойкостей и податливостей		- = -10	—= -( £1,2	1,111	—= -4,739	— = -0,267 ^2.3
Стойкости и податливости частей системы	ЯР = -0,1	= -9 г1,2	у	Яр = А	1,211	= -3,739	Яр = -0,467 * 0
8.10. Таблица В.П. Терских для трехмассовой системы (окончательный расчет)
Параметры системы	Я, = -0,72	£12=1	Н2 = -0,72	£2.3 = 1	Я3 = -1,44
Обратные величины стойкостей и податливостей		— = -1,389	— = -2,571 £1,2	— = -0,304 Я2	— = 1,437 *2,3
Стойкости и податливости частей системы	Яр = -0,72	£S = -°’389	ЯР = -3,291	= 0,696	ЯР =-0,0032 «0
Амплитуды колебаний масс	<Я| = 1		а2 = 0,72 х х 0,389 = 0,28		а2 = -0,921 х х 0.696 =-0,641
Амплитуды упругих моментов		ТП\ > = = 1 (-0,72) = = -0,72		т2,з = 0,28 х х (—3,291) = = -0,921	
МЕТОД В.П. ТЕРСКИХ	373
374
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Для разветвленных крутильных систем (последние еще называют системами с надломами) запись частотного уравнения в форме В.П. Терских является столь же несложной, как и для цепных систем. Так, для системы, изображенной на рис. 8.18, частотное уравнение принимает вид
При использовании практически всех рассмотренных методов приходится многократно выполнять однотипные действия по проверке равенства нулю остаточного момента (либо стойкости системы). Для предварительного оперативного определения низших частот собственных колебаний применяют прием уменьшения числа масс в системе, в результате чего последняя сводится к двух- или трехмассовой системе, для которых справедливы приведенные выше формулы (8.19) и (8.21 а). Так, показанную на рис. 8.21, йг, 4-массовую систему можно свести к двухмассовой (рис. 8.21, б), состоящей из фиктивной массы с моментом инерции /о = /| +/2 + А и реальной 4-й массы с моментом инерции Ц. Участок между массами /0 и /4 при этом должен иметь податливость е0 = ^1,2 + ^2,з + ^з,4- Однако это позволяет найти только ориентировочные значения низших частот собственных колебаний, а их достоверность следует проверять выполнением вычислений по методам Ф.А. Толле или В.П. Терских. Погрешность при сведении систем к двух- или трехмассовым обусловливается тем, что массы имеют разные амплитуды, реальные податливости участков также различны. В связи с этим при расчетах колебаний судовых крутильных систем, в особенности с малой податливостью фиктивного участка в [25] рекомендуется пользоваться номограммой Л.В. Сенчищева.
МЕТОД В П. ТЕРСКИХ
375
Рис. 8.21. Уменьшение числа масс в крутильной системе: а - исходная система; б - приведенная система
Проиллюстрируем сказанное на примере приведения к двухмассовой рассмотренной выше в примерах трехмассовой крутильной системы. Получим /0 = I\ + Z2 = 1 + 1 = 2 кг - м2; е0 = в|>2 + е2>3 = = 1 О*5 + 10'5 = 2 • 10'5 РаД . Отсюда жесткость фиктивного участка Н • м
Н • м
с0 = 1 / е0 = 0,5 • 105-. Тогда по формуле (8.19) найдем
рад
223,61 с ’,
тогда как ранее всеми описанными способами было найдено сос =7о?721°5 = 268,18 с’.
376
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.22. Представление периодической функции в виде суммы гармонических составляющих различных порядков
8.9. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВОЗБУЖДАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
Реальные колебания крутильных систем поршневых ДВС являются вынужденными. Возбуждающими моментами при этом являются действующие на моторные массы периодические крутящие моменты. Ввиду невозможности их представления какой-либо аналитической зависимостью от времени (или угла поворота коленчатого вала) производят разложение этой функции в ряд Фурье
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВОЗБУЖДАЮЩИЕ МОМЕНТЫ 377
N	N
Мкр = Мср + Z A COS(V + Z Вк sin °V	(8-41)
1	1
или
N
мкр = мср +Y,Mk cos(<oBz + Qk),	(8.41 а)
1
где А/ср - средний крутящий момент, развиваемый одним цилиндром двигателя; Ак, Вк - амплитудные значения косинусной и синусной составляющих к-й гармоники крутящего момента; сов -частота возмущающего момента (пропорциональна частоте вращения коленчатого вала); Мк = у]- амплитуда А-й гармо-
гх	Bl	,
ники крутящего момента; vk =arctg—— - начальная фаза х-и гар-4
моники крутящего момента.
В связи с тем что период измерения функции Л/кр = f (а) в 4-тактном двигателе равен 4л, а формула (8.41) справедлива для функций с периодом 2л, для 4-тактных двигателей вводят условные моторные (в отличие от математических) гармоники с дробными порядками к = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; ... Для 2-тактных двигателей (в данном случае период изменения функции = f (а) равен 2л) порядки моторных и математических гармоник совпадают, и к = 1,0; 2,0; 3,0; ... Разложению в ряд Фурье может быть подвергнута и функция тангенциальной силы КШМ Т =f (а). На рис. 8.22 показан принцип суммирования гармонических составляющих разных порядков: функция 7V = f (а) складывается из периодических функций Го>5; Т\\ Г1>5; Г2 и т.д., имеющих соответственно половину периода за 360° (т.е. один оборот коленчатого вала); один период; полтора периода; два периода и т.д. В связи с этим говорят, что составляющая Го>5 имеет порядок 0,5; составляющая Т\ - порядок 1,0; составляющие Т\ 5 и Тг - соответственно порядки 1,5 и 2,0 и т.д.
378
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Практическое разложение в ряд Фурье таблично заданной функции производят численными методами с применением компьютеров и даже программируемых микрокалькуляторов [27]. Возможно также вычисление гармонических коэффициентов Фурье вручную [74]. В последнем случае вычисление значений функции ЛЛр =/(а) следует провести с достаточно малым приращением угла поворота коленчатого вала: проф. К.Г. Попык [74] рекомендует для этой цели такие значения шага расчета, которые обеспечивают число Nt значений функции	= f (а) в таблице, не
меньшее 24 для 2-тактного и 48 для 4-тактного двигателей (при этом шаг расчета должен быть не более 15°). Гармонические коэффициенты определяются по формулам
2
Ак =-----У M^coska.;
К \т	КР	1 ’
/=1
2
Вк  -----У A/*'1 sin Ата,.
К \r X—'	КР	'
/=1
(8-42)
Здесь Л/^р - значения анализируемой функции, соответствующие каждому значению угла поворота коленчатого вала а,.
Если в рассматриваемом примере значения функции T=f (a) известны (см. табл. 8.11), то реализация формул (8.42) приведет к таким выражениям:
2
А^ = — [0 • cos(0,5 • 0)-0,435 cos(0,5 • 15°)-0,671 cos(0,5 • 30°) -49
- 0,608 cos(0,5 • 45°) + ... + 0 • cos(0,5 • 360°) +
+ 2,863 cos(0,5 • 375°) + 2,559 cos(0,5 • 390°) + ... +
+ 0,549 cos(0,5 • 690°) + 0,371 cos(0,5 • 705°) + 0 • cos(0,5 • 720°)];
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВОЗБУЖДАЮЩИЕ МОМЕНТЫ 379
8.11. Гармоническое разложение функции тангенциальной силы (пример)
Номер расчетной точки	Угол поворота ос,, °	Тангенциальная сила МПа
1	0	0
2	15	-0,435
3	30	-0,671
4	45	-0,608
...	...	...
25	360	0
26	375	2,823
27	390	2,559
• • •	...	...
47	690	0,549
48	705	0,371
49	720	0
Во5 = — [0 • sin(0,5 • 0)-0,435 sin(0,5 • 15°)-0,671 sin(l,0 -30°)-49
-	0,608 sin(0,5 • 45°) + ... + 0 • sin(0,5 • 360°) +
+ 2,863 sin(0,5 • 375°) + 2,559 sin(0,5 • 390°) + ... +
+ 0,549 sin(0,5 • 690°) + 0,371 sin(0,5 • 705°) + 0 • sin(0,5 • 720°)];
J, = —[O cos(l,0 -0)-0,435 cos(l,0- 15°)-0,671 cos(l,0 • 30°)-49
-	0,608 cos(l,0 • 45°) + ... + 0 • cos(l,0 • 360°) +
+ 2,863 cos(l,0 • 375°) + 2,559 cos(l,0 • 390°) + ... +
+ 0,549 cos( 1,0 • 690°) + 0,371 cos( 1,0 • 705°) + 0 • cos( 1,0  720°)];
380
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Вх = — [0 • sin( 1,0-0)- 0,435 sin( 1,0-15°)- 0,671 -sin( 1,0 • 30°) -49
- 0,608 sin( 1,0 • 45°) + ... + 0 • sin(l,0 • 360°) +
+ 2,863 sin(l,0 • 375°) + 2,559 sin( 1,0 • 390°) + ... +
+ 0,549 sin(l,0  690°) + 0,371 sin( 1,0 • 705°) + 0 • sin(l,0 • 720°)];
Л5 = — [0 • cos(l,5 • 0)- 0,435 cos(l,5 • 15°)-0,671 cos(l,5  30°)-49
-	0,608 cos(l,5 • 45°) + ... + 0 • cos(l,5 • 360°) +
+ 2,863 cos(l,5 • 375°) + 2,559 cos(l,5 • 390°) + ... +
+ 0,549 cos(l,5 • 690°) + 0,371 cos(l,5 • 705°) + 0 • cos(l,5  720°)];
5]5 = — [0 • sin( 1,5 • 0)-0,435 sin( 1,5  15°)-0,671 sin(l,5 • 30°)-49
-	0,608 sin( 1,5 • 45°) + ... + 0 • sin(l ,5  360°) +
+ 2,863 sin(l,5 • 375°) + 2,559 sin(l,5 • 390°) + ... +
+ 0,549 sin(l,5 • 690°) + 0,371 sin(l,5 • 705°) + 0 • sin(l,5 • 720°)].
Рядом авторов предложены эмпирические формулы и номограммы для определения гармонических коэффициентов. Так, проф. П.А. Истоминым в [37] приведена следующая формула для определения амплитуд Л/г* гармонических составляющих крутящего момента Л-го порядка, обусловленных действием газовых сил
Mrk =~D2Rpcyk, т
где т - тактность двигателя (2 или 4); D, R - диаметр цилиндра и радиус кривошипа; рс - давление конца сжатия; ук - коэффициент, определяемый по номограмме В.П. Терских [88] в зависимости от величины среднего индикаторного давления двигателя.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВОЗБУЖДАЮЩИЕ МОМЕНТЫ 381
В [37, 88] приведена формула для A/rt , имеющая вид
Mrk~-RCk,
4
где Ск - коэффициент, также определяемый по номограммам в зависимости от среднего индикаторного давления [60, 62].
Использование эмпирических формул для расчета гармонических составляющих крутящего момента в настоящее время в значительной степени устарело1, так что для практических расчетов следует рекомендовать численные методы гармонического анализа.
Обратимся к формуле (8.41 а) и найдем разность фаз (0*, - 0*]) гармонических составляющих крутящего момента одного и того же Л-го порядка, действующих на коленчатый вал со стороны /-го и 1-го цилиндров. Если - угол поворота коленчатого вала между вспышками топлива в /-м и 1-м цилиндрах, то такая разность фаз определится по формуле
0ъ-О*1=-^ь-	(843)
Рассмотрим пример нахождения разностей фаз для 6-ци-линдрового 4-тактного двигателя с порядком работы цилиндров 1-5-3-6-2-4. Угол поворота коленчатого вала между каждой парой последовательных рабочих ходов цилиндра равен = 120°. Поскольку двигатель 4-тактный, гармонические составляющие крутящего момента будут иметь порядки 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 и т.д. Расчет удобно вести в табличной форме (табл. 8.12).
Результаты расчета представляются в виде так называемых фазовых диаграмм гармоник (рис. 8.23).
1 Номограмму В.П. Терских, например, рекомендовалось использовать для дизелей, имеющих степень сжатия е = 11 ... 13; отношение среднего индикаторного давления р, к давлению в конце процесса сжатия рс не выше 0,4 и величину постоянной КШМ X = 0,2 ... 0,3.
382
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
8.12. Разности фаз одноименных гармонических составляющих
крутящего момента
Номер цилиндра, /	Угол поворота вала, К	Порядок гармонических составляющих, к					
		0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
1	0	0	0	0	0	0	0
2	120	-60	-120	-180	-240	-300	-360
3	240	-120	-240	-360	-480	-600	-720
4	360	-180	-360	-540	-720	-900	-1080
5	480	-240	-480	-720	-960	-1200	-1440
6	600	-300	-600	-900	-1200	-1500	-1800
Векторы на фазовой диаграмме гармоник (проводятся из центра окружности произвольного диаметра; несовпадение начальных точек всех векторов на рис. 8.23 с центрами окружностей обусловлено лишь большей наглядностью; цифры около конечных точек векторов обозначают номер цилиндра, развивающего данный крутящий момент) - векторы одноименных гармонических составляющих крутящего момента двигателя. Вообще говоря, эти векторы располагаются вдоль оси вращения коленчатого вала и в каждый момент времени не всегда равны. Смысл фазовой диаграммы гармоник заключается в том, что амплитудные значения одноименных гармонических составляющих равны, а их мгновенные значения могут быть определены как проекции разнонаправленных векторов одноименных гармоник крутящего момента на направление вектора момента, развиваемого 1-м цилиндром (рис. 8.24).
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВОЗБУЖДАЮЩИЕ МОМЕНТЫ 383
Рис. 8.23. Фазовые диаграммы гармоник крутящего момента порядков к = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0 (соответственно а ... е) 6-цилиндрового 4-тактного двигателя с равномерным чередованием работы цилиндров
Рис. 8.24. К расчету фазовых диаграмм гармоник крутящего момента
384
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Анализируя рис. 8.23, можно заметить, что разные гармонические составляющие по-разному воздействуют на коленчатый вал двигателя. В связи с тем, что цилиндры двигателя работают с определенным сдвигом по фазе, различные гармонические составляющие крутящего момента оказывают неодинаковое действие на коленчатый вал. Наиболее опасными гармониками являются те, которые действуют на вал синхронно, в одной и той же фазе. Такие гармонические составляющие крутящего момента называют главными (рис. 8.23, е). Если какая-либо к-я гармоника крутящего момента со стороны половины цилиндров действует на вал в некоторой одной фазе, а со стороны другой половины цилиндров - в противофазе, такая гармоника называется сильной (рис. 8.23, в). Прочие гармоники крутящего момента называют слабыми. Наиболее опасными являются главные гармоники крутящего момента, поскольку в случае возникновения резонанса они вызывают наиболее существенные повреждения вала. Дополнительные (вызванные только колебаниями) тангенциальные напряжения в материале коленчатого вала при резонансах главных гармоник крутящего момента являются наибольшими.
8.10.	РЕЗОНАНС КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Под резонансом понимают значительное возрастание амплитуды колебаний, обусловленное совпадением (или кратностью) одной из частот собственных колебаний массы (системы) с частотой возмущающей силы или момента. Поскольку установившиеся вынужденные колебания происходят именно с частотой действующих на массы системы возмущающих сил или моментов, иногда говорят об условии возникновения резонанса как о совпадении частот свободных и вынужденных колебаний.
