marpl_1

Похожие
Цифровой спектральный анализ и его приложения
История развития теории спектрального оценивания. Статьи. ТИИЭР, том 70, 1982 №9
Цифровая обработка сигналов
Текст
                    Глава 1
ВВЕДЕНИЕ

Спектральный анализ — это один из методов обработки сигна-
лов, который позволяет охарактеризовать частотный состав из-
меряемого сигнала. Преобразование Фурье является математи-
ческой основой, которая связывает временной или пространст-
венный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его
представлением в частотной области. Методы статистики игра-
ют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы,
как правило, имеют шумовой или случайный характер. Если
бы основные статистические характеристики сигнала были изве-
стны точно или же их можно было бы без ошибки определить
на конечном интервале этого сигнала, то спектральный анализ
представлял бы собой отрасль точной науки. Однако в дейст-
вительности по одному-единственному отрезку сигнала можно
получить только некоторую оценку его спектра. Поэтому прак-
тика спектрального анализа после 1880-х гг, постепенно стала
превращаться в некое ремесло достаточно субъективного харак-
тера, которое наряду с использованием научного подхода тре-
бовало также определенного уровня эмпирического искусства.

Трудность задачи спектрального оценивания иллюстрирует-
ся рис. 1.1, на котором показаны две типичные спектральные
оценки, полученные в результате обработки одной и той же ко-
нечной выборочной последовательности с помощью двух раз-
личных методов спектрального оценивания. Оба графика на
этом рисунке характеризуют распределение интенсивности сиг-
нала по частоте. Точное значение термина «интенсивность» сиг-
нала, выраженное в единицах энергии или в единицах энергии
на единицу времени (мощности), будет дано в гл. 2 и 4. Еди-
ницы измерения частоты, принятые в данной книге, — это гер-
цы для временных сигналов и циклы на метр (волновое число)
для пространственных сигналов. Интенсивность сигнала P(/j
на частоте f обычно выражается в децибелах относительно мак-
симальной спектральной интенсивности РМакс для всех частот и
вычисляется в соответствии с выражением 101g[P(f)/Рмакс] 
Следовательно, максимальной интенсивности соответствует уро-
Рис. 1.1. Две различные спектральные оценки, полученные по)дной и той же

совокупности измеренных данных.

вень 0 дБ» Значительное различие между двумя нейтральны-
ми оценками, приведенными на рис. 1.1, можн» объяснить
различием допущений, принятых относительно даных, а также
способом усреднения, использованного для учета сатистическо-
го влияния шума, присутствующего в анализируе!ых данных.
В ситуации, когда априори характеристики сигна1а не извест-
ны, трудно сказать, какая из двух приведении спектраль-
ных характеристик с большей достоверностью из>бражает ис-
тинный спектр анализируемого сигнала. На п&вый взгляд
оценка на рис. 1.1,6 имеет более высокое разрешеме, чем оцен-
ка на рис. 1.1, а, однако это может быть обусловлено каким-то
ухищрением при обработке, использованным дл получения
оценки, представленной на рис. 1.1,6, а не дейстнтельным на-
личием тонких деталей, которые существуют в >том спектре.
Такого рода неопределенности, очень часто воаикающие на
практике, иллюстрируют субъективный характер спектрально-
го анализа.

Классические методы спектрального оценив ния обстоя-
тельно изложены в различных учебных руководсвах, к числу
наилучших из которых следует, по всей видимости отнести кни-
ги Блэкмана и Тьюки [6] и Дженкинса и Ватта [14]. После
публикации этих и близких по тематике книг стл расти инте-
рес к альтернативным методам спектрального огенивания, об-
ладающим лучшими характеристиками при [спользовании
последовательностей данных ограниченной длине, с которыми
очень часто приходится иметь дело на практике В частности,
стали появляться новые методы спектрального аенивания, ко-
торые имеют очевидное преимущество по частотюму разреше-
нию по сравнению с классическим спектральным оцениванием.
Например, для изучения характеристик внутриимпульсной мо-
дуляции в радиолокаторах в пределах длительности очень ко-
роткого радиолокационного импульса можно осуществить лишь
несколько временных отсчетов. В случае гидролокатора можно
сделать большее число подобных отсчетов, но движение цели
заставляет ограничиваться короткими интервалами наблюде-
ния, с тем чтобы гарантировать неизменность статистик цели
иа интервале анализа. В данной книге основное внимание уде-
лено новым, или «современным», методам спектрального оце-
нивания, которые были разработаны в течение примерно
15 последних лет. В этом смысле книга как бы дополняет ма-
териал по классическим методам спектрального оценивания,
содержащийся в ранее вышедших книгах. Все описанные в ней
методы предполагают использование выборочных цифровых дан-
ных, что отличает ее от некоторых ранее опубликованных учеб-
ников, в которых рассматриваются только непрерывные дан-
ные.

Цель каждой главы этой книги — обеспечить читателю по-
нимание тех* допущений, которые положены в основу того или
иного метода или методов. В начале каждой главы дается крат-
кое описание метода (или методов), которому посвящена эта
глава, что позволяет читателю быстро реализовать соответст-
вующую спектральную оценку, не обращаясь к более тонким
теоретическим вопросам, излагаемым в данной главе. Приво-
дится также ряд полезных рекомендаций практического харак-
тера, но никаких попыток сравнительной классификации опи-
сываемых методов спектрального оценивания в книге не дела-
ется. В книге помещен целый ряд машинных программ спект-
рального оценивания; пользователю следовало бы, вероятно,
опробовать некоторые из них на своих экспериментальных дан-
ных, что позволило бы составить более глубокое представление
об измеряемом процессе по каким-либо конкретным особеннос-
тям, общим для всех выбранных оценок. Для обеспечения общ-
ности изложение материала ведется применительно к комп-
лекснозначным сигналам, поскольку использование таких сиг-
налов становится общепринятой практикой в системах цифро-
вой обработки сигналов. В приложении 2.Б описаны два типич-
ных источника комплекснозначных сигналов.

Высветить перспективу развития спектрального анализа
можно, обратившись к его историческим корням. Дальнейшее
представление о путях его становления можно получить, рас-
сматривая некоторые конкретные вопросы спектрального оце-
нивания. Обеим этим темам посвящены остальные разделы
этой главы. Завершает главу краткий подраздел, где даны ре-
комендации относительно пользования материалом данной
книги.
1.1. Историческая перспектива

С древнейших времен у людей возникло представление <цик
лических, или повторяющихся, процессах, т. е. иными слсамг
сформировались те фундаментальные понятия, которые эжа1
в основе современных методов спектрального оценивани Бе
выполнения точного математического анализа древние цшлг
зации не смогли бы составлять календари и измерять вр«я ш
результатам своих наблюдений периодичностей в длителюст
суток и года, сезонных изменений, фаз Луны и движени дру-
гих небесных тел, таких как планеты. В VI веке до наш< эр!
Пифагор установил соотношение между периодичностьюшсп
синусоидальных колебаний, соответствующих музыкальнь зву-
кам, порождаемым струной постоянного натяжения, и ч?ло\
характеризующим длину этой струны. Пифагор счита. чв
сущность гармонии выражается в числах. Он распросанга
это эмпирическое соотношение на описание гармоничжоа
движения небесных тел, описав его как «музыку сфер».

Математические основы современных методов спектраьноо
оценивания берут свое начало в XVII веке в работах Ьаан
Ньютона, который в результате наблюдений установи, чэ
солнечный свет, прошедший через стеклянную призму, азл-
гается на многоцветную полосу, что каждому цвету сосветс-
вует своя длина волны и что белый солнечный свет со,ржи
все длины волн. Именно Ньютон был первым, кто прихнилв
1671 г. слово spectrum («спектр») [21] в качестве нгчноо
термина, для описания полосы цветов солнечного свег. Эо
слово является вариантом латинского слова specter, оачаг-
щего «образ» или «признак». Прилагательное от spectru им>
ет форму spectral («спектральный»). Следовательно, п]дпа-
тительнее употреблять термин spectral estimation («спе:рал-
ное оценивание)», а не термин spectrum estimation («oihhbi-
ние спектра»). В своих «Принципах» [22] Ньютон дал ^рвуэ
математическую трактовку периодичности волнового двкени,
которое экспериментально наблюдал Пифагор.

Решение волнового уравнения для колеблющейся музь
кальной струны было получено в 1738 г. Даниилом Биул.и
[5], который исследовал общее решение для смещения (х,')
струны в точке х в момент времени t (концевым точка стра-
ны соответствуют х = 0 и х = л). Это общее решение имт вд

w(x, /)= 2 sin&x(Xftcos£c/ + Sftsin&7), (11)

k-1

где с — физическая количественная характеристика мариага
струны, определяющая скорость бегущих по струне воя.
В 1755 г. Леонард Эйлер [10] показал, что коэффициенты At
и Вк ряда, определяемого выражением (1.1) и впоследствии
названного рядом Фурье, являются решениями следующих
уравнений:

2 Рл

= - ц(х, 0)sin£xdx,
2 р«	<1-2)

Bk — — \и(х, tycoskxdx.

В 1822 г. французский инженер Жан Батист Жозеф Фурье в
своей диссертации «Аналитическая теория тепла» [11] обоб-
щил результаты, полученные для волнового уравнения, пока-
зав, что любую произвольную функцию и(х), даже обладающую
конечным числом разрывов, можно представить в виде беско-
нечной суммы синусных и косинусных членов

ц(х) = 2 (AAcosfcax-r Bftsinfcax).	(1.3)

k= i

Раздел математики, устанавливающий соотношение между
функцией ц(х) (или ее отсчетами) и коэффициентами А* и Bk,
стали называть гармоническим анализом вследствие связи
функции с синусными и косинусными членами этой суммы.

Начиная с середины XIX века на основе гармонического
анализа были разработаны практические методы изучения та-
ких феноменологических данных, как звук, погода, активность
солнечных пятен, девиация магнитного компаса, течения рек и
изменения высоты приливов. Во многих из этих явлений основ-
ной период был либо замаскирован шумом из-за погрешностей
измерений, либо был необнаружим визуально. Кроме того, не-
редко присутствовали вторичные периодические компоненты,
гармонически не связанные с основной периодической компо-
нентой. Все это несколько затрудняло получение оценок раз-
личных периодичностей. Ручное вычисление коэффициентов ря-
да Фурье с помощью прямых расчетов или графических мето-
дов оказалось исключительно трудоемким делом и, как прави-
ло, ограничивалось применением к очень небольшим совокуп-
ностям данных. Для облегчения анализа были разработаны
механические гармонические анализаторы. В основу этих счет-
ных машин были положены механические интеграторы, или
планиметры, поскольку они позволяют определять площадь об-
ласти под кривыми вида «(x)sin^x и u(x)cosAx на интервале
Osgx^n, тем самым обеспечивая расчет коэффициентов ряда
Фурье. Английский физик Уильям Томсон (он же лорд Кель-
вин, именем которого названа абсолютная температурная шка-
ла) создал первый механический гармонический анализатор,
снованный на изобретенном его братом Джеймсом ТомСЪном
шаниметре, обрабатыввшем произведения двух ф'ункцйй, т. е.
вычислявшем величину интеграла Ju(0)0(0)rf0, который
осле некоторых изменяий был приспособлен для вычисления
юсинусных-и синусныхфункций. На рис. 1.2, а и 1.2, д показа-
ы различные варианть практической реализации этого прибо-
ра. Отслеживающий шифт вручную перемещается вдоль гра-
фического изображения анализируемой кривой, а значения ко-
ффициентов считываюся с интегрирующих цилиндров. Один
мтегрирующий цилинд] позволяет рассчитывать коэффициен-
ты только до третьей гамоники. Этот анализатор использовал-
я Британским метеорстогическим ведомством для анализа
оафических записей суточных изменений температуры и ат-
юсферного давления. 1з-за своих размеров и веса этот при-
top, по свидетельству яевидцев тех лет, практически не вн-
осился из помещения, в котором он был первоначально уста-
ювлен. Последующие совершенствования гармонических ана-
лизаторов были осунзствлены О. Хенрики [13] (см. рис.
12,6), А. Шарпом [36J Дж. ГО. Юлом [47] и американскими
(изиками Албертом А. Лайкелъсоном (имя которого стало ши-
рко известным в связис проведенным им измерением скоро-
ди света) и У. Стрэттяом [20]. Отличительная особенность
врмонического анализатора Майкельсона — Стрэттона, в ко-
вром применялись спиальные пружины, состояла в том. что
м мог не только одновеменно обрабатывать 80 гармоник, но
I выполнять роль синтеатора (вычислять обратное преобразо-
вние Фурье), посколы/ позволял суммировать составляющие
]яда Фурье. Майкельса использовал эту счетную машину в
воих оптических исследованиях, за которые вспоследствии был
удостоен Нобелевской ремии. В качестве синтезатора эта ма-
лина позволяла суммирвать интерференционные полосы, соот-
втствующие простым гармоническим кривым, а в качестве
яализатора— разлагай кривую видности на гармонические
оставляющие, характеризуя тем самым распределение интен-
ивности света в наблюдаемом источнике.

Результаты гармониеского анализа, получаемые в то вре-
1Я, иногда использовалсь для синтеза периодического колеба-
мя по гармоническим оставляющим для целей предсказания
т. е. представления поледовательности данных моделью в ви-
£ ряда Фурье). Одно в самых первых подобных применений
вязано с прогнозированием высоты приливов. Используя пря-
1ые ручные вычисление Уильям Томсон выполнил гармониче-
кий анализ записей мреографа в портах Великобритании,
начиная с записей 1866г.; к 1872 г. он разработал машину для
рогноза высоты прилиов, в которой использовались значения
коэффициентов, определемых с помощью его метода гармони-

ческого анализа. Более поздние модификации этой машины (см.
рис. 1.2, г) могли объединять до 10 гармонических составляю-
щих приливной волны, которые с помощью рычажно-шкивного
механизма вводились как функции порта, для которого осуще-
ствлялся прогноз. Устройство Томсона для прогноза высоты
приливов представляло собой достаточно большую машину с
размерами основания 3 на 6 футов (около 0,9 на 1,8 м). При-
мерно за четыре часа работы она вычерчивала кривые высоты
приливов на год вперед для одной морской гавани. Устройство
для прогноза высоты приливов, построенное в 1882 г. Уилья-
мом Феррелом и находящееся сейчас в экспозиции Смитсо-
новского музея в Вашингтоне, фед. окр. Колумбия (США), ис-
пользовалось береговой и геодезической службой США для со-
ставления таблиц высоты приливов в период с 1883 по 1910 г.

И хотя механические гармонические анализаторы и оказа-
лись полезными для оценивания свойств временных рядов с
очевидными периодичностями (плавно изменяющихся времен-
ных последовательностей при наличии слабого шума или при
его полном отсутствии), численные методы гармонического ана-
лиза (подгонка рядов Фурье) все еще требовались для оцени-
вания скрытых периодичностей в сильно зашумленных данных
(описываемых в литературе тех лет как данные с «нерегуляр-
ными флюктуациями») или для оценивания характеристик сиг-
налов с негармоническим соотношением периодов. Из большо-
го числа ученых, которые в своей работе использовали гармо-
нический анализ, наиболее глубокое влияние на формирование
того, что теперь считается классическими методами спектраль-
ного оценивания, оказал А. Шустер [30—32, 34, 35]. Он, в ча-
стности, предложил, чтобы график для квадрата огибающей
Sk = A2k+B2h коэффициентов преобразования Фурье (величина,
впервые введенная Стоксом [38])

lT° u(t)cosktdt,

2	(1*4)

Въ	u(i)smktdt

Л ‘ О J т

Рис. 1.2. Механические гармонические анализаторы и синтезаторы XIX века,
позволявшие вычислять прямое и обратное преобразования Фурье: а — первый
гармонический анализатор Кельвина (1876 г.); б—гармонический анализатор
и синтезатор Майкельсона — Стрэттона (1898 г.); в — гармонический анализа-
тор Хенрики — Коради (1894 г.); г — гармонический анализатор Кельвина для
прогнозирования высоты приливов (около 1890 г); д — первая действующая
модель 7-дискового гармонического анализатора Кельвина, вычислявшая сред-
нее значение и 6 гармоник (1878 г.). (Фотографии любезно предоставлены
Музеем науки, Лондон, Великобритания.)
вычислялся на отрезке из п целых периодов То, где следует
положить k = 2nJT0. (Здесь использованы обозначения Шусте-
ра.) Шустер назвал свой метод — методом периодограмм [31].
Периодограмма могла бы в принципе вычисляться и на неко-
тором континууме периодов (обратных частот), и в своей статье
Шустер указал многочисленные трудности, связанные с вычис-
лением периодограммы, и характерные ее особенности. Изме-
няя начало отсчета времени т, Шустер получал образцы перио-
дограммы с различными нерегулярными изменениями, причем
эти периодограммы иногда содержали ложные пики (Шустер
называл их «случайными периодичностями») там, где в дейст-
вительности никакой периодичности не существовало. Шустер
из своего опыта гармонического анализа оптических спектров
[29, 33] знал, что усреднение значений S&, полученных для раз-
личных отрезков последовательности данных (при фиксирован-
ном периоде То) необходимо для сглаживания периодограммы
(получения «средней периодограммы» в его терминологии)
и устранения ложных пиков. И хотя Шустер установил необ-
ходимость усреднения, практическая его реализация требовала
вычислительных средств, далеко выходящих за рамки имею-
щихся в те годы технических возможностей. Процитируем од-
ну из статей Шустера того времени (см. [31], с. 25):

«Периодограмма в том виде, как она определена уравне-
ниями '[1.4], обнаруживает нерегулярное поведение, а ее
форма зависит также от т. При оптическом анализе света
нам мог бы помочь тот факт, что глаз человека восприни-
мает результат усреднения на некотором большом числе со-
седних периодов, а также результат усреднения (относитель-
но времени) интенсивности излучения на любом отдельном
периоде. ...Если бы мы придерживались этой оптической
аналогии, то нам следовало бы изменять время т ...непре-
рывно и брать среднее значение величины r—yA2~[~B2, по-
лучаемой таким путем для каждого значения k..., но это
потребовало бы почти неприемлемых затрат труда».

Глубокий теоретический анализ статистических основ усредне-
ния был выполнен лишь спустя тридцать лет в работе Н. Вине-
ра, и примерно пятьдесят лет отделяло эти слова Шустера от
практической реализации методов статистического усреднения,
основанных на алгоритмах быстрого преобразования Фурье,
и появления цифровых вычислительных машин, значительно
облегчивших бремя «неприемлемо» больших вычислительных
затрат.

Шустер понимал также, что боковые лепестки (которые он
называл «ложными периодичностями») вокруг главных лепест-
ков в периодограмме являются неотъемлемой особенностью
любого метода анализа Фурье записей данных конечной длины.
Понимание Шустером причин появления боковых лепестков
объяснялось тем, что он мог увидеть здесь аналогию с появле-
нием дифракционных полос в оптическом спектроскопе из-за
ограниченной пространственной апертуры («ограниченной раз-
решающей силы») этого прибора. Шустер отмечал, что многие
исследователи его времени ошибочно утверждали, что все
максимумы в периодограмме обусловлены скрытыми периодич-
ностями, тогда как на самом деле это были просто боковые ле-
пестки, а вовсе не истинные периодичности. Помимо причин по-
явления ложных периодичностей Шустер понимал также и
причины периодограммных оценок в тех случаях, когда интер-
вал измерений не был точно целочисленным кратным анализи-
руемого периода. Многие ученые во времена Шустера полагали,
что спектр белого света можно рассматривать как некоторую
совокупность из очень близких монохроматических спектраль-
ных линий (аналогично спектру белого шума, который тогда
рассматривался как совокупность гармонических частотных со-
ставляющих), но Шустер смог экспериментально показать, что
белому свету соответствует континуум частот. Впоследствии
Винер смог обобщить эту аналогию с белым светом на стоха-
стические процессы типа белого шума.

Шустер применил периодограмму для отыскания скрытых
периодичностей в записях метеорологических наблюдений, за-
писях магнитного склонения и рядах чисел солнечных пятен.
Анализ периодограммы ряда чисел солнечных пятен [35] пред-
ставляет для нас определенный практический интерес, по-
скольку эти числа будут использоваться в данной книге в каче-
стве некоторого «пробного камня» для описываемых методов
спектрального оценивания; (см. следующий подраздел, где да-
на более подробная информация относительно наблюдения и
регистрации солнечных пятен). Шустер выполнил предвари-
тельную обработку среднемесячных значений числа солнечных
пятен за период с 1749 по 1894 г. Периодограммный анализ
позволил дать оценку цикла солнечных пятен, равную
11,125 года. Это число легло в основу того 11-летнего цик-
ла солнечных пятен, которое упоминается в литературе по аст-
рономическим вопросам.

Вообще говоря, периодограмма временного ряда, состояще-
го из синусоиды с частотой /о герц и «наложенных на нее не-
регулярных флюктуаций» (аддитивного шума), должна иметь
пик в точке, соответствующей периоду To = \/fo. Однако многие
исследователи начала нашего столетия считали, что периодо-
граммы, вычисленные по зашумленным данным, будут иметь
значительные погрешности и вообще не будут содержать ка-
ких-либо доминирующих пиков, которые могли бы свидетельст-
Ри< 1.3. Периодограммы белого гаусова шум при различной длине исполь-
зуаой записи данных: (а) N=8; (o}N—32; ₽) JV=128; (г) N = 512. Нетруд-
но шдеть, что с ростом длины запиа данныхпериодограмма не уплощается,
а нчинает все сильнее и сильнее флжтуировгь. (СПМ — спектральная плот-
ность ощности

воать о наличии периодичностей в анализируемых данных.
Причем это считалось справедливым даже тогда, когда длина
заиси данных существенно возраспла. Примеры таких пе-
ри>дограмм показаны на рис. 1.3, из которого видно, что с ис-
по1ьзованием все большего ибольшео числа отсчетов данных
пеиодограмма начинает все :ильнее и сильнее флюктуиро-
ваь. Все это привело к тому,что на есколько десятилетий ин-
теес к периодограммам знач!тельно ослабел, и это, к сожа-
л®ию, в основном можно объяснить лишь тем, что большин-
сто исследователей пренебрегло уреднением, использовать
коорое предлагал Шустер. Суцкий [37] и несколько позднее
Дгньелл [9] независимо устаювили, что флюктуации перио-
дораммы белого шума имею ту жевеличину, что и среднее
знчение самой этой периодооаммы. Эти флуктуации оказыва-
лиь в основном некоррелир!ванныж для соседних частот
(ci. приложение 4.А, где дананализэтого независимо от дли-
нь отрезка временного ряда, доступюго для анализа). Слуц-
кй и Даньелл высказали прдположние, что флюктуации пе-
рюдограммы можно уменышгь посрдством ее усреднения по
соседним частотам. Эта идея лежит в основе одного к мето-
дов сглаживания периодограммы, который описан в гл. I

Спад интереса к периодограммам привел к появлеию су-
щественно отличного метода анализа, который в 1927г. был
предложен английским статистиком Дж. Юлом. Для опекания
одной-двух периодичностей в исследуемых данных Юлприбег
к моделированию временного ряда, основанному на лшейном
регрессионном анализе [48]. Юла интересовала главны! обра-
зом более высокая точность определения основной перюдично-
сти в ряде чисел солнечных пятен и отыскание в нем дополни-
тельных периодичностей. Интуитивно Юл понимал, чи гипо-
теза о «суперпозиции нерегулярных флюктуаций» (аддггивном
шуме) для периодограммы Шустера в случае солнечны: пятен
могла оказаться неверной. Юл считал, что описывать числа
солнечных пятен эффективнее другой моделью временюго ря-
да для этого физического явления, а именно рекурсивнш гар-
моническим процессом, порождаемым некоторым игмовым
процессом, или «возмущениями», как Юл называл от,ельные
отсчеты шума. Используя простое тригонометрическо тож-
дество

sin (kx) = 2 cos (х) sin ([/г — 1] х) — sin ([&—2] х)

с подстановкой x=2nfT, можно записать следующее одн,родное
уравнение в конечных разностях, определяющее изменяие от-
дельной гармоники в дискретном времени:

u(k)— au(k— 1) -р и (k — 2) = 0.

Здесь u(k) = sin(2nffeT) — гармоническая составляющая Т —
интервал отсчетов, f — частота гармоники, a а —2соз(л/Т)—
коэффициент, характеризующий гармонику. Юл предположил,
что если числа солнечных пятен содержат только одн}перио-
дическую составляющую, то последовательность чисел солнеч-
ных пятен могла бы порождаться процессом вида

u(k)~au(k—1) — u(k — 2)-'re(fe),	(1.5)

где e(fe)—некоторое малое случайное импульсное «взмуще-
ние», соответствующее каждому значению временной индек-
са k. Уравнение (1-5) Юл назвал «уравнением гармоыческой
кривой». Таким образом, Юл заложил основу именно ъго, что
впоследствии стало называться параметрическим пододом к
спектральному анализу: иными словами, подходом, пр кото-
ром данные измерений рассматриваются как выход некоторой
модели временного ряда. С помощью метода наименьших
квадратов Юл определил значение параметра а, проаняизнро-
вав для этой цели среднегодовые значения чисел солнечых пя-
тен при удаленном выборочном среднем значении за цриод с
1749 по 1824 г. По его оценке, этотпараметр имел значение
а=1,62374, откуда для Т = 1 год он юлучил оценку периода
цикличности солнечных пятен, равнго l/f = 10,08 лет. Тем не
менее, не удовлетворившись этим реультатом, Юл далее под-
верг числа солнечных пятен фильтрами, используя для этой
цели скользящее среднее на интервал 3 года; повторная оцен-
ка по методу наименьших квадратов на основе этой фильтро-
ванной последовательности дала перюд, равный l/f=ll,43 го-
да. Затем Юл попытался обнаружив в последовательности
чисел солнечных пятен наличие двух ериодичностей, аппрокси-
мируя по методу наименьших квадра-ов исходные данные с
помощью симметричного разностногоуравнения пятого поряд-
ка. Он получил периоды 11,95 и 1,42года на цикл, однако от-
казался от двухпериодной модели, та) как квадратичная ошиб-
ка для этой модели не уменьшилась, ^возросла.

Не удовлетворенный полученными результатами, Юл внима-
тельно проанализировал структуру свего «уравнения гармони-
ческой кривой» и решил обобщить по,ход на основе разностно-
го уравнения и’применить регрессионый анализ по методу
наименьших квадратов к модели вида

u(k)c=b(l)u(k—+	2) + e(fe), (1.6)

где b (1) и b (2) принимают производные значения. Строго
говоря, уравнение (1.6) представляе собой уравнение авто-
регрессии (т. е. регрессии самого насебя), и это был первый
случай, когда авторегрессия по метоу наименьших квадратов
применялась для целей спектральногоанализа. Решением урав-
нения регрессии (1.6) по методу наименьших квадратов явля-
ется затухающая синусоида. Испольуя уравнение (1.6), Юл
нашел, что период затухающей синусмды, составляет 10,60 лет
для нефильтрованной последовательнсти чисел солнечных пя-
тен и 11,164 лет для фильтрованной. И хотя Юл не смог при-
дать затуханию какого-либо физическго смысла (если таковой
и был), он чувствовал, что эти оцени периода были все же
вполне приемлемыми. Уолкер [43] ниже использовал метод
Юла для исследования затухающих сиусоидальных временных
рядов. Нормальное уравнение, возникаощее при анализе по ме-
тоду наименьших квадратов, в честь этих пионеров регресси-
онного моделирования было названо равнением Юла — Уолке-
ра. Интересно заметить, что Уолкер, атакже Олтер [1] предви-
дели возможность эмпирических меъдов спектрального оце-
нивания, позднее предложенного ’ьюки. В своей статье,
опубликованной в 1931 г., Уолкер писл ([43], с. 524):

«Некоторый свет проливается эти» (регрессионным) анали-
зом на использование некоторого яда сериальных коэффи-
циентов корреляции1), т. е. «периодограммы корреляции»,
в качестве замены обычной периодограммы Фурье — Шусте-
ра в тех случаях, когда не возникает вопроса о затухаю-
щих колебаниях».

Методы, использованные Юлом, напоминают еще одну гораз-
до более старую процедуру подгонки данных, применявшуюся
в конце XVIII века бароном де Прони [24]. Прони исследовал
метод аппроксимации с помощью экспоненциальной модели не-
которой совокупности данных, характеризующих соотношение
между давлением и объемом газов, причем в его процедуре ис-
пользовалась точная регрессионная подгонка данных, лучшая
чем в методе наименьших квадратов. Коэффициенты регрессии
использовались в качестве коэффициентов некоторого полино-
ма, корни которого являлись модельными экспонентами. Ам-
плитуда каждой экспоненциальной компоненты отыскивалась в
результате повторого прохода по данным.

1930 год явился поворотным для спектрального анализа:
в этом году Н. Винер опубликовал свою классическую статью
«Обобщенный гармонический анализ» [44J, в которой спект-
ральный анализ трактовался на основе теории случайных про-
цессов и был заложен твердый статистический фундамент.
В этой статье изложен ряд важных результатов, к которым от-
носятся точные статистические определения автокорреляции и
спектральной плотности мощности (СПМ) для стационарных
случайных процессов. Показано, что эти две функции, харак-
теризующие случайный процесс, связаны непрерывным преобра-
зованием Фурье; это соотношение базируется на широко
известной сейчас теореме Винера — Хинчина, названной так в
честь Н. Винера и А. Я- Хинчина, советского математи-
ка, независимо получившего этот результат [17]. Исполь-
зование преобразования Фурье, а не ряда Фурье, применяемого
в традиционном гармоническом анализе, позволило Винеру оп-
ределить спектры в виде некоторого континуума частот, а не в
виде набора частот дискретных гармоник. Белый шум, как было
показано Винером, имеет равномерную спектральную плот-
ность, т. е. содержит равновеликие компоненты на всех часто-
тах. к этому результату он пришел на основе исследования
броуновского движения и шустеровских оптических аналогов.
К другим ранним статистическим подходам к спектральному
анализу относятся работы Бартлетта [2—4] и Кендалла [16].

Уравнение регрессии Юла можно рассматривать как урав-
нение предсказания сигнала по некоторой линейной комбина-
ции предшествующих отсчетов смеси этого сигнала с аддитив-
’> Автокорреляцию иногда называют сериальной корреляцией, (см., например,
[22]). — Прим. ред.
ным шумом, тем самым переходя к так называемой задаче ли-
нейного предсказания. В рамках вероятностного подхода, раз-
работанного Хинчиным и Слуцким, шведский математик.
X. Вольд [45] предложил унифицированную модель на основе
стохастического линейного разностного уравнения для дискрет-
но-временных рядов. Вольд ввел в употребление термины
«скользящее среднее» для моделей временного ряда, перво-
начально описанных Слуцким (который использовал термин
«скользящее суммирование»), и «линейная авторегрессия» для
моделей временного ряда, первоначально описанных Юлом.
Он также первым назвал соотношение между авторегрессион-
ными параметрами и автокорреляционной последовательностью
«уравнением Юла — Уолкера». В своей монографии, вышедшей
в 1938 г., Вольд приводит также очень важную теорему разло-
жения (теорема 7) для стационарного временного ряда, со-
гласно которой любой стационарный случайный процесс можно
записать в виде суммы детерминированной компоненты и одно-
стороннего процесса скользящего среднего, порождаемого белым
шумом. Эта теорема позволила советскому математику
А. Н. Колмогорову [18] сформулировать и решить задачу ли-
нейного предсказания. Вычислять спектр по коэффициентам
авторегрессии было в 1948 г. предложено Бартлеттом ([3],
с. 686), который использовал спектральную плотность мощ-
ности авторегрессии второго порядка. Уравнения, возникающие
в задаче линейного предсказания, и уравнения Юла — Уолке-
ра имеют специальную структуру, которую первым изучал не-
мецкий математик О. Теплиц [41]. Эта структура исследова-
лась Н. Левинсоном, коллегой Н. Винера, который разработал
весьма эффективную вычислительную процедуру решения урав-
нения Юла — Уолкера [19]. Развитие концепции линейного
предсказания применительно к цифровым сейсмическим дан-
ным было предложено группой геофизического анализа (GAG)
Массачусетского технологического института (MIT) в 1950-х гг.
Эта работа и в особенности то, что было сделано Эндерсом Ро-
бинсоном [26], оказали глубокое воздействие на развитие со-
временных цифровых методов спектрального анализа и обра-
ботки сигналов.

Если, скажем, Норберта Винера можно считать пионером
современного теоретического спектрального анализа, то Джона
Тьюки следовало бы назвать пионером современного экспери-
ментального спектрального анализа. В статье, написанной
в 1949 г. в Вудс-Холе, шт. Массачусетс, Тьюки использовал
оценки корреляции, получаемые по конечным временным после-
довательностям, заложив тем самым экспериментальные основы
спектрального анализа. Его процедура включает также соответ-
ствующее планирование эксперимента по сбору данных и ис-
пользование пр1ближенного статистического распределения для
спектральной о.енки. Ставшее уже классическим подробное
описание этой роцедуры было им опубликовано совместно с
Блэкманом в 158 г. [6]. Многие из терминов современного
спектрального аализа, такие как aliasing («наложение»), win-
dowing («обрабтка с помощью окна, или взвешивание»), prew-
hitening («предварительное отбеливание»), tapering («обработ-
ка с помощью (падающего к краям окна»), smoothing («сгла-
живание»), deimation («децимация, или прореживание»)
и т. п., можно сязать с именем Дж. Тьюки.

Последующи существенный вклад в развитие цифровых
методов спектрльного анализа представлял собой весьма эф-
фективные алгоитмы, предназначенные для вычисления дис-
кретного преобрзования Фурье, являющегося версией преобра-
зования Фурье,применимого при цифровой обработке данных.
И хотя разработку алгоритмов быстрого преобразования Фурье
(БПФ) можно :вязать с именами многих исследователей (см.
исторический о1зор Хайдемана и др. [12]), главное внимание
всех работающие в области цифровой обработки было привле-
чено к краткойстатье Джима Кули и Джона Тьюки [8], по-
священной пралине эффективного вычисления преобразования
Фурье. Возможю, именно БПФ более чем какие-либо другие
методы сущестЕННо расширило область применения методов
спектрального аализа как средства обработки сигналов.

Главную пр;чину сегодняшнего интереса к методам спект-
рального оцени;ания, обеспечивающим высокое разрешение при
использовании ременных или пространственных последователь-
ностей ограничнной длины, можно, по всей видимости, связать
с работой Джои Берга [7]. Полученная им спектральная оцен-
ка высокого рарешения, описанная в контексте формального
математическое аппарата метода максимальной энтропии, ста-
ли тем инструментом, который был положен в основу разра-
ботки параметр!ческих, или модельных, подходов к спектраль-
ному оценивание с высоким разрешением. Метод максимальной
энтропии тесносвязан с авторегрессионным спектральным ана-
лизом. Испольэвать авторегрессионные методы спектрального
оценивания неависимо предлагали еще Бартлетт [3] и Пар-
зен [23], но липь после публикации работы Берга был прояв-
лен заметный нтерес к этому методу спектрального оценива-
ния.

Примерно т;к же, как появление БПФ резко повысило эф-
фективность клссических методов спектрального оценивания,
так и разработка быстрых вычислительных алгоритмов про-
должает оказьпать подобное же влияние на более новые мето-
ды спектральное оценивания. Быстрые алгоритмы сделали воз-
можным практяеское осуществление многих методов спект-
рального оценивания в реальном времени. Примерно в течение
последнего десятилетия одну из важных тем исследований со-
ставлял поиск быстрых алгоритмов для подгонки линейных па-
раметрических моделей по методу наименьших квадратов к от-
счетам данных. К числу первых значительных вкладов в эту
область следует отнести рабо-ту сотрудников Стэнфордского
университета Морфа и Кайлата.

Дополнительный материал относительно истории развития
методов спектрального оценивания можно найти в обзорной
статье Робинсона [27].

1.2. Солнечные пятна

Последовательность чисел солнечных пятен вследствие инте-
реса к ним с точки зрения истории развития методов спектраль-
ного оценивания будет неоднократно использоваться в данной
книге в качестве некоего «пробного камня» для описываемых в
ней методов спектрального оценивания. В связи с этим уместно
кратко упомянуть об источниках сведений о них. Солнечные пят-
на наблюдаются невооруженным глазом начиная примерно с
300 г. нашей эры, о чем могут свидетельствовать упоминания о
них в старых китайских летописях той эпохи. Наблюдения
солнечных пятен с помощью оптических телескопов ведутся в
Европе начиная с 1610 г. нашей эры. Систематические наблю-
дения солнечных пятен в том виде, как они ведутся сегодня,
начались в 1835 г. В 1843 г. Гофрат Генрих Швабе обнаружил
циклическую закономерность смены минимумов и'максимумов
числа пятен на поверхности Солнца.

Для количественной оценки результатов наблюдений Ру-
дольф Вольф ввел в 1848 г. относительное число пятен R в ка-
честве меры активности солнечных пятен, с помощью которого
он хотел учесть тот факт, что солнечные пятна имеют тенден-
цию появляться группами. Определение числа R производится
по результатам ежесуточных наблюдений, полученных ручным
способом. По сути дела, для этой цели используются два раз-
личных измерения. В первом из них подсчитывается общее чис-
ло s отдельных солнечных пятен независимо от их размера, во
втором подсчитывается число групп солнечных пятен g. Перво-
начально в качестве относительного числа солнечных пятен
Вольф просто использовал взвешенную сумму /? = 10g-}“5, ПР°‘
извольно выбранные веса слагаемых которой отражали отно-
сительную важность нового пятна. Повышение активности сол-
нечных пятен наблюдалось в тех случаях, когда новое пятно
появлялось в области, где раньше не было солнечных пятен
(таким образом формировалась группа), а не в области, где до
этого уже существовала группа пятен. Заметим, что размер
площади отдельных пятен не определялся, а это могло бы, по
всей видимости, дать более чувствительную меру, но это объ-
яснялось ограниченными измерительными возможностями во
времена Вольфа. Впоследствии анализ показал, что среднего-
довые значения числа почти линейно связаны со среднегодо-
выми значениями площадей солнечных пятен.

Так как для получения одного среднесуточного значения от-
носительного числа солнечных пятен обычно используется от 10
до 50 наблюдателей, должна вводиться поправка на тип при-
меняемых наблюдательных приборов (например, на степень
увеличения), их географическое расположение, местные усло-
вия (например, на типичные атмосферные и погодные условия)
и на самих наблюдателей (т. е. на применяемые ими методы
подсчета и их индивидуальные особенности). Таким образом,
получаемое каждым наблюдателем значение числа R опреде-
ляется в соответствии с выражением R = k(10g-[-s), где k —
масштабирующий коэффициент, учитывающий особенности рас-
положения данного наблюдателя и используемых им приборов.
Для наблюдательных приборов Вольфа и их расположения
Л = 1. Нетрудно видеть, что относительные числа солнечных пя-
тен носят несколько субъективный характер, поскольку коэф-
фициент k представляет собой переменную величину, значение
которой должно эмпирически определяться для каждого наблю-
дателя. К тому же среднесуточное значение числа R является
некоторой функцией числа действительно используемых наблю-
дателей. Кроме того, погодные условия и дни, «забракован-
ные» наблюдателями, также могут привести к флюктуациям
среднесуточных значений числа солнечных пятен.

К своим наблюдениям Вольф приступил в 1848 г., но снача-
ла он проанализировал архивные записи, с тем чтобы получить
оценки относительного числа солнечных пятен на период време-
ни до 1848 г. [46]. В настоящее время мы располагаем ежесу-
точными записями числа солнечных пятен начиная с 1818 г.,
оценками среднемесячных и среднегодовых значений относи-
тельного числа солнечных пятен, вычисленными соответственно
начиная с 1749 по 1700 г., и записями (эпохами) максимумов и
минимумов активности солнечных пятен, которые отмечаются
в наблюдениях начиная с 1610 г. Заметим, что при анализе
архивных записей Вольф руководствовался допущением о
11,1-летнем цикле активности солнечных пятен. Современные
исследования позволяют дать оценку среднегодовых значений-
числа солнечных пятен до 1500 г. нашей эры и основаны на
анализе корреляции активности солнечных пятен с земными ме-
теорологическими данными, климатическими изменениями, дан-
ными радиоуглеродной'хронологии и дендрохронологии (изуче-
нием годовых колец деревьев),-а также с результатами палео-
200 --------Г

1700	1710	1720	1730	1740	1750	1760	170	1760	1790	1800

Год

1800	1610	1020	1830	1840	1850	I860	3 70	1880	1890	1900

Год

1900	1910	1920	1930	1940	1950	I960	’70	1980	1990	2000

Год

Рис. 1.4. График, характеризующий изменение среднегцовых значений относи-
тельного числа солнечных пятен начинаяс 1700 г.

магнитных исследований [28]. Обнаружено,например, что ва-
риации среднегодовых температур и среднеодовых магнитных
склонений имеют примерно 19- и 22-летние шклы, т. е. пример-
но вдвое превышают основной цикл активнсти селнечных пя-
тен.

В приложении I помещенном в конце книги, приведены
среднемесячные и среднегодовые значения числа Вольфа R с
1700 по 1984 г. Эти данные графически предсавлены на рис. 1.4.
В наши дни непрерывную регистрацию чиел Вольфа ведет
Швейцарская федеральная обсерватория в Цюрихе, и ее запи-
си служат международным источником инфрмации об относи-
тельном числе солнечных пятен R.

Ключ к получению приемлемых и значишх оценок числа
солнечных пятен — усреднение. Для получен я среднесуточного
Относительное число

Рис. 1.5. График, характеризующий изменение среднесточных значений отно-
сительного числа солнечных пятен для января 1982 . (Непрерывная линия
соответствует данным Швейцарской федеральной обсеватории, штриховая —
данным Американской ассоциации наблюдателей перекнных звезд (AAVSO).

значения этого числа используется большоеколичество наблю-
дателей, расположенных в различных геогр фических районах.
Однако, как следует из рис. 1.5, одного лить суточного усред-
нения недостаточно. Для сравнения на этоь рисунке показаны
две кривые, характеризующие изменение зн.чения среднесуточ-
ного числа Вольфа для одного из типичные месяцев; одна из
этих кривых построена по данным Швейцаской федеральной
обсерватории в Цюрихе и соответствует именению так назы-
ваемого международного относительного чела солнечных пя-
тен Ri, вторая кривая построена по данные Американской ас-
социации наблюдателей переменных звезд (AAVSO) и соот-
ветствует числу Ra- Нетрудно видеть, что акивность солнечных
пятен может очень сильно меняться на однмесячном интерва-
ле. И хотя обе кривые, представленные на том рисунке, в це-
лом достаточно хорошо совпадают, между ними все же есть
незначительные различия, что отчасти связаю с периодом вра-
щения Солнца, которое не имеет, как извесно, единого посто-
янного периода вращения. Так, на экватореоно вращается бы-
стрее, чем в высокоширотных (т. е. припо.ярных) областях.
Средний период вращения Солнца на экватсре изменяется при-
мерно от 25 до 27 суток, а на широте 60°эн равен примерно
31 суткам. К тому же сами солнечные пяти меняются на ин-
тервалах от нескольких часов до несколькиэмесяцев. Различия
между аналогичными кривыми для среднеьесячных значений
числа Вольфа иллюстрирует рис. 1.6. Месчный интервал —
это, по-видимому, тот минимальный интерзя усреднения, при
1961	1965	1969	1973	1977	1981

Г од

Рис. 1.6. График, характеризующий изменение среднемесячных значений отно-
сительного числа солнечных пятен для 1961—1983 гг. (Непрерывная линия со-
ответствует данным Швейцарской федеральной обсерватории, штриховая —
данным Американской ассоциации наблюдателей переменных звезд (AAVSO).

котором начинают получаться устойчивые оценки числа сол-
нечных пятен. Получение наиболее устойчивых оценок обеспе-
чивает усреднение на годовом интервале.

*1.3. Контрольный случай

Хотя данные о числе солнечных пятен и представляют собой
пример классического временного ряда, способа для определе-
ния истинного спектра по такой сравнительно короткой после-
довательности данных, к сожалению, не существует. Поэтому,
для того чтобы охарактеризовать поведение каждой спектраль-
ной оценки при использовании короткой последовательности
данных, было предложено использовать искусственно синтези-
рованную последовательность данных с заранее известными
свойствами. Эта тест-последовательность данных содержит
64 отсчета некоторого комплекснозначного процесса, состояще-
го из четырех комплексных синусоид и комплексного адди-
тивного окрашенного шума. Вещественная и мнимая составля-
ющие этого процесса показаны на рис. 1.7 с той лишь целью,
чтобы подчеркнуть дискретный характер этих данных. В при-
.ложении II, помещенном в конце книги, представлена распе-
чатка значений отсчетов. Эта тест-последовательность исполь-
зуется также для того, чтобы дать читателю средство для бы-
строй проверки правильности реализации процедур всех спект-
ральных оценок, для которых в книге приведены машинные
.программы. Для всех подобных программ приводятся также
Рис. 1.7. Тест-последовательность комплексных данных: а — действительная
часть; б — мнимая часть.

распечатки соответствующих выходных параметров для случая,
когда на вход этих программ подается тест-последовательность
данных. Читатели могут сравнить свои графики спектральных
оценок с соответствующими графиками, которые приводятся в
начальных разделах каждой главы.

Истинный спектр тест-последовательности, вычисленный с
помощью аналитических средств, показан на рис. 1.8. На этом
рисунке по оси абсцисс отложены доли частоты отсчетов, т. е.
истинная частота f в герцах нормирована посредством деления
на частоту отсчетов fs—\/T, где Т — интервал отсчетов данных.
Согласно теореме отсчетов для сигналов (см. гл. 2), относи-
тельные частоты должны лежать в интервале от —0,5 до 0,5.
Частоты двух синусоид в этом спектре выбраны очень близки-
ми друг к другу (на рис. 1.8 им соответствуют относительные
частоты 0,2 и 0,21), с тем чтобы проверить разрешающую спо-
собность той или иной спектральной оценки. Мощность двух
более слабых синусоидальных сигналов с относительными час-
тотами 0,1 и —0,15 на 20 дБ меньше мощности двух более силь-
ных синусоидальных сигналов. Эти слабые синусоидальные сиг-
налы используются для испытания способности спектральных
оценок обеспечивать обнаружение слабых компонент сигнала
на фоне сильных сигналов. Окрашенный шумовой процесс был
сформирован посредством пропускания двух независимо гене-
рируемых процессов типа белого шума с нулевыми средними
значениями через идентичные фильтры скользящего среднего
(см. гл. 6 и 10) для раздельного получения вещественной и
мнимой составляющих шумового процесса, использованного для
получения тест-данных. Оба фильтра имели одинаковые частот-
ные характеристики типа приподнятой косинусоиды; они пока-
заны на рис. 1.8 между относительными частотами 0,2 и 0,5

3—1366
Рис. 1.8. Истинный спектр процесса, соответствующего тест-послдовзельно
сти данных.

(центральная частота 0,35) и —0,2 и —0,5 (централыая гасто-
та —0,35). Хотя .форма спектра окрашенного шумовсо процес-
са одинакова на положительных и отрицательных чатотах
истинного спектра тест-последовательности, показяноо на
рис. 1.8, эта симметрия не будет видна в спектралыых оцен-
ках, приводимых в последующих главах книги, так к. к вшест-
венная и мнимая составляющие этого окрашенного шуювого
процесса генерировались независимо, т. е. являются екорели-
рованными. Высота линий, характеризующих синуоидяьные
составляющие спектра, выбрана так, чтобы отображать мощ-
ность каждой синусоиды относительно полной мощыстиокра-
шенного шумового процесса. Следовательно, мощность кждой
из сильных синусоид превышает мощность шума, амоьность
каждой из двух слабых синусоид меньше мощности шуьа.

1.4.	Проблемы в области спектрального оценивания

Интерес к альтернативным методам спектральной аализа
поддерживается тем улучшением характеристик, кторе они
обещают, а именно более высоким частотным разрегеним. по-
вышенной способностью к обнаружению слабых синал-в или
же сохранением «достоверности» формы спектра пр( мньшем
числе используемых параметров. Аналитически описать <арак-
теристики большинства методов в случае ограниченного време-
ни анализа (т. е. в случае короткой записи данных) веема за-
труднительно; именно поэтому в литературе можно ййт] лишь
очень малое количество эмпирических результатов Эо обу-
словило появление ряда проблем в области совремеыогоспект-
рального оценивания, некоторые из них кратко освецеш ниже.
Спектральное разрешение относится к числу главных проблем
современного спектрального оценивания, в особенности приме-
нительно к анализу коротких .последовательностей данных. При
этом, то что понимается под термином «разрешение» носит весь-
ма субъективный характер. Одно из ранних определений при-
надлежит Рэлею [25], которое исходит из следующего рабоче-
го определения для разрешения оптических телескопов с огра-
ниченной пространственной апертурой:

«Подобно тому как оптическая сила телескопа измеряется
близостью двойных звезд, которые он может разрешить,
так и оптическую силу спектроскопа следует измерять бли-
зостью самых близких двойных линий в спектре, которые он
может разрешить».

Аналогичные определения можно сформулировать и для разре-
шения сигналов с ограниченной временной апертурой (т. е. дли-
тельностью); формальные определения разрешающей способ-
ности даны ниже в гл. 2 и 5. В литературе принято характери-
зовать относительные величины разрешающей способности двух
спектральных оценок на основе визуальных впечатлений. Рас-
смотрим две спектральные оценки, показанные на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Визуально-воспринимаемое усиление спектрального разрешения: а —
исходный спектр; б—«обостренный» спектр, полученный за счет отображения
исходного спектра с помощью 1/(1—х).

Спектральная оценка на рис. 1.9, а имеет единичный норми-
рованный максимум с двумя слабо различимыми пиками, что
должно указывать на присутствие двух спектральных состав-
ляющих. Если теперь сформировать новую спектральную
функцию

pa^=l~pA(f)'
,оли частсь| отсчетов

Рис. 1,10. <—Несглженная периодограмма, позволяющая обнаружить сину-
соидальную составляющую; б — сглаженная периодограмма, в которой невоа-
можноюбнаружить синусоидальную составляющую.

которая юказан на рис. 1.9, б, то она будет выглядеть как
спектр скболее (ысоким» разрешением. На самом же деле оба
приведеньях спктра несут в себе одну и ту же информацию,
а это означает, то одного лишь визуального сравнения спект-
ральныхоценок,конечно же, недостаточно для суждения о ха-
рактеристиках рзрешения [15].

1.4,2	. Обаружилость сигналов

Ислользеание пектрального оценивания для обнаружения
присутствия сипалов приводит к возникновению другой пробле-
мы. Рассмотрим периодограммы, показанные на рис. 1.10. Обе
они соответствует одной и той же 1024-точечной реализации не-
которого процеса, состоящего из аддитивной смеси одной си-
нусоидыи белоо шума при отношении сигнал/шум, равном
—17 дБ.Периодограмма на рис. 1.10, а получена непосредст-
венно пс всем V24 отсчетам, и в ней над уровнем шума отчет-
ливо обиружен синусоида с относительной частотой 0,2. На
рис. 1.1С б предтавлена сглаженная периодограмма, получен-
ная в реультат разбиения исходной последовательности на
32 сегмата по 2 отсчета в каждом и последующего усреднения
периодорамм эих сегментов. На этой оценке более очевидна
уплощеыая спектральная характеристика белого шума, но отк-
лик, обуловлеыый присутствием синусоиды, здесь не обнару-
жим. М<жно паазать, что обнаружимость сигнала по несгла-
женной териодсрамме превышает обнаружимость этого сигна-
ла по спаженшй периодограмме в число раз, равное примерно
корню вадратюму из числа сегментов, или на 101g732~7,5 дБ
в рассм1триваегом случае. С точки зрения отображения пол-
ногоспеггра лучше сглаженная спектральная опека, показан-
ная а рс. 1.16, б, но с точки зрения обнаружимся сигнала —
лучие нсглаженная оценка. Таким образом, аргуленты в поль-
зу Bi6op той или иной спектральной оценки буду зависеть от
того.интресует ли нас гладкая оценка в пределахвсего диапа-
зонаанашзируемых частот или же нам важна бяее высокая
степнь 'бнаружимости сигнала на некоторых кокретных его
учасках Поэтому алгоритмы спектрального оцеивания вовсе
не оязаельно являются также и хорошими алгортмами обна-
ружния

1.4.30	гэрепутывании оценивания параметров
со сгектрльным оцениванием

Задача (пектрального оценивания подразумевает оценивание
нексора функции частоты. О характеристиках пектральной
оцени едят по тому, насколько хорошо она соглсуется с из-
вестымспектром тест-сигнала в некоторой непреывной обла-
сти [acTT. Имеются приложения, где основной нтерес пред-
став[яетлишь локальное поведение спектральнойзценки в не-
котоыхзаданных диапазонах частот. Примеров такого при-
менетия может служить оценивание частоты синусиды в белом
шум, реультаты которого представлены на рис. .10. Нетруд-
но вдеъ, что в качестве спектральной оценки л'чше исполь-
зовав аенку на рис. 1.10,6, так как она ближе к плоскому
спекру >елого шума. В качестве же оценки частоы синусоиды
лучге ипользовать оценку на рис. 1.10, а, так к.к она позво-
ляет боле точно определить частоту этой синусоиды. К сожа-
ление, ди оценки нередко путают в литература поскольку
мноие адачи оценивания параметров излагаютс5 в контексте
спекралного оценивания, даже если функция шектральной
оцежи I не является искомой количественной вел чиной.

садаа оценивания параметров и задача спект]ального оце-
нивгниятребуют различного статистического подх»да, хотя обе
онитаст) перекрываются в некоторых частных елчаях. Поэто-
му । хаактеристиках спектральной оценки нельз полностью
судпъ го ее характеристикам как оценки парамепов. Так, на-
при;ер, сравнение оценок, представленных на ри. 1.10, пока-
зывет, !то сглаженная периодограмма являеся хорошей
спекрадной оценкой, но плохой оценкой параме-ра, которым
в дннот случае является частота синусоиды.

1.4.^ О/ной оценки недостаточно

Спетраьная оценка, получаемая по конечной затиси данных,
хар.ктерзует некоторое предположение относитльно той ис-
тиной пектральной функции, которая была бы плучена, если
быв нашемраспоряжении имелась запись данных бесконечной
длны. Имено поэтому поведение и характеристики спектраль-
но оценок юлжны описываться с помощью статистических
терпинов. Ощепринятыми статистическими критериями каче-
ств оценкиявляются ее смещение и дисперсия. Аналитическое
ощеделениеэтих величин обычно наталкивается на определен-
ны матемаические трудности, поэтому на практике просто
соыещают рафики нескольких реализаций спектральной сцен-
кии визуално определяют смещение и дисперсию как функции
чатоты. Те области совмещенных графиков спектральных оце-
но, где экспериментально определенное значение дисперсии
ве.ико, буду свидетельствовать о том, что спектральные осо-
бещости, вщимые в спектре отдельной реализации, не могут
счтгаться сатистически значимыми. С другой стороны, осо-
бе:ности сомещенных спектров в тех областях, где эта дис-
пе]сия мала с большой достоверностью могут быть соотнесены
с .ействитеъными частотными составляющими анализируемо-
го сигнала. )днако в случае коротких записей данных часто не
удется полчить несколько спектральных оценок, да и сам ста-
титический анализ отдельных спектральных оценок, получен-
ные по корегким записям данных, в общем случае представля-
етгобой веема трудную проблему. По этой причине читатель
до жен очеь тщательно делать свои выводы относительно
ервнения рзличных спектральных оценок, получаемых при
исользоваыи тест-последовательности данных, описанной в
рад. 1.3.

1.45. Общаякартина

Изформалыого определения спектра, которое дано в гл. 4, сле-
дут, что епктр является некоторой функцией одних лишь ста-
титик втор го порядка, относительно которых в свою очередь
прдполагаеся, что они остаются неизменными, или стацио-
нарными, вс времени. Следовательно, такой спектр не передает
помой станстической информации об анализируемом случай-
но! процесс, а значит, дополнительная информация может со-
дежаться i статистиках третьего и более высокого порядков.
Крме того,многие обычные сигналы, которые приходится ана-
лиировать ia практике, не являются стационарными, поэтому
меоды, опианные в этой книге, могут оказаться неприменимы-
ми к полно записи данных. Однако короткие сегменты дан-
нь<, получаемые на практике из более длинной записи данных,
мскно считть локально стационарными, а это позволяет ис-
по.ъзовать писанные в книге методы спектрального оценива-
ни. Аналиаруя изменения спектральных оценок от одного та-
: др иу,
ЦИХС,) jj вр

ь п' давление
[гна., т. е. не-

1.5.	Как пользоваться этой книгой

Материал этой книги организован таким образом, чтобы чита-
тель мог без труда реализовать многие из описанных в ней
спектральных оценок. Каждая глава начинается небольшим
вводным разделом, где указываются алгоритмы конкретных
оценок, рассматриваемых в данной главе, включая краткую
запись этапов реализации этих алгоритмов. В приложениях к
главам помещены написанные на Фортране подпрограммы ма-
шинной реализации этих алгоритмов. Читатель может остано-
виться после вводного раздела, для того чтобы сначала «набить
руку» при работе с тем или иным алгоритмом, описанным в
каждой главе, а уже затем перейти к более глубокому изуче-
нию дальнейшего материала для усвоения более тонких теоре-
тических и математических деталей. В распечатках подпрограмм
указаны номера уравнений, приведенных в тексте глав, для то-
го чтобы облегчить понимание логики построения соответству-
ющих машинных программ. Все подпрограммы предназначены
для обработки комплекснозначных данных, а в описании, кото-
рым сопровождается каждая из них, указываются средства,
позволяющие преобразовать ее для обработки действительно-
значных данных.

Для тех читателей, которые желали бы получить помощь
при выборе метода спектрального оценивания, полезной ока-
жется сводная таблица, приведенная в гл. 14. В этой таблице
перечислены все основные алгоритмы спектрального оценива-
ния, а также указаны разделы книги, где они описаны.

По своей тематике главы книги образуют четыре основные
группы; это главы, в которых изложен вводный вспомогатель-
ный материал, главы, в которых кратко описаны одномерные
одноканальные спектральные оценки; и главы, в которых опи-
саны спектральные оценки для многоканальных и для двумер-
ных последовательностей данных. Вводный материал (гл. 2—4)
содержит математические основы, необходимые для изложения
последующего материала; здесь же дано определение спект-
ральной плотности мощности (СПМ). Спектральные оценки
сгруппированы в соответствии с тремя классами: классические
спектральные оценки (гл. 5), параметрические спектральные
щенки (гл. 6—11) и непараметрические спектральные опенки
(гл. 12 и 13). Многоканальные и двумерные спектральные сцен-
ки описаны соответственно в гл. 15 и 16. Многоканальным на-
зывается спектральный анализ векторных данных (например,
of the Product of Two Functions. Proc. R.Soc. London, vol. 24, pp. 266—
268, 1876.

[40]	Thomson W. (Lord Kelvin). Harmonic Aalyser. Proc. R. Soc. London,
vol. 27, pp. 371—373, 1878.

[41]	Toeolitz 0. Zur der Quadratischen und Bihearen Formen. von. Unendlich-
vielen Veranderlichen. Math. Ann., vol. 70, p. 351—376, 1911.

{42] Tukey J. 117. The Sampling Theory of Pwer Spectrum Estimates. Pro-
ceedings Symposium on Applied Autocorreltion Analysis of Physical Prob-
lems, U.S. Office of Naval Research (NAViXOS-P-725), pp. 47—67, 1949;
перепечатано в J. Cycle Res., vol. 6, pp. 31-52, 1957.

[43]	Walker G. On Periodicity in Series of Relatd Terms. Proc. R. Soc. London,
ser. A, vol. 131, pp. 518—532, 1931.

[44]	Wiener N. Generalized Harmonic Analysis Acta Math., vol. 55, pp. 117—
258, 1930.

[45]	Wold H. 0. A. A Study in the Analysis of itationary Time Series, disserta-
tion, Uppsala University, 1938; опубликовно изд-вом Almqvist & Wiksell
Forlag, Stockholm, 1954.

[46; Wolf R. Tafel der Relativzahlen. Astron. Mteil. Eidgen. Sternwarte, Zurich,
no. 24, vol. Ill, 1868.

[47]	Yule G. U. On a Simple Form of HarmonicAnalyses. Phylos. Mag., vol. 39,
pp. 367—374, 1895.

[48]	Yule G. U. On a Method of Investigation >eriodicities in Disturbed Series,
with Spesial Reference to Wolfer’s SunspotNumbers. Phylos. Trans. R. Soc.
London, ser. A, vol. 226, pp. 267—298, 1927
Глава 2
ОБЗОР ТЕОРИИ ЛИНЕЙН1Х СИСТЕМ
И ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

2.1.	Введение

Поскольку эта глава носит обзорный .арактер, то предполага-
ется, что читатель уже знаком с линешыми системами и теори-
ей преобразования Фурье в объеме каого-либо вводного курса
по системам с непрерывным и дискреным временем.1) За бо-
лее подробной информацией относител»но материала, изложен-
ного в этой главе, можно обратиться к работам, указанным в
списке литературы, приведенном в каце главы. В этой главе
будут также введены многие из условшх обозначений, которые
используются в данной книге.

Основные понятия теории линейны, систем представлены
здесь раздельно для сигналов с непрерывным (разд. 2.3) и дис-
кретным (разд. 2.4) временем. Раздел !.5 посвящен теории пре-
образования Фурье для сигналов с тепрерывным временем.
Хотя теория преобразования Фурье дл, сигналов с дискретным
временем часто излагается в литератур независимо от теории
этого преобразования для сигналов с непрерывным временем,
в разд. 2.6 и 2.7 показано, что преобраз>вание с дискретным вре-
менем может рассматриваться как чатный случай преобразо-
вания с непрерывным временем. Это п'зволяет установить связь
между преобразованием Фурье с непрерывным временем
(НВПФ) и рядом Фурье с дискретные временем (ДВРФ) для
конечной последовательности отсчетов сигнала с непрерывным
временем. Это вполне согласуется с тм, что большинство осу-
ществляемых на практике процедур гоедставляет собой обра-
ботку последовательностей отсчетов, влучаемых в результате
равномерной дискретизации сигнала, тепрерывно изменяюще-
гося во времени или в пространстве. Ипользуемое в книге оп-
ределение преобразования Фурье с декретным временем не-
сколько отличается от принятого в литратуре определения дис-
кретного преобразования Фурье (ДПФ. Это различие обуслов-
лено включением в определение ДВПо интервала дискретиза-
ции (т. е. интервала отсчетов) в качесве масштабного множи-
теля, что позволит нам в дальнейшее получать спектральные
оценки в соответствующих единицах измерения мощности. Всем
этим вопросам посвящены разд. 2.8 и 29. В разд. 2.10 суммиро-

11 См. например, [12*. 13*]. — Прим. ред.
ваны результаты 1,ля быстрого преобразования Фурье — весьма
эффективного алоритма, предназначенного для вычисления
ДПФ. Наконец, гразд. 2.11 обсуждается важное понятие про-
изведения времен; на ширину полосы (частот), которое лежит
в основе меры раэешающей способности.

При изложены материала в данной главе полагается, что
сигнал является ^терминированной функцией. Дополнительный
математический ппарат, требуемый для описания случайных
сигналов, прнводися в гл. 4.

2.2.	Обозначения, «спользуемые при описании сигнала

Непрерывный сигсал — это любое действительное или комп-
лексное колебание во времени f(f), определяемое как некоторая
функция непрерыной действительной временной переменной t;
или же любое дествительное или комплексное пространствен-
ное колебание g(), определяемое как некоторая функция дей-
ствительной проеранственной переменной s. Непрерывные сиг-
налы часто назынют аналоговыми сигналами, если они могут
принимать континуум значений при любом значении перемен-
ных t и s. Если н будет оговорено особо, то все рассматривае-
мые в книге еигнлы будут предполагаться комплексными ве-
личинами. Это о(условлено тем, что комплексные данные на-
чинают все шире ^пользоваться в практике цифровой обработ-
ки сигналов. Так например, комплексные данные представля-
ют собой естествешый выход комплексного процесса демодуля-
ции (см. приложвие 2.А). Некоторые сигналы, например те,
которые применяется в радиолокации и связи, имеют синфаз-
ную и квадратурою составляющие, что также вполне естест-
венно приводит к IX комплексному представлению.

Дискретный синал— это произвольная функция f[n], пред-
ставляющая собо. некоторую последовательность действитель-
ных или комплекяых чисел, определенную при всех целочис-
ленных значенияхп. Непрерывная функция времени /(/), дис-
кретизуемая с равномерным интервалом Т секунд, или не-
прерывная прострнственная функция g’(s), дискретизуемая с
равномерным иптрвалом S метров (или каких-либо других под-
ходящих простраютвенных единиц измерения), будут соответ-
ственно порождаъ дискретные последовательности f[n\=f(nT)
11	=g(nS). Эметим, что для различения обозначений не-

прерывных и дисюетных функций используются соответственно
круглые () и ква.ратные [] скобки. Круглые скобки — это от-
резки гладкой нерерывной линии, тогда как каждая квадрат-
ная скобка образвана из трех отдельных — дискретных — от-
резков прямой лиши. Использование этих символов позволяет
устранить неопределенность между непрерывными и дискрет-
ними функциями, обозначаемыми одинаковыми буквенными
символами.

Непрерывный или дискретный сигна., величина которого
при любом значении времени t или пространственной перемен-
ной 5 может принимать не континуум, столько некоторое ко-
нечное число значений, называют цифровш сигналом. На прак-
тике дискретные сигналы — это, как праило, и цифровые сиг-
налы. Для формирования цифровых отсчдов сигналов (кванто-
вания) применяются аналого-цифровыепробразователи (АЦП),
а для хранения значений данных в цифрвых вычислительных
машинах используются регистры с конечой длиной слова.