Известно, что вынужденные колебания одномассовой системы с моментом инерции /, закрепленной на участке с жесткостью с (или податливостью е) под действием гармонического возмущающего момента Мв = М$ sincoBZ - амплитудное значение к-й гармонической составляющей момента; сов - круговая частота возмущающего момента) описываются уравнением
РЕЗОНАНС КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
385
. ф а-
1<р + В(р + — = Мк sin сов/, е
(8-43)
где В - коэффициент, характеризующий сопротивление колебаниям (вопрос о природе этого сопротивления будет рассмотрен ниже).
Разделим все слагаемые в уравнении на величину / и введем следующие обозначения:
В
-	= 2п- коэффициент затухания;
—	= 0)2 - квадрат частоты собственных колебаний (которые 1е
имели бы место при отсутствии вынужденных колебаний);
М°к
-	у- -т - коэффициент амплитуды возмущающего момента.
После этого уравнение (8.43) принимает вид
Ф + 2л?ф + со^ - тsin сов/.	(8.43 а)
Общее решение уравнения имеет вид (рис. 8.25)
<рЕ =<pc+<pB = e~n'Ac sinf -n2t + ес0 ] + Ав sin(<ов/ + ев0), (8.44)
где фс, фв, Фе - текущие значения свободных, вынужденных и результирующих колебаний; Ас, Аь - амплитуды собственных и вынужденных колебаний; 8со, ево - начальные фазы свободных и вынужденных колебаний; сов - частота возмущающего момента; / - время.
Суперпозиция (наложение) свободных и вынужденных колебаний показана на рис. 8.25. Видно, что при наличии сопротивления амплитуда свободных колебаний уменьшается по экспоненциальному закону, в результате чего начиная с некоторого момента времени /| (рис. 8.25, нижний график) свободные колебания полностью затухают, а результирующее движение тела осуществляется далее по закону вынужденных колебаний. Участок колебательного процесса от его начала до момента времени t\ носит название переходного процесса; дальнейшие вынужденные колебания являются установившимися. Все последующие расчеты ведутся для установившихся колебаний.
13 - 8013
386
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.25. Суперпозиция свободных и вынужденных колебаний при наличии сопротивления
В многомассовой крутильной системе резонировать могут все гармонические составляющие крутящего момента, в связи с чем при расчетах амплитуд вынужденных колебаний предварительно следует определить резонансные режимы работы двигателя. Для этого первоначально определяется значение частоты f собственных колебаний (Гц) и далее f\ (кол./мин). Если, например, частота одноузловой формы колебаний вала 4-тактного двигателя (в этом случае к = 0,5; 1,0; 1,5 и т.д.), имеющего п = 2400 мин1 равна щс1 = 2103,51 с'1, то
f =	= 2103,51 = 334,79 Гц;
2л 2л
= 60/= 60  334,79 = 20 087,33 кол./мин.
РЕЗОНАНС КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
387
Далее вычисляются величины — для каждого значения к-го к
порядка гармоники, которые сравниваются с частотой вращения коленчатого вала. Условием возникновения резонанса к-й гармоники крутящего момента является выполнение неравенства
Результаты анализа представлены в табл. 8.13.
На частоте соС| резонансы возможны для гармоник с порядками, большими 8,5. При этом наиболее опасной следует считать главную гармонику 12-го порядка. Однако и сильные гармоники могут обусловить появление существенных дополнительных напряжений.
Определим работу возмущающего момента (это необходимо для последующего расчета амплитуд вынужденных колебаний). Первоначально рассмотрим одномассовую систему. Установившиеся вынужденные колебания массы, испытывающей воздействие возмущающего момента
М - M°sincDR/ п
происходят по закону
cp = Jsin(coB/-e), где е - начальная фаза.
8.13. Пример анализа возможности возникновения резонансов гармонических составляющих крутящего момента
к	0,5	1.0	1,5	...	8,0	8,5	...	12,0
fjk	40174,65	20087,33	13391,55	...	2510,92	2363,21	...	1673,98
Наличие резонанса	нет	нет	нет	...	нет	есть	...	есть
13*
388
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Работа dWM возмущающего момента на элементарном угловом перемещении Лр = Jcos(coBr - 8)б/совг равна
dWM = Mdtp.
Работа момента за цикл найдется интегрированием
2л	2л	2л
И'м =	“ $Md(p = $Ма sin(DB/?lcos(cDBz -e)df(oBr. (8.44)
ООО
Вычисляя интеграл, окончательно найдем
РКМ	(8.45)
Работа возмущающего момента существенно зависит от начальной фазы вынужденных колебаний 8 и становится максимальной при 8 = 90°, т.е. при резонансе (известно, что в этом случае отставание амплитуды колебаний от возмущающего момента как раз составляет 90°). Это объясняет возрастание амплитуды колебаний при резонансе, когда отдача энергии от возбудителя колебательной системе максимальна.
Для каждой /-й массы многомассовой крутильной системы может быть написано аналогичное (8.45) уравнение работы действующего на нее возмущающего момента одного и того же порядка к. Согласно ранее сделанному допущению амплитудные значения М$ возмущающих моментов равны, но начальные фазы 8*, колебаний различны. Тогда суммарная работа возмущающих моментов, действующих на все N масс системы определится
N
= XA s*nе/ =	£ A siПе/ •	(8.46)
/=1 /=1
Для резонансных режимов работы двигателя справедлива гипотеза о малом демпфировании, согласно которой форма резонансных вынужденных колебаний совпадает с формой свободных колебаний. Таким образом, справедливы соотношения между амплитудами вынужденных резонансных колебаний z-й массы Ар1 и 1-й массы АР1
РЕЗОНАНС КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
389
41	4)2	4з	4у
ai= л ; а2=—; аз=— - aN=-r~
4i	4i	4i	4i
Тогда формула (8.46) может быть записана в виде
N
= nM^Ap^aj sinGj.	(8.46 a)
/=1
Поскольку относительные амплитуды а, были найдены при анализе свободных колебаний, задача сводится к определению амплитуды резонансных колебаний 1-й массы крутильной системы.
w
Выражение a,sine, принято называть геометрической /=1
суммой безразмерных амплитуд вынужденных колебаний. Эту величину можно вычислить геометрическим и аналитическим способами. Геометрический способ реализуется при наличии формы свободных колебаний и фазовой диаграммы анализируемой гармоники крутящего момента. Проиллюстрируем этот способ на примере. Пусть известно, что в 4-тактном 5-цилиндровом двигателе с порядком работы цилиндров 1-2-4-5-3 (угол поворота коленчатого вала между последовательными вспышками топлива в цилиндрах равен 144°) фазовая диаграмма гармоники возмущающего момента с порядком к = 1, а также одноузловая форма свободных колебаний имеют показанный на рис. 8.26 вид. Искомая геометрическая сумма безразмерных амплитуд находится в данном случае как сумма 5 векторов (рис. 8.26, в), каждый из которых имеет длину, пропорциональную величине относительной амплитуды свободных колебаний соответствующей массы (т.е. вектор А пропорционален величине амплитуды а\ = 1, векторы В, С и т.д. -величинам амплитуд а2 = 0,98; аз = 0,80 и т.д.), и ориентирован под углом е. - Bj, который определялся при расчете фазовой диаграммы гармоник возмущающего момента. Так, в нашем случае для к = 1 имеем
390
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.26. Графическое определение результирующей амплитуды возмущающего момента в 5-массовой крутильной системе: а - фазовая диаграмма гармоник крутящего момента;
б - форма колебаний; в - геометрическое определение суммы амплитуд крутящего момента
РЕЗОНАНС КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
391
£2-Ei =-1  144° = -144°;
84 — 8|—
-1 -288° = -288°;
s5-£i=-1 -432° = -432°;
83-8|=-1 -576° = -576°.
Разумеется, графический способ нахождения геометрической суммы безразмерных амплитуд вынужденных колебаний не отличается высокой точностью. Ныне представляется более предпочтительным аналитический способ. Введя показанную на рис. 8.26, а систему координат Оху, найдем, что проекции на оси векторов А, В, С, D и Е определятся по формулам:
Ах = A sin 0 = 1 0 = 0;
Ау = A cos 0 = 1 • 1 = 1,0;
Вх = Esin (-144°) = 0,98 • (-0,588) = -0,576;
Ву = В cos (-144°) = 0,98 • (-0,809) = -0,793;
Сх = Csin (-576°) = 0,80 • 0,588 = 0,470;
Су = Ceos (-576°) = 0,80 • (-0,809) = 0,647;
Dx = Dsin (-288°) = 0,60 • 0,951 = 0,571;
D, = Deos (-288°) = 0,60 • 0,309 = 0,185;
Ex = Esin (-432°) = -0,40 • (-0,951) = 0,380;
Ey = Ecos (-432°) = -0,40 • 0,309 = -0,124.
При этом величина результирующей суммы будет равна
S = [(А + Вх + Сх + Dx + Et)2 + (А + By + Cy + Dy + Ev)2]0'5 = = [(0 - 0,576 + 0,470 + 0,571 + 0,380)2 + + (1,0-0,793 + 0,647+ 0,185-0,124)2]°’5 = 1,245.
Обобщая этот расчет, получим формулу
392
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
/V
E<3/sine/ = /=1
(8.47)
Очевидно, что при анализе главных гармоник крутящего момента геометрическая сумма амплитуд вырождается в алгебраическую; тогда для рассматриваемого примера для главной гармоники с порядком к = 2,5 получим
У a, sin е = 1,0 + 0,98 + 0,80 + 0,60 - 0,40 = 2,98.
I	/	7	7	7	7	7	7
/=!
8.11.	СОПРОТИВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМ
Источниками сопротивления колебаниям в поршневом двигателе являются внешнее трение (деталей цилиндро-поршневой группы, трение в подшипниках), рассеяние энергии в приводах вспомогательных агрегатов (зубчатые, ременные и пр. передачи), внутреннее трение в материале коленчатого вала (упругий гистерезис). Кроме того, в конструкциях современных двигателей, как правило, присутствуют специальные устройства - гасители колебаний. Таким образом, суммарную работу сил (моментов) сопротивления колебаниям можно представить формулой
^С^^п+^цпг+^пр+^г,
где Ип, ИцПГ - работа моментов сил внешнего трения в подшипниках и цилиндро-поршневой группы; Ипр - работа, эквивалентная энергии, рассеянной в приводах; Ир - работа сил внутреннего трения в материале вала.
Изучение вопроса о сопротивлении колебаниям в двигателях ведется уже достаточно давно. Несмотря на это, до сих пор еще имеет место разнообразие как физических, так и математических моделей сопротивления колебаниям (т.е., с одной стороны, разные авторы называют в качестве основных причин демпфирования колебаний различные физические явления, а с другой стороны, даже для расчета работы сил сопротивления в рамках одной гипотезы предложены и предлагаются различные математические зависимо
СОПРОТИВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМ
393
сти). Подробное историографическое исследование о развитии представлений о проблемах демпфирования колебаний в двигателях предпринято Л.Т. Кенсманом [42].
Долгое время считалось, что основной причиной сопротивления колебаниям является внутреннее трение в материале вала (гипотеза выдвинута Льюисом на основании опытов по деформированию тонкостенных труб). Согласно теории гистерезисного демпфирования момент Л/г сил сопротивления на участке вала между z-й и (/+1)-й массами системы принимался пропорциональным скорости скручивания вала, т.е.
'dp, _	'
I dt dt j
где К - линейный коэффициент гистерезисного демпфирования, зависящий от материала.
Однако впоследствии рядом авторов (С. Дорей, Ф.Ф. Болотин, Г.А. Писаренко, И.А. Лурье и др.) было показано, что доля гистерезисного демпфирования даже в валопроводах судовых установок с массивными коленчатыми валами, не говоря уже об автомобильных установках с короткими легкими валами, изготовленными из высоколегированных сталей, не является преобладающей. Гистерезисное демпфирование может играть значительную роль в подавлении крутильных колебаний торсионных валов судовых установок, трансмиссиях автомобилей и пр. [47].
В.К. Чистяковым показано [96, 97], что работа сопротивления Иг,>/+| на участке с жесткостью см>| между двумя массами, амплитуды колебаний которых равны А, и AHh обусловленная упругим гистерезисом, за один цикл колебаний равна
Для всей колебательной системы окончательно имеем
।	W-1
2	/=1
(8.48)
394
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Здесь v - коэффициент поглощения, зависящий от амплитуды изменения напряжений, возникающих при колебаниях, и не зависящий от частоты последних.
Величину V приближенно можно определить при помощи логарифмического декремента колебаний 5 по формуле
у = 25 = 21п^-.	(8.49)
А
При ориентировочных расчетах (применительно к материалам, традиционно применяемым для изготовления коленчатых валов ДВС) можно принять такие значения коэффициентов поглощения:
•	сталь..................................0,01 ... 0,02
•	чугун..................................0,2 ... 0,3
Точные значения коэффициента поглощения находятся через величину логарифмического декремента колебаний, который определяется экспериментально.
Помимо гистерезисного демпфирования выдвигались и другие физические модели сопротивления колебаниям. Так, И. Шенноном в 1930 - 1935 гг. было высказано предположение о преобладающем демпфировании колебаний за счет бокового перемещения шеек вала в пределах радиального зазора между ними и подшипниками и вытеснения при этом масла из указанного зазора [117]. Им было получено следующее выражение для работы Wn такого демпфирования за 1 цикл колебаний
>з
Илп=СпПСОв/2-г,	(8.49 а)
О
где Сп - эмпирический постоянный коэффициент; Г) - вязкость масла; f = АР / 5 - отношение амплитуды радиальных перемещений шейки вала в пределах радиального зазора 5 к величине этого зазора; 0)в - частота вынужденных колебаний; d - диаметр шейки вала.
Эта формула не получила распространения в связи с трудностью определения коэффициентов Сп, т] и/.
СОПРОТИВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМ
395
Ту же гипотезу спустя примерно 10 - 12 лет обосновывал П. Драминский [107], который, однако, считал, что величина ГКп пропорциональна квадрату частоты колебаний (см. ранее сделанное замечание о различиях математических моделей сопротивления колебаниям). Результаты еще более позднего (1980 - 1982 гг.) детального исследования подобного демпфирования колебаний приведены в [110]; уточнено, что при этом наибольшее значение имеет вытеснение масла из зазоров в коренных подшипниках, а мощность демпфирования вследствие вытеснения масла из шатунных подшипников и трения поршней не превышает соответственно 3 и 1 % от общего демпфирования.
Наиболее удобный способ расчетной оценки демпфирования колебаний при вытеснении масла из зазоров в подшипниках предложен, по-видимому, К. Хафнером и Г. Маазом [112]. Этими исследователями утверждается, что демпфирование в приводах агрегатов (в особенности в ременных передачах) не является основной причиной сопротивления колебаниям. Ими подтвержден также упомянутый выше вывод о незначительности работы трения деталей цилиндро-поршневой группы, а также вытеснения масла из зазоров в шатунных подшипниках как источников демпфирования колебаний (в частности, К. Хафнер и Г. Мааз указывают, что дополнительные, обусловленные крутильными колебаниями, перемещения поршней незначительны по сравнению с их основными перемещениями). К. Хафнером и Г. Маазом учтены гидродинамические явления при движении шейки вала в подшипнике и получена следующая формула для расчета коэффициента такого демпфирования
и = 2^50Г,	(8.50)
V
D-d	-	п л
где V —---- ~ относительный зазор в подшипнике; /Д а - диа-
d
метры подшипника и шейки коленчатого вала; г] - динамическая
396
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
вязкость масла; В - ширина подшипника; S()y- характеристическое число Зоммерфельда1 (рис. 8.27).
Трудность разделения и учета отдельных видов внешнего трения привела к появлению математических моделей последнего, в которых момент Мс сил этого трения принимается пропорциональным угловой скорости колебаний2, причем интенсивность подавления колебаний оценивается неким обобщенным коэффициентом демпфирования, т.е.
Рис. 8.27. Зависимость числа Зоммерфельда относительного эксцентриситета шейки в в подшипнике и размеров подшипника
1 В ряде источников (см., например, [71]) числом Зоммерфельда называют величину, обратную по отношению к данной на рис. 8.27. Заметим также, что в расчетной практике известна формула для расчета числа Зоммерфельда: 5. = Л— , где к - удельное давление в подшипнике; ку2
со - угловая скорость шейки в подшипнике.
Заметим, что впервые такая модель внешнего трения при крутильных колебаниях была предложена Видлером еще в 1921 г.
СОПРОТИВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМ	397
Мс =-Ь(р,	(8.51)
где b - обобщенный коэффициент демпфирования, равный
b = tfiFni,	(8.51 а)
где £> - удельный коэффициент демпфирования; R - радиус кривошипа; Fri - площадь поршня; i - число цилиндров.
Величины удельного коэффициента демпфирования определены для двигателей различных типов и назначений экспериментально (табл. 8.14).
К сожалению, в разных источниках могут приводиться различные значения удельных коэффициентов демпфирования, относящихся к двигателям одного и того же класса и назначения. Так, в [98] указаны такие значения коэффициентов ^106 для автомо
бильных и тракторных двигателей:
•	автомобильные бензиновые...............0,02 ...	0,04
•	автомобильные дизели...................0,04 ...	0,05
•	тракторные дизели......................0,05 ...	0,07
Заметим одновременно, что самим Г. Видлером в 1921 г. получено, что = (0,047 ... 0,079)-106 Н-с/м3; по более поздним (1935 г.) данным И. Гейгера' £ = (0,0147 ... 0,147) 106 Н • с/м3. По-добные расхождения имеют место и для двигателей других типов.
8.14. Значения удельного коэффициента демпфирования
Двигатели	£10 6, Н-с/м’
Судовые малооборотные	0,40 ... 0,50
Бензиновые	0,05 ...0,15
Автомобильные и тракторные дизели	0,15 ...0,20
Транспортные V-образные форсированные дизели	0,02 ... 0,07
Звездообразные	0,02 ... 0,05
1 Изобретатель механического торсиографа - прибора для регистрации крутильных колебаний.
398
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Так, специалистами фирмы Fiat обобщены данные по 100 случаям резонансов крутильных колебаний в судовых энергетических установках с малооборотными двигателями. Обнаружено, что истинные значения коэффициента демпфирования изменяются в достаточно широких пределах (рис. 8.28).
Определим работу момента сил сопротивления, считая величину b известной. Выполняя расчет подобно таковому для работы возмущающего момента (см. 8.44), найдем
dWc = Mzdq = -ЬА^ sin 2 (оэв/ + е)Лов/;
2л
wc= (dWc = itbAfa*. и J и	р в
о
(8.52)
Равенство (8.52) показывает, что работа момента сил сопротивления не зависит от начальной фазы колебаний массы. Для многомассовой системы суммарная работа моментов сил сопротивления найдется суммированием (в данном случае вновь применяется гипотеза о малости демпфирования)
Рис. 8.28. Значения коэффициентов демпфирования судовых МОД (данные фирмы Fiat)
СОПРОТИВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМ
399
Wc =	/ = ^<Мр2, f>,2 •	(8-53)
/=| /=1
Сумма ^д2 квадратов относительных амплитуд также опре-/=1
деляется при помощи формы свободных колебаний.
Для двигателей отдельных типов и назначений существуют эмпирические формулы для определения работы моментов сил сопротивления колебаниям:
а)	формула В. Картера
Wc=/acI^BA^a^,	(8.54)
/=1
где /е - суммарный момент инерции КШМ;
к = 1,18 ... 4,02 Н0,2-м0,2-с 0,6 - поправочный коэффициент;
б)	формула Fiat
N
^B^pi 5L
/=1

(8.55)
где ин, ир - значения номинальной и резонансной частот вращения коленчатого вала;
в)	формула Хольцера

Wc =0,04тг7Есо2У1р21Х^2 ;	(8.56)
/=1
г)	формула лаборатории BICERI1
^-O^I^cd2^2,;	(8.57)
1 British Internal Combustion Engine Research Institute - Британский научно-исследовательский институт (лаборатория) двигателей.
400
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
д)	формула Ф.Ф. Болотина (применима для двигателей, не имеющих значительного демпфирования колебаний в приводах навесных агрегатов) [7]
0,3 8( Л1СТ + 4  1О-5)(J1CT + 135  10’5 >2 £ 1,а]
_____________________________________________/=1
(Л1ст +15 •10’5)(/|СТ + 425-10-5)
(8.58)
где AiCT- статическая амплитуда колебаний 1-й массы;
е)	формула Г.И. Бухариной (применима для судовых двигателей) [12, 47]
Wc = 353лМ^
i=i
2,2 • 10~s(l + £X^ +0J5)
4-14—+ 100
Рс \Рс
(8.59)
где q и г - коэффициенты, определяемые значениями конструктивных размеров и параметров рабочего процесса:
9 =
168Ю~4
A_j
А-+ 14 рс Мср
17 + 40— 11^ + 03^*
Рс Рс
f - частота колебаний; - амплитудное значение А-й гармоники возмущающего момента; р„ рс - среднее индикаторное давление и давление в конце сжатия; X - постоянная КШМ; £)ш ш, £)кш, шЛш~ диаметры и длины шатунной и коренной шеек вала; Л/ср - средний индикаторный момент, приходящийся на одно колено вала; D -диаметр цилиндра; Ln - длина поршня; т - тактность двигателя.
СОПРОТИВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМ
401
Г.И. Бухариной выполнена сравнительная оценка точности некоторых из приведенных (а также ряда иных) эмпирических формул, употреблявшихся при расчетах колебаний судовых ДВС. В табл. 8.15 представлены результаты этого анализа: дано (в процентах) количество отклонений (до ±10 %; до ±30 % и т.д.) расчетных резонансных амплитуд, определенных по различным формулам, к действительным.
Это значит, что расчет амплитуд резонансных колебаний по формуле Г.И. Бухариной в 61 % случаев (из 240) имеет отклонения от истинных значений не более чем на 10 %; в 34 % - не более, чем на 30 % и т.д.
Суммарная работа моментов сил сопротивления колебаниям определится по формуле
w	।	N-\
“ Л^в^рXj+ Т7^pl	“^z+l) •
z—1	2	z=l
Тогда с учетом формулы (8.46 а} амплитуда резонансных колебаний 1-й массы определится
X67/ S*n8/
Л. =--------s-------рй------------------- 	<8-6°)
1 , Evc,.wi(o, -о,я)2
z=l 2 Z=1
8.15. Погрешности расчета амплитуд резонансных колебаний
Расчетная формула	Число опытных данных	Погрешность расчета, %			
		до ±10	±(10...30)	±(30... 50)	св. ±50
Г.И. Бухарина (8.59)	240	61	34	5	—
Ф.Ф. Болотин (8.58)	100	24	48	26	2
Fiat (8.55)	100	21	38	10	31
И. Шеннон (8.49 а)	21	18	28	33	21
14 - 8013
402
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
8.12.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В КОЛЕНЧАТОМ ВАЛУ ПРИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
При колебаниях в сечениях коленчатого вала возникают дополнительные напряжения, которые суммируются с обусловливаемыми действием набегающих крутящих моментов. Такие дополнительные напряжения достигают наибольшей величины на упругих участках, где располагаются узлы колебаний, и рассчитываются по формуле
тдоп
W ~ D3 -d3 р	“кш
/ V
16
(8.61)
где Wp - полярный момент сопротивления сечения коренной шейки на участке между массами / и (/+1) кручению; М,/и - упругий момент на этом участке.
В современных двигателях величина тдоп может достигать 50 ... 60 МПа. Циклический характер дополнительных напряжений способствует усталостному разрушению вала.
8.13.	СРЕДСТВА ПОДАВЛЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Для повышения надежности коленчатого вала двигателя следует уменьшить дополнительные напряжения тлоп от крутильных колебаний. Из формулы (8.61) следует, что это может быть достигнуто при:
1)	снижении величины резонансной амплитуды колебаний 1 -й массы Лр|;
2)	уменьшении разности (а, - а,+\) относительных амплитуд колебаний соседних масс, что может достигаться, например, при вынесении узла колебаний за пределы валопровода энергетической установки и размещении его на тех элементах, разрушение которых менее опасно или, по крайней мере, восстановление после разрушения из-за колебаний является более дешевым, чем восстановление коленчатого вала;
СРЕДСТВА ПОДАВЛЕНИЯ КРУТИЛЬНЬЬХ КОЛЕБАНИЙ
403
3)	увеличении полярного момента сопротивления сечения вала кручению (при этом в связи с ростом диаметра коренных шеек возрастает жесткость вала).
Анализ формулы (8.60) позволяет проанализировать потенциально возможные пути уменьшения амплитуды ^pi:
1)	уменьшение амплитудного значения резонирующей гармонической составляющей крутящего момента при повышении равномерности последнего, что реализуется путем увеличения числа цилиндров, повышения равномерности чередования работы цилиндров, согласования угла развала цилиндров и углов развала кривошипов коленчатого вала; понятно, что эти мероприятия должны рассматриваться на ранних этапах проектирования двигателя, поскольку при его серийном выпуске внесение в конструкцию таких кардинальных изменений может оказаться неосуществимым;
А
2)	уменьшение геометрической суммы амплитуд sins,
/=1
колебаний масс системы при резонансе, что может быть получено при повышении порядка к резонирующих гармоник; последнее достижимо (помимо повышения равномерности крутящего момента и хода) при увеличении частоты собственных колебаний системы [и соответственно величины сов - см. формулу (8.60) за счет уменьшения моментов инерции масс];
3)	увеличение коэффициента у поглощения, что может быть достигнуто за счет применения материала с высокой поглощающей способностью; однако значительного эффекта добиться, по-видимому, трудно, поскольку для однотипных материалов (стали, чугуны) этот коэффициент изменяется в узких пределах. Высокие уровни форсирования современных двигателей обусловливают применение в качестве материала для изготовления коленчатых валов различные стали, поглощающая способность которых относительно невелика;
4)	применение специальных устройств - гасителей крутильных колебаний; последнее является наиболее действенным способом подавления колебаний.
14*
404
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Частоты вращения коленчатого вала, на которых имеют место резонансы крутильных колебаний, называют резонансными или критическими (w^). В случаях когда такие частоты вращения находятся в пределах рабочих значений (т.е.	< и1пах), при разгоне
или торможении двигателя рекомендуется проходить диапазон значений критических частот вращения с большой скоростью, не допуская длительной работы двигателя на этих скоростных режимах (рис. 8.29). На тахометрах участки шкал приборов, соответствующие критическим частотам вращения, закрашивают. Понятно, чю указанный способ пригоден для двигателей, работающих преимущественно на постоянном скоростном режиме (судовые, стационарные и пр.). Для двигателей, работающих во всем скоростном диапазоне (например, автомобильных), такой способ предотвращения вредных последствий крутильных колебаний недопустим.
Рис. 8.29. Ограничение допустимых скоростных режимов работы двигателя
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
405
8.14.	ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
По способу действия гасители колебаний могут быть подразделены на две группы - антивибраторы и демпферы.
Антивибраторы (маятниковые или с упругим элементом) создают возмущающий момент, действующий на коленчатый вал в противофазе с моментом, обусловленным действием цилиндровых сил, так что суммарный возмущающий момент оказывается близким к нулю.
Демпферы (сухого, междучастичного или вязкого трения), благодаря наличию в составе их конструкции какого-либо элемента, выполненного из материала с высоким внутренним трением, поглощают энергию колебаний и преобразуют ее в, например, тепловую, которая впоследствии рассеивается (заметим, что включение в состав колебательной системы демпфера формально соответствует увеличению коэффициента поглощения у - см. формулу 8.60).
Известны также комбинированные гасители, реализующие оба способа подавления крутильных колебаний.
Рассмотрим принцип действия маятникового гасителя. Такие гасители применяются в конструкциях многих судовых, тепловозных и авиационных двигателей.
Маятниковые антивибраторы (рис. 8.30) включают в себя маятник 3, подвижно установленный на ступице 2. Ступица жестко связана с коленчатым валом 7; таким образом, маятник качается в плоскости, перпендикулярной оси вращения вала. Такие антивибраторы получили широкое распространение на судовых и тепловозных дизелях, а ранее широко применялись на поршневых авиационных двигателях.
Действие маятникового антивибратора основано на добавлении к массе крутильной системы, с которой он соединен, инерционной массы с моментом инерции относительно оси вращения коленчатого вала, равным
l-pi	|_*1
Г	^2
406
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.30. Принцип работы маятникового антивибратора
где М - масса маятника; г - расстояние от оси вращения коленчатого вала до оси подвеса маятника; / - длина маятника; к - порядок
F гармоники возмущающего момента; р = А— .
Если задаться величинами г и I так, чтобы выполнялось равенство р = к, антивибратор будет стремиться создавать колебания вала, находящиеся в противофазе с создаваемыми А-й гармоникой возмущающего момента (говорят, что антивибратор «настроен» на частоту с порядком к)'. В связи с этим его применение эффективно лишь на некоторых скоростных режимах работы двигателя. Это и обусловливает его распространение в конструкциях судовых и тепловозных дизелей, продолжительное время работающих с одной частотой вращения коленчатого вала.
1 На практике настройка антивибратора выполняется нестрого. При этом возможны случаи, когда р = 1,01 Лг и р = 0,99А. Выбор положительной или отрицательной настройки зависит от того, желательно ли сместить резонансный максимум в сторону больших (р < к) или меньших (р > к) значений частот вращений коленчатого вала.
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
407
Кроме уменьшения опасных резонансных крутильных колебаний антивибраторы могут выполнять не менее важные функции противовесов (такое совмещение функций антивибратора широко распространено в авиационных двигателях).
При расчете маятникового антивибратора (см. рис. 8.30) обычно задаются массой его грузов gM и определяют длину /.
Для устранения крутильных колебаний необходимо, чтобы круговая частота колебаний маятника сом совпала с частотой сов крутильных колебаний вала. Известно, что круговая частота маятника /7
определяется по формуле сом = Jy , где ускорение свободного падения и размеры связываются соотношением gM = (г + /) со2 « г со2 (так как г существенно больше Г). Если устраняется резонанс к-и гармоники крутящего момента, то сом = А: со (со - частота вращения коленчатого вала). Делая все подстановки в приведенную выше формулу для расчета круговой частоты маятника, получим
к = J— . Практика конструирования поршневых авиадвигателей
показала, что маятниковые антивибраторы с большой длиной I эффективны при подавлении гармоник низких порядков, с малой длиной - высокочастотных колебаний.
В качестве примера использования найденного соотношения определим параметры маятника антивибратора, предназначенного для устранения гармоники к = 8. Выберем (по тем или иным конструктивным соображениям) г = 100 мм. Тогда
, г 100 t
/ = - = -^- = 1,56 мм.
к1 82
Реализация столь малой величины радиуса маятника обеспечивается применением бифилярного подвеса (рис. 8. 31).
В продолжении щеки коленчатого вала 1 выполняются отверстия 2 радиусом г. В них свободно устанавливаются пальцы 3 диаметром d, меньшим г. Такие же отверстия 5 выполняются в маятнике 4. Такое устройство приводит к тому, что любая точка маятника перемещается по окружности радиуса 2r - d.
408
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.31. Схема маятникового антивибратора с бифилярным подвесом
Важным вопросом является определение массы маятника. Для двигателей наземных транспортных средств стремятся получить маятник с малой длиной, но большой массой.
На рис. 8.32 показана конструктивная схема антивибратора тепловозного дизеля семейства Д70 производства Харьковского завода им. В.М. Малышева.