2.3.	Непрерывные линейные системы

Линейная система — непрерывная или дикретная — это просто
система, к которой применим принцип суперпозиции (т. е. на-
ложения) реакций (или откликов). Слеювательно, отклик не-
которой линейной системы на сумму ;вух входных сигналов
будет просто суммой откликов этой систеш на каждый отдель-
ный входной сигнал. Линейная система будет инвариантной во
времени, если вход x(t) порождает выхо. y(t), а вход x(t—to)
порождает выход y(t—t0) при любом вре:еннбм (или простран-
ственном) сдвиге t0.

Специальным входным сигналом яяяется единичная им-
пульсная функция б(/), которую называет также непрерывной
дельта-функциейЛ Единичная импульсна функция может рас-
сматриваться как некоторый входной сигал нулевой ширины и
бесконечной высоты

6	<	ОО при <=);

W	] 0„ npnJ/#O,	1 '

но конечной площади

V.6(/)d/ = l	(2.2)

Импульсная функция обладает селектиртощим свойством

—	=	—T)8(T)dT = /(Z)	(2.3)

в том смысле, что она может локализовть, или воспроизво-
дить, какое-либо конкретное значение функции f(t) при усло-
вии, что эта функция непрерывна по t. Заметим, что импульс-

!> Название «непрерывная дельта-функция», испаьзованное автором, нес-
колько неточно определяет эту сингулярную фунцию, предназначенную для
обозначения точечной локализации (см., например, 13*], т. 2, гл. 11).—Прим.
ная функция ((/) имеет строгий математический смысл только
в том случае,когда она используется под знаком интеграла.
Например, приведение непрерывной и импульсной функций
f(t)6(O можн! интерпретировать как произведение f(0)6(/) по
той причине, чо

g(t—т) [Л) 8(т)]Л = $’. [g(/—т)/(т)] 6 (т) di = g(/) f (0).

(2.4)

Таким образок произведение функции f(f) с импульсной функ-
цией дает значние («отсчет») этой функции в момент времени

Выходной сгклик §(/) линейной инвариантной во времени
(ЛИВ) система на произвольный входной сигнал /(/) опреде-
ляется непрерьзным интегралом свертки

g^^-a,h(x)f(t — x)dx = Wh(t—x)f(i)dx,	(2.5)

где h (t) — непррывная импульсная характеристика этой систе-
мы, т. е. иным! словами, ее отклик в том случае, когда в каче-
стве входного игнала используется импульсная функция:

Ж = Г«Л(т)6(/-т)Л-.	(2.6)

Используя для краткой записи операции свертки символ
выражение (2.$ можно записать в следующем виде:

^(Z) = ft(/) * f (/).	(2.7}

Если входне воздействие непрерывной ЛИВ-системы с им-
пульсной характеристикой h(t) имеет форму комплексной экс-
поненты, т. е. ft) = exp(s/), где s — произвольная комплексная
величина, то вькод g(t) будет иметь форму

g(0 = $!. A(r)exp(s[Z —т])(/т = Я (s)exp(sO,	(2.8)

где

H(s)= J’e Л(т)ехр(— st) dr.	(2.9)

Функция H(s) взывается непрерывной системной функцией;
ее можно такж< рассматривать как преобразование Лапласа
от импульсной арактеристики. Член ехр($/) называют собст-
венной функцие линейной системы, поскольку и вход, и выход
пропорциональж этому члену. Тогда функция H(s) является
собственным значением этой системы, так как она играет роль
юмплексного мсштабного множителя при собственной функ-
ции.
2.4. Дискреные линейные системы

Вывод соотетствующих соотношений для дискретных линейных
систем можо провести аналогично их выводу для непрерывных
линейных астем. Специальным входным сигналом для дис-
кретных ситем является единичная импульсная функция 6 [я],
называемая также дискретной дельта-последовательностью.^
Она простоэпределяется как

, 1 при « = 0.

L J i 0 при /г#=0.	’

В отличие (г случая с непрерывным временем при определении
б[я] отсутсвуют какие-либо аналитические трудности. Любую
произвольна последовательность /[я] можно записать в виде
взвешеннойсуммы дискретных импульсных функций

fn]= s	А]= S Цл—£]«И-	(2.11)

k= ~а>	k=~<3>

Пусть h[n\~дискретная импульсная характеристика дискрет-
ной линейной системы, возбуждаемой единичной импульсной
функцией, огда выходной отклик £[я] на произвольную вход-
ную последовательность /[л] будет определяться следующей
дискретнойгверткой-.

(2.'2)

Заметим, чо в зависимости от того, круглые или квадратные
скобки испстьзованы при записи функций, объединяемых опера-
тором «★», будет соответственно подразумеваться операция
дискретной или непрерывной свертки.2* Каузальной дискретной
системой яшяется система, выход которой в момент времени п
зависит толко от входа /[Л], где k^zn, а это означает h[k] =
= 0 при к<).

Если вх>дом дискретной линейной системы с импульсной
характерпсикой h [п] является экспоненциальная последова-
тельность fnj=zn, где z — произвольная комплексная величи-
на, то выходной отклик этой системы будет определяться выра-
жением

g[n] = H(z)z“,	(2.13)

где

Я(г) = S h[n-]z-" = g[h[n]}.	(2.14)

1> Эту функцю также называют функцией единичного отсчета (см., напри-
мер, [13*], т. ; гл. 9). — Прим. ред.

Более точнс свертка соответственно в дискретном или непрерывном вре-
мени (см., навимер, [13*], т. 1, гл. 9 и 10). — Прим. ред.
Следоват.льно, — это собственная функция дискретной ли-
нейной системы, 1 И (г) —дискретная системная функция, кото-
рая опре.елена Д1я тех значений z, при которых сумма в (2.14)
сходится.Функшю Н(z) можно рассматривать как двусторон-
нее г-п,ре>бразов'ние последовательности h[п]. Для обозначе-
ния оперции z-реобразования далее будет использоваться
символ 5- Замеим, что H(z}—это некоторая непрерывная
функция \ даже^сли она и была определена по дискретной по-
следоватетьности Функция H(z) имеет вид полинома, в кото-
ром степни z-1 ©ответствуют последовательным значениям ин-
декса врмени (апример, h[ri\ связано с членом z-n). В этом
смысле можю рассматривать как оператор задержки на
один отсчт.

Таблица 2.1 Свойств z-преобразования

Свдство	Функция дискретного времени	^-преобразование
Определени	/И. г[«]  4 [nl+fcg И	/И. G(z)
Линейность		aF(z)+bG(z)
Сдвиг		z~mF(z)
Масштабирвание		F(az), c>0
Сопряжение	f*W	Г-(г-)
Обращение .ремени	И-»]	F(l/z)
		Г’(1/г*)
Свертка	f [nJ*g[n]	f(z)G(z)

Ряд вакных сойств z-преобразовапия перечислен в табл. 2.1.
Заметим, по укаанные в этой таблице свойства справедливы
только дл обще! области сходимости функций F(z) и G(z).
Доказательства эих свойств даны в книгах Оппенгейма и Ша-
фера [11 ]и Оппегейма и Уиллоки [12].

Один вжный (ласс дискретных системных функций образу-
ют функци с раиональными z-преобразованиями, т. е. с пре-
образованиями, кторые представляют собой отношения поли-
номов от Пуст! некоторая каузальная дискретная линейная
система оисываеся следующим линейным разностным уравне-
нием с по(тоянныш коэффициентами

р	Q

22W#[rt—&] = 2	k],	(2.15)

k=0	k=0

которое сжзывае' входную и выходную последовательности
х[п] и t/[J, где ^0. Последовательности а[0], ..., а[Р] и
Ь[0], ..b[Q] полностью характеризуют эту с стем'.1’ Без поте-
ри общности можно положить а[0] = 1. Если адаы некоторое
множество начальных условий для входной ивыхсдной после-
довательностей при п<сО и входная последеатеьность x[nj
при то нетрудно вычислить выходную пследвательность
г/[п] при /г^О. При нулевых начальных услоиях '-преобразо-
вание, соответствующее уравнению (2.15), будт и?еть следую-
щий вид:

р	Q

Y (z) S a\k}z~k^X{z) S b[k]zk, (2.16)
k=0	й=0

где было использовано свойство свертки, указнноев табл. 2.1.
Следовательно, системная функция /f(z), свяывакщая вход и
выход, будет определяться выражением

Q

--------	(2-17)

1+ S a[k]z~k
k=i

которое является рациональной функцией от г1. Она из экви-
валентных факторизованных форм функции А(2) меет вид

Q

* [0] U (1 —гйг-1)

Н(г} =----,	(2.18)

П О—Р/.г-1)

так что b [0] можно рассматривать как коэф»ицинт, масшта-
бирующий усиление. Корни Zi, ..zQ полинола в числителе и
корни pi, ..., рР знаменателя называкися сооветсвенно нуля-
ми и полюсами функции H(z). Можно показть [2], что для
устойчивой системы все полюсы должны удвлетюрять усло-
вию |р&|<1. Минимально-фазовой линейной истеюй называ-
ется каузальная система, у которой все полюы и ]ули систем-
ной функции Я(г) лежат внутри единично! окужности в
z-плоскости, т. е., иными словами, | Zk | < 1 и|р&|^1.

Системную функцию (2.17) можно также аписть в форме
разложения на элементарные дроби. Если полжит; что Q^P,

!) В разностных уравнениях с постоянными коэффициентами оследине раз-
личают по их индексам, т. е. пишут или а не с поморю ©Означений a[i]
или b [1], принятых автором, что может создать ошибочое прдставление об
их зависимости от времени (см. [13*], т. 1, гл. 7). — Прим ред.
я кратные полюсы отсутствуют, то

Я(г) = У = у АИ1£.
1 — ркг 1 г~рк
fe=l

(2-19)

Вычеты ф], k=l, ..., Р можно вычислить, используя теорему
о вычетах

м=[

Н (г) (г — рк) 1

2	\* = Рк

(2.20)

Наличие кратных полюсов требует несколько более сложного
подхода. Используя обратное г-преобразование, соответствую-
щее функции (2.19), можно показать [11], что импульсная ха-
рактеристика дискретной системы при нулевых начальных усло-
виях представляет собой сумму дискретных экспонент:

, , ч I S г [k] P'k,
I °.

П 0;

n < 0.

(2-21)

2.5.	Преобразование Фурье с непрерывным временем

Хотя преобразование Лапласа H(s) позволяет выполнить общий
анализ поведения непрерывной линейной системы при произ-
вольном экспоненциальном входном воздействии, часто наиболь-
ший интерес представляет оценка ее поведения относительно
оси мнимой переменной, т. е. при s=j2nf. В этом случае преоб-
разование Лапласа сводится к некоторой функции от f, опреде-
ляемой выражением

Н(О = $ _„ 11 (0 ехР (— J2"/0dl = (h(<)}	(2.22)

В этой форме функция называется преобразованием Фурье
с непрерывным временем (или непрерывно-временным преобра-
зованием Фурье, НВПФ). Для обозначения операции НВПФ
мы будем далее использовать символ ЗГ. Переменная f в комп-
лексной синусоиде ехр(—J2nf) соответствует частоте, измеряе-
мой в герцах, если переменная t измеряется в единицах време-
ни (в секундах). При обработке пространственных сигналов
вместо временной переменной t используется пространственная
переменная х, а вместо частоты f—волновое число k, измеряе-
мое в циклах на пространственную единицу. По сути дела,
НВПФ идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексных
синусоид, на которые разлагается некоторое произвольное коле-
бание. Обратное преобразование Фурье определяется выраже-
нием

Л(0 = ГдаЛ7С9ехр(/2^)^ = Г-Ч^(П}-	(2.23)

Для обозначения операции обратного преобразования Фурье с
непрерывным временем далее будет использоваться символ £7"-1.
Выражения (2.22) и (2.23) образуют пару преобразований
Фурье с непрерывным временем (пару НВПФ).

Существование прямого и обратного преобразований Фурье
с непрерывным временем для данной функции определяется
целым рядом условий. Одно из достаточных условий состоит в
том, что сигнал h(t) должен быть абсолютно интегрируемым в
смысле

$2.|й(0|Л<«>.	(2.24)

Одно менее ограничительное достаточное условие существова-
ния НВПФ состоит в том, что сигнал должен иметь конечную,
энергию, т. е.

Другие достаточные условия существования НВПФ применимы
к сигналам, которые могут быть представлены в форме h{t) =
—a{i) sin(2nff4-9). Функция a(t) должна быть затухающей,
т. е. <a{t) при /?>0, a h(t) должна удовлетворять
условию

Если допускается применение теории распределений (тема,
выходящая за рамки математических вопросов, затрагиваемых
в данной книге), то может быть определено НВПФ даже и для
незатухающих периодических сигналов.

Ряд ключевых (основных) свойств и функций, реализуемых
непрерывным преобразованием Фурье, которые будут часто ис-
пользоваться в книге, приведен в табл. 2.2. Вывод соотношений,
помещенных в этой таблице, в частности тех из них, в которых
использованы импульсные функции, можно найти в стандарт-
ных учебных пособиях; см., например, Бригхэм [4], Рабинер и
Голд [16J, Оппенгейм и Шафер [11], Брейсуэлл [3]. Заметим,
что прямоугольное окно определяется выражением

fl, М<1;

w(x) = { 1/2, И=1;	(2.26>

V о, И>1,
’аблица 2.2. Основные свойства НВПФ и функции

Свойство, функция	Функция	Преобразование
1инейность	ag(0+Wi(0	oG(f)+M/(f)
<двиг по времени	fl(t—10)	W(f)exp(—/2л//о)
*двиг по частоте (мо- дуляция)	Л(/)ехр(/2л^г')	
Аасштабирование	(1/| а| )Л (t/a)	
еорема свертки во временной области		
еорема свертки в ча- стотной области	gm-ii(t)	aff)-kH(f)
•ункция окна	Aw(t/TQ)	2AT0 sinc(27W)
•ункция sine	2AFtj sinc(2/70Z)	Aw(flFo)
1мпульсная функция		A
•ункция отсчетов	шг(()	F111f(J), f=\/t

функции sine — выражением

, ч stn(rcx)
sine (х) =  —~

' ’ лх

(2.27)

> разд. 2.6 нас, в частности, будет интересовать функция от-
ветов (или дискретизирующая), определяемая выражением

Шц7(х)= 2 6(х—nW),
п— — <г>

(2.28)

:реобразование которой также является функцией отсчетов.
1о причинам, которые будут объяснены в следующем разделе,
гту функцию иногда также называют функцией, осуществляю-
щей периодическое продолжение.

Другое важное свойство устанавливается теоремой Парсе-
лля для двух функций g(t) и h{t):



(2.2?)

2сли положить g(t)=h\t), то теорема Парсеваля сводится к
гареме для энергии

(2.30)

юскольку в левой части в (2.30) стоит полная энергия Е сигна-
.а h(t). Выражение (2.30)—это, по сути дела, просто форму-
лировка закона сохранения энергии в двух областях (времен-
юй и частотной). Таким образом, функция

s (/) = !№)!’	(2.31)
описывает распределение энергии по частоте для детермини-
рованного сигнала h(t) и поэтому называется спектральной
плотностью энергии (СПЭ) детерминированного сигнала h(t).

Применительно к детерминированным сигналам в литерату-
ре по линейным системам помимо S(f) используются еще два
других определения спектральной плотности. Если h(t)—им-
пульсная характеристика некоторого фильтра, то ее НВПФ
//(fl = $-^/1(z)exp(—	(2.32)

называется частотной характеристикой этого фильтра. В об-
щем случае функция H(f) представляет собой комплексную
функцию, поэтому в полярных координатах ее можно записать

Н(/) = |Я(/)|ехр(/0(/)),	(2.33)

где действительные функции jН(f) | и Q(f) определяются выра-
жениями

|W)l = [Re{W)}a + MfWJ1/2,

0 (/) = arctg [Im [Н (f)}/Re {Н (/)}].

Функция |Я(0| называется амплитудным спектром импульс-
ной характеристики h{t), а функция 0(f)—ее фазовым спект-
ром. 0

2.6.	Операции дискретизации и взвешивания

В разд. 2.7 дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) введен
как частный случай непрерывно-временного преобразования
Фурье (НВПФ), при этом были использованы две базовые опе-
рации обработки сигналов — взятие отсчетов (дискретизация)
и взвешивание с помощью окна. В этом разделе рассматрива-
ется влияние этих операций на сигнал и его преобразование,
что упростит изложение материала в разд. 2.7. Основной ре-
зультат, который представлен в данном разделе, — это теорема
отсчетов, определяющая условия, при которых непрерывный
сигнал, дискретизованный по временной или пространственной
переменной, может быть восстановлен по своим отсчетам без
потери какой-либо информации о нем. В последующем изложе-
нии полагается, что сигналы являются функциями времени, хо-
тя выводы соответствующих соотношений можно аналогичным
образом провести и для сигналов, которые являются функциями
пространственной переменной (см. приложение 2.Б).

о Применительно к фильтрам (а не сигналам) |//(/)|—называется ампли-
тудно-частотной характеристикой (АЧХ) и 0(f)—фазочастотной характери-
стикой (ФЧХ) (см., например, [12*], с. 152, [13*], т. 2, гл. 15). — Прим. ред.
Таблица 2.3. Взвешивание и дискретизирующие функции

Операция	Функция времепи	Преобразование
Взвешивание во времен- ной области (ширина окна ЛТ с)  Взвешивание в частот- ной области (ширина окна 1/Г Гц)  Отсчеты	по	времени  (с интервалом Т с)  Отсчеты	по	частоте  (с интервалом 1/NT Гц)	T\\' = w(2t/NT~ 1)  ;T-i{FW}= тршс(*/П  TS-nino  5^-1{FS}=m..r(;)	?"{TW}=ATsincGV77)x Xexp(— jnNTf)  FW=ui(2rf)  -sqTSHiiibHf)  FS=-^inim(D

В табл. 2.3 перечислены функции, с помощью которых осу-
ществляются взвешивание и отсчеты и которые будут использо-
ваться ниже. При равномерных отсчетах с интервалом Т секунд
частота отсчетов (или скорость отсчетов) F равна ЦТ герц.
Заметим, что взвешивающая функция и функция отсчетов во
временной области обозначаются соответственно буквами TW
(time windowing) и TS (time sampling), а в частотной области
для этой цели используются соответственно обозначения FAV
(frequency windowing) и FS (frequency sampling).

Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действи-
тельнозначного сигнала x(t) с ограниченным спектром, верхняя
частота которого равна Fo герц, так что НВПФ сигнала x(t)
равно нулю при |/| >F0. НВПФ действительного сигнала
x(f)—это всегда симметричная функция с полной шириной
спектра, равной 2Fo, Гц; см. рис. 2.1, а. Отсчеты сигнала x(t)
могут быть получены посредством умножения этого сигнала на
функцию отсчетов:

XS(/) = *(O-TS = T 2 x(nT)6(t—пТ).	(2.34)

п— - »

Напомним читателю, что приведенное в (2.34) произведение
x(t) с последовательностью импульсных функций должно рас-
сматриваться подобно выражению (2.4). В соответствии с теоре-
мой свертки в частотной области, НВПФ сигнала x(f)—это
просто свертка спектра сигнала x(t) и преобразования Фурье
функции отсчетов по времени (TS):

Xs (/) = X (/) * F{TS} = X (f-kF).	(2.35)

Свертка X(f) с преобразованием Фурье функции отсчетов
-тот

хЦ) - TS

x(t). TS

T г 1.ПТТ ItttttI П

-тот

Xlf)

N|/l_____________________

“F0	°	%

3T{TS)

I	I_________I_______.

-F	0	F

Xlf) * У(ть)

-3F	-2F -F 0 F 2F 3F

X(f)* ^{ts}

A N/l N/l h ,

—F	0	F

У"-1 (FW)

о

-F/2	0	F/2

]X|f)*y{TS}] • FW

_ N/L

-Fo 0

x|t) • TS] *«5Г 4FW}

’0

Рис. 2.1 Иллюстрация теоремы отсчетов во временной области для действи-
тельного сигнала с ограниченным спектром: а —исходная функция времени с
ограничаным спектром и ее преобразование Фурье; б— функция отсчетов по вре-
мени и е преобразование Фурье; в — временные отсчеты исходной функции и ее
преибраование Фурье; в — временные отсчеты исходной функции и ее перио-
дическо! продолженное преобразование Фурье для случая /?о>1/27’; г —
временые отсчеты исходной функции и ее периодически продолженное преобра-
зованиеФурье для случая /'0<1/27'; д— частотное окно (идеальный фильтр
нижнихчастот) и его преобразование Фурье (функция sine); е — исходная
функциз времени, восстановленная посредством операции свертки с функци-
ей sine.

^'{Т$} = Ш1/т(/) просто периодически продолжает X(f) с час-
тотны! интервалом 1/Г Гц, соответствующим частотному ин-
тервал между импульсными функциями. Поэтому X$(f) пред-
ставлю собой иериодически продолженный спектр X(f). Имен-
но по этой причине функцию UI(f) часто называют функцией
периодического продолжения. В общем случае отсчеты в одной
обласи (например, временной) приводят к периодическому
продо.жению в области преобразования (например, частот-
ной). Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой, так
что F<2Fo, то периодически продолженные спектры будут пе-
рекрываться с соседними, как показано на рис. 2.1, в. Это пе-
рекрытие— одна из форм искажения и носит название эффекта
наложения в частотной области. Если частота отсчетов повы-
шается так, что F^2F0, то перекрытие спектров будет отсут-
ствовать, что показано на рис. 2.1, а. Частота отсчетов FA- = 2Fo
получила название частоты отсчетов Найквиста, или частоты
сворачивания.

Для того чтобы восстановить исходный временной сигнал
по его отсчетам, т. е. осуществить интерполяцию некоторого
континуума значений между этими отсчетами, можно пропус-
тить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних
частот (ФНЧ), обладающий прямоугольной частотной характе-
ристикой, показанной на рис. 2.1, д. В результате (см. рис. 2.1, е)

X (/) = Xs (/)  FW = [X (/) * F {TS}] • FW	(2.36)

восстанавливается исходное НВПФ. Используя теоремы о сверт-
ке во временной и частотной областях, получаем

х (t) = xs (/) * F-1 {FW} = [%(Z) TS] * <F-1 {FW} =

= 2 л: (лТ) sine ([Z—пТ]/Т).	(2.37)

Л- - 00

Выражение (2.37) представляет собой математическую запись
теоремы отсчетов во временной области^, которая утверждает,
что с помощью интерполяционной формулы (2.37) действитель-
ный сигнал с ограниченным спектром может быть точно вос-
становлен по бесконечному числу известных временных отсче-
тов, взятых с частотой F^2F0. Аналогичный подход может
быть использован и в случае комплексных сигналов с ограни-
ченным спектром с шириной спектра, равной 2F0 герц.

Дуальной к теореме (2.37) является теорема отсчетов в
частотной области. Теперь вместо сигнала с ограниченным
спектром рассмотрим действительный сигнал с ограниченной
длительностью, т. е. некоторый сигнал x(t), который равен ну-
лю при |/| >7'0. Если будем выполнять дискретизацию не во
зременнбй, а в частотной области с частотными интервалами

1/2То (в противном случае будет возникать наложение во
зремени), то получим периодическое продолжение неперекры-
зающихся сигналов с ограниченной длительностью. Применение
щеального прямоугольного временного окна будет восстанав-

> Теорема отсчетов в ряде случаев называется теоремой Уиттекера, Котель-
(икова и Шеннона (УКШ) —в честь ученых, ее сформулировавших и доказав-
jhx (см., например, [14*]). — Прим. ред.
«пивать ограниченный по длительности исходныйсинал; в час-
тотной области это будет соответствовать некоора операции
«фильтрации, используемой для восстановления 1схдного пре-
образования. Операции во временной области, харктеризую-
щие теорему отсчетов в частотной области, опииваотся выра-
жением

x(t) = [х(/) * Г"1 {FS}] TW,	(2.38)

а операции получения соответствующих преобр.зовний— вы-
ражением

X (/) = [X (/)  FS] * <F {TW} =

= пX ^/2Т0) sine (2Т0 [/- п/2Т0]) =

= S X(nF)sine—	(2.39)

описывающим процедуру интерполяции ОД-сигнла при кото-
рой F=l/27'o. Таким образом, НВПФ X(f) некоорго сигнала
с ограниченной длительностью может быть однонано восста-
новлено по равномерньм (эквидистантным) отмени спектра
такого сигнала, если выбранный интервал отсчеовпо частоте
удовлетворяет условию F^l/2To герц.

2.7. Соотношение между непрерывными
и дискретными преобразованиями

Для того чтобы по отсчетам данных получить епктральные
оценки в соответствующих единицах измерения энргии или
мощности, необходимо гспользовать несколько этлшающиеся
определения и терминологию по сравнению с обыньии опреде-
лениями для дискретною преобразования Фурье, поводимыми
в большинстве учебных пособий по цифровой об»аб>тке сигна-
лов. Пара преобразований для обычного опре^леия ДПФ
Х-точечной временной тоследовательности х[п] < соответству-
ющей ей Х-точечной последовательности преобраовяия Фурье
Х[&] дается выражениями

N-1

X[/г] = 2 хГп]ехр(—f2nkn!N)t	(2.40)

п = 0

Л-1

х[п] = ~ £ X[fe]exp(/2jt£n/X).	(2.41)
В данной книге используется пара дискретно-временных рядов
Фурье (ДВРФ)

N- 1

X [Л] = Т 2 х [л] ехр (— j2nknlN)t
п=0

х И=w X х И ех₽ (/2лАл/ЛГ).

k~0

определенных для	—1 и	1, поскольку в них

в явном виде введена зависимость от интервала отсчетов Т.
В этом разделе будут обоснованы выбранные наименование
и определение ДВРФ, а также и других форм преобразования
Фурье. Операции взвешивания и взятия отсчетов, введенные в
разд. 2,6, будут указывать на прямую связь НВПФ с ДВРФ и
другими преобразованиями Фурье. Более подробную информа-
цию о выводе некоторых соотношений, принятых в этом разде-
ле и не являющихся широко используемыми, можно найти в
книгах Бригхэма [4], Блумфилда [2], Папулиса [15],Жекинии
Явуза [8] и Оппенгейма и Уиллски [12].

ДВРФ можно рассматривать как некоторую аппроксимацию
НВПФ, основанную на использовании конечного числа отсчетов
данных. Для того чтобы показать точный характер этого соот-
ношения, нам потребуется последовательность из четырех ли-
нейных операций. К ним относятся взвешивание во временной
и в частотной областях и взятие отсчетов как во временной, так
и в частотной областях. Как уже было показано в разд. 2.6, ес-
ли операция взвешивания выполняется в одной из этих облас-
тей, то, согласно теореме свертки, ей будет соответствовать вы-
полнение операции фильтрации (свертки) в другой области с
функцией sine. Точно также, если дискретизация выполняется в
одной области, то в другой выполняется операция периодиче-
ского продолжения. Так как взвешивание и взятие отсчетов яв-
ляются линейными и коммутативными операциями, то возмож-
но много способов их упорядочения, т. е. последовательности
выполнения, все из которых дают одинаковый конечный резуль-
тат, хотя промежуточные результаты будут при этом различны.
На рис. 2.2 показаны две возможные последовательности вы-
полнения этих четырех операций. Рассмотрим сначала после-
довательность, обозначенную цифрами 1, 2, 4, 6 и 8. Исходная
функция непрерывного времени x(f) и ее преобразование X(f)
не ограничены и могут быть в общем случае непериодически-
ми, не ограниченными по спектру и по длительности. Если поло-
жить, что N отсчетов x(t) во времени взяты с равномерными
интервалами Т секунд, то первая операция FW ограничивает
ширину спектра этого сигнала частотами ±1/2Г герц (взвеши-
Рис. 2.2. Две возможные пследовятельности из двух операций взвешивания
и двух операций взятия отсетов, связывающие НВПФ и ДВРФ: FW— при-
меч.яие окна в частотной обасти; TW — применение окна во временной обла-
сти; FS— взятие отсчетов втастотной области; TS — взятие отсчетов во вре-
менной области; 1 — преобраование Фурье с непрерывным временем (НВПФ),
уравнение (2.22); обратное НВПФ, уравнение (2.23); 4 — преобразование
Фурье с дискретным времени (ДВПФ), уравнение (2.49); обратное ДВПФ,
уравнение (2.50); 5 — ряд Фрье с непрерывным временем (НВРФ), уравнение
(2.46); обратный НВРФ, урзнение (2.47); 8 — ряд Фурье с дискретным вре-
менем (ДВРФ), уравнене (2.53); обратный ДВРФ, уравнение (2.54).

вает в частотной области). Вторая операция TS означает взя-
тие временных отсчете с интервалами Т (секунд) полученно-
го в результате первойоперации ОС-сигнала. Третья операция
TW ограничивает длительность сигнала, полученного в резуль-
тате второй операции, / отсчетами. Четвертая операция FS
означает взятие отсчете по частоте с интервалами 1/NT герц,
что приводит к периоднескому продолжению исходных У вре-
менных отсчетов. Йспоъзуя приведенные в табл. 2.3 определе-
ния функций, описывакцих эти операции, получаем последова-
тельность операций во {ременной и частотной областях, кото-
рые даются следующим; выражениями:

^bpo = ((U(Z)*F-4FW}).TS)-TW)^-4FS},	(2.42)

*дврф = (((X (/) --W) < Г {TS}) * {TW})  FS. (2.43)

Операции взятия отсчетов между узлами 2—4 и 6—8 обратимы
при применении соответтвенно теоремы отсчетов во временной
и частотной областях; соответствующие операции обозначе-
ны буквами FW и TW, соторые поставлены на обратных стрел-
ках между узлами 4—2 и 8—6. Другой возможный путь, пока-
занный на рис. 2.2, исюльзует последовательность узлов 1, 3,
5, 7 и 8; в этом случае iapa операций взвешивания во времен-
ной области и взятияпечетов в частотной области заменена
парой операций взвешивания в частотной и взятия оте.иовво
временной областях.

В результате выполнения операций взвешивания и взятия
отсчетов в узлах 1, 4, 5 и 8 будут иметь место четыре различных
типа соотношений Фурье, а именно, непрерывно-временное пре-
образование Фурье (НВПФ), дискретно-временное преобразо-
вание Фурье (ДВПФ), непрерывно-временной ряд Фурье
(НВРФ) и дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ). Между
преобразованием Фурье и рядом Фурье имеют место качествен-
ные отличия: узлы, в которых функция в частотной области не-
прерывна, относятся к преобразованиям Фурье; узлы, в которых
функция в частотной области дискретна, относятся к рядам
Фурье. Заметим, что исторически сложившаяся терминология
дискретного преобразования Фурье, базирующегося на выраже-
ниях (2.40) и (2.41), не соответствует используемой нами.

Операции ограничения спектра и длительности, требуемые
для обеспечения связи между ДВРФ и НВПФ, показывают,что
ДВРФ представляет собой измененный вариант исходного не-
прерывно-временного сигнала x(t) и преобразования X(f).
Ограничение спектра (bandlimiting, BL) создает в узле 2
фильтрованную функцию времени вида

=	(2.44)

а ограничение Длительности (time limiting, TL) создает в уз-
ле 3 фильтрованную функцию преобразования (фильтрованный
спектр) вида

=	(2.45)

Отсчеты этих функций обозначаются как хВь[а] = хВ1(пТ) и
XTL[k\=XTL(k/NT).

Анализ последовательностей выполнения операций взвеши-
вания и взятия отсчетов, указанных на рис. 2.2, позволяет отме-
тить еще два интересных факта. В узле 5 операции взвешива-
ния во временной и отсчетов в частотной областях порождают
непрерывно-временной ряд Фурье (НВРФ). Соотношения Фурье
связывают в этом узле непрерывно-временную функцию с пе-
риодом NT секунд с линейчатым спектром. Используя указан-
ные в табл. 2.2 свойства и приведенные в табл. 2.3 определе-
ния функций, можно получить следующую пару преобразований
Фурье для этого случая:

XTL[k] = \"T x(t)exp(-j2akt/NT)dt, k = 0, ±1, ±2......± оо;

(2.46)

= У XTL И exp (j2nkt/NT), ('i-'i''NT. (2.47)
fe= - oe
Заметим, что выражение (2.47) определяет некотоую периоди-
ческую функцию, которая совпадает с заданной в 'зле 1 исход-
ной временной функцией только на интервале времени дли-
тельностью от 0 до NT. Выражение (2.47) предствляет собой
традиционную запись ряда Фурье некоторого приодическога
сигнала. В самых первых работах выражение (247) рассмат-
ривалось как основа гармонического анализа. Терема о энер-
гии для НВРФ имеет следующий простой вид:

р" lx(i) 141 = Л. £ [Xri[fe]|=.	(2.48)

k= - ®

Это выражение характеризует энергию сигнала н периоде NT
секунд.

В узле 4 взвешивание в частотной и взятие отчетов во вре-
менной областях порождают дискретно-временнбепреобразова-
ние Фурье (ДВПФ), которое характеризуется юриодической
функцией спектра в частотной области с периодом 1/7 герц.
Для дискретно-временной последовательности .[п] и непре-
рывного периодического по частоте спектра X(f) можно запи-
сать следующую пару преобразований Фурье:

X(f)=T i хв£Иехр(-/2лМТ), -1/27</С 1/27, (2.49>
п= - as

xBL[n] = ^i2TX(f)exp(i2nfnT)df, п = 0, ±1, ±2.........± оо.

(2.50)

Заметим, что выражение (2.49) определяет некотрую периоди-
ческую функцию, совпадающую с заданной в уз.е 1 исходной
преобразованной функцией только на интервалеот —1/27 да
1/27 герц. Теорема о энергии для этого ДВПФ иьеет вид

*	р 1/27’

т KlH |2= $_',;2Г|Х(/)|2ЙЛ	(2.51)

и характеризует энергию на периоде частоты 1/7 ерц. Вираже*
ние (2.49) связано с ^-преобразованием некоторо дискретной,
последовательности соотношением

X (/) = TX(z) |г=ехр(/2л/гЬ	(2.52>

где Х(г)—^-преобразование последовательности 'blИ- Пред-
полагается, что область сходимости этого г-п]еобразования-
включает единичную окружность. Таким образом,ДВПФ — это.
просто ^-преобразование, вычисленное на единимой окружно--
сти в z-плоскости и помноженное на 7. Дискрено-временнбе?
преобразование Фурье будет очень часто использоваъся в этой
КНИГ1

Независимо от того, какая из двух последователностей че-
тыре. операций выбрана, окончательный результат вузле 8 бу-
дет цним и тем же. В этом узле порождается диаретно-вре-
меняй ряд Фурье (ДВРФ), которому соответствует ледующая
парапреобразований:

ХГ1Л] = Г У, xSL[n]exp(— j2nkn/N), k =	1,

п=0

(2.53)

.	AV2-1

Хвь\п~~хт ^2 ^tl [£] exp (j2nkn/N), n = 0, ..., jV-1, (2.54)
fe=-A72

которое получаются в результате использования свйств, ука-
занных в табл. 2.3. Теорема о энергии для этого ДВ1Ф просто
имеетвид

Л'_-1	JV/2-1

т X М12 = 77т Е 1^дМ|2,	(2.55)

n = 0	А=-Л72

и харктеризует энергию последовательности из отсчетов
данных.

Ofe последовательности хВх.И] и Хть[£] перио.ичны по
модуле Л’, поэтому при —N/2^k^l справедливо эавенство
=Хтг[Лг—k]. Выражение (2.54) можно дале< записать
в экввалентной форме

N-1

Xbl и = jpy У, Xr£ [ft] exp (ilakn/N), (2.56)
n=0

где	—1. Выражения (2.53) и (2.54) обра.уют пару

дискртно-временных рядов Фурье, относящихся к исадной па-
.ре: нярерывно-временнбй функции x(t) и непрерыво-частот-
ной функции X(f). Существенное различие между выражения-
ми дл ДВРФ и обычными выражениями для ДПФ вда (2.40)
и (2.4) заключается в наличии величины Т, характеизующей
.интерйл отсчетов по времени (в секундах). Множитль \INT,
харакеризует интервал отсчетов по частоте (в герых). Ука-
занны множители необходимы для того, чтобы В1ражения
(2.53) и (2.54) являлись в действительности аппроызимацией
«нтегрла преобразования в области интегрирована

?NT

S^[n]exp(—j2nnfT)Tm\0 х(/)ехр (—/2n/Z)iZ. (2.57)
n = 0	J
Здесь Т и 1/NT являются масштабным множителями ДВРФ
относительно частоты отсчетов, что обспечивает корректность-
масштабов при вычислении энергии и модности.

Исходя из рис. 2.2, можно установиъ требуемое точное со-
отношение ДВРФ временной последовтельности или ДВРФ
последовательности преобразований и оответственно исходной
непрерывно-временной функции или ис одной функции непре-
рывного преобразования. Если ширина спектра x(t) ограниче-
на частотой 1/Т герц, то ДВРФ временбй последовательности
будет сохранять исходные значения xt) в отсчетных точках,
однако ДВРФ последовательности пробразований будет со-
стоять из отсчетов некоторого «размытою» варианта исходного
преобразования X(f); см. выражение (144). С другой стороны,
если длительность x(t) фактически огрничена интервалом NT
секунд, то ДВРФ последовательности греобразований сохраня-
ет исходные значения X(f) в отсчетных точках, однако ДВРФ
временной последовательности будет сстоять из отсчетов не-
которого «размытого» варианта исходнсо сигнала х(/); см. вы-
ражение (2.43). Эффекты размытия м<жно ослабить за счет
уменьшения Г (так что 1/Т будет соответствовать болееширокой
полосе) или увеличения N (так что ЛГ будет соответствовать
большей длительности), в результате что ДВРФ будет точнее
аппроксимировать НВПФ. Заметим, чт ДВРФ будет идентич-
ным НВПФ только в случае периодичеких сигналов, которые
можно представить в виде суммы из кмплексных синусоид с
частотами k/NT герц, где £ = 0, ..., N—1

2.8.	Масштабирование для определения мощности

По аналогии с определением (2.31)для спектральной плот-
ности энергии непрерывно-временного треобразования Фурье
можно, используя теорему о энергии 2.51), записать следую-
щее выражение для спектральной плоности энергии дискрет-
но-временного преобразования Фурье (^ВПФ):

Здвпф (/) = IX (/) |3 = | Т xBL W exp (- №fnT) |, (2.58)
определенное при —1/2Т<f<l/2T. Испльзуя теорему о энергии
(2.48), можно получить следующее выажение для спектраль-
ной плотности энергии непрерывно-врменнбго ряда Фурье
(НВРФ):

Знврф И = I Xtl И |3 = | $ У х (Z) е;р (—j2nktINT)dt |2, (2.59>
определенное при —оо<;£<;оо. Исползуя теорему о энергиа
(2.55), можно также получить следующе выражение для спект-
€•	Глава 2	|

рльной плотности энергии дискретно-временного ряда Фурье

Здврф н = | [fc] I2 = | т 2 *bl [«] exp (— ftnkn/N} | , (2.60)

аределенное при O^k^N—1.

И НВРФ, и ДВРФ определяют периодические функции вре- i
лени с периодом N’T секунд. Мощность равна энергии, отнесен- I
юй к единице времени. Поэтому, поделив спектральные плот-
юсти энергии (СПЭ), определяемые выражениями (2.59) и
£.60), на NT, получим следующие выражения для детермини-
рванной спектральной плотности мощности (СПМ):

^нврф [£] = $нврф И >	(2.61)	|

г.е —оо<С^<оо, и	'

N-1	?

6врф И = -fir Здврф и = Тг У. XBL [«] exp (— ftnknlN) , (2.62)

г.е	1. Обе эти плотности выражаются в единицах

мицности на 1 Гц. Далее можно получить выражения для пол-
Н'й мощности Р, выделяемой за один период, путем определе-
н. я. площади под кривой СПМ

РНВРФ = F 2 рНВРФ [&],
k=— 95

2V-1

Рдврф = Р i ^дврф[^]»

г# F=1/NT — интервал дискретных отсчетов по частоте в гер-
цх. В некоторых учебниках «спектр» ДВРФ определяется как

F • -Рдврф [*] = 1У- XBL И ехр (— / 2nkn/N) | ,	(2.63)

пскольку эта величина не зависит от интервала отсчетов Т. Ве-
л)чина, определяемая выражением (2.63) при каждом значении
ищекса k, будет точно равна мощности синусоиды с частотой
kNT герц (см. ниже разд. «Задачи»). Однако в отличие от вы-
ражения (2.62) выражение (2.63) не представляет собой кор-
ректно промасштабированную функцию СПМ.
2.9.	Дополнение нулями

С помощью процесса, называемого дополнением нулями., "дис-
кретно-временной ряд Фурье может быть измиен для интерпо-
ляции между N значениями исходного преоб)азования. Пусть
имеющиеся отсчеты данных х[0],..., x[Af—1]дополнены нуле-
выми значениями x|W],..., x[27V—1]. ДВРФэтой дополненной
нулями 2Л^-точечной последовательности даных будет опреде-
ляться выражением

2ЛГ—1	N—1

Х[й] = 7' 2*ИехР(—j2nnk!2N) = T S х[пехр(—/2ля£/2У),
п=0	п=0

(2.64)

где верхний предел суммы в правой части из:енен таким обра-
зом, чтобы учесть наличие введенных нулевьх отсчетов. Пусть
k = 2l, так что

N-1

Х[1] = Т У х[п]ехр(—(2.65)
л=0

где /=0, I,..., N—1, определяет четные значния Х[/г]. Следо-
вательно, при четных значениях индекса k 2#гочечный дискрет-
но-временной ряд Фурье сводится к /V-точечнму дискретно-вре-
менному ряду. Нечетные значения индекса k соответствуют ин-
терполированным значениям ДВРФ, расположенным между зна-
чениями исходного ^-точечного ДВРФ.

По мере того как все большее число нулейдобавляется в ис-
ходную /V-точечную последовательность, модно получить еще
большее число интерполированных значений Влияние допол-
нительных нулей на интерполирование иллютрирует рис. 2.3.
В предельном случае бесконечного числа ввцимых нулей дис-
кретно-временной ряд Фурье может рассматриваться как дис-
кретно-временное преобразование Фурье JV-тоечной взвешенной
последовательности данных:

N- 1

2<(/) = 7’ 2 х[/г]ехр(—/2л//г7).	(2.66)

п=0

Преобразование, определяемое выражением (.66), соответству-
ет узлу 6 на рис. 2.2. Заметим, что бытует неравильноемнение
о том, что дополнение нулями улучшает разршение, поскольку
оно увеличивает длину последовательности даных. Однако, как
следует из рис. 2.3, дополнение нулями не улшиает разрешаю-
щую способность этого преобразования, полуенного по задан-
ной конечной последовательности данных. Дополнение нулями
просто позволяет получить интерполирование преобразование
более сглаженной формы. Кроме того, оно усраняет неопреде-
5—1366
в	г

'ис. 2.3. Интерполяция за счет дополнения нулями: а—модуль ДВПФ 16-то-
ечной записи данных, содержащих три синусоиды; б — модуль ДВРФ той же
оследовательности данных без дополнения нулями (неопределенности не раз-
ешены); в — модуль ДВРФ той же последовательности после двукратного
величения ее отсчетов за счет дополнения нулями (неопределенности разре-
1ены, так как различимы все три синусоиды); г — модуль ДВРФ той же по-
ледовательности данных после восьмикратного увеличения числа ес отсчетов
за счет дополнения нулями.

:енности, с которыми приходится иногда сталкиваться на прак-
'ике, имея дело с дискретно-временными рядами Фурье, обу-
словленными наличием узкополосных компонент сигнала с дент-
альными частотами. Эти частоты лежат между N точками, со-
ответствующими оцениваемым частотам исходного (т. е. не до-
юлненного нулями) дискретно-временного ряда Фурье, что ил-
.юстрирует рис. 2.3. При дополнении нулями повышается также
; точность оценивания частоты спектральных пиков.

.10. Быстрое преобразование Фурье

быстрое преобразование Фурье (БПФ)—это не еще одна раз-
ювидность преобразования Фурье, а название целого ряда эф-
фективных алгоритмов, предназначенных для быстрого вычис-
ления дискретно-временного ряда Фурье. Принцип! построение
этих алгоритмов обсуждаются в многочисленных рботах; см.
например, Отнес и Эхонсон [13], Бригхэм [4], Райнер и Гол/
[16], Макклеллан и Рэйдер [10], Эллиот и Рао [], Берглан/
[1], Кокран и др. [5]. Поэтому в данном разделе mi лишь крат
ко остановимся на принципах достижения той выислительнот
экономии, которую обеспечивают алгоритмы БПФ. БПФ — эт<
первый из нескольких быстрых вычислительных алоритмов, ко
торые будут рассмотрены в данной книге примениельно к ме
тодам спектрального оценивания.

Основная идея БПФ — деление A-точечного ДВ’Ф на два !
более меньших ДВРФ, каждый из которых можю вычислит!
отдельно, а затем линейно просуммировать с осталными, с теь
чтобы получить ДВРФ исходной A-точечной послед<вательности
Эти ДВРФ меньшего размера можно в свою очердь поделит!
на еще меньшие ДВРФ соответственно меньших пследователь
ностей. В общем случае вычисление N точечного Д1РФ требуе’
выполнения log’s шагов с операциями сложения t N/2 опера
циями умножения на каждом шаге. Таким образов А-точечно<
БПФ требует выполнения примерно A logs А -ложений i
Nlog2(A/2) умножений комплексных чисел, что значительш
меньше тех А2 операций, которые необходимы дляраздельноп
вычисления А значений преобразования по А-точечой последо
вательности данных. Если используется дополнени нулями, т(
за счет исключения, или удаления, вычислительна путей, со
держащих одни лишь нулевые значения, можно достичь ещ<
большего уменьшения объема вычислений; более юдробно см
об этом в статьях Маркела [9] и Сриниваса и Рао 17].

В приложении 2.В приведена программа на Фртране дл;
алгоритма БПФ с децимацией (прореживанием) лсчастоте. Бо
лее сложные программы БПФ приводятся в гл. 1 сборник;
«Программы для цифровой обработки сигналов» [6], опубли
кованного издательством IEEE Press в 1979 г., т в учебнию
Макклеллана и Рэйдера [10].

2.11, Разрешение и произведение длительности
на ширину полосы

Общепринятое эмпирическое правило, часто испоьзуемое пр!
спектральном анализе, гласит, что спектральное рзрешение j
герцах приближенно равно величине, обратной инервалу вре
мени наблюдения сигнала в секундах. Поскольку расстоянш
между спектральными линиями ДВРФ равно 1/NT ц, где АГ —
полный интервал времени наблюдения, каждая «ячйка» разре
шения ДВРФ по частоте будет, согласно этому гоавилу, при
мерно соответствовать предельной величине спектрльного раз
5«
решемя. В этом разделе анализируются обоснованность ука-
занное эмпирического правила и возможность его использова-
ния в качестве некоторой меры разрешения. Результаты этого
раздел применимы к случаю детерминированных сигналов ко-
нечно! энергии. К обсуждению произведения длительности на
шири у полосы (частот) мы еще вернемся в гл. 5, где будет
покаано, что для анализа случайных сигналов конечной мощно-
сти вобходима модификация с использованием произведения
трех еличин — статистической устойчивости оценки, длительно-
сти ипирины полосы.

Синал х[п] не может одновременно быть ограниченным по
длитещности и по ширине полосы спектра. И хотя любая функ-
ция н может быть строго ограниченной по длительности или по
полос, ее все же можно охарактеризовать некоторым интерва-
лом 7. секунд, в котором сосредоточена большая часть ее энер-
гии пи представлении во временной области, и некоторым ин-
терваюм Ве герц, в котором сосредоточена большая часть ее
энерг.и при представлении в частотной области. Для количест-
венное описания временной концентрации энергии дискретно-
времаной последовательности отсчетов сигнала и соответствую-
щей чстотной концентрации ее преобразования предложено не-
скольо различных мер. Две из них рассмотрены ниже.

Эюивалентная длительность Те дискретно-временного сигна-
ла х[.] определяется как

т 2 х[л]

’ (2-67)

т. е. ными словами, как «площадь» этого дискретного сигнала,
подел:нная на его центральное значение. Эквивалентная дли-
тельнсть сигнала равна длительности сигнала с прямоугольной
огибающей, высота которого равна значению в начале ко-
ордигат, т. е. х[0], а площадь равна площади исходного сигна-
ла; ск рис. 2.4, а и 2.4, б. Заметим, что в общем случае Те не бу-
дет цлочисленно кратным интервалу отсчетов Т. Эквивалентная
ширина полосы Ве дискретно-временного преобразования Фурье
X(f) сигнала х[п] определяется аналогично как

см. ри. 2.4, в и 2.4,а. Эти две меры временной и частотной кон-
центр ций применимы лишь к действительнозначным симмет-
ричньи сигналам с максимальным значением в начале коорди-
нат, нтеграл от которых имеет конечное ненулевое значение.
Эти уловия точно выполняются для весовых функций (окон),
Рис. 2.4. а — последовательность отсчетов исходного сигнала; б — эквивалент-
ная длительность сигнала с прямоугольной огибающей, имеющего равную с
исходным сигналом площадь и высоту, равную высоте исходного сигнала; в —
преобразование Фурье исходного сигнала; г — эквивалентная ширина полосы
преобразования Фурье прямоугольной формы, имеющего площадь, равную пло-
щади преобразования Фурье исходного сигнала и равную с ним высоту.

которые рассматриваются в гл. 5 в связи с обсуждением клас-
сических спектральных оценок.

Из соотношений (2.49) и (2.50) с очевидностью следует, что

х(0)=т $ Ф1.
п=~<ж

(2.69)

откуда получаем, что произведение длительности и ширины по-
лосы равно

7 2

n=-»	J-1/2T	'

х(0]	•	Х(0)

(2.70)

а это означает, что эквивалентная длительность сигнала и эк-
вивалентная ширина его преобразования являются взаимно об-
ратными величинами. Именно это равное единице произведение,
в котором Те полагается равным интервалу наблюдения, и поло-
70

Глава?

жено в основу эмпирического прзила, упомянутого в начале
данного раздела.

Возможно другое определение троизведения длительности и
ширины полосы, основанное на юнятии среднеквадратичной
длительности (ширины). Среднеквдратичная ширина является
мерой дисперсии (среднеквадратиного отклонения) некоторой
функции от ее среднего значения Для того чтобы получить
возможность оперировать с более широким классом функций,
чем это возможно при использовали эквивалентных длительно-
сти (2.67) и ширины полосы (2.6!), можно использовать опре-
деления среднеквадратичной шрины для функций вида
|х[п] |2 и |X(f) |2. Такой подход .озволяет получать значимые
среднеквадратичные величины шюины для комплексных функ-
ций, осциллирующих функций и фикций, которые имеют нуле-
вую интегральную площадь. Среаеквадратичная длительность
Те дискретно-временного сигнала к[п] определяется как

Т V (7У|хИ|3

(Те)2 = -!~------------,	(2.71)

Т У,
П= - I

а среднеквадратичная ширина полосы Ве дискретно-временного
преобразования Фурье X(f) сигнала х[п] определяется анало-
гично как

ФеУ =



(2.72)

В приведенных определениях пред слагается, что средние значе-
ния и X(f) соответствуют отчетам х[0] и Jf(O), хотя эти
определения можно изменить таим образом, чтобы средние
значения не соответствовали началу координат.

Поскольку, согласно выражение (2.51), энергия сигнала
х[л] и преобразования X(f) опредляется как

£ = 7’n_2j^] |2=	*(/)!’

то произведение среднеквадратнчых величин длительности и
ширины полосы (Те)2(Бе)2 будет рвно

т 2

(ТеУ (Be)2 =	----------&--------------------

(2.73)
Используя одну из разновидностей неравенства Шварт, а так-
же полагая, что сигнал имеет конечную энергию Е и урвлетво-
ряет условию

lim (пТ) | х [л] |а = 0,

можно показать [3, 14], что (Те.)2(5е)2^1/16л2. Поэтму про-
изведение среднеквадратичных значений длительности ииирины
полосы сигнала удовлетворяет условию

ТеВе>^.	(2.74)

Если положить, что Те примерно равно Те, то условю (2.74)
устанавливает несколько меньшую ширину полосы кацентра-
ции энергии, чем условие (2.70).

Ширина полосы Вк на уровне половинной (3-дБ) лэщности
часто используется на практике в качестве некоторой ашрокси-
мации величины Бе, поскольку ее легко измерить. Это —ширина
полосы, в которой квадрат величины данного преобразовния ра-
вен половине квадрата его значения в начале коордиит, т. е.
там, где |Х(±5а/2) |2= |Х(0) |2/2.

Выражения (2.70) и (2.74) устанавливают связь ме<ду вре-
менной концентрацией одиночного сигнала и спектралной кон-
центрацией его преобразования. Величина ТВ количественно не
определяет способности разрешать спектральные отклки, обу-
словленные двумя или более сигналами. Поэтому в лиературе
появилось множество определений разрешения, болышяство из
которых касается способности разрешать спектральныеотклики
двух синусоид, близких по частоте и амплитуде. Эти аределе-
ния основаны на некоторой мере того, насколько (низкими
должны быть эти две синусоиды, чтобы их спектральньз откли-
ки стали неразрешимыми. Общим во всех этих опре.елениях
является допущение о том, что разнесение синусоид псчастоте
не может быть меньше эквивалентной ширины полосы кна, че-
рез которое наблюдаются сегменты (отрезки) этих дву: синусо-
ид. Поскольку большинство критериев разрешения касатся сиг-
налов, наблюдаемых на некотором временном интервал’ (окне),
то для определения эквивалентной ширины полосы, а следова-
тельно, разрешения, чаще всего используется произведшие дли-
тельности и ширины полосы ТеВе. Поэтому говори, что
разрешение в герцах приближенно равно величине обрат-
ной времени наблюдения. Некоторые из описанных в згой кни-
ге методов спектрального оценивания обеспечивают азреше-
ние, превосходящее эту величину. Именно поэтому след;ет очень
осторожно интерпретировать произведение ТВ, если онсисполь-
зуется для вывода заключения о вличине разрешения. М<год1
высокого разрешения эффективноэкстраполируют измерены
сигнал за пределы интервала наблюдения, поэтому эффетив
ный интервал наблюдения характризуется большим вреьене?
концентрации энергии, чем исхо.ный интервал наблюдни*
А это означает, что эффективная еличина Те становится юле
ше, поэтому величина Ве будет мныпе, а следовательно, раэ
решение — соответственно выше.

Литература

[1]	Bergland G. D. A Guided Tour of the ?ast Fourier Transform. lEEESpec
rum, vol. 6, pp. 41—52, July 1969.

[2]	Bloomfield P. Fourier Analysis of Tim< Series: An Introduction. JohrWile
& Sons, Inc., New York, 1976.

[3]	Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications. McGrw-Hi
Book Company, New York, 1978.

(4)	Brigham E. 0. The Fast Fourier Traniorm. Prentice-Hall, Inc., Engpwod
Cliffs, N. J., 1974.

[5]	Cochran W. T. et al. What Is the Fat Fourier Transform?. IEEE Fran
Audio Electroacoust., vol. AU-15, pp. 41—55, June 1967.

[6]	Digital Signal Processing Committee, id., Fast Fourier Transform Sbrot
tines, Chapter 1 in Programs for Digtal Signal Processing. lEEEPres,
New York, 1979.

[7]	Elliott D. F., Rao K. R. Fast Algo.thms — Applications, Analysi, an
Application. Academic Press, Inc., Newfork, 1983.

[8]	Geckinli N. C., Yavuz D. Discrete Fouier Transformation and Its Aplics
tions to Power Spectra Estimation. Ehvier Scientific Publishing Coipan;
Amsterdam, 1983.

[9]	Markel J. D. FFT Pruning. IEEE Tras. Audio Electroacoust., vol. iU-1'.
pp. 305—311, December 1971.

[10]	Number Theory in Digital Signal Procesing, J. H. McClellan and C. Ri
der, eds., Prentice-Hall, Inc., Englewoo1 Cliffs, N. J., 1979.

[11]	Oppenheim A. V., Schafer R. W. Digial Signal Processing. Prentic-Hal
Inc., Englewoods Cliffs, N. J., 1975. [Имеется русский перевод: 'ппе*
гейм А. В., Шафер Р. В. Цифрова) обработка сигналов. — М.: Звяз!
1979.]

[12]	Oppenheim А. V., Willsky A. S. Signls and Systems. Prentice-Hal Inc
Englewoods Cliffs, N. J., 1983.

[13]	Otnes R. K., Enochson L. Digital TimeSeries Analysis. John Wiley iSon
Inc., New York, 1972.

[14]	Papoulis A. The Fourier Integral and Its Application. McGraw-Hil Boo
Company, New York, 1962.

[15]	Papoulis A. Signal Analysis. McGraw-Iill Book Company, New York 197'

[16]	Rabiner L. R., Gold B. Theory and App cation on Digital Signal Procssinf
Prentice-Hall, Inc., Englewoods Cliffs,N. J., 1975. [Имеется русски! nept
вод: Рабинер Л., Голд Б. Теория и пименение цифровой обработи chi
налов. — М.: Мир, 1978.]

[17]	Sreenivas Т. V., Rao Р. V. S. FFT Agorithm for Both Input and >utpt
Pruning. IEEE Trans. Acoust. Speec Signal Process., vol. ASP-2^
pp. 291—292, June 1979.
Зарчи

1.	„оказать, что 6(а/=6(/)/|а|, т. е. что

6(а/) Ф (ОЛ=-Д-Г 6 (/) Ф (i/a) dt.
J -ж	I О I J -св

2.	(оказать, что в сучае комплексного выхода устройства омплексной де-
одуляции действтельного сигнала частота отсчетов дожна равняться
ишь половине часоты отсчетов исходного действительног сигнала.

3.	(редположим, чтонеобходимы только первые N/2 из N ыходных значе-
ий преобразованн Фурье, получаемых с помощью подрограммы FFT
ем. ниже приложние 2.В). Показать, каким образом мжно сократить
бъем вычислений,для того чтобы уменьшить вычислителную сложность
той программы? Ькова величина этой экономии?

4.	(оказать, что

п= - св

11 к) ш (х/т) = у /(пт)б(х-пт).

П= - X

5.	Задача на факторзацию: задана функция g(f), преобрзование Фурье
второй G(/) являтся неотрицательной функцией; найи каузальную
сункцию, такую чэ	это означает, что Gi) = |F(f)

6.	здача на вычислние произведения ТВ: задана односторнняя экспонен-
нальная функция

I А ехр (—апТ), п^О;

ХП] = \0,	п<0,

не Т — интервал (гсчетов, а а—положительная констант. Найти Г», Вв,
%, Ве и соответстеющие величины произведений длительнсти на ширину
г>лосы для этой )ункции. Какое нз этих произведений будет меньше?
Гочему?

7.	1айти эквивалентню длительность и эквивалентную шириу полосы окон,
аределенных в тай. 5.1.

8.	&дана функция

f ею(—0,1/) + ехр(—0,5/), 0</<[0с,
x(t) = < л

[ 0, в остальных случаях.

кпользуя выражеие (2.30), вычислить энергию Е НВПЗэтой функции.
Ели отчеты x(t) ыполняются с интервалом Т секунд, начная с момента
£=0, то какое значние Т необходимо выбрать для того, чтбы выражение
(.51) для энергии ДВПФ аппроксимировало энергию Н1ПФ с погреш-
нстью не более 1°/? Не более 0,01 %?

9,	1усть х[п]=Л ехр>-/2лп&/У). Показать, что выражение (.63) позволяет
аределять мощнось комплексной синусоиды х[п].

10.	Доказать теорему • энергии (2.54) для дискретно-временнсо ряда Фурье.
1риложение 2.А

кточник комплексных сигналов

[отя большинство сигналов с дискретным временем — это дей-
твительные отсчеты сигналов с непрерывным временем, в сов-
еменных системах обработки сигналов эти действительные от-
четы при некоторой последовательности операций обработки
1чень часто преобразуются в комплексные отсчеты, поскольку
.ействительные отсчеты умножаются на комплексную синусоиду
xp(jW). Например, одним из системных требований часто яв-
[яется обработка в частотной области. Это означает, что при
'бработке должен использоваться комплексный ДВРФ

N- 1

X [&] = Т 2 х [п] ехр (— j2nkn/N)t
п—0

; который входят произведения с комплексными синусоидами.

Еще одной распространенной причиной появления комплекс-
ных данных является комплексная демодуляция действитель-
(ых полосовых сигналов, в результате которой получаются
комплексные информационные (т. е. модулирующие) сигналы,
’ассмотрим показанный на рис. 2.5, а симметричный спектр дей-
твительного полосового сигнала и спектр требуемого комплекс -
(ого модулирующего сигнала, центрированного относительно
частоты 0 Гц. Этот сигнал имеет ширину полосы В герц и полу-
ается в результате формирования произведения х[л]ехр(/Х
<2nfotiT)t где fo — центральная частота полосового сигнала,
последующей фильтрации результирующего сигнала с по-
ющью фильтра нижних частот (ФНЧ) с действительными ко-
ффициентами и граничными частотами ±В/2 герц, как показа-
[О на рис. 2.5,6. Поскольку

ехр (/2л/0 пТ) ~ cos (2л/0	+ jsin (2л/0

о процесс комплексной демодуляции можно, например, реали-
овать на практике с помощью схемы, показанной на рис. 2.5, в.

(риложение 2.Б

>бработка в области волновых чисел с помощью
линейных пространственных решеток

комплексная синусоида как функция дискретного времени име-
т форму экспоненциальной функции вида ехр(/2л//гТ), 1^/г^
ZiN, которая получается в результате взятия равномерных от-
четов с интервалом Т секунд на временной апертуре NT се-
;унд. Спектральный анализ используется для определения час-
оты синусоиды f по N отсчетам. С аналогичной лространствен-
;ой задачей приходится сталкиваться при обработке сигналов,
Действительна
сигнал х []

Комплексный сигнал y[nj

Рис. 2.5, Комплексны процесс демодуляции: а — спектры исходного действи-
тельного сигнала (сева) и демодулированного комплексного сигнала (спра-
ва); б — комплексна демодулятор сигнала; в — схема реализации комплекс-
ного процесса демодуляции.

Рис. 2.6. Линейная ешетка из N приемных элементов (датчиков), располо-
женных в пространстве с интервалом D.
получаемях с помощью решетки равномерно разнесенных в
пространтве приемных элементов (датчиков), скажем такой,
как покзана на рис. 2.6. Монохроматическая гпоская волна с
частотой^, падающая на эту решетку под угломО, после равно-
мерной .искретизации с интервалом D на прстранственной
апертуререшетки длиной ND будет иметь фор:у экспоненци-
альной функции вида ехр(/2яЛл£>), l^n^N. Пространственный
спектралный анализ используется для определния волнового
числа k о отсчетам сигналов N датчиков. Воловое число k
и угол пдения плоской волны 6 связаны следукщим соотноше-
нием:

k — ~ sin 6 = ^-sin0,
с	к

где с — аорость распространения плоской волнь, а X— ее дли-
на волнь Таким образом, пространственный спектральный ана-
лиз можю использовать для непосредственного вхождения со-
отношенья, связывающего угол падения плоскойволны 0 с оце-
ниваемы; значением волнового числа k.^

Приложеие 2.В

Программа быстрого преобразования Фурье (БПо)

Имеется ьелый ряд машинных программ БПФ, кодящих как в
коммерчекие пакеты программ, так и описании в литературе
[6, 10]. )днако ради полноты изложения матертала в данную
книгу бьла включена простая программа БПФ о основанию 2
с децимцией в частотной области, которая исгользуется в не-
сколькихпрограммах, помещенных в других глаьах данной кни-
ги. Поскольку работа этих программ была уже гооверена спри-
менениеь приведенной здесь подпрограммы FF', читатели мо-
гут (прижелании) испробовать их, заменив в ых эту подпро-
грамму оонми собственными алгоритмами БПФ.

Для ычисления БПФ используются две подпрограммы на
Фортране Подпрограмма PREFFT вызывается ля составления
таблицы комплексных экспонент. Параметр МОЕЕ устанавлива-
ется либ< в 0, либо в 1 в зависимости от того, прямой или обрат-
ный ДВ1Ф рассматривается. Подпрограмма PIEFFT предназ-
значена акже для проверки, является ли введаное число от-
счетов стпенью числа 2. Если N не является стпенью числа 2,
то кодомошибки программа возвращается в начло. После вы-
зова PRiFFT может повторно вызываться под]рограмма FFT
столько ]аз, сколько необходимо для обработкитребуемого ко-
личестваДГ-точечных наборов данных. Подпрограмма FFT пред-

о Обычно . качестве волнового числа k принимается .-Прим. ред.
ставляет собой алгоритм БПФ по основнию 2 с дещмацией в
частотной области и постепенной замен»й массивов исходный
массив входных данных заменяется выходными значеыями пре-
образования по мере их вычисления). Пи установке ираметра
MODE в 0 будет вычисляться ДВРФ

jv-i

X[k} = T 2 х[п]ехр(—jtnkn/N),	(2.В.1)

л=0

при установке этого параметра в 1 буде: вычисляться обратный
ДВРФ

* и = Xf L Х И ехР	(2.В.2)

ft=0

Здесь	rt<zN—1. Значения данны? и преобразоания ин-

дексируются числами от 1 до (V, а не отО до N—1, :ак было
определено выше. Для использования эт«й подпрограммы с дей-
ствительными данными необходимо перд ее вызовем просто
положить мнимую часть равной нулю.

Если 64-точечная тест-последователыость данных, триведен-
ная в приложении II, помещенном в коде книги, испльзуется
с параметрами N = 64, MODE=0 и Т=10, то будут ычислены
значения, указанные в следующей частиной распечатке выход-
ных данных:

Х(1) = (—1,62146; 1,5532);

Х(2) — (—1,82918; 1,6953);

X (3) = (—2,06704; 1,7619);

Х(62) = (—1,21244; 1,3462);

Х(63) = (—1,31569; 1,4036);

Х(64) = (—1,45793; 1,4&31).

С Эти две подпрограммы составляют таблицу комплексных эксонент (под-
С программа PREFFT) и вычисляют дискреио-временной ря Фурье по
С массиву отсчетов комплексных данпых с пмошью алгорита быстрого
С преобразования Фурье с децимацией в частсной области (пцпрограмма
С FFT).

С

с Подпрограмма PREFFT (N, MODE, NEX', W)

С Входные параметры:

С N — число отсчетов данных, подле>ашее обработке (целое чис-
ло, которое должно быть степеью числа 2).

С MODE —устанавливается в 0 для вычеления ДВРФ (выражение
£	(2.В.1)) или в 1 для вычислеия обратного Д>РФ (выра-

с	жение (2.В.2)).
С

С Выходные параметры:

С

С NEXP —указывает степень числа 2, такую, что N = 22**NEXP. Ъга-

С	навливается в —1, для того чтобы указать ошибочное сло-

С	вие, если N не является степенью числа 2 (это целое чело

С	используется подпрограммой FFT).

С W — массив комплексных экспонент.

С

С Примечание:

С

С Размеры. GE. N внешнего массива W должны указываться вызыаю-

С щей программой.

С

С

COMPLEX W(l), CI, С2

NEXP=1

5 NT=2**NEXP

IF (NT .GE, N) GO TO 10

NEXP = NEXP+1

GO TO 5

10 IF (NT .EQ.-N) GO TO 15
NEXP= —I	! Ошибка: N не есть степень числа 2

RETURN

15 S = 8.*ATAN(1.)/FLOAT(NT)

Cl = CMPLX(COS(S), — SIN(S))

IF(MODE .NE. 0) C1=CONJG(C1)

C2=(l.,0.)

DO 20 K=L NT

W(K)=C2

20	C2=C2*C1

RETURN
END

Подпрограмма FFT (N, MODE, T, NEXP, W, X)

C

С Входные параметры:

С

C N, MODE, NEXP, W — см. список параметров для подпрогрммы
PREFFT.

СТ	— интервал отсчетов в секундах.

С X	— массив из N отсчетов комплексных даннк от

С	Х(1)доХ(И).

С

С Выходные параметры:

С

С X — N комплексных значений преобразования замещают исходны от-

С	счеты данных с индексами от к=1 до k=N, представлякиими

С	частоты (к—I)/NT герц.

С

С Примечание:

С

С Размеры .GE. N внешнего массива X должны указываться вызыаю-

С щей программой.
40

50

60

70

80

85

90

100

CCMPLEX X(l), W(1),C1,C2

LL=N

D( 70 K=l, NEXP

NN=LL/2

JJ=MM+1

DO 40 1=1, N, LL

KK=I+NN

C1=X(I)+X(KK)
X(KK)=X(I)-X(KK)

X(I)=C1

IF(NN .EQ. 1) GO TO 70

DO 60 J = 2, NN

C2=W(JJ)

DO 50 I=J, N, LL

KK=I+NN

C1=X(I)+X(KK)

X(KK) = (X(1)-X(KK))*C2

X(I)=C1

JJ=JJ+MM

LL=NN

CONTINUE

N12 = N/2

NiI = N—1

D( 90 1=1, NMI

IF (I GE. J) GO TO 80

C1=X(J)

X(J)=X(I)

X(I)=C1

K=NV2

IF (K .GE. J) GO TO 90

K=K/2

GO TO 85

J=J+K

IF(MODE .EQ. 0) S=T

IF(MODE .NE. 0) S=1./(T*FLOAT(N))

DC 100 I=I,N

X(1)=X(I)»S

RTTURN

EID
Глава 3

ОБЗОР МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ

3.1.	Введена

Необходима средства для описания математических соотноше-
ний, с котоыми приходится иметь дело при рассмотрении мно-
гих метода спектрального оценивания, обеспечивает линейная
алгебра и 5 особенности матричные операции. Матрицы пред-
ставляют обой удобный и емкий метод систематизации подроб-
ных алгебраических и численных соотношений, которые часто
встречаютс при спектральном анализе. Особенно полезным для
многих обс'ждаемых в книге методов спектрального оценива-
ния являетя материал раздела, посвященного тёплицевым мат-
рицам. В диной главе вводятся основные матричные обозначе-
ния и оперший матричной алгебры, которые будут часто ис-
пользоватыя в последующих главах книги. Предполагается, что
часть читаелей знакома с линейной алгеброй, поэтому боль-
шинство рзу'льтатов приводится без доказательств. Доказа-
тельства и ipyryio информацию читатель может получить в дру-
гих работа., список которых приведен в конце главы, в частно-
сти в книгеНоубла и Даньела [19] *>.

3.2.	Основыматричной алгебры

Матрицей азывается некоторая совокупность действительных
или комплексных чисел, записанных в виде прямоугольной таб-
лицы

fa[l. 1]

а [2, 1]

а[1, 2] ... а [1, п]'
а [2, 2] ... а [2, п]

А={а[>, /]) =

(3-1)

a[m, 1] а[т, 2] ...

состоящей 13 т строк и п столбцов. Величины, составляющие
матрицу, «пример a[i,/], называются элементами матрицы.

>> Читателю южно рекомендовать прекрасные отечественные монографии и
руководства п теории матриц, например, [3*—8*]. — Прим. ред.
Если матрица состоит из тп элементов, то говорят, что размер
ность, или размер, матрицы равен тХп. Здесь a[t,/] обозначает
элемент матрицы, стоящий на пересечении t-й строки и /-гс
столбца, где	и	Матрицы в данной книге будут

обозначаться полужирными прописными буквами.

Блочной (клеточной) матрицей называется матрица, элемен
ты которой сами являются матрицами:

/А[1, 1] ... А [1, 9]

А = {А[/, /]} =

(3.2

А[р, 1] ... А[р,

Каждый матричный элемент A[i, /] имеет одну и ту же размер
ность тХп. Говорят, что блочная размерность матрицы А рав
на pXq. Тогда скалярная размерность матрицы А равна pmXqn
Блочные матрицы будут обозначаться подчеркнутыми снизу по
лужирными прописными буквами. Определение блочной матри
цы понадобится нам впоследствии при описании методов много
канального и двумерного спектрального оценивания.

Вектор-строка — это (1 Хга)-матрица вида

Ь = (*[1] Ь[2] ... £["]),

обозначаемая полужирной строчной буквой. Вектор-столбец —
это (тХ 1)-матрица вида

/С[1]'

с =	.	,

(С [т].

также обозначаемая полужирной строчной буквой. Блочных
вектор-столбец — это просто блочная матрица блочной размер
ности рХ1 (и скалярной размерности ртХп) вида

'С[ф

(3.3

<С[р],
обозначаемая подчеркнутой снизу полужирной строчной буквой
Говорят, что матрицы А и В равны друг другу, если они име
ют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и есл1
a[i>/] = Ь[*,/] для всех i и /. Сумма или разность двух (тХп)
6—1366
матрщ А и В образует новук матрицу С

С = А±В,	(3.4)

котоая получается посредсвом суммирования или вычитания
соотвтствующих элементов:

/] = Ф» /]±Ь[Л /],

где	Замени, что матричное сложение обла-

дает свойствами ассоциативюсти и коммутативности. Умноже-
ние штрицы А на скаляр «определяется выражением

аА={аа[х, /]}.	(3.5)

Две [атрицы А и В можно ужожить друг на друга, с тем чтобы
их произведение АВ давало :екоторую результирующую матри-
цу С тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А
равн числу строк матрицы L Элемент (i, k) произведения мат-
риц *В получается посредстюм умножения элементов i-й стро-
ки м.трицы А на -элементы k-o столбца матрицы В. Иными сло-
вами если A = {a[i, /]} — мтрица размером тХп, а В =
= {Ь[, &]}— матрица размерм пХр, то матрица С = АВ будет
матрцей размером тХр с элементами

с [7, k]= а [г,	k].	(3.6)

М

Замени, что умножение матиц ассоциативно, но в общем слу-
чае ie коммутативно (АВ#ЗА). Заметим также, что АВ = 0,
где (—нулевая матрица (те. матрица, состоящая из одних
лишь нулевых элементов), к обязательно означает, что либо
А = 0,либо В = 0. Соотношене АВ = АС также не обязательно
означет, что В = С.

Транспозицией (тХя)-марицы А называется (лХт)-мат-
рица V (транспонированная) получаемая в результате замены
строкстолбцами матрицы А:

	'а[1, 1] а2, 1] .  а[1, 2] й2, 2] .	. a[mt 1]' . a[mt 2]
Аг =		(3.7)

п] а.2, я] ... а[т, п]

так чо (1, /)-элемент матриш Аг— это просто (/, ^-элемент
матрщы А. Для обозначенияоперации транспонирования мат-
рицы будет использоваться гадстрочный верхний индекс «7».
Можн) показать, что резултатом транспонирования суммы
двух матриц яв|яется сумма транспонированных матриц:

(А-В)Г = АГ + В7,

(3.8)

а результатом “ранспонирования произведения двух матриц яв-
ляется произведние транспонированных матриц:

(АВ)Г = ВГАГ.

(3.9)

Использоваые надстрочного символа «*» для обозначения
комплексной опряженности матрицы А* означает, что ее
(/,/)-элемент яшяется комплексно-сопряженным по отношению
к (£,/)-элементу матрицы А. Тогда эрмитово транспонированной
(или эрмитово опряженной) матрицей, соответствующей комп-
лексной (тХл)матрице А, называется (лХ/n)-матрица Ая, по-
лучаемая в резутьтате комплексного сопряжения всех элементов
матрицы А и пюледующей их транспозиции [т. е. АЯ=(АГ)* =

= (А*)Ч:

А" =

0«[1, 1]

а’[1, 2]

а«[2, 1]
а- [2, 2]

а«[т, 1]'
а* [т, 2]

(3.10)

а-[1, л]

а* [2, л] ...

а* [т, л]

Для обозначения операции эрмитова сопряжения будет исполь-
зоваться надстрчный индекс Аналогично транспонирован-
ным матрицам южно показать, что

(А + В)" = А"+В",
(АВ)" = В"А"

(З.П)
(3.12)

Блочной эрлитово транспонированной (или эрмитово сопря-
женной) матрщей, соответствующей комплексной блочной
(рХр)-матркцеА, называется блочная (рХр)-матрица Ая, по-
лучаемая в реультате эрмитова сопряжения всех элементов
матрицы А:

-А"[1, 1] ... А"[р, ]]>

А" =

(3.13)

A" fl, q] ... А"[р, q];

Так как использование полужирных строчных букв для обо-
значения векто-столбцов и вектор-строк может привести к не-
которой лутанвде, полужирные строчные буквы будут использо-
ваться только Д1я обозначения вектор-столбцов. Следовательно,
говоря «вектор», мы будем всегда подразумевать под этим век-
тор-столбец, исключая, конечно, те случаи, где ясно говорится
о вектор-строке. Заметим, что вектор-строку всегда можно полу-
чить посредством простой транспозиции вектор-столбца:

сг = (с[1] ... с[т]).	(3.14)

Весьма часто нам придется иметь дело с величиной, опреде-
ляемой внутренним произведением двух (пХ 1)-векторов,

МФ ^[Ф

да И;

' »[л].

которая определяется как скаляр (скалярное произведение)

<W, v>= 2 да* [/]»[/].

(3.15)

Заметим, что это произведение можно определить с помощью
обычного правила умножения матриц как

<w, v> = w^v.	(3.16)

Аналогичным образом можно определить внешнее произведение
“wvH двух («X 1)-векторов w и v в форме квадратной (тпХт)-
матрицы1)

ю[1]у*[1]	ш[1]у*[2] ... до[1] v* [т] *

 (3.17)

ш [/и]о* [1]	ьу[т]у*[2] ... w [щ] и* [/?г]

Смысл термина «длина» вектора можно выразить с помощью
любой из следующих векторных норм:

m

2 РИ I.	(3.18)

l|v|2 = ^2p[‘]py/! = <v, V>v».	(3.19)

каждая из которых является неотрицательной скалярной вели-
чиной.

Внешнее произведение векторов w и v в математической литературе обоз-
начают wAv (см., например, [7*1, § 25, с. 260). — Прим. ред.
3.3.	Специальные векторные и маричные структуры

В этом разделе описаны различие специальные векторы и мат-
рицы, с которыми приходится чгто иметь дело при спектраль-
ном оценивании. Читателю был бы полезно познакомиться с
приведенными здесь обозначеними, поскольку они широко ис-
пользуются в последующих главк книги.

Нулевой (гиХ1)-вектор, состоящий из т нулевых элементов,
обозначается как

(3.20)

0;

Последовательность ехр {J2nfmT) представляет собой комплекс-
ную синусоиду с частотой [, дискретизованную с интервалом Т
секунд. Комплексный синусоида.ьный вектор em(f) с частотой f
определяется как (т+ 1)-вектор-толбец вида

1

ex\(j2nfT)

(3.21)

ехГ(/2л/т7’),

где m — наибольший временной индекс. Дискретно-временное
(ДВ) преобразование Фурье (ДЗПФ) для .V отсчетов данных
можно, например, записать как масштабированное внутреннее
скалярное произведение векторог

X(f)=7O)x,

(3.22)

где вектор данных х определяется выражением

г л[0] '

х =



Матрица, у которой число стюк (п) равно числу столбцов,
называется квадратной матрией размером пХп. Элементы
a[i,i],	п, лежат на осювной, или главной, диагонали
задранной матрицы А, а элементы a[i, п+1—i] —на ее кросс-
гагоналиУ*.

Симметричной матрицей S называется такая квадратнаямат-
1ца, для которой

Sr = S,

(3.23)

это означает, что элементы s[i, j] =s[J, i] симметричны относи-
гльно главной диагонали. Примером может служить следую-
,ая симметричная (4Х4)-матрица:

AU, 1] s[l, 2]
[ s[l, 2] s[2, 2]
I s [1, 3] s [2, 3]
\s[l, 4] s[2, 4]

s[l, 3] s[l, 4]\
s[2, 3] s[2, 4] \
s[3, 3] s[3, 4] Г
s[3, 4] s[4, 4]/

(3.24)

рмитовой матрицей называется квадратная комплексная
1Хп)-матрица G, обладающая свойством комплексно-сопря-
енной симметрии

G« = G.

(3.25)

Диагональной матрицей D называется квадратная матрица,
е элементы которой равны нулю, за исключением элементов,
^положенных на главной диагонали (некоторые из которых
кже могут быть равны нулю):

'<)[!]	0	...	О'

О d[2] ...	О

(3.26)

(О 0	... d[n];

дя более компактной записи диагональной матрицы будет ис-
1льзоваться сокращенное обозначение diag(d[l],..., 4[я]).

'Удобнее записывать а [/, п—(I—!)]. Смысл этой записи наглядно нллю-
оируется на матрице

/	а	[1,	I]	а	[1,	2]	а (1,	3] \

а	(2,	Ц	а	[2,	2]	а [2,	3]

\	а	[3,	1J	а	[3,	2J	а (3,	3J /

il-*-a[l,3]; t=2->a[2,2]; t«*3-*a[3,l]; указанные элементы располагаются
1- диагонали, которая в ряде руководств называется второй диагональю
((., например, [6*], с. 122). — Прим. ред.
Единичной марцей I называется диагональная матрица,
у которой все дигаальные элементы равны единице:

'1 0 ... О

О 1 ... О

(3.27)

|0 О ... ь

Если в каком-лйо матричном уравнении необходимо указать
размер единично матрицы, то для этой цели можно будет ис-
пользовать подстоный индекс. Таким образом, 1п будет обо-
значать единичную '/иХт)-матрицу. Для любой (тХп)-матри-
цы А справедлив* р1венство

j„a=ai„=a.

Если подстрочны: мдекс у матрицы I опущен, то из контекста
будет ясно, кака рзмерность этой матрицы требуется.

С единичной мтрицей близко связана матрица отраже-
ния J1) (иногда мзщаемая матрицей замещения, или обменной
матрицей)

70 ... О г>
0 ... 1 о

(3.28)

О ... о о,

единичные элемепгьв которой расположены на кроссдиагонали.
Матрица J обраиае, или изменяет на обратный, порядок строк
или столбцов марты или вектора. Умножение слева (тХп)-
матрицы А на мдрцу Jm, где подстрочный индекс m обознача-
ет размер матриая отражения, приводит к обращению порядка
следования стро! Отражение относительно центральной гори-
зонтальной оси):

ч[т, 1] а\т, 2] ... a [tn, n]‘

t[2, 1] о [2, 2]

vl[l, 1] a[i, 2]

(3.29)

a[2, n]
a[l, n];

’> Такая матрица иог.а называется матрицей перестановок (см., [6*],
с 122). — Прим. ред.
а умножение этой матрицы справа на матрицу Jrt приводит к об-
ращению порядка следования столбцов (отражение относитель-
но центральной вертикальной оси):

	а [1, л]	• а[1, 2]	а[1, ip
	а [2, л]	.. а [2, 2]	а[2, 1]
AJ„ =			(3.30)

л] ... а [т, 2] а[т, 1],

Как и в случае единичной матрицы, подстрочный индекс, ука-
зывающий размер матрицы J, часто будет опускаться в тех слу-
чаях, когда он ясен из контекста того или иного матричного
уравнения. Аналогично действию на матрицы, произведение Jc
будет обращать порядок следования элементов вектор-столб-
ца с, а произведение crJ — порядок следования элементов век-
тор-строки сТ. Нетрудно показать, что Jr = J и J2 = JJ = I.

Персимметричной матрицей Р1) называется квадратная
(лхл)-матрица, симметричная относительно своей кроссдиаго-
нали, что можно проиллюстрировать с помощью следующей
(4Х4)-матрицы:

/р\\, 11	/ф,	2]	/ф,	3]	р[1,	4]\

р[2, 1]	р[2.	2]	р\2,	3]	р [1,	3] \

I /,[3. 1]	Р [3,	2]	р[2,	2]	р[1,	2]

\р[4, 1]	р[3,	1]	р\2,	1]	р[1,	1]/

Таким образом, p[i,j]=p[n—/4-1, л—£-1-1]. Нетрудно показать,
что Pr —JPJ и P = JPrJ.

Центросимметричной матрицей R называется квадратная
(лХл)-матрица, такая, что r[i,j]=r*[n—i+l, n—/4-1]. Спе-
циальный класс центросимметричных матриц образуют дважды
симметричные матрицы, т. е. матрицы, эрмитовы относительно
главной диагонали и персимметричные относительно кроссдиа-
гонали, что можно проиллюстрировать с помощью следующей
комплексной (4Х4)-матрицы:

/г[1,	1]	г* [2,	1]	r*[3,	1]	г» [4,

( г [2,	1]	г [2,	2]	г*[3,	2]	г* [3,

\ '[3,	1]	г [3,	2]	г [2,	2]	г* [2,

V [4,	1]	г[3.	1]	Г [2,	1]	г[1,

чх

1]

1] '

1]/

(3.32)

В этом частном случае r[i, /] =г*[/, 1] =г[л—/+1, п—i+l] =

*> См., например, [6*1 с. 122. — Прим. ред.
= г*(п—1'+, п—/4-1]. Нетрудно показать, что R = JRJ, если
R — вещественная матрица, и R=JR*J, если R — комплексная
матрица. К>гда размер центросимметричной матрицы является
величиной етной (п = 2г), ее можно представить в форме

r 4А М

Кчетн ^jB*j

(3.33)

где А и В - (гхг)-матрицы общего вида неспециальной струк-
туры. Анал>гичным образом, когда размер центросимметричной
матрицы яляется величиной нечетной (п=2г+1), ее можно
представит в форме

/ А

_______ I	у//
нечет I	л

х В \
a x"J

Jx JA*J/

(3.34)

где А и В—(гХг)-матрицы общего вида, J—(гХг)-матрица
отражения,х — вектор-столбец размерности г, а а — веществен-
ный скаляр

Приментельно к спектральному оцениванию очень важной
является тплицева матрица Т (названная в честь немецкого
математик; О. Теплица). Эта матрица обладает тем свойством,
что все ее лементы, расположенные на любой диагонали, иден-
тичны, т. Q t[i,	—/]• Тёплицева матрица не обязательно

квадратна; матрица. Примером тёплицевой (5х4)-матрицы
может служить следующая матрица:

/ЦО]	Ц-1] П-2]		Ц-з]
Ц1]	ЦО]	И-1]	Н-2]
Ц2]	Ф]	ЦО]	/[-1]
/[3]	Ц2]	Ц1]	ЦО]
И И	/[3]	/[2]	Ц1]

(3.35)

Заметим, чо квадратная тёплицева матрица является частным
случаем несимметричной матрицы,

T = JTrJ.	(3.36)

Если квад]атная тёплицева матрица является также и эрмито-
вой матрихгй, т. е. если £*[£]==?[—£], то T = JT*J. Следователь-
но, эрмитова тёплицева матрица является центросимметричной
матрицей.

С тёплщевой матрицей близко связана ганкелева матри-
ца Н, котоая обладает тем свойством, что все элементы, распо-
ложенные на любой ее кроссдиагонали, идентичны, т. е.
/ф,/]=Лр-/—л—1]- Ганкелева матрица — необязательно квад-
ратная матрица. Примером ганкелевой (4х5)-матрицы может
служить следующая матрица:

А [-4] й[—3] h[—2] й[—1] й[0]\
h[—3] АГ—2] h[- ] А [0]	А[1]\

\ Л[-2] Л[-1]	]	Л[1]	Л[2] )

\ft[—1] Л[0]	Л[1]	Л[2]	J3]/

(3.37)

Заметим, что квадратная ганкелева (пХл)-матрица является
частным случаем эрмитовой матрицы, т. е. Н"=Н. Ганкелевы
матрицы могут быть связаны с тёплицевыми матрицами (см.
раздел «Задачи»).

Циркулярной {или циклической) матрицей С называется
комплексная (оХл)-матрица, элементы которой могут прини-
мать только п различных значений. Если элементы этой матри-
цы удовлетворяют условию:

М». •/] = {

М/~

— /+1]»

(3.38>

где 1^л, то такая матрица называется правоциркулянтной
матрицей С/?; примером такой матрицы может служить право-
циркулянтная (4х4)-матрица

МО]	МП	М2]	М3]'
Р]	CR [0]	Mi]	CR [2]
М2]	М3]	МО]	Ml]
МП	М2]	CR И	««[0]

(3.39)

Заметим, что каждая строка этой матрицы образована из со-
седней верхней строки посредством сдвига вправо на один эле-
мент и перенесения крайнего правого элемента на место левого
крайнего элемента. Аналогичным образом можно определить
левоциркулянтную матрицу CL, элементы которой удовлетворя-
ют условию

Cl\i, /] = {

М«+ i—/].

с,[2п+1— i—/],

(3.40)

Примером левоциркулянтной (4Х4)-матрицы может служить
матрица

/М3] Q[2] с JI] cJOK

/ CJ2] CJ1] CJ0] CJ3] \

Cl = МП Q[0] cJ3] <J2] •	<3-4l)

\cJ0] c,[3] cJ2] cjl]/

Заметим, что каждая строка этой левоциркулянтной матрицы

/ —Z < 0,

/+i<n+l;

j + i > n + 1.
получается из соседней верхней строки посредством ее сдвига
влево на один элемент и перенесения крайнего левого элемента
на место крайнего правого элемента этой строки. Правоцирку-
лянтная и левоциркулянтная матрицы являются частными слу-
чаями соответственно тёплицевой матрицы и ганкелевой матри-
цы. Еще один интересный способ определения циркулянтной
матрицы основан на использовании квадратной (nKri)-матрицы
сдвига

(О 1 0 ... О’

001 ... о

(3.42)

о о О ... 1

1.1 0 0 ... 0!

элементы которой удовлетворяют условию p[i, z+l] = l при
1	—1, р[п, I] = 1 и равны нулю в остальных случаях. Тогда

правоциркулянтная матрица будет определяться следующим
выражением:

ся= S ся[т]Р-“,	(3.43)

т= 0

где Рт —означает возведение матрицы в степень т, т. е. умно-
жение матрицы Р саму на себя т раз. Заметим, что Р° = 1. Для
левоциркулянтной матрицы будем иметь следующее представ-
ление:

(3.44)

Еще одной матричной формой, применяемой при спектраль-
ном оценивании, является (тхп)-матрица Вандермонда V, эле-
менты которой определяются выражением

1^/^л.

(3.45)

т. е. являются степенями параметров xi,..., хп. Следовательно,
(гиХ/г)-матрица Вандермонда будет иметь следующий вид:

Ч

Xi

х]

(3.46)

.X?-1 X?"1 ... X?"1;
Верхней треугольной (или верхнетреугольной) матрицей U
называется квадратная (пХп)-матрица, элементы которой, рас-
положенные под главной диагональю, равны нулю, т. е.
u[i,/]=0 при /<1. Примером (ЗхЗ)-матрицы этого типа явля-
ется матрица.

/«[1.1]	«[1. 2]	«В, 3]\
и =	0	и [2, 2]	и [2, 3] ).	(3.47)
\ 0	0	и[3, 3]/

Нижней треугольной (или нижнетреугольной) матрицей L на-
зывается квадратная (пХя)-матрица, элементы которой, рас-
положенные над главной диагональю, равны нулю, т. е.
/[i,/] =0 при j>i. Примером (ЗхЗ)-матрицы этого типа может
служить матрица

//[1, 1]	0	0 \

L = ( /[2, 1] /[2, 2] 0 )
’ \Ф* П Zt3’ 21	31/

(3-48)

3.4.	Обращение матриц

Квадратная (пХл)-матрица А-1, такая что А-1А = АА-, = 1, если
она существует, называется матрицей, обратной квадратной мат-
рице А, — обратной матрицей. Квадратная матрица, обладаю-
щая обратной матрицей, называется невырожденной (или не-
сингулярной). Если же она не обладает обратной матрицей, то
называется вырожденной (или сингулярной). Если А, В и про-
изведение АВ — невырожденные матрицы, то справедливо тож-
дество

(ABJ-^B^A’1,	(3.49)

которое часто будет использоваться в дальнейшем.

Набор (nX 1)-векторов vj,..., vn называют линейно зависи-
мыми, если существуют числа ось.. •, ап, не все равные нулю,
такие что

«1V1 + «Л + • • • + <X„V„ = 0;	(3.50)

в противном случае эти векторы называются линейно независи-
мыми. Если столбцы прямоугольной (тХп)-матрицы А рас-
сматриваются как отдельные (mX 1)-векторы, то ранг по столб-
цам матрицы А равен числу линейно независимых вектор-столб-
цов. Аналогично если строки матрицы рассматривать как от-
дельные (1 Хп) -векторы, то ранг по строкам матрицы будет
равен числу ее линейно независимых вектор-строк. Можно по-
казать (см. Ноубл и Даньел [19]), что для любой матрицы ранг
по строкам равен ее рангу по столбцам, поэтому для вкдой
матрицы вполне достаточно указать одно из этих рангом чи-
сел. Квадратная (тХт)-матрица А будет невырожденнт тог-
да и только тогда, когда ее ранг равен т (т. е. когда этал:три-
ца обратима). Матрицу единичного ранга можно занизь в
форме внешнего произведения векторов vwH, поскольку нхдый
столбец умножается на вектор v, а каждая строка умнокется
на вектор wH.

Еще одним признаком вырожденности квадратной пК/г)"
матрицы А может служить скалярное число, называемо' тре-
делителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое etA.
Он определяется выражением

det A- S (_ 1)1+/й[1,	3.51}

/=1

где a[l,j]—элемент из верхней строки матрицы А, а 11; —
определитель (п—1)Х(/г—1)-матрицы, образованной в буль-
тате отбрасывания первой строки и /-го столбца (пХп)м1три-
цы А. Определение (3.51) является рекурсивным опреде£[ием,
при записи которого был учтен тот факт, что (1Х1)-мт>ица,
т. е. одиночный элемент, имеет определитель, равный этой эле-
менту. Более подробные сведения о вычислении опредемелей
приводятся в стандартных учебниках по линейной алгебр на-
пример в разд. 6.5 книги Ноубла и Даньела [19].

Квадратная (пХл)-матрица А будет вырожденной ица и
только тогда, когда detA = O. Таким образом, если det АЮ, то
матрица А обратима. Можно также показать, что опредситель
произведения двух квадратных (лХп)-матриц А и В равипро-
изведению определителей этих матриц, т. е.

det АВ = det A det В.	3.52}

Кроме того, если А — эрмитова матрица (АН = А), то опцели-
тель det А является действительным числом.

В исследованиях по спектральному анализу часто исаьзу-
ются две леммы об обращении матриц. Если А — невырхден-
ная (пхп)-матрица, С — невырожденная (тпХ иг)-матриц В —
(лХт)-матрица и Ь(тХ/г)-матрица, то расширенная (ин по-
полненная) матрица A+BCD будет иметь обратную мри цу
вида

(A + BCD)1 = A-1 — A“1B(DA“1B + C~1)“1DA“1	3.53)

если существует матрица, обратная матрице DA^B + C1. Это
соотношение известно под названием леммы об обращен* рас-
ширенной матрицы. Представляет интерес одна частнаяфрма
этой леммы. Если С — единичный скаляр, т. е. (1Х1)-мт)ица,.
В— (гаХ1)-вектор-столбец v, a D — сопряженная (1 Хга)-вектор-
строка wH, то

(А + vw")-1 =	(3-54)

представляет собой матрицу, обратную матрице, образованной
за счет расширения матрицы А матрицей единичного ранга
vwH.

Пусть (гаХга)-матрица Y разбита на подматрицы А, В, С, D
следующим образом:

Мсв)'	‘3-55>

где А — это (гагХт)-матрица, В—(п—т)Х(п—т)-матрица,
С — это (га—т) Хгаг-матрица и D — /пх(«—т)-матрица. Тогда
матрица, обратная матрице Y, будет определяться выражением

/А-НА-ЮА^СА-1 —А-ЧМ1

\	—А-ЧЗА-1	А'1

д-1	_ A-iDB1

— В^СА-1 В1 + В^СЛЮВ1

в котором по выбору полагается, что либо существуют матрицы,
обратные матрицам А и Д = В—CA-1D, либо существуют матри-
цы, обратные матрицам В и Л = А—DB-1C. Матрицы А и А на-
зываются дополнениями Шура матрицы А. Соотношение (3.56)
известно под названием леммы об обращении блочной матрицы.
В частном случае, когда Y—(пХп)-матрица, А—(п—1)Х
X (п.— 1)-матрица, D = v — (га—1)-вектор-столбец, С = ww —
(га—1)-вектор-строка, а В = а— (1 X 1)-матрица, т. е. скаляр, то

v-i_(/A“1 + ₽A-lvw"A’1 — ₽A-'v\

Y Ч _₽W«A-»	₽ )'	(3'57)

где скаляр ^=(а—wffA-1v)-1. Таким образом, несложно вычис-
лить обращение матрицы, формируемой добавлением к исходной
матрице дополнительных краевых строки и столбца (или вычер-
киванием строки и столбца). Матрицы, полученные таким обра-
зом, называются окаймленными матрицами.

В табл. 3.1 перечислены формы обратных матриц для ряда
матриц специального вида, описанных в разд. 3.3. Доказатель-
ство многих из них не вызывает затруднений. Так, например, для
доказательства того, что обращение персимметричной матри-
цы Р также является персимметричной матрицей, сначала для
записи соотношения PP-1 = PJJP~1 = I используем тот факт, что
Таблица 3.1.Структура кратных матриц

Тип матриц!	Тнгобратной матрицы
Эрмитова (амметрична) Персимметриная Центросиммсричная Тёплицева  Ганкелева  Правоциркулнтная Левоциркулятная Треугольная	Эрмитова (имметричная) Персимметрчная Центросиммтричная Персимметрчная Симметриями Правоциркуянтная Левоциркулнтная Треугольна?

JJ—1, а з.тем с погощью операции умножения слева и справа
на матриц J получи

JPJJP-X)J ^Рг(JP-4) = I.

что дает

JPU = (Р1)7.

Было испаьзовано свойство (Рг)-1= (Р-1).

(3.58)

3.5.	Нормаьные урвнения метода наимеьших квадратов

Матрична алгебраобеспечивает возможности представления в
сжатой ферме систем линейных уравненй, получаемых при
анализе и методу (аименьших квадратов.Рассмотрим аппрок-
симацию '[п] комп.ексной последовательюсти т/[п] с помощью
линейной уммы изт комплексных последовательностей Xi[«],
л-2[п], ... Хт[л]:

У [«] = Л И + ал [n] -н .. .	[п],	(3.59)

где	Предлагается, что N>m поэтому уравнение

(3.59) сооветствуе-переопределенной сисеме уравнений. Один
из возможных мето.ов однозначного нахождения значений неиз-
вестных праметровп;,..., ат основан на шнимизации действи-
тельной с^ммы квадратичных ошибок

£=2|е[л]Г,	(3.60)

п= 1

где е[л]—/[я]—г/р] есть комплексная ош1бка между истинным
значениех* отсчета у[п] и его линейной япроксимацией у[п].
Уравниия для / ошибок можно записать в виде

у—Ха = е,

(3.61>
матрица данных X, (тХ 1)-вектор-столбец а и

-столбцы у и е определяются следующим образом:

Вводя NX (m + 1)-матрицу Z==[yX], вектор ошибки е можно за-
писать в следующем виде:

(У X)(_*) = z(J) = e.	(3.62)

Квадратичную ошибку Е можно далее записать как

Е = е"е = уяу—у"Ха — а"Х"у + а"Х"Ха,	(3.63)

где внутреннее произведение векторов уну дает скаляр, произве-
дение матрицы и вектора Хну дает (тХ 1)-вектор-столбец, а про-
изведение матриц ХЯХ дает квадратную (тХщ)-матрицу.

Прежде чем приступать к минимизации ошибки Е, заметим
сначала, что уравнепие (3.63) можно переписать в виде .

Е- у"у-у"Х(Х«Х)-‘Х"у^

+ (Х"у—Х«Ха)"(Х"Х)-1(Х"у—Х«Ха),	' ' ’

т. е. дополнив его до «полного квадрата». В уравнении (3.64)
только последний член в правой части зависит от вектора неиз-
вестных параметров а. Вследствие эрмитовой симметрии этого
члена он всегда будет действительным и положительным. Для
минимизации квадратичной ошибки Е этот член должен быть
обращен в нуль. Для этого вектор а необходимо выбрать так,
чтобы выполнялось равенство

Х"у-Х"Ха = 0,я,

где 0„. — вектор из т нулевых элементов. Следовательно, век-
тор а, минимизирующий квадратичную ошибку, ищется посред-
ством решения следующей системы т уравнений:

Х«Ха = Хну.	(3.65)
Подставляя (3.65) в (3.63), получаем выражение л я минималь-
ной квадратичной ошибки

Emin = y"y-y"Xa.

(3.66)

Уравнения (3.65) и (3.66) можно объединить в о,ну общую си-
стему т+1 уравнений, которая имеет следующийвид:

=z"z(J)=(o5

(3.67)

Уравнение (3.67) имеет форму нормальных уранений метода
наименьших квадратов. Заметим, кстати, что празведение ZWZ
образует эрмитову матрицу.

Выражение (3.63) для квадратичной ошибки представляет
собой частный случай матричного квадратного уравнения в
общей форме

Е г— гяа—a^-j-a^Ra,	(3.68)

где г — известный положительный скаляр, •— известный
(тпХ1)-вектор-столбец, a R — известная эрмитова (тХт)-мат-
рица. Нормальные уравнения, решением котоых является
(тх 1)-вектор а, минимизирующий положительную действитель-
ную скалярную величину Е, имеют вид

г г"\/	1\ ZEmin\

г R/\ —а/ \0„ /

(3.69)

и непосредственно следуют из (3.67) после подедновки г вме-
сто уяу; г вместо Хяу и R вместо Х"Х.

3.6.	Решение линейных уравнений

Многие методы спектрального оценивания требую решения си-
стемы линейных уравнений, которую можно запкать в форме
следующего матричного уравнения:

Ах = Ь,	(3.70)

где А — некоторая произвольная квадратная (гХп)-матрица,
b — произвольный (nX 1)-вектор-столбец, а х—(лх 1)-вектор
неизвестных величин, значения которых необходим определить.
Один из очевидных методов решения уравнения '3.70) относи-
тельно вектора х состоит в умножении обеих часей уравнения
слева на обратную матрицу А-1 (в предположены, что она су-
ществует), что дает

х —А-1Ь.	(3.71)
Однако такой подход, как правило, не приадле: на праггике
либо из-за своей очень низкой вычислитель:ой |ффективюсти,
либо из-за недостаточной устойчивости болшинтва численых
методов решения линейных уравнений. Еслг обратная матрица
не существует, то ранг k матрицы А будет мные, чем п. }уль-
пространством матрицы А является линейное годпростраютво
ненулевых векторов х, удовлетворяющих уранеию Ах=0.Раз-
мерность нуль-пространства равна п—k}\

Если (пХл)-матрица А™треугольная и евырожденая
(т. е. ее диагональные элементы отличны ог ну л), то сисема
линейных уравнений, содержащая матрицу X, южет быт ре-
шена с помощью метода обратной подстаноки* 2) с испольова-
нием вычислительных операций, количество отоых проподио-
нально п2. Рассмотрим случай верхнетреуголнот (ЗхЗ)-м,три-
цы; уравнение будет иметь вид

'а[1, 1] а[1, 2] а[1, 3]\ /х[1]\ Л[1]\

О о[2, 2] а[2, 3] ) х [2] )=[ 42] ).	0.72)

О '	0	а[3, 3]/V[3]/ \-И/

Рассматривая нижнюю строку, видим, чтс аГ, 3]х[3] =|[3],
Решая это уравнение получим х[3] =Ь[3]/а[1,3] Если полнен-
ное х[3] подставить обратно в матричное урвниие, то вовто-
рой строке будет содержаться только одн< неввестное [2],
которое можно найти, решая уравниие а[2,2]х2] +
4-а[2,3]х[3] = Ь [2]. Продолжая обратную юдсановку, ты в
конце концов определим все неизвестные <омоненты вкто-
ра х.

В случае невырожденной (лХ«)-матриш обцего видадля
решения уравнения Ах = Ь можно применить мепд исключния
Гаусса, представляющий собой трехэтапнуютрощцуру. Снаала
матрица А единственным образом представлтетс в виде поиз-
ведения верхнетреугольной матрицы L и нижетругольноймат-
рицы U (с единичными элементами на диагоьали

A-LU.	6.73)

После разложения на множители (факторизщий выполняотся
два этапа «обратной» подстановки, включаяоешние уравнния

Если матрица А осуществляет линейное преобразвани некоторой сово-
купности векторов L, то ядром линейного преобрзоваия А назыается
совокупность всех векторов L, переводящихся преобрзоваием А в нревой
вектор 0. Размерность ядра обозначается d и называтся ефектом ливйно-
го преобразования (матрицы A), d=n—k, где k - ран матрицы I (см.
(8*], с. 129). — Прим. ред.

2) Относительно метода обратной подстановки (см., вприер, [6*], с. 182).
Следует отметить (см. там же), что случаю нижнтреуольной марицы
соответствует метод прямой подстановки.—Прим, рес
с матрицей L относительно вектора у:

Ly = b,	(3.74)

и затем последующее решение уравнения с матрицей U относи-
тельно вектора х:

Ux = y.	(3.75)

Количество вычислений, требуемое этим методом, пропорцио-
нально л3, а объем памяти — п2.

Если матрица А — квадратная и эрмитова, то тогда приме-
няется специальная форма факторизации с треугольными мат-
рицами

A = RR",	(3.76)

где R — нижнетреугольная матрица с ненулевыми действитель-
ными элементами на главной диагонали. Этот метод факториза-
ции матрицы называется разложением Холецкого^. Благодаря
эрмитовой симметрии матрицы А число вычислений, требуемое
для решения системы эрмитовых уравнений методом Холецкого,
составляет примерно половину объема вычислений, требуемых
методом исключения Гаусса, поскольку рассчитывать необходи-
мо не две матрицы L и U, а только одну матрицу R. В приложе-
нии З.А приведена написанная на Фортране программа
CHOLESKY, предназначенная для решения методом Холецкого
системы линейных уравнений, содержащих комплексные вели-
чины. Заметим, что, хотя этот алгоритм, как правило, имеется во
многих библиотеках стандартных машинных программ, очень
редко можно отыскать его версию, написанную для работы с
комплексными величинами.

Решение системы линейных уравнений в случае циркулянт-
ной матрицы рассмотрено в следующем разделе. Требуемое им
число операций пропорционально величине nlog2H. Количество
вычислительных операций, требуемое для решения системы ли-
нейных уравнений в случае тёплицевой и ганкелевой матриц
пропорционально п2. Раздел 3.8 посвящен подробному обсужде-
нию тёплицева случая.

3.7.	Характеристические свойства матриц и разложение
по сингулярным числам

3.7.1.	Предварительные сведения

В разд. 2.3 было показано, что экспонента ехр (/2n.fi1) является
собственной функцией линейной системы. Линейная система,
оставляющая неизменной на выходе форму экспоненциального

1> Этот метод иногда называется методом квадратного корня (см., например,
(6*], с. 176). — Прим ред.
сигнала, поданного на ее вход, изменяет лишь величину его
комплексной амплитуды. Аналогично, если ненулевой вектор q
в результате линейного преобразования, описываемого квадрат-
ной (пХп)-матрицей А, остается неизменным и лишь изменяет
свой масштаб в Л раз, т. е.

Aq = Xq,	(3.77)

то говорят, что он является собственным вектором матрицы А.
Скаляр X, соответствующий этому собственному вектору, назы-
вается собственным значением. Полином f(%) =det(A—XI) по-
рядка п называется характеристическим полиномом (многочле-
ном) матрицы А; п корней уравнения f(X)=O порождают
п собственных значений Xt:

ДХ) = П(К—Х)=2?Л' = 0.	(3.78)

i=l	k = Q

Собственные значения и соответствующие собственные векторы
вместе образуют собственную систему матрицы А. Множество
собственных значений в математике принято называть спектром
матрицы А, который, однако, не следует путать с определения-
ми спектра, данными в гл. 2 и 4. Всегда существуют по крайней
мере один собственный вектор, соответствующий каждому от-
дельному собственному значению, и собственные векторы, соот-
ветствующие различным собственным значениям, линейно неза-
висимые друг от друга. Коэффициент наивысшего порядка
в (3.78) равен (—1)", и можно показать, что коэффициент наи-
низшего порядка удовлетворяет условию

у0 — det А = ТТ X,- -	(3.79)

i= 1

Определяя след матрицы как сумму элементов главной диаго-
нали

trA= Sap, i],	(3.80)

i=l

можно также показать, что

SX; = trA	(3.81)

i= 1

И

?„_! = (—1)"'Чг А.	(3.82)

Главными собственными векторами называются собственные
векторы, соответствующие наибольшему по величине собствен-
ному значению матрицы А. Матрица ЛА, где k — скаляр, имеет
собственные значения kki. Матрица Ар, где р — положительное
целое число, имеет собственные значения X?. Ес.и матрица А
невырожденна, то обратная ей матрица А-1 имее- собственные
значения 1/Х/. Матрица A+&I имеет собственные качения
-\-k. Матрица Р размером пХп, такая что Р'3Р=Р),/, называет-
ся ортогональной матрицей. Кроме того, если Р )бладает тем
свойством, что РЯР = РРЯ=1, то она называется ортонормаль-
ной, или унитарной, матрицей. Так как Р-1Р = 1, то Р-1==РЯ.
Если Р — унитарная матрица, то [detP| = l, и ве модули ее
собственных значений равны 14

Предположим, что (лХп)-матрица Q составлен из п столб-
цов собственных векторов с qi по q„ квадратной пХп)-матри-
цы А, а диагональная (иХн)-матрица A=diag(X>..., Хл) со-
ставлена из п различных собственных значений матрицы А.
В этом случае матрица А будет иметь набор лине но независи-
мых собственных векторов тогда и только тогда, кеда ее можно
записать в следующем виде:

A = QAQ~1, A = Q1AQ,	(3 83)

где Q и А — невырожденные матрицы.

Если невырожденная матрица А обладает так>е эрмитовой
симметрией, то она будет иметь единственное разложение

А = QAQ-1 --Л'! = (Q-i)"A"Q",	(3.84)

где полагается, что Q-* = Q* и А=АЯ. Это означав', что эрмито-
ва матрица имеет действительные собственные зычения и что
если все собственные значения различны, то собственные век-
торы будут образовывать ортонормальный бази, поскольку
QQ*=Sqiq?*=I, т. е. Q — унитарная матрица. С.едовательно,
эрмитовы матрицы можно диагонализировать с гомощью уни-
тарного преобразования

A = QAQ"	(3.85)

Другое представление для эрмитовой матрицы А, базирующееся
на уравнении (3.85), основано на записи матрицы I в виде раз-
ложения внешнего произведения по ее собственном векторам
и собственным значениям

А = 2 X,q,q(".	.	(3.86)

(=0

Выражение (3.86) в математике называется спектрльным пред-
ставлением (или спектральным разложением) патрицы А,

*> В случае комплексной унитарной матрицы модуль ее опрделителя равен
единице (см., например, [8*], с. 49). —Прим. ред.
и его не следует путать со спектральным оцениванием. Исполь-
зуя соотношение

д-1 = ((H)-IA-IQ-I = QA’>Q"	(3.87)

получаем
п

(3.88)

где предполагается, чтс все собственные значения отличны от
нуля. .

Квадратичная форме, соответствующая эрмитовой матри-
це А, является действиельной скалярной величиной <х, Ах> =
= хлАх = 2,2/а,7Xi*X/. Квдратичная форма называется положи-
тельно определенной, ести <х, Ах>>0 для всех ненулевых век-
торов х, и положительнс полуопределенной, если <х, Ах>^0 для
всех х!). Говорят, что марица А является положительно опреде-
ленной или полуопреде.енной, если соответствующая ей квад-
ратичная форма являета положительно определенной или полу-
определенной. Эрмитоваматрица тогда и только тогда является
положительно определенной, когда все ее собственные значения
положительны; если жевсе ее собственные значения неотрица-
тельны, то эрмитова м.трица называется положительно полу-
определенной.

Отношение Рэлея К к) эрмитовой матрицы А — это скаляр,
который определяется вфажением

=	(3-89)

Обозначая минимальное и максимальное собственные значения
матрицы А через Xmin иХтах, а связанные с ними ортонормаль-
ные собственные вектор! через xmjn и х^ах, можно показать (см.
книгу Ноубла и Даньелдн [19]), что

V,„<R(X^max ДЛЯ ВСЕХ Х^О,

^min - min 7? (х) = 7? (xmin),

1 -'rZxRM-RIx \	<3.90)

^max ’ max i\ (X) — л, (Xmax).

Х=5*=0

Некоторые из метод®, обсуждаемых далее в книге, требуют
вычисления минимальнее или максимального собственных зна-
чений эрмитовой матри.ы А. Одним из методов, используемых
для отыскания этпх собственных значений, является степенной

11 В отечественных математиеских руководствах такая квадратичная форма
и соответствующая ей матрца называются неотрицательно определенными
(см., например, [6*], с. 84). - Прим. ред.
метод.1) Например, задав некоторый начальный вектор х< по-
следовательности итераций на основе линейного уравнения

Уй+1 = Ахй	(,.91)

и нормируя на каждом шаге

хй+‘ = ^, ай+1 = у"+1Уй+1,	(..92)

обеспечим сходимость к х*. Число о*, получаемое после полед-
него шага, и будет максимальным собственным значенем,
а х* — соответствующим ему собственным вектором. Сходиюсть
процесса решения обеспечивается в том случае, когда хо н< ор-
тогонален собственному вектору, соответствующему максимль-
ному собственному значению. Для того чтобы получить мни-
мальное собственное значение и соответствующий ему собсвен-
ный вектор, в линейном уравнении используется обратная мат-
рица А-1:

Уй+1 = А-'хй,	(.93)

которое удобнее решать относительно у*, записав в виде

Ays+i = xft.	(.94)

Для устранения собственных значений по мере их вычислния
можно использовать процесс понижения порядка, что возмскно
благодаря соотношению (3.86),

А =— аххя	(;.95)

и повторять этот процесс для отыскания других собственых
значений.

3.7.2.	Разложение по сингулярным числам (РСЧ)

В предыдущем разделе было показано, что эрмитова (п\п)-
матрица может быть представлена с помощью унитапой
(дХп)-матрицы, составленной из собственных векторов, идиго-
нальной (лх^)-матрицы, содержащей собственные значвия.
Этот результат можно обобщить на произвольную комплектую
(тХл)-матрицу А ранга k. Теорема разложения по cumyinp-
ным (или особым) числам [10, 13, 15] утверждает, что сущест-
вуют положительные действительные числа	• • • ^о>-0

(так называемые сингулярные числа матрицы А), уни^аная
(тхт)-матрица U=[ub..., ит] и унитарная (лХл)-матица

11 Степенной метод относится к итерационным методам решения пробемы
собственных значений (см., например, [И*], с. 493). — Прим. ред.
V=[vb..., vrt], такие что матрица А может быть представлена
в следующем виде:

A = USV^= SoA-vf,	(3.96)

i=i

где (тХп)-матрипа S имеет следующую структуру

Мо о)-	<3-97)

a D = diag(ol,...,	—диагональная (£х£)-матрица. Заметим,

что если A'MW, U"U = I, V"V=I, то

A"A = V(S"S)V", AA"=U(SS")U"	(3.98) :

и

A^Av^oJv/, AAHuz = o?u,-,	(3.99)

где 1^/^/г. Произведения матриц 2HS и являются диаго-
нальными матрицами размером соответственно пхп и тХт
с диагональными элементами си2. Произведения матриц АНА и
ААЯ — эрмитовы матрицы размером соответственно пХп и
тХт. Поэтому столбцы матрицы U являются ортонормальными
собственными векторами матрицы ААЯ, а столбцы V — ортонор-
мальными собственными векторами матрицы А^А. Кроме того,
обе матрицы U и V имеют одинаковые собственные значения
<и2,	Следовательно, сингулярные числа — это просто по-

ложительные значения квадратных корней из ненулевых собст-
венных значений матриц AWA и ААЯ.

Используя свойства унитарности матриц U и V, из (3.69)
можно получить следующие соотношения:

AV = U2V"V^U2, ПЯА ==	==	(3.100)

или

Av,- ~ a,-u(-, A^u^a/V,-,	(3.101)

где l^i^k. Уравнения (3.101) определяют пару соотношений
между собственными векторами и, и v(-, которые имеют одно
общее сингулярное число щ. Собственные векторы, которые со-
ответствуют нулевым сингулярным числам, т. е. ii/, k +
и V»,	соотношениями вида (3.100) и (3.101) не

связаны.

Псевдообратная матрица Мура — Пенроуза А*, соответст-
вующая (тХп)-матрице А ранга k, однозначно определяется
через компоненты разложения по сингулярным числам как мат-
рица вща

k

A# = VS" U" = Z «V’v/uf,	(3.102)

i= 1

где

—Г 0°)-	<3103>

Псевдобратная матрица А* позволяет получить решение по
методу наименьших квадратов х = А*Ь с минимальной нормой
для за.ачи отыскания (пХ 1)-вектора х, который одновременно
минимвирует ошибку, определяемую квадратным уравнением
||Ах—1|2 для некоторого заданного (тх 1)-вектора Ь, и длину
искомоо вектора ||х||2. Ограничение минимальной длины необ-
ходимсдля того, чтобы гарантировать единственность решения
в тех сгучаях, когда более одного вектора х будут минимизиро-
вать ||>х—bils- Если т = п и ранг матрицы А равен п (т. е. она
невырокденна), то псевдообратная матрица превращается а
обычнуо квадратную матрицу, обратную А, т. е. А =А~’. Если
т>п ] rank А = л, то А**= (AHA)~’А7* и х = (AHA)-iAwb. Это —
обычно решение системы переопределенных уравнений по мето-
ду наименьших квадратов (см. разд. 3.5). Если п^>т и rankA =
= т, т( Att=Aw(AA/f)“I и x=Aw(AAw)^1b. Это решение часто
называет решением с минимальной нормой для системы недо-
опреде.енных уравнений, поскольку решение с псевдообратной
матрицй будет давать вектор х минимальной длины.

Вычсление псевдообратной матрицы А* непосредственно по
РСЧ-к<мпонентам [уравнение (3.98)] обладает двумя преиму-
ществами перед прямым вычислением матрицы Ай в форме либо
47/А)-Ая в случае т>п, либо АЯ(АА//)-1 в случае

Зо-иерых, РСЧ помогает определить ранг матрицы А по коли-
.ссгву начимых сингулярных чисел. Во-вторых, точность, предъ-
иктяемя к вычислению матрицы А* при использовании РСЧ,
примерю вдвое ниже точности, требуемой при расчете этой мат-
рицы спомощью соотношений (А^)-1 или (ААЯ)~1. В прило-
жении [риведена написанная на Фортране программа CSVD,
нреднаначенная для расчета РСЧ комплексной прямоугольной
матриц!.

3.7.3.	А|ализ характеристических свойств
некото|ых специальных матриц	,

Нетрудю показать, что треугольная матрица А имеет определи-
тель ви.а

det А = Ц а [г, г].	(3.104)
Сравнивая это выражение с выражением (3.’9), можно видеть,
что произведение собственных значений треуольной матрицы —
это просто произведение ее диагональных элементов.

Собственные векторы и собственные значния циркулянтной
матрицы связаны с ДВ-рядом Фурье (ДВР<3); см. [5, 18]. На-
помним (см. разд. 2.7), что ДВРФ Х(0],—1] для п-то-
чечной последовательности х[0],..., х[п—Г для 7=1 опреде-
ляется выражением

X[fcl — 5 x[t]exp(—/2я/6/л,
i =0

k = 0, .. ., п—1,

(3.105)

котор. р можно записать в матричной форме:

/ Х[0]

\Х[л— 1].

(3.106)

где элементами матрицы Одврф являются з;ачения экспоненты

<7дврф[*\ k] = ехр(— j2nik)n), 0<i, <n—1.	(3.107)

Правоциркулянтную матрицу Сл можно фкторизовать путем
разложения на собственные множители



(3.10^

где диагональная матрица Адврф собственна значений даете
выражением

— Одврф

(3.109)



Таким образом, собственные значения произольной циркулянт-
ной матрицы представляют собой ДВРФ с 1иркулянтными эле-
ментами с0,..., сп-\. Столбцы матрицы Одвв>формируют собст-
венные векторы. Нормированные собственые векторы q& со-
ставлены из последовательных степеней п корней из единицы

^„ = ехр (/2п/п).

(3.110)

Если использовать не прямой, а обратный ДВРФ, то аналогии-
ные соотношения можно записать и для левоциркулянтной мат-
рицы Сд. Заметим, что разложение (3.108) для матрицы
обеспечивает эффективное решение линейных уравнений вида
С/?х = у с помощью алгоритмов БПФ.

Собственные векторы центросимметричной матрицы С обла-
дают свойством либо сопряженной, либо антисопряженной сим-
метрии [3]. Вектор v обладает свойством сопряженной симмет-
рии, если Jv = v*, где J — матрица отражения. Вектор v анти-
сопряженно симметричен, если Jv =—v*. Отсюда получаем, что
центральный элемент вектора нечетной размерности должен
быть действительным, если этот вектор сопряженно симметри-
чен, или же быть равным нулю, если этот вектор антисопряжен-
но симметричен. В случае однозначно определенных собствен-
ных значений квадратная центросимметричная матрица четной
размерности п будет иметь п/2 сопряженно симметричных орто-
нормальных собственных векторов v,, i=l,..., п/2, с соответст-
вующими собственными значениями о,, вида

где у, — ортонормальные собственные векторы матрицы А +
-JB, т. е.

(А + JB) уг- = о,-у,-,	(3.112)

где матрицы А и В определены в (3.33). Она будет также иметь
п/2 антисопряженно симметричных ортонормальных собствен-
ных векторов wi, i = l,..., п/2, с соответствующими собственны-
ми значениями л, вида

где Z, — ортонормальные собственные векторы матрицы А—JB,
т. е.

(A—J В) х, =X/z1-.	(3.114)

Если квадратная центросимметричная матрица имеет нечетную
размерность п и структуру, определяемую выражением (3.34),
то она будет иметь (п+1)/2 (пряженно симметричных орто-
нормальных собственных векто>в v(-,	(п+1)/2,соот-

ветствующими собственными знаниями о.

1 у'

(3.115)

где вектор у< и действительный ;аляр [3{-являются ортонормаль-
ными собственными векторами рширенной матрицы

M+JB К2х/ул	/ул

уК2х" а у₽< /	\₽г/’

(3.116)

и (/?—1)/2 антисопряженно симгтричных ортонормальных соб-
ственных векторов w,, 1=1,...,[п—1)/2, с соответствующими
собственными значениями л, вид

Z; \

=	0	,	(3.117)

где z2— ортонормальные со(твенные векторы матрицы
А—J В, т. е.

(A—JB; = \zf.	(3.118)

Доказательство приведенных вше соотношений основано на
использовании того факта, что щтросимметричная матрица R
ортогонально подобна матрица^А—JB и A+JB, т. е. если R„
имеет четную размерность, то осогонально подобная матрица

q=vh; ;) адг=|

преобразует центросимметричну]матрицу к виду
А+°зв}

(3.119)

(3.120)

а если Rn имеет нечетную размещать, то ортогонально симмет-
ричная матрица

/I 0	—J\

0	(3.121)

V \1 0 ij

преобразует ее к виду

/А —JBO 0 \

QRQ"=( 0 о	И2х" ].	(3.122)

\	0 ”2х A + JB/
3.8. Тёплицева матрица

При рассмотрении различных методов спектрального оценива-
ния нам часто придется иметь дело с тёплицевыми матрицами.
Вследствие важности матриц этого типа данный раздел пол-
ностью посвящен подробному обсуждению вопросов, в основном
касающихся вычисления обратной тёплицевой матрицы, решения
тёплицевых линейных уравнений и анализу характеристических
свойств тёплицевой матрицы. Особая структура тёплицевой мат-
рицы приводит к весьма эффективным («быстрым») вычисли-
тельным алгоритмам для всех этих упомянутых случаев.

3.8.1.	Обратная тёплицева матрица

Обращение квадратной неэрмитовой тёплицевой матрицы впер-
вые рассматривалось в работе [22, 24]. В данной книге через Тм
мы будем обозначать квадратную тёплицеву (М + 1) X (Л4 + 1)-
матрицу, старший элемент которой равен /[Л4]:

/НО] t [-1]

т J

* м —

... н-м]

И H-П
НН НО]

(3.123)

Н«]

Заметим, что в общем случае	—&], А = 1,..., М. Пусть

Um — матрица, обратная матрице Тм:

/ и [0, 0]
Um = Tm = (

V.[< 0]

u[0, М]

ц[Л1, Л1]

(3.124)

Поскольку тёплицева матрица персимметрична, ее обратная
матрица также должна быть персимметричной. Однако обрат-
ная матрица не является тёплицевой, хотя, как будет показано
ниже, и образована из сумм произведений треугольных тёплице-
вых матриц.

Для того чтобы получить полную обратную матрицу U^, не-
обходимо лишь решить уравнение

I'/fO] /[-1]
Hi]

I t м ...

Н-Л1]] /и[0, 0] ’
:	«[1,0]

К Н-1]	:

Hi] Н°]

/1 
о

.0 '

(3.125)
ельно первого стабца этой обратной матрицы и урав-

I t [°] 4 t— -M]’ u[o, л-q '
41]

:	\	,[-1]	ЦА1-1,М]

U[M] ...	t[i] '[о] Н “>

<0

(3.126)

о

1

относительно последнего е столбца. Ниже будет показано, что
остальные элемешы матрщы U •„/ можно определить, используя
свойство персиммегрли.

Для уравнений (3.125' и (3.126) можно получить другие
представления, если поде.ить векторы с обеих сторон от знака
равенства в (3.125) на «[; 0] (которое полагается отличным от
нуля), использовать подстановку а?л [/?] = u[k, 0]/«[0,0], k =

= 1,-	.., М, и положить рм— 1 /и [0, 0],			что дает			
		Ц0] t [-1]	.. /[—.И]	' 1		Рм	
		41]	'. 4-1]	аЛ1 [1]	-	0	, (3.127)
		4<м] ...	4] 40] 1	.М-М]		0	

а также поделить вектор! с обеих сторон от знака равенства
в (3.126) на и[М, М] (ксорое полагается отличным от нуля),
использовать подстановту	— ufM—	k =

= 1,..., М, и положить рм= \!и\М, Л4], что дает

/[О] ц— 1] ... Ц—л-i] /г,Л1р,1п <о

1.1[м] ... /[1 /[0] I 1 1 > vA)

Поскольку матрица Щ .ерсимметрична, то и[0,0] =u[M, 2И],
л поэтому комплексные скаляры рам = р&м = рм- Уравнения
(3.127) и (3.128) оказывается полезными при использовании их
совместно с нормальнымиуравнениями авторегрессионного про-
цесса; см. гл. 6 и 7.

Решить приведенные ыше уравнения относительно ам [£] и
можно с помощью гекоторой рекурсивной’) алгоритмиче-
ской процедуры, которая юследовательно определяет значения

’ Рекурсией называется спосо задания функциональной зависимости, при
котором значения определяемойзависимости выражаются известным образом
1ерез значения той же функцинальной зависимости для меньших значений
аргументов или индексов (см., [апример, [10*], с. 61). — Прим. ред.
этих коэффициентов при каждом значении т, начиная с т= \ и
рекурсивно продолжая до т = М. Первый такой рекурсивный
алгоритм был разработан Левинсоном [16] применительно к
решению нормальных уравнений линейного предсказания ста-
ционарного процесса с дискретным временем. Затем он был пе-
реоткрыт Дербином [8] применительно к задаче построения ав-
торегрессионной модели для заданной корреляционной последо-
вательности. Основными компонентами, используемыми в этой
рекурсии, являются следующие разбиения (блочное представле-
ние) матрицы, которые зависят от весьма специфической струк-
туры тёплицевой матрицы:

т--(ф' SH? ?...)	13 ,291

где (т—1)Х 1-мерные вектор-столбцы гт и sm определяются

выражениями

р]|

U И ।

|Ц-Ч )

л—m]

(3.130)

a J—(zn—1)Х(т—1)-ма1рица отражения. Согласно принципу
индукции, предположим, что вектор, образованный из коэффи-
циентов ат[Л], может быть получен как линейная комбинация
векторов, образованных из коэффициентов am_i[£] и Ьм-Дй]:

1  [1]		1	+ «	0	, (3.131)
1]  Л» [т]		1]  0		ViD]  1	

где векторы в правой части этого равенства дополнены нулями,
а а — скаляр, подлежащий определению. Заметим, что ат[т] =
= а. Из уравнения (3.131) следует, что первый столбец обрат-
ной матрицы порядка т является линейной комбинацией пер-
вого и последнего столбцов обратной матрицы порядка т—1.
Определяя вектор-столбцы

[1] I

рыт

Ib.MJ

(3.132)
можно представить уравнение (3.131) в более сжатой форме

(3.133)

Для того чтобы определить скаляр	необходимо обе ча-

сти уравнения (3.133) умножить слева на матрицу Т,,: и под-
ставить соответствующие блочные представления матрицы Тт
из (3.129), что дает

K-J

(3.134)

Отсюда, используя (3.127) и (3.128), получаем

	fPm 0	=	(рт-1 0	+ “т [т]	0	,	(3.135)
	0		0		0	
	0				Pm —1	
/ 1	\	т					
			“т-1	m-i],		р]=1,	(3.136)
					Ьт-г	[0]=1.	(3.137)

Заметим, что Л,п и требуют значения коэффициентов только
до порядка т—1. Для того чтобы обеспечить в (3.135) выполне-
ние равенства, нижний элемент в правой части этого уравнения
должен быть равен нулю:

Л. + о.ИР.-1»0,	(3.138)

откуда

«.И = - д»/Р„-1-	(3.139)

Верхний элемент в обеих частях уравнения (3.135) будет в этом
случае равен .

Р,„ = Pm-i + о» [«I] V» = р„-,—Д„Т„/Р„-1.	(3.140

По аналогии с выводом уравнения (3.133) можно также, нс-
пользуя принцип индукции, получить следующее уравнение для
вектора Ьте:

/ 1 \ / ° \

(! м	JM- <3-141>

4	\ о /	\ 1 /

После умножения обеих частей этого уравнения слева на матри-
цу Тот получим

(рд	|p„-i'i	( Л«

0	0	о

• = • +Ыт]

оо	о

,oj I I Pra-J

(3.142)

где Дт и vm определены выше выражениями (3.136) и (3.137).
И снова для выполнения равенства в уравнении (3.142) необхо-
димо иметь

(3.143)

Определяя отсюда и подставляя его в уравнение (3.140),
получаем

Р« =• P«-t + «». ('"1 (— Р«-Л['п]) = Р»-1(1— о.МЬ.И (3144)

Заметим, что из (3.127) следует /[0] =р0 при т = 0. Это значе-
ние используется для инициализации рекурсии. Комплексный
скаляр рт связан с определителем тёплицевой матрицы выраже-
нием

т	т

detT„ = n Рл=Р?+1П (l-M^W1-*- (3.145)
/е=0	*=1

Для того чтобы показать это, используем выражения (3.52) и
(3.144) и заметим, что следующее произведение матриц произ-
вольного вида

i) \гтз /[о]До£ Ддд

I (3.146)
га/

имеет определитель det Тт = рт det Т^_ь поскольку detAB=
= det A det В (см. (3.52)). Применительно к элементам, опреде-
ляемым выражениями (3.133) и (3.141), имеем следующие ре-
куррентные соотношения:

И = а,л-1 И + а„ [т] Ьт^ [т — £]„	(3.147)

Ь» И = ь„ -1 И + ь„ [т] ат ., [т - ft]	(3.148)
1ля 6=1,..., т—1. Таким образом, шесть уравнений (3.136),
(3.137), (3.139), (3.140), (3.143) и (3.148) образуют замкнутую
шстему рекурсивных уравнений (/п = 0,..., М), необходимых
тля определения векторов ат и bm- По сути дела, это обеспечи-
?ает лишь получение первого и последнего столбцов матрицы,
тбратной тёплицевой. Заметим, что, для того чтобы эта рекурсия
эаботала, подматрицы То, Ть..., Тм должны быть обратимыми
(detTn = pn=#O). Количество вычислительных операций, требуе-
мых для расчета обновлений векторов в соответствии с (3.133)
1 (3.141), а также внутренних (скалярных) произведений век-
'оров (3.136) и (3.137) на каждом шаге вычислений пропорцио-
тально М, а полное количество вычислительных операций, тре-
5уемое этим алгоритмом, пропорционально М2.