Двухрядный 12-маятниковый антивибратор состоит из ступицы 5 со втулками 6 и стопорами 7; двенадцати маятников 4 (по шесть в каждом ряду) и пальцев /, 2 и 3 пяти диаметров, которые обеспечивают настройку антивибратора на подавление колебаний вала, вызываемых различными гармоническими составляющими крутящего момента.
В ступице имеются специальные пазы и отверстия для подвода масла от общей магистрали к трущимся поверхностям антивибратора. Перемещение грузов вдоль оси пальцев составляет 0,5 - 1 мм. В собранном виде грузы и пальцы должны свободно перемещаться. Разновес в комплекте грузов не превышает 0,05 кг.
Установка на дизеле 2Д70 двухрядного антивибратора снижает максимальные напряжения в коленчатом вале с 30 до 19 МПа.
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
409
Рис. 8.32. Антивибратор тепловозных дизелей типа Д70
410
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Мощным средством борьбы с крутильными колебаниями могли бы быть управляемые демпферы, автоматически настраиваемые по частоте и фазе, создающие инерционный момент, противоположный по фазе и равный по модулю возмущающему моменту на резонирующих гармониках крутящего момента при любых скоростных и нагрузочных режимах работы двигателя.
В связи с широким внедрением в последние годы в транспортное двигателестроение электронных систем управления такое конструктивное решение может оказаться реализуемым.
Концепция управляемого демпфера была сформулирована проф. П.А. Истоминым еще в 1973 г. (а.с. СССР № 487257). Первоначально это была концепция регулирования фазы создаваемого демпфером момента инерционных сил (рис. 8.33). На носке коленчатого вала 1 двигателя жестко укреплено симметричное водило 2, снабженное четным числом (в данном случае для примера указаны две) опор 3, в которых установлены оси 4. На осях 4 жестко укреплены шестерни-сателлиты 5, обкатывающие соосное валу солнечное колесо 6. Солнечное колесо 6 может поворачиваться вокруг своей оси, для чего служат рычаг 7 и регулировочные винты S, устанавливаемые в корпусе двигателя. На продолжениях осей 4 эксцентрично установлены неуравновешенные грузы 9.
Действие демпфера основано на том, что радиальные составляющие развиваемых неуравновешенными массами центробежных сил инерции взаимно уравновешиваются, а тангенциальные составляющие создают момент, находящийся в противофазе с резонирующей гармоникой возмущающего момента.
Поворачивая рычаг 7 относительно корпуса двигателя, возможно изменять настройку демпфера по фазе, что существенно расширяет диапазон эксплуатационных режимов работы двигателя.
Позднее на этой основе П.А. Истоминым совместно с автором была разработана принципиальная схема автоматической настройки демпфера [4] (рис. 8.34). Фаза настройки демпфера изменяется в зависимости от скоростного или нагрузочного режимов работы двигателя и определяется величиной цикловой подачи топлива.
ГАСИ ГЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
411
Рис. 8.33. Принципиальная схема демпфера крутильных колебаний с возможностью регулирования фазы демпфирующего момента: 1 - коленчатый вал; 2 - водило; 3 - опоры водила; 4 - оси;
5 - сателлиты; 6 - солнечное колесо; 7 - рычаг солнечного колеса; Л - винты; 9 - неуравновешенные грузы
При перемещении рейки 7 топливного насоса соответственно перемещается толкатель 14. Он воздействует на рычаг /3, снабженный жестко установленной на нем конической шестерней 9. С ней в зацеплении находится шестерня на оси 10, на другом конце которой жестко установлена цилиндрическая шестерня 12. Шестерня 12 кинематически связана с шестерней 8 на дополнительном валу 3, на противоположном конце которого укреплена шестерня 4, находящаяся в зацеплении с зубчатым сектором 1. Последний укреплен на рычаге 2 управления солнечным колесом демпфера.
412
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.34. Принципиальная схема автоматического управления изменением фазы создаваемого демпфером инерционного момента
Понятно, что такая кинематическая схема показывает лишь принципиальные возможности автоматизации управления демпфером.
Стремление расширить диапазон эксплуатационных режимов работы энергетических установок с ДВС привело авторов предыдущего решения к идее регулирования не только фазы, но и амплитуды создаваемого демпфером неуравновешенного момента [1] (рис. 8.35).
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
413
Рис. 8.35. Принципиальная схема демпфера крутильных колебаний с независимым регулированием фазы и амплитуды создаваемого демпфирующего инерционного момента
414
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
С этой целью демпфер снабжен вторым солнечным колесом 2 помимо такого же солнечного колеса 7, которое выполняет ту же роль, что и в предыдущем случае. Солнечное колесо 2 закреплено на водиле 5 и может поворачиваться относительно оси вращения вала 3 двигателя. В водилах 4 и 5 установлены на осях 6 и 7 сателлиты 10 и 11 и неуравновешенные грузы 8 и 9. Сателлиты 10 и 11 взаимодействует с солнечными колесами I и 2, а последние имеет рычаги 12 и поворотно-фиксирующие приспособления (на рис. 8.35 условно показаны в виде детали 75, закрепленной на корпусе двигателя, регулировочных винтов 13 с фиксирующими гайками 14. Изменяя положение регулировочных винтов 13 относительно корпуса двигателя, тем самым, изменяем положение рычагов 12 и, следовательно, солнечных колес относительно корпуса двигателя). Вращение солнечных колес относительно корпуса двигателя может осуществляться совместно или по отдельности.
Демпфер работает следующим образом. При вращении вала 3 вместе с водилами 4 и 5 сателлиты 10 и 11 обкатывают солнечные колеса 7 и 2, вращаясь при этом относительно собственных осей 6 и 7. Солнечные колеса 1 и 2 остаются неподвижными по отношению к корпусу 15, удерживаясь от вращения поворотно-фиксирующими приспособлениями. При таком движении сателлитов 10 и 11 их неуравновешенные грузы 6 и 9 создают центробежные силы. Радиальные составляющие последних уравновешены, а тангенциальные создают синусоидальный момент, находящийся в противофазе по отношению к наиболее опасной гармонике крутящего момента коленчатого вала. Установка (настройка) демпфера по фазе производится путем совместного (синхронного) вращения обоих солнечных колес 1 и 2 вокруг вала 3 при помощи рычагов 12 с последующей их фиксацией в нужном положении поворотно-фиксирующими приспособлениями.
Регулировка амплитуды создаваемого демпфером инерционного момента осуществляется относительным угловым смещением солнечных колес 7 и 2 относительно друг друга также с последующей фиксацией каждого из них в нужном положении. Изменение амплитуды демпфирующего момента происходит за счет взаимного перемещения линий действия тангенциальных составляющих центробежных сил, развиваемых грузами 8 и 9.
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
415
Применение описанных принципиальных конструкций демпферов, а также средств их автоматизации (в последнем случае, по-видимому, можно также предложить автоматизацию) позволяют устанавливать амплитуду и начальную фазу инерционного демпфирующего момента на ходу двигателя без его остановки и разборки, вследствие этого расширяется диапазон эксплуатационных режимов установки.
Другой разновидностью антивибраторов являются устройства с упругим элементом, который при наличии крутильных колебаний деформируется по линейному или нелинейному закону. Принцип их действия показан на рис. 8.36.
Рис. 8.36. Схема работы антивибратора с упругим элементом
416
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
При расчете антивибратора с упругим элементом реальную крутильную колебательную систему приводят к двухмассовой, имеющей резонансную частоту колебаний сов. В этом случае амплитуды колебаний масс Ц и /2 суть а\ и а2. Добавляя к системе третью массу (массу антивибратора) с моментом инерции 7Д, соединяемую с реальной системой участком с жесткостью сд, подбирают величины /д и сд таким образом, чтобы частота колебаний массы анти вибратора соответствовала устраняемой собственной частоте колебаний системы. Имея в виду, что собственная частота колебаний маятника с моментом инерции 7Д на упругом участке с
JCn
— , с учетом формулы 8.19 получим Ад
(8.61)
Задаваясь величиной 1Д (или сд), находят другую неизвестную, приводящую к выполнению указанного выше условия.
В нелинейном антивибраторе возможно использование пружин с предварительной затяжкой и зазором между ними, а также пакета нелинейно деформируемых элементов - рессор 7, расположенных между ступицей 2 и маховиком 3 (рис. 8.37). Упоры 4 ограничивают деформацию рессор при резких изменениях скоростного режима. Энергия колебаний поглощается за счет того, что при нагрузке и разгрузке пакет элементов деформируется не одинаково [95].
Рис. 8.37. Нелинейный антивибратор
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
417
Весьма разнообразны по конструкции демпферы.
Если работа возмущающего момента изменяется по линейному закону РГМ = f(4p), то работа трения в установке без демпфера -по закону FTd = f(Ap), а с демпфером - по закону fKc2 = /(Яр). Равенства работ трения и возмущающего момента в каждом случае позволяют найти резонансные амплитуды (рис. 8.38). Видно, что при наличии демпфера резонансная амплитуда Лр2 существенно меньше амплитуды ЛР1 в установке без демпфера. Соответствующее уменьшение работы трения FKc2 < Wc\ способствует некоторому повышению механического КПД.
Наиболее простым по конструкции является резинометаллический демпфер (рис. 8.39), устанавливаемый па носке коленчато7 го вала. Демпфер состоит из массивного диска (маховика) 1 и корпуса 3, соединенных между собой слоем резины 2 (соединение деталей осуществляется путем вулканизации). Маховик демпфера колеблется с большой амплитудой относительно корпуса; при этом энергия колебаний поглощается за счет повышенного внутреннего трения в резиновом слое (такой демпфер относится к демпферам с междучастичным трением). Для обеспечения прочности резинового слоя он выполняется расширяющимся к периферии.
Рис. 8.38. Действие демпфера крутильных колебаний
418
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Как правило, корпус демпфера одновременно служит шкивом ременной передачи для привода каких-либо агрегатов. Подобный демпфер применялся ранее, например, в конструкции автомобильных двухтактных дизелей ЯАЗ-М204, ЯАЗ-М206.
Недостатком такого демпфера является эффективность при гашении колебаний, происходящих лишь с одной какой-либо частотой, вследствие чего он эффективен при применении на двигателях, работающих в узком диапазоне скоростных и нагрузочных режимов. Вторым недостатком является ухудшение упругих свойств резины со временем (так называемое старение), относительно малая стойкость к воздействию агрессивных сред и температуры.
Расширить диапазон скоростных и нагрузочных режимов работы двигателей с резинометаллическими демпферами позволяют конструкции, включающие два маховика (рис. 8.40) 5 и б, привулканизованных к корпусу 1 демпфера слоями резины 3 и 4 (2 - ось вращения коленчатого вала). Одновременно в таких конструкциях достигается повышение надежности демпфера, поскольку градиенты скоростей точек резиновых слоев в радиальном
Рис. 8.39. Резинометаллический демпфер крутильных колебаний
Рис. 8.40. Резинометаллический демпфер с двумя маховиками
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
419
направлении уменьшаются по сравнению с демпферами, имеющими один резиновый слой.
В силу указанных выше недостатков в настоящее время на двигателях самых разнообразных типов распространены демпферы вязкого трения; наиболее известными среди них являются силиконовые демпферы, в которых демпфирование колебаний осуществляется при сдвиге слоев высоковязкой жидкости. Энергия крутильных колебаний коленчатого вала расходуется на трение в жидкости при относительном перемещении маховика демпфера
относительно его корпуса.
Вязкостный демпфер (рис. 8.41) состоит из корпуса 1 с фланцем для крепления на свободном конце коленчатого вала (служит первичной массой); маховика 2 (вторичная масса); бронзового подшипникового кольца (втулки) 3. Корпус и маховик демпфера центрируются по внутреннему диаметру маховика и собираются с весьма малыми зазорами между стенками: например, в двигателях ЯМЗ-240Н (12ЧН 13/14) радиальные зазоры равны 0,05 ... 0,09 мм (между корпусом и внутренней цилиндрической поверхностью маховика) и 0,18 ... 0,24 мм (между корпусом и наружной цилиндрической поверхностью маховика)).
Рис. 8.41. Устройство вязкостного демпфера крутильных колебаний
При сборке демпфера зазор заполняется высоковязкой жидкостью (полиметилсилоксановое масло1 вязкостью 60 000 ... 200 000 м2/с), которая обеспечивает фрикционную связь между маховиком и корпусом; затем демпфер герметично закрывается.
Эффективность применения силиконового демпфера
крутильных колебаний показана на рис. 8.42.
1 Называемое также силиконом, вследствие чего и демпферы чаще име-
нуют силиконовыми.
420
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Рис. 8.42. Амплитуды упругого момента в сечении последней коренной шейки коленчатого вала автомобильного дизеля 12ЧН 13/14:
/ - без демпфера; 2 - с демпфером
Для увеличения поверхности трения маховик силиконового демпфера может выполняться фигурным (рис. 8.43), для улучшения динамических свойств демпфера его инерционную массу иногда выполняют в виде набора роликов, установленных концентрическими рядами и разделенными тонкими лентами (рис. 8.44). Существуют и другие способы повышения эффективности силиконовых демпферов [95].
Методика расчета силиконовых демпферов колебаний, основанная на методе В.П. Терских, изложена, например, в [37]. В ходе расчета должны быть определены момент инерции маховика и оптимальное значение вязкости силикона. Упрощенный расчет дан в [95], уточненный (применительно к автотракторным ДВС) - в [63]. В последнем случае крутильную систему вала уподобляют показанной на рис. 8.36 и записывают систему дифференциальных уравнений движения масс системы. Считается, что предварительно выполнено приведение многомассовой крутильной системы к двухмассовой, где масса с моментом инерции Ц моделирует совокупность реальных моторных масс, располагающихся справа от
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
421
Рис. 8.43. Силиконовый демпфер с фигурным маховиком: / - корпус; 2 - маховик;
3 - крышка корпуса; 4 - отверстие для заливки силиконовой жидкости
узла колебаний до маховика; масса с моментом инерции 12 -совокупность масс, располагающихся слева от узла колебаний до носка коленчатого вала. К этой колебательной системе присоединяется третья масса маховика демпфера /д. Если жесткость фиктивного участка валопровода равна ci 2, а жесткость силиконового слоя внутри демпфера сд, то с учетом того, что коэффициенты демпфирования участков равны Ь\ 2 и &д, упомянутая система уравнений принимает вид
Рис. 8.44. Силиконовый демпфер с роликами:
/ - ролики; 2 - корпус; 3 - кольцевые ленточные разделители
422
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
АФ1 + *i,2<Pi + С1,2<Ф| -ф2) = М|е'ш';
/2Фг +^1,2(Ф1 _ Фг)+ с1,з(Ф2 _Ф|)= Л/2е,ш/’	(8.62)
/дФд+^д(Фд-Ф1) = 0-
Решение этой системы уравнений находится в виде
Ф1=Л,е'ш';
Ф2=^е'ш/;	(8.63)
фд=4е'“'>
где Ai, А2, Ад - амплитуды колебаний 1-й и 2-й масс крутильной системы и маховика демпфера; со - круговая частота возмущающего момента; Ьа - в данном случае коэффициент демпфирования силиконовой жидкости.
Подставляя решение (8.63) и его производные в (8.62), получают систему алгебраических уравнений, которая решается численными методами относительно значения /д (при условии А\ —> min).
Практика показывает, что расчеты силиконового демпфера по различным методикам являются лишь приближенными.
На современных двигателях применяются гасители колебаний различных типов. Их выбор определяется мощностью двигателя, диапазоном скоростных и нагрузочных режимов и т.д. В ряде случаев оправдано применение усложненных комбинированных агрегатов различной конструкции. Так, на многих дизелях Коломенского тепловозостроительного завода типа ЧН 26/26 гасители колебаний не устанавливают вследствие низкого уровня дополнительных напряжений, обусловливаемых последними. На дизель-генераторах с двигателями 8ЧН 26/26, большинстве дизелей 12ЧН 26/26, на части дизелей 16ЧН 26/26 устанавливается силиконовый демпфер. На форсированных моделях 16ЧН 26/26 и 20ЧН 26/26 устанавливается комбинированный агрегат, состоящий из силиконового демпфера и маятникового антивибратора (рис. 8.45).
ГАСИТЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
423
Рис. 8.45. Комбинированный гаситель крутильных колебаний дизелей КТЗ:
1 - ступица; 2 - пальцы маятников; 3 - маятники; 4 - крышка гасителя вязкого трения; 5 - корпус гасителя вязкого трения; 6 - маховик
424
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Использование на дизелях мощностью 2200 кВт и выше конструктивно более сложных комбинированных гасителей оправдано более низким уровнем напряжений от крутильных колебаний. Так, установка на дизель-генератор 16ЧН 26/26 мощностью 2200 кВт комбинированного гасителя вместо силиконового демпфера снижает напряжения от крутильных колебаний в 1,5 раза.
Достаточно известны демпферы, действие которых основано на поглощении энергии колебаний при перетекании вязкой жидкости через отверстия внутри корпуса, являющиеся гидравлическими сопротивлениями. На рис. 8.46 показан пример такой конструкции, в которой одновременно осуществляется автоматическая настройка демпфирующей способности [2].
Рис. 8.46. Вязкостный демпфер крутильных колебаний с автоматической настройкой параметров демпфирования
РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТНОГ О ИССЛЕДОВАНИЯ
425
Демпфер состоит из корпуса 1 с выступами 2 и траверсы 7, установленной на валу на подшипнике. Траверса связана с корпусом пружиной кручения 5. Внутри выступов траверсы 6 выполнены полости, заполненные маслом, в которых расположены подпружиненные поршни 11. Боковые стенки выступов имеют радиальные отверстия 9. При колебаниях частоты вращения повороты корпуса относительно траверсы гасятся за счет перетекания масла из полости 7 в полость 8 и обратно. С увеличением частоты вращения поршни перемещаются в радиальном направлении, уменьшая проходные сечения отверстий 9 и увеличивая этим жесткость демпфера.
8.15.	РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ДВС
Выше изложены ставшие классическими расчеты крутильных колебаний коленчатых валов современных ДВС. В последние десятилетия в связи с развитием численных методов, вычислительной техники и накоплением опытных данных начали формироваться некоторые новые тенденции в развитии расчетных исследований. Судя по публикациям в отечественной и зарубежной научной литературе, можно указать две таких тенденции. Все новые работы направлены на повышение достоверности и информативности расчетов.
Одним из упомянутых направлений можно считать расчеты колебаний с учетом переменного момента инерции моторных масс в дискретных упруго-массовых системах. Одними из первых на рубеже 70-х и 80-х гг. XX в. такие расчеты были предприняты за рубежом д-ром К. Хафнером [92], а в России к.т.н. М.М. Сорочки-ным под руководством проф. П.А. Истомина [39]. Суть нововведения заключается в численном решении системы уравнений вида
Л(')ф, + />,ф, + с,ср, = M,(t),	(8.64)
где /,(/) - момент инерции моторных масс, является функцией времени.
426
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
В те годы решение такой проблемы представлялось весьма сложным (достаточно сказать, что для явного решения системы уравнений движения моторных масс необходимо использование не столь известного, а потому мало распространенного в инженерной расчетной практике метода Пуанкаре).
Несколько позднее (1980 г.) практический способ решения системы уравнений (8.64) был найден Х.Х. Тадж-Эльсиром под руководством проф. Е.А. Григорьева [87]: использовалась итерационная вычислительная процедура с переменным шагом по времени. При этом учитывался весь спектр возмущающего момента (а не его отдельные гармонические составляющие). Было установлено, что уточнение расчетов может составлять до 8 %.
В настоящее время наметилась тенденция к переходу к использованию континуальных конечно-элементных моделей колебательных систем.
Другое направление современных работ связано с учетом реальных законов сопротивления колебаниям. Отметим здесь упомянутую выше работу Л.Т. Кенсмана [41], в которой показано, что трение в реальной колебательной системе является нелинейным, а также предложен оригинальный и эффективный алгоритм линеаризации нелинейного трения с использованием итерационной процедуры, обеспечивающий проведение расчета с погрешностью, не превышающей 4 ... 6 %.
Более пристальное внимание уделяется факторам, влияющим на возбуждение крутильных колебаний. Так, в [121] в качестве одного из таких факторов рассмотрена неидентичность работы цилиндров, которая обусловливается, в частности, повышенными износами деталей цилиндро-поршневой группы, нарушениями работы топливной аппаратуры и механизма газораспределения и пр. Установлены нормы предельных отклонений мощности, развиваемой отдельными цилиндрами, нарушение которых влечет за собой увеличение амплитуд вынужденных крутильных колебаний, а потому является недопустимым (так, для 4-тактных судовых, тепловозных и стационарных дизелей эти нормы составляют ±10 %, для 2-тактных малооборотных дизелей - не более ± 5 %).
РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
427
В последние годы проведены первые исследования в области колебаний коленчатых валов некоторых двигателей с нетрадиционными конструктивными схемами, в частности, АПД [76]; одна из подобных конструкций показана выше на рис. 1.15. Установлено, что крутильная и изгибные жесткости (в плоскости кривошипа и в перпендикулярной плоскости) коленчатого вала близки между собой и практически совпадают с аналогичными значениями крутильной и изгибных жесткостей кривошипов валов двигателей с КШМ. Продольная жесткость вала АПД обычно меньше продольной жесткости двигателей с КШМ, что обусловливает необходимость исследования продольных колебаний вала АПД.
В связи с перераспределением масс преобразующего механизма по сравнению с двигателями с КШМ (для АПД моменты инерции всех подвижных звеньев приводятся к одной и той же наклонной шейке коленчатого вала, причем величина момента инерции этой единой приведенной массы получается больше, чем величина момента инерции моторной массы двигателя с КШМ1) частоты собственных колебаний вала в АПД оказываются меньшими, чем в двигателях с идентичными значениями чисел и размеров цилиндров, уровней форсирования и пр., что расширяет диапазон резонансных режимов. Однако дополнительные касательные напряжения при резонансах, хотя и несколько выше таковых для двигателей с КШМ (так, для двигателя АР-7.2 тдоп = 30 ... 40 МПа; для двигателя ЗМЗ-406 - 4,7 ... 24,6 МПа) не превышают допустимых. Таким образом, состояние валопровода установки с двигателем АР-7.2 можно считать удовлетворительным.
Достаточно много новых решений (в том числе принципиальных) найдено в области конструирования гасителей колебаний. Одним из таких решений является разработка гасителей с адаптивным демпфированием, управляемым посредством электронных систем.
1 Необходимо заметить, что указанное перераспределение масс имеет и положительную сторону, проявляющуюся в уменьшении числа масс в колебательной системе, что либо упрощает расчет, либо позволяет моделировать колебательную систему с более глубокой дискретизацией. Вопросы моделирования крутильной системы АПД освещены в работе [76].
9. ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
9.1.	ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Продольные (осевые) колебания совершаются массами, приведенными к коленчатому валу, в направлении оси его вращения. Место расположения упомянутых масс обычно совпадает с таковым для масс крутильной колебательной системы. В валопроводах современных ДВС продольные колебания имеют частоты, как правило, близкие к частотам крутильных колебаний, а потому в реальных системах возникают связанные продольно-крутильные колебания, имеющие возможность резонировать. Изгибные колебания происходят с частотами, в несколько раз превышающими частоты для продольных и крутильных колебаний, в связи с чем могут рассматриваться как парциальные.
Наибольшее число возбудителей продольных колебаний присутствует в судовых ДВС. Такими возбудителями там являются:
1)	периодические силы, действующие вдоль коленчатого вала со стороны гребного винта (так называемый упор винта), частота которых пропорциональна частоте вращения гребного вала и числу лопастей винта;
2)	силы, возникающие в редукторах с косозубыми передачами и передающиеся на вал;
3)	силы, действующие со стороны коренных опор и являющиеся реакциями последних при деформировании кривошипа радиальной и тангенциальной (в меньшей степени) силами (рис. 9.1); в двигателях разных типов проявление этих возбудителей может быть различным - от существенного (в установках с малооборотными дизелями вследствие податливости упорного подшипника) до незначительного (в автомобильных установках);
4)	случайные воздействия (например, при включении - выключении соединительных муфт, продольной качке судна и пр.).
В двигателях других назначений могут присутствовать те же источники продольных колебаний, но они проявляются в меньшей степени: так, в автомобильных двигателях отсутствует упор винта;
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
429
Рис. 9.1. Схема возбуждения осевых колебаний вала реакцией Рос при действии на кривошип радиальной силы Z
менее существенна роль реакций, обусловленных деформированием кривошипа, обладающего большей жесткостью. Однако там более заметно действие случайных возбудителей вследствие частого включения - выключения муфты сцепления.
Алгоритм расчета осевых колебаний вала в целом аналогичен при расчете крутильных колебаний. Первоначально составляется эквивалентная расчетная схема колебательной системы - определяются приведенные массы и осевые податливости (жесткости) участков вала.
В зависимости от глубины дискретизации кривошип коленчатого вала (вместе с приведенными к нему массами подвижных звеньев) моделируется одной, двумя или тремя массами (рис. 9.2). В наиболее простом случае модель включает одну точечную массу Мк, расположенную в средней точке участка с общей податливостью еи. Масса Мк включает массы коренной и шатунной шеек и щек, а также п масс шатуна /ишк, приведенных к кривошипу (/? -число шатунов, сочлененных с одной шатунной шейкой коленчатого вала). При расчете частот и форм собственных продольных колебаний практически тот же результат получается в случае использования модели, в которой две половины массы А/к разнесены в средние точки коренных шеек. Такие модели рекомендуется использовать при расчетах колебаний коленчатых валов с числом
430
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рис. 9.2. Моделирование кривошипа коленчатого вала при расчете продольных колебаний
кривошипов, большим четырех. Более точные результаты (в том числе при расчетах валов с любым числом кривошипов) получаются при использовании трехмассовой модели колена, где массы Л/| и Л/2 равны (массы и т'т определяются по приведенным выше формулам 3.4 и 3.5):
Л/| — О,5(?77(и ш +	к) >
М2=МК-М{.
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
431
Применение трехмассовой модели кривошипа целесообразно также и с точки зрения организации расчетов изгибных и связанных колебаний.
Выбрав способ идеализации кривошипов вала, составляют схему колебательной системы, элементы которой моделируют различные участки валопровода, имеющие потенциальную возможность совершать продольные колебания. В состав модели могут включаться массы сцепления, валов и зубчатых колес коробки перемены передач автотракторного двигателя; редукторов и гребных валов, а также гребного винта с «присоединенной» массой воды судового двигателя (в последнем случае иногда в состав модели включается и часть упорного подшипника на корпусе судна) и пр. Существенную методологическую сложность представляет собой моделирование зубчатых передач: если в последних в ходе работы двигателя осуществляется перекладка зазора, система становится нелинейной, а потому должна рассчитываться с помощью математического аппарата теории нелинейных колебаний.
Под продольной податливостью еп участка будем понимать величину его продольной деформации А вследствие приложенной к нему единичной силы Р, Соответственно продольная жесткость Сп показывает величину продольной силы, которую необходимо приложить к участку для деформирования последнего на единицу длины. Податливость измеряется в м/Н, жесткость - в Н/м. Так же, . - 1 как и для крутильных колебании, еп =— .
Сп
Для прямолинейных гладких участков жесткость (податли-
х ,	Р	А
вость) может быть определена по закону Гука СГ| =— или еп =— .
А	Р
Преобразование этих выражений приводит к формуле следующего вида для расчета продольной податливости прямолинейного участка длиной /:
(9.1)
432
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
где Е - модуль упругости материала; х - коэффициент, зависящий от геометрии сечения вала (так, для вала диаметром D с круглым сплошным сечением х - D2; для вала с кольцевым сечением (наружный диаметр равен D, внутренний - d) х = D2 - d2\ для участка конической формы с диаметрами оснований D и d-х = Dd и т.д.).
Податливость составного участка равна сумме податливостей его фрагментов.
Податливость колена вала может быть вычислена по эмпирическим формулам:
а)	формула Л. Гульемотти и Р. Мачотта
64/?24 427?(/?-0,44£)кш)2
nED*	ЕВН3
(9.2)
где С - так называемая поправка Андерсона, равная С = 1,0 для коленчатых валов с развалом смежных кривошипов ук= 180°; С = 0,77 для валов с ук = 120° (в ряде источников в этом случае указывается С = 0,625); С = 0,6 для валов с ук = 60° и С = 0,4 для валов с ук = 30°; Ак, Рк ш, В, Н - показанные на рис. 9.2 размеры колена; R - радиус кривошипа;
б)	формула И. Драминского
к.ш
(9.3)
где /к ш, /щ - моменты инерции коренной шейки и щеки вала;
в)	формула Н.С. Скорчева [83], рекомендуемая для коленчатых валов крупноразмерных двигателей
где /ш ш и /щ — моменты инерции шатунной шейки и щеки (в среднем сечении); - коэффициент, учитывающий угол развала смежных кривошипов вала и определяемый по формуле
=0,333(2 -cosyK);
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
433
г)	формула В.С. Стоянова [84], рекомендуемая для коленчатых валов форсированных двигателей (в этом случае угол развала смежных кривошипов оказывает относительно малое влияние на продольную податливость, но существенное значение приобретает перекрытие шеек вала)

1_ (£ш ш + 0,48//)/?2 t £ш ш + 0,7// ।
Е	I	F
°	J ш.ш	л ш.ш
(9.5)
, ш + 0,7// Лс.ш
4,72/?*п ЬсН
где ЛпШ, ^к.ш - площади поперечных сечений шатунной и коренной шеек вала; b - средняя ширина щеки; кп и с - коэффициенты, зависящие от величины перекрытия шеек П и относительных размеров коленчатого вала Л, причем, для кп В.С. Стояновым выведена графическая зависимость (рис. 9.3), а величины П и с определяются по формулам
п =	D^- -1;	(9.5 а)
2R
/
26	11О	26	]
с = 3,97-3,64-----------+ 1,13 ----------- .
^К.Ш + ^Ш.Ш	\ Ч.Ш ^ш.ш у
Величиной h (рис. 9.3) обозначен относительный размер коленчатого вала, вычисляемый по формуле
И =
Как и для случая крутильных колебаний, значения продольной податливости кривошипов коленчатого вала, вычисленные по различным эмпирическим формулам, могут существенно различаться. Так, продольная податливость кривошипа вала среднеоборотного дизеля 6ЧН 25/34 равна:
15 - 8013
434
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рис. 9.3. Зависимость коэффициента Ап от величины перекрытия шеек и размеров вала:
1 - h = 0,40; 2-h = 0,35; 3-h = 0,30; 4-h = 0,25
а)	по формуле В.С. Стоянова - 7,287-Ю’10 м/Н;
б)	по формуле Н.С. Скорчева - 3,148-10’10 м/Н;
в)	по формуле Л. Гульемотти - Р. Мачотта -2,933-1010 м/Н;
г)	по формуле И. Драминского1 -2,060-10 й м/Н;
д)	при расчете по МКЭ - 3,460- Ю’10 м/Н.
Различие упругих свойств коленчатого вала, определенных по разным эмпирическим формулам, ранее отмечено В.К. Румбом (рис. 9.4), впервые показавшим эффективность применения здесь МКЭ в объемной постановке [79].