Для того чтобы вычислить остальные элементы обратной мат-
)ицы, заметим сначала, что матрица, обратная теплицевой, мо-
нет быть записана в виде следующего разбиения (т. е. вблоч-
юй форме):

ил1 = — ( 1 ь" ,Д (3.149)
Рлт \аж	-гал1Ьм/

(Относительно доказательства см. разд. «Задачи» в конце гла-
ш.) Так как обратная матрица персимметрична, т. е.

щи = им,	(3.150)

?о уравнение (3.149) можно также записать в следую’1'ей форме:
u.. =±p'U"--r, Др| JM. (3.151)
Р.П \	1 7

4з (3.149) и (3.151) можно определить следующие соотношения
тля элементов «м [/,&] матрицы порядка М, обратной тепли-
тевой:

[0,	— 1/Рда,

им [0, k] = uM[M — k, Л4] = /?Л[И/р:1, lCfe<TI4,
«Л1[Л О] = «л1[7\4, Л1 —/] = atl[/]/P.4!-	1</<Л1,

1м [/ +	1] = Чи-1 [/, &] i а.к [/ “Г 1]	[k-,~ !]/<> ,,

0 Д/, k^M— 1,
k] - ьм [м—/ым- k]toM,

°К'/, /«м—1.

Объединяя последние два из этих выражений, можно исключить
>лемент um-i [/,&]; в результате получаем выражение

:«[/ + !, А + 1] = <М/. +

х(а>,[/+ 1]Ы*Х-Ц-ЫМ~.(УММ-Ч),’1 (3.152)
которое справедливо п>и 0^/, k^M—1. Рекурсивное уравне-
ние (3.152) позволяет вычислить все элементы обратной мат-
рицы по известным лидь векторам ам и bM. С помощью этого

уравнения можно такж: получить следующее выражение:

1	1	0  МИ	... О'	1 0	МИ	М ['И]	
т-'-м		0			Ьд. [1]	—
	М«] •••	ty[ [1]	1 |	0	0	1	
	1 0	0 ...	°)	0 ММ]	... ап	[1]
	L Ы«]			0		
			0		М	М]
	1 МИ	 	0|	0	0	0

(3.153)

А это означает, что, хоя матрица, обратная тёплицевой матри-
це общего вида, и не является тёплицевой, ее все же можно

разбить на сумму провведений верхней и нижней треугольных

тёплицевых матриц.

Особый интерес приставляет матрица, обратная эрмитовой
тёплицевой матрице Нд которая в случае комплексных данных
имеет следующий вид:

Щ]

/•и]
/[0]

г[Л1]
е [м — 1 ]

(3.154)

]/ [М] t[M—1] . . . t[0] I

Заметим, что НЯ=Н. Вданном случае векторы

— гм»

входящие в уравнение (3.129), связаны свойством комплексной
симметрии, поэтому за счет упрощения рекурсий уменьшается
количество вычислений необходимых для определения обратной
матрицы. В частности, детрудно показать, что векторы

Ь.м — а,м

(3.156)

и скаляры

Г« = ЛЛ	(3.157)

связаны комплексно-саряженными соотношениями. Скалярный
чла p.w, который теперь удовлетворяет уравнению
Рл!= Рм-1 (1 — I а.м [М] |а),

(3.158)

явлтется действительным и положительным. Это означает, что
м

det НЛ1 = р0 П (1 - К И I2) > 0-	(3.159)

k= 1

За чет использования соотношений (3.156) — (3.158) количество
вычслений, требуемых для определения вектора а.м, в «эрми-
товм» случае, уменьшается примерно вдвое по сравнению с
«нермитовым» случаем. В приложении 3.8 приведена написан-
ная на Фортране программа LEVINSON, предназначенная для
вычсленпя коэффициентов ам и скаляра рм в случае эрмитовой
тёпицевой матрицы.

кналогично выражению (3.153) для обращения тёплицевой
матицы в общем случае можно записать следующее выражение
дляобращения эрмитовой тёплицевой матрицы:

1	1	0	0	1  0	йл, [1] ...	а-м [AI]	
нх/=— Рл;		0			а'м [1]	—
	ал1[Л1] ...	ам[Ч 1.	0	0	1	
	( 0	0	°1	(0 ол,[М]	...	,[1] I
	1_	а'м [М]			0		
рл			0			[М] | •
	в'м [1]	.. аЦМ]		0	0	0 1
						(3.160)

3.8.,. Разложение на тёплицевы треугольные матрицы

Алпритм Левинсона позволяет также определять элементы, не-
обх|Димые для эффективного разложения матрицы, обратной
эрмгтовой тёплицевой матрице, на треугольные матрицы по ме-
тод Холецкого [1, 21]. Поскольку процедура вычисления всех
векоров решений низкого порядка ai,..., а.м является состав-
ной частью этого алгоритма, можно определить произведение
матиц

TmAm = Qi1;,	(3.161)

гдеТу — эрмитова тёплицева матрица, а А.м — ни>. 1реуголь-
ная матрица, составленная из векторов ат, т~0,.... М:

А ж =	1  «и [1] ам [2]	0  1  ам~1[П	. 0  . 0  . 0	О' 0 0	. (3.162)
	ам [Al—1] [М]	«Л1-1 [м —2] .  аж-1 [Af 1]	. i   «.[i]	6  1	

Используя уравнение (3.127), можно показать, что матрица Qm
в правой части уравнения (3.161) представляет собой треуголь-
ную матрицу следующего вида:

	( Pai 0	X  Рл1 —1	X  X		
				X	
Qai —	0	0	 Pi	X	,	(3.163)
	. 0	0	. 0	Ро	

где х обозначает ненулевые недиагональпые элементы, конкрет-
ные значения которых нас сейчас не интересуют. Если обе части
уравнения (3.161) умножить слева на матрицу, эрмитово сопря-
женную матрице Ам, то получим

— A^Q,n — РД!,	(3.164)

где Рм — диагональная

матрица следующего вида:

( Рм О

О Pai- 1



О
О

О

О 0 ]
о о

Pi о

0 Ро

(3.165)

которая получается в результате перемножения двух верхнетре-
угольных матриц. Альтернативным разложению (3.161) являет-
ся факторизация обратной эрмитовой тёплицевой матрицы по-
средством треугольных матриц следующего вида:

Тд/ — АД1Рд/ АД;[

(3.166)
3.8.3. Вшение тёплицевых линейных уравнений

Алгоритм Левинсона лежит также в основе алгоритмов, предна-
значениях для решения систем линейных уравнений, содержа-
щих талицеву и эрмитову тёплицеву матрицы. Рассмотрим об-
щие тллицевы линейные \равнения следующего вида:

Тл1хм — 2л1»

(3.167)

где z,m~ известный (М—1)-вектор-столбец
р[0]

(3.168)

и хм —неизвестный (Л-1 —1)-мерный вектор-столбец

I *Л1 [°]

= | •
Щ[М]|

(3.169)

которы необходимо определить. Решение для хм может быть
осуществлено на основе рекурсивного алгоритма Левинсона,
если з метить, что вектор решения Хм порядка т для линейных
уравнешй

Ta = z„,	(3.170)

где т-~М, и zm—(т+1)-мерный вектор, образованный из пер-
вых mb 1 элементов вектора Zm, можно рекурсивно вычислить
по векору решений х,к_i порядка т—1 с помощью следующего
уравнеюя:



(3.171)

где а - некоторый скаляр, который необходимо определить,
a bm—вектор, определенный в (3.132). Для того чтобы показать
справе;ливость (3.171), просто умножим обе его стороны слева
на марицу Т,,; и используем разбиение (3.129), что дает

0)

0

'Р,„.

(3.172)
где

₽,„ = гДх„,_,= 2	(3.73)

It— о

Указанное равенство выполняется при

«,» = (гИ--Р,»)/Р«-	(3-74)

Таким образом, начиная с нулевого порядка

/ [0]д:[0] = г [0],	(3.75)

вектор решения модифицируется в соответствии с уравненем
(3.171) на каждом шаге алгоритма Левинона для \^.т£М.
В случае эрмитовой матрицы используется подстановка а,* =
= bm. В приложении З.Г приведена написнная на Фортуне
программа TOEPLITZ, предназначенная д.я решения систмы
линейных уравнений для случая комплексна тёплицевой мари-
цы общего вида. Этот алгоритм требует ЗЛ2 операций умноке-
ния и сложения и памяти объемом 6М (ил 5М, если вектоом
решения является вектор в правой части уавнения). В прло-
жении З.Д приведена написанная на Фортране програша
HERM.TOEP, предназначенная для решена системы линеных
уравнений для случая эрмитовой тёплицевй матрицы. В эрми-
товом случае количество вычислительных пераций уменьшет-
ся до 2М2, а объем памяти — до 4М (или д ЗМ, если исползу-
ются операции замещения). Цибенко [6] становил, что атго-
ритмы на основе алгоритма Левинсона бладают сравнимой
численной устойчивостью с менее вычислиельно-эффектившм
способом решения системы линейных уравнний на основе мето-
да факторизации Холецкого. Ряд других вспросов, касающхся
практической реализации численных мето.ов решения ситем
линейных уравнений, обсуждается в работах [4, 9, 20, 13,
25, 26].

Хотя рекурсивный алгоритм Левинсона вполне относитя к
числу наиболее широко известных алгоритмов для быстрогошс-
ленного решения тёплицевых линейных урзнений па ЭВМили
микропроцессорах, это ни в коем случае неозначает, что от яв-
ляется единственным быстрым алгоритмом С помощью сврх-
больших интегральных схем (СБИС) был оеализован алгоритм
[14], основанный на алгоритме Шура1’, коорый позволяет ис-
пользовать преимущества систем обработк с параллельно ра-
ботающими процессорами. Операции вычсления скалярюго
произведения в алгоритме Левинсона уравнения (З.В6),

11 Шуром доказана теорема, что для любой матриц, существует ортономн-
рованный базис, в общем случае комплексный, припереходе к котоому
матрица будет верхнетреугояьной (см., например, [•♦], с. 63). — Прим.ред.
(3.137) и (3.171)] будут требовать logjAf последзательных
применений М параллельных процессоров, посколькуюлько по-
ловина операций сложения может быть выполнена ja каждом
шаге, что дает общую пропускную способность тако системы,
равную М log2 Af рабочих циклов. Общее количество вычисли-
тельных операций, требуемых алгоритмом Шура, 1ропорцио-
нально А!2, однако его структура проще алгоритма 1евинсона
и позволяет устранить операции вычисления скалярной произве-
дения и, следовательно, при использовании М парллельных
процессоров требуется 7И рабочих циклов.

3.8.4. Характеристические свойства тёплицевых матриц

Несмотря на то что тёплицева матрица имеет весьма аецифиче-
скую структуру, изучено не так уж много свойств соственных
значений и собственных векторов конечномерных тплицевых
матриц [7, 17]. Пусть

м

Л(г)=2	(3.176)

k=0

— характеристический полином, формируемый из элементов
□ [А] собственного вектора тёплицевой (А/+1) X (Af41)-матри-
цы Тм. Если Тм — эрмитова матрица, то она являете частным
случаем центросимметричной матрицы. Ее собственнь? векторы
будут либо сопряженно симметричными, либо антисотряженно
симметричными (см. подразд. 3.7.3), а это означает,что поли-
ном Л (г) будет также либо сопряженно симметрич1ым, либо
антисопряженно симметричным. Применительно к этоьу полино-
му можно показать, что такой симметрией обладают :орни, яв-
ляющиеся взаимообратными парами [17]. Таким обрзом, если
’г — один из корней, то корнем будет также и 1/г;-. Есл z- лежит
знутри единичной окружности, то 1/г; будет расположи вне ее.
Если zt лежит на единичной окружности, то 1/г, = г(*будет его
хомплексно-сопряженным корнем (и также будет лжать на
единичной окружности). Если коэффициенты полин>ма Л(г)
гействительны, то комплексные нули являются комтексно-со-
фяженными парами.

Если максимальное собственное значение матриц! Тм зна-
штельно отличается от других ее собственных значени, то мож-
ю показать (см. разд. «Задачи»), что корни полином:, образо-
ванного из собственного вектора, соответствующего М1ксималь-
юму собственному значению, лежат на единичной оюужности.
Го же справедливо и для собственного вектора, соотвествующе-
'о минимальному собственному значению, если оно акже су-
цественно отличается от других собственных значенй. Корни
полинома, образованного из остальных собственных векторов,
могут лежать, а могут и не лежать на единичной окружности;
то же справедливо, если максимальное или минимальное соб-
ственные значения не единственны.

Из выражений (3.79) и (3.145) получаем, что собственные
значения тёплицевой матрицы и элементы связаны соотно-
шением

м ’	м

detTM = n рй = П	(3.177)

ft=0	k=0

След тёплицевой (Л4+ 1) X (ЛГ+1)-матрицы Тм просто равен
(ЛН~1)/[0]. Используя далее (3.81), получаем

м

(3.178)
~ k=0

Как будет показано в гл. 6, элемент /[0] соответствует члену ав-
токорреляционной последовательности некоторого случайного
процесса с нулевым временным сдвигом, т. е. полной мощности
этого процесса. Таким образом, среднее собственных значений
характеризует полную мощность процесса.

Можно определить асимптотическое поведение собственных
значений тёплицевых матриц, связав их с собственными
значениями некоторой циркулянтной матрицы, для которой
известна аналитическая структура собственных значений. На-
пример, трехдиагональную тёплицеву (4х4)-матрицу

А[0]	1]	0	0 \

/[1] t [0] /[-1] о \

Lo	z[i]	z[oj. z[—i] /	1	’

\ о 0	Z[l]	z[0] /

можно аппроксимировать циркулянтной матрицей

/ Z[0]	/[-1]	О	Z[l]\

Z[l] Z [0]	Z[—1] о

(о Z [1] Z [0] t [-1] I	}

\/[-1] о Z[1] ZLOJ /

просто добавляя соответствующие элементы в противоположных
углах. Поскольку размер (4Х4)-матрицы можно увеличить до
(пХя), то две матрицы становятся ближе друг к другу в том
смысле, что у них совпадает п2 элементов во всех позициях, кро-
ме двух угловых. При м—*-оо матрицы становятся асимптотиче-
ски эквивалентными. Более подробные сведения об асимптоти-
ческом поведении собственных значений тёплицевых матриц со
структурой такого вида можно найти в работах [11, 12].
В последукщих главах книги опиано несколько методов
шектральногооценивания, которые трбуют вычисления мини-
мального или максимального собствеыых значений тёплицевой
матрицы и свяанных с ними собственых векторов. Для опре-
теления этих обственных значений мскно применить классиче-
:кий метод стпеней, при этом за счсг использования свойств
гёплицевой марицы удается несколькс снизить вычислительные
затраты. Собсвенный вектор, связаншй с минимальным собст-
венным значенем, является приближнием некоторой последо-
вательности вкторов v(&), которые ицутся как решения урав-
мения

v(Ai+ 1) = Т-Ч(й), k=Q, 1,	(3.181)

начиная с некторого начального приниженного значения, вы-
бранного в каестве v(0). Уравнение В.181) можно переписать
* виде

Tv(£+ 1) = v (k,	(3.182)

13 которого похучают систему линейнгх уравнений для неиз-
вестного вектоа v(£+1). Для решени уравнения (3.182) мож-
40 использоваь программу, помещеиую в приложении З.В
'в случае эрмиовой тёплицевой матриы) или в приложении 3.Г
в случае неэмитовой тёплицевой м.трицы). Эти программы
(аписаны на Сэртране, и требуемое ин количество вычислений
ia одну итераыю пропорционально М2 После каждой итерации
равнения (3.112) вектор решения у(£)нормируется относитель-
ю корня квадатного из его величинь vH(k)v(k), с тем чтобы
юлучить векто единичной длины. Обтчно достаточно всего не-
жольких итерций, для того чтобы это вектор сошелся к собст-
$енному векто у, соответствующему мнимальному собственно-
му значению, юторое определяется сношением Рэлея:

^ХОДИМОСТЬ М)Жет ОКазаТЬСЯ НеВЫСКОЙ, еСЛИ Amax/Xmin»l.

3 приложенииЗ.Е приведена написания на Фортране програм-
ма MINEIGVA-, предназначенная дл> определения минималь-
юго собственюго значения эрмитовой тёплицевой матрицы с
гспользование: этого подхода.

Аналогичным образом можно найтх максимальное собствен-
<ое значение, ттерируя матричное урвнение

Tv(£) = v(£+)	(3.184)

то тех пор, noia не будет достигнута сходимость. Все, что здесь
'ребуется, — эд простое умножение марицы на вектор, поэтому
вычислительна затраты будут пропоциональны М2.
Литератур

[1]	Burg J.P. A New Analysis Technique for Time feries Anal’sis. NATO
Advancd Study Institute on >ignal Processing with mphasis on Underwa-
ter Acastics, Enschede, Th< Netherlands, August 968. См. также сб.:
ModernSpectrum Analisis, DG. Childers, ed„ IEEE 'ress, New York, 1978,
p. 48.

[2]	Businge P. A., Golub G. //.Singular Value Decomosition of a Complex
Matrix.Jommun. ACM, vol. 2, pp. 564—565, 1969.

[3]	CantoniA., Butler P. Eigenvlues and Elgenvectorsof Symmetric Centro-
symmetic Matrices. Linear ?gebra and Its Applicatms, vol. 13, pp. 275—.
288, Mach 1976.

[4} Carayanis G., Kalouptsidis j., Manolakis D. G. Fas Recursive Algorithms
for a Cass of Linear Equatins. IEEE Trans. Acout. Speech Signal Pro*
cess., vc. ASSP-30, pp. 227—39, April 1982.

]5] CornynL J., Jr. Direct Metbds for Solving System of Linear Equations
Involvig Toeplitz or Hanke Matrices. Naval Reseach Laboratory (NRL)
Memoradum Report 2920, (ctober 1974 (availible rom NTIS, AD/A-002
931).

[6]	Cybenc< G. G. The Numerica Stability of the Levinon—Durbin Algorithm
for Toelitz Systems of Euations. SIAM J. Sci. Stat. Comput., vol. 1,
pp. 303-319, September 1980

[7]	Datta L Morgera S. D. Comients and Corrections «)n the Eigenvectors of
Symme'ic Toeplitz Matrices: IEEE Trans. Acoust. !peech Signal Process.,
vol. ASP-32, pp. 440—441,April 1984; reply by Mkhoul, vol. ASSP-33,
pp. 737-738, June 1985.

[8]	Durbin'. The Fitting of Tim Series Models. Rev. hst. Int. Stat., vol. 28,
pp. 233-244, 1960.

[9]	FardenD. C. Solution of a 'oeplitz Set of Linear Iquations. IEEE Trans.
Antenns Propag., vol. AP-24 pp. 906—907, Novembr 1976.

[10]	Forsyth G. E., Malcolm M. I., Moler С. B. Computr Methods for Mathe-
maticalComputations. Prentce-Hall, Inc., Englewod Cliffs, N. J., 1977.

[II]	Gray RM. On the Asymptdc Eigenvalue Distribu.on of Toeplitz Matri-
ces. IE!E Trans. Inf. Theor, vol. IT-18, pp. 725—30, November 1972.

[12]	Grenaner O., Szego G. Toelitz Forms and Their Aplications. University
of Calbrnia Press, Berkeley Calif., 1958. [Имеется эусский перевод: Гре-
нандерУ., Сеге Г. Тёплицеы формы и их приложния.— М.: ИЛ, 1961.]

[13]	Klema r. С., Laub A. J. The Singular Value Decomosition: Its Computa-
tion art Some Applications IEEE Trans, Autom.Control, vol. AC-25,
pp. 164-176, April 1980.

[14]	Kung Sin-Yuan, Yu Hen HuA Highly Concurrent Agorifhm and Pipelined
Architeture for Solving Teplitz Systems. IEEE 'rans. Acoust. Speech
Signal’rocess., vol. ASSP-3, pp. 66—75, February H83.

[15]	LawsorC. L., Hanson R. J. olving Least Squares Foblems. Prentice-Hall,
Inc.. Eglewood Cliffs, N. J., 974.

[16]	Levinsa N. The Wiener RM! (Root Mean Square) Irror Criterion in Filter
Designand Prediction. J. Mth. Phys., vol. 25, pp. SI—278. January 1947.

[17]	Makhoi J. On the Eigenvctors of Symmetric Teplitz Matrices. IEEE
Trans, icoust. Speech Signa Process., vol. ASSP-2I pp. 868—872, August
1981.

[18]	McClelin J. H_, Parks T. W7 Eigenvalue and Eigenvctor Decomposition of
the Dicrete Fourier Trarform, IEEE Trans. Audio Electroacoust.,
vol. AL20, pp. 66—74, Mach 1972. See also corments in vol. AU-21,
p. 65, Ebruary 1973

[19]	Noble ... Daniell J. W. Appbd Linear Algebra, 2nded. Prentice-Hall, Inc.,
Englewod Cliffs, N. J., 1977

[20]	Roebuc P. A., Barnett S. ASurvev of Toeplitz anc Related Matrices. Int.
J. SystScie., vol. 9, pp. 921-934. 1978.
[21 Therrien С. W. On the Relation betweenTriangular Matrix Decomposition
and Linear Prediction. Proc. IEEE, vo 71, pp. 1459—1460, December
1983.

[22 Trench W. F. An Algorithm tor the Invenon of Finite Toeplitz Matrices. J.
Soc. Ind. Appl. Math., vol. 12, pp. 515—52, September 1964.

[23 Yarlagadda R., Suresh Babu B. N. A Nte on the Application of FFT to
the Solution of a System of Toeplitz Nonal Equations. IEEE Trans. Cir-
cuits Syst., vol. CAS-27, pp. 151—154, Fetuary 1980.

[24 Zohar Sh. Toeplitz Matrix Inversion: Th Algorithm of W. F. Trench. J.
Assoc. Comput, Mach., vol. 16, pp. 592—60, October 1969.

[25 Zohar Sh. The Solution of a Toeplitz St of Linear Equations. J. Assoc.
Comput. Mach., vol. 21, pp. 272—276, April974.

[26 Zohar Sh. FORTRAN Subroutines for the olution of Toeplitz Sets of Linear
Equations. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-27,
pp. 656—658, December 1979. See also corections in: vol. ASSP-28, p. 601,
October 1980; vol. ASSP-29, p. 1212, Deceiber 1981.

Задачи

1.	Показать, что матрица, обладающая своствами симметрии и персиммет-
эии, обладает также и свойством центраьной симметрии и что обратное
утверждение неверно. Построить такую мгрицу. Доказать также, что мат-
рица, обладающая любыми двумя из cdiictb симметрии, персимметрии
г центральной симметрии, обладает и третим из этих свойств.

2.	Показать, что (AB)w=BffAw.

3.	Записать выражение для внутреннего призведения блочных векторов.

4.	Показать, что если Н — матрица Ганкел* то JH и HJ — тёплицевы мат-
)ИЦЫ.

5Д	оказать, что если А, В и АВ — невырожденные матрицы, то (АВ)-! =
= В’1А-1.

6.	Показать, что матрица, обратная диагонаьной матрице, также диагональ-
ia и имеет элементы вида 1/d[i].

7.	Показать, что если А —квадратная (rtX/l-матрица, а х — (пХ 1)-вектор-
толбец, то хнАх — неотрицательный скаля.

8.	Показать, что (Ая)~1= (А”1)*

9Доказать, что если А — симметричная мтрипа, то А-1—симметричная
1атрица (если она, конечно, существует).Показать, что если А — персим-
1етричная матрица, то и А~‘—персиммеричная матрица. Доказать, что
ели А — тёплицева матрица, то А'1 — прсимметричная матрица. Дока-
ать, что если А — матрица Ганкеля, то А1—симметричная матрица. До-
азать, что если А — центросимметрична матрица, то и А"1 — центро-
имметричная матрица.

10.	Показать, что верхнетреугольная матрицах с ненулевыми диагональными
лементами имеет линейно-независимые вктор-столбцы, а следовательно,
вляется невырожденной матрицей.

11.	Показать, что если ранг матрицы А раве п, то ранг матрицы Aw также
авеи п.

12.	Показать, что определитель квадратной марицы Вандермонда

V =
опрелляется выражением

det У = П (*/—*<)•

13.	Пуст симметричная трехдиагональная тёплицева (пхл) -матрица имеет
вид

(!)	а	°	...	01

а	Ь	а

0	а	.	О	,

а

^0 *.. О а Ъ,

Покгать, что она имеет собственные значения Х> = а4-2й cos(Aji/n-H), k —
= п, и соответствующие им собственные векторы вида

(Sin (йл/п-|- И '

sin (йшт/n-f- 1)<

14.	Покаать, как с помощью трех операций БПФ можно получить вектор ре-
шена х линейного уравнения Сх==Ь, где С — циркулянтная матрица. Как
осущствить переход к левоциркулянтной или правоциркулянтвой матри-
цам ри использовании прямого или обратного БПФ?

15.	Покаать, что если С —центросимметричная матрица, то JC=*CJ.

16.	Докаать справедливость соотношения (3.149). [Подсказка: использовать
разбения (блочные представления)]

Мо]



л

Т,у? —

а загм воспользоваться леммой об обращении матрицы, см. выражение
(3.50. Заметим, что ft = «[0, 0] = 1/р«.

17.	Исслдовать свойства корней полинома для случая эрмитовой тёплицевой
матрцы. Показать, например, что характеристический полином обладает
свойсвом комплексно-сопряженной симметрии и что его корни имеют еди-
нична модули.

18.	Модфицировать подпрограммы TOEPLITZ и HERMTOEP таким образом,
чтобь запись решения производилась в массив Z, т. е. чтобы решение
возврщалось в массив Z, исключая тем самым необходимость обращения
к масиву X.
19.	Было показано, что алгоритм Левинсона позволяет ршить уравнения
вида

Используя ношений:	выражение (3.129), показать справедливость следующих соот-  [0] + sJ[aA1 = t [0] + гЛ1Ьи = рЛ1,  Гл1 + Тм_1ал1 = J siW -|-ТЛ1_Д ЬЛ1 = 0Л1.

20. Задача повышенной трудности: показать, как можно потроить алгоритм
обращения для треугольных тёплицевых матриц, треующий порядка
O(nlogn) вычислительных операций. Показать сначала что умножение
нижнетреугольной (или верхнетреугольной) тёплицевой мтрицы на вектор
эквивалентно вычислению свертки (или корреляции) поседователыюстей.
образованных из первых столбцов (или строк) этой марицы и вектора,
и что оно может быть выполнено с помощью БПФ.

Приложение З.А.

Программа решения эрмитовых линейных уравненй
методом Холецкого

Метод Холецкого, предназначенный для решены эрмитовой
системы линейных уравнений, был кратко onncai в разд. 3.6.
Число требуемых им вычнслшельных операций попорциональ-
но М3, где М — размерность матрицы. С помощю процедуры,
описанной в приложении IV, помещенном в концекниги, приве-
денная ниже программа может быть преобразов на для обра-
ботки действительнозначных данных. В программе использует-
ся процедура замены для записи вычисляемых знчений в мас-
сив В, в результате чего исходная запись входых данных в
этом массиве стирается. Для работы программ! необходимо
хранить только половину элементов матрицы А, элменты другой
ее половины определяются по свойству эрмитовой симметрии

Следующий контрольный пример, в котором ,ля комплекс-
ной величины x+jy использовано обозначение (х; /):

- (2,0; 0,0)	(0,5;	—0,5)

(0,5; 0,5)	(1,0;	0,0)

_ (—0,2; —0,1) (0,3; 0,2)

(—0,2; 0,1)

(0,3; —0,2)

(0,5; 0,0)

-Х[1] -
х[2]

_х!3] _

“ (1,0; 3,0) -
(2,0; —1,0)
(0,5; 0,8)
будет даваъ решение

- (0,9595; 5’566)	'

(4,4189; -7,0405)

_ (—5,1351 ;6,3514) _

записываемое в массив В. Параметр EPS был устаношен рав-
ным 10~15.

Подрограмма CHOLESKY (M.EPS, А, В, ISTAT)

С Эта прграмма предназначена дл: решения систем комплексых лпней-
С ных урвнений с симметричной эмитовой матрицей методе] разложе-
С ния Хаецкого. Значения вычислимого решения постепенно замещают
С исходне содержимое массива В. Одержимое массива А стирется после
С вызовапой программы.

С

С	АХ=В

С

С Входны параметры:

С

С	М	—порядок матрицы (чмо линейных уравнений).

С	EPS —«эпсилон» (величина ля проверки потери значиюсти; зави-

С	сит от точности испоьзуемой ЭВМ; рекомендуеся исполь-

С	зовать значение 1.Е—5).

С А — массив комплексных элементов матрицы, заисываемый
С	в виде столбцов (т. А(1,1) записывается в амять как

С	А(1), А(1,2) — как А2), А(2, 2) — как А(3) и тд. Хранит-

С	ся только	верхнетреуольная	часть	матрицы	А, поскольку

С	другая часть	определется	по	свойству	эрмитовй	симмет-

С	рии).

С В —массив комплексны; элементов вектора в првой части
С	уравнения.

С

С Выходые параметры:

С В —комплексный векторрешения X, записываемы в память
С	вместо вектора В.

С IST.T —цифровой индикатор состояния в момент выход из про-
С	граммы:

С	0 для нормального выода,

С	— 1, если матрица	выржденна,

С	+К, если утеряна	чиаенная	значимость или еслюбнаруже-

С	на неположительно оределенная матрица на шаг К.

С

С Примечние:

С Разеры .GE. М(М+1)/2 внешего массива А и размеры ЛЕ. М мас-
С сивгВ должны устанавливаться в вызывающей программе.

С

С COMPLEX А(1), В(1), SUM

С

С Разложние на треугольную и диагнальную форму I (3.76)
С

IST.T=0

КРК=0

DOIOO К=1.М
]PIV=KPIV+K
ND = KPIV
	LEND=b-l  TINY=A.S(EPS*REAL(A(KPIV)))  DO 100 1= К, М  SUM=(0,0.)  IF (LND .EQ. 0) GO TO 40  LPIV=KPIV  DO3(L=1,LEND	'  LPV=LPIV4-L-K-1
30	SU4=SUM+REAL(A(LPIV))>A(IND-.)*  C(NJG(A(KPIV-L))
40	SUM=A(IND) - SUM
С с	IF (I JE. K) GO TO 80  Проверка на отрицательный центральный элемент и потерю значимости  IF(REkL(SUM) .GT. TINY) GO TO 90  IF(RRL(SUM) .GT. 0.) GO TO 70  ISTAb -1  RETUN
70	IF (IS'AT .GT. 0) GO TO 90  ISTAI=K
90	A(IW) = CMPLX (REAL (SUM) ,0.)  DPIV=1./REAL(SUM)  GO T€ 100
80 100 С с с с	A(INE) = SUM*DPIV  1ND=ND4-1  Обратный расчг с использованием вектор-столбца ромежуточного ре-  шения	I (3.74)  KPIV=F  DO 200 К=1М  KPIV-KTV+K  SUM=BtQ  DO 210 J=1,K-1
210 200 С с с с	SUM=SUM—B(K—J)*CONJG(A(KPIV—J) B(K)=S1M  Обратный расче с использованием вектор-столбца оончательного реше- ния	1 (3.75)  KPIV= (М« м+1) )/2  В (М) =В (M/REAL(A(KP1V))  DO 300 K=l,2, -1 KPIV^K’IV-K IND = KPV  SUM=BK-1)/REAL(A(KPIV))  DO 310 J=K,M  IND=ND+(J-1)
310  300	SUM=SUM—B(J)*A(IND)  B(K-1)-SUM  RETURN  END
Приложение З.Б.

Программа для определения рзложения
по комплексным сингулярным мслам

Подпрограмма CSVD преднаначена для определения разло-
жения по сингулярным числамкомплексной матрицы А, состоя-
щей из М строк и N столбцов, де Максимально возмож-
ная размерность матрицы А устанавливается параметрами
ММАХ и NMAX. N действитаьных сингулярных чисел
записываютсяв память в порядке уменьшения
их значений в виде вектора S Подпрограмма позволяет также
определять первые NV столбюв комплексной унитарной (А’Х
ХАГ)-матрицы V и первые VC/столбцов комплексной унитарной
(МхМ)-матрицы U, такой чтс ИА—U2VH||2 пренебрежимо мало
по сравнению с ||А||2, где S=diag(<Ti, ..., crv)—диагональная
матрица из сингулярных чисек Единственные допустимые зна-
чения для NU— это О, N и М.Единственные допустимые значе-
ния для NU— это 0 и N. Пр желании к IP векторам в столб-
цах массива А с (Л/+1)-го п< (N+IP)-ft может быть примене-
но преобразование (предполагается, что IP отлично от ну-
ля). Эта процедура может бггь использована для отыскания

решения по методу наименыих квадратов с минимальным
евклидовым расстоянием (пседообратного решения) для пере-
определенной системы АХ=:В Псевдообратвое решение будет
определяться при вызове под1рограммы CSVD с NV=N и с
IP столбцами матрицы В, заисанными в столбцах массива А
с номерами с N+l по N + IP Эффективный ранг г матрицы
А может быть оценен по сингутярным числам в векторе S. Пре-
небрежимо малые сингулярны числа с номерами с г+1 по Аг
обнуляются, и решение будет иметь форму X=V2*UHB, где
S*—diagfa'r1, 02“’» •••. пл1, 0, 0), a UHB ставится подпрограм-
мой CSVD на место каждогостолбца матрицы В, записанного
в столбцах массива А с номерами с Аг+1 по N+IP.

Константы ЕТА и TOL, (спользуемые этой программой,
зависят от применяемой ЭВМ ЕТА — относительная машинная
точность, a TOL — наименьше нормированное положительное
число, делящееся на ЕТА. Знмения этих констант в программе
выбраны применительно к Э1М типа VAX. Размеры внешних
массивов В, С и Т выбираются в предположении, что V^IOO.

Для контрольной матрицы

А=

(2,8; —О,)

(3,6; -1,:)

(2,0; 0,4)

(1,6; 0,0)

(2,4; —1,8)

(2,8; —4,4)

где для комплексной величинь x+jy использовано обозначение
(к', у), при NU = 3, NV=2 и Р — 0 получаем следующие значе-

9—1366
ния, которые будут записана в массива S, U и V:

s Г 7,5171
[ 2,9687 ( '

Г (0,61000; 0,0]	(0,7920; 0,0)	1

[ (0,65719; 0,4271) (—0,9592; —0,34081) ] ’

и=

(0,36710; 0,06177)	(0,474'1; —0,2905) (0,02914; 0,74220)

„(0,60797;—0,11340) (0,3457;—0,289(7) (—0,18073;—0,61813)’

(0,66622; —0,18731) (—0,4845; 0,5357) (0,02582; 0,18132)

Подпрограмма CSVD (,, ММАХ, NAAX, М, N, ГР, NU, NV, S, U, V)
С

С Разложение ло сингулярны числам комлексной (MxN)-матрицы А, где
С М .GT. N. Сингулярные чела записывается в виде вектора S. Вычисли-
С ются также первые NU стпбцов унитарой (МхМ)-матрицы U и первые
С NV столбцов унитарной (ТхИ)-матрит V, которые минимизируют опре-
С делитель det(A—USV*); м. статью Бсингера и Голуба «Разложение
С комплексных матриц по сигулярным чипам» [2].

С Помешенный ниже алгоргм печатается разрешения Американской ас-
С социании по вычислительнй технике (АМ); © АСМ, 1969.

С

COMPLEX А(ММАХ,1МАХ), U(M1AX,MMAX), V(NMAX.NMAX),

Q.R

REAL S(NMAX), В(10),C(100),T(10)

DATA ETA, TOL/L2E-7, 2.4Е-32/

NP = N-pIP

N1=N+1

С Редукция (понижение пордка) Хаусходера

C(J)= 0.

К=1

10	KI = K-H

С Исключение элементов А(,К), I==K+1,.., М
z=o.

DO 20 I=K,M

20	Z-Z4-REAL(A(J,b)»*24-AIMAj(A(I,K))**2

B(K)=0.

IF (Z ,LE. TOL) GO D 70

Z«=SQRT(Z)

B(K)=Z

W=CABS(A(K,K))

Q=(L>0.)

IF (W .NE. 0.) Q=A(CK)/W

A(K,K)-Q*(Z+W)

IF (K .EQ. NP) GO T) 70

DO 50 J=K.I,NP

Q=(0,0.)

DO 30 I=K,M

30	Q = Q+CONJGA(I,K))*A(I,)

Q=Q/(Z* (Z+W):

DO 40 I = K,M
40

50
С

60
С

70

80

90

100
по
с

120
130

С
140

150

С

160
170
180

190
200
С

210

С

220

A(I,J)=A(I,J)-Q*A(I,K)

CONTINUE

Преобразование фазы

Q = _ CONJG (А (К.К))/CABS (А (К.К.))

DO 60 J=K1,NP

A(K,J) =Q*A(K,J)

Исключение элементов A(K,J), J=K4-2, N

1F(K .EQ. N) GO TO 140

Z = 0.

DO 80 J = K1,N

Z = Z+REAL(A(K,J))**2+AIMAG(A(K,J)) **2

C(Kl)=0.

IF (Z ,LE. TOL) GO TO 130

Z=SQRT(Z)

C(K1)=Z

W=CABS(A(K,K1))

Q=(L,0.)

IF (W .NE. 0.) Q=A(K, Kl)/W

A(K,K1)=Q*(Z+W)

DO 110 I=K1,M

Q=(0,0.)

DO 90 J = K1,N

Q = Q+CONJG(A(K,J))*A(I,J)

Q=Q/(Z4Z4-W))

DO 100 J = K1,N

=A(1,J) —Q*A(K.,J)

CONTINUE

Преобразование фазы

Q= - CONJG(A(K,K1) )/CABS(A(K,Kl))

DO 120 I = K1.M

A(1,K1) =A(I,K1) *Q

K=K1

GO TO 10

Допуск для пренебрежимо малых элементов

EPS = 0.

DO 150 K=1,N

S{K)»B(K)

T(K)=C(K)

EPS=AMAXl(EPS,S(K)-t-T(K))

EPS = EPS-ETA

Инициализация вычислений U и V

IF (NU .EQ 0) GO TO 180

DO 170 J=1,NU

DO 160 1=1,M

U(I,J) = (0 ,0.)

= (1,0.)

IF (NV EQ. 0) GO TO 210

DO 200 J«1,NV

DO 190 1 = 1,N

V(l,J) = (0 .0)

V(J,J)-(1.,O.)

QR-диагонализэция

DO 380 KK=l,N

K=N1-KK

Проверка на расщепление

DO 230 LL=1,K

L=K+1-LL

9'
IF(ABS (T(L)) .LE. EPS) GO TO 2901

IF(ABS(S(L—1)) .LE. EPS) GO TO 240

CONTINUE

Скращение B(L)

CS=0.

230
С

240

250
260

270
280
С
290

С

С

SN=1.

L1=L—1

DO 280 I = L,K

F=SN*T(I)

T(I)=CS*T(I)

IF(ABS(F) .LE. EPS) GO TO 290

H-S(I)

W = SQRT(F»F+H*H)

S(I)=W

CS=H/W

SN= — F/W

IF (NU .EQ. 0) GO TO 260

DO 250 J=1,N

X = REAL(U(J,L1))

Y=REAL(U(J,I))

U(J,L1)=CMPLX(X*CS+Y*SN,O.)

U(J,I) =CMPLX(Y*CS-X*SN,0.)

IF(NP .EQ. N) GO TO 280

DO 270 J=N1,NP

Q=A(LI,J)

R=A(I,J)

A(L1,J)=Q*CS+R*SN
A(I,J) =R*CS —Q*SN
CONTINUE "

1роверка сходимости

W=S(K)

IF(L .EQ. K) GO TO 360

(двнг начала координат

X=S(L)

Y=S(K—1)

G=T(K—1)

H=T(K)

F-((Y-W).(Y+W) + (G-H)*(G+H))/(2.»H *Y)

G=SQRT(F*F+1.)

IF (F LT. 0.) G=—G

F=((X-W).(X+W)4-(Y/(F+G)-H)*H)/X

(R-шаг

CS = 1.

SN=1.

L1=L-H

DO 350 I=L1,K

G-T(I)

Y-S(I)

H=SN»G
G«CS*G
W=SQRT(H»H+F»F)
T(I—1)=W
CS = F/W
SN=H/W
F=X*CS+G»SN
	Обзор матричной алгебры	133  G = G*CS —X*SN  H = Y»SN  Y=Y*CS  IF (NV .EQ. 0) GO TO 310  DO 300 J = 1,N  X=REAL(V(J,I-1))  W=REAL(V(J,I))
300  310	V(J, I-1) =CMPLX(X*CS+W*SN,0.)  V(J,I) =CMPLX(W*CS—X*SN,0.)  W=SQRT(H*H+F»F)  S(I-1)=W  CS=F/W  SN = H/W f=cs*g+sn*y X=CS*Y—SN*G  IF (NU .EQ. 0) GO TO 330  DO 320 J=1,N >'  Y=REAL(U(J,I—1))  W=REAL(U(J,I))
320  330	U(J,I-l)=CMPLX(Y*CS+W*SN,0.)  U(J,I) =CMPLX(W»CS—Y*SN,0.)  IF (N .EQ. NP) GO TO 350  DO 340 J=N1,NP  Q=A(I —1,J)  R=A(I,J)
340  350	A(I —1,J)=Q*CS+R*SN  A(I,J) = R»CS — Q*SN CONTINUE  Tl)=0.  TK)=F  SK)=X  G> TO 220
С 360	Сходимоть  II (W .GE. 0.) GO TO 380  S<) = —w  II;NV .EQ. 0) GO TO 380  D« 370 J=1,N
370  380 С	V(J,K)	V(J,K)  CONTINUE Упорядоение сингулярных чисел DO 40 K=1,N  G=-l  J=K  D» 390 I = K,N  IF (S(I) .LE. G) GO TO 390  G-S(I)  J=I
390	CONTINUE  IF(J. EQ. K) GO TO 450  S()=S(K)  S«)=G  IF(NV EQ. 0) GO TO 410  D( 400 1=1,N  Q=V(I,J) V(I,J)=V(I,K)
400  410	V(I,K)=Q  IF(NU .EQ. 0) GO TO 430
DO420 1 = 1,N

)«U(I,J)

=U(I,K)

420	J(I,K)«=Q

430 IF N .EQ. NP) GO TO 450

DC440 I=N1,NP

}=A(J,I)

ф,1)=А(К,1)

440	4K,D=Q

450 CONTINUE

С Обратноепреобразованне
IF (N< .EQ. 0) GO TO 510
DO 50 KK=l, N
K=N1-KK

IF B(K) .EQ. 0.) GO TO 500
Q=—A(K,K)/CABS(A(K,K))
DC460 J=i,NU

460	J(K(J)^Q*U(K,J)

DC490 J=1,NU

(0.,0.)

DO 470 I-K.M

470	Q»Q+CONJG(A(I,K))*U1,J)

Q=Q/(CABS(A(K,K))*B(K)

DO 480 I = K,M

480	U(I,J)«U(I,J)-Q*A(I,K)

490	CONTINUE

500 CONTINUE

510 IF (ЬУ .EQ. 0) GO TO 570

IF (N.LT. 2) GO TO 570

DO 50 KK=2,N

K=N1-KK

Kl-K+1

IFC(Kl) -EQ. 0.) GO TO 560

Q=-CONJG(A(K,K1))/CABS (.(K,K1))

D( 520 J=1,NV

520	V(KI,J)=Q*V(K1,J)

D( 550 J® I,NV

Q=(0.,0.)

DO 530 I=K1,N

530	Q = Q+A(K,I)*V(I,J)

Q=Q/(CABS(A(K.K1))*C(K))

DO 540 I = K1,N

540	V(I,JM(I,J)-Q*CONJ<(A(K,I))

550	CONTINUE

560 C(NTINUE

570 RETIRN
END

Приложены 3.B.

Программаалгоритма Левинсона

Алгоритм Левинсона предназначен для решения уравнения
т«(а] И')
\ал1 J Чи /

в случае, кгда Тм — эрмитова тёгпицева матрица, как описано
в подразд. 3.8.1. Количество вычислительных операций при ре-
шении этого уравнения методом исключения Гаусса пропор-
ционально Л43, где М — размешость матрицы, а объем требуе-
мой при этом памяти пропор,ионален М2. При использовании
алгоритма Левинсона требуете только ЛР+АГ операций сложе-
ния, М2+2М операций умножния и М операций деления, а
хранить необходимо массив олько из 2М элементов. С помо-
щью процедуры, описанной в приложении IV, помещенном в
конце книги, программа можс быть преобразована для обра-
ботки действительнозначных днных. В контрольном примере с
входными параметрами M = i 70=3,0, Т(1) = (—2,0; 0,5) и
7(2)= (0,7; —1,0), где для кошлексной величины x+jy исполь-
зовано обозначение (х; у), прграмма LEVINSON будет давать
выходные значения Р—1,321, А (1 ) = (0,86316; 0,03158) и
Л(2) = (0,34737; 0,21053).

Подпрограмма LEVINSON (1, ТО, Т, Р, A, ISTAT)

С Предназначена для решения свтемы комплексных линейных уравнений
С	А=Р

С с помощью алгоритма Левинсаа. Здесь Т — эрмитова тёплицева (М+
С +1)Х(М+1)-матрица, А — векор-столбец с элементами 1, а(I), .... а(М),
С а Р — вектор-столбец, верхний элемент которого равен р, а остальные
С элементы равны нулю.

С

С Входные параметры:

С

С М —число компонентоЕ неизвестного вектора А; размерность А
С	равна М (это — поядок авторегрессионной модели; см. ни-

С	же гл. 7); целочислнный параметр.

С ТО —действительный снляр, соответствующий элементу матри-
С	цы t(0); благодая свойству эрмитовой симметрии этот

С	элемент всегда дейтвителен.

С Т —массив из М компексных элементов t(l), .... t(M) левого
С	столбца тёплицево матрицы (это — значения автокорреля-

С	' ционной последоваельности авторегрессионной модели; см.

С	ниже гл. 7),

С Выходные параметры:

С

СР — действительный скляр, представляющий собой верхний эле-
С	мент вектора в павой части уравнения (это — дисперсия

С	шума, возбуждаюгего авторегрессионную модель; см. ниже

С	гл. 7).

С А —массив из М компексных элементов вектора решения (это
С	коэффициенты автоегрессионной	модели; см. ниже гл. 7).

С ISTAT —цифровой индикатр состояния в момент выхода из про-

С	граммы:

С	0 для нормальноговыхода,

С	1, если Р=0 (вырожденная матрица)

С Примечание:

С

С Размеры .GE. М внешних мссивов А и Т должны устанавливаться
С вызывающей программой.
	COMPLEX I (. 1), A(l), TEMP, SAVE  REAL ТО, Р  Р=ТО  ISTAT=0
С	Рассматривать М=0 как частный случай
с с с	IF (М .EQ. 0) RETURN  Основная рекурсия Левинсона  К=0
100	К=К+1  SAVE — Т(К)  IF (К .EQ. 1) GO ТО 20  DO 10J=I,K-1	,
10  20	SAVE=SAVE+A(J)*T(K-I)	1 (L136)  TEMP--SAVE/P	,  P=P*(1.—REAL(TEMP) **2—AIMAG(TEMP) **2)	I (3 158)  IF (P .GT. 0.) GO TO 30 ISTAT = 1 RETURN
30	A(K)=TEMP	! (1139)  IF(K -EQ. 1) GO TO 50  KHALF=K/2  DO 40 J=1,KHALF  KJ=K-J  SAVE=A(J)  A(J)=SAVE+TEMP«CONJG(A(KJ))	! (1147), (3 156)  IF (J .EQ. KJ) GO TO 40  A(KJ>A(KJ)+TEMP»CONJG(SAVE)	! ( 147), (3.156)
40  50	CONTINUE  IF (K .LT. M) GO TO 100  RETURN  END

Приложение З.Г.

Программа для решения тёплицевых линейных урвнений
в общем случае

Эта подпрограмма предназначена для решения астемы линей-
ных уравнений (3.167) с тёплицевой матрицей общего вида,
описанного в подразд. 3.8.3. Количество вычислтельных опе-
раций при решении этих уравнений методом исклочения Гаусса
пропорционально Af3, где М — размерность матрицы, а объем
требуемой при этом памяти пропорционален ЛР Данная про-
грамма требует только 3Af2+Af операций сложеия, (5/2)Л12+
+ (5/2)А1 операций умножения и ЗА/ операцм деления, а
хранить необходимо массив из 6Af элементов. С помощью про-
цедуры, описанной в приложении IV, помещенно: в конце кни-
ги, программа может быть преобразована для об>аботки дейст-
вительнозначных данных. В соответствии с принтыми в книге
обозначениями, порядок матрицы А1, задаваемы в качестве
входного параметра программы, приводит к полуению вектора
решения размерности Л1+1. Для входных параметров М = 2,
ГО «(3,0; 0,0), ТС(1) = (—2,0; 0,5), ГС(2) = (0,7; —1,0), 77?(1) =
= (—0,2; —0,4), ГЯ(2) = (0,3; —0,6), Z(l) = (l,0; 3,0), Z(2) =
= (2,0; —1,0) и Z(3) = (0,5; 0,8), где для комплексной величины
x-^jy использовано обозначение (х;г/), подпрограмма TOEPLITZ
будет давать выходные значения X (1) = (0,23519; 1,2437),
X (2) = (1,0303; 0,53575) и X(3) = (0,47335; 0,24032).

Подпрограмма TOEPLITZ (М, ТО, ТС, TR, Z, X, ISTAT)

С

С Предназначена для решения системы комплексных линейных уравнений
С	TX=Z

С с помощью одного из вариантов алгоритма Левинсона. Здесь Т — комп-
С лексная несимметричная тсплицева (М+1)х(М+1)-матрип.а, Z — изве-
С стный комплексный вектор-столбец из М+1 элементов, а X —вектор ре-
С шения из М+1 комплексных элементов.

С

С Входные параметры:

С

С	М	—порядок матрицы Т (целое число).

С	ТО	—скаляр, соответствующий комплексному элементу матрицы

С	t(0).

С	ТС	—массив из М комплексных элементов t(l), ..., t (М) левого

С	столбца тёплицевой матрицы.

С	TR	—массив из М комплексных элементов t(—I)..t( —М) верх-

С	ней строки тёплицевой матрицы.

С	Z	—массив из М+1 комплексных элементов вектора, стоящего

С	в правой части уравнения. Элементу Z(k+1) в программе

С	соответствует в подразд. 3.8.3 элемент z(k), k=0, .... М.

С

С Выходные параметры:

С

С X —массив из М+1 комплексных элементов вектора, решения.
С	Элементу X (k+1) в программе соответствует в подразд. 3.8.3

С	элемент х(к), к=0, ..., М.

С ISTAT — цифровой индикатор состояния в момент выхода из про-
С	граммы:

С	0 для нормального выхода;

С	1, если Р=0 (вырожденная матрица).

С

С Примечание:

С

С	Размеры .GE. М внешних массивов TR, ТС и размеры .GE. М+1 мас-

С	сивов X, Z должны указываться в вызывающей программе. Для зада-

С ния размеров внутренних массивов А и В должно использоваться
С .GE. М.

С

С

COMPLEX ТС(1), TR(1), X(l), Z(l), А(ЮО), В(100)

COMPLEX TEMPI, ТЕМР2, SAVE1, SAVE2 ALPHA BETA
COMPLEX P, TO
P = T0
ISTAT=1

IF (P .EQ. (0.0.)) RETURN

С Рассматривать М=б как частный случай

X(I)=Z(l)/T0	| (3.175)
IF (М LE. 0) RETURN		
С С С  100	Основная рекурсия  К=0  К=К+1  SAVEl-TC(K)  SAVE2=TR(K)  ВЕТА=Х(1) *ТС(К)  IF (К .EQ. 1) GO ТО 20  DO Ю J==1,K—1  kj=k-j  SAVE1 =SAVE1+A(J) *TC(KJ)  SAVE2=SAVE2+B(J)«TR(KJ)	1 (3.136)  I (3.137)
10  20	BETA=BETA+X(J+1)*TC(KJ)  TEMPI = —SAVE1/P  TEMP2= — SAVE2/P  P-P*(l.,0.)-TEMPI *TEMP2)  IF (P .EQ. (0.,0.)) RETURN	1 (3.173)  1 (3.140)
30  40  50	A(K)=TEMP1  B(K)=TEMP2  ALPHA = (Z (K-H)-BETA)/Р  IF (K EQ. 1) GO TO 50  DO 40 J = 1,K—1  KJ=K-J  SAVE1=A(J)  A(J)=SAVE1+TEMP1*B(KJ)  B(KJ')=B(KJ)+TEMP2*SAVE1  CONTINUE  X(K4-1)=ALPHA  DO 60 J=1,K	1 (3.139)  1 (3.143)  1 (3.174)  1 (3.147) ! (3.148)
60	X(J)=X(J)+ALPHA*B(K-J+1)  IF (K -LT. M) GO TO 100  ISTAT=0  RETURN  END	I (3.171)

Приложение З.Д.

Программа для решения

эрмитовых тёплицевых линейных уравнений

Эта подпрограмма предназначена для решения системы линей-
ных уравнений (3.167) с эрмитовой тёплицевой матрицей,
описанного в подразд. 3.8.3. Данный алгоритм требует 2М2+
+ 2А4 операций сложения, 2М2 + ЗМ операций умножения,
2М операций деления и объема памяти для хранения массива
из 4М элементов. Все эти величины меньше аналогичных вели-
чин для подпрограммы TOEPLITZ вследствие уменьшения
объема вычислений, обусловленного свойством эрмитовой
симметрии. С помощью процедуры, описанной в приложении IV,
помещенном в конце книги, программа может быть преобразо-
вана для обработки действительнозначных данных. В соответ-
ствии с принятыми в книге обозначениями порядок матрицы М,
задаваемый в качестве входного параметра программы, приво-
дит к подучению вектора решения размерности М-г1. Для
входных параметров М = 2, 70= (3,0; 0,0), 7(1) = (—2,0; 0,5),
7(2) = (0,7; —1,0), 2(1) = (1,0; 3,0), 2(2) = (2,0; -1,0) и 2(3) =
= (0,5; 0,8), где для комплексной величины х + jy принято обозна-
чение (х; у), подпрограмма HERMTOEP будет давать выходные
значения 2(1) = (2,2970; 1,6990), X (2) = (3,3185; 1,2970) и
2(3) = (1,4928; 0,94745).

С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с

Подпрограмма HERMTOEP (М, ТО, Т, Z, X, ISTAT)

Предназначена для решения системы комплексных линейных уравнений
TX-Z

с помощью одного из вариантов алгоритма Левинсона. Здесь Т — комп-
лексная эрмитова тёплицева (М+1) X (М+1)-матрица, Z — известный
комплексный вектор-столбец из М+1 элементов, а X — вектор решения
из М+1 комплексных элементов.

Входные параметры:

М — порядок матрицы Т (целое число).

ТО —скаляр, соответствующий действительному элементу матри-
цы t(0) (согласно свойству эрмитовой симметрии, этот член
должен быть всегда действительным).

Т —массив из М комплексных элементов t(l), .... t(M) левого
столбца тёплицевой матрицы

Z —массив из М+1 комплексных элементов вектора, стоящего
в правой части уравнения. Элементу Z(k+1) в программе
соответствует в подразд. 3.8.3 элемент z(к), к=0,..., М.

Выходные параметры:

X —массив из М+1 комплексных элементов вектора решения.
Элементу Х(к+1) в программе соответствует в подразд. 3.8.3
элемент х(к), к=0, .... М.

1STAT —цифровой индикатор состояния в момент выхода из про-
граммы:

0 для нормального выхода,

1, если Р = 0 (вырожденная матрица).

Примечание:

Размеры ,GE. М внешнего массива Т и размеры .GE. М+1 массивов X,
Z должны указываться в вызывающей программе. Для задания раз-
меров внутреннего массива А должно использоваться .GE. М .

с

с
с
с

COMPLEX Т(1), X(I), Z(1), А(100)
COMPLEX TEMP, SAVE, ALPHA, BETA
REAL P, TO

P=T0

1STAT=1

IF (P .EQ. 0.) RETURN

Рассматривать M=0 как частный случай

X(D=Z(l)/T0

IF (M .LE. 0) RETURN

(3.175)

Основная рекурсия

K=0
100	К«К+1  SAVE=T(K)  ВЕТА=Х(1) »Т(К)  IF (К .EQ. 1) GO TO 20  DO 10J=l,K-l  SAVE=SAVE+A(J)*T(K-J)	! (3.136)
10  20	BETA=BETA+X(J+1)*T(K-J)	1 (3.173)  TEMP= — SAVE/P	, ,O1CQ.  P-P*(1.-REAL(TEMP)*»2-AIMAG(TEMP) *’2)	I (3.158)  IF (P .LE. 0.) RETURN
30	A(K)=TEMP	! (3-139)  ALPHA= (Z(K+1) - BETA)/P	1 (3.174)  IF (K .EQ. 1) GO TO 50  KHALF=K/2  DO 40 J-l.KHALF  kj=k-j  SAVE=A(J)  A(J)=SAVE+TEMP*CONJG(A(KJ))	! (3.147), (3.157)  IF (J EQ. KJ) GO TO 40  A(KJ)=A(KJ)+TEMP*CONJG(SAVE)	! (3.147), (3.157)
40  50	CONTINUE  X(K+D = ALPHA DO60J=l,K
60	X(J)=X(J)+ALPHA*CONJG(A(K-J+1)) ! (3.171)  IF (K .LT. M) GO TO 100  ISTAT=0  RETURN  END .

Приложение З.Е.

Программа для определения
минимального собственного значения
и соответствующего ему собственного вектора
эрмитовой тёплицевой матрицы

Эта подпрограмма предназначена для определения минималь-
ного собственного значения и соответствующего ему собствен-
ного вектора матрицы, имеющей эрмитову тёплицеву структуру.
В ее основу положен степенной метод, описанный в под-
разд. 3.8.4. С помощью процедуры, описанной в приложении IV,
помещенном в конце книги, программа может быть преобразова-
на для обработки действительнозначных данных. В соответст-
вии с принятыми в книге обозначениями, выбор в качестве
входного параметра значения порядка матрицы, равного М,
означает, что в действительности размер этой матрицы равен
(Af+l) X (М+1). Для входных параметров М—2, TOL — 1Х
X10-’°, 70=3,0, 7(1) = (—2,0; 0,5) и 7(2) = (0,7; —1,0), где для
комплексной величины х+jy использовано обозначение (х; у),
подпрограмма MINEIGVAL будет давать выходные значения
EVAL=0,48869, EVEC(l) = (0,13791; —0,01741), EVEC(2) =
= (0,21272; 0,0) и EVECfi) = (0,13791; 0,01741).
Подпрограмма MINEIGVAL (М, ТО, TOL, EVAL, EVEC, ISTAT)

С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с

м

10

20

30

40

Предназначена для отыскания минимального собственного значения и со-
ответствующего ему собственного вектора эрмитовой тёплицевой матрицы.
Для этой цели используется классический степенной метод и подпрограм-
ма быстрого решения тёплицевых уравнений. Собственный вектор норми-
руется к единичной длине.

Входные параметры:

М — порядок матрицы Т (целое число).

ТО — скаляр, соответствующий действительному элементу мат-
рицы t(0).

Т —массив из М комплексных элементов t(l), .... t(M) левого
столбца тёплицевой матрицы.

TOL — действительный скалярный допуск; вывод нз подпрограммы
осуществляется тогда, когда [EVAL(k) — EVAL(k— 1)]/
EVAL(k—1)<TOL, где индекс к означает номер итерации.

Выходные параметры:

EVAL — действительный скаляр, обозначающий минимальное собст-
венное значение матрицы.

EVEC — массив из М комплексных элементов собственного вектора,
соответствующего минимальному собственному значению.
Заметим, что EVEC(l) нормирован к 1.

ISTAT —цифровой индикатор состояния в момент выхода из про-
граммы:

0 для нормального выхода,

1, если обнаружена вырожденная матрица.

Примечание:

Размеры .GE. М внешнего массива Т и размеры .GE. М+1 массива EVEC
должны указываться в вызывающей программе. Для задания размеров
внутреннего массива Е должно использоваться .GE. М+1. Требуется под-
программа HERMTOEP (см. выше приложение З.Г).

COMPLEX T(l), EVEC(.l), Е(100), SAVE

М1=М+1

EVAL =10.	! Инициализация собственного значения

DO 10 К=1,М1

EVEC(K) = (i.,0.)	! Инициализация собственного вектооа

EVALOLD = EVAL

CALL HERMTOEP (М, ТО, Т, EVEC, Е, ISTAT) ! (3.182)

SUM = 0.

SAVE=(0,0.)

DO 30 K=1,M1

SUM = SUM+REAL(E(K))**2+AIMAG(E(K)) **2

^AVE = SAVE+E(K)*CONJG(EVEC(K)) 1 (3.183)
EVAL=REAL(SAVE)*SUM
DO 40 K=LM1

EVEC(K) = SUM*E(K)

IF (ABS(EVAL —EVALOLD) GE TOL*EVALOLD) GO TO 20
RETURN
END
Глава 4

ОБЗОР ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1.	Введение

Данная глава носит обзорный характер, поэтому в ней предпо-
лагается, что читатель уже знаком с теорией вероятностей и
теорией случайных процессов. Основная ее цель — формальное
введение понятия спектральной плотности мощности (СПМ),
которая, как будет показано, является статистическим расшире-
нием понятия спектральной плотности энергии, о которой гово-
рилось в гл. 2. Кроме того, будет рассмотрено свойство эргодич-
ности, которое позволяет заменять усреднение по ансамблю
статистически эквивалентным ему усреднением по времени.
Обсуждаются также основы классических методов оценивания
спектральной плотности мощности, которые описаны в гл. 5.
Для более глубокого знакомства с материалами, изложенными
в этой главе, настоятельно рекомендуются книги Папулиса
[6, 7] и Гарднера [2], а также статья Бриллинджера [1].

4.2.	Вероятность и случайные величины

Рассмотрим дискретное событие Е, которое принадлежит к ко-
нечному множеству возможных исходов некоторого случайного
эксперимента. Вероятность этого события, обозначаемая Р(Е),
может интуитивно рассматриваться как предел отношения чис-
ла произошедших событий Е к числу выполненных экспери-
ментов. Следовательно, величина этой вероятности ограничена
значениями, лежащими между 0 и 1. Случайной величиной х
называется некоторая величина, которая случайным образом
принимает значения из некоторого континуума возможных зна-
чений. Способ задания вероятности, с которой эта величина
принимает различные случайные значения, количественно
описывается функцией распределения вероятностей F{x) =
= Р(х<а'), т. е. вероятностью того, что случайная величина х
принимает значение, меньшее или равное х. Функция плотности
вероятности (или просто плотность вероятности) р(х) равна
производной от F(x) и определяется выражением р(х) =
= dF(x)/dx.
Математическое ожидание случайной величины х, обози-
чаемое ^{х}1', определяется вьражением

{х} = ^_xp(x)dx~x.	(41)

Его называют также среднимзначением случайной величием
х, или первым моментом х. Мтематическое ожидание хараке-
ризует значение, к которому сремится в вероятностном смысле
среднее по числу наблюдений значение случайной величинь х
в том случае, когда число эти наблюдений возрастает. Маг-
матическое ожидание некоторй функции случайной величии,
скажем функции g(x), можне вычислить, используя плотноть
вероятности р(х)

^{g(x)} = ^-.S(x)p(x)dx.	(42)

Математическое ожидание квадрата модуля х

^{|х|’)=7«, И’/>(*)<**	(<3)

называется средним квадратор или вторым моментом, случ ft-
ной величины х. Дисперсией р'лучайной величины х называеся
средний квадрат отклонения »той величины от ее среднго
значения

var{x) = Jx—^{x)	= {|х|2} — |<£{х)Р = р. (-.4)

Заметим, что средний квадра и дисперсия совпадают толко
для случайной величины с нуевым средним значением. Харск-
теристикой взаимосвязи двух случайных величин служит каа-
риация, которая определяете: следующим выражением:

COV {ху} = «?{(х-g {х))(у —«?{У}’)} =

= S-.	(л:—*})(у*—{у}-)Р(X, y)dxdy =

= ^{ху)-^{х}«'{у)«,	(.5)

где р(х, у)—совместная п.отность вероятности случайых
величин х и у, а #{ху} обозачает смешанный второй момнт
этих величин. Заметим, что дя упрощения данного обзора иы
не будем дальше использоваъ различные обозначения х х
соответственно для самой елчайной величины и ее значемя.

При обсуждении оценок рзличных параметров в последю-
щих главах будет использовался ряд величин, которые харк-
теризуют поведение этих оценж. Их определения даются в эой
главе. Смещением В (а) оцени а параметра а называется рз-

’> В отечественной литературе магматическое ожидание обычно обознча-
ется М(х) или Е(х).-~Прым. ред.
ность между истинным значением этого параметра и математи-
ческим ожиданием этой оценки:

В (а) = а — £ {а}.	(4.6)

Несмещенной оценкой называется такая, для которой В(а)=0.
Средний квадрат ошибки оценки а определяется выражением

<£ {| а —а |2} = var {а} + [ В (а) |а.	(4.7)

Говорят, что оценка состоятельна, если с увеличением числа
наблюдений смещение и дисперсия стремятся к нулю. Оценкой
максимального правдоподобия называется оценка, характери-
зующая значение оцениваемого параметра, вероятность появ-
ления (или наблюдения) которого максимальна. Для определе-
ния нижней границы дисперсии несмещенной оценки скалярно-
го параметра часто используется неравенство Крамера — Рао
(КР). Если для оценивания параметра а используется случай-
ный вектор х, то неравенство КР дается следующим выраже-
нием

var{a}>d?^flln^x|ct) УУ',	(4.8)

характеризующим дисперсию оценки истинного значения пара-
метра а с помощью условной плотности вероятности р(х|а).
Оценка, значение которой достигает границы КР. называется
эффективной оценкой.