Последующий анализ предусматривает определение одним из рассмотренных выше способов частот 0)ос и соответствующих форм (совокупностей относительных амплитуд аОС1 с начальными фазами 8,) собственных продольных колебаний.
1 Значительное отличие результатов расчета по формуле И. Драминского от прочих результатов отмечено многими авторами.
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
435
Рис. 9.4. Продольная податливость коленчатого вала в зависимости от диаметра коренной шейки (величины отнесены к некоторым начальным значениям е,10 и £>К11|0) в зависимости от способа расчета: / - эксперимент; 2 - МКЭ; 3 - формула В.С. Стоянова;
4 - формула Л. Гульемотти-Р. Мачотта
При расчете вынужденных колебаний следует учесть имеющие место в каждом конкретном случае источники последних. Из числа упомянутых выше укажем способ определения двух наиболее часто встречающихся в установках с форсированными высокооборотными быстроходными двигателями.
Осевые силы, возникающие в зацеплении косозубых колес, находятся по формуле:
, Ж О • 7 ос =—-7-tg psin to/,
(9.6)
где Л7/ - амплитудное значение к-и гармоники передаваемого зацеплением крутящего момента; D - диаметр косозубого колеса; Р - угол наклона зубьев колеса.
15*
436
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Осевую возмущающую силу, вызванную деформированием кривошипа вследствие приложенной к нему радиальной силы Z, можно вычислить по формуле

(9.7)
где с - коэффициент влияния, учитывающий осевую деформацию кривошипа при действии на него радиальной силы.
Более точно величина этого коэффициента может быть определена расчетным путем по МКЭ (даже при этом расчет выполняется с погрешностью, обусловленной невозможностью корректного учета наличия масляной пленки, зазоров и пр.). Известна также эмпирическая формула В.С. Стоянова [84]
(9.8)
где кп - коэффициент, зависящий от перекрытия шеек П (см. формулу 9.5 а) и вычисляемый по формуле
5,21-5,35—
= <0,438-0,486-— dcp
+ 0,75
4-10Я ^ср
где dcp =——-----_ средний диаметр шеек коленчатого вала.
Для многорядных двигателей в качестве силы Z в формуле (9.7) следует учитывать суммарную силу, действующую на шейку со стороны нескольких рядов цилиндров, шатуны которых сочленены с этой шейкой (см. рис. 6.19 и комментарий к нему).
Найденная осевая сила раскладывается в ряд Фурье, затем определяется опасная с точки зрения резонансных явлений гармони
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
437
ческая составляющая с амплитудой и находятся амплитуды вынужденных резонансных колебаний масс системы (как и для крутильных колебаний здесь достаточно определить амплитуду резонансных колебаний Аос i только 1-й массы, остальные определятся по формуле Аос/ = аос/Аос i). В простейшем случае для Аос] можно использовать формулу
N
р„ Saisin,!i
4С,=-^— Т'-----------	<9'”
Ъос ^ос V'' 2
/=1
где £ос - коэффициент демпфирования при осевых колебаниях.
По сравнению с крутильными колебаниями демпфирование при продольных колебаниях изучено в значительно меньшей степени. Большинство авторов полагают, что это демпфирование обусловлено упругим гистерезисом, трением и зазорами в упорных подшипниках (или других устройствах того же назначения). В судовых двигателях продольные колебания демпфируются также гребным винтом; в автомобильных и тракторных - муфтой сцепления.
Для судовых МОД суммарная величина коэффициента демпфирования при продольных колебаниях может быть определена по эпмирической формуле Л. Гульемотти-Р. Мачотта (представление этого коэффициента зависимостью только от масс звеньев установки с МОД позволяет предположить, что при выводе этой формулы ее авторы приняли за основу гипотезу о превалирующем гистерезисном демпфировании, что с учетом металлоемкости деталей МОД не лишено веских оснований)
В + ^в)	(Q I
( т + тк п + тп Л о	О
где /и, /лкв, тв - соответственно массы валопровода (гребной вал, подвижные звенья редуктора и пр.), коленчатого вала и гребного
винта.
438
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Согласно исследованиям Андерсона (проведенным применительно к крупноразмерным судовым МОД) для гармонических составляющих осевой возмущающей силы с порядками к (5 < к < 9) коэффициент демпфирования при осевых колебаниях может быть найден по другой эмпирической формуле [85]
445 *
(9.Н)
Иная методика расчета параметров упругого демпфирования продольных колебаний изложена проф. О.К. Найденко в [69].
Знание амплитуды продольных колебаний необходимо для правильного выбора величины зазора в упорном подшипнике (или иных устройствах того же назначения).
Помимо этого определяются обусловленный продольными колебаниями дополнительный момент А/н, изгибающий шатунную шейку
Mw =0,25(3-cosYK,)4cl^CDe^Poc,aoc/ (9.12)
/=1
и вызываемые этим моментом дополнительные напряжения адоп в галтели коленчатого вала
°доп
(9.13)
Эти дополнительные напряжения не должны превышать 20 МПа. В противном случае принимается решение о специальных мерах по устранению продольных колебаний. В целом мероприятия, направленные на устранение последних, аналогичны применяемым при борьбе с крутильными колебаниями. Следует иметь в виду, что устранение колебаний одного вида может привести к изменениям колебаний других видов (в силу их связанности -см. ниже). В ряде случаев полезной может оказаться установка соответствующих гасителей. Для гашения продольных колебаний также могут быть применены маятниковые антивибраторы и демпферы.
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
439
Антивибраторы могут быть комбинированными и предназначаться для устранения крутильных, продольных и даже изгибных колебаний вала. Схема подобного антивибратора конструкции Коломенского тепловозостроительного завода показана на рис. 9.5. В ступице на пальцах 3 подвешены маятники 5, которые, качаясь в плоскости, перпендикулярной оси коленчатого вала, гасят крутильные колебания. На ступице выполнены опоры 7, к которым на пальцах 2 подвешены маятники б, качающиеся в плоскости, в которой располагается ось вращения коленчатого вала. Маятники 6 предназначены для устранения продольных и изгибных колебаний.
В крупноразмерных дизелях, где продольные колебания представляют большую опасность, демпфер продольных колебаний устанавливают на свободном конце коленчатого вала. Устройство демпферов может быть различным. Например (рис. 9.6), в конструкции демпфера фирмы Гетаверкен [16], поршень 2 демпфера на
Рис. 9.5. Комбинированный маятниковый антивибратор для устранения крутильных, продольных и изгибных колебаний коленчатого вала
440
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рис. 9.6. Демпфер продольных колебаний
опоре 1 жестко связан с торцом коленчатого вала и помещен в герметичный корпус 6 с крышкой V, присоединенный к корпусу двигателя. Поршень 2 демпфера разделяет внутренний объем корпуса 6 на две полости. Полости заполнены маслом, находящимся под давлением (для заполнения демпфера маслом и выпуска при
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
441
этом воздуха из заполняемой полости служат отверстия 3 и 5; излишки масла при этом сливаются через отверстие 7). Энергия колебаний поглощается за счет дросселирования при перетекании масла из полости перед поршнем в полость за поршнем через зазор между поршнем и корпусом. Регулировка зазора (т.е. подбор гидравлического сопротивления) позволяет влиять на параметры демпфирования. Результаты испытаний и опытной эксплуатации 2-тактного судового крейцкопфного МОД 850/1700 UGA-10 (10ДКРН 85/170), оборудованного таким демпфером, показали, что на номинальном (п = 115 мин'1, Ne = 13 000 кВт) и резонансном (и = 115 мин'1) режимах амплитуда вынужденных продольных колебаний уменьшается в 6,5 раз [16].
Для коротких жестких коленчатых валов АПД в отличие от валов двигателей с КШМ имеет место заметное отличие частот собственных крутильных и продольных колебаний. Так, для двигателя АР-7.2 конструкции ГНЦ НАМИ эти частоты (для одноузловой формы колебаний обоих видов) отличаются в 2,75 раза. Это обстоятельство делает менее вероятной опасность возникновения связанных крутильно-продольных колебаний и позволяет рассчитывать каждый вид колебаний по отдельности.
9.2. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Этот вид колебаний в поршневых ДВС изучен также еще недостаточно1. Поэтому ограничимся здесь лишь рассмотрением расчета частот собственных изгибных колебаний. Расчетная схема может представляться в виде простейшей модели (рис. 9.7), где каждая масса включает массы колена вала и приводимых к нему масс шатуна, либо более сложной многомассовой дискретной модели (рис. 9.8).
1 Для роторов авиационных газотурбинных двигателей, напротив, существуют многочисленные способы решения задачи об изгибных колебаниях [93]. Однако среди них только методы решения дискретных систем с конечным числом степеней свободы могут быть применены к изгибным колебаниям коленчатых валов поршневых ДВС.
442
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рис. 9.7. Простейшая схема расчета (я) и формы (б), (в), (г) изгибных колебаний трехмассовой системы
Рис. 9.8. Упруго-массовая дискретная модель кривошипа для расчета изгибных колебаний
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
443
Для многомассовой расчетной схемы массы 1 и 2 моделируют коренные шейки коленчатого вала с примыкающими к ним участками щек; масса 3 - шатунную шейку (также с примыкающими к ней участками щек); масса 4 - приведенную к шатунной шейке массу шатуна тш к (для многорядных двигателей эта масса увеличивается пропорционально числу шатунов, соединяемых с одной шатунной шейкой). Массы 5 и 6 моделируют участки корпуса двигателя, содержащие коренные опоры, масса 0 - оставшуюся часть корпуса (рис. 9.8).
Определение изгибных жесткостей (необходимо вычислять две такие жесткости - в плоскости кривошипа и в перпендикулярной плоскости) представляет существенную сложность. Более точно эти параметры могут быть вычислены с использованием МКЭ; при этом становится возможным учесть (помимо геометрии вала) многие оказывающие на значение жесткости конструктивные факторы, в частности, совместное деформирование вала с прилегающими к нему участками коренных подшипников1.
Для определения изгибных жесткостей (податливостей) коленчатого вала также существуют эмпирические формулы. Так, податливость в\ в плоскости колена равна
16£/ш.1и £ГЩ ЕЦ Е1КШ
где 7| - момент инерции сечения щеки относительно оси, перпендикулярной плоскости кривошипа.
Податливость кривошипа в перпендикулярной плоскости определяется по следующей эмпирической формуле
А3ШШ	4Н3	ЗН3 2А3Ш	,О1С
е =-----игш_ +-----+-----+---->сш	(9.15
16EI	EI	GIEI
1и2^2ш.ш	2^2щ	'-22р	^2К.Ш
где 7р - полярный момент сопротивления сечения щеки кручению.
1 Наиболее корректным представляется здесь решение контактной задачи
о взаимодействии коленчатого вала с указанными участками коренного
подшипника, разделенных слоем смазки. Это решение осложняется необходимостью учета эксцентричного положения вала в подшипнике, а также знания истинного значения жесткости масляного слоя.
444
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Изгибные податливости кривошипов коленчатых валов на подшипниках скольжения обычно составляют0,5-10'9 ... 2,0-10'9 м/Н; на подшипниках качения - 0,2-10'9 ... 0,5-10'9 м/Н.
Податливость ем масляного слоя изменяется от бесконечно большой величины при концентричном расположении шейки коленчатого вала в подшипнике до нуля при соприкосновении вала и подшипника. Если зазор между ними (и соответственно толщина масляной пленки) равен 10 ... 15 мкм, то можно принять ем= 1,0-10’9... 10,0-10’9 м/Н.
Податливость опор коленчатого вала является различной, и достаточно точно может быть определена МКЭ. В.К. Чистяковым [95] отмечается, что в среднем податливость для опор скольжения составляет 0,5 -10‘9 ... 1,0-10'9 м/Н; для опор качения в ДВС с туннельным картером 0,33-10’9... 0,5-10‘9 м/Н.
Определение частот и форм собственных изгибных колебаний может быть произведено любым из рассмотренных выше методов, однако по мере увеличения степени дискретизации модели предпочтение должно быть отдано матричной форме метода начальных параметров. В таком случае должны быть использованы переходные матрицы кривошипа, прямолинейного участка, сосредоточенной массы и пр. Такие матрицы известны [33, 95 и др.]. Однако более прогрессивным представляется применение МКЭ. Все реализующие его современные программные продукты содержат модули определения частот и форм как собственных, так и вынужденных колебаний.
9.3. ПОНЯТИЕ О СВЯЗАННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
Связанные колебания - это одновременное развитие колебаний различных видов - крутильных, продольных, изгибных. Впервые эта проблема в общетеоретическом плане была освещена акад. Л.И. Мандельштаммом в 1930 г. При этом рассматривалась простейшая двухмассовая модель с инерционной связанностью составляющих парциальных колебаний.
Связанные колебания коленчатых валов ДВС первоначально были рассмотрены в работах М.Л. Кемпнера, В.Я. Натанзона, Дж. Ден-Гартога и ряда других ученых. При этом учитывались как
ПОНЯТИЕ О СВЯЗА11НЫХ КОЛЕБАНИЯХ
445
инерционная, так и упругая связанности. Значительное место в более поздних исследованиях этой проблемы занимают труды В.П. Терских, П.А. Истомина, С.И. Нестеровой, В.К. Румба и др.
Поскольку в системе коленчатого вала ДВС оказываются близкими между собой частоты парциальных крутильных и продольных колебаний, рассмотрим именно крутильно-продольные колебания. Показательный пример таких колебаний, одновременно иллюстрирующий употребленные выше понятия инерционной и упругой связанностей, приведен Дж. Ден-Гартогом [23], описавшим маятник Вильберфорса (рис. 9.9).
Если груз массой т переместить вертикально вниз (витая пружина при этом будет растянута) и затем освободить, он будет совершать крутильные и продольные колебания с текущими координатами х и ср. Изменяя расстояние г дополнительных грузов с массой Aw каждый (при этом будет изменяться момент инерции
Рис. 9.9. Устройство маятника Вильберфорса, иллюстрирующего эффект связанных крутильнопродольных колебаний
груза при неизменной массе), можно добиться того, что частоты крутильных и продольных колебаний совпадут. Тогда первоначальное возбуждение колебаний вызовет лишь их продольную составляющую, которая впоследствии превратится в чисто крутильную. На возбуждение колебаний оказывает влияние как величина момента инерции груза (характеризует инерционную связанность), так и жесткость пружины (характеризует упругую связанность).
В.К. Румбом [79] установлены некоторые закономерности проявления упругой и инерционной связанностей при крутильно-продольных колебаниях коленчатого вала.
446
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В частности, инерционная связанность парциальных колебаний, обусловленных силами инерции НВМ, является «односторонней», так как осевые или изгибные колебания отдельного кривошипа вала не могут вызвать крутильные колебания. Однако при крутильных колебаниях силы инерции НВМ способны возбуждать осевые и изгибные колебания. Силы инерции ПДМ всегда приводят к взаимному инерционному возбуждению парциальных колебаний коленчатого вала.
Запишем уравнения движения (без учета демпфирования) маятника Вильберфорса [58]
х + со г* + &Г(Р = 0;
2 х	(9.16)
ср + co^cp + к^х = 0,
где сол и соф - частоты собственных парциальных продольных и крутильных колебаний (имеют место при значениях коэффициентов связанности кх = 0 и = 0).
При подстановке в (9.16) решений x = AxeKt и ср = A2eKf (X -квадрат частоты связанных колебаний) получаем систему алгебраических уравнений
Л](Х2 +со2) + Л2£х =0;
которая имеет нетривиальное решение только при условии
(X2+cof) £2	=
Л2 (Л.2+со2)	’
откуда собственные частоты рассматриваемой колебательной системы найдутся
-1 _ 2 _ 1 / 2 2Ч I " ш<р)	» 4
2	V 4
ПОНЯТИЕ О СВЯЗАННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
447
J2	2
(«*х — <0<р)	,4
----4---- к ’

где в простейшем случае коэффициент связанности к = кхк^.