В книге будут использоваться две важные плотности вероят-
ности— равномерная и гауссовская. Равномерное распределе-
ние действительной случайной величины х описывается равно-
мерной (постоянной) плотностью вероятности

= Д	(4.9)

на конечном действительном интервале a<Zx<^b. Гауссовское
(нормальное) распределение действительной случайной величи-
ны х, имеющей среднее значение х и дисперсию р, описывается
плотностью вероятности

p(x) = [2np]-v.exp [—^(х—х)2]	(4.10)

для —оо<х<оо. Многомерная гауссовская плотность вероятно-
сти для некоторого вектора из К случайных величин х=[хь
%2, ..., Хк]г определяется выражением

Р W = [(2л)к det Сд] - exp [ — i (х—xf Сд1 (х— х) ], (4.11)
где /(-элементный вектор среднего значения х дается выраже-
нием

Х = (£ {х},

(4-12)

а ковариационная (7(Х Л)-матрица С имеет следующий вид:

СА- = <^ {(х—х) (х — х)г} =

'varfXi} covjxpX,}
cov [ХоХ]} var {х2}

COV {XiX/J 1

COV {x2X;. }

(4-13)

vcov {xA-xx} cov{xA-x2} ... var{x;J )

Можно также определить гауссовскую плотность вероятно-
сти для комплексных случайных величин; см. приложение Е
в книге Монзиго и Миллера [5]. Пусть z = xr+jxi— комплекс-
ная случайная величина, действительная (хг) и мнимая (xj
части которой являются действительными случайными величи-
нами со средними значениями, равными соответственно хг и XiT
и одинаковой дисперсией рг/2. Случайные величины хг и хг-
предполагаются независимыми, т. е. cov{xrXf) =0*\ Гауссовская
плотность вероятности комплексной случайной величины может
быть записана как частный случай двумерной гауссовской плот-
ности вероятности для двух действительных случайных перемен-
ных, для которых

’-©• ЧТ •*

Подставляя эти значения в выражение (4.11), после некоторых
упрощений получаем (для случая К=2)

р (г) = /? (х) = [лр2]-1ехр |—- J-jz- г/|,	(4.15)

где z =&{z}=xr+jxt, a var{z}=var{xr}-f-var{xj=p2. Многомер-
ную гауссовскую плотность вероятности для вектора z, состоя-
щего из К комплексных случайных величин, можно записать в
виде гауссовской плотности вероятности для 2К действительных
случайных величин в следующей форме:

p(z) = [л* det C/J-iexp [— (z —z)HC^ (z — z)],	(4.16)

° Из некоррелированности случайных величин cov{xrx1}=0 независимость-
следует только в случае гауссовского распределения, в случае же
других видов распределений выполнение этого условия не означает
независимости.—Прим. ред.
где комплексное среднее значение z и эрмитова ковариационная
матрица Ск определяются выражениями

z = <£[z],	(4-17)

= £ {(z-z)(z~-z)"}.	(4.18)

При выводе соотношения (4.16) предполагалось, что действи-
тельные и мнимые компоненты всех комплексных случайных
величин в комплексном случайном векторе z независимы
и имеют одинаковые дисперсии, т. е. полагалось, что ковариация
cov{Re[z*] lm[z/]} равна нулю при k = l и отлична от нуля при
k^4 и что var{Re[Zfe]} = var{Im[zfe]}.

4.3.	Случайные процессы

Дискретный случайный процесс можно рассматривать как неко-
торую совокупность, или ансамбль, действительных или комп-
лексных дискретных временных (или пространственных) после-
довательностей, каждую из которых можно было бы наблюдать
как результат проведения некоторого эксперимента. Такой ан-
самбль последовательностей будет обозначаться x[n; t], где
.1 — i-я последовательность из этого ансамбля, а и —индекс
времени. При заданном значении i, указывающем номер наблю-
даемой последовательности ансамбля, будет использоваться
сокращенное обозначение х[л]. При фиксированном индексе
времени п значение наблюдаемого элемента по всем последова-
тельностям ансамбля будет представлять собой некоторую
случайную величину. В общем случае эти значения образуют
некоторый континуум, тогда как х[п; t] дискретно и по п, и
по I. Вероятность того, что значения х[п] будут лежать в неко-
тором заданном интервале а, количественно описывается функ-
цией распределения F(a;n)=P(x[n]^.a), в обозначении кото-
рой явно отражена зависимость от времени наблюдения.
Соответствующая плотность вероятности имеет вид р(а;п) =
= dF(a; n)ldd.

Среднее, или ожидаемое, значение случайного процесса
х[п] в момент времени п определяется выражением

х [и] = {х [и]}.	(4-19)

Автокорреляция случайного процесса в два различных момента
времени п{ и п2 определяется выражением

rxx [Hi, = {х	(4.20)

Это — так называемое «инженерное» определение автокорреля-
ции, впервые предложенное Винером. В статистике термин
«автокорреляция» используется для обозначения связанных
величин, которые нормируются, с тем чт<бы их значения ле-
жали в интервале между 0 и 1. Автокоррляция центрирован-
ного случайного процесса х[п], т. е. с удаленным средним
значением, называется автоковариацией и определяется выра-
жением

=	(4-21)

Можно показать, что она удовлетворяет соотношению

nJ—x[njx’[nj.	(4.22)

Если среднее значение случайного процеса равно нулю при
всех п, то автокорреляция и автоковариашя такого процесса
совпадают, т. е.

л2;

В литературе термины «автокорреляция»и «автоковариация»
часто используются как синонимы, но стого идентичны ени
только для процессов с нулевым средним З1ачением.

При рассмотрении двух различных аучайных процессов
х[п] и используются понятия взаимюй корреляции, кото-
рая определяется выражением

^[«1.	(423)

и взаимной ковариации, которая опредляется выражением

Сед [«ъ "2] = «?{(* М —* М) (У* Н У* [лJ)} =

= rw[n1, л2] — xin^y* [л].	(4.24)

Говорят, что два случайных процесса не коррелированье если
cxy[ti\, п2]=0 при всех значениях ti\ и п2.

Во ^сех определениях, которые были дны до сих пор, отра-
жена явная зависимость от индекса врегени. Случайный про-
цесс называется стационарным в широкое смысле, если его
среднее значение постоянно при всех знаениях индекса време-
ни (иными словами, не зависит от времем), а автокорреляция
зависит только от разности индексов времени т = П2—П\. Два
случайных процесса называются совместо стационарными в
широком смысле процессами, если их ваимная корреляция
зависит только от разности временных индексов. Совместно
стационарные процессы должны быть и тационарными по от-
дельности. Заметим, что стационарность в широком смысле
определяется только в терминах первой и второго моментов
случайных процессов, моменты более выоких порядков не рас-
сматриваются. В частности, стационарны в широком смысле
дискретный случайный процесс х[п] стаистически характери-

J0*
.зуется постоянным средним значением
х [и] — х,
автокорреляционной последовательностью (АКП)
тхх [т] = <£’{% [п 4- т] х* И),

(4.25)

(4.26)

которая представляет собой некоторую функцию разности вре-
менных индексов т, и автоковариационной последовательностью

схх [от] = $ {(х [л + п\ —х) (х> И - ?)} = rxx [m] — I х|’. (4.27)

Взаимно стационарные в широком смысле дискретные случай-
ные процессы х[я] и у[п] статистически характеризуются вза-
имной корреляционной последовательностью (ВКП)

rxs[m] = <^{x[n + m]t/« И},

(4.28)

которая представляет собой некоторую функцию разности вре-
менных индексов т, и взаимной ковариационной последова-
тельностью

схУ М = $ {(* О+т]—Л (у* Н—У*)} = гху И — Ху*,
Отметим следующие полезные свойства АКП и ВКП:

(4-29)



(4.30)

которые справедливы при всех целых тп. Используя эти

свой-

ства, нетрудно показать, что АКП стационарного в широком
смысле случайного процесса должна иметь максимум в начале
координат (т. е. при т=0). Если эрмитова тёплицева автокор-
реляционная матрица

с гхх [0]
г^[1]

Гхх[-1]
г.ЛО]

•••

ГXX [— Л1+ 1]

R« —

(4.31)



rxx[M — 1] ...

гхх [0]

образована из М + 1 АКП-компонент, то квадратичная
а«Ял1а =2 2 а [т] а’ [л] rxx [т—л] > 0

форма

(4.32)

должна быть положительно-полуопределенной для любого про-
извольного (Afх 1)-вектора а, если rxx[m]— автокорреляцией-
ня последовательность со всеми присущими ей свойствами.
В этом случае говорят, что АКП обладает свойством положи-
тяьной полуопределенности.

Спектральная плотность мощности (СПМ.) определяется как
декретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) автокор-
ротяционной последовательности

PxAf) = T 2 r„[m]exp(—/2п/тГ).	(4.33)

CIM, ширина полосы которой полагается ограниченной значе-
ними ±1/27’ герц, является периодической функцией частоты
с периодом 1/7’ герц. Функция СПМ описывает, как мощность
случайного процесса распределена по частоте. Для подтверж-
дния избранного для нее названия рассмотрим обратное
ДШФ

гхх И = $ Рхх (/) exp;(/2nfmT) df,	(4.34)

внисляемое при т=0

=	(4.35)

Вразд. 4.4 показано, что автокорреляция при нулевом времен-
но сдвиге (т=0) характеризует среднюю мощность случайно-
гс процесса. Согласно выражению (4.35), площадь под кривой
фикции Pxx(f) также характеризует среднюю мощность. По-
эт>му Pxx(f) представляет собой функцию плотности (мощность
н< единицу измерения частоты), которая характеризует распре-
дление мощности по частоте. Пару преобразований Фурье
(<33) и (4.34) часто называют теоремой Винера — Хинчина
дя случая дискретного времени. Поскольку гхк[—т] =
то СПМ должна быть строго действительной поло-
жительной функцией. Если АКП — строго действительная
фикция, то Гхх[—т]=гжж[т] и СПМ можно записать в форме
ксинус-преобразования Фурье

pxx(f) = 2T 2 rxx[wi]cos(2n/mT),	(4.36)

m=0

а>то означает также, что PXx(f) —Рхх(—f), т. е. СПМ — симмет-
ршная функция.

Взаимная спектральная плотность мощности (ВСПМ) двух
соместно стационарных процессов х[л] и определяется
кк ДВПФ взаимной корреляционной последовательности

^«,(0 = 7’ 2 г [m] exp (— j2nfmT).	(4.37)

m= - ев
Поскольку гху[—т] =^=r*xy[т], то ВСПМ будет в общем случае
комплексной функцией. Однако свойство Pxy(f) = P*Vx(t) при
этом сохраняется.

Особый интерес представляет случайный процесс с нулевым
средним значением w[n], поскольку это — дискретно-времен-
ной белый шум. Процесс, являющийся белым шумом, не корре-
лирован сам с собой при любых временных сдвигах, за исклю-
чением т=0, при котором его дисперсия равна рш. АКП для
белого шума имеет вид

'ww [rn] = Pu'S [«Г	(4.38)

где 6 [m] —дискретная дельта-последовательность. Поэтому
СПМ АКП белого шума удовлетворяет условию

Л«(/) = 7Х„	(4.39)

т. е. постоянна на всех частотах, тем самым подтверждая наз-
вание «белый шум».

Пусть у[п\—выход дискретной линейной инвариантной во
времени (ЛИВ) систе1иы

= J *h И,	(4.40)

где h [и] — фиксированная последовательность, соответствующая
импульсной характеристике, а вход —стационарный в ши-
роком смысле дискретный случайный процесс с нулевым сред-
ним значением. Выход у[п] этой системы также будет процес-
сом, стационарным в широком смысле, которому, как нетрудно
показать (см. разд. «Задачи»), присущи следующие соотноше-
ния между автокорреляциями и взаимными корреляциями вход-
ного и выходного процессов:

Гух [«] = rxx	И = k 2^ r« [k—m] h M,

= «!],

= 'xx И * h [* + m\ h' .

Обозначая z-преобразования различных корреляционных функ-
ций как Pxx(z)=2{r„[m]J, Px„(z)	n Pra(z) =

и системной функции как Н(z) --Ж{/г[т]} и при-
меняя далее к соотношениям (4.41) теорему свертки, получаем

Pxi,(2) = P„(z)H*(l/z‘),

Pra(z) = PX!,(z)H(z),	(4.42)
где было использовано свойство	—m]} = Н* (1/z*). Если

й[т]—действительно, то H*(l/z*) =H(l/z). Используя соот-
ношение (2.52), определение (4.33) и выражения (4.42), получа-
ем, что спектральная плотность мощности Pvv(f) выходного
процесса связана со спектральной плотностью мощности
Рх.т([) входного процесса следующим соотношением:

Руу (/) = PPуу!(2) 1г=ехр (/2nfT) “

= ^(/)|Н(ехр [/2л/Г])|\	(4.43)

где область определения времени — дискретна, а область опре-
деления частоты — непрерывна.

Один частный случай положен в основу методов
спектрального оценивания, изла!аемых в гл. 6—10. Если вход-
ным процессом является белый шум, так что Pxx(z) =
= 2{pw6[m]} =pw, и выбрана рациональная системная функция
вида (2.17), так что коэффициент усиления равен единице
(Ь[0] = 1), то связь между входом и выходом будет иметь сле-
дующий вид:

Руу(г) = РаН(2)Н*(1/2’),	(4.44)

где

1+2 ЯМ г'*

Н (?) =-------------.	(4.45;

1 + 2 а[Ь}г-*
«•I

К двум важным типам случайных процессов, которые исполь
зуются в данной книге, относятся гауссовский случайный про
цесс и синусоидальный случайный процесс. Если случайны!
процесс является стационарным гауссовским процессом, то oi
при любом индексе времени п будет характеризоваться гауссов
ской плотностью вероятности вида (4.10) или (4.15) в завися
мости от того, является ли он соответственно действительные
или комплексным процессом. Последовательные отсчеты х[п]
х[л+1], .... х[п+М] будут характеризоваться совместной плот
ностью вероятности вида (4.11) или (4.16) в зависимости о'
того, действительными или комплексными являются эти отсче
ты. В случае, например, комплексного процесса с нулевым сред
ним значением вектор отсчетов х = (x[n]x[n+1] ...х[п+М])т
взятых в последовательные моменты времени, будет характери
зоваться совместной плотностью вероятности вида

P(x) = [jtm + i det RM]’lexp [—(4.4€
где ковариационная матрица

Нм = Ои =	г„ [0]	Г‘х [1]  G,[l]	г„[0]	..	 СДМ]	
		 r‘„[M-1]	(4.47)
	Г«[М] /-«[м— I] .		

является эрмитовой тёплицевой автокорреляционной матрицей
порядка М и, следовательно, имеет размер (М-у 1) X (MX 1).
С этой матрицей мы часто будем иметь дело в последующих
главах.

Рассмотрим детерминированный действительный синусо-
идальный процесс

х [п] = Л sin (2л/пГ + 0),

где Т — интервал отсчетов, а амплитуда Л, частота f и фаза 0
имеют фиксированные значения. Среднее значение и автокор-
реляционная последовательность будут в этом случае описы-
ваться выражениями

х [п] = A sin (2stfnTф- 0),

[пфт, n] = A sin (2л [n-y m] ТЦ-0) A sin д-Q) =

"T lcos	~ cos (2л/ [2n 4- tri\ T 4 29)].

(4.48)

Среднее значение не постоянно, а автокорреляционная после-
довательность не является функцией одной лишь разности
временных индексов т. Следовательно, полностью детерминиро-
ванную синусоиду нельзя моделировать как стационарный в ши-
роком смысле случайный процесс1*. Если же положить теперь,
что фаза является случайной величиной, равномерно распреде-
ленной на интервале от 0 до 2л, то синусоидальный процесс
будет стационарным, поскольку среднее значение

х =	sin(2л//гГ + 0)—-dQ = O

и автокорреляционная последовательность	’

гхх[/и] = sin (2л/[п4-т\ Т + 9) A sin(2n/m7’4- 0) ~dQ =

= ^-cos(2n/mT),	(4.49)

о Следует отличать корреляционный анализ детерминированных процессов
(см. [12*], с. 67) от корреляционного анализа случайных процессов. — Прим,
ред.
не будут зависеть от индекса времени п. Если имеется L дей-
ствительных синусоид

х [л.] = 2^/sin (2nf,nT-J-0;),

каждая из которых имеет фазу, равномерно распределенную
на интервале от 0 до 2л и не зависящую от фаз других синусо-
ид, то среднее значение этих L синусоид будет равно нулю, а
автокорреляционная последовательность будет описываться
выражением

L

rxx[m]	(4.50)

Если процесс состоит из L комплексных синусоид

L

х[п]= 2 Atexp [/ (2л/,пТ + 6^)],

то его автокорреляционная последовательность будет иметь
форму

<„Н =(2t Л|ехр(/2л/(тТ).	(4.51)

Если к независимому белому шумовому процессу w[n], имею-
щему дисперсию р«-, добавляются комплексные синусоиды,
имеющие случайные фазы, то суммарный процесс у[п] =х[/г] 4-
+ ai[n] будет иметь автокорреляционную последовательность
следующего вида:

гт И = ["'1 + и =

= S А’ ехр (/2nf,mT) + р^.6 [т].	(4.52)

Автокорреляционную матрицу (4.47) для случайного процесса,
состоящего из комплексных синусоид и аддитивного белого шу-
ма, можно с помощью выражения (4.52) записать в следующей
сжатой форме:

R„ =	+	(4.53)


где I — единичная (М4-1) X (М+ 1)-матрица и

I 1	)

exp _

Uxpl/Sn^/WT’jJ

— вектор комплексных синусоид с частотой ft.

4.4.	Эргодичность:

от средних по ансамблю к средним по времени

До сих пор мы в данной главе при определении таких характе-
ристик случайных процессов, как среднее значение, корреляция,
ковариация и спектральная плотность мощности, пользовались
только статистическим усреднением по ансамблю. Однако на
практике обычно не удается получить ансамбль реализаций
требуемого процесса, по которому можно было бы вычислить
эти статистические характеристики. Желательно оценивать все
эти статистические свойства по одной выборочной реализации
x(t), заменяя усреднение по ансамблю усреднением по времени.
Свойство, требуемое для выполнения такой замены, назы-
вается эргодичностью^. Говорят, что случайный процесс эрго-
дичен, если с вероятностью, равной единице, все его статисти-
ческие характеристики можно предсказать по одной реализа-
ции из ансамбля процесса с помощью усреднения по времени;
иными словами, средние значения по времени почти всех воз-
можных реализаций процесса с вероятностью единица сходятся
к одной и той же постоянной величине (среднему значению по
ансамблю). Заметим, что благодаря свойству эргодичности
значительно упрощается математический анализ случайных
процессов.

Концепция эргодичности требует принятия допущения о том,
что данные стационарны вплоть до момента четвертого поряд-
ка. Для того чтобы процесс был стационарным, его статистиче-
ские характеристики не должны зависеть от выбранной началь-
ной точки отсчета времени. Интуитивно это вполне понятно и
приемлемо, поскольку усредненная по времени величина не
зависит от времени, а поэтому не пригодна для аппроксимации
какого-либо статистически нестационарного параметра, значе-
ние которого зависит от времени. Следовательно, если наблю-
дать отдельную реализацию процесса х[л] в моменты времени

’> Относительно эргодичности (см., например, (15*], § 17). — Прим. ред.
П\, П2 и т. д., ю в среднем его наблюдаемое значение должно
быть равным х. В предельном случае наблюдения во все момен-
ты времени можно ожидать, что среднее значение будет равно

м

МГ-|Т S

х[п] == £ {*[”]} ~Х-

(4.54)

Можно показать, что этот предел, если он существует, сходится
к истинному среднему значению тогда и только тогда, когда
дисперсия среднего по времени значения (4.54), описываемая
выражением

2М

2М-Н	( 1 _2М-Н )	(4-55)

стремится к нулю; здесь схх[т]—истинное значение ковариа-
ции по ансамблю случайного процесса х[п]. В этом случае
говорят, что процесс х[п] эргодичен в среднем. Аналогичным
образом можно показать, что, наблюдая значение произведения
отсчетов процесса в два момента времени, разделенные
временным сдвигом т, скажем x[ni + m]x[ni],
и т. д., можно ожидать, что среднее значение будет равно

м

!im 9АДт Е х[п + т]*,Н=^{л-[л^т]х,[п]} = г„[т].

(4.56)

Можно показать, что этот предел действительно сходится к
истинному среднему значению тогда и только тогда, когда
дисперсия этого среднего по времени значения стремится к ну-
лю, т. е. когда

2М

(4.57)

где cZ2[m]-—истинное значение ковариации по ансамблю авто-
корреляционного случайного процесса zm[n] =хГп+т]х* [н],
т. е. автокорреляционного произведения процесса х[п]. Заметим,
что czz[m] включает в себя статистические моменты четвер-
того порядка процесса х[п]. Если указанное условие выполня-
ется, то говорят, что процесс % [и] —автокорреляционно эргоди-
чен. Если стационарный процесс х[п] является гауссовским про-
i ком с нулевым средним значением, то нетрудно показать,
1 । х[п] обладает свойствами эргодичности в среднем и авто-
корреляционной эргодичности (см. Папулис [6]). Несколько
труднее вывести условие эргодичности для негауссовских про-
цессов, поэтому ограничимся здесь лишь замечанием о том,
что почти все наблюдаемые на практике стационарные процес-
сы являются также и эргодическими процессами. В связи с
этим мы будем далее полагать, что если измеряемый процесс
стационарен, то усреднение по ансамблю при определении его
среднего значения и автокорреляции можно заменить усредне-
нием по времени.

Допущение об эргодичности позволяет не только ввести
через усреднение по времени определения для среднего значе-
ния и автокорреляции, но позволяет также дать подобное опре-
деление и для спектральной плотности мощности (СПМ):

(	। м	|Ц

/>„(/)= lim	Т L х [л] exp (—/2я/лТ) Н (4.58)

Эта эквивалентная форма СПМ получается посредством стати-
стического усреднения модуля ДВПФ взвешенной совокупности
данных, поделенного на длину записи данных, для случая, когда
число отсчетов данных увеличивается до бесконечности. Ста-
тистическое усреднение необходимо здесь потому, что ДВПФ
само является случайной величиной, изменяющейся для каждой
используемой реализации х[л]. Для того чтобы показать, что
соотношение (4.58) эквивалентно теореме Винера — Хинчина,
представим квадрат модуля ДВПФ в виде произведения двух
рядов и изменим порядок операций суммирования и определе-
ния математического ожидания, что дает

(	мм

lim	S х[т]х‘[л]Х

М->-«	' т=-Мп=-М

'I

X exp (— /2л/ [т — и] Т)} =

)
м м

= Iim 2Л4 4-1 £ S п]ехр(—/2л/[т—п]Т).

‘ ‘ т-:-Мп=-М

(4.59)

Используя известное выражение

ММ	2М

2	['«-"] = 2 (2М+1-|m|)r„[m], (4.60)

т=-Мп=-м	/л= —2Л1
соотношение (4.59) можно свести к следующему:

J™. 2M4-I S (2Л44-1—|m|)r„[m]exp(—/2л/т7')=

= lim Т	1 — J^LV„[m]exp(—/2л/т7-) =

= т S Гхх [m]exp (— j2afmT).	(4.61)

П1 = - «

Заметим, что на последнем этапе вывода выражения (4.61)
использовалось допущение о том, что автокорреляционная пос-
ледовательность «затухает», так что

S	(4-62)

т — - оо

поскольку в противном случае ДВПФ автокорреляционной по-
следовательности не будет с ростом длины записи данных
стремиться к истинной СПМ, т. е. усредненной по ансамблю,
даже несмотря на эргодичность самой автокорреляционной по-
следовательности. Так, например, это условие нарушается для
случайных процессов с ненулевым средним значением и для про-
цессов с синусоидальными компонентами, хотя использование
импульсных функций позволяет исправить положение и в этих
случаях. Таким образом, при выполнении условия (4.62) два
выражения (4.33) и (4.58) для СПМ будут эквивалентными.

Взаимосвязь этих двух определений СПМ наглядно показа-
на рис. 4.1 с помощью треугольной диаграммы. Метод опре-
деления СПМ на основе автокорреляционного подхода называ-
ется косвенным, так как случайный процесс х[п] непосредст-
венно не используется для оценивания СПМ. Метод опреде-
ления СПМ по формуле (4.58) называется прямым, так как
процесс х[п] непосредственно используется для расчета СПМ.

Если в выражении (4.58) не учитывать операцию математи-
ческого ожидания, то получим оценку СПМ

I м	I2

ЛЛО- ^^(241 + 1) Г Г X х[«]ехр(— )2xfnT) . (4.63)

которая называется выборочным спектром. Это — та же перво-
начальная периодограмма Шустера, которая была описана в
гл. 1. В приложении 4.А показано, что выборочный спектр не
является состоятельной оценкой истинной СПМ. И хотя среднее-
значение выборочного спектра в пределе стремится к истинной
СПМ, дисперсия при этом не стремится к нулю и по своей вели-
M j,-

Сигь

Рис, 4.1, Эквивалентные определения спектральной плотности мощности при
использовании допущения об эргодичности.

чине будет фактически сравнима со средним значением выбо-
рочного спектра. Первые пользователи периодограммы пренеб-
регали операцией вычисления математического ожидания и в
результате получали нереальные спектральные оценки, а ведь
еще сам Шустер (см. гл. 1) предупреждал о необходимости
выполнения некоторого рода усреднения, или сглаживания,
при пользовании периодограммой. Именно по этой причине пе-
риодограммный метод постепенно вышел из употребления и
вновь стал применяться на практике только где-то в начале
1950-х гг., когда появились достаточно хорошо статистически

• обоснованные методы сглаживания.

4.5.	Понятие энтропии

Понятие меры информации было введено в статистику Клодом
Шенноном. Так, например, некоторое событие, которое имеет М
возможных исходов Х{ с вероятностью характеризующей
вероятность появления t-ro исхода, содержит в себе информа-
цию, величина которой определяется выражением

/ [xz] — In (1 Ip [xz]) = — In p И.	(4.64

-Ожидаемое, или среднее, значение этой информации равно эн-
тропии, которая определяется следующим выражением:

м	м

W И = s р [х,] I [х,- = — х р [X,.] log[х,].	(4.65

i=1	I=1

Энтропия представляет собой некоторую меру «неопределенно-
сти», связанную с появлением некоторого события. Чем выше
энтропия, тем больше неопределенность появления данного со-
бытия. Энтропия дискретное события будет максимальна в
случае равномерного расправления, т. е. в том случае, когда
все исходы равновероятны.

Аналогично получаем, чт> непрерывная случайная величина
с непрерывной функцией плотности вероятности р(х) будет
иметь энтропию

Н(х) =—_а: р (х) In р (х) dx.	(4.66}

В дискретном случае энтромя Я[х]—строго неотрицательная
функция, однако в непрерыиом случае она может принимать и
отрицательные значения. Поставляя в (4.66) гауссовскую
плотность вероятности (4.46, получаем энтропию для гауссов-
ского процесса с нулевым оедним (см. Смайл и др. [8])

Я= - In [det R„],	(4.67)

величина которой может расходиться с ростом размерности М
матрицы Rxx. В этом случг можно использовать удельную.
энтропию

(4-68>

Можно показать (Смайл и др. [8]), что удельная энтропия
гауссовского процесса с ну.евым средним и шириной полосы
частот В=\/2Т определяете*выражением

Л=|1п(2В)-Д-^в In [Р„(/)]df. (4.69)

Этот результат будет исползоваться нами в гл. 7 при обсуж-
дении метода максимальнойэнтропии.

Литература

(1]	Brilllnger В. R. Fourier Analysi of Stationary Processes. Proc. IEEE, vol. 62,
pp. 1628—1643, December 194. [Имеется русский перевод: Бриллинд-
жер Д. Р. Фурье-анализ стаионарных процессов. ТИИЭР, 1974, т. 62,
№ 12, с. 15—33.]

[2]	Gardner W. A. Introduction t Random Processes. Macmillan Publishing
Company, 1985.

[3]	Jenkins G. M., Watts D. G. Spctral Analysis and Its Applications. Holden-
Day, Inc., San Francisco, 196'. [Имеется русский перевод: Дженкинс Г.,
Ватте Д. Спектральный анали и его приложения. — М.: Мир, 1971, вып 1;
1972, вып. 2.]

[4]	Дау S. М. Modern Spectral Esimation. Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs,
N. J., 1987.

[5]	Monzingo R. A., Miller T. W. introduction to Adaptive Arrays. John Wiley
and Sons, Inc., New York, 198C
{6] Papoulis A. Signal Analysis. McGraw-Hill Book Company, New York,
1977.

[7]	Papoulis A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd
ed. McGraw-Hill Book Company, New York, 1984.

[8]	Smylie D. E., Clarke G. К. C., Ulrych T. J. Analysis of Irregularities in the
Earth’s Rotation, in Methods in Computational Physics, R. Alder et al., eds.,
vol. 13, pp. 391—430, Academic Press, Inc., New York, 1973.

Задачи

1.	Пусть x[n] = A sin(2nfnT+0)—синусоидальный процесс. Используя выра-
жение (4.56), определить временную автокорреляцию в предельном случае
М->оо. Является ли эта синусоида эргодическим процессом, т. е. будет ли
эта автокорреляция равна величине, определяемой выражением (4.49)?

2.	Показать, что стационарный в широком смысле процесс имеет комплексно-
сопряженную четную автокорреляцию, т. е. rxx(i)=rxx*( — т).

3.	Пусть х(1) и y(t)—действительные процессы. Доказать, что Pxx(z) =
= Pxx(\/z),Pxy(Z)=Pyx'(\/2').

4.	Для детерминированных сигналов, описанных в гл. 2, показать, что спект-
ральные плотности-энергии входа и выхода линейного фильтра связаны со-
отношением

|Г(0Р = |Х(Ш W) |2.

Используя этот результат и прямое определение спектральной плотности
мощности, показать, что спектральные плотности мощности входа и выхода
этого фильтра связаны соотношением

Этот результат является другим вариантом доказательства соотноше-
ния (4.43).

5.	Доказать, что если r[m] —- действительная последовательность, то спект-
ральная плотность мощности Pxx(f) представляет собой действительную
четную положительную функцию.

6.	Доказать соотношения, определяемые выражениями (4.41).

7.	Пусть

х [п] = 2 I s*n (2n/znT + в,) + w [n]

— процесс, состоящий из Л тействительных синусоид, начальные фазы ко-
торых равномерно распределены на интервале от 0 до 2л, и белого шумово-
го процесса w[n], имеющего дисперсию рш. Вычислить статистическую авто-
корреляционную последовательность. Является ли этот процесс эргодиче-
ским?

Показать, что для процесса, описанного в предыдущей задаче, автокорре-
ляционную матрицу можно записать в виде

L 2

р„=£ 4ь* (Wей м+е« (W (W1+р»1 •

i- i
Пршскение 4.А.

Смщшие и дисперсия выборочного спектра

Стаитический анализ периодограммы в общем случае оказы-
вайся достаточно сложным, поэтому ниже будет рассмотрен
спелшьный случай белого гауссовского процесса с нулевым
сре.нм значением. Тем не менее полученные для него резуль-
тат: [огут оказаться полезными при определении поведения
спеггрльиых оценок на основе периодограмм и в более общих
слуая; см. [3].

>ь»орочный спектр последовательности конечной длины
х[п, )=0, ..., N—1, описывается выражением

где У 0—дискретно-временное преобразование Фурье, опреде-
ляем выражением

X(f} = T S х[«]ехр{— j2xfnT).
п=0

Этопробразование идентично (см. задачу 1 в гл. 5) дискретно-
вре1емдму преобразованию Фурье от оценки автокорреляцион-
нойпследовательности

А» (Л = Т 2 rxx [m] exp (— jZnfmT),

где:мщенная автокорреляционная оценка

N-m- 1

п=0

исплвуется при максимальном числе корреляционных сдвигов
[/п=0...., У—1].

(радее значение выборочного спектра будет иметь вид

= T 2 ^{Гхх[ш]}ехр(—/2л^т7’) =

т=.- GV-1)

Л'-1

= Т И [ "~л!т| ] гхх И ехр (— j2nfmT) =

= lt7W)*s«(0,

где»7) — ДВПФ окна Бартлетта, которое определяется выра-
жене:
Таким образом, среднее значение выборочного спектра пред-
ставляет собой свертку истинной СПМ с преобразованием
Фурье окна Бартлетта. Поэтому выборочный спектр оказывается
смещенным при конечных значениях У, но несмещенным, когда
Л’-^-оо, поскольку

lira	=

N —► ж

что дает истинный спектр.

Автокорреляция периодограммы определяется выражением
S{PxAh)PxAh)} =

N-lN-l W-l Д'-l

=	{x[fe]x[Z]x[m]x[n]}X

'' N ' k=0 1=0 m = 0 n=0

Хехр {/2лТ [/, (*—I) + f, (m—n)]).

Дисперсия выборочного спектра включает в себя моменты чет-
вертого порядка,, значения которых трудно вычислить в общем
случае. Однако поскольку x[fc] —белый гауссовский процесс, то
статистические моменты четвертого порядка представимы в ви-
де суммы моментов второго порядка:

(р2.,, k-=l и пг = п или k = m и 1 = п„
или k = n и I = т;

О в остальных случаях,

где р — дисперсия гауссовского процесса. Это означает, что
£{~РХЛМРХЛМ} =

- fTn V Г 1	[ slnnATj/t+f,) V . / sin лЛТ \ г 1

sin nT(f,+f2)J ',ЛЛ'з1пл7'(/1-/!); J'

Отсюда следует, что

cov {Р.„ (Л) Рхх (/,)} = S {Рхх (f,) Рхх (/,)) - S {Рхх (Л)} S {Рхх !],)}.
Поскольку для белого гауссовского процесса &{РХХ(АА —
= Гра., то

COV {PxAfO ^«(Д)) =

— (Tn V Г / slnll7~ (/1 + /а) Л'У , Г sin лТ (Л—/2) N д’ I

-('W |Дл1з1ппТ(Л+/2); [NslnnTlh-f,)) J'

Дисперсия на частоте f будет определяться выражением
var {Рхх (/)) = cov {Рхх (f) Рхх (/)} =

= (ГР»)Ф+(?СТ7Л =
откуда видно, что ее значение не стремится к нулю ни при
как<м большом значении N. Следовательно, выборочный спектр
не яляется состоятельной оценкой СПМ, так как его дисперсия
и мео* величину порядка P2xx{f) при любом значении N, а это
ознаает, что его стандартное отклонение (т. е. среднеквадра-
тичйя ошибка) сравнимо по величине со средним значением,
котфое должно быть оценено.

1ыбор гармонических (т. е. целочисленно кратных величине
1/.V') частот f\ = m!NT и f2=n/NT, таких что приводит
к нутевой ковариации

cov {Р„(Л)Р,ЛА)) = 0,

а эо означает, что значения периодограммы, разделенные по
часэте интервалами, целочисленно кратными величине \/NT
герц будут некоррелированными. С ростом числа отсчетов
дан)ых N частотный интервал между такими некоррелирован-
ным значениями периодограммы постепенно уменьшается. Это
обсяятельство, а также то, что значение дисперсии не уменьша-
ете} с увеличением Л', приводят к тому, что значения периодо-
граммы начинают все быстрее и быстрее флюктуировать (см.,
напимер, рис. 1.3).

i общем случае любой небелый процесс х[п\ можно полу-
чит), пропуская белый шум с дисперсией pw через линейный
филтр с АЧХ вида [//(/) [2. Поскольку истинное значение
СПА Pxx(f) и эта АЧХ связаны соотношением

то гожно показать, что в данном случае будет справедливо
следующее приближенное равенство:

var {?„ (/))«| Н(/) |’ pl [ 1 + (]> S

Тамм образом, с ростом У дисперсия выборочного спектра
оградится не к нулю, а к некоторой величине, пропорциональ-
ной математическому ожиданию квадрата СПМ (т. е. квадрата
истиной СПМ), а это делает такую немодифицированную пе-
рио.ограмму несостоятельной оценкой СПМ. Иными словами,
при любом значении частоты f оценка Pxx(f) не сходится в
ере,нем к Рхх(/), где Pxx(f)>Q.
Глава 5
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

5.1.	Введение

В гл. 4 были введены два формальных, но эквивалентных мето-
да определения спектральной плотности мощности (СПМ).
Косвенный метод основан на использовании бесконечной после-
довательности значений данных для расчета автокорреляцион-
ной последовательности, преобразование Фурье которой дает
искомую СПМ. Прямой метод определения СПМ основан на
вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бес-
конечной последовательности данных с использованием соответ-
ствующего статистического усреднения. Показано, что результи-
рующая функция, получаемая без использования такого
усреднения и называемая выборочным спектром, оказывается
неудовлетворительной из-за статистической несостоятельности
получаемых с ее помощью оценок, поскольку среднеквадратич-
ная ошибка таких оценок сравнима по величине со средним
значением оценки. В этой главе будут кратко рассмотрены
методы усреднения, которые обеспечивают получение гладких
и статистически устойчивых спектральных оценок по конечному
числу отсчетов данных. Оценки СПМ, основанные на прямом
преобразовании данных и последующем усреднении, получили
название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых
по исходным данным сначала формируются корреляционные
оценки, получили название коррелограммных методов спект-
рального оценивания. Исторические корни происхождения обоих
этих названий были затронуты в гл. 1.

В отличие от непрерывно-временного представления методов
спектрального оценивания, типичного для других учебных по-
собий, все классические методы, описанные в данной главе,
излагаются применительно к дискретно-временным последова-
тельностям отсчетов данных. При использовании любого метода
оценивания СПМ пользователю приходится принимать мно-
жество компромиссных решений, с тем чтобы по конечному
количеству отсчетов данных получать статистически устойчивые
спектральные оценки с максимально возможным разрешением.
К этим компромиссным решениям относятся, в частности, вы-
бор таких функций окна для взвешивания данных и корреля-
ционных функций и таких параметров усреднения во временной
и в частотной областях, которые позволяют сбалансировать
требования к снижению уровня боковых лепестков, выполнению
эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению прием-
лемого спектрального разрешения. Устойчивые результаты (ма-
лые спектральные флюктуации) и хорошая точность (малое
смещение относительно истинных спектральных значений на
всех частотах) достижимы только тогда, когда произведение ТеВе,
где Те — полный интервал записи данных, а Ве— эффективное
разрешение по частоте, значительно превышает единицу. Все
эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в
случае гауссовских процессов, для которых подробно теорети-
чески изучены статистические характеристики классических
спектральных оценок. Однако выбор конкретного метода спект-
рального оценивания в случае негауссовских процессов зача-
стую обосновывается только экспериментальными данными. Да
и выбор функции окна очень часто основывается на данных
экспериментальных, а не теоретических исследований.

Для адекватного описания статистических характерис-
тик каждого из рассмотренных в этой главе методов, потребова-
лось бы несколько таких глав. Поэтому в ней затронуты только
основные моменты, касающиеся этих методов. Более подроб-
ную информацию по классическим методам спектрального оце-
нивания можно получить в других книгах, включая книги
Дженкинса и Ваттса [8], Блэкмана и Тьюки [2], Купманса
[10], Юэня и Фрейзера [22] и Гарднера [5]. После краткой
сводки основных результатов, данной в разд. 5.2, в трех после-
дующих разделах затрагивается ряд важных вопросов, необ-
ходимых для серьезного обсуждения классических спектральных
оценок. В разд. 5.3 обсуждается взвешивание — важная компо-
нента всех классических спектральных оценок. В разд. 5.4
показано, что, для того чтобы количественно охарактеризовать
статистическую устойчивость этих оценок, произведение дли-
тельности на ширину полосы должно быть дополнено третьим
членом. Вопросы, касающиеся этого тройного произведения
«устойчивость-длительность-ширина полосы», обсуждаются в
разд. 5.4. Оценивание корреляционной функции, требуемое для
коррелограммного метода спектрального оценивания, описано
в разд. 5.5. После этого предварительного материала в разд.
5.6—5.8 соответственно описаны коррелограммный, периодо-
граммный и комбинированный периодограммно-коррелограм-
мный методы оценивания СПМ. Главу завершает разд. 5.9, в
котором описано применение этих классических методов для
оценивания числа солнечных пятен.

Все описанные в этой главе методы дают оценки, которые
обладают аналогичными статистическими характеристиками и
в целом выглядят примерно одинаково, если не считать неболь-
ших визуальных различий в тонких деталях формы спектров.
Поэтому на практике предпочтение чаще всего отдается тому
методу, который оказывается наиболее эффективным в вычисли-
тельном отношении. До широкого распространения электронных
вычислительных машин в основном применялся коррелограмм-
ный метод, о чем кратко упоминается в книге Блэкмана и Тью-
ки [2]. С появлением алгоритма БПФ и специализированных
интегральных схем для обработки сигналов предпочтение стало
отдаваться методам, основанным на использовании периодо-
граммы; см. статью Джонса [9].

5.2.	Краткая сводка результатов

В соответствии с двумя эквивалентными определениями СПМ,
представленными в гл. 4, существуют два основных классиче-
ских подхода к оцениванию СПМ. Прямой, или периодограмм-
ный, метод позволяет получать оценку СПМ непосредственно по
исходному набору'данных. При использовании же косвенного
метода сначала должна вычисляться оценка корреляционной
последовательности, или коррелограмма, преобразование Фурье
которой и дает искомую оценку СПМ.

На рис. 5.1 приведена диаграмма, отображающая основные
этапы периодограммного метода, подробно описанного в под-
разд. 5.7.3. Она предназначена для тех читателей, которые
хотели бы сразу приступить к реализации этого метода, особен-
но глубоко не вдаваясь в содержание данной главы. Машинная
программа реализации этого периодограммного метода приведе-
на в приложении 5.В. Применение метода начинается с этапа
сбора N отсчетов данных, которые берутся с периодом Г секунд
на отсчет, с последующим (по желанию) этапом устранения
тренда1). Если не устранять большие значения отсчетов и
другие тренды в данных, то это может привести к получению
искаженных или смещенных спектральных оценок. Методы уст-
ранения тренда обсуждаются в гл. 14. Для того чтобы получить
статистически устойчивую спектральную оценку, имеющиеся
данные необходимо разбить на перекрывающиеся (по возмож-
ности) сегменты и в последующем усреднить выборочные спект-
ры, полученные по каждому такому сегменту. Параметры этого
усреднения изменяются посредством соответствующего выбора
значений тех параметров, которые устанавливают число отсче-
тов на сегмент (NSAMP) и число отсчетов, на которое необхо-

” Если анализируется процесс X(t)=m(f)-]-n(t), где п(0 — стационарный
случайный процесс со спектром, ширина которого значительно превышает
ширину спектра детерминированной функции m(t), то функция m(t) характе-
ризует отклонение процесса Х(1) от стационарности и называется трендом
(см., например, [16*], с. 52). — Прим. ред.
•	СБОР ДАННЫХ

/V отсчетов

Т, с/отсчет

•	УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбру)

См. гл. 14

—• ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ СЕГМЕНОВ

МЗАМРотсчетов/сегмент
NSHIFTотсчетов, соответстующих
сдвигу между сегментами

• ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДОГРАМГЫ
Подпрограмма PERIODOCF^M,
приложение 5.В

----	• ЗАКРЫТИЕ ОКНА

Изменение параметров сегкнтов
для достижения требуемогскомпромисса
между дисперсией и разрешнием

Рис. 5.1. Основные этапы оценивания СПМ с помщью периодограммного ме-
тода Уэлча.

димо сдвинуть начало следующего сегмнта (NSHIFT). Коли-
чество сегментов выбирается в зависмости от требуемой
степени гладкости спектральной оценки итребуемого спектраль-
ного разрешения. При малом значение параметра NSAMP
получается больше сегментов, по которьи будет производиться
усреднение, а следовательно, будут полуаться оценки с мень-
шей дисперсией, но также и с меньшим эазрешением. Увеличе-
ние параметра NSAMP повышает спектр(льное разрешение, но,
естественно, за счет увеличения дисперси. из-за меньшего числа
усредняемых сегментов. При получении гериодограммы, приве-
денной в приложении 5.В, было испольовано окно Хэмминга,
с тем чтобы уменьшить боковые лепестк спектральной оценки.
Снижать уровень боковых лепестков необходимо для того, что-
бы можно было обнаружить слабые комюненты сигнала, кото-
рые могут присутствовать в спектре. Дугие функции окна,
которые могут использоваться для это цели, обсуждаются
в разд. 5.3.

Стрелка возврата, показанная на рис 5.1, указывает на не-
обходимость нескольких повторных праодов по данным при
различных длинах и числах сегментов днных. Это необходимо
для исследования данных при различна параметрах частот-
ного разрешения и устойчивости оценки,что позволит получить
больше полезной информации об изучаемом неизвестном про
цессе. Если полученный спектр содержит много мелких деталей,
то, возможно, стоит несколько уменьшить число усредняемых
сегментов с целью улучшения разрешения (более длинные
сегменты). Все подобные манипуляции могут помочь определить
наилучшее соотношение между рабочими параметрами. Про-
цедура, которая начинается с использования низкого разреше-
ния и высокой устойчивости, с последующим переходом к перио-
дограммным оценкам с большим разрешением и более низкой
устойчивостью называется закрытием (т. е. уменьшением раз-
мера) окна. Это название относится к ширине окна, которая
устанавливается посредством выбора параметра NSAMP. За-
крытие окна достигается за счет уменьшения числа сегментов
при одновременном увеличении их длины.

Для иллюстрации поведения периодограммы в случае корот-
кой записи данных рассмотрим тест-носледовательность из 64
комплексных отсчетов, о которой говорилось в гл. 1 (разд. 1.3)
и распечатка значений которой приведена в конце книги в при-
ложении II. Периодограмма этой последовательности, соответ-
ствующая максимальному разрешению и минимальной устой-
чивости, показана на рис. 5.2, а. Она получена для случая толь-
ко одного сегмента (полной записи данных) без применения
окна (т. е. по сути дела, с использованием прямоугольного ок-
на). Заметим,’что близкие синусоидальные компоненты (см.
рис. 1.8) на ней не разрешены, что, однако, и не удивительно.
Величина произведения длительности на ширину полосы, о ко-
торой говорилось в гл. 2, указывает на то, что максимально
достижимое разрешение составляет в данном случае величину
порядка 1/647 герц [7 — интервал (период) отсчетов] или
(1/647)/(1/7) =0,0156, если выразить его в относительных до-
лях частоты отсчетов. Две «накрытые» (неразрешенные) сину-
соиды, соответствующие спектру на рис. 1.8, разнесены по
частоте на 0,01, кроме того, слабая синусоида на частоте 0,1
почти затерялась в боковых лепестках спектра сильных синусо-
ид. На рис. 5.2, б показана гладкая усреденная периодограмма
с низким разрешением, которая была получена посредством
разбиения записи данных на три сегмента по 32 отсчета в каж-
дом, взвешенных окном Хэмминга, с перекрытием сегментов,
равным 16 отсчетам. На этой периодограмме отчетливо видна
слабая синусоида.

На рис. 5.3 приведена диаграмма, отображающая основные
этапы коррелограммного метода оценивания СПМ; программа
его реализации помещена в приложении 5.Б. Он основан на
методе, предложенном Блэкманом и Тьюки [2] и подробно
описанном в разд. 5.6. Подобно диаграмме на рис. 5.1, эта диа-
грамма также предназначена для тех читателей, которые хотели
-0,5 -0,4	-0,3	0 2	-0,1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5

Доли частоты отсчетов

б

Рис. 5.2. Периодограммные оценки СПМ для 64-точечной тест-последователъ-
ности: а — один сегмент, окно не применялось; б — три сегмента, окно Хэм-
минга.

бы сразу приступить к реализации этого метода, особенно
глубоко не вдаваясь в содержание последующего материала
данной главы. Этап устранения тренда предназначен для тех же
целей, что и в случае периодограммы. Единственный регулируе-
мый параметр — это длина автокорреляционной последователь-
ности, задаваемая значением параметра LAG, который соответ-
ствует наибольшему временному сдвигу. Этот параметр служит
тем же целям, что и параметр NSAM.P в периодограммном
методе; его значение определяет степень гладкости и степень
разрешения спектральной оценки. Для взаимосвязанного изме-
нения устойчивости и разрешения оценки может быть использо-
вана процедура закрытия окна, аналогичная той процедуре,
которая была использована в периодограммном методе. Разли-
чие здесь лишь в том, что окно теперь применяется к автокорре-
ляционной последовательности, а не к последовательности
сегментов данных. С увеличением числа оценок значений авто-
корреляционной функции растет разрешение и уменьшается
устойчивость.
• СБОР ДАННЫХ
N отсчетов
Т, с/отсчет

• УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбору)
См. гл. 14

—► • ВЫБОР МАКСИМАЛЬНОГО
ВРЕМЕННОГО СДВИГА

Используются временные сдвиги
от 0 до значения LAG

• ВЫЧИСЛЕНИЕ СПМ ПО КОРРЕЛОГРАММЕ
Подпрограмма CORRELOGRAMPSD,
приложение 5.Б

____ • ЗАКРЫТИЕ ОКНА
Изменение параметра LAG для
достижения требуемого компромисса
между дисперсией и разрешением

Рис. 5.3. Основные этапы оценивания СПМ с помощью коррелограммного ме-
-	тода Бартлетта.

Примеры оценок СПМ, полученные с помощью этого корре-
лограммного метода, показаны на рис. 5.4. Снова использова-
лась та же 64-точечная последовательность комплексных дан-
ных. 16 и 32 значения несмещенной автокорреляционной функ-
ции были оценены при сдвигах от 0 до 15Г секунд и до 31Т
секунд. Окно Хэмминга использовалось для взвешивания авто-
корреляционных оценок. На графиках, представленных на рис.
5.4 в логарифмическом масштабе, отрицательные боковые
лепестки заштрихованы. Этот рисунок аналогичен, но не иден-
тичен периодограммной оценке, показанной на рис. 5.2, б. Два
графика на рис. 5.4 дают полное представление о взаимосвязи
между разрешением и гладкостью оценки.

Напомним еще раз, что если не известно, как выбирать
компромиссное решение относительно устойчивости и разреше-
ния оценок, то рекомендуется начать с выбора максимальной
устойчивости (наиболее гладкой оценки), а это значит — с ми-
нимального разрешения, а затем постепенно увеличивать длину
сегментов (в случае периодограммы) или число корреляцион-
ных членов (в случае коррелограммы). Эта процедура будет
увеличивать дисперсию оценки и уменьшать ширину спектраль-
ных пиков (повышать разрешение). Никаких строгих правил,
устанавливающих момент, когда нужно остановиться, конечно»
Рис. 5.4. Коррелограммный метод оценки СПМ. для 64-точечной тест-последо-
вательности: а—16 значений автокорреляции, окно Хэмминга; б — 32 значе-
ния автокорреляции, окно Хэмминга. Нанесены только абсолютные значения
СПМ, отрицательным значениям СПМ соответствуют заштрихованные области.

не существует, поэтому следует продолжать указанную проце-
дуру до тех пор, пока достигнутое разрешение не позволит пере-
дать наиболее тонкие и важные детали спектра. В ряде случаев
может потребоваться некоторая предварительная информация о
сигналах, которые могут присутствовать в спектре, для того
чтобы определить, какие детали спектра важны, а какие — нет.
Если такая информация отсутствует, то следует остановиться
тогда, когда дальнейшее увеличение длины сегментов данных
или величины временных сдвигов к существенным изменениям в
спектральных оценках уже не приводит.

5.3.	Окна

Один из важных вопросов, который является общим для всех
классических методов спектрального оценивания, связан с при-
менением функции окна. Обработка с помощью окна (windo-
wing) используется для управления эффектами, обуслоленнь
ми наличием боковых лепестков в спектральных оценкх. Эи
эффекты обсуждаются в данном разделе. Заметим, чтов эта
книге термин «взвешивание» (weighting) нспользуетя кас
синоним термина «обработка с помощью окна». Это конраст?
рует с практикой тех специалистов, которые употребляютгерми
«окно» (window) только применительно к преобразоания?.
связанным с применением весовой функции во временна обне-
сти. Функция W (f) является частотным окном в том :луча',
когда она получена в результате дискретно-временного гоеобрг-
зования Фурье (ДВПФ) окна данных о>[п]. Окна даных не-
зываются также обуживающими функциями (tapering funtions,
т. е. плавно спадающими к краям. Функция Q(f) обоначае
спектральное окно в том случае, когда она является ДВП”
корреляционного окна со[т], применяемого к дискретно-реме?
ной автокорреляционной последовательности. Основное нзначс-
ние окна данных — уменьшить величину смещения в прнодс-
граммных спектральных оценках. Основное назначение корре-
ляционного окна — уменьшить дисперсию коррелогр ммна
оценки СПМ.

Заметим, что имеющуюся конечную запись данные иле
имеющуюся конечную корреляционную последоватеъносъ
удобно рассматривать как некоторую часть соответствующее
бесконечной последовательности, видимую через примияемс
окно. Например, последовательность наблюдаемых данньххо[л
из N отсчетов математически можно записать как произедени
прямоугольной функции единичной амплитуды

,г п II, О'С/г<ЛГ~ 1;	,с х

rect[n] = J п	(5.)

J |0 в остальных случаях,

и бесконечной последовательности

х0 [n] = х [/г] • reel [п].	(5.5)

При этом принимается очевидное допущение о том, чо ве
ненаблюдаемые отсчеты равны нулю независимо от тсо, та
ли это на самом деле или нет. Дискретно-временное пр&бразс-
вание Фурье взвешенной окном последовательности, вьэажен
ное через преобразования последовательности х[п] и прямо
угольного окна rectfn], равно свертке этих преобразована

=	(5,:>

где

ОЛ(/) = 7'ехр(-/2л/Г^-1])^^-.	(5.4
Частота, Гц

б

Рис. 5.5. Иллюстрация смещения дискретно-временного преобразования Фурье
(ДВПФ) вследствие просачивания из-за взвешивания данных: а — исходная
дискретно-временная синусоидальная последовательность; б — модуль перио-
дического ДВПФ синусоидальной последовательности; в — взвешенная сину-
соидальная последовательность; г — модуль ДВПФ взвешенной последователь-
ности.

Функция Dx(f), называемая дискретной функцией sine, или
ядром Дирихле, представляет собой ДВПФ прямоугольной
функции. Преобразование наблюдаемой конечной последова-
тельности является искаженной версией преобразования беско-
нечной последовательности. Влияние прямоугольного окна на
дискретно-временную синусоиду с частотой fQ иллюстрирует
рис. 5.5, из которого видно, что острые спектральные пики
ДВПФ бесконечной синусоидальной последовательности расши-
рились за счет воздействия копий преобразования окна. Таким
образом, минимальная ширина спектральных пиков взвешенной
окном последовательности ограничена шириной, определяемой
главным лепестком преобразования этого окна, и не зависит от
исходных данных. Боковые лепестки преобразования окна, иног-
да называемые просачиванием, будут изменять амплитуды
соседних спектральных ликов. Поскольку ДВПФ — периодиче-
ская функция, то наложение боковых лепестков от соседних
спектральных периодов может привести к дополнительному
смещению. Увеличение частоты отсчетов позволяет ослабить эф-
фект наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения
будут наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов.

Просачивание приводит не только к появлению амплитуд-
ных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может также
Доли частоты отсчетов	Доли частоты отсчетов

0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5

Доли частоты отсчетов

Рис. 5.6. Иллюстрация эффекта взвешивания, маскирующего слабый сигнал
близким сильным сигналом: а — логарифм модуля ДВПФ сильного сину-
соидального сигнала (16 отсчетов, амплитуда 1,0, относительная частота (в до-
лях частоты отсчетов) 0,15, начальная фаза 45°); б — логарифм модуля ДВПФ
слабого синусоидального сигнала (16 отсчетов, амплитуда 0,19, относительная
частота 0,24, начальная фаза 162’); в — логарифм модуля ДВПФ объединен-
ного сигнала — отклик на слабый сигнал практически подавлен.

маскировать присутствие слабых сигналов и, следовательно,
препятствовать их обнаружению. Рассмотрим дискретно-времен-
ное преобразование Фурье (ДВПФ) 16 отсчетов сигнала, состо-
ящего из двух синусоид, которое показано на рис. 5.6. Мощ-
ность более слабой синусоиды в этом сигнале примерно на
17 дБ меньше мощности более сильной синусоиды. В этом
экстремальном случае боковые лепестки более сильной синусои-
ды почти полностью подавляют главный лепесток более слабой
синусоиды.

Можно предложить ряд других функций окна, применение
которых позволяет снизить уровень боковых лепестков по срав-
нению с тем их уровнем, который они имеют в случае прямо-
угольного окна. Снижение уровня боковых лепестков будет
уменьшать смещение. Однако это дается ценой расширения
главного лепестка спектра окна, что, естественно, приводит к
ухудшению разрешения. Следовательно, должен выбираться
какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уров-
нем подавления боковых лепестков. Для классификации функ-
ций окна используется несколько показателей для оценки их
качества. Ширина полосы частот главного лепестка позволяет
судить о частотном разрешении. Для количественной оценки
ширины полосы главного лепестка используются два показате-
ля. Традиционным показателем является ширина полосы на
уровне половинной мощности, т. е. на уровне, который на 3 дБ
ниже максимума главного лепестка. В качестве второго показа-
теля используется эквивалентная ширина полосы, определение
которой было дано в гл. 2. Два показателя используются и для
оценки характеристик боковых лепестков. Один из них — это
пиковый (или максимальный) уровень боковых лепестков, кото-
рый позволяет судить о том, насколько хорошо окно подавляет
просачивание. Второй — это скорость спадания уровня боковых
лепестков, который характеризует скорость, с которой снижает-
ся уровень боковых лепестков, ближайших к главному лепестку.
По сути дела, скорость спадания уровня боковых лепестков
зависит от числа используемых отсчетов N и с увеличением
N стремится к некоторой асимптотической величине, которую
принято выражать в децибелах на октаву изменения ширины
полосы частот.

В табл. 5.1 даны определения некоторых употребительных
дискретно-временных функций окна из числа предложенных в
разное время для использования при спектральном оценивании;
см., например, работы [6, 7, 12]. На рис. 5.7 показаны типич-
ные 51-точечные окна и их частотные характеристики, получен-
ные посредством вычисления модуля ДВПФ каждого окна.
В табл. 5.1 определены N-точечные симметричные окна с двумя
различными начальными точками отсчета. Для окон данных
начальной точкой отсчета является л = 0. Для корреляционных
окон этой точкой является значение —(N—1)/2. В качестве
корреляционных окон используются только окна нечетной дли-
ны, поскольку точка симметрии таких окон приходится на сред-
ний элемент окна. В случае корреляционного окна значение это-
го среднего (или центрального) элемента всегда равно единице.
У окон четной длины точка симметрии находится в центре окна
точно посередине между двумя элементами. В литературе часто
используются и несколько отличные определения функций окна.
Например, некоторые авторы предпочитают опускать концевые
точки окна с нулевыми значениями. Для операций с дискретно-
временными рядами Фурье, не требующих дополнения нулевы-
ми отсчетами (нулями), точка, соответствующая наибольшему
временному индексу, обычно опускается, с тем чтобы обеспечить
Таблица 5.1. Определения типичных jV-точечных дискретно-временнйх окон
Таблица 5.2. Характеристики окон, приведенных в табл. 5.1

Окно	Максималь- ный уровень боковых ле- пестков, дБ	Асимптоти- ческая ско- рость спа- дания боко- вых лепест- ков, дБ/ок-	Эквивалент- ная ширина полосы1)	Ширина по- лосы по уровню по- ловинной МОЩНОСТИ1)
Прямоугольное	— 13,3	—6	1,00	0,89
Треугольное	—26,5	— 12	1 ,33	1,28
Окно Ханна	—31,5	— 18	1,50	1,44
Окно Хемминга	—43	—6	1,36	1.30
Окно Наттолла (г=3)	—98	—6	1,80	1,70
Гауссовское	—42	—6	1,39	1,33
Равноволновое	—50	0	1,39	1 ,33

;) В элементах, или ячейках, разрешения дискретно-временного ряда Фурье |ДВРФ).

корректность периодического продолжения окна [7]. Характе-
ристики окон, описапных в табл. 5.1, приведены в табл. 5.2.
Величины, помещенные в этой таблице в колонке «Эквивалент-
ная ширина полосы», нормированы относительно частотного
разрешения ДВРФ, равного 1/ЛТ герц.

Из всех приведенных в табл. 5.2 окон самый узкий главный
лепесток имеет частотная характеристика прямоугольного окна,
но зато у него и самый высокий уровень боковых лепестков.
Треугольное окно впервые было описано Бартлеттом в связи с
проводимым им анализом периодограммных спектральных оце-
нок, и поэтому часто называется его именем. Автокорреляцион-
ной функцией прямоугольного окна является треугольное окно,
ширина которого равна удвоенной ширине прямоугольного окна.
Окно типа «косинус квадрат»1) названо в честь австрийского
метеоролога Юлиуса фон Ханна. Это окно часто ошибочпо на-
зывают окном Хэннинга. Оно примечательно тем, что его легко
реализовать в частотной области всего лишь с помощью трех
операций сложения и двух операций сдвига, что, по сути дела,
сводится к умножению на коэффициенты 1/2 и 1/4 на каждой
частоте. Окно типа приподнятой косинусоиды было введено
Р. У. Хэммингом и поэтому часто называется его именем. Мно-
жители 0.54 и 0,46 были выбраны для того, чтобы практически
полностью устранить максимальный боковой лепесток функции
DN(f). Этот подход можно обобщить на все семейство взвешива-

!) Окно типа «косинус квадрат» в литературе также называется «приподня-
тым косинусом», (см., например, [13*], т. 2, с. 209, [17*], с. 98), тогда как
автор использует «приподнятый косинус» как синоним окна Хэмминга, что
свидетельствует о неустоявшейся терминологии в этой области. — Прим. ред.
Рис. 5.7. Типичные дискретно-временные функции окна (слева) и логарифм мо-
дуля их ДВПФ (справа): а—б — прямоугольное окно; в—г — треугольное ок-
но; д—е — окно Ханна; ж—з — окно Хэмминга;
О 10	20	30	40	50

Число отсчетов

Рис. 5.7. Продолжение, и—к — окно Наттолла; л—м — гауссовское окно;,
н—о — окно Чебышева.

клцих косинусных окон; см.Наттолл[12],Хэррис [7]иБлэкман
и Тьюки [2]. Веса косинусов могут быть оптимизированы отно-
сительно ряда условий, включая требование минимального
уровня боковых лепестков, максимальной скорости их спадания
и максимальной гладкости (наибольшее число производных без
нарушения непрерывности). Например, окно, показанное на
рис. 5.7, и, является четырехчленным косинусным окном, которое
при а0=0,3635819, а^О,4891775, а2=0,1365995 и а3=0,0106411
имеет минимальный уровень боковых лепестков, равный —98 дБ’
[12]. Гауссовское окно, которое упоминалось в гл. 2 в разд.
«Задачи», имеет наименьшую величину произведения длительно-
Помеха большой
мощности

1 Помехи средней
мощности

(Сигнал

Частота

Близкорасположенная
помеха

Рис. 5.8. Стратегия выбора окна: а — окно со слабо изменяющимся уровнем
боковых лепестков при наличии близкой и удаленной помех сравнимого уров-
ня; б — окно с быстро спадающим уровнем боковых лепестков при наличии
сильной удаленной помехи; в — нетрадиционное окно специальной формы с
малыми ближними и возрастающими дальними боковыми лепестками при на-
личии очень близкой помехи.

сти на ширину полосы из всех приведенных функций окна, хотя
это не справедливо в случае усеченного гауссовского окна, т. е.
ког%а оно имеет конечную ширину. В гауссовском окне, пока-
занном на рис. 5.7, л, использован параметр а=2,5. У чебы-
шевского (или равноволнового) окна все боковые лепестки име-
ют одинаковый уровень. Это окно впервые было использовано в
теории антенных решеток и обладает тем свойством, что из всех
/У-точечных дискретных окон с уровнем боковых лепестков,
равным или не превосходящим некоторый заданный уровень,
имеет самый узкий главный лепесток. Для окна Чебышева,
показанного на рис. 5.7, н, был выбран параметр р=50 дБ.

Стратегия выбора окна диктуется компромиссом между сме-
щением из-за помех в области близких боковых лепестков и
смещением из-за помех в области дальних боковых лепестков.
Например, если достаточно сильные компоненты сигнала рас-
положены вблизи и на отдалении от слабой компоненты сигна-
ла, то следует выбирать окно с одинаковым уровнем боковых
лепестков около главного лепестка, с тем чтобы обеспечить
малое смещение; см. рис. 5.8, а. Если же имеется одна сильная
компонента, удаленная от слабой компоненты сигнала, как
показано на рис. 5.8, б, то следует выбирать окно с быстро
спадающим уровнем боковых лепестков, причем их уровень в
непосредственной близости к главному лепестку в данном
случае не имеет большого значения. В том случае, когда необхо-
димо обеспечить высокое разрешение между очень близкими
компонентами сигнала и удаленные компоненты отсутствуют,
вполне приемлемым может оказаться окно даже с увеличиваю-
щимся уровнем боковых лепестков, но зато с очень узким глав-
ным лепестком, что иллюстрирует рис. 5.8, в. Если динамический
диапазон сигнала ограничен, то характеристики боковых лепест-
ков не имеют особого значения, и поэтому можно выбрать окно,
которое проще для численной реализации. Если спектр сигнала
относительно гладок, то можно вообще не применять окна.
Окна, которые могут сами в некотором смысле регулироваться,
или «адаптироваться», к параметрам данных, например такое,
как показано на рис. 5.8, в, будут использованы в гл. 13 при
обсуждении метода спектрального оценивания с минимальной
дисперсией.