Рис. 9.10. Зависимость между частотами связанных колебаний, частотами парциальных колебаний и коэффициентом связанности
/-	<01	при	<<°Х >	= 0,25; 2-		при	,<°л>	= 0,50;
3-	[V	2 при	<<°х ;	= 0,15; 4-	<<°jr >	\2 при	<<°л	\2 = 1,0;
5-	\_<0х /	\2 при	<<°х,	* ( = 1,0; 6-\	<01 ,<0х >	при		2 =0,75;
7-	<<°х;	при 		2 = 0,50; 8 -	)	при	f £ >	= 0,25
448
ПРОДОЛЬНЫЕ, ИЗГИБНЫЕ, СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Собственные частоты колебательной системы всегда отличаются друг от друга. Их зависимость от отношения частот парциальных колебаний, а также от коэффициента связанности показана на рис. 9.10. Видно, что при малых значениях к —> 0 получаем прямые co/cor = 1 и со/соф = 1. Чем больше коэффициент связанности, тем в большей степени частоты СО] и со2 отличаются друг от друга.
Многими авторами показано, что для исследования связанных колебаний (в том числе коленчатых валов) выгодно использовать известный в теории колебаний метод главных координат.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные в книге вопросы являются весьма важными в современном двигателестроении, причем, их актуальность возрастает в связи с ростом уровней форсирования двигателей при одновременном снижении их металлоемкости и габаритов. Актуальность многих задач динамики ДВС возросла до такой степени, что они по существу выделились в самостоятельные направления. Одним из них является снижение виброактивности двигателей всех назначений в связи с введением соответствующих норм (правила R51 ЕЭК ООН). Следует отметить, что в изучение этой проблемы значительный вклад внесли многие российские ученые: чл.-корр. РАН В.Н. Луканин, профессора П.Ф. Папкович, В.Е. Тольский, Л.В. Тузов, А.А. Скуридин, кандидаты технических наук А.С. Умаров, Е.А. Скобцов, А.Д. Изотов, М.А. Минасян и др. [65, 66, 82, 89]. Предпринимаются попытки разработки научно обоснованных критериев вибрационного состояния двигателей [8, 11]. Вводились даже такие понятия, как акустически идеальный рабочий цикл двигателя, акустически экологически чистый автомобиль1 и пр. В последние годы найдены многие удачные конструктивные решения для защиты от вибрации, например, спиральные тросовые виброизоляторы (СТВ), упругие демпфирующие элементы в соединениях элементов остова [34], амортизаторы АСК2 и т.д.
1 См.: Тольский В.Е. Идентификация источников внешнего шума грузового автомобиля и технические возможности их ослабления И Проблемы конструкции двигателей и экология: Сб. научн. тр. / НАМИ. 1998. С. 112-121.
2 Такие амортизаторы предложены российскими учеными д-р техн, наук В.В. Медведевым и канд. техн, наук А.Н. Червяковым (пат. РФ № 2010126, 1991 г.). Амортизаторы типа АСК изготавливаются из композиционных материалов, свойства амортизатора могут быть обеспечены подбором материала упругих элементов (стекловолокно) и связующих полимеров (эпоксидных смол). Такие устройства не имеют пока зарубежных аналогов.
450
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Достигнуты значительные успехи в области расчетов вибрационного состояния двигателей. Если ранее расчеты ожидаемых уровней вибрации двигателей основывались на представлении двигателя в виде твердого тела на упругом основании (проф. О.К. Найденко [104], С.А. Бершадский [25], В.А. Четвертаков и др.), то в последние годы большее распространение получили численные методы, прежде всего, метод конечных элементов и метод граничных интегральных уравнений. Значительное развитие получили программные средства, реализующие эти методы применительно к решению задач о вибрациях двигателей: ANSYS, LS-Dyna, Comet Acoustic и пр. Новое развитие получили программные средства для исследования динамики механических систем (ADAMS, MSC visual Nastran и пр.). Большинство программных продуктов практически не имеют ограничений1 на число определяемых неизвестных (уместно отметить, что 10 ... 20 лет тому назад специальной проблемой была минимизация размерности задачи, а использовавшиеся тогда модели включали относительно малое число узлов, элементов, например, модель остова среднеоборотного дизеля 42Д, разработанная И.В. Масловым, имела 1461 конечный элемент, число неизвестных составляло 6993 .
Применение таких программных средств позволяет успешно решать многие задачи, для которых ранее не только не существовало решения, но которые далее даже не формулировались: анализ вибросигнала с целью виртуального вибродиагностирования изделий, исследование динамики механизмов с зазорами в кинематических парах и пр. В этом направлении уже достигнуты весьма заметные успехи. Изложение этих вопросов представляется нам уже вполне назревшей самостоятельной задачей.
Следует отметить, что в течение последних 20 ... 30 лет изменился подход к решению отдельных вопросов динамики и конструкции двигателей. Так, ранее считалось (и это было отражено в
1 Даже университетская версия программного комплекса ANSYS позволяет определять 128 тыс. неизвестных, а возможности коммерческих версий ограничиваются только мощностью применяемой вычислительной техники.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
451
ряде учебных изданий), что уравновешивание двигателей путем введения в их конструкцию балансирных механизмов нецелесообразно. В настоящее время преобладает противоположная точка зрения.
По-прежнему остается актуальной проблема борьбы с колебаниями всех видов. В связи с успехами в области разработок электронных систем управления двигателями становится возможным говорить о потенциальной возможности создания управляемых гасителей колебаний, в том числе, таких, действие которых основано на использовании жидкостей с изменяемыми свойствами.
Многие динамические задачи возникают при разработках двигателей новых типов, в частности, двигателей Стирлинга, двигателей с переменными степенью сжатия и рабочим объемом1 и пр. Решаемые здесь задачи имеют, с одной стороны, традиционное содержание (расчет сил в кинематических парах, анализ уравновешенности и пр.), с другой стороны, для оценки энергоемкости и быстродействия устройств перемены степени сжатия или рабочего объема становятся необходимыми расчеты соответствующих переходных процессов.
Наряду с изучением вибрации при помощи дискретных упруго-массовых моделей систем широкое распространение получают статистические методы изучения вибрационных (и вообще колебательных) процессов с применением теории случайных функций.
Немаловажной проблемой двигателестроения является динамика не только преобразующего механизма, но и других элементов его конструкции: механизма газораспределения, приводов агрегатов, редукторов и пр., что также является вполне самостоятельной задачей.
Следует отметить, что в настоящее время становится все сложнее относить задачи только к вопросам динамики или только
1 Разработка таких двигателей считается одной из перспективных задач, способствующих решению проблемы улучшения топливной экономичности (см.: Кутенев В.Ф., Звонов В.А., Корнилов Г.С. О концепции автомобильного двигателя XXI века) // Проблемы конструкции двигателей и экология: Сб. научн. тр. / НАМИ. 1998. С. 3 - 9.
452
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
к конструкции. Главным образом, решаются комплексные задачи, в которых динамические аспекты играют одну из главных ролей. Примером такой задачи может служить поиск такой геометрии корпуса двигателя, которая обеспечивала бы его прочность и жесткость с одной стороны, и удовлетворительные виброакустиче-ские показатели с другой.
Многие вопросы динамики двигателей рассмотрены в книге в их историческом развитии, приведены как современные методики решения тех или иных задач (базирующиеся на численных методах и реализуемые на современной вычислительной технике), так и методики прежних лет. Разделяя точку зрения о необходимости применения современных методов, тем не менее считаем возможным (необходимым) показать решение многих задач в их эволюционном развитии.
Авторы стремились показать физическую основу многих задач динамики двигателей (в том числе, указать на отсутствие в ряде случаев единого мнения по тем или иным вопросам - см., в частности, материал о многообразии моделей сопротивления колебаниям).
Разумеется, материал, изложенный в книге, не охватывает всего комплекса вопросов современной динамики. Надеемся, что приводимый ниже обширный список литературы также поможет в изучении ряда специальных вопросов динамики ДВС.
Авторы с благодарностью примут замечания и рекомендации, которые будут способствовать улучшению содержания книги.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	А.с. 1015160 СССР, МКИ F16F 15/10. Демпфер крутильных колебаний / П.А. Истомин, М.А. Минасян, А.И. Яманин, И.В. Маслов//Открытия. Изобретения. 1983. № 16.
2.	А.с. 1474605 СССР, МКИ G05D 13/06. Пружинно-гидравлический демпфер / С.В. Панов, И.А. Комарова // Открытия. Изобретения. 1989. № 15.
3.	А.с. 1721629 СССР, МКИ F01В 3/00, F02B 75/26. Поршневая машина / А.И. Яманин // Изобретения. 1992. № 11. С. 115.
4.	А.с. 934081 СССР, МКИ F16F 15/10. Демпфер крутильных колебаний / П.А. Истомин, А.И. Яманин И Открытия. Изобретения. 1982. №21.
5.	Абрамишвили М.М., Енукидзе Б.М. Опыт доводки двигателей при определении порядка работы цилиндров И Двигателе-строение. 1986. № 2. С. 51 - 53.
6.	Авиационные двигатели: Сборник справочных материалов / Под ред. М.А. Левина, Г.В. Сеничкина. М.: Машгиз, 1951. 224 с.
7.	Алексеев В.В., Болотин Ф.Ф., Кортын Г.Д. Демпфирование крутильных колебаний в судовых валопроводах. Л.: Судостроение, 1973. 279 с.
8.	Алексеев И.В. Акустически идеальные циклы поршневых ДВС И Двигателестроение. 1983. № 7. С. 3 - 6.
9.	Аринин Б.В. Статическая и динамическая балансировка роторов газовых турбин. М.: Машиностроение, 1967. 70 с.
10.	Баландин С.С. Бесшатунные двигатели внутреннего сгорания. М.: Машиностроение, 1973. 173 с.
* 11. Бершадский С.А. Снижение вибрации и шума поршневых компрессоров. Л.: Судостроение, 1990. 272 с.
12.	Бухарина Г.И. Демпфирование в поршневых двигателях при резонансных крутильных колебаниях / ЛПИ им. М.И. Калинина // Труды. 1965. № 249.
454
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
13.	Котляров В.В., Лерман Е.Ю. Уточнение расчета стержней главных шатунов мощных быстроходных звездообразных дизелей И Энергомашиностроение. 1976. № 2. С. 20 - 22.
14.	Котляров В.В., Мигай И.К. Особенности динамики шатуна современных двигателей И Двигателестроение. 1980. №11. С. 26-28.
15.	Ваншейдт В.А. Конструирование и расчеты прочности судовых дизелей. Л.: Судостроение, 1969. 639 с.
16.	Васильев Ю.Н. Новое в конструкции судовых дизелей. Л.: Судостроение, 1972. 272 с.
17.	Гальговский В.Р., Долецкий В.А., Малков Б.М. Развитие нормативов ЕЭК ООН по экологии и формирование высокоэффективного транспортного двигателя. Ярославль: Изд-во ЯГТУ. 1995. 171 с.
18.	ГОСТ 26046-83. Установки судовые. Общие требования к испытаниям на крутильные колебания.
19.	Григорьев Е.А. Статистическая динамика поршневых двигателей. М.: Машиностроение, 1978. 104 с.
20.	Двигатели армейских машин. Ч. 2: Конструкция и расчет / П.М. Белов, В.Р. Бурячко, К.К. Константинов, В.А. Коровин. М.: Воениздат, 1972. 568 с.
21.	Двигатели внутреннего сгорания: Конструирование и расчет на прочность поршневых и комбинированных двигателей / Д.Н. Вырубов, С.И. Ефимов, Н.А. Иващенко и др.; Под ред. А.С. Орлина, М.Г. Круглова. М.: Машиностроение, 1984. 384 с.
22.	Двигатели внутреннего сгорания: Теория поршневых и комбинированных двигателей / Д.Н. Вырубов, Н.А. Иващенко, В.И. Ивин и др.; Под ред. А.С. Орлина, М.Г. Круглова. М.: Машиностроение, 1983. 372 с.
23.	Ден-Гартог Дж.П. Теория колебаний. М. Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1942. 464 с.
24.	Дизели: Справочник / Б.П. Байков, В.А. Ваншейдт, И.П. Воронов и др.; Под ред. В.А. Ваншейдта, Н.Н. Иванченко, Л.К. Коллерова. Л.: Машиностроение, 1977. 480 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
455
25.	Дизели: Справочное пособие конструктора / Н.А. Андреевский, С.М. Баранов, В.А. Ваншейдт и др.; Под ред. В.А. Ван-шейдта. М. Л.: Машгиз, 1957. 442 с.
26.	Дурыманов Б.А., Больжатова З.А. Способы естественного уравновешивания двигателей И Двигателестроение. 1987. №7. С. 14-16.
27.	Дьяконов В.П. Справочник по расчету на микрокалькуляторах. М.: Наука, 1985. 224 с.
28.	Елецкий А.И. Упругий прогиб коленчатого вала: Дис. ... канд техн. наук. М.: Главк, ред. машиностр. и автотракт, лит., 1938. 146 с.
29.	Заявка 19706947 Германия, МПК6 F16F 15/26. Vorrichtung zum Ausgleich von Massenkraften und Wechseldrehmomenten um eine Langsachse von Hubkoldenbrennkraftmaschinen.
30.	Заявка 3420529 ФРГ, МКИ F01B 3/02, F04B 27/08, F02B 75/26. Axialkolbenmaschine mit variablen Hub.
31.	Заявка ЕПВ EP 1170482, МПК6 F02B 75/04. См. также: Jante A. Kraftstoffverbrauchssenkuhg durch kinematische Mittel // Automobile Industrie. 1980. № I. S. 61 -65.
* 32. Иванов А.И., Рогачев B.M., Скуридин A.A. Об определении критериев вибрационного состояния двигателей // Двигателестроение. 1989. № 4. С. 30, 31.
33.	Ивович В.А. Переходные матрицы в динамике упругих систем: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 183 с.
34.	Изменение конструкции ДВС с целью снижения динамических нагрузок на детали остова / А.А. Висленко, А.И. Макаренков, М.А. Погорилицер И Современные проблемы кинематики и динамики ДВС: Тез. докл. Всесоюзн. науч.-техн. конф. Волгоград, 1985. С. 87-90.
35.	Истомин П.А. Динамика судовых двигателей внутреннего сгорания. Л.: Судостроение, 1966. 280 с.
36.	Истомин П.А. Кинематика и динамика поршневых ДВС с комбинированными схемами. Л.: Судпромгиз, 1961.304 с.
456
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
37.	Истомин П.А. Крутильные колебания в судовых ДВС. Л.: Судостроение, 1968. 304 с.
38.	Истомин П.А., Минасян М.А. Динамические модели кривошипно-шатунных механизмов и их деталей И Двигателе-строение. 1984. № 9. С. 20 - 24.
39.	Истомин П.А., Сорочкин М.М. Дополнительные возмущения на моторных массах, вызванные изменением момента инерции КШМ И Двигателестроение. 1980. № 10. С. 22 - 25.
40.	Истомин П.А., Яманин А.И. Принципы классификации приводных механизмов двигателей барабанного типа // Двигателестроение. 1980. № 2. С. 49 - 50.
41.	Кенсман Л.Т. Математическая модель крутильно-колебательной системы поршневого двигателя с учетом нелинейного демпфирования и возбуждения: Дис. ... канд. техн наук. Ярославль: Яросл. гос. техн, ун-т, 2000. 189 с.