5.4.	Разрешение и произведение
«устойчивостьХдпительностьХширина полосы»

В подразд. 2.11 было введено выражение для произведения
длительности на ширину полосы для случая детерминирован-
ного сигнала. Было показано, что для временного (простран-
ственного) сигнала с длительностью (с апертурой) Te=NT
секунд (метров) произведение длительности на ширину полосы
удовлетворяет условию

ТеВе = \,

где ВР— эквивалентная ширина полосы в герцах. Поэтому при-
нято говорить, что разрешение спектральной плотности энер-
гии, полученной по конечной последовательности отсчетов де-
терминированного сигнала, равно Ве герц, т. е. приблизительно
равно величине, обратной интервалу записи данных. Для того
чтобы определить разрешение спектральной плотности мощно-
сти, получаемой по конечной последовательности отсчетов слу-
чайного сигнала, произведение длительности на ширину полосы
необходимо несколько видоизменить, с тем чтобы учесть случай-
ный характер сигнала, влияющий на статическое «качество»
спектральной оценки.

Одной из подходящих модификаций этого произведения
является произведение «устойчивость X длительность X ширина
полосы» QTeBe, где Q — статистический показатель качества
оценки, определяемый как отношение дисперсии оценки СПМ
к квадрату математического ожидания этой оценки

var{P(f)}

(5.5)

Показатель качества Q — это, по сути дела, инвертированное
отношение сигнал/шум (SNR), которое непосредственно связано
со статистической устойчивостью спектральной оценки. Значе-
ния Q, много меньшие единицы, соответствуют гладким спект-
ральным оценкам с малыми флюктуациями (малой дисперсией).
Значения Q, много большие единицы, соответствуют весьма за-
шумленным спектральным оценкам с большими флюктуациями
(с большой дисперсией). Эквивалентная ширина полосы Ве,
входящая в произведение длительности на ширину полосы,
заменяется теперь величиной — эффективной статистической
шириной полосы (Блэкман и Тьюки [2]), которая в случае
спектрального окна &([) определяется выражением

s

DS с И2Т

(5.6)

Величина Bs характеризует ширину полосы эквивалентного
прямоугольного окна с тем же значением отношения дисперсии
к квадрату среднего значения на его выходе, как и у окна
Q(f) в том случае, когда на вход подан белый шумовой процесс
(обсуждение этого вопроса см. в разд. В.8 книги Блэкмана и
Тьюки [2]). Следовательно, для случайных сигналов вместо
эквивалентной детерминированной ширины полосы Ве необхо-
димо использовать эффективную статистическую ширину поло-
сы Bs. Однако обе эти величины можно связать соотношением
Bs — aBe, где коэффициент а равен примерно 0,8 для прямо-
угольного окна, 1,3 для окна Ханна и 1,4 для окна Хэмминга
(см. ниже разд. «Задачи»). Ширина полосы Bs позволяет грубо
судить о разрешении спектральной оценки, хотя ширина полосы
Ве ближе к величине действительного разрешения (в герцах).

В разд. 5.8 показано, что для гауссовского шумового про-
цесса условие

QTA>1	(5.7>

применимо ко всем классическим процедурам спектрального
оценивания, описанным в этой главе. Если TeBs^l, то, как
правило, QT,BS>1. С другой стороны, если значение произведе-
ния TeBs выбрано значительно большим единицы, то для всех
классических спектральных оценок будет выполняться прибли-
женное равенство

QTeBsw 1.

(5.8)

Даже если все классические процедуры спектрального оценива-
ния имеют одинаковую статистическую устойчивость (малые
флюктуации), каждая оценка будет обладать некоторыми не-
значительными отличиями от других оценок, получаемых по
одной и той же заданной записи данных.

Произведение «устойчивостьХдлительностьХширина поло-
сы» устанавливает взаимосвязь между тремя фундаментальны-
ми параметрами, от которых зависят характеристики спект-
ральных оценок. Для заданной записи данных продолжитель-
ностью Те невозможно получить оценки, которые одновременно
обладают высоким разрешением (малыми значениями В5) и
высокой устойчивостью (малыми значениями Q). Например,
если необходимо, чтобы дисперсия спектральной оценки состав-
ляла десятую часть от ее среднего значения, то Q = 0,l и дости-
жимое разрешение будет равно Bs^10/Te герц. Это значение
в 10 раз больше эмпирического значения 1/Те для разрешения
детерминированного сигнала, о котором говорилось в гл. 2. При
этом значении Q лишь изменения оценки СПМ, в VQ раз боль-
шие ее среднего значения, могут с уверенностью рассматривать-
ся как спектральные особенности этой оценки, а не изменения,
обусловленные шумом. Этот пример подчеркивает важность
принятия такого компромиссного решения, которое не нару-
шало бы баланс между статистической устойчивостью и разре-
шением, которые требуются от всех методов спектрального оце-
нивания. Заметим, что увеличение числа отсчетов за счет уве-
личения частоты дискретизации при неизменном интервале Те
не будет влиять на максимально достижимое разрешение, так
как на него влияет только длина записи данных, но не число
отсчетов. Значительная часть литературы по классическим ме-
тодам спектрального оценивания посвящена процедурам, кото-
рые позволяют по заданному интервалу записи данных достичь
предельной устойчивости (наименьшего значения Q) и задан-
ной величины разрешения; см., например, Дженкинс и Ватте
[8] и Наттолл [13].

Аналитическое определение показателя качества Q для
произвольного метода оценивания СПМ применительно к про-
извольному случайному процессу в общем случае является за-
дачей, не поддающейся строгому математическому решению.
Именно поэтому аналитические выкладки, подобные, скажем,
тем, что привели нас к неравенству (5.7), как правило, ограни-
чиваются рассмотрением стационарных гауссовских процессов
в предположении больших значений произведения TeBs и по-
стоянства уровня СПМ в пределах интервала (ячейки) разре-
шения. Поскольку для гауссовских процессов статистические
моменты четвертого порядка можно записать в виде сумм про-
изведений моментов второго порядка (т. е. дисперсий), то ана-
лиз дисперсии оценок СПМ значительно упрощается, как пока-
зано в приложении 4.А. Несмотря на то что вывод неравенства
(5.7) основан на допущении о гауссовости наблюдаемого про-
цесса, оно может на практике служить вполне приемлемой ап-
проксимацией и для негауссовских процессов. Поэтому его
можно использовать в качестве средства выявления процедур
спектрального оценивания, которые нозволяют получать оценки
с хорошей статистической устойчивостью. Разумеется, при этом
могут потребоваться предварительные испытания подобной
процедуры, с тем чтобы ее можно было «настроить» на наи-
лучшие характеристики оценок, получаемых по конкретным за-
данным данным. Как отмечали Блэкман и Тьюки ([2], с. 21),
«...Мы в основном должны полагаться на наблюдаемые от ис-
пытания к испытанию изменения как на надежный критерий
потери устойчивости наших спектральных оценок».

5.5.	Оценивание автокорреляции и взаимной корреляции

Автокорреляционная последовательность	эргодического

процесса была определена выражением (4.56) как предел сред-
него по времени. На практике эта последовательность, как
правило, не известна и поэтому должна оцениваться по имею-
щейся конечной записи данных. Если имеется N отсчетов дан-
ных х[п], п — 0, ..., N—1, то получаем следующее очевидное вы-
ражение для дискретно-временной оценки автокорреляции:

N - т - 1

= (77=7^7 X х[п + т\х'\п\т =

J Д'—т-1

= X 4« + т]**И-	(5-9)

п=0

Эта оценка следует из выражения (4.56) после замены (2Л1+1)
на (А—т) и изменения пределов суммирования в соответствии
с имеющимися данными. Выражение (5.9) применимо только
при положительных значениях индекса временного сдвига

—1 (эти сдвиги равны тТ секундам). Автокорреляци-
онные оценки при временных сдвигах, больших (N—1)Г, невоз-
можны из-за конечности записи имеющихся данных. При отри-
цательных значениях индекса корреляционного сдвига —(N—
—выражение для этой оценки должно быть модифи-
цировано следующим образом:

дг-1

ГЛЛ'Л = ЖРЙ Е x[n + m] %>[«] =

ГВ п= ~т

= -/тт £	(5.10)

1	1	п=0

Нетрудно показать, что оценка автокорреляции (5.10) является
опряженно-симметричной, поскольку удовлетворяет условию
r**[/nj=r*xx[—т], т. е. обладает тем же свойством, которое
присуще и известной автокорреляционной последовательности.
При вычислении оценки гхх[т] следует использовать только
положительые индексы, поскольку требуемые значения при от-
рицательны индексах получаюта по своству сопряженной
симметрии. Таким образом, 2А—1 автокорреляционных сдвигов
могут быть щенены по А отсчетак-дапных.

Дискрет;ая последовательносъ Гл-Д/п] формирует несме-
щенные оцаки истинной автокоррляции

Z s +	= г„[т]. (5.11)

п— О

Как показан Дженкинс и Батр [8], замсимость дисперсии
этой оценки автокорреляции от чвла отсчеов данных в случае
гауссовских процессов дается слдующим приближенным вы-
ражением:

var {р„ |m]}~ (Дт)-г	+	т]) (5.12)

Здесь полаается, что	т. . индекс временного сдвига

много меные числа отсчетов даных. Отмтим, что с увеличе-
нием индека временного сдвига значение этой дисперсии воз-
растает. Покольку при больших ременны сдвигах усреднение
возможно лшь по небольшому челу отсчетов данных, то с
увеличение; значения индекса в]еменного сдвига m статисти-
ческая неоределенность оценки автокорреляции возрастает.
При увеличнии А значение дисгврсии стремится к нулю, так
что ЛгД/Д является статистичесы состоятельной оценкой дис-
кретно-врекенной автокорреляцисной последовательности.

Альтернтивная оценка авток'рреляцш имеет следующий
вид:

г,Дт]=

f Л' — m 1

^2 лДя + т]** [п], 0^т<А—1;

Ziti	(5-13)

— х* [и + |/п]]х[/г], ~(А—1)СДп<0.
л=)

Эта оценкаотличается от оценкиДт] тслько нормирующим
множителе;, т. е.

r„M=-^r„k	(5.14)

При конечюм А оценка (5.13) яляется аещенной, поскольку

=	(5.15)
Ш.

nq ..
нием:

1снмптотически несмещенной оцен-
г треугольное окно относительно
 ляции при нулевом сдвиге. Дис-
.едующим приближенным выраже-

var [m]} = W Jm| var [m]) «

+	+	(5.16)

При фиксированном значении временного сдвига значение этой
дисперсии стремится к нулю, когда число отсчетов возрастает.
Для типичных приложений средний квадрат ошибки (сумма
дисперсии и квадрата смещения) будет, как правило, больше
для оценки гхх[т]_, чем для оценки fxx[m], особенно в тех слу-
чаях, когда максимальное значение временного индекса будет
приближаться к числу отсчетов данных. Несмещенные оценки
автокорреляции могут также давать оценки автокорреляции,
которые не являются в действительности автокорреляционными
последовательностями. Рассмотрим, например, последователь-
ность данных r[lj = l, х[2] = 1,1 и х[3] = 1. Для трех значений
сдвига получаем следующие значения оценки автокорреляции:
Гх^0] = 1,07; г^х[1] = 1,1 и ГхД2] = 1. Заметим, что г^[0] <
<гХх[1], что противоречит первому из свойств в (4.30). Следо-
вательно, несмещенные оценки автокорреляции могут приво-
дить к автокорреляционным матрицам (которые будут рас-
сматриваться в гл. 6), не являющимся положительно-полуоп-
ределенными, а это означает, что соответствующее матричное
уравнение не имеет решения. В то же время автокорреляцион-
ные матрицы, сформированные из смещенных оценок автокор-
реляции, всегда будут положительно-полуопределенными мат-
рицами. Именно по этой причине предпочтение часто отдается
смещенной оценке автокорреляции.

При нулевом временном сдвиге обе оценки автокорреляции
имеют одинаковые значения:

[0] =	= 4 S I»ИI2-	(5.17)

п=0

Эта величина характеризует полную мощность измеряемого
сигнала. Следовательно, обе эти оценки сохраняют мощность
измеряемого сигнала.
Суммирование, предусматриваемое в выражениях (5.9) и
5.13), можно записать как линейную свертку

S x[n + m]x* [n] = x[n]	[—п].	(5.18)

п = 0

Следовательно, для вычисления оценок дискретной автокорре-
.яции можно применить эффективные в вычислительном, отно-
лении процедуры, в которых операции свертки выполняются
«помощью алгоритмов БПФ; более подробную информацию об
том см. в книгах Отнеса и Энохсона [16], Рэйдера [18], Ра-
финера и Голда [17] (гл. 6) и Оппенгейма и Шафера [15].

Аналогичным образом можно определить оценку взаимной
орреляции. Предположим, например, что имеются две после-
.овательности измеренных данных х[п] и #[л], где временной
:ндекс изменяется от п = 0 до n=N—1. Тогда смещенная оцен-
а взаимной корреляции будет определяться следующим выра-
жением:

["»] =

Л’ — т — 1

У- х Р1 ~г т] У* И* 0<т<А’-1;

ЛЛ !	(5.19)

.V- \т I— 1	4 >

4г У-	+	— (А' 1) Cm '0.

n=0

J выражении для несмещенной оценки взаимной корреляции
место 1/N будет стоять 1/(2V—|/п|). В отличие от оценки ав-
окорреляции значения оценки взаимной корреляции должны
еперь вычисляться и при отрицательных значениях временного
[ндекса т, поскольку гх^[т]¥=Гх[/*[—т]. Можно также пока-
ать, что смещение и дисперсия смещенных оценок взаимной
юрреляции ведут себя идентично смещению и дисперсии сме-
ненных оценок автокорреляции.

В приложении 5.А приведена написанная на Фортране под-
фограмма CORRELATION, предназначенная для вычисления
щенок автокорреляции и взаимной корреляции. Эта машинная
фограмма позволяет вычислять как несмещенные, так и сме-
ценные оценки.

.6. Коррелограммный метод оценки СПМ

3 гл. 4 было показано, что спектральная плотность мощности
.СПМ) представляет собой дискретно-временное преобразова-
1ие Фурье автокорреляционной последовательности

?xx(f) = T S rxx [m] exp (—(5.20)
m — - »
Коррелограммный метод оценивания СПМ — это просто подста-
новка в выражение (5.20) конечной последовательности значе-
ний оценки автокорреляции (коррелограммы) вместо бесконеч-
ной последовательности неизвестных истинных значений авто-
корреляции. Например, подстановка значений несмещенной
оценки автокорреляции rxx[m], которые вычислялись при ин-
дексах временного сдвига с максимальными значениями ±L,
дает одну из возможных оценок СПМ

PxAf) = Т mS д'?хх [/л] ехр (— i2afmT), (5.21)

определенную для —1/2Г</<1/27’. Максимальный индекс вре-
менного сдвига L, как правило, много меньше числа отсчетов
данных N. Использовать максимальное значение L^M/Ю было
предложено Блэкманом и Тьюки [2J, которые первыми интен-
сивно исследовали и популяризировали дискретно-временной
коррелограммный метод оценивания СПМ. Причина выбора та-
кого максимального значения — стремление устранить большие
значения дисперсии, связанные с оценками автокорреляции при
больших временных сдвигах, поскольку эти значения дисперсии
давали менее устойчивую оценку СПМ.

Среднее значение оценки Pxx(f) определяется выражением

<8 {Рхх(Г)} = т S {r,x[m]}exp(—/2л/тТ) =

(5.22)

= Т д rxx [m] ехр (— j2nfmT) = Р,х

где DL(f)— ядро Дирихле. И хотя эта оценка СПМ вычисля-
ется с использованием несмещенных оценок автокорреляции,
она будет смещенной, или «смазанной», оценкой истинной
СПМ. Эффект окна при конечной автокорреляционной последо-
вательности приводит к оценке, которая, по сути дела, является
сверткой истинной СПМ с преобразованием Фурье дискретно-
временного прямоугольного окна.

С помощью смещенной оценки автокорреляции мож-
но сформировать еще одну оценку СПМ

L

Рхх(П = Т S r„[m]exp(— j2nfmT), (5.23)
m = -L

которая определена при —l/2T<f<l/2T. Матричная запись
этой оценки СПМ имеет следующий вид:
где

1

ехр (/Зл/Т)

е; (/) =

(exp(/2n/LT)j

— вектор комплексных ыпусоид, а

Rl =

(^[0]
^[1]

C[l]
^[0]

(5.25)

ГХХ[Ц ^[L— 1] ... г„0]

— эрмитова тёплицева м.трица оценки авгкоррляции. Сред-
нее значение оценки СПМопределяется вырженкм

S{Рх.(/)) = т Е (Иехр-г^тТ) =
m= — L

= pxx(f)^Dl(l/2).

(5.26)

Оценка СПМ будет в это! случае иметь емщен.е, что обус-
ловлено сверткой истинно СПМ с преобразеаним дискретно-
временного треугольного «на. В частном елчае .=N—1, т. е.
когда максимальное значеше индекса временогосдвига равно
уменьшенному на единиц; числу имеющихся отсетов данных,
оценка Pxx(f) будет иденична выборочномуспекру, вычисля-
емому по N отсчетам даных (см. разд. «Задчи». Как извест-
но, выборочный спектр н< является статист чесы устойчивым
(см. приложение 4.А), потому данный фак мжет служить
еще одним свидетельство: в пользу Выборг L'^N, при кото-
ром получается статистичски надежная оцека.

Для уменьшения эффкта просачивания из-зг неявно при-
сутствующего прямоуголыого или треугольного с<на, а следо-
вательно, и для уменьшеня смещения оцени елдует исполь-
зовать (.2L + 1) -точечное корреляционное окю со [nJ нечетной
длины на интервале —Lim<Lt симметриное относительно
начальной точки отсчета. Наиболее общая формакоррелограм-
'Много метода оценивания СПМ принимает в этом случае сле-
дующий вид:

Рвт(Г) = Т S и [m] ехр (—/2Л/7ПТ),	(5.27)

m= -L

где должна использоваться несмещенная оценка автокорреля-
ции. Подстрочный индекс ВТ означает, что эта форма оценки
СПМ была предложена Блэкманом и Тьюки. Окно здесь нор-
мируется так, чтобы o)[0j = l, поэтому оценка />«[()] будет не-
смещенной, мощность отсчетов сохраняется, а следовательно,
оценка Per(f) будет правильно промасштабирована как оценка
СПМ. Если необходимо, чтобы не площадь под кривой ВТ-
оценки СПМ была пропорциональна мощности истинной СПМ,
а пики этой оценки были пропорциональны мощности импуль-
сов в спектре, то выражение (5.27) следует промасштабировать
величиной F=\/NT. Среднее значение спектральной ВТ-оценки
определяется выражением

•S {Рвт (/)} = Т х ®[л] л.Дт] схр j2nfmT) = Pxx(f) ★ □(/),

(5.28)

где Q(f)—дискретно-временное преобразование Фурье корре-
ляционного окна. Не следует применять корреляционные окна
с областями, где Q(f)<0, поскольку это приводит к получению
отрицательных значений оценок СПМ, что противоречит физи-
ческой сути СПМ, которая всегда должна быть положитель-
ной. В связи с этим, например, не следует применять прямо-
угольное окно, так как оно порождает отрицательные значения
СПМ. С увеличением числа значений оценки автокорреляции
коррелограммный метод дает асимптотически несмещенные
оценки СПМ. Блэкман и Тьюки рекомендовали использовать
такое число значений оценки автокорреляций, чтобы стандарт-
ное отклонение оценки СПМ не превышало одной трети ее
среднего значения, т. е. чтобы Q= (1/3)2. Тогда в соответствии
с условием (5.8) получаем ]/Bs^TeQ = Te/9. Полагая, что пол-
ный корреляционный сдвиг ТL= (2L+1)T примерно равен ве-
личине, обратной ширине полосы Bs, получаем TL^Te/$, т. е.
число оцениваемых значений автокорреляционной последова-
тельности должно быть равно примерно 10% числа имеющихся
отсчетов данных.

Для вычисления оценки СПМ, определяемой выражением
(5.27), на сетке из Х+1 частот = где	можно

использовать алгоритм БПФ. Значение К здесь произвольно,
:ю обычно а это означает, что в оценке СПМ сохранят-
а тонкие детали спектра. При использовании значений ин-
.екса временного сдвига от L+1 до К отсчеты данных необхо-
Д1мо дополнить нулями. В приложении 5.Б приведена програм-
ма CORRELOCRAMPSD, предназначенная для вычисления1
сценки СПМ по формуле (5.27). Более сложной машинной
рограммой реализации коррелограммного метода оценивания
(ПМ является программа 2.2, помещенная в книге «Програм-
мы для цифровой обработки сигналов» [4J, выпущенной изда-
•ельством IEEE Press в 1979 г.

Коррелограммный метод оценивания взаимной спектральной
иотности мощности имеет форму

Рху (f) = T [rn] гХу И exp (— j2nfmT). (5.29)

jTa оценка СПМ может иметь большое смещение, если взаим-
ю корреляционная последовательность не имеет максимума в-
очке нулевого временного сдвига (или вблизи нее), относи-
ольно которой обычно центрируется корреляционное окно. Это
мешение можно минимизировать, совмещая две дискретно-вре-
менные последовательности таким образом, чтобы пики взаим-
юй корреляции соответствовали точке нулевого временного
двига. В этом случае статистические характеристики оценки
ваимной СПМ (5.29) будут аналогичны статистическим харак-
еристикам автоспектральной оценки (5.27). Приведенная в>
риложении 5.Б программа CORRELOGRAMPSD предназначе-
:а для вычисления взаимной СПМ с помощью коррелограм-
много метода.

.7. Периодограммные оценки СПМ

Хругим формальным определением СПМ, основанным на до-
|ущении об эргодичности, является следующая дискретно-вре-
менная форма:

U = S {(2^+1) Г |Г *НехР(— /2п/п7’) р)-. (5.30)

1ренебрегая операцией вычисления математического ожидания
] полагая, что конечное множество данных х[0],... ,х[.¥—1]
одержит N отсчетов, получаем выборочный спектр

(0 = “VF IТ У. х М ехР (—	|2 =

1 п = 0

N- 1

= -^| 2 *[п]ехр(—/2я/пТ)Г,	(5.31)

1	п = 0	1
который может быть вычислен по конечной последовательности
данных. Это — исходная немодифиццрованная форма периодо-
граммной оценки СПМ. В гл. 4 было показано, что выборочный
спектр будет давать статистически несостоятельные (т. е. неус-
тойчивые) оценки СПМ, поскольку была опущена операция
вычисления математического ожидания, предусматриваемая
выражением (5.30). Поэтому для сглаживания периодограм-
мной оценки необходимо применять что-то вроде псевдоусред-
нения по ансамблю. Предложены три основных типа методов
сглаживания. В методе Даньелла [3] периодограмма сглажива-
ется путем усреднения по соседним ячейкам частотного разре-
шения. В методе Бартлетта [1] производится усреднение по
множеству периодограмм, получаемых по сегментам исходной
последовательности данных. В методе Уэлча [21] подход Барт-
летта применяется к перекрывающимся сегментам и вводится
окно данных для уменьшения смещения оценок из-за эффекта
просачивания. В литературе описано также много других опти-
мальных методов сглаживания периодограмм, однако все они
оптимальны только применительно к некоторым ограниченным
классам сигналов. Три метода, которые описаны в этом разде-
ле, возможно, не всегда оптимальны, но практика доказала их
статистическую устойчивость (робастность) для многих классов
сигналов.

5.7.1.	Периодограмма Даньелла

Даньелл предположил, что для сглаживания быстрых флюкту-
аций выборочного спектра можно использовать усреднение пс
соседним спектральным частотам. Если для вычисления выбо-
рочного спектра	на сетке частот fk^klKT, О-с&сК—1

используется алгоритм БПФ, то модифицированная оценка пе-
риодограммы на частоте ft может быть получена посредством
усреднения в Р точках (значений) с каждой стороны от этой
частоты:

i+P
рУга=2кп £	(5'321

~ n=i-P

Обобщением этого подхода является обработка выборочного
спектра с помощью фильтра нижних частот с частотной харак-
теристикой //(/). Периодограмму Даньелла можно в этом слу-
чае записать в виде свертки выборочного спектра и частотной
характеристики фильтра нижних частот
Подстрочный индекс D в этих выражениях использован для
•io;'’, чтобы отличать пеиодограммную оценку Даньелла от
других оценок СПМ.

5.7.2.	Периодограмма Барлетта

Сглаживание выборочной спектра по методу Бартлетта осно-
вано на создании псевдонсамбля периодограмм за счет деле-
ния последовательности в N отсчетов данных на Р неперекры-
вающихся сегментов по i отсчетов в каждом, так что DP^N.
Тогда р-й сегмент будет остоять из отсчетов

= х [pD + n],	(5.34)

где	—1, а надстрочный индекс (р) обозначает номер

сегмента. По каждому сементу 0<р<Р—1 независимо вычис-
ляется выборочный спекъ в диапазоне —1/2Г</<1/27’

>-1

P'S (/) = -Jr h' У, [m] ехр (- /2л/тТ) | \	(5.35)

1 г = 0

для чего может быть испльзован алгоритм БПФ на некоторой
сетке частот. Затем на кждой частоте, представляющей инте-
рес, Р отдельных иемо/ифицированных периодограмм усред-
няются, с тем чтобы научить усредненную периодограмму
Бартлетта Рв(Г)

Ps(n=-^£p~SU)-	(5.36)

р = 0

Смещение среднего значиия этой периодограммы определяет-
ся выражением

s {рд w =	{P's (в)=s {рхх {т.	(5.37)

о = 0

Таким образом, смещени оценки Рв(1) обусловлено воздейст-
вием окна, которое смещгт и выборочный спектр периодограм-
мы каждого отдельного егмента. Если периодограммы Р сег-
ментов статистически незвисимы (что приближенно выполня-
ется в том случае, когда начения автокорреляции гхх[т] малы
при m>D), то Pe(f) мосно рассматривать как выборочное
среднее значение некоторий совокупности из Р независимых
наблюдений выборочногоспектра Pxx(f). Используя выражение
для обобщенной дисперсн, введенное в разд. 5.8, можно пока-
зать, что величина диаерсии усредненной периодограммы

13—1366
Бартлетта обратно пропорциональна числу используемых сег-
ментов, т. е.

УагЦ>я(П}сс^Я	(5.38)

Следовательно, приближенно можно считать, что устойчивость
этой спектральной оценки улучшается как величина, обратная
числу сегментов Р. Уменьшение дисперсии с увеличением Р бу-
дет меньше в том случае, когда периодограммы сегментов ока-
зываются статистически зависимыми. Что же касается разре-
шения, то оно в результате разбиения последовательности дан-
ных на сегменты по D отсчетов в каждом, где D<.\r, будет, ес-
тественно, уменьшаться, поскольку результирующее эффектив-
ное спектральное окно в этом случае имеет более широкий
главный лепесток. При фиксированном значении N=PD со-
блюдается обычное компромиссное соотношение между высо-
ким спектральным разрешением (при максимально возможном,
значении D) и минимальной дисперсией оценки (при макси-
мально возможном значении Р).

5.7.3. Периодограмма Уэлча

Уэлч модифицировал основную схему метода сегментирования
и усреднения Бартлетта за счет применения окна данных и ис-
пользования перекрывающихся сегментов. Перед вычислением
периодограммы каждого сегмента этот сегмент обрабатывается
с помощью окна данных. Цель применения окна — за счет
незначительного ухудшения разрешения ослабить эффекты
из-за боковых лепестков и уменьшить смещение оценок. Цель
перекрытия сегментов — увеличить число усредняемых сегмен-
тов при заданной длине записи данных и тем самым уменьшить
дисперсию оценки СПМ. На основе БПФ Уэлч разработал
также эффективную вычислительную процедуру для реализа-
ции своего метода усреднения периодограмм взвешенных и пе-
рекрывающихся сегментов данных, и именно это сделало ме-
тод Уэлча самым популярным периодограммным методом
спектрального оценивания в наши дни.

Если запись комплексных данных из х[0],..., х[Л’—1] отсче-
тов разбита на Р сегментов по D отсчетов в каждом со сдвигом 5
отсчетов между соседними сегментами (S<D), то максималь-
ное число сегментов Р будет определяться целой частью числа
(/V—D)/S+1. Взвешенный р-й сегмент будет состоять из

[н] = w [п] х [n + pS]	(5.39)

отсчетов,	—1, а номер сегмента р лежит в интервале

0<р<Р—1. Выборочный спектр взвешенного р-го сегмента в-
диапазоне чстот —1/2Т</<1/27’ определяется выражением

Р’Я 0 = у^ (Л [Х'"’ (/)] * = IX1'” (Л р, (5.40)

где

0-1

X^(f) = T Sx^[n]exp(—/2л/пТ)	(5.41)

п=0

— дискретнсвременнбе преобразование р-го сегмента, а

D-!

(/ = Т2>[п]	(5.42)

п=0

— энергия декретно-временного окна. Среднее значение перио-
дограмм взкшенных сегментов дает оценку периодограммы
Уэлча Pw(f)

Рк(П=^'£р%(П-	(5.43)

р = 0

Множится U в (5.40) устраняет эффект влияния энергии
окна на смецение в оценке СПМ Pw(f). Можно показать (см.
ниже разд. Задачи»), что среднее значение периодограммы
Уэл :а можн< записать в следующем виде:

S {Pv 0} = ф- X s {Р% (f)] = Pxx (?) * I w (f) |W,	(5.44)

р = 0

где

0-1

W(j) = T 2 оу И exp (—;2л/пТ)	(5.45)

п = 0

—дискретнсвременнбе преобразование Фурье окна данных,
a P-.x(f)—итинная СПМ. Обратное дискретно-временное пре-
образованиефурье величины (5.44) дает ожидаемое значение
эффективной автокорреляционной последовательности периодо-
граммы Уэл'а

= rxx [т]-Ф \m\/Ut	(5.46)

где

D-m- 1

Ф [ff| =w [m] * w* [—m] = T S to [и +/и] ш [и]	(5.47)

n = 0

автокоррещционная последовательность окна данных. Заме-
тим. что С^==>[0], поэтому 0[ш]/р[О]—это, по сути дела, кор-
13*
реляционное окно с единичным значением нри нулевом времн-
ном сдвиге. Полная мощность в исходной последовательности
отсчетов данных определяется членом автокорреляционной (0-
следовательности, соответствующим нулевому временнсчу
сдвигу; поскольку

£ {г£ [0]} = гхх [0] ф [0]/У =	[0],	(5.8)

это означает, что r^x^tOJ — несмещенная оценка мощности.

Уэлч, в частности, предложил использовать окно Ханна и
50%-ное перекрытие сегментов, которое обеспечивало очнь
эффективные реализации его метода на основе алгоритма Б1Ф
при вычислении оценки (5.43) на некоторой сетке частот. Ко-
ме того, при 50%-ном перекрытии сегментов все данные испсль-
зуются дважды, за исключением D/2 отсчетов на каждом копе
исходной //-точечной последовательности данных, а это вырв-
нивает обработку большинства отсчетов данных, поскольку те
отсчеты, которые имели малые веса на одном сегменте, nciy-
чают большие веса на следующем сегменте. Анализ поведеия
дисперсии периодограммы Уэлча для гауссовских процессе,
проведенный с помощью выражений, которые приводятся в ае-
дующем разделе, показал, что минимальная дисперсия для ж-
на Ханна достигается при 65 %-ном перекрытии, при этом ве-
личина дисперсии увеличивается приблизительно на 8% ри
использовании 50%-ного перекрытия сегментов. Так же ка и
дисперсия периодограммы Бартлетта, дисперсия периодогра-
мм Уэлча примерно обратно пропорциональна числу сегменов,
т. е.

var {£>»,(/))	(519)

в предположении независимости сегментов (хотя перекрыие
сегментов приводит, конечно, к некоторой их взаимозависиюс-
ти). Благодаря перекрытию по заданной записи данных moiho
сформировать большее число сегментов, чем в методе Барт^т-
та, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэ1ча
по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.

В отличие от корреляционного окна, используемого в юр-
релограммном методе, достоинства окон данных, используемых
при спектральном оценивании, эпизодически становились прд-
метом оживленных дискуссий в литературе. Было показяо,
что главная цель применения окон данных — уменьшение эф-
фектов смещения из-за боковых лепестков в спектрах с бсль-
шим динамическим диапазоном амплитуд сигналов. Примры
таких спектров, которые послужили весомым аргументоь в
пользу обработки данных окном, приводятся в работах Толп-
сона [19] и Ван Схоневелда и Фрейлинга [20]. Значние обра-
ботки данных окном с целью управления уровнем бковых ле-
пестков уменьшается в случае уплощения формы спетра (т. е.
при уменьшении диапазона амплитуд составляющих сигналов).
В ряде опубликованных исследований утверждается что при-
менение окон данных лишь придает одним отсчета! большую
значимость перед другими отсчетами, а также ухудцает разре-
шение (уширяет главный лепесток частотного окна) без како-
го-либо компенсирующего уменьшения дисперсии. Эи утверж-
дения, несомненно, верны в отношении выборочной спектра,
получаемого сразу по всей последовательности отсчеов сигна-
ла с относительно плоской спектральной характеристикой. Од-
нако по отношению к периодограмме Уэлча они не зерны, по-
скольку перекрытие сегментов как раз и использется для
выравнивания обработки (т. е. выравнивания знач мости от-
счетов) данных, а увеличение числа сегментов — дл; уменьше-
ния дисперсии опенки СПМ. Не верны они и в угнетении
спектров сигналов с большим различием амплитуд оставляю-
щих.

В случае комплексных данных метод периодограмм Уэлча
можно реализовать с помощью программы PERICDOGRAM,
приведенной в приложении 5.В. Программа для дейсвительных
данных имеется лишь в упоминавшейся выше книге «Програм-
мы для цифровой обработки сигналов» [4] (програша 2.1).

Процедура Уэлча для оценивания взаимной епктральной
плотности во многом аналогична процедуре оценки автоспект-
ральной плотности. В этом случае N-точечные поелдователь-
ности х[п] и i/[n] сначала сегментируются и взвшиваются,
в результате чего получаются последовательности

И = w [и] X [п + pS],	, „

уЧ» [n] = n)[n]j/[n+pS],

где	—1, ОсрсР—1, по которым затем вшисляется

выборочный взаимный спектр

(5.51)

где

0-1

X{p\f) = T 2 х(/?)[п]ехр(—/2л/пТ),

Z1	(5-52)

У(р)(/) = 'Г 2 У{р} Н ехр (—/2л//гТ)
л=0

— Дискретно-временные преобразования Фурье, а 6 аналогич-
но величине, определенной в (5.42). Усреднение пс периодо-
граммам всех сегментов дает окончательное оценку периодо-
граммы

<5-53)
р = 0

В случае гауссовских процессов характеритики среднего зна-
чения и дисперсии этой взаимной спектраьной оценки во мно-
гом сходны с характеристиками аналогичны величин для авто-
спектральной оценки. Программа PERIOIOCRAM, приведен-
ная в приложении 5.В, позволяет вычисляв оценки взаимной
спектральной плотности в случае комплексных данных.

5.8. Комбинированные
периодограммно-коррелограммные оценки

Схемы, объединяющие особенности периодсраммного и корре-
лограммного методов оценивания СПМ, чато предлагаются в
литературе с целью унифицировать класснеские методы оце-
нивания СПМ; (см., например, работы [16.20]). Одно из наи-
более проработанных таких обобщений бы.о предложено Нат-
толлом и Картером [14] и включает как устные случаи все
методы, которые были описаны выше в род. 5.6 и 5.7. Их
обобщение привело к созданию метода, способного заменить
популярный периодограммный метод Уэлч., т. к. он обладает
сравнимыми статистическими характеристиками, а требует
вдвое меньших вычислительных затрат.

Комбинированный периодограммно-коррлограммный метод
состоит из четырех этапов. На первом с юмощью уравнений
(5.39), (5.40) и (5.43) вычисляется обычая периодограмма
Уэлча Pw(f), при этом допускается произвльный выбор вели-
чины перекрытия S сегментов и окна даншх о»[п]. На втором
этапе вычисляется обратное ДВПФ для P^f) с целью получе-
ния симметричной оценки автокорреляцииrxxw[m] для 2D+1
временных сдвигов. Автокорреляционная оенка /\х"7[/тс] охва-
тывает значения |m]<D вследствие воздествия автокорреля-
ционной функции окна 0[/п] = о>[п] *w[n] что проиллюстри-
ровано рис. 5.9, а и 5.9,6 для случая прямугольного окна. На
третьем этапе эта оценка обрабатывается помощью действи-
тельного симметричного корреляционного кна <о[т] нечетной
длины 2L +1 и получается взвешенная автокорреляционная
оценка гхх^[mj =(o[m]rxxU7[m]. Ширина эт<го корреляционного
окна выбирается меньше ширины автокоррляционной функции
9^[т] окна данных (L<D). На четвертом этапе вычисляется
ДВПФ для Гххс[/п], что и дает искомую ощнку СПМ. Таким
Рис. 5.9. Изменение формы врреляционного окна: а — исходное дискретно-
зременнбе окно данных длинй D (от 0 до D-1); б — автокорреляционная
последовательность этого окнадлиной 2D+1; в —требуемая форма эффектив-
ного корреляционного окна длной 2L+1, L<D; г — фактическая форма кор-
реляционного окна, применяемо для компенсации эффектов взвешивания ок-
ном 0[т].

образом, окончательная оценка СПМ, получаемая комбиниро-
ванным методом, описывется выражением

=	(5.54)

где Q(f)—преобразоваые Фурье корреляционного окна ©[ш].

Комбинированное временное и корреляционное взвешивание
позволяют управлять ур>внем боковых лепестков (т. е. подав-
лять просачивание). Усэйчивость оценки обеспечивается за
счет применения усреднения по сегментам и частотного сгла-
живания (корреляционною взвешивания). Ограничивая либо
выбор окон, либо степеь перекрытия сегментов данных, соот-
ветственно получаем в вчестве частных случаев периодограм-
мную оценку СПМ Уэлч1 и оценку СПМ Блэкмана — Тьюки.

Нетрудно показать, чо средние значения оценок СПМ и ав-
токорреляции, получаемтх с помощью комбинированного мето-
да, удовлетворяют соотношениям

S{P<im = PxAf)*Qe(f),	(5.55)

<9{r£[m]} =r„[m]n>,[m],	(5.56)

где эффективное коррелционное окно ©е[/п] и его преобразо-
вание Фурье Qe(f) опредляются выражениями

а₽(П = Й(/)НО)1а,	(5.57)

[m] = <о [m]/U = со [т] Ф [т]/Ф [0].	(5.58)
Единственное допущение, которое необходимо принять нри
выводе этих соотношений, — это допущение о стационарнос-
ти x[nj. Для того чтобы оценка гхзсс[0] была несмещенной
оценкой полной мощности, необходимо, чтобы ое[0] = 1. Выбор
корреляционного окна co[mj, такого что со[0] = 1, удовлетворя-
ет этому требованию. Здесь интересно отметить следующее.
Пусть требуемое эффективное корреляционное окно выбрано
заранее н имеет вид, показанным на рис. 5.9, в. Если D>L, то
выбор окна данных иу[п] носит произвольный характер, по-
скольку его влияние может быть скомпенсировано выбором
корреляционного окна со[т] следующего вида:

<5-59»

где |т| Эффект такого изменения формы корреляционного
окна проиллюстрирован на рис. 5.9, г для случая прямоуголь-
ного окна данных.,Можно, разумеется, использовать и другие
окна данных.

Показано (см. Наттолл [11, 13]), что дисперсия оценки
CHjM, получаемой с помощью комбинированного метода, опре-
деляется следующим приближенным выражением:

р-i	F

var{Pc(fl}«^'(/)4- £ (1-pS], (5.60)

Р=-(Р-1)Х	'	'

где корреляционная последовательность третьего порядка
п] окна данных определяется выражением

ф [т, л] =

Г» । п — т\ Г» , —п—w 1 Г» । л-Ь/п"! Г, । —п—тЛ
=	+ -2~J W и4-------2---]®p + ~2—--------------

(5.61)

Заметим, что эта корреляционная последовательность симмет-
рична, т. е. ф[т, п]=ф[—т,—nJ. При выводе этих соотноше-
ний были использованы допущения о том, что х[п] является
комплексным гауссовским процессом, а истинная СПМ PXx(f)
относительно постоянна в пределах полосы частот f±Bsl‘2, ха-
рактеризующей ширину полосы эффективного корреляционного
окна. Это последнее допущение позволяет также использовать
для среднего значения оценки следующее приближенное выра-
жение:

S {P'c(f}}« Р„ (ПУфГзГ Qe(f)df = P„(f)^[O] = P„(f). (5.62)

Эквивалентную статистическую ширину полосы частот Bs мож-
но записать в виде явной функции окна данных и коррелят-
онного окна

д	_=	. (5.в:

Т X “?l”l т S Ф2[т]соа[/и]
m=~L	m=~L

Используя дисперсию (5.60), квадрат среднего значешя
оценки (5.62) и статистическую ширину полосы (5.63), получр
ем следующее выражение для произведения «устойчивось
оценкиXдлительностьXширина полосы»:

г-i	ъ

4- \ 1/1-4г?|7’ £ и2М'1>['".р51

ОТ „В, « ---. (5,6 

У w2 [т] Ф2 [я?]
m— -L

Это тройное произведение является функцией длины имеюще-
ся записи данных Те, числа сегментов Р, степени их перекрыта
S, окна данных w[rt] и корреляционного окна ш[т].

Для получения оценки СПМ Блэкмана — Тьюки используй
один сегмент (Р = 1), корреляционное окно, ширина которое
много меньше числа отсчетов данных (Д<С^=АГ), и прям-
угольное окно данных (u>[n] = l, n=0,..., N—1). Наттолл пок-
зал [13], что в этом случае QTeBs^1. Для получения период-
граммы Уэлча используем P=2N!D—1 сегментов, 62%-ное п-
рекрытие (5 = 0,38 Р), окно Ханна для взвешивания данных i
не применяем корреляционного взвешивания (<л[гп] = 1, г#
|/«|<Р=Р). В этом случае можно аналогичным образом nt-
казать, что QTCBS^1. Если используется 50%-ное перекрыты',
то я» 1,08. Один из интересных комбинированных подхо-
дов основан на использовании прямоугольного окна данньс
(ю[/г] = 1) без перекрытия (5 = Р), числа сегментов, вдве
меньшего, чем для периодограммы Уэлча, и корреляционной
окна, форма которого изменяется для получения эффективной
корреляционного окна сое[гп], которое является окном Ханы
(см. рис. 5.9). Краткая запись четырех этапов комбинироваь
ного метода Наттолла—Картера для оценивания СПМ приве-
дена на рис. 5.10. Наттолл и Картер, используя соотношение
(5.64), показали [14], что для указанных на этом рисунке у<-
ЛОВИЙ QTeBs^l. Этот частный случай комбинированного по;-
хода будет иметь те же статистические характеристики при за-
данном значении произведения длительности на ширину поле-
сы TeBs, что и популярный периодограммный метод Уэлча. Од
нако вычислительные затраты для него вдвое ниже, чем дл
метода Уэлча, так как БПФ в нем вычисляется для вдвое мент
<Э ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДОГРАММЫ БАРТЛЕТТА (подразд. 5.7 2)
Перекрытие сегментов отсутствует
Прямоугольное окно ДвННЫХ

•	ОБРАТНОЕ БПФ ПЕРИОДОГРАММЫ
Получается оценка корреляции

•	ВЗВЕШИВАНИЕ ОЦЕНКИ КОРРЕЛЯЦИИ

Используется процедура изменения формы
корреляционного окна, уравнение <5 59)

•	БПФ ВЗВЕШЕННОЙ ОЦЕНКИ КОРРЕЛЯЦИИ
Окончание оценки СПМ

Рис. 5.10. Основные этапы комбинированного метода Наттолла—Картера.

шего числа сегментов, чем в методе Уэлча, к тому же в нем
отсутствуют операции умножения, связанные с обработкой сег-
ментов с помощью окна данных.

5.9. Приложение к оцениванию числа солнечных пятен

Одно из интересных применений классических методов спект-
рального оценивания, имеющее длинную историю, связано с
поиском периодичностей числа солнечных пятен. Краткая ввод-
ная информация по данному вопросу была изложена нами в
разд. 1.2, а результаты предварительного периодограммного
анализа приведены на рис. 5.11. Для этой цели 1728 среднеме-
сячных значений числа солнечных пятен с 1841 по 1984 г. (см.
приложение I, помещенное в конце книги) были разбиты на
24-летние сегменты (288 отсчетов на сегмент) с 12-летннм пе-
рекрытием (144 отсчета), которые затем были обработаны с
помощью окна данных Хэмминга. Из рис. 5.11 видно, что пе-
риодограмма не содержит каких-либо значимых особенностей
на частотах выше 1 цикла солнечных пятен на год. Этот факт
подтверждается также спектральной оценкой Блэкмана —
Тьюки и авторегрессионной спектральной оценкой (см. ниже
гл. 7 и 8), которые здесь не показаны. Периодограмма на
рис. 5.11 имеет значительную постоянную составляющую (час-
тота 0 Гц), что обусловлено положительностью чисел солнеч-
ных пятен, ясно виден также классический 11-летний период
активности солнечных пятен (частота, которой соответствует
примерно 0,09 цикла на год).
Циклы на год

Циклы на год
б

5.11. а — периодограмма среднемесячных значений числа солнечных пятен для
интервала времени с 1841 по 1984 г.; б — участок этой периодограммы на ин-
тервале частот от 0 до 1 цикла на год.

Для более подробного исследования спектра в интервале
частот от 0 до 1 цикла на год среднемесячные значения числа
солнечных пятен обрабатывались фильтром нижних частот
(ФНЧ), затем прореживались с коэффициентом 6 для сниже-
ния частоты отсчетов до двух отсчетов в год, после чего обра-
батывались фильтром верхних частот (ФВЧ). В качестве ФНЧ
и ФВЧ применялись линейно-фазовые фильтры, реализованные
с помощью программы Паркса — Маклеллана (программа 5.1
в сборнике «Программы для цифровой обработки сигналов»
[4]). ФНЧ имел 49 коэффициентов и переходную зону шири-
ной от 0,5 до 1,0 цикла на год (см. рис. 5.12, а). Этот фильтр
устранял высокочастотный шум в среднемесячных числах сол-
нечных пятен. Выход ФНЧ прореживался с коэффициентом 6,

Логарифм модуля частотной характеристики: а — линейно-фазовый
ФНЧ с 49 коэффициентами; б — линейно-фазовый ФВЧ с 51 коэффициентом.
Рис. 5.13. Спектральные оценки фильтрованных чиселсолнечных пятен: а —
периодограмма; б — коррелограммная оценка, отрицатльные значения СПМ
заштрихованы; в — набор односегментных пеиодограмм.

что снижало частоту отсчетов до двух отсчдов в год. Затем
оставшиеся отсчеты обрабатывались с помсцью ФВЧ, с тем
чтобы устранить эффект смещения, обуслоленный наличием
большой постоянной составляющей. ФВЧ и мл 51 коэффициент
и переходную зону шириной от 0,0 до 0,0455 хиклов на год (см.
рис. 5.12,6). Такая ширина переходной зоныФВЧ была выбра-
на с целью обнаружить возможный 22-летнш период изменения
активности солнечных пятен из-за перемены их магнитной по-
лярности, которая, как известно, происходите интервалом при-
мерно 22 года. Результирующая фильтровамая запись содер-
жала около 230 отсчетов (по 2 отсчета в г<д), охватывающих
период времени с июля 1855 г. по январь 1'70 г. (оставшиеся
после прореживания отсчеты попадали на январь и июль в
каждом году).

Спектральные оценки, полученные по фльтрованным дан-
ным с помощью классических методов, покзаны на рис. 5.13.
В периодограммном методе использовались четыре 46-летних
сегмента (92 отсчета на сегмент) с 23-летним перекрытием
(46 отсчетов) этих сегментов. Каждый такой сегмент обраба-
тывался окном Хэмминга. В коррелограммном методе оценка
СПМ определялась по последовательности несмещенных авто-
корреляционных оценок, соответствующих временным сдвигам
от 0 до 45 лет, которые также обрабатывались окном Хэммин-
га. Периодограмма имеет два сильных пика на частотах
0,095 цикла на год (10,5-летний цикл) и 0,194 цикла на год
(5,16-летний цикл). В коррелограммной оценке этим иикам со-
ответствуют частоты 0,095 цикла на год (тот же 10,5-летний
цикл) и 0,188 цикла на год (5,32-летний цикл). Таким образом,
первый пик, по всей видимости, соответствует гармонике с
10,5-летним основным периодом изменения активности солнеч-
ных пятен. Сходные пики у этих спектров наблюдаются также
на частотах, равных примерно 0,25 и 0,45 цикла на год.

Нестационарность характеристик чисел солнечных пятен по-
казана на рис. 5.13, в, на котором одна над другой последова-
тельно помещены периодограммы 23-летних сегментов, каждая
из которых изображена в 50-дБ диапазоне. Слева около каж-
дой периодограммы указан начальный год каждого сегмента.
Отметим также, что использовалось 11,5-летнее перекрытие сег-
ментов. Нетрудно видеть, что два выраженных пика на этих пе-
риодограммах не остаются неподвижными на некоторой фикси-
рованной частоте, а перемещаются относительно средних поло-
жений этих пиков, показанных на рис. 5.13, а и 5.13, б. Таким
образом, применительно к числам солнечных пятен следует
очень осторожно применять методы спектрального оценивания,
основанные на допущении о стационарности анализируемого
процесса.

5.10.	Заключение

Классические методы спектрального оценивания, кратко опи-
санные в этой главе, относятся к числу наиболее устойчивых
(робастных) методов спектрального оценивания, описанных в
данной книге. Они применимы почти ко всем классам сигналов
и шумов, обладающих стационарными свойствами, тогда как
альтернативные им методы высокого разрешения, такие как
описанные в гл. 6—14, оказываются робастными только в слу-
чае ограниченного класса стационарных сигналов. В классичес-
ких методах, как правило, используется алгоритм БПФ, в связи
с чем они оказываются наиболее вычислительно эффективными
методами из числа имеющихся методов спектрального оценива-
ния. Отметим также, что получаемые с их помощью оценки
СПМ линейно зависят от мощности синусоид, присутствующих
в данных, тогда как методы, описанные в гл. 6—14, часто не
обеспечивают линейной связи между высотой спектральных пи-
ков и мощностью этих синусоид.

Основной недостаток классических методов спектрального
оценивания обусловлен искажающим воздействием просачива-
ния по боковым лепесткам из-за неизбежного взвешивания
в них конечных последовательностей данных. Было показано,
что обработка с помощью окна позволяет ослабить влияние
боковых лепестков, но лишь за счет ухудшения спектрального
разрешения. Разрешение, обеспечиваемое классическими мето-
дами, не может превосходить величины, обратной длине записи
данных, и не зависит от характеристик анализируемых данных.
Для улучшения статистической устойчивости спектральных
оценок может быть использовано псевдоусреднение по ансамб-
лю за счет сегментации данных, но это также ухудшает спект-
ральное разрешение. Обработка конечных записей данных тре-
бует, конечно, принятия определенных компромиссов относи-
тельно разрешения, устойчивости (минимизации дисперсии
оценки) и подавления просачивания. Часто при наличии очень
коротких записей данных нам необходимо получить гораздо
большее разрешение, чем может обеспечить полная запись дан-
ных при односегментном анализе. Добиться этого можно за
счет ухудшения статистической устойчивости оценок. Методы,
которые позволяет улучшать или сохранять высокое разреше-
ние без значительного ухудшения устойчивости спектральных
оценок, обсуждаются в следующей главе.

Литература

[1]	Bartlett М. S. Smoothing Periodograms from Time Series with Continuous
Spectra. Nature, London, vol. 161, pp. 686—687, 1948,

[2]	Blackman R. B., Tukey J. W. The Measurement of Power Spectra from the
Point of View of Communication Engineering. Dover Publications, Inc.,
New York, 1958; опубликовано также в январском и мартовском выпусках
Bell Syst. Tech. J. за 1958 г.

{3J Daniell P. J. Discussion of «On the Theoretical Specification and Sampling
Properties of Autocorreiated Time-Series», J. R. Stat. Soc., ser. B, vol. 8,
pp. 88—90, 1946.

[4]	Digital Signal Processing Committee, ed„ Programs for Digital Signal
Processing. IEEE Press, New York, 1979.

[5]	Gardner W. A. Statistical Spectral Analysis: A Non-Probabilistic Theory.
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1987.

[6]	Geckinli N. C., Yavuz D. Discrete Fourier Transfomation and Its Applica-
tions to Power Spectra Estimation. Elsevier Scientific Publishing Company,
Amsterdam, 1983.

[7]	Harris F. J. On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Dis-
crete Fourier Transform. Proc. IEEE, vol. 66, pp. 51—83, January 1978.
[Имеется русский перевод: Хэррис Ф. Дж. Использование окон при гар-
моническом анализе методом дискретного преобразования Фурье. ТИИЭР,
1978, т. 66, № 1, с. 60—96.]

^8] Jenkins G. М., Watts D. G. Spectral Analysis and Its Applications. Holden-
Day, Inc., San Francisco, 1965. [Имеется рускигперевод: Дженкинс Дж.,
Ватте Г. Спектральный анализ и его прилосенн. М.: Мир, 1971, вып. I;
1972, вып. 2.]

[9]	Jones R. Н. A Reappraisal of the Periodograr in Spectral Analysis. Techno-
metrics, vol. 7, pp. 531—542, November 1965.

[10]	Koopmans L. H. The Spectral Analysis of Tire Sries. Academic Press, Inc.,
New York, 1974.

[11]	Nuttall A. H. Spectral Estimation by Mean ol Overlapped Fast Fourier
Transform Processing of Windowed Data Naal (nderwater Systems Center
Technical Report 4169, New London, Conn., Ctobr 1971.

[12]	Nuttall A. H. Some Windows with Very (bodSidelobe Behavior. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. l.SS’-29, pp. 84—91, February
1981.

[13]	Nuttall A. H. Spectral Analysis via Quacatii Frequency-Smoothing of
Fourier-Transformed, Overlapped, Weighted Dat. Segments. Naval Under-
water Systems Center Technical Report 649, lew London, Conn., June
1981.

[14]	Nuttall A. H., Carter G. C. Spectral Estimalon Jsing Combined Time and
Lag Weighting. Proc. IEEE, vol. 70, pp. lib—1125, September 1982.
[Имеется русский перевод: Наттолл А. Х.,Карер Дж. К. Спектральное
оценивание с использованием комбинировано:) временного и корреля-
ционного взвешивания. ТИИЭР, 1982, т. 70, ft 9с. 243—255.]

[15]	Oppenheim А. V., Schafer R. W. Digital SrnalProcessing. Prentice-Hall,
Inc, Englewood Cliffs, N. J., 1975. [Имегсярусский перевод: Оппен-
гейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обрабока ягналов. М.: Связь, 1979.]

[16]	Otnes R. К., Enochson L. Applied Time Serie Anlysis. John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1978.

[17]	Rabiner L. R., Cold B. Theory and Applicatia ofDigital Signal Processing.
Prentice-Hall, englewood Cliffs, N. J., 197. [1меется русский перевод:
Рабинер Л., Голд В. Теория и применение гифовой обработки сигналов.
М.: Мир, 1978.]

[18]	Rader С. М. Ап Improved Algorithm for Hgh >peed Autocorrelation with
Application to Spectral Estimation. IEEE Trns. Audio Electroacoust.,
vol. AU-18, pp. 439—442, December 1970.

[19]	Thompson D. J. Spectrum Estimation Techique for Characterization and
Development of WT4 Waveguide-11. Bell Syt. 'ech. J., vol. 56, pp. 1983—
2005, December 1977; Part 1, vol. 50, pp. 169-1815, November 1977.

Задачи

1.	Показать, что периодограммную оценку Барнетт [уравнение (5.36)] мож-
но записать в следующей матричной форме

\р = 0

где е([) — вектор комплексных синусоид [сь опеделение (3.21)], а х<0> =
= (x[pD], x[pD4-l].... x[pD+D—1])г — веторотсчетов данных для р-го

сегмента.

2.	Доказать смещенный результат, соответствющй приведенному в тексте
уравнению (5.44).

3.	Показать, что матрицу (5.25) смещенной цени автокорреляции можно
также записать в виде

N—\

[А",
где хд[А] = (х[А], х[й—1],.... x[fe—L])r — вектор данных. Положить х[п]^0
при п<0 и при n>N— 1.

4.	Разработать более эффективную в вычислительном отношении подпрограм-
му CORRELATION, в которой для вычисления корреляционных оценок ис-
пользуется БПФ.

5.	Показать, что для действительных

м

РвМ = Тг„ [0] + 2Т 2 гхх[т]со$(21фпГ).

т- 1

6.	Вывести выражения для величин Bs и Ве для окон, приведенных в табл. 5.1,
и пронормировать их относительно ячейки разрешения БПФ, равной 1/NT
герц. Чему равно отношение a.=Bs/Be для каждого окна?

7.	Какова величина качества оценки Q для выборочного спектра, полученного
в приложении 4.А? Чему равно произведение QTeBs для спектра?

8.	Спектральная оценка на основе коррелограммного метода, показанная на
рис. 5.4, имеет отрицательные лепестки СПМ. Выбрать или построить окно,
которое для тест-последовательности данных будет давать только положи-
тельные значения СПМ на всех частотах. Ввести это окно в программу
CORRELOGRAMPSD. Нарисовать график результирующей спектральной
оценки. Как сравнить эту оценку с оценкой на рис. 5.4?

9.	Пусть задано N отсчетов данных х[0], х[А—I]. Показать, что коррело-
граммная оценка СПМ

£«(/) = Г 2	C„[m]exp(—j2nfniT),

m = -(.V-D

в которой используется смещенная автокорреляционная оценка при макси-
мальном числе возможных временных сдвигов, и выборочный спектр

^„(0=4-

У .с И ехр (—/2л/7г7’)|
n = 0	I

идентичны.

Приложение 5.А.

Программа для вычисления оценок корреляции

Подпрограмма CORRELATION предназначена для вычисления
несмещенных и смещенных оценок автокорреляции и взаимной
корреляции для комплексных данных (см. разд. 5.5). Выбор
типа оценки — смещенная или несмещенная — зависит от вы-
бора значения параметра MODE. Если массив X считывается
при установке Х = У, как в CALL CORRELATION (N, LAG,
MODE, X, X, R), то вычисляется автокорреляция; в противном
случае вычисляется взаимная корреляция. Оценки корреляции
вычисляются только при положительных значениях временного
сдвига. Для получения оценок автокорреляции при отрицатель-
ных значениях временного сдвига необходимо просто вернуться
в начало подпрограммы и вычислить сопряженные оценки ав-
токорреляции. В случае взаимной корреляции для этой цели
;ужно просто реверсировать векторы X и Y, снова вызватьюд-
программу и затем вычислить сопряженные значения. Возюж-
иость этих процедур является следствием свойства rXJ/[—я] =
— ГуХ*[т]. С помощью процедуры, приведенной в приложении
IV, помещенном в конце книги, программу можно преобрзо-
вать для обработки действительнозначных данных.

Если 7V = 64, LAG = 15 и MODL = Q, то для 64-точечной ест-
последовательности данных, приведенной в приложении II по-
лучим следующую 16-точечную автокорреляционную последва-
тельность:

R	Oj =	1,780459;	0,000000);	R	8j =	—0,908952;	— 1,137790);
R	1 =	0,325858;	1,529764);	R	9j =	0,769808;	— 1,127676);
R	2 =	— 1,341396;	0,772292);	R	10 =	1,298158;	0,388247);
R	3 =	— 1,012166;	—0,989743);	R	11 =	—0,029651;	1,296811),
R	4 =	0,534418;	— 1,295556);	R	12J =	— 1,235431;	0,412799);
R	5 =	1,444954;	0,189344);	R	13 =	—0,629708;	— 1,094549);
R	6 =	0,226535;	1,458697);	R	14 =	0,824489;	-0,898308);
R	7] =	—1,327125;	0,588727);	R [ 15 =		1,021054;	0,549560).

С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с

Подпрограмма CORRELATION (N, LAG, MODE, X, Y, RO, R)

Предназначена для вычисления смещенной или несмещенной оценки омп-
лексной корреляции между массивами отсчетов комплексных данн1Х X
и Y. Если X=Y, то вычисляется оценка автокорреляции.

Входные параметры:

N — число отсчетов данных в массивах X и Y (целое число).

LAG —число вычисляемых значений корреляции [значения пргвре-
менных сдвигах от 0 до LAG вычисляются и хранятся s R0
и в R( 1) по R(LAG)] (целое число).

MODE —устанавливается в 0 для вычисления несмещенных оенок
корреляции; в противном случае вычисляются смещаные
оценки корреляции (целое число).

X	—массив отсчетов комплексных данных с X(I) по X(N).

Y	—массив отсчетов комплексных данных с Y(l) по Y(N).

Выходные параметры:

R0 —оценка комплексной корреляции при временном сдвиге,рав-
ном 0

R —массив оценок комплексной корреляции при временных дви-
гал от 1 до LAG

Примечание:

Размеры .GE. N внешних массивов X, Y и размеры .GE. LAG массва R
должны указываться в вызывающей программе.

COMPLEX X(l), Y(1), R(1), RO, SUM

DO 30 К=0, LAG

NK=N-K

SUM= (0.,0.)

DO 10 J -=1, NK
10	SUA=SUM+X(J+K)*CONJG(Y(J))

IF (К IE. 0) GO TO 20
RO = SWFLOAT(N)
GO ТОЮ

20 IF (MOE .EQ. 0) R(K) = SUM/FLOAT(N-K) I (5.9)
IF (MOE NE. 0) R(K)=SUM/FLOAT(N) ! (5.13), (5 19)

30 CONTIIUE

RETURN

END

Приложение 5Б.

Программа дл вычисления оценки СПМ
с помощью ко|релограммного метода

Подпрограмма CORRELOGRAMPSD предназначена для вы-
числения автопектральных и взаимно спектральных оценок с
помощью кор]елограммного метода оценивания СПМ Блэкма-
на— Тьюки, I основу которого положено уравнение (5.27).
Для повышеня эффективности вычисления преобразования
Фурье от СПА используется БПФ. Если массив X считывается
при установкеХ = Y, как в CALL CORRELOGRAMPSD (N,
LAG, T, X, X,PSD), то вычисляется автоспектральная оценка;
•в противном с учае вычисляется оценка взаимного спектра. Для
обработки дествительных данных необходимо положить мни-
мую составляющую отсчетов данных равной нулю.

Если А=6, LAG = 15 и 7'=1,0, то для 64-точечной тест-по-
следовательнсти, приведенной в приложении II, помещенном в
конце книги, юлучим последовательность значений СПМ, выбо-
рочные шестьиз которых приведены ниже:

PSD( )= 0J3I417E+00
PSD(100)= 0.795428Е+01

PSD(200) = 0.I06389E+00

PSD(3000)= 0,219200E+00
PSD (4000) =—0,344072E— 01
PSD(4096)= 0,132312E+00

Подпрогрмма CORRELOGRAMPSD (N, LAG, T, X, Y, PSD)
C

С Заметим, чтсРху[—k] вычисляется как комплексно-сопряженное величн-

С не (Ryx[k]).

С

С Входные парметры:

С

С	N	— чело отсчетов данных.

С LAG — мксимальное значение индекса временнбго сдвига.

С	Т	— итервал отсчетов в секундах.

С	X	— месив отсчетов комплексных	данных с Х(1)	по	X(N).

С	Y	—месив отсчетов комплексных	данных с Y(!)	по	Y(N).

С

С Выходные пааметры:

С

С PSD — месив значений оценок действительной спектральной плотности

С	мщности (СПМ).
С Примечание:

С

С Размеры ,GE. N внешних массивов X и Y и размер GE. NPSD должны
С указываться в вызывающей программе. Размеры внутреннего масси-
С	ва W должны указываться в .GE. NPSD, а массивв R и WINDOW —

С	в .GE. LAG. Используются внешние подпрограмы: CORRELATION

С (см. приложение 5.А), PREFFT и FFT (см. приложеие 2.В).

PARAMETER (NPSD = 4096, PI = 3,141592654)

COMPLEX X(l), Y(l), PSD(l), W(NPSD), R(64), Ю

REAL WINDOW(64)

С Здесь можно использовать окно

DO 10 K=1,LAG

10	WINDOW(K) =0.5384-0.462*COS(PI*FLOAT(KYFLOAT(LAG))

CALL CORRELATION (N, LAG, 0, X, Y, R0, R)
PSD(l)==R0

DO 20 K=l, LAG

20 PSD(K+1)=R(K)*WINDOW(K)

CALL CORRELATION (N, LAG, 0, Y, X R0 R)

DO 30 K=1,LAG

30	PSD(NPSD+1-K)=CONJG(R(K))*WINDOW(0

DO 40 K=LAG+2, NPSD-LAG

40	PSD(K) = (0. ,0.)

CALL PREFFT (NPSD, 0, NEXP, W)

CALL FFT (NPSD, 0, T, NEXP, W, PSD)

RETURN

END

Приложение 5.В.

Программа для вычисления оценки СПМ с помоиью
периодограммного метода

Подпрограмма PERIODOGRAM предназначена для вычисления'
автоспектральных и взаимно спектральных оцнок с помощью
периодограммного метода Уэлча, в основу котфого положено
уравнение (5.43). Для повышения эффективнсти вычисления
преобразования Фурье от СПМ используется 1ПФ. Если мас-
сив X считывается при установке X=Y, как в CALL
PERIODOGRAM (N, NSHIFT, NSAMP, T, X, 2, NSEG, PSD),
то вычисляется автоспектральная оценка; в пртивном случае
вычисляется оценка взаимного спектра. Для бработки дейст-
вительных данных необходимо положить мншую составляю-
щую отсчетов данных равной нулю.

Если М = 64, NSHIFT=1Q, NSAMP = 32 и Т--1Д то для 64-
точечной тест-последовательности, приведенной в приложении
II, помещенном в конце книги, получим поаедовательность
значений СПМ, выборочные шесть из которых гэиведены ниже:

PSD(I) =0,341366Е—03
PSD (1000) = 0,989954Е4-00

PSD(2000) =0,812411Е—02

PSD(3000) =0,50513Е—0!

PSD(4000) =0,37835Е—03

PSD (4096) =0,33607Е—03.
Подпрограма (N, NSHIFT, NSAMP, Т, X, Y, NSEG, PSD)

G

С Предназначенадля вычисления усредненной периодограммы, определяемой
С выражением (143). Подпрограмма вычисляет количество сегментов NSEG,
С равное ближашему целому числу. Используется окно Хэмминга, хотя
С можно применть и другие окна, приведенные в табл. 5.1. Выходом про-
С граммы являюся значения оценок спектральной плотности мощности PSD
С в диапазоне чатот от — 1/2Т до 1/2Т, где Т — интервал отсчетов в секун-
С дах. При вычглении автоспектральных оценок несколько снизить вычис-
С лительные затрты можно, устранив строки программы, касающиеся век-
С тора Y. В обшм случае значения оценок взаимной СПМ являются комп-
С лексными, автспектральные оценки имеют действительные значения.

С

С Выходные парметры:

С

С	N — исло отсчетов данных

С	NSHIFT — исло отсчетов, соответствующее сдвигу между сегментами

С NSAMP —исло отсчетов на сегмент (должно быть четным)

СТ — нтервал отсчетов в секундах

С	X	— ассив комплексных отсчетов с Х( 1) по X(N)

С	Y	— ассив комплексных отсчетов с Y(l) по Y(N)

С

С Выходные парметры:

С

С NSEG —исло усредняемых сегментов

С PSD — ассив из действительных значений NPSD спектральной
С	лотности мощности

С

С Примечание: 

С

С	Размеры .СЕ. N внешних	массивов X, Y и размер .GE. NPSD массива

С	PSD должы указываться	в вызывающей программе, размеры внутрен-

С	них массиве W, XSEG,	YSEG должны указываться в .GE. NPSD,

С	размер масава WINDOW	должен указываться в ,GE. NSAMP. Исполь-

С	зуются внешне подпрограммы: PREFFT и FFT (см. приложение 2.В)

С

PARAMETR NPSD = 4096	! Должно быть степенью числа 2

COMPLEX <(1),Y(1),PSD(1),W(NPSD),XSEG(NPSD),YSED (NPSD),

TEMP

REAL WIN>OW(127)

PI2 = 8. *AAN(1.)

CALL PRE1FT (NPSD,O,NEXP,W)

С Используется «но Хэмминга. Следующие две строки можно заменить лю-
С бой другой фукцией окна.

DO 10 К='NSAMP

10 WINDO/(K) =0.538+0.462*COS (Р12* (-.5+

FLOAT (К— 1) /FLOAT (NSAMP-1)))

•С Вычислить чисэ целых сегментов NSEG, таких что NSEG LE N
NSEG=(N-NSAMP)/NSHIFT+1
DO 50 K= NSEG

DO 20 J=l,NSAMP

INDK=J+(K- 1) *NSHIFT

XSE((J) =X(INDEX) »WINDOW(J)

20	YSE((J) = Y(INDEX) *WINDOW(J)

DO 30 J=NSAMP+1,NPSD

XSE((J) == (0.,0.)

30	YSEC(J) = (0.,0.)
CALL FFT (NPSD,0,T,NEXP,\V,XSEG)

CALL FFT (NPSD,O,T,NEXP,W,YSEG)

DO 40 J=1,NPSD

IF (K .EQ. I) PSD(J) =XSEG(J) *CONJG(YSEG(J))

40	IF (K .NE. 1) PSD(J)=PSD(J)+XSEG(J)»CONJG(YSEG(J))

50 CONTINUE

С Необходимо ввести коэффициент коррекции энергии окна

DO 60 K=1,NPSD

60 PSD(K) =PSD(K)/FLOAT(NSEG*NSAMP)

RETURN

END
Глава 6

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

6.1.	Введение

В гл. 4 спектральная плотность мощности (СПМ) была опре-
делена как дискретно-временное преобразование Фурье
(ДВПФ) бесконечной автокорреляционной последовательности
(АКП). Это соотношение между СПМ и АКП можно рассмат-
ривать как непараметрическое описание статистик второго по-
рядка случайного процесса. Ряд других непараметрических
спектральных оценок, которые являются строгими функциями
АКП, рассматривается в гл. 12 и 13. К параметрическому опи-
санию статистик второго порядка можно прийти, рассматривая
модель временного ряда, соответствующего анализируемому
случайному процессу. В этом случае СПМ модели временного-
ряда будет прежде всего некоторой функцией параметров этой
модели, а не АКП. В данной главе описан один частный класс
моделей, возбуждаемых белым шумовым процессом и обладаю-
щих рациональными системными функциями. Этот класс вклю-
чает модель авторегрессионного (АР) процесса, модель процес-
са скользящего среднего (СС) и модель процесса авторегрес-
сии— скользящего среднего (АРСС). Выходные процессы мо-
делей этого класса имеют спектральные пл-отности мощности,
которые полностью описываются с помощью параметров моде-
ли и дисперсии белого шумового процесса. Значения этих па-
раметров и дисперсии белого шума определяются по автокор-
реляционной последовательности с помощью соотношений, опи-
санных ниже в этой главе. Методы оценивания параметров мо-
телей и дисперсии белого шума по конечной записи данных
рассматриваются в гл. 8—10.

Одна из причин применения параметрических моделей слу-
чайных процессов обусловлена возможностью получения на ос-
нове этих моделей более точных оценок СПМ, чем это возмож-
но с помощью классических методов спектрального оценивания.
Еще одна важная причина — более высокое спектральное раз-
решение. И периодограммный, и коррелограммный методы,
описанные в гл. 5, дают оценки СПМ по взвешенной последова-
тельности данных или оценок АКП. Отсутствующие данные или
неоцененные значения АКП за пределами применяемого окна
неявно полагаются равными нулю, что, естественно, является
нереалистическим допущением и приводит к искажениям спект-
ральных оценок. На практике часто имеется некоторая инфор-
мация относительно процесса, из которого берутся отсчеты
данных. Эту информацию можно использовать для построения
модели, аппроксимирующей процесс, который породил наблю-
даемую временную последовательность. Такие модели позволя-
ют принимать более реалистические допущения о данных вне
окна, чем допущение об их равенстве нулю. В результате отпа-
дает необходимость в функциях окна, а следовательно, устра-
няются и связанные с ними искажения. Степень улучшения
разрешения и повышения достоверности спектральных оценок
(если они имеются) определяется соответствием выбранной мо-
дели анализируемому процессу и возможностью аппроксимации
измеренных данных или АКП (известной или оцененной по
этим данным) с помощью нескольких параметров модели.

Задание СПМ или АКП требует обеспечения устойчивости и
(или) каузальности применяемого фильтра, с тем чтобы полу-
чить однозначно определенную модель; этому вопросу посвя-
щен разд. 6.6.

6.2.	Краткая сводка результатов

Параметрический метод спектрального оценивания состоит из
трех этапов. На первом из них производится выбор параметри-
ческой модели временного ряда, соответствующий имеющейся
записи измеренных данных. В этой главе будут рассмотрены
три типа параметрических моделей временных рядов: авторег-
рессионная (АР) модель, модель скользящего среднего (СС) и
комбинированная модель авторегрессии — скользящего среднего
(АРСС). На втором этапе вычисляются оценки параметров мо-
дели. На третьем этапе оцененные значения параметров вво-
дятся в теоретическое выражение для спектральной плотности
мощности, соответствующее избранной модели.

В табл. 6.1 указаны номера уравнений для АР-, СС- и
АРСС-моделей, которые приводятся в данной главе. В прило-
жении 6.А помещена машинная программа ARMAPSD, пред-
назначенная для вычисления значений СПМ по заданным зна-
чениям параметров соответствующей модели. Выбор одной из
трех моделей, приведенных в табл. 6.1, требует некоторых пред-
варительных сведений о возможной форме спектральной оцен-
ки. Если необходимы спектры с острыми пиками, но без глу-
боких впадин (нулей), то наиболее подходящей является АР-
модель. Если, наоборот, необходимы спектры с глубокими ну-
лями, но без острых пиков, то подойдет СС-модель. Что же
касается АРСС-модели, то она может, вообще говоря, приме-
Таблица 6.1. Сводка основных соотношений для параметрических модеей

Основные соотношения	А РСО	АР	СС
Определение вре.меннбго ряда Автокорреляционная последова-	(6.1)	(6.13)	(6.11)
тельность	(6.29)	(6.31)	(6.35)
СПМ (на основе параметров)*’	(6-8)	(6.U)	(6.12)
СПМ (на основе АКП)		(6.33)	(6.36)
Эквивалентность АР(оо)-модели	(6.17)	—	(6.17)
Эквивалентность СС(оо)-модели	(6.24)	(6.24)	

*) См. также подпрограмму ARMAPSD, помещенную в приложении 6.А.

няться в обоих этих предельных случаях. В тех случаях, копа
одинаково пригодна любая из трех моделей, следует, по вей
вероятности, использовать ту из них, которая имеет наименьше
число параметров. Этот принцип экономии был предложен Бес-
сом и Дженкинсом [1] и основан на том факте, что получив
оценки с хорошими статистическими свойствами можно, ик
правило, тогда, когда число оцениваемых параметров мин-
имально. Заметим, однако, что вычислительные затраты дя
оценивания параметров АР-модели часто значительно меные
вычислительных затрат, требуемых для оценивания параметре
СС- и АРСС-моделей, поэтому АР-модель временного ря.а
иногда выгодно применять даже тогда, когда она не являетя
моделью с наименьшим числом параметров. Вопросы, касаю-
щиеся числа параметров для уже выбранной модели будут рг-
смотрены в гл. 8 и 10.

63.	АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов

Модель временного ряда, которая пригодна для аппроксимаци
многих встречающихся на практике детерминированных и сто-
хастических процессов с дискретным временем, описываетя
выходом фильтра, выражаемым следующим линейным разнос-
ным уравнением с комплексными коэффициентами:

лг[/г] = —	k] + S 6[&] и [п — й] =	(6.)

k-l	6=0

= s A[jfe]rz[/z—/г].	(6.!)

fe = 0

Здесь х[п] —последовательность на выходе каузального филь-
тра (Л[й] =0 при &<0), который формирует наблюдаемые даг-
ные, a u[n]—водная возбуждающая последовательность. Без
потери общност можно положить 6[0] = 1, так как вход u[n]
всегда можно сютветствующим образом промасштабировать,
с тем чтобы учсть любой коэффициент усиления фильтра.
Выше в гл. 2 бьло показано, что системная функция Н(г), свя-
зывающая вход! выход этого фильтра [см. выражение (2.17)],
имеет рационалную форму

H(z) = |g,	(6.3)

в которой полиюмы определяются следующими выражениями:

A(z) = 1 + X аЩг"*,	(6.4)

Л=1

В(г) = 1+ i b[k\z'\	(6.5)

i

Н(г) = 14-(6.6)

При этом предполагается, что нули полиномов А(г) и В (г)
расположены вн'три единичной окружности в z-плоскости, с тем
чтобы гарантир<вать принадлежность фупкции Н(г) устойчи-
вому минималью-фазовому каузальному фильтру.

Согласно вьлажениям (4.42), г-преобразование автокорре-
ляции выходнойпоследовательности х[п] и г-преобразование
автокорреляции входного случайного процесса u[n] связаны
соотношением

Р„(г) =>„Ц) Н (г) Н *(1/г*) = Р„(г)	(6.7)

Вхо, I возбуж.ающий процесс и[п] обычно не доступен для
наб/	’("ч I- 'wow "е	быть использован для целей

:пек	н :о него можно принять

•/л'"чть, что это единич-
< сть или белый

е-

.	.	..... ....... щ-

। ем и диспер.ией pw, так что Риц(г) = pw. Тогда модель ав-
.агрессии— сюльзящего среднего (АРСС) для временного
)яда х[п] буде' определяться выражением (6.1), где ы[п] —
юследовательноть, соответствующая белому шуму. Функцио-
нальная схема zPCC-модели показана на рис. 6.1, а\ здесь па-
раметры a[fc] хаактеризуют авторегрессионную часть этой мо-
ПоследоватеЛьосТь,
соответствуюия
белому шуму

] Наблюдаемая
АРСС- последовательность

Возбуждакпий

IV м

Шум наблюдения

Поеледоватсльэсть.
соотаетствукэця
белому шуму

Наблюдаемая

СС-последовательность
—

Последователь ость.

соответствуюшя
белому шуму

Наблюдаемая

АР последовательность

Рис. 6.1. Модели временного ряда, которые имеют рациональные системные
функции: а — филтр авторегрессии — скользящего среднего (АРСС) поряд-
ка (р, <?); б — АЕС-процесс с шумом наблюдения; в — фильтр скользящего
среднего (СС) прядка q; г — авторегрессионный (АР) фильтр порядка р.
дели, а параметры Ь[&]—ее часть, соответствующую скользя-
щему среднему. Спектральную плотность моиности для АРСС-
модели получаем, подставляя в (6.7) z = ex^j2nfT) и масшта-
бируя интервалом отсчетов Т [см. выражени (4.43)], что дает

Рарсс (Л=

е" (ft bt7eg ())
е" (/) а/ ер (/) ’

(6.8)

где полиномы A(f) и B(f) определяются вьоажениями

Л(/) = 1 + 2 а W ехР (—

(6.9)

B(.f) = i + 2 b М ехР (— i2iifk"),
fe=l

а векторы комплексных синусоид e<j(f) и ep(f	и векторы пара-
меров а и b имеют следующий вид:	
1	i 1  ехр(/2л/7')	а[Ц	
’ а= :	(6.10)
1ехр(/2л/р7')	|а[/1  1	1	\	1	1	
1	1	1	1  ехр	&[1	
ел> :	. ь= :	
' ехр	[,	

Спектральная плотность мощности АРСС-пр<десса вычисляется
в диапазоне частот —l/27cf<l/27.

В литературе часто используется обозначние АРСС (р, q),
что удобно для краткого обозначения АРССмодели с парамет-
рами авторегрессии порядка р и параметрами скользящего
среднего порядка q. Заметим, что задание А>-параметров, СС-
параметров и дисперсии белого шума полостью характери-
зуют спектральную плотность мощности АР2С-процесса х[п].
Любой аддитивный шум наблюдения, присуттвующий в после-
довательности измеряемых данных, должен мщелироваться как
шум источника, отличного от источника возС/ждающего шума,
являющегося составной частью АРСС-модел (см. рис. 6.1,6).
Эффекты, обусловленные шумом наблюдена, обсуждаются в
гл. 8.
0,0 0,1 0,2 0,3 0Л 0,5

Доли частоты отсчетов

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Доли частоты отсчетов

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
в

Рис. 6.2. Типичные параметрические модели спектра: а —АР (4)-спектр; б —
СС (4) -спектр; в — АРСС (4,4) -спектр.

Если все АР-параметры положить, за исключением а[0] = 1,
равными нулю, то-тогда

х [/?] = 2 & И и 1,г ~ &\ + и [п]	(6.11)

будет строго СС-процессом порядка q, или просто СС(<?)-про-
цессом. Полагая в уравнении (6.8) р = 0, получаем спектраль-
ную плотность мощности СС-процесса

Рес (/) =	| В (f) Р =	(/) bb% (/).	(6.12)

Функциональная схема СС-модели показана на рис. 6.1, в.

Если все СС-параметры положить, за исключением д[0] = 1,
равными нулю, то

’ р

x[n]== —	а Н* [л—'£] + «[«]	(6.13)

будет строго АР-процессом порядка р, или просто АР (р)-про-
цессом. Полагая в уравнении (6.8) q=0, получаем спектраль-
ную плотность мощности АР-процесса:

РлР(П= ТЖГ=-е«(/аа«ер(/)-	(6-14)

Функциональная схема АР-модели показана на рис. 6.1, г. При
заданных значениях параметров и дисперсии белого шума р»
спектральные плотности мощности АРСС-, СС-, и АР-процессов
можно вычислить с помощью подпрограммы ARMAPSD, приве-
денной в приложении 6.А.

На рис. 6.2 показаны спектры типичных АРСС-, СС- и АР-
процессов. Отметим острые пики, характерные для АР-спект-
ров, и глубоке провалы, характерна для СС-спектров. APCG
спектр, показ нный на рис. 6.2, в, иедставляет собой резуль
тат объединеыя АР- и СС-спектров показанных на рис. 6.2,:
и 6.2, б. АРССспектр пригоден для юделирования как остры;
пиков, так и лубоких провалов. С ]есколько иной трактовке'
спектральных характеристик этих тараметрических моделе;
можно познаюмиться в статье Гутоеки и др. [2] и книге Кег
[3].

6.4.	Соотношеия между параметрам»

АР*, СС- и АР<С-моделей

Если задана JP-, СС- и АРСС-модел, с конечным числом пара
метров, то ее ложно выразить через ьве другие модели. АРСС
и СС-процесс1 можно записать с погощью одной АР-модели i
общем случае бесконечного порядка Этот факт очень важеь
так как позваяет выбирать любую тз трех моделей и все ж,-
получать приадлемую аппроксимации при достаточно болыио!
порядке этой модели. Возможны оп]еделенные алгоритмичес-
кие выгоды, ели по имеющимся даным сначала оценить па
раметры кака-либо одной модели, затем по ним вычислит
значения параметров какой-либо дртой модели. Много эффек
тивных алгорггмов оценивания параметров разработано, в ча
стности, для JP-модели. Как будет оказано в гл. 10, оценива
ние параметра АР-модели большое порядка часто использу
ется в качеств первого этапа алгорима оценивания парамет
ров СС- и АРХ-моделей.

Пусть

C(z) = l 4 2	(6.15

А-= 1

— полином ааменателя АР(оо)-мдели. Параметры c[k
АР(оо)-модел, которая эквивалентн АРСС (р, д)-модели, пс
лучаются из ©отношения

или формировнием обратного z-пребразования от C(z)B(z) =
= А(г). Отсюда получаем

(	1,	/г = 0,

— S b[k]c[n~*]+г[л],

с[п] = 4	А=1	(0.17

— 2&ИФ—k],	р
с начальными условиям с[—1]=...=с[—р] =0. И наоборот,
-если заданы параметр! АР (оо)-модели, которая, как известно,
эквивалентна АРСС (р,у)-модели, то значения СС-параметров
можно восстановить, ршая уравнение

с[р — <?+1]'| (Ь[1]
с [р —74-2]	й[2]

( с[р]	с[>-1]

С^ + И 'И

с[р + ?— 1] c[p\-q— 2] ... с[р]
Ир-Н]
с [р + 2]

)

(6.18)

.c[p + 9]J

•относительно параметров Ь[£] и используя при этом соотноше-
ние (6.17) при р+1 «з<р + р. Матрица параметров с[п] в
уравнении (6.18) являтся тёплицевой, поэтому для его реше-
ния можно использоваь подпрограмму TOEPLITZ, помещен-
ную в приложении З.Г.После определения СС-параметров зна-
•чения АР-параметров ^РСС-модели можно восстановить с по-
мощью свертки

а[и]=с[п] + 5 ЬЭДф-k],	(6.19)

где 1<п<р. Алгоритм! быстрой свертки основаны на исполь-
зовании БПФ. Отметик также, что уравнение (6.19) выводится
из уравнения (6.17).

Заметим, что в урзнениях (6.18) и (6.19) используются
только авторегрессноные параметры с[ 1J,...,с[р+7] АР(оо)-
модели. Если параметр,: c[£J при k>p + q полагаются равны-
ми нулю, то результи|ующая усеченная АР (р + q)-модель мо-
жет аппроксимировать только ту АРСС (р, q) -модель, из кото-
рой она получена. Онааппроксимирует эту АРСС-модель в том
смысле, что полином, (братный полиному АРСС-модели,

(6.20)

(И полином усеченной А5-модели

Cz)= 1 + 2 c[fe]z-‘	(6.21)
Доли частоты отсчетов

Рис. 6.3. Конечные AP-аппроксимашш для АРСС-модели: а — APCC(4,4J-
спектр; б—спектр АР(25)-аппроксима1ч,1|- в — спектр АР(50)-аппроксимации.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	0,0 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5	0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,&

Доли частоты отсчетов Доли частоты отсчетов	Доли частоты отсчетов

б	в

Рис. 6.4. Конечные СС-аппроксимацпи для АРСС-модели: а—АРСС(4,4)«
спектр; б—спектр СС(25)-аппроксимации; в — спектр СС(50)-аппроксимации.

согласованны, т. е. g[fc]=c[£], только для	—д. Эта ап-

проксимация рациональной функции полиномов конечного по-
рядка полиномом более высокого порядка представляет собой
известную задачу аппроксимации Паде [4, 5]п. Эта процедура
будет использована в гл. 10 для вывода аппроксимаций АРСС-
моделей на основе АР-моделей высокого порядка. Типичные
АР-аппроксимации высокого порядка для АРСС-модели низко-
го порядка показаны на рис. 6.3.

Аналогичным образом пусть теперь

D(z) = l + ^d[k]z~^	(6.22).

'* По аппроксимации Паде читателю можно рекомендовать книгу [18 ].—
Прим. ред.
— лолином числителя СС(оо)-модели. ПараметрыЬ[£] этой
модели, которая эквивалентна АРСС (р, q)-модели, можно оп-
ределить, записывая уравнение



(6.23)

или формированием обратного z-преобразования отЭ(г)А(г) =
= B(z). Отсюда получаем

	1,	п = 0;	
d[n] =	— 2 а И d [п — k] + b [п],		(6.24)
	— 2 a[k]d [п — Д, *=1	n>q-	

Здесь также можно записать уравнения, аналогич]ые уравне-
ниям (6.18) и (6.19); см. разд. «Задачи». ТипичныеСС-аппрок-
симации для АРСС-модели показаны на рис. 6.4.

6.5.	Соотношение АР-, СС* и АРСС-параметров
с автокорреляционной последовательностью

Этот раздел посвящен определению параметров модели в том
случае, когда известна автокорреляционная последоательность.
Если обе части уравнения (6.1) помножить на х* [п-т] и опре-
делить математическое ожидание, то получим

£ {х[л]	m]} =

л	а

= — 2 а [&1 <£ {*[«—k] х* [/г—/п]}+ 2 Ь [Л] {и [гс—'] х* [я—
£=1	k-Q

(6.25)
или

= — 2 a[k]rxx[m—	2 b[k]rux[m-k].	(6.26)

ksi 1	k= О

Взаимную корреляцию между входом и выхдом можно
записать через параметры /Д£], входящие в выражение (6.6),
•используя для этой цели уравнение (6.2), что дает

И = 8? {« [" + '] *• [п]) =

= S [я + <]	[n] + S Л* Н и’ [м—Д |=

+	(6.27)

fe=l
Поскольку полагается, что —белый шум, то
Г 0,	1	> 0;

г«Н= р«.	<	= 0;

[-<1 ‘'<0.

(6.28)

Отсюда получаем окончательное выражение, связывающее па-
раметры АРСС-модели и автокорреляционную последователь-
ность процесса л[£]:

Гхх И =	r'xxl— m],	m < 0;  — 2 «14 rxx [m~ 4 + P„ 2 6 14 [fe — m], OsCmCg;  1	k = m
	— 2 “[44.	m>q,  (6.29)

где напомним читателю, что h[0] = 1 по определению [см. урав-
нение (6.2)].

Авторегрессионные параметры АРСС-модели и автокорреля-
ционная последовательность связаны системой линейных урав-
нений. Выражение (6.29) можно, например, записать для р
значений индекса временного сдвига q+\^.m<qA-p и затем
представить в матричной форме

'«[? +1]

[?-£- 1]
''„[<? — /’  2]

'«[<7]

И« [<7 + р—4

г*Лч + Р — 2] ••• /-„Ы
(''«[<7^1]

гхх [Ч + 2]

о [2]

Uw.

(6.30)

П„[<7 + р])

Таким образом, если задана автокорреляционная последова-
тельность для q—+ то АР-параметры можно най-
ти отдельно от СС-параметров как решение системы линейных
уравнений (6.30). Уравнения (6.30) называются нормальными
уравнениями Юла — Уолкера для АРСС-процесса; иногда их
также называют модифицированными уравнениями Юла —
Уолкера. Автокорреляционная матрица в системе (6.30) явля-
ется тёплицевой, поэтому для решения этой системы можно

? 5—1 Зоб
применить подпрограмму TOEPLITZ, помещенную в приложе-
нии З.Г. Количество требуемых для решения вычислительных
операций пропорционально величине р-. Следует заметить, что-
значения СС-параметров АРСС-модели не являются, к сожа-
лению, решением системы линейных уравнений. СС-параметры
входят в выражение (6.29) в виде сверток с коэффициентами
импульсной характеристики а это приводит к нелинейной
связи с автокорреляционной последовательностью.

Полагая в (6.29) д—0, получаем уравнение, связывающее
автокорреляционную последовательность с параметрами авто-
регрессионной модели:

—	2	т>0;

k— I

—	ЗуМ'хЛ—Ч + р«. ™=0;

КЛ— т],	т<0.

(6.3

Это выражение можно записать для p-rl значений индекса
временного сдвига 0<т<р и затем представить в матричной
форме



Гхх [0]

р+1]

fpw
о

(6.32)

'«И '„[р—1]	) UWl

L °

Таким образом, если задана автокорреляциопная последова-
тельность для 0<т<р, то АР-параметры можно найти в ре-
зультате решения уравнений (6.32), которые называются нор-
мальными уравнениями Юла — Уолкера для АР-процесса. Ав-
токорреляционная матрица в (6.32) является и тёплицевой, и
эрмитовой, поскольку rvx[—£] =Лс**[&]. Поэтому для получения
решения рш, а[1],..., а[р] при заданнойАКПс0<т<р можно
использовать подпрограмму LEVINSON, помещенную в прило-
жении З.В. Количество требуемых для этого вычислительных
операций пропорционально величине р2.

Используя автокорреляционную последовательность, соот-
ветствующую уравнениям (6.31), получаем следующее выраже-
ние для СПМ авторегрессионного процесса:

=	= r„[fc]exp(-(WfeT). (6.33)
Заметим, что значения автокорреляции, соответствующие зна-
чениям индекса временного сдвига от 0 до р, однозначно описы-
вают авторегрессионный процесс порядка р, поскольку значе-
ния автокорреляции при |£|>р получаются рекурсивно

И = — 21а И	(6.34)

что следует из выражения (6.29) при q = 0. Полагая в
(6.29) р —О и замечая, что /г[Л]=Ь[&] при 1<£<р, получаем
выражение, связывающее автокорреляционную последователь-
ность с параметрами модели скользящего среднего

О,

Г««М=’

2 b[k}b*[k — m],
k = m

tn > q;

0^/n^Q;
m < 0.

(6.35)

'«[—m],

Отсюда следует, что АКП и СС-параметры связаны нелиней-
ным соотношением типа свертки. Используя далее автокорреля-
ционную последовательность, соответствующую уравнениям
(6.35), получаем выражение для СПМ процесса скользящего
среднего

Рсс(П = Тр^\В(П\^Т 2 г„Иехр(-/2лМ7’).	(6.36)

k =-Q

Заметим, что суммирование в (6.36) осуществляется в конеч-
ных пределах, что просто отражает тот факт, что процесс
скользящего среднего порядка q некоррелирован при времен-
ных сдвигах |£| ~>q. Выражение (6.36) идентично по форме
выражению для оценки СПМ, получаемой с помощью класси-
ческого коррелограммного метода:

/3корр(/) = 7’ 2 г„Иехр(-/2л/А7’),	(6.37)

k=-q

если используются автокорреляционные оценки Пх[^], для ко-
торых максимальное значение k равно q. Различие между эти-
ми двумя методами спектрального оценивания обусловлено тем,
как в них используются имеющиеся данные. В коррелограмм-
ном методе данные используются непосредственно для получе-
ния оценки автокорреляционной последовательности. В методе
скользящего среднего данные используются для получения оце-
нок СС-параметров (см. гл. 10, где описана процедура СС-оце-
нивания), а затем с помощью выражения (6.12) вычисляется
СПМ. Тем не менее оба метода дают спектры с одинаковыми
свойствами.
6.6.	Спектральная факторизация

Рассмотрим z-преобразование АР (р)-процесса, которое, соглас-
но (6.7), определяется выражением

РАРЙ= А(г)д”(1/г.) •	<6'38)

где А(г)А*(1/г*) - полипом по z порядка 2р. Полюсы в (6.38)
будут комплексно-сопряженными взаимно обратными парами.
Например, если zk — корень полинома А(г), то (l/z*)* =
= 1/2** будет корнем полинома A*(l/z*); см. разд. «Задачи».
Если г*, лежит внутри единичной окружности, то l/zft* будет
расположен вне ее. Если г/г лежит на единичной окружности,
то и 1/гь* лежит также на единичной окружности. Кроме того,
корни полинома А (г) также будут комплексно-сопряженными
парами, если все коэффициенты этого полинома действительны.

Рассмотрим знаменатель в (6.38) — функцию A(z)A*(l/z*).
Типичная диаграмма расположения полюсов произведения по-
линомов A(z)A*('l/z*) показана на рис. 6.5,а. Существует 2°
возможных комбинаций в случае р полюсов для полинома
A(z), которые будут давать идентичный полипом A(z)A*(l/z*).
На рис. 6.5,6 и 6.5, в показаны две возможные спектральные
факторизации полюсов полинома A(z)A*(l/z*), представлен-
ных на рис. 6.5, а. Однозначная факторизация требует, чтобы
модель временного ряда была и устойчивой, и каузальной, что
предполагалось при записи уравнения (6.1). Согласно теории
линейных систем (см. гл. 2), полином А (г) должен быть в этом
случае минимально-фазовым, т. е. все его корни должны быть
расположены внутри единичной окружности в г-плоскости, как
показано на рис. 6.5, в. Поэтому все корни полинома A*(l/z*}
будут расположены вне ее. Полином A*(l/z*) ассоциируется с
устойчивым антикаузальным авторегрессионным процессом

х[и] = — 2	[п],	(6.39)

определенным при п<0, а не с каузальным АР-процессом, оп-
ределенным при п>0.

Заметим, что не следует путать устойчивость фильтра, свя-
занную со спектральной факторизацией, и статистическую ус-
тойчивость. Устойчивость фильтра касается выбора АР- или
СС-параметров, которые формируют автокорреляционные ре-
курсивные выражения, такие как (6.29) и (6.31). Статистичес-
кая устойчивость касается методов, которые позволяют умень-
шить дисперсию спектральных оценок, получаемых по задан-
ным конечным записям данных. В гл. 8 будут описаны методы
оценивания на основе линейного предсказания, которые облада-
ют хорошей статистической устойчивостью, но необязательно
Рис, 6.5. Иллюстрация вопросов спектральнойфаморизацпи и устойчивости.

1арантируют получение минимально-фзовых оценок полинома
А(г). С точки зрения оценки СПМ въсс не обязательно, что-
бы полином A(z) являлся минимално-фазовым полиномом,
поскольку оценка СПМ может быть голучена по любому поли-
ному A(z) с произвольным расположнием корней, как пока-
зано на рис. 6.5. Вопрос устойчивости возникает в том случае,
когда для реализации фильтра требуется оценки коэффициен-
тов полинома A(z). В этом случае миммально-фазовый фильтр
может быть создан посредством инвесного переноса всех по-
люсов полинома A(z), расиоложснныхвне единичной окружнос-
ти, внутрь ее. Иными словами, нужнопросто сформировать по-
лином A(z)A*(l/z*) и выполнить мшимально-фазовую факто-
ризацию.

Литература

[1]	Box G. Е. Р., Jenkins G. М. Time Series Anlysis, Forecasting and Control.
Holden-Day, Inc., San Francisco, 1970. [Имееся русский перевод; Бокс Дж.,
Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Пргноз и управление. — М.: Мир,
1974, вып. 1, 2.]

[2]	Gutowski Р. Е., Robinson Е. A., Treitel S. Sectral Estimation: Fact or Fic-
tion? IEEE Trans. Geosei., Electron., vol. G-16, pp. 80—84, April 1978.

[3]	S. M Modern Spectral Analysis. Prentie-Hall, Inc., Englewood Cliffs,

[4]	Pade H. E. Sur la representation approachee 1’une function par des fractions
rationnelles. Ann. Sci. Ec. Norm Sup. (Pris), no. 3, vol. 9, pp. 1—98
(suppl.), 1892.

[5]	Weiss L., McDonough R. N. Prony’s Method,j-Transforms, and Pade Appro-
ximation. SIAM Rev., vol. 5, pp. 145—149, Apil 1963.
Задачи

1.	Получить для АРСС (1,1)-модели явное выражение для г*ж[/п], записанное
через а[1] и 6[1].

2.	Используя обратное г-преобразование (6./), доказать справедливость соот-
ношения (6.29).

3.	Используя соотношение (6 24), записать матричные выражения, подобные
выражениям (6.18) и (6.19) и связывающие параметры СС(оо)-модели с па-
раметрами АРСС(р, ?)-модели.

4.	Пусть A(2) = 14-0,7z~14-0,2z_2 есть z-преобразование АР (2)-процесса. За-
писать для этой модели СС(2)-, СС(4)- и СС(10)-аппроксимации. Вычертить
графики полученных результатов. Насколько точна СС-аппроксимацня?

5.	Доказать, что автокорреляционная матрица уравнений Юла — Уолкера
(6.32) для АР-процесса является положительно-полуопределенной матри-
цей.

6.	Предположим, что устойчивый АРСС(р,д)-фильтр аппроксимируется
АР (р+д)-фильтром с помощью метода аппроксимации Паде. Показать, что
эта АР-аппроксимация не обязательно будет устойчивой.

7.	Показать, что если Zi — корень полинома A(z), определенного выражением
(6.4), то (1/Zf)* — корень полинома A‘(l/z*).

Приложение 6.А.

Программа для вычисления спектральной плотности
мощности АРСС-, АР- и СС-процессов

Подпрограмма APMAPSD предназначена для вычисления на-
бора значений' спектральной плотности мощности АРСС-, АР-
или СС-процесса по заданному массиву значений параметров
(массиву А, массиву В или по обоим этим массивам одновре-
менно) и дисперсии белого шума (RHO). Для повышения эф-
фективности вычислений полиномов A(f) и B(f) в требуемом
диапазоне частот используется БПФ. Для обработки действи-
тельных данных необходимо просто положить мнимую часть
массивов Л и В равной нулю.

При А(1) = (0,8; 0,9), В(1) = (0,1; —0,3), 1Р=1, ZQ=I,
RHO=2$ и 7 = 1,0 с помощью этой программы получаются
значения СПМ, частичная распечатка которых приведена ниже:

PSD	( 1)	= 0.211765E + 01
PSD	(1000)	= 0.573554E + 01
PSD	(2000)	= 0.687682E + 00
PSD	(3000)	= 0.238198E + 00
PSD	(4000)	= 0,143373E + 0I
PSD	(4096)	= 0.210874E + 01

Подпрограмма ARMAPSD(IP,IQ,RHO,T,A,B,PSD,ISTAT)

С

С Предназначена для вычисления набора NPSD значений спектральной
С плотности мощности в диапазоне частот от — 1/2Т до I/2T, где Т — ин-
С тервал отсчетов в секундах, по комплексным значениям АРСС-парамет-
С ров АРСС-модели. Для повышения эффективности вычислений числителя
С л знаменателя, определяющих спектральную плотность мощи^ти АРСС-
С процесса, используется БПФ. В случае действительных значений
С АРСС-параметров значения спектральной плотности мощности будут сим-
С метрвчны относительно значения с индексом NPSD/24-1.

С

С СПМ для АР-модели можно получить как частный случай данной под-
С программы, для чего следует положить параметр IQ равным нулю. Анало-
С гичным образом СПМ для СС-модели можно получить как частный слу-
С чай данной подпрограммы, для чего следует положить параметр IP рав-
С ным нулю.

С

С Входные параметры:

С	IP	—порядок АР-модели (целое число).

С	IQ	—порядок СС-модели (целое число).

С	RHO	—дисперсия белого шума, используемого	в качестве входного

С	воздействия модели (действительная величина).

С	Т	—интервал отсчетов в секундах (действительная величина).

С	А -массив комплексных значений авторегрессионных парамет-

С	ров от А( 1) до А(1Р).

С В	массив комплексных значений параметров скользящего сред-

С	него от В(1) до B(IQ).

С

С	Выходные параметры:

С PSD —массив действительных значений спектральной плотности
С	мощности.

С ISTAT —целочисленный указатель состояния в момент выхода иэ

С	программы:

С	0 для нормального	выхода;

С	1, если 1Р<0	или IQ<0.

С

С Примечание:

С

С Размеры .GE. IP внешнего массива А, размеры .GE. IQ внешнего
С массива В и размеры .GE. NPSD массива PSD должны указываться
С в вызывающей программе. Необходимы подпрограммы PREFFT
С и FFT (см. приложение 2.А).

PARAMETER NPSD = 4096 ! Должно быть степенью числа 2

COMPLEX А(1),В (1 ),W(NPSD),DEN (NPSD),NUM(NPSD)

REAL PSD(1),RHO,T

ISTAT=0

С Определить, если существуют, ошибки при задании значений порядка

С моделей

IF (IP .GE. О .AND. IQ .GE. 0) GO TO 5

ISTAT=1

RETURN

С Составить таблицу экспонент для БПФ (без дополнения нулями)

5 CALL PREFFT (NPSD,0,NEXP,W)

IF (IP .EQ. 0) GO TO 30

DEN (l)==(i.,o.)

DO 10 K=1,IP

10	DEN(K+1)=A(K)

DO 20 K=IP4-2,NPSD

20	DEN(K) = (0.0.)

on	<NPSDA1- NEXP,W,Den)

30 IF (IQ .EQ. 0) GO TO 60

NUM (!) = (!.,0)
232

40

50

60

С

70

С
80
90

С
100
ио

DO 40 K=1,IQ

NUM (К+1)=В(К)

DO 50 K=lQ-h2,NPSD

NUM(K)= (0. ,0.)

CALL FFT (NPSD.O, 1„ NEXP,\V,NUM)

IF (IP .EQ. 0) GO TO 80

IF (IQ .EQ. 0) GO TO 3 00

Уравнение (6.8)

DO 70 K=1,NPSD

PSD (K) =RHO	(REAL (NUM (K)) • -2

+AIMAG (NUM(K))«-2)/

.	(REAL (DEN (K)). -2+A1MAG (DEN (K)) • •

2)

RETURN

Уравнение (6.12)

DO 90 K=1,NPSD

PSD (K)==RHO*T* (REAL (NUM(K))**2
+AIMAG(NUM(K))**2

RETURN

Уравнение (6.14)

DO 110 1OI.NPSD

PSD(K)=RHO*T/(REAL(DEN(K))**2-FAIMAG(DEN(K))
RETURN

END

-2)
Глаа 7

АВТОРЕГРЕССИОННЫЙ ПРОЦЕСС И СВОЙСТВА СПЕКТРА

7.1. Введение

Из всех моделей временных ря.ов, описашых в гл. 6, наи-
большее внимание в технически литератре уделяется авто-
регрессионным (АР) спектралыым оценк.м. Объясняется это
двумя причинами. Во-первых, тем, что авторегрессионные
спектры имеют, как правило, осрые пики, i это часто связыва-
си'я с высоким спектральным рзрешениск Во-вторых, тем,.
'<> оценки АР-параметров можо получитькак решения линей-
уравпений. Так, например выражение (6.32) может слу-
цией того, что '-параметр,! и автокорреляци-
ательность (Ai связаны системой линейных
емя ощ СС- и АЮС-параметров тре-
ных уравсиии, таых, например, как
35).

.,и„ -.у.. . материала, ысвященноо авторегрессионно-
ральномх анализу, заствил разбит, изложение АР-ме-
три главы. Свойства и собенности АР-процесса и АР-
обсуждакяся в данной лаве в продоложении извест-
• П, что, как правило, в типично для практики. Эти
порождают другие назания АР оектрального анали-
агие как метод максимальной энтроши (ММЭ) и метод
иного предсказания (ЛП). 1екоторые !з этих свойств ис-
.уются при разработке алгоитмов оцемвания параметров
 егрессионных процессов поздним лиш, отсчетам данных;
лгоритмы описаны в двух седующих павах. В гл. 8 опи-
алгоритмы оценивания АРпараметро! и машинные про-
1 ованные на блочной обработкеданных, а в гл. 9
отся алгоритмы, осюванные и последовательной
'ч «бработке отсчетов д.нных.

-ратная сводка результатов

 а состоит из двух осноных раздетов, посвященных
( авторегрессионных прцессов и войствам авторе-
ных спектров, которые ргсматривантся в предположе-
автокорреляционная пследователность (АКП) из-
'сновные свойства АР-прцесса укзаны в табл. 7.1,
Таблица 7.1. Свойства АР-проиесса

Предмет рассмотрения	Свойство	Подраздел
Фильтр линейного предска- зания	Отбеленный АР-процесс	7.3 1
Алгоритм Левинсона	Быстрый вычислительный алгоритм	7.3.2
Коэффициенты отражения	АР-процесс как решетча- тый фильтр	7.3 3

там же указаны подразделы, где обсуждается каждое назван-
ное свойство. Главный результат, касающийся возможности
представления АР-проиесса в виде одной из трех однозначно
определяемых последовательностей, изложен в подразд. 7.3.4.

В табл. 7.2 приведены основные свойства АР-спектра и
указаны подразделы, в которых они обсуждаются. Отметим,

Таблица 7.2. Свойство АР СПМ

Свойство	Подраздел
Интерпретация кг. осно- ве максимальной энт- ропии  Основа для высокого разрешения  Оценивание мощности синусоидальных ком- понент	7.4.1  742  7.4.3

что метод максимальной энтропии целесообразно использовать
в том случае, когда исследуемый процесс является гауссовс-
ким. Случаи когда анализируемый процесс состоит из синусоид
и аддитивногс шума, рассматривается в подразд. 7.4.3.

7.3.	Свойства авторегрессионного процесса

7.3.1.	Связь с анализом, основанным

на линейном предсказании

В этом подразделе будет показано, что уравнения, соответству-
ющие линейному предсказанию, по своей структуре идентичны
уравнениям Юла — Уолкера для авторегрессионного процесса,
а потому существует тесная связь между фильтром линейного
предсказания и АР-процессом. Эта взаимосвязь использована
е нескольких алгоритмах, представленных в гл. 8 и 9.
Рассмотрим оценку линейного предсказаниязперед

’'	xZ[n] = — 2а/1Ч*[л—6]	(7-1)

отсчета x[nj, где —коэффициент линейное предсказания
вперед, соответствующий временному индексу / Здесь крышка
<-» обозначает оценку, а надстрочный индекс1 (от forward —
вперед) используется для обозначения оценки, зс\ществляемой
вперед. Предсказание вперед понимается здес в том смысле,,
что оценка, соответствующая временному индеку п, вычисляет-,
ся по т предыдущим временным отсчетам. Комплексная ошиб--
ка линейного предсказания вперед

е/ [п] = х [п] — xf [nj	(7.2)

имеет действительную дисперсию

р' = <£{|^<}.	(7.3)

Подставляя (7.1) и (7.2) в (7.3), получаем следующее выраже-
ние для дисперсии:

Рг = гхх [0] + *2 а< [*] гхх 2 (<У [/])’ 'хх ИЬ

+ 2 2a/L4(^/])-r„[/-q =

= гхх 10] + г"а'+ (аТ)" гга + (a')" R„.,a<	(7.4)

где

(	••• Пх[пг—1])

R,n-i =

lrxx[m — 1] .. г^[0] |

При записи этих выражений использовалось даущенпе о том,
что х[п}— процесс, стационарный в широком сиысле, поэтому
Тхх[—Л] =rzx*[&] Выражение (7.4) по своей ф>рме идентично
квадратному матричному уравнению (3.68). Поэтому вектор
коэффициентов линейного предсказания вперед if, который ми-
нимизирует дисперсию pf, находится как решено нормальных
уравнений

^ДО] г" \/1\	/р/\

R„-J\ay UJ’ ( 'б)

которые следуют непосредственно из (3.69). Структура нор-
Рис. 7.1. Трансверсальная реализация фильтра линейного предсказания ошиб-
ки: если х[п] является АР (т)-процессом, то ef[n] и е6[п] —процессы типа
белого шума. Здесь z~l означает задержку на один отсчет.

мальных уравнений становится более понятной после их записи
в развернутом виде

/'•„И	\ / 1 \ /р'\

...	/о )

I :	:	: I :	=1 : • (7-6)

И	гхх [0]	\6/

Это матричное уравнение по своей структуре идентично урав-
нениям Юла — Уолкера (6.32) для авторегрессионного процес-
са. Если выражение (7.2) переписать в виде

х[л] = — 2 х[л —/г] -г И,	(7.7)

то нетрудно видегь его подобие уравнению (6.13) для авторе-
грессионного процесса. Следует, однако, отметить два различия
между процессом линейного предсказания вперед и АР-процес-
сом. Последовательность в уравнении (6.13) соответствует
белол/у шумовому процессу, который используется в качестве
входного воздействия для авторегрессионного фильтра. После-
довательность х[п] представляет собой выход авторегрессион-
ного фильтра. Последовательность значений ошибки в
уравнении (7.7) представляет собой выход фильтра линейного
предсказания ошибки вперед, структурная схема которого по-
казана на рис 7.1. Последовательность х[п]—это входное
воздействие для фильтра предсказания ошибки. Последователь-
ность значений ошибки линейного ]редсказания не буде кор-
релирована с оценкой линейного гоедсказания лДп], ошако
она, вообще говоря, не будет предсавлять собой белый думо-
вой процесс до тех пор, пока послеювательностъ х[н] нсгене-
рируется как некоторый АР(р) -провес с tn — p. В отмечином
же случае последовательность значний ошибки будет >елым
шумовым процессом, коэффициент!: линейного предск-зания
вперед будут идентичны АР-парамерам (af[£] =а[&]), а фильтр
предсказания ошибки можно будет рассматривать как обели-
вающий фильтр; см. Папулис [18].

Можно записать выражение для оценки ошибки линйного
предсказания назад

хь[н] = — 2 ab\kx\n-\-k},	(7.8)

k-1

где ab[k] —коэффициент линейногспредсказания назад соот-
ветствующий индексу времени k. ГЪдстрочный индекс 6 (от
backward — назад) используется дл обозначения элементов,
связанных с оценкой линейного прдсказания назад. Прдска-
зание назад понимается здесь в то: смысле, что оценка соот-
ветствующая индексу времени п, вшисляется по m пос.едую-
щим временным отсчетам. Ошибка шнейного предсказантя на-
зад определяется выражением

еь [и] =х[л — т] — [n — т],	(7.9)

где для удобства намеренно примеен индекс л, а не п—т,
с тем чтобы величины и еь[п были функциями одого и
того же множества отсчетов дапны: (а именно л[п],х[л-1],...
[и—rn]), которые использованы j фильтре линейного пред-
сказания, структурная схема которго показана на рк. 7.1.
Комплексное значение ошибки линйного предсказания назад
имеет действительную дисперсию

=	(7.10)

Подставляя (7.8) и (7.9) в (7.10), получаем следующеевыра-
женис для дисперсии:

т

[0] + 2 а” И г, „ [k] - 2 ПГ [- л ь

R-1	I -1

т 'ч

+ ^аЬ^ К" =

=	• Г'»* • (аС'г;, + (а!;'! RJ^a4,	(7.11)
и Rm—i были определены выше, а

рь[1]]

В соответствии с уравнением (3.69), вектор коэффициентов
линейного предсказания назад аь, который минимизирует дис-
персию рй, находится как решение нормальных уравнений, оп-
ределяемых выражением

ЛхЛО] г£\/1\
к	V>J‘

(7.12)

Записывая уравнение (7.12) в развернутом виде, получаем
уравнение

<уо]	...	r„[m]	\/ 1 \ /р’

<М1] МО] ... г>-1]	«*[1] Ц О

г’хЛт] r’x[m— 1] ...	г„[0]	/\афп]/	\0

которое после перестановки членов принимает следующий вид:

ММ		Г хх [«]	{аь [т]			
МП	а»] 	 г‘хх[т — 1]	МП		0	.	(7.13)
'хх [и]	и •	• гхх [0]	.	1		р‘.	

Теперь нетрудно видеть, что уравнения (7.6) и (7.13) содержат
идентичные эрмитовы тёплицевы автокорреляционные матрицы.
Выше в подразд. 3.8.1 [см., в частности, уравнение (3.156)]
было показано, что решения уравнений (7.6) и (7.13) должны
обладать свойствами

Р1

(7.14)

И

аьИ = (а/Щ)*,	(7.15)

где \ Отсюда следует, что дисперсия линейного предска-
зания вперед и назад идентичны. Коэффициенты линейного
предсказания назад будут просто комплексно-сопряженными
величинами коэффициентам линейного предсказания вперед,
когда оба фильтра предсказания имеют одну и ту же длину
tn. Если фильтр линейного предсказания ошибки вперед явля-
ется отбеливающим фильтром АР-процесса,то фильтр линейно-
го предсказания ошибки назад будет отбеливающим фильтром
для антикаузальной реализации АР-процесс..

7.3.2.	Алгоритм Левинсона

Решение эрмитовых тёплицевых уравнений (7.6) и (7.13) мож-
но получить с помощью алгоритма Левинона, описанного в
подразд. 3.8.1. Если в соответствии с параметрами, приведен-
ными в подразд. 3.8.1, положить = rxx[:J, am[k] =а^[6] и
pm = pfw, то решение для фильтра линейноп предсказания с М
коэффициентами будет описываться следующим рекурсивным
соотношением:

г ,	'«I'].	m=1;

| (2 «А-iW r„[m — Ч + Н, т>1,	<7'16)

i	—A„/Pm-i.	k=n;

Wn-dq г alm['n]	[m —*])•,	1,	(7.17)

I	m 1,

Pt.= Pm-l(l—К.И12).	(7-18)

где lcm<M. Единственное требуемое приэтом начальное ус-
ловие имеет вид

р' = г„[О].	(7.19)

Значения коэффициентов линейного предсизания назад полу-
чаются из значений коэффициентов линеного предсказания
вперед посредством простой операции комплексного сопряже-
ния. Б приведенных выражениях для элемитов были добавле-
ны подстрочные индексы т или т—1, с тет чтобы указать по-
рядок фильтра линейного предсказания. Зметим, с помощью
алгоритма Левинсона автоматически получются все коэффи-
циенты линейного предсказания с минимал>ной дисперсией по-
рядка от 1 до М. Следовательно, возможю без добавочных
вычислительных затрат получать все АР-мдели более низкого
порядка.

Если эрмитова тёплицева матрица в урвнении (7.6) явля-
ето положительно определенной матрицей то полином

А4, (г) = 1 + 2	(7.20)

k= 1

в котором в качестве коэффициентов испльзуются коэффи-
циенты линейного предсказания, получаеше с помощью алго-
она, будет иметь корни, расположенные внутри
^уга; см. Маркел и Грей [14J. Следовательно, это
. давать минимально-фазовый фильтр линейного предска-
кя ошибки. Доказательство этого свойства приводится в це-
лом ряде работ; см., например, Кей [8], Пакула и Кей [17],
Лэнг и Макклеллан [10], Берг [2]. Типичная схема доказатель-
ства строится на использовании того факта, что величину дис-
персии рь можно уменьшить посредством зеркального переноса
корней, лежащих вне единичного круга, внутрь этого круга.
Минимально-фазовое свойство гарантирует, что решение урав-
нений Юла — Уолкера будет давать устойчивый авторегресси-
онный фильтр 1/A(z), а это означает, что рекурсивное уравне-
ние (6.31) для АКП будет давать конечные значения автокор-
реляции, не превосходящие по своей величине значения ГхДО],
как того требует допущение о стационарности процесса.

Если процесс %[«] действительно является АР (р)-процессом,
то решение на основе линейного предсказания порядка т—р с
помощью алгоритма-Левинсона дает

йрИ = йр|	(7 21)

= р'..

где ap[fc] — АР-параметры, а рр — дисперсия возбуждающего
белого шума. Величина этой дисперсии будет постоянна, если
порядок линейного предсказания равен или превышает пра-
вильный порядок, поэтому 6?m[m]=0 при т>р. Таким образом,
алгоритм Левинсона можно использовать для генерации фильт-
ров линейного предсказания ошибки последовательно возраста-
ющего порядка до тех пор, пока дисперсия не достигнет некото-
рой постоянной величины, т. е. перестанет изменяться. Этот
факт может быть использован как своего рода индикатор пра-
вильного, или наиболее правдоподобного, порядка используе-
мой авторегрессионной модели.

В следующем подразделе будет показано, что |am[rn]f<L
А это означает, что дисперсия ошибки предсказания р-т, опре-
деляемая уравнением (7.18), должна быть монотонно убываю-
щей функцией, достигающей минимума при т = р, если исследу-
емый процесс является АР (р)-процессом. Это — еще одно по-
лезное свойство, которое также может быть использовано для
выбора порядка модели; этот вопрос обсуждается в гл. 8.

7.3.3.	Коэффициенты отражения

Коэффициенты линейного предсказания [1],..., а/[р] часто
называют коэффициентами отражения, что обусловлено их ин-
терпретацией как физических параметров акустической трубы,
используемой в модели речи [11, 13], или слоистых моделей
Земли, используемых при обработке сейсмических данных
[19]. Для того чтобы отличать именно эти коэффициенты ли-
нейного предсказания от остальных коэффициентов, для их обо-
значения используется специальный символ кт=а?т[т],
^т-^р. В статистической литературе отрицательный коэффици-
ент отражения— кт называется частным коэффициентом кор-
реляции [1], поскольку он характеризует нормированное значе-
ние корреляции между х[п] и х[п—т] за вычетом той доли,
корреляции, которая вызвана влиянием х[п—1],	—т+1].

Коэффициенты отражения можно также рассматривать как
взятый со знаком минус нормированный коэффициент корреля-
ции между ошибками линейного предсказания вперед и назад
с единичным временным сдвигом:

к ___________ <f> {еот-1	-I]}____ /у 22V

" /йЧК-З'ЧЛ /4= {К-, 1«- 1Ц)'

Это выражение можно получить, используя определения (7.2),.
(7.4) и (7.9), что дает

8	1]1 =

(/ 1 \ /

= -jy*[п] + 2 аЦЦАЩя —	— m]+

+	m + fc?A=r„[m]+ 2 Ц-ifX)

й=1	J)	Л=1

(7.23)

а также учитывая, что на основании свойства стационарности
и эрмитова тёплицева свойства автокорреляционной матрицы

рА-1 = Рт-1 = О 4г-1 И I2} =

= <$ M-i HI2} = <£ {14-i [«-1]|2}-	(7.24)

Подставляя (7.23) и (7.24) в выражение, определяющее коэф-
фициент отражения, получаем

к„ = а„»--------=---------,	(7.25)

Рт-1 у ₽Ц, ]/₽„-!

откуда приходим к выражению (7.22). Используя (7.22), не-
трудно также показать, что |km|	1 для	(см. разд.

«Задачи»). Ограничение модуля km единицей является необхо-
димым и достаточным условием того, чтобы автокорреляционная
матрица была положительно-полуопределенной.
Рис. 7.2. Решетчатая реализация фиьтра линейного предсказать .шбки:
z-1 означает задежку на один отсчет.

Если в определении (7.2) i (7.9) для прямой и обратной
ошибок линейного предсказаня ввести amf[k] (или amb[k] =
= а„/’[/?]), задаваемое рекурсвным уравнением (7.17), то не-
трудно показать (см. разд. «Задачи»), что

1],	(7.26)

=	+	(7.27)

с начальными условиями xfi] = e</ [п] = еой [п]. Соотношения
(7.26) и (7.27) дают еще ану возможную интерпретацию
фильтра линейного предсказаня ошибки как решетчатой струк-
туры, изображенной на рис. 72. Параметрами на каждой сту-
«пейи этого решетчатого фильта являются коэффициенты отра-
жения. Заметим, что в структуре решетчатого фильтра одновре-
менно распространяются ошибм линейного предсказания вперед
и назад. К преимуществам ршетчатого фильтра перед транс-
версальными фильтрами (т. е фильтрами, реализуемыми на
линиях задержки с отводами),например таким, как показан на
рис. 7.1, следует отнести их мньшую чувствительность к шуму
•округления и к флюктуациям (случайным возмущениям) зна-
чений коэффициентов [4]. Регетчатый фильтр является также
-ортогонализирующим фильтрси, поскольку ошибки предсказа-
ния назад на выходе каждой ео ступени взаимно ортогональны
;[12] (см. разд. «Задачи»).

7.3.4.	Об эквивалентных предс-пвлениях
.авторегрессионных процессов

АР (р)-процесс имеет три экввалентных представления: в виде
•бесконечно протяженной автоорреляционвой последовательно-
сти, в виде конечной последвательностн авторегрессионных
параметров и в виде конечнойпоследовательности коэффициен-
Автокорреляционная последовательность

1ЬНСТЬ
оных

П оследователь»
ность
коэффициентов!
отражения

задержки с отводами

Рис. 7.3Три эквивалентных представления авторегрессионного процесса.

тов отракения; см. диаграмму на рис. 7.3. Хотя АКП для
АР (р)-прцесса бесконечна, полная АКП однозначно определя-
ется кнечной автокорреляционной последовательностью.
Гхх[0], . . , Лгх[р]- Остальную часть АКП можно получить с по-
мощью ркурсивного соотношения (6.34). Алгоритм Левинсона,
описаний в подразд. 7.3.2, позволяет определить и АР-пара-
метры, коэффициенты отражения по заданной АКП, соответст-
вующей ременным сдвигам от 0 до р. Используя только урав-
нение (717) с начальным условием ai[l] = ki, можно получить,
простое ]екурсивное соотношение, которое будет давать АР-па-
раметрытля всех порядков от т=\ до т = р всего лишь на ос-
нове заднной последовательности коэффициентов отражения
от kj до р, и в результате позволяет сформировать однозначное
соответсъие между коэффициентами отражения и авторегрес-
сионным] параметрами. Можно также обратить направление-
рекурсийалгоритма Левинсона и получить рекурсии убывающе-
го поряда от т к т—1, что позволит вычислять автокорреля-
ционнуюпоследовательность при временных сдвигах от р до О,,
использу либо набор АР-параметров {рр, оР[1], ..., ар[р]}, ли-
бо набор коэффициентов отражения {гхх[0], kb kP} (см.
разд. «Здачи»). Возможно также однозначное представление
коэффицентов отражения через АР-параметры.

Для пго чтобы отображения, указанные на рис. 7.3, был»
возможнши, необходимо, чтобы выполнялись следующие тр»
эквивалетных условия:

•	ГххО], ..., гХх[р] является положительно-определенной
последов тельностью;

•	АС) = 14-2?ft=1ap[ft] z~k является минимально-фазовым
полиномси;

•	р«>0 и |km|< 1 при Х^лп^р.
7.4.	Свойства спектральной плотности мощности
-авторегрессионного процесса

7.4.1.	Интерпретация метода максимальной энтропии

В литературе оценку спектральной плотности мощности авто-
регрессионного процесса часто называют спектральным анали-
зом на основе метода максимальной энтропии (ММЭ). Этот
подход был введен Бергом [2]. Если конечная автокорреляцион^
-ная последовательность гАХ[0],..., гхх[р] полагается известной,'
то может быть поставлен вопрос о том, как следует определять
оставшиеся неизвестные члены этой последовательности
Гхх[р+1], гхх[р + 2], ..., для того чтобы полная автокорреляци-
онная последовательность обязательно была бы положительно-
'Полуопределенной. Существует бесконечное число возможных
экстраполяций, которые будут давать автокорреляционную по-
следовательность, отвечающую этому требованию. Бер.- показал,
что эту экстраполяцию следует выполнять таким образом, чтобы
-максимизировать энтропию временного ряда, характеризуемого
этой экстраполированной АКП. Получаемый при этом времен-
'нбй ряд будет наиболее случайным (в энтропийном смысле) из
всех рядов, которым соответствует заданная АКП с временными
сдвигами от Одо р. Спектральная оценка, получаемая по этой
экстраполированной АКП, будет в этом случае оценкой для
процесса с максимальной энтропией’).

В разд. 4.5 было, в частности, показано, что для гауссовско-
го случайного процесса удельная энтропия пропорциональна
величине

S-i/2 7 ^ммэ (D^A	(7.28)

где Рммэ (f)—СПМ этого процесса. Значение Рммэ(/) опреде-
ляется посредством максимизации величины (7.28) при нало-
женных ограничениях, что она удовлетворяет соотношению Ви-
.нера — Хинчина для р+ 1 известных значений автокорреляции:

51рммэ (Г) ехр (]'2^fnT) df = гхх [/?],	(7.29)

тде О^п^р. Это решение, которое находится с помощью ме-

1> Читателю, интересующемуся обоснованием метода МЭ, можно рекомендо-
вать [6], [19’, 20*]. В [6] ММЭ сформулирован в наиболее краткой форме:
-«Если мы делаем выводы на основе неполной информации, то должны опи-
раться на такое распределение вероятности, которое имеет максимальную
энтропию, допускаемую нашей .априорной информацией». — Прим. ред.
тода множителей Лагранжа См., например, [5]), имеет г,ид
^ммэ (Л = -г-— “---------------------------------й- »	(7 -30)

1 + 2Gr ехр ;2nfkT) |

где р-х.. лР[1], ар[р] опредляются из решения уравнений
Юла — Уолкера. Таким обраом, авторегрессионная СПМ и
СПМ, получаемая методом максимальной энтропии, идентичны
в случае гауссовского случайого процесса и известной авто-
корреляционной последователности с равноотстоящими значе-
ниями. Однако неправильно говорить, что уравнение (7.30)
является основой спектральное анализа по методу максималь-
ной энтропии в тех случаях, огда исследуемый процесс не
является гауссовским или копа значения параметров оценива-
ются не по известной АКП, а ю отсчетам данных. Метод макси-
мальной энтропии применим i в случае неэквидистантной ав-
токорреляционной последоватльности. Однако авторегрессион-
ная СПМ и СПМ, получаемаяметодом максимальной энтропии,
не будут идентичны. Другие штерпретапии метода максималь-
ной энтропии можно найти в рвотах [б, 16, 21].

7.4.2.	Основа для высокого разрешения

В гл. 6 было показано [вырасения (6.14) и (6.33)], что авто-
регрессионная СПМ имеет эвивалентные представления (см.
также [3])

Р^(П = -}-------р--------------[7“ -	(7,31)

1+2	«р(- i^fkT)

= 7 2 гд,Иехр(-/2л/*7).	(7.32)

Если задана автокорреляцион ая последовательность для вре
менных сдвигов от 0 до р, тс из уравнений Юла — Уолкера
можно определить дисиерсиюбелого шума рда и авторегресси-
онные параметры а[1], . . . , ар], а затем использовать уравне-
ние (7.31) для вычисления AI СПМ. Можно также применить
экстраполяцию

гхх [/г] = — * а [/г] гхх [п — &]
* 1

(7.33)

при п>р, которая следует из равнения (6.34), для расширения
автокорреляционной последов дельности, что позволит далее
Истинная

Временно
сдвиг	а

Истинна»
СПМ

Временно
сдвиг

Нулевая
экстраполяцдя(

Коррелограммная>

СПМ

Рис. 7.4. Экстраполяция автокрреляционной последовательности (АКП): а —
исходная бесконечная АКП и стинный спектр процесса, состоящего из одной
действительной синусоиды в ёлом шуме; б — нулевая экстраполяция АКП,
подразумеваемая при испольэвании коррелограммного метода оценивания1
СПМ, и соответствующая спекиальная оценка; в — экстраполяция при исполь-
зовании авторегрессионного метода оценивания СПМ и соответствующая
спктральная оценка.

использовать уравнение 7.32) для вычисления АР СПМ (хотя
это не всегда эффективна на практике). В противоположность
этому рассмотрим корреюграммный метод оценивания спект-
ральной плотности мощюсти, описанный в гл. 5. Этот метод
позволяет по р + 1 значешям автокорреляции получать оценку

Ркорр (/) = Гхх И ехр	(7.34)

Сравнивая выражения ('.32) и (7.34), можно видеть, что
АР-оценка СПМ согласуйся с автокорреляционной последова-
тельностью на интервалесуммирования для коррелограммного
метода оценивания СПМ вплоть до значения, соответствующего
индексу временного сдвиа, равному р, но затем в ней для по-
лучения отсутствующих аачений автокорреляции вместо нуле-
вого продолжения, предшлагаемого коррелограммным методом,
используется ненулевая ястраполяция АКП, определяемая вы-
Рис. 7.5 Авторегрессионные оценки СПМ по 9 значениям АКП для трех сину-
соид равной мощности и аддитивного белого шума при отношении сигнал/шум,
равном 30 дБ (а), 20 дБ (б) и 10 дБ (в). Частоты синусоид, выраженные
в долях частоты отсчетов, равны 0,15, 0,19 и 0,23.

ражением (7.33). Этот факт отражен на рис. 7.4. Именно при-
менением этой ненулевой экстраполяции автокорреляционной
последовательности при вычислении АР СПМ с помощью вы-
ражения (7.31) и объясняется то высокое разрешение, которое
характерно для оценок АР СПМ. Здесь отсутствует обработка
автокорреляционной последовательности с помощью окна, кото-
рая присуща всем классическим спектральным оценкам. Поэто-
му оценкам АР СПМ не свойственны все те эффекты, которые
обусловлены наличием боковых лепестков — неизбежным атри-
бутом всех классических спектральных оценок.

Следует, однако, заметить, что степень улучшения разреше-
ния оценки АР СПМ в случае процессов, состоящих из смеси
синусоид и белого шума, зависит от величины отношения сиг-
нал/шум. Рассмотрим, например, оценки АР (8) СПМ для трех
синусоид равной мощности в белом шуме, показанные на
рис. 7.5. Эти оценки были получены по точным значениям авто-
корреляции этих синусоид в шуме, соответствующим индексам
временного сдвига от 0 до 8 [выражение (4.25)]. Когда отноше-
ние сигнал/шум понизилось с 30 до 10 дБ, число разрешаемых
синусоид уменьшилось с трех до двух, при этом оценки частот,
определяемые расположением пиков, оказались смещенными.
Степень разрешения синусоид равной мощности в случае из-
вестной автокорреляционной последовательности можно опре-
делить с помощью приближенной формулы Марпла [15]

F	1.03

Л “ Тр [SNR (р+ I)]0’31 ’

(7.35)

где F — разрешение в герцах, Т — интервал отсчетов в секун-
дах, р — максимальное значение индекса временного сдвига для
автокорреляционной последовательности, a SNR— отношение
сигнал/шум для отдельной синусоиды, выраженное не в деци-
белах, а в линейных единицах.