42.	Кенсман Л.Т., Желтяков В.Т. Методы моделирования колебательного процесса и трения в двигателе. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 1999. 51 с.
43.	Кинематический анализ равномерности хода сферических механизмов с дуговым движением качающейся шайбы в двигателях барабанного типа / А.И. Яманин; Яросл. политехи, ин-т. Ярославль, 1987. 10 с. Деп. в ЦНИИТЭИАвтопром 17.11.1987, № 1622-ап87.
44.	Кожевников С.Н., Есипенко Я.И., Раскин Я.М. Механизмы: Справочник. М.: Машиностроение, 1976. 784 с.
45.	Конструирование и расчет двигателей внутреннего сгорания / Н.Х. Дьяченко, Б.А. Харитонов, В.М. Петров и др.; Под ред. Н.Х. Дьяченко. Л.: Машиностроение, 1979. 392 с.
46.	Котляров В.В. Новая приближенная динамическая модель шатуна для многорядных двигателей И Двигателестроение. 1985. №2. С. 12-14.
47.	Крутильные колебания валопроводов судовых установок / В.В. Алексеев, Г.И. Бухарина, К.Н. Пахомов, В.П. Терских // Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. Л.: Судостроение, 1970. Вып. 257. С. 36-40.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
457
с	48. Крюков В.В. Способы уравновешивания поршневых двигателей // Двигателестроение. 1983. № 3. С. 45 - 47.
49.	Кутенев В.Ф., Зленко М.А., Тер-Мкртичьян Г.Г. Управление движением поршней - неиспользованный резерв улучшения мощностных и экономических показателей дизеля // Автомобильная промышленность. 1998. № 11. С. 25 - 29.
50.	Кутенев В.Ф., Тер-Мкртичьян Г.Г., Исавнин Г.С. Особенности кинематики и динамики траверсно-балансирных двигателей И Исследование, конструирование и расчет тепловых двигателей внутреннего сгорания: Сб. научн. тр. / НАМИ. 1993. С. 46 - 74.
51.	Кутенев В.Ф., Яманин А.И. Зленко М.А., Романчев Ю.А. Задачи в области численного исследования динамики и прочности аксиально-поршневых двигателей // Проблемы конструкции двигателей: Сб. научн. тр. / НАМИ. 1998. С. 97 - 106.
52.	Кутенев В.Ф., Яманин А.И. Расчет и проектирование аксиально-поршневых двигателей. Ч. 2. Кинематика аксиальнопоршневых двигателей: Учебное пособие / Моск. гос. акад, автомоб. и тракт, маш. Яросл. гос. техн. ун-т. М. - Ярославль, 1996. 117с.
53.	Кутенев В.Ф., Яманин А.И. Расчет и проектирование аксиально-поршневых двигателей. Ч. 3. Идентификация динамических параметров сферических механизмов: Учебное пособие / Моск. гос. акад, автомоб. и тракт, маш. Яросл. гос. техн. ун-т. М. - Ярославль, 1996. 72 с.
54.	Кутенев В.Ф., Яманин А.И. Расчет и проектирование аксиально-поршневых двигателей. Ч. 5. Уравновешивание аксиальнопоршневых двигателей: Учебное пособие / Моск. гос. акад, автомоб. и тракт, маш. Яросл. гос. техн. ун-т. М. - Ярославль, 1996. 89 с.
55.	Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1979. 576 с.
56.	Ливенцев Ф.Л. Двигатели со сложными кинематическими схемами: Кинематика, динамика и уравновешивание. Л.: Машиностроение, 1973. 174 с.
458
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
57.	Ляпунов В.Т., Лавендел Э.Э., Шляпочников С.А. Резиновые виброизоляторы: Справочник. Л.: Судостроение, 1988. 216с.
58.	Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. М.: Мир, 1982. 304 с.
59.	Масленников М.М., Рапипорт М.С. Авиационные поршневые двигатели. М.: Оборонгиз, 1951.847 с.
60.	Маслов Г.С. Расчеты колебаний валов: Справочник. М.: Машиностроение, 1980. 151 с.
61.	Маслов И.В. Низкочастотная вибрация остова судового среднеоборотного дизеля, установленного на упругом фундаменте: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Л.: ЛКИ, 1983. 20 с.
62.	Машинно-ориентированные методы расчета комбинированных двигателей / Б.И. Иванченко, В.И. Каплан, К.Б. Цырето-ров и др. М.: Машиностроение, 1978. 186 с.
63.	Методика и алгоритм расчета силиконового демпфера крутильных колебаний / А.Н. Гоц, В.Ф. Дрозденко, Э.М. Жарнов, Р.П. Доброгаев // Двигателестроение. 1987. № 3. С. 12-15.
64.	Механика машин / И.И. Вульфсон, М.Л. Ерихов, М.З. Ко-ловский и др.; Под ред. Г.А. Смирнова. М.: Высшая школа, 1996. 511с.
65.	Милев Ю.М. Вибрация шатуна высокооборотного двигателя внутреннего сгорания: Автореф. дис. ... канд. техн наук. Л.: ЛКИ, 1990. 20 с.
66.	Минасян М.А. Опыт практического использования спирального тросового виброизолятора в судовых условиях И Двигателестроение. 1996. С. 35 - 37.
67.	Минасян М.А. Эффективность вибрационной защиты судовых дизель-генераторных агрегатов, смонтированных на спиральных тросовых виброизоляторах // Двигателестроение. 1999. №4. С. 11 - 14.
68.	Мотор «Нэпир-сейбр»//Техника воздушного флота. 1944. №5-6. С.32.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
459
69.	Найденко О.К. Динамика корабельных энергетических установок с двигателями внутреннего сгорания. Л.: Воен.-морск. акад., 1974. 538 с.
70.	Натанзон В.Я. Кинематика и динамика бескривошипного двигателя // Труды Центральн. ин-т авиац. моторостроения им. П.И. Баранова. М., 1934. Вып. 9. С. 79- 101.
71.	Орлов П.И. Основы конструирования. Кн. 2. М.: Машиностроение, 1972. 525 с.
72.	ОСТ 24.060.12-72. Нормы и методы контроля шума дизелей и газовых двигателей.
73.	Пат. 4417443 США, МКИ F02G 1/04. Multi-zylinder, double-acting hot gas engine.
74.	Попык К.Г. Динамика автомобильных и тракторных двигателей. М.: Высшая школа, 1970. 326 с.
75.	Разлейцев Н.Ф. Моделирование и оптимизация процесса сгорания в дизелях. Харьков: Вища школа, 1980. 169 с.
76.	Расчет параметров крутильных колебаний коленчатого вала аксиально-поршневого двигателя / В.Ф. Кутенев, А.И. Яманин, М.А. Зленко и др. // Проблемы конструкции двигателя: Сб. научн. тр. / НАМИ. М., 1998. С. 149 - 161.
77.	Расчетная оценка напряженно-деформированного состояния остова аксиально-поршневого двигателя / В.Ф. Кутенев, А.И. Яманин, М.А. Зленко, И.К. Нечаев, Ю.А. Романчев // Проблемы конструкции двигателей: Сб. научн. тр. / НАМИ. 1998. С. 177-187.
78.	Ридер Г., Хупер Ч. Двигатели Стирлинга. М.: Мир, 1986. 464 с.
79.	Румб В.К. Исследование связанных колебаний коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания: Автореф. дис. ... канд. техн наук. Л.: ЦНИДИ, 1978. 22 с.
80.	Семенов Б.Н., Павлов Е.П., Концев В.П. Рабочий процесс высокооборотных дизелей малой мощности. Л.: Машиностроение, 1990. 240 с.
460
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
81.	Семенов М.В. Уравновешивание механизмов авиационных моторов. Л.: ЛКВВИА, 1947. 122 с.
82.	Скобцов Е.А., Изотов А.Д., Тузов Л.В. Методы снижения вибраций и шума дизелей. М. - Л.: Машгиз, 1962. 192 с.
83.	Скорчев Н.С. Исследование продольных колебаний валопроводов судовых дизельных установок и возбуждение их крутильными колебаниями: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Л.: ЛКИ, 1972. 19 с.
84.	Стоянов В.С. Исследование осевой податливости коленчатых валов и анализ сил, возбуждающих продольные колебания валопроводов судовых дизельных установок: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Л.: ЛКИ, 1970. 19 с.
85.	Судовые малооборотные дизели с турбонаддувом / Под ред. Н.Н. Иванченко. Л.: Судостроение, 1967. 306 с.
86.	Судовые установки с двигателями внутреннего сгорания / В.А. Ваншейдт, П.А. Гордеев, Б.А. Захаренко и др. Л.: Судостроение, 1978. 368 с.
87.	Тадж-Эльсир Х.Х. Разработка метода повышения достоверности расчета крутильных колебаний коленчатого вала двигателя: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Волгоград: Волгогр. гос. техн, ун-т, 1993. 19 с.
88.	Терских В.П. Крутильные колебания валопроводов силовых установок. Т. 1 -3. Л.: Судостроение, 1971.
89.	Тольский В.Е. Виброакустика автомобиля. М.: Машиностроение, 1988. 104 с.
90.	Тузов Л.В., Скориков Ю.Т. Динамическая модель кривошипно-шатунного механизма с учетом зазоров И Двигателестроение. 1987. № 3. С. 14-15.
91.	Фаворин М.В. Моменты инерции тел: Справочник. М.: Машиностроение, 1977. 511 с.
92.	Хафнер К.Е. Влияние возвратно-поступательно движущихся масс кривошипно-шатунного механизма на крутильные колебания коленчатых валов. В кн.: Форсированные дизели: Докл. на XI Междунар. конгр. по двигателям (СИМАК). М.: Машиностроение, 1978. С. 33 -53.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
461
> 93. Хронин Д.В. Колебания в двигателях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. 296 с.
94.	Чистяков В.К. Динамика двигателя с внешним подводом тепла с ромбическим механизмом: Учебное пособие // МВТУ им. Н.Э. Баумана. М., 1978. 71 с.
95.	Чистяков В.К. Динамика поршневых и комбинированных двигателей внутреннего сгорания. М.: Машиностроение, 1990. 276 с.
96.	Чистяков В.К., Песоцкий Ю.С. Методика расчета действительных амплитуд вынужденных резонансных колебаний коленчатого вала//Двигателестроение. 1985. № 3. С. 13-16.
97.	Чистяков В.К., Песоцкий Ю.С. Рассеяние энергии в материале коленчатого вала при взаимосвязаных колебаниях И Известия ВУЗов. Машиностроение. 1981. № 9. С. 83 - 86.
98.	Шатров М.Г. Методические указания к расчету крутильных колебаний коленчатого вала двигателей внутреннего сгорания с использованием ЭВМ по курсу «Конструкция и расчет ДВС» / МАДИ. М., 1981.36 с.
99.	Яманин А.И. Анализ уравновешенности 2-вальных Н-образных транспортных двигателей // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1990. №9. С. 59-63.
100.	Яманин А.И. Исследование уравновешенности двигателей барабанного типа. Пакет прикладных программ YPABH // Двигателестроение. 1991. № 7. С. 9 - 11.
101.	Яманин А.И. Математическая модель крутильной системы барабанного двигателя И Известия ВУЗов. Машиностроение. 1988. №4. С. 83 -88.
102.	Яманин А.И. Расчет на ЭВМ кинематики рычажного механизма, регулирующего степень сжатия двигателя / Яросл. политехи. ин-т. Ярославль, 1987. 39 с. Деп. в НИИНАвтопром 5.02.87, № 1484-ап87.
103.	Яманин А.И. Система сил инерции и динамическая модель бесшатунного силового механизма И Двигателестроение. 1987. №6. С. 11-14.
462
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
104.	Яманин А.И. Сравнительная оценка виброактивности поршневой машины, реализующей циклы Дизеля и Стирлинга // Двигатели внутреннего сгорания: Межвуз. сб. научн. тр. / Яросл. политехи, ин-т. Ярославль, 1985. С. 138 - 141.
105.	Яровой В.Н. О законах движения поршня в сферических механизмах с дуговым движением качающейся шайбы И Известия ВУЗов. Машиностроение. 1960. № 9. С. 62 - 73.
106.	Яровой В.Н. О законах движения поршня в сферических механизмах с равномерным движением качающейся шайбы // Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1960. № 2. С. 144 - 156.
107.	Draminsky Р. Crankshaft damping // Proc / Inst, of Meeh. Engineers: Appl. Meeh. 1948. Vol. 159.
108.	Ederer U.G. Lager fur hohe Belastungen in Zweitakt- und Fiertakt-Dieselmotoren // MTZ. 1983. 44. № 11. S. 443 - 448, 450.
109.	Einflusse von Anbauteilen auf die dynamischen KenngroBen von Motorblocken / J. Affenzeller, H.H. Priebech, G. Rainer I I MTZ. 1984. 45. № 1. S. 5 - 9.
110.	Federn K., Broede J. Experimented Analyse der Drehschwingungen von Kolbenmaschinen П MTZ. 1982. 43. № 11. S. 525 - 529.
111.	Flierl R., JoolJ R. Ausgleichswellensystem fur den BMW-Vierzylindermotor mit neuen 316i und 318i II MTZ. 1999. 60. № 5. S. 334-339.
112.	Hafner K.E., Maa В H. Torsionschwingungen in der Verbrennungskraftmaschine. Vien, New-York: Springer-Verlag, 1984. S. 500.
113.	Holzer H. Die Berechnung der Drehschwingungen und ihre Anwendung im Maschinenbau. Berlin: Springer, 1921. S. 389.
114.	K48E-a 48 cylinder high speed horisontal two stroke engine from China // Mot. Ship. 1983. 63. No. 751. P. 28 - 30.
115.	Lindquist H. Balancing the first order external moments of MAN - B&W four cylinder low speed engines I I Mot. Ship. 1983. 64. № 755. P. 47-49,51,755.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
463
116.	SAETechn. Pap. Ser. 1991. № 911772. P. 1 -7.
117.	Shannon LE. Damping influences in torsional oscillation // Proc. Inst. Meeh. Enginners: AppL Meeh. 1935. Vol. 131. P. 387-492.
118.	Sivers R., Pilgrim R. Schwingugstechnisch-akustische MaBnahmen bei der Entwicklung des Porsche'944 - Motors // ATZ. 1983. 83. № 11. S. 583 - 586, 589 - 590.
119.	Tolle F. Regelung der Kraftmaschinen. Berlin: Springer, 1921. S.243.
120.	Welch W.A., Booker J.F. Dynamic analysis of engine bearing systems I I SAE Techn. Pap. Ser. 1983. № 830065. P. 9.
121.	Zoul V. Vliv nevyrovnaneho buxeni jednotlivych valcfi naftoveho motoru na torzni kmitani soustroji // Strojirenstvi. 1983. 33. №6-7. S. 333 -337.
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Яманин Александр Иванович, Жаров Александр Викторович
ДИНАМИКА ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Лицензия ИД № 05672 от 22.08.01
Редактор О. Н. Забузов
Художественный редактор Т.Н. Погорелова
Корректор К. М. Корепанова
Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова
Сдано в набор 11.02.03. Подписано в печать 28.04.03. Формат 60x88 1/16
Бумага офсетная. Гарнитура Times Roman. Печать офсетная
Усл. печ. л. 28,42. Уч.-изд. л. 29,21.
Тираж 1000 экз. Заказ 8013
Ордена Трудового Красного Знамени ФГУП “Издательство "Машиностроение”, 107076, Москва, Стромынский пер., 4
Оригинал-макет подготовлен в издательско-полиграфическом центре Тамбовского государственного технического университета
Отпечатано в ГУП ППП "Типография Наука" РАН, 121099, Москва, Шубинский пер., 6