7.4.3.	Оценивание мощности синусоидальных компонент

Авторегрессионный метод оценивания СПМ часто используется
для того, чтобы выявить в данных наличие синусоидальных ком-
понент. Мощность, соответствующую компонентам в АР оценке
СПМ, можно точно вычислить, интегрируя площадь под кривой
этой оценки. Однако это связано с большими вычислительными
затратами, поэтому весьма заманчивой оказалась идея исполь-
зования в качестве показателя мощности синусоидальных ком-
понент высоты соответствующих им спектральных пиков. Для
классических спектральных оценок высота спектральных пиков,
служит надежным показателем относительной мощности, по-
скольку в том случае, когда анализируемый процесс состоит из
аддитивной смеси синусоид и белого шума, высота спектраль-
ных пиков прямо пропорциональна мощности этих синусоид.
Но для АР-оценок СПМ такой подход не применим. Рассмот-
рим, например, автокорреляционную последовательность для
одной комплексной синусоиды в белом шуме, которая, согласно
соотношению (4.52), будет определяться выражением

г„ Щ = Р exp (.iZnfckT)-t-pw S [6].	(7.36)

Используя это выражение, Лакосс [9] показал, что авторегрес-
сионная пг-го порядка СПМ для процесса, состоящего из одной
синусоиды и белого шума, может быть представлена в следую-
щем виде (см. разд. «Задачи»):

'АР (I) I	ш	|2 •	('Л/)

I 1 - X <- I !-!<,] Г) J

Функция Рдр(/) достигает своего максимума при f=fo:

Pap (Л) - Р№Т [1 -г mSNR] [1 + (m + 1) SNR] Т (mSNR)2, (7.38)
где SNR = P/pm и полагается mSNR»l (т. е. что отношение сиг-
нал/шум велико). (Таким образом, высота пика оказывается -
пропорциональной" квадрату мощности, а, следовательно, пло-
^щадь под пиком прямо пропорциональна этой мощности..''

Метод оценки мощности нескольких действительных'" сину-
соид по пикам в АР-спектре был предложен Джонсоном и Ан-
дерсеном [7]. Однако он дает хорошие результаты только в
случае достаточно далеко разнесенных спектральных пиков
синусоид с высоким отношением сигнал/шум. Если АР СПМ
записать в виде г-преобразования

A (Z) А "(./г-) 	(7 39’

то мощность пика, наблюдаемого в АР-спектре на частоте fn,
будет оцениваться следующей величиной:

Мощность (ffe) = 2Re|вычет	вычисленный при гд,^ехр(/2л^Т)|>

(7.40)

Вычет здесь определяется выражением (2.20). Заметим, что при
использовании этого метода могут получаться отрицательные
значения мощности в тех случаях, когда спектральные пики
расположены очень близко друг к другу. Если заранее известно,
что данные состоят только их синусоид и шума, то более на-
дежную оценку мощности дает, по всей видимости, метод Про-
ни (гл. 11).

Литература

[I]	Box G. Е. Р., Jenkins G. М. Time Series Analysis Forecasting and Control.
Holden-Day, Inc., San Francisco, 1970. [Имеется русский перевод:
Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Прогноз и управле-
ние.— М.: Мир, 1974, вып. I, 2.]

[2]	Burg J. Р. Maximum Entropy Spectral Analysis, Ph D. dissertation.
Department of Geophysics, Stanford University, Stanford, Calif., 1975.

[3]	DuBroff R. E. The Effective Autocorrelation Function of Maximum Entropy
Spectra. Proc. IEEE, vol. 63, pp. 1622—1623, November 1975. [Имеется
русский перевод: Дуброфф Р. Е. Эффективная автокорреляционная функ-
ция спектров максимальной энтропии. ТИИЭР, 1975. т. 63, № 1]. с 96—97]

[4]	Friedlander В. Lattice Filters for Adaptive Processing. Proc. IEEE, vol. 70,
pp. 829—867, August 1982 [Имеется русский перевод: Фридландер Б.
Решетчатые фильтры для адаптивной обработки данных. ТИИЭР, 1982,
т. 70, № 8, с. 54—97.]

[5]	Haykin S. S., Kester S. Prediction-Error Filtering and Maximum-Entropy
Spectral Estimation, Chapter 2 in Nonlinear Methods of Spectral Analysis,
2nd ed., S. Haykin, ed , Springer-Ferlag, New York, 1983

[6]	Jaynes E. T. On the Rationale of Maximum-Entropy Methods Proc. IEEE,
vol. 70, pp. 939—952, September 1982. [Имеется русский перевод:
Джейнс Э. Т. О логическом обосновании методов максимальной энтропии.
ТИИЭР, 1982, т. 70. № 9, с. 33—51 ]

[7]	Johnson S. J., Anderson N. On Power Estimation in Maximum Entropy
Spectral Analysis. Geophysics, vol. 43, pp 681—690, June 1987.

[8]	Kay S. M. Modern Spectral Estimation Prentice-Hall, Fnglewood Cliffs,
N. J„ 1987.

[9]	Lacoss R. T. Data Adaptive Spectral Analysis Methods. Geophysics, vol 36,
pp. 661—675, August 1971.

[10]	Lang S. W.. McClellan J. H. A Simple Proof of Stability for All-Pole
Linear Prediction Models Proc IEEE, vol. 67. pp 860—861, May 1979.
[Имеется русский перевод: Лэнг С. У., Макклеллан Дж. X. Простое дока-
зательство устойчивости моделей линейного прогнозирования, содержа-
щих только полюсы: Обзор. ТИИЭР, 1979, т. 67, № 5, с. 185—186.]
[lA] Makhoul J. Linear Prediction: A Tutorial Review. Proc. IEEE, vol. 63,
pp. 561—580, April 1975; исправление см.: vol. 64, p. 285, February 1976.
[Имеется русский перевод: Макхол Дж. Линейное предсказание: Обзор.
ТИИЭР, 1975, т. 63, № 4, с. 20—44; исправление к этой статье см.: ТИИЭР,
1976, т. 64, № 2, с. 109.]

[12]	Makhoul J. A Class of All-Zero Lattice Digitaj Filters: Properties and
Applications. IEEE Trans. Acoust Speech Signal Process., vol. ASSP-26,
pp. 304—314, August 1978.

[13]	Makhoul J. Lattice Methods in Spectral Estimation, in Applied Time Series
Analysis II, D. F. Findley, ed„ Academic Press, Inc., New York, 1981,
pp. 301—324.

[14]	Markel J. D., Gray A. H. Linear Prediction of Apeech. Springer-Ferlag, New
York, 1982.

[15]	Marple S. L., Jr. Frequency Resolution of Fourier and Maximum Entropy
Spectral Estimates. Geophysics, vol. 47, pp. 1303—1307, September 1982.

[16]	N'ikias C. L., Raghuveer M. Discussion on Higher Order Autospectra by
MEM. Geophysics, vol. 50, pp. 165—166, January 1985.

[17]	Pakula L., Kay S. M. Simole Proofs of Minimum Phase Property of the
Prediction Error Filter. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process.,
vol. ASSP-31, p. 501, April 1983.

[18]	Papoulis A. Maximum Entropy and Spectral Estimation: A Review. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, pp. 1176—1186,
December 1981.

[19]	Robinson E. A., Treitel S. Geophysical Signal Analysis. Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, N. J., 1980.

[20]	Satorius E. H., Zeidler J. Maximum Entropy Spectral Analysis of Multiple
Sinusoids in Noise. Geophysics, vol. 43, pp. 1111—1118, October 1978.

[21]	Van Den Bos A. Alternative Interpretation of Maximum Entropy Spectral
Analysis. IEEE,Trans, Inf. Theory, vol. IT-17, pp. 493—494, July 1971.

Задачи

1.	Показать, что любой набор чисел {рр, kt, ..., kp}, такой, что рр>0 и к<<1
будет однозначно определять корректно обусловленную автокорреляцион-
ную последовательность.

2.	Пусть {ЛгДО].... Гхх[т]}—корректно обусловленная автокорреляционная

последовательность. Показать, что тёплицевы автокорреляционные матрицы
связаны соотношением

det R„ + 1 = — (det R„ _,) r2 [m + 1] + ₽r„ [m + 1] + a,

где P и a— функции от det Rm_t и Sam[t]rx.r[m+1— i], Показать, что
detR,^+1 как функция от r[m+l] при заданных rx*[0], ..., rxx[m] имеет
только один максимум, поэтому диапазон допустимых значений автокорре-
ляции Гхх[т+1], которая является невозрастающей функцией т, равен
2ртГ Показать, что выбор rxx[m+l] как средней точки этого допустимого
диапазона

т

Гхх ["* + П = — 2 ат И [т н-1 — i]

* - 1

дает km+i = 0 и pfm+] = pfm. Показать, что это максимизирует R,n+t.

3.	Используя (7.22), доказать, что |к^|<1.

4.	Доказать рекурсивное относительно порядка соотношение между линейны-
ми предсказаниями ошибок вперед и назад, определяемыми соответственно
выражениями (7.26) и (7.27).

5.	Используя (7.36), доказав соотношение (7.37)
6,	Найти предсталение автокорреяционной последовательности через после-
довательность авторегрессионны. параметров, указанное на рис. 7.3.

7.	Рекурсию Левнсона (7.17) можо рассматривать как отображение множе-
ства, состоящео из р коэффициатов отражения к/ на множество из р коэф-
фициентов линйного предсказаня a[i].

а)	Доказать, 1'0 такое отображние взаимно однозначно.

б)	Вывести в1ражение для реурсии Левинсона убывающего порядка,
которая отбражает множесто коэффициентов фильтра линейного пред-
сказания нгмножество коэффциентов отражения.

в)	На основесритерия устойчиости для коэффициентов линейного пред-
сказания зписать критерий устойчивости для фильтров, обладающих
только полками, сформулирванный относительно коэффициентов отра-
жения.

г)	Устойчив Л1 фильтр с системой функцией

Н	= 1— 2г-1—6г-! + г-3 — 2~4 '

в. Показать, что юшетчатый фильэ является ортогонализирующим фильтром,
для чего докаать, что ошибки лнейного предсказания вперед и назад орто-
гональны другдругу на этой ресетке, т. е. что

{еь [т]	= р„6 [т — п].

Подсказка: исользуйте соотношние (3.164).

5. Анализ АР(р)спектра процессе состоящего из Л! комплексных синусоид
и аддитивного бело! о шума, в лучае р>М можно упростить, переходя к
системе уравнний более низкго порядка (Саториус и Зайдлер [20],
Кей [8]). Испльзуя выражение(4.52) для автокорреляционной функции Af
комплексных ннусоид в аддитином белом шуме, показать, что авторегрес-
сионные парамтры удовлетворяя соотношению

м

ар И = 2 ?ехР (/2л/, [£— Ч Т)

при и>>М, где

м

»+L =- орР'+о'ехр
п _ •]	Рг т Ри»

п #-|'П

«

Р1П /I—ехр (/2л [fn —f,„] рТ \

1,4,1 рР« + рД1— ехр(/2л(/д — fm\T

Показать такю. что

И

1 — Sy? ех? (—
₽ 1

(Подсказка: пдетавить в уравнния Юла — Уолкера векторную форму этой
автокорреляцонной последоватльности.) Заметим, что данная процедура
позволяет загнить р уравнени Юла — Уолкера меньшей системой из Af
уравнений отнеительно кооффииентов

Рр ‘ Pw
Глава 8

АВТОРЕГРЕССИОННОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ:
АЛГОРИТМЫ БЮЧНОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

8.1. Введение

Выше в гл. 6 и 7 были зассмотрены основные свойства и соот-
ношения авторегрессионой (АР) модели и связанной с ней
функцией СПМ, причем изложение материала в этих главах
велось в предположение что автокорреляционная функция ис-
следуемого случайного процесса точно известна. Однако на
практике эта функция оычно не известна, поэтому авторегрес-
сионная спектральная огенка основывается на имеющихся дан-
ных. В этой и следующе. главах описываются алгоритмические
методы получения авторгрессионных спектральных оценок по
отсчетам данных. Следует, однако, заметить, что в действитель-
ности эти методы дают аенки параметров АР-модели, а уже по
ним может быть вычислен АР СПМ.

Все эти методы можнз разбить на две категории: алгоритмы
для обработки блоков днных и алгоритмы для обработки
последовательных данные. В этой главе описаны методы обра-
ботки, относящиеся к блкам данных, т. е. алгоритмы, предна-
значенные для обработке целых блоков накопленных отсчетов
данных некоторого фикарованного объема. В гл. 9 будут опи-
саны методы обработки последовательных данных, т. е. алго-
ритмы, предназначенные для последовательной обработки от-
счетов данных по мере ix поступления. Блочные методы, рас-
сматриваемые в этой главе, можно кратко описать как
алгоритмы с фиксированиям временем, рекурсивные относитель-
но порядка в том смысл, что они применяются к фиксирован-
ным блокам временных отчетов данных и позволяют рекурсив-
ным образом получать ценки параметров АР-модели более
высокого порядка по оцекам параметров АР-модели более низ-
кого порядка. Такие алпритмы целесообразно применять в тех
случаях, когда порядок ребуемой АР-модели не известен, по-
этому для выбора АР-мо.ели надлежащего порядка необходимо
испытывать много таких моделей различных порядков и срав-
нивать получаемые резу,ьтаты. С другой стороны, последова-
тельные методы, описывамые в гл. 9, можно рассматривать как
алгоритмы с фиксировании порядком, рекурсивные относи-
тельно времени в том смясле, что они применяются для после-
довательной обработки .энных с целью обновления оценок
параметров АР-модели фжеированного порядка. Такие алгорит-
мы целесообразно применять в тех случаях, когда необходимо,
осуществлять слежение за спектром, медленно изменяющимся-
во времени, т. е. адаптироваться к нему.

В принципе простейшей процедурой для получения авторег-
рессионной спектральной оценки по отсчетам данных могла бы.
быть процедура получения по этим данным оценок автокорре-
ляционной последовательности с помощью программы
CORRELATION, приведенной в гл. 5. Эти автокорреляционные
оценки использовались бы затем вместо отсутствующей точной,
автокорреляционной последовательности в уравнениях Юла —
Уолкера, приведенных в гл. 6, для получения оценок АР-пара-
метров, по которым далее вычислялась бы функция СПМ. Од-
нако более качественные результаты (особенно в случае корот-
ких последовательностей данных) получаются с помощью
алгоритмов, которые позволяют определять оценки АР-парамет-
ров непосредственно по самим данным без использования авто-
корреляционных оценок, что проиллюстрировано ниже конкрет-
ными примерами.

Представленные в этой главе методы блочной обработки
данных делятся на три категории, каждой из которых посвящен
отдельный раздел. Выше в гл. 7 было показано, что АР-пара-
метры можно получать с помощью эквивалентных представле-
ний, основанных на использовании либо автокорреляционной'
последовательности, либо последовательности коэффициентов
отражения. Так называемый метод Юла — Уолкера оценивания
АР-параметров по последовательности оценок автокорреляцион-
ной функции изложен в разд. 8.3. Два метода оценивания АР-
параметров по последовательности оценок коэффициентов отра-
жения, включая популярный алгоритм Берга, описаны в разд. 8.4.
Одну из важных категорий методов оценивания АР-параметров
составляют методы, основанные на линейном предсказании по
критерию наименьших квадратов. Методы этой категории, ко-
торые обсуждаются в разд. 8.5, в дальнейшем различаются no-
типу используемой оценки линейного предсказания. К одному
классу этих методов относятся те из них, в которых производит-
ся раздельная минимизация квадратичных ошибок линейного-
предсказания вперед и назад (или прямого и обратного пред-
сказания). к этому классу относятся автокорреляционный и ко-
вариационный методы. Второй класс составляют методы, в ко-
торых осуществляется совместная минимизация квадратичных
ошибок прямого и обратного линейного предсказания. К этому
классу относится модифицированный ковариационный метод.
В остальных разделах данной главы рассмотрены методы, ис-
пользуемые для выбора порядка АР-модели, и некоторые моди-
фикации, необходимые для управления шумом наблюдения при:
измерении данных.
•	СБОР ДАННЫХ
N отсчетов,
Т с/отсчет

•	УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбору)
См. гл. 14

ВЫБОР ПОРЯДКА АР-МОДЕЛИ
Параметр |Р

4 ОЦЕНИВАНИЕ АР-ПАРАМЕТРОВ

Выбрать один из следующих методов:

— метод Юла — Уолкера

(подпрограмма YULEWALKER , приложение 8.А)

—метод Берга

(подпрограмма BURG , приложение 8.Б)
— ковариационный метод

(подпрограмма COVAR , приложение 8.В)
— модифицированным ковариационный метод

• (подпрограмма MODCOVAR , приложение 8.Г)

• ВЫЧИСЛЕНИЕ АР-ОЦЕНКИ СПМ

П одпрограмма ARMAPSD , приложение 6 А

— • ИЗМЕНЕНИЕ ПОРЯДКА

Изменение порядка для достижения компромисса
между величиной дисперсии и разрешением

Ф*ис. 8.1. Краткая запись четырех блочных алгоритмов АР-оценивання СПМ,
описанных в гл. 8.

3.2. Краткая сводка результатов

Для того чтобы получать авторегрессионные оценки СПМ непо-
средственно по некоторому блоку отсчетов данных, в эту главу
включены машинные программы, которые позволяют читателю
работать с одним из четырех возможных алгоритмов. На рис. 8.1
приведена краткая запись этапов, необходимых для авторегрес-
сионного оценивания СПМ, в соответствии с которой можно вы-
брать одну из четырех подпрограмм оценивания АР-параметров.
Метод Юла — Уолкера (разд. 8.3) в случае коротких записей
данных дает АР-спектры с наихудшим разрешением по сравне-
нию с тремя остальными методами. Метод Берга (подразд. 8.4.2)
и ковариационный метод (подразд. 8.5.1) дают спектральные
•оценки со сравнимыми характеристиками. Модифицированный
ковариационный метод (подразд. 8.5.2) обеспечивает наилучшие
.результаты при наличии в данных синусоидальных компонент.
)в Юла — Уолкра и Берга непосредственно-
1 АР-параметрово [л]. Ковариационный и мо-
и ковариационный методы фактически дают
циентов линейного редсказания, которые затем
; качестве оценок ^Р-параметров, для чего эти
приравниваются ли(о к коэффициентам линейно-
я. вперед: a[n]=af[i], либо к величинам, комп-
л/.юнным коэффициентм линейного предсказания
:=(а&[я])*. После определения (тем или иным мето-
01 «к АР-параметров вычсляется авторегрессионная
.тра, in оценка, которая нахдится с помощью выражения

РлР(Г) = -,-------------------|Г,	(8.1).

1+ 2	(—;'2л/пТЛ

,	• -керсии возбуждющего шума, которую так-

'>дним из чеырех методов, указанных на
1 нке указаныназвания подпрограмм и но-
□ горых приведены их распечатки. Заметим,
s. данных, в качетве входного параметра дол-
. .я порядок АР-юдели. От выбора порядка
висит компромисс гежду разрешением и диспер-
)й спектральной оцнки, и обусловленный им,
ачен эффекту при изменении окна в классических
оценках. Для определения наиболее подходящего
дели приходится иаытывать много моделей раз-
дков, и эта процедура сходна с процедурой закры-
ла окна, применяемой в класснеских методах спектрально-
оценивания. Именно поэтому о а будет также называться
енением, или «закрытием», пс»ядка модели. В разд. 8.7
лшсаны методы автоматического ыбора порядка, которые мож-
но ввести в машинную программулюбого из представленных в
этой главе алгоритмов и тем сакым устранить необходимость
ввода параметра, характеризующее порядок АР-модели.

Примеры четырех авторегрессюнных оценок СПМ для слу-
чая 64-точечной тест-последовател>ности, приведенной в прило-
жении II, помещенном в конце кн!гп, показаны на рис. 8.2. Для
всех методов использовался АР-гсоцесс 15-го порядка. Для-
иллюстрации компромисса между ,азрешением и степенью глад-
кости оценки, который обеспечиват выбор порядка модели, на
врезке рисунка, соответствующее ковариационному методу,
показана спектральная оценка, поученная с помощью АР-про-
цесса 8-го порядка. Истинный епктр, соответствующий этим,
спектральным оценкам, показан и рис. 1.8. В приложениях к


-0.5 -0,4	-0,3	0,2	-0.1	0	0,1	0 2	0 3	0,4	0,5

Рис. 8.2. Четыре спектральные АР(15)-оиенки, полученные по 64-точечной тес-
яоследовательности данных: а — метод Юла — Уолкера; б — метод Берга; в-
ковариационный метод; г — модифицированный ковариационный метод.
этой главе приведены распечатки значений АР-коэффициентов
для каждого метода, которые читатель может использовать для
проверки правильности реализации машинных программ на сво-
ей ЭВМ. Отметим, что оценки на рис. 8.2 обладают острыми
спектральными линиями. Для того чтобы убедиться в правиль-
ности отсчетов функции СПМ при использовании подпрограммы
ARMAPSD, т. е. в том, что не пропущено ни одного острого пи-
ка, достаточно просуммировать значения СПМ по всем часто-
там. Эта сумма должна быть равной полной мощности анали-
зируемого процесса, а следовательно, должна быть близкой к
величине автокорреляционного члена с нулевым корреляцион-
ным сдвигом, который также характеризует мощность этого
процесса. Если эти значения заметно различаются, то для отыс-
кания одного или нескольких пропущенных пиков необходимо
повысить частоту отсчетов, т. е. иными словами, увеличить зна-
чение входного параметра N в подпрограмме ARMAPSD.

8.3.	Метод оценивания корреляционной функции

Наиболее очевидный подход к АР-оцениванию СПМ состоит в
решении уравнений Юла — Уолкера, в которые вместо значений
неизвестной автокорреляционной функции подставляются их
оценки. Такая процедура оценивания СПМ будет называться
алгоритмом Юла — Уолкера. Следует заметить, что при исполь-
зовании несмещенных автокорреляционных оценок автокорреля-
ционная матрица может оказаться неположительно-определен-
ной, а это означает, что ЛР-фильтр будет неустойчивым. При
использовании смещенных автокорреляционных оценок эта мат-
рица всегда будет положительно-полуопределенной, что гаран-
тирует устойчивость АР-фильтра. В случае длинных записей
данных метод Юла — Уолкера может давать вполне приемлемые
спектральные оценки, однако в случае коротких записей данных
получаемые с его помощью спектральные оценки имеют более
низкое разрешение по сравнению с оценками, получаемыми дру-
гими авторегрессионными методами, о чем свидетельствует
рис. 8.2. В приложении 8.А приведена программа YULEWALKER,
предназначенная для машинной реализации метода Юла — Уол-
кера.

8.4.	Методы оценивания коэффициентов отражения

Рекурсивное решение уравнений Юла — Уолкера методом Ле-
винсона связывает АР-параметры порядка р с параметрами по-
рядка р—1 выражением

ар [гс] = ар_г [п] + кХХ [р —	(8-2)
где гг из1еняется от 1до р—1, а коэффициент отражемя кр оп-
ределяетя по известим значениям ..втокорреляционюй функ-
ции, сооветствующшу корреляционным сдвигам от 0 р р—1:

к,=“И =

— 2аг-11л1г«1‘1’—"1

0________________

Р/7-1

(8-3)

Рекурсиное уравнена для дисперсии возбуждающее белого1
шума датся выраженем

Pp = P,-i(1-|^I2),

(8.4)

где ро=/:л-[О]. Из все величин, которые присутствую в выра-
жениях 8.2) — (8.4), олько коэффициент отражения юпосред-
ственно ависит от авокорреляционной функции. Л эп означа-
ет, что о.на из проце,ур получения АР-оценки СПМ етом слу-
чае, когд имеется неюторый блок отсчетов данных, м<жет быть,
основана на оценивами коэффициента отражения поэтим от-
счетам hi каждом шае рекурсии Левинсона. Эта идеяреализо-
вана в вех методах.В одной из них используется геметриче-
ское сре.нее квадратчных ошибок линейного предсказания
вперед иназад, во втором — их арифметическое средне, а тре-
тий оспаан на .приближении методом максимального правдо-
подобия.

8.4.1.	Геометрический алгоритм

Ошибки линейного прдсказания вперед и назад опрцеляются
соответсзенно следующими выражениями:

р

с'р [л] =* [«] + 2 Др [т1х [я—т1»	(8-5)

т= I

^[/г]=х[/—ф- 2 аР	+ m — /?].	(8.6)

т= 1

Подстав.яя в (8.5) и (8.6) значение ар [п], определяеюе выра-
жением 8.2). получай рекурсивные соотношения

4	1 [я] -1- к/£_ г [/т — 1 ],

ер = еьр^ [я— 1] ф- к^_г [гг],

(8-7)

которыегвязывают ошибки предсказания порядка р (ошибка-
ми предсказания пордка р—1. В гл. 7 было показан), что ко-
эффициент отражени: кр можно рассматривать как тээффици-
ент часпой копреляши между ошибками линейного предска-
_жия вперед и назад и что он обладает следующим свойством:
к ____________{4-1 I'd d>-i 1л~!]}	(8 8)

р ${14-1И1а}1/2s{)4-i[н-и|2}1/2 '

Это выражение определяет «геометрическое» среднее0
между частной корреляцией ошибки предсказания вперед
&{efP-\[n] eb*p-i[n—[^]|2} и частной корреляцией
ошибки предсказания назад	—

—1]|2}. Подставляя в (8.8) оценки взаимной корреляции и ав-
токорреляции ошибок предсказания вперед и назад

к

4- Е 1].

р=р + 1

4- Е К.И1!,	(8-9)

п = р + 1

4 Е
п = р + 1

получаем следующее приближенное выражение для коэффици-
ента отражения:

— 2 4-1 ["14-1 [« — И,
-----------P + Uz л---------------•	(8-1 °)
^2114-1 и)2} Qs 114-1 ul2}

Заметим, что в данном случае не имеет значения, какие оценки
корреляции — смещенные или несмещенные — были использо-
ваны, так как масштабирующий множитель сократился. При
выводе выражения (8.10) предполагалось, что имеется N отсче-
тов х[1], ... , x[jV] и ошибки предсказания epf[n] и ерь[п] форми-
руются только в диапазоне индексов от + 1 до n=N, по-
скольку используются только имеющиеся отсчеты данных. Не-
трудно показать, что модуль оценки коэффициента отражения кР
не превышает единицы, а это гарантирует получение устойчивого
АР-фильтра (т. е. фильтра, полюсы которого лежат внутри еди-
ничной окружности В 2-ПЛОСКОСТИ).

Геометрический алгоритм, таким образом, использует алго-
ритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициента от-
ражения, вычисляемого по известной автокорреляционной функ-
ции, используется его оценка кр. Базовый алгоритм Левинсона

° Геометрическое, арифметическое и гармоническое средние значения двух
чисел а и b равны соответственно УаЬ, (а + Ь)/2 и 2ab/(a+b).

17*
дополняется при этом )екурсивными уравнениями (8.7), опре-
деляющими ошибки прдсказания, вычисления по которым на-
чинаются с рекурсии нуевого порядка

е [л] = еь0 [л] = х [и],	(8.11)

где l^zz^'V. В качеств начального значения дисперсии ошиб-
ки линейного предсказашя используется оценка

'» = ^Е|*Н12.	(8.12)

которая характеризует мощность, содержащуюся в N отсчетах
данных. В гл. 15 приваится многоканальная версия геометри-
ческого алгоритма, а сответствующая ей машинная программа
помещена в приложена 15.А. Для случая одного канала (пара-
метр NL’MCHS=1) эт; программа будет давать решения, иден-
тичные получаемым с омощью описанного здесь геометриче-
ского алгоритма.

3.4.2.	Гармонический алоритм (Берга)

Один из самых первыхи наиболее известных алгоритмов авто-
регрессионного спектрашного оценивания был предложен Бер-
гом [9] и впоследствииподробно исследовался Андерсеном [3],
Датта [13], Хайкином Кеслером [15] и Ульрихом и др. [оЗ].
Этот алгоритм получи; название алгоритма максимальной эн-
тропии, однако его следовало бы рассматривать как одно из
независимых и самостательных направлений, обусловленных
принципом максимально энтропии Берга [10].

Алгоритм Берга идатичен геометрическому алгоритму и от-
личается от него лишьтем, что в нем используется другой тип
оценки коэффициента сражения, а именно оценка, определяе-
мая по методу наименших квадратов. При каждом значении
порядка р в нем миниизируется арифметическое среднее мощ-
ности ошибок линейноо предсказания вперед и назад (выбо-
рочная дисперсия ошиб.и предсказания)

L	Z 1^нг]. (8.13)

L п=> +1	П-Р+ 1	J

где полагается, что оплбки предсказания определяются рекур-
сивными выражениями (8.7). Заметим, что и здесь суммирова-
ние ведется только по имеющимся данным. Из (8.13) следует,
что величина ppfb являлся функцией только одного параметра,
а именно комплексногс коэффициента отражения кр, поскольку
ошибки предсказания, [ачиная с порядка р—1, известны. При-
равнивая комплексную производную от нулю

и решая полученное уравнение относительно кр, получаем сле-
дующее выражение для оценки по методу наименьших квадра-
тов:

Д'

—2 2 </-!

кр = —---------------7)------------•	(8.14)

2 14-И"112+ 2 14-11"—ЧП

п=р+1	п=р+1

Эга оценка коэффициента отражения представляет собой гар-
моническое среднее коэффициентов частной корреляции ошибок
предсказания вперед и назад. Нетрудно показать, что ее модуль
не превышает единицы, а это гарантирует получение устойчиво-
го фильтра, имеющего только полюсы. Еще одно рекурсивное
уравнение, которое упрощает вычисление знаменателя в выра-
жении для оценки (8.14), было проанализировано Андерсеном
[4]. Записывая знаменатель (denominator, DEN) оценки (8.14)
в виде

DENp= 2 (14-1М1“ + 14-1Г« —ИГ); (8.15)
п = р+ 1

получаем далее

DENp = (l-1 k^DDEIV,-|4-i W I2 — Й-.М Г- (816)

Доказательство этого соотношения предлагается читателю в
качестве самостоятельного упражнения (см. разд. «Задачи»),
В приложении 8.Б приведена написанная на Фортране машин-
ная программа алгоритма Берга, в которой в методических
целях указаны номера используемых уравнений. Анализ вычис-
лительной сложности этого алгоритма (с учетом только членов
второго порядка) показывает, что его реализация требует вы-
полнения ЗАр—р2 комплексных сложений и умножений, а так-
же р действительных делений. Кроме того, он требует памяти
для хранения 3.V + p комплексных чисел.

Гармонический метод дает несколько смещенные оценки час-
тоты синусоид, что будет проиллюстрировано в разд. 8.6. Для
уменьшения этого смещения было предложено несколько моди-
фикаций этого метода. Их основное отличие от исходного алго-
ритма— взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания

[n	1

4- Е МЛ(14И12ШН12) •

м=₽+1	J
что приводит к следующей оценке коэффициента отражения:

w

—2 2	|]

k,,= ——,	(8.17)

2 шр-11"!С 4-1 («112+14-1 («—ч Is)

п = р+ 1

где wp..}[n определяет весовую функцию. Нетрудно видеть, что
пока щ[п]&0, модуль оценки |кр|^1. В алгоритме Берга ис-
полъзуетсяравномерная весовая функция wp-i[n] — Резуль-
таты моделрования, выполненного Суиглером [46, 47], показа-
ли, что чатотное смещение уменьшается при использовании
окна Хэммгнга— спадающей к краям весовой функции. Кавех
и Липперт[24] показали, что с помощью специального квадра-
тичного оюа также можно уменьшить смещение оценки частоты
синусоиды в пределах большей части частотного диапазона.
Хелме и Нкиас [16] предложили адаптивную к данным весовую
функцию вша

^-iW= 2 |х [fe] |3 для р^2,
k=п~р + I

которая ха)актеризует общую энергию данных в ошибках ли-
нейного прдсказания вперед и назад	и ebp-i[n—1], со-

ответствующих временному индексу п.

8.4.3. Рекуривное оценивание

по методу \аксимального правдоподобия

Этот алгорлм разработан Кеем [27] и берет свое название от
принципа аенивания по методу максимального правдоподобия
(МП), котоый используется в нем для получения оценки коэф-
фициентов сражения и обновления порядка авторегрессионных
коэффициенте, получаемых с помощью рекурсивного алгорит-
ма Левинссаа. Вывод этого алгоритма требует достаточно много
места и врыени, поэтому здесь дается лишь его краткое описа-
ние. С подрбностями его вывода для случая действительных
данных чиптель может ознакомиться в упомянутой выше рабо-
те Кея [27],обобщение же на случай комплексных данных пока
еще не полнено.

Если платность вероятности гауссовского авторегрессионно-
го процесса порядка р с нулевым средним значением максими-
зируется отосительно коэффициента отражения кр и дисперсии
возбуждающего шума рр в предположении, что авторегрессион-
ные коэффциенты порядка р—1 уже вычислены, то оценки кр
и рр, которю максимизируют эту плотность вероятности для
заданной последовательности днных х[0], х[1], ..., х[М—1],
получаются как решения кубичесюго уравнения

к’+Ь-р	) р	°’

для которого определяется его дествительный корень на интер-
вале [—1, 1], максимизирующий плотность вероятности, и ли-
нейных уравнений

2akp + PpkJ,
Рр = 6р/Л'.

Действительные коэффициенты аРи определяются с помощью
следующих квадратичных форм:

ap = (rt-t 0)'.р^Я^\

Р,, = (0 аТ.^р^-'У

где а= (1 Ор-1[П • • • о^-йр—1])г-вектор авторегрессионных ко-
эффициентов, J—(рХр)-матрица сражения, Sp—(р+1) X (р-г 1)-
матрица с элементами

Sp [<,л=	2 ф ——Д

п = р

определенными при O^t, j^P- 1осле вычисления оценки кР с
помощью рекурсии Левинсона ('..2) определяются авторегрес-
сионные коэффициенты порядка / по значениям этих коэффици-
ентов порядка р—1. Для инициал!зации рекурсивного алгоритма
МП-оценивания используется нач1льное условие

W-1

«0= 2Д4

п=0

Машинная программа реализации этого алгоритма приводится
в книге Кея [28].

8.5. Оценивание линейного предснзания
по методу наименьших квадратов

Налагая на АР-коэффициенты ораничение, с тем чтобы они
удовлетворяли рекурсивному сотношению Левинсона (8.2),
Бергу удалось осуществить оптишзацию по методу наименьших
квадратов единственного параметр — коэффициента отражения.
Другой подход состоит в мпнимзации в методе наименьших
квадратов одновременно по всем коэффициентам лнейного
предсказания, что позволяет полностью устранить огрничение,
налагаемое рекурсией Левинсона. Такой подход будет несколь-
ко улучшать характеристики спектральной оценки, чтоюказано
ниже в разд. 8.6. Будут рассмотрены два типа алгоритмов спект-
рального оценивания по методу наименьших квадратог (МНК)-
К первому относятся алгоритмы, в которых используется раз-
дельные оценки коэффициентов линейного предсказаня вперед
и назад, ко второму — алгоритмы, в которых использется не-
которая их комбинация.

8.5.1. Алгоритмы с раздельным линейным предсказание
вперед и назад

Предположим, что для оценивания АР-параметров прядка р
используется .^-точечная последовательность данных х[1],...
..., Оценка линейного предсказания вперед х\п для от-
счета ,т[я] будет иметь обычную форму

р

.Н [/?]=-—2арИх1л—^].	(8.18)

где — коэффициенты линейного предсказания вггред по-
рядка р. Предсказание «вперед» понимается здесь в тоьсмысле,
что результат предсказания для текущего отсчета даншх пред-
ставляет собой взвешенную сумму из р предшествующие отсче-
тов. Ошибка линейного предсказания вперед определятся вы-
ражением

А	р

ер И = ХИ—= х W + 2 ар М х [5—&]. (8.19)
k= 1

По своей форме это выражение идентично рекурсии, которая
описывает авторегрессионный процесс р-го порядка, е> с тем
лишь отличием, что	не является теперь возбуждающим

белым шумовым процессом, так как в случае конечно, после-
довательности данных ошибка линейного предсказанияне обя-
зательно будет белым шумом. Поэтому, для того чтоб! можно
было воспользоваться авторегрессионной моделью, mi будем
полагать, что ошибка предсказания является отбеленшм про-
цессом, что позволит приравнять авторегрессионные падметры
и коэффициенты линейного предсказания.

Ошибку линейного предсказания вперед можно оп]еделить
.в диапазоне временных индексов от до n=N+p, еси пред-
положить, что данные до первого и после последнего отсчетов
равны нулю (т. е. х[п] = 0 при л<1 и n>7V). N+p членов ошиб-
ки линейного предсказания вперед, определяемых выражением
(8.19), можно записать, используя матрично-векторное обозна-
чение, в следующем виде:

' 4[1] ’
еЦр+Ц

[АГ — р]

4 [AQ

Л [А' + Р\,

(8.20)

где Хр — прямоугольная тёплицева (jV + p) х (р + 1)-матрица
данных. В верхнем правом и нижнем левом углах этой матрицы
стоят нули, что с очевидностью говорит о неявно подразумевае-
мой обработке последовательности данных с помощью окна.
Матрицу данных можно разбить на три компоненты

(8.21)

где нижняя треугольная рх (р + 1)-матрица Lp, прямоугольная
(N—р) х (р + iI)-матрица Тс и верхняя треугольная рх(р + 1)-
матрица ljP определяются выражениями

'х [1] ...	0	0-

‘•Ф] ... х[1] 0,
Гх[р-|-1]	...	х[1]



(8.22)



Up

x[.V]

x[iV — р\,
x[iV — р + 1]

4*]

Модуль среднего квадрата ошибки линейного предсказания
вперед, который необходимо минимизировать, — это просто

р£ = 214 И Г	(8.23)

Поделив р/ на N, получим выборочную дисперсию. Диапазон
суммирования для р/ в (8.23) намеренно не определен, посколь-
ку его выбор зависит от конкретного применения. Мы рассмот-
рим три случая спектрального оценивания. Выбирая полный
диапазон суммирования от ер^[1] до e/fW + p], получаем так на-
зываемый взвешенный случай, поскольку он включает пред- и
постобработку данных с номощью окна (т. е. приравнивания
отсутствующих значений данных к нулю). Выбирая диапазон
суммирования от epf[ 1] до получаем предвзвешенный слу-
чай, поскольку при этом полагается, что значения данных, пред-
шествующие отсчету х[1], равны нулю. Диапазон суммирования
от еРЧр+1] до £рЧЛг] соответствует невзвешенному случаю, по-
скольку используются только имеющиеся отсчеты данных. Взве-
шенный случай получил название автокорреляционного метода
линейного предсказания. Случай отсутствия взвешивания назы-
вается ковариационным методом линейного предсказания. Оба
этих названия впервые начали употребляться в работах по об-
работке речевых сигналов (см. Макхол [34]) и не удовлетворяют
стандартным статистическим определениям этих терминов (ко-
вариация— это корреляция с устраненным средним значением).

Рассмотрим сначала оценку линейного предсказания по ме-
тоду наименьших квадратов, основанную на минимизации р/ с
помощью автокорреляционного (взвешенного) метода. Соотно-
шение между ошибками линейного предсказания вперед и ко-
эффициентами линейного предсказания можно в краткой форме
записать в следующем виде:

ei’ = XXaJ (8'24)

где (Л7+р)-элементный вектор ошибки epf и р-элементный
вектор коэффициентов линейного предсказания а/ определяют-
ся выражениями

/ ^[1] \	Х[1]\

е' =	 I , aj,= • I,	(8.25)

^'„[N + py	'о'ЛрУ

а X,,— (N + p) X (р + 1)-матрица данных, определенная в (8.20).
Уравнение (8.24) имеет ту же форму, что и уравнение (3.62),
поэтому нормальные уравнения, минимизирующие средний квад-
рат ошибки

(Хд2 14И1г = (^)н4	(8.26)

порядка р, будут в соответствии с (3.67) иметь следующий вид:

(8-27)

Произведение ХРНХР формирует квадратную эрмитову
(р +1) X (р+ 1)-матрицу RP, имеющую форму

лдо, 0] ... г до, рК

Rp = X"X. 	I, (8.28)

[р, 0] ... гг [р, р]/

где rp[t, /] = Гр*[/, i]. Элементы матрицы Rp имеют форму корре-
ляционных произведений

гр[‘. /]= 2 х-[п — (]ф-/] =

п= I

N-(i-j)

= 2	—(8.29)

k-1

где O^i—j<^p. Поскольку rp[i, /] зависит только от разности
0—/), произведение XPWXP дает тёплицеву матрицу [см. урав-
нение (3.35)]. Если rp[i, /] поделить на У, то эти члены будут
идентичны смещенной оценке автокорреляционной последова-
тсльности rxv[i—j] =rP[i,	в этом случае нормальные уравне-

ния (8.27) будут идентичны уравнениям Юла — Уолкера (6.32).
Следовательно, автокорреляционный метод линейного предска-
зания на основе наименьших квадратов эквивалентен методу
Юла — Уолкера для оценивания авторегрессионных параметров,
в котором используются смещенные автокорреляционные оцен-
ки. Применяемая в автокорреляционном методе обработка дан-
ных с помощью окна ухудшает разрешение по сравнению с дру-
гими рассматриваемыми здесь методами спектрального оцени-
вания на основе линейного предсказания (см., например, рис.
8.2). Поэтому автокорреляционный метод редко применяется на
практике в случае коротких записей данных, так как другие
методы наименьших квадратов дают более качественные ре-
зультаты.

Соотношение между ошибками линейного предсказания впе-
ред и коэффициентами линейного предсказания для ковариаци-
онного (т. е. без взвешивания) метода можно в краткой форме
записать в следующем виде:

(8.30)

где тёплицева Л^х (р + 1)-матрица данных Тр определена в
(8.22), р-элемен?ный вектор коэффициентов линейного предска-
зания apf определен в (8.25), a (N—р)-элементный вектор оши-
бок e„f имеет теперь следующую структуру:

/е'р [р +1]\

е' = 1	•	.	(8.31)

\ еДЛ'] /

И здесь в соответствии с (3.67) нормальные уравнения, миними-
зирующие средний квадрат ошибки

2	=	(8-32)

порядка р, имеют следующий вид:

Т"ЧаО = Ш (8'33)

Элементы эрмитовой (р +1) X (р +1 )-матрицы RP = TPWTP имеют
вид корреляционных форм

rp[i, /] = 2 X’[n — i]x[n—/],	(8.34)

П = р+ 1
где Oct, ]<р. Элементы матрицы Rp в ковариационном методе
не могут быть записаны как функции разности (i—/), а это
означает, что произведение TPWTP не является тёплицевой мат-
рицей. Однако тот факт, что матрица Rp является произведени-
ем тёплицевых матриц, все же обеспечивает возможность по-
строения быстрого алгоритма, аналогичного алгоритму Левин-
сона. Следовательно, решение нормальных уравнений (8.33)
в случае ковариационного метода может быть получено с по-
мощью некоторого алгоритма, вычислительная сложность кото-
рого пропорциональна р2 операциям, а не р2 операциям, которые
потребовались бы при использовании алгоритма Холецкого. Со-
ответствующий быстрый алгоритм и программа его машинной
реализации COVAR приведены в приложении 8.В. Заметим так-
же, что необходимым, но недостаточным условием того, чтобы
матрица Rp была невырожденной, является условие N—р^р
или p^.N/2. Отсюда следует, что выбранный порядок модели
не должен превышать половины длины записи данных. К кова-
риационному методу мы еще вернемся в гл. 11 как к составной
части метода Прони. Можно показать (см. Кей [28]), что в слу-
чае гауссовских процессов ковариационный метод дает для АР-
параметров оценку, приближающуюся к оценке максимального
правдоподобия.

Используя тот же подход, который был использован нами
для взвешенного и невзвешенного случаев, нетрудно показать,
что в предвзвешенном случае матрицу нормальных уравнений Rp
можно записать в виде следующего матричного произведения:

Rp =	(У) = L?L, +	- U"U„,	(8.35)

элементы которого имеют форму

/] = 2	—— /],	(8.36)

II- 1

где 0<f, Метод предвзвешивания целесообразно использо-
вать в процедурах линейного предсказания по методу наимень-
ших квадратов, основанных на последовательной обработке дан-
ных. Поэтому более подробно он будет рассмотрен в гл. 9.

Случаи взвешивания (автокорреляционный метод), отсутст-
вия взвешивания (ковариационный метод) и предвзвешивания
могут быть также рассмотрены и применительно к оценке ли-
нейного предсказания назад

xb[k]^~^abp[k}x[k + p],	(8.37)

где йр&[/г] — коэффициенты линейного предсказания назад по-
рядка р. Предсказание «назад» понимается здесь в том смысле,
что результат предсказания для текущего отсчета данных явля-
ется взвешенной суммой р последующих отсчетов. Для конеч-
ного набора отсчетов данных параметры линейного предсказа-
ния назад, определяемые по методу наименьших квадратов, в
общем случае не идентичны параметрам линейного предсказа-
ния вперед. Ошибка линейного предсказания назад определяет-
ся выражением

еР И = х —Р]—хЬ [я—р] =

= х[п—р] + 2арМл:[/г — p — k}-	(8.38)

Если предположить, что х[п] = 0 при п<0 и n>N, то составляю-
щие ошибки линейного предсказания назад можно в краткой
форме записать в виде следующего матрично-векторного произ-
ведения

=	(8.39)

где вектор ошибки линейного предсказания назад ерь и вектор
коэффициентов линейного предсказания назад арь определяются
выражениями

е? = (	'	.	= 1	,	(8.40)

\ еЦ!] /	\аЦ1]/

а Хр — это, по-прежнему, тёплицева матрица данных, которая
была определена выше выражением (8.21).

Средний квадрат ошибки линейного предсказания назад оп-
ределяется выражением

Рр=214Н12-	(8.41).

Суммирование здесь выполняется в диапазоне от 1 до А'+р во-
взвешенном случае (автокорреляционный метод), от р-f-l до .V
в невзвешенном случае (ковариационный метод) и от 1 до У в
случае предвзвешивания. С помощью того же подхода, который
был использован нами для линейного предсказания вперед,,
можно показать, что во всех этих случаях нормальные уравне-
ния для линейного предсказания назад будут иметь форму

 а?\ ; °А

41 KJ (8'42)
где матрица Rp равна XPWXP для взвешенного случая, TprtTp для
невзвешенного случая и определяется выражением (8.35) в слу-
чае предвзвешивания. Решения «прямых» и «обратных» нор-
мальных уравнений взаимосвязаны, так как в обоих случаях эти
уравнения содержат одну и ту же матрицу Rp. Поэтому быстрые
алгоритмы для ковариационного и предвзвешенного методов
будут одновременно решать нормальные уравнения относитель-
но коэффициентов линейного предсказания вперед и назад при
всех промежуточных значениях порядка модели, а, следователь-
но, оба набора коэффициентов получаются здесь без дополни-
тельных вычислительных затрат.

Следует заметить, что коэффициенты линейного предсказа-
ния вперед и назад, определяемые с помощью ковариационного
метода, не гарантируют получение устойчивого фильтра. Однако
это, вообще говоря, не приводит к каким-либо затруднениям,
если их значения используются только для целей спектрального
оценивания. В действительности спектральные оценки, получае-
мые по оценкам авторегрессионных коэффициентов, определяе-
мых с помощью ковариационного метода, обычно имеют меньшие
искажения [33. 40], чем спектральные оценки, получаемые с по-
мощью методов, гарантирующих устойчивость фильтра линей-
ного предсказания, например с помощью автокорреляционного
метода. Однако если такой фильтр синтезируется для каких-ли-
бо других целей, то вопрос об его устойчивости приобретает,
естественно, важное значение.

Один из вариантов ковариационного метода был предложен
Никиасом и Скоттом [39]. В их методе коэффициенты линейного
предсказания вперед и назад выбираются на основе взвешенных
квадратов ошибок

р₽= 2 we ИIе'" ИI2’	2 НI Н Г. (8ЛЗ)

п—р- 1	п-р-1

где веса характеризуют энергию отсчетов данных, используемых
для формирования ошибок предсказания в пределах окна

МЧI2-

Быстрые алгоритмы для ковариационного метода с весами об-
щего вида пока не получены, поэтому должны использоваться
обычные программы решения матричных уравнений, а это озна-
чает, что вычислительные затраты, необходимые для решения
соответствующих нормальных уравнений, будут в данном случае
пропорциональны величине р3.
8.5.2. Комбинированные алгоритмы линейного предсказания
вперед и назад

В гл. 7 было показано, что для стационарного случайного процес-
са авторегрессионные коэффициенты линейного предсказания
вперед и назад представляют собой комплексно-сопряженные ве-
личины, поэтому ошибку линейного предсказания назад можно
записать в следующем виде:

еьд [ц] ^х[п —р] ф- 2 [ВДя- р-т k].	(8.44)

Поскольку оба направления предсказания обеспечивают получе-
ние одинаковой статистической информации, представляется це-
лесообразным объединить статистики ошибок линейного пред-
сказания вперед и назад, с тем чтобы получить большее число
точек, в которых определяются ошибки. Суммарный результат
такой процедуры должен улучшать оценку авторегрессионных
параметров. В невзвешенном случае (Лг—р) ошибок линейного
предсказания вперед и {Л'—р) ошибок линейного предсказания
назад можно в краткой форме записать в виде следующего мат-
рично-векторного произведения:

Вектор ошибки ер имеет 2(N—р) элементов и образован из
(N—р)-элементного вектора ошибки линейного предсказания
е₽* и (N—р)-элементного вектора ошибки линейного предска-
зания назад е/, которые определяются следующими выраже-
ниями:

Вектор коэффициентов линейного предсказания ар!Ь в (8.45)

определяется выражением

a (N—р) X (P+D-матрица данных Тр — выражением (8.22).
Так как J — это (р+1)Х(р + 1)- матрица отражения, то про-
изведение

( х* [1]	... ^*[р + 1]

t;j=	:.. л*[У-р]

х*[Л'—р] ...	х*[Л] )

представляет собой ганкелеву матрицу с элементами, комплекс-
но-сопряженными отсчетам данных. Отметим, что верхний ин-
декс f у коэффициентов линейного предсказания ар[£] опущен,
поскольку они теперь соответствуют как ошибкам предсказания
вперед, так и ошибкам предсказания назад.

Минимизируя среднее значение квадратов ошибок предска-
зания вперед и назад

р£6=+[ Е 14Н13+ Ё №Нг| =+е£Ч> =

|_fl = p-rl	Л = р-1	J

= + [(е^)',е'+(е?)"е‘]	(8.46)

по имеющимся данным, получаем систему нормальных уравне-
ний

RX=^0J.	(S-47>

в которых

R^ = +jJ +j) = T"b + JT»rT;J	(8.48)

и Ор — p-элементный нуль-вектор. Уравнение (8.47) следует
непосредственно из уравнения (3.67), поскольку уравнение
ошибки (8.45) имеет ту же форму, что и уравнение (3.62). Эле-
менты матрицы Rp имеют форму

/1 =	(х* [л — /] х[п — /] — х [л —р + i]x* [л — р + /]),

(8.49)

где 0^/, k^.p. Так как диапазон суммирования квадратов
ошибок в (8.46) идентичен диапазону суммирования в ковариа-
18—1366
ционном методе, ю процедура, основанная на совместном ис-
пользовании ошибок линейного предсказания вперед и назад по
методу наименьших квадратов, получила название модифициро-
ванного ковариационного метода. Этот метод был независимо
разработан Бергом [9], Ульрихом и Клейтоном [51] и Наттол-
лом [40]. Ульрих и Клейтон назвали его методом наименьших
квадратов, хотя это и не единственный метод наименьших квад-
ратов, используемый для линейного предсказания при спект-
ральном оценивании. Отметим, что в выражении (8.46) могут
использоваться и другие пределы суммирования, однако мы не
будем рассматривать подобные случаи, поскольку характерис-
тики получаемых в них оценок, как правило, не превосходят
характеристик оценок, получаемых с помощью модифицирован-
ного ковариационного метода.

Модифицированный ковариационный метод и гармонический
метод Берга основаны на минимизации средних квадратов оши-
бок линейного предсказания вперед и назад. В первом из них
минимизация выполняется по всем коэффициентам предсказа-
ния, во втором же выполняется условная (т. е. с наложенным
ограничением) минимизация только по одному коэффициенту
предсказания ар[р] (т. е. по коэффициенту отражения кр). При
использовании метода Берга возникает ряд проблем, включая
расщепление спектральных линий и смещение частотных оце-
нок, которые устраняются при использовании модифицирован-
ного ковариационного метода. А это означает, что причина их
появления, по-видимому, связана с ограничением, которое в
методе Берга используется при минимизации.

Количество вычислительных операций, требуемое для пря-
мого решения уравнения (8.47) с помощью алгоритма Холецко-
го, пропорционально величине р3, а объем необходимой при
этом памяти пропорционален величине р2. Однако матрица Rp
в уравнении (8.48) обладает столь хорошей структурой, вклю-
чая центральную симметрию, что можно попытаться использо-
вать ее для построения быстрого алгоритма решения уравнения
(8.47). Подробный вывод такого быстрого алгоритма и машин-
ная программа его реализации MODCOVAR приведены в при-
ложении 8.Г. Для модели р-го порядка и N отсчетов данных
этот алгоритм требует Np+Sp- вычислительных операций (сло-
жений и умножений) и памяти объемом Д'+^Р, что сравнимо
с вычислительной сложностью алгоритма Берга. Однако вычис-
лительная эффективность модифицированного ковариационного
алгоритма будет выше, чем у алгоритма Берга, в том случае,
когда р<А и в обоих алгоритмах используется один и тот же
порядок модели. Отметим также, что необходимым, но недоста-
точным условием невырожденности м > щы Rp является ус-
ловие 2 (Д’—р)^р или р^2Д7/3. Отсю следует, что значение
выбранного порядка модели не должно превышать двух третей
длины записи данных.

В отличие от метода Берга, модифицированный ковариаци-
онный метод не гарантирует получение устойчивого фильтра
линейного предсказания (т. е. фильтра, полюсы которого рас-
положены внутри единичной окружности в г-плоскости), хотя
чаше всего он будет давать именно устойчивые полюсы. В слу-
чае спектрального оценивания это не приводит к каким-либо
затруднениям, но обязательно должно учитываться в том слу-
чае, когда вычисляемые коэффициенты действительно использу-
ются для синтеза фильтра. В приложении 8.Г показано, что
модифицированный ковариационный метод всегда дает коэффи-
циенты отражения, модуль которых не превосходит единицы.
Следовательно, при использовании значений коэффициентов
отражения, вычисляемых с помощью модифицированного кова-
риационного метода, мы всегда будем получать устойчивые ре-
шетчатые фильтры.

8.6. Характеристики оценок

Свойства спектров, получаемых по оценкам авторегрессионных
параметров, рассмотренным в этой главе, подробно исследова-
ны в многочисленных опубликованных работах. Так как метод
Берга является одним из первых и наиболее широко используе-
мых алгоритмов, то проверке и сравнению чаще всего подверга-
лись результаты, получаемые именно с его помощью. Появление
каждой новой процедуры спектрального оценивания было, как
правило, вызвано необходимостью устранить те или иные ано-
малии в спектральных оценках, получаемых с помощью гармо-
нического алгоритма Берга. К такого рода аномалиям, которые
будут рассмотрены ниже, относятся ложные спектральные пики,
смещения частотных оценок и расщепление спектральных
линий.

Если выбран большой порядок АР-модели относительно име-
ющегося числа отсчетов данных, то в авторегрессионных спект-
ральных оценках могут появляться ложные пики. Из-за ошибок
оценивания матрица нормальных уравнений для большинства
АР-методов будет иметь полный ранг, равный большим значе-
ниям порядка моделей, так что решения для АР-параметров
получаются даже тогда, когда истинная модель имеет значи-
тельно меньший порядок. Дополнительные полюсы, порождае-
мые лишними АР-параметрами, приводят к появлению ложных
спектральных пиков. Для уменьшения числа ложных пиков сле-
дует использовать методы определения порядка модели; не-
сколько критериев выбора порядка модели обсуждается в-
разд. 8.7. Следует заметить, что уменьшение порядка модели с
18*
Рис. 8.3. Две спектральные АР-оценки, полученные по 101 отсчету процесса,
состоящего из синусоиды с частотой 7,25 Гц и аддитивного белого шума (от-
ношение сигнал/шум = 50, частота дискретизации —- 100 Гц, начальная фаза
равна 45°): а—оценка методом Берга с расщепленной спектральной линией;
б — оценка модифицированным ковариационным методом, расщепление спект-
ральной линии отсутствует.

целью борьбы с ложными пиками снижает также и разрешение
спектральной оценки. Из описанных в данной главе АР-методов
спектрального оценивания более высокое разрешение при за-
данном порядке модели обеспечивают метод Берга, ковариаци-
онный метод и модифицированный ковариационный метод, о чем
свидетельствует рис. 8.2. Обусловлено это главным образом
отсутствием в них эффектов, связанных с применением окна.
Именно по этой причине наихудшее разрешение из всех описан-
ных здесь методов имеет автокорреляционный метод.

При использовании метода геометрического среднего, мето-
да гармонического среднего (метода Берга) и автокорреляци-
онного метода было замечено, что при некоторых условиях в
спектральной оценке могут появляться два близко расположен-
ных спектральных пика там, где должен присутствовать только
один спектральный пик. Это явление, названное расщеплением
спектральной линии, иллюстрирует рис. 8.3, на котором пока-
заны спектральные оценки, полученные с помощью метода Бер-
га и модифицированного ковариационного метода. Оба спектра
на этом рисунке построены по 25 значениям оценок, получен-
ным по 101 отсчету процесса, состоящего из синусоиды единич-
ной амплитуды с начальной фазой 45° и частотой 7,25 Гц и ад-
дитивного шума с дисперсией 0,01 (отношение сигнал/шум |
равно 50). Частота отсчетов равна 100 Гц. Спектральная ’
оценка по методу Берга, показанная на рис. 8.3,а, имеет рас- ]
тепленный пик на частоте примерно 7,25 Гн, что создает лож-
ное представление о наличии частот двух синусоид. Спектр,
полученный по тем же данным с помощью модифицированного
[риационного метода, имеет только один пик на правильной
оте. Расщепление спектральных линий было впервые опи-
) в статье Фужера и др. [14], где отмечается, что при ис-
.пзовании метода Берга расщепление спектральных линий
наиболее вероятно в тех случаях, когда 1) велико отношение
.нгнал/шум, 2) начальные фазы синусоидальных компонент
нечетно кратны углу 45°, 3) протяженность последовательности
данных во времени такова, что синусоидальные компоненты
имеют нечетное число четвертей периодов, и 4) процентное со-
отношение между числом оцениваемых АР-параметров и числом
используемых для этой цели отсчетов данных относительно
велико. Расщепление спектральных линий отмечалось при ис-
пользовании как действительных, так и комплексных данных,
причем спектры, характеризуемые расщеплением линий, как пра-
вило, содержат много ложных спектральных пиков. С увеличе-
нием длины записи данных вероятность расщепления спектраль-
ных линий быстро уменьшается. Теоретический анализ причин
расщепления спектральных линий в случае автокорреляционно-
го метода Юла — Уолкера выполнен в работе Кея и Марпла
J29], где показано, что используя несмещенную оценку автокор-
реляции, можно ослабить или даже полностью устранить рас-
щепление спектральных линий, свойственное этому методу.
Аналогичный анализ для метода Берга выполнен Херрингом
(17], который приходит к выводу, что использование в данном
случае взвешенных квадратов ошибок [уравнение (8.43)] по-
зволяет, по-видимому, снизить вероятность расщепления спект-
ральных линий, появление которого, по всей видимости, обус-
ловлено смещением между положительными и отрицательными
спектральными компонентами действительных синусоид. Одна-
ко наилучшее средство от этого — модифицированный ковариа-
ционный метод, при использовании которого еще ни разу не
отмечалось расщепления спектральных линий, особенно в тех
случаях, когда применение метода Берга дает оценки с расщеп-
ленными спектральными линиями.

В работах Чженя и Стиджена [11], Ульриха и Клейтона
(51] и Торвалдсена [48] отмечается, что в случае процесса, со-
стоящего из смеси одной или двух синусоид и аддитивного
белого шума, спектральные пики авторегрессионной спектраль-
ной оценки по методу Берга оказываются сдвинутыми, причем
величина их сдвига зависит от начальной фазы этих синусоид.
В одном из экспериментов Ульриха и Клейтона с помощью ме-
тода Берга и модифицированного ковариационного метода оп-
ределялись спектральные оценки по ансамблям из 15 отсчетов
процесса, состоящего из действительной синусоиды единичной
амплитуды с частотой 1 Гц и аддитивного белого шума при
отношении сигн?л/шум, равном 10 (интервал отсчетов был ра-
И

Модифицированный,
 ковариационный ,*
. метод -х /

Метод Берга

‘20	160	240	300	36С

Начальная фаза, град

Рис. 8.4. Частотное смещение в случае двух АР-методов спектрального оцени-
вания. На графике представлены кривые зависимости среднего по ансамблю
положения спектральных пиков от начальной фазы косинусоидального сигна-
ла в белом шуме для оценок методом Берга и модифицированным ковариаци-
'онным методом; отношение сигнал/шум = 10, порядок модели — 9.

вен 0,05 с). На рис. 8.4 показан график зависимости среднего
положения пика этих спектральных оценок от начальной фазы
синусоиды. Каждая точка на этом графике характеризует сред-
нюю частоту спектрального пика, вычисленную по ансамблю из
50 независимых .реализаций данных. Из приведенного рисунка
с очевидностью следует, что в случае модифицированного кова-
риационного метода эта средняя частота очень слабо зависит
от начальной фазы синусоиды и является точной оценкой ее
частоты. В то же время метод Берга характеризуется достаточ-
но сильным смещением частотной опенки, величина которого с
изменением начальной фазы меняется примерно по синусои-
дальному закону. Теоретическое обоснование такого характера
изменения частотного смещения дано в работах Суинглера [45,
47], где, в частности, показано, что это смещение может дости-
гать 16% величины элемента (или ячейки) разрешения; напом-
ним, что элемент разрешения равен \/NT Герц. Он же показал
[46], что использование взвешенных квадратов ошибок [таких,
например, как в (8.17)] ослабляет фазовую зависимость частот-
ных оценок по методу Берга. Эффекты, связанные с этим сме-
щением, уменьшаются также и при использовании аналитиче-
ского (т. е. комплексного) сигнала [18].

Наттолл [40], используя усреднение по ансамблю из боль-
шого числа наборов данных, тщательно проанализировал дис-
персию оценок СПМ, получаемых с помощью различных АР-ме-
тодов, в том числе методов, описанных в этой главе. Получен-
ные им результаты показывают, что в случае несинусоидальных
процессов из всех этих методов лишь метод Берга и модифици-
рованный ковариационный метод дают, как правило, оценки
СПМ и частоты с минимальной дисперсией. Этот вывод под-
тверждается также и работой [44]. Для иллюстрации сказанно-
го на рис. 8.5 показаны наложенные друг на друга спектральные
оценки, полученные по 50 последовательностям, каждая из кото-
рых содержит 40 отсчетов следующего АР (4)-процесса:

л-[/г] = 2,7607% [fe—1] —3,8106% [fe-2] ~ 2,6535% [k — 3]-
— 0,9238% [k— 4] + да [й],

где да[Л] — белый гауссовский шумовой процесс. Порядок мо-
дели для каждой оценки СПМ был заранее выбран равным че-
тырем. Из рис. 8.5 можно видеть, что спектральные оценки,
получаемые с помощью методов, основанных на линейном пред-
сказании, в целом характеризуются меньшей вариабельностью
склонов, но большей амплитудой выбросов вблизи частот, со-
ответствующих истинным пикам спектра. А это означает, что
методы на основе линейного предсказания дают авторегресси-
онные спектральные оценки с несколько меньшей дисперсией
частоты, но с большей дисперсией СПМ, чем методы, основан-
ные на оценивании коэффициента отражения. Большую диспер-
сию СПМ можно объяснить тем фактом, что в случае методов
линейного предсказания положение полюсов фильтра не огра-
ничивается областью единичного круга, тогда как в случае
методов, основанных на оценивании коэффициента отражения,
этот фильтр должен быть устойчивым, т. е. его полюсы должны
обязательно располагаться внутри единичной окружности. Из
рис. 8.5 также следует, что наихудшую оценку спектра АР(4)-
пропесса дает метод Юла — Уолкера.

Если сигналы имеют большие уровни постоянных составляю-
щих или же. характеризуются заметным линейным трендом, то
их авторегрессионные спектральные оценки будут искажены
[20], в особенности в низкочастотной части спектра. Поэтому
такие составляющие должны оцениваться и удаляться до вы-
полнения процедуры авторегрессионного спектрального оцени-
вания.

Хотя в этой главе основное внимание было уделено харак-
теристикам авторегрессионных спектральных оценок для ко-
ротких последовательностей отсчетов данных, следует также
кратко упомянуть и об их асимптотических статистических
свойствах. Так, Сакаи [43] экспериментально показал, что в
случае процесса, состоящего из синусоид и аддитивного шума,
дисперсия частоты авторегрессионной спектральной оценки
оказывается обратно пропорциональпой длине записи данных
и квадрату отношения сигнал/шум. Килер [30] представил экс-
периментальное доказательство того, что в случае несинусои-
дальных процессов дисперсия обратно пропорциональна длине
записи данных и отношению сигнал/шум (а не квадрату этого